 1) $A$ est $B$ sont équivalentes s'il existe $P,Q\in GL_n(\R)$ tels que $A = PBQ$. Par ailleurs, on sait que deux matrices (de même tailles) sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.
 2) En notant $r = \rg A$, on sait que $A$ est équivalente à $J_r$, donc qu'il existe $P,Q\in GL_n(\R)$ telles que $A = PJ_r Q$.
    
     Alors $UAUA = U PJ_r Q U P J_r Q$, et il suffit de prendre $U = Q^{-1} P^{-1}$ (et d'utiliser le fait que $J_rJ_r = J_r$) pour avoir $UAUA = UA$.