# -*- org-export-switch: "xens mp"; -*-
#+title:  Exercices 2025
#+author: Sébastien Miquel
#+date:   22-07-2025
# Time-stamp: <03-05-26 19:14>
#+OPTIONS: toc:t

* Meta                                                             :noexport:
** Statistiques

#+BEGIN_SRC emacs-lisp
(my-stats-exo)
#+END_SRC

#+RESULTS:
| ? | ! | todo | unexed | unexed xens |
| 2 | 6 |   10 |   1433 |         100 |

** Options

#+OPTIONS: latex:verbatim
#+OPTIONS: toc:t
# #+exclude_types: proof

*** All

# #+OPTIONS: toc:t
# #+export_file_name: Exercices 2025
# #+exclude_types: proof

*** XENS

# #+select_tags: xens
# #+export_file_name: Exercices XENS 2025

*** XENS MP

#+select_tags: xens
#+exclude_tags: autre
#+exclude_types: proof
#+export_file_name: Exercices XENS MP 2025

*** Centrale

# #+select_tags: cent
# #+export_file_name: Exercices Centrale 2025

*** Mines

# #+select_tags: mines
# #+export_file_name: Exercices Mines 2025

*** Mines Centrale

# #+select_tags: mines cent
# #+exclude_tags: autre
# #+options: toc:2
# #+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2025

*** todoes

# #+options: title:nil nopage:t tags:nil toc:nil
# #+select_tags: todo
# #+export_file_name: Exercices 2025 todo
# #+relocate_tags: todo

*** autre

# #+options: title:nil nopage:t tags:nil
# #+select_tags: autre
# #+export_file_name: Exercices XENS 2025 autres
# #+relocate_tags: todo

*** autres

# #+options: title:nil nopage:t tags:nil
# #+select_tags: autres
# #+export_file_name: Exercices 2025 Autres MP
# #+relocate_tags: todo


* ENS MP                                                               :xens:

** Algèbre

# ID:8419
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 1]
Soit $n \in \N^*$. Un chemin auto-évitant de longueur $n$ de $\Z^2$ est une suite injective de points $a_0, \ldots, a_n$ de $\Z^2$ telle que $a_0 = (0,0)$ et, pour tout $i$, $\|a_{i+1} a_i\| = 1$ pour la norme euclidienne canonique de $\R^2$. On note $A_n$ le nombre de chemins auto-évitants de longueur $n$.
 1. Montrer que, pour tous $m, n \in \N^*$, $A_{m+n} \leq A_m A_n$.
 1. Montrer qu'il existe $\eps \gt  0$ tel que, pour $n$ assez grand, $(2 + \eps)^n \leq A_n \leq (3 - \eps)^n$.
 1. Montrer que $\big(\sqrt[n]{A_n}\big)$ converge.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Pour la majoration, il suffit que $A_n \lt 3^n$ pour une valeur de $n$.

    Pour la minoration, on regarde les chemins qui utilisent uniquement $D$, $H$, $B$. On peut les dénombrer sans trop de difficulté.
#+END_proof


# ID:8420
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 2]
Un sous-ensemble non vide $S$ de $\mathbb Z$ est dit direct si, pour $x,y,s,t\in S$, la condition $x+y=s+t$ implique que $\{x,y\}=\{s,t\}$.
 1. s Les ensembles $\{1, 3, 6\}$ et $\{1, 3, 6, 10, 15\}$ sont-ils directs?
 2. s Trouvez un ensemble infini direct.
 3. Montrer qu'il existe $B\gt 0$ telle que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,
    pour tout ensemble direct $S$ inclus dans $\db{0,n}$, on ait $|S| \leq B n^{1/2}$,
 4. Montrer qu'il existe $A\gt 0$ telle que pour tout $n\in\N^*$ il
    existe un ensemble direct $S$ inclus dans $\db{0,n}$ tel que $A
    n^{1/3} \leq |S|$.

    Indication : On pourra rajouter des éléments un à un à un ensemble
    de $\db{0, n}$.
 4. s Existe-t-il un ensemble $S$ direct inclus dans $\mathbb{N}$ tel
    que $S + S = \mathbb{N}$ ?
 5. s Existe-t-il un ensemble $S$ direct inclus dans $\mathbb{Z}$ tel
    que $\mathbb{N}$ soit inclus dans S+S?
 6. s Existe-t-il un ensemble $S$ direct inclus dans $\mathbb{Z}$ tel
    que $S + S = \mathbb{Z}$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3. Si $S\subset \db{0,n}$ est direct, alors $|S+S|= {|S|\choose 2} + |S|$ et $S+S\subset \db{0, 2n}$, donc $|S| \frac{|S|+1}{2}\leq 2n+1$, donc $|S|^2 \leq 2n+1$, donc $|S|^2\leq 3n$, donc $|S|\leq \sqrt{3n}$.
 4. Si $S\subset \db{0,n}$ est direct et vérifie $|S|\leq
    \frac{n^{1/3}}{10}$, on montre qu'on peut ajouter un élément de
    $\db{0,n}$ à $S$ qui préserve son caractère direct.

    En effet, $S+S$ est de cardinal $\leq \frac{n^{2/3}}{10}$.

    On cherche un élément $a\in \db{0,n}$ tel que $a+S$ ne rencontre
    pas $S+S$. Supposons par l'absurde qu'un tel $a$ n'existe pas.
    Alors pour tout $a\in\db{0,n}$ il existe $s\in S$ et $s_2\in S+S$
    tels que $a+s = s_2$.

    Par ailleurs, l'application $a\mapsto (s, s_2)$ est clairement injective, donc $|\db{0,n}| \leq |S| \times |S+S|$. C'est une contradiction.
 5. $S$ doit contenir $0$, donc $1$, donc pas $2$, donc $3$, qui donne
    $3, 4, 6$, donc $5$ ce qui donne une contradiction.
 6. Oui, tu mets $\{-10^n+n, 10^n\}$, mais il faut sauter des $n$. si les sommes précédentes peuvent déjà les faire. Construction par récurrence.
 7. La construction précédente ne marche-t-elle pas ? Des $\{u_k \pm k,\, u_k\}$, où $u_k$ est choisit grand.

    Lemme : il existe une partie $A_n$ en somme directe de $Z$ tel que $\db{-n,n}\subset A_n$.

    Puis, on construit $A_{n+1}$ contenant $A_n$ : on ajoute des paires super grandes.
#+END_proof


# ID:8422
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 3]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$, $u_1 = u_2 = 0$, $u_3 = 3$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+4} = u_n + u_{n+1}$. Montrer que, pour tout nombre premier $p$, $p$ divise $u_p$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Les coefficients initiaux sont tels que $u_n$ est la somme des racines
d'un polynôme de degré $4$ (plus simple avec $3$).

Donc cette somme est $\op{Tr} (A^n)$, et il se trouve que $\op{Tr} A^p \equiv \op{Tr} $A$ [p]$, ce qui n'est pas simple du tout…
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 4]
On considère la suite $(F_n)_{n\geq 0}$ définie par $F_0=0, F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ pour tout $n \ge 0$.
 1. Exprimer $F_n$ en fonction de $n$.
 1. Montrer que $F_{p+q} = F_p F_{q+1} + F_{p-1} F_q$ pour tout $(p,q) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}$.
 1. Calculer $F_m \wedge F_n$ pour tous $m, n \ge 0$.
#+end_exercice

#+call: get_exo(385)
#+BEGIN_exercice [ENS L 2025 # 5]
On note $d_n$ le nombre de diviseurs de $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $d_n = O(n^{\eps})$ pour tout $\eps > 0$.
#+END_exercice


# ID:4294
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 6]
 1. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers $p$ tels que $p \equiv 3$ [4].
 1. Soient $p$ un nombre premier et $n \ge 2$. Soit $k = \frac{(np)^p - 1}{np -1}$.
    a) Montrer que $k \equiv 1 [p]$.
    b) Soit $d \in \mathbb{N}^*$. Montrer que si $d$ divise $k$ alors $d \equiv 1[p]$.
 1. Soit $p$ un nombre premier. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo $p$.
#+end_exercice

# ID:8423
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 7]
 1. Quels sont les éléments inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?
 2. Soit $n \geq 3$. On considère sa décomposition en facteurs premiers : $n = p_1^{\alpha_1} \dots p_r^{\alpha_r}$ où les $p_i$ sont premiers distincts et supérieurs à 3, les $\alpha_i$ dans $\mathbb{N}^*$.

    On admet que, pour tout $i$, $(\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z})^{\times}$ est cyclique.

    Montrer que la proportion d'éléments d'ordre pair dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ est supérieure ou égale à $1 - \frac{1}{2r}$.
 3. Déterminer le nombre de solutions de $x^2 = 1$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
 4. Caractériser les éléments $x \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ d'ordre $r = 2\ell$ pair tel que $x^{\ell} \neq -1$.
#+end_exercice

# ID:8424
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 8]
Soient $p$ un nombre premier impair, $\alpha \in \mathbb{N}^*$, $q = p^{\alpha}$ et $f: (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^2 \to \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ une fonction. Une partie $D$ de $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ est dite $f$-génératrice si :
 $\forall y \in \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}, \exists n \geq 2, \exists d_1, \dots, d_n \in D, y = f(\dots f(f(d_1, d_2), d_3), \dots d_n)$.
 1. On considère le cas où $f:(x,y)\mapsto x-y$. Déterminer les parties $f$-génératrices de cardinal minimal et calculer leur nombre.
 2. $E$ Dans la suite de l'exercice, on considère le cas où $f:(x,y)\mapsto xy$.
 3. Montrer qu'il n'existe pas de partie $f$-génératrice de cardinal 1.
 4. On admet que le groupe $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$ est cyclique. Montrer qu'il existe une partie $f$-génératrice de cardinal 2.
 5. Caractériser les parties $f$-génératrices de cardinal 2.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3. $0$ et le générateur.
 4. Il faut un élément non inversible, et un élément générateur.
#+END_proof


# ID:8425
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 9]
Dénombrer les morphismes de $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+)$ dans le groupe des automorphismes de $(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z},+)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Sans difficulté.
#+END_proof


# ID:8426
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 10]
Soit $A$ un anneau tel que tout élément de $a \in A$ est nilpotent ou idempotent, c'est-à-dire tel que $a^2 = a$.
 1. Montrer que tout élément de $A$ est idempotent.
 2. Montrer que $A$ est commutatif.
 3. On suppose que $A$ est fini. Montrer qu'il existe $n \in
    \mathbb{N}^*$ tel que $A$ soit isomorphe à
    $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Soit $n$ nilpotent. Alors $1+n$ est inversible, et idempotent,
    donc l'identité, donc $n = 0$.
 2. $(a+b)^2 = a+b$, donc $ab = -ba$, donc $2a = 0$, (avec $b = 1$), donc $ab = ba$.
 3.
#+END_proof


# ID:8427
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 11]
On note $\mathbb{Z}[i\sqrt{2}] = \left\{a + ib\sqrt{2} ; (a,b) \in \mathbb{Z}^2\right\}$.
 1. Rappeler la démonstration du fait que les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont principaux.
 2. Montrer que $\mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$ est un sous-anneau de
    $\mathbb{C}$ dont les idéaux sont principaux.
 3. Déterminer les inversibles de $\mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$.
 4. Trouver les $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ tels que $x^2 + 2 = y^3$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
#+END_proof


# ID:8428
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 12]
Soit $(A,+)$ un groupe abélien. On dit qu'il est sans torsion lorsque $n\cdot x \neq 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in $A$ \setminus \{0\}$. Un ordre de groupe sur $(A,+)$ est une relation d'ordre totale $\leq$ sur l'ensemble $A$ telle que $\forall (x, y, z) \in A^3, \ x \leq y \Rightarrow x + z \leq y + z$.
 1. Montrer que si $(A, +)$ possède un ordre de groupe alors il est sans torsion.
 2. Montrer que $(\mathbb{Z}^n, +)$ possède un ordre de groupe pour
    tout $n \in \mathbb{N}^*$.
 3. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que tout sous-groupe de
    $\mathbb{Z}^n$ est isomorphe à $\mathbb{Z}^m$ pour un $m \in [0,
    n]$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si $0\lt x$, on obtient $x\lt 2x$, jusqu'à $(n-1)x\lt 0$, ce qui est contradictoire.
 2. L'ordre lexicographique.
 3. Probablement sympa d'utiliser ce qui précède.
#+END_proof


# ID:8429
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 13]
Soit $r \in \mathbb{N}^*$, $r \geq 2$.
 1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe une unique suite presque nulle $(a_{k,r}(n))_{k\geq 0}$ telle que $n = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k,r}(n) r^k$ avec, $\forall k \in \mathbb{N}, \, a_{k,r}(n) \in \db{0,r-1}$.
 1. Montrer que $(a_{k,r}(n))_{n\geq 1}$ est périodique et trouver sa période.
 1. Montrer que $(a_{k,r}(n^n))_{n\geq 1}$ est périodique à partir d'un certain rang.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Trivial.
 3. Le faire pour $k = 0$, puis $k=1$ découle de la décomposition en base $r^2$.
#+END_proof


# ID:8431
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 14]
On pose $S = \{(x, y, z) \in \mathbb{N}^{*3} : x \le y \le z, x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz\}$.
 1. Déterminer les éléments de $S$ vérifiant $x = y$ ou $y = z$.
 1. Montrer qu'une infinité d'éléments de $S$ vérifient $x=1$.
 1. On pose $f\colon (x,y,z)\mapsto (y,z,3yz-x)$ et $g\colon (x,y,z)\mapsto (x,z,3xz-y)$.

    Montrer $S$ est l'ensemble des images de $(1, 1, 1)$ par toutes les composées de $f$ et $g$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $2x^2 + z^2 = 3 x^2 z$, donc $2x^2 = kz$, donc $kz + z^2 = 3 \frac{k}{2}z^2$, donc $z = \frac{2k}{3k-2}$, compliqué.
 2. $1 + x^2 + z^2 = 3 xz$. En écrivant le discriminant, il faut que
    $5x^2 - 4$ soit un carré. En divisant par $2^2$, on tombe sur
    $5x^2 - y^2 = 1$, c'est du Pell-Fermat.
 3. On vérifie que $f$ et $g$ préserve l'ensemble des solutions, dont les inégalités données.

    L'application réciproque de $f$ est $(x,y,z)\mapsto (3xy-z,x,y)$ et celle de $g$ est $(x,y,z)\mapsto (x, 3xy - z,y)$. Clairement, on peut descendre, jusqu'à $(1,1,1)$.
#+END_proof


# ID:8432
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 15]
 1. Soit $A$ un anneau commutatif. Rappeler la définition d'un idéal de $A$.

 2. Un idéal $I$ de $A$ dit maximal si $A$ est le seul idéal $J$ de $A$ tel que $I \subsetneq J \subset A$.

    Montrer qu'un idéal maximal de $A$ ne contient pas d'élément inversible.
 2. On pose $U = \mathcal{F}(\{0,1\},\mathbb{R})$. Donner les idéaux maximaux de $U$.
 3. On pose $V = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$. Donner les idéaux maximaux de $V$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. $f(a) = 0$
 3. $f(a) = 0$ ; C'est Borel-Lesbegue : si une intersection de compacts est vide, une intersection finie est vide.
#+END_proof


# ID:8438
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 16]
Soit $A$ un anneau commutatif.

Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $\Sigma_n(A) = \{c_1^2 + \dots + c_n^2, (c_1, \dots, c_n) \in A^n\}$.

 1. Montrer que $\Sigma_2(A)$ est stable par multiplication.
 2. Est-ce que $\Sigma_3(A)$ est stable par multiplication quel que
    soit l'anneau $A$ envisagé ?
 3. On suppose que $A$ est un corps de caractéristique différente de
    $2$ et que $n$ est une puissance de $2$. Soient $c_1, \ldots, c_n$
    dans $A$ et $s = \sum_{k=1}^n c_k^2$. Montrer qu'il existe une
    matrice $M \in \mathcal{M}_n(A)$ dont la première ligne est $(c_1
    \cdots c_n)$ et qui vérifie $MM^T = M^TM = sI_n$.
 4. En déduire que $\Sigma_{2^n}(A)$ est stable par multiplication.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. dans $\Z/8\Z$, les carrés sont $0, 1, 4$, donc $7$ n'est pas atteint, mais c'est $3\times 5$.
 3. Faire des permutations de la première colonne, qui sont des
    produits de transpositions.

    En dimension $n = 2^2 = 4$. Prendre $(1\, 2) (3, 4)$, $(1\, 3) (2\, 4)$ et $(1\, 4) (2\, 3)$.

    Le point étant que ces éléments forment un groupe d'ordre $2$.

    En général, considérer $(\Z/2\Z)^n$ comme un groupe de permutation.
 4. Simple.
#+END_proof


# ID:8433
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 17]
Soit $(A, +, \times)$ un anneau intègre (donc commutatif). On suppose que $A$ est euclidien, c'est-à-dire qu'il existe une fonction $t\colon A \setminus \{0\} \to \mathbb{N}$ vérifiant les deux conditions suivantes :
 + $\forall (a, b) \in A \times (A \setminus \{0\}), \exists (q, r) \in A^2, \ a = bq + r \text{ et } (r = 0 \text{ ou } t(r) < t(b))$.
 + $\forall (a,b) \in A \setminus (A \setminus \{0\})^2$, $t(ab) \geq t(a)$.
 1. Montrer que $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{R}[X]$ sont euclidiens, tout comme n'importe quel corps $\mathbb{K}$.
 1. Montrer que tout idéal de $A$ est principal.
 1. On suppose que $t(1_A)=0$. Montrer que les éléments inversibles de $A$ sont les $u\in A\setminus\{0\}$ tels que t(u)=0.
 2. $E$ On suppose dans toute la suite de l'exercice que dans l'hypothèse (i) il y a en plus unicité du couple (q,r) solution.
 1. Montrer que $t(a+b) \leq \max(t(a),t(b))$ quels que soient $a \in A \setminus \{0\}$ et $b \in A \setminus \{0\}$ tels que $a+b \neq 0$.
 1. Montrer que $A^{\times} \cup \{0\}$ est un sous-corps de $A$.
 1. Montrer que $A$ est un corps ou est isomorphe à $\mathbb{K}[X]$ pour un corps $\mathbb{K}$.
#+end_exercice

# ID:8439
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 18]
Soit $p$ un nombre premier. On note $\mathbb{Z}_p$ l'ensemble des suites $(x_n)_{n\geq 1}$ telles que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $x_n$ appartienne à l'anneau $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ et que $x_n$ soit l'image de $x_{n+1}$ par l'unique morphisme d'anneaux de $\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$.
 1. Montrer que l'addition et la multiplication coordonnée par coordonnée font de $\mathbb{Z}_p$ un anneau contenant un sous-anneau isomorphe à $\mathbb{Z}$.
 2. Montrer que $\mathbb{Z}_p$ est intègre.
 3. Déterminer les inversibles de $\mathbb{Z}_p$.
 4. Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$. On suppose qu'il existe $x \in
    \mathbb{Z}$ tel que $p$ divise $P(x)$ et que $p$ ne divise pas
    $P'(x)$. Montrer que $P$ admet une racine $y$ dans $\mathbb{Z}_p$
    telle que $y_1 = \bar{x}$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $\Z$ est l'ensemble des suites constantes APCR.
 2.
 3.
 4. Lemme d'Hensel.
#+END_proof


# ID:8440
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 19]
On considère $P = X^n - a_1X^{n-1} + a_2 X^{n-2} + \dots + (-1)^n a_n \in \mathbb{R}[X]$, scindé sur $\mathbb{R}$ et de racines réelles $x_1, \dots, x_n$.
Montrer que, pour tout $1 \leq k \leq n$, $\left| x_k - \frac{a_1}{n} \right| \leqslant \frac{n-1}{n} \sqrt{a_1^2 -\frac{2n}{n-1} a_2}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof


# ID:8434
#+begin_exercice [ENS 2025 # 20]
Soient $f,g\in\mathbb{Q}[X]$ tels que $f(\mathbb{Q})=g(\mathbb{Q})$. Montrer que $\deg f=\deg g$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $f$ est de degré $1$, c'est tout $\Q$, sinon, ce n'est pas tout $\Q$.

On regarde l'intersection avec $\N$, et sa taille.

Si $P(\frac{a}{b}) = k$, alors $a\mid a_0 - k$ et $b\mid a_n$, pour des coefficients entiers. Ici on a plutôt $a\mid C (a_0 - k)$ et $b\mid C a_n$, où $C$ est un ppcm des dénominateurs. N'empêche que $b$ est limité, ce qui permet de conclure.
#+END_proof


# ID:8488
#+begin_exercice [ENS 2025 # 21]
Soient $n, m \in \mathbb{N}^*$ avec $m$ < $n$. Soit $\mathcal{P}_{n,m}$ l'ensemble des polynômes complexes de degré $n$ dont 0 est racine d'ordre $m$ et dont les autres racines sont de module $\geq 1$. Déterminer $\inf\{|z| \; ; \; z \in \mathbb{C}^*, \; \exists P \in \mathcal{P}_{n,m}, \; P'(z) = 0\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $m = 0$, c'est $0$.

Si $m = 1$. Pour $n = 3$ : écrire les relations coefficients racines. Les racines $y_1,y_2$ de la dérivée vérifient $y_1 + y_2 = \frac{2}{3}(x_1 + x_2)$ et $y_1 y_2 = \frac{x_1x_2}{3}$. On peut s'en sortir mais c'est vraiment dur.

Plutôt : écrire $\frac{P'}{P}$. On obtient finalement que l'inf est réalisé pour $X (X-1)^n$.
#+END_proof


# ID:8535
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 22]
Soit $I=\{P\in\mathbb{C}[X]:\forall n\in\mathbb{Z},\ P(n)\in\mathbb{Z}\}$. On pose $H_0=1$ et, pour $n\in\mathbb{N}^*$, $H_n=\frac{X(X-1)\cdots(X-n+1)}{n!}$. Pour $P\in\mathbb{C}[X]$, on pose $\Delta(P)=P(X+1)-P(X)$ et $D_n(P)=\Delta^n(P)(0)$.

 1. Montrer que $(H_n)_{n\geq 0}$ est une base de $\mathbb{C}[X]$.
 2. Montrer que, pour tout $n, H_n \in I$.
 3. sV2 Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\Delta(H_n) = H_{n-1}$.
 4. sV2 Montrer que $I \subset \mathbb{Q}[X]$.
 5. Montrer que $I = \left\{ \sum_{i=0}^n a_i H_i \; ; \; n \in \mathbb{N}, \; (a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{Z}^n \right\}$.
 6. Soient $P_1, P_2 \in I$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $P_1(n)$ soit premier avec $P_2(n)$. Montrer qu'il existe $U_1, U_2 \in I$ tels que $U_1P_1 + U_2P_2 = 1$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3.
 4.
 5.
 6. Il existe un tel polynôme à coefficients dans $\Q$, donc $U_1
    P_1 + U_2 P_2 = d$, pour $U_1,U_2\in\Z[X]$.

    L'ensemble de $U P_1 + V P_2$ est un idéal, noté $J$. Pour $p$
    premier, on a $pJ$ qui est l'ensemble des polynômes dont les
    valeurs sont toutes divisibles par $p$, ou toutes les valeurs de
    $\db{1,d}$.

    Pour tout $k$, on peut trouver $u_k P_1(k) + v_k P_2(k) = 1$.
    Puis, on peut construire des polynômes de $I$ qui sont toujours
    congrus à $u_k/v_k$ modulo $p$.

    On aura alors $U P_1 + V P_2 \equiv 1 [p]$, donc $1 \in J + pI$.

    Si $d$ est premier, on en déduit que $1\in J$.
#+END_proof


# ID:8489
#+BEGIN_exercice [ENS PLSR 2025 # 23]
Soit $H = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. On note $C_H = \{M \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}), \ MH = HM\}$.
 1. Montrer que $C_H$ est un sous-groupe infini de $GL_2(\mathbb{Z})$.
 1. Montrer que $C_H = \mathbb{Z}[H] \cap \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$, où $\mathbb{Z}[H] = \{xI + yH, (x,y) \in \mathbb{Z}^2\}$.
 1. Montrer que $C_H$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times \mathbb{Z}$ et en donner un système de générateurs.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Vérifier que le commutateur dans $M_2(\Z)$ est $\R[H]$.
 3. L'élément de $\Z/2\Z$ est $-I_2$.
#+END_proof


# ID:8536
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 24]
Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $AB = BA$. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Déterminer le signe de $\det (A^k + B^k)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pour $k = 1$ on ne peut rien dire : cf des matrices diagonales quelconques. Idem pour $k$ impair.

Pour $k = 2$, si $A$ et $B$ étaient trigonalisables, on trouverait
quelque chose de positif. Si $A, B$ sont des matrices de $O_2$, leurs
carrés sont des matrices de rotation, que l'on somme… On obtient $\begin{pmatrix}1 + \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & 1 + \cos
\theta\end{pmatrix}$ de déterminant $2 + 2 \cos \theta\geq 0$.

Donc ça a l'air d'être positif.

Il suffit de traiter le cas $k = 2$. On a alors $A^2 + B^2 = (A-iB)(A+iB)$, de déterminant positif.

Pour $k$ impair, on a $\det (A^k + B^k) = \det (A+B) \det (A^{k-1}  + A^{k-2} B + \dots + B^{k-1})$. On peut factoriser dans $\C$, et à nouveau, regrouper par termes conjugués.
#+END_proof


# ID:nil # Inintéressant
#+BEGIN_exercice [ENS SR 2025 # 25]
Soient $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{+*})$ et $x_0, \ldots, x_{n-1}$ des réels > 0. On souhaite montrer que :

$$\det\left(\frac{d^j}{dx^j}(f(x)^{x_i})\right)_{0\leqslant i,j< n} = f(x)^{\sum_{0\leqslant i< n}(x_i-i)}f'(x)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{0\leqslant i< j< n}(x_j-x_i).$$
 1.
    a) Soit $(p_j)_{0 \le j < n}$ une famille de polynômes de $\mathbb{R}[X]$ telle que, pour tout $j, p_j$ est de degré $j$ et de coefficient dominant $d_j$.

       Montrer que $\det (p_j(x_i))_{0 \leq i,j < n} = d_0 \times \cdots \times d_{n-1} \prod (x_j - x_i)$.
    b) Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $j \in \mathbb{N}$, il existe $p_j \in \mathbb{R}[X]$ de degré $j$ et de coefficient dominant $f'(x)^j$ tel que : $\forall z \in \mathbb{R}, \frac{d^j}{dx^j} (f(x)^z) = f(x)^{z-j} p_j(z)$.
    c) Démontrer le résultat annoncé. Que dire dans des cas particuliers?
 1. Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence non nul.

    Pour tous $i, j \in \mathbb{N}^*$, on note $c_{i,j}$ le coefficient en $x^j$ de $f^i$. Calculer $\det((c_{i,j})_{1 \le i,j \le n})$.
#+END_exercice


# ID:8537
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 26]
Soit $A \in GL_3(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est semblable à $A^{-1}$ si et seulement s'il existe $B, C \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $A = BC, B^2 = C^2 = I_3$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $A = BC$, $A^{-1} = CB$.

Si $A$ est semblable à $A^{-1}$ :
 + $A$ est diagonalisable, $A$ doit avoir $1$ ou $-1$ comme valeur
   propre et deux autres inverses l'une de l'autre.
 + $A$ est diagonalisable sur $\C$, avec $\pm 1$ et $e^{\pm i \theta}$.
 + Sinon, $A$ est trigonalisable sur $\R$, avec ou bien trois $\pm 1$
   sur la diagonale, ou bien deux 1 et un $-1$.

Dans le premier cas, on prenant le produit (dans $\R^2$), de $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0 & \la \\ \frac{1}{\la} & 0\end{pmatrix}$

Dans le second cas s'obtient en faisant le produit de deux symétries axiales dans $\R^2$.

Dans le troisième cas, dans $\R^2$, les transvections sont produit de $\begin{pmatrix}-1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.

Reste, dans $\R^3$, le cas de $\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Ne peut-on pas faire la même chose, avec une matrice diagonale simple ?
#+END_proof


# ID:8561
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 27]
Soit $n \geq 2$. On note $\mathcal{R}_n$ l'ensemble des matrices $M$ de $\mathrm{GL}_n(\C)$ telles que $M\overline{M}$ appartient à $\C^*I_n$. On définit une relation d'équivalence $\sim$ sur $\mathcal{M}_n(\C)$ en posant $A\sim B$ s'il existe $M \in GL_n(\C)$ et $\lambda \in \C^*$ tels que $A = \lambda \overline{M}BM^{-1}$. Justifier que $\sim$ induit une relation d'équivalence sur $\mathcal{R}_n$. Déterminer les classes d'équivalence sur $\mathcal{R}_n$.

Indication : Considérer $f\colon X\mapsto A\ol{X}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si on restreint aux matrices réelles, ce sont les matrices telles que $M^2 = I_n$. On a comme classes d'équivalence le nombre de valeurs propres d'un signe donné.

Si $Q\ol{Q} = I_n$, en écrivant $Q = A+iB$, on obtient $AB = BA$, $\a\in\R$ et $A^2 - B^2 = I_n$. Bof bof.

Plutôt : on montre qu'il n'y a qu'une seule classe d'équivalence, c'est-à-dire que si $A\ol{A} = I_n$ alors $A = \ol{P^{-1}} P$.

Si $A$ s'écrit comme ça, l'équation $AX = \ol{X}$ est équivalente à $PX \in\R^n$.

Réciproquement, si $\ol{A} A = I_n$, l'application $f\colon X\mapsto A\ol{X}$ est $\R$-linéaire et $f\circ f = Id_{\C^n}$, donc ses valeurs propres sont $\pm 1$.

Il s'agit essentiellement de montrer qu'il y a autant de $1$ que de $-1$. Si on note $j$ la multiplication par $i$, on a $f\circ j = -j\circ f$, d'où le résultat.

On a ainsi trouvé la matrice $P$.
#+END_proof


# ID:8562
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 28]
On note $G_n$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^n$. Soit $\Phi: G_n \to \mathbb{R}$ une application telle que $\forall V, W \in G_n, \ \Phi(V \cap W) + \Phi(V + W) \leqslant \Phi(V) + \Phi(W)$ et $\Phi(\{0\}) \ge 0$. Montrer qu'il existe un unique $V_0 \in G_n$ de dimension maximale tel que $\inf\limits_{V \in G_n \setminus \{(0)\}} \frac{\Phi(V)}{\dim V} = \frac{\Phi(V_0)}{\dim V_0}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On obtient rien en prenant : un des espaces égal à $\{0\}$, un des
espaces égal à $\R^n$, les deux espaces égaux.


Existence de la forme inférieure : si des espaces de dimension $1$ avaient des valeurs arbitrairement petites, pour $n = 2$, on obtient une contradiction, qui s'étend sans aucun doute à $n$ quelconque.

Pourquoi la borne inf, sur les espaces de dimension $1$, dans $\R^2$, est-elle atteinte ? On a $\Phi(V) + \Phi(W)\geq \Phi_0 + \Phi_2$, pour tous $V\neq W$. En particulier, il ne peut pas y en avoir deux $\lt \frac{\Phi_0 + \Phi_2}{2}$ (mais un oui).

S'il y en a un, alors on note $\Ph_1 \lt \frac{\Phi_0 + \Phi_2}{2}$, et le minimum est ou bien atteint en lui, ou bien en $\Phi_2$.

S'il n'y en a aucun, les valeurs sont, puisque $\Phi_0\geq 0$, $\geq \frac{\Phi_2}{2}$, donc l'inf est en $\Phi_2$.

On passe de $n = 2$ à $n = 3$ : Les valeurs sur des espaces de dimension $1$ sont minorées, en prenant trois espaces de dimension $2$ en position générique. De même, les valeurs sur des espaces de dimension $2$ sont minorées en prenant trois espaces de dimension $1$ en position générique.

Considérons la borne inférieure totale. On l'approche par des espaces
de dimension maximale possible. Si elle est approchée par des espaces
de dimension $1$, forcément elle est atteinte. Sinon, elle est
approchée par des espaces de dimension $2$, s'il y en a plusieurs
$V,W$, on a $\phi(V\cap W) + \phi(V+W)\leq 2 inf$, donc les deux
approchent l'inf, ce qui est une contradiction.
#+END_proof


# ID:8563
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 29]
Soient $G$ un groupe admettant une partie génératrice finie et $H$ un groupe fini.
 1. Montrer que l'ensemble $E$ des morphismes de groupes de $G$ vers $H$ est fini.
 2. Soit $\psi$ un endomorphisme surjectif du groupe $G$. Montrer que
    $\Ker(\psi) \subset \bigcap_{\phi\in E} \Ker(\phi)$.
 3. s On pose $G = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z}), \det(M) = 1\}$.
    1. Montrer que $G$ est un groupe multiplicatif.
    2. Montrer que $G$ est engendré par $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.
    3. Montrer que tout endomorphisme surjectif du groupe $G$ est bijectif.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. On considère $\phi\mapsto \phi\circ \psi$, qui est bijective, car $E$ est fini.
 3.
    1.
    2. Par opérations.
    3. Il s'agit de montrer que tout élément de $G$ peut être non nul,
       dans un morphisme dans un groupe fini.

       Rmq : PSL2(Z) n'est pas du tout simple.

       On a une relation comme $S T^{-1} S = - U$.

       On a évidemment des morphismes dans $SL_2(Z/p/Z)$.
#+END_proof


# ID:8564
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 30]
Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ telle que $\det(A) = 1$ et $\operatorname{tr}(A) = \gamma > 2$. Pour $k \in \mathbb{Z}$ et $U \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{Z})$, on pose $(k, U) = \begin{pmatrix} A^k & U \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
 1. Montrer que l'ensemble $G_A = \{(k,U) ; k \in \mathbb{Z}, U \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{Z})\}$ est un groupe pour la loi de multiplication matricielle. Est-il abélien?
 1. Montrer l'existence d'un morphisme injectif de groupes de $G_A$ dans le groupe $S = \left\{ \begin{pmatrix} e^t & 0 & x \\ 0 & e^{-t} & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \ (t, x, y) \in \mathbb{R}^3 \right\}$.

 1. Soit $D_A$ le sous-groupe de $G_A$ engendré par les éléments $ghg^{-1}h^{-1}$ où $(g,h) \in G_A^2$. Montrer que $D_A = \{(0, (I_2 - A)U), U \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{Z})\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. La matrice $A$ est diagonalisable.
#+END_proof


# ID:8593
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 31]
 1. Soient $r \in \N^*$ et $(F_1, \ldots, F_r) \in \C(X)^r$. On pose
    $M_r = (F_j^{(i-1)})_{1 \leq i,j \leq r} \in
    \mathcal{M}_r(\C(X))$. Montrer que la famille $(F_1, \ldots, F_r)$
    est liée si et seulement si la matrice $M_r$ n'est pas inversible.
 1. Soient $n \in \N^*$ et $A = (A_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in
    \mathcal{M}_n(\C(X))$. Pour $p \in \N$, on note $A^{(p)} =
    (A_{i,j}^{(p)})$ la matrice des dérivées $p$-ème des coefficients de $A$.

    Montrer que les matrices $A^{(p)}$ pour $p \in \N$ commutent deux
    à deux si et seulement s'il existe $r \in \N^*, (F_1, \dots, F_r)
    \in (\C(X))^r$ et des matrices $C_1, \dots, C_r \in
    \mathcal{M}_n(\C)$ commutant deux à deux telles que $A = F_1C_1 +
    \cdots + F_rC_r$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si la famille est liée, ok.

    Réciproquement, si la matrice est non inversible, il existe une
    relation sur les colonnes, qui donne une liaison sur les $F_j$.
 2. Si $A = \sum F_i C_i$, les $C_i$ commutant deux à deux, alors les
    dérivées $p$-èmes commutent.

    Réciproquement. Soit $Q$ un polynôme et $B = Q A$. Alors $B' = Q
    A' + Q' A$. Donc les dérivées de $B$ commutent toutes entre-elles.

    On peut donc supposer que $A\in \M_n(\C[X])$. Alors $A$ n'a qu'un
    nombre fini de dérivées.

    On procède par récurrence sur le degré maximal $d$.

    Si $d = 0$, trivial. Si $d = 1$, trivial.
    Si $d = 2$, on peut appliquer H.R., sur la dérivée, d'où le résultat.
#+END_proof


# ID:8565
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 32]
Soit $S = \big(\delta_{i, n+1-j}\big)\in\M_n(\R)$.
 1. Justifier la diagonalisabilité de $S$ et donner ses valeurs propres.
 1. Donner une base orthonormale de vecteurs propres de $S$.
 1. Caractériser les sous-espaces de $\mathbb{R}^n$ stables par $S$.
#+end_exercice

# ID:8566
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 33]
 1. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que si $N \in$ $\mathcal{M}_n(\C)$ est suffisamment proche de $M$, alors $N$ admet $n$ valeurs propres distinctes.
 1. Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B \in \mathcal{M}_2(\C)$. À quelle condition la matrice $A + \eps B$ admet-elle deux valeurs propres distinctes pour tout $\eps > 0$ assez petit?
 1. Même question en demandant que $A + \eps B$ soit diagonalisable pour tout $\eps > 0$ assez petit.
#+end_exercice

# ID:8567
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 34]
Soient $\mathbb{K}$ un corps et $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$. On suppose que $\chi_A$ est irréductible et qu'il existe $B \in GL_2(\mathbb{K})$ telle que $B^{-1}AB$ commute avec $A$, mais que $B$ ne commute pas avec $A$. Montrer que $B^2$ est scalaire.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $B^{-1}AB$ commute avec $A$, donc est un polynôme en $A$, de degré $1$ et est $\neq A$ (car $B$ ne commute pas). (Si le commutant de $A$ était de dimension $3$, l'application $X\mapsto AX$ stabiliserait cet espace de dimension $3$, donc aurait une valeur propre).

Considérons $P_B\colon \K[A]\ra \K[A]$. On a $P_B^2 + \la P_B + \mu \op{Id} = \tilde{0}$.

Plutôt : $M\in \M_2(\C)\mapsto BM$. Si $B (a + bA) = c + d A$ alors, comme $a+bA$ est forcément inversible, $B$ commute avec $A$.

Donc $\M_2(\C) = \K[A] + B \K[A]$, et $B(a+bA) = (c+dA)B$, donc $B\K[A] = \K[A] B$, donc $B^2 \K[A] = \K[A]$, donc $B^2\in \K[A]$.

Mais $B^2 \in \K[B]$, donc $B^2$ est scalaire.
#+END_proof


# ID:3473
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 35]
Soient A, $B$ dans $\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $\operatorname{rg}(AB - BA) = 1$. Montrer que $A$ et $B$ sont cotrigonalisables.
#+end_exercice

# ID:8572
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 36]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telles que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(B) = 1$ et $\operatorname{Im} A = \operatorname{Im} B$.
 1. Montrer qu'il existe $P,Q\in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ telles que $A=P\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}Q$ et $B=P\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\0&0\end{pmatrix}Q$.
 1. Pour $P,Q \in GL_2(\mathbb{R})$, on pose $\Psi_{P,Q}: M \mapsto PMQ$. On pose $\tau: M \mapsto M^T$. Soit $\Psi \in \mathcal{L}(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}))$ qui conserve le rang. Montrer qu'il existe $P,Q \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ telles que $\Psi = \Psi_{P,Q}$ ou $\Psi = \Psi_{P,Q} \circ \tau$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On commence par conjuguer $A$ en $\begin{pmatrix}1 & u \\ 0 & 0\end{pmatrix}$, alors $B$ est de la forme $\begin{pmatrix}\a & \b \\ 0 & 0\end{pmatrix}$, puis on agit sur les lignes.
 2. On regarde $\Psi(E_{11})$ et $\Psi(E_{1,2})$. On obtient deux
    matrices, qui ont soit la même image, soit le même noyau. Si elles
    ont le même noyau, on applique $\tau$, alors elles ont la même image, et quitte à appliquer $P,Q$, on peut supposer $\Psi(E_{11}) = E_{11}$ et $\Psi(E_{1,2}) = \begin{pmatrix}\a & \b \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

    En fait, on a forcément $\b \neq 0$, donc on peut obtenir $\Psi(E_{1,2}) = \begin{pmatrix}0 & \b \\ 0 & 0\end{pmatrix}$

    Alors $\Psi(E_{2,1})$ est toujours de rang $1$ avec $E_{11}$, et n'est pas combinaison linéaire des deux précédents, donc $\Psi(E_{2,1}) = \begin{pmatrix}u & 0 \\ v & 0\end{pmatrix}$. En changeant $P,Q$, on peut supposer $u = 0$. Puis on regarde $\Psi(E_{2,2})$.
#+END_proof


# ID:8573
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 37] Théorème de similitude de Roth
Soient $n, k \in \N^*$, $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\C)$, $B \in \mathcal{M}_k(\C)$, $C \in \mathcal{M}_{n,k}(\C)$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $A$ et $B$ sont diagonalisables et il existe $X \in \mathcal{M}_{n,k}(\C)$ telle que $C = AX - XB$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $M$ est diagonalisable, par polynôme annulateur, $A,B$ le sont.

 $\begin{pmatrix}A & C \\ 0 & B\end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix}A^2 & AC + CB \\ 0 & B^2\end{pmatrix}$ et $\dots^3 = \begin{pmatrix}A^3 & A^2C + ACB+ CB^2 \\ 0& B^3\end{pmatrix}$.

Si $C = AX - XB$, alors $A^k CB^{n-k} = A^{k+1}XB^{n-k} - A^kX B^{n-k+1}$, et si un polynôme annule à la fois $A$ et $B$, il annulera $M$ (somme télescopique). On peut aussi expliciter une matrice par blocs tel que $\begin{pmatrix}A & AX-XB \\ 0 & B\end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}A & 0 \\ 0 & B\end{pmatrix}$.

On peut supposer que $A$ et $B$ sont diagonales, auquel cas on peut analyser exactement ce que signifie s'écrire $C = AX-XB$, et vérifier le résultat.
#+END_proof


# ID:8594
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 38]
Soit $\mathbb K$ un sous-corps de $\mathbb C$. On dit qu'une matrice $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est de Bourdaud si $\chi_M = \prod (X - m_{i,i})$.
 1. Montrer qu'une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est
    semblable sur $\mathbb{K}$ à une matrice de Bourdaud si et
    seulement si elle est trigonalisable sur $\K$.
 2. Montrer qu'une matrice de $S_n(\mathbb{R})$ est de Bourdaud si et
    seulement si elle est diagonale.
 3. Est-il vrai que toute matrice de Bourdaud de
    $\mathcal{M}_n(\C)$ est diagonalisable?
 4. On dit que $A$ est normale si $A^TA = AA^T$. Déterminer les
    matrices réelles normales et de Bourdaud.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si on est semblable à une matrice de Bourdaud, on est semblable à une matrice de polynôme caractéristique scindé.
 2. Si $S_n$ est symétrique, et si ses valeurs propres sont sur sa
    diagonale, on regarde la plus grande, sur la $i$-ème colonne, on
    obtient que $E_i$ est un vecteur propre, etc.
 3. Non, cf $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.
 4. Qu'en est-il des matrices antisymétriques ? Elles ne sont pas de
    Bourdaud, car leurs valeurs propres sont imaginaires pures.

    Que dire d'une valeur propre d'une matrice normale ? Si $X$ est
    vecteur propre, $A^TX$ l'est aussi : $A^T$ préserve les espaces
    propres (complexes).

    Mais si la matrice est de Bourdaud, les valeurs propres sont
    réelles, donc on est diagonalisable dans une BON, donc symétrique.
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 39]
Soient $n, k \in \N^*$, $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $B \in \mathcal{M}_k(\mathbb{R})$, $C \in \mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{R})$. On pose $e^M = \begin{pmatrix} M_1 & \phi_{A,B}(C) \\ M_2 & M_3 \end{pmatrix}$.

 1. Déterminer $M_1, M_2, M_3$.
 1. Montrer que $\phi_{A,B}$ est linéaire.
 1. Montrer que, si $A$ et $B$ sont diagonalisables, alors $\phi_{A,B}$ l'est aussi, et préciser son spectre.
 1. Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ telle que $f(x,y) = \frac{e^x e^y}{x y}$ si $x \neq y$, et $f(x,x) = e^x$. Montrer que fest de classe $C^{\infty}$.
 1. On suppose que $\phi_{A,B}$ est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont distinctes. Montrer que $A$ et $B$ sont diagonalisables.
#+end_exercice

# ID:8556
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 40]
Si $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$, on pose $[A, B] = AB-BA$. Soit $\mathcal{A} = \{ M \in \mathcal{M}_2(\C), \operatorname{tr}(M) = 0 \}$.
 1. Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\C)$ stable par [,].
 2. Calculer les $[A,B]$ pour les $A,B \in \{X,Y,H\}$ où $X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

 3. Soit $\rho: A \to \mathcal{M}_n(\C)$ linéaire telle que, pour tous $A, B \in A$, $\rho([A, B]) = [\rho(A), \rho(B)]$. Montrer que $\rho(H)$ admet une valeur propre $\alpha$.

    Montrer que $\rho(X)(E_{\alpha}(\rho(H))) \subset \operatorname{Ker}(\rho(H) - (\alpha + 2)I_n)$.

    Montrer que $\rho(Y)$ $(E_{\alpha}(\rho(H))) \subset \text{Ker } (\rho(H) (\alpha 2)I_n)$.
 1. On suppose que, si $V$ est un sous-espace de $\C^n$ stable par tous les $\rho(A)$, pour $A \in \mathcal{A}$, alors $V = \C^n$ ou $V = \{0\}$. Déterminer les $\rho$ possibles.
#+end_exercice

# ID:8557
#+begin_exercice [ENS U 2025 # 41]
Soient $k$ un corps de caractéristique nulle, $E$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. On écrit $\pi_u = \prod_i P_i^{n_i}$, le polynôme minimal de $u$, où les $P_i$ sont irréductibles distincts et les $n_i$ dans $\N^*$. On pose $f=P_1\times\cdots\times P_r$. On définit une suite en posant $u_0=u$ et, pour $n \in \N$, $u_{n+1} = u_n - f(u_n) f'(u_n)^{-1}$.
 1. Montrer que $(u_n)$ est bien définie.
 1. Montrer que $(u_n)$ est stationnaire de valeur ultime $d \in
    \mathcal{L}(E)$ où $d$ est un polynôme en $u$, $u-d$ est nilpotent
    et $d$ est annulé par $f$.
#+end_exercice

# ID:8558
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 42]
Déterminer le cardinal minimal $p$ d'un sous-groupe $G$ de $\mathrm{GL}_2(\C)$ tel que $\operatorname{Vect}(G) = \mathcal{M}_2(\C)$. Si $G_1$ et $G_2$ conviennent et sont de cardinal $p$, sont-ils conjugués?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Le groupe est nécessairement non commutatif, donc de cardinal $\geq 6$. Le seul groupe de cardinal $6$ est $\mc S_3 \simeq mc D_6$.
#+END_proof


# ID:8574
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 43]
On dit que la propriété $MT(n, \mathbb{K})$ est vraie si, pour tout couple $(A, B)$ de matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que, pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$, $A + \lambda B$ soit diagonalisable, $A$ et $B$ commutent.

 1. Montrer que, si $A$ et $B$ sont dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, diagonalisables et commutent, alors, pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$, $A + \lambda B$ est diagonalisable.
 2. On suppose que $n \ge 2$. La propriété $MT(n, \mathbb{R})$ est-elle vraie?
 3. Montrer que $MT(2,\C)$ est vraie.
 4. On suppose que $n \ge 2$. La propriété $MT(n, \mathbb{F}_2)$ est-elle vraie?
 5. Soit $p \ge 3$ un nombre premier. La propriété $MT(2, \mathbb{F}_p)$ est-elle vraie?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Non : matrices symétriques.
 3. On suppose $A$ diagonale, de coefficients $\neq$. Si $B$ est non
    diagonale : si triangulaire, on peut obtenir deux coefficients
    diagonaux égaux, donc non diagonalisable. En général, montrer que
    le polynôme caractéristique peut avoir un $\Delta = 0$.
 4. Si on est diagonalisable et inversible, on est l'identité, sinon,
    on est une projection.

    Soit donc $A$ diagonale avec un bloc de $0$ et un bloc de $1$. Il existe plein de matrices avec lesquels $A$ ne commutent pas, pour lesquelles $A+B$ est inversible.
 5. Soit $A$ diagonale. Existe-t-il $B$ qui ne commute pas telle que $A+\la B$ soit non diagonalisable, ce qui revient à ce que son polynôme ait $\Delta = 0$.
#+END_proof


# ID:7698
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 44]
Quelle est l'image de l'application $f: M \in \mathcal{M}_2(\C) \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} M^{2n+1}$ ?
#+end_exercice

# ID:8575
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 45]
 1. Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB = BA$.
    Justifier que $e^{A+B} = e^A e^B$.
 2. Soient $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $P \in GL_n(\C)$. Montrer que
    $e^{PAP^{-1}} = Pe^AP^{-1}$.
 3. Pour $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ convenable, on pose $\log A =
    \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} (A I_n)^k$. Pour quelles
    matrices $\log A$ est-il défini? Montrer les égalités $\exp(\log
    A) = A$ et $\log(\exp A) = A$. Pour chaque égalité, déterminer les
    matrices $A$ qui la satisfont.
 1. Montrer que, si $A, B \in \mathcal{M}_n(\C), \left(e^{\frac{A}{k}}
    e^{\frac{B}{k}}\right)^k \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow}
    e^{A+B}$.
#+end_exercice

# ID:8576
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 46]
Soient $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ et $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ de rayon de convergence égal à $+\infty$.
 1. Pour $M \in \mathcal{M}_n(\C)$, justifier la définition de $f^*(M)
    = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k M^k$.
 2. Montrer que $f^*$ est continue.
 3.  On suppose que $f$ est surjective. Montrer que $f$ induit une
    surjection de l'ensemble des matrices diagonalisables sur
    lui-même.
 4. On suppose que, pour tout $\lambda \in \C$, il existe $z \in \C$
    tel que $f(z) = \lambda$ et $f'(z) \neq 0$. Montrer que $f^*$ est
    une surjection de $\mathcal{M}_n(\C)$ sur lui-même.
#+end_exercice

# ID:8595
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 47]
Soit $d \in \N^*$. On munit $\mathbb{R}^d$ de sa structure euclidienne canonique. Déterminer les $n \in \N^*$ pour lesquels il existe un ensemble $F_n \subset \mathbb{R}^d$ de cardinal $n$ tel que, pour toute partie $G$ de $F_n$, il existe $\omega \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que $G = \{x \in F_n, \langle \omega, x \rangle + b > 0\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est donc que toute partie $G$ de $F_n$ peut être obtenue par un hyperplan.

Pour $d = 1$, c'est $n = 2$.
Pour $d = 2$, c'est $n = 3$, etc.

 $d+1$ est atteignable, en prenant les vecteurs de la base canonique + $0$.

Pourquoi est-ce que $d+2$ n'est pas atteignable : car un élément sera dans l'enveloppe convexe des autres.
#+END_proof

# ID:8729
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 48]
Pour $\omega \in \mathbb{R}$, on pose $R(\omega) = \begin{pmatrix} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{pmatrix}$. Soit $\phi : \mathbb{R} \to \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ un morphisme de groupes continu. Montrer qu'il existe $\omega_1, \ldots, \omega_r \in \mathbb{R}$ et $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ tel que, pour tout $t \in \mathbb{R}$,

$$\phi(t) = P \begin{pmatrix} e^{tR(\omega_1)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & e^{tR(\omega_r)} & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & I_{r-2r} \end{pmatrix}P^{-1}.$$
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On considère $\Phi(t) = \int_0^t \phi(u)\du$, on a $\Phi(t+r) - \Phi(t) = \int_t^{t+r} \phi(u)\du = \phi(t)\int_0^r \phi(u)\du$, et pour $r$ assez petit, $\int_0^r \phi(u)\du$ est inversible, donc $\phi(t)$ est dérivable, puis c'est une exponentielle.
#+END_proof


# ID:8577
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 49]
Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes autoadjoints positifs d'un espace euclidien. Montrer que $v \circ u$ est diagonalisable.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Conjuguer par une racine carrée.
#+END_proof

# ID:8741
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 50]
Déterminer l'ensemble des symétries linéaires sur
$\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ qui fixent un hyperplan et stabilisent
l'ensemble $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si on stabilise $\mc S_n^{++}$, on stabilise sa frontière.

Si $A\in\mc F$ est envoyé sur $B\in\mc F$, pour tout $u$.

De même, par topologie, sur le bord de $\mc S_n^+$, le rang est
préservé. donc les $X X^T$ sont envoyés sur des $Y Y^T$.

En particulier, si $s$ est la symétrie parallèlement à $S$, on doit avoir $\rg S\leq 2$.

De plus $S$ a une valeur propre $\gt 0$ et une $\lt 0$.

Soit $F$ la somme de ses espaces propres. Alors les matrices de rang
$1$ d'image dans $F$ sont envoyés sur d'autres, d'image dans $F$, donc
$\mc S_F$ est stable par $s$.

On est ramené au cas $n = 2$. $\mc S_2^{++}$ est l'ensemble décrit par $a,b\gt 0$ et $|c|\lt \sqrt{ab}$.

On suppose que $S = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$, alors la symétrie doit échanger $a$ et $b$, donc l'hyperplan est $H = \begin{pmatrix}u & v \\ v & u\end{pmatrix}$.

En général, $S = P D P^T$, et $H = P H P^T$ fonctionnent. C'est la
conjuguée de la symétrie par $U\mapsto P U P^T$. Donc c'est la seule
qui fonctionne.

En général, si on prend $X$ orthogonal à $\Im S$ alors $X X^T + tS$ ne peut pas être de rang $1$, donc $X X^T$ est dans l'hyperplan.

Si on prend $\begin{pmatrix}1 & 0 & \a \\ 0 & 1 & 0 \\ \a & 0 & u \end{pmatrix}$. Elle est transformée en $\begin{pmatrix}1 + \phi(\a) & 0 & \a \\ 0 & 1 - \phi(\a) & 0 \\ \a & 0 & u \end{pmatrix}$. Si on prend $u$ énorme, la première est toujours def positive, alors que la seconde non, donc $S$ est exactement l'échange des deux coordonnées $m_{11}$ et $m_{22}$, mais cela ne fonctionne pas.
#+END_proof


# ID:8742
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 51]
Soit $H = (H_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. On suppose que, pour tous $i \neq j, H_{i,j} \leq 0$. Si $(i,j) \in \db{1,n}^2$, on dit que $i$ et $j$ sont connectés s'il existe $m \in \N^*, k_1, \ldots, k_m \in \db{1,n}$ tels que $k_1 = i, k_m = j$ et, pour tout $\ell \in \db{1,m-1}, H_{k_\ell,k_{\ell+1}} \neq 0$.

Montrer que $i$ et $j$ sont connectés si et seulement si $H_{i,j}^{-1} > 0$, où $H_{i,j}^{-1}$ est le coefficient d'indice $(i,j)$ de $H^{-1}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si on n'est pas connectés, on peut partitionner en deux
sous-ensembles, $H$ est diagonale par blocs, et le $H_{ij}^{-1}$ sera
nul.

On a $H_{i,j}^{-1} = \langle E_i, H^{-1} E_j\rangle = \langle H^{-T}
E_i, E_j\rangle$, et $H^{-T} = \op{Com}(H)$. Sachant que $\det H\gt
0$, on veut montrer que les coefficients de la comatrice sont $\gt 0$.

Sur la diagonale, c'est classique.

Quitte à multiplier à droite/gauche par une matrice diagonale
$\sqrt{D}$, on peut supposer $H = I_n - S$, avec $S$ avec des petites
valeurs propres, donc $H^{-1} = \sum_{k=0}^{+\i} S^k$.
#+END_proof


# ID:8750
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 52]
On considère $n \in \mathbb{N}^*$ et $(A, B) \in \mathcal{A}_{2n}(\mathbb{R})^2$. On pose $C = AB$ et on s'intéresse aux valeurs propres réelles de $C$.
 1. Donner un exemple de $n$, $A$ et $B$ tels que $\chi_C$ n'admette aucune racine réelle.
 2. On suppose $A$ inversible. On note $\phi\colon (\mathbb{C}^{2n})^2 \to \mathbb{C}$ définie par $\phi(X,Y) = X^T A^{-1} Y$. Montrer que les sous-espaces caractéristiques $F_{\lambda}(C)$ de $C$ sont deux à deux $\phi$-orthogonaux, i.e. pour tous $\lambda$ et $\mu$ distincts dans $\operatorname{Sp}(C)$, $\forall (X,Y) \in F_{\lambda}(C) \times F_{\mu}(C)$, $\phi(X,Y) = 0$.
 3. Que peut-on en déduire ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Pour $n = 1$, il n'y a qu'une seule matrice antisymétrique.

    Il faut donc $n = 2$, dimension 4, $A,B$ inversibles. Une avec deux blocs $2\times 2$, l'autre avec le bloc du milieu, et $1,-1$ extrémaux :

    $\begin{pmatrix}0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. On obtient une nouvelle matrice antisymétrique, qui n'a dont pas de racines réelles.
 2. On a $\phi(CX, Y) = \phi(X, CY)$. Écrire Bézout entre $(X-\la)^k$ et $(Y-\mu)^k$, puis $\phi(X,Y) = \phi(X, (PU + QV)Y) = 0$.
 3. On sait que l'espace se décompose comme somme de ces espaces caractéristiques. En particulier, aucun ne contient un vecteur isotrope. Sur $\R$, sur chacun de ces espaces caractéristique la forme $\phi$ est antisymétrique, donc la dimension est paire.
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 53]
On munit $\mathbb{R}^3$ de sa structure canonique d'espace euclidien orienté, et on note $\mathbf{B}$ sa base canonique.
 1. Montrer que, pour tout $u \in \mathbb{R}^3$, il existe un unique endomorphisme $z_u$ de $\mathbb{R}^3$ tel que $\forall (x,y) \in (\mathbb{R}^3)^2$, $\det_{\mathbf{B}}(u,x,y) = \langle z_u(x),y \rangle$, et montrer qu'alors $z_u^{} = -z_u$.
 1. Soient $u \in \mathbb{R}^3$ unitaire et $\theta \in \mathbb{R}$. On munit le plan $\{u\}^{\perp}$ de l'orientation dont les bases directes sont les bases $(x,y)$ de $\{u\}^{\perp}$ telles que $(x,y,u)$ soit une base directe de $\mathbb{R}^3$. On note $r_{u,\theta}$ la rotation de $\mathbb{R}^3$ fixant $u$ et induisant sur $\{u\}^{\perp}$ la rotation d'angle de mesure $\theta$. On note enfin $p_u$ la projection orthogonale sur $\mathbb{R}u$. Exprimer $\operatorname{tr}(r_{u,\theta})$ en fonction de $\theta$, et montrer que $r_{u,\theta} = (\cos\theta)$. id $+(1-\cos\theta)$. $p_u + (\sin\theta)$. $z_u$.
 1. Soient $u$,v des vecteurs unitaires de $\mathbb{R}^3$. On pose $\tau=\arccos\left(\langle u,v\rangle\right)$. Soit $(\phi,\psi)\in\mathbb{R}^2$. Justifier que $r_{u,\phi}\circ r_{v,\psi}$ est une rotation, et montrer qu'elle s'écrit $r_{w,\theta}$ pour un vecteur unitaire $w$ et un réel $\theta$ vérifiant $|\cos(\theta/2)|=|\cos(\phi/2)\cos(\psi/2)-\cos(\tau)\sin(\phi/2)\sin(\psi/2)|$.
#+end_exercice

# ID:8736
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 54]
 1. Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, diagonalisables et
    telles que $AB = BA$. Montrer qu'il existe $P \in
    GL_n(\mathbb{R})$ telle que $PAP^{-1}$ et $PBP^{-1}$ soient
    diagonales.
 2. Montrer que l'application $\Phi\colon (S,O) \in
    \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \times \mathcal{O}_n(\mathbb{R})
    \mapsto SO \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est bien définie et
    bijective, et que $\Phi^{-1}$ est continue.
 3. Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe une unique suite de matrices $(M_k)_{k \in \N}$ telle que $M_0 = M$ et $\forall k \in \N, \ M_{k+1} = \frac{M_k}{2}(I_n + (M_k^T M_k)^{-1})$, et étudier sa convergence.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Codiagonalisabilité.
 2. Soit $U\in GL_n(\R)$, on prend la racine carrée de $U U^T$ def positive.
 3. Il $M^T_kM_k$ est def positive, donc $-1$ n'est pas valeur propre.

    Par ailleurs si $M_k = S_kO_k$, $M_{k+1} = \frac{S_k O_k}{2}
    O_k^{-1}\big(I_n + S_k^T S_k\big)O_k = \frac{S_k}{2} \big(I_n +
    (S_k^T S_k)^{-1}\big)O_k$. Si $S_k$ est diagonale, on voit ce
    qu'il se passe : $\frac{u_k}{2} + \frac{1}{2 u_k}$, tend vers $1$.
    En général, on montre que la plus grand/petite valeur propre se
    rapproche de $1$, avec la question 1.
#+END_proof


# ID:8737
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 55]
On pose $V=\{1,2,\ldots,n\}$ et $F=\mathcal{P}_2(V)$ l'ensemble des paires de $V$. Soient $E\subset F$ et $n_i=|\{j\in V,\ \{i,j\}\in E\}|$ pour $i\in V$. On définit la matrice $L=(\ell_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ par $\ell_{i,j}=n_i$ si $i=j$, et $\l_{i,j} = -1$ si $\{i,j\}\in E$ et 0 sinon. On note $\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n$ les valeurs propres (avec multiplicité) de $L$.
 1. Montrer que $\lambda_1 = 0$.
 2. Montrer que $\lambda_2 = \min_{X \in \{(1,\dots,1)\}^{\perp} \setminus \{0\}} \frac{X^T L X}{X^T X}$.
 3. Pour $S \subset V$, on note $\partial S = \{\{i,j\}, \ \{i,j\} \in E \text{ avec } i \in S \text{ et } j \notin S\}$.
 Montrer que $\frac{\lambda_2}{2} \leqslant \min_{\substack{S \subset V \\ 0 < |S| \leqslant \frac{n}{2}}} \frac{|\partial S|}{|S|}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. La somme des colonnes fait $0$.
 2. $L$ est symétrique.
 3. Si on prend un tel $S$, on note $s = |S|$. On prend $X$ avec des $n-s$ pour $k\in S$ et $-s$ si $k\not\in S$.

    On trouve $X^T L X = n^2 |\partial S|$ et $X^T X = n s (n-s)$.
#+END_proof



# ID:8774
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 56]
Pour $A, B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ on note $A \geq B$ lorsque $A - B \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Si $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, on écrit $A = P \operatorname{Diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) P^{-1}$ avec $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ et les $\lambda_i > 0$, et on pose, pour $r \in \mathbb{R}$, $A^r = P \operatorname{Diag}(\lambda_1^r, \dots, \lambda_n^r) P^{-1}$ ; cette définition ne dépend pas de l'écriture de $A$ sous la forme précédente.

 1. Montrer que $M \mapsto M^{-1}$ est décroissante sur $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.
 2. Est-ce que $M \mapsto M^2$ est croissante sur $S_n^{++}(\mathbb{R})$ ?
 3. sV2 Soit $r\in \interval]{-1, 0}[$. Montrer que pour $x\gt 0$, $x^r = \frac{\sin(-r\pi)}{\pi} \int_0^{+\infty} t^r (x + t)^{-1} \dt$
 4. Montrer que $M\mapsto M^r$ est convexe sur $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ lorsque $r\in[-1,0]$. Ceci signifie que, pour tous $A,B\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et tout $t\in[0,1[$, $(tA+(1-t)B)^r\leqslant tA^r+(1-t)B^r$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Soit $A\geq B$, il existe $P$ inversible tel que $A = P P^T$ et $B
    = P D P^T$, avec $D$ à coefficients $\lt 1$, on est bon.

    Alternative : $B$ admet une racine carrée, et $A\geq B\ssi B^{-1/2} A B^{-1/2}\geq I_n \ssi B^{1/2} A^{-1}B^{1/2}\leq I_n \ssi A^{-1} \leq B^{-1}$.
 2. Prenons $A = \begin{pmatrix}2 & a \\ a & 1\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix}2' & b \\ b & 1'\end{pmatrix}$
    Si $\langle AX, X\rangle\leq \langle BX, X\rangle$, mais $B^2$ penche trop. Ce sera encore le cas de la plus grande valeur propre.

    $B-A = \begin{pmatrix}2'-2 & b-a \\ b-a & 1'-1\end{pmatrix}$, on veut $(2'-2)(1'-1) \geq (b-a)^2$

    Alors $A^2 = \begin{pmatrix} 2 + a^2 & 3a \\ 3a & 1+a^2\end{pmatrix}$.

    $B^2 - A^2 = \begin{pmatrix}2' - 2 + b^2 - a^2 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$, et ce coefficient en haut à gauche n'a pas de raison d'être positif.

    En pratique : on peut prendre $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
 3. Le cas $r = -1$ se fait par coréduction.

    L'expression intégrale donnée reste valable pour une matrice, et la convexité de $M\mapsto M^r$ se ramène à la convexité des autres.

    $M^r = \frac{\sin(-r\pi)}{\pi} \int_0^{+\infty} t^r (M + tI_n)^{-1} \dt$

    Alternative : il suffit de le faire pour $r = -1/2$, peut-être.
#+END_proof


# ID:8751
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 57]
On dit d'une norme $\mathcal{N}$ sur $\mathcal{M}_d(\R)$ qu'elle est invariante orthogonalement lorsque $\forall M \in \mathcal{M}_d(\R), \forall (P,Q) \in \mathcal{O}_d(\R)^2, \mathcal{N}(M) = \mathcal{N}(PMQ)$.
 1. Donner un exemple d'une telle norme.
 1. Soit $A \in \mathcal{M}_d(\R)$, montrer qu'il existe $(P,Q) \in
    \mathcal{O}_d(\R)^2$ tel que $A = PDQ$ où $D =
    \operatorname{Diag}(\sigma_1, \dots, \sigma_r, 0, \dots, 0)$ avec
    $\forall i \in \db{1,r}, \sigma_i \gt 0$.
 1. On se donne une norme $\mathcal{N}$ invariante orthogonalement sur
    $\mathcal{M}_d(\R)$. On note $T(A) = \sup\{\|AX\|,\, \|X\| = 1\}$
    où $\|\cdot\|$ désigne la norme euclidienne canonique. Montrer
    qu'il existe $\alpha > 0$ tel que $\forall A \in
    \mathcal{M}_d(\R), \operatorname{rg}(A) = 1 \Rightarrow T(A) =
    \alpha \mathcal{N}(A)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Norme subordonnée 2, ou somme des carrés des coefficients.
 2. Si $A A^T = B B^T$, et inversible, alors $B^{-1}A$ est orthogonale.

    En général, l'énoncé revient à trouver une BON (l'image de $Q$) telle que $\langle A e_i, A e_i\rangle = \sigma_i$.
 3. C'est immédiat.
#+END_proof

# ID:8752
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 58]
On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique et $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de la norme d'opérateur qui lui est subordonnée.
 1. Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.
   - Que dire des valeurs propres et des espaces propres de $\it A$ ? On note $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ les valeurs propres distinctes de A.
   - Soient $x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}, \, \a \in \mathbb{R}$ et $y = Ax - \a x$. Montrer que $\min\limits_{1 \leqslant i \leqslant r} |\lambda_i - \a| \leqslant \frac{\|y\|}{\|x\|}$.
 1. Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable, $P \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale, $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ les valeurs propres distinctes de A. Soient enfin $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $\alpha$ une valeur propre de $A + B$. Montrer que $\min\limits_{1 \le i \le r} |\lambda_i- \alpha| \le ||P||_{\operatorname{op}} ||P^{-1}||_{\operatorname{op}} ||B||_{\operatorname{op}}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
    1.
    2. Écrire dans une BON.
 2. Discuter selon si $\a$ est une valeur propre de $A$. Sinon, on a $(\a I_n - A) v = Bv$, donc $v = (\a I_n - A)^{-1} B v$.
#+END_proof


# ID:4285
#+begin_exercice [ENS nil 2025 # 59]
Soient $S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $SA$ est diagonalisable sur $\C$.
#+end_exercice

# ID:8753
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 60]
Soit $n \in \N^*$. On appelle forme quadratique sur $\mathbb{R}^n$ toute application $q : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ telle qu'il existe $(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $q(x) = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j} x_i x_j$ pour tout $x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$. Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(\mathbb{R})$ tels que $\{0\}$ et $\mathbb{R}^n$ sont les seuls sous-espaces de $\mathbb{R}^n$ stables par tous les éléments de $G$. Montrer que les formes quadratiques invariantes par $G$ constituent une droite vectorielle.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $q(x) = X^T A X$. La forme est invariante par $g$ si $G^T A G = A$.

Si on prend $A = \sum_{g\in G} g^T g$, c'est invariant, et de trace $\gt 0$.

Unicité : Si une matrice orthogonale commute avec une matrice $A$,
alors elle commute avec sa partie symétrique, qui aura un espace
propre non trivial, à moins que ce ne soit $\la I_n$, alors c'est la
même forme quadratique.

En général, si $g^T B g = B$ et $g^T A g = A$, avec $A,B$ symétrique, ou encore $g^T B = Bg^{-1}$, alors l'image de $B$ est stable par $g^T$, donc l'orthogonal de l'image est stable par $g$, et si $B$ est inversible, on est ramené au cas précédent par coréduction.
#+END_proof


# ID:8754
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 61]
Soit $n \ge 2$. On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $H \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On pose $\nabla_H : (x,y) \in (\mathbb{R}^n)^2 \mapsto x^T H y$ et $Q_H\colon x \in \mathbb{R}^n \mapsto x^T H x$.
 1. Soit $H \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Exprimer la norme d'opérateur de $H$ à l'aide de $Q_H$.
 2. Soient $m, n \in \N^*$. On munit $\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{R}^m$ de leur structure euclidienne canonique. Si $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$, comment déterminer la norme d'opérateur de $A$ pour ces normes?

 3. Soient $J$, $K$ deux ensembles finis non vides, $(a_{j,k})_{(j,k)\in J\times K}\in (\mathbb{R}^+)^{J\times K}$. On suppose qu'il existe $C_1$ et $C_2$ tels que : $\forall j\in J, \sum_{k\in K}a_{j,k}\leqslant C_1$ et $\forall k\in K, \sum_{j\in J}a_{j,k}\leqslant C_2$.

    On ordonne $J$ et $K$ et on note $A$ la matrice des $a_{j,k}$. Montrer que $||A||_{\text{op}} \leqslant \sqrt{C_1 C_2}$.
 4. Pour $n \in \N^*$, $J = K = \db{1,n}$, on pose, pour $1 \leqslant j, k \leqslant n$, $a_{j,k}^n = \frac{1}{(j-k)^2}$ si $j \neq k$, et $a_{j,k}^n=0$ sinon. On note enfin $A^n=\left(a_{j,k}^n\right)_{1\leqslant j,k\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Déterminer la limite de $(\|A^n\|_{\rm op})_{n\geq 1}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. C'est la plus grande valeur propre de $A^T A$.
 3. Cauchy-Schwarz donne $\lN Ax\rN^2 \leq C_1 C_2 \lN x\rN^2$.
 4. On peut majorer la somme par ligne/colonne par $2\frac{\pi^2}{6}$, la question précédente donne une majoration.

    On peut minorer par $u^T A^n u$, où $u = (1,\dots, 1)$.
#+END_proof


# ID:8775
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 62]
L'espace $\mathbb{R}^n$ est muni de sa norme euclidienne canonique et $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de la norme subordonnée notée $\| \|_{op}$. Si $M \in GL_n(\mathbb{R})$, on définit le conditionnement de $M$ comme le réel  $\op{cond}(M) = ||M||_{\text{op}} ||M^{-1}||_{\text{op}}$.
 1. Calculer $\op{cond}(M)$ dans le cas où $M$ est symétrique définie positive.
 2. Montrer que, pour toute matrice $M \in GL_n(\mathbb{R})$, $\op{cond}(M) \geq 1$ et $\op{cond}(M^T) = \op{cond}(M)$.
 3. Que dire des matrices $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telles que $\op{cond}(M) = 1$ ?
 4. Pour $A$ et $B$ dans $S_n^{++}$, montrer que $\op{cond}(A+B) \leq max(\op{cond}(A), \op{cond}(B))$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. La plus grand valeur propre, divisée par la plus petite.
 2. Trivial.
 3. $\la \mc O_n(\R)$.
 4. On a l'interprétation en termes des valeurs propres. La plus grande valeur propre de $A+B$ est $\leq \la_A + \la_B$, et sa plus petite est $\geq \mu_A + \mu_B$.
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 63]
On note $E$ l'ensemble des matrices de $S_n^+(\R)$ de rang 1.
 1. Soit $A \in \M_n(\R)$. Montrer que $A \in E$ si et seulement s'il
    existe $U \in \M_{n,1}(\R)$ tel que $A = UU^T$.
 2. E Soit $a \in \mc C^0(\R^+, E)$.
 3. Montrer l'équivalence entre les deux assertions suivantes :
    + il existe $u\colon \R^+ \ra \M_{n,1}(\R)$ continue telle que $\forall t \in \R^+, a(t) = u(t)u(t)^T$ ;
    + il existe $z: \R^+ \ra \M_{n,1}(\R)$ continue telle que $\forall t \in \R^+,\, z(t)^T a(t) z(t) \gt  0$.
 4. Soient $0 \le b \le c$. On suppose qu'il existe $(i,j) \in [1,n]^2$ avec $i \ne j$ tel que, pour tout $t \in [b,c], a_{i,i}(t) \gt  0$ et $a_{j,j}(t) \gt  0$. Montrer qu'il existe $z : [b,c] \ra \M_{n,1}(\R)$ continue telle que $\forall t \in [b, c], z(t)^T a(t)z(t) \gt  0$ et, en outre, $z(b) = e_i, z(c) = \pm e_i$ (les $e_k$ sont les vecteurs de la base canonique).
 5. En considérant l'ensemble des $d \ge 0$ tels qu'existe $z : [0,d] \ra \M_{n,1}(\R)$ continue vérifiant $\forall t \in [0, d], z(t)^T a(t) z(t) \gt  0$ et $z(d) = \pm e_i$, montrer que a vérifie la propriété $(i)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3. On peut définir $u$ comme un vecteur directeur unitaire de l'image de $a$, multipliée par la norme de $a$.

    Le résultat est faux : la deuxième condition ne donne pas la continuité de la norme de $A$.
#+END_proof


# ID:8755
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 64]
Soient $n \ge 2$, $a: [0,1] \to \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ continue et $A = \int_0^1 a(t) dt$.
 1. Montrer que $A$ appartient à $S_n^+(\mathbb{R})$.
 2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A=0$. Exprimer $\Ker(A)$.
 3. Montrer que $M=\left(\frac{1}{1+i+j}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ est dans $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.
 4. On suppose $a$ à valeurs dans l'ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux. Donner une condition pour que $A$ soit une matrice de projecteur orthogonal.
 5. Soit $\Gamma: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} dt$. Soient $0 < \alpha < \beta$.
    Montrer que $\begin{pmatrix} \Gamma(2\alpha) & \Gamma(\alpha+\beta) \\ \Gamma(\alpha+\beta) & \Gamma(2\beta) \end{pmatrix}$ est dans $\mathcal{S}_2^{++}(\mathbb{R})$.
 6. En déduire que $\ln(\Gamma)$ est convexe
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. $\Ker (A)  = \bigcap \Ker a(t)$.
 3. C'est une matrice de Gram.
 4. Pour $x$ dans l'image, il faut que $x$ soit dans toutes les images. Pour $x$ dans le noyau, il faut qu'il soit dans tous les noyaux, donc $a$ est constante.
 5. C'est une matrice symétrique, de trace strictement positive, et il reste à montrer que $\Gamma(2\a) \Gamma(2\b)\gt \Gamma(\a+\b)^2$, ce qui est Cauchy-Schwarz.
 6. On a la convexité pour la moitié.
#+END_proof

** Analyse

# ID:8734
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 65]
Soit $(O_n)_{n\geq 0}$ une suite d'ouverts non majorés de $\mathbb{R}^{+*}$. Montrer qu'il existe $x\in\mathbb{R}^{+*}$ tels que, pour tout $n\in\N$, l'ensemble $O_n\cap x \N$ soit infini.
#+end_exercice

# ID:8756
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 66]
Soit $E$ un ensemble non vide. Soit $d\colon  E^2 \ra \R$ vérifiant, pour tous $x, y, z \in E$ :
 + $d(x,y) = d(y,x)$,
 + $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$,
 + $d(x,y) \leq \max(d(x,z), d(z,y))$.
Ainsi $d$ est une distance sur $E$.

Pour $x \in E$ et $r \in \R^+$, on note $B(x,r) = \{y \in E, d(x,y) \leq r\}$ la boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$. On suppose que, pour tout $x \in E$ et tous $r, r'$ vérifiant $0 \lt r \lt r'$, on a $B(x,r) \subsetneq B(x,r')$. Enfin, on suppose qu'il existe une suite d'éléments de $E$ dense dans $(E,d)$.

Montrer qu'il existe une suite $(z_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $E$ et une suite $(r_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $\R_+^*$ telles que : $\forall n\in\N, B(z_{n+1},r_{n+1})\subset B(z_n,r_n)$ et $\bigcap_{n\in\N}B(z_n,r_n)=\emptyset$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $z\in B(x,r)$, alors $B(x,r)\subset B(z,r)$, donc elles sont égales.

L'idée est de ne pas faire tendre $r_n$ vers $0$ mais vers $1$ par exemple.

On prend $B(z_0, 2)$. On peut se débarrasser de $z_0$ en diminuant un peu le rayon : prendre un élément qui n'est pas dans $B(z_0, 2-\eps)$.

Plus généralement, si $B(a, r)$ contient un $z_i$, on veut s'en
débarrasser, sans trop diminuer le rayon, et bien comme $B(a,r) =
B(z_i,r)$, c'est bon.
#+END_proof


# ID:8733
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 67]
On note $E$ l'ensemble des fonctions lipschitziennes 1-périodiques de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
 1. Pour $\alpha \in ]0,1]$ et $f \in E$, on pose

    $$||f||_{\alpha} = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)| + \sup_{x \neq y} \frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|^{\alpha}}.$$

    Démontrer que $\| \|_{\alpha}$ est une norme sur $E$.

 1. On note $F = E \cap \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Démontrer que $F$ est un fermé de $E$ pour la norme $\| \cdot \|_1$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Clair.
 2. Si $f_n \ra_{\lN \cdot\rN_1} f$, alors la convergence est uniforme, donc $f$ est continue.

    Le sup des taux d'accroissements est la même chose que le sup de $|f'|$.
#+END_proof


# ID:8838
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 68]
Soient $E$ l'espace des suites réelles $(x_n)_{n\geq 0}$ nulles à partir d'un certain rang, et $T\in\mathcal{L}(E)$. On suppose $T$ continu pour la norme $\|\ \|_1$ et pour la norme $\|\ \|_{\infty}$. Montrer que $T$ est continue pour la norme $\|\ \|_2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Notons $C_1$ et $C_\infty$ les normes de $T$ pour les normes respectives $\|\cdot\|_1$ et $\|\cdot\|_\infty$.

Soit $(e_j)_{j\in\N}$ la base de $E$ et $a_{i,j} = (T(e_j))_i$.

Pour tout $j \in \N$, on a $\|T(e_j)\|_1 = \sum_{i=0}^\infty |a_{i,j}| \leq C_1$.

Fixons $i \in \N$. Pour tout ensemble fini $J \subset \N$, posons $x = \sum_{j \in J} \mathrm{sgn}(a_{i,j}) e_j \in E$. On a $\|x\|_\infty \leq 1$, d'où :
$$T(x)_i = \sum_{j \in J} |a_{i,j}| \leq \|T(x)\|_\infty \leq C_\infty.$$
Comme cela est vrai pour tout sous-ensemble fini $J$, on en déduit que $\sum_{j=0}^\infty |a_{i,j}| \leq C_\infty$.

Soit maintenant $x \in E$. Évaluons $\|T(x)\|_2^2$ en utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz :
$$(T(x)_i)^2 = \left( \sum_{j=0}^\infty a_{i,j} x_j \right)^2 \leq \left( \sum_{j=0}^\infty |a_{i,j}| \right) \left( \sum_{j=0}^\infty |a_{i,j}| x_j^2 \right) \leq C_\infty \sum_{j=0}^\infty |a_{i,j}| x_j^2.$$
(Les sommes sur $j$ sont en fait finies car $x \in E$ est nulle à partir d'un certain rang).

En sommant sur $i$, on obtient par interversion des sommes (les termes étant positifs) :
$$\|T(x)\|_2^2 = \sum_{i=0}^\infty (T(x)_i)^2 \leq C_\infty \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty |a_{i,j}| x_j^2 = C_\infty \sum_{j=0}^\infty x_j^2 \left( \sum_{i=0}^\infty |a_{i,j}| \right) \leq C_1 C_\infty \sum_{j=0}^\infty x_j^2 = C_1 C_\infty \|x\|_2^2.$$

Ainsi, $T$ est continu pour la norme $\|\cdot\|_2$, avec une norme subordonnée majorée par $\sqrt{C_1 C_\infty}$.
#+END_proof


# ID:8732
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 69]
Soit $E = C^0([0, 1], \mathbb{R})$.
 1. La forme linéaire $\phi: f \mapsto f(0)$ est-elle continue pour $\|\cdot\|_{\infty}$ ? pour $\|\cdot\|_{1}$ ? Dans chaque cas calculer l'adhérence de $\operatorname{Ker} \phi$.
 1. Soit $\phi\colon f \mapsto \int_0^1 f(x) \cos(2\pi x) dx$. Montrer que $\phi$ est continue pour $\| \cdot \|_1$ et calculer sa norme subordonnée.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Oui, non, $E$.
 2. On a $\int_0^1 f(x)\cos (2\pi x)\dx\leq \int_0^1 |f(x)|\dx$, et on peut s'en approcher.
#+END_proof


# ID:8731
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 70]
Soit $E = C^0([0,1], \mathbb{R})$. Si $a=(a_n)_{n\geq 0}\in [0,1]^{\N}$, on pose, pour $f,g\in E$, $\quad\displaystyle \langle f,g\rangle_a=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f(a_n)\,g(a_n)}{2^n}$.

 1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\langle \; , \; \rangle_a$ soit un produit scalaire sur $E$. On note alors $\|\; \|_a$ la norme associée.
 2. Si $a,b \in [0,1]^{\N}$ vérifient les hypothèses de a), donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\| \|_a$ et $\| \|_b$ soient équivalentes.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Densité.
 2. Il faut qu'elles prennent les mêmes valeurs (d'un point de vue ensembliste). Si $a_0$ n'est pas pris, on peut prendre des fonctions arbitrairement pics en $a_0$, dont la valeur pour $\lN \rN_2$ est arbitrairement petite.
#+END_proof


# ID:8739
#+begin_exercice [ENS 2025 # 71]
Soient $n \ge 2$ et $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f^{-1}(\{x\})$ est compact.
 1. Montrer que $f$ admet un extremum global.
 2. Montrer que $f(x)$ possède une limite quand $\lN x\rN\ra +\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Sinon, on a une suite de presque maximaux, et presque minimaux qui tendent vers l'infini, qu'on peut relier par de longs arcs de cercles, et qui contredisent la compacité.
 2. Idem : s'il y a deux valeurs d'adhérence distinctes…
#+END_proof


# ID:8738
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 72]
Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace préhilbertien de dimension infinie et $K$ une partie bornée de $E$ dont la frontière est compacte. Montrer que $K$ est d'intérieur vide dans $E$.

Peut-on généraliser le résultat à n'importe quel espace vectoriel normé de dimension infinie ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $K$ est d'intérieur non vide, on prend un point dedans, on essaie
de le relier à une boule de rayon $R$. À chaque point de la frontière,
on associe le point de la boule. C'est continu, et surjectif.

Dans un espace préhilbertien Dans un espace préhilbertien, on peut
prendre les droites dirigées par une famille libre orthonormée, qui
touchent la frontière, de manière éloignée du point d'origine, donc
leur distance les uns aux autres est grande.
#+END_proof


# ID:8740
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 73]
Pour $x,y$ réels et $\eps>0$, on dit que $x\approx_{\eps}y$ s'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $|x-y-k|<\eps$. Soient $\lambda_1, \lambda_2$ deux réels non nuls. Montrer que $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \notin \mathbb{Q}$ si et seulement si, pour tout $(a_1, a_2) \in [0, 1]^2$ et tout $\eps > 0$, il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $x\lambda_1 \approx_{\eps} a_1$ et $x\lambda_2 \approx_{\eps} a_2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $\frac{\la_1}{\la_2}\in\Q$, on se ramène à $\la_1 = 1$ et
$\la_2\in\Q$, alors la fonction est périodique, géométriquement…

Réciproquement, on regarde les $(x, x\la)$, pour $\la\not\in\Q$. On prend $x = k + a_1 \pm \eps$, alors $x\la = k\la + a_1 \la \pm \eps'$ on veut $(k+a_1) \la \simeq a_2 [1]$, c'est-à-dire $k\la \simeq a_2 - a_1 \la [1]$, ce qui s'obtient par densité des parties fractionnaires $\{k \la\}$.
#+END_proof


# ID:8578
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 74]
Soient $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n \ge 2$ et $C$ une partie non vide, convexe et bornée de $E$. Montrer que la frontière de $C$ est connexe par arcs.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pas trop de difficulté je pense. Fixer un point dans $C$. Pour deux
points sur la frontière, on est ramené à $n = 2$, prendre
l'application $\theta\mapsto s(\theta)$, où $s(\theta)$ est
l'intersection du rayon issu de $x$ et de la frontière. Il faut
justifier la continuité. S'il y avait un défaut de continuité, alors la frontière contiendrait un segment, dont la droite passe par $x$.
#+END_proof


# ID:8791
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 75] Mazur-Ulam
Soient $E$ un espace vectoriel normé et $f\colon E \to E$ une application telle que $f(0) = 0$ et $\forall x, y \in E, ||f(x)- f(y)|| = ||x- y||$.

On pose, pour $x, y \in E$,  $df(x,y) = \left\| \frac{f(x) + f(y)}{2} - f\left(\frac{x + y}{2}\right) \right\|$.

 1. Montrer que $\forall x, y \in E, df(x, y) \leq \frac{1}{2} \|x - y\|$.
 2. Montrer que $f$ est linéaire si et seulement si $df$ est identiquement nulle.
 3. Trouver une fonction vérifiant les propriétés de la fonction $f$,
    non linéaire et non surjective.
 4. On suppose que $f$ est surjective.
    1. sV2 Construire une isométrie $g$ telle que $dg(x,0) = 2 df(x,0)$.
    2. Montrer que $f$ est linéaire.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. L'image $f(\frac{x+y}{2})$ est à une distance $\leq \frac{\lN x-y\rN}{2}$ de $f(x)$ et de $f(y)$, donc à une distance $\leq \frac{\lN x-y\rN}{2}$ de leur moyenne.
 2. Si $df$ est nulle, alors $f(2x) = f(x)$, puis par densité, $f(\la x) = \la f(x)$.
 3. Pour non surjective, un shift sur les polynômes.

    Pour non linéaire, le shift sur les polynômes + on met $\lN P\rN_{\i}$ comme coefficient constant.
 4. Si la norme est strictement convexe, c'est trivial.

    On prend $b = 0$ et on suppose $f(a) = a$.

    $f$ réalise une bijection sur l'ensemble des points $z$ tel que $\lN z\rN = \frac{\lN a\rN}{2}$ et $\lN z-a\rN = \frac{\lN a\rN}{2}$.

    On suppose que $u = \frac{a}{2}$ est envoyé ailleurs que sur $u$ : $f(u) = u + v$.

    Soit $s\colon u +h \mapsto u-h$.

    Alors $\lN s(f(u)) - f(u)\rN$ est deux fois plus grand, et c'est
    la même chose que $\lN f^{-1}(s(f(u))) - u\rN$, et encore que $\lN
    f^{-1}(s(f(s(u)))) - u\rN$. Donc on peut trouver une isométrie qui
    préserve $a,0$ et qui double $df(u)$, ce qui est contradictoire.
#+END_proof


# ID:8779
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 76] Muntz-Szasz
Soit $E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$. Soit $(n_k)_{k\geq 0}$ une suite strictement croissante d'entiers naturels. Soit $F = \text{Vect}(x \mapsto x^{n_k}, k \geq 0)$. À quelle condition $F$ est-il dense dans $E$ pour la norme $\lN \cdot\rN_2$ ? pour la norme $\lN \cdot\rN_{\i}$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Puis c'est équivalent à ce que pour tout $i$, la distance, pour la norme $2$, de $F_k$ à $x^i$ tende vers $0$. Si $P$ est un polynôme $\lN P \rN_2 = \int_0^1 P(t)^2 \dt = \sum \frac{a_i a_k}{n_k+n_i+1}$. On suppose $a_0 = 1$, peut-on rendre ça arbitrairement petit…

On trouve si et seulement si $\sum \frac{1}{n_k}$ diverge.

Pour $\lN \cdot\rN_{\i}$, il faut $n_0 = 0$. Il faut aussi que $\sum \frac{1}{n_k}$ diverge. Réciproquement, en utilisant $\lN f-g\rN_{\i}\leq \lN f'-g'\rN_2$, on peut conclure.
#+END_proof

# ID:8839
#+BEGIN_exercice [ENS L 2025 # 77]
Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On note $D = \{\ell 2^{-k} + 2^{-k}[0, 1] ; (k, \ell) \in \mathbb{Z}^2\}$. Pour tout intervalle $I$ de $D$, on note $\op{long}(I)$ la longueur de $I$ et on pose $M_I(f) = \frac{1}{\op{long}(I)} \int_I f$. On
 pose $\|f\| = \sup \left\{ \frac{1}{\op{long}(I)} \int_{\Gamma} |f - M_I(f)| \; ; \; I \in D \right\}$.
 1. On suppose $\|f\|$ finie. Soit $m \in \N^*$, $(I, J) \in D^2$ avec $I \subset J$ tels que $\op{long}(J) = 2^m \op{long}(I)$. Démontrer que $|M_I(f)- M_J(f)| \le 2m\|f\|$.
 1. On suppose que $\|f\|$ = 1 et $M_{[0,1]}(f) = 0$.
 On note $F_k = \{I \in D : I \subset [0,1], M_I(f) > 5k \text{ et } I \text{ maximal pour cette propriété}\}$. On pose $\Omega_k = \bigcup_{I \in F_k} I \text{ et } \op{long}(\Omega_k) = \sum_{I \in F_k} \op{long}(F_I)$.

Montrer que, pour $k \geq 1$, $\op{long}(\Omega_k) \leqslant \frac{1}{3} \op{long}(\Omega_{k-1})$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Il suffit de traiter le cas $m = 1$. On peut supposer que $M_J(f) = 0$.

    Alors $|M_I(f)| \leq \frac{1}{|I|}\int_I |f|$
    et $\lN f\rN \leq \frac{1}{|J|} \int_J |f|$, donc $|M_I(f)|\leq 2 \lN f\rN$.
 2. Les intervalles étant dyadiques, ilssont soit disjoints, soit inclus l'un dans l'autre.

    De plus, comme $M_{[0,1]}(f) = 0 \leq 5k$, $[0,1]$ n'est pas dans $F_k$. Tout $J \in F_k$ admet donc un intervalle parent $\tilde{J} \in D$ tel que $J \subset \tilde{J} \subset [0,1]$ et $\op{long}(\tilde{J}) = 2\op{long}(J)$.
    Par maximalité de $J$, on a $M_{\tilde{J}}(f) \leq 5k$. D'après la question précédente, $M_J(f) \leq M_{\tilde{J}}(f) + 2\|f\| \leq 5k + 2$.

    Pour $k \geq 1$, si $I \in F_k$, on a $M_I(f) > 5k > 5(k-1)$. Il existe donc un (unique) intervalle maximal $J \in F_{k-1}$ tel que $I \subset J$. On peut ainsi partitionner $F_k$ selon l'intervalle $J \in F_{k-1}$ qui contient ses éléments.

    Fixons $J \in F_{k-1}$ et posons $S_J = \bigcup_{I \in F_k, I \subset J} I$. On évalue l'intégrale sur $S_J$ :
    $$\int_{S_J} (f - M_J(f))\dx = \sum_{I \subset J} \int_I (f - M_J(f))\dx = \sum_{I \subset J} \op{long}(I)(M_I(f) - M_J(f)).$$

    Or, pour $I \in F_k$, $M_I(f) > 5k$, et d'après ce qui précède, $M_J(f) \leq 5(k-1) + 2 = 5k - 3$. Ainsi, $M_I(f) - M_J(f) > 3$.
    On en déduit que $\int_{S_J} (f - M_J(f))\dx > 3 \sum_{I \subset J} \op{long}(I) = 3 \op{long}(S_J)$.

    D'autre part, en utilisant $\|f\| = 1$ :
    $$\int_{S_J} (f - M_J(f))\dx \leq \int_{S_J} |f - M_J(f)|\dx \leq \int_J |f - M_J(f)|\dx \leq \op{long}(J)\|f\| = \op{long}(J).$$
    Par conséquent, $3\op{long}(S_J) < \op{long}(J)$.
    En sommant cette inégalité sur tous les intervalles $J \in F_{k-1}$, on obtient bien :
    $$\op{long}(\Omega_k) = \sum_{J \in F_{k-1}} \op{long}(S_J) \leq \frac{1}{3} \sum_{J \in F_{k-1}} \op{long}(J) = \frac{1}{3}\op{long}(\Omega_{k-1}).$$
#+end_proof


# ID:8780
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 78]
On munit les espaces $\ell^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R})$ et $\ell^2_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R})$ de leurs normes usuelles $\| \cdot \|_1$ et $\| \cdot \|_2$.
 On pose $H = \left\{ u \in \mathbb{R}^{\mathbb{Z}} \; ; \; \sum_{n \in \mathbb{Z}} u_n^2 (1 + n^2) < +\infty \right\}$.
 1. Définir un produit scalaire sur $H$. Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

 1. Quelles inclusions a-t-on entre $\ell^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R})$, $\ell^2_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R})$ et $H$ ? Montrer que ces inclusions sont continues (i.e. les injections canoniques sont continues).
 1. Soit $u \in \mathbb{R}^{\mathbb{Z}}$. Montrer que $u \in H$ si et seulement si l'application $\mu_u : H \to H$ définie par$\forall v \in H, \ \mu_u(v) = u * v \text{ avec } (u * v)_n = \sum_{i=1}^n u_i v_i \text{ est bien définie et continue.}$
#+end_exercice

# ID:8840
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 79]
On note $\ell^1$ l'ensemble des suites sommables de $\mathbb{R}^{\N}$. On munit $\ell^1$ de la norme définie, pour $u = (u_n)_{n \geq 0}$, par $||u||_1 = \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|$.
Soient $(u^k)_{k\in\N}$ une suite d'éléments de $\ell^1$ et $u\in\ell^1$. Montrer l'équivalence entre :
 + la suite $(u^{\overline{k}})_{k\in\N}$ converge vers $u$ pour la norme $\| \|_1$,
 + pour toute suite $(\phi_n)_{n\in\N}$ bornée, $\sum_{n=0}^{+\infty} \phi_n u_n^k \underset{k\to+\infty}{\longrightarrow} \sum_{n=0}^{+\infty} \phi_n u_n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $i)\Rightarrow ii)$ est trivial

Réciproquement, on a $u^k_n \tend{k\ra +\i} u_n$.

Extraction diagonale : on peut supposer que $\sign (u_0^k - u_0)$ est
constant, puis que $\sign u_1^k -u_1$ est constant etc. Puis on prend
cette suite de signe. On obtient que toute suite extraite admet une suite extraite qui converge pour $\lN \rN_1$, d'où le résultat.
#+END_proof


# ID:8787
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 80]
On note $S=\{z\in\C,\,|z|=1\}$ et $\Gamma=\{\gamma\in\mathcal{C}^0([0,1],S)\,\,;\,\,\gamma(0)=\gamma(1)=1\}$.
 1. Soit $\gamma\in\Gamma$, montrer qu'il existe $\theta:[0,1]\to\mathbb{R}$ continue telle que $\forall t,\,\,\gamma(t)=e^{i2\pi\theta(t)}$.
 2. On prend $\gamma_0, \gamma_1 \in \Gamma$. On note $F$ la propriété : « il existe $h \in \mathcal{C}([0,1]^2,S)$ tel que $\forall x \in [0,1], \ h(x,\cdot) \in \Gamma, \ h(0,\cdot) = \gamma_0$ et $h(1,\cdot) = \gamma_1$ ». On pose $\gamma_0 = 1$ et $\gamma_1 : t \mapsto e^{2i\pi t}$. Montrer que $\gamma_0$ et $\gamma_1$ ne vérifient pas $F$.
 3. On note $D$ le disque fermé unité de $\C$. Existe-t-il $f \in \mathcal{C}^0(D,S)$ telle que $f|_S = \mathrm{id}$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. relèvement continue
 2. $\gamma \mapsto \theta(1)- \theta(0)$ est bien définie et cette association est continue.
 3. Non, cf 2), pour $\gamma_r = f(re^{i \cdot})$
#+END_proof


# ID:8841
#+BEGIN_exercice [ENS PLSR 2025 # 81]
 1. Soit $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle qu'il existe $x^* \in \mathbb{R}$ vérifiant $f(x^*) = 0$ et $f'(x^*) \neq 0$.
    On définit par récurrence une suite $(x_k)$ avec $x_0 \in \mathbb{R}$ et $x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$.

    Montrer qu'il existe $\eps > 0$ tel que, pour $x_0 \in [x^* -\eps, x^* + \eps]$, la suite $(x_k)$ est bien définie et converge vers $x^*$.
 2. Avec $f\colon x \mapsto e^x- 1$, quelles sont les valeurs de $x_0 \in \mathbb{R}$ pour lesquelles la suite $(x_k)$ précédente est stationnaire?
 3. On revient au cas général et on suppose $f'' > 0$ et $f'$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$. Pour quelles valeurs de $x_0 \in \mathbb{R}$ la suite $(x_k)$ est-elle stationnaire?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. La fonction $g\colon x\mapsto x-\frac{f(x)}{f'(x)}$ vérifie $g'(x^*) = 0$.
 2.
 3. Seulement pour le point fixe.
#+END_proof


# ID:8842
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 82]
Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b],[a,b])$. On suppose dans les deux
premières questions que $f$ n'a pas de point de période 2,
c'est-à-dire que $\forall x \in [a,b], f(x) \neq x \Rightarrow (f
\circ f)(x) \neq x$.
 1. Soit $c \in [a, b]$ tel que $f(c) >c$. Montrer que pour tout $k \in \N^*$, $f^k(c) > c$.
 2. Soit $x_0 \in [a,b]$, on pose pour tout $n$, $x_{n+1} = f(x_n)$.
    Démontrer que la suite $(x_n)$ converge.
 3. Démontrer que la suite $(x_n)$ converge pour tout choix de $x_0$ si et seulement si $f$ n'a pas de point de période 2.
#+end_exercice
#+begin_proof
 1. Soit $c$ tel que $f(c) > c$. Supposons que $f^2(c)\leq c$,
    c'est-à-dire $f^2(c)\lt c$. On va chercher un point fixe de $f^2$
    à gauche de $c$.

    Notons que $f^2(a)\geq a$. Il y a donc un changement de signe de $f^2(x) - x$ à gauche de $c$. On peut considérer le premier $0$.

    Si c'était un point fixe, on aurait $f(x)\geq x$ à droite de celui-ci, donc $f^2(x)\geq x$ au voisinage à droite de ce point fixe, contradiction.

    Idem pour $k$ quelconque.

    De même, si $f(c)\lt c$. Si on avait $f^2(c)\gt c$, en regardant à droite, on aurait une contradiction.
 2. Si $x_{n+1}\geq x_n$, alors $\forall k,\, x_{n+k}\geq x_n$. Les
    instants croissants, donnent des bornes inférieures. Idem pour les
    instants décroissants une borne supérieure, et les deux doivent
    vérifier $f(\a) =\b$ et $f(\b) = \a$.
 3. Trivial.
#+end_proof


# ID:nil # Classique
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 83]
 1. Déterminer la nature des séries $\sum \frac{\sin n}{n}, \sum \frac{\sin^2 n}{n}, \sum \frac{|\sin n|}{n}$.
 1. Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et $Q \in \N^*$. Montrer qu'il existe $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in [1, Q]$ tels que $|qx p| \leqslant \frac{1}{Q}$.
 En déduire qu'il existe une infinité de couples (p,q) de $\mathbb{Z} \times \N^*$ tels que $\left|x \frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{1}{q^2}$.

 1. On admet que $\pi$ est irrationnel. Déterminer la nature de la série $\sum \frac{1}{n \sin(n)}$.
#+end_exercice

# ID:8592
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 84]
Soit $(a_n)$ une suite de réels décroissante de limite nulle.
 Pour $P\subset \N$, on note $A(P)=\sum_{n\in P}a_n$. On suppose $A(\N)=A_\infty\in \mathbb{R}$. Montrer que
$$\{A(P),\ P\in\mathcal{P}(\N)\}=[0,A_{\infty}] \text{ si et seulement si } \forall n\in\N,\ a_n\leqslant \sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k.$$
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Simple.
#+END_proof


# ID:8843
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 85]
 1. Pour quels réels $s$ la somme $\sum_{n\neq m\in\N^*} \frac{|n-m|^s}{nm(n^2-m^2)^2}$ est-elle finie?
 2. E Pour $n=(n_1,n_2)\in \mathbb{Z}^2$ on, on note $|n|=\sqrt{n_1^2+n_2^2}$.
 3. Pour quels réels  $s$ la somme $\sum_{(n,m)\in (\mathbb{Z}^2\backslash \{0\})^2} \frac{|n-m|^s}{|n||m|(1+(|n|-|m|)^2)}$ est-elle finie ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On peut prendre $n\gt m$. Poser $u = n-m$ et sommer sur $u$ et $m$ : $\sum_{u,m\geq 1}\frac{u^s}{m (m+u) u^2 (2 m+ u)}$. Pour $u$ fixé, on trouve facilement un équivalent de la somme.
 2.
 3. Cela diverge car si on ne considère que les termes pour lesquels $n\simeq m$ (à une distance d'au plus $2$), si on somme sur $K = |n|$ (à $\pm 1$ près) on obtient
    $\sum_{K} \sum_{n\simeq m, |n| = K} \frac{1}{K^2} = \sum_{K} \frac{1}{K}$.
#+END_proof




# ID:8788
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 86]
On note $S$ l'ensemble des suites croissantes à termes dans $\N \setminus \{0,1\}$.
 1. Pour $a \in S$, montrer que $\phi(a) = \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \prod_{k=0}^{n} \frac{1}{a_k} \right)$ appartient à $]0,1]$.
 1. Montrer que $\phi$ définit une bijection de $S$ sur $]0,1]$.
 1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a \in S$ pour que $\phi(a) \in \mathbb{Q}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Sans difficulté.
 2. Sans difficulté.
 3. Si la suite est constante APCR, on est bien rationnel.

    Réciproquement, si on suppose que la suite converge vers $\frac{p}{q}$, prendre un rang tel que $\frac{1}{a_{k+1}} + \frac{1}{(a_{k+1})^2}+\dots\lt \frac{1}{q}$, on obtient une contradiction.
#+END_proof


# ID:8848
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 87]
Soit $f\colon \N \to \mathbb{R}^{+*}$ décroissante de limite nulle. Soit $\phi\colon \N \to \N$ croissante. On suppose que, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}^{+*}$, il existe une unique suite $(n_i)_{i \in \N}$ telle que $\alpha = \sum_{i=0}^{+\infty} f(n_i)$ et, pour tout $i \in \N$, $n_{i+1} \geq \phi(n_i)$.

Montrer que $\phi(0)=0$ et, pour tout $n\in\N^*$, $f(n-1)=\sum_{i=0}^{+\infty}f\left(\phi^i(n)\right)$, où $\phi^i$ désigne l'itérée $i$-ème de $\phi$ pour la composition des applications.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $\phi(0) = 1$ par exemple

Certains $\a$ s'écrivent avec $f(0)$, d'autre non. Si une suite s'écrit sans $f(0)$, alors $\a + f(0)$ s'écrit avec $f(0)$. Si une suite s'écrit avec $f(0)$, alors $\a + f(0)$ doit s'écrire sans $f(0)$.

Alors tous les $\a\in ]0, f(0)]$ s'écrivent sans $f(0)$, puis les autres avec jusqu'à $2f(0)$, etc.

Mais si on prend $2f(0) = \sum f(n_i)$ (avec $f(0)$). Si à un instant $n_i \gt \phi(n_i)$, on peut décroître $n_i$. Ou bien cela garde la même valeur de $f$, ce qui contredit l'unicité, ou bien la valeur de $f$ augment strictement, mais de moins de $f(0)$, donc cela contredit le fait que les $\a\in \interval]{2f(0), 3f(0)}]$ s'écrivent sans $f(0)$.

Si $\phi(0) = 2$, on peut avoir $f(0)$, ou $f(1)$, ou aucun. Si aucun, $\a + f(0)$ s'écrit avec $f(0)$.

Il y a tout un intervalle de «aucun». Puis $f(0)+ \text{aucun}$ donne du $f(0)$.

Mais $f(0)$ doit s'écrire sans $f(0)$, alors que $f(0)+\eps$ s'écrit avec, ce qui donne une contradiction comme précédemment.
#+END_proof


# ID:8744
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 88]
Soit $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Montrer l'équivalence entre les conditions suivantes :
 + $f(x) = O(x)$;
 + $\sum f(a_n)$ converge absolument pour toute série $\sum a_n$ absolument convergente à termes réels
 + $\sum f(a_n)$ converge pour toute série $\sum a_n$ absolument convergente à termes réels.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $i)\Rightarrow ii) \Rightarrow iii)$.

Réciproquement, assez simple, si $f(x)$ n'est pas un $O(x)$, on peut faire diverger les choses.
#+END_proof


# ID:86
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 89]
Soit $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $\sum f(a_n)$ converge pour toute série convergente $\sum a_n$ à termes réels. Montrer qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $f(x) = \lambda x$ pour $x$ voisin de $0$.
#+end_exercice

# ID:8743
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 90]
 1. Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a\lt b$ et $f\colon [a, b] \to [a, b]$.
    1. Si $f$ est continue, montrer que $f$ possède un point fixe.
    2. Si $f$ est croissante, montrer que $f$ possède un point fixe.
 2. Soit $f\colon \R \ra \R$ monotone. Montrer que l'ensemble $\op{dis}(f)$ des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.
 3. Construire $f\colon \R \ra \R$ monotone dont l'ensemble des points de discontinuité est $\Q$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3. Prendre $f\colon x\mapsto \sum_{u_n \mid u_n \geq x} \frac{1}{2^n}$
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 91]
Trouver les $f\colon [0,1] \ra \R$ continues telles que $\forall x \in [0,1], \ f(x) = \sum_{n=0}^{+\i} \frac{f(x^n)}{2^n}$.
#+end_exercice

# ID:8861
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 92]
Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R \cup \{+\i\}$ non identiquement égale à $+\i$. Pour $y \in \R$, on pose $f^*(y) = \sup\{xy - f(x) ; x \in \R\}$.
 1. Montrer que $\{x \in \R, f^*(x) \lt  +\i\}$ est un intervalle (éventuellement vide) sur lequel $f^*$ est convexe.
 1. Montrer que, si $f$ est dérivable et convexe sur $\R$, alors $\big(f^{*}\big)^* = f$.
 1. On suppose que $f$ est de classe $C^2$ sur $\R$, que $f''\gt 0$ sur $\R$ et que $\frac{f(x)}{|x|}\underset{|x|\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. Montrer que $f^*$ est dérivable sur $\R$ et que : $\forall (x,y)\in\R^2,\,y=f'(x)\Leftrightarrow x=(f^*)'(y)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si $x\mapsto xy_1 - f(x)$ est majorée et $x\mapsto xy_2 - f(x)$ est majorée, clairement pour tout $y\in [y_1, y_2]$ $x\mapsto xy -f(x)$ est majorée, et $f^*$ est convexe.
 2. On a $f^*(y)\geq xy - f(x)$, donc $f(x)\geq xy - f^*(y)$, en passant au sup sur $y$, on obtient $f(x)\geq f^{**}(x)$.

    Soit $x_0$. On pose $y_0 = f'(x_0)$, alors $f(x)\geq f'(x_0) (x-x_0) + f(x_0)$

    On en déduit que $f^*(y_0) = x_0 y_0 - f(x_0)$, puis que $f^{**}(x_0)\geq f(x_0)$.
 3.
#+END_proof


# ID:8781
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 93]
Pour $f:[0,1]\ra\R$, on pose $B_n(f)(x)=\sum_{k=0}^nf\Big(\frac{k}{n}\Big)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$.
 1. Calculer $B_n(u_1)$ et $B_n(u_2)$ où $u_n: x \mapsto x^n$.
 2. Montrer que, pour tout $x \in [0,1], \,\sum_{k=0}^n \left| x \frac{k}{n} \right| \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \leq \sqrt{\frac{x(1-x)}{n}}$.
 1. En déduire que si $f$ est $M$-lipschitzienne, alors $|B_n(f)(x) f(x)| \leq \frac{M}{2\sqrt{n}}$ pour tout $x$.
#+end_exercice

# ID:8789
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 94]
Trouver toutes les fonctions $f\colon \R \ra \R$ telles que :
 + $f$ est croissante, à valeurs dans $[0, 1]$, $f$ est continue à droite,
 + $f(x) \xrightarrow[x \ra -\i]{} 0$, $f(x) \xrightarrow[x \ra +\i]{} 1$, $\forall k \in \N^*$, $\exists b_k \in \R$, $\forall x \in \R$, $f(x)^k = f(x + b_k)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $f$ prend la valeur $1$, ou $0$, c'est facile.

Si $f(x)^2 = f(x-1)$, alors $f(x)^4 = f(x-2)$, et la stricte croissance de $f$ (nécessaire) donnera $b_k = \ln_2(k)$.

Peut-on l'étendre aux puissances fractionnaires ? Oui : $f(x)^{1/q} = f(x+\ln_2(q))$, donc $f(x)^{p/q} = f(x +\ln_2(q) - \ln_2(p))$. On trouve $f = e^{- e^{x}}$, à des constantes près.
#+END_proof


# ID:8844
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 95]
 1. Soient $a, b \in \R$ avec $|b| \lt  \pi$. Montrer qu'il existe $z \in \C$ tel que $z + e^z = a + ib$.
 1. Montrer que l'application $z \mapsto z e^z$ est surjective de $\C$ sur $\C$.
#+end_exercice
#+begin_proof
 1. En posant $z = x+iy$, l'équation $z + e^z = a+ib$ se réécrit en identifiant ses parties réelle et imaginaire :
    $$\left\{\begin{aligned}x + e^x \cos y &= a\\ y + e^x \sin y &= b\end{aligned}\right.$$
    Si $b = 0$ on est bon.

    Si $b \in \interval]{0, \pi}[$, on cherche une solution avec $y \in \interval]{0, \pi}[$ : on veut $e^x = \frac{b-y}{\sin y}$. En injectant cette relation dans la première équation, on obtient :
      $$g(y) = \ln\left(\frac{b-y}{\sin y}\right) + (b-y)\cot y = a$$
      En considérant les limite de $g$ en $0^+$ et $b^{-}$, on a une solution.
 2. Soit $w \in \C$. On cherche $z \in \C$ tel que $z e^z = w$.
    + Si $w \in \C \setminus (-\infty, 0]$, on peut l'écrire sous forme exponentielle $w = e^{a+ib}$ avec $a \in \R$ et $b \in (-\pi, \pi)$. D'après la question 1, il existe $Z \in \C$ tel que $Z + e^Z = a+ib$. En posant $z = e^Z$, on obtient $z e^z = e^Z e^{e^Z} = e^{Z+e^Z} = e^{a+ib} = w$.
    + Si $w = 0$, $z = 0$ est solution.
    + Si $w \in [-1/e, 0)$, on peut prendre $z = \in \R$.
    + Si $w \in (-\infty, -1/e)$, on cherche $z$ sous la forme $x+iy$ avec $y \in \interval]{0, \pi}[$. L'équation s'écrit $e^x(x \cos y - y \sin y) + i e^x(x \sin y + y \cos y) = w$.
      En annulant la partie imaginaire, on obtient $x = -y \cot y$. En remplaçant $x$ dans la partie réelle, on doit résoudre :
      $$e^{-y \cot y} \left(-y \frac{\cos^2 y}{\sin y} - y \sin y\right) = -\frac{y}{\sin y} e^{-y \cot y} = w$$
      par limites.
#+end_proof


# ID:8746
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 96]
Soient $\sigma \gt  0$ et $f\colon \R \ra \R$ une fonction continue telle que: $\forall x, y \in \R, |f(x)+f(y)-f(x+y)| \leq \sigma$. Montrer que $f$ est la somme d'une fonction linéaire $\ell\colon \R \ra \R$ et d'une fonction bornée par $\sigma$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Trouver la partie linéaire comme la limite de $\frac{f(n\tau)}{n}$,
qui est indépendante de $\tau$.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS L 2025 # 97]                                             :todo:
Une partie $E$ de $[0, 1]$ est dite négligeable si, pour tout $\eps \gt  0$, il existe une suite $(I_n)_{n\geq 0}$ d'intervalles de $[0,1]$ dont la réunion contient $X$ et dont la somme des longueurs est majorée par $\eps$. Soit $f$ une fonction dérivable de $[0,1]$ dans $\R$. On suppose qu'il existe une partie négligeable $E$ de $[0,1]$ telle que, pour tout $x \in [0,1] \setminus E$, on ait $f'(x) \ge 0$. Montrer que $f$ est croissante.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof


# ID:8747
#+BEGIN_exercice  [ENS P 2025 # 98]
Soient $n \in \N^*$, $(P_k)_{k \in \db{1,n}}$ et $(Q_k)_{k \in \db{1,n}}$ deux familles de polynômes
réels, $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que, pour tout $x \in \R$, $f(x) = \sum_{k=1}^n P_k(x)
e^{Q_k(x)}$. Montrer que, si $f$ n'est pas identiquement nulle, alors
$f$ ne possède qu'un nombre fini de zéros.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On peut supposer les polynômes disjoints, et même regrouper ceux qui
ne diffèrent qu'en leur terme constant. Alors, en $\pm \i$, on a un
équivalent. Reste à montrer que sur un segment une telle fonction ne
s'annule qu'un nombre fini de fois.

Si on factorise par $e^{Q_1(x)}$, on tombe sur une récurrence.
#+END_proof



# ID:8748
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 99]
Soit $n\geq 3$ un entier impair. Déterminer les fonctions continues $f$ de $[0,1]$ dans $\mathbb R$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n-1}$, $\int_0^1 (f(x^{1/k}))^{n-k} \dx = \frac{k}{n}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On pose $u = x^{1/k}$, alors $\du = \frac{1}{k} x^{1/k - 1}\dx$
donc $\int_0^1 (f(x^{1/k}))^{n-k} \dx = k\int_0^1 f(u)^{n-k} u^{k-1}\du$
Donc $\int_0^1 f(u)^{n-k} u^{k-1}\du = \frac{1}{n}$.

Donc $\int_0^1 f(u)^{n-1} \left(\frac{u}{f(u)}\right)^{k-1}\du = \frac{1}{n}$. Ensuite, cas d'égalité de Cauchy-Schwarz, donc les fonctions $f(u)^{n-1}$ et $f(u)^{n-1} (\frac{u}{f(u)})^2$ sont colinéaires.

En fait, sans diviser : c'est Cauchy-Schwarz avec $f(u)^{\frac{n-1}{2}}$ et $u f(u)^{\frac{n-3}{2}}$, et ces deux fonctions sont colinéaires…

Par ailleurs, si $f(x) = x$, ça marche.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS P 2025 # 100]                                            :todo:
Soit $(a_k)_{k\geq 1}$ une suite décroissante de réels positifs telle que, pour tout $k\in\N^*$, $ka_k\leq (k+1)a_{k+1}$. Montrer que $\int_0^\pi \max\limits_{1\leq k\leq n}\left(a_k\frac{|\sin(kx)|}{x}\right)\,dx=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k}+O(1)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof


# ID:8749
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 101]
Soit $f\colon \R \ra \R$ de classe $C^1$. On pose, pour $n \in \N^*$, $S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)$.

 1. Quelle est la limite de $(S_n)_{n\in\N^*}$ ? Déterminer la vitesse de convergence.
 2. On suppose désormais $f$ 1-périodique et de classe $C^2$. Montrer qu'il existe $C \in \R$ tel que : $\forall n \geq 1, \left| S_n - \int_0^1 f(t) \, dt \right| \leq \frac{C}{n^2}$.
 3. On suppose désormais $f$ 1-périodique et de classe $C^3$. Montrer qu'il existe $C \in \R$ tel que : $\forall n \geq 1, \left| S_n - \int_0^1 f(t) \, dt \right| \leq \frac{C}{n^3}$.
 4. Que dire si $f$ est 1-périodique et de classe $C^{\i}$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
#+END_proof



# ID:8767
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 102]
Soient $(a,b) \in \R^2$ tel que $a \lt  b$, $f$ une fonction continue de $[a,b] \times [-1,1]$ dans $\R$. Pour $\lambda \in \R$, soit $I(\lambda) = \int_a^b f(t,\sin(\lambda t)) \,dt$. Montrer que $I(\lambda)$ admet une limite que l'on déterminera lorsque $\lambda$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Posons $G(t) = \frac{1}{2}\int_{-1}^1 f(t, u)\du$. Alors $G$ est une fonction continue, et on montre que $I(\la)\ra \int_a^b G(t)\dt$.

Il suffit de le montrer pour des fonctions indicatrices de rectangles,
pour lesquelles c'est clair.

Puis on peut encadrer $f$ par de telles fonctions.
#+END_proof


# ID:nil # Chiant.
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 103]
Soient $N \in \N^*$ et $(x_1, \dots, x_N) \in \C^N$. Pour $y \in \R$, on note $e(y) = e^{2i\pi y}$.

Soit $f\colon t \in \R \mapsto \sum_{n=1}^N x_n e(nt)$. Soient $R \in \N^*$ et $(t_1, \dots, t_R) \in \R^R$.

 1.
    1. Montrer que $\sum_{r=1}^R |f(t_r)|^2 \leq NR \sum_{k=1}^N |x_k|^2$.
    2. Étudier le cas d'égalité dans l'inégalité précédente.
 2. Pour $t \in \R$, on pose $\Delta(t) = \inf_{n \in \Z} |n - t|$. On suppose les $t_i$ distincts.

    Soit $\delta \gt  0$ tel que $\delta \leq \min\limits_{1\leq i\neq j\leq R} \Delta(t_i-t_j)$. Montrer que $\sum_{r=1}^R |f(t_r)|^2 \leq (2N\pi+\delta^{-1}) \sum_{r=1}^N |x_k|^2$.

    Ind. On pourra montrer que, pour une fonction $g$ de classe $\mc C^1$ sur $\R$, pour $a \in \R$ et $h \gt  0$,
   $$|g(a)| \le \frac{1}{2h} \int_{a-h}^{a+h} |g(t)| dt + \frac{1}{2} \int_{a-h}^{a+h} |g'(t)| dt$$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
    1.
#+END_proof


# ID:8768
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 104]
On note $E$ l'ensemble des fonctions 1-périodiques et de classe $\mc C^{\i}$ de $\R$ dans $\C$. Soit $f \in E$. Pour $n \in \Z$, on pose $c_n(f) = \int_0^1 e^{-2in\pi t} f(t) \dt$.
 1. Montrer que $(c_n(f))_{n\in\Z}$ est sommable.
 1. On suppose que $f(0)=0$. Montrer qu'il existe $g\in E$ telle que $\forall t\in\R,\ f(t)=g(t)\,(e^{2i\pi t}-1)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Par IPP, on a $c_n(f)$ qui est en $O(\frac{1}{n^2})$.
 2. On a $f(t) = \sum_{n\in\Z} c_n(f) e^{-2i\pi n t}$, car la différence est
    orthogonale aux polynômes trigonométriques.

    On trouve les $c_n(g)$ : il faut $c_n(f) = c_{n-1}(g) - c_n(g)$ et la somme des $c_n(f)$ fait $0$.
#+END_proof


# ID:8872
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 105]
Soient $a,b\gt 0$ et $m\in\Z$. Calculer $I_m(a,b)=\int_0^{+\i}e^{-ax-\frac{b}{x}}x^{m-\frac{1}{2}}\dx$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pour $I_0$ poser $x = t^2$, on obtient $2\int e^{-at^2 - \frac{b}{t^2}}\dt$. On peut
regrouper $a$ et $b$, puis dériver par rapport au paramètre en
question. On obtient une équation différentielle.

Pour $m\in\N$, c'est obtenu en dérivant l'expression d'origine
par rapport à $a$.

Pour $m$ négatif, poser $u = \frac{1}{x}$ peut-être.
#+END_proof


# ID:8769
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 106]
Soit $n \ge 2$. Déterminer l'ensemble des matrices $A \in \M_n(\C)$ telles que l'intégrale $\int_{0}^{+\i} e^{t^2 A} \dt$ converge.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Il faut $\lN e^{t^2 A}\rN\ra 0$, donc les valeurs propres de $A$ ont des parties réelles $\lt 0$.

Réciproquement, dans ce cas c'est bon. car $e^A$ est tri sup avec des coefficients diagonaux $\lt 1$, donc ses puissances tendent vers $0$ de manière exponentielle.
#+END_proof

# ID:8870
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 107]
Soit $f\colon \R \ra \R$ lipschitzienne. On suppose qu'il existe $R \gt 0$ tel que, pour tout $x \in \R \setminus [-R, R]$,  $f(x) = 0$.
 1. Montrer que $\eps \mapsto \int_{-\i}^{-\eps} \frac{f(x)}{x} \dx + \int_{\eps}^{+\i} \frac{f(x)}{x} \dx$ admet une limite en $0^+$.
 2. E On note $\op{vp}\left(\int_{-\i}^{+\i} \frac{f(x)}{x} \dx\right)$ cette limite.
 1. On note $T_f\colon x \mapsto \int_{-\i}^x f(y) \ln |y- x| \dy + \int_x^{+\i} f(y) \ln |y- x| \dy$. Justifier que $T_f$ est bien définie sur $\R$.
 1. On suppose $f$ de classe $C^1$. Montrer que $T_f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et que :

    $$\forall x \in \R, \ (T_f)'(x) = \op{vp}\left(\int_{-\i}^{+\i} \frac{f(y+x)}{y} dy\right)$$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si $f(0) = 0$ c'est bon, et si $f(0)\neq 0$, on peut le lui retirer, c'est bon aussi.
 2. vide
 3. $T_f(x) = \int_{-\i}^{+\i} f(x+u) \ln|u| \du$. On peut dériver
    sous le signe intégral.

    Pour faire apparaître la valeur principale, on intègre par partie sur $\R\setminus [-\eps,\eps]$.
#+END_proof

# ID:8868
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 108]
 1. Pour $(p,k) \in \N^2$, montrer la convergence de $I_{p,k} = \int_0^1 \int_0^1 \frac{y^k x^p}{1- xy} \dx \dy$ et l'exprimer sous forme de la somme d'une série numérique.
 2. On note $d_n = \op{ppcm}(1, \dots, n)$ pour $n \in \N^*$. Montrer que $I_{p,k} \in \frac{1}{d_p^2} \Z$ si $p$ \gt  $k$, et $I_{p,p} \in \zeta(2) + \frac{1}{d^2} \Z$.
 3. On pose $P_n = \frac{1}{n!} D^n (X^n (1- X)^n)$. Montrer que $P_n$ est à coefficients entiers.
 4. Montrer que $I_n = \int_0^1 \int_0^1 \frac{(1-y)^n P_n(x)}{1-xy} \dx \dy$ converge, et en donner une expression simplifiée.
 5. Montrer que $I_n \in \frac{1}{d_n^2} (\Z + \zeta(2)\Z)$.
 6. S On admet que $d_n \sim e^n$. En déduire que $\zeta(2)\not\in\Q$.
#+end_exercice
#+begin_proof
1. $I_{p,k} = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 x^{n+p} \dx \int_0^1 y^{n+k} \dy = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+p+1)(n+k+1)}$
2. Si $p > k$ : éléments simples + télescopage.
3.
4. En intégrant par parties $n$ fois par rapport à $x$,
   $$\int_0^1 \frac{P_n(x)}{1-xy} \dx = \frac{1}{n!} \int_0^1 x^n(1-x)^n D_x^n \left( \frac{1}{1-xy} \right) \dx = \int_0^1 \frac{x^n(1-x)^n y^n}{(1-xy)^{n+1}} \dx$$
   donc
   $$I_n = \int_0^1 \int_0^1 \frac{x^n(1-x)^n y^n(1-y)^n}{(1-xy)^{n+1}} \dx \dy$$
5. Par linéarité à partir de l'expression initiale de $I_n$.
6. L'expression de $I_n$ doit tendre vers $0$ de manière géométrique, avec $\a = \sup \frac{x (1-x) y (1-y)}{1-xy}$.

   Le maximum doit être atteint sur la diagonale.
#+end_proof


# ID:8773
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 109]
Déterminer les segments $S$ de $\R$ non réduits à un point tels que l'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients dans $\Z$ de $S$ dans $\R$ soit dense dans $(\mc C^0(S,\R), \| \|_{\i})$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Mieux vaut ne pas contenir un entier, et sur tout segment $[a,b]$
inclus dans $\interval]{0, 1}[$ c'est bon.
#+END_proof


# ID:8770
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 110]
On note $E$ l'ensemble des fonctions croissantes de $\mathbb R$ dans
$\mathbb R$ ayant pour limites respectives $0$ et $1$ en $-\i$ et
$+\i$. Soient $F,G,H\in E$, avec $G$ et $H$ continues.

On suppose qu'il existe quatre suites réelles $a,b,c,d$ telles que $(x
\mapsto F(a_nx+b_n))_n$ et $(x \mapsto F(c_nx+d_n))_n$ convergent
simplement sur $\R$, respectivement vers $G$ et $H$. Montrer qu'il
existe deux réels $\lambda \gt 0$ et $\mu$ tels que $\forall x \in \R,
\ H(x) = G(\lambda x + \mu)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $(a_n)$ tend vers l'infini alors $F(a_n x + b)$ ne peut tendre que
vers une fonction constante (avec une cassure en un point), qui ne
sera pas continue. Donc $(a_n)$ est bornée, donc on peut supposer que
$(a_n)$ converge. De même, si $(b_n)$ tend vers l'infini, on converge
vers une fonction constante, qui ne vérifie pas les conditions de
limites. Sinon, on converge vers $F(ax + b)$, avec $a\neq 0$.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS L 2025 # 111]                                            :todo:
Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions de $[0,1]$ dans $]0,1]$,
convergeant simplement vers une fonction $f$.
 1. Pour $n \ge 2$, on pose $t_n = \frac{1}{\ln n} \sum_{i=1}^n
    \frac{f_i}{i}$. Montrer que la suite $(t_n)$ converge simplement
    vers $f$.
 2. On suppose que $f_0$ est à valeurs strictement positives et que,
    pour tout $n \ge 1$, la fonction $f_n$ est dérivable, croissante
    et que $f_n' \geq \frac{nf_n}{\sigma_n}$, où $\sigma_n =
    \sum_{i=0}^{n-1} f_i$. On suppose également que $\sup
    \sigma_n(1/2) \lt +\i$.

    Montrer que, pour tout $x \in [0, 1/2[$,
    il existe $C_x \gt 0$ tel que, pour tout $n$
    assez grand,  $f_n(x) \leq e^{-C_x n}$.
 3. On enlève l'hypothèse sur $\sigma_n(1/2)$. Montrer qu'il existe $x_0 \in [0,1]$ tel que :
    + $\forall x \lt  x_0, \ \exists C_x \gt  0, \ \exists n_0 \in \N^*, \ \forall n \ge n_0, \ f_n(x) \le e^{-C_x n};$
    + $\forall x \gt  x_0, \ f(x) \ge x - x_0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Sans difficultés.
 2. La condition sur $\sigma_n(1/2)$ assure $f(1/2) = 0$.
#+END_proof


# ID:8871
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 112]
Soit $f\colon x \mapsto \sum_{n=1}^{+\i} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{x}{4^n}\right)$.
 1. Montrer que $\lim\limits_{x \ra +\i} (\inf \{ |f(t)|, t \ge x \}) = 0$.
 1. Déterminer $\lim\limits_{x \ra +\i} (\inf \{ f(t), t \ge x \})$.
 1. Montrer que $0 \lt  \lim\limits_{x \ra +\i} \left( \sup \left\{ \frac{|f(t)|}{\ln(\ln t)}, \ t \geq x \right\} \right) \lt  +\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Quand on somme, à partir de $n = \log_4(x)$, on est positif, pour
    une contribution en $\sum_{\log_4(x)}^{+\i} \frac{1}{n 4^{n-\log_4(x)}}$, c'est-à-dire $\Theta(\frac{1}{\log_4(x)})$.

    La première partie est au plus en $\ln \ln (x)$.

    Si on prend un $x = 4^n \pi$, on est très proche de $0$.

    Il me semble que $\inf \{f(t),\, t\geq x\}$ peut prendre des
    valeurs arbitrairement petites (donc négative), ce qui contredit
    l'énoncé d'origine. On peut montrer

    En effet, par segments emboîtés, on peut trouver $x\in [0, 2\pi]$
    tel que $\forall n\in\N,\, \sin( 4^n x)\leq 0$.
 2. Prendre $x_0 = \frac{4\pi}{3}$ et $t_N = 4^N x_0$.
 3. Simple, cf ce qui précède.
#+END_proof


# ID:8849
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 113]
Soit $(\lambda_n)$ une suite de réels $\gt 0$ telle que $\forall n \in
\N, \ 2\lambda_n \leq \lambda_{n+1} \leq 3\lambda_n$. Montrer que :

$$\forall \alpha \gt 0, \ \exists (c_1, c_2) \in (\R^{+*})^2, \
\forall t \in [1/2, 1[, \frac{c_1}{(1-t)^{\alpha}} \leq
\sum_{n=1}^{+\i} \lambda_n^{\alpha} t^{\lambda_n} \leq
\frac{c_2}{(1-t)^{\alpha}}$$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
La valeur de la somme est donnée (à une constant près) par son plus grand terme.

 $\frac{u_{n+1}}{u_n} = C^{\a} t^{\la_{n+1} - \la_n}$. Si à un instant ça vaut $1$ :
 + l'instant d'après ça vaut $\frac{1}{2}$, donc la partie à droite est négligeable.
 + l'instant d'avant ça vaut $2$, donc la partie à gauche est négligeable.
#+END_proof


# ID:8845
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 114]
On pose : $\forall x \gt  0, \eta(x) = \sum_{n=0}^{+\i} \frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$.
 1. Montrer que $\eta$ est de classe $C^{\i}$ sur $]1, +\i[$. Étudier sa limite en $+\i$.
 1. Montrer que $\eta$ est de classe $C^{\i}$ sur $]0, +\i[$.
 1. Calculer $\eta(1)$.
 1. Montrer que : $\forall z \in \C, |e^z - 1| \leq e^{|z|}- 1$.
 1. Montrer que $\eta(z)$ est bien définie pour tout $z \in \C$ vérifiant $\Re z \gt  0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS P 2025 # 115]                                            :todo:
 1. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un unique $L_n \in \R[X]$ tel que $L_n(1) = 1$ et $(1 - X^2)L_n'' - 2XL_n' + n(n+1)L_n = 0$.
 1. Montrer que $\forall x \in [-1,1], \ \forall z \in \interval]{-1, 1}[, \ \frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^2}} = \sum_{n=1}^{+\i} L_n(x)z^n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof                                                          :todo:
 1. On considère l'application $\Phi\colon P\mapsto \dots$. Elle
    envoie $\R_n[X]$ dans $\R_{n-1}[X]$, et de plus, si $\deg P\lt n$,
    alors $\deg \Phi(P) = \deg P$. Cela donne le rang de la matrice.
#+END_proof

# ID:8869
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 116]
Soient $f,g\in\mc C^0([0,1],\R)$ telles que $f(1)=g(1)=1$ et, pour
tout $x\in[0,1[,|f(x)|\lt 1$. On suppose qu'il existe $C\gt 0$ et
$M\in\N^*$ tels que $1-f(1-x)\underset{x\ra 0^+}{\sim}Cx^{1/M}$. Pour
$n \in \N$, on pose $u_n = \int_0^1 g(x) f(x)^n dx$.
 1. Déterminer un équivalent de $u_n$.
 1. Montrer l'existence de $C'$ tel que : $\forall n \in \N^*, \left|
    \frac{u_{n+1}}{u_n}- 1 \right| \leq \frac{C'}{n}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Classique.
 2. On a $u_{n+1} - u_n = \int_{0}^1 g(x) (f(x) - 1) f(x)^n\dx$.
#+END_proof


# ID:8862
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 117]
Soit $f\colon x \mapsto \int_0^{+\i} \cos\left(\frac{t^3}{3} + tx\right) dt$.
 1. Montrer la définition de $f$ sur $\R^+$
 1. Soit $x \geq 0$. Montrer que Re $\left[ \int_0^{+\i} \exp \left( i \left( \frac{(t+i\eps)^3}{3} + (t+i\eps)x \right) \right) dt \right] \xrightarrow[\eps \ra 0^+]{} f(x)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Forcer une IPP :
    $\int_1^{+\i} \cos(\phi(t)) \dt = \left[ \frac{\sin(\phi(t))}{t^2+x} \right]_1^{+\i} + \int_1^{+\i} \frac{2t}{(t^2+x)^2} \sin(\phi(t)) \dt$
 2. Couper entre $0, 1$. Sur $[1,+\i]$ faire la même IPP.
#+END_proof


# ID: 7504
#+BEGIN_exercice [ENS SR 2025 # 118]
On note $E$ l'ensemble des fonctions continues et de carré intégrable
de $\R_+^{*}$ dans $\C$.
 1. On convient que $\sqrt{+\i}=+\i$. Pour $f$ continue de $\R_+^{*}$
    dans $\C$, montrer que
    $$\sqrt{\int_0^{+\i}|f|^2}=\sup\left\{\int_0^{+\i}|fg|\;;\;g\in E\;\mathrm{tel}\;\mathrm{que}\;\int_0^{+\i}|g|^2=1\right\}$$.
 2. Soit $f \in E$. Montrer que $\Phi\colon x \in \R_+^{*} \mapsto
    \int_0^{+\i} \frac{f(t)}{t+x} \dt$ appartient à $E$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si c'est fini, c'est Cauchy-Schwarz.

    Si c'est infini, alors on peut prendre des Cauchy-Schwarz à des tronqués de $f$.
 2. Continuité : Pour tout segment $[a, b] \subset \R_+^*$, on a pour $x \in [a, b]$, $|\frac{f(t)}{t+x}| \leq \frac{|f(t)|}{t+a}$. Or $t \mapsto \frac{1}{t+a} \in L^2(\R_+^*)$, donc par Cauchy-Schwarz, $t \mapsto \frac{|f(t)|}{t+a}$ est intégrable. Le théorème de continuité des intégrales à paramètres assure que $\Phi$ est continue.

    Le caractère de carré intégrable est super dur, il faut faire du Cauchy-Schwarz en écrivant $\frac{|f(t)|}{t+x} = \left( |f(t)| \frac{(t/x)^{1/4}}{\sqrt{t+x}} \right) \left( \frac{(x/t)^{1/4}}{\sqrt{t+x}} \right)$
#+END_proof



# Relier à 4304, 4305
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 119]                                            :todo:
Soient $K \in \mc C^0([0,1]^2,\R)$ telle que $||K||_{\i} \lt  1$ et $f \in \mc C^0([0,1],\R)$. Étudier l'existence et l'unicité de $g \in \mc C^0([0,1],\R)$ telle que $\forall x \in [0,1], \ g(x) - \int_{\R}^1 K(x,t)g(t) \ dt = f(x)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof


#+begin_exercice [ENS L 2025 # 120]
Soient $\alpha, \theta \in ]0,1[$. Pour $f:[1,+\i[ \ra [0,1]$ continue, on pose $\|f\|_{\alpha}=\sup_{s \ra \i} s^{\alpha}|f(s)|$ et $F_{\alpha}=\{f \in \mc C^0([1,+\i[,[0,1]),\,\|f\|_{\alpha}\lt +\i\}$.
 1. Pour $f \in F_{\alpha}$, on pose $T(f): s \geq 1 \mapsto 1 - \left(1 - \frac{1}{s}\right)^{\theta} + \theta(s-1)^{\theta} \int_{-\i}^{+\i} (s+t-1)^{-\theta-1} f(t) dt$.

Montrer que $T$ est une application lipschitzienne de $F_{\alpha}$ dans $F_{\alpha}$ (pour $\| \cdot \|_{\alpha}$).
 2. On admet que, pour tout $\alpha \in ]0, 1-\theta[$, $T$ possède un unique point fixe $f_{\alpha} \in F_{\alpha}$. Montrer que $f_{\alpha}$ ne dépend pas de $\alpha$ ; on le note $f_0$. Montrer que $\int_t^{+\i} t^{-\theta} f_0(t) dt = +\i$.
#+end_exercice

# ID:8846
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 121]
 1. Expliciter le terme général d'une suite $(a_n)_{n\geq 0}$
    vérifiant la relation de récurrence $na_{n+1} = (n+1)a_n$ pour
    tout $n$.
 1. Résoudre $x(x-1)y'' + 3xy' + y = 0$ sur $]-1,1[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 122]
Résoudre $x^2y'' + xy' + (x^2 - 1/4)y = 0$ sur $]0, 1[$.
#+end_exercice

# ID: nil
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 123]
Soient $(a, b) \in \R^2$ avec $a \lt  b, \psi \in \mc C^2([a, b], \R^{+*})$ croissante. Soit $y \in \mc C^2([a, b], \R)$ non nulle et vérifiant $y'' + \psi(x)y = 0$. Montrer que les points où $|y|$ admet un extremum local forment une suite finie $(a_1, \ldots, a_n)$ (éventuellement vide) et que la suite des valeurs $(|y(a_1)|, \ldots, |y(a_n)|)$ est décroissante.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est faux : pour $\psi(x) = 1$, $y$ est la fonction cosinus, et entre deux zéros, il existe un extremum local, donc machin n'est pas décroissante.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 124]
Soit $f \in \mc C^2(\R, \C)$.
 1. On suppose que $f'' + f' + f \xrightarrow[+\i]{} 0$. Montrer que $f \xrightarrow[+\i]{} 0$.
 1. Soit $P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 \in \C[X]$ unitaire de degré 1 ou 2 et à racines simples dans $\C$.
On pose $\partial_P f = \sum_{k=0}^{\i} a_k f^{(k)}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $P$ pour que, quelle que soit $f \in \mc C^2(\R, \C)$, $\partial_P f \xrightarrow[+\i]{} 0$ implique $f \xrightarrow[+\i]{} 0$.
 1. Soit $a, b, c \in \R$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que

$$\forall (x,y,z) \in \mc C^1(\R,\C)^3, \quad \left\{ \begin{array}{l} x' + ax + by + cz \xrightarrow{+\i} 0 \\ y' + bx + cy + az \xrightarrow{+\i} 0 \\ z' + cx + ay + bz \xrightarrow{+\i} 0 \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \xrightarrow{+\i} 0 \\ y \xrightarrow{+\i} 0 \\ z \xrightarrow{+\i} 0 \end{array}\right.$$
#+end_exercice

# ID:nil # Simple
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 125]
Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $A:I\ra\M_2(\R)$ continue. On regarde l'équation (1): $X'(t) = A(t) X(t)$.
 1. Décrire l'ensemble des solutions de (1).
 1. On suppose qu'il existe $P \in GL_2(\R)$ et $D: I \ra \M_2(\R)$ à valeurs dans l'ensemble des matrices diagonales telles que, pour tout $t \in \R$, $A(t) = P^{-1}D(t)P$.
Trouver une condition sur $D$ pour que les solutions de (1) aient une limite quand $t \ra +\i$.
#+end_exercice

# ID:nil # Simple
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 126]
Soit $n \ge 2$. Soit $A : \R^+ \ra \M_n(\R)$ continue. On considère les solutions de l'équation différentielle $(): x'(t) = A(t)x(t)$.
 1. On suppose qu'il existe $P \in GL_n(\R)$ et $D : \R^+ \ra \M_n(\R)$ continue et à valeurs dans l'ensemble des matrices diagonales à coefficients dans $]-\i,-1]$ telles que, pour tout $t$, $A(t) = P D(t) P^{-1}$. Les solutions de () ont-elles toutes pour limite 0 en $+\i$ ?
 1. On suppose qu'il existe $P: \R^+ \ra \mathrm{GL}_n(\R)$ continue et $D \in \M_n(\R)$ diagonale à coefficients dans $]-\i,-1]$ telles que, pour tout $t$, $A(t)=P(t)DP^{-1}(t)$. Les solutions de () ont-elles toutes pour limite 0 en $+\i$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 127]
On fixe un intervalle non trivial $I$.- a) Soient a et $b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. Soit $f$ une solution non nulle sur $I$ de y'' + ay' + by = 0. Montrer que les zéros de $f$ sont isolés : pour tout zéro $t_0$ de $f$ il existe un $\delta \gt  0$ tel que $f$ n'ait pas de zéro dans $|t_0 \delta, t_0 + \delta| \setminus \{t_0\}$.
 1. Soient $p_1, p_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles que $\forall t \in I$, $p_1(t) \geq p_2(t)$. Soient $f, g \in \mc C^2(I, \R) \setminus \{0\}$ telles que $f'' + p_1 f = 0$ et $g'' + p_2 g = 0$. Soient $t_1 \lt  t_2$ deux zéros de $f$ entre lesquels $f$ n'admet aucun autre zéro. Montrer qu'il existe un zéro de $g$ dans $[t_1, t_2]$, ainsi que dans $[t_1, t_2]$.
 1. Soient $p$,q deux fonctions continues de [0,1] dans $\mathbb R$ telles que $\forall t \in [0,1], \ q(t) \gt  0$. Pour $\lambda \in \mathbb R$, on note $f_\lambda$ la solution sur [0,1] de l'équation différentielle $y'' + (p(t) + \lambda q(t))y = 0$ avec la condition initiale $f_\lambda(0) = 0$ et $f'_\lambda(0) = 1$. On note $N_\lambda$ le nombre de zéros de $f_\lambda$. Montrer que $\lambda \mapsto N_\lambda$ est croissante et déterminer ses limites en $-\i$ et $+\i$.
 1. On admet que $(x, \lambda) \in [0, 1] \times \R \mapsto f_{\lambda}(x)$ est continue. Montrer que l'ensemble
$\{\lambda \in \R, \ f_{\lambda}(1) = 0\}$ est l'ensemble des termes d'une suite réelle strictement croissante.
 1. Montrer que $(\lambda, x) \mapsto f_{\lambda}(x)$ est continue sur $\R \times [0, 1]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 128]
Soit $\mu \in \R^+$. On considère $(E_\mu): y'' \mu(1-y^2)y' + y = 0$.
 1. Résoudre $(E_0)$.
 1. Soient $x_0$ et $x_1$ deux fonctions bornées et de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$, et $\omega_1 \in \R$. On suppose qu'il existe des fonctions $\omega : \R^+ \ra \R$ et $\eps : \R \times \R \ra \R$ deux fois dérivables par rapport à la seconde variable telles que :
    + $\omega(\mu) = 1 + \omega_1 \mu + o(\mu);$
    + il existe $C: \R^+ \ra \R^+$ croissante telle que $\forall k \in \{0,1,2\}, \ \forall (\tau,\mu) \in \R^+ \times \R, \ |(\partial_2)^k \eps(\tau,\mu)| \leq C(\tau)\mu^2;$
    + pour $x:(\tau,\mu)\in\R^+\times\R\mapsto x_0(\tau)+\mu x_1(\tau)+\eps(\tau,\mu)$, la fonction $t\mapsto x(\omega(\mu)t,\mu)$ est solution de $(E_\mu)$ sur $\R^+$ pour $\mu$ voisin de 0.
    Calculer alors $\omega_1$ et donner une expression explicite de $x_0$ et $x_1$ en fonction de quelques constantes inconnues.
#+end_exercice

# ID:180 # Classique
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 129]
Soit $A$ une application continue de $\R$ dans $\M_n(\C)$ et $X$ une application de classe $C^1$ de $\R$ dans $\M_n(\C)$ telles que, pour tout $t \in \R$, $X'(t) = A(t)X(t)-X(t)A(t)$. Montrer que, pour tout $t \in \R$, $X(t)$ est semblable à $X(0)$.
#+end_exercice

# ID:8238
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 130]
Soit $f\colon \R^2 \ra \R$ telle que $f(x,y) = \frac{e^x -e^y}{x -y}$ si $x \neq y$ et $f(x,x) = e^x$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$.
#+end_exercice

# ID:8847
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 131]
Soient $d\in\N^*$ et $f\colon\R^d\ra\R$ de classe $\mc C^2$. Soit $L\geq\ell\gt 0$ des réels. On suppose qu'en tout point de $\R^d$ la hessienne de $f$ a son spectre inclus dans $[\ell,L]$. Soit $\tau\in ]0,2/L[$ ainsi qu'une suite $u$ à termes dans $\R^d$ vérifiant la relation de récurrence $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=u_n-\tau\nabla f(u_n)$. Montrer que $u$ converge.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
En écrivant $g(t) = u_n - t \nable f (u_n)$, et en écrivant $f(g(1)) - f(g(0))$ comme une intégrale double on trouve que c'est décroissant, donc $f(u_n)$ converge, mais $f$ est propre. Si $u_n$ admet une valeur d'adhérence, alors c'est forcément un point critique (sinon la valeur de $f$ décroît strictement), et il n'y a qu'au plus un point critique.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 132]
Soient $d \in \N^*$ et $f : \R^d \ra \R$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $f$ tend vers $+\i$ en $\i$, que $\nabla f$ est lipschitzienne et que les points critiques de $f$ sont isolés dans $\R^d$. Montrer qu'il existe un réel $\tau \gt  0$ tel que, quel que soit le choix de $a \in \R^d$, la suite définie par $x_0 = a$ et $\forall n \in \N, \ x_{n+1} = x_n - \tau \nabla f(x_n)$ soit convergente. On commencera par le cas où $d=1$ et $f\colon x \mapsto \frac{x^2}{2}$.
#+end_exercice


# ID:8850
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 133]
Soit $G$ un sous-groupe fermé de $\mathrm{GL}_n(\R)$.

On pose $L = \{A \in \M_n(\R) ; \forall t \in \R, e^{tA} \in G\}$.

 1. Montrer que $L$ est un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$. Ind. Considérer $\left(e^{tA/k}e^{tB/k}\right)^k$.
 1. Montrer que $\forall (A, B) \in L^2$, $AB - BA \in L$.
 1. Que peut-on dire de $L$ pour $G = \mathrm{SL}_n(\R)$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On sait que $\big(e^{tA/k}e^{tB/k}\big)^k$ est dans le groupe. Il
    s'agit de justifier que cette quantité tend vers $e^{t(A+B)}$.

    Ça peut se faire par un DL, en utilisant $(1 + A/n + O(\frac{1}{n^2}))^n \ra e^A$.
 2. On considère $e^{tA} e^{tB} e^{-tA} e^{-tB}$, on met des $\frac{1}{k}$ et des ${\cdot}^k$..
 3.
#+END_proof


# ID:8851
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 134]
Soit $n \ge 2$ un entier. Une application $f$ de classe $C^2$ définie sur un ouvert $O$ de $\R^n$, à valeurs dans $\R^n$ vérifie la propriété $\mc{P}$ si, pour tout $x \in O$, $df_x$ est composée d'une homothétie et d'une isométrie vectorielle.
 1. On suppose que $n=2$ et que $f$ vérifie $\mc{P}$. On note $f=(f_1,f_2)$. Montrer que $f_1$ et $f_2$ sont harmoniques, c'est-à-dire que $\Delta f_1=0$ et $\Delta f_2=0$.
 2. Montrer que le résultat de la question précédente est faux si $n \geq 3$. On pourra considérer l'application $f\colon x \in \R^n \setminus \{0\} \mapsto \frac{x}{\|x\|^2}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si $df_x = \la I_n$, $df(x) = \begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{pmatrix}$ alors quand on dérive par rapport à $x$, on est une matrice antisymétrique, plus $\mu$ identité. $\frac{\partial^2 f_1}{\partial^2 x} = \frac{\partial^2 f_2}{\partial x\partial y}$ et $\frac{\partial^2 f_2}{\partial^2 x} = - \frac{\partial^2 f_1}{\partial x\partial y}$
    et même chose en dérivant par rapport à $y$ : $\frac{\partial^2 f_1}{\partial^2 y} = - \frac{\partial^2 f_2}{\partial x\partial y}$.
 2.
#+END_proof


# ID:8776
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 135]
Soit $f\colon \R^2 \ra \R$ de classe $\mc C^2$.
On dit que $f$ est harmonique si $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$. On dit que $f$ est homogène de degré $\lambda \geq 0$ si, pour tous $x,y \in \R$ et tout $t \in \R^+$, $f(tx,ty) = t^{\lambda}f(x,y)$. Soit $\lambda \geq 0$. Déterminer les fonctions harmoniques et homogènes de degré $\lambda$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pour $\la = 0$, $f$ est constante sur les droites, donc ne dépend que de $\theta$.

En général, on va faire un changement de coordonnées polaires :
 $r^2 \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + r \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = 0$. Si elle ne dépend que de $\theta$, c'est un polynôme affine en $\theta$, étant continue, elle est constante.

En général, la condition d'homogénéité donne $r\frac{\partial f}{\partial r} = \la f$ , donc avec le laplacien, on obtient $\la^2 f + \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = 0$. Donc à $r$ fixé, $f$ dépend de $\theta$ comme $\a \cos (\sqrt{\la}\theta + c)$, ce qui impose que $\la$ soit le carré d'un entier.
#+END_proof

** Géométrie

# ID:8728
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 136]
Montrer qu'il n'existe aucun triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont dans $\N^*$ et dont l'aire est un carré parfait non nul.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Descente infinie :

On sait paramétriser les triplets pythagoricien : $(a,b) = (m^2 - n^2, 2mn)$, dont l'aire est $mn (m-n)(m+n)$. Mais si $m$ et $n$ sont premiers entre eux, tout le monde est un carré. On peut en déduire : $x^2 - y^2 = u^2$ et $x^2 + y^2 = v^2$.  On considère alors le nouveau triangle de côtés $\frac{u+v}{2}$ et $\frac{u-v}{2}$…
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS P 2025 # 137]                                            :todo:
Soient $a$, $b$, $c$, $d$ dans $\R_+^*$. Quelle est l'aire maximale d'un quadrilatère dont les côtés successifs ont pour longueurs $a$, $b$, $c$, $d$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof                                                          :todo:
Paramétrer par la distance entre le premier sommet et le troisième,
$x$. Il faut que $|b-a|\leq x\leq a+b$. Puis pour trouver l'aire d'un
triangle $a,b,x$, on pose la hauteur $h$, qui coupe $x$ en $x = u+v$,
on écrit deux Pythagore, on fait la différence, permet de trouver $u$,
donc $h$. En posant $y = x^2$, l'aire est

 $\sqrt{y/2(a^2+b^2 - y/2) - \frac{(a^2-b^2)^2}{4}} \simeq \sqrt{y (2a^2+2b^2 - y) - (a^2 - b^2)^2}$
La même avec $c,d$ .

Si on dérive par rapport à $y$, on trouve $\frac{a^2+b^2 - y}{\sqrt{y (2a^2+2b^2 - y) - (a^2 - b^2)^2}}$, beurk.

Toujours plus agréable via de la trigo…
#+END_proof

#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 138]
 1. Quelle est l'aire maximale possible pour un rectangle de périmètre 1 ?
 1. On considère un entier $n \geq 3$ et une liste strictement
    croissante $(\theta_1, \dots, \theta_n)$ à termes dans $[0,
    2\pi]$. Déterminer la valeur maximale possible pour le périmètre
    du polygone de sommets $e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n}$ (dans
    cet ordre).
 1. Soit $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes. On convient que
    $z_0=z_n$. On définit l'aire algébrique du polygone $z_1\cdots
    z_n$ comme
    $\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(\op{Re}(z_k)\op{Im}(z_{k+1})-\op{Im}(z_k)\op{Re}(z_{k+1}))$.

    On fixe un réel $p\gt 0$. Parmi les listes
    $(z_1,\ldots,z_n)\in\C^n$ telles que le périmètre de $z_1\cdots
    z_n$ soit égal à $p$, déterminer celles qui maximisent l'aire
    algébrique du polygone associé.
#+end_exercice

** Probabilités

# ID: nil # Sans intérêt
#+BEGIN_exercice [ENS PLSR 2025 # 139]
 1. Calculer la variance d'une variable de Poisson.
 1. Soient $a \in \N^*$ et $p$ un nombre premier. Calculer $\mathbf{E}(X^p \text{ modulo } p)$ où $X \sim \mc{P}(a)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
#+END_proof


# ID:8451
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 140]
Soient $p \in [0,1]$ et $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi Bernoulli de paramètre $p$. On pose $S_0=1$ et, pour $n\geq 0$, $S_{n+1}=\begin{array}{cc} 3S_n+1 & \text{ si } X_n=1\\ \frac{S_n}{2} & \text{ si } X_n=0 \end{array}$
 1. Étudier les cas $p=0$ et $p=1$. On supposera que $0\lt p \lt 1$ dans toute la suite de l'exercice.
 1. Donner une formule de récurrence vérifiée par la suite $(\mathbf{E}(S_n))_{n\geq 0}$, et étudier son comportement quand $n\ra +\i$.
 1. Montrer que $\mathbf{P}((S_n)_{n\geq 0} \text{ est bornée}) = 0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 141]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. telles que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$.
On pose $T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ pour tout $n \ge 1$. Montrer que la suite $(T_n)_{n \ge 0}$ converge presque sûrement vers $\mathbf{E}(X_1)$.
#+end_exercice

# ID:8452
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 142]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ (resp. $(Y_n)_{n\geq 1}$) une suite de variables aléatoires $i$.i.d à valeurs dans $\N$. On note $T=\inf\{n\geq 2\ ;\ X_n\notin\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}\}$ et $S=\inf\{n\geq 2\ ;\ Y_n\notin\{Y_1,\ldots,Y_{n-1}\}\}$. On suppose que $T\sim S$. Que peut-on dire du lien entre les suites $(X_n)$ et $(Y_n)$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
La variable $T$ est à valeurs dans $\{n\geq 2\}$. On a $\P(T = 2) = \P(X_1\neq X_2)$.

Donc $\sum \P(X = x_i)^2 = \sum \P(Y = x_i)^2$.

Ensuite, $\P(T = 3) = \P(X\not \in \{X_1, X_2\} \mid X_1= X_2) \P (X_1 = X_2)$.

Avec une FPT, la partie de gauche est $\sum (1-p_i) p_i^2$. On en déduit que $\sum p_i^3 = \sum q_i^3$, etc.

Conclusion : les lois sont permutations l'une de l'autre.
#+END_proof


# ID:8468
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 143]
Soit $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers et $\beta \gt  1$. Soit $(Y_p)_{p \in \mc{P}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\N$ vérifiant $\mathbf{P}(Y_p = k) = (1 - p^{-\beta})p^{-k\beta}$ pour $k \in \N$ et $p \in \mc{P}$. On pose $Z = \sum_{n \in \mc{P}} Y_p \ln p$ et $X = \exp Z$.
 1. Donner la loi de $X$.
 1. En déduire que $\sum_{i=1}^{+\i} \frac{\mu(n)}{n^{\beta}} = \frac{1}{\zeta(\beta)}$ où $\mu$ est la fonction de Möbius, définie par $\mu(n) = 0$ si $n$ est divisible par un carré $\gt 1$, et $\mu(n) = (-1)^m$, où $m$ est le nombre de ses facteurs premiers, sinon.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $X = \prod p^{Y_p}$. Pour $n\in\N^*$, $\P(X = n) = \prod_{p^{\a}\mid n} (1-p^{-\b}) p^{-\a\b} = \prod_{p} (1-p^{-\b}) \frac{1}{n^{\b}}$. C'est une loi Zeta.
 2. On obtient alors que $\frac{1}{\zeta(\b)} = \prod_{p} (1-p^{-\b})$, mais en développant ceci, on trouve la fonction $\mu$.
#+END_proof


# ID:8772
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 144]
Montrer qu'il existe $C \gt0$ tel que pour tout $n \ge 1$ et tout $(a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \{\pm 1\}^{n^2}$, il existe $(x_i)_{1 \le i \le n}$ et $(y_i)_{1 \le i \le n}$ dans $\{\pm 1\}^n$ tels que $\sum_{1 \le i \le n} a_{i,j} x_i y_j \ge C n^{3/2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2025 # 145]                                              :todo:
Soient $\theta \in ]0,1[$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\R^+$ telle que $\mathbf{P}(X\gt 0)\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(X\geq\theta\,\mathbf{E}(X))\geq \frac{(1-\theta)^2\mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$.
#+end_exercice

# ID:8722
#+begin_exercice [ENS P 2025 # 146]
Soit $n \in \N$ avec $n \ge 2$. Soit $E_n = \{e_1, \dots, e_n\}$ un
ensemble de cardinal $n$. Soient $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ des
variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\mc
S_n$. Si $i, j \in \db{1,n}$, on pose $e_i\star e_j =
e_{\sigma_i(j)}$. Montrer que la probabilité que $(E, \star)$ soit un
groupe, sachant que $E$ admet un neutre, tend vers $0$ quand $n$ tend
vers l'infini.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On note $N_i$ l'évènement « $e_i$ est un élément neutre », et $G$ :
«$(E, \star)$ forme un groupe». On s'intéresse pour commencer à
$\P(G\mid N_1)$.

L'évènement $N_1$ signifie que $\forall i,\, \sigma_i(1) = i$ et
$\forall j,\, \sigma_1(j) = j$.

Notons que $e_i$ admet un inverse à droite, qui est $e_{\sigma_i^{-1}(1)}$. Pour que cet élément soit un inverse à gauche, il faut que $\sigma_{\sigma_i^{-1}(1)}(i) = 1$.

En particulier, les $\sigma_i^{-1}(1)$ sont tous distincts (sans quoi
$1$ aurait plusieurs antécédents par un même $\sigma_k$).

Naturellement, sous la condition $N_1$, la probabilité que ces éléments soient tous distincts est $\frac{(n-1)!}{(n-1)^{n-1}}$ qui tend vers $0$.

Formellement : !!

Enfin, l'énoncé demande $\P(G \mid \bigcup_{i=1}^n N_i) = \frac{\P\big(G \cap \bigcup_{i=1}^n N_i\big)}{\P\big(\bigcup_{i=1}^n N_i\big)} = \frac{\P\big(\bigcup (N_i \cap G)\big)}{\P\big(\bigcup_{i=1}^n N_i\big)}$. Comme les évènements $N_i$ sont disjoints, et que les $\P(N_i)$ et les $\P(G\cap N_i)$ sont égaux, on obtient que $\P(G\mid N) = \P(G\mid N_1)$.
#+END_proof


# ID:8486
#+BEGIN_exercice [ENS L 2025 # 147]
Soient $d \in \N^*$ et $(e_1, \ldots, e_d)$ la base canonique de $\Z^d$. Soit $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbf{P}(X_n = e_i) = \mathbf{P}(X_n = -e_i) = \frac{1}{2d}$ pour $1 \leq i \leq d$. On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_k$ et $S_0 = 0$.

Soit $T = \inf\{n \gt  0, S_n = 0\}$ et $p_d = \mathbf{P}(T \lt  +\i)$. On admet que $p_d \lt  1$ pour $d \geq 3$. Montrer que $p_d \ra 0$ lorsque $d \ra +\i$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Revient à savoir montrer que $\P(S_n = \vec 0)\tend{d\ra +\i} 0$.

Si on admet cela, alors quand on passe de $d$ à $2d$, la probabilité
de retour du couple est la probabilité que l'un des deux retournent
avant que l'autre ne commence (qui peut être choisie arbitrairement
petite), plus la probabilité que les deux retournent qui est $\leq
p^2$ (demande un peu de travail, hein, les deux projections sont des
marches aléatoires indépendantes). Suffit de choisir de sorte que
$\eps + p^2 \lt p$.

Pour montrer le résultat admis : le nombre de chemins à $n$ étapes est
$(2d)^n$. On montre qu'il y en a moins que $\frac{1}{d}$ qui
reviennent en $0$ : à la première étape, choisir n'importe quelle
autre premier pas ne le fait plus revenir en $0$.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS P 2025 # 148]                                            :todo:
Soient $p \in ]0, 1/2[$ et $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires telle que $\mathbf{P}(X_n=1)=1-\mathbf{P}(X_n=-1)=p$. Pour $n\in\N^*$, on note $S_n=X_1+\cdots+X_n$.  Montrer l'existence de  $c,C_1,C_2\gt 0$ tels que  $\forall u\geq 0,\ C_1e^{-cu}\leq \mathbf{P}\left(\sup_{n\geq 1}S_n\geq u\right)\leq C_2e^{-cu}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 149]
 1. Soit $X$ une variable aléatoire réelle et $s\gt 0$ tel que $\mathbf{E}(e^{sX})$ soit finie. Démontrer que $\forall a \gt  0$, $\mathbf{P}(X \ge a) \le e^{-sa} \mathbf{E}(e^{sX})$.

 1. Soit $(X_i)_{i \ge 1}$ une suite de variable aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans [0, 1].

    On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$. Démontrer que $\forall t \gt  0$, $\mathbf{P}(|S_n - \mathbf{E}(S_n)| \ge t) \le 2e^{-t^2/(2n)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 150]
Soit $(E, \mc{P}(E))$ un espace probabilisable avec $E$ dénombrable.
 1. Rappeler la définition d'une probabilité sur cet espace.
 2. Pour $A$ et $B$ probabilités sur cet espace, on pose $d(A,B) = \max\limits_{S \subset E} A(S) B(S)$. Montrer que  $d(A,B) = \frac{1}{2} \sum_x |A(\{x\}) - B(\{x\})|$.
 3. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes à valeurs
    dans $E$ de lois respectives $A$ et $B$. Montrer que $P(X \neq Y)
    \ge d(A, B)$.
 4. Les deux lois $A$ et $B$ étant fixées, montrer qu'on peut
    construire $X$ et $Y$ de façon à assurer l'égalité dans
    l'inégalité précédente.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Vient du fait que $\sum\limits_{x \mid A(x)\gt B(x)} A(x) - B(x) =
    \sum\limits_{x \mid A(x)\lt B(x)} B(x) - A(x)$. On prend pour $S$
    l'ensemble des points où $A(x)\gt B(x)$.
 3. !!
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 151]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, \mc{A}, \mathbf{P})$ et à valeurs dans [0, n]. On pose $p_k = \mathbf{P}(X = k)$ et $q_k = \mathbf{P}(Y = k)$ pour tout $k \in \db{0, n}, \op{et} d(p,q) = \max_{S \subset \db{0, n }} \overline{\mathbf{P}}(X \in S) - \mathbf{P}(Y \in S)$.
 1. Montrer que $d(p,q) \ge 0$. Que dire si d(p,q) = 0?
 1. Soit $\phi : \R \ra \R$ une fonction convexe. Comparer $\mathbf{E}(\phi(X))$ et $\phi(\mathbf{E}(X))$.
 1. On suppose de plus qu'il existe au moins deux éléments $k$ de [0,n] tels que $p_k\gt 0$. On suppose de plus que $\phi$ strictement convexe, c'est-à-dire telle que $\forall (x,y) \in \R^2, \ \forall t \in \,]0,1[\,\ x\neq y\Rightarrow \phi((1-t)x+ty)\leq (1-t)\phi(x)+t\phi(y).\ \text{Montrer que }\mathbf{E}(\phi(X))\gt \phi(\mathbf{E}(X))$.
 1. On suppose que : $\forall k \in \db{0, n }, \, p_k \gt  0$ et $q_k \gt  0$. On pose $H(p,q) = \sum_{k=0}^n p_k \ln \left( \frac{p_k}{q_k} \right)$.

Montrer que $H(p,q) \ge 0$. Que dire si H(p,q) = 0?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2025 # 152]
On considère $r_0 = 0$ et $(r_i)_{i \in \N^*} \in [0, 1]^{\N^*}$. Pour
$(i, j) \in \N^* \times \N$, on pose $p_{i,j} = r_i$ si $j = i + 1,
1 - r_i$ si $j = i - 1$ et $0$ sinon.On admet l'existence d'une
famille de variables aléatoires $(X_k^i)_{(i,k)\in\N^*\times\N}$
telles que

 + $X_0^{i_0} = i_0$ p.s. pour tout $i_0 \in \N^*$,
 + $\mathbf{P}\left(\bigcap_{i=1}^n (X_k^{i_k} = i_{k-1})\right) = \prod_{i=1}^n p_{i_{k-1}, i_k} \text{ pour tout } (i_0, \dots, i_k) \in \N^{*k+1}$.

On pose, pour $i,j\in\N^*$, $\tau^i_j=\inf\{k\in\db{ 0,+\i},\ X^i_k=j\}\in\N\cup\{+\i\}$.

Soit $b \in \N$. Calculer, pour $i \in [0, b]$, $\hat{p_i} = \mathbf{P}(\tau_0^i \lt  \tau_b^i)$ en fonction des $\gamma_k = \prod_{i=1}^k \frac{1 - r_i}{r_i}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 153]
Soient $(X_k)_{k \in \N^*}$ une suite de variables de Rademacher indépendantes et $X_0 =k \in \Z$ (constante). On pose, pour tout $n \in \N$, $S_n = X_0 + \cdots + X_n$.
 1. Déterminer l'espérance et la variance de $S_n$.
 1. Soient $m \in \N^*$ et $k_1, \ldots, k_m \in \Z$. Que dire de la loi de $(S_n)_{n \geq m}$ conditionnée par $(S_1 = k_1, \ldots, S_m = k_m)$ ?
 1. Soient $k, N \in \N^*$ avec $N \ge k$. On considère que la marche aléatoire s'arrête dès que $S_n = 0$ ou $S_n = N$. On admet que l'arrêt est presque sûr. Déterminer la probabilité $p_k$ que la marche s'arrête sur 0 en partant de $k$.
 1. Déterminer le temps moyen d'arrêt (en 0 ou $N$ cette fois) en partant de $k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS P 2025 # 154]
On considère $n$ variables aléatoires de Rademacher indépendantes
$(\eps_i)_{1\leq i\leq n}$. Montrer que, pour tout réel $p \gt 0$, il
existe $(c_p, C_p) \in (\R^{+*})^2$ indépendant de $n \in \N^*$ tel
que,

pour tout $(z_1, \ldots z_n) \in \C^n$,
$$c_p \left(\sum_{i=1}^n |z_i|^2\right)^{\frac{1}{2}} \leq \left(\mathbf{E} \left|\sum_{i=1}^n \eps_i z_i\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq C_p \left(\sum_{i=1}^n |z_i|^2\right)^{\frac{1}{2}}.$$
#+end_exercice

# ID:8866
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 155]
Soit $(X_n)_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\Z$ telles que $\forall n \in \N, \ \forall k \in \N, \ \mathbf{P}(X_n = k) = \mathbf{P}(X_n = -k) = ce^{-|k|}$ où $c$ est à déterminer. Déterminer la loi du rayon de convergence de la série entière aléatoire $\sum X_n z^n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a presque sûrement $X_n \not \ra 0$, donc $R\leq 1$.

Soit $c\in \interval]{0, 1}[$, $\P(|c^n X_n|\geq 1)\simeq e^{-1/c^n}$, donc $\P\big(\exists \i n \mid |c^n X_n|\geq 1\big) = 1$, donc le rayon vaut $1$.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS P 2025 # 156]                                            :todo:
Soit $(p_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de $[0,1]$. Pour
$n\in\N^*$, on note $G_n$ le graphe aléatoire $G_{n,p_n}$
d'Erdös-Renyi, c'est-à-dire un graphe aléatoire de sommets $\db{1,n}$
et une famille $(X_{\{i,j\}})_{\{i,j\}\in\mc{P}_2([1,n])}$ de
variables de Bernoulli $i$.i.d. de paramètre $p_n$, avec
$X_{\{i,j\}}=$ 1 si et seulement s'il existe une arête reliant $i$ et
$j$. On note $I_n$ le nombre de sommets isolés de $G_n$.
 1. Soit $\eps \in ]0,1[$. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$,
    $p_n \geq (1+\eps)\frac{\ln(n)}{n}$. Montrer que $\mathbf{P}(I_n
    \geq 1) \xrightarrow[n \ra +\i]{} 0$.
 1. Soit $\eps \in ]0,1[$. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$,
    $p_n \leq (1-\eps)\frac{\ln(n)}{n}$. Montrer que $\mathbf{P}(I_n
    \geq 1) \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 1$.
#+end_exercice

# ID:8867
#+BEGIN_exercice [ENS L 2025 # 157]
Montrer qu'il existe un réel $c\gt 0$ vérifiant la condition
suivante : quel que soit $n \in \N^*$, quelle que soit $S$ partie non
vide de $\mathbb{U}_n$, il existe un entier naturel $p \leq
\frac{cn}{|S|}$ ainsi qu'une $p$-liste $(z_1,\ldots,z_p)$ d'éléments
de $\mathbb{U}_n$ telle que $\left|\bigcup_{k=1}^p z_k S\right|\geq
\frac{n}{2}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Méthode probabiliste : $X = \Big|\bigcup z_k S \Big| = \sum_{x\in\m U_n}\sum_{s\in S} \m 1_{z_ks = x}$, donc $\E(X) = |S| p$, et on veut $|S| p\geq \frac{n}{2}$.
#+END_proof

# ID:8723
#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 158]
Soit $p \in [0,1/2]$. On fixe une suite $(X_n)_{n \ge 1}$ de variables
aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\{-1,0,1\}$ et telles que $\P(X_1
= 1) = \P(X_1 = -1) = p$ et $P(X_1 = 0) = 1-2p$. Pour $b\in\Z,
a\in\Z^{\N^*}$ et $n\in\N^*$, on pose
$\P(b,a,n)=\P\left(\sum_{k=1}^n a_k X_k=b\right)$.

 1. On suppose $a_k= 2^{k-1}$. Calculer $\P(0, a, n)$ pour tout $n\in \N$.
 2. On suppose $p = 1/4$ et $a_k = 1$. Calculer $\P(0, a, n)$
    pour tout $n\in \N$.
 3. s Déterminer les valeurs de $p$ pour lesquelles $b\mapsto \P(b, a,
    n)$ est maximale en $0$ pour tout $a \in \Z^{\N^*}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Il faut que tous les coefficients soient nuls.
 2. C'est du dénombrement : il faut autant de $1$ que de $-1$.
 3. En vérifiant jusqu'à $n = 3$, on trouve qu'il faut que $p\leq \frac{1}{4}$.

    Réciproquement, si $p\leq \frac{1}{4}$, il faut utiliser la fonction caractéristique, cf le 7341, qui est positive, et par inversion de Fourier, toute probabilité est majorée par $\P (S=0)$.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 159]
Soit $n \ge 3$. Une alpiniste dispose de $n$ lieux possibles pour planter sa tente, lieux numérotés de 1 à $n$. Elle peut visiter chacun de ces lieux successivement, à partir du numéro 1, et doit décider si elle y plante sa tente. Lorsqu'elle visite le lieu $k$, elle peut savoir si elle préfère ce lieu à tous les lieux précédemment visités, mais ne sait pas si elle le préfère aux lieux non encore visités. Une fois un lieu visité, si l'alpiniste a refusé d'y installer sa tente elle ne pourra plus revenir sur ce lieu. L'alpiniste a pour objectif de maximiser la probabilité d'avoir choisi celui des $n$ lieux qui a sa préférence parmi les $n$ lieux.
 1. Déterminer une stratégie optimale pour l'alpiniste lorsque n=3.
 1. On fixe un $k \in [0, n-1]$. L'alpiniste suit la stratégie décrite ci-après : elle visite automatiquement les k+1 premiers lieux; étant donné $\ell \in [k+1, n-1]$, si l'alpiniste visite le $\l$-ième lieu alors elle l'écarte si et seulement s'il n'a pas sa préférence parmi tous les lieux déjà visités. Déterminer la probabilité $p_{n,k}$ pour que l'alpiniste s'installe sur le lieu ayant sa préférence parmi les $n$ lieux.
 1. On fixe un $k_n$ maximisant $p_{n,k}$ lorsque $k$ parcourt $[0, n-1]$. Étudier le comportement asymptotique de $k_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

# ID:8865
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 160]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires
réelles discrètes. Pour $t\in\R$ et $n \in \N^*$, on considère la
variable aléatoire $f_n(t) = \frac{1}{n} \left| \{k \in [1, n], X_k
\leq t\} \right|$. Montrer qu'il existe une fonction $f\colon \R \ra
\R$ telle que $\mathbf{P}\left(\sup_{t \in \R} |f_n(t) - f(t)| \gt
\eps\right) \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 0$ pour tout réel
$\eps \gt 0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si on fixe un $t$, on a $f_n(t)\tend{n\ra +\i} \P(X\leq t)$, d'après
la loi faible sur une suite de Bernoulli.

Si $X$ est à support fini, il suffit de montrer la convergence en chaque $t_i$.

Sinon, on écrit $X = X_f \m 1_{A_f} + Y_f 1_{\ol{A_f}}$, où $\P(A_f)$ est proche de $1$, alors $\P\big(|f_n(t) - f_{n,f}(t)|\geq \eps\big)\leq \P\big(A_f \text{ se produit plein de fois}\big)$.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS L 2025 # 161]
Pour deux variables aléatoires réelles bornées $X$ et $Y$, sur des
espaces probabilisés a priori distincts, on note $X \leq_c Y$ pour
signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute
fonction convexe $f\colon \R \ra \R$. On se donne, sur un espace
probabilisé, deux suites $(M, X_1, X_2, \dots)$ et $(N, Y_1, Y_2,
\dots)$ de variables aléatoires indépendantes bornées vérifiant les
conditions suivantes:
 + les $X_n$, où $n \in \N^*$, sont identiquement distribuées et positives;
 + les $Y_n$, où $n \in \N^*$, sont identiquement distribuées et positives;
 + $M$ et $N$ sont à valeurs dans $\N$ :
 + $M \preccurlyeq_c N$ et $X_1 \preccurlyeq_c Y_1$.
On pose $S = \sum_{k=1}^M X_k$ et $T = \sum_{k=1}^N Y_k$. Montrer que $S \preccurlyeq_c T$.
#+end_exercice

# ID:8864
#+begin_exercice [ENS L 2025 # 162]
Soient $E$ une partie bornée et au plus dénombrable de $\R^+$, et
$\mc{L}$ et $\mc{L}'$ deux lois de probabilité sur $E$. Déterminer, en
fonction de ces lois, la plus petite constante $K_{\mc{L},\mc{L}'}$
telle que, pour tout couple $(X,Y)$ de variables aléatoires réelles à
valeurs dans $E$ telles que $X \sim \mc{L}$ et $Y \sim \mc{L}'$, on
ait l'inégalité $\mathbf{E}(XY) \leq K_{\mc{L},\mc{L}'}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est du réordonnement.
#+END_proof

# ID:8863
#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 163]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $X=(X_1,\ldots,X_n)^T$ un vecteur aléatoire tel que $\mathbf{E}\left(\|X\|^2\right)\lt +\i$. On note $C(X)=\left(\op{Cov}(X_i,X_j)\right)_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de covariance.
 1. Que dire de $C(X)$ si les $X_i$ sont indépendantes?
 2. Soient $v \in \R^n$ et $Y = \langle v, X \rangle$. Exprimer $\mathbf{V}(Y)$ en fonction de $C(X)$.
 3. On suppose les $X_i$ centrées. Soient $A \in \M_n(\R)$ et $Z$ = AX. Exprimer $\mathbf{E}(\|Z\|^2)$ en fonction de $C(X)$.
 4. Caractériser les $A \in \M_n(\R)$ pour lesquelles il existe un vecteur aléatoire $X$ tel que $A = C(X)$.
 5. Soit $H$ un hyperplan de $\R^n$. Montrer que $P(X \in H) = 1$ si et seulement si $H^{\perp} \subset \op{Ker}(C(X))$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Elle est diagonale.
 2. $\V(Y) = v^T C(X) v$
 3. $Z = \big(\langle L_i, X\rangle\big)$, où $L_i$ sont les lignes donc $\E\big(\lN Z\rN^2\big)$ est la somme des variances de ces choses.
 4. $C(X)$ est symétrique, positive. Réciproquement, $A = P^T D P$.
    Pour $D$ on prend une somme de variables indépendantes, puis pour
    $A$ on fait le changement de base.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 164]
Soit $\alpha \gt  0$. On considère l'équation différentielle (): $(y' = -x, x' = \alpha^2 y)$ avec $(x,y):\R\ra\R^2$.
 1. Si $(x_0, y_0) \in \R^2$ est fixé, justifier l'existence et l'unicité d'une solution de () vérifiant $x(0) = x_0$ et $y(0) = y_0$. Pour cette solution, on pose $I(t) = y^2(t)$ et $J(t) = \alpha^2 x^2(t)$.
 2. Montrer que les applications $T \mapsto \frac{1}{T} \int_0^T I(t) dt$ et $T \mapsto \frac{1}{T} \int_0^T J(t) dt$ admettent une limite finie en $+\i$.
 3. Soit $N \in \N^*$. On considère deux variables aléatoires $x_0, y_0$ indépendantes à valeurs dans
    $\frac{1}{N}\Z$ telles que, pour tout $k \in \Z$, $\mathbf{P}\left(x_0 = \frac{k}{N}\right) = \mathbf{P}\left(y_0 = \frac{k}{N}\right) = \gamma_N \exp\left(-(k/N)^2\right)$.
    a) Justifier l'existence de $\gamma_N \in \R^+$ pour lequel ces conditions définissent la loi des deux variables aléatoires.
    b) On fixe $t$ et on considère, pour $N \in \N^*$, la variable aléatoire $f_N(t) = I(t) + J(t)$ (les fonctions $I$ et $J$ sont associées aux variables aléatoires $x_0$ et $y_0$). Montrer que $\mathbf{E}\left(e^{-f_N(t)}\right)$ possède une limite quand $N \ra +\i$.
#+end_exercice

* ENS PSI                                                             :autre:

** Algèbre

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 165]
 1. Soit $A = (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \M_n(\R)$ telle que $\forall i,j \in [1,n], a_{i,i} = 2, a_{i,j} = -1$ si $|i-j| = 1, a_{i,j} = 0$ si $|i-j| \geq 2$.
    a) Montrer que, pour tout $x \in \R^n$, $Ax \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$ où $\ge 0$ signifie que toutes les coordonnées sont positives ou nulles.
    b) En déduire que $A$ est inversible.
 1. Soit $A \in \M_n(\R)$ telle que $\forall i \in \db{1, n }, |a_{i,i}| \gt  \sum_{i \neq i} |a_{i,j}|$.
    a) Montrer que $A$ est inversible.
    b) Soit $E$ et $F$ les matrices de taille $n$ définies par $e_{i,j} = a_{i,j}$ si $j \geq i, e_{i,j} = 0$ si $j$ \lt  $i$ et $f_{i,j} = -a_{i,j}$ si $j \lt  i, f_{i,j} = 0$ si $j \geq i$. Montrer que, si $(u,v) \in (\R^n)^2$ vérifie Ev = Fu, alors $||v||_{\i} \leq ||u||_{\i}$.
    c) Montrer qu'il existe $k \in ]0,1[$ tel que $\forall u,v \in \R^n, Ev = Fu \Rightarrow ||v||_{\i} \leq k||u||_{\i}$.
    d) Soient $b \in \R^n$, $x_0 \in \R^n$ et $(x_k)$ la suite définie par $\forall k \in \N$, $Ex_{k+1} = Fx_k + b$. Montrer que la suite $(x_k)$ est bien définie et que la suite $(x_k)$ converge. Déterminer sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 166]
Soit $f\colon\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \M_2(\R) \mapsto \begin{pmatrix} c & a \\ d & b \end{pmatrix}$. Spectre de f? Diagonalisabilité sur $\R$ ? sur $\C$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 167]
 1. Soit $\lambda \in \C$. La suite $(\lambda^k)_{k \in \N}$ peut-elle être dense dans $\C$ ?
 1. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$.
    a) Pour $X \in \C^2$, la suite $\left(A^k X\right)_{k \in \N}$ peut-elle être dense dans $\C^2$ ?
    b) Soient $A \in \M_m(\C), X \in \C^m$. La suite $(A^k X)_{k \in \N}$ peut-elle être dense dans $\C^m$ ?
 1. Soit $A \in \M_m(\R)$ qui n'admet pas de valeur propre réelle.
    a) Montrer qu'il existe $P \in \mathrm{GL}_m(\R), a \gt  0, \theta \in \R$ tels que :
       $$A = P \begin{pmatrix} a\cos\theta & -a\sin\theta & * & \cdots & * \\ a\sin\theta & a\cos\theta & * & \cdots & * \\ 0 & 0 & * & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & * & \cdots & * \end{pmatrix} P^{-1}$$.
    b) Soient $A \in \M_m(\R)$, $X \in \R^m$. La suite $(A^k X)_{k \in \N}$ peut-elle être dense dans $\R^m$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 168]
On dit que $P=(p_{i,j})\in\M_n(\R)$ est une matrice de permutation s'il existe une permutation $\sigma$ de l'ensemble $\db{1,n}$ telle que $\forall (i,j)\in \db{1,n}^2,\; p_{i,j}=\delta_{i,\sigma(j)}$.
On dit que $H \in \M_n(\R)$ est une $H$-matrice si tous ses coefficients valent $\pm 1$ et si ses colonnes forment une famille orthogonale pour le produit scalaire canonique.
 1. Soit $P$ une matrice de permutation. Montrer que $P$ est orthogonale et que $P^T$ est une matrice de permutation.
 1. Soit $M \in \M_n(\{-1,1\})$.Montrer que $M$ est une $H$-matrice si et seulement si $M^TM = nI_n$.

    $c$. Soient $D \in \M_n(\{-1,1\})$ une matrice diagonale, $M$ une $H$-matrice de taille $n$, et $P$ une matrice de permutation de taille $n$. Montrer que DM, $M^T$, MD et PM sont des $H$-matrices. On suppose dans les dernières questions qu'il existe une $H$-matrice de taille $n \ge 3$.

    $d$. Montrer qu'il existe une $H$-matrice $S=(s_{i,j})\in\M_n(\R)$ n'ayant que des 1 en première ligne.

 1. Montrer que $\forall i, j \in \db{2, n }$ avec $i \neq j$, on a $\sum_{k=1}^n (s_{i,k}+1)(s_{j,k}+1) = n$.
 1. En déduire que $n$ est un multiple de 4. On écrit n=4k avec $k \in \N^*$.
${\it g}$) Montrer qu'il existe une $H$-matrice de taille $n$ dont les trois premières lignes sont présentées en quatre blocs de taille $k$ de la forme suivante :
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 169]
Le produit scalaire canonique de $\R^n$ est noté $\langle x,y\rangle=x^Ty$. Soit $A\in\M_n(\R)$.

 1. Montrer qu'il existe un unique $(A^+, A^-) \in \mc{S}_n(\R) \times A_n(\R)$ tel que $A = A^+ + A^-$.
 1. Montrer que pour tout $x \in \R^n$, $\langle Ax, x \rangle = \langle A^+x, x \rangle$.

On note $\lambda_1, \ldots, \lambda_\ell$ les valeurs propres de $A^+$ et $E_1, \ldots, E_\ell$ les sous-espaces propres associés. On suppose de plus que $A$ et $A^+$ commutent.

 1. Montrer que $\forall x \in E_i$, $Ax \in E_i$ et $A^-x \in E_i$.
 1. Soient $\mu \in \op{Sp}(A)$ et $F_{\mu}$ le sous-espace propre associé. Montrer qu'il existe $j$ tel que $\mu = \lambda_j$ et $F_{\mu} \subset E_j$.
 1. Soit $i \in [1, \ell]$. On suppose $\dim(E_i) = 1$. Montrer que $\lambda_i \in \op{Sp}(A)$ et $E_i \subset \op{Ker}(A^-)$.
 1. Montrer que si $A$ est diagonalisable alors $A$ est symétrique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 170]
Soit $A \in \M_n(\R)$. Soit $u : M \in \M_n(\R) \mapsto AMA^T$.

 1. On suppose $A$ diagonalisable.
    a. Montrer que *u* est diagonalisable.
    $b$. Montrer que $tr(u) = [tr(A)]^2$.
    $c$. Montrer que $\mc{S}_n(\R)$ est stable par $u$. On note $u_S$ l'endomorphisme induit par $u$ sur

$$\mc{S}_n(\R)$$
. Montrer que $\op{tr}(u_S) = \frac{1}{2}(\op{tr}(A^2) + [\op{tr}(A)]^2)$.

 1. On suppose désormais que $\tilde{A}^m = I_n$ pour un entier $m \geq 1$.
    a. Montrer que $A$ est diagonalisable sur $\C$.
    $b$. Montrer qu'il existe des entiers $r$,s tels que $r+2s\leq n$ et des entiers $k_1\leq \cdots\leq k_s$ tels que $\op{tr}(A)=r+2\sum_{s=1}^s\cos\left(\frac{2k_i\pi}{m}\right)$.
    $c$. Montrer que $\{A^k, k \in \N\}$ est fini.
    $d$. On pose $N = \op{Card}(\{A^k, k \in \N\})$. Montrer que $\op{tr}(u) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \op{tr}(A^k)$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [# 171]
 1. Soit $f\colon \R \ra \R$ une fonction $k$-lipschitzienne, avec $k \ge 0$.
    a.  Montrer que $f$ est continue.
    $b$. On suppose $k$ \lt  1. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
    $c$. Donner un exemple de fonction 1-lipschitzienne de $\R$ dans $\R$ qui n'a pas de point fixe.
 1. On considère $E = \R^d$ muni d'une norme $N$. Soit $f\colon \R^d \ra \R^d$ une fonction 1lipschitzienne. Soit $\Omega$ l'ensemble des vecteurs $x$ de $E$ tels que la suite $(f^n(x))_{n\in\N}$ est bornée. Montrer que $\Omega = \emptyset$ ou $\Omega = E$.
 1. On suppose $E = \C$ et f(z) = az + $b$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit 1-lipschitzienne. En supposant cette condition réalisée, donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\Omega = E$.
#+END_exercice


#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 172]
Soit $(E, \| \ \|)$ un $\R$ -espace vectoriel normé de dimension 2 muni d'une base $(e_1, e_2)$ vérifiant la propriété $()$ : $\forall (\lambda_1, \lambda_2) \in \R^2$, $||\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2|| = |||\lambda_1 ||e_1 + ||\lambda_2 ||e_2||$.
 1. Rappeler la définition d'un espace euclidien.
 1. Donner un exemple d'espace vectoriel normé et d'une base où la propriété () est vérifiée.
 1. Donner un exemple d'espace vectoriel normé et d'une base où la propriété () n'est pas vérifiée.
 1. On veut montrer le résultat $()$ : pour tout $(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)\in\R^4$, si $|\alpha_1|\leq |\beta_1|$ et $|\alpha_2| \leq |\beta_2| \text{ alors } ||\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2|| \leq ||\beta_1 e_1 + \beta_2 e_2||$.
    On fixe $\lambda \in \R$ et on définit la fonction $f(\mu) = \|\mu e_1 + \lambda e_2\|$.
    - $\text{Montrer que } f\left(\frac{\mu+\mu'}{2}\right)\leq \frac{1}{2}f(\mu)+\frac{1}{2}f(\mu') \text{ pour tout } (\mu,\mu')\in\R^2$.
    - En déduire que $f$ est convexe.
    - Montrer que $f$ est une fonction croissante sur $\R^+$. iv) En déduire la validité de l'implication ().
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 173]
Nature, suivant $\alpha \in \R$, de la série $\sum (-1)^n \frac{n^{\alpha}}{n^{2\alpha} + (-1)^n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 174]
Pour $n \in \N^*$, on pose $H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{k}$ et $S_n = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{pq}{p+q}$.
 1. Montrer que $(H_n \ln(n+1))$ converge. On note sa limite $\gamma$.
 1. Déterminer un équivalent de $S_n$.
 1. Donner un développement asymptotique à deux termes de $S_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 175]
Soit $E = \mc C^{\i}(\R, \R)$. Si $f \in E$, on note D(f) l'application $x \in \R \mapsto f(x+1) f(x)$.
 1. Montrer que $D$ induit un endomorphisme de $\R_n[X]$ (on identifie un polynôme et la fonction polynomiale associée). Quel est son noyau? son image?
 1. Soient $f \in E$, $n \in \N^*$ et $x$ \gt  0.
Montrer qu'il existe $c \in ]x, x + n[$ tel que $D^n(f)(x) = f^{(n)}(c)$.
 1. Soit $\lambda \in \R$. On suppose : $\forall n \in \N^*$, $n^{\lambda} \in \N$. Montrer que $\lambda \in \N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 176]
Soit $G$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ de la forme

$$x \mapsto a_0 + \sum_{k=1}^{+\i} (a_k \cos(2k\pi x) + b_k \sin(2k\pi x))$$
 avec $(a_n)$ et $(b_n)$ sommables. Soit $F$ l'ensemble des $f \in \mc C^0(\R, \R)$ 1-périodiques.

 1. Si $f \in G$, montrer que les $a_k$ et $b_k$ sont uniquement déterminés par $f$.
Si $a \in \R$ est fixé, on pose, pour $f \in F$, $T(f): x \mapsto f(x+a) f(x)$.
 1. Si $a \in \Z$, que vaut T? c) Si $a \in \Q$, décrire Ker(T).
 1. Si $a = \sqrt{2}$, décrire Ker(T).
 1. Oue vaut $\text{Im}(T|_G)$ pour $a = \sqrt{2}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 177]
Soit $f\colon I \ra \R$ convexe, où $I$ est un intervalle de $\R$ de longueur non nulle.
 1. Soit $t \in I$. Pour tout $x \in I \setminus \{t\}$, on pose $\Delta_t(x) = \frac{f(x) f(t)}{x t}$.
    1. Montrer que $\Delta_t$ est croissante sur $I \setminus \{t\}$.
    2. Justifier l'existence de $f'(t^+) = \lim_{x \ra t^+} \Delta_t(x)$. iii) On pose $a_t : x \mapsto f(t) + f'(t^+)(x-t)$. Montrer que $f(x) = \sup_{t \in I} a_t(x)$.
 1. On dit que $f$ est log-convexe lorsque $f$ \gt  0 sur $I$ et $\ln \circ f$ convexe
    1. Montrer que si $f$ est log-convexe, alors elle est convexe.
    2. Soit $f \in \mc C^2(\R, \R^{+*})$. Montrer que $f$ est log-convexe si et seulement si, pour tout
       $\alpha \in \R, x \mapsto e^{\alpha x} f(x)$ est convexe. iii) Montrer que la somme de deux fonctions log-convexes est log-convexe.
 1. On pose $\Gamma: x \mapsto \int_1^{+\i} t^{x-1} e^{-t} dt$.
    1. Justifier que $\Gamma$ est définie, de classe $\mc C^2$, et strictement positive sur $\R^{+*}$.
    2. Montrer que $\Gamma$ est log-convexe.
    3. Soient $n \in \N^*$ et $x \in \R^{+*}$. Montrer: $\Gamma(x+n) = \Gamma(x) \prod_{k=0}^{n-1} (x+k)$ et $\Gamma(n+1) = n!$.
    4. Montrer que $\ln(n) \leq \frac{1}{x} \ln \left( \frac{\Gamma(n+1+x)}{\Gamma(n+1)} \right) \leq \ln(n+1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 178]
 1. Soit une fonction $f \in \mc C^0(\R^+, \R)$ décroissante, positive, et intégrable sur $\R^+$. Montrer que f(x) = o(1/x) quand $x \ra +\i$.
 1. Montrer qu'il existe une fonction $g\colon \R^+ \ra \R$ continue, positive et intégrable qui n'est pas négligeable devant 1/x en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 179]
Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue, strictement décroissante et intégrable sur $\R^+$.
On pose, pour $n \in \N^*$, $f_n : x \in \R^+ \mapsto f(x^n)$.
 1. Montrer que $\forall x \in \R^+, \ f(x) \gt  0$ et que $\lim_{x \ra \i} f = 0$.
 1. Soit $a \in [0,1[$. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur [0,a]. Cette suite est-elle uniformément convergente sur [0, 1]?
 1. Soit $b \in ]1, +\i[$. Mêmes questions pour les intervalles $[b, +\i[$ et $]1, +\i[$.
 1. Soit $a \in \R^+$. La suite de terme général $u_n = \int_{-\i}^{+\i} f_n(t) dt$ est-elle convergente?
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PSI 2025 # 180]
Soient $(a,b) \in \R^2$ avec a \lt  $b$ et $I$ = [a,b]. Soit $f\colon I \ra I$ continue. La notation $f^n$ désigne $f \circ f \circ \cdots \circ f$ (n fois).

On suppose qu'il existe $\omega \in I$ tel que $\forall x \in I$, $f^n(x) \ra \omega$ quand $n \ra +\i$.

 1. Montrer que, pour tout $k \in \N^*$, $\omega$ est l'unique point fixe de $f^k$.
 1. Montrer que $f(I) \neq I$.
 1. Montrer que $\cap_{n \geq 1} f^n(I) = \{\omega\}$.
 1. Montrer que la suite $(f^n)$ converge uniformément vers la fonction constante égale à $\omega$.
#+END_exercice


#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 181]
Pour $n \ge 1$, on note $b_n$ le nombre de partitions d'un ensemble de cardinal $n$.

On pose $b_0 = 1$ et $B: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i} \frac{b_n}{n!} x^n$.

 1. Montrer que $b_n$ est le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble de cardinal $n$.
 1. Calculer $b_0, b_1, b_2$.
 1. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $b_{n+1} = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} b_k$.
 1. Montrer que $B$ est dérivable sur un intervalle ouvert non vide, en déduire une équation différentielle vérifiée par $B$ puis la résoudre.
 1. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $b_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^{+\i} \frac{k^n}{k!}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 182]
 1. Calculer $\int_0^1 -\frac{\ln(1-t)}{t} dt$. On donne $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
 1. Soient $x \in [0,1]$ et $a,b \in \R$ avec 0 \lt  a \lt  $b$. Montrer que l'équation $y^a y^b = x^a x^b$ d'inconnue y admet deux solutions, sauf pour une valeur $x_0$ de $x$ que l'on déterminera.
 1. Soit $f:[0,1]\ra\R$ définie par $f(x_0)=x_0$ et, pour $x\neq x_0$, f(x) est l'unique solution différente de $x$ de l'équation $y^a - y^b = x^a - x^b$. Montrer que $f$ est décroissante et continue.
 1. Soit $x \in ]0,1[$. Montrer que l'équation $x^{b-a} = \frac{1-t^a}{1-t^b}$ admet une unique solution $t \in$
]0,1[. On la note g(x).
 1. Calculer $I = \int_0^1 -\frac{\ln(f(x))}{x} dx$. On utilisera le changement de variable $t$ = g(x).
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 183]
Soient $A \in \M_n(\R)$ symétrique définie positive, $B \in \M_{m,n}(\R)$, $v \in \R^n$.
Soit $J: x \in \R^n \mapsto \frac{1}{2} \langle Ax, x \rangle \langle v, x \rangle$.
 1. Calculer le gradient de $J$ et montrer que $\forall x, h \in \R^n, J(x+h) - J(x) = \langle \nabla J(x), h \rangle + \frac{1}{2} \langle Ah, h \rangle$.
 1. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
    + il existe $x \in \text{Ker}(B)$ tel que $\forall z \in \text{Ker}(B), J(z) \geq J(x)$ ;
    + il existe $x \in \text{Ker}(B)$ tel que $\nabla J(x) \in \text{Ker}(B)^{\perp}$ ;
    + $\text{le système } (S): \begin{cases} Ax+B^Ty=v\\ Bx=0 \end{cases}$
 1. Montrer que si $Ker(B) = \{0\}$ alors (S) admet au moins une solution.
 1. Montrer que (S) admet au plus une solution si et seulement si $Ker(B^T) = \{0\}$.
 1. Montrer qu'il existe $\alpha \gt  0$, $\beta \ge 0$ tels que $\forall x \in \R^n$, $J(x) \ge \alpha ||x||^2 \beta ||x||$.
 1. En déduire que (S) admet au moins une solution.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 184]
Soit $(E, \langle, \rangle)$ un espace préhilbertien.
 1.
    1. Montrer que la fonction $x \mapsto ||x||$ est de classe $C^1$ sur $E \setminus \{0\}$. Calculer sa différentielle.
    2. Soient $H$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $a \in E$.

Soit $x \in H$ tel que $||x - a|| = \inf_{y \in H} ||y - a||$. Montrer que $x - a \in H^{\perp}$.

 1.
    1. Soient $a, b \in E$ et $\phi : x \in E \mapsto ||x a|| + ||x b||$. Calculer la différentielle de $\phi$ là où elle existe, et déterminer les points où celle-ci s'annule.
    2. ) Déterminer les extrema de $\phi$ sur $E$.
 1. Soit $\rho:(x,y)\in\R^2\mapsto\sqrt{(1-x)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(1-y)^2}$.  Déterminer les extrema de $\rho$.
 1. Soient A, $B$ et $C$ trois points du plan formant un triangle aigu. Soit $\Psi: M \mapsto AM + BM + CM$.
    1. Montrer que $\Psi$ admet un minimum en un point $O$ tel que, pour tout couple
       $(M,N) \in \{A,B,C\}^2$ de points distincts, l'angle non orienté $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})$ vaut $\frac{2\pi}{3}$.

    2. Que se passe-t-il si A, $B$ et $C$ forment un triangle équilatéral?
    3. Que peut-on conclure dans le cas général?
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 185]
 1. Soient $N$ boules rouges et $M$ boules noires dans une urne. Combien y a-t-il de suites de tirages successifs sans remise d'une boule jusqu'à vider l'urne?
On considère désormais une urne contenant n\gt 2 boules rouges et 2N-n\gt 2 boules noires. On effectue des tirages successifs sans remises de deux boules à la fois jusqu'à vider l'urne. On note $X$ le nombre de tirages ayant donné deux boules rouges.
 1. On suppose $n$ \gt  $N$. Déterminer $P(X \ge 1)$.
 1. Majorer $X$.
On suppose $n$ pair et on note $A$ l'événement « les $\frac{n}{2}$ premiers tirages sont constitués de deux boules rouges » et $B$ l'événement « les $\frac{n}{2}-1$ premiers tirages sont constitués de deux boules rouges et les deux tirages suivants d'une boule rouge et d'une boule noire ». Sont-ils équiprobables?
 1. Soit un entier $k$ \lt  $N$. Déterminer P(X = k).
 1. Déterminer $\mathbf{E}(X)$.
 1. On suppose que $n = \lfloor \lambda N \rfloor$ avec $\lambda \lt  1$. Montrer que $\mathbf{E}(X) \sim \frac{\lambda^2}{4} N$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PSI 2025 # 186]
 1. Soit $E = C^0([0,1], \R)$. Pour $p \in \N^*$ et $f \in E$, on note $||f||_p = \left(\int_0^1 |f|^p\right)^{1/p}$.

    - Montrer que $\| \|_2$ et $\| \|_4$ sont des normes sur $E$.
    - Montrer que $\| \cdot \|_4 \geq \| \cdot \|_2$.
    - Soit $(f_n)_{n\in\N^*}$ la suite de fonctions définies par $\forall x\in[0,1/2n],\ f_n(x)=0$,

      $\forall x \in [1/n, 1], f_n(x) = x^{-1/4} \text{ et } f_n \text{ est affine sur } [1/2n, 1/n]$.  Comparer $||f_n||_2$ et $||f_n||_4$. Qu'en déduit-on?

 1. Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$.

    Pour
    $$a=(a_n)_{n\geq 1}\in\R^{\N^*},\, n\geq 1$$
    et $p\geq 2$, on note $N_{n,p}(a)=\left(\mathbf{E}\left(\left|\sum_{k=1}^n a_k X_k\right|^p\right)\right)^{1/p}$.
    - Calculer $N_{n,2}(a)$.
    - Calculer $N_{n,4}^4(a)$ en fonction de $N_{n,2}(a)$.
#+END_exercice



#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 187]
Soit $S_n$ l'ensemble des permutations de [1, n], que l'on munit de la probabilité uniforme.

 1. Pour $k, \ell \in [1, n]$ avec $k \neq \ell$, on note $\tau_{k,\ell} \in \mc{S}_n$ la transposition définie par $\tau_{k,\ell}(k) =$ $\ell$, $\tau_{k,\ell}(\ell) = k$ et $\forall j \in [1, n] \setminus \{k, \ell\}, \tau_{k,\ell}(j) = j$.
    - Pour $\sigma \in \mc{S}_n$, expliciter $\sigma \circ \tau_{k,\ell} \circ \sigma^{-1}$.
    - Déterminer tous les $\sigma \in \mc{S}_n$ tels que $\forall \alpha \in \mc{S}_n$, $\sigma \circ \alpha = \alpha \circ \sigma$.
 1. Pour $\sigma \in \mc{S}_n$, on note $Z_{\sigma} = \{ \alpha \in \mc{S}_n, \ \sigma \circ \alpha = \alpha \circ \sigma \}$.
    - Montrer que $Z_{\sigma}$ est stable par composition et passage à l'inverse.
    -  Pour $\sigma \neq id$, montrer que $2|Z_{\sigma}| \leq |S_n|$.
 1. On tire indépendamment et avec remise deux éléments $\sigma$ et $\tau$ de $S_n$.
    - Montrer que $\forall n \geq 3, p_n = \mathbf{P}(\sigma \circ \tau = \tau \circ \sigma) \leq \frac{7}{12}$.
    - Déterminer $p_3$.
 1. Pour $\sigma \in \mc{S}_n$, on note $C_{\sigma} = \{\alpha \circ \sigma \circ \alpha^{-1}, \ \alpha \in S_n\}$.
    - Montrer que $\forall \sigma \in \mc{S}_n, \ |C_{\sigma}| = \frac{n!}{|Z_{\sigma}|}$.
    - Montrer que $\forall \sigma, \tau \in \mc{S}_n, C_{\sigma} = C_{\tau}$ ou $C_{\sigma} \cap C_{\tau} = \emptyset$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 188]
Soit $n \geq 2$. On se place dans $\N^2$ et on considère le rectangle $[0,n] \times [0,2]$. On appelle recouvrement de $[0,n] \times [0,2]$ tout ensemble fini formé de rectangles translatés de $[0,1] \times [0,2]$ (rectangles verticaux) et de $[0,2] \times [0,1]$ (rectangles horizontaux) qui recouvrent $[0, n] \times [0, 2]$ sans que leurs intérieurs ne se chevauchent.

On note $u_n$ le nombre de recouvrements de $[0,n] \times [0,2]$. On munit l'ensemble des recouvrements de $[0, n] \times [0, 2]$ de la probabilité uniforme.

 1. Calculer $u_1, u_2, u_3$. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. En déduire une expression de $u_n$.
 1. On note $P_{1,n}$ la probabilité qu'il y ait un rectangle vertical tout à gauche.

Calculer $P_{1,n}$ et montrer que $(P_{1,n})$ admet une limite $L$.

    $c$. On note $V_n$ le nombre de rectangles verticaux. Calculer $\mathbf{E}(V_n)$.Ind. On pourra écrire $V_n = \sum_{i=1}^n U_{i,n}$ où $U_{i,n}$ est l'indicatrice de l'événement : « il y a un

rectangle vertical en position $i$ ».

    $d$. Montrer que $\frac{\mathbf{E}(V_n)}{n} \xrightarrow[n \ra +\i]{} L$.

Ind. Découper la somme entre $[1, \sqrt{n}], [\sqrt{n}, n - \sqrt{n}]$ et $[n - \sqrt{n}, n]$.

 1. On note $V_{i,j,n}$ l'événement : « il y a un rectangle vertical en $i$ et en $j$ ». Calculer $\mathbf{E}(V_{i,j,n})$.
 1. Calculer $V(V_n)$, puis en donner un équivalent quand $n \ra +\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 189]
Soient $m, n \in \N^*$. Soit $A_{m,n} = \{a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_n\}$ où les $a_i, b_j$ sont des éléments distincts. Soit $H_{m,n}$ l'ensemble des bijections $f$ de $A_{m,n}$ sur $\db{1,m+n}$ telles que, pour tout $(i,j) \in \db{1,m}$, $i$ \lt  $j$ implique $f(a_i) \lt  f(a_j)$ et, pour tout $(i,j) \in \db{1,n}^2$, $i$ \lt  $j$ implique $f(b_i) \lt  f(b_j)$.

 1. Calculer le cardinal de $H_{m,n}$.
Soit $f_{m,n}$ suivant la loi uniforme sur $H_{m,n}$.
 1. Calculer $\mathbf{P}(f_{m,n}(a_m)=i)$.
 1. Pour $c,k\in\N^*$, montrer que $\mathbf{P}(f_{cn,n}(a_{cn})=(c+1)n-k)$ admet une limite quand $n$ tend vers $+\i$.
 1. Calculer $P(f_{2m,n}(a_m)=i)$.
 1. Soit $t \ge 0$. donner un équivalent de $\mathbf{P}(f_{2n,2n}(a_n) = 2n + \lfloor t\sqrt{n} \rfloor)$. Ind. Commencer avec $t$ = 0 et utiliser l'équivalent de Stirling lorsque $t \ra +\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 190]
Soit $I$ un intervalle de $\R$.
 1. Soit $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in [0, 1]^n$ tel que $\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 1$. Soit $f\colon I \ra \R$ convexe.
    - Montrer que, pour tout $(x_1, \dots, x_n) \in I^n$, on a $f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$.
    - On suppose $f$ de classe $C^2$ sur $I$ avec f'' \gt  0. Montrer que, si les $\lambda_i$ sont dans ]0,1[ et les $x_i$ sont distincts, l'inégalité du i) est stricte.
 1. Soient $\Omega$ un ensemble fini, $P_1$ et $P_2$ des probabilités sur $\Omega$. On pose

    $$TV(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) = \sup_{A \in \mc{P}(\Omega)} |\mathbf{P}_1(A) - \mathbf{P}_2(A)| \text{ et } N_1(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) = \sum_{\omega \in \Omega} |\mathbf{P}_1(\{\omega\}) - \mathbf{P}_2(\{\omega\})|$$.

    - Montrer que $TV(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2)=\frac{1}{2}N_1(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2)$
    - Montrer que $TV(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) = \sum_{\omega \in \Omega} \max(\mathbf{P}_1(\{\omega\}), \mathbf{P}_2(\{\omega\})) 1$
    - Montrer que
      $$1 - TV^2(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) \geq \left(\sum_{\omega \in \Omega} \sqrt{\mathbf{P}_1(\{\omega\})\mathbf{P}_2(\{\omega\})}\right)^2.$$

 1. On garde les hypothèse de la question b) et on suppose que, pour tout $\omega \in \Omega$, la condition $\mathbf{P}_2(\{\omega\}) = 0$ implique $\mathbf{P}_1(\{\omega\}) = 0$.
    On pose $D(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) = \sum_{\omega \in \Omega} \mathbf{P}_1(\{\omega\}) \ln \left( \frac{\mathbf{P}_1(\{\omega\})}{\mathbf{P}_2(\{\omega\})} \right)$ avec la convention $0 \ln 0 = 0$.
    - Montrer que $D(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) \geq 0$
    - Montrer que $\left( \sum_{\omega \in \Omega} \sqrt{\mathbf{P}_1(\{\omega\})\mathbf{P}_2(\{\omega\})} \right)^2 \geq e^{-D(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2)}$.
    - Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 191]
Soient $n \ge 2$ et $p \in \{1, \dots, n\}$. Soit $A \in \M_{n,p}(\R)$ telle que $A^T A$ est inversible. On pose $P = A(A^T A)^{-1}A^T$.

On considère des variables aléatoires $i$.i.d. $(z_k)_{1 \leq k \leq n}$ d'espérance nulle et ayant un moment d'ordre 4. On pose $\sigma = \sqrt{\mathbf{V}(z_1)}$ et $Z = (z_1 \dots z_n)^T$.

On considère une matrice colonne $X_0 \in \M_{p,1}(\R)$. On pose $Y = AX_0 + Z$ et $X = (A^TA)^{-1}A^TY$. On pose enfin $T = ||A(X - X_0)||^2$, où || || est la norme euclidienne usuelle sur $\M_{p,1}(\R)$.

 1. Montrer que rg(A) = $p$.
 1. Montrer que $P$ est un projecteur orthogonal de rang $p$. Déterminer son image et son noyau.
 1. Montrer que $T = Z^T P Z$.
 1. On note $P_{i,j}$ les coefficients de $P$. On pose $T_1 = \sum_{i=1}^n P_{i,i} z_i^2$ et $T_2 = 2 \sum_{1 \le i \lt  j \le n} P_{i,j} z_i z_j$.

Exprimer $\mathbf{E}(T_1)$, $\mathbf{E}(T_2)$ et $\mathbf{E}(T_1T_2)$ en fonction de $\sigma$ et $p$.

 1. Déterminer $\mathbf{E}(T_1^2)$ et $\mathbf{E}(T_2^2)$.
 1. En déduire l'espérance et la variance de $T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 192]
Soit $Y$ une variable aléatoire. On dit que $Y$ est $k$-divisible $(k \in \N^*)$ s'il existe un vecteur aléatoire $(X_1, \ldots, X_k)$ où les $X_i$ sont $i$.i.d. tel que $Y \sim (X_1 + \cdots + X_n)$. On dit que $Y$ est infiniment divisible si elle est $k$-divisible pour tout $k \in \N^*$.
 1. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendante suivant les lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda$ et $\nu$. Donner la loi de X+Y. En déduire que si $Y\sim \mc{P}(\lambda)$ alors $Y$ est infiniment divisible.
 1. Soit $Y$ une variable aléatoire. On suppose qu'il existe A\gt 0 tel que $\mathbf{P}(Y\in[-A,A])=1$ et que $Y$ est $k$-divisible pour un certain $k\in\N^*$. On a donc $Y\sim(X_1+\cdots+X_k)$ où les $X_i$ sont $i$.i.d.
    - Montrer que, pour tout $i$, $P(X_i \in [-A/k, A/k]) = 1$.
    - Montrer que, pour tout $i \in [1, k]$, $\mathbf{V}(X_i) \leq \left(\frac{A}{k}\right)^2$. En déduire une majoration de $\mathbf{V}(Y)$.
    - Que peut-on dire si la variable aléatoire $Y$ vérifie $\mathbf{P}(Y \in [-A, A]) = 1$ et qu'elle est infiniment divisible?
 1. Soient $p \in ]0,1[$ et $Y$ une variable aléatoire suivant $\mc{B}(\lambda)$. Si $k \geq 2$, montrer que $Y$ n'est pas $k$ divisible.
 1. Soient $p \in ]0,1[$, $n \in \N^*$ et $Y$ une variable aléatoire suivant $\mc{B}(n,p)$. Pour quelles valeurs de $k \in \N^*$ la variable aléatoire $Y$ est-elle $k$-divisible?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 193]
On dit que le spectre d'une matrice est simple lorsque toutes les valeurs propres de la matrice sont simples. Soit $n \in \N$. Posons $M = \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & c \end{pmatrix} \in \M_{n+1}(\R)$, avec $A \in \M_n(\R)$, $b \in \R^n$ considéré comme un vecteur colonne et $c \in \R$.L'objectif des deux premières questions est d'établir une démonstration de la proposition suivante : si le spectre de $M$ n'est pas simple, alors $b$ est orthogonal à un des vecteurs propres Soit $\lambda$ une valeur propre non simple de $M$.

 1. Montrer que l'on dispose de $v \in \R^n$, un vecteur propre de $M$, associé à la valeur propre $\lambda$, tel que $v_{n+1} = 0$.
 1. Montrer que $\lambda$ est aussi valeur propre de $A$ et conclure.

Notons
$$N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\0&1&X_5&X_2\\0&X_5&-1&X_3\\X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}\in\M_4(\R)$$
 où les $X_i$ sont des variables aléatoires indé-

 1. On note $B$ l'événement : « le spectre de $N$ est simple ». Montrer que $P(B) \ge 3p^3 2p^4$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 194]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$.

Pour
$$n \in \N^*$$
, soient $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ et $Y_n = \sum_{k=1}^n \frac{X_k}{k^{\alpha}}$ où $\alpha \gt  3/4$.

 1.
    - Pour $(i, j, k, \ell) \in [1, n]^4$, calculer $\mathbf{E}(X_i X_j X_k X_\ell)$.

    - En déduire $\mathbf{E}(S_n^4)$.
    - Soit $(x_k)_{k\geq 1} \ \text{une suite de r\'eels} \gt  0 \ \text{et } B_{n,p} = \bigcup_{k\in \db{n,n+p}} \left( |S_k|\geq x_k \right)$.

      Montrer que
      $$\mathbf{P}(B_{n,p}) \leq 3 \sum_{k \in [n,n+p]} \frac{k^2}{x_k^4}.$$
 1.
    - Exprimer $Y_n$ en fonction des $S_k$.
    - Montrer que $(Y_n)$ converge presque sûrement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 195]
 1. Soit $f \in \mc C^1(\R^{+*}, \R)$ convexe.
    - Soit $t_0 \in \R^{+*}$. Montrer qu'il existe $g$ affine telle que $\forall t \in \R^{+*}: f(t) \geq g(t)$ et $f(t_0) = g(t_0)$.
    - Soit $Z$ une variable aléatoire réelle telle que $Z$ et f(Z) sont d'espérance finie. Montrer que $f(\mathbf{E}(Z)) \leq \mathbf{E}(f(Z))$.
 1. Pour $X$ variable aléatoire réelle et $t \in \R$, on pose si possible $\Psi_X(t) = \ln(\mathbf{E}(e^{tX}))$. Calculer $\Psi_X$ lorsque $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
 1. Pour $X$ variable aléatoire discrète réelle et $\theta \in \R$, on pose $\Phi_X(\theta) = \sup_{t \in \R^+} (t\theta \Psi_X(t))$.
    - Montrer que $\Phi_X$ est positive et convexe sur son ensemble de définition.
    - Montrer que $\Phi_X$ est définie en $\mu = \mathbf{E}(X)$ et que $\Phi_X(\mu) = 0$.
    - Montrer que $\Phi_X$ est décroissante pour $\theta \lt  \mu$ et croissante pour $\theta \gt  \mu$.
 1. On suppose que $X \sim \mc{P}(\lambda)$.
    - Calculer $\Phi_X$.
    - Donner un majorant de $P(X \ge 2\lambda)$.
#+end_exercice

* ENS PC                                                              :autre:

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 196]
Pour $n \in \N^*$, calculer le module de $\sum_{k=0}^{n-1} \exp\left(\frac{2i\pi k^2}{n}\right)$.
#+END_exercice


#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 197]
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$. Montrer : $\op{tr}(A^2)\leq \sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}^2$. Cas d'égalité?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 198]
Soient
$$D = \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \alpha \end{pmatrix}$$
 et $F = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix} \in \M_n(\R)$.

Pour $k \in \N$, calculer $(D+F)^k$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 199]
Soit $\phi \in \mc{L}(\M_n(\R), \R)$ telle que : $\forall (A, B) \in \M_n(\R)^2$, $\phi(AB) = \phi(BA)$. Montrer qu'il existe $\beta \in \R$ tel que $\phi = \beta$ tr.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 200]
Soit $(A_1, \ldots, A_n) \in \M_n(\R)^n$. Existe-t-il nécessairement $(\eps_1, \ldots, \eps_n) \in \{-1, 1\}^n$ tel que : $\op{tr}\left(\left(\sum_{i=1}^n \eps_i A_i\right)^2\right) \geq \sum_{i=1}^n \op{tr}\left(A_i^2\right)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 201]
Soit $R: \mathbb{K}[X] \ra \mathbb{K}[X]$ définie par R(0) = 0 et, pour tout polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ de degré $n, R(P) = X^n P\left(\frac{1}{Y}\right)$.

 1. L'application $R$ est-elle linéaire? bijective?
 1. Trouver tous les polynômes $P$ tels que R(P') = R(P)'.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 202]
Soient $M$ et $N \in \M_2(\C)$ telle que $M^2 = N^2 = 0$ et $MN + NM = I_2$. Montrer qu'il existe $P \in \mathrm{GL}_2(\C)$ telle que $M = PE_{1,2}P^{-1}$ et $N = PE_{2,1}P^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 203]
Soit $(A_1, \ldots, A_m) \in \op{GL}_n(\R)^m$ tel que, $\forall (i,j) \in [1,m]^2$, $A_i A_j \in \{A_1, \ldots, A_m\}$. Montrer que $|\det(A_j)| = 1$ pour tout $j \in [1,m]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 204]
Soit $N \in \M_n(\R)$ nilpotente. On pose $f_N: t \mapsto \sum_{k=0}^{+\i} t^k N^k$.

 1. Montrer que $f_N$ est bien définie sur $\R$.
 1. Montrer que si $f_N$ s'annule alors $N$ = 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 205]
Soient $A, B \in \mc{S}_2(\R)$ et $C \in \M_2(\R)$. On note, pour $X, Y \in \M_2(\R)$, [X, Y] = XY - YX. Montrer que $[[A, B]^2, C] = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 206]
Soit $A \in \M_n(\R)$. On note $E = \{AM, M \in \M_n(\R)\}$. Déterminer la dimension de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 207]
 1. Soient A, $B$, $C$ des espaces vectoriels. On note $A \xrightarrow{f_1} B \xrightarrow{f_2} C$ lorsque $f_1 \in \mc{L}(A, B), f_2 \in \mc{L}(B, C)$ et $\mathrm{Im}(f_1) = \mathrm{Ker}(f_2)$. Que peut-on dire si $A = \{0\}$ ? si $C = \{0\}$ ?b) Soient A, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ des espaces vectoriels. On suppose que

où $h_1$ et $h_3$ sont des isomorphismes et où $h_2 \circ f_1 = g_1 \circ h_1$ et $h_3 \circ f_2 = g_2 \circ h_2$. Montrer que $h_2$ est un isomorphisme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 208]
Soit $n \in \N^*$. Montrer qu'il existe $k \in \N^*$ et $P_1, \ldots, P_k$ des éléments de $\R[X]$ qui ne sont pas des monômes tels que $\forall A \in \mathrm{GL}_n(\R), \exists i \in [1, k], P_i(A) \in \mathrm{GL}_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 209]
Soient $A$ et $B \in \M_n(\R)$, avec $\op{rg} A = p$ et $\op{rg} B = q$. Déterminer les valeurs possibles de $\op{rg}(AB)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 210]
Soit $(A, B) \in \M_n(\R)^2$ sans valeur propre complexe commune. Montrer que $\Phi : M \mapsto AM - MB$ est un automorphisme de $\M_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 211]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $A \in \M_{n,p}(\R)$ avec $n \gt  p \gt  \op{rg}(A)$ et $b \in \R^n$. Déterminer les $x \in \R^p$ tels que $||Ax b|| = \min_{y \in \R^p} ||Ay b||$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 212]
Soient $E$ un espace euclidien et $p,q\in\mc{L}(E)$ deux projecteurs orthogonaux qui commutent. Montrer que $p\circ q$ est un projecteur orthogonal.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 213]
Soient $A \in \mc{S}_n(\R)$, $a \in \R$ et $x \in \R^n$. On pose $M = \begin{pmatrix} A & x \\ \hline x^T & a \end{pmatrix}$.

On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ et $\mu_1 \leq \cdots \leq \mu_n \leq \mu_{n+1}$ les valeurs propres de $M$. Montrer que $\mu_1 \leq \lambda_1 \leq \cdots \leq \mu_n \leq \lambda_n \leq \mu_{n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 214]
Soit $n \in \N^*$. Lorsque $(A, B) \in \mc{S}_n(\R)^2$, on note $A \leq B$ si $B - A \in \mc{S}_n^+(\R)$. On pose $\Phi : A \mapsto A^T A$ définie sur $\M_n(\R)$. Montrer que $\Phi$ est convexe, c'est-à-dire : $\forall (A, B) \in \M_n(\R)^2, \, \forall \lambda \in [0, 1], \, \Phi\left((1 - \lambda)A + \lambda B\right) \leq (1 - \lambda)\Phi(A) + \lambda\Phi(B)$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 215]
Caractériser les matrices $M\in\M_2(\R)$ pour lesquelles il existe $X\in\R^2$ tel que $\lim_{n\ra+\i}\|M^nX\|=+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 216]
Soit $d \in \N^*$. Pour toutes matrices $A$ et $B$ dans $\M_d(\R)$ on définit [A,B] = AB BA. Soient $A$ et $B$ dans $\M_d(\R)$. Soit $(F_n)_{n \in \N}$ la suite de matrices définie par $F_0 = B$ et, pour tout $p \in \N$, $F_{p+1} = [A, F_p]$.
 1. Montrer que, pour tout $n \ge 0$, il existe des réels $c_{0,n}, c_{1,n}, \ldots, c_{n,n}$ tels que

$$F_n = \sum_{i=0}^n c_{i,n} A^{n-i} B A^i$$.b) Soit $A \in \mc{S}_d(\R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $A$ pour que la suite $(F_n)$ tende vers la matrice nulle, et ce quelle que soit la matrice $B$ à partir de laquelle la suite $(F_n)$ a été construite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 217]
Soit $\gamma \in ]0,1]$. Soit $(x_n)_{n\geq 1} \in (\R^+)^{\N}$ telle que $\forall n \in \N, \ x_{n+1} \leq x_n + x_n^{1-\gamma}$. Montrer qu'il existe d\gt 0 tel que, pour tout $n\in \N, \ x_n\leq dn^{1/\gamma}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 218]
Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites réelles.
 1. On pose : $\forall n \in \N, y_n = x_{n+1} - x_n$. Si $y_n \ra 0$, la suite $(x_n)$ converge-t-elle nécessairement?

 1. On pose : $\forall n \in \N, y_n = x_{n+1} - \frac{1}{2}x_n$. Montrer que, si $y_n \ra 0$, alors $x_n \ra 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 219]
Soient $\alpha \in \R$ et $(x_{n,N})_{(n,N)\in\N^2}$ une suite double réelle.

On suppose que, pour tout $N \in \N$, $\lim_{n \ra +\i} x_{n,N} = \alpha$. Montrer qu'il existe $(N_n)_{n \in \N} \in \N^{\N}$ croissante telle que $\lim_{n \ra +\i} x_{n,N_n} = \alpha$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 220]
Soit $(u_n) \in (\R^{+*})^{\N}$ telle que $\sum u_n$ diverge.

    a. Montrer que $\sum \frac{u_n}{(u_1 + \dots + u_n)^2}$ converge.

 1. Montrer que $\sum \frac{u_n}{u_1 + \cdots + u_n}$ diverge.

    $c$. Soit $(x_n) \in (\R^{+*})^{\N}$. On suppose, que pour toute $(y_n) \in (\R^{+*})^{\N}$, la convergence de $\sum y_n^2$ implique celle de $\sum x_n y_n$. Montrer que $\sum x_n^2$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 221]
Soient a \gt  0 et $f \in C^0([0, +\i[\,, \R)$ telle que $\forall x \in \R, |f(x) - 1| \lt  \frac{1}{1 + x^2}$.

Montrer qu'il existe $g \in C^0([0, +\i[\,\R)$ telle que $\forall x \in \R, f(x) = g(x) g(x+a)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 222]
 1. Déterminer les fonctions $f\colon \R^{+*} \ra \R$ continues telles que, pour tous $x, y \in \R^{+*}$, f(xy) = f(x) + f(y).

 1. Déterminer les fonctions $f\colon \R^{+*} \ra \R$ continues telles que, pour tous $x, y \in \R^{+*}$, f(xy) = f(x) f(y).
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 223]
Soit $f \in \mc C^2(\R, \R^+)$ telle que f'' est bornée sur $\R$. Montrer qu'il existe $C \in \R$ tel que, pour tout $x \in \R$, $(f'(x))^2 \leq Cf(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 224]
Soit $f \in \mc C^2(\R, \R)$. On suppose que $f$, f' et f'' sont bornées sur $\R$. Montrer que $\lim_{\eps \ra 0} \sup_{x \in \R} \left| \frac{f(x+\eps) - f(x)}{\eps} - f'(x) \right| = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 225]
Soit $f \in \mc C^0(\R, \R)$ qui tend vers 0 en $-\i$ et en $+\i$ et telle que la famille de fonctions $(f, x \mapsto f(x+1), x \mapsto f(x+2))$ est liée. Que dire de f?
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 227]
Soient
$$a, b \in \R$$
 avec $a \lt  b$ et $f \in \mc C^1(\R, \R^+)$ intégrable.

On suppose the
$$a, b \in \R$$
 avec $a \lt  b \in f \in C$ $(\R, \R^n)$ integrable.

On suppose que :
$$\forall x \in [a, b], \ f'(x) \geq 1$$
. Peut-on avoir $\int_{\R} f = \frac{(b-a)^2}{2}$ ?
#+END_exercice


#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 228]
Trouver toutes les
$$f \in \mc C^0([0,1],\R^{+*})$$
 telles que $\int_0^1 f = \int_0^1 \frac{1}{f} = 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 229]
Soient
$$a \lt  b$$
 deux réels.
    a. Soit $\phi \in \mc C^2([a,b]), \R$) telle que $|\phi'| \ge 1$ et $\phi'' \gt  0$.

    a. Soit
$$\phi \in \mc C^2([a,b]), \R$$
) telle que $|\phi'| \ge 1$ et $\phi'' \gt  0$.
Montrer que, pour tout $\lambda \gt  0$, $\left| \int_a^b \cos(\lambda \phi(x)) \, dx \right| \le \frac{4}{\lambda}$.

    $b$. Montrer que, pour tout
$$\phi \in C^2([a,b],\R)$$
 et pour tout $\alpha \gt  0$, si $|\phi'| \ge \alpha$ et $\phi'' \gt  0$ alors

$$\left| \int_a^b \cos(\lambda \phi(x)) \, dx \right| \leq \frac{4}{\alpha \lambda}$$.
    $c$. Soit $\phi \in \mc C^2([a,b],\R)$ telle que $\phi'' \geq 1$.

Montrer que, pour tout
$$\lambda \gt  0$$
, $\left| \int_a^b \cos(\lambda \phi(x)) dx \right| \leq \frac{8}{\sqrt{\lambda}}$.

    $d$. Soit
$$\phi \in C^k([a,b],\R)$$
, où $k \in \N^*$, telle que $\phi^{(k)} \geq 1$.

$$\text{Trouver } C\gt 0 \text{ et } \alpha\gt 0 \text{ tels que } \forall \lambda\gt 0, \left|\int_a^b \cos(\lambda \phi(x)) dx\right| \leq \frac{C}{\lambda^\alpha}$$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 230]
Soit $E$ un sous-espace vectoriel de dimension 4 de $\mc C^0(\R,\R)$. On note $L^\i(\R,\R)$ l'espace des fonctions bornées et $L^2(\R, \R)$ l'espace des fonctions de carré intégrable.

l'espace des fonctions bornées et
$$L^2(\R, \R)$$
 l'espace des fonctions de carré intégrable.
    a. On suppose qu'il existe un sous espace vectoriel $G$ de $E$ constitué de fonctions bornées

sur
$$\R^+$$
 tel que $E = \op{Vect}(x \mapsto e^x) + \op{Vect}(x \mapsto e^{-x}) + G$ et que la seule fonction dans $G$ qui soit de carré intégrable sur $\R^+$ est la fonction nulle. Montrer que $E \cap L^2(\R, \R) = \{0\}$.
 1. On suppose que $E$ vérifie les hypothèses de la question $a$) et qu'on dispose de deux sousespaces $F_1$ et $F_2$ de $E$ tels que dim $F_1 = \dim F_2 = 2$, que toutes les fonctions de $F_1$ sont bornées sur $\R^-$, et que la seule fonction de $F_2$ bornée sur $\R^-$ est la fonction nulle. Montrer que $\dim(E \cap L^\i(\R, \R)) = 1$.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 231]
On définit $(f_n)_{n\in\N}$ par :

$$\forall x \in \R, \ f_0(x) = e^{-x} \text{ et } \forall n \in \N, \forall x \in \R, \ f_{n+1}(x) = \int_{-1}^{+\i} \frac{f_n(t+1)}{1+t^2} \ e^t \ dt$$.

 1. Montrer que $(f_n)_{n\in\N}$ est bien définie.
 1. Montrer que $\sum f_n$ converge sur un intervalle $[x_0, +\i[$, où $x_0$ est judicieusement choisi.
#+END_exercice


#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 232]
 1. Soient $f$ une fonction développable en série entière sur $\mathbb R$ et $J$ une partie finie
On suppose que $f^{(i)}(0) = 0$ si $i \notin J$ et $f^{(i)}(1) = 0$ si $i \in J$. Que dire de f?
 1. La propriété est-elle encore vérifiée si $J$ est une partie infinie de $\N$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 233]
Pour $a \gt  0$, on pose $f(a) = \int_0^{+\i} \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}\sqrt{1 + a^2x^2}}$
 1. Justifier la définition de f(a).
 1. Montrer que $f(a) = O\left(\frac{\ln a}{a}\right)$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 234]
Montrer que $\forall t \in \R, \int_{-\i}^{+\i} \cos(tx) \exp(-x^2) dx = \sqrt{\pi} \exp\left(-\frac{1}{4}x^2\right)$.
#+END_exercice


#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 235]
Pour $n \in \N$, donner un équivalent de $A_n(t) = \int_0^1 \sin^2(xt) \, x^{n-2} \, dx$ lorsque $t \ra +\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 236]
Soit $h \in C^0([0,1],\R)$ telle que h(0) = h(1) = 0 et $f : x \in \R \mapsto h(x) \mathbf{1}_{[0,1]}(x)$. Soit $g\colon y \in \R \mapsto \int_a^1 |x - y| f(x) dx$.
 1. Montrer que $g$ est deux fois dérivable et que $\forall x \in \R, g''(x) = 2 f(x)$.
 1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $q$ soit bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 237]
Soit $h \in \mc C^1(\R, \R)$ telle que $\forall x \in \R, |h(x)| \leq \frac{1}{1+|x|}$ et $|h'(x)| \leq \frac{1}{1+|x|^2}$. Montrer la convergence de $\int_{-\i}^{+\i} \int_{-\i}^{+\i} \phi(x,y) \, dx \, dy$ où $\phi(x,y) = \frac{h(x) - h(y)}{x - y}$ si $x \neq y$, et
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 238]
Soit, pour $x \in \R$, $f(x) = \int_0^{+\i} e^{-y} \cos(xy) \, dy$.
 1. Calculer explicitement $f$.
 1. Montrer que, pour tout $k \in \N$, la dérivée $k$-ième de $f$ est bornée par $k!$.
 1. En quels points $x$ y a-t-il égalité entre $k!$ et $|f^{(k)}(x)|$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 239]
 1. Donner les solutions de l'équation différentielle : $x'' -x = \cos(2t)$.
 1. Soient $c\gt 0$ et $f\colon\R\ra\R$ une fonction continue telle que $f(t)=0$ pour tout $t$ vérifiant $|t| \ge c$.
    Montrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle $x''- x = f(t)$ vérifiant $\lim_{t \ra \pm \i} x(t) = 0$.
#+end_exercice

** Géométrie

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 240]
Soit $f\colon x \in \R \mapsto ax^2 + bx + c$, avec $(a, b, c) \in \R^3$ et a \gt  0. On pose $E = \{(x,y) \in \R^2, y \ge f(x)\}$ et $\mc C = \{(x,f(x)) : x \in \R\}$. Soient $v$ un vecteur non nul du plan, $X \in E$ et $\Delta = \{X + \lambda v : \lambda \in \R\}$. Montrer que $\Delta \cap \mc C$ est non vide.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 241]
 1. Soit ABC un « vrai » triangle tel que ABC soit aigu (et non droit).Montrer que : $AC^2 \lt  AB^2 + BC^2$.

 1. Soient $e_1$, $e_2$ et $e_3$ des vecteurs non nuls orthogonaux de $\R^3$. On pose : $d_1 = \{te_1; t \gt  0\}$, $d_2 = \{te_2; t \gt  0\}$, $d_3 = \{te_3; t \gt  0\}$. Montrer que tout triangle $A_1A_2A_3$, où $A_i \in d_i$, est aigu, c'est-à-dire que ses trois angles sont aigus.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 242]
Deux joueurs de tennis sont de même niveau. Ils disputent un match. Quelle est la probabilité que le match se termine par un tie-break?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 243]
On lance $n$ fois une pièce avec une probabilité $p$ d'obtenir face. On pose $A_n$ : « on n'obtient jamais deux faces de suite ». Donner un équivalent de $\mathbf{P}(A_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 244]
On considère une urne contenant initialement n+1 boules : $n$ blanches et une rouge. On tire une par une des boules dans l'urne. Si on tire la boule rouge, on s'arrête, sinon on a une chance sur deux de remette la boule et continuer, une chance sur deux de s'arrêter. On pose $X_n$ le nombre de boules tirées lorsque l'on s'arrête. Donner $\mathbf{E}(X_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 245]
Soit $N$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda \gt  0$. On lance $N$ fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité qu'on obtienne un nombre pair de face?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 246]
Soit $S_n$ l'ensemble des permutations de [1, n] muni de la probabilité uniforme.
 1. Donner la loi de la variable aléatoire $K$ qui donne la taille du cycle contenant 1.
 1. Déterminer l'espérance et la variance du nombre $N$ de cycles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 247]
Soit $\sigma$ une permutation aléatoire de [1, 2n] suivant la loi uniforme.

On pose
$$Y = \sum_{i=0}^{n-1} |\sigma(2i) - \sigma(2i+1)|$$
. Calculer $\mathbf{E}(Y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 248]
Soient Y, $Z$ deux variables aléatoires à valeurs dans [0, n]. Montrer que si, pour tous $P, Q \in \R[X]$ de degré $n, \mathbf{E}(P(Y)|Q(Z)) = \mathbf{E}(P(Y))|\mathbf{E}(Q(Z))$, alors $Y$ et $Z$ sont indépendantes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 249]
Soit $d \in \N^*$. Soient $A_0, \ldots, A_d$ des variables aléatoires indépendantes. On suppose que, pour tout $k \in \N^*$, $A_k$ suit la loi géométrique de paramètre 1/(k+1). On note $P$ =
$\sum_{k=0}^aA_kX^k \text{ et } R \text{ la variable aléatoire la loi telle que, conditionnellement à un tirage donné de } (A_0,\ldots,A_n), \text{ toute racine } z \text{ de } P \text{ de multiplicité } m_z \text{ soit atteinte avec probabilité } m_z/d$.  Calculer $\mathbf{E}(R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 250]
Soit a \gt  0. Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur $\R$ telle que $f'' \ge 2a$. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs réelles et admettant une variance. Montrer que $\mathbf{E}(f(X)) f(\mathbf{E}(X)) \ge a\mathbf{V}(X)$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 251]
Un mobile se déplace sur l'axe des réels. Soit $\eps \gt  0$. Son mouvement est décrit par une fonction $x$ dérivable sur tous les intervalles [n, n+1] et y vérifiant $x'(t) = \eps x(t)$, admettant en chaque $n \in \N^*$ une limite finie à gauche $x(n^-)$ et une limite finie à droite $x(n^+)$, et telle que x(0) = 0.

Soit $T \in \N$. À chaque instant $t = n \in [0, T]$, on lance une pièce équilibrée. Si on fait Pile $x(n^+) = x(n^-) + n$, si on fait Face $x(n^+) = x(n^-) - n$, avec la convention $x(0^-) = 0$. Montrer qu'il existe $\eps \gt  0$ assez grand tel que, pour tout $T \in \N$, $x$ reste de signe constant sur [0, T].
#+END_exercice


#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 252]
Soient $n \in \N^*$ et $X \sim \mc{U}(\db{1,n}^2)$. On note $X = (X_1, X_2)$. On pose $Y_0 = 0$ et, pour $k \in [0, n-1], Y_{k+1}(\omega) = Y_k(\omega) + 2 \text{ si } X_1(\omega) \leq k \text{ et } X_2(\omega) \geq Y_{X_1}(\omega), \text{ et } Y_{k+1}(\omega) = 0$ $Y_k(\omega) + 1$ sinon.
 1. Justifier que $Y_k$ est bien définie pour $0 \le k \le n$.
 1. Déterminer la limite de $\left(\frac{\mathbf{E}(Y_n)}{n}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 253]
Soient $n$ et $d$ dans $\N^*$. On note $[-n,n]^d$ l'ensemble des vecteurs de $\R^d$ dont les composantes sont des entiers compris entre -n et $n$. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[-n, n]^d$.
 1. Déterminer $\mathbf{E}(\|X\|_1)$ et en trouver un équivalent lorsque $n \ra +\i$.
 1. Déterminer $\mathbf{E}(\|X\|_{\i})$ et en trouver un équivalent lorsque $n \ra +\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 254]
Soient $d \in \N^*$ et $(X_1, \ldots, X_n)$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans [1,d]. On note $p_k = \mathbf{P}(X_1 = k)$. Soit $N_k$ la variable aléatoire égale au nombre de fois que la valeur $k$ est obtenue. Donner la matrice $(Cov(N_i, N_j))_{1 \le i,j \le n}$ et préciser son rang.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 255]
 1. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$.

Montrer que, pour tout $\gamma \in \R$, $\mathbf{E}\left(e^{\gamma X}\right) \leq e^{\gamma^2/2}$.

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soient $(c_n)_{n\geq 1}\in\R^{\N^*}$. Pour $N\in\N^*$, on pose $Y_N=c_1X_1+\cdots+c_NX_N$.

 1. Montrer que, pour tout $t$ \gt  0, $\mathbf{E}(e^{tY_N}) \leq e^{t^2(c_1^2 + \dots + c_N^2)/2}$.
$\begin{array}{l} \textbf{\textit{c})} \ \ \text{Soit} \ \lambda \gt  0. \ \text{Montrer que} \ \mathbf{P}(|Y_N| \gt  \lambda) \leq 2e^{-\frac{\lambda^2}{2(c_1^2+\cdots+c_N^2)}}. \\ \textbf{\textit{d})} \ \ \text{Montrer que} \ N^{10} \ \mathbf{P}(|X_1+\cdots+X_N| \gt  N^{3/4}) \underset{N \ra +\i}{\longrightarrow} 0. \end{array}$
#+end_exercice

* X MP                                                                 :xens:
** Algèbre

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2025 # 256]
Pour quels entiers $n \in \N^*$ le nombre réel $\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ est-il rationnel ?
#+end_exercice

# ID:8757
#+begin_exercice [X MP 2025 # 257]
On étudie l'équation $x^2 + y^2 = N(1 + xy)$ d'inconnue $(x, y) \in \Z^2$, où $N \in \N$.
 1. Traiter les cas $x = y$, $N = 0$, $N = 1$.
 2. On suppose $N \ge 2$ et on se donne $(x,y)$ solution avec $x \ne
    y$. Montrer qu'on peut se ramener à $x \gt y \ge 0$. Montrer qu'il
    existe $z \in \Z$ tel que $(y, z)$ soit solution et tel que $y \gt
    z$. En déduire que $N$ est un carré parfait.
 1. On considère maintenant l'équation $x^2 + y^2 = -N(1 + xy)$ dans
    $\Z^2$. En adaptant la méthode précédente, trouver tous les
    couples solutions.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 258]
Soient $a \in \N$ avec $a \ge 2$ et $P = X^2 + X + a$. On suppose que, pour tout $n \in \db{0, a-1}$, $P(n)$ est premier. Soit $k \in \db{1, a-2}$.
 1. Montrer que si $k+1$ est un carré alors $P(a+k)$ n'est pas premier.
 1. Montrer que si $P(a+k)$ n'est pas premier alors $k+1$ est un carré.

    Ind. Montrera que le plus petit facteur premier $p$ de P(a+k) est supérieur ou égal à a, puis que P(a+k-p)=p.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $P(a+k) = a^2 + 2ak + k^2 + a + k + a = a^2 + 2a (k+1) + k(k+1) = (a + (k+1))^2 - (k+1)$.
 2. $P(a-k) = a^2 - 2ak + k^2 + a - k + a = a^2 - 2a (k-1) + k (k-1) = (a - (k-1))^2 + (k-1)$

    $P(a - (k+2)) = (a - (k+1))^2 + (k+1)$.

    !!
#+END_proof


#+begin_exercice [X MP 2025 # 259]
 1. Soit $f\colon \R \ra \R$ de classe $\mc C^1$ et 1-périodique. On suppose qu'il existe $a \in \R \setminus \Q$ et $y \in \R$ tels que : $\forall x \in \R, \forall n \in \N, \sum_{k=0}^n f(x+ka) \leq \sum_{k=0}^n f(y+ka)$. Montrer que $f$ est constante.
 1. Soient $p$ un nombre premier et $n \in \N^*$. Déterminer la valuation $p$-adique de $n!$.
 1. Soient $m, k \in \N^*$. Montrer que $\frac{\prod_{j=1}^m \binom{2jk}{jk}}{\prod_{j=1}^m \binom{2j}{j}} \in \N$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3.
#+END_proof


# ID:8721
#+begin_exercice [X MP 2025 # 260]
Soit $n \in \N^*$. Pour une partie $I$ de $\db{1,n}$, on appelle composante de $I$ tout sous-ensemble maximal de $I$ formé d'entiers consécutifs. On note $c(I)$ le nombre de composantes de $I$.
 1. Une permutation $\sigma \in \mc{S}_n$ est dite $I$-adaptée lorsque, pour tout $i \in I$, les entiers $\sigma(i)$ et $\sigma(i+1)$ sont consécutifs. Dénombrer les permutations $I$-adaptées en fonction de $|I|$ et $c(I)$.
 1. Soient $c \in \N^*$ et $p \in \db{1,n}$. Dénombrer les parties $I$ de $\db{1,n}$  telles que $|I| = p$ et $c(I) = c$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. L'image de chaque composante, plus l'élément suivant, est un intervalle d'entiers consécutifs. En ajoutant que les éléments pas dans $I + \{0, 1\}$ sont eux mêmes des blocs, on choisit l'ordre relatif des images des blocs, puis l'orientation de chaque vrai bloc.
 2. On choisit les tailles des blocs (classique), puis on répartir les blocs.
#+END_proof


#+begin_exercice [X MP 2025 # 261]
Soient $(a_n)_{n\geq 0}$ et $(b_n)_{n\geq 0}$ deux suites d'entiers relatifs. On dit que les deux séries
entières $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{a_n}{n!} z^n$ et $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{b_n}{n!} z^n$ sont congrues modulo $m$ si $a_n \equiv b_n \mod m$ pour tout $n \geq 0$.
On note alors $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{a_n}{n!} z^n \equiv \sum_{n=0}^{+\i} \frac{b_n}{n!} z^n \mod m$.
 1. Soit $p$ un nombre premier. Montrer que $(e^z-1)^{p-1}\equiv\sum_{n=0}^{+\i}-\frac{z^{n(p-1)}}{(n(p-1))!}\,\mathrm{mod}\,p$.
 1. Soit $m$ \gt  4 un entier non premier.

Montrer que $m$ divise (m-1)!, et que $(e^z-1)^{m-1} \equiv 0 \mod m$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 262]
Soit $G$ un groupe. Un sous-groupe $H$ de $G$ est dit maximal lorsque $H \neq G$ et aucun sous-groupe de $G$ n'est compris strictement entre $H$ et $G$. Soit $n \ge 2$.
 1. Montrer que $\{\sigma \in \mc{S}_n, \ \eps(\sigma) = 1\}$ est un sous-groupe maximal de $\mc{S}_n$.
 1. Soit $k \in [1, n]$. Montrer que $\{\sigma \in \mc{S}_n, \ \sigma(k) = k\}$ est un sous-groupe maximal de $\mc{S}_n$.
 1. On suppose que $G$ est fini, et on se donne un sous-groupe $H$ de $G$ tel que $\frac{|G|}{|H|}$ soit un nombre premier. Montrer que $H$ est maximal.
#+end_exercice

# ID:8714
#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 263]
Soit $\phi$ un morphisme de groupes de $\Z^{\N}$ dans $\Z$ nul sur l'ensemble $\Z^{(\N)}$ des suites presque nulles. Montrer que $\phi$ est nul.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Si $\forall n\in\N,\, u_n \mid u_{n+1}$ et $u_n \ra +\i$, alors l'image par $\phi$ est nulle, car l'image est divisible par $u_n$ pour tout $n$.

Si $(u_n)$ est une suite, on peut trouver deux suites $(a_n), (b_n)$ telles que $a_n - b_n = u_n$, $a_n \wedge b_n = 1$ et $a_n \mid a_{n+1}$ et $b_n \mid b_{n+1}$.
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2025 # 264]
On pose $\alpha = \frac{12 + 5i}{13}$.

 1. Montrer que $\alpha$ n'est pas une racine de l'unité.
 1. Le nombre $\alpha$ est-il racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans $\Q$ ? dans $\Z$ ?
 1. Soit $\alpha \in \C$ tel que $\alpha$ soit racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers dont toutes les racines complexes sont de module 1. Montrer que $\alpha$ est racine de l'unité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 265]
 1. Soient $P, Q \in \C[X]$ premiers entre eux, $z \in \C$ une racine de $A = P^2 + Q^2$. Est-ce que $z$ est racine de $B = P'^2 + Q'^2$ ? Que dire si $z$ est racine multiple de A?

 2. Montrer que, si $P \in \R[X]$, $P$ s'écrit $U^2 + V^2$ avec $U$ et $V$ dans $\R[X]$ si et seulement si $\forall x \in \R, P(x) \geq 0$.
 3. Montrer que tout $P \in \C[X]$ s'écrit $U^2 + V^2$ avec $U$ et $V$ dans $\C[X]$ si et seulement $s$ c) Montrer que tout $P \in \C[X]$ s'écrit $U^2 + V^2$ avec $U$ et $V$ dans $\C[X]$.
 4. Est-ce que tout polynôme $P \in \C[X]$ peut s'écrire $U^3 + V^3$ avec $U$ et $V$ dans $\C[X]$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 266]
On admet le résultat suivant. Soient $c \in \C$, $U$ un voisinage de $c$ dans $\C$, $f\colon U \ra \C$ développable en série entière au voisinage de $c$ et telle que $f(z) = O((z-c)^k)$. Alors il existe $r$ \gt  0 et $z_1, \ldots, z_{2k} \in U$ distincts tels que : $\forall i \in [1, 2k], f(z_i) \in \R$ et $|c-z_i| = r$.
 1. Soient $A, B \in \R[X] \setminus \{0\}$. On suppose que les polynômes non nuls de $\mathrm{Vect}(A, B)$ sont scindés dans $\R[X]$. Montrer qu'entre deux racines de $A$ (au sens large) se trouve au moins une racine de $B$.
 1. Démontrer le résultat admis.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 267]
Soient $F \in \R(X)$, $A = \{x \in \Q, F(x) \in \Q\}$ et $A' = \{x \in \Z, F(x) \in \Z\}$.
 1. On suppose $A$ infini. Montrer que $F \in \Q(X)$.
 1. On suppose $A'$ infini. Que peut-on dire de $F$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 268]
Soit $f = \sum_{k=0}^n c_k X^k$ un polynôme de degré $n$ à coefficients entiers et dont toutes les
racines complexes appartiennent à $\Q^*$. On pose $H = \max(|c_0|, \dots, |c_n|)$.
 1. Montrer que pour le complexe $i$ on a $|f(i)|^2 \le H^2\left(\frac{n^2}{2} + n + 1\right)$.
 1. Montrer que $|f(i)|\lt 2^n$.
 c) En déduire que si $n\geq 10$ alors $n\leq 5 \log_2(H)$.
#+end_exercice

# ID:8490
#+begin_exercice [X MP 2025 # 269]
Soient $A, B \in \M_n(\R)$ de rang $1$ telles que $\tr(A) = \tr(B)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.
#+end_exercice

# ID:8715
#+begin_exercice [X MP 2025 # 270]
Soient $A$ et $B$ appartenant à $\M_n(\R)$, on note $k = \dim \op{Ker}(AB)$. Quelles sont les valeurs possibles pour la dimension de $\op{Ker}(BA)$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $\rg (AB)\leq \max(\rg A, \rg B)$ et $\geq \max(\rg A + \rg B - n, 0)$. Il s'agit de montrer que toutes les valeurs peuvent être prises, indépendamment.

n note $k = \dim \operatorname{Ker}(AB)$ et $k' = \dim \operatorname{Ker}(BA)$. On a $\lceil k/2 \rceil \le k' \le \min(2k, n)$.

Pour montrer que c'est atteint, On suppose que $k \leq k' \leq 2k$ et on pose $m = k' - k$. On partitionne les indices $\{1, \dots, n\}$ en quatre ensembles :
   $I_1 = \{1, \dots, m\}$, $I_2 = \{m+1, \dots, 2m\}$, $I_3 = \{2m+1, \dots, k'\}$ et $I_4 = \{k'+1, \dots, n\}$.
   Dans une base $(e_1, \dots, e_n)$, on définit les endomorphismes $u$ et $v$ par :
   $$u(e_i) = \begin{cases} e_{i+m} & \text{si } i \in I_1 \\ e_i & \text{si } i \in I_4 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \quad \text{et} \quad v(e_i) = \begin{cases} e_{i} & \text{si } i \in I_1 \cup I_4 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$
#+END_proof

# ID:8716
#+begin_exercice                                                           :noexport:
Soient $A$ et $B$ appartenant à $\mathcal{M}_n(\R)$, on note $k = \dim \operatorname{Ker}(AB)$ et $k' = \dim \operatorname{Ker}(BA)$.
1. Montrer que $\lceil k/2 \rceil \le k' \le \min(2k, n)$.
2. On suppose que $k \leq k' \leq 2k$ et on pose $m = k' - k$. On partitionne les indices $\{1, \dots, n\}$ en quatre ensembles :
   $I_1 = \{1, \dots, m\}$, $I_2 = \{m+1, \dots, 2m\}$, $I_3 = \{2m+1, \dots, k'\}$ et $I_4 = \{k'+1, \dots, n\}$.
   Dans une base $(e_1, \dots, e_n)$, on définit les endomorphismes $u$ et $v$ par :
   $$u(e_i) = \begin{cases} e_{i+m} & \text{si } i \in I_1 \\ e_i & \text{si } i \in I_4 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \quad \text{et} \quad v(e_i) = \begin{cases} e_{i} & \text{si } i \in I_1 \cup I_4 \\ 0 & \text{sinon} \end{cases}$$
   Déterminer $\dim \operatorname{Ker}(u \circ v)$ et $\dim \operatorname{Ker}(v \circ u)$. Conclure.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
1. /Inégalités :/
   On a $\operatorname{rg}(BA) \ge \operatorname{rg}(A) + \operatorname{rg}(B) - n \ge \operatorname{rg}(AB) + \operatorname{rg}(AB) - n$.
   En passant aux noyaux ($n-k'$ pour $BA$ et $n-k$ pour $AB$) : $n-k' \ge 2(n-k) - n = n-2k$, d'où $k' \le 2k$.
   Par symétrie, $k \le 2k'$, donc $k' \ge \lceil k/2 \rceil$. De plus, $k' \le n$ est trivial.

2. /Calcul des noyaux :/
   Les applications linéaires sont bien définies car on donne l'image d'une base. Calculons les rangs des composées.

   - /Pour $v \circ u$ :/
     - Si $i \in I_1$, $v(u(e_i)) = v(e_{i+m})$. Comme $i+m \in I_2$ et que $v$ est nul sur $I_2$, $v(u(e_i)) = 0$.
     - Si $i \in I_4$, $v(u(e_i)) = v(e_i) = e_i$.
     - Sinon, $u(e_i) = 0$, donc $v(u(e_i)) = 0$.
     L'image est engendrée par $(e_i)_{i \in I_4}$, famille libre de cardinal $n - k'$.
     Donc $\operatorname{rg}(v \circ u) = n - k'$, soit $\dim \operatorname{Ker}(v \circ u) = k'$.

   - /Pour $u \circ v$ :/
     - Si $i \in I_1$, $u(v(e_i)) = u(e_i) = e_{i+m}$ (vecteurs indexés dans $I_2$).
     - Si $i \in I_4$, $u(v(e_i)) = u(e_i) = e_i$ (vecteurs indexés dans $I_4$).
     - Sinon, $v(e_i) = 0$, donc $u(v(e_i)) = 0$.
     L'image est engendrée par la réunion des vecteurs de base indexés par $I_2$ et $I_4$. Ces ensembles d'indices sont disjoints, la famille est libre.
     $\operatorname{rg}(u \circ v) = |I_2| + |I_4| = m + (n - k') = (k' - k) + n - k' = n - k$.
     Donc $\dim \operatorname{Ker}(u \circ v) = k$.

   /Conclusion :/
   Les valeurs $k$ et $k'$ sont bien atteintes simultanément pour ce choix de matrices. Par symétrie (en échangeant $u$ et $v$), on couvre aussi le cas $k' < k$. Toutes les valeurs entières de l'intervalle $\left[\lceil k/2 \rceil, \min(2k, n)\right]$ sont possibles.
#+end_proof



#+begin_exercice [X MP 2025 # 271]
Soient $n \in \N^*$ et $C_n = \{-1, 1\}^n$. On pose $H = \{f \in \mc{L}(\R^n), \ f(C_n) = C_n\}$. Montrer que $H$ est un groupe pour la loi de composition et déterminer son cardinal.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Par le groupe orthogonal, on peut supposer que…
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2025 # 272]
Soient $X, Y \in \M_2(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\C$. Montrer que la matrice $A = XY + YX - \op{tr}(X)Y - \op{tr}(Y)X + (\op{tr}(X)\op{tr}(Y) - \op{tr}(XY))I_2$ est nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 273]
Soient $n \in \N^*$, $P$ et $Q$ dans $\C[X]$ tels que $P$ soit scindé à racines simples, $\deg P = n$ et $\deg Q \leq n$. On admet qu'il existe une matrice $B=(b_{i,j})_{0\leq i,j\leq n-1}$ telle que, pour tout $(x,y) \in \C^2$ avec $x \neq y$, on ait

$$\frac{P(x) Q(y) - P(y) Q(x)}{x - y} = \sum_{0 \le i, j \le n - 1} b_{i,j} x^i y^j$$.

Montrer que dim Ker $B = |\{z \in \C, \ P(z) = Q(z) = 0\}|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 274]
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n \ge 2$. Soit $u$ et $v$ dans $\mc{L}(E)$, $c$ = $u \circ v - v \circ u$, on suppose $\op{rg} c = 1$.
 1. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $c$ est égale à $E_{n-1,n}$.
 1. Montrer que pour tout $k \in \N$, $u^k(\op{Im} c) \subset \op{Ker} c$.
 1. Montrer que $\chi_u$ n'est pas irréductible dans $\mathbb{K}[X]$.
 1. Soit $u \in \mc{L}(E)$, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ non trivial tel que $u(F) \subset F$. Montrer que $\chi_u$ n'est pas irréductible dans $\mathbb{K}[X]$. Étudier la réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 275]
On fixe un entier $n \ge 1$ et, pour $k \in [1, n]$, on note $\mc{R}_k$ l'ensemble des matrices de rang $k$ de $\M_n(\R)$.
 1. Montrer que $\mc{R}_1 = \{XY^T, (X,Y) \in (\R^n \setminus \{0\})^2\}$.
 1. Montrer que $\mc{R}_2$ est l'ensemble des matrices de la forme $X_1Y_1^T + X_2Y_2^T$ avec $(X_1, X_2)$ et $(Y_1, Y_2)$ couples libres de vecteurs de $\R^n$.
 1. Soit $M \in \mc{R}_1$. Décrire l'ensemble des couples $(X,Y) \in (\R^n)^2$ tels que $M = XY^T$.
 1. Soit $\phi \in \mc{L}(\M_n(\R))$ conservant le rang.
Soient $X_1, X_2, Y_0$ dans $\R^n \setminus \{0\}$ et $P_1, P_2, Q_1, Q_2$ dans $\R^n$ tels que $\phi(X_1Y_0^T) = P_1Q_1^T$ et $\phi(X_2Y_0^T)=P_2Q_2^T$, avec $(P_1,P_2)$ libre. Montrer qu'il existe $A\in \mathrm{GL}_n(\R)$ et $Q_0\in\R^n\setminus\{0\}$ tels que $\forall X\in\R^n,\ \phi\left(XY_0^T\right)=AXQ_0^T$.
#+end_exercice

# ID:8491
#+begin_exercice [X MP 2025 # 276]
Soit $n \in \N$ avec $n \ge 2$. Pour $k \in [0, n]$, on pose
$N(k) = \{ N = (n_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \M_n(\C) : \forall i,j \in [1,n], i \gt  j-k \implies N_{i,j} = 0 \}$ et $T(k) = \{I_n + N ; N \in N(k)\}$.
 1. Montrer que, pour tout $k \in [0, n]$, $T(k)$ est un sous groupe de $GL_n(\C)$.
 1. Construire pour, $k \in \db{0,n-1}$, un morphisme de groupes
    $\phi_k : T(k) \ra G(k)$ où $G(k)$ est un groupe abélien bien
    choisi tel que $Ker(\phi(k)) = T(k+1)$.
 1. Pour un groupe $G$, on note $D(G)$ le sous-groupe engendré par
    $\{ghg^{-1}h^{-1}; g, h \in G\}$. Montrer que $T(0)$ est résoluble
    $i$.e. qu'il existe $q \in \N$ tel que $D^q(T(0)) = \{I_n\}$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2025 # 277]
 1. Soit $D \in \M_n(\C)$ une matrice diagonale à coefficients
    diagonaux distincts. Montrer que l'ensemble des $X \in \M_n(\C)$
    telles que $X^2 = D$ est fini non vide, déterminer son cardinal.
 1. Soit $N \in \M_n(\C)$ nilpotente. Montrer qu'il existe $X \in
    \M_n(\C)$ telle que $X^2 = I_n + N$.
#+end_exercice

# ID:8492
#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 278]
Pour $A \in \M_n(\C)$ on pose $R(A) = \{M \in \M_n(\C), M^2 = A\}$.

 1. Déterminer le cardinal maximal d'une famille de matrices de
    $R(I_n)$ non semblables deux à deux à deux.
 2. On suppose $A$ diagonalisable avec $n$ valeurs propres distinctes.
    Déterminer le cardinal de $R(A)$.
 3. Est-il vrai que, si $A$ est diagonalisable, toutes les matrices de $R(A)$ le sont?
 4. Toute matrice $A$ de $\M_n(\C)$ admet-elle une racine carrée?
 5. On pose $U_n = \{I_n + N, N \text{ nilpotente}\}$. Montrer que
    toute matrice $A$ de $U_n$ admet une unique racine carrée dans
    $U_n$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si $R^2 = I_n$, alors $R$ est diagonalisable.
 2. Simple.
 3. Non : Dimension du noyau.
 4. Non : nilpotente.
 5. Usuel.
#+END_proof



#+begin_exercice [X MP 2025 # 279]
Pour $n \in \N^*$, on pose $\quad\displaystyle\mc{IA} = \sup \{r \in \N ; \exists A_1, \dots, A_r \in \M_n(\C), \forall i, A_i^2 = I_n \text{ et } \forall i \neq j, A_i A_j = -A_j A_i \}$.
 1. Si $n$ est impair, montrer que $\mc{IA}(n) = 1$.
 1. Soient $s, t \in \N$. Montrer que $\mc{IA}(2^s(2t+1)) = 2s+1$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Déterminant.
 2. Dans $\M_2(\C)$, prendre $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0 & i \\ -i & 0\end{pmatrix}$.

    Si on en a le bon nombre, et qu'on multiplie la dimension par $2$. Prendre les $\begin{pmatrix}A & 0 \\ 0 & -A\end{pmatrix}$ et les deux antidiagonales, avec des $I_n$.

    Si on en avait plus :
#+END_proof


#+begin_exercice [X MP 2025 # 280]
 1. Soit $A \in \M_n(\R)$ une matrice diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour qu'il existe $x \in \R^n$ tel que $(x, Ax, \ldots, A^{n-1}x)$ soit une base de $\R^n$.

 1. Soient $b_1, b_2, b_3 \in \R$ et $M = \begin{pmatrix} b_1 & 0 & 0 \\ 1 & b_2 & 0 \\ 0 & 1 & b_3 \end{pmatrix}$.

    - À quelle condition la matrice $M$ est-elle diagonalisable?
    - À quelle condition existe-t-il $x \in \R^3$ tel que $(x, Mx, M^2x)$ soit une base de $\R^3$ ?
    - On suppose que $b_1b_2b_3 = 1$. Montrer qu'il existe un unique $(a_1, a_2) \in \R^2$ tel que $M$ soit semblable à la matrice $$M' = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 281]
Soient $V$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie et $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}(V)$.
 1. On suppose que $G$ = GL(V). Que vaut Vect(G)? La réciproque est-elle vraie?
On suppose maintenant que, pour tout $g \in G$, $g$ id est nilpotent.
 1. Quels sont les éléments diagonalisables de G?
 1. On suppose que $G$ est fini et que $Vect(G) = \mc{L}(V)$. Quelle est la dimension de V?
 1. Si $G$ n'est plus fini mais que $Vect(G) = \mc{L}(V)$, quelle est la dimension de V?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 282]
 1. Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R
    \gt 0$. Soit $M \in \M_d(\C)$ une matrice complexe dont les
    valeurs propres sont de module strictement inférieur à $R$.
    Montrer que $\sum a_n M^n$ converge.
 2. Existe-t-il une série entière $\sum a_n z^n$ de rayon de
    convergence $R\gt 0$ telle que, pour toute matrice $M$ à spectre
    inclus dans $\overline{D(0,R)}$ et admettant une valeur propre de
    module $R$, la série $\sum a_n M^n$ diverge?
 3. Existe-t-il une série entière $\sum a_n z^n$ de rayon de convergence $R\gt 0$ telle que, pour toute matrice $M$ à spectre inclus dans $\overline{D(0,R)}$ admettant une valeur propre de module $R$, la série $\sum a_n M^n$ converge?
 4. Soit $f\colon z \mapsto \sum_{n=0}^{+\i} a_n z^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence $R \gt  0$.

    On pose
    $$f^{(k)}: z \mapsto \sum_{n=k}^{+\i} n(n-1)\dots(n-k+1)a_n z^n.$$

    Soit $M\in\M_d(\C)$ de polynôme caractéristique
    $\chi_M=\prod_{i=1}^r(X-\lambda_i)^{\alpha_i}$ où les $\lambda_i$
    sont distincts et de module $\lt R$ et les $\alpha_i$ dans $\N^*$.

   - Montrer l'existence de $P \in \C[X]$ tel que $\forall i \in \db{1,r}, \forall k \in \db{0, \a_i - 1},\, f^{(k)}(\lambda_i) = P^{(k)}(\lambda_i)$.
   - On suppose que $M$ est diagonalisable. Montrer que $f(M) = P(M)$.
   - Est-ce toujours le cas si on ne suppose plus $M$ diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 283]
Soient $E = \mc C^0([-1,1],\C)$, $g$ une surjection continue croissante de [-1,1] sur luimême. On considère $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie stable par $f\mapsto f\circ g$.
On note $\phi$ l'endomorphisme de $F$ défini par $\phi: f \mapsto f \circ g$.
 1. Montrer que 1 est la seule valeur propre de $\phi$.
 1. En déduire que $\phi = \mathrm{id}_F$.
 1. Que peut-on dire des valeurs propres possibles de $\phi$ si $q$ n'est plus supposée surjective?
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2025 # 284]
Soit $p$ un nombre premier, $A$ et $B$ appartenant à $\M_n(\Z)$.
Démontrer que $\op{tr}((A+B)^p) \equiv \op{tr}(A^p) + \op{tr}(B^p) \pmod{p}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 285]
Soient $n \in \N^*$ et $H$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\C)$ stable par produit matriciel. On note $D = \{ \delta \in \mc{L}(H) : \forall (A, B) \in H^2, \ \delta(AB) = \delta(A)B + A\delta(B) \}$.
 1. Soit $C \in H$. Montrer que $\delta : A \mapsto CA AC$ est dans $D$, et exprimer simplement $e^{\delta}$.
 1. Soit $\delta \in D$. Montrer que $\forall A, B \in H$, $e^{\delta}(AB) = e^{\delta}(A) e^{\delta}(B)$.
 1. Retrouver le résultat de la question précédente en considérant l'application $f\colon t \in \R \mapsto e^{-t\delta} \left( e^{t\delta}(A) e^{t\delta}(B) \right)$ et en calculant f'.
 1. Soit $\delta \in D$. Pour $\lambda \in \C$, on note $H_{\lambda}$ le sous-espace caractéristique de $\delta$ associé à $\lambda$ (éventuellement $\{0\}$). Soient $\lambda$, $\mu \in \C$, $A \in H_{\lambda}$ et $B \in H_{\mu}$. Montrer que $AB \in H_{\lambda+\mu}$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2025 # 286]
 1. Soient $k, m, n \in \N^*$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $(v_1,\ldots,v_n)$ une famille de vecteurs unitaires de $\R^m$ tels que $\langle v_i,v_j\rangle\leq -1/k$ pour tous $i$,jdistincts. Montrer que $n \leq k+1$.
 1. Montrer qu'il existe une famille $(v_1,\ldots,v_{k+1})$ de vecteurs unitaires de $\R^k$ tels que $\langle v_i, v_j \rangle = -1/k$ pour tous $i$, $j$ distincts.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 287]
Soit $E$ un $\R$ -espace vectoriel de dimension finie.
 1. Soit $f \in \mc{L}(E)$. Montrer que Tr(f id) = 0 et rg(f id) = 1 si et seulement s'il existe $a \in E$ et $\ell \in E^*$ tel que $\ell(a) = 0$ et $f = id + \ell a$. On dit alors que $f$ est une transvection.

Soit $\phi: E \times E \ra \R$ une forme bilinéaire telle que : $\forall x \in E \setminus \{0\}, \exists y \in E, \phi(x,y) \neq 0$ et $\forall (x,y) \in E^2, \phi(y,x) = -\phi(x,y)$.

Soit $G = \{u \in GL(E) : \forall x, y \in E, \phi(u(x), u(y)) = \phi(x, y)\}$.
 1. Montrer que $G$ est un sous-groupe de GL(E).- c) Montrer que $G$ contient les applications de la forme id $+\lambda \phi(a,\cdot)$ a avec $\lambda \in \R$ et $a \in E$.
 1. Montrer que $G$ est engendré par les transvections de la forme indiquée en c).
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 288]
Soient $n \in \N$ et $O \in \mc{O}_n(\R)$. Calculer $\alpha_O = |\det(\psi_O)|$ où $\psi_O : A \in \mc{S}_n(\R) \mapsto$ $O^TAO$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 289]
Pour $M \in GL_n(\R)$ tel que $-1 \notin Sp(M)$, on pose $T(M) = (I_n M)(I_n + M)^{-1}$. On note $\mc{A}_n(\R)$ l'ensemble des matrices antisymétriques et $\mc{B}_n(\R)$ l'ensemble des matrices
$M \in \mc{O}_n(\R)$ telles que $-1 \notin \op{Sp}(M)$.
 1. Montrer que $T$ est bien définie sur $\mc{A}_n(\R)$ et $\mc{B}_n(\R)$.
 1. Si $A \in \mc{A}_n(\R)$, montrer que $T(A) \in \mc{B}_n(\R)$.
 1. Si $B \in \mc{B}_n(\R)$, montrer que $T(B) \in \mc{A}_n(\R)$.
 1. Calculer $T \circ T(A)$ si $A \in \mc{A}_n(\R)$.
 1. Soient $x \in \R$ et $A = \begin{pmatrix} 0 & x \\ -x & 0 \end{pmatrix}$. Calculer T(A).
 1. Déduire des questions précédentes que toute matrice de $\mc{A}_{2n}(\R)$ est orthosemblable à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme $\begin{pmatrix} 0 & x \\ -x & 0 \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 290]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.
 1. Soit $M \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que l'application $(x,y) \in (\R^n)^2 \mapsto \langle M^{-1}x,y \rangle$ définit un
produit scalaire sur $\R^n$.
 1. Soient $M \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $N \in \mc{A}_n(\R)$. Montrer que MN est diagonalisable dans $\M_n(\C)$ à spectre inclus dans $i\R$.
 1. Soit $A \in \M_n(\R)$ diagonalisable dans $\M_n(\C)$ à spectre inclus dans $i\R$. Existe-t-il $M \in$
$\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $N \in \mc{A}_n(\R)$ telles que $A$ = MN?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 291]
Soit $n \in \N^*$. On pose $J = \begin{pmatrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{pmatrix}$.
 1. Soit $M \in \M_{2n}(\R)$ telle que $M^2 = -I_{2n}$. Montrer l'équivalence : $M^T J \in \mc{S}_{2n}(\R) \Leftrightarrow M^T J M = J$.
 1. On note $C = \{M \in \M_{2n}(\R), M^2 = -I_{2n} \text{ et } M^T J \in \mc{S}_{2n}^{++}(\R)\}$. Montrer que, pour tout $M \in C$, $M + J \in GL_{2n}(\R)$.
 1. Pour $M \in C$, on note $S_M = (M+J)^{-1}(M-J)$. Montrer que $S_M \in \mc{S}_{2n}(\R)$. Montrer que $\forall X \in \R^{2n} \setminus \{0\}, ||S_M X||_2 \lt  ||X||_2$.
 1. Montrer que, pour pour tout $M \in C$, $S_M J + J S_M = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 292]
Les espaces $\R^p$ sont munis de leurs normes euclidiennes canoniques. Soient $d$ et $D$ des entiers $\geq 1$. Étant donné $p_0, \ldots, p_n \in \R^d$, on dit que $(p_0, \ldots, p_n)$ se plonge isométriquement dans $\Q^D$ s'il existe $q_0,\ldots,q_n\in\Q^D$ vérifiant $\|p_i-p_j\|=\|q_i-q_j\|$ pour tous $i,j\in[0,n]$.
 1. On suppose que $(p_0,\ldots,p_n)$ se plonge isométriquement dans $\Q^D$. Soit $p$ une combinaison linéaire à coefficients rationnels de $p_0, \ldots, p_n$. Montrer que $(p, p_0, \ldots, p_n)$ se plonge isométriquement dans $\Q^D$.
 1. Soient $p_0, \ldots, p_n \in \R^d$ tels que $||p_i p_j||^2 \in \Q$ pour tous $i, j \in [0, n]$. Montrer que $(p_0,\ldots,p_n)$ se plonge isométriquement dans $\Q^{4d}$. On admettra que tout entier naturel est somme de quatre carrés d'entiers.
#+end_exercice

# ID:8875
#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 293]
 1. Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. Montrer que $A$ est définie positive si et seulement si, pour tout $k \in [1, n], \det((a_{i,j})_{1 \le i, j \le k}) \gt  0$.

 1. On pose $A_k = (t^{|i-j|})_{1 \le i,j \le k}$ où $t \in \R^{+*}$. Calculer $\det A_k$.
 1. On pose $A = \left(\frac{1}{1+|i-j|}\right)_{1 \le i,j \le n}$. Démontrer que $A$ est symétrique définie positive.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Classique : d'un côté les sous matrice carrés sont positives.

    De l'autre, par récurrence. See 6169
 2. C'est un calcul.
 3. $A$ est l'intégrale des $A_k$.
#+END_proof


#+begin_exercice [X MP 2025 # 294]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.
 1. Soient $A \in \M_n(\R)$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$. Soit $(f_i)_{1 \le i \le k}$ une base or-

thonormée de $F$. On pose : $\tau_F(A) = \sum_{i=1}^k \langle f_i, Af_i \rangle$. Montrer que $\tau_F(A)$ ne dépend pas de la

base orthonormée choisie.

Dans la suite de l'exercice, on suppose $A \in \mc{S}_n(\R)$ et on note $\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_n$ les valeurs propres de A, comptées avec multiplicité.

 1. Déterminer le meilleur encadrement possible de $\tau_F(A)$ en fonction de $F$ et de Sp(A).
 1. On pose, pour $t \in \R$, $A(t) = A + tE_{1,1}$. Pour $t \in \R$, on note $\lambda_1(t) \ge \cdots \ge \lambda_n(t)$ les valeurs propres de A(t). Montrer que : $\forall t \ge 0, \lambda_n(t) \ge \lambda_n$ et $\lambda_1 \ge \lambda_2(t)$.
 1. Déterminer un équivalent simple de $\lambda_1(t)$ quand $t$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

** Analyse

# ID:8759
#+begin_exercice [X MP 2025 # 295]
 1. Soient $N_1$ et $N_2$ deux normes sur un $\R$ -espace vectoriel $E$. Montrer que si $N_1$ et $N_2$ ont la même sphère unité alors $N_1 = N_2$.
 1. On pose $E = C^0([0,1],\R)$. Soit $(f,g) \in E^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(x,y) \in \R^2 \mapsto \|x f + y g\|_{\i}$ soit une norme sur $\R^2$.
 1. Soit $(E, \langle, \rangle)$ un espace euclidien, dont on note $\| \|$ la norme. Soit $p$ une autre norme sur $E$. On note $S$ et $S_p$ les sphères unité respectives pour $\| \|$ et $p$. Montrer que $d: x \in S \mapsto$ $\sup |\langle x,y\rangle|$ est à valeurs dans $\R^{+*}$, que $k=\sup_{y\in S_p} \|y\|$ est un réel strictement positif, et enfin que $d$ est $k$-lipschitzienne pour la norme $\| \cdot \|$.
 1. On note $B = \{f \in E, \ p(f) \leq 1\}$ et, pour $x \in S, D_x = \{z \in E; |\langle x, z \rangle| \leq d(x)\}$. Montrer que $B = \bigcap_{x \in S} D_x$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. $f,g$ non colinéaires.
 3.
#+END_proof


# ID:7293
#+begin_exercice [X MP 2025 # 296]
Soit $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie. Montrer que tout convexe non borné contient au moins une demi-droite. On pourra commencer par le cas d'un convexe fermé.
#+end_exercice


#+begin_exercice [X MP 2025 # 297]
Pour $k \in \N^*$, soit $R_k$ la borne inférieure de l'ensemble $E_k$ des $r \in \R_+^*$ tels qu'il existe une boule fermée de $\R^2$ euclidien de rayon $r$ contenant au moins $k$ points de $\Z^2$.
 1. Calculer $R_k$ pour $k = 2, 3, 4$.
 1. Si $k \in \N^*$, montrer que $R_k$ est le minimum de $E_k$.
 1. Montrer que, pour $k \in \N^*$, $4R_k^2$ est entier.
 1. Donner un équivalent de $R_k$ lorsque $k$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3.
#+END_proof


#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 298]
Soit $E$ l'espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$. On munit $E$ de la norme $\| \|_{\i}$. Déterminer les formes linéaires continues $\phi$ sur $E$ telles que, pour tout $(f,g) \in E^2$ tel que $\phi(fg) = 0$, on ait $\phi(f) = 0$ ou $\phi(g) = 0$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Il y a les $f\mapsto f(a)$.

Si $f$ ne s'annule pas et $\phi(f) = 0$, $\phi(\sqrt{f}) = 0$, donc en itérant $\phi(1) = 0$.

Alors on a $\phi(f\times \frac{1}{f}) = 0$, donc $\phi$ va trop s'annuler : Soit $f$, on veut $\phi(f) = 0$, sinon, $\phi\big(\frac{1}{f+k}\big) = 0$ pour tout $k\gt 0$, et $\frac{1}{f+k} - \frac{1}{f}= \frac{1}{f}$. Sinon $\frac{1}{f^{1/2^k}} - \frac{1}{f^{1/2^{k+1}}}$ a un équivalent en $-\frac{\ln f}{2^{k+1}}$, donc, en renormalisant, $\phi(\ln f) = 0$. On peut appliquer ça à $e^f$ ou $e^{-f}$ pour conclure.

Maintenant si $\phi$ est nulle sur $f$ et sur $g$ et qu'ils n'ont pas
de zéros en communs.
#+END_proof



#+begin_exercice [X MP 2025 # 299]
Soit $\rho\colon [0,1] \mapsto \M_n(\C)$ continue telle que, pour tout $t, \rho(t)^2 = \rho(t)$.

 1. Montrer que $t \mapsto \op{rg} \rho(t)$ est constante.
 1. Montrer l'existence de $u \in \mc C^0([0,1], \mathrm{GL}_n(\C))$ telle que $\forall t, \rho(t) = u(t)\rho(0)u^{-1}(t)$.
 1. On suppose de plus que $\rho(1) = \rho(0)$. Montrer que l'on peut choisir $u$ de sorte que l'on ait aussi $u(0) = u(1)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Clair.
 2. Localement, puis recollement.
 3. On peut mettre une distance sur les familles libres de $k$-vecteurs unitaires ?
#+END_proof


#+begin_exercice [X MP 2025 # 300]
Soit $n \ge 2$. On note $\mc{B}_n$ l'ensemble des matrices bistochastiques de $\M_n(\R)$ c'est-à-dire les $M = (m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \in \M_n(\R)$ telles que : $\forall i \in \db{1,n},\, \sum_{i=1}^n m_{i,j} = 1,\, \forall j \,\in\, \db{1,n},\sum_{i=1}^n m_{i,j} = 1$ et $\forall (i,j) \in \db{1,n}^2 m_{i,j} \geq 0$. Si $\sigma \in \mc{S}_n$,  on note $P_{\sigma} = (\delta_{i,\sigma(j)})_{1 \leq i,j \leq n}$ la matrice de permutation associée à $\sigma$ ; la matrice $P_{\sigma}$ est dans $\mc{B}_n$.

 1. Montrer que $\mc{B}_n$ est une partie convexe de $\M_n(\R)$. Un élément $M$ de $\mc{B}_n$ est dit extrémal lorsqu'il ne peut pas s'écrire M=(1-t)A+tB avec
A, $B$ éléments distincts dans $\mc{B}_n$ et $t \in ]0, 1[$.
 1. Montrer que les $P_{\sigma}$ sont des points extrémaux de $\mc{B}_n$.

 1. On fixe un élément $M$ de $\mc{B}_n$.

    Pour une partie $I\subset\db{1,n}$, on note $\mc{F}(I) = \{i \in \db{1,n} : \exists j \in I, m_{i,j} \gt  0\}$.
    1. Montrer que $|I| \leq |\mc{F}(I)|$.
    2. Montrer qu'il existe une injection $f\colon [1,n] \ra [1,n]$ telle que, pour tout $i \in [1,n]$, $m_{i,f(i)} \gt  0$.
    3. En déduire l'ensemble des points extrémaux de $\mc{B}_n$.
 1. Montrer que $\mc{B}_n$ est l'enveloppe convexe des $P_{\sigma}$ pour $\sigma \in \mc{S}_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 301]
On munit $E = \mc C^0([-1,1],\R)$ de la norme $\|\cdot\|_{\i}$.
 1. Soit $n \in \N$. Montrer qu'il existe un unique $T_n \in \R[X]$ de degré $n$ tel que $\forall \theta \in \R, T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in (\R^+)^{\N}$ telle que $\sum a_n$ converge.

 1. Soit $f\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i} a_n T_{3^n}(x)$.
   - Montrer que $f$ est bien définie et continue sur [-1, 1].
   - Montrer que $d(f, \R_{3^n}[X]) = \inf_{P \in \R_{3^n}[X]} \|f P\|_{\i} = \sum_{k=n+1}^{+\i} a_k$.

Ind. On pourra considérer les points $x_k = \cos(\pi(1+k3^{-n-1}))$ pour $k \in [0,3^{n+1}]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 302]
Soient $K$ une fonction continue de $[0,1]^2$ dans $\R$, $E$ l'espace des fonctions continues de [0,1] dans $\R$.- a) Si $f \in E$, soit $T_K(f)$ la fonction de [0,1] dans $\R$ telle que $\forall x \in [0,1], T_K(f)(x) =$ $\int_{-\i}^{\i} K(x,y)f(y)dy$. Montrer que $T_K$ est un endomorphisme continu de l'espace normé $(E,\|\cdot\|_{\i})$.
 1. On suppose que $K$ est à valeurs dans $\R^{+*}$, que $\lambda \in \R^{+*}$ et que l'espace propre $E_{\lambda}(T_K)$ contient une fonction non identiquement nulle à valeurs dans $\R^+$. Montrer que $E_{\lambda}(T_K)$ est de dimension 1.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2025 # 303]
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle telle que $u_{n+1}-\frac{u_n}{2}\ra 0$. Montrer que $u_n\ra 0$.
#+end_exercice

# ID:8760
#+begin_exercice [X MP 2025 # 304]
Soient $a \lt b$ réels et $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que, pour tout $t \in [a, b]$, il existe une suite $(k_n)_{n\in\N}$ d'entiers tels que $tu_n-k_n\longrightarrow 0$ quand $n\ra +\i$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On peut supposer $a = 0$. On peut supposer $b = 1$ (remplacer $(u_n)$ par $tu_n$).

Alors $(u_n)$ est proche d'un entier.

Il faut créer un $t$ qui ne marche pas, par segments emboîtés.

Si on imagine que $u_n$ n'est pas majorée, on prend un segment qui ne marche pas pour $u_0$. Dans ce segment, un sous-segment qui ne marche pas pour une valeur suivante de $(u_n)$, qui soit assez grand etc.

Par ailleurs, si $(u_n)$ a une valeur d'adhérence différente de $+\i$, clairement un même $t$ ne marche pour aucun.
#+END_proof


# À relier.
#+begin_exercice [X MP 2025 # 305]
Soient $\alpha \in \R^{+*}$ et $\beta = 1/\alpha$. Soit $(z_n)_{n \geq 0}$ la suite définie par $z_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N, z_{n+1} = \frac{\alpha n + 1}{\alpha(n+1)} z_n$.
 1. Donner un équivalent de $z_n$ et sa valeur exacte lorsque $\beta \in \N^*$.
 1. Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle. On pose, pour $n \in \N$, $\mu_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n x_k$ et $y_n = \alpha x_n + (1-\alpha)\mu_n$. On suppose que $y_n \ra x \in \R$. Montrer que $x_n \ra x$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
#+END_proof


# ID:8874
#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 306]
Pour $n \in \N$, on pose $u_n = |\{(p,q) \in \N^2 \mid p^2 + q^2 = n\}|$.
 1. Déterminer la limite de la suite de terme général $\frac{1}{n}\sum u_k$.
 1. Étudier la nature de la suite $(u_n)$.
 1. Montrer que $(u_n)$ n'est pas bornée.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Nombres de points entiers dans une boule.
 2. Elle diverge, car elle vaut $0$ souvent, ou via Cesàro.
 3. Si on sait que tout nombre premier $4k+1$ l'est, en prenant $p_1^2\dots p_k^2$ on a plein de façons de l'écrire.

    Si on sait que si on est divisible par un nombre premier $4k+3$ et
    pas son carré, et que $\sum \frac{1}{p}$ diverge, pour les $4k+3$,
    on obtient que la proportion d'entiers pour lesquels c'est $0$ est
    $1$, je pense, ce qui suffit.

    Si on ne sait pas ça. Il nous reste à regarder des $5^m$ ou plutôt $5^{2m}$.

    On a $5 = 4 + 1$ donc $5 = (2-i) (2+i)$, donc $5^{2m}$ a plein de façon de s'écrire comme un produit. Il faut montrer qu'elles donnent des décompositions distinctes…
#+END_proof



# ID:8761
#+begin_exercice [X MP 2025 # 307]
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle vérifiant, pour tout $n\in\N$, $a_{n+1}=a_n(1-a_n)$.
 1. On suppose que $a_0 = 1/2$. Montrer que $\frac{1}{a_n}- n \sim \ln n$ quand $n \ra +\i$.
 1. On suppose $a_0 \gt  1$. Déterminer la limite de $(a_n)$ puis un équivalent de $a_n$.
 1. Donner un développement asymptotique à deux termes de $a_n$.
#+end_exercice

# ID:8762
#+begin_exercice [X MP 2025 # 308]
 1. Pour $n \ge 3$, justifier l'existence de $x_n, y_n \in \R$ avec $0 \lt  x_n \lt  y_n$ solutions de $x - n \ln x = 0$.
 1. Donner un développement asymptotique à deux termes de $x_n$ et $y_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 309]
Construire une suite strictement croissante $(p_n)_{n\geq 2}$ d'entiers avec $p_2=2$ telle qu'il existe $C\gt 0$ vérifiant, pour tout $n\geq 2$, $\sum_{k=p_n}^{p_{n+1}-1}\frac{1}{\ln k}\geq C$, et telle que la série de terme général $2^{-(p_{n+1}-p_n)}$ diverge.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof


# ID:8758
#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 310]
On pose $\alpha = 4 \sum_{k=0}^{499999} \frac{(-1)^k}{2k+1}$. Montrer qu'exactement une des 16 premières décimales de $\alpha$ diffère de la décimale de $\pi$ correspondante.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Minoration et majoration d'une série alternée, en regroupant les termes deux à deux et comparaison avec une intégrale.
#+END_proof



#+begin_exercice [X MP 2025 # 311]
Soient $p\gt 0$ et $q\gt 0$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ et $n\in\N^*$. Montrer que, pour tout

$$(a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n) \in (\R^+)^{2n}, \sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^{\frac{1}{q}}$$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 312]
Soit $f\colon \R^{+*} \ra \R^{+*}$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $f(x) \ra 0$ quand $x \ra 0^+$ et quand $x \ra +\i$. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$, il existe un unique $x_n \in \R^{+*}$ tel que $f^{(n)}(x_n) = 0$.

 1. Montrer que la suite $(x_n)_{n\geq 1}$ est croissante.
 1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que $x^n f^{(n)}(x) \underset{x \ra 0^+}{\longrightarrow} 0$.
 1. On pose $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ pour tout $x$ \gt  0. Montrer que, pour tout $n \ge 0$, il existe $a_{n,0},\ldots,a_{n,n}\in\Z$ tels que $g^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}\frac{f^{(n-k)}(x)}{x^{k+1}}$ pour tout x\gt 0.
 1. Montrer que, pour tout $n \ge 0$, $(-1)^n g^{(n)}(x) \gt  0$ pour tout $x \gt  0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 313]
Soit $f \in C^2(\R,\R)$. On suppose que : $f^2 \le 1$ et $(f')^2 + (f'')^2 \le 1$. Le but est de montrer par l'absurde que $g = f^2 + (f')^2 \le 1$. On suppose donc qu'il existe $t \in \R$ tel que : $f(t)^2 + f'(t)^2 \gt  1$.

On pose : $E = \{x \in \R ; \forall y \in [\min(t, x), \max(t, x)], f(y)^2 + f'(y)^2 \gt  1\}$.

 1. Montrer que $E$ est un intervalle ouvert.
 1. Montrer que f' ne s'annule pas sur $E$.
 1. Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 314]
Si $(\phi_k)_{1 \le k \le 4}$ est une famille de fonctions de ]-1,1[ dans $\R$, on dit que $(\phi_k)_{1 \le k \le 4}$ vérifie (C) si $\phi_1 \lt  \phi_2 \lt  \phi_3 \lt  \phi_4$ sur ]0, 1[ et $\phi_2 \lt  \phi_4 \lt  \phi_1 \lt  \phi_3$ sur ]-1, 0[.
 1. Montrer qu'il n'existe pas de famille $(\phi_k)_{1 \le k \le 4}$ de fonctions polynomiales vérifiant (C). Ind. On pourra étudier la valuation de $\phi_i - \phi_j$ pour $i \neq j$.
 1. Existe-t-il une famille $(\phi_k)_{1 \le k \le 4}$ de fonctions de classe $C^{\i}$ vérifiant (C)?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 315]
Soit $s: \R \ra \R$ telle que $(*): \forall x \in \R, s(x+1) = s(x) + \frac{1}{1+x^2}$ et $s(x) \xrightarrow[x \ra -\i]{} 0$.
 1. Montrer que, pour tout $x \in \R$, $s(x) \ge 0$.
 1. A-t-on existence et unicité de $s$ vérifiant ()? Déterminer les $s$ solutions.
 1. Que se passe-t-il si on remplace la condition $s(x) \xrightarrow[x \ra -\i]{} 0$ par la condition $s(x) \xrightarrow[x \ra +\i]{} 0$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 316]                                             :todo:
 1. Soit $f \in \mc C^0(\R, \R)$. Montrer que $f$ est affine si et seulement si, pour tout réel $x$, on a $\frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2} \underset{h \ra 0^+}{\longrightarrow} 0$.
 2. Et si $f$ n'est pas continue ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si cette limite est vérifiée, on montre que $n(f(x +
    \frac{\a}{n}) - f(x))\ra f(x+\a) - f(x)$

    On suppose $f(0) = 0$. Alors $f(h) + f(-h) = o_0(h^2)$.


 2. Il suffit de prendre $f(x) = \a$ si $x\gt 0$ et $-\a$ sinon.
#+END_proof


#+begin_exercice [X MP 2025 # 317]
Soit $F: \R \ra \R^{+*}$. On suppose qu'il existe $\alpha, \eta \gt  0$ tels que :

$$\forall (x,y) \in \R^2, \ \alpha F(x) F(y) \leq F(x+y) \leq \eta F(x) F(y)$$.

 1. On suppose que $F$ est de classe $\mc C^1$ et que $\frac{F'}{F}$ est bornée. Montrer qu'il existe $\gamma \in \R$ et $H: \R \ra \R^{+*}$ bornée tel que : $\forall x \in \R, \ F(x) = e^{\gamma x} H(x)$.
 1. On revient au cas général. Montrer qu'il existe une unique fonction $G: \R \ra \R^{+*}$ telle que $\frac{F}{G}$ soit bornée et $\forall (x,y) \in \R^2, \ G(x+y) = G(x) G(y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 318]
Soient $M, m \in \R$ avec $0\lt m\lt M$, $f \in \mc C^0(\R, [m, M])$, $q \in \R \setminus \{-1, 0, 1\}$. Soit $(E)$ l'équation fonctionnelle $\forall t \in \R, g(t) = 1 + \frac{g(qt)}{f(t)}$.
 1. On suppose $m\gt 2$ ou $M\lt 1/2$. Montrer qu'il existe une unique
    solution bornée de $(E)$.
 2. Montrer que les solutions bornées de $(E)$ ne s'annulent pas.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Unicité est claire. Pour l'existence, on peut imaginer que
    l'équation est $g(3t) = 1 + g(t) u(t)$, avec $u(t)\gt 2$. La
    fonction $g$ est entièrement déterminée par ses valeurs sur
    $[1,3[$.

    On est ramené à une suite $u_{n+1} = 1 + u_n v_n$. Pour $u_0$
    assez grand, on tend vers $+\i$, et pour $u_0$ assez petit vers
    $-\i$, à la limite, on est bornée.
 2. ??
#+END_proof



# ID:8549
#+begin_exercice [X MP 2025 # 319]
Soit $E = \R[X]$. Soit $\phi \in \mc{L}(E)$.
 1. Montrer qu'il existe une unique suite $(G_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ telle que :

    $$\forall P \in E, \phi(P) = \sum_{n=0}^{+\i} G_n P^{(n)}$$.
 2. Expliciter $(G_n)$ pour $\phi$ vérifiant : $\forall P \in E,
    \forall x \in \R, \phi(P)(x) = \int_0^x P(t) \dt$.
 3. On suppose que, pour tout $P \in E$ et $a \in \R$, si $P$ admet un
    minimum local en a alors $\phi(P)(a) = 0$. Montrer qu'il existe $Q
    \in E$ tel que, pour tout $P \in E$, $\phi(P) = QP'$.
 4. On suppose que, pour tout $P \in E$ et $a \in \R$, si $P$ admet un
    minimum local en a alors $\phi(P)(a) \geq 0$. Montrer qu'il existe
    $Q, R \in E$ tels que, pour tout $P \in E$, $\phi(P) = QP' + RP''$
    avec $R$ positif sur $\R$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Le vérifier sur la base $X^n$.
 2.
 3. On a $\phi(1) = 0$. Puis $\phi((X-a)^2)(a) = 0$, donc $G_2(a) = 0$. Puis $\phi((X-a)^2 +(X-a)^3)(a) = 0$, donc $G_3(a) = 0$.
 4. Probablement similaire.
#+END_proof


#+begin_exercice [X MP 2025 # 320]
Soient $f\colon \R \ra \R$ et $g\colon \R \ra \R$. On suppose qu'il existe quatre réels strictement positifs
$\alpha, \beta, A, B$ tels que $\forall (x, y) \in \R^2, \ |f(x)- f(y)| \leq A |x- y|^{\alpha}$ et $|g(x)- g(y)| \leq B |x- y|^{\beta}$ et $\alpha + \beta \gt  1$. On pose $\zeta\colon s \in ]1, +\i[ \mapsto \sum_{n=1}^{+\i} \frac{1}{n^s}$. On fixe deux réels $a \lt  b$.
 1. Pour une subdivision $\sigma=(x_0,\ldots,x_n)$ de $[a,b]$, on pose
    $J(\sigma)=\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)(g(x_{k+1})-g(x_k))$. Montrer que
    $|J(\sigma) f(a)(g(b) g(a))| \le AB \zeta(\alpha + \beta)
    (2(b-a))^{\alpha+\beta}$.
 2. Montrer qu'il existe un réel $I_{a,b}(f,g)$ tel que, pour tout
    $\eps \gt 0$, il existe $\delta \gt 0$ tel que, pour toute
    subdivision $\sigma = (x_0, \dots, x_n)$ de $[a,b]$,
    $\max_k |x_{k+1} x_k| \lt \delta \Rightarrow |J(\sigma)
    I_{a,b}(f,g)| \lt \eps$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. !!
#+END_proof


# ID:8550
#+begin_exercice [X MP 2025 # 321]
On note $S$ l'ensemble des nombres complexes de module 1. Soit $\gamma:[0,1]\ra S$ une fonction continue. Montrer qu'il existe une fonction continue $\theta:[0,1]\ra\R$ telle que $\gamma(t)=e^{2i\pi\theta(t)}$ pour tout $t\in[0,1]$.
#+end_exercice

# ID:nil # Problème d'énoncé
#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 322]
Soit $f:[0,1]\ra\R$ continue. On pose $h:t\in[0,1]\mapsto \inf_{s\in[0,t]}f(s)$ et g=f-2h.

 1. Montrer que $g$ est continue, positive et que g(0) = 0.
 1. Montrer que si $f$ est affine par morceaux alors $q$ l'est aussi.
 1. On suppose que $f$ atteint son minimum en 1. On pose $q:t\in[0,1]\mapsto\inf_{s\in[t,1]}g(s)$. Montrer que $f$ = $g$ - 2q.
#+END_exercice


#+begin_exercice [X MP 2025 # 323]
Soit $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers.
On pose $\Psi(x) = \sum\limits_{\substack{p \in \mc{P}, \alpha \in \N^* \\ p^{\alpha} \leq x}} \ln p \text{ et } T(x) = \sum_{1 \leq n \leq x} \Psi\left(\frac{x}{n}\right)$.
 1. Montrer que $T(x) = \sum\limits_{1 \le n \le x} \ln(n) = x \ln(x) x + O(\ln x)$ quand $x \ra +\i$.
 1. Montrer que $T(x) 2T\left(\frac{x}{2}\right) = \sum_{n=0}^{\i} (-1)^{n-1} \Psi\left(\frac{x}{n}\right) = x \ln 2 + O(\ln x)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On a $\ln (n) = \sum_{p\in\mc P,\,\a ; p^{\a}\mid n} \ln p$, donc $\sum_{1\leq n\leq x}\ln n = \sum_{p, \a} \ln p \times \lfloor \frac{x}{p^{\a}}\rfloor$

    et $\sum_{1\leq n\leq x \Psi(\frac{x}{n})} =$.
#+END_proof


# ID:nil # Facile
#+begin_exercice [X MP 2025 # 324]
Soit $f$ une bijection de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ sur $\R^+$, de réciproque notée $g$.
 1. Montrer que, pour $x \ge 0$, $\int_a^x f(t)dt + \int_a^{f(x)} g(t)dt = x f(x)$.
 1. Déduire que $\forall x, y \in \R^+, xy \leq \int_0^x f(t) dt + \int_0^y g(t) dt$.
#+end_exercice

# ID:8552
#+begin_exercice [X MP 2025 # 325]
Soit $f\colon [0,1] \ra \R$ continue et strictement positive sur $]0,1[$.
 1. Calculer $\lim\limits_{p \ra +\i} \left( \int_0^1 f(x)^p dx \right)^{1/p}$.
 1. Calculer $\lim\limits_{x\ra 0^+} \left( \int_0^1 f(x)^p dx \right)^{1/p}$.
#+end_exercice

# ID:8551
#+begin_exercice [X MP 2025 # 326]
Soit $f$ la fonction 1-périodique de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ telle que $\forall x \in [0,1[,f(x)=x-\frac{1}{2}$.  Pour $i$ et $j$ dans $\N^*$, calculer $\int_0^1 f(ix)f(jx) dx$.
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2025 # 327]
Pour $a,b\gt 0$, on définit $J_{a,b} = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{(a\cos\theta)^2 + (b\sin\theta)^2}}$.
 1. Montrer que $J_{a,b} = \int_{-\i}^{+\i} \frac{dx}{\sqrt{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)}}$.
 1. Montrer que $J_{a,b} = J_{\frac{a+b}{2}} \sqrt{ab}$
#+end_exercice

# ID:8553
#+begin_exercice [X MP 2025 # 328]
Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\int_0^{+\i} |\sin t|^{\alpha} t^{\beta} dt \lt  +\i$.
#+end_exercice

# ID:8554
#+begin_exercice [X MP 2025 # 329]
 1. Pour $f \in \mc C^0(\R, \R)$, on note $I_f = \{p \gt  0, \int_{\R} |f|^p \lt  +\i \}$. Montrer que $I_f$ est un intervalle et exhiber $f$ telle que $I_f = ]a, b[$, $]0, b[$ ou $]b, +\i[$ pour $0 \lt  a \lt  b$.

 1. Déterminer $\lim\limits_{p\ra+\i} \left( \int_a^1 |f|^p \right)^{1/p}$.
#+end_exercice

# ID:8281
#+begin_exercice [X MP 2025 # 330]
Soit $f\colon \R \ra \R$ intégrable sur $\R$. On pose $g\colon x \in \R^* \mapsto f\left(x - \frac{1}{x}\right)$. Montrer que $g$ est intégrable sur $\R^{+*}$ et sur $\R^{-*}$. Exprimer $\int_{-\i}^0 g + \int_0^{+\i} g$ en fonction de $\int_{-\i}^{+\i} f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 331]
On rappelle que $\int_{\R^n} e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi}$.

Pour $n \in \N$, on pose $p_n : x \in \R \mapsto (-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n (e^{-x^2/2})}{d x^n}$.

    a. Montrer que $p_n$ est polynomiale, préciser son degré et son coefficient dominant, et dé-

montrer que $p_n$ est paire ou impaire.

 1. Calculer $\int_{\R} p_m(x) p_n(x) e^{-x^2/2} dx$ pour $(m, n) \in \N^2$.
 1. Soit $n \in \N^*$. Calculer l'intégrale multiple

$$I = \int_{\R} \cdots \int_{\R} \left( \prod_{1 \le i \le n} (x_j - x_i)^2 \right) \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n x_k^2\right) dx_1 \cdots dx_n$$.

Ind. On pourra s'intéresser au déterminant de la matrice $(p_{i-1}(x_j))_{1 \leq i,j \leq n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 332]
Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions de carré intégrable sur $\R$ telle que $\int_{\R} f_i f_j =\delta_{i,j}$ pour tous $i,j\in\N$. Pour $N\in\N^*$ et $x,y\in\R$, on pose $K_N(x,y)=\sum_{i=1}^N f_k(x)f_k(y)$. Pour $p \in \N$ et $x_1, \ldots, x_p \in \R$, on pose $\phi_p(x_1, \ldots, x_p) = \det((K_N(x_i, x_j))_{1 \leq i, j \leq p})$.

Calculer $\int_{\R^n} \dots \int_{\R^n} \phi_p(x_1, \dots, x_p) dx_1 \dots dx_p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 333]
 1. Soit $a \in \R_+^*$. Calculer les intégrales $\int_0^1 \frac{\ln(1+t^a)}{t} dt$ et $\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{t} dt$.
 1. Soit $(a_n)_n \in (\N^*)^{\N}$ telle que $I \in \mc{P}_f(\N) \mapsto \sum_{n \in I} a_n$ soit injective, $\mc{P}_f(\N)$ désignant l'ensemble des parties finies de $\N$. Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{1}{a_n} \leq 2$.

    $c$. Soit $(a_n)_n \in (\N^*)^{\N}$ telle qu'il n'existe pas d'entier $n$ ni de partie finie $I$ de $\N \setminus \{n\}$ telle que $a_n = \sum_{k \in I} a_k$. Montrer que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{a_n} \le 50$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. !!
 3.
#+END_proof


# ID:8555
#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 334]
Soient $(a_n)_{n\in\N}$ et $(b_n)_{n\in\N}$ deux suites réelles.

On pose $f_n\colon x \in \R \mapsto a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$. Montrer que si $(f_n)_{n \in \N}$ converge simplement sur $\R$ alors $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ convergent vers $0$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On prend $x = \pi$, on obtient $a_n\ra 0$.
#+END_proof


#+begin_exercice [X MP 2025 # 335]
Pour $n \in \N$, soit $f_n : x \in \R \setminus \Z \mapsto \pi \cot(\pi x) - \sum_{k=-\i}^n \frac{1}{x+k}$.

 1. Montrer que $(f_n)_{n\geq 0}$ converge simplement sur $\R\setminus\Z$ vers une fonction $f$, et que l'on peut prolonger $f$ par continuité à $\R$.
 1. Montrer que la fonction prolongée par continuité est de classe $\mc C^1$ sur $\R$ et vérifie :

$$\forall x \in \R, 4f'(x) = f'\left(\frac{x}{2}\right) + f'\left(\frac{x+1}{2}\right)$$.

 1. En déduire que $f$ est identiquement nulle sur $\R$.
 1. On pose $g\colon x\mapsto \frac{x}{e^x-1}$. Justifier que $g$ est développable en série entière au voisinage de 0 et que le développement en série entière de $x\mapsto g(x)-1+\frac{x}{2}$ ne contient que des termes

pairs. On note
$$g(x) = 1 - \frac{x}{2} + \sum_{n=1}^{+\i} a_n x^{2n}$$
.

 1. Pour $n \in \N^*$, donner une expression de $\zeta(2n)$ en fonction de $a_n$. Ind. On pourra considérer g(ix) pour $x \in \R$.
#+end_exercice

# ID:8873
#+begin_exercice [X MP 2025 # 336]
Soit $f \in C^0([0,1], \R)$. Si $t \ge 0$, on pose $g_t \colon x \in [0, 1] \mapsto \inf \{ f(y) + t | y - x |, y \in [0, 1] \}$.

 1. Si $t \ge 0$, montrer que $g_t$ est une fonction continue.
 1. Soit $x \in [0, 1]$. Montrer que la suite $(g_n(x))_{n \ge 0}$ est croissante et qu'elle converge vers $f(x)$.
 1. Montrer que $(g_n)_{n\geq 0}$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
#+END_proof


# ID:8764
#+begin_exercice [X MP 2025 # 337]
 1. Soit $n \in \N$. Montrer qu'il existe un unique $T_n \in \Z[X]$ tel que : $\forall x \in \R, T_n(2\cos(x)) = 2\cos(nx)$.
 1. Pour $x, y \in [-2, 2[$ avec $x \neq y$, on pose $S(x, y) = \sum_{n=1}^{+\i} \frac{1}{n} T_n(x) T_n(y)$.
   - Montrer que $S_n(x, y)$ est bien défini.
   - Montrer que, pour $x, y \in [-2, 2[$ avec $x \neq y$, on a $S(x, y) = -2 \ln |x- y|$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
    1. C'est $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{1}{n} \cos (n u) \cos (nu)$, donc $\cos (n \frac{(u-v)}{2}) + \cos (n \frac{(u+v)}{2})$, où $u = \arccos \frac{x}{2}$
    2. Vient de $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(n\theta)}{n} = -\ln|2\sin(\frac{\theta}{2})|$, du fait que le développement du $\ln$ est valable en tout $z\in \m U$, sauf $1$.
#+END_proof


# ID:8763
#+begin_exercice [X MP 2025 # 338]
Soit $\alpha \in \R$.
 1. À quelle condition sur $\alpha$ la fonction $f\colon x \mapsto \sum_{n=1}^{+\i} \frac{n^{\alpha}}{n+x}$ est-elle définie sur $\R^+$ ?
 1. Lorsque $f$ est définie sur $\R^+$, déterminer sa limite, puis un équivalent, en $+\i$.
 1. On fixe un polynôme $P \in \R[X]$ de degré $d \gt  0$, sans racine dans $[1, +\i[$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(\alpha, d)$ pour que $g\colon x \mapsto \sum_{i=1}^{+\i} \frac{n^{\alpha}}{P(n+x)}$ soit définie sur $\R^+$. Dans ce cas, donner un équivalent de $g$ en $+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $\a\lt 0$.
 2. Sans difficulté.
#+END_proof


#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 339]
 1. On fixe un entier $d \ge 0$. Soit $(c_k)_{k \le d}$ une famille de nombres complexes indexée par $\Z_{\leq d} = \{k \in \Z, k \leq d\}$. On suppose qu'il existe un réel $R$ \gt  0 telle que $(c_k z^k)_k$ soit sommable pour tout $z \in \C$ tel que |z| \gt  R; pour un tel $z$, on pose $g(z) = \sum_k c_k z^k$. On suppose enfin que $c_1, \ldots, c_d$ sont tous rationnels et que $g(a) \in \Z$ pour une infinité d'entiers a. Montrer que $c_0 \in \Q$ et $c_k = 0$ pour tout $k$ \lt  0.
 1. Soit $s \in \N^*$ et $P \in \C[X]$. On suppose que, pour tout entier $n$ assez grand, P(n) est la puissance $s$-ième d'un entier. Soient $\tau_1,\ldots,\tau_s$ dans $\Z$. Montrer qu'il existe une fonction gvérifiant les hypothèses de la question précédente (pour un certain d) et telle que, pour tout complexe $z$ de module assez grand, $\prod P(z + \tau_k) = g(z)^s$. En déduire qu'il existe un polynôme $Q \in \C[X]$ tel que $P = Q^s$ et $\forall k \in \Z, \ Q(k) \in \Z$.
#+END_exercice


#+begin_exercice [X MP 2025 # 340]
Soient $\theta \gt  1$ et $P \in \Z[X]$ unitaire de degré $n \in \N^*$ dont $\theta$ est racine de multiplicité 1 et dont les autres racines complexes sont de module \lt  1 et dont $1/\theta$ n'est pas racine. Soit $Q = X^n P(1/X)$.

 1. Montrer que $f\colon z \mapsto \frac{P(z)}{Q(z)}$ est développable en série entière au voisinage de 0 de rayon
$1/\theta$. On note $f(z) = \sum_{n=0}^{+\i} b_n z^n$ ce développement.
 1. Montrer que $g\colon z \mapsto f(z)(1-\theta z)$ est développable en série entière de rayon \gt  1. On note $g(z) = \sum_{n=0}^{+\i} c_n z^n$. Montrer que les $c_n$ sont dans $\Z$ et que $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| g(e^{it}) \right|^2 dt = \sum_{n=0}^{+\i} |c_n|^2$.
 1. Démontrer que $1 + \theta^2 = b_0^2 + \sum_{n=0}^{+\i} (b_n \theta b_{n-1})^2$.
 1. On suppose que P(0) \gt  0. Montrer que $(b_n)_{n \in \N}$ est croissante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 341]
 1. On pose $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sum_{k=0}^n u_k u_{n-k}$ pour tout $n \in \N$. Calculer $u_n$.
 1. Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_{-2}^2 x^{2n} \sqrt{4-x^2} dx$. Prouver l'existence d'une constante $c\gt 0$ telle que $\forall n\in\N,\,u_n=c\,I_n$ et la déterminer.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
#+END_proof


#+begin_exercice [X MP 2025 # 342]
Soit $m \in \N^*$. On pose $u_0 = 4^m$, $u_1 = 4^m - 1$ et, pour $k \in [1, m]$, $u_k = -1 + \frac{2m - k}{2m} u_{k+1} + \frac{k}{2m} u_{k-1}$ et $v_k = m \int_0^1 \frac{(1+x)^{2m-k}}{x} \left( (1+x)^k - (1-x)^k \right) dx$.
 1. Montrer que, pour tout $k \in [1, m]$, $v_k = u_k$.
 1. Donner un équivalent de $W_m = m \int_0^1 \frac{(1+x)^m}{x} ((1+x)^m (1-x)^m) dx$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 343]
Déterminer un équivalent de $\int_0^{+\i} (te^{-t})^x dt$ quand $x$ tend vers $+\i$.
#+END_exercice


# ID:329
#+begin_exercice [X MP 2025 # 344]
Soit $E$ l'ensemble des fonctions y de classe $C^2$ de $\R^+$ dans $\R$ telles que, pour tout $t \in \R^+$, $y''(t) + e^t y(t) = 0$. Soit $y \in E \setminus \{0\}$.

 1. Montrer que les zéros de $y$ sont isolés.
 1. Montrer que les zéros de $y$ peuvent être rangés en une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ tendant vers $+\i$.
 1. Donner un équivalent de $t_n$.
#+end_exercice

# ID:7326
#+begin_exercice [X MP 2025 # 345]
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n \ge 1$.
 1. Soient $p$ un projecteur de $E$ et $a \in \mc{L}(E)$ tels que $ap + pa = a$. Montrer que $\op{tr} a = 0$.
 1. On note $\mc{P}(E)$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$. Pour $p \in \mc{P}(E)$, décrire l'espace tangent à $\mc{P}(E)$ en $p$. Quelle est sa dimension?
#+end_exercice

** Géométrie


# ID:8766
#+begin_exercice [X MP 2025 # 346]
Soit $(u, v)$ une base de $\R^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(u, v)$ pour qu'il existe un polygone régulier à $n$ côtés dont les sommets sont tous dans $\Q u + \Q v$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $(u,v)$ est la base canonique, s'il existe un tel polynôme régulier, alors on peut supposer que son centre est dans $\Z^2$, donc $\tan \frac{2\pi}{n}\in\Q$ : en effet c'est $\tan (x-y)$, et $\tan x,\tan y\in\Q$. Il faudrait plutôt $\tan \frac{\pi}{n}\in\Q$, et c'est le cas.

Réciproquement, si $\tan \frac{\pi}{n}\in\Q$, c'est le cas de toutes les tangentes, donc si on place le centre en $O$ et un point en $(1, 0)$, la droite passant par $(-1, 0)$ et de pente $\tan \frac{\pi}{n}$ est rationnelle, donc son autre intersection avec le cercle l'est.

Dans le cas général, en agissant par une homothétie + isométrie, on
peut supposer que $u = (1,0)$. On peut à nouveau centrer tout polynôme
régulier en l'origine.

En termes de distances : $\lN n (x,y) + m (0, 1)\rN^2 = nx^2 +  (ny-m)^2 = n^2 (x^2 + y^2) + m^2 - 2nm y$, donc $\frac{x^2 + y^2}{y}\in\Q$, c'est-à-dire $\sin \theta \in\Q$. En fait, on obtient même $y\in\Q$, donc on peut supposer $y = 0$, puis $x^2\in\Q$.

Donc $(\sqrt{n}, 0)$ et $(0, 1)$. De là, ça ne doit plus être très dur.
#+END_proof

** Probabilités

# ID:8450
#+begin_exercice [X MP 2025 # 347]
Un tiroir contient 2n chaussettes, constituant $n$ paires. On tire successivement et aléatoirement les chaussettes du tiroir les unes après les autres jusqu'à avoir tiré une paire. Quelle est l'espérance du nombre total de chaussettes tirées?

Indication : Pour simplifier le résultat, on pourra utiliser un raisonnement probabiliste pour établir que $\quad\displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \binom{k}{n} 2^{-k} = 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 348]
On organise un tournoi avec une infinité $(J_n)_{n\in\N}$ de joueurs. Les modalités sont les suivantes : $J_0$ et $J_1$ s'affrontent, le gagnant affronte $J_2$ et ainsi de suite : le gagnant de chaque partie affronte le joueur suivant lors de la partie suivante. On considère tous les matchs comme indépendants et on note $p_n = \mathbf{P}(J_n \text{ remporte son premier match})$. Le tournoi s'arrête lorsqu'un joueur remporte deux matchs successifs. On note $T$ la variable aléatoire donnant le nombre de matchs joués jusqu'à l'arrêt du tournoi. Pour les deux premières questions, on fixe

$$\alpha \in ]0,1[$$
 et on suppose que : $\forall n \geq 2, \ p_n = 1 - \frac{1}{n^{\alpha}}$.

 1. Montrer que $T$ est presque sûrement finie.
 1. Montrer que $T$ est d'espérance finie.
 1. Dans cette question, on fixe $N \geq 2$ et la condition de victoire devient : un joueur remporte le tournoi quand il a gagné $N$ matchs consécutifs. Ainsi le cas précédent correspond au cas N=2. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$, $p_n=p \in ]0,1[$.

On note $a_n = \mathbf{P}(T \geq n)$ avec, pour $k \leq N$, $a_k = 1$. Déterminer une relation de récurrence entre les $a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 349]
Soit $n \in \N^*$. Pour $\sigma \in \mc{S}_n$, on note $|\sigma|$ le nombre de cycles dans la décomposition de $\sigma$ en cycles à supports disjoints (y compris les cycles de longueur 1).a) Pour $k \in [1, n]$, on pose $C_k = |\{\sigma \in \mc{S}_n, |\sigma| = k\}|$.

 1. Pour $k \in [1, n]$, on pose $C_k = |\{\sigma \in \mc{S}_n, |\sigma| = k\}|$

    Calculer $f_n$ où $f_n: x \mapsto \sum_{k=1}^n C_k x^k$.
 1. Soit $\sigma_n$ une variable de loi uniforme sur $\mc{S}_n$.
    Donner un équivalent de l'espérance de $|\sigma_n|$.
 1. Montrer que $\frac{|\sigma_n|}{\ln(n)}$ tend vers 1 en probabilités quand $n \ra +\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 350]
 1. Soient $\lambda \gt 0$ et $X$ une variable aléatoire suivant la
    loi de Poisson $\mc{P}(\lambda)$. Calculer
    $\mathbf{E}(X(X-1)\cdots(X-p+1))$ pour tout $p \in \N^*$, et
    calculer $\mathbf{E}(1/(X+1))$ et $\mathbf{E}(1/(X+2))$.
 1. Soient $A$ un ensemble fini de cardinal $n$ et $p \in \N^*$. Une
    $p$-partition de $A$ est une partition de $X$ formée de $p$
    sous-ensembles (non vides) de $X$. Soit $B$ un ensemble fini de
    cardinal $m$. Dénombrer, pour une $p$-partition de $\mc{F}$ de A,
    les applications de $A$ dans $B$ dont $\mc{F}$ est l'ensemble des
    fibres non vides (à savoir des ensembles non vides de la forme
    $f^{-1}\{b\}$ où $b \in B$).
 1. En utilisant les deux questions précédentes, exprimer le nombre de
    partitions de $A$ comme la somme d'une série numérique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 351]
Soient $p \in ]0,1[$ et t\gt 0. Soient $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. vérifiant $\mathbf{P}(X_n=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_n=-1)=1-p$ et $N\sim\mc{P}(t)$ indépendante des $X_n$. On pose :

$$S_n = \sum_{i=0}^n X_i$$.

 1. Pour $n \in \Z$, calculer $\mathbf{P}(S_N = n)$.
 1. Montrer que :
    $$\forall (x,y) \in (\R^{+*})^2, \quad \sum_{n \in \Z} y^n \sum_{\substack{i \in \N \\ n \geq 0}} \frac{x^{n+2i}}{n!(n+i)!} = e^{xy+1/y}$$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 352]
Soient $p \in [0, 1[, m \ge 2 \text{ et } \xi = e^{2i\pi/m}]$.
 1. Montrer que :
    $$\forall a,b \in \C, \quad \sum_{k \in \db{0,n }} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} (b + \xi^j a)^n$$.
 1. Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On pose : $A_n=(m\mid X_1+\cdots+X_n)$ et $u_n=\mathbf{P}(A_n)$. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
 1. Montrer que : $\forall n \in \N^*, \left| u_n \frac{1}{m} \right| \leq e^{-8pqn/m^2}$ où $q$ = 1 $p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 353]
Soit $X$ une variable aléatoire discrète positive ayant un moment d'ordre 2 et telle que $\mathbf{E}(X^2) \gt  0$. Montrer que, pour $t \gt  0$, $\mathbf{P}(X \mathbf{E}(X) \leq -t) \leq \exp\left(-\frac{t^2}{\mathbf{E}(X^2)}\right)$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 354]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans $\N^*$. On suppose

de plus que $\mathbf{E}(X_1^2) \lt  +\i$, et on pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et $T_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{S_i}$ pour $n \geq 1$.

 1. Montrer que, pour tout $\omega$, $(T_n(\omega))_{n\geq 1}$ a une limite dans $[0,+\i]$.
 1. Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ et une suite strictement croissante $(n_k)_{k \ge 1}$ d'entiers $\geq 1$ vérifiant $n_{k+1} \geq 2n_k$ et $\mathbf{P}(S_{n_k} \geq 2n_k \mathbf{E}(X_1)) \leq \frac{C}{2^k}$ pour tout $k \geq 1$.
 1. En déduire que $(T_n)_{n\geq 1}$ tend presque sûrement vers $+\i$.
 1. Montrer que $\mathbf{V}(T_n) \leq \sum_{i=1}^n \mathbf{E}\left(\frac{1}{S_i^2}\right)$ pour tout $n \geq 1$.
#+END_exercice


#+begin_exercice [X MP 2025 # 355]
On pose $(X)_0 = 1$ et, pour $n \in \N^*$, $(X)_n = X(X-1) \cdots (X-n+1)$.
 1. Montrer que $((X)_n)_{n\geq 0}$ est une base de $\R[X]$.
 1. Pour $k \in \N$, on décompose $X^k = \sum_{n=0}^{+\i} a_{k,n}(X)_n$. Déterminer $a_{k,0}$ et $a_{k,n}$ pour $n \geq k$.
 1. En considérant une variable aléatoire $Z$ suivant la loi de Poisson de paramètre 1, montrer que $\forall k \in \N, \sum_{i=0}^{+\i} a_{k,n} = \frac{1}{e} \sum_{i=0}^{+\i} \frac{i^k}{i!}$.
 1. Pour $0 \le n \le k$, on note $b_{k,n}$ le nombre de façons de ranger $k$ objets indifférenciés dans $n$ tiroirs non numérotés, aucun des tiroirs n'étant vide. Montrer que $b_{k,n} = a_{k,n}$.
 1. Soit $k \in \N$. Déterminer le nombre de façons de partitionner un ensemble à $k$ éléments.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3.
 4.
#+END_proof

# ID:8771
#+begin_exercice [X MP 2025 # 356]
On cherche à prouver l'existence d'un réel $C \gt  0$ tel que, pour toutes variables aléatoires réelles $X$ et $Y$ indépendantes et de même loi, on ait l'inégalité $\mathbf{P}(|X-Y| \leq 2) \leq C \, \mathbf{P}(|X-Y| \leq 1)$.
 1. On suppose $X$ et $Y$ à valeurs dans $\Z$. Montrer l'existence de $C' \gt 0$ indépendant de $X$ tel que $\mathbf{P}(|X - Y| \leq 2) \leq C' \mathbf{P}(X = Y)$.
 2. Montrer le résultat souhaité.
 3. Montrer que $C' \geq 3$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $|X-Y|\leq 2$ correspond à ou bien $X = Y$, ou bien $X = Y+1$, ce
    qui est $\sum x_n x_{n+1} \leq \frac{1}{2}\sum x_n^2 + x_{n+1}^2$,
    etc.
 2. Pour $X,Y$ à valeurs dans $\Z$ on est bon, et sinon, en prenant
    $X',Y' = \lfloor X, Y\rfloor$, on a $\P(|X-Y|\leq 2)\leq
    \P(|X'-Y'|\leq 2)\leq C \P(X'=Y') \leq C \P(|X-Y|\leq 1)$.
 3. Prendre des lois uniformes sur $\db{1,n}$.
#+END_proof


# ID:8084
#+begin_exercice [X MP 2025 # 357]
 1. Soient $n \in \N^*$ et $p \in ]0,1[$. Existe-t-il deux variables
    aléatoires indépendantes $Y_1$ et $Y_2$ de même loi telles que
    $Y_1 + Y_2 \sim \mc{B}(n,p)$ ?
 1. On dit qu'une variable aléatoire $Z$ est infiniment divisible si,
    pour tout $k \in \N^*$, il existe des variables aléatoires
    $i$.i.d. $Y_1, \ldots, Y_k$ telles que $Y_1 + \cdots + Y_k \sim
    Z$, avec a priori $(Y_1, \ldots, Y_k)$ défini sur un espace probabilisé différent de celui de $Z$.

    Donner un exemple d'une telle variable aléatoire.

 1. Que dire d'une variable aléatoire $Z$ infiniment divisible de
    support inclus dans $[0,1]$ ?
 1. Soient $(X_i)_{i\in\N}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. et
    $N\sim\mc{P}(\lambda)$ indépendante des $X_i$ (avec $\lambda\gt
    0$). Montrer que $Z=X_1+\cdots+X_N$ est une variable aléatoire
    infiniment divisible.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3.
 4. On peut toujours découper $N$ en des lois de Poissons.
#+END_proof


# À relier
#+begin_exercice [X MP 2025 # 358]
Soient $a \in ]0,1[$ et $\phi_a : x \mapsto 1 (1-x)^a$.
 1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X_a$ à valeurs dans $\N^*$ telle que, pour tout $x \in [0,1], \phi_a(x) = \mathbf{E}(x^{X_a})$.
 2. Soit $(A_n)_{n\geq 1}$ une suite d'événements de l'espace probabilisé $(\Omega, \mc{A}, \mathbf{P})$ telle que, pour tout $n \in \N^*$, $\mathbf{P}(A_n) = \frac{a}{n}$. On pose $Y = \inf\{n \in \N^*, \ \mathbf{1}_{A_n} = 1\}$. Montrer que $Y \sim X_a$.

On considère l'équation fonctionnelle : $\forall x \in [0,1], \phi_a(x) = x \phi(\phi_a(x))$ d'inconnue $\phi$ :

 $[0,1] \ra \R$.
 1. Montrer que, pour $a \in [1/2, 1]$ cette équation admet une unique solution continue, qui est de plus la fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans $N$.
 1. Montrer que ce n'est pas le cas pour a = 1/3.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X MP 2025 # 359]
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbf{P}(X_n=0)=1-\frac{1}{n}$ et $\mathbf{P}(X_n=n)=\frac{1}{n}$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
 1. Soit $\lambda \in \R^+$. Déterminer la limite de $\left(\mathbf{E}\left(e^{-\lambda\frac{S_n}{n}}\right)\right)_{n\geq 1}$.
 1. Soit $f \in \mc C^0(\R^{+*}, \R)$ dérivable sur $]1, +\i[$ et telle que : $\forall x \gt  1, f(x-1) + xf'(x) = 0$ et $\forall x \in [0, 1], f(x) = 1$.
Montrer qu'il existe une unique fonction $f$ qui respecte ces conditions, qu'elle est strictement positive sur $\R^+$ et tend vers 0 en $+\i$.
 1. On définit $\phi(\lambda) = \int_0^{+\i} e^{-\lambda t} f(t) dt$, avec $f$ la fonction de la question précédente. Montrer qu'il existe  $k\gt 0$ tel que, pour tout $\lambda \in \R^+, \lim\limits_{n \ra +\i} \mathbf{E}\left(e^{-\lambda \frac{S_n}{n}}\right) = e^{-k}\phi(\lambda)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
#+END_proof


#+begin_exercice [X MP 2025 # 360]
Soient $X$ une variable aléatoire à support fini à valeurs dans $\Z^2$ et telle que $-X \sim X$, $(X_k)_{k \geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$.
 1. Montrer que, si $n \in \N^*$, $\mathbf{E}(\|S_n\|^2) = n \, \mathbf{E}(\|X\|^2)$ et $\mathbf{P}(S_{2n} = 0) = \sum_{x \in \Z^2} \mathbf{P}(S_n = x)^2$.
 1. Montrer qu'il existe $c \in \R^{+*}$ tel que $\forall n \in \N^*, \mathbf{P}(S_{2n} = 0) \geq \frac{c}{n}$.
 1. Démontrer que $P(\exists n \ge 1, S_n = 0) = 1$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Première partie triviale, seconde par la position à l'instant $n$, et la symétrie, sympa.
 2. C'est Cauchy-Schwarz.
 3. Il faut sans doute utiliser l'espérance ?

    Sinon, à partir de $0$ il a une probabilité $\a$ de ne jamais
    revenir.

    La probabilité de ne jamais revenir à partir de $2$ est $\geq \a + \a \P(S_2 = 0)$, puis $\a + \a \P(S_2 =0)  \a$.

    On a $\P («S_{2n} = 0») = \sum_{k=1}^{2n-2} \P(R = k) \P (S_{2n-k})$. Si la somme des $\P(R = k)$ est $\lt \frac{1}{2}$. !!
#+END_proof


* X PSI                                                               :autre:

** Algèbre

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 361]
Soit $P(X) = X^{11} 14X^2 5X + 1$. Montrer que $P$ admet au moins une racine complexe de module strictement inférieur à 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 362]
Soit $f\colon P \in \R[X] \mapsto \frac{1}{2} \left( \mathbf{P} \left( \frac{X+1}{2} \right) + \mathbf{P} \left( \frac{X}{2} \right) \right)$. Soit $a \in \R$. Déterminer la limite de $(f^n(P)(a))$ quand $n$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 363]
 1. Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie, $u, h \in \mc{L}(E)$ tels que $h$ est diagonalisable et $h \circ u - u \circ h = 2u$. Montrer que $u$ est nilpotent.
 1. Soit $E = \C[X]$ et soient $u$, $v$, $h$ les trois endomorphismes de $E$ définis par$\forall P \in E, u(P) = X^2 P' + X P, v(P) = P' \text{ et } h(P) = P + 2X P'$.

    a) Montrer que $h$ est diagonalisable et que $h \circ u u \circ h = 2u$. L'endomorphisme $u$ est-il nilpotent?
    b) Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ à la fois $u$-stable et $v$-stable. Montrer que $F = \{0\}$ ou $F$ = $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 364]
Soient $A \in \M_n(\C)$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & A \\ I_n & 0 \end{pmatrix} \in \M_{2n}(\C)$.
 1. Montrer que $\forall \lambda \in \C$, $\dim(\op{Ker}(B \lambda I_{2n})) = \dim(\op{Ker}(A \lambda^2 I_n))$.
 1. À quelle condition sur $A$ la matrice $B$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 365]
Soit $X \in \C^n$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice $XX^T \in \M_n(\C)$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 366]
Soit $A \in \M_3(\R)$ telle que $\R^3 = \text{Ker}((A I_3)^2) \oplus \text{Ker}(A 2I_3)$. Soit $x \in \R^3 \setminus \{0\}$. Trouver un équivalent de $||A^n x||$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 367]
On définit deux matrices $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $N_{\eps} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 + \eps \end{pmatrix}$ avec $\eps \gt  0$.
 1. Étudier la diagonalisabilité de $M$ et $N_{\eps}$, détailler leurs sous-espaces propres et donner une base de chacun d'eux.
 1. Pour $n \in \N$, on pose $X_n = M^n E$, $Y = N_{\eps}^n E$, où $E = \binom{1}{\eps}$. Expliciter $X_n$ et $Y_n$ et étudier asymptotiquement les vecteurs $\frac{X_n}{\|X_n\|}$ et $\frac{Y_n}{\|Y_n\|}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 368]
Soit $A \in \M_n(\R) \setminus \{0\}$ telle que $A^T = -A$. Soient $\mu \in \C^*$ une valeur propre de $A$ et $X \in \C^n$ un vecteur propre associé. On écrit $X$ = $U$ + iV avec $U, V \in \R^n$. Montrer que $U$ et $V$ sont orthogonaux.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 369]
Soient $E$ et $F$ deux espace vectoriels normés (de dimension quelconque) et $\psi \colon E \ra F$ une fonction telle que $\forall x,y \in E, \ \psi(x) + \psi(y) = \psi(x+y)$ et $\psi$ est bornée sur la boule ouverte unité de $E$. Montrer que $\psi$ est linéaire et continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 370]
Soit (E, || ||) un espace vectoriel normé avec $E \neq \{0\}$.
 1. Soit $\phi$ un endomorphisme continu de $E$. Montrer que : $\sup_{x \neq 0} \frac{\|\phi(x)\|}{\|x\|} \lt  +\i$
 1. Soient $u$,v deux endomorphismes continus de $E$ tels que uv-vu= id. Montrer que $E=\{0\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 371]
Soient $E$ un $\R$ -espace vectoriel normé de dimension finie, $u \in \mc{L}(E)$ et $K \subset E$ un convexe non vide. Pour $n \in \N^*$, on note $S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} u^k$.- a) Montrer que : $\forall n \in \N^*, S_n(K) \subset K$.
 1. Montrer que : $\forall n \in \N^*, (S_1 \circ \cdots \circ S_n)(K) \subset \bigcap^n S_k(K)$.
 1. On suppose que $K$ est compact et que, pour tout $x \in E$, $||u(x)|| \leq ||x||$. Montrer que : $\forall x \in \bigcap S_n(K), \, u(x) = x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 372]
Soit $(a_k)_{k\in\N}$ une suite de réels positifs. Pour tout $n\in\N$, posons $A_n=\sum_{k=1}^n a_k$. Montrer
l'équivalence entre les trois propriétés suivantes :
 + $A_{n-1} = o(a_n)$,
 + $a_{n-1} = o(a_n)$,
 + $A_{n-1} = o(A_n)$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 373]
Soit $u$ une suite réelle strictement positive, croissante et tendant vers $+\i$. Montrer que la série $\sum \frac{u_n - u_{n-1}}{u}$ diverge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 374]
Soit $(d_n)$ une suite de réels positifs telle que la série de terme général $d_n$ diverge. Nature de $\sum \frac{d_n}{1+d_n}$, $\sum \frac{d_n}{1+nd_n}$, $\sum \frac{d_n}{1+d_n^2}$ et $\sum \frac{d_n}{1+n^2d_n}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 375]
Trouver $f \in \mc C^{\i}(\R, \R)$ telle que, successivement,
 + $f$ est nulle sur $\R^-$ et ne s'annule pas sur $]0, +\i[$ ;
 + $f$ est nulle sur $\R^-$ et $[1, +\i[$ et ne s'annule pas sur ]0, 1[;
 + $f$ est nulle sur $\R^-$, égale à 1 sur $[1, +\i[$ et ne s'annule pas sur ]0, 1[.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 376]
Soit $f \in \mc C^0(\R,\R)$. Soit $(x_k)_{k\in\N}$ telle que $\forall k\in\N,\ x_{k+1}=f(x_k)$. On suppose que $\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k\right)$ est bornée. Montrer que $f$ admet un point fixe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 377]
Soit a \gt  0. Pour $n \in \N$, on pose : $I(a, n) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (a + \cos(x))^n dx$.
 1. Trouver la limite de $(I(a, n))_{n \ge 0}$.
$\textbf{\textit{b}}) \ \ \text{Soit} \ b \in ]0,\pi/2[. \ \text{Montrer que} \ \frac{\sqrt{n}}{(1+a)^n} \int_b^{\frac{\pi}{2}} (a+\cos(x))^n dx \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 0$.
 1. Calculer la limite de $\left(\frac{\sqrt{n}}{(1+a)^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{a+1}} \int_0^b (a+\cos(x))^n dx\right)$.
 1. En déduire un équivalent de I(a,n) quand $n \ra +\i$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 378]
Soit $f \in \mc C^{\i}(\R, \R)$ telle que $f(t) \ra 0$ quand $t \ra +\i$. Soit () l'équation différentielle $y' + y = f(t)$.
 1. Montrer que toute solution y de () tend vers 0 lorsque $t \ra +\i$.
 1. On suppose de plus que $f(t) \sim \frac{1}{t \ra +\i} \frac{1}{t^{\alpha}}$ avec $\alpha \gt  0$. Soit y une solution non nulle de (). Déterminer un équivalent de y(t) quand $t \ra +\i$.
#+end_exercice

# ID:8538
#+BEGIN_exercice [X PSI 2025 # 379]
Pour $f \in \mc C^1(\R^+, \R^{+*})$, on considère le problème de Cauchy $f' = -f^2$ et $f(0) = 1$.

 1. Résoudre l'équation différentielle.

Soit $h \in ]0, 1/2[$. On définit la suite $(y_n)$ par $y_0 = 1$ et $y_{n+1} y_n = -hy_n^2$.
 1. Montrer que $y_n \ra 0$.
 1. Montrer que $\frac{1}{y_n} = 1 + nh + o(n)$.
#+END_exercice


** Probabilités

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 380]
Soient $n \ge 2$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans [0, n].
 1. Soit $Y$ une autre variable aléatoire à valeurs dans [0,n]. Montrer que si $\forall k \in [0,n]$,

 $\mathbf{E}(X^k) = \mathbf{E}(Y^k)$ alors $X \sim Y$.

 1. Montrer qu'il existe des variables aléatoires $X$, $Y$ à valeurs dans [0, n] ne suivant pas la même loi et telles que $\forall k \in [2, n], \mathbf{E}(X^k) = \mathbf{E}(Y^k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 381]
Soient $\eps$, $X$ et $Y$ trois variables aléatoires indépendantes. On suppose que $\eps \sim \mc{B}(1/2)$ et $\text{que }X\text{ et }Y\text{ suivent }\mc{G}(p)\text{ pour un réel }p\in ]0,1[\text{. On note }M=\begin{pmatrix}(2\eps-1)X&Y\\Y&(2\eps-1)X\end{pmatrix}$.
 1. Déterminer $\mathbf{P}(M \in \mathrm{GL}_2(\R))$.
 1. Déterminer $P(M \in \mc{S}_2^{++}(\R))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 382]
Soit $n \ge 2$. Soit $\mc{X}$ l'ensemble des variables aléatoires définies sur $(\Omega, \mc{A}, \mathbf{P})$ et à valeurs dans [1, n]. Déterminer les $X \in \mc{X}$, indépendantes de toutes les $Y \in \mc{X}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 383]
On effectue $n \leq N$ tirages sans remise dans un sac de $N$ jetons numérotés de 1 à $N$. On note $X_i$ la variable aléatoire donnant le numéro du jeton du $i$-ème tirage et on pose $Z_n = \max_{1 \leq i \leq n} X_i$. Calculer $\mathbf{E}(Z_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2025 # 384]
On pose $(X_k)$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de para-
mètre $p \in [0,1]$. Pour $n \in \N$, on pose $Y_n = \sum_{k=1}^n \frac{X_k}{k+n}$
 1. Calculer l'espérance de $Y_n$
 1. Déterminer la limite de $(\mathbf{E}(Y_n))$
 1. Trouver $\alpha \in \R$ tel que, pour tout $\eps \gt  0$, on ait $\lim_{n \ra \i} \mathbf{P}(|Y_n \alpha| \gt  \eps) = 0$.
#+end_exercice

* X PC                                                                :autre:

** Algèbre

#+begin_exercice [X PC 2025 # 385]
Soit $(P,Q) \in \R[X]^2$ tel que $P$ P' = $Q$. Montrer que, si $Q \ge 0$, alors $P \ge 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 386]
Soit $E$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\{-1,0,1\}$ et $A$ l'ensemble des racines des polynômes de $E$. Montrer que $A \cap ]2, +\i[=\emptyset$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 387]
Soient
$$P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \C[X]$$
 et $r \in [0,1]$.

Montrer que
$$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| P(re^{i\theta}) \right|^2 d\theta = \sum_{k=0}^n |a_k|^2 r^{2k} \leq \sup_{\theta \in [0,2\pi]} |P(e^{i\theta})|^2$$.
#+END_exercice


#+begin_exercice [X PC 2025 # 388]
Soient $P \in \Z[X]$ unitaire de degré $d$ et $\lambda_1, \ldots, \lambda_d$ ses racines. On suppose que, pour

tout
$$k \in [1, d]$$
, $|\lambda_k| \le 1$. On pose, pour tout $n \in \N^*$, $f(n) = \sum_{k=1}^d \lambda_k^n$.

 1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, f(n) est entier.
 1. Montrer qu'il existe $p \in \N^*$ tel que, pour tout $n \in \N^*$, f(n+p) = f(n).
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 389]
Soient $A$ et $B$ dans $\M_2(\Z)$. On suppose que, pour tout $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, $A$ + kB est inversible et que son inverse est à coefficients dans $\Z$. Montrer que $A$ + 5B est inversible et que son inverse est à coefficients dans $\Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 390]
On considère la matrice $A=(\mathbf{1}_{i=j+1 \bmod n})_{1\leq i,j\leq n}\in \M_n(\R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $p\in \N^*$ pour que $B=\sum_{k=0}^{p-1}A^k$ soit inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 391]
On considère une ferme avec 2n+1 vaches. Le fermier s'aperçoit que quelle que soit la vache que l'on retire du troupeau, il peut séparer les vaches restantes en deux groupes de $n$ vaches, de telle sorte que les sommes des poids des vaches de chacun des groupes sont égales. Montrer que toutes les vaches ont le même poids.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 392]
Soit $A = (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \M_n(\R)$, avec $a_{i,j} = \frac{1}{\min(i,j)}$. Calculer $\det A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 393]
Soit $A \in \M_n(\R)$ telle que : $\forall H \in \M_n(\R)$, $\det(A+H) = \det(A) + \det(H)$. Que dire de A?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 394]
Soit $p \in \N^*$.
 1. Soient $\alpha_1, \ldots, \alpha_p$ des réels distincts. Soient $c_1, \ldots, c_p$ des réels non tous nuls. On pose

$$\phi:x\mapsto \sum^p c_i e^{\alpha_i x}$$.
 Montrer que $\phi$ s'annule au plus $p-1$ fois.

 1. Soient $\alpha_1, \ldots, \alpha_p, \beta_1, \ldots, \beta_p$ des réels tels que $\alpha_1 \lt  \cdots \lt  \alpha_p$ et $\beta_1 \lt  \cdots \lt  \beta_p$. Montrer que le déterminant de la matrice $\left(e^{\alpha_i \beta_j}\right)_{1 \le i,j \le p}$ est strictement positif.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 395]
Soient $A$ et $B \in \M_n(\C)$ telles que $AB^2 B^2A = B$. Montrer que $B$ est nilpotente d'ordre impair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 396]
 1. Donner un exemple de matrice $A \in \mc{S}_n(\C)$ non diagonalisable.b) Soit $M \in \M_n(\C)$ et $Q: x = (x_1 \dots x_n)^T \in \C^n \mapsto \sum_{1 \leq i,j \leq n} m_{i,j} x_i x_j \in \C$. Montrer

qu'il existe une unique matrice $S \in \mc{S}_n(\C)$ telle que $\forall x \in \C^n$, $Q(x) = x^T S x$.

    $c$. Montrer qu'il existe un ensemble fini $I$, une famille $(\ell_i)_{i\in I} \in (\mc{L}(\C^n,\C))^I$ de formes linéaires indépendantes et une famille $(\alpha_i)_{i\in I} \in \C^I$ telles que

linéaires indépendantes et une famille
$$(\alpha_i)_{i\in I} \in \C^I$$
 telles que $\forall x \in \C^n, \sum_{1\leq i,j\leq n} a_{i,j}x_ix_j = \sum_{i\in I} \alpha_i\ell_i(x)^2$.

Ind. Commencer par traiter l'exemple $Q(x)=x_1^2+3x_1x_2+6x_2^2+4x_3^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 397]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mc{L}(E)$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $v \in \mc{L}(E)$ tel que $u \circ v = 0$ et $u + v \in \mathrm{GL}(E)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 398]
Soit $M \in \M_n(\C)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $M$ pour que l'application $f\colon A \in \M_n(\C) \mapsto AM + MA \in \M_n(\C)$ soit bijective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 399]
Soit
$$M \in \M_n(\C)$$
. On pose $\exp(M) = \sum_{k=0}^{+\i} \frac{M^k}{k!}$.

 1. Justifier que cette définition est pertinente.
 1. On suppose que $M$ s'écrit $M = I_n + A$ où $A$ est nilpotente. Montrer qu'il existe $P \in \C[X]$ tel que $M = \exp(P(M))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 400]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.

Pour
$$v \in \R^n \setminus \{0\}$$
, on pose $H_v = I_n - 2 \frac{vv^T}{\|v\|^2}$.

 1. Donner une interprétation géométrique de $H_v$.
 1. Montrer que, pour tout vecteur unitaire $e \in v^{\perp}$, on a $H_{v-\|v\|e}(v) = \|v\|e$.
 1. Soit $A \in GL_n(\R)$. Donner un algorithme permettant de trouver $Q \in \mc{O}_n(\R)$ et $R \in \M_n(\R)$ triangulaire supérieure à coefficients diagonaux \gt  0 telles que $A$ = QR.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 401]
Soient $E = \db{1,n}$ et $A_1,\ldots,A_m$ des parties distinctes de $E$ telles qu'il existe $c \in \N^*$ vérifiant : $\forall (i,j) \in\db{1,n}^2, i \neq j, \Rightarrow \op{Card}(A_i \cap A_j) = c$. Montrer que $m \leq n$. Ind. Considérer d'abord le cas où il existe $i$ tel que $\op{card}(A_i) = c$. Ensuite pour $i \in \db{1,m}$, poser $v_i = \begin{pmatrix} \mathbf{1}_{A_i}(1) \\ \vdots \\ \mathbf{1}_{A_i}(n) \end{pmatrix} \in \M_{n,1}(\R) \text{ et considérer } G = (\langle v_i, v_j \rangle)_{1 \leq i,j \leq m}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 402]
Soient $n, p \ge 2$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $E$ un sousespace vectoriel de $\R^n$ et $b \in \R^n$.
 1. Montrer que $\inf\{||x-b||, x \in E\}$ est atteint en un unique point de $E$.
 1. Soit $A \in \M_{n,p}(\R)$. Montrer que $\inf\{\|Ax b\|, x \in \R^p\}$ est atteint. Si $x_1$ et $x_2$ sont deux points en lesquels le minimum est atteint, montrer que $x_2 x_1 \in \op{Ker} A$.
 1. Résoudre l'équation $A^T A x = A^T b$ d'inconnue $x \in \R^p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 403]
Soit
$$H \in \mc{S}_n(\R)$$
.a) Montrer qu'il existe des réels distincts $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ et des matrices de projecteurs orthogo-

naux $P_1, \ldots, P_k$ de $\R^n$ tels que : $\sum_{i=1}^k P_i = I_n, P_i P_j = 0$ si $i \neq j$ et $H = \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$.

 1. Soit $R \in \mc{S}_n^+(\R)$ tel que $\op{tr}(R) = 1$. On pose $p_i = \op{tr}(RP_i)$ pour $1 \leq i \leq k$.

Montrer que $(p_1, \ldots, p_k)$ est une loi de probabilité sur $\{1, 2, \ldots, k\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 404]
Soient $A, B \in S_n^{++}(\R)$. Montrer que $\det^{1/n}(A+B) \geq \det^{1/n}(A) + \det^{1/n}(B)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 405]
Soient $M_1, \ldots, M_n \in \M_p(\R)$ telles que $\sum_{i=1}^n M_i^T M_i = I_p$.

Pour $X \in \M_p(\R)$, on pose $L(X) = \sum_{i=1}^n M_i^T X M_i$.

On écrit $M \geq N$ pour signifier $M - N \in \mc{S}_n^+(\R)$. Montrer que $L(X^TX) \geq L(X^T)L(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 406]
Soient $d \in \N^*$ ainsi que $A \in \mc{S}_d^{++}(\R)$. On définit la suite $(A_n)_{n \in \N}$ par $A_0 = A$ et, pour $n \in \N, \ A_{n+1} = A_n + A_n^{-2}$. Donner un équivalent de $\op{tr} A_n$ lorsque $n \ra +\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 407]
 1. Soit $(u_1,\ldots,u_k)\in(\R^n)^k$. Montrer que l'on peut renuméroter les $u_i$ pour qu'il existe $\alpha \in [1, k]$ tel que la famille $(u_1, \dots, u_\alpha)$ soit libre et $u_j \in \text{Vect}(u_1, \dots, u_\alpha) = E$

pour tout $j \in [\alpha + 1, k]$.
 1. Soit $U = (u_1 | \cdots | u_\alpha) \in \M_{n,\alpha}(\R)$. Montrer que $U^T U$ est inversible.

    $c$. Soient
$$\beta \geq \alpha + 1$$
 et $B = \begin{pmatrix} \langle u_{\beta}, u_1 \rangle \\ \vdots \\ \langle u_{\beta}, u_{\alpha} \rangle \end{pmatrix}$. Montrer que la solution de $U^TUX = B$ donne

les coordonnées de $u_{\beta}$ dans la base $(u_1, \ldots, u_{\alpha})$ de $E$.

    $d$. Soit $(v_1, \ldots, v_k) \in (\R^n)^k$ telle que : $\forall (i,j) \in \db{1,k}^2, \langle u_i, u_j \rangle = \langle v_i, v_j \rangle$. Montrer qu'il existe $W \in \mc{O}_n(\R)$ telle que : $\forall i \in [1, k], Wv_i = u_i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 408]
 1. Soit $A \in \M_n(\R)$. Montrer que $A \in \mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement s'il existe $k \in \N^*$ et

 $B \in \M_{k,n}(\R)$ tels que $A = B^T B$.

Soient $n \geq 2$ et $\mc{L}$ un endomorphisme de $\M_n(\R)$. Soit $k \in \N^*$.

Pour $A \in \M_{kn}(\R)$ que l'on écrit $A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & \dots & A_{1,k} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{k,1} & \dots & A_{k,k} \end{pmatrix}$ où chaque bloc est une matrice de $\M_n(\R)$, on définit $\hat{\mc{L}}_k$ par $\hat{\mc{L}}_k(A) = \begin{pmatrix} \mc{L}(A_{1,1}) & \dots & \mc{L}(A_{1,k}) \\ \vdots & & \vdots \\ \mc{L}(A_{k,1}) & \dots & \mc{L}(A_{k,k}) \end{pmatrix}$.

On dit que $\mc{L}$ est $C$.P. (complètement positif) lorsque, pour tout $k \in \N^*$ et tout $A \in \mc{S}_{nk}^+(\R)$, $\hat{\mc{L}}_k(A) \in \mc{S}_{nk}^+(\R)$.

 1. Montrer que $\mc{L}: M \in \M_n(\R) \mapsto M^T \in \M_n(\R)$ n'est pas $C$.P.

    $c$. Soit $\mc{L} \in \mc{L}(\M_n(\R))$ complètement positif. En regardant le cas k=2, montrer que, pour tout $M \in \M_n(\R), \mc{L}(M^T) = \mc{L}(M)^T$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 409]
Soient $S, T \in \mc{S}_n(\R)$ telles que, pour tout $X \in \R^n \setminus \{0\}, X^T(S+T)X \gt  0$.

Montrer qu'il existe une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\R^n$ telle que, pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, la famille $(Se_i, Te_i)$ soit liée. Ind. Considérer $B:(X,Y)\mapsto X^T(S+T)Y$ et $M=(S+T)^{-1}S$.
#+END_exercice


** Analyse

#+begin_exercice [X PC 2025 # 410]
Soit $A = \{ M \in \M_n(\R) ; \forall (i,j) \in [1,n]^2, m_{i,j} \in [0,1]^2 \}$.

On pose $\alpha = \sup_{M \in A} (\det M)$.

    a. Montrer que $\alpha$ est un maximum.

    $b$. Montrer que ce maximum est atteint en des matrices $M$ à coefficients dans $\{-1,1\}$ telles que $\det M \gt  0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 411]
Pour
$$A \in \M_n(\R)$$
, on pose $\exp(A) = \sum_{k=0}^{+\i} \frac{A^k}{k!}$.

    a. Montrer que $\exp(A)$ est bien définie. Soit $(A, B) \in \M_n(\R)^2$.

 1. Montrer que, si $A$ et $B$ commutent, alors $\exp(A+B) = \exp(A) \exp(B)$.

    $c$. Montrer que
$$\lim_{k \ra +\i} \left( \exp\left(\frac{A}{2k}\right) \exp\left(\frac{B}{k}\right) \exp\left(\frac{A}{2k}\right) \right)^k = \exp(A+B)$$
.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 412]
On munit
$$E = \left\{ f \in \mc C^0([0,1], \R), \int_0^1 f(t) dt = 0 \right\}$$
 de la norme $\| \|_{\i}$. Si $f \in E$, on pose $A(f) : x \in [0,1] \mapsto \int_0^x f(t) dt + \int_0^1 t f(t) dt$.

    a. Trouver $C$ \gt  0 tel que $\forall f \in E$, $||A(f)||_{\i} \leq C||f||_{\i}$.

    $b$. Déterminer la constante $C$ optimale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 413]
Soit $A \subset \R^2$. On pose

$$Conv(A) = \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \; ; \; n \in \N^*, \; (x_1, \dots, x_n) \in A^n, \; (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in (\R^+)^n, \; \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 \right\}$$.

On suppose de plus que, pour tout $(x,y) \in A^2$, il existe $\gamma: [0,1] \ra A$ continue telle que $\gamma(0)=x$ et $\gamma(1)=y$. Montrer que $\op{Conv}(A)=\bigcup_{(a,b)\in A^2}[a,b]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 414]
Soit $E$ un espace vectoriel normé. On dit que $(u_n) \in E^{\N}$ vérifie la propriété $C$ si : $\forall \eps \gt  0, \ \exists N \in \N, \ \forall p \geq N, \ \forall q \geq N, \ \|u_p - u_q\| \leq \eps$. On dit que $E$ vérifie la propriété $B$ si toute suite de $E$ vérifiant $C$ est convergente. On admet que $\mathbb R$ vérifie la propriété $B$. On

pose
$$\ell^1 = \left\{ (u_n) \in \R^{\N} ; \sum_{n \in \N} |u_n| \lt  +\i \right\}$$
. On munit $\ell^1$ de la norme définie par $||u||_1 = 0$

$$\sum_{n=0}^{+\i} |u_n|$$
. Montrer que $(\ell^1, || \|_1)$ vérifie la propriété $B$.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 415]
On munit $\ell^1=\{u\in\R^\N,\ \sum_{n=0}^{+\i}|u_n|\lt +\i\}$ de la norme définie par $\|u\|_1=\sum_{n=0}^{+\i}|u_n|$ et
$$\ell^{\i} = \{u \in \R^{\N} : \exists M \in \R, \forall n \in \N, |u_n| \leq M\}$$
 de la norme définie par $||u||_{\i} = \{u \in \R^{\N} : \exists M \in \R, \forall n \in \N, |u_n| \leq M\}$

 $\sup_{n\in\N}|u_n|. \text{ Enfin, pour }(u,v)\in\ell^1\times\ell^\i, \text{ on pose }\phi_v(u)=\sum_{n=0}^{+\i}u_nv_n$.

    a. Montrer que pour tout $v \in \ell^{\i}$, $\phi_v$ est bien définie sur $\ell^1$.

On note $D_{\ell^1}$ l'ensemble des formes linéaires sur $\ell^1$ qui sont continues.

 1. Montrer que pour tout $v \in \ell^{\i}$, $\phi_v \in D_{\ell^1}$. On pose, pour $v \in \ell^{\i}$, $\|\phi_v\| = \inf \{C \gt  0 : \forall u \in \ell^1, |\phi_v(u)| \leq C \|u\|_1 \}$.

    $c$. Montrer que $\| \|$ est une norme.
 1. Calculer $\|\phi_v\|$ pour $v \in \ell^{\i}$.

    $d$. Calculer $\|\phi_v\|$ pour $v \in \ell^{\i}$. Les question précédentes montrent que l'application $T$ de $\ell^{\i}$ dans $D_{\ell^1}$, qui à $v$ associe $\phi_v$ est une application linéaire et une isométrie

est une application linéaire et une isométrie.
 1. Montrer que $T$ est bijective.
#+END_exercice


#+begin_exercice [X PC 2025 # 416]
 1. Soit $M \in \M_2(\C)$. Montrer qu'il existe un unique $(N, D) \in \M_2(\C)^2$ tel que :
    + $M$ = $D$ + $N$,
    + $D$ est diagonalisable,
    + $N$ est nilpotente, iv) ND = DN.
 1. Quels sont les points de continuité de $M \mapsto (D, N)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 417]
Pour tout $n \geq 1$, on pose $v_n = \sum_{n=1}^{n^2} \frac{1}{n^2 + k^2}$. Déterminer la limite de $(nv_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 418]
On définit $(u_n)$ par $u_0, u_1 \in \R^{+*}$ et $\forall n \in \N, \ u_{n+2} = \sqrt{u_{n+1}} + \sqrt{u_n}$. Montrer que $(u_n)$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 419]
Soient $(a_n) \in (\R^{+*})^{\N}$ et, pour $n \in \N$, $t_n = \sqrt{a_0 + \sqrt{a_1 + \sqrt{\cdots + \sqrt{a_n}}}}$.
 1. Montrer que, si $\lim_{n \ra +\i} \sup_{k \ge n} \left\{ \frac{\ln(\ln a_k)}{k} \right\} \gt  \ln 2$, alors $(t_n)$ diverge.
 1. Montrer que, si $\lim_{n \ra +\i} \sup_{k \gt  n} \left\{ \frac{\ln(\ln a_k)}{k} \right\} \lt  \ln 2$, alors $(t_n)$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 420]
Soit $f\colon \R^{+*} \ra \R^{+*}$ strictement croissante, continue et telle que $f(t) \ra +\i$ quand $t \ra +\i$. Montrer que les séries de termes généraux $\frac{1}{f(n)}$ et $\frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 421]
Soit $(u_n) \in (\R^{+*})^{\N}$. Pour $n \in \N$ on pose $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$. Montrer que $\sum u_n$ converge si et seulement si $\sum \frac{u_n}{S_n}$ converge.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 422]
Soient $(c_i)_{i \in \N} \in \{0,1\}^{\N}$ et $f\colon x \mapsto \sum_{i=0}^{+\i} c_i x^i$. Montrer que, si $f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}$, alors $f\left(\frac{1}{2}\right)$ est irrationnel.
#+END_exercice


#+begin_exercice [X PC 2025 # 423]
Soit
$$n \in \N^*$$
. Montrer: $\forall (x_1, \dots, x_n) \in \R^n, \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i - x_j|} \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i + x_j|}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 424]
Soit $f\colon x \in \R^* \mapsto e^{-1/x^2}$. Montrer que $f$ admet un prolongement de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 425]
Soit $G:[0,1]\ra\R$ telle que G(0)=G(1)=0, $G$ est continue en 1 et dérivable en 0, $G'(0)\geq 0$ et, pour tout $x\in[0,1]$, on a $G(x)=\max_{y\in[0,x]}(G(y)+G(x-y))$.

Montrer que $G$ est nulle.

 1. Montrer $I_n \ra +\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 426]
$$
 Montrer que : $\sum_{p \leq x} \frac{\ln p}{p} \geq \ln x + O(1)$. *Ind.* Considérer $\ln(n!)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 427]
Soient $f:[0,1]\ra\R$ continue, $g:[0,1]\ra\R$ continue à valeurs positives telle $\int_0^1g=1$ et $\phi:\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $\phi''\geq 0$.

Montrer:
$$\phi\left(\int_0^1 f(x)g(x) dx\right) \leq \int_0^1 \phi(f(x)) g(x) dx$$
.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 428]
Soient deux réels a \lt  $b$ et $f, g \in \mc C^0\left([a, b], \R^{+*}\right)$ avec $f \neq g$.

On suppose
$$\int_a^b f = \int_a^b g$$
. Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_a^b \frac{f^{n+1}}{g^n}$.

    a. Montrer que $(I_n)_{n\in\N}^{J_a}$ est strictement croissante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 429]
Soif $f \in C^2([0,1], \R^+)$ telle que f(0) = 0 et $f'' \ge 0$.

Montrer que $\int_0^1 f(x)^2 dx \leq \int_0^1 x^2 f'(x)^2 dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 430]
Soient $K: [0,1]^2 \ra \R^{+*}$ et $f,g\colon [0,1] \ra \R^{+*}$ continues telles que $: \forall x \in [0,1]$, $f(x) = \int_0^1 K(x,z)g(z)dz$ et $g(x) = \int_0^1 K(x,z)f(z)dz$. Montrer que f=g.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 431]
Soient $L^1$ (resp. $L^2$) l'ensemble des fonctions continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$ intégrables (resp. de carré intégrable). Soit $f \in \mc C^1(\mathbb R,\mathbb C)$ telle que $x \mapsto x \, f(x)$ et $x \mapsto x \, f'(x)$ sont dans $L^2$.

    a. Montrer que $f \in L^2 \cap L^1$.

 1. Montrer $\lim_{x \ra \pm \i} f(x) = 0$. Montrer que $x \mapsto x f^2(x)$ est dans $L^2$


#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 432]
Soit $E$ l'ensemble des $f\in\mc C^2(\R,\R)$ telles que $x\mapsto (1+x^2)|f(x)|$, $x\mapsto (1+x^2) |f'(x)|$ et $x\mapsto (1+x^2)|f''(x)|$ soient bornées sur $\R$. Pour $t\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R,\R)$, on pose
$A_t(f)\colon x \mapsto f'(x) + txf(x)$ et $A_t^*(f): x \mapsto -f'(x) + txf(x)$.

 1. Si $f \in E$, montrer que $\int_{\mathbb{T}^n} A_t^* (A_t(f)) f \ge 0$.

Ind. Montrer, pour $(f,g) \in E^2$, que $\int_{\R} A_t(f) g = \int_{\R} f A_t^*(g)$.

 1. Soit $f \in E$ telle que $\int_{\R} f^2 = 1$. Montrer que $\left(\int_{-\i}^{+\i} x^2 f^2(x) dx\right) \left(\int_{-\i}^{+\i} f'^2(x) dx\right) \geq \frac{1}{4}$
#+END_exercice


#+begin_exercice [X PC 2025 # 433]
Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions de classe $C^3$ définies de $\R$ dans $\R$.

On suppose que $\sup_{n\in\N}\left(\sup_{x\in\R}\left|f_n^{(3)}(x)\right|\right)=c\in\R \text{ et } \lim_{n\ra+\i}\sup_{x\in\R}\left|f_n(x)\right|=0$.  Montrer que $\lim_{n\ra+\i}\sup_{x\in\R}\left|f_n'(x)\right|=0 \text{ et } \lim_{n\ra+\i}\sup_{x\in\R}\left|f_n''(x)\right|=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 434]
On admet que $\sum_{n=1}^{+\i} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$. Soit $g\colon x \mapsto \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{+\i} \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$.
 1. Montrer que $g$ est définie sur $\R$.
 1. Calculer $\int_{-\i}^{\i} g(x)^2 dx$.
 1. Calculer $\int_0^{\pi} (x^2 g(x))^2 dx$.
 1. Expliciter $q$ et tracer son graphe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 435]
Soit $f \in \mc C^{\i}(\R, \R)$. Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie par $f_0 = f$ et, pour tout $n \in \N$ et tout $x \in \R$, $f_{n+1}(x) = \int_0^x t f_n(t) dt$.
 1. Montrer que l'application $T$ qui à $f$ associe $\sum_{n=0}^{+\i} f_n$ est un endomorphisme de $\mc C^{\i}(\R,\R)$.
 1. Exprimer T(f) à l'aide de $f$.
 1. L'application $T$ est-elle injective? surjective?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 436]
Soit $f\colon t \mapsto (1-t)^{1-1/t}$. Cette fonction est-elle développable en série entière? Si oui déterminer le rayon de convergence et le signe des coefficients de ce développement en série entière.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 437]
Donner le développement en série entière de $f(x) = \frac{1}{1-2x-x^2}$ et son rayon de convergence. Montrer que les coefficients sont entiers. Pouvait-on le prévoir?
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 438]
On pose $f\colon z \mapsto \sum_{n=0}^{+\i} \frac{z^n}{2^{n(n-1)/2}}$. Montrer que $f$ n'est pas le quotient de deux polynômes.
#+END_exercice


#+begin_exercice [X PC 2025 # 439]
 1. Donner le développement en série entière de $\arctan$ et montrer : $\sum_{k=0}^{+\i} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}$.

 1. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = 4 \sum_{i=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2k+1}$. Montrer: $\left| \pi S_n \frac{(-1)^n}{n} \right| \leq \frac{1}{2n^3}$.
 1. Montrer que, pour $n = 5 \times 10^5$, $\pi$ et $S_n$ ont leurs 16 premières décimales communes, sauf pour la 6e.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 440]
 1. Soit $f \in \C[X]$ non constant. Soit $r$ \gt  0. On suppose que $f$ n' a pas de racine de module $r$. On note $N_r(f)$ le nombre de racines de $f$ (comptées avec multiplicité) situées dans le disque de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $N_r(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f'(re^{i\theta})}{f(re^{i\theta})} re^{i\theta} d\theta$.

 1. Soit $r$ \gt  0. Soient $f$ et $g$ dans $\C[X]$ tels que, pour tout $z$ de module $r$, [g(z)] \lt  |f(z)|. Montrer que $f$ et f+g ont le même nombre de racines comptées avec multiplicité dans le disque de centre 0 et de rayon $r$.
 1. Application: montrer que $X^8 5X^3 + X + 2$ possède 3 racines comptées avec multiplicité dans le disque unité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 441]
Soit $A: \C \ra \mathrm{SL}_2(\C)$. On suppose que les coordonnées de $A$ sont sommes de séries entières de rayon $+\i$ et que $A(\R) \subset SO_2(\R)$. Montrer qu'il existe $\phi : \C \ra \C$ somme d'une série entière de rayon $+\i$ telle que $\forall z \in \C, \ A(z) = \begin{pmatrix} \cos(\phi(z)) & -\sin(\phi(z)) \\ \sin(\phi(z)) & \cos(\phi(z)) \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 442]
Soit $\gamma:[a,b]\ra\C$ une fonction continue. On suppose qu'il existe une subdivision $a = a_0 \lt  a_1 \lt  \cdots \lt  a_n = b$ telle que, pour tout $k \in \{0, \ldots, n-1\}$ la restriction $\gamma_k$ de $\gamma$
au segment $[a_k, a_{k+1}]$ est de classe $C^1$. Soit $f\colon \C \ra \C$ continue. On définit $\int_{\gamma} f(z) dz = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{a_i}^{a_{j+1}} f(\gamma_j(t)) \gamma_j'(t) dt$.
Si $\gamma(a)=\gamma(b)$ et $f$ est développable en série entière sur $\mathbb C$, montrer que $\int_{\mathbb R} f(z)dz=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 443]
 1. Montrer que, pour $x$ \gt  0, $e^{-x^2} \int_0^{+\i} e^{-t^2} dt = \int_0^{+\i} x e^{-x^2(1+s^2)} ds$.
 1. En déduire la valeur de $\int_0^{+\i} e^{-t^2} dt$.
 1. Calculer $\int_0^{+\i} \cos(t^2) dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 444]
 1. Montrer que $\forall t \in [0,1[,\int_0^{2\pi} \frac{e^{i\theta}}{1-te^{i\theta}} d\theta = 0$.b) En déduire que
$$\forall z \in \C, \ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \ln|e^{i\theta} - z| d\theta = \max(0, \ln|z|)$$.

Ind. Considérer la fonction
$$f\colon t \mapsto \int_0^{2\pi} \ln \left( |z - te^{i\theta}| \right) d\theta$$
.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 445]
Pour $x \in \R$, on note $x^+ = \max(x,0)$. Soit $\widehat{f}: \xi \in \R \mapsto \int_{-\i}^{+\i} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 e^{i\xi x} dx$.
 1. Montrer que $\hat{f}$ est définie et continue sur $\R$.
 1. Pour $N \in \N$ et $x \in \R$, montrer que

$$\frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^N \sum_{j=-k}^k e^{ijx} = \sum_{j=-N}^N \left( 1 - \frac{|j|}{N+1} \right) e^{ijx} = \frac{1}{N+1} \left( \frac{\sin\left(\frac{N+1}{2}x\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \right)^2$$.

    $c$. Pour $N \in \N$ et $k \in \Z$, montrer que :

$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2N+2} \left( \frac{\sin((N+1)x)}{\sin(\frac{x}{2})} \right)^2 e^{-ikx} dx = \left( 1 - \frac{|k|}{2N+2} \right)^+$$.

    $d$. Montrer que, uniformément en $k \in \Z$, la suite de terme général $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2N+2} \left( \frac{\sin((N+1)x)}{\sin(\frac{x}{2})} \right)^2 e^{-ikx} dx - \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2N+2} \left( \frac{\sin((N+1)x)}{\frac{x}{2}} \right)^2 e^{-ikx} dx$

tend vers
$$0$$
 lorsque $N \ra +\i$. En déduire : $\forall \xi \in \R, \ \widehat{f}(\xi) = \pi \left(1 - \frac{|\xi|}{2}\right)^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 446]
Soit $n \in \N^*$. Soit $A \in \M_n(\R)$.

 1. Justifier l'existence de $\exp(A) = \sum_{k=0}^{+\i} \frac{A^k}{k!}$ Ind. Montrer l'existence d'une norme $\| \ \|$
sur $\M_n(\mathbb{K})$ pour laquelle il existe $c$ \gt  0 tel que $\forall A, B \in \M_n(\R), \|AB\| \leq c\|A\| \|B\|$.
 1. Soit $M: \R \ra \M_n(\R), t \mapsto \exp(tA)$. Montrer que $M$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R$ et calculer
M'(t) pour tout $t \in \R$.
 1. Soit $p \in \N^*$. Soient $u : \R \ra \R^p$ continue et $B \in \M_{n,p}(\R)$. Trouver toutes les fonctions $X: \R \ra \R^n$ dérivables telles que $\forall t \in \R, X'(t) = AX(t) + Bu(t)$.
 1. Existe-t-il $P \in \R[X]$ telle que $\exp(A) = P(A)$ ?
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 447]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b \in \R^n$. On
pose: $\forall x \in \R^n$, $J(x) = \frac{1}{2} \langle Ax, x \rangle \langle b, x \rangle$.
 1. Montrer que $J$ est strictement convexe : $\forall x \neq y \in \R^n, \forall \lambda \in \left]0,1\right[,J(\lambda x + (1-\lambda)y) \lt  \lambda J(x) + (1-\lambda)J(y)$.
 1. Montrer que $\lim_{\|x\|\ra+\i} J(x) = +\i$.
 1. Montrer que $J$ atteint son minimum en l'unique point $x_0$ vérifiant $Ax_0 = b$.
#+END_exercice


#+begin_exercice [X PC 2025 # 448]
 Soit $n\geq 2$. On pose $\Sigma=\left\{(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n\;;\;\sum_{i=1}^na_i=0\;\mathrm{et}\;\sum_{i=1}^na_i^2=1\right\}$.Maximiser $S_n = a_1 a_2 + a_2 a_3 + \cdots + a_{n-1} a_n + a_n a_1$ lorsque $(a_1, \dots, a_n)$ décrit $\Sigma$.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [X PC 2025 # 449]
Soit $\lambda \gt  0$. Pour $n \in \N^*$, soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mc{B}(n,\lambda/n)$. Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Montrer que, pour tout $k \in \N$, $\mathbf{P}(X_n = k) \xrightarrow[n \ra +\i]{} \mathbf{P}(X = k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 450]
Soit $(a_n)_{n\in\N^*}$ une suite croissante d'entiers naturels non nuls. On tire des dés équilibrés, le $n$-ième dé admettant $a_n$ faces numérotées de 1 à $a_n$. On effectue les tirages tant que la suite des résultats est croissante. On note $p$ la probabilité de faire une infinité de tirages. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a_n)_{n\in\N^*}$ pour que $p$ soit non nul.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 451]
On définit pour
$$A \in \M_n(\R)$$
, $e^A = \sum_{k=0}^{+\i} \frac{A^k}{k!}$.

    a. Montrer que $e^A$ est bien défini.

Ind. On pourra montrer qu'il existe une norme $\| \cdot \|$ et une constante $C$ \gt  0 telles que, pour tout $A, B \in \M_n(\R), ||AB|| \leq C||A|| ||B||$.

On note
$$R = \frac{1}{2}I_2$$
, $K = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.

 1. Calculer, pour $s, t \in \R$, $f(s, t) = \text{Tr}(Re^{i(sR+yH)})$.

Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans un sous-ensemble fini de $\R^2$. On note $g(s,t) = \mathbf{E}(e^{i(sX+tY)})$.

    $c$. Montrer que
$$\forall s_1, \dots, s_m, \ t_1, \dots, t_m \in \R, \ \sum_{k=1}^m \sum_{\ell=1}^m g(s_k - s_\ell, t_k - t_\ell) \geq 0$$
 $()$

 1. On prend $s_2=s_3=t_1=t_3=\frac{2\pi}{3}$ et $t_2=s_1=0$. Montrer que $f$ ne vérifie pas $()$.
 1. Soient $H \in \mc{S}_n(\R), R \in \mc{S}_n^+(\check{\R})$ tel que $\op{Tr} R = 1$. Montrer qu'il existe une variable aléatoire réelle $X$ telle que $\forall s \in \R, \op{Tr}(Re^{isH}) = \mathbf{E}(e^{isX})$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 452]
Pour $n \in \N^*$, soit $S_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mc{B}(n,p)$.
 1. Soient $n \in \N^*$ et $s \ge 0$. Calculer $\mathbf{E}(e^{sS_n})$.
 1. Montrer que, pour tout réel a,

$$\mathbf{P}\left(\frac{S_n}{n} \geq a\right) \leq \exp\left(-n\sup_{s\gt 0}\left(as - \ln\left(pe^s + (1-p)\right)\right)\right)$$.

    $c$. Montrer qu'il existe une fonction $H\in\mc C^0(\R^{+*},\R^{+*})$ ne dépendant pas de $n$ telle que

$$\forall \eps \gt  0, \quad \mathbf{P}\left(\left|\frac{S_n}{n} - p\right| \geq \eps\right) \leq \exp(-nH(\eps))$$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 453]
Une suite $(Y_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ est dite *transiente* si, pour toute partie bornée $A$ de $\N$, on a $\sum_{n\in\N}\mathbf{P}(Y_n\in A)\lt +\i$.Soient $\alpha \gt  0$ et $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $i \in \N^*$ on ait $X_i \sim \mc{P}\left(\frac{\alpha}{i}\right)$. On pose $Y_n = X_1 + \dots + X_n$. Montrer que $(Y_n)$ est transiente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 454]
Une suite $(S_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ est dite *transiente* si, pour toute partie bornée $A$ de $\N$, on a $\sum_{n \in \N} \mathbf{P}(S_n \in A) \lt  +\i$. Soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables

aléatoires telle que $\mathbf{P}(X_1 = 1) = p$ et $\mathbf{P}(X_1 = -1) = 1 - p$, avec $p \in ]0,1[$. On pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. Montrer que $(S_n)$ est transiente si et seulement si $p \neq 1/2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 455]
Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. telle que $\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et

$$P(X_k = -1) = 1 - p$$
. On pose $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$, $T = \inf\{n \in \N^*, S_n = 1\}$ et $f_n = P(T = n)$.

 1. Montrer que $f_1 = p$ et que $\forall n \ge 2$, $f_n = (1-p)\sum_{k=0}^n f_{k-1}f_{n-k}$.
 1. On pose $F: x \mapsto \mathbf{E}\left(x^T 1_{T\lt +\i}\right)$. Montrer que $F(x) = px + (1-p)F(x)^2x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 456]
On considère un marcheur qui peut se situer sur $n$ sites numérotés de 1 à $n$. À chaque étape, il a une probabilité $p_{i,j}$ de sauter du site numéro $i$ au site numéro $j$.

Pour $k \in \N$, on note $X_k$ la variable aléatoire donnant le site occupé par le marcheur à l'étape $k$ et $\mu_{k,i} = \mathbf{P}$ (le marcheur est en $i$ à l'étape k). L'application $\mu_k : i \in \db{1,n} \mapsto \mu_{k,i}$ est la loi de $X_k$.

 1. Donner les lois de $X_1$ et $X_2$ et fonction de $\mu_0$ et des $p_{i,j}$.
 1. Pour $f\colon [1, n] \ra \R$, donner $\mathbf{E}(f(X_1))$.
On pose, pour $f \in \R^{[1,n]}$, l'application $T(f) : [1,n] \ra \R$ définie par $: T(f)(i) = \mathbf{E}(f(X_1))$ lorsque la suite $(X_n)$ vérifie $\mu_0 = \mathbf{1}_{\{i\}}$.
On dit que la marche aléatoire est déterministe si : $\forall i \in [1, n], \ \exists j_i \in [1, n], \ p_{i,j_i} = 1$.
 1. Interpréter cette dernière définition.
 1. Montrer que la marche est déterministe si et seulement si : $\forall (f,g) \in (\R^{[1,n]})^2$, T(fg) = T(f)T(g).
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2025 # 457]
Soit $n \geq 2$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.

Soit $X = (X_1, \dots, X_n)^T$ un vecteur aléatoire à valeurs dans $\R^n$. On suppose que $X$ est à valeurs dans $\{V_1, \dots, V_m\}$ avec, pour $k \in [1, m]$, $\mathbf{P}(X = V_k) = p_k \gt  0$.

 1. On dit que $X$ est centrée lorsque $\mathbf{E}(X)=0$. Montrer que, si $X$ est centrée, alors $\op{rg}(V_1,\ldots,V_m)\lt  m$.
 1. On dit que $X$ est centrée-réduite lorsque $\mathbf{E}(X)=0$ et que la matrice de covariance $(\op{Cov}(X_i,X_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est égale à $I_n$. Montrer que si $X$ est centrée-réduite alors $m\geq n$.
 1. On suppose que $m$ = $n$ + 1. Montrer que $X$ est centrée-réduite si et seulement si, pour tous $i \neq i$ $\langle V_i, V_j \rangle = -1$ et pour tout $i$ $n$ = 1
tous $i \neq j$, $\langle V_i, V_j \rangle = -1$ et, pour tout $i$, $p_i = \frac{1}{\|V_i\|^2 + 1}$.
#+end_exercice

* De Christophe                                                        :xens:

#+call: get_exo(1545)
#+BEGIN_exercice  [ENS 25, ULSR]
Une randonneuse doit choisir un emplacement pour poser sa tente. Elle dispose de $N$ emplacements distincts numérotés, qu'elle parcourt à partir du premier. Elle ne peut pas revenir en arrière, et lorsqu'elle est au niveau d'un emplacement, elle peut le comparer aux emplacements qu'elle a déjà vu. On suppose que tous les emplacements ont autant de chance d'être le meilleur. L'objectif est de s'arrêter au niveau du meilleur emplacement. But de l'exercice : trouver une stratégie maximisant les chances de réussite.
 1. Traiter le cas $N=3$.
 2. (Question donnée après avoir fini Q1) On considère la stratégie suivante : la randonneuse parcourt les $k$ premiers emplacements sans s'arrêter, et à partir du $k+1$-ième, elle s'arrête dès qu'elle en trouve un meilleur que les précédents. Quel est le meilleur $k$ (asymptotiquement)?
#+END_exercice

# ID:nil
#+BEGIN_exercice [ENS 25, SR]
Soit $M=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ 0 & B\end{array}\right)$ où $A \in \M_n(\C), B \in \M_k(\C)$ et $C \in \M_{n, k}(\C)$. On écrit

$$e^M=\left(\begin{array}{cc} * & \Phi_{A, B}(C) \\* & * \end{array}\right)$$

 1. Rappeler la valeur de chacune des étoiles.
 2. Montrer que $\Phi_{A, B}$ est linéaire.
 3. On suppose $A, B$ diagonalisables. Montrer que $\Phi_{A, B}$ est diagonalisable.
#+END_exercice

# ID:8238
#+BEGIN_exercice [ENS SR 25]
Montrer le caractère $C^{\i}$ sur $\R^2$ de la fonction définie par

$$\forall x \neq y, f(x, y)=\frac{e^x-e^y}{x-y} \text { et } \forall x, f(x, x)=e^x$$
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [X 2025]
Soit $\alpha\gt 0$. On définit
$$z_0=1 \text { et } \forall n \in \N, z_{n+1}=\frac{\alpha n+1}{\alpha(n+1)} z_n$$
 1. Montrer que $\quad\displaystyle\sum_{i=0}^n z_i \sim \alpha n z_n$.

 2. Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N}$. On note $\quad\displaystyle \mu_n=\frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n x_i$. On suppose que $\alpha x_n+(1-\alpha) \mu_n \ra x$. Montrer que $x_n \ra x$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $\alpha(n+1) z_n-\alpha n z_n=z_n$ donne un télescopage.
 2. En notant $v_n$ cette suite, on peut exprimer $v_n$ en fonction de $X_n = \sum_{k=0}^n x_k$ et $X_{n-1}$. Se ramène à la question 1 (il y a des choses à faire)

    To check.
#+END_proof

#+BEGIN_exercice [ENS 2025, MPI]
Soit $E$ un espace préhilbertien de dimension infinie. Soit $K$ une partie de $E$ non vide, bornée et dont la frontière est compacte.
Montrer que $K$ est d'intérieur vide.
Question supplémentaire : et si on remplace l'hypothèse "préhilbertien" par "normé" ?
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS 2025, MPI]
Dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on définit la relation d'ordre strict $\gt : A\gt B \Longleftrightarrow A-B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$.
Montrer que l'application $A \mapsto A^{-1}$ est décroissante sur $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [X 2025]
Soit $d \in \N^*$. On note $\quad\displaystyle f\colon z \mapsto \sum_{k \leq d, k \in \Z} c_k z^k$, et on suppose que $f$ est définie sur le complémentaire d'un disque centré en 0.
On suppose également que $c_1, \ldots, c_d \in \Q$ et qu'il existe une infinité de $z \in \Z$ tels que $f(z) \in \Z$.
 1. Montrer que $c_0 \in \Q$.
 2. Montrer que $\forall k\lt 0, c_k=0$.
 3. Autres questions non abordées.
#+END_exercice

# ID:nil
#+BEGIN_exercice [X 2025]
Quels sont les entiers $n \in \N^*$ tels que $\cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right) \in \Q$ ?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Via un polynôme $P_k$ tel que $\forall x \in \R, \quad P_k(2 \cos (x))=2 \cos (k x)$.
#+END_proof


#+BEGIN_exercice [ENS SR 2025]
Soit $n \in \N^*$. On note $E=\left\{A \in S_n^+(\R), \op{rg}(A)=1\right\}$.
 1. Montrer que $A \in E \Longleftrightarrow \exists U \in \R^n \setminus\{0\}, A=U U^T$.
 2. Soit $a \in C^0\left(\R^+, E\right)$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
    + $\exists u \in C^0\left(\R^+, \R^n \setminus\{0\}\right), \forall x\gt 0, a(x)=u(x) u(x)^T$
    + $\exists z \in C^0\left(\R^+, \R^n \setminus\{0\}\right), \forall x\gt 0, z(x)^T a(x) z(x)\gt 0$
 3. On suppose vraies les propriéts de la question 2. Soient $b\lt c$ dans $\R^+$ et $i, j \in[1, n]$. On suppose que $a_{i, i}(x)\gt 0$ et $a_{j, j}(x)\gt 0$ pour tout $x \in[b, c]$. Montrer que

$$\exists z \in C^0\left([b, c], \R^n \setminus\{0\}\right),\left\{\begin{array}{l}
\forall x \in[b, c], z(x)^T a(x) z(x)\gt 0 \\
z(b)=e_i \\
z(c)= \pm e_j
\end{array}\right.$$
#+END_exercice


#+BEGIN_exercice
On note $A=\left\{\left(a_n\right) \in \R^{\N}, \forall n \in \N, n a_{n+1}=(n+1) a_n\right\}$.
 1. Etudier $A$.
 2. Trouver les solutions sur $\interval]{-1, 1}[$ de $\quad\displaystyle (H): x(x-1) y''+3 x y'+y=0$
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS 2025]
Soient $\alpha \in \N^*$, ppremier impair. On dit qu'une partie $D \subset \Z / p^\alpha \Z$ est $f$ génératrice pour $f\colon \Z / p^\alpha \Z \times$ $\Z / p^\alpha \Z \ra \Z / p^\alpha \Z$ si

$$\forall y \in \Z / p^\alpha \Z, \exists n \geq 2, \exists d_1, \ldots, d_n \in D, y: f\left(f\left(\ldots f\left(d_1, d_2\right), d_3\right) \ldots, d_n\right)$$

 1. Avec $f:(x, y) \mapsto x-y$, dénombrer les parties $D \subset \Z / p^\alpha \Z$ qui sont $f$-génératrices et de cardinal minimal.
 2. Avec $f:(x, y) \mapsto x y$, montrer qu'il n'existe aucune partie $f$-génératrice de cardinal 1.

 3. Avec $f:(x, y) \mapsto x y$, montrer qu'il existe au moins une partie $f$-génératrice de cardinal 2. On admettra que le groupe des inversibles de $\Z / p^\alpha \Z$ est cyclique.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS25, SR]
Pour $f, g \in E=C^0([-1,1], \R)$, on note $(f \mid g)=\int_{-1}^1 f g$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $\quad\displaystyle L_n=\left(X^2-1\right)^n \text { et } P_n=\frac{1}{n!2^n} L_n^{(n)}$.

 1. Rappeler pourquoi (.|.) est un produit scalaire.
 2. Montrer que pour tout $n, P_n$ est un polynôme de degré $n$. Montrer que les $P_i$ sont deux à deux orthogonaux.
 3. Montrer que $P_n$ est scindé simple à racines dans $]-1,1[$.
 4. Ecrire $P_n$ sous la forme $\sum_{k=0}^n \alpha_k(X-1)^{n-k}(X+1)$. Montrer que $(X-1)^n P\left(\frac{X+1}{X-1}\right)$ est un polynôme.
 5. Etudier la rationnalité des racines de $P_n$
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [X 2025]
Soit $\sum\left(a_n z^n\right)$ une série entière de rayon $R\gt 0$ et de somme $f$. Soeint $p \in \N^*$ et $M \in \M_p(\C)$ telle que $\forall \lambda \in \op{Sp}(M),|\lambda|\lt R$.
 1. Montrer que $\sum\left(a_n M^n\right)$ converge.
 2. Peut-on trouver une suite $\left(a_n\right)$ telle que le résultat soit vrai pour toute matrice $M \in \M_p(\C)$ telle que $\forall \lambda \in \op{Sp}(M),|\lambda| \leq R$.
#+END_exercice


#+BEGIN_exercice [X 2025]
On note $B_n(\R)$ l'ensemble des matrices $M \in O_n(\R)$ telles que $\op{det}(M)=1$ et $-1 \notin \op{Sp}(M)$. On note

$$T: M \mapsto\left(I_n-M\right)\left(I_n+M\right)^{-1}$$

 1. Montrer que $T$ est bien définie sur $A_n(\R)$ et que $T\left(A_n(\R)\right) \subset B_n(\R)$.
 2. Montrer que $T\left(B_n(\R)\right) \subset A_n(\R)$.
 3. On prend $n=2$. Soit $M=\left(\begin{array}{cc}0 & -\tan (\theta) \\ \tan (\theta) & 0\end{array}\right)$ avec $|\theta|\lt \frac{\pi}{2}$. Que dire de $T(M)$ et $T^2(M)$ ?
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS 2025]
On dit qu'une matrice est de Bordaud si ses coefficients diagonaux sont exactement ses valeurs propres comptées avec multiplicité.
 1. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de Bordaud si et
    seulement si $A$ est trigonalisable dans $\R$.
 2. Existe-t-il une matrice symétrique dans $\C$, non diagonalisable, qui est de Bordaud ?
 3. Caractériser les matrices $A$ qui sont normales, $i$.e. $A^T A=A A^T$, et de Bordaud.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Le polynôme caractéristique est alors scindé.
 2. Est-il possible que $\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a\end{pmatrix}$ soit semblable à une matrice $\begin{pmatrix}a & c \\ c & a\end{pmatrix}$ ? Non, par déterminant.
 3.
#+END_proof


# ID:8239
#+BEGIN_exercice [ENS 2025]
 1. Soit $n \in \N$. Soient $A, B$ diagonalisables qui commutent. Montrer que $A$ et $B$ sont codiagonalisables.
 2. Soit $\Phi: S_n^{++}(\R) \times O_n(\R) \ra G L_n(\R)$ telle que $\Phi(H, Q)=H Q$. Montrer que $\Phi$ est une bijection.
 3. Montrer que $\Phi^{-1}$ est continue.
#+END_exercice

# ID:nil
#+BEGIN_exercice [X 2025]
Trouver deux dés non biaisés tels que la probabilité de la somme soit la même que pour deux dés usuels. Les valeurs des faces sont des entiers naturels, pas forcément distincts et les dés peuvent être différents.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice
Ci-dessous, version alternative du même exercice
Soient $f, g\colon \R \ra \R$ deux fonctions telles que:
 + Il existe $\alpha, \beta\gt 0$ tels que $\alpha+\beta\gt 1$;
 + Il existe $A, B\gt 0$ tels que : $\quad\displaystyle\forall x, y \in \R, \quad |f(x)-f(y)| \leq A|x-y|^\alpha, \quad |g(x)-g(y)| \leq B|x-y|^\beta$.

Soit $S=\left\{x_0, x_1, \ldots, x_n\right\}$ avec $x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n, a=x_0, b=x_n$. On définit :

$$J_S(f, g):=\sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i\right)\left(g\left(x_{i+1}\right)-g\left(x_i\right)\right)$$

 1. Montrer que : $\quad\displaystyle \left|J_S(f, g)-f(a)(g(b)-g(a))\right| \leq A B|2(b-a)|^{\alpha+\beta} \zeta(\alpha+\beta)$, où $\zeta$ désigne la fonction zêta de Riemann.
 2. Montrer qu'il existe une unique valeur $I \in \R$ telle que :

    $$\forall \eps\gt 0, \exists \delta\gt 0, \text { si } \max_{0 \leq i\lt n}\left|x_{i+1}-x_i\right|\lt \delta \Rightarrow\left|J_S(f, g)-I\right|\lt \eps$$
#+END_exercice


#+BEGIN_exercice
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ vérifiant :

$$\begin{array}{c} \forall x, y \in[a, b],\,|f(x)-f(y)| \leq A|x-y|^\alpha \\ |g(x)-g(y)| \leq B|x-y|^\beta \end{array}$$

Soient $a\lt b$ et $S=\left(x_k\right)$ une subdivision de $[a, b]$ de cardinal $n$. On note :

$$J_S(f, g)=\sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_k\right)\left(g\left(x_{k+1}\right)-g\left(x_k\right)\right)$$

 1. Montrer qu'il existe un indice $i$ entre 1 et $n-1$ tel que $x_{i+1}-x_{i-1}\lt \frac{2(b-a)}{n-1}$.

 2. Soit un tel $i$, et $S'=S \setminus\left\{x_i\right\}$. Exprimer simplement puis majorer $\left|J_S(f, g)-J_{S'}(f, g)\right|$.
 3. Montrer que $\quad\displaystyle\left|J_S(f, g)-f(a)(g(b)-g(a))\right| \leq A B(2(b-a))^{\alpha+\beta} \zeta(\alpha+\beta)$.

 4. Montrer qu'il existe un réel $I$ tel que pour tout $\eps\gt 0$, il existe $\delta\gt 0$ tel que pour toute subdivision $S$ de $[a, b]$ de pas inférieur à $\delta$,

    $$\left|J_S(f, g)-I\right|\lt \eps$$

#+END_exercice

# ID:8240
#+BEGIN_exercice [X 2025]
Soit $\phi: \R[X] \ra \R[X]$ une application linéaire.
 1. Montrer qu'il existe une suite de polynômes $\left(g_n\right)_{n \geq 0}$ tels que pour tout $P \in \R[X]$, on ait : $\quad\displaystyle \phi(P)=\sum_{n=0}^{+\i} g_n \cdot P^{(n)}$.
 2. Déterminer les polynômes $g_n$ dans le cas particulier où $\quad\displaystyle \phi(P)(X)=\int_0^X P(t)\dt$.
#+END_exercice

# ID:8213
#+BEGIN_exercice [X 2025]
On pose $u_0=\frac{1}{2}$ et $\forall n, u_n=u_{n-1}(1-u_{n-1})$.
 1. Etudier la limite de $\left(u_n\right)$.
 2. Montrer que $u_n \sim \frac{1}{n}$.
 3. Montrer que $\frac{1}{u_n}-n \sim \ln (n)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Tend vers $0$.
 2. Considérer $\frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n}$. Élémentaire.
 3. On a $\frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} = \frac{1}{u_n (1-u_n)} - \frac{1}{u_n}$
    $=\frac{1}{u_n (1-u_n)}\big(1 - (1-u_n)\big) = \frac{1}{1-u_n} = 1 + u_n + O(u_n^2)$.
#+END_proof

* Mines - MP                                                          :mines:

** Algèbre

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 458]
Pour $n \geq 2$, on pose $f(n) = \prod_{\substack{d \in [1, n-1] \\ d \mid n}} d$. Résoudre l'équation $f(n) = n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 459]
Soit $n \in \N^*$ dont on note $\{d_1, \dots, d_k\}$ l'ensemble des diviseurs positifs. Montrer que :

$$\sqrt{n} \leqslant \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} d_i \leqslant \frac{n+1}{2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 460]
Soient $p$, $q$ deux entiers naturels premiers entre eux tels que $p$ < $q$. Montrer qu'il existe un entier $n \geq1$ et une liste strictement croissante $(a_1, \ldots, a_n) \in (\N^*)^n$ telle que

$$\frac{p}{q} = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{a_k} \text{ et } a_1 \leqslant \left\lfloor \frac{q}{p} \right\rfloor.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 461]
a) Soit $p$ premier impair. Pour $k \in [1, p-1]$ montrer qu'il existe un unique $k^{-1} \in\db{1,p-1}$.
 tel que $k\cdot k^{-1}\equiv 1$ $[p]$. Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1}k^{-1}\equiv 0$ $[p]$.

b) Soit $m$ un entier naturel impair. Montrer que $\sum_{i=1}^{p-1} k^m \equiv 0$ [p].
c) Ici, $p \geq5$. Montrer que pour $k \in [1, p-1]$, il existe un unique $k^* \in [1, p^2 1]$ tel que

$$k \cdot k^* \equiv 1 \ [p^2].$$ Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1} k^* \equiv 0 \ [p^2]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 462]
On note $\tau(n)$ (resp. $\sigma(n)$ ) le nombre de diviseurs positifs de $n$ (resp. la somme des diviseurs positifs de n).
a) Montrer que si $n \wedge m = 1$ alors $\sigma(nm) = \sigma(n) \sigma(m)$.
b) Montrer que si $\sigma(n)$ est premier alors $\tau(n)$ l'est aussi.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 463]
Pour $n \in \N$, on pose $M_n = 2^n 1$, $u = 2 + \sqrt{3}$, $v = 2 \sqrt{3}$ et $s_n = u^{2^n} + v^{2^n}$.
a) Montrer que, si $M_n$ est premier, alors $n$ l'est aussi.
b) Montrer que $\forall n \in \N, \ s_{n+1} = s_n^2 2$. Qu'en déduire sur la suite $(s_n)$ ? c) Pour $q \in \N^*$, on pose $B = (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^2$ et, pour $(x,y), (x',y') \in B$, on pose (x,y) + 2(x', y') = (x + x', y + y') et $(x, y) \times (x', y') = (xx' + 3yy', xy' + yx')$.
  - i) Montrer que $(B, +, \times)$ est un anneau commutatif.
  - ii) On pose $A = \mathbb{Z} + \sqrt{3}\mathbb{Z}$ et $\pi : a + \sqrt{3}b \in A \mapsto (\overline{a}, \overline{b}) \in B$.

Montrer que $\pi$ est bien défini et est un morphisme surjectif d'anneaux.

d) Soit $n$ un nombre premier. Montrer que, si $M_n$ divise $s_{n-2}$, alors $M_n$ est premier. Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considérant le plus petit diviseur premier $q$ de $M_n$ et l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans $B^{\times}$.-
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 464]
Soient $A$ un anneau commutatif intègre et $a_0, a_1, \ldots, a_n$ dans A. Montrer que, si $a_n \neq 0$, l'équation $a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n = 0$ admet au plus $n$ solutions dans A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 465]
Soient $m$ et $n$ dans $\N^*$. Déterminer les morphismes de groupes de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 466]
Soient $p$ un nombre premier, et $G$ un groupe fini d'ordre 2p. Montrer que $G$ possède un élément d'ordre $p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 467]
On note $S_n$ le groupe des permutations de $\{1, \ldots, n\}$ et $M_n$ le maximum des ordres des éléments de $S_n$.
a) Montrer que $n \leq M_n \leq n!$.
b) Si $n \geq 4$, montrer que $M_n \leqslant \max_{2 \leqslant k \leqslant n-1} (k M_{n-k})$.
c) Montrer que $M_n = O(3^{n/3})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 468]
Soit $G$ un groupe fini dont tous les éléments sauf le neutre sont d'ordre 2.
a) Montrer que $G$ est abélien.
b) Soient $H$ un sous-groupe de $G$ et $y \in G \setminus H$. Montrer que $H \cup yH$ est un sous-groupe de $G$, et que l'union est disjointe.
c) En déduire que |G| est une puissance de 2.
d) Calculer le produit de tous les éléments de $G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 469]
Soit $G$ un groupe abélien fini dont l'ensemble des automorphismes est de cardinal 3.
a) Montrer que $\phi: x \in G \mapsto x^{-1}$ est un automorphisme de $G$, puis que $\forall x \in G, x^2 = e$.
${\it b}$ ) Montrer que ${\it G}$ admet un sous-groupe ${\it V}$ d'ordre ${\it 4}$ et déterminer les automorphismes de ${\it V}$.
c) Montrer qu'il existe $r \in \N$ tel que $G$ soit isomorphe à $V \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$, et en déduire une absurdité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 470]
Soient $G$ un groupe abélien fini et $\widehat{G}$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $(\C^*,\times)$.
a) Montrer que $\widehat{G}$ est un groupe fini.
b) Soit $\phi \in \widehat{G}$ non trivial. Montrer que $\sum_{g \in G} \phi(g) = 0$.
c) Montrer que $\widehat{G}$ est une partie libre de l'espace vectoriel $\mathcal{F}(G,\C)$.
d) En déduire que $|\widehat{G}| \leq |G|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 471]
Soient $\mathbb{K}$ un corps, A, $B$ deux parties finies de $\mathbb{K}$. On note $m = \operatorname{card}(A)$ et $n = \operatorname{card}(B)$. On pose $C = \{a + b, (a, b) \in A \times B\}$.
a) Pour $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, montrer que $\operatorname{Card}(C) \geq m+n-1$.
b) Montrer le même résultat pour $\mathbb{K}=\C$. On pourra utiliser l'ordre lexicographique sur $\C$. Pour $\mathbb{K}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, où $p$ est premier, on veut montrer que $\operatorname{card}(C)\geq \min(p,m+n-1)$. On suppose par l'absurde que $\operatorname{card}(C)=m+n-q$ avec $q\geq 2$ et m+n-q< $p$.
c) Montrer qu'il existe $f: A \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et $g: B \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ telles que :
(i) $\forall k \in \{0, \dots, m-2\}, \sum_{a \in A} f(a) a^k = 0$, (ii) $\sum_{a \in A} f(a) a^{m-1} = 1$,(iii)
$$\forall k \in \{0, \dots, n-1\} \setminus \{n+1-q\}, \sum_{b \in B} g(b) b^k = 0$$
, (iv) $\sum_{b \in B} g(b) b^{n+1-q} = 1$.

d) Conclure en calculant de deux manières différentes la quantité :

$$Q = \sum_{(a,b) \in A \times B} f(a)g(b) \prod_{c \in C} (a+b-c).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 472]
Soient $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de A. On dit que $I$ est un idéal premier si $I$ est distinct de $A$ et si, pour tout $(x,y) \in I^2$, la condition $xy \in I$ implique $x \in I$ ou $y \in I$.
a) Déterminer les idéaux premiers de $Z$.
  b) Soit $P\in K[X]$ irréductible. Montrer que PK[X] est un idéal premier de K[X].
c) Soient $J$ et $K$ deux idéaux et $I$ un idéal premier. Montrer que : $J \cap K = I$ implique $J$ = $I$ ou $K$ = $I$.
d) Soit $A$ un anneau commutatif non trivial dont tous les idéaux distincts de $A$ sont premiers. Montrer que $A$ est intègre puis que $A$ est un corps.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 473]
Soit $i$ un idéal d'un anneau commutatif a.
On appelle radical de $I$ l'ensemble $\sqrt{I} = \{x \in A : \exists n \in \N, x^n \in I\}$.
a) Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$ contenant $I$.
b) Déterminer les radicaux des idéaux de $\mathbb{Z}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 474]
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ non constant tel que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $P(x) \geq 0$.
a) Montrer que $P$ est de la forme

$$P = \lambda \times \prod_{i=1}^{p} (X - \alpha_i)^{2a_i} \times \prod_{j=1}^{q} \left[ (X - \lambda_j)^{n_j} (X - \overline{\lambda_j})^{n_j} \right],$$

avec $\lambda \geq 0$, les $\alpha_i$ dans $\mathbb{R}$ et les $\lambda_i$ dans $\C \setminus \mathbb{R}$.
b) Montrer qu'il existe $A, B \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P = A^2 + B^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 475]
Soit $\mathbb D$ désigne le disque unité ouvert de $\mathbb C$. Soit $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n\in\mathbb N^*$. On suppose que $P$ possède une racine $z_0\in\mathbb C$ vérifiant $|z_0|<1$. Montrer qu'il existe $Q\in\mathbb C_n[X]$ tel que : $\forall z\in\mathbb U,\, |P(z)|=|Q(z)|$ et $\forall z\in\mathbb D,\, |P(z)|<|Q(z)|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 476]
Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$ unitaire de degré $n \geq 1$. On note $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ ses racines complexes, distinctes ou non. Montrer que, pour tout $q \in \N^*$, le polynôme $\prod_{k=1}^n (X \lambda_k^q)$ est encore à coefficients entiers.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 477]
Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$, unitaire de degré $n \geq 2$, dont toutes les racines sont réelles et négatives. Montrer que P'(0) $P(1) \geq \frac{n^{n+1}}{(n-1)^{n-1}}P(0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 478]
Montrer qu'il existe un polynôme à coefficients entiers dont $\sin \frac{\pi}{180}$ est racine.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 479]
Soit $n \in \N^*$. On pose $P_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{2n+1}{2k+1} X^{n-k}$.

a) Montrer que $\sin((2n+1)\theta) = (\sin \theta)^{2n+1} P_n(\cos^2(\theta)/\sin^2(\theta))$ pour tout $\theta \in \mathbb{R} \setminus \pi\mathbb{Z}$.
b) En déduire que $\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos^2(k\pi/(2n+1))}{\sin^2(k\pi/(2n+1))} = \frac{n(2n-1)}{3}$.
c) Conclure que $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 480]
On fixe un entier $n \in \N^*$.

note

a) Montrer que l'équation $(E_n)$ : $\tan(y) = 2n\tan(y/2n)$ possède au moins $n$-1 solutions dans $]0, n\pi[$.
b) Expliciter deux polynômes A,B à coefficients réels tels que $\tan(2nt)=\frac{A(\tan t)}{B(\tan t)}$ pour
tout réel $t$ tel que $\tan t$ et $\tan(2nt)$ soient définis. c) Mettre en évidence un polynôme $P$ tel que les solutions de $(E_n)$ soient les solutions de
$P(1/\tan^2(y/2n)) = 0$. d) Dénombrer les solutions de $(E_n)$ dans $]0, n\pi[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 481]
a) Montrer que, pour $n \in \N^*$, il existe $P_n \in \mathbb{Z}[X]$ unitaire tel que $P_n\left(X + \frac{1}{X}\right) =$ $X^n + \frac{1}{X^n}$.
b) Déterminer les $r \in \mathbb{Q}$ tels que $\cos(\pi r) \in \mathbb{Q}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 482]
Pour une partie finie $I = \{x_1, \dots, x_n\}$ (de cardinal n) d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$, on

$$\operatorname{Conv}(I) = \left\{ \sum_{k=0}^{n} \lambda_k x_k \; ; \; (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in (\mathbb{R}^+)^n, \; \sum_{k=0}^{n} \lambda_k = 1 \right\}.$$

Pour $P \in \C[X]$, on note $\mathcal{Z}(P)$ l'ensemble de ses racines complexes. Soit $P \in \C[X]$ non
constant.
a) Écrire la décomposition en éléments simples de $\frac{P'}{D}$.
b) Montrer que $Conv(\mathcal{Z}(P')) \subset Conv(\mathcal{Z}(P))$. c) Soit $H$ un demi-plan fermé de $\C$ contenant au moins une racine de P'. Montrer que $H$ - contient au moins une racine de $P$. Démontrer ensuite que $P(H) = \C$.
#+end_exercice

# ID:7528
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 483]
Quelle est la dimension du $\mathbb{Q}$-sev de $\mathbb{R}$ engendré par $\mathbb{U}_5$, c'est-à-dire $\R \cap \vect_{\Q} \m U_5$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On note $\om = e^{2i\frac{\pi}{5}}$ $\m U_5 = \{1, \om, \ol{\om}, \om^2, \ol{\om^2}\}$ et $F = \R\cap \vect \m U_5$.

Comme la somme des racines $5$-ème de l'unité fait $0$, on a $1 + 2 \cos \frac{2\pi}{5} + 2 \cos \frac{4\pi}{5} = 0$, et $\cos \frac{4\pi}{5} = 2 \cos^2 \frac{2\pi}{5} - 1$, donc $\cos \frac{2\pi}{5}$ est racine du polynôme $P  = 1 + 2X + 4 X^2 - 2 = 4X^2 + 2X - 1$. On peut par ailleurs vérifier que ce polynôme n'a pas de racine rationnelle, car si $P(\frac{p}{q}) = 0$, avec $p,q$ premiers entre eux, alors $4p^2 + 2pq - q^2 = 0$, donc $p\mid q^2$, donc $p = \pm 1$, et de même, $q\mid 4$, et on peut vérifier que $\pm 1,\pm \frac{1}{2}$ et $\pm \frac{1}{4}$ ne sont pas racines de $P$.

On en déduit que $\cos \frac{2\pi}{5}$ est irrationnel.

 $F$ contient $1$, et $\cos \frac{2\pi}{5} = \frac{\om +\ol{om}}{2}$ qui est irrationnel donc $\dim_{\Q} F\geq 2$. Par ailleurs, l'expression $\cos \frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ justifie que $\Q[\cos \frac{\sqrt{5}-1}{4}] = \Q[\sqrt{5}]$ est un corps, de dimension $2$ sur $\Q$.

L'espace $G=\vect_{\Q} \m U_5$ est stable par multiplication (car $\m U_5$ l'est) donc doit être un $\Q[\sqrt{5}]$-espace vectoriel. Si dimension en tant que $\Q$-ev doit donc être un multiple de celle de $F$.

On a clairement $\dim_{\Q} G\leq 5$ et $G\neq F$, et $\dim F\geq 2$, donc nécessairement, $\dim_{\Q} F = 2$ et $\dim_{\Q} G = 4$.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 484]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$. Pour tout $x \in \mathbb{Z}^n$, on pose $\Lambda(x) = \operatorname{pgcd}(x_1, \ldots, x_n)$. Montrer l'équivalence des énoncés suivants : i) $\Lambda(Ax) = \Lambda(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ ; ii) det $A = \pm 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 485]
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
 1. Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$.
 2. Trouver $B \in \mathcal{M}_4(\mathbb{Q})$ telle que $B^2 = A$.
#+end_exercice

# ID:8707
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 486]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $P \in \mathbb{K}[X]$ tel que $P(0) \neq 0$. On suppose que $AB = P(A)$. Montrer que $A$ est inversible puis que $A$ et $B$ commutent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 487]
a) Soit $\phi$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe une unique $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \phi(M) = \operatorname{tr}(AM)$.
b) Déterminer les formes linéaires $\phi$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $\forall M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $\phi(MN) = \phi(NM)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 488]
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $\operatorname{rg} M = 1$.
a) Montrer qu'il existe $a,b\in\C^n$ tels que $M=ab^T$.
b) Montrer que $M^2 = (\operatorname{tr} M)I_n$. c) Calculer $\chi_M$. À quelle condition nécessaire et suffisante la matrice $M + I_n$ est-elle inversible? Dans ce cas, expliciter son inverse.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 489]
Déterminer les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que, pour toute matrice $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $AB = 0$ implique $BA = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 490]
Trouver les solutions dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ de $X^2 + X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 491]
Soient $z \in \C^*$ et $M = (z^{ij})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\C)$.
a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $z$ pour que $M$ soit inversible.
b) Calculer rg $M$ en fonction de $z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 492]
Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{K}^n$. On pose $a_{n+1}=a_1$. Soit $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ définie par : $m_{i,j}=a_j^i+a_{j+1}^i$.
a) Calculer $\det M$.
$\boldsymbol{b}$ ) Étudier l'inversibilité de $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 493]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n, u \in \mathcal{L}(E)$ nilpotent d'indice $n$-1.
a) Calculer dim (Ker $u^j$ ) pour $1 \le j \le n-1$.
b) Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ est

$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & 1 & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 494]
Dans $\mathcal{M}_n(\C)$ avec $n \geq 2$, soient $\mathcal{N}$ l'ensemble des matrices nilpotentes et $\mathcal{H}$ celui des matrices de trace nulle.- a) Montrer que $Vect(\mathcal{N}) \neq \mathcal{N}$.
b) Montrer que $\operatorname{Vect}(\mathcal{N}) \subset \mathcal{H}$. A-t-on $\mathcal{H} = \operatorname{Vect}(\mathcal{N})$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 495]
Soient $A$ et $B$ dans $GL_n(\mathbb{R})$.

Montrer que l'ensemble des matrices de $\{tA+(1-t)B,\ t\in[0,1]\}$ n'appartenant pas à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est fini de cardinal au plus $n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 496]
a) Que peut-on dire du déterminant d'une matrice de $GL_n(\mathbb{Z})$, le groupe des inversibles de l'anneau $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ ?
b) Soient $B, C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que, pour tout $k \in [0, 2n]$, $B + kC \in GL_n(\mathbb{Z})$. Calculer $|\det B|$ et $\det C$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 497]
Soient $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $k \in \N^*$. On suppose que $kM^{k+1} = (k+1)M^k$. Montrer que $I_n M$ est inversible et déterminer son inverse.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 498]
a) Définir la fonction indicatrice d'Euler puis exprimer $\phi(n)$ en fonction de la décomposition primaire de $n \in \N^*$.
b) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $n = \sum_{n \in \N} \phi(d)$.
c) En déduire le déterminant de la matrice $(i \wedge j)_{0 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 499]
Montrer que : $\forall t \geq 0, \forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \det(A^2 + tI_n) \geq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 500]
a) Soient $P_0, \ldots, P_{n-1}$ des polynômes de $\C[X]$ avec $P_k$ de degré $k$ et $z_0, \ldots, z_{n-1}$ des nombres complexes. Calculer $\det(P_{i-1}(z_{j-1}))_{1 \leq i,j \leq n}$.
b) Soient $x_0, x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{Z}$. Montrer que $\prod_{0 \le i < j \le n} \frac{x_j x_i}{j i} \in \mathbb{Z}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 501]
Soient $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ et $b_1 < b_2 < \dots < b_n$ des réels et $M = (e^{a_i b_j})_{1 \le i,j \le n}$.
a) Montrer que $\det M > 0$ lorsque $n$ = 2.
b) Calculer $\det M$ lorsque $b_k = k 1$ pour tout $k$.
c) Montrer que $M$ est inversible puis que $\det M > 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 502]
Soient $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que : $\sum_{i\neq j}(A_iA_j+A_jA_i)=0$. Montrer que :

$$\det\left(\sum_{k=1}^{n} (A_k + I_n)^2 - (n-2)I_n\right) \geq0.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 503]
a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ dont tous les coefficients diagonaux sont impairs et les autres pairs. Montrer que $A$ est inversible.
b) Est-ce encore le cas si on suppose les coefficients diagonaux pairs et les autres impairs?
c) On dispose de 2p+1 masses telles que, dès qu'on en enlève une, les 2p masses restantes peuvent être regroupées en deux ensembles de cardinal $p$ de même masse. Montrer que les 2p+1 masses sont toutes égales.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 504]
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel, où $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\C$. Soient $f,g\in\mathcal{L}(E)$ tels que $()$ $f \circ g - g \circ f = id$.

a) Vérifier que, pour tout $P \in \mathbb{K}[X]$, $f \circ P(g) - P(g) \circ f = P'(g)$ et montrer que $(g^n)_{n \in \N}$ est libre.

b) Pour $E = \mathbb{R}[X]$, donner un exemple qui vérifie $()$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 505]
Soient $A \in \mathrm{GL}_n(\C)$ et $N \in \mathcal{M}_n(\C)$ nilpotente telles que AN = NA. Montrer qu'il existe $B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $B^2 = A + N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 506]
Soient A, $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $k \in \N^*$. On suppose que $A^{k+1}B^k = A$ et que $A$ et $B$ sont équivalentes.

a) Montrer que $\dim \operatorname{Ker} A = \dim \operatorname{Ker} A^2$.

b) Montrer que $\mathbb{K}^n = \operatorname{Ker} A \oplus \operatorname{Im} A$.

c) Montrer que $B^{k+1}A^k = B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 507]
Soient $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$ et $A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ deux matrices semblables. Montrer que Com $A$ et Com $B$ sont semblables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 508]
Soient $n \geq2$ et $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\C$.

a) Calculer $\operatorname{Com}(J_r)$ où $J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ avec $0 \leqslant r \leqslant n$.

b) Montrer que Com(AB) = Com(A) Com(B) pour tout couple $(A, B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2$.

c) Exprimer $\operatorname{rg}(\operatorname{Com}(A))$ en fonction de $\operatorname{rg} A$. d) Étudier l'injectivité de $\gamma: A \mapsto \text{Com}(A)$. Quelle est son image?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 509]
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$. Soient $p_1, \ldots, p_n \in \mathcal{L}(E) \setminus \{0\}$. On suppose que : $\forall (i,j) \in [1,n]^2, p_i \circ p_j = \delta_{i,j}p_i$.

a) Montrer que : $\forall i \in [1, n], \operatorname{rg} p_i = 1$. b) Montrer que la somme $\operatorname{Im} p_1 + \cdots + \operatorname{Im} p_n$ est directe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 510]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. a) Montrer que : $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^2 \iff \mathbb{R}^n = \operatorname{Im} A \oplus \operatorname{Ker} A$.

b) Montrer que rg $A = \operatorname{rg} A^2$ si et seulement si $t(A+tI_n)^{-1}$ possède une limite finie quand ttend vers 0+.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 511]
Si $V$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, on note $V^o$ l'ensemble des $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que $\forall A \in V, \operatorname{tr}(AM) = 0$ ; l'ensemble $V^o$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.

a) Exprimer la dimension de $V^o$ en fonction de celle de $V$.

b) Déterminer $V^o$ si $V$ est le sous-espace des matrices triangulaires supérieures de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 512]
Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ tel que $V \setminus \{0\} \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{Q})$.

a) Montrer que $\dim V \leq n$.

b) On note $S$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ définie par $s_{i,j} = \begin{cases} 1 \text{ si } i = j+1 \\ 2 \text{ si } i = 1 \text{ et } j = n \\ 0 \text{ sinon.} \end{cases}$.
   Soient $\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}\in\mathbb{Z}$ tels que $\lambda_0$ soit impair. Montrer que $\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_kS^k\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q})$.

c) En déduire que dans la question a) l'égalité est possible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 513]
Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie, $\mathcal{A}$ une sous-algèbre de $\mathcal{L}(E)$ telle que les seuls sous-espaces stables par tous les éléments de $\mathcal{A}$ soient $\{0\}$ et $E$.
a) Soit $x \in E$. Donner $\Gamma_x = \{f(x), f \in A\}$.
b) i) Soient $u \in \mathcal{A}$ tel que $\operatorname{rg}(u) = r \geq 1$ et $f \in \mathcal{A}$. Montrer qu'il existe $\alpha \in \C$ tel que $\operatorname{rg}(u \circ f \circ u \alpha u) < r$.
  - ii) En déduire qu'il existe $u \in A$ tel que rg(u) = 1.
c) Montrer que $A = \mathcal{L}(E)$.
#+end_exercice

# ID:8717
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 514]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $\operatorname{Im} u^2 = \operatorname{Ker} u^3$. Montrer que : $\operatorname{Im} u = \operatorname{Ker} u^4$.
#+end_exercice
#+begin_proof
Procedons par double inclusion.
  1. Montrons que $\operatorname{Im} u \subset \operatorname{Ker} u^4$.
     Soit $y \in \operatorname{Im} u$. Il existe $x \in E$ tel que $y = u(x)$.
     Alors $u^4(y) = u^5(x) = u^3(u^2(x))$.
     Or $u^2(x) \in \operatorname{Im} u^2$ et par hypothèse $\operatorname{Im} u^2 = \operatorname{Ker} u^3$, donc $u^3(u^2(x)) = 0$.
     Ainsi $u^4(y) = 0$, c'est-à-dire $y \in \operatorname{Ker} u^4$.

  2. Montrons que $\operatorname{Ker} u^4 \subset \operatorname{Im} u$.
     Remarquons d'abord que $\operatorname{Ker} u \subset \operatorname{Ker} u^3 = \operatorname{Im} u^2 \subset \operatorname{Im} u$.
     Soit $x \in \operatorname{Ker} u^4$. Alors $u^3(u(x)) = u^4(x) = 0$, donc $u(x) \in \operatorname{Ker} u^3$.
     Par hypothèse, $u(x) \in \operatorname{Im} u^2$, donc il existe $z \in E$ tel que $u(x) = u^2(z) = u(u(z))$.
     On en déduit que $u(x - u(z)) = 0$, donc $x - u(z) \in \operatorname{Ker} u$.
     Comme vu précédemment, $\operatorname{Ker} u \subset \operatorname{Im} u$, donc $x - u(z) \in \operatorname{Im} u$.
     Finalement, $x = u(z) + (x - u(z))$ est somme de deux éléments de $\operatorname{Im} u$, donc $x \in \operatorname{Im} u$.
#+end_proof


#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 515]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. On note S(A) sa classe de similitude. On suppose S(A) bornée. a) Montrer que $A$ est diagonale à l'aide des matrices de dilatation $I_n + (\lambda - 1)E_{i,i}$, où $\lambda \in \C$
et $i \in \{1, ..., n\}$. Montrer que toute matrice de S(A) est diagonale.
b) À l'aide des matrices de transvection $I_n + E_{i,j}$ où $i \neq j$, montrer que $A \in \C I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 516]
Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$. a) Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que A, $B$ et $A$ + $B$ sont nilpotentes. Montrer: $\operatorname{tr}(AB) = 0$.
b) Soit $(A_1, \ldots, A_r)$ une famille libre de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
Soit $\Phi: B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mapsto ((\operatorname{tr}(A_1B), \dots, \operatorname{tr}(A_rB)) \in \mathbb{K}^r$. Montrer que $\Phi$ est surjective.
c) Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ constitué de matrices nilpotentes.
  - i) Exprimer la dimension de $G^{\circ}=\{B\,;\,\forall A\in G, \operatorname{tr}(AB)=0\}$ en fonction de celle de $G$.
  - ii) Montrer que dim $G \leqslant \frac{n(n-1)}{2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 517]
Soit $n \in \N^*$. Soit $\mathcal{D}$ l'ensemble des matrices $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que $m_{i,j} = 0$ pour tous $i, j \in [1, n]$ tels que $i$ $j$ est impair.
a) Montrer que $\mathcal{D}$ est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(\C)$.
b) Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $M \in \mathcal{D}$ si et seulement si $\mathrm{Com}(M) \in \mathcal{D}$.
c) L'équivalence précédente reste-t-elle vraie si on ne suppose plus $M$ inversible?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 518]
Déterminer les applications $f$ de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que, pour tout $X \in \mathbb{R}^n$ et toute $P \in GL_n(\mathbb{R})$, on ait $f(PX) = Pf(X)P^{-1}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pour $X = E_1$, on commute avec toutes les matrices de la forme $\begin{pmatrix}1 & L \\ 0 & P\end{pmatrix}$. À relier à un plus bas.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 519]
Soient $n \geq2$ et $f \in \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\C))$. On suppose que, pour toute matrice $A \in \mathrm{GL}_n(\C)$, la matrice f(A) appartient à $\mathrm{GL}_n(\C)$.
a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C) \setminus \mathrm{GL}_n(\C)$.
  - i) Montrer que $A$ est équivalente à une matrice nilpotente.
  - ii) En déduire que $f(A) \notin GL_n(\C)$.
b) Montrer que $f$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 520]
Soit $\mathcal{D}_n$ le sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$ constitué des matrices diagonales inversibles. Déterminer les $P \in \mathrm{GL}_n(\C)$ telles que $\forall M \in D_n, PMP^{-1} \in D_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 521]
Soit
$\phi$
 définie sur $\mathbb{R}[X]$ par $\phi(P) = \frac{1}{2} \left( P(X) + P(-X) \right) + \frac{X}{2} \left( P(X) - P(-X) \right)$.

a) Montrer que $\operatorname{Ker} \phi = \{(1 X)P, \ P \in \mathbb{R}[X] \text{ impair}\}\ \text{et } \operatorname{Im} \phi = \{P \in \mathbb{R}[X] \text{ pair}\}$. b) Montrer que $\operatorname{Im} \phi \text{ et } \operatorname{Ker} \phi \text{ sont supplémentaires. Que dire de } \phi$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 522]
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$. Déterminer la comatrice de la comatrice de $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 523]
Rappeler la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Donner une base de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ formée de matrices
diagonalisables.

  524 Soient $n$, $d$ > 2 des entiers fixés. On note Lla matrice de $M$ ( $\C$ ) dont tous les coeffi-
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 524]
Soient $n, d \geq2$ des entiers fixés. On note $J$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\C)$ dont tous les coefficients sont égaux à 1. Soit $M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ vérifiant les conditions suivantes :
i) $m_{i,i} = 0$ pour tout $1 \le i \le n$ ; ii) sur chaque ligne, $M$ a exactement $d$ coefficients égaux à 1 et $n$ - $d$ coefficients nuls;
iii) pour tous $1 \leqslant i \neq j \leqslant n$ :
si $m_{i,j} = 0$ alors il existe un unique $k \in [1, n]$ tel que $m_{i,k} = m_{k,j} = 1$,
$-\sin m_{i,j}=1$ alors il n'existe aucun $k\in \db{1,n}$ tel que $m_{i,k}=m_{k,j}=1$.
a) Déterminer le spectre de $J$.
  b) Exprimer MJ, JM et M² en fonction de $M$, $J$ et $I_n$ .
c) Montrer que $\operatorname{Ker}(M-dI_n)=\operatorname{Im} J$. Que peut-on en déduire concernant le couple (n,d)?
  d) Montrer que les autres valeurs propres de $M$ sont racines d'un polynôme du second degré à préciser.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 525]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant : $\forall i \in [1, n], \sum_{i=1}^n a_{i,j} = 1$ et $\forall (i, j) \in [1, n]^2, a_{i,j} \in [0, 1]$.
a) Montrer que 1 est valeur propre de $A$ puis que si $\lambda \in \operatorname{Sp}_{\C}(A)$, alors $|\lambda| \leq 1$.
b) On suppose que $\forall (i,j) \in [1,n]^2, \ a_{i,j} > 0$.
Montrer que 1 est la seule valeur propre complexe de $A$ de module 1. c) On revient au cas général et l'on suppose que $\lambda$ est une valeur propre complexe de $A$ de module 1. Montrer que : $\lambda^{n!} = 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 526]
Soient A, $B$, $C$ dans $\mathcal{M}_2(\C)$ telles que $C$ = AB BA et $C$ commute avec $A$ et $B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 526]
Soient A, $B$, $C$ dans $\mathcal{M}_2(\C)$ telles que $C$ = AB BA et $C$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $C$ = 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 527]
Soient $n \geq2$ et $f$ un endomorphisme de $\C^n$ de rang 2.
 a) Exprimer $\chi_f$  en fonction de $\tr f$ et $\tr f^2$.
 b) Déterminer en fonction de tr $f$ et tr f² si $f$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 528]
Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $f_A : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto A^T M A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
a) Soient $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(Y_1,\ldots,Y_n)$ deux familles de $\mathbb{R}^n$. Montrer que $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(Y_1,\ldots,Y_n)$ sont deux bases de $\mathbb{R}^n$ si et seulement si $(X_iY_j^T)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ est une base de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
b) Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f_A$ est bijective.- c) On suppose que $A$ est diagonalisable. Montrer que $f_A$ est diagonalisable.
d) Soient $\lambda$ une valeur propre non nulle de $A^T$ et $Y$ un vecteur propre associé. Montrer que :

d) Soient
$\lambda$
 une valeur propre non nulle de $A^T$ et $Y$ un vecteur propre associé. Montrer que : $F = \{XY^T, X \in \mathbb{R}^n\}$ est un sous-espace stable par $f_A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 529]
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $M^2 + M^T = I_n$.
a) Montrer que $M$ est inversible si et seulement si $1 \notin \operatorname{sp}(M)$.
b) Montrer que $M$ est diagonalisable.
c) Déterminer les $M$ dans $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, puis dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, telles que $M^2+M^T=I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 530]
Soient $J \in \mathcal{M}_n(\C)$ la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1 et $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $A^3 = J$. Montrer que $tr(A)^3 = tr(J)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 531]
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$. Déterminer l'ensemble $I = \{P \in \C[X], P(M) \text{ nilpotente}\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 532]
Soient $n \geq2$, $A, B \in \mathbb{R}[X]$ avec $B$ scindé à racines simples de degré n+1, et $f$ l'application qui à $P$ associe le reste de la division euclidienne de AP par $B$. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$. Quelles sont ses valeurs propres? $f$ est-il diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 533]
Soit $(A, B) \in \mathcal{M}_n(\C)^2$. Montrer qu'il y a équivalence entre :
i) $A$ et $B$ ont une valeur propre commune;
ii) il existe $C \in \mathcal{M}_n(\C)$ non nulle telle que AC = CB.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 534]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ tel que $\operatorname{Tr}(A^n) \neq 0$ et, pour tout $k \in [1, n-1]$, $\operatorname{Tr}(A^k) = 0$. Montrer
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 535]
Soit $E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$. Si $f \in E$, soit $T(f) : x \in [0,1] \mapsto \int_0^1 \min(x,t) f(t) dt$.
Montrer que $T \in \mathcal{L}(E)$. Déterminer les éléments propres de $T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 536]
On identifie éléments de $\mathbb{R}[X]$ et fonctions polynomiales de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
a) Montrer que $u: P \mapsto \left[ x \mapsto \int_0^{+\infty} P(x+t)e^{-t} \, dt \right]$ constitue un endomorphisme de $E$.
b) Montrer que $u(P) = \sum_{k=0}^{+\infty} P^{(k)}$ pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$.
c) Déterminer les éléments propres de $u$.

que $A$ est diagonalisable.

d) Caractériser les endomorphismes de $\mathbb{R}[X]$ qui commutent avec $u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 537]
On pose $SL_2(\mathbb{Z}) = \{ M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z}), \det(M) = 1 \}$.
a) Vérifier que c'est un groupe. b) Quels sont les ordres finis possibles d'une matrice de $SL_2(\mathbb{Z})$ ?
c) Existe-t-il une matrice de $SL_2(\mathbb{Z})$ d'ordre infini?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 538]
On identifie ici les polynômes à coefficients dans $C$ avec leur fonction polynomiale associée. Soit $u$ qui à $P \in \C[X]$ associe $u(P): z \mapsto e^{-z} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{P(n)}{n!} z^n$.- a) Montrer que $u$ est bien définie et que $u(P) \in \C[X]$.
b) Montrer que $u$ est un automorphisme de $\C[X]$. Déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 539]
Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie et $u, v \in \mathcal{L}(E)$. Montrer qu'il existe un vecteur propre commun à $u$ et $v$ dans les cas suivants : $u \circ v = 0$, $u \circ v = \alpha u$ et $u \circ v = \alpha u + \beta v$ avec $\alpha, \beta \in \C$. Montrer que $u$ et $v$ sont alors cotrigonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 540]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB + BA = A. Montrer que si $n$ est impair alors Aet $B$ ont un vecteur propre commun. Que dire si $n$ est pair?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 541]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que AB est diagonalisable.
a) La matrice BA est-elle diagonalisable?
b) La matrice $(BA)^2$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 542]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice diagonalisable. On pose :
 + $\mathcal{C}(A) = \{ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), AB = BA \}$
 + $\mathcal{C}'(A) = \{ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ; \forall C \in \mathcal{C}(A), CB = BC \}$.
#
 1. Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et en déterminer la dimension. À quelle condition a-t-on $C(A) = \mathbb{R}[A]$ ?
 2. Montrer que $\mathcal{C}'(A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et en déterminer la dimension. Montrer que $C'(A) = \mathbb{R}[A]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 543]
Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ et $u \in \mathcal{L}(E)$.

On écrit
$$\chi_u = \prod_{k=1}^r (X - \lambda_k)^{\alpha_k}.$$

On écrit $\chi_u = \prod_{k=1}^r (X \lambda_k)^{\alpha_k}$. a) Montrer que $E = \bigoplus_{k=1}^r \operatorname{Ker} (u \lambda_k \operatorname{id}_E)^{\alpha_k}$.
b) On suppose $u$ nilpotent d'indice $n$.
i) Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{bmatrix} \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & 1 \end{bmatrix}$.
ii) Montrer que les sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $u$ sont en nombre fini.
c) On suppose que $u$ est nilpotent et qu'il n'existe qu'un nombre fini de sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $u$. Montrer que $u$ est nilpotent d'indice $n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 544]
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $m_{1,i}=m_{n,i}=m_{i,n-i+1}=1$ pour $1\leqslant i\leqslant n$, les autres coefficients étant nuls. Calculer $\chi_{M^2}$. Est-ce que $M^2$ est diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 545]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\chi_A(X^2) = \chi_A(X)\chi_A(X-1)$. Montrer que $n$ est pair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 546]
Soient $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ diagonalisable et $B = \begin{pmatrix} A & 2A \\ 0 & 3A \end{pmatrix}$. Montrer que $B$ est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 547]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, soit : $B = \begin{pmatrix} A & A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$
a) Étudier la diagonalisabilité de $B$.
b) Étudier le rang de $B I_{2n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 548]
Soit $n \geq2$. On pose : $E_1 = \{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ; (I_n, B, \dots, B^{n-1}) \text{ libre} \}$ et $E_2 = \{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ; \exists X \in \mathbb{R}^n, (X, BX, \dots, B^{n-1}X) \text{ libre} \}$.
a) Montrer que $E_2 \subset E_1$.
b) Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $X \in \mathbb{R}^n$. On pose $I_X = \{Q \in \mathbb{R}[X] ; Q(A)X = 0\}$. Montrer qu'il existe $P_{A,X} \in \mathbb{R}[X]$ unitaire tel que $I_X = P_{A,X}\mathbb{R}[X]$.
c) Montrer que : $\mathbb{R}^n = \bigcup_{X \in \mathbb{R}^n} \operatorname{Ker} P_{A,X}(A)$.
d) Montrer qu'il existe $U \subset \mathbb{R}^n$ finie telle que $\mathbb{R}^n = \bigcup_{X \in U} \operatorname{Ker} P_{A,X}(A)$.
e) Soient $p \in \N^*$ et $\phi_1, \dots, \phi_p$ des formes linéaires sur $\mathbb{R}^n$ telles que : $\mathbb{R}^n = \bigcup_{i=1}^p \operatorname{Ker} \phi_i$.
Montrer qu'il existe $i \in [1, p]$ tel que $\phi_i = 0$.
f) Montrer que $E_1 \subset E_2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 549]
Soit $H$ un sous-groupe fini de $GL_n(\mathbb{R})$ dont tous les éléments ont un spectre inclus dans $\{-1,1\}$.
a) Montrer que $H$ est commutatif.
b) Déterminer les valeurs possibles du cardinal de $H$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 550]
Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie, $u \in \mathcal{L}(E)$. Pour $x \in E$, on note :
$I_x = \{P \in \C[X], \ P(u)(x) = 0\}$ et $E_x = \{P(u)(x), \ P \in \C[X]\}$. a) Montrer que $I_x$ est un idéal non nul de $\C[X]$. On note $\mu_x$ le polynôme unitaire qui l'en-
gendre. b) Soient $x,y\in E$ tels que $\mu_x\wedge\mu_y=1$. Montrer que $\mu_{x+y}=\mu_x\mu_y$, puis que $E_{x+y}=0$
$E_x \oplus E_y$. c) Soit $\pi_u$ le polynôme minimal de $u$. Montrer qu'il existe $x \in E$ tel que $\mu_x = \pi_u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 551]
Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\pi_u = X^2 + aX + b$. On suppose $\pi_u$ non scindé sur $\mathbb{R}$.
a) Soient $x \in E \setminus \{0\}$. Montrer que $P_x = \text{Vect}(x, u(x))$ est un plan stable par $u$.
b) Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ et $x \in E \setminus F$. Montrer que $P_x \cap F = \{0\}$.
c) Démontrer l'existence d'une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant tous identiques, de taille $2\times 2$, et de polynôme minimal $\pi_u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 552]
Soit $A \in \mathcal{M}_3(\C)$. On pose $G_A = \{c \in \C^*, cA \text{ est semblable à } A\}$.
a) Montrer que $G_A$ est un sous-groupe de $\C^*$.- b) Montrer que $G_A$ est infini si et seulement si $A$ est nilpotente, et qu'alors $G_A = \C^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 553]
a) Déterminer les $\lambda \in \mathbb{R}$ pour lesquels il existe $A, B \in GL_n(\C)$ telles que $AB = \lambda BA$.
b) Déterminer, parmi les $\lambda$ trouvés en a), ceux pour lesquels toutes les matrices A,B vérifiant cette condition sont diagonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 554]
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n \geq2$. On s'intéresse aux endomorphismes $u$ de $E$ dont les seuls sous-espaces stables sont $\{0\}$ et $E$.
a) Déterminer ces endomorphismes dans le cas $\mathbb{K} = \C$ puis dans le cas $\mathbb{K} = \mathbb{R}$.
b) Dans le cas général caractériser ces endomorphismes à l'aide de leur polynôme caractéristique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 555]
Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie.
a) On suppose que $f$ a un plan vectoriel stable $F$. Montrer qu'il existe un polynôme $P \in \mathbb{K}_2[X]$ tel que $F \subset \operatorname{Ker} P(f)$.
b) On suppose qu'il existe un polynôme $P \in \mathbb{K}_2[X]$ tel que $\dim \operatorname{Ker} P(f) \geq 2$. Montrer que $\operatorname{Ker} P(f)$ contient un plan vectoriel stable par $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 556]
Soient $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$, $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$.
a) On suppose que $u$ est nilpotent d'indice $p$.
  - i) Montrer que $p$ = $n$ si et seulement si dim Ker $u$ = 1.
  - ii) Montrer que p=n si et seulement si $u$ possède un nombre fini de sous-espaces stables.
b) On revient au cas général. Montrer que $u$ possède un nombre fini de sous-espaces stables si et seulement si $\deg \pi_u = n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 557]
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. On suppose que la fonction polynomiale associée est injective sur $\mathbb{R}$. Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisables vérifiant P(A) = P(B). Montrer que $A$ = $B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 558]
a) Montrer que deux matrices diagonalisables qui commutent sont simultanément diagonalisables.
b) Même question, avec un nombre quelconque de matrices.
c) Soit $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que $\forall A \in G, A^2 = I_n$. Montrer que $G$ est fini et donner une majoration de son cardinal.
d) Soit $n \neq m$. Montrer que $GL_n(\C)$ et $GL_m(\C)$ ne sont pas isomorphes.
e) On considère $G$ comme dans la question c). Montrer que $\operatorname{card} G$ est une puissance de 2.
f) Trouver tous les groupes multiplicatifs de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui ne sont pas des sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\C)$. On précise qu'un groupe multiplicatif de $\mathcal{M}_n(\C)$ est un sous-ensemble stable par produit matriciel et formant un groupe pour la loi induite par le produit matriciel.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 559]
Soient $A \in \mathcal{M}_m(\C)$, $B \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $\Phi_{A,B}$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_{m,n}(\C)$ défini par $\forall M \in \mathcal{M}_{m,n}(\C)$, $\Phi_{A,B}(M) = AM MB$.
a) Montrer que, si $A$ et $B$ n'ont pas de valeur propre commune, $\Phi_{A,B}$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_{m,n}(\C)$.
b) Supposons que $\lambda$ soit une valeur propre commune à $A$ et $B$. Montrer que le noyau de $\Phi_{A,B}$ contient une matrice de rang 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 560]
Soit $E = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), A^3 = A\}$. Montrer que $E$ est réunion d'un nombre fini de classes de similitude de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ que l'on précisera.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 561]
Soient $u \in \mathcal{L}(\C^n)$ et $\alpha > 0$. Montrer qu'il existe une base $e$ telle que la matrice $M$ de udans la base $e$ vérifie $\forall (i,j) \in [1,n]^2, i \neq j \implies |m_{i,j}| \leq \alpha$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 562]
Soient $n \geq2$ et $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$ tel qu'il existe $N \in \N^*$ tel que $A^N = I_n$ pour tout $A \in G$.

a) Montrer que tous les éléments de $G$ sont diagonalisables.

b) Soit $(M_i)_{1 \leq i \leq m}$ une base de Vect(G) constituée d'éléments de $G$. Soit $f: A \in G \mapsto$ $(\operatorname{tr}(AM_1),\ldots,\operatorname{tr}(AM_m))$.

Soient $A, B \in G$ telles que f(A) = f(B). On pose $C = AB^{-1}$.

i) Montrer que $\forall k \in \N$, $\operatorname{tr}(C^k) = n$.
ii) En déduire que $C I_n$ est nilpotente.
c) Montrer que $G$ est fini.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 563]
Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\C)$.

Montrer que $\chi_A = \chi_B$ si et seulement si $\forall k \in \N^*$, $\operatorname{tr}(A^k) = \operatorname{tr}(B^k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 564]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $3A^3 = A^2 + A + I_3$. Montrer que la suite $(A^k)_{k \geq0}$ converge vers une matrice que l'on précisera.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 565]
Soit $A \in GL_n(\mathbb{R})$. Exprimer le polynôme minimal de $A^{-1}$ en fonction du polynôme minimal de A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 566]
$ $ Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$.

a) Montrer que, pour $r \in \mathbb{R}^{+*}$ assez grand, $(re^{it}I_n A)^{-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{r^{k+1}e^{i(k+1)t}}$.
b) Montrer que, pour tout $P \in \C[X]$ et tout $r$ > 0 assez grand, $P(A) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} re^{it} P(re^{it}) (re^{it} I_n - A)^{-1} dt$.
c) En déduire le théorème de Cayley-Hamilton.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 567]
Soient $U$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $U^{++}$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ à spectre inclus dans $\mathbb{R}^{+*}$. Soit $A \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, U^{++})$ telle que $t \mapsto A(t)^2$ est constante.

a) Montrer que $A$ est constante.

b) Le résultat subsiste-t-il si $A \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, U)$ ?
c) Le résultat subsiste-t-il si $A$ n'est pas de classe $C^1$ ?

d) Le résultat subsiste-t-il si $A$ est valeurs dans l'ensemble des matrices trigonalisables à spectre inclus dans $\mathbb{R}^{+*}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 568]
Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien, $X$ une partie de $E$. Montrer que $X$ est finie si et seulement si $\{\langle x,y\rangle,\ (x,y)\in X^2\}$ est fini.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 569]
Soit $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien non réduit à $\{0\}$. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\operatorname{tr}(u) = 0$.- a) Montrer qu'il existe $x \in E \setminus \{0\}$ tel que $\langle u(x), x \rangle = 0$.
b) Montrer qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est de diagonale nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 570]
Soit $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien de dimension 3. Soient $f, g \in SO(E)$.
a) On suppose qu'il existe $x \in E \setminus \{0\}$ tel que f(x) = g(x) = $x$. Montrer que $f$ et $g$ commutent.
${\it b}$ ) On suppose que $f$ et $g$ commutent. Montrer que l'une des deux propositions suivantes est vraie :
il existe $x \in E \setminus \{0\}$ tel que f(x) = g(x) = $x$,
-f et $g$ sont des symétries orthogonales par rapport à deux droites orthogonales entre elles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 571]
Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien et $p \in \mathcal{L}(E)$ un projecteur. Montrer l'équivalence entre : i) $p$ est un projecteur orthogonal, ii) $\forall x \in E, ||p(x)|| \leq ||x||$, iii) $p$ est symétrique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 572]
On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ avec $n \geq p$ et $b \in \mathbb{R}^n$. On suppose que $\operatorname{rg}(A) = p$.
a) Montrer que la fonction $f: x \in \mathbb{R}^p \mapsto \|Ax b\|_2$ admet un minimum sur $\mathbb{R}^p$ atteint en un unique $x_0 \in \mathbb{R}^p$.
b) Montrer que $x_0$ est l'unique solution de $A^T A x = A^T b$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 573]
Montrer l'existence et calculer $\min_{P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]} \sum_{i=1}^{n} (i^n P(i))^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 574]
On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de sa structure euclidienne usuelle.
a) En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que $||AB|| \le ||A|| \, ||B||$ quels que soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
b) Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ainsi qu'une suite $(M_p)_{p \in \N}$ à termes dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et telle que $\|I_n AM_0\| < 1$ et $\forall p \in \N, \ M_{p+1} = 2M_p M_pAM_p$. Montrer que $A$ est inversible et que
$(M_p)_{p\in\N}$ converge vers $A^{-1}$.
c) Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\mapsto \|I_n-AM\|$ admet un minimum, et le
c) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto ||I_n AM||$ admet un minimum, et le calculer en fonction de A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 575]
a) Montrer que $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} \frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}} dt$ définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$.
a) i) Montrer qu'il existe une unique suite $(T_n)$ de polynômes réels telle que $\forall n \in \N, \ \forall x \in \mathbb{R}, \ T_n(\cos(x)) = \cos(nx)$.
ii) Déterminer degré et coefficient dominant de $T_n$ pour $n \in \N$.
c) On note $U_n[X]$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n \in \N$ de $\mathbb{R}[X]$.
Calculer $\min_{P \in U_n[X]} \int_{-1}^1 \frac{P^2(t)}{\sqrt{1-t^2}} dt$.
d) Que dire de la factorisation de $T_n$ dans $\mathbb{R}[X]$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 576]
$\text{ Soit } M \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}). \text{ Montrer que } \left| \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} m_{i,j} \right| \leqslant n \leqslant \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} |m_{i,j}| \leqslant n^{3/2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 577]
Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $n \in \N^*$.

On dispose de deux produits scalaires $\phi$ et $\psi$ sur $E$, et on suppose qu'ils sont tels que $\mathcal{O}((E,\psi)) \subset \mathcal{O}((E,\phi))$, où $\mathcal{O}$ désigne l'ensemble des isométries vectorielles de l'espace euclidien considéré. Montrer que $\mathcal{O}((E,\psi)) = \mathcal{O}((E,\phi))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 578]
Soit $E$ un espace euclidien. Montrer que deux produits scalaires sur $E$ qui ont le même groupe orthogonal sont proportionnels.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 579]
On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $V_n = \operatorname{Vect} \operatorname{SO}_n(\mathbb{R})$.

a) Expliciter $V_2$.
b) On suppose désormais $n \geq3$. Montrer que : $\exp \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \subset \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ et $V_n^{\perp} \subset \mathcal{A}_n(\mathbb{R})^{\perp}$. c) Montrer que $V_n = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 580]
a) On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ stable par A. Montrer que $F^{\perp}$ est stable par $A^T$.
b) Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $AA^T = A^TA$. Montrer que $A$ est diagonalisable ou semblable à une matrice de la forme : $\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & -\eta \\ 0 & n & \alpha \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 581]
Soit $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\det(I_n + A) \geq 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 582]
a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A + A^T = A^2$. Trouver un polynôme annulateur de A.
b) Caractériser les matrices $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $A + A^T = A^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 583]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = 0$. Montrer que $\operatorname{Im}(A + A^T) = \operatorname{Im} A + \operatorname{Im} A^T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 584]
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
a) Montrer que $u: S \mapsto MSM^T$ définit un endomorphisme de $S_n(\mathbb{R})$.
b) Montrer que $u: S \mapsto MSM^-$ definit un endomorphisme de $S_n(\mathbb{R})$.
c) Montrer que $u$ est un automorphisme si et seulement si $M$ est inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 585]
Soient $M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ non nulles, la matrice $N$ étant nilpotente d'indice $n$.
a) Montrer que $\operatorname{rg} N = n 1$.
b) On suppose que $MN^T = N^TM = NM^T$. Montrer que $\mathbb{R}^n = \operatorname{Im} M \oplus \operatorname{Im} N$. c) Étudier la réciproque de b).
#+end_exercice

# ID:8597
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 586]
 1. Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer l'équivalence des énoncés suivants :
    + pour tout $x \in \mathbb{R}^n$
    + $\operatorname{Sp} A \subset \mathbb{R}^+$.
 2. Montrer que, pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $A^T A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.
 3. Montrer que, pour tout $S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$, il existe $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $S = A^T A$, puis déterminer $\{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), A^T A = S\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3. Si $S = P D P^{-1}$, on a $S = P \sqrt{D} \sqrt{D} P^T$.

    Si on multiplie $A$ à gauche par un $O_n$, cela préserve. Réciproquement, c'est clair.
#+END_proof


# ID:8596
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 587]
 1. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ si et seulement si les coefficients diagonaux de $P^{-1}AP$ sont nuls pour toute matrice $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$.
 2. Soit $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$. Montrer que le rang de $A$ est pair.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Se ramène au cas $n = 2$, sympa.
 2. Pas de valeur propre réelle !
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 588]
On pose $\sigma(A) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j}^2$ pour $A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

a) Calculer $\sigma(\Omega)$ pour $\Omega \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$.
b) Montrer que $\sigma(\Omega^T A \Omega) = \sigma(A)$ pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et tout $\Omega \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$.
c) Calculer $\sigma(A)$ lorsque $A$ représente une projection orthogonale dans une base orthonormée.
d) Déterminer les matrices $P \in GL_n(\mathbb{R})$ telles que $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \ \sigma(P^{-1}AP) = \sigma(A)$.
#+end_exercice

# ID:8598
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 589]
Soient $n,m\in\N^*,\,S\in\mathcal{S}_m(\mathbb{R})$. On pose $A=\left(\mathrm{Tr}(S^{i+j-2})\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. Montrer que $\operatorname{rg}(A) = \min(n, \operatorname{deg}(\pi_S))$, où l'on a noté $\pi_S$ le polynôme minimal de $\hat{S}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $S$ est diagonalisable, et le polynôme minimal est de degré le nombre de valeurs propres distinctes.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 590]
Soit $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien.
a) Soit $u \in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $E = \text{Ker}(u) \oplus \text{Im}(u)$.
b) Soit $u \in \mathcal{S}^+(E)$. Montrer qu'il existe $h \in \mathcal{S}^+(E)$ tel que $u = h^2$.
c) Soient $f, g \in S^+(E)$. Montrer que $\operatorname{Ker}(f+g) = \operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Ker}(g)$. Que dire de $\operatorname{Im}(f+g)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 591]
Soit $C: A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \mapsto (I_n A)^{-1}(I_n + A) \in SO_n(\mathbb{R})$.
a) Montrer que $C$ est bien définie.
b) Étudier l'inversibilité de $I_n + C(A)$. Montrer que $C$ est injective. L'application $C$ est-elle surjective? Dans le cas contraire, donner son image.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 592]
Soit $G$ un sous-groupe borné de $GL_n(\mathbb{R})$. Montrer que $G \cap \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) = \{I_n\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 593]
On munit $\mathbb{R}^n$ de son produit scalaire canonique. Soit $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Une fonction $f: \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ est strictement convexe si $\forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2, A \neq B \Rightarrow (\forall t \in \mathbb{R})$ [0,1[,f((1-t)A+tB)<(1-t)f(A)+tf(B)). Montrer que la fonction $x\mapsto \langle Ax,x\rangle$ est convexe sur $\mathbb{R}^n$. Étudier sa stricte convexité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 594]
Déterminer les applications $f$ de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que, pour tout $X \in \mathbb{R}^n$ et toute $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$, on ait $f(PX) = Pf(X)P^{-1}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Il y a l'application $X\mapsto X^T X$, ainsi que les $X\mapsto X A X^T$. En fait non.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 595]
Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Déterminer le nombre de matrices $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $A = B^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 596]
Montrer que si $M \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ alors $\operatorname{Com}(M) \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 597]
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ telle que $\operatorname{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^{+*}$. a) Montrer que $a_{i,i}>0$ pour $1\leqslant i\leqslant n$, puis que $a_{i,j}^2\leqslant a_{i,i}a_{j,j}$ pour $1\leqslant i,j\leqslant n$.
b) Montrer que $\max_{1 \leqslant i,j \leqslant n} |a_{i,j}| = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k,k}$. c) Que dire de la matrice $A_{i,j} = \begin{pmatrix} a_{i,i} & a_{i,j} \\ a_{i,i} & a_{i,j} \end{pmatrix}$ pour $1 \leqslant i < j \leqslant n$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 598]
Soient $A, B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ contient toutes les valeurs propres de $A$ et $B$, alors $I$ contient également les valeurs propres de (1-t)A+tB pour tout $t \in [0, 1].$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 599]
Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Pour $i \in \db{1,n}$, on note $A_i$ la matrice extraite des $i$ premières lignes et colonnes de A. Montrer que $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \iff \forall i \in \db{1,n}$, $\det(A_i) > 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 600]
Montrer que le spectre de
$$A = \left(\frac{1}{i+j}\right)_{1 \le i \le n}$$
 est inclus dans $\mathbb{R}^{+*}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 601]
Soient $\alpha \in \mathbb{R}$, $n \in \N^*$ et $S = \left(\alpha^{|i-j|}\right)_{1 \le i, j \le n}$.
a) Calculer $\det(S_n)$.
b) À quelle condition a-t-on $S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 602]
$ $ a) Soient $U, V \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $R \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ tel que $U = R^2$ et en déduire $\operatorname{tr}(UV) \geq 0$.
b) Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, $f: I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dérivable et $P \in \mathbb{R}[X]$. Montrer que : $\alpha: t \mapsto \operatorname{tr} P(f(t))$ est dérivable et calculer $\alpha'$.
$\alpha: t \mapsto \operatorname{tr} P(f(t))$ est dérivable et calculer $\alpha$. c) Soient $A, B \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ telles que $B - A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer que : $\operatorname{tr}(e^A) \leq \operatorname{tr}(e^B)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 603]
Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$.
a) Montrer qu'il existe un unique couple $(O, S) \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \times \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ tel que $M$ = OS.
b) Calculer sup{tr(AM), $A \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ }.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 604]
Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$ > 0 et $u \in \mathcal{S}(E)$. On note $\lambda_1 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n$ les valeurs propres de $u$ et, pour $k \in [0, n]$, on note $\mathcal{G}_k$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension $k$. On note enfin $E$ la sphère unité de $E$.
a) Pour un sous-espace vectoriel non nul $V$ de $E$, montrer que $x \in V \cap S \mapsto \langle x, u(x) \rangle$ possède un maximum et un minimum.
b) Montrer, pour tout $k \in [1, n]$, les identités $\lambda_k = \min_{V \in \mathcal{G}_k} \max_{x \in V \cap S} \langle x, u(x) \rangle = \max_{V \in \mathcal{G}_{n+1-k}} \min_{x \in V \cap S} \langle x, u(x) \rangle$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 605]
Donner un exemple de forme linéaire discontinue sur un espace normé.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 606]
Soit
$$E = \{ f \in \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R}), \ f(0) = f'(0) = 0 \}.$$

Pour $f \in E$, on pose $N(f) = ||f + 2f' + f''||_{\infty}$.

a) Montrer que $N$ est une norme sur le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$.
b) Soit $f \in E$. On pose $g$ = $f$ + 2f' + f''. Exprimer $f$ en fonction de $g$. c) Montrer qu'il existe a > 0 telle que $\forall f \in E, \|f\|_{\infty} \leq aN(f)$.
d) Les normes $N$ et $\| \|_{\infty}$ sont-elles équivalentes ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 607]
Pour $a \in \mathbb{R}$ et $P \in \mathbb{R}[X]$, on pose $N_a(P) = |P(a)| + \max\{|P'(x)|, x \in [-1, 1]\}$.
a) Justifier que $N_a$ est une norme.
b) Pour $a, b \in \mathbb{R}$, $N_a$ et $N_b$ sont-elles équivalentes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 608]
Pour
$P \in \mathbb{R}[X]$
, on pose $||P||_{\infty} = \sup_{t \in [0,1]} |P(t)|$, $||P||_1 = \int_0^1 |P(t)| \, \mathrm{d}t$ et$$N(P) = \sup_{n \in \N} \left| \int_0^1 t^n P(t) \, \mathrm{d}t \right|.$$

a) Montrer que $N$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$.
b) Comparer les normes $N$ et $\| \|_{\infty}$.
c) Comparer les normes $N$ et $\| \cdot \|_1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 609]
Soit $Q \in \mathbb{R}[X] \setminus \{0\}$. Pour $P \in \mathbb{R}[X]$ on pose $\|P\|_Q = \sup_{t \in [-1,1]} |P(t)|Q(t)|$.
a) Montrer que $\| \|_Q$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$.
b) On pose $Q_1=1$. Donner une condition suffisante sur $Q$ pour que $\|\ \|_Q$ et $\|\ \|_{Q_1}$ soient équivalentes.
c) On suppose que $Q$ admet un zéro $\alpha$ dans [-1,1].
i) Montrer qu'il existe $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré 2 tel que $P(\alpha) = 1$, $P'(\alpha) = 0$ et $\forall t \in [-1, 1] \setminus \{\alpha\}, \ 0 \leq P(t) < 1$.
ii) Montrer que $(t \mapsto P(t)^n Q(t))_{n \in \N}$ converge uniformément sur [-1,1] vers la fonction nulle.
  - iii) Conclure que $\| \|_Q$ et $\| \|_{Q_1}$ ne sont pas équivalentes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 610]
a) Existe-t-il une norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant :
$\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \forall P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), \|P^{-1}AP\| = \|A\|$ ? b) Même question en remplaçant $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ par $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 611]
L'ensemble des polynômes scindés à racines simples et de degré $n$ est-il un ouvert de $\mathbb{R}_n[X]$ ? Un fermé de $\mathbb{R}_n[X]$ ? L'ensemble des polynômes scindés, à racines simples est-il un ouvert de $\mathbb{R}_n[X]$ ? Un fermé de $\mathbb{R}_n[X]$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 612]
Soient $p \in \N^*$ et $S$ un segment de $\mathbb{R}$. On note $E = \mathcal{C}^0(S, \mathbb{R})$, que l'on munit de la norme infinie. On note $\mathcal{Z}_p$ l'ensemble des éléments de $E$ qui s'annulent en au moins $p$ points.
a) Montrer que $\mathcal{Z}_1$ est fermé dans $E$.
b) Déterminer l'adhérence de $\mathcal{Z}_p$ pour n'importe quel $p$ dans $\N^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 613]
Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ continue. Montrer que la restriction de $f$ à un cercle de rayon strictement positif n'est pas injective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 614]
Soient (E, || ||) un espace vectoriel normé et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq ||x||$.

Pour tout
$n \in \N$
, on pose : $v_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u^k$.

a) Simplifier $v_n \circ (u id)$.
b) Montrer que Ker(u id) et Im(u id) sont en somme directe.
c) Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
i) $\operatorname{Ker}(u \operatorname{id}) \oplus \operatorname{Im}(u \operatorname{id}) = E$ ;
ii) $(v_n)$ converge simplement sur $E$ et $\mathrm{Im}(u-\mathrm{id})$ est fermé dans $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 615]
Soit $K$ un convexe compact non vide d'un espace normé $E$.a) Soit $u$ un endomorphisme continu de $E$ tel que $u(K) \subset K$. Montrer que $C = (\mathrm{id} - u)(K)$

est convexe et compact. En utilisant la suite $x_n = \sum_{k=0}^{n-1} (\operatorname{id} - u)(u^k(x))$ montrer que $u$ admet

un point fixe.
b) Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite d'endomorphismes continus de $E$ qui stabilisent tous $K$ et qui commutent. On note $F_n$ l'ensemble des points de $K$ fixes par $u_1, \ldots, u_n$. Montrer que $F_n$ est non vide pour tout $n$. En déduire qu'il existe un point fixe commun à tous les endomorphismes $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 616]
Soient $N_1, N_2$ et $N_3$ des normes sur respectivement $\mathbb{R}_m[X], \mathbb{R}_n[X]$ et $\mathbb{R}_{n+m}[X]$.
a) Justifier que $N_4:(P,Q)\mapsto N_1(P)+N_2(Q)$ est une norme sur $\mathbb{R}_m[X]\times\mathbb{R}_n[X]$. b) Montrer que $\inf_{\substack{P\in\mathbb{R}_m[X]\setminus\{0\}\\Q\in\mathbb{R}_n[X]\setminus\{0\}}}\frac{N_3(PQ)}{N_1(P)N_2(Q)}>0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 617]
Soit $\mathcal{B}$ l'espace des suites réelles bornées muni de la norme infinie.
a) Pour $X \in \mathcal{P}(\N)$ on pose $u_X = (\mathbf{1}_X(n))_{n \geq 0}$. Montrer que $\phi : X \mapsto u_X$ est une bijection de $\mathcal{P}(\N)$ sur $\{0,1\}^{\N}$.
b) On suppose l'existence d'une partie dénombrable $A = \{a_k, k \in \N\}$ de $\mathcal{B}$ dense dans $\mathcal{B}$. Soient $b\gt 0$ et $X \in \mathcal{P}(\N)$.
Justifier l'existence de $k_X = \min\{k \in \N, ||u_X a_k||_{\infty} \leq b\}$. Aboutir à une contradiction.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 618]
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si l'imageqdirecte par $f$ de tout ouvert de $\mathbb{R}^n$ est un ouvert de $\mathbb{R}^p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 619]
a) On munit $E = C^0([0, 1], \mathbb{R})$ de la norme $\| \|_{\infty}$.

Les parties $A=\left\{f\in E,\; \int_0^1 f=1\right\}$ et $B=\left\{f\in E,\;\; f([0,1])\subset [0,1]\right\}$ sont-elles compactes?

Si $(E, \| \|)$ un espace vectoriel normé et $K$ un compact non vide de $E$, on dit que $f \colon K \to K$ est une isométrie si $\forall (x, y) \in K^2$, ||f(x) - f(y)|| = ||x - y||.
b) Dans $\mathbb{R}$, quelles sont les isométries de [0,1]?
c) Soit $f$ une isométrie du compact $K$. Montrer que $f$ est surjective.
d) Soient $K$ un compact et $f: K \to K$ telle que $: \forall (x,y) \in K^2, \|f(x) f(y)\| \geq\|x y\|$. Montrer que $f$ est une isométrie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 620]
Soient (E, || ||) un espace vectoriel normé et $f: E \to E$ vérifiant : $\forall (x,y) \in E^2, ||f(x) - f(y)|| \leq ||x - y||^2$. Montrer que $f$ est constante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 621]
Soient $K$ un compact non vide et $f: K \to K$ une fonction continue telle que : $\forall (x,y) \in K^2, ||f(x) - f(y)|| \geq||x - y||$.
a) Montrer que $f$ est bijective.
b) Montrer que $f^{-1}$ est continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 622]
Soient $(E, \| \|)$ un espace normé de dimension finie et $f: E \to E$ telle que, pour tous $x,y\in E$, $\|f(x)-f(y)\|\leq \frac{1}{4}\left(\|f(x)-x\|+\|f(y)-y\|\right)$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 623]
On pose $E=\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,\mathbb{R})\cap L^2$ que l'on munit de la norme $\|\ \|_2$. Si $f\in E$, on pose

$$\phi(f): x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \begin{cases} \frac{1}{x} \int_0^x f \sin x > 0 \\ f(0) \sin n. \end{cases}$$
 . Montrer que $\phi$ est un endomorphisme continu de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 624]
Soit $C$ un fermé non vide de $\mathbb{R}^n$ tel que : $\forall (x,y) \in C^2, x \neq y \Rightarrow ]x,y[ \cap C \neq \emptyset$. Montrer que $C$ est convexe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 625]
a) Soient (E, || ||) un espace vectoriel normé et $f$ une forme linéaire continue non nulle sur $E$. On fixe $x_0 \in E$ tel que $f(x_0) \neq 0$.

i) Montrer que $\|f\|_{\mathrm{op}} = \frac{|f(x_0)|}{d(x_0, \operatorname{Ker} f)}$.

calculer $\|\Phi\|_{op}$.

ii) Montrer que les deux énoncés suivants sont équivalents :
il existe $a \in E$ tel que ||a|| = 1 et $||f||_{op} = |f(a)|$,
il existe $y \in \text{Ker}(f)$ tel que $d(x_0, \text{Ker } f) = ||x_0 y||$.
b) On munit l'espace $E = \mathcal{C}^0([-1,1],\mathbb{R})$ de la norme $\| \|_{\infty}$, et on définit l'application $\Phi:u\in E\mapsto \int_0^1 u(t)\mathrm{d}t-\int_0^1 u(t)\mathrm{d}t$. Montrer que $\Phi$ est une forme linéaire continue, et
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 626]
Pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on pose $S(A) = \{P^{-1}AP, P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\}$. Pour tout $k \in \N^*$,
on pose $Q_k = \text{Diag}(k^n, k^{n-1}, \dots, k)$. a) Soit $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice triangulaire supérieure. Calculer $\lim_{k \to +\infty} Q_k^{-1} T Q_k$.
b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est trigonalisable si et seulement si $\overline{S(A)}$ contient une matrice diagonale.
c) Montrer l'équivalence des énoncés suivants : i) $A$ est nilpotente, ii) S(A) contient une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle, iii) $0 \in \overline{S(A)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 627]
On considère l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(\C)$ dont le polynôme caractéristique est scindé à racines simples. Cet ensemble est-il ouvert? fermé?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 628]
Soir $r \in [0, n]$. Déterminer l'intérieur, l'adhérence et les composantes connexes par arcs de l'ensemble des matrices de rang $r$ de $\mathcal{M}_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 629]
On munit $\C^n$ de la norme $\|\cdot\|_2$. Pour $r \in \mathbb{R}^+$ et $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$, on dit que $G$ vérifie $\mathcal{P}(r)$ si $||AX - X||_2 \leqslant r||X||_2$ pour tout $A \in G$ et tout $X \in \C^n$.
a) Pour quels $r$ le groupe $SO_2(\mathbb{R})$ vérifie-t-il $\mathcal{P}(r)$ ?
b) Soient $G$ sous-groupe de $GL_n(\C)$ qui vérifie $\mathcal{P}(r)$, $A \in G$ et $\lambda \in \operatorname{sp}(A)$. Montrer que $|\lambda| = 1$ puis que $\text{Ker}(A - \lambda I_n)^2 = \text{Ker}(A - \lambda I_n)$. En déduire que les éléments de $G$ sont diagonalisables.- c) Montrer que si $r < \sqrt{2}$ alors le seul groupe qui vérifie $\mathcal{P}(r)$ est $\{I_n\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 630]
Pour $n \in \N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$.
a) Montrer que $P_n$ n'a pas de racine réelle si $n$ est pair, et a une unique racine réelle sinon.
b) On note $x_n$ la racine réelle de $P_{2n+1}$. Montrer que $(x_n)_{n\geq 0}$ est strictement décroissante et tend vers $-\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 631]
Soient $a,b\in\N$ avec $b>a\geq 1$. Déterminer la limite de la suite de terme général $\sum_{n=0}^{b} \ln\left(1-\frac{k}{n^2}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 632]
Déterminer la limite de la suite de terme général $\sum_{k=0}^{n} \frac{n+k}{2+\sin(n+k)+(n+k)^2}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 633]
Pour $n \in \N^*$, soit $u_n = \left(\cos\left(\frac{n\pi}{3n+1}\right) + \sin\left(\frac{n\pi}{6n+1}\right)\right)^n$. Déterminer la limite de $(u_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 634]
On considère une suite réelle $u$ vérifiant $u_0 > 0$ et $\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \sqrt{u_n} + \frac{1}{n+2}$.
a) Montrer qu'il existe $n \in \N$ tel que $u_n > 1$.
$\boldsymbol{b}$ ) Montrer que $u$ est décroissante à partir d'un certain rang, puis qu'elle est convergente, et déterminer sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 635]
Soit $\alpha \in ]1, +\infty[$.
a) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, l'équation $\prod_{k=1}^n (kx+n^2) = \alpha n^{2n}$ possède une unique solution strictement positive, que l'on notera $x_n$.
b) Montrer que $\forall n \in \N^*, x_n < 2\alpha$.
c) Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 636]
On note, pour $j \in \N^*, k_j = \min \left\{ n \in \N^*, \ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \geq j \right\}$.
a) Montrer que $k_i$ est bien défini.
b) Étudier la monotonie et la limite éventuelle de $(k_j)_{j\in\N^*}$.
c) Montrer que $\frac{k_{j+1}}{k_i} \xrightarrow{j \to +\infty} e$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 637]
Soit $(a_n)$ une suite strictement monotone telle que $a_n \to +\infty$ et $(a_{n+1}-a_n)$ est bornée. Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+*},\mathbb{R})$ telle que $f'(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
Montrer que, si $f(a_n) \longrightarrow \ell \in \mathbb{R}$, alors $f(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} \ell$.-
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 638]
Pour $a \in \{0, 1\}$, on pose $v_{1,a} = x \in \mathbb{R}$ et $v_{n+1,a} = \left(2 + \frac{1}{n}\right) v_{n,a} a$ pour $n \in \N^*$.
a) Expliciter $t_n \neq 0$ tel que $v_{n,0} = xt_n$ pour tout $n \in \N^*$. b) Exprimer $\frac{v_{n+1,a}}{t_{n+1}} \frac{v_{n,a}}{t_n}$ en fonction de $t_{n+1}$.
c) En déduire la limite des suites $(v_{n,a})_{n\in\N}$ en fonction de $x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 639]
Soit $(a_n)$ définie par $a_0=0, a_1=1$, et, pour $n\geq 1, a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$. a) Montrer que, pour tout $n, a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}=1$.
b) Soit, pour $n \in \N^*$, $S_n = \sum_{k=1}^n \arctan\left(\frac{1}{4a_k^2}\right)$. Exprimer $S_n$ en fonction de $a_n$ et $a_{n+1}$.
c) Montrer que $S_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\pi} \frac{\pi}{12}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 640]
Soit $(x_n)$ définie par $x_0 > 0$ et, pour $n \in \N$, $x_{n+1} = x_n + e^{-x_n^2}$. En étudiant les suites de termes généraux $u_n = \frac{e^{x_n^2}}{r}$ et $v_n = u_{n+1} - u_n$, trouver un équivalent puis un développement asymptotique de $x_n$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 641]
Soit $\alpha = \frac{\ln 2}{\ln(10)}$.
a) Montrer que $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$.
b) Si $x \in \mathbb{R}$, on pose $\{x\} = x |x|$. Montrer que $A = \{\{n\alpha\}, n \in \N\}$ est dense dans $[0, 1]$.
c) Montrer qu'il existe $k \in \N$ tel que l'écriture décimale de $2^k$ commence par 2025.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 642]
a) Soit $a \in [1/2, 1]$.
Déterminer la limite de la suite de terme général $u_n = 2^{-n} \sum_{\frac{n-n^a}{2} \leqslant k \leqslant \frac{n+n^a}{2}} \binom{n}{k}$.
b) Soit $(I_n)_{n\in\N}$ une suite d'ensembles telle que $\forall n\in\N, I_n\subset[0,n]$. $Y$ a-t-il équivalence entre : i) $|I_n| = o(n)$, ii) la suite de terme général $2^{-n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ tend vers 0?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 643]
a) Donner un équivalent de $H_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k}$.
b) Donner un équivalent de $u_n$, cardinal de $\{(x,y,z) \in \db{1,n}^3, xy=z\}$. c) Donner un équivalent de $v_n$, cardinal de $\{(x,y,z) \in \db{1,n}^3, xy=z^2\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 644]
Soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite d'éléments de $\mathbb{R}^{+*}$.
On suppose que $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1-\frac{\lambda}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Déterminer la nature de la série $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 645]
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Nature de $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\sin(\arctan(n^{\alpha}))}{n}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 646]
Soit $\alpha$ un réel > 1. Pour tout $n \geq1$, on pose $u_n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}$.

 a) Vérifier la bonne définition de $u_n$, et en donner un équivalent quand $n \to +\infty$.
 b) On pose $v_n = \frac{u_{n^2}}{u_n}$ pour tout $n \geq 1$. Étudier la convergence des séries $\sum v_n$ et $\sum (-1)^n v_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 647]
Pour $n \in \N^*$, on pose $u_n = \frac{\sqrt{n!}}{\left(1+\sqrt{1}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)\cdots\left(1+\sqrt{n}\right)}$. Étudier la convergence et calculer $\sum_{n=0}^{\infty} u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 648]
On admet que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Démontrer la convergence et calculer la somme : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1} \sum_{k=-1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$.
#+end_exercice

# ID:8800
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 649]
 1. Montrer que : $\sum_{k=0}^{n} (-1)^{\lfloor \sqrt{k} \rfloor} = O(\sqrt{n})$.
 2. Soit $z \in \mathbb{U}$. Montrer que $\sum \frac{(-1)^{\lfloor \sqrt{k} \rfloor}}{k} z^k$ est une série convergente.
#+end_exercice

# ID:8801
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 650]
Soit $(u_n)_{n\geq 0}\in (\mathbb{R}^+)^{\N}$. On pose, pour $n\in \N$, $v_n=\frac{1}{1+n^2u_n}$. Montrer que si la série $\sum v_n$ converge alors la série $\sum u_n$ diverge.
#+end_exercice
#+begin_proof
Par l'absurde, supposons que la série $\sum u_n$ converge.
D'après l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a pour tout $n\ge 1$ :
$$n = \sum_{k=1}^n 1 = \sum_{k=1}^n \sqrt{v_k} \sqrt{1+k^2u_k} \le \left(\sum_{k=1}^n v_k \right)^{1/2} \left(\sum_{k=1}^n (1+k^2u_k) \right)^{1/2}.$$

La série $\sum v_n$ étant convergente à termes positifs, notons $V = \sum_{k=1}^{+\infty} v_k > 0$. En élevant au carré, on obtient :
$$n^2 \le V \left(n + \sum_{k=1}^n k^2 u_k\right) \implies \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k^2 u_k \ge \frac{1}{V} - \frac{1}{n}.$$

Or, puisque $\sum u_n$ converge, on peut estimer cette somme par une transformation d'Abel (ou le lemme de Kronecker). Posons $R_k = \sum_{j=k}^{+\infty} u_j$. On a $R_k \xrightarrow[k\to \infty]{} 0$ et $u_k = R_k - R_{k+1}$.
Alors :
$$\sum_{k=1}^n k^2 u_k = \sum_{k=1}^n k^2 (R_k - R_{k+1}) = R_1 - n^2 R_{n+1} + \sum_{k=2}^n (2k-1) R_k.$$

Comme $u_n \ge 0$, on a $R_{n+1} \ge 0$. On en déduit que :
$$0 \le \frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k^2 u_k \le \frac{R_1}{n^2} + \frac{n^2-1}{n^2} \frac{\sum_{k=2}^n (2k-1) R_k}{\sum_{k=2}^n (2k-1)}.$$

D'après le lemme de Cesàro (les poids $2k-1$ étant strictement positifs et de somme divergente), la moyenne pondérée de la suite $(R_k)$ tend vers $0$ car $R_k \to 0$.
Ainsi, $\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n k^2 u_k \xrightarrow[n\to \infty]{} 0$.

En passant à la limite dans l'inégalité issue de Cauchy-Schwarz, on trouve $0 \ge \frac{1}{V} > 0$, ce qui est absurde. La série $\sum u_n$ diverge donc.
#+end_proof


#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 651]
a) Montrer que la série $\sum \frac{2^{k+1}(k!)^2}{(2k+1)!}$ converge. On pose $\sigma = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2^{k+1}(k!)^2}{(2k+1)!}$.

b) Soient a>0 et $(u_n)\in\C^{\N}$ telle que $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\in\C$.

Montrer que $\frac{1}{(1+a)^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ell$.

c) En déduire que, si la série de terme général $u_n$ converge, alors la série de terme général

$$\frac{a}{(1+a)^{n+1}} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k u_k$$
 converge. Lorsqu'il y a convergence, montrer que

 $\sum_{i=1}^{+\infty} \left( \frac{a}{(1+a)^{n+1}} \sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i} a^i u_i \right) = \sum_{i=1}^{+\infty} u_i$.

d) Montrer que $\arctan(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ pour tout $x \in [-1,1]$.- e) En déduire la valeur de $\sigma$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 652]
On pose $a_n = \frac{n! e^n}{n^n \cdot \sqrt{n}}$.
a) Montrer que $\sum (\ln(a_{n+1})- \ln(a_n))$ converge.
b) Donner un équivalent de $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
c) Démontrer que $n! \sim \sqrt{2\pi n} \, n^n e^{-n} \left( 1 + \frac{1}{12n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right)$.
#+end_exercice

# ID:8803
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 653]
 1. Soit $a > 0$. Discuter de la nature de $\sum \frac{1}{(n!)^{a/n}}$ en fonction de a.
 2. Soit $(v_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^{\N}$ telle que $\sum (n!)^{2/n}v_n^2$ converge. Montrer que $\sum v_n$ converge.
#+end_exercice
#+begin_proof
 1. D'après la formule de Stirling, $\ln(n!) = n\ln n - n + O(\ln n)$, donc
    $\frac{a}{n}\ln(n!) = a\ln n - a + o(1)$
    On en déduit que $(n!)^{a/n} \sim n^a e^{-a}$, puis que :
    $\frac{1}{(n!)^{a/n}} \sim \frac{e^a}{n^a}$
    Par le critère d'équivalence des séries à termes positifs, la série $\sum \frac{1}{(n!)^{a/n}}$ converge si et seulement si $a > 1$ (série de Riemann).
 2. On remarque que $|v_n| = \left((n!)^{1/n}|v_n|\right) \times \frac{1}{(n!)^{1/n}}$. Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur les sommes partielles :
    $$\sum_{k=1}^n |v_k| \leq \left(\sum_{k=1}^n (k!)^{2/k}v_k^2\right)^{1/2} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{(k!)^{2/k}}\right)^{1/2}$$
    La première somme converge par hypothèse. La seconde converge également d'après la question précédente avec $a=2 > 1$.
    La série $\sum |v_n|$ est donc à termes positifs et ses sommes partielles sont majorées : elle converge. L'absolue convergence impliquant la convergence, la série $\sum v_n$ converge.
#+end_proof



# ID:8802
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 654]
Montrer que les séries $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\ln n)}{n}$ et $\sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{\sin(\ln t)}{t} dt$ sont de même nature.

Quelle est cette nature?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 655]
Soit $(u_n) \in \mathbb{R}^{\N}$ de limite nulle. Nature de $\sum u_n$ avec les conditions suivantes :
i) $n(u_{n+1}-u_n) \to 1$, ii) $n^2(u_{n+1}-u_n) \to 1$, iii) $n^p(u_{n+1}-u_n) \to 1$ avec $p$ > 2.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 656]
Soit $(u_n)$ strictement positive telle que $\sum u_n$ converge.
a) Montrer que $\frac{1}{n}\sum ku_k \to 0$.
b) Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}ku_k$ converge.
c) Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n+1} \left( n! \prod_{k=1}^{n} u_k \right)^{1/n}$ converge, puis montrer que

$$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{n+1} \left( n! \prod_{k=0}^{n} u_k \right)^{1/n} \leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} u_k.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 657]
Soit $\sum a_n$ une série convergente à termes positifs ou nuls.
a) Montrer que : $\forall n \in \N^*, \left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n} \leqslant \frac{1}{n(n!)^{1/n}} \sum_{k=1}^n k a_k$.
b) Montrer que : $\forall n \in \N^*, \left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n} \leqslant \frac{e}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n k a_k$.- c) Montrer que : $\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\prod_{k=0}^{n} a_k\right)^{1/n} \leqslant e^{k} \sum_{k=0}^{+\infty} a_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 658]
Soit $f$ strictement croissante de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 659]
Soient a et $b$ deux réels. Caractériser l'existence d'une fonction continue décroissante $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(f(x)) = ax + b$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 660]
Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $\eps > 0$ pour lequel $f_{|[x-\eps,x+\eps]}$ est convexe.
a) Montrer que $f$ est dérivable à droite en tout point.

b) Montrer que $f$ est convexe et continue sur $\mathbb{R}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 661]
Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si :

$$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \ x < y \Rightarrow f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{1}{y-x} \int_{-\infty}^{y} f(t) \, dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 662]
Soient $\alpha > 1$ et $f_{\alpha} : x \in ]-1-\alpha, +\infty[ \mapsto \alpha \ln\left(1+\frac{x}{1+\alpha}\right)$.
a) Montrer que $f_{\alpha}$ admet un unique point fixe $x_{\alpha}$ et que $x_{\alpha} \in ]-2,-1[$.
b) On suppose que $\alpha$ est tel que $\frac{x_{\alpha}}{1+\alpha} > -\frac{1}{2}$. Montrer que

$$\left| \ln \left( 1 + \frac{x_{\alpha}}{1+\alpha} \right) - \frac{x_{\alpha}}{1+\alpha} + \frac{1}{2} \left( \frac{x_{\alpha}}{1+\alpha} \right)^{2} \right| \leqslant \frac{8}{3} \frac{|x_{\alpha}|^{3}}{(1+\alpha)^{3}}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 663]
On note $E$ l'ensemble des applications réelles continues sur $\mathbb{R}$ de carré intégrable. Pour tout $f \in E$, on pose $||f|| = \left(\int_{-}^{} f^2\right)^{1/2}$.
a) Montrer que (E, || ||) et un espace vectoriel normé.
b) Soit $f \in E$ de classe $C^2$ telle que $f'' \in E$. Montrer que $f' \in E$ et $||f'||^2 \leq ||f|| \cdot ||f''||$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 664]
Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$. On note $S$ l'ensemble des fonctions continues sur Itelles que, pour tout $x \in I$, $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) \right) = 0$.
a) On suppose $f$ dérivable sur $I$. Montrer que $f \in S$.
b) On suppose que $f \in S$ et que $f$ admet un maximum en $x_0 \in I$. Montrer que $f$ est dérivable en $x_0$.
#+end_exercice

# ID:8539
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 665]
On pose $f(x) = e^{-1/x^2}$ pour $x \in \mathbb{R}^*$, et $f(0) = 0$.
 1. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ et qu'il existe une suite $(P_n)_{n\geq 0} \in \mathbb{R}[X]^{\N}$ telle que $\forall x \in \mathbb{R}^*, \ \forall n \in \N, \ f^{(n)}(x) = P_n(1/x)e^{-1/x^2}$.
 2. Montrer que $f$ n'est solution sur $\mathbb{R}$ d'aucune équation différentielle de la forme $y'=a(x)y$ avec $a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue.
 3. Montrer que $P_n$ est scindé sur $\mathbb{R}$ quel que soit $n \in \N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 666]
Étude et graphe de $f: x \mapsto \frac{\ln(|x|)}{\ln(|x-2|)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 667]
Soit $f \in \mathcal{D}^3(\mathbb{R})$, telle que $ff^{(3)} = 0$.
a) Montrer que si f' est strictement monotone sur un intervalle $I$, $f$ prend au plus deux fois chaque valeur sur $I$.
b) Soit $\Gamma = \{x \in \mathbb{R}, f''(x) = 0\}$. Montrer que si $\Gamma \neq \emptyset$, alors $\Gamma$ n'est ni majoré, ni minoré. c) Montrer que $\Gamma$ est un intervalle de $\mathbb{R}$. Caractériser $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 668]
a) Soient $\lambda > 0$ et $f_{\lambda} : x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto x^{-\lambda} e^{1/x}$. Montrer l'existence d'un unique
$g(\lambda) > 0$ tel que $f_{\lambda}(g(\lambda)) = 1$. b) Trouver un développement asymptotique de $g(\lambda)$ lorsque $\lambda \to +\infty$ et lorsque $\lambda \to 0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 669]
Soit $E = \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie. On suppose que $F$ est stable par produit. Montrer que $F$ ne contient que des fonctions constantes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 670]
On munit $\mathbb{R}^2$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $r \in \mathbb{R}^+$ et $v \in \mathbb{R}^2$ tel que $||v|| \leq r$. Montrer qu'il existe $f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2)$ vérifiant :

$$\forall x \in \mathbb{R}, \ \|f(x)\| = r, \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f = v \text{ et } \forall x \in \mathbb{R}, \ f(x + 2\pi) = f(x).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 671]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre
i) AB = BA, ii) $\forall t \in \mathbb{R}$, $e^{t(A+B)} = e^{tA}e^{tB}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 672]
Calculer $\int_0^{\pi/2} \frac{x \cos(x) \sin(x)}{\cos^4(x) + \sin^4(x)} dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 673]
Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec a < $b$. On se place sur $E = \mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R})$. On introduit, pour $f \in E$ et $p \in \N^* : ||f||_p = \left( \int_{a}^{b} |f|^p \right)^{1/p}$.
a) Montrer que $\| \|_p$ est une norme sur $E$. b) Que vaut $\lim_{p \to +\infty} \|f\|_p$ ?
c) Si $f \geq 0$ et $g$ > 0 sur [a, b], que vaut $\lim_{p \to +\infty} \left( \int_{-b}^{b} g f^{p} \right)^{1/p}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 674]
Soit $f \in \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R})$ telle que $f\left(\frac{1}{2}\right) = f'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$.
Montrer que $\int_0^1 f''(x)^2 dx \geq320 \left[ \int_0^1 f(x) dx \right]^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 675]
On pose $E = \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$. Soit $p \in \N$.
a) Soit $f \in E$. Montrer qu'il existe un unique élément $u(f) \in E$ vérifiant :$\forall x > 0, u(f)(x) = \frac{1}{x^{p+1}} \int_0^x t^p f(t) dt$.

b) Montrer que $u$ est linéaire et injective.
c) Déterminer les valeurs propres de $u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 676]
Soit $a \in \mathbb{R}$. On pose $E_a = \{ f \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R}) ; f(0) = f(1) = 0 \text{ et } f'(0) = a \}$. Montrer que $\int_{-1}^{1} f''(t)^2 dt \geq 3a^2$ pour tout $f \in E_a$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 677]
Déterminer les $f$ de $C^0([0,\pi],\mathbb{R})$ vérifiant $\forall n \in \N^*, \int_0^{\pi} f(t) \cos(nt) dt = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 678]
Déterminer la borne inférieure de $\int_0^1 |f'-f|$ lorsque $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ parcourt l'ensemble des fonctions de classe $C^1$ telles que f(0) = 0 et f(1) = 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 679]
Soient $f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{K})$ avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, ou $\C$ et $\delta > 0$. Montrer qu'il existe $P \in \mathbb{K}[X]$ tel que $||f - P||_{\infty} \le \delta$ et $\int_{-\infty}^{\infty} f = \int_{-\infty}^{\infty} P$. On pourra commencer par le cas réel.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 680]
Expliciter la fonction $F: x \mapsto \int_{a}^{\sin^2 x} \arcsin\left(\sqrt{t}\right) dt + \int_{a}^{\cos^2 x} \arccos\left(\sqrt{t}\right) dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 681]
Déterminer $A = \left\{ \frac{\int_0^1 f(t) e^t dt}{\int_0^1 f(t) dt} ; f \in \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}^+) \setminus \{0\} \right\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 682]
Soient $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et $g: x \mapsto \frac{1}{x} \int_0^x \cos(x-y) f(y) \, \mathrm{d}y$.
a) Calculer la limite de $q$ en 0.
b) On suppose que $f$ admet une limite finie en $+\infty$. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 683]
On admet que $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(u)}{u} du = \frac{\pi}{2}$.
Convergence et calcul de $\int_0^{+\infty} \frac{2 2\cos(u) u\sin(u)}{u^4} du$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 684]
Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour tout $n \in \N$, on pose : $I_n = \int_0^\pi \frac{\cos(nt) \cos(nx)}{\cos t \cos x} dt$.
a) Donner un sens à l'intégrale $I_n$. b) Expliciter $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 685]
a) Montrer que, pour tout réel a > -1, $\int_{0}^{\pi/2} \frac{dt}{1 + a \sin^2 t} = \frac{\pi}{2\sqrt{a+1}}$.
Ind. Poser $x = \tan t$.b) Soit
$\alpha$
 un reer > 0. Etudier la convergence de $\sum u_n$, ou $u_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2 t}$
c) Étudier la convergence de l'intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^{\alpha} \sin^2 t}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 686]
Calculer
$$\int_{0}^{1} (-1)^{\lfloor 1/x \rfloor} dx.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 687]
Soient
$f$
 une fonction continue périodique de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $\alpha \in \mathbb{R}^{+*}$.

L'intégrale
$$\int_{1}^{+\infty} \frac{f(t)}{t^{\alpha}} dt$$
 est-elle convergente? absolument convergente?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 688]
a) Soit
$a > 0.$ Étudier la convergence de l'intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(at)}{t} dt$.

b) Soient
$$a_1, \ldots, a_n > 0$$
 et $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}$.

Discuter la convergence de l'intégrale $\int_0^{+\infty} \sum_{i=1}^n \lambda_i \frac{\cos(a_i t)}{t} \, \mathrm{d}t$ et en cas de convergence, la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 689]
a) Soit
$$f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^{+*}, \mathbb{R}^{+*})$$
 décroissante et intégrable. Soit $S : r \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} f(kr)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 589]
a) Soit
$$f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{++}, \mathbb{R}^{++})$$
 decroissante et integrable. Soit $S: r \in \mathbb{R}$

Montrer que
$S(r)$
 existe et donner un équivalent de $S(r)$ lorsque $r \to 0^+$.

Montrer que
$S(r)$
 existe et donner un équivalent de $S(r)$ lorsque $r \to 0^+$.
b) Soient $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, \C)$ et $a, b \in \mathbb{R}$ avec $b > a > 0$. On suppose que $\int_1^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \mathrm{d}t$ converge. Prouver la convergence et calculer $\int_0^{+\infty} \frac{f(at) - f(bt)}{t} \, \mathrm{d}t$.

c) Calculer
$$I = \int_{-t}^{+\infty} \frac{e^{-t} - e^{-2t}}{t} dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 690]
Soit
$$f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^{+*}$$
 une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\frac{f'(x)}{f(x)} \sim \frac{2}{x}$ quand $x \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 690]
Soit
$$f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^{+*}$$
 une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\frac{f(x)}{f(x)} \sim \frac{2}{x}$ quand $x \to +\infty$. Montrer que $\frac{1}{x} \int_{-x}^{x} f(t) dt \sim \frac{f(x)}{3}$ quand $x \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 691]
Soient
$$f \in C(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$$
 et $\ell \in \mathbb{R}^*$. On suppose que $: f(x) \int_0^x f \xrightarrow[x \to +\infty]{} \ell$. Déterminer un équivalent simple de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 692]
Pour tout
$x > 0$
, on pose $f(x) = \int_{x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 692]
Pour tout
$x > 0$
, on pose $f(x) = \int_{x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$.

a) Montrer que $f$ est bien définie.

b) Étudier l'intégrabilité de
$f$
 sur $]0, +\infty[$.
c) Le cas échéant, calculer $\int_0^{+\infty} f(x) dx$.. a) Montrer qu'il existe un réel
$\gamma$
 tel que $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)$ quand $n \to +\infty$

b) Montrer que $\int_{a}^{+\infty} \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} dx = \ln(b) - \ln(a)$ pour tous réels a > 0 et $b$ > 0.

c) Montrer l'existence de $I = \int_0^1 \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{\ln(1+t)}\right) dt$ puis l'égalité

c) Montrer l'existence de
$$I = \int_0^1 \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{\ln(1+t)}\right) dt$$
 puis l'égalité $I = \int_0^{+\infty} e^{-u} \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{1-e^{-u}}\right) du$.

d) Montrer que $I = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} \left( \frac{e^{-nu} - e^{-(n+1)u}}{u} - e^{-nu} \right) du$.

e) En déduire que
$I = -\gamma.$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 694]
Soit $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ telle que f(0) = f(1) = 0.

a) Montrer que
$$\int_0^1 f(t)f'(t) \cot n(\pi t) dt$$
 converge.

b) En déduire que $\pi^2 \int_0^1 f(t)^2 dt \le \int_0^1 f'(t)^2 dt$.

605 Soit
$$f \in C^1(\mathbb{D}^+, \mathbb{D})$$
 On suppose the fact integrable out $\mathbb{D}^+$ and $f(x)$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 695]
Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,\mathbb{R})$. On suppose que $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$, que $f(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et que f' est croissante. Montrer que, pour tout $x \geq0$, $\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 \le \frac{2}{3} f(x) \int_{-\infty}^{+\infty} f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 696]
On note
$E$
 l'ensemble des fonctions continues et de carré intégrable de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$. Soit $f \in E$. On pose $g(0) = f(0)$ et $g(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f$ pour tout $x > 0$.

$f \in E.$ On pose $g(0) = f(0)$ et $g(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f$ pour tout $x > 0$
a) Montrer que $g$ est continue et $\int_0^x g^2 = -xg(x)^2 + 2 \int_0^x fg(x)$

a) Montrer que
$g$
 est continue et $\int_0^x g^2 = -xg(x)^2 + 2\int_0^x fg$.
b) Montrer que, pour tout $x \geq0$, $\int_0^x g^2 \le 4\int_0^x f^2$.

En déduire que $g \in E$ et $\int_{0}^{+\infty} g^{2} \leqslant 4 \int_{0}^{+\infty} f^{2}$.

 $\left| f(x) - \sum_{k} a_k e^{-kx} \right| \leqslant \eps;$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 697]
On pose, pour
$n \in \N$
, $f_n(x) = x^n \ln(x)$ si $x \in ]0,1]$, et $f_n(0) = 0$. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 698]
Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec a < $b$. Quelles sont les fonctions de [a, b] dans $\mathbb{R}$ qui sont limite uniforme sur [a,b] d'une suite $(p_n)_{n\geq 0}$ de polynômes tels que, pour tout $n\in\N$ et tout $x \in [a, b], p_n''(x) > 0$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 699]
Soit
$f$
 une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$. Montrer l'équivalence entre :

i) pour tout $\eps > 0$, il existe $n \in \N$ et $(a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$,
ii) $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ et admet une limite finie en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 700]
Soit $(f_n)$ une suite de fonctions convexe sur [a,b] à valeurs dans $\mathbb{R}$. On suppose que $(f_n)$ converge simplement sur [a, b] vers une fonction $f$.
a) Montrer que $f$ est convexe.
b) Soient $\alpha, \eta$ tels que : $a < \alpha < \eta < b$. Montrer qu'il existe $K$ > 0 tel que :
$\forall n \in \N, \forall (x, y) \in [\alpha, \eta]^2, |f_n(x) f_n(y)| \leqslant K|x y|$.
c) i) Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment de [a,b[ mais pas nécessairement sur [a, b].
  - ii) Montrer que si $f$ est continue, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur [a,b].
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 701]
On pose $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x e^{-nx}}{\ln(n)}$.
a) Déterminer les domaines de définition, de continuité, puis de dérivabilité de $f$.
b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, puis en donner un équivalent simple.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 702]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \ln\left(\frac{n+1+x}{n+x}\right)$. Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^{+*}$.
Déterminer la limite et un équivalent de $f$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 703]
a) Soit $x \in [0, 1[$. Justifier l'existence de $f(x) = \prod_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}$.
b) Montrer que, pour tout $x \in ]0, 1[$, $\ln(f(x)) = \ln 2 + \frac{x-1}{x} \sum_{n=1}^{+\infty} x^n \ln(1+x^n)$.
c) En déduire que, pour tout $x \in ]0,1[$, $\ln{(f(x))} = \ln{2} + \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m} \frac{x^m}{1 + x + \dots + x^m}$.
d) Montrer que $f$ possède une limite finie en 1 et la déterminer
On admettra que $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 704]
a) Déterminer le domaine de définition de $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x}{n(1+n^2x)}$
  - b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  - c) Déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 705]
a) Montrer que $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\cos(nx)}{n^{3/2}}$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
b) Pour $n \in \N$ et $x \in \mathbb{R}$, donner une expression simplifiée de $\sum_{n=0}^{\infty} \sin(kx)$.
c) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur tout segment inclus dans $\mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 706]
On pose $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1 + x^{2n}}$.

a) Domaine de définition de f?
b) Étudier la continuité de $f$ sur son domaine de définition. Est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ ?
c) Déterminer des équivalents de $f$ en $0, 1^-, 1^+$ et $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 707]
Soient a > 0 et $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivable telle que : $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = f(ax)$.

a) Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$.
b) Calculer $f^{(n)}$ et expliciter $f^{(n)}(0)$ en fonction de f(0).
c) Déterminer le rayon de convergence de la série entière : $\sum \frac{1}{n!} a^{n(n-1)/2} x^n$.

On suppose $a \in ]0,1[$ et l'on note $:g:x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}a^{n(n-1)/2}x^n$.

d) Montrer que $g$ est bien définie sur $\mathbb{R}$, de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et : $\forall x \in \mathbb{R}, g'(x) = g(ax)$.
e) On suppose f(0) = 0. Montrer que $f$ = 0. f) Résoudre l'équation fonctionnelle : y'(x) = y(ax).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 708]
Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bornée et dérivable, vérifiant : $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = f(x+1)$.

a) Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f(n)}{n!} x^n$.
b) Montrer que : $\forall k \in \N, f(k) = -\sum_{n=k+2}^{n=0} \frac{f(n)}{(n-k)!}$
c) Montrer que $f$ = 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 709]
Soit $f: x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} \mapsto \frac{-\pi^2}{\sin^2(\pi x)} + \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(x-n)^2}$.
a) Montrer que $f$ est bien définie, 1-périodique et continue.

b) Montrer que $f$ est prolongeable par continuité sur $\mathbb{R}$ et que

$$\forall x \in \mathbb{R}, 4f(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x+1}{2}\right).$$

c) Montrer que f=0 et en déduire : $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 710]
Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^{+*})$ une fonction croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)} \sim \frac{a}{x \to +\infty} \frac{a}{x}$ avec a > 0.
a) Rappeler les théorèmes d'intégration des équivalents et donner un équivalent de $\ln(f(x))$ quand $x \to +\infty$.
b) On pose $u: x \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} f(n) e^{-nx}$. Déterminer le domaine de définition de $u$ et donner les limites de $u$ aux bornes de ce domaine.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 711]
Soit $p \in ]0,1[$. Soit $f$ définie par : $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n^x p^n$.

b) Tracer une allure du graphe de $f$.

a) Déterminer le domaine de définition de $f$.

c) Étudier l'intégrabilité de $f$ en $-\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 712]
Soient $\lambda \in \C$ et $F_{\lambda}: s \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\lambda^n}{s(s+1)\cdots(s+n)}$.
a) Déterminer l'ensemble $\Delta_{\lambda}$ des $s \in \mathbb{R}^{+*}$ pour lesquels $F_{\lambda}(s)$ est bien défini.
b) Trouver la limite de $F_{\lambda}$ quand $s \to \sup(\Delta_{\lambda})$. c) Donner un équivalent de $F_{\lambda}(s)$ quand $s$ tend vers $\inf(\Delta_{\lambda})$.
d) Calculer $\int_0^1 y^n (1-y)^{s-1} dy$. En déduire une expression intégrale de $F_{\lambda}(s)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 713]
On admet que $\pi$ est irrationnel. Soit $\alpha > 1$. On pose, pour $n \in \N^*$ : $a_n = \left(\frac{\cos(n)}{n} + \frac{\alpha}{n}\right)^n$.
a) Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n x^n$.
b) Étudier la convergence de la série en $R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 714]
Soient $q \in ]-1,1[$ et $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \sin(q^n x)$.
a) Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
b) Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinageqde 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 715]
Soit $f: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t} \operatorname{sh}\left(x\sqrt{t}\right) dt$.
a) Donner le domaine de définition de $f$.
b) Développer $f$ en série entière puis exprimer $f$ à l'aide des fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 716]
Pour tout $n \in \N$, on pose : $a_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n t \, dt$. Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$, faire l'étude aux bords et calculer la somme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 717]
Notons $D_n$ le nombre de permutations de $\{1,\ldots,n\}$ qui n'admettent aucun point fixe. On pose par convention $D_0 = 1$.
a) Montrer que $\sum_{k=0}^{n} {k \choose k} D_k = n!$.
b) Soit $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{D_n}{n!} x^n$. Montrer que $S$ a un rayon de convergence $\geq 1$.
c) Calculer $e^x S(x)$ et en déduire une expression de $D_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 718]
On définit $f(z) = \frac{z}{e^z - 1}$ pour $z$ complexe lorsque cela a un sens, et f(0) = 1. On

définit une suite réelle
$$(b_n)_{n\in\N}$$
 par $b_0=1$ et $\forall n\in\N\setminus\{0,1\},\ \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}b_k=0$.

a) Déterminer le domaine de définition de $f$.
b) Montrer que $|b_n| \leq n!$ pour tout $n \in \N$.
c) Montrer que $f$ est développable en série entière autour de 0 et que $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b_n}{n!} z^n$ pour
 $z$ voisin de 0. Montrer que le rayon de convergence de la série entière en question appartient à $[1, 2\pi]$.

d) En considérant $z \mapsto f(z) + \frac{z}{2}$, calculer $b_n$ pour tout $n \in \N$ impair.
e) Montrer que tan est développable en série entière autour de 0 et expliciter le développement en série entière associé en fonction des $b_n$. Ind. Considérer f(z) + f(-z).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 719]
Soit $p \in \mathbb{R}$. L'application $f: x \in \mathbb{R} \mapsto \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)^p$ est-elle développable en série entière au voisinageqde 0?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 720]
Pour
$n \in \N$
, on pose $u_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \prod_{k=0}^n \left(1 - \frac{x}{2^k}\right)$.

a) Montrer que la suite $(u_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers une fonction $u$ que l'on ne cherchera pas à expliciter.
b) Montrer que $u$ est continue sur $\mathbb{R}$.
c) Montrer que $u$ est développable en série entière au voisinageqde 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 721]
On considère :
$$f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n} e^{in^2 x}.$$

a) Montrer que $f$ est bien définie et de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
b) Montrer que $f$ n'est pas développable en série entière au voisinageqde 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 722]
Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 \in ]0, \pi/2[$ et $u_{n+1} = \sin(u_n)$ pour $n \in \N$. Pour $n \in \N$, on pose $a_n = \int_0^{u_n} \frac{\mathrm{d}t}{1+\sin t}$.

Pour
$n \in \N$
, on pose $a_n = \int_0^{u_n} \frac{\mathrm{d}t}{1 + \sin t}$.

a) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et étudier le comportement de la suite $(a_n)$.
b) Montrer la divergence de $\sum u_n^2$ et la convergence de $\sum u_n^3$.
c) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$. Préciser le comportement de sa somme en 1 et en -1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 723]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite complexe telle que $\sum n|a_n|$ converge. Soit $f:z\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$.
a) Montrer que le rayon de convergence de $f$ est $\geq 1$.- b) On suppose que $a_1 \neq 0$ et que $\sum_{n=0}^{+\infty} n |a_n| \leq |a_1|$. Montrer que $f$ est injective sur le disque
unité ouvert.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 724]
Pour $n \in \N$, on note p(n) le cardinal de l'ensemble $\{(x,y,z) \in \N^3 : x+2y+3z=n\}$.
Soit $G: t \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} p(n) t^n$. a) Montrer que le rayon de $G$ est $\geq 1$ et que $\forall t \in ]-1, 1[\ , G(t) = \frac{1}{(1-t)(1-t^2)(1-t^3)}$
b) Expliciter p(n) et en déterminer un équivalent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 725]
Soient $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et $f \in \mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{R})$ telle que, pour tout $n \in \N$, $f^{(n)} \geq 0$. Montrer que, pour tout $x \in I$, il existe $r$ > 0 et $(a_n)_{n \geq 0} \in \mathbb{R}^{\N}$ tels que $]x r, x + r[ \subset I$ et
$\forall t \in ]-r, r[, f(x+t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 726]
a) Déterminer les endomorphismes continus du groupe $(\mathbb{R}, +)$. Si $(a_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^{\N}$, on dit que $(a_n)_{n\geq 0}$ vérifie la propriété $\mathcal{P}$ si le rayon de convergence de $\sum a_n x^n$ est supérieur ou égal à 1 et si $x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ admet une limite finie en $1^-$.
b) Montrer que, si $\sum a_n$ converge absolument, $(a_n)_{n\geq 0}$ vérifie $\mathcal{P}$. Étudier la réciproque.
c) Déterminer les fonctions $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que, pour toute suite $(a_n)_{n\geq 0}$ vérifiant $\mathcal{P}$, la suite $(f(a_n))_{n\geq 0}$ vérifie $\mathcal{P}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 727]
a) Soient $(p,q) \in (\N^*)^2$ et $f \in \mathcal{C}^0([0,p/q],\mathbb{R})$. Pour $n \in \N^*$, on pose : $P_n =$
$\frac{X^n(p-qX)^n}{n!}$ Montrer que : $\int_0^{p/q} P_n(t)f(t) dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. b) Montrer que $\pi$ est irrationnel
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 728]
Déterminer un équivalent de $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-nt}|\cos t|}{\sqrt{t}} dt$ lorsque $n \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 729]
Déterminer un équivalent de $I_n = \int_0^{+\infty} (1 + nx^4)^{-n} dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 730]
Soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ strictement croissante vérifiant f(0)=0 et f(1)=1. Montrer que: $\int_{0}^{1} f(t)^{n} dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 731]
On pose : $\forall x \in ]0,1[\,,f(x)=\frac{-x}{\ln(1-x)}$ et $\forall n \in \N,\ I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,\mathrm{d}x$.
a) Étudier la bonne définition, la convergence et la limite de la suite $(I_n)$.
b) Déterminer un équivalent simple de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 732]
Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^+)$ bornée.

Déterminer la limite de la suite de terme général $\frac{1}{n} \left( \int_0^{+\infty} \left( \ln \left( 1 + e^{nf(x)} \right) \right)^n e^{-x} dx \right)^{1/n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 733]
Soit
$$a \in \mathbb{R}^* \setminus \{-1, 1\}.$$ On pose $I_n = \int_0^{\pi} \frac{\cos(nt)}{1 - 2a\cos t + a^2} dt$.

a) Montrer que $a(I_n + I_{n+2}) = (a^2 + 1)I_{n+1}$ pour tout $n$.
b) Calculer $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 734]
Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^{\pi/4} (\tan(x))^n dx$.
a) Trouver une relation de récurrence vérifiée par $(I_n)$ et en déduire un équivalent de $I_n$.
b) Donner le rayon de convergence de $\sum I_n x^n$.
c) Montrer que $I_{2n} = (-1)^n \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$. Exprimer de même $I_{2n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 735]
Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt$ et $J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) \cos(2xt) dt$.
a) Donner une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$. b) Montrer que la suite $((n+1)I_nI_{n+1})$ est constante et en déduire $I_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.
c) i) Montrer l'existence de $\alpha > 0$ tel que $\forall t \in [0, \pi/2], \cos(t) \leqslant 1 \alpha t^2$ et déduire que $\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{nt} \cos^n(t) dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.
$J_0$ ii) Soit $f \in \mathcal{C}^1([0,\pi/2],\mathbb{R})$. Montrer que $\frac{1}{I} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos^n(t) dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(0)$.
  - iii) Montrer que, si $x \neq \pm \frac{n}{2}$, alors $J_n = \left(1 \frac{4x^2}{n^2}\right)^{-1} \frac{n-1}{n} J_{n-2}$.
  - *iv*) Conclure que, si $x \in ]-\pi, \pi[$, alors $\pi x \prod_{n=0}^{\infty} \left(1 \frac{x^2}{k^2}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sin(\pi x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 736]
Exprimer $\int_0^{+\infty} \frac{\ln^2(x)}{x^2+1} dx$ sous forme de somme d'une série.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 737]
On appelle suite de fonctions de Bertrand une suite $(f_n)$ de fonctions continues sur $\mathbb{R}^+$ à valeurs positives, uniformément majorées et vérifiant : $\forall n \in \N, \int_0^{+\infty} f_n = 1$.
Soit $\mathcal B$ une suite de fonctions de Bertrand et $\sum a_n$ une série numérique réelle. On dit que $\sum a_n$ est $\mathcal B$ -convergente si
$-\sum a_nf_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$, vers une fonction continue;- $-\int_{0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}f_{n}$ est une intégrale convergente.
a) Montrer que toute série absolument convergente est $\mathcal{B}$ -convergente.
b) On pose : $\forall n \in \N, \forall t \in \mathbb{R}^+, f_n(t) = \frac{t^n e^{-\overline{t}}}{n!}$. Montrer que $(f_n)$ est une suite de fonctions
de Bertrand. Expliciter une série divergente qui est $b$-convergente.
c) Pour $n \in \N$, on définit $f_n : t \in \mathbb{R}^+ \mapsto \begin{cases} 0 \text{ si } t \leqslant n \\ t n \text{ si } n < t \leqslant n + 1 \\ n + 2 t \text{ si } n + 1 < t \leqslant n + 2 \end{cases}$.
Montrer que $(f_n)$ est une suite de Bertrand et montrer qu'une série $\sum a_n$ converge si et seulement si elle est $\mathcal{B}$ -convergente.
En cas de convergence, montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \int_{0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n f_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 738]
Montrer l'existence et calculer : $\lim_{\lambda \to +\infty} \int_{0}^{\pi/2} \cos(\lambda \sin t) dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 739]
Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ une fonction continue. On pose F(0)=0 et, pour $x\in[0,1]$, $F(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{x-t}} dt$. Étudier la continuité de $F$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 740]
Soit $F: a \in \mathbb{R}^+ \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)(1+x^a)}$. Montrer que $F$ est constante, en déduire sa valeur.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 741]
Pour tout $x \in \mathbb{R}$, existence et calcul de $\int_{-t}^{+\infty} \frac{e^{ixt}-1}{t}e^{-t}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 742]
Soit $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2} dt$.
a) Domaine de définition $D$ de $F$ - b) Montrer que $F(x) = \int_{-t}^{+\infty} \frac{\sin(t-x)}{t} dt$ pour tout $x \in D$. c) En déduire que $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 743]
a) Déterminer les $z \in \C$ tels que $\int_{0}^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$ soit absolument convergente. On note G(z) cette intégrale.
b) i) On pose $I_n: z \mapsto \int_0^n t^{z-1} \left(1 \frac{t}{n}\right)^n dt$. Justifier que $I_n$ est bien définie.
ii) Montrer que $\lim_{n \to +\infty} I_n(z) = G(z)$.- c) Montrer que $G$ ne s'annule pas sur son domaine de définition.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 744]
On pose $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)} dt$. a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $F$.
b) Montrer que $F$ est de classe $C^1$, puis calculer $F$.
c) En déduire la valeur de $\int_{-t^2}^{+\infty} \frac{(\arctan t)^2}{t^2} dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 745]
a) Montrer que $\int_{0}^{+\infty} \sin(x^2) dx$ est une intégrale convergente.
b) Montrer que : $G: t \mapsto \left(\int_0^t e^{ix^2} dx\right)^2 + i \int_0^1 \frac{e^{it^2(x^2+1)}}{x^2+1} dx$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et
calculer G'. c) On admet que : $\int_0^1 \frac{e^{it^2(x^2+1)}}{x^2+1} dx \to 0$ quand $t \to +\infty$. Calculer $\int_0^{+\infty} \sin(x^2) dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 746]
Soit $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t} dt$. a) Domaine de définition $D$ de $F$. Montrer que $F$ est positive et décroissante.
  - b) Montrer que $F(x) \leqslant \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-xt} dt$ pour tout $x \in D$ et en déduire la limite de $F$ en $+\infty$.
  - c) Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $D$ et que $F(x) F'(x) = \frac{1}{x}$ pour tout $x \in D$. En
  - déduire que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $D$. d) Montrer que $F(x) = e^x \int_{-t}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$ pour tout $x \in D$ et en déduire la limite de $F$ en $0^+$.
  - e) Montrer que $F(x) \sim -\ln x$.
  -
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 747]
Pour x>0, on pose $\Gamma: x\mapsto \int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\mathrm{d}t$.
  - a) Trouver une relation entre $\Gamma(x)$ et $\Gamma(x+1)$ pour x>0.
  - b) On pose, pour $n \in \N^*$, $u_n = \ln(\Gamma(n))$ Montrer que $u_n = n \ln(n) - n - \frac{\ln(n)}{2} + \frac{\ln 2\pi}{2} + o(1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 748]
Soient $E=\left\{f\in\mathcal{C}^2([0,1],\C)\,,\,f(0)=f(1)=0\right\}$ et $F=\mathcal{C}^0([0,1],\C)$. a) Montrer que $\Delta:f\mapsto f''$ est un isomorphisme de $E$ dans $F$.
b) Pour $g \in F$, on pose $G: x \in [0,1] \mapsto \int_0^1 |x-t| g(t) dt$. Montrer que $G$ est de classe $C^2$ et calculer G''.
c) En déduire une fonction de deux variables $k:[0,1]^2 \to \mathbb{R}$ telle que
$\forall g \in F, \forall x \in [0,1], \Delta^{-1}(g)(x) = \int_0^1 k(x,t) g(t) dt.$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 749]
Soit $F: a \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1+t^2)(1+at^2)}}$. Donner un équivalent de $F$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 750]
On pose
$$f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \left( e^{-xt} \int_0^t \frac{\sin(u)}{u} du \right) dt.$$ Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ et exprimer $f$ à l'aide des fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 751]
a) Déterminer le domaine de définition de $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{t^x}{e^t - 1} dt$ et montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur ce domaine.

b) Donner un équivalent de $f$ en chacune des bornes du domaine.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 752]
Soient $f$, $g$ continues sur $\mathbb{R}$. a) On suppose $f$ intégrable sur $\mathbb{R}$ et $g$ bornée.

Montrer que $(f*g): x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) g(x-t) dt$ est continue et bornée sur $\mathbb{R}$.

b) On suppose $f$ et $g$ de carré intégrable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$  $g$ est définie et bornée sur $\mathbb{R}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 753]
Soit
$$f \in C^0([0,1], \mathbb{R}^{+*}).$$ Soient $N_f : x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \left( \int_0^1 f(t)^x dt \right)^{1/x}$.

a) Montrer que $N_f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^{+*}$.
b) Déterminer la limite de $N_f$ en $+\infty$.
c) Déterminer la limite de $N_f$ en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 754]
On pose $E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ et on se donne $K:[0,1]^2 \to \mathbb{R}$ continue.

a) Montrer que $T: f \in E \mapsto \left[ x \mapsto \int_0^x f(t) K(x,t) dt \right]$ est un endomorphisme de $E$.
b) Soit $\phi:[0,1]^2\to\mathbb{R}$ continue et telle que $\partial_2\phi$ soit définie et continue sur $[0,1]^2$.
i) Montrer que $(u,s) \in [0,1]^2 \mapsto \int_0^u \phi(x,s) \, \mathrm{d}x$ est de classe $\mathcal{C}^1$ (dans un sens à préciser).
ii) En déduire que $g: s \in [0,1] \mapsto \int_0^s \phi(x,s) \, \mathrm{d}x$ est de classe $\mathcal{C}^1$, et expliciter sa dérivée.
c) On pose $T^: f \in E \mapsto \left[x \mapsto \int_x^1 f(t) \, K(x,t) \, \mathrm{d}t\right]$. On note $\langle \; , \; \rangle$ le produit scalaire sur $E$ défini par $\langle a,b \rangle = \int_0^1 a(t) \, b(t) \, \mathrm{d}t$. Montrer que $\forall (f,g) \in E^2, \; \langle T(f),g \rangle = \langle f,T^(g) \rangle$ et que $T$ est l'unique endomorphisme de $E$ ayant cette propriété.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 755]
Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ intégrable sur $\mathbb{R}$. Montrer que l'équation différentielle y'-y+f=0 possède une unique solution bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 756]
On considère l'équation différentielle $(E): 6(1+t^2)y''-2y=t$.
a) Déterminer une solution polynomiale non nulle $\phi$ de $(1+t^2)y''-2y=0$.
b) Résoudre (E) grâce au changement de fonction inconnue $y=\phi z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 757]
Soient $k \in \N^*$ et $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ $2\pi$ -périodique.

L'équation différentielle $y'' + k^2y = f$ admet-elle une solution $2\pi$ -périodique?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 758]
Soient $\phi \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $K \in \mathbb{R}^{+*}$. Montrer que toute solution non nulle de l'équation différentielle $y'' + \phi(x)y' - Ky = 0$ s'annule au plus une fois sur $\mathbb{R}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 759]
Soit $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) + f''(x) \geq0$.

Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) + f(x + \pi) \geq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 760]
Soit () l'équation différentielle 2xy'' + y' - y = 0.

a) Trouver une solution $f$ de () développable en série entière au voisinageqde 0 et telle que f(0)=1.

b) Exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.
c) Déterminer toutes les solutions de ().
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 761]
On pose $E=\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et $\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par :

 $\forall f \in E, \forall t \in \mathbb{R}, \phi(f)(t) = f'(t) + tf(t)$.
 1. Déterminer les éléments propres de $\phi$.
 2. Déterminer les éléments propres de $\phi^2$.
 3. Résoudre l'équation différentielle : $y'' + 2ty + (t^2 - 3)y = 0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Cours de sup.
 2. Si $\la = 0$, noyau de $f$.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 762]
Soit (E) l'équation différentielle sur $\mathbb{R}^{+*}$ : ty'' + ty' y = 0.
a) Déterminer les réels a tels que $h_a: t \mapsto t^a$ soit solution de (E).
b) Soient $g: t \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{e^{-t}}{t^2}$ et $G: t \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_1^t g(s) \, \mathrm{d}s$. Dresser le tableau de variation de $G$. Étudier la limite de $G$ en $0^+$ et montrer que $G$ admet une limite finie en $+\infty$.

c) Soient $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^{+*}, \mathbb{R})$ et $h: t \mapsto tf(t)$. Montrer que $h$ est solution de (E) si et seulement

si f' est solution de : (E') : $z' + \left(1 + \frac{2}{4}\right)z = 0$.
d) Résoudre l'équation (E) et étudier le comportement des solutions en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 763]
On note (S) le problème de Cauchy $\left(-2y''+xy'+y=0,\ y(0)=\sqrt{\pi},\ y'(0)=0\right)$.
a) Montrer que (S) possède une unique solution développable en série entière sur $\mathbb R$ et l'expliciter.
b) On pose : $f: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} e^{tx-t^2} dt$. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ et expliciter f(x).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 764]
Montrer que la fonction $x \mapsto \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ n'est pas solution sur $\mathbb{R}^{+*}$ d'une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 765]
Déterminer les $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+*}, \mathbb{R})$ telles que $\forall x \in \mathbb{R}^{+*}, f'(1/x) = -f(x/2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 766]
Soit $q: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^{+*}$ continue. On suppose que (E): y'' + q(x)y = 0 admet une solution strictement positive y et on pose $f = \frac{y'}{y}$.- a) Trouver une équation différentielle d'ordre 1 dont $f$ est solution.
b) Montrer que $f$ est décroissante et strictement positive.
c) Montrer que $q$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$ et que $\int_{-\infty}^{+\infty} q(t) dt = O\left(\frac{1}{x}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 767]
L'espace $\mathbb{R}^n$ est muni de sa structure euclidienne canonique. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer l'équivalence des énoncés suivants : i) $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$,
  - ii) toute solution $x: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ de l'équation différentielle x' = Ax est de norme constante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 768]
a) Soient $f, g \in C^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^{+*})$.
On suppose qu'il existe $A$ > 0 telle que $\forall x \geq0$, $f(x) \le A + \int_0^x f(t) g(t) dt$.
Montrer que $\forall x \geq0, f(x) \le A \exp\left(\int_{0}^{x} g(t) dt\right)$.
b) Soient $a, b \in C^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$ telles que $b$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$ et $u \mapsto u \, a(u)$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$. Soit $x$ une solution sur $\mathbb{R}^+$ de l'équation différentielle x'' + ax = $b$. Montrer que,

pour tout
$t \geq0$
, $x(t) = x(1) + (t-1)x'(1) - \int_1^t (t-u) \, a(u) \, x(u) \, du + \int_1^t (t-u) \, b(u) \, du$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 769]
Résoudre les systèmes différentiels

$$\begin{cases} x' = 7x + 3y + te^{t} \\ y' = 3x - y + e^{t} \end{cases}, \begin{cases} x' = 2x - y - z \\ y' = -x + y + z \\ z' = x + 2y + 2z \end{cases}$$
$$\begin{cases} x'' = 9x + 10y \\ y'' = -5x - 6y \end{cases}, \begin{cases} x'(t) = (t+3)x(t) + 2y(t) \\ y'(t) = -4x(t) + (t-3)y(t) \end{cases}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 770]
Soit $A \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ telle que $A^2 + I_{2n} = 0$. Déterminer les solutions de : X' = AX.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 771]
Déterminer les matrices $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que, pour tout $t \in \mathbb{R}^+$, la matrice $e^{tA}$ soit stochastique, c'est-à-dire que tous ses coefficients sont positifs, et que la somme des coefficients sur n'importe quelle ligne vaut 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 772]
Soit $n \in \N^*$. On pose $\mathcal{A} = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ; \forall i, j \in [1, n], (-1)^{i+j} m_{i,j} \geq0 \}$.
a) Montrer que $A$ est stable par + et $\times$. b) Soient $A \in \mathcal{A}$ et $M \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+, \mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$ vérifiant : $\forall t \in \mathbb{R}^+, M'(t) = AM(t)$ et
$M(0) \in \mathcal{A}$. Montrer que : $\forall t \in \mathbb{R}^+, M(t) \in \mathcal{A}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 773]
Soit $A:[0,1]\to\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\forall t \in [0, 1], A^2(t) - 5A(t) + 6I_n = 0$.
 1. Montrer qu'il existe une fonction $P:[0,1]\to \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que, pour tout $t\in[0,1]$, $A(t) = P(t)A(0)P(t)^{-1}$.
 2. Soient $t \in [0, 1], \lambda \in \mathbb{R}$ et $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ tels que $A(t)X = \lambda X$. Montrer que $A(t)A'(t)X = (5 -\lambda)A'(t)X$.
 3. Montrer qu'il existe une fonction $P:[0,1]\to \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\forall t\in[0,1]$, $A(t) = P(t)A(0)P(t)^{-1}$.
#+end_exercice
#+begin_proof
 1. Le polynôme $X^2 - 5X + 6 = (X-2)(X-3)$ est annulateur de $A(t)$. La matrice $A(t)$ est donc diagonalisable et son spectre est inclus dans $\{2, 3\}$.
    Notons $m_2(t)$ et $m_3(t)$ les multiplicités respectives des valeurs propres $2$ et $3$. On a alors :
    $$\mathrm{Tr}(A(t)) = 2m_2(t) + 3m_3(t) = 2(n - m_3(t)) + 3m_3(t) = 2n + m_3(t)$$
    L'application $t \mapsto A(t)$ étant continue, $t \mapsto \mathrm{Tr}(A(t))$ l'est aussi. Comme elle est à valeurs entières, elle est constante sur l'intervalle $[0,1]$.
    Il en découle que $m_3(t)$ et $m_2(t)$ sont constantes. Deux matrices diagonalisables ayant le même spectre et les mêmes multiplicités étant semblables, $A(t)$ est semblable à $A(0)$ pour tout $t\in[0,1]$.

 2. En dérivant la relation $A(t)^2 - 5A(t) + 6I_n = 0$, on obtient :
    $A'(t)A(t) + A(t)A'(t) - 5A'(t) = 0$
    Évaluons cette expression sur le vecteur $X$ :
    $A'(t)A(t)X + A(t)A'(t)X - 5A'(t)X = 0$
    Comme $A(t)X = \lambda X$, on a $A'(t)A(t)X = \lambda A'(t)X$, ce qui donne :
    $$\lambda A'(t)X + A(t)A'(t)X - 5A'(t)X = 0 \implies A(t)A'(t)X = (5 - \lambda)A'(t)X$$

 3. Posons $M(t) = A'(t)A(t) - A(t)A'(t)$. L'application $A$ étant de classe $\mathcal{C}^1$, $M$ est continue.
    Soit $X$ un vecteur propre de $A(t)$ associé à la valeur propre $\lambda \in \{2,3\}$. D'après la question 2, $A'(t)X$ appartient à l'espace propre associé à $5-\lambda$. Calculons :
    $$M(t)X = A'(t)(\lambda X) - A(t)A'(t)X = \lambda A'(t)X - (5-\lambda)A'(t)X = (2\lambda - 5)A'(t)X$$
    Évaluons maintenant l'action du commutateur $[M(t), A(t)]$ sur $X$ :
    $$\begin{aligned}(M(t)A(t) - A(t)M(t))X &= M(t)(\lambda X) - A(t)\left((2\lambda - 5)A'(t)X\right) \\ &= \lambda(2\lambda - 5)A'(t)X - (2\lambda - 5)(5-\lambda)A'(t)X \\ &= (2\lambda - 5)(\lambda - 5 + \lambda)A'(t)X \\ &= (2\lambda - 5)^2 A'(t)X\end{aligned}$$
    Pour $\lambda \in \{2,3\}$, on a toujours $(2\lambda - 5)^2 = (\pm 1)^2 = 1$. Ainsi, sur tout vecteur propre $X$, $(M(t)A(t) - A(t)M(t))X = A'(t)X$.
    Comme $A(t)$ est diagonalisable, cette égalité est vraie sur tout $\R^n$ :
    $M(t)A(t) - A(t)M(t) = A'(t)$
    Soit alors $P$ l'unique solution du problème de Cauchy $P'(t) = M(t)P(t)$ avec $P(0) = I_n$.
    + L'application $M$ étant continue, $P$ est de classe $\mathcal{C}^1$. D'après le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire, on a $P(t) \in \mathrm{GL}_n(\R)$ pour tout $t$.
    + Considérons $B(t) = P(t)^{-1}A(t)P(t)$. En dérivant cette relation (et sachant que $(P^{-1})' = -P^{-1}P'P^{-1} = -P^{-1}M$), on obtient :
      $$B'(t) = P(t)^{-1}\left(-M(t)A(t) + A'(t) + A(t)M(t)\right)P(t) = 0$$
    La fonction $B$ est donc constante, égale à $B(0) = A(0)$. On en déduit bien $A(t) = P(t)A(0)P(t)^{-1}$ pour tout $t\in[0,1]$.
#+end_proof

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 774]
On considère la fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y) \mapsto \begin{cases} (x^2 + y^2)^x \text{ si } (x,y) \neq (0,0) \\ 1 \text{ si } x = y = 0. \end{cases}$.

a) Étudier la continuité de $f$.
b) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$. Admet-elle des dérivées partielles en (0,0)?
c) Étudier les variations de la fonction $x \mapsto f(x,0)$.
d) Étudier les extrema de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 775]
Soit
$$f:(x,y)\in\mathbb{R}^2\mapsto\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-\frac{xy}{\sqrt{2}}.$$ Déterminer les extrema de $f$ et préciser leur nature.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 776]
Soit $D = \{(x, y) \in [0, \pi]^2 : x + y \le \pi\}$.

Déterminer les extrema de $\phi: (x,y) \in D \mapsto \sin(x) \sin(y) \sin(x+y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 777]
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$, $f(x,y) = x^2 xy^2$.
a) Déterminer les points critiques de $f$.
b) Soit $D$ une droite passant par (0,0). Montrer que la restriction de $f$ à $D$ admet un minimum local en (0,0).
c) La fonction $f$ possède-t-elle un extremum local en (0,0)?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 778]
Soit $E$ un espace vectoriel normé non nul. Soit $N$ une norme quelconque sur $E$. Montrer que $N$ n'est pas différentiable en 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 779]
a) Soient
$$f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$$
 et $x \in \mathbb{R}^n$. Montrer : $f(x) = f(0) + \sum_{i=1}^n x_i \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx) dt$.

b) Soit $D$ le sous-espace des formes linéaires $\phi$ sur $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ vérifiant : $\forall (f,g) \in E^2, \ \phi(fg) = f(0) \ \phi(g) + g(0) \ \phi(f)$.

Montrer que $D$ est de dimension finie puis que dim $D$ = $n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 780]
a) Soient $(E, \| \|)$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel normé de dimension finie, $f \in \mathcal{L}(E, \mathbb{R}) \setminus \{0\}$.

On pose $g: x \in E \mapsto f(x) e^{-\|x\|^2}$. Montrer que $g$ admet un minimum et un maximum.

b) On prend $E = \mathbb{R}^n$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soient $a \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ et $g: x \in E \mapsto \langle a, x \rangle \ e^{-\|x\|^2}$. Déterminer le minimum et le maximum de $g$ et indiquer les points en lesquels ils sont atteints.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 781]
Déterminer les extrema de $f:(x,y)\in\mathbb{R}^2\mapsto xe^y+ye^x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 782]
On considère la fonction $f:(a,b)\in\mathbb{R}^2\mapsto\int_{-1}^1|t^2+at+b|\mathrm{d}t$.

a) Déterminer le minimum de la fonction $b \mapsto f(0,b)$.
b) On fixe $b \in \mathbb{R}$. Déterminer le minimum de la fonction $a \mapsto f(a,b)$.
c) Déterminer le minimum de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 783]
Soient $(E, \| \|_E)$, $(F, \| \|_F)$, $(G, \| \|_G)$ trois espaces vectoriels normés. On pose, pour $(x,y) \in E \times F$, $\|(x,y)\|_{E \times F} = \max(\|x\|_E, \|y\|_F)$. Soit $B: E \times F \to G$ bilinéaire et

continue. a) Montrer qu'il existe $\alpha > 0$ tel que, pour tout $(x,y) \in E \times F$ vérifiant la condition

 $||(x,y)||_{E\times F} \leq \alpha$, on ait $||B(x,y)||_G \leq 1$.

En déduire que $||B(x,y)||_G \leqslant \frac{||x||_E ||y||_F}{\alpha^2}$ pour tout $(x,y) \in E \times F$.

a) Montrer que $B$ est différentiable et que $dB(x,y) \cdot (h,k) = B(x,k) + B(h,y)$.

b) Montrer que $(u, v) \in \mathcal{L}(E)^2 \mapsto u \circ v$ est différentiable et exprimer sa différentielle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 784]
a) Calculer la différentielle de la fonction det : $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ en $I_n$. b) Montrer de deux façons différentes que det n'atteint pas d'extremum local en $I_n$.

c) Que peut-on dire d'un éventuel extremum local de la fonction det? d) On fixe $r \in [1, n-1]$. Expliciter une matrice «simple» de rang $r$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. La fonction det y atteint-elle un extremum local?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 785]
Soient $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $x_0 \in \mathcal{U}$ et trois applications $f, g_1, g_2 : \mathcal{U} \to \mathbb{R}$ telles que $g_1 \le f \le g_2$ et $g_1(x_0) = g_2(x_0)$. On suppose de plus que $g_1$ et $g_2$ sont différentiables sur $\mathcal{U}$. Montrer que $f$ est différentiable en $x_0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 786]
Soit (E, || ||) un espace vectoriel normé de dimension finie (non nulle). Soit $f: B_F(0,1) \to \mathbb{R}$ continue, constante sur la sphère unité et différentiable sur la boule ouverte $B_o(0,1)$. Montrer que $f$ admet un point critique sur $B_o(0,1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 787]
On munit $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ d'une norme sous-multiplicative. a) Montrer qu'il existe $C \in \mathbb{R}^+$ tel que $\forall X \in E, |\operatorname{tr} X| \leq C ||X||$.

b) Montrer que $g: X \mapsto X^2$ est différentiable sur $E$ et calculer sa différentielle. c) Montrer que $f: X \mapsto \operatorname{tr} X^2$ est différentiable sur $E$ et calculer sa différentielle.

d) Montrer que: $\forall (A, B) \in E^2$, $|\operatorname{tr} A^2 - \operatorname{tr} B^2| \leq 2C \max(||A||, ||B||) ||A - B||$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 788]
Soient $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ une fonction différentiable, et $k$ un entier $\geq 1$. Montrer l'équivalence des énoncés suivants :

i) $\forall t \in \mathbb{R}^+, \forall x \in \mathbb{R}^n, f(tx) = t^k f(x), \text{ ii) } \forall x \in \mathbb{R}^n, df(x)(x) = k f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 789]
Soit $\phi$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $\forall t > 0, \phi(t) = -t \ln t$ et $\phi(0) = 0$. Soit $N \geq2$.

On pose : $\Sigma_N = \left\{ p \in (\mathbb{R}^+)^N \; ; \; \sum_{i=1}^N p_i = 1 \right\}$.

Soit $h$ définie sur $\Sigma_N$ par : $\forall p \in \Sigma_N, h(p) = \sum_{i=1}^N \phi(p_i)$.

a) Montrer que $\Sigma_N$ est un compact convexe. b) Montrer que $\phi$ est continue et strictement concave sur $\mathbb{R}^+$, c'est-à-dire que

 $\forall \lambda \in [0,1[, \forall (x,y) \in (\mathbb{R}^+)^2, x \neq y \Rightarrow \phi((1-\lambda)x + \lambda y) \leqslant (1-\lambda)\phi(x) + \lambda \phi(y)$. c) Soient $a, b \in \mathbb{R}^+$ tels que a < $b$. Soit $t \in [0, (b-a)/2]$.

Montrer que $\phi(a+t) + \phi(b-t) > \phi(a) + \phi(b)$.

d) Montrer que $h$ admet un maximum, atteint en un unique point $p$.- e) En raisonnant sur $q=(p_1+\eps,p_2-\eps,p_3,\ldots,p_N)$, montrer que $p_1=\cdots=p_N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 790]
Soit $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ dont toutes les valeurs propres sont strictement positives.
a) Rappeler pourquoi $f$ possède une base orthonormée de vecteurs propres.
b) Rappeler pourquoi $\forall x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}, \ \langle x, f(x) \rangle > 0$. c) Soit $v \in \mathbb{R}^n$. Montrer que $g: x \in \mathbb{R}^n \mapsto \frac{1}{2}\langle x, f(x) \rangle - \langle v, x \rangle$ est de classe $\mathcal{C}^1$.
d) Déterminer le gradient de $q$ en tout point
e) Montrer que $g$ admet un unique point critique, en un point noté $c$, et préciser sa valeur.
f) Montrer que $q$ a un extremum global en $c$. La fonction $q$ possède-t-elle d'autres extrema?
  -
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 791]
Soit $f:(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\mapsto \exp\left(n-1-\sum_{k=1}^n x_k\right)+\sum_{k=1}^n e^{x_k}$.
a) Déterminer les points critiques de $f$.
b) Préciser la hessienne aux points critiques. Qu'en déduire sur f? c) Déterminer les extrema de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 792]
Soit $n \in \N$. On munit $\mathbb{R}^{n+1}$ de sa structure euclidienne canonique.
Pour $x=(x_0,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$ et $y=(y_0,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$, on pose

$$f(x,y) = \left(\sum_{i+j=k} x_i y_j\right)_{0 \leqslant k \leqslant 2n} \in \mathbb{R}^{2n+1}.$$

a) Montrer que, si $x$ et y sont non nuls, alors f(x, y) est non nul.
b) On pose $u: x \in \mathbb{R}^{n+1} \mapsto f(x,x)$ et $v: x \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\} \mapsto \frac{f(x,x)}{\|f(x,x)\|}$.
Étudier la différentiabilité de $u$ et $v$ et calculer leurs différentielles quand c'est possible.
c) Déterminer le rang de dv(x) pour $x \in \mathbb{R}^{n+1}$ non nul.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 793]
Soit $n \geq2$. On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $c$ > 0 et f:
$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\forall (x,y) \in (\mathbb{R}^n)^2$, $||f(x) f(y)|| \geq ||x y||$.
a) Soit $a \in \mathbb{R}^n$. Montrer que $\|\mathrm{d}f(a)(h)\| \geq c \|h\|$ pour tout $h \in \mathbb{R}^n$. En déduire que $\mathrm{d}f(a)$
est bijective.
b) Soient $b \in \mathbb{R}^n$ et $g_b : x \mapsto ||f(x) b||^2$. Montrer que $g_b$ admet un minimum sur $\mathbb{R}^n$.
c) En déduire que $f$ est bijective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 794]
On considere l'application $f: P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto P^T P \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.
a) Montrer que, si $M \in GL_n(\mathbb{R})$, la différentielle de $f$ en $M$ est surjective. b) On pose $g = f_{|\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}$. Si $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \cap \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, la différentielle de $g$ en $M$ est-elle surjective?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 795]
Soient $p \in \N^*$, $D_1, \ldots, D_p$ des droites affines de $\mathbb{R}^2$ non parallèles deux à deux, $f_1, \ldots, f_p$ des formes linéaires non nulles telles que chaque $f_i$ soit constante (égale à $a_i$ )
sur $D_i$. On pose $T = \mathbb{R}^2 \setminus \bigcup_{i=1}^r D_i$, et on considère une composante connexe par arcs $C$ de $T$.
a) Soit $i \in [1, p]$. Montrer que $g_i = f_i a_i$ ne changeqpas de signe sur $C$. b) Soit $\Phi:(x,y)\in C\mapsto \sum_{i=1}^{p}b_{i}\ln|g_{i}(x,y)|$ où les $b_{i}$ sont des constantes >0.

i) Montrer que $\Phi$ est de classe $C^2$.
ii) Soient $z_1$ et $z_2$ dans $C$, et $\Psi: t \in [0,1] \mapsto \Phi(tz_1 + (1-t)z_2)$. Montrer que $\Psi$ est concave et que $\Psi''$ ne s'annule pas.
iii) Si $C$ est bornée, montrer que $\Phi$ n'admet qu'un seul point critique sur $C$. La fonction $\Phi$ admet-elle un extremum en ce point?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 796]
Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$. Déterminer la limite lorsque $r$ tend vers
0 de $\frac{1}{2\pi r^2} \int_{-\pi}^{\pi} f(r\cos(t), r\sin(t)) dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 797]
Soient $r$ > 0 et $a \in \mathbb{R}^n$. Soit $f \in \mathcal{C}^0(B_f(a,r),\mathbb{R})$, de classe $\mathcal{C}^2$ sur $B_o(a,r)$.

On pose :
$$\Delta f = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_k^2}.$$

a) On suppose : $\forall x \in B_o(a,r), \ \Delta(f)(x) > 0$. Montrer que $f$ admet un maximum sur $B_f(a,r)$ et que ce dernier ne peut pas être atteint sur $B_o(a,r)$.
b) On suppose : $\forall x \in B_o(a,r)$, $\Delta(f)(x) \geq0$. Montrer que $f$ atteint un maximum sur $B_f(a,r)$ et que ce dernier est atteint en un point de la sphère de centre a et de rayon $r$. Ind. Pour $\eps > 0$, poser $f_{\eps} : x \mapsto f(x) + \eps ||x a||^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 798]
Soit $n \geq2$. Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, les valeurs propres de la hessienne de $f$ en $x$ soient supérieures ou égales à 1.
Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $f(x) \geq f(0) + \langle \nabla f(0), x \rangle + \frac{\|x\|^2}{2}$ et en déduire que $f$ admet un minimum.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 799]
Soit $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$. On suppose qu'il existe un réel $\alpha > 0$ tel que $\forall (x,y) \in (\mathbb{R}^n)^2, \ \langle \nabla f(x) \nabla f(y), x y \rangle \geq \alpha ||x-y||^2$. Montrer que $f \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 800]
$ $ Soit $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$.
a) On suppose $f$ de classe $C^2$. Montrer que sa jacobienne $J_f(x)$ est antisymétrique pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ si et seulement s'il existe $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ et $b \in \mathbb{R}^n$ tels que f(x) = Ax + $b$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$.
b) On suppose $f$ de classe $\mathcal{C}^1$. Montrer que sa jacobienne $J_f(x)$ est symétrique pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ si et seulement s'il existe $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f = \nabla g$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 801]
Soit $G: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$. On suppose qu'il existe $\alpha > 0$ tel que, pour tous $x,y \in \mathbb{R}^n$, $G(y) G(x) \geq \langle \nabla G(x), y x \rangle + \frac{\alpha}{2} \|y x\|^2$
a) Montrer que, si $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est continue et si $\lim_{\|x\| \to +\infty} f(x) = +\infty$, alors $f$ admet un minimum.
b) Montrer que $G$ atteint son minimum en un unique point.
c) Soit $x \in \mathbb{R}^n$ tel que $\nabla G(x) \neq 0$. Montrer que la fonction $t \mapsto G(x + t\nabla G(x))$ atteint son minimum en un unique point. Que se passe-t-il si $\nabla G(x) = 0$ ?d) Soit la suite $(u_k)$ définie par $u_0 \in \mathbb{R}^n$ et, pour tout $k \in \N$, $u_{k+1} = u_k + t_k \nabla G(u_k)$, où $t_k \in \mathbb{R}$ est tel que la fonction $t \mapsto G(u_k + t \nabla G(u_k))$ atteint son minimum en $t = t_k$. Quelle est la relation entre $\nabla G(u_{k+1})$ et $\nabla G(u_k)$ ?

e) Montrer que $(u_k)$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 802]
a) Soit $U$ un ouvert convexe de $\mathbb{R}^n$ et $f:U\to\mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si $H_f(x)\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ pour tout $x\in U$ (où $H_f(x)$ désigne la matrice hessienne de $f$ en x).

b) On fixe $p \in \mathbb{R}^{+*}$. Soit

$$f: (x_1, \dots, x_n) \in (\mathbb{R}^{+*})^n \mapsto \left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{1/p}.$$

À quelle condition la fonction $f$ est-elle convexe?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 803]
Soit $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. On note $H_f(x)$ la matrice hessienne de $f$ au point $x$.

a) Montrer que si $H_f(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, alors il existe $a \in \mathbb{R}^n$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que $f(x) = \langle a, x \rangle + b$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$.
b) Montrer que si la fonction $x \mapsto H_f(x)$ est constante sur $\mathbb{R}^n$, alors il existe $u \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, $a \in \mathbb{R}^n$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que $f(x) = \frac{1}{2} \langle u(x), x \rangle + \langle a, x \rangle + b$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 804]
Soit $E$ un espace euclidien non nul dont on note $S$ la sphère unité. Soit $u \in \mathcal{S}(E)$. On pose : $f: x \mapsto \langle u(x), x \rangle$ et $g: x \mapsto ||x||^2 - 1$.

a) Montrer que $f$ et $g$ sont différentiables sur $E$ et calculer les différentielles.
b) Montrer que la restriction de $f$ à $S$ admet un maximum, en un vecteur $e$.
  c) Montrer que $e$ est un vecteur propre de $u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 805]
Montrer que l'ensemble des vecteurs tangents à $SL_n(\mathbb{R})$ au point $I_n$ est l'hyperplan des matrices de trace nulle de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 806]
Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ telle que l'imageqde tout fermé de $\mathbb{R}^n$ par $f$ est fermée. On suppose

de plus que, pour tout $a \in \mathbb{R}^n$, $\mathrm{d} f(a)$ est bijective. On pose $X = f(\mathbb{R}^n)$.
a) Soit $x \in X$. Montrer que l'espace tangent $T_x X$ est égal à $\mathbb{R}^n$. b) Montrer que $X = \mathbb{R}^n$. Ind. On pourra raisonner par l'absurde.
#+end_exercice


** Probabilités

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 807]
Soient $n \geq2$ et $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\mathcal{P}(\db{1, n})$.

a) Déterminer $\mathbf{E}(\operatorname{card}(X))$.
b) Déterminer $\mathbf{E}(\operatorname{card}(X \cap Y))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 808]
Soient $n, p \in \N$ avec $1 \le p < n$. On considère une urne contenant $p$ boules blanches et $n$-p boules noires. On effectue des tirages sans remise des boules de l'urne. Donner la loi et l'espérance de la variable donnant le rang de la dernière boule blanche tirée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 809]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. On dit que $X$ est sans mémoire si : $\forall (m, n) \in \N^2, \mathbf{P}(X > n) > 0 \text{ et } \mathbf{P}(X > m + n \mid X > n) = \mathbf{P}(X > m)$.

a) Soit $p \in [0, 1[$. On suppose que $X \sim \mathcal{G}(p)$. Montrer que $X$ est sans mémoire. b) On suppose que $X$ est sans mémoire.
  - i) Montrer que $\mathbf{P}(X>0)=1$, puis que : $\exists p\in ]0,1[\,,\forall n\in\N,\mathbf{P}(X>n)=(1-p)^n$.
  - ii) Montrer que $X \sim \mathcal{G}(p)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 810]
On considère une urne contenant deux fois plus de boules noires que de blanches. On y effectue des tirages avec remise, et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de tirages nécessaires pour obtenir pour la première fois deux boules noires consécutives. Pour

tout $n \geq0$, on pose $u_n = \mathbf{P}(X > n)$. a) Montrer que $u_{n+2} = \frac{1}{3}u_{n+1} + \frac{2}{9}u_n$ pour tout $n \geq0$.
b) En déduire la loi de $X$ c) Montrer que $X$ admet des moments de tout ordre, et calculer son espérance.

b) Calculer la fonction génératrice de $X_n$ et en déduire sa loi et son espérance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 811]
Soit $p \in [0,1[$. On dispose d'une urne contenant des boules blanches et noires, avec une proportion $p$ de boules blanches. On effectue des tirages successifs avec remise. Pour tout $n \in \N^*$, on note $X_n$ le nombre de tirages à effectuer pour obtenir $n$ boules blanches.
a) Déterminer la loi de $X_1$ et sa fonction génératrice.
#+end_exercice

# ID:8718
#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 812]
Alice et Bob possèdent chacun un sac avec $n$ jetons numérotés de 1 à $n$. Alice tire un jeton au hasard. Bob tire ensuite des jetons, sans remise, jusqu'à ce que le numéro tiré soit supérieur ou égal au numéro tiré par Alice. On note $Y$ le nombre de jetons tirés par Bob. Déterminer la loi de $Y$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Soit $X$ le numéro tiré par Alice. $X$ suit une loi uniforme sur $\db{1,n}$.
Bob effectue des tirages sans remise. $Y$ prend ses valeurs dans $\db{1,n}$.
D'après la formule des probabilités totales :
$$P(Y=k) = \sum_{i=1}^n P(Y=k \mid X=i) P(X=i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n P(Y=k \mid X=i).$$
Si $X=i$, pour que Bob s'arrête exactement au $k$-ième tirage, il doit avoir tiré $k-1$ jetons strictement inférieurs à $i$, puis un jeton supérieur ou égal à $i$. Cela nécessite que $i \ge k$.
Le nombre total d'arrangements de $k$ jetons parmi $n$ est $\frac{n!}{(n-k)!}$.
Le nombre d'arrangements favorables (les $k-1$ premiers dans $\db{1,i-1}$ et le $k$-ième dans $\db{i,n}$) est $\frac{(i-1)!}{(i-k)!} \times (n-i+1)$.
Ainsi, pour $i \ge k$ :
$$P(Y=k \mid X=i) = \frac{(i-1)!}{(i-k)!} (n-i+1) \frac{(n-k)!}{n!} = {i-1 \choose k-1}(k-1)! (n-i+1) \frac{(n-k)!}{n!}.$$
En injectant dans la somme et en sortant les termes constants :
$$P(Y=k) = \frac{(k-1)! (n-k)!}{n \cdot n!} \sum_{i=k}^n {i-1 \choose k-1} (n-i+1).$$
Calculons la somme $S = \sum_{i=k}^n {i-1 \choose k-1} \sum_{j=i}^n 1 = \sum_{j=k}^n \sum_{i=k}^j {i-1 \choose k-1} = \sum_{j=k}^n {j \choose k} = {n+1 \choose k+1}.$
Finalement :
$$P(Y=k) = \frac{(k-1)! (n-k)!}{n \cdot n!} \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!} = \frac{n+1}{n} \frac{(k-1)!}{(k+1)!} = \frac{n+1}{n k(k+1)}.$$
La loi de $Y$ est donnée par $\forall k\in\db{1,n},\, P(Y=k) = \frac{n+1}{n k(k+1)}$.
#+end_proof


#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 813]
On pose, pour $k \in \N^*$ : $\mathbf{P}(X = k) = \frac{k-1}{2^k}$.
a) Montrer que cette relation définit une loi de probabilité.
b) Calculer la fonction génératrice de $X$.

c) Calculer l'espérance de $X$.

Déterminer la loi de Y.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 814]
Soient $a \in \mathbb{R}^{+*}$ et $p \in [0,1] \setminus \{1/2\}$. On considère des variables aléatoires $X$ et $Y$ à
valeurs dans $\N$ telles que $\forall (k,n) \in \N^2$, $\mathbf{P}(X=k,Y=n)=a\,\frac{(1-p)^{n-k}}{2n}\mathbf{1}_{k\leqslant n}$.
a) Calculer a, puis les lois de $X$ et Y. b) Calculer, si elles existent, l'espérance et la variance de $X$ et Y.
c) Calculer la covariance de $X$ et Y. Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 815]
Soient $a\in ]0,1[,\,b>0$ et (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\N^2$ tel que : $\forall (i,j)\in \N^2,\, \mathbf{P}(X=i,Y=j)=\frac{e^{-b}b^ia^j(1-a)^{i-j}}{j!(i-j)!}\,\mathbf{1}_{i\geq j}$.
b) Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
c) Déterminer la loi de $Z$ = $X$ Y.

a) Déterminer les lois de $X$ et Y.d) Les variables aléatoires $Y$ et $Z$ sont-elles indépendantes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 816]
Soient $X$, $Y$ des variables aléatoires telles que $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et $Y = \frac{1}{X+1}$. Calculer $\mathbf{E}(Y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 817]
Soit $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$.

a) Calculer la probabilité que $X$ soit paire.
b) On pose $Y = (-1)^X$. Espérance et loi de Y.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 818]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs entières ayant un moment d'ordre 2.

$$\text{Montrer que } \mathbf{E}\left(\frac{1}{X+1}\right)\leqslant 1-\frac{2}{3}\,\mathbf{E}(X)+\frac{1}{6}\,\mathbf{E}(X^2) \text{ et caractériser l'égalité}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 819]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$.
a) Montrer que : $\forall t \in [0,1[\,,\sum_{k=0}^{+\infty} \mathbf{P}(X>k)\,t^k = \frac{1-G_X(t)}{1-t}$.
b) On suppose que $X^2$ est d'espérance finie.

Montrer que :
$$\forall t \in [0,1], \sum_{k=0}^{+\infty} \mathbf{P}(X > k) t^k \geq \frac{3-t}{2} \mathbf{E}(X) + \frac{t-1}{2} \mathbf{E}(X^2).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 820]
On considère deux compartiments séparés par une valve. À l'instant t=0, le compartiment $A$ contient 2N particules et le second est vide. On ouvre la valve. À chaque instant, de manière équiprobable, une des 2N particules passe d'un compartiment à l'autre. On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de particules dans le compartiment $A$ à l'instant $n$.
a) Soit $k \in [0, 2N]$. Trouver une relation entre $\mathbf{P}(X_n > k)$, $\mathbf{P}(X_{n-1} > k+1)$, $\mathbf{P}(X_{n-1} = k+1)$ et $\mathbf{P}(X_{n-1} = k)$.
b) En déduire que, pour $n \geq 1$, $\mathbf{E}(X_n) = 1 + \left(1 \frac{1}{N}\right)\mathbf{E}(X_{n-1})$.
c) Déterminer $\mathbf{E}(X_n)$ pour $n \in \N$, puis $\lim_{n \to +\infty} \mathbf{E}(X_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 821]
Une urne contient $r$ boules rouges et $b$ boules blanches. À chaque tirage, on pioche une boule dans l'urne et on remet la boule tirée dans l'urne si et seulement si elle est rouge. On note $E_{n,b}$ l'espérance du nombre de boules blanches tirées à l'issue de $n$ tirages (on considère $r$ comme fixé définitivement).
a) Montrer que $F:(u,v)\in ]-1,1[^2\mapsto \sum_{(n,b)\in(\N^*)^2}E_{n,b}u^nv^b$ est convenablement définie.
b) Montrer la relation $(b+r)E_{n,b} = b + bE_{n-1,b-1} + rE_{n-1,b}$ (si b>0 et n>0). c) Montrer que $\partial_2 F$ est bien définie sur ]-1, 1[ et que
$\forall (u,v) \in ]-1,1[^2,\ v\ \partial_2 F(u,v) + r\ F(u,v) = \frac{uv}{(1-u)^2(1-v)^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 822]
a) Montrer que le polynôme $P = X^3 X^2 X 1$ admet une unique racine réelle et deux racines complexes non réelles de module strictement inférieur à 1.b) On lance une pièce équilibrée. Pour $n \geq3$, $A_n$ est l'événement « obtenir trois pile consécutifs pour la première fois à l'instant $n$ ».

Déterminer une relation de récurrence d'ordre 3 vérifiée par la suite $(\mathbf{P}(A_n))_{n\geq 3}$ et en déduire sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 823]
On lance simultanément $n \in \N^*$ fois deux pièces équilibrées. Soit $E_n$ l'événement « les deux pièces donnent le même nombre de pile ».
a) i) Pour $a,b,n\in\N$ tels que $a+b\leqslant n$, montrer que $\sum_{k=0}^n \binom{a}{k}\binom{b}{n-k}=\binom{a+b}{n}$.
ii) Calculer $P(E_n)$. b) On note $N$ le nombre de fois où les pièces ont donné le même nombre de pile au cours des $n$ lancers. Calculer E(N).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 824]
On donne la formule du crible de Poincaré : si $A_1, \ldots, A_p$ sont des ensembles finis alors

$$\operatorname{card}(A_1 \cup \dots \cup A_p) = \sum_{k=1}^p (-1)^{k-1} \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq p} \operatorname{card} A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}.$$

a) On munit $S_n$ de la probabilité uniforme. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points fixes d'une permutation de $S_n$.
b) Calculer P(X=0).
c) Déterminer la loi de $X$.
d) Démontrer la formule de Poincaré.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 825]
Une pièce tombe sur pile avec probabilité $p \in ]0,1[$. On la lance jusqu'à obtenir pile, et on note $N$ le nombre de lancers effectués. On relance alors $N$ fois la pièce, et on note $X$ le nombre de pile obtenus. Déterminer la loi de $N$, celle de $X$ et calculer $\mathbf{E}(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 826]
On dispose de $n$ chapeaux et $n$ tiroirs. On rangeqaléatoirement chaque chapeau dans un des tiroirs (chaque tiroir pouvant contenir jusqu'à $n$ chapeaux). On note $X_k$ la variable aléatoire donnant le numéro du tiroir dans lequel est rangé le chapeau numéro $k$. On note $Z_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de tiroirs vides à l'issue du rangement.
a) Calculer l'espérance et la variance de $Z_n$.
b) Déterminer un équivalent de $\mathbf{E}(Z_n)$ et de $\mathbf{V}(Z_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 827]
a) Donner la loi d'une somme de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$.
b) On lance un dé qui a une probabilité $p \in ]0,1[$ de tomber sur 6. On note $X$ le nombre de lancers nécessaires pour avoir $n$ fois 6. Déterminer la loi et l'espérance de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 828]
Soient $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$.
a) Calculer l'espérance et la variance de $\frac{(X+1)^2}{X}$, notamment en fonction de $\int_0^1 \frac{\ln(u)}{1-u} du$.
b) Calculer l'espérance de $\frac{(X+1)^2}{V}$ et de $(X+1)^2Y$.- c) Les variables aléatoires $\frac{(X+1)^2}{V}$ et $(X+1)^2 Y$ sont-elles indépendantes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 829]
Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X+1\sim \mathcal{G}(p)$.
a) Soient $m, n \in \N^*$ et $x \in ]0,1[$. Montrer que $\frac{1-x^{nm}}{1-x^m} \leqslant \frac{1-x^n}{1-x}$.
b) Les événements « $m$ divise $X$ » et « $n$ divise $X$ » sont-ils indépendants? On pourra commencer par le cas $n \wedge m = 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 830]
Soient a, $b$ > 0 et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que, pour tout $n \in \N$, $\mathbf{P}(X = n + 1) = a \mathbf{P}(X = n) + b^{n+1}$.
a) Montrer que a, $b$ sont strictement inférieurs à 1 et expliciter la loi de $X$.
b) Calculer $\mathbf{E}(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 831]
Soit $(E_k)$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Montrer l'existence d'un réel $\ell$ tel que :

$$\forall \alpha > 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \mathbf{P}\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{k}{n} + E_k\right) - \ell\right| > \alpha\right) = 0.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 832]
a) Donner une condition sur le couple $(r,s) \in \mathbb{R}^2$ pour qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{P}(X=n)=r\binom{2n}{n}s^n$ pour tout $n\in\N$. On suppose dans le suite sette condition vériféée et en se denne une telle variable. $Y$ - dans la suite cette condition vérifiée et on se donne une telle variable $X$. b) Montrer que $G_X$ est solution sur [0,1] de l'équation différentielle (1-4st)y'(t)=2sy(t).
c) En déduire l'espérance et la variance de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 833]
a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha \in \mathbb{R}$ pour qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ vérifiant $\forall t \in [0, 1]$ $G_{x}(t) = \frac{1}{1-1}$.
variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb N$ vérifiant $\forall t \in [0,1], \ G_X(t) = \frac{1}{(2-t)^{\alpha}}$
b) Calculer l'espérance et la variance de $X$ et montrer que $\mathbf{P}(X=n) = O\left(\frac{n^{\lfloor \alpha \rfloor}}{2^n}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 834]
Soient $X_1, \ldots, X_n$ des variables aléatoires $i$.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p$. On introduit $Y = \max(X_1, \ldots, X_n)$. Calculer $\mathbf{P}(Y \geq k)$ et $\mathbf{P}(Y = k)$ pour $k \in \N$. Montrer que $Y$ est d'espérance finie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 835]
Pour $n \geq 2$, soit $X_n$ une variable aléatoire à valeurs dans $\db{1,n}$ telle que, pour tout $k \in \db{1,n}$, $\mathbf{P}(X_n=k) = \frac{\ln(k)}{\ln(n!)}$. Déterminer un équivalent de $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{E}(X_n^2)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 836]
Soient a et $b$ dans $\mathbb{R}$ avec a < $b$. Quelle est la variance maximale d'une variable aléatoire à valeurs dans [a,b]?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 837]
Soient $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ bornée et $X$ une variable aléatoire réelle.Montrer que : $(\mathbf{E}(f(X)^n))^{1/n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sup \{f(x) \; ; \; x \in \mathbb{R}, \; \mathbf{P}(X=x) > 0\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 838]
Soient $X$,Y deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$.

a) Calculer la probabilité que la matrice $A = \begin{pmatrix} X & 1 \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ soit diagonalisable.
b) Calculer la probabilité que $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ (resp. $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ) soit vecteur propre de A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 839]
Une matrice est dite à spectre simple lorsque toutes ses valeurs propres sont de multiplicité 1.

a) Soit $M = \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & c \end{pmatrix} \in \mathcal{S}_{n+1}(\mathbb{R})$, où $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On suppose que $M$ n'est pas à spectre simple. Montrer que $M$ possède un vecteur propre dont le dernier coefficient est pul
simple. Montrer que $M$ possède un vecteur propre dont le dernier coefficient est nul. b) En déduire que $A$ possède un vecteur propre orthogonal à $b$.
c) Soient $X_1, \ldots, X_5$ des variables $i$.i.d. de Bernoulli de paramètre $p$. Montrer que la pro-

babilité que la matrice aléatoire
$$N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\0&1&X_5&X_2\\0&X_5&-1&X_3\\X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$$
 soit à spectre simple est

supérieure ou égale à $3p^3 - 2p^4$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 840]
Soit $n \in \N^*$. On définit la matrice $J = (J_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\C)$ par $J_{i+1,i} = 1$, $J_{1,n} = 1$ et $J_{i,j} = 0$ sinon.

a) Calculer le polynôme caractéristique de $J$ ainsi que son polynôme minimal. Soient $X_0, \ldots, X_{n-1}$ des variables aléatoires $i$.i.d. de loi uniforme sur $\{-1, 1\}$.

$$\operatorname{On pose} M = \begin{pmatrix} X_0 & X_{n-1} & \cdots & \cdots & X_1 \\ X_1 & X_0 & \ddots & & X_2 \\ X_2 & X_1 & X_0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & X_{n-1} \\ X_{n-1} & \cdots & X_2 & X_1 & X_0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\C).$$

b) Exprimer $M$ en fonction de $J$.
c) On suppose dans cette question que n=2. Calculer $\mathbf{P}(M\in \mathrm{GL}_2(\C))$.
d) Déterminer le spectre de $M$.
e) On suppose que $n$ est premier et on admet qu'alors le polynôme $1+X+X^2+\cdots+X^{n-1}$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$. Déterminer $\mathbf{P}(M\in \mathrm{GL}_n(\C))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 841]
Soient $X_1, \ldots, X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal{B}(p)$, $U = (X_1 \cdots X_n)$ et $M = U^T U$.

 1. Déterminer la loi de $\rg(M)$ et de $\tr(M)$.
 2. Calculer la probabilité de l'événement « $M$ est un projecteur ».
 c. Ici $n=2, V=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $S=VMV^T$.
    Déterminer l'espérance et la variance de $S$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 842]
Soient $n \geq2$ entier, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ de dimension $k$. On note $p_V$ la projection orthogonale sur $V$, $M$ sa matrice dans la base canonique. On écrit M=D+Aoù $D$ est diagonale et $A$ a tous ses coefficients diagonaux nuls. Soit $X = (X_1, \dots, X_n)^T$ un vecteur aléatoire dont les composantes $X_i$ suivent la loi de Rademacher et sont indépendantes. Soit enfin $R$ = d(X, V).

a) Montrer que $0 \le R \le \sqrt{n}$.
b) Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}^n, \ d(x,V)^2 = \|x\|^2 \langle x, p_V(x) \rangle$. c) Montrer que $R^2 = n k X^T AX$ et calculer l'espérance de $R^2$.
d) Montrer que $\operatorname{tr}(D^2) \geq \frac{k^2}{n}$.
e) Calculer l'espérance de $(X^TAX)^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 843]
Soit $(X_i)_{i \geq1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi géométrique de paramètre $p \in [0, 1[$. Pour $n \geq1$, on pose $M_n = \max\{X_1, \dots, X_n\}$.
a) Donner une expression de $\mathbf{E}(M_n)$.
b) Pour tout $n \geq1$, on définit la fonction $f_n : t \in \mathbb{R}^+ \mapsto 1 (1 q^t)^n$. Montrer que l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} f_n(t) dt$ est convergente, et en donner un équivalent quand $n \to +\infty$.
c) Donner un équivalent de $\mathbf{E}(M_n)$ quand $n \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 844]
Soit $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée. Soit h>0. On définit la suite de $\text{fonctions } (u_n^h)_{n\in\N} \text{ par } u_0^h = f \text{ et, pour tous } n\in\N \text{ et } x\geq 0, u_{n+1}^h(x) = \frac{u_n^h(x+h) - u_n^h(x)}{h}$.
a) Exprimer $u_n^h$ à l'aide de $f$.
b) On pose $a_n^h = u_n^h(0)$ et $S(x,h) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_k^h x^k}{k!}$, où $x \geq0$. Montrer que S(x,h) est bien
définie. c) Exprimer S(x,h) à l'aide de la variable aléatoire $X_h$, où $X_h \sim \mathcal{P}\left(\frac{x}{h}\right)$. En déduire $\lim_{h\to 0^+} S(x,h)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 845]
Soient $(p_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de ]0,1[ et $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $n, X_n \sim \mathcal{G}(p_n)$. Montrer que $A = \{\omega, X_n(\omega) \xrightarrow[n \to +\infty]{}$ $+\infty$ } est un événement, et calculer sa probabilité en fonction de $(p_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 846]
Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables de Rademacher idépendantes. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n = X_1 + \dots + X_n$.
a) Calculer $\mathbf{E}(e^{tS_n})$ si $n \in \N^*$ et $t \in \mathbb{R}$.
b) Montrer que, pour $n \in \N^*$ et $a \in \mathbb{R}^{+*}$, $\mathbf{P}(|S_n| \geq na) \leqslant 2 \exp\left(-\frac{na^2}{2}\right)$.
c) Montrer que le résultat de la question précédente subsiste si on suppose que $(X_k)_{k \geq1}$ est une suite $i$.i.d. de variables aléatoires centrées et bornées par 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 847]
Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \leq b, X$ une variable aléatoire à valeurs dans $[a, b], (X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables $i$.i.d. suivant la loi de $X$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$.

Soit
$$f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R}).$$ Montrer que $\mathbf{E}\left(f\left(\frac{S_n}{n}\right)\right) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} f\left(\mathbf{E}(X)\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 848]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs réelles et admettant un moment d'ordre 4.

On note $m = \mathbf{E}(X_1)$, $V_2 = \mathbf{E}((X_1 - m)^2)$ et $V_4 = \mathbf{E}((X_1 - m)^4)$.

Pour $\eps>0$ et $n\in\N^*$, on définit l'événement $A_n^\eps=\left\{\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k-m\right|\geq\eps\right\}$.

a) Majorer $P(A_n^{\eps})$ en fonction de $\eps$, $V_2$ et $V_4$.
b) Montrer que la série $\sum \mathbf{P}(A_n^{\eps})$ converge.
c) Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{n=1}^{+\infty}\bigcup_{k=n}^{+\infty}A_k^{\eps}\right)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 849]
Soient $p, \alpha \in ]0, 1[$. On pose $q$ = 1 - $p$ et $\beta = 1 - \alpha$. Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ un espace probabilisé. Soit $(X_n)_{n \in \N}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mathcal{G}(p)$. On pose :

$$A = \left\{ \omega \in \Omega \; ; \; \sum \frac{1}{n^{\alpha} X_n(\omega)} \text{ converge} \right\} \text{ et } A_{\beta} = \bigcup_{n=1}^{+\infty} \bigcap_{n=1}^{+\infty} (X_n \leqslant n^{\beta}).$$

a) Soit $k \in \N^*$. Montrer que : $\mathbf{P}\left(\bigcup_{n=k}^{+\infty} \left(X_n > n^{\beta}\right)\right) \leqslant \sum_{n=k}^{k=1} n^{n=k} q^{n^{\beta}-1}$.
b) Montrer que $P(\overline{A_{\beta}}) = 0$.
c) Calculer P(A).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 850]
Soit $(\lambda_n)_{n\geq 1}\in (\mathbb{R}^+)^{\N^*}$. On suppose que $\sum \lambda_n$ converge. Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que $X_n\sim \mathcal{P}(\lambda_n)$ pour tout $n\geq 1$.

a) Montrer que $\sum \mathbf{P}(X_n \neq 0)$ converge.
b) Montrer que $\bigcap_{n\in\N^*}\bigcup_{k\geq n}(X_k\neq 0)$ est un événement négligeable.
c) Montrer que $\sum X_n$ converge presque sûrement. On note $S = \sum_{n=1}^{+\infty} X_n$ et on admettra dans la suite qu'il s'agit d'une variable aléatoire (à valeurs dans $\N \cup \{+\infty\}$ ).
d) Soient $Y$ et $Z$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N$.
Montrer que $\forall t \in [0, 1], |G_Y(t) G_Z(t)| \leq 2 \mathbf{P}(Y \neq Z)$. e) Montrer que $S \sim \mathcal{P}(\theta)$ pour $\theta = \sum_{i=1}^{+\infty} \lambda_n$.
#+end_exercice


* Mines - PSI
** Algèbre

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 851]
a) Montrer que : $\forall \theta \in ]0, \pi/2[, \sin \theta < \theta < \tan \theta]$.

b) En déduire que : $\forall \theta \in ]0, \pi/2[, \cot^2 \theta < \frac{1}{\theta^2} < 1 + \cot^2 \theta$.

c) Montrer que, $\forall \theta \in ]0, \pi/2[$, $\frac{\sin((2n+1)\theta)}{(\sin\theta)^{2n+1}} = \operatorname{Im}\left((1+i\cot \theta)^{2n+1}\right);$

d) Montrer qu'il existe un polynôme $P_n$ tel que, $\forall \theta \in ]0, \pi/2[, \frac{\sin((2n+1)\theta)}{(\sin\theta)^{n+1}} = P_n((\cot\theta)^2)$.

e) Calculer la somme des racines de $P_n$.

f) Montrer que, pour $1 \leqslant k \leqslant n$, $\cot \left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)$ est racine de $P_n$.

g) En déduire que $\sum_{m=0}^{+\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 852]
On considère des entiers $N \geq1$ et $n \geq2$, et une famille de réels $(a_i)_{1 \le i \le n}$ tous distincts. On pose $\phi: P \in \mathbb{R}_N[X] \mapsto (P(a_1), P'(a_1), P(a_2), P'(a_2), \dots, P(a_n), P'(a_n))$.

a) Quel est le rang de $\phi$ ? b) À quelle condition, $\phi$ est-il un isomorphisme? Cette condition étant remplie, déterminer l'imageqréciproque de $(x_1, y_1, \dots, x_n, y_n) \in \mathbb{R}^{2n}$ par $\phi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 853]
Soient $n \in \N^*$ et $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\C$. On pose $V = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \operatorname{rg}(M) \leq 1\}$. a) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $M$ appartient à $V$ si et seulement s'il existe $X, Y \in \mathbb{K}^n$ tels que $M = XY^T$.

b) Soient $M_1 = X_1 Y_1^T$ et $M_2 = X_2 Y_2^T$ avec $X_1, X_2, Y_1, Y_2 \in \mathbb{K}^n$. Montrer que, si $M_1 +$ $M_2$ est de rang inférieur ou égal à 1, alors $(X_1, X_2)$ est liée ou $(Y_1, Y_2)$ est liée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 854]
Soient $I_0, \ldots, I_n$ des segments de $\mathbb{R}$ non réduits à des points. Existe-t-il $P \in \mathbb{R}_{n+1}[X]$ tel que $\forall k \in \{0,\ldots,n\}, \int_{L} P(t) dt = 0$ ? Même question avec $P \in \mathbb{R}_n[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 855]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$. On pose $M = \begin{pmatrix} A & A \\ A & B \end{pmatrix}$.

a) Déterminer la rang de $M$. b) $A$ quelle condition la matrice $M$ est-elle inversible?

c) Cette condition étant vérifiée, déterminer l'inverse de $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 856]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ nilpotent d'indice $n$.

a) Montrer que $\exists x \in E$ tel que $(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x))$ soit une base de $E$. b) Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension $k$ stable par $u$. Montrer que $F = \text{Ker}(u^k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 857]
Soit $n \geq2$. Soit $\Delta$ la matrice diagonale $Diag(n, n-1, \ldots, 1)$. Déterminer l'ensemble $\mathcal{I}$ des matrices semblables à $\Delta$ et qui commutent avec $\Delta$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 858]
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\C)$.
a) Déterminer le nombre de sous-espaces vectoriels de $\C^3$ stables par $A$.
b) Soit $E = \{M \in \mathcal{M}_3(\C), AM = MA\}$. Déterminer la dimension de $E$.
c) Combien l'équation $M^2 = A$ a-t-elle de solutions dans $\mathcal{M}_3(\C)$ ? dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 859]
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.
b) Déterminer une base de l'espace vectoriel engendré par les puissances de A. c) Déterminer l'ensemble des matrices commutant avec A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 860]
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$. Soient $U$ et $V$ deux sous-espaces vecto-
riels de $\mathcal{L}(E)$ tels que $U + V = \mathcal{L}(E)$ et tels que $\forall u \in U, \forall v \in V, u \circ v + v \circ u = 0$. a) Montrer qu'il existe $p \in U$ et $q \in V$ deux projecteurs tels que $p + q = \mathrm{id}$.
b) Si $v \in V$, on pose $\phi(v) = v|_{\mathrm{Ker}(p)} \in \mathcal{L}(\mathrm{Ker}\,p,E)$. Montrer que $\phi$ est injective. En déduire que $\dim(V) \leq (n-r)^2$, avec $r = \operatorname{rg}(p)$.
c) Montrer que $U$ ou $V$ est égal à $\{0\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 861]
Soient $A \in \mathcal{M}_p(\C)$ et $\Delta : M \in \mathcal{M}_p(\C) \mapsto AM MA \in \mathcal{M}_p(\C)$. a) Montrer: $\forall n \in \N, \forall (M, N) \in \mathcal{M}_p(\C)^2, \Delta^n(MN) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \Delta^{n-k}(M) \Delta^k(N)$.
b) Soient $B, H \in \mathcal{M}_p(\C)$ telles que $A$ et $B$ commutent et $\Delta(H) = B$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $\Delta^{n+1}(H^n) = 0$.
c) Montrer que, pour tout $n \in \N$, $\Delta^n(H^n) = n!B$.
d) Soit $\| \|$ une norme. Montrer que $(\|\Delta(H^n)\|^{\frac{1}{n}})_{n\geq 1}$ tend vers une limite finie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 862]
Soit $G \subset GL_n(\C)$ tel que : i) si $A, B \in G$ alors $AB \in G$ ; ii) si $A \in G$ alors $A^{-1} \in G$ ; iii) si $A \in G$ alors il existe $k \in \N^*$ tel que $A^k = I_n$.
Soit $\mathcal{F}$ le sous-espace de $\mathcal{M}_n(\C)$ engendré par les éléments de $G$ et $(M_1,\ldots,M_r)$ une base de $\mathcal{F}$ formée d'éléments de $G$.
On considère $\phi: A \in G \mapsto (\operatorname{tr}(AM_i))_{1 \leq i \leq r} \in \C^r$.
a) Montrer que $\phi$ est injective.
b) Montrer que $\phi(G)$ est fini.
c) Que peut-on en déduire sur la dimension de $\mathcal{F}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 863]
Soient $a_0, \ldots, a_n \in \C$ distincts. Soient $A$ et $B \in \mathcal{M}_n(\C)$.
On pose $\Phi: P \in \C_n[X] \mapsto (P(a_0), \dots, P(a_n)) \in \C^{n+1}$
a) Montrer que $\Phi$ est un isomorphisme. b) Montrer que, pour tout $i \in [0, n]$, il existe un unique $L_i \in \C_n[X]$ tel que $L_i(a_i) = 1$ et
$L_i(a_i) = 0 \text{ si } j \neq i$.
c) Exprimer $\chi_A$ comme une combinaison linéaire des $L_i$. d) En déduire que $f: A \in \mathcal{M}_n(\C) \mapsto \chi_A \in \C_n[X]$ est continue.
e) Montrer finalement que $\chi_{AB} = \chi_{BA}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 864]
Soient $A$ et $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que AB BA = $B$.a) Montrer que $\forall X, Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)$.

b) Montrer que $\forall k \in \N$, $AB^k - B^k A = kB^k$.

c) En déduire que $B$ est nilpotente (on pourra utiliser $\theta: X \mapsto AX - XB$ ).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 865]
Montrer que
$$A = \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & \dots & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$$
 est diagonalisable puis diagonali-

ser A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 866]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ avec $A$ diagonalisable. On pose $P: t \in \C \mapsto \det(tA+B) \in \C$.

a) Montrer que $P$ est un polynôme en $t$ et que $\deg P \leqslant \operatorname{rg} A$. b) Montrer qu'il existe $B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $\deg P = \operatorname{rg} A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 867]
Soient
$$(a_1, a_2, \dots, a_n) \in \C^n$$
 avec $a_2 \neq 0$, $A_n = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\C)$.

a) Quel est le rang de $A_n$ ? b) Montrer que $\chi_{A_n}=X^{n-2}(X^2-a_1X-b_n)$ avec $b_n=a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2$. c) La matrice $A_n$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 868]
Soit $A_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $a_{i,i} = i$ et $a_{i,j} = 1$ si $i \neq j$. On note $P_n$ son polynôme caractéristique.

a) Montrer que $P_{n+1}=(X-n)P_n-X(X-1)\cdots(X-n+1)$. b) En déduire que $A_n$ possède $n$ valeurs propres distinctes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 869]
Soit
$$A = \begin{pmatrix} 0 & z & z \\ 1 & 0 & z \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
 avec $z \in \C$.

a) Si z=1, justifier que $A$ est diagonalisable.

b) Pour quels $z \in \C$, la matrice $A$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 870]
Soit
$$E = \mathbb{R}_n[X].$$ Si $P \in E$, on pose $L(P) : x \in E \mapsto e^x \int_0^x e^t P(t) dt$.

a) Montrer que L(P) est bien défini.

b) Montrer
$$\forall k \in [0, n]$$
, $L(X^k)(x) = (-1)^k k! \sum_{j=0}^k (-1)^j \frac{x^j}{j!}$.

c) Montrer que $L$ est un automorphisme de $E$.

d) Trouver les éléments propres de $L$. Est-il inversible?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 871]
On définit une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ par $f_0=1, f_1=1$ et, pour $n\in\N, f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$. Pour $n \in \N^*$, on pose $A_n = (f_{i+j-2})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

a) Représenter explicitement $A_2$, $A_3$ et $A_4$.- b) Donner l'ordre de la valeur propre 0 dans $A_n$.
c) Montrer que la matrice $A_n$ admet deux valeurs propres distinctes $a_n < 0 < b_n$.
d) Étudier les suites $(a_n)$ et $(b_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 872]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel et $f, g \in \mathcal{L}(E)$.
a) Montrer que les valeurs propres non nulles de $f \circ g$ sont valeurs propres de $g \circ f$.
b) On suppose $E$ de dimension finie. Montrer que les valeurs propres de $f \circ g$ sont valeurs propres de $g \circ f$.
c) Soient $E = \mathbb{R}[X]$, $f: P \mapsto XP$ et $g: P \mapsto P'$. Est-ce que 0 est valeur propre de $f \circ g$ ? de $g \circ f$ ? Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 873]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable. La matrice $M=\begin{pmatrix}A&I_n\\I_n&A\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ l'est-elle également?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 874]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On pose $B = \begin{pmatrix} A & A \\ A & A \end{pmatrix}$.
a) Exprimer les sous-espaces propres de $B$ en fonction de ceux de A.
b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $B$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 875]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$.
a) Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $Sp(A) = \{0\}$.
On pose $E_A = \{X \in \C^n ; \exists \lambda \in \C, AX = \lambda X\}$.
b) On suppose det(A) = 0. Montrer que $E_A$ est un espace vectoriel si et seulement si $A$ est nilpotente.
c) On suppose $det(A) \neq 0$. À quelle condition nécessaire et suffisante, $E_A$ est-il un espace vectoriel?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 876]
Soit
$$A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 5 \\ -1 & -2 & 5 \\ -1 & -3 & 6 \end{pmatrix}.$$

a) Déterminer les valeurs propres de A. La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
b) Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe des réels $a_n$ et $b_n$ tels que $A^n = a_n I_3 + b_n A$.
c) La matrice $A$ est-elle inversible? Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour tout $n \in \mathbb{Z}$ ?
d) Existe-t-il $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ tel que $M = \alpha I_3 + \beta A$ et $M^2 = A$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 877]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n \in \N^*$, $f \in \mathcal{L}(E)$ de rang appartenant à [1, $n$-1] et $H$ un supplémentaire de $\operatorname{Ker} f$.
a) i) Montrer que $f$ induit un isomorphisme $g$ de $H$ sur Im $f$.
  - ii) Montrer qu'il existe deux bases $b_1$ et $b_2$ de $E$ telles que : $\operatorname{Mat}_{b_1,b_2}(f) = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
b) Soit $C \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $\operatorname{rg}(C) = r$. Montrer qu'il existe $P, Q \in \operatorname{GL}_n(\C)$ telles que :

$$C = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q.$$c) Soit $(A, B) \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AC = CB avec $C \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $\operatorname{rg}(C) = r$. Montrer que $A$ et $B$ ont au moins $r$ valeurs propres communes (comptées avec multiplicité).

d) Redémontrer le résultat précédent dans le cas où $C$ est inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 878]
On se place dans $\mathcal{M}_2(\C)$. On pose $\Phi: M \in \mathcal{M}_2(\C) \mapsto \operatorname{tr}(M)I_2 - M$.

a) Calculer $\Phi(M)$.
b) Montrer que $\Phi$ est un automorphisme et déterminer sa matrice dans la base canonique.
c) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de $\Phi$.
d) Montrer que $M$ et $\Phi(M)$ ont le même polynôme caractéristique.
  e) Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\C)$ tel que $\forall M\in\M_2(\C),\, \Phi(M) = PM^T P^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 879]
Soient $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\C$, $n \in \N^*$, $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $A \in E$. On pose $f_A : M \in E \mapsto AM$.
a) Montrer que, pour tout $P \in \mathbb{K}[X]$, il existe $B \in E$ tel que $P(f_A) = f_B$.
b) Montrer que $f_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.
c) Exprimer les valeurs propres et les espaces propres de $f_A$ en fonction de ceux de A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 880]
a) On considère le polynôme $P=X^5-4X^4+2X^3+8X^2-8X$. Montrer que P(2)=P'(2)=0 et en déduire une factorisation de $P$ en polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$. b) Trouver les matrices $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $M^5-4M^4+2M^3+8M^2-8M=0$ et

 $\operatorname{tr}(M) = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 881]
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à 2. Soient $f_1, \ldots, f_n$ des endomorphismes de $E$ tels que $f_1 + \cdots + f_n = \operatorname{id}$ et, si $1 \leq i, j \leq n$ avec $i \neq j$, alors

des endomorphismes de
$E$
 tels que $f_1 + \cdots + f_n = \operatorname{id}$ et, si $1 \leqslant i, j \leqslant n$ $f_i \circ f_j = 0$. Soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}$. On pose $g = \sum_{i=1}^n \lambda_i f_i$. Diagonaliser $g$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 882]
a) Montrer que $\ln^2$ est intégrable sur [0,1] et calculer $\int_0^1 \ln^2(t) dt$.
b) Soient $a, b \in \mathbb{R}$. Établir l'inégalité : $|ab| \leqslant \frac{a^2 + b^2}{2}$.
c) En déduire que l'ensemble $E=\left\{f\in\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})\;;\;\int_0^1f^2(t)\,\mathrm{d}t\;\mathrm{converge}\right\}$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel.
d) Montrer que l'application $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \int_0^1 (\ln t \alpha t \beta)^2 dt$ atteint un minimum.
e) Déterminer la valeur de ce minimum et les points en lesquels il est atteint.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 883]
On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de sa structure euclidienne canonique.

Soit $\mathcal{F} = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \operatorname{tr}(M) = 0 \}$.

a) Montrer que $\mathcal{F}$ est un sous-espace vectoriel et déterminer sa dimension.
b) Si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, calculer $d(A, \mathcal{F})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 884]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ non nulles.
a) Montrer que l'application $(X,Y) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2 \mapsto \operatorname{tr}(X^TY)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.- b) Soit $\phi: X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto \operatorname{tr}(AX)B$. L'endomorphisme $\phi$ est-il diagonalisable?
c) Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\phi$ soit un projecteur orthogonal.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 885]
a) Soient $E$ un espace vectoriel et $p$ un projecteur de $E$.

Montrer que $Ker(p - id) \cap Im(p - id) = \{0\}$.

b) Soient $E$ un espace vectoriel normé et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que : $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq ||x||$.
  - i) Soit $x \in E$ tel que u(x) = $x$ et il existe $y \in E$ tel que $x$ = u(y) y.

Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $||nx + y|| \le ||y||$.
ii) Montrer que $Ker(u id) \cap Im(u id) = \{0\}$. c) Soient $E$ un espace euclidien et $p$ un projecteur de $E$ tel que $\forall x \in E, \|p(x)\| \leq \|x\|$. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 886]
Soient
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
 et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Montrer que $A$ est semblable à $B$.
b) Déterminer $P \in \mathcal{O}_3(\mathbb{R})$ telle que $P^TAP = B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 887]
Soit $V$ un hyperplan de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ dont tous les éléments sont diagonalisables sur $\mathbb{R}$.

a) Donner un exemple de tel hyperplan.
b) Soit $F = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \right\}_{(a,b) \in \mathbb{R}^2}$. Montrer que $F \cap V \neq \{0\}$ et en déduire que $I_2 \in V$.
c) On munit $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ de son produit scalaire canonique. Quelle est la dimension de $V^{\perp}$ ? Montrer qu'il existe $Q \in GL_2(\mathbb{R})$ telle que $QVQ^{-1} = S_2(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 888]
Soit $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $t_{i,j} = 1$ si |i-j| = 1 et 0 sinon. On pose $M = T - 2I_n$.

a) Montrer que $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$.
b) Comparer les éléments propres de $M$ et ceux de $T$.
c) Soit $\lambda \in \operatorname{Sp}(T)$.
  - i) Montrer qu'il existe $i \in [1, n]$ tel que $|t_{i,i} \lambda| \leqslant \sum_{i \neq i} |t_{i,j}|$.
  - ii) En déduire qu'il existe $\alpha \in [0, \pi]$ tel que $\lambda = 2\cos(\alpha)$.
iii) Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $X=(x_1,\ldots,x_n)^T$ soit vecteur propre de $T$ associé à $\lambda$.
  - iv) En déduire que $\alpha \in ]0, \pi[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 889]
Pour $P,Q\in\mathbb{R}[X]$, on pose $\langle P,Q\rangle=\int_0^{+\infty}P(x)\,Q(x)\,e^{-x}\mathrm{d}x$. On admet que c'est bien un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$. On pose : $\forall P \in \mathbb{R}[X], \phi(P) = XP'' + (1-X)P'$.

a) Justifier que $\langle P, Q \rangle$ pour $P, Q \in \mathbb{R}[X]$ est bien défini.
b) Justifier que $\phi$ est un endomorphisme.
c) Soient $P_1$, $P_2$ des vecteurs propres de $\phi$ associés à des valeurs propres différentes. Montrer que $P_1$ et $P_2$ sont orthogonaux.d) Soit $N \geq2$. Démontrer que $\phi$ induit un endomorphisme $\phi_N$ sur $\mathbb{R}_N[X]$ et que $\phi_N$ est diagonalisable.

e) Écrire $\phi_N$ dans la base $(1, X, \dots, X^N)$. Donner les valeurs propres de $\phi_N$.
f) Pour $n \in \N$, soit $L_n : x \mapsto \frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x})$. Montrer que $L_n$ est polynomiale et donner ses coefficients.
g) Montrer que $(L_0, \ldots, L_N)$ forme une base de $\mathbb{R}_N[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 890]
a) Soient $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. Comparer $\operatorname{Tr}(A)$ et $\operatorname{Tr}(AB)$.
b) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que la série $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}$ converge. On note sa limite $\exp(M)$.
c) On admet que, si $M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ commutent, alors $\exp(M+N) = \exp(M) \exp(N)$. Montrer que, si $B \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$, alors, pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $\exp(xB) \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 891]
Soit $n \geq2$.
a) Montrer que la somme de deux matrices de $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ appartient encore à $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.
b) Soient $A, B \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer que $I_n + AB$ et AB + BA sont inversibles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 892]
Soient $U$ et $V$ sans $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer que $\det(U+V) \geq \det(U) + \det(V)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 893]
Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien, $u \in \mathcal{S}(E)$, $\lambda_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n$ les valeurs propres de $u$.
a) Montrer que, $\forall x \in E, \lambda_1 ||x||^2 \leq \langle u(x), x \rangle \leq \lambda_n ||x||^2$. b) Trouver $x_1, x_n \in E \setminus \{0\}$ tels que $\langle u(x_1), x_1 \rangle = \lambda_1 ||x_1||^2$ et $\langle u(x_n), x_n \rangle = \lambda_n ||x_n||^2$.
c) Montrer qu'il existe $y_1,y_n\in E$ tels que $\|y_1\|=1, \|y_n\|=1, \langle u(y_1),y_1\rangle=\lambda_1$ et $\langle u(y_n), y_n \rangle = \lambda_n$.
d) On note $S$ la sphère unité de $E$. Que valent $\inf_{x \in S} \langle u(x), x \rangle$ et $\sup_{x \in S} \langle u(x), x \rangle$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 894]
Soit $E = \mathbb{R}^{\N}$. On note $F$ le sous-espace de $E$ constitué des suites de carré sommable. Si $u = (u_n)_{n \geq0} \in E$, on pose $D(u) = (u_{n+1} - u_n)_{n \geq0}$.
a) Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? surjectif?
b) Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $D$. Quelle est la dimension de ses espaces propres? Si $u, v \in F$, on pose $\langle u, v \rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n v_n$, ce qui définit bien un produit scalaire sur l'ensemble $F$ des suites de carré sommable.
d) Montrer que $\left\{ \frac{\langle U, D(U) \rangle}{\langle U, U \rangle} \; ; \; U \in F, U \neq 0 \right\} = ]-2, 0[$.
Ind. Considérer l'application $D(id)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 895]
Soit $E = \mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})$.
a) Montrer que $\forall A \in GL_n(\mathbb{R}), \operatorname{tr}(A^T A) > 0$.
b) Montrer que $\forall S \in E, \exists A \in GL_n(\mathbb{R}), S = A^T A$.
c) Montrer que $\forall (S, S') \in E^2$, $\operatorname{tr}(SS') > 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 896]
a) Rappeler la définition de $S_n^+(R)$ et de $S_n^{++}(R)$.

b) i) Pour $A, B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, on note $A \leq B$ si et seulement si $A B \in \mathcal{S}_n^+(R)$. Montrer que
c'est une relation d'ordre sur $S_n(\mathbb{R})$.
ii) Soit $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $C \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ telle que $C^2 = A$. iii) Soient $M \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $M' \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer que M'MM' appartient à $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.
c) i) Montrer que, si $M \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors $M$ inversible et $M^{-1} \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.
ii) Soit $f: M \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \mapsto M^{-1} \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer que $f$ est décroissante, $i$.e. si $A \leq B$ alors $f(B) \leq f(A)$. Ind. Montrer que si $I_n \leq B$ alors $f(B) \leq f(I_n)$.
#+end_exercice


** Analyse

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 897]
Soient $n \geq 2$, $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $\gamma: [0,1] \to U$ une fonction continue. Montrer qu'il existe $\delta > 0$ tel que $\forall t \in [0, 1], B(\gamma(t), \delta) \subset U$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 898]
Soient a>0 et $\omega\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, ]0, +\infty[)$.
Pour $f \in E = \mathcal{C}^0([0,a],\mathbb{R})$, on pose $T(f): x \in ]0,a] \mapsto \frac{1}{\int_0^x \omega(t) \,\mathrm{d}t} \int_0^x f(t) \,\omega(t) \,\mathrm{d}t$.
a) Montrer que T(f) est continue sur [0, a] et prolongeable par continuité sur [0, a].
b) Montrer que $T$ est un endomorphisme injectif de $E$ et qu'il est continu lorsque $E$ est muni de la norme infinie.
c) Déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 899]
Soient $X, Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On pose $Z = \begin{pmatrix} 0 & X \\ Y & 0 \end{pmatrix}$.
a) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe une suite de matrices inversibles convergeant vers $M$.
b) Si $X$ est inversible, montrer que $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \chi_Z(\lambda) = \chi_{XY}(\lambda^2)$. Est-ce toujours vrai si $X$ n'est pas inversible?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 900]
a) Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $\forall z \in \C, \mid P(z) \mid \geq \mid \text{Im } z \mid^{\deg P}$.
b) Montrer que l'ensemble des matrices trigonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un fermé de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
c) Montrer que l'adhérence des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est égale à l'ensemble des matrices trigonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 901]
Pour $n \geq2$, on considère le polynôme $P_n = X^n + X^{n-1} + \cdots + X 1$.
a) Montrer que $P_n$ admet une unique racine dans $\mathbb{R}^+$, notée $x_n$.
b) Montrer que $x_n \in [1/2, 1]$.
c) Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel $\ell$. d) Donner un équivalent de $x_n - \ell$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 902]
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u_k$.
a) On suppose que $(u_n)$ converge. Montrer la convergence de $(v_n)$ et trouver sa limite.
b) Étudier la réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 903]
Soit $a \in \mathbb{R}^{+*}$.

a) Si $n \in \N$, montrer que l'équation $\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{x-k} = a$ admet une unique solution dans

 $n, +\infty$, que l'on notera $x_n$.

b) Étudier la monotonie de la suite $(x_n)$.
c) Trouver un équivalent simple de $x_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 904]
Soient $(x_n) \in \C^{\N}$ et $\lambda \in \C$ avec $|\lambda| > 1$. Montrer que la suite $(x_n)$ converge si et seulement si la suite $(x_n + \lambda x_{n+1})$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 905]
On pose $F: x \mapsto \int_x^{+\infty} e^{-t^2} dt$.
a) Trouver un équivalent de $F$ en $+\infty$.
b) Soit $(a_n)_{n\in\N}$ telle que : $a_0=1$ et, pour $n\in\N$, $a_{n+1}=a_n+\int_{a_n}^{+\infty}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$. Trouver un équivalent de $a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 906]
Soient $n \geq2$, $M_0, \ldots, M_{n-1}$ des points distincts de $\mathbb{R}^2$. On note $M_k = (x_k, y_k)$. On suppose que $M_0 = (0,0)$ et, pour tout $k \in [0, n-2]$, $(x_{k+1} = x_k \text{ et } y_{k+1} = y_k \pm 1)$ ou $(x_{k+1} = x_k \pm 1 \text{ et } y_{k+1} = y_k)$. On constitue ainsi des chemins. On note $c_n$ le nombre de chemins auto-évitants (i.e. tels que pour tous $i \ne j$, $M_i \ne M_j$ ). On pose $u_n = \ln(c_n)$.
a) Que valent $c_1$ et $c_2$ ? b) Montrer que pour tout $n$, $m$ entiers naturels $c_{n+m} \le c_n c_m$.
c) On fixe $m \in \N^*$ et $\eps > 0$. En utilisant la division euclidienne de $n$ par $m$, démontrer qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n$ > $N$, $\frac{c_n}{n} \geq \frac{c_m}{m} \eps$.
d) Démontrer que $\frac{c_n}{n} \longrightarrow \ell$ où $\ell = \sup \left\{ \frac{c_k}{k}, \ k \in \N^* \right\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 907]
Nature de la série de terme général $\ln \left( \tan \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{2k+1} \right) \right)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 908]
Pour $n \in \N^*$, on pose $f_n : x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \sum_{i=0}^n \frac{x^k}{k!}$ et on note $(E_n)$ l'équation $f_n(x) = 2$.
a) Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}^+$ ; on notera $x_n$ cette solution.
b) Montrer que la suite $(x_n)$ converge.
c) Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(x_n)$.
d) La série $\sum (x_n \ell)$ est-elle convergente?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 909]
Nature de la série de terme général $e^{u_n} 2$ avec $u_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 910]
Résoudre dans $\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$ l'équation fonctionnelle : f(2x) = 4f(x) + 3x + 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 911]
Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ si $x \neq 0$ et f(0) = 1.

a) Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$

b) Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^{+*}$.

c) Donner le développement limité à l'ordre 5 de $f^{-1}$ au voisinageqde 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 912]
Pour $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on note $()$ la propriété : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \ f(x+y)f(x-y) = f(x)^2 - f(y)^2$.

a) Montrer que si $f$ vérifie $()$ alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ et qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel $f'' = \lambda f$. b) Déterminer toutes les solutions de ().
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 913]
Soit $f: x \mapsto \int_{1/2}^{2\ln(x)} \frac{e^t}{t} dt$. Quel est le comportement de f(x) lorsque $x \to 1$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 914]
a) Montrer que, pour $t \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}$, $\sum_{k=0}^{n} \cos(kt) = \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)} - \frac{1}{2}$.

b) Montrer que $\forall x \in ]0, \pi], \int_{-\pi}^{x} \sum_{t=0}^{+\infty} \cos(kt) dt = \frac{\pi - x}{2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 915]
Pour tout $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^{+\infty} x^n e^{\omega x} dx$, où $\omega = -\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

a) Calculer $I_n$. En déduire un exemple de fonction $g$ continue sur $\mathbb{R}^+$, à valeurs réelles et non identiquement nulle, telle que $\forall k \in \N, \int_{0}^{+\infty} t^k g(t) dt = 0$.

b) Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R})$ telle que $\forall k \in \N, \int_0^b t^k f(t) dt = 0$. En admettant le théorème d'approximation de Weierstrass, montrer que $\tilde{f}$ est identiquement nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 916]
Pour $N \in \N^*$, on pose $H_N = \sum_{i=1}^N \frac{1}{k}$. Soit $I = \int_0^1 \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{\ln(1-t)}\right) dt$.

a) Montrer que $H_N = \ln(N) + \gamma + O(1/N)$

b) Montrer que $I$ est bien défini. c) Montrer que $I = \int_{0}^{+\infty} \left( \frac{1}{1 - e^{-u}} - \frac{1}{u} \right) e^{-u} du$.

d) En déduire que $I = \gamma$, en utilisant $u_x : t \mapsto e^{-xt} \left(1 - \frac{1 - e^{-t}}{\iota}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 917]
On pose $f: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2} dt$ et $J = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$.

a) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$ et donner f'. b) Montrer que l'intégrale $J$ converge. On admet que $J = \frac{\pi}{2}$.

c) Montrer que $f(x) = O\left(\frac{1}{x}\right)$.- d) Trouver un équivalent de $f$ en $0^+$
e) La fonction $f$ est-elle intégrable sur $]0, +\infty[$ ?
f) Calculer $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ en fonction de $J$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 918]
Soit $f:[2,+\infty[\to\mathbb{R}^{+*}]$ telle que $f$ soit intégrable. On pose $g:x\mapsto f(x)^{1-1/x}$. Que dire de l'intégrabilité de g?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 919]
Pour tout $x \in \mathbb{R}^{+*}$, on définit la suite $(f_n(x))_{n \in \N}$ par $f_0(x) = x$ et $\forall n \in \N$, $f_{n+1}(x) = \frac{1}{2} \left( f_n(x) + \frac{x}{f_n(x)} \right)$. Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme, de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \N}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 920]
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle convergeant vers $\ell\in\mathbb{R}^*$.
On pose $f: x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n e^{-x}}{n!} x^n$.
a) Étudier la convergence normale de $f$ sur $\mathbb{R}^+$, puis sur des intervalles appropriés.
b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 921]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^x \ln(n)}$.
a) Donner le domaine de définition de $f$. Montrer la continuité de $f$ sur cet intervalle.
b) Donner les limites et des équivalents aux bornes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 922]
Soit, pour $n \in \N^*$, $u_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \frac{x}{x^2 + n^2}$ pour $n \in \N^*$. Soit $S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$.
a) Montrer que $S$ est définie sur $\mathbb{R}$.
b) La série converge-t-elle normalement sur $\mathbb{R}$ ?
c) Montrer que $S$ est de classe $C^1$.
d) Trouver un équivalent de $S$ quand en $0^+$. On rappelle que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
e) Trouver la limite de $S$ en $+\infty$.
f) La série de fonctions converge-t-elle uniformément sur $\mathbb{R}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 923]
Pour tout réel $x$ > 0, on pose $f(x) = -\sum_{n=0}^{+\infty} \ln(1 e^{-nx})$.
a) Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^{+*}$.
b) Soit a > 0. La série de fonctions définissant $f$ est-elle uniformément convergente sur $[a, +\infty[? \text{Sur } \mathbb{R}^{+*}?]$
c) Déterminer des équivalents de $f$ en $0^+$ et $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 924]
a) Déterminer le rayon de convergence de $\sum \frac{(n+1)(n+2)}{2^n} x^n$. b) Calculer la somme $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2^n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 925]
Pour $n \in \N^*$, on note $a_n$ le nombre de bijections d'un ensemble à $n$ éléments n'ayant pas de point fixe. On pose $a_0 = 1$.
a) Montrer que, pour tout $n \in \N$, $n! = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a_{n-k}$.
b) Montrer que la série entière $\sum \frac{a_n}{n!} x^n$ a un rayon strictement positif.
c) Calculer $e^x \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n!} x^n$.
d) Exprimer $a_n$ sous forme d'une somme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 926]
Soit $f: x \mapsto \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2} dt$.
a) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ et calculer sa dérivée.
b) On pose $g: x \mapsto e^{x^2} f(x)$. Montrer que $g$ est solution du problème de Cauchy : y(0) = 0 et y' 2xy = 1.
c) Déterminer les fonctions développables en série entière solutions du problème de Cauchy.
d) En déduire que $g$ est développable en série entière et déterminer son développement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 927]
a) Soit $f \in \mathcal{C}^0([1, +\infty[, \mathbb{R}) \text{ telle que } f(x) \to 0 \text{ quand } x \to +\infty. \text{ Montrer que } \int_1^{+\infty} f \text{ et } \sum_{n=1}^{+\infty} \int_n^{n+1} f \text{ sont de même nature.}$
b) Montrer que $\sum_{n=1}^{+\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{\cos(\ln t)}{t} dt$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(\ln n)}{n}$ sont de même nature.
c) En déduire le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n} \frac{\cos(\ln n)}{n} x^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 928]
a) Montrer que $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + o(1)$ avec $\gamma \in \mathbb{R}$.
b) Soient a>0 et $f_a:x\in ]a,+\infty[\mapsto \left(1-\frac{a}{x}\right)^x$. Montrer que $f_a$ est bien définie et croissante. Donner la limite de $f_a$ en $+\infty$.
c) Pour $n \in \N^*$, justifier l'existence de $I_n = \int_0^n f_t(n) \ln(t) dt$.
d) Justifier que $I_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \int_0^{+\infty} e^{-t} \ln(t) dt$.
e) En déduire que $\int_{0}^{+\infty} e^{-t} \ln(t) dt = -\gamma$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 929]
Soit, pour $n \in \N$, $U_n = \int_0^1 \frac{t^{n+1}}{\ln(1-t)} dt$.

a) Montrer que, pour tout $n \in \N$, $U_n$ est bien définie.

b) Trouver un équivalent de $U_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 930]
Soit, pour $n \in \N$, $f_n : x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \frac{x^n e^{-x}}{x!}$.
a) Montrer que $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ vers une fonction $g$. b) Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}^+$.
c) Calculer $\int_{0}^{+\infty} f_n(x) dx$ et $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{+\infty} f_n(x) dx$. Pouvait-on s'attendre à un tel résultat au regard du cours?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 931]
a) Soient a et $b$ strictement positifs. Montrer que $\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b} dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{a+nb}$.
b) Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+3n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 932]
Soit $f: x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{1 e^{-xt}}{t} \sin(t) dt$.
a.i) Justifier la convergence de l'intégrale $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$.
  - ii) En déduire que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^+$
b) La fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}^{+*}$ ? Sur $\mathbb{R}^{+}$ ?
c) Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$. Exprimer f' d'une manière simple.
d) Trouver une expression de $f$. En déduire la valeur de $I$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 933]
Soient $f: x \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2} dt$ et $g: x \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{x+t} dt$. a) Montrer que $f$ et $g$ sont de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^{+}$ et qu'elles vérifient l'équation différentielle
$y'' + y = \frac{1}{x}$.
b) Montrer que $f$ et $q$ sont continues en 0.
c) Trouver les limites de $f$ et $g$ en $+\infty$. d) En déduire que $\int_{-t}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 934]
On pose $\cos: z \in \C \mapsto \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$.
a) Exprimer $\cos z$ en fonction de $\Re \mathfrak{e}(z)$ et $\operatorname{Im}(z)$.
b) En déduire $\max_{|z| \le 1} |\cos z|^2$. c) On pose $f:(x,y)\in\mathbb{R}^2\mapsto\cos(x+iy)$.
Montrer que la fonction $r \in \mathbb{R}^+ \mapsto \int_0^{2\pi} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \,d\theta$ est constante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 935]
Soit $s$ > 0. Soit $w : (a, x, y, t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+*} \times \mathbb{R} \mapsto \frac{ay^{2s}}{((x-t)^2 + y^2)^{s+\frac{1}{2}}}$.

a) Pour tout $(a, x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+*}$, établir la convergence de $\int_{-\infty}^{+\infty} w(a, x, y, t) dt$.
b) Montrer qu'il existe une unique constante $c \in \mathbb{R}$ telle que, pour tout $(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+*}$, $f^{+\infty}$
$\int_{-\infty}^{+\infty} w(c, x, y, t) dt = 1$. c) Soient $x \in \mathbb{R}$ et $\eps > 0$. On pose $U_{\eps} = \{t \in \mathbb{R}, |t x| > \eps\}$.

Montrer que $\int_{U_s} w(c,x,y,t) dt \underset{y \to 0^+}{\longrightarrow} 0$.

d) Soit $f$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}$.

Pour tout $x \in \mathbb{R}$, prouver $\int_{-\infty}^{+\infty} w(c,x,y,t) f(t) dt \xrightarrow[y \to 0^+]{} f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 936]
À partir des solutions développables en séries entière, trouver toutes les solutions de $(x^2 + x)y'' + (3x + 1)y' + y = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 937]
Soient $E = \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$ et $k: (x,t) \in [0,+\infty[^2 \mapsto \begin{cases} t^2/x \text{ si } x > t \\ x/t^2 \text{ si } x < t \end{cases}$ $x$ = $t$
Pour $f \in E$ on pose $T(f): x \mapsto \int_0^1 k(x,t) f(t) dt$.

a) Montrer que, pour $x \in ]0,1], T(f)(x) = \frac{1}{x} \int_0^x t^2 f(t) dt + x^2 \int_x^1 \frac{f(t)}{t} dt$.
b) Montrer que $T(f) \in E$ et calculer T(f)(0).
c) Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$.
d) i) Montrer que T(f) est $C^1$ sur [0,1] et calculer T(f)'(0).
ii) Montrer que T(f) est de classe $C^2$ sur ]0,1].

  iii) Résoudre $y'' \frac{2}{x^2}y = -3f$. On pourra chercher les solutions de l'équation homogène sous la forme $x \mapsto x^n$ avec $n \in \mathbb{Z}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 938]
Soient $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $p \in E$. Soit $\phi : y \in E \mapsto y' + py$.
a) Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$. b) Montrer que $\operatorname{Im}(\phi^2) \subset \operatorname{Im}(\phi)$. Soient $g \in \operatorname{Im}(\phi^2)$ et $f$ un antécédent de $g$ par $\phi^2$.
Trouver un antécédent de $g$ par $\phi$ en fonction de $f$ et de $p$.

c) Cas particulier : $p$ = th (pour toute la suite) Calculer $\phi^2(q)$ pour $q \in E$.

d) Soit $(E): y'' + 2\operatorname{th}(x)y' + y = \operatorname{ch}^2(x)$. Trouver une solution particulière de la forme $y_p = a + b\operatorname{ch}^2$ avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2$.

e) Donner les solutions de $y' + th(x)y = ch^2(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 939]
Déterminer toutes les fonctions continues $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que l'équation différentielle y''(x) + y'(x) + f(x)y(x) = 0 admette une base de l'ensemble des solutions de la forme $(g^2, g)$, où $g$ est une fonction de classe $C^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 940]
On note (E) l'équation différentielle $y'' = (x^2 1)y$.
a) Soit y une solution de (E). On suppose que y(0) = 0 (resp. y'(0) = 0). Montrer que y est impaire (resp. paire). Ind. Utiliser le théorème de Cauchy linéaire.
b) Pour quelle(s) valeur(s) de $a \in \mathbb{R}$, la fonction $x \mapsto e^{ax^2}$ est-elle solution de (E)?
c) Soit $u \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Montrer que $x \mapsto u(x)e^{-x^2/2}$ est solution de (E) si et seulement si uest solution d'une équation différentielle que l'on déterminera.
d) Exprimer l'ensemble des solutions de (E) à l'aide de $\phi: x \in \mathbb{R} \mapsto \int_{-\infty}^{x} e^{t^2} dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 941]
Soit $(x,y) \in \mathbb{R}^2$. On pose $f(x,y) = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{1 + y^{2n}}$.
a) Déterminer le domaine de définition de f; le représenter graphiquement.
b) Étudier l'existence des dérivées partielles d'ordre 1 de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 942]
On pose $u_n: (x,a) \in ]-\rho, \rho[\times]0, +\infty[\mapsto \frac{x^n}{n+a}]$.
b) Vérifier $\forall a, a' \in \mathbb{R}^+, \ \forall x \in ]-\rho, \rho[, \ |u_n(x,a')-u_n(x,a)| \leqslant \frac{|a-a'|}{n^2}$.
c) On pose $F:(x,a)\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x,a)$. Montrer que $F$ est continue sur $]-\rho,\rho[\times]0,+\infty[$.
d) Montrer que $F$ est dérivable par rapport à $x$ et que $\frac{\partial F}{\partial x}$ est $\mathcal{C}^0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 943]
Pour $x, y \geq 0$, on définit $f(x, y) = \frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}$ et on pose f(0, 0) = 0.
a) Montrer que $f$ est continue sur $[0, +\infty]^2$. b) Déterminer ses extrema.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 944]
Soit $f:(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\mapsto \frac{x^2y^2}{(1+x^2)(1+u^2)(x^2+u^2)}$.
a) Montrer que $f$ est continue en (0,0).
b) La fonction $f$ ainsi prolongée est-elle de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ ?
c) Montrer que $f$ admet un minimum global, le calculer.
d) Montrer que $f$ admet un maximum global.
#+end_exercice


** Probabilités

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 945]
Soit $n \in \N^*$. On considère l'univers $\Omega = \{1, 2, \ldots, n\}$. Pour $p \in \N$, on note $A_p$ l'ensemble des éléments de $\Omega$ multiples de $p$.- a) Soit $d \in \N^*$ avec $d$ divisant $n$. Calculer $\mathcal{P}(A_d)$.
b) Soit $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_r^{\alpha_r}$ la décomposition en facteurs premiers de $n$.

Montrer que $A_{p_1}, \ldots, A_{p_r}$ sont indépendants.

c) Soit $\phi(n)$ le nombre d'éléments de $\Omega$ premiers avec $n$.

Montrer que
$$\phi(n) = n \prod_{i=1}^r \left(1 - \frac{1}{p_i}\right).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 946]
On dispose d'une station d'appels. Le nombre d'appels entre 10 $h$ et 11 $h$ est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. La probabilité pour qu'un appel concerne le standard $A$ est $p \in [0,1]$. On note $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant choisi le standard $A$ entre 10 $h$ et 11 $h$. Donner la loi de Y.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 947]
On considère un immeuble de trois étages avec un rez-de-chaussée). Cinq personnes prennent l'ascenseur. On considère que chacune va aller à un étageqde manière équiprobable et indépendamment des quatre autres. L'ascenseur ne fait pas demi-tour, il ne fait qu'une montée pour déposer les personnes. On note $X_i$ le nombre de personnes qui descendent à l'étageq$i$.
a) Donner la loi de $X_1$, $\mathbf{E}(X_1)$, $\mathbf{V}(X_1)$.
b) Que dire de $X_2$ et $X_3$ ?
On considère $Y_i$ qui vaut 1 si l'ascenseur s'arrête au $i$-ème étage, 0 sinon.
c) Déterminer $P(Y_i = 0)$ et $P(Y_i = 1)$.
d) En déduire $\mathbf{E}(Z)$ avec $Z$ la variable aléatoire représentant le nombre d'arrêts de l'ascenseur.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 948]
Soit $(X_n)_{n\geq 2}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p_n=n^{-\alpha}$ où $\alpha$ est un réel strictement positif.

On pose $\tau = \min\{n \geq2, X_n(\omega) = 1\} \in \N^* \cup \{+\infty\}$.

a) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $\mathbf{P}(\tau = +\infty) = 0$.
b) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $\mathbf{E}(\tau) < +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 949]
Soit $p \in [0,1]$. On a un détecteur de particules qui détecte une particule avec la probabilité $p$, de manière indépendante. On note $N$ le nombre de particules qui traversent le
détecteur. On suppose $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$. On note $S$ le nombre de particules détectées. a) Soit $0 \le s \le n$. Calculer $\mathbf{P}(S = s \mid N = n)$. Puis $\mathbf{P}(S = s, N = n)$ et enfin $\mathbf{P}(S = s)$.
b) En déduire $\mathbf{E}(S)$ et $\mathbf{V}(S)$.
c) Sans calculs, donner la loi de $N$ $S$.
  d) Les variables $N$ $S$ et $S$ sont-elles indépendantes?
a) Les variables $N$-S et $S$ sont-elles indépendantes e) Les variables $N$ et $S$ sont-elles indépendantes?
f) Calculer P(N = n|S = s) avec $0 \le s \le n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 950]
Soient $n \in \N$, $a \in \mathbb{R}^+$ et $p \in ]0,1[$. On considère une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ dont la loi est donnée par $\forall k \in \N$, $\mathbf{P}(X=k) = a \binom{n+k}{k} p^k$.
a) Que vaut a?
b) Déterminer $\mathbf{E}(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 951]
Soient $p_1, p_2 \in ]0, 1[$. On considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ de lois respectives $\mathcal{G}(p_1)$ et $\mathcal{G}(p_2)$. On note $M$ la matrice aléatoire $\begin{pmatrix} X & 1 \\ 0 & V \end{pmatrix}$.

a) Déterminer la probabilité que $M$ soit diagonalisable.
b) Soit $q \in ]0,1[$. On considère une variable aléatoire $Z$ de loi $\mathcal{B}(q)$ indépendante de (X,Y).

On note M' la matrice aléatoire $\begin{pmatrix} X & Z \\ 1 & Y \end{pmatrix}$. Quelle est la probabilité que M' soit diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 952]
On dispose d'une pièce pour laquelle la probabilité de faire pile est $p \in [0,1[$. On note $q$ = 1 - $p$. On réalise une suite de lancers indépendants jusqu'à faire deux *pile*, pas nécessairement consécutifs et on note $X$ le nombre de face obtenus.
a) Montrer que l'espérance de $X$ est finie et la calculer.
b) Lorsque X=n, on tire une boule dans une urne contenant n+1 boules numérotées de 0à $n$. On note $Y$ le numéro de la boule tirée.

Montrer que l'espérance de $Y$ est finie et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 953]
On considère une pièce que donne pile avec une probabilité 2/3 et face avec une probabilité 1/3. Soit $X_k$ une variable aléatoire qui vaut 1 si on obtient face au $k$-ième lancer et à 0 sinon. Soit $T$ la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers nécessaires pour avoir deux face consécutifs.
a) Quelles sont les valeurs possibles de T?
b) On note $p_n = \mathbf{P}(T=n)$.
  - i) Calculer $p_1$ et $p_2$.
ii) Soit $n \geq3$. Montrer que $(X_1 = 1, X_2 = 0), (X_1 = 1, X_2 = 1), (X_1 = 0)$ forme un système complet d'évènements.
  - iii) En déduire que, pour tout $n \geq 2$, $p_n = \frac{2}{9}p_{n-2} + \frac{2}{3}p_{n-1}$.
  - iv) En déduire une expression de $p_n$ en fonction de $n$.
c) Est-ce que $T$ possède une espérance?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 954]
On considère une urne contenant $n$ boules numérotées de 1 à $n$. On effectue des tirages successifs. À chaque tirage, on retire les boules de numéro supérieur ou égal à celui obtenu. On note $X_n$ le nombre de tirages nécessaires pour vider l'urne.
a) Calculer $\mathbf{E}(X_1)$ et $\mathbf{E}(X_2)$.
b) Montrer que $\mathbf{E}(X_n) = 1 + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \mathbf{E}(X_k)$.
c) Déterminer $\mathbf{E}(X_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 955]
Soient $n, N \geq2$. On considère $n$ variables aléatoires $i$.i.d. de loi $\mathcal{U}(\{1, \dots, N\})$. On note $T$ le nombre de valeurs distinctes prises par ces $n$ variables.
a) Calculer $\mathbf{E}(T)$. b) Donner un équivalent de $\mathbf{E}(T)$ lorsque
i) $n \to +\infty$, à $N$ fixé; ii) $N \to +\infty$, à $n$ fixé; iii) $n = N \to +\infty$. c) Calculer V(T).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 956]
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $X_n \sim \mathcal{P}(\lambda_n)$ avec $\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n$ convergente. On note $A$ l'événement « la suite $(X_n)$ est nulle à partir d'un certain rang ».

a) Déterminer la probabilité de A.
b) Montrer que $X = \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=0}^{\infty} e^{X_k}$ est presque sûrement définie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 957]
Soient $E$ un espace euclidien et $(u_1, ..., u_n)$ une famille de vecteurs unitaires de $E$. Soient $X_1, ..., X_n$ des variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur $\{-1, 1\}$. Soit $X = \|X_1 u_1 + \cdots + X_n u_n\|^2$.

a) Calculer $\mathbf{E}(X)$.
b) Montrer qu'il existe $(\eps_1, \dots, \eps_n) \in \{-1, 1\}^n$ tel que $\|\eps_1 u_1 + \dots + \eps_n u_n\| \leqslant \sqrt{n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 958]
Soient $a>0, p\in ]0,1[$ et $X$,Y deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb N$ telles que $\forall (i,j)\in \mathbb N^2, \ \mathbf P(X=i,Y=j)=ap^{i+j}$.

a) Calculer a.
b) Déterminer la loi de $X$ et de Y, $\mathbf{E}(X)$ et $\mathbf{V}(X)$.
c) Calculer la covariance de $X$ et Y.
  d) Soit $U = max(X, Y)$. Soit $n\in\N$. Déterminer la loi de $U$ sachant $(X + Y = 2n + 1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 959]
Une variable aléatoire $X$ est décomposable s'il existe deux variables $Z$ et $Y$ indépendantes
dantes et non constantes telles que $X \sim Y + Z$. a) Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ décomposable telle que $\mathbf{P}(X=0) > 0$.
Soit (Y, Z) un couple de variables aléatoires indépendantes et non constantes telles que $X \sim Y + Z$. Montrer que $Y$ et $Z$ sont à valeurs dans $\N$. Donner une relation entre $G_X, G_Y$ et $G_Z$.
Y+Z. Montrer que $Y$ et $Z$ sont a valeurs dans $\N$. Donner une relation entre $G_X, G_Y$ et $G_Z$ b) Soient $n \geq2$, $p \in ]0, 1[$, $X \sim \mathcal{B}(n, p)$. Montrer que $X$ est décomposable.
c) Soit $n \geq2$ non premier, $X \sim \mathcal{U}(\db{0, n-1})$.
  - $\textbf{\textit{i})} \ \ \text{Montrer } \exists r,s \in \N \setminus \{0,1\} \text{ tels que } G_X(t) = \left(\frac{1}{r}\sum_{i=0}^{r-1}t^i\right) \times \left(\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}t^{rj}\right)$.
  - ii) En déduire que $X$ est décomposable.
#+end_exercice


* Mines - PC

** Algèbre

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 960]
Calculer $\min_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \sum_{i=1}^n \left\lfloor \frac{\sigma(i)}{i} \right\rfloor$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 961]
Soit $n \in \N^*$. Soient A, $B$, $C$ trois points du plans complexe d'affixes a, $b$ et $c$. On suppose que le triangle ABC n'est pas aplati et que a, $b$, $c \in \mathbb{U}_n$.
a) Combien y a-t-il de tels triangles?
b) Combien d'entre eux sont rectangles?-
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 962]
Pour $z\in\C$, on pose $f(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ et $\phi(z)=|f(z)|^2$.
a) La fonction $\phi$ est-elle bornée sur b) Montrer que $\phi$ est bornée sur $D = \{z \in \C, |z| \leq 1\}$ et déterminer son maximum sur $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 963]
On pose $f: z \in \C \setminus \{i\} \mapsto \frac{1}{z-i}$.
a) Montrer que l'imageqde toute droite du plan complexe ne passant pas par $i$ est un cercle privé de l'origine.
b) Peut-on généraliser à $f: z \in \C \setminus \{b\} \mapsto \frac{z-a}{z-b}$, avec $(a,b) \in \C^2$ et $a \neq b$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 964]
On dit que $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n \geq0$ est un polynôme réciproque si $P = X^n P\left(\frac{1}{Y}\right)$. Soit $P$ un polynôme réciproque.
a) Soit $z$ une racine complexe de $P$. Montrer que $z \neq 0$. Montrer que 1/z est une racine de $P$ de même multiplicité que $z$.
b) On note $\alpha$, $\beta$ les multiplicités (éventuellement nulle) de 1 et -1 comme racines de $P$. Montrer qu'il existe $q$ un $\N$ et $Q \in \mathbb{R}[X]$ de degré $q$ tels que :

$$P = (X - 1)^{\alpha} (X + 1)^{\beta} X^{q} Q \left( X + \frac{1}{X} \right).$$

c) Factoriser $X^7 \frac{5}{2}X^6 + \frac{3}{2}X^5 + \frac{3}{2}X^2 \frac{5}{2}X + 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 965]
Soient $p,q\in\N^*$ distincts. Déterminer les $P\in\C[X]$ tels que $P(X^p)^q=P(X^q)^p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 966]
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ dont les racines sont distinctes, réelles, strictement supérieures à 1. On pose $Q = (X^2 + 1)PP' + X(P^2 + P'^2)$. Montrer que $Q$ admet au moins 2n-1 racines réelles distinctes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 967]
Soit $\phi: P \in \mathbb{R}[X] \mapsto P P'$.
a) Pour $n \in \N$, montrer que la restriction de $\phi$ à $\mathbb{R}_n[X]$ induit une bijection sur $\mathbb{R}_n[X]$.
b) Pour $Q \in \mathbb{R}[X]$, montrer qu'il existe un unique $R \in \mathbb{R}[X]$ tel que $Q$ = $R$ R'.
c) Avec les notations précédentes, on suppose $\forall x \in \mathbb{R}, Q(x) \geq0$.
En considérant $f: x \mapsto e^{-x} R(x)$, montrer que : $\forall x \in \mathbb{R}, R(x) \geq 0$. d) On suppose $R$ scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples. Montrer que $Q$ est scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 968]
Soient $L_1, \ldots, L_n$ les polynômes de Lagrangeqassociés au $n$-uplet $(-1, -2, \ldots, -n)$.

Pour $k \in [1, n]$, soit $\alpha_{n,k} = \prod_{\substack{1 \leq i \leq n \\ i \neq k}} (i - k)$.

Soient enfin
$$f_n: x \mapsto \frac{1}{(x+1)\cdots(x+n)}$$
 et $g_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\alpha_{n,k}(x+k)}$.

a) Donner l'écriture factorisée des polynômes $L_i$ et les valeurs de $L_i(-j)$ pour $i, j \in [1, n]$.
b) Montrer que $(L_1, \ldots, L_n)$ est une base de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$. Donner la décomposition de $P \in$ $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ dans cette base.- c) Calculer $\sum L_k$ et en déduire une expression simple reliant $f_n$ et $g_n$.
d) Montrer que $f_n$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$ pour $n \geq2$.
e) Trouver une relation simple entre $\frac{1}{\alpha_{n,k}}$ et $\binom{n-1}{k-1}$.
f) Donner une expression de $\int_{0}^{+\infty} f_n(t) dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 969]
Si $P \in \C[X]$ et $k \in \mathbb{Z}$, on pose $c_k(P) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} P(e^{it}) e^{-ikt} dt$.
a) Exprimer les $c_k(P)$ en fonction des coefficients de $P$.
b) Déterminer les polynômes $P \in \C[X]$ vérifiant $P(\mathbb{U}) \subset \mathbb{R}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 970]
Soit $n\geq 2$. On considère l'égalité $(*):(1+iX)^{2n+1}-(1-iX)^{2n+1}=2iX$ $Q_n(X)$.
a) Montrer qu'il existe un unique $Q_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que () soit vérifiée. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $Q_n$.
b) Déterminer les racines de $Q_n$.
c) Calculer $\prod_{k=0}^{n-1} \left(4 + \tan^2\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 971]
Soit $u \in \mathbb{R}$. On pose $P_0 = 1$ et, pour $k \in \N^*$, $P_k = X(X ku)^{k-1}$.
a) Montrer que $(P_0, \dots, P_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$. b) Montrer que $\forall P \in \mathbb{R}_n[X], P(X) = P(0) + \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(ku)}{k!} P_k(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 972]
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n \in \N^*$. On suppose que $P$ est minoré sur $\mathbb{R}$.
On pose $Q = P + P' + \cdots + P^{(n)}$. Montrer que $Q$ est minoré sur $\mathbb{R}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 973]
Déterminer les $P \in \C[X]$ tels que $P(\mathbb{U}) \subset \mathbb{U}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 974]
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que : $\forall x \in \mathbb{R}, \ P(x) \geq 0$. Montrer qu'il existe $(Q, R) \in \mathbb{R}[X]^2$ tel que $P = Q^2 + R^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 975]
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que, pour tout $x \in [-1, 1], P(x) \geq 0$.
a) On suppose que $\deg(P) \leqslant 2$. Montrer qu'il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}^+$ et $a \in [-1,1]$ tels que $P = \alpha(X a)^2 + \beta(1 X^2)$.
b) On revient au cas général.
Montrer qu'il existe $A, B \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P = A^2 + B^2(1 X^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 976]
Soit $n \in \N^*$. Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que $\dim(F) = n 1$ si et seulement s'il existe $\Phi \in \mathcal{L}(E, \mathbb{K})$ non nulle telle que $F = \operatorname{Ker}(\Phi)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 977]
Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un espace vectoriel $E$. Montrer que $p$-q est un projecteur si et seulement si $q \circ p = p \circ q = q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 978]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $v \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u \circ v = 0$ et $u$ + $v$ inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 979]
Soit
$$A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).$$ Résoudre $X^T + X = \operatorname{tr}(X)A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 980]
Soient $n \geq2$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\operatorname{rg}(A) = 1$ et $\operatorname{tr}(A) = 0$. Montrer que $A$ est semblable à $E_{1,n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 981]
a) Existe-t-il
$$(A, B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$$
 tel que $AB - BA = I_n$ ?

b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ non nulle et de trace nulle. Montrer qu'il existe $u \in \mathbb{R}^n$ tel que (u, Au)est libre.
c) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de trace nulle. Montrer que $A$ est semblable à une matrice à diagonale nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 982]
Soient
$$A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$$
 et $B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ telles que $AB = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$.

a) « Décrire » AB.
b) Montrer que BA est inversible.
c) Étudier le noyau et l'imageqde $A$ et $B$.
d) Déterminer BA.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 983]
$$
 Soit $(A, B, C) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^3$. Montrer que $\operatorname{rg}(ABC) + \operatorname{rg}(B) \geq \operatorname{rg}(AB) + \operatorname{rg}(BC)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 984]
Soient
$$x_1, x_2 \in \C.$$

Montrer que
$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ x_1 & 1 & x_2 & 1 & 0 \\ x_1^2 & 2x_1 & x_2^2 & 2x_2 & 2 \\ x_1^3 & 3x_1^2 & x_2^3 & 3x_2^2 & 6x_2 \\ x_1^4 & 4x_1^3 & x_1^4 & 4x_2^3 & 12x_2^2 \end{vmatrix} = 0 \text{ si et seulement si } x_1 = x_2.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 985]
Soit
$$(a_1, \ldots, a_n, b_0, \ldots, b_n) \in \mathbb{K}^{2n}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 985]
Soit
$$(a_1, \dots, a_n, b_0, \dots, b_n) \in \mathbb{K}^{2n}.$$

Calculer $\Delta_n = \begin{vmatrix} a_1 + b_1 & b_1 & b_1 & \cdots & b_1 \\ b_2 & a_2 + b_2 & & \vdots \\ b_3 & b_3 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & b_{n-1} \\ b_n & b_n & \cdots & b_n & a_n + b_n \end{vmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 986]
Calculer
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \cdots & n & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ n-1 & n & \cdots & n-3 & n-2 \\ n & 1 & \cdots & n-2 & n-1 \end{vmatrix} .$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 987]
a) Pour
$$(x_1, \ldots, x_n) \in \C^n$$
, calculer $V(x_1, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$.

b) Montrer:
$$\forall (m_1, \dots, m_n) \in \mathbb{Z}^n$$

$$\prod_{k=1}^{n-1} k! \mid \prod_{1 \leq j < i \leq n} (m_j - m_i)$$

b) Montrer:
$$\forall (m_1, \dots, m_n) \in \mathbb{Z}^n \quad \prod_{k=1}^{n-1} k! \mid \prod_{1 \le j < i \le n} (m_j - m_i).$$

Ind. Considerer $D_n = \begin{vmatrix} 1 & m_1 & m_1(m_1 - 1) & \cdots & m_1 \cdots (m_1 - n + 1) \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 1 & m_n & m_n(m_n - 1) & \cdots & m_n \cdots (m_n - n + 1) \end{vmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 988]
a) Soit $(U,V) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$ tel que $U + iV \in \mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer qu'il existe $x_0 \in \mathbb{R}$ tel que $U + x_0 V \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$.
b) Soient $M$ et $N$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ semblables sur $\C$. Montrer que $M$ et $N$ sont semblables sur $\mathbb{R}$.
c) Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est semblable à une unique matrice de la forme $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, $(a,b) \in \mathbb{R}^2$, ou $\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$, $a \in \mathbb{R}$, ou encore $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$, $(a,b) \in \mathbb{R}^2$, $b \neq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 989]
Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que BAB = $A$ et ABA = $B$. Montrer que $A^2 = B^2$. Montrer que $A$ et $B$ ont le même noyau et la même image.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 990]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $\det(A) = \det(B) = \det(A+B) = \det(A-B) = \det(A-B)$ 0. Montrer que $\forall x, y \in \mathbb{R}$, $\det(xA + yB) = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 991]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$. On suppose que $\forall k \in [0, 2n], \det(A + kB) = \pm 1$. Déterminer
$\det(A)$ et $\det(B)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 992]
Soient A, $B$, $C$, $D$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On pose $M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ et $J = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & -I_n \end{pmatrix}$. On suppose que $M^T J M = J$. Montrer que $A$ et $D$ sont inversibles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 993]
Soit $p \in \N$ avec $p \geq 2$. Déterminer toutes les matrices $M \in \mathcal{M}_2(\C)$ triangulaires supérieures telles que $M^p = I_2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 994]
Soit $D$ l'endomorphisme de dérivation de $\mathbb{K}[X]$. Déterminer tous les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{K}[X]$ stables par $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 995]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n$, ainsi que $u_1, \ldots, u_n$ des endomorphismes nilpotents de $E$ commutant deux à deux. Simplifier $u_1 \circ \cdots \circ u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 996]
Soit $A \in \mathcal{M}_2(\C)$. Montrer que $A$ et $A^T$ sont semblables. Et si $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 997]
Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $n$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2 = -\operatorname{id}$.

a) Montrer que $n$ est pair.
b) Soit $x \in E$. Montrer que Vect (x, f(x)) est stable par $f$.
c) On suppose n=2p. Montrer qu'il existe une famille $(e_1,\ldots,e_p)$ de $E^p$ telle que $(e_1,u(e_1),\ldots,e_p,u(e_p))$ soit une base de $E$. Préciser la matrice de $f$ dans cette base.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 998]
Soit $A \in \mathcal{M}_{3n}(\mathbb{R})$ telle que $A^3 = 0$ et $\operatorname{rg} A = 2n$. Montrer que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ I_n & 0 & 0 \\ 0 & I_n & 0 \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 999]
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie. Soient $\mathcal{L}_1$ et $\mathcal{L}_2$ des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E)$ tels que (1) $\mathcal{L}(E) = \mathcal{L}_1 \oplus \mathcal{L}_2$ et (2) $\forall (u,v) \in \mathcal{L}_1 \times \mathcal{L}_2, \ u \circ v + v \circ u = 0$.

we correst the $\mathcal{L}(\mathcal{L})$ ters que (1) $\mathcal{L}(\mathcal{L}) = \mathcal{L}_1 \oplus \mathcal{L}_2$ et (2) $\forall (u,v) \in \mathcal{L}_1 \times \mathcal{L}_2, \ u \circ v + v \circ u = 0$. a) Montrer qu'il existe un projecteur $p_1 \in \mathcal{L}_1$ et un projecteur $p_2 \in \mathcal{L}_2$ tels que $p_1 + p_2 = \mathrm{id}$.
b) Montrer que $rg(p_1) + rg(p_2) = \dim E$.
c) Montrer, pour $i \in \{1, 2\}$, que si $w \in \mathcal{L}_i$, alors Im $p_1$ et Ker $p_1$ sont stables par $w$.
d) Montrer que $\mathcal{L}_1 = \{0\}$ ou $\mathcal{L}_2 = \{0\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1000]
Soit
$$(a_1, \ldots, a_n) \in \C^n.$$ À quelle condition la matrice
$$\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} \\ a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n \end{pmatrix}$$

est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1001]
Soient
$$(a,b) \in \C^2$$
 et $M = \begin{pmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0 \\ b & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b \\ 0 & \cdots & 0 & b & a \end{pmatrix}$. Éléments propres de $M$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1002]
Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ et $M = (m_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $m_{n-i+1,i} = a_i$ pour $1 \leq i \leq n$, les autres coefficients étant nuls. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1003]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\operatorname{tr}(A) \neq 0$. Soit $\phi : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto \operatorname{tr}(A)M - \operatorname{tr}(M)A$.

a) Préciser Im $\phi$ et Ker $\phi$.
b) En déduire les éléments propres de $\phi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1004]
Soit $n \in \N^*$. Pour $j \in [0, 2n]$, on pose $f_j : t \mapsto \operatorname{sh}^j(t) \operatorname{ch}^{2n-j}(t)$ définie sur $\mathbb{R}$.a) On note $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ engendré par les $f_i$.

Montrer que $\mathcal{F} = (f_0, \dots, f_{2n})$ est une base de $F$.

b) On note $D$ l'opérateur de dérivation sur $F$. Montrer que $D$ induit un endomorphisme.

Donner ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1005]
Soient
$A \in \C[X]$
 et $B = \prod_{k=1}^n (X - \lambda_k)$, où $n \geq 1$ et les $\lambda_k$ sont des complexes distincts

et non racines de A. Pour $j\in \db{1,n}$, on pose $P_j=\prod_{k=1\atop k\neq j}^n(X-\lambda_k)$. Soient $N\geq n-1$ et $\phi$

l'application qui à $P \in \C_N[X]$ associe le reste de la division de AP par $B$.

a) Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $\C_N[X]$.
b) Donner le noyau et l'imageqde $\Phi$.
c) Donner une expression de $P_i(z)$ sans produit, pour $z \neq \lambda_i$.
d) L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable? Préciser ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1006]
a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que $\operatorname{rg}(A) = 1$. Donner le polynôme caractéristique de A.

b) En déduire une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité pour une matrice de rang 1.

c) L'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ?

d) Existe-t-il une base de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ formée de matrices diagonalisables de rang 1?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1007]
a) Déterminer le commutant
$C(M)$
 de $M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

b) Montrer que $C(M) = \text{Vect}(I_n, M, M^2)$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1008]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB = 0. Montrer qu'il existe $P \in GL_n(\C)$ tel que $P^{-1}AP$ et $P^{-1}BP$ soient triangulaires supérieures.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1009]
Montrer que deux matrices de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui commutent sont simultanément trigonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1010]
Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie, $f \in \mathcal{L}(E)$ et $P \in \C[X]$. Que dire du spectre de P(f)?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1011]
Soient $A, B, M \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $\lambda, \mu \in \C^*$ avec $\lambda \neq \mu$. On suppose que $I_n = A + B$, $M = \lambda A + \mu B$ et $M^2 = \lambda^2 A + \mu^2 B$.

a) Montrer que $M$ est inversible et déterminer $M^{-1}$.

b) Montrer que $M$ est diagonalisable et déterminer son spectre.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1012]
Résoudre dans
$$\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$$
 l'équation $X^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1013]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. À quelle condition la matrice $\begin{pmatrix} A & A \\ 0 & A \end{pmatrix}$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1014]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que $B = \begin{pmatrix} I_n & A \\ A & I_n \end{pmatrix}$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1015]
Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\forall i \in [1, n]$, $a_{i,i} = 0$ et $\forall j \neq i, \ a_{i,j} = j$. a) Si $\lambda \in \mathbb{R}$ est une valeur propre de $A$ et $(x_1 \ldots x_n)^T$ un vecteur propre associé, montrer que $(\lambda + 1)x_1 = (\lambda + 2)x_2 = \cdots = (\lambda + n)x_n$.
b) Montrer que $-1, -2, \ldots, -n$ ne sont pas valeurs propres de A.
c) Montrer que $\lambda$ est valeur propre de $A$ si et seulement si $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{\lambda + k} = 1$.
d) En déduire que $A$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1016]
Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie $n, f, g \in \mathcal{L}(E)$ tels que $f \circ g =$ f+q.

a) Montrer que Im $f$ = Im $g$ et Ker $f$ = Ker $g$.
b) On suppose $f$ diagonalisable, montrer que $f \circ g$ est diagonalisable et que ses valeurs propres ne peuvent pas être dans ]0, 4[.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1017]
Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ de spectre vide.
a) Montrer qu'il existe $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré 2 tel que $\operatorname{Ker}(P(u)) \neq \{0\}$.
b) Montrer que l'on peut trouver un sous-espace stable par $u$ de dimension 2.
c) En déduire que tout endomorphisme d'un $R$-espace vectoriel de dimension finie admet un sous-espace stable de dimension 1 ou 2.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1018]
Soit $p \in \N$ avec $p \geq2$.

Soit $(u_n)_{n\in\N}\in\C^{\N}$ telle que, pour tout $n\in\N,\ u_{n+p}=u_{n+p-1}+u_{n+p-2}+\cdots+u_n$.

On note $P = X^p - \sum_{i=0}^{p-1} X^i$ et pour $n \in \N$, $U_n = (u_n \ u_{n+1} \ \cdots \ u_{n+p-1})^T$.

a) Trouver une matrice $A \in \mathcal{M}_p(\C)$, ne dépendant pas de $(u_0, \ldots, u_{p-1})$, telle que, pour tout $n \in \N$, $U_{n+1} = AU_n$. En déduire une expression de $U_n$ en fonction A, $U_0$ et $n$.
b) Montrer que le polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$ est $P$. c) Montrer que $P$ admet une unique racine $\alpha$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ en considérant T=(X-1)P, puis
que $\alpha \in ]1,2[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1019]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB = BA^2$ et $\forall \lambda \in \operatorname{Sp}(A), \ |\lambda| \neq 1$. Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre en commun.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1020]
Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = -I_n$ et $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ canoniquement associé à A.
a) Montrer que $n$ est pair.
b) Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale par blocs avec pour blocs diagonaux $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.
c) Montrer qu'il n'existe pas d'hyperplan stable par $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1021]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre les assertions suivantes :

 + $A$ est diagonalisable,
 + $\forall P \in \C[X], P(A)^n = 0 \Longrightarrow P(A) = 0$,
 + le seul élément nilpotent de $\C[A]$ est 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1022]
Soient $A, B, C \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB BA = $C$, AC CA = 0 et BC CB = 0.
a) Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\C)$. i) Que dire de la famille $(M^k)_{0 \le k \le n^2}$ ?
  - ii) Montrer qu'il existe une famille $(\lambda_k)_{1 \leqslant k \leqslant n^2}$ telle que $I_n + \sum_{k=1}^{n^2} \lambda_k M^k = 0$.
iii) Montrer qu'on peut trouver un indice $k$ tel que $Tr(M^k) \neq 0$.
b) Montrer que $C$ n'est pas inversible.
c) Montrer que A, $B$ et $C$ admettent un vecteur propre commun.
d) Montrer qu'il existe une matrice $P$ inversible telle que $P^{-1}AP$, $P^{-1}BP$ et $P^{-1}CP$ soient triangulaires.
e) Montrer que $C$ est nilpotente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1023]
Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A^3$ et $\dim(E_1(A)) = 1$.
a) Montrer que Ker $A^2$ et $E_1(A)$ sont supplémentaires. b) Montrer que Ker $A^2$ et $E_1(A)$ sont stables par A.
c) Montrer que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \eps \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ avec $\eps \in \{0, 1\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1024]
On note $\mathcal{D}_n$ l'ensemble des matrices carrées diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
a) L'ensemble $\mathcal{D}_n$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ?
b) Soit $V \subset \mathcal{D}_n$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\dim V \leqslant \frac{n(n+1)}{2}$.
c) Exhiber un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ contenu dans $\mathcal{D}_n$ de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1025]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. On suppose $\operatorname{tr}(A^k) \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0$. Montrer: $\forall \lambda \in \operatorname{Sp}(A), |\lambda| < 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1026]
Si $A \in \mathcal{M}_n(\C)$, montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $\forall k \in \N^*$, $\operatorname{tr}(A^k) = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1027]
On dit que $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ est d'ordre fini s'il existe un entier $k \in \N^*$ tel que $M^k = I_n$. Dans ce cas, on appelle ordre de $M$ le plus petit entier $k \in \N^*$ tel que $M^k = I_n$.
a) Montrer que les matrices d'ordre fini sont diagonalisables.
b) Soit $M$ une matrice d'ordre $p$ et soit $k \in \N^*$. Montrer que $M^k = I_n \iff k \in p\mathbb{Z}$.
c) Soient $V_n$ l'ensemble des matrices d'ordre fini de $\mathcal{M}_n(\C)$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$ et $\mathcal{O}_n$ l'ensemble des ordres des éléments de $V_n$. Montrer que $V_n$ est non vide et que $\mathcal{O}_n$ est fini.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1028]
Soit $E$ préhilbertien. Pour $(a,b) \in E^2$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, on pose $f_\alpha : x \mapsto x + \alpha \langle x, a \rangle b$.
a) A-t-on $f_{\alpha} \in \mathcal{L}(E)$ ?

d) Déterminer $\mathcal{O}_2$.- b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f_{\alpha}$ soit un isomorphisme, dans le cas où $E$ est euclidien.
c) Pour $\beta \in \mathbb{R}$, calculer $f_{\alpha} \circ f_{\beta}$.
d) En supposant $f_{\alpha} \in GL(E)$, préciser $f_{\alpha}^{-1}$.
e) Qu'en est-il lorsque l'on suppose $E$ simplement préhilbertien.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1029]
Soient $E$ et $F$ deux espaces euclidiens et $f \in \mathcal{L}(E,F)$.
a) Pour tout $y \in F$, montrer qu'il existe un unique $(x, y') \in (\operatorname{Ker} f)^{\perp} \times (\operatorname{Im} f)^{\perp}$ tel que y = f(x) + y'.
b) Avec les notations précédentes, on note $g: y \mapsto x$. Montrer que $g$ est linéaire.
c) Préciser Ker $q$ et Im $q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1030]
Soit $E$ un espace euclidien.
a) Montrer: $\forall f \in \mathcal{L}(E, \mathbb{R}), \exists ! a \in \mathbf{E}, \ \forall x \in E, \ f(x) = \langle a, x \rangle$.
b) On munit $E = \mathbb{R}_n[X]$ du produit scalaire $(P,Q) \mapsto \int_0^1 PQ$. Soit $f: P \mapsto P(0)$.
Montrer qu'il existe $A \in E$ tel que : $\forall P \in E, f(P) = \int_{0}^{1} AP$.
c) Montrer que A(0) > 0 et $\deg(A) = n$.
d) Montrer qu'il n'existe pas de $A \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(0) = \int_0^1 AP$ pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$.
e) Montrer qu'il n'existe pas de $C \in \mathbb{R}$ tel que : $\forall P \in \mathbb{R}[X], |P(0)| \leq C||P||$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1031]
On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $(u_1, \ldots, u_p)$ une famille de $\mathbb{R}^n$. On note la propriété suivante $(1): \forall (i,j) \in \db{1,p}^2, i \neq j \Longrightarrow \langle u_i, u_j \rangle < 0$. a) Soit $(u_i)_{1 \leq i \leq p}$ une famille vérifiant (1). Montrer qu'il existe une sous-famille libre de $u$ - a) Soit $(u_i)_{1 \leqslant i \leqslant p}$ une famille vérifiant (1). Montrer qu'il existe une sous-famille libre de $u$ ayant $p$-1 vecteurs.
b) Montrer qu'il n'existe pas de famille ayant au moins n+2 vecteurs vérifiant (1).
c) Donner une famille $(u_1, \ldots, u_{n+1})$ vérifiant (1).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1032]
Soient $E$ un espace euclidien, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $p_F$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $F$ et $(f_1, \ldots, f_p)$ une base de $F$. On pose $G = (\langle f_i, f_j \rangle)_{1 \le i, j \le p}$.
orthogonal de $E$ sur $F$ et $(f_1, ..., a)$ Montrer que $G \in GL_p(\mathbb{R})$.
b) Soient $y \in E, Y = \begin{pmatrix} \langle y, f_1 \rangle \\ \vdots \\ \langle y, f_1 \rangle \end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_- \end{pmatrix}$ la solution de GX = Y.
Montrer que $p_F(y) = \sum_{i=1}^p x_i f_i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1033]
Soit $E = \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On pose $\forall (f,g) \in E^2, \ \langle f,g \rangle = \int_0^1 (f(t) \, g(t) + f'(t) \, g'(t)) dt$
a) Montrer que $\langle \ , \ \rangle$ est un produit scalaire.
b) Soit $V = \{ f \in \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R}), f = f'' \}$. Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie et déterminer une base de $V$.- c) Montrer que $V \oplus W = E$ et que $V^{\perp} = W$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1034]
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de trace nulle. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $P^TMP$ soit de diagonale nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1035]
a) L'ensemble $\mathcal{O}_2(\mathbb{R})$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ?
b) Déterminer Vect $(\mathcal{O}_2(\mathbb{R}))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1036]
Soit $M \in \mathcal{O}_n\left(\mathbb{R}\right)$. Étudier la limite de la suite de matrices $A_k = \left(\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}M^i\right)_{k\in\N^*}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1037]
Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \cap \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ semblable à son inverse.
a) Montrer que $tr(A^2) \geq n$.
b) Montrer que $tr(A^2) \geq n$ si et seulement si $A$ est une matrice de symétrie orthogonale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1038]
Soient $a \in \ ]0,1[$ et $M=\begin{pmatrix} 0 & a & 1-a \\ a & 1-a & 0 \\ 1-a & 0 & a \end{pmatrix}$.
a) La matrice $M$ est-elle diagonalisable? Préciser ses valeurs propres.
b) Montrer que $(M^n)_{n\in\N}$ converge vers une matrice $L$. Caractériser géométriquement $L$.
c) Soit $S \in \mathcal{S}_p(\mathbb{R})$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(S^n)_{n \in \N}$ converge et déterminer alors sa limite.
d) Soit $A \in \mathcal{A}_p(\mathbb{R})$ telle que $(A^n)_{n \in \N}$ converge. Déterminer sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1039]
Pour
$$(a,b) \in \mathbb{R}$$
, on pose $M(a,b) = \begin{pmatrix} a^2 & ab & ab & b^2 \\ ab & a^2 & b^2 & ab \\ ab & b^2 & a^2 & ab \\ b^2 & ab & ab & a^2 \end{pmatrix}$.

a) Montrer que M(a, b) est diagonalisable.
b) Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de M(a,b).
c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M(a,b)^n \to 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1040]
Soient
$n \geq 3$
 et $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 2 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$.

a) Montrer que $M$ est diagonalisable.
b) Déterminer les valeurs propres de $M$ et leur multiplicité.
c) Trouver un polynôme annulateur de $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1041]
Soient $n\geq 2$, $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & \ddots & \ddots & & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$  et  $X_\ell = \begin{pmatrix} \sin\left(\frac{\ell\pi}{n+1}\right) \\ \sin\left(\frac{2\ell\pi}{n+1}\right) \\ \sin\left(\frac{2\ell\pi}{n+1}\right) \\ \vdots \\ \sin\left(\frac{n\ell\pi}{n+1}\right) \end{pmatrix}$ pour $\ell \in \db{1,n}$.  On pose, pour  $p,q \in \db{1,n}, S_{p,q} = \sum_{k=1}^n \sin\left(\frac{kp\pi}{n+1}\right) \sin\left(\frac{kq\pi}{n+1}\right)$.
a) Justifier que $A$ est diagonalisable. Que peut-on dire de ses sous-espaces propres?
b) Montrer que $(X_1, \ldots, X_n)$ est une base de vecteurs propres de A.
c) Calculer $S_{p,q}$ pour $p,q \in \db{1,n}$ avec $p \neq q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1042]
Soit
$$U=\begin{pmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),$$
 avec $\sum\limits_{i=1}^nu_i^2=1$. On pose $A=I_n-2UU^T$.

Montrer que $A$ est orthogonale. Caractériser A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1043]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que les matrices $AA^T$ et $A^TA$ sont semblables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1044]
Montrer que $\mathcal{O}_n(\mathbb{R}) = \{ A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), \ A^T A = A A^T \ \mathrm{et} \ (A^k)_{k \in \mathbb{Z}} \ \mathrm{est} \ \mathrm{born\acute{e}e} \}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1045]
Déterminer les matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $M^2 = MM^T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1046]
Soient $(a,b) \in \mathbb{R}^{*2}$ et $\Phi_{a,b} : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R} \mapsto aM + bM^T)$.

a) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres associés de $\Phi_{a,b}$.
b) Donner la trace et le polynôme caractéristique de $\Phi_{a,b}$.
c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\Phi_{a,b}$ soit inversible. Préciser alors $\Phi_{a,b}^{-1}$.
d) L'endomorphisme $\Phi_{a,b}$ est-il autoadjoint pour le produit scalaire $(M,N) \mapsto \operatorname{tr}(M^T N)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1047]
On munit
$E = \mathbb{R}_n[X]$
 du produit scalaire $(P,Q) \mapsto \int_{-1}^1 PQ$. Soit $\Phi: E \to E$

l'endomorphisme défini par : $\Phi(P) = (1 - X^2)P'' + 2XP'$.

a) Montrer que $\Phi$ est autoadjoint.
$\boldsymbol{b}$ ) Montrer que $\Phi$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
c) Montrer qu'il existe une unique base orthonormée $(P_0, \ldots, P_n)$ de $E$ telle que, pour tout $k \in [0, n]$, $\deg P_k = k$ et $\langle P_k, X^k \rangle > 0$.
d) Pour $k \in [0, n]$, on pose $Q_k = (-1)^k P_k(-X)$. Montrer que $(Q_0, \dots, Q_n)$ est une base orthonormée de $E$, telle que pour tout $k \in [1, n]$, on a $\deg(Q_k) = k$ et $\langle Q_k, X^k \rangle > 0$.
e) Conclusion?
f) Montrer que, pour tout $C \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$, $C$ et $P_n$ sont orthogonaux.
g) Montrer que $P_n$ est scindé sur ]0,1[ à racines simples.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1048]
Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ tel que, pour tout $X \in F \setminus \{0\}$, $X^T A X > 0$. On note $k$ la dimension de $F$. Montrer que $A$ possède au moins $k$ valeurs propres strictement positives.
#+end_exercice


** Analyse

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1049]
Pour
$q \in ]0,1[$
, on pose $N_q: P \in \mathbb{R}[X] \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} |P(k)| q^k$.

a) Montrer que $N_q$ est une norme.
b) Existe-t-il un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$ dont $N_q$ soit la norme associée?
c) Soit $(p,q) \in [0,1]^2$ avec $p \neq q$. Les normes $N_p$ et $N_q$ sont-elles équivalentes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1050]
Soient
$E=\C[X]$
 et $b\in\C$. Si $P=\sum_{k\geq 0}a_kX^k$, on pose $\|P\|=\sup\{|a_k|,\ k\in\N\}$ ;

c'est une norme sur $E$. Soit $f: P \in E \mapsto P(b)$

a) Montrer que $f$ est linéaire.
b) Étudier la continuité de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1051]
Soit $E = \mathbb{R}[X]$. Pour $P = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n X^n$ et $Q = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n X^n$ dans $E$, on pose

$$\langle P, Q \rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n b_n \text{ et } \phi(P) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{2^n}.$$

a) Montrer que $\langle \ , \ \rangle$ est un produit scalaire et que $\phi$ est une forme linéaire sur $E$. On munit $E$ de la norme euclidienne associé à ce produit scalaire.
b) Soit $\psi$ une forme linéaire continue de $(E, \| \cdot \|)$. Montrer que Ker $\psi$ est un fermé de $E$.
c) Montrer que $H = \operatorname{Ker} \phi$ est un fermé de $(E, \|\cdot\|)$.
d) Soit $A$ une partie de $E$, montrer que $A^{\perp}$ est une partie fermée de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1052]
Soit $n \in \N^*$. Soit $\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$ et $V = \left(\omega^{(k-1)(\ell-1)}\right)_{1 \leqslant k, \ell \leqslant n+1} \in \mathcal{M}_{n+1}(\C)$.

Si
$$P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k \in \C_n[X]$$
, on pose $N_1(P) = \sup_{|z|=1} |P(z)|$ et $N_2(P) = \max_{0 \le k \le n} |a_k|$.

a) Calculer $\sum_{k=1}^{n-1} \omega^k$.
b) Calculer $V \overline{V}$. En déduire que $V$ est inversible et calculer $V^{-1}$.
c) Soit $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k \in \C_n[X]$. Déduire de b) une expression des $a_k$ en fonction des

$$P(\omega^{\ell}), 0 \leqslant \ell \leqslant n-1.$$

d) Justifier l'existence de $N_1(P)$ et montrer que $N_2 \leqslant N_1$.
e) Trouver $\alpha$ et $\beta$ dans $\mathbb{R}^{+*}$ tels que $\alpha N_1 \leqslant N_2 \leqslant \beta N_1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1053]
Soit $E = \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$. On munit $E$ de la norme donnée par $\forall f \in E, \|f\|_2 = \sqrt{\int_0^1 f(t)^2 dt}$. Soit $K:[0,1]^2 \to \mathbb{R}$ tel que K(s,t) = (1-s)t si $1 \geq t < s$ et $K(s,t) = (1-t)s$ sinon.

Si $f \in E$, on pose $T(f): s \in [0,1] \mapsto \int_0^1 K(s,t) = (1-t)s$ sin

a) Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$.
b) Montrer que, pour tout $f \in E$, $||T(f)||_2 \le \frac{1}{2\sqrt{10}}||f||_2$.

Soit $F = \{ f \in \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R}), f(0) = f(1) = 0 \}$.

c) Montrer que l'image de $T$ est incluse dans $F$.
d) A-t-on égalité?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1054]
On munit $E = \mathcal{M}_n(\C)$ d'une norme $\| \|$. Pour $A \in \mathcal{M}_n(\C)$, on pose $\rho(A) = 0$ $\max_{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)} |\lambda|$.
a) L'application $\rho$ est-elle une norme sur $\mathcal{M}_n(\C)$ ?
b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. On suppose que $A^p \xrightarrow[p \to +\infty]{} 0$. Montrer que $\rho(A) < 1$.
c) i) Soit $\lambda \in C$ vérifiant $|\lambda| < 1$. Pour $k \in \N$, montrer $\binom{p}{k} \lambda^{p-k} \xrightarrow[p \to +\infty]{} 0$.

ii) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. On admet qu'il existe $(B, N) \in \mathcal{M}_n(\C)^2$ tel que $A$ = $B$ + $N$, avec $N$ nilpotente, BN = NB et $B$ diagonalisable. On suppose que $\rho(A) < 1$. Montrer que $A^p \xrightarrow[p \to +\infty]{} 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1055]
Déterminer la limite de la suite de terme général $\sum_{n=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-k^2}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1056]
Pour
$n \in \N$
, soit $f_n : x \mapsto -1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k}$.

a) Montrer que, pour tout $n \geq2$, l'équation $f_n(x) = 0$ d'inconnue $x \in ]0,1[$ admet une unique solution qu'on notera $x_n$.
b) Montrer que la suite $(x_n)_{n\geq 2}$ ainsi définie est décroissante et convergente.
c) Calculer sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1057]
Pour
$n \in \N^*$
, on pose $u_n = \frac{1}{n} \left( \prod_{k=1}^n (3k-1) \right)^{1/n}$. Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1058]
Montrer que
$$\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{\sqrt{k}} \underset{n \to +\infty}{\sim} 2(\sqrt{2}-1)\sqrt{n}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1059]
Étudier la suite $(z_n)$, où $z_0 \in \C \setminus \mathbb{R}^-$ et, pour $n \in \N$, $z_{n+1} = \frac{1}{2}(z_n + |z_n|)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1060]
On définit $f: x \in \mathbb{R} \mapsto \pi + \arctan(\pi - x)$. On considère une suite $(u_n) \in \mathbb{R}^n$

vérifiant $u_0 \in [\pi/2, 3\pi/2]$ et, pour $n \in \N$, $u_{n+1} = f(u_n)$.

a) Étudier les variations de $f$. Montrer que $(\pi, \pi)$ est un centre de symétrie du graphe de $f$. Préciser les asymptotes.

b) Montrer: $\forall x \in \mathbb{R}^{+*}$, $x > \arctan x$. En déduire, pour $x \in [\pi/2, 3\pi/2]$, le signe de $f \circ f(x) - x$.

c) Déterminer les solutions de $f \circ f(x) = x$. d) Étudier la convergence de $(u_{2n})$.

e) Étudier la convergence de $(u_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1061]
Soit $(\eps_n) \in (\mathbb{R}^{+*})^{\N}$. Pour $n \in \N$ on pose : $u_n = \sqrt{\eps_0 + \sqrt{\eps_1 + \sqrt{\cdots + \sqrt{\eps_n}}}}$.

a) Étudier $(u_n)$ dans le cas où $(\eps_n)$ est constante.

b) Montrer que $(u_n)$ est croissante. c) Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement s'il existe a>1 tel que, pour tout $n\in\N$, $\epsilon_n \leqslant a^{2^n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1062]
Soit $(x_n) \in (\mathbb{R}^{+*})^{\N}$ telle que : $x_n \to 0$ et $\frac{\ln(x_n)}{x_1 + \dots + x_n} \to a < 0$. Déterminer la limite de $\left(\frac{\ln(x_n)}{\ln x}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1063]
Soit $(u_n)_{n\geq 1}\in\mathbb{R}^{\N}$ telle que $:u_1>0$ et, pour tout $n\in\N,\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{nu}$.

a) La suite $(u_n)$ est-elle convergente? b) Donner un équivalent simple de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1064]
Soit, pour $n \geq2$, $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{\ln k}{k}$ a) Déterminer un équivalent de $u_n$.

b) Déterminer un équivalent de $u_n - \frac{\ln^2 n}{2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1065]
Soit a > 0. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = a$ et $\forall n \in \N, u_{n+1} = \arctan(u_n)$.

a) Montrer que $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$.

b) Donner un équivalent de $u_n$.

c) Quelle est la nature de la série $\sum u_n$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1066]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 > 1$ et $\forall n \in \N, \ u_{n+1} = u_n + \ln(u_n)$.

a) Déterminer la limite de $(u_n)$.

b) Soit a > 1. Nature de $\sum \frac{1}{u^a}$ ?

c) Nature de $\sum \frac{\ln u_n}{u_n}$ ? d) Nature de $\sum \frac{1}{u}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1067]
Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Déterminer la nature de $\sum_{n\geq 1} \frac{e^{in\theta}}{n}$ et calculer sa somme en cas de convergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1068]
Soient
$$a,b,c\in\mathbb{R}^+$$
 tels que $a+b+c=\frac{\pi}{2}$. Montrer que $\sin(a)\sin(b)\sin(c)\leqslant\frac{1}{8}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1069]
Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. Soit $n \in \N^*$. Montrer que $P(x) = o(x^{n-1})$ si et seulement si $X^n$ divise $P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1070]
Soit $(A, B, \alpha) \in \mathbb{R}^3$. Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \begin{cases} A(-x)^{\alpha} & \text{si } x < 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ Bx^{\alpha} & \text{si } x > 0. \end{cases}$

Discuter, en fonction de $(A, B, \alpha)$, du caractère dérivable de $f$, de son caractère $\mathcal{C}^1$. Soit $k \in \N^*$. Discuter du caractère $\mathcal{C}^k$ de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1071]
Soient $(a,b) \in \mathbb{R} \times ]-\pi,\pi]$ et $v_{a,b}: t \in ]-2\pi,-\pi[\mapsto t+e^{a-(b-t)\cot n(t)}\sin t$.
a) Montrer qu'il existe $y \in ]-2\pi, -\pi]$ tel que $v_{a,b}(y) = b$.
b) En déduire que le système $\begin{cases} x + e^x \cos y &= a \\ y - e^x \sin y &= b \end{cases}$ admet une solution.
c) Montrer que l'application $f: z \in \C \mapsto z e^z \in \C$ est surjective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1072]
Déterminer les
$$f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$$
 vérifiant : $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2$, $f(x)f(y) = \int_{\mathbb{R}^{n+y}}^{x+y} f(t) dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1073]
Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que : $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2$ $f(x+y)f(x-y) = (f(x)f(y))^2$ ().
a) Quelles sont les valeurs possibles de f(0)?
b) Montrer que, si $f(x_0) = 0$, alors $f\left(\frac{x_0}{2^n}\right) = 0$ pour tout $n \in \N$.
c) Montrer que, si $f$ s'annule, alors est nulle.
  d) Déterminer les fonctions qui vérifient ().
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1074]
Soit $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ continue et surjective.
a) Montrer que $f$ a une infinité de zéros.
b) Montrer que tout réel a une infinité d'antécédents par $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1075]
a) Soit $f:I\to\mathbb{R}$ continue et injective, où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est strictement monotone.
b) Soit $f:[0,+\infty[\to [0,+\infty[$ continue telle que : $\forall x\in [0,+\infty[,\ f(f(x))=x$. Montrer : $\forall x\in [0,+\infty[,\ f(x)=x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1076]
On admet le résultat suivant : si $f:I\to\mathbb{R}$ est continue et injective, où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, alors $f$ est strictement monotone.
On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle $f \circ f = \mathrm{id}$. On fixe un $f \in \mathcal{E} \setminus \{\mathrm{id}\}$.
a) Montrer que $f$ est décroissante.
b) Montrer que $f$ admet un unique point fixe, que l'on note $d$.c) On note $g|_{[d,+\infty[}$. Montrer que $g$ est strictement décroissante, que g(d)=d et que $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$.

d) Réciproquement, montrer que, si on se donne $d \in \mathbb{R}$ et une fonction continue $g:[d,+\infty[ \to \mathbb{R}$ strictement décroissante, telle que $g(d)=d \text{ et } \lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty$, alors il  existe $f \in \mathcal{E} \setminus \{id\}$ tel que $f|_{[d,+\infty[} = g$.
e) Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ pour $f$ soit de classe $C^1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1077]
Soit $E = \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Déterminer les sous-espaces vectoriels de $E$ vérifiant :
i) pour tout $f \in F$, on a $|f| \in F$, ii) pour tout $f \in F$, si $f \geq 0$, alors $\sqrt{f} \in F$. Ind. Soit $f \in F$. Poser $g$ = |f|. Que dire de $(g, g^{1/2}, \dots, g^{1/2^n})$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1078]
Soient $f,g\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. On suppose que $f\circ g$ est décroissante. Montrer que $f\circ g$ et $g \circ f$ ont un unique point fixe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1079]
Déterminer les $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telles que : $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) = 1 + 2 \int_0^x f(t) \cos(x t) \, dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1080]
Pour $n \in \N$, calculer $I(n) = \int_{0}^{\pi/2} \cos((n+2)x) \cos^{n}(x) dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1081]
On suppose $\pi = \frac{a}{b}$ avec $(a,b) \in \N^{*2}$. Pour $n \in \N$, on pose $P_n = \frac{X^n(a-bX)^n}{n!}$.
a) Pour tout $(n,k) \in \N^2$, montrer que $P_n^{(k)}(0)$ et $P_n^{(k)}(\pi)$ sont des entiers. b) Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^{\pi} P_n(t) \sin(t) dt$. Montrer: $\forall n \in \N, I_n \in \mathbb{Z}$.
c) Montrer: $\forall n \in \N, I_n > 0$.
d) Montrer qu'il existe un réel $\xi$ tel que : $\forall n \in \N, \ I_n \leqslant \pi \frac{\xi^n}{n!}$. Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1082]
Soient $f,g \in \mathcal{C}^0(0,1],\mathbb{R}^{+*}$ ). Pour $n \in \N$, on pose $u_n = \int_0^1 g(t)f(t)^n dt$. Étudier la
suite $\left(\frac{u_{n+1}}{u}\right)$. *Ind.* Commencer par étudier la limite de $\left(u_n^{1/n}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1083]
Soit $E$ l'ensemble des fonctions des $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ $2\pi$ -périodiques.
a) Montrer qu'il existe $A, B \in \mathbb{R}$ tels que, pour toute $f \in E$,
$\sup_{m} |f| \leqslant A \int_{0}^{2\pi} |f'| + B \int_{0}^{2\pi} |f|$.
b) Est-ce toujours vrai pour des fonctions à valeurs complexes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1084]
Soit $p \in \N$. Montrer que $t \mapsto e^{-(t-p\pi)^2} \sin(t)$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ et que son intégrale est nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1085]
Soient a > 1 et $b$ > 1 deux réels. Calculer $\int_0^{\pi} \ln\left(\frac{b \cos t}{a \cos t}\right) dt$.Ind. Remarquer que $x \mapsto \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$ est une primitive sur $]1, +\infty[$ de $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1086]
Soient $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ croissante et bornée, ainsi que $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ avec a < $b$. Convergence et calcul de $\int_{-\infty}^{+\infty} \left( f(b+t) - f(a+t) \right) \, \mathrm{d}t$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1087]
Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue, telle que $\lim_{x \to -\infty} = \ell$ et l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x$ est convergente. Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec a < $b$. Montrer que l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} (f(b+x) - f(x+a)) dx$ convergente et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1088]
Calculer
$$\int_0^{+\infty} \exp\left(-at^2 - \frac{b}{t^2}\right) dt$$
, pour $(a,b) \in (\mathbb{R}^{+*})^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1089]
Soit $f: t \mapsto \frac{1}{t} - \left\lfloor \frac{1}{t} \right\rfloor$.

a) La fonction $f$ est-elle intégrable sur $]0,1[$ ?
b) Calculer $\int_{0}^{1} f(t) dt$.

$$I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(|1-x|)\cos(\ln x)}{x^{\alpha}(1+x)} dx \text{ et } J = \int_{0}^{1} \frac{\ln(|1-x|)\cos(\ln x)}{x^{\alpha}(1+x)} dx.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1091]
Pour
$n \in \N^*$
, on pose $I_n = \int_0^{+\infty} \frac{\sin^{2n+1}(t)}{t} dt$ et $J_n = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(nt)}{t} dt$.

a) Montrer que $I_0$ converge. On admet que $I_0 = \frac{\pi}{2}$.
b) Montrer que : $\forall n \in \N, \ \forall t \in \mathbb{R}, \ \sin^{2n+1}(t) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^k \binom{2n+1}{n-k} \frac{\sin((2k+1)t)}{2^{2n}}$.
c) Montrer l'existence de $J_n$ et de $I_n$ pour tout $n \in \N$
d) Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $q_n \in \mathbb{Q}$ tel que $I_n = q_n \pi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1092]
Soit (C): (y' + 2xy = 1, y(0) = 0.)
a) On note $\phi$ la solution de (C). Justifier l'existence et l'unicité de $\phi$.
b) Exprimer $\phi(x)$ à l'aide d'une intégrale que l'on de cherchera à calculer.
c) Pour x>0, sachant que $t^2\leqslant tx$ pour $t\in[0,x]$, donner le comportement de $\phi$ au voisinageqde $+\infty$.
d) Montrer $e^{-x^2} \int_{-t^2}^x \frac{e^{t^2}}{t^2} dt = o\left(\frac{1}{x}\right)$.
e) Donner un équivalent simple de $\phi(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1093]
Pour $n \in \N$ et $x \in [0, \pi/2]$, on pose $f_n(x) = \sin^n(x) \cos(x)$ et $g_n(x) = nf_n(x)$.Étudier la convergence simple et uniforme des suites $(g_n)$ et $(f_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1094]
Soit $(f_n)$ la suite définie par $f_0: x \in \mathbb{R}^+ \mapsto 0$ et, pour $n \in \N, f_{n+1}: x \in \mathbb{R}^+ \mapsto 0$

 $f_n(x) + \frac{1}{2} \left( x - (f_n(x))^2 \right)$

a) Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur [0,1].

b) Est-ce que $(f_n)$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1095]
Pour $n \in \N^*$, soit $f_n : x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \frac{\ln(n+x)}{n^2 + x^2}$.

Étudier la Convergence simple/uniforme/normale de $\sum f_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1096]
Soit $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{x+n}}$.

a) Étudier la continuité, la dérivabilité et les limites en 0 et en $+\infty$ de $S$.

b) On admet que $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Montrer que, pour tout $x$ > 0, $S(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{\sqrt{t} (1 + e^{-t})} dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1097]
Soit $S: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+nx}$.

a) Montrer que $S$ est bien définie et continue sur $]0, +\infty[$.

b) Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$ et donner un équivalent de S(x) quand $x \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1098]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x \ln n}}{1 + n^2 x}$.

a) Donner le domaine de définition de $f$.

b) Étudier la continuité de $f$.

c) Déterminer la limite puis un équivalent de $f$ en $+\infty$.

d) Déterminer la limite puis un équivalent de $f$ en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1099]
On considère $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)$, où $u_n(x)=\frac{1}{n+n^2x^2}$.

a) Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}^*$, paire.

b) Montrer que $\sum u_n$ ne converge pas normalement.

c) Montrer que $\overline{f}$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+*}$ et donner son intégrale sous la forme de la somme d'une série numérique.

*d*) Montrer que $f$ est monotone sur $\mathbb{R}^{+*}$.

e) Donner la limite, puis un équivalent en $+\infty$.

f) Donner la limite, puis un équivalent en 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1100]
Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R})$. On pose $f_0 = f$ et, pour $n \in \N$, $f_{n+1} : x \in [a,b] \mapsto \int_a^x f_n(t) dt$.

On pose $g = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$. Justifier la définition de $g$ et l'exprimer en fonction de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1101]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in (\mathbb{R}^+)^N$ décroissante. Pour $n\in \N$, soit $u_n:x\in [0,1]\mapsto a_nx^n(1-x)$.
a) Montrer que $\sum u_n$ converge simplement.
b) Montrer que la convergence est normale si et seulement si $\sum \frac{a_n}{n}$ converge.
c) Montrer que la convergence est uniforme si et seulement si $a_n \stackrel{\sim}{\to} 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1102]
Soient $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \C)$ et $M \in \mathbb{R}^+$. On suppose que $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2$, $|f(x + y) f(x) f(y)| \leq M$.
a) Si M=0, montrer qu'il existe $\alpha \in \C$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\alpha x$.
a) Si M=0, montrer qu'il existe $\alpha\in\C$ tel que $\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=\alpha x$. b) Pour $n\in\N$ et $x\in\mathbb{R}$, on pose $v_n(x)=\frac{f(2^nx)}{2^n}$. En considérant la série $\sum (v_{n+1}-v_n)$,
montrer que $(v_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers une fonction continue $g$.
c) Montrer que $g$ est la seule application linéaire telle que la fonction $f$-g soit bornée sur $\mathbb{R}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1103]
a) Montrer: $\forall x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right], \ \frac{2}{\pi} |x| \leqslant |\sin x|$.
b) Donner le rayon de convergence de $\sum \frac{z^n}{\sin(n\pi\sqrt{3})}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1104]
Soit $p \in \N^*$. Rayon de convergence et somme de la série entière $\sum_{k \geq 0} \frac{x^{kp}}{(kp)!}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1105]
Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R \in \mathbb{R}^{+*} > 0$ telle que
$\sum a_n R^n$ soit absolument convergente.
a) Donner un exemple de telle série.
b) On pose $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$. Montrer que $f$ est continue sur [-R, R].
c) Pour $t \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$, on pose $g(t) = \frac{1}{t} \ln \left| \frac{1-t}{1+t} \right|$.
i) Montrer que $\int_{0}^{1} g$ converge.
  - ii) Exprimer $g$ comme une somme de série entière sur ]-1,1[. En déduire $\int_0^1 g$.
iii) Calculer $\int_{1}^{+\infty} g$.-
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1106]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n!}{1 \times 3 \cdots \times (2n+1)} x^{2n+1}$.
a) Déterminer le rayon de convergence $R$ de $f$.
b) Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle (E): $(x^2-2)y'+xy+2=0$.
c) En déduire une expression de f(x).
  d) La série entière converge-t-elle pour $x$ = R?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1107]
On donne $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Pour $n \in \N^*$, on pose $u_n = \sum_{\stackrel{(i,j) \in \N^{*2}}{i \perp i = n}} \frac{1}{i^2 j^2}$.
a) Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$.
b) Donner le rayon de convergence de $\sum u_n z^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1108]
Soit $\alpha \in ]0,1[$. Donner un équivalent de $S:x\mapsto \sum^{+\infty}\frac{x^n}{n^{\alpha}}$ en $1^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1109]
Soit $(T_n)$ la suite de polynômes définie par $T_0 = 1$ et, pour $n \in \N$, $T_{n+1}(X) = X(T_n(X) + T'_n(X))$.
$I_{n+1}(A) = A(I_n(A) + I_n(A))$. a) Expliciter $T_1, T_2, T_3$ et $T_4$.
b) Montrer que, pour tout $n \in \N$, $T_{n+1}(X) = X \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} T_k(X)$.
c) Soit $\phi: t \mapsto \exp(e^t)$. Montrer que, pour tout $n \in \N$ et tout $t \in \mathbb{R}$, $\phi^{(n)}(t) = T_n(e^t)\phi(t)$.

  d) Soit $n \in \N$. Développer $x \mapsto T_n(x) e^x$ en série entière.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1110]
Soit $D=\{z\in\C\ ,\ |z|\leqslant 1\}$. Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite de nombres complexes. On suppose que la série $\sum na_n$ est absolument convergente.
a) Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$ est supérieur ou égal à 1.
b) Pour $z \in D$, on note $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$. On suppose que $a_1 \neq 0$ et que $\sum_{n=0}^{+\infty} n|a_n| \leqslant |a_1|$.

Montrer que $f$ est injective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1111]
On pose $f:(x,s)\mapsto \sum_{s=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n^s}$.
a) Calculer f(x,0) et f(x,1) lorsque c'est possible.
b) Donner le rayon de convergence (à $s$ fixé).
c) Donner le domaine de définition.
d) Donner une relation entre f(x, s) et f(x, $s$ 1).
e) Donner une expression simple de f(x,-1) et f(x,-2). f) Donner un équivalent simple de f(x,-p) au voisinageqde $1^-$, avec $p \in \N^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1112]
Soit $(a_n) \in \mathbb{R}^{\N}$ telle que $\lim_{n \to +\infty} (na_n) = 0$.a) Montrer que le rayon de convergence de $\sum a_n x^n$ est au moins 1.

a) Montrer que le rayon de convergence de
$\sum a_n x^n$
 est au moins $1 + \infty$

b) Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = o(\ln(1-x))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1113]
On note $I = \int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$ et, pour $n \geq1$, $u_n = \int_{1}^{+\infty} e^{-x^n} dx$.

a) Montrer que $I$ est bien définie. b) Montrer que $(u_n)$ est bien définie.

c) Trouver un équivalent de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$. Comment trouver le terme suivant du développement asymptotique?

d) Donner le domaine de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1114]
Pour $n \in \N$, on pose lorsque cela a un sens $I_n = \int_1^{+\infty} \frac{1}{1 + t + \dots + t^n} dt$.

a) Montrer que la suite $(I_n)_{n\geq 2}$ est bien définie et calculer sa limite

b) Soit $n \geq3$. Montrer que $I_{n-1} = \int_{0}^{1} u^{n-3} \frac{1-u}{1-u^n} du$.

Montrer que $I_{n-1} = \frac{1}{n^2} \int_0^1 \frac{n(1-s^{1/n})}{1-s} s^{-2/n} ds$.

c) En déduire un équivalent de $I_n$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1115]
On donne $\int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt = \sqrt{2\pi}$.

Pour $n \in \N^*$ on pose $\gamma_n = n^{1/4}$ et $\phi_n : x \mapsto \frac{\gamma_n}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{\sin\left(\sqrt{\frac{3}{n}}\gamma_n x\right)}{\sqrt{\frac{3}{n}}\gamma_n x} \right)^n$. Soient également A>0 et $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue, nulle à l'extérieur de [-A,A]. Montrer que $\int_{-}^{\infty} f\phi_n \to f(0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1116]
Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^1 \ln(t) \, \ln(1-t^n) \, \mathrm{d}d$.

a) Trouver la limite de $(I_n)$.

b) Trouver un équivalent de $I_n$. c) Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, nature de la série $\sum I_n^{\alpha}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1117]
Soit, pour $n \in \N$, $I_n = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}$.

a) Montrer que $(I_n)$ admet une limite $\ell$ que l'on explicitera. b) Déterminer un équivalent de $I_n - \ell$.

c) Montrer que $\int_0^1 \frac{\ln(1+y)}{y} dy = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)^2}$.

d) Déterminer un développement asymptotique de $I_n$ à trois termes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1118]
Pour tout $n \in \N$, on note $I_n = \int_0^1 \frac{t^{n+1} \ln t}{1-t^2} dt$.

a) Montrer que $I_n$ est bien définie. b) Écrire $I_n$ sous forme d'une somme.

c) Déterminer un équivalent de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1119]
Soient a, $b$ > 0.

a) Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(a+nb)^2} = \int_0^{+\infty} \frac{te^{-at}}{1-e^{-bt}} dt$.

b) Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{a+nb} = \int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b} dt$. Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1120]
Soit $x \in [0,1[$. Après avoir justifié l'existence des deux membres, montrer l'égalité $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+x} = \int_0^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{1+t} dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1121]
On pose $S: t \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \ln(1 + e^{-nt})$.
b) Convergence et calcul de $\int_{-1}^{1} \frac{\ln(1+u)}{u} du$.

a) La fonction $S$ est-elle intégrable sur $[1, +\infty[?]0, 1]$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1122]
Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^1 \ln(1+t^n) dt$.
a) Déterminer la limite de $(I_n)$.
b) Justifier l'existence de $L = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+u)}{u} du$.
c) Montrer que $I_n \sim \frac{L}{r}$.
d) Montrer que $L = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1123]
Soit $F: x \mapsto \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{x}(1+t)}$.
a) Montrer que $F$ est définie sur $\mathbb{R}^{+*}$
b) Montrer que $F$ est continue et décroissante sur $\mathbb{R}^{+*}$.
c) Déterminer la limite de $F$ en $0^+$ et en $+\infty$. d) Déterminer un équivalent de $F$ en $0^+$ et en $+\infty$. Ind. Calculer F(x) + F(x+1).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1124]
On pose $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} dt$. a) Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ et de classe $\mathcal{C}^1$.b) On pose $F: x \mapsto \int_0^x \exp(-t^2) dt$ et l'on donne $\lim_{t \to \infty} F = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.

Exprimer simplement f'(x).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1125]
Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^x(t+1)}$.

a) Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$.

b) Montrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.

c) Montrer que la droite d'équation $x = \frac{1}{2}$ est un axe de symétrie de la courbe représentative

d) Montrer que $f$ est minorée par une valeur que l'on explicitera.

e) Déterminer un équivalent de $f$ en 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1126]
Pour $x$ > 0, on pose $s(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{e^{xt} - 1} dt$.

a) Montrer que $s$ est continue sur $]0, +\infty[$.

b) Écrire $s$ comme la somme d'une série de fonctions rationnelles.

c) Montrer que $s(x) \sim \frac{\pi}{2\pi}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1127]
On pose $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{x+t} dt$.

a) Donner le domaine de définition et montrer que $F$ est monotone. b) Montrer que $F$ est de classe $C^1$.

c) Limite et équivalent de $F$ en $+\infty$.

d) Limite et équivalent de $F$ en 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1128]
On pose $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^3 + x^3}$.

a) Domaine de définition

b) Montrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.

c) Calculer f(0).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1129]
On pose $f: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)(1+ixt)}$.

a) Montrer que $f$ est définie, continue sur $\mathbb{I}$ b) Montrer: $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \in \mathbb{R}$.

c) Exprimer f(x) sans signe intégral.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1130]
Soit $I: a \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(t)}{a^2 + t^2} dt$.

a) Montrer que $I$ est bien définie

b) Calculer I(1).

c) En déduire une expression de I(a).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1131]
On pose $I: x \mapsto \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} e^{x \cos t} dt$. Donner un équivalent, puis un développement à deux termes de I(x) lorsque $x \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1132]
Étudier $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-xt} \frac{\sin(t)}{t} dt$. En déduire la valeur de $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1133]
a) Pour quelles valeurs de $t$ la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^t}$ converge-t-elle? On note alors $\zeta(t)$ sa somme.

Pour t>0, on pose $\Gamma(t)=\int_0^{+\infty}x^{t-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t$. On admet la convergence de cette intégrale.

b) Soit $t$ > 1. Justifier l'existence de $\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{t-1}}{e^x 1} dx$, et l'exprimer en fonction de $\zeta(t)$ et $\Gamma(t)$.
c) Justifier que $T(t) = \int_0^{+\infty} \frac{x^{t-1}}{e^x + 1} dx$ est définie pour $t$ > 0 et, pour $t$ > 1, exprimer T(t)à l'aide de $\zeta(t)$ et $\Gamma(t)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1134]
Soit $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+xt^2)}{t(1+t^2)} dt$. Déterminer le domaine de définition $D$ de $F$ et montrer que $\forall x \in D, \ F(x) = -\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{x} \frac{\ln(t)}{1-t} dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1135]
On donne $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{ et } \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^2}{1+t^4} = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$.
a) Justifier l'existence de $\int_0^{+\infty} \frac{e^{iu}}{\sqrt{u}} du$, puis de $K = \int_0^{+\infty} e^{it^2} dt$.
b) Pour $x \in \mathbb{R}$, on pose $f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x^2(i+t^2)}}{i+t^2} dt$. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
c) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$ et que $\forall x>0, \ f'(x)=-\sqrt{\pi}e^{-ix^2}$. d) Montrer que $\int_{0}^{+\infty} \cos(t^2) dt = \int_{0}^{+\infty} \sin(t^2) dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1136]
On pose $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2} dt$ et $g: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{x+t} dt$.
a) Montrer que $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}^+$.
b) Montrer que $f$ et $g$ sont de sont de classe $C^2$ sur $]0, +\infty[$, et solutions de y'' + y = 1/t. c) Calculer $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1137]
Soit $f: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_{0}^{1} \ln(t) \ln(1-t^x) dt$.
a) Montrer que $f$ est bien définie.- b) Écrire $f$ comme somme d'une série de fonctions.
c) Déterminer la limite de $f$ en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1138]
Soit $f: t \mapsto \int_{1}^{+\infty} \frac{x^t}{\operatorname{ch}(x)} \mathrm{d}x$.
a) Justifier que $f$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^+$.
b) Calculer f(0).
c) Montrer que, pour $n \geq2$, l'équation f(t) = $n$ possède une unique solution notée $t_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1139]
On pose $J: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ch}^x(t)}$.
a) Domaine de définition de J?
b) Étudier la continuité de $J$.
c) Calcul de J(1) et J(2). d) Déterminer une relation entre J(x+2) et J(x).
e) Expliciter J(2p) et J(2p+1) pour $p \in \N^*$.
f) A-t-on $J(x) \sim J(x+1)$ ?
g) Donner un équivalent de $J$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1140]
Soit $q \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On considère l'équation différentielle (E): y'' + y = $q$.
a) Donner les solutions de (E).
b) Soit $f$ une solution de (E) telle que : $\forall x \in \mathbb{R}, f''(x) + f(x) \geq0$.
Montrer: $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x+\pi) + f(x) \geq0$. c) Soit $f$ une solution de (E) pour laquelle il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(a+\pi)+f(a)=0$. Montrer que $f$ est de la forme $\lambda \cos + \mu \sin$, avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1141]
Déterminer les $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ vérifiant $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1142]
Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ telle que $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}, \ f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$ et f(0,0) = 0.
a) Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.
b) A-t-on $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ ? c) Calculer $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial u}(0,0)$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial x}(0,0)$ si elles existent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1143]
Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^2$. a) Pour tout $(a,b,c,d) \in \mathbb{R}^4$ montrer: $f(b,d) - f(a,d) - f(b,c) + f(a,c) = \int_0^b g(x) dx$
où $g: x \mapsto \int_{c}^{d} \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial u}(x, y) \, \mathrm{d}y$.
b) Montrer qu'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que :
$\forall (x,y) \in [-1,1]^2, |f(x,y) f(0,y) f(x,0) + f(0,0)| \leq M|xy|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1144]
Soient $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ et $n \in \N$. Montrer l'équivalence entre les assertions :i)
$$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \forall t \in \mathbb{R}^+, f(tx,ty) = t^n f(x,y),$$

ii)
$$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \ x \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = n f(x,y).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1145]
Étudier les extrema de $(x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 2xyz$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1146]
Soient $\phi \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ et $f: x \in \mathbb{R}^n \mapsto \phi(x) e^{-\|x\|^2}$. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum, que l'on déterminera.
#+end_exercice


** Probabilités

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1147]
Soient $\Omega$ un ensemble de cardinal $n$ et $\mathcal{P}(\Omega)$ l'ensemble de ses parties. On appelle mesure sur $\Omega$ toute application $\mu$ de $\mathcal{P}(\Omega)$ dans $\mathbb{R}$ telle que, pour tout couple (A,B) de parties disjointes de $\Omega$, $\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)$. On dit que $\mu$ est une mesure de probabilité si de plus $\mu$ est à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et $\mu(\Omega) = 1$. Soit $x_0 \in \Omega$. On définit $\delta_{x_0} : \mathcal{P}(\Omega) \to \{0,1\}$ par $\forall A \in \mathcal{P}(\Omega), \ \delta_{x_0}(A) = 1$ si $x_0 \in A$, et $\delta_{x_0}(A) = 0$ sinon. On admettra que $\delta_{x_0}$ est une mesure de probabilité.
a) Montrer que l'ensemble $M(\Omega)$ des mesures sur $\Omega$ est un espace vectoriel de dimension finie et calculer sa dimension.
b) Donner sans justifier une norme sur $M(\Omega)$.
c) On note $Pr(\Omega)$ l'ensemble des mesures de probabilité sur $\Omega$. Est-il convexe? borné? ouvert? fermé?
d) Montrer que, pour toute mesure $\mu \in M(\Omega)$ il existe $P_1$ et $P_2$ probabilités et $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ tels que $\mu = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2$.
Ind. On pourra introduire $A=\{\omega\in\Omega,\ \mu(\{\omega\})>0\}$ et $B=\{\omega\in\Omega,\ \mu(\{\omega\})<0\}$.
e) Montrer que $N(\mu) = \inf\{|\lambda_1| + |\lambda_2| ; \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}, \exists P_1, P_2 \in \Pr(\Omega), \mu = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2\}$ est une norme sur $M(\Omega)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1148]
On munit $\mathcal{P}(\{1, 2, \dots, n\})^2$ de la probabilité uniforme. Quelle est la probabilité pour que deux parties de $\{1, 2, \dots, n\}$ soient disjointes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1149]
On considère une particule se déplaçant sur un axe de N+1 positions, indexées par $\db{0,N}$. Lorsqu'elle est en position $k\in\{1,\ldots,n-1\}$, la particule peut se déplacer en position k+1 avec probabilité $p\in ]0,1/2[$ ou bien en position $k$-1 avec une probabilité 1-p=q. On arrête le processus lorsque la particule atteint l'abscisse 0 ou $N$.

On note $u_a$ la probabilité que la particule termine son parcours en 0 en ayant commencé à l'abscisse $a \in [0, N]$.

a) Que valent $u_0$ et $u_N$ ?
b) Pour 0 < a < $N$, trouver une relation entre $u_a$, $u_{a-1}$ et $u_{a+1}$.
c) Quelle est la probabilité que le processus ne se termine pas?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1150]
On dispose d'urnes numérotées $(U_n)_{n\geq 1}$. Dans l'urne $U_n$ il y a une boule blanche et $n$ boules noires. On commence par tirer une boule de l'urne $U_1$. Si elle est blanche, on s'arrête et si elle est noire on recommence l'expérience dans l'urne suivante. Ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne une boule blanche. On note $X$ la variable aléatoire donnant le numéro de l'urne où l'on tire pour le première fois une boule blanche.- a) Déterminer la loi de $X$.
b) Soit $f: x \mapsto |\sqrt{x}|$. Montrer que f(X) est d'espérance finie et calculer cette espérance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1151]
Soit $n \in \N^*$. On considère deux jeux de hasard. Les deux jeux consistent à tirer à Pile ou Face un certain nombre de fois. Pour chaque lancer, on obtient Pile avec probabilité $p \in ]0,1[$.
Premier jeu : on tire 2n-1 fois la pièce. On gagne lorsqu'on obtient au moins $n$ fois Pile.
Deuxième jeu : on tire 2n fois la pièce. On gagne lorsqu'on obtient au moins n+1 fois Pile. Si on obtient $n$ fois Pile, on a alors une chance sur deux de gagner.

On note $X_1$ le nombre de Piles au jeu 1 et $X_2$ le nombre de Piles au jeu 2.

a) Donner les lois de $X_1$ et de $X_2$.
b) Exprimer $P(X_2 > n)$.
c) Soient $p_1$ la probabilité de gagner au jeu 1 et $p_2$ la probabilité de gagner au jeu 2. Exprimer $p_2 p_1$ en fonction de $\mathbf{P}(X_1 = n)$ et $\mathbf{P}(X_2 = n)$.
d) À quel jeu vaut-il mieux jouer si l'on aime gagner?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1152]
a) Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ un espace probabilisé. Caractériser les $A \in \mathcal{A}$ tels que, pour tout $B \in \mathcal{A}$, $A$ et $B$ sont indépendants.
b) Soit $\Omega$ un ensemble fini. Existe-t-il une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega))$ telle que les éléments de $\mathcal{P}(\Omega)$ soient mutuellement indépendants? Si oui, caractériser les probabilités qui vérifient cela.
c) Soient $\Omega$ un ensemble de cardinal $N \in \N^*$ et $\mathbf{P}$ une probabilité sur $\Omega$. Soit $(A_1, \ldots, A_m)$ une famille d'événements mutuellement indépendants, non négligeables et non presque-sûrs. Montrer que $2^m \leqslant N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1153]
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles à valeurs dans un ensemble fini telles que $\forall k \in \N, \ \mathbf{E}(X^k) = \mathbf{E}(Y^k)$. Montrer que $X \sim Y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1154]
Soit $X$ une variable aléatoire positive, qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs.

Soit
$k \in \N^*$. Montrer que $\mathbf{E}(X^k) = \int_0^{+\infty} kt^{k-1}\mathbf{P}(X>t)\,\mathrm{d}t$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1155]
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans $(\N^*)^2$ tel que, pour tout $n \in \N^*$, la loi conditionnelle de $X$ sachant (Y = n) est la loi $\mathcal{U}([1, n])$.
a) Montrer que $X$ et $Y$ + 1 $X$ suivent la même loi.
b) On suppose $X \sim \mathcal{G}(p)$. Déterminer la loi de $Y$ et en déduire les valeurs possibles pour $p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1156]
Soient $(p, p') \in ]0, 1[^2$ et $(X_n)_{n \in \N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout $n \in \N^*$, $X_{2n} \sim \mathcal{B}(p)$ et $X_{2n-1} \sim \mathcal{B}(p')$.

On pose $Y = \min\{n \in \N, X_n = 1\}$.

a) Montrer que $Y$ est presque sûrement finie.
b) Loi, espérance et variance de Y.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1157]
Soient $X$,Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$ et $U=\frac{X}{V}$.- a) Calculer la loi de $U$.
b) Calculer l'espérance de $U$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1158]
Soit $p \in ]0,1[$. Soit $(X_n)_{n \in \N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi $\mathcal{B}(p)$. On pose $Y_n = X_n + X_{n+1} + X_{n+2}$ pour tout $n \in \N^*$.

Montrer que, pour tout
$\eps > 0$
, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}Y_{k} - 3p\right| \geq \eps\right) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1159]
Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$. Soient $b$ > 0 et $I$ une partie de $\mathbb{R}$ telle que $\forall x \in I, \ g(x) \geq b$.
a) Montrer que $\mathbf{P}(X \in I) \leqslant \frac{\mathbf{E}(g(X))}{h}$.
b) On suppose que $\mathbf{E}(X) = 0$ et que $X$ admet une variance. Soit $t$ > 0.

Montrer que $\mathbf{P}(X > t) \leqslant \frac{\mathbf{V}(X)}{\mathbf{V}(X) + t^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1160]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. suivant $\mathcal{B}(p)$, avec $p\in ]0,1[$. On note $q=1-p$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ et $T_n=\frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}$.

a) Loi et fonction génératrice de $S_n$.
b) Donner $\mathbf{E}(T_n)$ et $\mathbf{V}(T_n)$.
c) Soit $x\gt 0$. Exprimer $\mathbf{E}\left(x^{T_n}\right)$ et déterminer la limite de $\left(\mathbf{E}\left(x^{T_n}\right)\right)_{n \geq1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1161]
Soit $N \in \N^*$. Soit $(U_n)_{n \in \N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1, 2, \dots, N\}$. On note $\mu$ l'espérance de $U_1$ et $\sigma^2$ la variance de $U_1$.

Pour tout entier
$n \in \N^*$
, on définit les variables $S_n = U_1 + \cdots + U_n$ et $V_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}}$.

Soit $t \in \mathbb{R}$. Montrer que $\mathbf{E}(e^{tV_n}) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} e^{t^2/2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1162]
Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires de loi uniforme sur $\{-1,1\}$.

Pour
$n \in \N^*$
, on note $S_n = \sum_{k=0}^n X_k$ et $P_n = \prod_{k=0}^n X_k$.

a) Déterminer l'espérance et la variance de $S_n^{k=1}$ et de $P_n$.
b) Déterminer la loi de $P_n$.
c) Les variables $S_n$ et $P_n$ sont-elles indépendantes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1163]
Soit $(X_n)_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans $\N$. On suppose que
$\mathbf{P}(X_0=0)<1$ et $\mathbf{E}(X_0)<+\infty$. On note $R$ le rayon de convergence de $\sum X_n\,t^n$
a) Rappelez la définition du rayon de convergence d'une série entière.
b) Montrer que : $(R > 1) = (X_n = 0$ à partir d'un certain rang $N \in \N$ ). En déduire que (R > 1) est un événement et $\mathbf{P}(R > 1) = 0$.
c) Soit $0 \le c < 1$. Montrer que $\mathbf{P}(R \le c) = 0$.
d) Montrer que P(R=1)=1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1164]
Soit $(X_k)_{k \in \N^*}$ une suite de variables aléatoires de même loi, à valeurs dans $\N$ et d'espérance finie. Pour $n \in \N^*$, on pose $M_n = \max(X_1, \dots, X_n)$.

Montrer que la verieble eléctoire $1 \leq V_n$ est d'espérance finie.

a) Montrer que la variable aléatoire $\mathbf{1}_{\{X_1\geq N+1\}}X_1$ est d'espérance finie. Montrer que $\lim_{N\to+\infty}\mathbf{E}\left(\mathbf{1}_{\{X_1\geq N+1\}}X_1\right)=0$.

b) Pour $N \in \N$, montrer que $M_n \leqslant N + \sum_{k=1}^n \mathbf{1}_{\{X_k \geq N+1\}} X_k$.
c) Déterminer $\lim_{n \to +\infty} \mathbf{E}\left(\frac{M_n}{n}\right)$. Ind. Revenir à la définition d'une limite.
d) Étendre ce résultat à une suite de variables aléatoires positives, de même loi et d'espérance finie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1165]
a) Comparer $\mathbf{E}(X^2)$ et $\mathbf{E}(X)^2$ lorsque $X$ est une variable aléatoire réelle discrète telle que $\mathbf{E}(X^2)$ soit finie.
b) Soient $N$ > 0 et $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables à valeurs dans [0, N], ainsi que

$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$
 de classe $\mathcal{C}^1$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_k$.

Montrer que $\mathbf{E}\left(f\left(\frac{S_n}{n}\right)\right) \to f\left(\mathbf{E}(X_1)\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1166]
Soient $X$, $Y$ deux variables aléatoires et $(X_n), (Y_n)$ deux suites de variables aléatoires, toutes à valeurs dans $\N$, les variables étant définies sur un même espace probabilisé.
On suppose: $\forall \eps > 0$, $\mathbf{P}(|X_n X| \geq\eps) \tend{n \to +\infty} 0$ et $\mathbf{P}(|Y_n Y| \geq\eps) \tend{n \to +\infty} 0$.
a) Pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ et $\eps > 0$, montrer : $|x+y| \geq \eps \Rightarrow |x| \geq \frac{\eps}{2}$ ou $|y| \geq \frac{\eps}{2}$
b) Montrer: $\forall \eps > 0$, $\mathbf{P}(|X_n + Y_n (X + Y)| \geq\eps) \tend{n \to +\infty} 0$.
c) Soit $(U_n)$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi $\mathcal{B}(p)$, où $p \in [0,1]$. Pour $n \in \N$, on pose $V_n = U_{n+1} + U_n$. Montrer: $\forall \eps > 0$, $\mathbf{P}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n V_i - 2p \geq \eps\right) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$.
d) Montrer $\mathbf{P}(|X| \geq M) \tend{M \to +\infty} 0$.
e) Montrer: $\forall \eps > 0$, $\mathbf{P}(|X_n Y_n XY| \geq\eps) \tend{n \to +\infty} 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1167]
Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires réelles $i$.i.d. telle que $X_1$ soit d'espérance finie, mais pas $X_1^2$.

 $\text{Pour }(n,k) \in \N^* \times \N^*, \text{ on pose }: Y_{n,k} = X_k \mathbf{1}_{(|X_k| \leqslant n)}, \ S_n = \sum^n X_k \text{ et } T_n = \sum^n Y_{n,k}$.

a) Montrer que : $\frac{1}{n} \mathbf{E}(S_n T_n) \to 0$.
b) Montrer que: $\forall n \in \N^*, \ \mathbf{P}(S_n \neq T_n) \leqslant n \, \mathbf{P}(|X_1| > n)$.
c) Pour $n \in \N^*$ et $\eps > 0$, montrer:

$$\mathbf{P}\left(\frac{1}{n}|S_n - \mathbf{E}(T_n)| \geq \eps\right) \leqslant \frac{\mathbf{V}(T_n)}{(n\eps)^2} + n\,\mathbf{P}(|X_1| > n).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1168]
Soit $(\eps_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$.

Pour
$n \in \N^*$
, on pose $X_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \eps_i$.

Déterminer le comportement asymptotique de $(\mathbf{E}\left(\operatorname{ch}(X_n)\right))_{n\geq 1}$ et $(\mathbf{E}\left(\operatorname{sh}(X_n)\right))_{n\geq 1}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1169]
Soit $p \in [0,1[$. Soit $n \in \N^*$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendent dantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. Soit $N$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, indépendante de $(X_1,\ldots,X_n)$. On pose $Y=X_1+\cdots+X_N$.

a) Montrer que $Y$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\N$.
b) En utilisant les fonctions génératrices, trouver la loi de Y. c) Retrouver ce résultat sans utiliser les fonctions génératrices.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1170]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Quelle est la probabilité pour que $\begin{pmatrix} X & 1 \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ soit diagonalisable ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1171]
Soient $p \in [0,1]$ et $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi $\mathcal{G}(p)$. On pose $M = \begin{pmatrix} X & Y \\ V & X \end{pmatrix}$. On note $S$ et $B$ respectivement la plus grande et la plus petite valeur propre de $M$.

a) Exprimer $S$ et $B$ en fonction de $X$ et Y. Justifier qu'elles sont des variables aléatoires.
b) Calculer $\mathbf{E}(S)$, $\mathbf{V}(S)$, $\mathbf{E}(B)$ et $\mathbf{V}(B)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1172]
Soit $(X_{i,j})_{(i,j)\in(\N^*)^2}$ $i$.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $n\in\N^*$, on note $A_n = (X_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ et $D_n = \det(A_n)$.
a) Calculer $\mathbf{E}(D_n)$.
b) Montrer, par récurrence, que, pour tout $n \in \N^*$, $\mathbf{V}(D_n) = n!$.
#+end_exercice


* Centrale - MP                                                        :cent:

** Algèbre

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1173]
a) Donner la définition de la signature et calculer celle de la permutation $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 8 & 3 & 6 & 1 & 7 & 4 \end{pmatrix}$.

$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 8 & 2 & 6 & 1 & 7 & 4 \end{pmatrix}$$

b) Pour tout $\sigma \in \mathcal{S}_n$, on note $\eps(\sigma)$ la signature de $\sigma$, et $\nu(\sigma)$ le nombre de ses points fixes.

i) On pose
$$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ -1 & \cdots & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ Calculer $\chi_A$ sous forme factorisée.

ii) En déduire la valeur de la somme $\sum_{\sigma \in S} \frac{\eps(\sigma)}{1 + \nu(\sigma)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1174]
Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On appelle caractère de $G$ tout morphisme de groupes $\chi$ de $G$ vers $\C^*$. On note $\widehat{G}$ le groupe des caractères de $G$.

a) Montrer que $\widehat{G}$ est un groupe multiplicatif, et que les éléments de $\widehat{G}$ sont à valeurs dans $\mathbb{U}_n$.
b) Dans cette question, on suppose $G$ cyclique.

Montrer que $G$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et que $\widehat{G}$ est isomorphe à $G$.

c) Dans cette question, on suppose $G$ abélien. Montrer que, si $H$ est un sous-groupe de $G$ et $\xi \in \widehat{H}$, il existe $\chi \in \widehat{G}$ tel que $\chi_{|H} = \xi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1175]
On note, pour
$n\in\N^*$
, $F_n=\prod_{\substack{\xi\in\mathbb{U}_n\\\omega(\xi)=n}}(X-\xi)$, où $\omega(\xi)$ est l'ordre de la racine $n$ -ième $\xi$

comme élément du groupe $\C^*$.

a) Montrer que $\omega(\xi)$ divise $n$ pour tout $\xi \in \mathbb{U}_n$.
b) Exprimer $(X-1)F_n$ et $F_n$ dans le cas où $n$ est premier.
c) Soient $A, B \in \mathbb{Q}[X]$ tels que $AB \in \mathbb{Z}[X]$ et $A \in \mathbb{Z}[X]$ est unitaire. Montrer que $B \in \mathbb{Z}[X]$.
c) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $F_n \in \mathbb{Z}[X]$.
d) Soit $n \in \N^*$. Calculer $F_n(1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1176]
a) Écrire et démontrer l'inégalité de Jensen puis en déduire l'inégalité arithméticogéométrique.

Soit $P \in \C[X]$. On note $H$ l'intersection des convexes de $\C$ contenant les racines de $P$.

b) Montrer que $H$ est convexe et compact.
c) Soit $z \in \C \backslash H$.
  - i) Montrer qu'il existe un unique $q \in H$ tel que d(z, H) = d(z, q).
ii) Montrer qu'il existe $\psi \in [0, \pi/2[$ tel que $\forall h \in H, \left| \text{Arg} \left( \frac{z h}{z q} \right) \right| \leqslant \psi$ (argument dans $[-\pi, \pi]$ ).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1177]
Soit $A$ et $B$ deux polynômes à coefficients complexes.

a) Montrer que $\deg(A+B) \leqslant \max(\deg(A),\deg(B))$, et donner un exemple où l'inégalité est stricte.

Dans la suite, on suppose que $A$ et $B$ n'ont pas de racine commune, et on pose $C$ = $A$ + $B$. On suppose enfin qu'aucun des polynômes A, $B$, $C$ n'est constant. On pose $W$ = A'B - AB'.

b) Soit $z$ une racine de multiplicité $m$ de ABC. Montrer que $z$ est de multiplicité $m$-1 comme racine de $W$.
c) On note $\mu$ le nombre de racines distinctes de ABC.

Montrer que $\mu \geq \deg(A) + \deg(B) + \deg(C) - \deg(W)$.

d) En déduire que $\mu > \max(\deg A, \deg B, \deg C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1178]
a) Rappeler la définition d'un polynôme irréductible sur un corps $\mathbb{K}$ et l'énoncé du théorème de d'Alembert-Gauss.- b) Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ non nul tel que $\forall x \in \mathbb{R}, \ P(x) \geq 0$. Montrer que toute racine réelle de $P$ est de multiplicité paire et que le coefficient dominant de $P$ est positif. En déduire qu'il existe $(A,B) \in \mathbb{R}[X]^2$ tel que $P = A^2 + B^2$.
c) Soit $Q \in \mathbb{R}[X]$ non nul tel que $\forall x \in [-1, 1], \ Q(x) \geq0$.
i) Montrer que si $\deg(Q) \leqslant 2$ alors il existe $(a,b) \in (\mathbb{R}^+)^2$ et $\lambda \in [-1,1]$ tels que $Q = (X \lambda)^2 + b(1 X^2)$
$a(X-\lambda)^2+b(1-X^2)$. ii) Montrer plus généralement qu'il existe $(A,B)\in\mathbb{R}[X]^2$ tel que $Q=A^2+(1-X^2)B^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1179]
Dans ce qui suit, $K$ désigne un corps.
a) Énoncer le théorème de division euclidienne dans $\mathbb{K}[X]$.
b) Soient $P \in \mathbb{K}[X]$ et $a \in \mathbb{K}$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que a soit racine simple de $P$.
c) Pour $n \geq2$, on pose $P_n = X^n X + (-1)^n$. Déterminer le nombre des racines de $P$ dans $\mathbb{Q}$, dans $\mathbb{R}$ et dans $\C$.
d) On note $a_1, \ldots, a_n$ les racines complexes de $P_n$.

Calculer le déterminant
$$\begin{vmatrix} 1 + a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & 1 + a_n \end{vmatrix}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1180]
a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A \operatorname{Com}(A)^T = \det(A)I_n$.
b) On définit $GL_n(\mathbb{Z})$ comme l'ensemble des matrices de $GL_n(\mathbb{R})$ à coefficients entiers, dont l'inverse est également à coefficients entiers.
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$. Montrer que $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ si et seulement si $\det(A) = \pm 1$.
c) Soit $P \in \mathbb{Q}[X]$ un polynôme irréductible sur $\mathbb{Q}$. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1181]
On note $S_n$ le groupe des permutations de $\{1, \ldots, n\}$ pour $n \in \N \setminus \{0, 1\}$. Soit $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension $n$. On se donne une base $\{e_1, \ldots, e_n\}$ de $E$ - $\C$ -espace vectoriel de dimension $n$. On se donne une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $E$. a) i) Soit $G$ un groupe fini. Que vaut $x^{|G|}$ pour $x \in G$ ? Le démontrer dans le cas abélien.
ii) Pour $\sigma \in S_n$, on définit l'endomorphisme $f_\sigma$ par $f_\sigma(e_i) = e_{\sigma(i)}$. Montrer que $\sigma \mapsto f_\sigma$
est un morphisme de groupes de $S_n$ dans $\mathrm{GL}(E)$.
b) Soit $\sigma \in S_n$. Montrer que $f_\sigma$ est diagonalisable. Déterminer ses éléments propres.
c) On dit qu'un sous-espace de $E$ est stable par permutation si tous les $f_{\sigma}$ le stabilisent. Déterminer les sous-espaces stables par permutation.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1182]
a) Soit $\mathcal{A}$ un ensemble fini de matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui commutent entre elles. Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres communs à toutes les matrices de $\mathcal{A}$.
b) Montrer que, si $p \neq n$, les groupes $\mathrm{GL}_n(\C)$ et $\mathrm{GL}_p(\C)$ ne sont pas isomorphes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1183]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\C$, et $u \in \mathcal{L}(E)$.
a) Montrer que $\mathbb{K}[u]$ est de dimension finie et que $\dim \mathbb{K}[u] = \deg \pi_u$.- b) Montrer que si $u$ est inversible alors $u^{-1} \in \mathbb{K}[u]$.
c) Montrer que $\exp(u) \in \mathbb{K}[u]$.
d) On prend $E = \mathbb{K}[X]$ et $D$ l'opérateur de dérivation. Montrer que $u = \mathrm{id} D$ est inversible. A-t-on $u^{-1} \in \mathbb{K}[u]$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1184]
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$. On note $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ les valeurs propres deux à deux distinctes de $M$.
a) Montrer que, pour tout $P \in \C[X]$, $M$ et P(M) commutent.
b) On pose $P = \prod_{k=1}^{r} (X \lambda_k)$. Montrer que $P'(M) \in \mathrm{GL}_n(\C)$.
c) Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB = BA.
i) Montrer que $A$ et $B$ possèdent un vecteur propre commun.
ii) Montrer qu'il existe $Q \in \mathrm{GL}_n(\C)$ telle que les matrices $Q^{-1}AQ$ et $Q^{-1}BQ$ soient triangulaires supérieures.
d) On considère la suite $(M_k)_{k\geq 0}$ définie par $M_0=M$ et $M_{k+1}=M_k-P(M_k)P'(M_k)^{-1}$ pour tout $k \geq0$. Montrer que la suite $(M_k)_{k\geq0}$ est bien définie et étudier sa convergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1185]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
a) Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ a un polynôme annulateur scindé à racines simples.
b) Soient A, $B$ deux matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\C)$ et qui commutent. Montrer que
$A + \lambda B$ est diagonalisable pour tout $\lambda \in \C$.
c) Soit $n \geq3$. Mettre en évidence deux matrices A, $B$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui ne commutent pas et telles que $A + \lambda B$ soit diagonalisable pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$.
d) Soient A, $B$ deux matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_2(\C)$ telles que $A + \lambda B$ soit diagonalisable pour tout $\lambda \in \C$. Montrer que $A$ et $B$ commutent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1186]
Soit $Y$ une colonne de $\C^{n-1}$ non nulle, $z \in \C$ et $\alpha = Y^T Y \in \C$.

On pose $A = \begin{pmatrix} 0 & Y \\ Y^T & z \end{pmatrix}$.

a) Montrer que $\chi_A$ s'écrit $X^{n-2}(X-\lambda)(X-\mu)$. Calculer $\lambda + \mu$ et $\lambda^2 + \mu^2$ et en déduire $\chi_A$ en fonction de $\alpha$, $z$ et $n$.
b) Discuter du rang de $A^2$. Déterminer le polynôme minimal de $A$ selon que $\alpha$ est nul ou
non.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1187]
Soient $n \in \N^*$ et $F = \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k \in \C_{n-1}[X]$. On désigne par $\Phi$ l'application qui à
$P \in \C_{n-1}[X]$ associe la reste de la division euclidienne de PF par $X^n 1$.
a) Rappeler la définition de la division euclidienne de deux polynômes.

Montrer que $\Phi \in \mathcal{L}(\C_{n-1}[X])$.

b) i) Donner la matrice de $\Phi$ dans la base canonique. ii) Déterminer les éléments propres de $\Phi$. L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1188]
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $n$. a) Montrer que les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $\chi_u$.b) Exprimer les coefficients des termes en $X^{n-1}$ et $X^{n-2}$ de $\chi_u$ en fonction de tr(u) et $tr(u^2)$.

c) On suppose $u$ de rang 2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur tr(u) et $tr(u^2)$ pour que $u$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1189]
Soient $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $\rho(A) = \max_{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)} |\lambda|$.

a) Justifier que $\rho(A)$ est bien défini. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont les racines de $\chi_A$.

b) On pose $P_A(X) = X^n \chi_A\left(\frac{1}{X}\right)$. Calculer la décomposition en éléments simples de $\frac{P_A'}{P_A}$.

c) On suppose que $\rho(A) \leqslant 1$ et que $1 \notin \operatorname{Sp}(A)$. Montrer que $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\operatorname{tr}(A^k)}{k}$ est bien défini et

que $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\operatorname{tr}(A^k)}{k} = -\int_0^1 \frac{P_A'(t)}{P_A(t)} dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1190]
Pour $n \in \N^*$, soit $H_n = \left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0 < i, i < n-1} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On note $E$ le $\mathbb{R}$ -espace

vectoriel des $f:[0,1[\to\mathbb{R} \text{ continues et intégrables. On pose }K_n:x\mapsto\sum_{k=1}^{n-1}x^k$.

a) Énoncer et démontrer le critère d'injectivité d'une application linéaire.
b) Pour $f \in E$, on pose $T_n(f) : x \in [0, 1[ \mapsto \int_0^1 K_n(xt) f(t) dt$.
i) Montrer que $T_n$ est un endomorphisme de $E$. ii) Montrer que 0 est valeur propre de $T_n$.
iii) Comparer les valeurs propres de $T_n$ et de $H_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1191]
Soient $E$ un espace euclidien et une partie finie $\mathcal{R}$ de $E\setminus\{0\}$ telle que :
 + $\mathcal{R}$ engendre $E$,
 + pour tout $\alpha \in \mathcal{R}$, $\mathcal{R}$ est stable par la réflexion $s_{\alpha}$ par rapport à l'hyperplan de vecteur normal $\alpha$,
 + pour tout $\alpha \in \mathcal{R}$, les seuls vecteurs colinéaires à $\alpha$ dans $\mathcal{R}$ sont $\alpha$ et $-\alpha$,
 + pour tout $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$, $n_{\alpha, \beta} = 2 \frac{\langle \alpha, \beta \rangle}{\|\alpha\|^2} \in \mathbb{Z}$.
a) Soit $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$.
  - i) Donner la définition de la réflexion $s_{\alpha}$ ainsi que son expression analytique.
  - ii) Calculer $n_{\alpha,\beta}n_{\beta,\alpha}$ en fonction de $\frac{\langle \alpha,\beta \rangle}{\|\alpha\|\|\beta\|}$.
iii) On suppose $\alpha, \beta$ non colinéaires et tels que $n_{\alpha,\beta} > 0$. Montrer que $n_{\alpha,\beta} = 1$ ou $n_{\beta,\alpha}=1$.
b) On munit $E$ d'un ordre total $\leq$ qui respecte :
   + $\forall (x, y, z) \in E^3, x \leqslant y \Longrightarrow x + z \leqslant y + z$,
   + $\forall (x, y, \lambda) \in E^2 \times \mathbb{R}^+, x \leqslant y \Longrightarrow \lambda x \leqslant \lambda y$.
   On note $\mathcal{R}^+$ l'ensemble des éléments de $\mathcal{R}$ plus grands que $0_E$ au sens de $\leq$. On note $\mathcal{B}$ l'ensemble des éléments de $\mathcal{R}^+$ ne s'écrivant pas comme somme de deux éléments de $\mathcal{R}^+$.

i) Soit $x \in \mathbb{R}^+$. Montrer que $x$ s'écrit comme combinaison linéaire d'éléments de $\mathcal{B}$ à coefficients entiers positifs.
  - ii) Montrer que $\mathcal{B}$ est une base de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1192]
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \in \N^*$.
a) i) Donner la définition d'un endomorphisme autoadjoint.

Soient $B$ une base orthonormale de $E$ et $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que $f$ est autoadjoint si et seulement si sa matrice dans la base $B$ est symétrique.

i) Soient $B$ une base orthonormale de $E$ et $f \in S^+(E)$.
On note $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ la matrice de $f$ dans la base $B$. Soit $i\in [1,n]$.

Montrer que, si $m_{i,i} = 0$, alors les ligne $i$ et colonne $i$ de la matrice $M$ sont nulles. Ind. Considérer l'application $t \mapsto \langle f(e_i + te_i), e_i + te_i \rangle$.

b) Soient $f \in \mathcal{S}^+(E)$ et $g \in \mathcal{S}(E)$ tels que $\forall t \in \mathbb{R}, \ \det(f tg) = 0$.
  - i) Montrer que $Ker(g) \neq \{0\}$.
  - ii) Montrer que $Ker(f) \cap Ker(g) \neq \{0\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1193]
On pose, pour
$$A = (a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), N(A) = \max_{1 \le i,j \le n} \left( \frac{|a_{i,j}| + |a_{j,i}|}{2} \right).$$

a) Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
b) L'application $N$ est-elle une norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ?
c) Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $\lambda \in \operatorname{Sp}(A)$. Montrer que $|\lambda| \leq nN(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1194]
L'espace $\mathbb{R}^n$ est muni de sa structure euclidienne canonique.
a) Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction continue, positive et telle que $\int_a^b f=0$. Montrer que $f$ est nulle.
b) Montrer que la matrice $M_n = \left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ est symétrique définie positive. Indi-

cation: $\frac{1}{i+j-1} = \int_0^1 t^{i+j-2} dt$.

c) On note $\lambda_{\min}$ (resp. $\lambda_{\max}$ ) la plus petite (resp. grande) valeur propre de $M_n$. Montrer que $\lambda_{\min} ||x||^2 \leqslant x^T M_n x \leqslant \lambda_{\max} ||x||^2$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$.
d) On note $F$ le sous-espace propre de $M_n$ associé à $\lambda_{\max}$. Montrer que, si $x \in F$, toutes les coordonnées de $x$ sont de même signe.
e) Déterminer $\dim F$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1195]
a) Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Justifier que $A$ possède au moins une valeur propre réelle.
b) Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Soit $(x_1, \dots, x_k)$ une famille libre formée de vecteurs propres de $A$ tels que les valeurs propres associées $\mu_1, \dots, \mu_k$ soient en ordre croissant.

On note $S = \text{Vect}(x_1, \dots, x_k)$. Montrer que
$$\mu_1 = \min_{x \in S, \ \|x\| = 1} x^T A x = \min_{x \in S \setminus \{0\}} \frac{x^T A x}{x^T x} \text{ et } \mu_k = \max_{x \in S, \ \|x\| = 1} x^T A x = \max_{x \in S \setminus \{0\}} \frac{x^T A x}{x^T x}.$$
c) Soient A, $B$ dans $S_n(\mathbb{R})$. On note $\lambda_1(A) \leq \cdots \leq \lambda_n(A)$ les valeurs propres de $A$ (en tenant compte des multiplicités), et de même pour $B$ et $A+B$.

Montrer que $\forall i \in [1, n], \ \forall j \in [0, n-i], \ \lambda_i(A+B) \leqslant \lambda_{i+j}(A) + \lambda_{n-j}(B)$.
#+end_exercice


** Analyse

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1196]
a) Montrer que $E = \ell^1(\N)$, espace des suites réelles sommables, est un espace vectoriel normé pour $u \mapsto \sum |u_n|$.
b) On munit $E$ de la relation d'ordre partielle $u \leq v \iff \forall n \in \N, \ u_n \leq v_n$. Soit $(u_k)$ une suite d'éléments de $E$ croissante et majorée par $v \in E$. Montrer que $(u_k)$ converge dans $E$.
c) Soient $u$, $v$ deux éléments de $E$ tels que $u \leq v$. Montrer que l'ensemble des éléments wde $E$ tels que $u \preceq w \preceq v$ est compact.
d) Donner un exemple de partie compacte $K$ de $E$ telle qu'il n'existe pas de suite $u \in E$ vérifiant $\forall x \in K, |x| \leq u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1197]
Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie, $C$ un convexe compact d'intérieur non vide de $E$, symétrique par rapport à 0.

Pour $x \in E$, on pose $j_C(x) = \inf \left\{ \lambda \in \mathbb{R}^{+*}, \frac{x}{\lambda} \in C \right\}$, en convenant que $\inf \emptyset = +\infty$.

a) i) Rappeler la définition d'une norme.
  - ii) Montrer que $j_C$ est à valeurs réelles, positive et homogène.
  - iii) Montrer que $j_C(x) = 0$ si et seulement si $x$ = 0.
b) i) Montrer que $x \in C$ si et seulement si $j_C(x) \in [0,1]$.
  - ii) Montrer que, pour tous $x, y \in E$, $j_C(x+y) \leq j_C(x) + j_C(y)$.

Ind. Pour
$\eps > 0$
, poser $x' = \frac{x}{j_C(x) + \eps}$, $y' = \frac{y}{j_C(y) + \eps}$ et $t = \frac{j_C(x) + \eps}{j_C(x) + j_C(y) + 2\eps}$.

c) On munit $E$ d'une norme. Montrer l'existence de $f: E \to E$, continue, bijective, et telle

que $f(C) = \overline{B(0,1)}$ et $f(C \setminus \mathring{C}) = S(0,1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1198]
a) Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel normé $E$. Montrer que la continuité de $u$ est équivalente à son caractère lipschitzien, et aussi à sa continuité en 0.
b) On munit $\ell^2(\mathbb{Z})$, espace vectoriel des familles de réels de carré sommable indexées par $\mathbb{Z}$ (on admet qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de $\mathbb{Z}^{\N}$ ), de $(u,v)\mapsto \sum_{n}u_{n}v_{n}$, dont on

admet qu'il s'agit d'un produit scalaire, et on munit $\ell^2(\mathbb{Z})$ de la norme associée. On pose $T: u \in \ell^2(\mathbb{Z}) \mapsto (2u_n - u_{n+1} - u_{n-1})_{n \in \mathbb{Z}}$.

Montrer que $T$ est un endomorphisme continu de $\ell^2(\mathbb{Z})$.

c) Montrer que $T$ est injectif mais non surjectif.
d) Montrer que $T$ + id est surjectif.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1199]
a) i) Montrer que l'imageqd'une partie connexe par arcs par une fonction continue est connexe par arcs.
ii) Soit $f: I \to \mathbb{R}$ continue et injective sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est strictement monotone.Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que, pour tout $n \in \N^*$ et toute matrice $A = (a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, la matrice $f(A) = (f(a_{i,j}))_{1 \le i,j \le n}$ est inversible.

b) Montrer que $f$ est strictement monotone et ne s'annule pas sur $\mathbb{R}^*$.
c) On suppose $f$ croissante et surjective. Caractériser $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1200]
a) Rappeler la définition de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ et montrer que c'est un compact de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A^T A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.
Montrer qu'il existe $O \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ et $S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ telles que $A$ = OS.
c) On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de la norme subordonnée à la norme euclidienne de $\mathbb{R}^n$. On note $\mathcal{B}$ la boule unité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
  - i) Montrer que $\mathcal{B}$ est convexe.
ii) Trouver les points extrémaux de $\mathcal{B}$, c'est-à-dire les matrices $A \in \mathcal{B}$ telles que $\mathcal{B} \setminus \{A\}$ est convexe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1201]
Soit $E_n = \mathcal{C}^n([-1,1],\C)$. Si $f \in E_n$, on pose $\pi_n(f) = \max_{k \in [0,n]} \|f^{(k)}\|_{\infty}$.
a) Montrer que $\pi_n$ est une norme sur $E_n$, puis calculer $\pi_n(x \mapsto x^n)$.
b) Si $f \in E_n$, on pose $A_n(f): x \in [-1,1] \mapsto x f(x)$. Montrer que $A_n$ est un endomorphisme de $E_n$, continu pour $\pi_n$, et de norme subordonnée n+1.
c) On suppose $n \in \N^*$. Si $f \in E_n$, on pose $B_n(f) : x \in [-1,1] \mapsto \int_0^1 f'(xt) dt$. Montrer que $B_n$ est une application linéaire de $E_n$ dans $E_{n-1}$. Montrer que $B_n$ est continue pour les normes $\pi_n$ et $\pi_{n-1}$, et de norme subordonnée 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1202]
a) Énoncer les théorèmes de sommation des relations de comparaison pour les séries numériques.
b) Montrer que $\sum_{k=1}^{n} \ln(k) = n \ln(n) n + O(\ln(n))$.
c) Soient $(a_k)_{k\geq 2}$ une suite réelle et $b:[2,+\infty[\to\mathbb{R} \text{ de classe } \mathcal{C}^1. \text{ On pose } A(t)=\sum_{k=1}^{\lfloor t\rfloor}a_k$
pour $t\geq 2$. Montrer que $\sum_{k=2}^n a_k b(k)=A(n)b(n)-\int_2^n b'(t)A(t)\,\mathrm{d}t$ pour tout entier $n\geq 2$.
d) On note $\mathcal{P}$ l'ensemble des nombres premiers. On pose $R: t>1 \mapsto \sum_{p\in\mathcal{P},\ p\leqslant t} \frac{\ln p}{p} \ln(t)$.
Montrer que $\sum_{p \in \mathcal{P}, p \leqslant n} \frac{1}{p} = 1 + \ln(\ln n) \ln(\ln 2) + \frac{R(n)}{\ln n} + \int_2^n \frac{R(t)}{t(\ln t)^2} \, \mathrm{d}t \text{ pour tout entier } t = 1 + \ln(\ln n) \ln(\ln 2) + \frac{R(n)}{\ln n} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{??}$
e) Montrer qu'il existe une constante $C$ telle que $\sum_{p \in \mathcal{P}, n \leq p} \frac{1}{p} = \ln(\ln n) + C + O\left(\frac{1}{\ln n}\right)$ quand $n \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1203]
a) Énoncer et démontrer le théorème des bornes atteintes.b) Montrer que l'on définit une norme sur $\mathbb{R}[X]$ en posant $\|P\| = \sup_{x \in [-1,1]} |P(x)|$ pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$.

c) Montrer que, pour tout $d \in \N^*$, il existe un unique polynôme $T_d \in \mathbb{R}[X]$ unitaire de degré $d$ tel que $\cos(d\theta) = 2^{d-1}T_d(\cos\theta)$ pour tout $\theta \in \mathbb{R}$.

d) Pour tout $d \in \N^*$, on note $E_d$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $d$ de $\mathbb{R}[X]$.

i) Montrer que $||P|| \geq \frac{1}{2^{d-1}}$ pour tout $P \in E_d$.
ii) Étudier le cas d'égalité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1204]
a) Rappeler la définition de la continuité uniforme pour une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.

b) Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et périodique. Montrer que $f$ est uniformément continue.
c) Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue, périodique et non constante. Montrer que $f$ admet une plus petite période strictement positive, que l'on notera P(f).
d) Montrer que le résultat de la question précédente peut tomber en défaut si l'on omet l'hypothèse de continuité.
e) Soient $f$ et $g$ continues, périodiques et non constantes de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Montrer que f+g est périodique si et seulement si $\frac{P(f)}{P(g)} \in \mathbb Q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1205]
Soient $f \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R}^2)$ et $\| \|$ une norme sur $\mathbb{R}^2$.

a) Soit $\eps > 0$. Montrer qu'il existe $\eta > 0$ tel que :

$$\forall (t,s) \in [0,1]^2, |t-s| \leqslant \eta \Rightarrow ||f(s)-f(t)-(s-t)f'(t)|| \leqslant \eps |s-t|.$$

b) En déduire que $\sum_{k=0}^{n-1} \left\| f\left(\frac{k+1}{n}\right) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right\|$ tend vers $\int_0^1 \|f'(t)\| dt$ quand $n \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1206]
Pour
$n \in \N$
 on pose $I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)t)}{\sin t} dt$ et $J_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2(nt)}{\sin^2 t} dt$.

a) Montrer que toute fonction continue par morceaux sur [0, 1] est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier.
b) Justifier l'existence des intégrales puis calculer $I_{n+1} I_n$, $I_n$, $J_{n+1} J_n$ et $J_n$.
c) Soit $f:[0,\pi/2]\to\C$ continue par morceaux.

Montrer que
$$\int_{0}^{\pi/2} f(t) \sin^2(nt) dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} f(t) dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1207]
Soit $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

a) Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour un produit scalaire, ainsi que sa démonstration.
b) Montrer que si ff' a une limite (finie ou infinie) non nulle en $+\infty$, alors $f^2$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.
c) On suppose désormais que $f^2$ et $(f'')^2$ sont intégrables sur $\mathbb{R}$. Montrer que $(f')^2$ l'est aussi.
d) Montrer que $\left(\int_{\mathbb{D}} (f')^2\right)^2 \leqslant \left(\int_{\mathbb{D}} f^2\right) \left(\int_{\mathbb{D}} (f'')^2\right)$.
e) Montrer que $f$ est uniformément continue et tend vers 0 en $\pm \infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1208]
Pour une fonction $f: \N^* \to \mathbb{R}$ et un réel $s$, on note $Lf(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(n)}{n^s}$ lorsque la

série converge absolument. On pose $A(f) = \inf\{s \in \mathbb{R}, Lf(s) \text{ défini}\}$ avec la convention $\inf \emptyset = +\infty$.

a) Rappeler la définition de la borne inférieure d'une partie de $\mathbb{R}$.
b) Soit $s$ un réel tel que $s$ > A(f). Montrer que Lf(s) est défini.
c) Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\N^*$ dans $\C$ telles que $A(f) < +\infty$ et $A(g) < +\infty$. On suppose que $\forall s > \max(A(f), A(g)), \ Lf(s) = Lg(s)$. Montrer que $f$ = $g$.
d) Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\N^*$ dans $\mathbb{R}$ telles que $A(f) < +\infty$ et $A(g) < +\infty$. On pose $h(n) = \sum_{d|n} f(d) \, g(n/d)$. Montrer que $\forall s > \max(A(f), A(g)), \ Lh(s) = Lf(s)Lg(s)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1209]
On note $L^2(\mathbb{R}^+)$ l'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$, de carré intégrable.
a) Montrer que $(f,g)\mapsto \int_{\mathbb{D}^+}fg$ est un produit scalaire sur $L^2(\mathbb{R}^+)$.
b) Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
c) Montrer que $x \mapsto \frac{1}{x} \int_0^x f$ est prolongeable en une fonction continue $\psi$ sur $\mathbb{R}^+$.
d) Montrer que $\psi \in L^2(\mathbb{R}^+)$ et $\int_0^{+\infty} \psi^2 \leqslant 4 \int_0^{+\infty} \phi^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1210]
a) Énoncer les théorèmes de changement de variable et d'intégration par parties pour les intégrales généralisées.
b) Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré supérieur ou égal à 2. Montrer que $\int_0^{+\infty} \cos(P(t)) dt$ converge.
c) Montrer que $\int_0^{+\infty} \cos(t^2) dt$ n'est pas absolument convergente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1211]
a) Caractériser la convexité pour les fonctions dérivables sur un intervalle.
b) Soit $n \in \N$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que $\forall \theta \in \mathbb{R}, \sin((2n+1)\theta) = (\sin \theta)P_n(\sin^2 \theta)$.
c) Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, \ \sin(\pi x) = (2n+1)\sin\left(\frac{\pi x}{2n+1}\right) \prod_{k=1}^{n} \left(1 \frac{\sin^2(\pi x/(2n+1))}{\sin^2(k\pi/(2n+1))}\right)$.
d) Pour $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \N^*$, on pose $u_n(x) = \prod_{k=1}^n \left(1 \frac{x^2}{k^2}\right)$. Étudier la limite simple de la suite $(u_n)_{n \geq1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1212]
Pour tous $n \geq 1$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $K_n(x) = \sum_{k=-n}^n \left(1 \frac{|k|}{n}\right) e^{ikx}$.
a) Soient $q \in \C$ et $m, n \in \mathbb{Z}$ avec $m \leqslant n$. Calculer la somme $\sum_{k=0}^{n} q^{k}$. b) Pour tous $n \geq 1$ et $x \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}$, montrer que $K_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{j} e^{ikx} = \frac{1}{n} \left( \frac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \right)^2$.

c) Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \C)$ $2\pi$ -périodique. On pose, pour $k \in \mathbb{Z}$, $c_k = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t)e^{-ikt} dt$. Pour

$n \in \N$, soit $S_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \sum_{k=-n}^n c_k e^{ikx}$ et, pour $n \in \N^*$, soit $f_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} S_k(x)$.
i) Montrer que $f_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) K_n(x-t) dt$ pour tous $n \geq 1$ et $x \in \mathbb{R}$.
ii) Montrer que la suite $(f_n)_{n\geq 1}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1213]
Pour $n \geq1$, soit $f_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \frac{1}{n} \arctan\left(\frac{x}{n}\right)$. On pose $f = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$.
a) Montrer que $f$ est bien définie et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$. La convergence de $\sum f_n$ est-elle uniforme sur $\mathbb{R}^+$ ?
b) Montrer que $f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty$ et $f'(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$. c) Trouver un équivalent de f' en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1214]
Soit $(a_n) \in \mathbb{R}^{\N}$ telle que la série $\sum a_n$ converge. Soit $S\colon x \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{x}{n}\right)$.

On suppose que $S$ a une limite réelle $\ell$ en $+\infty$. On souhaite montrer que la suite $(a_n)$ est nulle.

 1.
    1. Énoncer l'inégalité de Taylor-Lagrangeqà un ordre quelconque.
    2. Montrer que $S$ est bien définie sur $\mathbb{R}$.
 2. On suppose dans cette question que la série $\sum a_n$ converge absolument et que $\ell=0$.
    - Montrer que $S$ est continue.
    - Soit $m \in \N^*$. On pose $I\colon T \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{1}{T} \int_0^T S(x) \cos\left(\frac{x}{m}\right) dx$.

      Montrer que $\lim_{T \to +\infty} I(T) = 0$.

    - Montrer que $a_m = 0$.
 3. Traiter le cas général.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1215]
On pose $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Pour $f \in E$, on pose $f_0 = f$ et $f_{n+1} : x \mapsto \int_{\mathbb{R}}^x t f_n(t) dt$ pour $n \in \N$.
a) Énoncer le théorème d'intégration terme à terme.
b) Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$ puis de la série $\sum f_n$ :
  - i) dans le cas où $f$ est constante, ii) dans le cas général.
c) Soit $T: f \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$. Montrer que $T$ définit un automorphisme de l'espace vectoriel $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1216]
a) Démontrer le théorème d'interversion série-intégrale sous convergence uniforme sur un segment

b) Soit $I: x \mapsto \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{2\sqrt{x}\sin(t)} dt$. Montrer que $I$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}^+$.
c) Donner un équivalent en $+\infty$ de $g: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{(n!)^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1217]
a) Énoncer le théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle quelconque.

b) Pour tout $n \in \N$, calculer l'intégrale $I_n = \int_0^{+\infty} t^n e^{-t^2} dt$.
c) Soit $L: x \in \mathbb{R} \mapsto \int_0^{+\infty} e^{tx} e^{-t^2} \mathrm{d}t$. Montrer que la fonction $L$ est développable en série entière au voisinageqde 0. Préciser la validité et les coefficients de ce développement. On admettra que $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2/2} \, \mathrm{d}t = \sqrt{2\pi}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1218]
Soit $(a_n)$ une suite réelle. Pour $n \in \N$, on note $A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$.
a) Donner la définition du produit de Cauchy de deux séries entières et donner une minoration de son rayon de convergence.
b) Montrer que, si le rayon de convergence de $\sum a_n x^n$ vaut 1, alors le rayon de convergence de $\sum A_n x^n$ vaut également 1. La réciproque est-elle vraie?
c) Montrer que les séries entières $\sum \frac{a_n}{n!} x^n$ et $\sum \frac{A_n}{n!} x^n$ ont même rayon de convergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1219]
a) Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière et le comportement pour |z| < $R$ et |z| > $R$.
b) Montrer que le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum \tan(n)z^n$ est inférieur ou égal à 1.
On admet qu'il existe $\mu > 2$ tel que, pour tous $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \N \setminus \{0,1\}, \left| \frac{1}{\pi} \frac{p}{a} \right| > \frac{1}{a^{\mu}}$.
c) Montrer que R=1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1220]
Soient $a \in \mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{R}$. Soit $(E_a)$ l'équation : $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = f(ax)$, d'inconnue $f$ dérivable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On note $S_{a,k}$ l'ensemble des solutions de $(E_a)$ qui vérifient en plus f(0) = $k$.
a) Déterminer $S_{1,k}$ et $S_{-1,k}$. Dans la suite, on suppose que |a| < 1.
b) Déterminer le rayon de convergence de $\sum_{n \geq 0} a^{\frac{n(n-1)}{2}} \frac{x^n}{n!}$. En déduire un élément de $S_{a,k}$.
c) Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Montrer que $f$ appartient à $S_{a,k}$ si et seulement si T(f) = $f$, où $T(f): x \mapsto k + \int_{-\infty}^{x} f(at) \, \mathrm{d}t$.
d) Montrer que $S_{a,k}$ est un singleton.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1221]
a) Rappeler la règle de d'Alembert.

En déduire que, pour tout $p \in \N$, $A_p = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p \binom{2n}{n}}$ est définie.

b) Soit $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}} x^{2n}$. Déterminer le rayon de convergence $R$ de $S$.
c) Montrer que, pour tout $x \in ]-R, R[, S(x) = \arcsin(x)^2$. Calculer $A_0, A_1, A_2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1222]
Pour $n \in \N$, on note $u_n$ la somme des chiffres de l'écriture binaire de $n$.

On pose $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} u_n x^n$.

a) Soit $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ continue et décroissante.

Montrer que $\sum f(n)$ et $\int_{0}^{+\infty} f(t)dt$ sont de même nature.

b) i) Donner le rayon de convergence $R$ de $\sum u_n x^n$.
ii) Donner une relation vérifiée par $S(x^2)$ et $S(x)$.
c) Exprimer $(1 - x)S(x)$ sous forme d'une somme, puis donner un équivalent de $S$ en $R^{-}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1223]
Une suite $u \in \C^{\N}$ est dite asymptotiquement périodique lorsqu'il existe des entiers

 $N \geq 0$ et $T \geq 1$ tels que $\forall n \geq N, \ u_{n+T} = u_n$.

a) Énoncer et démontrer le lemme d'Abel (sur les séries entières). b) Soit $a \in \C^{\N}$ asymptotiquement périodique. Déterminer le rayon de convergence $R$ de

 $\sum a_n z^n$ et montrer qu'il existe une fraction rationnelle $F \in \C(X)$ telle que

$\forall z \in D_o(0,R), \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n = F(z)$.
c) On définit une suite $b \in \mathbb{R}^{\N}$ par $b_0 = 1$, et $b_{2n+1} = -b_n$ et $b_{2n} = b_n$ pour tout $n \in \N$. Montrer que $b$ n'est pas asymptotiquement périodique.
$a^t 1$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1224]
Soient $f: t \mapsto \frac{e^t 1}{t}$ et $g: t \mapsto \frac{t}{e^t 1}$, prolongées continûment en 0.
a) Montrer que $f$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.
b) On admet que, si $h$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$ et que $h(0) \neq 0$, alors la fonction $x \mapsto \frac{1}{h(x)}$ est développable en série entière en 0.

Montrer l'existence et l'unicité d'une suite $(P_n)_{n\geq 0}\in \mathbb{R}[X]^{\N}$ telle que, pour un $\rho>0$,

$$\forall x \in \mathbb{R}, \forall t \in ]-\rho, \rho[\setminus\{0\}, \frac{t e^{xt}}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{P_n(x)}{n!} t^n.$$

c) Montrer le résultat admis.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1225]
Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^x}$.
a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.- b) Énoncer le théorème de convergence dominée; calculer les limites de $f$ aux bornes de $D$.
c) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ et étudier le signe de sa dérivée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1226]
Soit $f: x \in \mathbb{R}^{+*} \to \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t+x} dt$.
a) Rappeler le théorème de convergence dominée.
b) i) Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^{+*}$.
ii) Trouver la limite de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$.
c) Soit $n \in \N$.

Montrer l'existence de $a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}$ tels que $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{x^k} + o\left(\frac{1}{x^n}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1227]
On note $C = \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $S$ le sous-espace des fonctions continues nulles en dehors d'un segment.

Pour $f \in C$, $g \in S$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $\gamma(f,g)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(t)g(x-t) dt$.

a) i) Énoncer le théorème de dérivation sous le signe intégrale.
ii) On suppose $g$ de classe $C^1$. Montrer que $\gamma(f,g)$ est dérivable et exprimer sa dérivée en fonction de $f$,g et $\gamma$.
b) Soit $\phi \in S$ telle que $\int_{\mathbb{R}} \phi = 1$. On pose, pour tous $n \in \N^*$ et $x \in \mathbb{R}$, $\phi_n(x) = n\phi(nx)$.
Soit $f \in C$. Montrer que la suite $(\gamma(f, \phi_n))$ converge simplement vers $f$. c) Soit $f \in C$. Pour tous $x, \tau \in \mathbb{R}$, on pose $f_{\tau}(x) = f(x - \tau)$. On suppose que l'espace $\text{Vect}(f_{\tau}, \tau \in \mathbb{R})$ est de dimension finie. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$.

On admettra que, si $(f_1, \ldots, f_n)$ est une famille libre de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, il existe $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ tel que la matrice $(f_i(x_i))_{1 \le i, j \le n}$ soit inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1228]
a) Énoncer le théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires scalaires d'ordre $n$.
On note (E) l'équation différentielle xy'' + y' + xy = 0.
b) Montrer que $F: x \mapsto \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos(x \sin(t)) dt$ est solution de (E).
c) Montrer que (E) admet une unique solution $J$ développable en série entière au voisinageqde 0 et telle que J(0) = 1.
d) Montrer, pour tout réel p>1, que $\widehat{J}(p)=\int_0^{+\infty}J(t)\,e^{-pt}\,\mathrm{d}t$ est bien définie, et en donner une expression plus explicite.
e) Justifier qu'il existe une infinité de solutions de (E) sur $\mathbb{R}^{+*}$ non développables en série entière au voisinageqde 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1229]
Soient $\nu \in \mathbb{R}$ et $(E): x^2y''(x) + xy'(x) + (x^2 \nu^2)y(x) = 0$.
a) Énoncer et démontrer le théorème d'intégration des relations de comparaison.
b) Montrer l'existence d'une fonction $\ell: ]0,1[ \to \mathbb{R}^{+*}$ deux fois dérivable telle que y est solution de (E) sur ]0,1[ si, et seulement si la fonction $z=\ell y$ est solution d'une équation différentielle du type $z''(x)+\alpha(x)z(x)=0$.- c) Résoudre l'équation (E) sur [0, 1[.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1230]
Soit $q \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ paire et $\pi$ -périodique. Soit (E): y'' + qy = 0.
a) Montrer que l'ensemble $S$ des solutions de (E) est un espace vectoriel et préciser sa dimension.
b) Pour $y \in S$, on note $\phi(y) : x \mapsto y(x+\pi)$. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $S$.
c) Soit $\mathcal{B}=(y_1,y_2)$ la base de $S$ formée des solutions vérifiant $y_1(0)=1,\,y_1'(0)=0$,

$y_2(0)=0$
 et $y_2'(0)=1$. Montrer que $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\phi)=\left( \begin{array}{cc} y_1(\pi) & y_2(\pi) \\ y_1'(\pi) & y_2'(\pi) \end{array} \right)$.

d) Étudier la parité de $y_1$ et $y_2$.
e) Montrer que $\det A = 1$.
f) Montrer que $A^{-1}=\begin{pmatrix} y_1(-\pi) & y_2(-\pi) \\ y_1'(-\pi) & y_2'(-\pi) \end{pmatrix}$ puis que $A+A^{-1}=(\operatorname{tr} A)I_2$. En déduire que $y_1(\pi)=y_2'(\pi)$. Montrer que $\chi_A$ est de la forme $X^2-2aX+1$ pour un certain réel a.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1231]
Soit $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\C$.

On munit l'espace $\mathcal{M}_d(\mathbb{K})$ de la norme définie par $N(A) = \sup_{j \in \db{1\,d}} \sum_{i=1}^a |a_{i,j}|$.

a) Montrer que $N(AB) \leq N(A)N(B)$ pour tous $A, B \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K})$
b) On fixe $k \in \N$. Montrer que l'application $R_k : A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K}) \mapsto A^k \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K})$ est différentiable, et calculer sa différentielle.
c) Soit $A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K})$. Montrer que l'application $\phi : t \in \mathbb{R} \mapsto \chi_{tA} \in \mathbb{R}_d[X]$ est dérivable, et calculer sa dérivée.
d) Soient $A, B \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K})$. Montrer que l'application $\psi : t \in \mathbb{R} \mapsto \chi_{tA}(B) \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K})$ est dérivable, et calculer sa dérivée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1232]
a) i) Énoncer le théorème spectral.
ii) Définir l'ensemble $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et montrer l'équivalence avec la positivité du spectre. b) On fixe $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et on pose $\phi : U \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \mapsto \operatorname{tr}(M^T U)$. Montrer que $\phi$ admet un maximum, atteint en une matrice $U_0 \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$.
c) i) On fixe $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ et on pose $\psi : t \in \mathbb{R} \mapsto \phi(\exp(tA)U_0)$.

Montrer que $\psi$ est bien définie, continue, et dérivable en 0. Donner deux expressions de $\psi'(0)$.

ii) Conclure sur la nature du maximum de $\phi$ en $U_0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1233]
Soient $U$ un ouvert non vide d'un espace normé $E$ de dimension finie et [a,b] un segment inclus dans $U$ avec $a \neq b$.
a) Soit $f: U \to \mathbb{R}$ différentiable.
Montrer qu'il existe $c \in [a, b]$ tel que f(b) f(a) = df(c)(b a).
b) Soit $f: U \to F$ où $F$ est un espace euclidien. On suppose $f$ différentiable sur $U$ et df bornée sur $U$. Montrer que $||f(b) - f(a)|| \leq \sup ||df(x)||_{op} ||b - a||$.
c) Montrer que l'inégalité est encore vérifiée si $F$ est un espace vectoriel normé de dimension finie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1234]
a) Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec a < $b$ et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ continue.

Montrer que
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{b-a}{n} f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_{a}^{b} f(t) dt.$$

b) On suppose que $n \in \N^*$ candidats se présentent à un poste de secrétaire. Le recruteur les rencontrent successivement et pour chacun, il doit décider s'il l'engageqou pas. Si oui, il termine le processus de recrutement sans voir les candidats suivants. Sinon, le candidat est définitivement éliminé.

La valeur de chaque candidat correspond à un score et on note $s_1 < \cdots < s_n$ la liste croissante des scores obtenus. On note $\sigma \in \mathcal{S}_n$ une permutation aléatoire telle que le candidat qui passe devant le recruteur en position numéro $j$ a obtenu le score $s_{\sigma(j)}$ pour tout $j \in [1, n]$.

i) Déterminer la loi de $S_j$, variable aléatoire du score du $j^{\text{ème}}$ candidat.
ii) Déterminer la loi de $R_j$, variable aléatoire du rang du meilleur candidat parmi les $j$ premiers.
c) On choisit la stratégie de refuser les $m_n$ premiers candidats, et de choisir le premier candidat dont le score est supérieur à l'un des scores précédemment rencontrés.
  - i) Soit $p_n$ la probabilité d'embaucher le meilleur candidat.

Montrer que $p_n = \frac{m_n}{n} \sum_{j=m_n+1}^n \frac{1}{j-1}$.

ii) On suppose que  $\frac{m_n}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} x \in \mathbb{R}$. Montrer que $p_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} x \int_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{t}$.

Optimiser alors $x$ pour maximiser la probabilité de recruter le meilleur candidat.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1235]
On suppose que $N\geq 2$ candidats passent un concours. Pour $k\in \db{1,N}$, $X_k$ est le nombre de tentatives du candidat numéro $k$ pour réussir le concours. On suppose que $X_1,\ldots,X_N$ sont indépendantes et suivent la loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. On pose $S_N=X_1+\cdots+X_N$ le nombre total de tentatives, et $Y_N=\max(X_1,\ldots,X_N)$ le nombre maximal de tentatives.
a) Rappeler la définition d'une loi géométrique, ainsi que ses espérance et variance. Donner l'espérance et la variance de $S_N$, ainsi que la fonction génératrice de $X_1$.
b) Donner les lois de $S_N$ et $Y_N$.
c) i) Montrer que $Y_N$ est d'espérance finie, puis que $\mathbf{E}(Y_N) = \sum_{k=1}^N \binom{N}{k} \frac{(-1)^{k-1}}{1-q^k}$.
  - ii) En utilisant $f(x) = \sum_{k=1}^{n} x^k (1-x)^k$, donner un équivalent de $\mathbf{E}(Y_N)$ quand $N \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1236]
Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $(v_1, \ldots, v_n)$ une famille de vecteurs unitaires de $E$, et $(X_1, \ldots, X_n)$ une famille de variables aléatoires $i$.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$.
a) Que dire d'une variable aléatoire réelle, positive et d'espérance nulle?- b) On pose $U = \sum_{i=1}^{n} X_i v_i$. Calculer $\mathbf{E}(||U||^2)$.
c) Montrer l'équivalence des énoncés suivants :
i) il existe $\eps_1, \dots, \eps_n \in \{\pm 1\}$ tels que $\left\| \sum_{i=1}^n \eps_i v_i \right\| < \sqrt{n}$, ii) il existe $\eps_1, \ldots, \eps_n \in \{\pm 1\}$ tels que $\left\| \sum_{i=1}^n \eps_i v_i \right\| > \sqrt{n}$.
d) À quelle condition ces énoncés sont-ils réalisés?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1237]
Soient $X$ une variable aléatoire suivant $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ et $\phi_X : t \mapsto \mathbf{E}(e^{itX})$. a) Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer. Calculer $\phi_X(t)$ pour $t \in \mathbb{R}$.
b) Montrer que $\int_{-\kappa}^{\kappa} \exp(k(e^{it} 1 it)) dt = 2\pi \frac{k^k}{k!} e^{-k}$ pour tout $k \in \N$. c) Retrouver la formule de Stirling. On admettra que $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2/2} dt = \sqrt{2\pi}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1238]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de Poisson de
paramètre $\lambda > 0$. On pose, pour tout $n \in \N^*$, $S_n = \sum_{i=1}^n X_k$. a) Calculer la fonction génératrice associée à une loi de Poisson.
b) Montrer que $S_n \sim \mathcal{P}(n\lambda)$.
c) Montrer que, pour tout $\eps > 0$, $\mathbf{P}(|S_n n\lambda| \geq n\eps) \le \frac{\lambda}{n\eps^2}$.
$\textit{\textbf{d}}) \ \ \text{Soit} \ x > 0. \ \ \text{Montrer que} \ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{\lfloor nx \rfloor} e^{-\lambda n} \frac{(n\lambda)^k}{k!} = \begin{cases} 0 \ \text{si} \ 0 < x < \lambda, \\ 1 \ \text{si} \ x > \lambda. \end{cases}$
e) Si $f:\mathbb{R}^+ \to \C$ est une fonction continue et nulle en dehors d'un segment, on pose

$$\mathcal{L}(f): x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \int_0^{+\infty} f(t)e^{-xt} dt.$$

Montrer que, pour tout $x \geq 0$, $\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{\lfloor nx \rfloor} (-1)^k \frac{n^k}{k!} \mathcal{L}(f)^{(k)}(n) = \int_0^x f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1239]
On pose $\phi(x) = -x \ln(x)$ pour $x \in [0,1]$ et $\phi(0) = 0$. Pour $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$, on pose, sous réserve d'existence, $H(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(p_x)$
où $p_x = \mathbf{P}(X = x)$. a) i) Rappeler la définition de l'espérance d'une variable aléatoire réelle discrète. Donner également le rayon de convergence et la valeur de la somme des séries entières $\sum x^n$ et $\sum nx^{n-1}$.
ii) On suppose que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p \in [0, 1[$. Justifier la finitude de H(X) et calculer sa valeur.
b) On suppose que $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\N$.- i) Pour $x \in ]0,1]$, on pose $\psi(x) = \sqrt{x} \ln^2(x)$. Étudier la fonction $\psi$ et en déduire que, si $X$ est d'espérance finie, alors H(X) est finie.
  - ii) Que dire si $\mathbf{E}(X) = +\infty$ ?
c) Soit $Z$ = (X, Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{R}^2$ Montrer que si H(X), H(Y) et H(Z) existent, alors $H(Z) \leq H(X) + H(Y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1240]
On se place sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$. Soient $X$ une variable aléatoire dis-
crète et $A$ un événement non négligeable. On pose $\mathbf{E}(X \mid A) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \, \mathbf{P}(X = x \mid A)$.
a) Montrer que, si $X \in L^1$ et si $A$ est un événement non négligeable, alors $\mathbf{E}(X \mid A)$ est bien définie.
b) Soient $(A_n)_{n\geq 0}$ un système complet d'événements et $(a_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^{\N}$. On pose S= $\sum a_n \, \mathbf{1}_{A_n}$. Montrer que $S$ est une variable aléatoire et que $S$ admet une espérance si et
seulement si $\sum |a_n| \mathbf{P}(A_n)$ converge.
c) On suppose $X \in L^1$. On suppose que, pour tout $y \in Y(\Omega)$, $\mathbf{P}(Y=y) > 0$ et on pose $\mathbf{E}(X|Y) = \sum_{y \in Y(\Omega)} \mathbf{E}(X|Y=y) \mathbf{1}_{Y=y}. \text{ Montrer que } \mathbf{E}(\mathbf{E}(X|Y)) = \mathbf{E}(X)$.
d) On suppose que $X$ et $Y$ sont dans $L^2$, que $\mathbf{E}(X \mid Y) = Y$ et $\mathbf{E}(Y \mid X) = X$. Montrer que
$X$ = $Y$ presque sûrement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1241]
a) Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. Montrer : $\mathbf{E}(X) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbf{P}(X \geq n)$.
b) Soit $(X_k)$ une suite $i$.i.d. de variables de Poisson de paramètre $\lambda > 0$. On pose $N = \inf\{k \in \N^*, X_k > X_0\} \in [1, +\infty]$. Montrer que $N$ est une variable aléatoire.
c) L'espérance de $N$ est-elle finie?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1242]
Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $(a, b) \in \mathbb{R}^2$.
a) Montrer que si $X \in L^2$ alors $aX + b \in L^2$, et exprimer $\mathbf{V}(aX + b)$ en fonction de $\mathbf{V}(X)$. b) Montrer que, si $K(X) = \frac{\mathbf{E}((X \mathbf{E}(X))^4)}{\mathbf{V}(X)^2} 3$ existe alors, pour tout $(a, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$,
il en est de même pour K(aX + b), et l'exprimer en fonction de K(X).
c) Montrer l'équivalence entre les conditions suivantes :
i) il existe un réel $\delta > 0$ tel que $\forall t \in ]-\delta, \delta[, e^{tX} \in L^1$,
 ii) $\forall n \in \N, X^n \in L^1 \text{ et } \sum_{n \in \N} \frac{\mathbf{E}(X^n)}{n!} t^n \text{ a un rayon de convergence non nul.}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1243]
Soit $m \in \N^*$. On munit $\mathbb{R}^m$ de sa structure euclidienne habituelle. On note $S$ sa sphère unité. Pour une famille $e=(e_i)_{i\in I}$ d'éléments de $S$ (éventuellement infinie), on note $Coh(e) = \sup_{(i,j) \in I^2} |\langle e_i, e_j \rangle|$.
a) Rappeler sans démonstration l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
b) Soit $e \in S^I$. Que signifie l'égalité Coh(e) = 0?c) Soit $e \in S^I$ telle que Coh(e) < 1. Montrer que $I$ est fini.

Pour $t \in \mathbb{R}$, montrer que $\mathbf{E}(e^{t\langle X,Y\rangle}) \leq e^{t^2/2m}$.

d) Soit $Z$ une variable aléatoire réelle bornée. Montrer que $e^{tZ} \in L^1$ pour tout réel $t$.
d) Soient $X = (X_1, \dots, X_n)$ et $Y = (Y_1, \dots, Y_n)$ deux vecteurs aléatoires indépendants à

valeurs dans $S$, tels que pour tout $i \in [1, m]$ les variables $\sqrt{n}X_i$ et $\sqrt{n}Y_i$ soient de Rademacher (i.e., suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ ), et $X_1,\ldots,X_n$ soient indépendantes d'une

part, $Y_1, \ldots, Y_n$ indépendantes d'autre part.
e) Soit $\eps > 0$. Démontrer qu'il existe un ensemble fini $I$ de cardinal $\lfloor e^{m\eps^2/4} \rfloor$ et une famille $e \in S^I$ telle que $Coh(e) < \eps$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1244]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $n \in \N^*$, on note $S_n = X_1 + \cdots + X_n$.
a) Montrer, à l'aide d'une comparaison série-intégrale, que la série $\sum \frac{1}{n \ln^4(n)}$ converge.
b) i) Montrer que, pour tout a > 0, $\mathbf{P}(|S_n| \geq a) \leqslant \frac{3n^2}{a^4}$.
$ii) \ \ \text{On pose } A = \bigcup_{n=1}^{+\infty} \bigcap_{m=n}^{+\infty} \left( |S_m| < m^{\frac{3}{4}} \ln(m) \right). \ \text{Montrer que } \mathbf{P}(A) = 1$.
c) Montrer que la suite $\left(\frac{S_n}{n^{3/4}\ln(n)}\right)$ converge presque sûrement vers 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1245]
a) Pour $n \in \N^*$, donner la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme $T^n-1$ dans $\mathbb{R}[T]$ puis $\C[T]$.
b) Soient $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\N$. Rappeler pourquoi $G_{X+Y} = G_X G_Y$.
c) Soit un entier $p \geq2$. Sous les hypothèses précédentes, montrer que $X$ + $Y$ ne peut pas suivre la loi uniforme sur [2, 2p] sachant que $X$ et $Y$ prennent toutes les valeurs dans [1, p]avec probabilité non nulle.
#+end_exercice


* Centrale - PSI

** Algèbre

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1246]
Soit, pour $n \geq2$, $P_n = X^n X + 1$.
a) Montrer que $P_n$ admet au plus une racine réelle; localiser cette racine dans un intervalle de longueur 1.
b) Déterminer les racines de $P'_n$ en utilisant les racines $n$-ièmes de l'unité.
c) Pour n=3, $P_3(X)=X^3-X+1$. On note $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ les racines de $P_3$. Calculer $\begin{vmatrix} 1 + \eta_1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \eta_2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \eta_3 \end{vmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1247]
Soient $n \geq1$, $a, b \in \mathbb{R}$ tels que a < $b$. On cherche à prouver l'existence et l'unicité de $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$ tel que (1):$$\forall P \in \mathbb{R}_n[X], \int_a^b P(x) dx = \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^n \alpha_k P\left(a + k \frac{b-a}{n}\right).$$

a) On suppose l'existence de $(\alpha_0, \dots, \alpha_n)$. Montrer que (1) est équivalent à (2)

$$\forall Q \in \mathbb{R}_n[X], \ \int_0^n Q(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^n \alpha_k Q(k).$$

En déduire que les $\alpha_k$ sont indépendants de (a, b).

c) Pour $i \in [0,n]$, soit $B_i = \prod_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \neq i}} (X-k)$. Montrer que $(B_0,\ldots,B_n)$ est une base de

 $\mathbb{R}_n[X]$. Montrer l'existence et l'unicité de $(\alpha_0, \ldots, \alpha_n)$.

d) Montrer que $\forall i \in [0, n], \alpha_i = \alpha_{n-i}$.
e) Calculer les $\alpha_i$ pour n=1, 2 et 3.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1248]
Soit $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

a) Déterminer $\ker(M)$, $\operatorname{Im}(M)$, $\ker(M^2)$, $\operatorname{Im}(M^2)$. Ces deux derniers espaces sont-ils supplémentaires?

Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$.

On pose $N(u) = \bigcup_{k \in \N} \ker(u^k)$ et $C(u) = \bigcap_{k \in \N} \operatorname{Im}(u^k)$.

b) Montrer que N(u) et C(u) sont des sous-espaces et supplémentaires, stables par $u$, que l'endomorphisme induit par $u$ sur C(u) est un automorphisme, et que celui induit sur N(u) est nilpotent.
c) Démontrer qu'il existe $p$ dans $\N$ tel que $N(u) = \ker(u^p)$ et $C(u) = \operatorname{Im}(u^p)$.
d) Réciproquement, soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$ stables par $u$ tels que $u$ induise un automorphisme de $F$ et un endomorphisme nilpotent de $G$. Montrer que $F$ = C(u) et $G$ = N(u).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1249]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et $f, g \in \mathcal{L}(E)$ tels que $f^2 = g^2 = \mathrm{id}$ et $f \circ g + g \circ f = 0$. On note $A_f = \mathrm{Ker}(f - \mathrm{id})$, $B_f = \mathrm{Ker}(f + \mathrm{id})$, $A_g = \mathrm{Ker}(g - \mathrm{id})$, $B_g = \mathrm{Ker}(g + \mathrm{id})$.

$B_g = \text{Ker}(g + \text{id})$. a) Démontrer que $g(A_f) = B_f$ et $g(B_f) = A_f$.
b) En déduire que la dimension de $E$ est paire.
c) Montrer qu'il existe une base $\mathcal{E}$ de $E$ telle que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{E}}(f) = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & -I_n \end{pmatrix}$, $\mathrm{Mat}_{\mathcal{E}}(g) = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ I_n & 0 \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1250]
a) Montrer que : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\C), \operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$.
b) Soit $f \in \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\C), \mathcal{M}_p(\C))$ telle que : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\C), f(AB) = f(A) f(B)$. Soit $\phi : M \in \mathcal{M}_n(\C) \mapsto \operatorname{Tr}(f(M))$. Montrer : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\C), \phi(AB) = \phi(BA)$
c) En déduire qu'il existe $\alpha \in \C$ tel que : $\forall M \in \mathcal{M}_n(\C), \operatorname{Tr}(f(M)) = \alpha \operatorname{Tr}(M)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1251]
Pour tout
$k \in \N^*$
, on note $J_k$ la matrice $\begin{pmatrix} 0 & & (0) \\ 1 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots \\ & & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_k(\mathbb{R})$.

Si $M$ est une matrice nilpotente de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on appelle indice de nilpotence de $M$ le plus petit entier $p \in \N^*$ tel que $M^p = 0$.

a) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ nilpotente d'indice $n$. Montrer que $M$ est semblable à $J_n$.
b) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ nilpotente d'indice $p$. Montrer que $p \leq n$. c) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ nilpotente d'indice 2 et de rang $r \in \{1, \dots, n-1\}$. Montrer que $M$ est semblable à diag $(J_2, \ldots, J_2, 0_{n-r})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1252]
a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $\chi_A = X^n$.
b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. On suppose $A$ semblable à 2A. Que peut-on dire de $\chi_A$ ? Montrer que $A$ est nilpotente.
c) On pose $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Montrer que $A$ est semblable à 2A.

  d) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $A^{n-1} \neq 0$ et $A^n = 0$. Montrer que $A$ est semblable à 2A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1253]
Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension $n \in \N^*$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ nilpotent. Soit $p \in \N^*$ tel que $u^p = 0$.
a) Montrer que $Sp(u) = \{0\}$.
b) Soit $v = \sum_{k=0}^{p-1} u^k$. Montrer que $v$ est un automorphisme et trouver $v^{-1}$.
c) Montrer que Ker(v id) = Ker(u).
d) Trouver le spectre de $v$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1254]
Soient $n \geq2$ et $E = \mathbb{R}_n[X]$.
a) Rappeler la formule de Taylor pour $P \in E$ et $a \in \mathbb{R}$ ; la démontrer dans le cas a = 0.
b) Soit $P \in E$.

Montrer qu'il existe un unique $Q \in E$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}$, $(x-1)Q(x) = \int_{1}^{x} P(t) dt$.

c) On note $f$ l'application qui à $P$ associe $Q$. Montrer que $f$ est un endomorphisme de Ediagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1255]
Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ tel que $ab(a-b) \neq 0$. Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $n \geq3$ et $f, u, v \in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $f$ = au + bv, $f^2 = a^2u + b^2v$, $f^3 = a^3u + b^3v$.
a) Donner un exemple d'endomorphisme $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ diagonalisable et non nul vérifiant ces
conditions.
b) On revient au cas général. Montrer que $f$ est diagonalisable. c) Montrer que $u$ et $v$ sont des projecteurs qui commutent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1256]
Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$.

On note $\Phi$ l'endomorphisme de $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ défini par $\forall M \in \mathcal{S}_2(\mathbb{R})$, $\Phi(M) = AM + (AM)^T$.a) Donner la matrice représentative de $\Phi$ dans la base de $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ constituée des matrices

a) Donner la matrice représentative de
$\Phi$
 dans la base de $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ constituée des matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$.

b) Montrer que $\chi_{\Phi}(X) = 4(X - (a+d))\chi_{A}(X/2)$.

c) Supposons $\Phi$ diagonalisable. La matrice $A$ est-elle diagonalisable? d) Supposons $A$ diagonalisable. L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1257]
Soit
$$T = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}$$
 avec $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$.

a) Pour tout $n \in \N$, donner l'expression de $T^n$.

b) Soit $E_n(T) = \sum_{k=0}^n \frac{T^k}{k!}$. Est-ce que $E_n(T)$ converge? On note $E(T)$ sa limite. Calculer

E(T). Les valeurs propres de E(T) et $T$ peuvent-elles être égales?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1258]
Soient
$I = [0, \pi/2]$
 et $E = \mathcal{C}^0(I, \mathbb{R})$ muni du produit scalaire $\langle f, g \rangle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) g(t) dt$.

Si
$f \in E$
, on pose $A(f): x \in I \mapsto \int_0^x f(t) dt$ et $B(f): x \in I \mapsto \int_x^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt$.

a) Montrer que, pour tous $f$ et $g$ de $E$, $\langle A(f), g \rangle = \langle f, B(g) \rangle$. En déduire que les valeurs propres réelles de $B \circ A$ sont positives.

b) Montrer que, si
$f \in E$
, alors $\forall x \in I$, $A(f)(x)^2 \le x \int_0^x f(t)^2 dt$.

c) Montrer que, si $f \in E$, $||A(f)|| \le \frac{1}{\sqrt{2}}||f||$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1259]
Soit $A = (a_1, \dots, a_n)^T \in \mathbb{K}^n \setminus \{0\}$. On pose $M = AA^T$.

a) Calculer le rang de $M$ et montrer que $M$ est symétrique.

b) Si
$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$
, montrer que $M \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$.

c) Soit $M \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ de rang 1. Montrer qu'il existe $A \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ tel que $M = AA^T$.

$$\int Solitiff = O_n \text{ (as) de rang 1. Institute of a resister } T \in \mathbb{R}^n \text{ (b) tell que } M = 1.11$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1260]
On note $V_1$ l'ensemble des matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $\operatorname{Sp}_{\C}(M) = \{1\}$. a) Donner un exemple de matrice $M \in V_1$ différente de l'identité.

Soit $M \in V_1$. Montrer que $(M - I_n)^n = 0$.

Soit $M \in V_1$. Montrer que $(M - I_n)^n = 0$. b) Cas $n$ = 4.

Donner un exemple de matrice
$A \in V_1$
 telle que $(A - I_n)^2 \neq 0$ et $(A - I_n)^3 = 0$.

c) Déterminer $V_1 \cap \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.

d) Déterminer
$$V_1 \cap \mathcal{O}_3(\mathbb{R})$$
 et, plus généralement, $V_1 \cap \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1261]
a) Rappeler l'algorithme de Gram-Schmidt en le justifiant.

b) Soit $A \in GL_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe un couple $(U,T) \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \times \mathcal{T}_n^+(\mathbb{R})$ tel que $A = UT$.

c) Montrer que ce couple est unique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1262]
On identifie $\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ et $\mathbb{R}^2$. On munit $\mathbb{R}^2$ de sa structure euclidienne canonique. On pose $\mathcal{C}=\{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\,;\,\forall X\in\mathbb{R}^2,\;\|AX\|\leqslant\|X\|\}$. On dit que $A\in\mathcal{C}$ est un point extrémal de $\mathcal{C}$ lorsque $\forall B_1,B_2\in\mathcal{C},A=\frac{1}{2}B_1+\frac{1}{2}B_2\ \Rightarrow\ A=B_1=B_2$.

a) Montrer $\mathcal{O}_2(\mathbb{R}) \subset \mathcal{C}$.
b) i) Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $R \in SO_2(\mathbb{R})$ telle que $AR \in \mathcal{S}_2(\mathbb{R})$.
  - ii) En déduire qu'il existe $\Omega_1, \Omega_2 \in \mathcal{O}_2(\mathbb{R})$ et $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ tels que $\Omega_1 A \Omega_2 = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$.
  - iii) On suppose $A \in \mathcal{C}$. Montrer que a et $b$ appartiennent à [-1, 1].
c) Montrer que l'ensemble des points extrémaux de $\mathcal{C}$ est $\mathcal{O}_2(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1263]
a) Soient $M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\lambda \in \C$ une valeur propre de $M$. Montrer que $\lambda \in \mathbb{R}$. *Ind.* Considérer $\bar{Z}^TMZ$, où $Z$ est un vecteur propre associé à $\lambda$.

b) Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n-1 \\ 1 & \cdots & n-1 & n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

i) Calculer tr(A) et $tr(A^2)$.
ii) Donner les valeurs propres et vecteurs propres de A.
#+end_exercice


** Analyse

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1264]
On s'intéresse aux suites $(U_n)$ où $U_0$ et $U_1$ sont positifs et vérifient, pour tout $n \in \N$,
$U_{n+2} = \frac{1}{2} \left( U_{n+1}^2 + U_n^2 \right)$
a) Déterminer l'éventuelle limite de $(U_n)$. Montrer que, si trois termes consécutifs sont égaux, alors la suite $(U_n)$ est constante.
b) Calculer les premiers termes de la suite $(U_n)$ pour différentes valeurs de $U_0$ et $U_1$. Que peut-on en déduire? Pour les suites telles que $U_n \to +\infty$, s'intéresser à la suite définie par $V_n = \frac{1}{2n} \ln \left( \frac{U_n}{2} \right)$.
c) Comparer les signes de $U_{n+1} U_n$ et $U_n U_{n-2}$.
d) On suppose désormais $(U_n)_{n\in\N}$ non constante. Montrer que, s'il existe $n_0$ tel que $U_{n_0+1}\geq U_{n_0}$ et $U_{n_0+1}\geq U_{n_0-1}$, alors la suite $(U_n)_{n\geq n_0+1}$ est strictement croissante.

On admet que, s'il existe $n \in \N$ tel que $U_{n+1} \leq U_n$ et $U_{n+1} \leq U_{n-1}$, alors la suite $(U_n)$ est strictement décroissante.

e) Supposons que, quel que soit $N \in \N$, la suite $(U_n)_{n\geq N}$ ne soit pas strictement monotone. Montrer que $U_0 \neq U_1$ et que, si $U_0 < U_1$, alors $U_0 < U_2 < U_3 < U_1$ (vérifier si l'inégalité est stricte ou non). En déduire que la suite $(U_n)$ converge vers 1.
f) Établir, pour une suite $(U_n)_{n\geq 0}$ non constante appartenant à $S$, l'équivalence des propriétés suivantes :
il existe un entier $N \geq 0$ tel que $U_N \geq 1$ et $U_{N+1} \geq 1$,
la suite $(U_n)_{n\geq 0}$ est strictement croissante à partir d'un certain rang,
la suite $(U_n)_{n\geq 0}$ tend vers $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1265]
On note $\mathcal C$ l'ensemble des suites à valeurs dans $\mathbb N\setminus\{0,1\}$. Si $\forall k=(k_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal C$, soit $\Phi(k)$ la suite de terme général $\Phi(k)_n=\frac1{k_0}+\frac1{k_0k_1}+\ldots+\frac1{k_0k_1\ldots k_n}$.

a) Étudier la convergence de $\Phi(k)$ dans les cas suivants :
   - k est une suite constante,
   - $\forall n \in \N, \ k_n = n+2$
   - $\forall n \in \N, \ k_n = 2n + 2$.
b) Si $k \in \mathcal{C}$, montrer que la suite $\Phi(k)$ converge vers une limite $\ell \in ]0,1]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1266]
Soit, pour $n \in \N$, $a_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n(t) dt$.
a) Trouver une relation entre $a_{n+1}$ et $a_{n-1}$.
b) Montrer de deux manières différentes que la suite $(a_n)$ converge.
c) i) Montrer que $a_n = \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$.
ii) Soient $\alpha \in \mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}$. Pour $n \in \N^*$, on pose $u_n = \frac{a_n}{n^{\alpha}} x^n$. Discuter en fonction de $x$ et $\alpha$ la nature de $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1267]
Soit $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$, une fonction continue telle qu'il existe une suite de réels $(a_k)_{k \in \N}$ telle que, quand $x$ tend vers $+\infty$, $f(x) = a_0 + \frac{a_1}{x} + \frac{a_2}{x^2} + \cdots + \frac{a_k}{x^k} + o\left(\frac{1}{x^k}\right)$.
a) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f(n)$ converge.
b) On suppose que $f$ ne s'annule pas sur $\N^*$. On pose, pour $n \in \N^*$, $p_n = \prod_{k=1}^n f(k)$. À quelle condition $(p_n)_{n \in \N}$ est-elle convergente?
c) On pose, pour $n \in \N^*$, $g_n = \prod_{k=1}^n \left(1 e^{-\frac{\alpha}{k}}\right)$. À quelle condition sur $\alpha$ la suite $(g_n)_{n \in \N}$ est-elle convergente?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1268]
Soit $g: x \in \mathbb{R} \mapsto x x^2$.
a) Déterminer le plus grand intervalle $I$ contenant 0 tel que $g|_I$ soit injective.
b) On pose $J$ = g(I) et $f$ la réciproque de $g|_{I}$. Déterminer l'expression de $f$.
c) Montrer que $f$ admet un développement en série entière au voisinageqde 0 et l'expliciter.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1269]
Soit $f \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})$ telle que f(0) < 0, f(1) > 0, f'(0) > 0. On suppose que $\forall x \in [0,1], f''(x) > 0$.
a) Montrer que $f$ admet un unique zéro sur [0,1]. On notera $z$ ce zéro.
b) Soit $a \in ]z,1]$. Montrer que la tangente à la courbe de $f$ en (a,f(a)) coupe l'axe des abscisses en un unique point appartenant à ]z,a[.
c) Soit $(x_n)$ la suite définie par $x_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N$, $x_{n+1}$ est l'abscisse du point d'intersection entre la tangente en $(x_n, f(x_n))$ et l'axe des abscisses. Montrer que $x_n \to z$.
d) On pose $M_2 = \sup_{x \in [0,1]} |f''(x)|$. Prouver $\forall n \in \N, 0 \leqslant x_{n+1} z \leqslant \frac{M_2}{2f'(0)} (x_n z)^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1270]
Soient $m \in \N$, $a_0, \ldots, a_m \in \mathbb{R}$, $P = a_0 + a_1 X + \ldots + a_m X^m$.

a) Expliciter $(P(X))^2$ et en déduire que $\sum_{0 \leqslant p,q \leqslant m} \frac{a_p a_q}{p+q+1} \geq 0$.
 b) Exprimer $\int_{-\pi}^{\pi} |P(e^{it})|^2 dt$ en fonction de $a_k$.
  - c) Si $Q \in \C[X]$, montrer que $\int_{-1}^{1} Q(x) dx = -i \int_{-\pi}^{\pi} Q(e^{it}) e^{it} dt$.
d) En déduire que $\sum_{0 \le p, q \le m} \frac{a_p a_q}{p+q+1} \le \pi \sum_{k=0}^m a_k^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1271]
a) Soit $f: x \mapsto \frac{e^x}{1 + e^{4x} \sin^2(x)}$. Montrer que $f$ ne s'annule pas, n'a pas de limite en
$+\infty$ et n'est pas bornée. b) Pour a>0, on pose $J(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{1+a^2\sin^2(x)}$. Calculer J(a) à l'aide du changement
de variable $u = \tan(x)$, puis montrer que $\int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}x}{1 + a^2 \sin^2(x)} = 2J(a)$. c) Quelle est la nature de l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} f$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1272]
a) Existence et calcul de $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + x^2 + t^2}$ pour $x \geq 0$. b) Calculer $I_n = \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}t}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}$. Ind. Poser $u = \frac{1}{\tan(t)}$.
c) Nature suivant $\alpha > 0$ de l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{1 + t\alpha \sin^2 t}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1273]
Pour $n \in \N^*$, on pose : $f_n : x \in [0, +\infty[ \mapsto \frac{(-1)^n n}{n^2 + x}]$.
a) Étudier la convergence simple de $\sum f_n$. Montrer que sa somme $S$ est continue.
b) $Y$ a $t$-il convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1274]
Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec a < $b$. Si $\phi \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R})$, on pose $\|\phi\| = \sup_{[a,b]} |\phi|$.
a) Soit $n \in \N^*$. Montrer qu'il existe un unique $f_n \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^{+*}, \mathbb{R})$ tel que $f_n(1) = f_n(2) = 0$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}^{+*}$, $f_n''(x) = (-1)^n \times 2^{-nx^2}$.
b) Montrer la convergence uniforme des séries de fonction $\sum f''_n$, $\sum f'_n$ et $\sum f_n$ sur tout segment de $\mathbb{R}^{+*}$.
c) Montrer que $F = \sum_{n=0}^{\infty} f_n$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. Montrer : $||F|| \leq 1/3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1275]
a) Soit $(a_n) \in (\mathbb{R}^{+*})^{\N}$. On suppose que $\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 \frac{\alpha}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$ avec $\alpha > 1$.Montrer que $\sum a_n$ converge. *Ind*. Montrer que, pour tout $\beta \in ]1, \alpha[$, la suite $(n^{\beta}a_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang.

b) Déterminer le développement en série entière de $\sqrt{1-x}$. Montrer qu'il y a convergence en $x = \pm 1$.
c) Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour $n \in \N$, $u_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} u_k u_{n-k}$.

On pose $S: x \in ]-R, R[ \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} u_n x^n$. Déterminer $S$ et en déduire une expression de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1276]
Soit $E$ l'ensemble des $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telles que $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)^2 e^{-x^2} dx$ converge.
a) i) Montrer que $E$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel.
ii) Soit $\Phi:(f,g)\in E\times E\mapsto \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,g(x)\,e^{-x^2}\mathrm{d}x$. Montrer que $\Phi$ est bien définie et définit un produit scalaire sur $E$ - b) Calculer, pour $n \in \N$, $I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} x^n e^{-x^2} dx$. On donne $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$.
c) On pose $F: z \in \C \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} e^{zx-x^2} dx$. Montrer que $F$ est développable en série entière au voisinageqde 0 et donner son développement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1277]
Soient $(u_n)$ une suite complexe bornée et, pour $n \in \N$, $s_n = \sum_{i=1}^n u_i$.
a) Déterminer les rayons de convergence de $U: x \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{u_k}{k!} x^k$ et $S: x \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{s_k}{k!} x^k$.
b) Trouver une relation entre U', S' et $S$.
c) On suppose que la suite $(s_n)$ tend vers 0. Montrer que $x \mapsto e^{-x}S(x)$ tend aussi vers 0 quand $x$ tend vers l'infini.
d) On suppose que la suite $(s_n)$ tend vers $\ell \in \C$. Montrer que $x \mapsto e^{-x}S(x)$ tend vers une limite à préciser quand $x$ tend vers l'infini.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1278]
Pour $n \in \N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k}$.
a) Montrer qu'il existe $\gamma \in \mathbb{R}$ tel que $H_n = \ln n + \gamma + o(1)$. b) Pour $n \in \N^*$, on définit $f_n : x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto (1 x/n)^n \ln(x) \mathbf{1}_{]0,n[}(x)$.
Montrer que $\int_0^{+\infty} f_n(x) dx \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^{+\infty} e^{-x} \ln(x) dx$.
c) Exprimer $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \ln(x) dx$ en fonction de $\gamma$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1279]
Soit (E) l'équation différentielle : $y''(t) + e^{it}y(t) = 0$.Soit $f$ solution de (E). Montrer que $f$ est $2\pi$ -périodique si et seulement si $f(0) = f(2\pi)$ et $f'(0) = f'(2\pi)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1280]
a) Soit $g \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$. On pose $h: x \mapsto \int_0^x \sin(x-t) g(t) dt$. Montrer que $h$ est de classe $C^2$ et exprimer h'' en fonction de $h$ et $g$.

Déterminer toutes les solutions de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$ de y'' + y = $g$.

b) Soient $a \in \mathbb{R}$ et $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$ telle que $\forall x \in \mathbb{R}^+, f(x) \leqslant a + \int_{\mathbb{R}^+}^x f(t) dt$.

Montrer que, pour tout $x \geq0$, $f(x) \le ae^x$.

c) Pour $\lambda$ réel, on note $\Phi_{\lambda}$ la solution du problème de Cauchy :

 $y''(x) + (1 - \sin(\lambda x))y(x) = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0$. Soit $x_0 \in \mathbb{R}$. On pose $f : \lambda \mapsto \Phi_{\lambda}(x_0)$. Montrer que $f$ est lipschitzienne.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1281]
a) Montrer l'existence et calculer $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u^2 + u + 1}$.

b) Soient $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et $y \in \widetilde{\mathcal{C}}^1(I,\mathbb{R})$ telle que $y' = y^2 + y + 1$. Montrer que $I$ est un intervalle borné. Expliciter y.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1282]
Soit $f:(x,y) \in \mathbb{R}^{+*} \times \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + xy$.

a) Soit $S = \{(x, y, z), z = f(x, y)\}$. Déterminer l'équation du plan tangent à $S$ en un point

 $(a,b,c) \in S$. b) Montrer que $f$ est minorée puis qu'elle admet un minimum atteint en un point que l'on déterminera.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1283]
Soit $\phi:(x,y)\in[-1,1]^2\mapsto\int_{-1}^1|t-x|\times|t-y|\,\mathrm{d}t$. On pose $\mu=\min_{(x,y)\in[-1,1]^2}\phi(x,y)$.

a) Montrer que $\phi$ est continue sur $[-1,1]^2$. En déduire l'existence de $\mu$. b) On pose $T=\left\{(x,y)\in[-1,1]^2,\ -1\leqslant x\leqslant y\leqslant 1\right\}$. Montrer que, pour tous $x,y\in T$,

 $\phi(x,y) = 3(y-x)^3 + \frac{2}{2} + 2xy$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1284]
On munit $\mathbb{R}^2$ de la norme infinie : $\|(x,y)\|_{\infty} = \max(|x|,|y|)$. On note $B(0,1) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : ||(x,y)||_{\infty} < 1\} \text{ et } B(0,1) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : ||(x,y)||_{\infty} \le 1\}$.

a) Exprimer B(0,1) et $\overline{B(0,1)}$ comme un produit de deux ensembles.

Soit $f:(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto -(x^2+y^2)^2 + \frac{3}{2}(x^2+y^2)$. b) Montrer que $f$ est de classe $C^1$, calculer son gradient et trouver ses points critiques.

Soit $S = \{(x, y, f(x, y))\}_{(x,y) \in B(0,1)}$.

c) Déterminer le plan tangent à $S$ et orthogonal au vecteur (0, -1, 1).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1285]
Soient $a \in (0, 1)$ et $f: (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + 2axy + y^2)e^{-(x^2 + y^2)/2}$. a) Justifier que $f$ est de classe $C^2$ et trouver ses points critiques.

b) Montrer que $f$ admet en (0,0) un extrémum local. Est-il global?

c) Montrer que $f$ admet en (1,1) un maximum global.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1286]
On définit
$$K : \forall (x,y) \in [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R}$$
 tel que : $K(x,y) = \begin{cases} x(1-y) & \text{si } x \leq y, \\ y(1-x) & \text{si } x > y. \end{cases}$

a) Montrer que $K$ est continue et bornée.
b) Soit $z \in \mathbb{R}$, trouver l'équation du plan tangent à la surface d'équation K(x,y)=z.
#+end_exercice


** Probabilités

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1287]
On considère une pièce donnant pile avec une probabilité 0 .
a) On lance $n$ fois cette pièce. Soit $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de pile obtenus. Donner la loi de $S_n$.
b) On considère deux pièces $(M_1, M_2)$ donnant pile avec une probabilité $p_1 \in ]0,1[$ et $p_2 \in ]0,1[$. Pour le premier lancer, on lance la pièce $M_1$. Pour $n \geq 2$, on lance la pièce $M_1$ au $n$-ième lancer si on a obtenu pile au (n-1)-ième lancer, et la pièce $M_2$ sinon. Pour $n \in \N^*$, on note $A_n$ l'évènement « on obtient pile au $n$-ième lancer ».
  - i) Établir une relation entre $P(A_n)$ et $P(A_{n-1})$.
  - ii) Montrer que la suite $(\mathbf{P}(A_n))_{n\geq 1}$ converge et donner sa limite.
iii) On rappelle le théorème de Cesàro. Soit $S'_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de pile obtenus pendant les $n$ lancers. Donner un équivalent de $\mathbf{E}(S'_n)$ quand $n \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1288]
Soient $\lambda > 0$, $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$, $Y \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $X$, $Y$ indépendantes.

On pose
$$A = \begin{pmatrix} X & X \\ 0 & Y \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$
 et $T = \operatorname{tr}(A)$.

a) Donner la loi de $T$, son espérance et sa variance.
b) Calculer P(A diagonalisable).
c) On pose $M_{x,y}=\begin{pmatrix} x & x \ 0 & y \end{pmatrix}$ et $\ell_{x,y}:M\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\mapsto M_{x,y}M$.
  - i) Que peut-on dire du rang de $\ell_{x,y}$ ?
  - ii) Trouvez une condition nécessaire et suffisante pour que $rg(\ell_{xy}) = 6$.
  - iii) Donner la loi de $\operatorname{rg}(\ell_{X,Y})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1289]
Soit $n \geq2$. On note $\Omega_n$ l'ensemble des applications de $\{1, \ldots, n\}$ dans lui-même. On munit $\Omega_n$ de la probabilité uniforme. Si $f \in \Omega_n$, on note $X_n(f)$ le nombre d'éléments de $\{1, \ldots, n\}$ n'ayant aucun antécédent par $f$ et, pour $i$ entre 1 et $n$, on pose $Y_i(f) = 1$ si $f^{-1}(\{i\}) = \emptyset$ et $Y_i(f) = 0$ sinon.
a) Déterminer la probabilité $p_n$ de $S=\{f\in\Omega_n\,,\,f\text{ surjective}\}$. Donner un équivalent de $p_n$ lorsque $n\to+\infty$.
b) Déterminer la loi de $Y_i$, puis celle de $Y_iY_j$ lorsque $i \neq j$.
c) Calculer l'espérance et la variance de $X_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1290]
Soit $\theta \in \mathbb{R}^{+*}$. Des individus numérotés $1, 2, \ldots$ arrivent successivement dans un restaurant qui abrite une infinité de tables infiniment longues. Les convives s'installent aux différentes tables avec les conditions suivantes : lorsque le $(k+1)^e$ individu se présente, $k \geq1$, il choisit au hasard l'un des $k$ individus déjà attablés avec la probabilité $\frac{1}{k+\theta}$ et s'assied à lamême table, ou occupe une nouvelle table avec la probabilité $\frac{\theta}{k+\theta}$. On note $K_n$ la variable aléatoire indiquant le nombre de tables occupées lorsque $n$ individus ont pris place.

a) Déterminer $P(K_n = 1)$.
b) Soit $G_n$ la fonction génératrice de $K_n$.

Montrer que $G_n(x)=\frac{L_n( heta x)}{L_n( heta)}$, où $L_n(x)=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)$.

c) Calculer $\mathbf{E}(K_n)$ et $\mathbf{V}(K_n)$. Donner des équivalents de $\mathbf{E}(K_n)$ et $\mathbf{V}(K_n)$.
d) Étudier le comportement de la suite $\left(\frac{K_n}{\ln n}\right)$ quand $n \to +\infty$.
#+end_exercice


* Centrale - PC

** Algèbre

#+begin_exercice [Centrale PC # 1291]
a) Soient $A, B \in \mathbb{R}[X]$ et $P = A^2 + B^2$.
  - i) Montrer que $P$ est nul ou de degré pair, de coefficient dominant strictement positif.
  - ii) Les polynômes $X^4 X^2 + 1$ et $X^4 1$ peuvent-ils s'écrire $A^2 + B^2$ avec $A, B \in \mathbb{R}[X]$ ?
  - iii) Que dire des racines de $P$ et leurs multiplicités?
b) Montrer que tout polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}, \ P(x) \geq 0$ s'écrit $A^2 + B^2$ avec $A, B \in \mathbb{R}[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1292]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$. On dit que $f$ admet un pseudo-inverse s'il existe $q \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f \circ q \circ f = f$, $q \circ f \circ q = q$ et $f \circ q = q \circ f$.
a) Que dire si $f$ est inversible? si $f$ est l'endomorphisme nul?
b) On suppose que $f$ admet un pseudo-inverse. Montrer que $\operatorname{Im}(f) \oplus \operatorname{Ker}(f) = E$.
c) On suppose que $\operatorname{Im}(f) \oplus \operatorname{Ker}(f) = E$. Soit $f_1$ l'endomorphisme induit par $f$ sur $\operatorname{Im}(f)$.
Montrer que $f_1$ admet un pseudo-inverse. En déduire que $f$ admet un pseudo-inverse. d) Montrer que $f$ admet un pseudo-inverse si et seulement si $rg(f) = rg(f^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1293]
a) Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de Vandermonde soit inversible.
b) Soient $(Q_0, Q_1, \dots, Q_n)$ une famille de polynômes de $\mathbb{R}_n[X]$ et $(z_0, \dots, z_n)$ des nombres
réels. Calculer le déterminant de la matrice $R = (Q_i(z_i))_{0 \le i, i \le n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1294]
Soit $n \in \N^*$. On note $S_n$ l'ensemble des permutations de l'ensemble $\{1, \ldots, n\}$. Pour $\sigma \in \mathcal{S}_n$, on pose $P_{\sigma} = (\delta_{i,\sigma(j)})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\C)$.
a) Soient $\sigma$ et $s$ dans $S_n$. Montrer que $P_{\sigma}P_s = P_{\sigma \circ s}$ et montrer que $P_{\sigma}$ est une matrice orthogonale.
b) Soit $\sigma \in \mathcal{S}_n$. Montrer qu'il existe $\ell \in \N^*$ tel que $P_{\sigma}^{\ell} = I_n$. Montrer que toutes les valeurs propres complexes de $P_{\sigma}$ sont de module 1 et que 1 est valeur propre de $P_{\sigma}$.
c) À quelle condition $P_{\sigma}$ est-elle diagonalisable sur $\C$ ? sur $\mathbb{R}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1295]
Soient $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $E = \{P(M), P \in \C[X]\}$. On note $p$ le nombre de valeurs propres distinctes de $M$.- a) Montrer que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et que $p \leq \dim E \leq n$.
b) Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si dim $E$ = $p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1296]
Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $f: M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto AM MA$.
a) Montrer que, si $A$ nilpotente, alors $f$ l'est également.
b) Montrer que, si $|\operatorname{Sp}(A)| = n$, alors $(I_n, A, \dots, A^{n-1})$ est une base de $\operatorname{Ker} f$.
c) Montrer que si $A$ est diagonalisable alors $A^T$ l'est également. Donner une base de vecteurs propres de $f$ dans ce cas.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1297]
Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ diagonalisable. Soit $p \in \db{1,n}$ le nombre de valeurs propres distinctes de A. Dénombrer les polynômes $P \in \mathbb{K}_{p-1}[X]$ tels que $A$ et P(A) soient semblables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1298]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $A^T = P(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1299]
a) Soient $u,v\in\mathcal{L}(\C^n)$ tels que $u\neq 0,v\neq 0$ et $u\circ v=0$. Montrer que $\mathrm{Ker}\,u\neq\{0\}$ et que $\mathrm{Ker}\,u$ est stable par $v$. En déduire que $u$ et $v$ possèdent un vecteur propre en commun. b) Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB=0. Montrer que $A$ et $B$ sont trigonalisables dans
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1300]
Soient $n \in \N^*$ et $(A, B) \in \mathcal{M}_n(\C)^2$ tel que $\operatorname{Sp}(A) \cap \operatorname{Sp}(B) = \emptyset$.
a) Montrer que $\chi_A(B)$ est inversible.
b) Montrer que pour tout $Y \in \mathcal{M}_n(\C)$, il existe $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ tel que AM MB = Y. c) On suppose que $\operatorname{Sp}(A) \cap \operatorname{Sp}(B) \neq \emptyset$. Montrer qu'il existe $M \in \mathcal{M}_n(\C) \setminus \{0\}$ telle que AM = MB.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1301]
On pose $\phi: (A,B) \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})^2 \mapsto \operatorname{tr}(A^T B)$.
a) Montrer que $\phi$ est un produit scalaire. b) On pose $F = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}; \ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$. Déterminer $F^{\perp}$.
c) Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, on pose $J_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer la distance de $J_{\alpha}$ à $F^{\perp}$.
$a \in \mathbb{R}$, on pose $a = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calcular la distance de $a \in \mathbb{R}$ a $a \in \mathbb{R}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1302]
Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien, $(x_1, \ldots, x_p)$ une famille de vecteurs de $E$ et $G = (\langle x_i, x_j \rangle)_{1 \leq i,j \leq p} \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$.
a) Montrer que, si $(x_1, \ldots, x_p)$ est une famille libre, alors $\det(G) > 0$.
b) Dans le cas général, montrer que $\operatorname{rg}(x_1,\ldots,x_p)=\operatorname{rg}(G)$. c) Montrer que $\operatorname{Sp}(G)\subset\mathbb{R}^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1303]
Soit $E = \mathcal{C}^0([-1,1], \mathbb{R})$.
a) Montrer que $\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} (1 x^2) f(x) g(x) dx$ définit un produit scalaire sur $E$.
b) Soit $E_p$ (resp. $E_i$ ) l'ensemble des éléments de $E$ qui sont pairs (resp. impairs). Montrer que $E_p$ et $E_i$ sont orthogonaux et que $E_p \oplus E_i = E$.
c) Expliciter $E_p^{\perp}$ et $E_i^{\perp}$.

une même base.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1304]
a) Montrer que tout endomorphisme d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie $n \geq2$ admet une droite ou un plan stable.

b) Montrer que toute matrice de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ est diagonalisable dans $\C$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1305]
Déterminer toutes les matrices $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $A^TA^2 = A$ et $\mathrm{Tr}(A) = n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1306]
Soient $E$ un espace euclidien non nul et $u \in \mathcal{L}(E)$.
a) Montrer qu'il existe un unique $u^* \in \mathcal{L}(E)$ tel que : $\forall (x,y) \in E^2$, $\langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle$.
b) Montrer que $u^* \circ u$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives.
c) Montrer que $x \mapsto ||u(x)||$ est bornée sur la sphère unité. Exprimer $\max_{\|x\|=1} \|u(x)\|$ et $\min_{\|x\|=1} \|u(x)\|$ en termes de valeurs propres de $u^* \circ u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1307]
On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $\chi_A = \prod_{i=1}^n (X [A]_{i,i})$.
a) Soit $A \in \mathcal{C}$. Calculer $\operatorname{tr}(A^T A)$.
b) Déterminer $\mathcal{C} \cap \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.
c) Déterminer $\mathcal{C} \cap \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1308]
Soit $(A, B) \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})^2$ tel que $A^{2025} = B^{2025}$.
a) Montrer qu'il existe $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $A = P(A^{2025})$. En déduire que $A$ et $B$ commutent.
b) Montrer qu'il existe $Q \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ telle que $Q^TAQ$ et $Q^TBQ$ sont diagonales.
c) Montrer $A$ = $B$.
#+end_exercice


** Analyse

#+begin_exercice [Centrale PC # 1309]
Pour $i \in \{1, 2, \infty\}$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on pose $||A||_i = \sup\{||AX||_i ; X \in \mathbb{R}^n \text{ et } ||X||_i = 1\}$ et, lorsque $A$ est inversible, $\operatorname{Cond}_i(A) = ||A||_i ||A^{-1}||_i$.
a) Pour tout $(A, B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$, montrer $||AB||_i \leq ||A||_i ||B||_i$.
b) Déterminer $\min \{Cond_i(A) ; A \in GL_n(\mathbb{R}) \}$.
c) Déterminer $Cond_2(A)$ en fonction des valeurs propres de $A^TA$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1310]
Soit $E = \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. On définit la norme $N$ sur $E$ en posant $N(A) = \max_{1 \le i,j \le 2} |a_{i,j}|$
$\begin{array}{l} \text{lorsque } A = (a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2}. \\ \textbf{\textit{a}) } \text{ Montrer qu'il existe } c \in \mathbb{R}^{+*} \text{ tel que : } \forall (A,B) \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})^2, \ N(AB) \leqslant c \, N(A) \, N(B). \end{array}$
b) Montrer que la suite $\left(\sum_{k=0}^n \frac{A^k}{k!}\right)$ est convergente pour tout $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. On note $\exp(A)$ la limite de la suite.
c) Pour $t \in \mathbb{R}$, on pose $A_t = \begin{pmatrix} t & 1 \\ 0 & t \end{pmatrix}$ et $B_t = \begin{pmatrix} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{pmatrix}$. Calculer $\exp(A_t)$ et $\exp(B_t)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1311]
Une norme $\| \|$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est dite sous-multiplicative si $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \|AB\| \leq \|A\| \times \|B\|$.
a) Donner un exemple de norme sous-multiplicative sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.b) Soient $\| \ \|$ une norme sous-multiplicative sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $Q \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. On définit la norme $\| \|_Q$ par $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \|A\|_Q = \|Q^{-1}AQ\|$. Montrer que $\| \|_Q$ est sousmultiplicative.

c) Soit $(u_n)_{n\in\N^*}\in (\mathbb{R}^{+*})^{\N^*}$ telle que $\forall m,n\in\N^*,\ u_{n+m}\leqslant u_n\times u_m$. On définit $\ell = \inf \left\{ u_n^{1/n}, \ n \in \N^* \right\}$. Soit $\eps > 0$.

i) Montrer qu'il existe $m_{\eps}$ tel que $u_{m_{\eps}} \leqslant (\ell + \eps)^{m_{\eps}}$. ii) Montrer qu'il existe $\alpha_{\eps} > 0$ tel que $\forall n \geq m_{\eps}, \ u_n^{1/n} \leqslant (\ell + \eps)^{1 - \frac{r_n}{n}} \alpha_{\eps}^{1/n}$ où $r_n$ est le reste

de la division euclidienne de $n$ par $m_{\eps}$. $i\ddot{u}$ ) En déduire que la suite $(u_n^{1/n})$ converge et préciser sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1312]
Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que $f(0) = 1, \forall x \in \mathbb{R}, f(x) > 0$ et $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) < 0$. On considère une suite $(x_n)_{n\in\N}$ vérifiant $x_0\in\mathbb{R}^{+*}$ et, pour tout $n\in\N$, $x_{n+1}=x_nf(x_n)$. a) Étudier la suite $(x_n)$.

b) Soit $(\alpha_n) \in \mathbb{R}^{\N}$ telle que $\alpha_n \to \ell \in \mathbb{R}$. Montrer que $\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \alpha_k \to \ell$.

c) Nature de $\sum x_n$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1313]
Soit $E$ l'ensemble des $f \in \mathcal{C}^0([0,1[,\mathbb{R}) \text{ s'annulant en } 0. \text{ Pour } f \in E, \text{ on pose } \phi(f)$ définie par : $\phi(f)(0) = 0$ et $\forall x \in ]0, +\infty[, \phi(f)(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) dt$.

a) Montrer que $\phi$ est un endomorphisme.

b) L'application $\phi$ est-elle injective? surjective?

c) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de $\phi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1314]
Soit $f \in \mathcal{C}^3([0,1],\mathbb{R})$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n(f) = \frac{1}{n} \sum_{n=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)$.

a) Quelle est la limite de $(S_n(f))$ ?

b) Montrer qu'il existe $M$ > 0 tel que : $\forall n \in \N^*, \forall k \in \{0, 1, \dots, n-1\}, \forall t \in \left\lceil \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right\rceil$

 $\left|f(t) - f\left(\frac{k}{n}\right) - \left(t - \frac{k}{n}\right)f'\left(\frac{k}{n}\right) - \frac{(t - \frac{k}{n})^2}{2!}f''\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{6}\left(t - \frac{k}{n}\right)^3$.

c) En déduire que $S_n(f) = \int_0^1 f(t) dt - \frac{1}{2n} \int_0^1 f'(t) dt + \frac{1}{12n^2} \int_0^1 f''(t) dt + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1315]
Soit $f: x \mapsto \int_{-\pi}^{2\pi} \frac{\cos(t)}{t} dt$. Déterminer les limites de $f$ en $0^+$, en $+\infty$ et en $-\infty$, puis les variations de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1316]
Pour $n \in \N$, soient $I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^{2n}(t) dt$ et $J_n = \int_0^{\pi/2} t^2 \cos^{2n}(t) dt$ et $Q_n = \frac{J_n}{I_n}$.

a) Montrer: $\forall n \in \N, \ (2n+2)I_{n+1} = (2n+1)I_n \text{ et } \forall n \in \N^*, \ I_n = -2n^2J_n + n(2n-1)J_{n-1}$.

b) Montrer: $\forall n \in \N^*, Q_{n-1} - Q_n = \frac{1}{2n^2}$.c) Montrer: $\forall t \in [0, \pi/2], \ t \leqslant \frac{\pi}{2}\sin(t)$.

d) Montrer: $\forall n \in \N, 0 \leqslant J_n \leqslant \frac{\pi^2}{4}(I_n - I_{n+1})$.

e) Prouver finalement: $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1317]
On pose $f: x \mapsto \prod_{n=0}^{+\infty} \left(1 + e^{-n(x^2+1)}\right) = \lim_{N \to +\infty} \prod_{n=0}^{N} \left(1 + e^{-n(x^2+1)}\right)$.

a) Montrer que $f$ est définie, de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. b) Étudier les variations de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1318]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1-x^n}$.

a) Domaine de définition? Montrer que $f$ est de classe $C^1$.

b) Donner un équivalent de $f$ en 1. Ind. Considérer $g: t \mapsto f\left(e^{-t}\right)$ et en chercher un équivalent en 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1319]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(nx^2+1)}$.

a) Déterminer le domaine de définition de $f$.

) Déterminer le domaine de définition de $f$.

b) Étudier la continuité de $f$ sur $]0, +\infty[$ et calculer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$. c) La fonction $f$ est-elle intégrable sur $]0, +\infty[$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1320]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{x^2 + n^2}$.

a) Déterminer le domaine de définition de $f$ et étudier la continuité de $f$.

b) Pour $x \in \mathbb{R}$ et $\alpha > 0$, justifier l'existence de $I_{\alpha} = \int_{0}^{+\infty} \cos(xt) e^{-\alpha t} dt$ et calculer cette

intégrale.

c) La fonction
$f$
 est-elle développable en série entière?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1321]
Soit $\phi: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{\sqrt{n}}$.

a) Montrer que
$\phi$
 est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^{+*}$.

b) Donner un équivalent lorsque $x \to 0^+$ de $\phi(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1322]
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite décroissante positive.

Pour $n \in \N$, on pose $f_n : x \mapsto a_n x^n (1-x)$.

a) Montrer la convergence simple de $\sum f_n \operatorname{sur} [0, 1]$.

b) Montrer que $\sum f_n$ converge normalement sur [0,1] si et seulement si la série numérique $\sum \frac{a_n}{a}$ converge.c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge uniformément sur [0, 1].
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1323]
Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ lipschitzienne.

a) Soient $a \in \mathbb{R}^*$ et $\lambda \in ]-1,1[$. Montrer qu'il existe une unique fonction $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ lipschitzienne vérifiant : $\forall x \in \mathbb{R}, \ F(x) - \lambda F(x+a) = f(x)$.
b) Expliciter $F$ lorsque $f = \cos$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1324]
Pour $n \in \N$ et $x \in \mathbb{R}$, on note $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ et $f: x \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} S_n \frac{x^n}{n!}$.
a) Donner le rayon de convergence de $\sum S_n \frac{x^n}{x!}$.
b) Pour $n \in \N^*$, on pose $v_n = S_n \ln n$. Montrer que $\sum (v_{n+1} v_n)$ est convergente.
c) Donner une équation différentielle vérifiée par $f$. d) Exprimer, pour $x$ > 0, f(x) à l'aide de $\int_0^x e^{-t} \ln(t) dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1325]
a) Pour $n \in \N^*$ et $t \in \mathbb{R}$, calculer $\sum_{i=1}^n \sin((2k-1)t)$.
b) Pour $n \in \N^*$, justifier l'existence de $I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2(nt)}{\sin t} dt$.
c) Rayon de convergence de $\sum I_n x^n$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1326]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=1$ et, pour $n\in\N^*$, $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1 t(t-1)\dots(t-n+1)\,\mathrm{d}t$.

Rayon de convergence et somme de $x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1327]
On dit qu'une fonction $f \in \mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{R})$ est absolument monotone si, pour tout $x \in I$ et tout $k \in \N$, $f^{(k)}(x) \geq0$.
a) Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral.
b) Montrer que, si $f$ et $g$ sont absolument monotones, alors $f$ + $g$ et fg sont absolument monotones.
c) Soient $R$ > 0 et $f$ une fonction absolument monotone sur [0, R].
i) Soient $n \in \N$ et $R_n(x) = f(x) \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$. Montrer que $x \mapsto \frac{R_n(x)}{x^n}$ est croissante $\operatorname{sur} \left[ 0, R \right]$.
ii) Montrer que la série de Taylor de $f$ converge simplement vers $f$ sur [0, R].
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1328]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \ln(n) x^n$.
a) Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.- b) On pose $g: x \in ]-1, 1[ \mapsto (1+x)f(x)$. Montrer que $g$ est développable en série entière
au voisinageqde 0 et expliciter ses coefficients. Déterminer son rayon de convergence. c) Montrer que la série définissant $g$ converge uniformément sur [0, 1].
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1329]
Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_1^{+\infty} \frac{1}{1+t+\cdots+t^n} \mathrm{d}t$ lorsque cela a un sens.
a) Montrer que la suite $(I_n)_{n\geq 2}$ est bien définie et calculer sa limite.
b) Montrer que, pour tout $n \geq 2$, $I_n = \int_0^1 u^{n-2} \frac{1-u}{1-u^{n+1}} du$.
c) Montrer que, pour tout $n \geq2$, $I_n = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(nk+k-2)(nk+k-1)}$.
d) En déduire un équivalent de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1330]
Soit $f: x \mapsto \int_0^1 \frac{\ln(t^2 2t\cos(x) + 1)}{t} dt$.
a) Montrer que $f$ est définie sur $]0, 2\pi$
Montrer que $\forall x \in ]0, 2\pi[$, $f(2\pi x) = f(x)$ et $f\left(\pi \frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}f(x)$.
b) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0, 2\pi[$. Calculer f'(x) pour tout $x \in ]0, \pi[$.
c) On donne $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$. Calculer $\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t} dt$.
d) En déduire l'expression de f(x) pour tout $x \in [0, 2\pi[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1331]
Soit $f: x \in ]0,1[ \mapsto \frac{x^2}{x-1} \ln(x)$.
a) Montrer que $f$ se prolongeqcontinûment sur [0,1] et que ce prolongement est de classe $\mathcal{C}^1$.
b) Pour $n \in \N$, on pose $u_n = \int_0^1 x^n f(x) dx$. Montrer que $u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et trouver un équivalent de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$.
c) Montrer que $\lim_{n \to +\infty} n \int_0^1 x^n f(x^n) dx = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1332]
a) Montrer que $\int_0^1 \frac{\ln(u)}{1-u} du = -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$.
b) Soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1[\,,\mathbb{R})$ croissante telle que l'intégrale $\int_0^1 \frac{f(u)}{u} du$ converge. Montrer que

$$\lim_{x \to 1^{-}} (1 - x) \sum_{n=1}^{+\infty} f(x^{n}) = \int_{0}^{1} \frac{f(u)}{u} du.$$

c) Donner un équivalent de $x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1-x^n)$ lorsque $x\to 1^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1333]
Pour $x \in ]-1, +\infty[$, on pose $\theta(x) = 2 \int_{0}^{1} \frac{s}{1+x^{2}} ds$

a) Étudier les variations de $\theta$ et calculer $\theta(x)$.
b) Pour $x$ > 0, on pose $\Gamma : x \mapsto \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$. i) Justifier l'existence de $\Gamma(x)$.
  - ii) Donner un équivalent de $\Gamma(x+1)$ lorsque $x\to +\infty$. Ind. Poser $u=\frac{t-x}{\sqrt{x}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1334]
Pour $x \in \mathbb{R}^+$, on pose $f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{1 \cos(t)}{t^2} e^{-xt} dt$.
a) Montrer que $f$ est définie, continue sur $[0, +\infty[$, de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]0, +\infty[$.
b) Convergence et calcul de $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1335]
On donne $\int_{0}^{+\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi}$. Soit $f: x \in \mathbb{R} \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{ixt}e^{-t}}{\sqrt{t}} dt$. Donner une expression simple de f(x).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1336]
Pour $x$ > 0, on pose $f(x) = \int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t} dt$.
a) Montrer que $f$ est bien définie et continue. Déterminer $\lim_{x\to +\infty} f(x)$.
b) Déterminer $(a_0, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ tel que $f(x) = \sum_{x \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{x^k} + o\left(\frac{1}{x^n}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1337]
Soit $F: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-xt^2}}{1+t^2} dt$.
a) Montrer que $F$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^+$.
b) Déterminer une équation différentielle linéaire satisfaite par $F$ sur $]0,+\infty[$. On admettra que $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1338]
a) Déterminer le domaine de définition de la fonction $\Gamma: x \mapsto \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$.
b) Montrer que $x \mapsto \int_{0}^{+\infty} e^{-x^n t} g(t) dt$ est définie sur $\mathbb{R}^+$ pour toute fonction $g$ continue et intégrable sur $\mathbb{R}^+$ vérifiant $g(0) \neq 0$.
c) À l'aide du changement de variable $u=x^{1/n}t$, montrer que $f(x) \sim \frac{\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)}{nx^{n-1}}g(0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1339]
Soit $\lambda \in ]-1,1[$. On cherche les fonctions $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$ solutions de $(E): \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = f(x) + f(\lambda x)$.
a) Déterminer les solutions de (E) qui sont développables en série entière. b) Déterminer les solutions de (E).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1340]
a) Déterminer les valeurs de $m \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ pour lesquelles l'équation différentielle $xy'' + (x-4)y' - 3y = x^m$ admet au moins une solution polynomiale.

b) Déterminer les solutions développables en série entière au voisinageqde 0 de l'équation différentielle xy'' + (x-4)y' - 3y = 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1341]
Soit $f: x \mapsto \int_{a}^{\pi/2} \cos(x \sin(t)) dt$.

a) Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ et que, si $x \in \mathbb{R}$, xf''(x) + f'(x) + xf(x) = 0.
b) Trouver les solutions de l'équation différentielle xy'' + y' + xy = 0 qui sont développables en série entière sur $\mathbb{R}$.
c) Montrer que $f$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$.
d) En déduire la valeur de $\int_0^{\pi/2} \sin^n(t) dt$ pour tout entier naturel $n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1342]
On donne $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi}$. Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction lipschitzienne.

Soit $K:(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{+*}\mapsto \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$ et $U:(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{+*}\mapsto \int_{\mathbb{R}}K(x-y,t)f(y)\mathrm{d}y$.

a) Montrer que, pour tout $(x,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+*}$, $\frac{\partial U}{\partial t}(x,t) = \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x,t)$.
b) Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $U(x,t) \xrightarrow[t \to 0+]{} f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1343]
Soit $n \geq2$. Soient $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $Y \in \mathbb{R}^n$ fixé. Soit $\Phi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, X \mapsto \langle X, AX - Y \rangle$.

a) On suppose que n=2, $A=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Montrer que $\Phi$ a un unique point critique et déterminer si $\Phi$ admet un extremum local en celui-ci.
b) On revient au cas général. Montrer que $\Phi(X) \underset{\|X\| \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$.

Montrer que $\Phi$ admet un minimum et que celui-ci est atteint en un unique point.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1344]
a) Soit $z \in \C \setminus \mathbb{R}^-$. On écrit $z = x + iy = re^{i\theta}$ avec $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, $r \in \mathbb{R}^{+*}$ et $\theta \in ]-\pi,\pi[$.

Montrer que $\theta = 2 \arctan\left(\frac{y}{x + \sqrt{x^2 + y^2}}\right)$. La formule $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ est-elle valable?

b) On note $D=\mathbb{R}^2\backslash\{(x,0)\;,x\in\mathbb{R}^-\}$. Trouver les fonctions $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $D$ telles que, pour tout $u\in D$, $\langle u,\nabla(f)(u)\rangle=\frac{1}{\|u\|}$ pour la structure euclidienne de $\mathbb{R}^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1345]
Soit $f:(x,y)\mapsto (x-y)^3+6xy$.
a) La fonction $f$ admet elle des extrema globaux sur $\mathbb{R}^2$ ?
b) Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ ,\ x^2+y^2\leqslant 1\right\}$. Déterminer ces extrema.
c) Étudier les extrema locaux de $f$ sur $\mathbb{R}^2$.
#+end_exercice


** Géométrie

#+begin_exercice [Centrale PC # 1346]
On munit $\mathbb{R}^2$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $\eps = (\eps_1, \eps_2)$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$. Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ les disques fermés de centres $\omega_1$ et $\omega_2$ et de rayons $r_1 > 0$ et $r_2 > 0$. On pose $f: (u_1, u_2) \in \mathcal{D}_1 \times \mathcal{D}_2 \mapsto |\det_{\eps}(u_1, u_2)|$.
a) Montrer que $f$ admet un maximum.
b) Soit $(v_1, v_2)$ un point où $f$ atteint son maximum. Pour $i \in \{1, 2\}$, montrer que $v_i$ appartient au cercle de centre $\omega_i$ et de rayon $r_i$.
#+end_exercice


** Probabilités

#+begin_exercice [Centrale PC # 1347]
Pour $\lambda > 0$, soit $Y_{\lambda}$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
a) Montrer qu'il existe $L_1, L_2 \in \mathbb{Z}[X]$ tels que, pour tout $\lambda > 0$, $\mathbf{E}(Y_{\lambda}) = L_1(\lambda)$ et $\mathbf{E}(Y_{\lambda}^2) = L_2(\lambda)$.
b) Soit $p \in \N^*$. Montrer qu'il existe $L_p \in \mathbb{Z}[X]$ tel que $\forall \lambda > 0$, $\mathbf{E}(Y_{\lambda}^p) = L_p(\lambda)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1348]
On dispose de $N$ pièces qui ont toutes pour probabilité $p \in ]0,1[$ de tomber sur Pile. Au premier tour, on lance toutes les pièces et on ne conserve que les pièces qui sont tombées sur Pile pour le tour suivant. On recommence ainsi l'expérience : on lance au tour $n$ toutes les pièces tombées sur Pile au tour $n$-1. On note $X_n$ le nombre de Pile obtenus au $n$-ième tour. On note $U_n = (\mathbf{P}(X_n = 0) \cdots \mathbf{P}(X_n = N))^T$. Déterminer une matrice $A$ telle que, pour tout $n$, $U_{n+1} = AU_n$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Exprimer $U_n$ en fonction de $A$ et de $U_0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1349]
On effectue une infinité de lancers identiques et indépendants d'une pièce. La probabilité d'obtenir Pile est $p \in ]0,1[$. On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de Face avant l'apparition du deuxième Pile.
a) Donner la loi de Y.
b) Montrer que $Y$ est d'espérance finie, la calculer.
c) Soit $k \in \N^*$. On note $Y_k$ la variable aléatoire donnant le nombre de Face avant l'apparition du $k$-ème Pile. Déterminer la loi de $Y_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1350]
Soit $p \in ]0,1[$. On considère une pièce qui tombe sur Pile avec une probabilité $p$. On lance la pièce jusqu'à obtenir Pile pour la première fois. On note $N$ le nombre de lancers. On lance ensuite $N$ fois la pièce et on note $X$ le nombre de Pile obtenus lors de cette deuxième série de lancers.
a) Déterminer la loi de $N$, la loi du couple (N, X), puis celle de $X$.
b) Soit $\lambda \in ]0,1[$. Soient $U$ et $V$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $U \sim \mathcal{B}(\lambda)$ et $V \sim \mathcal{G}(\lambda)$. À quelle condition (portant sur $\lambda$ ) a-t-on $X \sim UV$ ?
c) Quelle est l'espérance de X?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1351]
On lance deux pièces équilibrées $n$ fois. On note $A_n$ l'événement « on obtient autant de Pile que de Face après le $n$-ème lancer ». On note $p_n = \mathbf{P}(A_n)$.
a) Montrer que $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$.- b) Déterminer $p_n$.
c) Déterminer le rayon de convergence et le domaine de définition de $\sum p_n x^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1352]
Soit $p \in \N$. On dispose de p+1 urnes numérotées de 0 à $p$ contenant des boules rouges et blanches. La proportion de boules rouges de l'urne numéro $j$ est $\frac{j}{p}$. On choisit au hasard une urne, on effectue $n$ tirages avec remise dans cette urne et l'on note $X_n$ le nombre de boules rouges piochées.
a) Loi et espérance de $X_n$.
b) Pour $k \in \db{0,n}$, calculer $\lim_{p \to +\infty} \mathbf{P}(X_n = k)$. Commenter.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC # 1353]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{G}(p)$. On pose $M = \begin{pmatrix} X & Y \\ Y & X \end{pmatrix}$.
a) Donner $\mathbf{E}(\operatorname{rg}(M))$.
b) Déterminer l'espérance et la variance de la plus grande valeur propre de $M$.
#+end_exercice


* Autres Écoles - MP                                                 :autres:

** Algèbre

#+begin_exercice [IMT # 1354]
Soient a et $n$ deux entiers supérieurs ou égaux à a. Montrer que si $a^n 1$ est premier, alors a = 2 et $n$ est un nombre premier.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1355]
Résoudre l'équation $x^2 + x + \overline{1} = \overline{0}$ dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ et dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1356]
Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = 0$ et $A \neq 0$.

Montrer que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

# ID:8547
#+begin_exercice [IMT # 1357]
 1. Soient $n \in \N^*$, $u, v \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ nilpotents et non nuls tels que $u \circ v = v \circ u$. Montrer que $\operatorname{rg}(u \circ v) < \operatorname{rg}(v)$.
 2. Soient $u_1, \ldots, u_n \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ nilpotents et commutant deux à deux.

    Montrer que $u_1 \circ \cdots \circ u_n = 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1358]
Soit $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $M^2 + M = J$ où $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$.
a) Déterminer les valeurs propres de $J$. En déduire les valeurs propres éventuelles de $M$.
b) Trouver un polynôme annulateur de $M$. Montrer que $M$ est diagonalisable.
c) Déterminer les matrices $M$ solutions.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1359]
Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $(a,b,c,d) \in \mathbb{R}^4$ pour que

la matrice $\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 2 & c \\ 0 & 0 & d \end{pmatrix}$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1360]
Pour tout
$c \in \mathbb{R}$
, on considère la matrice $A(c) = \begin{pmatrix} -c & 1 & -1 \\ 1 & 1-c & 1 \\ -1 & -1 & -c \end{pmatrix}$.

a) La matrice A(c) est-elle diagonalisable?
b) Trouver $P \in GL_3(\mathbb{R})$ telle que la matrice $P^{-1}A(c)P$ soit triangulaire supérieure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1361]
Soient
$a > 0$
 et $A = \begin{pmatrix} 0 & -a & a^2 \\ 1 & 0 & -a \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $u = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$.

a) Calculer Au. Que peut-on en déduire b) Calculer det(A). La matrice $A$ est-elle inversible?
c) Déterminer le spectre réel de A.
d) Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1362]
Déterminer les valeurs propres de
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ 1 & 0 & \cdots & & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1363]
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Déterminer les valeurs propres

de A, ainsi que la dimension de ses sous-espaces propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1364]
Soit $n \geq2$. Soit $A = (a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \mathcal{M}_n(\C)$ avec $a_{i,j} = -1$ si $i > j, a_{i,j} = 1$ si $i$ < $j$ et $a_{i,i} = 0$. Soit $J \in \mathcal{M}_n(\C)$ dont tous les coefficients sont égaux à 1.
a) Soit $\lambda \in \C$. Montrer que : $P: x \mapsto \det(\lambda I_n A xJ)$ est polynomiale de degré au plus 1.
b) En déduire $\chi_A$.
c) Étudier la diagonalisabilité de A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1365]
Soient $n \in \N^*$ et $A, B \in \mathbb{R}_n[X]$ non nuls. On considère l'application $f$ qui à $P \in \mathbb{R}_n[X]$ associe le reste de la division euclidienne de AP par $B$.
a) Montrer que $f$ est un endomorphisme. Est-ce un automorphisme?
b) On note $p$ le degré de $B$ et $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ ses racines.
  - i) Montrer que 0 est valeur propre de $f$.
  - ii) Soit $\alpha \in \mathbb{R}^*$ une valeur propre de $f$. Montrer qu'il existe $i \in [1, p]$ tel que $A(\lambda_i) = \alpha$.iii) L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1366]
Soit
$$A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}$$
 . Pour quels réels $a$ la suite $(a^nA^n)_{n\in\N}$ converge-telle?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1367]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\alpha \neq 0$. Soient $f, g \in \mathcal{L}(E)$ telles que $f \circ g g \circ f = \alpha f$.
a) Donner une expression simple de $f^n \circ g g \circ f^n$.
b) En s'intéressant à $h\mapsto h\circ g-g\circ h$, montrer que $f$ est nilpotente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1368]
Soit $A = \left(\frac{i}{j}\right)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

a) La matrice $A$ est-elle inversible?
b) Trouver un polynôme annulateur de A.
c) Montrer que $A$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
d) Donner les sous-espaces propres de A.
e) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ commutant avec A. Montrer que $\operatorname{Ker}(A)$ et $\operatorname{Im}(A)$ sont stables par $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1369]
Soient $E = \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, $A, B \in E \setminus \{0\}$ et $f : M \in E \mapsto \operatorname{Tr}(AM)B$.

a) Quels sont les éléments propres de f? L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable?
b) On note $C = \{k \in \mathbb{R}^+ : \forall M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}), \operatorname{Tr}(f(M)^2) \leq k \operatorname{Tr}(M^2)\}$. Montrer que $C \neq \emptyset$ et déterminer son minimum.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1370]
Soit $f \in \mathcal{L}(\C^n)$.
a) On suppose que $f^2$ est inversible et diagonalisable. À l'aide d'un polynôme annulateur de $f$, montrer que $f$ est diagonalisable.
b) On suppose que $f^2$ n'est plus inversible, que $f^2$ est diagonalisable et que $\operatorname{Ker} f = \operatorname{Ker} f^2$. Montrer que $f$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1371]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ de rang 1. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $tr(A) \neq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1372]
Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ vérifiant $f^3 + f = 0$ et $f \neq 0$.
a) Montrer que $\mathbb{R}^3 = \operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Ker} (f^2 + \operatorname{id})$.
b) Soit $x \in \text{Ker}(f^2 + \text{id})$ non nul. Montrer que (x, f(x)) est libre.
c) Montrer qu'il existe une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.
d) Construire $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $u^2 = f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1373]
Donner toutes les matrices $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $M^5=M^2$ et $\mathrm{Tr}(M)=n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Dauphine # 1374]
Soient
$$a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K}$$
 et la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} \\ a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n \end{pmatrix}$.

On suppose $a_1$ et $a_n$ non nuls.

a) Pour $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, montrer que $A$ est diagonalisable et trouver ses valeurs propres.
b) Pour $\mathbb{K}=\C$, justifier que $A$ n'est pas toujours diagonalisable avec un contre-exemple pour n=2.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1375]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice d'un projecteur de rang $p \in [1, n]$.

On pose
$$B = \begin{pmatrix} A & 0 \\ A & -A \end{pmatrix}$$

a) La matrice $B$ est-elle diagonalisable? Ind. On pourra calculer $B^3$.
${\it b}$ ) Calculer les sous-espaces propres éventuels de $B$ et donner leur dimension en fonction de $n$ et $p$ -
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1376]
On munit l'espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique.

Calculer la distance de la matrice $M=(1)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ à l'espace $F$ des matrices de trace nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1377]
On munit
$$\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$$
 du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)\mathrm{d}t$. On pose $e_1:t\mapsto 1,\,e_2:t\mapsto t$ et $F=\mathrm{Vect}(e_1,e_2)$. Calculer la distance de $\Phi:t\mapsto t^2$ à l'espace $F$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1378]
Soient $p, q \in \N^*$ et $M \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$.
a) Montrer que, pour tout $\lambda \neq 0, \lambda \in \operatorname{Sp}(MM^T) \iff \lambda \in \operatorname{Sp}(M^TM)$.
b) Montrer que, pour $\lambda \neq 0$, les dimensions des espaces propres de $MM^T$ et $M^TM$ sont les mêmes.
c) Relier les polynômes caractéristiques de $MM^T$ et de $M^TM$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1379]
On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de son produit scalaire canonique.
a) Montrer que $S_n(\mathbb{R})$ et $A_n(\mathbb{R})$ sont supplémentaires orthogonaux

b) Déterminer la distance de
$$M=\begin{pmatrix}0&2&1\\2&0&2\\-1&-1&0\end{pmatrix}$$
 à $\mathcal{S}_3(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1380]
On munit $\mathbb{R}^n$ de son produit scalaire canonique, et on fixe $v \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$.
a) On pose $H_v = I_n 2 \frac{v^T v}{\|v\|^2}$. Montrer que $H_v \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$.
b) Quelle est la nature de l'endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ canoniquement associé à $H_v$ ?
c) Soient $x, y \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ tels que ||x|| = ||y||.
i) Montrer que les vecteurs $x$ y et $x$ + y sont orthogonaux.
ii) Montrer qu'il existe $V \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ telle que Vx = y.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1381]
Soit $E$ l'espace des fonctions continues et $2\pi$ -périodiques de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.- a) Montrer que l'application qui à $(f,g) \in E^2$ associe $\langle f,g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} fg$ définit un produit scalaire sur $E$.
b) Déterminer le projeté orthogonal de $x \mapsto \sin^2(x)$ sur $\text{Vect}(x \mapsto \cos(x), x \mapsto \cos(2x))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1382]
On munit $E = \mathbb{R}^n$ du produit scalaire canonique $\langle , \rangle$. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On note $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ canoniquement associé à $A$ et $w$ celui associé à $A^T$.
a) Montrer que : $\forall x, y \in E, \langle u(x), y \rangle = \langle x, w(y) \rangle$.
b) Montrer que, si un sous-espace $F$ est stable par $u$, alors $F^{\perp}$ est stable par $w$.
c) On choisit ici $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$.
  - i) Calculer $\chi_A$. Les matrices $A^T$ et $A$ sont-elles diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ?
  - ii) Déterminer les sous-espaces stables par $u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1383]
Soit $n \geq2$. Soit $F : (A, B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2 \mapsto \operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(AB)$. On note $E_{i,j}$, pour $1 \le i,j \le n$, les matrices élémentaires de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
a) Calculer $\operatorname{tr}(E_{i,j}A)$ pour toute $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et tout $(i,j) \in [1,n]^2$.
b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que $\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), F(A, M) = 0$. Montrer que $A$ = 0.
c) Soit $u$ un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que, si $v: \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est telle que : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, F(u(A), B) = F(A, v(B)), alors $v$ est linéaire.
d) L'application $F$ définit-elle un produit scalaire?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1384]
Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A^T$ avec $A \neq 0$.
a) Trouver un polynôme annulateur non nul de A.
b) Lorsque $0 \in \operatorname{Sp}(A)$, trouver $\operatorname{Sp}(A)$ et montrer que $A$ est orthogonalement semblable à la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1385]
Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq2$ et $f \in \mathcal{S}(E)$. On note a (resp. b) la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de $f$.
a) Montrer que $a ||x||^2 \le \langle f(x), x \rangle \le b ||x||^2$ pour tout $x \in E$.
b) Soit $r \in \mathbb{R}^+$ tel que, pour tout $x \in E$, $\langle f(x), x \rangle \leqslant r ||x||^2$. Montrer que $b \leqslant r$.
c) Soit $k \in \mathbb{R}$. On note $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice définie par $a_{i,i} = k$, $a_{i,j} = 1$ si $i = j \pm 1$, $a_{i,j} = 0$ sinon. Montrer que la plus grande valeur propre de $A$ est inférieure ou égale à $k$ + 2.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1386]
Soient $E$ un espace euclidien et $a,b\in E$ unitaires et non colinéaires. On considère $\phi:x\mapsto \langle a,x\rangle\,a+\langle b,x\rangle\,b$. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme autoadjoint et donner ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1387]
Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq3$ et deux vecteurs a, $b$ de $E$ non colinéaires. On considère l'endomorphisme $f: x \in E \mapsto \langle a, x \rangle \ a + \langle b, x \rangle \ b$. Déterminer $\operatorname{Ker}(f)$ et $\operatorname{Im}(f)$ puis montrer que $f$ est autoadjoint.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1388]
Soient $M, N \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer que : $0 \leq \operatorname{tr}(MN) \leq (\operatorname{tr} M)(\operatorname{tr} N)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1389]
On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire usuel. Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, de polynôme caractéristique noté $\chi_A$. Montrer qu'il existe $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{R}$ tels que $\chi_A=\prod (X-\lambda_k)$ et

que $||A||^2 = \sum_{k=1}^n \lambda_k^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1390]
Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $F$ un sous-espace de dimension $r \in [1, n-1]$. Soit $p$ le projecteur orthogonal sur $F$. On note $\mathcal{C} = \{f \in \mathcal{S}(E), p \circ f = f \circ p\}$.

a) Soit $f \in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $f \in \mathcal{C}$ si et seulement si $f(F) \subset F$.
b) Soit $f \in S^+(E)$. Montrer que $f^2 = p$ si et seulement si $f$ = $p$.
#+end_exercice


** Analyse

#+begin_exercice [CCINP # 1391]
On note
$E=\C[X]$
 et, pour $P=\sum_{k\geq 0}a_kX^k$, $\|P\|=\sup_{k\geq 0}|a_k|$.

a) Montrer que $\| \|$ est une norme de $E$.
b) Soit $b \in \C$. On souhaite étudier la continuité de l'application $f: P \in E \mapsto P(b) \in \C$. i) Montrer que, si |b| < 1, alors $f$ est continue.
  - ii) Étudier la continuité de $f$ lorsque |b|=1 à l'aide des polynômes $P_n=\sum_{k=0}^n \overline{b}^k X^k$.
  - iii) Montrer que, si |b| > 1, alors $f$ n'est pas continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1392]
On munit $E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ la norme $\|\cdot\|_{\infty}$.

Si $f \in E$, on pose $u(f): x \in [0,1] \mapsto \int_0^1 \inf(x,t) f(t) dt$. Montrer que $u$ est un endomorphisme continu et calculer sa norme subordonnée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1393]
Soient $(u_n)_{n\geq 0}, (v_n)_{n\geq 0}, (w_n)_{n\geq 0}$  trois suites complexes. On suppose que, pour tout $n\in \N$, $\begin{cases} u_{n+1}=2u_n+v_n+w_n\\ v_{n+1}=u_n-v_n+w_n\\ w_{n+1}=u_n+v_n-w_n \end{cases}$.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(u_0, v_0, w_0)$ pour que les trois suites convergent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1394]
Soient $a, b, c \in \mathbb{R}$. Pour $n \in \N^*$, on pose $u_n = a \ln(n) + b \ln(n+1) + c \ln(n+2)$. À quelles conditions sur a, $b$, $c$ la série $\sum u_n$ converge-t-elle?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1395]
On pose, pour $n \geq 3$, $u_n = \ln\left(\frac{n^4 2n^3 + 2n 1}{n^4 2n^3}\right)$. Étudier la nature de la série de terme général $u_n$ et calculer sa somme en cas de convergence.
#+end_exercice

# ID:8804
#+begin_exercice [IMT # 1396]
Soit $\sigma: \N \to \N$ telle que $\sigma(3n) = 4n$, $\sigma(3n+1) = 4n+2$ et $\sigma(3n+2) = 2n+1$ pour tout $n \in \N$.
 1. Montrer que $\sigma$ est bijective.
 2. On pose $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ et $v_n = u_{\sigma(n)}$ pour tout $n \geq1$. Montrer que les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont convergentes, et calculer leurs sommes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1397]
a) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\frac{1}{X^2(X+1)}$.

b) Pour tout $n \in \N^*$, on pose : $u_n = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$.
  - i) Déterminer la nature de la série de terme général $u_n$.
  - ii) Déterminer la nature de la série de terme général $u_n \frac{1}{n}$. iii) Déterminer la nature de la série de terme général $(n\,u_n-1)$
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1398]
On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_0\in ]0,\pi/2[$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} = \sin(u_n)$.
a) Montrer que la suite $(u_n)$ converge et donner sa limite.
b) Étudier la nature de la série $\sum (u_{n+1} u_n)$. En déduire la nature de la série $\sum u_n^3$. c) Étudier la nature de la série $\sum \ln \left( \frac{u_{n+1}}{u} \right)$. En déduire la nature de la série $\sum u_n^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1399]
On se donne deux réels $\alpha$ et $\beta$ vérifiant $0 < \beta \le 1 < \alpha$.
On pose, pour $n \in \N^*$, $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}$, $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{\beta}}$ et $\mu_n = \frac{R_n}{S_n}$.
a) Montrer que $R_n$ est définie
b) Donner un équivalent de $R_n$ puis de $S_n$. Étudier la nature des séries $\sum \mu_n$ et $\sum (-1)^n \mu_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1400]
Soient $\alpha \geq 0$ et, pour $n \in \N^*$, $u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+k)^{\alpha}}$.
a) Étudier la convergence de $(u_n)$ en fonction de $\alpha$.
b) Étudier la convergence de $\sum u_n$ en fonction de $\alpha$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1401]
Soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ telle que, pour tout $n \in \N$, $\int_0^1 f(t) \, t^n \, \mathrm{d}t = 0$. Rappeler le théorème de Weierstrass. Prouver que $f$ est nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Dauphine # 1402]
Soit $f:[0,\pi]\to\mathbb{R}$ une fonction continue.

Montrer que $\lim_{n \to +\infty} \int_0^{\pi} f(t) |\sin(nt)| dt = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1403]
Soient $f,g \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) g\left(\frac{k}{n}\right)$

et $T_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) g\left(\frac{k+1}{n}\right)$.
Déterminer les limites de $(S_n)$ et $(T_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1404]
Justifier la convergence de
$$\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t+x}} dt$$
 pour $x \geq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1404]
sustiner to convergence de
$$\int_0^\infty \sqrt{t+x} \, dx \, pour \, x \geq 0$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1405]
On pose $I = \int_0^{+\infty} \frac{t \sin(t)}{t^2 + 1} dt$.
a) Justifier l'existence de $I$. On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $J(x) = \int_0^x \frac{t |\sin(t)|}{t^2 + 1} dt$.

b) Montrer que, pour tout
$n \in \N^*$
, $J(n\pi) = \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^{\pi} \frac{(u+k\pi)\sin(u)}{(u+k\pi)^2+1} du$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1406]
Soit
$$f \in \mathcal{C}^1(]0,1], \mathbb{R}$$
) telle que $|f'(t)| \underset{t \to 0^+}{\sim} \frac{1}{t^{3/2}}$.

Déterminer un équivalent en
$0^+$
 de $F: x \mapsto \int_0^1 |f'(t)| dt$.

a) Déterminer un équivalent en
$0^+$
 de $F: x \mapsto \int_x^1 |f'(t)| dt$.
b) En déduire que $x f(x) \underset{x \to 0^+}{\longrightarrow} 0$.

Montrer qua
$$\int_{-1}^{1} f(t) dt$$
 converge

c) L'intégrale $I$ est-elle absolument convergente?

c) Montrer que
$$\int_{-1}^{1} f(t) dt$$
 converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1407]
Soit $f: x \in [0,1] \mapsto 2x(1-x)$. Pour $n \in \N^*$, soit $f_n = f \circ \cdots \circ f$ ( $n$ fois).

a) Montrer que $(f_n)$ converge simplement sur [0,1] vers une fonction $g$ que l'on précisera.
La convergence est-elle uniforme?
b) Soit $a \in [0, 1/2]$. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $[a, 1-a]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1408]
On pose, pour
$x \in \mathbb{R}$
, $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n} \cos^n(x)$.

a) Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$.
b) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0, \pi[$ puis calculer f'.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1409]
Soit $f: x \mapsto \sum_{h=0}^{+\infty} \frac{1}{\sinh(nx)}$. Domaine de définition de $f$ ? Équivalent en $0^+$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1410]
On pose $f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-x\sqrt{n}}$.

a) Déterminer les domaines de définition et de continuité de
$f$.

b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
c) Déterminer un équivalent de f(x) quand $x \to 0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1411]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n-1}}{2n-1}$. Déterminer le rayon de convergence de $f$.

Calculer
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^{2n-1}}{2n-1}$$
 et en déduire $f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1412]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} x^n$.

a) Déterminer le rayon de convergence
$R$
 de $f$.
b) Donner une expression de $f(x)$ pour $x \in ]-R, R[$.

Ind. Utiliser $I(p,q) = \int_0^1 t^p (1-t)^q dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1413]
On pose
$$a_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n(t) dt$$
 pour tout $n \geq0$.

a) Étudier la convergence de la suite $(a_n)_{n\geq 0}$.
b) Calculer $a_n + a_{n+2}$ pour tout $n \geq2$.
c) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$. On note $f$ sa somme.
d) La fonction $f$ admet-elle une limite en $1^-$ ? e) Expliciter $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1414]
Pour tout $n \in \N^*$, on pose : $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Déterminer le rayon de convergence

de
$$f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} H_n x^n$$
 et donner une expression de $f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1415]
Pour tout $n \geq1$, on pose $a_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ch}(t)^n}$.
a) Montrer que les $a_n$ sont bien définis.
b) Étudier la convergence de la suite $(a_n)_{n \geq1}$. c) Quelle est la nature de la série $\sum (-1)^n a_n$ ?
d) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1416]
Soit $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \cos(xt^2) e^{-t} dt$.
a) Montrer que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. Calculer $F^{(k)}(0)$.
b) La fonction $F$ est-elle développable en série entière en 0?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1417]
Soit, pour $n \in \N$, $I_n = \int_0^e (\ln t)^n dt$.
a) Déterminer la limite de $(I_n)$.
b) Montrer que, pour tout $n \in \N$, $I_{n+1} = e (n+1)I_n$. En déduire un équivalent de $I_n$.- c) Donner un développement asymptotique à deux termes de $I_n$
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1418]
a) Montrer que l'intégrale $I_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(1+t^4)^n}$ est convergente pour tout $n \in \N^*$.
b) Étudier la monotonie de la suite $(I_n)$ et montrer qu'elle converge.
c) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $I_{n+1} = \frac{4n-1}{4n}I_n$.
d) Étudier la convergence de la série $\sum \ln \left(\frac{4n-1}{4n}\right)$. En déduire la limite de $I_n$.
e) On pose, pour $n \in \N^*$ et $x \geq0$, $f_n(x) = \frac{x}{(1+x^4)^n}$.

Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$ sur $\mathbb{R}^+$. $Y$ a-t-il convergence uniforme?

f) Déterminer la limite de la suite $(I_n)$ à l'aide du théorème de convergence dominée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1419]
Soit $\alpha > 1$. Pour tout $n \in \N^*$, on pose : $I_n(\alpha) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(1+t^\alpha)^n}$.
a) Vérifier la convergence de l'intégrale $I_n(\alpha)$. b) Montrer la suite $(I_n(\alpha))_{n\geq 1}$ est convergente et préciser sa limite.
c) Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}^{n}(-1)^{n-1}I_n(\alpha)$ est une série convergente et exprimer sa somme sous forme intégrale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1420]
Soit, pour $n \in \N^*$, $I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2(nx)}{\sin^2(x)} dx$.

Justifier l'existence de $I_n$. Montrer que $I_n \sim n \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(u)}{u^2} du$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1421]
Soit, pour $n \in \N$, $I_n = \int_0^1 \frac{1}{1+t^n} dt$. Déterminer la limite de $(I_n)$, puis un développement asymptotique à deux termes de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1422]
Montrer que $\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^{2x} e^{-x}} dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(3n+2)^2}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1423]
On admet que $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2} dt = \sqrt{2\pi}$.
a) Existence et calcul de l'intégrale $\int_{\mathbb{D}} t^{2n} e^{-t^2} dt$ pour tout $n \in \N$.
b) Existence et calcul de l'intégrale $\int_{\mathbb{T}} \cos(tz) e^{-t^2} dt$ pour tout $z \in \C$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1424]
Pour $x \in \mathbb{R}$, on pose $f_x : t \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{\operatorname{sh}(xt)}{\operatorname{sh}(t)}$.- a) Déterminer l'ensemble $D$ des réels $x$ pour lesquels l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} f_{x}(t) dt$ converge.
b) Montrer l'égalité $\int_0^{+\infty} f_x(t) dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2x}{(2n+1)^2 x^2}$ pour tout $x \in D$.
c) Trouver un équivalent de la somme quand $x \to 1^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1425]
On pose, pour $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = e^{\frac{x^2}{2}} \int_0^x e^{-\frac{t^2}{2}} dt$.
a) Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et trouver une équation différentielle vérifiée par $f$.
$\boldsymbol{b}$ ) Montrer que $f$ est développable en série entière et donner son développement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1426]
a) Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $t \mapsto e^{-t^2} \operatorname{ch}(xt)$ est intégrable sur $[0, +\infty[$.
b) La fonction $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \operatorname{ch}(xt) dt$ est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ ?
c) On admettra que $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2/2} \, \mathrm{d}t = \sqrt{2\pi}$. Établir une équation différentielle vérifiée par $F$. Donner une expression simple de $F$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1427]
On admettra que $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2/2} dt = \sqrt{2\pi}$. Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos(tx) dt$. Préciser le domaine de définition de $f$ et exprimer $f$ à l'aide d'une équation différentielle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1428]
Soit $\eta: x \in ]-1, +\infty[ \mapsto \int_0^1 (1-t^2)^x dt$. Montrer que $\eta$ est bien définie et de classe $\mathcal{C}^1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1429]
Soit $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t} \frac{\sin(xt)}{t} dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et l'exprimer à l'aide des fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1430]
Soient $E = \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $\mathcal{P}$ (resp. $\mathcal{I}$ ) le sous-espace des fonctions paires (resp. impaires) de $E$.
a) Montrer que $E = \mathcal{P} \oplus \mathcal{I}$.
b) Déterminer les $f \in E$ telles que $\forall x \in \mathbb{R}$, $f''(x) + f(-x) = x + \cos(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1431]
On considère l'équation différentielle $xy' + y = \frac{e^{-1/x^2}}{x^3}$.
a) Résoudre cette équation sur $\mathbb{R}^*$ puis sur $\mathbb{R}$.
b) Donner un développement limité d'une solution de l'équation différentielle à l'ordre 3 au voisinageqde 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1432]
a) Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^2$ vers $\mathbb{R}$.
i) Donner, en utilisant des quantificateurs, la définition de la continuité de $f$ en (0,0).
ii) Donner la définition de « $f$ différentiable en (0,0) ».- b) On considère $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = \begin{cases} xy \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$
i) Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$.
ii) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1433]
Soit $f:[a,b] \to E$ où $E$ est un espace euclidien et $a,b \in \mathbb{R}$ vérifient a < $b$. On suppose $f$ continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[.

Montrer qu'il existe $c \in ]a, b[$ tel que $||f(b) - f(a)|| \le ||f'(c)||(b - a)$. Ind. On pourra introduire $\phi : t \mapsto \langle f(t), f(b) - f(a) \rangle$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1434]
Soient $K = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2, \ x,y \geq0 \text{ et } 0 \le x+y \le 1\} \text{ et } f:(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto xy(1-x-y)$. Montrer que $f$ atteint un maximum et un minimum sur $K$ et les déterminer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1435]
On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $u \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ et $f$, $g$ définies sur $\mathbb{R}^n$ par : $\forall x \in \mathbb{R}^n$, $f(x) = \langle u(x), x \rangle$ et $g(x) = ||x||^2 1$.
a) On pose $K = g^{-1}\{0\}$. Montrer que $K$ est compact.
b) Montrer que $f_{|K}$ admet un maximum en $a \in K$.
c) Montrer que $g$ est différentiable et calculer sa différentielle et son gradient en tout point.
d) Montrer que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle et son gradient en tout point.
e) Montrer que a est un vecteur propre de $u$.
#+end_exercice


** Probabilités

#+begin_exercice [IMT # 1436]
Est-il possible de truquer deux dés à six faces de sorte que la somme obtenue pour un double lancer suive une loi uniforme?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1437]
Une urne contient a boules blanches et $b$ boules noires. On tire simultanément $n$ boules et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues. Donner la loi de $X$. Calculer son espérance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1438]
Lors d'une compétition de saut en hauteur, un participant saute à plusieurs reprises et, à l'instant $n$, a une chance sur $n$ de réussir son saut. S'il chute, la compétition s'arrête pour lui. On note $X$ le nombre de sauts réussis. Quelle est la loi de X? Existence et valeur de $\mathbf{E}(X)$ et de $\mathbf{V}(X)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1439]
On considère une pièce ayant une probabilité $p \in ]0,1[$ d'obtenir pile et un dé équilibré à 6 faces. On note $N$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pile, puis on lance $N$ fois le dé. Quelle est la probabilité d'obtenir un unique 6 parmi les $N$ lancers?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1440]
Soit $S$ la somme de $N$ dés équilibrés à 6 faces, où $N$ suit la loi uniforme sur $\db{1,52}$. Déterminer la probabilité des événements $(S=1)$, $(S=2)$, $(S=3)$. Calculer l'espérance de $S$.
#+end_exercice

# ID:8719
#+begin_exercice [IMT # 1441]
On joue des parties indépendantes d'un jeu où la probabilité de gagner est de $\frac{2}{3}$. Soit $A_n$ l'événement « les parties $n$ et n+1 sont gagnées, mais ce sont les premières à être gagnées consécutivement ». On note $p_n = \mathbf{P}(A_n)$.

 1. Calculer $p_1$ et $p_2$.
 2. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $p_{n+2} = \frac{1}{3}p_{n+1} + \frac{2}{9}p_n$.
#+end_exercice
#+begin_proof
 1. L'événement $A_1$ correspond à gagner les parties 1 et 2. Comme les parties sont indépendantes :
    $$p_1 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}.$$
    L'événement $A_2$ correspond à gagner 2 et 3, sans avoir gagné 1 et 2. Cela impose que la partie 1 soit perdue, puis 2 et 3 gagnées :
    $$p_2 = \frac{1}{3} \times \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{27}.$$
 2. Pour réaliser $A_{n+2}$ (le premier doublé gagnant est en position $n+2, n+3$), on raisonne sur le résultat des premières parties (système complet d'événements) :
    + Si la partie 1 est perdue (probabilité $1/3$), on se retrouve dans la même situation décalée d'un rang. Il faut donc réaliser l'événement $A_{n+1}$ sur la suite des parties. La contribution est $\frac{1}{3}p_{n+1}$.
    + Si la partie 1 est gagnée (probabilité $2/3$), alors la partie 2 doit nécessairement être perdue (sinon le premier doublé serait en 1, 2). La probabilité de ce début est $\frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$. On se retrouve alors dans la situation initiale décalée de deux rangs, et il faut réaliser $A_n$. La contribution est $\frac{2}{9}p_n$.
    On en déduit la relation de récurrence :
    $$p_{n+2} = \frac{1}{3}p_{n+1} + \frac{2}{9}p_n.$$
#+end_proof


# ID:8720
#+begin_exercice [IMT # 1442]
On dispose de $N$ coffres. Avec probabilité $p$, on place dans l'un des coffres un trésor (le choix du coffre est effectué sous loi uniforme). Quelle est la probabilité que le $N$-ième coffre contienne un trésor sachant que les $N-1$ autres coffres sont vides?
#+end_exercice
#+begin_proof
Notons $T$ l'événement "un trésor est placé" et $C_i$ l'événement "le trésor est dans le coffre $i$".
L'énoncé donne $P(T)=p$ et $P(C_i | T) = \frac{1}{N}$.
Ainsi, $P(C_i) = \frac{p}{N}$. Les événements $C_i$ sont deux à deux disjoints.

Soit $V$ l'événement "les $N-1$ premiers coffres sont vides". $V$ est le complémentaire de $\bigcup_{i=1}^{N-1} C_i$. On a $P(V) = 1 - \sum_{i=1}^{N-1} P(C_i) = 1 - (N-1)\frac{p}{N}$.

On cherche $P(C_N | V) = \frac{P(C_N \cap V)}{P(V)}$.
Or si le trésor est dans le coffre $N$, les autres sont vides, donc $C_N \subset V$, d'où $P(C_N \cap V) = P(C_N) = \frac{p}{N}$.
Finalement : $P(C_N | V) = \frac{\frac{p}{N}}{1 - \frac{p(N-1)}{N}} = \frac{p}{N - p(N-1)}$.
#+end_proof

#+begin_exercice [IMT # 1443]
Soient $n, N \in \N \setminus \{0, 1\}$. On considère $N$ clients et $n$ fournisseurs. Chaque client peut choisir individuellement un fournisseur. On note $X_i$ le nombre de clients ayant choisi le fournisseur numéro $i$.
a) Pour tout $i \in [1, n]$, déterminer la loi, l'espérance et la variance de $X_i$.
b) On pose $Y = \left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)^2$. Exprimer $\mathbf{E}(Y)$ de deux manières.
c) Calculer $\mathbf{E}(X_iX_j)$ et $\mathbf{Cov}(X_i,X_j)$ pour $(i,j) \in [1,n]^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1444]
Soient $X$ et $Y$ indépendantes de loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$. Calculer la loi de S=X+Y. Déterminer la loi de $X$ sachant (S=n).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1445]
Soit $(X_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ une famille de variables aléatoires $i$.i.d. de loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$. On pose $X=\min(X_1,\ldots,X_n)$. Calculer $\mathbf{P}(X\geq k)$, en déduire la loi de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1446]
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\N^2$, dont la loi est donnée par $\mathbf{P}((X,Y)=(j,k))=\frac{j+k}{e^{2j+k}j!k!}$ pour tout $(j,k)\in\N^2$. Calculer $\mathbf{E}\left(2^{X+Y}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1447]
Soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes suivant la loi géométrique de para-
mètre $p \in ]0,1[$. On pose D=X-Y et $I=\min(X,Y)$. a) Rappeler l'espérance et la variance de $X$.
b) Déterminer la loi conjointe de (D, I).
c) Préciser les lois de $D$ et $I$. Sont-elles indépendantes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1448]
Soit $(X_k)_{k\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de lois données par $\mathbf{P}(X_k=-k^\lambda)=\mathbf{P}(X_k=k^\lambda)=\frac{1}{2}$, où $\lambda\in ]0,1/2[$.
Pour $n\in\N^*$, on définit $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ et $Y_n=\frac{S_n-\mathbf{E}(S_n)}{n}$.
a) Déterminer $\mathbf{E}(S_n)$ et $\mathbf{V}(S_n)$.
b) Donner un équivalent de $u_n = \sum_{n=1}^{n} k^{\alpha}$, où $\alpha > 0$.c) Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et déterminer $\lim_{n \to +\infty} \mathbf{P}(|Y_n| > \alpha)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ISUP # 1449]
Soit $X$ une variable aléatoire réelle d'espérance nulle et d'écart-type $\sigma$. Montrer que, pour tous $\lambda, \mu > 0$, $\mathbf{P}(X \geq \lambda) \leqslant \frac{\sigma^2 + \mu^2}{(\lambda + \mu)^2}$ et $\mathbf{P}(X \geq \lambda) \leqslant \frac{\sigma^2}{\lambda^2 + \sigma^2}$.
#+end_exercice


* Autres Écoles - PSI

** Algèbre

#+begin_exercice [IMT # 1450]
Soit le polynôme $P(X) = X^4 + \alpha X^3 + \beta X - 16$, avec $\alpha, \beta \in \C$. Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ pour lesquelles le polynôme $P$ admet une racine triple.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1451]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Soit $D_A = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), M^T + M = \text{Tr}(M)A\}$. Caractériser le sous-espace $D_A$ et déterminer sa dimension.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1452]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $A^2 = B^2 = I_n$ et AB = -BA.

a) Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles et diagonalisables.
b) Montrer que $n$ est pair, puis que $A$ et $B$ sont semblables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1453]
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Pour $x\in\mathbb{R}$, on pose $A(x)=(a_{i,j}+x)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. On note $D(x)=\det(A(x))$.

a) On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$. Calculer D(x).
b) Montrer que D(x) est un polynôme en $x$ de degré au plus 1.
c) Dans le cas où $a_{i,i} = a$, $a_{i,j} = b$ pour $i$ > $j$ et $c$ pour $i$ < $j$, calculer det(A).
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENSEA # 1454]
On souhaite déterminer les suites $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$ et $(c_n)_{n\in\N}$ vérifiant la relation de récurrence suivante : $\begin{cases} a_{n+1} = 3 \ a_n + b_n \\ b_{n+1} = 3 \ b_n + c_n \\ c_{n+1} = 3 \ c_n \end{cases}$
a) Écrire le système sous la forme $X_{n+1} = AX_n$. En déduire $X_n$ en fonction de $A$ et de $X_0$.
b) Calculer, pour tout $n, A^n$.

c) Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1455]
Soient $a \in \C$ et $U \in \C[X]$ non nul. On pose $f: P \mapsto P + P(a)U$.
a) Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\C[X]$.
b) Montrer que $Ker(f) \subset Vect(U)$. c) Montrer qu'il y a égalité si et seulement si U(a) = -1. Que vaut le noyau de $f$ sinon?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1456]
a) Énoncer le théorème du rang.
b) On considère l'énoncé suivant :
« Soient $E$ et $F$ deux espaces et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. Alors $u$ injective $\Leftrightarrow u$ surjective. » Quelles hypothèses suffit-il de rajouter pour que cet énoncé soit vrai? Donner des contreexemples pour illustrer l'importance de ces hypothèses.- c) Démontrer que ces hypothèses sont en fait équivalentes à $\forall u \in \mathcal{L}(E,F), u$ injective $\Leftrightarrow u$ surjective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1457]
On considère $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $p, q \in \mathcal{L}(E)^2$ tels que $p + q = \operatorname{id} \operatorname{etr} \operatorname{rg}(p) + \operatorname{rg}(q) \leqslant \dim(E)$.
a) Montrer que $\operatorname{Im}(p) \oplus \operatorname{Im}(q) = E$
b) Montrer que $p$ et $q$ sont des projecteurs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1458]
a) Rappeler la définition de deux matrices semblables.
b) Soit $A$ une matrice non inversible et non nulle.
  - i) Montrer que $A$ est semblable à une matrice A' de première colonne nulle.
ii) Montrer qu'il existe (i, j) dans $\{1, \ldots, n\}^2$ tels que $A'E_{i,j} = E_{i,j}A' = 0$, où $E_{i,j}$ est la matrice avec des zéros partout, excepté un 1 sur la $i$-ème ligne et la *j*-ème colonne.
  - iii) En déduire qu'il existe $B$ non nulle telle que AB = BA = 0.
c) Étudier la réciproque de la propriété précédente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1459]
a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $\det(\overline{A}) = \overline{\det A}$.
b) Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que AB = BA. Montrer que $\det(A^2 + B^2) \geq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1460]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$. Pour $k \in \N$ on note $K_k = \operatorname{Ker}(u^k)$ et $I_k = \operatorname{Im}(u^k)$.
a) Si $u$ est injectif, que peut-on dire que $I_k$ et $K_k$ ?
b) Montrer que $\forall k \in \N$, $I_{k+1} \subset I_k$ et $K_k \subset K_{k+1}$.
c) On suppose que $u$ n'est pas injectif.
  - i) Montrer qu'il existe $p \in \db{1,n}$ tel que $I_{p+1} = I_p$ et $K_{p+1} = K_p$.
  - ii) Montrer que $\forall k \in \N$, $K_{p+k} = K_p$ et $I_{k+p} = I_k$.
  - iii) En déduire que $E = \operatorname{Ker}(u^p) \oplus \operatorname{Im}(u^p)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1461]
Soit $M=\begin{pmatrix}1&\cdots&\cdots&1\\\vdots&&&\vdots\\1&\cdots&\cdots&1\\n-1&\cdots&\cdots&n-1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
La matrice $M$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1462]
On note
$$A = \left( \binom{j-1}{i-1} \right)_{1 \leqslant i,j \leqslant n+1} \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$$
, avec comme convention que $\binom{j-1}{i-1} = 0$ si $i > j$.

a) La matrice $A$ est-elle inversible? Si oui, donner son inverse.
$\boldsymbol{b}$ ) La matrice $\boldsymbol{A}$ est-elle diagonalisable? Donner ses espaces propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1463]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $a_{i,j} = 1$ si $i$ = 1 ou $i$ = $n$ ou $j$ = 1 ou $j$ = $n$ et 0 sinon. Déterminer les éléments propres de A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1464]
Soit $f: P \in \mathbb{R}_n[X] \mapsto (X^2 - 1)P' - nXP$. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ et déterminer ses valeurs propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1465]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $f$ et $g$ dans $\mathcal{L}(E)$.

a) Soit $\lambda$ une valeur propre non nulle de $f \circ g$. Montrer que $\lambda$ est valeur propre de $g \circ f$.
b) Même question lorsque $\lambda = 0$.
c) Que peut-on en déduire sur les spectres de $f \circ g$ et $g \circ f$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1466]
Soient
$$(a,b) \in \mathbb{R}^2$$
 et $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ 0 & a & b & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

a) À quelles conditions sur a et $b$, la matrice $A$ est-elle diagonalisable?
b) Ces conditions étant vérifiées, déterminer une base de vecteurs propres de A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1467]
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$.

a) Calculer le spectre de $A$ et son polynôme caractéristique.
b) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a,b,c, pour que $A$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1468]
Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & j & j^2 \\ j & j^2 & 1 \\ j^2 & 1 & j \end{pmatrix}$.

a) i) Déterminer les valeurs propres de $A$.
ii) La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
iii) Calculer la dimension du noyau de $A$.
b) Soit $\Phi: X \in \mathcal{M}_3(\C) \mapsto AXA$.
i) Déterminer les valeurs propres de $\Phi$.
ii) L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable?
iii) Déterminer son image.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1469]
Soient $n \geq2$ et $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On définit $f: M \in E \mapsto \operatorname{tr}(M)$.
a) Déterminer le rang de $f$. En déduire que $E = \operatorname{Ker}(f) \oplus \operatorname{Vect}(I_n)$.
b) On définit $g: M \in E \mapsto M + \operatorname{tr}(M) I_n$. Montrer que $g$ est diagonalisable.
c) Soit $J \in E$ de trace nulle. On définit $h: M \in E \mapsto M + \operatorname{tr}(M)J$. Le polynôme caractéristique de $h$ est-il scindé? L'endomorphisme $h$ est-il diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1470]
Soit $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$. On pose $A = XX^T$.
a) Déterminer le rang et le spectre de A.
b) Exprimer $\chi_A(\lambda)$ en fonction de $\lambda$ et $X$.
c) Montrer que $\det(I_n + XX^T) = 1 + X^TX$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1471]
Soient $f$ et $g$ dans $\mathcal{L}(\C^2)$ tels que $f \circ g = g \circ f$. On suppose que $f$ n'est pas une homothétie.- a) Montrer que les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $q$.
b) On suppose $f$ diagonalisable. Montrer que $g$ est diagonalisable et qu'il existe $(\alpha, \beta) \in \C^2$ tel que $g = \alpha \operatorname{id} + \beta f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1472]
Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $f^3 + f^2 + f = 0$. On suppose que $f$ n'admet aucun polynôme annulateur non nul de degré inférieur ou égal à 2.
a) L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable?
b) Montrer que rg(f) = 2.
c) Montrer que $\operatorname{Im}(f) \subset \operatorname{Ker}(f^2 + f + \operatorname{id})$ puis que $\mathbb{R}^3 = \operatorname{Ker}(f) \oplus \operatorname{Ker}(f^2 + f + \operatorname{id})$.
d) Soit $x$ non nul dans $Ker(f^2 + f + id)$. Montrer que la famille (x, f(x)) est libre.
e) Montrer qu'il existe une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle $f$ a pour matrice $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1473]
On considère $A = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$.
a) Déterminer le spectre de A. Montrer que $A$ est semblable à une matrice diagonale $D$ que l'on explicitera.
b) Montrer que toute matrice commutant avec $D$ est une matrice diagonale.
c) Soit $P(X) = X^7 + X + 1$. Identifier les matrices $M$ telles que P(M) = A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1474]
Soient $A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ et $a \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ canoniquement
associé à A.
a) Montrer que $Im(a) \subset ker(a)$.
b) Déterminer une base de Im(a) et ker(a).
c) Montrer que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1475]
Soit $\alpha \in \C^*$. On pose $A = (\alpha^{i+j-2})_{1 \le i,j \le n}$.
a) Si $\alpha \in \mathbb{R}$, montrer que $A$ est diagonalisable.
b) Déterminer le rang et le spectre de A.
c) Pour quelles valeurs de $\alpha \in \C^*$, la matrice $A$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1476]
a) Soient $a,b \in \mathbb{R}$ et $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
b) Soient $(e_1,\ldots,e_{2p})$ la base canonique de $\mathbb{R}^{2p}$, $\alpha_1,\ldots,\alpha_{2p}\in\mathbb{R}$ et $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{2p})$ dont la matrice dans cette base est $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2p}$ où $a_{i,2p+1-i}=\alpha_i$, les autres coefficients étant nuls.
  - i) Représenter la matrice A.
  - ii) Montrer que le sous-espace $E_i = \text{Vect}(e_i, e_{2p+1-i})$ est stable par $f$.- iii) Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si tous les induits $f_{E_i}$ sont diagonalisables.
  - iv) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
c) Que peut-on dire en dimension impaire?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1477]
Soit $f: M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto M M^T$.
a) Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
b) Déterminer son noyau et sa dimension; est-il inversible?
c) Montrer que $f$ est diagonalisable et déterminer ses sous-espaces propres.
d) Montrer que $\dim S_n(\mathbb{R}) = \frac{n(n+1)}{2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1478]
Soit $n \in \N^*$. On considère $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB = BA et on pose $M = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & A \end{pmatrix}$.
a) Si $U, V \in \mathcal{M}_n(\C)$ sont semblables et si $R \in \C[X]$, montrer que R(U) et R(V) sont
semblables. b) Soit $P \in \C[Y]$ Exprimer P(M) an fonction de P(A) P'(A) at P(A)
b) Soit $P \in \C[X]$. Exprimer P(M) en fonction de P(A), P'(A) et $B$.
c) On suppose $B$ nulle et $A$ diagonalisable. Montrer que $M$ est diagonalisable. d) Si $\lambda \in \C$ n'est pas valeur propre de A, justifier que $A - \lambda I_n$ est inversible.
e) On suppose $M$ diagonalisable. Montrer que $B$ est nulle et $A$ diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1479]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que AB BA = A.
Soit $f: X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto XB BX$.
a) Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. b) Montrer que $\forall k \in \N^*, f(A^k) = kA^k$.
c) En déduire que $A$ est nilpotente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1480]
Soit $\mathcal{E} = \{ A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}), \ A^3 + 4A^2 + 5A = 0 \}$.
a) Soit $A \in \mathcal{E}$. Est-ce que $A$ est diagonalisable? Justifier.
b) Quelle relation peut-on écrire entre les racines d'un polynôme annulateur de $A$ et ses valeurs propres?
c) Déterminer l'ensemble des matrices de $\mathcal{E}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1481]
Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
a) On suppose $A^3 2A^2 + A 2I_n = 0$. Montrer que $A$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de A.
b) On suppose $A^2 + A + 2I_n = 0$. Montrer que $n$ est pair. c) On suppose $A^3 + A^2 + 2A = 0$. Montrer que rg(A) est pair.
C) On suppose $A$ + $A$ + 2A = 0. Monther que $\operatorname{Ig}(A)$ est pair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1482]
Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3 A^2 + A I_n = 0$. a) Soit $P$ un polynôme annulateur de A. Quel est le lien entre les racines de $P$ et les valeurs
propres de A? b) Déterminer $\det(A)$.
c) Montrer que $tr(A) \in \N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENSEA # 1483]
Trouver les matrices $M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ qui vérifient $\operatorname{tr}(M) = 3$ et $M^5 = M^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1484]
Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $(\mathcal{P}): M^3 - 4M = 0$ et $\mathrm{Tr}(M) = 0$.

a) Montrer que les valeurs propres de $M$ sont racines de $X^3 - 4X$.

b) Caractériser les matrices vérifiant (P).
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1485]
a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Que peut-on dire de $\det(A)$ s'il existe $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $B^2 = A$ ?

b) Soient $a \in \mathbb{R}$ et $A = \begin{pmatrix} 2+a & 2 & 1+a \\ 3-a & 3 & 3-a \\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}$. Calculer $\det(A)$. En déduire une condition

pour qu'il existe $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $B^2$

c) Désormais $a \geq0$. Déterminer les éléments propres de $A$ puis donner une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A = PDP^{-1}$.

d) Désormais $a \neq 1$ et $a \neq 3$. Montrer que, si $M$ est telle que $M^2 = D$ alors MD = DM. Déterminer les matrices $M$ telles que $M^2 = D$. En déduire les matrices $B$ telles que $B^2 = A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1486]
Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ avec $A$ symétrique et les valeurs propres de $A$ positives ou nulles. On suppose que AB + BA = 0.

a) Montrer que, pour tout $\alpha$ valeur propre de A, et pour tout vecteur propre $X$ associé à $\alpha$, on a ABX = 0.

b) En déduire que AB = BA = 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [nil # 1487]
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. Soit $P$ un polynôme annulateur de $u$. On suppose que 0 est une racine simple de $P$.

a) Caractériser la condition sur $P$ à l'aide de ses coefficients.

b) Montrer que le noyau de $u$ et celui de $u^2$ sont égaux.

c) Démontrer que, si $u$ est nilpotent, alors $u$ est nul.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1488]
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n \in \N^*$, $e = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E, v \in E \setminus \{0\}$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f(e_1) = \cdots = f(e_n) = v$. Déterminer le rang de $f$ et son éventuelle diagonalisablilité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1489]
Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable. Montrer que $(\operatorname{Tr}(A))^2 \leq \operatorname{rg}(A) \operatorname{Tr}(A^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1490]
Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel et $U \in \mathcal{L}(E)$.

a) On suppose que $U$ est diagonalisable. Montrer que $U^2$ est diagonalisable.

b) Montrer que la réciproque est fausse en donnant un contre-exemple.

c) Soit $\lambda \in \C^*$. Montrer que : $\ker(U^2 - \lambda^2 \operatorname{id}) = \ker(U - \lambda \operatorname{id}) \oplus \ker(U + \lambda \operatorname{id})$.

d) Montrer que si $U$ est un automorphisme alors la réciproque de la question a) est vraie, c'est-à-dire que $U^2$ diagonalisable implique $U$ diagonalisable.

e) Montrer que, si $U$ est diagonalisable, alors, pour tout polynôme $Q$, Q(U) est diagonalisable.

f) On suppose qu'il existe $Q$ dans $\C[X]$ tel que Q(U) est diagonalisable et que Q'(U) est bijectif. Montrer que $U$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1491]
Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ de dimension $n$, vérifiant $u^3 = u^2$, $u \neq id$, $u^2 \neq u$ et $u^2 \neq 0$.

a) Montrer que $Sp(u) \subset \{0,1\}$.
b) Montrer qu'il existe un vecteur $x \in E, x \neq 0$, tel que u(x) = 0. Que peut-on en déduire ?
c) Montrer de même que 1 est une valeur propre de $u$.
d) Montrer que $E = \ker(u^2) \oplus \operatorname{Im}(u^2)$ et que $\operatorname{Im}(u^2) = \ker(u \operatorname{Id}_E)$. e) Soient $p = \dim(\ker(u \operatorname{id}))$, $r = \dim(\ker(u))$ et $q$ = $n$ $p$ $r$. Montrer qu'il existe

une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme $\begin{pmatrix} I_p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ où $A$ une matrice quelconque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1492]
Soient $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $\Phi : M \in \mathcal{M}_n(\C) \mapsto AM \in \mathcal{M}_n(\C)$.
a) Vérifier que $\Phi$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\C)$.
b) Montrer que, pour tout $k \in \N$ et pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\C)$, $\Phi^k(M) = A^k M$. c) Montrer que $P \in \C[X]$ annule $A$ si et seulement s'il annule $\Phi$.
d) En déduire que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\Phi$ l'est.
e) Montrer que $A$ et $\Phi$ ont le même spectre (on s'intéressera aux colonnes de M).
f) On suppose $A$ diagonalisable et on note $(X_1, \ldots, X_n)$ une base de vecteurs propres de A. Exprimer une base de vecteurs propres de $\Phi$ en fonction de $X_1, \ldots, X_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1493]
Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel.
a) Soit $(u,v) \in \mathcal{L}(E)^2$. Soit $\lambda \in \mathbb{K}^*$. Montrer que si $\lambda$ est valeur propre de $u \circ v$ alors $\lambda$ est valeur propre de $v \circ u$.
b) Montrer que le résultat est vrai pour $\lambda = 0$ en dimension finie.
c) On se place dans $E=\mathbb{R}[X]$ et on considère $u,v\in\mathcal{L}(E)$ tels que $\forall P\in E, \forall x\in\mathbb{R}$,

$$u(P)(x)=\int_0^x P(t)\,\mathrm{d}t$$
 et $v(P)(x)=P'(x)$. Déterminer $u\circ v,\,v\circ u$. Montrer que $0$ est valeur propre de l'un de ces deux endomorphismes mais pas de l'autre.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1494]
Soit $\phi$ l'application qui à $P \in \mathbb{R}_3[X]$ associe le reste de la division euclidienne de $X^2P$ par $X^4-1$.
a) Prouver que $\phi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_3[X]$.
b) Donner la matrice $A$ de $\phi$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_3[X]$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable? *Ind.* On pourra calculer $A^2$.
c) Donner le spectre de $\phi$.
d) Donner les sous-espaces propres de $\phi$.
e) La matrice $A$ est-elle inversible? Si oui, donnez son inverse.
f) L'endomorphisme $\phi$ est-il un automorphisme de $\mathbb{R}_3[X]$ ? g) Que représente la matrice $A$ géométriquement?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1495]
Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $M = \begin{pmatrix} A & A \\ 0 & A \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$.
a) Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ deux matrices semblables et $P \in \mathbb{R}[X]$. Montrer que P(A) et P(B) sont semblables.
b) Calculer $M^k$ pour $k \in \N^*$.- c) Exprimer P(M) en fonction de A, P(A), P'(A).
d) En déduire que si $M$ est diagonalisable alors $A$ l'est aussi.
e) Démontrer que si $M$ est diagonalisable alors $A$ est nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1496]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 5A + 6I_n = 0$.
a) Citer deux conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une matrice carrée réelle soit diagonalisable.
b) Montrer que $A$ est diagonalisable et que $Sp(A) \subset \{2,3\}$. On notera $D$ une matrice diagonale associée.
c) Soit $f: M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto DM MD$. Montrer que $f$ est un endomorphisme et que $f$ est diagonalisable. Ind. Écrire $M$ et $D$ sous forme de matrices par blocs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1497]
Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que $A^k \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} B$.
a) Montrer que $B^2 = B$.
b) On suppose $A$ diagonalisable sur $\mathbb{R}$ avec $p$ valeurs propres distinctes. En utilisant une division euclidienne, montrer que, pour tout $k \in \N$, $A^k \in \mathbb{R}_{p-1}[A]$.
c) En déduire que $B \in \mathbb{R}_{p-1}[A]$.
d) Caractériser géométriquement $B$ à l'aide des sous-espaces propres de A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1498]
a) Énoncer l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
b) Soit $(x_1, \ldots, x_n) \in (\mathbb{R}^{+*})^n$ tel que $\sum_{i=1}^n x_i = 1$. Montrer que $\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \geq n^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1499]
Soit $E = \mathbb{R}_n[X]$ muni de $\langle P, Q \rangle = \sum_{k=0}^n a_k b_k$, où les $a_k$ (resp. $b_k$ ) sont les
coefficients de $P$ (resp. de Q). On admet qu'il s'agit bien d'un produit scalaire sur $E$.
a) Soit $H = \{P \in E, P(1) = 0\}$. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et en donner la dimension.
b) Déterminer la distance de $X$ à $H$.
c) On prend n=3. Donner une base orthonormée de $H$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1500]
Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(e_1, \ldots, e_n)$ une famille quelconque de $E$. On suppose que pour tout $x\in E, \|x\|^2=\sum_{i=1}^n \langle x,e_i\rangle^2$.

Montrer que $(e_1, \ldots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1501]
Pour $P, Q \in \mathbb{R}_2[X]$, on pose $\phi(P, Q) = P(0)Q(0) + P'(1)Q'(1) + P''(2)Q''(2)$.
a) Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire.
b) Déterminer une base orthonormée de $\mathbb{R}_2[X]$.
c) Calculer $d(X^2 + X 2, \mathbb{R}_1[X])$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1502]
a) Énoncer l'inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que le cas d'égalité.
b) Montrer que : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \forall t \in \mathbb{R}, \frac{|x+ty|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leqslant \sqrt{1+t^2}$.
c) Montrer que $\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}} \frac{|x+ty|}{\sqrt{x^2+u^2}} = \sqrt{1+t^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENSEA # 1503]
a) Montrer que l'application $\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}\left(A^TB\right)$ définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
b) Soit $M = E_{1,2} + E_{2,3}$. Déterminer la projection orthogonale de $M$ sur le sous-espace vectoriel $S_n(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1504]
Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur [-1,1]. Pour toutes fonctions $f$ et $g$ dans $E$, on pose $\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(t) g(t) dt$.

a) Montrer que $\langle \; , \; \rangle$ est un produit scalaire sur $E$. Dans la suite, on munit $E$ de ce produit
scalaire. b) Soit $F = \{ f \in E : \forall x \in [0,1], f(x) = 0 \}$ et $G = \{ g \in E : \forall x \in [-1,0], g(x) = 0 \}$.

Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces de $E$ orthogonaux et en somme directe. c) Sont-ils supplémentaires dans E?

d) Montrer que $G \subset F^{\perp}$.
e) Le but de cette question est de montrer que $G = F^{\perp}$. Soit $q \in F^{\perp}$.
i) On définit $f_n \in E$ par la fonction nulle sur [0,1], g(0) sur [-1,-1/n] et affine sur [-1/n, 0]. Calculer $\langle f_n, g \rangle$ puis montrer que $g(0) \int_{-1}^{0} g(x) dx = 0$.
ii) En considérant la fonction nulle sur [0,1] et égale à $x \mapsto g(x) g(0)$ sur [-1,0], montrer que $g \in G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1505]
Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien, $u$ un vecteur non nul de $E$ et $H$ = $\operatorname{Vect}(u)^{\perp}$. On note $p$ le projecteur orthogonal sur $H$ et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $H$.
a) Montrer $\forall x \in E, p(x) = x \frac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u$.
b) Montrer $\forall x \in E, s(x) = x 2 \frac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u$.
c) On se place dans $\mathbb{R}^3$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soit $H = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3, x - y + z = 0\}$. Écrire la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale $s$ par rapport à $H$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1506]
Soient $E$ un espace euclidien et $f \in \mathcal{L}(E)$. On dit que $f$ est une similitude vectorielle s'il existe $v \in \mathcal{O}(E)$ et $\lambda \in ]0, +\infty[$ tels que $f = \lambda v$.
a) Montrer que, si $f$ est une similitude vectorielle, alors $f$ conserve l'orthogonalité.
Soit $g \in \mathcal{L}(E)$ tel que $g$ conserve l'orthogonalité.
b) Si $a, b \in E$ sont unitaires, calculer $\langle a + b, a b \rangle$.
c) Montrer que $q$ est une similitude vectorielle. Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1507]
On munit $\mathbb{R}^n$ euclidien de sa structure euclidienne canonique. Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $M^T = M^3$. On pose $N = M^4$.- a) Montrer que $N$ est symétrique.
b) Montrer que, pour tout $X$ dans $E$, on a $\langle NX, X \rangle \geq0$.
c) Montrer que $N^3 = N$.
d) En déduire que $M$ est orthogonale.
e) Pour n=2, déterminer toutes les matrices $M$ qui vérifient l'équation initiale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1508]
Soient $(E, \langle \ , \ \rangle)$ un espace euclidien, $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux.
Soient $f = p \circ q \circ p$ et $g = q \circ p \circ q$. a) Montrez que $f$ et $q$ sont des endomorphismes auto-adjoints
a) Montrez que $f$ et $g$ sont des endomorphismes auto-adjoints.b) Montrer que $f$ et $g$ sont positifs.
${\it c}$ ) Montrer que $f$ et $g$ ont les mêmes valeurs propres non nulles.
d) Montrer que $\ker(f) = \ker(q \circ p)$ et que $\ker(g) = \ker(p \circ q)$. e) Démontrer que $f$ = $g$ si et seulement si $p$ et $q$ commutent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENSEA # 1509]
On se place dans $\mathbb{R}^3$ munit de sa structure euclidienne orientée canonique.

Soient $\vec{n}$ un vecteur unitaire et $\theta$ un angle. a) Montrer que la rotation $\Phi$ d'axe orienté $\text{Vect}(\vec{n})$ et d'angle $\theta$ est définie par :

$$\forall \vec{u} \in \mathbb{R}^3, \, \Phi(\vec{u}) = \cos(\theta)\vec{u} + (1 - \cos(\theta)) \, \langle \vec{u}, \vec{n} \rangle \, \vec{n} + \sin(\theta)(\vec{n} \wedge \vec{u}).$$

b) Donner la matrice de $\Phi$ dans la base canonique pour $\theta = \frac{\pi}{3}$ et $\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1510]
Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $B = A + A^T$. On suppose qu'il existe $k \in \N^*$ tel que $B^k = 0$. Montrer que $A$ est antisymétrique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1511]
Soient $E$ un espace euclidien et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\forall x \in E, \langle f(x), x \rangle = 0$. a) Montrer que $E = \operatorname{Ker}(f) \oplus \operatorname{Im}(f)$ et $\operatorname{Ker}(f) \perp \operatorname{Im}(f)$. On pourra considérer la quantité

b) On note $g$ l'endomorphisme induit par $f$ sur $\operatorname{Im}(f)$. Montrer que $g \in \operatorname{GL}(\operatorname{Im}(f))$. c) Montrer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}^*$, $g - \lambda \operatorname{id} \in \operatorname{GL}(\operatorname{Im}(f))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1512]
a) Montrer que, si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ alors $S = AA^T$ est symétrique positive.
b) Si $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, montrer qu'il existe $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $S = AA^T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1513]
Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$. Soient les trois propositions suivantes : i) $u \in \mathcal{O}(E)$, ii) $u^2 = -\operatorname{id}$, iii) $\forall x \in E^2$, $\langle u(x), x \rangle = 0$. Montrer si l'on suppose deux propositions vraies, alors la troisième est vraie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1514]
Soit $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $M^TM = MM^T$ et $M^2 + 2I_2 = 0$.
a) Justifier que $M^TM$ est diagonalisable.
b) Déterminer les valeurs propres de $M^TM$.
c) Montrer que $\frac{1}{\sqrt{2}}M \in \mathcal{O}_2(\mathbb{R})$.
d) Déterminer l'ensemble des matrices vérifiant les hypothèses.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1515]
Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $u : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mapsto M \text{Tr}(M) A$.- a) Montrer que $u$ est un endomorphisme.
b) Déterminer les valeurs propres et sous-espaces propres de $u$. L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable?
c) On prend $A = I_n$ et $\mathbb{K} = \mathbb{R}$. Montrer que $u$ est autoadjoint pour le produit scalaire canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Répondre d'une autre manière à la question b).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1516]
Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien et $u, v \in \mathcal{O}(E)$.
a) On suppose que $u$ + $v$ = 2 id. Montrer que $u$ = $v$ = id.
b) On suppose qu'il existe $m \in \mathcal{L}(E)$ telle que $umu^{-1} + vmv^{-1} = 2m$. Que dire de $u$, vet m?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1517]
Soient
$n \geq 3$
 et $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

a) Déterminer le rang de A. En déduire la dimension de ker(A). La matrice $A$ est-elle diagonalisable? En déduire la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre nulle.
b) Montrer que $\forall X \in \mathbb{R}^n$, $X^T A X \leqslant \max_{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)} (\lambda) X^T X$.
c) Montrer qu'il y a égalité dans l'inégalité précédente si et seulement si $X$ est nul ou est un vecteur propre associé à la plus grande des valeurs propres.
d) Montrer que les valeurs propres de $A$ sont $0, \lambda$ et $1 \lambda$, où $\lambda$ désigne la plus grande valeur propre de A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1518]
Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien, $(e_1, \ldots, e_n)$ une base orthonormée de $E$.
a) Soit $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que $\operatorname{tr}(f) = \sum_{k=1}^{n} \langle f(e_k), e_k \rangle$.
b) Soient $f, g \in \mathcal{S}^+(E)$. Montrer que $0 \le \operatorname{tr}(f \circ g) \le \operatorname{tr}(f) \operatorname{tr}(g)$. c) Soit $f \in \mathcal{S}^{++}(E)$. Déterminer les $g \in \mathcal{S}^+(E)$ tels que $\operatorname{tr}(f \circ g) = \operatorname{tr}(f) \operatorname{tr}(g)$.
#+end_exercice


** Analyse

#+begin_exercice [CCINP # 1519]
Soit $E = \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R})$. Si $f \in E$, on pose $N_0(f) = \int_0^1 |f(t)| dt$,

$$N_1(f) = \left| \int_0^1 f(t) \, dt \right| + \int_0^1 |f'(t)| \, dt \text{ et}$$

$$N_2(f) = \left| \int_0^1 f(t) \, dt \right| + \left| \int_0^1 f'(t) \, dt \right| + \left| \int_0^1 f''(t) \, dt \right|.$$

a) Soit $f: x \mapsto \sin(2\pi x)$. Calculer $N_0(f)$, $N_1(f)$ et $N_2(f)$.
b) Montrer que $N_1$ est une norme. Est-ce que $N_2$ est une norme?
c) Montrer que, pour toute $f \in E$, il existe $c \in [0,1]$ tel que $f(c) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt$.
d) Montrer que $\forall f \in E, N_1(f) \leqslant N_0(f)$. Existe-t-il une fonction $f$ non identiquement nulle telle que $N_1(f) = N_0(f)$ ?- e) Existe-t-il $C \geq0$ tel que $\forall f \in E, N_0(f) \le CN_1(f)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1520]
Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $F$ un sous-espace de $E$. On suppose que l'adhérence de $F$ est égale à $E$. Soient $v \in E \setminus F^{\perp}$ unitaire et $G = \{v\}^{\perp}$.
a) Soient $(x,y) \in F^2$ et $z = \langle x,v \rangle y \langle y,v \rangle x$. Montrer que $z \in F \cap G$.
b) Montrer que tout élément de $G$ est limite d'une suite d'éléments de $F \cap G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1521]
Soit $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien. On fixe $k \in [0, 1[$, et on considère l'ensemble : $F = \{ f \in \mathcal{L}(E) ; \forall x \in E, ||f(x)|| \leq k||x|| \}$.
a) Déterminer l'ensemble $F$ lorsque k=0.
b) Vérifier que l'application identité id n'appartient pas à $F$.
c) Montrer que $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$.
d) Montrer qu'il existe une norme sur $\mathcal{L}(E)$ telle que $F$ est une boule fermée pour cette norme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1522]
Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels normés et $f: E \to F$.
a) Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes :
  - i) $f$ est continue en $a \in E$,
  - ii) pour toute suite $(x_n)$ telle que $x_n \to a$, on a $f(x_n) \to f(a)$.
On suppose ici que $E=F=\mathbb{R}$ et que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est continue. On suppose de plus que $\forall a,b\in\mathbb{Q},\,a< b\Rightarrow f(a)< f(b)$.
$\forall a, b \in \mathcal{Q}, a < b \Rightarrow f(a) < f(b)$. b) Montrer que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
c) Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1523]
a) Pour $n \in \N^*$, montrer que l'équation $x^n + x\sqrt{n} 1 = 0$ possède une unique solution dans [0, 1], que l'on note $x_n$.
b) Déterminer la limite de $(x_n)_{n \in \N^*}$.
c) Que dire de la nature de la série de terme général $x_n$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1524]
Pour $n \geq2$, soit $f_n : x \mapsto nx^3 + n^2x 2$.
a) Pour $n \geq2$, montrer que l'équation $f_n(x) = 0$ possède une unique solution dans ]0,1[. On la note $u_n$.
b) Déterminer les variations de $(u_n)_{n\in\N}$. Montrer que $(u_n)_{n\in\N}$ admet une limite $\ell$ et la déterminer.
c) Déterminer un équivalent de $u_n \ell$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENSEA # 1525]
a) Pour $n \in \N^*$, montrer que l'équation $x e^{\sqrt{x}} = \sqrt{n}$ admet une unique solution $x_n \in \mathbb{R}^+$.
b) Déterminer la limite de la suite $(x_n)$.
c) Déterminer un équivalent de $x_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1526]
Déterminer la nature de la série de terme général $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1527]
On pose, pour $n \in \N$, $U_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(t)^n dt$.- a) Donner une relation entre $U_{n+2}$ et $U_n$.
b) Donner un équivalent de $U_n$ en $+\infty$.
c) Étudier la série de terme général $(-1)^n U_n$.
d) Montrer la convergence de la série $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$ et calculer sa somme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1528]
Soit $\alpha > 1$. Pour $n \in \N$, on pose $R_n(\alpha) = \sum_{k=-1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}$.
a) Montrer que $\lim_{n\to+\infty} R_n(\alpha) = 0$.
b) Montrer que $R_n(\alpha) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{(\alpha 1)_{n}^{\alpha 1}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1529]
a) Montrer que : $\forall x > -1, \ \forall k \in \N, \ (1+x)^k \geq1 + kx$. b) Pour $n \in \N^*$, on pose $x_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^k$. Donner un encadrement de $x_n$.
c) i) Montrer que la série $\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{n} \int_{t}^{t} \frac{dt}{t}\right)$ converge.

  - ii) En déduire un équivalent de $x_n$ lorsque $n \to \infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1530]
Étudier la nature de la série de terme général $u_n = \sin \left(\pi \sqrt{n^2 + 1}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1531]
Étudier la nature de la série de terme général $u_n = e \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1532]
Étudier la nature de la série de terme général $u_n = \frac{(-1)^n}{n + (-1)^n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1533]
Étudier la nature de la série de terme général $u_n = (-1)^n \frac{\sin(\ln(n))}{n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1534]
Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0\in[0,\pi/2]$ et, pour $n\in\N$ $u_{n+1}=\sin(u_n)$.
a) Montrer que $(u_n)_{n\in\N}$ converge et déterminer sa limite.
b) Montrer que $\sum u_n^3$ converge. c) Montrer que $(u_{n+1}^{-2} - u_n^{-2})$ converge.
d) Donner un équivalent de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1535]
a) Énoncer le critère spécial des séries alternées.
b) Pour $n \in \N^*$, on pose $u_n = \cos\left(\pi n^2 \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)$.
Montrer que $u_n = \frac{(-1)^n \pi}{3n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$.
c) En déduire la nature de la série $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1536]
Déterminer la nature de l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} \left(e^{\frac{\sin x}{\sqrt{x}}} - 1\right) dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENSEA # 1537]
Étudier, en fonction des paramètres réels $\alpha$ et $\beta$, l'intégrabilité sur $[2, +\infty[$ de $x \mapsto \frac{e^{\beta x}}{x^{\alpha} \ln(x)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1538]
On pose $I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin^3(t)}{t^2} dt$.

a) Justifier la convergence de $I$.
b) Montrer $\forall t \in \mathbb{R}, \sin^3(t) = \frac{3}{4}\sin(t) \frac{1}{4}\sin(3t)$.
c) Montrer que $\int_0^{+\infty} \frac{\sin^3(t)}{t^2} dt = \frac{3}{4} \lim_{x \to 0^+} \int_x^{3x} \frac{\sin(t)}{t^2} dt$.
d) Soit $g: t \in \mathbb{R}^* \mapsto \frac{\sin(t) t}{t^2}$. Montrer que $g$ est prolongeable par continuité en 0.
e) Calculer $I$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1539]
a) Établir pour $n \in \N$ l'existence de $I_n = \int_n^{+\infty} e^{-t^2} dt$.
b) Déterminer la nature des séries $\sum I_n$ et $\sum nI_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [nil # 1540]
Soit $f: x \geq0 \mapsto \int_{-\pi}^{+\infty} \ln\left(\frac{t^2 + 2}{t^2 + 1}\right) dt$.
a) Justifier l'existence et la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}^+$.
b) Montrer que $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et calculer f'.
c) Que peut-on dire de f' en 0?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1541]
Pour $n \in \N^*$, on pose $f_n : x \in ]0,1[ \mapsto \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k} \int_1^n \frac{x^t}{t} dt$. Étudier la convergence de la suite $(f_n)_{n\geq 1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENSEA # 1542]
Pour $n \in \N^*$, soit $f_n : x \in [0,1] \mapsto \frac{n^2 x^2}{1 \perp n^3 x^3}$.
a) Étudier la convergence simple et uniforme sur [0, 1] de la suite $(f_n)$. b) Étudier la convergence simple et uniforme sur [0, 1] de $(f'_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [nil # 1543]
Pour $n \in \N$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $f_n(x) = \frac{nx^2}{1+nx}$ si $x \geq 0$ et $f_n(x) = \frac{nx^3}{1+nx^2}$ si $x$ < 0.
a) Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers une fonction que l'on précisera.
b) Montrer que les $f_n$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et étudier la convergence de $(f'_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1544]
Pour $n \in \N^*$, soit $f_n : x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{1}{\op{sh}(nx)}$.
a) Donner le domaine de définition de $f = \sum_{n=0}^{\infty} f_n$.
b) Donner le domaine de continuité de $f$.
c) Déterminer les variations de $f$.
d) Démontrer l'existence de $x_0 > 0$, tel que : $\forall x \geq x_0, \forall n \geq2, f_n(x) \le 3 e^{-nx}$.
e) Montrer que $f(x) \sim \frac{1}{\sinh(x)}$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1545]
Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{(2n+1)x}}{(2n+1)^2}$.
a) Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
b) Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur son domaine de définition.
c) En déduire une expression de $f$ sur son domaine de définition.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1546]
Soit $S: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(nx)}{2^n}$.
a) Déterminer le domaine de définition de $S$.
b) Donner une expression de $S$ à l'aide des fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1547]
Pour $n \in \N^*$, soit $u_n : x \mapsto \frac{\ln(1+n^2x^2)}{n^2\ln(1+n)}$. Soit $S = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n$.
a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $S$.
b) Montrer que $S$ est continue sur $D$.
c) Montrer que la série $\sum u_n'$ converge uniformément sur $D$. On s'aidera d'une comparaison série-intégrale.
d) Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1548]
Soient a>0 et $\phi$ une fonction continue sur I=[-a,a]. On suppose qu'il existe un réel $c\geq 0$ tel que $\forall x\in I, \ |\phi(x)|\leqslant c|x|$. On cherche l'ensemble des fonctions $f$ continues sur $I$ telles que f(0)=0 et $\forall x\in I, \ f(x)-f(x/2)=\phi(x)$.
a) Montrer que $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \phi(x/2^n)$ est définie et continue sur $I$.
b) Montrer que $S$ est l'unique solution du problème.
c) On suppose que $\phi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Montrer que $S$ est dérivable sur $I$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1549]
Pour $n \in \N$ on note $z_n = (1+i)^n$.
a) Calculer le module et un argument de $z_n$.
b) Montrer que la fonction $x \mapsto e^x \cos(x)$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$.
c) En notant $e^x \cos(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n!} x^n$, montrer que, pour tout $n \in \N$, $a_n \in \N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1550]
Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon $R$. On note R' le rayon de la série

entière $\sum b_n z^n$, où $\forall n \in \N, b_n = \frac{a_n}{1 + |a_n|}$. a) Montrer que $R' \geq\max(1, R)$.
b) Si R' > 1, montrer que R' = $R$. c) Montrer que $R' = \max(1, R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1551]
Soit $u_1 \in \mathbb{R}$ et, pour tout $n \geq 1$, $u_{n+1} = \frac{1}{n} e^{-u_n}$. a) Donner la nature de la suite $(u_n)_{n\in\N}$.
b) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum u_n x^n$.
c) Sur quel ensemble la somme de cette série entière est-elle définie?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1552]
Soit, pour $n \in \N$, $a_n = \int_0^1 \left(\frac{1+t^2}{2}\right)^n$. Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$.
a) Montrer que la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est convergente et déterminer sa limite
b) Montrer que $\sum (-1)^n a_n$ converge
c) Montrer que, pour tout $n, a_n \geq \frac{1}{2n+1}$.
d) En déduire le rayon de convergence $R$ de $f$. e) Montrer que, pour tout $n$, $(2n+2)a_{n+1} = 1 + (n+1)a_n$.
f) Montrer que $f$ est solution d'une équation différentielle que l'on déterminera.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1553]
Soit $(a_n)$ définie par $a_0 = a_1 = 1$ et $\forall n \in \N, \ a_{n+2} = a_{n+1} + \frac{a_n}{n+2}$. a) Montrer que $(a_n)$ est strictement positive.
b) Étudier sa monotonie.
c) Montrer que la série $\sum (a_{n+1} a_n)$ diverge. Quelle est la limite de $(a_n)$ ?
d) Quel est le rayon de convergence de la série entière $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ ?
e) Montrer que $S$ est solution de (x-1)y' + (x+1)y = 0. En déduire $S$.
f) Montrer que $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} (n-k+1)$.
g) Déterminer un équivalent de $a_n$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1554]
Pour tout $n \in \N^*$, on pose $I_n = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{1 + n^4 r^3} dx$.
a) Justifier l'existence de $I_n$.
b) Montrer que $I_n = \frac{1}{n^{5/3}} J_n$, où $J_n = \int_{-1}^{+\infty} \frac{n^{1/3} \sin(n^{-1/3}t)}{1 + t^3} dt$.
c) Montrer que la suite $(J_n)$ admet pour limite $K=\int_0^{+\infty}\frac{t}{1+t^3}\,\mathrm{d}t$. En déduire la limite de la suite $(I_n)$.d) À l'aide d'un changement de variable, montrer que
$K = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^3}$.

e) Montrer que $2K = \int_0^{+\infty} \frac{1+t}{1+t^3} dt = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}}$.
$J_0$ $1+t^3$ $3\sqrt{3}$ f) En déduire un équivalent de $I_n$ lorsque $n \to +\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1555]
Soient $\alpha \in \mathbb{R}$ et $n \in \N$. On pose $J_n = \int_{-\pi}^{\pi/2} \cos(t)^n \sin(t)^{\alpha} dt$.
a) Étudier l'existence de $J_n$.
b) On suppose $\alpha \geq 2$ et on pose $g: t \mapsto \frac{\sin(t)^{\alpha}}{1 \cos(t)}$. Montrer que $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(t) dt$ existe.
c) On pose $K_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \cos(t)^n dt$. En rappelant les hypothèses du théorème utilisé, donner la limite de $(K_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1556]
a) Soit $n \in \N$. Montrer que l'intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2 + t^n e^{-t}}$ converge. b) Existence et calcul de la limite de $(u_n)$ où $u_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2 + t^n e^{-t}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1557]
Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^{+\infty} \frac{x^n}{1 + x^{n+2}} dx$. Montrer que $I_n$ est défini pour tout $n$ et déterminer la limite de $(I_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1558]
On pose, pour $n \in \N^*$, $U_n = \int_0^{+\infty} \frac{n \sin\left(\frac{x}{n}\right)}{x(1+x^2)} dx$.
a) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, l'intégrale $U_n$ est bien définie.
b) Étudier la convergence de la suite $(U_n)_{n\geq 1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1559]
Prouver la convergence de l'intégrale $I=\int_0^{+\infty}\frac{t}{\sinh t}\,\mathrm{d}t$ et en donner une valeur explicite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1560]
Pour tout $n \in \N$, on pose $I_n = \int_{a}^{+\infty} x^n e^{-x} dx$.
a) Existence et calcul de $I_n$.
b) Montrer $\int_{0}^{+\infty} \cos(\sqrt{x}) e^{-x} dx = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{n!}{(2n)!}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1561]
On note $I$ l'intégrale $\int_0^1 \frac{\ln(t^2) \ln(1-t^2)}{t^2} dt$.
a) Montrer que $I$ est bien définie.
b) Montrer que $t\mapsto \ln(1-t^2)$ est développable en série entière ; préciser le développement et son rayon.- c) Pour $n \in \N^*$, on pose $f_n : t \mapsto -\frac{2}{n}t^{2n-2}\ln(t)$. Montrer : $\int_0^1 f_n(t) dt = \frac{2}{n(2n-1)^2}$.
d) Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{1} f_n(t) dt = \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t) dt$. En déduire $I = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2}{n(2n-1)^2}$.
  - e) Déterminer $a,b,c\in\mathbb{R}$ tels que $\forall n\in\N^*, \frac{1}{n(2n-1)^2}=\frac{a}{n}+\frac{b}{2n-1}+\frac{c}{(2n-1)^2}$.
f) Montrer que $\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n} \frac{2}{2n-1} \right) = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1562]
Soit $a \in \mathbb{R}^{+*}$.

g) On admet que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Montrer que $I = -4\ln(2) + \frac{\pi^2}{2}$.

a) Montrer que l'intégrale suivante est définie : $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{a}} dt$.
b) Montrer que l'intégrale suivante est définie et calculer sa valeur : $\int_{0}^{1} t^{na} dt$. c) On souhaite montrer que $\int_0^1 \frac{1}{1+t^a} dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{na+1}$.
  - i) Est-il possible de le montrer grâce à une intégration terme à terme en montrant la conver-
gence uniforme?
ii) Est-il possible de le montrer grâce à une intégration terme à terme en montrant la convergence de la série des intégrales?
d) Que se passe-t-il pour a = 1 et a = 2?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1563]
Soit $f: x \in ]0,1[ \mapsto \frac{\ln(x)}{x-1}$. On pose $I = \int_{-1}^{1} f(x) dx$.
a) Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en 1.
b) Soit $g:t\mapsto f(1-t)$. Montrer que $g$ est développable en série entière en 0; préciser le

iii) Est-il possible de le montrer en montrant que l'intégrale du reste tend vers 0?

rayon de convergence. c) Calculer $I$ en admettant que $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1564]
On note $f: t \mapsto \frac{1}{t} \ln \left( \frac{1-t}{1+t} \right)$.
a) Montrer l'existence de $I = \int_0^1 f(t) dt$.
b) Exprimer $f$ sous la forme d'une série et calculer $I$, en sachant que $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1565]
Soient $k \in \N$ et $n \in \N^*$. On pose : $I_{k,n} = \int_{a}^{+\infty} t^k e^{-nt} dt$ et $a_n = I_{n,n}$.- a) Déterminer la limite de $\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$ lorsque $n\to+\infty$.
b) Montrer que l'intégrale $I_{k,n}$ est bien définie.
c) Calculer explicitement $I_{k,n}$ en fonction de $k$ et de $n$. d) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$.
e) Étudier la nature de la série $\sum a_n e^n$.
f) Étudier la nature de la série $\sum (-1)^n a_n e^n$.
g) Montrer que, pour tout $x \in ]-R, R[, \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = \int_0^{+\infty} \frac{tx}{e^t tx} dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1566]
Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{1+t^2} dt$.
a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $D$ et exprimer f' sans symbole d'intégrale.
b) En déduire la valeur de $\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{r^2 1} dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1567]
Soit $f: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(t)}{r^2 + t^2} dt$.
a) Montrer que $f$ est bien définie.
b) Montrer que $f$ est continue.
c) Montrer que f(1) = 0.
d) Donner une expression explicite de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1568]
Soit $g: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_{0}^{+\infty} e^{xt} \frac{\sin(t)^2}{t} dt$.
a) Montrer que $q$ est bien définie
b) Trouver la limite de $g$ en $+\infty$. Ind. Montrer: $\forall t \in \mathbb{R}^+$, $\sin(t)^2 \leq t^2$.
c) Montrer que $q$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^{+*}$.
d) Calculer g'(x) pour $x$ > 0 et trouver $g$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1569]
Le but est de calculer l'intégrale $A = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du$.
On pose $\psi: x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} dt$.
a) Montrer que $\psi$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^+$.
b) Montrer que $\psi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^{+*}$.
c) Calculer $\psi(0)$ et déterminer la limite de $\psi$ en $+\infty$. d) Montrer que, pour tout $x$ > 0, $\psi'(x) = -A\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}$.
e) Montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty} \psi'(x) dx = -2A^2$. En déduire la valeur de A.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1570]
Soit $F: x \in ]-1, +\infty[ \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\left(e^{-t} - e^{-2t}\right)e^{-xt}}{t} dt$.

a) Montrer que $F$ est bien définie sur $]-1, +\infty[$.

b) Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $]-1, +\infty[$ et calculer F'.

c) Montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la donner.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Saint-Cyr # 1571]
Soit $f: x \mapsto \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+t^x} dt$

d) Calculer F(x) pour tout $x$ > -1.

a) Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$.

b) Montrer que $f$ est continue puis de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{D}_f$.

c) Conjecturer à l'aide de Python la valeur de f(2). Prouver cette conjecture.

d) Étudier la monotonie de la fonction $f$ sur son domaine. e) Calculer les limites de $f$ en $1^+$ et en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1572]
Soit $F: x \mapsto \int_0^\pi \sin(x\sin(t)) dt$.

a) Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$.

b) En déduire la limite de $x \mapsto \frac{F(x)}{x}$ lorsque $x$ tend vers 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1573]
Soient $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t} t^x dt$ et $g: x \mapsto \int_0^x \ln(f(t)) dt$. a) Montrer que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^+$.

b) Trouver une relation entre f(x) et f(x-1). c) Montrer que $g$ est dérivable et calculer g'.

d) Nature de la série $\sum \frac{(-1)^n}{a(n)}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1574]
Soit $f: x \in \mathbb{R} \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\cos(xt)}{(1+t^2)^2} dt$.

a) Montrer que $f$ est bien définie. La fonction $f$ est-elle paire? continue?

b) Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$.

c) Démontrer: $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{x}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(xt)}{1+t^2} dt$. d) Déterminer une équation différentielle linéaire du second ordre satisfaite par $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1575]
Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}$.

a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.

b) Montrer que $f$ est continue sur $D$.

c) Pour tout $x \in D$, montrer que $1 x \in D$ et que f(1 x) = f(x). d) Soit $h: x \mapsto \int_{a}^{1} \frac{t^{x-1}}{1+t} dt$.
i) Montrer que $h$ est continue sur $]0, +\infty[$.- ii) Pour tout $x \in D$, prouver $f(x) = h(1-x) + \frac{1}{x} h(1+x)$.
iii) Donner un équivalent de $f$ en chaque borne de $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1576]
Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + e^{tx} + e^{-t}}$
a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.
b) Montrer que $f$ est continue sur $D$.c) Donner des équivalents de $f$ aux bornes de $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1577]
Trouver les $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ vérifiant $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \int_0^x f(t) dt = 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1578]
Soit (E) l'équation différentielle : $y' 2xy = (-2x 1)e^x$.
a) Soit l'équation différentielle homogène y' + a(x)y = 0, où a est une fonction continue sur
$\mathbb{R}$. Montrer que l'ensemble des solutions est $\{x \mapsto \lambda e^{-A(x)}, \ \lambda \in \mathbb{R}\}$, où $A$ est une primitive de a.
b) Résoudre l'équation (E).
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1579]
Soit (E) l'équation différentielle $(x^2 + x)y'' + (3x + 1)y' + y = 0$.
a) Déterminer une solution de (E) développable en série entière au voisinageqde 0.
b) En déduire que la fonction $f: x \mapsto \frac{1}{1+x}$ est solution de $E$.
c) Trouver une autre solution de (E) indépendante de la première à l'aide du changement d'inconnue $y(x)=\frac{u(x)}{1+x}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENSEA # 1580]
On considère l'équation différentielle $x^2y'(x) + y(x) = x$.
Soit $h: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_{a}^{x} \frac{1}{t} e^{-1/t} dt$.
a) Montrer que $h$ est bien définie.
b) Montrer que l'ensemble des solutions de (E) sur $\mathbb{R}^{+*}$ est $\{x \mapsto \lambda e^{\frac{x}{2}} + h(x) e^x, \ \lambda \in \mathbb{R}\}$.
c) Montrer que, pour tout $x$ > 0, $h(x) = x e^{-\frac{1}{x}} \int_0^\infty \frac{e^{-u}}{1 + ux} du$. Ind. Effectuer le change-
ment de variable $t = \frac{x}{1 + ux}$.
d) En déduire un équivalent de $h$ en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1581]
Soit $A = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$.
a) La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
b) Trigonaliser explicitement A.
c) Résoudre le système différentiel $\begin{cases} x' = -x 4y + \operatorname{sh}(t) \\ y' = x + 3y + te^t. \end{cases}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1582]
a) Soit $a \in \mathbb{R}$. Résoudre x'' + ax = 0.b) Résoudre
$$\begin{cases} x'' &= 2y+z \\ y'' &= 2x-z \\ z'' &= x+y \end{cases}$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1583]
Soit $f:(x,y) \mapsto xe^y + ye^x$.

d) Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum.

a) Qu'est-ce qu'un point critique? Quel est le rapport entre point critique et extremum?
b) Montrer que, si (x, y) est un point critique de $f$, alors $y + e^{y \frac{1}{y}} = 0$.
c) Prouver que $f$ admet un unique point critique $(x_0, y_0) \in \mathbb{Z}^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1584]
Soit $T = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0, \ y \geq 0, \ 1-x-y \geq 0\}$. Soit $f:(x,y) \in T \mapsto xy\sqrt{1-x-y}$.
a) Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $T$.
b) Déterminer ces extrema.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1585]
Trouver les plans tangents à la surface d'équation $x^2+y^2+z^2+4x+6y-2z=1$, qui sont parallèles au plan d'équation $x$ + y + $z$ = 0.
#+end_exercice


** Probabilités

#+begin_exercice [IMT # 1586]
Soit $p \in [0,1]$. On lance une pièce, dont la probabilité de tomber sur pile est $p$. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le premier instant où on obtient pile, $Y$ celle qui compte le second.
a) Donner la loi de $X$ et celle du couple (X,Y).
b) En déduire la loi de Y.
c) On note $Z = \frac{1}{V-1}$. Donner $\mathbf{E}(Z)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1587]
On lance une pièce équilibrée, les lancers sont supposés indépendants. On note $Y$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier pile et $X$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir la séquence *pile-face* pour la première fois.
a) Déterminer la loi de $Y$ et son espérance.
b) Déterminer la loi conjointe de (X,Y).
c) En déduire la loi de $X$.
d) Calculer pour $x \in ]-1,1[,\sum_{n=0}^{+\infty}n(n-1)x^{n-2}$.
e) Calculer l'espérance et la variance de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1588]
On lance un dé à 6 faces, équilibré, un certain nombre de fois. On note $X_i$ la valeur du $i$-ème lancer.
a) Déterminer la probabilité que $X_1 \neq X_2$.
b) Quelle est la probabilité que, pour tout $i$ dans $\N$, $X_i = X_1$ ?
c) On note $N = \inf \{i \in \N, X_i \neq X_1\}$. Déterminer la loi de $N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1589]
On note, pour tout $n \geq1$, $p_n = \alpha \lambda^n$ la probabilité qu'une famille ait exactement $n$ enfants, où $0 < \lambda < 1$ et $(1 + \alpha)\lambda < 1$. La probabilité d'avoir un garçon est $q$ = 1 - $p$, où $p \in ]0,1[$ est la probabilité d'avoir une fille.

a) Calculer la probabilité qu'une famille n'ait aucun enfant.
b) Soit $x \in ]-1, 1[$. Calculer $\sum_{k=0}^{+\infty} \binom{n}{k} x^{n}$.
c) Calculer la probabilité qu'une famille ait exactement $k$ garçons.
d) Calculer la probabilité qu'une famille ait au moins deux garçons, sachant qu'elle en a au moins un.
#+end_exercice

#+begin_exercice [nil # 1590]
Une entreprise vend deux produits, notés $A$ et $B$. Les commandes sont passées par téléphone, chaque appel étant indépendant des précédents. La probabilité qu'à un appel le produit $A$ (resp. B) soit commandé est 2/10 (resp. 8/10). On note $X_A$ (resp. $X_B$ ) la variable aléatoire donnant le nombre d'appels consécutifs nécessaires pour obtenir une première commande du produit $A$ (resp. B). On note $L$ la variable aléatoire donnant la longueur de la première « ligne d'appels », c'est-à-dire le nombre d'appels consécutifs qui commandent un même produit à partir du premier appel.
Par exemple, si la suite d'appels est AAABAABB, alors $X_A = 1$, $X_B = 4$ et $L$ = 3.
a) Déterminer la loi de $X_A$, donner une expression de $\mathbf{P}(X_A = n)$ pour $n \in \N^*$. Justifier que $X_A$ admet une espérance et une variance, et les calculer.
b) Même question pour la variable $X_B$.
c) Déterminer $P(X_A = n + 1, L = n)$.
d) En séparant les cas selon la nature du (n+1)-ième appel, calculer $\mathbf{P}(L=n)$, et vérifier que $\mathbf{P}(L=n)=0.8\,\mathbf{P}(X_A=n)+0.2\,\mathbf{P}(X_B=n)$.
e) Justifier que la variable $L$ admet une espérance, et la calculer.
f) Les variables $X_A$ et $X_B$ sont-elles indépendantes?
g) Les variables $X_A$ et $L$ sont-elles indépendantes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1591]
On considère une urne contenant $b \geq2$ boules rouges et $v \geq2$ boules vertes.

À chaque tirage, on prélève une boule avec remise, avec une probabilité de $p \in [0, 1]$.

On effectue une suite infinie de tirages indépendants.
a) Soit $X_1$ le rang d'apparition de la première boule verte. Déterminer la loi de $X_1$ ainsi que son espérance.
b) Soit $X_2$ le rang d'apparition de la deuxième boule verte. Déterminer la loi de $X_2$ ainsi que son espérance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1592]
Un conciergeqpossède $n$ clés et souhaite ouvrir une porte. On suppose qu'une seule clé du trousseau permet de l'ouvrir.
a) À chaque essai infructueux, il écarte la clé utilisée. Quel est le nombre moyen de tentatives avant qu'il arrive à ouvrir la porte?
b) Même question, en supposant qu'à chaque tentative il remet la clé utilisée avec les autres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1593]
Soient $X$ et $Y$ des variables aléatoires indépendantes de lois respectives $\mathcal{G}(p)$ et $\mathcal{G}(q)$, où $p,q \in ]0,1[$.
a) Déterminer P(Y > k) pour tout $k \in \N$.- b) Déterminer P(Y > X).
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1594]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes sur un même espace probabilisé. On suppose que $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\mu)$.
a) Montrer que $Z$ = $X$ + $Y$ suit une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre.
b) Montrer que la loi de $X$ sachant (Z = n) est binomiale et déterminer ses paramètres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1595]
Soient $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre $p \in ]0, 1[$. On note $Z = \min(X, Y)$.
a) Donner la loi de $X$, son espérance et sa variance.
b) Calculer P(X > 2).
c) Soit $n \in \N^*$. Calculer $\mathbf{P}(X > n)$.
d) Calculer P(Z > n).
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1596]
Soient $\lambda > 0$ et $p \in ]0,1[$. Soient $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ et $Y$ telle que, pour tout $n \in \N$, la loi de $Y$ sachant (X = n) est la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
a) Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y).
b) Déterminer la loi de Y.c) Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
d) Déterminer la loi de $Z$ = $X$ Y.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1597]
Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\N^2$. On suppose que $\forall k,n\in\N^2$, $\mathbf{P}(X=k,Y=n)=\binom{n}{k}\frac{1}{2^n}p(1-p)^n$ où $p\in[0,1]$ est fixé.
a) Déterminer la loi de Y.
b) Donner le développement en série entière de $x \mapsto \frac{1}{1-x}$.

Montrer que: $\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{n}{k} x^{n-k} = \frac{1}{(1-x)^{k+1}}$.

c) En déduire la loi de $X$.
d) Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1598]
Soient (X, Y) un couple de variables aléatoires, avec $X$ à valeurs dans $\{1, 2\}$,

$Y$
 à valeurs dans $\N$ et $\forall i \in \{1,2\}, \forall k \in \N, \mathbf{P}(X=i,Y=k) = \frac{q^k}{2i}$.

a) Déterminer la valeur de $q$.
b) Déterminer les lois marginales de $X$ et de Y.
c) Déterminer l'espérance de Y.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1599]
Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, on appelle $taux\ d'arrêt\ de\ X$ la suite $(x_n)_{n\in\N}$ définie par $\forall n\in\N, x_n=\mathbf{P}(X=n\,|\,X\geq n)$.
a) Soit $Y$ de loi donnée par $\forall n \in \N^*$, $\mathbf{P}(Y=n) = \frac{1}{n(n+1)}$. Vérifier qu'il s'agit bien d'une distribution de probabilités sur $\N^*$, puis déterminer le taux d'arrêt de Y.- b) Si $(x_n)_{n\in\N}$ est le taux d'arrêt de $X$, montrer que $\forall n\in\N, \mathbf{P}(X\geq n)=\prod_{n=1}^{n-1}(1-x_k)$.
c) On suppose que $X$ est de taux d'arrêt constant. Déterminer la loi de $X$ et son espérance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1600]
Soient $X_1, X_2$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Soit $M = \begin{pmatrix} X_1 & 1 \\ 0 & X_2 \end{pmatrix}$.
a) En utilisant deux manière d'écrire $(1+X)^{2n}$, montrer que $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$.
b) Quelle est la probabilité que $M$ soit diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1601]
Soient $p \in [0,1]$ et $\lambda > 0$. Soient $X$,Y,Z trois variables aléatoires indépendent

dantes telles que $X \sim \mathcal{G}(p), Y \sim \mathcal{G}(p), Z \sim \mathcal{P}(\lambda)$. Soit $M_n = \begin{pmatrix} X & 0 & \cdots & 0 & Y \\ 0 & Z & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & Z & 0 \\ Y & 0 & \cdots & 0 & X \end{pmatrix}$.

Déterminer la probabilité que $M_n$ soit dans $S_n^{++}(\mathbb{R})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1602]
On considère la suite $(P_n)_{n\in\N}$ définie par : $P_0=1,\,P_1=X$ et, pour tout $n$ dans $\N,\,P_{n+2}=\frac{1}{2}(XP_{n+1}+P_n)$.
a) Montrer que $\bar{P}_n$ définit une fonction génératrice d'une variable aléatoire $X_n$.
b) Exprimer $\mathbf{E}(X_n)$ en fonction de $n$. c) Déterminer la variance de $X_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Navale # 1603]
Soit $X$ une variable aléatoire telle que $\forall k \in \N^*$, $\mathbf{P}(X=k) = \frac{k-1}{2k}$.
a) Vérifier par le calcul que $\sum_{k=1}^{+\infty} \mathbf{P}(X=k) = 1$.
b) Donner la fonction génératrice de $X$. Quel est son rayon de convergence? c) La variable $X$ admet-elle une espérance finie? Si oui, que vaut-elle?
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1604]
Soient $r \in \N^*$ et $x \in \mathbb{R}$ avec |x| < 1.
a) Donner le développement en série entière de $\frac{1}{1-x}$ puis celui de $\frac{1}{(1-x)^r}$.
b) Soit $p \in ]0,1[$. On pose q=p-1 et $\forall k \in \N^*, p_k = \binom{k+r-1}{k} p^r q^k$. Montrer que
$\mathbf{P}(X=k)=p_k$ définit une probabilité.
c) Calculer la fonction génératrice de $X$.
d) En déduire l'espérance et la variance de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1605]
Soient $\lambda \in ]0,1[$ et $k \in \N$.a) Montrer que la série $\sum_{n\geq k} \binom{n}{k} (1-\lambda)^{n-k}$ converge et déterminer sa somme.

*Ind.* Utiliser la série entière $\sum_{n>0} x^n$.

b) Soit $X_k$ une variable aléatoire telle que $\mathbf{P}(X_k=n)=\binom{n}{k}(1-\lambda)^{n-k}\lambda^{k+1}$ si $n\in\N$ avec $n \geq k$.
  - i) Déterminer la fonction génératrice de $X_k$ ; en préciser le rayon de convergence.
  - ii) Montrer que $X_k$ est d'espérance finie et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [IMT # 1606]
a) Calculer la fonction génératrice, puis l'espérance, d'une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{U}(\{0,\ldots,n\})$.
b) Peut-on trouver deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ à valeurs entières, indépendantes et de même loi telles que $X_1 + X_2 \sim \mathcal{U}(\{0, \dots, n\})$ ?

Ind. Par indépendance de $X_1$ et $X_2$, on a $G_{X_1+X_2}=G_{X_1}G_{X_2}$.
#+end_exercice


* Autres Écoles - PC

** Algèbre

#+begin_exercice [CCINP # 1607]
Soit $P = (X+1)^7 - X^7 - 1$. Montrer que $j$ est racine de $P$ et déterminer sa multiplicité. Factoriser $P$ dans $\C[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1608]
Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Soit $f: M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mapsto AM$. Vérifier que $f$ est linéaire. Montrer que $f$ est bijective si et seulement si $A$ est inversible. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1609]
Soit $A \in \mathcal{M}_4(\C)$ telle que $\operatorname{rg}(A) = 2$ et $A^2 = 0$.

Montrer que $\operatorname{Im}(A) = \operatorname{Ker}(A)$ et que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} J_2 & 0 \\ 0 & J_2 \end{pmatrix}$ où $J_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1610]
On admet que l'on définit une norme sur $\mathcal{M}_n(\C)$ en posant, pour $A \in$

$$\mathcal{M}_n(\C), \|A\| = \max \left\{ \sum_{j=1}^n |a_{i,j}|, \ i \in \db{1, n} \right\}. \text{ On pose } \rho(A) = \max\{|\lambda|, \ \lambda \in \operatorname{Sp}(A)\}.$$

a) Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$ avec  $\theta \in \mathbb{R}$.  Calculer $\|A\|$  et $\rho(A)$.

b) Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $||AB|| \leq ||A|| \times ||B||$.
c) Soient $\lambda \in \operatorname{Sp}(A)$ et $X = (x_1 \cdots x_n)^T$ un vecteur propre associé.

Montrer que, pour tout $i \in [1, n]$, $|\lambda| |x_i| \leqslant \sum_{i=1}^n |a_{i,j}| |x_i|$. En déduire que $\rho(A) \leqslant ||A||$.

d) On suppose $A$ diagonalisable. Montrer que $\lim_{p \to +\infty} A^p = 0$ si et seulement si $\rho(A) < 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1611]
Soit $n \geq2$. Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est dite orthodiagonalisable (resp. orthotrigonalisable) s'il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $P^TMP$ est diagonale

(resp. triangulaire supérieure). Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.

a) Montrer que si $A$ est orthodiagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.
b) i) Montrer que $A$ est orthodiagonalisable si et seulement si $A$ est symétrique. ii) Donner un exemple de matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable et non symétrique.
c) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ inversible. On note $(u_1, \ldots, u_n)$ le système de ses vecteurs colonnes. On munit $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ de son produit scalaire usuel.
  - i) Montrer qu'il existe une base orthonormée $(v_1, \ldots, v_n)$ telle que

$$\forall j \in \{1,\ldots,n\}, u_j = \sum_{i=1}^{J} \langle u_j, v_i \rangle v_i.$$

ii) Montrer qu'il existe $Q$ orthogonale et $R$ triangulaire supérieure telles que $M$ = QR.
d) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est orthotrigonalisable si et seulement si $A$ est trigonalisable.
e) Que dire d'une matrice antisymétrique et trigonalisable?
#+end_exercice


** Analyse

#+begin_exercice [CCINP # 1612]
Soit $\lambda \in [-1, 1]$. On note $S_{\lambda}$ l'ensemble des fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivables telles que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = f(\lambda x)$.
a) Montrer que $S_{\lambda}$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.
b) i) Déterminer $S_1$.
  - ii) Montrer que, si $f \in S_0$, alors $f$ est affine. Déterminer $S_0$.
c) Soit $\phi: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!} \lambda^{n(n-1)/2} x^n$. Montrer que $\phi$ est bien définie sur $\mathbb R$ et que $\phi \in \mathcal S_\lambda$.
d) Soit $f \in \mathcal{S}_{\lambda}$. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ et que : $\forall n \in \N, \forall x \in \mathbb{R}, \ f^{(n)}(x) = \lambda^{n(n-1)/2} f(\lambda^n x)$.

e) Soit $f \in \mathcal{S}_{\lambda}$ telle que f(0) = 0. Montrer que $f$ est la fonction nulle.
f) Déterminer $S_{\lambda}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1613]
Montrer que $\lim_{a\to 0} \int_{-u}^{3a} \frac{\cos(u)}{u} du = \ln(3)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [CCINP # 1614]
Pour
$n \in \N^*$
 et $x \in \mathbb{R}^+$, on pose $f_n(x) = \frac{1}{n + n^2 x}$ et $g_n(x) = x f_n(x)$.

Pour
$$x \in \mathbb{R}^{+*}$$
, on pose $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$.

a) Vérifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^{+*}$.
b) Étudier la monotonie et la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}^{+*}$.
c) Montrer que $f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$.
d) Montrer que la série $\sum g_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}^+$.- e) Montrer qu'il existe une constante $A$ > 0 telle que $f(x) \sim \frac{A}{x \to +\infty} \frac{A}{x}$.
f) Trouver un équivalent de f(x) lorsque $x \to 0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [nil # 1615]
Soit $F: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\ln(t)}{x + t^2} dt$.
a) Montrer que $F$ est bien définie.
b) Calculer F(x) à l'aide du changement de variable $\sqrt{x}u=t$.
#+end_exercice


** Probabilités

#+begin_exercice [CCINP # 1616]
On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Soit $X$ le temps d'attente du premier pile. Soit $Y$ une variable aléatoire telle que, pour tout $n \in \N^*$, la loi de $Y$ sachant (X = n) est la loi uniforme sur l'ensemble $\{1, 2, \ldots, n\}$.
a) Rappeler la loi de $X$ et son espérance. b) Déterminer $\mathbf{P}(X=n,Y=k)$ pour tous $k,n\in\N^*$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles
indépendantes ? c) Montrer que, pour tout $k \in \N^*$, $\mathbf{P}(Y=k) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{n2^k}$.
d) Rappeler le développement en série entière de $x \mapsto \ln(1-x)$. Calculer $\mathbf{P}(Y=1)$.
e) Montrer que, pour tout $k \in \N^*$, $\mathbf{P}(Y = k) = \int_0^{1/2} \frac{t^{k-1}}{1-t} dt$.
f) Calculer $\mathbf{E}(Y)$.
#+end_exercice

* Todoes                                                        :todo:ignore:
:PROPERTIES:
:COLLECT-TAGS: todo
:END:

{{{enlargepage}}}
