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#+title:  Exercices 2024
#+author: Sébastien Miquel
#+date:   20-11-2024
# Time-stamp: <26-02-26 13:42>

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* ENS MP 2024                                                       :xens:
** Algèbre

# ID:7636
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 1]
Soit $E$ un ensemble fini non vide. Pour tout $(x_1,x_2,x_3)\in E^3$ et tout $\sigma\in\mathfrak{S}_3$, on note $\sigma\cdot(x_1,x_2,x_3)=(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},x_{\sigma(3)})$. Soit $E^{3*}=\{(x,y,z)\in E^3\;;\;x,y,z\;\text{sont distincts}\}$. Soit $S\subset E^{3*}$ tel que
 + $\forall\sigma\in\mathfrak{S}_3$, si $\eps(\sigma)=-1$ alors $\sigma\cdot(S)=\{\sigma\cdot x\;;\;x\in S\}=E^{3*}\setminus S$,
 + $\forall a,b,c,d\in E$, si $(a,b,c)\in S$ et $(a,c,d)\in S$, alors $(a,b,d)\in S$ et $(b,c,d)\in S$.

Montrer qu'il existe $g\colon E\ra\R$ injective telle que $\forall(a,b,c)\in E^3$, $g(a)\lt g(b)\lt g(c)\Rightarrow(a,b,c)\in S$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
En pratique les éléments de $S$ seront les triplets où $a\lt b\lt c$, ou $c\lt b \lt a$.

 + C'est clair pour $n = 3$.
 + Si on suppose que c'est vrai au rang $n=4$, on peut passer au rang suivant : si on retire l'élément $a$, l'ensemble des triplets sans $a$ vérifie les mêmes hypothèses. Donc il existe une fonction $g_a$.

   + Étant donné $g_a$ et $g_b$, il reste au moins trois autres éléments, et pour chaque triplet d'éléments, les fonctions $g_a,g_b$ restreintes à ceux-ci doivent être compatibles, donc $g_a$ et $g_b$ sont compatibles (quitte à prendre l'opposé de l'une).
   + Toutes les fonctions doivent être compatibles, d'où le résultat.
 + Reste à traiter le cas $n = 4$, où $E = \{a, b, c, d\}$
   + On montre qu'il n'est pas possible que chaque terme apparaisse au
     milieu d'un triplet : On fixe un triplet $a\lt b \lt c$.
     Alors il existe $e \lt a \lt f$, et un de $e, f$ est égal à $b$ ou $c$, et s'il est égale à $b$ on peut le remplacer par $c$.

     Donc on a $e \lt a \lt c$, et $e = d$ (on exclu $e = b$ via les propriétés)

     Mais on a aussi $k\lt e \lt l$. Si l'un de $k$ ou $\l$ vaut $c$, on peut le remplacer par $b$, et on peut remplacer $b$ par $a$, on obtient $a\lt e \lt a$, contradiction.
   + Alors un élément n'est jamais au milieu, et cela suffit (appliquer la récurrence aux trois autres).
#+END_proof

# ID:7652
#+begin_exercice Théorème d'Ostrowski [ENS MP 2024 # 2]
Soit $N$ une application de $\Q$ vers $\R^+$ vérifiant :
 + $N(xy)=N(x)N(y)$ pour tous $x,y\in\Q$,
 + $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$ pour tous $x,y\in\Q$,
 + pour tout $x\in\Q$, $N(x)=0\Rightarrow x=0$,
 + il existe $n\in\N$ tel que $N(n)\gt 1$.
Montrer qu'il existe $\lambda\in\left]0,1\right]$ tel que $N(x)=|x|^{\lambda}$ pour tout $x\in\Q$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $N(1) = 1$, puis $N(\frac{1}{p}) = \frac{1}{N(p)}$. La multiplicativité permet de justifier que l'exposant $\la$ est le même pour tout nombre premier : encadrer $p^n$ par deux puissances de $q$ et utiliser la seconde I.T. Puis pour que l'inégalité triangulaire soit vérifiée, il faut que $\la \leq 1$.
#+END_proof

# ID:nil # Classique
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 3]
On étend de facon naturelle la valuation $2$-adique $v_2$ à $\Q^*$. Pour $n\in\N^*$, soit $H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$. Calculer $v_2(H_n)$.
#+end_exercice

# ID:7637
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 4] Congruences sur les coefficients binomiaux
Soit $(m,n,p)\in\left(\N^*\right)^3$, avec $p$ premier supérieur ou egal à 5, $m$ et $p$ premiers entre eux.
 - Montrer que $\begin{pmatrix}np\\ m\end{pmatrix}\equiv 0\left[p\right]$.
 - Montrer que $\begin{pmatrix}np\\ mp\end{pmatrix}=\sum_{k=0}^p\begin{pmatrix}p(n-1)\\ mp-k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\ k\end{pmatrix}$.
 - Montrer que $\begin{pmatrix}np\\ mp\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}n\\ m\end{pmatrix}[p^2]$.
 - On veut montrer que $\begin{pmatrix}2p\\ p\end{pmatrix}\equiv 2\left[p^3\right]$.
   - Montrer que $\forall k\in\db{1,p},\, {p-1 \choose k-1}\equiv \pm 1 [p]$.
   - Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1} \left(\frac{(p-1)!}{k}\right)^2 \equiv 0[p]$.
   - Conclure
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Formule du capitaine.
 - Faire le dessin, appliquer Pascal, c'est du binôme, par récurrence.
 - Par récurrence sur $n$, utiliser les deux questions précédentes.
 - 
   - Écrire le quotient, les numérateur et dénominateur sont congrus.
   - $\sum \frac{1}{k^2} = \sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
   - On applique Q2, on a ${2p \choose p} = \sum_{k=0}^p {p \choose p-k} {p\choose k}$, faire deux capitaines, plus question précédente.
#+END_proof

# ID:7651
#+BEGIN_exercice Détermination de $\left(\frac{2}{p}\right)$ [ENS MP 2024 # 5]
Soit $p$ un nombre premier impair.
 - Déterminer $\op{Card} \{x^2,\, x\in\Z/p\Z^*\}$.
 - Démontrer l'équivalence : $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$ si et seulement si $a$ est un carré non nul modulo $p$.
 - On pose $a = \prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(2k)$. Montrer que
   - Si $p\equiv 1[4]$, alors $a\equiv (-1)^{\frac{p-1}{4}}\big(\frac{p-1}{2}\big)! [p]$
   - Si $p\equiv -1[4]$, alors $a\equiv (-1)^{\frac{p+1}{4}}\big(\frac{p-1}{2}\big)! [p]$
 - CNS pour que $2$ soit un carré modulo $p$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - Chaque $2k$ s'écrit $\eps_k k'$, avec $k' \in \db{1,\frac{p-1}{2}}$ et $\eps_k = \pm 1$, et $k\mapsto k'$ est bijective. En comptant le nombre, on trouve ce qu'on veut.
#+END_proof

# ID:7638
#+BEGIN_exercice [ENS MP 2024 # 6]
On considère l'équation $2^a + 3^b = 5^c$, où $(a,b,c)\in\N^3$.
 - Résoudre l'équation dans le cas $a = b = c$.
 - Traiter le cas $b$ impair.
 - Traiter le cas $c$ impair.
 - Traiter le cas général.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 - Analyse.
 - L'étude modulo $4$ donne $a = 1$, et écrire $2 = 1 + 1$.
 - En regardant mod $6$, on trouve $a$ impair, donc $a\geq 3$, donc $3^b\equiv 5^c [8]$, donc $b$ est impair.
 - On a $b,c$ pair, donc une différence de carrés, on obtient $2^a = (3^b - 5^c)(3^b + 5^c)$ et on peut descendre.
#+END_proof

# Clarifier, mettre une suite, sommes de Gauss
# ID: nil
#+BEGIN_exercice [ENS MP 2024 # 7]
Soit $p$ un nombre premier impair.
 - Quel est le cardinal du groupe des inversibles de $\Z/p\Z$ ?
 - Montrer que l'équation $x^2 = 1$ possède exactement deux solutions dans $\Z/p\Z$.
 - En déduire $\op{Card} \{x^2,\, x\in\Z/p\Z\}$.
 - Soit $\chi\colon\Z\ra\{-1,0,1\}$ telle que : $\chi(n)=1$ si $n\wedge p=1$ et si $n$ est un carré modulo $p$ ; $\chi(n)=-1$ si $n\wedge p=1$ et si $n$ n'est pas un carré modulo $p$ ; $\chi(n)=0$ si $p\mid n$.
   - <<ref>> Déterminer $\sum_{k=0}^{p-1}\chi(k)$.
   - 
     - s Montrer que le produit d'un carré et d'un non carré est un non carré.
     - En utilisant le caractère bijectif de $x\mapsto ax$ dans $(\Z/p\Z)^*$, montrer que : $\forall(a,b)\in\Z^2,\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)$.
   - Déduire de [[ref]] une majoration de $\left|\sum_{k=0}^N\chi(k)\right|$ pour $N\in\N$.
   - On pose $\xi=e^{2i\pi/p}$. Montrer que
     $$\chi(n)=\frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1}\sum_{a=0}^{p-1}\chi(a)\xi^{k(a-n)}.$$
 - Pour $k\in\db{1,p-1}$, on note $S_k(N)=\sum_{n=0}^N\xi^{-kn}$.
   - Montrer que $\forall N\geq 0$, $|S_k(N)|\leq\frac{1}{|\sin(k\pi/p)|}$.
   - En déduire que, pour $k\lt p/2$, $|S_k(N)|\leq p/(2k)$.
   - Trouver une majoration similaire pour $k\gt p/2$.
 - On pose $G_k=\sum_{a=0}^{p-1}\chi(a)\xi^{ka}$.
   - Montrer que, pour $k\in\db{1,p-1}$, $|G_k|=\sqrt{p}$.
   - Montrer que $G_k$ est réel ou imaginaire pur, et que cela ne dépend pas de $k$. (Non posé)
   - On suppose que $G_1$ est réel, montrer que $G_1\geq 0$. (Non posé)
      ?? Trouver des questions pour finir…

     Ressemble à une preuve classique, mais je ne vois pas comment
     rester dans le monde des caractères. Il faut normalement
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - 
 - 
   - Il s'agit de montrer que le produit de deux non carrés est un carré. Cela qui découle de propriété de cardinal car un carré fois un non carré est un non carré.
   - $0$ : autant de carrés que de non carrés, se fait sans ce qui précède.
   - Simple.
   - Simple.
 - 
   - Somme géométrique.
   - Inégalité de convexité.
   - Simple.
 - 
   - Considérer $|G_k|^2$, et changement de variable.
   - Si $-1$ est un carré, $G_k$ est réel, et si $-1$ n'est pas un carré, $\ol{G_k} = - G_k$.
   - On a $G_k = \chi(k) G_1$.  Rajouter $\sum \chi(a)$, puis séparer la somme. La somme des termes pour les carrés $\leq \sqrt{n}$

     On a $\chi(n) = \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1} G_k \xi^{-nk}$
#+END_proof

# ID:7639
#+begin_exercice Anneaux euclidiens [ENS MP 2024 # 8]
On dit que $A$ est un anneau euclidien si $A$ est un anneau intègre (donc commutatif) et qu'il existe $t\colon A\setminus\{0\}\ra\N$ vérifiant :
 - pour tout $(a,b)\in A\times(A\setminus\{0\})$, il existe $(q,r)\in A^2$ tel que $a=bq+r$ avec $r=0$ ou $t(r)\lt t(b)$,
 - $\forall(a,b)\in(A\setminus\{0\})^2,t(ab)\geq t(a)$.
 - Les anneaux $\Z$ et $\R[X]$ sont-ils euclidiens ? Montrer qu'un corps est un anneau euclidien.
 - Soient $A$ un anneau euclidien et $I$ un idéal de $A$. Montrer qu'il existe $x\in A$ tel que $I=xA$. Y a-t-il unicité de $x$?
 - Dans cette question, on se donne $A$ un anneau euclidien tel que $t(1)=1$. Soit $x\in A$. Montrer que $x$ est inversible si et seulement si $t(x)=1$.
#+end_exercice

# ID:259
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 9]
Soit $A$ l'ensemble des fonctions de $\N^*$ dans $\C$.

Pour $f,g\in A$, on pose $(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\,g(n/d)$ pour tout $n\in\N^*$.
 - Montrer que $(A,+,*)$ est un anneau commutatif intègre.
 - Caractériser les inversibles de l'anneau $A$.
 - Résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$ dans l'anneau $A$ avec $a$ et $b^2-4ac$ inversibles.
#+end_exercice

# ID:7666
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 10]
 - Montrer que les sous-groupes de $\Z/n\Z$ sont cycliques.
 - <<ref1>> Alice et Barbara jouent à un jeu. Elles choisissent à tour de role un élément de $\Z/n\Z$ sans remise qu'elles ajoutent à un ensemble $S$.  Le jeu s’arrête quand $S$ engendre $\Z/n\Z$ et la joueuse ayant tiré le dernier numéro perd. Selon $n$, y a-t-il une stratégie gagnante pour la première joueuse ?
 - Même question si à chaque étape, on ne peut pas retirer un élément de $\langle S\rangle$.
 - Reprendre [[ref1]] avec le groupe ${\cal S}_n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Avec l'interprétation de l'énoncé, s'il existe un sous-groupe maximal de $G$ de cardinal impair, Alice l'engendre, puis ils restent dedans, donc Alice gagne. Sinon, quoi que Alice fasse, Bob choisi un sous-groupe maximal de cardinal impair qui contient l'élément d'Alice.
 - Avec la version où il faut augmenter $\langle S\rangle$, Alice gagne en engendrant un sous-groupe maximal directement.
 - 
   + Pour $n = 2$ : Alice gagne, en jouant l'identité.
   + Pour $n = 3$ : Une transposition + n'importe quoi d'autre que l'identité engendre tout le groupe.

     + Si Alice joue l'identité, Bob la transposition, Alice perd.
     + Si Alice joue une transposition, Bob l'identité, Alice perd.
     + Donc Alice joue un 3-cycle (donc dans le groupe Alterné). Si Bob joue dans $A_3$, Alice peut le faire encore une fois, et elle gagne. Si Bob joue en dehors, il perd.
   + Pour $n \geq 4$ : Alice joue n'importe quoi. Si c'est d'ordre pair, Bob reste dans un sous-groupe maximal de cardinal pair. Sinon, Bob joue un élément d'ordre pair qui n'engendre pas tout $\mc S_n$. C'est possible, car même si Alice joue un $n$-cycle, avec $n$ impair, Bob peut jouer une bi-transposition, et rester dans $\mc A_n$.

   Pour l'autre interprétation : probablement pas faisable.
#+END_proof

# ID:7641
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 11]
 - Soient $\sigma\in S_n$ et $c_1\circ\cdots\circ c_r$ sa décomposition en produit de cycles à supports disjoints. Calculer l'ordre de $\sigma$ dans le groupe $S_n$.
 - On note $g(n)$ l'ordre maximal d'une permutation de $S_n$. Montrer que $g$ est croissante et $n\leq g(n)\leq n!$
 - Trouver $n$ minimal tel que $g(n)\gt n$.
 - On note $(p_k)_{k\in\N^*}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrer que : $n\geq\sum_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}\implies g(n)\geq \prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$.
 - On suppose que $g(n)=\prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$. Montrer que : $n\geq\sum_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$.
 - Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\exists C\gt 0,\,\forall n\in\N^*,\,g(n)\leq Ce^{ \eps n}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pas de difficulté.
 - 
 - 
 - 
#+END_proof

# ID:nil # Classique
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 12]
Lorsque $\sigma\in S_n$, on note $n_k(\sigma)$ le nombre de $k$-cycles dans la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints. Ainsi $n_1(\sigma)$ est le nombre de points fixes de $\sigma$. On note egalement $m(\sigma)=\sum_{k=1}^nn_k(\sigma)$ le nombre d'orbites de $\sigma$.
 - Soient $i,k\in\N^*$. Déterminer l'ordre de $i$ dans $\big(\Z/k\Z,+\big)$.
 - Soient $n\in\N^*$ et $\sigma,\tau\in S_n$. On dit que $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées s'il existe $\phi\in S_n$ tel que $\sigma=\phi\tau\phi^{-1}$.

Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées si et seulement si $\colon\forall k\in\db{1,n},n_k(\sigma)=n_k(\tau)$.
 - Soit $n\in\N^*$. Calculer $\det\big(i\wedge j\big)_{1\leq i,j\leq n^*}$.

Ind. Considérer les matrices $A=(1\!1_{i|j})$ et $B=(\phi(j)1\!1_{j|i})$.
 - Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées si et seulement si : $\forall i\in\db{1,n},m(\sigma^i)=m(\tau^i)$.
 - Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées si et seulement si les matrices de permutation $P_{\sigma}$ et $P_{\tau}$ sont semblables.
#+end_exercice

# ID:nil # Cf année précédente.
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 13]
Soient $G$ un groupe, $A$ une partie finie non vide de $G$. Montrer que $|A|=|AA|$ si et seulement si $A=xH$ avec $x\in G$ et $H$ sous-groupe de $G$ tel que $x^{-1}Hx=H$.
#+end_exercice

# ID:nil # Cf année précédente.
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 14]
Soient $G$ un groupe et $A\subset G$ fini non vide tel que $|AA|\lt \frac{3}{2}|A|$. Montrer que $A^{-1}A$ est un sous-groupe de $G$.
#+end_exercice

# ID:7653
#+begin_exercice Groupe dihédral [ENS MP 2024 # 15]
 - Soient $n\geq 3$ et $\mc Q$ un polygone régulier à $n$ côtés. Montrer que l'ensemble des isométries affines du plan préservant $\mc Q$ est un groupe à $2n$ éléments.
 - s On note maintenant $n=q$, nombre premier impair, et $D_{2q}$ le groupe précédent. Montrer que tout groupe de cardinal $2q$ est isomorphe à $\Z/2q\Z$ ou à $D_{2q}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Action sur les sommets, nice.
 - Il ne peut pas avoir que des éléments d'ordre $2$. Donc il a un élément d'ordre $q$, et un autre qui agit sur $\Z/q\Z$ par conjugaison. Si l'action est trivial, le groupe est commutatif. Sinon, on est isomorphe à $D_{2q}$.
#+END_proof

# ID:7654
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 16]
 - Trouver tous les groupes d'ordre $8$ dont l'ordre maximal des éléments est $4$.
 - Trouver tous les groupes d'ordre $8$ à isomorphisme pres.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Tu as un $\Z/4\Z$, tu prend un autre élément. Soit il commute, alors c'est $\Z/4\Z\times \Z/2\Z$.

   Si le $\Z/4\Z$ est normal, la conjugaison a une action, et on est un groupe dihédral.

   Sinon, ça veut dire qu'on a d'autres copies du $\Z/4\Z$, on est le groupe des quaternions.
 - Si l'ordre maximal est $2$, c'est $\left(\Z/2\Z\right)^3$.
#+END_proof

# ID:7675
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 17]
 - Donner des exemples de groupes d'ordre $12$ commutatifs ainsi qu'un exemple non commutatif.
 - Montrer que tout groupe d'ordre $12$ admet un élément d'ordre $2$.
 - Trouver à isomorphisme prêt les groupes commutatifs d'ordre $12$.
 - Montrer que tout groupe d'ordre $12$ admet un élément d'ordre $3$.
 - Trouver tous les groupes d'ordre $12$ à isomorphisme pres.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Sinon, tous les ordres sont impairs, donc tous les éléments sont d'ordre $3$, impossible pour des raisons de cardinal.
 - Regarder l'ordre maximal : soit cyclique, soit un élément d'ordre $6$, donc $\Z/6/\times \Z/2\Z$, soit un élément d'ordre $4$, auquel tout autre élément doit être d'ordre $3$ (dans le quotient), sinon on obtiendrait un sous-groupe d'ordre $8$. Soit un élément d'ordre $3$.
 - On découpe $G$ en classes de conjugaisons. Chaque classe est de cardinal un diviseur de $|G|$. Si un élément qui n'est pas dans le centre a un centralisateur de cardinal divisible par $3$, alors on trouve un élément d'ordre $3$ dedans. Sinon, on a découpé $|G| = |Z(G)| + 3k$, donc on trouve un élément d'ordre $3$ dans le centre.
 - Si $G$ non commutatif. Si $G$ admet un élément d'ordre $6$, c'est $D_{12}$ (tout sous-groupe d'indice deux est normal).

   Sinon, $G$ admet un élément $e$ d'ordre $3$.

   + S'il engendre un sous-groupe normal, il faut trouver les actions de $\Z/4/Z$ et $(\Z/2\Z)^2$ sur $\Z/3\Z$.
     + La seconde donne un élément qui agit trivialement, donc qui commute, donc $\Z/2/Z\times \Z/3\Z = \Z/6/Z$
     + Pour la première, l'élément d'ordre $2$ agit trivialement. C'est $(x,y) . (x', y') = (x + x', y + y'^{\pm 1})$. Ce n'est pas un groupe usuel…
   + Sinon, on considère les groupes de cardinal $3$.
     + On fait agir $e$ par conjugaison dessus. $e$ préserve son groupe, et c'est le seul qu'il préserve, car si $e$ normalise $H_1$, le groupe engendré par $e$ et $H_1$ admet $H_1$ comme sous-groupe normal, et trop d'éléments d'ordre $3$.
     + On en déduit qu'on trouve exactement $4$ sous-groupes d'ordre $3$ ($7$ ferait trop)
     + On a donc trouvé $8$ éléments d'ordre $3$ + le neutre.
     + Il en reste $3$. Prenons-en un, $e_2$. S'il commutait avec un élément d'ordre $3$, on aurait un $\Z/6\Z$. Donc on trouve exactement trois éléments d'ordre $2$, tous conjugués.
     + $e_1e_2$ conjugue $e_2$ comme $e_1$, donc $e_1e_2$ ne peut pas être d'ordre $3$. Donc les éléments d'ordre $2$ forme un groupe, qui est normal.
     + On trouve un produit semi-direct de $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ par $\Z/3\Z$, qui est isomorphe à $\mc A_4$.
#+END_proof

# ID:nil # Bof, quel intérêt
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 18]
Soit $A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}\in\M_3(\mathbb{F}_3)$. On admet que $A^{13}=-I_3$.
 - Quels calculs auriez-vous fait pour justifier que $A^{13}=-I_3$?
 - Montrer que $A\in\op{GL}_3(\mathbb{F}_3)$ et que $A$ est d'ordre $26$ dans ce groupe.
 - On note $G$ le sous-groupe de $\op{GL}_3(\mathbb{F}_3)$ engendré par $A$, et on pose $V=G\cup\{0\}$. Montrer que $V=\text{Vect}(I_3,A,A^2)$.
 - On pose $W=\text{Vect}(I_3,A)$. Montrer que, pour tout $M\in G$, il existe $N,P\in W\setminus\{0\}$ telles que $M=P^{-1}N$.
 - On note $H$ le sous-groupe de $\op{GL}_3(\mathbb{F}_3)$ engendré par $A^2$. Montrer que $H$ est isomorphe à $\Z/13\Z$, puis que $|H\cap W|=4$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Polynôme caractéristique, ou exponentiation rapide.
 - Déterminant, et $A$ n'est pas d'ordre $2$.
 - Polynôme caractéristique.
 - 
#+END_proof

# ID:7658
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 19]
 - Montrer que toute rotation du plan complexe est composée de deux symétries orthogonales par rapport à des droites.
 - Montrer que toute permutation d'un ensemble fini non vide $X$ est produit de deux éléments d'ordre au plus $2$ du groupe des permutations de $X$.
 - Le résultat de la question précédente subsiste-t-il si $X$ est infini?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Suffit de le faire pour des cycles.
 - Prendre une translation sur $\Z$, si elle s'écrit $t = \tau_1 \circ \tau_2$, ils sont d'ordre $2$, donc correspondent à des ensembles $\op{Fix}_1$, et $S_1, T_1$, idem $S_2,T_2$. On a $\tau_1 t \tau_1 t = \op{id}$, ou $\tau_1(x+1) = \tau_1(x)-1$. Si $\tau_1$ a un pont fixe, c'est la symétrie, autour de celui-ci. Ça marche…

   Donc ça persiste, en découpant selon les orbites finies et infinies.
#+END_proof

# ID:nil # Trivial
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 20]
Soit $P\in\C[X]$ non constant à coefficients dans $\{-1,1\}$. Soit $z\in\C$ une racine de $P$. Montrer que $|z|\lt 2$.
#+end_exercice

# ID:7667
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 21]
Soient $m\in\N^*$ et $(a_0,...,a_m)\in\R^{m+1}$.

On pose $f(X,Y)=a_0X^m+a_1X^{m-1}Y+a_2X^{m-2}Y^2+...+a_mY^m$ et on suppose que le polynôme $f(X,1)\in\R[X]$ est scindé.

Montrer que, pour tout $(n,p)\in\N^2$, le polynôme $\frac{\partial^{n+p}f}{\partial X^n\partial Y^p}(X,1)$ est nul ou scindé sur $\R$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si on dérive par rapport à $X$ c'est clair. Il suffit de le justifier quand on dérive par rapport à $Y$ : Si $a_0 X^m + a_1 X^{m-1} + \dots + a_m$ est scindé, alors $a_1X^{m-1} + 2 a_2 X^{m-2} + \dots + ma_m$ est scindé ? Passer par le polynôme réciproque.
#+END_proof

# ID:7436
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 22]
Soit $(a_n)\in(\R^*)^{\N}$. On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall n\in\N$, $|a_n|\in[1/C,C]$. Pour $n\in\N$, on pose $P_n=\sum_{k=0}^na_kX^k=a_n\prod_{k=1}^n(X-x_{k,n})$, ou l'on a note $x_{k,n}$ les racines complexes de $P_n$.
 - Montrer que $\{x_{k,n}\,;\,n\in\N^*,k\in\db{1,n}\}$ est borné.
 - Montrer que $\sum_{k=1}^nx_{k,n}^2=\frac{a_{n-1}^2-2a_{n-2}a_n}{a_n^2}$ pour tout $n\geq 2$.
 - Montrer que, pour $n$ suffisamment grand, $P_n$ n'est pas scindé sur $\R$.
#+end_exercice

# ID:417 # classique
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 23]
 - Soit $P=X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$ unitaire de degré $n\geq 2$ à coefficients dans $\C$, avec $a_{n-1}\in\R_+$. Montrer, pour $M=\max(|a_0|,\ldots,|a_{n-2}|)$, que toute racine $z$ de $P$ vérifie $\mathfrak{Re}(z)\leq 0$ ou $|z|\leq\dfrac{1+\sqrt{1+4M}}{2}$.
 - Soit $p$ un nombre premier et $b\geq 3$ un entier. On écrit $p=\overline{c_nc_{n-1}\cdots c_0}^b$ en base $b$. Montrer que $\sum_{k=0}^nc_kX^k$ est irreductible dans $\Z[X]$.
#+end_exercice

# ID:7676
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 24]
Soit $P$ un polynôme à $n$ indéterminées $X_1,X_2,\ldots,X_n$. On dit que $P$ est symétrique si, pour toute permutation $\sigma$ de $\{1,2,\ldots,n\}$, on a $P(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},\ldots,X_{\sigma(n)})=P(X_1,X_2,\ldots,X_n)$. On dit que $P$ est homogène de degré $k\in\N$ s'il est somme de mo- nomes de la forme $cX_1^{k_1}X_2^{k_2}\cdots X_n^{k_n}$ avec $k_1+k_2+\cdots+k_n=k$.
 - Montrer qu'il existe une famille presque nulle $(e_i(X_1,X_2,\ldots,X_n))_{i\geq 0}$ de polynômes à $n$ indéterminées symétriques et homogènes tels que, pour tout $t\in\R$,
   $(1+tX_1)(1+tX_2)\cdots(1+tX_n)=\sum_{i\geq 0}e_i(X_1,X_2, \ldots,X_n)t^i$.
 - Montrer qu'il existe une famille $(h_i(X_1,X_2,\ldots,X_n))_{i\geq 0}$ de polynômes à $n$ indéterminées symétriques et homogènes tels que, pour tous $x_1,x_2,\ldots,x_n\in\R$ et tout $t\in\R$ au voisinage de $0$,

   $\dfrac{1}{(1-tx_1)(1-tx_2)\cdots(1-tx_n)}=\sum_{i=0}^{+\i}h_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)t^i$.

On pose $\mc{P}_n=\{\ \lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\N^n,\ \lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n\ \}$ et, si $\alpha\in\N^n$, on pose $\Lambda(\alpha)$ le $n$-uplet obtenu en ordonnant les entiers de $\alpha$ par ordre décroissant, puis pour tout $\lambda\in\mc{P}_n$, $m_{\lambda}=\sum_{\alpha\in\N^n,\,\Lambda(\alpha)=\lambda}X_1^{ \alpha_1}X_2^{\alpha_2}\cdots X_n^{\alpha_n}$.
 - Calculer $m_{\lambda}$ avec $\lambda=(2,1,0,0)$ et $\lambda$ le $n$-uplet contenant $r$ fois 1 et $n-r$ fois 0.
 - Pour $\lambda,\mu\in\mc{P}_n$, on note $M_{\lambda,\mu}$ le nombre de matrices dont les coefficients valent $0$ ou $1$ et telles que la somme des coefficients de la $i$-ieme ligne vaut toujours $\lambda_i$ et celle des coefficients de la $j$-ieme colonne vaut toujours $\mu_j$. Montrer que $\prod_{i=1}^ne_{\lambda_i}(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{\mu\in\mc{P}_n}M_{\lambda,\mu}m_{\mu}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Sans difficulté, unicité des coefficients polynomiaux.
 - DSE, on a une expression de $h_i$.
 - $e_{\la_i}(X_1,\dots, X_n)$ est le polynôme homogène symétrique total de degré $\la_i$.

   Si on fixe un $\mu$, $M_{\la, \mu}$ est le nombre de façons de répartir $\mu_1,\dots \mu_n$ sur les lignes de sorte à respecter le $\la$ : pour faire $\la_1$ on pioche dans $\mu_1,\dots, \mu_n$, puis pour faire $\la_2$, on pioche dans le reste, etc.

   On peut l'écrire comme la somme

   Le coefficient en $\mu$ de $\prod_{i=1}^n e_{\la_i}(X_1,\dots,X_n)$ est la même chose : à chaque $\la_i$, on choisit sur quelles variables (= colonnes) mettre les $\la_i$ coefficients qui valent $1$, de sorte que les choix totaux respectent $\mu$.
#+END_proof

# ID:7677
#+begin_exercice Théorème de Liouville [ENS MP 2024 # 25]
Soient $A,B,C\in\C[X]$ non tous constants et premiers entre eux deux à deux.
 - On veut montrer que si $A+B=C$ alors $\max{(\deg(A),\deg(B),\deg(C))}\leq M(ABC)-1$ ou $M(P)$ est le nombre de racines distinctes du polynôme $P$.

   Si $P,Q\in\C[X]$, on note $W_{P,Q}=PQ'-P'Q$.
   - Montrer que $W_{A,B}=W_{C,B}=W_{A,C}\neq 0$.
   - Montrer que $\deg(A\wedge A')+\deg(B\wedge B')+\deg(C\wedge C') \leq\deg(W_{A,B})$.
   - Conclure.
 - Soit $d\in\N^*$. Donner un exemple de $(A,B,C)\in\C[X]^3$ avec $\deg(A)=d$ et pour lequel $\max(\deg(A),\deg(B),\deg(C))=M(ABC)-1$.
 - Soient $A,B,C\in\C[X]$ premiers entre eux dans leur ensemble et tels que $A^n+B^n=C^n$ avec $n\in\N^*$. Montrer que $n\leq 2$. Montrer qu'il existe des solutions pour $n=2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
   - Si ces quantité sont nulles, $\frac{P}{Q}$ est constante.
   - Comme les polynômes sont premiers entre eux, ces quantités sont premières entre elles, et divisent $W$.
   - 
 - 
 - 
#+END_proof

# ID:7678
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 26]
Soit $\R\left[X,X^{-1}\right]$ l'ensemble des fractions rationnelles dont le dénominateur est une puissance de $X$.
 - Montrer que $\R[X,X^{-1}]$ est un sous-anneau de $\R(X)$. En est-ce un sous-corps? Quels sont ses éléments inversibles?
 - Déterminer les automorphismes de l'anneau $\R$.
 - Déterminer les automorphismes de la $\R$-algèbre $\R[X,X^{-1}]$.
 - Déterminer les automorphismes de l'anneau $\R[X,X^{-1}]$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - classique
 - $\op{Id}$ et $X\mapsto X^{-1}$, clairement.
 - $X$ est envoyé sur un élément de degré $1$ ou $-1$, qui doit être inversible. Cette fois, on peut envoyer $X$ sur $\a X$.
#+END_proof

# ID:7681
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 27]
Soient $P,Q\in\R[X]$ unitaires. On dit que $P$ et $Q$ sont entrelacés lorsqu'entre deux racines consécutives de l'un (en tenant compte des multiplicités) il y a exactement une racine de l'autre. On suppose que $\deg(Q)=\deg(P)-1$, que $Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, et que $P$ et $Q$ n'ont aucune racine commune. On pose enfin $F=\dfrac{P}{Q}$, $\mathbb{H}=\{z\in\C,\ \text{Im}(z)\gt 0\}$. Montrer l'équivalence entre :
 + $P$ est scindé sur $\R$ et $P$ et $Q$ sont entrelacés,
 + $F(\mathbb{H})\subset\mathbb{H}$
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $Q(x_1) = Q(x_2) = 0$ avec $x_1\lt x_2$, sans racines de $P$ entre les deux, alors en suivant le chemin $z_t =  i\eps + t$ de $x_1^-$ à $x_2^+$ l'argument de $Q(z)$ est modifié de $\simeq 2\pi$, alors que celui de $P(z)$ ne change pas.

Réciproquement, c'est clair.
#+END_proof

# ID:7682
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 28]
Soient $n\in\N^*$, $A\in\op{GL}_n(\R)$ et $u,v\in\R^n\setminus\{0\}$. Exprimer $\det(A+uv^T)$. Dans le cas ou celui-ci est non-nul, exprimer $(A+uv^T)^{-1}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Plutôt : si $A$ inversible vaut l'identité, c'est $\det (I_n + uv^T) = 1 - \langle u, v\rangle$, qui admet un inverse de la forme $I_n + c uv^T$.
#+END_proof

# ID:nil # Trivial
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 29]
Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$.
 - Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. Que dire de $f$ si, pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x))$ est liée?
 - Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ telle que $\op{tr}A=0$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice dont la diagonale est nulle.
#+end_exercice

# ID:7679
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 30]
 - Calculer $\det\left(i^j\right)_{1\leq i,j\leq n}$.
 - Soient $a_1,\dots,a_n$ des réels distincts. Pour $i\in\db{1,n}$, on pose:
   $$P_i=\prod_{j \in\db{ 1,n}\setminus\{i\}}(X-a_j)=\sum_{k=1}^n\alpha_{i,k}X^{k-1}$$
   Calculer $\det(\alpha_{i,k})_{1\leq i,k\leq n}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Pour $n = 3$, on trouve le déterminant de Van der Monde. En général, on retire la première colonne aux autres, on obtient une ligne de $0$, une ligne de $a_1 - a_i$, et on peut factoriser par ces $a_1 - a_i$. On obtient exactement le déterminant de taille $n-1$ : en général, les termes sans $a_1$ ni $a_i$ partent, et il reste la différence des termes en $a_i$ et ceux en $a_1$.
#+END_proof

# ID:nil # Trivial
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 31]
Soient $n,r,k\in\N$ avec $1\leq r\leq n$ et $r+k\leq n$. Soit $M=\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}\in\M_n(\C)$, ou $A\in\op{GL}_r(\C)$. Montrer que $M$ est de rang $r+k$ si et seulement si $D-CA^{-1}B$ est de rang $k$.
#+end_exercice

# ID:7680
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 32]
Soient $n\in\N^*$, $m$ un entier supérieur ou egal à $2$. Montrer que la reduction modulo $m$ définit un morphisme de groupes de $\text{SL}_n(\Z)$ dans $\text{SL}_n(\Z/m\Z)$, puis que ce morphisme est surjectif.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Surjectivité : Dans $SL_n(\Z/m\Z)$, on est produit de transvections : le pgcd des coefficients de la première colonne et de $m$ doit être $1$, donc on peut trouver un coefficient premier avec $m$, et le mettre en haut à gauche. Etc.
#+END_proof

# ID:7702
#+begin_exercice Sous-algèbre transitive [ENS MP 2024 # 33]
Soient $n\in\N^*$, $\mc M$ une sous-algèbre de $\M_n(\C)$. On suppose que, pour tout $v\in\C^n$ non nul, on a $\{Mv\ ;\ M\in \mc M\}=\C^n$. Montrer que $A=\M_n(\C)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si chaque matrice est entièrement déterminée par sa première colonne, alors il existe $A_i$ tel que $\forall M\in A,\, M_i = A_i M_1$. En utilisant que $A$ est une algèbre, on obtient que $M$ doit commuter avec les $A_i$, donc $M$ est diagonale par blocs, ce qui est contradictoire.

Sinon, donc il existe dans $A$ une matrice $B$ dont la première colonne est nulle, en prenant l'image de $M\mapsto MB$ on en obtient d'autres, dont la projection sur chaque colonne non nulle de $B$ est $\C^n$. On note $\mc M_0$ l'ensemble de ces matrices. Pour tout $v$, à moins que $Bv = \vec 0$, on a $\mc M_0 v = \C^{n}$.

On note $\mc M_0'$ la projection de $\mc M_0$ sur $\M_{n-1}(\C)$. C'est une sous-algèbre.

Notons $K$ le noyau commun à toutes les matrices de $\mc M_0$. Si $K = \vect E_1$, alors $\mc M_0' = \M_{n-1}(\C)$. Alors, on peut conclure, laborieusement (la dimension est $\gt n^2 - n$, donc on intersecte chaque colonne).

Sinon, notons $w\in K$ non colinéaire à $E_1$. Alors, dans $\mc M$, $M w$ est entièrement déterminé par $ME_1$. Donc il existe $A$ tel que $\forall M\in\mc M$, $Mw = AM E_1$.

On a alors, pour tout $N\in\mc M$, $NM w = ANM E_1 = N AM E_1$, donc $A$ commute avec tous les $N$. Si $A$ est une homothétie, on obtient une contradiction avec $Mw = AM E_1$. Sinon, $A$ admet un espace stable, qui est stable par toutes les matrices de $\mc M$.
#+END_proof

# ID:7925
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 34]
Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ telles que $A^2+B^2=AB$ et $AB-BA\in{\rm GL}_n({\R})$. Montrer que $n$ est divisible par $3$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
La condition sur $AB-BA$ les empêche d'avoir un vecteur propre commun.

Si $\la$ est valeur propre de $B$, alors $A^2 X + \la^2 X = \la AX$, donc $\vect (X, AX)$ est stable par $A$, de dimension $2$, avec un polynôme annulateur de racines $\la e^{\pm \frac{i\pi}{3}}$, (le cas $\la = 0$ est exclu, avec les deux hypothèses) donc $A$ est diagonalisable, et a ces deux valeurs propres (car $X$ n'est pas vecteur propre).

En prenant la transposée, on a de même que si $\la$ est valeur propre de $A$, $\la e^{\pm \frac{i\pi}{3}}$ est valeur propre de $B$. Donc si $\la$ valeur propre de $A/B$ les $e^{\pm 2i\frac{\pi}{3}}\la$ le sont aussi.

On a $(A-B)^2 = - BA$, et $A^3 + B^2 A = ABA \ssi A^3 = (A-B) BA = - (A-B)^3$. Les matrices $A$ et $U = B-A$ vérifient $A^3 = U^3$. On a de même, $(B^T)^3 = (A^T-B^T)^3$, donc $B^3 = - A^3$.

Pour $3$. On se place sur un espace propre de $A^3$, stable par $A,B$, sur lequel $A,B$ sont diagonalisables. Si un espace propre de $B$, $E_B$ est de dimension maximale, alors, $E_B + AE_B$ est stable par $A$ (comme somme d'espaces stables par $A$) et $E_B$ et $AE_B$ sont en somme directe : si $X\in E_B$ et $A^{-1} X \in E_U$, alors on trouve deuxs vecteurs propres de $A$ dans $E_B$, contradiction.

On trouve alors que les dims de $E_{\la e^{\pm i\pi/3}}(A)$ sont grandes. Autrement dit, si $\la$ est valeur propre de $B$ de dimension $m$, les dimensions de celles de $A$ sont au moins égales. On en déduit que toutes les dims sont égales, donc sur l'espace propre de $A^3$, la dimension est multiple de trois. On peut conclure par récurrence.
#+END_proof

# ID:nil # Chiant
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 35]
Soient $\chi\colon ({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes non constant. Soit ${\cal A}$ l'ensemble des matrices de la forme $(a+b\chi(r)+c\overline{\chi(s)}+d\chi(r)\overline{\chi(s)})_{r,s\in({\mathbb{ Z}}/n{\Z})^{\times}}$ avec $a$, $b$, $c$ et $d\in{\R}$.
 - Montrer que ${\cal A}$ est un ${\R}$-espace vectoriel.
 - Pour $\xi:({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes, calculer $\sum_{r\in({\Z}/n{\Z})^{\times}}\xi(r)$.
 - Montrer que ${\cal A}$ est stable par produit matriciel et que la $\R$-algèbre $({\cal A},+,\times,.)$ est isomorphe à ${\cal M}_2({\R})$ (on exhibera un isomorphisme).
#+end_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof

# ID:7697
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 36]
On s'intéresse aux parties de ${\cal M}_n({\R})$ qui sont des groupes pour le produit matriciel.
 - Donner des exemples de tels groupes, dont certains ne soient pas des sous-groupes de ${\rm GL}_n({\R})$.
 - Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&N\end{pmatrix}$, où $B$ est inversible et $N$ nilpotente.
 - Caractériser ces groupes.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Matrices avec un bloc inversible, et le reste nul.
 - Noyaux itérés.
 - La matrice $A\in G$ ne peut pas perdre de rang, donc la partie nilpotente est nulle.

   Si deux matrices $A,B$ n'ont pas la même image, $BA$ a au plus l'image de $B$, donc son image est celle de $B$, et elle doit être stabilisée par $BA$, donc par $A$, impossible.
#+END_proof

# ID:7700
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 37]
Pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, soit ${\rm Pf}(A)=a_{1,2}a_{3,4}-a_{1,3}a_{2,4}+a_{1,4}a_{2,3}$.
 - Montrer que, pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, ${\rm Pf}(A)^2=\det(A)$.
 - On admet que ${\rm GL}_n^+({\R})$ est connexe par arcs. Montrer que, pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$ et tout $B\in{\cal M}_4({\R})$, ${\rm Pf}(BAB^T)=\det(B){\rm Pf}(A)$.
 - Soit $R\in{\rm SO}_4({\R})$. On pose $A=R-R^T$. Montrer l'équivalence entre :
   + $R$ n'a pas de valeur propre réelle,
   + ${\rm Pf}(A)\neq 0$,
   + $A$ est inversible.
 - Soient $R_1,R_2\in{\rm SO}_4({\R})$, $A_1=R_1^T-R_1$ et $A_2=R_2^T-R_2$. On suppose $\chi_{R_1}=\chi_{R_2}$ et ${\rm Pf}(A_1)={\rm Pf}(A_2)\neq 0$. Montrer qu'il existe $P\in{\rm SO}_4({\R})$ telle que $R_1=PR_2P^T$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Si $B$ non inversible, c'est bon. On a $\det (BÀ B^T) = (\det B)^2 \det A$, donc le pfaffien de $BAB^T$ est $\pm \Pf À \det B$, plus continuité et connexité par arcs.
 - Si $A$ est si et seulement si $\op{Pf} A\neq 0$. Si $R$ a une valeur propre réelle, elle vaut $\pm 1$, et $A$ est non inversible.

   Réciproquement, si $A$ est non inversible, on trouve $RX = R^{-1}X$, donc $R^2 X = X$, mais $R$ est diagonalisable sur $\C$ et les valeurs propres de $R$ sont des $e^{i\theta}$.
 - Comme $R_1$ et $R_2$ ont les mêmes polynômes caractéristiques, ils sont conjugués dans $O_4(\R)$, donc c'est le cas de $A_1,A_2$. Comme elles ont le même Pfaffien, elles sont en fait conjuguées dans $SO_4$.
#+END_proof

# ID:7698
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 38]
Déterminer l'image de $\phi:M\in{\cal M}_2({\C})\mapsto\sum_{n\in{\N}}\frac{(- 1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est $\sin M$. Sur $\C$, la fonction $\sin$ est surjective, car $\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2i} = u \ssi Z + Z^{-1} = 2iu\ssi Z^2 - 2iu Z + 1 = 0$.

Reste l'étude de matrices $M = \begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, avec $M^2 = 2a$, donc $\sin(M) = \begin{pmatrix}\sin 1 & a \cos 1 \\ \sin 1 & \cos a\end{pmatrix}$, donc surjective.
#+END_proof

# ID:7699
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 39]
À quelle condition sur la matrice $A$, la comatrice de $A$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $A$ inversible, $\op{Com} À = A^{-1}$. Si $\rg A\leq n-2$. Si $\rg À = n-1$, $\rg \op{Com} À = 1$, elle est diagonalisable si et seulement si son image n'est pas dans son noyau, mais son image est le noyau de $A$, et son noyau est l'image de $A$.
#+END_proof

# ID:nil # Classique, drôle de façon de le présenter…
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 40]
Pour $i\in{\N}$ et $A\in{\cal M}_n({\C})$, on note $c_i(A)$ le coefficient numéro $i$ du polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ de la matrice $A$.
 - Montrer que $c_i(AB)=c_i(BA)$ pour toutes matrices $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ et $i\in{\N}$.
 - Le résultat reste-t-il valable pour des matrices à coefficients dans un corps ${\mathbb{K}}$ quelconque?
#+end_exercice

# ID:7730
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 41]
Soient $n\in{\N}$ avec $n\geq 2$, $\zeta=e^{2i\pi/n}$ et $S=\Big(\zeta^{(r-1)(s-1)}\Big)_{1\leq r,s\leq n}$.
 - s Calculer $S^2$.
 - Donner une expression simple de $|\det(S)|$.
 - On pose $G_n=\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2ik^2\pi}{n}}$. Donner une expression simple de ${\left|G_n\right|^2}$ par un calcul direct.
 - s On suppose que $n$ est impair. Déterminer le spectre de $S$ et la multiplicité de chacune de ses valeurs propres.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On trouve pour $S^2$ une matrice dont les coefficients non nuls sont $(1,1)$, $(2, n)$, $(n, 2)$, $(n-1, 3)$, $(3, n-1)$, c'est-à-dire 1 + une matrice antidiagonale, dont on trouve le déterminant. Il manque le signe de $\det S$…
 - 
 - Changement de variable $s = k+r$.
 - Vérifier que $(\zeta^{s^2})$ est un vecteur propre, en utilisant que $2$ est inversible modulo $n$.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 42]
 - Rappeler l'ordre d'un élément $k$ de $\Z/n\Z$.
 - Montrer que deux permutations de $\mc{S}_n$ sont conjuguées si et seulement si elles ont pour tout $k$, le même nombre de cycles de longueur $k$ dans leurs décompositions en produit de cycles à supports disjoints.
 - Soit $c$ un cycle de longueur $k$. Déterminer le nombre de cycles dans la décomposition de $c^i$ en produit de cycles à supports disjoints.
#+end_exercice

# ID:7731
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 43]
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $v,w\in\mc{L}(E)$. On note $u=vw-wv$. Pour $\lambda\in\op{Sp}(u)$, on note $F_u(\lambda)=\bigcup_{m\geq 1}\op{Ker}(u-\lambda\op{id })^m$
 - Montrer que $F_u(\lambda)$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ et qu'il admet un supplémentaire stable par $u$.
 - On écrit $\pi_u=(X-\lambda)^pQ$ avec $(X-\lambda)\wedge Q=1$. Montrer que $E=F_u(\lambda)\oplus\op{Ker}Q(u)$.
 - E On suppose de plus que $u$ commute avec $v$. On note $p_{\lambda}$ le projecteur sur $F_u(\lambda)$ parallèlement à $\op{Ker}Q(u)$.
 - Montrer que $p_{\lambda}$ commute avec $v$.
 - Montrer que $\op{tr}(up_{\lambda})=\lambda\op{rg}(p_{\lambda})=0$.
 - En déduire que $u$ est nilpotent.
 - On suppose desormais que $vw^2-w^2v=w$. Montrer qu'il existe un entier $d$ impair tel que $\pi_w=X^d$.
#+end_exercice

# ID:7791
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 44]
Soit $A,B$ dans $\M_n(\C)$.
 - Montrer que $M\in\M_n(\C)$ est nilpotente si et seulement si $\forall k\in\N^*,\ \op{tr}(M^k)=0$.
 - On suppose que $A(AB-BA)=0$. Montrer que $AB-BA$ est nilpotente.
 - On suppose que $A(AB-BA)=(AB-BA)A$. Montrer que $AB-BA$ est nilpotente.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Quand on développe $(AB-BA)^k$, dans la trace, chaque produit a autant de $A$ que de $B$. En utilisant la propriété $A^2 B = ABA$ (et la trace), on a la même trace que n'importe quel produit alterné.
 - On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BÀ (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule.
#+END_proof

# ID:nil # Classique
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 45]
Soit $A\in\M_n(\C)$ de polynôme caractéristique $\chi_A=\prod_{i=1}^r\underbrace{(X-\lambda_i)^{\alpha_i}}_{=P_i}$.
 - Montrer que $P_i$ est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par $A$ sur $\op{Ker}P_i(A)$.
 - Montrer qu'il existe $D$ diagonalisable et $N$ nilpotente telles que $A=D+N$ et $ND=DN$.
 - Si $X\in\M_n(\C)$, on note $\op{Comm}_X:M\mapsto MX-XM$. On reprend les notations précédentes. Montrer que $\op{Comm}_A=\op{Comm}_D+\op{Comm}_N$, que $\op{Comm}_D$ et $\op{Comm}_N$ commutent et sont respectivement diagonalisable et nilpotente.
#+end_exercice

# ID:6402
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 46]
Soient $n\in\N^*$ et $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$. Une matrice $A\in\M_n(\mathbb{K})$ est dite toute puissante (TP $\mathbb{K}$) si, pour tout $p\in\N^*$, il existe $B\in\M_n(\mathbb{K})$ telle que $A=B^p$. - Trouver les matrices TP $\mathbb{K}$ pour $n=1$ et $\mathbb{K}=\R,\Q,\C$.
 - Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$. On suppose que $\chi_A=\prod_{i=1}^k(X-\lambda_i)^{\alpha_i}$ ou les $\lambda_i$ sont distincts dans $\mathbb{K}$ et les $\alpha_i$ sont des entiers naturels non nuls.
 - Montrer qu'il existe $N_1,\ldots,N_k$ nilpotentes telles que $A$ soit semblable à une matrice diagonale par blocs avec comme blocs diagonaux $\lambda_1I_{\alpha_1}+N_1,\ldots,\lambda_kI_{\alpha_k}+N_k$.
 - Montrer que $A$ est TP $\mathbb{K}$ si et seulement si les $\lambda_iI_{\alpha_i}+N_i$ le sont. On dit que $M\in\M_n(\mathbb{K})$ est unipotente si $M-I_n$ est nilpotente et on note $\mc{U}_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices unipotentes de $\M_n(\mathbb{K})$.

Pour $A\in\mc{U}_n(\mathbb{K})$, on pose $\ln(A)=\sum_{p=1}^{+\i}\frac{(-1)^{p-1}}{p}(A-I_n)^p$.
 - Justifier la définition de $\ln(A)$ pour $A\in\mc{U}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $\exp$ est une bijection de l'ensemble des matrices nilpotentes sur l'ensemble $\mc{U}_n(\mathbb{K})$.
 - Montrer que les matrices unipotentes sont TP $\mathbb{K}$.
 - Déterminer finalement les matrices toutes-puissantes de $\M_n(\C)$.
#+end_exercice

# ID:7792
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 47]
Soient $A$, $B$, $C\in\M_n(\R)$. On considére l'équation $(E)\colon X-AXB=C$ d'inconnue $X\in\M_n(\R)$. On note $\mathrm{Sp}_{\C}(A)$ et $\mathrm{Sp}_{\C}(B)$ les spectres complexes de $A$ et $B$.
 - On suppose que, pour tout $(\alpha,\beta)\in\mathrm{Sp}_{\C}(A)\times\mathrm{Sp}_{\C}(B)$, $\alpha\beta\neq 1$. Montrer que l'équation $(E)$ admet une unique solution.
 - Que se passe-t-il dans le cas general?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Il n'est pas possible que $X = AXB$ sans que $X$ soit nulle : prendre une base de trigonalisation de $B$, et montrer que $X$ s'annule dessus, par récurrence.
 - On veut trouver un $X$ tel que $AXB = X$, sous l'hypothèse d'une valeur propre $\la$ pour $B$ et $\frac{1}{\la}$ pour $A$. Quitte à conjuguer, on peut supposer que $B = \begin{pmatrix}\la & * \\ 0 & *\end{pmatrix}$, on prend $X = (C|\vec 0 |\dots |\vec 0)$, où $C$ est un vecteur propre de $A$, de valeur propre $\frac{1}{\la}$.
#+END_proof

# ID:7732
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 48]
Combien y a-t-il de classes de similitude de $\M_{3n}(\R)$ constituées de matrices $M$ telles que $M^3=0$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pour $M^2 = O_n$, on prend un supplémentaire de $\Ker (M)$, en bijection avec $\Im M$ c'est tout. On a une inégalité sur la dimension du supplémentaire.

La suite des dimensions des noyaux itérés est concave. Soit $p_2\geq p_1$ vérifiant cette condition de concavité, montrons qu'il existe un unique $M$ qui convient.

 + On commence par choisir un supplémentaire de $\Ker M^2$, qui donne une base de $\Im M^2$
 + Puis, on prend un supplémentaire de $\Ker M$, dans $\Ker M^2$, qui est envoyé sur le reste d'une base de $\Im M$. C'est tout.
#+END_proof

# ID:nil # Cf année précédente
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 49]
Déterminer les $M$ de $\M_n(\R)$ telles que $M$ soit semblable à $2M$.
#+end_exercice

# ID:7766
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 50]
Déterminer les matrices $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telles que, pour tout $k\geq 2$, on dispose de $M\in\M_n(\Z)$ vérifiant $A=M^k$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Les valeurs propres de $M_k$ doivent tendre vers $1$, mais il n'y a qu'un nombre fini de valeurs propres possibles d'un polynôme à coefficients entiers, assez proches de $1$, donc les valeurs propres de $A$ sont de module $1$. Ce sont en fait des racines de l'unité, et elle admettent des racines $k$-ièmes pour tout $k$, dans cet ensemble fini. Ce n'est pas possible, (pour $n!$ essentiellement). Pour $k$ assez grand, la racine $k$-ième considérée est unipotente aussi.

Donc les seules valeurs propres de $A$ sont $0$ et $1$, donc $0$ car inversible : $A$ unipotente. On sait que $A$ admet une racine $p$-ième $B$ unipotente dans la même base de trigonalisation, de plus $B$ est un polynôme en $A$. Si $C$ est une autre racine $p$-ième unipotente, on a $C^p = B^p$ et $C, B$ commutent : $(C-B)(\sum B^k C^{p-1-k}) = O_n$. Mais la somme est inversible, car co-trigonalisable, donc $B=C$. Mais clairement, cette racine $p$-ième ne peut pas être entière pour tout $p$, de par son expression : si $A = I_n + N$, c'est $I_n + \frac{N}{p} + N^2 +\dots$.
#+END_proof

# ID:7733
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 51]
Montrer que toute matrice de $\mathrm{GL}_n(\C)$ admet une racine carrée.
#+end_exercice

# ID:7767
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 52]
 - Montrer que toute $M\in\mathrm{SL}_n(\C)$ s'écrit de facon unique $UD$ ou $U\in\mathrm{SL}_n(\C)$ est de la forme $I_n+N$ avec $N$ nilpotente, $D\in\mathrm{SL}_n(\C)$ est diagonalisable et $UD=DU$.
 - Soit $\rho$ un morphisme de groupes de $\mathrm{SL}_n(\C)$ dans $\mathrm{SL}_m(\C)$ tel que les coefficients de $\rho(M)$ soient des fonctions polynomiales de ceux de $M$. Montrer que $\rho$ respecte la décomposition de la question précédente.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est les espaces caractéristiques.

   Unicité : $D'D^{-1} = U'U^{-1}$, utilise que $D'$ commute avec $D'$ et $U'$, donc avec $M$, donc avec $D,U$, puisque ce sont des polynômes en $M$.
 - On regarde les diagonales. Celles dont les valeurs propres sont dans $\bigcup \m U_n$ ont leurs images toutes co-diagonalisables. Comme l'application est polynomiale, il en va de même de toutes les matrice diagonales.

   On regarde les unipotentes $U$. Elles vérifient $U^n$ et $U^{-n}$ de tailles polynomiales, donc $\rho(U)$ n'a que des valeurs propres de module $1$.

   La somme des valeurs propres est une expression polynomiale en les coefficients de $U$, et elle est bornée, donc elle est constante, donc elle vaut toujours $n$, et les valeurs propres valent toutes $1$.
#+END_proof

# ID:7738
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 53]
 - Soient $A,B\in\M_n(\C)$ diagonalisables. à quelle condition existe-t-il $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que $PAP^{-1}$ et $PBP^{-1}$ soient diagonales?
 - Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que $A$ s'écrit de maniere unique $A=D+N$ avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente et $DN=ND$.
 - Soient $A\in\M_n(\C)$, $\pi_A=\prod_{i=1}^r(X-\lambda_i)^{\beta_i}$ son polynôme minimal et $P\in\C[X]$. Montrer que $P(A)$ est diagonalisable si et seulement si $P^{(j)}(\lambda_i)=0$ pour tous $i\in\db{1,r}$ et $j\in\db{1,\beta_i-1}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Si et seulement si $A,B$ commutent.
 - Unicité : $D'D^{-1} = U'U^{-1}$, utilise que $D'$ commute avec $D'$ et $U'$, donc avec $M$, donc avec $D,U$, puisque ce sont des polynômes en $M$.

 - $P(D+N) = P(D) + P'(D)N + \dots + \frac{P^{(k)}(D)}{k!} N^k$
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 54]
 - Soient $u,v$ deux endomorphismes diagonalisables d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, tels que $uv=vu$. Montrer que $u$ et $v$ sont codiagonalisables.
 - Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montrer que $u$ admet au plus une décomposition de la forme $u=d+n$, ou $(d,n)\in\mathbb{K}[u]^2$, l'endomorphisme $d$ est diagonalisable, l'endomorphisme $n$ est nilpotent et $dn=nd$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 55]
Soient $n\in\N$ et $w$ une fonction continue positive non identiquement nulle de $[0,1]$ dans $\R$.
 - Soit $(f_k)_{0\leq k\leq n}$ une suite de fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ telle que, pour tout $(k,\ell)\in\db{0,n}^2$, $\int_0^1f_kf_{\ell}w=\delta_{k,\ell}$. Montrer que $(f_k)_{0\leq k\leq n}$ est libre.
 - Montrer qu'il existe une unique suite $(p_k)_{k\in\N}$ telle que, pour tout $(k,\ell)\in\N^2$, $\int_0^1p_kp_{\ell}w=\delta_{k,\ell}$ et que, pour tout $k\in\N$, $p_k$ soit polynomiale de degré $k$ à coefficient dominant positif.
 - Montrer que, si $n\in\N^*$, $p_n$ à $n$ racines simples dans $]0,1[$ que l'on note $x_{1,n}\lt \cdots\lt x_{n,n}$.
 - Montrer que, si $n\in\N^*$, il existe un unique $(\lambda_{1,n},\ldots,\lambda_{n,n})\in\R^n$ tel que, pour tout $p\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_0^1pw=\sum_{k=1}^n\lambda_{k,n}p(x_{k,n})$.
#+end_exercice

# ID:7739
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 56]
Soient $e_1,\ldots,e_n$ des vecteurs d'un espace euclidien $E$ tels que $\langle e_i,e_j\rangle\leq 0$ pour tous $i,j$ distincts dans $\db{1,n}$. Montrer que $(e_1,\ldots,e_n)$ est libre si et seulement s'il existe une forme linéaire $f$ sur $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\;f(e_i)\gt 0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si elle est libre, la base duale marche (prendre la somme des $e_i^*$).

Si elle est liée, $\sum \la_i e_i = 0$, alors les $\la_i$ doivent tous avoir le même signe (sinon, $\sum_1 \la_i e_i = - \sum_1 \la_i e_j$, et écrire $\langle v,v\rangle\leq 0$).
#+END_proof

# ID:7919
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 57]
Soient $n,m\geq 1$ des entiers. On note $\langle\;,\;\rangle$ le produit scalaire canonique sur $\R^n$. Montrer qu'il existe un espace préhilbertien $(E,\langle\;,\;\rangle_E)$ et une application $f\colon\R^n\ra E$ (non linéaire) tels que, pour tous $x,x'\in\R^n$, $\langle x,x'\rangle^m=\langle f(x),f(x')\rangle_E$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Prendre $E = \vect_{x\in\R^n} e_x$, et $\langle e_x, e_y\rangle = \langle x,y\rangle^m$, c'est une forme bilinéaire. Il faut vérifier le caractère def pos, on est ramené à un nombre fini de $x,y$, et
 $$\lN \sum \la_x e_x\rN^2 = \sum \la_x^2 \lN x\rN^{2m} + \sum \la_x \la_y \langle x,y\rangle^{m}$$

Autrement dit, si $A$ est pos (non def pos si les $x_i$ sont liés), la matrice dont les coefficients sont ses carrés est def pos. C'est un cas particulier du théorème du produit de Schur : si $A,B$ sont positive, $(a_{ij} b_{ij})$ est positive, on obtient $m\in\N$ par récurrence.
#+END_proof

# ID:7918
#+BEGIN_exercice Produit de Schur
Pour $A,B\in\M_n(\R)$, on note $A\star B$ la matrice $(a_{ij} b_{ij})_{i,j\leq n}$. Soient $A,B$ symétriques positives.
 - sAV2 Montrer qu'il existe au plus $n$ vecteurs $v_1,\dots, v_p\in\R^n$ tels que $A\in \vect v_i v_i^T$.
 - sAV2 On note $A\otimes B\in\M_{n^2}(\R)$ la matrice définie par blocs $A\otimes B = \begin{pmatrix}a_{11}B & \dots & a_{1n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} B & \dots & a_{nn}B \end{pmatrix}$. Montrer que $A\otimes B$ est symétrie positive.
 - Montrer que $A\star B$ est symétrique positive.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 - Prendre les vecteurs propres non nuls.
 - 
 - Ou bien, utiliser $A = \sum \la_i v_i v_i^T$, alors $A\star B= \sum \la_i (v_i v_i^T)\star B$, et $(v_i v_i^T)\star B = \diag(v_i) B \diag(v_i)$.

   Ou bien voir $A\star B$ comme une matrice extraite de la matrice de taille $n^2$ dont les coefficients d'indices $(i,j), (k,\l)$ les $a_{ij}b_{k\l}$. (Mettre, par blocs, $a_{11}B, a_{12}B,\dots$). Celle-ci est clairement symétrique positive, et on extrait les coefficients où $i=k$ et $j=\l$, donc on reste positive.
#+END_proof

# ID:7789
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 58]
Trouver un espace préhilbertien $(E,\langle\;,\;\rangle)$ et $f\colon\R\ra E$ tels que, pour tous $x,y\in\R$, $\exp\left(-\frac{(y-x)^2}{2}\right)=\langle f(x),f(y)\rangle$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $f(x) = t\mapsto e^{-(x-t)^2}$, avec $\langle f,g\rangle = \int_{\R} f(t) g(t)\dt$.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 59]
Soient $m,n\in\N^*$ tels que $n\lt m$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $r\in\N^*$, on considére $r$ vecteurs de $\R^m$ notés $x_1,\ldots,x_r$.
 - Montrer qu'il existe une matrice $U_0\in\M_{m,n}(\R)$ minimisant $\sum_{i=1}^r\|x_i-UU^Tx_i\|_2^2$ parmi toutes les matrices $U\in\M_{m,n}(\R)$ telles que $U^TU=I_n$.
 - Montrer que $\min_{U\in\M_{m,n}(\R)}\sum_{i=1}^r\|x_i-UU^Tx_i\|_2 ^2=\min_{U,V\in\M_{m,n}(\R)}\sum_{i=1}^r\|x_i-UV^Tx_{ i}\|_2^2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - La condition donne que les colonnes de $U$ (longues) sont de module $1$, et orthogonales, donc $U$ est bornée.
 - Énoncé ? Quelle est la condition sur $U$ ? et sur $V$ ?
#+END_proof

# ID:7740
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 60]
Soient $(\lambda_n)_{n\geq 0}\in\R^{\N}$ une suite strictement croissante vérifiant $\lambda_0=0$ et $k$ dans $\R\setminus\{\lambda_n,\;n\in\N\}$.
 - Calculer $I_{n,k}=\inf_{(a_0,\ldots,a_n)\in\R^{n+1}}\int_0^1\left(t^k- \sum_{i=0}^na_it^{\lambda_i}\right)^2dt$.

On admettra que le déterminant de la matrice de coefficient general $m_{i,j}=\dfrac{1}{1+x_i+y_j}$ vaut $\dfrac{\prod_{1\leq i\lt j\leq n}(x_j-x_i)(y_j-y_i)}{\prod_{1 \leq i,j\leq n}(1+x_i+y_j)}$.
 - En déduire une condition suffisante sur $(\lambda_n)$ pour que $F=\mathrm{Vect}(t\mapsto t^{\lambda_n})_{n\in\N}$ soit dense dans $\mc C^0([0,1],\R)$ pour la norme $f\mapsto\left(\int_0^1f^2\right)^{1/2}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - La distance est un déterminant de Gram.
 - On trouve que $\sum \frac{1}{\la_i}$ diverge.
#+END_proof

# ID:7741
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 61]
Soit $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $\left\langle\;,\;\right\rangle_1$ et $\left\langle\;,\;\right\rangle_2$ deux produits scalaires tels que $\forall(x,y)\in V^2$, $\left\langle x,y\right\rangle_1=0\Longleftrightarrow\left\langle x,y\right\rangle_2=0$
 - Soient $x,y\in V$. Montrer que si $\|x\|_1=\|y\|_1$ alors $\|x\|_2=\|y\|_2$.
 - En déduire qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall x\in E$, $\|x\|_1=C\|x\|_2$.
 - Soit $u\in\mc{L}(V)$ qui préserve l'orthogonalité : si $\left\langle x,y\right\rangle=0$ alors $\left\langle u(x),u(y)\right\rangle=0$. Montrer qu'il existe $C\in\R^+$ tel que $u\circ u^*=C\,\op{id}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - 
#+END_proof

# ID:7742
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 62]
Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$. On pose $\Lambda=\Big{\{}\sum_{i=1}^n\lambda_ie_i,\,(\lambda_i)_{1 \leq i\leq n}\in\Z^n\Big{\}}$.
 - Soit $r\in\mc{O}(E)$ tel que $r(\Lambda)\subset\Lambda$. Montrer que $r(\Lambda)=\Lambda$.
 - Montrer que $G_{\Lambda}=\{r\in\mc{O}(E),r(\Lambda)=\Lambda\}$ est un sous-groupe fini de $\mc{O}(E)$.
 - Ici $n=3$. Montrer que tous les éléments de $G_{\Lambda}$ ont un ordre qui divise $12$.
#+end_exercice

# ID:7743
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 63]
Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$, $G$ un groupe fini et $\rho$ un morphisme injectif de $G$ dans $\text{GL}(E)$ tel que, pour tout $g\in G$, $\rho(g)\in\mc{S}(E)$. Montrer que les éléments de $G$ sont d'ordre $1$ ou $2$, puis que $|G|$ divise $2^n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Ils sont diagonalisables, à valeurs propres réelles, donc d'ordre $1$, ou $2$.
#+END_proof

# ID:7768
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 64]
 - Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $a\in\R$ pour que la matrice $\begin{pmatrix}1&a\\ a&1\end{pmatrix}$ soit positive, puis définie positive.
 - Soit $(a,b,c)\in[-1,1]^3$. On suppose que $1+2abc\geq a^2+b^2+c^2$. Démontrer que $\forall n\in\N^*,\;1+2(abc)^n\geq a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $(1-X)^2 - a^2 = X^2 - 2X + 1 - a^2$. La somme des valeurs propres vaut $2$, on regarde le produit, qui vaut $1-a^2$, donc si et seulement si $a\leq 1$.
 - On pose $g_n(a,b,c) = 1 + 2 (abc)^n - a^{2n} + b^{2n} + c^{2n}$, on en cherche le minimum, dans le compact vérifiant les conditions.

   $\nabla g = (2n a^{n-1} (bc)^n - 2n a^{n-1} a^n) = 2n a^{n-1}\big((bc)^n - a^n\big) = 2n a^{n-1} (bc - a) (\sum (bc)^k a^{n-1-k})$.

   Si on atteint ce minimum à l'intérieur, on a soit $a = 0$ (on vérifie que c'est bon), soit $a^n = (bc)^n$, et de même pour les autres produits, de manière cyclique, qui implique que les termes sont nuls.

   Si on atteint ce minimum sur un bord $a = \pm 1$, c'est clair aussi.

   Sinon, on atteint ce minimum là où $g_1 = 0$, et les gradients sont colinéaires. On obtient que $a^{n-1}\sum (bc)^{n-1-k} a^{k} = c^{n-1}\sum (ab)^{n-1-k} c^{k} = b^{n-1}\sum (ca)^{n-1-k} b^{k}$, donc $\sum \left(\frac{a}{bc}\right)^k = \sum \left(\frac{b}{ac}\right)^k = \dots$. En fonction de la parité de $n$, on trace la fonction $\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$. Si $n$ est impair, elle est strictement croissante (on peut calculer sa dérivée), donc tous les $\frac{a}{bc}$ sont égaux. On conclut.

   Si $n$ est pair. chaque valeur a deux antécédents, donc deux des quotients sont égaux, ce qui donne deux des carrés égaux, ce qui conclut.
#+END_proof

# ID:7769
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 65]
 - s Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$ à coefficients strictement positifs. Montrer qu'il existe un vecteur propre de $A$ dont tous les coefficients sont $\gt 0$.
 - Soit $A\in\M_2(\R)$ à coefficients $\gt 0$. Montrer que $A$ possède un vecteur propre à coefficients $\gt 0$.
 - Soient $a_1,\ldots,a_n\in\N^*$, $M_i=\begin{pmatrix}a_i&1\\ 1&0\end{pmatrix}$ pour $1\leq i\leq n$. Montrer que $M_1\times\cdots\times M_n$ est à spectre inclus dans $\R\setminus\Q$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Celui de valeur propre maximale maximise $\frac{\lN AX\rN}{\lN X\rN}$. Si il n'était pas à coefficients positifs, on pourrait l'augmenter. Pour le $\gt 0$, c'est une question d'ordre du $DL$.
 - La trace est $\gt 0$, et on a deux valeurs propres réelles. On envoie le cône du quadrant supérieure dans lui-même, donc il y a un point fixe.
 - D'après la question précédente, il existe un vecteur propre réel, à coefficients positifs. S'il existait une valeur propre rationnelle, les deux le seraient. Le produit vaut $2$, et la somme est entière donc la valeur propre vaut $\pm 1$, donc on a un vecteur entier $\vv{p}{q}$, qui retombe sur lui-même, mais $\begin{pmatrix}a_i & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\vv{p}{q} = \vv{a_1 p + q}{p}$, donc à chaque étape, le premier coefficient est trop grand.
#+END_proof

# ID:7770
#+begin_exercice Réduction des endomorphismes normaux [ENS MP 2024 # 66]
 - Rappeler la définition de l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien.
 - Soient $E$ un espace euclidien et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer que $u$ et $u^*$ commutent si et seulement s'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs, les blocs diagonaux etant soit de taille $1$, soit de taille $2$ et de la forme $\left(\begin{array}{cc}a&b\\ -b&a\end{array}\right)$.
#+end_exercice

# ID:7771
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 67]
Montrer que $\text{SO}_3(\Q)$ est dense dans $\text{SO}_3(\R)$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 68]
On admet l'existence d'une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ d'unite $1$ admettant une base de la forme $(1,i,j,k)$ avec $i^2=j^2=k^2=-1$ et $ij=k=-ji,jk=i=-kj,ki=j=-ik$. Montrer que le groupe des automorphismes de la $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ est isomorphe à $\text{SO}_3(\R)$.
#+end_exercice

# ID:7956
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 69]
On munit $\M_n(\R)$ du produit scalaire défini par $\left\langle A,B\right\rangle=\op{tr}(A^TB)$.

 1. Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\inf\limits_{\|G\|=1}\|AG-GB\|=\min\limits_{(\lambda_1,\lambda_2)\in\text {Sp}(A)\times\text{Sp}(B)}|\lambda_1-\lambda_2|$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si on prend $G = X_A X_{B^T}^T$, on a $AG = GÀ = (\la_1 - \la_2) G$, donc $\inf \leq \min$.

    Réciproquement, pour $A,B$ diagonale, on a exactement ce qu'on veut (un barycentre des $|\la_A - \la_B|$).

    Sinon, on peut écrire $\lN D_A G - G O D_B O^T\rN = \lN D_A GO - GO D_B\rN$, et $GO$ est de norme $\leq 1$, d'où le résultat.
#+END_proof

# ID:7788
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 70]
Soient $X$ un ensemble et $K\colon X\times X\ra\R$. On suppose que, pour tous $n\geq 1$ et $x_1,\ldots,x_n\in X$, $(K(x_i,x_j))_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{S}_n^+(\R)$. Pour $x\in X$, on note $K_x\colon y\mapsto K(x,y)$. Soit $E$ le sous-espace de $\R^X$ engendré par les fonctions $(K_x)_{x\in X}$.

Soit $a,b\in E$. Par définition de $E$, il existe $(\lambda_x)_{x\in X}$ et $(\mu_x)_{x\in X}$ dans $\R^X$ n'admettant qu'un nombre fini de coefficients non nuls tels que $a=\sum_{x\in X}\lambda_xK_x$ et $b=\sum_{x\in X}\mu_xK_x$ et on pose

$$\left\langle a,b\right\rangle=\sum_{x,y\in X}\lambda_x\mu_yK(x,y).$$
 - Montrer que cela définit bien un produit scalaire sur $E$.
 - Montrer qu'il existe $f\colon X\ra E$ telle que $\forall x,y\in X$, $K(x,y)=\left\langle f(x),f(y)\right\rangle$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est clair.
 - C'est clair.
#+END_proof

#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 71]                                            :todo:
Soient $p\geq 1$ et $A,B\in\mc{S}_p^{++}(\R)$.
 - Montrer que $\op{Tr}\left(I_p-A^{-1}B\right)\leq\ln\left(\frac{\det A}{ \det B}\right)$.
 - Soient $n\geq 1$, $u_1,\ldots,u_n\in\R^p$ et $\lambda\gt 0$. Pour $1\leq m\leq n$, on pose $A_m=\sum_{k=1}^mu_k\ u_k^T$ et $B_m=\lambda I_p+A_m$. Montrer que, pour $1\leq m\leq n$, $B_m$ est symétrique définie positive.
 - Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ les valeurs propres (avec multiplicité) de $A_n$.
   Montrer que $\sum_{m=1}^n\left\langle u_m,B_m^{-1}u_m\right\rangle \leq\sum_{i=1}^p\ln\left(1+\frac{\lambda_i}{\lambda}\right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof                                                          :todo:
 - Écrire $A = PP^T$ et $B = PD P^T$, on trouve que la trace vaut $\sum 1 - d_i$, avec $\prod d_i = \det B/\det A$.
 - Trivial.
 - Si $n=1$, $A_m$ a une unique valeur propre non nulle, qui vaut $\lN u_1\rN^2$, et $\ln (1 + \frac{\la_i}{\la}) = \ln \frac{\la + \la_i}{\la} = \ln \frac{\det (B_1)}{\det \la I_n}\geq \op{Tr}\big(I_p - \la B^{-1}\big)$

   On a $\langle u_1, B_1^{-1} u_1\rangle$

   En fait, $u_1$ est un vecteur propre de $A_1$ : $B_1 u_1 = (\la + \lN u_1\rN^2) u_1$ (faux pour $u_m$)

   Donc $\langle u_m, B_m^{-1}u_m\rangle = \frac{\lN u_m\rN^2}{\la + \lN u_m\rN^2}$
   !!
#+END_proof

# ID:7772
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 72]
Si $G$ est un groupe, on note $Z(G)$ son centre. On pose $U_n(\C)=\left\{A\in\M_n(\C)\,,\,A^*A=I_n\right\}$ ou $A^*=\overline{A}^T$, l'ensemble des matrices unitaires.
 - Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$ et que $\mc{U}_n(\C)$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.
 - Soit $A\in\M_n(\C)$ hermitienne, c'est-a-dire telle que $A^*=A$. Démontrer qu'il existe $P\in\mc{U}_n(\C)$ telle que $P^*AP$ soit diagonale.
 - Démontrer que toute matrice $M\in\M_n(\C)$ s'écrit comme combinaison linéaire d'au plus quatre matrices unitaires.
 - Déterminer $Z\left(\mc{U}_n(\C)\right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - Décomposer en symétrique + antisymétrique, puis réduire : les symétriques sont diagonalisable, donc diagonale, et si leur valeurs propres sont $\leq 1$, on trouve.

   De même les antisymétriques sont diagonalisables.
 - Si on est dans le centre, on commute avec toutes les matrices de $\M_n(\C)$.
#+END_proof

** Analyse

# ID:7757
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 73]
Soit $F$ l'application qui à une norme $N$ sur $\R^n$ associe la boule fermée de centre $0$ et de rayon $1$ pour $N$.
 - L'application $F$ est-elle injective?
 - Quelle est l'image de $F$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Oui.
 - Ce sont les parties convexes, contenant un voisinage de $0$, classique.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 74]
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $\phi:E\ra\R^+$ une application telle que
 + pour tout $x\in E$, $\phi(x)=0$ si et seulement si $x=0$,
 + pour tout $x\in E$ et tout $\lambda\in\R$, $\phi(\lambda x)=|\lambda|\phi(x)$.

On note $C=\{x\in E,\ \phi(x)\leq 1\}$.
 - Montrer que $\phi$ est une norme si et seulement si $C$ est convexe.
 - Soit $K$ un partie de $E$ convexe, compacte, d'intérieur non vide et symétrique par rapport à l'origine. Montrer que $K$ est un voisinage de l'origine.
 - Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Posons $I(x)=\{\lambda\gt 0\,;\ \exists k\in K,\ x=\lambda k\}$. Montrer que $I(x)$ est un convexe ferme, non vide.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 75]
Soit $G$ un sous-groupe de $(\R^n,+)$ dans lequel $0$ est un point isolé. Montrer qu'il existe une famille libre $(u_1,\ldots,u_p)$ dans $\R^n$ telle que $G=\left\{\sum_{k=1}^pa_k.u_k,\ (a_1,\ldots,a_p)\in\Z^p\right\}$.
#+end_exercice

# ID:7759
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 76]
Soit $n\in\N^*$. Soit $E$ l'ensemble des pavés de $\R^n$, c'est-a-dire des parties de la forme $[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ avec $a_1\leq b_1$,..., $a_n\leq b_n$. Pour toute partie finie $G\subset\R^n$, on note $f(G)=\{F\cap G,\ F\in E\}$. Déterminer $\sup\{k\in\N\ ;\ \exists G\subset\R^n,\ |G|=k,\ f(G)= \mc{P}(G)\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
L'ensemble $\{\pm e_i\}^n$ permet d'atteindre $k = 2n$. Réciproquement, c'est la valeur maximale : si un ensemble a strictement plus de $2n$ points, on prend celui d'abscisse maximale, celui d'abscisse minimale, idem pour la seconde coordonnée, etc, tout pavé contenant tous ces points contient tous les autres.
#+END_proof

# ID:7760
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 77]
 - Soient $E$ un espace vectoriel normé et $K$ un compact convexe non vide de $E$. Soit $(f_i)_{i\in\N}$ une suite de fonctions affines, continues, qui commutent deux à deux et telles que $f_i(K)\subset K$ pour tout $i\in\N$. Montrer que les fonctions $f_i$ ont un point fixe commun.
 - Le résultat précédent reste-t-il valable pour une famille $(f_i)_{i\in I}$ de fonctions indexées par un ensemble non dénombrable?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Prendre un élément du compact, appliquer les fonctions. S'il n'y a qu'une seule fonction, il faut utiliser le caractère affine : prendre la moyenne des éléments, de sorte que $|f(m_n) - m_n|\ra 0$, et une valeur d'adhérence de $m_n$.

   Donc $f_1$ a des points fixes, et l'ensemble des points fixes de $f_1$ est stable par $f_2$, etc.
 - Oui : Il s'agit de montrer que si chaque intersection fini de compacts $K_i$ est non vide, il en va de même de toute intersection. Assume not : une intersection $K_i$ de compact est vide.

   On peut recouvrir $K$ par un nombre fini de boules de rayon $1$. Une de ces boules intersecte toute intersection finie de points fixes de $f_i$. Puis on recouvre cette boule par des boules de rayon $\frac{1}{2}$, etc.

   On a un point d'accumulation. Il est dans toutes les intersections.
#+END_proof

# ID:7782
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 78]
Soient $H$ le groupe (pour la composition) des homéomorphismes de $\R$ sur $\R$, $H^+$ le sous-groupe des homéomorphismes croissants.
 - Caractériser les groupes finis isomorphes à un sous-groupe de $H$.
 - Montrer qu'on peut munir tout sous-groupe $G$ de $H^+$ d'une relation d'ordre totale telle que $\forall f,g,h\in G$, $f\leq g\ \Longrightarrow\ h\circ f\leq h\circ g$.
 - Réciproquement, montrer que tout groupe dénombrable pouvant être muni d'un tel ordre est isomorphe à un sous groupe de $H^+$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Si $g^n = \op{Id}$, alors si $n$ impair, $g = \op{Id}$, et si $n$ pair, $g^2 = \op{Id}$.

   Si deux fonctions vérifient $f^2 = \op{Id}$ et $g^2 = \op{Id}$, et leur composée aussi, alors elles commutent, donc elles sont égales.
 - Prendre une énumération de $\Q$, et mettre l'ordre lexicographique sur $(f(u_n))$.
 - On peut créer une application $H\ra\Q$ injective qui préserve l'ordre. Alors, $H$ agit sur cette partie de $\Q$ (l'image), de manière croissante. On peut s'assurer que cette action est continue (si on a un point d'accumulation, on a deux suites, une croissante et une décroissante qui converge vers ce point si les limites étaient différentes, aucun élément du groupe ne serait envoyé entre ces deux limites : dans la construction, quand on place un élément entre $a$ et $b$, le mettre en $\frac{a+b}{2}$).

   Alors, on prolonge $H$ par continuité, puis de manière linéaire.

   Par ailleurs, c'est bien un morphisme, car la composée de deux fonctions de ce type l'est encore.
#+END_proof

# ID:7783
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 79]
Soient $m$ et $n$ dans $\N^*$, $F$ une partie finie de $\R^n$, $x\in\R^n\setminus F$, $f$ une application $1$-lipschitzienne (pour les normes euclidiennes canoniques) de $F$ dans $\R^m$.
 1. sV2 On suppose que $\forall x\in F,\, \lN f(x)\rN\gt \lN x\rN$, montrer que $0$ n'appartient pas à l'enveloppe convexe de $f(F)$.
 2. Montrer que l'on peut prolonger $f$ en une application $1$-lipschitzienne de $F\cup\{x\}$ dans $\R^m$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 1. Par récurrence sur $k$. Pour $k = 2$, c'est clair. Sinon on applique l'hypothèse de récurrence à deux sous parties de $F$ privées d'un élément XX

    Le point $x$ vérifie $\lN x- x_i\rN = \delta_i$

    On augmente des boules autour des $f(x_i)$, de rayon $t\delta_i$, à partir de $t = 0$. On prend $x_c$ le premier point d'intersection, atteint pour $t_c$. On veut montrer que $t_c \leq 1$.

    Le point $x_c$ est sur le bord d'un certain nombre des disques, et par ailleurs, $\sum_{J} \la_j (f(x_j)-x_c) = \vec 0$, avec des $\la_j\geq 0$, autrement dit, $x_c$ est dans l'enveloppe convexe des $f(x_j)$.

    Si on suppose par l'absurde que $t_c\gt 1$. On peut supposer que $x_c = 0$, alors $\lN f(x_j)\rN\gt \lN x_j\rN$. Cela implique que les $\langle f(x_j), f(x_i)\rangle \gt \langle x_i,x_j\rangle$.

    Alors $\lN \sum \la_j f(x_j)\rN\gt \lN \sum \la_j x_j\rN^2$, ce qui empêche $\sum \la_j x_j = \vec 0$.
#+END_proof

# ID:7761
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 80]
Soient $\gamma,\tau\in\R^{+*}$. On pose, pour $N\in\N^*$,

 $$D_N=\left\{x\in\R^d\;;\;\forall k\in\Z^d\setminus\{0\}, \|k\|\leq N\Rightarrow|\left\langle x,k\right\rangle|\geq\frac{ \gamma}{\|k\|^{\tau}}\right\} \quad \et \quad D=\bigcap_{N\geq 1}D_N.$$

Montrer que $D$ est fermé et d'intérieur vide. Qu'en est-il de $D_N$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $D$ est une intersection de fermés. Intérieur vide : il suffit de montrer que dans toute boule ouvert, on peut trouver un vecteur qui a un orthogonal à coordonnées entières.

 Pour $D_N$ : c'est une intersection de deux demi-hyperplans, opposés séparés d'une constante. Chacun retire au plus une direction : pour tout $x$, pour $\la$ assez grand, $\la x\in D_N$.
#+END_proof

# ID:7784
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 81]
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Soit $f\colon E\ra F$ telle que : $\forall r\in \interval]{0, 1}]$, $\forall x\in E,\ B\left(f(x),\frac{r}{2}\right)\subset f(B(x,r))\subset B(f(x),2r)$.
 - Montrer que $f$ est continue et surjective.
 - Que peut-on dire de l'image par $f$ d'un ouvert ? D'un fermé ?
 - Soit $\gamma$ un chemin continu de $[0,1]$ dans $F$. Montrer qu'il existe un chemin $c$ continu de $[0,1]$ dans $E$ tel que $f\circ c=\gamma$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - La continuité découle de la deuxième inclusion, la surjectivité de la première (il faut travailler, parce que $r\leq 1$).
 - $f$ est clairement ouverte. Aussi, elle est $2$-lipshitzienne. Image d'un fermé : si $f(x_n)\ra a$, il est très possible que $x_n$ tende vers l'infini, bon, pour $\R\ra\R$ ça a l'air dur, mais pour $\R^2 \ra \R$, il suffit de prendre une fonction dont le graphe est un plan.
 - Si on découple $\gamma$ en des points à des distances $\lt \frac{1}{2}$, on peut trouver une suite de points à des distances $\leq 1$ tel que $f(y_i) = \gamma_i$. On recommence, etc. On trouve $c$.
#+END_proof

# ID:nil : Sée 4272
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 82]
 - Soit $X\subset\R^n$ un fermé non vide. Soit $f:X\ra X$. On suppose qu'il existe $\theta\in[0,1[$ tel que $\forall x,y\in X$, $\|f(x)-f(y)\|\leq\theta\|x-y\|$. Montrer que $f$ possède un unique point fixe $c$ et que, pour tout $x\in X$, $f^m(x)\underset{m\ra+\i}{\longrightarrow}c$.
 - Soit $X\subset\R^n$ un compact non vide. Soit $f\colon X\ra X$. On suppose que $\forall x,y\in X$, $x\neq y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|$.
   - Soient $Y,Z$ deux compacts non vides tels que $f(Y)\subset Y$ et $f(Z)\subset Z$. Montrer que $Y\cap Z$ est non vide.
   - En déduire que $f$ possède un unique point fixe.
#+end_exercice

# ID:7793
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 83]
On se place dans $\R^n$ et $\R^m$ munis d'une norme.
 - Montrer qu'il existe $C\gt 0$ et $R_0\geq 0$ tels que, pour tout $r\geq R_0,\ \mathrm{card}\{x\in\Z^n\,;\,\|X\|\leq r\} \leq Cr^n$.
 - On appelle plongement grossier $f\colon\Z^n\ra\Z^m$ une fonction qui vérifie :
   + $\forall a\geq 0,\ \exists b\geq 0,\ \forall x,y\in\Z^n,\ \|x-y\|\leq a\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\leq b$,
   + $\forall b\geq 0,\ \exists a\geq 0,\ \forall x,y\in\Z^n,\ \|f(x)-f(y)\|\leq b\Rightarrow\|x-y\|\leq a$.
   Soit $f\colon\Z^n\ra\Z^m$ un prolongement grossier.
   - Montrer qu'il existe $\rho\colon\R^+\ra\R^+$ et $\mu\gt 0$ tels que $\lim\limits_{x\ra+\i}\rho(x)=+\i$ et
     $$\forall x,y\in\Z^n,\ \rho(\|x-y\|)\leq\|f(x)-f(y)\|\leq\mu\|x-y\|.$$
   - Montrer que $m\geq n$.
 - Adapter pour $f\colon\R^n\ra\R^m$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Équivalence des normes.
 - 
   - Majoration : on a $\lN f(x) - f(y)\rN\leq \mu \lN x-y\rN + b$, et on peut retirer le $b$, car on est sur $\Z^n$.

     Minoration : Sinon, il existerait des $x_n,y_n$, avec $\lN x_n-y_n\rN$ arbitrairement grand, et $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN$ borné, ce qui contredit la deuxième condition.
   - Supposons par l'absurde que $m\lt n$.

     Les éléments de la boule de rayon $R$ sont tous envoyés dans une boule de rayon $C R$. Mais, pour $\lN x-y\rN$ assez grand, $\lN f(x) - f(y)\rN\geq 1$, donc la fonction est essentiellement injective. Il n'y a pas assez de points entiers dans la boule de rayon $CR$, car il y en a au plus $K C^m R^m$.
 - On recouvre par des boules.
#+END_proof

# ID:7794
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 84]
On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $f\colon\R^2\ra\R^2$ un homéomorphisme. Pour $x\in\R^2$ et $r\gt 0$, on pose :

 $L_f(x,r)=\sup\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|\leq r \big{\}}$,

 $\ell_f(x,r)=\inf\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\| \geq r\big{\}}$.
 - Montrer que : $L_f(x,r)=\sup\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|=r\big{\}}$,

   $\ell_f(x,r)=\inf\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|=r\big{\}}$.
 - Pour $x$ fixé, montrer que $r\mapsto L_f(x,r)$ et $r\mapsto\ell_f(x,r)$ sont croissantes.

 - E On dit que $f$ est quasi-conforme s'il existe $K_f\gt 0$ tel que : $\forall(x,r)\in\R^2\times\R^{+*},\,L_f(x,r)\leq K_f\ell_f(x,r)$.
 - On suppose $f$ quasi-conforme. Montrer qu'alors $L_f(x,2r)\leq(1+K_f)L_f(x,r)$.
 - Montrer que $f$ est quasi-conforme si et seulement si $f^{-1}$ est quasi-conforme.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Comme $f^{-1}$ est continue, $f$ est ouverte.
 - C'est clair pour $L_f$, et pour $\l_f$ aussi.
 - Si $\lN y - x\rN\leq 2r$, alors si $\lN y - x\rN\leq r$, c'est bon. Sinon, il existe un point $z$ entre les deux à une distance $r$ de $x$, et on a $\lN y - z\rN\leq L_f(z, r)\leq K_f l_f(z, r)\leq K_f L_f(x,r)$.
 - Si $f$ est quasi-conforme, et $f^{-1}$ ne l'est pas. C'est qu'il existe des $x_n, r_n, y_n,z_n$ tels que on ait $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN = r_n$, $\lN f(x_n) - f(z_n)\rN = r_n$, mais $\frac{\lN x_n - y_n\rN}{\lN x_n - z_n\rN}$ non majorée. Mais $\lN f(x_n) - f(z_n)\rN\leq L_f(\lN x_n - z_n\rN)$ et $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN\geq \l_f(\lN x_n - y_n\rN)$, donc $L_f(\lN x_n - z_n\rN)\geq \l_f(\lN x_n - y_n\rN)$, donc $L_f(\lN x_n - z_n\rN)\geq \frac{1}{K_f} L_f(\lN x_n - y_n\rN)$. Mais en fait, on a $L_f(x, 2r)\geq L_f(x,r) + \l_f(x + y_r, r)\geq L_f(x,r) + K L_f(x + y_r, r)$, car $f$ surjective, et cette dernière quantité ne peut pas être tout petite sinon, $L_f(x, r)\leq L_f(x+y_r, 2r)\leq (1+K_f) L_f(x,r)$.
#+END_proof

# ID:7795
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 85]
Soient $n\geq 2$ et $e_1$ le premier vecteur de la base canonique de $\R^n$. Soit $\mc{A}$ l'ensemble des matrices $M$ de $\M_n(\R)$ telles que, pour tout $v\in\R^n$, il existe $a_{v,M}\in\R$, tel que la suite $(M^kv)_{k\geq 1}$ tende vers $a_{v,M}e_1$, avec de plus $v\mapsto a_{v,M}$ non identiquement nulle.

Soit $v\in\R^n$. Montrer que l'application $f_v\colon M\in\mc{A}\mapsto a_{v,M}$ est continue.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Sur $\C$, $M$ a des valeurs propres $\lt 1$, sauf $1$, de multiplicité $1$.

et $f_v$ est la coordonnée de $v$ dans $E_1$, parallèlement aux autres espaces caractéristiques. Par ailleurs, $E_1 = \vect e_1$.

La projection sur $E_1$ est simplement $P(M)B(M)$, où $P$ est l'autre facteur de $\chi_m$, et $B$ est un couple de Bézout $À (X-1) + BP = 1$. La partie $P(M)$ est continue. L'application $P\mapsto B$ est aussi continue, puisque $B$ est en fait une constante, égale à $P(1)^{-1}$.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 86]
Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel normé. Pour $X\subset E$ et $x\in E$, on note $d(x,X)=\inf_{y\in X}\|y-x\|$ et $\Pi_X(x)=\{y\in X\;;\;\forall z\in X,\;\|y-x\|\leq\|z-x\|\}$.
 - Pour quels ensembles $Y\subset E$ existe-t-il $X\subset E$ et $x\in E$ tels que $Y=\Pi_X(x)$?
 - Soient $X\subset E$ et $x\in E\setminus X$ tels que $d(x,X)=0$. Montrer que $\Pi_X(x)=\emptyset$.
 - Existe-t-il $X\subset E$ et $x\in E\setminus X$ tels que $d(x,X)\gt 0$ et $\Pi_X(x)=\emptyset$?
 - On suppose qu'il existe un produit scalaire $\langle\,\ \rangle$ tel que $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ pour tout $x\in E$, que $E$ est de dimension finie et que $X\subset E$ est un ensemble convexe fermé et borné. Montrer que $\Pi_x(X)$ est un singleton.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $\Pi_X(x)$ est l'ensemble des points où la distance est atteinte.
   Ça peut être n'importe quel point, ou n'importe quelle paire de points, ou n'importe quel ensemble de points inclus dans une sphère.
 - Trivial.
 - Oui, si $X$ non fermé.
 - Trivial
#+END_proof

# ID:7748
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 87]
Soit $n\geq 1$ un entier, $L\in\left]0,1\right[$, $F\colon\R^n\ra\R^n$ une application $L$-lipschitzienne pour $\left\|\ \right\|_{\i}$, et $x_*\in\R^n$ tel que $F(x_*)=x_*$.
 - Soit $(x_k)_{k\geq 1}$ définie par $x_1\in\R^n$ et $\forall k\geq 1$, $x_{k+1}=F(x_k)$. Montrer que $x_k\xrightarrow[k\ra+\i]{}x_*$.
 - Pour $I\subset\{1,\ldots,n\}$, on note $F^{|I}\colon\R^n\ra\R^n$ l'application définie, pour tout $x\in\R^n$ et $1\leq i\leq n$, par $F^{|I}(x)_i=\begin{cases}F(x)_i&\text{si }i\in I\\ x_i&\text{si }i\not\in I\end{cases}$.

Montrer que $F^{|I}$ est $1$-lipschitzienne pour $\left\|\ \right\|_{\i}$.
 - Soit $(I_k)_{k\geq 1}$ une suite de sous-ensembles de $\{1,\ldots,n\}$ telle que chaque indice $i\in\{1,\ldots,n\}$ appartienne à une infinite de ces ensembles. Soient $x_1\in\R^n$ et, pour $k\geq 1$, $x_{k+1}=F^{|I_k}(x_k)$. Montrer que cette suite converge vers $x_*$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - trivial
 - Trivial.
 - La suite $|(x_k - x_*)_i|$ est décroissante, donc converge, d'où le résultat.
#+END_proof

# ID:7749
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 88]
On munit l'espace $\ell^{\i}$ des suites réelles bornées de la norme $\|\ \|_{\i}$.
 - Soit $(a_n)$ une suite réelle sommable. Montrer que l'application $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx_n$ définit une forme linéaire continue sur l'espace $\ell^{\i}$.
 - On suppose l'existence d'une partie $F\subset\mc{P}(\N)$ telle que : (i) pour tous $A,B\in F$, $A\cap B\in F$, (ii) pour $A\in F$, $F$ contient toute partie $B$ de $\N$ qui contient $A$, (iii) $F$ ne contient que des ensembles infinis, (iv) si $A\in\mc{P}(\N)$, alors $A\in F$ ou $\N\setminus A\in F$.
   - Soit $x\in\ell^{\i}$.

     Montrer qu'il existe un unique réel $x^{\i}$ tel que $\forall\eps\gt 0$, $\exists A\in F$, $\forall n\in A$, $|x_n-x^{\i}|\leq\eps$.
   - En déduire l'existence d'une forme linéaire continue sur $\ell^{\i}$ qui n'est pas de la forme donnée en question  -.
 - On note $c_0$ le sous-espace de $\ell^{\i}$ des suites réelles de limite nulle. Montrer que toute forme linéaire continue sur $c_0$ est de la forme donnée en question  -.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $|f(x)|\leq \sum |a_n| \lN x \rN_{\i}$
 - 
   - C'est la preuve de BW.
   - C'est clairement linéaire, continue. On justifie que ce n'est pas de la forme précédente. Si c'était le cas, on aurait $\sum a_i = 1$ (prendre une suite constante), puis en prenant deux constantes, pour les termes paires et impaires, on obtient que l'une des deux sommes est $1$ l'autre est $0$. On recommence en coupant en $4$, en $8$, etc.

     On obtient que un seul des termes vaut $1$, et les autres $0$.
 - On définit les $a_i$ comme l'image de $(0,\dots, 0, 1, 0 \dots)$, on vérifie que la famille est sommable, et une fois que l'on coïncide sur les suites nulles APCR, on coïncide, par $\eps$.
#+END_proof

# ID:7750
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 89]
Soient $r\in\R_+^{*}$, $E$ une partie de $\R^2$ couplant toute boule de rayon $r$ (pour la norme euclidienne canonique), $P\in\R[X,Y]$ s'annulant sur $E$. Montrer que $P=0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Écrire $P(X,Y) = \sum X^n P_n(Y)$. Prendre la valeur en $(n^n, n)$.
#+END_proof

# ID:7751
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 90]
Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n\geq 2$, $C$ un convexe ouvert de $E$ ne contenant pas $0$. Montrer qu'il existe une droite vectorielle ne couplant pas $C$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Projeter $0$ sur $C$, et prendre une droite orthogonale.
#+END_proof

# ID:8029
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 91]
Soit $n\in\N^*$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.

Soit $\Delta=\left\{x\in(\R^+)^n,\,\sum_{i=1}^nx_i=1\right\}$. On admet que pour tout $x\in\R^n$, il existe un unique point $\pi(x)\in\Delta$ tel que $\forall z\in\Delta$, $\left\langle z-\pi(x),x-\pi(x)\right\rangle\leq 0$.
 - Soient $x,u\in\R^n$ et $x'=\pi(x+u)$.

   Montrer que, pour tout $z\in\Delta$, $2\left\langle u,z-x\right\rangle\leq\left\|z-x\right\|_2^2-\left\|z -x'\right\|_2^2+\left\|u\right\|_2^2$.

 - E Soit $A\in\M_n(\R)$. Soient $x_1,y_1\in\Delta$ et $(\gamma_k)_{k\geq 1}$ une suite strictement positive. Pour $k\geq 2$, on définit par récurrence $x_{k+1}=\pi(x_k+\gamma_kAy_k)$ et $y_{k+1}=\pi(y_k-\gamma_kA^Tx_k)$.
 - Montrer qu'on peut choisir la suite $(\gamma_k)_{k\geq 1}$ de sorte que
   $$\max_{x\in\Delta}\sum_{k=1}^N\left\langle x,Ay_k\right\rangle-\min_{y\in \Delta}\sum_{k=1}^N\left\langle x_k,Ay\right\rangle\leq o(N).$$
 - En déduire que $\max_{x\in\Delta}\min_{y\in\Delta}\left\langle x,Ay\right\rangle=\min_{y\in \Delta}\max_{x\in\Delta}\left\langle x,Ay\right\rangle$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est le projeté de $x$ sur $\Delta$.
 - L'inégalité recherchée se réécrit $2 \langle z, u+x - x' \rangle\leq \lN x+u\rN^2 - \lN x'\rN^2$. En utilisant l'hypothèse, il suffit de montrer que $2\langle x', u+x\rangle\leq \lN u+x\rN^2 + \lN x'\rN^2$, ce qui est clair (c'est une norme au carré).
 - En appliquant ce qui précède à $u = \gamma_k A y_k$ et $x = x_k$, on obtient
   $$2\gamma_k \langle Ay_k, z\rangle \leq \lN z - x_k\rN^2 - \lN z - x_{k+1}\rN^2 + \lN \gamma_k Ay_k\rN^2 + 2 \gamma_k \langle x_k, A y_k\rangle$$

   De même, avec $u = - \gamma_kA^T x_k$, et $x = y_k$
   $$2\gamma_k \langle A^T x_k, z \rangle\geq - \lN z - y_k\rN^2 + \lN z - y_{k+1}\rN^2 - \lN \gamma_k A^T x_k\rN^2 + 2 \gamma_k \langle A^T x_k, y_k\rangle$$
   Avec le $-$ devant le min, on change le signe. Les derniers produits scalaires disparaissent.

   On somme, mais attention, ce n'est pas télescopique car on divise par $\gamma_k$. Les termes en $z$ sont chacun bornées.

   Il apparaît une quantité en $M \sum \left|\frac{1}{\gamma_k} - \frac{1}{\gamma_{k+1}}\right|$, plus $\sum \gamma_k M'$. On prend $\gamma_k = \frac{1}{\sqrt{k}}$, et on obtient une majoration en $\sqrt{N}$.
 - On a automatiquement $\leq$ : car l'expression de gauche est $\leq \langle x_1, Ay_2\rangle$ $\leq \max_{x} \langle x, A y_2\rangle$ ($x_1$ là ou le terme de gauche est atteint, $y_2$ là ou le terme de droite est atteint).

   Si on avait $\lt$, on obtiendrait automatiquement que la quantité ne serait pas en $o(n)$.
#+END_proof

# ID:8030
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 92]
Soient $E$ euclidien et $T:E\ra E$. On suppose qu'il existe $C\in\R^+$ tel que :

 $\forall(x,y)\in E^2,\,\left\|\lN T(x) - T(y)\rN- \lN x-y\rN\right| \leq C$.

L'objectif est de montrer qu'il existe $h\in\R^+$ et un unique $u\in\mc{O}(E)$ tels que

 $\forall x\in E,\,\left\|T(x)-u(x)\right\|\leq h$.
 - Conclure dans le cas ou $C=0$.
 - Prouver l'unicité de $u$.
 - Pour tout $x$ de $E$, on pose $u_0(x)=\lim\limits_{n\ra+\i}\dfrac{T(2^nx)}{2^n}$. Montrer que $u_0$ est bien définie, linéaire et conserve la norme.
 - Conclure.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Simple.
 - Simple.
 - $\frac{T(2^n x)}{2^n}$ a une norme proche de $\lN x\rN$, à $\frac{1}{2^n}$ près, car $\left|\lN T(u)\rN - \lN u\rN\right|\leq C$

   $\lN T(2x)\rN$ a une norme proche de $2x$, et est à une distance $x$ de $T(x)$.

   On veut un contrôle de $\lN T(2x) - 2T(x)\rN \leq C'$, en utilisant que $\lN T(2x)\rN\simeq 2\lN x\rN$ et $\lN T(2x) - T(x)\rN \simeq \lN x\rN$.

   Pour cela, on écrit $\lN T(2x) - 2T(x)\rN^2$ avec le produit scalaire, et par ailleurs, $\big(C + \lN x\rN\big)^2 \geq \lN T(2x) - T(x)\rN^2$, qui fait intervenir le même produit scalaire.

   On en déduit que $\lN T(2x) - 2T(x)\rN^2 \leq C \lN x\rN + D$.

   Alors, $\sum \lN \frac{T(2^{n+1} x)}{2^{n+1}} - \frac{T(2^nx)}{2^n}\rN$ converge.

   La norme est clairement préservée.

   Pour la linéarité : utiliser $u_0(2x) = 2 u(x)$, et le fait que $u$ préserve les distances.
 - Ok.
#+END_proof

# ID:8031
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 93]
Soient $(E,\left\langle\,\ \right\rangle)$ un espace préhilbertien, $F:E\ra E$ et $G=\dfrac{1}{2}(\op{id}-F)$.
 - Montrer que, $F$ est $1$-lipschitzienne pour $\parallel$ si et seulement si  $\forall x,x'\in E,\,\left\langle G(x')-G(x),x'-x \right\rangle\geq\left\|G(x')-G(x)\right\|^2$.
 - On suppose que $F$ est $1$-lipschitzienne pour et qu'il existe $x_*\in E$ tel que $F(x_*)=x_*$. Soit $(x_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $x_1\in E$ et, pour $n\geq 1$, $x_{n+1}=\dfrac{x_n+F(x_n)}{2}$. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $\left\|F(x_n)-x_n\right\|\leq\dfrac{2\left\|x_1-x_*\right\|}{ \sqrt{n}}$.
 - En déduire que, si $E$ est un espace euclidien, $(x_n)_{n\geq 1}$ converge vers un point fixe de $F$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Simple.
 2. On reformule en termes de $G$. on suppose que $x^* = 0$. On a $G(x^*) = 0$. La question précédente donne, pour $x = 0$, $\langle G(y), y\rangle \geq \lN G(y)\rN^2$, ce qui est un peu plus fort que $G$ est $1$-lipschitzien.

    La suite $(x_n)$ est définie par $x_{n+1} = x_n - G(x_n)$, et on veut montrer que $\lN G(x_n)\rN^2 \leq \frac{\lN x_1\rN}{\sqrt{n}}$.

    En général :
    On écrit $x_{n+1} = x_n - G(x_n)$,
    donc $\lN x_{n+1}\rN^2 = \lN x_n\rN^2 - 2 \langle x_n, G(x_n)\rangle + \lN G(x_n)\rN^2$
    et $\langle x_n, G(x_n)\rangle\geq \lN G(x_n)\rN^2$, donc $\lN x_{n+1}\rN^2 \leq \lN x_n\rN^2 - \lN G(x_n)\rN^2$

    Par ailleurs, comme $\langle G(x_{n+1})- G(x_n), x_{n+1} - x_n\rangle\geq \lN G(x_{n+1}) - G(x_n)\rN^2$,
    on a $\langle G(x_{n+1}), G(x_n)\rangle\geq \lN G(x_{n+1})\rN^2$, donc $\lN G(x_n)\rN\geq \lN G(x_{n+1})\rN^2$.

    En sommant la relation d'avant, on obtient $\sum \lN G(x_i)\rN^2 \leq \lN x_1\rN^2 - \lN x_n\rN^2 \leq \lN x_1\rN^2$, et la décroissance permet de conclure.
#+END_proof

# ID:7802
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 94]
Soient $n\geq 2$ et $I_n(\R)=\{A\in\M_n(\R)\,;\,\exists\lambda\in \op{Sp}(A),\,\,\op{Im}(A)\subset E_{\lambda}(A)\}$, ou $E_{\lambda}(A)$ est le sous-espace propre de $A$ associe à la valeur propre $\lambda$.
 - Montrer que $I_n(\R)$ est stable par similitude.
 - Soient $A,B\in I_n(\R)$.Montrer que $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si $\op{rg}A=\op{rg}B$ et $\op{tr}(A)=\op{tr}(B)$.
 - On note $I_n^*(\R)=\{A\in\M_n(\R)\;;\;\exists\lambda\in \op{Sp}(A),\;\op{Im}(A)=E_{\lambda}(A)\}$. Étudier la connexité par arcs de $I_n(\R)$ et de $I_n^*(\R)$.
 - Déterminer les classes de similitude incluses dans $I_2(\R)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - La condition donne que $A$ n'a qu'une seule valeur propre non nulle et $(A-\la)À = O_n$, ou alors que $A^2 = O_n$ ($A$ a une seule valeur propre).
 - Pour $I_n$ on peut passer par $O_n$. Sinon, on est ramené au cas diagonale, via la connexité de $GL_n$. Le problème est le rang. Les fonctions vérifient $\tr À = \la \rg A$ et $\tr A^2 = \la^2 \rg A$. Sion ne passe pas $\la = 0$, le rang est donc continue, mais la seule matrice pour $A^2 = O_n$ soit n'existe pas, soit si $n$ est pair a un rang $\frac{n}{2}$, donc ne peut pas être approché par des matrices de rang petit. Pour $n=2$ cependant, ça marche.
#+END_proof

# ID:7803
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 95]
Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$.
 - Montrer qu'il existe une norme stricte sur $\R^n$ pour laquelle les éléments de $G$ sont des isométries.
 - On suppose que les éléments de $G$ stabilisent un convexe compact non vide de $\R^n$ note $K$. Montrer que les éléments de $G$ ont un point fixe commun dans $K$.
 - Montrer qu'il existe un produit scalaire sur $\R^n$ pour lequel les éléments de $G$ sont des isométries.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Prendre $\sup_{g\in G} \lN gx\rN$
 - Prendre un élément de $K$ de norme minimale.
 - On veut une matrice symétrique $A$ def pos telle que $g À g^T = A$. $G$ agit sur $\M_n(\R)$. Prendre l'enveloppe convexe de l'orbite de $I_n$.
#+END_proof

# ID:7804
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 96]
Soit $n\in\N^*$. Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$. Pour tous $g\in G$ et $A\in\M_n(\R)$, on pose $g\cdot A=gAg^T$.
 - Donner un exemple de produit scalaire sur $\M_n(\R)$ et la norme $N_0$ euclidienne associée.
 - Soit $N\colon A\mapsto\sup\limits_{g\in G}N_0(g\cdot A)$. Montrer que $N$ est une norme sur $\mc{S}_n(\R)$.
 - Soit $K=\{gg^T,g\in G\}$. Montrer qu'il existe un compact convexe $C$ vérifiant : $K\subseteq C$, $\{g\cdot A,\;(g,A)\in G\times C\}\subseteq C$ et $C\subseteq\mc{S}_n^{++}(\R)$.
 - Montrer qu'il existe un produit scalaire $G$ invariant pour $\cdot$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - L'enveloppe convexe de $K$.
 - $g$ agit de manière isométrique, pour $N$. Prendre un élément de $K$ de norme minimale.
#+END_proof

# ID:7752
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 97]
Déterminer les valeurs d'adhérence des suites $(\cos n)$ et $(\cos^nn)$.
#+end_exercice

# ID:7753
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 98]
[PSLR] Soit $S$ une partie de $\N^*$ infinie et stable par produit. On range les éléments de $S$ en une suite strictement croissante $(s_n)_{n\geq 1}$. Montrer que la suite $\left(\dfrac{s_{n+1}}{s_n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite dans $[1,+\i[$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Elle converge vers sa borne inférieure.
#+END_proof

# ID:7805
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 99]
Soit $(z_n)_{n\geq 0}$ une suite complexe telle que $\forall n\in\N,z_{n+1}=z_ne^{-i\op{Im}(z_n)}$. Pour quelles valeurs de $z_0$ cette suite est-elle convergente?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On écrit $z_n = r e^{i\theta_n}$, on a $\theta_{n+1} = \theta_n - r \sin \theta_n$.

Si $r\leq 1$, cela converge vers $0$. Si $r\leq 2$, aussi, car $|\theta_n|$ décroît.

Si $r\gt 2$, cela ne converge vers $0$ que si elle est stationnaire en $0$.
#+END_proof

# ID:7822
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 100]
Trouver un équivalent de $S_n=\sum\limits_{k=1}^{+\i}\dfrac{k^n}{2^k}$ quand $n\ra+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est maximum quand $t = \frac{n}{\ln 2}$. Essayer de comparer à l'intégrale. Dans l'intégrale, on pose $u = \frac{t}{n}$, puis on a $\int e^{n f(u)}$, où $f$ admet un maximum en $1$, on factorise le maximum, pour que $\max f = 0$, puis on est ramené à une situation classique.

La comparaison $\sum/\int$ est justifiée, car, au pire des cas, on est monotone d'un côté et de l'autre, du point où $f' = 0$, et comme les termes individuels sont négligeables, ça passe.
#+END_proof

# ID:7823
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 101]
On fixe un entiers $n\geq 2$ et $(t_i)_{i\in\Z/n\Z}$ une famille d'éléments de $]0,1[$. Soit pour $i\in\Z/n\Z$, $(x_k^i)_{k\geq 0}$ une suite réelle. On suppose que, pour tout $i\in\Z/n\Z$ et tout $k\in\N$, $x_{k+1}^i=(1-t_i)x_k^i+t_ix_k^{i+1}$. Montrer que les $n$ suites $(x_k^i)_{k\geq 0}$ pour $i\in\Z/n\Z$ convergent vers une même limite.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Le maximum des suites est strictement décroissant, etc.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 102]
Soient $m\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_m\in\mathbb{U}$ distincts et $a_1,\ldots,a_m\in\C$. On suppose que $\sum\limits_{k=1}^ma_kz_k^n\underset{n\ra+\i}{ \longrightarrow}\;0$. Montrer que $a_1=\cdots=a_m=0$.
#+end_exercice

# ID:7991
#+begin_exercice Lemme de Van der Corput [ENS MP 2024 # 103]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ bornée telle que $\forall h\in\N^*$, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k \ol{a_{k+h}} \underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Montrer que $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\underset{n\ra+\i}{ \longrightarrow}0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pour un $h$ fixé, on considère $h \sum_{i=1}^n a_i$ que l'on peut écrire comme une somme de $n-h$ groupes de $h$ termes consécutifs.

En prenant le module au carré, d'après Cauchy-Schwarz, on peut le majorer par $(n+h) \sum_{i=1}^{n+h-1} \big|G_i\big|^2$.

Quand on développe les $|G_i|^2$, on a que des choses qui relève de l'hypothèse. On s'en sort.
#+END_proof

# ID:7657
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 104]
Pour $x_0\gt 0$, on définit par récurrence $x_{n+1}=x_n+\int_{x_n}^{+\i}e^{-t^2}\dt$. Étudier la suite $(x_n)_{n\geq 0}$. Donner un équivalent de $x_n$ puis un développement asymptotique à deux termes.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $(x_n)$ croissante, donc tend vers $+\i$. Par ailleurs $\int_{x_n}^{+\i}e^{-t^2}\dt = \left[\frac{e^{-t^2}}{2t}\right] + \int_{x_n}^{+\i} \frac{e^{-t^2}}{2t^2}\dt$. Donc $x_{n+1} = x_n + \frac{e^{-x_n^2}}{2x_n}$, puis $e^{x_{n+1}^2} = e^{x_n^2 + x_n \frac{e^{-x_n^2}}{x_n}} = e^{x_n^2} + x_n e^{-x_n^2} \ra 1$. Donc $e^{x_n^2}\sim n$, c'est-à-dire $x_n \sim \sqrt{\ln n}$. En poussant le terme plus loin, on a un terme, en $\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}$ et $\frac{1}{n^2 \sqrt{\ln n}}$ le coup d'après (dont la série converge), alors que $x_{n+1} - x_n$ a un terme suivant en $\frac{e^{-x_n^2}}{x_n^3} = \frac{1}{n (\ln n)^{3/2}}$ qui domine, et dont la série converge. La conclusion est que l'on peut s'écrire $u_n + C + o(1)$.

Si on considère $x_{n+1} - (u_{n+1}) = (x_n - u_n) - \frac{1}{n\sqrt{\ln n}} + \frac{e^{-x_n^2}}{x_n}$. Si $x_n$ prend un $+c$, on devient $\frac{e^{-x_n^2} e^{-x_n c}}{x_n + c} = \frac{1}{n (\sqrt{\ln n} + c)} e^{\pm \sqrt{\ln n}}$, cela permet de justifier que la constante est nulle.

Puis, sommation des équivalents des restes.
#+END_proof

# ID:7762
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 105]
Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Montrer qu'il existe une unique suite $(n_i)_{i\geq 1}\in(\N^*)^{\N^*}$ telle que, pour tout $i\in\N^*$, $n_{i+1}\geq{n_i}^2$ et que $\alpha=\sum_{i=1}^{+\i}\ln\bigg(1+\frac{1}{n_i}\bigg)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $\sum_{n=0} \ln \left( 1 + \frac{1}{a^{2^n}}\right)  = \ln \prod \left(1 + \frac{1}{a^{2^n}}\right) = \ln \sum_{k\geq 0} \frac{1}{a^k} = \ln \frac{a}{a-1}= \ln 1 + \frac{1}{a-1}$.
#+END_proof

# ID:7824
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 106]
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle positive.

On note, pour $\alpha\geq 0$, $\mc{R}_{\alpha}=\left\{(u_n)_{n\in\N}\in[0,1]^{\N},\ \sum_{n\in\N}u_na_n\leq\alpha\right\}$.

Soit $(b_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle positive sommable. Pour tout $\alpha\gt 0$, construire une suite $(v_n)_{n\in\N}\in\mc{R}_{\alpha}$ telle que $\sum_{n\in\N}v_nb_n=\max_{(u_n)\in\mc{R}_{\alpha}} \left\{\sum_{n\in\N}u_nb_n\right\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pourquoi cette quantité est bornée : plus petite que $\sum b_n$. On est manifestement ramené au cas où la suite est finie. Dans ce cas, on peut appliquer des extrema liés : en le point où le maximum est atteint, $u_n$ vaut $1$ là où $\frac{b_n}{a_n}$ est maximal.

On rempli les $u_n$ pour lesquels $\frac{b_n}{a_n}$ est maximal en premier. En pratique, on regarde si $\sum_{n \mid \frac{b_n}{a_n}\gt \frac{b_{n_0}}{a_{n_0}}} a_n \lt \a$, et si oui, on met du poids sur $u_{n_0}$, en faisant attention, à ce que d'autre $n_i$ peuvent avoir le même quotient, on a qu'à les remplir simultanément.
#+END_proof

# ID:8032
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 107]
Soient $p\in]1,+\i[$ et $q\in\R$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.
 - Soient $(a_n)_{n\geq 0}$ et $(b_n)_{n\geq 0}$ des suites d'éléments de $\R^+$ telles que $\sum{a_n}^p$ et $\sum{b_n}^q$ convergent. Montrer que $\sum a_nb_n$ converge.
 - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs telle que $\sum a_n$ converge et $\alpha\in\R^{+*}$. Pour $n\in\N$, soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\i}a_k$. Déterminer la nature de $\sum{\frac{a_n}{{R_n}^{\alpha}}}$.
 - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite d'éléments de $\R^+$. On suppose que, pour toute suite $(b_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $\R^+$ telle que $\sum{b_n}^q$ converge, $\sum a_nb_n$ converge. Montrer que $\sum a_n^p$ converge.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $a_n b_n \leq \frac{a_n^p}{p} + \frac{b_n^q}{q}$
 - Intégrer $\frac{1}{t^{\a}}$ entre $R_n$ et $R_{n+1}$ :
   $$\frac{a_n}{R_n}\leq \int_{R_{n+1}}^{R_n} \frac{1}{t^{\a}},$$
   donc pour $\a\gt 1$, on converge.

   Pour $\a = 1$, on montre la divergence classiquement, en regroupant des termes entre lesquels $R_{n+1}\leq \frac{R_n}{2}$.

 - On prend $b_n = \frac{a_n^{p-1}}{S_n}$, où $S_n$ sont les sommes de $a_n^p$. On a $b_n^q = \frac{a_n^p}{S_n^q}$. Si $\sum a_n^p$ diverge, comme $q\gt 1$, on convergera.

   Par ailleurs, $a_n b_n = \frac{a_n^p}{S_n}$, et, classiquement, cela diverge.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 108]
On admet l'irrationalite de $\pi$. Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}+\cos(n)}$.
 - Montrer que $\sum u_n$ converge si $\alpha\gt \frac{1}{2}$.
 - Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $\sum u_n$ converge.
#+end_exercice

# ID:7790
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 109]
Soit $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de $\R_+^*$.
 - sAV2 Montrer que, pour $n\in\N^*$ et $c_1,\dots,c_n\gt 0$, on a $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\leq\frac{1}{n\sqrt[n]{c_1\dots c_n}}\sum_{i=1}^na_i c_i$.
 - sÀ Montrer que, pour $n\in\N^*$, on a $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i$.
 - Montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\lt e\sum_{n=1}^{+ \i}a_n$.
 - Montrer que la constante $e$ est optimale.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Pour toute suite $c_n$, on a $\sqrt[n]{a_1\dots a_n}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{c_1\dots c_n} n} \sum_{k=1}^n a_k c_k$, ce qu'on somme en une majoration de la forme $\sum_{k=1}^n a_k c_k \sum_{\l = k}^{+\i} \frac{1}{\sqrt[\l]{c_1\dots c_\l} \l}$.

   Ensuite, on prend $c_k$ de l'ordre de $k$ dont le produit soit télescopique : on veut $c_1\dots c_\l = \l^{\l}$, autrement dit $c_\l = \frac{\l^{\l}}{(\l-1)^{\l-1}}$, alors $\sum_{\l = k}^{+\i} \frac{1}{\sqrt[\l]{c_1\dots c_\l} \l}$ est $\sum_{\l = k}^{+\i} \frac{1}{\l^2} = \frac{1}{k}$, et $c_k \frac{1}{k}\ra e$.
 - On veut que nos IAG soit égalitaires, donc prendre $a_n = \frac{1}{c_n}$, bon, ça diverge, mais c'est d'autant mieux parce que les premières fois où on majore par $e$ sont grossières, on prend des $0$ APCR.
#+END_proof

# ID:7825
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 110]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$. On pose, pour $n\in\N$, $H_{0,n}=a_0+\cdots+a_n$ et, pour $\alpha\in\N^*$,

 $H_{\alpha,n}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nH_{\alpha-1,k}$. Si $(H_{\alpha,n})_{n\geq 0}$ converge, on dit que $(a_n)$ est $H_{\alpha}$-sommable.
 - Soit $\alpha\in\N$. Si $(a_n)_{n\geq 0}$ est $H_{\alpha}$-sommable, montrer qu'elle est $H_{\alpha+1}$ sommable.
 - On suppose $(H_{0,n})_{n\geq 0}$ périodique. Montrer que $(a_n)_{n\geq 0}$ est $H_{\alpha}$-sommable pour tout $\alpha\in\N^*$.
 - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs. On suppose que $\sum a_n$ diverge. Montrer que, pour tout $\alpha\in\N$, $(a_n)_{n\geq 0}$ n'est pas $H_{\alpha}$-sommable.
 - Soit $\alpha\in\N$. Si $(a_n)_{n\geq 0}$ est $H_{\alpha}$-sommable, montrer que $a_n=o(n^{\alpha})$.
 - Donner un exemple de suite $(a_n)_{n\geq 0}$ qui n'est pas $H_{\alpha}$-sommable mais qui est $H_{\alpha+1}$-sommable.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Trivial.
 - Trivial.
 - Si $\sum a_n$ diverge, tous les $H_{\a,n}$ tende vers l'infini.
 - Si $H_{\a, n}$ converge, alors $H_{\a-1,n} = o(n)$, et alors $H_{\a-2, n} = o(n^2)$, etc.
 - $n^{\a}$
#+END_proof

# ID:nil # Classique…
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 111]
 - Montrer que : $\cos(k\theta),\frac{\sin((k+1)\theta)}{\sin\theta},\frac{\cos((k+1/2)\theta)}{ \cos(\theta/2)}$ et $\frac{\sin((k+1/2)\theta)}{\sin(\theta/2)}$ sont des polynômes en $\cos\theta$.
 - Soient $a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n$ des réels.

On suppose que : $\forall\theta\in\R,\,g(\theta)=a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(k\theta) +b_k\sin(k\theta))\geq 0$. Montrer qu'il existe un polynôme complexe $P$ tel que : $\forall\theta\in\R,\,g(\theta)=|P(e^{i\theta})|^2$.
#+end_exercice

# ID:8074
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 112]
 - Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\forall n,p,u_{n+p}\leq u_n+u_p+C$, ou $C$ est une constante réelle. Montrer que $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ converge ou tend vers $-\i$.
 - Soit $f\in\mc C(\R,\R)$ continue et croissante, telle que $\forall x\in\R,\,f(x+1)=f(x)+1$. On note $f^n$ la composée iterée de $f$ ( $n$ fois).

   Montrer que, pour tout $x\in\R$, $\left(\frac{f^n(x)-x}{n}\right)_{n\geq 1}$ converge vers une limite qui ne depend pas de $x$.
#+end_exercice

# ID:8017
#+begin_exercice Inégalité de Muirhead [ENS MP 2024 # 113]
Soient $(a_1\geq \dots \geq a_n)$ et $(b_1\geq \dots \geq b_n)$ dans $(\R^{+*})^n$.

On note $a\geq b$ si : $\forall k\in\db{1,n-1}$, $\sum_{i=1}^ka_i\geq\sum_{i=1}^kb_i$ et $\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^nb_i$. Montrer que $a\geq b$ si

et seulement si, pour tout $(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^{+*})^n$, $\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}\prod_{i=1}^nx_i^{a_{\sigma(i)}}\geq\sum_{\sigma\in\mc{S}_n} \prod_{i=1}^nx_i^{b_{\sigma(i)}}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Réciproque : Si on prend les $x_i$ égaux, on obtient $\sum a_i = \sum b_i$ selon $x_i\gt \or \lt 1$.

Si on prend $x_1$, et les autres valant $1$, on obtient $\sum_{\sigma} x_1^{a_{\sigma_1}}\geq \dots$,donc $\sum x^{a_i}\geq \sum x^{b_i}$. Quand $x\ra +\i$, on obtient que $a_1\geq b_1$. De même, $\sum x^{a_i + a_j}\geq \sum x^{b_i + b_j}$, donc $a_1 + a_2 \geq b_1 + b_2$.

Sens direct : Commencer par le cas $n = 2$. À traiter en supposant que $x_1 = 1$ par homogénéité. Puis on peut transformer les $(a_1\geq \dots \geq a_n)$ en $(b_1\geq \dots \geq b_n)$ par des opérations successives sur deux termes.
#+END_proof

# ID:7826
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 114]
 - Soit $f\colon [0,2\pi]\ra\R$ une fonction continue. Montrer qu'il existe $x\in[0,2\pi]$ tel que $f(x)\geq\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)dt$.
 - Soient $z_1,\ldots,z_n\in\C$.

   Montrer qu'il existe une partie $I$ de $\db{1,n}$ telle que $\left|\sum_{j\in I}z_j\right|\geq\dfrac{1}{\pi}\sum_{j=1}^n|z_j|$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 115]
Soient $a\lt b$. Une dissection du segment $[a,b]$ est une suite finie $(t_k)_{0\leq k\leq n}$ strictement croissante telle que $t_0=a$ et $t_n=b$. Pour $f:[a,b]\ra\R$, on définit la variation de $f$ sur $[a,b]$ par $V(f,[a,b])=\sup_{t\,\text{\tiny{\rm dissection}}\atop\text{\tiny{\rm def}}\,[a,b ]}\sum_{i=0}^{n-1}|f(t_{i+1})-f(t_i)|$.
 - Calculer $V(f,[a,b])$ dans le cas ou $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $[a,b]$.
 - Soit $f:[0,1]\ra\R$. Montrer que $V(f,[0,1])\lt +\i$ si et seulement s'il existe $g$ et $h$ croissantes telles que $f=g-h$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof

# ID:7827
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 116]
Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction dérivable. On pose $S_-=\{x\in\R,\ f'(x)\lt 0\}$.
 - L'ensemble $S_-$ peut-il être fini non vide?
 - On suppose que, pour tout $\eps\gt 0$, il existe une suite $(I_n)_{n\in\N}$ d'intervalles ouverts tels que $S_-\subset\bigcup_{n\in\N}I_n$ et $\sum_{n=0}^{+\i}\ell(I_n)\leq\eps$ (ou $\ell(I_n)$ designe la longueur de $I_n$). Montrer que $f$ est croissante (donc $S_-=\emptyset$).
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Non, $f'$ vérifie le TVI.
 - Supposons $f(1)\lt f(0)$. On considère le min de $f$ sur $[0,1]$, puis son max. On suppose qu'ils sont atteints en $1$ et $0$.

   Alors, on peut considérer la plus grand fonction décroissante $g$, qui reste en dessous de $f$. Cette fonction vérifie $g'\neq 0 \Rightarrow g'(x) = f'(x)$, et elle est à variations bornées.
#+END_proof

# ID:7828
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 117]
Soient $E$ un espace vectoriel, $C\subset E$ un ensemble convexe non vide, $a\lt b$ deux réels, et $F$ l'ensemble des fonctions $f\colon C\ra[a,b]$ convexes. Soit $x,y\in C$ fixes. Déterminer $\sup_{f\in F}\left(f(y)-f(x)\right)$. Déterminer les cas ou la borne supérieure est atteinte.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est majoré par $b-a$. Si $C = [c,d]$ est un segment, on prend une fonction constante égale à $a$ jusqu'à $x$, puis qui monte de manière affine.

Dans le meilleurs cas : $\frac{|y-x|}{d-x}(b-a)$. (si $x\lt y$).

En général, on fait la même chose, ce qui intervient est l'intersection de $[x,y)$ avec $C$. C'est simple de vérifier que ça majore et que l'on peut prendre une fonction convexe comme ça, en définissant $f$ constante dans les directions orthogonales. Euh, non, ça ne marche pas. Plutôt, en le point d'intersection, on a un hyperplan tangent, et on utilise cette direction.
#+END_proof

# ID:7829
#+BEGIN_exercice
Soit $C = [c,d]$ et $F$ l'ensemble des fonctions $f\colon C\ra [a,b]$ convexes. Soient $x\lt y\in C$ fixés. Déterminer $\sup_{f\in F}\left(f(y)-f(x)\right)$.
#+END_exercice

# ID:7830
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 118]
Pour toute fonction $f\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$, on note $\mathrm{dom}(f)=\{x\in\R,\ f(x)\neq+\i\}$. Si $\mathrm{dom}(f)\neq\emptyset$, on définit $f^*\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$ par $f^*(y)=\sup_{x\in\R}\left\{xy-f(x)\right\}$, pour tout $y\in\R$.
 - Soit $f\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$ telle que $\mathrm{dom}(f)\neq\emptyset$. Montrer que $\mathrm{dom}(f^*)$ est un ensemble convexe et que $f^*$ est convexe sur $\mathrm{dom}(f^*)$.
 - Soit $g\colon\R\ra\R$ une fonction convexe dérivable.

   On pose $E=\left\{(y,a)\in\R^2\,;\ \forall x\in\R,\ xy-a\leq g(x) \right\}$.
 - Montrer que, pour tout $x\in\R$, $g(x)=\sup_{(y,a)\in E}\left(xy-a\right)$.
 - En déduire que $(g^*)^*=g$.
 - Étendre au cas ou $g$ n'est pas dérivable.
#+end_exercice

# ID:7831
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 119]
Soient $I$ un intervalle réel contenant $0$ et $f\colon I\ra\R$ de classe $\mc C^1$.

On suppose qu'il existe $A,C\gt 0$ telles que $\forall x\in I,\ |f'(x)|\leq C|f(x)|+A$.

Montrer que $\forall x\in I,\ |f(x)|\leq|f(0)|e^{C|x|}+\dfrac{A}{C}\left(e^{C|x|}-1 \right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On peut supposer $x\geq 0$. On a $|f(x)|e^{-Cx}$, dont la dérivée (là où $f$ est non nulle) est $e^{-Cx}\big(f'(x) - C |f(x)|\big)\leq À e^{C x}$. D'où le résultat.
#+END_proof

# ID:8022
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 120]
Soit $f\colon\R^+\ra\R$ uniformément continue et dont une primitive est bornée. On suppose que, pour tout $x\gt 0$, $|f(x)|\leq\dfrac{2}{x^2}\int_0^x(x-y)\,|f(y)|dy$. Montrer que $f(x)\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Quelles généralisations peut-on étudier?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Assume not, disons que $f(x_n)\geq 1$. D'après les hypothèses, $f$ est bornée. Comme $f(x)$ est une moyenne, on a toujours $|f(x)|\leq \sup_{[0,x]} |f(t)|$.

On considère $\limsup f$. Si elle vaut $1$ disons, alors apcr $x_0$, $|f(x_0)|\leq 1+\eps$, et la partie précédente à un poids qui tend vers $0$. Comme on continue à prendre des valeurs proches de $1$, c'est que une grande proportion ($\geq 1-\eps$) de $|f|$ est $\geq 1-\eps$. Par exemple, entre $\frac{x}{3}$ et $\frac{x}{2}$.

Comme l'intégrale $f$ est bornée par $M$. On sépare les points d'une distance $D\geq 3M$. Entre chaque paire de points, ou bien $f$ prend une valeur nulle, ou bien la proportion est $\leq \frac{1}{2}$. Dans les deux cas, on perd un trop grande proportion $(\gt \eps)$.
#+END_proof

# ID:8019
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 121]
On note $[a,b]$ un segment de $\R$. Une application $\delta:[a,b]\ra{\R^+}^*$ est appelée une jauge. Soit $D=((a_i)_{0\leq i\leq n},(x_i)_{0\leq i\leq n-1})$ une subdivision pointée de $[a,b]$, c'est-a-dire $a_0=a\lt a_1\lt \cdots\lt a_n=b$ et $\forall i\in\db{0,n-1},\ x_i\in[a_i,a_{i+1}]$. On dit que $D$ est $\delta$-fine lorsque pour tout $i$, $|a_{i+1}-a_i|\leq\delta(x_i)$.
 - Soit $f\in\mc C^0([a,b],\R)$. Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, il existe une jauge $\delta$ telles que $\forall x,y\in[a,b],y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow|f(x)-f(y)|\leq\eps$.
 - Si $\delta$ est une jauge, montrer qu'il existe une subdivision pointée $\delta$-fine.
 - Redémontrer le theoreme de Heine pour $f$ continue.
 - Soient $f\colon [a,b]\ra\R$ une fonction continue par morceaux et $I$ un réel. On dit que $f$ est HK-intégrable, d'intégrale $I$ si, pour tout $\eps\gt 0$, il existe une jauge $\delta$ telle que, pour toute subdivision pointée $((a_i)_{0\leq i\leq n},(x_i)_{0\leq i\leq n-1})$ $\delta$-fine, on a $\left|\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)f(x_i)-I\right|\leq\eps$.

   Montrer que $I$ est unique. On la note $\int_{HK}f$.
 - Montrer que, si $f$ est dérivable, $f'$ est HK-intégrable et $\int_{HK}f'=f(b)-f(a)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est l'uniforme continuité.
 - Pour commencer, prendre $x_0 = 0$. Puis prendre le sup de ce qu'on peut atteindre avec une subdivision finie, on peut prendre $x_n = \a$ pour aller plus loin que la précédente.
 - 
 - 
 - Pour tout $\eps$, il faut une jauge. Elle est donnée, en un point $t$, par à quel point il faut être proche de $t$ pour que le taux d'accroissement soit $\lt \frac{\eps}{b-a}$.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 122]
Soient $P\in\C[X]$ non constant tel que $P(0)\neq 0$, $r\in\R^{+*}$, $z_1,\ldots,z_p$ les racines de module strictement inférieur à $r$ de $P$ comptées avec multiplicité. Montrer que $\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\ln(|P(re^{it})|)dt=\ln(|P(0))|+\sum_ {k=1}^p\ln\left(\dfrac{r}{|z_k|}\right)$.
#+end_exercice

# ID:8023
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 123]
Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$. On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est positif si, pour tout $f\in E$, $f\geq 0$ implique $u(f)\geq 0$. On pose, pour $i\in\N$, $e_i:x\in[0,1]\mapsto x^i$.
 - Soit $u$ un endomorphisme positif de $E$. Montrer que pour tout $f\in E$, $|u(f)|\leq u(|f|)$.
 - Soit $f\in E$. Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, il existe $\delta\gt 0$ tel que : $\forall x,y\in[0,1]$, $|f(x)-f(y)|\leq\eps+\dfrac{2\,\|f\|_{\i}}{\delta^2}\,(x-y)^2$.
 - Soit $(T_n)_{n\geq 0}$ une suite d'endomorphismes positifs de $E$. On suppose que, pour $i\in\{0,1,2\}$, la suite $(T_n(e_i))$ converge uniformément vers $e_i$ sur $[0,1]$. Montrer que, pour tout $f\in E$, la suite $(T_n(f))$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.
 - Démontrer le theoreme de Weierstrass.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Simple.
 - C'est exactement l'uniforme continuité.
 - Pour chaque $y$, on a $\forall x,\, \dots\leq f(x)\leq f(y) + \eps + \frac{2\lN f\rN_{\i}}{\delta^2} (x-y)^2$. On applique $T_n$, on obtient un encadrement de $T_n(f)$, valable pour tout $y$.
 - Prendre $T_n(f)\colon x\mapsto \sum {n\choose k} f\big(\frac{k}{n}\big)x^k (1-x)^{n-k}$.
#+END_proof

# ID:8006
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 124]
Soit $s\gt 1$. On dit que $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ est $s$-Gevrey s'il existe $R,C\gt 0$ tels que : $\forall k\in\N$, $\forall x\in\R$, $\left|f^{(k)}(x)\right|\leq CR^k(k!)^s$.
 - Soit $f\colon x\in\R\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^sx}$. Justifier que $f$ est bien définie et $s$-Gevrey.
 - Soit $f\colon x\in\R\mapsto\mathbf{1}_{\R^+}(x)\,e^{-1/x}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ et 2-Gevrey.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Clairement définie, de classe $\mc C^{\i}$. On a $|f^{(k)}(x)|\leq \sum_n n^{sk} e^{-n}$.

   Le terme est maximal pour $n = sk$, de valeur $\frac{(sk)^{sk}}{e^{-sk}} = s^{sk} (k!)^s$.

   Par ailleurs, on peut multiplier par $2sk$ : la borne est encore de la forme voulue, et les termes pour $n\geq 2sk$ sont majorés par $e^{-n/2}$.
 - $e^{-1/x} = \frac{P_n(x)}{x^{2n}}$, où $P_n$ est de degré $n$, et la relation de récurrence majore ses coefficients par quelque chose de l'ordre de $n!$.

   Par ailleurs, le sup de $\frac{e^{-1/x}}{x^n}$ est atteint en $x = \frac{1}{n}$, et vaut $n!$. On a donc une majoration en $(n!)^2$.
#+END_proof

# ID:8018
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 125]
Pour $x\gt 0$ et $\alpha,\beta\in\C$, on pose : $F_{\alpha,\beta}(x)=\int_0^{+\i}e^{-xt}t^{\alpha}(1+t)^{\beta}\dt$.
 - Pour quels $(\alpha,\beta)$ l'intégrale $F_{\alpha,\beta}(x)$ converge-t-elle absolument?
 - Pour un tel couple $(\alpha,\beta)$, étudier la régularite de $F_{\alpha,\beta}$.
 - On pose $f\colon x\in\R^{+*}\mapsto\int_x^{+\i}e^{-t^2}\dt$ et $g\colon x\in\,]0,1[\mapsto\int_0^x\frac{\dt}{\ln t}$. Exprimer $f$ et $g$ en fonction des $F_{\alpha,\beta}$.
 - Déterminer un développement asymptotique de $F_{\alpha,\beta}$ en $+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - je sais pas.
 - Ne dépend que de $\a$, IPP.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 126]
Soit $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$.
 - Soit $n\in\N$. Montrer que $\Gamma(n+1/2)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\,\Gamma(1/2)$.
 - Montrer que, pour $x,y\gt 0$ et $\lambda\in[0,1]$, $\Gamma\left((1-\lambda)x+\lambda y\right)\leq\Gamma(x)^{1-\lambda}\Gamma( y)^{\lambda}$.
 - En déduire :

 $\forall n\in\N^*$, $\Gamma(n+1/2)^2\leq\Gamma(n)\,\Gamma(n+1)$; $\forall n\in\N$, $\Gamma(n+1)^2\leq\Gamma(n+1/2)\Gamma(n+3/2)$.
 - Montrer que $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$.
 - On note, pour $n\in\N^*$, $\Gamma_n(x)=\int_0^nt^{x-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^n dt$. Démontrer que la suite $(\Gamma_n)_{n\geq 1}$ converge simplement vers $\Gamma$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 127]
Soient $x,y\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ vérifiant $x'(t)=\sin(y(t))$ et $y'(t)=\cos(x(t))$.
 - Montrer que $f:t\mapsto\sin(x(t))+\cos(y(t))$ est constante.
 - Soit $\phi:t\mapsto\frac{1}{2}\left(x(t)+y(t)-\frac{\pi}{2}\right)$. Montrer que les points $(\sin(\phi(t)),\phi'(t))$ sont situes sur un même cercle dont on déterminera le rayon.
#+end_exercice

# ID:234
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 128]
Soient $A\in\M_n(\R)$, $B\in\M_{n,1}(\R)$, $E$ l'espace des applications continues de $[0,1]$ dans $\R$, $x\in\R^n$. Pour $u\in E$, soit $X_u$ l'unique application de classe $\mc C^1$ de $[0,1]$ dans $\R$ telle que $X_u(0)=x$ et $\forall t\in[0,1],X_u'(t)=AX_u(t)+Bu(t)$.

Montrer que $\{X_u(1)\;;\;u\in E\}=\R^n$ si et seulement si la matrice $(A|AB|\ldots|AB^{n-1})$ de $\M_{n,n^2}(\R)$ est de rang $n$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 129]
 - Que dire du spectre complexe d'une matrice symétrique réelle? d'une matrice antisymétrique réelle?
 - Soient $A\in\mc C^1(\R,\M_n(\R))$ et $B\in\mc C^0(\R,\M_n(\R))$ vérifiant : $A'=AB-BA$. On suppose que : $\forall t\in\R,A(t)\in\mc{S}_n(\R)$ et $B(t)\in\mc{A}_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in\mc C^1(\R,\M_n(\R))$ à valeurs dans $\mc{O}_n(\R)$ telle que : $\forall t\in\R,A(t)=P(t)^{-1}A(0)P(t)$.
 - On se place dans le cas $n=2$ avec : $A=\begin{pmatrix}b_1&a_1\\ a_1&b_2\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0&a_1\\ -a_1&0\end{pmatrix}$ et $(S):a_1'=a_1(b_2-b_1)$, $b_1'=2a_1'$, $b_2'=-2a_1'$, $b_1(0)+b_2(0)=0$ et $a_1(0),b_1(0)\geq 0$.
 - Calculer $AB-BA$.
 - Trouver une solution particuliere de $(S)$ au voisinage de $0$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 130]
Pour $k\geq 3$, on note $G_k:z\mapsto\sum_{(n,m)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}}\frac{1}{(m+nz)^{ k}}$.
 - Montrer que $G_k(z)$ est bien défini pour tout complexe $z$ tel que $\op{Im}z\gt 0$ et que la fonction $(x,y)\mapsto G_k(x+iy)$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R\times\R^{+*}$.
 - Montrer que $G_k(iy)$ admet une limite quand $y\ra+\i$.
 - Étudier l'existence des limites suivantes :

   $$\lim_{N\ra\i}\sum_{n=-N}^N\sum_{m\in\Z}\frac{1}{(m+in)^2}\ \text{et}\ \lim_{M\ra\i}\sum_{m=-M}^M\sum_{n\in\Z}\frac{1}{(m+in)^2},\ \text{oi dans les deux cas la somme}$$

   exclut $(n,m)=(0,0)$. Ces limites sont-elles égales?
#+end_exercice

# ID:7786
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 131]
Soit $(x,y,z)\in(\R^+)^3$. Démontrer que $(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est homogène, on peut supposer que $x+y+z = 1$, et montrer que $1 + 9 xyz \geq 4 (xy + yz+zx)$. On cherche le minimum de la différence, de gradient $(9yz - 4y - 4z, 9\dots,\dots)$. Sur un bord où $x = 0$ c'est clair, et sinon, il faut que les trois coordonnées soient égales : $9yz - 4y - 4z = 9xz - 4x - 4z$ donne $9z(y-x) = 4 (y-x)$, donc soit les coordonnées sont égales, soit $z = \dots$.
#+END_proof

# ID:7957
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 132]
Soit $F\colon\R^2\ra\R,\ (t,x)\mapsto F(t,x)$ continue et décroissante par rapport à $x$.

Soient $u$ et $v$ appartenant à $\mc C^2(\R^+\times\R)$ 1-périodiques par rapport à $x$.
 - On suppose que $\frac{\partial u}{\partial t}+F\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{ \partial^2u}{\partial x^2}\right)\leq 0\leq\frac{\partial v}{ \partial t}+F\left(\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial^2v}{\partial x ^2}\right)$.

   Démontrer que $\sup_{\R^+\times\R}(u-v)=\sup_{\{0\}\times\R}(u-v)$.
 - On suppose que $\frac{\partial u}{\partial t}+F\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{ \partial^2u}{\partial x^2}\right)=0$. Montrer que $u$ est uniformément continue sur $\R^+\times\R$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - En un temps $t_0$, et un point $x$ pour lequel $u-v$ est maximal, on a d'une part $\frac{\partial u}{\partial x} (t_0, x_0) = \frac{\partial v}{\partial x} (t_0, x_0)$, et d'autre part que la dérivée seconde de $v$ est plus grand que celle en $u$. Donc $F(u)\geq F(v)$. Donc la dérivée de $u$ en $t$ est plus petite que celle de $v$.

   Il suffit en fait de traiter le cas d'un compact $[0, t_0]\times \R$. Le maximum est atteint quelque part : $(t_1, x_1)$, et en remontant le temps, pour tout $t$, le point $(t,x_1)$ sera un maximum en $x$, donc la dérivée le long du chemin est négative, jusqu'en $t = 0$.
 - Sinon, $u(t_n, x_n) - u(t_n', x_n')$ est grand, alors que $t_n-t_n'\ra 0$, en appliquant ce qui précède à $u$ et $\tau_{t_n'-t_n, x_n - x_n'} u$, on obtient que $u(0, x_n'') - u(t_n'-t_n, x_n'' + x_n - x_n')$ est grand, ce qui n'est pas possible, par compacité.
#+END_proof

# ID:8015
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 133]
Soient $a\gt 0$, $n\geq 1$ et $x_1,\ldots,x_n\gt 0$. Calculer $\inf\limits_{\substack{y_1,\ldots,y_n\gt 0\\ y_1+\cdots+y_n\leq 1}}\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i}{y_i^a}$.
#+end_exercice

# ID:8033
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 134]
Soit $n\in\N^*$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.

On considére $n+1$ vecteurs $v_1,\ldots,v_{n+1}$ engendrant positivement $\R^n$, c'est à dire tels que $\left\{\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_iv_i,\ (\lambda_i)_{1\leq i \leq n+1}\in(\R^+)^{n+1}\right\}=\R^n$.

Soit $f\colon\R\ra\R^+$ une fonction continue croissante telle que $f(x)\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. Pour $x\in\R^n$, on définit $g(x)=\sum_{i=1}^{n+1}f(\langle v_i,x\rangle)$.
 - Montrer qu'il existe bien $n+1$ vecteurs $v_1,\ldots,v_{n+1}$ engendrant positivement $\R^n$.
 - Montrer que $g$ atteint son minimum sur $\R^n$.
 - On suppose que $f$ est intégrable en $-\i$. Montrer qu'il existe $x\in\R^n$ tel que $\sum_{i=1}^{n+1}f(\langle v_i,x\rangle)v_i=0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Prendre les $e_i$ et $v = -\sum e_i$
 - Découle du fait que si $x\ra +\i$, alors $\max_i \langle v_i, x\rangle\ra +\i$.
 - Notons que si $f$ est dérivable, $\nabla g (x) = \sum_{i=1}^{n+1} f'\big(\langle v_i, x\rangle\big) v_i$. Il suffit donc d'appliquer ce qui précède à une primitive de $f$.
#+END_proof

# ID:7785
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 135]
On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique.
 - Montrer que $\op{GL}_n(\R)$ est ouvert.
 - Pour $A\in\M_n(\R)$, que vaut $d(A,\op{GL}_n(\R))$?
 - On note $S=\M_n(\R)\setminus\op{GL}_n(\R)$. Montrer que, pour tout $A\in\op{GL}_n(\R)$, il existe $M_0\in S$ telle que $d(A,S)=\lN À - M_0\rN$.
 - Rappeler le résultat sur les extrema sous contrainte. Que peut-on en déduire sur la matrice $M_0$ définie ci-dessus?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - $0$
 - $S$ est fermé.
 - On travaille sous $\det M = 0$, est la différentielle du déterminant est $H\mapsto \op{Tr}(\op{Com} M_0^T H)$, donc $\op{Com} M_0^T$ est colinéaire à $A-M_0$.
#+END_proof

** Géométrie

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 136]
 - Montrer que, si $n\geq 2$, le groupe des isométries vectorielles de $\R^2$ préservant les points dont les affixes sont les racines $n$-iemes de l'unite est un groupe d'ordre $2n$ que l'on note $\mc{D}_{2n}$.
 - Soient $p$ un nombre premier, $G$ un groupe fini d'ordre $2p$. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/2p\Z$ ou à $\mc{D}_{2p}$.
#+end_exercice

# ID:8024
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 137]
 - On note $G$ le groupe (pour la composition) des deplacements du plan, i.e. des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a\in\mathbb{U}$ et $b\in\C$. Montrer que, si $H$ est un sous-groupe de $G$, $H$ est discret si et seulement si l'orbite de tout $z\in\C$ sous l'action de $H$ n'a pas de point d'accumulation.
 - Le résultat subsiste-t-il si on remplace $G$ par le groupes des similitudes directes du plan, i.e. des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a\in\C^*$ et $b\in\C$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Pas de difficulté.
 - Non, $a = \frac{1}{2}$.
#+END_proof

** Probabilités

# ID:7764
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 138]
Soit $E$ un espace vectoriel normé et soit $(u_1,\ldots,u_n)\in E^n$. On considére des variables aléatoires $\eps_1,\ldots,\eps_n$ i.i.d telles que $\mathbf{P}(\eps_i=1)=\mathbf{P}(\eps_i=-1)=\frac{1}{2}$. Si $(v_1,\ldots,v_n)\in E^n$, on pose $N(v_1,\ldots,v_n)=\mathbf{E}\left(\left\|\sum_{k=1}^n \eps_kv_k\right\|\right)$. Démontrer que, pour tout $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in[-1,1]^n,\;N(\lambda_1u_1,\ldots, \lambda_nu_n)\leq N(u_1,\ldots,u_n)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
La fonction $\la\mapvo \lN u + \la v\rN + \lN u - \la v\rN$ est croissante sur $\R_+$.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 139]
On considére une pièce equilibrée et $\eps_n$ la valeur du $n$-ieme lancer que l'on considére à valeurs dans $\{-1,1\}$. Soient $X_n=\sum_{k=1}^n\eps_k$ et $\tau=\min\{n\in\N^*,\;X_n=0\}$. Déterminer $\mathbf{P}(\tau=n)$ ainsi qu'un équivalent de cette quantite lorsque $n$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

# ID:8005
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 140]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X$ suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda\gt 0$, et $Y$ la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1]$.
 - Montrer que $\mathbf{P}(X=Y)=\sum_{k=0}^{+\i}\mathbf{P}(X=k)\mathbf{P}(Y=k)$. On pose $A=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ 0&Y\end{pmatrix}$.
 - Calculer $\mathbf{E}(\op{rg}(A))$.
 - Calculer $\mathbf{P}(A\in\op{GL}_2(\R))$ puis $\mathbf{P}(A\in\op{GL}_2(\Z))$.
 - Déterminer la probabilité pour que $A$ soit diagonalisable sur $\R$.
 - On pose $B=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ X-Y&Y\end{pmatrix}$. Calculer $\mathbf{P}(B\in\mc{O}_2(\R))$.
 - Soient $Z$ une variable aléatoire réelle et $C=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ Z&Y\end{pmatrix}$. Calculer $\mathbf{P}(C\in\mc{O}_2(\R))$.
 - Soit $M$ une matrice aléatoire dans ${\cal M}_n(\R)$ dont la famille des coefficients est i.i.d., chaque coefficient suivant la loi uniforme sur $\{0,-1,1\}$. Déterminer $P(M\in{\cal O}_n(\R))$.
#+end_exercice

# ID:8020
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 141]
On note $E=\db{1,n}$ et $\Delta$ la différence symétrique. Soit $p\in[0,1]$ et $X$ et $Y$ deux variables aléatoires i.i.d de $\Omega$ dans ${\cal P}(E)$ telles que, pour tout $i\in E,\ {\bf P}(i\in X)=p$.
 - Calculer ${\bf E}({\rm card}(X\Delta Y))$.
 - On note $D(n)$ le cardinal maximal d'une partie ${\cal A}$ de ${\cal P}(E)$ telle que, pour toutes parties $A$ et $B$ distinctes de ${\cal A}$, $|A\Delta B|\geq n/3$.

   Montrer qu'il existe $C>0 ; D_n \geq C \sqrt{n}$
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Indication: Considérer une suite de v.a idd $\left(X_i\right)_{i \in\{1, \ldots, m\}}$ et utiliser 1 ) en exploitant l'inégalité de Bienaymé-TCHEBYCHEV
#+END_proof

# ID:7787
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 142]
Soient $(X_n)_{n\in\Z}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Si $N$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $X_{N+n}(\omega)=X_{N(\omega)+n}(\omega)$.
 - Existe-t-il $N$ tel que ${\bf P}(X_N=1)=1$ et, pour tout $n\in\N^*$, ${\bf P}(X_{N+n}=1)=1/2$?
 - Existe-t-il $N$ tel que ${\bf P}(X_N=1)=1$ et, pour tout $n\in\Z^*$, ${\bf P}(X_{N+n}=1)=1/2$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Prendre le premier $1$.
 - On tire pile ou face, et on choisit l'indice du milieu de la première apparition de $110$, ou de $011$ suivant le résultat.

   Considérons $P(X_{N-2} = 1)$ : Sachant qu'on tire pile, et sachant que $N = k\geq 2$, les termes d'avant $110$ peuvent être n'importe quoi sans cette séquence. Par exemple, si il reste trois places, sur les $2^3 = 8$ possibilités, une est exclue, donc $4$ façons de finir par $1$ et $3$ façons de finir par $0$.

   Par contre, sachant qu'on tire face, on regarde les termes avant $011$, on a $3$ façons de finir par $1$ et quatre par $0$.

   De plus, le nombre de séquences sans facteur $110$ est le même que le nombre de séquences sans facteur $011$.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 143]
Soient $E=\db{1,n}$ et $p\in]0,1[$. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans ${\cal P}(E)$ telle que $\forall i\in E,\ {\bf P}(i\in X)=p$ et, pour $i\neq j\in E$, $(i\in X)$ et $(j\in X)$ sont indépendants.

Pour $Y$ variable aléatoire de même loi que $X$ et indépendante de $X$, calculer ${\bf E}(|X\Delta Y|)$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 144]
Soient $G$ un groupe fini de cardinal $N$, et $A$ une partie de $G$ aléatoire, ou l'on prend chaque élément de $G$ indépendamment avec probabilité $p\gt 0$.

On note ${\rm AA}=\{xy,\ (x,y)\in A^2\}$.
 - Montr per que ${\bf P}(1\in{\rm AA})$ tend vers $1$ quand $N$ tend vers l'infini.
 - Montr per que ${\bf P}({\rm AA}=G)$ tend vers $1$ quand $N$ tend vers l'infini.
#+end_exercice

# ID:8071
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 145]  Paley-Sigmund, trois séries de Kolmogorov
 - Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive $L^2$. Montrer que, pour $\lambda\in]0,1[$, ${\bf P}(X\geq\lambda{\bf E}(X))\geq(1-\lambda)^2\frac{{\bf E}(X)^{ 2}}{{\bf E}(X^2)}$.
 - Soit $(u_n)$ une suite de variables aléatoires positives indépendantes. Montrer que la série $\sum u_n$ converge presque sûrement si et seulement si $\sum_{n=0}^{+\i}\E(\min(u_n,1))\lt +\i$.
 - Soit $\alpha\gt 0$. On suppose que ${\bf P}(X_n\geq r)\underset{r\ra+\i}{\sim}r^{-\alpha}$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $(x_n)_{n\in\N}\in(\R_+)^{\N}$ pour que $\sum x_nX_n$ converge presque sûrement.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Cauchy-Schwarz : $E(X^2) P(X\geq\la E(X)) \geq E(X 1_{X\geq \la E(X)})^2$, et $E(X 1_{X\leq \la E(X)})\leq \la E(X)$.
 - Si $\sum E(u_n)$ converge, pour $\eps = \frac{1}{N}$, $P(X\gt )$

   Si $\sum u_n$ converge presque sûrement, alors $u_n \ra 0$ presque sûrement.

   On suppose $u_n \leq 1$. Alors $\sum v_n =\min(u_n, 1)$ converge.
 - Si $\sum u_n$ converge presque sûrement, alors $\sum P(X_n \gt c)$
   doit converger pour tout $c\gt 0$ d'après Borel-Cantelli.

   Si $\sum \E(u_n)$ converge, alors $\E(\sum u_n)$ est fini, donc presque sûrement, $\sum u_n$ est fini.

   Si $\sum \E(\min(u_n, 1))$ diverge, pour $n$ on trouve $N_n$ tel que $\sum_{n}^{N_n}\dots \geq 1$. Alors $\P(\sum_{n}^{N_n} u_k \geq 1/2)\geq \frac{1}{4}\frac{\big(\E(\sum u_k)\big)^2}{\E (\sum u_k)^2}$. On applique cela, mais à $\min(u_n, 1)$ plutôt que $u_n$, comme ça on est bien $L^2$, et on empêche $\E(X^2)$ d'être trop grand, par rapport à $\E(X)$.

   Alternative :  si $\sum u_n$ converge presque sûrement, $E(e^{-\sum u_n})$ est strictement positive, mais c'est $\prod E(e^{-u_n}) \simeq \prod (1 - E(u_n))$, donc $\sum E(u_n)$ converge.
 - Converge presque sûrement si et seulement si $\sum E(\min (x_n X_n, 1))$ converge, c'est-à-dire $\sum x_n \E(\min (X_n, \frac{1}{x_n}))$.

   Si $x_n \not \ra 0$, $\sum x_n X_n$ diverge grossièrement.

   Si $\a\gt 1$, alors $X_n$ a une espérance, et $\E(\min (X_n, \frac{1}{x_n})) = \Theta(1)$, donc la série converge si et seulement si $\sum x_n$ converge.

   Si $\a\lt 1$, $X_n$ n'a pas d'espérance. Il faut que $\sum x_n \frac{1}{x_n}\P(X_n \geq \frac{1}{x_n})$ converge, c'est-à-dire $\sum x_n^{\a}$ converge.

   Réciproquement, dans ce cas, le reste est $\E(X_n \m 1_{_n \leq 1/x_n})) = \int_0^{\frac{1}{x_n}} \P(u\leq X_n \leq 1/x_n)\du$ $= \int_0^{\frac{1}{x_n}} \P(X_n \geq u) \du - \frac{1}{x_n}\P(X_n \geq 1/x_n)$. (à multiplier par $x_n$)
   Le terme de droite est aussi en $x_n^{\a}$, donc converge, et le terme de gauche a le même ordre de grandeur aussi, donc tout converge.
#+END_proof

# ID:8091
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 146]
Soient $\lambda\gt 0$ et $N_{\lambda}$ une variable de Poisson de paramètre $\lambda$.

Pour $f\colon\N\ra\R$ bornée, on pose $Tf:n\in\N\mapsto\lambda f(n+1)-nf(n)$.
 - Montrer que $Tf(N_{\lambda})$ est d'espérance finie, nulle.
 - Pour $\mu$ et $\nu$ deux distributions de probabilités sur $\N$, et $X$ et $Y$ variables aléatoires à valeurs dans $\N$ de lois respectivement données par $\mu$ et $\nu$, on note $d(\mu,\nu)=d(X,Y)=\frac{1}{2}\sup_{\|g\|_{\i}\leq 1}{\bf E}(g(X)-g(Y))$.

   Montrer l'existence de $C_{\lambda}\gt 0$ tel que, pour toute variable aléatoire à valeurs dans $\N$, $d(N,N_{\lambda})\leq C_{\lambda}\sup_{\|f\|_{\i}\leq 1}{\bf E}(Tf(N))$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - $d(X,Y) = \sum |P(X = n) - P(Y = n)|$, donc $d(N, N_{\la}) = \sum \big|\frac{\la^n}{n!}e^{-\la} - P(N = n)\big|$, et $\E(Tf(N)) = \sum \big|\la P(N=n-1) - n P(N=n)\big|$.

   Essentiellement, la première somme est $\sum |v_1 \dots v_n - u_n|$, et on peut majorer $|v_1 \dots v_n - u_n| = v_n |v_1 \dots v_{n-1} - \frac{u_n}{v_n}| \leq v_n \big|u_{n-1} - \frac{u_n}{v_n}\big| + v_n |u_{n-1} - v_1 \dots v_{n-1}|$.

   En appliquant ça plein de fois, le terme $|u_{n-1} - \frac{u_n}{v_n}|$ apparaît en facteur de $v_n + v_n v_{n+1} + v_n v_{n+1}v_{n+2} + \dots$, ce qui est $\frac{P(N \geq n)}{P(N = n-1)}$, c'est-à-dire une constante.
#+END_proof

# ID:8026
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 147]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}$. L'entropie de $X$ est définie par ${\cal H}(X)=-\sum_{k=1}^np_i\ln(p_i)$ avec $p_i={\bf P}(X=x_i)$.
 - Montrer que ${\cal H}(X)\geq 0$ avec égalité si et seulement si $X$ est constante.
 - Soit $(p_i)_{1\leq i\leq n}$ une suite positive telle que $p_1+\cdots+p_n=1$ et $(q_i)$ une autre suite positive de somme $1$.
   - Montrer que $\sum_{i=1}^np_i\ln(p_i)\geq\sum_{i=1}^np_i\ln(q_i)$. Expliciter le cas d'égalité.
   - Montrer que ${\cal H}(X)\leq\ln(n)$ avec égalité si et seulement si $X$ suit une loi uniforme.

 - Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}^2$.

   On note $p_{i,j}={\bf P}(X=x_i,Y=x_j)$ pour $1\leq i,j\leq n$.

   L'entropie de $(X,Y)$ est ${\cal H}(X,Y)=-\sum_{i,j=1}^np_{i,j}\ln(p_{i,j})$.

   Montrer que ${\cal H}(X,Y)\leq{\cal H}(X)+{\cal H}(Y)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Trivial.
 - 
   - Inégalité de concavité.
   - Prendre $q_i = \frac{1}{n}$
 - Cela revient à appliquer l'inégalité précédente, où $q_{i,j} = p_i q_j$.
#+END_proof

# ID:8025
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 148]
Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien. Soient $v_1,\ldots,v_n\in E$ tels que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $\|v_i\|\leq 1$. Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in[-1,1]$ et $w=\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i$. Montrer qu'il existe des $\eps_1,\ldots,\eps_n\in\{-1,1\}$ tels que $v=\sum_{i=1}^n\eps_iv_i$ satisfait $\|v-w\|\leq\sqrt{n}$.
#+end_exercice

# ID:8092
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 149]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d sur $\Z$ à support fini suivant la loi $\mu$. On pose $\nu(k)=\frac{e^{\lambda k}\mu(k)}{{\bf E}(e^{\lambda X_1})}$ et on considére une suite $(Y_n)_{n\geq 1}$ i.i.d suivant la loi $\nu$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et $T_n=\sum_{k=1}^nY_k$. On prend $\lambda\geq 0,a\in\R,\eps\gt 0,n\geq 1$.
 - Montrer que ${\bf P}(na\leq T_n\leq(a+\eps)n)\leq\frac{e^{ \lambda n(a+\eps)}}{({\bf E}(e^{\lambda X}))^n}{\bf P}(S_n\geq na)$.
 - On suppose $X\sim-X$ et $\exists k\gt a,\ (a\gt 0),\ \mu(k)\gt 0$.

   Démontrer que $\frac{1}{n}\ln{\bf P}(S_n\geq na)\xrightarrow[n\ra+\i]{}\inf_{s \geq 0}(-sa+\log{\bf E}(e^{sX}))$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Écrire explicitement la loi de $T_n$, comme une somme sur les
   configurations des $X_i$ possibles.
 - D'après la question précédente $\frac{1}{n}\ln \P(S_n\geq a)\geq -\la (a+\eps) + \ln \E(e^{s X}) + \frac{1}{n}\ln \left(\P(na \leq T_n \leq (a+\eps) n)\right)$. Par
   Par ailleurs, en l'appliquant à $a+\eps$, c'est aussi
   $\geq -\la (a + 2\eps) + \ln \E(e^{\la X}) + \frac{1}{n}\ln \left(\P(na \leq T_n \leq (a+\eps) n)\right)$.

   Faire l'opération inverse, c'est-à-dire passer de $\nu$ à $\mu$, consiste à poser $\mu = \frac{e^{-\la k}\nu(k)}{\E (e^{-\la \nu})} = e^{-\la k \nu(k)} \E (e^{\la \mu})$, donc on obtiendrait

   Si on écrit plutôt $\P(na \leq S_n \leq (a+\eps)n)\leq e^{-\la n (a+\eps)} \E(e^{\la X})^n \P(T_n \geq na)$.

   Donc $\P(S_n \geq na) \leq \sum_{k\geq n} e^{-\la n (a+k\eps)} \E\big(e^{\la X}\big)^n \P(T_n \geq n (a+ k\eps ))$, ce qui donne une somme géométrique que l'on veut. On obtient que $\P(S_n \geq na)\leq \inf_{\la} \dots$.

   En fait, c'est direct par l'inégalité de Markov exponentielle.

   Dans l'autre sens, on dérive l'expression, et on peut vérifier que pour le $s$ réalisant l'inf, on a $\E(T_n) = a$. Comme le support est fini, on a un contrôle sur la variance, et Bienaymé-Tchebychev permet de minorer $\P(n a \leq t_n \leq (a+\eps)n)$ par une constante.
#+END_proof

# ID:6794
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 150]
Soient $\sigma\gt 0$, $n\geq 1$ un entier et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles discretes telles que pour tout $1\leq i\leq n$ et $s\gt 0$, ${\bf E}\left(\exp(sX_i)\right)\leq\exp\left(\sigma^2s^2\right)$. Montrer que ${\bf E}\left(\max_{1\leq i\leq n}X_i\right)\leq 2\sigma\sqrt{\ln n}$.
#+end_exercice

# ID:8072
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 151]
Soient $n\geq 1$, $a\gt 0$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discretes, indépendantes, d'espérance nulle, et à valeurs dans $[-a,a]$.
 - Montrer que, pour tout $1\leq i\leq n$ et $s\gt 0$, ${\bf E}\left[e^{sX_i}\right]\leq\exp\left(\frac{{\bf V}(X_i)}{a^2} \left(e^{as}-1-as\right)\right)$.
 - On note $\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{V}(X_i)$. Montrer que, pour tout $t\geq 0$,

   $$\mathbf{P}\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right|\geq t\right) \leq 2\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2\sigma^2+2at/3}\right).$$
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Il suffit de justifier que $e^{sX_i}\leq 1 + sX_i + \frac{X_i^2}{a^2}(e^{as} - 1 - as)$. Utiliser le développement en série.
 - On retire la valeur absolue par symétrie (cf le facteur 2). Puis Markov exponentielle, etc.
#+END_proof

# ID:8073
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 152]
Pour $x\gt 0$, on pose $\Gamma(x)=\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. On pourra utiliser sans demonstration le fait que $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ et $\Gamma(1)=1$.
 - Montrer que, pour tout $k\geq 1$ entier, $\Gamma(k)=(k-1)!$ et $\Gamma(k+1/2)\leq k!$.
 - Soient $\sigma\gt 0$ et $X$ une variable aléatoire réelle discrete à valeurs dans un ensemble discret, telle que, pour tout $t\geq 0$, $\mathbf{P}\left(\left|X\right|\gt t\right)\leq 2\exp\left(-\dfrac{t^2}{2 \sigma^2}\right)$. Montrer que, pour tout entier $k\geq 1$, $\mathbf{E}\left(\left|X\right|^k\right)\leq(2\sigma^2)^{k/2}k\Gamma(k /2)$.
 - On suppose de plus que $\mathbf{E}\left(X\right)=0$. Montrer que $\forall s\gt 0$, $\mathbf{E}\left[\exp(sX)\right]\leq\exp\left(4\sigma^2s^2\right)$.
#+end_exercice

# ID:nil # Problème d'énoncé
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 153]
Soient $n\geq 3$ un entier. Si $\sigma\in\mc{S}_n$, une suite alternante pour $\sigma$ est une suite strictement croissante $(i_1)_{1\leq m}$ d'éléments de $\db{1,n}$ telle que :

 - soit pour tout $k\in\db{2,\ell-1}$, $\sigma(i_k)\gt \max\{\sigma(i_{k-1}),\sigma(i_{k+1})\}$;

 - soit pour tout $k\in\db{2,\ell-1}$, $\sigma(i_k)\lt \max\{\sigma(i_{k-1}),\sigma(i_{k+1})\}$.

On note $\Delta(\sigma)$ la longueur maximale d'une suite alternante pour $\sigma$ et on considére $\sigma_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Calculer $\mathbf{E}(\Delta(\sigma_n))$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Problème d'énoncé ?
#+END_proof

# ID:nil # Cf année précédente
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 154]
Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires discretes réelles i.i.d. Pour $n\geq 1$, on note $M_n=\max\limits_{1\leq k\leq n}X_k$. Soit $\alpha\gt 0$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $\exists(a_n)_{n\geq 1}\in(\R^{+*})^{\N^*},\quad \forall x\geq 0,\quad\mathbf{P}\left(\dfrac{M_n}{a_n}\leq x\right)\ \xrightarrow[n\ra\i]{}\exp(-x^{-\alpha})$,

(ii) $\forall x\gt 0,\quad\dfrac{\mathbf{P}(X_1\gt xt)}{\mathbf{P}(X_1\gt t)} \xrightarrow[t\ra\i]{}x^{-\alpha}\qquad(\text{et }\forall t\gt 0,\mathbf{P}(X_1\gt t)\gt 0)$.
#+end_exercice

# ID:7774
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 155]
Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $n\in\N^*$, $X_n\sim\mc{B}\left(1/n\right)$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
 - Montrer que, pour une indexation de sous-suite $(\phi(n))_{n\geq 1}$ bien choisie, $\mathbf{P}\left(\bigcap_{N\geq 1}\bigcup_{k\geq N}\left(\left| \dfrac{S_{\phi(k)}}{H_{\phi(k)}}-1\right|\gt \dfrac{1}{k}\right)\right)=0$.
 - Montrer que l'évènement «$\left(\dfrac{S_n}{\ln(n)}\right)_{n\geq 1}$ converge» est presque sûr.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $P\left(\left|S_{\l} - H_{\l}\right| \gt \frac{H_{\l}}{k}\right)\leq \frac{k^2 V(S_{\l})}{H_{\l}^2}$. $V(S_{\l}) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(\l-k)}\leq \frac{H_{\l}}{\l}$ (en coupant au milieu), donc $P(\dots)\leq \frac{k^2}{H_{\l}\l}$
   On prend $\l = k^4$.
 - D'après ce qui précède, presque sûrement, $\frac{S_{k^4}}{\ln (k^4)}\ra 1$, ce qui implique $\frac{S_n}{\ln n}\ra 1$.
#+END_proof

# ID:7773
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 156]
 - Soient $n\in\N$, $(p_0,\ldots,p_n)\in\{-1,1\}^{n+1}$. Montrer que les racines de $\sum_{i=0}^np_iX^i$ dans $\C$ sont de module inférieur ou egal à 1.
 - Soit $(a_k)_{k\geq 0}$ une suite réelle non identiquement nulle telle que $\sum a_kx^k$ ait pour rayon de convergence $R\gt 0$. Si $j\in\N$, on dit que la suite $(a_i)_{i\geq 0}$ change de signe en $j$ s'il existe $k\in\N^*$ tel que $a_ja_{j+k}\lt 0$ et que $a_i=0$ pour $i\in\db{j+1,j+k-1}$. Montrer que l'ensemble des $x\in]0,R[$ tels que $\sum_{k=0}^{+\i}a_kx^k=0$ est fini de cardinal majoré par le nombre de changements de signes de $(a_i)_{i\geq 0}$.
 - Soit $(A_k)_{k\geq 0}$ une suite i.i.d. de variables de Rademacher. Pour $n\in\N$, soient $S_n=\sum_{k=0}^nA_k$ et $N_n$ le nombre de $x\in]0,1[$ tels que $\sum_{i=0}^nA_ix^i=0$. Montrer que $N_n\leq\sum\limits_{k = 0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor}\m 1_{S_{2k+1}=0}$ et en déduire que $\mathbf{E}(N_n)\underset{n\ra+\i}{=}O(\sqrt{n})$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - L'ensemble des zéros est fini.

   Si la suite ne change pas de signe, il n'y a pas de zéro.

   Si on primitive, avec une dérivée qui commence négative, et qu'on met un terme $\gt 0$ au début, alors on peut avoir un zéro de plus.

   Si on reprimitive, avec un nouveau terme positif au début, on ne peut pas gagner un zéro, car on est positif au voisinage de $0$, si on gagnait un zéro, on serait nulle alors que la dérivée est positive.
 - Multiplier par $\sum x^n$ et appliquer la question précédente. La probabilité qu'on s'annule est en $\frac{1}{\sqrt{k}}$.
#+END_proof

# ID:8120
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 157]
Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ telle que, pour tous $n,k\in\N$, $\mathbf{P}\left(X_n=k\right)\gt 0$. Soit $N\in L^2$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, indépendante de $(X_k)_{k\in\N}$. On pose $X=X_N$.
 - Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\colon\N\ra\R$, que l'on déterminera, telle que $\mathbf{E}\left((f_0(X)-N)^2\right)=\min\limits_{g\colon\N\ra\R} \mathbf{E}\left((g(X)-N)^2\right)$.
 - On pose, pour tout $n\in\N$ et tout $g\colon\N\ra\R$, $R(g,n)=\mathbf{E}\left((g(X_n)-n)^2\right)$. Montrer que, si la suite $(R(f_0,n))_{n\in\N}$ est constante égale à un certain $R_0$, alors $R_0=\min\limits_{g\colon\N\ra\R}\sup\limits_{n\in\N}R(g,n)$ et $f_0$ est l'unique fonction vérifiant cette condition.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - L'espérance de droite est $\sum_{i\in\N} P(N = i) \E((g(X_i)-i)^2)$. En écrivant l'espérance par transfert, et en échangeant les sommes, on obtient
   $$\sum_k \sum_i \P(N=i)\P(X_i = k) (g(k) - i)^2.$$
   On peut minimiser chaque sous somme, en prenant $g(k) = \frac{\E(N \mid X = k)}{P(X = k)}$
 - On a vu que l'espérance de droite est $H(g) = \sum_i \P (N=i) R(g, i)$. On suppose que les $R(f_0, i)$ sont tous égaux. Alors trivialement $R_0$ est le min des sup comme annoncé. Et si une autre fonction le vérifiait, elle aurait la même valeur que $f_0$, et l'optimisation de la question précédente montre que ce n'est pas possible, je pense.
#+END_proof

# ID:7765
#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 158]
Soient $a\in]0,1[$ et $m\in\N^*$. à l'aide d'une interprétation probabiliste, calculer la borne supérieure, pour $(u_n)_{n\geq 1}$ parcourant l'ensemble des suites à valeurs dans $[0,1]$, de

$$\sum_{1\leq n_1\lt n_2\lt \cdots\lt n_m}\prod_{\ell=1}^mu_{n_{\ell}}\prod_ {n_{\ell-1}\lt k\lt n_{\ell}}(1-au_k).$$
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si on multiplie par $a^m$, on a des évènements indépendants de probabilité $a u_k$, c'est la probabilité qu'il s'en produit au moins $m$. Cela vaut $1$.
#+END_proof

* ENS PSI 2024                                                           :autre:
** Algèbre

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 159]
$\!\!$Résoudre $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$ dans $\M_2(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 160]
$\!\!$Soient $N\in\N^*$ et $x_0\lt x_1\lt ...\lt x_N$ des réels. On définit $S_3^N$ l'ensemble des fonctions $s$ de classe $\mc C^2$ sur $[x_0,x_N]$ tel que $\forall i\in\db{0,N}$, $s_i=s_{||x_i,x_{i+1}[}$ soit un polynôme de degré au plus 3.
 - Montrer que $S_2^3$ est de dimension 5.
 - Montrer que $S_3^N$ est de dimension $N+3$.

Soit $f$ de classe $\mc C^2$ sur $[x_0,x_N]$. - Montrter qu'il existe une unique fonction $s$ de $S^N_3$ telle que $\forall i\in\db{0,N},s(x_i)=f(x_i)$, $s'(x_0)=f'(x_0)$, $s''(x_0)=f''(x_0)$.
 - Montrter qu'il existe une unique fonction $s$ de $S^N_3$ telle que :

 $\forall i\in\db{0,N},s(x_i)=f(x_i)$, $s'(x_0)=f'(x_0)$, $s''(x_N)=f''(x_N)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 161]
 - Soit $f\in\mc{L}(\C^n)$. Montrter que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable et $\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Ker}(f^2)$.
 - Soit $f\in\mc{L}(\R^n)$. On suppose $f^2$ diagonalisable. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 162]
Soit $E=\R^{\N}$. On définit $F\,\colon\,E\ra E$ par : $\forall u\in E,\;\forall n\in\N,\;(F(u))_n=u_{n+1}$.
 - Montrter que $F$ est linéaire. Est-elle injective? Surjective?
 - Trouver $G\in\mc{L}(E)$ telle que $F\circ G=\mathrm{id}_E$. Que vaut $G\circ F$?

Dans la suite de l'exercice, on pose $E=\R^{\Z}$ et on définit $F\,\colon\,E\ra E$ par :

 $\forall u\in E,\;\forall n\in\Z,\;(F(u))_n=u_{n+1}+u_{n-1}$.
 - Montrter que $F$ est linéaire. Est-elle injective?
 - Soit $\lambda\in\R$. Montrter qu'il existe une matrice $M_{\lambda}\in\M_2(\R)$ dependante de $\lambda$ telle que :

 $\forall u\in E$, $u\in\text{Ker}(F-\lambda\text{id})\Leftrightarrow\forall k\in\Z$, $\left(\begin{array}{c}u_k\\ u_{k+1}\end{array}\right)=M_{\lambda}^k\left(\begin{array}{c}u_0\\ u_1\end{array}\right)$.

En déduire la dimension de $\text{Ker}(F-\lambda\text{id})$.
 - Montrter que si $|\lambda|\neq 2$ alors $M_{\lambda}$ est diagonalisable dans $\C$. Donner ses valeurs propres et une base de vecteurs propres.
 - Si $|\lambda|\neq 2$, l'espace $\text{Ker}(F-\lambda\text{id})$ contient-il des suites périodiques non nulles?
 - Traiter le cas $|\lambda|=2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 163]
Pour toute matrice $A\in\M_n(\C),$ on note $\rho(A)=\max_{\lambda\in\mathrm{Sp}(A)}|\lambda|$. On admet que, pour tout $A\in\M_n(\C)$, il existe $D,N$ dans $\M_n(\C)$ respectivement diagonale et nilpotente telles que $DN=ND$, et $P\in\text{GL}_n(\C)$ vérifiant $A=P(D+N)P^{-1}$.
 - Pour cette question seulement on pose $A=\left(\begin{array}{cc}a&c\\ 0&b\end{array}\right)$.
 - Déterminer $\rho(A)$ et donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
 - Calculer $A^k$ pour $k\in\N$ et trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum A^k$ converge.
 - Pour $A\in\M_n(\C)$ montrer que : $\sum A^k$ converge si et seulement si $\rho(A)\lt 1$.
 - Soient $A,B,C\in\M_n(\C)$ telles que $\rho(A)\rho(B)\lt 1$. Montrer qu'il existe $D\in\M_n(\C)$ telle que $ADB-D=C$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 164]
On dit que $U\in{\cal M}_n({\C})$ est unipotente si $U-I_n$ est nilpotente. Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On admet qu'il existe un unique couple $(D_0,N_0)$ avec $D_0$ diagonalisable et $N_0$ nilpotente tel que $A=D_0+N_0$ et $D_0N_0=N_0D_0$.
 - Soit $U\in{\cal M}_n({\C})$ unipotente.
 - Montrer que ${\rm Sp}(U)=\{1\}$.
 - Calculer $U^{-1}$ en fonction de $N=U-I_n$.
 - Si $A\in{\cal M}_n({\R})$, montrer que $D_0\in{\cal M}_n({\R})$ et $N_0\in{\cal M}_n({\R})$.
 - On suppose $A\in{\rm GL}_n({\C})$.
 - Montrer que $D_0\in{\rm GL}_n({\C})$.
 - Montrer qu'il existe un unique couple $(D,U)$ tel que $A=DU$, $DU=UD$ et $D$ diagonale, $U$ unipotente.
 - Si $A\in{\cal M}_n({\R})$, montrer que $D\in{\cal M}_n({\R})$ et $U\in{\cal M}_n({\R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 165]
Pour $A,B\in{\cal M}_n({\C})$, on pose $[A,B]=AB-BA$.

On note ${\cal S}=\{[A,B]\;,\;(A,B)\in{\cal M}_n({\C})^2\}$
 - Si $M\in{\cal S}$, montrer que ${\rm Tr}(M)=0$.
 - Montrer que ${\cal S}$ est stable par multiplication par un scalaire.
 - Montrer que ${\cal S}$ est stable par similitude.
 - Montrer que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
 - Soient $D={\rm Diag}(1,2,\ldots,n)$ et ${\cal N}$ l'ensemble des matrices de diagonale nulle. Montrer que l'application $M\mapsto[D,M]$ est un automorphisme de ${\cal N}$.
 - Montrer que ${\cal N}={\cal S}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 166]
Soit $B\in{\cal M}_d({\C})$.
 - Montrer que si $B$ est diagonalisable alors $e^B$ l'est aussi.
 - Soit $A\in{\cal M}_d({\C})$ diagonalisable ayant $n$ valeurs propres distinctes $\mu_1,\ldots,\mu_n$.
 - Montrer qu'il existe $Q\in{\C}[X]$ tel que $\forall 1\leq j\leq n$, $Q(\mu_j)=e^{\mu_j}$.
 - Montrer que $Q(A)=e^A$.
 - On considére $\exp:M\in{\cal M}_d({\R})\mapsto e^M$.
 - Soit $C={\rm Diag}(-1,-2,...,-d)$. Pourquoi est-elle inversible?
 - Montrer que, si $\lambda\in{\rm Sp}(M)$, alors $e^{\lambda}\in{\rm Sp}(e^M)$.
 - Montrer qu'il n'existe pas de matrice $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que $C=e^M$.
 - Que dire de $\exp$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 167]
 - On considére la fonction $f$ définie sur ${\cal M}_{n,1}({\R})$ par $:f(X)=\frac{1}{2}X^TAX-B^TX$ ou $A\in{\cal S}_n({\R})$ et $B\in{\cal M}_{n,1}({\R})$.

Montrer que $f$ est minorée si et seulement si ${\rm Sp}(A)\subset{\R}^+$ et $B\in{\rm Im}(A)$
 - Soient $A_1,A_2\in{\cal S}_n({\R})$ et $B_1,B_2\in{\cal M}_{n,1}({\R})$. Pour $i=1,2$, on note $f_i:X\mapsto\frac{1}{2}X^TA_iX-B_i^TX$. On suppose que $f_1$ et $f_2$ sont minorées et que, pour tout $X$, $\|\nabla_Xf_1\|=\|\nabla_Xf_2\|$. Montrer que $f_1=f_2$.
 - Soient $A_1,A_2$ dans ${\cal S}_n^+({\R})$. Montrer que ${\rm Im}(A_1+A_2)={\rm Im}(A_1)+{\rm Im}(A_2)$. En déduire que ${\rm Ker}(A_1+A_2)={\rm Ker}(A_1)\cap{\rm Ker}(A_2)$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 168]
Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$. On pose $\|M\|_{\i}=\sup_{X\neq 0,X\in{\R}^n}\frac{\|MX\|_{\i}}{\|X\|_{ \i}}$.

Montrer que $\|M\|_{\i}=\sup_{i\in\{1,\ldots,n\}}\sum_{j=1}^n|m_{i,j}|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 169]
Soit $d\in{\N}^*$. On se place dans ${\cal M}_d({\R})$ muni du produit scalaire canonique. On note ${\mathbb{B}}_d({\R})$ l'ensemble des matrices bistochastiques, c'est-a-dire des matrices $P=(p_{i,j})_{1\leq i,j\leq d}$ à coefficients dans $[0,1]$ telles que $\colon\forall i\in\db{1,d]\!]\,,\,\sum_{k=1}^dp_{i,k}=1$ et $\forall j\in[\![1,d}\,,\,\sum_{k=1}^dp_{k,j}=1$ On note ${\mathbb{P}}_d({\R})$ l'ensemble des matrices de permutation, c'est-a-dire des matrices de ${\cal M}_d({\R})$ de la forme $\big(\delta_{\sigma(i),j}\big)_{1\leq i,j\leq n}$ ou $\sigma\in{\cal S}_n$.
 -  Montrer que ${\mathbb{B}}_d({\R})$ est convexe. Est-ce un sous-espace vectoriel de ${\cal M}_d({\R})$?
 - Montrer que ${\mathbb{B}}_d({\R})$ est borne et ferme.
 -  Montrer que ${\mathbb{P}}_d({\R})\subset{\mathbb{B}}_d({\R})$.
 - Montrer que ${\mathbb{P}}_d({\R})$ est fermé.

On admet le_theoreme de Birkhoff_ : La matrice $P$ appartient à ${\mathbb{B}}_d({\R})$ si et seulement s'il existe un entier naturel $m\leq{(d-1)}^2+1$, des matrices $P_1,\ldots,P_m$ dans ${\mathbb{P}}_d({\R})$ et des réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ positifs de somme $1$ tels que $P=\sum_{i=1}^m\lambda_iP_i$.
 - Soit $\phi$ une forme linéaire sur ${\cal M}_d({\R})$. Montrer que $\phi$ admet un minimum sur ${\mathbb{B}}_d({\R})$, et que celui-ci est atteint sur ${\mathbb{P}}_d({\R})$.
 -  Soient $M\in{\cal M}_d({\R})$ et $P,Q\in{\cal O}_d({\R})$. Montrer que $\|QMP\|=\|M\|$.
 - Soient $A,B\in{\cal S}_d({\R})$ orthosemblables aux matrices diagonales $D_A$ et $D_B$. Montrer l'existence de $P\in{\cal O}_d({\R})$ telle que $\|A-B\|=\|D_AP-PD_B\|$.

On note $R=\big(p_{i,j}^2\big)_{1\leq i,j\leq d}$.
 - Montrer que $R\in{\mathbb{B}}_d({\R})$.
 - Montrer que $\|A-B\|^2=\sum_{1\leq i,j\leq d}r_{i,j}|\lambda_i(A)- \lambda_j(B)|^2$ ou les $\lambda_i(A)$ (resp. $\lambda_i(B)$) sont les valeurs propres de $A$ (resp. $B$).
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 170]
On dit qu'une suite $(u_n)$ à valeurs dans un espace vectoriel normé $(E,\|\ \|)$ est de Cauchy si $\forall\eps\gt 0\;,\;\exists N\in{\N}\;,\;\forall(m,n)\in{\mathbb{ N}}^2,\;m,n\geq N\Rightarrow\|u_n-u_m\|\leq\eps$.

On admet qu'une suite réelle est de Cauchy si et seulement si elle est convergente.
 - Montrer qu'une suite complexe est de Cauchy si et seulement si elle converge.
 - On se place dans l'espace $\ell^2({\C})$ des suites complexes $(u_n)$ telles que $\sum|u_n|^2$ converge.

Si $u=(u_n)_{n\in{\N}}\in\ell^2({\C})$ on pose $\|u\|_2=\left(\sum_{n=0}^{+\i}|u_n|^2\right)^{1/2}$.

Montrer qu'une suite à valeurs dans $\ell^2({\C})$ est de Cauchy (au sens de $\|\ \|_2$) si et seulement si elle converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 171]
Pour $n\in{\N}^*$, on pose $\omega_n=e^{2i\pi/n}$.On définit une application $\mc{F}$ sur $\M_{n,1}(\C)$ en posant, pour $v=\left(v_1\,\cdots\,v_n\right)^T$, $\mc{F}(v)=\left(\zeta_1\,\cdots\zeta_n\right)^T$ ou, pour $k\in\db{1,n}$, $\zeta_k=\sum_{j=1}^nv_j\omega_n^{(k-1)(j-1)}$.
 - Montrter que $\mc{F}$ est linéaire et donner sa matrice $A$ dans la base canonique.
 - Calculer $\overline{A}^TA$ et déterminer $\mc{F}^{-1}$.
 - Pour $v=\left(v_1\,\cdots\,v_n\right)^T\in\M_{n,1}(\C)$, on pose $\|v\|_2=\left(\sum_{k=1}^n\left|v_k\right|^2\right)^{1/2}$.

Montrer que $\|\mc{F}(v)\|_2=\sqrt{n}\,\|v\|_2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 172]
Soit $M\in\M_n(\R)$. On pose $\|M\|_2=\sup_{X\neq 0,X\in\M_{n,1}(\R)}\frac{|MX|_2}{|X|_{ 2}}$ et $k(A)=\|A\|_2\|A^{-1}\|_2$ si $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$.
 - Rappeler la définition de la norme euclidienne $|\ |_2$ et montrer que $\|M\|_2=\sup_{|X|_2=1}|MX|_2$.
 - Montrer que $\|\ \|_2$ est une norme et que $\forall M_1,M_2$, $\|M_1M_2\|_2\leq\|M_1\|_2\|M_2\|_2$.
 - Montrer qu'il existe un vecteur non nul $X\in\M_{n,1}(\R)$ tel que $|MX|_2=\|M\|_2|X|_2$.
 - Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer que $A^TA\in\mc{S}_n^{++}(\R)$.
 - Soient $\sigma_1\leq\cdots\leq\sigma_n$, les valeurs propres de $A^TA$. Montrer que $k(A)=\sqrt{\frac{\sigma_n}{\sigma_1}}$.
 - On suppose $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Calculer $\|A\|_2$ et en déduire $k(A)$.
 - Montrer que $k(A)=1$ si et seulement s'il existe $\alpha\in\R^*$ et $Q\in\mc{O}_n(\R)$ tels que $A=\alpha Q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 173]
On se place dans $\R^n$ muni de sa norme euclidienne canonique. Pour toute partie $A$ non vide bornée on définit le diamêtre de $A$ par $d(A)=\sup\{\|x-y\|,\ (x,y)\in A^2\}$.

Soit $X$ une partie bornée. Pour $\rho\gt 0$ on définit un $\rho$-recouvrement de $X$ comme une famille $(A_k)_{k\in\N}$ dénombrable de parties bornées telle que $X\subset\bigcup_{k\in\N}A_k$ et $\forall k\in\N\colon\ d(A_k)\leq\rho$.

On définit, pour $s\geq 0$ :

$$H_s^{\rho}(X)=\inf\left\{\sum_{k\geq 0}d(A_k)^s\,\ (A_k)_{k\in \N}\ \rho\text{-recouvrement de}\ X\right\}.$$
 - Montrer que $H_s^{\rho}(X)$ est fini et qu'il est décroissant en $\rho$.
 - Montrer que $H_s(X)=\sup_{\rho\gt 0}(H_s^{\rho}(X))=\lim_{\rho\ra 0}(H_s^{\rho}(X))$ est décroissante par rapport à $s$.
 - Calculer $H_0(X)$ et $H_s(X)$ pour $s\gt n$.
 - Pour $X$ partie bornée et $v$ vecteur de $\R^n$, comparer $H_s(X+v)$ et $H_s(X)$.
 - Pour $\lambda\gt 0$, comparer $H_s(\lambda X)$ et $H_s(X)$.
 - Soient $X$ et $Y$ deux parties bornées telles que $\inf_{x\in X,y\in Y}\|x-y\|\gt 0$.

Montrer que $H_s(X\cup Y)=H_s(X)+H_s(Y)$.
 - Soit $s\geq 0$. Montrer que si $H_s(X)\lt +\i$ alors $H_t(X)=0$ pour tout $t\gt s$.
 - Soit $s\geq 0$. Montrer que si $H_s(X)\gt 0$ alors $H_t(X)=+\i$ pour tout $t\lt s$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 174]
Pour $f\in\mc C^3([-1,1],\R)$ et $w_1,w_2,w_3\in\R$, on note $I_{app}(f)=w_1f(-2/3)+w_2f(0)+w_3f(2/3)$.
 - Déterminer $w_1,w_2,w_3$ de sorte que $\forall P\in\R_2[X]$, $I_{app}(P)=\int_{-1}^1P$.

On prendra ces valeurs de $w_1,w_2,w_3$ dans toute la suite.
 - A-t-on toujours $I_{app}(P)=\int_{-1}^1P$ pour $\deg(P)\geq 3$?
 - Soient $f\in\mc C^3([-1,1],\R)$ et $P\in\R_2[X]$ tel que $f(-2/3)=P(-2/3)$, $f(0)=P(0)$ et $f(2/3)=P(2/3)$.

Montr per que $\|f-P\|_{\i,[-1,1]}\leq C\|f^{(3)}\|_{\i,[-1,1]}$ ou $C=\frac{1}{6}\sup_{x\in[-1,1]}|x(x+2/3)(x-2/3)|$.

_Ind._ Considérer l'application $t\mapsto f(t)-P(t)-(f(x)-P(x))\frac{(t+2/3)t(t-2/3)}{(x+2/3)x(x-2/3)}$ pour $x\notin\{-2/3,0,2/3\}$.
 - En déduire une majoration de $\left|I_{app}(f)-\int_{-1}^1f\right|$ en fonction de $\|f^{(3)}\|_{\i,[-1,1]}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 175]
Soit $f\in\mc C^0(\R^+,\R)$ carre intégrable. Pour $x\in\R^{+*}$, on pose $g(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\dt$.
 - Montr per que $g$ est prolongeable en une fonction continue sur $\R^+$.
 - Montr per que $g^2$ est intégrable et que $\int_0^{+\i}g^2(t)\dt\leq 4\int_0^{+\i}f^2(t) \dt$
 - Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz et la condition nécessaire et suffisante d'égalité. Discuter de l'optimalite de la constante $4$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 176]
 - Soient $a,b\in\R$ avec $0\lt a\lt b\lt 1$, $I=[a,b]$ et $\phi:x\in I\mapsto 2x(1-x)$. Soit $(\phi_n)_{n\geq 0}$ définie par $\phi_0=\phi$ et $\forall n\in\N,\,\phi_{n+1}=\phi\circ\phi_n$. Étudier la convergence sur $I$ de la suite de fonctions $(\phi_n)_{n\geq 0}$
 - Soit $P:I\ra\R$ une fonction polynomiale. Montr per qu'il existe une suite de fonctions polynomiales à coefficients entiers qui converge uniformément vers $P$ sur $I$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 177]
 - Existe-t-il une fonction $g\colon\R^+\ra\R^+$ telle que pour toute fonction $f$ polynomiale on ait $f(x)\underset{x\ra+\i}{=}o(g(x))$?
 - Donner le rayon de convergence de la série entière $\sum n!\,z^{n^2}$
 - Existe-t-il une fonction $g\colon\R^+\ra\R^+$ telle que, pour toute fonction $f$ développable en série entière, $f(x)\underset{x\ra+\i}{=}o(g(x))$?
 - Une fonction est dite analytique si elle est développable en série entière au voisinage de tout point de son domaine de définition. Montr per que, si $f$ est limite simple de polynômes à coefficients positifs sur $\R^+$, alors elle est analytique sur $\R^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 178]
 - Soit $P\in\R[X]$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $t\mapsto|P(t)|^{-1/2}$ soit intégrable sur $\R$.
 - Soit $F$ une fraction rationnelle complexe. Montr per que $F$ est intégrable sur $\R$ si et seulement si $\deg(F)\leq-2$ et $F$ n'a pas de pole réel.On écrit alors $F(X)=\sum_{x\in\C}\left(\frac{a_{x,n_x}}{(X-x)^{n_x}}+\ldots+\frac{a_{x,1}}{X-x}\right)$, ou les $a_{x,j}$ sont dans $\C$.

Montrer que $\int_{\R}F(t)\dt=i\pi\sum_{x\in\C}\xi(x)a_{x,1}$ ou $\xi(x)$ designe le signe de $\text{Im}(x)$.
 - Soit $P$ un polynôme complexe non constant. En etudiant la fonction $F:r\mapsto\int_0^{2\pi}\frac{dt}{P(re^{it})}$, démontrer le theoreme de d'Alembert-Gauss.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 179]
On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique note $\langle\,\ \rangle$. On considére $Q$ ensemble des fonctions $\mc C^1$ de $\R^n$ dans $\R$ telles que :

 $\forall\lambda\in[0,1],\forall x,y\in\R^n,f(\lambda x+(1-\lambda)y) \leq\max(f(x),f(y))$
 - Pour $n=1$, trouver une fonction $f\in Q$ autre qu'une fonction affine.
 -  On fixe $x,h\in\R^n$. On pose, pour $t\in\R$, $g(t)=f(x+th)-f(x)$. Exprimer $g'(t)$.
 - Montrer que $f\in Q$ si et seulement si, pour tous $x,y\in\R^n$ tels que $f(y)\leq f(x)$, on a $\langle\nabla f(x),y-x\rangle\leq 0$.
 -  Pour $f\in Q$ de classe $\mc C^2$, on pose $\forall t\in\R$, $g(t)=f(x+th)-f(x)$. Calculer $g''(0)$.
 - On suppose $\langle\nabla f(x),h\rangle=0$. Que dire du signe de $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(x)h_ih_j$?
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 180]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. On note $G$ sa série generatrice et $R$ le rayon de convergence de $G$.
 - Justifier que $R\geq 1$.
 - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\N$, telle que $(G_{X_n})_{n\geq 1}$ converge simplement sur $]-R,R[$ vers une fonction notée $G$. La fonction $G$ est-elle nécessairement la série generatrice d'une variable aléatoire?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 181]
On considére un de equilibre cubique. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre obtenu à un lancer. Donner sa série generatrice.
 - On note $Y$ la variable aléatoire qui correspond à la somme des lancers de deux des cubiques equilibres. Donner sa série generatrice.
 - Est-il possible de truquer le de utilise de sorte que $Y$ suive la loi uniforme sur $\db{2,12}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 182]
Soit $(Z_k)_{k\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toute la loi de Bernoulli de paramêtre $p\in]0,1[$.
 - On note $U=\min\left\{k\in\N^*,\ Z_k=0\right\}\in\N^*\cup\{+\i\}$.
 - Déterminer $\mathbf{P}(U\gt k)$ et $\mathbf{P}(U=k)$.
 - En déduire $\mathbf{P}(U=+\i)$.
 - Donner $\mathbf{E}(U)$ et $\mathbf{V}(U)$.
 - On définit $V=\min\{k\in\N\setminus\{0,1\},\ Z_{k-1}=Z_k=1\}\in\N\cup\{+ \i\}$.
 - Déterminer $\mathbf{P}(V=k)$ pour $k=1,2,3,4$.
 - Montrer que $\mathbf{P}(V\gt n)\leq\mathbf{P}(V\gt n-2)p(2-p)$.
 - En déduire $\mathbf{P}(V=+\i)$. - Trouver une relation de récurrence linéaire vérifiée par la suite $(\mathbf{P}(V=k))$.  - Montrer que $V$ est d'espérance finie et calculer $\mathbf{E}(V)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 183]
On munit $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$ de la distribution uniforme de probabilité.

On se donne $X_1,\ldots,X_{n-1}$ des variables aléatoires réelles telles que :

 - pour $i\neq j$, $X_i$ et $X_j$ sont indépendantes.

 - pour tout $i$, $X_i(\Omega)$ est de cardinal au moins $2$.

 - pour tout $i$, $\mathbf{E}(X_i)=0$ et $\mathbf{V}(X_i)=1$.

Pour tout $i\in\db{1,n-1}$, on pose $x_i=(X_i(\omega_1),\ldots,X_i(\omega_n))$ et on note $x_n=(1,\ldots,1)$. On note $\langle\,\ \rangle$ le produit scalaire canonique sur $\R^n$.
 - On se donne une variable aléatoire $Z$ à valeurs discretes et on note $Z(\Omega)=\{\alpha_1,\ldots,\alpha_m\}$, les $\alpha_i$ etant deux à deux distincts. On suppose $m\geq 3$.
 - Montrer que $\mathbf{E}(Z)=\frac{1}{\pi}\langle z,x_n\rangle$ ou $z=(Z(\omega_1),\ldots,Z(\omega_n))$.
 - Montrer qu'il existe $\beta_1,\ldots,\beta_m\in\R$ non tous nuls tels que :

$$\sum_{k=1}^m\mathbf{P}(Z=\alpha_k)\beta_k=0\text{ et }\sum_{k=1}^m \mathbf{P}(Z=\alpha_k)\beta_k\alpha_k=0$$
 - En déduire qu'il existe $Q\in\R_{m-1}[X]$ tel que :

 $Q(Z)\neq 0\,\ \mathbf{E}(Q(Z))=0$ et $\mathbf{E}(Q(Z)Z)=0$.
 - Montrer que, pour $(i,j)\in\db{1,n-1}^2$, $\langle x_i,x_j\rangle=n\delta_{i,j}$.
 - En déduire que $\sum_{k=1}^{n-1}X_k^2=n-1$.
 - Montrer que, pour tout $i$ entre $1$ et $n-1,$ on a $\mathbf{E}(X_i^3)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 184]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles discretes telles que $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)=0$ et $\mathbf{V}(X)=\mathbf{V}(Y)=1$. On pose $\rho=\mathbf{E}(XY)$.
 - Enoncer les inégalités de Markov et de Bienayme-Tchebychev.
 - Montrer que $\forall t\in[-1,1]$, $\forall(x,y)\in\R^2$, $x^2+y^2-2txy\geq(1-t^2)\max(x^2,y^2)$.
 - Soit $\lambda\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|X|\geq\lambda$ ou $|Y|\geq\lambda)\leq\frac{2}{\lambda^2}$.
 - Montrer que $2(1-t\rho)\geq(1-t^2)\lambda^2\,\mathbf{P}(|X|\geq \lambda$ ou $|Y|\geq\lambda)$.
 - Montrer que $\mathbf{P}(|X|\geq\lambda$ ou $|Y|\geq\lambda)\leq\frac{1+\sqrt{1-\rho^2}}{\lambda^2}$.
 - Montrer que l'inégalité de Bienayme-Tchebychev en est une consequence.
 - Pour $(\alpha,\beta)\in(\R^+)^2$, donner une majoration de $\mathbf{P}(|X|\geq\alpha$ ou $|Y|\geq\beta)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 185]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Rademacher.
 - On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de $S_n$.
 - Montrer que, pour tout $a\in\R$, on a $\mathbf{P}(S_n\geq na)\leq\frac{1}{na^2}$.
 - Montrer que, pour toute variable aléatoire à valeurs réelles $X$, pour tout $a\in\R$ et pour tout $s\in\R^{+*}\colon\mathbf{P}(X\geq a)\leq\frac{\mathbf{E}\left(e^ {sX}\right)}{e^{sa}}$.
 - Montrer que $\forall s\in\R^{+*}$, $\mathbf{P}(S_n\geq na)\leq\left(\frac{\mathrm{ch}(s)}{e^{sa}} \right)^n$. - Montrer que: $\forall s\in\R$, $\mathrm{ch}(s)\leq e^{s^2/2}$_._
#+end_exercice

 - En déduire que: $\mathbf{P}(S_n\geq na)\leq e^{-na^2/2}$.
#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 186]
Soit $a\lt 0\lt b$ des nombres réels. On pose $f\,\colon\,x\mapsto\frac{ax}{b-a}+\ln\bigg(1+\frac{a(1-e^x)}{b-a} \bigg)$.
 - Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$ et montrer: $\forall x\in D$, $0\leq f''(x)\leq 1/4$.
 - En déduire: $\forall x\in D$, $0\leq f(x)\leq x^2/8$.
 - Soient $X$ une variable aléatoire telle que $X(\Omega)\subset[a,b]$.

Montrer: $\forall\lambda\in\R$, $\mathbf{E}(e^{\lambda X})\leq\frac{b-\mathbf{E}(X)}{b-a}e^{ \lambda a}+\frac{\mathbf{E}(X)-a}{b-a}e^{\lambda b}$.
 - Dans le cas particulier ou $\mathbf{E}(X)=0$, montrer: $\mathbf{E}(e^{\lambda X})\leq e^{f(\lambda(b-a))}$.
 - En déduire dans le cas general: $\mathbf{E}(e^{\lambda X})\leq e^{\lambda\mathbf{E}(X)+\lambda^2(b-a)^{ 2}/8}$.
 - Pour tout $\eps\gt 0$, montrer: $\mathbf{P}(|X-\mathbf{E}(X)|\geq\eps)\leq 2\exp\bigg(- \frac{2\eps^2}{(b-a)^2}\bigg)$.
 - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. On suppose que, pour tout $k\in\{1,\ldots,n\}$, $X_k(\Omega)\subset[a_k,b_k]$. Montrer pour tout $\eps\gt 0\colon\mathbf{P}(|S_n-\mathbf{E}(S_n)|\geq\eps) \leq 2\exp\bigg(-\frac{2\eps^2}{\sum_{k=1}^n(b_k-a_k)^{2 }}\bigg)$.
#+end_exercice

* ENS - PC                                                            :autre:
** Algèbre

#+BEGIN_exercice [ENS PSI 2024 # 187]
 - Soit $X\subset\N$ telle que $0$ et $1$ appartiennent à $X$ et $\lim\limits_{n\ra+\i}\frac{1}{n}\mathrm{Card}(X\cap\db{0,n})=0$.

Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, il existe $j\in\N$ telle que $\mathrm{Card}(X\cap\db{j,j+k})=2$.
 - Montrer qu'il existe $100$ entiers consécutifs contenant exactement $5$ nombres premiers.
#+END_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 188]
Soient deux réels $a$ et $b$. On pose $P=X^4+aX^3+bX^2+X$. On suppose que les racines de $P$ sont toutes distinctes deux à deux et qu'elles appartiennent à un même cercle du plan complexe. Montrer que $3\lt ab\lt 9$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 189]
Soit $(P_n)_{n\in\N}$ une suite définie par $P_0\in\R[X]$ de degré $\geq 2$ et $\forall n\in\N$, $P_{n+1}=XP_n'$. Montrer qu'il existe une suite de réels positifs $(\lambda_n)_{n\in\N}$ convergeant vers $0$ telle que, pour tout $n\in\N$, les racines complexes de $P_n$ appartiennent au disque de centre $0$ et de rayon $\lambda_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 190]
Soit $E$ l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\R)$ à coefficients $0$ ou $1$ qui sont inversibles. Quel est le nombre maximal de $1$ d'un élément de $E$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 191]
On dit qu'une matrice est positive si tous ses coefficients sont positifs. Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre:

(i) $A$ est monotone, c'est-a-dire $A$ est inversible et $A^{-1}$ positive,

(ii) $\forall X\in\R^n$, $AX\geq 0\Rightarrow X\geq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 192]
Soit $E$ un sous-espace vectoriel de ${\cal M}_n\,(\R)$ tel que $\forall A\in E$, $\mbox{rg}\,(A)\leq 1$. Montrer que $\dim\,(E)\leq n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 193]
Déterminer les $X\in{\cal M}_2(\R)$ telle que $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 194]
Caractériser les matrices $A\in{\cal M}_n(\R)$ nilpotentes d'indice $n-1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 195]
Existe-t-il deux matrices $N$ et $P$ de ${\cal M}_n(\R)$ telles que $N^2=0$, $P^2=P$, $NP$ est nilpotente et $(NP)^2\neq 0\,$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 196]
Soit $M\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $M^3=0$. Montrer qu'il existe une unique matrice $X\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $X+MX+XM^2=M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 197]
On pose $A_0=\begin{pmatrix}3/4&1/2\\ 1/2&5/4\end{pmatrix}$ puis, pour tout $n\in\N$, $A_{n+1}=2A_n-A_n^2$. Déterminer la limite de $(\det(A_n))$ quand $n\ra+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 198]
On pose $A_1=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 1&0\end{array}\right)$ et, pour $n\in\N^*$, $A_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}A_n&I_{2^n}\\ \hline I_{2^n}&A_n\end{array}\right)$. Montrer que $A_n$ admet $(n+1)$ valeurs propres $\lambda_0\lt \lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ d'ordres respectifs $\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}$ pour $0\leq k\leq n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 199]
On munit $\R_n\,[X]$ du produit scalaire défini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1\!\!P(x)Q(x)\dx$. Montrer que $M=\left(\langle X^i,X^j\rangle\right)_{(i,j)\in\db{0,n}^2}$ est inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 200]
Soient $a_0,\ldots,a_n$ des réels.

Pour des polynômes $P,Q\in\R_n[X]$, on définit $\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^nP^{(k)}(a_k)\,Q^{(k)}(a_k)$.
 - Montrer que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $\R_n[X]$.
 - Montrer qu'il existe une base $(P_0,\ldots,P_n)$ de $\R_n[X]$, orthonormée pour ce produit scalaire et telle que, pour chaque $i\in\db{0\,;\,n}$, le polynôme $P_i$ soit de degré $i$ et à coefficient dominant strictement positif.
 - Déterminer $P_k^{(k)}(a_k)$ pour tout $k\in\db{0\,;\,n}$.
 - On suppose $a_0=\cdots=a_n=a$. Déterminer les polynômes $P_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 201]
Soient $n,k\in\N^*$ et $(f_1,\ldots,f_k)$ une famille de vecteurs de $\R^n$. On suppose que $\forall x\in\R^n\setminus\{0\},\exists i\in\{1,\ldots,k\},\ \langle x,f_i\rangle\gt 0$.
 - Donner un exemple de famille de $\R^n$ vérifiant cette propriété.
 - Montrer que $(f_1,\ldots,f_k)$ est une famille generatrice de $\R^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 202]
Soit $n\in\N$ et $M\in\mc{S}_n(\R)$. En notant $(s_1,\ldots,s_n)$ les valeurs propres de $M$, on pose

$$N_p(M)=\left(\sum_{i=1}^n|s_i|^p\right)^{1/p}.$$
 - Montrer que $(A,B)\mapsto\op{tr}(AB)$ est un produit scalaire sur $\mc{S}_n(\R)$. En déduire que $N_2$ est une norme sur $\mc{S}_n(\R)$.
 - Montrer que $N_1(M)=\sup\{|\op{tr}(MO)|,\ O\in\mc{O}_n(\R)\}$. En déduire que $N_1$ est une norme sur $\mc{S}_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 203]
Soient $n\in\N^*$ et $A\in\mc{A}_n(\R)$.
 - Montrer que les valeurs propres dans $\C$ de $A$ sont imaginaires pures.
 - Que dire de $\det(A)$ si $n$ est impair?
 - On suppose $n$ pair et on considére la matrice $J\in\M_n(\R)$ dont tous les coefficients valent $1$. Montrer que $\det(A+J)=\det(A)$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 204]
Soit $A=(a_{i,j})_{(i,j)\in[1,n]^2}$ vérifiant $\forall(i,j)\in[1,n]^2,\ a_{i,j}\in\{0,1\}$. On note $J\in\M_n(\R)$ la matrice dont tous les coefficients sont egaux à $1$. On suppose qu'il existe $k\in\N^*$ tel que $A^TA=kI_n+J$. Montrer que $A$ est inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 205]
Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=A^T$.
 - Quelles sont les valeurs propres complexes possibles de $A$?
 - Donner un exemple de matrice $A$ qui vérifie $A^2=A^T$ et qui possède toutes les valeurs propres possibles trouvées à la question précédente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 206]
 - Soit $S\in\mc{S}_n(\R)$ inversible. Montrer que les assertions sont équivalentes :

(i) $S$ admet $k$ valeurs propres positives (comptées avec multiplicité),

(ii) il existe des sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ tels que $\dim F=k$, $\dim G=n-k$ et $\forall X\in F$, $X^TSX\geq 0$ et $\forall Y\in G$, $Y^TSY\leq 0$.
 - Soit $S\in\mc{S}_n(\R)$ inversible. Soit $P\in\text{GL}_n(\R)$. Montrer que $P^TSP$ et $S$ ont le même nombre de valeurs propres positives.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 207]
 - Montrer que toute matrice symétrique positive admet une racine carrée.
 - Montrer que $A\in\M_n(\R)$ est diagonalisable si et seulement s'il existe $S$ symétrique définie positive telle que $SA=A^TS$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 208]
Soit $E$ un espace euclidien. Soit $a$ un endomorphisme autoadjoint de $E$. Soient $u\in E$ non nul et $V=\text{Vect}\left\{a^k(u)\ ;k\in\N\right\}$. Montrer que l'endomorphisme induit par $a$ sur $V$ n'a que des valeurs propres simples.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 209]
Soit $A$ un ensemble de $\R^2$. On dit que $x,\ y\ \in A$ sont connectes si et seulement s'il existe $f\in\mc C^0\left(\left[0,1\right],A\right)$ telle que $f\left(0\right)=x$ et $f\left(1\right)=y$.
 - Montrer que tous les points de $\R^2$ sont connectes.
 - Déterminer les points connectes de $\R^2\setminus\{(0,0)\}$.
 - Déterminer les points connectes de $\R^2\setminus\{x,\ \|x\|=1\}$. - Déterminer les points connectes de $\R^2\setminus\underset{i\in\Z^2}{\cup}\mc{B}_o\left(i, \eps\right)$ ou $\eps\in\R^{+*}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 210]
On considére $f:A\in\M_n(\R)\mapsto\underset{\lambda\in\mathrm{Sp}(A)}{ \sup}\left|\lambda\right|$, ou le spectre est pris sur $\C$. L'application $f$ est-elle lipschitzienne?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 211]
On pose $a_1\geq 0$ puis $a_{n+1}=10^n{a_n}^{n^2}$ pour tout $n\in\N^*$. à quelle condition sur $a_1$ la suite $\left(a_n\right)$ tend-elle vers $0$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 212]
On pose, pour $n\in\N$, $f\left(n\right)=\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}$. Donner un équivalent de $f\left(n\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 213]
Étudier les suites $u$ et $v$ telles que $u_0=v_0=0$ et $u_1=v_1=1$ et, pour tout $n\geq 1$, $\left\{\begin{array}{lll}u_{n+1}&=&au_n+bv_n+cu_{n-1}+dv_{n-1}\\ v_{n+1}&=&a'u_n+b'v_n+c'u_{n-1}+d'v_{n-1} \end{array}$. avec toutes les constantes réelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 214]
Pour $a\in\R$, soit $\left(u_n\right)$ définie par $u_0\in\left[0,1\right]$ et $\forall n,x_{n+1}=ax_n(1-x_n)$.
 - Pour quelles valeurs de $a$ a-t-on $\forall n,u_n\in\left[0,1\right]$? Que peut-on dire alors de la suite $\left(x_n\right)$?
 - Montrer que, si $a\in\left[1,2\right]$, alors $x_n$ tend vers $\frac{a-1}{a}$.
 - On suppose que $a\in\left[2,3\right]$ et que $\left(x_n\right)$ converge. Quelle est la limite de $\left(x_n\right)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 215]
Soit $\left(p_{i,j}\right)_{(i,j)\in\N^2}$ une famille de réels positifs ou nuls telle que $p_{i,j}=0$ si $j\gt i$. On suppose que $\forall n\in\N,\ \sum_{j=0}^np_{n,j}=1$. Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes :
 - pour chaque $j\in\N$, la suite $\left(p_{n,j}\right)_{n\in\N}$ tend vers $0$,
 - pour toute suite convergente $\left(s_n\right)_{n\geq 0}$ de limite $S$, on a $\underset{n\ra\i}{\lim}\sum_{j=0}^np_{n,j}s_j=S$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 216]
Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $f(0)=0$ et $f'(0)\neq 0$. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\N}$ une suite réelle vérifiant $u_0\neq u_1$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=u_n-\frac{u_n-u_{n-1}}{f(u_n)-f(u_{n-1})}f(u_n)$.
 - Montrer que, si $u_0$ et $u_1$ sont assez petits, alors $\underset{n\ra+\i}{\lim}\ u_n=0$.
 - Sous les hypotheses de  -, déterminer un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 217]
Pour $c\in\C$, on définit la suite $\left(z_n\right)$ par $z_0=0$ et $z_{n+1}=z_n^2+c$ pour tout $n\in\N$. On pose $\M=\left\{c\in\C,\ (z_n)\text{ est bornée}\right\}$.
 - Montrer que, si $\left|c\right|\leq 1/4$, alors $c\in\M$.
 - Montrer que, si $\left|c\right|\geq 3$, alors $c\notin\M$.
 - Discuter de l'ensemble $\M\cap\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 218]
Soient $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ et $\left(b_n\right)_{n\geq 0}$ deux suites réelles. Soit $S\in\R$. On suppose que :

(i) $\forall n\in\N,\ b_n\gt 0$ ;  (ii) la série $\sum b_n$ diverge ;  (iii) $\underset{n\ra\i}{\lim}\frac{a_n}{b_n}=S$.Montrer que $\lim_{n\ra\i}\frac{a_0+\cdots+a_n}{b_0+\cdots+b_n}=S$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 219]
Soit $(x_n)_{n\in\N}$ une suite de réels positifs telle que $\sum_{n=0}^{+\i}x_n=A$. Quelles sont les valeurs que peut prendre $\sum_{n=0}^{+\i}x_n^2$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 220]
Soit $g:[0,+\i[\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $g(0)=g'(0)=0$ et $g''(0)\gt 0$. Pour $\lambda\gt 0$, on pose $A_{\lambda}=\{x\gt 0,\ g(x)=\lambda x\}$. Montrer qu'il existe $\mu\gt 0$ tel que $\forall\lambda\in]0,\mu]$, $A_{\lambda}\neq\emptyset$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 221]
Soient $f:[0,1]\ra\R$ continue par morceaux et $g:[0,1]\ra\R$ continue. On suppose que $f+g$ est croissante. Montrer que $f([0,1])$ est un intervalle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 222]
Trouver toutes les fonctions $f\in\mc C^2(\R,\R)$ telles que : $\forall t\in\R,\ f(t)^2=f\left(t\sqrt{2}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 223]
Soient $f,g:[0,1]\ra[0,1]$ continues. On suppose $f\circ g=g\circ f$ et $g$ croissante. Montrer que $f$ et $g$ admettent un point fixe commun.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 224]
Déterminer les fonctions $f$ de classe $\mc C^1$ sur $[-1,1]$ telles que : $\forall(x,y)\in[-1,1]^2,\ f(x)-f(y)\geq f(x)^2(x-y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 225]
Déterminer les fonctions $f\in\mc C^2\left(\R,\R\right)$ telles que $\forall x\in\R$, $f\left(7x+1\right)=49f\left(x\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 226]
Soit $f:t\mapsto\sum_{k=1}^Na_k\sin(2\pi kt)$ ou les $a_k$ sont des nombres réels avec $a_N\neq 0$. On note $N_j$ le nombre de racines comptées avec multiplicité (notion qu'on admettra) de $f^{(j)}$ sur $[0,1]$. Montrer que $(N_j)_{j\geq 0}$ est une suite croissante qui tend vers $2N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 227]
Soit $V=\{f\in\mc C^1(\left[\,0\,;1\,\right],\R)\ ;\ f(0)=0$ et $f(1)=1\}$. Trouver tous les réels $\alpha$ tels que : $\forall f\in V,\ \exists x\in\left[\,0,1\,\right],\ f(x)+\alpha=f'(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 228]
Soit $g\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\lim_{t\ra+\i}g(t)=0$ et $f$ telle que $f'(t)-f(t)=g(t)$. On pose $a=f(0)$. Montrer qu'il existe une unique valeur $a$ pour laquelle $\lim_{t\ra+\i}f(t)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 229]
Soit $f\in\mc C^1(\R^+,\R)$ ne prenant pas les valeurs $0$ et $1$.

On suppose que $\forall x\geq 0,f'(x)=\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x)-1}$. Déterminer la limite de $f$ en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 230]
Soit $f\colon\R\ra\R$ $1$-lipschitzienne, $\lambda\in\left]0,1\right[$ et $a\in\R$. Montrer qu'il existe une unique application $F\colon\R\ra\R$ lipschitzienne telle que $\forall x\in\R,F(x)=f(x)+\lambda F(x+a)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 231]
Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$. On pose $f_a:x\mapsto f(x+a)$ et $F_f=\mathrm{Vect}(f_a)_{a\in\R}$.
 - Trouver $f$ telle que $F_f$ est de dimension finie. Preciser la dimension. - Montrter que, si $F_f$ est de dimension finie, alors $F_{f'}$ est aussi de dimension finie.
 - Trouver les fonctions $f$ telles que $\dim F_f=1$.
#+end_exercice

 - Trouver les fonctions $f$ telles que $\dim F_f=2$.
#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 232]
Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $\lim\limits_{x\ra\pm\i}f(x)=0$. On pose, pour $t\in\R^+$, $\lambda(t)=\max\limits_{x\in\R}\left(\left|f(x)\right|\exp(-tx^2) \right)$.
 - On suppose $f(0)\neq 0$. Déterminer $\lim\limits_{t\ra+\i}\lambda(t)$.
 - On suppose maintenant $f(0)=0$ et $f'(0)\neq 0$. Déterminer un équivalent de $\lambda$ en $+\i$.
#+end_exercice

 - Même question en supposant la fonction $f$ de classe $\mc C^{\i}$, $f(0)=\cdots=f^{(k-1)}(0)=0$ et $f^{(k)}(0)\neq 0$.
#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 233]
On dit que $(x_n)$ converge au sens de Cesaro vers $\ell$ lorsque $\dfrac{x_1+\cdots+x_n}{n}\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}\ell$.

Déterminer toutes les fonctions $f\colon\R\ra\R$ qui vérifient la propriété suivante: pour toute suite réelle $(x_n)$, si la suite $(x_n)$ converge au sens de Cesaro vers $\ell$, alors la suite $(f(x_n))$ converge au sens de Cesaro vers $f(\ell)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 234]
Soit $g$ une fonction $\mc C^2$ de $\R^+$ dans $\R$ telle que $g(0)=g'(0)=0$ et $g''(0)\gt 0$. On pose, pour $\lambda$ dans $\R^{+*}$, $A(\lambda)=\{x\gt 0,\ g(x)=\lambda x\}$.
 - Montrez qu'il existe $\lambda_0\gt 0$ tel que, pour tout $\lambda$ dans $]\,0\,;\lambda_0\,[$, $A(\lambda)\neq\emptyset$.
 - On pose $\lambda^*=\sup\{\lambda\gt 0,\ A(\lambda)\neq\emptyset\}$ (cela peut être $+\i$). Montrer que, pour tout $\lambda$ dans $]\,0\,;\lambda^*\,[$, $A(\lambda)$ est non vide.
 - On pose $X_{\lambda}=\inf\{x\gt 0,\ g(x)=\lambda x\}$ quand c'est défini. Montrer que $X_{\lambda}\neq 0$.
 - En toute generalite, la fonction $h\colon\lambda\mapsto X_{\lambda}$ est-elle continue sur $]\,0\,;\lambda^*\,[$?
 - Montrer que cette fonction $h$ est continue au voisinage de $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 235]
Soit $M\in\mc C^1\left(\R,\M_n(\C)\right)$. On suppose que, pour tout $t$, $M(t)$ est inversible. L'objectif est de montrer que $\dfrac{d}{dt}\left(\det\left(M\left(t\right)\right) \right)=\det\left(M\left(t\right)\right)\mathrm{tr}\left(M\left(t\right)^{-1} \dfrac{d}{dt}\left(M\left(t\right)\right)\right)$.
 - Le montrer si $M$ est diagonale.
 - Montrer que $\forall U\in\M_n\left(\R\right)$, $\lim\limits_{\eps\ra 0}\dfrac{\det\left(I_n+\eps U\right)-\det \left(I_n\right)}{\eps}=\mathrm{tr}\left(U\right)$.
 - On suppose qu'il existe $t_0\in\R$ tel que $M\left(t_0\right)=I_n$. Montrer la relation en $t_0$.
 - Traiter le cas general.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 236]
Soit $f\in\mc C^{\i}\left(\R,\R\right)$. On pose $f_a:x\mapsto f\left(a+x\right)$ et $F_f=\mathrm{Vect}\left(f_a,a\in\R\right)$.
 - Si $F_f$ est de dimension finie, montrer que $F_{f'}$ l'est aussi.
 - Quelle est la dimension de $F_f$ lorsque $f=\exp$?
 - Réciproquement, montrer que si $\dim\left(F_f\right)=1$, alors $f=\exp$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 237]
On suppose $e=\dfrac{p}{q}\in\Q$. Montrer que $q\int_0^1x^ne^x\dx\in\N^*$. Conclure.

Adapter la preuve précédente pour prouver $e^2\notin\Q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 238]
Soit $f\colon\R\mapsto\R$ une application continue. On suppose que $x\mapsto f(x)+\int_0^xf(t)dt$ tend vers le réel $\ell$ en $+\i$. Montrer que $f$ possède une limite en $+\i$ que l'on déterminera.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 239]
Soit $f:[0,1]\ra\R^+$ et intégrable telle que, pour tout $x\in[0,1]$, $f\left(x\right)f\left(1-x\right)=1$. Montrer que $\int_0^1f\geq 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 240]
Soit $f\in\mc C^1(\left[\,0\,;1\,\right],\R)$ telle que $\int_0^1f(t)\dt=0$. Montrer que $\left|\int_0^1f(t)\dt\right|\leq\frac{1}{8}\left\|f^{ '}\right\|_{\i}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 241]
Soit $f\colon\R^{+*}\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^1$, à valeurs dans $\R^{+*}$, décroissante et intégrable sur $\R^{+*}$.
 - On suppose que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Montrer que $\frac{f(x)}{\int_x^{+\i}f(t)\dt}\underset{x\ra+\i}{ \longrightarrow}0$
 - On suppose que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}-\i$. Que dire de $\lim_{x\ra+\i}\frac{f(x)}{\int_x^{+\i}f(t)\dt}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 242]
Soit $(P_n)$ une suite de polynômes de $\R[X]$ telle que $\lim_{n\ra+\i}\sup_{x\in[-1,1]}|P_n(x)-e^x|=0$. Montrer que $\deg(P_n)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 243]
Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions définie sur $[0,+\i[$ par $f_0=1$ et $\forall n\in\N$, $f_n(0)=1$ et $f_{n+1}'(x)=e^x\sqrt{f_n(x)}$. Justifier l'existence de $\lim_{n\ra+\i}f_n(x)$ et déterminer sa valeur.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 244]
Encadrer et donner un équivalent en $+\i$ de $S:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\frac{x^k}{\sqrt{k!}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 245]
 - Montrer que la suite $\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)\right)_{n\in\N^*}$ converge. On note $\gamma$ sa limite.
 - Montrer que la fonction $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$.
 - Calculer $\Gamma(n)$ pour $n\in\N^*$. Donner un développement asymptotique de $\ln(\Gamma(n+1))$ à la precision $O(\ln(n))$. En considérant la fonction $\Psi:x\mapsto\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$, montrer que $\Gamma'(1)=-\gamma$.

Ind. On admet que l'on peut \lt \lt  deriver \gt \gt  le développement précédent c'est-a-dire que $\Psi(n+1)=\ln(n)+O(1/n)$.
 - Montrer que $\Psi$ est croissante et justifier le développement admis precedemment.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 246]
Soient $f,g\colon\R\ra\R$ des fonctions continues. On suppose qu'il existe des constantes $C_1,C_2,a,b\in\R^{+*}$ telles que $\forall x\in\R$, $|f(x)|\leq\frac{C_1}{(1+|x|)^a}$ et $|g(x)|\leq\frac{C_2}{(1+|x|)^b}$.Lorsque c'est possible, on pose $f*g(x)=\int_{-\i}^{+\i}f(x-y)\,g(y)\,dy$.
 - à quelle condition sur $C_1,C_2,a,b$ la fonction $f*g$ est-elle définie sur $\R$?
 - On suppose maintenant $a$ et $b$ strictement supérieurs à $1$. Montrer qu'il existe $C_3\gt 0$ telle que $\forall x\in\R$, $\ \ |f*g(x)|\leq\dfrac{C_3}{(1+|x|)^{\min(a,b)}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 247]
Soit $(a,b)\in\R^2$. Trouver toutes les fonctions $f\in\mc C^1(\R^2,\R)$ bornées sur $\R^2$ et telles que $f=a\dfrac{\partial f}{\partial x}+b\dfrac{\partial f}{\partial y}$.
#+end_exercice

# ID:7992
#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 248]
Montrer que la fonction $f\colon P\in\R_n[X]\mapsto f(P) = \int_0^1 \big(P(x) - e^x\big)^2 \dx$ admet un unique point critique.
#+end_exercice

** Géométrie

#+BEGIN_exercice [ENS PSI 2024 # 249]
Montrer qu'un polygone à $n$ sommets inscrit dans le cercle unité est d'aire maximale si et seulement s'il est régulier
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PSI 2024 # 250]
Soit $\eps\in \interval]{0, 1}[$. Soit $n$ le plus grand entier naturel tel que $n\eps \leq 1$. On trace les cercle de rayon $1$ et de centres $(k\eps, -1)$, pour $0\leq k\leq n$. Donner un développement limité de la somme des longueurs des arcs de cercle qui forment une courbe longeant la droite des abscisses.
#+END_exercice

** Probabilités

#+BEGIN_exercice [ENS PSI 2024 # 251]
On considère une urne contenant $n\geq 2$ boules : 2 boules sont rouges et les $n-2$ autres sont blanches. On tire les boules une par une sans remise. On s'arrête une fois qu'on a tiré les deux boules rouges. En moyenne, combien reste-t-il de boules dans l'urne ?
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PSI 2024 # 252]
On considère une urne vide qu'on remplit successivement d'une boule blanche (avec une probabilité $p$) ou d'une boule rouge (avec une probabilité $1-p$). On arrête de la remplir lorsqu'on obtient la première boule rouge. Puis on la vide jusqu'à tirer la boule rouge. Déterminer le nombre moyen de boules blanches restantes à la fin.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PSI 2024 # 253]
On dispose d'une urne vide. On ajoute des boules une par une et on s'arrête dès qu'on a ajouté une boule rouge. La probabilité d'ajouter une boule rouge à chaque étape est égale à $\frac{1}{m}$. On mélange ensuite les boules et on les retire une à une jusqu'à retirer la boule rouge. Calculer l'espérance du nombre de boules restantes.
#+END_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 254]
Soit $n\in\N^*$. Pour $A$ partie de $\db{1,n\rrbracket^2$, on note $M(A)$ la matrice carrée de taille $n$ à coefficients dans $\{0,1\}$ caractérisée par $\forall(i,j),M(A)_{i,j}=1\iff(i,j)\in A$. On considére l'ensemble $P$ des parties de $\llbracket 1,n}^2$ de cardinal $n$ et une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur $P$. Quelle est la probabilité que $M(X)$ soit inversible?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 255]
Soit $(X_n)_{n\in\N^*}$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $n\in\N^*$, soit $M_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt{n}}$. Déterminer $\mathbf{E}\left(M_n^k\right)$ pour $k\in\N$._Ind._ Distinguer selon la parite de $k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 256]
Soient, pour $\lambda\gt 0$, $A_{\lambda}$, $B_{\lambda}$, $C_{\lambda}$, $D_{\lambda}$ quatre variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$.
 - Calculer $\lim\limits_{\lambda\ra+\i}\mathbf{P}\left(A_{\lambda}X^2+B_{ \lambda}X+C_{\lambda}\ \mathbf{n}\text{'a que des racines réelles}\right)$.
 - Même question pour $A_{\lambda}X^3+B_{\lambda}X^2+C_{\lambda}X+D_{\lambda}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 257]
Soit $n\in\N^*$. On munit l'ensemble $S_n$ des permutations de $\{1,2,\ldots,n\}$ de la probabilité uniforme. Soit $k\in\{1,\ldots,n\}$. Pour $\sigma\in S_n$, on note

 $P_k(\sigma)=\left\{(i_1,\ldots,i_k)\in\{1,\ldots,n\}^k\,\ i_1\lt i_2\lt \cdots\lt i_k\text{ et }\sigma(i_1)\lt \sigma(i_2)\lt \cdots\lt \sigma(i_k)\right\}$

l'ensemble des sous-suites croissantes de longueur $k$ de la permutation $\sigma$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 258]
Soient $\lambda\in\left[0,1\right]$, $\left(X_{k,n}\right)_{\genfrac{}{}{0.0pt}{}{1\leq k\leq n}{n\geq 1}}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes, ou $X_{k,n}$ suit la loi $\mc{B}\left(\lambda/n\right)$. On pose $X_n=X_{1,n}+\cdots+X_{n,n}$.

Soit $t\in\R$. Déterminer $\lim\limits_{n\ra+\i}\mathbf{E}(\exp(tX_n))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 259]
On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs réelles est infiniment divisible si, pour tout $n\in\N^*$, il existe des variables aléatoires $X_{1,n},\ldots,X_{n,n}$ indépendantes et de même loi telles que $X\sim X_{1,n}+\cdots+X_{n,n}$.
 - Donner des exemples de variables aléatoires indéfiniment divisibles.
 - Soit $X$ une variable aléatoire infiniment divisible non nulle telle que $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^2)\lt +\i$. Montrer que, pour tout $A\gt 0,\ \mathbf{P}(X\gt A)\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 260]
Pour $x\in\R$, on pose $\gamma(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2/2}$. Soit $(X_n)_{n\in\N^*}$ des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $n\in\N^*$, on pose $M_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt{n}}$.

Montrer que pour tout polynôme $P\in\R[X]$, on a $\lim\limits_{n\ra\i}\mathbf{E}(P(M_n))=\int_{-\i}^{+\i} \gamma(x)P(x)\dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 261]
On note $D(X)$ le nombre de diviseurs premiers de $X$, ou $X$ suit la loi uniforme sur $\db{1,n}$.
 - Calculer $\lim\limits_{n\ra+\i}\mathbf{E}(D(X))$.
 - On admet que $\sum\limits_{p\text{ premier, }p\leq n}\frac{1}{p}\sim\ln(\ln n)$. Montrer $\lim\limits_{n\ra+\i}\mathbf{P}\left(\left|\frac{D(X)}{\ln(\ln n)}-1\right|\geq\eps\right)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 262]
Soient $C\in\text{GL}_q(\R)$ et $N\in\M_q(\R)$ nilpotente. Soit $p\in]0,1[$. On définit $(B_n)_{n\in\N}$ par $B_0=I_n$ et $B_{n+1}=A_nB_n$, ou $\mathbf{P}(A_n=C)=p$ et $\mathbf{P}(A_n=N)=1-p$.

Déterminer $\lim\limits_{n\ra+\i}\mathbf{P}(B_n\neq O)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 263]
On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique.

Soient $\theta\in\left]-\pi,\pi\right]$ et $p\in\left]0,1[$. On note $R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos(\theta)&-\sin(\theta)\\ \sin(\theta)&\cos(\theta)\end{pmatrix}$ et $M=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}$.

Soit $(u_n)$ une suite de vecteurs aléatoires de $\R^2$ avec $u_0=(1,0)^T$ et telle que, pour tout $n\in\N$, $\mathbf{P}\left(u_{n+1}=R(\theta)u_n\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(u_{n+1}=Mu_n\right)=1-p$. Déterminer la limite de $(\mathbf{E}(\left\|u_n\right\|)$ pour $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ puis pour $\theta$ quelconque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 264]
Soit $\theta\in\left[\,0\,;2\pi\,\right]$. Soit $p\in\left]\,0\,;1\right[$. On pose $R=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ et $Q=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}$.

Les variables aléatoires $(A_n)_{n\in\N^*}$ sont indépendantes et vérifient $\mathbf{P}(A_n=R)=p$ et $\mathbf{P}(A_n=Q)=1-p$. On note $U_0=\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}$ puis, pour chaque $n\in\N^*$, $U_n=A_nU_{n-1}$.

On note $t_1\lt t_2\lt t_3\lt \dots$ les instants $n$ successifs ou $A_n=Q$.
 - Trouver la loi de $\left\|U_{t_1}\right\|$ ou $\left\|\,\right\|$ designe la norme euclidienne canonique.
 - Pour $N\in\N^*$, donner une approximation du nombre d'indices $i$ tels que $t_i\leq N$.

Dans toute la suite, on suppose que $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$.
 - Calculer $\mathbf{E}(\ln\left\|U_{t_1}\right\|)$.
 - Déterminer la loi de $\left\|U_{t_2}\right\|$.
 - Déterminer la loi de $\left\|U_{t_k}\right\|$ pour $k\in\N^*$.
 - Déterminer $\mathbf{E}(\ln\left\|U_{t_k}\right\|)$ pour $k\in\N^*$.
#+end_exercice

* X - MP                                                               :xens:
** Algèbre

# ID:7884
#+begin_exercice [X MP 2024 # 265]
Pour toute partie finie non vide $X$ de $\R$ dont on note $x_1\lt x_2\lt \dots\lt x_n$ les éléments, on pose :
$$a^+(X)=\prod_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_i+1) \quad \et \quad a^-(X)=\prod_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_i-1).$$ L'objectif est d'etablir que : $\sum\limits_{\substack{B\subset A\\ B\neq\emptyset}}a^-(B)=a^+(A)$ pour n'importe quelle partie finie non vide $A$ de $\R$.

On se donne donc $A=\{a_1\dots,a_n\}$ une partie finie non vide de $\R$, avec $a_1\lt \dots\lt a_n$.
 - On suppose le résultat acquis. Trouver une expression de : $\alpha(A)=\sum\limits_{\substack{B\subset A\\ a_n\in B}}a^-(B)$.
 - Établir le résultat cherché.
 - On suppose $A=\db{1,n}$. Calculer : $\sum\limits_{\substack{B\subset A\\ B\neq\emptyset\\ B\cap(B+1)=\emptyset}}a^-(B)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On trouve $a^+(A) - a^+(A\setminus \{a_n\}) = (a_n - a_{n-1}) a^+(A\setminus \{a_n\})$
 - Par récurrence sur le cardinal de $A$.

   On écrit
   $$\begin{aligned}\sum_{B\subset A} & = \sum_{B\subset A, a_n \in B} + \sum_{B\subset A, a_n \not\in B} \\
   &= \sum_{B\subset A, a_n, a_{n-1} \in B} + \sum_{B\subset A, a_n \in B, a_{n-1}\not\in B} + a^+(A\setminus \{a_n\})\\
   & = (a_n - a_{n-1}-1) \sum_{B\subset A\setminus \{a_n\}, a_{n-1}\in B} + (a_n - a_{n-2}) a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}) + a^+(A\setminus \{a_n\})\\
      & = (a_n - a_{n-1}-1) (a_{n-1} - a_{n-2})a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}) + (a_n - a_{n-2}) a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}) + a^+(A\setminus \{a_n\})\end{aligned}$$

      On obtient $a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}))$, en facteur de
      $$(a_n - a_{n-1} - 1)(a_{n-1} - a_{n-2}) + (a_n - a_{n-2}) + (a_{n-1} -a_{n-2}+1)$$
      Cela fait bien $(a_n - a_{n-1} + 1)(a_{n-1} - a_{n-2} + 1)$.
 - C'est la même somme, car les autres termes sont nuls.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2024 # 266]
 - Soit $n\geq 1$, premier avec $10$. Montrer que $n$ possède un multiple dont l'écriture en base $10$ n'a que des $9$.
 - On remarque que $\frac{1}{7}=0,\underline{142857}\underline{142857}\ldots\underline{142857}\ldots$ avec $142+857=999$.

$\frac{285+714}{7}=0,\underline{285714}\underline{285714}\ldots\underline{285714}\ldots$ $076+923=999$

   $\frac{1}{13}=0,\underline{076923}$ $\underline{076923}\ldots\underline{076923}\ldots$

Expliquer.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - La période est l'ordre de $10$ modulo $n$. Le résultat
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2024 # 267]
Pour $r$ un rationnel non nul s'écrivant $r=2^ka/b$ avec $k\in\Z$ et $a,b$ deux entiers impairs, on définit la valuation dyadique de $r$ par $v_2(r)=k$.

On admet que : $\forall x,y\in\Q^*$, $v_2(xy)=v_2(x)+v_2(y)$ et si $x+y\neq 0$, $v_2(x+y)\geq\min(v_2(x),v_2(y))$, avec égalité si $v_2(x)\neq v_2(y)$.

On note enfin, pour tout $n\in\N^*$, $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$.
 - Montrer que pour tout $n\gt 1$, $H_n\notin\Z$.
 - Montrer que pour tous $m,n\in\N^*$ tels que $m\leq n-2$, on a $v_2(H_n-H_m)\lt 0$.
 - Montrer les propriétés admisses plus haut.
 - La question  - peut-elle s'adapter à la valuation 3-adique?
#+end_exercice

# ID:7734
#+begin_exercice [X MP 2024 # 268]
Quels sont les $m$ de $\N^*$ tels qu'il existe $m$ éléments consécutifs de $\N^*$ divisibles par des cubes d'éléments de $\N^*\setminus\{1\}$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est simple : marche pour n'importe quel $m$, d'après le lemme Chinois.
#+END_proof

# ID:7885
#+begin_exercice [X MP 2024 # 269]
Montrer que tout $n\in\Z$ s'écrit sous la forme $\sum_{k=0}^N\eps_k(-2)^k$ avec $N\geq 0$ et les $\eps_k$ dans $\{0,1\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Par récurrence, puis si $4\mid n$ on est bon, si $n\equiv 1 [4]$, on met un $1$, si $n\equiv 2 [4]$, on met un $-2$, si $n\equiv 3[4]$, on met $-2 + 1$.
#+END_proof

# ID:7886
#+begin_exercice [X MP 2024 # 270]
Soit $n\in\N^*$. On note $\mc{F}$ l'ensemble des entiers naturels qui ne sont pas divisibles par le carré d'un entier supérieur ou egal à $2$, et $q(n)=|\mc{F}\cap\db{1,n}|$.
On note $\mc{E}(n,k)=\R^{+*}\cap\left\{\sum_{i=1}^k\sqrt{a_i}-\sum_{i= 1}^k\sqrt{b_i},\ (a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_k)\in\db{0,n}^{2k}\right\}$ et $\Delta(n,k)=\min\mc{E}(n,k)$.
 - On admet que $(\sqrt{n})_{n\in\mc{F}}$ est libre dans le $\Q$-espace vectoriel $\R$.

   Montrer que $\Delta(n,k)\leq\frac{k(\sqrt{n}-1)}{{q(n) + k - 1 \choose k}-1}$.
 - E On démontre à présent le résultat admis précédemment.
 - Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\R$, et $x$ un élément de $\mathbb{K}\cap\R^{+*}$. Montrer que $\mathbb{K}[\sqrt{x}]=\mathbb{K}+\mathbb{K}\sqrt{x}$ est un sous-corps de $\R$, et que si $\sqrt{x}\not\in\mathbb{K}$ alors il existe un unique automorphisme $\sigma$ de l'anneau $\mathbb{K}[\sqrt{x}]$ différent de l'identite et fixant tous les éléments de $\mathbb{K}$.

 - E Dans la suite, on fixe un entier $n\geq 1$ on suppose acquise, pour tout ensemble fini $A$ constitue de $n$ nombres premiers, la libert $\acute{\text{e}}$ de la famille des $\sqrt{m}$, ou $m$ parcourt l'ensemble des éléments de $\mc{F}$ ayant tous leurs diviseurs premiers dans $A$. Soit $A$ un ensemble forme de $n+1$ nombres premiers $p_1,\ldots,p_{n+1}$.
 - E On construit par récurrence une suite $(\mathbb{K}_0,\ldots,\mathbb{K}_n)$ de corps : $\mathbb{K}_0=\Q$ et $\mathbb{K}_i=\mathbb{K}_{i-1}[\sqrt{p_i}]$ pour tout $i\in\db{1,n}$.
 - Montrer que $\mathbb{K}_n$ est de dimension $2^n$ comme $\mathbb{K}_0$-espace vectoriel, et en preciser une base. Montrer qu'il existe un automorphisme $\sigma$ du corps $\mathbb{K}_n$ qui fixe $\sqrt{p_1},\ldots,\sqrt{p_{n-1}}$ et envoie $\sqrt{p_n}$ sur $-\sqrt{p_n}$. Dans la suite, on raisonne par l'absurde en supposant que $\sqrt{p_{n+1}}\in\mathbb{K}_n$.
 - Montrer que $\sqrt{p_{n+1}}=\alpha+\beta\sqrt{p_n}$ pour un $\alpha\in\mathbb{K}_{n-1}$ et un $\beta\in\mathbb{K}_{n-1}$, puis montrer qu'en fait $\sqrt{p_{n+1}}=\beta\sqrt{p_n}$.
 - Montrer que $\sqrt{p_{n+1}}=\lambda\prod_{k=1}^n\sqrt{p_k}$ pour un $\lambda\in\Q$, et conclure à une contradiction.
 - Conclure.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - le dénominateur est le nombre de valeurs possibles de $\sum_{i=1}^k \sqrt{a_i}$ (on choisit un $k$-uplet croissant). Le $\sqrt{n}-1$ car la valeur minimale prise est $k$ (tous égaux à $1$). Le $-1$ au numérateur, vient du raisonnement des tiroirs.

   (On regarde un sous-ensemble de l'ensemble des $\sum_{i=1}^k a_i$ possibles : juste ceux qui sont sommes d'éléments de $\mc F$)
#+END_proof

# ID:7887
#+begin_exercice [X MP 2024 # 271]
Soit $p$ un nombre premier congru à $3$ modulo $4$. On note $L$ l'ensemble des carres de $\mathbb{F}_p^*$.
 - Montrer que $|L|=\frac{p-1}{2}$.
 - Montrer que si $x\in L$, alors $-x\notin L$.
 - On fixe $x\in\mathbb{F}_p^*$ et l'on pose $A=\big{\{}(\ell_1,\ell_2)\in L^2\ ;\ x=\ell_1-\ell_2\big{\}}$. Calculer $\op{card}A$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - Le cardinal est le même pour $x$ que pour $-x$, et également pour $x$ et $c^2 x$.
#+END_proof

# ID:7888
#+begin_exercice [X MP 2024 # 272]
Soit $p$ un nombre premier impair.
 - Dénombrer les $(x,y)\in(\mathbb{F}_p)^2$ tels que $x^2+y^2=1$.
 - Soit $z\in\mathbb{F}_p\setminus\{0\}$. Dénombrer $\{\,(x,y)\in\mathbb{F}_p^2,\ x^2+y^2=z\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Par paramétrisation.
 - C'est la même quantité pour les carrés, puis la même pour les non carrés.
#+END_proof

# ID:6230
#+begin_exercice [X MP 2024 # 273]
Soit $p$ un nombre premier impair. On pose $q=2p+1$ et l'on suppose $q$ premier. On considére l'équation : $(E):x^p+y^p+z^p=0$ d'inconnue $(x,y,z)\in\Z^3$. Soit $(x,y,z)\in\Z^3$ une solution de $(E)$ telle que $p$ ne divise aucun des entiers $x,y$ et $z$ et telle que $x,y,z$ soient premiers entre eux deux à deux.
 - Montrer que $q$ divise $x,y$ ou $z$.
 - Montrer qu'il existe $(a,b,c)\in\Z^3$ tel que : $y+z=a^p$, $x+y=b^p$, $x+z=c^p$.
 - Factoriser $y^p+z^p$.
 - Conclure à une contradiction.
#+end_exercice

# ID:6237 # Classique :)
#+begin_exercice [X MP 2024 # 274]
Soient $p$ un nombre premier congru à $1$ modulo $4$ et $S$ l'ensemble $S=\{x,y,z)\in\N^3\ ;\ p=x^2+4yz\}$. Pour $(x,y,z)\in S$ on pose :

 - si $x\lt y-z$, $f(x,y,z)=(x+2z,z,-x+y-z)$ ;

 - si $y-z\lt x\lt 2y$, $f(x,y,z)=(2y-x,y,x-y+z)$ ;

 - si $x\gt 2y$, $f(x,y,z)=(x-2y,x-y+z,y)$.

Montrer que $f$ définit une involution de $S$. En déduire que $p$ s'écrit $u^2+v^2$ avec $(u,v)\in\N^2$.
#+end_exercice

# ID:7889
#+begin_exercice [X MP 2024 # 275]
Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*)\colon x^2-dy^2=1$ d'inconnue $(x,y)\in\Z^2$.
 - Traiter les cas $d\lt 0$ et $d=k^2$ avec $k\in\N$.
 - E Dans la suite, on suppose $d\gt 0$ et $\sqrt{d}\not\in\N$. Soit $(x_0,y_0)\in\N^2\setminus\{(\pm 1,0)\}$ solution de $(*)$.
 - On pose $z=x_0+\sqrt{d}\,y_0$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe un unique $(x_n,y_n)\in\N^2$ tel que $z^{n+1}=x_n+\sqrt{d}\,y_n$.
 - En déduire que, si l'ensemble des solutions de $(*)$ est non trivial, i.e. n'est pas reduit à $\{(\pm 1,0)\}$, il en existe une infinité.
 - Soit $x\in\R$. Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $(p,q)\in\Z^2$ tel que $|p-qx|\lt \dfrac{1}{n}$.
 - Montrer qu'il existe une infinité de couples $(p,q)\in\Z\times\N^*$ tels que $|p-qx|\lt \dfrac{1}{q}$.
 - Montrer qu'il existe $K\in\R$ pour lequel il existe une infinité de couples d'entiers $(p,q)$ tels que $|p^2-dq^2|\lt K$.
 - Conclure que $(*)$ possède des solutions non triviales.
#+end_exercice

# ID:8094
#+begin_exercice [X MP 2024 # 276]
 - Soit $\mathbb{F}$ un corps fini. On admet que le groupe multiplicatif $\mathbb{F}^{\times}$ est cyclique.

   Soient $n\geq 1$ et $u\in\mathbb{F}$. On note $\widehat{\mathbb{F}^{\times}}$ l'ensemble des morphismes de $\mathbb{F}^{\times}$ dans $\C^*$ prolongés par $0$ en $0$. On note $N(X^n=u)$ le nombre de zéros du polynôme $X^n-u$ dans $\mathbb{F}$. On note $\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[n]$ l'ensemble des $\chi\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}$ tels que $\chi^n=1$.

   Montrer que $N(X^n=u)=1+\sum_{\chi\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[n],\chi\neq 1}\chi(u)$.
 - On suppose $\mathbb{F}=\Z/p\Z$ avec $p\equiv 1\pmod{3}$ et $p$ impair.

   Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p+\sum_{\chi_1,\chi_2\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[3] \setminus\{1\}}J(\chi_1,\chi_2)=p-2+2\Re \big(J(\omega,\omega)\big)$ si $\omega\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[3]\setminus\{1\}$, où $J(\chi_1,\chi_2)=\sum_{a+b=1}\chi_1(a)\chi_2(b)$.
 - On admet que $|J(\omega,\omega)|=\sqrt{p}$ et $pJ(\omega,\omega)=g_{\omega}^3$ ou $g_{\omega}=\sum_{x\in\mathbb{F}}\omega(x)\zeta_p^x$ avec $\zeta_p=e^{\frac{2i\pi}{p}}$.

   Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p-2-a_p$ avec $a_p^2+27b_p^2=4p$ ou $b_p\in\Z$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Si $\a^n = u$, alors $\chi(\a)^n = \chi(u) = 1$, et il y a autant de $\chi$ que de racines $n$-ième de $1$. Si $u$ n'a pas de racine $n$-ième, idem, $\chi$ est défini par $\chi(\gamma)$ et $u$ s'écrit $u = \gamma^k$.
 - On écrit $N(X^3 + Y^3 = 1)$ comme $\sum_{a,b \mid a+b = 1} N(X^3 = a) N(Y^3 = b)$.

   On remplace chaque $N$ par la question précédente, ce qui fait sortir le $p$ voulu, ainsi que
   $\sum_{\chi_1} \sum_{a+b = 1}\chi_1(a) + \sum_{\chi_2} \sum_{a+b = 1}\chi_1(2) + \sum_{\chi_1,\chi_2}\sum_{a+b = 1} \chi_1(a)\chi_2(b)$
   Les premières sommes sont nulles. On obtient exactement la somme sur $J$.

   Comme $\m F^\times$ est cyclique, les éléments de $\m F^{\times}[3]$ sont $\om$ et $\om^2$. La somme comporte $J(\om, \om) + J(\om, \om^2) + J(\om^2, \om) + J(\om^2, \om^2)$, et on trouve $J(\om, \om^2) = -1$. Les deux autres sont conjugués.
 - On a $J(\om, \om)$ qui est dans $\Z[e^{\frac{2i \pi}{3}}] = \Z[j, j^2] = \Z[j]$. Il s'écrit donc $(c-\frac{d}{2}) + i d \frac{\sqrt{3}}{2}$, et on a $(c- d/2)^2 + 3d^2/4 = p$, donc $4p = (2c-d)^2 + 3d^2$, c'est-à-dire $p = c^2 - cd + d^2$, donc $4p = (2d-c)^2 + 3c^2$.

   Si $d$ est un multiple de trois, ou $c$ est un multiple de $3$, on est bon. Sinon, on peut écrire $4p = (c+d)^2 + 3 (c-d)^2$. Comme $c\not\equiv -d$, on a $3\mid c- d$.
#+END_proof

# ID:8010
#+begin_exercice [X MP 2024 # 277]
Pour $p$ premier impair, on note $\chi\colon\mathbb{F}_p\ra\{1,-1,0\}$ la fonction définie par $\chi(0)=0$, $\chi(x)=1$ pour tout élément $x$ de $\mathbb{F}_p^{\times}$ qui est un carre, et $\chi(x)=-1$ dans toute autre situation.

Pour $t\in\N$, on pose $g_p(t)=\sum_{x\in\mathbb{F}_p}\chi(tx)e^{\frac{2i\pi x}{p}}$.
 - Soit $p$ un nombre premier impair, et des entiers $a$ et $b$ tels que $0\lt a\lt b\lt p$. Montrer que $g_p(1)\sum_{n=a}^{b-1}\chi(n)=\sum_{x\in\mathbb{F}_p}\chi(x)\sum_{t=a}^{b -1}e^{\frac{2i\pi tx}{p}}$. On admettra dans la suite que $|g_p(1)|=\sqrt{p}$.
 - Montrer qu'il existe une constante $M\gt 0$ telle que, quels que soient $p$ premier impair, et $a,b$ entiers tels que $0\leq a\lt b\lt p$, on ait $\op{card}\{k\in\db{a,b-1},\ k\ \text{est un carre modulo}\ p\}=\dfrac{b-a}{2}+u_{p,a,b}$ ou $|u_{p,a,b}|\leq M\,\sqrt{p}\,\ln p$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est le fait que $\chi$ soit un morphisme, into un simple changement de variable.
 - Le cardinal est la somme $\sum \frac{1 + \chi(x)}{2}$, donc on a le $\frac{b-a}{2}$, et il reste à gérer une somme de $\chi(n)$, via la question précédente.

   La somme intérieure peut être majorée par du $\frac{p}{x}$, que l'on somme sur $x$ en $p\ln p$.
#+END_proof

# ID:7891
#+begin_exercice [X MP 2024 # 278]
Soit $G$ un groupe fini de cardinal $2n$ ou $n$ est impair.
 - Montrer que $G$ possède un élément d'ordre 2.
 - Montrer que $G$ possède un sous-groupe d'ordre $n$.

    Ind : Considérer l'application $\Phi$ qui à $g\in G$ associe $\Phi(g)\colon G\ra G$ telle que, pour tout $x\in G$, $\Phi(g)(x)=gx$.
 - s Trouver un contre-exemple si $n$ est pair.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Sinon, pour tout $x$, $x\neq x^{-1}$.
 - Considérer le noyau de $\eps \circ \Phi$.
#+END_proof

# ID:nil # Cf un précédent
#+begin_exercice [X MP 2024 # 279]
Soit $p$ un nombre premier. On dit qu'un groupe $G$ est un $p$-groupe si, pour tout $g\in G$, l'ordre de $g$ est une puissance de $p$. Si $k\in\N^*$, on dit que $G$ est $k$-divisible si, pour tout $g\in G$, il existe $x\in G$ tel que $x^k=g$.
 - Montrer qu'un $p$-groupe non trivial et $p$-divisible est infini.
 - Donner un exemple de tel groupe.
 - Montrer que $G$ est alors $k$-divisible pour tout $k$.
#+end_exercice

# ID:7894
#+begin_exercice [X MP 2024 # 280]
Soit $G$ un groupe d'ordre $n\geq 1$. Pour $g_1$,..., $g_k\in G$, on note $E(g_1,\ldots,g_k)=\{g_{i_1}\cdots g_{i_s}\;;\;s\in\N,\;\;1 \leq i_1\lt \cdots\lt i_s\leq k\}$ (avec la convention que l'élément neutre est le produit vide donc appartient à cet ensemble).
 - Soient $g_1$,..., $g_k\in G$ tel que $G=E(g_1,\ldots,g_k)$. Montrer que $k\geq\lfloor\log_2(n)\rfloor$.
 - Soit $A\subset G$. Montrer que $\sum\nolimits_{x\in G}\lvert A\cap Ax\rvert=\lvert A\rvert^2$.
 - Montrer qu'il existe $g_1,\ldots,g_k\in G$ tels que $G=E(g_1,\ldots,g_k)$ avec $k\leq\lfloor\log_2(2n\ln n)\rfloor$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Trivial.
 - Revient à $\exists x,\, |A \cap A_x|\leq \frac{|A|^2}{|G|}$.
 - À chaque étape, on incrémente $|A|\ra 2|A| - \frac{|A|^2}{|G|}$, qui est une fonction croissante de $|A|$.
   $u_0 = 1$, puis $u_{n+1} = 2u_n - \frac{u_n^2}{N}$, donne $N - u_{n+1} = N - u_n + \frac{u_n^2}{N} - u_n = N-u_n + \frac{u_n}{N} (u_n - N) = (N-u_n) \left(1 - \frac{u_n}{N}\right) = \frac{(N-u_n)^2}{N}$.

   On en déduit que $\frac{N-u_{n+1}}{N} = \left(\frac{N-u_n}{N}\right)^2$,

   donc $\frac{N-u_{n}}{N} = \left(1 - \frac{1}{N}\right)^{2^n}$.

   On veut $2^n \ln \left(1 - \frac{1}{N}\right)\leq \ln \frac{1}{N}$.

   Le $2$ du $2n\ln n$ revient à un $+1$.
#+END_proof

# ID:8060
#+begin_exercice [X MP 2024 # 281]
On note $\mc{S}(\C)$ le groupe des permutations de $\C$. Soit $G$ un sous-groupe cyclique de $\mc{S}(\C)$ d'ordre $2^n$, ou $n\geq 2$, contenant la conjugaison complexe.
 - Montrer que, pour tout $z\in\C\setminus\R$, il existe $\tau\in G$ tel que $\tau(z)\neq\pm z$.
 - Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $2^{n-1}$. Montrer que $H$ contient au moins deux applications $\R$-linéaires.
 - sA On regarde $\C$ comme $\R$-espace vectoriel. Est-il possible que $G$ ne soit composé que d'applications linéaires?
 - sA Montrer que $G$ contient exactement deux applications $\R$-linéaires.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Utiliser le caractère cyclique, pour $z\not\in i\R$, une puissance est égale à $\ol{z}$.
 2. C'est forcément $\langle g^2\rangle$.

    Le groupe $H$ contient l'identité. Par ailleurs, le groupe doit contenir le seul élément dont le carré est l'identité, c'est-à-dire la conjugaison.
 3. Non, car la conjugaison n'est pas un carré, d'après le déterminant.
 4. S'il contient un élément $\R$-linéaire, quand on l'élève au carré
    successivement, on finit par tomber sur la conjugaison, impossible.
#+END_proof

# ID:7990
#+begin_exercice [X MP 2024 # 282]
Soit $\mc{A}$ une $\C$-algèbre. On suppose que $\mc{A}$ est munie d'une norme $N$ vérifiant : $\forall a,b\in\mc{A},\,N(ab)=N(a)N(b)$.
 - Soit $x\in\mc{A}$. En posant $z=z\cdot 1_{\mc{A}}$, on identifie $\C$ à une sous-algèbre de $\mc{A}$. Montrer qu'il existe $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,N(x-z_0)\leq N(x-z)$. On pose $a=x-z_0$.
 - On suppose que $N(a)=2$. Montrer que $\forall n\in\N^*,\,\forall z\in\mathbb{U}_n,N(a-z)\geq 2$. Montrer ensuite que $N(a-1)=2$ puis $N(a-5)=2$.
 - Montrer que $\mc{A}$ est isomorphe à $\C$, i.e. $\dim\mc{A}=1$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Projection.
 - Par définition, $N(a-z)\geq N(a)$.

   $N((a-1)(a+1)) = N(a^2 - 1)$.

   En général $N(\prod (a-\om^k)) \geq N(a-1) 2^{n-1}$ et $= N(a^n - 1)\leq 2^n +1$. Donc par limite, $N(a-1) = 2$.

   Ce que l'on a fait pour $a$ marche verbatim pour $a' = a-1$. En itérant, on obtient $N(a-5) = 2$.
 - $N(a-5) = 2$ contredit l'I.T.
#+END_proof

# ID:8061
#+begin_exercice [X MP 2024 # 283]
 - Soit $f$ l'application qui à $z\in\mathbb{U}\setminus\{i\}$ associe le point d'intersection de $\R$ et de la droite passant par $z$ et $i$. Montrer que $f(z)\in\Q\Leftrightarrow z\in\Q(i)$.
 - Montrer qu'il existe une infinite de triplets non proportionnels $(a,b,c)\in\Z^3$ tels que $a^2+b^2=c^2$.
#+end_exercice

# ID:7895
#+begin_exercice [X MP 2024 # 284]
On appelle nombre de coefficients positifs du polynôme $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ de degré $n\geq 1$ le cardinal de l'ensemble $\{i\in\db{0,n},\;a_i\geq 0\}$.
 - Soit $P\in\R[X]$ de degré $n\geq 2$. Montrer que $P^2$ à au moins trois coefficients positifs.
 - Montrer que, pour tout entier $n\geq 2$, il existe $P\in\R[X]$ de degré $n$ tel que $P^2$ ait exactement trois coefficients positifs.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Les coefficients extrêmes sont positifs. On suppose $P$ unitaire. Si c'était les seuls, on obtient $a_{n-1}\lt 0$ en regardant $X^{2n-1}$, puis $a_{n-2}\lt 0$ en regardant $X^{2n-2}$, puis $a_{n-3}\lt 0$ en regardant $X^{2n-3}$ jusqu'à $a_0\lt 0$ en regardant $X^n$. Mais alors le coefficient en $X^{n-1}$ est $\gt 0$.
 - On se débrouille pour que les seuls coefficients $\geq 0$ soient $X^{2n}$, $X^0$ et $X^n$ : prendre $a_{n-1}\lt 0$, $a_{n-2}$ assez négatif, puis $a_{n-3}$ assez négatif, etc, jusqu'à $a_0$, qu'on prend immense positif, et qui suffit à garantir que les autres coefficients sont $\lt 0$.
#+END_proof

# ID:7896
#+begin_exercice [X MP 2024 # 285]
Soient $n\in\N$, $P\in\Z[X]$ de degré majore par $n$, $\Delta$ le pgcd de $P(0),P(1),\ldots,P(n)$. Montrer que, pour tout $k\in\Z$, $\Delta$ divise $P(k)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Revient à montrer que les polynômes de Lagrange sont à valeurs entières, car ce sont des coefficients binomiaux.
#+END_proof

# ID:8069
#+begin_exercice [X MP 2024 # 286]
Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n\geq 2$ dont on note $z_0,\ldots,z_{n-1}$ les racines. On note $t_1,\ldots,t_{n-1}$ les racines complexes de $P'$ et l'on suppose que : $\forall k\in\db{0,n-1},|z_k|\leq 1$.
 - Montrer que : $\forall k\in\db{1,n-1},|t_k|\leq 1$.
 - On suppose que $z_0$ est racine simple de $P$. Calculer $\dfrac{P''(z_0)}{P'(z_0)}$ deux façons :
   + en fonction de $z_0$ et des $t_k$ ;
   + en fonction de $z_0$ et des $z_k$.
 - Soit $z\in\C\setminus\{-1\}$ tel que $|z|\leq 1$. Montrer que $\mathfrak{Re}\left(\dfrac{1}{1+z}\right)\geq\dfrac{1}{2}$.
 - On suppose que $z_0=1$ et que $z_0$ est racine simple. Montrer qu'il existe $k\in\db{1,n-1}$ tel que $|1-t_k|\leq 1$.
 - On suppose que $|z_0|=1$. Montrer qu'il existe $i\in\db{1,n-1}$ tel que $|z_0-t_i|\leq 1$.
 - s Soient $Q\in\R[X]$ non constant et $\alpha\in\R^*$. On pose $P=Q^2+\alpha^2$. Montrer qu'il existe une racine $z$ de $P$ et une racine $t$ de $P'$ telles que $|z-t|\leq|z|$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Classique.
 - D'une part c'est $\sum \frac{1}{z_0 - t_k}$.

   D'autre part, si on décompose $P = (X-z_0)\prod (X - z_k)$, on a $P'(z_0) = \prod (z_0 - z_k)$, et $P''(z_0) = 2\sum_{i=1}^k \prod_{k\neq i} (z_0 - z_k)$.

   Donc $\frac{P''(z_0)}{P'(z_0)} = 2 \sum_{i=1}^k \frac{1}{z_0-z_k}$.
 - La question précédente donne que la partie réelle de $\sum \frac{1}{1 - z_k}$ est plus grande que $1$, donc la somme est de module $\geq n$, donc un des termes à gauche est en module $\geq 1$.
 - Simple transformation.
 - C'est vrai indépendamment de l'expression de $P$. Manque une fin.
#+END_proof

#+call: get_exo(7993)
#+begin_exercice [X MP 2024 # 287]
Pour $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\in\C[X]$, on pose $\lN P\rN = \left(\sum_{i=0}^n |a_i|^2\right)^{1/2}$.
 - Montrer que pour tout $P\in\C[X]$ et $z\in\C$, $\lN (X-z)P\rN = \lN(1-\ol{z} X) P\rN$.
 - On suppose $P$ unitaire, et on note $M_P$ le produit des modules des racines de $P$ de module $\geq 1$. Montrer que $M_P\leq \lN P\rN$.
 - Montrer, pour $1\leq k\leq n-1$, que $|a_k|\leq {n-1\choose k} M_P + {n-1 \choose k-1}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Ou bien faire le calcul avec les coefficients, ou bien via $\lN P\rN_2 = \int |P(e^{i\theta})|^2 \d \theta$.
 2. On écrit $P$ comme un produit. Avec la question précédente, pour les $z$ grand, on remplace $(X-z)$ par $(1 - \ol{z})X$. Alors le produit des racines $\geq 1$ de $P$ est son coefficient dominant.
 3. ${n-1\choose k-1} = {n-1 \choose n-k}\geq {n-G \choose n-k}$ où $G$ est le nombre de grandes racines.

   De même, ${n-1 \choose k} = {n-1\choose n-1-k}$ : produits où on a choisit au moins la plus grande racine.
#+END_proof

# ID:7897
#+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 288]
 - Soient $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_nX^n\in\C[X]$ de degré $n\geq 1$. On pose $r = \min \{|z|,\, z\in\C,\, P(z) = 0\}$, et on suppose $r\gt 0$. Si $a_k\neq 0$, montrer que $r^k\leq {n\choose k}\frac{|a_0|}{|a_k|}$.
 - Soit $A_n = \{P\in\C[X]\mid \deg P = n,\, P(-1) = P(1) = 0\}$. Montrer que $\sup_{P\in A_n}\{\min \{|z|,\, P'(z) = 0\}\}\lt +\i$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 - Clair.
 - Il s'agit de montrer qu'au moins un des coefficients de $P'$ n'est pas minus par rapport à $a_1$.
#+END_proof

# ID:8075
#+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 289]
Soient $\om,q\in\C^*$ tels que $\om^2$ n'est pas une puissance entière de $q$. On considère l'équation $(*)\colon \om f(z) g(qz) = \om^2 f(qz) g(z) + P(z)$, d'inconnues $(P,f,g)\in\C[X]^3$, avec $g,P$ unitaires.
 - Si $(P,f,g)$ vérifie $(*)$, trouver une relation entre les degrés de $P,f,g$.
 - On fixe $P$. Montrer l'existence de $(f,g)$ tel que $(P,f,g)$ vérifie $(*)$.
 - On fixe $(P,f)$. Y a-t-il unicité de $g$ tel que $(P,f,g)$ vérifie $(*)$ ?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 - Comme $\om$ n'est pas une puissance entière de $q$, les coefficients dominants de $\om f(z) g(qz)$ et $\om^2 f(qz) g(z)$ sont différents.  Leurs degrés sont les mêmes, dont nécessairement égaux à celui de $P$.
 - Prendre $g = 1$.
 - L'unicité est clair, par linéarité.
#+END_proof

# ID:7898
#+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 290]
Soit $\theta\in\C$ un nombre algébrique.
 - Montrer que l'ensemble des polynômes annulateurs de $\theta$ est l'ensemble des multiples d'un certain polynôme $P\in\Q[X]$ unitaire, déterminé de manière unique. On écrit $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$, avec $a_n = 1$, et on suppose $P$ à coefficients entiers, $\theta$ irrationnel et $a_0\geq 0$.
 - Montrer que $n\geq 2$, $a_0\gt 0$ et $\theta$ est racine simple de $P$.
 - On pose $Q = X^n P(1/X)$ et $f\colon z\mapsto \frac{P(z)}{Q(z)}$. Montrer que si $\theta^{-1}$ n'est pas un pôle de $f$, alors $a_0 = 1$ et $n$ est pair.
 - Montrer qu'il existe $r\gt 0$ et une suite $(b_n)$ d'entiers telle que pour tout $z\in D(0, r)$, on ait $f$ définie en $z$ et $f(z) = \sum_{n=0}^{+\i} b_n z^n$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - 
 - 
#+END_proof

# ID:7899
#+begin_exercice [X MP 2024 # 291]
Soit $M\in\M_n(\R)$.
 - Si $M$ est inversible, combien de coefficients de $M$ faut-il modifier au minimum pour la rendre non-inversible?
 - Si $M$ n'est pas inversible, combien de coefficients de $M$ faut-il modifier au minimum pour la rendre inversible?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Un coefficient suffit toujours (sur n'importe quelle ligne/colonne), car un des mineurs doit être non nul.
 - $n$ suffit toujours : les $n$ diagonaux.
#+END_proof

# ID:8095
#+begin_exercice [X MP 2024 # 292]
Soient $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, et $a,b\in\mc{L}(V)$. Pour $u,v\in\mc{L}(V)$, on pose $[u,v]=uv-vu$. On suppose que $a$ est nilpotent et que $[a,[a,b]]=0$. Montrer que $[a,b]$ et $ab$ sont nilpotents.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BA (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule.

on note $X = [a,b]$, de sorte que $X$ commute avec $a$ et $ab = ba + X$.

Le noyau de $a$ est stable par $ba$ et par $X$, donc par $ab$. Sur cette restriction, on a $ab = X$, qui est nilpotent.

Considérons $F_2 = \Ker a^2$. Il est stable par $X$. Qu'advient-il sous l'action de $ba$ ? On a $aba F_2 \subset ab F_1 \subset F_1$, donc $ba F_2 \subset a^{-1}(F_1) = F_2$, donc $F_2$ est stable par $ba$.

Par ailleurs, dans le quotient $F_2/F_1$, on a $ba$ qui est nul, donc $ab$ est nilpotent.
#+END_proof

# ID:7996
#+begin_exercice [X MP 2024 # 293]
Soit $V_0,\ldots,V_n$ des espaces vectoriels, $(v_0^+,\ldots,v_{n-1}^+)\in\mc{L}(V_0,V_1)\times\cdots\times \mc{L}(V_{n-1},V_n)$ et $(v_1^-,\ldots,v_n^-)\in\mc{L}(V_1,V_0)\times\cdots\times \mc{L}(V_n,V_{n-1})$. On suppose que $v_{i-1}^+\circ v_i^-=-v_{i+1}^-\circ v_i^+$ pour tout $i\in\db{1,n-1}$, et que $v_{n-1}^+\circ v_n^-=0$. Montrer que l'endomorphisme $v_1^-\circ v_0^+$ de $V_0$ est nilpotent. Déterminer l'indice de nilpotence maximal possible de $v_1^-\circ v_0^+$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Par récurrence sur $n$, on a $v_1^{-} v_0^+ \circ v_1^{-} v_0^+ \circ \dots \circ v_1^{-} v_0^+ = v_1^- \big(v_2^{-} v_1^+\big)^{n-1}v_0^+$ (et on peut ajouter un dernier espace $V_{n+1}  = \{0\}$ si besoin).

On donne un exemple où c'est atteint prendre $\{c_1,c_2,c3\}\ra \{b_1,b_2\}\ra \{a_1\} \ra \{0\}$, où $c_i$ est envoyé sur $b_i$ ou $0$ pour le dernier $c_i$, et $b_i$ est envoyé sur $c_{i+1}$.
#+END_proof

# ID:nil # Classique
#+begin_exercice [X MP 2024 # 294]
Pour tout $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\R)$ la matrice de permutation associée et, pour tout $k$, $n_k(\sigma)$ le nombre de cycles de longueur $k$ dans la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.
 - Soit $\sigma\in S_n$. Calculer, pour tout $k$, $\op{tr}(P_{\sigma}^k)$ en fonction des $n_r(\sigma)$.
 - En déduire que deux permutations $\sigma$, $\tau\in\mc{S}_n$ sont conjuguées dans $\mc{S}_n$ si et seulement si les matrices $P_{\sigma}$ et $P_{\tau}$ sont semblables.
#+end_exercice

# ID:7900
#+begin_exercice [X MP 2024 # 295]
Soient $V=\C^n$ et $T=(\C^*)^n$. Pour tout $v\in V$ et toute partie $H\subset V$, on note $H\cdot v=\{(h_1v_1,\ldots,h_nv_n),\ h\in H\}$.
 - Soit $v\in V$. Déterminer la nature topologique de $T\cdot v$. Preciser notamment son adherence.
 - Quels sont les sous-espaces $W\subset V$ tels que, pour tout $v\in T$, $W\cdot v=W$?
 - Dénombrer les familles $(W_i)_{i\in\db{0,n}}$ de sous-espaces vectoriels satisfaisant la condition de la question précédente et les inclusions strictes $W_0\subsetneq W_1\subsetneq\cdots\subsetneq W_n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - L'adhérence est l'ensemble des $n$-uplets qui sont nuls là où $v$ est nulle. C'est un sous-espace vectoriel.
 - Autrement dit, $v \cdot W = W$, pour tout $v\in T$. En particulier, stable par multiplication d'une coordonnée par $2$, donc si $W$ contient un vecteur avec une coordonnée non nulle en $e_i$, elle contient $e_i$. Donc $W$ est engendré par certains vecteurs de la base canonique.
 - On trouve $n!$.
#+END_proof

# ID: nil  # Manque la fin.
#+begin_exercice [X MP 2024 # 296]
Soient $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie non nulle et $\phi$ un morphisme de groupes de $\mathbb{U}$ dans $\op{GL}(V)$ tel que $\{0\}$ et $V$ soient les seuls sous-espaces vectoriels de $V$ stables par tous les $\phi(g)$ pour $g\in\mathbb{U}$.
 - Montrer que $\dim V=1$.
 - On suppose $f\colon\theta\in\R\mapsto\phi(e^{i\theta})$ dérivable en $0$. Déterminer $\phi$.
#+end_exercice

# ID:7901
#+begin_exercice [X MP 2024 # 297]
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\C)$. On dit que $(V,A,B)$ est une realisation de $M$ si :
 + $V$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension $d$,
 + $A=(a_1,\ldots,a_n)$ est une famille libre de formes linéaires sur $V$,
 + $B=(b_1,\ldots,b_n)$ est une famille libre de vecteurs de $V$,
 + pour tous $i,j$, $a_i(b_j)=m_{i,j}$.
On dit que $d$ est la dimension de la réalisation.
 - Montrer que si $M$ est realisée par un espace de dimension $d$, elle l'est aussi par un espace de dimension $d'\gt d$.
 - Trouver une realisation de la matrice $M_0=\left(\begin{matrix}1&-1\\ -1&1\end{matrix}\right)$
 - Trouver la dimension minimale d'une realisation de $M_0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Trivial.
 - Prendre comme vecteurs $\vvv{1}{-1}{0}$ et $\vvv{-1}{1}{2}$ dans $\R^3$.
 - Il s'agit de montrer que $M_0$ n'est pas réalisable dans $\R^2$. Si c'était le cas, on aurait une bijection entre l'espace et $\R^2$ via la donnée des deux formes linéaires.
#+END_proof

# ID:7902
#+begin_exercice Formule de Glauber [X MP 2024 # 298]
Soient $A,B\in\M_n(\R)$ commutant à $AB-BA$.
 - sV2 Simplifier $e^{At}B e^{-At}$.
 - Calculer $\exp(A+B)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On trouve $B + t[A,B]$
 - On doit trouver $e^A e^B e^{-1/2 [A,B]}$.

   On pose $U(t) = e^{tA} e^{tB}$. On a $U'(t) = e^{tA}(A+B)e^{tB} = (A+e^{At}B e^{-At}) U(t) = (A+B + t[A,B]) U(t)$.

   Ensuite poser $V = e^{-t^2/2 [A,B]} U(t)$.
#+END_proof

# ID:7903
#+begin_exercice [X MP 2024 # 299]
Soient $A,B,M\in\M_n(\R)$ telles que $\chi_A=\chi_B$ et $AM=MB$.
 - Montrer que, pour tous $r\in\N$ et $X\in\M_n(\R)$, on a $\op{tr}((A-MX)^r)=\op{tr}((B-XM)^r)$.
 - En déduire que, pour tout $X\in\M_n(\R)$, on a $\det(A-MX)=\det(B-XM)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Pour $r = 1$, ok.

   Pour $r = 2$, $(A-MX)^2 =  A^2 - AMX - MXA - (XM)^2$, et $BXM + XMB = AMX + XAM$.

   En général, on peut écrire le produit (sous la trace) comme $A^k MX A^q MX \dots$, et faire passer les $A^k$ à droite des $M$, en des $MB^k$, d'où l'égalité.
 - Conséquence directe de la question précédente.
#+END_proof

# ID:7904
#+begin_exercice [X MP 2024 # 300]
La matrice $\left(\begin{array}{cc}1&2024\\ 0&1\end{array}\right)$ peut-elle s'écrire $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1}$ avec $A\in\M_2(\R)$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Sur $\C$ on est co-trigonalisable. Sur la diagonale, on a $u,v$ tel que $\sin (u) = \sin (v) = 1$. Si $u\neq v$, on est diagonalisable, impossible.

Par ailleurs, $P(\begin{pmatrix}\la & u \\ 0 & \la\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}P(\la) & u P'(\la) \\ 0 & P(\la)\end{pmatrix}$, et si $\sin (u) = 1$, alors $\cos u = 0$, donc impossible.
#+END_proof

# ID: 7270
#+begin_exercice [X MP 2024 # 301]
Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. Soient $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose que : $ab-ba=f\circ v$ avec $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$.
 - Calculer $\det(ab-ba)$.
 - Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables.
#+end_exercice

# ID:8122
#+begin_exercice [X MP 2024 # 302]
Soit $\mc{A}$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$ stable par crochet de Lie : pour $M,N\in\mc{A}$, $[M,N]=MN-NM\in\mc{A}$.
 - On suppose que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme diagonalisable de $\mc{A}$. Montrer que $\forall M,N\in\mc{A}$, $[M,N]=0$.
 - On suppose que $\dim\mc{A}\leq 3$ et que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme nilpotent de $\mc{A}$. On pose $\mc{A}_0=\mc{A}$ et, pour $j\in\N$, $\mc{A}_{j+1}=\{[M,N],\ (M,N)\in\mc{A}_j^2\}$. Montrer que $\mc{A}_3=\{0\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Écrire $[X,Y] = \la Y$, avec $\la\neq 0$, alors $X = \sum \mu_i E_{i, Y}$ (vecteurs propres de $Y$) donc $[X,Y] = \sum \mu_i \la_i E_{i, Y} = \la Y$, et en appliquant à nouveau $\op{ad}_Y$ on devrait trouver $0$.
 - Il s'agit de montrer que $\dim [\mc A, \mc A] \lt \dim \mc A$.

   Si $\dim A = 1$ c'est clair.

   Si $\dim \mc A = 2$, avec $\mc A = \vect (U, V)$, tout crochet de Lie est colinéaire à $[U, V]$, donc $\dim [\mc A, \mc A]\leq 1$.

   Si $\dim \mc A = 3$, avec $\mc A = \vect (U, V, W)$. On peut voir $\op{ad}_{U},\dots,\op{ad}_{W}$ comme des matrices $3\times 3$, qui sont par ailleurs nilpotentes.

   On considère $\op{ad}_U$. Sa matrice est de la forme $\begin{pmatrix}0 & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix}$. Le bloc carré du bas doit être nilpotent, donc il existe $V$ tel que $\op{ad}_U(V) = \la U$. Alors $\op{ad}_U(W)\subset \vect(U, V)$, sinon, non nilpotent, et de même pour $\op{ad}_V(W)$, car sinon, non nilpotent ! Alors $[\mc A,\mc A]\subset \vect (U,V)$.
#+END_proof

# ID:7907
#+begin_exercice [X MP 2024 # 303]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Un drapeau de $E$ est une famille de sous-espaces $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ telle que $F_0\subsetneq F_1\subsetneq\cdots\subsetneq F_n$.
 - Soit $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ un drapeau de $E$. Déterminer $\dim F_k$ pour tout $k\in \db{0,n}$.

 - E On considére dorénavant deux drapeaux $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ et $(G_i)_{i\in\db{0,n}}$.
 - Soient $i\in\db{1,n}$, $j_0\in\db{0,n}$ tels que $F_{i-1}+G_{j_0}=F_i+G_{j_0}$. Montrer que, pour tout $j\geq j_0$, $F_{i-1}+G_j=F_i+G_j$.
 - Soit $i\in\db{1,n}$. Montrer qu'il existe $j\in\db{1,n}$ tel que $F_{i-1}+G_j=F_i+G_j$.
 - Montrer que l'application $\sigma$ qui à $i$ associe $\min\{j\in\db{1,n},\ F_{i-1}+G_j=F_i+G_j\}$ est une permutation de $\db{1,n}$.
 - Montrer qu'il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\ e_i\in F_i\cap G_{\sigma(i)}$.
 - s Soit $A\in\op{GL}_n(\mathbb{K})$. Montrer qu'il existe une unique permutation $\tau\in\mc{S}_n$ pour laquelle il existe deux matrices $U$ et $V$ triangulaires supérieures dans $\M_n(\mathbb{K})$ vérifiant $A=UP_{\tau}V$ ou $P_{\tau}=(\delta_{i,\tau(j)})_{1\leq i,j\leq n}$, et montrer qu'on peut en outre imposer que $1$ soit la seule valeur propre de $U$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Trivial.
 - Trivial.
 - nice
 - 
 - 
#+END_proof

# ID:7997
#+begin_exercice [X MP 2024 # 304]
On considére un groupe fini $G$ et un $\C$-espace vectoriel $V$ de dimension finie. Soit $\rho$ un morphisme injectif de $G$ dans $\mathrm{GL}(V)$.
 - Calculer $\mathrm{tr}(\rho(e))$ ou $e$ est le neutre de $G$.
 - Montrer que, pour tout $g\in G$, $\rho(g)$ est diagonalisable.
 - Montrer que, si $\mathrm{tr}(\rho(g))=\mathrm{tr}(\rho(e))$, alors $\rho(g)=\rho(e)$.
 - Soit $f\colon G\ra\C$. Pour $m\in\N$, on note $a_m=\sum_{g\in G}f(g)\left(\mathrm{tr}(\rho(g))\right)^m$. Démontrer qu'il existe $m\in\N$ tel que $a_m\neq 0$ lorsque $f(e)\neq 0$.
 - Montrer que $\Phi\colon z\mapsto\sum_{m=0}^{+\i}a_mz^m$ est une fonction rationnelle.
 - On prend $G=\mathfrak{S}_3$ et $\rho\colon\mathfrak{S}_3\ra\mathrm{GL}(V)$.

   Montrer qu'il existe une décomposition de $V$ sous la forme $\bigoplus_iE_i$ telle que :

   + $\forall i,\ \forall g\in G,\ E_i$ est stable par $\rho(g)$
   + $\forall i,\ \dim E_i\in\{1,2\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - $G$ est fini.
 - Les valeurs propres sont des racines $n$-ièmes de l'unité. Elles valent $1$ et $g$ est diagonalisable.
 - Les autres termes sont négligeables.
 - C'est clair. Le faire pour un élément $g\in G$ fixé.
 - Les valeurs propres sont $\pm 1$, ou $1, j,\ol{j}$. Prendre $\sigma = (1\, 2\, 3)$ et $\tau = (1\, 2)$.

   Comme l'autre trois cycle est $\sigma^{-1} = \tau \sigma \tau$, l'espace propre $E_1$ est stable par $\tau$, et $\tau$ envoie $E_{j}$ sur $E_{\ol{j}}$. Pour chaque $f\in E_j$, prendre $\vect f, \tau f$, qui est stable.
#+END_proof

# ID:7908
#+begin_exercice [X MP 2024 # 305]
Soit $d\geq 2$. On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $\delta_1,\delta_2\gt 0$ avec $\delta_1\neq\delta_2$. Soient $x_1,\ldots,x_n\in\R^d$. On suppose que $\forall i\neq j$, $\|x_i-x_j\|\in\{\delta_1,\delta_2\}$. Montrer que $n\leq\dfrac{(d+1)(d+4)}{2}$.

Ind. Montrer que les $f_i\colon y\mapsto\left(\left\|y-x_i\right\|^2-\delta_1^2\right)\left(\left\| y-x_i\right\|^2-\delta_2^2\right)$ sont linéairement indépendantes.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si on écrit une relation de liaison sur les $f_i$, en évaluant en $x_i$, on obtient que le coefficient en $f_i$ est nul.

Les $f_i$ appartiennent à un espace, de dimension : les constantes, les $\lN y\rN^4$, les $\lN y\rN^2$, les $y\mapsto \langle y, x_i\rangle \lN y\rN^2$, puis $y\mapsto C\langle y, x_i\rangle$, puis $y\mapsto \langle y, x_i\rangle^2$. Cette dernière partie engendre un espace de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$, auquel on peut ajouter les $\lN y\rN^2$.

On trouve comme dimension $1 + 1 + n + n + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+4)(n+1)}{2}$.
#+END_proof

# Relier à 3092
# ID:7909
#+begin_exercice [X MP 2024 # 306]
Pour $n\in\N^*$, soit $H_n=\big{\{}M\in\M_n(\{-1,1\}) \, \mid \, M^TM=nI_n\big{\}}$.
 - Déterminer $H_1$, $H_2$ et $H_3$.
 - Soit $n\geq 4$ tel que $H_n\neq\emptyset$. Montrer que $4$ divise $n$.
 - À l'aide de $A\in H_n$, construire une matrice $B\in H_{2n}$.
 - Soit $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 3\,[4]$. Montrer que $H_{p+1}$ n'est pas vide.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - En multipliant une ligne de la matrice par $-1$, on préserve l'orthogonalité des colonnes. On peut donc se ramener au cas où tous les coefficients de la première colonne valent $1$.

   Comme la première colonne est orthogonale à la seconde, la seconde doit avoir autant de coefficients $-1$ que de coefficients $1$, donc $n$ doit être pair.
   Comme $n\geq 3$, $H$ admet au moins trois colonnes. Quitte à permuter les lignes, on peut supposer que la seconde colonne contient $n/2$ coefficients $1$ sur sa première moitié, et $n/2$ coefficients $-1$ sur la seconde moitié.
    La troisième colonne $C_3$ a également autant de $1$ que de $-1$. Supposons que dans la première moitié de ses coefficients, elle ait strictement plus de $1$ que de $-1$. Alors le produit scalaire des premières moitiés des colonnes $2$ et $3$ est $\gt 0$. Mais la seconde moitié de $C_3$ doit alors avoir strictement plus de $-1$ que de $1$, donc les secondes moitiés ont également un produit scalaire $\gt 0$, ce qui contredit l'orthogonalité de $C_2$ et $C_3$. Il en va de même dans le cas inverse, ce qui démontre que la première moitié de $C_3$ doit avoir autant de coefficients $1$ que de $-1$, donc que $n$ doit être divisible par $4$.
 - Prendre $\begin{pmatrix}A & A \\ A & -A\end{pmatrix}$.
 - Si $p\equiv 3 [4]$, $-1$ n'est pas un carré ?

   On met des $1$ sur la première colonne, des $-1$ sur le reste de la première ligne, des $1$ sur la diagonale, et $\chi (i-j)$ sinon ($1$ ou $-1$ selon si c'est un carré).

   Le $-1$ de la première ligne compense le $1$ de la diagonale, donc toutes les colonnes sont orthogonales à la première.

   Plus généralement, si on prend deux colonnes $i,j$, on obtient, à deux termes près, $\sum_{a\in\Z/p\Z} \chi (a)\chi(a + (j-i))$. On a $\chi(a) = a^{\frac{p-1}{2}}$, et on peut développer $(a+k)^{\frac{p-1}{2}}$ avec le binôme, sachant que $\sum_{a\in\Z/p\Z} a^k = 0$, pour tout $k$.
#+END_proof

# ID:8076
#+begin_exercice [X MP 2024 # 307]
On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u\in\R^3$ unitaire.

Soient $\sigma_u\colon x\mapsto x-2\left\langle x,u\right\rangle u$ et $\Omega_u=\big\{x\in\R^3 \mid \left\langle x,u\right\rangle \geq 0\text{ et }\left\langle x,\sigma_u(x)\right\rangle\leq 0 \big\}$.
 - Décrire et représenter $\Omega_u$.
 - Montrer que $\Omega_u$ est auto-dual, c'est-à-dire que $\Omega_u=\big{\{}y\in\R^3\;;\;\forall x\in\Omega_u,\;\left\langle x,y\right\rangle\geq 0\big{\}}$.
 - On dit que $x\in\Omega_u$ est extrémal si $\colon\forall x_1,x_2\in\Omega_u$, $x=x_1+x_2\Rightarrow x,x_1,x_2$ colinéaires. Quels sont les points extrémaux de $\Omega_u$?
 - Si $f\in\mc{L}(\R^3)$, on dit que $f$ est extrémal si $f(\Omega_u)\subset\Omega_u$ et, pour tous $g,h\in\mc{L}(\R^3)$ tels que $f=g+h$, $g(\Omega_u)\subset\Omega_u$, $h(\Omega_u)\subset\Omega_u$, on a $f,g,h$ colinéaires.

   Déterminer les endomorphismes extrémaux de rang 1.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - La condition $\langle x, \sigma_u(x)\rangle \geq 0$ est équivalente à $\langle x, x\rangle - 2 \langle x, u\rangle^2 \leq 0$, c'est-à-dire $\langle x, u\rangle \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \lN x\rN$. C'est un cone d'angle $\frac{\pi}{4}$ autour de $u$.
 - 
 - 
 - Clairement, l'image doit être un point extrémal de $\Om_u$.

   Réciproquement, $f$ est de la forme $f(x) = \langle x, v\rangle w$. Il faut que $v\in \Om_u$, et que $v$ soit dans la frontière aussi. Dans ce cas, on est probablement extrémal.
#+END_proof

# ID:nil # bof
#+begin_exercice [X MP 2024 # 308]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $(v_1,\ldots,v_n)\in\R^n\setminus\{0\}$ et $r=\mathrm{rg}(v_1,\ldots,v_n)$. On cherche à quelle condition il existe une base orthonormée $(f_1,\ldots,f_n)$ de $\R^n$ et un projecteur orthogonal $p$ tels que $\colon\forall i\in\db{1,n}$, $p(f_i)=v_i$.
 - Traiter le cas $r=n$.
 - On suppose dans cette question que $n=2$ et $r=1$. Donner une condition nécessaire et suffisante dans ce cas.
#+end_exercice

# ID:7910
#+begin_exercice [X MP 2024 # 309]
Combien y a-t-il de matrices orthogonales de taille $n\in\N^*$ à coefficients dans $\Z$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
De norme $1$, donc $n!$.
#+END_proof

# ID:nil # Chiant
#+begin_exercice [X MP 2024 # 310]
Un produit scalaire hermitien $\Phi$ sur le $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\Phi:E\times E\ra\C$ telle que : $\forall y\in E$, $x\mapsto\Phi(x,y)$ est linéaire ; $\forall(x,y)\in E^2$, $\Phi(y,x)=\overline{\Phi(x,y)}$ ; $\forall x\in E\setminus\{0\}$, $\Phi(x,x)\gt 0$. On note alors $\|x\|=\sqrt{\Phi(x,x)}$ pour $x\in E$.
 - On munit $\C^2$ du produit scalaire hermitien tel que $\langle(x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=x_1\overline{y_1}+x_2\overline {y_2}$. Soit $T$ l'endomorphisme de $\C^2$ dont la matrice dans la base canonique est $\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$. Déterminer $\left\{\langle Tx,x\rangle\ ;\ x\in\C^2,\ \|x\|^2=1\right\}$.
 - On munit l'espace $\ell^2(\N,\C)$ des suites complexes $(u_n)_{n\geq 0}$ de carré sommable du produit scalaire défini par : $\langle u,v\rangle=\sum_{n=0}^{+\i}u_n\overline{v_n}$. Soit $T$ l'endomorphisme de $\ell^2(\N,\C)$ qui à $(u_n)_{n\geq 0}$ associe la suite $(u_{n+1})_{n\geq 0}$. Déterminer $\left\{\langle Tu,u\rangle\ ;\ u\in\ell^2(\N,\C),\ \|u\|^2=1\right\}$.
#+end_exercice

# ID:7911
#+begin_exercice [X MP 2024 # 311]
Soient $n\in\N^*$, $a_1\leq\cdots\leq a_n$ et $b_1\leq\cdots\leq b_n$ des nombres réels, $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n(\R)$ telles que $\chi_A=\prod_{k=1}^n(X-a_k)$ et $\chi_B=\prod_{k=1}^n(X-b_k)$. Montrer que $\op{tr}(AB)\leq\sum_{k=1}^na_kb_k$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Ajouter $I_n$ à l'une et l'autre des matrices, puis codiagonaliser.
#+END_proof

# ID:7912
#+begin_exercice [X MP 2024 # 312]
On munit l'espace $E=\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint de $E$. On note $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$ les valeurs propres de $u$. Soit $(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\ \langle u(e_i),e_i\rangle=\lambda_i$.

Montrer que $(e_1,...,e_n)$ est une base de vecteurs propres de $u$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a une matrice symétrique dont la diagonale est égale aux valeurs propres. En regardant la plus grand v.p, qui vaut $\langle A E_i, E_i\rangle$, on obtient que la $i$-ème colonne doit être $E_i$, etc.
#+END_proof

** Analyse

# ID:7735
#+begin_exercice [X MP 2024 # 313]
Soit $E$ un espace vectoriel normé. Que dire d'une partie $A$ de $E$ à la fois ouverte et fermée ?
#+end_exercice

# ID:7744
#+begin_exercice [X MP 2024 # 314]
Trouver une partie $A$ de $\R$ telle que $A$, $A^{\circ}$, $\overline{A}$, $\stackrel{{\circ}}{\ol{A}}$ et $\ol{\stackrel{\circ}{A}}$ soient toutes distinctes.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Partir de $\{\frac{1}{k},\,k\in\N^*\}$. Ajouter un petit intervalle fermé autour de chaque point.

Puis ajouter tous les rationnels de $[-1, 0]$.
#+END_proof

# ID:7745
#+begin_exercice [X MP 2024 # 315]
Soit $N$ une norme sur $\R^d$ (ou $d\geq 1$).
 - Montrer que la boule unite fermée pour $N$ est fermée, bornée, d'intérieur non vide, convexe et symétrique par rapport à $0$.
 - Soit $C$ une partie non vide de $E$, fermée, bornée, d'intérieur non vide, convexe et symétrique par rapport à $0$. Montrer qu'il existe une norme sur $\R^d$ dont $C$ est la boule unite fermée.
#+end_exercice

# ID:6707
#+begin_exercice [X MP 2024 # 316]
Soit $f\colon [0,1]\ra\R$.
 - Montrer que si $f$ est continue alors le graphe de $f$ noté $\Gamma_f$ est fermé dans $\R^2$. La réciproque est-elle vraie?
 - Montrer que si $\Gamma_f$ est compact alors $f$ est continue.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
#+END_proof

# ID:nil # Année précédente
#+begin_exercice [X MP 2024 # 317]
Soient $E$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\{-1,0,1\}$ et $A$ l'ensemble des racines des polynômes non nuls de $E$.
 - Trouver des propriétés de base sur $A$ (stabilité ou symétrie).
 - Montrer que, pour tout $a\in A$, $|a|\lt 2$.
 - Montrer que $\overline{A}=[-2,-1/2]\cup\{0\}\cup[1/2,2]$.
#+end_exercice

# ID:7746
#+begin_exercice [X MP 2024 # 318]
Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ muni de la norme infinie.
 - Soit $h_1\colon E\ra\R$ définie par $h_1(f)=\sum\limits_{p/q\in 0\cap[0,1]\atop p\wedge q=1}f \left(\frac{p}{q}\right)\frac{1}{q^3}$. Montrer que $h_1$ est bien définie et continue.
 - Soient $g\colon\R\ra\R$ croissante et $h_2\colon E\ra\R$ définie par $h_2(f)=\sup_{t\in[0,1]}g(f(t))$.

   Déterminer les points de continuité de $h_2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Sans difficulté.
 - On a $g_2(f) = g(\sup f)$. La fonction $f\mapsto \sup f$ est continue, donc si $\sup f$ est sur un point de continuité de $g$, on est continue.

   Sinon, clairement non continue.
#+END_proof

# ID:7905
#+begin_exercice [X MP 2024 # 319]
Existe-t-il une fonction continue $f\colon\C\ra\C$ telle que $f\circ f=\exp$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $\Im f = \C^*$. On peut écrire $f = \exp \circ h$, avec $h\circ \exp\circ h = \op{Id} + 2ik\pi$.

Donc $\exp$ doit être bijective… Impossible.

La difficulté est le relèvement : localement il existe un relèvement, et si on prend un chemin sur $\C$, il existe une unique façon de relever $f$ le long de ce chemin.
#+END_proof

# ID:8052
#+begin_exercice [X MP 2024 # 320]
 - Soit $A\in\M_n(\R)$, exprimer la norme subordonnée de $A$ relative à la norme infinie, puis à la norme $1$.
 - Montrer que si $\|A\|_{\mathrm{op},\i}\leq 1$ et $\|A\|_{\mathrm{op},1}\leq 1$, alors $\|A\|_{\mathrm{op},2}\leq 1$.
 - Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, montrer que $\inf_{B\notin\mathrm{GL}_n(\R)}\|B-A\|_{\mathrm{op},2}=\sqrt{\lambda_{ 1}}$, ou $\lambda_1$ est la plus petite valeur propre de $AA^T$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Pour la norme infinie, c'est $\max_{1\leq i\leq n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|$.

   Pour la norme $1$, c'est $\max_{1\leq j\leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|$.
 - On a $\lN A \rN_2 \leq \sqrt{\lN A\rN_1 \cdot \lN A\rN_{\i}}$ (normes subordonnées), car $\lN x\rN_2^2 \leq \lN x\rN_1 \lN x\rN_{\i}$, donc $\forall x,\, \frac{\lN Ax\rN_2^2}{\lN x\rN^2} \leq \lN A\rN_1 \lN A\rN_{\i}$.
 - On prend une racine de $A A^T$, on a $A A^T = (P D) (PD)^T$, avec $P$ orthogonale, donc $D^{-1}P^TA$ est orthogonale, donc $A = P D Q$. Ce qui ramène la question à gérer une matrice diagonale.
#+END_proof

# ID:7747
#+begin_exercice [X MP 2024 # 321]
Soit $(u_n)$ une suite réelle majorée telle que $\forall n\in\N^*,\, u_n = \frac{1}{n}\sum_{k=n+1}^{2n} u_k$. Montrer que $(u_n)$ est constante.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
D'après le CG. Il y a une suite de termes, de plus en plus grand. et une suite de termes, de plus en plus petits. On encadre un petit par deux grands. $G_1 \leq p \leq G_2$.

Si la suite est positive, alors $G_1 u_{G_1} + G_2 u_{G_2}$ contient une proportion non triviale de $p u_p$, et sont majorés. C'est impossible.
#+END_proof

# ID:7668
#+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 322]
On définit la suite $(z_n)$ par $z_0\in\C^*$ et, pour tout $n\in\N$, $z_{n+1} = \frac{1}{2}\left(z_n + \frac{1}{z_n}\right)$.
 - Lorsque $z_0\in\R^*$, étudier l'existence de la suite $(z_n)$ et sa convergence.
 - Même question lorsque $z_0\in\C^*$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 - $\R_+^*,\R_-^*$ stables. On a $z_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{(z_n - \sqrt{2})^2}{2z_n}$, donc si $z_n$ est proche de $\sqrt{2}$, c'est plié. Pour $z_n$ positif, si $|z_n|\geq 2$, $z_{n+1}\lt z_n$.
 - On a $|z_{n+1} - \sqrt{2}| = |z_n - \sqrt{2}| \frac{|z_n - \sqrt{2}|}{2 |z_n|}$, donc si $|z_n|\geq 2$, on se rapproche de $\sqrt{2}$.

   Par ailleurs, si $\Re(z_0)\gt 0$, on est bien défini et l'argument de $(z_n)$ décroît (en valeur absolue). Cela justifie que l'on ne peut pas s'approcher de $0$, donc $(z_n)$ est bornée, et toute valeur d'adhérence est réelle (sinon, on diminue strictement l'argument).

   Idem si $\Re(z)\lt 0$. Si $\re(z) = 0$, on tombe sur un des cas précédents.
#+END_proof

# ID:7669
#+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 323]
 - Si $n\in\N^*$, montrer que l'équation $\sum_{k=1}^n x^k = 1$ admet une unique solution dans $\R_+$ que l'on note $a_n$.
 - Montrer que $(a_n)_{n\geq 1}$ converge vers une limite $\l$ à déterminer. Donner un équivalent de $a_n - \l$.
#+END_exercice

# ID:7920
#+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 324]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite strictement décroissante à termes dans $\interval]{0, 1}[$. Soient $\a\gt 0$ et $(u_n)$ définie par $u_0\geq 0$ et $\forall n\in\N,\, u_{n+1} = u_n (u_n^{\a} + a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\geq 0$ tel que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\gt 0$. Déterminer alors cette limite.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Si $u_0$ est assez petit, $u_n^{\a} + a_n \lt 1$. Si $u_0\gt 1$, on tend vers $+\i$. L'unicité est claire. Pour l'existence : les ensembles où $u_n \ra +\i$ et $u_n \ra 0$ sont ouverts.

Pour la valeur critique, on aura $u_n^\a \ra \lim a_n$.
#+END_proof

# ID:8053
#+begin_exercice [X MP 2024 # 325]
 - Soient $a,b\in\N^*$ avec $a\wedge b=1$. Montrer l'existence de $N\in\N^*$ tel que, pour tout $n\geq N$, il existe $(u,v)\in\N^2$ vérifiant $n=au+bv$.
 - Soit $(s_n)_{n\geq 1}$ une suite strictement croissante d'éléments de $\N\setminus\{0,1\}$. On suppose que l'ensemble $S=\{s_n,\ n\in\N^*\}$ est stable par produit.

   Montrer que $\frac{s_{n+1}}{s_n}\ra 1$ si et seulement s'il existe $p,q\in\N^*$ tels que $\frac{\ln(s_p)}{\ln(s_q)}\not\in\Q$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Si tous les quotients sont rationnels, chaque $s_i$ s'écrit $s_0^{r}$. Il suffit de vérifier que l'ensemble $s_0^{\Q}\cap \N$ a des trous. C'est clair.

   Réciproquement, on peut supposer deux éléments $s_1,s_2$ dont le quotient ne soit pas rationnel, et on traite le cas où $S = \{s_1^n s_2^m\}$.
#+END_proof

# ID:8054
#+begin_exercice [X MP 2024 # 326]
Soit $f\colon\R\ra\R$ 1-périodique.

On définit $\colon\forall S\in\R^{\N^*},\ \forall n\in\N^*,\ M_n(f,S)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(S_k)$.
 - Montrer que la suite $(M_n(f,S))$ converge pour toute suite $S$ si et seulement si $f$ est constante.
 - On dit qu'une suite réelle $(u_n)$ est équirépartie modulo 1 lorsque pour tout fonction continue $1$-périodique, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(u_k)\tend{n\ra+\i}\int_0^1f(x) dx$.

   Montrer que la suite $(\sqrt{n})$ est équirépartie modulo 1.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Clair.
 - Il suffit de le vérifier sur des fonctions en escaliers.
#+END_proof

# ID:7670
#+begin_exercice [X MP 2024 # 327]
Calculer la somme de la série de terme general $n^2 2^{-(n+1)}$.
#+end_exercice

# ID:nil # Classique
#+begin_exercice [X MP 2024 # 328]
Soit $\phi\colon\N^*\ra\N^*$ injective. Nature de $\sum\frac{\phi(n)}{n^2}$ ?
#+end_exercice

# ID:7922
#+begin_exercice [X MP 2024 # 329]
Déterminer la nature de la série $\sum\frac{\sin(\pi\sqrt{n})}{n^{\alpha}}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On regroupe, suivant la périodicité de $\sin$, sur des intervalles de longueur $O(\sqrt{n})$. Pour que la somme sur un morceau tende vers $0$, il faut que $\a\gt 1/2$.

Réciproquement, sous cette condition, la somme de deux paquets consécutifs est en $O(\frac{1}{n^{\a}})$, ce qui donne $O(\frac{1}{n^{2\a}})$, donc on converge.
#+END_proof

# ID:7998
#+begin_exercice [X MP 2024 # 330]
Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que la série $\sum u_n$ converge.

Montrer que la série de terme general $v_n=\frac{1}{1+n^2u_n}$ diverge.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $\sum \frac{1}{1+n^2u_n}$ converge, alors $n^2 u_n \ra +\i$, donc (équivalent), $\sum \frac{1}{n^2 u_n}$ converge, mais Cauchy-Schwarz donne $\sum \frac{1}{n}$ converge.
#+END_proof

# ID:8119
#+begin_exercice [X MP 2024 # 331]
 - Soit $(u_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\xrightarrow[n\ra+\i]{}a\gt 0$. Déterminer la nature de $(S_n)$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_n}\sum_{k=0}^nku_k$.
 - Soient $(u_n)_{n\geq 0},(v_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$ et $T_n=v_0+\cdots+v_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\tend{n\ra+\i}a\in\R_+^{*}$ et $\frac{T_n}{nv_n}\tend{n\ra+\i}b\in\R_+^{*}$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_nv_n}\sum_{k=0}^nu_kv_k$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $(S_n)$ est croissante. Si elle convergeait, on aurait $u_n \sim \frac{\l}{n}$, contradiction.

   Alors par sommation des équivalents, $\sum ku_k \sim \frac{1}{a}\sum S_k = \frac{1}{a}\sum (n-k) u_k$. En séparant, on obtient $\frac{\sum k u_k}{u_n}\sim \frac{n S_n}{u_n} \frac{1}{a (1+1/a)} \sim \frac{n^2}{a + 1}$.
 - On peut appliquer le même raisonnement à $\sum u_k k^{\b}$ : on fait Abel, et on obtient deux séries équivalentes (à un facteur) + le crochet. Mais cela ne tient que si $\sum u_k k^{\b}$ diverge. On utilise uniquement que $(k+1)^{\b} - k^{\b} \sim \frac{k^{\b}}{k}$.

   On peut montrer que $u_{n+1}\sim u_n$, puis que $u_{n+1} - u_n$.

   Sous l'hypothèse que $\sum u_k v_k$ diverge, on peut remplacer $u_k v_k$ par $U_k = \frac{S_k}{k}$ et $V_k =\frac{T_k}{k}$, et on peut vérifier que $U_{k+1} - U_k \sim \frac{u_k}{k}\sim \frac{U_{k+1}}{U_k}$, ce qui permet de faire la transformation d'Abel précédente, sur les $U_k$.

   Si $\sum u_k v_k$ converge (ce qui est possible), on ne peut rien dire, si ce n'est qu'on est équivalent à la somme divisé par $\frac{1}{u_n v_n}$.
#+END_proof

# ID:7923
#+begin_exercice [X MP 2024 # 332]
Déterminer les fonctions dérivables $f\colon\R\ra\R$ telles que $\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x)f(y)=f(x+yf(x))$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On trouve $f(0) = 1$ (sauf fonction nulle). Par ailleurs, si $f(y) = 0$, on obtient $\forall x,\, f(x + y f(x)) = 0$.

En dérivant, on a $f(x) f'(y) = f(x) f'(x + y f(x))$ et $f'(x) f(y) = (1+y f'(x)) f'(x+y f(x))$.

Si $f(x)\neq 0$, on obtient $f'(x) f(y) = f'(y) (1+y f'(x))$, donc $\frac{f'(y}{f(y)} = \frac{f'(x)}{1 + y f'(x)}$, donc $\ln (f(y)) = \ln (1 + y f'(x)) + C$ (au vois de $0$), donc $f(y) = C (1 + y C')$ (sur un voisinage de $0$).

Par ailleurs, ceci étant vrai pour tout $x$, on obtient que $f'$ est constant là où $f$ est non nulle. D'après essentiellement le théorème de limite de la dérivée, $f'$ est constante partout, donc $f$ est affine.
#+END_proof

# ID:8066
#+begin_exercice [X MP 2024 # 333]
Soit $f\colon\N^*\ra\R$ telle que $f(mn)=f(m)+f(n)$ pour tous $m,n\geq 1$.
 - On suppose $f$ croissante. Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que $\colon\forall n\in\N^*,\, f(n)=c\ln n$.
 - On suppose que $f(n+1)-f(n)\ra 0$ quand $n\ra+\i$. Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que : $\forall n\in\N^*$, $f(n)=c\ln n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Sans difficulté. $f$ est déterminée par l'image des nombres premiers, et la croissance montre que les images doivent être les mêmes.
 - On peut supposer $f(2) = 0$. Alors, si il existe $p$ tel que $f(p)\gt 0$, en considérant $2^{p-1}-1$, on obtient l'existence de nombre premiers tels que $f(q)\lt 0$.

   En fait, via Cesàro directement, on aurait $f(n) = o_{+\i}(n)$. En utilisant d'une part $f(2^p) = 0$ et plus généralement $f(2x) = f(x)$, il suffit de $\ln n$ opérations pour passer de $n$ à $1$, donc $f(n) = o_{+\i}(\ln n)$, ce qui implique $f(p) = 0$ pour tout $p$. Easy.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2024 # 334]
Soit $E$ l'ensemble des $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ telles que $f\underset{+\i}{\longrightarrow}0$.

Si $f\in E$, on pose $\Delta(f):x\mapsto f(x+1)-f(x)$.
 - Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $E$. Est-ce un automorphisme ? !! (surjectivité ? Sous la forme d'une série ?)
 - Soient $f\in E$, $x\in\R$ et $n\in\N^*$.

Montrer qu'il existe $x_n\in\left]x,x+n\right[$ tel que $\Delta^n(f)(x)=f^{(n)}(x_n)$.

Ind. Étudier $y\mapsto f(x+y)$ et $y\mapsto\sum_{k=0}^n\dfrac{y(y-1)\cdots(y-k+1)}{k!}\,\Delta^k(f)(x)$.
#+end_exercice

# ID:7942
#+begin_exercice [X MP 2024 # 335]
Déterminer les $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telles que $\forall x\in[0,1]$, $f(x)=2(f(x/2)+f(1-x/2))$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Dériver deux fois, on obtient que $f''$ est une moyenne. Considérer le maximum/minimum.
#+END_proof

# ID:8121
#+begin_exercice [X MP 2024 # 336]
Soient $N$ et $d$ deux entiers supérieurs ou egaux à 1. On pose $D=\db{-N,N}^d$ et on note $(e_1,\ldots,e_d)$ la base canonique de $\R^d$.

On note $\partial D=\left\{\sum_{i=1}^dx_ie_i\,;\,(x_1,\ldots,x_n)\in D,\; \exists i\in\db{1,d},\;|x_i|=N\right\}$ et $\overset{\circ}{D}=D\setminus\partial D$.

Pour $i\in\db{1,d}$ et $u\colon D\ra\R$, on pose $\forall x\in\overset{\circ}{D},\,\Delta_iu(x)=2u(x)-u(x+e_i)-u(x-e_i)$.

On pose, pour $x\in\overset{\circ}{D}$, $Mu(x)=\prod_{i=1}^d\Delta_iu(x)$.
 - Construire une fonction $u\colon D\ra\R^+$ concave, i.e. vérifiant $\forall i\in\db{1,d},\, \Delta_iu\geq 0$, telle que $\forall x\in\overset{\circ}{D},Mu(x)\gt 0$ et $u|_{\partial D}=0$.

   Pour $f\colon\overset{\circ}{D}\ra\R^+$ fixée, on note $A$ l'ensemble des $h\colon D\ra\R^+$ concaves, nulles sur $\partial D$ et telles que $Mh\geq f$. Soit $u\colon x\mapsto\inf_{h\in A}h(x)$.
 - Montrer que $A$ est non vide.
 - Montrer que $u\in A$ et que $Mu=f$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Prendre $u = prod (N^2 - x_i^2)$
 - L'ensemble $D$ est fini.
 - L'inf de fonctions concaves est concave, et on a $Mh\geq f$. Si $Mh \gt f$ en un point, alors en ce point on a $\Delta_i h(x)\gt 0$. On peut retirer à $h$ un petit multiple du $u$ de la première question, pour $N = 1$, on préserve la convexité en $x$ et on diminue $Mh$.

   Prenons $f$ nulle partout, sauf en un point $a$. On va prendre une fonction concave, nulle partout, avec une valeur différente $v$ en $a$, de sorte que $(2v)^n = a$. Alors cela contribue le bon $\Delta$ en $a$, et en $a + e_i$ par exemple, les autres $\Delta_j$ sont nuls, donc effacent la contribution.

   Comment diminuer $M(u)$ en un point $a$, où $M(u)(a)\gt 0$ ? On diminue la valeur $u(a)$ : cela diminue $M(u) (a)$, mais cela augmente les $M(u)$ des voisins. Ce n'est pas grave.
#+END_proof

# ID:218
#+begin_exercice [X MP 2024 # 337]
Si $f$ est une fonction de $[0,1]$ dans $\R$, on note $V(f)$ la borne supérieure, dans $[0,+\i]$, de l'ensemble $\left\{\sum_{k=0}^{n-1}|f(a_{k+1}-f(a_k)|\;;\;n\in\N^*,0\leq a_0\leq a_1\cdots\leq a_n\leq 1\right\}$. On note $VB$ l'ensemble des fonctions $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ telles que $V(f)\lt +\i$.
 - Montrer que $VB$ est un sous-espace de l'espace vectoriel des fonctions $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ contenant les fonctions monotones et les fonctions lipschitziennes.
 - Donner un exemple de fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$ n'appartenant pas à $VB$.
 - Montrer qu'une fonction $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ est dans $VB$ si et seulement si elle est différence deux fonctions croissantes de $[0,1]$ dans $\R$.
 - Soit $f\in\R^{[0,1]}$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
   + $\forall g\in[0,1]^{[0,1]},V(g)\lt +\i\implies V(f\circ g)\lt +\i$;
   + $f$ est lipschitzienne.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - 
 - 
 - $\leftarrow$ est claire. Pour la réciproque, si $f$ n'est pas lipschitzienne, il existe des $x_n,y_n$ pour lesquels $\frac{|f(x_n) - f(y_n)|}{x_n - y_n}\ra +\i$. On peut les prendre arbitrairement proche, et $x_n \ra a$. On prend alors une fonction qui oscille si nécessaire plusieurs fois entre $x_n$ et $y_n$, puis passe à un suivant (assez proche de $a$).

#+END_proof

# ID:7883
#+begin_exercice [X MP 2024 # 338]
 1. Soit $f\colon\R^{+*}\ra\R$ une fonction convexe.
    - Montrer qu'il existe $\ell\in\overline{\R}$ tel que $\frac{f(x)}{x}\tend{x\ra+\i}\ell$; déterminer les valeurs possibles de $\ell$.
    - Si $\ell\in\R$, montrer que $f(x)-\ell x$ possède une limite dans $\overline{\R}$ quand $x$ tend vers $+\i$ et déterminer les limites possibles.
 2. Soient $f,g$ convexes et continues sur $[0,1]$ vérifiant $\max(f,g)\geq 0$.

    Montrer qu'il existe $\alpha,\beta$ positifs et non tous nuls tels que $\alpha f+\beta g\geq 0$.
 3. Soient $f_1,\ldots,f_n:[0,1]\ra\R$ convexes et continues vérifiant $\max(f_1,\ldots,f_n)\geq 0$.

    Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ positifs et non tous nuls vérifiant $\sum_{k=1}^n\alpha_kf_k\geq 0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
    1.
    2.
 2. Les points où $f/g$ sont $\lt 0$ forment deux intervalles disjoints. Entre les deux, les fonctions s'intersectent en un point. En ce point, tu as des tangentes, et il suffit de prendre un barycentre des tangentes qui fait une droite verticale.
 3. Récurrence triviale.
#+END_proof

# ID:8055
#+begin_exercice [X MP 2024 # 339]
Soient $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$. Montrer l'équivalence entre :
 + $f$ n'est pas polynomiale,
 + $\vect \big(\{x\mapsto f(\alpha x+\beta)\;;(\alpha,\beta)\in\R^2\}\big)$ est dense dans $\mc C^0([a,b],\R)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Clairement, si $f$ est polynomiale, ce n'est pas dense.

Réciproquement, si $f$ n'est pas polynomiale, on montre que l'adhérence du vect contient les polynômes.
 + Il contient directement les fonctions constantes ($\a = 0$, et $f$ non constante)
 + Il contient $x\mapsto f'(0) x$, car en grossissant $f$, on voit
   apparaître sa tangente.
   Il existe un point en lequel $f'(x_0)\neq 0$, donc on obtient une fonction affine.

   Formellement, si $f'(0)\neq 0$, on considère $g_{n}\colon n(f(x/n) - f(0))$.
 + Pour $x^2$, idem en utilisant un $DL_2$ de $f$, en un point où $f''(0)\neq 0$.
#+END_proof

# ID:8056
#+begin_exercice [X MP 2024 # 340]
Soient $F$ un fermé de $\R$, $O=\R\setminus F$.
 - Montrer que $O$ est reunion dénombrable d'intervalles ouverts bornés.
 - Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $\mc C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Prendre $e^{-1/d(x, F)^2}$
#+END_proof

# ID:8067
#+begin_exercice [X MP 2024 # 341]
On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\;\|_{\i}$.

Pour $f\in E$, soit $T(f)\colon t\in[0,1]\mapsto\sup_{[0,t]}(f)-f(t)$. Soit $f\in E$.
 - Montrer que $T(f)$ est continue, que $T(f)\geq 0$ et que $T(f)(0)=0$.
 - Montrer que la suite $(\|T^n(f)\|)_{n\geq 0}$ est décroissante.
 - Si $f$ est $K$-lipschitzienne, montrer que $T(f)$ est lipschitzienne.
 - Soit $f\in E$ lipschitzienne. Montrer que $(T^nf)$ converge uniformément vers la fonction nulle.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Classique.
 - Simple.
 - Simple, $T(f)$ est directement $2K$-lips. En fait $T(f)$ est $K$-lip : prendre $t$ et $u\geq 0$ deux points.

   $T(f)(t) - T(f)(t+u)$. Si les deux sups sont au même point c'est trivial, sinon le sup sur $[0, t+u]$ est atteint en $[0, t+u_0]$, et $\sup_{[0,t]} f$ est atteint une autre fois entre $t$ et $t+u_0$. On obtient deux différences sur deux segments dont la somme des tailles est $\leq u$.
 - La suite $\lN T^n(f)\rN$ est décroissante. Si elle converge vers $L_n$, on note $x_n$ le premier point où il est atteint.

   On a $L_{n+1} = \sup_{[0, x_{n+1}]} f_n - f_n(x_{n+1})$. En particulier, il faut que $f_n(x_{n+1}) \leq L_n - L_{n+1}$, ce qui implique que $x_{n+1}$ est éloigné de $x_n$.

   Considérons plutôt $x_n$ le premier point où on est $\geq L$. Alors $(x_n)$ est croissant, et $x_{n+1}$ doit être éloigné de $x_n$, contradiction.
#+END_proof

# ID:nil # Classique
#+begin_exercice [X MP 2024 # 342]
Soit $f:[0,1]\ra[-a,b]$ continue, ou $a$ et $b$ sont dans $\R^+$. On suppose que $\int_0^1f(t)dt=0$.

Montrer que $\int_0^1f(t)^2dt\leq ab$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Intégrer $(b-f)(f + a)$.
#+END_proof

# ID:8000
#+begin_exercice [X MP 2024 # 343]
Pour $r\in\R$ et $n\in\N$, soit $D_n(r)=\int_{-1}^1(1-x^2)^n\cos(rx)dx$.
 - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n$ et $Q_n$ des polynômes à coefficients entiers de degré au plus $n$ tels que, pour tout $r\in\R$, $D_n(r)=\frac{n!}{r^{2n+1}}(P_n(r)\cos(r)+Q_n(r)\sin(r))$.
 - En déduire que $\pi$ est irrationnel.
#+end_exercice

# ID:7464
#+begin_exercice [X MP 2024 # 344]
Soient $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ à support compact et $E$ l'ensemble des fonctions $\phi$ de $\R$ dans $\R$, de classe $\mc C^1$ bornées par $1$. Déterminer $\sup\bigg{\{}\int_{-\i}^{+\i}f\phi'\;;\;\phi\in E \bigg{\}}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est $\int_{-\i}^{+\i} |f|$. On peut approcher $f$ de manière uniforme par des fonctions polynomiales.

Pour une fonction polynomiale, l'intégrale est proche de $\int_{-\i}^{+\i} |f| 1_{|f|\geq \eps}$.
#+END_proof

# ID:8027
#+begin_exercice [X MP 2024 # 345]
Nature de $\int_0^{+\i}\frac{e^x}{e^{-x}+e^{2x}|\sin x|}\dx$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On est ramené à une série, de $\int_0^{\pi} \frac{e^{x+n\pi}}{e^{-x-n\pi} + e^{2x + 2n\pi} \sin x}$, dont on cherche un équivalent. En fait, plutôt couper en $\frac{\pi}{2}$. C'est $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t e^x}{e^{-x}/t + e^{2x} t^2 \sin x}\dx$, dont on veut un équivalent quand $t\ra +\i$. Écrivons $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t^2 e^x}{e^{-x} + e^{2x} t^3 \sin x}\dx$ $\geq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t^2e^x}{1 + e^{2x} t^3}$ qui est manifestement en $\frac{1}{t}$.
#+END_proof

# ID:7696
#+begin_exercice [X MP 2024 # 346]
Soit $f\colon\R\ra\R$ intégrable et lipschitzienne. Peut-il exister un réel $x$ non nul tel que la série de terme general $f(nx)$ diverge?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $f$ est lipschitzienne, $f^2$ est intégrable, et on peut majorer $|f(nx)|$ par l'intégrale d'un triangle de pente $1$ autour de $f(nx)$.

Si $f$ est $1$-lip, $\int_{nx - |f(nx)|}^{nx + |f(nx)|} \geq f(nx)^2$. Si $\sum f(nx)^2$ converge, il en va de même de $\sum f(nx)$ (car $f$ est lip) : $f(nx)\leq 1$ APCR.

Et pour la même raison, les intégrales précédentes sont disjointes, APCR.
#+END_proof

# ID:7924
#+begin_exercice [X MP 2024 # 347]
Soit $(f_n)$ une suite de $\mc C^1([0,1],\R)$ convergeant uniformément vers une fonction $f$ sur $[0,1]$. On suppose que, pour toute fonction $g\in\mc C^1([0,1],\R)$, $\int_0^1f'_ng\longrightarrow 0$ quand $n\ra+\i$. Que dire de $f$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On obtient, que pour toute fonction continuen $g'$ vérifiant $\int g' = 0$, $\int f g' = 0$, donc $f$ est constante.
#+END_proof

# ID:8057
#+begin_exercice [X MP 2024 # 347]
Soit $x\in\R$. Calculer $\sum_{n\in\N^*}\frac{\cos(nx)}{n^2}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est censé être $\frac{x^2}{4} - \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi^2}{6}$.

On prend une somme partielle jusqu'à $N$, que l'on dérive en $S_N(x) = \sum_{n=1}^N -\frac{\sin nx}{n}$, et une seconde fois en $S_N'(x) = \sum_{n=1}^N \cos x$. Il suffit de traiter des $x$ sympas, pour lesquels $S_N(x) = \frac{1}{2}\int_0^x \frac{\sin \left(\frac{Nt}{2}\right) \sin \left(\frac{(N+1)t}{2}\right)}{\sin \frac{t}{2}} \dt - \frac{x}{2}$, quand $N\ra +\i$, on prend la limite, et on trouve $\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$, si on montre une sorte d'uniformité, de la convergence, on est bon.
#+END_proof

# ID:8068
#+begin_exercice [X MP 2024 # 348]
Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\big(1-(1-e^{-n})^x\big)\sim\ln(x)$ quand $x\ra+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Comparaison série intégrale, changement $t = \ln x u$ et convergence dominée. Éventuellement Bernoulli : $1 - (1-e^{-a})^x\leq x e^{-a}$.
#+END_proof

# ID:8077
#+begin_exercice [X MP 2024 # 349]
Soit $q\in\R^*$. Soit $a\in\mc C^0(\R,\R^*)$. Soit $m,M$ deux réels vérifiant $:0\lt m\lt M$ et $m\leq|a|\leq M$. On suppose egalement que $m\gt 2$ ou $M\lt \frac{1}{2}$. Montrer qu'il existe une unique fonction $F\colon\R\ra\R^*$ continue et bornée vérifiant $\colon\forall t\in\R,F(t)=1+\frac{F(qt)}{a(t)}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
L'application $T\colon F\mapsto 1 + \frac{F(qt)}{a(t)}$ est $\frac{1}{2}$-lips. La suite $(T^n(f))$ converge, car $\sum \lN T^{(n+1)}(f) - T^n(f)\rN$ converge.
#+END_proof

# ID:223
#+begin_exercice [X MP 2024 # 350]
Soit $\sum a_nz^n$ une série entière dont le rayon de convergence appartient à $]0,+\i[$. Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_n z^{n^2}$.
#+end_exercice

# ID:8078
#+begin_exercice [X MP 2024 # 351]
Soit $x\gt 0$.
 - Montrer que $\colon\forall n\in\N,\sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k\frac{x^k}{k!}\lt e^{-x}\lt  \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{x^k}{k!}$.
 - Montrer que $\colon\forall n\in\N,\sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\lt  \arctan x\lt \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$.
 - s Montrer que $\forall n\in\N,\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{(-1)^kx^{2k}}{4^k(k!)^2}\lt  \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}\dt\lt \sum_{k=0 }^{2n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{4^k(k!)^2}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Étude de fonction, ou Taylor-Lagrange.
 - Revient à trouver le signe des dérivées successives de $\arctan x$,
   via décomposition en éléments simples.
 - On peut développer $\cos(xt)$ en série pour trouver le développement en série entière (il y a une intégrale de type Wallis). Pour le signe des dérivées, il faut dériver l'intégrale.
#+END_proof

# ID:8079
#+begin_exercice [X MP 2024 # 352]
Montrer que, pour tous $r\in \interval]{0, 1}[$ et $\theta\in\R$, $\ln\left|1-re^{i\theta}\right|=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{r^n}{n}\cos(n\theta)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Vérifier que les dérivées coïncident.
#+END_proof

# ID:nil # Classique
#+begin_exercice [X MP 2024 # 353]
Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $\forall n\in\N,\ \forall x\in\R,\ f^{(n)}(x)\geq 0$.
 - On suppose que $f(0)=0$. Montrer que $\forall x\leq 0,\ f(x)=0$.
 - On suppose que $f(0)=0$. Montrer que $\forall x\geq 0,\forall n\in\N^*,\ f(x)\leq\frac{x}{n}f^{ '}(x)$. Que peut-on en déduire?
 - Démontrer que $\forall x\in\R$, $\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\xrightarrow[n\ra+\i]{}f(x)$.
#+end_exercice

# ID:8080
#+begin_exercice [X MP 2024 # 354]
Soit $(L_n)_{n\geq 0}$ définie par $L_0=L_1=1$ et, si $n\geq 1$, $L_{n+1}=(n+1)L_n-\binom{n}{2}L_{n-2}$, avec $L_{-1}=0$. On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{L_n}{n!}\,x^n$.
 - Montrer que le rayon de convergence de $f$ est strictement positif.
 - Montrer que $\frac{L_n}{n!}\ra 0$.
 - Déterminer $f$. Ind. Trouver une équation différentielle vérifiée par $f$.
 - En déduire un équivalent de $\frac{L_n}{n!}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - $(1-x) f'(x) = 1 + (1 - \frac{x^2}{2})f(x)$
 - On trouve $f(x)$ de l'ordre de $(1-x)^{-1/2}$, puis formule de Cauchy, je pense.
#+END_proof

# ID:8002
#+begin_exercice [X MP 2024 # 355]
Une série $\sum_{n\geq 0}a_n$ est dite primitive lorsqu'elle est à termes entiers et il n'existe pas d'entier $d\gt 1$ divisant tous les $a_n$.
 - Soit $\sum_{n\geq 0}a_n$ et $\sum_{n\geq 0}b_n$ deux séries primitives. Montrer que leur produit de Cauchy est une série primitive.
 - Soit $F(z)=\sum_{n\in\N}c_nz^n$, ou $c_n\in\Z$ pour tout $n$, telle qu'il existe $P$ et $Q$ dans $\C[X]$ avec $P\wedge Q=1$ et $Q(0)=1$, tels que, pour $z$ voisin de 0, on ait $F(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$. Montrer que $(P,Q)\in\Q[X]^2$.
 - s À Compléter.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Le produit de Cauchy est intègre dans $(\Z/p\Z)^{\N}$.
 - La fraction rationnelle prend des valeurs rationnelles, classiquement, $F$ est quotient de polynômes rationnels.
#+END_proof

# ID:8001
#+begin_exercice [X MP 2024 # 356]
Soit $n\geq 2$. On pose $g_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^{4k}}\binom{2k}{k}^2$. Soit $K_n$ l'élément de $\R_n[X]$ tel que $\frac{1}{\sqrt{1-x}}\underset{x\ra 0}{=}K_n(x)+o(x^n)$.
 - Montrer que $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left|K_n\left(e^{i\theta} \right)\right|^2d\theta=g_n$.
 - Soit $\sum a_kz^k$ une série entière de rayon de convergence supérieur ou egal à $1$, de somme $f(z)$. On suppose que, pour $|z|\lt 1$, $|f(z)|\leq 1$. Montrer que $\left|\sum_{k=0}^na_k\right|\leq g_n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Immédiat, par orthogonalité.
 - On a $K_n^2 = \frac{1}{1-x} = 1 + x + \dots + x^n$, donc $\sum_{k=0}^na_k$ est le coefficient en $x^n$ de $K_n^2 f(x)$. Appliquer la formule de Cauchy.
#+END_proof

# ID:8090
#+begin_exercice [X MP 2024 # 357]
Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=n\int_0^{+\i}\sin(t^n)\dt$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Poser $x = t^n$, on obtient $\int_0^{+\i} x^{1/n - 1}\sin x\dx$, que l'on peut lier à la fonction $\Gamma$.
En $x = 0$ pas de soucis. On devrait tendre vers $\int_0^{+\i} \frac{\sin x}{x}\dx$ (qui vaut $\frac{\pi}{2}$). Pour le montrer, on peut regrouper par deux périodes consécutives, pour obtenir une convergence dominée.
#+END_proof

# ID:7694
#+begin_exercice [X MP 2024 # 358]
Soit $r\in \interval]{0, \pi}[$. Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=\int_{-r}^r\frac{\sin(nt)}{\sin t}\dt$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Comparer à $u_n = \int_{-r}^r \frac{\sin (nt)}{t}\dt$.
#+END_proof

# ID:7454
#+begin_exercice [X MP 2024 # 359]
Déterminer un équivalent en $1^-$ de $x\mapsto\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}dt$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2024 # 360]
Calculer $f(x)=\int_{\R}\frac{e^{ixt}}{1+t^2}dt$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Changer $u = xt$, dériver deux fois, faire deux ipps, on trouve $f(x) = f''(x)$.
#+END_proof

# ID:8081
#+begin_exercice [X MP 2024 # 361]
Soit $t\gt 0$. Our $p\in\R$, on pose $F_c(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\cos(px^2)\dx$,

 $F_s(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\sin(px^2)\dx$ et $Z=F_c+iF_s$.
 - Montrer que $Z$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$.
 - Déterminer une équation différentielle du premier ordre satisfaite par $Z$.
 - En déduire $F_c$ et $F_s$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
#+END_proof

# ID:8093
#+begin_exercice [X MP 2024 # 362]
Soit $f\colon\R^+\ra\R_+^{*}$ de classe $\mc C^1$ telle que $\frac{xf'(x)}{f(x)}\ra a\in\R$ quand $x\ra+\i$.
 - Soit $m\in\R_+^{*}$. Montrer que $x\mapsto\frac{f(mx)}{f(x)}$ admet une limite en $+\i$ ; la calculer.

 - Soit $I\colon t\mapsto\int_0^{+\i}e^{-tx}f(x)\dx$.
   - Montrer que $I$ est définie sur $\R_+^*$.
   - Montrer que $I$ admet une limite finie en $+\i$.
   - Supposons $a\lt -1$. Déterminer la limite de $I$ en $0^+$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On a $\frac{f'}{f}\sim \frac{a}{x}$, et on intègre. On obtient $\ln (f(mx)) - \ln f(x) = \ln m + o_{+\i}(1)$, donc $\frac{f(mx)}{f(x)}\ra m^a$
 - 
   - La question précédente donne une majoration de $f$, en fonction de sa restriction sur $[1, 2]$ par exemple.
   - convergence dominée.
   - Revient exactement à montrer que $f$ est intégrable.
#+END_proof

# ID:8098
#+begin_exercice [X MP 2024 # 363]
 - Soient $I$ et $J$ deux segments de $\R$, et $f:I\times J\ra\R$ continue. Montrer l'existence et l'égalité des deux quantites $\int_I\left(\int_Jf(x,y)dy\right)dx$ et $\int_J\left(\int_If(x,y)dx\right)dy$.
 - Pour $\alpha\in\,]0,1[$ et $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $f^2$ et $f^{' 2}$ sont intégrables sur $\R$, on note $\|f\|_{\alpha}^2=\int_{\R}\left(\int_{\R}\frac{|f(x)-f(y)|^ {2}}{|x-y|^{1+2\alpha}}dy\right)dx$. Montrer que $\|\ \|_{\alpha}$ définit une norme sur l'espace vectoriel $\{f\in\mc C^1(\R,\R),\ (f,f')\in L^2( \R,\R)^2\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Dériver par rapport à une borne.
 - Il suffit de vérifier que l'intégrale est bien définie, alors le produit scalaire associé le sera, et c'est une norme.

   Pour ça on peut prendre $y\geq x$, et découper en $y\in [x, x+1]$ et $y\geq x+1$. Pour $y\geq x+1$, on  montrer que $\int_{x+1}^{+\i} \frac{|f(x)-f(y)|^ {2}}{|x-y|^{1+2\alpha}}\dy$ est intégrable par rapport à $x$, en traitant la partie $\frac{|f(x)|^2}{\dots}$ et la partie $\frac{|f(y)|^2}{\dots}$ par Fubini.

   Pour traiter le cas $y\in [x,x+1]$, il faut faire Cauchy-Schwarz et appliquer deux fois Fubini.
#+END_proof

# ID:7693
#+begin_exercice [X MP 2024 # 364]
Soient $n\in\N^*$, $(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ des éléments de $\R^{+*}$, $f_1,\ldots,f_n$ des fonctions dérivables de $\R^+$ dans $\R$ tendant vers $0$ en $+\i$ telles que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $f'_i=\sum_{j=1}^na_{i,j}f_j$. Montrer que la famille $(f_1,\ldots,f_n)$ est liée.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $F' = AF$. Le Wronkien vérifie $W' = \op{Tr} À W$, donc $W$ est une exponentielle positive, mais les fonctions tendent vers $0$, ainsi que leurs dérivées, donc il est nul.
#+END_proof

# ID:8058
#+begin_exercice [X MP 2024 # 365]
 - Soit $f\in\mc C^1([0,\pi],\R)$ telle que $f(0)=f(\pi)=0$. Montrer que $\int_0^{\pi}f^2\leq\frac{\pi^2}{8}\int_0^{\pi}(f')^2$.
 - Soit $f,q\in\mc C^0([0,\pi],\R)$ telle que $\forall x\in[0,\pi],\ q(x)\lt \frac{8}{\pi^2}$. Soient $a,b\in\R$. Montrer qu'il existe une unique fonction $y\in\mc C^2([0,\pi],\R)$ telle que $y''+qy=f,\ y(0)=a,\ y(\pi)=b$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - En écrivant $f(x)^2 = \left(\int_0^{x} f'(t)\dt\right)^2 \leq x \int_0^{x} |f'(t)|^2\dt \leq x \int_0^{\frac{\pi}{2}} f'(t)^2 \dt$, on obtient $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\leq \frac{\pi^2}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f'(t)^2\dt$.
 - Unicité revient à montrer que si $y(0) = y(\pi) = 0$ et $y'' + qy = 0$, alors $y$ est nulle. En multipliant par $y$, puis avec une IPP sur $y''y$, on obtient $\int_0^{\pi} q y^2 = \int_0^{\pi} y'^2$, et la première question permet de conclure.

   Existence : Les solutions vérifiant $y(0) = a$ forment une droite affine, et elles ne peuvent pas toutes s'annuler en $\pi$, d'après l'unicité.
#+END_proof

# ID:nil # Quel intérêt ?
#+begin_exercice [X MP 2024 # 366]
Pour $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$, on pose $H(f)\colon x\mapsto x^2f(x)-f''(x)$, $A_-(f)\colon x\mapsto-f'(x)+xf(x)$ et $A_+(f)\colon x\mapsto f'(x)+xf(x)$.
 - Déterminer $A_-\circ A_+$ et $A_+\circ A_-$.
 - Montrer qu'il existe une unique $\phi_0\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ de carré intégrable, telle que $H(\phi_0)=\phi_0$ et $\phi_0(0)=1$.
 - E On pose, pour $n\in\N^*$, $\phi_n=A_-^n(\phi_0)$.
 - Montrer que, pour tout $n\in\N$, $H(\phi_n)=(2n+1)\phi_n$.
 - Montrer que $\phi_n$ s'écrit sous la forme $P_n\times\phi_0$ avec $P_n$ polynomiale.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On a $A_- A_+ = H - I$ et $A_+ A_- = H + I$.
 - $\phi_0(x) = e^{-x^2/2}$.
 - 
 - 
#+END_proof

# ID:6805
#+begin_exercice [X MP 2024 # 367]
 - Soit $f$ une fonction croissante de $[a,b]$ dans $[a,b]$. Montrer que $f$ possède un point fixe.
 - On s'intéresse à l'équation différentielle $(E)\colon x'(t)=\cos(x(t))+\cos(t)$. On admet que, pour tout $a\in[0,\pi]$, il existe une unique solution $\phi_a$ définie sur $\R$ telle que $\phi_a(0)=a$, et de plus que s'il existe $t$ tel que $\phi_a(t)=\phi_b(t)$ alors $a=b$.

Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-périodique.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - On pose $f(a) = \phi_a(2\pi)$. On vérifie que $f$ est strictement croissante.

   Par ailleurs, $\phi_a(2\pi) - \phi_a(0) = \int_0^{2\pi}\dots = \int_0^{2\pi} \cos \big(\phi_a(t)\big)\dt$.

   On a $\phi_a$ reste à valeurs dans $[0,\pi]$.
#+END_proof

# ID:8127
#+begin_exercice [X MP 2024 # 368]
 - Soit $x$ de classe $\mc C^1$ au voisinage de $+\i$. On suppose qu'il existe $\tau\gt 0$ et $\lambda\gt 0$ tels qu'on ait $x'(t)+\lambda x(t-\tau)\leq 0$ et $x(t)\geq 0$ au voisinage de $+\i$.

   Démontrer que $x(t-\tau)\leq\frac{4}{(\lambda\tau)^2}x(t)$ au voisinage de $+\i$.
 - Soient $x$ de classe $\mc C^1$ sur $\R$, $m$ et $n$ dans $\N^*$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n,\mu_1,\ldots,\mu_m$ des réels, $\tau_1,\ldots,\tau_n$, des réels strictement positifs, $\sigma_1,\ldots,\sigma_m$ des réels positifs.

   On suppose que $\forall t\in\R,\ x'(t)+\sum_{i=1}^n\lambda_ix'(t- \tau_i)+\sum_{i=1}^m\mu_ix(t-\sigma_i)=0$.

   Démontrer qu'il existe $c$ et $K$ réels tels que, pour $t$ au voisinage de $+\i$, $|x'(t)|\leq Ke^{ct}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - À partir du moment $x_0$ où la fonction est positive, elle est décroissante à partir de $x_0 + \tau$.

   On suppose $\tau = 1$. Donc $|f'|$ est supérieure à $\la f$ (en utilisant $f(t)\leq f(t-1)$), à partir de $x_0 + 2$.

   Par ailleurs, en intégrant la relation, on a $f(t) - f(t+1) \geq \rho \int_{t-1}^t f(u)\du$ donc $f(t) - f(t+1) \geq \rho \frac{f(t-1/2)}{2}$ donc $f(t - 1/2)\leq \frac{2 f(t)}{\rho}$, donc $f(t-1)\leq \frac{4}{\rho^2}f(t)$, ce qui contredit l'autre inégalité.
 - Si on remplace $x$ par $y = x e^{-Kt}$, de dérivée $y' = x' e^{-Kt} - K x e^{-Kt}$,

   On a $y'(t) = x' e^{-Kt} - K y = \sum \la_i x'(t-\tau_i) e^{-Kt} + \sum \mu_i x(t-\sigma_i)e^{-Kt}  - Ky = \sum \la_i x'(t-\tau_i) e^{-Kt} + \sum \mu_i e^{-K\sigma_i} y(t-\sigma_i) - Ky$
   $y'(t) = \sum \la_i y'(t-\tau_i)e^{-K\tau_i} + \sum \la_i K y(t-\tau_i) e^{-K \tau_i} + \sum \mu_i e^{-K\sigma_i} y(t-\sigma_i) - K y$.
   En un sup $[0, t]$

   Plus simple : on a $|x'(t)|\leq K (\sup_{[t-c, t]} |x| + \sup_{[t-d_1, t-d_2]} |x'|)$. On peut remplacer ça par un entier $K$ et
   $|x'(t)|\leq K \big(\sup_{[t-k, t]} |x| + \sup_{[t-k, t-1]} |x'|\big)$.

   Alors, is à un instant $u$, $|x|$ et $|x'|$ sont majorées par $M$, on a, sur $[t, t+1]$, $|x'|\leq k \sup |x| + M$, ce qui donne un contrôle jusqu'à l'instant $u+1$.
#+END_proof

# ID:8082
#+begin_exercice [X MP 2024 # 369]
 - Soient $f,g\colon\R^+\ra\R$ des fonctions continues et $K$ un réel strictement positif. On suppose que, pour tout $t\in\R^+$, $f(t)\leq g(t)+K\int_0^tf(u)\,du$.

   Montrer que, pour tout $t\in\R^+$, $f(t)\leq g(t)+K\int_0^te^{K(t-u)}g(u)\,du$.
 - Soient $A,B\colon\R^+\ra\M_n(\R)$ des fonctions continues, et $M,N\colon\R^+\ra\M_n(\R)$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $\forall t\in\R^+$, $M'(t)=A(t)M(t)$, $N'(t)=B(t)N(t)$ et que $M(0)=N(0)=I_n$.

   On suppose de plus que $\|A(t)\|\leq K$ et $\|A(t)-B(t)\|\leq\eta$ pour tout $t\in[0,T]$, ou $K,\eta,T$ sont des réels strictement positifs, et $\|\ \|$ une norme subordonnée sur $\M_n(\R)$.

   Montrer que, pour tout $t\in[0,T]$, $\|M(t)-N(t)\|\leq e^{Kt}\left(e^{\eta t}-1\right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Poser $H(t) = \int_0^t f(s)\ds$, de sorte que $H'(t)\leq g(t) +K H(t)$, puis considérer $H(t) e^{-Kt}$.
 - On pose $D(t) = M(t) - N(t)$. On a $D'(t) = A(t)D(t) + (A(t) - B(t))N(t)$.

   On a une expression intégrale de $D'$, qui permet de conclure.
#+END_proof

# ID:7931
#+begin_exercice [X MP 2024 # 370]
On munit $\R^2$ de la norme euclidienne canonique. Soit $P\colon\R^2\ra\R$ une fonction polynomiale à valeurs positives.
 - La fonction polynomiale $P$ atteint-elle nécessairement un minimum?
 - On suppose que $P(x,y)\underset{\|(x,y)\|\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. La fonction polynomiale $P$ atteint-elle nécessairement un minimum?
 - On garde l'hypothese précédente. On note $S(0,1)$ le cercle unite.

   Montrer que $\colon\forall(x,y)\in S(0,1),\exists C(x,y)\in\R^{+*}\cup\{+\i\}, \lim_{t\ra+\i}\frac{P(tx,ty)}{t^2}=C(x,y)$.
 - Montrer que $C$ est à valeurs dans $\R^{+*}$ ou qu'il n'existe qu'un nombre fini de couples $(x,y)$ tels que $C(x,y)\lt +\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Non, prendre $(X^2 - Y^2 +1)^2 + (X-Y)^2$ Quand $x = \sqrt{y^2 - 1}$, on a $x = y (1 - \frac{1}{y^2})$, donc $(x-y)^2 \ra 0$.
 - Trivial
 - trivial.
 - Si $P$ est de degré $2$, $C$ est à valeurs dans $\R_+$, et si la valeur $0$ est prises, en prenant $-x,-y$ dans cette direction, on contredit $P(x,y)\ra +\i$.

   Si $P$ est de degré $\gt 2$, on prend juste les coefficients de degré maximaux. Les $x,y$ pour lesquels $P(tx,ty)$ n'est pas équivalent au degré est un polynôme en $\frac{x}{y}$.
#+END_proof

# ID:8059
#+begin_exercice [X MP 2024 # 371]
Soient $u_0,u_1\in\mc C^{\i}(\R,\R)$. Déterminer les fonctions $u\colon\R^2\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telles que $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2-\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2$, avec $u(t=0,\cdot)=u_0$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(t=0,\cdot)=u_1$.

Ind. On utilisera la fonction $U=f\circ u$ avec $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ convenable.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On pose $U = e^{-u(t,x)}$, on obtient $\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = 0$.

Ensuite, on pose $\xi = x+t$ et $\eta = x-t$, qui sont bien adaptées aux équations de type onde, qui donne $\frac{\partial U}{\partial \xi \partial \eta} = 0$.
#+END_proof

# ID:7326
#+begin_exercice [X MP 2024 # 372]
Soient $n\in\N^*$ et $r\in\db{0,n}$, $\mc{P}$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $\R^n$ sur un sous-espace de dimension $r$ et $p\in\mc{P}$. Déterminer l'ensemble des vecteurs tangents à $\mc{P}$ en $p$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Relier à une année précédente : $(p+tv)^2 = p+tv$ et $\tr v = 0$.
#+END_proof

** Géométrie

# ID:8132
#+begin_exercice [X MP 2024 # 373]
Soit $P$ un polynôme réel de degré $6$. Une droite $D$ est tangente à la courbe $C_P$ en trois points $A,B,C$ d'abscisses $a\lt b\lt c$.
 - On suppose que $AB=BC$. Montrer que les aires delimitées par $[BC]$ et $C_P$ d'une part, et par $[AB]$ et $C_P$ d'autre part, sont égales.
 - On pose $q=\frac{BC}{AB}$ et $Q=\frac{A_1}{A_2}$ avec $A_1$ et $A_2$ les aires susmentionnées. Montrer que : $\frac{2}{7}q^5\leq Q\leq\frac{7}{2}q^5$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On peut supposer que $c = 1$, $b = 0$, $c=-1$, et en retirant la fonction affine, le polynôme est $c X^2 (X-1)^2 (X+1)^2$.
 - On peut supposer que le polynôme est $X^2 (X-1)^2 (X+a)^2$.

   Après changement de variable, cela revient à encadrer le quotient de $\int_0^1 X^2 (X-1)^2 (X+a)^2 \dx$ et $\int_0^1 X^2(X-1)^2 (aX + 1)^2 \dx$.

   $\int_0^1 X^2 (X-1)^2 X^2 = 1/105 = 1/7x15$, $\int_0^1 X^2 (X-1)^2 = 1/30 = 1/2x15$, $\int_0^1 x^2 (x-1)^2 x \dx = 1/60 = 1/4x15$.

   $\frac{1/7 + a + a^2/4}{1/4 + a + a^2/7}$

   On trouve que la fonction est croissante, de $a = 0$ à $+\i$.
#+END_proof

# ID:nil # Chiant.
#+begin_exercice [X MP 2024 # 374]
On se place dans le plan $\R^2$. Soient $e_0=(1,0)$, $e_1=(0,1)$ $e_2=(-1,0)$, $e_3=(0,-1)$ et, pour $k\geq 4$, $e_k=e_{k\bmod 4}$. Soit $P\in\R[X]$. On écrit $P=c_0X^n-c_1X^{n-1}+\cdots+(-1)^nc_n$. On pose $M_{-1}(P)=(0,0)$, et pour $k\in\db{0,n}$, $M_k(P)=M_{k-1}(P)+c_k\,e_k$. Pour $k\in\N$, soit $D_k$ la droite passant par $M_k(P)$ dirigée par $e_k$. Soit $\lambda\in\R$. On pose $\Delta_1(\lambda)$ la droite passant par $(0,0)$ de pente $\lambda$, $\Delta_0(\lambda)$ la perpendiculaire à $\Delta_1(\lambda)$ et passant par $(0,0)$ et, pour $k\geq 2$, $\Delta_k(\lambda)=\Delta_{(k\bmod 2)}(\lambda)$.

On pose $\mu_0=(0,0)$. Pour $k\in\N^*$, $\mu_k$ est l'intersection de $D_k$ et de la parallele à $\Delta_k(\lambda)$ passant par $\mu_{k-1}$.
 - On suppose dans cette question que $P=X^3-2X^2-5X+6$.
 - Déterminer les racines de $P$.
 - Pour chaque racine $\lambda$ de $P$, construire $M_3$ et $\mu_3$.
 - Que peut-on conjecturer?
 - En notant $\delta_k$ la distance algebrique selon $e_k$ de $M_k$ à $\mu_k$, montrer que $M_n=\mu_n$ si et seulement si $P(\lambda)=0$.
#+end_exercice

** Probabilités

# ID:nil # Méthode probabiliste, classique
#+begin_exercice [X MP 2024 # 375]
Soient $v_1,\ldots,v_n$ des vecteurs unitaires d'un espace euclidien. Montrer qu'il existe $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ tel que $\left\|\sum_{i=1}^n\eps_iv_i\right\|\leq\sqrt{n}$.
#+end_exercice

# ID:nil # Trivial
#+begin_exercice [X MP 2024 # 376]
Soit $E$ un ensemble fini. Dénombrer les triplets $(A,B,C)$ de parties de $E$ telles que $A\subset B\subset C$.
#+end_exercice

# ID:7695
#+begin_exercice [X MP 2024 # 377]
Soit $r\in\N^*$. Combien y a-t-il de facon d'apparier les entiers de $1$ à $2r$?
#+end_exercice

# ID:7736
#+begin_exercice [X MP 2024 # 378]
Soit $n\in\N^*$.
 - Dénombrer les décompositions $n=n_1+\cdots+n_r$ ou $r\geq 1$ est arbitraire, et $n_1,\ldots,n_r$ sont des entiers naturels non nuls.
 - On fixe $r\in\N^*$. Dénombrer les décompositions $n=n_1+\cdots+n_r$ ou $n_1,\ldots,n_r$ sont des entiers naturels non nuls.
#+end_exercice

# ID:7737
#+begin_exercice [X MP 2024 # 379]
Soit $N\in\N^*$. Dénombrer les fonctions $f\colon\db{0,2N}\ra \db{0,2N}$ telles que $f(0)=f(2N)=0$ et $\forall k\in \db{0,2N-1},\;|f(k+1)-f(k)|=1$.
#+end_exercice

# ID:7928
#+begin_exercice [X MP 2024 # 380]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$.

On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$, et on note $N\colon\omega\mapsto\op{Card}\{n\in\N^*,\;S_n(\omega)=0\} \in\N\cup\{+\i\}$.
 - Montrer que $\mathbf{E}(N)=+\i$.
 - Exprimer $\mathbf{P}(N\geq 2)$ en fonction de $\mathbf{P}(N\geq 1)$.
 - Montrer que $\mathbf{P}(N=+\i)=1$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Simple, on connaît la probabilité d'être en $0$ : $\frac{{2k\choose k}}{4^k}$.
 - On $P(N\geq 2) = \sum_{k=2}^{+\i} P(Premier retour = k) P(N\geq 1) = P(retour en 0) P(N\geq 1)$.

   $P(retour en 0) = 0$ n'est pas possible, et si cette probabilité était $\lt 1$, on aurait $\sum P(N\geq k)$ qui converge, contradiction. Donc elle vaut $1$.
 - Pas trop dur.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2024 # 381]
Soit $n\in\N^*$. Déterminer espérance et variance du nombre de points fixes d'une permutation de $\db{1,n}$.
#+end_exercice

# ID:8083
#+begin_exercice [X MP 2024 # 382]
On munit $\mc{S}_n$ de la loi uniforme et on considére $X_n$ la variable aléatoire qui associe à une permutation le nombre d'orbites de cette permutation.
 - Calculer $\mathbf{P}(X_n=1)$ et $\mathbf{P}(X_n=n)$.
 - Déterminer la fonction generatrice de $X_n$.
 - En déduire des équivalent de $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{V}(X_n)$ quand $n\ra+\i$.
 - Comment peut-on déterminer la loi de $X_n$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - $E(t^{X_n})$
#+END_proof

# ID:7929
#+begin_exercice [X MP 2024 # 383]
 - Déterminer le nombre de listes de $k$ entiers non consécutifs dans l'intervalle d'entiers $\db{1,n}$.
 - On place aléatoirement des couples $(A_i,B_i)$, ou $i\in\{1,\ldots,n\}$, autour d'une table ronde à $2n$ places, de sorte qu'aucun des $A_i$ ne soit assis à côté d'un autre $A_j$. On cherche la probabilité $p_n$ que $A_i$ et $B_i$ ne soient pas à côté. Montrer que, si la configuration des $A_i$ est fixée, la probabilité que $A_i$ et $B_i$ ne soient pas à cote est inchangée. En déduire une expression sommatoire de $p_n$.
#+end_exercice

# ID:nil # Loi zeta
#+begin_exercice [X MP 2024 # 384]
Soit $s$ un $\op{\mathsf{r}\acute{e}el}\gt 1$. On munit $\N^*$ de la probabilité $\mathbf{P}_s$ définie par $\mathbf{P}_s(\{n\})=\frac{1}{n^s\zeta(s)}$ pour tout $n\geq 1$. On note par ailleurs $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Pour tout $p\in\mc{P}$ on note $X_p$ la variable aléatoire définie sur $\N^*$ telle que $X_p(n)=1$ si $p$ divise $n$, et 0 sinon.
 - Montrer que les variables aléatoires $X_p$ sont mutuellement indépendantes.
 - En déduire que $\zeta(s)=\prod_{p\in\mc{P}}\frac{1}{(1-p^{-s})}$.
 - Pour $p\in\mc{P}$ et $n\in\N^*$, on note $v_p(n)$ la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$. Déterminer la loi de $v_p$ étudier l'indépendance mutuelle des variables aléatoires $v_p$.
#+end_exercice

# ID:7930
#+begin_exercice [X MP 2024 # 385]
On joue à pile ou face avec probabilité $p\in]0,1[$ d'obtenir pile. On découpe la succession des lancers en sequences maximales de résultats identiques. Déterminer l'espérance de la longueur de la deuxième séquence.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $\sum_{n\geq 1} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$
C'est $\sum_{k,\l\geq 1} \l \big(p^k (1-p)^{\l}p + (1-p)^{k} p^{\l} (1-p)\big) = \frac{p^2}{1-p} \frac{1-p}{(1- (1-p))^2} + \frac{(1-p)^2}{p} \frac{p}{(1-p)^2} = 2$.
#+END_proof

# ID:7882
#+begin_exercice [X MP 2024 # 386]
Une grille $\{1,2,3\}\times\{1,2,...,n\}$ modélise un tuyau vertical. On dépose à l'instant $t=0$ une goutte d'eau au point $(2,n)$. à chaque instant, si elle se trouve au milieu (i.e. en un point $(2,k)$), la goutte descend d'un niveau avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou se deplace à droite (resp. gauche) avec probabilité $\frac{1}{4}$; si elle se trouve sur un bord, elle descend avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou va au milieu avec probabilité $\frac{1}{2}$.
 - Calculer la probabilité pour que la goutte sorte du tuyau à un instant $t$.
 - s Calculer l'espérance du temps d'attente pour que l'eau sorte du tuyau.
#+end_exercice

# ID:7999
#+begin_exercice [X MP 2024 # 387]
 - Soient $n\in\N^*$ et $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur les entiers pairs entre $2$ et $2n$. Déterminer $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 1)$ et $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 2)$.
 - Soient $n\in\N^*$ et $X_1,...,X_n$ des variables aléatoires à valeurs dans $\Z$, indépendantes et identiquement distribuées. Pour $m\in\N$, on pose :

   $S_m(n)=\big{|}\{(i,j)\in\db{1,n}^2\,;\;|X_i-X_j| \leq m\}\big{|}$.

   Montrer que $\mathbf{E}(S_m(n))=n+n(n-1)\mathbf{P}(|X_1-X_2|\leq m)$.
 - Soit $(x_n)\in\Z^{\N^*}$. Pour $n\in\N^*$ et $m\in\N$, on pose : $s_m(n)=\big|\{(i,j)\in\db{1,n}^2\,;\;|x_i-x_j| \leq m\}\big|$.

   Montrer que pour tout $n\in\N^*$, $s_2(n)\leq 3s_1(n)$.
 - En déduire que, si $X,Y$ sont deux variables aléatoires à valeurs dans $\Z$, indépendantes et de même loi, alors $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 2)\leq 3\,\mathbf{P}(|X-Y|\leq 1)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Fonctions indicatrices : $E(S_{m}(n))$.
 - Écrire $n_d$ le nombre de termes qui prennent la valeur $d$. Alors $s_2(n) = \sum n_d^2 + 2 \sum n_d n_{d+1} + 2 \sum n_d n_{d+2}$, et par Cauchy-Schwarz, la troisième somme est $\leq \sum n_d^2$.
 - Trivial : On prend des variables finies. Marche aussi sinon.
#+END_proof

# ID:7932
#+begin_exercice [X MP 2024 # 388]
Soit, pour $n\in\N^*$, $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $\db{1,n}$. On considère les évènements : $A_n$ : «$\sqrt{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre apres la virgule», $B_n$ : «$\big(\sqrt{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre», et $C_n$ : «$2^{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre».
 - Étudier l'existence et, le cas échéant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(A_n))$.
 - Étudier l'existence et, le cas échéant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(B_n))$.
 - Étudier l'existence et, le cas échéant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(C_n))$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\sqrt{n}} (k+0,2)^2 - (k+0,1)^2\pm 1$, les $\pm 1$ ne changent pas la limite. On trouve $\frac{1}{10}$.
 - Ça diverge : Pour $n = 10^{2k}$ c'est au plus …, alors que pour $n = 4 10^{2k}$ c'est au moins ….
 - $\log_{10}(2)$
#+END_proof

# ID:8084
#+begin_exercice [X MP 2024 # 389]
On dit qu'une variable aléatoire $Y$ est $k$-divisible lorsqu'elle à la même loi que la somme de $k$ variables indépendantes et identiquement distribuées.
 - On suppose que $Y\sim\mc{B}(n,p)$. Pour quels entiers $k\gt 0$ la variable $Y$ est-elle $k$-divisible?
 - Construire une variable aléatoire $Y$ non constante infiniment divisible.
 - Soit $Y$ une variable aléatoire bornée infiniment divisible. Montrer que $Y$ est constante presque surement.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Loi de Poisson.
 - Sympatoche.
#+END_proof

# ID:8089
#+begin_exercice [X MP 2024 # 390]
Soient $\alpha\gt 0$ et $(B_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que $\mathbf{P}(B_i=1)=1-\mathbf{P}(B_i=0)=\frac{1}{i^{\alpha}}$. Soit $S=\{n\in\N^*,B_n=1\}$.
 - Donner une condition sur $\alpha$ pour que $S$ soit infini presque surement, puis pour que $S$ soit fini presque sûrement.
 - On suppose $\alpha\lt 1$. On pose $\beta\gt 0$ et $N=\max\{n\in\N^*,S\cap\db{n,n+n^{\beta}}=\emptyset\}$. Donner des conditions sur $\beta$ pour que $\mathbf{P}(N=+\i)=1$ et pour que $\mathbf{P}(N=+\i)=0$.
 - Montrer que, presque surement, il existe un rationnel $\gamma$ tel que $\lfloor\gamma^{2^n}\rfloor\not\in S$ pour tout $n\in\N$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est les deux versions de BC. La condition est $\sum \frac{1}{n^{\a}}$ converge.
 - On trouve $P(A_n) = e^{-n^{\b}/n^{\a}}$. Si $\b\gt \a$ la série converge, sinon, la probabilité est une constante, et les $A_n$ éloignés sont indépendants.
 - Pour $a$ fixé, la probabilité que $a$ marche est une constante non nulle. En prenant pour $a$ les nombres premiers $p_i$, les évènements sont indépendants, donc on est sûr qu'un fonctionne.
#+END_proof

# ID:7933
#+begin_exercice [X MP 2024 # 391]
Soient $N\geq 1$, $\mu$ une distribution de probabilité sur $\db{1,N}$ telle que $\mu(1)\gt 0$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mu$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Soit $E=\{S_m,\ m\in\N\}$.
 - Pour $n\in\N^*$, montrer que $\mathbf{P}(n\in E)=\sum_{k=1}^N\mu(k)\,\mathbf{P}(n-k\in E)$.

   On pose $F\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\mathbf{P}(n\in E)z^n$ et $G\colon z\mapsto\sum_{k=1}^N\mu(k)z^k$.
 - On pose $\mathbb{D}=\{z\in\C,\ |z|\lt 1\}$. Montrer que $\colon\forall z\in\mathbb{D}$, $F(z)=\frac{1}{1-G(z)}$.
 - Montrer que $1$ est un pole simple de $F$ et tous les autres poles de $F$ ont un module strictement supérieur à 1.
 - Montrer que $\mathbf{P}(n\in E)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}\frac{1}{\mathbf{E}( X_1)}$.
 - Et si $\mu$ n'est pas à support fini ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Trivial.
 - Trivial.
 - On a $|G(z)|\lt 1$ sur $\mu U \setminus \{1\}$, et $G(z) - G(1) = \sum \mu(k) (z^k-1)$. Comme $\mu$ est fini, on trouve un équivalent de $G(z) - G(1)$ en $(z-1) E(\mu)$, donc $1$ est un pole simple de $F$.
 - Décomposition en éléments simples.
#+END_proof

* X - PSI                                                             :autre:
** Algèbre

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 392]
Soit $n\in\N^*$. On pose $P_0=1$ et, pour $1\leq k\leq n$, $P_k=\prod_{j=0}^{k-1}(X-j)$. Montrer qu'il existe $(s_0,\ldots,s_n)\in\Z^{n+1}$ tel que $X^n=\sum_{k=0}^ns_kP_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 393]
Soit $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie.
 - Quels sont les endomorphismes de $E$ qui commutent avec tous les projecteurs?
 - Quels sont les éléments de $\op{GL}(E)$ qui commutent avec tous les éléments de $\op{GL}(E)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 394]
Soient $A_1,\ldots,A_m$ des matrices distinctes de $\M_n(\R)$, commutant entre elles et telles que $\colon\forall i\in\db{1,m}\,,A_i^2=I_n$. Montrer que $m\leq 2^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 395]
Soient $A,B\in\M_n(\C)$. Montrer que $A$ et $B$ ont une valeur propre commune si et seulement s'il existe $C\in\M_n(\C)$ non nulle telle que $AC=CB$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 396]
Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $c\gt 0$ tel que, pour tout $(v_1,\ldots,v_n)\in(\R^n)^n$, $|\det(v_1,\ldots,v_n)|\leq c\prod_{j=1}^n\|v_i\|_{\i}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 397]
Déterminer les $f\in{\cal C}^0({\R},{\R})$ telles que: $\forall(x,y)\in{\R}^2$, $f(x)f(y)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)\,{\rm d}t$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 398]
On note ${\cal S}({\R})=\{\phi\in{\cal C}^{\i}({\R},{\R}) \;;\;\forall k\in{\N},\,\forall j\in{\N},\,x\mapsto x^k \phi^{(j)}(x)$ est bornée}.
 - Montrer que $\forall k\in{\N},\,\forall j\in{\N},\,x\mapsto x^k\phi^{( j)}(x)$ est intégrable sur ${\R}$.
 - Soit $\phi\in{\cal S}({\R})$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\phi$ pour que $\phi$ possède une primitive appartenant à ${\cal S}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 399]
On munit ${\R}^n$ de son produit scalaire canonique. Soient $U$ et $W$ deux sous-espaces vectoriels de même dimension $m$. On suppose qu'il existe un vecteur $u\in U$ tel que $u\in W^{\perp}$, $u\neq 0$. Montrer qu'il existe $v\neq 0\in W$ tel que $v\in U^{\perp}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 400]
Soit $f\in{\cal C}^0([0,\pi/2],{\R})$. On pose, pour $n\in{\N}^*$, $I_n=(n+1)\int_0^{\pi/2}x\,f(x)\cos(x)^n\,{\rm d}x$.

Déterminer la limite de $(I_n)_{n\geq 0}$.

Ind. Utiliser $J_n=(n+1)\int_0^{\pi/2}\sin(x)\cos(x)^ndx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 401]
Soient $f\in{\cal L}^1({\R})$ et $F:x\in{\R}\mapsto\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,e^{it^2x}{\rm d}t$. Montrer que $F$ est définie et qu'elle tend vers 0 en $+\i$._Ind._ Traiter le cas ou $f$ est ${\cal C}^1$, le cas ou $f$ est nulle sur ${\R}$ prive de $[-a,a]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 402]
Soit $(E):y''+\frac{t}{1+t^3}y=0$. Montrer que $(E)$ admet une solution non bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 403]
On considére l'équation différentielle $(E):y''(t)+\phi(t)y(t)=0$, avec $\phi$ continue $2\pi$-périodique et on note $Sol$ l'ensemble des solutions de $(E)$ de classe ${\cal C}^2$ à valeurs complexes.
 - Montrer qu'il existe $y_1\in Sol$ telle que $y_1(0)=1$, $y'_1(0)=0$, et $y_2\in Sol$ telle que $y_2(0)=0,y'_2(0)=1$.

Montrer que toute solution de $(E)$ est combinaison linéaire de $y_1$ et $y_2$.
 - Pour $y\in Sol$, on note $\Psi(y)$ la fonction $t\mapsto y(t+2\pi)$. Montrer que $\Psi(y)\in Sol$.

Déterminer la nature de l'application $\Psi$.
 - Montrer que, si $z\in Sol$ avec $z\neq 0$ est telle que $\forall t\in{\R},z(t+2\pi)=\lambda z(t)$ avec $\lambda\in{\C}$, alors $\lambda$ est racine du polynôme $X^2-(y_1(2\pi)+y'_2(2\pi))X-y'_1(2\pi)y_2(2\pi)+y_ {1}(2\pi)y'_2(2\pi)$.

Étudier la réciproque.
 - Montrer que $\lambda$ ne peut être nul puis que $\det(\phi)=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 404]
Soient $E_{n,d}=\{(i_1,...,i_d)\in{\N}^d,\;i_1+\cdots+i_d=n\}$ et

 $V_{n,d}=\{f:(x_1,...,x_d)\in{\R}^d\mapsto x_1^{i_1}\ldots x_d^{i_d},\;(i_1,\ldots,i_d)\in E_{n,d}\}$.
 - Montrer que $V_{n,d}$ forme une famille libre et déterminer son cardinal.
 - Soit $\Delta:f\in{\rm Vect}(V_{n,d})\mapsto\Delta(f)=\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2f}{\partial x_d^2}$. Déterminer ${\rm Ker}\,\Delta$.
#+end_exercice

** Géométrie

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 405]
Soient $n\in\N^*$ et $x_1,\ldots,x_{2n}$ des points distincts de $\R^2$. Montrer qu'il existe toujours une droite separant ces $2n$ points en deux groupes de $n$ points.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 406]
Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mc{G}(1/2)$. Pour tout $k\in\N^*$, on note $A_k$ l'évènement \lt \lt  $X$ est multiple de $k$\gt \gt .
 - Soient $(p,q)\in(2\N^*)^2$. Les évènements $A_p$ et $A_q$ sont-ils indépendants?
 - Même question pour $p$ et $q$ quelconques dans $\N^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 407]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. On suppose que $X$ suit la loi géométrique de paramêtre $p$ et que, pour tout $N\in\N^*$, la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=N)$ est la loi binomiale $\mc{B}(N,p)$. Déterminer $\mathbf{E}(Y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 408]
Soit $M\,=\,\begin{pmatrix}X_1&1&0\\ 0&X_2&1\\ 0&0&X_3\end{pmatrix}$ ou $X_1$, $X_2$, $X_3$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramêtre $p$. Calculer la probabilité que $M$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 409]
Soient $(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une famille de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Déterminer $\mathbf{E}(\det(A))$ et $\mathbf{V}(\det(A))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2024 # 410]
Soit $Y$ une variable aléatoire à support fini inclus dans $\R^+$. Déterminer à quelle condition on a $\mathbf{E}(Y^{1/2^n})=\mathbf{E}(Y)^{1/2^n}$ pour tout entier naturel $n$.
#+end_exercice

* X - ESPCI - PC                                                      :autre:
** Algèbre

#+begin_exercice [X PC 2024 # 411]
Un graphe est un couple $G=(S,A)$ ou $S$ est un ensemble fini et $A$ un ensemble de paires de $S$. Les éléments de $S$ s'appellent les sommets de $G$ et ceux de $A$ les arêtes de $G$. Soient $G=(S,A)$ et $G'=(S',A')$ deux graphes et $f$ une application de $S$ dans $S'$. On dit que $f$ est un morphisme de $G$ dans $G'$ si $\forall(u,v)\in S^2,\{u,v\}\in A\Rightarrow\{f(u),f(v)\}\in A'$. On dit que $f$ est un isomorphisme de $G$ dans $G'$ si

 $\forall(u,v)\in S^2,\{u,v\}\in A\iff\{f(u),f(v)\}\in A'$.

Donner une majoration du nombre de graphes à $n$ sommets et $k$ arêtes deux à deux non isomorphes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 412]
Soient $n\geq 2$ et $a_0,\ldots,a_n\in\R$. Montrer qu'il existe un entier $i\in\db{0,n}$ tel que l'on

$$\text{ait}\left|\sum_{k=0}^ia_k-\sum_{k=i+1}^na_k\right|\leq \sup_{0\leq k\leq n}|a_k|.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 413]
Soit $P=X^2+c_1X+c_0$ à coefficients dans $\N$. Déterminer les suites d'entiers naturels $(a_n)$ telles que, pour tout $n\in\N$, $P\left(a_n\right)=a_{n+1}a_{n+2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 414]
Soit $k\in\N$. Déterminer les suites $(a_n)_{n\in\N}$ à valeurs dans $\N$ pour lesquelles il existe un polynôme $P$ à coefficients dans $\N$, unitaire et de degré $k$ tel que $\forall n\in\N$, $P(a_n)=\prod_{j=1}^ka_{n+j}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 415]
Soient $A$ et $B$ deux éléments de $\R[X]$ dont toute combinaison linéaire réelle est scindée ou nulle, $x$ et $y$ deux racines de $A$ telles que $x\lt y$. Montrer que $B$ à une racine dans $[x,y]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 416]
Calculer $\sum_{z\in\mathbb{U}_n}\frac{1}{2-z}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 417]
Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soient $u_1,\ldots,u_n$ des nombres complexes de module 1. Montrer que $\prod_{i\neq j}|u_i-u_j|^{\frac{1}{n(n-1)}}\leq n^{\frac{1}{n}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 418]
Pour $n\in\N^*$, calculer le module de $\sum_{k=0}^{n-1}\exp\bigg(2i\pi\frac{k^2}{n}\bigg)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 419]
Soit $P\in\R[X]$ scindé sur $\R$. Soit $a\in\R$. Montrer que le polynôme $\op{Re}\big(P(X+ia)\big)$, polynôme dont les coefficients sont les parties réelles du polynôme $P(X+ia)$, est scindé sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 420]
On note $\mathbb{D}=\{z\in\C\;;\;|z|\leq 1\}$ et $\|P\|=\sup_{z\in\mathbb{D}}|P(z)|$ pour $P\in\C[X]$. Pour $P\in\C[X]$, on définit la suite $(P_n)_{n\geq 0}$ en posant $P_0=P$ puis $P_{n+1}=(P_n')^2$ pour tout $n\in\N$. Montrer qu'il existe un réel $\eps\gt 0$ tel que, si $\|P\|\lt \eps$, alors $\lim_{n\ra+\i}\|P_n\|=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 421]
Soit $F$ un polynôme non constant à coefficients dans $\Z$. Montrer qu'il existe une infinite d'entiers $n\in\Z$ tels que $F(n)$ ne soit pas premier.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 422]
Montrer que $\R^n$ ne s'écrit pas comme reunion finie de sous-espaces vectoriels strictly.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 423]
Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe une matrice $M\in\M_n(\R)$ telle que, pour n'importe quelle permutation de ses $n^2$ coefficients, on obtienne toujours une matrice inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 424]
Soient $E$ et $F$ deux $\C$-espaces vectoriels. Une application $f:E\mapsto F$ est dite antilinéaire si $\forall x,y\in E,\forall\lambda\in\C,f(x+\lambda y)=f(x)+\overline{ \lambda}f(y)$ Pour quels entiers $n$ existe-t-il $f\colon\C^n\mapsto\C^n$ antilinéaire telle que $f\circ f=-\op{id}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 425]
Soient $n\geq 2$ et $A=\left(\begin{array}{cccc}0&1&\cdots&1\\ 1&0&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\cdots&1&0\end{array}\right)$. Montrer que $A\in\op{GL}_n(\R)$. Trouver les valeurs propres de $A$ et leurs multiplicités.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 426]
Soient $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$, $(b_1,\ldots,b_n)\in\R^n$ et $A=(a_i+\delta_{i,j}b - {1\leq i,j\leq n}\in\M_n( \R)$.
 - Calculer $\det(A)$.
 - La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 427]
Soient $A$ et $B\in\M_n(\C)$. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes ;

(i) $A$ et $B$ admettent au moins une valeur propre commune,

(ii) il existe $P\in\M_n(\C)$ non nulle telle que $PA=BP$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 428]
Soient $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $A^2=B^2=-I_n$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 429]
Soit $n$ un entier naturel impair. Soient $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB+BA=A$. Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre commun. Le résultat persiste-t-il pour $n$ pair?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 430]
Soient $A$ et $B$ des matrices de $\M_n\left(\R\right)$ telles que $AB$ est diagonalisable.
 - Est-ce que que $BA$ est diagonalisable?
 - Montrer que :

 $\dim\left(\op{Ker}\left(AB\right)\right)\leq\dim\left( \op{Ker}\left(B\left(AB\right)A\right)\right)\leq\dim\left( \op{Ker}\left(A\left(BABA\right)B\right)\right)\leq\dim\left( \op{Ker}\left(AB\right)\right)$.
 - Est-ce que que $\left(BA\right)^2$ est diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 431]
Soient $A$ et $B$ dans $\M_n(\R)$. On suppose que les valeurs propres complexes de $A$ ont une partie réelle strictement negative et que celles de $B$ ont une partie réelle negative. Soit $C\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une unique matrice $M\in\M_n(\R)$ telle que $C=AM+MB$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 432]
Dans $\M_n(\C)$, soient $S$ et $S'$ diagonalisables, $N$ et $N'$ nilpotentes. On suppose $NS=SN$ et $N'S'=S'N'$ et $S+N=S'+N'$. Montrer que $S=S'$ et $N=N'$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 433]
Montrer que, pour toute matrice $A\in\mc{S}_n(\R)$, il existe un unique couple $(B,C)$ de matrices symétriques positives telles que $A=B-C$ et $BC=CB=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 434]
 - Montrer que toute matrice réelle de taille $n$ symétrique positive admet une racine carrée symétrique positive.
 - Soient $S$ et $A$ deux matrices de taille $n$ avec $S$ symétrique définie positive et $A$ antisymétrique. Montrer que $AS$ est $\C$-diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 435]
Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $k\in\N^*$. Pour $H\in\mc{S}_n(\R)$, on pose $\phi_k(H)=\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$.
 - Montrer que $\phi_k$ est un endomorphisme de $\mc{S}_n(\R)$.
 - à quelle condition $\phi_k$ est-elle injective? surjective? bijective?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 436]
Soit $f\in\mc{L}\left(S_n(\R),\R\right)$ telle que $\forall M\in\mc{S}_n^+(\R),\ f(M)\geq 0$. Montrer que $f$ est une combinaison linéaire des formes linéaires $\phi_X:M\mapsto X^TMX$ avec $X\in\M_{n,1}(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 437]
Soit $n$ un entier naturel impair. Soient $A$ et $B$ dans $S_n(\R)$. On note $C(A)$ (resp. $C(B)$) l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ qui commutent avec $A$ (resp. $B$).Montrer que $C(A)\cap C(B)=\RI_n$ si et seulement s'il n'existe pas deux sous-espaces $F$ et $G$ de $\R^n$, stables par $A$ et $B$, de dimension $\geq 1$, tels que $F\oplus G=\R^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 438]
Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$ deux matrices dont les valeurs propres sont strictement supérieures à $1$. Montrer que les valeurs propres de $AB$ sont strictement supérieures à $1$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [X PC 2024 # 439]
On note $E$ l'ensemble des polynômes non nuls à coefficients dans $\{-1, 0, 1\}$ et $A$ l'ensemble des racines des polynômes appartenant à $E$. Déterminer l'adhérence de $A$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [X PC 2024 # 440]
Chercher les fonctions $f\colon \R^2\ra\R^2$ bijectives, continues, dont la réciproque est continue, et telle que, pour tout droite $\mc D$, $f(\mc D)$ est une droite.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [X PC 2024 # 446]
On note $a = \sqrt{2}$. Pour $n\geq 1$, soit $S_n = \frac{1}{n}\sum_{a \lt \frac{k}{n}\lt a+1} \frac{1}{\sqrt{\frac{k}{n} - a}}$. Étudier la convergence de $(S_n)$.
#+END_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 449]
Soit $(a_n)$ une suite de réels de $]0,1[$ telle que la série $\sum\frac{a_n}{\ln(1/a_n)}$ converge. Montrer que la série $\sum\frac{a_n}{\ln(n)}$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 450]
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite complexe vérifiant, pour $n\in\N$, $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}\sum_{k=0}^na_n$.
 - Trouver $\alpha$ tel qu'il existe $C$ vérifiant $\forall n\in\N^*$, $|a_n|\leq Cn^{\alpha}$
 - On suppose $a_0\gt 0$. Montrer que $\sum a_n$ diverge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 451]
Prouver que la série de terme general $2^{-2^n}$ converge et que sa somme $\sum_{n=0}^{+\i}2^{-2^n}$ est irrationnelle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 452]
Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positifs telle que $\sum a_n$ converge. Soit $(u_n)$ une suite réelle. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\frac{\sum_{k=0}^na_ku_{n-k}}{\sum_{k=0}^na_k}$.
 - Montrer que, si $\sum u_n$ converge absolument, alors $\sum v_n$ converge.
 - Est-ce toujours le cas si $\sum u_n$ ne converge pas absolument?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 453]
Soit $f\in[\,0\,;+\i\,[\,\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\int_0^{+\i}|f'(t)|\,\dt$ converge. Montrer que

$$\int_0^{+\i}f(t)\dt$$ converge si et seulement si $$\sum f(n)$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 454]
Soient $k\in\N^*$ et $x_1,\ldots,x_k\in\R^{+*}$. Montrer l'inégalité $\prod_{i=1}^k(1+x_i^k)\geq\left(1+\prod_{i=1}^kx_i \right)^k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 455]
Déterminer les fonctions continues $f\colon\R\ra\R$ telles que :

 $\forall(a,b)\in\R^2,a\lt b$, $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(t)\dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 456]
Soient $n\in\N$ et $\lambda\in\,]0,1[$ distinct de $\frac{1}{n+2}$.
 - Trouver toutes les fonctions $f$ de classe $\mc C^{n+1}$ telles que, pour tous réels $a$ et $b$, on ait $f(b)=\sum_{k=0}^n\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^ {(n+1)}(\lambda b+(1-\lambda a))$.
 - Étudier le cas $\lambda=\frac{1}{n+2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 457]
Soient $a_1,\ldots,a_n$ des réels et $P:x\mapsto\sum_{k=1}^na_k\sin(kx)$. Pour tout entier $r\in\N$, on suppose que $(-1)^rP^{(2r)}$ est positive sur $[\,0\,;\pi\,]$. Montrer que $P$ est la fonction $x\mapsto a_1\sin(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 458]
Soit $(u_{k,n})_{(k,n)\in\N\times\N}$ une suite doublement indexée à valeurs complexes. On suppose que, pour toute suite complexe $(v_n)_{n\in\N}$ bornée, $\lim_{k\ra+\i}\sum_{n=0}^{+\i}v_nu_{k,n}=0$.

Montrer que $\lim_{k\ra+\i}\sum_{n=0}^{+\i}|u_{k,n}|=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 460]
Soient $f,g\in\mc C^0([0,1], \R)$ telles que $\int_0^1 fg = 0$.
 - Montrer que $$\int_0^1 f^2 \left(\int_0^1 g\right)^2 + \int_0^1 g^2 \left(\int_0^1 f\right)^2 \geq 4 \left(\int_0^1 f \int_0^1 g\right)^2.$$
 - Montrer que $$\int_0^1 f^2 \int_0^1 g^2 \geq 4\left(\int_0^1 f \int_0^1 g\right)^2.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 464]
Pour $f:[0,1]\ra\R$ et $n\in\N^*$, on pose $P_n:x\mapsto\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f\Big(\frac{k}{n}\Big)\,x^k(1-x)^{ n-k}$. On admet que, si $f$ est continue, alors $(P_n)$ tend uniformément vers $f$ sur $[0,1\,]$.

Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $f:[\,0,1\,]\ra\R$ afin qu'il existe une suite de polynômes à coefficients entiers qui converge uniformément vers $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 465]
Soit $f:z\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^5\left(1+\frac{i}{n^3}-z\right)}$.
 - Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0.
 - Montrer que la restriction de $f$ à l'ensemble des nombres complexes de module 1 n'est pas continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 466]
Soit $\mc{S}$ l'ensemble des $f\in\mc C^1(\R,\R)$ telles que, pour tout $x\in\R$, $f\left(x\right)=xf'\left(x/2\right)$.
 - Chercher les $f\in\mc{S}$ développables en série entière.
 - L'espace $\mc{S}$ est-il de dimension finie?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 467]
Soit $\left(u_n\right)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ une suite qui tend vers $0$. Pour $t\in\,]-1,1[$, on pose $f(t)=\sum_{n=0}^{+\i}u_nt^n$.
 - Vérifier que $f$ est bien définie sur $]-1\,;1\,[$.
 - Montrer que $\lim\limits_{t\ra 1^-}tf(t)=0$.
 - On suppose de plus qu'il existe des réels $a_1,\ldots,a_r$ et $0\lt \theta_1\lt \cdots\lt \theta_r\lt \pi$ tels que $\forall n\in\N,\,u_n=\sum_{k=1}^ra_k\cos(n\theta_k)$. Montrer que $a_k=0$ pour tout $k\in\db{1,r}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 468]
La fonction $f:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}(-1)^kx^{k!}$ admet-elle une limite lorsque $x$ tend vers $1^-\,$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 469]
Soit $(a_{k,n})_{(k,n)\in\N^2}$ une famille de nombres complexes telle que, pour tout $n\in\N$, la série entière $f_n:z\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}a_{k,n}z^k$ à un rayon de convergence supérieur ou egal à 1. On note $B$ l'ensemble des nombres complexes de module $\leq 1$. On suppose que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $B$ et qu'il existe $M\in\R^+$ tel que, pour tous $n\in\N$ et $z\in B$, $|f_n(z)|\leq M$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $\{z\in\C,\;|z|\leq r\}$ pour tout $r\lt 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 470]
Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, $k\in\N$ et $f$ une fonction de $U$ dans $\C$ développable en série entière au voisinage de $0$ telle que $f(z)\underset{z\ra 0}{=}O(z^k)$. Montrer que, pour $r\gt 0$ assez petit, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)\in\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 471]
Pour $x\geq 0$, on pose $I(x)=\int_0^{\pi/2}\cos(x\cos\theta)\,d\theta$.
 - Écrire $I(x)$ sous la forme d'une série.
 - Montrer que $I(x)=\mc{O}(x^{-1/4})$ quand $x$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 472]
On admet le theoreme d'approximation de Weierstrass. Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction continue. Soient $a,b\gt 0$. On suppose que $f(x)=0$ pour tout $x\in\R\setminus[\,-a\,;a\,]$. Pour $x\in\R$, on pose $\hat{f}(x)=\int_{-\i}^{+\i}f(t)e^{-ixt}\dt$.
 - On suppose que $\hat{f}(x)=0$ pour tout $x\in[\,-b\,;b\,]$. Montrer que $f=0$.
 - On suppose que $\hat{f}(x)=0$ pour tout $x\in\R\setminus[\,-b\,;b\,]$. Montrer que $f=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 473]
Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle : $xy''+y'-4xy=0$.

Ind. Chercher les solutions développables en série entière.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 474]
Soient $p\colon\R\ra\R$ intégrable et $y\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$ vérifiant $(E):y''-py=0$.
 - Montrer que $\lim_{x\ra+\i}y'(x)=0$.
 - On admet que, pour tout $(a,b)\in\R^2$, il existe $y$ vérifiant $(E)$ et $(y(0),y'(0))=(a,b)$.

Montrer que $(E)$ admet une solution non bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 475]
Soit $X\colon\R\mapsto\R^{2n}$ de classe $\mc C^1$ telle que $X'(t)=JSX(t)$, ou $J=\left(\begin{array}{cc}O_n&-I_n\\ I_n&O_n\end{array}\right)$ et $S\in S_n^{++}(\R)$. Montrer que $X$ est bornée sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 476]
Déterminer les extrema globaux et locaux de $f:M\in\text{SO}_4(\R)\mapsto\op{tr}(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 477]
Soient $d\in\N$ et $\Omega\in\mc C^2(\R^d,\R)$. On suppose que $\nabla(\Omega)(0)=0$ et on note $D_a^2(\Omega)$ la hessienne en $a$ de $\Omega$. On suppose que $\op{Im}(D_a^2(\Omega))=F$, ou $F$ est indépendant de $a$ et de rang $p$.

Montrer qu'il existe un changement de coordonnées $f$ (c'est-a-dire une application de $\R^d$ dans $\R^d$) tel que, pour tout $(x_1,\ldots,x_d)\in\R^d$, $(\Omega\circ f)(x_1,\ldots,x_d)$ ne depende que de $(x_1,\ldots,x_p)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 478]
Soient $N\in\N^*$ et $f\in\mc C^0(\R^N,\R)$. Montrer qu'il existe une suite $(f_n)$ de fonctions dans $\mc C^{\i}(\R^N,\R)$ et une suite $(x_n)$ d'éléments de $\R^N$ qui tend vers $0$ telles que, pour tout $n\in\N$, la fonction $f-\phi_n$ admette un minimum local en $x_n$.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [X PC 2024 # 479]
On lance une pièce une infinite de fois. On note $S_n$ le nombre de successions de deux pile consécutifs dans les $n$ premiers lancers.
 - Trouver $\mathbf{E}(S_n)$ et $\mathbf{V}(S_n)$.
 - On pose $T=\min\{n\in\N,\ S_n=1\}$. Calculer $G_T(t)$ et en déduire sa loi.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 480]
Soit $f:[\,0\,;1\,]\ra\R$ une fonction croissante. Pour $n\in\N^*$, montrer que la fonction $p_n:x\mapsto\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f\Big(\frac{k}{n}\Big)\,x^k(1- x)^{n-k}$ est croissante sur $[0,1]$. Interpréter d'un point de vue probabiliste.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 481]
On étudie un groupe de cellules. à l'instant initial, $n=0$, il y en à une. à chaque instant, chaque cellule peut de facon equiprobable : mourir, raster telle qu'elle est, se diviser en 2, se diviser en 3. Calculer la probabilité que le groupe disparaisse.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 482]
Soient $p\in\left]0,1\right[$, $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires définie par $X_0=0$ et, pour $n\in\N$, $X_{n+1}=X_n+1$ avec une probabilité $p$ et $X_{n+1}=0$ avec probabilité $1-p$.

Déterminer la loi de $X_n$, son espérance et sa variance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2024 # 483]
Soit $\Omega$ un ensemble. On dit que $\M\subset\mc{P}(\Omega)$ est une classe monotone si elle vérifie :

(i) $\Omega\in\M,$ (ii) $\M$ est stable par union croissante,

(iii) si $A,B\in\M$ et $B\subset A$, alors $A\setminus B\in\M$.
 - Montrer qu'une intersection de classes monotones est une classe monotone.
 - Montrer qu'une classe monotone stable par intersection finie est une tribu.
 - Soit $C\subset\mc{P}(\Omega)$ stable par intersection finie. Montrer que la classe monotone $D$ engendrée par $C$ (c'est-a-dire la plus petite classe monotone contenant $C$) est une tribu.
#+end_exercice

* Autres X/ENS                                                         :xens:

#+begin_exercice [Ly 2024 # Christophe]                                        :todo:
Soit $E$ un espace euclidien. Soient $X\in\mc{P}(E)\setminus\{\emptyset\}$ et $x\in E$. On pose

$$\Pi_X(x)=\{y\in X,\ \forall z\in X,\ \|z-x\|\geq\|z-y\|\}$$

Donner une CNS sur $x$ et $X$ pour que $\Pi_X(x)\neq\emptyset$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof                                                          :todo:
Si $x\in X$ c'est bon. Si $x$ est dans l'adhérence de $X$ mais pas dans $X$, c'est pas bon.

Si un $y$ marche, alors $x$ est séparé de $X$ de l'hyperplan médian entre $x$ et $y$.

Réciproquement, on montre que si un point $y$ marche, ça doit être l'un des points les plus proches de $X$ (il peut y en avoir plusieurs, et ils ne marchent pas forcément tous).

On peut montrer que si $y$ ne marche pas, que si $z$ est un témoin du fait que $y$ ne marche pas, et si $d(z, x)\gt d(y,x)$, alors $z$ ne marche pas ($y$ n'est pas dans le demi espace).

On prend l'ensemble des éléments les plus proches de $x$, leur enveloppe convexe, la projection de $x$ sur celle-ci. Nah.
#+END_proof

# ID:8009
#+begin_exercice [Lyon 2024 # Christophe]
Soit $A$ un ensemble quelconque. Montrer que toutes les bijections de $A$ dans lui meme sont des produits (composees) de deux involutions.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Il suffit de traiter le cas de cycles finis, et de cycles infinis.
#+END_proof

# ID:8016
#+begin_exercice [ULSR 2024]
 1. Soit $z\in\C$ tel que $|z|\lt 1$. Montrer que $\quad\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\i}\frac{z^{2^n}}{1-z^{2^{n+1}}}=\frac{z^2}{1-z^2}$.
 2. On definit $(F_n)$ par $F_0=0,\ F_1=1,\ \forall n\geq 2,\, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$. Deduire la valeur de $\sum\limits_{k=0}^{\i}\frac{1}{F_{2^k}}$.
 3. $\sum\limits_{n=1}^{\i}\frac{1}{F_{n!}}$ est-il algebrique? Indication : cerire les sommes partielles comme des rationnels dont on majorera le denominateur, estimer le reste et raisonner par l'absurde.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Quand on développe à gauche, on trouve les entier tels que $m\equiv 2^n [2^{n+1}]$.
 2. Utiliser la formule de Binet, et la question 1.
 3. On a $F_p\mid F_{pq}$, donc le dénominateur de la somme partielle est $F_{n!}$. Puis mauvaise approximabilité des nombres algébriques.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [X 2024]
On pose pour tout $f\in C^{\i}(\R,\R)$, $H_f(x)=-f''(x)+x^2f(x)$.
 1. Montrer qu'il existe, a scalaire multiplicatif pres, une unique fonction $\phi_0$ de carre integrable telle que $H_{\phi_0}=\phi_0$.
 2. Construire $\phi_n$ tel que $H_{\phi_n}=(2n+1)\phi_n$ et $\phi_n=P_n\phi_0$ avec $P_n$ polynome de degre $n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $e^{-\frac{x^2}{2}}$ est solution. Puis on se ramène à une équation d'ordre $1$.
 2. Simple
#+END_proof

# ID:8013
#+begin_exercice [ENS 2024]
 1. Pour $a\in\N^*$ pair, on pose $W\colon x\mapsto \sum_{k=0}^{+\i} \frac{\sin (a^k x)}{a^k}$. Montrer que $W$ est continue.
 2. Pour $x\in\R$ et $h\gt 0$, montrer l'inégalité $\quad\displaystyle\left|\frac{\sin (x+h) - \sin x}{h} - \cos x\right|\leq \frac{h}{2}$.
 3. En considérant les suites $(h_n = \frac{2\pi}{a^n})$ et $(h_n' = \frac{\pi}{a^n})$, ainsi que les quantités
    $$\Delta_n = \frac{W(x+h_n) - W(x)}{h_n}\quad\et\quad \Delta_n' = \frac{W(x+h_n') - W(x)}{h_n},$$
    montrer que pour $a$ assez grand, la fonction $W$ n'est dérivable en aucun point.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Taylor Lagrange.
 3.
#+END_proof

# ID:8014
#+BEGIN_exercice [X 2024]
Soit $N\geq 1$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ indépendantes de même loi $\mu$ sur $\db{1,N}$ telle que $\mu(1)\gt 0$. On pose $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$, et $E = \{S_i,\, i\in\N\}$.
 1. Montrer que $\forall n\geq 1$, $P(n\in E) = \sum_{k=1}^N \mu(k) P(n-k\in E)$.
 2. Soit $F(z) = \sum_{n\geq 0} P(n\in E) z^n$ et $G(z) = \sum_{k=1}^N \mu(k)z^k$. Montrer que $F(z) = \frac{1}{1 - G(z)}$.
 3. Montrer que $F$ admet un pôle simple en $1$ et que les autres pôles sont en module strictement plus grand que $1$.
 4. Montrer que ce résultat reste vrai si l'on remplace «$\mu(1)\gt 0$» par «$\pgcd \{k\mid \mu(k)\gt 0\} = 1$».
 5. On décompose $F$ en éléments simples sous la forme $F(z) = \frac{a}{1-z} + \dots$. Déterminer $a$.
 6. Déterminer $\lim_{n\ra +\i} P(n\in E)$.
#+END_exercice

# ID:8007
#+BEGIN_exercice
Soit $n \in \N^*$. On considère $v=\left(v_i\right)_{i \in \Z / n \Z} \in \R^{\Z / n \Z}$ et $\left(t_i\right)_{i \in \Z / n \Z} \in \interval]{0, 1}[^{\Z / n \Z}$.
On définit $\left(v^{(k)}\right)_{k \in \N}=\left(v_i^{(k)}\right)_{i \in \Z / n \Z, k \in \N} \in\left(\R^{\Z / n \Z}\right)^{\N}$ par : $\quad\displaystyle \begin{cases} v_i^{(0)}=v_i \\ v_i^{(k+1)}=\left(1-t_i\right) v_i^{(k)}+t_i v_{i+1}^{(k)} \end{cases}$.

Montrer que les $\left(v_i^{(k)}\right)_{k \in \N}$ convergent vers la même limite.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Le max décroît strictement, le min croit.
#+END_proof

# ID:8064
#+BEGIN_exercice
Soit une fonction $f\colon [a, b] \ra \R,(b \neq a)$ on pose pour $x \in[a, b] \tau_{a, b, f}(x)=\frac{b-x}{b-a} f(a)+\frac{x-a}{b-a} f(b)$ on dit que $f$ est $\eps$-linéaire si $\left|f(x)-\tau_{a, b, f}(x)\right| \leq \eps|b-a|$ pour tout $x \in[a, b]$.
Soit $f$ $1$-lipschitzienne sur $[a, b]$. Montrer qu'il existe $c, d \in[a, b]$ tels que f est $\eps$-linéaire sur $[\mathrm{c}, d]$ avec $d-c\gt \alpha_{\eps}(b-a)$ où $\alpha_{\eps}$ une constante à déterminer.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Si on n'est pas $\eps$-linéaire entre $a$ et $b$, il existe un point en dehors, en lequel une des pentes est $\geq \eps + \tau$. Par ailleurs, ce point est à une distance au moins $\eps (b-a)$ de $a$ ou de $b$ (car $f$ est $1$-lip). En réitérant $\lfloor \frac{1}{\eps}\rfloor$ fois, on obtient une contradiction, donc une constante en $\alpha_{\eps} = \eps^{1/\eps}$.

En fait, on a mieux, car si le point est $\leq K (b-a)$, alors la pente est $\geq \frac{\eps}{K}$.
#+END_proof

# ID:8008
#+BEGIN_exercice
Soit $\mc A_1 = \{A\in\M_n(\R)\mid \forall v\in\R^n,\, \exists \a_v \in\R \,\text{t.q.}\, A^kv \ra \a_v e_1\}$. On pose $\phi_v\colon \mc A_1 \ra\R \quad A\mapsto \a_v$. Montrer que $\phi_v$ est continue, pour tout $v\in\R^n$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Notons que $e_1$ est un vecteur propre de $A$, que les autres valeurs propres (complexes) sont de modules $\lt 1$. En fait $\a_v$ est la valeur propre de $e_1$. Donc c'est assez clair.
#+END_proof

# ID:8015
#+BEGIN_exercice [ENS 2024]
Soit $a\gt 0$ et $x_1,\dots,x_n\geq 0$. Déterminer
 $\quad\displaystyle\inf \left\{\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{y_i^a},\,\,y_i\gt 0 \et \sum y_i \leq 1\right\}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Existence, puis par homogénéité, c'est atteint sur le bord. Extrema liées donnent $\frac{x_i}{y_i^{a+1}} = C$, donc $y_i = \big(\frac{x_i}{C}\big)^{1/(a+1)}$, comme $\sum y_i = 1$, on trouve $C$.
#+END_proof

* Mines - Ponts - MP                                                  :mines:
** Algèbre

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 484]
Soit $n\in\N\setminus\{0,1\}$. Calculer $S_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2k}(-3)^k$ et $T_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}\binom{n}{3k}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 485]
Soient $(a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n)\in\R^n$. Montrer que l'application définie sur l'ensemble des permutations de $\db{1,n}$ par $f(\sigma)=\sum_{i=1}^na_ib_{\sigma(i)}$ admet un minimum et un maximum à expliciter.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 486]
On note $\phi$ la fonction indicatrice d'Euler.
 - Calculer $\phi(7)$ et $\phi(37044)$.
 - Montrer que : $\forall n\in\N^*,\phi(n)\geq\frac{n\ln 2}{\ln n+\ln 2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 487]
Soient $a$ et $b$ dans $\N^*$. Montrer que $a\wedge b=1$ si et seulement si, pour tout $n\geq ab$, il existe $u,v\in\N$ tels que $au+bv=n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 488]
Pour $n\in\N$, soit $F_n=2^{2^n}+1$.
 1. Montrer que, si $m$ et $n$ sont deux entiers naturels distincts, $F_m\wedge F_n=1$.
 2. Retrouver à l'aide de la question précédente que l'ensemble des nombres premiers est infini.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 489]
Soit $n\in\N^*$. Déterminer et dénombrer les sous-groupes de $\Z/n\Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 490]
Soit $G$ un groupe fini non reduit à l'élément neutre et tel que : $\forall g\in G,\ g^2=e$.
 - Montrer que $G$ est abelien.
 - Soit $H$ un sous-groupe strict de $G$ et $a\in G\setminus H$. Montrer que $H\cup aH$ est un sous groupe de $G$ et que l'union est disjointe.
 - Montrer que le cardinal de $G$ est une puissance de 2.
 - Calculer le produit des éléments de $G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 491]
Soient $G$ un groupe fini et $\Omega=G^2$ que l'on munit de la probabilité uniforme.

On pose : $C=\{(x,y)\in G^2\;;\;xy=yx\}$ et $p=\mathbf{P}(C)$.
 - Montrer que $p\gt 0$. Que dire si $p=1$?

Dans la suite, on suppose que $G$ n'est pas commutatif.
 - Calculer $p$ lorsque $G=\mc{S}_3$ puis lorsque $G=\mc{S}_4$.
 - On définit la relation $\sim$ sur $G^2$ par : $x\sim y\Longleftrightarrow\exists g\in G,x=gyg^{-1}$. Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence.
 - On note $s$ le nombre de classes d'équivalence. Montrer que : $p=\frac{s}{\op{card}G}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 492]
Soit $G$ un groupe abelien. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux, et $x\in G$ d'ordre $a$ et $y\in G$ d'ordre $b$. Montrer que $xy$ est d'ordre $ab$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 493]
Soit $G$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\cdot$ associative, telle qu'il existe $e\in G$ vérifiant $xe=x$ pour tout $x\in G$, et, pour tout $x\in G$, il existe $x'\in G$ tel que $xx'=e$. Montrer que $(G,\cdot)$ est un groupe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 494]
Soit $\alpha=e^{i\theta}$ un nombre complexe de module $1$. Calculer $\prod_{k=0}^n(\alpha^{2^{-k}}+\ol{\alpha}^{2^{-k}})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 495]
Soit $n$ un entier $\geq 2$. On pose $Q=1+2X+\cdots+nX^{n-1}$. Calculer $\prod_{\zeta\in\mathbb{U}_n}Q(\zeta)$, ou $\mathbb{U}_n$ designe le groupe des racines $n$-iemes de l'unite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 496]
Soient $m\in\N^*$, $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_m$ des nombres réels, $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ des éléments de $\N^*$ et $P=\prod_{k=1}^m(X-x_k)^{\alpha_k}$. Quel est le nombre de racines réelles distinctes de $P'$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 497]
 - Soit $n\in\N$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n\in\Z[X]$ tel que
$\forall x\in\R^*,\;P_n\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^n+\frac{1}{x ^n}$.
 - Soit $a\in\Q$ tel que $\cos(a\pi)\in\Q$. Montrer que $2\cos(a\pi)\in\Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 498]
Soient $0\lt a_0\lt \cdots\lt a_n$, $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ et $Q=(X-1)P$.
 - Soient $p\geq 2$ et $z_1$, $\ldots$, $z_p\in\C^*$ tels que $|z_1+\cdots+z_p|=|z_1|+\cdots+|z_p|$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R^{+*}$ tel que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $z_k=\lambda z_1$.
 - Justifier que, pour tout $z\in\C$, $|Q(z)|\leq Q(|z|)$.
 - Montrer que les racines de $P$ sont de module strictement inférieur à $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 499]
Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$. Déterminer les $P\in\C[X]$ tel que $P(\mathbb{K})\subset\mathbb{K}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 500]
Soit $P\in\C[X]$.
 - à quelle condition a-t-on $P(\C)=\C$?
 - à quelle condition a-t-on $P(\R)=\R$?
 - à quelle condition a-t-on $P(\Q)=\Q$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 501]
Soit $P\in\R[X]$ un polynôme non constant. On note $r^+(P)$ le nombre de racines de $P$ dans $\R^{++}$ et $N(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$.
 - Que dire de $P$ si $N(P)=1$? si $N(P)=2$?
 - Montr per que : $r^+(P)\leq r^+(P')+1$.
 - On suppose que $P(0)=0$. Montr per que : $r^+(P)\leq r^+(P')$.
 - Montr per que : $r^+(P)\leq N(P)-1$.
 - Soit $n\in\N$. Soient $0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n$ des réels et $0\leq p_1\lt \cdots p_n$ des entiers. Montr per que : $\det\left(x_i^{p_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 502]
Soit $P$ un polynôme à coefficients complexes.
 - Donner la décomposition en éléments simples de $P'/P$.
 - Montr per que l'enveloppe convexe des racines de $P'$ est incluse dans l'enveloppe convexe des racines de $P$. Que dire si $P$ est un polynôme à coefficients réels scindé dans $\R$?
 - Montr per que si un demi-plan ferme $H$ contient une racine de $P'$ alors $H$ contient une racine de $P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 503]
 - Soient $a,b,c\in\Z$ premiers entre eux, montrer que $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\ 2c&a&b\\ 2b&2c&a\end{pmatrix}$ est inversible.
 - On pose $\alpha=2^{1/3}$. Soit $(a,b,c)\in\Q^3$ tel que $a+b\alpha+c\alpha^2=0$.

Montrer que $a=b=c=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 504]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u\in\mc{L}(E)$.
 - On suppose que $E$ est de dimension finie. Montr per que les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) $\op{Ker}u=\op{Ker}u^2$ ;  (ii) $\op{Im}u=\op{Im}u^2$ ;  (iii) $\op{Ker}u\oplus\op{Im}u=E$.
 - En dimension infinie, donner des contre-exemples.
 - En dimension finie ou infinie, montrer que : (iii) $\Longleftrightarrow$ ((i) et (ii)).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 505]
Soit $f\in\mc{L}(\R^3)$ tel que $f^2=0$. Montrer que, si $F$ est un plan vectoriel de $\R^3$ stable par $f$, on a $\op{Im}(f)\subset F$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 506]
Soit $\phi$ une forme linéaire sur $\M_n(\mathbb{K})$. Montr per qu'il existe $A\in\M_n(\mathbb{K})$ telle que $\phi=M\mapsto\op{tr}(AM)$. En déduire que tout hyperplan de $\M_n(\mathbb{K})$ contient une matrice inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 507]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n\geq 2$, $p_1,\ldots,p_n\in\mc{L}(E)\setminus\{0\}$ tels que : $\forall i,j,\ p_i\circ p_j=\delta_{i,j}p_i$. Montr per que les $p_i$ sont de rang 1 et que $E=\bigoplus_{i=1}^n\op{Im}(p_i)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 508]
Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie.
 - Soient $u\in\mc{L}(E,F)$ et $v\in\mc{L}(F,E)$ tels que $uvu=u$ et $vuv=v$. Montrer que $E=\op{Ker}(u)\oplus\op{Im}(v)$.
 - Soient $u\in\mc{L}(E,F)$, $E_1$ un supplementaire de $\op{Ker}u$ dans $E$, $F_1$ un supplementaire de $\op{Im}(u)$ dans $F$. Montrer qu'il existe un unique $v\in\mc{L}(F,E)$ tel que $\op{Ker}v=F_1$, $\op{Im}v=E_1$, $uvu=u$ et $vuv=v$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 509]
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. Soient $u,v\in\mc{L}(E)$.
 - Montrer que : $\op{rg}u+\op{rg}v-\dim E\leq\op{rg}(u \circ v)\leq\min(\op{rg}u,\op{rg}v)$.
 - On suppose que $u\circ v=0$ et $u+v\in\op{GL}(E)$. Montrer que $\op{rg}u+\op{rg}v=\dim E$, $\op{Im}v=\op{Ker}u$, $E=\op{Ker}u\oplus\op{Im}u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 510]
Soient $a,b\in\C$ distincts, $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ vérifiant $(u-a\op{id})\circ(u-b\op{id})=0$. On pose $p=\frac{1}{b-a}(u-a\op{id})$ et $q=\frac{1}{a-b}(u-b\op{id})$.

Déterminer $p^2$, $q^2$, $p\circ q$, $q\circ p$ et $p+q$ puis montrer que $E=\op{Ker}(p)\oplus\op{Ker}(q)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 511]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension infinie dénombrable, $(e_n)_{n\geq 0}$ une base de $E$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que : $\forall n\in\N$, $u(e_n)=e_{n+1}$. Soit $\Phi$ l'endomorphisme de $\mc{L}(E)$ tel que : $\forall v\in\mc{L}(E)$, $\Phi(v)=uv-vu$.
 - Montrer que $\Phi$ n'est pas injectif et que la dimension de $\op{Ker}\Phi$ est infinie.
 - Soient $x_0\in E$ et $w\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe un unique $v\in\mc{L}(E)$ tel que $\Phi(v)=w$ et $v(e_0)=x_0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 512]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $\mc{A}$ une sous-algèbre de $\mc{L}(E)$ telle que les seuls sous-espaces vectoriels stables par tous les éléments de $\mc{A}$ sont $E$ et $\{0\}$. Montrer que, pour tout $x\in E$ non nul et tout $y\in E$, il existe $u\in\mc{A}$ tel que $u(x)=y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 513]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u\in\mc{L}(E)$ nilpotent de rang $n-1$. Montrer que $u$ admet exactement $n+1$ sous-espaces stables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 514]
Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Trouver les endomorphismes de $E$ qui commutent avec tous les automorphismes de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 515]
 - Soient $n\geq 2$ et $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ à coefficients entiers telle que, pour tout $i$, $b_{i,i}$ soit impair et, pour tout $(i,j)$ avec $i\neq j,b_{i,j}$ soit pair. Montrer que $B$ est inversible.
 - La propriété est-elle encore vérifiée lorsqu'on intervertit \lt \lt  pair \gt \gt  et \lt \lt  impair \gt \gt ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 516]
Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=0$. Déterminer une condition nécessaire sur $n$ et $A$ pour qu'il existe $B\in\M_n(\R)$ telle que $A=B^2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
En Jordan, $A$ est constituée de blocs $J_2$. Si les blocs $J_2$ vont
par paires, ce sont des carrés de $J_4(0)$. Si il reste un $J_2$ tout
seul, il faut un $0$ de plus.

On a $\rg A\leq n/2$. Le seul cas qui ne marche pas est le cas où $\rg A = \frac{n}{2}$ et que $\frac{n}{2}$ est impair. On montre à la main que ce n'est pas possible, en prenant des antécédents de machins.
#+END_proof

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 517]
Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $A=B^3$. On suppose que $A$ est de rang $1$. Donner une relation entre $\op{tr}A$ et $\op{tr}B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 518]
Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une matrice $D\in\M_n(\R)$ diagonale à coefficients diagonaux éléments de $\{-1,1\}$ telle que $A+D$ soit inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 519]
Soient $n\in\N$ et $x_1\lt x_2\lt ...\lt x_n$ réels. On note $V=(x_i^{j-1})_{1\leq i,j\leq n}$.
 - Calculer le déterminant de la matrice $V$.
 - Montrer que $V$ est inversible et calculer son inverse.

Ind. On pourra interpréter $V$ comme matrice de passage dans $\R_{n-1}[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 520]
Soient $n\in\N^*$ et $P_1,\ldots,P_n\in\mathbb{K}[X]$. Montrer que la famille $(P_1,\ldots,P_n)$ est libre si et seulement s'il existe $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{K}$ tels que la matrice $(P_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}$ soit inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 521]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que : $fg-gf=\op{id}$.
 - Montrer que : $\forall P\in\mathbb{K}[X],\,fP(g)-P(g)f=P'(g)$.
 - Montrer que $(g^n)_{n\in\N}$ est une famille libre.
 - Si $E=\R[X]$, donner un exemple de couple $(f,g)$ vérifiant les relations précédentes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 522]
Soient $n\geq 2$ et $E$ un ensemble à $n$ éléments. On pose $N=2^n-1$ et $E_1,\ldots,E_N$ les parties non vides de $E$. Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq N}\in\M_N(\R)$ ou $a_{i,j}=1$ si $E_i\cap E_j\neq\emptyset$, et 0 sinon. Calculer $\det A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 523]
Soient $n\in\N^*$ et $f_1,...,f_n$ des fonctions de $\R$ dans $\R$.

Montrer que la famille $(f_1,...,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $(x_1,...,x_n)\in\R^n$ tel que $\det\left((f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}\right)\neq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 524]
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel et $f_1,...,f_p$ des formes linéaires sur $E$.

Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
 - $(f_1,...,f_p)$ est libre,
 - l'application $\phi:x\mapsto(f_1(x),...,f_p(x))$ est surjective de $E$ sur $\C^p$,
 - il existe $x_1,...,x_p\in E$ tels que $\det\left((f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq p}\right)\neq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 525]
Soient $A,M\in\M_n(\C)$ avec $A$ inversible et $M$ de rang 1.
 - On suppose que $\det(A+M)=0$. Que dire de $\op{tr}\left(A^{-1}M\right)$?
 - On suppose que $\det(A+M)\neq 0$. Donner une expression de $(A+M)^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 526]
Soient $A\in\M_n(\C)$ et $M=\begin{pmatrix}I_n&A\\ A&I_n\end{pmatrix}$. Étudier l'inversibilité de $M$, et le cas echeant, déterminer $M^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 527]
Soient $A,B\in\M_n(\R)$ avec $B$ nilpotente et $AB=BA$.
 - Montrer que $A\in\op{GL}_n(\R)$ si et seulement si $A+B\in\op{GL}_n(\R)$.
 - Calculer $(A+B)^{-1}$ quand $A$ est inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 528]
Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$. Montrer que $A^2=0$ si et seulement si $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}0&I_r\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $2r\leq n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 529]
Pour $n\in\N^*,$ soit $P_n=X^n-X+1$.
 - 
   - Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $P_n$ admet au plus une racine réelle.
   - Donner les racines des $P_n'$..
   - Montrer que les $P_n$ sont à racines simples.
 - Notons $r_1,r_2,r_3$ les racines de $P_3$. Calculer $\begin{pmatrix}r_1+1 & 1 & 1 \\ 1 & r_2+1 & 1 \\ 1 & 1 & r_3 + 1 \end{pmatrix}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 530]
 - Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $p\in\db{1,n-1}$. Soit $u\in\mc{L}(E)$, qui stabilise tous les sous-espaces de dimension $p$. Montrer que $u$ est une homothetie.
 - Soient $A,M\in\M_n(\C)$. On suppose que $A$ n'est pas scalaire et que $M$ commute avec toutes les matrices semblables à $A$. Que dire de $M$?
 - Même question pour deux matrices réelles.

#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 531]
Soient $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$, $A$ et $B$ dans $\M_n(\mathbb{K})$. Si $A$ et $B$ sont semblables, montrer que $\text{Com}(A)$ et $\text{Com}(B)$ le sont aussi.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 532]
Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que, si $t\in\R^+$, $\det(A^2+tI_n)\geq 0$.

#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 533]
Soit $N\in\M_n(\C)$ nilpotente. Montrer que $G=\{P(N),P\in\C[X]\text{ et }P(0)=1\}$ est un sous-groupe de $\text{GL}_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 534]
Soient $n\geq 2$ et $A,B\in\M_n(\C)$ non inversibles telles que $(AB)^n=0$.
 - Montrer que $(BA)^n=0$.
 - On suppose que $(AB)^{n-1}\neq 0$ et $(BA)^{n-1}\neq 0$.
   Montrer que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $\text{Ker}((AB)^k)=\text{Ker}(B)$ et $\text{Ker}((BA)^k)=\text{Ker}(A)$.
 - Conclure

#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 535]
Soient $n\geq 2$ et $A\in\M_n(\C)$ non nulle et non inversible.
 - Montrer qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $\C^n=\text{Im}(A^p)\oplus\text{Ker}(A^p)$.
 - Montrer qu'il existe $r\in\db{1,n-1}$, $A_0\in\text{GL}_r(\C)$ et $N\in\M_{n-r}(\C)$ nilpotente tels que $A$ est semblable à $\left(\begin{array}{c|c}A_0&0\\ \hline 0&N\end{array}\right)$
 - On suppose qu'il existe $m\geq 2$ et $B\in\M_n(\C)$ tels que $A^mB=A$.
   Montrer que $A^m B= A^{m-1} BÀ = \dots = BA^m$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 536]
Soient $n\in\N$, $P\in\mathbb{K}[X]$ de degré $n$, $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ des éléments distincts de $\mathbb{K}$.
 - Calculer le déterminant de la matrice $(P^{(i)}(\alpha_j))_{0\leq i,j\leq n}$.
 - Montrer que $(P(X+\alpha_j))_{0\leq j\leq n}$ est une base de $\mathbb{K}_n[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 537]
Soient $n\gt 2$, $m=2^n-2$, $E=\db{1,n}$ et $\mc{F}=\mc{P}(E)\setminus\{\emptyset,E\}$.
 - Montrer qu'il existe une unique bijection $g\colon\mc{F}\ra\mc{F}$ telle que $\forall\alpha\in\mc{F}$, $g(\alpha)\cap\alpha=\emptyset$.
 - On se donne une enumeration $\alpha_1,...,\alpha_m$ de $\mc{F}$. Soit $A=(a_{i,j})\in\M_m(\R)$ la matrice définie par $a_{i,j}=-1$ si $\alpha_i\cap\alpha_j=\emptyset$ et $0$ sinon. Calculer $\det(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 538]
Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $3n$ et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose que $f^3=0$ et $\op{rg}(f)=2n$. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $f$ est egale à $\left(\begin{array}{c|c}0&I_n&0\\ \hline 0&0&I_n\\ \hline 0&0&0\end{array}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 539]
Soit $G$ un sous-groupe de $\op{GL}_n(\R)$ vérifiant $\forall M\in G,\ M^2=I_n$. Montrer que $G$ est fini.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 540]
Soit $I$ l'ensemble des matrices inversibles de $\M_n(\Z)$ et $A\in\M_n(\Z)$.
 - Preciser la structure algebrique de $I$.
 - Montrer que $A\in I$ si et seulement si $\det A\in\{-1,1\}$.
 - Pour toute colonne $X$ à coefficients entiers, on note $\alpha(X)$ le pgcd de ses coefficients. Montrer que $A\in I$ si et seulement si, pour toute colonne $X$ à coefficients entiers, $\alpha(AX)=\alpha(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 541]
Déterminer les parties $G\subset\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ est un groupe multiplicatif mais pas un sous-groupe de $\op{GL}_n(\C)$. Montrer que toutes les matrices de $G$ ont même rang.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 542]
Soit $f\in\op{GL}\left(\M_n(\R)\right)$ vérifiant : $\forall A,B\in\M_n(\R),f(AB)=f(A)f(B)$.
 - Calculer $f(I_n)$.
 - On pose $\Delta=\text{Diag}(1,\ldots,n)$. Montrer qu'il existe une matrice $P\in\op{GL}_n(\R)$ telle que $f(\Delta)=P\Delta P^{-1}$. Montrer que, pour toute matrice diagonale $D$, on a : $f(D)=PDP^{-1}$.
 - Expliciter $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 543]
Soient $A,B\in\M_n(\C)$. On suppose qu'il existe $c\in\C$ tel que $AB-BA=cA$.
 - Montrer que $\forall k\in\N$, $(A-cI_n)^kB=BA^k$.
 - Montrer que $\forall t\in\R$, $e^{-ct}e^{tA}B=Be^{tA}$.
#+end_exercice

# ID:7701
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 544]
Pour $M\in\M_n(\R)$, on dit que $M$ est stochastique si : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,m_{i,j}\geq 0$ et $\forall i\in \db{1,n},\sum_{j=1}^n m_{i,j}=1$. Soit $A\in\M_n(\R)$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\exp(tA)$ soit stochastique pour tout $t\in\R^+$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
En dérivant, on trouve que $AJ = 0$ (ce qui assure le caractère $\sum = 1$). Ensuite, localement, il est nécessaire que les coefficients diagonaux de $A$ soit $\leq 0$ et que les non diagonaux soient $\geq 0$ (la seconde + $AJ = 0$ implique l'autre).

Réciproquement, ces conditions suffisent, car $e^{tA} = \left(e^{\frac{tA}{n}}\right)^n$.
#+END_proof

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 545]
 - Soient $M\in\M_{n,p}(\mathbb{K})$ et $N\in\M_{p,n}(\mathbb{K})$. Trouver une relation entre $\chi_{MN}$ et $\chi_{NM}$.
 - Soit $A\in\op{GL}_n(\mathbb{K})$. On pose $B=(1+a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$, on écrit $A^{-1}=(s_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ et on pose enfin $S=\sum_{1\leq i,j\leq n}s_{ij}$. Trouver une relation entre $\det A$, $\det B$ et $S$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 546]
Soient $J=$ $\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&\ddots&1\\ 1&0&\cdots&0&0\end{pmatrix}$, $A=$ $\dfrac{1}{2}$ $\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0&1\\ 1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&\ddots&\ddots&1\\ 1&0&\cdots&\cdots&1&0\end{pmatrix}\in\M_n(\R)$.
 - Montrer que $J$ est diagonalisable dans $\M_n(\C)$, et preciser ses éléments propres.
 - Déterminer les éléments propres de la matrice $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 547]
Soient $(a_1,\ldots,a_n)\in\C^n$ et $M=$ $\begin{pmatrix}0&\ldots&0&a_n\\ a_1&\ddots&\vdots&0\\ \vdots&\ddots&0&\vdots\\ 0&\ldots&a_{n-1}&0\end{pmatrix}$. à quelle condition

 $M$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 548]
Soient $a,b\in\R$ avec $a^2\neq b^2$. Diagonaliser si possible la matrice $A\in\M_{2n}(\R)$ telle que $a_{i,j}=a$ si $i+j$ est pair et $a_{i,j}=b$ sinon.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 549]
Soit $A=$ $\begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 1&k&1&1\\ 0&1&0&0\\ 0&1&0&0\end{pmatrix}\in\M_4(\C)$.
 - Justifier que $A$ est diagonalisable lorsque $k\in\R$.
 - Montrer que $\chi_A=X^2(X-u_1)(X-u_2)$ avec $u_1+u_2=k$ et $u_1^2+u_2^2=k^2+6$.
 - à quelle condition $A$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 550]
Soit $n\in\N^*$. Soit $A=(a_{i,j})\in\M_n(\R)$ définie par $a_{i,j}=j$ si $i\neq j$ et $0$ sinon.
 - Calculer $\det(A+kI_n)$ pour $k\in\{1,2,...,n\}$.
 - - Montrer que $A$ à $n$ valeurs propres distinctes.
 - Pour $\lambda$ valeur propre de $A$, montrer que $\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{\lambda+k}=1$.
 - Déterminer la somme et le produit des valeurs propres de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 551]
Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice diagonalisable dans $\M_n(\C)$. Montrer que les matrices $A$ et $A^T$ sont semblables dans $\M_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 552]
Soit $\omega$ un nombre complexe non réel
 - Montrer qu'il existe un unique couple $(\alpha,\beta)\in\R^2$ tel que $\omega^2=\alpha\omega+\beta$.
 - Montrer que, si $z\in\C$, il existe un unique $(\lambda,\mu)\in\R^2$ tel que $z=\lambda+\mu\omega$.
 - Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $2n$ et $u\in\mc{L}(E)$. On suppose que $u^2=\alpha u+\beta\op{id}_E$. On pose $(\lambda+\mu\omega)*x=\lambda x+\mu u(x)$ pour tous $(\lambda,\mu)\in\R^2$ et $x\in E$. Montrer que $(E,+,*)$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension finie.
 - Soit $(e_1,\ldots,e_p)$ une base de ce $\C$-espace vectoriel.Montrer que $e=(e_1,u(e_1),\ldots,e_p,u(e_p))$ est une base du $\R$-espace vectoriel $E$.
 - Quelle est la matrice de $u$ dans $e\,?$ Son polynôme caractéristique?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 553]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $H$ un hyperplan de $E$, $u\in\op{GL}(E)\setminus\{\op{id}\}$ tel que $\forall x\in H$, $u(x)=x$. Montrer l'équivalence des conditions suivantes :
 - pour tout supplementaire $S$ de $H$ dans $E$, il existe $x\in S$ tel que $u(x)\neq x$ ;
 - $u$ est diagonalisable ;

_(iii)_ $u$ admet une valeur propre autre que $1$ ;
 - $\det(u)\neq 1$ ;
 - l'image de $u-\op{id}$ n'est pas contenue dans $H$ ;
 - il existe $\lambda\neq 1$ et une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est $\op{Diag}(1,\ldots,1,\lambda)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 554]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $s\in\mc{L}(E)$ une symétrie.

Soit $\Phi:u\in\mc{L}(E)\mapsto\dfrac{su+us}{2}$. Déterminer les éléments propres de $\Phi$ puis étudier sa diagonalisabilité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 555]
Soient $A,B\in\M_n(\R)$ des matrices non nulles. Soit $f$ l'endomorphisme de $\M_n(\R)$ défini par $f(M)=M+\op{tr}(AM)B$ pour tout $M\in\M_n(\R)$.
 - Déterminer un polynôme annulateur de degré $2$ de $f$.
 - Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit diagonalisable.
 - Déterminer les éléments propres de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 556]
Soit $B\in\M_3(\R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $B$ pour que l'équation $A^3=B$ admette au moins une solution.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 557]
Pour $P\in\R[X]$, on pose $L(P)\in\R[X]$ le polynôme associe à la fonction polynomiale $x\mapsto\int_0^{+\i}P(x+t)\,e^{-t}dt$.
 - Montrer que $L$ définit un endomorphisme de $\R[X]$.
 - Montrer que $L=\sum_{k=0}^{+\i}D^k$ ou $D$ est l'endomorphisme de derivation de $\R[X]$.
 - Déterminer les éléments propres de $L$.
 - Déterminer le commutant de $L$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 558]
Soient $E=\mc C^0(\R,\R)$ et $\phi$ tel que, pour tout $f\in E$ et tout $x\in\R\colon\phi(f)(x)=\dfrac{1}{2x}\int_{-x}^xf(u)\,du$ si $x\neq 0$, $\phi(f)(0)=f(0)$.
 - Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$.
 - Trouver les éléments propres de $\phi$.
 - Montrer que $\phi$ stabilise $\R_n[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 559]
Soient $E=\mc C^0([-1,1],\C)$ et $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ surjective et croissante. Soit $\Phi\in\mc{L}(E)$ définie par : $\forall f\in E$, $\Phi(f)=f\circ g$. On considére $F\neq\{0\}$ un sous-espace de dimension finie de $E$ stable par $\Phi$.
 - Montrer que $\Phi_F$ est un automorphisme. - Montrer que 1 est l'unique valeur propre de $\Phi_F$.
 - Montrer que $u=\Phi_F-\mathrm{id}_F$ est nilpotent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 560]
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $v\in\mc{L}(E)$ diagonalisable et $P\in\C[X]$ non constant. Montrer qu'il existe $u\in\mc{L}(E)$ tel que $v=P(u)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 561]
Quelles sont les $M\in\M_n(\C)$ telles que l'ensemble $\{M^k\;;\;k\in\N\}$ soit fini?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 562]
Trouver les $A\in\M_n(\C)$ telles que $PA$ est diagonalisable pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 563]
Soit $A=\begin{pmatrix}aM&bM\\ bM&cM\end{pmatrix}$ avec $M\in\M_n(\R)$ et $a$, $b$, $c\in\R$. Étudier la diagonalisabilité de $A$ en fonction de $a$, $b$, $c$ et $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 564]
Soient $A$, $B$, $C\in\M_n(\C)$ telles que $AB=BC$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\begin{pmatrix}A&B\\ 0&C\end{pmatrix}$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 565]
Soit $A\in\M_n(\Z)$ tel que $A^p=I_n$ ( $p\in\N^*$). Soit $m\geq 3$. On suppose que les coefficients de $A-I_n$ sont divisibles par $m$. Montrer que $A=I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 566]
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\C)$. On note $\overline{M}=\big(\overline{M_{i,j}}\big)_{1\leq i,j\leq,n}$.
 - Montrer qu'il existe $\alpha\in\mathbb{U}$ tel que $\alpha M+\overline{\alpha}I_n\in\mathrm{GL}_n(\C)$.
 - Montrer l'équivalence entre :

(i) $M\overline{M}=\lambda I_n$ avec $\lambda\geq 0$, (ii) $\exists P\in\mathrm{GL}_n(\C)$, $\exists\mu\in\C$, $M=\mu P\overline{P}^{-1}$.
 - Montrer l'équivalence entre : (i) $M\overline{M}$ est diagonalisable et $\text{Sp}\left(M\overline{M}\right)\subset\R^+$,

(ii) $M=PD\overline{P}^{-1}$ avec $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ et $D\in\M_n(\C)$ diagonale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 567]
 - Montrer l'existence et l'unicité d'une suite $(P_n)_{n\geq 0}$ de polynômes telle que $P_0=2$, $P_1=X$ et $\forall n\in\N$, $P_{n+2}=XP_{n+1}-P_n$, $\deg(P_n)=n$.
 - Soit $n,N\in\N^*$. Soit $A\in\M_N(\C)$ telle que $P_n(A)=0$. Montrer que $A$ est diagonalisable.
 - Soit $n\geq 2$. Résoudre le systeme $\forall i\in\db{1,n}$, $x_i=x_{i-1}+x_{i+1}$ en convenant que $x_0=x_{n+1}=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 568]
Soit $A\in\M_n(\R)$ diagonalisable sur $\C$. Montrer que $A$ est semblable sur $\R$ à une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont soit de taille $1$, soit de la forme $\left(\begin{array}{cc}a&-b\\ b&a\end{array}\right)$ avec $(a,b)\in\R\times\R^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 569]
Soient $A$ et $B$ deux matrices non cotrigonalisables de $\M_2(\C)$. Montrer qu'il existe $P\in\text{GL}_2(\C)$ telle que $P^{-1}AP$ soit triangulaire supérieure et $P^{-1}BP$ triangulaire inférieure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 570]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$.
 - Soit $F$ un plan stable par $f$. Montrer qu'il existe $P\in\mathbb{K}[X]$ non nul de degré au plus $2$ tel que : $F\subset\mathrm{Ker}\,P(f)$. - Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ non nul de degré $2$ divisant le polynôme minimal de $f$. Montrer qu'il existe un plan $F$ stable par $f$ tel que $F\subset\op{Ker}P(f)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 571]
Soient $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in\mc{L}(E)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\chi_u$ pour que les seuls sous-espaces stables par $u$ soient $\{0\}$ et $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 572]
Soient $A$ et $B$ dans $\M_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre : (i) $BA=0$ et $B$ nilpotente, (ii) $\forall M\in E$, $\chi_{AM+B}=\chi_{AM}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 573]
Soient $A,B$ dans $\M_n(\C)$ telles que $\op{sp}A\cap\op{sp}B=\emptyset$.
 - Montrer que $\chi_A(B)$ est inversible.
 - Soit $M\in\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une unique matrice $X$ telle que $AX-XB=M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 574]
Quelles sont les $A$ de $\M_n(\C)$ qui commutent avec chaque matrice de leur classe de similitude?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 575]
Soient $A,B\in\M_n(\C)$.
 - On suppose que $AB-BA=\alpha A$ avec $\alpha\in\C$. Montrer que $A$ et $B$ sont cotrigonalisables.
 - On suppose que $AB-BA=\alpha A+\beta B$. Montrer que $A$ et $B$ sont cotrigonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 576]
Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$.
 - On suppose que $A$ et $B$ admettent une valeur propre commune $\lambda$. Montrer qu'il existe $C\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle telle que $AC=CB=\lambda C$.
 - On suppose qu'il existe $C\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle telle que $AC=CB$, et on note $r$ le rang de $C$. Montrer que $\chi_A$ et $\chi_B$ admettent un diviseur commun de degré $r$.
 - Étudier la réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 577]
Pour $A\in\M_n(\C)$, soit $C(A)$ la sous-algèbre des matrices de $\M_n(\C)$ qui commutent avec $A$.
 - On suppose que $A$ est diagonalisable. Calculer la dimension de $C(A)$. à quelle condition a-t-on $C(A)=\C[A]$?
 - Montrer que, sans hypothese sur $A$, la dimension de $C(A)$ est supérieure ou egale à $n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 578]
Pour $A\in\M_n(\C)$, soit $C(A)$ la sous-algèbre des matrices de $\M_n(\C)$ qui commutent avec $A$. à quelle condition sur $A$ est-il vrai que $C(A)$ ne contient aucune matrice nilpotente non nulle?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 579]
Soient $n\in\N^*$, $A$, $B\in\M_n(\R)$, $P\in\R[X]$ et $M=\begin{pmatrix}A&B\\ 0&A\end{pmatrix}$.
 - Supposons $\deg P\geq 2$. Montrer que, si $P$ est scindé à racines simples, $P'$ l'est egalement.
 - Calculer $P(M)$ en fonction de $P(A)$, $P'(A)$ et $B$.
 - Montrer que $M$ est diagonalisable dans $\R$ si et seulement si $A$ est diagonalisable dans $\R$ et $B=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 580]
Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\|x\|^2=\sum_{i=1}^n\left\langle x,e_i\right\rangle^2$ pour tout $x\in E$.
 - Montrer que $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormale de $E$.
 - On remplace l'hypothese $\lnot(e_1,\ldots,e_n)$ est libre $\triangleright$ par $\lnot\lnot$ les vecteurs $e_1,\ldots,e_n$ sont non-nuls $\triangleright$. Le résultat subsiste-t-il?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 581]
On munit $\R^n$ de son produit scalaire canonique. Soient $\delta\gt 0$ et $A$ une partie de $\R^n$ vérifiant : $\forall(x,y)\in A^2,x\neq y\implies\|x-y\|=\delta$.
 - Soient $p\in\N$ et $u_0,\ldots,u_p\in A$ distincts. On considére la matrice $M\in\M_p(\R)$ définie par : $m_{i,j}=\left\langle u_i-u_0,u_j-u_0\right\rangle$. Montrer que $M$ est inversible.
 - Montrer que $A$ est finie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 582]
 - Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1\frac{P(t)\,Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$.
 - - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynôme $T_n$ tel que $\forall x\in\R,\ T_n(\cos(x))=\cos(nx)$.
 - Donner, pour $n\in\N^*$, degré et coefficient dominant de $T_n$.
 - Soit $n\in\N^*$. On note $U_n$ l'ensemble des polynômes réels unitaires de degré $n$.

Calculer $\min_{P\in U_n}\int_{-1}^1\frac{P^2(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 583]
Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer que : $|\det M|\leq\prod_{j=1}^n\sqrt{\sum_{i=1}^nm_{i,j}^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 584]
Soient $E$ un espace euclidien et $f\in\mc{L}(E)$ tel que $\|f(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x\in E$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nf^k$ pour tout $n\geq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 585]
Soient $E$ un espace euclidien et $f\in\mc{L}(E)$ un endomorphisme $1$-lipschitzien. Montrer que : $E=\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id})\overset{\perp}{\oplus}\mathrm{Im}(f-\mathrm{id})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 586]
Soit $M\in\M_n(\R)$ une matrice nilpotente non nulle.

Déterminer l'image de l'application $\phi:x\in\R^n\mapsto x^TMx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 587]
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. Montrer que l'application $f:x\in E\mapsto\frac{x}{\max(\|x\|,1)}$ est $1$-lipschitzienne.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 588]
Soit $(a,b,x_0)$ une famille libre d'un espace euclidien $E$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un endomorphisme $u$ de $E$ tel que $u(x_0)=a$ et $u^*(x_0)=b$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 589]
Soient $E$ un espace euclidien, $p$ et $q$ dans ${\cal L}(E)$ des projecteurs orthogonaux. Montrer que $q\circ p$ est un projecteur si et seulement si c'est un projecteur orthogonal.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 590]
Soient $E$ un espace euclidien, $u$ et $v$ dans ${\cal O}(E)$ telles que $\det(u)\det(v)\lt 0$. Calculer $\|v-u\|_{_{\rm op}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 591]
Pour ${\mathbb{K}}={\R}$ ou ${\mathbb{K}}={\C}$, on appelle $d_n({\mathbb{K}})$ la dimension du plus grand sous-espace vectoriel de ${\cal M}_n({\mathbb{K}})$ dont tous les éléments sont diagonalisables.
 - Que peut-on dire du spectre réel d'une matrice antisymétrique?
 - Déterminer $d_n({\R})$.
 - Déterminer $d_2({\C})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 592]
Soit $n\geq 3$. Soient $A,B\in{\R}^n$ non colinéaires. On pose : $M=AB^T+BA^T$.
 - Montrer que $M$ est diagonalisable.
 - Déterminer ${\rm rg}\,M$.
 - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 593]
Soit $J=\begin{pmatrix}0_n&I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}\in{\cal M}_{2n}({\R})$. Soit $G=\{M\in{\cal M}_{2n}({\R}),M^TJM=J\}$.
 - Montrer que $G$ est un sous-groupe de ${\rm GL}_{2n}({\R})$.
 - Caractériser les éléments de ${\cal O}_{2n}({\R})\cap G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 594]
Décrire $\left\{e^A\ ;\ A\in{\cal A}_n({\R})\right\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 595]
Soient $f:{\cal M}_n({\R})\ra{\R}^{+*}$ continue et $A\in{\cal A}_n({\R})$. Montrer que $\inf_{x\in{\R}}f(e^{xA})\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 596]
 - Trouver toutes les applications $f$ de ${\R}^n$ dans ${\rm GL}_n({\R})$ telles que

 $\forall x\in{\R}^n,\forall P\in{\rm GL}_n({\R}),f(Px)=Pf( x)P^{-1}$.
 - Même question en remplacant ${\rm GL}_n({\R})$ par ${\cal\tilde{O}}_n({\R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 597]
 - Soit $A\in{\cal A}_n({\R})$. Montrer que ${\rm Sp}_{{\C}}(A)\subset i{\R}$.
 - On note ${\cal L}$ l'ensemble des matrices $M\in{\rm SO}_n({\R})$ telles que $-1\notin{\rm Sp}(M)$. Montrer que l'application $\phi:{\cal A}_n({\R})\ra{\cal L},M\mapsto(I_n+M)(I_n-M)^{-1}$ est une bijection.
 - Soit $Q\in{\rm SO}_2({\R})$.

Résoudre l'équation : $(I_n+X)(I_n-X)^{-1}=Q$ d'inconnue $X\in{\cal A}_2({\R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 598]
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal O}_n({\R})$. Montrer que

 $\Big{|}\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}\Big{|}\leq n \leq\sum_{1\leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 599]
On munit ${\R}^3$ de sa structure euclidienne canonique.

Soient $e_1,e_2\in{\R}^3$ et $f:x\mapsto\langle x,e_1\rangle\,e_2+\langle x,e_1\rangle\,e_1$.
 - Si $e_1$ et $e_2$ sont linéairement indépendants, montrer qu'il existe une base orthonormée de ${\R}^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est ${\rm Diag}(\lambda_1,\lambda_2,0)$ avec $\lambda_1,\lambda_2\in{\R}^*$.
 - Étudier la réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 600]
Soit $E$ un espace réel de dimension $n\geq 2$. Lorsque $\Phi$ est un produit scalaire sur $E$, on note $\mc{O}_{\Phi}(E)$ le groupe des isométries pour $\Phi$, et $\mc{S}_{\Phi}^{++}(E)$ l'ensemble des endomorphismes autoadjoints définis positifs pour $\Phi$.
 - On fixe un produit scalaire $\Phi$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) $\Psi$ est un produit scalaire, (ii) $\exists a\in\mc{S}_{\Phi}^{++}(E),\Psi(x,y)=\Phi(a(x),y)$.
 - Soit $u\in\mc{O}_{\Phi}(E)$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $u\in\mc{O}_{\Psi}(E)$ (on utilisera l'endomorphisme $a$ de la question précédente).
 - Soit $P$ l'ensemble des produits scalaires sur $E$. Déterminer $\bigcap_{\Psi\in P}\mc{O}_{\Psi}(E)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 601]
Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$ de $\R^n$ telle que $(Me_1,\ldots,Me_n)$ soit orthogonale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 602]
Soit $k$ un réel fixe. On pose $A=$ $\begin{pmatrix}k&1&0&\cdots&0\\ 1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&0&1&k\end{pmatrix}\in\M_n(\R)$.

Montrer que $\max_{\lambda\in\op{Sp}A}\lambda\geq k+1$ et $\min_{\lambda\in\op{Sp}A}\lambda\geq k-1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 603]
Soit $\in\mc{S}_n(\R)$.
 - Montrer l'équivalence des enonces suivants : (i) $x^TSx\geq 0$ pour tout $x\in\R^n$,

(ii) $\op{Sp}S\subset\R^+$, (iii) il existe $T\in\mc{S}_n(\R)$ telle que $S=T^2$.

Desormais, on suppose ces conditions realisées.
 - Montrer que, pour tous $1\leq i\neq j\leq n$ et $x,y\in\R$, $s_{i,i}x^2+2s_{i,j}xy+s_{j,j}y^2\geq 0$. En déduire que $s_{i,j}^2\leq s_{i,i}s_{j,j}$.
 - On suppose de plus les coefficients de $S$ non nuls, et on pose $T=\left(\frac{1}{s_{i,j}}\right)_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $T\in\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si $\op{rg}S=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 604]
Soit $A\in\M_n(\R)$.
 - Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $S\in\mc{S}_n(\R)$ telle que $A=S^2+S+I_n$.
 - à quelle condition la matrice $S$ est-elle unique?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 605]
Soient $A,C\in\mc{S}_2(\R)$ et $B\in\mc{A}_2(\R)$.
 - Montrer que $M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&C\end{pmatrix}$ est diagonalisable.
 - On suppose ici que $B=0$. Donner une base de diagonalisation de $M$ construite à partir de vecteurs propres de $A$ et $C$.
 - Montrer que, pour tous $E\in\op{GL}_2(\R)$ et $G\in\M_2(\R)$, $\op{rg}(EG)=\op{rg}(GE)=\op{rg}(G)$.
 - On suppose ici que $A$ est inversible. On pose $P=\begin{pmatrix}I_2&A^{-1}B\\ 0&I_2\end{pmatrix}$. Calculer $MP$. En déduire le rang de $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 606]
Soit $A=\left(\frac{1}{i+j}\right)_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $A$ est diagonalisable et que son spectre est inclus dans $\R^{+*}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 607]
Soit $A_n=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A_n$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre de $A_n$ est inférieure à $\frac{1}{2n+1}$. On pourra montrer que, pour $P\in\R[X]$, on a $\int_{-1}^1P(t)\dt+\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\, d\theta=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 608]
Soient $E$ un espace euclidien, $u\in\mc{S}(E)$, $a$ et $b$ deux réels tels que $a\lt b$, $P\in\R[X]$ tel que $\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. On suppose que $\forall x\in E,\ a\|x\|^2\leq\langle u(x),x\rangle\leq b\|x\|^2$. Montrer que $P(u)\in\mc{S}^{++}(E)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 609]
Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer que $M$ est combinaison linéaire de quatre matrices orthogonales.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 610]
Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^TA=A^TA$. Montrer que si $F$ est un sous-espace de $\R^n$ stable par $A$ alors $F^{\perp}$ est stable par $A^T$. On suppose $n=3$. Montrer que $A$ est soit diagonalisable, soit semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&\alpha&\beta\\ 0&-\beta&\alpha\end{pmatrix}$ avec $\beta\neq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 611]
Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$.
 - Montrer qu'il existe un unique couple $(O,S)\in\mc{O}_n(\R)\times S_n^{++}(\R)$ tel que $M=OS$.
 - Déterminer $\sup_{A\in\mc{O}_n(\R)}\mathrm{tr}(AM)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 612]
Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien.
 - Soit $u\in\mc{S}(E)$. Montrer que $E=\mathrm{Ker}(u)\oplus\mathrm{Im}\,u$.
 - Soit $u\in\mc{S}^+(E)$. Montrer qu'il existe $h\in\mc{S}^+(E)$ tel que $u=h^2$.
 - Soient $f,g\in\mc{S}^+(E)$ tels que $\mathrm{Ker}(f+g)=\mathrm{Ker}\,f\cap\mathrm{Ker}\,g$.

Montrer que $\mathrm{Im}(f+g)=\mathrm{Im}\,f+\mathrm{Im}\,g$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 613]
Soient $S\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $A\in\M_n(\R)$ qui commute avec $S^2$. Montrer que $A$ commute avec $S$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 614]
Soient $A,B\in\mc{S}_n^+(\R)$ telles que $A^2B^2=B^2A^2$. Montrer que $AB=BA$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 615]
Soient $n,k\in\N^*$. Étudier l'injectivite et la surjectivite de l'application $f\colon\mc{S}_n(\R)\ra\mc{S}_n(\R)$ définie par $f(A)=A^k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 616]
Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$.
 - Montrer qu'il existe $P\in\mc{O}_n(\R)$ et $D=\mathrm{Diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ avec $\lambda_i\gt 0$ pour tout $i$ telles que $P^TM^TMP=D^2$.
 - On note $V_1,\ldots,V_n$ les colonnes de $MP$.Soit $Q$ la matrice dont les colonnes sont $\frac{1}{\lambda_1}V_1,\ldots,\frac{1}{\lambda_n}V_n$. Montrer que $Q\in\mc{O}_n(\R)$.
 - Montrer qu'il existe $O,O'$ dans $\mc{O}_n(\R)$ telles que $M=ODO'$.
 - Montrer le même résultat si $M$ est non inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 617]
Soit $n\geq 2$
 - Déterminer le sous-espace vectoriel engendre par $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
 - Déterminer le plus petit sous-anneau de $\M_n(\R)$ contenant $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 618]
Soit $n\geq 2$.
 - Soit $S\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\R)$ tel que $S=P^TP$.
 - Déterminer le sous-espace vectoriel engendre par $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
 - Soient $A_1$,..., $A_k\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $\alpha_1$,..., $\alpha_k\in\R$.

Montrer que $|\mathrm{det}(\alpha_1A_1+\cdots+\alpha_kA_k)|\leq\mathrm{det}(| \alpha_1|A_1+\cdots+|\alpha_k|A_k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 619]
Soient $E$ un espace euclidien et $u\in\mc{L}(E)$.
 - Montrer que $|\!|\!|u|\!|\!|=\sup\limits_{\|x\|=1}\|u(x)\|=\sup\limits_{\|x\|\leq 1} \|u(x)\|$.
 - Montrer que $|\!|\!|u|\!|\!|=\sup\limits_{\|x\|=1,\|y\|=1}|\langle u(x),y\rangle|=\sup \limits_{\|x\|\leq 1,\|y\|\leq 1}|\langle u(x),y\rangle|$.
 - On suppose $u$ symétrique. Montrer que $|\!|\!|u|\!|\!|=\sup\limits_{\|x\|=1}|\langle u(x),x\rangle|=\sup\limits_{\|x \|\leq 1}|\langle u(x),x\rangle|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 620]
On munit $\M_n(\R)$ de la norme subordonnée à la norme euclidienne canonique.

Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$. On note $r$ la plus petite valeur propre de $A^{\rap}A$ et $R$ la plus grande. Montrer que $\|A\|^2=R$ et $\|A^{-1}\|^{-2}=r$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 621]
Soient $E=\mc C^1([0,1],\R)$ et $N:f\mapsto\sqrt{f(0)^2+\int_0^1f'(t)^2\dt}$.
 - Montrer que $N$ est une norme sur $E$.
 - Compare $N$ à la norme $\|\!\|\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 622]
Pour $a\in\R$ et $P\in\R[X]$, on pose $N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1|P'|$.
 - Montrer que, pour tout $a\in\R$, $N_a$ est une norme.
 - Soient $a,b\in\R$. Les normes $N_a$ et $N_b$ sont-elles équivalentes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 623]
On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique. Soit $f\in\mc C^0([a,b],\R^n)$. Montrer que $\left\|\int_a^bf\right\|=\int_a^b\|f\|$ si et seulement s'il existe $\Phi\in\mc C^0([a,b],\R^+)$ et $u\in\R^n$ tels que $\forall t\in[a,b],\,f(t)=\Phi(t)u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 624]
On pose $E=\{f\in\mc C^2([0,1],\R),\;f(0)=f'(0)=0\}$.
 - Montrer que $\|f\|=\|f+2f'+f''\|_{\i}$ définit une norme sur $E$.
 - Les normes $\|\!|\!|$ et $\|\!|\!|\!|_{\i}$ sur $E$ sont-elles équivalentes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 625]
Soit $Q\in\R[X]$. Construire une norme $N$ sur $\R[X]$ telle que : $N(X^n-Q)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 626]
Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup\limits_{t\in[0,1]}|P(t)|$. Pour $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf\limits_{P\in E_n}N(P)$.
 - Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$.
 - Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ est décroissante et de limite nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 627]
Déterminer les sous-groupes compacts de $(\C^*,\times)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 628]
Soit $Q\in\R[X]$ non nul. Pour $P\in\R[X]$, on pose $\|P\|_Q=\sup\limits_{x\in[-1,1]}|PQ(x)|$.
 - Montrer que $\|\ \|_Q$ est une norme sur $\R[X]$.
 - à quelle condition sur $Q$ la norme $\|\ \|_Q$ est-elle équivalente à $\|\ \|_1$ (norme associée au polynôme egal à 1)?
 - Soit $c\in[-1,1]$ une racine de $Q$. Trouver $P\in\R[X]$ tel que $P(c)=1$, $P'(c)=0$ et $\forall x\in[-1,1]\setminus\{c\}$, $0\leq P(x)\lt 1$.
 - Montrer que $\|P^n\|_Q\longrightarrow 0$ quand $n\ra+\i$.
 - Qu'en déduire?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 629]
Soient $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel normé, $A$ une partie de $E$, $f:[0,1]\ra E$ continue. On suppose que $f(0)\in A$ et $f(1)\in E\setminus A$. Montrer que $f([0,1])\cap\text{Fr}(A)\neq\emptyset$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 630]
On munit $E=\mc C^0([a,b],\R)$ de la norme de la convergence uniforme. Soit $(x - {1\leq i\leq n}$ des points distincts de $[a,b]$ et $(y - {1\leq i\leq n}$ des réels. Montrer que l'adherence de l'ensemble $\{P\in\R[X];\forall i\in\db{1,n]\!],P(x_i)=y_i\}$ est $\{f\in E;\forall i\in[\![1,n},f(x_i)=y_i\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 631]
On munit $\C[X]$ de la norme $\|P\|=\max|p_k|$ ou $P=\sum\limits_{k=0}^{+\i}p_kX^k$.

Déterminer les valeurs $b\in\C$ pour lesquelles $f:P\mapsto P(b)$ est continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 632]
Soient $C$ une partie convexe d'un espace norme $E$, $X$ une partie de $E$ telle que $C\subset X\subset\overline{C}$. Montrer que $X$ est connexe par arcs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 633]
 - Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que $P$ est scindé sur $\R$ si et seulement si, pour tout $z\in\C$, $|\op{Im}(z)|^n\leq|P(z)|$.
 - On note $\mc{T}$ l'ensemble des matrices trigonalisables sur $\R$ et $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables. Montrer que $\mc{T}$ est un fermé de $\M_n(\R)$ et que l'adherence de $\mc{D}$ est $\mc{T}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 634]
 - Montrer que l'image par une fonction continue d'une partie connexe par arcs est connexe par arcs.
 - Montrer qu'une fonction continue injective de $\R$ dans $\R$ est strictement monotone.
 - Soient $f\colon\R\ra\R$ continue et $F\colon\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\in\M_2(\R)\mapsto\begin{pmatrix}f(a)&f(b)\\ f(c)&f(d)\end{pmatrix}$. On suppose que $F$ envoie toute matrice inversible sur une matrice inversible.
 - Montrer que $f$ est injective et ne s'annule pas sur $\R^*$. - Montrer que $f(0)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 643]
Déterminer la limite de $u_n=\frac{1}{16^n}\sum_{k=n}^{3n}\left(\begin{matrix}4n\\ k\end{matrix}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 644]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=x\gt 0$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=\frac{e^{u_n}}{n+1}$.
 - Soit $k\in\N$. Montrer que, si $u_{k+1}\leq u_k$, alors la suite $(u_n)_{n\geq k+1}$ est strictement décroissante.
 - Montrer que, si la suite $(u_n)$ est croissante, alors sa croissance est stricte.

Que dire de sa limite?
 - On admet que $e^{e-2}\lt 9/4$. Montrer que, pour $x$ suffisamment petit, la suite $(u_n)$ converge.
#+end_exercice

# ID:7796
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 645]
Soit $\alpha\gt 1$. On considére l'équation : $(E_n)\colon\prod_{k=1}^n(kx+n^2)=\alpha n^{2n}$.
 - Montrer que pour tout $n\in\N^*$, $(E_n)$ possède une unique solution strictement positive. On la note $x_n$.
 - Montrer que : $\forall n\in\N^*,x_n\lt 2\alpha$.
 - Montrer la convergence et calculer la limite de la suite $(x_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 646]
Soit $f\colon\R^+\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^1$ telle que $f(x)\ra+\i$ et $f'(x)\ra 0$ quand $x\ra+\i$. Montrer que $\left\{e^{if(n)},n\in\N\right\}$ est dense dans le cercle unite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 647]
Soient $f\in\mc C^1(\R,\R)$ et $(u_n)$ une suite vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$.
 - Montrer que si $(u_n)$ converge alors sa limite $\ell$ est un point fixe de $f$. Dans la suite on considére $a$ un point fixe de $f$.
 - On suppose que $|f'(a)|\gt 1$. Montrer qu'il existe $\eta\gt 0$ et $k\gt 1$ tel que $|f'(x)|\geq k$ pour $x\in]a-\eta,a+\eta[$. Si $|f'(a)|\gt 1$ décrire les suites $(u_n)$ qui convergent vers $a$.
 - On suppose que $|f'(a)|\lt 1$. Montrer qu'il existe $\eta\gt 0$ et $k\in[0,1[$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour $x\in]a-\eta,a+\eta[$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $a$ si et seulement s'il existe un rang $p$ tel que $u_p\in]a-\eta,a+\eta[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 648]
Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0\in\R^{+*}$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+2}$.

Montrer qu'il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N\gt 1$.
 - Montrer qu'il existe $n_0\gt N$ tel que $(u_n)_{n\geq n_0}$ est décroissante.
 - La suite $(u_n)$ est-elle convergente? Si oui, trouver sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 649]
Soit $f\colon\R^+\ra\R^+$ une fonction bornée et telle que $|f(x)-f(y)|\lt |x-y|$ pour tous $x,y\in\R^+$ tels que $x\neq y$. On considére une suite $(u_n)_{n\geq 1}$ telle que $u_1\in\R^+$ et $u_{n+1}=f(u_n)+\frac{1}{n}$ pour tout $n\geq 1$. On pose enfin $a_n=|u_{n+1}-u_n|$ pour tout $n\geq 1$.
 - Soient $p$ et $q$ des entiers tels que $1\leq p\lt q$. Montrer que $a_q-a_p\leq\frac{1}{p}$.
 - Montrer que la suite $(a_n)_{n\geq 1}$ est convergente.
 - Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente.
#+end_exercice

# ID:8156
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 650]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\gt -1$ et $\forall n\in\N^*,\;u_{n+1}=u_n+u_n^2$.
 - Montrer que la suite $(u_n)$ converge.
 - On suppose $u_0\gt 0$ et on pose $v_n=\frac{\ln(u_n)}{2^n}$ pour $n\in\N$.
 - Montrer la convergence de la suite $(v_n)$ vers un réel $\alpha$ puis que $0\leq\alpha-v_n\leq\frac{1}{2^nu_n}$.
 - Donner un équivalent de $u_n$.
 - Donner un équivalent de $u_n$ dans le cas $u_0\in \interval]{-1, 0}[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 651]
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ à valeurs dans $[0,1]$. On dit que $(u_n)$ est equirepartie si et seulement si, pour tous $\alpha\lt \beta$ dans $[0,1]$, on a $\frac{1}{n}\op{card}\big{\{}k\in\db{1,n},\alpha\lt u_n\lt  \beta\big{\}}\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\ra+\i}\beta-\alpha$.
 - On suppose $(u_n)$ equiperaptie. Montrer que $(u_n)$ diverge. Montrer que $\{u_n,n\in\N^*\}$ est dense dans $[0,1]$.
 - Montrer l'équivalence entre :

( ii) $\forall f\in\mc C^0([0,1],\C),\lim\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(u_k)=\int_0^1f(t)\dt$,

(iii) $\forall m\in\N^*,\lim\frac{1}{n}\sum_{k=1}^ne^{2\pi imu_k}=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 652]
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Quelle est la nature de la série $\sum(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}u_n$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 653]
Existe-t-il une bijection $f\colon\N^*\ra\N^*$ telle que la série $\sum\frac{f(n)}{n^2}$ converge?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 654]
Soient $(u_n)$ une suite de réels non nuls et $\lambda\in\R$.

On suppose que : $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\lambda}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\cdot$ Étudier la nature de $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 655]
Soit $f\colon\R\ra\R$ telle que $f(x)\mathop{=}\limits_{x\ra+\i}a_0+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_p}{ x^p}+o\left(\frac{1}{x^p}\right)$.
 - à quelle condition la série de terme general $u_n=f(n)$ converge-t-elle?
 - à quelle condition la suite de terme general $v_n=\prod_{k=1}^nf(k)$ converge-t-elle?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 656]
 - Soit $f\colon [1,+\i[\ra\R$ de classe $\mc C^1$. Montrer que, pour tout $n\geq 1$,
   $$\left|f(n)-\int_n^{n+1}f(t)\dt\right|\leq\frac{1}{2}\max_{t \in[n,n+1]}|f'(t)|$$.
 - Quelle est la nature de la série $\sum\frac{\sin(\ln n)}{n}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 657]
Pour tout $n\geq 0$, on pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)dx$. - Étudier le signe de $u_n$.
 - Montr'er que la série $\sum u_n$ est semi-convergente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 658]
Existe-t-il une suite réelle $(u_n)$ telle que $\sum u_n$ converge et $\sum u_n^3$ diverge?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 659]
Soit $(u_n)_{n\in\N}$ à valeurs dans $\R^+$.
 - On suppose $\sum u_n$ convergente et on pose $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}u_k$. construire à partir de $R_n$ une suite $v_n\gt 0$ croissante tendant vers $+\i$ telle que $\sum u_nv_n$ converge.
 - On suppose $\sum u_n$ divergente. construire $v_n$ décroissante qui tend vers $0$ telle que $\sum u_nv_n$ diverge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 660]
Étudier la convergence de la série $\sum\sin(\pi en!)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 661]
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle telle que la série $\sum n(\ln n)^2u_n^2$ converge. Montr'er que la série $\sum u_n$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 662]
On considére la suite réelle définie par $x_0=0$ et $x_{n+1}=\sqrt{\frac{1+x_n}{2}}$ pour tout $n\geq 0$.

Étudier la convergence de la série $\sum(1-x_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 663]
Soient $\alpha\in\R^+$ et $(u_n)_{n\geq 1}$ vérifiant $u_1\in\R^{+*}$ et, pour $n\in\N^*$, $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{n^{\alpha}u_n}$.
 - Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $(u_n)$ converge.
 - Trouver alors un équivalent de $\ell-u_n$, ou $\ell$ designe la limite de la suite.
 - Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $(u_n)$ diverge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 664]
Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs divergente. On pose $v_n=\frac{u_n}{\prod_{k=0}^n(1+u_k)}$ pour tout $n\geq 0$. Montr'er que la série $\sum v_n$ est convergente et calculer sa somme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 665]
Soient $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_0\gt 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\ln((\exp(u_n)-1)/u_n)$.
 - Déterminer la limite eventuelle de $(u_n)$.
 - En déduire la nature de $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 666]
Soit $T$ l'endomorphisme de $\R^{\N}$ qui à la suite $u$ associe $Tu$ telle que :

 $\forall n\in\N$, $(Tu)_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nu_k$.
 - Si $u$ converge vers $\ell$, montr'er que $Tu$ converge vers $\ell$.
 - On suppose que $u$ est à valeurs positives.

On note $\sqrt{u}$ la suite telle que : $\forall n$, $(\sqrt{u})_n=\sqrt{u_n}$. Si $Tu$ tend vers 0, montr'er que $T\sqrt{u}$ tend egalement vers 0.On suppose $u$ positive et décroissante.
 - On pose $w_n=\sqrt{n}\,u_n$. Montrer que $Tw$ tend vers 0 si et seulement si $w$ tend vers 0.

On pose, pour $n\in\N$, $s_n=\sum_{k=0}^nu_k$ et $v_n=nu_n$.
 - Montrer que $s-Ts=Tv$.
 - On suppose que $Ts$ converge. Montrer que $Tv$ tend vers 0 si et seulement si la série $\sum u_n$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 667]
Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs convergeant vers 0. On pose, pour tout $n\in\N$, $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$ et on suppose $u_0\gt 0$ et $(|S_n-nu_n|)$ majorée. On suppose enfin $\sum u_n$ divergente.
 - Montrer que $\ln S_n\sim\ln n$.
 - Montrer que $\forall n$, $S_n\geq\sqrt{n}$.
 - Montrer que $\lim u_n\gt 0$. Conclusion?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 668]
Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\ra+\i}{\ra}-\i$. Montrer que $\sum f(k)$ converge et donner un équivalent de $\sum_{k=n}^{+\i}f(k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 669]
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Montrer que la série $\sum\dfrac{u_n}{n}$ converge si et seulement si la série $\sum(u_n-u_{n+1})\ln n$ converge.
#+end_exercice

# ID:8133
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 670]
Soient $\alpha\gt 0$ et $(a_n)$ définie par $a_1\gt 0$, $a_1+a_2\gt 0$ et $\forall n\geq 2$, $a_{n+1}=\dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\sum_{i=1}^na_i$.

Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la série $\sum a_n$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 671]
Nature et somme de la série de terme general $u_n=\sum_{k=n}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{k^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 672]
Soit $x\in\R\setminus(-\N)$. Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\dfrac{1}{x(x+1)\cdots(x+n)}=e\sum_{n=0}^{+ \i}\dfrac{(-1)^n}{n!(x+n)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 673]
 - Pour $n\in\N^*$, soit $d(n)$ le nombre de diviseurs de $n$.

Pour $\alpha\gt 1$, montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{d(n)}{n^{\alpha}}=\zeta(\alpha)^2$.
 - Pour $\alpha\gt 2$, montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{\phi(n)}{n^{\alpha}}=\dfrac{\zeta(\alpha-1)}{ \zeta(\alpha)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 674]
 - Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=u_n^{u_n}$. On choisit desormais $u_0\in\N\setminus\{0,1\}$.
 - Montrer que $\forall N\in\N,\ \forall n\in\db{0,N},\ u_n\mid u_N$.
 - Montrer que, pour $N,k\in\N$, $u_{N+k}\geq u_N^{k+1}$.
 - Montrer la convergence de la série $\sum\dfrac{1}{u_n}$.
 - Montrer que $u_N\sum_{n=N+1}^{+\i}\dfrac{1}{u_n} \longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$.
 - Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\dfrac{1}{u_n}\notin\Q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 675]
Soit $f\colon\R\ra\R$ croissante. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 676]
Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si, pour tous $x\in\R$ et $r\in\R^+$, $2rf(x)\leq\int_{x-r}^{x+r}f(t)\dt$.
#+end_exercice

# ID:8129
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 677]
Soit $I$ un intervalle non trivial de $\R$. Montrer que toute fonction de classe $\mc C^2$ sur $I$ est la différence deux fonctions convexes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 678]
Soit $f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$. Montrer que la derivée $n$-ieme de $f$ s'écrit sous la forme $\dfrac{P_n(t)}{(1+t^2)^{n+\frac{3}{2}}}$ ou $P_n\in\R[X]$. Trouver une relation linéaire entre $P_{n+2},P_{n+1}$ et $P_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 679]
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $f\colon\R\ra E$ continue en 0. Montrer que $f$ est dérivable en 0 si et seulement si $x\mapsto\dfrac{f(2x)-f(x)}{x}$ possède une limite quand $x\ra 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 680]
Soient $I=\left]-3,9\right[$ et $f$ une fonction de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$. Pour $x\in I\setminus\{3\}$, on pose $g(x)=\tan\left(\dfrac{\pi x}{6}\right)f(x)$. à quelle condition la fonction $g$ se prolonge-t-elle continument à $I$? Le prolongement est-il de classe $\mc C^1$ sur $I$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 681]
Une fonction de classe $\mc C^{\i}$ de $[0,1]$ dans $\R$ est-elle nécessairement monotone par morceaux?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 682]
Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $f(0)\gt 0$, $f'(0)\gt 0$ et $\lim\limits_{x\ra+\i}f(x)=0$.
 - Montrer qu'il existe $x_1$ tel que $f'(x_1)=0$.
 - Montrer qu'il existe une suite $(x_n)$ strictement croissante telle que, pour tout $n\in\N$, $f^{(n)}(x_n)=0$.
#+end_exercice

# ID:8128
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 683]
Montrer que la fonction $x\mapsto e^{x^2}$ n'admet pas de primitive de la forme $x\mapsto f(x)e^{x^2}$, où $f\colon\R\ra\R$ est une fonction rationnelle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 684]
Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $f'(t)+f(t)\ra 0$ quand $t\ra+\i$. Montrer que $f(t)\ra 0$ quand $t\ra+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 685]
Posons $f:x\neq 0\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}$ prolongée par continuité en $0$.
 - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$.
 - Montrer que $f$ n'est solution d'aucune équation différentielle linéaire homogène.
 - Pour $n\in\N$, soit $P_n\in\R[X]$ tel que $\forall x\neq 0$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$. Déterminer degré et coefficient dominant de $P_n$.
 - Montrer que les polynômes $P_n$ sont scindés dans $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 686]
Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, $M\in\R^{+*}$ et $f$ une fonction de classe $\mc C^1$ de $I$ dans $\C$ non identiquement nulle et telle que $|f'|\leq M|f|$. Montrer que $f$ ne s'annule pas.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 687]
Soit $E=\mc C^0(\R^+,\R)$.
 - Soit $f\in E$. Montrer $v:x\in\R^{+*}\mapsto\frac{1}{x^{p+1}}\int_0^xt^pf(t)\dt$ se prolonge par continuité en $0$.

On note $u(f)$ ce prolongement.
 - Montrer que $u$ ainsi défini est un endomorphisme injectif de $E$.
 - Déterminer son spectre.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 688]
Soit $f\in\mc C^0([0,1],\R)$. Montrer $\int_{-1/2}^{3/2}f(3x^2-2x^3)\dx=2\int_0^1f(3x^2-2x^3)\, dx$.
#+end_exercice

# ID:7800
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 689]
Donner un équivalent de $f(x)=\int_1^xt^tdt$ lorsque $x$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 690]
Soit $f\colon\R^+\ra\R^+$ une fonction continue, strictement croissante telle que $f(0)=0$.
 - On suppose que $f$ est de classe $\mc C^1$.

Montrer que $\forall x\gt 0,\ \int_0^xf(t)dt+\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=xf(x)$.
 - - Soit $x\gt 0$. Pour $n\in\N^*$ et $i\in\db{0,n}$, on note $x_{i,n}=\frac{ix}{n}$.

Montrer que $\sum_{i=0}^{n-1}x_{i,n}(f(x_{i+1,n})-f(x_{i,n}))\longrightarrow \int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt$ quand $n\ra+\i$.
 - Montrer l'égalité vue en  -.
 - Soient $a\in\R^+$ et $b\in f\colon\R^+\ra\R^+$ continue et bijective.

Montrer que $\int_0^af(t)dt+\int_0^bf^{-1}(t)dt\geq ab$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 691]
Soit $f$ continue et strictement positive sur $[a,b]$.
 - Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe une unique subdivision $(x_{0,n},\ldots,x_{n,n})$ de $[a,b]$ telle que $\forall k\in\db{1,n},\int_{x_{k-1,n}}^{x_k,n}f=\frac{1}{n}\int_a^bf$ - Déterminer la limite de la suite de terme general $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(x_{k,n})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 692]
Soit $f\in\mc C^n(\R,\R)$. On suppose que $f$ et $f^{(n)}$ sont bornées sur $\R$.
 - Pour tout $p\in\db{1,n}$, on pose : $\phi_p:x\mapsto f(x+p)-\int_x^{x+p}\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x+p-t)^{n-1}\, dt$.

Montrer que $\phi_p$ est bornée sur $\R$.
 - En déduire que $f',\ldots,f^{(n-1)}$ sont bornées sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 693]
 - Soit $f\in\mc C^0([0,1],\R)$. On suppose que, pour toute fonction $\phi\in\mc C^1([0,1],\R)$ vérifiant $\phi(0)=\phi(1)=0$, l'on ait $\int_0^1f(t)\phi(t)dt=0$. Montrer que $f=0$.
 - Soient maintenant $f,g\in\mc C^0([0,1],\R)$ telles que, pour tout $\phi\in\mc C^1([0,1],\R)$ vérifiant $\phi(0)=\phi(1)=0$, l'on ait $\int_0^1f(t)\phi(t)\dt=\int_0^1g(t)\phi'(t)\, dt$. Montrer que $g$ est de classe $\mc C^1$ et déterminer sa derivée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 694]
Soient $h\gt 0$, $f\in\mc C^2([a,b],\R)$ avec $f''\geq m^2\gt 0$, et $E=\{x\in[a,b],|f'(x)|\gt h\}$.
 - On suppose que $[c,d]$, avec $c\lt d$, est inclus dans $E$. Montrer que $\left|\int_c^de^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{3}{h}$.
 - Montrer que $\left|\int_E e^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{6}{h}$.
 - Montrer que $\left|\int_a^be^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{6}{h}+ \frac{2h}{m^2}$.
 - Montrer que $\left|\int_a^be^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{8}{m}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 695]
Déterminer la nature de $\int_2^{+\i}\frac{\cos x}{\ln x}dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 696]
Soit $a\gt 0$. Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\ln t}{a^2+t^2}\dt$. Que dire de $\int_0^{+\i}\frac{\ln t}{a^p+t^p}\dt$ pour $p\geq 2$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 697]
Soit $E$ l'ensemble des $f\in\mc C^1([0,1],\R)$ telles que $f(0)=f(1)=0$.
 - Pour $f\in E$, montrer la convergence de $I_1=\int_0^1f(t)f'(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)dt$ et de $I_2=\int_0^1f^2(t)\;(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))dt$. Comparer $I_1$ et $I_2$.
 - Montrer que, si $f\in E$, $\int_0^1(f')^2\geq\pi^2\int_0^1f^2$. Pour quelles $f$ y-a-t-il égalité?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 698]
Convergence et calcul de $\int_0^1\sqrt{\frac{x}{1-x}}\ln(x)dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 699]
Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Nature de l'intégrale $\int_0^{+\i}\exp(-t^{\alpha}\sin^2(t))dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 700]
Montrer que $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{dt}{t(e^{\sqrt{t}}-1)}$ est définie, continue et intégrable sur $]0,+\i[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 701]
 - Calculer $\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(x)}{1+\sqrt{\sin(2x)}}dx$.
 - Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$.

Montrer que $\int_0^{\pi/2}f(\sin(2x))\sin(x)dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos^2(y)) \cos(y)dy$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 702]
 - Soit $(a,\eps)\in(\R^{+*})^2$. Apres avoir simplifie $\ln\left(\frac{1-e^{2ax}}{1-e^{ax}}\right)$, montrer que

$$\int_{\eps}^{+\i}\frac{\ln(1+e^{ax})}{x}dx=-\int_1^2 \frac{a\eps}{e^{a\eps y}-1}\ln(y)dy.$$
 - Montrer que $\int_1^2\frac{\ln(1-e^{-a\eps y})}{y}dy=\ln(2)\ln(1-e^{-2 a\eps})-\int_1^2\ln(y)\frac{a\eps}{e^{a\eps y}-1} dy$.
 - En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\ln(x)}{e^{ax}-1}dx$.
 - Retrouver le résultat précédent par un calcul direct de $\int_0^{+\i}\frac{\ln(x)}{e^x-1}dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 703]
Soit $F$ définie sur $\R^{+*}$ par $\colon\forall x\gt 0,F(x)=\int_x^{+\i}\frac{\sin t}{t^2}dt$.
 - Montrer que $F$ est bien définie.
 - Montrer que $F$ est intégrable sur $\R^{+*}$.
 - Calculer $\int_0^{+\i}F(x)\dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 704]
Soit $f\colon\R^+\ra\R^+$ une fonction continue. On note $F$ la primitive de $f$ qui s'annule enE $0$. Montrer que les intégrales $\int_0^{+\i}\frac{F(t)}{(t+1)^2}dt$ et $\int_0^{+\i}\frac{f(t)}{t+1}dt$ sont de même nature.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 705]
 - Soit $f:[1,+\i[\ra\R$ continue. On suppose que l'intégrale $\int_1^{+\i}f$ est convergente.

Montrer que $\int_1^{+\i}\frac{f(t)}{t}\dt$ est une intégrale convergente.
 - Soit $\sum u_n$ une série convergente. Montrer que $\sum\frac{u_n}{n}$ est une série convergente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 706]
Trouver un équivalent simple de $\int_0^x\frac{|\sin t|}{t}\dt$ quand $x$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 707]
Soit $f\colon\R\ra\C$ une fonction continue et $T$-périodique. - à quelle condition $f$ admet-elle une primitive $T$-périodique?
 - On suppose à present que $\int_0^Tf(x)\dx\neq 0$, et on fixe un réel $a\in]0,1]$. Donner un équivalent de $\int_1^x\frac{f(t)}{t^a}\dt$ quand $x\ra+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 708]
Quelles sont les fonctions de $[0,1]$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $[0,1]$ d'une suite de polynômes convexes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 709]
Soit $f$ continue sur $[0,\pi]$ telle que $\forall n,\int_0^{\pi}\cos(nt)f(t)dt=0$. Que dire de $f$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 710]
Soit $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{\sin{(2^nx)}}{2^n}$.
 - Montrer que $f$ est définie sur $\R$.
 - Montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 711]
Soit $\alpha\in\R^{+*}$.
 - Montr re qu'en posant $\forall x\in\R^{+*},\ f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}e^{-n^{\alpha}x}$, on définit une fonction de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^{+*}$ dans $\R$.
 - Donner la limite puis un équivalent simple de $f$ en $+\i$.
 - Donner la limite puis un équivalent simple de $f$ en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 712]
Déterminer le domaine de définition et un équivalent simple en $1^-$ de $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}x^{n^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 713]
Pour $n\geq 0$, soit $u_n:x\mapsto\prod_{i=0}^n\frac{1}{x+i}$.
 - Montr re que $S=\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ est définie et continue sur $\R^{+*}$.
 - Ex primer $S(x+1)$ en fonction de $S(x)$ et de $x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 714]
On pose $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{e^{-nx}}{n+x}$.
 - Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.
 - Étudier la continuité de $f$ sur $D$.
 - Déterminer des équivalents de $f$ aux extremites de $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 715]
 - Soit $x\in[0,1[$ Justifier la convergence de $f(x)=\prod_{n=0}^{+\i}\left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}$. - Montrer que, pour tout $x\in]0,1[$, $\ln f(x)=\frac{x-1}{x}\sum_{n=1}^{+\i}x^n\ln(1+x^n)+\ln 2$.
 - En déduire que, pour tout $x\in[0,1[$, $\ln f(x)=\ln 2+\sum_{m=1}^{+\i}\frac{(-1)^m}{m}\frac{x^m}{1+x+ \cdots+x^m}$.
 - Montrer que $f$ possède une limite finie en $1$ et la déterminer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 716]
On pose $f:x\mapsto\sum_{p=0}^{+\i}\frac{(-1)^p}{p!(x+p)}$.
 - Déterminer le domaine de définition de $f$.
 - Exprimer $f(x)$ en fonction de : $g(x)=\frac{1}{x}+\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{x(x+1)\cdots(x+k)}$.
 - Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\i$.
 - Déterminer un équivalent simple de $f$ en $0^+$.
 - Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum\frac{(-1)^p}{p!(x+p)}$ sur les parties du domaine de définition de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 717]
Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\left(\mbox{Arctan}(n+x)-\mbox{ Arctan}(n)\right)$.
 - Donner le domaine de définition de $f$. Étudier sa régularite.
 - Exprimer $f(x+1)$ en fonction de $f(x)$ et de $x$.
#+end_exercice

# ID:7801
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 718]
Domaine de définition et équivalent en $+\i$ de $f\colon x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}\frac{(\ln n)^x}{n^2}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Poser $u = \ln t$, on obtient $\int_{\ln 2}^{+\i} \frac{u^x}{e^u}\du$. Une étude du maximum de cette fonction montre qu'il est atteint en $x$. On pose $u = xz$, on obtient $x x^x\int_{\ln 2/x}^{+\i} e^{x (\ln z - z)}\dz$. Le maximum est atteint en $1$, et on est intégrable, donc on peut mettre $\int_0^{+\i} e^{x (\ln z - z)}$. Quitte à multiplier par $^x$, on a une situation classique, où la fonction $z\mapsto \ln z - z + 1$ est maximale en $z = 1$, de dérivée nulle. Bien technique en pratique…

Enfin, le lien $\sum/int$ vient du fait que $f'(t) = \frac{(x- 2\ln t)}{t} f(t)$, on peut montrer à la main que $\sum f'(n)$ est négligeable devant $\sum f(n)$.
#+END_proof

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 719]
Soit $u_0$ l'identite de $[1,+\i[$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}:x\in[1,+\i[\mapsto u_n(x)+\frac{1}{u_n(x)}$.
 - Montrer que la suite de fonction $(u_n)$ est bien définie.
 - Étudier la convergence simple de $(u_n)$ sur $[1,+\i[$.

Pour $n\in\N$, soit $f_n:x\in[1,+\i[\mapsto\frac{(-1)^n}{u_n(x)}$.
 - Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $[1,+\i[$.
 - Montrer que la somme de la série de terme general $f_n$ est continue sur $[1,+\i[$.
 - A-t-on convergence normale sur $[1,+\i[$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 720]
Notons, pour $\alpha\gt 0$, $n\in\N^*$ et $x\geq 0$, $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$.
 - Déterminer les modes de convergence de $\sum u_n$ sur $\R^+$ et $\R^{+*}$.
 - Montrer que la somme $S_{\alpha}$ de cette série est continue sur $\R^{+*}$ et que si $\alpha\gt 1/2$, $S_{\alpha}$ est continue sur $\R^+$.
 - Pour $\alpha\leq 1/2$, $S_{\alpha}$ est-elle continue en $0$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 721]
Pour $x$ réel convenable, on note $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^x}$.
 - Déterminer le domaine $\mc{D}$ de définition de $\zeta$.
 - Montrer que, pour $x\in\mc{D}$, $\zeta(x)=1+\frac{1}{x-1}-x\int_1^{+\i}\frac{\{t\}}{t^{x+1}} dt$, ou $\{t\}=t-\lfloor t\rfloor$.

En déduire que $\zeta$ peut être prolongée sur un ensemble $\mc{D}'$.
 - Donner un équivalent de $\zeta$ en $1$.
 - Montrer que le prolongement de $\zeta$ sur $\mc{D}'$ se prolonge par continuité en $\inf(\mc{D}')$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 722]
Soit, pour $x\in\R^+$, $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{1+nx}$.
 - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $[0,1[$.
 - Donner un équivalent de $f(x)$ en $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 723]
Rayon de convergence et somme de $\sum_{n\geq 1}\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right)\frac{x^n}{n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 724]
Montrer que la fonction $f:x\mapsto\ln(1+e^{-x})$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 725]
Déterminer le rayon et la somme de $\sum_{n\geq 0}\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}x^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 726]
Soit, pour $n\in\N$, $a_n=\int_0^{\pi/2}\cos(t)^n\sin(nt)\dt$. Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$.
 - Calculer $a_0,a_1,a_2$.
 - Calculer $f(x)$ pour $|x|\lt 1$. Preciser le rayon de convergence de $f$.
 - En déduire $a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 727]
 - Soit $z\in\C$ tel que $|z|\neq 1$. Montrer que la fonction $t\mapsto\frac{1}{e^t-z}$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
 - Soient $F\in\C(X)$ sans pole de module $1$ et $\alpha\in\R$. Montrer que la fonction $t\mapsto F(e^{\alpha t})$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 728]
Pour $n\in\N^*$, on note $a_n=\nu_2(n)$ (valuation 2-adique).
 - Déterminer les valeurs d'adherence de $(a_n)$.
 - On pose, pour $n\in\N^*$, $b_n=\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^na_k\right)$. La suite $(b_n)$ possède-t-elle une limite?
 - Déterminer le rayon de convergence de $\sum b_nx^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 729]
Pour $n\in\N$, soit $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(x)\dx$. - Montrer que $(a_n)_{n\geq 0}$ tend vers $0$.
 - Si $n\in\N$, exprimer $a_{n+2}$ en fonction de $a_n$.
 - Déterminer le rayon de convergence $R$ de $x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$. Calculer la somme. Étudier le comportement en $\pm R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 730]
On pose $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u_ku_{n-k}$ pour tout $n$. Trouver $u_n$ en considérant la série entière $\sum_{n\geq 0}\dfrac{u_n}{n!}x^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 731]
La suite $(a_n)_{n\geq 0}$ est définie par $a_0\gt 0$ et $\forall n\in\N,a_{n+1}=\ln(1+a_n)$.
 - Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ tend vers $0$.
 - Donner un équivalent de $a_n$.
 - Donner le rayon de convergence $R$ de $\sum a_nx^n$. Y-a-t-il convergence pour $x=R$? pour $x=-R$?
 - Donner un équivalent de $\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ quand $x$ tend vers $R^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 732]
Soit $t\in\R$ tel que : $\forall n\in\N^*$, $nt\not\in 2\pi\Z$. Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\dfrac{\sin(nt)}{n}x^n$.
 - Déterminer le rayon de convergence $R$ de $f$.
 - Étudier la convergence en $\pm R$.  Ind. Poser $S_n=\sum_{k=1}^n\sin(kt)$.
 - Exprimer $f(x)$ pour $x\in]-R,R[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 733]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite complexe telle que la série $\sum na_n$ converge absolument. On note $\mathbb{D}$ le disque unite ouvert de $\C$. Soit $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$.
 - Montrer que le rayon de convergence de $f$ est $\geq 1$.
 - On suppose que $a_1\neq 0$ et que $\sum_{n=2}^{+\i}n|a_n|\leq|a_1|$. Montrer que $f$ est injective sur $\mathbb{D}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 734]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=a_1=0$, $a_2=\dfrac{1}{2}$ et $a_{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}\sum_{i+j=n}a_ia_j$ pour $n\geq 2$.
 - Montrer que le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$ est supérieur ou egal à 1.
 - Montrer que $x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ est solution de l'équation $xy''-x=y^2$ sur $]0,1[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 735]
Soit $(a_n)$ définie par $a_0=a_1=1$ et $\forall n\geq 1,\,a_{n+1}=a_n+\dfrac{2}{n+1}a_{n-1}$.
 - Montrer que $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$. En déduire le rayon $R$ de $f(x)=\sum a_nx^n$.
 - Montrer que $f$ est solution de $(1-x)y'-(2x+1)y=0$. Exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 736]
Soient $f(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence $R\gt 0$, et $D$ son disque ouvert de convergence.
 - Montrer que, s'il existe $(z_k)\in(D\setminus\{0\})^{\N}$ de limite nulle telle que $\forall k\in\N$, $F(z_k)=0$, alors $F$ est nulle.
 - On suppose que $F(0)\in\R^{+*}$ et que $|F|$ admet un maximum local en $0$.

Montrer que $F$ est constante.

Ind. Raisonner par contraposée et montrer l'existence de $p\in\N$ tel que pour tout $z\in D$,

$$|F(z)|\geq|F(0)+a_pz^p|-\sum_{n=p+1}^{+\i}|a_n||z|^n.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 737]
Soit $(b_n)$ la suite définie par $b_0=1$ et $\forall n\in\N^*$, $b_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{b_{n-k}}{k!}$.
 - Montrer que $\forall n\in\N$, $b_n\leq\dfrac{1}{\ln^n(2)}$.
 - Montrer que la série entière $\sum b_nx^n$ à un rayon de convergence $R$ non nul et que

 $\forall x\in]-R,R[,\,\,\sum_{n=0}^{+\i}b_nx^n=\dfrac{1}{2-e^{ x}}$.
 - En déduire une expression sommatoire explicite de $b_n$ pour $n\in\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 738]
Soit $f:z\in\C\setminus\{1\}\mapsto\exp\left(\dfrac{z}{1-z}\right)$.
 - Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence. On écrit $f(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$.
 - Donner une expression sommatoire des $a_n$.
 - Trouver une relation de récurrence vérifiée par la suite $(a_n)$.
 - Donner un développement asymptotique de $\ln(a_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 739]
Soit $a\in\C^*$. On pose $A_0=1$ et, pour $k\in\N^*$, $A_k=\dfrac{1}{k!}X(X-ak)^k$.
 - Montrer que, pour tout $P\in\C_n[X]$, $P(X)=\sum_{k=0}^nP^{(k)}(ak)A_k(X)$.

En déduire que $\forall y\in\C^*$, $ny^{n-1}=\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}(-ak)^k(y+ak)^{n-k}$. - Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n\geq 1}\frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n$.
 - On note $S$ sa somme. Montrer que $\forall x\in]-R,R[$, $x(1+S(x))S'(x)=S(x)$.

Donner une expression simple de $h:x\mapsto S(x)\,e^{S(x)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 740]
Soit $(a_n)_{n\geq 2}$ une suite réelle telle que la série entière associée est de rayon de convergence supérieur ou egal à $1$.

On suppose que $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ est injective sur $\mathbb{D}=\{z\in\C,\;|z|\lt 1\}$.
 - Montrer que, pour tout $z\in\mathbb{D}$, $f(z)\in\R$ si et seulement si $z\in\R$.
 - Montrer que, pour tout $z\in\mathbb{D}$, $\op{Im}(f(z))\gt 0$ si et seulement si $\op{Im}(z)\gt 0$.
 - Calculer, pour $n\in\N^*$ et $r\lt 1$, $\int_0^{2\pi}\op{Im}(f(re^{it}))\sin(nt)dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 741]
Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs avec $a_0\gt 0$ et $a_1=1$. Soient $S:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}a_kx^k$ et, pour $n\in\N$, $S_n:x\mapsto\sum_{k=0}^na_kx^k$. On suppose que le rayon de convergence de $S$ est $R\gt 0$.
 - Soient $n\geq 1$ et $y\gt a_0$. Montrer qu'il existe un unique $x_n(y)\in\R^+$ tel que $S_n(x_n(y))=y$. Montrer que la suite $(x_n(y))$ converge vers un réel note $T(y)$. Montrer que $|T(y)|\leq R$.
 - On suppose que $|T(y)|\leq R$. Calculer $(S\circ T)(y)$. Que peut-on en déduire?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 742]
Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R\gt 0$ et de somme $f$.
 - Montrer que, pour tout $r\in[0,R[$, $I(r)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^2d\theta=\sum_{ n=0}^{\i}|a_n|^2r^{2n}$, puis que la fonction $I$ est croissante sur $[0,R[$.
 - Si $f$ n'est pas nulle, montrer que $I(r)\gt 0$ pour tout $r\in]0,R[$.
 - Montrer que la fonction $t\mapsto\ln\big(I(e^t)\big)$ est convexe sur $]-\i,\ln R[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 743]
Soient $P\in\R[X]$ de degré $2$ et $f:x\mapsto e^{P(x)}$. Montrer que $f$ est développable en série entière en $0$ et que deux coefficients consécutifs de ce développement ne sont jamais simultanement nuls.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 744]
Soit $(p_n)$ une suite strictement croissante d'entiers naturels telle que $n=o(p_n)$.

Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}x^{p_n}$.
 - Quel est le rayon de convergence de $f$?
 - Déterminer la limite en $1^-$ de $f$ puis de $x\mapsto(1-x)f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 745]
Déterminer un équivalent de $p(n)=\big{|}\big{\{}(x,y,z)\in\N^3,\;x+2y+3z=n\big{\}}\big{|}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 746]
On dit que la suite $(a_n)_{n\geq 0}\in\R^{\N}$ vérifie $\mc{P}$ si le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$ est supérieur ou egal à 1 et si $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ possède une limite finie en $1^-$.
 - Déterminer les $f\colon\R\ra\R$ continues en 0 telles que : $\forall x,y\in\R$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$,
 - Montrer que si $\sum a_n$ est absolument convergente alors $(a_n)$ vérifie $\mc{P}$. Étudier la réciproque.
 - Déterminer les $f\colon\R\ra\R$ telles que, pour toute suite $(a_n)\in\R^{\N}$ vérifiant $\mc{P}$, la suite $(f(a_n))$ vérifie $\mc{P}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 747]
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ dont la série de Taylor en 0 à un rayon de convergence $+\i$.
 - Montrer que $E$ est une $\R$ algèbre.

Pour $f\in E$, on pose $T(f):x\mapsto f(x)-\sum_{n=0}^{+\i}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n$.
 - Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$ et que $\op{Im}(T)$ est un idéal de $E$.
 - Montrer que $E=\op{Im}(T)\oplus\op{Ker}(T)$.
 - Déterminer le spectre de $T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 748]
Limite de $u_n=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots+ \sqrt{2+2x}}}}}$ (ou il y a $n$ racines car $\mathrm{e}$es)?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 749]
Soit $I_n=\int_0^{+\i}\sin(t^n)\dt$. Déterminer les $n\in\N$ pour lesquels $I_n$ est définie. Donner un équivalent de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 750]
Déterminer un développement asymptotique de $u_n=\int_0^1\frac{du}{1+u^n}$ en $o(1/n^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 751]
Pour tout $n\in\N$, on pose : $u_n=\int_0^1(-t^2+t-1)^n\dt$.
 - Montrer que $(u_n)$ converge vers $0$.
 - Montrer que $\sum_{n\geq 0}u_n$ converge et calculer sa somme.
 - Trouver un équivalent simple de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 752]
Pour tout $n\in\N$, on pose : $I_n=\int_0^1\frac{t^{n+1}\ln t}{1-t^2}dt$.
 - Montrer la convergence de $I_n$.
 - Étudier la convergence et la limite eventuelle de $(I_n)$.
 - Trouver un équivalent simple de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 753]
Exprimer sous forme de somme $\int_0^{+\i}e^{-t^2}\cos(t)dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 754]

#+end_exercice

 - Justifier que $\int_0^{1/2}\frac{\ln(1-t)}{t}\dt=\int_{1/2}^1 \frac{\ln t}{1-t}\dt$.  - En déduire la valeur de $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{2^nn^2}$.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 755]

#+end_exercice

Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels $\gt 0$.  - Montrer que la série $\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{\alpha n+\beta}$ est convergente.  - Exprimer sa somme sous forme intégrale.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 756]

#+end_exercice

Calculer $\int_0^1\ln(t)\ln(1-t)dt$.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 757]

#+end_exercice

Pour tout $x\in\R$, on pose $f(x)=\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}dt$.  - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R$, et exprimer sa derivée.  - On pose $g(x)=f(x^2)$ pour $x\in\R$. Montrer que la fonction $x\mapsto g(x)+\left(\int_0^xe^{-t^2}\dt\right)^2$ est constante, et preciser sa valeur.  - En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}e^{-t^2}dt$.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 758]

#+end_exercice

Pour tout réel $a\gt 0$, on pose $F(a)=\int_0^{+\i}\frac{\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+ \arctan(ax)}{1+x^2}\dx$. Justifier l'existence de $F(a)$, puis calculer cette intégrale.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 759]

#+end_exercice

Pour $n\in\N^*$ et $x\lt 0$, on pose $: h_n(x)=\int_0^{+\i}\frac{dt}{(t^2+x^4)^n}$.  - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $h_n$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$ et $\colon\forall x\gt 0,h_n'(x)=-4nx^3h_{n+1}(x)$.  - Montrer qu'il existe une suite réelle $(a_n)_{n\in\N^*}$ telle que : $\forall n\in\N^*$, $\forall x\gt 0,h_n(x)=a_nx^{2-4n}$.  - Expliciter la suite $(a_n)$.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 760]

#+end_exercice

On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\mathrm{e}^{-2t}}{x+t} dt$.  - Domaine de définition de $F$? de continuité?  - Donner un équivalent de $F$ en $+\i$.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 761]

#+end_exercice

Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}\ln\left(x^2-2x\cos(t)+1\right) dt$.  - Donner le domaine de définition et étudier la continuité de $f$.  - Donner une expression de $f(x)$.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 762]
 - Déterminer le domaine de définition $D$ de $: f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\dt$. - Montrer que $f$ est continue sur $\R^+$.
 - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$.
#+end_exercice

 - En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}dt$.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 763]

#+end_exercice

Soient $\alpha\gt 0$ et $f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^1\frac{dt}{x^{\alpha}+t^3}$. L'application $f$ est-elle intégrable sur $\R^{+*}$?
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 764]
Pour $x\in\R$, calculer $f(x)=\int_{-\i}^{+\i}e^{-t^2/2}e^{-ixt}dt$ par deux methodes :

 - en déterminant le développement en série entière de $f(x)$;

 - en montrant que $f$ est de classe $\mc C^1$ et vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 765]
Soit $f$ définie par : $f(x)=\int_0^{\pi/2}\sin^x(t)\dt$.
 - Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$.
 - Montrer que $f$ est continue et décroissante.
 - Pour tout $x\in D_f$, on pose $g(x)=(x+1)f(x+1)f(x)$.

Montrer que : $\forall x\in D_f,g(x+1)=g(x)$.
#+end_exercice

 - Déterminer des équivalents simples de $f$ aux extremites de $D_f$.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 766]
 - Montrer la convergence de $\int_0^{+\i}\cos(t^2)dt$.
 - On pose $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-(t^2+i)x^2}}{t^2+i} dt$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^+$.
#+end_exercice

 - On admet que $\int_0^{+\i}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. Calculer $\int_0^{+\i}e^{-it^2}dt$ à l'aide de $f$.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 767]
Trouver toutes les fonctions $f\colon\R^{+*}\ra\R$ d $\mathrm{\acute{e}ivables\ \mathrm{v}\mathrm{e}rifiant}\colon\forall x\gt 0,f'(x)=f(1/x)$.
#+end_exercice

# ID:7943
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 768]
Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^1$, monotone et admettant une limite finie en $+\i$. Montrer que les solutions de l'équation différentielle $y''+y=f(x)$ sont bornées.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 769]
On considére l'équation différentielle $(E):2xy''+y'-y=0$.
 - Montrer que $(E)$ possède une unique solution $f$ sur $\R$ telle que $f(0)=1$ et qui soit la somme d'une série entière.
 - Donner une expression de $f$ à l'aide de fonctions usuelles.
#+end_exercice

 - à l'aide du changement de fonction inconnue $y=zf$, r $\mathrm{\acute{e}soudre}\ (E)$.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 770]

#+end_exercice

Soit $\lambda\in\R$. Montrer que les solutions de : $(E):y''+(\lambda-1)x^2y=0$ sont de la forme $x\mapsto H(x)e^{-x^2/2}$ avec $H$ développable en série entière.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 771]
R $\mathrm{\acute{e}soudre}$ l'équation différentielle $(1+x^2)y''+xy'-y=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 772]
Déterminer une solution de $(E):y''+xy'+y=1$ développable en série entière au voisinage de 0.
#+end_exercice

# ID:7944
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 773]
Soit $(E)$ l'équation différentielle $ax^2y''+bxy'+cy=0$ sur $\R^{+*}$.
 - Résoudre $(E)$ en utilisant le changement de variable $t=\ln x$.
 - Résoudre $x^2y''+xy'+y=\sin(a\ln x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 774]
Considérons l'équation différentielle $(E):x^2y'+y+x^2=0$.
 - Résoudre $(E)$ sur $\R^{+*}$.
 - Montrer que $(E)$ admet une unique solution qui admet une limite finie en $0$.
 - Existe-t-il des solutions de $(E)$ admettant une limite finie en $+\i$?
 - Déterminer les solutions de $(E)$ développables en série entière.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 775]
Soient $n\in\N$ et $(*)$ l'équation différentielle :

 $(1+x^n)(1-x^2)y'+2x(1+x^n)y=2(1-x^2)$.
 - Trouver les solutions de $(*)$ sur $]-1,1[$.
 - Existe-il une solution définie sur $\R$?
 - Existe-il une solution définie sur $]1,+\i[$ et bornée?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 776]
Soit $f$ une fonction continue et bornée de $\R$ dans $\R$. Déterminer les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$, de classe $\mc C^2$ et bornées, telles que $y''-y=f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 777]
Soit $y$ une solution sur $\R^{+*}$ de $xy''+y'+xy=0$,
 - On pose : $\forall x\gt 0$, $u(x)=\sqrt{x}\,y(x)$. Déterminer une équation différentielle dont $u$ est solution.
 - Montrer que $\int_a^b\frac{u(x)v(x)}{4x^2}\dx$ = $(uv'-u'v)(b)-(uv'-u'v)(a)$ avec $v$ vérifiant $v''+v=0$.
 - Montrer que, pour tout $a\gt 0$, il existe $x_a\in[a,a+\pi[$ tel que $y(x_a)=0$.
 - Montrer que $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^nx^{2n}}{4^n(n!)^2}$ s'annule une infinite de fois.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 778]
On note $S$ l'ensemble solution de l'équation différentielle $(E):xy''+xy'-y=0$ sur $\R^{+*}$.
 - Trouver $\alpha\in\R$ tel que $x\mapsto x^{\alpha}$ soit solution de $(E)$.
 - Pour tout $x\gt 0$, on pose : $G(x)=\int_1^x\frac{e^{-t}}{t^2}dt$. Dresser le tableau de variation de $G$.
 - Soient $f\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$ et $s:x\mapsto xf(x)$. Montrer que $s\in S$ si et seulement si $f'$ est solution d'une certaine équation différentielle du premier ordre. Résoudre cette équation différentielle.
 - Expliciter $S$ à l'aide de $G$. Étudier les limites des solutions en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 779]
Soit $f\colon\R^+\ra\R$ une fonction monotone de classe $\mc C^1$ admettant une limite réelle en $+\i$. Montrer que les solutions de l'équation $y''+y=f$ sont bornées sur $\R^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 780]
Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^2$ de $\R$ dans $\R$ telle que $f''+f\geq 0$. Montrer que, pour $t\in\R$, $f(t)+f(t+\pi)\geq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 781]
Résoudre les systemes différentiels

$$\left\{\begin{array}{rcl}x'&=&2x+3y+3z+te^t\\ y'&=&3x+2y+3z+e^t\\ z'&=&3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.,\quad\left\{\begin{array}[] {rcl}x'&=&2y-z&+te^t\\ y'&=&3x-2y&+e^t\\ z'&=&-2x-2y+z&+t^2e^t\end{array}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 782]
Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On considére le systeme différentiel $(S):Y^{(m)}=AY$ d'inconnue $Y\in\mc C^m(\R,\R^n)$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 783]
On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique. Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ est antisymétrique si et seulement si les solutions de $Y'=AY$ sont de norme constante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 784]
Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-périodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $\C^*$ et une application $X$ de classe $\mc C^1$ non identiquement nulle de $\R$ dans $\C^n$ telle que, pour tout $t\in\R$, $X'(t)=A(t)X(t)$ et $X(t+T)=\lambda X(t)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 785]
Soit $S\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer qu'il existe une unique fonction $M$ de $\R$ dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $M'(t)=SM(t)S$ pour tout $t\in\R$. à quelle condition sur $S$ la fonction $M$ est-elle bornée?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 786]
Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien, $u\colon\R\ra$ SO $(E)$ dérivable. Montrer l'équivalence entre : (i) $\forall s,t\in\R$, $u(s+t)=u(s)\,u(t)$, (ii) $\exists a\in\mc{A}(E)$, $\forall t\in\R$, $u(t)=e^{at}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 787]
Déterminer le domaine de définition de $f:(x,y)\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(x+y)^n}{n^2}$. Est-elle continue? de classe $\mc C^1$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 788]
On pose $f(0,0)=0$ et, pour $(x,y)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$, $f(x,y)=\frac{x^3y}{x^4+y^2}$. Ethier la continuité et la différentiabilité de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 789]
Soient $f\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$ et $g$ définie sur $(\R^{+*})^2$ par $:g(x,y)=f\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)\cdot$ Déterminer les fonctions $f$ qui vérifient $\colon\frac{\partial^2g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2g}{\partial y ^2}=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 790]
On munit $\R^2$ de sa norme euclidienne canonique. On définit $f$ sur $\R^2$ par $\colon\forall(x,y)\in\R^2$, $f(x,y)=\Big(\frac{1}{2}\sin(x+y),\frac{1}{2}\cos(x-y)\Big)$.
 - Calculer la différentielle de $f$ en tout point.
 - Montrer que $\colon\forall(x,y)\in\R^2,\|df(x,y)\|_{\mathrm{op}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
 - En déduire que $f$ possède au plus un point fixe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 791]
 - Soit $f\colon\R\ra\R$ dérivable et minorée. On pose $m=\inf_{\R}f$. On suppose que $m$ n'est pas atteint. Montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n\geq 0}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $f(x_n)\leq m+\frac{1}{2^n}$ et $|x_n|\geq n$. En déduire qu'il existe une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ telle que $|u_n|\ra+\i$ et $f'(u_n)\ra 0$.
 - Soient $p\geq 2$ et $f\in\mc C^1(\R^p,\R)$ minorée. Pour $\eps\gt 0$, soit $g_{\eps}:x\mapsto f(x)+\eps\|x\|$. Montrer que $g_{\eps}$ atteint son minimum (la norme est la norme euclidienne standard). En déduire qu'il existe une suite $(u_n)$ telle que $\nabla f(u_n)\ra 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 792]
 - Soient $n\geq 2$, $U$ un ouvert de $\R^n$ et $f:U\ra\R$ différentiable. Soient $a,b\in U$ tels que $[a,b]\subset U$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=df_c(b-a)$.
 - Application : si on souhaite connaitre la valeur de $\frac{\sqrt{2}}{e+\pi^3}$ à la precision $10^{-20}$, avec quelle precision doit-on alors connaitre $\sqrt{2},e$ et $\pi$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 793]
Soit $f\in\mc C^2(\R^n,\R)$ telle qu'en tout point $x$ le spectre de la hessienne soit inclus dans $[1,+\i[$.
 - Montrer que, pour tout $x\in\R^n$ on a $f(x)\geq f(0)+\langle\nabla f(0),x\rangle+\frac{1}{2}x^Tx$.

_Ind._ Considérer $\psi:t\mapsto f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-\frac{1}{2}t^2x^Tx$.
 - En déduire que $f$ admet un minimum.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 794]
On munit $E=\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Pour $x\in E\setminus\{0\}$, on note $f(x)$ l'unique vecteur $y$ positivement colinéaire à $x$ vérifiant : $\|x\|\times\|y\|=1$.
 - Montrer que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle en tout point.
 - Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Interpréter $df(x)$ en faisant intervenir la reflexion d'axe $\{x\}^{\perp}$.
 - En déduire que $df(x)$ conserve les angles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 795]
Soient $\lambda\in\R$, $n\in\N^*$ et $f$ une application de classe $\mc C^1$ de $\R^n\setminus\{0\}$ dans $\R$. Montrer l'équivalence des conditions

_(i) $\forall(t,x)\in\R^{+*}\times(\R^n\setminus\{0\},f(tx)=t^{ \lambda}f(x)$_ :

_(ii) $\forall x\in\R^n\setminus\{0\},\sum_{i=1}^nx_i\partial_if(x)= \lambda f(x)$._
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 796]
 - Calculer la différentielle du déterminant au point $I_n$.

La fonction det atteint-elle un extremum local en $I_n$?
 - Déterminer points critiques et extrema locaux de la fonction det sur $\M_n(\R)$.
#+end_exercice

# ID:8126
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 797]
On pose $D=\left]0,1\right[^2$ et l'on définit $f$ sur $D$ par : $\forall(x,y)\in D,f(x,y)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}$.
 - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$.
 - Déterminer les extrema locaux de $f$.
 - En etudiant la restriction de $f$ à $K=\left\{(x,y)\in
   D\;;\;(x,y)\in\left[0,\frac{7}{9}\right]\mbox{ et
   }x+y\geq\frac{2}{9}\right\}$ déterminer les extrema globaux de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 798]
Soient $f\colon\R^2\ra\R$ de classe $\mc C^1$, $a\in\R^2$ et $\gamma$ un arc paramêtre plan de classe $\mc C^1$ tel que $\gamma(0)=a$ et, pour tout $t$, $\|\gamma'(t)\|=1$. Pour tout $\lambda\in\R$, on note $C_{\lambda}=f^{-1}(\{\lambda\})$.
 - Montrer que $\nabla f(a)$ indique la direction de plus grande pente sur la surface representative de $f$ en $a$.
 - Supposons $\gamma'(0)\in\R^+\nabla f(a)$. Montr per que, pour $\lambda$ suffisamment proche de $\alpha=f(a)$, il existe un unique $t_{\lambda}$ voisin de $0$ tel que $\gamma(t_{\lambda})$ appartient à $C_{\lambda}$. Donner un équivalent de $\|\gamma(t_{\lambda})-a\|$ quand $\lambda\ra\alpha$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 799]
Soit $f=(f_1,\ldots,f_n)\colon\R^n\ra\R^n$ de classe $\mc C^2$ sur $\R^n$. On considére les assertions : (i) $\forall(x,h)\in\R^n,\;\|df_x(h)\|=\|h\|$, (ii) $\forall(x,h)\in\R^n,\;\|f(x+h)-f(x)\|=\|h\|$.
 - On suppose (i) et on pose, pour tous $i,j,k\in\db{1,n}$, $a_{i,j,k}=\sum_{m=1}^n\frac{\partial f_m}{\partial x_i}\cdot\frac{ \partial f_m}{\partial x_j\partial x_k}$.

Montr per que $a_{i,j,k}=a_{i,k,j}=-a_{k,i,j}$ puis que $a_{i,j,k}=0$.
 - Montr per l'équivalence des assertions (i) et (ii).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 800]
Soit $f\colon\R^n\ra\R^n,x\mapsto(f_1(x),\ldots,f_n(x))$.
 - On suppose $f$ de classe $\mc C^2$. Montr per que $J_f(x)$ est antisymétrique pour tout $x\in\R^n$ si et seulement s'il existe $A\in\mc{A}_n(\R)$ et $b\in\R^n$ tels que $f(x)=Ax+b$ pour tout $x\in\R^n$.
 - On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Montr per que $J_f(x)$ est symétrique pour tout $x\in\R^n$ si et seulement s'il existe $\phi\colon\R^n\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $f=\nabla g$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 801]
Extrema de $f\colon (x,y)\in\R^2\mapsto xe^y+ye^x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 802]
Soient $E$ un espace euclidien, $\phi\in E^*$ une forme linéaire et $f:x\mapsto\phi(x)e^{-\|x\|^2}$. Étudier les extrema de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 803]
Soient $n\geq 2$ un entier et $f\colon\R^n\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que la hessienne de $f$ est toujours à valeurs propres dans $[1,+\i[$.
 - Soit $x\in\R^n$. Montr per que la fonction $t\mapsto f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-\frac{t^2}{2}\|x\|^2$ est convexe.
 - Montr per que $f$ admet un minimum global.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 804]
Soient $E$ un espace euclidien, $v\in E$ non nul et $f\in\mc{S}^{++}(E)$.
 - Montrer qu'il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ formée de vecteurs propres de $f$.
 - Montrer que, pour tout $x\in E$ non nul, $\langle f(x),x\rangle\gt 0$.
 - Montrer que $g:x\mapsto\frac{1}{2}\langle f(x),x\rangle-\langle v,x\rangle$ est de classe $\mc C^1$.
 - Calculer les derivées partielles de $g$ relativement à la base $(e_1,\ldots,e_n)$ et le gradient de $g$.
 - Montrer que $g$ admet un unique point critique $c$.
 - Montrer que $g$ admet un minimum global en $c$. Existe-t-il d'autres extrema locaux?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 805]
On munit $\R^n$ de la norme euclidienne usuelle. On note $\mc{B}$ la boule unite ouverte et $\mc{S}$ la sphere unite. Soit $f\colon\overline{\mc{B}}\ra\R$ de classe $\mc C^2$.
 - On suppose que $f_{|\mc{S}}\leq 0$ et qu'il existe $\zeta\in\mc{B}$ tel que $f(\zeta)\gt 0$.

Montrer que $\phi:x\in\overline{\mc{B}}\mapsto f(x)+\eps(\|x\|^2-1)$ admet un maximum en $\zeta_0\in\mc{B}$ pour $\eps\gt 0$ assez petit puis prouver que $\Delta f(\zeta_0)\lt 0$.
 - On suppose que $\Delta f=0$. Montrer que $\min\limits_{\overline{\mc{B}}}f=\min\limits_{\mc{S}}f$ et $\max\limits_{\overline{\mc{B}}}f=\max\limits_{\mc{S}}f$.
#+end_exercice

# ID:8765
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 806]
Déterminer les espaces tangents en $I_n$ aux parties $\text{SL}_n(\R)$ et $\mc{O}_n(\R)$ de $\M_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 807]
 - Soient $A$ la $\R$-algèbre des fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^n$ dans $\R$ et $I$ l'ensemble des $f\in A$ telles que $f(0)=0$. Montrer que $I$ est un idéal de $A$ et que tout élément de $I$ s'écrit $\sum\limits_{i=1}^nf_i\theta_i$ ou les $f_i$ sont dans $A$ et les $\theta_i$ sont les formes linéaires coordonnées canoniques sur $\R^n$.
 - Déterminer les $\phi$ de $A^*$ vérifiant, pour tout $(f,g)\in A^2$, $\phi(fg)=f(0)\phi(g)+g(0)\phi(f)$.
 - Montrer que l'ensemble des formes linéaires de la question précédente est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $A^*$. Quelle est sa dimension?
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 808]
On considére $n$ ampoules eteintes numérotées de 1 à $n$. L'ampoule $i$ à une probabilité $p_i$ de s'allumer à un instant donne. On note $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d'ampoules s'allumant.
 - Exprimer $\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(Y)$.
 - On fixe à present $m$ et on considére des $p_i$ tels que $\mathbf{E}(Y)=m$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les $p_i$ pour que $\mathbf{V}(Y)$ soit maximal. Donner la loi de $Y$ dans ce cas.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 809]
Un magasin dispose d'un stock de $N$ produits. Le nombre de clients qui passent dans une journée suit la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$ et chaque client à une probabilité $p$ d'acheter le produit. Quelle est la probabilité que le magasin soit en rupture de stock avant la fin de la journée?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 810]
On lance $N$ des. à chaque tour, on relance ceux qui n'ont pas donne $6$ lors des tours précédents. Soit $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre total de des ayant donne $6$ au cours des $n$ premiers tours.
 - Montrer que $S_n$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramêtres.
 - Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcup_{n=1}^{+\i}(S_n=N)\right)=1$.
 - On pose $T_N=\inf\{n\in\N^*,\ S_n=N\}\in\N^*\cup\{+\i\}$.
 - Donner la loi de $T_N$.
 - Montrer que $T_N$ admet une espérance et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 811]
Un peage comporte $3$ voies et $n$ voitures se presentent en choisissant aléatoirement et indépendamment une voie. On note $X_i$ le nombre de voitures qui passent par la voie $i$ pour $i\in\{1,2,3\}$.
 - Déterminer la loi des $X_i$.
 - Calculer $\mathbf{V}(X_1),\mathbf{V}(X_2)$ et $\mathbf{V}(X_1+X_2)$. En déduire $\op{Cov}(X_1,X_2)$.
 - Les variables $X_1,X_2,X_3$ sont-elles indépendantes deux à deux? mutuellement indépendantes?
#+end_exercice

# ID:7880
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 812]
Une urne contient des boules numérotées de 0 à $n$. On en prend une poignée au hasard et on note les numéros obtenus. On effectue deux tirages indépendants. Soit $X$ la variables aléatoire correspondant au nombre de numéros communs entre les deux poignées. Déterminer la loi de $X$.
#+end_exercice

# ID:7881
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 813]
Soient $m,n,p$ des entiers $\geq 1$ tels que $p\leq\min(m,n)$. Une urne contient $m$ boules mauves et $n$ boules noires. On tire simultanement $p$ boules dans l'ume et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules mauves tires. Quelle est la valeur la plus probable de $X$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 814]
Une urne contient $a\geq 1$ boules blanches et $b\geq 1$ boules rouges. à chaque tirage, on remet la boule tirée et on ajoute $c\geq 1$ boules de la même couleur. Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le rang de la première boule blanche tirée. Donner sa loi. Admet-elle une espérance? Un moment d'ordre $p\geq 2$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 815]
On dispose de deux urnes $A$ et $B$, et de $2N$ boules numérotées de 1 à $2N$ reparties aléatoirement dans ces urnes. à chaque iteration, on pioche une boule au hasard et on la change d'urne. On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules dans l'urne $B$ à la $n^{\text{e}}$ iteration. On pose, pour $n\in\N$, $U_n=\left(\mathbf{P}(X_n=0)\ \mathbf{P}(X_n=1)\ \cdots\ \mathbf{P}(X_n=2N) \right)^T$.
 - Déterminer $M\in\M_{2N+1}(\R)$ telle que, pour tout $n$, $U_{n+1}=MU_n$.
 - Soient $v_0,\ldots,v_{2N}$ des réels et $P=\sum_{k=0}^{2N}v_kX^k$. En notant $V$ le vecteur colonne défini par les coefficients $v_k$, montrer que $V\in\op{Ker}(M-\lambda I_{2N+1})\Leftrightarrow\lambda P=XP-\frac{1- X^2}{2N}P'$.
 - Montrer les $X_n$ suivent la même loi si et seulement si $X_0$ suit une certaine loi à déterminer.
 - La matrice $M$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 816]
On lance simultanement deux pièces equilibrées $n$ fois. Soit $E_n$ l'évènement «les deux pièces donnent le me nombre de pile».
 - Pour $a,b,n\in\N$ tels que $n\leq a+b$, montrer que $\sum_{k=0}^n\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}=\binom{a+b}{n}$.
 - En déduire $\mathbf{P}(E_n)$.
 - Déduire combien de fois en moyenne les pièces sont tombées sur Pile lorsque l'évènement $E_n$ est realise.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 817]
Soient $A$ et $B$ deux évènements. Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $\mathbf{P}\big(A\cap B\big)\mathbf{P}\big(\overline{A}\cap\overline{B} \big)=\mathbf{P}\big(A\cap\overline{B}\big)\mathbf{P}\big(\overline{A} \cap B\big)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 818]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et d'espérance finie.

Montrer que $\sum_{n\in\N^*}\mathbf{P}(X\geq n)$ converge et donner sa somme.
#+end_exercice

# ID:7845
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 819]
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$.

Calculer $\mathbf{E}\left(\frac{1}{X+1}\right)$ et $\mathbf{E}\left(\frac{1}{(X+1)(X+2)}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 820]
Soient $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi géométrique de paramêtre $1/2$. On pose : $U=\max(X,Y)$ et $V=\min(X,Y)$. Déterminer la loi de $(X,Y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 821]
À quelle condition sur $\alpha$ existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$ telle que $\mathbf{P}(X=n)=\int_1^{+\i}\frac{dt}{(1+t^{\alpha})^n}$ pour tout $n\in\N^*$. Lorsque cela est realise montrer que $X$ admet une variance et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 822]
Soient $\alpha\in\R$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$. Comparer $\mathbf{E}(X^{\alpha})$ et $\mathbf{E}(X)^{\alpha}$ au sens de $\overline{\R}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 823]
Soient $A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\ 2&1&-2\\ 1&-1&-1\end{pmatrix}$ et $U=\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix}$ avec $X$, $Y$, $Z$ trois variables aléatoires indépendantes, $X$ et $Z$ suivant $\mc{G}(p)$ avec $p\in]0,1[$ et $Y$ suivant $\mc{P}(\lambda)$ avec $\lambda\in\R^{+*}$. Déterminer la probabilité que $U$ soit vecteur propre de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 824]
Soient $X,Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\R^{+*}$. Minorer aussi precisement que possible $\mathbf{E}(X/Y)$.
#+end_exercice

# Il a un id quelque part.
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 825]
Soient $n\in\N^*$ et $X_1,...,X_n$ variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\R^{+*}$.

Calculer $\mathbf{E}\left(\frac{X_1+\cdots+X_k}{X_1+\cdots+X_n}\right)$ pour $k\in\db{1,n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 826]
Soient $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$ et $Y=X^2+1$.
 - Calculer $\mathbf{E}(Y)$.
 - Calculer $\mathbf{P}(2X\lt Y)$.
 - Comparer $\mathbf{P}(X\in 2\N)$ et $\mathbf{P}(X\in 2\N+1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 827]
On suppose que la probabilité de tirer un entier $n\in\N^*$ est $\frac{1}{2^n}$.
 - Calculer $\mathbf{P}(A_p)$ ou $A_p$ est l'évènement $\lnot n$ est multiple de $p$.
 - Calculer $\mathbf{P}(A_2\cup A_3)$.
 - On note $B$ l'évènement $\lnot n$ est premier $\lnot n$. Montrer que $\frac{13}{32}\lt \mathbf{P}(B)\lt \frac{209}{504}$. En déduire $\mathbf{P}(B)$ à $10^{-2}$ pres.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - 
#+END_proof

# ID:7843
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 828]
Soit $A,B$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. Calculer ${\bf P}(A^B\leq B^A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 829]
Soit $X$ une variable de loi de Poisson ${\cal P}(\lambda)$, avec $\lambda\gt 0$. Soient $p\in\N^*$ et $Y=\overline{X}$ à valeurs dans $\Z/p\Z$. Quelle est la loi de $Y$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 830]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables i.i.d. de loi de Bernoulli ${\cal B}(p)$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Montrer que $p=1/2$ si et seulement si, pour tout $n\in\N^*$ et tout $k\in\Z$, ${\bf P}(S_{2n}=k)\leq{\bf P}(S_{2n}=0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 831]
Soit $(E_n)_{n\geq 0}$ une suite d'évènements de $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ et $Z=\sum_{n=0}^{+\i}{\bf 1}_{E_n}$. Montrer que si $\sum{\bf P}(E_n)$ converge alors $Z$ est d'espérance finie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 832]
 - Soit $n\in\N^*$. Donner le développement en série entière de $f:t\mapsto\frac{1}{(1-t)^n}$.
 - En déduire que $|\{(k_1,\ldots,k_n)\in\N^n,\ k_1+\cdots+k_n=s\}|=\binom{s+n- 1}{n}$.
 - Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ i.i.d. suivant la loi géométrique de paramêtre $p\in\,]0,1[$.

Déterminer ${\bf P}\left(\bigcup_{n\geq 1}\left(X_1+\cdots+X_n=s\right)\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 833]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles discretes indépendantes.
 - Montrer que $X_1+X_2,X_3,\ldots,X_n$ sont indépendantes.
 - En déduire que, pour tout $r\in\,\db{2,n-1}$, $X_1+\cdots+X_r,X_{r+1},\ldots,X_n$ sont indépendantes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 834]
Soient $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $a_0,\ldots,a_{k-1}\in\,]0,1[^k$ tels que $a_0+\cdots+a_{k-1}=1$. Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\Z/k\Z$. On suppose que : ${\bf P}(X_0=0)=1$ et $\forall n\in\N,\,\forall j\in\Z/k\Z, {\bf P}(X_{n+1}=j)=\sum_{i=0}^{k-1}a_i{\bf P}(X_n=j-i)$.
 - Déterminer la loi de $X_n$.
 - Soit $j\in\Z/k\Z$ fixe. Étudier le comportement asymptotique de $({\bf P}(X_n=j))_{n\geq 0}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 835]
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $Y=\int_0^{2\pi}\sin(t)^Xdt$. Montrer que $Y$ possède une espérance et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 836]
Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$.
 - Calculer ${\bf P}(Y=0)$ puis ${\bf P}(Y=n)$ pour $n\in\N^*$. Montrer que $Y$ admet une espérance et la calculer.
 - Montrer que ${\bf E}(X_1-X_2)^2=2\,{\bf V}(X_1)$. En déduire que $Y$ admet une variance et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 837]
Soient un espace probabilise $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ et une variable aléatoire $X$ suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda\gt 0$.
 - Montrer que ${\bf P}(X\geq 2\lambda)\leq\frac{1}{\lambda}$.
 - Soit $Z$ une variable aléatoire réelle centrée admettant un moment d'ordre 2. On pose ${\bf V}(Z)=\sigma^2$.
 - Montrer que pour tous $a\gt 0$ et $x\gt 0$, ${\bf P}(Z\geq a)\leq\frac{\sigma^2+x^2}{(x+a)^2}$.
 - En déduire que ${\bf P}(Z\geq a)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}$ et ${\bf P}(X\geq 2\lambda)\leq\frac{1}{\lambda+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 838]
 - Rappeler le développement en série entière au voisinage de $0$ de $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$, ainsi que sa validite.
 - Donner une condition nécessaire et suffisante sur le réel $r$ pour qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que ${\bf P}(X=n)=\frac{(2n)!}{2^{3n}(n!)^2}r$ pour tout $n\in\N$.
 - Calculer alors l'espérance et la variance de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 839]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall k\in\N^*,\ {\bf P}(X=k)=\frac{1}{2^k}$.
 - Justifier la bonne définition d'une telle loi et calculer l'espérance de $X$.
 - Pour $n\in\N^*$, on note $A_n$ l'évènement $(n|X)$. Les évènements $A_p$ et $A_q$ sont-ils indépendants si $p$ et $q$ sont deux entiers pairs?
 - Étudier l'indépendance de $A_p$ et $A_q$ pour $p$ et $q$ entiers quelconques.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 840]
Soit $p\in\,]0,1[$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi ${\cal G}(p)$. On pose $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$ ; $\alpha_n={\bf E}(Y_n)$ et $\beta_n={\bf E}(Z_n)$.
 - Déterminer la monotonie des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$.
 - Calculer $\alpha_n$.
 - Déterminer la limite de $(\beta_n)$. Donner un équivalent de $\beta_n$.
#+end_exercice

# ID:7844
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 841]
Soient $\lambda\gt 0$ et $n\in\N$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On pose $Y=(X+n)!$
 - Trouver une condition sur $\lambda$ pour que $Y$ admette une espérance finie.
 - On suppose que $Y\in L^1$. Montrer que : $\forall m\in\N^*,{\bf P}(Y\geq m)\leq\frac{n!}{m(1-\lambda)^{ n+1}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 842]
 - Montrer qu'il existe une variable aléatoire telle que : $\forall t\in[0,1],G_X(t)=\frac{e^{t-1}}{\sqrt{2-t}}$.
 - Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 843]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\R^{+*}$ telle que : ${\bf E}\left(1/X\right)\lt +\i$. On définit $F_X$ sur $\R^+$ par : $\forall t\in\R^+,F_X(t)={\bf E}(e^{-tX})$.
 - Montrer que $F_X$ est bien définie, continue, intégrable sur $\R^+$ et calculer $\int_0^{+\i}F_X$. - Soient $Y,Z$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent chacune la loi géométrique de paramêtre $p\in\,]0,1[$. Calculer ${\bf E}\Big(\frac{1}{X+Y}\Big)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 844]
Soient $X_1$,..., $X_n$ des variables aléatoires indépendantes. Notons, pour tout $k$ $F_k$ la fonction de repartition associée à $X_k$.

On note $X=\max(X_1,\ldots,X_n)$ et $Y=\min(X_1,\ldots,X_n)$.
 - Montrer que $F_X=\prod_{k=1}^nF_k$ et $F_Y=1-\prod_{k=1}^n(1-F_k)$.
 - Soient $x,y\in\R$ avec $y\lt x$. Montrer que ${\bf P}(y\lt Y\leq X\leq x)=\prod_{k=1}^n(F_k(x)-F_k(y))$.
 - Supposons que les $X_k$ suivent des lois géométrique de paramêtre $p_k\in]0,1[$. Déterminer la loi de $Y$.
#+end_exercice

# ID:7846
#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 845]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et admettant une variance.
 - Montrer que la fonction generatrice de $X$ est convexe sur $[0,1]$.
 - Prouver que ${\bf E}\left(\frac{1}{X+1}\right)\leq 1-\frac{2}{3}{\bf E}(X)+\frac{1}{6}{ \bf E}(X^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 846]
Soient $m,n\in\N$ tels que $n\gt m+2$. On définit une suite $(u_k)_{k\in\N}$ en fixant $u_0\in\R$ et en posant, pour tout $k\in\N$, $u_{k+1}=\frac{k+m}{k+n}u_k$.
 - étudier la série $\sum\ln\left(\left(\frac{k+1}{k}\right)^{n-m}\frac{u_{k+1}}{u_k}\right)$. En déduire l'existence d'une constante $C\gt 0$ telle que $u_k\underset{k\ra+\i}{\sim}Ck^{m-n}$.
 - Montrer l'existence d'une variable aléatoire réelle $X$ telle que :

 $\forall k\in\N,\,(k+n){\bf P}(X=k+1)=(k+m){\bf P}(X=k)$
 - Montrer que $X\in L^1$ et calculer ${\bf E}(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 847]
Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique ${\cal G}(p)$, avec $p\in]0,1[$.
 - Soit $n\in\N^*$. Donner la loi de $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
 - Déterminer un équivalent de $\max\{{\bf P}(S_n=k),k\in\N\}$ lorsque $n\ra+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 848]
Soient $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi ${\cal G}(p)$ et $N$ une variable indépendante des $X_i$ qui suit la loi ${\cal G}(q)$. Soit $S=\sum_{k=1}^NX_k$. Montrer que $S$ est une variable aléatoire et déterminer son espérance et sa variance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 849]
Soit $N\in\N^*$. On repartit $2N$ boules entre deux urnes $A$ et $B$. On tire successivement une boule au hasard dans l'une des urnes, et on la place dans l'autre urne.

Pour $n\in\N$, on note $X_n$ le nombre de boules dans l'urne $B$ au $n^{\text{\`{e}me}}$ tour et on pose

 $U_n=({\bf P}(X_n=0)\cdots{\bf P}(X_n=2N))^T\in{\cal M}_{2N+1,1}(\mathbb{ R})$.
 - Trouver une matrice $M\in{\cal M}_{2N+1}(\R)$ telle que $\forall n\in\N,\,U_{n+1}=MU_n$. - Soit $V=(v_0,...,v_{2N})^T\in\M_{2N+1,1}(\R)$. On note $P(X)=v_0+v_1X+...+v_{2N}X^{2N}$.

Pour $\lambda\in\R$, montrer que $V\in\mathrm{Ker}(M-\lambda I_{2N+1})$ si et seulement si $\lambda P=XP+(1-X^2)P'$.
 - Comment choisir $X_0$ pour que toutes les variables aléatoires $X_n$ soient equidistribuées?
 - La matrice $M$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 850]
Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique $\mc{G}(p)$, avec $p\in]0,1[$. Pour $n\in\N^*$, soient $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$, $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$, $a_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $b_n=\mathbf{E}(Z_n)$.
 - Étudier la monotonie de $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$.
 - Pour $n\in\N^*$, déterminer $a_n$.
 - Déterminer la limite et un équivalent simple de $(b_n)_{n\geq 1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 851]
Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires de Rademacher. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
 - Pour $t\in{\R^+}^*$ et $n\in\N^*$, montrer que $\mathbf{E}(e^{tS_n})\leq\exp\left(\frac{nt^2}{2}\right)$.
 - Pour $a\in{\R^+}^*$ et $n\in\N^*$, montrer que $\mathbf{P}(|S_n|\geq a)\leq 2\exp\left(\frac{a^2}{2n}\right)$.
 - Montrer que le résultat de la question précédente subsite si $(X_k)_{k\geq 1}$ est une suite i.i.d. de variables aléatoires bornées par $1$ et centrées.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 852]
Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrete.
 - Pour $t\in\R$, justifier l'existence de $\phi_X(t)=\mathbf{E}(e^{itX})$.
 - Montrer que $\phi_X$ est uniformément continue sur $\R$.
 - Montrer que $\phi_X$ détermine la loi de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 853]
Soient $k\leq n\in\N$. Un parking dispose de $n$ places consécutives numérotées de $1$ à $n$. On y dispose des vehicules nécessit chacun $k$ places consécutives pour être gares. Chaque vehicule est successivement place aléatoirement sur les emplacements disponibles jusqu'a ce qu'on ne puisse plus en garer aucun.

Pour $j\in\db{1,n-k+1}$, $B_j$ designe l'évènement $\llcorner$ la première voiture est garée entre les emplacements $j$ et $j+k-1$, $\neq$ et $X_n$ est le nombre d'emplacements residuels libres à la fin du processus.
 - Montrer que, pour $i,j$ convenables, $\mathbf{P}_{B_j}(X_n=i)=\mathbf{P}(X_{j-1}+X_{n-(j+k)+1}=i-k)$.

En déduire que $\mathbf{E}(X_n)=k+\frac{2}{n-k+1}\sum_{\ell=0}^{n-k}\mathbf{E}(X_{\ell})$.
 - Pour $n\in\N$, on pose $S_n=\mathbf{E}(X_0)+\cdots+\mathbf{E}(X_n)$.

Montrer que la somme $f$ de la série entière $\sum S_nt^n$ est au moins définie sur $]0,1[$ et vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre $1$.
 - Expliciter $f$ et en déduire une expression de $\mathbf{E}(X_n)$ pour $n\in\N$.
#+end_exercice

* Mines - Ponts - PSI                                                 :autre:
** Algèbre

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 854]
Soit $A=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}7&-4&0\\ 6&-7&0\\ 0&0&-5\end{pmatrix}$.
 - Interpréter géométriquement $A$.
 - Donner l'image du plan $P$ d'équation $x-y-z=0$ par $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 855]
Soit $P\in\M_n(\R)$ representant un projecteur $p$ de rang $r$ dans la base canonique de $\R^n$. Déterminer la trace de l'endomorphisme de $\M_n(\R)$ défini par : $\Psi(X)=PX-XP$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 856]
Soient $n\in\N^*,x\in\R$ et $P\in\R_{n-2}[X]$. Montrer que la matrice $A\in\M_n(\R)$ définie par : $A_{i,j}=P(x+i+j-2)$ n'est pas inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 857]
Montrer que la matrice $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}$ n'admet pas de racine carrée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 858]
On note $D_n$ le nombre de permutations sans point fixe de $\db{1,n}$. On note $D_0=1$.
 - Soit $M=\left(\begin{pmatrix}j\\ i\end{pmatrix}\right)_{0\leq i,j\leq n}\in\M_{n+1}(\R)$. Déterminer $M^{-1}$.
 - Exprimer $n!$ en fonction des $D_k$ pour $0\leq k\leq n$.
 - En déduire une expression de $D_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 859]
Soit $r\geq 2$.
 - Montrer que l'équation $X^r=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$ n'a pas de solution $X\in\M_2(\C)$.
 - Déterminer les solutions $X\in\M_2(\C)$ de l'équation $X^r=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 860]
Soient $a_1,\dots,a_n$ des nombres complexes distincts. Soit $A\in\M_n(\C)$ la matrice de terme general $a_{i,j}=\left\{\begin{array}{c}0\text{ si }i=j\\ a_j\text{ si }i\neq j\end{array}.$. Soit $P\::x\mapsto\det(A+xI_n)$.
 - Montrer que $P$ est un polynôme unitaire de degré $n$.
 - Calculer $P(a_i)$.
 - Trouver l'expression de $P$.
 - Décomposer $\frac{P(X)}{(X-a_1)\cdots(X-a_n)}$ en éléments simples.
 - Calculer $\det(A+I_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 861]
Soient $A_1,\dots,A_n\in\M_n(\C)$ telles que $\forall i\in\db{1,n]\!]$, $\exists p\in[\![1,n]\!]$, $A_i^p=0\text{ et }\forall i,j\in[\![1,n}$, $A_iA_j=A_jA_i$. Montrer que $\prod_{i=1}^nA_i=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 862]
On dit qu'une matrice $A\in{\cal M}_n(\R)$ admet un pseudo-inverse s'il existe $B\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $AB=BA$, $B=BAB$ et $A=ABA$.
 - Montrer que, si $A$ admet un pseudo-inverse, alors $A$ et $A^2$ sont de même rang.
 - Justifier l'unicité sous reserve d'existence d'un pseudo-inverse.
 - Montrer que, si $A$ et $A^2$ sont de même rang, alors $\ker(A)$ et $\op{Im}(A)$ sont supplementaires. Étudier la réciproque de la première question.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 863]
Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. On suppose qu'il existe des complexes deux à deux distincts $\lambda_0,\ldots,\lambda_n$ tels que $A+\lambda_iB$ est nilpotente pour tout $i$.
 - Montrer que l'indice de nilpotence d'une matrice nilpotente de taille $n$ est inférieur ou egal à $n$.
 - Montrer que : $\forall\lambda\in\C,\,(A+\lambda B)^n=0$.
 - Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 864]
Soient $n\geq 2$ et $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $\forall M\in{\cal M}_n(\R)$, $\det(A+M)=\det(A)+\det(M)$.
 - Montrer que $A$ n'est pas inversible.
 - Montrer que $A=0$._Ind._ Écrire $A=PJ_rQ^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 865]
 - Soit $n\in\N$. Montrer qu'il existe un polynôme $P_n$ de degré $\leq n$ tel que $X+1-P_n^2(X)$ soit divisible par $X^{n+1}$._Ind._ Penser aux développements limites.
 - Soit $N\in{\cal M}_n(\C)$ une matrice nilpotente. Montrer qu'il existe une matrice $B\in\op{GL}_n(\C)$ tel que $B^2=I_n+N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 866]
Soit $B=(b_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal M}_n(\R)$ telle que

 $\forall i,\,b_{i,i}\gt 0,\,\forall i\neq j,\,b_{i,j}\leq 0$ et $\forall i,\,\sum_{j=1}^nb_{i,j}\gt 0$.
 - Montrer que $B$ est inversible. On prendra $X\in\op{Ker}(B)$ et on étudiera $|x_{i_0}|=\max_i|x_i|$.
 - Soit $X\in\R^n$ à coefficients $\geq 0$. Montrer que $Y=B^{-1}X$ est à coefficients $\geq 0$.
 - En déduire que $B^{-1}$ est à coefficients $\geq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 867]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $d\in\db{1,n-1}$. Trouver l'ensemble des endomorphismes de $E$ qui stabilisent tous les sous-espaces vectoriels de dimension $d$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 868]
Soient $A$ et $B$ dans ${\cal M}_n(\R)$. On suppose que $AB=BA$ et qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $B^p=0$. Montrer que $\det(A+B)=\det(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 869]
Soient $a,b,c\in\R$ et $A=\begin{pmatrix}0&-a&b\\ a&0&-c\\ -b&c&0\end{pmatrix}$.
 - Montrer qu'il existe $d$ tel que $A^3+dA=0$.
 - Déterminer $d$. Soit $n\in\N^*$, déterminer $A^{2n}$ en fonction de $d$, $n$ et $A^2$.
 - Déterminer $\alpha$ et $\beta$ tels que $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{A^k}{k!}=I_3+\alpha A+\beta A^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 870]
Soit $A=\begin{pmatrix}1&j&j^2\\ j&j^2&1\\ j^2&1&j\end{pmatrix}$ ou $j=e^{2i\pi/3}$.
 - La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Déterminer une matrice semblable à $A$, diagonale ou triangulaire.
 - Expliciter $C_A=\{M\in\M_3(\C),\ AM=MA\}$.
 - Soit $f_A$ l'endomorphisme de $\C^3$ canoniquement associe à $A$. Quels sont les sous-espaces vectoriels $f_A$-stables de $\C^3$?
 - Peut-on retrouver $C_A$ par des arguments de stabilité?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 871]
Soit $k\in\C$. Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 1&k&1&1\\ 0&1&0&0\\ 0&1&0&0\end{pmatrix}$. Étudier la diagonalisabilité de $A$ en fonction de $k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 872]
Soit $f\in\mc{L}(\C^n)$. On suppose $f^2$ diagonalisable. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $\op{Ker}(f)\cap\op{Im}(f)=\{0\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 873]
 - Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2$ soit diagonalisable et $\op{Sp}(A^2)\subset]0,+\i[$. Montrer que $A$ est diagonalisable.
 - Diagonaliser $A=$ $\begin{pmatrix}a&b&\ldots&b\\ b&a&\ddots&\\ &\ddots&\ddots&b\\ b&\ldots&b&a\end{pmatrix}$ et $B=$ $\begin{pmatrix}b&\ldots&b&a\\ \vdots&\ddots&\ddots&b\\ b&\ldots&\ddots&\vdots\\ a&b&\ldots&b\end{pmatrix}$ avec $a\in\R$ et $b\in\R^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 874]
Soient $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose que $f^2$ est un projecteur. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $f$ pour que $f$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 875]
Soient $a\in\C$ et $u:P\in\C[X]\mapsto(X-a)P'$.
 - Montrer que $u$ est linéaire.
 - Trouver les valeurs propres de $u$.
 - Trouver les $P$ dans $\C[X]$ tels que $P'$ divise $P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 876]
Soient $E=\C_n[X]$, $\alpha\in\C$ et $f\,:P\in E\mapsto P-\alpha(X-\alpha)P'$.
 - Montrer que $f\in\mc{L}(E)$ et donner sa matrice dans la base canonique.
 -  Montrer que $f$ est diagonalisable.
 - à quelle condition sur $\alpha$, l'endomorphisme $f$ est-il inversible?
 - Montrer, pour tout $k\in\N:E=\op{Ker}(f^k)\oplus\op{Im}(f^k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 877]
Soit $A\in\M_n(\C)$ telle que $\op{rg}(A)=2$, $\op{tr}(A)=0$ et $A^n\neq 0_n$. Montrer que $A$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 878]
Soit $A=$ $\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&2&1\\ 2&-2&-1\end{pmatrix}$.
 - Donner le spectre de $A$ et ses espaces propres. La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
 - Montrer qu'il existe $P\in\op{GL}_3(\R)$ tel que $A=PTP^{-1}$ avec $T=$ $\begin{pmatrix}0&0&-3\\ 0&1&4\\ 0&0&-1\end{pmatrix}$.
 - Trouver l'ensemble des matrices $M\in\M_3(\R)$ telles que $MT=TM$. Quelle est sa structure? sa dimension?
 - Trouver l'ensemble des matrices $M\in\M_3(\R)$ qui commutent avec $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 879]
Soit $A=\begin{pmatrix}-1&1&1\\ 0&5&-14\\ 0&-3&-8\end{pmatrix}$.
 - La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
 - Soit $n\in\N$. Montrer qu'il existe un unique $(\alpha_n,\beta_n,\gamma_n)\in\R^3$ et un unique $Q_n\in\R[X]$ tels que $X^n=(X+1)^2(X+2)Q_n(X)+\alpha_n(X+2)+\beta_n(X+1)(X+2)+\gamma_n(X+ 1)^2$.
 - Déterminer $A^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 880]
Soit $u$ l'application définie par : $\forall P\in\C[X]$, $\forall z\in\C$, $u(P)(z)=e^{-z}\sum_{k=0}^{+\i}\frac{P(n)}{n!}z^n$.
 - Montrer que $u$ est un endomorphisme de $\C[X]$.
 - Trouver les valeurs propres de $u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 881]
Soit $M\in\M_2(\Z)$ telle qu'il existe $n\in\N^*$ vérifiant $M^n=I_2$. Prouver que $M^{12}=I_2$. Ind. Montrer que $M$ est $\C$-diagonalisable et considérer sa trace.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 882]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$. On dit que $f\in\mc{L}(E)$ est cyclique lorsqu'il existe $x\in E$ tel que $(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))$ est une base de $E$.
 - On suppose $f^{n-1}\neq 0$ et $f$ nilpotent. Montrer que $f$ est cyclique.
 - On suppose que $f$ admet $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que $f$ est cyclique.
 - On suppose $f$ diagonalisable. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit cyclique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 883]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension finie $n\geq 2$ et $u\in\mc{L}(E)$. On dit que $u$ est cyclique s'il existe $x_0$ tel que $(x_0,u(x_0),\ldots,u^{n-1}(x_0))$ soit une base de $E$.

Soient $E=\op{Vect}(1,\cos,\sin)$ dans $\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $u$ la derivation. Montrer que $u$ est un endomorphisme cyclique non diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 884]
Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^3-A-I_n=0$. Montrer que $\det A\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 885]
Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que la suite $(A^k)_{k\in\N}$ converge vers une matrice $B$.
 - Montrer que $B^2=B$.
 - On suppose desormais que $A$ est diagonalisable avec $p$ valeurs propres.

En considérant une division euclidienne, montrer que : $\forall k\in\N,\ A^k\in\R_{p-1}[A]$.
 - Décrire $B$ à l'aide des éléments propres de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 886]
 - Soit $P\in\C[X]$ un polynôme non constant. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $P(M)=0$.
 - Soit $Q\in\R[X]$ un polynôme de degré $2$. Montrer qu'il existe $M\in\M_2(\R)$ telle que $Q(M)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 887]
Soit $C\in\M_n(\C)$ une matrice de rang $r$.
 - Démontrer le theoreme du rang pour les endomorphismes de $\C^n$.
 - Montrer qu'il existe $P,Q\in\op{GL}_n(\R)$ telles que $C=PJ_rQ$ ou $J_r=\begin{pmatrix}I_r&0\\ 0&0\end{pmatrix}$.
 - Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AC=CB$. Montrer que $A$ et $B$ possèdent $r$ valeurs propres communes en tenant compte des multiplicités.
 - Que peut-on dire dans  - quand $r=n$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 888]
Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$. Soit $f_A\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ définie par $\forall M\in\M_n(\mathbb{K}),\,f_A(M)=AM$.
 - Pour $P\in\mathbb{K}[X]$, déterminer $P(f_A)$.
 - Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $f_A$ est diagonalisable.
 - Trouver le lien entre $\chi_A$ et $\chi_{f_A}$.
 - Donner le lien entre les éléments propres de $A$ et ceux de $f_A$. Retrouver le résultat de la question  -.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 889]
Soit $E_N$ l'ensemble des suites à valeurs complexes $N$-périodiques.
 - Montrer que $E_N$ est un espace vectoriel de dimension finie et en déterminer sa dimension. Soit $T\,:E_N\ra E_N$ définie par $\forall u\in E_N,\,(T(u))_n=u_{n+1}$.
 - Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E_N$.
 - Déterminer les éléments propres de $T$ de deux facons différentes, en revenant à la définition et matriciellement.
 - L'endomorphisme $T$ est-il diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 890]
Soit $E=\R_3[X]$. pour $P,Q\in E$, on note $\Phi(P,Q)=\sum_{k=0}^3(P(k)+P(1))(Q(k)+Q(1))$.

Pour tout $i\in\db{0,3}$, on note $L_i(t)=\prod_{0\leq k\leq 3\atop k\neq i}\frac{t-k}{i-k}$.
 - Calculer $L_i(j)$ pour tous $i,j\in\db{0,3}$. En déduire que $(L_0,L_1,L_2,L_3)$ est une base de $E$.
 - Montrer que $\Phi$ est un produit scalaire sur $E$.
 - Trouver une base orthonormée de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 891]
Soient $E=\R_4[X]$, $F$ le sous-espace vectoriel de $E$ forme des polynômes pairs, $G$ le sous-espace vectoriel de $E$ forme des polynômes impairs.

Pour $P,Q\in E$, on note $\Phi(P,Q)=\sum_{k=0}^4\big(P(k)+(-1)^kP(-k)\big)\big(Q(k)+(-1)^kQ (-k)\big)$.
 - Montrer que $\Phi$ est un produit scalaire sur $E$.
 - Montrer que $E=F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}G$.
 - Déterminer une base orthonormée de $E$ adaptée à $E=F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 892]
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $3$. On considére une isométrie indirecte $f$. Montrer que $f$ se décompose en une rotation d'axe $\Delta$ et une reflexion de plan $\Delta^{\perp}$. Cette décomposition est-elle unique? La rotation et la reflexion commutent-elles?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 893]
On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique.

Soit $F=\{M\in\M_n(\R),\op{tr}(M)=0\}$.
 - Montrer que $F$ est un espace vectoriel et donner sa dimension.
 - Pour $A\in\M_n(\R)$, donner $d(A,F)$ en fonction notamment de $\op{tr}(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 894]
Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
 - Montrer que $F\subset(F^{\perp})^{\perp}$.
 - On munit $E=\R[X]$ du produit scalaire donne par $\colon\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)dt$. Soit

 $F=\{P\in E,\ P(1)=P'(1)=0\}$. Déterminer $F^{\perp}$ et $(F^{\perp})^{\perp}$.
 - Pour $E$ préhilbertien, donner une condition suffisante sur $F$ pour que $F=(F^{\perp})^{\perp}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 895]
Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien. Pour $x_1,\ldots,x_p$ dans $E$, on note $G(x_1,\ldots,x_p)$ la matrice de coefficient $G_{i,j}=\langle x_i,x_j\rangle$.
 - Montrer que $\colon\ G$ est inversible si et seulement si $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre.
 - Montrer que $\op{rg}(G)=\op{rg}(x_1,\ldots,x_p)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 896]
Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien et $F$ une partie fermée, non vide et convexe de $E$.

Pour $x\in E$ on pose $d(x)=\inf_{f\in F}\|x-f\|$ et $\Gamma(x)=\{f\in F,\ \|x-f\|=d(x,F)\}$.
 - Caractériser l'ensemble des $x$ tels que $d(x)=0$.
 - Montrer que $d$ est 1-lipschitzienne. En déduire que $\Gamma(x)$ est non vide.
 - En utilisant une identite relative à la norme, montrer que :

 $\forall(f,f')\in\Gamma(x)^2,\ f\neq f'\Rightarrow\left\|\frac {1}{2}(f+f')-x\right\|^2\lt d(x)^2$.
 - Montrer que $\Gamma(x)$ est reduit à un seul élément, que l'on notera $p(x)$.
 - Montrer que $p(x)$ est caractérise par $\colon\forall y\in F,\ \langle x-p(x),y-p(x)\rangle\ \leq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 897]
On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&2&-1\\ -1&2&2\\ 2&-1&2\end{pmatrix}$. Déterminer sa nature et ses valeurs propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 898]
 - Que peut-on dire du spectre d'une matrice orthogonale?
 - Que peut-on dire de la matrice $A=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}-2&6&-3\\ 6&3&2\\ -3&2&6\end{pmatrix}$? Que décrit-elle?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 899]
Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien.
 - Montrer que $u=p-q$ est diagonalisable et que $\op{Sp}(u)\subset[-1,1]$.
 - Déterminer $\op{Ker}(u+\op{id})$ et $\op{Ker}(u-\op{id})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 900]
Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien, $\alpha$ un réel et $a$ un vecteur de $E$ unitaire.

On définit $f_{\alpha}:x\mapsto x+\alpha\,\langle x,a\rangle\,a$.
 - Montrer que $f_{\alpha}$ est un endomorphisme de $E$.
 - Soient $\alpha,\beta$ dans $\R$. Calculer $f_{\alpha}\circ f_{\beta}$. Pour quels $\alpha$, $f_{\alpha}$ est-il bijectif?
 - Trouver les valeurs et les vecteurs propres de $f_{\alpha}$.
 - Pour quels $\alpha$, $f_{\alpha}$ est-il une isométrie vectorielle?
 - Pour quels $\alpha$, $f_{\alpha}$ est-il auto-adjoint?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 901]
Soient $E$ un espace euclidien et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$ telle que la famille $(u(e_1),\ldots,u(e_n))$ soit orthogonale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 902]
Déterminer l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\R)$ telles que $M^TMM^T=I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 903]
Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telle que $A^2+A^T=I_n$.
 - Montrer que $A^4-2A^2+A=0$.
 - Montrer que $1$ n'est pas valeur propre de $A$.
 - Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\M_n(\R)$ et déterminer l'expression des $A$ possibles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 904]
On munit $\R_n[X]$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ$. On pose pour tout $P\in\R_n[X]$

 $(u(P))\,(x)=\int_0^1(x+t)^nP(t)dt$.
 - Montrer que $u$ est un endomorphisme auto-adjoint de $\R_n[X]$. Qu'en deduit-on?
 - Montrer que $u$ est un isomorphisme.

Soit $(P_0,\ldots,P_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres de $u$ associes aux valeurs propres $\lambda_0,\ldots,\lambda_n$.
 - Montrer que, pour tout $(x,y)\in\R^2$, $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\lambda_kP_k(x)P_k(y)$.
 - En déduire que $\mathrm{tr}(u)=\frac{2^n}{n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 905]
Soit $S=(s_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{S}_n(\R)$. On pose $D=\mathrm{diag}(s_{1,1},\ldots,s_{n,n})$. On suppose $S$ et $D$ semblables. Montrer que $S=D$. Ind. Considérer la trace de $S^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 906]
Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. On dit que $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ lorsque, pour toute matrice $X\in\M_{n,1}(\R)$ non nulle, $X^TAX\gt 0$.
 - Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$.
 - Soit $A\in\mc{S}_n^{++}(\R):A=\begin{pmatrix}B&C\\ C^T&D\end{pmatrix}$. Montrer que $\det(B)\gt 0$, puis montrer que $\det(A)\leq\det(B)\det(D)$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 907]
Soient $E=\mc C^0([0,1],\R)$ et $\phi\in E$. On note, pour $f\in E$, $N_{\phi}(f)=\|f\phi\|_{\i}$.
 - Montrer que $N_{\phi}$ est une norme si et seulement si $\phi^{-1}(\{0\})$ est d'intérieur vide. - Montrer que $N_{\phi}$ et $\|\ \|_{\i}$ sont équivalentes si et seulement si $\phi^{-1}(\{0\})$ est vide.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 908]
Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel, $N_1$ et $N_2$ deux normes sur $E$.
 - Soit $(u_n)$ une suite qui converge dans $(E,N_1)$. On suppose que $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes. Montrer que $(u_n)$ converge dans $(E,N_2)$.
 - On suppose qu'une suite $(u_n)$ converge dans $(E,N_1)$ si et seulement si $(u_n)$ converge dans $(E,N_2)$. Montrer que $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes.
 - On prend $E=\R[X]$ et, pour $a\in\R$, $N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1|P'(t)|\dt$. Montrer que, si $a,b\in[0,1]$, $N_a$ et $N_b$ sont équivalentes.
 - Soit, pour $n\in\N$, $P_n=\dfrac{X^n}{2^n}$. Trouver les valeurs de $a$ telles que $(P_n)$ converge pour $N_a$ et déterminer alors la limite.
 - En déduire que $N_a$ et $N_b$ ne sont pas équivalentes si $0\leq a\lt b$ et $b\gt 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 909]
Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel normé. Une suite $(u_n)\in E^{\N}$ est de Cauchy si

 $\forall\eps\gt 0$, $\exists N\in\N$, $\forall n,m\geq N$, $\|u_n-u_m\|\leq\eps$.
 - Montrer que toute suite convergente est de Cauchy.
 - Dans $E=\R[X]$ muni de la norme $\left\|\sum a_kX^k\right\|=\max|a_k|$, montrer que la suite $(P_n)$

de terme general $P_n=1+\sum_{k=1}^n\dfrac{X^k}{k}$ est de Cauchy sans être convergente.
 - Montrer que toute suite de Cauchy est bornée.
 - Montrer que, si $(u_n)$ est de Cauchy et possède une suite extraite convergente, alors $(u_n)$ est convergente.
 - On admet le theoreme de Bolzano-Weierstrass dans $\R$. Montrer que si $E$ est de dimension finie, alors la suite $(u_n)$ est convergente si et seulement si elle est de Cauchy.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 910]
Soit $E$ l'ensemble des applications lipschitzienne de $[0,1]$ dans $\R$. Pour $f\in E$, on note $K(f)=\inf\{k\in\R^+,\,f$ est $k-$lishtzienne}.
 - Montrer que $E$ est un espace vectoriel.
 - Montrer que, pour tout $f\in E$, $f$ est $K(f)$-lipschitzienne.
 - Montrer que toute fonction polynomiale $P$ appartient à $E$ et déterminer $K(P)$.
 - L'application $f\mapsto K(f)$ est-elle une norme sur $E$?
 - Prouver que $\forall f\in E$, $\|f\|_{\i}\leq\inf_{x\in[0,1]}|f(x)|+K(f)$.
 - L'application $f\mapsto\dfrac{K(f)}{\|f\|_{\i}}$ est-elle bornée sur $E\setminus\{0\}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 911]
Soit $f\,\colon\,(x,y)\in(\R^{+*})^2\mapsto x^2+y^2+\dfrac{3}{xy}$. La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $(0,0)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 912]
Soit $a\in\R$. Pour tout $n\in\N^*$, on définit $A_n=\begin{pmatrix}1&a/n\\ -a/n&1\end{pmatrix}$.
 - Soient $\alpha\in\R$ et, pour tout $n\in\N^*$, $z_n=\Big(1+i\dfrac{\alpha}{n}\Big)^n$. Montrer que $z_n\ra e^{i\alpha}$. - Diagonaliser $A_n$ dans $\C$.
 - Déterminer $\lim A_n^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 913]
Soit $(x_n)_{n\in\N^*}$ une suite de réels positifs et, pour $n\geq 1$, $y_n=\sqrt{x_1+\sqrt{x_2+\cdots+\sqrt{x_n}}}$.
 - Étudier la convergence de la suite $(y_n)$ lorsque la suite $(x_n)$ est constante.
 - Étudier la convergence de la suite $(y_n)$ lorsque $x_n=a\,b^{2^n}$ avec $a\gt 0$ et $b\gt 0$.
 - Montrer que la suite $(y_n)$ converge si et seulement si la suite $\left(x_n^{1/2^n}\right)$ est bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 914]
Pour $n\geq 2$, on s'intéresse à l'équation $e^x-x^n=0$.
 - Montrer que cette équation admet exactement deux solutions positives $u_n$ et $v_n$, avec $u_n\lt v_n$.
 -  Montrer que $(u_n)$ tend vers une limite $\ell$.
 - Trouver un équivalent de $u_n-\ell$.
 - Montrer que la suite $(v_n)$ diverge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 915]
On définit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ par : $u_{3n}=\frac{2}{\ln(n+3)}$ et $u_{3n+1}=u_{3n+2}=\frac{-1}{\ln(n+3)}$.
 - Montrer que la série $\sum u_n$ est convergente et calculer sa somme.
 - Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle telle que la série $\sum a_n$ converge. A-t-on nécessairement la convergence de la série $\sum a_n^2$?
 - Montrer, pour tout entier $p\geq 2$, la divergence de la série $\sum u_n^p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 916]
On donne $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\ln n+\gamma+o(1)$.
 - On pose $u_k=\frac{(-1)^k}{k}$. Étudier la convergence et la somme de $\sum_{k\geq 1}u_k$.
 - On donne $\sigma$ bijection de $\N^*$ avec

\begin{tabular}{|c|c c c c c c c c c c c c|} $k$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $5$ & $6$ & $7$ & $8$ & $9$ & $10$ & $11$ & $\ldots$ \\ \hline $\sigma(k)$ & $1$ & $3$ & $2$ & $5$ & $7$ & $4$ & $9$ & $11$ & $6$ & $13$ & $15$ & $\ldots$ \\ \end{tabular}

Donner $\sigma(k)$.
 - Déterminer la somme de la série $\sum_{k\geq 1}u_{\sigma(k)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 917]
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite définie par $u_1\gt 0$ et, pour tout $n\in\N^*$, $u_{n+1}=\frac{u_n}{n}+\frac{1}{n^2}$.
 - Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$.
 - Étudier la convergence de la série $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 918]
Soit $f$ : $\R^{+*}\ra\R^{+*}$.
 - à quelle condition nécessaire la série $\sum\frac{(-1)^k}{f(k)}$ est-elle convergente? Cette condition est-elle suffisante? On suppose par la suite que cette condition est vérifiée. - On suppose de plus que $f$ est croissante à partir d'un certain rang.

On pose $u_n=\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{f(k)}$. Déterminer le signe de $u_n$ et la limite de la suite $(u_n)$.
 - On suppose egalement que, pour tout $k$ assez grand, $\frac{1}{f(k)}+\frac{1}{f(k+2)}\geq\frac{2}{f(k+1)}$.

Déterminer la nature de la série $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 919]
Soit $f\colon\R^+\ra\R$ continue et surjective. Montrer que tout $y\in\R$ admet une infinite d'antecedents par $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 920]
Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$ telle que $f\circ f=2f-\mathrm{id}$.
 - Montrer que $f$ est une bijection strictement croissante de $\R$ dans $\R$.
 - On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N$, $f_{n+1}=f\circ f_n$. Montrer que $\left(\frac{1}{n}f_n\right)$ admet une limite, que l'on precisera.
 - Déterminer $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 921]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ ou $g$ est à valeurs dans $[0,1]$ et $f$ décroissante. On pose $c=\int_a^bg$. Montrer que $\int_{b-c}^bf\leq\int_a^bfg\leq\int_a^{a+c}f$.

Ind. On pourra introduire une fonction d'une variable bien choisie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 922]
Trouver les fonctions $f\in\mc C^1(\R,\R)$ telles que $\forall x\in\R,\,f(x)+\int_0^x(x-t)f(t)\dt=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 923]
Soit $\theta\in\R\setminus 2\pi\Z$.
 - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{e^{ik\theta}}{k}=\int_0^1e^{i\theta}\frac{1-( te^{i\theta})^n}{1-te^{i\theta}}\,d\theta$.
 - En déduire que $\sum\frac{e^{ik\theta}}{k}$ converge et que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{e^{ik\theta}}{k}=\int_0^1\frac{e^{i\theta}}{1- te^{i\theta}}\,d\theta$.
 - En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{\sin(k\theta)}{k}=\frac{\pi-\theta}{2}$.
 - Déterminer de même $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{\cos(k\theta)}{k}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 924]
Calculer $\int_0^{+\i}\lfloor x\rfloor e^{-x}dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 925]
Soit, pour $n\in\N$ et $x\in\R$, $I_n(x)=\int_0^{\pi}\frac{\cos(nt)-\cos(nx)}{\cos(t)-\cos(x)}dt$.
 - Montrer que $I_n(x)$ est bien définie.
 - Calculer $I_{n+1}(x)+I_{n-1}(x)$ et trouver une relation de récurrence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 926]
 - Justifier que $I=\int_0^{+\i}\bigg{[}\frac{1}{\sqrt{x}}\bigg{]}{\rm d}x$ converge.
#+end_exercice

 - Calculer explicitement $I$ en admettant que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.
#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 927]

#+end_exercice

Soit $f\,\colon\,\R\,\ra\R^{+*}$ continue par morceaux telle que $\frac{f(x+1)}{f(x)}\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}\ell\in[0,1[$. Étudier l'intégrabilité de $f$ sur $\R^+$.
#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 928]
On définit $f$ sur $\R^+$ par $f(x)=2x^7+x$.
 - Montrer que $f$ realise une bijection de $\R^+$ sur $\R^+$.
 - La fonction $F\,\colon\,x\in\R^+\mapsto\sin(2x^7+x)$ est-elle intégrable en $+\i$?
#+end_exercice

 - L'intégrale $\int_0^{+\i}F(x)\,{\rm d}x$ est-elle convergente?
#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 929]
Soit $f\,\colon\,\R\,\ra\R$ continue et $T$-périodique. On se propose de prouver l'existence d'un unique $\lambda\in\R$ tel que l'intégrale $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,{\rm d}t$ converge.
 - Étudier le cas particulier ou $f=\sin$.
#+end_exercice

 - Traiter le cas general.
#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 930]

#+end_exercice

Soit $f\,\colon\,x\mapsto\,\int_x^{+\i}e^{-t^2}{\rm d}t$. Déterminer la limite puis un équivalent de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\i$.
#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 931]
Soit $f\,:[0,1]\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^1$ telle que $f(0)=f(1)=0$.
 - Soient $I_1=\int_0^1f(x)f'(x)\,{\rm cotan}(\pi x)\,{\rm d}x$ et $I_2=\int_0^1f^2(x)(1+{\rm cotan}^2(\pi x))\,{\rm d}x$. Montrer que $I_1$ et $I_2$ sont convergentes et exprimer $I_1$ en fonction de $I_2$.
#+end_exercice

 - En déduire que $\int_0^1f^2\leq\frac{1}{\pi^2}\int_0^1(f^{ '})^2$.
#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 932]
Soit la suite de fonctions définies par $f_n\,:x\mapsto\frac{x^n}{n!}e^{-x}$.
 - Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$.
 - Étudier la convergence uniforme de la suite $(f_n)$.
#+end_exercice

 - Calculer $\int_0^{+\i}f_n$ puis sa limite lorsque $n$ tend vers $+\i$. Est-ce coherent avec les theoremes du cours?
#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 933]
Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions $(f_n)_{n\geq 0}$ définie sur $\R^{+*}$ par $\forall x\gt 0,\,f_0(x)=x$ et $\forall n\in\N,\,f_{n+1}(x)=\frac{1}{2}\left(f_n(x)+\frac{x}{f_n( x)}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 934]
Soit $f:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}\frac{xe^{-nx}}{\ln(n)}$.
 - Trouver les domaines de définition/continuité/dérivabilité de $f$.
 - Trouver la limite de $f$ en $+\i$ puis un équivalent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 935]
Pour $a\in\R$, on considére la suite de fonctions définie par $f_0=1$ et, pour $n\in\N^*$, $f_n:x\mapsto e^{-n^a}e^{inx}$.
 - Pour quelles valeurs de $a$, la série $\sum f_n$ converge-t-elle simplement sur $\R$?

On suppose cette condition remplie dans la suite. On pose $S=\sum_{n=0}^{+\i}f_n$.
 - Montr'er que $S$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$ et calculer $f^{(k)}(0)$ pour $k\in\N$.
 - En utilisant le theoreme de Fubini, montrer que $S$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 936]
 - Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum\frac{x^n}{n^2}$.
 - Montr'er que pour tout $x\in[0,R[,\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n^2}=x\int_0^1\frac{\ln(t)}{xt-1} \dt$.
 - Que se passe-t-il pour $x=1$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 937]
Soit $f\ :x\mapsto\sum_{n\geq 0}\binom{2n}{n}x^n$.
 - Déterminer le rayon de convergence de $f$.
 - Quel est le domaine de définition de $f$? La fonction $f$ est-elle dérivable? Si oui, déterminer sa derivée.
 - Déterminer une équation différentielle d'ordre $1$ vérifiée par $f$.
 - Que vaut $\sum_{n\geq 0}\binom{2n}{n}\frac{(-1)^n}{4^n}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 938]
Soient $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{x^n}{(n+1)!}$ et $F:x\mapsto\int_0^xe^{-t}f(t)\dt$.
 - Déterminer le rayon de convergence de $f$ et exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.
 - Montr'er que $F$ est définie et dérivable sur $\R$. Que vaut $F'$?
 - Montr'er que $F$ est développable en série entière et déterminer ce développement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 939]
On cherche à déterminer le cardinal $m_n$ de l'ensemble $M_n$ forme des $n$-uplets $(a - {1\leq i\leq n}$

tels que : (i) $\forall i,\,a_i\in\{-1,0,1\}$,  (ii) $\sum_{i=1}^na_i=0$,  (iii) $\forall p\in\db{1,n},\,\sum_{i=1}^pa_i\geq 0$.

On pose $m_0=1$.
 - Calculer $m_1$, $m_2$ et $m_3$.
 - Soit $n\in\N^*$. Soit $(a - {1\leq i\leq n}\in M_n$ tel que $a_1=1$.Montrer qu'il existe $r\in[0,n-2]$, $(b_1,\ldots,b_r)\in M_r$, $(c_1,\ldots,c_{n-r-2})\in M_{n-r-2}$ tels que $(a_1,\ldots,a_n)=(1,b_1,\ldots,b_r,-1,c_1,\ldots,c_{n-r-2})$ et justifier l'unicité de cette décomposition.
 - En déduire une formule de récurrence sur les $m_1,\ldots,m_n$.
 - Soit $:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}m_nx^n$. Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est $\gt 0$ et déterminer $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 940]
Soit $g\,\colon\,x\mapsto\frac{1}{\cos x}$.
 - Montrer que $g$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
 - Donner un encadrement du rayon de convergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 941]
Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{(2^nn!)^2}x^{2n}$.
 - Trouver l'ensemble de définition de $f$.
 - Trouver une équation différentielle vérifiée par $f$.
 - Calculer $\int_0^{+\i}f(t)e^{-xt}dt$ pour $x\in]1,+\i[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 942]
On pose $f(x,s)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{n^s}$.
 - Calculer $f(x,0)$ et $f(x,1)$ lorsque cela est possible.
 -  Donner le rayon de convergence de $x\mapsto f(x,s)$.
 - Déterminer l'ensemble de définition de $x\mapsto f(x,s)$, en discutant selon les valeurs de $s$.
 - Déterminer une relation entre $f(x,s)$ et $f(x,s-1)$. En déduire $f(x,-1)$ et $f(x,-2)$.
 - Soit $p\in\N$. Déterminer un équivalent de $f(x,-p)$ lorsque $x\ra 1^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 943]
On définit la suite $(u_n)$ par : $u_0=1$ et, pour $n\in\N^*$, $u_n=\sqrt{n+u_{n-1}}$.
 - Montrer que, pour tout $n\in\N$, on a : $\sqrt{n}\leq u_n\leq 2\sqrt{n+1}$.
 - Montrer que $u_n\sim\sqrt{n}$ et déterminer la limite de $(u_n-\sqrt{n})$.
 - Donner le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum u_nx^n$.
 - Calculer $\lim_{x\ra R^-}\sum_{n=0}^{+\i}u_nx^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 944]
Soit $a_n\,=\,\int_0^1\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^ndt$. On pose $f\,\colon\,x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ et l'on note $R$ le rayon de convergence de cette série entière.
 - Montrer que : $\forall n\in\N,\ \frac{1}{2^n}\leq a_n\leq 1\,$. En déduire un encadrement de $R$.
 - Montrer que $\forall n\in\N,\ (2n+3)a_{n+1}=1+(n+1)a_n$.
 - En déduire que : $\forall x\in]-R,R[,\ (2x-x^2)f'(x)+(1-x)f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}x^n$. - Trouver ainsi une expression de $f(x)$ pour $x\in]-1,1[$.
 - Trouver une autre expression de $f(x)$ en montrant que :

$$\forall x\in]-1,1[,\ f(x)=\int_0^1\sum_{n=0}^{+\i}\left(\frac{(1+t^2)x }{2}\right)^ndt=\int_0^1\frac{1}{1-\frac{(1+t^2)x}{2}} dt\text{ et en calculant cette intégrale.}$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 945]
Soit $\alpha\in\R^{+*}$_:
 - Montrer que $\int_0^{+\i}\sin(t)\,e^{-\alpha t}\dt\text{ et }\int_0^{+\i}|\sin(t)|\,e^{-\alpha t}\dt$ convergent et déterminer leur valeur.
 - Montrer que $\int_0^{+\i}\frac{\sin(t)}{\mathrm{sh}(t)}\dt$ converge.
 - Montrer que $\int_0^{+\i}\frac{\sin(t)}{\mathrm{sh}(t)}\dt=\sum_{n \geq 0}\frac{2}{1+(2n+1)^2}$.
 - Adapter les questions précédentes pour déterminer $\int_0^{+\i}\frac{\sin(t)}{\mathrm{ch}(t)}\dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 946]
Soient $u_n=\int_1^{+\i}e^{-x^n}\dx\text{ et }I=\int_1^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}\dt$.
 - Montrer que $u_n$ est bien défini pour tout $n\geq 1$.
 - Montrer que $I$ est bien définie.
 - Déterminer la nature de $\sum u_n$._Ind._ Effectuer un changement de variable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 947]
Soient $f\in\mc C^0([0,1],\R)$ et, pour $n\in\N$, $I_n=\int_0^1f(t^n)dt$. Limite de $(I_n)\,$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 948]
 - Soient $a$ et $b$ deux réels $\gt 0$. Montrer que $\int_0^1\frac{t^{a-1}}{1+t^b}\dt=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{a+bn}$.
 - Calculer $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{1+3n}\text{ et }\sum_{n=0}^{+ \i}\frac{(-1)^n}{1+4n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 949]
Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\arctan(tx)}{t(1+t^2)}\dt$.
 - Montrer que $\colon\forall u\in\R$, $|\arctan(u)|\leq|u|$.
 - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R$.
 - Déterminer le développement en éléments simples de $t\mapsto\frac{1}{1+x^2t^2(1+t^2)}\text{ pour }|x|\neq 1$.
 - Montrer que $f(x)=\frac{\pi}{2(x+1)}$ pour $x\gt 0$. En déduire la valeur de $f$ sur $\R$.
 - Déterminer $\int_0^{+\i}\left(\frac{\arctan(t)}{t}\right)^2\dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 950]
Soit $f\,\colon\,\alpha\mapsto\int_0^{+\i}\frac{dt}{t^{\alpha}(t+1)}$.
 - Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.
 - Montr e que $f$ est continue sur $D$.
 - Montr e que la courbe representative de $f$ admet la droite $x=1/2$ pour axe de symétrie.
 - Justifier l'existence d'une borne inférieure pour $f$; la déterminer.
 - Déterminer un équivalent de $f$ en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 951]
Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\arctan(xt)\,e^{-t}\dt$.
 - Montr e que $f$ est définie et de classe $\mc C^1$ sur $\R$.
 - On définit la suite $(u_n)$ par $u_0\in\R^{+*}$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=f(u_n)$. Montr e que la suite $(u_n)$ possède une limite et la déterminer.
 - Trouver un équivalent de $u_n$ en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 952]
Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{1}{x+e^t}dt$.
 - Montr e que $f$ est définie au moins sur un intervalle de la forme $]-\alpha,\alpha[$ avec $\alpha\gt 0$.
 - Montr e que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
 - Calculer ce développement et en déduire une expression $f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 953]
Soit $f:x\mapsto\int_0^xe^{-t^2}dt$.
 - Montr e que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R$ et donner $f'$.
 - Soit $g:x\mapsto e^{x^2}f(x)$. Montr e que $g$ est solution de $(E):y'-2xy=1$ avec $y(0)=0$.
 - Déterminer les solutions de $(E)$ développables en série entière et preciser le rayon.
 - La fonction $g$ est-elle développable en série entière?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 954]
Soit $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$.
 - Montr e que $\Gamma$ est définie sur $]0,+\i[$ et qu'elle est de classe $\mc C^2$. Montr e plus que $\Gamma(x)\gt 0$ pour tout $x\gt 0$.
 - Étudier la convexite de $\Gamma$ et celle de $\ln\circ\Gamma$.
 - Pour tout $x\gt 0$, etablir $\colon\lim\limits_{n\ra+\i}\int_0^nt^{x-1}(1-t/n)^n\dt= \Gamma(x)$.
 - Exprimer $\int_0^nt^{x-1}(1-t/n)^n\dt$ en fonction de $\int_0^1u^{x-1}(1-u)^n\,du$.
 - Montr e que la suite de fonctions $f_n:x\in\R^{+*}\mapsto\frac{n^xn!}{x(x+1)\ldots(x+n)}$ converge simplement vers $\Gamma$. Ind. Procéed par intégrations par parties successives.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 955]
On admet que $\int_0^{+\i}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. On pose $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\cos(2xt)e^{-t^2}dt$.
 - Montr e que $F$ est définie et de classe $\mc C^1$ sur $\R$.
 - Trouver une relation entre $f$ et $f'$. - En déduire une expression simple de $f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 956]
Soit $F\colon\ x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{t^3}{\sqrt{1+t^4}}e^{-xt}{\rm d}t\,$.
 - Déterminer le domaine de définition $I$ de $F$.

Montrer que $F$ est de classe $\mc C^1$ sur $I$ et donner son sens de variation.
 - Déterminer les limites de $F$ aux bornes de $I$.
 - Calculer $G(x)=\int_0^{+\i}t^3e^{-xt}{\rm d}t$ pour $x\gt 0$.
 - Montrer que $F(x)\underset{x\ra+\i}{\sim}\frac{6}{x^4}$.

_Ind._ On pourra étudier $\mid F-G\mid$ et utiliser la relation de Chasles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 957]
On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{{\rm e}^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1}{\rm d}t$ et $g:x\mapsto\int_0^x{\rm e}^{-t^2}{\rm d}t$.
 - Montrer que $f$ est définie sur $\R$ et qu'elle est paire. Que vaut $f(0)$?
 - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R$ et donner l'expression de $f'(x)$.
 - Montrer que $g$ est définie et de classe $\mc C^1$ sur $\R$.
 - à l'aide d'un changement de variable affine, montrer que : $\forall x\in\R$, $f'(x)=-2g'(x)g(x)$.
 - Montrer que : $\forall x\in\R$, $f(x)=\frac{\pi}{4}-g(x)^2$.
 - En déduire la limite de $g$ en $+\i$ puis conclure que $\int\limits_0^{+\i}{\rm e}^{-t^2}{\rm d}t=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 958]
Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ telle que $f(0)=0$. Soit $g:x\mapsto\frac{f(x)}{x}$. à l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que $g$ se prolonge en une fonction de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 959]
Soit $(E)$ l'équation différentielle : $x^2y'(x)+y(x)=x^2$.
 - Montrer que $(E)$ n'admet pas de solution développable en série entière.
 - Résoudre l'équation différentielle sur $]0,+\i[$.
 - Montrer qu'il existe une unique solution tendant vers $0$ en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 960]
Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-t}e^{-x/t}}{\sqrt{t}}{\rm d}t$.
 - Montrer que $f$ est définie sur $\R^+$.
 - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^2$ et solution de l'équation différentielle $2xy''+y'-2y=0$.
 - Résoudre l'équation en posant $y(x)=z(\sqrt{x})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 961]
On s'intéresse aux solutions $f:x\mapsto\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ de l'équation différentielle

 $(E):x^2y''+4xy'+(2-x^2)y=1$.
 - Montrer que $a_0=1/2,\,a_1=0$ et $\forall n\geq 2,\,a_n=\frac{a_{n-2}}{(n+1)(n+2)}$. - En déduire l'unicité de $f$.
 - Déterminer les $a_n$, le rayon de convergence de $f$ puis exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 962]
On note $(E)$ l'équation différentielle $x(1-x)y''+(1-3x)y'-y=0$.
 - Déterminer les solutions de $(E)$ non nulles développables en série entière. Preciser le rayon de convergence.
 - Déterminer l'ensemble des solutions de $(E)$ sur un intervalle raisonnable.
 - Les raccorder entre elles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 963]
On note $(E)$ l'équation différentielle $x^2y''-2xy'+2y=2(1+x)$.
 - Trouver les solutions de l'équation homogène associée de la forme $x\mapsto x^{\alpha}$, ou $\alpha\in\R$.
 - Trouver une solution particuliere de $(E)$, d'abord sur $]0,+\i[$, puis sur $]-\i,0[$.

Ind. On la cherchera sous la forme $x\alpha(x)+x^2\beta(x)$, ou $\alpha$ et $\beta$ sont des fonctions de classe $\mc C^1$

telles que $x\alpha'(x)+x^2\beta'(x)=0$.
 - L'équation $(E)$ admet-elle des solutions sur $\R$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 964]
Pour $(a,b,c)\in\R^3$, on définit $f_{a,b,c}:t\in\R\mapsto\left(\begin{array}{c}be^t+ce^{-t}\\ 2a-be^t\\ a+ce^{-t}\end{array}\right)\in\R^3$.

Soit $F=\left\{f_{a,b,c},\ (a,b,c)\in\R^3\right\}$.
 - Montr e que $F$ est un espace vectoriel, en donner la dimension et une base.
 - Trouver $M\in\M_3(\R)$ telle que $\colon\forall f\in F,\forall t\in\R,\ f'(t)=Mf(t)$.
 - La matrice $M$ est-elle inversible?
 - Quelles sont les valeurs propres de $M$? Pouvait-on s'y attendre?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 965]
 - Soit $\alpha\in\R$. à l'aide d'un changement de variables classique, résoudre l'équation $x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\alpha f (x,y)$ d'inconnue $f\in\mc C^1(\R^{+*}\times\R^{+*},\R)$.
 - Résoudre $x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\sqrt{ x^2+y^2}f(x,y)$ d'inconnue

 $f\in\mc C^1(\R^{+*}\times\R^{+*},\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 966]
Soit $J:x\mapsto\int_0^{\pi}\cos(x\sin(\theta))\,d\theta$.
 - Montr e que $J$ est bien définie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$.
 - Montr e que $J$ est développable en série entière et déterminer le rayon de convergence.
 - Montr e que $xJ''(x)+J'(x)+J(x)=0$.
 - Soit $(x,y)\mapsto\phi(x,y)=J\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$. Montr e que $\phi$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$ et que $\Delta\phi+\phi=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 967]
On pose $f(x,y)=\frac{1}{1-y^2}\ln\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$. On note $\Omega$ l'ensemble de définition de $f$.
 - Representer $\Omega$ et montrer que c'est un ouvert.
 - Monter que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\Omega$. - Comparer $f(1/x,y)$ et $f(x,y)$. Donner une interprétation géométrique pour $x\gt 0$ et $y\in]0,1[$.
 - Montrer que $f$ vérifie $:2yf+(1-x^2)\frac{\partial f}{\partial x}-(1-y^2)\frac{\partial f}{ \partial y}=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 968]
 - Résoudre $(1-t^2)y''-2ty'=0$ sur $I=]-1,1[$.
 - Soit $f$ de classe $\mc C^2$ sur $I$ à valeurs dans $\R$. On pose $g(x,y)=f\left(\frac{\cos(2x)}{\mathrm{ch}(2y)}\right)$.

Déterminer l'ensemble des fonctions $f$ telles que $g$ soit non constante et de laplacien nul, c'est-a-dire telles que $\frac{\partial^2g}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2g}{ \partial y^2}(x,y)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 969]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $\rho:x\mapsto\|x\|^2$.
 - Montrer que $\rho\in\mc C^2(\R^n,\R)$.
 - Soient $g\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$ et $f\ \colon\R^n\setminus\{0\}\ra\R$ définie par $x\mapsto f(x)=g(\|x\|^2)$.

Déterminer les fonctions $g$ vérifiant $\Delta f=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 970]
Soit $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\ x+y\leq 1\}$. Soient $a,b,c$ des réels $\gt 0$ et $f\ :D\ra\R$ la fonction définie par $(x,y)\mapsto x^ay^b(1-x-y)^c$. Montrer l'existence d'extrema locaux pour $f$ et les déterminer.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 971]
On considére une classe de PSI constituée de $N$ eleves, dont $n$ provenant de PCSI et $N-n$ de MPSI. On envoie successivement au tableau des eleves choisis au hasard. Un eleve peut passer plusieurs fois au tableau.
 - Quelle est la probabilité qu'au cours des $n$ premiers passages, il n'y ait que des eleves de PCSI?
 - Quelle est la probabilité qu'au cours des $n+5$ premiers passages, il y ait $n$ eleves de PCSI?
 - Soit $i\in\N^*$. On note $X_i$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirages nécessaires pour faire passer $i$ eleves de PCSI distincts au tableau. Déterminer la loi de $X_i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 972]
On considére initialement une urne contenant une boule blanche et une boule rouge. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne et on rajoute deux boules de la même couleur que celle trée. On repete indéfiniment le processus.
 - Calculer la probabilité de ne tirer que des boules rouges lors des $n$ premiers tirages?
 - Calculer la probabilité de tirer indéfiniment uniquement des boules rouges?
 - Calculer la probabilité de tirer une boule blanche au 42-ieme tirage.
 - Le résultat de la question  - reste-t-il vrai si on rajoute 3 boules (au lieu de 2)? 4 boules?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 973]
 - Calculer $\int_0^1x^p(1-x)^qdx$ avec $p,q\in\N$.
 - On dispose de $p$ unres contenant chacune $p$ boules. Pour $i\in\db{1,p}$, l'urne $i$ contient $i$ boules noires et $p-i$ blanches. On choisit une des urnes aléatoirement et on en tire successivement des boules avec remise. On note $A_{n,p}$ l'évènement : on tire $2n$ boules et on a autant de boules noires que de boules blanches.
 - Exprimer $P(A_{n,p})$ sous forme d'une somme.
 - Déterminer la limite de $\mathbf{P}(A_{n,p})$ quand $n$ tend vers $+\i$.
 - Déterminer la limite de $\mathbf{P}(A_{n,p})$ quand $p$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 974]
On considére des lancers indépendants avec la probabilité $p\in]0,1[$ d'avoir pile. On pose par convention $T_0=0$ et pour $r\in\N^*$, $T_r$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers nécessaires pour avoir $r$ piles. On pose $Z_r=T_r-T_{r-1}$ pour $r\in\N^*$.
 - Déterminer la loi de $Z_r$.
 - Déterminer la fonction generatrice de $T_r$.
 - Pour tout $x\in]0,1[$, calculer $\sum_{k=r}^{+\i}\binom{k}{r}x^{k-r}$ et en déduire la loi de $T_r$.
 - Calculer $\mathbf{E}(T_r)$ de deux facons différentes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 975]
Soient $s\gt 1$ et $\zeta(s)=\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{k^s}$. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall n\in\N^*,\mathbf{P}(X=n)=\frac{1}{\zeta(s)} \frac{1}{n^s}$.
 - Soit $n\in\N^*$. Calculer $\mathbf{P}(n$ divise $X)$.
 - Soit $p$ un nombre premier et $v_p(k)=\max\{i\in\N,p^i$ divise $k\}$ pour tout $k\in\N^*$.

Déterminer la loi de $v_p(X)$ puis son espérance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 976]
On effectue des lancers avec une pièce dont la probabilité de donner pile est $p\in]0,1[$. On lance la pièce jusqu'a obtenir pile pour la deuxieme fois. On note $X$ le nombre de faces obtenues au cours de l'experience.
 - Donner la loi de $X$.
 - Montrer que $\mathbf{E}(X)\lt +\i$ et la calculer.
 - On prend une urne et, si $X=n$, on pose $n+1$ boules numérotées de $0$ à $n$ dans l'une. Donner la loi de $Y$ ou $Y$ est le numéro de la boule tirée dans l'urne. Calculer ensuite l'esprance de $Y$ ainsi que sa variance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 977]
 - Soit $S:t\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{n^2+n+1}{n!}t^n$. Déterminer le rayon de convergence et donner une expression de $S$.
 - Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ de fonction generatrice $G_X=\lambda S$. Déterminer $\lambda$ et la loi de $X$.
 - Calculer $\mathbf{E}(X)$ et $\mathbf{V}(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 978]
Soient $n\in\N$ et $p\in]0,1[$. On considére une variable aléatoire $X$ telle que $X(\Omega)\subset\N$ et $\forall k\in\N,\mathbf{P}(X=k)=a\binom{n+k}{k}p^k$.
 - Quelle est la valeur de $a$?
 - Déterminer $\mathbf{E}(X)$ et $\mathbf{V}(X)$ si elles existent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 979]
Soit $(X_k)$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramêtre $2/3$. On pose $A_k=(X_{2k-1}X_{2k}=0)$, $B_p=\bigcap_{k=0}^pA_k$.

Soit $T=\min\{k\geq 2,X_{k-1}=X_k=1\}\in\N\cup\{+\i\}$.
 - Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{k=0}^{+\i}A_k\right)=1$ et en déduire que $\mathbf{P}(T\in\N)=1$.
 - Établir une relation de récurrence linéaire d'ordre deux vérifiée par $(\mathbf{P}(T=n))$.
 - Calculer l'espérance de $T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 980]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives $\mc{G}(p)$ et $\mc{G}(q)$, ou $p$ et $q$ sont éléments de $]0,1[$. On pose $U=\dfrac{X}{Y}$.
 - Donner la loi de $U$.
 - Calculer l'espérance de $U$.
 - Si $p=q$, montrer que $\mathbf{E}(U)\gt 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 981]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. de loi $\mc{B}(p)$. On note $U$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}X_1&\cdots&X_n\end{pmatrix}$ et $M=U^TU$.
 - Déterminer les lois de $\op{rg}(M)$ et $\op{Tr}(M)$.
 - Déterminer la probabilité que $M$ soit une matrice de projecteur.
 - Dans cette question, on prend $n=2$. On note $V$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}$ et $X=VMV^T$.

Déterminer l'espérance et la variance de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 982]
Soient $a,b\gt 0$, $X,Y,Z$ des variables aléatoires indépendantes telles que $X\sim\mc{P}(a)$, $Y\sim\mc{P}(b)$, $\mathbf{P}(Z=1)=1-p$ et $\mathbf{P}(Z=-1)=p$.

Quelle est la probabilité que la matrice $A=\begin{pmatrix}X&Y\\ YZ&X\end{pmatrix}$ soit diagonalisable
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 983]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. On définit $(S_n)_{n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N^*$, $S_n=S_{n-1}+X_n$.
 - Déterminer la loi de $\dfrac{S_n+n}{2}$. En déduire $\mathbf{E}(S_n)$ et $\mathbf{V}(S_n)$.
 - On pose $A_n=|S_n|$.
 - Déterminer $A_n(\Omega)$.
 - Pour tout $n\in\N$, etablir : $\mathbf{E}(A_{n+1})=\mathbf{E}(A_n)+\mathbf{P}(S_n=0)$.

Ind. Exprimer $\mathbf{E}(A_{n+1})$ et appliquer la formule des probabilités totales à $X_{n+1}$.
 - En déduire pour tout $n\in\N^*$ : $\mathbf{E}(A_{2n})=\mathbf{E}(A_{2n-1})=\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}2k\\ k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix}^k$.
#+end_exercice

* Mines - Ponts - PC                                                  :autre:
** Algèbre

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 984]
Soient $A$ un ensemble de réels de cardinal $n\geq 2$ et $B=\{a+a',\;(a,a')\in A^2\}$.
 - Montrer que $2n-1\leq\op{Card}B\leq\dfrac{n(n+1)}{2}$.
 - Donner des exemples de parties pour lesquelles les bornes sont atteintes.
 - Généraliser à $B_k=\{a_1+a_2+\cdots+a_k\;;\;a_1,...,a_k\in A\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 985]
Trouver tous les polynômes $P\in\C[X]$ tels que $(X+4)P(X)=XP(X+1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 986]
Déterminer les polynômes réels $P$ vérifiant $P(X)P(X+1)=P(X^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 987]
 - Soit $P\in\Z[X]$ unitaire. Montrer que ses racines rationnelles sont dans $\Z$.
 - Pour $n\in\N^*$, montrer qu'il existe un polynôme unitaire $P_n\in\Z[X]$ de degré $n$ tel que, pour tout $\theta\in\R$, on ait $P_n(2\cos\theta)=2\cos(n\theta)$.
 - Montrer que $\cos(\pi\Q)\cap\Q=\biggl{\{}-1,-\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2},1 \biggr{\}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 988]
Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Calculer $\sum_{k=0}^n\dfrac{P(k)}{\prod_{i\neq k}(k-i)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 989]
Soit $n\in\N$, $n\geq 2$. On note $(*)\;(1+iX)^{2n+1}-(1-iX)^{2n+1}=2iXQ_n\,(X)$.
 - Montrer qu'il existe un unique $Q_n\in\R\,[X]$ vérifiant $(*)$. Donner le degré et le coefficient dominant de $Q_n$.
 - Déterminer les racines de $Q_n$.
 - Calculer $\prod_{k=0}^{n-1}\bigg(4+\tan^2\bigg(\dfrac{k\pi}{2n+1}\bigg) \bigg)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 990]
Soient $n\in\N^*$ et $P\in\R\,[X]$ tel que $\forall x\in\R$, $P(x)\geq 0$. On pose $Q=P+P'+\cdots+P^{(n)}$.
 - Montrer que $Q$ est minore sur $\R$.
 - Montrer que $Q$ est positif sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 991]
L'union de deux sous-espaces vectoriels est-elle un sous-espace vectoriel?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 992]
Soit $n\in\N^*$. Trouver toutes les matrices $A\in\M_2(\C)$ telles que $A^n=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 993]
Soit $n\in\N^*$. Soit $E=\{S_1,\ldots,S_k\}$ l'ensemble des parties non vides de $\{1,\ldots,n\}$. Soit $A\in\M_k(\R)$ définie par $a_{i,j}=\left\{\begin{array}{cc}1&\text{si }S_i\cap S_j\neq\emptyset\\ 0&\text{si }S_i\cap S_j=\emptyset\end{array}.$.Déterminer le rang de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 994]
 - Soient $A,B\in\M_{n,p}(\R)$. Montrer que $|\mathrm{rg}A-\mathrm{rg}B|\leq\mathrm{rg}(A+B)\leq\mathrm{rg}A+ \mathrm{rg}B$.
 - Soit $(v_1,...,v_k)\in(\R^n)^k$ tel que $\sum_{i=1}^kv_i(v_i)^T=I_n$. Montrer que $k\geq n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 995]
Soit $(A,B)\in\M_n\left(\R\right)^2$ telles que $:A^2=A$, $B^2=B$ et $AB=BA$. Montrer que $\det\left(A-B\right)\in\left\{-1,0,1\right\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 996]
 - Four $A\in\M_n(\R)$, on définit $f_A:M\mapsto\op{tr}(AM)$. Montrer que l'application $f\colon\M_n(\R)\ra\mc{L}(\M_n(\R),\R),\ A\mapsto f_A$ est un isomorphisme.
 - Soit $g\in\mc{L}(\M_n(\R),\R)$ telle que $\forall(A,B)\in\M_n(\R)^2,g(AB)=g(BA)$. Montrer que $g$ est proportionnelle à la trace.
 - Soit $h$ un endomorphisme de $\M_n(\R)$ tel que $\forall(A,B)\in\M_n(\R)^2,\ h(AB)=h(BA)$. Montrer que $h$ préserve la trace.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 997]
Trouver $\dim(\op{Vect}(A))$ dans les deux cas suivants :
 - $A=\{M\in\M_2(\C)$, $M^n=\op{Diag}(1,2)\}$ avec $n\geq 2$,
 - $A=\{M\in\M_2(\C)$, $M^2=I_2\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 998]
Si $A\in\M_n(\R)$, on note $S(A)$ l'ensemble des matrices semblables à $A$. Déterminer les matrices $A$ telles que $S(A)$ est fini.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 999]
Soit $\mathfrak{S}_n$ l'ensemble des permutations de $\db{1,n}$.
 - Soit $\sigma\in\mathfrak{S}_n$. Montrer que $\phi_{\sigma}:s\mapsto s\circ\sigma$ est une permutation de $\mathfrak{S}_n$.
 - Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$, $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$. Pour $\sigma\in\mathfrak{S}_n$, on note $f_{\sigma}$ l'endomorphisme de $E$ défini par $\forall i\in\db{1,n}\ f_{\sigma}\left(e_i\right)=e_{\sigma(i)}$. On pose $p_n=\frac{1}{n!}\underset{\sigma\in\mathfrak{S}_n}{\sum}\ f_{\sigma}$. Montrer que $p_n$ est un projecteur et expliciter son image et son noyau.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1000]
Soient $n\geq 2$, $E=\R_n\left[X\right]$ et $\phi:P\in E\mapsto P-P'$.
 - Montrer que $\phi$ est bijectif de deux manieres différentes.
 - Soit $Q$ l'antecedent de $P$ par $\phi$. On suppose que $Q\geq 0$. Montrer que $P\geq 0$. Exprimer $P$ en fonction de $Q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1001]
Soit $A\in\M_{3,2}\left(\R\right)$ et $B\in\M_{2,3}\left(\R\right)$ telles que $AB=\left(\begin{array}{rrr}0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2\end{array}\right)$.

Vérifier que $\left(AB\right)^2=AB$. Déterminer $\op{rg}\left(A\right)$, $\op{rg}\left(B\right)$. Montrer que $BA=I_2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1002]
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $\phi$ une forme linéaire sur $E$ et $f\in\mc{L}\left(E\right)$.
 - Montrer que $\op{Ker}\left(\phi\right)$ est stable par $f$ si et seulement s'il existe $\lambda\in\R$ tel que $\phi\circ f=\lambda\phi$.
 - Soit $\mc{B}$ une base de $E$. On pose $L=\op{Mat}_{\mc{B}}\left(\phi\right)$ et $A=\op{Mat}_{\mc{B}}\left(f\right)$. Montrer que $\op{Ker}\left(\phi\right)$ est stable par $f$ si et seulement s'il existe $\lambda\in\R$ tel que $A^TL^T=\lambda L^T$.
 - Trouver toutes les droites stables par l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de $\R^3$ est $\left(\begin{array}{rrr}1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2\end{array}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1003]
Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$. On suppose $ABAB=0$. A-t-on $BABA=0$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1004]
Soit $f\in\mc{L}\left(E\right)$ telle que $f^2=-4\op{id}$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$. - Déterminer le noyau et l'image de $f$. L'endomorphisme $f$ est-il inversible? Si c'est le cas, déterminer $f^{-1}$.  - Montrer que $n$ est nécessairement pair.  - Pour $x\neq 0$, montrer que $\left(x,f\left(x\right)\right)$ est une famille libre.  - On suppose maintenant que $n=4$. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la

$$\text{matrice de }f\text{ est }\left(\begin{array}{cccc}0&-4&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&-4\\ 0&0&1&0\end{array}\right)\text{.}$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1005]
Soit $A\in\M_n\left(\R\right)$. R $\acute{\text{e}}$soudre $X+X^T=\op{tr}\left(X\right)A$ d'inconnue $X\in\M_n\left(\R\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1006]
 - Soit $A\in\M_n\left(\C\right)$ telle que, pour tout $X\in\M_{n,1}\left(\C\right)$, $\left(X,AX\right)$ est l $\acute{\text{e}}$e. Que dire de $A$?
 - Montrer que toute matrice $A\in\M_n\left(\C\right)$ de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1007]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Soit $u$ un endomorphisme nilpotent tel que tout sous-espace de $E$ stable par $u$ admet un supplementaire stable par $u$. Montrer que $u$ est l'endomorphisme nul.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1008]
Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie, $u\in\mc{L}(E,F),v=\mc{L}(F,G)$ et $w=v\circ u$. Montrer que $w$ est un isomorphisme si et seulement si les trois conditions suivantes sont realisées - $u$ est injective,  - $v$ est surjective,  - $F=\op{Im}u\oplus\op{Ker}v$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1009]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u,v\in\mc{L}(E)$ tels que $\op{rg}(u)=\op{rg}(v)$ et $u^2\circ v=u$.
 - Montrer que $v\circ u\circ v=v$.
 - Montrer que $u\circ v$ est un projecteur
 - Montrer que $u\circ v\circ u=u$ puis que $v^2\circ u=v$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1010]
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie.
 - Que dire de la trace d'un projecteur de $E$? Montrer que, pour $p$ projecteur de $E$, $\op{Im}(p)$ et $\op{Ker}(p)$ sont supplementaires dans $E$.
 - Soient $p,q$ deux projecteurs de $E$. Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si $p\circ q=q\circ p=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1011]
Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimensions finies. Soient $f\in\mc{L}(E,F)$ et $g\in\mc{L}(F,G)$. Montrer que $\op{rg}(g\circ f)\geq\op{rg}(f)+\op{rg}(g)-\dim(F)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1012]
Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $u\in\mc{L}(E,F)$, $v\in\mc{L}(F,G)$. Soit $w=v\circ u$. Montrer que $w$ est un isomorphisme si et seulement si $u$ est injectif, $v$ est surjectif et $\op{Im}u\oplus\op{Ker}v=F$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1013]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u,v\in\mc{L}(E)$.
 - Montrer que $\op{rg}(v)\leq\op{rg}(u\circ v)+\dim(\op{ Ker}u)$. - On suppose que $u$ est nilpotent d'indice $p$. Montrer que $\big(\dim(\op{Ker}u^k)\big)_{k\in\N}$ est strictement croissante puis stationnaire.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1014]
 - Existe-t-il deux matrices $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=I_n$?
 - Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice non nulle de trace nulle. Montrer qu'il existe $u\in\R^n$ telle que la famille $(u,Au)$ soit libre.
 - Soit $A\in\M_n(\R)$ de trace nulle. Montrer que $A$ est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont nuls.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1015]
Soient $A$ et $B$ dans $\M_n(\C)$ telles que $\op{rg}(AB-BA)=1$.

Montrer que $A(\op{Ker}(B))\subset\op{Ker}(B))$ ou $A(\op{Im}(B))\subset\op{Im}(B))$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1016]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $p$ et $f_1,\ldots,f_p$ des formes linéaires sur $E$. Prouver l'équivalence des trois assertions suivantes :
 - $(f_1,\ldots,f_p)$ est libre,
 - $u:x\in E\mapsto(f_1(x),\ldots,f_p(x))\in\mathbb{K}^p$ est surjective,
 - il existe $x_1,\ldots,x_p\in E$ tels que $\det(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1017]
Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a_1,\ldots,a_n)\in\C^n$ pour que la matrice $\begin{pmatrix}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\ldots&0&a_{n-1}\\ a_1&\ldots&a_{n-1}&a_n\end{pmatrix}$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1018]
Soient $(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n}$ et $M=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&b_1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\ldots&0&b_n\\ a_1&\ldots&a_n&0\end{pmatrix}$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1019]
Soit $\alpha\in\C$. La matrice $M=\begin{pmatrix}1&\alpha&0\\ \alpha&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1020]
Redémontrer qu'une matrice diagonalisable à un polynôme annulateur scindé à racines simples.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1021]
Soit $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}$.
 - Monter que $A$ est diagonalisable sur $\C$ et qu'elle admet une unique valeur propre réelle strictement positive $a$.
 - Montrer que $\sum_{\lambda\in\op{Sp}(A)}\lambda^n$ est un entier pour tout $n\in\N$.
 - Déterminer la nature de la série $\sum_{\lambda\in\op{Sp}(A)}\lambda^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1022]
Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie.
 - Soit $f\in\mc{L}(E)$ nilpotent. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est triangulaire supérieure avec des 0 sur la diagonale.
 - Soient $v$ et $w$ dans $\mc{L}(E)$ tels que $v$ est diagonalisable, $w$ est nilpotent et $v\circ w=w\circ v$. Montrer que $v+w$ et $v$ ont le même polynôme caractéristique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1023]
Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 2$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ de spectre vide.
 - Montrer qu'il existe $P\in\R[X]$ de degré $2$ tel que $\op{Ker}P(u)\neq\{0\}$.
 - Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension 2 et stable par $u$.
 - En déduire que tout endomorphisme de $E$ admet un sous-espace vectoriel stable de dimension 1 ou 2.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1024]
Soit $f\in\mc{L}(E)$, ou $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable et $\op{Ker}f=\op{Ker}f^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1025]
Soient $f,g$ deux endomorphismes d'un $\R$-espace vectoriel $E$ de dimension finie tels que $f\circ g=f+g$.
 - Montrer que $\op{Im}f=\op{Im}g$ et que $\op{Ker}f=\op{Ker}g$.
 - On suppose de plus que $f$ est diagonalisable. Montrer que $f\circ g$ est diagonalisable.
 - Montrer qu'aucune valeur propre de $f\circ g$ n'appartient à $]0,4\,[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1026]
Soit $A\in\M_3(\C)$. Montrer que $A$ est semblable à $-A$ si et seulement si $\op{tr}(A)=0$ et $\det(A)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1027]
Déterminer toutes les matrices $A\in\M_4(\R)$ telles que $A^2=\op{diag}(1,2,-1,-1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1028]
Soient $A\in\M_n(\C)$ et $B=\begin{pmatrix}0&A\\ A&0\end{pmatrix}\in\M_{2n}(\C)$.
 - Exprimer le rang de $B$ en fonction du rang de $A$.
 - Étudier la diagonalisabilité de $B$ en fonction de celle de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1029]
Soient $A\in\M_n(\C)$ et $B=\begin{pmatrix}0&I_n\\ A&0\end{pmatrix}$.
 - Trouver une relation entre les valeurs propres de $A$ et celles de $B$ ainsi qu'entre les sous-espaces propres de $A$ et ceux de $B$.
 - Déterminer les dimensions des sous-espaces propres de $B$ en fonction des dimensions des sous-espaces propres de $A$.
 - Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $B$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1030]
Soient $A,B\in\M_n\left(\C\right)$ telles que $AB=BA$. Peut-on trigonaliser $A$ et $B$ dans une même base?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1031]
Soient $\left(\alpha_i\right)_{1\leq i\leq n}\in\R^n$ et $\left(\beta_i\right)_{1\leq i\leq n}\in\R^n$. On pose $A=\left(\alpha_i\beta_j\right)_{1\leq i,j\leq n}$.
 - Quel est le rang de $A$?
 - Montrer que $A^2=\op{tr}\left(A\right)A$. - Soit $M\in\M_n\left(\R\right)$ telle que $\op{rg}\left(M\right)=1$. Montrer qu'il existe $\left(X,Y\right)\in\left(\R^n\right)^2$ telles que $M=X^TY$.
 - Trouver toutes les matrices de $\M_3\left(\R\right)$ telles que $M^2=0_3$.
 - à quelle condition la matrice $A$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1032]
Soient $A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{array}\right)$ et $M\in\M_3\left(\R\right)$ telle que $M^3=I_3$ et $M\neq I_3$.
 - La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $\M_3\left(\C\right)$? dans $\M_3\left(\R\right)$? Donner ses valeurs propres.
 - La matrice $M$ est-elle diagonalisable dans $\M_3\left(\C\right)$? Montrer que $\op{Sp}_{\C}\left(M\right)\subset\left\{1,j,j^2\right\}$ et que les multiplicités de $j$ et $j^2$ sont les memes. Donner le spectre de $M$.
 - Montrer que $A$ et $M$ sont semblables dans $\M_3\left(\C\right)$, puis dans $\M_3\left(\R\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1033]
Soient $M\in\M_n\left(\C\right)$, $\left(A,B\right)\in\M_n\left(\C\right)^2$ et $\left(\lambda,\mu\right)\in\left(\C\ast\right)^2$ tels que $\lambda\neq\mu$. On suppose : $I_n=A+B,\ M=\lambda A+\mu B,\ M^2=\lambda^2A+\mu^2B$.
 - Montrer que $M$ est inversible et déterminer $M^{-1}$.
 - Montrer que $A$ et $B$ sont des projecteurs.
 - La matrice $M$ est-elle diagonalisable? Si oui, trouver $\op{Sp}\left(M\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1034]
Soient $A$ et $B$ dans $\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=A$.

On note $\Psi:M\in\M_n(\R)\mapsto MB-BM$.
 - Montrer que $\Psi$ est un endomorphisme de $\M_n(\R)$ et que, pour tout $k\in\N$, $\Psi(A^k)=kA^k$.

Calculer $\op{tr}(A)$.
 - Montrer que si $A$ n'est pas nilpotente alors $\Psi$ à une infinite de valeurs propres. Conclure
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1035]
Soient $n\geq 2$ et $A\in\M_n(\R)$ telle que $\op{Tr}(A)\neq 0$.
 - On considére $\Phi\colon\M_n(\R)\ra\M_n(\R)$ définie par $\Phi:M\mapsto\op{Tr}(A)M-\op{Tr}(M)A$.
 - Trouver $\op{Ker}\Phi$ et $\op{Im}\Phi$.
 - Déterminer les éléments propres de $\Phi$.
 - Déterminer la trace, le déterminant et le polynôme caractéristique de $\Phi$.
 - On considére $\Psi\colon\M_n(\R)\ra\M_n(\R)$ définie par $\Psi:M\mapsto\op{Tr}(A)M+\op{Tr}(M)A$.
 - Trouver les éléments propres de $\Psi$.
 - Montrer que $\Psi$ est bijective et déterminer sa réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1036]
Soit $A\in\M_n(\R)$. Soit $f_A\in\mc{L}(\M_n(\R))$ défini par $f_A(M)=AM$. Montrer que $A$ et $f_A$ ont les memes valeurs propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1037]
Soit $A\in\M_3(\R)$. On cherche le nombre de solutions de l'équation $B^3=A$ dans $\M_3(\R)$.
 - Montrer que, si $B$ est solution, alors $AB=BA$.
 - Montrer que si $A$ est diagonalisable et à un sous-espace propre de dimension $\geq 2$ alors il y a une infinite de solutions.
 - Traiter le cas ou $A$ admet trois valeur propres réelles distinctes. - Traiter le cas ou $A=\begin{pmatrix}r\cos(\theta)&-r\sin(\theta)&0\\ r\sin(\theta)&r\cos(\theta)&0\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}$ avec $r\gt 0$, $\lambda\in\R$ et $\theta\in\R\setminus\pi\Z$.  - Cas general?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1038]
On note $D:P\mapsto P'$ l'endomorphisme derivation de $\R[X]$.
 - Montrer que, pour tout $n\in\N$, $\R_n[X]$ est stable par $D$ et déterminer la matrice de l'endomorphisme induit par $D$ dans la base canonique de $\R_n[X]$.
 - Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\R[X]$ de dimension finie non nulle stable par $D$.
 - Montrer qu'il existe un entier $n$ et un polynôme $R$ de degré $n$ tel que $R\in F$ et $F\subset\R_n[X]$.
 - Montrer que la famille $(D^j(R))_{0\leq j\leq n}$ est libre.
 - En déduire que $F=\R_n[X]$.
 - Expliciter tous les sous-espaces vectoriels de $\R[X]$ stables par $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1039]
On note $E=\mc C^0(\R^+,\R)$. Soit $\Phi$ l'application qui à $f\in E$ associe la fonction $\Phi(f)$ définie par : $\Phi(f)(0)=f(0)$ et $\forall x\in]0,+\i[$, $\Phi(f)(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\dt$.
 - Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E$.
 - Déterminer les valeurs propres de $\Phi$ et les espaces propres associes.
 - Soit $n\in\N$. Montrer que $\Phi$ stabilise $\R_n[X]$. L'endomorphisme induit par $\Phi$ sur $\R_n[X]$ est-il diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1040]
Soit $A\in\M_2(\R)$. On suppose qu'il existe $n\in\N^*$ tel que $A^{2^n}=I_2$. Montrer que $A^2=I_2$ ou qu'il existe $k\in\N^*$ tel que $A^{2^k}=-I_2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1041]
Soit $n\in\N^*$. Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$ ne contenant que des matrices diagonalisables.
 - Montrer que $\dim(E)\leq\frac{n(n+1)}{2}$.
 - Lorsque $\mathbb{K}=\R$, quelle est la dimension maximale de $E$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1042]
Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2$ soit triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux egaux à $1,2,\ldots,n$. Montrer que $A$ est triangulaire supérieure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1043]
Soit $A\in\M_n(\R)$. On suppose que la suite $(A^k)_{k\in\N}$ admet une limite $B\in\M_n(\R)$.
 - Montrer que $B^2=B$, $BA=AB$. Déterminer $\mathrm{Ker}(B)$ et $\mathrm{Im}(B)$.
 - Montrer que $\mathrm{Sp}(A)\subset\{z\in\C\,,\;|z|\lt 1\}\cup\{1\}$. Montrer que si $1$ n'est pas valeur propre de $A$ alors $B=0$.
 - Montrer que la multiplicité de 1 dans le polynôme caractéristique de $A$ est egale à la dimension de $\mathrm{Ker}(A-I_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1044]
Soient $a,b$ deux réels et $n$ un entier.

Montrer que $\Phi:P\in\R_n[X]\mapsto(X-a)(X-b)P'-nP$ est un endomorphisme et déterminer ses éléments propres. L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1045]
 - Soient $A\in\M_n(\R)$ diagonalisable et $B=I_n+A+A^3$. Montr are $A$ est un polynôme en $B$.
 - Le résultat de  - subsiste-t-il lorsque $A$ est complexe?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1046]
 - Soit $A\in\M_3(\R)$ non trigonalisable. Montr are $A$ est $\C$-diagonalisable.
 - Soit $A\in\M_4(\R)$. Montr are $\mathfrak{l}$'une des conditions suivantes est realisées :
 - $A$ est $\R$-trigonalisable ;  - $A$ est $\C$-diagonalisable ;
 - $A$ est $\R$-semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}B&C\\ 0&B\end{pmatrix}$ avec $B,C\in\M_2(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1047]
Soient $n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^{n-1}\neq 0$ et $A^n=0$. Soit $L$ l'ensemble $L=\{M\in\M_n(\R),\ AM=MA\}$.
 - Montr are qu'il existe $x_0\in\R^n$ tel que la famille $(x_0,Ax_0,A^2x_0,\ldots,A^{n-1}x_0)$ soit une base de $\R^n$.
 - En déduire que la famille $(I_n,A,A^2,\ldots,A^{n-1})$ est une base de $L$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1048]
Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. Soit $u$ un automorphisme de $E$ tel que, pour tout $x\in E$, l'ensemble $\{u^k(x)\ ;\ k\in\N\}$ est fini.
 - Montr are qu'il existe $N\in\N^*$ tel que $u^N=\mathrm{id}$.
 - L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1049]
Soit $(u_1,...,u_p)$ une famille de vecteurs de $\R^n$ telle que $\forall i\neq j$, $\langle u_i,u_j\rangle\lt 0$.

Montr are que toute sous-famille de $(u_1,...,u_p)$ de cardinal $(p-1)$ est libre.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1050]
Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice nilpotente non nulle.
 - Montr are qu'il existe $V\in\R^n$ tel que $AV\neq 0$ et $A^2V=0$.
 - On note $\langle\,\ \rangle$ le produit scalaire usuel sur $\R^n$.

Déterminer l'ensemble $\{\langle AX,X\rangle\ ;\ X\in\R^n\}$.
 - Trouver les matrices $B\in\M_n(\R)$ telles que $\{\langle BX,X\rangle\ ;\ X\in\R^n\}=\{0\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1051]
Soit $E=\R_n[X]$. Soient $a_0\lt a_1\lt \cdots\lt a_n$ des réels. Pour $P,Q\in E$, on pose $\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^nP(a_k)Q(a_k)$.
 - Montr are que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $E$.
 - Trouver une base orthonormée de $E$ pour ce produit scalaire.
 - Soit $H$ l'ensemble des $Q\in E$ tels que $\sum_{k=0}^nQ(a_k)=0$. Montr are que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et preciser sa dimension.
 - Pour $P\in E$, déterminer $d(P,H)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1052]
Soient $a,b\in\R$ et $A=\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\\ ab&a^2&b^2&ab\\ ab&b^2&a^2&ab\\ b^2&ab&ab&a^2\end{pmatrix}$. Preciser le spectre et les sous-espaces propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1053]
 - Montrer que $\phi:P\mapsto(X^2-1)P''+2XP'$ définit un endomorphisme de $\R_n[X]$ qui est symétrique pour le produit scalaire $\left\langle P,Q\right\rangle=\int_{-1}^+P(t)Q(t)\dt$.
 - Déterminer les valeurs propres de $\phi$.
 - Montrer qu'il existe une unique base orthonormée de vecteurs propres $\left(P_0,\ldots,P_n\right)$ telle que, pour tout $k\in\N$, $\deg P_k=k$ et $\left\langle P_k,X^k\right\rangle\gt 0$.
 - On pose $Q_k(X)=(-1)^kP_k(-X)$. Montrer que $\left(Q_0,\ldots,Q_n\right)$ vérifie les propriétés de  -.

Que peut-on en déduire?
 - Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $]-1,1[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1054]
Soient $a,b\in\R$ et $\Phi_{a,b}$ l'endomorphisme de $\M_n(\R)$ défini par $\Phi_{a,b}:M\mapsto aM+bM^T$.
 - Trouver les valeurs propres et les sous-espaces propres de $\Phi_{a,b}$.
 - Déterminer $\mathrm{Tr}(\Phi_{a,b})$ puis son polynôme caractéristique.
 - à quelle condition $\Phi_{a,b}$ est-il un automorphisme? Déterminer alors $\Phi_{a,b}^{-1}$.
 - L'endomorphisme $\Phi_{a,b}$ est-il autoadjoint?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1055]
Soit $A\in\M_n\left(\C\right)$ telle que $A^2+A^T=I_n$ et $\mathrm{tr}\left(A\right)=0$.
 - Montrer que toute valeur propre de $A$ vérifie $\lambda^4-2\lambda^2+\lambda=0$ et que $A$ est diagonalisable.
 - Montrer que $n$ est multiple de 4.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1056]
Soient $\left(E,\left\langle\ \,\ \ \right\rangle\right)$ un espace euclidien, $a$ et $b$ deux vecteurs libres de $E$ et $f\colon x\in E\mapsto\left\langle a,x\right\rangle a+\left\langle b,x\right\rangle b$.
 - Déterminer le noyau et l'image de $f$.
 - Déterminer les éléments propres de $f$. L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? Aurait-on pu le prevoir sans étudier les éléments propres?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1057]
Soit $A\in\M_n\left(\R\right)$ telle que, pour tout $X\in\M_{n,1}\left(\R\right)$, $X^TAX=0$. Montrer que $\det\left(A\right)\geq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1058]
Soit $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$ de spectre $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$. Soit $X\in\M_{n,1}\left(\R\right)$.
 - Montrer que $\left\|X\right\|^4\leq\left\langle AX,X\right\rangle\left\langle A^{-1 }X,X\right\rangle$.
 - Montrer que $\left\langle AX,X\right\rangle\left\langle A^{-1}X,X\right\rangle \leq\dfrac{\left(\lambda_1+\lambda_n\right)^2}{4\lambda_1\lambda_{ n}}\left\|X\right\|^4$.
 - Montrer qu'il existe une base orthonormale $\left(P_0,\ldots,P_n\right)$ de $E$ telle que, pour tout $k\in\left[\![0,n]\!\right]$, $\deg\left(P_k\right)=k$ et $\left\langle P_k,X^k\right\rangle\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1059]
Pour $t\in\R$, on pose $M\left(t\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\ 1&1&0\\ 1&0&t\end{array}\right)$. On note $\alpha\left(t\right)\leq\beta\left(t\right)\leq\gamma\left(t\right)$ les valeurs propres de $M\left(t\right)$.
 - Montrer que $\alpha\left(t\right)\lt 0\lt \beta\left(t\right)\lt 2\lt \gamma\left(t\right)$.
 - Montrer que, lorsque $t\ra+\i$, $\alpha\left(t\right)\ra 0$, $\beta\left(t\right)\ra 2$ et que $\gamma\left(t\right)=t+O\left(\dfrac{1}{t}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1060]
Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer que $M$ est antisymétrique si et seulement si pour toute $P\in{\cal O}_n({\R})$, la matrice $P^{-1}MP$ est à diagonale nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1061]
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal O}_n({\R})$. Montrer :

$$\sum_{i,j}m_{i,j}^2=n,\ \ \left|\sum_{i,j}m_{i,j}\right|\leq n,\ \ \ n \leq\sum_{i,j}|m_{i,j}|\leq n\ln(n).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1062]
Soient $E$ un espace euclidien et $p,q$ deux projecteurs orthogonaux. On considére $h=p\circ q$.
 - Montrer que ${\rm Im}(q)$ et ${\rm Ker}(p)$ sont stables par $h$.
 - Montrer que $p$ et $q$ sont autoadjoints.
 - On pose $F={\rm Im}(q)+{\rm Ker}(p)$. Montrer que $E=F\oplus F^{\perp}$. En déduire que $h$ est diagonalisable.
 - Montrer que le spectre de $h$ est contenu dans le segment $[0,1]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1063]
Soient $n\geq 2$, $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ et $B\in{\cal S}_n^+({\R})$.
 - Montrer qu'il existe une matrice $C$ telle que $C^2=A^{-1}$.
 - Montrer, en posant $D=CBC$, que $(\det(I_n+D))^{\frac{1}{n}}\geq 1+(\det D)^{\frac{1}{n}}$.
 - En déduire que $(\det(A+B))^{\frac{1}{n}}\geq(\det A)^{\frac{1}{n}}+(\det B)^{\frac{1}{n}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1064]
Soit $A\in{\rm GL}_n({\R})$. Montrer qu'il existe $O\in{\cal O}_n({\R})$ et $S\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telles que $A=OS$. Étudier l'unicité d'une telle décomposition.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1065]
Soient $A,B\in{\cal S}_n({\R})$ telles que $ABA=B$ et $BAB=A$.
 - Montrer que $A^2=B^2$.
 - On suppose que $A$ est inversible. Montrer que $A$ et $B$ sont des symétries orthogonales qui commutent.
 - On ne suppose plus que $A$ est inversible. Montrer que ${\rm Im}\,A={\rm Im}\,B$ et ${\rm Ker}\,A={\rm Ker}\,B$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1066]
Les parties $E=\left\{(x,y)\in{\R}^2\,\ x^2(x-1)(x-3)+y^2(y^2-4)=0\right\}$ et

 $F=\left\{(x,y)\in{\R}^2\,\ 2x^2-y(y-1)=0\right\}$ sont elles fermées? bornées?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1067]
Soit $E$ un espace euclidien. Soit $u\in{\cal S}^{++}(E)$. Montrer qu'il existe $m\gt 0$ et un ouvert $\Omega$ dense dans $E$ tels que $\forall x\in\Omega$, $\frac{\left\|u^{k+1}(x)\right\|}{\left\|u^k(x)\right\|}\xrightarrow[k\ra+ \i]{}m$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1068]
 - Soit $A\in{\cal M}_2({\C})$. Montrer que $\left\{Q(A)\ ;\ Q\in{\C}[X]\right\}$ est un fermé de ${\cal M}_2({\C})$.
 - Soient $B\in{\cal M}_n({\C})$ et $Q\in{\C}[X]$ non constant. On suppose que $B$ à $n$ valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe $A\in{\cal M}_n({\C})$ telle que $B=Q(A)$.
 - Soit $Q\in{\C}[X]$ non constant. Montrer que $\left\{Q(A)\ ;\ A\in{\cal M}_2({\C})\right\}$ est une partie dense de ${\cal M}_2({\C})$. Cet ensemble est-il ferme? borne?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1069]
Soient $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ et $\left(b_n\right)_{n\geq 0}$ deux suites réelles convergeant vers $a$ et $b$ respectivement. Montrer que $\dfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\xrightarrow[n\ra+\i]{}ab$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1070]
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle définie par $u_1\in\R$ et $\forall n\geq 1$, $u_{n+1}=nu_n-1$. Montrer que $u_1=e-1$ si et seulement si il existe $a\in\R$ vérifiant $u_n=O(n^a)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1071]
Pour $n$ et $p$ dans $\N^*$, on pose $u_{n,p}=\dfrac{1}{p^n}\left(\sqrt[n]{1+\dfrac{1}{p}}+\sqrt[n]{1+\dfrac{2}{ p}}+\cdots+\sqrt[n]{1+\dfrac{p}{p}}\right)^n$.
 - Calculer $\lim\limits_{n\ra+\i}\lim\limits_{p\ra+\i}u_{n,p}$.
 - Calculer $\lim\limits_{p\ra+\i}\lim\limits_{n\ra+\i}u_{n,p}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1072]
On pose $S_n(t)=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!}t^{2k+1}$ et $x_n=\min\{t\gt 0,\ S_n(t)=0\}$.
 - Montrer que $x_n$ est bien défini pour tout $n\in\N^*$.
 - Étudier les variations et la convergence de $(x_n)_{n\in\N^*}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1073]
Soit $\left(x_n\right)_{n\geq 0}$ une suite réelle telle que $x_0\gt 1$ et, pour tout $n\in\N$, $x_{n+1}=x_n+x_n^{-1}$. Montrer que $x_n\sim\sqrt{2n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1074]
Pour tout $n\in\N^*$, on note $x_n$ la solution de $e^x=n-x$. Limite, équivalent et développement asymptotique à deux termes de $x_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1075]
Soit $\alpha\in\R$. Nature de la série de terme general $u_n=n^{\alpha}\prod_{k=1}^n\left(1+\dfrac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}}\right)?$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1076]
Nature de la série de terme general $u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}+(-1)^n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1077]
Pour $n\in\N^*$, on pose $x_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k},H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k},u_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k\ln k}{k},v_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{\ln k}{k}$ et $w_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{\ln(2k)}{k}$.
 - Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel $\ell$ à déterminer. Montrer que $x_n=\ell+\mc{O}\left(\dfrac{1}{n}\right)$.
 - Exprimer $u_{2n}$ en fonction de $v_{2n}$ et $w_n$.
 - Montrer que $H_n=\ln(n)+\gamma+o(1)$.
 - Établir la convergence de $(u_n)$ et preciser sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1078]
Soit $\left(a_n\right)_{n\in\N^*}$ la suite définie par $a_1=1$ et, pour tout $n\geq 2$, $a_n=2a_{\lfloor n/2\rfloor}$. Montrer que $\sum{\dfrac{1}{a_n^2}}$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1079]
Soit $f\in\mc C^1(\R,\R^{+*})$ telle que $f'\leq 0$ et $f(0)=1$. On pose $a_0=1$ et, pour $n\in\N$, $a_{n+1}=a_nf(a_n)$. Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ decroit et tend vers 0. Étudier la nature de la série $\sum a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1080]
Soit $\alpha\in\R$. On pose, pour $n\in\N$, $u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin t}{t^{\alpha}}dt$ et $v_n=u_{2n}+u_{2n+1}$. Déterminer la nature de $\sum u_n$ et $\sum v_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1081]
Pour $n\in\N^*$, on pose $R_n^{(0)}=\frac{(-1)^n}{n}$, $R_n^{(1)}=\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}$ et pour $\ell\in\N^*$,

 $R_n^{(\ell)}=\sum_{k=n}^{+\i}R_k^{(\ell-1)}$. Justifier l'existence et étudier le signe de $R_n^{(\ell)}$. Ind. Calculer $\int_0^1t^k\dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1082]
Soit $f$ une fonction continue et injective de $\R$ dans $\R$.

En considérant $g_x:t\mapsto f(x+t)-f(x)$ montrer que $f$ est strictement monotone.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1083]
Déterminer les applications $f\colon\R\ra\R$ telles que l'image de tout segment est un segment de même longueur.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1084]
Soit $f\colon\R^p\ra\R^n$ telle que $\forall(x,y)\in(\R^p)^2$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Montrer que $f$ est continue si et seulement si $f$ est linéaire.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1085]
Trouver toutes les fonctions $f\colon\R\ra\R$ dérivables en 0 telles que :

 $\forall x\in\R,f(2x)=2f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1086]
Soit $f\in\mc C^0(\R,\R)$ telle que $(*)\colon\forall\left(x,y\right)\in\R^2$, $f\left(x+y\right)f\left(x-y\right)=\left(f\left(x\right)f\left(y\right)\right) ^2$.
 - Donner toutes les valeurs que peut prendre $f\left(0\right)$.
 - Montrer que, pour tout $x_0\in\R$ tel que $f\left(x_0\right)=0$, on a $f\left(\frac{x_0}{2^n}\right)=0$. En déduire que si $f$ s'annule en un point, $f$ est identiquement nulle.
 - Trouver toutes les fonctions continues vérifiant $(*)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1087]
Soient $f$, $g$ deux fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$ telles que $f\circ g=g\circ f$. Montrer qu'il existe $x\in[0,1]$ tel que $f\left(x\right)=g\left(x\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1088]
Soit $f:[0,1]\ra\R$ dérivable et non nulle pour laquelle il existe $M\gt 0$ tel que $\forall x\in[0,1]$, $f'\left(x\right)\leq Mf\left(x\right)$. Montrer que $f$ ne s'annule pas.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1089]
Montrer que $x\mapsto\cos\left(x\right)$ admet un unique point fixe. Montrer qu'il n'existe pas de fonction $f$ dérivable telle que $\cos=f\circ f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1090]
Soit $f$ une fonction telle que, pour $0\lt x\lt 1$, $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\ln\left(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)$. Trouver $g\in\mc C^{\i}\left(]-\i,1[\right)$ telle que $g\mid_{0,1}[=f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1091]
Soit $f\in\mc C^1(\left[a,b\right],\R)$ telle que $f'(a)=f'(b)=0$. Montrer qu'il existe $x\in\left]a,b\right[$ tel que $f'(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1092]
Soit $f\colon\R\ra\R$ dérivable telle que $f^2+\left(1+f'\right)^2\leq 1$. Montrer que $f=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1093]
Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^{n+1}$ telle que $f(0)=0$. Pour $x\gt 0$, on pose $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$. Déterminer, pour $k\in\left\{0,1,\ldots,n\right\}$, $\lim\limits_{x\ra 0}g^{(k)}(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1094]
Soit $x\in\R$. Montrer qu'il existe un unique $a\in\R$ tel que $\int_x^a\exp\left(t^2\right)dt=1$. On définit alors $x\mapsto a\left(x\right)$. Montrer que $a$ est $\mc C^{\i}$. Montrer que le graphe de $a$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $y=-x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1095]
Trouver un équivalent simple en $0$ de $f:x\mapsto\int_{x^2}^{x^3}\dfrac{e^t}{\arcsin t}\dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1096]
Calculer $\int_0^{\pi/4}\ln\left(1+\tan(x)\right)dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1097]
Soit $f\in\mc C^1(\left[0,1\right],\R)$. Pour $n\in\N^*$, on pose $U_n=\int_0^1f(x)\dx-\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f \Big(\dfrac{k}{n}\Big)$. Déterminer la limite de $\left(nU_n\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1098]
Soit $f\colon\left[0,1\right]\ra\R$ continue. On suppose que $\int_0^1f(x)x^ndx=0$ pour $0\leq k\leq n$. Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois sur $]0,1[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1099]
Soit $x$ un nombre complexe de module différent de 1. Calculer $I=\int_0^{2\pi}\dfrac{dt}{x-e^{it}}:$

 - en utilisant la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle $\dfrac{nX^{n-1}}{X^n-1}$,

 - par une autre methode.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1100]
Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$, et $f,g\in\mc C^0(\left[a,b\right],\R^{+*})$. On pose $m=\inf\limits_{\left[a,b\right]}\dfrac{f}{g}$ et

 $M=\sup\limits_{\left[a,b\right]}\dfrac{f}{g}\cdot$ Montrer que $\int_a^bf^2\int_a^bg^2\leq\dfrac{\left(M+m\right)^2}{4 Mm}\left(\int_a^bfg\right)^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1101]
Soient $c\in\R$, $u$ et $v$ deux fonctions continues sur $\R^+$ à valeurs respectivement dans $\R$ et dans $\R^+$ telles que $\forall x\in\R^+$, $u\left(x\right)\leq c+\int_0^xv\left(t\right)u\left(t\right) dt$.

Montrer que $\forall x\in\R^+$, $u\left(x\right)\leq c\exp\left(\int_0^xv\left(t\right) dt\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1102]
Montrer qu'il existe $(A,B)\in\R^2$ tel que, pour tout $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ $2\pi$-périodique, on ait $\sup_{\R}|f|\leq A{\int_0^{2\pi}|f|+B{\int_0^{2\pi}|f'|.}}$ L'inégalité subsiste-elle si on enleve une hypothese.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1103]
On considére une fonction $f:[a,b]\mapsto\R$ de classe $\mc C^1$. On suppose qu'on dispose de $x_0\in]a,b[$, $y_0\gt f(x_0)$ et qu'un cercle $C$ de centre $(x_0,y_0)$ passant par $(x_0,f(x_0))$ est au-dessus du graphe de $f$. Montrer que $f'(x_0)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1104]
Soit $M:t\in\R\mapsto\begin{pmatrix}2e^{-t}&(t-1)^2\\ 1&0\end{pmatrix}$.
 - Montrer que l'application $N:A=(a_{i,j})\in\M_2(\R)\mapsto\sup_{1\leq i,j \leq 2}|a_{i,j}|$ est une norme.

Déterminer $\phi(t)=N(M(t))$ et tracer le graphe de $\phi$. La fonction $\phi$ est-elle de classe $\mc C^1$?
 - Déterminer la primitive $\Phi$ de $\phi$ telle que $\Phi(0)=0$. $\Phi$ est-elle $\mc C^1$?
 - Soit $F$ la primitive de $M$ telle que $F(0)=0$. Prouver $\forall t\geq 0,N(F(t))\leq\Phi(t)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1105]
Nature de l'intégrale ${\int_0^{+\i}\frac{\sin\left(x\right)}{\sqrt{x}+\sin\left(x\right)}}$d $x$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1106]
Pour $\alpha\gt 0$ déterminer la nature de ${\int_0^{+\i}\left(1+\ln(\op{sh}x^{\alpha})-2 \op{sh}(\ln(x^{^{\alpha}}+1))\right)dx}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1107]
Nature de ${\int_1^{+\i}\frac{\ln|1-x|\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x^{ \alpha}\left(1+x\right)}dx}$ et ${\int_0^1\frac{\ln|1-x|\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x^{ \alpha}\left(1+x\right)}dx}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1108]
Étudier la convergence de l'intégrale ${\int_0^{+\i}\left|\sin x\right|^x\dx}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1109]
Existence et calcul des intégrales ${I=\int_0^{+\i}\frac{x}{\op{sh}x}\dx}$ et ${J=\int_0^{+\i}\frac{x}{\op{ch}x}\dx}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1110]
On considére ${E=\{f\in\mc C^2([0,1],\R),\ f(0)=f(1)=0\}}$. Soit $f\in E$.
 - Montrer que ${I(f)=\int_0^1\frac{\cos(\pi t)}{\sin(\pi t)}f'(t)f(t)\dt}$ est bien définie, et que

 ${I(f)=\frac{\pi}{2}\int_0^1\frac{f(t)^2}{\sin(\pi t)^2}\dt}$
 - En considérant ${\int_0^1\left(\pi\frac{\cos(\pi t)}{\sin(\pi t)}f(t)-f'(t) \right)^2\dt}$, montrer que

 ${\int_0^1f'(t)^2\dt}\geq\pi^2\int_0^1f(t)^ {2}\dt$.
 - Déterminer les fonctions $f$ pour lesquelles il y a égalité dans  -.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1111]
Soit $p\in\N$. Montrer que la fonction $t\mapsto e^{-\left(t-p\pi\right)^2}\sin(t)$ est intégrable sur $\R$ et que son intégrale est nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1112]
Existence et calcul de $\int_0^{+\i}e^{-t}\left(\ln(t)-\frac{1}{t}+\frac{1}{1-e^{-t}}\right)\, dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1113]
Soit $f\colon\R^+\ra\R$ continue, positive, décroissante et telle que $\int_0^{+\i}f(t)\dt$ converge.

Montrer que $tf(t)\underset{t\ra+\i}{\longrightarrow}0$.  Ind. Considérer $\int_t^{2t}f(x)\dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1114]
Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $\int_0^{+\i}f'(t)^2\dt$ et $\int_0^{+\i}t^2f(t)^2\dt$ convergent. Montrer que $\int_0^{+\i}f(t)^2\dt$ converge et que

$$\int_0^{+\i}f(t)^2\dt\leq\left(\int_0^{+\i}f^{ '}(t)^2\dt\right)^{1/2}\left(\int_0^{+\i}t^2f(t)^2 \dt\right)^{1/2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1115]
Pour $n\in\N^*$, on pose $A_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{x^k}{k}$.
 - Montrer que, pour tout $y\geq 0$, il existe un unique $x\geq 0$ tel que $A_n(x)=y$. On pose $f_n(y)=x$.
 - Étudier la monotonie de $(f_n)_{n\in\N^*}$ et montrer que la suite converge simplement vers une fonction $f$.
 - Montrer que $\forall x\geq 0$, $0\leq f(x)\lt 1$.
 - Montrer que $\forall x\geq 0$, $f(x)=1-e^{-x}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1116]
Soit $f:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}\left(\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n+x}\right)$.
 - Montrer que $f$ est bien définie sur $[\,0\,;1\,]$.
 - Montrer que $f$ est continue et intégrable sur $[\,0\,;1\,]$.
 - Calculer $\int_0^1f(x)\dx$.
 - Montrer que $f$ est dérivable. Est-elle de classe $\mc C^k$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1117]
Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+n^2x^2}$.
 - Déterminer le domaine de définition et de continuité de $f$.
 - Déterminer la limite de $f$ et un équivalent en $+\i$.
 - Déterminer la limite de $f$ et un équivalent en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1118]
Soit $F:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\mathrm{e}^{-n^2x^2}$. Déterminer les limites et équivalents de $F$ en $0$ et en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1119]
Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{x^2}{\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{\left(n-x \right)^2}}+{\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{\left(n+x\right)^2}}$.

On note $(*)$ la propriété $\colon\forall x\in\R\setminus\Z$, $g\left(\dfrac{x}{2}\right)+g\left(\dfrac{x+1}{2}\right)=4g\left(x\right)$.
 - Montrer que $f$ est continue sur $\R\setminus\Z$ et 1-périodique.
 - Montrer que $f$ vérifie $(*)$.
 - Montrer que, si $g$ est continue sur $\R$, 1-périodique et vérifie $(*)$ alors $g$ est nulle.
 - Montrer que, pour tout $x\in\R\setminus\Z$, $f\left(x\right)=\dfrac{\pi^2}{\sin^2\left(\pi x\right)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1120]
Preciser le domaine de définition de $f:x\mapsto\sum_{n\geq 0}e^{-n}e^{in^2x}$. Montrer que l'application $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$. Est-elle développable en série entière?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1121]
Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum e^{-x}\dfrac{x^k}{k!}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1122]
Soit $\alpha\gt 0$. Pour $n\in\N^*$ et $x\gt 0$, on pose $u_n(x)=x^{\alpha}e^{-n^2x}$ puis $f_{\alpha}(x)=\sum_{n=1}^{+\i}u_n(x)$.
 - Montrer que $f_{\alpha}$ est bien définie sur $\R^{+*}$.
 - Trouver les $\alpha$ pour lesquels la série $\sum u_n$ converge normalement sur $\R^{+*}$.
 - Trouver la limite puis un équivalent de $f_{\alpha}(x)$ lorsque $x\ra+\i$.
 - Trouver la limite puis un équivalent de $f_{\alpha}(x)$ lorsque $x\ra 0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1123]
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle telle que $\forall n\geq 2$, $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$.

Trouver $f$ de classe $\mc C^{\i}$ au voisinage de 0 telle que $\forall n\in\N$, $f^{(n)}(0)=a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1124]
Soit $f:x\in\,]-1,1[\,\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{(-1)^n}{x+n}$.
 - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$.
 - Montrer que $f$ est développable en série entière.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1125]
On s'intéresse à la série entière suivante $:f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}u_nx^n$ avec $u_n=\int_1^{+\i}e^{-t^n}\dt$.
 - Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
 - Déterminer le domaine de convergence de la série entière.
 - Déterminer la limite de $f$ à la borne de droite du domaine de convergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1126]
Soit $N$ un entier qui n'est pas un carré parfait. On pose $a=\sqrt{N}$.
 - Montrer qu'il existe une suite d'entiers $(p_n)_{n\in\N}$ telle que $na-p_n\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$.
 - Montrer qu'il existe une constante $c\gt 0$ tels que $\forall n\in\N^*$, $\sin(na\pi)\gt cn^{-1}$. - En déduire le rayon de convergence de $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{x^n}{\sin(n\pi\sqrt{2})}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1127]
On pose $b_0=1$ et, pour $n\in\N$, $b_{n+1}=-\frac{1}{n+2}\sum_{k=0}^n\binom{n+2}{k}b_k$.
 - Montrer que, pour tout $n$, $|b_n|\leq n!$.
 - Pour $|z|\lt 1$, montrer que $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{b_k}{k!}z^k=\frac{z}{e^z-1}$.
 - Montrer que $x\mapsto\op{cotan}(x)-\frac{1}{x}$ est développable en série entière.
 - Quel est le lien entre les deux dernieres questions? On pourra poser $z=2i\pi x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1128]
Soit $S:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{x^n}{\binom{2n}{n}}$.
 - Déterminer le rayon de convergence $R$ de $S$. Montrer que $S$ est solution de l'équation différentielle $x(x-4)y'+(x+2)y=2$.
 - En déduire $S(x)$ pour tout $x\in]0,R[$.
 - Calculer $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{1}{\binom{2n}{n}}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1129]
Montrer qu'il existe une fonction $\phi$ développable en série entière en 0 vérifiant au voisinage de 0 : $\phi'\left(x\right)=x+\phi^2\left(x\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1130]
Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}dt$ et $J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin((2n+1)t)}{t}dt$.
 - Que dire de $I_n$?
 - Montrer que $\left(I_n\right)$ et $\left(J_n\right)$ convergent vers la même limite. Trouver cette limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1131]
Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\int_0^{+\i}\frac{dt}{\left(1+t^2\right)\sqrt[n]{1+t^{ n}}}$. Montrer que chaque intégrale $I_n$ est convergente puis déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1132]
Pour $n\geq 2$, on pose $I_n=\int_1^{+\i}\frac{dt}{1+t+\cdots+t^n}$.

Justifier que $I_n$ existe puis déterminer un équivalent de $I_n$ quand $n\ra+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1133]
Pour $n\in\N$ et $x\in[0,1]$, on pose $f_n(x)=\frac{2^nx}{1+n2^nx^2}$.
 - Étudier la convergence simple de la suite $\left(f_n\right)_{n\in\N}$.
 - Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\int_0^1f_n(x)\dx$. Calculer $I_n$ et $\lim_{n\ra+\i}I_n$.
 - Étudier la convergence uniforme de la suite $\left(f_n\right)_{n\in\N}$ sur $[0,1]$.
 - Donner un développement asymptotique à deux termes de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1134]
Soient $a\gt -1$ et $b\gt 0$. On définit les suites $(I_n)$ et $(J_n)$ par $J_n=\int_0^{+\i}x^ae^{-nx}\dx$ et $I_n=\int_0^{+\i}\frac{x^ae^{-nx}}{\sqrt{1+x^b}}\dx$.
 - Étudier l'existence de $J_n$ et en déduire celle de $I_n$.
 - Déterminer la limite de $(J_n)$.
 - Exprimer $J_n$ à l'aide de la fonction $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$ et retrouver ainsi la limite de la suite.
 - Déterminer un équivalent de $I_n$ à l'aide de $J_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1135]
Montrer : $\int_0^1\frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^{+\i} \frac{{(-1)}^k}{1+kp}$. Calculer $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{{(-1)}^k}{1+k}$, $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{{(-1)}^k}{1+2k}$, $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{{(-1)}^k}{1+3k}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1136]
Pour tout $n\in\N$, on pose $I_n=\int_0^1\ln{(1+t^n)}\dt$.
 - Déterminer la limite de $(I_n)$.
 - Justifier l'existence de $J=\int_0^1\frac{\ln{(1+u)}}{u}du$.
 - Montrer que $I_n\sim\frac{J}{n}$.
 - Montrer que $J=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1137]
 - Montrer que $I=\int_0^{+\i}\frac{\ln(x)}{x^2-1}\dx$ est convergente.
 - On pose $J=\int_0^1\frac{\ln(x)}{x^2-1}\dx$. Montrer que $I=2J$.
 - Exprimer $J$ à l'aide de la somme d'une série.
 - On donne $\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$. Calculer $J$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1138]
On considére $J=\int_0^1\ln(t)\ln(1-t)\dt$.

Montrer que $J$ est bien définie et que $J=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{1}{n(n+1)^2}$. En déduire la valeur de $J$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1139]
Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\mathrm{sh}\,t}{t}e^{-xt}dt$.
 - Déterminer le domaine de définition et la limite en $+\i$ de $F$.
 - Donner une expression simple de $F(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1140]
Étudier $x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{1-\cos(xt)}{t^2}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1141]
Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$.
 - Montr are $F$ est définie sur $\R$ et impaire.
 - Montr are $F$ est dérivable et calculer $F'$.
 - En déduire la valeur de $F(x)$ pour tout $x\in\R$.
 - En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(t^2)}{t^2}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1142]
Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-a^{-bt}}{t}\cos(xt)\dt$, ou $0\lt a\lt b$.
 - Montr are que $f$ est définie sur $\R$ et de classe $\mc C^1$.
 - Montr are qu'il existe une constante $C$ telle que $\forall x\in\R$, $F(x)=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{x^2+b^2}{x^2+a^2}\right)+C$.
 - Déterminer $\lim\limits_{x\ra+\i}F(x)$ et conclure quant à la constante $C$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1143]
Soit $f\colon\R\ra\R$ continue et bornée. Soit $g:x\in\R\mapsto-\frac{1}{2}\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,e^{-|x-t|}\, dt$.
 - Montr are $g$ est définie sur $\R$ et bornée.
 - Montr are que $g$ est de classe $\mc C^2$ et vérifie l'équation différentielle $(*):y''-y=f(x)$.
 - Soit $h\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$ et bornée sur $\R$ vérifiant l'équation $(*)$. A-t-on $g=h\,$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1144]
Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin\left(xt\right)}{t}\mathrm{e}^{-t} dt$. Trouver le domaine de définition de $F$ et exprimer $F$ sans le signe intégral.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1145]
Soit $F:x\mapsto\int_1^{+\i}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t^{x+1}}dt$.
 - Déterminer le domaine de définition de $F$.
 - Montr are $F$.
 - Pour $x\geq 1$, donner l'expression de $F\left(x\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1146]
Pour tout $x\gt 0$, on pose $f\left(x\right)=\int_0^1\ln\left(t\right)\ln\left(1-t^x\right)dt$.
 - La fonction $f$ est-elle bien définie?
 - Écrire $f$ comme la somme d'une série.
 - Déterminer la limite de $f\left(x\right)$ quand $x$ tend vers 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1147]
Pour $x\gt 0$, on pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\mathrm{e}^{-xt}}{\sqrt{t+t^2}}dt$.
 - Calculer $F'\left(x\right)$.
 - Calculer $\lim\limits_{x\ra+\i}F\left(x\right)$, puis déterminer un équivalent de $F$ en $+\i$. - Montrer que $\underset{x\ra 0}{\lim}F\left(x\right)=+\i$, puis déterminer un équivalent de $F$ en 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1148]
Soit $f\in\mc C^0([0,1],\R^{+*})$. Pour $x\gt 0$, on pose $N_f(x)=\left(\int_0^1f(t)^x\dt\right)^{1/x}$.
 - Montrer que $N_f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R^{+*}$.
 - Déterminer la limite de $N_f(x)$ lorsque $x\ra+\i$.
 - Déterminer la limite $\dfrac{1}{x}\left(\int_0^1f(t)^x\dt-1\right)$ lorsque $x\ra 0^+$.
 - Déterminer la limite de $N_f(x)$ lorsque $x\ra 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1149]
Soit $f$ une fonction continue de $[a,b]\times[c,d]$ dans $\R$.

Montrer que $\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)dy\right)dx=\int_c^{ d}\left(\int_a^bf(x,y)\dx\right)dy$.

Ind. Considérer $g:t\mapsto\int_a^b\left(\int_c^tf(x,y)dy\right) dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1150]
Soit $(E):x^2y''+4xy'+2y=\ln\left(1+x\right)$.
 - Trouver les solutions de $(E)$ développables en série entière et déterminer leur rayon de convergence.
 - Écrire ces fonctions à l'aide des fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1151]
Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\mathrm{Tr}(A)\gt 0$. Soit $x\colon\R\ra\R^n$ une fonction de classe $\mc C^1$ telle que : (i) pour tout $t\in\R$, on a $x'(t)=Ax(t)$, (ii) pour tout $i\in\db{1,n}$, on a $\lim_{t\ra+\i}x_i(t)=0$.

Montrer qu'il existe une forme linéaire $\ell\colon\R^n\ra\R$ non nulle telle que $\forall t\in\R,\,\ell(x(t))=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1152]
On définit $E=\mc C^0(\left[0,1\right],\R)$ et $F=\mc C^{\i}(\left[0,1\right],\R)$.

Soit $n\in\N^*$. Pour $u\in E$ et $\left(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\right)\in\R^n$, on considére le systeme d'équations différentielles $(L)\colon\forall i\in\db{1,n}$, $\forall t\in\left[\,0,1\right],x'_i(t)=\lambda_ix_i(t)+u(t)$.
 - Résoudre le systeme $(L)$.
 - Pour $i\in\db{1,n\rrbracket$, on note $\phi_i(u)$ la valeur en $t=1$ de la solution de la $i$-eme équation de $(L)$ qui s'annule en $t=0$. On note $\Phi(u)=(\phi_1(u),\ldots,\phi_n(u))$. Montrer que, pour tout $i\in\llbracket 1,n}$, $\phi_i\in\mc{L}(E,\R)$ et que $\Phi\in\mc{L}(E,\R^n)$.
 - Pour $i\in\db{1,n}$, on définit un élément de $F$ en posant $f_i:s\mapsto e^{\lambda_i(1-s)}$. Montrer que la famille $(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ est libre si et seulement si la famille $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1153]
Soit $f\colon\R^2\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=0$. Déterminer $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1154]
Déterminer les extrema de $f(x,y)=x\ln y-y\ln x$ pour $(x,y)\in(\R^{+*})^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1155]
Trouver les extrema de $f:(x,y)\mapsto x^4+y^4-2(x-y)^2$.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1156]
Une poite contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire des boules, une à une, avec remise, tant que le numéro de la boule tirée est supérieur au précédent. On note $Z$ le nombre de boules tires. Déterminer la loi de $Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1157]
Une urne contient deux boules. L'une est blanche et l'autre est soit blanche soit noire avec probabilité $1/2$. On tire successivement deux boules de l'urne sans remise. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche au second tirage sachant qu'on a tire une boule blanche au premier tirage?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1158]
Soient $a\in\N^*$, $n\in\N^*$ et $N=an$. On dispose de $N$ boules indiscernables et $n$ unres numérotées de $1$ à $n$. On dépose les $N$ boules dans les unres. On note $T_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si l'urne $i$ est vide, et $0$ sinon. On note $Y_n$ le nombre d'urnes vides et $S_n=\dfrac{1}{n}Y_n$.
 - Donner la loi de $T_i$. Calculer l'espérance et la variance de $T_i$.
 - Calculer l'espérance et la variance de $S_n$. Étudier les limites de $(\mathbf{E}(S_n))$ et $(\mathbf{V}(S_n))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1159]
Une panier contient $r$ pommes rouges et $v$ pommes vertes. On mange les pommes une à une, on s'arrête lorsqu'on a mange toutes les pommes vertes. Déterminer la probabilité d'avoir mange toutes les pommes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1160]
On repartit $N$ objets dans $N-1$ boites. Probabilité pour qu'aucune boite ne soit vide?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1161]
La durée de vie (en jours) d'une ampoule suit la loi géométrique de paramêtre $\dfrac{1}{2}$.
 - Quelle est la durée de vie moyenne de cette ampoule?
 - L'ampoule à deja vecu $n$ jours. Quelle est la durée de vie moyenne de cette ampoule à partir du $n$-eme jour?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1162]
On considére deux des et, pour $i\in\db{1,6}$, on note $p_i$ (respectivement $q_i$) la probabilité que le premier de (respectivement le second de) donne le résultat $i$. On note $P$ et $Q$ les fonctions generatrices des deux des. On note $R$ la fonction generatrice de la somme des deux des.
 - Donner $R$.
 - On suppose d'orenavant que $R$ est egale à la fonction generatrice de la somme de deux des non pipes.
 - Quelles sont les racines de $R$?
 - Montrer que les deux des ne sont pas pipes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1163]
Dans un magasin, on a $n$ caisses et $np$ clients. Chaque client choisit une caisse de facon indépendante et avec la même probabilité pour chacune des caisses. On note $X_i$ le nombre de clients à la caisse numéro $i$.
 - En écrivant $X_i$ comme une somme de variables aléatoires indépendantes, déterminer la loi, l'espérance et la variance de $X_i$.
 - Pour $(i,j)\in\db{1\,;\,n}^2$, calculer $\op{Cov}(X_i,X_j)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1164]
Soient $A$ et $B$ deux évènements. Montrer que $|\mathbf{P}(A)\mathbf{P}(B)-\mathbf{P}(A\cap B)|\leq\dfrac{1}{4}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1165]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N^*$ telles que, pour tout $n\in\N^*$, la loi de $X$ sachant $(Y=n)$ est la loi uniforme sur $\db{1,n}$.
 - Montrer que $Y+1-X$ et $X$ ont même loi.
 - On suppose $X$ suit la loi géométrique $\mc{G}(p)$. Montrer que $X$ et $Y+1-X$ sont indépendantes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1166]
 - On munit l'ensemble des fonctions $f\colon\db{1,n\rrbracket\ra\llbracket 1,n-1}$ de la loi uniforme. Déterminer la probabilité pour que $f$ soit surjective.
 - Même question avec $f\colon\db{1,n\rrbracket\ra\llbracket 1,n-2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1167]
Soient $U$ une variable aléatoire discrete, $n$ et $\ell$ deux entiers naturels tels que $n\geq\ell+3$ et $\mathbf{P}\left(U\gt n\right)\mathbf{P}\left(U\gt \ell\right)\gt 0$. On pose $Y=\left\lfloor\frac{U}{2}\right\rfloor$ et $Z=\left\lfloor\frac{U+1}{2}\right\rfloor$.
 - Montrer que $Y$ et $Z$ ne sont pas indépendantes.
 - On suppose que $U\sim\mc{B}\left(n,p\right)$ avec $n\geq 4$ pair. Montrer que $Y$ ne suit pas une loi binomiale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1168]
Soit $Z$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$ telle que $|Z|+1\sim\mc{G}(p)$ et telle que $\forall n\in\Z,\mathbf{P}(Z=n)=\mathbf{P}(Z=-n)$. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}0&Z&Z\\ Z&0&1\\ 1&1&0\end{array}\right)$.
 - Déterminer la loi du rang de $A$.
 - Déterminer la probabilité pour que $A$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1169]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramêtres $p$ et $q$ respectivement. En notant $M=\left(\begin{array}{cc}X&1\\ 0&Y\end{array}\right)$, donner la probabilité pour $M$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1170]
Soit $M=(X_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice aléatoire réelle ou les $(1+X_{i,j})$ sont i.i.d. de loi $\mc{G}(p)$ avec $p\in]0,1[$.
 - Déterminer la probabilité que $M$ soit symétrique.
 - Déterminer la probabilité que $M$ soit orthogonale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1171]
Soit $a$ un réel. On pose $g:t\mapsto\frac{a\,e^t}{2-t}$.
 - Montrer qu'il existe une unique valeur de $a$ pour laquelle il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ dont $g$ soit la fonction generatrice.

On suppose maintenant que $a$ est egal à cette valeur et que $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ dont $g$ est la fonction generatrice.
 - Trouver la probabilité que $X$ soit pair.
 - Quelle est la probabilité que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}X&X&0\\ -X&-X&0\\ X&X&0\end{array}\right)$ soit diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1172]
Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $(\N^*)^2$. On suppose que $X\leq Y$, que $\forall i\in\N^*,\mathbf{P}(Y=i)\gt 0$, $\forall 1\leq k\leq i,\mathbf{P}(X=k|Y=i)=\dfrac{1}{i}$. Montrer que $X$ et $Y-X+1$ ont la même loi.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1173]
Soient $n\in\N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $M=(X_iX - {1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}$.
 - Déterminer la loi du rang de $M$, de la trace de $M$.
 - Quelle est la probabilité que $M$ soit un projecteur?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1174]
Soit $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\forall n$, $\mathbf{P}\left(T\gt n\right)\gt 0$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $\theta_n=\mathbf{P}\left(T=n\,|\,T\geq n\right)$.
 - Montrer que $\forall n\in\N$, $\theta_n\in[0,1[$.
 - Exprimer $\theta_n$ en fonction de $\mathbf{P}\left(T\geq n\right)$. En déduire que $\sum\theta_n$ diverge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1175]
Soient $n\in\N^*$ et $p\in\,]0,1]$.
 - Soit $U$ une variable aléatoire telle que $U\sim\mc{B}\left(n,p\right)$. Déterminer la fonction generatrice de $U$.
 - Soient $Y$ et $Z$ deux variables aléatoires dicretes indépendantes telles que $U=Y+Z$ et $U\sim\mc{B}\left(n,p\right)$. Montrer que $Y$ et $Z$ suivent des lois binomiales (pas nécessairement de memes paramêtres).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1176]
 - Soit $r\in\N^*$ et $x\in\,]\,-1\,;1\,[$. Montrer que $\sum_{n=r-1}^{+\i}\binom{n}{r-1}x^{n-r+1}=\dfrac{1}{(1-x)^r}$.
 - Soit $(U_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi $\mc{B}(p)$. Soit $X$ le rang du $r$-eme succès. Quelle est la loi de $X$? Déterminer $\mathbf{E}(X)$, $\mathbf{E}(X(X+1))$ et $\mathbf{V}(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1177]
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$.
 - Montrer que $\mathbf{P}(X\geq\lambda+1)\leq\lambda$.
 - Montrer que $\mathbf{P}\!\left(X\leq\dfrac{\lambda}{3}\right)\leq\dfrac{9}{4\lambda}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1178]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discretes à valeurs strictement positives indépendantes et suivant la même loi. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1179]
 - Montrer qu'il existe une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ telle que, pour tout $n\in\N^*$, $\mathbb{P}(Y=n)=\dfrac{1}{n(n+1)}$.
 - Si $X\colon\Omega\ra\N^*$ est un variable aléatoire telle que $X(\Omega)=\N^*$, on définit le_taux de defaillance_ de $X$ pour $n\in\N^*$ par $x_n=\mathbb{P}(X=n|X\geq n)$.
 - Pour $n\in\N^*$, montrer que $\mathbb{P}(X\geq n)=\prod_{k=1}^{n-1}(1-x_k)$.
 - En déduire $\mathbb{P}(X=n)$ en fonction des $x_k$ pour $n\in\N^*$.
 - Quelle variable aléatoire admet un taux de defaillance constant à partir du rang $1$?
 - Calculer le taux de defaillance de la variable $Y$ introduite à la première question.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1180]
Soit $(p_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $]0,1[$ tel que la série $\sum p_n$ converge. Pour tout $n\in\N$, soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramêtre $p_n$. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nX_k$ et $S=\sum_{k=0}^{+\i}X_k$.
 - Soit $k\in\N$. Exprimer l'évènement $(S\geq k)$ à l'aide des évènements $(S_n\geq k)$. En déduire que $S$ est une variable aléatoire.
 - Montrer que $S$ est presque-surement finie.
 - Montrer que $S$ admet une espérance et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1181]
Soient $p\in]0,1[$ et $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant la loi géométrique de paramêtre $p$.

Pour $n\in\N^*$, on pose $M_n=\max\{X_1,\ldots,X_n\}$.
 - Montrer que $\mathbf{E}(M_n)=\sum_{k=0}^{+\i}1-(1-q^k)^n$ ou $q=1-p$.
 - Soit $f_n:t\mapsto 1-(1-q^t)^n$. Montrer que $f_n$ est intégrable sur $\R^+$ et donner un équivalent de $\int_0^{+\i}f_n(t)\dt$ lorsque $n\ra+\i$.
 - En déduire un équivalent de $\mathbf{E}(M_n)$ lorsque $n\ra+\i$.
#+end_exercice

* Centrale - MP                                                        :cent:
** Algèbre

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1182]
Un entier $n\geq 2$ est un faux premier (FP) s'il n'est pas premier et si, pour tout $a\in\Z$ premier à $n$, $a^{n-1}\equiv 1\;[n]$.
 - Montrer que, si $n$ est FP, $n$ est impair.
 - On suppose que $n$ s'écrit $\prod_{i=1}^rp_i$ ou $r\geq 2$, les $p_i$ sont des nombres premiers impairs distincts tels que, pour tout $i\in\db{1,r},p_i-1$ divise $n-1$. Montrer que $n$ est FP.
 - On admet que, pour tout $p$ premier impair et tout $v\in\N^*$, le groupe multiplicatif $(\Z/p^v\Z)^{\times}$ est cyclique. En déduire la réciproque de la question précédente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1183]
Soient $G$ un groupe admettant un nombre fini de generateurs, $H$ un groupe fini, $f:G\ra G$ un morphisme de groupes surjectif et $g:G\ra H$ un morphisme de groupes.
 - Montrer que l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ vers $H$ est fini.
 - Soit $a\in\mathrm{Ker}\,f$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $b_n\in G$ tel que $f^n(b_n)=a$, puis calculer $g\circ f^m(b_n)$ pour tout $m\gt n$.
 - Montrer que $\mathrm{Ker}\,f\subset\mathrm{Ker}\,g$.
 - On pose $\Gamma=\{M\in\M_2(\Z),\ \det M=1\}$. Montrer que $\Gamma$ est un groupe, engendre par les matrices $S=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}$ et $T=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$.
 - Montrer que tout endomorphisme surjectif de $\Gamma$ est bijectif.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1184]
On note $\mathbb{U}$ le groupe des nombres complexes de module $1$. Soit $q$ un entier $\geq 2$ fixe. On pose $H_q=\left\{z\in\C\ ;\ \exists n\in\N,\ z^{q^n}=1\right\}$.
 - Montrer que $H_q$ est un sous-groupe dense de $\mathbb{U}$.
 - Soit $f$ un endomorphisme du groupe $H_q$, continu en $1$. Montrer que $f$ se prolonge de maniere unique en un endomorphisme continu $\overline{f}$ du groupe $\mathbb{U}$.
 - En déduire qu'il existe $m\in\Z$ tel que $f(z)=z^m$ pour tout $z\in H_q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1185]
 - Rappeler, pour tous $P,Q\in\C[X]$, la définition de $P\circ Q$ et preciser le degré de de ce polynôme.
 - Montrer que seuls les polynômes de degré 1 possèdent un inverse pour la loi $\circ$.
 - On pose $P=X^2+\alpha$ avec $\alpha\in\C$. Montrer qu'il existe au plus un polynôme de degré $n$ qui commute avec $P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1186]
 - Soit $I$ un idéal de $\Q[X]$ distinct de $\{0\}$. Montrer qu'il existe un polynôme $\mu\in\Q[X]$ tel que $I=\mu\Q[X]$.
 - Soit $\lambda\in\C$. Montrer que $I_{\lambda}=\{P\in\Q[X],\ P(\lambda)=0\}$ est un idéal de $\Q[X]$.
 - Soit $P\in\Q[X]$ irreductible. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples.
 - Soient $P\in\Q[X]$ et $\lambda\in\C$ racine de $P$ avec multiplicité $m\gt \dfrac{\deg P}{2}$. Montrer que $\lambda\in\Q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1187]
 - Rappeler la définition d'une $\mathbb{K}$-algèbre et d'un endomorphisme de $\mathbb{K}$-algèbre.
 - Soit $\phi$ un endomorphisme de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}(X)$. Montrer que $\phi(X)\neq 0$.
 - Déterminer les endomorphismes de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}(X)$.
 - Déterminer les automorphismes de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}(X)$.
#+end_exercice

# ID:8136
#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1188]
Soit $n\in\N^*$. Pour $A,B\in\M_n(\C)$, on pose $[A,B]=AB-BA$.

Soit $E=\{[A,B],(A,B)\in\M_n(\C)^2\}$.
 - Montrer que $\op{tr}(M)=0$ pour toute matrice $M\in E$.
 - Montrer que l'ensemble $E$ est stable par similitude matricielle et par multiplication par un scalaire.
 - Montrer qu'une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
 - Montrer que $E$ est egal à l'ensemble des matrices de trace nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1189]
Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $G$ un sous-groupe fini de $\op{GL}(E)$, $p=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g$, $V^G=\{x\in E\ ;\ \forall g\in G,\ g(x)=x\}$.
 - Montrer que, si $h\in G$, $g\in G\mapsto h\circ g\in G$ est une bijection de $G$ sur lui-meme, puis que $p$ est un projecteur.
 - Montrer que $\text{dim}(V^G)=\dfrac{1}{|G|}\sum\op{tr}(g)$.
 - Montrer que tout sous-espace $V$ de $E$ stable par tous les éléments de $G$ admet un supplementaire stable par tous les éléments de $G$. On pourra partir d'un projecteur $q$ de $E$ sur $V$ et considérer $\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g\circ q\circ g^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1190]
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$ et $u\in\mc{L}(E)$.
 - Calculer, en fonction de $\op{tr}u$ et de $\op{tr}(u^2)$, les coefficients de $X^{n-1}$ et de $X^{n-2}$ du polynôme caractéristique de $u$.
 - On suppose $u$ de rang $2$.
 - Montrer que l'on peut écrire $\chi_u=X^{n-2}P(X)$, ou $P$ est un polynôme de degré $2$ dont on precisera les coefficients en fonction de $\op{tr}u$ et $\op{tr}(u^2)$.
 - à quelle condition l'endomorphisme $u$ est-il trigonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1191]
Pour $a\in\Z$, on pose $S_a=\begin{pmatrix}1&a\\ 0&-1\end{pmatrix}$ et $T_a=\begin{pmatrix}1&a\\ 0&1\end{pmatrix}$.
 - Donner le lien entre l'inverse d'une matrice carrée inversible et sa comatrice.
 - Montrer que $\op{GL}_2(\Z)$ (ensemble des matrices de $\M_2(\Z)$ inversibles et dont l'inverse est à coefficients dans $\Z$) est un groupe et que $S_a,T_a\in\op{GL}_2(\Z)$ pour tout $a\in\Z$.
 - Que vaut $T_bS_aT_b^{-1}$ pour $a,b\in\Z$?
 - Soit $M\in\M_2(\Z)$ de polynôme caractéristique $X^2-1$. Montrer qu'il existe $P\in\op{GL}_2(\Z)$ tel que $M=PS_0P^{-1}$ ou $M=PS_1P^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1192]
Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$.
 - Cours : lemme des noyaux (avec demonstration).
 - Soit $u$ et $v$ deux symétries telles que $u\circ v=-v\circ u$. Montrer que $n$ est pair.
 - On pose $n=2p$. Montrer qu'il existe une base $\mc{B}$ de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont respectivement : $\begin{pmatrix}I_p&0\\ 0&-I_p\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0&I_p\\ I_p&0\end{pmatrix}$.
 - Quels sont les entiers $k$ pour lesquels il existe des symétries $s_1,\ldots,s_k$ vérifiant :

 $\forall(i,j)\in\db{1,k}^2,\ (i\neq j\implies s_i\circ s_j=-s_j\circ s_i)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1193]
 - Montrer que les valeurs propres d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie sont les racines de son polynôme caractéristique.
 - Montrer que, pour $p,q\in\Q$ avec $p\neq q$, il existe $a,b,c\in\Z$ premiers entre eux dans leur ensemble tels que $p=a/c$ et $q=b/c$.
 - Existe-t-il $x,y,z\in\Z$ premiers entre eux tels que $x^2+y^2=3z^2$?
 - Existe-t-il $M\in\M_2(\Q)$ symétrique dont $\sqrt{2}$ est valeur propre?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1194]
 -  Pour $A\in\M_n(\mathbb{K})$, rappeler la définition des polynômes minimal $\pi_A$ et caractéristique $\chi_A$.
 - Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\pi_A$ pour que $A$ soit trigonalisable.
 - Donner la définition et la dimension du sous-espace caractéristique de $A$ associe à la valeur propre $\lambda$.
 - Soient $k\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$.
 - Montrer que, si $\chi_A$ est scindé, alors $\chi_{A^k}$ l'est aussi.
 - Trouver un contre-exemple à la réciproque.

Ind. On pourra examiner le cas des rotations.
 - On suppose $\chi_{A^2}$ scindé à racines dans $\R^+$. Montrer que $\chi_A$ est scindé sur $\R$.
 - Soit $A\in\M_n(\C)$. On suppose : $\forall X\in\C^n,\ \exists p\in\N^*,\ A^pX=X$. Montrer que $A$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1195]
Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On note $\chi_A=\sum_{i=0}^na_iX^{n-i}$ et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ les valeurs propres de $A$.
 - Donner et démontrer la décomposition en éléments simples de $P'/P$.

En déduire que : $\forall x\in{\C}\setminus{\rm Sp}(A),\ \frac{\chi'_A(x)}{ \chi_A(x)}={\rm tr}\big((xI_n-A)^{-1}\big)$.
 - Pour tous $j\in\db{0,n}$ et $x\in{\C}$, on pose $B_j=\sum_{i=0}^ja_iA^{j-i}$ puis $Q(x)=\sum_{j=1}^nx^{n-j}B_{j-1}$.

Montrer que $Q(x)(xI_n-A)=\chi_A(x)I_n$ et ${\rm tr}\big(Q(x)\big)=\chi'_A(x)$.
 - Pour tout $k\in\db{0,n-1]\!]$, on pose $S_k=\sum_{j=1}^n\lambda_j^k$. Montrer que : $\forall j\in[\![0,n-1}$,

$$\sum_{i=0}^ja_iS_{j-i}=(n-j)a_j.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1196]
Soient $n\in{\N}^*$ et $S_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ à coefficients dans ${\Z}$ dont toutes les racines complexes ont un module majore par $1$.

Soit $P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0\in S_n$.

On note $z_1,...,z_n$ les racines de $P$ eventuellement confondues.
 - - Rappeler les relations coefficients-racines pour un polynôme complexe.
 - Montrer que $\forall k\in\db{0,n-1}$, $|a_k|\leq\binom{n}{k}$.
 - Conclure que $S_n$ est fini.
 - Montrer que $P$ est le polynôme caractéristique de la matrice
 - - Montrer que $\forall p\in{\N},\ \exists Q_p\in S_n,\ \forall 1\leq i \leq n,Q_p(z_i^p)=0$.
 - Conclure que les racines non nulles de $P$ sont de module $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1197]
Soient $n\in{\N}^*$ et $p$ un entier premier impair. On note ${\rm GL}_n({\Z})$ l'ensemble des matrices $M\in{\rm GL}_n({\R})$ telles que $M$ et $M^{-1}$ sont à coefficients entiers.
 -  Rappeler la définition de la comatrice.
 - Montrer que ${\rm GL}_n({\Z})$ est l'ensemble des matrices de ${\cal M}_n({\Z})$ dont le déterminant vaut $\pm 1$.
 - Soit $M\in{\cal M}_n({\C})$. On suppose qu'il existe $k\in{\N}^*$ tel que $M^k=I_n$ et que $A=\frac{1}{p}(M-I_n)\in{\cal M}_n({\Z})$. Montrer que $M=I_n$.
 - Déterminer un majorant des cardinaux des sous-groupes finis de ${\rm GL}_n({\Z})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1198]
 - Si $n\in{\N}^*$, montrer que le groupe ${\rm GL}_n({\Z})$ des inversibles de l'anneau ${\cal M}_n({\Z})$ est l'ensemble des $M\in{\cal M}_n({\Z})$ de déterminant $\pm 1$. - Pour $a\in\Z$, soient $T_a=\left(\begin{array}{cc}1&a\\ 0&1\end{array}\right)$ et $S_a=\left(\begin{array}{cc}1&a\\ 0&-1\end{array}\right)$. Pour $a\in\Z$ et $b\in\Z$, calculer $T_bS_a{T_b}^{-1}$.
 - Soit $M\in\M_2(\Z)$ telle que $M^2=I_2$. Montrer qu'il existe $P\in\text{GL}_2(\Z)$ telle que $PMP^{-1}\in\{S_0,S_1\}$.
 - Existe-t-il $Q\in\text{GL}_2(\Z)$ telle que $S_1=QS_0Q^{-1}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1199]
 - Rappeler le theoreme de Cayley-Hamilton et le prouver dans le cas diagonalisable. Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $\op{Sp}(A)\cap\op{Sp}(B)=\emptyset$.
 - Montrer que $\chi_A(B)$ et $\chi_B(A)$ sont inversibles.
 - Montrer que, pour toute matrice $C\in\M_n(\C)$, il existe une unique matrice $D\in\M_n(\C)$ telle que $AD-DB=C$.
 - Soit $C\in\M_n(\C)$.
 - Montrer que les matrices $\left(\begin{matrix}A&C\\ 0&B\end{matrix}\right)$ et $\left(\begin{matrix}A&0\\ 0&B\end{matrix}\right)$ sont semblables.
 - En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les matrices $A$ et $B$ pour que $\left(\begin{matrix}A&C\\ 0&B\end{matrix}\right)$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1200]
 - Rappeler les définitions de morphisme de groupes et d'ordre d'un élément.

On appelle representation de degré $n$ un morphisme de groupes de $\mc{S}_3$ dans $\text{GL}_n(\C)$.
 - Soit $f$ une representation de $\mc{S}_3$. Soit $\sigma$ un élément de $\mc{S}_3$. Montrer que $f(\sigma)$ est diagonalisable. Montrer que l'image de $f$ est entièrement déterminée par l'image de la transposition $(1\ 2)$ et du cycle $(1\ 2\ 3)$.
 - Donner les representations de degré $1$.
 - Donner un exemple de representation de degré $3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1202]
Soit $M\in\M_n(\R)$ à coefficients positifs et telle que la somme des coefficients sur chaque ligne vaut $1$.
 - Montrer que $1$ est valeur propre de $M$ puis que toute valeur propre complexe de $M$ vérifie $|\lambda|\leq 1$.
 - On suppose que tous les coefficients diagonaux de $M$ sont strictement positifs. Montrer que $1$ est la seule valeur propre de $M$ de module $1$.
 - Montrer que $\op{Ker}(M-I_n)^2=\op{Ker}(M-I_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1203]
Soit $A\in\M_n(\C)$. On designe par $\mu_A$ son polynôme minimal.
 - Montrer que tout idéal de $\C[X]$ est de la forme $P\C[X]$, ou $P\in\C[X]$.
 - Pour $x\in\M_{n,1}(\C)$ non nul, on note $\mu_{A,x}$ le generateur unitaire de l'idéal annulateur ponctuel $\{P\in\C[X],\ P(A)x=0\}$. Montrer qu'il existe $x\in\M_{n,1}(\C)$ tel que $\mu_{A,x}=\mu_A$. - Soit $A$ une matrice diagonale par blocs dont la diagonale vaut $(A_1,A_2)$ ou $A_1$ et $A_2$ sont des matrices de Frobenius (compagnon) et $\chi_{A_1}\wedge\chi_{A_2}=1$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de Frobenius.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1204]
 - Définir l'exponentielle d'une matrice de $\M_n(\C)$.

Pour $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$, montrer que $\exp(P^{-1}AP)=P^{-1}\exp(A)P$.
 - Soit $B\in\mathrm{GL}_n(\C)$ diagonalisable. Montrer qu'il existe $A\in\M_n(\C)$ telle que $B=\exp(A)$.
 - Montrer qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $B=\exp\bigl(P(B)\bigr)$.
 - Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\C)$. On suppose que $M=I_n+A$ avec $A$ nilpotente. Montrer qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $M=\exp\bigl(P(M)\bigr)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1205]
 - Justifier la définition de l'exponentielle de matrice.
 - Calculer $\exp(A)$ pour $A=\begin{pmatrix}0&t\\ -t&0\end{pmatrix}$ et $t\in\R$.
 - Considérons une matrice $A$ diagonalisable. Calculer $\exp(A)$ en utilisant des matrices de passage. Montrer que $\exp(A)\in\mathbb{K}[A]$.
 - Dans cette question, on admet l'existence et l'unicité de la décomposition de Jordan-Dunford. En notant $D+N$ la décomposition de Jordan-Dunford de $A$, montrer que la décomposition de $\exp(A)$ est $\exp(D)+\exp(D)(\exp(N)-I_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1206]
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$.
 - Montrer que, pour tout hyperplan $H$ de $E$, il existe $a\in E$ tel que $H=\mathrm{Vect}(a)^{\perp}$.
 - Soit $(x_0,\ldots,x_n)$ une famille de vecteurs unitaires de $E$ tels que $\langle x_i,x_j\rangle=\alpha$ pour tous $i\neq j$, ou $\alpha$ est un réel strictement negatif fixe. Déterminer $\alpha$.
 - Montrer l'existence d'une telle famille.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1207]
Soient $n\in\N\setminus\{0,1\}$ et $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$. On considére une base orthonormale $\mc{B}=(e_1,\ldots,e_n)$ et deux familles $(x_1,\ldots,x_n)$ et $(y_1,\ldots,y_n)$ d'éléments de $E$. On note respectivement $A$ et $B$ les matrices representatives des familles précédentes dans la base $\mc{B}$.
 -  Exprimer les coordonnées et la norme d'un vecteur $x$ de $E$ à l'aide des éléments de $\mc{B}$.
 - Explorer les coefficients de $A$, $B$ et $A^TB$ à l'aide de produits scalaires.
 - On suppose ici que $(x_1,\ldots,x_n)$ est une base de $E$. D'eduire de la question précédente que l'on peut choisir $y_1,\ldots,y_n$ de telle sorte que $\langle x_i,y_j\rangle=\delta_{i,j}$. Montrer que, ainsi choisis, $(y_1,\ldots,y_n)$ est une base de $E$.
 - On suppose ici que :

(i) $\forall i\in\db{1,n}$, $\|x_i\|=1$ et $\forall i\neq j$, $\langle x_i,x_j\rangle\lt 0$,

(ii) $\exists v\in E,\ \forall i\in\db{1,n},\ \langle x_i,v\rangle\gt 0$.

Montrer que $(x_1,\ldots,x_n)$ est une base de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1208]
 - Rappeler le procede d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
 -  Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe $O\in\mc{O}_n(\R)$ et $T$ triangulaire supérieure telles que $M=OT$. - Soient $M\in\M_n(\R)$, $C_1$,..., $C_n$ ses colonnes. Montrer que $|\mathrm{det}(M)|\leq\prod_{i=1}^n\lVert C_i\rVert$.  - On suppose que le résultat précédent est vérifie pour des matrices dans $\M_n(\C)$ avec le produit scalaire hermitien $((x_1,\ldots,x_n),(w_1,\ldots,w_n))\mapsto\sum_{k=1}^nx_i \overline{w_i}$.

Soit $\overline{\mathbb{D}}=\{z\in\C,\ |z|\leq 1\}$. Trouver le maximum et les points realisant le maximum de $f:(z_1,\ldots,z_n)\in\overline{\mathbb{D}}^n\mapsto\prod_{1\leq i\lt j \leq n}|z_i-z_j|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1209]
On note $E$ l'ensemble des fonctions réelles, continues et de carré intégrable sur $\R^+$.  - - Définir la notion de fonction intégrable sur $[0,+\i[$.
 - Montrer que, pour $f,g\in E$, $fg$ est intégrable et en déduire que $E$ est un $\R$-espace vectoriel.
 - Pour $(f,g)\in E^2$, on pose $\langle f,g\rangle=\int_0^{+\i}fg$.
 - Montrer que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $E$.
 - Soit $f\in E$ de classe $\mc C^2$ telle que $f''\in E$. Montrer que $f'\in E$.
 - Exprimer $\langle f',f'\rangle+\langle f,f''\rangle$, $\langle f,f'\rangle$, $\langle f',f''\rangle$ en fonction de $f(0)$ et $f'(0)$.
 - On pose $A=\left(\begin{array}{ccc}\langle f,f\rangle&\langle f',f\rangle& \langle f'',f\rangle\\ \langle f,f'\rangle&\langle f',f'\rangle&\langle f^{ ''},f'\rangle\\ \langle f,f''\rangle&\langle f',f''\rangle& \langle f'',f''\rangle\end{array}\right)$.

Montrer que $\mathrm{det}(A)\geq 0$ et étudier le cas d'égalité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1210]
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien.
 - Montrer que toutes les valeurs propres d'une isométrie vectorielle de $E$ sont de module $1$.
 - Soit $u\in\mc{L}(E)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $1$ et vérifiant : $\forall x\in E$, $\lVert u(x)\rVert\leq\lVert x\rVert$. Montrer que $\mathrm{Ker}(u-\mathrm{Id}_E)$ et $\mathrm{Im}(u-\mathrm{Id}_E)$ sont en somme directe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1211]
Pour tout $t\in\left]-1,1\right[$, on note $\omega(t)=\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$. Pour $(P,Q)\in\R_n[X]^2$, on pose $\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)\omega(t)\dt$.
 - Montrer que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $\R_n[X]$.
 - On pose $\phi:P\in\R_n[X]\mapsto(X^2-1)P''+(2X+1)P'$. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme autoadjoint de $\R_n[X]$.
 - Déterminer ses valeurs propres.
 - Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres de degrés echelonnes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1212]
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que $a_{i,j}=2$ si $i=j$, $a_{i,j}=-1$ si $|i-j|=1$ ou $|i-j|=n-1$, $a_{i,j}=0$ sinon.
 - Montrer que les sous-espaces propres d'une matrice symétrique sont orthogonaux.
 - Montrer que $A$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont réelles.
 - Montrer que le spectre de $A$ est inclus dans $[0,4]$.
 - Lister les valeurs propres de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1213]
Soit $n\in\N^*$. On note $\Omega=\{M\in\M_n(\R),\;I_n+M\in\mathrm{GL}_n(\R)\}$.
 - Montrer que $(\mc{O}_n(\R),\times)$ est un groupe.
 - Montrer que $\mc{A}_n(\R)\subseteq\Omega$.

On pose $f:M\in\Omega\mapsto(I_n-M)(I_n+M)^{-1}$.
 - Montrter que, pour tout $M\in\mc{O}_n(\R)\cap\Omega$, $f(M)\in\mc{A}_n(\R)$ et $f(f(M))=M$.
 - Montrter que, pour tout $M\in\M_n(\R)$, il existe une matrice diagonale $J$ à coefficients diagonaux dans $\{-1,1\}$ telle que $\det(M+J)\neq 0$.

Ind. On pourra faire une récurrence et comparer deux déterminants.
 - Soit $M\in\mc{O}_n(\R)$. Montrter qu'il existe une matrice diagonale $J$ à coefficients diagonaux dans $\{-1,1\}$ et $A\in\mc{A}_n(\R)$ telles que $M=Jf(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1214]
Soient $A$ une matrice réelle antisymétrique de taille $n$ et $f$ l'endomorphisme de $\R^n$ canoniquement associe.
 -  Enoncer le theoreme du rang.
 - On suppose $A$ inversible. Montrter que $n$ est pair.
 - On suppose $\R^n$ muni de son produit scalaire canonique. Que dire de $f^*$?
 -  Montrter que $A$ est semblable à une matrice de la forme $A'=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&A''\end{pmatrix}$ ou $A''$ est inversible.
 - En déduire que le rang de $A$ est pair.
 - On suppose $n$ pair et l'on prend une autre matrice antisymétrique $B$ dans $\M_n(\R)$. Montrter que les sous-espaces propres de $AB$ sont de dimension supérieure à $2$.

Ind. On pourra commencer par le sous-espace propre associe à la valeur propre nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1215]
 - Rappeler la définition d'un matrice symétrique définie positive. Caractérisation a l'aide du spectre?
 - Montrter que l'exponentielle définit une bijection continue de $\mc{S}_n(\R)$ sur $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
 - Montrter que sa réciproque est continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1216]
 - Rappeler la définition d'une matrice définie positive. Caractérisation a l'aide du spectre?
 - Soit $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$.
 - Montrter qu'il existe $R\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ telle que $A=R^2$.
 - Montrter son unicité. On la note $\sqrt{A}$.

Ind. Considérer les sous-espaces propres de l'endomorphisme canoniquement associe à $A$.
 -  Soient $A$ et $B\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrter que l'équation $XA^{-1}X=B$ admet une unique solution dans $\mc{S}_n^+(\R)$ qui est : $A\#B=\sqrt{A}\sqrt{\sqrt{A^{-1}}B\sqrt{A^{-1}}}\sqrt{A}$ (moyenne géométrique de $A$ et $B$).
 - Montrter les relations : $A\#A=A$, $A\#B=B\#A$, $(A\#B)^{-1}=A^{-1}\#B^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1217]
Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels euclidiens de dimensions respectives $n$ et $m$.
 - Soit $u\in\mc{L}(E,F)$. Montrter qu'il existe un unique $u^*\in\mc{L}(F,E)$ tel que $\forall x\in E,\forall y\in F$, $\left\langle u(x),y\right\rangle_F=\left\langle x,u^*(y)\right\rangle_E$.
 - Montrter que $u^*u$ est autoadjoint positif. - Soit $M\in\M_{m,n}(\R)$ de rang $r$. Montrer qu'il existe $P\in\mc{O}_m(\R)$, $Q\in\mc{O}_n(\R)$ et $\sigma_1,\ldots,\sigma_r\in\R^{+*}$ tels que $(PMQ)_{i,i}=\sigma_i$ si $i\leq r$, les autres coefficients etant nuls.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1218]
Soit $E$ un espace euclidien.
 - Soit $s\in\mc{S}^+(E)$. Montrer qu'il existe un unique $r\in\mc{S}^+(E)$ tel que $s=r^2$.
 - Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que $\forall x\in\mathrm{Ker}(u)^{\perp}$, $\left\|u(x)\right\|=\left\|x\right\|$.
 - Montrer que $\forall x,y\in\mathrm{Ker}(u)^{\perp}$, $\left\langle u(x),u(y)\right\rangle=\left\langle x,y\right\rangle$.
 - Montrer que $u^*u$ est le projecteur orthogonal sur $\mathrm{Ker}(u)^{\perp}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1219]
 - Soit $M\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $M\in\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si $\mathrm{sp}(M)\subset\R^+$.
 - Soit $M\in\mc{S}_n(\R^+)$ c'est-a-dire symétrique à coefficients positifs. Est-ce que toutes les valeurs propres de $M$ peuvent être strictement negatives? Peut-on trouver $M$ avec une unique valeur propre strictement positive?
 - Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $X_1,\ldots,X_n$ une base orthonormée de vecteurs propres associes aux valeurs propres $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. Pour $\alpha\in\R$ on pose $B(\alpha)=\left(\begin{array}{cc}A&\alpha X_n\\ \alpha X_n^T&0\end{array}\right)$. Montrer que $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}$ sont valeurs propres de $B(\alpha)$ et exprimer les deux restantes en fonction de $\lambda_n$ et $\alpha$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1220]
Soient $E$ un espace euclidien et $u,v$ dans $\mc{S}(E)$ avec $u\in\mc{S}^{++}(E)$.
 - Caractériser spectralement le fait que $u\in\mc{S}^{++}(E)$.
 - Montrer qu'il existe un unique $w\in\mc{L}(E)$ tel que $w\circ u+u\circ w=v$ puis que $w^*=w$.
 - A-t-on l'équivalence $v\in\mc{S}^{++}(E)\Leftrightarrow w\in\mc{S}^{++}(E)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1221]
 - Soit $M\in\mc{S}_d\left(\R\right)$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans $\R^+$ si et seulement si $\forall x\in\R^d$, $\left\langle Mx,x\right\rangle\geq 0$.
 - Soient $M_1,\ldots,M_n\in\M_d\left(\R\right)$ telles que $\sum_{i=1}^nM_i^TM_i=I_d$. On pose, pour $X\in\mc{S}_d(\R)$,

 $\mc{L}\left(X\right)=\sum_{i=1}^nM_i^TXM_i$. Montrer que $\mc{L}$ préserve le caractere symétrique positif.
 - Donner $p\in\N$, $\Pi\colon\M_d\left(\R\right)\ra\M_p\left( \R\right)$ morphisme d'algèbre vérifiant $\Pi\left(X^T\right)=\Pi\left(X\right)^T$ et $V\in\M_{p,d}\left(\R\right)$ vérifiant $V^TV=I_d$ tels que $\forall X\in\M_d(\R)$, $\mc{L}\left(X\right)=V^T\Pi\left(X\right)V$.

Pour $M,N\in\M_d\left(\R\right)$, on note $M\geq N$ si et seulement si $M-N$ est symétrique positive.
 - Montrer $\mc{L}\left(X^TX\right)\geq\mc{L}\left(X^T\right)\mc{ L}\left(X\right)$.
 - On suppose qu'il existe $\mc{K}$ du même type que $\mc{L}$ tel que $\mc{L}\circ\mc{K}=\mc{K}\circ\mc{L}=\mc{I}$. Montrer que : $\forall X\in\M_d(\R)$, $\mc{L}\left(X^TX\right)=\mc{L}\left(X^T\right)\mc{L}\left(X\right)$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1222]
 - Formuler et démontrer le cas d'égalité du théorème des accroissements finis. On note $\mc{E}$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\left\{-1,0,1\right\}$ et $A$ l'ensemble des racines réelles des polynômes de $\mc{E}$.
 - Montrer que $A\setminus\left\{0\right\}$ est stable par $x\mapsto-x$ et $x\mapsto\dfrac{1}{x}$.
 - Montrer que $A\cap \interval]{2, +\i}[=\emptyset$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1224]
Soit $A=(a_0,\ldots,a_n)\in\N^{n+1}$ avec $a_0\lt a_1\lt \cdots\lt a_n$. Pour $P\in\R_n[X]$ on pose $\|P\|_A=\max_{0\leq k\leq n}|P(a_k)|$. On pose $d_{n,A}=\inf_{P\in\R_{n-1}[X]}\|X^n-P\|_A$.
 - Montrer que $\|\ \|_A$ est une norme sur $\R_n[X]$.
 - Soit $P\in\R_{n-1}[X]$. Montrer qu'il existe un unique $(n+1)$-uplet $(b_0,\ldots,b_n)$ de réels tel que $X^n-P=\sum_{k=0}^nb_k\prod_{j\neq k}(X-a_j)$. Montrer que $\sum_{k=0}^nb_k=1$.
 - Montrer que, pour tout $k\in\db{0,n}$, $\prod_{j\neq k}|a_k-a_j|\geq\frac{n!}{\binom{n}{k}}$.
 - Montrer que $\|X^n-P\|_A\geq\frac{n!}{2^n}$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$.
 - Calculer $d_{n,A}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1225]
Soient $a\lt b$ des réels fixes. On munit l'espace $E=\mc C^0([a,b],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$. On fixe enfin un entier $n\geq 0$ et $f\in E$, et on pose $m=d(f,\R_n[X])$.
 - On pose $C=\{g\in\R_n[X]\ ;\ \|f-g\|_{\i}\leq m+1\}$. Montrer que $C$ est compact et non vide. En déduire qu'il existe $p\in\R_n[X]$ tel que $m=\|f-p\|_{\i}$.
 - Montrer que l'équation $|f(x)-p(x)|=m$ admet au moins $n+2$ solutions.
 - En déduire que $p$ est unique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1226]
Notons $\mc C$ l'espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ muni de la norme $\i$. Pour $f\in\mc C$, notons $Af(x)=\int_x^1\frac{f(t)}{\sqrt{t-x}}dt$ si $x\in[0,1[$ et $Af(1)=0$.
 - Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha\in\R$ pour que l'intégrale $\int_0^1\frac{dt}{t^{\alpha}}$ soit convergente. La démontrer.
 - Justifier que, pour tout $f\in\mc C$, $Af$ est correctement définie.
 - Montrer que, pour tout $f\in\mc C$, $Af\in\mc C$.
 - Montrer que $A$ est un endomorphisme continu de $\mc C$; calculer sa norme subordonnée.
 - Étudier la dérivabilité de $Af$ pour une fonction $f:[0,1]\ra\R$ de classe $\mc C^1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1227]
 - Soient $E$ et $E'$ deux espaces vectoriels normés et $u\in\mc{L}(E,E')$.

Montrer que $u$ est continue sur $E$ si et seulement si elle est continue en $0$.

On considére desormais l'espace $E=\mc C^1([-1,1],\R)$ muni de la norme infinie.

Pour $\phi$ forme linéaire sur $E$, on pose $N(\phi)=\sup\{|\phi(f)|,\ f\in S_{\|\ \|_{\i}}(0,1)\}\in[0,+\i]$.
 - Calculer $N(\phi)$ avec $\phi:f\mapsto\int_{-1}^0f-\int_0^1f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1228]
Soit $(\lambda_n)$ une suite de réels positifs strictement croissante telle que $\lambda_0=0$, $\lambda_n\ra+\i$ et la série de terme general $\frac{1}{\lambda_n}$ diverge. Pour $m\in\N^*$ fixe, on pose $Q_0:x\mapsto x^m$ et, pour tout $n$,

$$Q_{n+1}:x\mapsto(\lambda_{n+1}-m)\,x^{\lambda_{n+1}}\int_x^1Q_n(t)\,t^{-( 1+\lambda_{n+1})}dt.$$
 - Rappeler le theoreme de Weierstrass.
 - Montrer que la suite $(Q_n)$ est bornée sur $[0,1]$ et que, pour tout $n$, $\|Q_n\|_{\i}\leq\prod_{j=1}^n\left|1-\frac{m}{\lambda_j}\right|$.

En déduire que $(Q_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0,1]$.
 - Montrer que, toute fonction continue sur $[0,1]$ est limite uniforme d'une suite de fonctions appartenant à $\mathrm{Vect}\left\{x\mapsto x^{\lambda_n},\ n\in\N\right\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1229]
 - Enoncer et démontrer le theoreme des bornes atteintes.

Soit $C$ une partie convexe compacte non vide d'un espace euclidien $E$.
 - Soit $x\in E$.
 - Montrer l'existence et unicité d'un vecteur $p(x)\in C$ tel que $d(x,C)=\|x-p(x)\|$.
 - Soit $y\in C$. Montrer que $y=p(x)$ si et seulement si $\forall c\in C$, $\langle x-p(x),c-p(x)\rangle\leq 0$.
 - Montrer que l'application $p$ définie dans ce qui precede est continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1230]
Si $A\in\M_n(\C)$, on pose $\rho(A)=\{|\lambda|\ ;\ \lambda\in\text{Sp}(A)\}$. On munit $\C^n$ d'une norme $\|\ \|$ et $\M_n(\C)$ de la norme $\|\ \|$ d'operateur associe.
 - L'application $A\mapsto\rho(A)$ est-elle une norme?
 - Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, $\rho(A)\leq\|A^k\|^{1/k}$.
 - Montrer que, pour toute norme $N$ sur $\M_n(\C)$, $N(A^k)^{1/k}\ra\rho(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1231]
On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $\R$ dans $\R$ et de limite nulle en $\pm\i$. On munit $E$ de la norme $\|\ \|_{\i}$ et on définit $T(f)$ pour tout $f\in E$ par :

$$\forall x\in\R,\,T(f)(x)=\frac{1}{2}\int_{\R}\mathrm{e}^{-|x-t| }f(t)dt$$
 - Rappeler le théorème de Heine.
 - Montrer que $f$ est uniformément continue.
 - Montrer que $T\in\mc{L}(E)$ puis que $T$ est continu.
 - Déterminer sa norme d'operateur.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1232]
Soient $A,B\in\M_p(\mathbb{K})$. Pour $A\in\M_p(\mathbb{K})$, on pose $\|M\|=\max_{1\leq i\leq p}\sum_{j=1}^p|a_{i,j}|$.
 -  Montrer que $\|\ \|$ est une norme et que $\forall A,B\in\M_p(\mathbb{K})$, $\|AB\|\leq\|A\|\cdot\|B\|$.
 - Définir $\exp(A)$ et montrer que $\|\exp(A)\|\leq\exp(\|A\|)$.
 - On pose $K=\max(\|A\|,\|B\|)$. Montrer : $\forall n\in\N$, $\|A^n-B^n\|\leq nK^{n-1}\|A-B\|$.
 - Trouver $\lim_{n\ra+\i}\left(\mathrm{e}^{A/n}\mathrm{e}^{B/n}\right)^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1233]
 -  Rappeler la définition de la borne inférieure d'une partie non vide de $\R$. - On note $X$ une partie non vide minorée de $\R$. Montrer qu'il existe une suite de $X$ convergent vers la borne inférieure de $X$. Réciproquement, prouver que si une suite de $X$ converge vers un minorant $m$ de $X$, alors $m$ est la borne inférieure de $X$.
 - Soit $n\in\N^*$. On pose $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det(M)\geq\alpha\}$ pour $\alpha\gt 0$. On souhaite prouver que, si $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, $\inf\limits_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)=n(\alpha\det(A))^{1/n}$. Prouver ce résultat lorsque $A=I_n$ puis lorsque $A\in\mc{S}_n^+(\R)$.
 - Est-ce toujours le cas lorsque $\alpha=0$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1234]
On note $\mc{A}$ l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ à coefficients dans $[-1,1]$.
 - Montrer la continuité du déterminant sur $\M_n(\R)$.
 - Montrer que le déterminant admet un maximum $\alpha$ sur $\mc{A}$.
 - Montrer que le maximum est atteint en une matrice inversible $A$ de déterminant strictement positif et à coefficients dans $\{-1,1\}$.
 - Montrer que $\alpha\leq n^{n/2}$ avec égalité si et seulement si les colonnes de $A$ sont deux à deux orthogonales pour le produit scalaire euclidien canonique de $\R^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1235]
 - Montrer que les parties connexes par arcs de $\R$ sont ses convexes.
 - Soit $n\in\N^*$. On note $\Gamma_n$ l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $\{0,1\}$. Justifier l'existence de $a_n=\max\limits_{M\in\Gamma_n}\det(M)$ et étudier son comportement quand $n\ra+\i$.
 - On note $C_n$ l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $[0,1]$.

Montrer que $\det(C_n)=[-a_n,a_n]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1236]
Soient $d\in\N^*$ et $(\omega_n)\in\C^{\N^*}$ une suite $d$-périodique.

Pour $n\in\N^*$ et $\lambda\in\C$, on pose $S_n(\lambda)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{\lambda+\omega_k}{k}$.
 - Soit $(u_n)\in\C^{\N}$. Montrer que, si $\sum u_n$ converge, alors $u_n\longrightarrow 0$ quand $n\ra+\i$.

La réciproque est-elle vraie?
 - Montrer qu'il existe au plus un complexe $\lambda$ tel que la suite $(S_n(\lambda))_{n\in\N^*}$ converge.
 -  Montrer l'existence de $\Omega,\alpha\in\C$ tels que $S_{(m+1)d}(0)-S_{md}(0)=\frac{\Omega}{md}+\frac{\alpha}{m^2}+o\left(\frac{1 }{m^2}\right)$ quand $m\ra+\i$.
 - Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda\in\C$ pour que la suite $(S_n(\lambda))$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1237]
Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n}+v_n$ ou $\sum|v_n|$ converge.
 - Étudier la convergence de $a_{n+1}-a_n$ ou $a_n=\ln(n^{\alpha}u_n)$. En déduire qu'il existe $K\gt 0$ tel que $u_n\sim\frac{K}{n^{\alpha}}$.
 - On prend $u_n=n^{-n}n!e^n$. Montrer qu'il existe $K\gt 0$ tel que $u_n\sim K\sqrt{n}$.
 - On suppose maintenant que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$. Montrer que si $\alpha\gt 1$ alors la série $\sum u_n$ converge, et que si $\alpha\lt 1$ alors elle diverge.
#+end_exercice

# ID:7797
#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1238]
Pour $n\in\N^*$, on pose $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ et $d_n=\op{card}\{p\in\db{1,n}\;;\;p\mid n\}$.

Pour $x\in\R^+$, on définit $f(x)=\sum_{1\leq k\leq x}d_k$.
 - Cours : Montrer que $H_n\sim\ln n$.
 - Déterminer un équivalent de $f$ en $+\i$.
 - Déterminer le deuxième terme du développement asymptotique de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1239]
 - Énoncer le theoreme de Rolle.
 - Soient $a,b\in\R\cup\{\pm\i\}$ tels que $a\lt b$. Montrer que le theoreme reste vrai pour $f\colon\,]a,b[\ra\R$ dérivable et admettant en $a$ et $b$ une même limite finie.
 - On définit la fonction $f\colon ]-1,1[\ra\R,x\mapsto\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)$.
 - Montrer que $f$ est $\mc C^{\i}$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynôme $P_n\in\R[X]$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(1-x^2)^{2n}}f(x)$ pour tout $x\in]-1,1[$.
 - Quel est le degré de $P_n$ ?
 - Que dire du nombre de zéros de $f^{(n)}$ ?
#+end_exercice

# ID:7798
#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1240]
Soit $A\subset\R^n$. On note $\mc C(A,\R)$ l'ensemble des fonctions continues de $A$ dans $\R$ et $\mc{UC}(A,\R)$ l'ensemble des fonctions uniformément continues de $A$ dans $\R$.
 - Pour $n=1$ et $A$ un segment, montrer que $f\in\mc C(A,\R)$ si et seulement si $f\in\mc{UC}(A,\R)$.
 - Montrer que $\mc{UC}(A,\R)$ est stable par composition. Est-il stable par produit?
 - Soit $T\in\R^{+*}$ et $f$ une fonction continue et $T$-périodique. Montrer que $f\in\mc{UC}(A,\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1241]
Soient $E$ l'espace vectoriel des suites réelles et $\Delta$ l'endomorphisme de $E$ défini par : pour $u\in E$ et tout $n\in\N$, $[\Delta(u)]_n=u_{n+1}-u_n$.
 - Démontrer le theoreme des accroissements finis.
 - Soit $f\colon\R^+\mapsto\R$ de classe $\mc C^{\i}$. On pose, pour tout $n\in\N$, $u_n=f(n)$. Montrer que, pour tout $n\in\N$ et tout $p\in\N^*$, il existe $x\in]n,n+p[$ tel que $[\Delta^pu]_n=f^{(p)}(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1242]
 - Soient $I$ un intervalle non vide et $f\in\mc C^0(I,\R)$. Montrer que, pour tout $a\in I$, l'application $F_a:x\mapsto\int_a^xf(t)dt$ est dérivable, de derivée $f$.

Pour $h\gt 0$, soit $W_h=\bigg{\{}f\in\mc C^0(\R,\R)\;;\;\forall x\in \R,\;\int_{x+h}^{x+2h}f(t)dt=2\int_x^{x+h}f(t)dt \bigg{\}}$._
 - Montrer que, pour tout $h\gt 0$, $W_h$ est un espace vectoriel de dimension infinie.
 - Existe-t-il des fonctions non bornées appartenant à $W_h$?
#+end_exercice

# ID:7799
#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1243]
On pose $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$. Pour $f\in E$, on définit la suite $(f_n)$ de fonctions de $E$ par $f_0=f$ et $\forall n\in\N$, $\forall x\in\R$, $f_{n+1}(x)=\int_0^xtf_n(t)dt$.
 - s Énoncer le theoreme de derivation terme à terme.
 - On se place dans le cas ou $f$ est constante. Montrer que la suite $(f_n)$ et la série $\sum f_n$ convergent simplement sur $\R$. Y a-t-il convergence uniforme?
 - On revient au cas general.
   - Montrer la convergence simple de la suite $(f_n)$ et de la série $\sum f_n$.
   - Montrer que l'application $T\colon f\in E\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f_n$ est un automorphisme de l'espace vectoriel $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1244]
Pour $x\geq 0$ et $n\in\N^*$, on définit $g_n(x)=\dfrac{1}{(1+x)\cdots(1+x^n)}$.
 - Étudier la convergence simple de $(g_n)$ sur $\R^+$.
 - Étudier la convergence uniforme de $(g_n)$ sur $[1,+\i[$ et sur tout segment.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1245]
Pour $n\in\N^*$, soient $\Omega(n)$ le nombre de facteurs premiers de $n$ comptes avec multiplicité, $\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}$, $\Lambda(n)=\sum_{d|n}\lambda(d)$.
 - Montrer que, si $m$ et $n$ sont deux éléments de $\N^*$ premiers entre eux, $\lambda(mn)=\lambda(m)\lambda(n)$ et $\Lambda(mn)=\Lambda(m)\Lambda(n)$.
 - Pour $n\in\N^*$, donner une expression simple de $\Lambda(n)$.
 - Montrer que, si $|z|\lt 1$, $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{\lambda(n)z^n}{1-z^n}=\sum_{n=1}^{+ \i}z^{n^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1246]
 - Pour $x\in\R\setminus\Z$, montrer que la suite $\left(\sum_{k=-n}^n\dfrac{1}{x-k}\right)_{n\geq 1}$ converge. On note $f(x)$ sa limite.
 - Montrer que $f$ est continue et $1$-périodique sur $\R\setminus\Z$.
 - Pour $x\in\R\setminus\Z$, exprimer $f\left(\dfrac{x}{2}\right)+f\left(\dfrac{x+1}{2}\right)$ en fonction de $f(x)$.
 - Montrer que, pour tout $x\in\R\setminus\Z$, $f(x)=\pi\op{cotan}(\pi x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1247]
 - Retrouver le développement en série entière de la fonction $\arctan$ et montrer que : $\sum_{k=0}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\dfrac{\pi}{4}$.
 - Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=4\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$.

Montrer que $\left|\pi-S_n+(-1)^n\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\right)\right| \leq\dfrac{1}{n^3}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1248]
 - Soit $\alpha\in\R$. Donner $R\gt 0$ tel que : $\forall x\in\left]-R,R[\,,\ (1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{+\i}\binom{\alpha}{n}x^n$. Que vaut $\binom{\alpha}{n}$? - Soit $\beta\gt 0$. Montrer que $p_n=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\beta}{k}\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.
 - Soit $(\alpha,\alpha')\in\R^2$. Montrer : $\forall n\in\N,\ \left(\begin{matrix}\alpha+{\alpha'}'\\ n\end{matrix}\right)=\sum_{\scriptsize{(p,q)\in\N^2\atop p+q=n}} \left(\begin{matrix}\alpha\\ p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\alpha'\\ q\end{matrix}\right)$.
 - Soit $0\lt x\lt y$. Montrer que $(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{+\i}\left(\begin{matrix}\alpha\\ n\end{matrix}\right)$ $x^ny^{\alpha-n}$.
#+end_exercice

 - Montrer que $2^{\alpha}=\sum_{n=0}^{+\i}\left(\begin{matrix}\alpha\\ n\end{matrix}\right)$ pour tout $\alpha\gt -1$.
#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1249]
 - Soit $\sum a_nz^n$ une série entière qui converge sur $]-\alpha,\alpha[$, avec $\alpha\gt 0$. Montrer que sa somme est de classe $\mc C^{\i}$ sur $]-\alpha,\alpha[$.
 - Est-ce que toute fonction de classe $\mc C^{\i}$ sur un ouvert contenant $0$ est développable en série entière au voisinage de $0$?
 - Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ sur un ouvert contenant $0$. Montrer qu'elle est développable en série entière au voisinage de $0$ si et seulement si :
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1250]
Soient $R\gt 0$ et $\mc{A}_R$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R\ra\R$ développables en série entière de rayon $\geq R$.
 - Montrer que $\mc{A}_R$ est une $\R$-algèbre pour des lois que l'on precisera.
 - Déterminer les morphismes d'algèbre de $\R[X]$ dans $\R$.
 - Soit $\Phi$ un morphisme d'algèbre de $\R[X]$ dans $\R$. On dit que $\delta$ est une $\Phi$-derivation si $\delta$ est un endomorphisme de $\R[X]$ et si : $\forall P,Q\in\R[X]$, $\delta(PQ)=\Phi(P)\delta(Q)+\Phi(Q)\delta(P)$. Déterminer les $\Phi$-derivations.
#+end_exercice

 - Déterminer les morphismes d'algèbres $\Phi$ de $\mc{A}_R$ dans $\R$, puis les $\Phi$-derivations de $\mc{A}_R$.
#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1251]
 - Montrer que la fonction $f\colon\R\ra\R,x\mapsto\left\{\begin{array}{l}e^{-1/x^2}\ \text{ si }x\neq 0\\ 0\ \text{si }x=0\end{array}$. est de classe $\mc C^{\i}$.

Est-elle développable en série entière au voisinage de $0$?
 - Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction $\mc C^{\i}$ telle qu'il existe $C,a,\delta\gt 0$ vérifiant $|f^{(n)}(x)|\leq Ca^nn!$ pour tous $n\geq 0$ et $x\in[-\delta,\delta]$. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
#+end_exercice

 - Étudier la réciproque.
#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1252]

#+end_exercice

Soit $f$ une fonction développable en série entière au voisinage de $0$, telle que $f(0)\neq 0$. Montrer que la fonction $\frac{1}{f}$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1253]
Soit $f:t\in[0,\pi/2[\mapsto-\ln(\cos(t))$.
 - Montrer que $f(t)\geq t^2/2$ pour tout $t\in[0,\pi/2[$.
 - Soit $\alpha\in\R^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1256]
On munit $\M_n(\R)$ de la norme euclidienne canonique. Soient $A\in\mc{S}_n^+(\R)$ et $B\in\M_n(\R)$. On s'intéresse à l'équation différentielle $(E):X'=-AX+B$. On suppose que l'ensemble $S=\big{\{}U\in\M_n(\R)\,;\;AU=B\big{\}}$ est non vide.
 - Montrer que les valeurs propres de $A$ sont positives.
 - Quelles sont les solutions constantes de $(E)$?
 - Soient $X$ et $Y$ deux solutions de $(E)$. Montrer que $t\mapsto\|X(t)-Y(t)\|$ est décroissante. En déduire que toute solution est bornée sur $\R^+$.
 - Soit $X$ une solution de $(E)$. Montrer que $X(t)$ admet une limite $X_{\i}$ quand $t$ tend vers $+\i$.
 - Montrer que $\|X(0)-X_{\i}\|=\inf_{U\in S}\|X(0)-U\|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1257]
 - Montrer que toute série numerique absolument convergente est convergente.

On définit $s(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ pour tout complexe $z$ et $\phi(z)=|s(z)|$.
 - Est-ce que $s$ est bornée sur $\C$? Le cas echeant, donner un majorant de $\phi$.
 - Memes questions sur $D=\{z\in\C\,;\,|z|\leq 1\}$.
 - Montrer que $\phi$ admet deux extrema sur $D$ et trouver les points ou ils sont attentions.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1258]
Soit $f:A\in{\cal M}_n({\R})\mapsto A^TA$.
 - Montrer que $f$ est de classe ${\cal C}^1$, et calculer sa différentielle.
 - Pour $A\in{\cal M}_n({\R})$, calculer $\dim\op{Ker}\op{d}\!f(A)$ en fonction du rang de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1259]
Soient $A\in{\cal S}^{++}_n({\R})$, $b\in{\R}^n$ et $f$ la fonction de ${\R}^n$ dans ${\R}$ telle que, pour tout $x\in{\R}^n$,

 $f(x)=\frac{1}{2}x^TAx-b^Tx$.
 - Justifier que $f$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^n$. Pour $x\in{\R}^n$, calculer $\nabla f(x)$.
 - Montrer que $f(x)\underset{\|x\|\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$ et montrer que $f(\omega)=\min\{f(x)\;;\;x\in{\R}^n\}$.
 - Soit $\gamma\in{\R}^{+*}$ et $(x_j)_{j\geq 0}$ une suite telle que, pour tout $j\in{\N}$, $x_{j+1}=x_j-\gamma\nabla f(x_j)$. Montrer que, pour $j\in{\N}$, $x_{j+1}-\omega=(I_n-\gamma A)(x_j-\omega)$.
 - Montrer que, pour $\gamma$ bien choisi, $(x_j)_{j\geq 0}$ converge vers $\omega$ indépendamment du choix de $x_0$. Comment choisir $\gamma$ pour que la vitesse de convergence soit la meilleure possible?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1260]
 - Soit $G$ un ensemble non vide. Rappeler les conditions sur la loi $*$ pour que $(G,*)$ soit un groupe.
 - Rappeler la définition de la différentielle d'une application en un point. Faire le lien avec les derivées partielles dans le cas ${\cal C}^1$.
 - Soit $*$ une loi de groupe sur ${\R}$, d'élément neutre note $e$. On suppose que $f:(x,y)\mapsto x*y$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^2$. Montrer que, pour tout $(x,y)\in{\R}^2$, $\partial_2f(x*y,e)=\partial_2f(x,y)\times\partial_2f(y,e)$. En déduire que, pour tout $y\in{\R}$, $\partial_2f(y,e)\gt 0$.
 - Montrer qu'il existe un ${\cal C}^1$-diffeomorphisme $\phi$ de ${\R}$ sur ${\R}$ tel que $\phi(x*y)=\phi(x)+\phi(y)$ pour tout $(x,y)\in{\R}^2$.
#+end_exercice

** Géométrie

# ID:8131
#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1261]
 - Soit $f\colon \R^2\ra{\R}$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $f$ admet un extremum en $a\in{\R}^n$. Rappeler la valeur de $\nabla f(a)$ (avec demonstration).
 - Soit $\theta\in[0,\pi]$. Soient $A$ et $B$ du cercle unite de ${\R}^2$ tels que $\widehat{(OA,OB)}=\theta$. Exprimer l'aire de la lunule constituée des points extérieurs au disque unité et intérieurs au disque de diamêtre $[AB]$.
 - Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du cercle unite tels que les trois angles  $(\oa{OA}, \oa{OB})$, $(\oa{OB}, \oa{OC})$ et $(\oa{OC}, \oa{OA})$ soient dans $[0,\pi]$. Maximiser la somme des aires des trois lunules qu'ils définissent.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si on se place en une configuration maximale, et que l'on déplace
légèrement un des points, la condition de point critique donne
$g'(\theta_1) = g'(\theta_2)$, où $\theta_1,\theta_2$ sont les deux
angles adjacents au point.

La fonction $g'$ est (strictement) concave, donc il y a à chaque fois
au plus deux abscisses en lesquelles $g'(\theta_1) = g'(\theta_2)$.

En appliquant ce raisonnement en chacun des trois points, on obtient
que au moins deux des trois angles sont égaux.

On est ramené à l'étude de $2g(\theta) + g(2\pi - 2\theta)$. Sauf
erreur de ma part, cette fonction s'écrit sous la forme $u(\theta) +
u(2\theta)/2$, où $u(\theta) = \pi \sin^2(\theta/2) + 4 \sin
(\theta/2)$.

En un point critique, il faut que $u'(\theta) = - u'(2\theta)$. La
symétrie de $u$ par rapport à $\pi$, et sa concavité semblent donner
$2\theta = 2\pi - \theta$, donc $\theta = \frac{2\pi}{3}$.
#+END_proof


** Probabilités

# ID:7841
#+BEGIN_exercice [Centrale MP 2024 # 1262]
Soient $X,Y$ des variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre $p\in \interval]{0, 1}[$.
 - Déterminer la loi de $\min (X,Y)$.
 - Montrer que $\min (X,Y)$ et $X-Y$ sont indépendantes.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [Centrale MP 2024 # 1263]
 - Soit $u$ un endomorphisme de $\C^n$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $u$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.
 - Soient $A=\begin{pmatrix}1&-2\\ -2&1\end{pmatrix}$, $\eps_1$, $\eps_2$ deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$ et $Q=\eps_1X+\eps_2$. Déterminer la probabilité que $Q(A)$ soit inversible.
 - Soit $u$ un endomorphisme de $\C^n$ et $Q\in\C[X]$ tel que $Q(u)$ soit diagonalisable et $Q'(u)$ inversible. Montrer que $u$ est diagonalisable.
#+END_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1264]
La fonction de repartition d'une variable aléatoire réelle $X$ est $F_X:t\mapsto\mathbf{P}(X\leq t)$.
 - Montruer que, pour une variable aléatoire $X$, $F_X$ est croissante de limite $1$ en $+\i$.

Soient $E$ un ensemble dénombrable de $\R$, $(X_n)$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $E$ et $X$ une variable à valeurs dans $E$. On suppose que, pour tout $x\in E$, $\mathbf{P}(X_n=x)\ra\mathbf{P}(X=x)$.
 - Montruer que $\sum_{x\in E}|\mathbf{P}(X_n=x)-\mathbf{P}(X=x)|\ra 0$.

Ind. Pour $\eps\gt 0$ fixe, considérer une partie finie $I\subset E$ telle que $\mathbf{P}(X\in I)\gt 1-\eps$.
 - Montruer que $(F_{X_n})$ converge uniformément vers $F_X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1265]
 - Soient $p$ un réel $\gt 1$ et $q=\dfrac{p}{p-1}$.
 - Montruer que $xy\leq\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}$ pour tous $x,y\in\R^+$.
 - Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires. On suppose que $X\in L^p$ et $Y\in L^q$. Montrer que $XY\in L^1$ et que $\mathbf{E}(|XY|)\leq\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\mathbf{E}(Y^q)^{1/q}$.
 - Soient maintenant deux réels tels que $1\leq p\lt q$. Montrer que si $X\in L^q$, alors $X\in L^p$ et que $\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\leq\mathbf{E}(X^q)^{1/q}$.
 - Soient $(\eps_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables de Rademacher indépendantes et $p$ un réel $\geq 1$. Montrer que, si $X\in\text{Vect}(\eps_n)_{n\geq 1}$, alors $\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\leq C\sqrt{p}\,\mathbf{E}(X^2)^{1/2}$, ou $C$ est une constante absolue.
#+end_exercice

# ID:7842
#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1266]
 - s En utilisant une comparaison série-intégrale, dont on rappellera le principe, donner un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$.
 - On dit que $n\in\N^*$ est sans facteur carré s'il n'existe pas de $k\geq 2$ tel que $k^2$ divise $n$. Montrer que pour tout $i\geq 1$, $i$ s'écrit d'une unique maniere sous la forme $i=ma^2$, ou $a\in\N^*$ et $m\in\N^*$ est sans facteur carré.
 - Soient $X,Y,Z$ trois variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. On pose $M=\begin{pmatrix}X&Y\\ Z&X\end{pmatrix}$. Soit $p_n$ la probabilité que $M$ ne soit pas inversible. Montrer que $p_n=O\left(\dfrac{\ln n}{n^2}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1267]
Une suite $(Z_n)_{n\geq 1}$ de variables aléatoires entières est dite transiente si, pour toute partie bornée $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(Z_n\in A)\lt +\i$. - Soient $\alpha\in\R^{+*}$, $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout $i\in\N^*$, $X_i\sim\mc{P}\left(\frac{\alpha}{i}\right)$. Pour $n\in\N^*$, quelle est la loi de $Y_n=\sum_{i=1}^nX_i$? La suite $(Y_n)_{n\geq 1}$ est-elle transiente?
 - Soient $p\in]0,1[$ et $(R_i)_{i\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires telles que, pour tout $i\in\N^*$, $\mathbf{P}(X_i=1)=p,\mathbf{P}(X_i=-1)=1-p$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. La suite $(S_n)_{n\geq 1}$ est-elle transiente?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1268]
Soient $p\in]0,1[$ et $q=1-p$. On suppose que $\mu=\frac{\ln 2}{|\ln q|}$ n'est pas un entier.
 - Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p$. Montrer qu'il existe un unique entier $m$ tel que $\mathbf{P}(X\geq m)\geq\frac{1}{2}$ et $\mathbf{P}(X\leq m)\geq\frac{1}{2}$.
 - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramêtre $p$. On pose $Y_n=\mathbf{1}_{X_n\geq m}$ et $S_n=Y_1+\cdots+Y_{2n-1}$ pour $n\geq 1$. Montrer que $\mathbf{P}(S_n\geq n)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}1$.
#+end_exercice

* [#C] Todoes                                                          :todo:
:PROPERTIES:
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