 1) On évalue $f$ sur les vecteurs de la base canonique $(1, X, X^2)$ :
    
    + $f(1) = 1 + 1 - 2 = 0$
    + $f(X) = (X+2) + X - 2(X+1) = 0$
    + $f(X^2) = (X+2)^2 + X^2 - 2(X+1)^2 = 2X^2+4X+4 - 2X^2-4X-2 = 2$
    La matrice de $f$ dans la base canonique est donc :
    $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
 2) On cherche une base $(P_1, P_2, P_3)$ telle que $f(P_1)=0$, $f(P_2)=P_3$ et $f(P_3)=0$.
    D'après les calculs précédents, on a $f(X^2) = 2$. On peut donc choisir $P_2 = X^2$, ce qui impose $P_3 = 2$.
    On a alors bien $f(P_3) = f(2) = 0$. Il suffit de compléter avec un vecteur $P_1 \in \ker(f)$ indépendant de $P_3$, par exemple $P_1 = X$.
    La famille $(X, X^2, 2)$ est une famille de polynômes de degrés échelonnés, c'est donc une base de $\R_2[X]$ dans laquelle la matrice de $f$ a la forme voulue.