 1) On a $\Im (AB) \subset \Im A$, d'où $\rg AB \leq \rg A$. De plus, $\Im (AB) = A(\Im B)$, donc $\dim \Im (AB) \leq \dim \Im B$, ce qui donne $\rg AB \leq \rg B$.
 2) On a $\Im (A+B) \subset \Im A + \Im B$, et $\dim (\Im A + \Im B) \leq \dim \Im A + \dim \Im B$, d'où $\rg (A+B) \leq \dim (\Im A) + \dim (\Im B) = \rg A + \rg B$.
    
    En écrivant $A = (A+B) - B$, la première inégalité donne $\rg A \leq \rg (A+B) + \rg (-B) = \rg (A+B) + \rg B$, soit $\rg (A+B) \geq \rg A - \rg B$. Par symétrie des rôles de $A$ et $B$, on a également $\rg (A+B) \geq \rg B - \rg A$, d'où l'inégalité en valeur absolue.
 3) On a $A(B-I_n) = B$, donc $\rg B\leq \rg A$. De même, $(A-I_n)B = AB - B = A$, ce qui implique par la question 1 que $\rg A \leq \rg B$. Finalement, $\rg A = \rg B$.