Readme.org et un exemple

Example/Text/Ex 1

@@ -0,0 +1 @@
+Soient $A\in\M_{n,p}(\K)$, $B\in\M_{p,n}(\K)$. Montrer que $\tr(AB) = \tr (BA)$.

Example/Text/Ex 10

@@ -0,0 +1,6 @@
+Soit $G$ un sous-groupe fini de $(GL_n(\R), \times)$, on note $G = \{A_1, \dots, A_p\}$.
+L'objectif est de montrer que $\sum_{i=1}^p \text{tr}(A_i)$ est un multiple entier de $p$.
+ 1) Soit $M = \sum_{i=1}^p A_i$, montrer que $M^2 = pM$.
+    On note $f$ l'endomorphisme de $\R^n$ canoniquement associé à $M$.
+    Montrer que l'on peut écrire $f = \lambda u$, où $u$ est un projecteur et $\lambda$ une constante à déterminer.
+ 2) Conclure.

Example/Text/Ex 11

@@ -0,0 +1,2 @@
+ [X 2022]
+Soit $n\geq 3$. caractériser les endomorphismes de $\K^n$ pour lesquels il existe une base dans laquelle $u$ est représenté par une matrice de la forme $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & M & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, où $M\in\M_{n-2}(\K)$.

Example/Text/Ex 2

@@ -0,0 +1,3 @@
+Soit $f\in\mc L(\R_2[X])$ définie par $f(P) = P(X+2) + P(X) - 2P(X+1)$.
+ 1) Donner la matrice de $f$ dans la base canonique de $\R_2[X]$.
+ 2) Déterminer une base de $\R_2[X]$ dans laquelle la matrice de $f$ est $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.

Example/Text/Ex 3

@@ -0,0 +1,3 @@
+Soient $A,B\in\M_n(\R)$.
+ 1) À quelle condition $A$ et $B$ sont-elles équivalentes ? Rappeler la définition, et une caractérisation simple.
+ 2) Montrer qu'il existe $U\in GL_n(\R)$ tel que $UA$ soit une matrice de projection.

Example/Text/Ex 4

@@ -0,0 +1 @@
+Soit $E$ un espace de dimension $n$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $p$. On note $\mc V = \{u\in \mc L(E)\mid V\subset \Ker u\}$. Déterminer la dimension de $\mc V$.

Example/Text/Ex 5

@@ -0,0 +1,2 @@
+ 1) Pour $X,Y\in\K^n$, dessiner la matrice $M = X Y^T$, préciser son rang et son image.
+ 2) Montrer que toute matrice $M$ de rang $1$ est semblable à une matrice de la forme $\scalemath{0.5}{\begin{pmatrix}* & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \\ * & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}}$.

Example/Text/Ex 6

@@ -0,0 +1,7 @@
+Soit $A = \scalemath{0.6}{\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$ et $f$ l'endomorphisme de $\R^4$ canoniquement associé à la matrice $A$.
+ 1) Déterminer $\op{rg}(f)$, $\ker f$ et $\op{Im } f$.
+
+On admet que les espaces $\ker(f^2)$ et $\ker(f - \op{id})^2$ sont supplémentaires dans $\R^4$ et que $\big(e_1 = (1, 1, 0, 0), e_2 = (0, 1, 1, 0)\big)$ et $\big(e_3 = (1, 0, 0, 0), e_4 = (0, 0, 1, 1)\big)$ forment des bases de ces deux espaces.
+
+ 2) Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}' = (e'_1, e'_2, e'_3, e'_4)$ de $\R^4$ dans laquelle la matrice de $f$ est égale à $T = \scalemath{0.6}{\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$.
+ 3) Calculer $T^n$ pour tout $n$ de $\N^*$. Expliquer comment en déduire $A^n$.

Example/Text/Ex 7

@@ -0,0 +1,4 @@
+Soient $A,B\in\M_n(\K)$.
+ 1) Montrer que $\rg AB\leq \min (\rg A, \rg B)$.
+ 2) Montrer que $\rg (A+B)\leq \rg A + \rg B$, puis en déduire que $\rg (A+B)\geq |\rg A - \rg B|$.
+ 3) Montrer que si $AB = A+B$ alors $\rg A= \rg B$.

Example/Text/Ex 8

@@ -0,0 +1,3 @@
+On considère une suite réelle $(u_n)_{n\in\N}$, et la suite $(v_n)$ définie par $\displaystyle\forall n\in\N,\, v_n = \sum_{k=0}^n {n\choose k} u_k$.
+ 1) On note $V_n = (v_0,\dots, v_n)$ et $U_n = (u_0,\dots,u_n)$, interprétés comme des vecteurs colonnes. Expliciter une matrice $M$ tel que $V_n = M U_n$.
+ 2) Déterminer une expression explicite de $u_n$ en fonction des $v_k$, pour $0\leq k\leq n$.

Example/Text/Ex 9

@@ -0,0 +1,9 @@
+ 1) Proposer une représentation naïve d'une file. Pour cette
+    représentation, donner les complexité des opérations \texttt{enfile} et
+    \texttt{defile}. Implémenter une fonction \texttt{peek} qui prend en argument la
+    file et renvoie le premier élément de la file, ou \texttt{None} si elle
+    est vide, sans le retirer de la file.
+ 2) Les nombres de Hamming sont les entiers de la forme $2^a 3^b 5^c$.
+    On veut écrire une fonction \texttt{hamming} qui prend un entier $n$ en
+    argument et renvoie la liste des entiers de Hamming $\leq n$, dans
+    un ordre croissant, avec une complexité linéaire en la longueur de la liste renvoyée.