Soit $A = \scalemath{0.6}{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$ et $f$ l'endomorphisme de $\R^4$ canoniquement associé à la matrice $A$.
 1) Déterminer $\op{rg}(f)$, $\ker f$ et $\op{Im } f$.

On admet que les espaces $\ker(f^2)$ et $\ker(f - \op{id})^2$ sont supplémentaires dans $\R^4$ et que $\big(e_1 = (1, 1, 0, 0), e_2 = (0, 1, 1, 0)\big)$ et $\big(e_3 = (1, 0, 0, 0), e_4 = (0, 0, 1, 1)\big)$ forment des bases de ces deux espaces.

 2) Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}' = (e'_1, e'_2, e'_3, e'_4)$ de $\R^4$ dans laquelle la matrice de $f$ est égale à $T = \scalemath{0.6}{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$.
 3) Calculer $T^n$ pour tout $n$ de $\N^*$. Expliquer comment en déduire $A^n$.