# -*- org-export-switch: "centrale"; -*-
#+title:  Exercices 2023
#+author: Sébastien Miquel
#+date:   02-12-2023
# Time-stamp: <30-05-25 18:34>
#+OPTIONS:


* Meta                                                             :noexport:

 - $z^n\chi_A(1/n) = e^{- \sum \tr{A^n} \frac{z^n}{n}}$ ?
   Si A est inversible : dérivée logarithmique, et décomposition en éléments simples.

** Statistiques

#+BEGIN_SRC emacs-lisp
(my-stats-exo)
#+END_SRC

#+RESULTS:
| ? | ! | todo | unexed |
| 1 | 1 |    1 |    633 |

#+BEGIN_SRC emacs-lisp
(defun find_bad_hash ()
  (interactive)
  (re-search-forward "[^\n ]#"))
#+END_SRC

#+RESULTS:
: find_bad_hash


** Replacements

#+BEGIN_SRC emacs-lisp
(let replacement
  ("decrire" "décrire")
  ("equation" "équation")
  ("demontre" "démontre")
  ("ee" "ée")
  ("caracterist" "caractérist")
  ("symetr" "symétr")
  ("differe" "différe")
  ("resultat" "résultat")
  ("propriete" "propriété")
  ("reciproque" "réciproque")
  ("etre" "être")
  ("superi" "supéri")
  ("inferi" "inféri")
  ("ecri" "écri")
  ("verif" "vérif")
  ("bilite" "bilité")
  ("continuite" "continuité")
  ("derivab" "dérivab")
  ("consider" "considér")
  ("réel" "réel")
  ("{(}" "(")
  ("{)}" ")")
  ("\\,dt" "\\dt")
  ("\\,dx" "\\dx")
  ("montrrer" "montrer")
  (":\\" "\\colon\\")
  ("montrver" "montrer")
  ("algebre" "algèbre")
  ("necess" "nécess")
  ("devel" "dével")
  ("serie" "série")
  ("integ" "intég"))
#+END_SRC

** Trying to make nougat work

L'équivalent de CUDA pour AMD :
#+BEGIN_SRC bash
pacman -S rocm-hip-sdk rocm-opencl-sdk
#+END_SRC

NB : Ces deux machins ont des versions optimisées de disponible également
#+BEGIN_SRC bash
y -S python-pytorch-rocm
y -S python-tensorflow-rocm (fails to build atm…)
#+END_SRC

From home :
#+BEGIN_SRC bash
y -S python-pipx
pipx install nougat-ocr
#+END_SRC


#+BEGIN_SRC bash
python3 -c 'import torch' 2> /dev/null && echo 'Success' || echo 'Failure'
#+END_SRC

#+RESULTS:
: Success

#+BEGIN_SRC bash
~/.local/share/pipx/venvs/nougat-ocr/bin/python3 -c 'import torch' 2> /dev/null && echo 'Success' || echo 'Failure'
#+END_SRC

#+RESULTS:
: Success


#+BEGIN_SRC bash
python3 -c 'import torch; print(torch.cuda.is_available())'
#+END_SRC

#+RESULTS:
: True

#+BEGIN_SRC bash
~/.local/share/pipx/venvs/nougat-ocr/bin/python3 -c 'import torch; print(torch.cuda.is_available())'
#+END_SRC
#+RESULTS:
: False

#+BEGIN_SRC bash
python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name(0))"
#+END_SRC

#+RESULTS:
: device name [0]: AMD Radeon RX 5700 XT

** Mathpixing

 - I've manually separated the exercice.
 - Add `exercice` with a macro
 - Run convert mathpix
 - Remove the extra info
 - Convert lists : a)

#+BEGIN_SRC emacs-lisp
(replace-regexp "^a)" " 1.")
#+END_SRC
#+BEGIN_SRC emacs-lisp
(replace-regexp "^b)" " 2.")
#+END_SRC
#+BEGIN_SRC emacs-lisp
(replace-regexp "^c)" " 3.")
#+END_SRC
#+BEGIN_SRC emacs-lisp
(replace-regexp "^d)" " 4.")
#+END_SRC

** Options

#+OPTIONS: latex:verbatim
# #+exclude_types: proof

*** All

# #+OPTIONS: toc:t
# #+export_file_name: Exercices 2023

*** XENS

# #+select_tags: xens
# #+export_file_name: Exercices XENS 2023

*** XENS MP

# #+select_tags: xens
# #+exclude_tags: autre
# #+export_file_name: Exercices XENS MP 2023

*** Centrale

#+select_tags: cent
#+export_file_name: Exercices Centrale 2023

*** Mines

# #+select_tags: mines
# #+export_file_name: Exercices Mines 2023

*** Mines Centrale

# #+select_tags: mines cent
# #+options: toc:2
# #+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2023


*** todoes

# #+options: title:nil nopage:t tags:nil
# #+select_tags: todo
# #+export_file_name: Exercices 2023 todo
# #+relocate_tags: todo

*** autre

# #+options: title:nil nopage:t tags:nil
# #+select_tags: autre
# #+export_file_name: Exercices XENS 2023 autres
# #+relocate_tags: todo



* 2024

#+INCLUDE: "./2024/Exercices 2024.org::*Christophe"

* ENS MP-MPI                                                           :xens:

** Algèbre

# ID:7105
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 1]
Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f\colon S\ra T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. Montrer que $|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right\rceil^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right\rceil\right)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Pour le terme de gauche, il s'agit de montrer que $\sum_{y} n_y^2 \geq \frac{\big(\sum_{y} n_y\big)^2}{\sum_y 1}$, c'est Cauchy-Schwarz.

Pour le terme de droite, c'est un principe des tiroirs, puis compter pour $1$ les éléments qui ne sont pas dans le tiroir.
#+END_proof


# ID:7106
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 2]
Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de $\db{1, n }$ tels que $\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
$S$ sera un sous-ensemble d'entiers consécutifs : considérer les sommes partielles $S_0,\dots, S_n$.
#+END_proof

# ID:7108
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 3]                                                          :sup:
Pour tout $n\in\N^*$, on note $E(n)$ la valuation $5$-adique de $\prod_{k=1}^n k^k$. Donner un équivalent de $E(n)$, quand $n\ra +\i$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
C'est $\sum_{q = 1}^{\lfloor n/5\rfloor} 5q + \sum_{q = 1}^{\lfloor n/5^2\rfloor} 25q + \dots$.
#+END_proof


# ID:7109
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 5]
Soit $p$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est somme de deux carrés d'entiers.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Si $p$ est somme de deux carrés d'entiers, $p\equiv 1[4]$, et $a$ est un carré si et seulement si $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$.

Réciproquement, si $p\mid m^2 + 1$. On peut trouver $0\lt x,y\lt \sqrt{p}$ tels que $p \mid m^2 x^2 - y^2$. On obtient alors $p\mid x^2 + y^2$, donc $p = x^2 + y^2$.
#+END_proof

# ID:7110
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 6]
 1. Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que $\big(\Z/p\Z\big)^\times$ contient $(p-1)/2$ carrés.
 2. Montrer que tout élément de $\Z/p\Z$ s'écrit comme la somme de deux carrés de $\Z/p\Z$.
 3. Soit $n$ un entier impair. Montrer que tout élément de $\big(\Z/n\Z\big)^{\times}$ s'écrit comme somme de deux carrés.

    *Indication* : Commencer par le cas où $n$ est sans facteur carré.
#+END_exercice

# ID:7111
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 7]
Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre premier et si $r\in\Q^*$ s'écrit $\frac{a}{b}$ de manière irréductible, on définit la $p$-valuation $v_p(r)$ comme $v_p(a) - v_p(b)$.
 1. Montrer que si $p\geq 3$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 1$.
 2. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 2$.
 3. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{(p-1)p})\geq 1$.
 4. Pour $n\in\N^*$, calculer $v_2(H_n)$.
#+END_exercice


# ID: 2795
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 9]
 1. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.
 2. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$.
 3. Montrer que $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $\sum_{d \mid n} \phi(d) = n$
 2. $\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0$, ou $1$ pour $n = 1$.
 3. Par inversion de Möbius, on a $\phi(d) = \sum\limits_{d'\mid d} \mu\big(\frac{d}{d'}\big) d'$.
#+END_proof

# ID:7112
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 10]
Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la valuation $p$-adique d'un entier $n$. On pose, pour $m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout $m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Relier à 423 (LTE).

On a $v_p(a^n - b^n) = v_p(a-b) + v_p(n)$ (pour $p\neq 2$).

Donc $v_p(N(m)) = \sum_{k=1}^m v_p(1 - q)  + v_p(m!)$, plus formule de Legendre.
#+END_proof


# ID:6949
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 11]                                                         :sup:
Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la concaténation et $\l\colon X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis et $\phi\colon A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous $a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$.
 1. On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l'injectivité des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur $A^*$ par $\phi\colon A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi\colon A \ra B^*$ telle que $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$.
 2. Montrer que, si $\phi$ est injective, alors $\sum_{a \in A}|B|^{-\l(\phi(a))} \leq 1$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. La première est non injective : $0100110$ peut être lu de deux façons.

    La seconde l'est.
 2. On note $C_N$ le nombre de choix possibles, de mots, dont la longueur totale $N$.

    On doit avoir $C_N\leq |B|^N$. Mais $C_N$ vérifie une relation de récurrence :
    $C_N = \sum_{a\in A} C_{N-\l(a}$.

    Donc les racines de cette récurrence doivent être $\leq |B|$, ce qui implique qu'en $|B|$ la valeur est négative, d'où le résultat.
#+END_proof


# ID:6950
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 12]                                                         :sup:
 1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition $(1\, 2)$ et le cycle $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$.
 2. La transposition $(1\, 3)$ et le cycle $(1\, 2\, 3\, 4)$ engendrent-ils $\mc{S}_4$ ?
 3. Soient $n \in \N^*$ et $1 \leq a\lt b \leq n$ tels que $\tau=(a b)$ et $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent $\mc{S}_n$. Montrer que $b-a$ et $n$ sont premiers entre eux.
 4. Montrer la réciproque de la propriété précédente.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Non.
 3. Si $p\mid b-a \wedge n$, alors $\sigma(a) - \sigma(b)\equiv a-b[p]$.
 4. Facile de se ramener à un cycle $(u\, u+1)$
#+END_proof


# ID:7113
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 14]                                                :sup:
Soit $G$ un groupe fini. Si $X$ et $Y$ sont des parties non vides de $G$, on pose $X^{-1}=\left\{x^{-1}, x \in X\right\}$ et $X Y=\{x y,(x, y) \in X \times Y\}$.
Dans la suite, $X$ désigne une partie non vide de $G$.
 1. On suppose que $|X X|\lt 2|X|$. Montrer que $X X^{-1}=X^{-1} X$.
 2. On suppose que $\left|X X^{-1}\right|\lt \frac{3}{2}|X|$. Montrer que $X^{-1} X$ est un sous-groupe de $G$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si $X$ a un seul élément, ok. Sinon, alors pour tous $a, b\in X$, les ensembles $aX$ et $bX$ ne sont pas disjoints, donc il existe $u,v$ tels que $au = bv \ssi a^{-1} b = u v^{-1}$. D'où le résultat.
 2. Indépendant de la question précédente. À relier à un théorème de Freiman.

    Il suffit de montrer que $X^{-1} X$ est stable par produit. Soit $a, b\in X^{-1} X$, $a = x^{-1} y$ et $b = u^{-1} v$, $ab = x^{-1} y u^{-1} v$.

    L'hypothèse sur le cardinal de $X X^{-1}$ implique que $a$ peut s'écrire de $\gt \frac{|X|}{2}$ façons différentes comme $a = x^{-1} y$. De même pour $b$, donc deux de ces façons on l'élément au milieu en commun : $y = u^{-1}$, et a lors $ab = x^{-1} v$.
#+END_proof

# ID:7114
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 15]                                                         :sup:
Soient $A$ un anneau et $B\subset A$ finie non vide. On note $E(B) = \big|\{(a,b,c,d)\in B^4 \mid ab = cd\}\big|$. Montrer que $E(B)\geq \frac{|B|^4}{|BB|}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On note $x_i$ le nombre de couples qui donnent une valeur $i\in A$. Alors $E(B) = \sum x_i^2$, et $|BB| = \sum_i 1$. Cauchy-Schwarz permet de minorer par $(\sup x_i)^2$, d'où le résultat.
#+END_proof


# ID:7115
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 16]                                                         :sup:
 1. Montrer que $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ engendrent $SL_2(\Z)$.
 2. Soit $m\geq 2$. Montrer que le morphisme $\pi\colon SL_2(\Z)\ra SL_2(\Z/m\Z)$ est surjectif.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Division euclidienne.
 2. Clair.
#+END_proof


# ID:7100
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 17]
Soit $p$ un nombre premier. On admet qu'il existe un anneau commutatif $A$ dans lequel $p^2.1_A=0_A$ et il existe un élément inversible $x$ tel que :
 + tout élément de $A$ s'écrive $P(x) x^{-k}$ pour un $P \in \Z[X]$ et un $k \in \N$;
 + pour deux polynômes $P, Q$ dans $\Z[X]$ et deux entiers naturels $k, \l$, l'égalité $P(x) x^{-k}=$ $Q(x) x^{-\l}$ équivaut à ce que $X^k Q$ et $X^\l P$ aient même réduit modulo $p^2$ (autrement dit, tous les coefficients de $X^k Q-X^\l P$ sont des multiples de $p^2$).
# Sep
 1. Soient $P \in \Z[X]$ et $k \in \N$. Caractériser l'inversibilité de $P(x) x^{-k}$ dans $A$.
 2. Montrer que le groupe multiplicatif $A^{\times}$ ne possède pas de partie génératrice finie.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $P(x) x^{-k}$ est inversible si et seulement si $P(x)$ l'est, on peut alors supposer que le coefficient constants de $P$ est non nul.

    S'il est inversible, alors le coefficient constant est premier avec $p$.

    S'il est inversible, il est inversible modulo $p$, donc ses autres coefficients sont $0$ modulo $p$.

    Réciproquement, on prend un polynôme $P = b + pP'$, admet $b - pP'$ comme inverse essentiellement.
 2. Quand on multiplie des éléments, on somme les polynômes, donc le degré est inférieur au max des deux.
#+END_proof


# ID:7116
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 18]
Soit $f \in \Z[X]$. On pose $S_q=\sum\limits_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum\limits_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$ pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors $S_{q q'}=S_q S_{q'}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Les $a\in\db{1,qq'}$ premiers avec $q$ et $q'$ sont les $bq + aq'$, avec $a$ premier avec $q$ et $b$ premier avec $q'$.
#+END_proof


# ID:6662
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 19]                                                         :sup:
On dit qu'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : $\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un même cercle.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On veut que les $\sin (\frac{\theta_i - \theta_j}{2})$ soient rationnels, c'est-à-dire les $\sin \frac{\theta_i}{2} \cos \frac{\theta_j}{2} - \sin \frac{\theta_j}{2} \cos \frac{\theta_i}{2}$.

Il suffit donc de prendre les doubles d'une infinité de points rationnels sur le cercle.

Autre possibilités : prendre des points entiers sur un cercles, donc tels que $x^2 + y^2 = n$. Il suffit que $n$ s'écrivent de plein de façons comme sommes de deux carrés.
#+END_proof

# ID:6763
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 20] Anneau des entiers algébriques                 :sup:
Soit $z\in\C$ annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. Soit $Q\in\Z[X]$. Montrer que $Q(z)$ est annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On note $P$ le polynôme unitaire qui annule $z$ (polynôme minimal, via lemme de Gauss).

En passant par la matrice compagnon, on sait que $z$ est valeur propre d'une matrice à coefficients entiers, donc $Q(z)$ aussi.
#+END_proof


# ID:5056
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 21]
Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré $2 m$ tel que $\forall x \in \R \setminus \Z, \sin (n x)=(\sin x)^n P_m(\op{cotan} x)$.
 2. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \op{cotan}^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)$.
 3. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \frac{1}{\sin ^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)}$.
 4. En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Easy.
#+END_proof

# ID:6003
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 22]                                                         :sup:
Pour $n\in\N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$.
 1. Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $\C$.
 2. Montrer que si $n$ est impair, alors $P_n$ possède exactement une racine réelle, et qu'elle appartient à $[-n, - 1]$.
 3. On suppose $n$ pair. Le polynôme $P_n$ a-t-il une racine réelle ?
 4. Déterminer les variations et la convexité de $x\mapsto P_n(x)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Encadrement des racines : la somme est alternée.

    On procède par récurrence, et on a $P_n = P_n' + \frac{x^n}{n!}$, cette quantité étant négative.
 3. Non : vérifier le signe en la racine de la dérivée.
#+END_proof

# ID:nil
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 23]
Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$.
 1. On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que $\forall x \in \R, n P(x) P''(x) \leq(n-1) P'(x)^2$.
 2. Donner un polynôme ne vérifiant pas le résultat de la question précédente, puis un polynôme non scindé le vérifiant.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Ajouter à un précédent.
#+END_proof

# ID:279
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 24]                                                         :sup:
Soit $n\in\N^*$, $P = X^n + \sum_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\C[X]$. On factorise $P$ sous la forme $P = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$. Pour $k\in\N$, on note $S_k = \sum_{i=1}^n z_i^k$. Montrer que, si $k\gt n$, $S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_0 S_{k-n} = 0$ et que, si $k\leq n$, $S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_1 = - k a_{n-k}$.
#+END_exercice


# ID:7117
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 25]                                                         :sup:
Une suite d'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme si pour tous $n,m\in\N^*$, $m-n\mid a_m - a_n$.
 1. Soit $P\in\Z[X]$. Montrer que $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme.
 2. Montrer que $\big(\lfloor n! e\rfloor\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme.
 3. Trouver un polynôme $P\in\Q[X]\setminus \Z[X]$ tel que $P(\Z)\subset \Z$ et que la suite $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ ne soit pas un pseudo-polynôme.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3. $\frac{n(n+1)}{2}$
#+END_proof


# ID:7118
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 26]
Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que, pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Easy, à relier. Je ne trouve plus l'exercice… Cf le 4737, m'enfi
#+END_proof


# ID: 7119
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 27]
Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si
 + $-P$ et $Q$ sont scindés à racines simples sur $\R$,
 + $P$ et $Q$ n'ont aucune racine réelle commune,
 + entre deux racines consécutives de $P$ (respectivement $Q$) il y a une unique racine de $Q$ (respectivement $P$).
Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout $\lambda, \mu \in \R^*, \lambda P+\mu Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, alors $P$ et $Q$ sont entrelacés.
#+END_exercice

# ID: 6809
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 28]                                                         :sup:
Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 $X + X^2Q(X) - z_i = 0$ avec $|z_i|\lt \frac{1}{n}$ admet toujours une racine, $\lt 1$.

 Vient des relations coefficients-racines.
#+END_proof

# ID:7120
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 29]                                                         :sup:
Pour $P\in\R[X]$, on note $\mc C_Q = \{Q\in\R[X]\mid P\circ Q = Q\circ P\}$.

On appelle suite commutante toute famille $(P_n)_{n\in\N}$ telle que $\forall n,\, \deg P_n = n$ et $\forall n,m\in\N,\, P_n\circ P_m = P_m \circ P_n$.
 1. Soient $\a\in\R$ et $n\in\N$. Montrer que $\mc C(X^2 + \a)$ contient au plus un polynôme.
 2. Expliciter une famille commutante telle que $P_2 = X^2$.
 3. Montrer que, pour $n\in\N$, il existe $T_n\in\R[X]$ tel que $\forall x\in\R,\,\cosh(nx) = T_n(\cosh x)$.
 4. Montrer que $(T_n)_{n\in\N}$ est une suite commutante.
 5. Montrer que les polynômes de degré $1$ sont inversibles pour $\circ$.
 6. Montrer que, pour $P$ de degré $2$, il existe $\a\in\R$ et $U\in\R[X]$ de degré $1$ unitaire tel que $P = U\circ (X^2 + \a)\circ U^{-1}$.
 7. Soit $(P_n)_{n\in\N}$ une famille commutante. Montrer que, ou bien il existe $U$ de degré $1$ tel que $P_n = U\circ X^n \circ U^{-1}$, ou bien il existe $U\in\R[X]$ de degré $1$ tel que $P_n = U\circ T_n \circ U^{-1}$.
#+END_exercice


# ID:6261
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 31]
 - CNS sur $n$ pour que $\Z/n\Z$ soit un corps.
 - On suppose cette condition satisfaite. Combien y a-t-il de polynômes de degré $d\in\N$ fixé dans $\Z/n\Z$ ?
 - Soit $p$ premier. Montrer qu'il existe des polynômes irréductibles de degré $2$ et $3$ dans $\Z/p\Z$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - Compter les multiples.
#+END_proof

# ID:6918
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 32]
Soit $n\in\N^*$, $\K$ un corps, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\K)$ dont tous les éléments sont de rang $\leq 1$. Montrer que $V$ est de dimension $\leq n$. Étudier le cas d'égalité.
#+END_exercice


# ID:6624
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 33]
Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel $V$ de $\M_n(\R)$ tel que pour tout $(X,Y)\in V^2$, on ait $\op{Tr} (XY) = 0$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On a $X\bot X^T$, donc la dimension de $X$ est $\leq \frac{n^2}{2}$.

Réciproquement. Dans $\M_n(\C)$, on prend une diagonale, où le second coefficient est $i\times$ le premier etc.

Dans $\M_2(\C)$ : $\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & ia\end{pmatrix}$. On cherche une forme réelle : $ia = \ol{a}$ donne $u  + \frac{\pi}{2} = - u$, c'est-à-dire $u = - \frac{\pi}{4}$. Donc $\begin{pmatrix}1 & -1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$ et idk, il faudrait écrire les équations pour l'autre matrice.
#+END_proof


# ID:6560
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 35]                                                         :sup:
Soient $A,B\in\M_n(\R)$ de même rang telles que $A^2 B = A$. Montrer que $B^2 A = B$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
En passant à la transposée, on veut montrer que $(B'A' - I_n)A' = O_n \Rightarrow (A'B'-I_n)B' = O_n$.

Mais la première relation donne que si $X\in \Im A'$, alors $B' A' X = X$. Donc $\Im B' = \Im A'$, et leurs induits sont inverses l'un de l'autre.
#+END_proof

# ID:4758
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 38]                                                         :sup:
Soient $n\geq 1$ et $E$ une partie de $\mc P(\db{1,n})$.
 1. On suppose que $E$ est stable par différence symétrique. Que dire de $C = \{\m 1_A\}$ comme partie de l'espace vectoriel $\big(\Z/2\Z\big)^n$ ?
 2. On ne fait plus l'hypothèse précédente, mais on suppose que $A\cap B$ est de cardinal pair pour tous $A,B\in E$. Montrer que $|E|\leq 2^{\lfloor n/2\rfloor}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. C'est un sous-espace vectoriel.
 2. D'une part les cardinaux des éléments sont pairs. D'autre part les cardinaux des réunions aussi.

    On vérifie que si $A,B, C\in E$, alors $(A\Delta B)\cap C$ est pair. Donc on peut supposer que $E$ est stable par $\Delta$.

    Chaque $A\in E$ donne un élément du dual $\tilde{A}\colon B\mapsto A\cap B$, ce qui limite la dimension de $E$.
#+END_proof


# ID:4740
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 39]                                                :sup:
Soient $(a_1,\dots, a_n)\in\R^n$ telle que $|a_i|\geq 2$, pour tout $i\in\db{1,n}$.
 1. Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall i,\, a_{ii} = a_i$, $a_{ij} = 1$ si $|i-j| = 1$ et $a_{ij} = 0$ sinon. Montrer que $A$ est inversible et que son déterminant a le même signe que $\prod a_k$.
 2. Montrer que la conclusion tient encore si l'on suppose $|a_{ij}|\leq 1$ si $|i-j| = 1$ au lieu de $a_{ij} = 1$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $A$ est inversible car diagonale dominante.

    Le signe du déterminant s'obtient en augmentant les coefficients, ou plutôt en diminuant les autres.

        Par récurrence ? On a $\Delta_n = a_n \Delta_{n-1} - \Delta_{n-2}$
    On montre que $|\Delta_n|\gt |\Delta_{n-1}|$ + le signe, ça passe par récurrence.
 2. … C'est clair.
#+END_proof


# ID:7173
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 40]
On considère $\phi\colon\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut $\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$.
 1. Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0_4$ ?
 2. Que dire de la réciproque?
 3. Montrer que $A$ s'écrit comme $\phi(u, v)$ avec $(u, v)$ libre si et seulement si $A \in \mc{A}_4(\R)$, $\op{det}(A)=0$ et $A \neq 0$.
 4. Décrire l'image et le noyau d'une telle matrice.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On a $\phi(u,v) = \phi(u, v+u)$. D'autre part, si $\phi(u,v)\neq 0_4$, alors $u,v$ ne sont pas colinéaires.

    Par ailleurs, si $w\in \vect (u,v)$, on a $\forall i_1,i_2,i_3$, le déterminant $3\times 3$ avec leurs coordonnées est nul, donc il va de même (développement sur la colonne de $w$) de celui avec $u', v'$, donc pour tout $w'$, le déterminant $4\times 4$, $\det (u', v', w, w')$ est nul (développement sur la dernière colonne), donc $w\in \vect (u',v')$.

    Enfin, il faut que les triangles $(0, u, v)$ et $(0, u', v')$ aient la même aire, car $\phi$ est une forme bilinéaire alternée dans $\vect (u,v)$.
 2. Réciproquement, la seule difficulté est de montrer que $\phi$ est non nulle, pour $(u,v)$ libre. Mais si elle était nulle, pour tout $w, w'$, $\det( u', v', w,w')$ serait nul.
 3. $\Rightarrow$ : On peut vérifier que transformer $u, v$ en $Pu, Pv$ transforme $A$ en $P A P^T$, on est donc ramené aux cas où $u = (1,0, 0, 0)$ et $v = (0, 1, 0, 0)$.

    $\Leftarrow$ : Réduction d'une matrie antisymétrique ? Prendre $x$, $Ax$ (ils sont orthogonaux), puis une BON du reste, alors dans cette base $A$ doit être antisymétrique, et le premier ?. Plutôt, partir du noyau, qui est de dimension $2$ et stable, et prendre un orthogonal du noyau.
 4. Le noyau est $\vect (u,v)^{\bot}$, l'image est $\vect (u, v)$, car les deux sont orthogonaux.
#+END_proof


# ID:7183
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 41]
Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$.
On pose $A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$. Montrer qu'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$ où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$.

Les équations donnent : on cherche quatre complexes $u,v,w,z$ tels que $u\ol{v} + w\ol{z} = a+ib$ et $p = |u|^2 + |w|^2$ et $m = |v|^2 + |z|^2$. On peut remplacer la dernière équation par $uz - vw = 1$, ou $|uz - vw| = 1$.

Dans $\Q[i]$, on peut résoudre $u\ol{v} + w \ol{z} = a  + ib$ et $uz - vw = 1$, quels que soient $u, w\in \Q[i]$, puis en multipliant par la racine de $\frac{|u|^2 + |w|^2}{p}$, on vérifie l'équation $p = \dots$. Mais on a un élément de $\sqrt{D}\Q[i]$. On peut le multiplier par un élément de $\m U$, donc il faudrait un élément de $\sqrt{D} \Q[i]\cap \m U$, c'est-à-dire montrer que $D$ est une somme de quatre carrés (de rationnels).

Plutôt, on part de $A$, et on applique $B A B^*$, pour $B\in GL_2(\Z[i])$. On obtient une matrice hermitienne à coefficients dans $\Z[i]$. En particulier les coefficients diagonaux sont entiers, et on vérifie que le coefficient en haut à gauche est non nul, positif, on le choisit minimal. Puis en appliquant $B = \begin{pmatrix}\a & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$, en travaillant dur, on obtient que le coefficient doit être $1$. On peut alors aussi obtenir $1$ en bas à droite…
#+END_proof


# ID:4262
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 42]
Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit $f_g\colon\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes :
 +  il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d'éléments de $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$ de $\R^2$, $f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$,
 +  il existe une droite vectorielle $L$ telle que $\left|\left\{i\mid L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Si il existe une droite $L$, en prenant $g_k = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k^{-1}\end{pmatrix}$ selon $L$ et n'importe quel supplémentaire, ça devrait être bon.

Réciproquement, par décomposition polaire, on peut écrire $g_k = O_k D_k O_k'$, et supposer que $O_k \ra O_{\i}$ et $O_{k}'\ra O_{\i}'$, et $D_k = \begin{pmatrix}\la_k & 0 \\ 0 & \la_k^{-1}\end{pmatrix}$, avec $\la_k\geq 1$.

On prend alors $e_L = O_{\i} e_1$. En effet, pour $x = O_{\i}'^{-1} (e_1 + y)$, on a $g_k x = O_k ((\la_k + o_{+\i}(\la_k)) e_1 + (\la_k^{-1}  + o_{+\i}(\la_k^{-1}))e_2)$, donc, pour que ça tende vers $0$, il faut que $\phi(O_k e_1)\ra 0$, au moins un.

En fait, les $m$ facteurs pour lesquels $\phi(O_{\i} e_1)\neq 0$ contribuent (en termes d'équivalent) $\la_k^m$.

Lemme : Si $g_k$ est une suite, et $\phi$ est fixée, il existe une extraction, et un vecteur $x$ tel que $\phi(g_k(x))$ soit au moins de l'ordre de $\la_k^{-1}$.
Démonstration : Sinon, c'est que $\phi(g_k(x)) = o(\la_k^{-1})$, pour tout $x$. Prendre une BON $(e_1,e_2)$ avec $e_1$ dans le noyau de $\phi$. Les coordonnées de $g_k$ sont de taille au plus $\la_k$ donc l'un de $g_k(e_1), g_k(e_2)$ doit avoir une coordonnée en bas pas trop petite.

On applique ça aux éléments qui ont $L$ dans leur noyau, et $e_L$ pour les autres.
#+end_proof


# ID:2860
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 43]
Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 [3]$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
D'une part il contient le groupe engendré.

D'autre part, on peut faire des opérations, pour annuler $b$.
#+END_proof

# ID:6260
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 45]
Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C_A\colon X\in\M_n(\C)\mapsto AX -XA$. Montrer que si la matrice $A$ est diagonalisable, alors $C_A$ l'est aussi.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Calculer les puissances de $C_A$.
#+END_proof


# ID:6961
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 46]
Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que $A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 $\Leftarrow$ Ok.

 $\Rightarrow$ : On discute selon la dimension du commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$.
 + Si le commutant est de dimension $4$, c'est que $AB = \la BA$, c'est bon, par déterminant.
 + Par réduction dans $GL_2(\C)$, le commutant ne peut pas être de dimension $3$.
 + Si le commutant est de $\dim 2$, c'est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, donc $A$ et $B$ commutent.
#+END_proof

# ID:6490
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 47]
Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_r$ les valeurs propres distinctes de $A$ et $\a_1,\dots, \a_r$ leurs multiplicités. On note $P_k = (X-\la_k)^{\a_k}$ et $F_k = \Ker P_k(A)$.
 1. Montrer que $\C^n = \bigoplus_{i=1}^r F_i$.
 2. Montrer que $P_k$ est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par $A$ sur $F_k$.
 3. Montrer que $A$ se décompose en $D + N$, avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente et $ND = DN$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Easy.
#+END_proof

# ID:770
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 48]
Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$. On suppose que $m\geq 1$. Montrer l'équivalence entre
 + $\Ker A = \Ker A^2$.
 + il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^m = A$.
 + pour tout $k\geq 1$, il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^k = A$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 + $(iii)\Rightarrow (ii)$
 + $(iii)\Rightarrow (i)$ est simple, via les noyaux itérés.
 + $(i)\Rightarrow (iii)$ : Décomposition des noyaux, on est ramené au cas où $A$ inversible, puis réduction, au cas où $A$ est $\la I_n + N$, puis méthode de DL.
#+END_proof


# ID:7121
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 49]
Soit $M\in GL_n(\Z)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\leq 1$. Montrer qu'il existe $k\geq 1$ tel que $M^k - I_n$ soit nilpotente.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Il s'agit exactement de montrer que les valeurs propres de $M$ sont des racines de l'unité.

Les $\op{Tr} M^k$ prennent un nombre fini de valeurs, et par co-approximations, on peut tendre vers $1$, donc c'est gagné.
#+END_proof


# ID:7141
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 51]
Soit $n\geq 1$. Pour $\sigma\in\mc S_n$, on note $P_{\sigma} = \big(\delta_{i,\sigma(j)}\big)_{i,j}$ la matrice de permutation associée. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \M_n(\C)\ra\C$ telles que $\forall A,P\in \M_n(\C)\times GL_n(\C),\quad f(PAP^{-1}) = f(A)$. On note $\mc B$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \mc D_n(\C)\ra \C$ telles que $f(P_{\sigma} D P_{\sigma}^{-1}) = f(D)$. Expliciter un isomorphisme d'algèbres de $\mc A$ sur $\mc B$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 $\mc B$ est l'ensemble des polynômes symétriques. On a une application $\mc A\ra\mc B$.

Elle est injective : si l'on coïncide sur les matrices diagonales, on coïncide sur les diagonalisables, donc par densité, sur $\M_n(\R)$.

Elle est surjective : Si $f$ est donné sur les $\mc D_n$, on montre que $f$ est entièrement déterminée par $\sigma_1,\dots,\sigma_n$. Par ailleurs, $f$ est polynomiale en les $\sigma_i$ (il faut travailler…).

Puis on peut définir $f$ sur $\M_n(\C)$, en prenant l'image des coefficients du polynôme caractéristique.
#+END_proof


# ID:7142
#+BEGIN_exercice Décomposition de Jordan [ENS 2023 # 52]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d'indice $m, x \in E$ tel que $f^{m-1}(x) \neq 0$.
 1. Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille.
 2. Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi(f^{m-1}(x)) \neq 0, W$ le sous-espace de $E^*$ engendré par $(\phi \circ f^i)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\bot}$ l'ensemble des $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\bot}, \psi(y)=0$. Montrer que $W^{\bot}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$.
 3. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ soit diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme $J_k$ avec $k \in \N^*$, où $J_k \in \M_k(\mathbb{K})$ est une matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la sur-diagonale qui sont égaux à $1$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof

# ID:7143
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 53]
Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 1$. Un élément $u\in\mc L(E)$ est dit cyclique s'il existe $x\in E$ tel que $(u^k(x))_{0\leq k\leq n-1}$ soit une base de $E$.
 1. Quels sont les endomorphismes de $E$ diagonalisables et cycliques ?
 2. Montrer que si $u$ est cyclique, le commutant de $u$ est égale à $\K[u]$.
 3. Montrer que si $u\in\mc L(E)$, il existe $r\in\N^*$ et des sous-espaces $E_1,\dots, E_r$ de $E$ stables par $u$ tels que $E = \bigoplus_{i=1}^r E_i$ et que, pour tout $i$, $u_{E_i}$ soit cyclique.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Vps distinctes.
 2. Assez simple.
 3. On est ramené à une matrice nilpotente, auquel cas c'est Jordan : tu prend un $x$ avec $f^{m-1}(x)\neq 0$, l'espace engendré. La difficulté est de trouver un supplémentaire stable, en fixant une forme linéaire non nulle sur $f^{(m-1)}(x)$, et considérant $(\phi\circ f^i)$.
#+END_proof


# ID:7144
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 54]
Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à $2$ tels que $d_1\mid d_2\mid \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 $n = r$ convient. Réciproquement, si $G$ contient un tel groupe, on peut codiagonaliser.
#+END_proof

# ID:7145
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 55]
Le groupe $GL_2(\Q)$ contient-il un élément d'ordre $5$ ?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Montrer qu'une racine $5$-ème de l'unité n'a pas de polynôme annulateur sur $\Q$ de degré $2$, c'est-à-dire que $1 + \dots + X^4$ est irréductible.
#+END_proof


# ID:7146
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 56]
On note $H$ l'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle.
 1. Montrer que $\forall M\in H,\, e^M\in SL_2(\R)$.
 2. Montrer que $\forall M\in H,\, \tr e^M\geq -2$.
 3. A-t-on $\exp(H) = SL_2(\R)$ ?
 4. Montrer que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit d'une matrice de $SO_2(\R)$ et d'une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux $\gt 0$.
 5. En déduire que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit de deux exponentielles de matrices de $H$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. C'est $\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$
 3. Non, cf question précédente.
 4. Partir d'une matrice de $SL_2$, et faire le produit.
 5. Antisymétrique + triangulaire.
#+END_proof


# ID:7147
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 57]
Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une norme sur $E$ pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que $\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$ commute avec $h_1$ et $h_2$. Montrer que l'espace $F$ des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et $h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Pour la norme euclidienne.
 + Si $h_1 = h_2$ : On prend $F^{\bot}$.
 + Si $h_1$ et $h_2$ commutent. On a $F = F_1 \cap F_2$, $F^{\bot} = F_1^{\bot} + F_2^{\bot}$, mais $F_1^{\bot}$ est stable par $h_1$, et par $h_2$, car $h_2$ commute avec $h_1$, donc stabilise $F_1$.
 + L'ensemble $F_{com}$ des points fixes de $[h_1,h_2]$ contient $F_0$, et son orthogonal est  stable par $h_1$ et $h_2$. Par ailleurs, dans $F_{com}$, $h_1$ et $h_2$ commutent.

Pour une autre norme.
 + Si $h_1 = h_2$, on prend $(\sum_{k=0}^n h^k) (I_n - h) = I_n - h^n$ est bornée, donc $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^n h^k$ vaut $\op{Id}$ sur les points fixes, et tend vers $0$ sur $\Im (I_n - h)$. Alors $\Im (I_n - h)$ est stable, et supplémentaire.

   Rmq : Cet espace est l'ensemble des éléments tels que $(\sum^n h^k)(x)$ soit bornée.
 + Si $h_1$ et $h_2$ commutent, $F = F_1 \cap F_2$, on considère $G = \Im (I_n - h_1) + \Im (I_n - h_2)$. $G$ est stable par commutativité. $G$ est en somme directe avec $F$ : si $x \in G\cap F$, $x = x_1 + x_2$, alors en appliquant $h_1$, $\sum_{k,\l} h_1^k h_2^{\l} (x) \sim n^2$, mais $\sum h_1^k h_2^{\l} (x_1) = O(n)$, idem pour l'autre.
 + Même chose que le précédent.
#+END_proof

# ID:7148
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 58]
Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_n$ ses valeurs propres.
 1. Montrer que $\sum |\la_i|^2 \leq \sum_{i,j} |a_{ij}|^2$.
 2. Montrer que $|\det A|\leq n^{n/2}\sup |a_{ij}|$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. C'est l'inégalité de Schur, dont la seule preuve que je trouve repose sur la décomposition de Schur : $A$ est unitairement semblable à une matrice triangulaire supérieure : on choisit un vecteur propre, puis on recommence dans l'orthogonal…

    Indication : commencer par le cas symétrique.
 2. IAG.
#+END_proof

# ID:7149
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 59]
Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien, $m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \db{1, m }^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\lN p(x)\rN^2$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Easy, on a $\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x\rangle$.
#+END_proof

# ID:7174
#+begin_exercice [ENS 2023 # 60]
On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire $(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$. On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection orthogonale de $1$ sur $F$.

On écrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et $P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$.
 - Déterminer $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour $k\in\db{1,n}$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in\db{1,n}$.
 - Calculer $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\dx$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Cela vaut $0$. $P(k) = 0$ découle des relations intégrales. Donc $P(X) = a_n (X-1)\dots (X-n)$.

    Par ailleurs $P(-1) = 1$, donc $a_n (-1)^n (n+1)! = 1$
 2. Cela vaut $\langle 1-Q, 1-Q\rangle = \langle 1-Q, 1\rangle = \int (1 + \sum a_i x^i)e^{-x}\dx = 1 + \sum a_i i! = P(0)$.

    Par ailleurs, $P(X) = a_n (X-1) \dots (X-n)$, donc $P(0) = a_n n! = \frac{1}{n+1}$.
#+END_proof


# ID:7150
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 61] Lemme de Farkas
Soient $(E,\langle\cdot\rangle)$ un espace euclidien, $m \in \N^* \et u, u_1, \ldots, u_m$ des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $\left\{x \in E \mid \forall i \in \db{1, m },\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E \mid \langle u, x\rangle \leq 0\}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 + $\Rightarrow$ : Easy.
 + $\Leftarrow$ : Si les vecteurs $u_i$ sont libres, on peut prendre un élément $x$ orthogonal à tous sauf $1$, qui implique que la coordonnée de $u$ en $u_i$ est bien positive.

   Si $u$ n'est pas dans le cone convexe, alors il existe un hyperplan qui le sépare du cone, et on peut alors construire un vecteur $x$ qui a un produit scalaire $\leq 0$ avec tous les $u_i$, mais un produit scalaire $\lt 0$ avec $u$.
#+END_proof


# ID:7151
#+begin_exercice [ENS 2023 # 62]
Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'écrit d'une unique façon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est GS.
#+END_proof


# ID:7152
#+begin_exercice [ENS 2023 # 63]
Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice antisymétrique et inversible.
 - Que peut-on dire de l'entier $n$?
 - En considérant $M^2$, montrer que $M$ admet un plan stable puis qu'il existe une matrice orthogonale $O\in{\cal O}_n({\R})$ telle que $O^TMO$ soit une matrice diagonale par blocs de la forme $\mathrm{diag}(R_{a_1},...,R_{a_k})$, avec $R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$.
 - Qu'en est-il si $M$ n'est plus supposée inversible?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. pair.
 2. $M^2$ est symétrique donc diagonalisable. Alors si $X$ est valeur propre, $X, MX$ est stable.
 3. On rajoute le noyau.
#+END_proof


# ID:7153
#+begin_exercice [ENS 2023 # 64]
Soit $n\geq 1$. Déterminer les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $A$ et $A^T$ cotrigonalisable, donc $\la\mapsto \la + \la^k$ est une bijection sur les valeurs propres. La seule possibilité est que $A$ soit nilpotente, donc symétrique.
#+END_proof

# ID:7184
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 65]
Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$ $M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer $\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 $\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix}) = \det M \det \left(M - \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix}\right)$.

Il se trouve que, pour tout $i$, $e_i - Me_i$ est dans la droite orthogonale à l'hyperplan. Autrement dit, $M - I_{n+1}$ est de rang $1$, et si $C_1\neq e_1$, $M = (e_i + \la_i (C_1 - e_1))$, on peut annuler les termes avec le premier.
#+END_proof

# ID:7154
#+begin_exercice [ENS 2023 # 66]
Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit $v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n'ont pas de valeur propre commune. Sous reserve d'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$ pour $x$ réel.
 - Montrer que les zeros de $F$ sont les valeurs propres de $A+vv^T$.
 - On note $\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ les valeurs propres de $A$. Montrer que chaque intervalle $\interval]{\la_i, \la_{i+1}}[$ et $\interval]{\la_n, +\i}[$ contient exactement une valeur propre de $A+vv^T$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Si $(A + v v^T)X = \la X$, alors $AX + v \langle v, X\rangle = \la X$, donc $(A-\la I_n) X = - v \langle v, X\rangle$, ce qui implique $\langle v, (A-\la I_n)^{-1}v\rangle = - 1$. Réciproquement, on voit qu'il faut poser $X = (A-\la I_n)^{-1} v$
#+END_proof


# ID:7155
#+begin_exercice [ENS 2023 # 67]
Soient $n\in{\N}$ impair, $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que, pour toute $A\in\mc A_n({\R})$, $A+M$ soit non inversible. Montrer que $M\in\mc A_n({\R})$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Par récurrence. On considère une matrice $A = \begin{pmatrix}0 & h & 0 \\ -h & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A' \end{pmatrix}$, avec $h$ petit et $A'$ fixé. Le terme en $h^2$ est $h^2\det (M' + A')$.
#+END_proof


# ID:7156
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 68]
Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n'ont pas -1 pour valeur propre et telles que $A B$ n'ait pas 1 pour valeur propre. Montrer que $\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est antisymétrique.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 + Ou bien, par analyse synthèse, montrer que si $A\in \mc O_n$, n'a pas $-1$ comme valeur propre, alors il existe un unique $H$ antisymétrique tel que $A = (I_n - H) (I_n + H)^{-1}$.
 + On peut aussi l'obtenir directement, en écrivant $(BA - I_n)^{-1} = A^{-1} (B-A^{-1})^{-1}$
   et en écrivant $1-y = (1-x) - (x-y)$, dans certains facteurs, on obtient $U^T = - U$.
#+END_proof

# ID:7157
#+begin_exercice [ENS 2023 # 69]
Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$.
 - Déterminer les valeurs propres de $J$ et leur multiplicité.
 - Soit $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$. Montrer qu'il existe une matrice $B\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telle que $B^2=A$.
 - Que peut-on dire de la matrice $BJB$?
 - Lorsque $A$ est diagonale, calculer les valeurs propres de $JA$.
 - Montrer plus généralement que toute valeur propre d'une matrice antisymétrique réelle est imaginaire pure.
#+end_exercice

# ID:7158
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 70]
Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non nécessairement distinctes. Montrer que $\forall k \in \db{1,n}, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On montre que toutes les valeurs propres de la matrice extraite sont $\geq$ que celles de $A$.

D'une part la plus petite est $\geq \la_1$. D'autre part, la seconde est $\min_{\dim F = 2} \max_{x\in F} \langle Ax, x\rangle$, qui est supérieur au même min sur tous les espaces.

On obtient l'autre inégalité en passant à l'opposé.
#+END_proof

# ID:7185
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 71]
 1. Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B \in \mc{S}_n^+(\R)$
    Montrer que $A B$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles.
 2. Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose $f_{A, B}\colon X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$.
    Montrer que $f_{A, B}$ admet un minimum $\mu_{A, B}$ atteint en une unique matrice $M_{A, B}$. Expliciter $\mu_{A, B}$ et $M_{A, B}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. En conjuguant par une racine de $A$, on obtient une matrice symétrique, def positive.
 2. La question 1 permet de montrer que si les valeurs propres de $X$ sont grandes, la trace est grande, puisque $\langle \sqrt{A}X\sqrt{A}^{-1}e_i, e_i\rangle = \langle X \sqrt{A}^{-1} e_i, \sqrt{A}^{-1} e_i\rangle$. Idem si une valeur propre de $X$ devient petite.

    En un point critique $X$, la différentielle doit être nulle, mais c'est $H\mapsto \tr (AH) - \tr (BX^{-1} H X^{-1})$ (pour $H$ symétrique), on obtient $A = X^{-1} B X^{-1}$.

    ou $XAX = B$, qui se met sous la forme $\sqrt{A} X \sqrt{A} \sqrt{A} X \sqrt{A} = \sqrt{A}B\sqrt{A}$ : on a trouvé $X$.
#+END_proof

# ID:7683
#+begin_exercice [ENS 2023 # 72]
Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On définit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On définit de même $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$.
 - Montrer que $p(A)+q(A)=\mbox{rg}\,A$.
 - Montrer que, si $A$ est inversible, alors $p$ et $q$ sont constantes sur un voisinage de $A$ dans ${\cal S}_n({\R})$.
 - Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f\colon t\mapsto\det(A+tB)$ n'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Simple.
 - Elles sont localement croissante : si on a un témoin $V$, il suffit de témoigner sur l'intersection de $V$ avec la sphère unité.
 - Si $B$ est définie positive, par coréduction ça marche. Sinon ?

   Simplement, on regarde les valeurs propres de $A+tB$, quand $t\ra +\i$, elles ont le même signe que celles de $B$, et quand $t\ra -\i$, les signes opposés. Si $B$ est inversible, on conçoit bien que pour passer d'un état à un autre, il faut que le nombre annoncé de racines changent de signe (ici, continuité des valeurs propres), qui se faut via la question précédente.

   Si $B$ n'est pas inversible.
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [ENS 2023 # 73]
On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonné d'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$.
 - Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, que dire du signe de $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$ ?
 - Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ vérifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$.
#+end_exercice

# ID:7186
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 74]
Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ le spectre ordonné de $M$.
 1. On considère $A, B \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A+B \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. Montrer que, si $i+j\lt n+2$ alors $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0$.
 2. Généraliser à $A_1, \ldots, A_d \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A_1+\cdots+A_d \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. telle que $B=P^T A P$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $\la_i(A)$ est l'inf, sur $\vect(e_i,\dots, e_n)$ de $x^T A x$, de même, $\la_j(A)$ est l'inf sur $\vect(f_j,\dots, e_n)$ de $x^T Bx$, mais ces deux espaces ont une intersection.
 2.
#+END_proof

# ID:7159
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 75]
On note $\lN\cdot \rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\R)$ associée à la norme euclidienne. Soit $S\in\mc S_n$. On suppose que $E = \{M\in\M_n(\R)\mid S = M^T M - M M^T\}$ est non vide. On note $\gamma(S) = \inf_{M\in E}\lN M\rN^2$. Montrer que $\lN S\rN\leq \gamma(S)\leq 2\lN S\rN$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Rmq : Si on écrit $M = OS$, on a $M^T M - M M^T = S^2 - OS^2 O^T$.

Comme les deux matrices sont définies positives, on a $\lN M^T M - M M^T\rN\leq \max (\lN M^T M\rN, \lN M M^T\rN)$, d'où $\lN S\rN \leq \gamma(S)$.

Pour l'autre inégalité : on peut supposer que $S$ est diagonale, peut-on forcément trouver une matrice $S^2$ diagonale, et prendre $O$ une matrice de permutation ? Oui : On prend $\sigma$ une permutation, et $f\colon (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_i - x_{\sigma(i)})$. Si $\sigma$ est un $n$-cycle, le noyau est de dimension $1$, donc $f$ est surjective sur l'ensemble des $n$-uplets de somme nulle.

Puis on ordonne les valeurs propres de $S$ en $\la_1 \geq \la_3 \geq \dots \geq \la_4 \geq \la_2$ et on prend $\sigma = (1\, 2\, \dots \, n)$. Alors on cherche $x_1,\dots, x_n$ tels que $x_1 - x_2 = \la_1$, $x_2 - x_3 = \la_2$, … , $x_n - x_1 = \la_n$.

On a, pour tout $i$, $x_1 - x_i = \la_1 + \dots + \la_i$, et on prend un des $x_i$ égal à $0$ est nul, donc $|x_1| \leq 2 \sup |\la_i|$, puisque la somme est alternée.
#+END_proof


# ID:7187
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 76]
 1. Soient $A,B\in\mc S_n^{++}$. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ telle que $B = P^T A P$.
 2. Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une définition naturelle de $f(A)$ si $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$.
 3. On note $\lN\cdot\rN$ la norme subordonnée à la norme euclidienne. Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose $d(A, B)=\lN\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\rN$. Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance sur $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
 4. Soient $P \in \mathrm{GL}_n(\R), A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $d\left(P^T A P, P^T B P\right)=d(A, B)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. On applique $f$ sur les coefficients diagonaux. Il faut justifier que ça ne dépend pas de la décomposition diagonale…
 3. Utilise le fait que les valeurs propres extrêmes de $Y^{-1} B Y^{-1}$ sont égales à $\sup \frac{\langle BX, X\rangle}{\langle Y^2 X, X\rangle}$, et l'inf.
#+END_proof

# ID:7161
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 77]
Soit $n\in\N^*$.
 1. Montrer que $(X,Y)\mapsto \op{Tr} X^T Y$ est un produit scalaire sur $\M_n(\R)$. On note $\lN \cdot\rN$ la norme associée.
 2. Si $M\in\M_n(\R)$, soit $L(M)\colon X\in \M_n(\R)\mapsto MX$. Montrer que $L$ est un morphisme d'algèbre injectif.
 3. Soit $\lN|\cdot|\rN_2$ la norme sur $\M_n(\R)$ subordonnée à la norme euclidienne de $\R^n$, et $\lN |\cdot|\rN$ la norme sur $\mc L(\M_n(\R))$ subordonnée à $\lN\cdot\rN$. Si $M\in\M_n(\R)$, montrer que $\lN |L(M)|\rN\leq \lN|M|\rN_2$.
 4. Montrer que $\lN |M^T|\rN_2 = \lN |M|\rN_2$ pour tout $M\in\M_n(\R)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Ok.
 3. C'est clair, vu que le produit matriciel est colonne par colonne et que $\frac{a+b}{c+d}\leq \max \frac{a}{c}, \frac{b}{d}$.
 4. $\lN |M|\rN = \sup \langle MX, Y\rangle$
#+END_proof


# ID:7139
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 78]
On note $\lN \cdot\rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à la norme $X \mapsto \sqrt{\bar{X}^T X}$.
 1. Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\lNe^{i A}-e^{i B}\rN \leq \lN A-B\rN$.
 2. Démontrer le même résultat sous l'hypothèse que $A$ et $B$ sont deux matrices de $\M_n(\C)$ telles que $\bar{A}^T=A$ et $\bar{B}^T=B$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Facile si $A, B$ commutent.

    On veut montrer que $\exp$ est $1$-lip sur les anti-hermitiennes.

    + Commencer par montrer que $\lN e^{iA}\rN = 1$ (norme subordonnée), car unitaire.  On peut le faire grâce au théorème spectral.
    + Puis on montre que $\lN e^{iA} e^{-iB} - I_n\rN\leq \lN A-B\rN$, en considérant $\phi\colon t\mapsto e^{itA}e^{-itB}$.
    + On peut aussi  utiliser l'expression intégrale de la différentielle : $\d e^{X} (Y) = \int_0^1 e^{(1-u)X} Y e^{u X}\du$ (se retrouve en développant, et intégrant terme à terme).
    + Sinon, on a $\lN A^k - B^k\rN\leq \lN A-B\rN (\sum \lN A\rN^i \lN B\rN^{k-1-i})$ (en écrivant $A^k - B^k$ comme une somme de termes), d'où $\lN A^k - B^k\rN \leq \lN A-B\rN \frac{e^{\lN A\rN} - e^{\lN B\rN}}{\lN A\rN - \lN B\rN}$.
    + On écrit alors $e^{iA} - e^{iB} = \big(e^{iA/2} - e^{iB/2}\big) e^{iA/2} - e^{iB/2}\big(e^{iA/2} - e^{iB/2}\big)$, de même avec $e^{iA/m}, e^{iB/m}$ comme somme de $m$ termes, dont chaque facteur est $(e^{iA/m} - e^{iB/m})$ et un facteur unitaire. La majoration précédente permet de conclure.
#+END_proof

# ID:7138
#+BEGIN_exercice
Soit $\lN\cdot\rN$ une norme multiplicative sur $\M_n(\R)$. Si $\lN A\rN\neq \lN B\rN$, montrer que $\lN e^A - e^B\rN \leq \frac{e^{\lN A\rN} - e^{\lN B\rN}}{\lN A\rN - \lN B\rN}$.
#+END_exercice


** Analyse

# ID:7354
#+BEGIN_exercice
Soit $k\geq 1$ et $f\in\mc C^k(\R,\R)$ telle que $\sum_{j=0}^k f^{(j)}(x)$ admette une limite quand $x\ra +\i$. Peut-on en déduire que $f$ admet une limite en $+\i$, selon la valeur de $k$ ?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Si $\sum_{j=0}^k f^{(j)}(x) = k$, on regarde l'équation homogène, dont l'équation caractéristique est $1 + X + \dots + X^k = 0$, et dont le comportement est décidé par le signe de la partie réelle des racines. Si $k = 1$ c'est bon, si $k = 2$, c'est bon aussi, pour $k=3$, on a $\pm i$ comme racines, donc ce n'est plus le cas.

Reste à traiter les cas $k = 1, 2$ en général, par des variations de la constante.
#+END_proof


# ID:7160
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 79]
Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$, $\lN x\rN_{p} = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$.
 1. Montrer qu'il s'agit bien d'une norme.
 2. Montrer l'inégalité de Hölder.
 3. Dans $\R^2$, dessiner la boule unité de la norme $p$ pour plusieurs valeurs de $p$.
#+END_exercice

# ID:nil
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 80]
Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset \bigcup_i O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in [a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ telle que $[a,x]\subset \bigcup_{j\in J} O_j$. Montrer que $X = [a,b]$.
#+END_exercice

# ID:7175
#+begin_exercice [ENS 2023 # 81] Théorème de Brouwer
Soient $K$ un compact convexe non vide d'un espace normé $E$, $f$ un endomorphism continu de $E$ tel que $f(K)\subset K$. Montrer que $f$ admet un point fixe dans $K$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si non, on a une application $f\colon K\ra \partial K$ qui préserve $\partial K = S^1$.

Alors, on prend $g\colon (r, \theta)\mapsto f(re^{i\theta})$, c'est une déformation d'un truc constant sur un tour du cercle, impossible.
#+END_proof


# ID:7176
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 82]
Peut-on écrire $\interval]{0, 1}[$ comme réunion dénombrable disjointe de segments d'intérieurs non vides?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Non. Par l'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont la distance tend vers $0$, alors la limite n'appartient à aucun segment.
#+END_proof


# ID:7177
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 83]
Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose, pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel que $0\lt a\lt 9$. On définit $P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et $P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide, d'intérieur vide et sans point isolé.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 $P$ est borné et fermé, car $S_n$ est continue inférieurement. Clairement non vide et d'intérieur vide. Si $x\in P$, en retirant $1$ a un chiffre de $x$ arbitrairement grand, on reste dans $P$. Possible sauf si $x$ est décimal, auquel cas on peut ajouter $1$.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS 2023 # 84]
Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermée si et seulement si $A$ est diagonalisable sur $\C$.
#+end_exercice

# ID:7205
#+begin_exercice [ENS 2023 # 85]
 - On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Démontrer qu'il existe une suite $(C_i)_{i\in\N}$ de parties de $D$ telle que :
   + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carré de $\R^2$ dont les côtés sont parallèles aux axes ;
   + les $C_i$ soient d'intérieurs deux a deux disjoints ;
   + $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$.
 - On note $C=[-1,1]^2$. Démontrer qu'il existe une suite $(D_i)_{i\in\N}$ de parties de $C$ telle que :
   + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque fermé de $\R^2$ ;
   + les $D_i$ soient d'intérieurs deux a deux disjoints ;
   + $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Utiliser un quadrillage, en divisant la taille à chaque étape.
 - Par étape, on met un cercle, puis on quadrille, et on peut choisir des petits carrés qui remplissent une proportion $\gt \frac{1}{2}$ du vide (car le vide est délimité par un nombre fini de courbes régulières), puis dans chaque carré on met un cercle.
#+END_proof


# ID:6732
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 2023 # 86]
Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $d$ de $\R[X]$.
 1. On pose $A=\{(P, x) \in \mc{P} \times \R ; P(x)=0\} \et P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $A$ dans $\R_d[X] \times \R$.
 2. On pose $B=\{P \in \mc{P} ; \forall x \in \R, P(x) \neq 0 \ou P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $B$ dans $\R_d[X]$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Par translation, on peut passer de $(P, x)$ à $(\tilde{P}, 0)$. Alors $P = X^n + Q + \a X$, avec $\a\neq 0$. On peut ramener $Q$ à $0$, et $\a$ à $\pm 1$. Deux composantes connexes, selon le signe de $\a = P'(x)$.
 2. $B$ est l'ensemble des polynômes unitaires à racines simples. Le nombre de racines simples est un invariant, et réciproquement, ces morceaux sont clairement connexes par arcs.
#+END_proof


# ID:7178
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 87]
Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblables les unes aux autres, $\lN\cdot\rN$ une norme sur $\M_n(\C)$. On suppose que $\lN M_k\rN \ra+\i$. Montrer qu'il existe une matrice $N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi\colon \N \ra \N$ telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} \ra N$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On peut extraire $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN}$ convergent, vers $\Pi$.

Si $\Pi$ a une valeur propre complexe $X$, comme $\lN \frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} - \Pi\rN\leq \eps$, on a une valeur propre complexe proche de $\la$, donc $M_{\phi(k)}$ a une valeur propre qui tend vers $+\i$.
#+END_proof


# ID:7179
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 88]
Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\lt 1$. Montrer qu'il existe une norme $\lN\cdot \rN$ sur $\C^n$ telle que, pour la norme d'opérateur associée, on ait $\lN A\rN\lt 1$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Trigonaliser, puis conjuguer par une matrice diagonale pour n'avoir que des petits coefficients hors de la diagonale.
#+END_proof


# ID:7203
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 89]
Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et $\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout $i \in \db{1, n },\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$, pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$.
Montrer que $A$ est inversible et que $\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x \in \R^n,\|x\|_1=1\right\} \leq \frac{1}{\eps}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 $A$ est inversible car aucune ligne n'est combinaison linéaire des autres.

Si $x = E_i$, on considère les colonnes de $A^{-1}$, notées $C_i$. On $\langle C_i, L_i\rangle = 1$ et $C_i$ orthogonal aux autres lignes, ce qui donne $\lN C_i\rN_{2}\leq \frac{1}{\eps}$, peut-être.

Ensuite, c'est le fait qu'une moyenne d'éléments de norme $\leq K$ est de norme $\leq K$.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [ENS 2023 # 90]
On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornées de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\lN\cdot\rN_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle à support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ décrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des réels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 + Si $f\in \ol{W(g)}$, alors $f$ est à support compact.
 + $\Gamma$ est clairement un sous-groupe, contenant $\Z$.
 + Si $\Gamma$ est dense en $0$, alors il existe une suite $\eps_n$ telle que $g(x-\eps_n)\in \ol{W(g)}$. En considérant le minimum du support de $g$, c'est impossible.
   M'enfin, $W(g)$ m'a l'air fermé…
#+END_proof


# ID:7229
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 91]
Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive telle que, pour tout $n$, $u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Soit $m$. On peut écrire $u_{a+n} = G_{n,a} u_a + G_{n+1,a} u_{a-1}\et u_{a+n+1} = G_{n+1,a} u_a + G_{n+2,a} u_{a-1}$, où $G_n\tend{a\ra +\i} F_n$, ce qui permet de conclure, puisque $\frac{G_{n,a}}{G_{n+1,a}}$ et $\frac{G_{n+1,a}}{G_{n+2,a}}$ sont proches de $\phi$.

 $w_n$ s'obtient à partir de $v_n$ par Cesàro.
#+END_proof


# ID:6700
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 2023 # 92]
 1. Si $n \geq 2$ est un entier, montrer que $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor=\sum_{j=2}^n\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor$.
 2. Donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\i$ de $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor$, puis un développement asymptotique à deux termes.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Le premier compte les puissances de $k$ inférieures à $n$, dont $k^1$.

    Le second compte les puissances $j$-èmes inférieures à $n$.
 2. En coupant la somme en $k = \sqrt{n}$, on a du $\sqrt{n} \ln n + (n-\sqrt{n})n$, d'où un équivalent à $n$.

    En suite, on prend l'autre expression, on retire $n$. Le premier terme est $\sqrt{n}$. Les termes non nuls correspondent à $\sqrt[j]{n}\geq 2\ssi n\geq 2^j$, donc les autres termes sont au plus en $\sqrt[3]{n} \ln n$, d'où le DSA $n + \sqrt{n} + o_{+\i}(\sqrt{n})$.
#+END_proof


# ID:7204
#+begin_exercice [ENS 2023 # 93]
Soient $\alpha\gt 0$ et $(a_n)_{n\in{\N}}$ une suite strictement décroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u_n)_{n\in{\N}}$ une suite définie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u_n)_{n\in{\N}}$ converge vers un réel strictement positif.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 + Si $u_n \gt 1$, on tend vers $\i$.
 + Si $u_n^{\a} + \sup a_n \lt 1$, on tend vers $0$.
 + Si $u_0\lt v_0$, $\forall n,\, u_n \lt v_n$.
 + Si $u_n \ra \l_1$ et $v_n \ra \l_2$, on a $u_n^{\a} + a_n \ra 1$ et $v_n^{\a} + a_n \ra 1$, donc $\l_1 = \l_2$.
 + De plus $\frac{u_n}{v_n}$ est monotone, donc il y a au plus une valeur de $u_0$ qui converge.
 + Les ensembles où $u_n \ra +\i$ et $u_n \ra 0$ sont ouverts.
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [ENS 2023 # 94]
Soit $(u_n)$ une suite définie par $\colon\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$.
 - Montrer que, pour tous $x$ et $y\in{\R}$, $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$.
 - Montrer que $u_{n+1}-u_n\to 0$.
 - Montrer que $V$ est un intervalle inclus dans $[-1,1]$, puis que $V=[-1,1]$.
#+end_exercice

# ID:7180
#+begin_exercice [ENS 2023 # 95]
Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densité si la suite $\left(\frac{|A\cap\db{1,n}|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite. Cette limite est alors notée $d(A)$.
 - Si $m\in{\N}^*$, quelle est la densité de l'ensemble des multiples de $m$ dans ${\N}^*$?
 - Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densité que l'on précisera.
 - Donner un exemple de partie de ${\N}^*$ n'admettant pas de densité.
#+end_exercice

# ID:7230
#+begin_exercice [ENS 2023 # 96]
On considère une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ième occurrence de $2$ soit égal a $a_n$.

Étudier la convergence de la suite de terme général $\frac{1}{n}\op{Card}\{k\in\db{1,n} \mid a_k=3\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 + On écrit les premiers termes de la suite : $a_1 = 2, a_2 = a_3 = 3, a_4 = 2, a_5 = a_6 = a_7 = 3, a_8 = 2, a_9= a_{10} = a_{11} = 3, a_{12} = 2, a_{13} = a_{14} = 3, a_{15} = 2$.
 + On note $n_k$ l'indice du $k$-ième $2$. On a $n_1 = 1$, $n_2 = 4$, $n_3 = 8$, $n_4 = 12$, $n_5 = 15$.
 + On obtient $n_{n_k + 1} = n_k + 1 + \big(2 \times k + 3 \times (n_k - k)\big) = 4n_k + 1 - k$, donc $n_{n_k} = 4n_k - k - 2$.
 + On a alors $p_{n_{n_k}} = \frac{1}{4 - p_{n_k} - \frac{2}{n_k}}$.
 + (La solution de $\l = \frac{1}{4 - \l}$ est irrationnelle.)
 + La suite $p_{n^{(k)}_1}$ converge vers $\l$.
 + Un peu galère, mais on peut en déduire que $(p_{n_k})$ converge vers $l$, donc que $(p_n)$ converge vers $\l$ (les $n_k$ sont distants d'au plus $3$).

En fait, on a $n_k = (a_0 + 1) + \dots + (a_{k-1} + 1)$   , donc $n_k = 4k - \#\{n_i \in \db{0,k-1}\}$.
#+END_proof

# ID:7588
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 97]
On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n \geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de $2$ soit égal à $a_n$. Montrer qu'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On sait que la proportion de terme qui vaut $2$ tend vers la solution à $\l = \frac{1}{4 - \l}$, c'est-à-dire $2 + \sqrt{3}$.

On vérifie que ça marche : il s'agit de justifier qu'en notant $n_k = \lfloor k \a\rfloor + 1$, $n_k$ est bien égal à $4k - \#\{n_i \in \db{0,k-1}\}$.
#+END_proof


# ID:7181
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 98]
Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si elle vérifie, pour tout entier $k \in \Z^*, \lim_{N \ra+\i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 i k \pi x_n}=0$.
 1. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que la suite $(n \alpha)$ est équirépartie modulo 1.
 2. Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N^*}$. On suppose que pour tout $h \in \N^*$, la suite $\left(x_{n+h}-x_n\right)_{n \in \N^*}$ est équirépartie; on veut montrer que $(x_n)$ est équirépartie modulo 1.
    1. Soit $\left(a_n\right)$ une suite de complexes de module $\leq 1$.
       Montrer, pour tous $N, H \in \N^*\colon\left|\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right|+\frac{2 H}{N}$.
    2. Montrer que $\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right| \leq \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|\sum_{h=0}^{H-1} \frac{a_{n+h}}{H}\right|^2}$.
    3. Conclure.
 3. Soit $P \in \R[X]$ non constant et de coefficient dominant irrationnel. Montrer que $(P(n))_{n \geq 1}$ est équirépartie modulo 1.
 4. Soit $\left(x_n\right)_{n \geq 1}$ une suite réelle équirépartie modulo 1, et $f\colon \R \ra \C$ une fonction continue 1-périodique. Montrer que $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right) \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} \int_0^1 f$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3.
 4.
#+END_proof

# ID:7216
#+begin_exercice [ENS 2023 # 99]
Soit $f\colon [0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, on note $A_n$ la matrice $\scalemath{0.6}{\begin{pmatrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{pmatrix}}$ ou, pour tout $k\in\db{1,n-1}$, $a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$.

Soit $q\in\N^*$. Déterminer la limite de $(\frac{1}{n}\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pour $q$ impair la trace est nulle.

Pour $q$ pair, en interprétant comme un graphe, on obtient quelque chose proche de sommes de Riemann, et on tend vers ${q \choose q/2}\int_0^1 f(x)^q \dx$.
#+END_proof


# ID:7206
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 100]
Montrer la convergence et calculer $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\ln (k)}{\ln (2)}\right\rfloor$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Pour la convergence : regrouper deux par deux.

Pour le calcul, c'est $\sum_{m =1}^{+\i} m \sum_{k = 2^m}^{2^{m+1} - 1} \frac{(-1)^k}{k}$.

On écrit $\sum_{k = 2^m}^{2^{m+1} - 1} \frac{(-1)^k}{k} = 2 \sum_{2^m ; k \text{ pair}}^{2^{m+1} - 1} \frac{1}{k} - \sum_{k = 2^m}^{2^{m+1} - 1} \frac{1}{k} = 2F_{m} - F_{m-1} - F_{m+1}$, où $F_m = H_{2^m - 1}$.

En écrivant une somme partielle, et en telescopant, il reste une différence de deux $H_n$ grands, qui donne du $\gamma$.
#+END_proof


# ID:7217
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 101]
On note $\ell^2(\R)$ l'ensemble des suites réelles de carré sommable indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$ ainsi qu'une suite $\left(u_k\right)_k$ d'éléments de $\ell^2(\R)$ (l'élément $u_k$ est donc noté $\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}$. On suppose que, pour tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général $w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers $\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$.
Montrer que $\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sigma(n)}-v_n\right)^2 \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On peut supposer que les $(v_n)$ sont décroissants, (par inégalité de réordonnement).

On montre par récurrence sur $n$ que $u_{k,n}\tend{k\ra +\i} v_n$. Pour $n = 1$, si ce n'était pas le cas, pour $p$ très grand, on serait loin de la limite.

Puis c'est de la convergence dominée.
#+END_proof


# ID:7182
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 102]
Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et $q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de continuité de $f$ ?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Facile.
#+END_proof


# ID:6727
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 103]
Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et $[a, b] \subset I$ avec $a\lt b$. On suppose que $f'(a)=f'(b)$. Montrer qu'il existe $c\in \interval]{a, b}[$ tel que la tangente au graphe de $f$ en $c$ passe par le point $(a, f(a))$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On peut supposer $f'(a) = f'(b) = 0$. À relier.
#+END_proof

# ID:7188
#+begin_exercice [ENS 2023 # 104]
Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit dérivable en aucun point.
#+end_exercice

# ID:7189
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 105]
Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 $f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle, $f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$.
#+END_proof

# ID:7085
#+begin_exercice [ENS 2023 # 106]
Soit $p\gt 1$ un réel. Montrer qu'il existe une constante $k_p\gt 0$ telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait $(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On veut montrer que $\frac{(x-y)^2}{4  - (x+y)^2}$ est majorée.

Rmq : l'inégalité de Hölder donne $(x+y)^2 \leq 4$ avec égalité si et seulement si $(x,y) = (1,1)$. Ce que l'on peut retrouver par de l'optimisation sous contrainte.

Si une suite tend vers $+\i$, nécessairement $x_n + y_n \ra 2$, donc nécessairement $(x_n,y_n)\ra (1,1)$.

On considère $f(x,y) = 4 - (x+y)^2$, on peut écrire un DL à l'ordre $2$ en $(1,1)$, que l'on peut trouver algébriquement : $f(x,y) = -(x-1)^2 - (y-1)^2 - 2(x-1) - 2(y-1) - 2(xy - 1)$, où $xy-1 = (x-1)(y-1) +x-1 + y-1$, donc $f(x,y) = - (x-1)^2 - (y-1)^2 -4(x-1) - 4(y-1) - 2 (x-1)(y-1)$.

Ensuite, on considère $g(x,y) = x^p + y^p$, et un DL à l'ordre $2$, qui donne $g(x,y) - g(1,1) = p (x-1) + p (y-1) + p (p-1)(x-1)^2 + p (p-1)(y-1)^2 + o_0(\lN \dots\rN^2)$.

En l'injectant dans $f$, on obtient $f(x,y) = (x-1)^2 \big(-1 + 4(p-1)\big) + (y-1)^2 \big(-1 + 4(p-1) \big) - 2 (x-1)(y-1)$, et par ailleurs $(x-1) = -(y-1)$, donc on trouve $f(x,y) = (x-1)^2 \big(-1 + 4(p-1) + 1\big) + (x-1)^2 \big(-1 + 4(p-1) + 1\big)(y-1)^2$.
#+END_proof


# ID:7086
#+begin_exercice [ENS 2023 # 107] Dualité de Legendre
Soit $f\colon\R\ra\R$. On note $f^*(s)=\sup_{x\in\R}\,(sx-f(x))$ et $f^{**}(x)=\sup_{s\in\R}\,(sx-f^*(s))$.

Montrer que $f^{**}(x)=\sup\limits_{\substack{a\text{ affine }\\ a \leq f}}a(x)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Supposons que $f\gt 0$, et montrons que $f^{**}\geq 0$, c'est-à-dire que pour tout $x$, il existe $s$ tel que $sx - f^*(s)\geq 0$, mais $f^*(0) = \sup_x (-f(x))$, d'où le résultat.

Cela démontre que $f^{**}(x)\geq \sup\limits_{\substack{a\text{ affine }\\ a \leq f}}a(x)$.

Par ailleurs $f^{**}$ est convexe.

Par ailleurs, $f^{**}\leq f$ : On a $f^{**}(x) = \sup_s sx - f^*(s)$, et pour tout $s$, $sx - f^*(s)\leq f(s) \ssi f^*(s)\geq sx - f(s)$, ce qui est immédiat.
#+END_proof


# ID:7190
#+begin_exercice [ENS 2023 # 108]
Soient $I$ un ensemble fini et $(P_i)_{i\in I}$ une famille de polynômes réels stable par derivation. On définit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$.

Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient $A_{\eps}=\{t\in\R \mid \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et

$B_{\eps}=\{t\in\R \mid \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$.
 - Montrer que $A_{\eps}$ est soit vide, soit réduit a un point, soit un intervalle ouvert.
 - Si $A_{\eps}$ est non vide, montrer que $B_{\eps}$ est l'adhérence de $A_{\eps}$. Si $A_{\eps}$ est vide, montrer que $B_{\eps}$ est soit vide suit un singleton.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Soit $a,b\in A_{\eps}$.
   + Si un polynôme $P_i$ passe de $0$ à $0$, une de des dérivée doit changer de signe entre $a$ et $b$, impossible (prendre la première dérivée avec une seule racine entre $a$ et $b$).

     S'il passe de $+$ à $+$, il doit rester $+$ tout du long, sinon une de ses dérivée changerait de signe (la première avec une seule racine)..
   + Pour le caractère ouvert : on vient de voir que si $A_{\eps}$ contient au moins deux points, $\eps(i)$ ne peut pas prendre la valeur $0$. Puis cela découle du caractère fini de $I$.
 - 
#+END_proof


# ID:7008
#+begin_exercice [ENS 2023 # 109]
Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f\colon I\ra\R$ de classe $\mc C^n$.
 - Soient $x_0,\ldots,x_{n-1}$ des points de $I$.
   - sV2 Soit $P$ le polynôme d'interpolation de Lagrange de $f$ aux points $x_0, \dots, x_{n-1}$. Montrer que pour tout $x\in I$, il existe $c\in I$ tel que
     $$f(x) - P(x) = \frac{f^{(n)}(c)}{n!} \prod_{i=0}^{n-1} (x - x_i).$$
   - On note $V(x_0,\ldots,x_n)$ le déterminant de Vandermonde associe a $(x_0,\ldots,x_n)$. Montrer qu'il existe $\tau\in I$ tel que

     $$\begin{vmatrix}1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^{n-1}&f(x_0)\\ 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}&f(x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}&f(x_n)\\ \end{vmatrix}=\dfrac{f^{(n)}(\tau)}{n!}\,V(x_0,x_1,\ldots,x_n).$$
 - On suppose que $n=2$, que $I$ est un segment et que $f$ est strictement convexe. On note $\Gamma_f=\{(x,f(x));x\in I\}\subset\R^2$ le graphe de $f$. Montrer qu'il existe une constante $C$, dépendant uniquement de $I$ et $f$, telle que le nombre de points de $\Gamma_f\cap\frac{1}{N}\,\Z^2$ soit majore par $C\,N^{2/3}$ pour tout entier $N\geq 1$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
    1.
    2. On part du déverminant de Vandermonde. Par des opérations sur les colonnes, on transforme la dernière en $P(x_i) - f(x_i)$, où $P$ est un polynôme de degré $\leq n-1$.

       On choisit pour $P$ le polynôme d'interpolation de $f$ en $x_0,\dots, x_{n-1}$.

       Alors le déterminant vaut $\big(f(x_n) - P(x_n)\big) V(x_0,\dots, x_{n-1})$.

       Par ailleurs, on sait que $f(x_n) - P(x_n) = \frac{\la}{n!} (x_n - x_1)\dots (x_n - x_{n-1})$ (choisir $\la$ pour que ce soit correct en $x_n$), et on obtient $\la = f^{(n)}(\tau)$.
 2. En trois points $\frac{i}{N}, \frac{j}{N}, \frac{k}{N}$ qui vérifient la condition, on a
    $$\begin{vmatrix}1 & i & f(x_i) N \\ 1 & j & f(x_j)N \\ 1 & k & f(x_k)N \end{vmatrix} = \frac{f^{(2)}(\tau)}{2} \begin{vmatrix}1 & i & i^2 \\ 1 & j & j^2 \\ 1 & k & k^2 \end{vmatrix},$$
    donc $(i-j)(j-k)(i-k) = \frac{N k}{f^{(2)}(\tau)}$, si $f^{(2)}(\tau)\neq 0$, où $k$ est un entier.

    En particulier, il existe une constante $C$ telle que l'un des trois facteur soit $\geq C N^{1/3}$. Cela implique la borne en $N^{2/3}$.

    Si $f^{(2)}$ s'annule, on applique ce qui précède sur chaque deux intervalles sur lequel ce n'est pas le cas.
#+END_proof


# ID:7191
#+begin_exercice [ENS 2023 # 110]
Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$.
 - Montrer que $(w_n)_{n\geq 0}$ est décroissante.
 - Etablir une relation de recurrence entre $w_{n+2}$ et $w_n$.
 - Sans utiliser la formule de Stirling, déterminer un équivalent simple de $w_n$.
 - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum w_nx^n$.
#+end_exercice


# ID:7192
#+BEGIN_exercice Théorème de Rouché [ENS 2023 # 111]
Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$.
 1. Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement inférieur à 1 comptées avec multiplicité n'est autre que $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$.
 2. Soit $Q \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1 comptées avec multiplicité.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Écrire $\frac{P'}{P}$ en éléments simples, puis développement en série à l'intérieur de l'intégrale.
 2. Prendre un arc continu entre les deux.
#+END_proof

# ID:7193
#+begin_exercice [ENS 2023 # 112]
Pour $n\in\N$, on note $A_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\,dx$ et $B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}(x)\,dx$. On admet que, pour $n\in\N^*$, $2nA_n=(2n-1)A_{n-1}$.
 - Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{2B_0}{A_0}-\frac{2B_n}{A_n}$ pour tout $n\in\N^*$.
 - En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ puis que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac{1}{n}\right)$.
#+end_exercice

# ID:6689
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 113]                                               :sup:
Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique c'est-à-dire telle que, pour tout $\eps\gt 0$, il existe $T\gt 0$ tel que : $\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \eps$.
Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique.
 1. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R^+$.
 2. Montrer que $t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t f$ possède une limite quand $t \ra+\i$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Easy.
 2. Si la quantité donnée n'admettait pas de limite, on trouverait deux suites extraites, à distance $\eps$ l'une de l'autre.

    Pour $\eps/2$, il existe $T$. Alors $g(nT)$ est proche à $\eps/2$ près de $g(T)$. Mieux que ça, la fonction est bornée, donc la différence entre $g(nT)$ et $g(nT + u)$ est petite.
#+END_proof

# Relier à je ne sais quoi
# ID:7194
#+begin_exercice [ENS 2023 # 114]                                               :sup:
Soit $f$ une fonction continue par morceaux et croissante de $[0,1]$ dans $\R$. Montrer que $\int_0^1f(x)e^{i\lambda x}dx\underset{\lambda\to+\i}{=}O \left(\frac{1}{\lambda}\right)$.
#+end_exercice

# ID:7007
#+begin_exercice [ENS 2023 # 115]
 - Es On admet l'existence d'une notion d'intégrale multiple sur un rectangle de $\R^n$, et que pour des fonctions continues $f_1,\dots, f_n\colon\R\ra\R$,
   $$\int_{[0,1]^n} f_1(x_1)\dots f_n(x_n)\dx_1\dots \dx_n = \prod_{i=1}^n \int_{0}^1 f_i(x)\dx.$$

 - Soient $f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n$ des fonctions de $\mc C^0([0,1],\R)$. Soit $A$ la matrice de terme général $A_{i,j}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\dx$.

   On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big(f_i(x_j)\big)$ et $C(x_1,\dots,x_n)=\det\big(g_i(x_j)\big)$. Montrer que $\int_{[0,1]^n}B(x_1,\ldots,x_n)\,C(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n=n!\det(A)$.
 - s Montrer que si $\det A = 0$, alors la famille $(f_1,\dots, f_n)$ est liée.
 - s En déduire que si $(f_1,\dots,f_n)$ est libre, il existe $(x_1,\dots, x_n)\in\R^n$ tels que $\big(f_i(x_j)\big)$ soit inversible.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Le produit des déterminants est $\sum_{\sigma,\sigma'} \eps(\sigma) \eps(\sigma')\prod_{i=1}^n f_i(x_{\sigma(i)}) \prod_{i=1}^n g_i(x_{\sigma'(i)}) = \sum_{\sigma,\sigma'} \eps(\sigma) \eps(\sigma') \prod_{i=1}^n f_{\sigma(i)}(x_i) g_{\sigma'(i)}(x_i)$.

Quand on l'intègre, on obtient $\sum_{\sigma,\sigma'} \eps(\sigma') \eps(\sigma) \prod_{i=1}^n \int_0^1 f_{\sigma(i)}(x) g_{\sigma'(i)}(x_i)$, et l'intégrale ne dépend que de $\sigma^{-1}\circ \sigma$, ce qui permet d'obtenir le résultat.
#+END_proof


# ID:7195
#+begin_exercice [ENS 2023 # 116]
 - La fonction $f\colon x\in \interval[{1, +\i}[ \mapsto\frac{\sin(x^2)}{x}$ est-elle uniformement continue?
 - Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\R^+$ dans $\R$ admettant une limite en $+\i$ et telle que $f'$ est uniformément continue. Est-ce que $f'$ a une limite en $+\i$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
#+END_proof


# ID:7196
#+begin_exercice [ENS 2023 # 117]
Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P_n)_{n\in\N}$ une suite de polynômes a coefficients réels de degré au plus $d$ et $x_1,\dots,x_N$ des réels distincts. On suppose que pour tout $j\in\db{1,N}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornée. Montrer que l'on peut extraire de $(P_n)_{n\in\N}$ une suite $(Q_n)_{n\in\N}$ qui converge uniformément sur $[0,1]$ vers un polynôme de degré au plus $d$.
#+end_exercice

# ID:7197
#+begin_exercice [ENS 2023 # 118]
Montrer que la suite de fonctions de terme général $f_n\colon x\mapsto (\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformément sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
#+end_exercice

# ID:7198
#+begin_exercice [ENS 2023 # 119]
On note $I$ (resp. $S$) l'ensemble des fonctions $f\colon [0,1]\to[0,1]$ telles que, pour tout $a\in\R$, l'ensemble $\{x\in[0,1]\mid f(x)\leq a\}$ est fermé (resp. de même avec l'inégalité dans l'autre sens).
 - Montrer que $S\cap I$ est l'ensemble $C$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$.
 - Soit $f:[0,1]\to[0,1]$. On pose $f_n:x\mapsto\inf(\{1\}\cup\{f(y)+n|x-y|,y\in[0,1]\})$ pour $n\in\N$. Montrer que $f_n$ est continue pour tout $n$, que la suite $(f_n)$ est croissante et que $f\in I$ si et seulement si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$.
#+end_exercice


# ID:7199
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 120]
Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p)$ si $n=p^k$ avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers.
 1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*, \sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$.
 2. Montrer que, pour tout $s\gt 1,\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{\Lambda(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{1}{n^s}\right)=\sum_{n \in \N^*} \frac{\ln (n)}{n^s}$.
 3. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{\ln (p)}{p^s} \underset{s \ra 1+}{=} \frac{1}{s-1}+O(1)$.
 4. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{1}{p^s} \underset{s \ra 1^+}{=} \ln \left(\frac{1}{s-1}\right)+O(1)$. Qu'en déduire?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof

# ID:7200
#+begin_exercice [ENS 2023 # 121]
Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractère non trivial $\chi$ sur le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c'est-a-dire un morphisme de groupes non constant $\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n'est pas premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou $\overline{m}$ désigne la classe de $m$ modulo $q$).
 - Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si et seulement si $s\gt 0$.
 - Montrer que la fonction $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$.
#+end_exercice

# ID:7201
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 122]
Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$. Quelle est la limite de $g$ en $0^+$?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
C'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. Cela tend vers $\frac{1}{2}f(0)$, en découpant sur un segment, et en utilisant l'uniforme continuité de $f'$.
#+END_proof

# ID:7231
#+begin_exercice [ENS 2023 # 123]
Pour tout polynôme trigonométrique $P\colon\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme à support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$.

On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynômes trigonométriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-périodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On définit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g\colon\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$.
 1. Montrer qu'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que, pour tous $f$, $g\in{\cal T}$, $\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$.
 2. Déterminer tous les réels $d$ vérifiant la condition de la question précédente.
 3. Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose, pour $k\in{\Z}$, $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$ et, pour tout $d\in{\R}$, $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Déterminer les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$.
 4. Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-périodiques et $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $\lN f\rN_2\leq C \lN f\rN_{\i}$ et Cauchy-Schwarz.
 2. Pour $d\geq 0$, ok. Pour $d\lt 0$, en prenant $f = g = e_k$, on obtient une contradiction.
 3. Comme $f$ est de classe $\mc C^{\i}$, par IPP, les $c_k(f)$ sont négligeables devant toutes puissances de $k$.
 4. Ça devrait être $\sum_{k\in{\Z}} |c_k(f)|\, |c_k(g)| (1+|k|)^{2d}$, avec un peu de chance.
#+END_proof


# ID:7202
#+begin_exercice [ENS 2023 # 124]
Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose $f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Écrire $f(z)$ sous la forme $\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que $c_n=0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $f(z) = (1-z^{pq})(\sum d(n) z^n)$, où $d(n)$ est le nombre de représentation de $n$ comme combinaison linéaire de $p$ et $q$, puis $c(n) = d(n) - d(n-pq)$. Pour $n\geq pq$, c'est clairement $\gt 0$, et pour $n\leq pq$, c'est le problème de Frothenhal ou je ne sais quoi.
#+END_proof


# ID:7223
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 125]
Soient $R\gt 0$, $f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $\interval]{-R, R}[$ telles que $\forall x \in \interval]{-R, R}[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $\interval]{-R, R}[$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
La dérivée est $f(x) g(0) + \int_0^x f(t) g'(x-t)\dt$, donc $f(0) g(0) = 0$. On suppose que $g(0) = 0$. Alors on recommence, avec $g'$.

Si à la place $f(0) = 0$, on échange $f$ et $g$.
#+END_proof

# ID:7224
#+begin_exercice [ENS 2023 # 126]
Soient $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$.
 1. Déterminer les rayons de convergence de $f$ et $g$.
 2. Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge.
 3. Montrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur ${\C}\setminus\{1\}$, développable en série entière en tout point de ${\C}\setminus\{1\}$.
 4. Montrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$.
 5. Montrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$.
 6. Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrer que $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$.
 7. Soit $h\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrer que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$.
 8. Montrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas développable en série entière en $z_0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Aucun.
 - Le prolongement est $\frac{1}{1-z}$
 - Simple.
 - Simple.
 - Simple.
 - CVN.
 - Si elle l'était, sa dérivée sur un voisinage de $z_0$ intersecté avec $B(0,1)$ coïnciderait avec $g$, mais $g$ n'est pas bornée.
#+END_proof


# ID:7232
#+begin_exercice [ENS 2023 # 127]
Soit $\alpha=(\alpha_i)_{i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d'un certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$.
 1. Déterminer, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$.

   Dans la suite, on note $f$ la somme de cette série entière.
 2. Expliciter $f$ si $\alpha=(-\delta_{i,1})_{i\geq 1}$.
 3. Pour une somme $g$ de série entière sur un intervalle $]-a,a[$ non trivial, on pose $\Delta(g)\colon z\mapsto zg'(z)$. Expliciter $P(\Delta)(g)$ lorsque $g\colon z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et $P\in\R[X]$.
 4. Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a un rayon de convergence non nul et donner une méthode simple pour trouver une équation différentielle linéaire non triviale à coefficients polynomiaux dont sa somme est solution.
 5. Résoudre le même problème lorsqu'il existe $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$.
 6. Justifier que le cadre de la question s'applique bien a la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Dépend de $\sum \a_i$.
 2. $f(z^i) = \sum_{\om} e^{\om z}$
 3. $P(\Delta)(x^k) = P(k) x^k$
 4. $P(\N)$ est minoré, donc $v_n \geq \frac{c}{k^n}$.

    Appliquer $P(\Delta)$.
#+END_proof


# ID:7233
#+begin_exercice [ENS 2023 # 128]
Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{n!\,(30n)!}{(15n)!\,(10n)!\,(6n)!}$.
 - Montrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier.
 - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum u_n x^n$.
 - Trouver une équation différentielle vérifiée par la somme de la série entière précédente.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Legendre.
 - Stirling. Quelque chose !
 - Il existe des polynômes $P,Q$ tels que $u_{n+1} = \frac{Q(n+1)}{P(n+1)} u_n$. Quand on prend $g$ et qu'on dérive puis multiplie par $z$, on transforme $u_n$ en $n u_n$.
#+END_proof


# ID:139
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 129]
Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que $\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$ ?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Cf un précédent
#+END_proof

# ID:7234
#+begin_exercice [ENS 2023 # 130]
 - Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une série entière de rayon $R\gt 0$. Montrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$.
 - Soit $f$ une fonction développable en série entière de rayon de convergence égal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuité sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$.
 - Soit $f\colon x\in \interval]{-1, 1}[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
 - On admet que le rayon de convergence du développement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du développement en série entière en $0$ de $f$ sont bornés par $M\gt 0$.
   - s Exprimer $M$ en fonction de $f$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - C'est du $e^{\frac{1}{1+x}}$, c'est de la composée…
 - On peut appliquer ce qui précède à la fonction $e^{-\frac{1-x}{1+x}}$, dont les coefficients sont bornés.

   Plutôt directement, la fonction $f$ est prolongeable en $-1$, et partout ailleurs (pour la bonne définition de $\frac{1}{\sqrt{1-z}}$ hein…)
   - ??
#+END_proof


# ID:7172
#+begin_exercice [ENS 2023 # 131]
Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\sin x}{x}\,dx$ a l'aide de la transformation de Laplace.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $f(p) = \int_0^{+\i} e^{-pt} f(t)\dt$
#+END_proof


# ID:7235
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 132]
Soit $(a, b) \in \R \times \R_-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$.
 1. Si $a \in \R_+$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$.
 2. Si $a \in \R_-^*$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si $a\gt 0$, on peut minorer par $(1 + \frac{a}{2}x)^n$ sur un voisinage de taille de l'ordre $\frac{1}{n}$, et cela permet de conclure.

    Si $a = 0$. Il faut faire un changement $u = \sqrt{n} t$, et convergence dominée.
 2. Faire le changement de variable.
#+END_proof


# ID:7244
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 133]
Soit, pour $x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$.
Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+, f(x) \leq (a x+b) e^{-x}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Il suffit de chercher quand est-ce que les deux sommandes sont égaux, avec $\cos^2 = 1$ et $\sin^2 (t) = t^2$, puis on majore chaque partie en retirant l'autre terme. Ça marche.
#+END_proof

# ID:7245
#+begin_exercice [ENS 2023 # 134]
Pour $x$ réel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$.
 - Calculer $J(0)$.
 - Montrer que $J$ est de classe $\mc C^{\i}$.
 - Établir que $J(x)=O(x^{-1/2})$ quand $x\to+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $J(0) = \pi$
 - Trivial.
 - Couper en $\frac{1}{\sqrt{x}}$ et $\pi - \frac{1}{\sqrt{x}}$, forcer l'IPP, et majorer le $\frac{1}{\sin^2}$ par $\frac{1}{t^2}$.
#+END_proof

# ID:7222
#+begin_exercice [ENS 2023 # 135]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g\colon x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t) g(x-t) dt$. Montrer que $f\star g$ est dérivable et donner une expression de sa derivée.
#+end_exercice


# ID:7424
#+begin_exercice [ENS 2023 # 136]
Soit $f\colon ]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$, on pose  $a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,du$.
 - On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$.
 - On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_n(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$ et tout $n\in\N^*$.
 - Réciproquement, on suppose $f$ de classe $\mc C^2$ et $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. Montrer que $f$ est strictement convexe.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On obtient $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t \big(f(t) - f(\pi - t) - f(\pi + 1) + f(2\pi - t)\big)\dt$. Faire le dessin des quatre valeurs dans $[0,2\pi]$, c'est la différence de deux différences (à même distance) de valeurs de $f$. Si on avait une FAF, on conclurait, mais sans, c'est une inégalité des pentes (avec des pentes intermédiaires).
 - Découper.
 - Quant $t\ra s$, l'intégrale est équivalente à $f''(s)$.
#+END_proof

# ID:6895
#+begin_exercice [ENS 2023 # 137]
Soit $\mc{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sur $\R\colon\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$.

À quelle condition sur $n$ tout élément de $\mc{S}$ possède-t-il une limite en $+\i$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si et seulement si toutes les valeurs propres ont une partie réelle $\lt 0$ (puisque $0$ n'est pas racine).
#+END_proof


# ID:7241
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 138]
Soit $I$ un (vrai) intervalle de $\R$.
Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}$. Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$.
 1. Soit $g \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. Montrer que $W_r\left(g f_1, \ldots, g f_r\right)=g^r W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$.
 2. On suppose que, pour tout $k \in \db{1, r }, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$ ne s'annule pas. Montrer que, pour tout $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$.
 3. On suppose que $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est identiquement nul sur $I$ et que $W_{r-1}\left(f_1, \ldots, f_{r-1}\right)$ ne s'annule pas. Montrer que $\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est liée.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Récurrence, factoriser par $f_1$ (qui par hypothèse ne s'annule pas).
 3.
#+END_proof

# ID:7242
#+begin_exercice [ENS 2023 # 139]
On considère l'équation différentielle $(D_{\lambda})\colon y''+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$, $r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On considère $E_{\lambda}$ l'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$ telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$.
 1. Quelles sont les dimensions possibles de $E_{\lambda}$?
 2. On note $y_{\lambda}$ la solution du problème de Cauchy $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$. Caractériser le cas où $\dim(E_{\lambda})=1$.
 3. Montrer que, à $r$ fixé, les $E_{\lambda}$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1 fg$.
 4. On note $N_{\lambda}$ le nombre de zeros de $y_{\lambda}$ sur $[0,1]$. Pourquoi est-il fini?
 5. Calculer $N_{\lambda}$ dans le cas $r=0$, $\lambda\gt 0$.
 6. Dans le cas général, étudier le comportement de $N_{\lambda}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $0,1$ : c'est l'intersection de deux formes linéaires.
 2.
 3.
 4.
 5.
 6. On veut une monotonie, et des limites.
#+END_proof


# ID:7243
#+begin_exercice [ENS 2023 # 140]
Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. On considère l'équation différentielle $(E):x''+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$.
 - Soit $x$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que les zéros de $x$ sont isolés.
 - On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu'il existe $z$ de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ définisse une bijection de l'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de $y''+q(t)\,y=0$.
 - Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i)$ : $y''+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zéros consécutifs de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$.
 - Soient $q\colon I\to\R$ continue, et $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zéros consécutifs d'une solution non nulle de $y''+q(t)y=0$. Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq\beta-\alpha\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$.
#+end_exercice

# ID:7221
#+begin_exercice [ENS 2023 # 141]
Soient $A$ une application continue de $\R_+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application dérivable de $\R_+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $g(t) = \det M(t)$, et différentielle du déterminant, en $H\mapsto \langle H, \op{Com} X\rangle$. Donc $g'(t) = \langle A(t) M(t), \op{Com} M(t)\rangle = \op{Tr}\big(A(t)\big) \det M(t)$.
#+END_proof


# ID:7473
#+begin_exercice [ENS 2023 # 142] # Critère de stabilité de Lyapounov, pour l'équation de Hill
Soit $p\colon\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-périodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'équation $u''+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Remarque : l'application $u\mapsto u(\cdot +\pi)$ a une matrice de déterminant $1$ (à cause du Wronskien). On veut savoir si elle admet une valeur propre réelle.

Si la solution $u$ ne s'annule pas, on à $\int \frac{u''}{u} = \int p$, mais une IPP donne une contradiction avec la positivité.

Si la solution s'annule, les zéros sont isolés, on en considère deux consécutifs $a\lt b$, avec $u$ positive, et on montre que $\int \left|\frac{u''}{u}\right| \gt \frac{4}{b-a}$.

Pour cela, on majore par $u_{max}^{-1} \max |u'(x) - u'(y)|$, et on applique Rolle entre $a$ et le max, et le max et $b$, puis IAG.
#+END_proof



# ID:7220
#+begin_exercice [ENS 2023 # 143]
Soit $A_0\in\M_n(\R)$ telle que $\text{Sp}(A_0+A_0^T)\subset\R_-$.

On admet l'existence d'une unique fonction $A\colon\R_+\to\M_n(\R)$ telle que $A(0)=A_0$ et $\forall t\geq 0,\ A'(t)=\left(A(t)\right)^2-\left(A(t)^T\right)^2$. Montrer que la fonction $A$ a une limite en $+\i$ et expliciter cette limite.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $A'(t)$ est antisymétrique, donc la partie symétrique de $A$ est inchangée.

On écrit $A = S + U$, avec $S = A_0 + A_0^T$ et $U$ est antisymétrique.

Alors $U' = SU + US + U^2 +US + SU - U^2= 2 (SU + US)$. C'est la dérivée de $e^{2tS}Ue^{2tS}$.
#+END_proof


# ID:7219
#+begin_exercice [ENS 2023 # 144]
Soit $A\in\M_3(\R)$. Décrire le comportement asymptotique en $+\i$ des solutions de l'équation différentielle $X'(t)=AX(t)$.
#+end_exercice

# ID:7218
#+begin_exercice [ENS 2023 # 145]
On considère l'équation différentielle $(1)\colon X'(t)=P(t)X(t)$ où $P$ est une application continue et périodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$.
 - Résoudre $(1)$ si $\forall t\in\R,\ P(t)=\left(\begin{array}{cc}1&\cos(t)\\ 0&-1\end{array}\right)$.
 - On revient au cas général. Soit $T\in\R^{+*}$ une période de $P$. On note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l'espace des solutions de $(1)$ et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer qu'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$.
 - Avec les notations de la question précédente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-périodique.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Par inversibilité, il existe $C$ tel que $M(T) = M(0) C$.

   Puis on considère $Y(t) = M(t)C$, elle vérifie la même équation différentielle.
 - Si et seulement si $M(t)C e^{-(t+T)A} = M(t)e^{-tA}$, c'est-à-dire $C e^{-TA} = I_n$

   Le caractère inversible de $A$ implique que $C$ ne peut pas avoir $1$ comme valeur propre, ce qui est faux pour $P = 0$.

   Sans cette condition, c'est la surjectivité de l'exponentielle…
#+END_proof


# ID:7215
#+begin_exercice [ENS 2023 # 146]
 - Soit $f\colon (x,y)\ \mapsto \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$. Donner le domaine de définition $\Omega$ de $f$. Étudier la continuité et la différentiabilité de $f$.
 - On identifie naturellement $\R^2$ à $\C$. Montrer que, si $(x,y)\in\Omega$, $df_{(x,y)}$ est $\C$-linéaire.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $\Om = \{(x,y)\mid x\neq 0\}$. La continuité et la différentiabilité ne posent pas de problème.
 - 
#+END_proof


# ID:6892
#+begin_exercice [ENS 2023 # 147, 148]
 1. Calculer $\sup\limits_{a,b,c\gt 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b+\left(1-\frac{1}{2b}\right)^c+ \left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$.
 2. Trouver $\sup\limits_{a,b,c\geq 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\left(1-\frac{1}{2b} \right)^c\left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est $\leq e^{-\frac{b}{a}} + e^{\frac{c}{2b}} + e^{\frac{a}{3c}}$, et cela s'en approche pour $a,b,c$ très grand. Puis étudier cette quantité, en dérivant.
 - C'est $\leq e^{-\frac{b}{a} - \frac{c}{2b} - \frac{a}{3c}}$, et cela s'en approche pour $a,b,c$ très grand. Puis étudier la quantité dans l'exponentielle.
#+END_proof


# ID:7214
#+begin_exercice [ENS 2023 # 149]
Soient $q\in\R^+$, $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Déterminer $\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$.
#+end_exercice

# ID:7213
#+begin_exercice [ENS 2023 # 150]
Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. Déterminer les extrema de $x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$.
#+end_exercice


# ID:7212
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 151]
Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans $\R, L \in \R^{+*}$.
 1. Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$.
 2. On suppose que l'application $\nabla f$ est $L$-lipschitzienne.
Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$.
#+END_exercice

# ID:7211
#+begin_exercice [ENS 2023 # 152]
Soit $p\gt 1$. Montrer qu'il existe $K_p\in\R$ tel que, pour tous $x$, $y\in\R$ tels que $|x|^p+|y|^p=2$, on a $(x-y)^2\leq K_p(4-(x+y)^2)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Il s'agit de montrer que $\frac{(x-y)^2}{K_p (4-(x+y)^2)^2}$ est majorée.

On sait que $\frac{|x| + |y|}{2}\leq \left(\frac{|x|^p + |y|^p}{2}\right)^{1/p} = 2$, donc le seul problème de définition est en $(x,y) = (1,1)$, où il faut montrer que la fonction admet un prolongement par continuité.

Le dénominateur est $(x-y)^2 - 2(x-1)^2 - 2 (y-1)^2 - 4(x-1) - 4(y-1)$. On pourrait poser $x'= x-1$.
#+END_proof


# ID:6885
#+begin_exercice [ENS 2023 # 153]
Soient $f$ une application de classe $C^1$ de $\R^n$ dans $\R^m$, $x\in\R^n$ telle que $df_x$ soit injective. Montrer qu'il existe un voisinage de $x$ dans $\R^n$ sur lequel $f$ est injective.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Par l'absurde, on extrait deux suite $(x_n), (y_n)$ qui tendent vers $x$. Alors $f(x_n) = df_0(x_n) + o(x_n)$, idem pour $y_n$, et en posant $z_n = x_n - y_n$, on a $df(z_n) = o(z_n)$. Ce qui n'est pas possible car $\lN df(\dots)\rN$ est une norme.
#+END_proof


# ID:7210
#+begin_exercice [ENS 2023 # 154]
On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, de classe $\mc C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Différencier $\int_{-\pi}^{\pi} f(re^{it})\dt$.
#+END_proof


# ID:7209
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 155]
On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
La fonction $g = \op{Id} - f$ vérifie $\lN dg_u (v) - g(0)\rN\leq \frac{1}{2}$. En intégrant, on obtient $\lN g(x)\rN\leq \frac{1}{2}$ sur $B$.

Cela justifie que $\lN f\rN$ admet un minimum dans l'intérieur de la boule. L'inégalité de l'énoncé donne $df_u$ inversible, donc le minimum ne peut être atteint qu'en un point où $f$ s'annule.

Si $f$ s'annule en deux points $x_1$ et $x_2$, la fonction $g$ a deux points fixes, mais sa différentielle est de norme $\leq \frac{1}{2} + \lN f(0)\rN$, avec par ailleurs $\lN f(0)\rN\leq \frac{1}{2}$. Donc il faudrait que $\lN f(0)\rN = \frac{1}{2}$, et que le long du chemin entre $x_1$ et $x_2$, on ait $d g_{\dots}(x_2-x_1)$ parallèle (de même sens) à $f(0)$, donc $x_2 - x_1$ est également parallèle à $f(0)$.

Mieux : On a $\lN f(0)\rN = \frac{1}{2}$ et $\lN dg_u(v) - f(0)\rN\leq \frac{1}{2}$, donc $\lN dg_u(v)\rN$ doit être nul : $f(v) = v + f(0)$.
#+END_proof

** Géométrie

# ID:7225
#+begin_exercice [ENS 2023 # 156]
 - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$ tel que
   $\forall\theta\in\R,\, T_n(2\cos(\theta))=2\cos(n\theta)$.
 - Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degré de $T_n$ ? En déduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$.
 - Déterminer les triangles du plan euclidien dont les côtés ont des longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels de $\pi$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - Si on complète le triangle en un triangle rectangle, et que l'on écrit deux fois pythagore, on obtient que le trangle rectangle est rationnel, (au moins le côté complété), donc que le cosinus de l'angle est rationnel.
#+END_proof


# ID:7226
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 157]
Soit $G$ un groupe d'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ contient une translation autre que l'identité de $\R^2$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Vrai pour $G = O_2$, avec $x=\vec 0$.

Les éléments de $G$ sont de la forme $z\mapsto az + b$, ou $z\mapsto a\ol{z} + b$, avec $a\in\m U$.

On considère $G^+$ (isométries affines qui préservent l'orientation), dont les éléments ont un unique point fixe. Si il existe deux éléments qui ne commutent pas dans $G^+$, on s'en sort : conjuguer, puis multiplier par l'inverse. Par ailleurs, deux éléments commutent si et seulement si ils ont le même point fixe.

Si tous les éléments de $G^+$ ont le même point fixe, tout élément de $G^{-}$ (qui a une droite de points fixes) doit préserver ce point, sinon on créerai d'autres éléments de $G^+$ avec un point fixe différent.
#+END_proof


# ID:7227
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 158]
Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z \mapsto a z+b$ avec $a \in \mathbb{U}$ et $b \in \C$. Soit $G$ un sous-groupe de $S$ vérifiant les conditions suivantes :
 + si $g \in G, g(0)$ est nul ou de module supérieur ou égal à 1 ;
 + l'ensemble des $b \in \C$ tels que $z \mapsto z+b$ appartienne à $G$ contient deux éléments $\R$ linéairement indépendants.
Montrer que l'ensemble $\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \}$ est fini.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s'accumule. On peut supposer qu'elle s'accumule sur $1$, puis on peut borner les $(b_n)$, puis extraire une suite convergence, donc elle est constante à partir d'un certain rang. Donc on a une infinité de $z\mapsto a_n z$, ce qui est impossible.
#+END_proof

# ID:7228
#+begin_exercice [ENS 2023 # 159]
Soit $L$ la courbe du plan complexe d'équation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$.
 - Trouver une équation cartésienne réelle définissant $L$.
 - En déduire une paramétrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$.
 - s Montrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'écrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$.
 - s Montrer que $A$ définit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$.
 - s On définit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ vérifie une équation différentielle du second ordre.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $x^2 + y^2 = \cos (2 \theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 2 \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} - 1 = \frac{2}{\frac{x^2}{y^2} + 1} - 1 = \frac{2 y^2}{x^2 + y^2} - 1 = \frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2}$.
 - En posant $r = x^2 + y^2$, on a $r^2 = r - 2 x^2$, donc $x = \sqrt{\frac{r^2-r}{2}}$, et $y = \sqrt{\frac{r^2+r}{2}}$
 - 
#+END_proof

# ID:7009
#+begin_exercice [ENS 2023 # 160]
Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Z e_1+\Z e_2$ et on note $\op{coVol}(L)=|\mathrm{det}(e_1,e_2)|$.
 - sV2 Pour $e_1 = \vv{2}{0}$ et $e_2 = \vv{1}{1}$, représenter $L$ dans $\R^2$. Que représente géométriquement le covolume $\op{coVol}(L)$ ?
 - Soit $A$ un disque fermé de $\R^2$, d'aire strictement supérieure a $\op{coVol}(L)$.  Montrer qu'il existe deux éléments distincts $x$ et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$.

   Indication : Les parallélogramme du réseau $L$ découpent le disque $A$ en un nombre fini de morceaux $A_i$. Considérer les translatés $A_i'$ des $A_i$, déplacés dans le parallélogramme à l'origine de $\R^2$, appliquer l'hypothèse.
 - Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un élément $\ell$ tel que $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\op{coVol}(L)}$.
 - Soit $p$ un nombre premier congru a $1$ modulo $4$.
   - En considérant $m = (p-1)!$, montrer qu'il existe $\omega\in\Z$ tel que $p$ divise $1+\omega^2$.
   - En utilisant la question précédente, montrer qu'il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $p=a^2+b^2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
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 - 
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   - 
   - 
#+END_proof


** Probabilités

# ID:6832
#+begin_exercice [ENS 2023 # 162]
On note $\mc{A}$ l'ensemble des parties de $A$ de $\N$ telles que $\lim\limits_{n\to+\i}\frac{|A\cap \db{1,n}|}{n}$ existe. Est-ce que $\mc{A}$ est une tribu?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Non vide, stable par complémentaire, et stable par union dénombrable. On n'est pas stable par union dénombrable : toute partie est réunion dénombrable de singleton.
#+END_proof

# ID:6833
#+begin_exercice [ENS 2023 # 163]
On pose, pour toute permutation $\sigma\in S_n$, $d(\sigma)=\sum_{k=1}^n|\sigma(k)-k|$ et on note, pour $p\in\N$, $q_{n,p}=|\{\sigma\in S_n,\ d(\sigma)=p\}|$. Montrer que, si $p\geq 2n$, alors $q_{n,p}$ est pair.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On procède par récurrence. Si $\sigma\neq \sigma^{-1}$, ils vont par paires. De même, par hypothèse de récurrence, si $\sigma$ a au moins un point fixe, le cardinal est pair.

Reste les éléments vérifiant $\sigma = \sigma^{-1}$, sans point fixes, qui sont produits de transpositions. Par ailleurs, la condition $p\geq 2n$, implique que les transpositions ont des croisements.

On peut alors transformer $(i_1 i_2) (j_1 j_2)$ en $(i_1 j_2) (j_1 i_2)$, qui préserve la quantité donnée (faire le dessin), et faire la transformation réciproque.
#+END_proof


# ID:6834
#+begin_exercice [ENS 2023 # 164]                                               :sup:
Un derangement est une permutation $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. On note $D_n$ le sous-ensemble de $\mc{S}_n$ formé des derangements.
 - Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $D_n$. Calculer la probabilité que $X$ soit une permutation paire.

  Indications.

   + On donne la formule d'inversion de Pascal : si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites telles que $\forall n\in\N$, $a_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_k$, alors $\forall n\in\N$, $b_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}a_k$.
   + On pourra calculer la difference du nombre d'éléments pairs et impairs de $D_n$.
 - Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Calculer la probabilité de $(Y\in D_n)$ sachant que $Y$ est paire.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - La différence du nombre d'éléments pairs et impairs est le déterminant de la matrice avec des $1$ et des $0$ sur la diagonale.
 - 
#+END_proof


# ID:6835
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 165]
Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l'ensemble des morphismes de groupes de $(\Z / m \Z)^r$ dans $\Z / m \Z$ de la loi uniforme. Donner une expression simple de la probabilité de l'événement «le morphisme $\phi$ est surjectif».
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois.
#+END_proof

# ID:7044
#+begin_exercice [ENS 2023 # 166]
Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une pièce truquée donnant pile avec une probabilité égale à $5/9$. Les règles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers indépendants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aléatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$).
 - Trouvre la limite de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right)$ quand $n\ra +\i$.
 - Montrer que $\mathbf{P}\left(A_n\geq B_n\right)\geq\frac{1}{2}$.
 - Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)$ ?
 - S Trouver un équivalent, quand $n\ra +\i$, de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - C'est clair.
 - Découle des questions précédentes.
 - C'est $\sum_{k=0}^{9n} a_k^2 = \sum_{k=0}^{9n} a^{2k} b^{2(9n-k)} {9 n \choose k} {9 n \choose 9n - k}$.

   Pour calculer un équivalent de $\sum_{k=0}^{9n} {9n \choose k} {9 n \choose 9n - k}$ sans la formule de Van der Monde, on l'écrit comme $\int_0^{2\pi} \left(1 + e^{i\theta})^{9n}(1 + e^{-i\theta}\right)^{9n}$, puis CVD. Avec un facteur $q^2$, cela fonctionne également.

   Pour trouver l'équivalent de $\sum {n\choose k}^2$ : on trouve l'élément maximal, en $m = \frac{n}{2}$, on factorise par ça, puis $\l$ termes à droite/ à gauche, on a $\frac{(m-1)\dots(m-\l)}{(m+1)\dots (m+\l)}$. On prend le logarithme, on utilise $|\ln (1+x) - x| \leq \frac{x^2}{2}$. On obtient l'ordre de grandeur précis du terme, on peut sommer et comparer à une intégrale.
#+END_proof

# ID:7466
#+begin_exercice [ENS 2023 # 167, 177]
On joue à pile ou face avec une pièce pipée qui donne pile avec probabilité $p\lt \frac{1}{2}$. On lance la pièce $2n$ fois et on compte le nombre de «Piles». Déterminer l'entier $n$ qui maximise la probabilité d'avoir compté au moins $n+1$ «Piles».
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On écrit $$P(S_{2(n+1)}\geq n+2) = P(S_{2n}\geq n+2) + P(S_{2n}= n+1) \big(1 - (1-p)^2\big) + P(S_{2n} = n)p^2 = P(S_{2n}\geq n+1) + P(S_{2n} = n)p^2 - P(S_{2n} = n+1)(1-p)^2,$$
puis on compare ces deux, et on obtient $n\leq \frac{p}{1-2p}$.
#+END_proof


# ID:7486
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 168]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En notant $e = P(X=1)$, on a $E(X 1_{X\gt 1}) E(X^3 1_{X\gt 1})\geq E(X^2 1_{X\gt 1})^2$, donc $(*)$ $(1-e)(5-e) \geq (2-e)^2$, qui donne $e\leq \frac{1}{2}$.

Comme $E(X) = 1$, on doit avoir $P(X=0)\geq \frac{1}{4}$, mais le cas d'égalité ne donne pas les bonnes valeurs : mais $E(X) = 1$, $E(X^2) = \frac{3}{2}$ et $E(X^3) = \frac{5}{2}$.

Si on suppose que $e = \frac{1}{2}$, on doit avoir égalité dans Cauchy-Schwarz qui donne $(*)$, donc $X$ ne prend qu'une seule valeur $\gt 1$. On peut prendre $Y$ qui vaut $3$ avec probabilité $\frac{1}{6}$ et $0$ avec probabilité $\frac{1}{3}$, et on a les bonnes valeurs (et c'est la seule façon).

On montre que l'on ne peut pas faire mieux.

Stratégie :
 + On montre que si $X$ prend $5$ valeurs (avec des probabilités $\gt 0$), alors on peut toujours diminuer la probabilité que $P(X=0)$.
 + Si $X$ prend $4$ valeurs, le système de Van der Monde a une unique solution (pas forcément positive…). On montre que la valeur $p_0$ est minimale si les quatre valeurs sont $0, 1, 2, 3$.

   Comment ? En diminuant continûment une valeur sinon.

On sait que $X$ doit prend la valeur $0$, car $E(X) = 1$ (non…). Si on suppose que $X$ ne prend pas la valeur $1$, alors $P(X = 0)\geq \frac{3}{8}$ (via $E(X^3) = 5$), qui est plus grand que le $\frac{1}{3}$ trouvé.

On note $v_2,v_3$ les autres valeurs. ($v_0 = 0$, $v_1 = 1$)

Les $p_i$ vérifient $V = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & v_2 & v_3 \\ 0 & 1 & v_2^2 & v_3^2 \\ 0 & 1 & v_2^3 & v_3^3 \end{pmatrix} \vvvv{p_0}{p_1}{p_2}{p_3} = \vvvv{1}{1}{2}{5}$.
On cherche la première ligne de $V^{-1}$. $V^T$ est la matrice de Vandermonde, qui à $P$ associe $(P(0), P(1), P(v_2), P(v_3))$. On cherche la première colonne de son inverse, c'est-à-dire les coefficients du polynôme $\frac{(X-1)(X-v_2)(X-v_3)}{- v_2 v_3} =  1 + X\big(-1 - \frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_3}\big) + X^2\big(\frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} + \frac{1}{v_2 +v_3}\big) - \frac{1}{v_2v_3} X^3$
Puis, le coefficient en $p_0$ est le produit avec $(1\, 1\, 2\, 5)$, donc $-\frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_3} + 2 \big(\frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} + \frac{1}{v_2v_3}\big) - \frac{5}{v_2v_3}$ $= \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} - \frac{3}{v_2v_3}$

On veut montrer qu'en diminuant $v_3$, il diminue, mais c'est $\frac{1}{v_3} \big(1 - \frac{3}{v_2}\big)$, donc c'est le cas si $v_2 \gt 3$. Autrement dit, si l'un des termes est $\geq 3$, on peut diminuer l'autre.

Il faudrait montrer que pour $v_2 = 2$, il y a toujours une solution positive.

Plutôt : on les diminues ensembles, la différentielle est : $-\frac{1}{(v_2)^2} - \frac{1}{(v_3)^2} + \frac{3}{v_2 v_3^2} + \frac{3}{v_3 v_2^2}$

Si $v_2 = 2$, on veut montrer qu'une solution n'est pas possible, sauf $v_3 = 3$. Pour cela, on différencie la seconde (troisième) coordonnée selon $v_3$.

Le polynôme est $\frac{X(X-1)(X-v_3)}{2 (2-v_3)} = \frac{X^3 - (1+v_3)X^2 + v_3 X}{2(2-v_3)}$, sa troisième coordonnée est $-\frac{1+v_3}{2(2-v_3)}$, qui est décroissante, donc si on passe de $(\cdot, \cdot, 2, v_3)$ à $(\cdot, \cdot, 2, 3)$, la partie en $2$ a augmenté, et a atteint $0$, impossible !

Donc la seule solution avec un $2$ est $(\cdot, \cdot, 2, 3)$. Puis si on a une solution où les deux termes sont $\geq 3$, on peut se ramener à $(\cdot, \cdot, 3, 4)$, puis $(\cdot, \cdot, 3, 3)$, qui existe bien. D'où le résultat.
#+END_proof


# ID:6838
#+begin_exercice [ENS 2023 # 169]
Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X_m)_{m\geq 0}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour $m\in\N$, $\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$. Montrer que $(X_m)_{m\geq 0}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $\Z/n\Z$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On regarde la loi de $X_m + m$, dont la série génératrice est $G_m = \left(\frac{1+X^2}{2}\right)^m$. Puis on regarde $P(S_m = 0 [n])$, c'est $\sum_{\om \in\m U_n} G_m(\om) = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1 + e^{\frac{4ik\pi}{n}}}{2}\right)^m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \cos^{2m} \frac{2k\pi}{n}$

Pour les autres valeurs que $0$ modulo $n$, il faut prendre $X^k G_m(X)$, cela marche pareil.
#+END_proof


# ID:7375
#+begin_exercice [ENS 2023 # 170]
Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$ c'est-a-dire le nombre de couples $(i,j)$ avec $i\lt j$ et $\sigma(i)\gt \sigma(j)$.
 - Montrer que $P_n=\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}X^{I(\sigma)}=\prod_{k=1}^{n-1}(1+X+ \cdots+X^k)$.
 - On pose $f(n)=\big|\{\sigma\in\mc{S}_n \text{ t.q. } (n+1) \mid I(\sigma)\}\big|$. Exprimer $f(n)$ à l'aide de $P_n$.
 - Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\lt \frac{(p-1)!}{p}$ et de même une infinité de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\gt \frac{(p-1)!}{p}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $\sigma$ est déterminé par : le nombre d'inversion avec $(n-1)$ (une ou $0$), le nombre d'inversions avec $n-2$, etc. En effet, pour chaque $\sigma$, on peut donner ces nombres, et réciproquement, si on les connaît, on connaît l'image de $(n-1)$ par rapport à l'image de $n$, puis l'image de $n-2$ par rapport à $(n-1)$ et $n$, etc, donc $\sigma$ est entièrement déterminée.
 - $f(n)$ est la somme des coefficients en $X^{k(n+1)}$ de $P_n$, donc $\frac{P(1) + P(\om) + \dots + P(\om^n)}{n+1}$.
 - Avec les questions précédentes, on trouve $f(p-1) = \frac{1}{p}\left((p-1)! + \sum_{\om \in \m U_p\setminus 1} \frac{p}{(1-\om)^p}\right)$, en utilisant $1+X + \dots + X^{k-1} = \frac{1 - X^k}{1-X}$.

   Par ailleurs, $(1+\om)^p = 2^p \left(\cos \big(\frac{\theta}{2}\big)\right)^p e^{i \frac{p\theta}{2}}$, la partie en $e^{i\dots}$ valant $\pm 1$.

   La somme porte donc sur $p-1$ éléments, qui parcourent le demi-cercle supérieur. Comme $p$ est impair, les signes à droite et à gauche sont les mêmes (car le $\pm 1$ alterne, un nombre impair de fois, et le cos change de signe).

   Comme $p-1$ est pair, il n'y a pas de terme au milieu. Une fois regroupé sur le quadrant en haut à droite, la somme est alternée. Son signe est donnée par la parité de $\frac{p-1}{2}$.
#+END_proof




# ID:7236
#+begin_exercice [ENS 2023 # 171]
Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicités). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $N = \sum_{i} \m 1_{i\text{ rac}}$.
#+END_proof


# ID:7237
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 172]
Dans tout l'exercice, les variables aléatoires considérées sont supposées réelles, discrètes et à loi de support fini. Pour deux telles variables $X$ et $Y$, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe $f\colon \R \ra \R$.
 1. Soient $X$ une variable aléatoire vérifiant les conditions de l'exercice et $f\colon \R \ra \R$ convexe. Montrer que $f(\mathbf{E}(X)) \leq \mathbf{E}(f(X))$.
 2. Donner un exemple de couple $(X, Y)$ pour lequel $X \leq_c Y$ mais $X \neq Y$.
 3. Montrer que si $X \leq_c Y$ alors $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(X) \leq \mathbf{V}(Y)$.
 4. Montrer que $X \leq_c Y$ si et seulement si $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et
    $$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mathbf{P}(Y \geq x)\dx.$$
 5. Montrer que $X + E(X)\leq 2X$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Convexité
 2. Prendre $X = 1$ et $Y = \mc U(\{0, 2\})$.
 3. Prendre $f = \op{Id}$ et $g = - \op{Id}$.
 4. On a $\int_a^{\i} P(X\geq x)\dx = (x_i - a) p_i + \dots + (x_n -a) p_n$, où la somme porte sur les $x_j\gt a$.

    La fonction $a\mapsto \int_a^{\i}$ est décroissante, affine par morceaux, nulle en $+\i$, et de pente $-1$ en $-\i$. Par ailleurs, la condition $E(X) = E(Y)$ est équivalente à l'égalité des fonctions en $-\i$.

    La quantité $(x_i - a) p_i + \dots + (x_n -a) p_n$ est l'espérance pour $f(x) = (x-a)_+$. donc si $X\leq_c Y$, l'inégalité est bien vérifiée.

    Réciproquement, si elle est vérifiée, alors $E(f(X))\leq E(f(Y))$ est vérifiée pour la fonction $\op{Id}$, et $-\op{Id}$ (grâce à l'espérance), puis pour toutes les fonctions convexes affines par morceaux.

    Si $f$ est une fonction convexe quelconque, on se débrouille.
#+END_proof


# ID:7238
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 173]
On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \db{1, N}$, puis $u_2 \in \db{1, u_1-1}$, et ainsi de suite jusqu'à arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note $E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$.
 1. Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$.
 2. Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \not\in E_N\right)$.
 3. Calculer $\mathbf{E}\left(\left|E_N\right|\right)$ et $\mathbf{V}\left(\left|E_N\right|\right)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $P(k\in E_{k+1}) = \frac{1}{k}$, puis $P(k\in E_n) = \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\big(P(k\in E_{N-1}) + \dots + P(k\in E_{k+1})\big)$. On trouve $P(k\in E_N) = \frac{1}{k}$.
 2. On a $P(2\in E_N \mid 3\in E_N) = \frac{1}{2}$.
 3. Semble facile.
#+END_proof

# ID:7348
#+begin_exercice [ENS 2023 # 174]
Dans tout l'énoncé, on fixe un entier $p\geq 1$.
 - Développper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ de nombres réels.
 - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.
 - Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq p^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.

 - Soit $(a_k)_{k\geq 1}$ une suite réelle telle que $\sum_{k=1}^{+\i}a_k^2=1$. Soient $x\in\R$ et $Y_x=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx)\,X_i$.

   Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p} \dx$ prend au moins une valeur inférieure ou égal a $2\pi p^p$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Si on développe, seuls les termes d'exposants tous pairs restent. On veut alors
   $$\sum_{n_1 + \dots + n_n = p} {2p \choose 2n_1,\dots, 2n_n} a_1^{2n_1}\dots a_n^{2n_p}\leq (2p)^p \sum_{n_1 + \dots + n_n = p} {n\choose n_1,\dots, n_n} a_1^{2n_1}\dots a_n^{2n_p}.$$
   Il suffit de le montrer pour chaque multinôme.

   Pour $n = 2$ : On veut montrer que ${2p\choose 2k}\leq (2p)^p {p \choose k}$, c'est-à-dire $\frac{(2p) \dots (2p-2k+1)}{(2k)!} \leq (2p)^p \frac{(p) \dots (p-k+1)}{k!}$. Ce qui se fait assez bien : on majore les premiers facteurs par $2p$, et s'il en restent, par le reste, ce qui est possible car $2k - p \leq k$.

   La même démonstration marche assez bien dans le cas général.
 - Pour $n = 2$ : on veut $\frac{(2p) \dots (2p-2k+1)}{(2k)!} \leq (p)^p \frac{(p) \dots (p-k+1)}{k!}$, cela revient à $\frac{(2p) \dots (2p-2k+1)}{(p) \dots (p-k+1)} \frac{k!}{(2k)!}\leq p^p$, et en groupant les termes avec le prochain, on obtient $\frac{(2p) (2p-1)}{(2k) (2k-1)} k = \frac{p (2p-1)}{2k-1}\leq p$, d'où la conclusion.

   J'imagine que ça marche aussi en général.
 - Pas de difficulté.
#+END_proof


# ID:7489
#+begin_exercice [ENS 2023 # 175]
suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et $a_1,\ldots,a_n$ des réels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$.
 1. Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$.
 2. Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$.
 3. On suppose que $\sum_{k=1}^na_k^2=1$. En considérant la variable complexe $Z = \prod_{k=1}^n (1 + i X_k)$, montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$.
 4. Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute généralite.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3. La variable $G$ vérifie $|G|^2 = \prod (1 + a_k^2)\leq e^{\sum a_k^2} = e^1$, et l'espérance de $YG$ vaut $1$.
#+END_proof


# ID:7239
#+begin_exercice [ENS 2023 # 176]
Une variable aléatoire discrète réelle $X$ est dite décomposable s'il existe deux variables aléatoires discrètes réelles non presque sûrement constantes et indépendantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$.
 - Une variable aléatoire de Bernoulli est-elle décomposable? Une variable aléatoire binomiale est-elle décomposable?
 - Montrer que le polynôme $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\R^+$. En déduire une variable aléatoire réelle discrète décomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas décomposable.
 - Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\db{0,n-1}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit décomposable.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Bernoulli : non, cf l'image. Binomiale : oui, prendre $\mc B(n,p) = \mc B(n-1,p) + \mc B(p)$.
 2. Prendre $X\hookrightarrow \mc B(2, \frac{1}{2})$, qui est décomposable, et $X^2$ a comme fonction génératrice le polynôme donné.

    Si $X^2 = A+B$, alors $\min A + \min B = 0$, quitte à ajouter/retirer une constante, on peut supposer que $\min A = \min B = 0$. Alors comme $X$ est à valeurs entières, $A$ et $B$ également, donc elles sont à valeurs dans $\N$, et ont des fonctions génératrices.
 3. $G(t) = 1 + \dots + t^{n-1}$. Si $n$ n'est pas premier, on peut factoriser simplement $G$ par $(1+t+t^{d-1})$ fois un polynôme à coefficients positifs.

    Si $n$ est premier, le polynôme est irréductible.
#+END_proof


# ID:7240
#+begin_exercice [ENS 2023 # 178]
On fixe $n\in\N^*$ et on pose $X=\db{1,n}$. Soient $A$ et $B$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$.
 1. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$).
 2. Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$.
 3. Pour $i\in\db{1,n}$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Déterminer la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$.
 4. Calculer $\mathbf{P}(A\subset B)$. Commenter.
#+end_exercice

# ID:6839
#+begin_exercice [ENS 2023 # 179]
Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considère un échiquier $n\times n$. On colorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilité $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilité pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constitué uniquement de cases rouges (les déplacements ne se font pas en diagonale) ? Que dire de la fonction $Q$?
#+end_exercice

# ID:7284
#+begin_exercice [ENS 2023 # 180]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Rademacher. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ pour $n\geq 1$.
 - Calculer l'espérance du nombre $R$ de retour en zero de la suite $(S_n)_{n\geq 1}$.
 - Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la probabilité qu'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est égale a $1$.
 - Montrer que l'évènement $(R=+\i)$ est presque sûr.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est simple : on connaît la probabilité d'être en $0$ à l'instant $n$.
 - C'est de la ruine du joueur.
 - Découle de ce qui précède.
#+END_proof


# ID:7285
#+begin_exercice [ENS 2023 # 181]
Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilisé et $(m_k)_{k\in\N}$ une suite de réels positifs de somme 1. On considère un arbre aléatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aléatoire $X$ de successeurs avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aléatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement indépendantes. On note $X_1$ la variable aléatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caractériser le fait que la hauteur de l'arbre soit presque surement finie.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est la probabilité d'extinction.
#+END_proof


# ID:7329
#+begin_exercice [ENS 2023 # 182]
On construit itérativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble de sommets $\db{1,n}$ (graphe orienté) selon le procédé suivant : à l'étape $k$, on choisit aléatoirement un point dans $\db{1,k}$ (avec probabilité uniforme) et on rajoute une arete orientée de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere indépendante les uns des autres.
 - On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre d'arêtes partant du point $1$. Déterminer l'espérance et la variance de $X_n$.
 - On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Déterminer la loi de $S_n$.
 - Calculer l'espérance du nombre de feuilles de l'arbre.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $H_n$, c'est simple.
 2. $P(S_n = 0) = \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{n-2}{n-1} = \frac{1}{n-1}$.

    $P(S_n = 1) = \sum_{i=3}^{n} \frac{\frac{1}{2} \dots \frac{n-2}{n-1}}{\frac{i-2}{i-1}} \frac{1}{i-1} \frac{i-1}{n-1}$ $=\sum_{i=3}^{n} \frac{1}{(n-1)^2}\frac{1}{i-2}$ $=\frac{1}{(n-1)^2} H_{n-2}$

    $$P(S_n = 2) = \sum_{3\leq i\lt j} \frac{1}{i-1} \frac{1}{j-1} \prod_{2\lt k\lt i} \frac{k-2}{k-1} \prod_{i\lt k\lt j} \frac{k-3}{k-1} \prod_{j\lt k\lt n} \frac{k-3}{k-1}  + \sum_{i\lt j} \frac{1}{i-1} \frac{1}{j-1} \prod_{2\lt k\lt i} \frac{k-2}{k-1} \prod_{i\lt k\lt j} \frac{k-3}{k-1} \prod_{j\lt k\lt n} \frac{k-3}{k-1} = 2 \frac{(n-3)!}{n!}$$
 3. La probabilité que $k$ soit une feuille est la probabilité qu'il n'ait pas de descendants, donc  $P(S_n^k = 0) = \frac{k-1}{n-1}$.
#+END_proof


# ID:7286
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 183]
Soient $E$ un ensemble fini, $V\colon E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point $a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout $b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient $b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que $f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, pour tout $n \geq 0$ :
 + si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$;
 + sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$.
Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins $1 / 2$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
La donnée est celle d'un graphe. Étant donné l'algorithme, on peut retirer des arêtes, de sorte que les voisins de $a$ vérifient $f(b)\lt f(a)$. Auquel cas il n'y a plus de cycles.

Alors on choisit aléatoirement $\sqrt{n}$ sommets du graphe, et parmi ceux-ci le sommet de valeur minimale. On veut montrer que la plus longue chaîne décroissante à partir de celui-ci est de longueur $\leq \sqrt{n}$ avec probabilité $\geq \frac{1}{2}$.

On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer que c'est injectif.

Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à traiter le cas du graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$.
#+END_proof

# ID:7287
#+begin_exercice [ENS 2023 # 184]
Une variable aléatoire réelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\db{1,n}}$ i.i.d. et admettant des moments d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornée et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $X$ est bornée par $b$, $|X_{i,n}|\leq \frac{b}{n}$, donc $V(X_{i,j}) \leq \frac{C}{n^2}$.
#+END_proof


# ID:7288
#+begin_exercice [ENS 2023 # 185]
On se donne une suite $(X_i)_{i\geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit à valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$.
 - Quelle relation doivent vérifier $a_i$ et $p_i$ pour que $\mathbf{V}(X_i)=1$?
 - E Dans toute la suite, on suppose cette relation vérifiée et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$.
 - Calculer la variance de $n^{-1/2}S_n$.
 - Montrer que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))=\prod_{i=1}^n\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tX_i)$.
 - En déduire que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Vaut $1$.
 - $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$.
 - On a $E\left(\cos \big(n^{-1/2} t X_i\big)\right) = E\left(1 - \frac{t^2}{2n} X_i^2\right) + O(\frac{1}{n^2})$ $= 1 - \frac{t^2}{2n} + O(\frac{1}{n^2})$
#+END_proof


# ID:7289
#+begin_exercice [ENS 2023 # 186]
On fixe un entier $n\geq 1$. On considère la relation d'ordre partielle $\preccurlyeq$ sur $\R^n$ définie par $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\db{1,n},\ x_i \leq y_i$. Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque $f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que $x\preccurlyeq y$.
 - Donner un exemple de fonction croissante non constante de $\{0,1\}^n$ dans $\R$.
 - E Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables aléatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$.
 - Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$. Montrer que
   $$\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big(\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_ {n-1},0)+\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_{n-1},1))\Big).$$
 - Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ et $g\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissantes.

   Montrer que $$\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \,\mathbf{E}(g(X_1,\ldots,X_n)).$$
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - La somme des termes…
 - Pas de difficulté.
 - C'est une récurrence avec ce qui précède. On a fondamentalement uniquement besoin d'une inégalité de Tchebychev, à $2$ termes.
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [ENS 2023 # 187]
Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilité. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation.
 - Soit $I\subset\db{1,n}$. Calculer $\mathbf{P}\left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)$.
 - Exprimer $N$ avec des indicatrices. Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$.
 - Soient $k\in\db{1,n}$ et $F\subset\db{1,n}$. Calculer $\sum\limits_{I\subset\db{1,n},\ |I|=k}\prod\limits_{i\in I} \mathbf{1}_F(i)$.
 - Soit $k\in\db{1,n}$. Calculer $\mathbf{E}(N(N-1)\cdots(N-k+1))$.
 - Soient $X\sim\mc{P}(1)$ et $k\in\N$. Calculer $\mathbf{E}(X(X-1)\cdots(X-k+1))$.
 - Calculer $\mathbf{P}(N=0)$.
#+end_exercice

# ID:7290
#+begin_exercice [ENS 2023 # 188]
On considère une suite i.i.d. $(X_n)_{n\geq 1}$ de variables aléatoires suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On définit $(S_n)_{n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$.

 - Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$.
 - On considère la variable aléatoire $T_n\colon\omega\mapsto\min\{k\in\N,\ S_k(\omega)\geq n\}$. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $T_n$.
 - Soit $k\geq 2$. Montrer que $\mathbf{P}(T_n=k)=\frac{1}{2}\mathbf{P}(T_{n-1}=k-1)+\frac{1}{2} \mathbf{P}(T_{n-2}=k-1)$.
 - Calculer l'espérance de $T_n$.
#+end_exercice

# ID:7291
#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 189]
Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et $S = \left\{ \pm e_i, 1 \leq i \leq d\right\}$, où $e_i$ désigne l'élément de $G$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la $i$-ème, égale à $\overline{1}$. Soient enfin $f\colon G \ra \R$ une fonction quelconque et $X$ une variable aléatoire uniformément distribuée sur $G$.

Montrer que $\mathbf{E}(|f(X)-\mathbf{E}(f(X))|) \leq \frac{n d}{2} \max_{s \in S} \mathbf{E}(|f(X)-f(X+s)|)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
C'est simple : On peut passer d'un somme à un autre en au plus $\frac{n d}{2}$ pas.
#+END_proof

** ENS PSI                                                            :autre:
*** Algèbre

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 191]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in\mc{L}(E)$, annule par un polynôme $Q$ tel que $Q(0)=0$ et $Q'(0)\neq 0$. Montrer que $\op{Ker}u$ et $\op{Im}u$ sont supplémentaires.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 192]
- Soit $A\in\M_n(\R)$ dont tous les coefficients diagonaux sont nuls et les autres valent $1$ ou $-1$. Montrer que si $n$ est pair alors $A$ est inversible.
 - Soit $B=(x_1,\ldots,x_{2n+1})\in\R^{2n+1}$. On suppose que, pour toute partie $P$ de $B$ de cardinal $2n$, on peut trouver $Q_1$ et $Q_2$ contenues dans $P$, chacune de cardinal $n$, telles que $\sum_{x\in Q_1}x=\sum_{x\in Q_2}x$. Montrer que tous les $x_i$ sont eaux.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 193]
Soient $E$ un $\C$ espace vectoriel de dimension finie $n$, $f\in\mc{L}(E)$. On pose $\forall g\in\mc{L}(E)$, $\phi_f(g)=f\circ g-g\circ f$.
 - Calculer $\phi_f^n(g)$ pour $g\in\mc{L}(E)$.
 - Montrer que $f^{n+1}\circ g-g\circ f^{n+1}=\sum_{k=0}^nf^k(f\circ g-g\circ f)f^{n-k}$.
 - On suppose $f$ non inversible. Montrer que $f$ est nilpotente si et seulement si $\phi_f$ l'est.
 - Montrer que, si $f$ possède une unique valeur propre, alors $\phi_f$ est nilpotente. Étudier la réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 194]
Soient $n\in\N^*$, $c_0,c_1,\cdots,c_{2n-1}\in\R$ tels que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\cdots=c_{2n-1}=0$. Soit $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On définit les matrices $A,B,P$ de $\M_n(\R)$ par

$a_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+1=j\\ -c_{i-1}\ \ \text{si }j=n\end{cases}$, $b_{i,j}=c_{i+j-1}$ et $p_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+j-1=n\\ 0\ \ \text{sinon}\end{cases}$.
 - Montrer que $Q(A)=0$ en calculant $A^ke_1$ ou $e_1=(1,0,\ldots,0)^T$.
 - Soit $R(A)=\{M\in\M_n(\R)\ ;\ \exists P\in\R[X],\ P(A)=M\}$. Montrer que $R(A)$ est de dimension $n$.
 - Montrer que $PB$ est triangulaire puis en déduire que $B$ est inversible.
 - Montrer que $AB=BA^T$.
 - Montrer que $A^T$ est semblable a $A$.
 - Montrer que $A$ s'écrit comme le produit de deux matrices symétriques.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 195]
- Soit $A\in\M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que, pour tout polynôme $P$ a coefficients complexes, la matrice $P(A)$ est diagonalisable. - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$ diagonalisable. Décrire l'ensemble des matrices inversibles $P$ telles que $P^{-1}AP$ soit diagonale.
 - Soient $A$ et $B$ deux matrices codiagonalisables. On suppose que $B$ a des valeurs propres deux a deux distinctes. Montrer qu'il existe un polynôme $P\in{\C}[X]$ tel que $A=P(B)$.
 - On suppose toujours $A$ et $B$ codiagonalisables mais on ne suppose plus $B$ a valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une matrice $C$ et deux polynômes $P$ et $Q$ tels que $A=P(C)$ et $B=Q(C)$.
 - La matrice $\left(\begin{array}{cc}-1&0\\ 0&-4\end{array}\right)$ est-elle le carré d'une matrice réelle?
#+end_exercice

# ID:7388
#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 196]
Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer qu'il existe $P\in{\R}[X]$ tel que $P(A)={\rm Com}(A)^T$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pour $A$ inversible, c'est le morceau du polynôme caractéristique, sans le terme constant, qui vaut d'office $\det A$. Par continuité des coefficients du polynôme caractéristique, et des coefficients de la comatrice, c'est encore le cas si $A$ non inversible.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 197]
Soient $E$ un ${\R}$-espace vectoriel de dimension $d\in{\N}^*$ et $f\in{\cal L}(E)$ telle que $f\circ f=-$id.
 - Donner un exemple d'application $f$ vérifiant les hypotheses en dimension 2.
 - Montrer que $f$ n'a pas de valeur propre réelle. Montrer que $E$ est de dimension paire.
 - Montrer qu'il existe $(e_1,\ldots,e_p)$ telle que $(e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))$ soit une base de $E$ avec $d=2p$. Donner la matrice de $f$ dans cette base.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 198]
Soient $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $AB-BA=A$.
 - Montrer que $A^kB-BA^k=kA^k$ pour $k\in{\N}$.
 - On définit l'application $\phi_B:M\mapsto MB-BM$.
 - Vérifier que $\phi_B$ est un endomorphisme et caracteriser son noyau.
 -  Montrer que, si $A^p\neq 0$, alors $p$ est une valeur propre de $\phi_B$.
 - La matrice $A$ est-elle nilpotente? Justifier.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 199]
Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que ${\rm Sp}(A)\subset\bigcup_{i=1}^n\Bigg{\{}z\in{\C},|z-a_{i,i}| \leq\sum_{1\leq j\leq n\atop j\neq i}|a_{i,j}|\Bigg{\}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 200]
On note ${\cal S}\subset{\cal M}_n({\R})$ l'ensemble des matrices stochastiques : $M=(m_{i,j})\in{\cal S}$ si $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nm_{i,k}=1$. Pour tout $A\in{\cal M}_n({\R})$, on note ${\rm Sp}(A)$ l'ensemble de ses valeurs propres.
 - Montrer que les éléments de ${\cal S}$ ont tous une valeur propre commune.
 - Montrer que ${\cal S}$ est convexe, ferme, borne dans ${\cal M}_n({\R})$, et qu'il est stable pour le produit.

_c) i)_ Montrer que, pour tout $A\in{\cal S}$, on a ${\rm Sp}(A)\subset\{z\in{\C},|z|\leq 1\}$.

_Ind._ Si $X=(x_1,\cdots,x_n)\in{\C}^n$ est un vecteur propre, considèrer $|x_i|=\max_{1\leq j\leq n}|x_j|$.
 -  Soient $\lambda\in{\rm Sp}\,A$ telle que $|\lambda|=1$. Montrer que $\lambda$ est une racine $\ell$-ième de l'unite avec $\ell\leq n$.
 - On suppose que $A=(a_{i,j})\in{\cal S}$ est telle que $a_{i,j}\gt 0$ pour tout $(i,j)\in\db{1,n}^2$.
 - Montrer que 1 est une valeur propre de $A$ et que $\dim\ker\,(A-I_n)=1$.
 -  Montrer que si $\lambda\in{\rm Sp}(A)\setminus\{1\}$ alors $|\lambda|\lt 1$. - On dit que $B\in\M_n(\R)$ vérifie $(\mc{P})$ si : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2$, $b_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nb_{i,k}\leq 1$.
 - Montrer que si $B=(b_{ij})\in\M_n(\R)$ vérifie $(\mc{P})$ alors $|\det B|\leq 1$.
 -  Déterminer l'ensemble des matrices $B\in\M_n(\R)$ qui vérifient $(\mc{P})$ ainsi que $|\det B|=1$.
 -  Déterminer l'ensemble des matrices stochastiques dont la valeur absolue du déterminant vaut 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 201]
Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un plan euclidien, $\mc{V}=(v_1,\ldots,v_n)$ une famille de vecteurs de $E$ de norme 1 telle que $\langle v_1,v_2\rangle=\langle v_2,v_3\rangle=\ldots=\langle v_n,v_ {1}\rangle$. Soit $\mathbb{D}_{2n}$ l'ensemble des isometries vectorielles de $E$ qui laissent invariantes la famille $\mc{V}$, c'est-a-dire :

$\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\db{1,n }\,\sigma(v_i)\in\mc{V}\}$.
 - Trouver, pour $1\leq i\lt j\leq n$, la valeur de l'angle $\langle v_i,v_j\rangle$.
 - Montrer que $\mathbb{D}_{2n}$ est un sous-ensemble finie de $\mc{O}(E)$.
 - Montrer que $\mathbb{D}_{2n}$ est stable par composition et passage a l'inverse.
 - Exprimer $\mathbb{D}_6$ et $\mathbb{D}_8$.
 - Si $\sigma\in\mathbb{D}_{2n}$ vérifie $\sigma(v_1)=v_i$, montrer que $\sigma(v_2)=v_{i-1}$ ou $\sigma(v_2)=v_{i+1}$.
 - En déduire que le cardinal de $\mathbb{D}_{2n}$ est $2n$.
 - Montrer que $\mathbb{D}_{2n}=\{\mathrm{id},r,sr,r^2,sr^2,r^3,sr^3,\ldots\}$ ou $s$ est une reflexion et $r$ une rotation d'angle $\mathrm{Arccos}\ (\langle v_1,v_2\rangle)$.
 - On note $D=\bigcup_{n\geq 3}D_{2n}$. Montrer que pour tout $\sigma\in\mc{O}(E)$, il existe une suite $(\sigma_k)_{k\geq 0}\in D^{\N}$ telle que $\sigma=\lim_{k\ra+\i}\sigma_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 202]
- On note $\phi$ l'application $M\mapsto M^T$ de $\M_n(\R)$ dans $\M_n(\R)$.
 - Montrer que $\phi$ est un automorphisme.
 - Déterminer les valeurs propres de $\phi$.
 - L'application $\phi$ est-elle diagonalisable? Justifier.
 - On fixe un réel $\mu\gt 0$. Soit $f$ l'application $t\mapsto(4\mu t^2,2\mu t)$ de $\R$ dans $\R^2$. On suppose que $t_0$ et $t_1$ sont deux réels tels que les tangentes au support de la courbe paramètrée définies par $f$ sont orthogonales.
 - Montrer que $4t_0t_1+1=0$.
 -  Montrer que le point d'intersection des tangentes en $f(t_0)$ et $f(t_1)$ appartient a une droite fixe.
 - Soient $Q\in\mc{O}_n(\R)$ et $X,Y\in\M_{n,1}(\R)$.
 - Montrer que $(QX)^T(QY)=X^TY$.
 -  Déterminer les valeurs propres réelles de $Q$ puis montrer que deux vecteurs propres associés a des valeurs propres réelles distinctes sont orthogonaux.
 - Soit $M\in\mc{O}_2(\R)$ diagonalisable sur $\R$. Montrer, qu'a similitude pres, $M$ peut prendre exactement trois formes distinctes. Pour chacune d'entre elles donner la transformation géométrique du plan correspondante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 203]
- Soit $A\in S^+_n(\R)$ de rang $k$. Montrer qu'il existe des vecteurs $U_1,\ldots,U_k$ linéairement indépendants dans $\R^n$ tels que $A=\sum_{j=1}^kU_jU_j^T$.Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$. Leur produit d'Hadamard $A\circ B\in{\cal M}_n(\R)$ est la matrice de terme général $a_{ij}b_{ij}$.
 - Montrer que, si $A$ et $B$ sont des matrices symétriques de rang $1$, alors $A\circ B$ est symétrique de rang au plus $1$.
 - Montrer que, si $A$ et $B$ sont symétriques positives, alors $A\circ B$ est symétrique.
 - Si $A$ et $B$ sont symétriques positives, montrer que $A\circ B$ est symétrique positive.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 204]
On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0,\ldots,c_{2n-1})\in\R^{2n}$ tel que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\ldots=c_{2n-1}=0$. On pose $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On considère enfin les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ suivantes : $A=(a_{i,j})$, ou $a_{i,j}=1$ si $j=i-1$, $a_{i,j}=-c_{i-1}$ si $j=n$ et $a_{i,j}=0$ sinon ; $B=(c_{i+j-1})$ et $C=(\delta_{i+j,n+1})$.
 - Montrer que $Q(A)=0$.   Ind. Calculer $A^ke_1$ pour tout $k\in\{0,\ldots,n\}$.
 - On pose $\R[A]=\{M\in{\cal M}_n(\R)\,;\,\exists P\in\R[X],\ M=P(A)\}$. Montrer : $\dim\R[A]=n$.
 - Montrer que $CB$ est triangulaire. En déduire que $B$ est inversible.
 - Montrer que $AB=BA^T$.
 - Montrer que $A$ est semblable a sa transposée.
 - Montrer que $A$ s'écrit comme le produit de deux matrices symétriques.
#+end_exercice


# ID:7425
#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 205]
 - 
   - Soit $m$ un entier $\geq 2$. Montrer que $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}\leq\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1} {\sqrt{k(m-k)}}$.
   - Calculer $\int_1^{m-1}\frac{\dx}{\sqrt{x(m-x)}}$ à l'aide du changement de variables $x=\frac{m}{1+t^2}$.
 - Soit $A_n\in{\cal M}_n(\R)$ la matrice de terme général $\frac{1}{i+j-1}$.
   - Montrer que $A_n\in S_n^{++}(\R)$.
   - Soit $\lambda_n$ la plus petite des valeurs propres de $A_n$. Montrer $\la_n = O\big(\frac{1}{n}\big)$.
 - Soient $\mu_n$ la plus grande valeur propre de $A_n$ et $X=(1/\sqrt{1},1/\sqrt{2},\ldots,1/\sqrt{n})^T\in\R^n$.
   - Montrer que
     $$\langle A_nX,X\rangle\geq 2\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\arctan(\sqrt{i-1}),$$
   - Montrer que, pour tout $P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\dt=-i\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})e^{i\theta}\d\theta$. En déduire que, pour tout $Q=\sum_{k=0}^da_kX^k\in\R[X]$, $\int_0^1Q^2(t)\dt\leq\int_{-1}^1Q^2(t)\dt \leq\pi\sum_{k=0}^da_k^2$.
   - En déduire que $\lim_{n\to+\i}\mu_n=\pi$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
   - Trivial.
   - Simple. À écrire, on trouve du $\arctan$.
 - 
   - Pas simple…
   - On a $\langle AU, U\rangle = \int_0^1 \big(\sum u_i t^{i-1}\big)^2\dt$. On veut montrer que $\la_n = O\big(\frac{\ln n}{n}\big)$, il suffit de trouver $U$ tel que $\frac{\langle AU, U\rangle}{\lN U\rN^2} = O\big(\frac{\ln n}{n}\big)$.

     Si on prend $U$ avec des coefficients $\pm 1$, on obtient $O\big(\frac{1}{n}\big)$. L'énoncé d'origine annonçait $O\big(\frac{\ln n}{n}\big)$.
 - 
   - C'est les préliminaires : sans passer par l'intégrale, on fait apparaître la somme, et on applique les deux questions.
   - Pas de difficulté.
   - C'est Cesàro, et l'inégalité précédente.
#+END_proof

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 206]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. On considère des réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, et, pour tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq n$, on pose $M_i=(\lambda_i,\lambda_i^{-1})$.On considère $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\R^n$ tel que $\|y\|_2=1$ et on note $M$ le barycentre des $M_i$ pondere par les coefficients $y_i^2$.
 - Montrer que $M=(a,b)$ ou $a=\langle Dy,y\rangle$ et $b=\langle D^{-1}y,y\rangle$ ou $D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.
 - Montrer que $a^{-1}\leq b\leq-\dfrac{a}{\lambda_1\lambda_n}+\lambda_1^{-1}+ \lambda_n^{-1}$.
 - En déduire que $1\leq ab\leq\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{\dfrac{\lambda_1}{ \lambda_n}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}}\right)^2$.
 - On considère $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $x\in\R^n$.

Montrer que $\|x\|_2^4\leq\langle Ay,y\rangle\langle A^{-1}y,y\rangle\leq \dfrac{1}{4}\left(\sqrt{\dfrac{\lambda_1}{\lambda_n}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}}\right)^2\|x\|_2^4$.
 - Soient $b\in\R^n$ et $c\in\R$. Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle+c$. Montrer que $f$ admet un minimum atteint en un unique point, et déterminer sa valeur.
#+end_exercice

*** Analyse

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 207]
On pose $A_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\sin(t)dt$, $B_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\cos(t)dt$ et $X_n=\begin{pmatrix}A_n\\ B_n\end{pmatrix}$ pour tout $n\in\N$.
 - Montrer que $A_n$ et $B_n$ existent et que $|A_n|^2+|B_n|^2\leq(2n)!$.
 - Trouver $A_0$ et $B_0$.
 - Montrer qu'il existe une matrice de rotation $R(\theta_0)$ telle que $(n+1)X_n=\sqrt{2}R(\theta_0)X_{n+1}$.
 - Exprimer $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$.
 - Trouver une condition pour que $A_n=B_n$.
 - Montrer qu'il existe $g_1,g_2\in\mc C^0(\R^+,\R^+)$ distinctes telle que

$\forall n\in\N,\int_0^{+\i}t^ng_1(t)dt=\int_0^{+ \i}t^ng_2(t)dt$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 208]
Soient $E=\mc C^0([0,1],\C)$ et $F=\mc{D}^1([0,1],\C)$. On définit $T$ comme l'operateur qui, a tout $f\in E$ associe : On note $E_{\lambda}$ le sous-espace propre de $T$ pour une valeur propre $\lambda$.

_a) i)_: Montrer que $T$ est un endomorphisme.
 - Soit $f\in E$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $T^n(f)$ a l'aide d'une somme.
 - Montrer que $(T^n(f))_{n\geq 1}$ converge simplement vers une fonction $\ell$.

_b) i)_: Montrer que $E_1$ est l'ensemble des fonctions constantes.
 - Montrer que $E_{\lambda}=\{0\}$ si $|\lambda|\geq 1$ et $\lambda\neq 1$.
 - Soit $\lambda$ tel que $|\lambda|\lt 1$.
 - Montrer que $f_{\lambda}:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\lambda^k\cos(2^k\pi x)$ est définie et continue sur $[0,1]$.
 - Montrer que $f_{\lambda}\in E_{\lambda}$.
 - On note $D_{\lambda}=E_{\lambda}\cap F$.
#+end_exercice

 - Montrer que, si $|\lambda|\lt \dfrac{1}{2}$, $D_{\lambda}\neq\{0\}$. - Comparer $T(f')$ et $(Tf)'$ pour $f\in F$.
*iii)*: Montrer que, si $|\lambda|\geq\frac{1}{2}$ et $\lambda\neq\frac{1}{2}$, $D_{\lambda}=\{0\}$.

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 209]
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite de fonctions définie par :

$\forall x\in\R\,\ u_0(x)=0$ et $\forall n\in\N^*$, $\forall x\in\R$, $u_n(x)=\frac{x}{n(1+nx^2)}$.
 - Étudier la convergence de $\sum u_n$.
 - Sur quel domaine a-t-on $\left(\sum u_n\right)'=\sum u_n'\,?$
 - La fonction $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ est-elle dérivable en $0\,?$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 210]
On fixe $p\gt 1$. On note $q$ l'unique réel tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ continue et non identiquement nulle tel que $\int_0^{+\i}f(t)^pe^t\,dt$ converge.
 - Soient $t\in]0,1[$ et $(u,v)\in(\R^+)^2$. Montr re que $u^tv^{1-t}\leq tu+(1-t)v$.

_Ind._ Utiliser un argument de convexite ou une etude de fonction.

_b) i)_: Soit $A\gt 0$, et soient $g$ et $h$ deux fonctions continues de $[0,A]$ dans $\R$.

Montr re que la suite $(u_n)$ est bien définie et qu'il existe $K\in\R^{+*}$ telle que

$\forall n\in\N\,,\ |u_n|\leq K\left(\frac{p}{q}\right)^n(I( nq))^{1/q}$.
 - En déduire que $\sum|u_n|^{-1/n}$ diverge.
 - On suppose que $p=1$. Montr re que $\sum|u_n|^{-1/n}$ diverge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 211]
Soit $\alpha\in\R$. On pose $g_{\alpha}:t\in\,]0,+\i[\mapsto e^{-t}t^{\alpha}$.
 - Donner les valeurs de $\alpha$ tels que $\int_0^{+\i}g_{\alpha}(t)dt$ converge.
 - Calculer $I(p)=\int_0^{+\i}e^{-pt}\,dt$, avec $p\in]0,+\i[$.
 - Justifier l'existence de $\frac{d^kI}{dp^k}$ pour tout $k\in\N$.
 - En déduire $\int_0^{+\i}g_n(t)dt$ pour tout $n\in\N$.
 - Retrouver ce résultat en intégrant par parties $\int_{\eps}^xg_n(t)dt$ pour $0\lt \eps\lt x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 212]
 Soit $a\gt 0$. On pose $I(a)=\int_0^{+\i}e^{-t^2-a^2/t^2}\,dt$ et $J(a)=a\int_0^{+\i}\frac{e^{-t^2-a^2/t^2}}{t^2}dt$.
 - Montrer que ces intégrales convergent.
 - Montrer que $I(a)=J(a)$,
 - En déduire que $I(a)=\frac{e^{-2a}}{2}\int_0^{+\i}\left(1+\frac{a}{t^2}\right)e^{-(t-a /t)^2}dt$
 - Montrer que $I(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2a}$. La valeur de l'intégrale de Gauss etait donnée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 213]
Soient $a\gt 0$ et $q\in\mc C^2([a,+\i[,\R^{+*})$ telle que $\int_a^{+\i}\sqrt{q(t)}\,dt=+\i$. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y^{''}+qy=0$.
 - Soient $y_1$ et $y_2$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ qui n'ont pas de zeros en commun. On pose $\Phi=y_1+iy_2$ et $\Phi(a)=r_0e^{i\theta_0}$. Montrer que $\forall x\geq a$, $\Phi(x)=e^{\Psi(x)}$ ou $\Psi(x)=\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)}\,dt+\ln(r_0) +i\theta_0$.
 - Montrer que l'on peut écrire $y_1(x)=r(x)\cos(\theta(x))$ et $y_2(x)=r(x)\sin(\theta(x))$ ou $r(x)=\sqrt{y_1^2(x)+y_2^2(x)}$ et $\theta(x)=\theta_0+\int_a^x\frac{y_1y_2'-y_2y_1^{ '}}{y_1^2+y_2^2}$.
 - On pose $x\mapsto f(x)=\int_a^x\sqrt{q(t)}\,dt$. Montrer que $f$ realise une bijection de $[a,+\i[$ sur $\R^+$.
 - Soit $y$ une solution de $(E)$, non identiquement nulle. On pose $Y=y\circ f^{-1}$. Montrer que $Y^{''}+vY'+Y=0$ ou $v:t\mapsto\frac{q'(f^{-1}(t))}{2(q(f^{-1}(t)))^{3/2}}$.
 - Montrer que $Y$ et $Y'$ n'ont pas de zero en commun et que l'on peut écrire $Y=r\cos(\theta)$ et $Y'=r\sin(\theta)$ ou $r,\theta$ sont des fonctions de classe $\mc C^1$.
 - Montrer que $(r^2)'=-2vr^2\sin^2(\theta)$. En déduire que $y$ et $y'$ sont bornées.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 214]
On considère une solution $u$ de l'équation de transport :

$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=f(x,t)$ ou $u(x,0)=u_0(x)$.
 - Montrer alors que si $u$ est solution de l'équation homogéné, alors $u$ est constante le long de la droite $x=x_0+ct$. En déduire qu'il existe une unique solution de l'équation homogéné, et que celle-ci est : $u(x,t)=u_0(x-ct)$.
 - On suppose $f$ non nulle. Montrer que pour une solution $u$, on a :

$u(x,t)=u_0(x_0)+\int_0^tf(x_0+c\theta,\theta)\,d\theta$.
 - En déduire que : $u(x,t)=u_0(x-ct)+\int_0^tf(x-c(t-\theta),\theta)\,d\theta$. On considère maintenant une solution $u$ de l'équation des ondes :

$\frac{\partial^2u}{\partial^2t}(x,t)-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2 x}(x,t)=0$ ou $u(x,0)=g(x)$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=h(x)$.

_b) i)_: On suppose $u$ de classe $\mc C^2$. Montrer que :$\left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( \frac{\partial u}{\partial t}-c\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{ \partial^2u}{\partial^2t}-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2x}.$
 -  En déduire qu'une solution $u$ de l'équation s'écrit : $u(x,t)=u_1(x+ct)+u_2(x-ct)$.
 -  On pose $v(x,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{ \partial x}(x,t)$. Montrer que $v$ est solution d'une équation de transport dont on precisera le paramètre $c$ ainsi que les conditions initiales.
 -  Experimer $u$ en fonction de $v$ et déduire :

$u(x,t)=\frac{1}{2}(g(x-ct)+g(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}h(\tau)\,{\rm d}\tau$.

_c) i)_ Trouver toutes les solutions ${\cal C}^2$ de l'équation d'onde a variables separées, de la forme : $u(x,t)=\phi(t)\psi(x)$
 -  Soit $n\in\N$. On pose : $g:x\mapsto\sum_{k=1}^na_k\sin(k\pi x)$ et $h=0$. Déterminer $u(x,t)$.
#+end_exercice

# ID:7423
#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 215]
On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. On dit que $f$ est différentiable sur l'ouvert $\Omega$ si $\nabla f$ existe et est continu.
 1. Soient $C$ ouvert convexe non vide de $\R^d$, $f\colon C\to\R$ différentiable. On suppose que $\nabla f$ est $L$-lipschitzien.
    1. Soient $w,v\in C$ et $g:t\mapsto f(v+t(w-v))$. Exprimer $g'(t)$.
    2. Montrer que $f(w)-f(v)=\int_0^1\left\langle\nabla f(v+t(w-v)),w-v\right\rangle{\rm d}t$.
    3. Montrer que $f(w)\leq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle+\frac{L}{2}\left\| w-v\right\|$.
 2. Soit $f\colon\R^d\to\R$ différentiable. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si
    $\forall w,v\in\R^d,\, f(w)\geq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle$.
 3. Soit $f\colon\R^d\to\R$ différentiable. On pose $v_0=0$ et $v_{n+1}=v_n-\frac{1}{2L}\|\nabla f(v_n)\|^2$ pour $n\in\N$.
    1. Montrer que $f(v_{n+1})\leq f(v_n)-\frac{1}{L}\nabla f(v_n)$ pour $n\in\N$.
    2. On suppose dorénavant que plus $f$ est convexe. On considère $w\in\R^d$.
       1. Montrer que$f(v_{n+1})\leq f(w)+\left\langle\nabla f(v_n),v_n-w\right\rangle- \frac{1}{2L}\|\nabla f(v_n)\|^2$.
       2. Montrer que $f(v_n)-f(w)\leq\frac{L}{2}(\|v_n-w\|^2-\|v_{n+1}-w\|^2)$.
       3. Montrer que $f(v_n)-f(w)\leq\frac{L}{2n}\|w\|^2$.
    3. On suppose $f$ strictement convexe. Soit $v_*$ un point critique de $f$. Montrer que $v_*$ est un minimum local de $f$ et que la suite $(v_n)$ converge vers $v_*$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
    1. Simple,
    2. Simple.
    3. Utilise le caractère $L$-lip.
 2. Si $f$ est convexe, utiliser la question b), et réciproquement, on obtient la croissance de $g'$.
 3.
    1. Ok.
    2.
       1.
       2.
       3.
    3.
#+END_proof

*** Probabilités

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 216]
Soit $n\geq 2$. On note $n=p_1^{s_1}\dots p_r^{s_r}$ sa decomposition en facteurs premiers. On munit $\Omega=\{1,\dots,n\}$ de la loi uniforme. Pour tout diviseur $d$ de $n$, on note $A_d$ l'ensemble des multiples de $d$ contenus dans $\Omega:A_d=\left\{kd\,,\ k\leq\frac{n}{d}\right\}.$

_a) i)_ Montrer que si $d$ et $d'$ sont deux entiers premiers entre eux alors $A_d\cap A_{d'}=A_{dd'}$, et en déduire que $A_d$ et $A_{d'}$ sont indépendants. -  On note $B=\{k\in\Omega,\ k\wedge n=1\}$. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_i}$ et en déduire une expression de $\mathbf{P}(B)$ puis de $|B|$. Cette valeur sera notée $\phi(n)$.
 -  Soient $n$ et $m$ deux entiers premiers entre eux. Montrer que $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$.
 - On note $\mc{U}=\bigcup_{n\in\N}\mathbb{U}_n$ ou $\mathbb{U}_n$ designe l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unite. Pour $z$ dans $\mc{U}$, on note $n_z=\inf\{n\in\N\,\ z\in\mathbb{U}_n\}$.
 - Pour $z\in\C$ tel que $|z|=1$, montrer qu'il existe une suite $(z_k)_{k\in\N}$ a valeurs dans $\mc{U}$ telle que $\lim_{k\to+\i}z_k=z$.
 -  Pour tout entier naturel $n$ on note $P_m=\{z\in\mc{U},\ n_z=m\}$. Montrer que $P_m$ est fini et de cardinal $\phi(m)$, et que si $n$ et $m$ sont distincts $P_m\cap P_n=\emptyset$.
 -  Montrer que $\mc{U}=\bigcup_{m\in\N}P_m$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 217]
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\N,\mc{P}(\N))$. Soient $\mathbf{P_1}$ et $\mathbf{P_2}$ deux probabilités sur $(\N,\mc{P}(\N))$. On suppose que, pour tout $n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_2}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_1}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P_2}(X=n)\gt 0$. Soit $A=\{n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\leq\mathbf{P_2}(\{n\})\}$.

On pose, pour $n\in\N$, $u_n(X)=\mathbf{P_2}(X=n)\ln\left(\frac{\mathbf{P_2}(X=n)}{\mathbf{P_1} (X=n)}\right)$.

Enfin, on pose $\ell(X)=\sum_{n=0}^{+\i}u_n(X)$ si cette série converge, $\ell(X)=+\i$ sinon.
 - Soit $C\in\mc{P}(\N)$ avec $C\neq\N$ et $C\neq\emptyset$. Montrer que $0\lt \mathbf{P_1}(C)\lt 1$ pour $i=1,2$.
 - On suppose que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda_1$ pour $\mathbf{P_1}$ et de paramètre $\lambda_2$ pour $\mathbf{P_2}$.
 - Calculer $u_n(X)$ en fonction de $n,\lambda_1,\lambda_2$.
 -  Montrer que $\sum u_n(X)$ converge et exprimer sa somme $\ell(X)$ en fonction de $\lambda_1,\lambda_2$.
 -  Montrer que $\ell(X)\geq 0$.
 -  Montrer que $\{n\in\N,n\geq\max(\lambda_1,\lambda_2)\}\subset A\subset\{n \in\N,n\leq\min(\lambda_1,\lambda_2)\}$.
 - On revient au cas général. Montrer que $\sum u_n(X)$ converge et que $\ell(X)\geq 0$.
 - Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}|\mathbf{P_2}(X=n)-\mathbf{P_1}(X=n)|=2( \mathbf{P_2}(X\in A)-\mathbf{P_1}(X\in A))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 218]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires a valeurs réelles, identiquement distribuées, centres, de variance finie $\sigma^2$ et indépendantes. On suppose de plus $\mathbf{P}(|X_1|\gt 1)=0$. On note $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
 - Soient $Y_1,\ldots,Y_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale $\mc{B}(m,p)$ avec $m\in\N^*$ et $p\in\,]0,1[$. Pour $a\neq 0$ et $b\in\R$, on note $X_i=aY_i+b$. A quelle condition sur $a$ et $b$ les $X_i$ vérifient-elles les conditions précédentes?
 - Montrer $\forall u\in\,]-\i,2],\ e^u\leq 1+u+\frac{u^2}{2}(1+\max(0,u))$.
 - Dans le cas général, montrer $\forall t\in[0,2],\ \mathbf{E}(e^{tX_1})\leq 1+\frac{\sigma^2t^2}{2}(1+t) \leq e^{\sigma^2t^2(1+t)/2}$. - En déduire que $\forall t\in[0,2],\,\mathbf{E}(e^{tS_n})\leq e^{n\sigma^2t^2(1+t)/2}$,
 - Soit $\alpha$ tel que $0\lt \alpha\lt 6\sigma^2$. Montrer $\mathbf{P}(S_n/n\geq\alpha)\leq e^{-n\alpha^2/6\sigma^2}$.
#+end_exercice


** ENS PC                                                             :autre:
*** Algèbre

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 219]
${}^{\bigstar}$ Soit $A$ une partie de cardinal $n$ de $\R$. On pose $B=A+A=\{a+a',\ a,a'\in A\}$. Montrer que $2n-1\leq\mathrm{card}(B)\leq\dfrac{n(n+1)}{2}$. Généraliser a $B=kA=A+A+\cdots+A$ ($k$ fois).
#+end_exercice

# ID:7380
#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 220]
Soient $a,b\in\Z$ deux entiers distincts. Trouver tous les polynômes $P\in\Z[X]$ tels que $P(a)=b$ et $P(b)=a$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On peut appliquer $P\mapsto Q(X-a) + a$, pour supposer que $a = 0$, alors on a $P(b) = 0$ et $P(0) = b$, donc $P = (X-b) Q$ tel que $Q(0) = 1$ (et à coefficients entiers).
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 221]
${}^{\bigstar}$ Soient $P_1,P_2,P_3,P_4\in\R[X]$. Montrer qu'il n'existe aucun voisinage ouvert de $0$ sur lequel on ait simultanement i) $\forall x\lt 0,\ P_1(x)\lt P_2(x)\lt P_3(x)\lt P_4(x)$

ii) $\forall x\gt 0,\ P_2(x)\lt P_4(x)\lt P_1(x)\lt P_3(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 222]
Soit $E=\M_n(\R)$. Calculer le déterminant de l'application $\Phi\colon M\in E\mapsto M^T\in E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 223]
Considérons des réels $0\leq x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n\leq 1$. Montrer qu'il existe des réels $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $\forall P\in\R_n[X]$, $\int_0^1P(t)\,dt=\sum_{k=0}^n\alpha_kP(x_k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 224]
Soient $A,B\in\M_n(\R)$.
 - Si $A+iB\in\mathrm{GL}_n(\C)$, montrer qu'il existe $t\in\R$ tel que $A+tB\in\mathrm{GL}_n(\R)$.
 - Si $A$ et $B$ sont semblables dans $\M_n(\C)$, montrer qu'elles sont semblables dans $\M_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 225]
Soit $M\in\M_2(\Z)$. On suppose qu'il existe $k\in\N^*$ tel que $M^k=I_2$. Montrer que $M^{12}=I_2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 226]
Soient $\eps\in\bigg{]}\,0\,;\dfrac{1}{4}\,\bigg{[}$ et $M$ la matrice $M=\left(\begin{smallmatrix}1-2\eps&\eps&0&\cdots&0&\eps \\ \eps&1-2\eps&\eps&\ddots&\vdots&0\\ 0&\eps&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\eps&0\\ 0&\cdots&0&\eps&1-2\eps&\eps\\ \eps&0&\cdots&0&\eps&1-2\eps\\ \end{smallmatrix}\right)\in\M_k(\R)$
 - Quel est le spectre de $M$?
 - Déterminer la limite de la suite $(M^n)_{n\in\N}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 227]
Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ qui preserve le produit scalaire canonique :

$\forall(x,y)\in(\R^n)^2,\ \langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$. Montrer que $f$ est une isometrie linéaire.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 228]
 Soit $A\in S_3(\R)$ telle que $\op{tr}(A)=3,\op{tr}(A^2)=5$, $\op{tr}(A^3)=9$. Déterminer la borne inférieure de $\op{tr}(M^2)$ lorsque $M$ décrit $\big{\{}M\in\mc{S}_3(\R)\;;\;\op{tr}(AM)=1$ et $\op{tr}(A^2M)=1\big{\}}$,
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 229]
Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mc{S}_2^+\left(\R\right)$ telles que, pour tout $s\in\R^{+*}$,

$\op{tr}\left(\left(sI_2+A\right)^{-1}\right)=\op{tr} \left(\left(sI_2+B\right)^{-1}\right)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. Est-ce toujours vrai en dimension $n$?
#+end_exercice

*** Analyse

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 230]
On note $\parallel\;\;\parallel_1$ la norme sur $\R^n$ définie par :

$\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\;\|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_{ k}|$.
 - Soit $(x,y)\in\left(\R^n\right)^2$. Montrer que $\|x+y\|_1+\|x-y\|_1=2(\|x\|_1+\|y\|_1)$ si et seulement si $\forall k\in\db{1,n},\;x_ky_k=0$.
 - Soit $f\in\mc{L}(\R^n)$ qui preserve la norme $\parallel\;\;\|_1\colon\forall x\in\R^n,\;\|f(x)\|_1=\|x\|_1$. Montrer que la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de $f$ sur la base canonique est une matrice de permutation signée, c'est-a-dire qu'il existe une permutation $\sigma$ de $\db{1,n}$ et $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ vérifiant $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,a_{i,j}=\eps_j \delta_{i,\sigma(j)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 231]
Soient $d\in\N^*$ avec $d\geq 2$ et $p\in[1,+\i[$. On définit la norme $\parallel\;\;\parallel_p$ sur $\R^d$ par $\forall X\in\R^d,\,\|X\|_p=\left(\sum_{k=1}^d|x_k|^p \right)^{1/p}$. Pour tous $X,Y\in\R^d$ et $t\in\R$, on pose

$\rho(X,Y,t)=\frac{1}{2}(\|X+tY\|_p+\|X-tY\|_p)-1$ et $\overline{\rho}(t)=\sup_{\|X\|_p=\|Y\|_p=1}\rho(X,Y,t)$.
 - On suppose que $p\in[1,2]$ et qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall t\in\R,\;\overline{\rho}(t)\leq Ct^2$. Montrer que $p=2$.
 - On suppose que $p=2$. Montrer qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall t\in\R,\,\overline{\rho}(t)\leq Ct^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 232]
Soit $E$ l'espace des fonctions $f\colon\left[\,0\,;1\,\right]\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $f(0)=0$. Pour $f\in E$, on pose $\|f\|=\left\|f+f'\right\|_{\i}$.
 - Montrer que $\parallel\;\;\parallel$ est une norme sur $E$.
 - Montrer qu'il existe $a\gt 0$ tel que, pour tout $f\in E$, on ait $\left\|f\right\|_{\i}\leq a\left\|f\right\|$.
 - Les normes $\parallel\;\;\parallel$ et $\parallel\;\parallel_{\i}$ sont-elles équivalentes sur $E$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 233]
Soient $(E,\left\|\cdot\right\|)$ un espace vectoriel norme de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|\leq\|x\|$. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nf^k$. Étudier le comportement de $s_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 234]
Soient $E=\R^{\N}$ et $D:E\to E$ défini par

$\forall u\in E,\,D(u)=u'$ avec $\forall n\in\N,\;u'_n=u_{n+1}-u_n$.
 - L'endomorphisme $D$ est-il injectif? surjectif? Quels sont ses valeurs propres et ses vecteurs propres? - On pose $F=\left\{u\in E\;,\;\sum u_n^2\text{ converge}\right\}$. Pour $u,v\in F$, on pose $\left\langle u,v\right\rangle=\sum_{n=0}^{+\i}u_nv_n$ et $\left\|u\right\|=\sqrt{\left\langle u,u\right\rangle}$. Montrter que $F$ est stable par $D$ puis déterminer l'ensemble

$H=\left\{\dfrac{\left\langle u,D(u)\right\rangle}{\left\|u\right\|^2}\;;\;u \in F\setminus\left\{0\right\}\right\}.$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 235]
On considère la suite $\left(F_n\right)_{n\geq 0}$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ puis $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$ pour tout $n\in\N$.

Montrere que tout entier $N\in\N^*$ s'écrit de maniere unique $N=F_{p_1}+F_{p_2}+\cdots+F_{p_m}$ avec des entiers $p_i$ tels que $p_{i+1}-p_i\geq 2$ pour tout $i\in\db{1\,;\,m-1}$ et $p_1\geq 2$. Prouver l'unicite de cette écriture.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 236]
Pour $n\in\N^*$, on pose $u_n=\left(\prod_{k=n}^{2n}k^k\right)^{1/n}$
 - Déterminer un équivalent de $\ln(u_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
 - Déterminer un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 237]
Quelle est la nature de la série $\sum\sin(2\pi\,n!\,e)\,?$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 238]
Quelle est la nature de la série $\sum\tan(2\pi\,n!\,e)\,?$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 239]
Nature, suivant la valeur de $\alpha\in\R$, de $\sum|\sin\left(2\pi\mathrm{e}n!\right)|^{\alpha}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 240]
Quelle est la nature de la série de terme général $\dfrac{\sin^2(n)}{n}\,?$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 241]
Soit $\sum a_n$ une série convergente de réels positifs. Montrere que la série $\sum\dfrac{a_n^x}{n}$ converge pour tout $x\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 242]
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle telle que $\sum\exp(a_n)$ converge.

Déterminer $\lim_{k\to+\i}\sum_{n=0}^{+\i}\exp(ka_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 243]
Soient $f\colon\R\to\R$ une fonction dérivable et $\ell$ un réel.

On suppose que $f(x)+f'(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Étudier la limite de $f$ et de $f'$ en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 244]
Soient $g:[0,1]\to\R$ continue et $F:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $:F(0)=1$ et $\forall x\in[0,1]$, $|F'(x)|=F(x)g(x)$. Déterminer les valeurs possibles de $F(1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 245]
Soient $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ et $(a,b,c,d)\in\R^4$ tels que les fonctions $af'+bf$ et $cf'+df$ soient bornées. A quelle condition sur $(a,b,c,d)$ la fonction $f$ est-elle bornée?
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2023 # 246]
Dans l'espace $E = \mc C^0([-1,1])$, pour $\b\in\R$, on considère $g_{\b}\colon x\mapsto \max(x-\b, 0)$. On pose $E = \vect_{\b} g_{\b} + \R \tilde{1}$. Soit $f$ une fonction lipschitzienne. Montrer que $\forall \eps\gt 0,\, \exists g\in E,\, \lN f-g\rN_{\i}\lt \eps$.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2023 # 247]
Soit $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$. Soient $p\in\N$ et $x\in\R$ tels que $f^{(p)}()\neq 0$. Montrer que pour tout $\l\in\db{0, p}$ et tout $\eps\gt 0$, il existe $a\lt b$ tels que $\max(|x-a|, |x-b|)\leq \eps$ et pour tout $y\in \interval]{a, b}[$, on ait $f^{(\l)}(y)\neq 0$.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2023 # 249]
Soit $A\in\M_2(\R)$, $x_0\in\R^2$ et $r\gt 0$. Calculer $\int_{\mc C}\langle Ax, xrangle \dx$, où $\mc C$ est le cercle de centre $x_0$ et de rayon $r$.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2023 # 252]
Soit $f_n\colon [0,1]\ra\R_+$ des fonctions continues, et $f\colon x\mapsto \inf f_n(x)$. La fonction $f$ est-elle nécessairement continue ?
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [ENS PC 2023 # 254]
Soit $\a\gt 0$. Étudier la convergence simple, normale et uniforme sur $\R$ de $\sum \frac{\sin (nx)}{n^{\a}}$.
#+END_exercice


#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 256]
Soit $g\in{\cal C}^0([0,1],{\R}_+^*)$. On définit $\Phi\colon x\in{\R}\mapsto\ln\left(\int_0^1e^{xt}g(t)\;{\rm d}t\right)$.
 - Montrer que $\Phi$ est convexe.
 - On suppose maintenant que $g$ est de classe ${\cal C}^1$. Trouver un équivalent et un développement asymptotique de $\Phi$ en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 257]
Soit $f\in C^k({\R}^+,{\R})$ telle que $f^{(k)}$ est bornée sur ${\R}^+$.

Soit $F\colon\lambda\in{\R}^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}e^{-\lambda t}f(t)\,{\rm d }t$. Déterminer un développement asymptotique de $F(\lambda)$ lorsque $\lambda\to+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 258]
Soit $f$ une fonction développable en série entière au voisinage de $0$ avec un rayon $\gt 1$. Soient $\phi\in C^0([0,1],{\R})$ et $g:x\mapsto\int_0^1\phi(y)f(x-y)\,{\rm d}y$. Montrer que $g$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 259]
Soit $P\in{\R}_n[X]$. On cherche les applications $f:{\R}^2\mapsto{\R}$ de classe $C^2$ vérifiant $(*)$ : $\forall(t,x)\in{\R}^2,\,\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)=\frac{ \partial^2f}{\partial x^2}(t,x)$ et $f(0,x)=P(x)$.
 - Montrer qu'il existe une solution de $(*)$ polynomiale en $x$.
 - On suppose $P$ scinde a racines simples sur ${\R}$. Soit $f$ une solution de $(*)$ polynomiale en $x$. Montrer qu'il existe $\eps\gt 0$ tel que, pour tout $t\in[0,\eps[$, $x\mapsto f(t,x)$ est aussi scinde a racines simples.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 260]
Soient $u,v:{\R}^2\to{\R}$ de classe ${\cal C}^1$ telles que $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.
 - Donner un exemple de telles fonctions $u$ et $v$.
 - On suppose que $u$ et $v$ sont de classe ${\cal C}^2$. Montrer que $\Delta u=\Delta v=0$.
 - Montrer que, pour tout $r\gt 0$, $u(0,0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,{\rm d}\theta$.
 - Soit $V$ un ouvert contenant $(0,0)$. Soit $u$ de classe ${\cal C}^2$ sur $V$ telle que $\Delta u=0$ sur $V$. On admet que sous ces conditions, l'égalité de  - est encore valable pour $r\gt 0$ suffisamment petit.

On note $D$ le disque unite ouvert et $C$ le cercle unite. Soit $g$ une fonction continue sur $D$ et $f$ une fonction continue sur $C$. Montrer qu'il existe au plus une fonction $u$ de classe ${\cal C}^2$ sur le disque unite ferme, de classe ${\cal C}^2$ sur $D$ et telle que $\Delta u=g$ sur $D$ et $u=f$ sur $C$.
#+end_exercice

*** Géométrie

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 261]
Montrer qu'un polygone convexe a $n$ sommets inscrit dans le cercle unite est d'aire maximale si et seulement si le polygone est regulier.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 262]
- Sur le cercle trigonometrique ${\cal C}$, on place $A$ de coordonnées $(-1,0)$ et $P\neq A$ de coordonnées $(x,y)$. Soit $Q$ le point d'intersection de la droite $(AP)$ avec l'axe des ordonnées. On note $t$ l'ordonnée de $Q$. Exprimer $t$ en fonction de $x$ et $y$. - Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$. Que reconnait-on? Expliquer cela géométriquement. Peu-on paramètrer les points de $\mc C\setminus\{A\}$ a l'aide de fractions rationnelles?
 - Peut-on paramètrer un arc $\Gamma$ (non reduit a un point) du cercle $\mc C$ a l'aide de polynômes a coefficients réels c'est-a-dire existe-t-il un intervalle $I$ et deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ tels que le point de coordonnées $(x,y)$ appartienne a $\Gamma$ si et seulement s'il existe $t\in I$ tel que $x=P(t)$ et $y=Q(t)$? Et a l'aide de polynômes a coefficients complexes?
#+end_exercice

*** Probabilités

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 263]
On retourne une par une les cartes d'un jeu de 52 cartes. Trouver l'espérance du nombre de cartes retournées avant d'obtenir le premier as (on demande un raisonnement intuitif sans calcul de la loi).
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 264]
On considère deux capteurs indépendants, qui detectent chacun en moyenne 5000 évènements par an. Quelle est la probabilité que les deux detecteurs detectent un évènement pendant la même seconde?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 265]
Soient $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur le groupe symétrique $\mc{S}_n$ et $A\subset\db{1,n}$. On pose $k=|A|$. Calculer $\mathbf{P}(A=\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 266]
Soient $X,Y$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\{1,2,3\}$ telles que $Y$ suive la loi uniforme sur $\{1,2,3\}$ et $\mathbf{P}(X=1)=\frac{1}{2}$, $\mathbf{P}(X=2)=\mathbf{P}(X=3)=\frac{1}{4}$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{E}((X-Y)^2)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 267]
Existe-t-il des variables aléatoires $X,Y$ telles que $X\sim\mc{B}(p)$, $Y\sim\mc{P}(p)$ et telles que l'on ait $\mathbf{P}(X=Y)=1-p+pe^{-p}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 268]
On considère $X$ de loi $\mc{B}(p)$ et $Y$ de loi $\mc{P}(p)$ avec $p\in[0,1]$. Majorer $\mathbf{P}(X=Y)$ et trouver des variables $X$ et $Y$ pour lesquelles cette majoration est atteinte.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 269]
Soient $X,Y$ deux variables aléatoires entières indépendantes qui suivent la même loi.
 - On suppose que $X$ suit une loi géométrique commencant a zero, c'est-a-dire qu'il existe $p\in\,]\,0\,;1\,[$ tel que $\forall k\in\N,\,\mathbf{P}(X=k)=(1-p)^kp$.

Montrer que $\forall n\in\N,\,\forall k\in\db{0\,;\,n}$, $\mathbf{P}(X=k\,|\,X+Y=n)=\frac{1}{n+1}$.
 - Prouver la réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 270]
On considère $M=\left(\begin{array}{cc}X&Y\\ Y&X\end{array}\right)$, ou $X$ et $Y$ indépendantes avec $X$ de loi $\mc{P}(\lambda)$ et $Y$ de loi $\mc{G}(p)$.
 - Déterminer la probabilité que $M$ soit inversible.
 - Déterminer la probabilité que $M$ soit diagonalisable. Dans ce cas, preciser spectre et espaces propres.
 - Déterminer la probabilité que $M^8=I_2$.
 - Déterminer la probabilité qu'il existe une fonction $f\colon\R^2\to\R^2$ admettant un minimum local strict en $(0,0)$ et dont la matrice Hessienne en $(0,0)$ est $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 271]
${}^{\bigstar}$ Soit $\left(X_n\right)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires a valeurs dans $\N$. On suppose que $\mathbb{P}(X_1=0)\mathbb{P}(X_1=1)\neq 0$. On pose, pour $n\in\N$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Montrer que $\mathbf{P}(4\text{ divise }S_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\frac{1}{4}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 272]
Soient $n\in\N^*$ et $p\in]0,1[$. On considère dans le plan un graphe non oriente aléatoire de $n$ sommets. On note $X_{i,j}=1$ si les points d'indices $i$ et $j$ sont relies, et $0$ sinon. On suppose les $X_{i,j}$ indépendantes et de même loi $\mc{B}(p)$. On note $T_n$ le nombre de triangles formes par ces $n$ points. On pose $a_n=\binom{n}{3}p^3$.

Calculer $\mathbf{E}(T_n)$ et montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_n}{a_n}-1\right|\gt  \eps\right)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 273]
On considère une matrice aléatoire $M=(m_{i,j})$ de taille $n\times n$ qui est symétrique, ou chaque variable aléatoire $m_{i,j}$ suit la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et ou les variables aléatoires $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont indépendantes.
 - Calculer $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M))$, $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^2))$ et $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^3))$.
 - Montrer que $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^4))=\mc{O}(n^3)$.
 - On note $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$.

Pour tout $\eps\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}(\lambda_1\geq n\eps)\underset{n\to\i}{ \longrightarrow}0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 274]
On note $\langle\,\ \rangle$ le produit scalaire canonique dans $\R^n$ et $\|\ \|$ la norme euclidienne associée.
 - Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $x\in\R^n\setminus\{0\}$ et $a\in\R$. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $A$. Si $\langle Ax,x\rangle\geq a\left\|x\right\|^2$, montrer que $\lambda_1\geq a$.
 - Soit $M=(m_{i,j})$ une variable aléatoire a valeurs dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que les $m_{i,j}$ suivent une loi de Bernoulli de paramètre $1/2$ et telle que les $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ soient indépendantes. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$.

Pour tout réel $\eps\gt 0$, montrer que $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\Big{(}\lambda_1\geq\frac{n}{2}(1- \eps)\Big{)}\underset{n\to\i}{\longrightarrow}1$.
#+end_exercice

* X                                                                    :xens:

** Algèbre

# ID:7246
#+begin_exercice [X MP 2023 # 275]                                              :sup:
On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter que $p(n)\leq 2^{n-1}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $p(n)\leq p(n-1) + p(n-2) + \dots + p(1) + 1$, en considérant le (un) plus grand élément de la partition. Formellement, on a une surjection $\sqcup_{k=0}^{n-1} \mc P_k \ra \mc P_n\quad (X, k)\mapsto X + (n-k)$.
#+END_proof

# ID:7027
#+begin_exercice [X MP 2023 # 276]                                              :sup:
Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ et $X=\{s\in\N;\ 2^s\,|\,n!\}$.
 - Montrer que $\max X=n-r$.
 - Montrer que le nombre d'entiers $k$ tels que $\binom{n}{k}$ est impair est $2^r$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Formule de Legendre.
 - Il faut que quand $n_i = 0$, $k_i = 0$ (chiffres en base $2$).

   Avec Q1, on veut que le nombre de uns dans la décomposition de $n$ soit la somme du nombre de uns de $k$ et de $n-k$.

   Quand on fait la somme de deux nombres en binaires, le nombre de uns du résultat est $\leq$ à la somme des nombres de uns des sommandes. Avec égalité si et seulement si il n'y a aucune retenue (chaque retenue fait perdre un un).

   Donc forcément, il faut que là où $k$ a un chiffre $1$, $n$ l'ait également.
#+END_proof

# ID:7247
#+begin_exercice [X MP 2023 # 277]
 - Montrer que l'équation $a^2-2b^2=1$ admet une infinité de solutions $(a,b)\in\N^2$.

   Déterminer l'ensemble des solutions.
 - Que dire de l'ensemble des solutions de $a^2-2b^2=-1$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $(3 + 2\sqrt{2})^k$
 - $(1+\sqrt{2})^{2k+1}$
#+END_proof


# ID:7248
#+begin_exercice [X MP 2023 # 278]
Si $G$ est un groupe, les éléments d'ordre fini de $G$ en forment-il un sous-groupe?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Non : cf le produit libre $\Z/2\Z * \Z/2\Z$ : l'ensemble des mots sur $\{A,B\}$ où deux $A$ d'affilée, ou deux $B$ d'affilées se simplifient, muni de la concaténation. Cf # 281
#+END_proof

# ID:7249
#+begin_exercice [X MP 2023 # 279]
 - Trouver deux groupes $G_1$ et $G_2$ non isomorphes de cardinal $2023=7\times 17^2$.
 - Soit $p$ premier. Montrer qu'un groupe de cardinal $p^2$ est isomorphe à $\Z/p^2\Z$ ou à $(\Z/p\Z)^2$.
 - Soient $G,H$ deux groupes finis et $\psi\colon G\to H$ un morphisme surjectif.

   Montrer que $|G|=|H|\times|\op{Ker}\psi|$.
 - On suppose que $G$ est un groupe de cardinal $2023$, que $H=\Z/7\Z$ et que $\phi\colon G\to H$ est un morphisme surjectif. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/7\Z\times\op{Ker}\phi$.
 - Montrer que tout groupe de cardinal $2023$ est isomorphe a $G_1$ ou $G_2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Le centre est non trivial : on regarde l'action de $G$ sur lui-même par conjugaison, les éléments du centre ont une orbite restreinte à eux mêmes. Sinon, tout élément est conjugué à un nombre d'éléments multiple de $p$, $\Phi\colon g\mapsto g x g^{-1}$ est un morphisme de groupe, donc son noyau est un sous-groupe, donc de cardinal $1, p, p^2$, donc son image est de cardinal $1, p, p^2$.

   La somme des cardinaux des orbites fait $p^2$, donc le nombre d'orbite de cardinal $p$ est un multiple de $p$.

   Soit $G$ est commutatif, auquel cas soit $G$ est cyclique, soit il admet deux éléments $h,g$ d'ordre $p$, tel que $\langle g\rangle\neq \langle h\rangle$. Alors $G\simeq \big(\Z/p\Z\big)^2$, via $(i,j)\mapsto h^i g^j$ (injective + cardinal).

   Sinon, le centre de $G$ est de cardinal $p$ engendré par $g$. On prend un élément $h$ qui n'est pas dans le centre, $(i,j)\mapsto g^i h^j$ est injectif.
 - On peut écrire $G$ comme la réunion de $g_1\Ker \phi, \dots, g_7 \Ker \phi$.

   On a $g_1 n_1 g_2 n_2 = g_1 g_2 g_2^{-1} n_1 g_2 n_2$. On veut montrer que la conjugaison de $N$ par $g_2$ est triviale, ce qui vient du fait qu'en conjuguant $7$ fois de suite, on est sensé faire l'identité, et $k\mapsto (n_1\mapsto g_2^{-k} n_1 g_2)$ est un morphisme, et $N$ n'a pas d'automorphisme d'ordre $7$.

   $\Ker \phi$ est un sous-groupe normal de $G$. Tout élément de $g$ donne, par conjugaison, un automorphisme de $\Ker \phi$, qui ne dépend que de la classe de $g$ modulo $\Ker \phi$ (car $\Ker \phi$ est commutatif).

   On a un morphisme $H\ra \op{Aut}(\Ker \phi)$, qui est forcément trivial, donc $(g_1,n_1)\mapsto g_1 n_1$ est un morphisme.
#+END_proof


# ID:7133
#+begin_exercice [X MP 2023 # 280]
Soit $G$ un groupe fini de neutre $1$. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans point fixe c'est-a-dire tel que : $\forall x\in G$, $\phi(x)=x\Rightarrow x=1$. On note $n$ l'ordre de $\phi$ ; c'est le plus petit entier $n\in\N^*$ tel que $\phi^n=\op{id}$.
 - Montrer que $\forall x\in G$, $x\,\phi(x)\,\phi^2(x)\,\cdots\,\phi^{n-1}(x)=1$.
 - Si $n=2$, que peut-on dire du groupe $G$? Donner un exemple.
 - Si $n=3$, montrer que, pour tout $x\in G$, $x$ et $\phi(x)$ commutent.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Il est fixe.
 - $x = x^{-1}$.
 - On a $x\phi(x) \phi^2(x) = 1$, et $x\phi (x)$ est l'inverse de $\phi^2(x)$, mais on a de même $\phi^2(x) \phi(x) x = 1$.
#+END_proof


# ID:7167
#+begin_exercice [X MP 2023 # 281]
Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des éléments de $G$ d'ordre fini.
 - En général, $T$ est-il un sous-groupe de $G$?
 - Soit $S$ une partie finie de $G$ stable par conjugaison munie d'une relation d'ordre totale $\leq$. Montrer que, pour tous $s_1$,..., $s_r\in S$, il existe $s'_1$,..., $s'_r\in S$ tels que $s'_1\leq s'_2\cdots\leq s'_r$ et $s_1s_2\cdots s_r=s'_1s'_2\cdots s'_r$.
 - Avec la question précédente, montrer que, si $T$ est fini, alors $T$ est un sous-groupe de $G$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Non : cf le produit libre $\Z/2\Z * \Z/2\Z$ : l'ensemble des mots sur $\{A,B\}$ où deux $A$ d'affilée se simplifient, munit de la concaténation.
 - Pour deux éléments : on peut écrire $s_1 s_2 = s_2 \big(s_2^{-1} s_1 s_2\big)$ : on a mis le second en premier. On peut recommencer tant que le premier est plus grand, on obtient une suite strictement décroissante, qui s'arrête car $S$ fini.

   Puis récurrence sympa.
 - Si $T$ est fini, si $ab\not \in T$, alors on obtient une infinité de puissances, qui sont distinctes, mais d'après la question précédentes, elle s'écrivent comme un produit croissant, qui n'a qu'un nombre fini de possibilités.
#+END_proof


# ID:7250
#+begin_exercice [X MP 2023 # 282]
 - Soit $s\colon \R^*\to\R^*\, t\mapsto t^{-1}$. Déterminer le groupe engendré par $s$.
 - On définit les applications $s_1\colon (t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et $s_2\colon (t,u)\mapsto (tu,u^{-1})$. Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe à $\mc{S}_3$.
 - Retrouver le résultat de la question précédente en considérant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinéarité, la bijection $f\colon A\to(\R^*)^2$ qui associe à la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$.
 - Soit $n\geq 3$. Déterminer le groupe engendre par les bijections $(s_i)_{1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ définies par $s_i(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},...,t_n)$ si $1\lt i\lt n$, $s_1(t_1,...,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,...,t_n)$ et $s_n(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$.

   Ind. Considèrer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ définie par $f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
#+END_proof


# ID:7251
#+begin_exercice [X MP 2023 # 283]
Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On note, pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d'éléments de $G$ d'ordre $d$.
 - Montrer que $n=\sum_{d\mid n}n_d(G)$.
 - Calculer les $n_d(G)$ lorsque $G$ est cyclique.
 - Montrer que, si pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $|\{x\in G,\ x^d=1\}|\leq d$, alors $G$ est cyclique.
 - Soient $\mathbb{K}$ un corps et $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$. Montrer que $G$ est cyclique.
#+end_exercice

#+call: get_exo(4216)
#+begin_exercice [X MP 2023 # 284]
On pose $\Q[i]=\{a+ib,\,a,b\in\Q\}$.
 - Montrer que $\Q[i]$ est un sous-corps de $\C$.
 - Déterminer les éléments de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d'ordre fini.
#+end_exercice

# ID:7023
#+begin_exercice [X MP 2023 # 285]
 - Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$. On considère la $\mathbb{K}$-algèbre $A$ admettant une base sur $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. À quelle condition cette algèbre est-elle un corps?
 - On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p$ ou $p$ est un nombre premier. Combien de $\mathbb{F}_p$-algèbres non isomorphes peut-on obtenir ainsi?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - À condition que $P$ soit irréductible.
 - Si c'est un corps : $(x - a/2)^2 = c$ on obtient $x'$ avec $x'^2 = c$, avec $c$ n'est pas un carré, et il y une unique classe de non carré.

   Si c'est pas un corps, $x^2 = 1$, l'algèbre est isomorphe à $\m F_p \times \m F_p$.
#+END_proof


# ID:7283
#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 286]
Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait $\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On prend $A = \F_p[X]$, $\tau_A$ l'endomorphisme dedans. En prenant $A =B$, $u_A$ doit commuter avec tout morphisme d'algèbre $P \mapsto P(Q(X))$, donc $u_A(P(X)) = P(u_A(X))$,donc $u_A$ est défini par $u_A(X)$, et $u_A\colon P\mapsto P\circ Q_A$.

Par suite, pour tout $B$, $u_B\colon b\mapsto Q_A(b)$
#+END_proof

# ID:7252
#+begin_exercice [X MP 2023 # 287]                                              :sup:
Soit, pour $n\in\N^*$, $P_n=1+X+\cdots+X^{n-1}$.

Montrer que $\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}P_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}{2}\right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Revient à l'identité $\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{k=p+1}^{n} {n\choose k} = \sum_{k=p}^{n-1} \frac{1}{2^k} {k\choose p}$, qui peut se démontrer par des récurrence, en appliquant successivement la formule de Pascal. Faire le dessin.

Interprétation probabiliste : on divise par $2$, à gauche, on a la probabilité de tirer une partie de taille $\gt p$. À droite, si on imagine des tirages pile/face successif, c'est la probabilité d'obtenir le $p+1$-ème élément au rang $k+1$ exactement.
#+END_proof


# ID:7253
#+begin_exercice [X MP 2023 # 288]
 - Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynôme $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$.
 - Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_{n-1}$.
 - Pour $n\geq 1$, donner une relation entre $S_n^{''}$ et $S_{n-1}'$.
 - En déduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_n$.
#+end_exercice


# ID:7282
#+begin_exercice [X MP 2023 # 289]                                              :sup:
Soit $n\in\N^*$. Soit $q\in\C$ tel que $0\lt |q|\lt 1$.

On pose $F\colon z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$.
 - Montrer qu'il existe une unique liste $(c_0,\ldots,c_n)\in\C^{n+1}$ telle que

   $$\forall z\in\C^*,\ F(z)=\sum_{k=0}^nc_k(z^k+z^{-k})$$.
 - Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en déduire une expression de $c_k$ a l'aide d'un produit.

   Ind. Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Existence claire, via $f(z) = f(1/z)$. Unicité via l'unicité polynomiale.
 - On a $F(q^2z) = F(z) \frac{1 + q^{2n+1}z}{1 + qz} \frac{1 + z^{-1}q^{-1}}{1 + q^{2n-1} z^{-1}}$. Multiplier par le dénominateur, identifier.
#+END_proof

# ID:7166
#+begin_exercice [X MP 2023 # 290]
Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que $(X+Y)^n$ soit congru a $X^n+Y^n$ modulo $p$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pour $n=p$ ok, si $n = p^{\a}$ aussi. Sinon, cf Lucas pour les coefficients binomiaux : on choisit un $p$ qui divise $n$, on veut $\forall u,\, \lfloor \frac{n}{p^u}\rfloor = \lfloor \frac{k}{p^u}\rfloor + \lfloor \frac{n-k}{p^u}\rfloor$, il faut écrire la décomposition en base $p$.
#+END_proof


# ID:7254
#+begin_exercice [X MP 2023 # 291]
Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrer qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est des DLs : faire le DL de $\sqrt[k]{f}$.
#+END_proof

# ID:7255
#+begin_exercice [X MP 2023 # 292]
Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynômes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une définition similaire pour les polynômes a une indéterminée.
 - Exhiber un polynôme $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$.
 - Exhiber un polynôme $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$.
 - Déterminer tous les polynômes $P\in\Z[T]$ tels que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $T^p$
 - $T^p$
 - La première dit que $P$ est un monôme, puisque $P(X)P(Y)$ est une somme de sommandes que l'on peut identifier. La seconde que c'est un $X^{p^{\a}}$.
#+END_proof


# ID:7256
#+begin_exercice [X MP 2023 # 293]
Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux à deux distincts. Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. Montrer qu'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise $H-H_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Interpolation de Hermite.
#+END_proof


# ID:7257
#+begin_exercice [X MP 2023 # 294]
 - Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux à deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu'il existe un entier $F$ tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in\db{1,r}$.
 - Soient $N_1,\ldots,N_r$ des éléments de $\C[X]$ premiers entre eux deux à deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des éléments de $\C[X]$. Montrer qu'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$ pour tout $i\in\db{1,r}$.
 - Soient $f,g$ deux éléments de $\C[X]$ premiers entre eux, et $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $h\in\C[X]$ tel que $g$ divise $h^n-f$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - Se ramener au cas de $g = X^k$, qui se fait par DL via ce qui précède, peut-être.

   $g = \prod (X-\a_i)^{\b_i}$. On veut que $\forall i,\, h^n \equiv f [(X-\a_i)^{\b_i}]$,
   Via des DLs, il existe $h_i$ tel qu'il suffise que $h\equiv h_i [(X-\a_i)^{\b_i}]$ (ici on utilise $f\wedge g = 1$, $h_i$ est obtenu en prenant une racine $n$-ième de $f$).
#+END_proof


#+call: get_exo(7026)
#+begin_exercice [X MP 2023 # 295]
Soit $n\in\N$. Le polynôme $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irréductible dans $\Z[X]$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Pour $n=2$, $1$ est racine :)

Critère de Perron : si $|a_{n-1}|\gt 1 + |a_0| + \dots + |a_{n-2}|$ et $a_0\neq 0$.

D'une part, il n'y a pas de racines de module $1$. Donc au moins une racine complexe est $\gt 1$.

On écrit $P = (X-x_1) Q$. Et on obtient que $\sum_{i=0}^{n-2} |q_i|\lt 1$. Donc toutes les racines de $Q$ sont de module $\lt 1$.
#+END_proof


#+call: get_exo(17)
#+begin_exercice [X MP 2023 # 296]
Soit $P\in\Z[X]$ un polynôme unitaire dont les racines complexes ont un module inférieur ou égal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unité.
#+end_exercice


# ID:7258
#+begin_exercice [X MP 2023 # 297]                                              :sup:
Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n\in\Z$. On écrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$.
 - Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$.
 - En déduire qu'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $R' = \sum Q_i' Q_i$ ; $2 P P' = (\prod Q_i)\sum \frac{Q_i'}{Q_i}$
 - $R$ est de degré $\geq 2n$. Donc un des $Q_i$ est de degré $\geq n$. Si $n$ pair c'est bon.

   Si $n$ est impair, il faut montrer qu'un des $Q_i$ est de degré $n+1$. Cela vient du fait que $P^2 + 1 = \prod Q_i$, donc les $Q_i$ ne peuvent pas avoir de racines réelles.
#+END_proof


# ID:7259
#+begin_exercice [X MP 2023 # 298]                                              :sup:
On se propose de donner une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss.
 - Montrer qu'il suffit de montrer le théorème pour les polynômes a coefficients réels. Dans la suite, on écrira le degré d'un polynôme non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$.
 - Montrer le théorème dans le cas ou $n=0$.

   Dans la suite, on suppose le résultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe.
 - Soit $P\in\R[X]$ de degré $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet l'existence d'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ est scindé, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixé $c\in\R$, on pose $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$.
   - Montrer que le polynôme $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients réels.
   - Montrer que l'un des $y_{ij}(c)$ est élément de $\C$.
   - Montrer finalement que l'un des $x_i$ est élément de $\C$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Considérer $Q \ol{Q}$.
 - Tout polynôme de degré impair admet une racine.
 - 
   - Propriété de symétrie : prendre son conjugué.
   - Découle de la première question.
   - Pour tout $c\in\R$, un des $x_i + x_j + c x_i x_j$ est dans $\R$. Si $i = j$ c'est bon. Sinon, pour une infinité de $c$, c'est le même couple, donc $x_i + x_j\in\C$, et $x_i x_j\in\C$.
#+END_proof


# ID:7260
#+begin_exercice [X MP 2023 # 299]                                              :sup:
Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$.
 - On suppose que $q$ n'est pas une racine de l'unite. Montrer qu'il existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s'il y en a deux alors elles sont opposées l'une de l'autre.
 - Montrer que le résultat precedent peut tomber en defaut si l'on ne suppose plus que $q$ n'est pas une racine de l'unité.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On a $G(qX) G(q^{-1} X) = \frac{F-1}{F(q^{-2}X)}$.

   Si $x_i$ sont les poles/racines de $G$, les poles/racines de $G(qX) G(q^{-1}X)$ sont les $qx_i$ et les $q^{-1} x_i$, de multiplicités $m(y_i) = m_{q^{-1}y_i} + m_{q y_i}$.

   Ces multiplicités déterminent entièrement les multiplicités d'origine, car $q$ n'est pas une racine de l'unité (… technique à écrire).

   Si on a l'égalité $G(qX) G(q^{-1} X) = G'(qX) G(^{-1}X)$, on a les mêmes poles/racines, et quitte à les retirer, on a la même constante, à $\pm$ près.
#+END_proof


#+call: get_exo(4369)
#+begin_exercice [X MP 2023 # 300]
Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$. Montrer que $\M$ est une partie libre du $\C$-espace vectoriel $\C^G$.
#+end_exercice

# ID:7261
#+begin_exercice [X MP 2023 # 301]
On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi\colon C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien définie et trouver \ quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien périoddique a partir d'un certain rang.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \ra (ad-bc) \begin{pmatrix}1/d &  -1/b \\ -1/c & 1/a\end{pmatrix}$
Si on est un point fixe, on vérifie $a/b = -\frac{1/d}{1/b}$ , c'est-à-dire $b^2 = - ad$ et $c^2 = - ad$. Donc $b = \pm c$, mais si $b = -c$, $ad - bc = 0$, donc $b = c$.

et $ad-bc = 2ad = -2b^2$

Alors $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \ra \begin{pmatrix}2a &  2b \\ 2c & 2d\end{pmatrix}$, donc pas de point fixe.

Si on applique une deuxième fois l'application, comme $\phi(c x) = c \phi(x)$, on obtient
 $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\ra (ad-bc) \big(\frac{1}{da} - \frac{1}{bc}\big) \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$
Donc on est point fixe si et seulement si $(ad - bc)(bc - ad) = adbc \ssi (ad-bc)^2 = -adbc$ $\ssi X^2 +Y^2 = 3XY$. M'enfin, si c'est le cas, c'est directement le cas je dirais, peut-être.
#+END_proof


# ID:7262
#+begin_exercice [X MP 2023 # 302]
Soit $R\in\M_n(\Z)$ non nulle et $M=I_n+3R$. Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, $M^k\neq I_n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
$R = \frac{A -I_n}{3}$, mais les valeurs propres de $R$ sont de module $1$, donc $N$ est diagonalisable, avec des valeurs propres $\lt 1$, donc $N^k \ra 0$, donc $N$ nilpotent, et comme $N$ diagonalisable, $N = O_n$.
#+END_proof


# ID:6649
#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 303]                                              :sup:
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que $p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
On a $u(\Ker p)\subset \Im p$ et $u(\Im p) \subset \Ker p$.
#+END_proof

# ID:7263
#+begin_exercice [X MP 2023 # 304]                                              :sup:
Pour $(A,B)\in\M_n(\R)^2$, on pose $\phi_{A,B}\colon M\in\M_n(\R)\mapsto AMB$.

Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$.
 - L'ensemble $T$ est-il un $\R$-espace vectoriel?
 - Montrer que l'espace vectoriel engendré par $T$ est $\mc{L}\left(\M_n(\R)\right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Non.
 - On prend les $E_{ij} M E_{k\l}$, ils forment une famille libre.
#+END_proof


# ID:7264
#+begin_exercice [X MP 2023 # 305]                                              :sup:
Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $R_P=\det(I_n+(X-1)P)$.
 - Calculer $R_P$ en fonction de $P$.
 - Soient $P,Q$ des matrices de projecteurs dans $\M_n(\mathbb{K})$ telles que $PQ=QP=0$. Montrer que $R_PR_Q=R_{P+Q}$.
 - Soit $\phi$ un automorphisme de la $\mathbb{K}$-algèbre $\M_n(\mathbb{K})$.
   - Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout $i\in\db{1,n}$.
   - Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans $\db{1,n}$?
   - Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Im}\,\phi(E_{i,1})$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $R_P = X^r$
 - C'est-à-dire que $\rg (P+Q) = \rg P + \rg Q$.
 - 
   - 
#+END_proof


# ID:7265
#+begin_exercice [X MP 2023 # 306]
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une application $q\colon V\to\C$ telle que $u^2=q(u)\op{id}_E$ pour tout $u\in V$.
 - Monter que, pour tous $u,v\in V$, il existe $B(u,v)\in\C$ tel que $uv+vu=2B(u,v)\op{id}_E$.
 - Montrer que $B$ est une forme bilinéaire.
 - Soient $d\geq 1$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\db{1,n}$. Montrer que $(u_1,\ldots,u_d)$ est libre.
 - Soient $d\geq 2$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\db{1,n}$. Montrer que les $u_i$ sont de trace nulle, et que $\dim E$ est paire.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $(u+v)^{2}$
 - Se vérifie.
 - Probablement comme si ils étaient orthogonaux…
 - $u_{i}^{2} = -\op{Id}_{E}$ et $u_{i}u_{j} + u_{j} u_{i} = 0$ et les endomorphismes anti-commutent, donc $u_{j}$ envoie $E_{i}$ sur $E_{-i}$.
#+END_proof


# ID:7266
#+begin_exercice [X MP 2023 # 307]
Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On suppose que $\phi(I_n)$ est inversible et que $\forall A,B\in\M_n(\C)$, $\phi(AB)=\phi(A)\,\phi(B)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que : $\forall A\in\M_n(\C)$, $\phi(A)=PAP^{-1}$.
#+end_exercice

# ID:7267
#+begin_exercice [X MP 2023 # 308]
 - Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ vérifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$.
 - Déterminer les automorphismes de $\C(X)$ vérifiant $(*)$.
#+end_exercice

#
# ID:7268
#+begin_exercice [X MP 2023 # 309]
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$.
 - Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de $M$ est de module $\leq 1$.
 - On note $\mu=\min\limits_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$.
 - On suppose que $\mu\gt 0$ et que 1 est valeur propre de multiplicité 1 dans $\chi_M$. Montrer que $(M^p)_{p\geq 1}$ converge vers une matrice de rang $1$ dont toutes les lignes sont égales.
 - On se donne trois réels strictement positifs $p,q,r$ tels que $p+q+r=1$. On considère la matrice $B\in\M_n(\R)$ définie par $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Retirer $I_n$ et multiplier par $\frac{1}{1-\mu}$.
 - Il n'y a qu'une seule valeur propre de module $1$, de vecteur propre $(1,1,\dots, 1)$.

   Direct via les espaces caractéristiques.

   On peut aussi écrire $\chi_M = (X-1) Q$, avec $(X-1) U + VQ = 1$, alors $(M-1)U(M)$ est la projection sur l'espace caractéristique. Ensuite jsp.
 - 
#+END_proof


# ID:7269
#+begin_exercice [X MP 2023 # 310]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $f\in\mc{L}(E)$ cyclique, $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$. Montrer que l'induit par $f$ sur $F$ est cyclique.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Soit $F$ un sous-espace vectoriel stable. À $F$ on associe l'ensemble des polynômes $P$ tel que $P(u)(x)\in F$, c'est un idéal, qui contient $\chi_u$, donc correspond à un diviseur $D$ de $\chi_u$.

Il y en a donc un nombre fini, et il en va de même de l'induit.

Réciproquement, si $u$ a un nombre fini d'espaces stables, il est cyclique (si le corps est infini), puisque la réunion de ses espaces stables ne donne pas tout l'ensemble.

Si le corps est fini, on a obtenu $F = \Ker \frac{\chi_u}{D}$ ; $F$ contient $D(u)(x)$, dont le polynôme minimal est $\frac{\chi_u}{D}$. Donc $\pi_F = \frac{\chi_u}{D}$. Le problème est d'empêcher que deux espaces stables correspondant à deux polynômes minimaux différents aient le même polynôme caractéristique.

Si on admet que tout facteur irréductible de $\chi$ est un facteur de $\pi$, la propriété de monotonie permet d'exclure ce qui précède : si $\pi$ est un facteur irréductible, les $\Ker \pi^k(u)$ sont strictement croissants, de polynômes caractéristiques $\pi^{\l}$, donc nécessairement $\l = k$, et le lemme des noyaux permet de conclure.
#+END_proof


# ID:7270
#+begin_exercice [X MP 2023 # 311]
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$ telles que $ab-ba=fv$.
 - Que peut-on dire de $\det(ab-ba)$?
 - Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables.
 - À quelle condition sur $u\in\mc{L}(E)$ existe-t-il $w\in\mc{L}(E)$ tel que $uw-wv$ soit de rang 1?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $fv$ est un endomorphisme de rang $1$, on note son image $\vect (t)$.
 - Si $\Ker b$ non stable par $a$, alors il existe $x$ tel que $-b(a(x)) \in \vect t$, donc $t\in\Im b$. Alors $\Im b$ est stable par $a$.

   En appliquant ça à des $b-\la I_n$ répétitivement, on trouve un vecteur propre commun.
 - Si $u$ a deux valeurs propres distinctes, en diagonalisant $u$ par blocs et en prenant une matrice $v$ avec un unique $1$ à l'intersection, on obtient une matrice de rang $1$.

   Si $u$ a une unique valeur propre, on peut supposer $u$ nilpotente. Alors, si $u$ est non nulle, on peut prendre $v$ de rang $1$, qui envoie un élément de l'image de $u$ sur un élément du noyau de $u$, et on obtient $uv-vu$ de rang $1$.
#+END_proof


# ID:7271
#+begin_exercice [X MP 2023 # 312]
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout vecteur $x\in E$, l'ensemble $\{f^n(x),\ n\in\N\}$ est fini.
 - Montrer que, si $f\in\mathrm{GL}(E)$, il existe $k\in\N^*$ tel que $f^k=\op{Id}$.
 - On revient au cas général. Montrer l'existence de $k\in\N^*$ et $p\in\N$ tels que $f^{p+k}=f^p$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Les valeurs propres sont des $\m U_k$, et si elle n'était pas diagonalisable, dans un espace caractéristique, on a $f = \la I_n + N$, prendre un élément dans le noyau de $N^2$ mais pas dans le noyau de $N$.
 - Décompositions en espaces caractéristiques.
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2023 # 313]
Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associée a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguées dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables.
#+end_exercice

# ID:7281
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 314]
Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$.
 1. Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable.
 2. Montrer que $E=\op{Im} p+\op{Ker} q+(\op{Im} q \cap \op{Ker} p)$.
 3. Montrer que $p \circ q$ est diagonalisable.
 4. Montrer que le spectre de $p \circ q$ est inclus dans $[0,1]$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Il est symétrique.
 2. $\Im p + \Ker q$ est l'orthogonal de $\Im q\cap \Ker p$.
 3. On prend un base de $\Im p$, que l'on complète avec du $\Ker q$ et $\Im q \cap \Ker p$, sur lesquels $p\circ q$ est nul. Alors la matrice de $p\circ q$ est triangulaire inférieure par blocs : $\begin{pmatrix}A & 0 \\ B & 0\end{pmatrix}$ et le bloc $A$ est diagonalisable, d'après la première question.

    On peut aussi les voir comme limites de produit $AB$ avec $A$ def pos, auquel cas $AB \sim \sqrt{A} B \sqrt{A}$, qui est diagonalisable.
 4. C'est trivial.
#+END_proof

# ID:7272
#+begin_exercice [X MP 2023 # 315]
Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynômes.
 - Déterminer le degré de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$.
 - Montrer que $L_n$ est scinde a racines réelles simples $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$.
 - Montrer qu'il existe des réels $a_1,\ldots,a_n$ tels que
   $\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$.
#+end_exercice

# ID:7273
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 316]
Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $\lN\cdot \rN$ désigne la norme euclidienne canonique. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes.
 + $\alpha=2$.
 + $\forall n \geq 1, \forall\left(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_n\right) \in\left(S^2\right)^{3 n}, \exists p \in S^2$ tel que
$$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-b_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^\alpha$$
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Pour $\a = 2$, on veut $\langle p, \sum a_i\rangle = \langle p, \sum b_i\rangle = \langle p, \sum c_i\rangle$, c'est-à-dire $p$ orthogonal à la fois à $\sum a_i - b_i$ et à $\sum c_i - b_i$.

Réciproquement, on l'applique avec $n$ fois le même point simple : $n \lN (1, 0, 0) - p\rN^\a + \lN (0,1,0) - p\rN^{\a} = n \lN (0, 1, 0) - p\rN + \lN (0, 1, 0)\rN^{\a} = n\lN (0, 0, 1) - p\rN + \lN (1, 0, 0)\rN^\a$ par exemple. Nécessairement, le point $p_n \ra (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$, et on fait un DL à l'ordre $2$ ?

Plutôt : $n$ fois un point, $n$ fois un autre et $n/2$ fois l'un ou l'autre, ou leurs opposés ? Chiant.

Si on écrit $p_n = (1/\sqrt{3} + x_n, \frac{1}{\sqrt{3}} + y_n, \frac{1}{\sqrt{3}} + z_n)$, à l'ordre $1$, être sur la sphère donne $x_n + y_n + z_n = 0$, et les distances donnent $\dots$.
#+END_proof

# ID:7274
#+begin_exercice [X MP 2023 # 317]
Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ vérifiant $B^2=A$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Par l'absurde, si toute matrice a une racine carrée rationnelle. S'il en existe une, son opposé marche aussi. On a $\cos \theta = \sqrt{\frac{1 + \cos (2\theta)}{2}}$ : on passe de $\frac{p}{q}$ à $\sqrt{\frac{q+p}{2q}}$, donc le dénominateur diminue, donc fini par atteindre $1$ ou $2$, ce qui n'est pas possible.
#+END_proof

# ID:7275
#+begin_exercice [X MP 2023 # 318]
Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi\colon\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un extremum.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $\la$ est valeur propre, $\Phi(t v_{\la}) = \la^2 (t^2 - t^4)$, donc pas de minimum.

Si toutes les valeurs propres sont $\gt 0$, $\lN f(x)\rN\ra +\i$.

Çela marche pareil si l'une des valeurs propres est nulle.

Si une est négative l'autre positive, vérifier avec le cas $n=2$ qu'on peut prendre des valeurs arbitrairement grandes : prendre $v$ tel que $\langle v, f(v)\rangle = 0$.
#+END_proof


# ID:7276
#+begin_exercice [X MP 2023 # 319]
On considère dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$.
 - Soit $K\in\M_{2n}(\R)$ tel que $K^2=-I$. Montrer que $K^TJ\in\mc{S}_{2n}(\R)$ si et seulement si $J=K^TJK$.
 - On note $\mc C$ l'ensemble des $K\in\M_{2n}(\R)$ telles que $K^2=-I$ et $K^TJ\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Soit $K\in\mc C$. Montrer que $K+J$ est inversible et que $(K+J)^{-1}(K-J)$ est symétrique.
 - Soit $K\in\mc C$. On pose $S=(K+J)^{-1}(K-J)$. Montrer que $SJ+JS=0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - $K+J = K + K^T J K = (I_n + K^T J)K$. En écrivant ce qu'on veut, et en multipliant par les inverses, on obtient qu'on veut $KJ + J K^T = O_n$, et on utilise $K^{-1} = -K$.
 - Remplacer le $S$ de droite par sa transposée, multiplier par les inverses, et développer.
#+END_proof


# ID:7277
#+begin_exercice [X MP 2023 # 320]
Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Simple ? Écrire $A = PD P^T$ et $B = P P^T$, si $\det B\gt 0$.
#+END_proof

# ID:7280
#+begin_exercice [X MP 2023 # 321] Golden-Thompson inequality
Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$.
 - Montrer que $\op{tr}\left(e^Ae^B\right)\gt 0$.
 - Montrer que $\op{tr}\left(e^{A+B}\right)\leq\op{tr}\left(e^Ae^{B}\right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On se ramène à $A$ diagonale, et $e^B$ est définie positive, donc de coefficients diagonaux $\gt 0$.

   ou directement, $\op{tr}\big(e^A e^B\big) = \op{tr}\big(e^{A/2} e^B e^{A/2}\big)$, et la matrice intérieure est définie positive.
 - Cf https://terrytao.wordpress.com/2010/07/15/the-golden-thompson-inequality/, et un énoncé de l'année précédente. Super dur, et utilise au finale que $e^{A+B} = \lim (e^{A/p} e^{B/p})^p$.
#+END_proof


# ID:7278
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 322]
Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels.
 1. Montrer que la matrice $A=\left(t_i t_j\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
 2. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n$. Montrer que la matrice $B=\left(\min \left(t_i, t_j\right)\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
 3. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq 1$. Montrer que $M=B-A \in \mc{S}_n^+(\R)$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $X^T AX = (\sum t_i x_i)^2$
 2. $\int \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2$
 3. Il s'agit de montrer que $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$, c'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l'intégrale est sur $[0,1]$. C'est Cauchy-Schwarz.
#+END_proof

# ID:7279
#+begin_exercice [X MP 2023 # 323] Inégalité de Hilbert
 On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note $\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$.
 1. Montrer que $\lN \cdot\rN$ définit une norme sur $\M_n(\R)$.
 2. Montrer que $\lN A\rN=\sup\limits_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$.
 3. On prend $A=\Big(\dfrac{1}{i+j+1}\Big)_{0\leq i,j\leq n}$ dans $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X,Y$ dans $\R^{n+1}$, en interprétant $\langle AX,Y\rangle$ comme une intégrale , montrer que
    $$\left\langle AX,Y\right\rangle^2 \leq 4\sum_{\substack{i,j\\ i+j \text{ pair}}} \frac{x_i x_j}{i+j+1} \sum_{\substack{i,j\\ i+j \text{ pair}}} \frac{y_i y_j}{i+j+1}.$$
 4. À l'aide d'une intégrale faisant intervenir $P\colon t\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et $Q\colon t\mapsto\sum_{k=0}^n y_ke^{ikt}$, en déduire que $\lN |A|\rN\leq \pi$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3. C'est $\int_0^1 P(t)Q(t)\dt$, et Cauchy-Schwarz donne ce qu'on veut, en majorant $\int_0^1 P(t)^2 \leq \int_{-1}^1 P(t)^2$
 4. C'est $\int_{-1}^1 P(t)^2 = \int_0^{\pi} P(e^{it})^2 e^{it}\dt$, que l'on majore par l'intégrale du module, qui fait $\sum |x_i|^2$.
   #+END_proof



** Analyse

# ID:7292
#+begin_exercice [X MP 2023 # 324]
Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par $(0,0)$ est continue.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $f(x,y) = \frac{x^4}{y^2 + x^6}$
#+END_proof


# ID:7293
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 325]
Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.
 1. On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s'écrit comme intersection de carrés fermés.
 2. On suppose $K$ non borné et $K \neq \R^2$. Donner des exemples de tels convexes. Montrer que si $K$ contient deux droites, celles-ci sont parallèles.
 3. On suppose toujours $K$ non borné. Montrer que $K$ contient une demi-droite.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si $x\not\in K$, on peut trouver une droite séparant $x$ de $K$, donc un carré contenant $K$ et non $x$.
 2. Si $K$ contient deux droites non parallèles, $K = \R^2$. La partie au dessus du graphe de $x\mapsto e^x$.
 3. Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et prendre une valeur d'adhérence des segments $[y, x_n]$.
#+END_proof

# ID:4370
#+begin_exercice [X MP 2023 # 326]
Déterminer les endomorphismes continus du groupe $\C^*$.
#+end_exercice

# ID:7294
#+begin_exercice [X MP 2023 # 327]
Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On définit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, $\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$.
 - Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrer que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$.
 - Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle. On suppose que la série de terme général $|u_n-1|$ converge.

   Montrer que la suite de terme général $\prod_{k=0}^nu_k$ converge.

 - E Soit $(M_n)_{n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose que la série de terme général $\|M_n-I_d\|$ converge. On pose, pour $n\in\N$, $B_n=M_0\times M_1\times\cdots\times M_n$.
 - Montrer que la suite $(B_n)_{n\geq 0}$ converge.
 - Soit $\sigma$ une permutation de $\N$. Que peut-on dire de la suite de terme général $M_{\sigma(0)}\times\cdots\times M_{\sigma(n)}$?
 - Soit $E=\left\{\prod_{k=0}^{+\i}M_{\sigma(k)},\ \sigma\in\mc{S}( \N)\right\}$. Existe-t-il une suite de matrices pour laquelle $E$ n'est pas fermé ?
 - Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M_n)_{n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle que $E$ possède exactement $k$ composantes connexes ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - On a $B_{n+1} - B_n = \big(\prod M_i\big) (I_n - M_n)$, dont la série converge.
 - Pour la même raison, elle converge.
 - Non, si on a une suite de $\sigma_\l$, on peut en extraire une permutation.
 - Si les $M_n$ commutent, $E$ est un point.

   On pourrait aussi les prendre presque toutes égales à $I_n$. Si on prend des diagonales commutantes et deux matrices de permutations inverses, et une matrice diagonale avec un zéro, soit le zéro est à son emplacement d'origine, soit le zéro est en $\sigma(1)$, soit le zéro est en $\sigma^{-1}(1)$. Donc on peut obtenir $2$, ou $3$ composantes connexes (pas sûr…)

   On peut fondamentalement remplacer le $0$ par un élément très petit.

   Si on prend comme $\sigma$ un produit de transpositions (de sorte que $P_{\sigma} = P_{\sigma}^{-1}$), et qu'on met quatre fois cette matrice de transposition. !!
#+END_proof


# ID:7421
#+begin_exercice [X MP 2023 # 328]
On définit la longueur d'un intervalle borné $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$.
 - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$?
 - Soit $(I_n)_{n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Si $\sum \ell(I_n)\lt 1$, on montre que ce n'est pas possible. On considère une suite $(\eps_n)$ telle que $\sum \ell(I_n) + \eps_n \lt 1$.

   On choisit $x_0 = 0$, puis le plus grand intervalle restant qui contient (n'existe pas …) $x_0$, puis $\l(I_{n_0}) \lt x_1\lt \l(I_{n_0}) + \eps_{n_0}$, puis le plus grand qui le contient etc.
#+END_proof


# ID:7295
#+begin_exercice [X MP 2023 # 329]
Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite fermé pour la norme infinie, $C$ la sphère unité pour la norme infinie. On cherche à montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r\colon D\to C$ telle que la restriction de $r$ a $C$ soit l'identité.
 1. On considère une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymétrique (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice réelle telle que : $\forall i,j\in\db{1,n-1}$,
    $f(a_{i,j},a_{i+1,j})+f(a_{i+1,j},a_{i+1,j+1})+f(a_{i+1,j+1},a_{i,j+1})+f(a_{i,j+1},a_{i,j})=0$.

    Montrer que :
    $\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i,1},a_{i+1,1})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{n,j},a_{n,j+1})+\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i+1,n},a_{i,n})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{1,j+1},a_{1,j})=0$
 2. Soit $M\in\M_{n+2}(\R)$ une matrice de la forme $\begin{pmatrix}1&1&\cdots&\cdots&1\\ 1&&&&3\\ \vdots&&M'&&\vdots\\ 1&&&&3\\ 1&2&\cdots&\cdots&2\end{pmatrix}$ ou $M'\in\M_n(\R)$

    est à coefficients dans $\{1,2,3\}$. Montrer qu'au moins un des petits carrés de $M$ comporte trois valeurs différentes.
 3. Montrer qu'on dispose d'un $\eta\gt 0$ tel que, pour tous $x$, $y\in D$ vérifiant $\|x-y\|_{\i}\leq\eta$, on a $\|r(x)-r(y)\|\leq\frac{1}{10}$.
 4. Soit alors $n\in\N$ tel que $\frac{2}{n-1}\leq\eta$. Pour tous $i$, $j\in\db{1,n}$, on pose $v_{i,j}=\left(1-2\frac{i-1}{n-1},1-2\frac{j-1}{n-1}\right)$.

    Montrer que, pour tous $i$, $j\in\db{1,n-1}$, $r(v_{i,j})$, $r(v_{i+1,j})$, $r(v_{i+1,j+1})$, $r(v_{i,j+1})$ sont contenus dans une boule de rayon $1/10$.
 5. En utilisant une fonction bien choisie de $C$ dans $\{1,2,3\}$, aboutir à une contradiction et conclure.
 6. Utiliser ce résultat pour montrer que toute fonction continue de $D$ dans $D$ admet un point fixe.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Utiliser 1. avec $f(x,y) = \sign(x-y)$.
 3. UC.
 4. Vide.
 5. Découper $C$ régulièrement.
 6. Par l'absurde, si $f$ n'a pas de point fixe, on considère $g$ qui à tout $x$ associe l'intersection de la demi-droite $[x, f(x))$ avec le cercle (ou l'inverse).
#+END_proof



# ID:7296
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 330]
On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si
 + pour tous $s, t \in \R^+$ distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres distincts,
 + pour tous $s, t \in \R^+$ tels que $s\lt t, D_s \subset D_t$.
# Sep
 1. Existe-t-il une telle famille?
 2. Soit $A\colon \R^+ \ra \R^2$ une fonction $C^1$ et injective. Existe-t-il une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ vérifiant $(\mc{P})$ telle que, pour tout $t \in \R^+, A(t)$ soit le centre de $D_t$ ?
 3. Le résultat subsiste-t-il si $A$ est seulement supposée continue?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Cercles de centre $(x,0)$, de rayon $x$.
 2. Prendre $D_t$ de rayon la longueur de la courbe de $A(0)$ à $A(t)$.
 3. Prendre une fonction non réglée.
#+END_proof

# ID:7297
#+begin_exercice [X MP 2023 # 331]
Dans tout l'énonce, $\mathbb{K}$ désigne $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algèbre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algèbre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnée sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme vérifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. On suppose $\mathbb{K}=\C$.
 - Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$.
 - On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$.
 - En déduire que $\|a-1\|=2$.
 - En déduire que $A=\C$.
 - Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant des polynômes annulateurs.

Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$.
 - Est-ce que $A$ est nécessairement égale a $\R$?
 - On admet qu'il existe une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considère la symétrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallèlement à $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considère la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien définie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative.
 - Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algèbre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$.
#+end_exercice

# ID: 6201
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 332]
Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu'il existe un $n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Dérivée discrète.
#+END_proof



#+call: get_exo(6138)
#+begin_exercice [X MP 2023 # 333]
Pour $n\geq 2$, on note $\l_n=\min\left\{k\in\db{1,n} \mid \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$.
 - Montrer que $\l_n=o(n)$.
 - Donner un équivalent de $\l_n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est montrer que $\forall c,\, \prod_{i=1}^{cn} \big(1 - \frac{i}{n}\big)\leq \frac{1}{2}$ APCR. Ou bien par comparaison $\sum/\int$, ou somme de Riemann un peu technique.
 - La comparaison $\sum/\int$ devrait marcher…
#+END_proof

# ID:6961
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 334]
Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives telles que la série de terme général $b_n$ converge, que la série de terme général $n a_n$ diverge et que $\sum_{n=0}^{+\i} a_n=1$.
 1. Montrer qu'il existe une unique suite $\left(u_n\right)$ telle que, $\forall n \in \N, u_n=b_n+\sum_{k=0}^n u_k a_{n-k}$.
 2. Montrer que $\left(u_n\right)$ est bornée.
 3. Montrer que, si $\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite est 0.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Cf une année précédente.
#+END_proof

# ID:7134
#+begin_exercice [X MP 2023 # 335]
On considère la suite réelle définie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un réel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Résultats intermédiaires pertinents, peut-être pas tous nécessaires.
 + On montre que $x_n \ra +\i$.
 + On montre que $n = o_{+\i}(x_n)$
 + De même $n^2 = o_{+\i}(x_n)$.
 + Chercher alors à montrer que $u_n  = \big(\frac{\ln x_n}{2^n}\big)$ converge (vers une constante $C$),
   + Écrire $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. L'expression se prête naturellement au lien suite <-> série.
 + Poser $\ln x_n = C 2^n + y_n$, écrire la relation sur $y_n$. Reste à montrer que $y_n = 2\ln n + o_{+\i}(1)$.
#+END_proof

# ID:7140
#+begin_exercice [X MP 2023 # 336]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ la suite réelle définie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,\,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un équivalent de $a_n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $(a_n)$ croissante, puis $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ra 2$, donc $\ln (a_{n+1}) - \ln (a_n) = \ln 2 + \ln \big(1 + \frac{a_{n-1}}{2n^2 a_n}\big)$, donc $\ln (a_n) = n \ln 2 + C + o(1)$.
#+END_proof

# ID:7298
#+begin_exercice [X MP 2023 # 337]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la série de terme général $a_n^2$ ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $a_{n+1} - a_n \sim a_n^3$, donc $\sum a_n^3$ converge. Il faut trouver un équivalent de $a_n$, via la méthode usuelle.
#+END_proof


# ID:3594
#+begin_exercice [X MP 2023 # 338]
Soit $\sum u_n$ une série convergente de réels positifs. Existe-t-il une suite $(v_n)_{n\geq 0}$ de réels positifs tendant vers $+\i$ telle que la série $\sum u_nv_n$ converge?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof

# ID:7299
#+begin_exercice [X MP 2023 # 339]
Soit $(x_n)$ une suite réelle. On suppose que $(x_n y_n)$ est sommable pour toute suite réelle $(y_n)$ de carré sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carré sommable.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Prendre $y_n = \frac{x_n}{\sum_{k=1}^n x_k^2} = \frac{x_n}{S_n}$ ? On a bien $\sum x_n y_n$ qui diverge, mais il semble pas nécessaire que $\sum y_n^2$ converge.

Mais, en fait on va parfois prendre $y_n = 0$, et parfois l'autre (sur une plage $[N, 2N]$). On prend $y_n \neq 0$, sur une plage $[N, 2N]$, où on sait que $S_N\gt 2^N$.
#+END_proof


# ID: 1144
#+begin_exercice [X MP 2023 # 340]
Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Déterminer la nature de la série $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$.
#+end_exercice

# ID: 5479
#+begin_exercice [X MP 2023 # 341]
Étudier la convergence de la série de terme général $\frac{\sin(\ln n)}{n}$.
#+end_exercice

# ID:7300
#+begin_exercice [X MP 2023 # 342]
On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$.
 - Montrer que $u$ converge vers une limite $\ell$.
 - Montrer que $\ell=-(\sqrt{2}+1)\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$.
 - Montrer que $u_n=\ell+\frac{1}{2n^{1/2}}+O\Big{(}\frac{1}{n^{3/2}}\Big{)}$.
 - Montrer que $\ell=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})^2}$.
 - Étudier les variations de $u$.
 - Déterminer un développement asymptotique similaire pour la suite de terme général $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$.
 - Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un développement asymptotique à trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$.
#+end_exercice

# ID:7128
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 343]
Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et $\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
La série $\sum \frac{1}{f(n)}$ a la même nature que $\int \frac{1}{f}$. On peut raccorder $f$ de manière $\mc C^1$, puis on pose $u = f(t)$ :
$$\int_0^{+\i} \frac{1}{f(t)}\dt = \int_0^{+\i} \frac{1}{u f'(f^{-1}(u))} \du,$$
puis IPP.
#+END_proof

# ID:7208
#+begin_exercice Inégalité de Hilbert [X MP 2023 # 344]
 - Soit $m\in\N^*$. Montrer que $\sum\limits_{n=1}^{+\i} \frac{\sqrt{m}}{(m+n)\sqrt{n}}\leq \pi$.

   Ind. : Dans $\R^2$, considérer les points $x_n= (\sqrt{m}, \sqrt{n})$ et l'intersection $r_n$ du cercle $C(0,\sqrt{m})$ avec le segment $[0,x_n]$.
 - Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carré sommable et à termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$.
 - s Montrer que la constante $\pi$ est optimale.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Se fait par comparaison intégrale.

   Méthode géométrique : on regarde les angles à l'origine faits par les segments $[0, x_n]$. On obtient $\sum_{n=0}^{+\i}\b_n = \frac{\pi}{2}$, et $\b_n = \arctan \big(\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{m}}\big) - \arctan \big(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}\big)$, et on majore la dérivée par $\frac{1}{1 + \big(\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{m}}\big)^2}$. On obtient le résultat (noter $n = 0$ contre $n = 1$).
 - On applique Cauchy-Schwarz (à la somme double), avec $\frac{a_n b_m}{n+m} = \frac{a_m}{\sqrt{n+m}}\big(\frac{m}{n}\big)^{1/4} \frac{b_n}{\sqrt{n+m}}\big(\frac{n}{m}\big)^{1/4}$ .
 - Prendre $a_n =b_n = n^{-1/2 - \eps}$.
#+END_proof

# ID:7301
#+begin_exercice [X MP 2023 # 345]
 - Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que
   $\forall(x,y)\in\R^2$, $f(xy)=f(x)\,f(y)$.
 - Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que
   $\forall x\neq y\in\R$, $f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Classique ; En passant au $\ln$.
 - On obtient $f$ impaire, on peut supposer $f$ croissante. On obtient $f(1) = 1$.

   Puis, en posant $y = xy$, on obtient $\frac{f(x) + f(xy)}{f(x) - f(xy)} = \frac{f(1) + f(y)}{1 - f(y)}$, qui donne $f(xy) = f(x) f(y)$.
#+END_proof


# ID:7302
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 346]
Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique?
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Easy.
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2023 # 347]
Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $|f'|+|f+1|\leq 1$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On obtient $f\leq 0$, $f= 0\rightarrow f' = 0$, la fonction est coincée entre $-2$ et $0$.

On peut juste poser $g = f+1$, auquel cas $|g| + |g'|\leq 1$. La fonction $g$ peut osciller tranquillement…

Remplacer par $|f'| + |f+1| = 1$ ?
#+END_proof


# ID:7303
#+begin_exercice [X MP 2023 # 348]                                              :sup:
Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum\limits_{p\in\mc{P} ; p\leq x}\ln(p)$. Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Utiliser ${2n \choose n}$.
#+END_proof


# ID:7304
#+begin_exercice [X MP 2023 # 349]
Soit $F$ un fermé de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $e^{-1/d(x, F)}$
#+END_proof


# ID:7305
#+begin_exercice [X MP 2023 # 350]
Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f\colon [0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si la suite $(x_n)$ n'a qu'une seule valeur d'adhérence, c'est envisageable.

Sinon, ça contredit l'uniforme continuité.
#+END_proof


# ID:7306
#+begin_exercice [X MP 2023 # 351]
Calculer $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Poser $t = \tan u$, on obtient $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (1 + \tan ^2 u)\du = -2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos u \du$, qui est classique.

Elle se calcule en gardant le $\cos^2$, le transformant en $\sin^2$, et une formule de trigonométrie de $\sin (2t)$.
#+END_proof

# ID: 3719
#+begin_exercice [X MP 2023 # 352]
Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivée $n$-ième de $(X^2-1)^n$.
 - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $\colon\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $\int_{-1}^1PL_n=0$.
 - Montrer que $L_n$ possède $n$ racines distinctes $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n$ dans $]-1,1[$.
 - Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que $\colon\forall P\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$.
#+end_exercice

# ID:7307
#+begin_exercice [X MP 2023 # 353]
Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}^3$.
 - On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$.
 - On suppose $n$ multiple de $4$. Montrer que $I_n\gt 0$.
 - Montrer, pour tout $n\in\N$, l'égalité
   $$I_{2n}=(-1)^n\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^{2n}(x)\,\sin^{2n}(y)\,\sin^{2n}(x+y)\dx\dy$$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Changement de variable, $k' = -k$.
 - $n$ multiple de $4$ signifie qu'il y a un terme central, et qu'il a un signe positif.

   Il suffit de montrer que, pour $k-1 \geq n$,  ${n\choose k}^3 \leq \frac{1}{2}\big({n\choose k-1}^3 + {n\choose k+1}^3\big)$.

   Si c'est vrai sans les puissances $3$, on aura $\frac{x^3 + y^3}{2}\geq \big(\frac{x+y}{2}\big)^3\geq \dots$.

   Et sans les puissances $3$, ça devrait être simple…
 - Partir de $\sin (x+y) = \sin x \cos y + \sin y \cos x$, développer par le binôme. On obtient, $\sin^{2n + k}(x) \cos^k y \sin^{2n + (2n-k)}(y) \cos^{2n-k}(x) {2n\choose k}$, puis c'est le produit des intégrales sur $x$ et sur $y$, et c'est du Wallis.
#+END_proof


# ID:7308
#+begin_exercice [X MP 2023 # 354]
 - Soient $n\in\N^*$ et $f\colon [0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que $H_n\colon (a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\big(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\big)^2 \dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$.
 - Déterminer la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est du Fourier. Les $\cos/sin$ sont à peu près une BON, donc $a_k = \int_0^{2\pi} f(t) \cos (kt)$.
 - Weierstrass.
#+END_proof


# ID:7309
#+begin_exercice [X MP 2023 # 355]
Justifier l'existence et calculer $\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Facile
#+END_proof

# ID:7453
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 356]
Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$.
 1. Montrer que $f(x)\lt \frac{1}{x}$ pour tout $x\gt 0$.
 1. Montrer que $f(x)\gt \frac{\sqrt{x^2+4}-x}{2}$ pour tout $x\gt 0$.
 1. Donner un développement limité à quatre termes de $f(x)$ quand $x \ra+\i$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On a $xf(x)\lt e^{x^2/2} \int_x^{+\i} t e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$, ou IPP.
 2. L'IPP donne une minoration, insuffisante (cf question suivante).

    L'inégalité revient à montrer que $f(x)^2 + x f(x) - 1 \geq 0$, c'est-à-dire $f(x)\big(f(x) + x\big)\gt 1$. En dérivant $\big(x e^{-x^2/2}\big)' = e^{-x^2/2}\big(1 - x^2\big)$, donc $f(x) + x = e^{x^2/2}\int_x^{+\i} t^2 e^{-t^2/2}\dt$. Puis Cauchy-Schwarz sur le produit $f(x)\big(f(x) + x\big)$ donne le résultat.
 3. L'IPP donne $\frac{1}{x} - e^{x^2/2} \int_x^{+\i} \frac{e^{-t^2/2}}{t^2}$, et on réitère.
#+END_proof


# ID:7310
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 357]
Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v)=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(u-r e^{i \theta}\right)\left(v-r e^{i \theta}\right)}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof

#+END_proof

# ID:7311
#+begin_exercice [X MP 2023 # 358]
Soit $f\colon\R\to\R^+$ intégrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$.
 - Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu'il existe un unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$.
 - Montrer que, pour tout $\l\in \interval]{0, f(M)}[$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)=\l$.
 - Supposons que, pour tout $\l\in ]0,f(M)[\interval]{0, f(M)}[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. Montrer que $m\gt M$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $f$ est croissante, puis décroissante, puisque sa limite est nulle en $\pm \i$.
 - 
 - Revient à montrer que $\int_{-\i}^M f(t)\dt \lt \int_{M}^{+\i} f(t)\dt$, via un changement de variable.

   On a $\int_{-\i}^M f(t)\dt = \int_0^{f(M)} f(x_1(u)) \frac{\du}{f'(x_1(u))}$
   et $\int_{M}^{+\i} f(t)\dt = -\int_0^{f(M)} f(x_2(u)) \frac{\du}{f'(x_2(u))}$.
#+END_proof


# ID:7312
#+begin_exercice [X MP 2023 # 359]
 - Soient $a$ et $b$ deux suites réelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f_m)_{m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformément vers une fonction constante.
 - On note $H$ l'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition des fonctions.
 - Soit $f\in H$. Montrer que $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - La suite $(f_n)$ est de Cauchy (à la main : choisir $n_0$ tel que $|b_n - a_n|\leq \eps$), puis $n\geq N_{n_0}$. (Ce serait bien d'avoir un argument sans Cauchy…)

   Donc $a_m, b_m$ convergent, donc $f_n$ converge vers leurs limites.
 - 
 - Trivial.
#+END_proof

# ID:7313
#+begin_exercice [X MP 2023 # 360]
On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi
$$I=\big\{f\in F \text{ t.q. } \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1] \mid f(x)\leq a\} \text{ est fermé}\big\} \et S=\big\{f\in F \text{ t.q. } \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1] \mid f(x)\geq a\} \text{ est fermé}\big\}$$

Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f)\colon x\in[0,1]\mapsto\inf\limits_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$.
 - Montrer que $C=I\cap S$.
 - Montrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est une suite croissante d'applications continues.
 - Soit $f\in F$. Montrer que $f\in I$ si et seulement s'il existe une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $\subset$ clair ; $\supset$ : dans l'intersection, on a $f^{-1}([a,b])$ fermé, donc par complémentaire, $f^{-1}\big(\interval]{a, b}[\big)$ ouvert.
 - La croissance est claire, la continuité est classique.
 - Soit $f\in I$. Alors $L_n(f)$ est continue (question précédente), et $f(x) = \sup f_n(x)$, car l'ensemble $y \mid f(y)\leq f(x) - \eps$ est compact.

   Réciproquement, si $f = \sup f_n$. Pour tout $a$, $\{x \mid f(x)\leq a\} = \bigcap_{n} \{f_n(x)\leq a\}$ est une intersection de fermés.
#+END_proof


# ID:7374
#+begin_exercice [X MP 2023 # 361]
Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$.
 1. s Rappeler le théorème d'intégration des relations de comparaison.
 2. Donner un équivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$.
 3. Déterminer le domaine de définition de la fonction $u\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$.
 4. Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de définition.
 5. Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ telle que $u(x)\sim\frac{C}{x^{\a + 1}}u\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. $\ln f(x) \sim a \ln x$.
 3. Tout $x\gt 0$.
 4. L'infini et $0$.
 5. On regarde le produit $x u(x) u\big(\frac{1}{x}\big)$. Si $f(x) = x^{a}$, alors $u(x) = \sum n^{\a} e^{-n x}$.

    Pour $\a$ entier, c'est la dérivée $\a$-ième de $\frac{1}{1-e^{-x}}$.

    On prend $a = 1$, c'est $\frac{e^x}{\big(e^x-1\big)^2}$, équivalent à $e^{-x}$ en $+\i$,
    et en $0$, on est équivalent à $\frac{1}{x^2}$.

    Problème d'énoncé.

    En général, $u(x)$ va être équivalent, en $+\i$, à son premier terme.

    En $0$, les premiers termes sont toujours négligeables, donc on peut remplacer $f(n)$ par $n^{\a}$, puis dans l'intégrale obtenue, il suffit de faire le changement de variable : $\int_0^{+\i} t^{\a} e^{-tx}\dt$.
#+END_proof

# ID:7314
#+begin_exercice [X MP 2023 # 362]
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et

$$\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n.$$
 - Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum a_nx^n$ est strictement positif.
 - Déterminer la valeur de ce rayon de convergence.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On $a_{n+2}\leq C a_{n+1} + D a_n$.
 - On a $a_{n+2}\geq a_{n+1} + 3a_n$, et pour tout $\eps$, $a_{n+2}\leq (1+\eps) a_{n+1} + (3+\eps) a_n$.
#+END_proof


# ID:7315
#+begin_exercice [X MP 2023 # 363]
Pour $x$ réel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous réserve de convergence.
 - Déterminer le domaine de définition de $f$.
 - Étudier la continuité puis la dérivabilité de $f$.
 - Donner un équivalent simple de $f$ en $1^-$.
 - Montrer que $f$ est développable en série entière, et preciser le développement associé.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $\interval]{-1, 1}[$
 - pas de soucis.
 - Comparaison $\sum/\int$.
#+END_proof


# ID:7316
#+begin_exercice [X MP 2023 # 364]
Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f\colon U\to\C$ somme d'une série entière. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $f(z) \sim a z^{\l}$, avec $\l\geq k$. On considère $g(\theta)  =\frac{f(re^{i\theta})}{r^\l e^{i\l \theta}}$, $g$ est continue, et proche de $1$. Donc l'argument de $f(r^{i\theta})$ est proche de $\l \theta$, donc il s'annule beaucoup.
#+END_proof


# ID:7317
#+begin_exercice [X MP 2023 # 365]
Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence égal à $1$ et de somme $f$.

On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$. Montrer que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Formule de Cauchy donne $(a_k k)$ bornée, donc $\sum |a_k|/k$ converge.
#+END_proof


# ID:7318
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 366]
Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair.
 1. Montrer l'existence d'une suite réelle $\left(b_k\right)_{k \geq 0}$ telle que : $\forall x \in \R, \exp (P(x))=\sum_{k=0}^{+\i} b_k x^k$.
 2. Montrer que les $b_k$ sont tous non nuls.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. Quand on dérive successivement $e^P$, on trouve une quantité qui vaut toujours $1$ modulo $2$.
#+END_proof

# ID:7319
#+begin_exercice [X MP 2023 # 367]
Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$.
 - Montrer que la suite de terme général $(x,q)_n$ converge vers un réel $(x,q)_{\i}\gt 0$.
 - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert de convergence.
 - Etablir l'identité $f_{x,q}(z)-f_{x,q}(qz)=(1-x)zf_{x,q,q}(z)$ pour tout $z\in D$.
 - Etablir l'identité $f_{x,q}(z)=\frac{1-xz}{1-z}f_{x,q}(qz)$ pour tout $z\in D$.
 - Démontrer que $f_{x,q}(z)=\frac{(zx,q)_{\i}}{(z,q)_{\i}}$ pour tout $z\in D$.
 - Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Déterminer, pour tout $z\in D$, la limite de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$.
#+end_exercice

# ID:7320
#+begin_exercice [X MP 2023 # 368]
 - Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big\{(n,m)\in(\N^*)^2 \mid n^2+m^2 \leq x\big\}$. Trouver un équivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$.
 - On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Utiliser ce qui précède pour trouver un équivalent de $g$ en $1^-$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Considérer $(\sum t^n) g(t)^2 = \sum f(n) t^n$., avec $f(n)\sim Cn$. Puis passer aux $\eps$ pour justifier.
#+END_proof


# ID:7092
#+begin_exercice [X MP 2023 # 369]
Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\deg F}$.
 - Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrer que la famille $\big(|F|^{-s}\big)$, indexée par les polynômes $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme, qu'on notera $z(s)$.
 - On note $A$ l'ensemble des polynômes unitaires de $F\in\mathbb{F}_p[X]$ sans facteur carré, c'est-a-dire tels que : $\forall D\in\mathbb{F}_p[X]$, $D^2|F\Rightarrow\deg D=0$. Montrer que $\sum_{F\in A}|F|^{-s}=\frac{z(s)}{z(2s)}$.
 - En déduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynômes sans facteur carré parmi les polynômes unitaires de degré $d$ de $\mathbb{F}_p[X]$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Sommabilité est simple, la somme est
   $$z(s) = \sum_{d} \frac{p^d}{p^{ds}} = \sum_{d} \frac{1}{p^{d (s-1)}} = \frac{1}{1 - 1/p^{s-1}}  = \frac{p^{s-1}}{p^{s-1} - 1}.$$
 - $z(2s)$ correspond à la somme sur tous les carrés. Par multiplicativité, on a le résultat.
 - Développer le résultat $\frac{z(s)}{z(2s)} = \frac{p^{s-1}}{p^{s-1} - 1} \frac{p^{2s - 1}-1}{p^{2s - 1}}$ $=\frac{1}{1 - \frac{1}{p^{s-1}}} \big(1 - \frac{1}{p^{2s-1}}\big)$ $= \big(1 - \frac{1}{p^{2s-1}}\big) \sum_{d} \frac{p^d}{p^{ds}}$
   $= \sum_d \frac{p^d - p p^{d-2}}{p^{ds}}$, donc la proportion serait $1 - \frac{1}{p}$, sous réserve d'unicité du développement $\sum \frac{u_d}{p^{ds}}$, qui revient à poser $x = \frac{1}{p^s}$.
#+END_proof


# ID:7321
#+begin_exercice [X MP 2023 # 370]
Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g\colon x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}\dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$.
 - Donner un équivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$.
 - On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'écart avec l'équivalent trouvé.
 - Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - CVD
 - 
 - 
#+END_proof

# Manque une fin
# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2023 # 371]
- Déterminer le domaine de définition de $f\colon x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$.
 - Montrer, pour tout réel $x\gt 0$, l'égalité $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$.
#+end_exercice

# ID:7322
#+begin_exercice [X MP 2023 # 372]
 - Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout réel $x$.
 - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F''(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$
 - Donner une expression simplifiée de $F$.
#+end_exercice

# ID:7504
#+begin_exercice [X MP 2023 # 373]
Soit $f\in\mc C^0(\R_+^{*},\R)$ de carré intégrable. On pose $S_f\colon x\in\R_+^{*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$.
 - Justifier la bonne définition de $S_f$.
 - Montrer que $S_f$ est de carré intégrable.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - CS
 - On a, par Cauchy-Schwarz, en multipliant et divisant par du $y^{1/4}$,
   $$S_f(x)^2 = \left(\int_0^{+\i} \frac{f(y) \sqrt{y}}{\sqrt{x+y}} \times \frac{1}{\sqrt{y} (x+y)}\right)^2 \leq \int \frac{f^2 y}{x+y} \dy \int \frac{1}{y (x+y)\dy},$$

   $$S_f(x)^2 \leq \int \frac{1}{x+y} \frac{\dy}{\sqrt{y}} \int \frac{f(y)^2 \sqrt{y}}{x+y}\dy.$$

   Le premier facteur est en $x^{-1/2}$, puis $x^{-1/2}\int \frac{f(y)^2 \sqrt{y}}{x+y}\dy = x^{-1/2}$, si on admet Fubini (positif), $\int \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} (x+y)}\dx = \pi$, d'où l'intégrabilité en $x$ de ce qui précède.

 - R L'opérateur est connu sous le nom de «Hilbert-Hankel», ou «Carleman». C'est le carré de l'opérateur de Laplace $L_f \colon x\mapsto \int_{0}^{+\i} e^{-xy} f(y)\dy$. La démonstration de la bonne définition de $L_f$ est la même
#+END_proof


# ID:7324
#+begin_exercice [X MP 2023 # 374]
Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$.
 - Déterminer la limite et un équivalent de $I$ en $+\i$.
 - Donner un développement asymptotique de $I$ à tout ordre.
 - Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ce développement soit la somme partielle d'une série convergente pour tout $x\gt 0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Tend vers $0$, faire un changement de variable pour l'équivalent : $t = \frac{u}{x^{1/\a}}$ ; On obtient $\frac{1}{x^{\b/\a}} \int_0^{+\i} u^{\b - 1} e^{-u/x^{1/\a}} e^{-u^{\a}}\du$.
   Quand à la valeur de l'intégrale, : $\int_0^{+\i} u^{\b - 1} e^{-u^{\a}}\du$, poser $x = u^{\a}$, puis IPPs successives.
 - On peut développer $e^{-u/x}$ en série.
 - 
#+END_proof


# ID:7325
#+begin_exercice [X MP 2023 # 375]
 - Soient $K$ un segment et $f\colon K\to K$ une fonction continue croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.
 - On considère l'équation différentielle non linéaire $(E)\colon x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ vérifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ réels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possède une solution $2\pi$-périoddique.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Quand $x = 0$, la fonction est croissante, donc une solution ne peut pas passer sous $0$. Quand $x = \pi$, la fonction est décroissante, donc la fonction ne peut pas passer au dessus de $\pi$. Il existe donc $a\in [0,\pi]$ tel que $\phi_a(2\pi) = \phi_a(0)$.
#+END_proof


# ID:6896
#+begin_exercice [X MP 2023 # 376]
Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$. Soit $a\in[0,1]$.
 - Justifier qu'il existe une unique fonction $x_a\colon\R^+\to\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\forall t\in\R^+,\ x'(t)=f(t)-(f(t)+g(t))\,x(t)$ et $x(0)=a$.
 - On suppose que $f$ et $g$ ont une limite finie strictement positive en $+\i$. Montrer que $x_a$ tend vers $0$ en $+\i$.
 - Montrer que $f$ et $g$ peuvent être choisies de telle sorte que $x_a$ n'ait pas de limite en $+\i$.
 - On suppose que l'une des fonctions $f$ et $g$ n'est pas intégrable sur $\R^+$. Montrer que $x_1-x_0$ tend vers $0$ en $+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On peut exprimer la solution, via $\exp$.
 2. Utiliser l'expression.
 3. Prendre $f+g$ constante, et $f$ qui oscille.
 4. Expression intégrale.
#+END_proof


# ID:7422
#+begin_exercice [X MP 2023 # 377]
Soient $v\colon \R\to\R$ une fonction continue à support compact et $\omega\in\R^{+*}$. On considère l'équation différentielle $y''+\omega^2 y=v(t)$ dont on note $\mc{S}_E$ l'ensemble des solutions.
 - Montrer que, pour tout $(a,b)\in\R^2$, il existe une unique solution $f^+_{a,b}$ (resp. $f^-_{a,b}$) de $(E)$ telle que $f^+_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $+\i$, (resp. $f^-_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $-\i$.
 - Montrer que $\mc{S}_E=\{f^+_{a,b},(a,b)\in\R^2\}=\{f^-_{a,b},(a,b)\in \R^2\}$.
 - On pose $c(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\cos(\omega t)\,dt$ et $s(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\sin(\omega t)\,dt$, et on définit l'application $S_{\omega}\colon \R^2\to\R^2$ par : $f^-_{a,b}=f^+_{S_{\omega}(a,b)}$ pour tout $(a,b)\in\R^2$. Expliciter l'application $S_{\omega}$ en fonction de $c(\omega)$ et $s(\omega)$.
 - On suppose que $S_{\omega}=\mathrm{id}_{\R^2}$ pour tout $\omega\gt 0$. Montrer que $v$ est identiquement nulle.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Appliquer les conditions aux bords du compact.
 2. Pas de difficulté.
 3. Intégrer l'équation différentielle, une fois multipliée par $\cos (\om t)$, faire deux IPP. Pour simplifier, se placer en un multiple de $2\pi$, en dehors du support.
 4. Ce serait le cas si $\forall \om,\, c(\om) = s(\om) = 0$. On peut ou bien appliquer le théorème de Weierstrass trigonométrique, ou bien dériver successivement, et obtenir que $\int P(t) v(t) \cos (\om t) \dt = 0$, et en prenant $P$ une approximation à $\eps$ près de $v$, on conclut.
#+END_proof


# ID:7243
#+begin_exercice [X MP 2023 # 378]
Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i)\colon y''+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$.
 - Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$.
 - Soient $q\colon\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle $x$ de $y''+q(t)\,y=0$.
 - Montrer que les zeros de $x$ fortner une suite strictement croissante $(t_n)_{n\in\N}$.
 - Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tout $n\in\N$.
#+end_exercice

# ID:7326
#+begin_exercice [X MP 2023 # 379]
 - Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie, et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $pu+up=u$. Montrer que $\mathrm{tr}(u)=0$.
 - Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit $r\in\db{0,n}$. On note $G$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$. Déterminer l'espace vectoriel tangent à $G$ en $p$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $pup = 0$
 - $u$ symétrique + $pu + up = u$ (puisque c'est le noyau de l'application linéaire).

   En conjuguant par une matrice orthogonale, on se ramène à $u = J_r$.

   On considère $\mc G = \{S\in \mc S_n \mid J_r S + S J_r = S\}$. Matriciellement, $\mc G = \left\{\begin{pmatrix}O & U \\ U^T & O\end{pmatrix}\right\}$.

   On a l'inclusion de l'espace tangent dans $\mc G$.

   Réciproquement, $J_r$ est la projection sur $F = \vect (e_1,\dots, e_r)$ parallèlement à $\vect (e_{r+1},\dots, e_n)$.

   Étant donné des coefficients $u_{ij}$, et $t\in\R$, on peut considérer $F_t = \vect (e_1 + \sum_{j\geq r+1} u_{1j} e_{j}, \dots, e_r + \sum_{j\geq r+1} u_{rj} e_j)$, et $P_t$ la projection orthogonale sur $F_t$.

   En utilisant l'expression de la matrice de $P_t$ via des produits scalaires, on obtient peut-être quelque chose.
#+END_proof


# ID:7034
#+begin_exercice [X MP 2023 # 380]                                              :sup:
On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considère le carré de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ sur ce carré.
 - Montrer qu'il existe une disposition des points $A$, $B$ et $C$ maximisant l'aire du triangle $ABC$.
 - Caracteriser une telle disposition.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Si $A$ n'est pas dans un coin, il faut nécessairement que le côté $BC$ soit parallèle au côté sur lequel $A$ est.
#+END_proof


** Géométrie

# ID:7330
#+begin_exercice [X MP 2023 # 381]
Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le périmètre d'un polygone régulier à $2^n$ cotés inscrit dans le cercle unité.
 - Calculer $P_n$ et étudier la convergence de la suite $(P_n)_{n\geq 2}$.
 - Établir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$.
 - Estimer l'erreur $2\pi-P_n$.
 - Proposer une méthode d'approximation de $\pi$ par excès.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On a une expression avec des $\left|e^{i (k+1)\theta} - e^{i k\theta}\right|$.
 2. Angle double.
 3. Probablement assez simple.
 4. Tu prends un polygone circonscrit : en choisissant les points de tangente, puis Pythagore donne la longueur.
#+END_proof

# ID:7331
#+begin_exercice [X MP 2023 # 382]
On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l'unique point tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L'objectif est de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral.
 - On note $f,g,h$ les rotations de centres respectifs $A,B,C$ et d'angles de mesures respectives $\frac{2a}{3}$, $\frac{2b}{3}$ et $\frac{2c}{3}$. Montrer que $P$ est l'unique point fixe de $g\circ h$.
 - Montrer que $(f^3\circ g^3\circ h^3)(z)=z$ pour tout nombre complexe $z$.
 - On note $f:z\mapsto a_1z+b_1$, $g:z\mapsto a_2z+b_2$ et $h:z\mapsto a_3z+b_3$. Exprimer $P,Q,R$ en fonction des $a_i$ et des $b_i$.
 - Conclure.
#+end_exercice

** Probabilités

# ID:7332
#+begin_exercice [X MP 2023 # 383]
Déterminer le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $\db{1,n}$.
#+end_exercice

# ID:7334
#+begin_exercice [X MP 2023 # 384]
 - Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste décroissante $(\lambda_k)_{1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes. Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$.
 - On fixe $n\geq 1$ et on considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in\db{1,n}:X_i=k\}|$.

   Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ à préciser.
 - Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Par récurrence, bof.
 - L'évènement $(N_k \geq j)$ correspond à «il y a au moins $j$ occurrences de $k$», cela correspond à $\frac{P(n - kj)}{P(n)}$.
 - C'est $n$.
#+END_proof

# ID:7333
#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 384]
Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Revient à $(\ln u)^2 u \lt (1-u)^2$, pour $u\in \interval]{0, 1}[$. En posant $u = 1-h$ et en développant en série, par CSSA, c'est bon.
#+END_proof



# ID:7335
#+begin_exercice [X MP 2023 # 385]
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$.
 - Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$.
 - On lance une piece non truquée. Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$ qui donne l'instant de premiere apparition du motif Face-Face.
 - Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$.
 - Donner un équivalent de ${\bf P}(X=n)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Pas dur.
 - 
 - 
#+END_proof


# ID:7336
#+begin_exercice [X MP 2023 # 386]
Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aléatoire associant à tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites.
 - Calculer ${\bf P}(N=1)$ et ${\bf P}(N=n)$.
 - s Donner une formule simple pour la fonction génératrice de $N$.
 - Donner un équivalent de ${\bf E}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.
 - Donner un équivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - En notant $\om(\sigma)$ son nombre d'orbites, on cherche $G(X) = \sum_{\sigma} X^{\om(\sigma)}$. On trouve $X(X+1)\dots (X+n-1)$.
   On peut le montrer par récurrence, via $c_n(k) = c_{n−1}(k − 1) + (n − 1)c_{n−1}(k)$.
 - Utiliser $G$.
 - Idem.
#+END_proof


# ID:7338
#+begin_exercice [X MP 2023 # 387]
Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aléatoire à valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$.
 - Déterminer ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$.
 - Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicité de $z$ comme valeur propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Le rang est le cardinal de $\{X_1,\dots, X_n\}$.
 - Si $\la$ est valeur propre, non nul, en écrivant $X = \sum x_i e_i$, les $e_i$ sont dans l'image, donc on est une permutation sur les $e_i$ de l'image.

   Les valeurs propres d'une permutation sont les racines de l'unité des longueurs des cycles. Si $\mu_z$ est une racine primitive $k$-ième de l'unité, elle intervient pour chaque cycle de longueur $k$, $2k$, $3k$, etc.

   On connaît l'espérance du nombre de cycles de longueur $k$, etc.
#+END_proof


# ID:7339
#+begin_exercice [X MP 2023 # 388]
Soient $b,n\in{\N}^*$. On considère $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\db{0,b-1}$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in \db{1,n} \mid B_i\gt B_{i+1}\}$.
 - Pour $i\in\db{1,n-1}$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$.
 - Soit $j\in\db{1, n-j-1}$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$.
 - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites à $n$ éléments à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui vérifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - 
#+END_proof


# ID:7340
#+begin_exercice [X MP 2023 # 389]
Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note $s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points $e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note $b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment (ou on dit que deux segments se croisent s'ils ont un point d'intersection qui n'est pas une extrémité).

Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Déterminer $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en donner un équivalent.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Il suffit de compter le nombre de croisements avec le segment $k = 0 (= 2n)$.

Pour $k\in \db{1, 2n-1}$, $s(\sigma, 0)$ et $s(\sigma, k)$ se croisent avec probabilité $\frac{1}{2n}\left(\sum_{\l = 1}^{k-1} \frac{\l - 1}{2n} + \sum_{\l = k+1}^{2n-1}\frac{2n - \l - 1}{2n}\right)$.
#+END_proof


# ID:7341
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 390]
Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : $\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$.
 1. Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et enfin que $p \leq \frac{1}{4}$.
 2. Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $\Phi_X\colon \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$. Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$.
 3. En déduire que $p \leq \frac{1}{4}$ est une condition suffisante.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On regarde les probabilités, jusqu'à $n = 3$.
 2. $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy, c'est-à-dire
    $P(X = k) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \phi_X(\theta) e^{-i k\theta}\d\theta$
 3. Par ailleurs $\phi_X(\theta) = (1 - 2p + 2 p \cos \theta)^n$, donc si $p\leq \frac{1}{4}$, on est toujours positif.
#+END_proof

# ID:7342
#+begin_exercice [X MP 2023 # 391]
Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\db{0,d}$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$.
 - La variable aléatoire $S_n$ est-elle uniformément distribuée sur $\Z/n\Z$?
 - Calculer la loi de $S_n$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Non, cf $d = 1$, c'est une loi binomiale.
 - Fonction génératrice.
#+END_proof


# ID:6712
#+begin_exercice [X MP 2023 # 392]
Soient $d\in\N^*$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,d}$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
 - Soient $Y$ une variable aléatoire a valeurs dans $\Z$, $r\in\db{0,d-1}$, $\omega=e^{2i\pi/n}$.

   Montrer que $\mathbf{P}(Y\equiv r\left[d\right])=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\omega^{kr}}\mathbf{E}\left(\omega^{kY}\right)$.
 - Soit $\db{0,d-1}$. Donner une expression de $\mathbf{P}(S_n\equiv r\left[d\right])$.
 - Déterminer la limite de la suite de terme général $\mathbf{P}(S_n\equiv 0 [d])$.
#+end_exercice

# ID:7343
#+begin_exercice [X MP 2023 # 393]
Soit $n\geq 1$.
 - On se donne deux variables aléatoires indépendantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. Soit $r\in\Q$. Déterminer la probabilité $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit égal a $r$. Donner un équivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$.
 - On se donne quatre variables aléatoires indépendantes $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. On note $p_n$ la probabilité pour que $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ soient parallèles. Montrer que $p_n=O\big(\frac{\ln n}{n^2}\big)$ quand $n\ra+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est la probabilité que $\frac{a_n - b_n}{c_n - d_n} = \frac{p}{q}$, c'est-à-dire $p(c_n - d_n) = q (a_n - b_n)$.

   Il faut que $a_n - b_n$ soit un multiple non nul de $p$,

   $\sum_{k\neq 0} P(a_n - b_n = kp)P(c_n - d_n = kq) = \sum_{k\neq 0} \sum_{i,j=1}^n \frac{1_{i = kp + j}}{n^2} \sum_{u, v} \frac{1_{u = kq + v}}{n^2}$
   On peut supposer $k\gt 0$, quitte à multiplier par $2$. Pour $k=1$ le produit vaut $\frac{(n-1 - p)(n-1-q)}{n^4}$.

   On a donc $\sum_{k\geq 1} \frac{(n-1 - kp) (n-1-kq)}{n^4}$, qu'on peut identifier à $\sum_{k\geq 1} \frac{(n - kp) (n-kq)}{n^4}$.

   C'est $\frac{1}{n^2} \sum_{k\geq 1} \big(1 - \frac{kp}{n}\big)\big(1 - \frac{kq}{n}\big)$, qui est une somme de Riemann, pour la fonction $f\colon x\mapsto (1 - px) (1-qx)$, nulle dès que $\max(qx, px)\geq 1$.

   On trouve $\frac{\max(p,q) + |p-q|}{6 \max(p,q)^2}$, peut-être. Mais le $\Theta(\frac{1}{\max(p,q)})$ est clair.

   En particulier, c'est en $O(\frac{1}{n})$
 - On somme sur les $r$.
   On a $\sum_{r} \frac{1}{(n h(r))^2}$ $= \sum_{k = h(r)} \frac{k}{n^2 k^2}$, d'où le résultat.
#+END_proof


# ID:7344
#+begin_exercice [X MP 2023 # 394]
Soit $a\in[1,2]$.
 - On pose $f_a\colon x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$.
 - Soit $X$ une VAR centrée et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$.
 - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de VAR centrées admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Sur $\R_+$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} - 2 x^{a-1} - 1\big)$, qui est négative, car $a\in [1,2]$, donc $a-1 \in [0,1]$ (marche avec $1$ au lieu de $2$).

   Sur $[-1, 0]$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} + 2 |x|^{a-1} - 1\big)$, qui est positive, car $(1+x)^{a-1}\geq 1 + (a-1) x$, et $(a-1)x + 2 |x|^{a-1} \geq 0$, car la partie négative est $ax$ plus petite que $2|x|$ (marche avec $1$ au lieu de $2$).

   Sur $\interval]{-\i, -1}]$, en posant $x = -1 - y$ ($y\geq 0$) on a $y^a - 2 (1+y)^a  + a + ay$.
   On écrit $(1+y)^a\geq 1 + y^a$, ça donne $a - 1 + ay - (1+y)^a \leq a - 2 \leq 0$.
 - Écrire $E(|c + X|^a) = |c|^a \left(E(\big|1 + \frac{X}{c}\big|^a)\leq |c|^a E\left(|2^a| \left|\frac{X}{c}\right|^a - a \frac{X}{c}\right) + 1\right)$
 - La récurrence ne passe pas, l'ami, mais conditionner par rapport aux valeurs de la somme $Y = \sum_{i=2}^n X_i$.
#+END_proof

# ID:7345
#+BEGIN_exercice
Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a\colon x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Sur $\R_+$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} - 2 x^{a-1} - 1\big)$, qui est négative, car $a\in [1,2]$, donc $a-1 \in [0,1]$ (marche avec $1$ au lieu de $2$).

   Sur $[-1, 0]$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} + 2 |x|^{a-1} - 1\big)$, qui est positive, car $(1+x)^{a-1}\geq 1 + (a-1) x$, et $(a-1)x + 2 |x|^{a-1} \geq 0$, car la partie négative est $ax$ plus petite que $2|x|$ (marche avec $1$ au lieu de $2$).

   Sur $\interval]{-\i, -1}]$, en posant $x = -1 - y$ ($y\geq 0$) on a $y^a - 2 (1+y)^a  + a + ay$.
#+END_proof


# ID:7346
#+begin_exercice Urne de Polya [X MP 2023 # 395]
Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. À chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle tirée dans l'urne. On note $X_n$ le nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages et $T_n$ l'évènement «tirer une boule jaune au $n$-ième tirage».
 1. s Calculer $P(T_1\mid T_2)$.
 2. Déterminer la loi de $X_n$.
 3. Calculer $P(T_n)$.
 4. Pour $n_1,...,n_p,m_1,...,m_q$ tous distincts, calculer $P(T_{n_1}\cap\dots\cap T_{n_p}\cap\overline{T_{m_1}}\cap \dots\cap \overline{T_{m_q}})$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. $P(X_n = a) = \frac{b}{a+b} \frac{b+1}{a+b+1} \dots \frac{b+n-1}{a+b+(n-1)}$

    $P(X_n = a+1) = n \frac{b}{a+b} \frac{b+1}{a+b+1} \dots \frac{b+n-2}{a+b+(n-2)} \frac{a}{a+b+(n-1)}$.

    En général, $P(X_n = a + k) = {n\choose k} \frac{(a+b-1)!}{(a+b+n-1)!} \frac{(b+n-k-1)}{(b-1)!} \frac{a+k-1!}{(a-1)!}$.
 3. dur dur, $E(X_n)$
 4.
#+END_proof


# ID:7349
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 396]
Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$.
 1. Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un triangle équilatéral.
 2. Déterminer un équivalent de $p_n$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes $1$, et autant de différences entre les deux.

    On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et $B\oplus C$.

    Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints, et cela revient à les choisir.

    On obtient $sum_{k} {n\choose k}{n-k\choose k} {n-2k \choose k}$.
 2. Par exemple, dans le cas plus simple $\sum_k {n\choose k}$, on sait que le poids est aux environs de $k = \frac{n}{2}$, avec de l'ordre de $\sqrt{n}$ autour.

    Pour $\sum_k {n\choose k} {n-k \choose k} = \sum_k \frac{n!}{k! k! (n-2k)!}$, le terme est maximal lorsque $k^2 = (n - 2k)(n-2k -1)$, c'est-à-dire $k\simeq \frac{n}{3}$.

    La RMS remarque que $p_n$, à un facteur près, est égal à l'intégrale double
    $$I_n = \int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \big(1 + e^{i\theta} + e^{i \theta'} + e^{-i(\theta + \theta')}\big)^n \d\theta \d \theta'.$$
    Puis on écrit la fonction intégrée comme $1 - \frac{1}{4}\big(\theta^2 + \theta'^2 + \theta \theta'\big) + o(\theta^2 + \theta'^2)$. On change de variable en $\sqrt{n}$, on fait de la convergence dominée, on diagonalise la forme quadratique (dans une BON).
#+END_proof

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2023 # 397]
On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilité uniforme. Soit $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation aléatoire $\sigma\in\mc{S}_n$.
 - Calculer $\mathbf{P}(X_n=0)$.
 - Déterminer la loi de $X_n$.
 - Étudier la convergence en loi de la suite $(X_n)_{n\in\N^*}$.
 - Calculer les espérance et variance de la variable aléatoire $X_n$.
#+end_exercice

# ID:7347
#+begin_exercice [X MP 2023 # 398]
Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aléatoire où $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$.
 - Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible.
 - Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible et diagonalisable dans $\R$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $M = a I_n + A$. La matrice $A$ est antisymétrique. Les valeurs propres possibles de $A$ sont $0$ les autres valeurs propres sont imaginaire pures (car leur carré est valeur propre négative de $A A^T$).

   Si $a\neq 0$, on est inversible.

   En fait, on a $M M^T = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) I_n$ (quaternion).
 - On ne peut pas être diagonalisable, sauf si on est scalaire, puisque si on était diagonalisable, les valeurs propres seraient $\pm \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$.

   On peut retirer $a$ (supposer $a = 0$), et alors $M^2 = -(b^2 + c^2 + d^2) I_n$.
#+END_proof



# ID:6956
#+begin_exercice [X MP 2023 # 399]
 Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\N$ vérifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in \db{0,n}$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$.
 - Montrer que, si $(i,j)\in\N^2$, $\mathbf{P}(X=i,Y=j)=\mathbf{P}(X=i,X-Y=j)$, puis que $X-Y\sim Y$.
 - Montrer que $\mathbf{P}(Y=0)\gt 0$.
 - On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont indépendantes. Déterminer la loi de $Y$, puis celle de $X$.
#+end_exercice

# ID:7350
#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 400]
 Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aléatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-même telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilité que $F$ soit bijective.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
Quand $X_k$ vaut $2$, le prochain ne doit pas valoir $1$, et quand $X_k$ vaut $3$ le prochain ne doit pas valoir $2$, et celui d'après ne doit pas valoir $1$.

On interdit les pattern 21, 32, et 3*1.

Plutôt, pour un interstice entre $i$ et $i+1$, on regarde le nombre de truc qui lui saute au dessus. S'il y en a $3$, alors cela implique de même pour le prochain interstice. S'il y en a $1$ seul, de même.

S'il y en a $2$, alors ou bien les sauts se croisent, ou il ne se croisent pas, et il peut en être de même pour les interstices d'à côté. Je dirais donc qu'il y a $2^n$ possibilités, plus $2$.

Vérifions : pour $n = 2$. Soit $+1, +1$, soit $+2, + 2$, soit $+3, +3$, soit $+1, +3$, $+3, +1$. Bon ça ne marche pas.

Pour $n = 3$ : $(1, 1, 1)$ (chaque interstice est sautée une fois). $(3, 3, 3)$ (chaque interstice est sautée trois fois). $(2, 2, 2)$ donne tous croisés, et il se trouve que si une interstice est parallèle, les deux autres doivent être croisées. Finalement, $6$ possibilités.

En fait, autour d'une parallèle, on doit être croisé. Le nombre de cercle de $n$ termes $0, 1$ sans paires de $1$ consécutifs est : $F_{n-1} + F_{n-3}$.

Pour $n = 4$, on prédit donc $1 + 1 + 5 + 2 = 9$, ce qui fonctionne.
#+END_proof


# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2023 # 401]
On cherche à collectionner $N$ jouets. À chaque achat, chaque jouet a une probabilité uniforme d'être obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets différents.
 - Calculer l'espérance de $T_N$.
 - Calculer la variance de $T_N$.
 - Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$.
#+end_exercice

# ID:310
#+begin_exercice [X MP 2023 # 402]
Soit $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles centrées.

On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$.
 - Montrer que $\mathbf{E}\left(\left(X_1+\cdots+X_n\right)^4\right)=O(n^2)$.
 - Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la série de terme général $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\gt \eps\right)$?
#+end_exercice

# ID:nil
#+begin_exercice [X MP 2023 # 403]
Soient $x\in\R^{+*}$, $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient $S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$.
 - Montrer que $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)dx=\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n\frac{1}{n!}$.
 - On admet que, pour tout $x\in\R$, $\mathbf{P}(T_n\geq x)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\i}e^{-t^2/2}dt$. Retrouver la formule de Stirling.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est $E(T_n)$.
 - Vide.
#+END_proof



** X PSI                                                              :autre:
*** Algèbre

# ID:7381
#+begin_exercice [X PSI 2023 # 404]
Pour $n\geq 2$ on pose $P_n=(X+1)^n+X^n+1$ et $Q(X)=(X^2+X+1)^2$.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que $Q$ divise $P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 405]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu'il existe une base de $\mc{L}(E)$ formée de projecteurs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 406]
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. Montrer que $f$ possède $n$ valeurs propres distinctes si et seulement s'il existe $v\in E$ tel que $(v,f(v)\cdots,f^{n-1}(v))$ soit libre.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 407]
Trouver $\text{Vect}(\mc{O}_n(\R))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 408]
- Soit $(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$. Montrer que $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$.  - Trouver une condition nécessaire d'égalité lorsque $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$.
#+end_exercice


#+begin_exercice [X PSI 2023 # 409]
Soit $A\in\M_n(\R)$ tel que $A^2\in\mc{S}_n(\R)$.  - A-t-on nécessairement $A\in\mc{S}_n(\R)$?  - Trouver une condition nécessaire supplémentaire pour avoir $A\in\mc{S}_n(\R)$.
#+end_exercice

*** Analyse

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 410]
  Soit $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$. Montrer qu'il existe $(n,m)\in\N^2$ tel que $\sqrt{n}-\sqrt{m}\in]a,b[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 411]
 - Soit $P\in\R_n[X]$ unitaire, avec $n\geq 2$. Montrer que $P$ est scinde dans $\R_n[X]$ si et seulement si $\forall z\in\C$, $|P(z)|\geq|\op{Im}z|^{\deg\ P}$.
 - Montrer que l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ trigonalisables dans $\R$ est un ferme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 412]
 Soit $\alpha\gt 0$. Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que, pour tout $n\in\N$, $a_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(b_n+c_n)$, $b_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+c_n)$, $c_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+b_n)$. Étudier leur comportement asymptotique.
#+end_exercice


#+begin_exercice [X PSI 2023 # 413]
Étudier la série $\sum(-1)^n\dfrac{\sin(\ln(n))}{n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 414]
Soit $f:[0,+\i[\to[0,+\i[$ de classe $C^1$, strictement croissante avec $\lim_{x\to+\i}f(x)=+\i$. Montrer que $\sum\dfrac{1}{f(n)}$ converge si et seulement si $\sum\dfrac{f^{-1}(n)}{n^2}$ converge.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
écrit quelque part…

Comparaison série intégrale, puis changement de variable.
#+END_proof

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 415]
Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall(x,y)\in\R^2,f(xy)=f(x)f(y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 416]
Pour $a\in]0,1[$ et $n\in\N$, on pose $I_n(a)=\int_0^1\dfrac{1}{1+(at)+\cdots+(at)^n}dt$.

Déterminer $\lim_{n\to+\i}\left(\lim_{a\to 1}I_n(a)\right)$ et $\lim_{a\to 1}\left(\lim_{n\to+\i}I_n(a)\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 417]
Soient $a,b,c$ trois réels strictement positifs.

On pose $E=\left\{(x,y,z)\in\R^3\ ;\ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left( \dfrac{y}{b}\right)^2+\left(\dfrac{z}{c}\right)^2=1\right\}$. On suppose que $A,B,C$ sont trois points distincts de $E$ tels que le plan tangent a $E$ en $A$ est parallele a $(BC)$, le plan tangent a $E$ en $B$ est parallele a $(CA)$, le plan tangent a $E$ en $C$ est parallele a $(AB)$.

Calculer le volume du parallelepipede engendre par les vecteurs $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$.
#+end_exercice

*** Géométrie

# ID:7382
#+begin_exercice [X PSI 2023 # 418]
Soient $abc$ un vrai triangle du plan complexe, $\alpha$ (resp. $\beta$, resp. $\gamma$) a rotation de centre $a$ (resp. $b$, resp. $c$) et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
 - Montrer que le centre de $\alpha\circ\beta$ appartient à l'intersection des trisectrices du triangle.
 - Montrer que $\alpha^3\circ\beta^3\circ\gamma^3$ est l'identité du plan.
 - Montrer que les points d'intersection des trisectrices forment un triangle équilatéral.
#+end_exercice

*** Probabilités

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 419]
Déterminer la loi d'une variable aléatoire $X$ a valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall(k,\ell)\in(\N^*)^2$, $\mathbf{P}(X\gt k+\ell\,|\,X\gt k)=\mathbf{P}(X\gt \ell)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 420]
Une entreprise qui commercialise des éeufs en chocolat met dans chaque ceuf un jouet. Au total il y a $N$ jouets differents. On suppose qu'a chaque achat d'ceuf la probabilité de tomber sur un jouet donne est identique pour chaque jouet. On note $T_N$ le nombre d'eufs achetes jusqu'a obtenir la collection complete.

Montrer que $\mathbf{E}(T_N)=N\times H_N$ avec $H_N=\sum_{n=1}^N\dfrac{1}{n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 421]
On pose$M=\left(\begin{array}{cccc}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{array}\right)$ avec $a,b,c,d$ des variables aléatoires a valeurs dans $\Z$ telles que $a+1,b+1,c+1,d+1$ suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda_a,\lambda_b,\lambda_c,\lambda_d$. Calculer la probabilité de l'évènement $*M$ est inversible $\Rightarrow$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 422]
On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ indépendantes a valeurs dans $\db{0,n}$ qui suivent la même loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $\db{0,n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2023 # 423]
On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aléatoires indépendants avec remise. On note $N_n$ le nombre de tirages qu'il a fallu pour avoir les $n$ objets differents.
 - Calculer $\mathbf{E}(N_n)$ et $\mathbf{V}(N_n)$.
 - Montrere que $\forall\eps\gt0$, $\lim_{n\to\i}\mathbf{P}\left(\left|\dfrac{N_n}{n\ln(n)}-1\right|\gt  \eps\right)=0$.
#+end_exercice

** X PC                                                               :autre:
*** Algèbre

# ID:7383
#+begin_exercice [X PC 2023 # 424]
Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $m\in\N^*$ et $\eps_1,\ldots,\eps_m\in\{-1,1\}$ tels que $n=\sum_{k=1}^m\eps_kk^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 435]
Soit $A\in\M_n(\C)$ une matrice qui n'est pas une homothetie. On suppose que $M$ est une matrice qui commute avec $PAP^{-1}$ pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $M$ est une homothetie. même question pour $A$ et $M$ matrices réelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 436]
Soit $n\geq 2$. Si $A\in\M_n(\C)$ est nilpotente, déterminer les valeurs possibles du cardinal de l'ensemble $\{B\in\M_n(\C),\ A=B^2\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 437]
Trouver les matrices $A$ de $\M_2\left(\C\right)$ telles que $A^p=A$, ou $p$ est un entier $\geq 2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 438]
Soient $A,B\in\M_n(\C)$. Montrer $A$ et $B$ ont une valeur propre commune si et seulement s'il existe $P\in\M_n(\C)\setminus\{0\}$ telle que $AP=PB$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 439]
Caracteriser les matrices $A\in\M_n(\C)$ telles que l'ensemble des matrices semblables a $A$ engendre l'espace $\M_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 440]
Soit $G$ une partie de $\mathrm{GL}_2(\R)$ qui contient $I_2$ et qui est stable par produit et passage a l'inverse. On note $\mathrm{Vect}(G)$ l'ensemble des combinaisons linéaires d'éléments de $G$. Montrer que $\mathrm{Vect}(G)\neq\M_2(\R)$ si et seulement si une des conditions suivantes est vérifiée :

(i) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est triangulaire supérieure,

(ii) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est de la forme $\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}$ avec $a$ et $b$ dans $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 441]
Soit $A\in\M_n\left(\C\right)$. On note $\mathrm{Sp}\left(A\right)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_r\}$ ou les $\lambda_i$ sont distincts et ou $\lambda_i$ est de multiplicité $m_i\in\N^*$.
 - Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n\left(\C\right)$ telle que $A=PTP^{-1}$ avec

$$T=\!\!\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1I_{m_1}+N_1&*&\cdots&*\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&*\\ 0&\cdots&0&\lambda_rI_{m_r}+N_r\end{array}\right)\text{$$, ou les $N_i$ sont des matrices triangulaires supérieures a diagonale nulle.
 - On suppose que $A$ est inversible et qu'il existe $C\geq 0$ tel que $\forall k\in\Z$, $\forall\left(i,j\right)\in\db{1,n}^2$, $\left\lvert\left[A^k\right]_{i,j}\right\rvert\leq C$. Montrer que $A=QDQ^{-1}$ avec $Q\in\mathrm{GL}_n(\C)$, $D=\mathrm{Diag}\ (d_1,\ldots,d_n)$ ou, pour $i\in\db{1,n}$, $\left\lvert d_i\right\rvert=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 442]
Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AB^2-B^2A=B$. Montrer qu'il existe $p\in\N$ tel que $B^{2p}\neq 0$ et $B^{2p+1}=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 443]
Soient $n\in\N$ impair, $A$ et $B$ dans $\M_n\left(\C\right)$ telles que : $AB+BA=A$.
 - Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre commun.
 - Que dire si $n$ est impair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 444]
Soit $A\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres non nulles distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. - Montrer qu'il existe des nombres complexes $c_{i,j}$, avec $1\leq i\leq n$, $0\leq j\leq n-1$, tels que $\forall k\in\N$, $A^k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}c_{i,j}\lambda_i^kA^j$.
 - Montrer l'unicite des $c_{i,j}$.
 - On suppose de plus $A$ inversible. Montrer que la formule reste vraie si $k\in\Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 445]
Caracteriser les matrices $M\in\M_n(\C)$ qui sont somme de deux matrices diagonalisables de rang 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 446]
Déterminer les entier $n$ tels qu'il existe $A\in\M_n(\Z)$ vérifiant $A^2-A+I_n=0$.

Ind. Commencer par $n\leq 3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 447]
Soit $G=\{M\in\M_2(\Z),\ \det{(M)}=1\}$. On note $\mathrm{ord}(A)=\inf\{n\gt 0,\ A^n=I\}$.
 - Montrer que si $\mathrm{ord}(A)\lt +\i$ alors $\mathrm{ord}(A)$ divise $12$.
 - Soient $A,B\in G$. On suppose que $\mathrm{ord}(A)=\mathrm{ord}(B)\lt +\i$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\Q)$ tel que $PAP^{-1}=B$. Peut-on toujours prendre $P$ dans $G$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 448]
Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que si $\lambda$ est un réel strictement negatif qui est valeur propre de la matrice $A\overline{A}$, alors la dimension du sous-espace propre associe est paire.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 449]
Soit $\alpha\in\R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x\in\R^3,\ \|x\|=1\right\}$ ou $\|\ \|$ designe la norme euclidienne canonique. Montrer l'equivalence entre les propositions suivantes.

(i) $\alpha=2$.

(ii) $\forall n\geq 1$, $\forall\left(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n,c_1,\ldots,c_n\right) \in(S^2)^{3n}$, $\exists p\in S^2$ tel que

$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^{\alpha}=\sum_{i=1}^n \left\|p-b_i\right\|^{\alpha}=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^{\alpha}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 450]
Soit $n$ un entier $\geq 2$. Pour quelles valeurs du réel $\alpha$ existe-t-il $n+1$ vecteurs unitaires $u_0,u_1,\ldots,u_n$ de $\R^n$ vérifiant $\forall(i,j)\in\{0,1,\ldots,n\}^2$, $i\neq j\Rightarrow\left\langle u_i,u_j\right\rangle=\alpha$?

Ind. Considèrer la matrice $A=\left(\left\langle u_i,u_j\right\rangle\right)_{1\leq i,j\leq n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 451]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $n\geq 2$. Montrer que tout endomorphisme de $\R^n$ est somme d'un nombre fini d'isometries.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 452]
 - Est-il vrai que pour tout $n$ et tous $A,B\in\M_n(\R)$, les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables?
 - Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont semblables.
 - Soient $F,G$ des sous-espaces de dimension $m$ de $\R^n$, $p_F$ et $p_G$ les projections orthogonales respectivement sur $F$ et $G$. Montrer que $\text{sp}(p_F\circ p_G)=\text{sp}(p_G\circ p_F)\subset[0,1]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 453]
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symétrique positive non nulle. Montrer qu'il existe $r\in\N^*$ et des réels $b_{i,k}$, avec $1\leq i\leq n$ et $1\leq k\leq r$, tels que $\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$, $a_{i,j}=\sum_{k=1}^rb_{i,k}b_{j,k}$. Quel est la plus petite valeur possible de $r$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 454]
Soit $A=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre est inférieure ou égale a $\frac{1}{2n+1}$.

On pourra montrer que $\forall P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,dt+\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\, d\theta=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 455]
Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ et $A^T$ commutent si et seulement si $AA^TA=A^2A^T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 456]
Soient $A\in\M_{m,n}(\R)$ non nulle, $X\in\R^n$ et $Y\in\R^m$. On munit $\R^n$ et $\R^m$ de leurs normes euclidiennes canoniques. Considérons les assertions :

(i) $\forall Z\in\R^n$, $\|AX-Y\|\leq\|AZ-Y\|$;

(i)' $A^TAX=A^TY$;

(ii) $X$ est de norme minimale pour la propriété (i);

(ii)' $X\perp\mathrm{Ker}\,A^TA$.
 - Montrer que (i) $\Longleftrightarrow$ (i)'.
 - On suppose (i) vérifie. Montrer qu'alors (ii) $\Longleftrightarrow$ (ii)'.
 - Montrer l'unicite de $X$ vérifiant (i) et (ii). Notons $BY$ ce vecteur.
 - Montrer que $B$ est linéaire. Montrer que, pour tout $Y\in\R^m$, $\|BY\|\leq\frac{\|Y\|}{\sqrt{\lambda_1}}$ ou $\lambda_1$ est la plus petite valeur propre non nulle de $A^TA$, et qu'il y a des cas d'égalité non triviaux.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 457]
Donner une condition sur $A=\left(a_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{S}_n\left( \R\right)$ pour que l'application qui a $U=\left(u_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{O}_n\left( \R\right)$ associe $\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}u_{i,j}$ atteigne son maximum en un unique $U$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 458]
Soit $\alpha\in\,]0,1[$.
 - Montrer que l'existence de $c_{\alpha}\in\R$ tel que $\forall\lambda\gt 0$, $c_{\alpha}\!\int_0^{+\i}\frac{t^{-\alpha}}{\lambda+t}dt= \lambda^{-\alpha}$.
 - Soit $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$. On définit : $A^{-\alpha}=c_{\alpha}\!\int_0^{+\i}t^{-\alpha}(A+tI_n)^{-1}dt$. Expliquer le sens de cette expression, montrer que l'intégrale converge et que $\left(A^{-1/2}\right)^2=A^{-1}$.
 - Montrer que si $B-A$ est positive alors $A^{-1/2}-B^{-1/2}$ l'est aussi.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 459]
Soit $f\colon\mc{S}_n(\R)\to\R$ une forme linéaire. Montrer l'equivalence des trois assertions suivantes :

i) $\forall A\in\M_n(\R),\ f\big{(}AA^T\big{)}\geq 0$;

ii) $\exists B\in\mc{S}_n^+(\R),\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)= \mathrm{Tr}(AB)$;

iii) $\exists m\in\N,\ \exists(X_i)_{i\in\db{1\,\colon\,m}}\in \M_{n,1}(\R)^m,\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)=\sum_{i=1}^m \mathrm{Tr}\,\big{(}X_i^TAX_i\big{)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 460]
Sont $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$ et $B\in\mc{A}_n\left(\R\right)$. Montrer que $AB$ est diagonalisable sur $\C$.
#+end_exercice

*** Analyse

#+begin_exercice [X PC 2023 # 461]
Si $I$ est un intervalle de $\R$, on note $|I|$ sa longueur. Montrer qu'il existe une famille $(I_j)_{j\in A}$ d'intervalles de $\R$, non reduits a un point, deux a deux disjoints et tels que

$\Q\subset\bigcup_{j\in A}I_j$ et $\sum_{j\in A}|I_j|=42$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 462]
On pose : $E=\M_n(\R)$ et $F=\big{\{}P\in E,\ P=P^T=P^2\big{\}}$. Soit $(P,Q)\in F^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $f:[0,1]\to F$ continue telle que $f(0)=P$ et $f(1)=Q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 463]
Soit $A\colon\R\to\M_n(\C)$ continue telle que $A(0)=A(1)=I_n$ et $A(s+t)=A(s)A(t)$ pour tous $s,t$.
 - Donner des exemples non triviaux de telles applications.
 - Montrer qu'il existe $P$ inversible et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\Z$ tels que :

$\forall t\in\R$, $A(t)=P\mathrm{diag}(e^{i2\pi\lambda_1t},\ldots,e^{i2\pi\lambda_nt})P^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 464]
Soit $A\in\M_n(\R)$. On définit une suite de matrices par $M_0=A$ et, pour tout $k\in\N$, $M_{k+1}=M_k-M_k^2$. On étudie la convergence éventuelle de $(M_k)_{k\geq 0}$.
 - Étudier le cas ou $A$ admet une valeur propre réelle $\lambda\lt 0$ ou $\lambda\gt 1$.
 - Étudier le cas ou $A$ est nilpotente.
 - Étudier le cas ou $A=\lambda I+N$ avec $N\neq 0$, $N^2=0$ et $0\lt \lambda\lt 1$.
 - Étudier le cas ou $A=\lambda I+N$ avec $N^2\neq 0$, $N^3=0$ et $0\lt \lambda\lt 1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 465]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie inclus dans $C^1(\R,\R)$. On suppose que $E$ est stable par translation, c'est-a-dire que $\forall f\in E,\forall a\in\R,(x\mapsto f(x+a))\in E$. Montrer que $\forall f\in E,f'\in E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 466]
Soit $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie. Soient $p,q\in\mc{L}(E)$ tels que $p^2=p$ et $q^2=q$. On suppose que $\forall x\neq 0$, $\|(p-q)(x)\|\lt \|x\|$.
 - Montrer que $p$ et $q$ ont le même rang.
 - Montrer que $u=pq+(\mathrm{id}-p)(\mathrm{id}-q)$ est inversible et que $p=uqu^{-1}$.
#+end_exercice

# ID:7387
#+begin_exercice [X PC 2023 # 467]
Soit $x\geq 0$. Donner un équivalent de la suite de terme général $u_n=\prod_{i=1}^n(x+i)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Quotienter par $n!$, passer au logarithme, et utiliser $\big|\ln (1+x) - x\big|\leq x^2$.
#+END_proof


#+begin_exercice [X PC 2023 # 468]
Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $\sum_{k=0}^{n-1}|\cos(k)|\geq\frac{4n}{10}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 469]
Soit $c_n$ le nombre de listes $(a_1,\ldots,a_n)$ d'entiers telles que $\{a_1,\ldots,a_n\}=\{1,\ldots,n\}$ et $\forall i\in\{1,\ldots n-1\}$, $a_{i+1}\neq a_i+1$.
 - Montrer que, pour $n\in\N$ avec $n\geq 3$, on a $c_n=(n-1)c_{n-1}+(n-2)c_{n-2}$.
 - Montrer que la suite $\left(\frac{c_n}{n!}\right)$ converge vers une limite non nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 470]
Soit $C=0,1234567891011121314\ldots$ (on écrit les écritures decimales de tous les entiers naturels a la suite). Montrer que $C$ est irrationnel.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 471]
  Soit $a\in\R$. On suppose que $\left(n\left\{an!\right\}\right)_{n\in\N}$ converge ou on note $\left\{x\right\}=x-\left\lfloor x\right\rfloor$ pour $x\in\R$. Montr er que $a\in\Q+\mathsf{e}\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 472]
- On fixe $x\geq 0$. Déterminer un équivalent simple de $u_n=(x+1)\cdots(x+n)$ de la forme $C(x)v_n(x)$ ou $C(x)$ est une constante qu'on ne cherchera pas a calculer et $v_n(x)$ est explicite.
 - Calculer $C(k)$ pour $k\in\N$, et la limite de $C(x)$ quand $x\to+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 473]
Soit $u_n$ le maximum de la fonction $x\mapsto(n-x)\ln(x)$ sur $[0,n]$.
 - Trouver un équivalent de $u_n$.
 - Soit $\lambda\in\R$. On pose, pour $n\geq 3$, $v_n=u_n-n\ln(n)+n+n\ln(\ln(n))+\lambda n$. Montr er que $v_n\to+\i$ si $\lambda\geq 0$ et $v_n\to-\i$ sinon.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 474]
Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_0\gt 0$ et $\forall n\geq 0$, $u_{n+1}=u_n-e^{-1/u_n}$.
 - Déterminer la limite de $(u_n)$.
 - Montr er que, pour tout $\alpha\gt 0$ on a $n^{\alpha}u_n\to+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 475]
Déterminer $\lim_{n\to+\i}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$.

Ind. Étudier si $n\geq m$, $a_{m,n}=\sqrt{1+m\sqrt{1+(m+1)\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$, et considèrer $a_{m,n}^2-(m+1)^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 476]
Soit $(u_n)$ une suite bornée. Montr er qu'il y a equivalence entre :

(i) $\frac{1}{n}\sum_{k\lt n}|u_k|\to 0$,

(ii) il existe $A\subset\N$ tel que $\frac{1}{n}\left|A\cap[0,n-1]\right|\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$ et $\lim_{n\notin A}u_n=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 477]
Étudier la convergence de la série de terme général $\left|\sin(2\pi n!e)\right|^{\alpha}$ selon les valeurs du réel $\alpha\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 478]
- Soit $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$ une suite bornée telle que $\lim_{n\to+\i}\sum_{p=0}^{+\i}\frac{u_{n2^p}}{2^p}=1$.

Que peut-on en deduire sur la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$?
 - Soit $(v_n)_{n\in\N}$ une suite réelle bornée. On suppose $\lim_{n\to+\i}\left(v_n-\frac{1}{2}v_{2n}\right)=\frac{1}{2}$. Que dire $\left(v_n\right)_{n\in\N}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 479]
 - Soient $a\in\N^*$ et $n\in\N$. Montrer qu'il existe des entiers $c_j$, avec $0\leq j\leq a-1$, tels que $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{k^n}{k!^a}=\sum_{k=0}^{+\i}\frac{\sum_{j=0}^ {a-1}c_jk^j}{k!^a}$.
 - Montrer que les $c_j$ sont uniques (on traitera d'abord le cas $a=2$).
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 480]
 Soient $a\in]0,1[$ et $n\in\N^*$. Notons $S_n=\sum_{k=0}^{+\i}\big{(}1-(1-a^k)^n\big{)}$.
 - Montrer que la somme est bien définie.
 - Donner un équivalent de $S_n$ lorsque $n\to\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 481]
Soient $f$ et $g\colon\R\to\R$ continues et croissantes. Soit $\lambda\gt 0$. Montrer qu'il existe un unique couple $(u,v)\in\R^2$ tel que $\lambda u+f(u-v)=\lambda v+g(v-u)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 482]
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.
#+end_exercice

# ID:7384
#+begin_exercice [X PC 2023 # 483]
Soit $f\colon [0,1]\mapsto\R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que, pour tout $a\in\R$, $f'+af$ s'annule sur $]0,1[$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
C'est la dérivée de…
#+END_proof


#+begin_exercice [X PC 2023 # 484]
- Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ une fonction $C^{\i}$. Montrer que pour tout $n\gt 0$ et pour tout $x\gt 0$ il existe $c\in]x,x+n[$ tel que $\sum_{k=0}^n\binom{k}{n}(-1)^{n-k}f(x+k)=f^{(n)}(c)$.
 - Soit $\lambda\gt 0$ tel que $n^{\lambda}\in\N$ pour tout $n$. Montrer que $\lambda\in\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 485]
On appelle polynôme trigonometrique réel toute fonction $f\colon\R\to\R$ donnée par une formule $\forall x\in\R,\ f(x)=\sum_{k=-n}^na_ke^{ikx}$ avec $n\in\N$ et des constantes $a_k\in\C$. Trouver tous les couples $(f,g)$ de polynômes trigonometriques réels tels que $f^2+g^2=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 486]
Soient $a,b$ deux réels strictement positifs. Pour $x\gt 0$, on pose $f(x)=\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$.
 - Déterminer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\i$.
 - On prolonge $f$ en $0$ en posant $f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$. La fonction $f$ est-elle continue? de classe $\mc C^1$? de classe $\mc C^2$? de classe $\mc C^{\i}$?
 - Soit $g:x\mapsto f(1/x)$. Trouver une fonction $x\mapsto h(x)$ telle que, pour tout $n\in\N$, $g(x)-h(x)\underset{x\to 0^+}{=}o(x^n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 487]
Soit $f\colon\R\to\R$ continue. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
 - $f$ est croissante,
 -  pour tout intervalle $I\subset\R$ ouvert, pour toute $\phi\in\mc C^{\i}\left(I,\R\right)$, pour tout $x_0\in I$, si $f-\phi$ admet un minimum local en $x_0$, alors $\phi'\left(x_0\right)\geq 0$.
#+end_exercice

# ID:7385
#+begin_exercice [X PC 2023 # 488]
Soit $g\in\mc C^3([0,2],\R)$ telle que $g(0)=g(1)=g(2)=0$.
 - Montrer : $\forall x\in[0,2]$, $\exists c\in[0,2]$, $g(x)=\dfrac{1}{6}x(x-1)(x-2)g^{(3)}(c)$.
 - Montrer que $\int_0^2|g(x)|\ dx\leq\dfrac{1}{12}\|g^{(3)}\|_{\i}$.
 - Montrer que $\left|\int_0^2g(x)\ dx\right|\leq\dfrac{1}{24}\left[\sup \left(g^{(3)}\right)-\inf\left(g^{(3)}\right)\right]$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - 
 - Retirer à $g$ un polynôme de la forme $\la (x-1)(x-2)x$, qui a une intégrale nulle, de sorte que son sup soit égal à l'opposé de son inf.
#+END_proof


#+begin_exercice [X PC 2023 # 489]
 Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$, et $f,g\in\mc C^0([a,b],\R^{+*})$.

On pose $m=\inf\limits_{[a,b]}\dfrac{f}{g}$ et $M=\sup\limits_{[a,b]}\dfrac{f}{g}\cdot$ Montrer que $\int_a^bf^2\int_a^bg^2\leq\dfrac{\left(M+m\right)^2}{4 Mm}\left(\int_a^bfg\right)^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 490]
Soient $ K\colon\left[0,1\right]^2\to\R$ et $f,g\colon\left[0,1\right]\to\R$ continues telles que :

$\forall x\in\left[0,1\right]$, $ f\left(x\right)=\int_0^1K(x,z)g(z)\,dz$ et $ g\left(x\right)=\int_0^1K(x,z)f(z)\,dz$. Montrer que $ f=g$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 491]
Soit $E$ l'espace des fonctions $f\in\mc C^2(\R,\R)$ telles que

$\sup\limits_{x\in\R}\left(1+x^2\right)\bigl{(}\left|f(x)\right|+ \left|f'(x)\right|+\left|f^{''}(x)\right|\bigr{)}\lt +\i$.

Pour $(t,x)\in\R^2$, on définit $A_t(f)(x)=txf(x)+f'(x)$ et $A_t^*(f)(x)=txf(x)-f'(x)$.

Montrer que $\forall t\in\R$, $\forall f\in E$, $\int_{-\i}^{+\i}A_t^*(A_t(f))(x)\,f(x)\,dx\geq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 492]
Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$.
 - Soient $f_1,\dots,f_n\in\R^{[a,b]}$. Montrer que $(f_1,\dots,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $x_1,\dots,x_n\in[a,b]$ tels que la matrice $(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}$ soit inversible.
 - Soit $E=\text{Vect}(f_1,\dots,f_n)$. Montrer que toute limite simple de fonctions de $E$ est encore dans $E$.
 - La convergence est-elle uniforme ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 493]
Posons $A=\Q\cap\left[\,0\,;\,1\,\right]$. Existe-t-il une suite $(f_n)$ de fonctions de $A$ dans $A$, continues sur $A$ et qui converge simplement sur $A$ vers une fonction $f$ qui n'est continue en aucun point de $A$? La convergence peut-elle être uniforme?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 494]
On considère l'ensemble $E$ des applications continues $f\colon\R\mapsto\R$ telles qu'il existe $M\gt 0$ vérifiant $\forall x,y\in\R,\left|f(x+y)-f(x)-f(y)\right|\leq M$.
 - Montrer que $E$ est un espace vectoriel contenant le sous-espace des applications linéaires et celui des applications bornées.
 - Soit $f\in E$. Pour $n\in\N$, on pose $g_n:x\in\R\mapsto 2^{-n}f(2^nx)$. Montrer que la suite $(g_n)$ converge uniformément vers une application linéaire $g$. En déduire que $f$ s'écrit, de facon unique, comme somme d'une application linéaire et d'une application bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 495]
On considère une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ d'applications de $[0,1]$ dans $\R$ qui converge simplement sur $[0,1]$ vers une application continue $f$.
 - On suppose les $f_n$ de classe $C^1$ et de derivées uniformément bornées, c'est-a-dire qu'il existe $C\geq 0$ tel que $\forall n,\ \ \|f_n'\|_{\i}\leq C$. Montrer que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ est uniforme sur $[0,1]$.
 - On suppose maintenant les $f_n$ de classe $C^k$ pour un entier $k\in\N^*$ et de derivées $k$-ièmes uniformément bornées. La convergence de la suite $(f_n)$ est-elle toujours uniforme sur $[0,1]$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 496]
Pour $n\in\N^*$ et $x\in\R^+$, on pose $f_n(x)=\cos\biggl{(}\dfrac{x}{\sqrt{n}}\biggr{)}\,\mathbf{1}_{\left[1,\frac{ \pi\sqrt{n}}{2}\right]}(x)$.
 - Montrer que $(f_n)$ converge simplement vers une fonction $f$ que l'on precisera. - Montrer qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall x\in\R^+,\ \forall n\in\N^*,\ |f_n(x)-f(x)|\leq\frac{C}{\sqrt{n}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 497]
Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions appartenant a $\mc C^3(\R,\R)$ et $C$ une constante réelle positive. On suppose : (i) $\sup_{n\in\N}\|f_n^{(3)}\|_{\i}\leq C$, (ii) $\lim_{n\to+\i}\|f_n\|_{\i}=0$.
 - Montrer que $\lim\|f_n'\|_{\i}=\lim\|f_n^{''}\|_{\i}=0$.
 - Les résultats precedents restent-ils vrais si on ne fait plus l'hypothese (i)?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 498]
On note $E=\mc C^0([0,1],\R)$. Si $f\in E$, on définit la fonction $T(f)$ par $T(f)(0)=f(0)$ et $T(f)(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt$ pour $x\in\,]0,1]$.

On définit par recurrence sur $n\in\N$, $T^{n+1}(f)=T(T^n(f))$.
 - Montrer que $T$ est bien définie comme fonction de $E$ dans lui-meme.
 - Soit $f\in E$. On suppose qu'il existe $\eps\gt 0$ tel que $f(x)=0$ si $x\in[0,\eps]$. Montrer que $T^nf$ converge uniformément vers la fonction nulle quand $n\to+\i$.
 - Étudier le comportement de $(T^n(f))_{n\geq 0}$ quand $n\to+\i$ pour tout $f$ continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 499]
Soit $F:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\left(-1\right)^kx^{2^k}$.
 - Déterminer le domaine de définition de $F$.
 - Trouver une relation entre $F\left(x\right)$ et $F\left(x^2\right)$.

On pose $G:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}x^{4^k}\left(1-x^{4^k}\right)$.
 - Montrer que $G\left(x\right)$ converge pour tout $x\in\,]0,1[$.
 - Trouver une relation entre $F$ et $G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 500]
Soient $\alpha\gt 0$ et, pour $n\in\N^*$, $f_n:x\mapsto\frac{\sin nx}{n^{\alpha}}$. La série $\sum f_n$ converge-t-elle simplement sur $\R$? Pour quels $\alpha$ a-t-on convergence uniforme?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 501]
On pose $g:x\mapsto\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{2x}{n^2-x^2}$.
 - Montrer que $g$ est définie et continue sur $\R\setminus\Z$.
 - Montrer que $g$ est 1-périoddique.
 - Etablir une relation entre $g\left(\frac{x}{2}\right)$, $g\left(\frac{x+1}{2}\right)$ et $g(x)$ des que les termes font sens.
 - En déduire que $\pi\,\mathrm{cotan}(\pi x)=g(x)$ pour tout $x\in\R\setminus\Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 502]
Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs tels que $\sum a_n$ diverge.
 - Montrer que, pour tout intervalle de longueur non nulle $I$, il existe $x\in I$ tel que la série $\sum a_n\cos(nx)$ ne converge pas absolument. On pourra d'abord montrer que, pour tout $a\lt b$ et tout $N$ il existe $M\in\N$ et $x\in[a,b]$ tel que $\sum_{n=0}^Ma_n\cos^2(nx)\gt N$. - Existe-t-il des exemples ou la série converge sur un intervalle non trivial?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 503]
Soit une suite $\left(a_n\right)_{n\in\N}$ telle que $\forall n\in\N$, $a_{n+2}=\frac{n+3}{n+2}a_{n+1}+\frac{3n+7}{n+1}a_n$. Montrer que le rayon de convergence de $\sum a_nz^n$ est strictement positif et trouver un minorant de ce rayon.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 504]
Soit $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ une suite de nombres réels. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=a_0+\cdots+a_n$ et $\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^ns_k$. On considère les assertions :

(i) la suite $(\sigma_n)$ converge,

(ii) $f(x)=\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$, et $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)$ existe (et est finie).

A-t-on (i) $\Longrightarrow$ (ii)? A-t-on (ii) $\Longrightarrow$ (i)?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 505]
Étudier la limite de $f(x)=\sum_{k=0}^{+\i}(-1)^kx^{k!}$ lorsque $x$ tend vers $1^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 506]
On pose, pour $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $\zeta(k)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^k}$.
 - Montrer que, pour tout $x\in]-1,1[$, on a $\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,dt=\sum_{k=1}^{+\i}(-1)^{k+1} \zeta(k+1)x^k$.
 - En déduire la valeur de $S=\sum_{k=1}^{+\i}(\zeta(2k)-\zeta(2k+1))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 507]
- Soit $\lambda\in\R$. Déterminer s'il existe $y\colon\R\to\R$ développable en série entière telle que $xy^{''}+(1-x)y'-\lambda y=0$.
 - On suppose $\lambda=2$. Expliciter les solutions sur $\R^{+*}$ et $\R^{-*}$ (on admet que sur chacun des deux intervalles l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2).
 - Déterminer les solutions sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 508]
Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $I$ un intervalle de $\R$ et $f_1,\ldots,f_n\in\mc C^{n-1}(I,\R)$.

On note $W_n(f_1,\ldots,f_n)=\begin{vmatrix}f_1&f_2&\cdots&f_n\\ f_1'&f_2'&\cdots&f_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ f_1^{(n-1)}&f_2^{(n-1)}&\cdots&f_n^{(n-1)}\end{vmatrix}$.Ind. On admettra que, si $a_0,\ldots,a_{n-2}$ sont des fonctions continues sur $I$, alors l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y^{(n-1)}+a_{n-2}(t)y^{(n-2)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$ est un espace vectoriel de dimension $n-1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 509]
Soient $\lambda\gt 0$ et $x,y\colon\R^+\to\R$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ telles que $x(0)\gt 0$, $y(0)\gt 0$, $x'=-xy$ et $y'=xy-\lambda y$.
 - Montrer que $x$ et $y$ admettent des limites en $+\i$. Ces limites sont-elles nulles?
 - Montrer qu'il existe $K\gt 0$ et $\mu\gt 0$ tels que $y(t)\sim Ke^{-\mu t}$ quand $t\to+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 510]
Déterminer les extrema de $f\colon (x,y)\mapsto 3x^2+2xy+2y^2-x^4$ sur le disque unité fermé et les points en lesquels ils sont atteints.
#+end_exercice

*** Probabilités

#+begin_exercice [X PC 2023 # 511]
On a un de equilibre a $N$ faces numérotées de 1 a $N$, et on effectue une suite de lancers indépendants. Le jeu s'arrete lorsque le résultat du lancer $n+1$ est strictement inférieur a celui du lancer $n$.
 - Calculer la probabilité $\pi_k$ que le jeu s'arrete apres le rang $k$.
 - Montrer que $\pi_k$ tend vers 0 pour $k\to+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 512]
Soient $a\in\R$, $q\geq 3$ et $(X_n)$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et uniformes sur $\left\{\frac{k}{q},\ k=0,\ldots,q-1\right\}$. On définit la suite $(T_n)$ par : $T_0=0$ et $\forall n,T_{n+1}=T_n+a+\sin(2\pi(T_n-X_n))$. Déterminer l'espérance de $T_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 513]
On dispose de $N$ pieces equilibrées. On lance les $N$ pieces de maniere indépendante. On note $X_1$ le nombre de \lt \lt  pile \gt \gt  obtenus. On relance ces $X_1$ pieces et on note $X_2$ le nombre de \lt \lt  pile \gt \gt  obtenus...
 - Calculer la fonction génératrice de $X_2$.
 - Calculer la fonction génératrice de $X_k$, pour $k\geq 3$.
 - Soit $T$ l'instant ou l'on n'a plus de piece. Calculer $\mathbf{E}\left(T\right)$ dans le cas ou $N=4$.
#+end_exercice

# ID:7386
#+begin_exercice [X PC 2023 # 514]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes indépendantes telles que $Y$ prenne un nombre fini de valeurs, et $\mathbf{E}(Y)=0$. On suppose que $|X|$ admet une espérance. Montrer que $\mathbf{E}(|X+Y|)\geq\mathbf{E}(|X|)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Conditionner sur les valeurs de $X$, c'est de la convexité de la valeur absolue.
#+END_proof


#+begin_exercice [X PC 2023 # 515]
On tire une piece $n$ fois indépendamment avec probabilité de faire pile $1/n$. Soit $p_n$ la probabilité d'obtenir un nombre impair de fois pile. Étudier le comportement de $p_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PC 2023 # 516]
 - Montrer que $\forall x\in\R$, $\mathrm{ch}(x)\leq e^{x^2/2}$.
 - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Soit $\lambda\in\R^{+*}$. Montrer que $\mathbf{P}(S_n\geq\lambda)\leq e^{-\lambda^2/2n}$.
#+end_exercice


* Mines                                                               :mines:

** Algèbre

#+begin_exercice [Mines 2023 # 517]
Déterminer les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 518]
Soient $p$ un nombre premier et $C_p$ l'ensemble des $z\in\C$ tels qu'il existe $n\in\N$ vérifiant $z^{p^n}=1$.
 - Montrer que $C_p$ est un sous-groupe infini de $\C^*$.
 - Déterminer les sous-groupes de $C_p$.
#+end_exercice

# ID:5737
#+begin_exercice [Mines 2023 # 519]
Déterminer tous les couples $(m,n)\in\N^2$ vérifiant : $3^m=8+n^2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Nécessairement, $m$ pair, donc cela s'écrit $3^{2m} - n^2 = 8$.
#+END_proof

#+begin_exercice [Mines 2023 # 520]
Soient $p,q$ deux entiers supérieurs ou egaux a $2$.
 - Montrer que si $q^p-1$ est premier, alors $q=2$ et $p$ est premier.
 - On suppose que $p$ est premier et l'on note $k\in\N^*$ un diviseur de $2^p-1$. Montrer que : $k\equiv 1\,[2p]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 521]
Soit $A=\{n\in\N,\ 2^n+1\equiv 0\ [n]\}$.
 - Montrer que $3$ est l'unique nombre premier appartenant a $A$.
 - Montrer que $A$ contient toutes les puissances entières de $3$.
#+end_exercice

# ID:6975
#+begin_exercice [Mines 2023 # 522]
 - Soit $n\gt 6$ un entier. Montrer qu'il existe un couple $(a,b)\in(\N\setminus\{0,1\})^2$ tel que $a+b=n$ et $a\wedge b=1$.
 - Soit $(p_n)$ la suite croissante des nombres premiers. Montrer que, pour tout $k\geq 3$, $p_1\cdots p_k\geq p_{k+1}+p_{k+2}$. Ind. Utiliser la premiere question avec $n=p_1\cdots p_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 523]
On écrit $n\in\N$ en base $p\in\mc{P}:n=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_kp^k$ et l'on pose $S_p(n)=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_k$.
 - Soit $k\in\db{0,n}$. Montrer que : $v_p{n\choose k}=\frac{S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n)}{p-1}$.
 - Exprimer $v_p{n\choose k}$ en fonction des retenues dans l'addition de $n-k$ et $k$ en base $p$.
 - Est-ce que $7$ divise ${1000\choose 500}$?
 - Montrer que $2$ divise ${2n\choose n}$. Étudier la divisibilité par $4$ pour $n\geq 2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 524]
Soient $G$ un groupe et $k\in\N$.

On suppose que : $\forall i\in\db{k,k+2},\forall(a,b)\in G^2,(ab)^i=a^ib^i$. Montrer que $G$ est abelien.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 525]
Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique. Trouver un contre-exemple dans le cas ou $G$ n'est pas commutatif.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 526]
 - Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Montrer que $H$ est cyclique d'ordre divisant $n$. Soit $d$ un diviseur de $n$. Montrer qu'il existe un unique sous-groupe de $G$ d'ordre $d$.
 - On note $\phi$ l'indicatrice d'Euler. Soient $n\in\N^*$ et $D(n)$ l'ensemble des diviseurs positifs de $n$. Montrer l'égalité $n=\sum_{d\in\mc{D}(n)}\phi(d)$.
 - Montrer que si $p$, $q\in\N^*$ sont premiers entre eux, alors $\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $\phi(n)$ en fonction de la decomposition en facteurs premiers de $n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 527]
- Soit $a\in\R$. Montrer que $a\Z=\{ax,\,x\in\Z\}$ est un sous-groupe de $(\R,+)$.
 - Soit $G$ un sous-groupe de $(\R,+)$ non reduit a $\{0\}$.
 - Montrer que $a=\inf\left(G\cap\R^{+*}\right)$ existe.
 -  On suppose $a\neq 0$. Montrer que $G=a\Z$.
 -  On suppose $a=0$. Montrer que $G$ est dense dans $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 528]
Soit $p$ un nombre premier impair.
 - Dénombrer les carrés de $\mathbb{F}_p$.
 - Montrer que $-1$ est un carré de $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p\equiv 1 [4]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 529]
Soient $A$ un anneau commutatif integre et $(a_0,\ldots,a_n)$ une famille non nulle d'éléments de $A$. Montrer que l'équation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ admet au plus $n$ solutions dans $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 530]
On pose $\Z[i]=\{a+ib,\ (a,b)\in\Z^2\}$.

Montrer que $\Z[i]$ est un anneau integre et déterminer ses inversibles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 531]
en Soit $A$ un anneau commutatif.

Si $I$ est un ideal de $A$, on note $R(I)=\{x\in A\ ;\ \exists n\in\N,\ x^n\in I\}$.
 - Montrer que $R(I)$ est un ideal de $A$ contenant $I$.
 - Soient $I$ et $J$ deux idéaux de $A$. Montrer :

$R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ ; $R(I)+R(J)\subset R(I+J)$.
 - Pour cette question, $A=\Z$. Montrer que l'ensemble des entiers naturels non nuls tels que $R(n\Z)=n\Z$ est l'ensemble des entiers naturels non nuls dont la decomposition primaire ne comporte aucun facteur premier d'exposant au moins égal a 2.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 532]
Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de même module tels que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $\left|\sum_{k=1}^nz_k\right|=\left|\sum_{k=1}^nz_k-z_i\right|$. Calculer $\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 533]
- Montrer qu'il existe une unique suite $(P_n)$ de polynômes a coefficients dans $\Z$ vérifiant : $\forall n\in\N,\forall x\in\R^*,P_n\left(x+\frac{1}{x} \right)=x^n+\frac{1}{x^n}$.
 - Soit $a\in\Q$ tel que $\cos(a\pi)\in\Q$. Montrer que : $2\cos(a\pi)\in\Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 534]
- Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n\in\R[X]$ tel que $\forall\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[},\ \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin^{2n+1}( \theta)}=P_n(\text{cotan}^2\theta)$.
 - Déterminer les racines de $P_n$ et calculer leur somme.
 - Montrer que, pour $\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$, $\text{cotan}^2\theta\lt \frac{1}{\theta^2}\lt \text{cotan}^2\theta+1$.
 - Déduire de ce qui precede la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 535]
Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer qu'il existe $k\in\db{0,n}$ tel que $|P(k)|\geq\frac{n!}{2^n}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Interpolation de Lagrange.
#+END_proof

#+begin_exercice [Mines 2023 # 536]
Soit $P\in\C[X]$.
 - À quelle condition $P$ réalise-t-il une surjection de $\C$ sur $\C\,?$
 - À quelle condition $P$ réalise-t-il une surjection de $\R$ sur $\R\,?$
 - À quelle condition $P$ réalise-t-il une surjection de $\Q$ sur $\Q\,?$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 537]
On pose $B_0=1$ et pour tout $k\in\N^*$, $B_k=\frac{1}{k!}X(X-1)...(X-k+1)$.
 - Montrer que pour tout $N\in\N$, la famille $(B_0,...,B_N)$ est une base de $\R_N[X]$.
 - Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $P(\N)\subset\Z$ alors $P(\Z)\subset\Z$.
 - Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $\exp(2i\pi P(n))\xrightarrow[n\to+\i]{}1$ alors $P(\Z)\subset\Z$.
 - Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $P(n)-\lfloor P(n)\rfloor\xrightarrow[n\to+\i]{}1$ alors $P(\Z)\subset\Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 538]
Soient $n\in\N^*$ et $k\in\db{0,n-1}$. Soit $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in\C[X]$ polynôme de degré $n$ tel que $(X-1)^k|P$. On note $\mu(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. On veut montrer que $\mu(P)\geq k+1$. On raisonne par l'absurde et on pose $A=\{i\in\db{0,n},\ a_i\neq 0\}$.
 - On pose $P_0=1$ et $P_s=\prod_{j=0}^{s-1}(X-j)$ pour $s\in\N^*$.

Montrer que $\forall s\in\db{0,k-1},\ P^{(s)}(1)=\sum_{i\in A}a_iP_s(i)$.
 - En déduire que $\forall i\in A$, $a_i=0$, et conclure.
 - L'inégalité démontrée est-elle optimale?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 539]
- Soit $P\in\R[X]$ simplement scinde sur $\R$ et non constant. Montrer que, si $\lambda\in\R$, $P'-\lambda P$ est simplement scinde sur $\R$.
 - Le résultat de la question précédente s'etend-il a $P^{''}-\lambda P\,?$ Comment le généraliser?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 540]
- Soit $P$ un polynôme irreductible dans $\Q[X]$. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples.
 - Soient $k\in\N^*$, $P\in\Q[X]$ non constant avec $\deg(P)\leq 2k-1$, $\alpha\in\C$ une racine de $P$ de multiplicité $k$. Montrer que $\alpha$ est rationnel.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 541]
 Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ avec : $a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n\gt 0$.
 - Montrer que les racines complexes de $P$ sont de module supérieur ou égal a $1$.
 - Soit $z\in\C$ tel que $P(z)=0$. Montrer $\min_{k\in[0,n-1]}\frac{a_k}{a_{k+1}}\leq|z|\leq\max_{k\in[0,n-1] }\frac{a_k}{a_{k+1}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 542]
- Soit $P\in\R[X]$ de degré $n\geq 1$. Soit $x\in\R$. On considère la suite $\left(P^{(k)}(x)\right)_{k\in[0,n]}$.

On note $v(x)$ le nombre de changements de signe stricts :

Soit $a\lt b$ tel que $P(a)P(b)\neq 0$. Montrer que si l'on note $\mu(a,b)$ le nombre de racines comptées avec multiplicité sur $[a,b]$ de $P$ comptées avec multiplicité, alors :

$\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $\mu(a,b)\equiv v(a)-v(b) [2]$.
 - Soit $P=a_0+\cdots+a_nX^n\in\R[X]$ non constant. On pose $V(P)$ le nombre de changements de signe stricts de la suite $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ et $\mu(P)$ le nombre de racines strictement positives comptées avec multiplicité. Montrer que $\mu(P)\leq V(P)$ et $\mu(P)\equiv V(P)[2]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 543]
- Soit $P\in\C[X]\setminus\{0\}$. Decomposer $P'/P$ en éléments simples.
 - On note $a_1,...,a_n$ les racines de $P$. Soit $a$ une racine de $P'$. Montrer qu'il existe des réels positifs $t_1,...,t_n$ tels que $t_1+\cdots+t_n=1$ et $t_1a_1+\cdots+t_na_n=a$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 544]
Soit $P\in\R[X]$ un polynôme de degré $n\geq 2$, ayant $n$ racines réelles distinctes et non nulles $a_1\lt ...\lt a_n$. Calculer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(a_i)}$ et $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_iP'(a_i)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 545]
Soit $P\in\C[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$. On note $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ses racines comptées avec multiplicité. On suppose que $P$ est a coefficients entiers.

Montrer que, pour tout $q\in\N^*$, $P_q=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^q)$ est a coefficients entiers.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 546]
Soit $\mathbb{K}=\Q+\sqrt{2}\Q+\sqrt{3}\Q+\sqrt{6}\Q$. Montrer que $\mathbb{K}$ est un $\Q$-sous-espace vectoriel de $\R$ et que $(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ est une base de $\mathbb{K}$.
#+end_exercice

# ID:7528
#+begin_exercice [Mines 2023 # 547]
Quelle est la dimension du $\Q$-sous-espace de $\R$ engendré par $\mathbb{U}_5$?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $1$, on a $\cos \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}\big(\sqrt{5} - 1\big)$, ce que l'on trouve ou bien en écrivant $\cos (2\theta) = \cos (3\theta)$ et en linéarisant, ou bien en écrivant $\cos \frac{2\pi}{5} = z + z^{-1}$. Comme $1 + z + \dots + z^4 = 0$, on peut trouver une équation quadratique vérifiée par $\cos \theta$.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 548]
Soient $x,y,z$ des rationnels non nuls. Montrer que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}x&y&z\\ 2y&z&2x\\ z&x&2y\end{array}\right)$ est inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 549]
 Soient $x,y\in\R$ et $D=\begin{vmatrix}1&0&1&0&0\\ x&1&y&1&0\\ x^2&2x&y^2&2y&2\\ x^3&3x^2&y^3&3y^2&6y\\ x^4&4x^3&y^4&4y^3&12y^2\end{vmatrix}$. Montrer que $D=0$ si et seulement si $x=y$.
#+end_exercice

# ID:7529
#+begin_exercice [Mines 2023 # 550]
Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ dont on note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes. Soit $B$ la matrice dont les colonnes sont $C'_1,\ldots,C'_n$ avec : $C'_j=\sum_{i\neq j}C_i$. Déterminer $\det B$ en fonction de $\det A$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Depuis $C'$, on retire chaque colonne à la précédente, on obtient
 $C_2-C_1, C_3-C_2, \dots,C_n - C_{n-1}, \sum_{i\neq n} C_i$. En ajoutant des premières à la dernière, on obtient $(n-1)C_n$ comme dernière colonne.

 Par ailleurs, à partir de $(C_1,\dots, C_n)$, $(-C_1, -C_2,\dots, -C_n)$, puis $(C_2 - C_1, C_3 - C_2, \dots, C_n-C_{n-1}, -C_n)$, puis
#+END_proof

#+begin_exercice [Mines 2023 # 551]
- Soient $p\in\N^*$, $a_1,\ldots,a_p\in\R$ non tous nuls et $b_1,\ldots,b_p\in\R$ avec $b_1\lt \cdots\lt b_p$. Montrer que $f_p:x\in\R\mapsto\sum_{i=1}^pa_ie^{b_ix}$ s'annule au plus $p-1$ fois sur $\R$.
 - Soit $n\in\N^*$. Soient $\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_n$ et $\beta_1\lt \cdots\lt \beta_n$ des réels. Montrer que : $\det\big{(}e^{\alpha_i\beta_j}\big{)}_{1\leq i,j\leq n}\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 552]
Soit $f\in\mc{L}(E)$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que $\op{rg}f=\op{rg}f^2$ si et seulement si $E=\op{Ker}f\oplus\op{Im}f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 553]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$.
 - Montrer l'equivalence entre les trois propriétés suivantes :
   + $\op{Im}(u)=\op{Im}(u^2)$
   + $\op{Ker}(u)=\op{Ker}(u^2)$
   + $E=\op{Im}(u)\oplus\op{Ker}(u)$.
 - Donner des exemples d'endomorphismes vérifiant ces propriétés.
 - L'equivalence est-elle vraie en dimension infinie? Montrer que $(i)$ et $(ii)$ equivaut a $(iii)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 554]
Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que $h\in\mc{L}(E)$ est une transvection s'il existe $\phi\in\mc{L}(E,\mathbb{K})$ non nulle et $a\in E$ non nul tels que : $\forall x\in E$, $h(x)=x+\phi(x)a$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que $\op{rg}(u-\op{id})=1$ et $(u-\op{id})^2=0$. Montrer que $u$ est une transvection. La réciproque est-elle vraie?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 555]
Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semblables a $A$ appartiennent au commutant de $M$. Déterminer $M$. même question dans $\M_n(\C)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $A$ admet un espace caractéristique non trivial, $M$ stabilise tous les espaces qui ont la même dimension, ce qui implique, par intersections judicieuses, que $M$ stabilise toutes les droites.
#+END_proof


# ID:7010
#+begin_exercice [Mines 2023 # 556]                                             :sup:
Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non nécessairement distinctes) du polynôme $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$.

Calculer, pour $n\in\N^*$, le déterminant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Il suffit de calculer les trois premières valeurs, $N_0,N_1,N_2$, puis ils vérifient une récurrence d'ordre $2$.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 557]
Soit $n\in\N^*$. Calculer $\det((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n})$.

Ind. On rappelle que, pour $N\in\N^*$, $N=\sum_{d|N}\phi(d)$ ou $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 558]
Soient $K_1$,..., $K_n$ des segments non triviaux disjoints.
 - Montrer que, si $P\in\R_{n-1}[X]$ vérifie $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$, alors $P=0$. - Montrer qu'il existe $P\in\R_n[X]$ non nul tel que $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 559]
 - Déterminer le rang de $\,\text{Com}(A)$ en fonction du rang de $A$.
 - Calculer $\,\text{Com}\,\left(\text{Com}(A)\right)$ lorsque $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$.
 - Montrer que si $X$ est un vecteur propre de $A$ associé à une valeur propre non nulle, alors $X$ est un vecteur propre de $(\text{Com}(A))^T$.
#+end_exercice


#+begin_exercice [Mines 2023 # 560]
Soit $n\in\N^*$. Soit $D$ l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\mathbb{K})$ telles que $m_{i,j}=0$ si $i$ et $j$ sont de parites differentes.
 - Montrer que $D$ est une sous-algèbre de $\M_n(\mathbb{K})$.
 - Soit $M\in D\cap\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $\,\text{Com}(M)\in D$.
 - Traiter le cas ou $M$ n'est pas inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 561]
Trouver les solutions dans $\M_2(\R)$ de $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 562]
Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AB=0$.

Montrer $\forall k\geq 1$, $\mathrm{tr}(A^k)+\mathrm{tr}(B^k)=\mathrm{tr}\left((A+B)^k\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 563]
- Soit $f\in\mc{L}\left(\M_n(\mathbb{K}),\mathbb{K}\right)$ vérifiant : $\forall(A,B)\in\M_n(\mathbb{K})^2,f(AB)=f(BA)$. Montrer que $f$ est proportionnelle a la trace.
 - Soit $g\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ un endomorphisme d'algèbre. Montrer que $\mathrm{tr}\circ g=\mathrm{tr}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 564]
Soit $f\colon\M_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ non constante telle que : $\forall A,B\in\M_n(\mathbb{K})$, $f(AB)=f(A)f(B)$. Montrer que $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\Longleftrightarrow f(A)\neq 0$.
#+end_exercice

# ID:7516
#+begin_exercice [Mines 2023 # 565]
Soient $A,B$ dans $\M_n(\R)$. Montrer que $\mathrm{Ker}\,A=\mathrm{Ker}\,B$ si et seulement s'il existe $P$ inversible telle que $B=PA$.
#+end_exercice

# ID:7517
#+begin_exercice [Mines 2023 # 566]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer l'equivalence entre :
 + $u^2=0$ et $\exists v\in\mc{L}(E),\,u\circ v+v\circ u=\op{id}$
 + $\op{Im} u=\op{Ker} u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 567]
Soient $A=\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $N=A-I_n$.

Soit $(E)$ l'équation matricielle $X^2=A$.
 - Quelles sont les matrices qui commutent avec $N$? - Montrer que les solutions de $(E)$ sont de la forme $X=\pm\begin{pmatrix}1&a_1&\cdots&a_{n-1}\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a_1\\ 0&\cdots&0&1\end{pmatrix}$.

Montrer qu'il y a au plus deux solutions.
 - Rappeler le développement limite a l'ordre $n$ de $x\mapsto\sqrt{1+x}$. Résoudre $(E)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 568]
Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente.
 - Calculer $\det(A+I_n)$.
 - Soit $M\in\M_n(\C)$ telle que $AM=MA$. Calculer $\det(A+M)$. On commencera par le cas ou $M\in\mathrm{GL}_n(\C)$.
 - Le résultat est-il toujours vrai si $AM\neq MA$?
#+end_exercice

# ID:7126
#+begin_exercice [Mines 2023 # 569]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(u,v)\in\mc{L}(E)^2$.
 - Montrer que $|\op{rg}(u)-\op{rg}(v)|\leq\op{rg}(u+v) \leq\op{rg}(u)+\op{rg}(v)$.
 - Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $G$ et $H$ deux supplémentaires de $F$. On note $p$ (resp. $q$) la projection sur $F$ (sur $H$) parallélément à $G$ (à $F$). Montrer que $\op{rg}(p+q)=\op{rg}p+\op{rg}q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 570]
Déterminer les parties $G$ de $\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ soit un groupe multiplicatif et $G$ ne soit pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 571]
Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $\sum_{M\in G}\text{Tr}(M)$ est un entier divisible par le cardinal de $G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 572]
- Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ tel que $\sum_{g\in G}\op{tr}g=0$. Montrer que $\sum_{g\in G}g=0$.
 - Soient $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$ stable par tous les éléments de $G$. Montrer que $V$ admet un supplémentaire stable par tous les éléments de $G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 573]
Déterminer les idéaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes additifs stables par multiplication a gauche et a droite par n'importe quel élément de $\M_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 574]
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $f$ et $g$ deux éléments de $\mc{L}(E)$ tels que $fg-gf=\text{id}_E$.
 - Montrer que $E$ est de dimension infinie ou nulle.
 - Montrer que $f$ n'est pas nilpotent.
 - Donner un exemple de triplet $(E,f,g)$ vérifiant les conditions précédentes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 575]
Soit $A\in\M_n(\R)$.
 - Montrer que $|\det A|\leq\prod_{i=1}^n\Big{(}\sum_{j=1}^n|A_{i,j}|\Big{)}$.
 - Lorsque $\det A\neq 0$, étudier le cas d'égalité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 576]
 Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une partie $S$ de $\mc{L}(E)$ est dite dense si, pour tout $n\geq 1$, toute famille $(b_1,\ldots,b_n)$ de vecteurs de $E$ et toute famille libre $(a_1,\ldots,a_n)$ de vecteurs de $E$, il existe $f\in S$ tel que $f(a_i)=b_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$.
 - Quelles sont les parties denses de $\mc{L}(E)$ si $E$ est de dimension finie?
 - Dans cette question, on suppose que $E$ n'est pas de dimension finie.
 - Montrer que $\{f\in\mc{L}(E),\ \mathrm{rg}\,f\lt +\i\}$ est dense dans $\mc{L}(E)$.
 -  même question avec $\{f\in\mc{L}(E);\ \mathrm{rg}\,f$ est fini et pair$\}$.
 -  Si $S$ est dense dans $\mc{L}(E)$, déterminer $\{g\in\mc{L}(E)\ ;\forall f\in S,\ fg=gf\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 577]
Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ vérifiant : $\forall(i,j,k,\ell)\in\db{1,n}^4,M_{i,j}M_{k,\ell}= \delta_{j,k}M_{i,\ell}$.
 - Montrer que $\mathrm{Im}\,M_{i,j}$ est indépendante de $j$. On la notera $F_i$.
 - Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^nF_i$.
 - En déduire $\dim F_i$.
 - Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,M_{i,j}=PE_{i,j}P^{-1}$.
 - Expliciter les automorphismes de l'algèbre $\M_n(\mathbb{K})$.
#+end_exercice

# ID:7551
#+begin_exercice [Mines 2023 # 578]
Soit $U$ une partie de $\M_n(\C)$ non vide, finie et stable par produit. Montrer qu'il existe $M\in U$ tel que $\mathrm{tr}\,M\in\{0,\ldots,n\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 579]
Pour tout $x\in\R$, on pose $A_x=\begin{pmatrix}0&x\\ x&0\end{pmatrix}$. Déterminer la structure de l'ensemble : $\{\exp(A_x),\ x\in\R\}$ et expliciter $\exp(A_x)$ pour tout $x\in\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 580]
Soit $M\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec $M$ est $\text{Vect}(I_n,M,\ldots,M^{n-1})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 581]
Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $u^n=\mathrm{id}$. Pour $b\in E$ et $\lambda\in\R$, résoudre $x+\lambda u(x)=b$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 582]
Soit $Z=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\ \vdots&&\vdots\\ 1&\cdots&1\end{pmatrix}\in\M_n(\C)$. Calculer $\chi_{Z^2}$. La matrice $Z$ est-elle diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 583]
Soient $n\in\N^*$, $U=(u_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},\ V=(v_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}\in\M_n(\R)$ ou $u_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i\leq n-1$, les autres coefficients étant nuls, $v_{i,j}=1$ si $j\gt i$, les autres coefficients étant nuls.
 - Calculer le polynôme minimal de $U$.
 - Montrer que $U$ et $V$ sont semblables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 584]
 Soient $a_1\lt ...\lt a_n$ des réels et $M=\begin{pmatrix}a_1+1&1&\dots&1\\ 1&a_2+1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\dots&1&a_n+1\end{pmatrix}$.
 - Déterminer le polynôme caractéristique de $M$.
 - Montrer que $M$ est diagonalisable et que ses espaces propres sont des droites.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 585]
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$, $a,b\in\R$ et $P=X^2+aX+b$. On suppose que $P$ est irréductible sur $\R$ et annulateur de $u$.
 - Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Montrer que $F_x=\op{Vect}(x,u(x))$ est un plan stable par $u$.
 - Soient $F$ un sous-espace vectoriel stable par $u$ et $x\in E\setminus F$. Montrer que $F\cap F_x=\{0\}$.
 - Montrer que $u$ est diagonalisable par blocs identiques de taille $2\times 2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 586]
Écrire l'ensemble des matrices symétriques de $\M_2(\C)$ non diagonalisables comme reunion de deux plans vectoriels prives de leur droite d'intersection.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 587]
Soient $a,b$ dans $\R^*$ et $A$ la matrice de taille $2n$ dont la diagonale contient des $a$, l'anti-diagonale des $b$ et les autres coefficients sont nuls.
 - La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Déterminer ses éléments propres.
 - À quelle condition $A$ est-elle inversible?
 - Calculer $A^k$ pour $k\in\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 588]
Soient $A=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 1&0&0&&\vdots\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&0&1\\ 1&\ddots&&&0\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$ dans $\M_n(\R)$.
 - Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles et preciser le sous-groupe $G$ de $\op{GL}_n(\R)$ engendre par ces matrices.
 - Dans le cas $n=3$, preciser les matrices de $G$ qui sont diagonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 589]
Soit $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $\R[X]$ défini par

$\forall P\in\R[X],\ u(P)=(X^2-1)P^{''}+4XP'$.
 - Montrer que le spectre réel de $u$ est l'ensemble $\{n(n+3),\ n\in\N\}$, et que les espaces propres associes sont des droites vectorielles.
 - Pour $n\in\N$, on note $P_n$ l'unique polynôme unitaire générateur de la droite propre associée a $n(n+3)$. Trouver une relation entre $P_n$, $P_{n-1}$ et $P_{n-2}$ pour $n\geq 2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 590]
Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$.
 - Caracteriser les matrices $A$ telles que $u_A$ soit un automorphisme de $E$.
 - Calculer déterminant et trace de l'endomorphisme $u_A$.
 - Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.
#+end_exercice

# ID:7552
#+begin_exercice [Mines 2023 # 591]
Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$.
 - Déterminer un polynôme de degré $2$ annulateur de $f$.
 - Étudier la diagonalisabilité de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 592]
Soient $(M,N)\in\M_{2n+1}(\C)$. On suppose que $MN=0$ et que $M+M^T$ est inversible.
 - Montrer que $M$ et $N$ ont un vecteur propre commun.
 - Montrer que $N+N^T$ n'est pas inversible.
#+end_exercice


#+begin_exercice [Mines 2023 # 593]
Soient $P\in\M_n(\R)$ une matrice de projection et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto PM-MP$.
 - L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable?
 - Calculer la trace de $f$.
#+end_exercice


#+begin_exercice [Mines 2023 # 594]
 Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$ diagonalisables. Soit $\Delta$ l'endomorphisme de $\M_n(\mathbb{K})$ défini par $\forall M\in\M_n(\mathbb{K})$, $\Delta(M)=AM+MB$. Montrer que $\Delta$ est diagonalisable et preciser ses valeurs propres.
#+end_exercice


#+begin_exercice [Mines 2023 # 595]
Soit $\sigma$ une permutation de $\db{1,n}$. Pour $M\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $p(M)=M'$ avec : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,m'_{i,j}=m_{i,j}$ si $i=\sigma(j)$ et $m'_{i,j}=0$ sinon.
 - Montrer que $p$ est un projecteur. Déterminer son noyau et son image.

Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle. On définit deux applications $\phi$ et $u_A$ par :

$\forall M\in\M_n(\mathbb{K}),\phi(M)=\sum_{k=1}^nm_{\sigma(k),k}$ et $u_A(M)=\phi(M)A+\phi(A)M$.
 - Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $\phi(A)\neq 0$.
 - L'endomorphisme $u_A$ peut-il être un projecteur?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 596]
Soient $E$ un $\R$-espace de dimension $n$, $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que $f\circ g-g\circ f=f$.
 - s Calculer $f\circ g^m - g^m\circ f$.
 - Montrer que $f$ est nilpotent.
 - On suppose que $g$ est diagonalisable et que $\dim(\op{Ker}f)=1$. Déterminer $g$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Via la trace des puissances $k$…
 - 
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 597]
Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$.
 - Montrer que, pour $m\in\N^*$, $AB^m-B^mA=mB^m$.
 - En déduire que $B$ est nilpotente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 598]
Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie.
 - Montrer que deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ qui commutent ont un vecteur propre en commun.
 - Montrer qu'une famille finie $F$ d'endomorphismes de $E$ qui commutent admet une base de trigonalisation commune a ses éléments.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 599]
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$.
 - Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ annulateur de $f$ tel que $0$ soit racine simple de $P$.

Montrer que : $E=\op{Im}f\oplus\op{Ker}f$.

On suppose dans la suite que $\mathbb{K}=\C$ et que $E$ est de dimension $n\in\N^*$.
 - Soit $g\in\mc{L}(E)$ tel que $fg=0$. Montrer que $f$ et $g$ sont cotrigonalisables.
 - Soit $f_1,\dots,f_p\in\mc{L}(E)$ qui commutent. Montrer que $f_1,\dots,f_p$ sont cotrigonalisables.
 - Soient $f_1,\dots,f_n\in\mc{L}(E)$ nilpotents qui commutent. Calculer $f_1\circ\dots\circ f_n$.
#+end_exercice

# ID:7553
#+begin_exercice [Mines 2023 # 600]
Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\forall P\in{\C}[X],\ P(A)$ nilpotent $\Rightarrow P(A)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 601]
Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ avec $B$ diagonalisable. On suppose que $AB^3=B^3A$. Montrer que $A$ et $B$ commutent. Généraliser.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 602]
Quels sont les $n\in{\N}$ tels qu'existe $A\in{\cal M}_n({\R})$ vérifiant $A^3-A^2=I_n$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 603]
Déterminer les entiers $n\geq 1$ tels qu'il existe $f\in{\cal L}({\R}^n)$ vérifiant $f^3+f^2-{\rm id}=0$ et ${\rm tr}\,f\in{\Q}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 604]
Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On pose $f_A:M\in{\cal M}_n({\C})\mapsto AMA^T\in{\cal M}_n({\C})$.
 - Soit $(X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n)\in({\C}^n)^{2n}$. Montrer que $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(Y_1,\ldots,Y_n)$ sont des bases de ${\C}^n$ si et seulement si $\big{(}X_iY_j^T\big{)}_{1\leq i,j\leq n}$ est une base de ${\cal M}_n({\C})$.
 - Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f_A$ est inversible.
 - On suppose $A$ diagonalisable. Montrer que $f_A$ est diagonalisable.
 - Soit $\lambda\in{\C}^*$ une valeur propre de $A$ et $Y$ un vecteur propre associe. Montrer que le sous-espace vectoriel $F=\big{\{}XY^T,\ X\in{\C}^n\big{\}}$ est stable par $f_A$.
 - Montrer que si $f_A$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 605]
Soit $p$ une permutation de $\db{1,n}^2$. On considère l'application $u:{\cal M}_n({\C})\to{\cal M}_n({\C})$ définie par $:u(A)=(A_{p(i,j)})_{(i,j)\in \db{1,n}^2}$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n({\C})$. Est-il diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 606]
- Soient $A,B,C,D\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $CD=DC$.

Montrer que $\det\left(\begin{array}{cc}A&B\\ C&D\end{array}\right)=\det(AD-BC)$.
 - Soient $A\in{\rm GL}_n({\C})$, $B,C\in{\cal M}_n({\C})$ et $\lambda\in{\C}$. Montrer l'equivalence des enonces suivants :

i) $\lambda$ est valeur propre de la matrice $\left(\begin{array}{cc}0&A^{-1}C\\ I_n&A^{-1}B\end{array}\right)$,

ii) il existe $x\in{\C}^n\setminus\{0\}$ tel que la fonction $t\mapsto e^{\lambda t}x$ soit solution de $Ay^{''}-By'-Cy=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 607]
Donner une base de ${\cal M}_n({\R})$ constituée de matrices diagonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 608]
Soient $E$ un ${\C}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in{\cal L}(E)$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable et ${\rm Ker}(f)={\rm Ker}(f^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 609]
Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$.

Montrer que $A^2=A$ si et seulement si ${\rm rg}\,A\leq{\rm tr}\,A$ et ${\rm rg}(I_n-A)\leq{\rm tr}(I_n-A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 610]
Soit $A\in{\cal M}_2({\R})$ telle qu'il existe $n\in{\N}^*$ tel que $A^{2^n}=I_2$.

Montrer que $A^2=I_2$ ou qu'il existe $k\in{\N}^*$ tel que $A^{2^k}=-I_2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 611]
Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de ${\C}^n$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
 + l'endomorphisme $u$ admet $n$ valeurs propres distinctes.
 + la famille $(\op{id}, u, \dots, u^{n-1})$ est libre.
 + il existe $x\in\C^n$ tel que $(x, u(x),\dots, u^{n-1}(x))$ soit libre.
#+end_exercice

#+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 612]
Soit $A\in GL_n(\C)$.
 - Montrer que $A$ est triangulaire supérieure si et seulement si pour tout $k\geq 2$, $A^k$ est triangulaire supérieure.
 - Donner un contre-exemple si $A$ est une matrice non inversible.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 613]
Soit $E$ un $\C$-ev de dimension finie et $u\in\mc L(E)$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si il existe $n\in\N^*$, $\a_1,\dots, \a_n\in\C$ et $v_1,\dots,v_n\in\mc L(E)$ tels que $\forall k\in\db{0,n},\, u^k = \sum_{i=1}^n \a_i^k v_i$.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 614]
Soient $A,B\in\M_n(\R)$. On note $[A,B] = AB - BA$. Soit $C = [A,B]$. On suppose que $[A,C] = O_n$.
 - Montrer que pour tout $k\gt 0$, $\tr C^k = 0$. En déduire que $C$ est nilpotente.
 - Montrer que pour tout $&\gt 0$, $[B,A^p] = -pC A^{p-1}$.
 - On suppose que $A$ est nilpotente. Montrer que $AB$ l'est aussi.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 615]
Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre
 + l'unique valeur propre de $A$ est $1$.
 + $\tr A = \tr A^2 = \dots = \tr A^n = n$
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 616]
 - Soit $D\in\M_n(\C)$. Déterminer l'inverse de $\begin{pmatrix}I_n & D \\ 0 & I_n\end{pmatrix}$.
 - Soient $A,B,C$ des matrices diagonalisable telles que $\op{sp} A \cap \op{sp} B = \emptyset$. Montrer que $\begin{pmatrix}A & C \\ 0 & B\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}A & 0 \\ 0 & B\end{pmatrix}$ sont semblables.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 617]
Soit $A\in\M_n(\C)$. On pose $M_p = \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1} A^k$. Donner une CNS pour que la suite $(M_p)_{p\geq 1}$ soit bornée.
#+END_exercice

# ID:7102
#+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 618]
Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C(A) = \{M\mid AM = MA\}$.
 1. Montrer que $C(A)$ est de dimension $\geq n$.
 2. s Montrer que $C(A) = \K[A]$ si et seulement si $\chi_A = \pi_A$.
 3. s Montrer que $C(A)$ est de dimension $n$ si et seulement si $\chi_A = \pi_A$.
#+END_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Considérer $\phi\colon \mc T_n \ra \mc T_n \quad B\mapsto AB - BA$, après avoir trigonalisé $A$.
 2. Si $\chi_A = \pi_A$, alors on est cyclique : il existe un $x$, et l'application $\phi\colon \mc C(A)\ra E \quad B\mapsto Bx$ est injective.

    Si $\mc C(A)$ est de dimension $n$. Par réduction caractéristique, on peut supposer que $A$ est nilpotente. On peut faire du Jordan (), puis on explicite plus de $n$ matrices qui commutent…

 3. Si $\chi_A = \pi_A$, alors on est cyclique : il existe un $x$, et l'application $\phi\colon \mc C(A)\ra E \quad B\mapsto Bx$ est injective.

    Si $C(A) = \K[A]$, comme il est de dimension $\geq n$, c'est clair.
#+END_proof


#+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 619]
Soit $M\in\M_n(\R)$ possédant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que $C(M) = \vect I_n,\dots, M^{n-1}$.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 620]
Déterminer les $A\in\M_n(\C)$ telles que toute matrice commutant à $A$ soit diagonalisable.
#+END_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 621]
 Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 622]
Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit trigonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 623]
Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\cal M}_n(\C)$ défini par

$\forall T\in{\cal M}_n(\C),\ u(T)=AT-TB$.
 - Soit $\alpha\in\C$ (resp. $\beta\in\C$) une valeur propre de $A$ (resp. $B$). Montrer que $\alpha-\beta$ est valeur propre de $u$.
 - Soient $\lambda\in\C$ une valeur propre de $u$, et $T\in{\cal M}_n(\C)$ un vecteur propre associe.

Montrer que, pour tout polynôme $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$.
 - Montrer qu'il existe $\alpha\in\mbox{Sp}(A)$ et $\beta\in\mbox{Sp}(B)$ telles que $\lambda=\alpha-\beta$.
 - En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $T\in{\cal M}_n(\C)$ non nulle telle que $AT=TB$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 624]
- Pour quels $\lambda\in\C$ existe-t-il $(A,B)\in\mbox{GL}_n(\C)^2$ tel que $AB=\lambda BA$?
 - Pour quels $\lambda\in\C$ est-il vrai que, pour tout $(A,B)\in\mbox{GL}_n(\C)^2$ tel que $AB=\lambda BA$, les matrices $A$ et $B$ sont diagonalisables?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 625]
On note $\mathbb{B}$ l'ensemble des suites bornées de $(\C)^{\Z}$.

On s'interesse a l'endomorphisme $T\in{\cal L}(\mathbb{B})$ qui a $(u_n)$ associe $(u_{n+1})$.
 - Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de $T$.
 - Soit $S\subset\mathbb{B}$ un sous-espace de dimension finie de $\mathbb{B}$ stable par $T$. On note $\widetilde{T}$ l'endomorphisme induit par $T$ sur $S$. Montrer que l'on dispose de $(\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\in\C^r$ distincts tels que

$$S=\bigoplus_{i=1}^r\mbox{Ker}\left(\widetilde{T}-\lambda_i\mbox{id}\right)$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 626]
- Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $e^A$ est diagonalisable. Que se passe-t-il sur $\R$?
 - Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Résoudre l'équation $e^M=A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 627]
Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$, $v_1,\ldots,v_{n+2}$ des vecteurs de $E$. Montrer qu'on ne peut avoir : $\forall i\neq j,\ \langle v_i,v_j\rangle\lt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 628]
Soient $(E,\langle\,\rangle)$ un espace euclidien, $c_1,c_2\in E$, $r_1,r_2\in\R^{+*}$.
 - À quelle condition les boules fermées $B_f(c_1,r_1)$ et $B_f(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles?
 - À quelle condition les spheres $S(c_1,r_1)$ et $S(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 629]
Soient $E$ un espace prehilbertien réel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\forall x\in E,\ \|x\|^2=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormalée de $E$. Le résultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus la famille libre, mais seulement constituée de vecteurs non nuls?
#+end_exercice

# ID:6897
#+begin_exercice [Mines 2023 # 630]
Soient $E$ un espace euclidien, $A$ une partie de $E$ et $B=\left\{\left\langle x,y\right\rangle;\;(x,y)\in A^2\right\}$. Montrer que $A$ est fini si et seulement si $B$ est fini.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $B$ est fini, on prend une famille génératrice de $\vect A$.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 631]
Soient $E$ un espace euclidien, $A$ et $B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux. Montrer que les symétries orthogonales par rapport a $A$ et par rapport a $B$ commutent et que leur composée est la symétrie orthogonale par rapport a $(A+B)^{\perp}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 632]
Soient $(E,\left\langle\;,\;\right\rangle)$ un espace euclidien et $a\in E\setminus\{0\}$.

Pour $\lambda\in\R$, soit $\Phi_{\lambda}:x\mapsto x-\lambda\left\langle a,x\right\rangle a$.
 - Déterminer les $\lambda$ pour lesquels $\Phi_{\lambda}$ est inversible.
 - Si $\lambda,\mu\in\R$, calculer $\Phi_{\lambda}\circ\Phi_{\mu}$.
 - Soit $\lambda\in\R$. Déterminer les éléments propres de $\Phi_{\lambda}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 633]
Soit $E$ un espace euclidien.
 - Trouver les endomorphismes $f$ de $E$ tels que :

$\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f(y)\right\rangle=0$.
 - Pour un tel $f$, discuter de la nature de la suite de terme général $u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f^k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 634]
- Enoncer le théorème de reduction pour une matrice de $\text{SO}_3(\R)$.
 - Montrer que deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ qui ont même axe commutent.
 - Montrer que deux demi-tours de $\text{SO}_3(\R)$ d'axes orthogonaux commutent.
 - Montrer que si deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ commutent, alors on est dans l'un des deux cas precedents.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 635]
Soient $a,b,c\in\R$ et $A(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix}$.
 - Montrer que $A(a,b,c)$ est dans $\text{SO}_3(\R)$ si et seulement si $a,b,c$ sont les racines d'un polynôme $X^3-X^2+t$ ou $t$ appartient a un intervalle $I$ que l'on déterminera.
 - Soit $a,b,c\in\R$. Déterminer une droite et un plan stables par $A(a,b,c)$.
 - Si $A(a,b,c)\in\text{SO}_3(\R)$, caracteriser l'endomorphisme canoniquement associe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 636]
On travaille dans l'espace $E=\R[X]$. Pour $P$ et $Q$ dans $E$, on pose

$\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$.
 - Montrer que $\Phi$ est correctement définie et munit l'espace $E$ d'un produit scalaire.
 - Calculer $\Phi(X^p,X^q)$ pour $p,q\in\N$.
 - Calculer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la famille $(1,X,X^2)$.
 - Calculer la distance de $X^3$ a $\R_2[X]$.
#+end_exercice

# ID:7590
#+begin_exercice [Mines 2023 # 637]
Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left(P(x)+x^n\right)^{2} \dx\geq(n!)^2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On cherche le projeté orthogonal de $-X^n$ sur $\R_{n-1}[X]$. On le note $Q = \sum a_i X^i$. On écrit $\langle Q + X^n, X^k \rangle = 0$, on obtient des relations sur les $a_i$, et en les divisant par $i!$, cela donne des racines d'un polynôme $T = X(X+1)\dots (X+n-1) + \sum a_i X(X+1)\dots (X+i)$, ou un truc du genre.

Rmq : $\frac{(-1)^n}{n!} e^x \big(e^{-x} x^n\big)^{(n)}$ est une BON.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 638]
Soit $E=\R_3[X]$.
 - Montrer que l'application $\phi:(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$ définit un produit scalaire sur $E$,
 - Déterminer $\inf_{(a,b,c)\in\R^3}\int_{-1}^1(t^3-at^2-bt-c)^2 dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 639]
Calculer le minimum de la fonction $f:(x,y)\in\R^2\mapsto\int_0^1(t\ln(t)-xt-y)^2dt$.
#+end_exercice

# ID:6898
#+begin_exercice [Mines 2023 # 640]
On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\db{0,n}$. On munit également $\R_n[X]$ du produit scalaire défini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$.
 - Montrer que $(Q_0,\ldots,Q_n)$ est une base orthogonale de $\R_n[X]$.
 - On fixe $k\in\db{0,n}$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des éléments de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est égal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$.
 - Trouver $R_k\in\mc{F}_{k,n}\cap\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}^{\perp}$, et calculer $\int_0^1R_k(t)^2\,dt$. Interpréter le résultat.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On a $\lN Q_n\rN^2 = \frac{(n!)^2}{2n+1}$
 - La direction est $\vect (X^i)_{i\neq k}$.
 - $Q_i$ est de degré $i$, de coefficient dominant $(-1)^i\frac{(2i)!}{i!}$, de coefficient de degré $k$ : ${i \choose k}(-1)^k \frac{(k+i)!}{k!}$.

   Une base de $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$ est $Q_0,\dots,Q_{k-1}$ auquel on rajoute, pour $i\gt k$, les $Q_i - Q_k (-1)^k \frac{k!}{(2k)!} {i\choose k}(-1)^k \frac{(k+i)!}{k!}$. $=Q_i - Q_k {i\choose k} \frac{(k+i)!}{(2k)!}$.

   Plutôt : partir de $P_i = Q_k - (-1)^k \frac{(2k)!}{(k+i)!} \frac{1}{{i\choose k}}$, alors $\langle P_i, P_j\rangle = \lN Q_k\rN^2$. Cela permet de trouver un polynôme $L = \sum \la_i P_i$ tel que $\langle L, P_i\rangle$ soit une constante. Retirer alors un multiple de $Q_k$ à ce polynôme.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 641]
Soient $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites réelles et $D:u\in E\longmapsto (u_{n+1}-u_n)_{n\in\N}$.
 - Vérifier que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? Surjectif?
 - Donner les éléments propres de l'endomorphisme $D$.
 - Soit $F$ l'espace des suites réelles de carré sommable.

Montrer que $F$ est stable par l'endomorphisme $D$.
 - On munit $F$ de son produit scalaire $\langle\,\ \rangle$ usuel.

Décrire l'ensemble $H=\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2},\ u\in F\setminus\{(0)_{n\in \N}\}\right\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 642]
Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$, $p,q\in\mc{L}(E)$ des projecteurs orthogonaux.
 - Vérifier que $\op{Im}p$ est stable par $pq$ et que l'endomorphisme induit est symétrique.
 - Montrer que $\op{Ker}(pq)=\op{Ker}q\oplus(\op{Im}(q)\cap \op{Ker}(p))$.
 - Montrer que $E$ est somme directe orthogonale de $(\op{Im}p+\op{Ker}q)$ et de $(\op{Ker}p\cap\op{Im}q)$.
 - En déduire que $pq$ est diagonalisable.
 - Montrer que le spectre de $pq$ est inclus dans $[0,1]$.
#+end_exercice

# ID:7099
#+begin_exercice [Mines 2023 # 643]
Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$. Montrer que $q\circ p$ est un projecteur si et seulement si $p$ et $q$ commutent.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
On montre que $p$ et $q$ commutent en montrant que l'espace se décompose comme $(\Ker p\cap \Ker q)\oplus (\Ker p \cap \Im q) \oplus \dots$.

Si $q\circ p$ est un projecteur, on a $\lN q\cric p (x)\rN = \lN x\rN$ donc $x\in \Im p$ et $x\in \Im q$. Par ailleurs $\Im (q\circ p) = q(\Im p)$, on en déduit que $\Im p = \big(\Im p\cap \Im q\big) \oplus \big(\Ker q \cap \Im p\big)$.

(Autre argument : on a $\Ker (q\circ p) = \Ker p + (\Im p \cap \Ker q)$, et comme c'est supplémentaire à $\Im p \cap \Im q$, on obtient $\Im p = (\Im p \cap \Ker q) + (\Im p \cap \Im q)$).

Par ailleurs, en prenant la transposée, $p\circ q$ est aussi un projecteur, donc $\Im q = (\Im q \cap \Ker p) + (\Im p \cap \Im q)$.

On a alors une description de $\Im p + \Im q$, comme somme de trois espaces, et son orthogonal est $\Ker p\cap \Ker q$. Donc l'espace est la somme des quatre, d'où la commutativité.
#+END_proof



#+begin_exercice [Mines 2023 # 644]
On munit $E=\R^n$ munit du produit scalaire usuel. Soit $A\in\M_n(\R)$.
 - Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $A$. Montrer que $F^{\perp}$ est stable par $A^T$.
 - On suppose $A\in\M_3(\R)$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que $A$ est diagonalisable ou $A$ est semblable a une matrice de la forme $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&\alpha&-\beta\\ 0&\beta&\alpha\end{pmatrix}$ avec $\beta\neq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 645]
 - Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\cal O}_n(\R)$?
 - Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\rm SO}_n(\R)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 646]
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $4$. Trouver les endomorphismes $f\neq 0$ de $E$ tels que ${\rm tr}(f)=0,\ f+f^4=0$ et $f^*=-f^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 647]
Soit $M\in{\cal O}_n(\R)$. Pour $k\in\N^*$, on pose $C_k=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^kM^j$. Étudier la convergence de la suite $(C_k)_{k\in\N}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 648]
Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice définie par blocs : $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $B$ est inversible de taille $p$. Montrer que $p$ est pair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 649]
Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux antisymétriques de taille au plus $2\times 2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 650]
Soient $A,M,N\in{\cal M}_n(\R)$.
 - Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont diagonalisables.
 - Montrer que $MN$ et $NM$ ont les mêmes valeurs propres et que, pour toute valeur propre non nulle, les sous-espaces propres associes sont de même dimension.
 - Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités.
 - Montrer qu'il existe $U\in{\cal O}_n(\R)$ telle que : $A^TA=UAA^TU^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 651]
Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$ telles que $A^TA=B^TB$. Montrer qu'il existe $Q\in{\cal O}_n(\R)$ telle que $B=QA$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 652]
Soit $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $A^2=AA^T$. Montrer que $A\in{\cal S}_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 653]
Soit $M\in{\cal M}_n(\R)$ nilpotente telle que : $M^TM=MM^T$. Déterminer $M^TM$ puis $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 654]
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal S}_n^+(\R)$.
 - Montrer que $\det(A)\geq 0$.
 - Pour $p\in\db{1,n}$, on pose $A_p=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq p}$. Montrer que $\det(A_p)\geq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 655]
Soit $A\in{\cal S}_n(\R)$. On suppose que la suite $(A^k)_{k\geq 1}$ converge vers $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|b_{i,j}|\leq n\sqrt{{\rm rg}\,B}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 656]
Soit $A=(a_{i,j})\in{\cal O}_n(\R)$. Montrer que $\left|\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\right|\leq n\leq\sum_{1 \leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 657]
Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left(\sum_{i=1}^na_{i,i}\right)^2\leq\text{rg}(A)\sum_{i=1}^n\sum_{ j=1}^na_{i,j}^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 658]
Soit $S\in\mc{S}_n^+(\R)$. Calculer $\max\{\text{tr}(OS)\;;\;O\in\mc{O}_n(\R)\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 659]
Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E)$) l'ensemble des endomorphismes antisymétriques (resp. symétriques, orthogonaux) de $E$.
 - Soit $u\in\mc{L}(E)$. Montrer que l'ensemble $T=\{\op{tr}(uv)\,;\,v\in\mc{O}(E)\}$ est majore.
 - Montrer que si $u\in\mc{A}(E)$ alors pour tout $t\in\R$, $\exp(tu)\in\mc{O}(E)$.
 - On suppose que $\sup T$ est atteint en $v=\op{id}$. Montrer que $u\in\mc{S}^+(E)$.
 - Étudier la réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 660]
Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$ prises avec multiplicité. Montrer que $A$ est diagonale.
#+end_exercice

# ID:6899
#+begin_exercice [Mines 2023 # 661]
 - Soit $x\in\R^n$ tel que $\sum_{i=1}^nx_i=0$. Montrer que $|x_j|\leq\left(\frac{n-1}{n}\right)^{1/2} \lN x\rN_2$ pour tout $j\in\db{1,n}$.
 - Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $\lambda$ une valeur propre de $A$.

   Montrer que $\left|\lambda-\frac{\op{tr}A}{n}\right|\leq\left(\frac{n-1}{n} \right)^{1/2}\left(\sqrt{\|A\|_2^2-\frac{(\op{tr}A)^2}{n}} \right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - On a $|x_j| = \left|\sum_{i\neq j} x_i\right| \leq \sqrt{n-1} \sqrt{\sum_{i\neq j} x_i^2}$.

   Donc $|x_j|^2 \leq (n-1) (\lN x\rN_2^2 - |x_j|^2)$, d'où le résultat.
 - On peut supposer que la trace de $A$ est nulle, et on obtient le résultat.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 662]
Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $(a,b)\in\R^2$ tels que $\colon\forall X\in\R^n,a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b \|X\|^2$. Soit $P\in\R[X]$ tel que $\colon\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. Montrer que $P(A)\in\mc{S}_n^{++}(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 663]
 - Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice antisymétrique réelle. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures.
 - Montrer que $(I_n+A)(I_n-A)^{-1}\in\mc{O}_n(\R)$.
 - Soit $Q\in\op{SO}_2(\R)$. Résoudre l'équation $(I_2+A)(I_2-A)^{-1}=Q$, d'inconnue une matrice antisymétrique $A\in\M_2(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 664]
Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mc{S}_n^+(\R)$.
 - Montrer qu'il existe $C\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ telle que $C^2=A^{-1}$.
 - On pose $D=CBC$. Montrer que $\det(I_n+D)^{1/n}\geq 1+\det(D)^{1/n}$.
 - En déduire que $\det(A+B)^{1/n}\geq\det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}$.
 - Est-ce encore vrai si $A,B\in\mc{S}_n^+(\R)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 665]
Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $A$ appartient a $\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si, pour toute matrice $B\in\mc{S}_n^+(\R)$, on a $\op{tr}(AB)\geq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 666]
On considère la forme quadratique $q\colon (x,y,z)\in\R^3\mapsto(x+z)^2+2xy+4yz$.
 - Déterminer $a,b,c$ tels que $q(x,y,z)=a(x+y+z)^2+b(y-z)^2+cz^2$.
 - La forme quadratique $q$ est-elle définie positive?
 - Trouver les plans de $\R^3$ sur lesquels la restriction de $q$ est définie positive.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Mines 2023 # 667]
Soient $E$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie de $E$. On considère l'ensemble des parties que l'on peut obtenir en appliquant successivement des passages a l'interieur ou a l'adhérence a partir de $A$.
 - Montrer qu'il y en a au plus $7$.
 - Donner une partie $A$ telle qu'il y en ait exactement $7$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 668]
Soient $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie non vide de $E$.

Soit $f:x\in E\mapsto d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$.
 - Montrer que $f$ est 1-lipschitzienne.
 - Montrer que $A$ est ferme si et seulement si $A=f^{-1}(\{0\})$.
 - Montrer que tout ferme de $E$ est intersection decroissante d'ouverts.
 - Montrer que tout ouvert est union croissante de fermes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 669]
Soient $E$ un espace vectoriel norme et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie.
 - Montrer que : $\forall x\in E,\exists y\in F,d(x,F)=\|y-x\|$.
 - On suppose que $F\neq E$. Montrer qu'il existe $u\in E$ tel que $d(u,F)=\|u\|=1$.
 - En déduire que $B_f(0,1)$ est compact si et seulement si $E$ est de dimension finie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 670]
Déterminer les sous-groupes compacts de $\C^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 671]
Soit $f\in\mc{L}(\R^n,\R^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si l'image de tout ouvert par $f$ est un ouvert.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 672]
- Soient $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R$ et $N$ une norme sur $\R^n$. Montrer l'equivalence entre :

(i) $|f(x)|\ra+\i$ lorsque $N(x)\ra+\i$ ;

(ii) l'image réciproque de tout compact par $f$ est un compact.
 - Soit $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R^n$. On suppose que l'image réciproque de tout compact par $f$ est un compact. Montrer que l'image directe de tout ferme par $f$ est un ferme.
 - La réciproque du résultat precedent est-elle vraie?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 673]
On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$.

Si $f\in E$, on pose $u(f)=\sum_{k=1}^{+\i}\left(-\frac{1}{2}\right)^kf\left( \frac{1}{k}\right).\in\R$.
 - Montrer que $u$ est bien définie sur $E$.
 - Montrer que $u$ est continue sur $E$ et déterminer sa norme subordonnée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 674]
Soient $L^1(\R)$ l'espace vectoriel des suites sommables et $N:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\lvert x_n\rvert$.
 - Montrer que $N$ est une norme.
 - Soit $A$ l'ensemble des suites de $L^1(\R)$ nulle a partir d'un certain rang. Donner l'adhérence et l'interieur de $A$. Ind. Remarquer que $A$ est dense dans $L^1(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 675]
 On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.

Soit $D=\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^+)^n\,;\,\sum x_i^2\lt 1,\, \sum x_i\gt 1\right\}$. Soit $f:D\to\R$ telle que $\forall x,y\in D,|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$. Que dire de $f\,?$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 676]
Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme réel, $p\in\N^*$, $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$,.
 - Montrer que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre si et seulement si

$\inf\left\{\left\|\sum_{i=1}^p\lambda_ix_i\right\|\ ;\ (\lambda_1, \ldots\lambda_p)\in\R^p\right\}\gt 0$.
 - En déduire que l'ensemble des $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$ tels que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre est un ouvert de $E^p$. Retrouver ce résultat plus simplement si $E$ est de dimension finie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 677]
Soient $n\geq 2$, $K$ un compact de $\R^n$ et $\eps\gt 0$. Une partie $A\subset K$ est $\eps$-separée si, pour tous $x$, $y\in A$ tel que $\|x-y\|\lt \eps$, on a $x=y$.
 - Montrer qu'il existe un entier $M(\eps)$ tel que toute partie $\eps$-separée de $K$ est de cardinal inférieur a $M(\eps)$ et il existe une partie $\eps$-separée de $K$ de cardinal $M(\eps)$.
 - Soit $f:K\to K$. On suppose que, pour tous $x$, $y\in K$, $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$. Montrer que $f$ est surjective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 678]
Soient $n\geq 2$ et $f\colon\R^n\to\R$ continue telle que, pour tout $a\in\R$, $f^{-1}(\{a\})$ est compact. Montrer que $f$ admet un extremum global. Que se passe-t-il si $n=1\,?$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 679]
Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme réel de dimension finie, $k\in]0,1[$, $f$ une application $k$-lipschitzienne de $E$ dans $E$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 680]
Soit $E=\mc C^0([-1,1],\R)$ muni de la norme de la convergence uniforme. Pour $f\in E$ on pose $\phi(f)=\int_0^1f(t)\,dt-\int_{-1}^0f(t)\,dt$.
 - Montrer que $\phi$ est une forme linéaire continue sur $E$ et calculer $\|\phi\|$.
 - Existe-t-il $f$ unitaire telle que $|\phi(f)|=\|f\|\,?$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 681]
On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $[-1,1]$ vers $\R$ continues par morceaux, muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg$ et de la norme euclidienne associée $\|\ \|$.

On dit qu'une suite $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement (resp. faiblement) vers $f\in E$ si $\|f_n-f\|\to 0$ (resp. $\langle f_n,\phi\rangle\to\langle f,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in C^1([-1,1],\R)$).
 - Montrer que la convergence uniforme implique la convergence forte. La réciproque estelle vraie?
 - Montrer que la convergence forte implique la convergence faible.
 - Soit $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ convergent faiblement vers $f\in C^1([-1,1],\R)$ et vérifiant de plus $\|f_n\|\to\|f\|$. Montrer qu'alors $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement vers $f$.
 - Soit $(\phi_n)_{n\geq 0}\in C^1([-1,1],\R)^{\N}$ convergeant uniformément vers $\phi$ et telle que $(\phi_n')_{n\geq 0}$ converge uniformément. Soit par ailleurs $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ bornée et convergeant faiblement vers $f$. Montrer qu'alors $\langle f_n,\phi_n\rangle\to\langle f,\phi\rangle$.
 - On pose $f_n(x)=\sin(nx)$ pour $n\geq 0$ et $x\in[-1,1]$. - Montrer que $(f_n)_{n\geq 0}$ converge faiblement vers la fonction nulle.  - La suite $(f_n)_{n\geq 0}$ converge-t-elle fortement?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 682]
Soient $a_1\lt \cdots\lt a_p$ des réels et $P=\prod_{i=1}^p(X-a_i)$.

On pose : $E=\Big{\{}M\in\M_n(\R),\ P(M)=0\Big{\}}$.
 - Soit $M\in E$. Déterminer les valeurs possibles de $\op{tr}M$.
 - Déterminer les matrices $M\in E$ vérifiant $\op{tr}M=na_1$.
 - Montrer que la matrice $a_1I_n$ est isolée dans $E$.
 - La matrice $\op{Diag}(a_2,a_1,\ldots,a_1)$ est-elle isolée?
 - Généraliser.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 683]
- Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n\in\N^*$. Montrer que $P$ est scinde sur $\R$ si et seulement si : $\forall z\in\C$, $|P(z)|\geq|\text{Im}(z)|^n$.
 - Montrer que l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ trigonalisables est ferme.
 - Quelle est l'adhérence de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 684]
Soient $n\geq 2$ et $r\in[1,n-1]$. L'ensemble $\mc{E}$ des matrices carrées de taille $n$ et de rang $r$ est-il ouvert? ferme? Déterminer l'interieur et l'adhérence de $\mc{E}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 685]
On munit l'espace $E=\mc C^0([0,1],\R)$ du produit scalaire usuel défini par

$\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)\,dt$ et de la norme associée $\|\quad\|_2$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ tel qu'il existe une constante $C\in\R$ telle que $\forall f\in F,\|f\|_{\i}\leq C\|f\|_2$.
 - Montrer que $F\neq E$.
 - Soit $(f_1,\ldots,f_n)$ une famille orthonormale de $F$.

Montrer que $\forall a_1,\ldots,a_n\in\R$, $\left|\sum_{i=1}^na_if_i\right|\leq C\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}$.
 - En déduire que $F$ est de dimension finie majorée par $C^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 686]
Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si l'ensemble $\{PAP^{-1},\ P\in\op{GL}_n(\C)\}$ est ferme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 687]
Soit $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$. Montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes de $\M_n(\mathbb{K})$ est connexe par arcs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 688]
Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$.
 - L'ensemble $\mc{D}$ est-il un sous-espace vectoriel?
 - Quel est le sous-espace vectoriel engendre par $\mc{D}$? par $\M_n(\R)\setminus\mc{D}$?
 - L'ensemble $\mc{D}$ est il ouvert? ferme?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 689]
On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algèbre.
 - Soit $A\in E$. Étudier la convergence de la série $\sum A^k$ si $\|A\|\lt 1$.

Cette condition est-elle nécessaire pour que la série soit convergente?
 - Pour tout $k\in\N^*$, on pose $U_k=\left(I_n+\frac{A}{k}\right)^k$. Étudier la convergence et la limite de la suite $(U_k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 690]
Lorsque $J$ est un intervalle de $\R$, on pose $S_n(J)=\{M\in\mc{S}_n(\R)\,\ \ \mathrm{Sp}(M)\subset J\}$.
 - Soit $I$ un intervalle de $\R$. Montrer que $S_n(I)$ est convexe.
 - Montrer que $S_n(\overline{I})=\overline{S_n(I)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 691]
- Montrer que $\mathrm{SL}_n(\R)$ est un ferme non compact de $\M_n(\R)$.
 - Montrer que $\mathrm{SO}_n(\R)$ est connexe par arcs.
 - Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(O,S)\in\mc{O}_n(\R)\times S_n^{++}(\R)$ tel que $M=OS$.
 - En déduire que $\mathrm{SL}_n(\R)$ et $\mathrm{GL}_n^+(\R)$ sont connexes par arcs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 692]
Déterminer la limite de la suite de terme général $u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{n-k}{n}\right)^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 693]
On pose $u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)^k$ pour tout $n\geq 1$.
 - Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est divergente.
 - Donner un équivalent de $u_n$ quand $n\to+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 694]
Soit $f:[0,2]\to\R$ une fonction $C^1$. On pose $u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$ pour $n\geq 1$.

Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$.
#+end_exercice

# ID:7530
#+begin_exercice [Mines 2023 # 695]
Pour $n\in\N^*$, on pose $u_n=\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{\sqrt{k}}{n}\right)$. Déterminer un équivalent de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 696]
Soit $\mc{B}$ le sous-espace de $\C^{\Z}$ formé des suites $(u_n)_{n\in\Z}$ bornées. Soit $T$ l'endomorphisme de $\mc{B}$ qui a $(u_n)$ associe $(u_{n+1})_{n\in\Z}$.
 - Montrer que $T$ est linéaire. Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
 - Déterminer les sous-espaces de dimension finie de $\mc{B}$ stables par $T$.
#+end_exercice

# ID:7531
#+begin_exercice [Mines 2023 # 697]
Étudier les suites définies par $u_1,v_1$ réels et $\forall n\in\N^*$, $u_{n+1}=u_n+v_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et $v_{n+1}=v_n-u_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Il suffit de montrer que les suites sont bornées. Pour ça, on passe en valeur absolue, et en sommant, $|u_n| + |v_n|$ reste bornée.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 698]
 $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle convergente?  - La suite $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle bornée?
#+end_exercice

# ID:7532
#+begin_exercice [Mines 2023 # 699]
Soit $(b_n)_{n\in\N}$ une suite strictement positive, croissante et non majorée.
 - Montrer que, si $(a_n)_{n\in\N}$ est une suite réelle convergente de limite $\ell$, alors
   $$\frac{1}{b_n}\sum_{k=0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)a_k\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}\ell.$$
 - Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle. Montrer que, si la suite $\left(\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\right)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\in\R$, alors $\frac{a_n}{b_n}\to\ell$ quand $n\to+\i$.
 - La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 700]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle decroissante de réels strictement positifs, telle que $a_0=1$. On pose $b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{a_k}$ pour tout $n\geq 1$.
 - Montrer que $b_n\in[0,1]$ pour tout $n\geq 1$.
 - On fixe $\ell\in[0,1]$. Montrer que l'on peut choisir la suite $(a_n)_{n\geq 0}$ de telle sorte que $b_n\to\ell$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 701]
Soit $a\in]0,1[$. On définit $(u_n)$ par $u_0=a$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n+u_n^2\ln(u_n)$.
 - Montrer que $(u_n)$ est définie et étudier sa convergence.
 - On pose $F:x\mapsto\int_a^x\frac{dt}{t^2\ln t}$. Montrer que $F(u_{n+1})-F(u_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}1$.
 - En déduire un équivalent de $F(u_n)$. Qu'en déduire sur $u_n$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 702]
Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0\in]0,\pi/2]$ et $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=\sin(u_n)$. Étudier la convergence de $(u_n)$. Déterminer un équivalent de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 703]
Pour tout $n\geq 2$, on pose $f_n(x)=x^n-nx+1$.
 - Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$.
 - Étudier la monotonie de la suite $(x_n)$. Montrer sa convergence.
 - Déterminer la limite de la suite $(x_n)$ et un équivalent simple de $x_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 704]
Détermine un développement asymptotique a deux termes de $x_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 705]
Soit $(u_n)$ une suite réelle définie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+1}$.
 - Si $(u_n)$ converge, quelle est sa limite?
 - On suppose que, pour tout $n\in\N$, $u_n\leq 1$. Montrer que $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite?
 - Étudier la convergence de $(u_n)$ dans le cas général.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 705]
Pour $n\geq 2$, on considère l'équation $\sin(x)=\frac{x}{n}$.
 - Montrer que cette équation admet une unique solution sur $]0,\pi[$ qu'on notera $x_n$.
 - Montrer que la suite $(x_n)_{n\geq 2}$ converge. Quelle est sa limite?
 - Donner un développement asymptotique de $x_n$ a la precision $o\left(\frac{1}{n^3}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 706]
Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=0}^n(X-i)$.
 - Montrer que : $\forall n\in\N^*,\exists!r_n\in\big{]}0,1[\,,P'_n(r_n)=0$.
 - Déterminer un équivalent simple de $r_n$.
#+end_exercice

# ID:7533
#+begin_exercice [Mines 2023 # 707]
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{n+u_n}$
 - Montrer que $u_n\to+\i$.
 - Donner un développement asymptotique à trois termes de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 708]
Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup_{t\in[0,1]}|P(t)|$. Pour tout $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf_{P\in E_n}N(P)$.
 - Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$.
 - Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ est decroissante et de limite nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 709]
Limite et développement asymptotique en $o(1/n)$ de $u_n=\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{\sqrt{k(n-k)}}{n^{3/2}}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 710]
Soit $(u_n)$ une suite réelle vérifiant : $\forall(m,n)\in\N^2,u_{n+m}\leq u_m+u_n$. Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big\{\frac{u_n} {n},\,n\in\N^*\Big\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 711]
- Montrer que tout sous-groupe de $(\R,+)$ est de la forme $a\Z$ ($a\in\R$) ou dense dans $\R$. Soit $\theta\in\R^*$ tel que $\frac{\pi}{\theta}\notin\Q$.
 - Montrer que $A=\big{\{}p\theta+2\pi q,\ (p,q)\in\Z^2\big{\}}$ est dense dans $\R$.
 - Expliciter les valeurs d'adhérence de la suite $\left(\cos(n\theta)\right)_{n\in\N}$.
 - Expliciter les valeurs d'adhérence de la suite $\left(\cos(\sqrt{n}\theta)\right)_{n\in\N}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 712]
Soit $x\in\Big{[}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$. Convergence et somme de $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^n}\tan\Big{(}\frac{x}{2^n}\Big{)}$.

_Ind._ Montrer que $\tan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$.
#+end_exercice

# ID:6951
#+begin_exercice [Mines 2023 # 713]
Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $n(u_{n+1}-u_n)\to 1$. Quelle est la nature de la série $\sum u_n$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 714]
Déterminer la convergence et la somme de la série de terme général $u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 715]
Déterminer la nature de $\sum\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 716]
 Si $n\in\N^*$, soit $u_n=\sum_{k=1}^n(\ln(k))^2$. Déterminer la nature de $\sum\dfrac{1}{u_n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 717]
Nature de la série de terme général $\dfrac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}-(-1)^n}$?
#+end_exercice

# ID:6952
#+begin_exercice [Mines 2023 # 718]
Soit $\alpha\gt 0$ fixe. Nature de la série de terme général $\sum\dfrac{\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor-\lfloor\sqrt{n}\rfloor}{n^{\alpha}}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 719]
Soient $\alpha\gt 0$ et $\beta\in]0,1[$. Nature de la série $\sum\dfrac{(-1)^{\lfloor n^{\beta}\rfloor}}{n^{\alpha}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 720]
 - Montrer que $\dfrac{\pi}{4}=\sum_{k=0}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$.
 - Nature de la série de terme général $u_n=\ln\left(\tan\left(\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\right)\right)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 721]
Soient $a,b$ deux réels tels que $0\lt a\lt b$.

On pose $u_0\gt 0$ et : $\forall n\in\N,u_{n+1}=\dfrac{n+a}{n+b}u_n$.
 - Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que la série $\sum u_n$ soit convergente.
 - Dans ce cas, calculer la somme $\sum_{n=0}^{+\i}n(u_{n+1}-u_n)$.
 - En déduire la somme $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 722]
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite decroissante de réels positifs. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\dfrac{1}{1+n^2u_n}$. Montrer que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ diverge.
#+end_exercice

# ID:6953
#+begin_exercice [Mines 2023 # 723]
On pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)\,dx$. Quel est le signe de $u_n$? Montrer que la série $\sum u_n$ est semi-convergente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 724]
Étudier $\lim_{n\to+\i}\sum_{k=n+1}^{+\i}\dfrac{n}{k\sqrt{k^2-n^2}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 725]
Pour tout $n\in\N^*$, on pose $u_n=\int_n^{n+1}\dfrac{\cos\left(\ln(t)\right)}{t}\,dt$ et $v_n=\dfrac{\cos\ln(n)}{n}$.
 - Déterminer la nature de la série $\sum u_n$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $u_n-v_n=\int_n^{n+1}(t-n-1)\frac{\cos\ln(t)+\sin\ln(t)}{t^2}\,dt$.
 - En déduire la nature de la série $\sum v_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 726]
Soit $f\in C^1(\R,\R^{+*})$ telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}-\i$. Montrer que $\sum f(n)$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 727]
On dit que la série de terme général $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, pour tout $n\in\N$, $\left|a-\sum_{k=0}^nu_k\right|\leq|u_{n+1}|$. On dit qu'elle enveloppe strictement $a\in\R^{+*}$ lorsqu'il existe une suite $(\theta_n)\in]0,1[^{\N}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $a-\sum_{k=0}^nu_k=\theta_{n+1}u_{n+1}$.
 - Soit $a\gt 0$. Donner un exemple de série divergente qui enveloppe $a$.
 - Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel $a\in\R^{+*}$.
 - Donner un exemple de série convergente qui n'enveloppe aucun réel $a\in\R^{+*}$.
 - Montrer que, si une série enveloppe strictement un réel $a\gt 0$, alors elle est alternée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 728]
 - Soit $\sum u_n$ une série a termes positifs. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. Montrer que si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum\frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi.
 - Soit $\sum y_n$ une série a termes complexes telle que, pour toute suite $(x_n)$ qui tend vers $0$, la série $\sum x_ny_n$ converge. Montrer que $\sum|y_n|$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 729]
Soit $(u_n)\in(\R^+)^{\N}$. On suppose que $\sum u_n$ converge. Construire $(v_n)\in(\R^+)^{\N}$, croissante et de limite $+\i$, telle que $\sum u_nv_n$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 730]
Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

 + pour toute série $\sum u_n$ convergente de terme général positif, la série $\sum f(u_n)$ est convergente ;
 + l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornée au voisinage de $0^+$.
#+end_exercice

# ID:7327
#+begin_exercice [Mines 2023 # 731]
Soit $\sum u_n$ une série convergente a termes strictement positifs.
 - Montrer que $\sum_{k=1}^nku_k=o(n)$.
 - Montrer que $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nku_k$ est le terme général d'une série convergente.
 - Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}$ est convergente et que :$$\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}\leq \sum_{k=1}^{+\i}u_k.$$
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - C'est la somme $\sum_{k=1}^n R_k - n R(n)$.
 - $\sum_n^N \sum_k \frac{k u_k}{n (n+1)} = \sum_k \sum_{n = k}^N \frac{k u_k}{n} - \frac{ku_k}{n+1} = \sum_k \frac{ku_k}{N} - \frac{k u_k}{k}$.
 - Le lien avec la question précédente est l'IAG, à $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k u_k$. De là on obtient directement tout à l'aide de la question précédente.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 732]
Pour toute permutation $f$ de $\N^*$, on note $E_f=\left\{\alpha\in\R,\;\sum\frac{f(n)}{n^{\alpha}}\lt +\i\right\}$.
 - Montrer qu'il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=\emptyset$.
 - Soit $f\in S(\N^*)$. Montrer que si $E_f\neq\emptyset$, alors c'est un intervalle minore par $2$ et non majore.
 - Montrer que, si $\beta\gt 2$, alors il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=]\beta,+\i[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 733]
Soit $f_n=x\mapsto\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$.
 - Montrer que, pour $n$ pair, $f_n$ ne s'annule pas et que, pour $n$ impair, $f_n$ s'annule en un unique point $r_n$.
 - Montrer que, pour $n$ impair, $-2n-3\lt r_n\lt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 734]
Soit $\alpha$ un réel non nul. On pose, pour $x\in[-1,1]$, $g_{\alpha}(x)=\cos(\alpha\arcsin x)$. À quelle condition sur $\alpha$ la fonction $g_{\alpha}$ est-elle polynomiale?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 735]
Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^2$, telle que $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c\in\,]0,1[$ tel que $|f^{''}(c)|\geq 4$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 736]
Soient $I$ un intervalle non vide de $\R$ et $f:I\to\R$ de classe $C^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si : $\forall(x,y)\in I^2,\;\exists t\in\,]0,1[,\;f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 737]
Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que $f(0)=1$ et, pour tout $x\in\R$, $f(2x)=f(x)\cos(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 738]
Soient $A,B\in\R^+$, $f\colon\R\to$ de classe $\mc C^2$ telle que, pour tout $x\in\R$, $|f(x)|\leq A$ et $|f^{''}(x)|\leq B$.
 - Montrer que, pour tout $h\in\R^{+*}$, $|f'(x)|\lt \frac{A}{h}+\frac{Bh}{2}$.
 - Trouver la meilleure majoration de $|f'(x)|$ pour tout $x\in\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 739]
Soit $f:x\in\,]-1,+\i[\,\mapsto x-\ln(1+x)$.
 - Montrer que $f$ définit une bijection $f_1$ de $]-1,0]$ sur $\R^+$ et une bijection $f_2$ de $\R^+$ sur $\R^+$.
 - Déterminer un équivalent de $f$ en $0$. En déduire un équivalent de $f_1^{-1}$ et $f_2^{-1}$ en $0$.
 - Déterminer le développement asymptotique a l'ordre $2$ de $f_2^{-1}$ en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 740]
Soit $E=\mc C^0([-1,1],\C)$. Soit $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ strictement croissante et surjective. Soit $\Phi\in\mc{L}(E)$ l'application qui a $f\in E$ associe $f\circ g$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie stable par $\Phi$. On note $\Phi_F$ l'endomorphisme de $F$ induit par $\Phi$ sur $F$.
 - Montrer que $\Phi_F$ est un automorphisme de $F$.
 - Montrer que la seule valeur propre de $\Phi_F$ est 1.
 - Soit $\Psi=\Phi_F-\mathrm{id}_F$. Montrer que $\Psi$ est nilpotent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 741]
 Soit $f\colon\R\to\M_n(\R)$ dérivable. Montrer l'equivalence entre les assertions suivantes : i) $f(0)=I_n$ et $\forall x\in\R,f'(x)=f'(0)f(x)$,

ii) $\forall(x,y)\in\R^2,f(x+y)=f(x)f(y)$ et $\forall x\in\R,\det(f(x))\neq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 742]
Soient $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $D:f\in E\mapsto f'$. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 743]
Soient $f\colon\R^+\to\R^+$ de classe $\mc C^1$, $\ell\in\R^{+*}$ et $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ avec $n\in\N^*$ et $a_n\neq 0$. On suppose que $f'(x)\,P\,(f(x))\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Déterminer un équivalent de $f$ en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 744]
Soient $h\colon\R\to\R^+$ continue, $\ell\in\R^{+*}$, $n\in\N^*$. On suppose : $h(x)\int_0^xh^n\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Déterminer un équivalent de $h$ en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 745]
Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$ et $E=\mc C^0([a,b],\R)$.

On pose $F=\big{\{}g\in\mc C^2([a,b],\R)\;;\;g(a)=g(b)=g'(a)=g^{ '}(b)=0\big{\}}$.
 - On fixe $f\in E$.

Montrer qu'il existe $g\in F$ tel que $f=g^{''}$ si et seulement si $\int_a^bf(t)dt=\int_a^btf(t)dt=0$.
 - Soit $h\in E$ tel que $\forall f\in F$, $\int_a^bhg^{''}=0$. Montrer que $h$ est affine.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 746]
Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application définie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Vérifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 747]
Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle $F\in\R(X)$ telle que :

$\forall x\in\R,\int_0^xe^{t^2}\,dt=F(x)\,e^{x^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 748]
Étudier la fonction $f\colon x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{t\sqrt{1-t}}$.
#+end_exercice

# ID:7031
#+begin_exercice [Mines 2023 # 749]
Calculer $I=\int_{-1}^1\frac{\cos x}{e^{\frac{1}{x}}+1}\dx$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Donne $\sin 1$. On somme avec l'autre partie, pour obtenir $\int_0^1 \frac{\cos x}{e^{1/x} + 1} + \frac{\cos x}{e^{-1/x} + 1}$, qui fait exactement $\cos x$.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 750]
Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $f\in\mc C^0([a,b],R)$, $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe $P,Q\in\R[X]$ tels que $\forall x\in[a,b]$, $P(x)\leq f(x)\leq Q(x)$ et $\int_a^b(Q-P)\leq\eps$. Est-ce toujours vrai si $f$ est uniquement continue par morceaux?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 751]
Soit $f:[0,1]\to\R$ continue. - Soit $n\in\N$. On suppose que, pour tout $k\in\db{0,n}$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois.
 - On suppose que, pour tout $k\in\N$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ est nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 752]
Soit $f\in C^0([a,b],\R)$ telle que $\colon\forall(\alpha,\beta)\in[a,b]^2,\int_{\alpha}^{\beta}f=0$. Montrer que $f=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 753]
Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Déterminer les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ vérifiant $\colon\forall g\in F,\int_a^bfg=0$.
#+end_exercice

# ID:7096
#+begin_exercice [Mines 2023 # 754]
Soit $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que $120\Big(\int_0^1f\Big)^2\leq\int_0^1 (f'')^2$.
#+end_exercice


#+begin_exercice [Mines 2023 # 755]
Soient $E=\mc C^0([a,b],\R)$ muni de $\parallel\parallel_{\i}$ et $B$ la boule unite fermée de $E$. Soit $f\in E$. Montrer que $\sup_{g\in B}\int_a^bfg=\int_a^b|f|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 756]
Étudier la convergence et calculer $\int_{-\i}^{+\i}\frac{dx}{x^6+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 757]
Étudier la convergence de l'intégrale $\int_0^{+\i}t|\cos t|^{t^5}\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 758]
Nature de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^x\,dx$ puis de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^{x^{\alpha}}\,dx$ avec $\alpha\in]1,+\i[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 759]
Soit $\alpha\gt 0$. Étudier la convergence de l'intégrale $\colon\int_0^{+\i}\left(\exp\left(\frac{\sin^2x}{x^{\alpha}}\right)-1 \right)\,dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 760]
Nature suivant $a\in\R$ de $I(a)=\int_0^{+\i}\frac{x-\ln(1+x)}{x^a}\,dx\,?$ Calculer $I(5/2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 761]
- Soit $\sum u_n$ une série convergente a termes positifs. Nature de $\sum u_n^2$?
 - Soit $f$ une fonction continue, positive et intégrable sur $\R^+$. Nature de $\int_0^{\i}f^2$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 762]
Soient $I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}\,dt$ et $J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{t}\,dt$.
 - Montrer que $I_n$ et $J_n$ sont bien définies. Montrer que $(I_n)$ est constante.
 - Montrer que $I_n-J_n\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - Montrer la convergence de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}dt$ et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 763]
Soit $a\gt 0$. Montrer que l'intégrale : $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(ax)+\arctan(x/a)}{1+x^2}\,dx$ converge et calculer sa valeur.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 764]
Soit $f\in C^1([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$.
 - Soient $I_1=\int_0^1(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))f(t)^2\,dt$ et $I_2=\int_0^1f'(t)f(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)\,dt$. Montrer la convergence de $I_1$ et $I_2$. Trouver une relation entre $I_1$ et $I_2$.
 - Montrer que $\int_0^1f'(t)^2\,dt\geq\pi^2\int_0^1f(t)^2 \,dt$ et étudier le cas d'égalité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 765]
Soit $f$ continue et $T$-périoddique de $\R$ dans $\R$. Montrer l'existence et l'unicite de $\lambda$ tel que $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,dt$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 766]
Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ une fonction continue decroissante.
 - On suppose que $f$ est intégrable sur $[0,+\i[$. Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$.
 - Étudier la réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 767]
Soit $f\in\mc C^1(\R,\R^+)$ telle que $f'$ est bornée et $\int_{\R}f$ converge.

Montrer que $\underset{+\i}{\lim}f=\underset{-\i}{\lim}f=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 768]
Étudier la convergence $\int_0^{+\i}t|\cos(t)|^{t^5}\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 769]
Étudier la convergence et la convergence absolue de $\int_2^{+\i}\frac{\cos(x)}{\ln(x)}dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 770]
- Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[a,b]$ dans $\R$. On suppose $f$ de signe constant. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $\int_a^bf(t)g(t)dt=g(c)\int_a^bf(t)dt$.
 - Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ continue telle que $f$ admet la limite $\lambda\in\R$ en $0$ et il existe $\mu\in\R$ telle que la fonction $t\mapsto\frac{f(t)-\mu}{t}$ est d'intégrable convergente sur $[1,+\i[$. Montrer que, pour tout $a\lt b$, l'intégrale $\int_0^{+\i}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt$ existe et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 771]
Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carré intégrable de $\R^+$ dans $\R$. Pour $x\in\R^{+*}$, soit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^xf$.
 - Déterminer la limite de $g$ en $0$. - Déterminer la limite de $g$ en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 772]
Donner un équivalent, quand $x\to+\i$, de $\int_1^x t^tdt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 773]
Soit $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}dt$.
 - Montrer que $f$ est définie sur $\R^{+*}$ et seulement sur cet ensemble.
 - Étudier l'intégrabilité de $f$ sur $\R^{+*}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 774]
Si $a\gt 0$ et $b\gt 0$, calculer $\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\ dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 775]
Soit $f\colon\R^+\to\R_+^{*}$ une fonction de classe $\mc C^1$. On suppose que $f'/f$ tend vers une limite $a\in\R_{-}^{*}$ en $+\i$.
 - Montrer que $f$ et $f'$ sont intégrables sur $\R^+$.
 - Donner un équivalent de $\int_x^{+\i}f$ lorsque $x$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - $f'/f$ est négative APCR, donc $f$ décroissante, donc converge, vers une limite nulle, donc $f'$ aussi, donc $f'$ est intégrable.

   En fait, en primitivant l'équivalent, on a $\ln f \sim at$, d'où l'intégrabilité de $f$.
 - Équivalent des restes ? Non, mais équivalent à $f(x)/a$ ou un truc du genre.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 776]
Trouver une valeur approchée rationnelle a $10^{-3}$ pres de $\int_0^1e^{-t}\ln(t)\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 777]
Quelles sont les fonctions de $\R^+$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $\R^+$ d'une suite d'applications polynomiales réelles?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 778]
Soient $S$ un segment de $\R$ non reduit a un point, $n\in\N^*$, $m\in\R^{+*}$, $\eps\in\R^{+*}$, $f$ une fonction de classe $C^n$ de $S$ dans $\R$ telle que $\|f^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$. Montrer qu'il existe $p\in\R[X]$ tel que $\|f-p\|_{\i,S}\lt \eps$ et $\|p^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 779]
Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une suite $(p_n)_{n\geq 0}$ d'applications polynomiales réelles telle que $(p_n)_{n\geq 0}$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment de $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 780]
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a\lt b$ et $S=[a,b]$.
 - On suppose que $S\cap\Z\neq\emptyset$. Expliciter une fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ qui n'est pas limite uniforme sur $S$ d'une suite d'éléments de $\Z[X]$.
 - On suppose $S\subset]0,1[$. On définit une suite $(P_n)_{n\geq 0}$ de polynômes par $P_0=X$ et, pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=2P_n(1-P_n)$. Montrer que $(P_n)_{n\geq 0}$ converge uniformément sur $S$ vers la fonction constante égale a $\frac{1}{2}$.
 - On suppose que $S\cap\Z=\emptyset$. Montrer que toute fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ est limite uniforme sur $S$ d'une suite d'éléments de $\Z[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 781]
Soit, pour $n\in\N$, $f_n:x\in\R^+\mapsto x^n(1-\sqrt{x})$.
 - Déterminer le domaine de convergence $D$ de la série de fonctions $\sum f_n$.
 - Y a-t-il convergence normale sur $D$? - Calculer $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{1}{(n+1)(2n+3)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 782]
Soit $\alpha\gt 0$. Étudier les modes de convergence de la série de fonctions $\sum u_n$ définie par $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 783]
Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nx}}{x+n}$. Domaine de définition, continuité de $f$, équivalent de $f$ aux extremites de son domaine de définition.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 784]
Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de définition, continuité, etude de la dérivabilité, équivalents en $0$ et $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 785]
- Montrer que la série de fonctions $\sum\frac{x\,e^{-nx}}{\ln(n)}$ converge simplement sur $\R^+$ mais non normalement.
 - Montrer la convergence uniforme sur $\R^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 786]
Pour tout $n\in\N^*$ et $x\in\R^+$, on pose $f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{n}(n+x)}$.
 - Montrer la convergence simple de $\sum f_n$ sur $\R^+$. On note $f=\sum_{n=1}^{+\i}f_n$.
 - Montrer que la série $\sum f_n$ converge normalement sur les segments de la forme $[0,M]$ avec $M\gt 0$. Y a-t-il convergence normale sur $\R^+$?
 - Étudier la continuité de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\i[$.
 - Soient $n\geq 1$ et $x_0\geq n$. Montrer $:f(x_0)\geq\sum_{k=1}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}$. En déduire $:f(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}+\i$.
 - Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 787]
Soit $f\in\mc C([a,b],\R)$.

On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N^*$ et $x\in[a,b]$, $f_n(x)=\int_a^xf_{n-1}(t)dt$.

Étudier la convergence simple de la série $\sum f_n$ et calculer sa somme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 788]
Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(\sin(nx))^2}{n^2}$.
 - Montrer que la fonction $f$ est définie et continue sur $\R$.
 - La fonction $f$ est-elle dérivable en $0$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 789]
 Soient $a\gt 0$ et $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\ln\left(1+\frac{a}{n^2x^2}\right)$.
 - Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
 - Déterminer un équivalent de $f$ en $0$, et en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 790]
- Justifier la convergence pour $x\in[0,1[$ de $f(x)=\prod_{n=0}^{+\i}\left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}$.
 - Montrer que, pour tout $x\in\,]0,1[$, on a $\ln f(x)=\frac{x-1}{x}\sum_{n=1}^{+\i}x^n\ln(1+x^n)+\ln 2$.
 - En déduire $\forall x\in[0,1[\,,\ln f(x)=\ln 2+\sum_{m=1}^{+\i}\frac{(-1)^m}{m} \frac{x^m}{1+x+\cdots+x^m}$.
 - Montrer que $f$ possède une limite finie en $1^-$ et l'expliciter.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 791]
Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, on pose $u_n(x)=e^{-x\sqrt{n}}$.
 - Déterminer les domaines de définition des fonctions $f=\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ et $g=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^nu_n$.
 - Trouver une équation fonctionnelle reliant $f$ et $g$.
 - Montrer que $f$ est analytique. Qu'en est-il de $g$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 792]
Rayon de convergence et somme de $f\colon x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^{2n+2}}{n(n+1)(2n+1)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 793]
Rayon de convergence et somme de $f\colon x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{4n^2-5n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 794]
Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière $\sum z^{n+(-1)^n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 795]
Soit $u$ qui a $P\in\C[X]$ associe $u(P):z\mapsto e^{-z}\sum_{n=0}^{+\i}\frac{P(n)}{n!}z^n$. Montrer que $u$ est bien définie, et que c'est un automorphisme de $\C[X]$. Déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

# ID:6919
#+begin_exercice [Mines 2023 # 796]
Soient $q\in \interval]{-1, 1}[$ et $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\sin(q^nx)$.
 - Montrer que $f$ est définie sur $\R$ et de classe $\mc C^{\i}$.
 - Montrer que $f$ est développable en série entière.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 797]
Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs.
 - Montrer que la série $\sum\frac{(-1)^n}{\alpha n+\beta}$ est convergente.
 - On note $S$ la somme de la série ci-dessus et pour tout $n\in\N$, $r_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{\alpha k+\beta}$.

   Exprimer $S$ et $r_n$ sous forme intégrale.
 - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum r_nx^n$. Étudier son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence.
#+end_exercice

# ID:6920
#+begin_exercice [Mines 2023 # 798]
Montrer qu'au voisinage de $0$, la fonction $f\colon x\mapsto\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$ est développable en série entière et en donner les coefficients.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 799]
Expliciter le développement en série entière de $\ln(x^2-x\sqrt{2}+1)$ au voisinage de $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 800]
Soient $\tau\in\R$ et $f:x\mapsto\arctan\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)$. Montrer que $f$ est développable en série entière en $0$ et preciser le domaine exact de validite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 801]
Rayon de convergence, ensemble de définition et somme de $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\mathrm{ch}(n)}{n}x^{2n}$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 802]
Déterminer le développement en série entière en $0$ de $f:x\mapsto\sin\left(\frac{1}{3}\text{arcsin}(x)\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 803]
On pose : $\forall n\geq 2,u_n=\sum_{\begin{subarray}{c}(i,j)\in(\N^*)^2 \end{subarray}}\frac{1}{(ij)^2}$ et $S:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}u_nx^n$.
 - Déterminer un équivalent simple de $u_n$.
 - Déterminer le rayon de convergence $R$ de $S$ et simplifier $S(x)$ sur $]-R,R[$.
 - Étudier la bonne définition et la continuité de $S$ en $R$ et en $-R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 804]
Soit $P\in\R[X]$ de degré $p\in\N^*$.
 - Déterminer le rayon de la série entière $\sum_{n=0}^{+\i}P(n)x^n$ et montrer que la somme de cette série s'écrit sous la forme $\frac{Q(x)}{R(x)}$ avec $Q,R\in\R[X]$.
 - Soit $M=(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p+1}$. Montrer que $\det(M)=0$.
 - Montrer que $\det(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 805]
Soit $f:x\mapsto(\arcsin(x))^2$.
 - Montrer que $f$ est solution d'une équation différentielle linéaire d'ordre $2$, sur un intervalle que l'on precisera.
 - Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$. Experimer les coefficients de ce développement en série entière et donner son rayon de convergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 806]
On définit la suite $(a_n)$ par : $a_0=a_1=1$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1}a_{n-1}$.
 - Montrer que : $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$ et en déduire le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_nx^n$.

   On pose $f:x\in\,]-R,R[\,\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$.
 - Montrer que $f$ est solution de $(1-x)y'-(1+2x)y=0$.
 - Expliciter $f$ a l'aide des fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 807]
On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^2x}$.
 - Montrer que $f$ est bien définie et de classe $\mc C^{\i}$.
 - Est-elle développable en série entière?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 808]
- Rappeler la formule de Stirling.
 - Calculer le rayon de convergence de la série entière $\sum\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)x^n$.
 - Calculer la somme de cette série entière en $-1$ apres s'être assure de son existence.
 - Calculer $\int_0^1\frac{(-1)^{\lfloor 1/x\rfloor}}{x}{\rm d}x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 809]
- Déterminer le rayon de convergence de $f:z\mapsto\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,z^k$.
 - Soit $z\in\C$ avec $|z|\lt 1$. Calculer $\exp\left(f(z)\right)$. Ind. Considèrer $t\in[0,1]\mapsto\exp\left(f(tz)\right)$.
 - Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ tel que :

   $$\forall z\in\C,\ |z|\leq\alpha\Rightarrow\det(I_n+zA)=\exp \left(\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,\op{tr}(A^k)\,z^{k }\right).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 810]
Soit $A\in\M_n(\C)$.  - Déterminer le rayon de convergence de la série $f(z)=\sum_{p\in\N}\op{tr}(A^p)z^p$ - Calculer $f(z)$ en fonction du polynôme caracteristique de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 811]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$. On suppose que la série $\sum n|a_n|$ converge.
 - Montrer que le rayon de $\sum a_nz^n$ est supérieur ou égal a 1.
 - On suppose $|a_1|\geq\sum_{n=2}^{+\i}n|a_n|$ avec $a_1\neq 0$. Montrer que $f:z\in\mathbb{D}\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ est injective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 812]
- Développere en série entière $\phi:z\mapsto\frac{z}{(1-z)^2}$. Montrer que $\phi$ est injective sur $D_o(0,1)$.

On pose $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ avec $(a_n)$ une suite réelle. On suppose que $f$ est définie et injective sur $D_o(0,1)$. - Montrer que $f(z)\in\R\Longleftrightarrow z\in\R$.
 - En déduire que $\op{Im}z\geq 0\Longleftrightarrow\op{Im}f(z)\geq 0$.
 - Soit $R\in\left]0,1\right[$. Calculer $\int_0^{\pi}\op{Im}f(Re^{it})\sin(nt)\op{d}t$.
 - Montrer que : $\forall n\geq 2,|a_n|\leq n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 813]
Soit, pour $n\in\N$, $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan(t)^n\op{d}t$.
 - Trouver une relation de recurrence sur $(I_n)$.
 - Montrer que, pour $n\in\N$, $I_{2n}=(-1)^n\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{2k+1}$. Donner une expression similaire pour $I_{2n+1}$.
 - Donner un équivalent de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 814]
Soit, pour $n\geq 2$, $I_n=\int_1^{+\i}\frac{\op{d}t}{1+t+\cdots+t^n}$. Déterminer de trois facons differentes la nature de $\sum I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 815]
On pose, pour tout $n\in\N^*$, $u_n=\int_1^{+\i}\exp(-x^n)\op{d}x$. Justifier l'existence de $(u_n)$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ et de la série $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 816]
Développement asymptotique a deux termes de $I_n=\int_0^{+\i}e^{-nx}\ln(n+x)dx$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 817]
Pour $n\in\N^*$ et $\alpha\in\R^+$, on pose $u_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-\alpha x}\op{d}x$. Déterminer un équivalent simple de $u_n$ dans les cas $\alpha=0$, $\alpha\gt 1$, $\alpha=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 818]
 - Montrer que $\int_0^{+\i}\cos\left(u^2\right)\op{d}u$ converge.
 - Soit $(a,b)\in\left(\R^{+*}\right)^2$. Trouver un équivalent de $I_n=\int_0^1\cos\left(n\left(au^2+bu^3\right)\right) \op{d}u$.

_Ind._ Poser $t=\sqrt{na}u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 819]
Soit $\alpha\gt 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n(\alpha)=\int_0^{+\i}\frac{\op{d}t}{(1+t^{\alpha})^n}$.
 - Justifier la convergence de $I_n(\alpha)$.
 - Etablir une relation entre $I_{n+1}(\alpha)$ et $I_n(\alpha)$. En déduire une expression de $I_n(\alpha)$ en fonction de $I_1(\alpha)$ et de $\alpha$.
 - Déterminer la limite de la suite $(I_n(\alpha))_{n\in\N}$.
 - Montrer l'existence d'un réel $K(\alpha)$ tel que $I_n(\alpha)\sim\frac{K(\alpha)}{n^{1/\alpha}}$ quand $n\to+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 820]
 On pose, pour tout $x\in\,]0,1[$, $f(x)=\frac{x^2\ln x}{x-1}$.
 - Montrer que $f$ est prolongeable en une fonction de classe $C^1$ sur $[0,1]$, qu'on appellera toujours $f$ par la suite.
 - Donner un équivalent de $\int_0^1x^nf(x)\,dx$.
 - Montrer que $\lim_{n\to+\i}n\int_0^1x^nf(x^n)\,dx=\sum_{k=3}^{+\i} \frac{1}{k^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 821]
Soit $g\colon\R^+\to\R$, continue par morceaux, intégrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 822]
Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$.
 - Montrer que, pour tout $u\in\R$, $|e^{iu}-1|\leq|u|$.
 - En déduire que $f$ est dérivable sur $\R$ puis simplifier l'expression de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 823]
On admet que $\int_0^{+\i}e^{-x^2}dx=\frac{\pi}{2}$.
 - Montrer que $I=\int_0^{+\i}\cos(t^2)dt$ converge.

On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-(t^2+i)x^2}}{t^2+i}dt$.
 - Montrer que $F$ est définie et de classe $\mc C^1$ sur $\R^+$.
 - En déduire que $\int_0^{+\i}e^{-ix^2}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i }\frac{dt}{t^2+i}$.
 - En déduire la valeur de $I$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 824]
On pose, pour tout $t\in\R$, $h(t)=\int_{\R}e^{-\pi(x^2+2itx)}\,dx$. Montrer que l'intégrale $h(t)$ est bien définie pour tout $t\in\R$ puis la calculer explicitement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 825]
On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{\ln t}{t+x}\,dt$.
 - Déterminer le domaine de définition de $f$.
 - Montrer que $f$ est dérivable sur $\R^{+*}$ et expliciter $f'$.
 - On pose $g:x\mapsto f(x)+f(1/x)$. Simplifier $g(x)$ pour $x\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 826]
Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t(1+t^2)}\,dt$.
 - Montrer que $F$ est définie sur $\R$ et de classe $\mc C^2$.
 - Exprimer $F$ a l'aide de fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 827]
 On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-t^2-\frac{x^2}{t^2}}\,dt$.
 - Montrer que $F$ est définie sur $\R$.
 - Montrer que $F$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^*$.
 - Trouver une équation différentielle d'ordre $1$ vérifiée par $F$.
 - En déduire $F$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 828]
Soit $f:x\mapsto\int_{\R}e^{tx-t^2}\,dt$.
 - Montrer que $f$ est définie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. Quelle équation différentielle vérifie $f$?
 - Trouver les solutions du problème de Cauchy $-2y^{''}+xy'+y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=\sqrt{\pi}$ et $y'(0)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 829]
- Déterminer le domaine de définition de $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$.
 - Montrer que $f$ est continue sur $\R^+$.
 - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$.
 - Donner une expression de $f'$ puis de $f$.
 - En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 830]
On pose $f(x)=\int_0^{+\i}|\sin(t)|e^{-xt}dt$. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ et montrer qu'elle y est de classe $\mc C^{\i}$. Expliciter la valeur de $f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 831]
Soient $f\in\mc C^0(\R,\R)$ et $g:x\mapsto\frac{1}{x}\int_0^x\cos(x-y)f(y)\,dy$. Montrer que $g$ est bien définie sur $\R^{+*}$ et trouver sa limite en $0$. On suppose que $f$ tend vers $\ell$ en $+\i$. Étudier la limite de $g$ en $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 832]
Soient $C\gt 0$, $d\gt 0$ et $\alpha\in\R$. Montrer que $\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^{\alpha}dx\underset{t\to+\i}{ \sim}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^{\alpha}}{\sqrt{t}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 833]
Soit $f:x\mapsto\int_0^{\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)\,dt$.
 - Déterminer le domaine de définition de $f$, étudier la continuité et les symétries.
 - Expliciter $f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 834]
On pose $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$.
 - Déterminer le domaine de définition de $f$.
 - Déterminer le développement de $f$ en série entière sur un intervalle $I$ centre en $0$ que l'on precisera.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 835]
 On pose, pour $x\in\R$, $f(x)=\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0 et expliciter son développement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 836]
Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$. On considère la fonction $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-xt}f(t)\,dt$.
 - On suppose $f$ bornée. Montrer que $F$ est définie et de classe $C^{\i}$ sur $\R^{+*}$.
 - On suppose que $f$ admet une limite finie non nulle $\ell$ en $+\i$. Donner un équivalent de $F$ en $0^+$.
 - On suppose $f$ développable en série entière sur $\R^+:f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$, et que la série $\sum n!a_n$ converge. Étudier le comportement de $F(1/x)$ au voisinage de 0 et de $+\i$.
 - Donner des exemples de fonctions $f$ telles que le domaine de définition de $F$ soit $]0,+\i[$, $]1,+\i[$ ou $\emptyset$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 837]
On note $\mc{L}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues et intégrables, et $\mc{E}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues telles que, pour tout $s\gt 0$, la fonction $u\mapsto\dfrac{f(u)}{u+s}$ est intégrable. Si $f\in\mc{E}$, on pose $\widehat{f}(s)=\int_0^{+\i}\dfrac{f(u)}{u+s}\,du$ pour tout $s\gt 0$.
 - Quelles inclusions existent entre $\mc{L}$ et $\mc{E}$?
 - Dans cette question, on suppose que $f(u)=u^{\alpha-1}$, ou $\alpha\in]0,1[$. Montrer que $\widehat{f_{\alpha}}$ est proportionnelle a $f_{\alpha}$.
 - Soit $f\in\mc{E}$. Montrer que $\widehat{f}$ est continue, et déterminer $\lim_{s\to+\i}\widehat{f}(s)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 838]
Montrer que $\int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{\ln(t)}{1-t}\,dt=\int_0^{ \frac{1}{2}}\dfrac{\ln(1-t)}{t}dt$ et en déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{2^nn^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 839]
- Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ sommable. Montrer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sum_{n=0}^{+\i}a_n\dfrac{t^n}{n!} \,dt=\sum_{n=0}^{+\i}a_n$.
 - Montrer le même résultat en ne supposant que la convergence de la série $\sum a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 840]
Soient $\alpha\in\Big{]}0,\dfrac{\pi}{2}\Big{[}$ et $f:t\mapsto\dfrac{1}{1-\sin\alpha\cos t}$:
 - Expliciter une suite $(a_n)$ telle que $\colon\forall t\in\R$, $f(t)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n\cos(nt)$.
 - En déduire, pour $n\in\N$, la valeur de $\colon\int_0^{\pi}\dfrac{\cos(nt)}{1-\sin\alpha\cos t}\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 841]
Soit $(\lambda_n)_{n\in\N}$ une suite croissante de réels strictement positifs.

On pose : $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n\exp(-\lambda_nx)$.
 - Déterminer le domaine de définition de $f$.On suppose dans la suite que $(\lambda_n)$ tend vers $+\i$.
 - Montr per que l'intégrale $\int_0^{+\i}f$ converge et la calculer.
 - Traiter le cas particulier ou $\lambda_n=n+1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 842]
Soient $a$ et $b$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R^+$ et $S$ l'ensemble des solutions de $y'=ay+b$. Montrer l'équivalence entre :

i) tous les éléments de $S$ sont bornes,  ii) $a$ et $b$ sont intégrables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 843]
Déterminer les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$ dérivables et telles que $y'(x)=y(\pi-x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 844]
Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que $f(0)=0$ et que $\forall x\in\R^*,f(x)=e^{-1/x^2}$.
 - Montr per que $f$ est de classe $C^{\i}$ sur $\R$.
 - La fonction $f$ est-elle solution d'une équation différentielle linéaire homogène ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 845]
Résoudre l'équation différentielle $y'+|y|=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 846]
Soient $n\in\N^*$ et $\omega\in\C$ tel que $\omega^n=1$. Trouver les fonctions $y\in C^n(\R,\C)$ solutions de $\sum_{k=0}^ny^{(k)}\omega^{n-k}=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 847]
On considère la fonction $f\colon\R\to\R$ définie par : $f(x)=\exp(-x^{-2})$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montr per que $f$ n'est solution d'aucune équation différentielle linéaire homogéné a coefficients constants (d'ordre quelconque).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 848]
Résoudre le systeme différentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te^t\\ y'=3x+2y+3z+e^t\\ z'=3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 849]
Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On note $(S)$ le systeme différentiel : $\forall p\in \db{1,n},\,x_p^{(m)}=\sum_{q=1}^na_{p,q}x_q(t)$.

Montr per que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $A$ nilpotente, c'est clair. Si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales, par dimension il y a une borne sur leurs degrés.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 850]
Résoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'=x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t\\ z'=-x+2y+z+t^2e^t.\end{array}$, $\left\{\begin{array}{c}x'=x+8y+te^t\\ y'=2x+y+e^{-t}.\end{array}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 851]
Déterminer les solutions développables en série entière au voisinage de 0 de l'équation :

$2xy^{''}-y'+2y=0$. Les exprimer a l'aide des fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 852]
- Résoudre l'équation : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=0$ sur $\R$ en cherchant des solutions développables en série entière.
 - Résoudre : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=\frac{1}{1+t^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 853]
 On considère l'équation différentielle : $y^{''}-y=|\cos x|$. Existe-t-il des solutions positives? Bornées? Positives et bornées?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 854]
Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-périoddiques de $\R$ dans $\R$. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y'+a(x)y+b(x)=0$. Soit $A:x\mapsto\int_0^xa(t)\,dt$ et $I=A(2\pi)$.
 - Trouver une condition sur $I$ pour que $A$ soit $2\pi$-périoddique.
 - Montrer que si $y$ est solution de $(E)$, alors $x\mapsto y(x+2\pi)$ est aussi solution de $(E)$.
 - Supposons $I\neq 0$. Montrer que $(E)$ admet une unique solution $2\pi$-périoddique.
 - Que dire si $I=0$?
 - Donner un exemple pour illustrer chacune de ces situations.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 855]
Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}e^{x\sin(t)}dt$.
 - Montrer que $f$ est solution de $(*):xy^{''}+y'=xy$.
 - Quelles sont les solutions développables en série entière sur $\R$ de $(*)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 856]
- Soient $A\in\R^+$, $f,g\colon\R^+\to\R^+$ continues. On suppose que

$\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A+\int_0^xf(t)\,g(t)dt$. Montrer que $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A\exp\left(\int_0^xg(t)dt\right)$.

Soit $(*)$ l'équation différentielle $x^{''}(t)+a(t)x(t)=b(t)$ avec $a$ et $b$ continues sur $\R^+$, $b$ et $t\mapsto t\,a(t)$ intégrables sur $\R^+$. Soit $x$ solution de $(*)$.
 - Montrer que

$\forall t\geq 1$, $x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)du+\int_{1 }^t(t-u)\,b(u)du$.
 - On pose, pour $t\geq 1$, $y(t)=\dfrac{|x(t)|}{t}$. Montrer l'existence de $K$ tel que :

$\forall t\geq 1$, $y(t)\leq K\exp\left(\int_1^tu\,|a(u)|du\right)\leq K \exp\left(\int_1^{+\i}u\,|a(u)|du\right).$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 857]
Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-périoddique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une application $X$ de classe $C^1$ de $\R$ dans $\C^n$ et $\lambda\in\C^*$ tels que $\forall t\in\R,\ X(t+T)=\lambda X(t)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 858]
Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n;$ Expliciter les solutions de $X'(t)=AX(t)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 859]
Soit $A\in\M_n(\C)$. À quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme différentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornées sur $\R$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 860]
Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x,y)=y(1-x)$ sinon. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $D$ et les déterminer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 861]
Étudier la différentiabilité de la fonction $f$ définie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 862]
On note $T$ le triangle plein défini par les points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Déterminer le minimum sur $T$ de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2+\frac{1}{2}(1-x-y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 863]
Soit $f\colon\R^2\to\R$ telle que $f(0,0)=1$ et $f(x,y)=(x^2+y^2)^x$ si $(x,y)\neq(0,0)$.
 - Montrer que $f$ est continue sur $\R^2$.
 - Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$.
 - La fonction $f$ admet-elle des derivées partielles en $(0,0)$?
 - Étudier les variations de $g:x\mapsto f(x,0)$.
 - Déterminer les extrema de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 864]
Soit $f:(\R^+)^2\to\R$ définie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=\frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}$ sinon.
 - Montrer que $f$ est continue.
 - Étudier les extrema de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 865]
Soient $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $f$ une forme linéaire sur $E$.

Montrer que l'application $g\colon x\in E\mapsto f(x)\,e^{-\lN x\rN^2}$ admet un minimum et un maximum, puis déterminer ce maximum et ce minimum.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 866]
Déterminer les fonctions de classe $\mc C^2$ sur $(\R^{+*})^2$ vérifiant $x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-y^2\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=0$. On pourra faire le changement de variables $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 867]
Soit $K\in\R$. Déterminer toutes les fonctions $f:]0,+\i[\times\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ solutions de l'équation $x\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)-y\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=K\,f(x,y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 868]
Soient $\alpha\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R^3,\R)$. On dit que $f$ est homogéné de degré $\alpha$ si :

$\forall(x,y,z)\in\R^3$, $\forall t\in\R^{+*}$, $f(tx,ty,tz)=t^{\alpha}f(x,y,z)$. Montrer que $f$ est homogéné de degré $\alpha$ si et seulement si $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{ \partial f}{\partial z}=\alpha f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 869]
Résoudre $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-3\,\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}+2\,\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$.

Ind. Utiliser le changement de variable $(u,v)=(x+y,\,2x+y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 870]
 - Soit $f\in C^1(\R^n,\R)$. Montrer que : $\forall x\in\R^n,f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^nx_i\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)\,dt$.

   On pose $E=C^{\i}(\R^n,\R)$ et $D=\Big{\{}\phi\in\mc{L}(E,\R)\ ;\ \forall(f,g)\in E^2,\phi(fg)=f(0) \phi(g)+g(0)\phi(f)\Big{\}}$.
 - Montrer que la famille $(\phi_i)_{1\leq i\leq n}$ est libre, avec : $\phi_i\colon f\mapsto\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)$.
 - Montrer que $D$ est de dimension finie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 871]
Soient $f\in C^2(\R^2,\R)$, $k\in[0,1[$ tels que $\forall a\in\R^2,\left|\frac{\partial f}{\partial x}(a)\right|+ \left|\frac{\partial f}{\partial y}(a)\right|\leq k$. Soit $(u_n)$ définie par $(u_0,u_1)\in\R^2$ et $\colon\forall n\in\N,u_{n+2}=f(u_n,u_{n+1})$.

Pour tout $n\in\N$, on pose $:a_n=\max\left(|u_{n+1}-u_n|,|u_{n+2}-u_{n+1}|\right).$
 - Montrer $\forall(a,b)\in(\R^2)^2$, $\exists c\in\R^2$, $f(b)-f(a)=(b-a|\nabla f(c))$.
 - Montrer que $\forall(x,y,x',y')\in\R^4,\left|f(x,y)-f(x^{' },y')\right|\leq k\max\left(|x-x'|,|y-y'|\right)$.
 - Montrer que $\forall n\in\N,a_{n+2}\leq ka_n$, puis qu'il existe deux constantes $q$ et $C$ telles que $\forall n\in\N,a_n\leq Cq^n$.
 - Montrer que $(u_n)$ est une suite convergente et donner une propriété vérifiée par sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 872]
Soient $\Omega$ un ouvert de $\R$, $K$ une partie compacte non vide de $\Omega$, $f$ une fonction de classe $C^2$ de $\Omega$ dans $\R$.
 - On suppose que $\Delta f\gt 0$. Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum local.
 - On suppose que $\Delta f\geq 0$. Montrer que $\max_Kf=\max_{\mbox{\footnotesize{\bf FT}}(K)}f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 873]
Soient $R\in\R^{+*}$, $D_R=\{(x,y)\in\R^2\ ;\ x^2+y^2\lt R^2\}$, $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite complex telle que $\sum a_nz^n$ ait pour rayon de convergence $R$. Pour $(x,y)\in D_R$, on pose $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n(x+iy)^n$. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ et harmonique sur $D_R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 874]
Soient $A\in S^{++}_n(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose $:f:X\in\R^n\mapsto X^TAX-2B^TX$.
 - Calculer $\nabla f(X)$.
 - Montrer que $f$ admet un minimum global et le déterminer.
 - Soit $(X_k)$ une suite de vecteurs non nuls vérifiant

$\forall k\in\N,X_{k+1}=X_k-\frac{\|\nabla f(X_k)\|}{X_k^TAX_{ k}}\nabla f(X_k)$. On suppose que la suite $(X_k)$ est convergente.

Déterminer sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 875]
Pour $x=(x_0,\ldots,x_n)$ et $y=(y_0,\ldots,y_n)$ dans $\R^{n+1}$, on pose

$f(x,y)=\left(\sum_{0\leq i,j\leq n\atop i+j=k}x_iy_j\right)_{k \in[0,2n]}\in\R^{2n+1}$.
 - Soient $x,y\in(\R^{n+1}$ non nuls. Montrer que $f(x,y)$ est non nul.
 - Soient $u$ et $v$ les applications de $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ dans $\R^{2n+1}$ définies par $u:x\mapsto f(x,x)$ et $v:x\mapsto\frac{f(x,x)}{\|f(x,x)\|}$ ou $\|\ \|$ est la norme euclidienne canonique sur $\R^{2n+1}$. Calculer les différentielles de $u$ et $v$.
 - Soit $x\in\R^{n+1}$ non nul. Calculer $\op{rg}\left(\op{d}\!v(x)\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 876]
${}^{\bigstar}$ Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ différentiable telle que : i) pour tout $x\in\R^n$, $\op{d}\!f(x)$ est injective ; ii) $\|f(x)\|\underset{\|x\|\to+\i}{\longrightarrow}+\i$.

Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$.
 - Calculer $\op{d}\!g$. - Montrer que $g$ admet un minimum.
 - En déduire que $f$ est surjective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 877]
Soient $U$ un ouvert convexe de $\R^n$ et $f:U\to\R$ une fonction de classe $C^1$.
 - Montrer que $f$ est convexe si et seulement si $f(y)-f(x)\geq df_x(y-x)$ pour tous $x,y\in U$. Que donne cette caracterisation dans le cas ou $n=1$?
 - Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrer que $\Phi$ atteint sa borne inférieure en un unique élément de $E$, que l'on precisera.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 878]
Soit $E=\M_n(\R)$ muni de la norme euclidienne canonique.

On pose $f:M\in E\mapsto\|M\|^2=\mathrm{tr}(M^TM)$ et $g:M\in E\mapsto\det M-1$. On note $h$ la restriction de $f$ a $\mathrm{SL}_n(\R)$.
 - Justifier que $f$ et $g$ sont de classe $\mc C^1$ et calculer leur gradient en une matrice $M\in\mathrm{SL}_n(\R)$.
 - Montrer que $f$ admet un minimum sur $\mathrm{SL}_n(\R)$. Soit $M_0$ une matrice ou il est ateint.
 - Soit $H\in\M_n(\R)$ orthogonale au gradient de $g$ en $M_0$. Montrer qu'il existe un chemin $\gamma$ de classe $\mc C^1$ défini sur un voisinage de $0$ dans $\R$, a valeurs dans $\mathrm{SL}_n(\R)$ tel que $\gamma(0)=M_0$ et $\gamma'(0)=H$.
 - Montrer que $(\nabla f_{M_0})^{\perp}=(\nabla g_{M_0})^{\perp}$.
 - Calculer le minimum de $h$ sur $\mathrm{SL}_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 879]
Si $n\in\N^*$, déterminer $T_{I_n}\mathrm{SO}_n(\R)$, puis, si $M\in\mathrm{SO}_n({}_R)$,$T_M\mathrm{SO}_n(\R)$.
#+end_exercice

** Probabilités

# ID:6954
#+begin_exercice [Mines 2023 # 880]
On tire au hasard un élément $A$ de $P(\db{1,n})$. Calculer la probabilité que $\op{Card}A$ soit un entier pair.
#+end_exercice

# ID:4917
#+begin_exercice [Mines 2023 # 881]
Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux urnes contenant chacune des boules numérotées de $1$ à $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 882]
Un couple met au monde quatre enfants. Chaque enfant a la probabilité $p\in]0,1[$ d'être une fille, et les naissances sont indépendantes. On considère les évènements $A$ : le dernier est une fille, $B$: le couple a autant de filles que de garcons: $C$ : les garcons naissent toujours apres une fille.
 - Les évènements $A$ et $B$ (resp. $A$ et $C$) sont-ils indépendants?
 - Les évènements $A,B,C$ sont-ils mutuellement indépendants?
#+end_exercice

# ID:6955
#+begin_exercice [Mines 2023 # 883]
Soit $p\in]0,1[$. Dans un sac contenant $n$ jetons numérotes de $1$ a $n$, on tire $S$ jetons ou $S$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètre $n$ et $p$. Quelle est la probabilité d'obtenir $n$ jetons de numéros consécutifs?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 884]
On lance une piece jusqu'a obtenir deux piles de plus que de faces ou deux faces de plus que de piles. On note $p\in]0,1[$ la probabilité que la piece donne pile. On note $X$ la variablealéatoire associée au nombre de lancers. Déterminer la loi de $X$ et montrer que $X$ est presque surement finie. La variable aléatoire $X$ est-elle d'espérance finie?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 885]
Une urne contient $n\in\N^*$ boules noires et $b\in\N^*$ boules blanches. On tire successivement et sans remise les boules. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le rang de la derniere boule blanche titée. Calculer la loi, l'espérance et la variance de $X$.
#+end_exercice

# ID:6886
#+begin_exercice [Mines 2023 # 886]
On considère une urne qui contient une proportion $p\in\,]0,1[$ de boules blanches. On effectue un tirage avec remise des boules. Soit $X_n$ la variable donnant le nombre de tirages successifs nécessaires pour obtenir $n$ boules blanches. Donner la loi de $X_1$ ainsi que sa fonction génératrice $\mc{G}_{X_1}$. En déduire $\mc{G}_{X_n}$. Loi et espérance de $X_n$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 887]
On considère une urne remplie avec des boules numérotées de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise.
 - Calculer la probabilité que les boules impaires soient tires exactement dans l'ordre $1,3,\ldots,2n-1$.
 - Soit $X$ la variable correspondant au nombre de tirages nécessaires pour obtenir toutes les boules impaires. Déterminer la loi et l'espérance de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 888]
Soit $n\geq 2$. On place $n$ boules numérotées de $1$ a $n$ dans une urne et l'on realise des tirages successifs avec remise. On note $X$ le rang du tirage donnant pour la premiere fois un numéro supérieur ou égal aux precedents.
 - Déterminer la loi de $X$.
 - Calculer l'espérance et la variance de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 889]
Une urne contient $n+1$ boules numérotées de $0$ à $n$. On y effectue des tirages avec remise. On pose $X_1=1$. Pour $i\geq 2$, $X_i$ est la variable de Bernoulli égale à $1$ si le numéro de la boule tirée au $i$-eme tirage n'avait jamais été obtenu avant. On pose, pour $i\in\N^*$, $Y_i=X_1+\cdots+X_i$.
 - Déterminer la loi des $X_i$.
 - Calculer l'espérance et la variance de $Y_i$. Donner un équivalent de $\mathbf{E}(Y_n)$.
 - Pour $(i,j)\in(\N^*)^2$, calculer $\mathbf{P}(X_i=1,X_j=1)$.
 - Étudier l'indépendance des $X_i$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $P(X_i = 1) = \sum_{k=0}^n P(X_i = 1 \cap T_i = k)$ et $P(X_i = 1 \cap T_i = k) = \frac{(k-1)^{i-1}}{k^{i-1}} \frac{1}{n+1}$.
 2. On peut trouver directement la loi de $Y_i$.
 3.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 890]
Soit $(J_n)_{n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilité $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un même joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'évènement \lt \lt  le $n$-ième match est joue \gt \gt . Déterminer la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 891]
On suppose que lorsqu'un enfant natt, il a une chance sur deux d'être un garcon. Dans une famille donnée, le nombre d'enfants est la variable aléatoire $Z$ et le nombre de filles est $X$.
 - Montrer que : $\forall t\in[0,1],G_X(t)=G_Z\left(\frac{1+t}{2}\right)$.
 - Expliciter la loi de $X$ si $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 892]
Une puce se trouve sur l'origine de $\Z^2$. À chaque etape, elle saute aléatoirement dans l'une des quatre directions. On note $X_n$ l'abscisse de la puce a l'etape $n$. Calculer $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{E}(X_n^2)$.
#+end_exercice

# ID:6855
#+begin_exercice [Mines 2023 # 893]
On munit $\mc{S}_n$ de la probabilité uniforme. Calculer la probabilité $\pi_n$ que $\sigma\in\mc{S}_n$ ait un cycle de longueur strictement supérieure a $\frac{n}{2}$ dans sa decomposition en produit de cycles à supports disjoints. Déterminer un équivalent de $\pi_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 894]
Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramètre $p\in\,]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$.
 - Calculer $\mathbf{P}(Y=0)$.
 - Déterminer la loi de $Y$.
 - Montrer que $Y$ est d'espérance finie et calculer $\mathbf{E}(Y)$.
 - Montrer que $Y$ possède un moment d'ordre 2 et calculer $\mathbf{V}(Y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 895]
- Déterminer la loi de la somme de $n$ variables géométriques de paramètre $p\in]0,1[$, indépendantes et identiquement distribuées.
 - Soit $p\in]0,1[$. On lance des des tels que la probabilité de tomber sur $6$ en jétant un de est $p$. Soit $X$ la variable aléatoire égale au rang du $n$-ième $6$. Déterminer la loi et l'espérance de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 896]
Soient $n\in\N^*$, $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Pour $m\in\db{1,n}$, on note $X_m=\min\left\{k\in \db{1,n},\ \sigma(k)\geq m\right\}$ et $Y_m=\max\left\{k\in\db{1,n},\ \sigma(k)\geq m\right\}$. Calculer la loi de $X_m$ et $Y_m$, et leur espérance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 897]
Soient $\lambda\gt 0$ et $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Soient $b\in\N^*$ et $Y$ le reste de la division euclidienne de $X$ par $b$. Déterminer la loi de $Y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 898]
Soit $p\in\,]0,1[$. Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. vérifiant :

$\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_k=-1)=1-p$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que $p=\dfrac{1}{2}$ si et seulement si : $\forall n\in\N^*,\max_{k\in\Z}\mathbf{P}(S_{2n}=k)=\mathbf{P}( S_{2n}=0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 899]
Soient $A,B,C$ des variables aléatoires indépendantes telles que $A$ suive la loi de Rademacher, et $B$ et $C$ la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$.
 - Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette deux racines réelles distinctes.
 - Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette une unique racine réelle.
 - Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ n'admette aucune racine réelle.
 - Cette derniere probabilité peut-être égale a $\dfrac{1}{2}$? Dans ce cas, donner une valeur approchée de $p$ a $10^{-1}$ pres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 900]
On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi de poisson de paramètre $\lambda$ et on pose $Y=X^2+1$. - Calculer l'espérance de $Y$.
 - Calculer la probabilité de l'évènement $(2X\lt Y)$.
 - Comparer les probabilités des évènements $(X\in 2\N)$ et $(X\in 2\N+1)$.
#+end_exercice


# ID:6985
#+begin_exercice [Mines 2023 # 901]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $[a,b]$, d'espérance $\mathbf{E}(X)=m \in [a,b]$.
 - Montrer que $\mathbf{V}(X)\leq (m-a)(b-m)$.
 - Montrer que cette inégalité est optimale.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Écrire $(X-a)(b-X)\leq 0$.
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 902]
Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $b\in\M_{n,1}(\R)$. On pose $M=\begin{pmatrix}A&b\\ b^T&c\end{pmatrix}$ et on suppose que les racines du polynôme caracteristique de $M$ ne sont pas toutes simples.
 - Montrere que $M$ admet un vecteur propre de la forme $V=(v_1,...,v_n,0)^T$.
 - Montrere que $(v_1,...,v_n)^T$ est vecteur propre de $A$ et orthogonal a $b$.
 - Soient $X_1,...,X_5$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p\in]0,1[$.

On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$. Montrere que la probabilité que le polynôme caracte-ristique de la matrice $N$ n'ait que des racines simples est supérieure ou égale a $3p^3-2p^4$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 903]
Soit $p\geq 3$ premier. Soit $K=\big{\{}x^2,\ x\in\Z/p\Z\big{\}}$.
 - Denombrer le cardinal de $K$.
 - Soient $A$, $B$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\Z/p\Z$. Soit $N$ variable aléatoire comptant le nombre de solutions de $(E)\colon\ X^2+AX+B=0$. Déterminer l'espérance et la variance de $N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 904]
Caractériser les couples $(X,a)$ avec $X$ variable aléatoire discrète complexe et $a\in\C$ tels que $X\sim aX$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 905]
Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilité $\mathbf{P}_{\alpha}$ définie par $\mathbf{P}_{\alpha}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(\alpha)n^{\alpha}}$ pour $n\geq 1$.
 - Calculer $\mathbf{P}_{\alpha}(m\N^*)$ pour $m\geq 1$.
 - On note $(p_k)_{k\geq 1}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrer que les $p_k\N^*$ sont mutuellement indépendants.
 - En déduire la formule d'Euler $\zeta(\alpha)=\prod_{k=1}^{+\i}\left(1-\dfrac{1}{p_k^{\alpha}} \right)^{-1}$.
#+end_exercice

# ID:7356
#+begin_exercice [Mines 2023 # 906]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de même loi et d'espérance finie.
 1. On suppose $X$ et $Y$ indépendantes. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$.
 2. Même question, sans l'hypothèse d'indépendance.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Si $X,Y$ sont indépendantes, c'est du Cauchy-Schwarz.
 2. C'est du réordonnement. Si $X$ est à valeurs finies, de plus grande valeur $a_1$, et si l'évènement $(X = a_1, Y = a_2)$ est de probabilité $\gt 0$, alors il existe $a_3$ tel que $(X = a_3, Y = a_1)$ soit possible, en notant $p$ la plus petite des deux probabilités, on peut annuler l'un des évènements en changeant la répartition (en ajoutant du $(X = x_3, Y = a_2)$). Cela diminue l'espérance, du moment que $(a_1 - a_2) (a_1 - a_3)\geq 0$.

    On peut obtenir le cas $X,Y$ à valeurs dénombrable par limite…
#+END_proof


#+begin_exercice [Mines 2023 # 907]
Soit $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$.

On pose $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n),\beta_n=\mathbf{E}(Z_n)$.
 - Étudier la monotonie des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$. - Exprimer $\alpha_n$ en fonction de $n$.
 - Déterminer la limite de $(\beta_n)$ puis un équivalent simple.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 908]
Soient $p,q\in]0,1[$. On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$, indépendantes, suivant les lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Soit $M=\begin{pmatrix}X&1\\ 0&Y\end{pmatrix}$. Quelle est la probabilité que $M$ soit diagonalisable?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 909]
Soient $p\in]0,1[$, $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$.
 - Montrer que la variable $Y$ suit une loi géométrique.
 - Montrer que les variables $Y$ et $2Y-X$ sont indépendantes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 910]
Soient $n\in\N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,d}$. Pour $j\in\{1,\ldots,n\}$, on pose $Y_j=|\{i\in\db{1,n},\;X_i=j\}|$.
 - Déterminer la loi de $Y_j$.
 - Soient $i,j\in\db{1,n}$ avec $i\neq j$ et $k,\ell\in\db{1,n}$. Calculer $\mathbf{P}(Y_i=k,Y_j=\ell)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 911]
Soit $X$ une variable aléatoire discrète a valeurs dans $\R^{+*}$ telle que $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X}\right)\lt +\i$.

Pour tout $t\in\R^+$, on pose : $F_X(t)=\mathbf{E}(e^{-tX})$.
 - Montrer que $F_X$ est bien définie (a valeurs réelles) et continue.
 - Montrer la convergence et calculer $\int_0^{+\i}F_X(t)\,dt$.
 - Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre $p\in\\interval]{0, 1}[$. Calculer $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X+Y}\right)$.
 - Généraliser a $m$ variables i.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 912]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,2\}$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$.

Pour $n\in\Z$, soit $A_n=(\exists k\geq 0,\;S_k=-n)$ et $p_n=\mathbf{P}(A_n)$.
 - Exprimer $\mathbf{P}(\exists k\gt 0,\;S_k=0)$ en fonction de $p_{-1}$ et de $p_2$.
 - Trouver une relation entre $p_{n+2}$, $p_n$ et $p_{n-1}$.
 - En déduire la valeur de $p_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 913]
Soient $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X_n)_{k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que, pour toute partie finie $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(S_n\in A)\lt +\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 914]
Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de paramètre $1/2$.
 - Donner la loi de $Z_n=\sum_{k=0}^n2^{n-k}X_k$.
 - Déterminer $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 3^n)$ et $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 2^n)$.
#+end_exercice

# ID:6888
#+begin_exercice [Mines 2023 # 915]
Soit $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $\R^+$.
 - Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}0$.
 - On suppose que ${\bf E}(X)\lt +\i$. Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$.
 - Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables aléatoires. On pose, pour $n\in\N^*$, $R_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$.
   - Donner un équivalent de ${\bf E}(R_n)$ lorsque les $X_i$ suivent la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$.
   - Dans le cas général, montrer que ${\bf E}(R_n)=o(n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 916]
Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. On suppose que chaque variable aléatoire $X_i+1$ suit la loi géométrique de paramètre $p\in\,]0,1[$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$.
 - Déterminer la loi de $S_n$.
 - Déterminer $M_n=\max\left\{{\bf P}(S_n=k),\ k\in\N\right\}$ puis un équivalent simple de $M_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 917]
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on déterminera tel que :

$\forall\eps\gt 0$, ${\bf P}\left(\left|\frac{1}{\ln(n)}\max_{1\leq k\leq n}X_k-\alpha \right|\geq\eps\right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$.
#+end_exercice

# ID:6887
#+begin_exercice [Mines 2023 # 918]
Soit $g\colon t\mapsto\frac{e^t}{(1+e)-t}$
 - Montrer que $g$ est la fonction génératrice d'une variable aléatoire $X$ a valeurs dans $\N$.
 - Soit $(X_{i,j})_{1\leq i\lt j\leq n}$ une famille i.i.d. de variables aléatoires de même loi que $X$. Déterminer la probabilité que
   $$M=\left(\begin{array}{cccc}0&X_{1,2}&\ldots&X_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&X_{n-1,n}\\ 0&\ldots&\ldots&0\end{array}\right)$$ ait un nombre fini de sous-espaces stables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 919]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On pose $U=(X_1\ \cdots\ X_n)$ et $M=U^TU$.
 - Déterminer la loi des variables aléatoires $\op{tr}(M)$ et $\op{rg}(M)$.
 - Calculer la probabilité que $M$ soit une matrice de projection.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 920]
 Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes, strictement positives, $L^2$ et telles que : $\forall n\in\N$, $\mathbf{E}(X_n)=1$. On dit que $(X_n)$ converge en probabilités vers $0$ si : $\forall\alpha\gt 0,\mathbf{P}(X_n\geq\alpha)\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=1}^nX_i$.
 - Soient $\lambda\in[0,1]$ et $X\in L^2$ telle que $\mathbf{E}(X^2)\gt 0$.

   Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$.
 - Montrer que $\mathbf{E}(\sqrt{P_n})\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$ si et seulement si $(X_n)$ converge vers $0$ en probabilités.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 921]
- Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ une famille i.i.d. de variables aléatoires de Rademmacher, $S=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que, si $t\in\R^+$, $\mathbf{E}(e^{tS})\leq\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2}\right)$. En déduire que, si $a\in\R^{+*}$, $\mathbb{P}(|S|\geq a)\leq 2e^{-\frac{a^2}{2n}}$.
 - Généraliser au cas ou les $X_k$ sont des variables aléatoires discrètes i.i.d, a valeurs dans $[-1,1]$ et centres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines 2023 # 922]
Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. possedant un moment d'ordre $4$. On pose : $m=\mathbf{E}(X_i)$ et $V_4=\mathbf{E}((X_i-m)^4)$.
 - Justifier la bonne définition (dans $\R$) de $m$ et $V_4$.

Pour $\eps\gt 0$, on pose : $A_n^{\eps}=\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-m) \right|\geq\eps\right)$.
 - Montrer que $\mathbf{P}(A_n^{\eps})\leq\dfrac{3V_4}{n^2\eps^4}$.
 - Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{n=1}^{+\i}\bigcup_{p=n}^{+\i}A_p^{ \eps}\right)=0$.
 - Montrer que $\mathbf{P}\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\underset{n\to+ \i}{\longrightarrow}m\right)=1$.
#+end_exercice

** Mines PSI
*** Algèbre

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 923]
Soit $P\in\Z[X]$ tel que $\forall k\in\Z$, $P(k)$ est premier. Montrer que $P$ est constant.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 924]
Montrer qu'il existe $(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\R^n$ tel que

$\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $P(X+n)+\sum_{k=0}^{n-1}a_kP(X+k)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 925]
Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'équation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$.
 - Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallèlement a $u$.
 - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D)\colon\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 926]
Soit $E=\R_n[X]$. On considère les polynômes $E_k=\binom{n}{k}X^k(1-X)^{n-k}$, $0\leq k\leq n$.
 - Montrer que $(E_k)_{0\leq k\leq n}$ est une base de $E$.
 - Calculer $\sum_{k=0}^nkE_k$ et $\sum_{k=0}^nk^2E_k$.
 - Comment aurait-on pu prévoir les résultats obtenus?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 927]
Résoudre dans $\M_n(\R)$ l'équation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 928]
Soit $M=\left(\begin{array}{c|c}A&A\\ \hline A&B\end{array}\right)$ avec $A,B\in\M_n(\R)$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit inversible. Calculer alors $M^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 929]
Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente d'indice $n$.
 - Justifier l'existence d'un vecteur $X_0\in\M_{n,1}(\R)$ tel que $A^{n-1}X_0\neq 0$. En déduire que la famille $(X_0,AX_0,\ldots,A^{n-1}X_0)$ est libre.
 - Montrer que $A$ est semblable a $J_n=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\ 1&\ddots&&&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$.

_c) i)_: Soit $\lambda\in\C^*$. Montrer que $\lambda(e^{J_n}-I_n)$ est nilpotente. Preciser son indice de nilpotence.
 - Montrer qu'il existe $P\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=\lambda P^{-1}e^{J_n}P$.
 - En déduire qu'il existe $B\in\M_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=e^B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 930]
${}^{\bigstar}$ Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$ nilpotent, $F$ est sous-espace vectoriel de $E$ tel que $u(F)\subset F$. On suppose que $E=F+\text{Im}(u)$. Montrer que $E=F$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 931]
- Soit $P\in\text{GL}_n(\C)$, que l'on decompose en $P=Q+iR$ avec $P$ et $Q\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$, tel que $Q+\lambda R\in\text{GL}_n(\R)$.
 - En déduire que deux matrices $A$ et $B$ réelles, semblables sur $\C$, sont semblables sur $\R$.
 - Soient $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $A^3=B^3=I_n$ et $\text{tr}(A)=$tr$(B)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 932]
Diagonaliser $A=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ 1&\cdots&1&1\end{pmatrix}\in\M_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1201]
 On considère un dé équilibré à $n$ faces. Les lancers se modélisent par une suite $(X_n)_{i\geq 1}$ i.i.d de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$.

Pour $k\in\db{1,n}$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$.
 - Déterminer la loi de $T_k$.
 - Donner un équivalent, quand $n\to+\i$, du nombre moyen $M_n$ de lancers nécessaires pour obtenir toutes les faces.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1202]
Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme sur $\db{1\,;\,N}$.
 - Montrer que les évènements $(p_k|X_1)\colon\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont indépendants pour $k\in\db{1\,;\,m}$.
 - Pour $k\in\db{1\,;\,m}$, calculer $\mathbf{P}(p_k|X_1$ et $p_k|X_2)$.
 - Calculer la probabilité de l'évènement $\triangleleft X_1$ et $X_2$ sont premiers entre eux $\mathchar 13334\relax$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1203]
Soit $n\in\N^*$. On munit $\db{1\,;\,n}$ de la probabilité uniforme.
 - Soit $a$ un diviseur de $n$, on note $D(a)$ l'ensemble des multiples de $a$ qui se trouvent dans $\db{1\,;\,n}$. Calculer $\mathbf{P}(D(a))$.
 - On note $p_1,\ldots,p_k$ les diviseurs premiers (distincts) de $n$. Montrer que $D(p_1),\ldots,D(p_k)$ sont mutuellement indépendants.
 - Soit $B$ l'ensemble des entiers dans $\db{1\,;\,n}$ qui sont premiers avec $n$. Calculer $\mathbf{P}(B)$ a l'aide de $p_1,\ldots,p_k$.
 - On note $\phi(n)$ le nombre d'entiers dans $\db{1\,;\,n}$ qui sont premiers avec $n$. Montrer que $\phi(n)=n\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\text{ premier}\\ \text{p divise }n\end{subarray}}\frac{p-1}{p}$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1204]
Soit $X$ une variable aléatoire discrète a valeurs réelles. Soient $b\gt 0$ et $I$ un intervalle de $\R$. Soit $g\colon\R\to\R^+$ une fonction telle que $g(x)\geq b$ pour tout $x\in I$.
 - Montrer que $\mathbf{P}(X\in I)\leq\frac{\mathbf{E}(g(X))}{b}$.
 - On suppose que $X$ a un ecart-type $\sigma$ et que $\mathbf{E}(X)=0$.

Montrer $\colon\forall t\gt 0,\,\mathbf{P}(X\gt t)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}$.

Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un réel $c\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1205]
Soient $X,Y$ deux variables aléatoires discrètes a valeurs dans $\R^{+*}$, indépendantes et identiquement distribuées. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. À quelle condition a-t-on égalité?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1206]
Les variables aléatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\db{1\,;\,n})$ et elles sont indépendantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1207]
- Soit $(A_n)_{n\in\N^*}$ une suite d'évènements. Montrer que $B\colon\triangleleft$ II existe un rang a partir duquel $A_n$ est vraie $\mathchar 13334\relax$ est un évènement et que $B=\bigcup\limits_{n\in\N^*}\left(\bigcap\limits_{k\geq n}A_{k }\right)$.
 - Soient $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles de même loi que $X$.On suppose $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^4)\lt +\i$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
 - Calculer $\mathbf{E}({S_n}^4)$ en fonction de $n$, $\mathbf{E}(X^2)$ et $\mathbf{E}(X^4)$.
 - En déduire que pour tout $\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\bigcap_{k\geq n}\left(\left|\frac{S_{ k}}{k}\right|\leq\eps\right)\right)=1$ et que, presque sûrement, $\lim_{n\to+\i}\frac{S_n}{n}=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1208]
Soit $\alpha\gt 0$.
 - Montrer l'existence d'une variable aléatoire $X$ valeurs dans $\N$ de fonction génératrice $G_X\left(t\right)=\frac{1}{\left(2-t\right)^{\alpha}}$.
 - Donner un équivalent de $\mathbf{P}\left(X=n\right)$ quand $n\to+\i$.
 - Pour $\lambda\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}\left(X\geq\lambda+\alpha\right)\leq\frac{2\alpha}{\lambda ^2}$.
#+end_exercice


* Centrale                                                             :cent:
** Algèbre

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1209]
On considère, pour $n\in\N$, $C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$.
 - Montrer que, pour tout $n\in\N$, $C_n\in\N^*$.
 - Calculer $\sum_{k=0}^nC_kC_{n-k}$.
 - Donner tous les entiers tels que $C_n$ soit pair. En déduire tous les entiers tels que $C_n$ soit impair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1210]
Pour $n\in\N^*$, on note $\mc{P}(n)$ l'ensemble des nombres premiers inférieurs ou égaux a $n$ et $P_n=\prod_{p\in\mc{P}(n)}p$.
 - Montrer que $\forall n\geq 2$, $\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\lt \binom{2n}{n}\lt 4^n$.
 - Montrer que $\forall n\geq 1$, $\binom{2n+1}{n}\lt 4^n$.
 - Montrer que $\forall n\in\N$, $P_{2n+1}\lt 4^nP_{n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1211]
Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini commutatif tel que le nombre d'automorphismes de $G$ est $3$.

 - Donner la définition d'un automorphisme. Montrer que $\phi\colon x\mapsto x^{-1}$ est un automorphisme de $G$.
 - Montrer que, pour tout $x\in G$, $x^2=e$.
 - Montrer que $G$ possède un sous-groupe $V$ d'ordre $4$ et préciser les automorphismes de $V$.
 - Montrer que $G = V$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
 - Les automorphismes forment un groupe. S'il est de cardinal trois, il ne peut pas avoir d'élément d'ordre 2, donc $\phi$ est l'identité.
 - Si on prend deux éléments quelconques, ils engendre un groupe de cardinal $4$. Le groupe des automorphismes est bien de cardinal 3.
 - Revient à montrer que $G = (\Z/2Z)^n$.
#+END_proof


#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1212]
 Soient $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 3$[4] et $C=\{x\in\Z/p\Z,\ \exists y\in\Z/p\Z,\ x=y^2\}$.
 - Rappeler l'énonce du petit théorème de Fermat. Montrer que $-1\notin C$.

On pose $\pi_x=\prod_{y\in C\setminus\{x\}}(x+y)$ pour $x\in C\setminus\{0\}$ et $\pi=\prod_{x\neq y\in C}(x+y)$.
 - Déterminer le cardinal de $C$.
 - Montrer que $\forall x\in C\setminus\{0\}$, $\pi_x=\pi_1$.
 - Calculer $\pi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1213]
On pose $u=2+\sqrt{3}$, $v=2-\sqrt{3}$.

Pour $n\in\N$, on note $M_n=2^n-1$ et $s_n=u^{2^n}+v^{2^n}$.
 - Montrer que, si $M_n$ est premier, alors $n$ est premier.
 - Montrer que, pour $n\in\N$, $s_{n+1}=s_n^2-2$. Qu'en déduire sur le suite $(s_n)_{n\in\N}$?
 - Soit $q$ un nombre premier. On munit l'ensemble $B=(\Z/q\Z)^2$ des deux lois de composition interne définies par :

$(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et $(x,y)\cdot(x',y')=(xx'+3yy',xy'+x^{ '}y)$.
 - Montrer que les deux lois précédentes munissent $B$ d'une structure d'anneau commutatif fini.
 -  Montrer que, si $3$ n'est pas un carré modulo $q$, alors l'anneau precedent est un corps.
 -  On note $A=\Z+\sqrt{3}\Z$. Montrer que l'application $\pi$ définie par $\pi(a+b\sqrt{3})=(\overline{a},\overline{b})$ est bien définie et est un morphisme surjectif d'anneaux de $A$ dans $B$.
 - On suppose $n$ premier. Montrer que, si $M_n$ divise $s_{n-2}$ alors $M_n$ est premier.

Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considérant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et déterminer l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des éléments inversibles de l'anneau $B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1214]
Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est noethérien lorsque tous ses idéaux sont engendres par une partie finie de $A$.
 - Les anneaux $\Z$ et $\R[X]$ sont-ils noethériens?
 - Montrer que $A$ est noethérien si et seulement si toute suite croissante d'idéaux est stationnaire.
 - Soit $A$ un anneau non commutatif. On dit que $\mc{I}$ est un ideal a gauche de $A$ lorsque $\mc{I}A\subset\mc{I}$ (définition similaire pour un ideal a droite). Soit $A$ noethérien, c'est-a-dire que tous les idéaux, a droite ou a gauche, de $A$ sont de type fini. Montrer que l'inversibilité a gauche équivaut a l'inversibilité a droite, i.e. $\forall a\in A,\Big{(}\exists b\in A,\ ab=1\Longleftrightarrow\exists b\in A,\ ba=1 \Big{)}$.

Ind. Considérer $\phi:x\mapsto ax$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1215]
 - Soit $G$ un groupe commutatif fini. Si $a$ et $b$ sont deux éléments de $G$ d'ordre premiers entre eux, quel est l'ordre de $ab$?
 - Soit $G$ un groupe commutatif fini. Montrer qu'il existe un élément de $G$ dont l'ordre est le ppcm des ordres des éléments de $G$.
 - Soit $p$ un nombre premier. Montrer que le groupe $\mathbb{F}_p^*$ est cyclique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1216]
Soit $(T_n)_{n\in\N}$ la suite de polynômes réels définie par $T_0(X)=1,\ T_1(X)=X$ et pour $n\in\N,\,T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)$.
 1. Montrer que, pour $n\in\N$, $\forall\theta\in\R$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$.
 2. Montrer que $T_n\circ T_m=T_m\circ T_n$ pour $(m,n)\in\N^2$.
 3. Montrer que, pour $n\geq m$, $2T_nT_m=T_{n+m}+T_{n-m}$.

    On considère l'équation différentielle $(E)\colon (1-x^2)P^{' 2}=n^2(1-P^2)$.
 3. [@4] Montrer que, pour $n\in\N$, $T_n$ et $-T_n$ sont solutions de $(E)$ sur $\R$.
 4. Montrer que tout polynôme solution de $(E)$ est de degré $n$, puis déterminer les polynômes solution de $(E)$ sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1217]
Soient $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$ et $b_1\lt b_2\cdots\lt b_p$ des réels et $M=(e^{a_ib_j})_{1\leq i,j\leq p}$.
 - Calculer $\det M$ lorsque $b_k=k-1$ pour tout $k$.
 - Montrer que $M$ est inversible, puis que $\det M\gt 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1218]
 - Rappeler la définition de l'indicatrice d'Euler, exprimer $\phi(n)$ en fonction de sa decomposition en facteurs premiers.
 - Pour $n\geq 2$, calculer $\sum_{d|n}\phi(d)$ (la somme étant restreinte aux diviseurs positifs).
 - En déduire le déterminant de $A$, ou $A_{i,j}=i\wedge j$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1219]
Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, l'on ait $\left(f(a_{ij})\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{ R})$.
 - À l'aide des matrices $U_{x,y}=\left(\begin{array}{cc}x&1\\ y&1\end{array}\right)$, montrer que $f$ est injective.
 - En utilisant l'ensemble $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x\lt y\}$, en déduire que $f$ est strictement monotone.
 - On suppose que $f(\R)=\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $a\in\R$ tel que, pour tous $x,y\in\R$, il existe $z_{x,y}\in\R$ tel que $f(x)f(y)=f(a)f(z_{x,y})$, et conclure a une absurdite.
 - Traiter de même le cas $f(\R)=\R^{-*}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1220]
 - Rappeler la formule de développement d'un déterminant par rapport a une ligne ou une colonne. En déduire, pour $A\in\M_n(\R)$, une relation entre $\mathrm{Com}\,A$, $A$ et $\det A$.
 - Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de $\M_n(\R)$ définie par : $a_{i,i}=2$, $a_{i,j}=-1$ si $|i-j|=1$ et $a_{i,j}=0$ dans tout autre cas. Calculer le déterminant de $A$.
 - Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs, dont les autres coefficients sont negatifs et telle que $\sum_{j=1}^na_{i,j}\gt 0$ pour tout $i$. Montrer que $A$ est inversible.
 - Montrer que les coefficients de $A^{-1}$ sont positifs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1221]
Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)$.
 - Montrer que, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.
 - Trouver les endomorphismes $h$ de $\M_n(\R)$ qui vérifient, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $f(F(A),B)=f(A,h(B))$.
 - Dans cette question, on suppose que $n=2$. Soit $h\colon\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\in{\cal M}_2(\R)\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}a+c &b+d-a-c\\ c&d-c\end{array}\right)$. Déterminer les endomorphismes $k$ de ${\cal M}_n(\R)$ tels que $f(h(A),B)=f(A,k(B))$ pour tout $(A,B)\in{\cal M}_n(\R)^2$. Parmi eux, preciser ceux qui sont trigonalisables, diagonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1222]
- Enoncer et démontrer la caracterisation du rang par les matrices extraites.
 - Soit $\Omega_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices $M=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de ${\cal M}_n(_K)$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, la matrice $M_k:=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq k}$ soit inversible. Si $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, montrer que $\Omega_n$ est un ouvert de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$.
 - Montrer qu'une matrice $M$ de ${\cal M}_n(_K)$ appartient a $\Omega_n(\mathbb{K})$ si et seulement si $M$ s'écrit $TT'$ ou $T$ (resp. $T'$) est une matrice de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ triangulaire inférieure (resp. supérieure) inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1223]
Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&&\vdots\\ a_n&0&\ldots&0\end{array}\right)\in{\cal M}_n(\R)$
 - Donner la définition du polynôme minimal $\pi_A$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
 - Calculer $\det(A)$ et $A^2$.
 - Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si ${\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^2)$. Donner une condition sur les $a_1,\ldots,a_n$ pour que $A$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1224]
On se place dans ${\cal M}_n(\C)$.
 - Montrer que toute matrice est trigonalisable sur $\C$.
 - Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ et $D={\rm Diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Montrer qu'il existe un polynôme $f$ tel que pour tout $i\in\db{1,n}$, $f(\alpha_i)^2=\alpha_i$. En déduire que $f(D)^2=D$.

   On considère la suite $(c_k)_{k\in\N}$ définie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_{k+1}=\sum_{i=0}^kc_ic_{k-i}$ et le polynôme $\phi=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}$.
 - Déterminer le reste de la division euclidienne de $\phi^2$ par $X^n$.
 - Trouver un polynôme $g$ tel que, pour toute matrice nilpotente $N\in{\cal M}_n(\C)$, on ait $g(N)^2=I_n+N$.
 - Soit $A$ une matrice inversible. Montrer qu'il existe $R\in\C[A]$ telle que $R^2=A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1225]
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. On note $E_i$ ses sous-espaces propres et $n_i=\dim E_i$.
 - Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^rE_i$.
 - Soit $g$ un endomorphisme de $E$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
 - $g$ commute avec $f$,   -  pour tout $i\in\db{1,r}$, $g(E_i)\subset E_i$.En déduire que la dimension du commutant de $f$ est $\sum_{i=1}^r{n_i}^2$.
 - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$, montrer que la dimension du commutant de $A$ est supérieure ou égale a $n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1226]
Soit $A\in{\cal M}_d({\C})$. On note $\rho(A)=\max_{\lambda\in{\rm Sp}(A)}|\lambda|$. On pose, pour $n\in{\N}$, $u_n=\sqrt[n]{|{\rm tr}\,(A^n)|}$.
 - Si ${\rm Sp}(A)$ est un singleton, montrer que $(u_n)$ converge vers $\rho(A)$.
 - Donner un exemple de matrice dans ${\cal M}_2({\C})$ telle que $(u_n)$ ne converge pas.

On suppose maintenant que $A$ a au moins deux valeurs propres distinctes.
 - Soit $z\in{\C}$ tel que $|z|=1$. Montrer que $1$ est valeur d'adhérence de $(z^n)$. Montrer que $\rho(A)$ est valeur d'adhérence de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1227]
Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Pour toute partie $A\subset{\cal L}(E)$, on note ${\cal C}(A)=\{u\in{\cal L}(E)\;;\;\forall v\in A,\;u\circ v=v\circ u\}$. L'objectif de l'exercice est d'étudier ${\cal B}(f)={\cal C}({\cal C}(\{f\}))$.
 - Montrer que ${\cal B}(f)$ est une ${\mathbb{K}}$-algèbre contenant ${\mathbb{K}}[f]$.
 - On suppose $f$ nilpotente d'indice $n$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$.
 - Soient $G_1,G_2$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires stables par un $f\in{\cal L}(E)$. On pose $f_i=f_{|G_i}$. On suppose que $\pi_{f_1}\wedge\pi_{f_2}=1$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$.
#+end_exercice

# ID:6540
#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1228]
Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\in{\N}$, $a\in E$ un vecteur unitaire, et $H$ l'hyperplan orthogonal a la droite vectorielle dirigée par $a$. On note $\sigma$ la symétrie orthogonale par rapport a l'hyperplan $H$, et $p$ la projection orthogonale sur $H$.
 1. Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, $F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}F^{\perp}=E$.
 2. Montrer que, pour $x\in E$, $p(x)=x-\langle a,x\rangle a$.
 3. Soit $\Omega=\{x\in E,\;\langle a,x\rangle\geq 0\;\;\mbox{et}\;\;\langle x,\sigma(x) \rangle\leq 0\}$.

    Montrer les équivalences suivantes, pour $x\in E$ :
    1. $x\in\Omega$ si et seulement si $\langle a,x\rangle\leq\|p(x)\|$,
    2. $x\in\Omega$ si et seulement si $\forall y\in\Omega$, $\langle x,y\rangle\leq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1229]
Soit $E$ un espace euclidien. Soit $s\in{\cal L}(E)$.
 - Rappeler l'identité du parallélogramme et les identités de polarisation.
 - Montrer l'équivalence suivante :
   + $\exists c\in\R,\forall (x,y)\in E^2,\quad \langle s(x),s(y)\rangle=c \langle x,y\rangle$
   + $\forall(x,y)\in E^2,\,\langle x,y\rangle=0\;\Rightarrow\;\langle s(x),s(y) \rangle=0$.
#+end_exercice

# ID:7127
#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1230]
 - Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_0^1PQ$ définit un produit scalaire sur $\R_{n-1}[X]$.
 - En déduire qu'il existe un unique $P\in{\R}_{n-1}[X]$ tel que $\int_0^1x^kP(x) \dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$.

   On pose $P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}$.
 - Soit $f\colon [0,1]\to\R$, $\mc C^0$ telle que $\int_0^1x^kf(x)\dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$. Montrer que $\int_0^1f^2\geq\sum_{i=0}^{n-1}a_i$, puis que $\int_0^1f^2\geq n^2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - La fonction qui à $P$ associe la famille des produits scalaires.
 - $P$ est le projeté de $f$ sur $\R_{n-1}[X]$, donc $\lN f\rN^2 \geq \lN P\rN^2 = \langle P, P\rangle = \sum a_i$.

   Pour la deuxième partie, super dure, cf 1264.
#+END_proof


#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1231]
 - Montrer que l'application $(P,Q)\mapsto\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$.
 - Soit $(E,\phi)$ un espace euclidien et $B=(e_1,...,e_n)$ une base de $E$. Montrer que la matrice $(\phi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est symétrique définie positive.
 - Pour tout $p\in\N$, on pose $L_p=\frac{d^p}{dX^p}\,[X^p(1-X)^p]\in\R[X]$. Montrer que la famille $(L_p)$ est orthogonale pour le produit scalaire de la question $a$. Est-elle orthonormale?
 - Soit $M=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n+1}$. Montrer que la matrice $M$ est symétrique définie positive et calculer $\det M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1232]
Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$.
 - Rappeler la définition d'une matrice définie positive. Donner des propriétés d'une telle matrice.
 - Pour $x\in\R^n$, on pose $J(x)=\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. Montrer que $J$ est strictement convexe, c'est-a-dire que : $\forall x\neq y$, $\forall\lambda\in]0,1[$, $J(\lambda x+(1-\lambda)y)\lt \lambda J(x)+(1-\lambda)J(y)$.
 - Montrer que $J$ atteint un minimum en un unique point de $\R^n$ et que ce vecteur est solution de l'équation $Ax=b$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1233]
Soient $n\in\N$ et $\alpha\gt 0$. On note $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det M\geq\alpha\}$. Le but de cet exercice est de s’intéresser, pour $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, a la quantité $m_{\alpha}(A)=\inf_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)$.
 - Montrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles. Rappeler le théorème spectral. Justifier l'existence de $m_{\alpha}(I_n)$ puis la calculer.
 - Soit $A\in\mc{S}_n^+(\R)$. Justifier l'existence de $R\in\mc{S}_n^+(\R)$ telle que $A=R^2$. Prouver l'unicité puis calculer $m_{\alpha}(A)$.
 - Que se passe-t-il lorsque $\alpha=0$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1234]
Soient $d\in\N^*$, $A\in\mc{S}_n(\R)$ a coefficients dans $\{0,1\}$ et de trace nulle. On suppose que $A^2+A-(d-1)I_n=J_n$ ou $J_n$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$.
 - Montrer que chaque ligne de $A$ contient $d$ coefficients égaux a $1$.
 - Montrer que $AU=dU$ ou $U=(1\,\cdots\,1)^T$. En déduire que $n=d^2+1$.
 - Montrer que la multiplicité de $d$ est égale a $1$.
 - Montrer que les autres valeurs propres de $M$ sont racines de $X^2+X-d+1=0$.
 - Montrer qu'il existe deux entiers naturels $m_1$ et $m_2$ tels que $m_1+m_2=n-1$ et $d+m_1r_1+m_2r_2=0$ ou $r_1$ et $r_2$ sont les solutions de l'équation précédente.
 - Montrer que si $m_1=m_2$ alors $d=2$. On suppose $d\gt 2$ dans la suite.
 - Montrer qu'il existe un entier $k$ tel que $4d-3=(2k+1)^2$ puis que $k^4\equiv 1\ [2k+1]$.
 - Montrer que, pour tout entier $k\in\N$, on a $16k^4\equiv 1\ [2k+1]$. En déduire qu'on a forcement $d\in\{2,3,7,57\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1235]
 Soit $A=\begin{pmatrix}A_1&B\\ B^T&A_2\end{pmatrix}$ une matrice symétrique définie positive avec $A_1\in\mc{S}_p(\R)$ et $A_2\in\mc{S}_q(\R)$.
 - Montrer que $A_1$ et $A_2$ sont définies positives.
 - Montrer qu'il existe $R_1$ et $R_2$ symétriques définies positives telles que $R_1^2=A_1$ et $R_2^2=A_2$.
 - Montrer que $\det(A)\leq\det(A_1)\det(A_2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1236]
On considère la relation binaire pour $(A,B)\in(\mc{S}_n(\R))^2A\preceq B\Leftrightarrow B-A\in \mc{S}_n^+(\R)$.
 - Montrer que l'on définit ainsi une relation d'ordre sur $\mc{S}_n(\R)$.
 - Montrer qu'une partie de $\mc{S}_n(\R)$ est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée pour $\preceq$.
 - Montrer que toute suite croissante majorée pour $\preceq$ converge.
 - Soient $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $A\preceq B\implies B^{-1}\preceq A^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1237]
Si $S\in\mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(S)\leq\cdots\leq\lambda_n(S)$ le spectre ordonné de $S$. On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique et on note $S^{n-1}$ la sphère unite.
 - Montrer que, si $S\in\mc{S}_n(\R)$, $\lambda_1(S)=\min\{\langle Sx,x\rangle,\, x\in S^{n-1}\}$.
 - Si $d\in\db{1,n}$, soit $\mc{V}_d$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $d$ de $\R^n$.

   Montrer que, si $k\in\db{1,n}$ et $S\in\mc{S}_n(\R)$,

   $$\lambda_k(S)=\min\limits_{V\in\mc{V}_k}\max\{\langle Sx,x\rangle\ ;\ x\in V \cap S^{n-1}\}=\max\limits_{V\in\mc{V}_{n-k+1}}\min\{\langle Sx,x\rangle \ ;\ x\in V\cap S^{n-1}\}.$$
 - Si $(i,j)\in\db{1,n}^2$, $i+j\leq n+1$ et $(S,S')\in\mc{S}_n(\R)^2$, montrer que

   $\lambda_{i+j-1}(S+S')\leq\lambda_i(S)+\lambda_j(S')$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1238]
Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme, $F$ un sous-espace vectoriel fermé strict de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe un vecteur unitaire $u$ de $E$ tel que $d(u,F)\geq\delta$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1239]
Soient $(E,N)$ et $(E',N')$ deux espaces vectoriels normés.

Soit $d\in\N$. Pour $P(X)=p_0+p_1X+\cdots+p_dX^d\in\R_d[X]$ on pose $\lN P\rN=\max(|p_0|,...,|p_d|)$.
 - Vérifier que l'application $\lN \cdot\rN$ est une norme sur $\R_d[X]$.
 - 
   - Soit $(y_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $E$, convergeant vers $\ell\in E$.

     Montrer que l'ensemble $Y=\{y_n,\ n\in\N\}\cup\{\ell\}$ est compact.
   - Soit $f\colon E\to E'$ continue telle que, pour tout compact $K$ de $E'$, $f^{-1}(K)$ est un compact de $E$. Montrer que, si $F$ est un fermé de $E$, alors $f(F)$ est un fermé de $E'$.
 - Soit $P\in\R_d[X]$ un polynôme unitaire. Montrer que, si $x\in\R$ est une racine de $P$ telle que $|x|\gt 1$, alors $|x|\leq \lN P\rN +1$. En déduire que l'ensemble des polynômes unitaires et scindes de $\R_d[X]$ est ferme dans $\R_d[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1240]
- Résoudre dans $\C$ l'équation $e^z=-1$.
 - Soit $f\colon\mathbb{U}\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $z\in\mathbb{U}$ tel que $f(-z)=f(z)$. En déduire que, si $A$ et $B$ sont deux parties fermées de reunion $\mathbb{U}$, il existe deux points de $\mathbb{U}$ diametralement opposes tous deux dans $A$ ou tous deux dans $B$. - Soient $D$ le disque unite ferme du plan complexe et $g:D\to\C^*$ continue telle que, pour tout $z\in\mathbb{U}$, $g(-z)=-g(z)$. On admet qu'il existe $h$ continue telle que $g=\exp\circ h$. Montrer qu'il existe $z\in D$ tel que $h(-z)=h(z)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1241]
Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme. Pour $A\subset E$ non vide et $x\in E$, on note $d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$.
 - On suppose $A$ ferme. Soit $x\in E$. Montrer que $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in A$.
 - Soient $F$ un sous-espace vectoriel ferme de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe $x\in E$ unitaire vérifiant $d(x,F)\geq\delta$.
 - On suppose $E$ de dimension infinie et on admet que les sous-espaces vectoriels de dimension finie sont fermes. Montrer que la sphere unite n'est pas un compact de $E$.
#+end_exercice

# ID:7075
#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1242]
Soit $\phi$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $\phi(0)=0$ et $\phi(t)=-t\ln(t)$ pour $t\in]0,1]$. Soit $n\in\N^*$. On pose $S_n$ l'ensemble des vecteurs $p=(p_1,...,p_n)\in\R^n$ tels que $p_1+...+p_n=1$ et $p_i\geq 0$ pour tout $1\leq i\leq n$. On pose enfin $H_n(p)=\sum_{i=1}^n\phi(p_i)$ pour $p\in S_n$.
 - 
   - Donner la définition d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé, et en donner une caractérisation en dimension finie.
   - Montrer que $S_n$ est une partie compacte et convexe de $\R^n$.
 - 
   - Montrer que $H_n$ est continue.
   - Montrer que $H_n$ atteint sur $S_n$ un maximum en un unique point $p_0$, et expliciter $p_0$.

 - Soit $v=(v_1,...,v_n)\in\R^n$. On pose $f_v(p)=H_n(p)+\sum_{i=1}^np_iv_i$ pour $p\in S_n$.

   On pose $f_v^*=\sup_{p\in S_n}f_v(p)$ et $E_v=\{p\in S_n,\ f_v(p)=f_v^*\}$.

   Montrer que $E_v$ est non vide. Déterminer $f_v^*$ et $E_v$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - 
   - 
   - 
 - 
   - 
   - C'est des extrema liées, mais attention aux bords : le théorème s'applique quand on met une contrainte sur un ouvert. Ici il faut exclure le cas où l'extrema est atteint en un $p_i$ nul, ce qui se traite par récurrence.
 - Idem, on peut exclure le bord car la dérivée de $\phi$ en $0$ est $+\i$, donc s'éloigner du bord est toujours bénéfique.
#+END_proof


#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1243]
Soient $(E,\|\ \|)$, $(E',\|\ \|)$ deva espaces vectoriels normes de dimension finie, $A$ un ferme non vide de $E$, $B$ une partie non vide de $E'$. Soit $f:A\to B$ continue bijective telle que l'image réciproque par $f$ de toute partie bornée de $B$ est bornée. Montrer que $f^{-1}$ est continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1244]
Un espace norme réel est dit separable lorsqu'il contient une partie denombrable dense.
 - L'espace $\R$ est-il separable?
 - Montrer qu'un espace norme de dimension finie est separable.
 - Soit $E$ un espace prehilbertien réel de dimension infinie. Montrer que $E$ est separable si et seulement s'il existe une suite orthonormalée $(e_n)_{n\geq 0}$ telle que $\op{Vect}{(e_n)_{n\geq 0}}$ soit dense dans $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1245]
Soit $E$ l'espace des fonctions polynomiales de $\R$ dans $\R$. Pour tout $f\in E$, on note $\phi(f)$ la primitive de $f$ d'intégrale nulle sur l'intervalle $[0,1]$.
 - Justifier la définition de $\phi$ puis établir qu'il s'agit d'une application linéaire sur $E$.

   On munit $E$ de la norme $\lN\cdot\rN_{\i}$ sur $[0,1]$.

   On note $\lN \phi\rN_{\mathrm{op}}=\sup\left\{\frac{\lN\phi(f)\rN_{\i,[0,1]}}{\lN f\rN_{\i,[0,1]}},\ f\in E\setminus\{0_E\}\right\}$.
 - Montrer que $\lN\phi\rN_{op}$ est correctement définie et en trouver un majorant.
 - Soient $f\in E$ et $G$ la primitive de $F=\phi(f)$ nulle en $0$. Établir que, pour tout $x\gt 0$,

   $$G(x)=xF(x)-\int_0^xtf(t)dt=(x-1)F(x)-\int_x^1(1-t)f(t)\mathrm{d }t.$$
 - Déterminer la norme $\lN\phi\rN_{\mathrm{op}}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1246]
Soit $A\in\M_n(\R)$, on pose $f_A(x)=(A+xI_n)^{-1}A$ pour $x$ réel convenable.
 - Montrer que la fonction $f_A$ est définie au voisinage épointé de $0$.
 - Étudier le comportement de la fonction $f_A$ en $0$ dans le cas ou $A$ est inversible, puis dans le cas ou $A$ est nilpotente.
 - Soit $u\in\mc{L}(\R^n)$. Montrer l'existence de $p\in\N^*$ tel que $\mathrm{Im}(u^p)\oplus\mathrm{Ker}(u^p)=\R^n$.

En déduire l'existence de deux supplémentaires $F$ et $G$ dans $\R^n$, stables par $u$, tels que $u$ induit sur $F$ un automorphisme et induit sur $G$ un endomorphisme nilpotent.
 - Caracteriser les matrices $A$ pour lesquelles $f_A$ a une limite en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1247]
Soient $(a_n)$ une suite a termes réels positifs et $(b_n)$ une suite a termes complexes. On suppose que la série $\sum a_n$ diverge et que $b_n\sim a_n$. On note $S_n=\sum_{k=0}^na_k$.
 - Montrer que la série $\sum b_n$ diverge et que les sommes partielles des deux séries sont équivalentes.
 - On suppose qu'il existe $\lambda\in\R^{+*}$ tel que $\frac{S_n}{na_n}\xrightarrow[n\to+\i]{}\lambda$. Déterminer la limite de $\frac{1}{n^2a_n}\sum_{k=0}^nka_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1248]
 - Rappeler la règle de d'Alembert pour une série numérique à termes positifs.
 - On considère une suite croissante $(q_n)_{n\geq 1}$ d'entiers $\geq 2$.
   - Quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum\frac{z^n}{q_1...q_n}$?
   - Montrer que si la suite $(q_n)$ est stationnaire alors le réel $x=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{q_1...q_n}$ appartient a $\Q\cap]0,1]$.
 - On admet réciproquement que si $(q_n)$ tend vers $+\i$ alors $x\notin\Q$. Montrer que les réels $e$, $\mathrm{ch}(\sqrt{2})$ et $e^{\sqrt{2}}$ sont irrationnels.
 - Montrer la réciproque admise ci-dessus.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1249]
Soit $I=\interval]{-1, +\i}[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ vérifie $(*)$ si et seulement si : $\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$.

On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit $f\in\mc C^0(I,\R)$ vérifiant $(*)$.
 1. Simplifier $x_n+y_n+x_ny_n$. Montrer que la série de terme général $f(x_n)$ converge et exprimer $\sum_{n=0}^{+\i}f(x_n)$ en fonction de $f(1)$.
 2. Montrer que $f$ est dérivable.
 3. Trouver toutes les fonctions continues vérifiant $(*)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $\frac{n+1}{n+2}$, donc $y_{n+1}$, donc la série est télescopique.
 2. Pour $x$ proche de $0$, on calcule $f(x+x+\dots + x) = f(n x)$, où $n = \lfloor \frac{1}{x}\rfloor$, on obtient $f(nx + n \frac{x^2}{2} + n^2 \frac{x^3}{3!} + \dots)\ra f(e)$. Comme $f$ est continue en $e$, on obtient la dérivabilité en $0$, puis ailleurs.
 3. Ce sont les $\a \ln (1+x)$
#+END_proof


#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1250]
Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois dérivable telle que $f f^{(3)}=\tilde{0}$.
 1. Montrer que, si $f'$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ prend une même valeur au plus deux fois sur $I$.
 2. On pose $\Gamma=\{x\in I \mid f''(x)=0\}$. Montrer que, si $\Gamma$ est non vide, alors $\Gamma$ n'est ni majoré, ni minoré.
 3. Montrer que $\Gamma$ est un intervalle et en déduire $f$.
#+end_exercice

# ID:7107
#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1251]
 1. Soit $g\colon [a,b]\to\R$ continue et injective. Montrer que $g$ est strictement monotone.

    On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, $g^2(x)=2g(x)-x$.
 2. Montrer qu'une telle fonction est bijective et strictement croissante.
 3. Exprimer $g^n$ pour tout $n\in\N$ puis conclure.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2. On a $f\circ g = - \op{Id}$, donc $g$ est injective, donc strictement monotone. Par ailleurs $2g(x) = g^2(x) + x$, donc $g(x)\tend{x\ra +\i} +\i$, donc elle est croissante, et ne peut pas admettre de limite finie en $-\i$.
 3. Récurrence d'ordre $2$.
#+END_proof


#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1252]
 - Rappeler la définition d'une fonction lipschitzienne. Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue. Soient $\alpha\in]0,1]$ et

$H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha}\big{\}}$.
 - Montrer $H_{\alpha}$ est un $\R$-espace vectoriel, que si $0\lt \alpha\leq\beta\leq 1$, alors $H_{\beta}\subset H_{\alpha}$. Vérifier que $x\mapsto x^{\alpha}\in H_{\alpha}$.
 - Montrer que, pour $0\lt \alpha\lt \beta\leq 1$, $H_{\beta}$ est strictement inclus dans $H_{\alpha}$.
 - Montrer que $\mc C^1([0,1],\R)\subset H_{\alpha}\subset\mc C^0([0,1 ],\R)$ et que ces inclusions sont strictes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1253]
- Soient $a,b$ dans $\R$ avec $a\lt b$ et $f:]a,b[\to\R$ dérivable. On suppose que $f$ admet la même limite finie $\ell$ en $a$ et en $b$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
 - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto e^{\frac{1}{x^2-1}}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $]-1,1[$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynôme $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(x^2-1)^{2n}}f(x)$. Quel est le degré de $P_n$?
 - Combien $f^{(n)}$ a-t-elle de zeros?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1254]
- Donner la définition de la multiplicité d'une racine d'un polynôme puis sa caractérisation a l'aide des derivées successives du polynôme.
 - Soit $P\in\C[X]$ non nul. Exprimer $P'/P$ a l'aide des racines de $P$.
 - Soit $r\gt 0$. On suppose que $P$ ne s'annule pas sur le cercle $C(0,r)$ du plan complexe. On pose $N_r(P)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{P'(re^{it})}{P(re^{it})}re ^{it}\,dt$. Montrer que $N_r(P)$ est égal au nombre de racines de $P$ (comptées avec multiplicité) dans le disque $D(0,r)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1255]
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0(\R^+,\R)$ telles que $\int_0^{+\i}f^2\lt \i$. Soit $f\in E$.

On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on définit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$._a) i)_: Rappeler le théorème concernant la dérivabilité des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$.  - Montrer que $Tf$ est continue.  - Montrer que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$.
 - Soit $A\gt 0$. Montrer que $\int_0^ATf(x)^2\,dx\leq 2\int_0^A\frac{f(x)}{x} \left(\int_0^xf\right)dx$. En déduire que $Tf\in E$ et que $\|Tf\|\leq 2\|f\|$
 - Montrer que la constante 2 est optimale dans l'inégalité $(*)$. On pourra considérer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1256]
Soient $(a_n)$ une suite réelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornée, $(b_n)$ une suite réelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$.
 - Montrer qu'une série absolument convergente est convergente.
 - Montrer que la série de terme général $a_nb_n$ converge.
 - Montrer que la série de fonctions de terme général $b_nf_n$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1257]
Soit $f\in C^1(\R^+,\R^{+*})$ croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\sim}\frac{a}{x}$ ou $a\gt 0$.
 - Citer le théorème d'intégration des relations de comparaison, puis trouver un équivalent de $\ln(f(x))$ quand $x\to+\i$.
 - Donner le domaine de définition de $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)\,e^{-nx}$. Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son domaine de définition.
 - Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que $u(x)\sim\frac{C}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)$ lorsque $x\to 0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1258]
Soient $\alpha\in\N$ avec $\alpha\geq 2$ et $\beta\in]1,+\i[$. Soit $f:t\mapsto\sum_{n\geq 0}\frac{\cos(2\pi\alpha^nt)}{\beta^n}$.
 - Montrer que $f$ est définie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est dérivable sur $\R$.
 - On suppose $\alpha\geq\beta$. Montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$.
#+end_exercice

# ID:6921
#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1259]
Soit $f\colon x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0$. Montrer que $f$ est $\mc C^{\i}$ puis développable en série entière au voisinage de l'origine.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1260]
On considère la série entière $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$.
 - Montrer que le rayon de convergence $R$ est $\geq 1$.
 - Calculer $S(x)$ pour $|x|\lt 1$ puis montrer que $R=1$.
 - Déterminer un équivalent de $a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1261]
 On pose, pour $n\in\N$, $c_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$.
 - Donner le développement en série entière de $x\mapsto(1+x)^{\alpha}$. Exprimer le développement en série entière de $f:x\mapsto\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (avec $f(0)=1$) a l'aide des $c_n$.
 - Soit $r$ un rationnel que l'on peut écrire $r=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ avec $b\wedge d=1$. Montrer que $r$ est entier. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $c_n\in\N$.
 - Donner la valeur de $\sum_{k=0}^nc_kc_{n-k}$ en fonction de $c_{n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1262]
Pour $n\geq 1$, on note $t_n$ le nombre de $\sigma\in\mc{S}_n$ telles que $\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}$. On convient que $t_0=1$,
 - Montrer que la série entière $\sum\frac{t_n}{n!}\,x^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$.
 - Calculer $t_1,t_2,t_3$. Montrer que, si $n\geq 2$, $t_n=t_{n-1}+(n-1)t_{n-2}$.
 - Déterminer $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{t_n}{n!}x^n$ pour $x\in]-1,1[$. En déduire une expression de $t_n$ sous forme de somme. Calculer $\lim_{n\to+\i}\frac{t_n}{n!}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1263]
Pour $n\in\N$, on note $\mc{P}_n$ l'ensemble des polynômes $P$ a coefficients dans $\{0,1,2\}$ tels que $P(2)=n$, et $a_n=|\mc{P}_n|$. On note $s_n$ la somme des chiffres de l'écriture binaire de l'entier $n$, et pour $k\in\db{0,7}$, on pose $b_{n,k}=|\{i\in\db{0,n},\ s_i-s_{n-i}\equiv k\ [8]\}|$.
 - Calculer $a_0$, $a_1$, $a_2$ et $a_3$.
 - Montrer que $\mc{P}_n$ est fini.
 - Montrer que, pour $n\in\N$, $a_{2n+1}=a_n$ et que, pour $n\in\N^*$, $a_{2n}=a_n+a_{n-1}$.

Ind. Pour la premiere égalité, on pourra exhiber une bijection entre $\mc{P}_n$ et $\mc{P}_{2n+1}$.
 - Montrer que la série entière $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence égal a $1$.

On note $A(x)$ la somme de cette série.
 - Montrer que, pour $x\in]-1,1[$, $A(x)=(1+x+x^2)A(x^2)$.

En déduire que $\forall x\in]-1,1[$, $A(x)=\lim_{n\to+\i}\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})$.
 - On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$. Établir que, pour $n\in\N$ et $x\in]-1,1[$,

$$\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})=\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-j)^{n-s_k}x^k\right)\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-\overline{j})^{n-s_k}x^k \right).$$
 - Que peut-on en déduire sur $(a_n)$?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1264]
 - Rappeler la définition de partie dense dans $\R$ et en donner une caractérisation sequentielle.
 -  Trouver toutes les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que

$\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y)$.

On dit qu'une suite réelle $(a_n)_{n\in\N}$ vérifie la propriété $(P)$ si :1. La série entière $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence supérieur ou égal a $1$,
 2. La somme $S_a$ de cette série entière admet une limite réelle en $1^-$.
 3.  - Montrer que, si la série $\sum a_n$ converge absolument, alors la suite $(a_n)_{n\in\N}$ vérifie $(P)$,
 4. Étudier la réciproque.
 5. Trouver toutes les suites $(a_n)_{n\in\N}$ périodiques qui vérifient $(P)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1265]
Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite de carré sommable et $f\colon t\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{a_n}{n-t}$.
 - Preciser le domaine de définition de $f$.
 - Montrer que $f$ est développable en série entière autour de $0$.
 - Montrer que si $f$ est identiquement nulle sur $[-1/2,1/2]$ alors la suite $(a_n)$ est nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1266]
- Rappeler la définition d'une fonction $f$ développable en série entière en $0$ et preciser une expression de $f^{(k)}(0)$ en fonction des coefficients pour $k\in\N$.
 - Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ au voisinage de $0$ pour laquelle il existe $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$.

Montrer que $f$ est développable en série entière en $0$.
 - Soit $f$ une fonction développable en série entière en $0$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1267]
On admet le théorème suivant : Pour $S$ une série entière de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une série entière $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z\in\C,\exp(L(z))=\ S(z)$.
 - Rappeler tous les modes de convergence d'une série entière sur son disque ouvert de convergence.
 - Soient $F(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ de rayon de convergence infini et $G(z)=\op{Re}(F(z))$.

   Pour $n\in\N^*$, montrer que $\int_0^{2\pi}F(re^{it})dt=2\pi a_nR^n$, puis que

   $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})e^{-int}dt=\pi a_nR^n$ et $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})dt=2\pi\text{Re}(a_0)$.
 - Montrer que, s'il existe $p$ et $q$ réels strictement positifs tels que $\forall z\in\C,\, |G(z)|\leq p|z|+q$, alors $F$ est un polynôme de degré au plus $1$.
 - Montrer que l'application $z\mapsto z\exp(z)$ est une surjection de $\C$ sur lui-meme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1268]
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe $r\gt 0$ tel que, pour tout $t\in]-r,r[,\ \det(\mathrm{id}-tu)=\exp\Big{(}-\sum_{k=1}^{+\i}\frac{t^k\, \mathrm{tr}(u^k)}{k}\Big{)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1269.]
- - Rappeler la définition de fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\R$. - _Pour $n\in\N^*$, on définit une fonction $f_n$ sur $\R^+$ par $f_n(x)=\frac{1}{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)$ si $x\in[0,n]$ et $f_n(x)=0$ sinon.

Montrer que la suite $(f_n)_{n\in\N^*}$ converge simplement sur $\R^+$ vers une fonction $f$ a preciser et que $\int_{\R^+}f_n\not\longrightarrow\int_{\R_+}f$ quand $n\ra+\i$.
 -  Rappeler le théorème de convergence dominée.

Le démontrer sous l'hypothèse supplémentaire d'une convergence uniforme sur tout segment.
 -  Soit $(f_n)_{n\in\N}\in\left(\R^{\N}\right)^{\N}$ une suite de fonctions qui converge simplement sur $\N$ vers une suite $f\in\R^{\N}$. On suppose l'existence d'une suite sommable positive $\phi\in\R^{\N}$ telle que $\forall n\in\N,\;\forall t\in\N,\;|f_n(t)|\leq\phi(t)$.

Montrer que les suites $f_n$ et $f$ sont sommables et que $\lim_{n\ra+\i}\sum_{k=0}^{+\i}f_n(k)=\sum_{k=0}^{+\i}f (k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1270]
Pour tout réel $a$, on pose $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$.
 -  On fixe un entier $n\geq 1$. Montrer que la fonction $f_n:x\in\R^{+*}\mapsto\left\{\frac{1}{x}\right\}^n$ est continue par morceaux sur $\R^{+*}$ et que l'intégrale $I_n=\int_0^1f_n(x)\,dx$ est convergente.
 -  Montrer que la famille $\mc{F}=\left(\frac{(-1)^ii}{(i+1)k^{i+1}}\right)_{i\geq 1\atop k \geq 2}$ est sommable et exprimer sa somme $S$ sous la forme d'une série faisant intervenir la fonction $\zeta$.
 -  Exprimer $I_1$ en fonction de $S$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1271]
 -  Montrer le théorème d'intégration des séries uniformément convergentes sur un segment.
 -  Pour $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $\gamma:[a,b]\ra\C$ de classe $C^1$ et $f\colon\C\ra\C$ continue, on pose $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$. même définition lorsque $f$ est a valeurs dans $\M_n(\C)$.

On note, pour $r\gt 0$, $\gamma_r:t\in[0,2\pi]\mapsto re^{it}$.

Soit $F\colon\C\ra\C$ la somme d'une série entière de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$.
 -  En déduire, pour toute matrice $M\in\M_n(\C)$ et pour $r$ assez grand (à preciser), l'égalité $\exp(M)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\, dz$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1272]
Soient $E=\mc C^{\i}([0,\pi],\R)$ et $F=\{f\in E,\;f(0)=f(\pi)=0\}$. Soient $\phi,q\in E$, la fonction $q$ étant positive. On note $\alpha$ une primitive de $\phi$. On pose $D(y)=y^{''}+\phi y'-qy$ et $L(y)=-e^{\alpha}D(y)$ pour tout $y\in E$, et $\langle y,z\rangle=\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,dx$ pour tous $y,z\in F$.
 -  Rappeler le théorème de Cauchy-Lipschitz.
 -  Montrer que $\langle\;,\;\rangle$ est un produit scalaire sur $F$.
 -  Soit $h\in E$. Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\in F$ telle que $D(f_0)=h$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1273]
 - Soient $E$ un espace euclidien, $U$ un ouvert de $E$, et $f:U\to\R$ une application de classe $\mc C^1$. Rappeler la définition de la différentielle $df(a)$ de $f$ en $a\in U$ et du gradient $\nabla f(a)$, ainsi que l'expression de $\nabla f(a)$ en base orthonormale.
 - On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique.

   Montrer que $\nabla(\mathrm{det})(A)=\mathrm{Com}(A)$.
 - Quel est le coefficient de $X$ dans $\chi_A$?
 - Déterminer l'espace tangent à $\mathrm{SL}_n(\R)$ en $I_n$.
#+end_exercice

# ID:6922
#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1274]
Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $b\in\R^n$ et $J:x\mapsto\frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$.
 - Montrer que $J$ est strictement convexe.
 - Montrer que $J(x)\to+\i$ quand $\lN x\rN\ra +\i$.
 - En déduire que $J$ admet un minimum.
 - Calculer $\nabla J$ et conclure quant au minimum de $J$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1275]
Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$.
 - Pour tout $x\in E$, exprimer la projection orthogonale de $x$ sur $F$ a l'aide d'une base orthonormale de $F$. Justifier la formule.
 - On définit la fonction $d_F:E\setminus F\to\R,x\mapsto d(x,F)$. Montrer que $d_F$ est différentiable, et calculer sa différentielle.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1276]
On note $d_n$ le nombre de dérangements de $n$ objets, c'est-a-dire le nombre de permutations $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe.

_a) i)_Soit $n\in\N$. Montrer $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}d_{n-k}=n!$.
 - Montrer que la série entière $\sum\frac{d_n}{n!}\,t^n$ a un rayon de convergence supérieur ou égal a $1$.

On note $D(t)$ la somme de cette série.
 - Calculer $e^tD(t)$.
 - En déduire que $d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$.
 - Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\i$ de la probabilité $p_n$ qu'un élément de $\mc{S}_n$ soit un derangement.

_c) i)_Pour $n$ et $p$ entiers naturels, on note $s_n(p)$ le nombre de surjections de $\db{1,n}$ sur $\db{1,p}$.

Montrer que $p^n=\sum_{k=0}^n\binom{p}{k}s_n(k)$.
 - Soit $(x,y)\in\R^2$. Montrer que la famille $\left(s_n(p)\frac{x^p}{p!}\,\frac{y^n}{n!}\right)_{(n,p)\in \N^2}$ est sommable.

Sa somme est notée $S(x,y)$.
 - Calculer $e^xS(x,y)$. -  En déduire la valeur de $s_n(p)$ dans le cas $n=p$, puis dans le cas général $(n,p)\in\N^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1277]
On mélange les cartes d'un jeu de $2n$ cartes. Avec quelle probabilité les cartes de numéro impair sont-elles correctement ordonnées ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1278]
Pour $A_1,...,A_n$ parties finies d'un ensemble $E$, on admet que

$\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1\lt i_2\lt ...\lt i_k\leq n}|A_{i_1}\cap...\cap A_{i_k}|$.
 - Expliciter la formule précédente pour $n=2$ et $n=3$.

La démontrer pour $n=2$.
 - On définit une fonction $\mu$ sur $\N^*$ par $\mu(1)=1$, $\mu(n)=(-1)^k$ si l'entier $n\geq 2$ s'écrit $n=p_1...p_k$ ou $p_1$,..., $p_k$ sont $k$ nombres premiers distincts et $\mu(n)=0$ sinon.

Calculer la probabilité que deux entiers choisis aléatoirement dans l'ensemble $\{1,2,...,n\}$ soient premiers entre eux a l'aide de la fonction $\mu$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1279]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de paramètre 1. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et $T_n=\dfrac{S_n-n}{\sqrt{n}}$.
 - Déterminer la loi de $S_n$. Qu'en déduire sur $T_n$?
 - Montrer que $\sum_{k\geq 0}\dfrac{k(n^k-1)}{(n+k)!}$ converge et calculer la somme.
 - Calculer $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)\,dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1280]
- Rappeler les formules des probabilités totales et composées.

On fixe $d\in\N^*$ et $(U_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\db{1,d}$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$.
 - Quelles sont les valeurs prises par $N_d$?
 - Montrer que $\mathbf{P}(N_d\gt k)=\dfrac{d!}{d^k(d-k)!}$ pour tout $k\in\db{0,d}$.
 - Pour tout réel $x\gt 0$, calculer $\lim_{d\to+\i}\mathbf{P}\left(\dfrac{N_d}{\sqrt{d}}\gt x\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1281]
- Soient $x\gt 0$ et $X_x$ une variable de Poisson de paramètre $x$. Calculer l'espérance de $X_x$. Montrer que $\mathbf{P}(|X_x-\mathbf{E}(X_x)|\geq\eps x)=O\left(\dfrac{1}{x }\right)$ quand $x\to+\i$.

Soient $\alpha\in\R$ et $u_{\alpha}:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{n^{\alpha}}{n!}x^n$.
 - Déterminer le domaine de définition de $u_{\alpha}$.
 - Déterminer $u_1$ et $u_2$.
 - Montrer que, pour tout $\alpha\lt 0$, $u_{\alpha}(x)=o\left(\mathrm{e}^x\right)$ quand $x\to+\i$.
 - Montrer que, si $\alpha\in]-1,0[$, $u_{\alpha}(x)\sim x^{\alpha}e^x$ quand $x\to+\i$.
#+end_exercice

** Centrale - PSI
*** Algèbre

#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1282]
Soit $A=\begin{pmatrix}0&c&b\\ -c&0&a\\ -b&-a&0\end{pmatrix}\in\M_3(\R)$. Trouver $\alpha$ pour que $A^3=\alpha A$. Calculer $A^n$ en fonction de $\alpha$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1283]
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $a,b\in\R$ avec $a\neq b$ tels que $:(f-a\op{id})\circ(f-b\op{id})=0$.
 - Déterminer $\lambda,\mu\in\R$ tels que $\lambda(f-a\op{id})$ et $\mu(f-b\op{id})$ soient des projecteurs.
 - Montrer que $\text{Ker}(f-a\op{id})=\text{Im}(f-b\op{id})$.
 - Déterminer $f^n$ pour $n\in\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1284]
Soit $A\in\M_2(\Z)$.
 - On suppose $A$ inversible. Montrer que $A^{-1}\in\M_2(\Z)$ si et seulement si $\text{det}(A)\in\{-1,1\}$.
 - On suppose qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $A^p=I_2$. Montrer que $A$ est inversible, et que $A^{-1}$ est a coefficients entiers. Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de polynômes caractéristiques possibles pour $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1285]
Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&2\\ 2&0&1\\ 1&-1&2\end{array}\right)$.
 - Montrer que $A$ a une valeur propre double $a\gt 0$ et une simple $b\gt 0$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
 - Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$ de classe $\mc C^2$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_f\in\R_2[X]$ tel que $:P_f(a)=f(a),P_f(b)=f(b),P'_f(a)=f'(a)$.
 - Pour toute fonction $f\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$, on pose $f(A)=P_f(A)$. Calculer $f(A)$ dans les cas ou $f:x\mapsto x^2$, puis $f:x\mapsto x^3$.
 - Desormais on prend $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$. Conjecturer la valeur de $Af(A)$ et prouver cette conjecture.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1286]
Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales.

Si $P\in E$, on pose $L(P):x\mapsto e^{-x}\int_{-\i}^xP(t)\,e^t \dt$.
 - Montrer que $L$ est un endomorphisme de $E$.
 - Trouver les éléments propres de $L$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1287]
 On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $u=\left(a,b,c\right)^T$ un vecteur unitaire de $\R^3$. On note $D$=$\text{Vect}(u)$ et $p$ la projection orthogonale sur $D$.
 - Experimer $p(v)$ pour tout vecteur $v=\left(x,y,z\right)^T\in\R^3$
#+end_exercice

* Autres écoles

# ID:6962
#+BEGIN_exercice
Soit $f\in\mc L(\R^4)$ telle que $f\circ f = \tilde{0}$. Montrer que $\rg f\leq 2$.
#+END_exercice

#+BEGIN_exercice
 1. Soient $n\in\N^*$ et $u,v$ deux endomorphismes nilpotents non nuls de $\R^n$ qui commutent. Montrer que $\rg (u\circ v )\lt \rg v$.
 2. Montrer que la composée de $n$ endomorphismes nilpotents de $\R^n$ qui commutent deux à deux est nulle.
#+END_exercice

# ID:6958
#+BEGIN_exercice
Convergence de $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^{2\a} + (-1)^n}}$.
#+END_exercice

# ID:6959
#+BEGIN_exercice
Soit $S\colon x\mapsto \sum_{n=0}^{+\i} \frac{(-1)^n}{n! (x+n)}$.
 1. Montrer que $S$ est définie sur $\interval]{0, +\i}[$.
 2. Calculer $S(1)$ et en déduire que $\forall x\gt 0,\, xS(x) = \frac{1}{e}+S(x+1)$.
 3. Montrer que $S(x)\sim \frac{1}{x}$, quand $x\ra 0$.
#+END_exercice

# ID:6960
#+BEGIN_exercice
Soit $A$ une matrice $2\times 2$ dont les quatre coefficients sont des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $\{-1,0,1\}$. Calculer la probabilité que $A$ soit inversible, puis que $A$ soit de rang $1$.

On rappelle que $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$.
#+END_exercice

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