Readme.org et un exemple

Example/Sol/Ex 1

@@ -0,0 +1 @@
+$$\tr (AB) = \sum_{i=1}^n (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{ki} = \sum_{k=1}^n \sum_{i=1}^n b_{ki} a_{ik} = \tr (BA).$$

Example/Sol/Ex 10

@@ -0,0 +1,7 @@
+ 1) Puisque $G$ est un groupe, l'application $\varphi_k : A \mapsto A_k A$ est une bijection de $G$ dans lui-même (translation à gauche). On en déduit :
+    $A_k \sum_{i=1}^p A_i = \sum_{i=1}^p A_k A_i = \sum_{j=1}^p A_j = M$.
+    
+    En sommant la relation précédente pour $k$ allant de $1$ à $p$, on obtient :
+    $$M^2 = (\sum_{k=1}^p A_k) M = \sum_{k=1}^p (A_k M) = \sum_{k=1}^p M = pM$$
+    Soit $u = \frac{1}{p} f$. On a alors $u^2 = \frac{1}{p^2} f^2 = \frac{1}{p^2} (pf) = \frac{1}{p} f = u$. L'endomorphisme $u$ est donc un projecteur et $f = pu$ (soit $\lambda = p$).
+ 2) Dans une base adaptée à la décomposition $\R^n = \op{Im } u \oplus \op{Ker } u$, la matrice de $u$ est une matrice diagonale avec $\op{rg } u$ fois la valeur $1$ et le reste de zéros. Ainsi, $\op{tr } u = \op{rg } u$ et $\sum_{i=1}^p \op{tr}(A_i) = \op{tr}(M) = \op{tr}(p u) = p \op{tr}(u) = p \op{rg}(u)$, qui est bien un multiple de $p$.

Example/Sol/Ex 11

@@ -0,0 +1 @@
+La condition est $\dim \Ker u \geq 2 + \dim \Ker u \cap \Im u$.

Example/Sol/Ex 2

@@ -0,0 +1,11 @@
+ 1) On évalue $f$ sur les vecteurs de la base canonique $(1, X, X^2)$ :
+    
+    + $f(1) = 1 + 1 - 2 = 0$
+    + $f(X) = (X+2) + X - 2(X+1) = 0$
+    + $f(X^2) = (X+2)^2 + X^2 - 2(X+1)^2 = 2X^2+4X+4 - 2X^2-4X-2 = 2$
+    La matrice de $f$ dans la base canonique est donc :
+    $$A = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
+ 2) On cherche une base $(P_1, P_2, P_3)$ telle que $f(P_1)=0$, $f(P_2)=P_3$ et $f(P_3)=0$.
+    D'après les calculs précédents, on a $f(X^2) = 2$. On peut donc choisir $P_2 = X^2$, ce qui impose $P_3 = 2$.
+    On a alors bien $f(P_3) = f(2) = 0$. Il suffit de compléter avec un vecteur $P_1 \in \ker(f)$ indépendant de $P_3$, par exemple $P_1 = X$.
+    La famille $(X, X^2, 2)$ est une famille de polynômes de degrés échelonnés, c'est donc une base de $\R_2[X]$ dans laquelle la matrice de $f$ a la forme voulue.

Example/Sol/Ex 3

@@ -0,0 +1,4 @@
+ 1) $A$ est $B$ sont équivalentes s'il existe $P,Q\in GL_n(\R)$ tels que $A = PBQ$. Par ailleurs, on sait que deux matrices (de même tailles) sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang.
+ 2) En notant $r = \rg A$, on sait que $A$ est équivalente à $J_r$, donc qu'il existe $P,Q\in GL_n(\R)$ telles que $A = PJ_r Q$.
+    
+     Alors $UAUA = U PJ_r Q U P J_r Q$, et il suffit de prendre $U = Q^{-1} P^{-1}$ (et d'utiliser le fait que $J_rJ_r = J_r$) pour avoir $UAUA = UA$.

Example/Sol/Ex 4

@@ -0,0 +1,5 @@
+Soit $(e_1,\dots, e_p)$ une base de $V$, que l'on complète en une base $(e_1,\dots, e_n)$ de $E$. Un endomorphisme $u\in\mc L(E)$ vérifie $V\subset \Ker u$ si et seulement si $e_1,\dots, e_p\in \Ker u$, donc si et seulement si la matrice de $u$ dans la base $\mc B$ a ses $p$-premières colonnes nulles.
+
+    L'ensemble $\mc M$ des matrices qui vérifient cette condition est de dimension $(n-p) n$.
+
+    Comme l'application $\Phi$ qui à $u$ associe $\op{Mat}_{\mc B}(u)$ est un isomorphisme, l'ensemble $\mc V = \Phi^{-1}(\mc M)$ est de dimension $(n-p)n$.

Example/Sol/Ex 5

@@ -0,0 +1,2 @@
+ 1) Les colonnes de $X Y^T$ sont les $y_i X$, donc sont toutes colinéaires à $X$, donc $\rg X Y^T\leq 1$ et $\Im (XY^T)\subset \vect X$. Le rang est nul si et seulement si $X = \vec 0$ ou $Y = \vec 0$, auquel cas l'image est $\{\vec 0\}$.
+ 2) Si $M$ est de rang $1$ et $m\colon X\mapsto MX$, $\dim \Ker M = n-1$, donc en complétant n'importe quelle base $(e_2,\dots, e_n)$ de $\Ker M$ en une base de l'espace $\mc B = (e_1,\dots, e_n)$, on aura $\op{Mat}_{\mc B}(m)$ qui sera de la forme voulue. Comme $M = \op{Mat}_{\mc B_{can}}(m)$, $M$ est semblable à la matrice voulue.

Example/Sol/Ex 6

@@ -0,0 +1,18 @@
+ 1) Notons $C_1, C_2, C_3, C_4$ les colonnes de $A$. On remarque que $C_2 = -C_1$. De plus, la famille $(C_1, C_3, C_4)$ est libre car :
+    $$\alpha C_1 + \beta C_3 + \gamma C_4 = 0 \iff \begin{cases} \alpha + 2\beta - 2\gamma = 0 \\ \beta - \gamma = 0 \\ \alpha + \beta = 0 \\ \alpha + \beta = 0 \end{cases} \iff \beta = \gamma, \alpha = -\beta, -\beta + 2\beta - 2\beta = 0 \iff \alpha=\beta=\gamma=0$$
+    On en déduit :
+    
+    + $\op{rg}(f) = 3$ ;
+    + $\op{Im } f = \op{Vect}((1, 0, 1, 1), (2, 1, 1, 1), (-2, -1, 0, 0))$ ;
+    + Par le théorème du rang, $\dim \ker f = 1$. Comme $C_1+C_2=0$, $\ker f = \op{Vect}((1, 1, 0, 0))$.
+    
+ 2) On cherche $e'_1, e'_2$ dans $\ker(f^2)$ et $e'_3, e'_4$ dans $\ker(f-\op{id})^2$ tels que $f(e'_1)=0, f(e'_2)=e'_1, f(e'_3)=e'_3, f(e'_4)=e'_3+e'_4$.
+    
+    On peut vérifier que $A e_2 = e_1$, donc on va prendre $e_1' = e_1$ et $e_2' = e_2$.
+    
+    On peut aussi vérifier que $A e_3 = e_3 + e_4$, donc $e_3' = e_4$ et $e_4' = e_3$ conviennent.
+    
+    La famille $(e_1', e_2', e_3', e_4')$ est bien une base.
+ 3) La matrice de passage est $P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. Par inversion du système $Y=PX$, on trouve $P^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.
+    
+    Pour $n \ge 2$, $T^n = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. On en déduit $A^n = P T^n P^{-1}$.

Example/Sol/Ex 7

@@ -0,0 +1,5 @@
+ 1) On a $\Im (AB) \subset \Im A$, d'où $\rg AB \leq \rg A$. De plus, $\Im (AB) = A(\Im B)$, donc $\dim \Im (AB) \leq \dim \Im B$, ce qui donne $\rg AB \leq \rg B$.
+ 2) On a $\Im (A+B) \subset \Im A + \Im B$, et $\dim (\Im A + \Im B) \leq \dim \Im A + \dim \Im B$, d'où $\rg (A+B) \leq \dim (\Im A) + \dim (\Im B) = \rg A + \rg B$.
+    
+    En écrivant $A = (A+B) - B$, la première inégalité donne $\rg A \leq \rg (A+B) + \rg (-B) = \rg (A+B) + \rg B$, soit $\rg (A+B) \geq \rg A - \rg B$. Par symétrie des rôles de $A$ et $B$, on a également $\rg (A+B) \geq \rg B - \rg A$, d'où l'inégalité en valeur absolue.
+ 3) On a $A(B-I_n) = B$, donc $\rg B\leq \rg A$. De même, $(A-I_n)B = AB - B = A$, ce qui implique par la question 1 que $\rg A \leq \rg B$. Finalement, $\rg A = \rg B$.

Example/Sol/Ex 8

@@ -0,0 +1,8 @@
+ 1) On a
+    $$V_n = \vvvv{v_0}{v_1}{\vdots}{v_n} = \vvvv{u_0}{u_0 + u_1}{\vdots}{\sum_{k=0}^n u_k {n\choose k}} = M U_n = \begin{pmatrix}1 &  &  &  \\ 1 & 1 &  &  \\ \vdots & \ddots & \ddots &  \\ 1 & \dots & \dots & 1 \end{pmatrix} \vvvv{u_0}{u_1}{\vdots}{u_n},$$
+    où $M\in\M_{n+1}(\R)$ est la matrice $M= \big({i+1\choose j+1}\big)_{i,j\leq n+1}$, triangulaire inférieure.
+ 2) On sait que la matrice $M$ est inversible (triangulaire inférieure, avec une diagonale de $1$).
+    
+    On sait par ailleurs que la transposée de $M$ est la matrice de l'application $u\in \mc L(\R_n(X))\colon P\mapsto P(X+1)$, donc que $M^{-T}$ est la matrice de $u^{-1}\colon P\mapsto P(X-1)$, c'est-à-dire $M^{-T} = \big({j+1\choose i+1} (-1)^{i+j}\big)_{i,j\leq n+1}$, et $M^{-1} = \big({i+1\choose j+1} (-1)^{i+j}\big)_{i,j\leq n+1}$.
+    
+     On a alors $U_n = M^{-1} V_n$, c'est-à-dire $u_n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^{n+k} v_k = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-1)^{n-k}v_k$.

Example/Sol/Ex 9

@@ -0,0 +1,24 @@
+ 1) Avec la représentation du cours d'une file par une liste [3, *,
+    *, A, B, C] où l[0] est l'indice du premier élément de la file,
+    les opérations enfile et défile ont des complexités en $O(1)$. La
+    fonction peek consiste à renvoyer l[l[0]] si l[0] > 0, et None sinon.
+ 2) 
+    #+begin_src python
+    def hamming(n):
+    f2, f3, f5 = nouvelle_file(), nouvelle_file(), nouvelle_file()
+    l = [1]
+    enfile(f2, 2);enfile(f3, 3);enfile(f5, 5)
+    while True:
+        k2, k3, k5 = peek(f2), peek(f3), peek(f5)
+        m = min(k2, k3, k5)
+        if k2 == m: defile(f2)
+        if k3 == m: defile(f3)
+        if k5 == m: defile(f5)
+        enfile(f2, 2*m); enfile(f3, 3*m); enfile(f5, 5*m)
+        if m<n:
+            l)append(m)
+        else:
+            break
+    return l
+    #+end_src
+