 1) Les colonnes de $X Y^T$ sont les $y_i X$, donc sont toutes colinéaires à $X$, donc $\rg X Y^T\leq 1$ et $\Im (XY^T)\subset \vect X$. Le rang est nul si et seulement si $X = \vec 0$ ou $Y = \vec 0$, auquel cas l'image est $\{\vec 0\}$.
 2) Si $M$ est de rang $1$ et $m\colon X\mapsto MX$, $\dim \Ker M = n-1$, donc en complétant n'importe quelle base $(e_2,\dots, e_n)$ de $\Ker M$ en une base de l'espace $\mc B = (e_1,\dots, e_n)$, on aura $\op{Mat}_{\mc B}(m)$ qui sera de la forme voulue. Comme $M = \op{Mat}_{\mc B_{can}}(m)$, $M$ est semblable à la matrice voulue.