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Exercices 2022.org

@@ -1,7 +1,7 @@
 #+title:  Exercices
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   25-02-2023
-# Time-stamp: <27-10-23 18:38>
+# Time-stamp: <31-10-23 10:42>
 
 #+BEGIN_SRC emacs-lisp
 `(,(count-matches "\\?\\?") ,(count-matches "!!"))
@@ -837,6 +837,7 @@ Soient $A,B\in\mc S_n$.
 #+END_proof
 
 # 63
+# ID:6458
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 On note $\lN \cdot\rN$ la norme euclidienne sur $\M_n(\R)$.
  1. Montrer que $\mc S_n^+$ est un convexe fermé de $\mc S_n$, et préciser son intérieur dans $\mc S_n$.
@@ -849,6 +850,7 @@ On note $\lN \cdot\rN$ la norme euclidienne sur $\M_n(\R)$.
 
 
 # 64
+# ID:6459
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 Soit $A\in\mc S_n$ et $a,b\gt 0$ tels que $aI_n - A$ et $A - bI_n$ soient positives. Soit $X,Y$ dans $\R^n$ tels que $\langle X,Y\rangle = 0$. Montrer que
  $$\langle X, AY\rangle^2 \leq \left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2 \langle X, AX\rangle \langle Y ,AY\rangle.$$
@@ -878,6 +880,7 @@ P est de rang $n-1$, donc $C(P)$ est de rang $1$, et son image est incluse dans
 #+END_indication
 
 # 66
+# ID:6460
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 Une matrice $H\in\M_n(\C)$ est dite hermitienne lorsque, pour tout $i,j\in\db{1,n}$, $h_{i,j} = \ol{h_{j,i}}$. Elle est positive si toutes ses valeurs propres sont réelles positives.
  1. Déterminer les formes linéaires $f$ sur $\M_n(\C)$ telles que $f(I_n) = 1$ et $f(H) \in\R_+$ pour tout $H$ hermitienne positive.
@@ -903,6 +906,7 @@ Une matrice $H\in\M_n(\C)$ est dite hermitienne lorsque, pour tout $i,j\in\db{1,
 
 
 # 67
+# ID:6461
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 Soit $A\in\M_{n,p}(\R)$.
  1. Justifier que $A A^T$ est diagonalisable à valeurs propres positives.
@@ -960,6 +964,7 @@ Soit $n\in\N^*$.
 #+END_indication
 
 # 71
+# ID:6462
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 Soit $f\colon x\mapsto 2x - \frac{1}{x}$. On pose $K = \bigcap_{n\in\N} f^{-n}([-1,1])$. Montrer que $K$ est un compact d'intérieur vide sans point isolé et que $f(K)= K$.
 #+END_exercice
@@ -974,6 +979,7 @@ Sans point isolé : on montre dense, par segments emboîtés.
 #+END_proof
 
 # 72
+# ID:6463
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 On note $\mc B([0,1],\R)$ l'ensemble des fonctions bornées, que l'on munit de la norme infinie. Montrer qu'il n'existe pas d'application linéaire continue $T$ de $\mc B([0,1],\R)$ dans $\mc C([0,1],\R)$ dont la restriction à $\mc C([0,1],\R)$ soit l'identité.
 #+END_exercice
@@ -997,6 +1003,7 @@ Mais $\m 1_x$ est limite d'une suite de fonctions $f_n$ continue, donc par conve
 Cette convergence dominée, c'est le fait que si $f_n \ra f$ simplement, alors $\mc l(P f_n) \ra \mc l(P f)$.
 #+END_proof
 
+# ID:6464
 #+BEGIN_exercice
 L'espace des suites qui tendent vers $0$ n'a pas de supplémentaire fermé dans l'ensemble des suites bornées.
 #+END_exercice
@@ -1038,24 +1045,29 @@ Montrer que $(u^n)$ tend vers $0$ pour $\lN\cdot \rN_1$ si et seulement si pour
 #+BEGIN_proof
 Par l'absurde. On peut supposer que $\lN u^n\rN_1\geq \eps$. On choisit $N_1$ pour que le poids à partir de l'indice $N_1$ soit $\leq \frac{\eps}{5}$.
 
-Pour $n$ assez grand, on a $\sum_{i=1}^{N_1} |u^n_i| \leq \frac{\eps}{5}$. On note $n_2$ cette indice. On prend alors $N_2\gt N_1$ tel que la somme pour $n_2$ à partir de $N_2$ soit $\leq \frac{\eps}{5}$. Alors le poids entre $N_1$ et $N_2$ est $\geq \frac{3\eps}{5}$ pour $n_2$. En fixant $v_{N_1},\dots, v_{N_2}$ les bons arguments, on a que le produit scalaire entre $u^{n_2}$ et $(v)$ est $\geq \frac{\eps}{5}$, indépendamment des valeurs de $v$ ailleurs qu'entre $N_1$ et $N_2$. On recommence… On définit ainsi une suite $(v)$ qui contredit les hypothèses.
+Pour $n$ assez grand, on a $\sum_{i=1}^{N_1} |u^n_i| \leq \frac{\eps}{5}$. On note $n_2$ cet indice. On prend alors $N_2\gt N_1$ tel que la somme pour $n_2$ à partir de $N_2$ soit $\leq \frac{\eps}{5}$. Alors le poids entre $N_1$ et $N_2$ est $\geq \frac{3\eps}{5}$ pour $n_2$. En fixant $v_{N_1},\dots, v_{N_2}$ les bons arguments, on a que le produit scalaire entre $u^{n_2}$ et $(v)$ est $\geq \frac{\eps}{5}$, indépendamment des valeurs de $v$ ailleurs qu'entre $N_1$ et $N_2$. On recommence… On définit ainsi une suite $(v)$ qui contredit les hypothèses.
 #+END_proof
 
 
-
 # 73
+# ID:6465
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 Soit $f\colon M \mapsto 2M - M^2$. On note $\Gamma$ l'ensemble des $N\in\M_n(\C)$ qui sont limites d'une suite de la forme $f^{k}(M)$.
- 1. Détermine $\Gamma$.
+ 1. Déterminer $\Gamma$.
- 2. Pour $N\in\Gamma$, déterminer les $X$ tels que $f^k(X)\ra Y$.
+ 2. Pour $N\in\Gamma$, déterminer les $X$ tels que $f^k(X)\ra N$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
  1. Toute limite vérifie $A = 2A - A^2$, donc projecteur.
- 2. Les valeurs propres possibles de $X$ sont des $0$ (ou $2$), et d'autres valeurs qui tendent vers $1$…
+ 2. Les valeurs propres réelles possibles de $X$ sont des $0$ (ou $2$), et n'importe quelle autre valeur dans $\interval]{0, 2}[$ qui tendra vers $1$.
+
+    Si on autorise une valeur propre complexe, $u_{n+1} = u_n (2 - u_n)$. On a $u_{n+1} - 1 = - (u_n - 1)^2$, ce qui permet de faire l'étude.
+
+    D'autre part, si on se restreint à un espace caractéristique. Sur $F_0, F_2$ on peut être quelconque, mais sur $F_a$, comme $u_n(a)\ra 1$, il faut que l'on soit diagonale. En fait non. On peut être quelconque : l'application est $N\mapsto 2N - N^2 - 2\la N = (2 - 2\la) N - N^2$, donc on tend vers $0$ dans tous les cas.
 #+END_proof
 
 # Lier à 4225
 # 74
+# ID:6466
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022] Dunford, par la méthode de Newton
 Soit $m\in\N^*$. Pour $u\in\mc L(\Q^m)$, on pose s$\Psi_u(X) = \prod_{\la\in\op{Sp}_{\C}(u)} (X-\la)$. Étudier la bonne définition et la convergence de la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = u$ et $u_{n+1} = u_n - \Psi_u(u_n)\circ \Psi_u'(u_n)^{-1}$.
 #+END_exercice
@@ -1073,11 +1085,16 @@ On en déduit que $P(u_n) = P(u)^{2^n} H(u)$. En particulier, $P(u_n) = 0$ APCR,
 
 
 # 75
+# ID:6467
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 On munit $GL_n(\C)$ de la norme subordonnée à la norme $\lN\cdot\rN_{\i}$. Déterminer le plus petit $a\gt 0$ tel qu'il existe un sous-groupe non trivial de $GL_n(\C)$ inclus dans la boule fermée $B(I_n, a)$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-Forcément que des valeurs propres de module $1$. Dans le cas où il n'y a que des $1$, c'est forcément l'identité.
+Forcément que des valeurs propres de module $1$. Dans le cas où il n'y a que des $1$, c'est forcément l'identité. Si une valeur propre est irrationnelle, on peut trouver un coefficient qui tend vers $-1$, auquel cas $\lN M - I_n\rN\geq 2$.
+
+De même, on est forcément diagonalisable.
+
+Donc les valeurs propres sont rationnelles. En prenant $D = \op{Diag}(j)$, on a $a = |1-j| = 1$. On ne peut pas faire mieux, car on aura une valeur propre à une distance $\gt 1$ de $1$.
 #+END_proof
 
 # 76
@@ -1104,10 +1121,11 @@ On munit $\R^n$ d'une norme, et $\mc L(\R^n, \R)$ de la norme d'opérateur assoc
 
 Soit $\mc B = (f_1,\dots, f_n)$ une base, et $P$ la matrice de passage. On veut que les colonnes de $P$ soient unitaires (pour la norme quelconque). On a $\mc l_i\colon X \mapsto \langle P^{-1} X, E_i \rangle = \langle L_i, X\rangle$.
 
-Faux pour $n = 1$…
+Faux pour $n = 1$… !!
 #+END_proof
 
 # 79
+# ID:6468
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 Soit $\left(A_n\right)_{n \geq 1}$ une suite de matrices de déterminant 1 dans $\mc{M}_2(\R)$, ainsi qu'une norme arbitraire $N$ sur $\mc{M}_2(R)$. On suppose que $\left(A_n\right)_{n \geq 1}$ est bornée. On considère, pour tout $k \geq 1$, la matrice produit $B_k=A_k A_{k-1} \dots A_1$. On suppose enfin que $\frac{1}{n} \ln N(B_n)$ tend vers un réel $\gamma\gt 0$ lorsque $n$ tend vers $+\i$. Montrer qu'il existe un vecteur non nul $v$ de $\R^2$ tel que $\frac{1}{n} \ln \left\|B_n v\right\|_2$ tende vers $-\gamma$ lorsque $n$ tend vers $+\i$.
 #+END_exercice
@@ -1589,13 +1607,16 @@ On sait gérer les produits finis, puis limite.
 # 109
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 Pour $z\in\C$ de module $\lt 1$, on pose $f(z+1) = \sum_{n=1}^{+\i} \frac{(-1)^n}{n}z^n$.
- 1. Soient $u,v\in\C$ tels que $|u|, |v|\lt 1$ et $|u+v+uv|\lt 1$. Montrer que $f\\big((1+u)(1+v)\big) = f(1+u) + f(1+v)$.
+ 1. Soient $u,v\in\C$ tels que $|u|, |v|\lt 1$ et $|u+v+uv|\lt 1$. Montrer que $f\big((1+u)(1+v)\big) = f(1+u) + f(1+v)$.
  2. Soit $h(X) = (X-a_1)\dots (X-a_n)\in\C[X]$, avec $a_i\neq 0$. Montrer que
-    $$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \ln \big|h\big(re^{it}\big)\big|\dt = \ln |h(0)| + \ln \frac{r}{|a_1\dots a_n|}$$ pour $r\gt 3\max(|a_i|)$.
+    $$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \ln \big|h\big(re^{it}\big)\big|\dt = \ln |h(0)| + \ln \frac{r}{|a_1\dots a_n|}$$ pour $r\gt \max(|a_i|)$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
  1. Produit de Cauchy, éventuellement on peut regarder les coefficients pour $x$ réel.
- 2. ?? L'air faux.
+ 2. Cela revient à $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \ln |re^{it} - a_1|\dt = \ln r$, pour $r\gt 3 |a_1|$.
+
+    On peut écrire cela comme $\int_0^{2\pi} \ln |r e^{it} - a_1|^2 \dt = \int_0^{2\pi} f(re^{it} - a) + f(re^{-it} - \ol{a})\dt$
+    $f(re^{it} - a) = r e^{it} f(1 - a/re^{-it})$, puis DSE.
 #+END_proof
 
 
@@ -1708,6 +1729,7 @@ Soit $f\colon\R \setminus \Z \ra \R$ une fonction 1-périodique intégrable sur
 
 
 # 116
+# ID:6469
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 Soit $d \in \N^*$. On munit $\R^d$ de la norme euclidienne canonique. Soit $\interval[{a, b}[$ un intervalle de $\R$, $\left(f_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de fonctions de $\interval[{a, b}[$ dans $\R^d$ continues par morceaux. On suppose que $\left(f_n\right)$ converge uniformément sur tout compact vers $f\colon \interval[{a, b}[\ra \R^d$. On suppose de plus qu'il existe $g\colon \interval[{a, b}[\ra \R^+$ intégrable telle que $\forall n \in \N$, $\forall t \in\interval[{a, b}[,\,\left\|f_n(t)\right\| \leq g(t)$.
  1. Montrer que $\int_a^b f$ et $\int_a^b f_n$, pour $n \in \N$, convergent. Montrer que $\int_a^b f_n \tend{n \ra+\i} \int_a^b f$.
@@ -1830,17 +1852,18 @@ Donc c'est la projection sur les espaces caractéristiques de valeurs propres $\
 
 # 123
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
-On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues et intégrables de $\R$ dans C. Pour $f \in E$, on note $\hat{f}\colon x \mapsto \int_{\R} f(t) e^{-i x t}\dt$. On admet que $\hat{\hat{f}}(x)=2 \pi f(-x)$ pour tout $f \in E$ tel que $\hat{f} \in E$. Déterminer les complexes $\lambda$ tels que l'équation $\hat{f}=\lambda f$ ait une solution non nulle $f \in E \setminus\{0\}$.
+On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues et intégrables de $\R$ dans $\C$. Pour $f \in E$, on note $\hat{f}\colon x \mapsto \int_{\R} f(t) e^{-i x t}\dt$. On admet que $\hat{\hat{f}}(x)=2 \pi f(-x)$ pour tout $f \in E$ tel que $\hat{f} \in E$. Déterminer les complexes $\lambda$ tels que l'équation $\hat{f}=\lambda f$ ait une solution non nulle $f \in E \setminus\{0\}$.
 
 Indication : On pourra introduire le sous-espace vectoriel $\mcS$ des fonctions $f\colon\R \ra \C$ de classe $\mc C^{\i}$ telles que $f^{(p)}(x)$ $={ }_{x \ra \pm \i} O\left(|x|^{-n}\right)$ pour tout $(n, p) \in \N^2$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
 Si $\hat{f} = \la f$, on a $\hat{\hat{f}} = 2\pi f(-x)$, puis $\la^4 = 4\pi$.
 
-L'espace donné $S$ est stable par $\hat{\cdot}$, on a $T^4 = \op{Id}$, donc $T$ il existe une valeur propre tel que $T(f) = \la_i f$, puis on passe aux autres, (comment ??)
+L'espace donné $S$ est stable par $\hat{\cdot}$, on a $T^4 = \op{Id}$, donc il existe une valeur propre telle que $T(f) = \la_i f$, puis les autres existent également, puisque sinon, $T - \la_j$ serait injectif, donc on aurait un polynôme annulateur de $f$ de degré $\leq 3$. Mais sur l'espace des fonctions paires ont est annulé par $X^2 - 2\pi$, donc le polynôme annulateur est un multiple de $X^2 - 2\pi$, et sur les fonctions impaires, on est annulé par $X^2 + 2\pi$, donc on est multiple.
 #+END_proof
 
 # 124
+# ID:6471
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
  1. Soit $x \in \R^{+^*}$. Montrer que $\eps \ra \int_{-x}^{-\eps} \frac{e^{-x-t}}{t}\dt+\int_{\eps}^{+\i} \frac{e^{-x-t}}{t}\dt$ possède une limite finie en $0^+$, que l'on notera $I(x)$.
  2. Déterminer un équivalent de $I$ en $0^+$.
@@ -1858,6 +1881,7 @@ L'espace donné $S$ est stable par $\hat{\cdot}$, on a $T^4 = \op{Id}$, donc $T$
 #+END_proof
 
 # 125
+# ID:6470
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
  1. Montrer que la suite de terme général $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln (n)$ converge vers un réel strictement positif noté $\gamma$. On pose $\Gamma(x):=\int_0^{+\i} t^{x-1} e^{-t}\dt$ pour $x\gt 0$.
  2. Montrer que $\Gamma$ est une fonction de classe $\mc C^1$ sur $\R_+^*$.
@@ -2999,6 +3023,7 @@ Soit $M\in SL_n(\R)$.
 ** Analyse
 
 # 241
+# ID:6472
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $\rho\gt 1$ et $A_{\rho} = \left\{\sum_{n=1}^{+\i} \frac{\eps_n}{\rho^n},\, (\eps_n)\in \{\pm 1\}^{\N^*}\right\}$. Montrer que $A_{\rho}$ est un compact de $\R$.
 #+END_exercice
@@ -3007,6 +3032,7 @@ Si on a une suite, on extrait $\eps_1$ constant, puis $\eps_2$ constant etc, cel
 #+END_proof
 
 # 242
+# ID:6473
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $\K = \R,\C$ et $E$ un espace vectoriel de dimension finie. On note $\mc A_r = \{ u\in\mc L(E)\mid \rg u = r\}$.
  1. L'ensemble $\mc A_r$ est-il ouvert ? fermé ?
@@ -3094,6 +3120,7 @@ Soit $f\colon [0,1]^d\ra [0,1]^d$ telle que $\lN f(x) - f(y)\rN_{\i}\lt \lN x-y\
 #+END_indication
 
 # 247
+# ID:6474
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 On munit $\mc C([0,1],\R)$ de la norme infinie. On note $B$ sa boule unité fermée. Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\mc C([0,1],\R)$.
  1. Soit $N\in\N^*$. Soit $(x_1,\dots,x_N)\in [0,1]^N$. On pose $\Phi\colon f\cap E\mapsto \big(f(x_k)\big)_{1\leq k\leq N}$.
@@ -3385,11 +3412,12 @@ Soient $\xi_n\gt \xi_{n-1}\gt \dots \gt \xi_1\gt 0$ et $a,\dots,a_n$ des réels
     La fonction $g$ vérifie $\int_0^1 g(t)\dt = 1$, décroissante, $g(0^+) = 0$ et $\left|\frac{1}{2}\int_{-1}^1 g(x)e^{itx}\dx\right|\leq \frac{1}{t}$, utile pour $t$ grand.
 
     On veut montrer que $g$ est constante égale à $1$.
-    
+
 #+END_proof
 
 
 # 268
+# ID:6475
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Existe-t-il $f\colon \R^2 \ra \R$ continue telle que :
  + $f$ s’annule un nombre fini de fois sur chaque droite verticale,
@@ -3428,6 +3456,7 @@ Oui, considérer une réunion de demi-droites horizontales, aux ordonnées enti
 #+END_proof
 
 # 271
+# ID:6476
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $f\colon\R_+\ra\R$ uniformément continue. On suppose qu'il existe $m\gt 0$ tel que $\forall x,y\geq 0,\, \left|\int_x^y f\right|\leq m$ et $\forall x\gt 0,\, |f(x)|\leq 2x^{-2}\int_0^x (x-y) |f(y)|\dy$ (hapothèse $(H)$).
  1. Montrer que $f$ est bornée.
@@ -3682,6 +3711,7 @@ D'autre part, la somme d'un nombre fini de termes $(K)$ de la somme considérée
 #+END_proof
 
 # 292
+# ID:6477
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soient $m,n\geq 2$, $p\in \interval]{0, 1}[$ et $q = 1-p$. Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $\mc B(p)$. On note $A_n$ l'évènement «$m$ divise $X_1 + \dots + X_n$».
  1. Montrer que pour tout $n\geq 1$,
@@ -3735,6 +3765,7 @@ Soit $\sigma_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc S_n$.
 #+END_indication
 
 # 295
+# ID:6478
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soient $G$ un groupe fini de neutre $e$, $n\in\N^*$, $(X_k)_{1\leq k\leq n}$ indépendantes de même loi uniforme sur $G\setminus \{e\}$. Déterminer la loi de $Y_n = X_n \dots X_1$.
 #+END_exercice
@@ -3749,6 +3780,7 @@ Soient $G$ un groupe fini de neutre $e$, $n\in\N^*$, $(X_k)_{1\leq k\leq n}$ ind
 #+END_proof
 
 # 296
+# ID:6479
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Pour $X,Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N$, on note
  $$d(X,Y) = \sum_{n\in\N} \big|P(X = n) - P(Y= n)\big|.$$
@@ -3760,8 +3792,8 @@ C'est
 Classiquement, chaque sommande tend vers $0$, et on peut espérer avoir une domination…
 #+END_proof
 
-# Lier 1506
 # 297
+# ID:6480
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $X_n$ suivant une loi uniforme sur $\db{1,n}$. On note $R_n$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $X_n$ et $Y_n = \frac{R_n}{X_n}$. Montrer que $P(Y_n \geq 1/2)\ra 2 \ln 2 - 1$.
 #+END_exercice
@@ -3803,7 +3835,6 @@ C'est le coefficient en $\lfloor (d-1)/2\rfloor + 2$ de $(X+1)^{\lfloor (d-1)/2\
  3. On considère la suite précédente, et les évènements $A_k = \bigcap_{i = p_k}^{p_{k+1} - 1} (X_i = 1)$. Alors $\sum P(A_k)$ diverge, et les $A_k$ sont indépendantes, donc presque sûrement, $A_k$ se réalise une infinité de fois, donc presque sûrement la série diverge.
 #+END_proof
 
-# Lier au 6000 plus facile.
 # 301
 #+call: get_exa(6147)
 #+BEGIN_exercice  $\bigstar$ $\bigstar$  [X 2022]
@@ -3850,6 +3881,7 @@ Soient $n,b\geq 2$, $X_1,\dots, X_n$ indépendantes de même loi uniforme sur $\
 #+END_proof
 
 # 305
+# ID:6481
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ indépendantes de même loi centrée et bornée, et $S_n = X_1 + \dots + X_n$.
  1. Montrer qu'il existe $C\gt 0$ tel que $E(S_n^4) \leq C n^2$, pour tout $n\in\N^*$.
@@ -3867,7 +3899,7 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ indépendantes de même loi centrée et bornée, et $S_n
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soient $A_1,\dots, A_n$ des évènements, $x_1,\dots,x_n \in \interval]{0, 1}[$ et $D_1,\dots,D_n$ des parties de $\db{1,n}$. On suppose que pour tout $i$, $\m 1_{A_i}$ est indépendante de la variable conjointe $(\m 1_{A_j})_{j\in\db{1,n}\setminus D_i}$. On suppose aussi que $P(A_i)\leq x_i \prod_{D_i} (1-x_j)$, pour tout $i$.
 
-Soit $E\subset \db{1,n}$ et $i\in\db{1,n} \setminus E$. On pose $B_E = \bigcap_{E} \ol{A_i}$, que l'on suppose non négligeable. Montrer que $P(A_i \mid B_E)\leq x_i$.
+Soit $E\subset \db{1,n}$ et $i\in\db{1,n} \setminus E$. On pose $B_E = \bigcap_{E} \ol{A_j}$, que l'on suppose non négligeable. Montrer que $P(A_i \mid B_E)\leq x_i$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
  $P(A_i\mid B_E) = P(A_i \mid \cap_{E} \ol{A_j})$ $=P(A_i \mid \cap_{E \cap D_i} \ol{A_j} \cap_{E \cap \ol{D_i}} \ol{A_j})$