diff --git a/Exercices 2023.org b/Exercices 2023.org index 3ba345a..36b2ba1 100644 --- a/Exercices 2023.org +++ b/Exercices 2023.org @@ -1,13 +1,49 @@ -# -*- org-export-switch: "xens mp"; -*- +# -*- org-export-switch: "todoes"; -*- #+title: Exercices 2023 #+author: Sébastien Miquel #+date: 02-12-2023 -# Time-stamp: <08-06-24 18:04> +# Time-stamp: <11-07-24 12:42> #+OPTIONS: * Meta :noexport: +** Statistiques + +#+BEGIN_SRC emacs-lisp +(defun nb_unexed () + (let ((n 0)) + (save-excursion + (goto-char (point-min)) + (while (go-find-unexed-exo nil) + (setq n (1+ n)) + (forward-line 1)) + n))) + +(defun nb_todo () + (save-excursion + (goto-char (point-min)) + (let ((count 0)) + (while (re-search-forward "exercice.*:todo:" nil t) + (setq count (1+ count)) + (forward-line 1)) + count))) + +`(,(count-matches "\\?\\?") ,(1- (count-matches "!!")), (nb_todo), (nb_unexed)) +#+END_SRC + +#+RESULTS: +| 4 | 9 | 13 | 736 | + +#+BEGIN_SRC emacs-lisp +(defun find_bad_hash () + (interactive) + (re-search-forward "[^\n ]#")) +#+END_SRC + + +** Replacements + #+BEGIN_SRC emacs-lisp (let replacement ("decrire" "décrire") @@ -31,6 +67,7 @@ ("consider" "considér") ("réel" "réel") ("montrrer" "montrer") + (":\\" "\\colon\\") ("montrver" "montrer") ("algebre" "algèbre") ("necess" "nécess") @@ -39,29 +76,6 @@ ("integ" "intég")) #+END_SRC -#+BEGIN_SRC emacs-lisp -(defun nb_unexed () - (let ((n 0)) - (save-excursion - (goto-char (point-min)) - (while (go-find-unexed-exo) - (setq n (1+ n)) - (forward-line 1)) - n))) - -`(,(count-matches "\\?\\?") ,(1- (count-matches "!!")) ,(nb_unexed)) -#+END_SRC - -#+RESULTS: -| 3 | 10 | 945 | - -#+BEGIN_SRC emacs-lisp -(defun find_bad_hash () - (interactive) - (re-search-forward "[^\n ]#")) -#+END_SRC - - ** Trying to make nougat work L'équivalent de CUDA pour AMD : @@ -141,7 +155,8 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( ** Options #+OPTIONS: latex:verbatim -#+exclude_types: proof +# #+exclude_types: proof + *** All # #+OPTIONS: toc:t @@ -154,9 +169,9 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( *** XENS MP -#+select_tags: xens -#+exclude_tags: autre -#+export_file_name: Exercices XENS MP 2023 +# #+select_tags: xens +# #+exclude_tags: autre +# #+export_file_name: Exercices XENS MP 2023 *** Centrale @@ -168,6 +183,12 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( # #+select_tags: mines # #+export_file_name: Exercices Mines 2023 +*** todoes + +#+options: title:nil nopage:t tags:nil +#+select_tags: todo +#+export_file_name: Exercices 2023 todo +#+relocate_tags: todo @@ -175,8 +196,9 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( ** Algèbre +# ID:7105 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 1] -Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f$ une application de $S$ dans $T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. Montrer que $|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left(\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)$. +Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f\colon S\ra T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. Montrer que $|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right\rceil^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right\rceil\right)$. #+END_exercice #+BEGIN_proof Pour le terme de gauche, il s'agit de montrer que $\sum_{y} n_y^2 \geq \frac{\big(\sum_{y} n_y\big)^2}{\sum_y 1}$, c'est Cauchy-Schwarz. @@ -185,6 +207,7 @@ Pour le terme de droite, c'est un principe des tiroirs, puis compter pour $1$ le #+END_proof +# ID:7106 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 2] Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de $\db{1, n }$ tels que $\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$. #+END_exercice @@ -192,7 +215,7 @@ Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il e $S$ sera un sous-ensemble d'entiers consécutifs : considérer les sommes partielles $S_0,\dots, S_n$. #+END_proof -# Relier à Legendre +# ID:7108 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 3] :sup: Pour tout $n\in\N^*$, on note $E(n)$ la valuation $5$-adique de $\prod_{k=1}^n k^k$. Donner un équivalent de $E(n)$, quand $n\ra +\i$. #+END_exercice @@ -201,15 +224,17 @@ C'est $\sum_{q = 1}^{\lfloor n/5\rfloor} 5q + \sum_{q = 1}^{\lfloor n/5^2\rfloor #+END_proof +# ID:7109 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 5] Soit $p$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est somme de deux carrés d'entiers. #+END_exercice #+BEGIN_proof Si $p$ est somme de deux carrés d'entiers, $p\equiv 1[4]$, et $a$ est un carré si et seulement si $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$. -Réciproquement, si $p\mid m^2 + 1$. On peut trouver $0\lt x,y\lt \sqrt{p}$ tels que $p \mid m^2 x^2 - y^2$. On obtient alors $p\mid x^2 + y^2$. +Réciproquement, si $p\mid m^2 + 1$. On peut trouver $0\lt x,y\lt \sqrt{p}$ tels que $p \mid m^2 x^2 - y^2$. On obtient alors $p\mid x^2 + y^2$, donc $p = x^2 + y^2$. #+END_proof +# ID:7110 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 6] 1. Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que $\big(\Z/p\Z\big)^\times$ contient $(p-1)/2$ carrés. 2. Montrer que tout élément de $\Z/p\Z$ s'écrit comme la somme de deux carrés de $\Z/p\Z$. @@ -218,7 +243,7 @@ Réciproquement, si $p\mid m^2 + 1$. On peut trouver $0\lt x,y\lt \sqrt{p}$ tels *Indication* : Commencer par le cas où $n$ est sans facteur carré. #+END_exercice -# À Relier +# ID:7111 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 7] Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre premier et si $r\in\Q^*$ s'écrit $\frac{a}{b}$ de manière irréductible, on définit la $p$-valuation $v_p(r)$ comme $v_p(a) - v_p(b)$. 1. Montrer que si $p\geq 3$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 1$. @@ -228,7 +253,7 @@ Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre pr #+END_exercice -# Sée 2795 +# ID: 2795 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 9] 1. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler. 2. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$. @@ -240,6 +265,7 @@ Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre pr 3. Par inversion de Möbius, on a $\phi(d) = \sum\limits_{d'\mid d} \mu\big(\frac{d}{d'}\big) d'$. #+END_proof +# ID:7112 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 10] Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la valuation $p$-adique d'un entier $n$. On pose, pour $m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout $m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$. #+END_exercice @@ -286,7 +312,8 @@ Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \lef #+END_proof -#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 14] :sup: +# ID:7113 +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 14] :sup: Soit $G$ un groupe fini. Si $X$ et $Y$ sont des parties non vides de $G$, on pose $X^{-1}=\left\{x^{-1}, x \in X\right\}$ et $X Y=\{x y,(x, y) \in X \times Y\}$. Dans la suite, $X$ désigne une partie non vide de $G$. 1. On suppose que $|X X|\lt 2|X|$. Montrer que $X X^{-1}=X^{-1} X$. @@ -294,15 +321,14 @@ Dans la suite, $X$ désigne une partie non vide de $G$. #+END_exercice #+BEGIN_proof 1. Si $X$ a un seul élément, ok. Sinon, alors pour tous $a, b\in X$, les ensembles $aX$ et $bX$ ne sont pas disjoints, donc il existe $u,v$ tels que $au = bv \ssi a^{-1} b = u v^{-1}$. D'où le résultat. - 2. $X^{-1}X$ contient l'élément neutre, et stable par inverse. + 2. Indépendant de la question précédente. À relier à un théorème de Freiman. - Si ce n'est pas un sous-groupe, c'est qu'il existe $u^{-1} v a^{-1} b$ qui ne s'écrit pas de cette forme. + Il suffit de montrer que $X^{-1} X$ est stable par produit. Soit $a, b\in X^{-1} X$, $a = x^{-1} y$ et $b = u^{-1} v$, $ab = x^{-1} y u^{-1} v$. - !! - - Quitte à translater, on peut supposer que $e\in X$. Alors $X X^{-1}$ contient tous les éléments de $X$, et leurs inverses. Au moins la moitié des éléments de $X$ ont leurs inverses dans $X$ ! + L'hypothèse sur le cardinal de $X X^{-1}$ implique que $a$ peut s'écrire de $\gt \frac{|X|}{2}$ façons différentes comme $a = x^{-1} y$. De même pour $b$, donc deux de ces façons on l'élément au milieu en commun : $y = u^{-1}$, et a lors $ab = x^{-1} v$. #+END_proof +# ID:7114 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 15] :sup: Soient $A$ un anneau et $B\subset A$ finie non vide. On note $E(B) = \big|\{(a,b,c,d)\in B^4 \mid ab = cd\}\big|$. Montrer que $E(B)\geq \frac{|B|^4}{|BB|}$. #+END_exercice @@ -311,28 +337,39 @@ On note $x_i$ le nombre de couples qui donnent une valeur $i\in A$. Alors $E(B) #+END_proof +# ID:7115 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 16] :sup: 1. Montrer que $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ engendrent $SL_2(\Z)$. 2. Soit $m\geq 2$. Montrer que le morphisme $\pi\colon SL_2(\Z)\ra SL_2(\Z/m\Z)$ est surjectif. #+END_exercice #+BEGIN_proof -Easy + 1. Division euclidienne. + 2. Clair. #+END_proof +# ID:7100 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 17] Soit $p$ un nombre premier. On admet qu'il existe un anneau commutatif $A$ dans lequel $p^2.1_A=0_A$ et il existe un élément inversible $x$ tel que : + tout élément de $A$ s'écrive $P(x) x^{-k}$ pour un $P \in \Z[X]$ et un $k \in \N$; - + pour deux polynômes $P, Q$ dans $\Z[X]$ et deux entiers naturels $k, l$, l'égalité $P(x) x^{-k}=$ $Q(x) x^{-\l}$ équivaut à ce que $X^k Q$ et $X^\l P$ aient même réduit modulo $p^2$ (autrement dit, tous les coefficients de $X^k Q-X^\l P$ sont des multiples de $p^2$). + + pour deux polynômes $P, Q$ dans $\Z[X]$ et deux entiers naturels $k, \l$, l'égalité $P(x) x^{-k}=$ $Q(x) x^{-\l}$ équivaut à ce que $X^k Q$ et $X^\l P$ aient même réduit modulo $p^2$ (autrement dit, tous les coefficients de $X^k Q-X^\l P$ sont des multiples de $p^2$). # Sep 1. Soient $P \in \Z[X]$ et $k \in \N$. Caractériser l'inversibilité de $P(x) x^{-k}$ dans $A$. 2. Montrer que le groupe multiplicatif $A^{\times}$ ne possède pas de partie génératrice finie. #+END_exercice #+BEGIN_proof -!! + 1. $P(x) x^{-k}$ est inversible si et seulement si $P(x)$ l'est, on peut alors supposer que le coefficient constants de $P$ est non nul. + + S'il est inversible, alors le coefficient constant est premier avec $p$. + + S'il est inversible, il est inversible modulo $p$, donc ses autres coefficients sont $0$ modulo $p$. + + Réciproquement, on prend un polynôme $P = b + pP'$, admet $b - pP'$ comme inverse essentiellement. + 2. Quand on multiplie des éléments, on somme les polynômes, donc le degré est inférieur au max des deux. #+END_proof +# ID:7116 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 18] Soit $f \in \Z[X]$. On pose $S_q=\sum\limits_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum\limits_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$ pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors $S_{q q'}=S_q S_{q'}$. #+END_exercice @@ -341,6 +378,7 @@ Les $a\in\db{1,qq'}$ premiers avec $q$ et $q'$ sont les $bq + aq'$, avec $a$ pre #+END_proof +# ID:6662 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 19] :sup: On dit qu'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : $\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un même cercle. #+END_exercice @@ -348,8 +386,11 @@ On dit qu'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : $\forall(x, y) \in X^2 On veut que les $\sin (\frac{\theta_i - \theta_j}{2})$ soient rationnels, c'est-à-dire les $\sin \frac{\theta_i}{2} \cos \frac{\theta_j}{2} - \sin \frac{\theta_j}{2} \cos \frac{\theta_i}{2}$. Il suffit donc de prendre les doubles d'une infinité de points rationnels sur le cercle. + +Autre possibilités : prendre des points entiers sur un cercles, donc tels que $x^2 + y^2 = n$. Il suffit que $n$ s'écrivent de plein de façons comme sommes de deux carrés. #+END_proof +# ID:6763 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 20] Anneau des entiers algébriques :sup: Soit $z\in\C$ annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. Soit $Q\in\Z[X]$. Montrer que $Q(z)$ est annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. #+END_exercice @@ -360,6 +401,7 @@ En passant par la matrice compagnon, on sait que $z$ est valeur propre d'une mat #+END_proof +# ID:5056 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 21] Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré $2 m$ tel que $\forall x \in \R \setminus \Z, \sin (n x)=(\sin x)^n P_m(\op{cotan} x)$. 2. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \op{cotan}^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)$. @@ -370,6 +412,7 @@ Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré Easy. #+END_proof +# ID:6003 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 22] :sup: Pour $n\in\N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$. 1. Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $\C$. @@ -378,10 +421,14 @@ Pour $n\in\N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$. 4. Déterminer les variations et la convexité de $x\mapsto P_n(x)$. #+END_exercice #+BEGIN_proof -Easy. + 1. + 2. Encadrement des racines : la somme est alternée. + + On procède par récurrence, et on a $P_n = P_n' + \frac{x^n}{n!}$, cette quantité étant négative. + 3. Non : vérifier le signe en la racine de la dérivée. #+END_proof - +# ID:nil #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 23] Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$. 1. On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que $\forall x \in \R, n P(x) P''(x) \leq(n-1) P'(x)^2$. @@ -392,11 +439,13 @@ Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$. 2. Ajouter à un précédent. #+END_proof +# ID:279 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 24] :sup: Soit $n\in\N^*$, $P = X^n + \sum_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\C[X]$. On factorise $P$ sous la forme $P = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$. Pour $k\in\N$, on note $S_k = \sum_{i=1}^n z_i^k$. Montrer que, si $k\gt n$, $S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_0 S_{k-n} = 0$ et que, si $k\leq n$, $S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_1 = - k a_{n-k}$. #+END_exercice +# ID:7117 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 25] :sup: Une suite d'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme si pour tous $n,m\in\N^*$, $m-n\mid a_m - a_n$. 1. Soit $P\in\Z[X]$. Montrer que $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme. @@ -410,14 +459,16 @@ Une suite d'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme si pour tous $n,m\ #+END_proof +# ID:7118 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 26] Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que, pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$. #+END_exercice #+BEGIN_proof -Easy, à relier. +Easy, à relier. Je ne trouve plus l'exercice… Cf le 4737, m'enfi #+END_proof -# Relier à 6130 + +# ID: 7119 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 27] Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si + $-P$ et $Q$ sont scindés à racines simples sur $\R$, @@ -425,10 +476,8 @@ Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si + entre deux racines consécutives de $P$ (respectivement $Q$) il y a une unique racine de $Q$ (respectivement $P$). Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout $\lambda, \mu \in \R^*, \lambda P+\mu Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, alors $P$ et $Q$ sont entrelacés. #+END_exercice -#+BEGIN_proof -À relier. -#+END_proof +# ID: 6809 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 28] :sup: Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$. #+END_exercice @@ -438,6 +487,7 @@ Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_ Vient des relations coefficients-racines. #+END_proof +# ID:7120 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 29] :sup: Pour $P\in\R[X]$, on note $\mc C_Q = \{Q\in\R[X]\mid P\circ Q = Q\circ P\}$. @@ -452,6 +502,7 @@ On appelle suite commutante toute famille $(P_n)_{n\in\N}$ telle que $\forall n, #+END_exercice +# ID:6261 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 31] - CNS sur $n$ pour que $\Z/n\Z$ soit un corps. - On suppose cette condition satisfaite. Combien y a-t-il de polynômes de degré $d\in\N$ fixé dans $\Z/n\Z$ ? @@ -463,12 +514,13 @@ On appelle suite commutante toute famille $(P_n)_{n\in\N}$ telle que $\forall n, - Compter les multiples. #+END_proof -# À relier +# ID:6918 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 32] Soit $n\in\N^*$, $\K$ un corps, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\K)$ dont tous les éléments sont de rang $\leq 1$. Montrer que $V$ est de dimension $\leq n$. Étudier le cas d'égalité. #+END_exercice +# ID:6624 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 33] Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel $V$ de $\M_n(\R)$ tel que pour tout $(X,Y)\in V^2$, on ait $\op{Tr} (XY) = 0$. #+END_exercice @@ -481,6 +533,7 @@ Dans $\M_2(\C)$ : $\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & ia\end{pmatrix}$. On cherche une #+END_proof +# ID:6560 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 35] :sup: Soient $A,B\in\M_n(\R)$ de même rang telles que $A^2 B = A$. Montrer que $B^2 A = B$. #+END_exercice @@ -490,6 +543,7 @@ En passant à la transposée, on veut montrer que $(B'A' - I_n)A' = O_n \Rightar Mais la première relation donne que si $X\in \Im A'$, alors $B' A' X = X$. Donc $\Im B' = \Im A'$, et leurs induits sont inverses l'un de l'autre. #+END_proof +# ID:4758 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 38] :sup: Soient $n\geq 1$ et $E$ une partie de $\mc P(\db{1,n})$. 1. On suppose que $E$ est stable par différence symétrique. Que dire de $C = \{\m 1_A\}$ comme partie de l'espace vectoriel $\big(\Z/2\Z\big)^n$ ? @@ -505,6 +559,7 @@ Soient $n\geq 1$ et $E$ une partie de $\mc P(\db{1,n})$. #+END_proof +# ID:4740 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 39] :sup: Soient $(a_1,\dots, a_n)\in\R^n$ telle que $|a_i|\geq 2$, pour tout $i\in\db{1,n}$. 1. Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall i,\, a_{ii} = a_i$, $a_{ij} = 1$ si $|i-j| = 1$ et $a_{ij} = 0$ sinon. Montrer que $A$ est inversible et que son déterminant a le même signe que $\prod a_k$. @@ -521,36 +576,47 @@ Soient $(a_1,\dots, a_n)\in\R^n$ telle que $|a_i|\geq 2$, pour tout $i\in\db{1,n #+END_proof -#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 40] :sup: -On considère $\phi:\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut $\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$. - 1. Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0$ ? +# ID:7173 +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 40] +On considère $\phi\colon\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut $\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$. + 1. Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0_4$ ? 2. Que dire de la réciproque? 3. Montrer que $A$ s'écrit comme $\phi(u, v)$ avec $(u, v)$ libre si et seulement si $A \in \mc{A}_4(\R)$, $\op{det}(A)=0$ et $A \neq 0$. 4. Décrire l'image et le noyau d'une telle matrice. #+END_exercice #+BEGIN_proof - 1. - 2. - 3. - 4. + 1. On a $\phi(u,v) = \phi(u, v+u)$. D'autre part, si $\phi(u,v)\neq 0_4$, alors $u,v$ ne sont pas colinéaires. + + Par ailleurs, si $w\in \vect (u,v)$, on a $\forall i_1,i_2,i_3$, le déterminant $3\times 3$ avec leurs coordonnées est nul, donc il va de même (développement sur la colonne de $w$) de celui avec $u', v'$, donc pour tout $w'$, le déterminant $4\times 4$, $\det (u', v', w, w')$ est nul (développement sur la dernière colonne), donc $w\in \vect (u',v')$. + + Enfin, il faut que les triangles $(0, u, v)$ et $(0, u', v')$ aient la même aire, car $\phi$ est une forme bilinéaire alternée dans $\vect (u,v)$. + 2. Réciproquement, la seule difficulté est de montrer que $\phi$ est non nulle, pour $(u,v)$ libre. Mais si elle était nulle, pour tout $w, w'$, $\det( u', v', w,w')$ serait nul. + 3. $\Rightarrow$ : On peut vérifier que transformer $u, v$ en $Pu, Pv$ transforme $A$ en $P A P^T$, on est donc ramené aux cas où $u = (1,0, 0, 0)$ et $v = (0, 1, 0, 0)$. + + $\Leftarrow$ : Réduction d'une matrie antisymétrique ? Prendre $x$, $Ax$ (ils sont orthogonaux), puis une BON du reste, alors dans cette base $A$ doit être antisymétrique, et le premier ??. Plutôt, partir du noyau, qui est de dimension $2$ et stable, et prendre un orthogonal du noyau. + 4. Le noyau est $\vect (u,v)^{\bot}$, l'image est $\vect (u, v)$, car les deux sont orthogonaux. #+END_proof +# ID:7183 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 41] Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$. Montrer qu'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$ où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$. #+END_exercice #+BEGIN_proof -On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Donc diagonalisable ? !! +On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Les équations donnent : on cherche quatre complexes $u,v,w,z$ tels que $u\ol{v} + w\ol{z} = a+ib$ et $p = |u|^2 + |w|^2$ et $m = |v|^2 + |z|^2$. On peut remplacer la dernière équation par $uz - vw = 1$, ou $|uz - vw| = 1$. Dans $\Q[i]$, on peut résoudre $u\ol{v} + w \ol{z} = a + ib$ et $uz - vw = 1$, quels que soient $u, w\in \Q[i]$, puis en multipliant par la racine de $\frac{|u|^2 + |w|^2}{p}$, on vérifie l'équation $p = \dots$. Mais on a un élément de $\sqrt{D}\Q[i]$. On peut le multiplier par un élément de $\m U$, donc il faudrait un élément de $\sqrt{D} \Q[i]\cap \m U$, c'est-à-dire montrer que $D$ est une somme de quatre carrés (de rationnels). + +Plutôt, on part de $A$, et on applique $B A B^*$, pour $B\in GL_2(\Z[i])$. On obtient une matrice hermitienne à coefficients dans $\Z[i]$. En particulier les coefficients diagonaux sont entiers, et on vérifie que le coefficient en haut à gauche est non nul, positif, on le choisit minimal. Puis en appliquant $B = \begin{pmatrix}\a & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$, en travaillant dur, on obtient que le coefficient doit être $1$. On peut alors aussi obtenir $1$ en bas à droite… #+END_proof +# ID:4262 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 42] -Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit $f_g:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes : +Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit $f_g\colon\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes : + il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d'éléments de $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$ de $\R^2$, $f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$, + il existe une droite vectorielle $L$ telle que $\left|\left\{i\mid L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$. #+END_exercice @@ -570,13 +636,17 @@ On applique ça aux éléments qui ont $L$ dans leur noyau, et $e_L$ pour les au #+end_proof +# ID:2860 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 43] -Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$ +Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 [3]$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$ #+END_exercice #+BEGIN_proof -Facile ? Attention : faux pour 2. +D'une part il contient le groupe engendré. + +D'autre part, on peut faire des opérations, pour annuler $b$. #+END_proof +# ID:6260 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 45] Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C_A\colon X\in\M_n(\C)\mapsto AX -XA$. Montrer que si la matrice $A$ est diagonalisable, alors $C_A$ l'est aussi. #+END_exercice @@ -585,15 +655,20 @@ Calculer les puissances de $C_A$. #+END_proof +# ID:6961 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 46] Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que $A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$. #+END_exercice #+BEGIN_proof $\Leftarrow$ Ok. -Si $ABA^{-1}B^{-1}$ commute avec un $\vect$ de dimension $2$. Si $AB = \la BA$, c'est bon. Sinon, alors le commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$ est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, puis faire de la réduction. + $\Rightarrow$ : On discute selon la dimension du commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$. + + Si le commutant est de dimension $4$, c'est que $AB = \la BA$, c'est bon, par déterminant. + + Par réduction dans $GL_2(\C)$, le commutant ne peut pas être de dimension $3$. + + Si le commutant est de $\dim 2$, c'est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, donc $A$ et $B$ commutent. #+END_proof +# ID:6490 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 47] Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_r$ les valeurs propres distinctes de $A$ et $\a_1,\dots, \a_r$ leurs multiplicités. On note $P_k = (X-\la_k)^{\a_k}$ et $F_k = \Ker P_k(A)$. 1. Montrer que $\C^n = \bigoplus_{i=1}^r F_i$. @@ -604,6 +679,7 @@ Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_r$ les valeurs propres distinctes de $A$ Easy. #+END_proof +# ID:770 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 48] Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$. On suppose que $m\geq 1$. Montrer l'équivalence entre + $\Ker A = \Ker A^2$. @@ -617,6 +693,7 @@ Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$. On suppose q #+END_proof +# ID:7121 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 49] Soit $M\in GL_n(\Z)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\leq 1$. Montrer qu'il existe $k\geq 1$ tel que $M^k - I_n$ soit nilpotente. #+END_exercice @@ -627,6 +704,7 @@ Les $\op{Tr} M^k$ prennent un nombre fini de valeurs, et par co-approximations, #+END_proof +# ID:7141 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 51] Soit $n\geq 1$. Pour $\sigma\in\mc S_n$, on note $P_{\sigma} = \big(\delta_{i,\sigma(j)}\big)_{i,j}$ la matrice de permutation associée. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \M_n(\C)\ra\C$ telles que $\forall A,P\in \M_n(\C)\times GL_n(\C),\quad f(PAP^{-1}) = f(A)$. On note $\mc B$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \mc D_n(\C)\ra \C$ telles que $f(P_{\sigma} D P_{\sigma}^{-1}) = f(D)$. Expliciter un isomorphisme d'algèbres de $\mc A$ sur $\mc B$. #+END_exercice @@ -641,6 +719,7 @@ Puis on peut définir $f$ sur $\M_n(\C)$, en prenant l'image des coefficients du #+END_proof +# ID:7142 #+BEGIN_exercice Décomposition de Jordan [ENS 2023 # 52] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d'indice $m, x \in E$ tel que $f^{m-1}(x) \neq 0$. 1. Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille. @@ -651,6 +730,7 @@ Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \ #+END_proof +# ID:7143 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 53] Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 1$. Un élément $u\in\mc L(E)$ est dit cyclique s'il existe $x\in E$ tel que $(u^k(x))_{0\leq k\leq n-1}$ soit une base de $E$. 1. Quels sont les endomorphismes de $E$ diagonalisables et cycliques ? @@ -658,17 +738,21 @@ Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 1$. Un élément $u\in\mc L(E)$ est dit 3. Montrer que si $u\in\mc L(E)$, il existe $r\in\N^*$ et des sous-espaces $E_1,\dots, E_r$ de $E$ stables par $u$ tels que $E = \bigoplus_{i=1}^r E_i$ et que, pour tout $i$, $u_{E_i}$ soit cyclique. #+END_exercice #+BEGIN_proof -Ok. + 1. Vps distinctes. + 2. Assez simple. + 3. On est ramené à une matrice nilpotente, auquel cas c'est Jordan : tu prend un $x$ avec $f^{m-1}(x)\neq 0$, l'espace engendré. La difficulté est de trouver un supplémentaire stable, en fixant une forme linéaire non nulle sur $f^{(m-1)}(x)$, et considérant $(\phi\circ f^i)$. #+END_proof +# ID:7144 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 54] -Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $d_1\left|d_2\right| \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$. +Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à $2$ tels que $d_1\mid d_2\mid \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$. #+END_exercice #+BEGIN_proof $n = r$ convient. Réciproquement, si $G$ contient un tel groupe, on peut codiagonaliser. #+END_proof +# ID:7145 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 55] Le groupe $GL_2(\Q)$ contient-il un élément d'ordre $5$ ? #+END_exercice @@ -677,6 +761,7 @@ Montrer qu'une racine $5$-ème de l'unité n'a pas de polynôme annulateur sur $ #+END_proof +# ID:7146 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 56] On note $H$ l'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle. 1. Montrer que $\forall M\in H,\, e^M\in SL_2(\R)$. @@ -694,7 +779,7 @@ On note $H$ l'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle. #+END_proof -# Relier à 2416 +# ID:7147 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 57] Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une norme sur $E$ pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que $\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$ commute avec $h_1$ et $h_2$. Montrer que l'espace $F$ des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et $h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$. #+END_exercice @@ -712,6 +797,7 @@ Pour une autre norme. + Même chose que le précédent. #+END_proof +# ID:7148 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 58] Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_n$ ses valeurs propres. 1. Montrer que $\sum |\la_i|^2 \leq \sum_{i,j} |a_{ij}|^2$. @@ -719,29 +805,38 @@ Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_n$ ses valeurs propres. #+END_exercice #+BEGIN_proof 1. C'est l'inégalité de Schur, dont la seule preuve que je trouve repose sur la décomposition de Schur : $A$ est unitairement semblable à une matrice triangulaire supérieure : on choisit un vecteur propre, puis on recommence dans l'orthogonal… - 2. IAG probablement. + + Indication : commencer par le cas symétrique. + 2. IAG. #+END_proof +# ID:7149 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 59] -Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien, $m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \db{1, m }^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$. +Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien, $m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \db{1, m }^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\lN p(x)\rN^2$. #+END_exercice #+BEGIN_proof Easy, on a $\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x\rangle$. #+END_proof +# ID:7174 #+begin_exercice [ENS 2023 # 60] On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire $(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$. On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection orthogonale de $1$ sur $F$. On écrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et $P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$. - Déterminer $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour $k\in\db{1,n}$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in\db{1,n}$. - - Calculer $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\,dx$. + - Calculer $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\dx$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - 1. Cela vaut $0$. Découle des relations intégrales. - 2. Cela vaut $\langle 1-Q, 1-Q\rangle = \langle 1-Q, 1\rangle = \int (1 + \sum a_i x^i)e^{-x}\dx$. C'est une fonction des $a_i$, et la question 1 permet de conclure, peut-être. + 1. Cela vaut $0$. $P(k) = 0$ découle des relations intégrales. Donc $P(X) = a_n (X-1)\dots (X-n)$. + + Par ailleurs $P(-1) = 1$, donc $a_n (-1)^n (n+1)! = 1$ + 2. Cela vaut $\langle 1-Q, 1-Q\rangle = \langle 1-Q, 1\rangle = \int (1 + \sum a_i x^i)e^{-x}\dx = 1 + \sum a_i i! = P(0)$. + + Par ailleurs, $P(X) = a_n (X-1) \dots (X-n)$, donc $P(0) = a_n n! = \frac{1}{n+1}$. #+END_proof +# ID:7150 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 61] Lemme de Farkas Soient $(E,\langle\cdot\rangle)$ un espace euclidien, $m \in \N^* \et u, u_1, \ldots, u_m$ des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $\left\{x \in E \mid \forall i \in \db{1, m },\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E \mid \langle u, x\rangle \leq 0\}$. #+END_exercice @@ -752,24 +847,19 @@ Soient $(E,\langle\cdot\rangle)$ un espace euclidien, $m \in \N^* \et u, u_1, \l Si $u$ n'est pas dans le cone convexe, alors il existe un hyperplan qui le sépare du cone, et on peut alors construire un vecteur $x$ qui a un produit scalaire $\leq 0$ avec tous les $u_i$, mais un produit scalaire $\lt 0$ avec $u$. #+END_proof -#+BEGIN_theorem -Si $C$ est un cone convexe fermé, $C^{\circ} = \{y\mid \forall x\in C,\, \langle y, x\rangle\leq 0\}$. Montrer que $\big(C^{\circ}\big)^{\circ} = C$. -#+END_theorem -#+BEGIN_proof -Utilise la projection sur un fermé. -#+END_proof - +# ID:7151 #+begin_exercice [ENS 2023 # 62] -Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'écrit d'une unique façon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire supérieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$. +Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'écrit d'une unique façon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire supérieure à coefficients diagonaux strictement positifs. #+end_exercice #+BEGIN_proof C'est GS. #+END_proof +# ID:7152 #+begin_exercice [ENS 2023 # 63] -[Rennes sur dossier] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice antisymétrique et inversible. +Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice antisymétrique et inversible. - Que peut-on dire de l'entier $n$? - En considérant $M^2$, montrer que $M$ admet un plan stable puis qu'il existe une matrice orthogonale $O\in{\cal O}_n({\R})$ telle que $O^TMO$ soit une matrice diagonale par blocs de la forme $\mathrm{diag}(R_{a_1},...,R_{a_k})$, avec $R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$. - Qu'en est-il si $M$ n'est plus supposée inversible? @@ -781,6 +871,7 @@ C'est GS. #+END_proof +# ID:7153 #+begin_exercice [ENS 2023 # 64] Soit $n\geq 1$. Déterminer les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$. #+end_exercice @@ -788,23 +879,28 @@ Soit $n\geq 1$. Déterminer les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ telles que On a $A$ et $A^T$ cotrigonalisable, donc $\la\mapsto \la + \la^k$ est une bijection sur les valeurs propres. La seule possibilité est que $A$ soit nilpotente, donc symétrique. #+END_proof +# ID:7184 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 65] Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$ $M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer $\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$. #+END_exercice #+BEGIN_proof - $\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix})$. !! + $\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix}) = \det M \det \left(M - \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix}\right)$. + +Il se trouve que, pour tout $i$, $e_i - Me_i$ est dans la droite orthogonale à l'hyperplan. Autrement dit, $M - I_{n+1}$ est de rang $1$, et si $C_1\neq e_1$, $M = (e_i + \la_i (C_1 - e_1))$, on peut annuler les termes avec le premier. #+END_proof +# ID:7154 #+begin_exercice [ENS 2023 # 66] Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit $v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n'ont pas de valeur propre commune. Sous reserve d'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$ pour $x$ réel. - Montrer que les zeros de $F$ sont les valeurs propres de $A+vv^T$. - - On note $\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ les valeurs propres de $A$. Montrer que chaque intervalle $]\lambda_1,\lambda_2[$,..., $]\lambda_{n-1},\lambda_n[,]\lambda_n,+\i[$ contient exactement une valeur propre de $A+vv^T$. + - On note $\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ les valeurs propres de $A$. Montrer que chaque intervalle $\interval]{\la_i, \la_{i+1}}[$ et $\interval]{\la_n, +\i}[$ contient exactement une valeur propre de $A+vv^T$. #+end_exercice #+BEGIN_proof -!! + - Si $(A + v v^T)X = \la X$, alors $AX + v \langle v, X\rangle = \la X$, donc $(A-\la I_n) X = - v \langle v, X\rangle$, ce qui implique $\langle v, (A-\la I_n)^{-1}v\rangle = - 1$. Réciproquement, on voit qu'il faut poser $X = (A-\la I_n)^{-1} v$ #+END_proof +# ID:7155 #+begin_exercice [ENS 2023 # 67] Soient $n\in{\N}$ impair, $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que, pour toute $A\in\mc A_n({\R})$, $A+M$ soit non inversible. Montrer que $M\in\mc A_n({\R})$. #+end_exercice @@ -813,13 +909,17 @@ Par récurrence. On considère une matrice $A = \begin{pmatrix}0 & h & 0 \\ -h & #+END_proof +# ID:7156 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 68] Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n'ont pas -1 pour valeur propre et telles que $A B$ n'ait pas 1 pour valeur propre. Montrer que $\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est antisymétrique. #+END_exercice #+BEGIN_proof -Classique + + Ou bien, par analyse synthèse, montrer que si $A\in \mc O_n$, n'a pas $-1$ comme valeur propre, alors il existe un unique $H$ antisymétrique tel que $A = (I_n - H) (I_n + H)^{-1}$. + + On peut aussi l'obtenir directement, en écrivant $(BA - I_n)^{-1} = A^{-1} (B-A^{-1})^{-1}$ + et en écrivant $1-y = (1-x) - (x-y)$, dans certains facteurs, on obtient $U^T = - U$. #+END_proof +# ID:7157 #+begin_exercice [ENS 2023 # 69] Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$. - Déterminer les valeurs propres de $J$ et leur multiplicité. @@ -829,6 +929,7 @@ Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$. - Montrer plus généralement que toute valeur propre d'une matrice antisymétrique réelle est imaginaire pure. #+end_exercice +# ID:7158 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 70] Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non nécessairement distinctes. Montrer que $\forall k \in \db{1,n}, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$. #+END_exercice @@ -840,54 +941,84 @@ D'une part la plus petite est $\geq \la_1$. D'autre part, la seconde est $\min_{ On obtient l'autre inégalité en passant à l'opposé. #+END_proof +# ID:7185 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 71] 1. Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B \in \mc{S}_n^+(\R)$ Montrer que $A B$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles. - 2. Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose $f_{A, B}: X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$. + 2. Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose $f_{A, B}\colon X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$. Montrer que $f_{A, B}$ admet un minimum $\mu_{A, B}$ atteint en une unique matrice $M_{A, B}$. Expliciter $\mu_{A, B}$ et $M_{A, B}$. #+END_exercice #+BEGIN_proof + 1. En conjuguant par une racine de $A$, on obtient une matrice symétrique, def positive. + 2. La question 1 permet de montrer que si les valeurs propres de $X$ sont grandes, la trace est grande, puisque $\langle \sqrt{A}X\sqrt{A}^{-1}e_i, e_i\rangle = \langle X \sqrt{A}^{-1} e_i, \sqrt{A}^{-1} e_i\rangle$. Idem si une valeur propre de $X$ devient petite. + En un point critique $X$, la différentielle doit être nulle, mais c'est $H\mapsto \tr (AH) - \tr (BX^{-1} H X^{-1})$ (pour $H$ symétrique), on obtient $A = X^{-1} B X^{-1}$. + + ou $XAX = B$, qui se met sous la forme $\sqrt{A} X \sqrt{A} \sqrt{A} X \sqrt{A} = \sqrt{A}B\sqrt{A}$ : on a trouvé $X$. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS 2023 # 72] -Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On définit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On définit de meme $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 72] :todo: +Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On définit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On définit de même $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$. - Montrer que $p(A)+q(A)=\mbox{rg}\,A$. - Montrer que, si $A$ est inversible, alors $p$ et $q$ sont constantes sur un voisinage de $A$ dans ${\cal S}_n({\R})$. - - Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f:t\mapsto\det(A+tB)$ n'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$. + - Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f\colon t\mapsto\det(A+tB)$ n'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: + - Simple. + - Elles sont localement croissante : si on a un témoin $V$, il suffit de témoigner sur l'intersection de $V$ avec la sphère unité. + - Si $B$ est définie positive, par coréduction ça marche. Sinon ? +#+END_proof + +# ID:nil #+begin_exercice [ENS 2023 # 73] -On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonne d'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$. - - Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, que dire du signe de $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$ -Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ vérifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$. +On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonné d'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$. + - Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, que dire du signe de $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$ ? + - Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ vérifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$. #+end_exercice +# ID:7186 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 74] Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ le spectre ordonné de $M$. 1. On considère $A, B \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A+B \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. Montrer que, si $i+j\lt n+2$ alors $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0$. 2. Généraliser à $A_1, \ldots, A_d \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A_1+\cdots+A_d \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. telle que $B=P^T A P$. - #+END_exercice #+BEGIN_proof - + 1. $\la_i(A)$ est l'inf, sur $\vect(e_i,\dots, e_n)$ de $x^T A x$, de même, $\la_j(A)$ est l'inf sur $\vect(f_j,\dots, e_n)$ de $x^T Bx$, mais ces deux espaces ont une intersection. + 2. #+END_proof +# ID:7159 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 75] On note $\lN\cdot \rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\R)$ associée à la norme euclidienne. Soit $S\in\mc S_n$. On suppose que $E = \{M\in\M_n(\R)\mid S = M^T M - M M^T\}$ est non vide. On note $\gamma(S) = \inf_{M\in E}\lN M\rN^2$. Montrer que $\lN S\rN\leq \gamma(S)\leq 2\lN S\rN$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +Rmq : Si on écrit $M = OS$, on a $M^T M - M M^T = S^2 - OS^2 O^T$. + +Comme les deux matrices sont définies positives, on a $\lN M^T M - M M^T\rN\leq \max (\lN M^T M\rN, \lN M M^T\rN)$, d'où $\lN S\rN \leq \gamma(S)$. + +Pour l'autre inégalité : on peut supposer que $S$ est diagonale, peut-on forcément trouver une matrice $S^2$ diagonale, et prendre $O$ une matrice de permutation ? Oui : On prend $\sigma$ une permutation, et $f\colon (x_1,\dots,x_n)\mapsto (x_i - x_{\sigma(i)})$. Si $\sigma$ est un $n$-cycle, le noyau est de dimension $1$, donc $f$ est surjective sur l'ensemble des $n$-uplets de somme nulle. + +Puis on ordonne les valeurs propres de $S$ en $\la_1 \geq \la_3 \geq \dots \geq \la_4 \geq \la_2$ et on prend $\sigma = (1\, 2\, \dots \, n)$. Alors on cherche $x_1,\dots, x_n$ tels que $x_1 - x_2 = \la_1$, $x_2 - x_3 = \la_2$, … , $x_n - x_1 = \la_n$. + +On a, pour tout $i$, $x_1 - x_i = \la_1 + \dots + \la_i$, et on prend un des $x_i$ égal à $0$ est nul, donc $|x_1| \leq 2 \sup |\la_i|$, puisque la somme est alternée. +#+END_proof +# ID:7187 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 76] 1. Soient $A,B\in\mc S_n^{++}$. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ telle que $B = P^T A P$. - 2. Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une définition naturelle de $f(A)$ si $A \in$ $\mc{S}_n^{++}(\R)$. - 3. Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose $d(A, B)=\left\|\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\right\|$. Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance $\op{sur} \mc{S}_n^{++}(\R)$. + 2. Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une définition naturelle de $f(A)$ si $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. + 3. On note $\lN\cdot\rN$ la norme subordonnée à la norme euclidienne. Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose $d(A, B)=\lN\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\rN$. Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance sur $\mc{S}_n^{++}(\R)$. 4. Soient $P \in \mathrm{GL}_n(\R), A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $d\left(P^T A P, P^T B P\right)=d(A, B)$. #+END_exercice #+BEGIN_proof - + 1. + 2. On applique $f$ sur les coefficients diagonaux. Il faut justifier que ça ne dépend pas de la décomposition diagonale… + 3. Utilise le fait que les valeurs propres extrêmes de $Y^{-1} B Y^{-1}$ sont égales à $\sup \frac{\langle BX, X\rangle}{\langle Y^2 X, X\rangle}$, et l'inf. #+END_proof +# ID:7161 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 77] Soit $n\in\N^*$. 1. Montrer que $(X,Y)\mapsto \op{Tr} X^T Y$ est un produit scalaire sur $\M_n(\R)$. On note $\lN \cdot\rN$ la norme associée. @@ -895,19 +1026,41 @@ Soit $n\in\N^*$. 3. Soit $\lN|\cdot|\rN_2$ la norme sur $\M_n(\R)$ subordonnée à la norme euclidienne de $\R^n$, et $\lN |\cdot|\rN$ la norme sur $\mc L(\M_n(\R))$ subordonnée à $\lN\cdot\rN$. Si $M\in\M_n(\R)$, montrer que $\lN |L(M)|\rN\leq \lN|M|\rN_2$. 4. Montrer que $\lN |M^T|\rN_2 = \lN |M|\rN_2$ pour tout $M\in\M_n(\R)$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. Ok. + 3. C'est clair, vu que le produit matriciel est colonne par colonne et que $\frac{a+b}{c+d}\leq \max \frac{a}{c}, \frac{b}{d}$. + 4. $\lN |M|\rN = \sup \langle MX, Y\rangle$ +#+END_proof +# ID:7139 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 78] On note $\lN \cdot\rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à la norme $X \mapsto \sqrt{\bar{X}^T X}$. - 1. Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left\|e^{i A}-e^{i B}\right\| \leq\|A-B\|$. + 1. Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\lNe^{i A}-e^{i B}\rN \leq \lN A-B\rN$. 2. Démontrer le même résultat sous l'hypothèse que $A$ et $B$ sont deux matrices de $\M_n(\C)$ telles que $\bar{A}^T=A$ et $\bar{B}^T=B$. #+END_exercice #+BEGIN_proof + 1. Facile si $A, B$ commutent. + On veut montrer que $\exp$ est $1$-lip sur les anti-hermitiennes. + + + Commencer par montrer que $\lN e^{iA}\rN = 1$ (norme subordonnée), car unitaire. On peut le faire grâce au théorème spectral. + + Puis on montre que $\lN e^{iA} e^{-iB} - I_n\rN\leq \lN A-B\rN$, en considérant $\phi\colon t\mapsto e^{itA}e^{-itB}$. + + On peut aussi utiliser l'expression intégrale de la différentielle : $\d e^{X} (Y) = \int_0^1 e^{(1-u)X} Y e^{u X}\du$ (se retrouve en développant, et intégrant terme à terme). + + Sinon, on a $\lN A^k - B^k\rN\leq \lN A-B\rN (\sum \lN A\rN^i \lN B\rN^{k-1-i})$ (en écrivant $A^k - B^k$ comme une somme de termes), d'où $\lN A^k - B^k\rN \leq \lN A-B\rN \frac{e^{\lN A\rN} - e^{\lN B\rN}}{\lN A\rN - \lN B\rN}$. + + On écrit alors $e^{iA} - e^{iB} = \big(e^{iA/2} - e^{iB/2}\big) e^{iA/2} - e^{iB/2}\big(e^{iA/2} - e^{iB/2}\big)$, de même avec $e^{iA/m}, e^{iB/m}$ comme somme de $m$ termes, dont chaque facteur est $(e^{iA/m} - e^{iB/m})$ et un facteur unitaire. La majoration précédente permet de conclure. #+END_proof +# ID:7138 +#+BEGIN_exercice +Soit $\lN\cdot\rN$ une norme multiplicative sur $\M_n(\R)$. Si $\lN A\rN\neq \lN B\rN$, montrer que $\lN e^A - e^B\rN \leq \frac{e^{\lN A\rN} - e^{\lN B\rN}}{\lN A\rN - \lN B\rN}$. +#+END_exercice + + ** Analyse +# ID:7160 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 79] Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$, $\lN x\rN_{p} = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$. 1. Montrer qu'il s'agit bien d'une norme. @@ -915,14 +1068,23 @@ Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$, $\lN x\rN_{p} = \left(\sum_{i=1}^n |x_i 3. Dans $\R^2$, dessiner la boule unité de la norme $p$ pour plusieurs valeurs de $p$. #+END_exercice +# ID:nil #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 80] Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset \bigcup_i O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in [a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ telle que $[a,x]\subset \bigcup_{j\in J} O_j$. Montrer que $X = [a,b]$. #+END_exercice -#+begin_exercice [ENS 2023 # 81] -Soient $K$ un compact convexe non vide d'un espace norme $E$, $f$ un endomorphism continu de $E$ tel que $f(K)\subset K$. Montrer que $f$ admet un point fixe dans $K$. +# ID:7175 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 81] Théorème de Brouwer +Soient $K$ un compact convexe non vide d'un espace normé $E$, $f$ un endomorphism continu de $E$ tel que $f(K)\subset K$. Montrer que $f$ admet un point fixe dans $K$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Si non, on a une application $f\colon K\ra \partial K$ qui préserve $\partial K = S^1$. +Alors, on prend $g\colon (r, \theta)\mapsto f(re^{i\theta})$, c'est une déformation d'un truc constant sur un tour du cercle, impossible. +#+END_proof + + +# ID:7176 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 82] Peut-on écrire $\interval]{0, 1}[$ comme réunion dénombrable disjointe de segments d'intérieurs non vides? #+END_exercice @@ -931,6 +1093,7 @@ Non. Par l'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont la distan #+END_proof +# ID:7177 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 83] Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose, pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel que $0\lt a\lt 9$. On définit $P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et $P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide, d'intérieur vide et sans point isolé. #+END_exercice @@ -938,20 +1101,27 @@ Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le $P$ est borné et fermé, car $S_n$ est continue inférieurement. Clairement non vide et d'intérieur vide. Si $x\in P$, en retirant $1$ a un chiffre de $x$ arbitrairement grand, on reste dans $P$. Possible sauf si $x$ est décimal, auquel cas on peut ajouter $1$. #+END_proof +# ID:nil #+begin_exercice [ENS 2023 # 84] Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermée si et seulement si $A$ est diagonalisable sur $\C$. #+end_exercice +# ID:7205 #+begin_exercice [ENS 2023 # 85] - On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Démontrer qu'il existe une suite $(C_i)_{i\in\N}$ de parties de $D$ telle que : - + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carré de $\R^2$ dont les cotes sont parallèles aux axes ; + + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carré de $\R^2$ dont les côtés sont parallèles aux axes ; + les $C_i$ soient d'intérieurs deux a deux disjoints ; + $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$. - On note $C=[-1,1]^2$. Démontrer qu'il existe une suite $(D_i)_{i\in\N}$ de parties de $C$ telle que : - + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de $\R^2$ ; + + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque fermé de $\R^2$ ; + les $D_i$ soient d'intérieurs deux a deux disjoints ; + $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Utiliser un quadrillage, en divisant la taille à chaque étape. + - Par étape, on met un cercle, puis on quadrille, et on peut choisir des petits carrés qui remplissent une proportion $\gt \frac{1}{2}$ du vide (car le vide est délimité par un nombre fini de courbes régulières), puis dans chaque carré on met un cercle. +#+END_proof + # ID:6732 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 2023 # 86] @@ -965,6 +1135,7 @@ Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré #+END_proof +# ID:7178 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 87] Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblables les unes aux autres, $\lN\cdot\rN$ une norme sur $\M_n(\C)$. On suppose que $\lN M_k\rN \ra+\i$. Montrer qu'il existe une matrice $N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi\colon \N \ra \N$ telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} \ra N$. #+END_exercice @@ -975,14 +1146,16 @@ Si $\Pi$ a une valeur propre complexe $X$, comme $\lN \frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{ #+END_proof +# ID:7179 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 88] -Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\lt 1$. Montrer qu'il existe une norme \|\| sur $\C^n$ telle que, pour la norme d'opérateur associée, on ait $\|A\|\lt 1$. +Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\lt 1$. Montrer qu'il existe une norme $\lN\cdot \rN$ sur $\C^n$ telle que, pour la norme d'opérateur associée, on ait $\lN A\rN\lt 1$. #+END_exercice #+BEGIN_proof Trigonaliser, puis conjuguer par une matrice diagonale pour n'avoir que des petits coefficients hors de la diagonale. #+END_proof +# ID:7203 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 89] Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et $\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout $i \in \db{1, n },\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$, pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$. Montrer que $A$ est inversible et que $\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x \in \R^n,\|x\|_1=1\right\} \leq \frac{1}{\eps}$. @@ -992,18 +1165,27 @@ Montrer que $A$ est inversible et que $\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x Si $x = E_i$, on considère les colonnes de $A^{-1}$, notées $C_i$. On $\langle C_i, L_i\rangle = 1$ et $C_i$ orthogonal aux autres lignes, ce qui donne $\lN C_i\rN_{2}\leq \frac{1}{\eps}$, peut-être. -Ensuite, utiliser une convexité ? +Ensuite, c'est le fait qu'une moyenne d'éléments de norme $\leq K$ est de norme $\leq K$. #+END_proof +# ID:nil #+begin_exercice [ENS 2023 # 90] -On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornées de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ décrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des réels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$. +On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornées de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\lN\cdot\rN_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle à support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ décrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des réels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + + Si $f\in \ol{W(g)}$, alors $f$ est à support compact. + + $\Gamma$ est clairement un sous-groupe, contenant $\Z$. + + Si $\Gamma$ est dense en $0$, alors il existe une suite $\eps_n$ telle que $g(x-\eps_n)\in \ol{W(g)}$. En considérant le minimum du support de $g$, c'est impossible. + M'enfin, $W(g)$ m'a l'air fermé… +#+END_proof + +# ID:7229 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 91] -Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive telle que, pour tout $n, u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent. +Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive telle que, pour tout $n$, $u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent. #+END_exercice #+BEGIN_proof - Soit $m$. On peut écrire $u_{a+n} = G_n u_a + G_{n+1} u_{a-1}\et u_{a+n+1} = G_{n+1} u_a + G_{n2} u_{a-1}$, où $G_n\tend{a\ra +\i} F_n$, ce qui devrait implique ce que l'on veut. +Soit $m$. On peut écrire $u_{a+n} = G_{n,a} u_a + G_{n+1,a} u_{a-1}\et u_{a+n+1} = G_{n+1,a} u_a + G_{n+2,a} u_{a-1}$, où $G_n\tend{a\ra +\i} F_n$, ce qui permet de conclure, puisque $\frac{G_{n,a}}{G_{n+1,a}}$ et $\frac{G_{n+1,a}}{G_{n+2,a}}$ sont proches de $\phi$. $w_n$ s'obtient à partir de $v_n$ par Cesàro. #+END_proof @@ -1024,85 +1206,122 @@ Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 #+END_proof +# ID:7204 #+begin_exercice [ENS 2023 # 93] Soient $\alpha\gt 0$ et $(a_n)_{n\in{\N}}$ une suite strictement décroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u_n)_{n\in{\N}}$ une suite définie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u_n)_{n\in{\N}}$ converge vers un réel strictement positif. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + + Si $u_n \gt 1$, on tend vers $\i$. + + Si $u_n^{\a} + \sup a_n \lt 1$, on tend vers $0$. + + Si $u_0\lt v_0$, $\forall n,\, u_n \lt v_n$. + + Si $u_n \ra \l_1$ et $v_n \ra \l_2$, on a $u_n^{\a} + a_n \ra 1$ et $v_n^{\a} + a_n \ra 1$, donc $\l_1 = \l_2$. + + De plus $\frac{u_n}{v_n}$ est monotone, donc il y a au plus une valeur de $u_0$ qui converge. + + Les ensembles où $u_n \ra +\i$ et $u_n \ra 0$ sont ouverts. +#+END_proof + +# ID:nil #+begin_exercice [ENS 2023 # 94] -Soit $(u_n)$ une suite définie par $:\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$. +Soit $(u_n)$ une suite définie par $\colon\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$. - Montrer que, pour tous $x$ et $y\in{\R}$, $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$. - Montrer que $u_{n+1}-u_n\to 0$. - Montrer que $V$ est un intervalle inclus dans $[-1,1]$, puis que $V=[-1,1]$. #+end_exercice +# ID:7180 #+begin_exercice [ENS 2023 # 95] Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densité si la suite $\left(\frac{|A\cap\db{1,n}|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite. Cette limite est alors notée $d(A)$. - Si $m\in{\N}^*$, quelle est la densité de l'ensemble des multiples de $m$ dans ${\N}^*$? - - Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densité que l'on precisera. - - Donner un exemple de partie de ${\N}^*$ n'admettant pas de densite. + - Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densité que l'on précisera. + - Donner un exemple de partie de ${\N}^*$ n'admettant pas de densité. #+end_exercice +# ID:7230 #+begin_exercice [ENS 2023 # 96] On considère une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ième occurrence de $2$ soit égal a $a_n$. -Étudier la convergence de la suite de terme général $\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\db{1,n},\,a_k=3\}\big{|}$. +Étudier la convergence de la suite de terme général $\frac{1}{n}\op{Card}\{k\in\db{1,n} \mid a_k=3\}$. #+end_exercice - - -#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 97] -On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n \geq 1$, le nombre de 3 apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de 2 soit égal à $a_n$. Montrer qu'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$. -#+END_exercice #+BEGIN_proof + + On écrit les premiers termes de la suite : $a_1 = 2, a_2 = a_3 = 3, a_4 = 2, a_5 = a_6 = a_7 = 3, a_8 = 2, a_9= a_{10} = a_{11} = 3, a_{12} = 2, a_{13} = a_{14} = 3, a_{15} = 2$. + + On note $n_k$ l'indice du $k$-ième $2$. On a $n_1 = 1$, $n_2 = 4$, $n_3 = 8$, $n_4 = 12$, $n_5 = 15$. + + On obtient $n_{n_k + 1} = n_k + 1 + \big(2 \times k + 3 \times (n_k - k)\big) = 4n_k + 1 - k$, donc $n_{n_k} = 4n_k - k - 2$. + + On a alors $p_{n_{n_k}} = \frac{1}{4 - p_{n_k} - \frac{2}{n_k}}$. + + (La solution de $\l = \frac{1}{4 - \l}$ est irrationnelle.) + + La suite $p_{n^{(k)}_1}$ converge vers $\l$. + + Un peu galère, mais on peut en déduire que $(p_{n_k})$ converge vers $l$, donc que $(p_n)$ converge vers $\l$ (les $n_k$ sont distants d'au plus $3$). +#+END_proof +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 97] :todo: +On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n \geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de $2$ soit égal à $a_n$. Montrer qu'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$. +#+END_exercice +#+BEGIN_proof :todo: +On sait que la proportion de terme qui vaut $2$ tend vers la solution à $\l = \frac{1}{4 - \l}$. #+END_proof +# ID:7181 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 98] Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si elle vérifie, pour tout entier $k \in \Z^*, \lim_{N \ra+\i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 i k \pi x_n}=0$. 1. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que la suite $(n \alpha)$ est équirépartie modulo 1. 2. Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N^*}$. On suppose que pour tout $h \in \N^*$, la suite $\left(x_{n+h}-x_n\right)_{n \in \N^*}$ est équirépartie; on veut montrer que $(x_n)$ est équirépartie modulo 1. - a) Soit $\left(a_n\right)$ une suite de complexes de module $\leq 1$. - Montrer, pour tous $N, H \in \N^*:\left|\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right|+\frac{2 H}{N}$. - b) Montrer que $\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right| \leq \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|\sum_{h=0}^{H-1} \frac{a_{n+h}}{H}\right|^2}$. - c) Conclure. + 1. Soit $\left(a_n\right)$ une suite de complexes de module $\leq 1$. + Montrer, pour tous $N, H \in \N^*\colon\left|\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right|+\frac{2 H}{N}$. + 2. Montrer que $\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right| \leq \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|\sum_{h=0}^{H-1} \frac{a_{n+h}}{H}\right|^2}$. + 3. Conclure. 3. Soit $P \in \R[X]$ non constant et de coefficient dominant irrationnel. Montrer que $(P(n))_{n \geq 1}$ est équirépartie modulo 1. 4. Soit $\left(x_n\right)_{n \geq 1}$ une suite réelle équirépartie modulo 1, et $f\colon \R \ra \C$ une fonction continue 1-périodique. Montrer que $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right) \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} \int_0^1 f$. - 5. On reprend les hypothèses de la question 3. Montrer que la distance de $P(\Z)$ à $\Z$ est nulle. #+END_exercice #+BEGIN_proof 1. 2. 3. 4. - 5. ?? #+END_proof +# ID:7216 #+begin_exercice [ENS 2023 # 99] -Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, on note $A_n$ la matrice $\left(\begin{matrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{matrix}\right)$ ou, pour tout $k\in\db{1,n-1}$, $a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$. +Soit $f\colon [0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, on note $A_n$ la matrice $\scalemath{0.6}{\begin{pmatrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{pmatrix}}$ ou, pour tout $k\in\db{1,n-1}$, $a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$. -Soit $q\in\N^*$. Déterminer la limite de $(\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$. +Soit $q\in\N^*$. Déterminer la limite de $(\frac{1}{n}\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Pour $q$ impair la trace est nulle. + +Pour $q$ pair, en interprétant comme un graphe, on obtient quelque chose proche de somme de Riemann, et on tend vers ${q \choose q/2}\int_0^1 f(x)^q \dx$. +#+END_proof +# ID:7206 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 100] Montrer la convergence et calculer $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\ln (k)}{\ln (2)}\right\rfloor$. #+END_exercice #+BEGIN_proof -Écrit quelque part… +Pour la convergence : regrouper deux par deux. + +Pour le calcul, c'est $\sum_{m =1}^{+\i} m \sum_{k = 2^m}^{2^{m+1} - 1} \frac{(-1)^k}{k}$. + +On écrit $\sum_{k = 2^m}^{2^{m+1} - 1} \frac{(-1)^k}{k} = 2 \sum_{2^m ; k \text{ pair}}^{2^{m+1} - 1} \frac{1}{k} - \sum_{k = 2^m}^{2^{m+1} - 1} \frac{1}{k} = 2F_{m} - F_{m-1} - F_{m+1}$, où $F_m = H_{2^m - 1}$. + +En écrivant une somme partielle, et en telescopant, il reste une différence de deux $H_n$ grands, qui donne du $\gamma$. #+END_proof +# ID:7217 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 101] -On note $\ell^2(\R)$ l'ensemble des suites réelles de carré sommable indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$ ainsi qu'une suite $\left(u_k\right)_k$ d'éléments de $\ell^2(\R)$ (l'élément $u_k$ est donc noté $\left.\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}\right)$. On suppose que, pour tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général $w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers $\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$. +On note $\ell^2(\R)$ l'ensemble des suites réelles de carré sommable indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$ ainsi qu'une suite $\left(u_k\right)_k$ d'éléments de $\ell^2(\R)$ (l'élément $u_k$ est donc noté $\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}$. On suppose que, pour tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général $w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers $\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$. Montrer que $\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sigma(n)}-v_n\right)^2 \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$. #+END_exercice #+BEGIN_proof -Écrit quelque part… +On peut supposer que les $(v_n)$ sont décroissants, (par inégalité de réordonnement). -On peut supposer que les $(v_n)$ sont décroissants, par réordonnement. +On montre par récurrence sur $n$ que $u_{k,n}\tend{k\ra +\i} v_n$. Pour $n = 1$, si ce n'était pas le cas, pour $p$ très grand, on serait loin de la limite. + +Puis c'est de la convergence dominée. #+END_proof +# ID:7182 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 102] Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et $q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de continuité de $f$ ? #+END_exercice @@ -1119,10 +1338,12 @@ Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et $[a, b] \subse On peut supposer $f'(a) = f'(b) = 0$. À relier. #+END_proof +# ID:7188 #+begin_exercice [ENS 2023 # 104] Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit dérivable en aucun point. #+end_exercice +# ID:7189 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 105] Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale. #+END_exercice @@ -1166,15 +1387,25 @@ Par ailleurs, $f^{**}\leq f$ : On a $f^{**}(x) = \sup_s sx - f^*(s)$, et pour to #+END_proof +# ID:7190 #+begin_exercice [ENS 2023 # 108] Soient $I$ un ensemble fini et $(P_i)_{i\in I}$ une famille de polynômes réels stable par derivation. On définit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$. -Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient $A_{\eps}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et +Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient $A_{\eps}=\{t\in\R \mid \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et -$B_{\epsilon}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$. +$B_{\eps}=\{t\in\R \mid \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$. - Montrer que $A_{\eps}$ est soit vide, soit réduit a un point, soit un intervalle ouvert. - Si $A_{\eps}$ est non vide, montrer que $B_{\eps}$ est l'adhérence de $A_{\eps}$. Si $A_{\eps}$ est vide, montrer que $B_{\eps}$ est soit vide suit un singleton. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Soit $a,b\in A_{\eps}$. + + Si un polynôme $P_i$ passe de $0$ à $0$, une de des dérivée doit changer de signe entre $a$ et $b$, impossible (prendre la première dérivée avec une seule racine entre $a$ et $b$). + + S'il passe de $+$ à $+$, il doit rester $+$ tout du long, sinon une de ses dérivée changerait de signe (la première avec une seule racine).. + + Pour le caractère ouvert : on vient de voir que si $A_{\eps}$ contient au moins deux points, $\eps(i)$ ne peut pas prendre la valeur $0$. Puis cela découle du caractère fini de $I$. + - +#+END_proof + # ID:7008 #+begin_exercice [ENS 2023 # 109] @@ -1207,15 +1438,17 @@ Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f\colon I\ra\R$ de classe $\mc C^n$. #+END_proof +# ID:7191 #+begin_exercice [ENS 2023 # 110] Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$. - - Montrer que $(w_n)_{n\geq 0}$ est decroissante. + - Montrer que $(w_n)_{n\geq 0}$ est décroissante. - Etablir une relation de recurrence entre $w_{n+2}$ et $w_n$. - Sans utiliser la formule de Stirling, déterminer un équivalent simple de $w_n$. - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum w_nx^n$. #+end_exercice +# ID:7192 #+BEGIN_exercice Théorème de Rouché [ENS 2023 # 111] Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$. 1. Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement inférieur à 1 comptées avec multiplicité n'est autre que $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$. @@ -1226,14 +1459,16 @@ Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$. 2. Prendre un arc continu entre les deux. #+END_proof +# ID:7193 #+begin_exercice [ENS 2023 # 112] Pour $n\in\N$, on note $A_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\,dx$ et $B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}(x)\,dx$. On admet que, pour $n\in\N^*$, $2nA_n=(2n-1)A_{n-1}$. - Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{2B_0}{A_0}-\frac{2B_n}{A_n}$ pour tout $n\in\N^*$. - En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ puis que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac{1}{n}\right)$. #+end_exercice +# ID:6689 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 113] :sup: -Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique c'est-à-dire telle que, pour tout $\epsilon\gt 0$, il existe $T\gt 0$ tel que : $\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \epsilon$. +Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique c'est-à-dire telle que, pour tout $\eps\gt 0$, il existe $T\gt 0$ tel que : $\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \eps$. Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique. 1. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R^+$. 2. Montrer que $t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t f$ possède une limite quand $t \ra+\i$. @@ -1246,6 +1481,7 @@ Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique. #+END_proof # Relier à je ne sais quoi +# ID:7194 #+begin_exercice [ENS 2023 # 114] :sup: Soit $f$ une fonction continue par morceaux et croissante de $[0,1]$ dans $\R$. Montrer que $\int_0^1f(x)e^{i\lambda x}dx\underset{\lambda\to+\i}{=}O \left(\frac{1}{\lambda}\right)$. #+end_exercice @@ -1268,28 +1504,38 @@ Quand on l'intègre, on obtient $\sum_{\sigma,\sigma'} \eps(\sigma') \eps(\sigma #+END_proof +# ID:7195 #+begin_exercice [ENS 2023 # 116] - - La fonction $f:x\in[1,+\i[\,\mapsto\frac{\sin(x^2)}{x}$ est-elle uniformement continue? + - La fonction $f\colon x\in \interval[{1, +\i}[ \mapsto\frac{\sin(x^2)}{x}$ est-elle uniformement continue? - Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\R^+$ dans $\R$ admettant une limite en $+\i$ et telle que $f'$ est uniformément continue. Est-ce que $f'$ a une limite en $+\i$? #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - +#+END_proof + +# ID:7196 #+begin_exercice [ENS 2023 # 117] -Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P_n)_{n\in\N}$ une suite de polynômes a coefficients réels de degré au plus $d$ et $x_1,...,x_N$ des réels distincts. On suppose que pour tout $j\in\{1,...,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornée. Montrer que l'on peut extraire de $(P_n)_{n\in\N}$ une suite $(Q_n)_{n\in\N}$ qui converge uniformément sur $[0,1]$ vers un polynôme de degré au plus $d$. +Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P_n)_{n\in\N}$ une suite de polynômes a coefficients réels de degré au plus $d$ et $x_1,\dots,x_N$ des réels distincts. On suppose que pour tout $j\in\db{1,N}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornée. Montrer que l'on peut extraire de $(P_n)_{n\in\N}$ une suite $(Q_n)_{n\in\N}$ qui converge uniformément sur $[0,1]$ vers un polynôme de degré au plus $d$. #+end_exercice +# ID:7197 #+begin_exercice [ENS 2023 # 118] -Montrer que la suite de fonctions de terme général $f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformément sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. +Montrer que la suite de fonctions de terme général $f_n\colon x\mapsto (\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformément sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. #+end_exercice +# ID:7198 #+begin_exercice [ENS 2023 # 119] -On note $I$ (resp. $S$) l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to[0,1]$ telles que, pour tout $a\in\R$, l'ensemble $\{x\in[0,1],f(x)\leq a\}$ est ferme (resp. de meme avec l'inégalité dans l'autre sens). +On note $I$ (resp. $S$) l'ensemble des fonctions $f\colon [0,1]\to[0,1]$ telles que, pour tout $a\in\R$, l'ensemble $\{x\in[0,1]\mid f(x)\leq a\}$ est fermé (resp. de même avec l'inégalité dans l'autre sens). - Montrer que $S\cap I$ est l'ensemble $C$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$. - Soit $f:[0,1]\to[0,1]$. On pose $f_n:x\mapsto\inf(\{1\}\cup\{f(y)+n|x-y|,y\in[0,1]\})$ pour $n\in\N$. Montrer que $f_n$ est continue pour tout $n$, que la suite $(f_n)$ est croissante et que $f\in I$ si et seulement si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$. #+end_exercice +# ID:7199 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 120] -Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers. +Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p)$ si $n=p^k$ avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers. 1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*, \sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$. 2. Montrer que, pour tout $s\gt 1,\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{\Lambda(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{1}{n^s}\right)=\sum_{n \in \N^*} \frac{\ln (n)}{n^s}$. 3. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{\ln (p)}{p^s} \underset{s \ra 1+}{=} \frac{1}{s-1}+O(1)$. @@ -1299,12 +1545,14 @@ Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ #+END_proof +# ID:7200 #+begin_exercice [ENS 2023 # 121] Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractère non trivial $\chi$ sur le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c'est-a-dire un morphisme de groupes non constant $\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n'est pas premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou $\overline{m}$ désigne la classe de $m$ modulo $q$). - Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si et seulement si $s\gt 0$. - Montrer que la fonction $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$. #+end_exercice +# ID:7201 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 122] Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$. Quelle est la limite de $g$ en $0^+$? #+END_exercice @@ -1312,60 +1560,104 @@ Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite nulle C'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. Cela tend vers $\frac{1}{2}f(0)$, en découpant sur un segment, et en utilisant l'uniforme continuité de $f'$. #+END_proof +# ID:7231 #+begin_exercice [ENS 2023 # 123] -Pour tout polynôme trigonométrique $P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$. +Pour tout polynôme trigonométrique $P\colon\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme à support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$. -On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynômes trigonométriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-périodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On définit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$. - - Montrer qu'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que, pour tous $f$, $g\in{\cal T}$, - -$\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$. - - Déterminer tous les réels $d$ vérifiant la condition de la question précédente. - - Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose, pour $k\in{\Z}$, $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$ et, pour tout $d\in{\R}$, $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Déterminer les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$. - - Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-périodiques et $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$. +On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynômes trigonométriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-périodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On définit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g\colon\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$. + 1. Montrer qu'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que, pour tous $f$, $g\in{\cal T}$, $\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$. + 2. Déterminer tous les réels $d$ vérifiant la condition de la question précédente. + 3. Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose, pour $k\in{\Z}$, $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$ et, pour tout $d\in{\R}$, $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Déterminer les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$. + 4. Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-périodiques et $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. $\lN f\rN_2\leq C \lN f\rN_{\i}$ et Cauchy-Schwarz. + 2. Pour $d\geq 0$, ok. Pour $d\lt 0$, en prenant $f = g = e_k$, on obtient une contradiction. + 3. Comme $f$ est de classe $\mc C^{\i}$, par IPP, les $c_k(f)$ sont négligeables devant toutes puissances de $k$. + 4. Ça devrait être $\sum_{k\in{\Z}} |c_k(f)|\, |c_k(g)| (1+|k|)^{2d}$, avec un peu de chance. +#+END_proof + +# ID:7202 #+begin_exercice [ENS 2023 # 124] Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose $f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Écrire $f(z)$ sous la forme $\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que $c_n=0$. #+end_exercice - - -#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 125] -Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $\interval]{-R, R}[$ telles que $\forall x \in \interval]{-R, R}[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $]-R, R[$. -#+END_exercice #+BEGIN_proof - + $f(z) = (1-z^{pq})(\sum d(n) z^n)$, où $d(n)$ est le nombre de représentation de $n$ comme combinaison linéaire de $p$ et $q$, puis $c(n) = d(n) - d(n-pq)$. Pour $n\geq pq$, c'est clairement $\gt 0$, et pour $n\leq pq$, c'est le problème de Frothenhal ou je ne sais quoi. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS 2023 # 126] -Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$. - - Déterminer les rayons de convergence de $f$ et $g$. - - Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge. - - Montrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur ${\C}\setminus\{1\}$, développable en série entière en tout point de ${\C}\setminus\{1\}$. - - Montrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$. - Montrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$. - - Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrer que $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$. - - Soit $h:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrer que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$. - - Montrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas développable en série entière en $z_0$. -#+end_exercice +# ID:7223 +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 125] +Soient $R\gt 0$, $f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $\interval]{-R, R}[$ telles que $\forall x \in \interval]{-R, R}[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $\interval]{-R, R}[$. +#+END_exercice +#+BEGIN_proof +La dérivée est $f(x) g(0) + \int_0^x f(t) g'(x-t)\dt$, donc $f(0) g(0) = 0$. On suppose que $g(0) = 0$. Alors on recommence, avec $g'$. + +Si à la place $f(0) = 0$, on échange $f$ et $g$. +#+END_proof + +# ID:7224 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 126] +Soient $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$. + 1. Déterminer les rayons de convergence de $f$ et $g$. + 2. Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge. + 3. Montrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur ${\C}\setminus\{1\}$, développable en série entière en tout point de ${\C}\setminus\{1\}$. + 4. Montrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$. + 5. Montrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$. + 6. Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrer que $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$. + 7. Soit $h\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrer que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$. + 8. Montrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas développable en série entière en $z_0$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Aucun. + - Le prolongement est $\frac{1}{1-z}$ + - Simple. + - Simple. + - Simple. + - CVN. + - Si elle l'était, sa dérivée sur un voisinage de $z_0$ intersecté avec $B(0,1)$ coïnciderait avec $g$, mais $g$ n'est pas bornée. +#+END_proof + + +# ID:7232 #+begin_exercice [ENS 2023 # 127] Soit $\alpha=(\alpha_i)_{i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d'un certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$. - - Déterminer, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$. + 1. Déterminer, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$. -Dans la suite, on note $f$ la somme de cette série entière. - - Expliciter $f$ si $\alpha=(-\delta_{i,1})_{i\geq 1}$. - - Pour une somme $g$ de série entière sur un intervalle $]-a,a[$ non trivial, on pose $\Delta(g):z\mapsto zg'(z)$. Expliciter $P(\Delta)(g)$ lorsque $g:z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et $P\in\R[X]$. - - Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a un rayon de convergence non nul et donner une methode simple pour trouver une équation différentielle linéaire non triviale a coefficients polynomiaux dont sa somme est solution. - - Résoudre le meme probleme qu'en (d) lorsqu'il existe $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$. - - Justifier que le cadre de la question - s'applique bien a la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$. + Dans la suite, on note $f$ la somme de cette série entière. + 2. Expliciter $f$ si $\alpha=(-\delta_{i,1})_{i\geq 1}$. + 3. Pour une somme $g$ de série entière sur un intervalle $]-a,a[$ non trivial, on pose $\Delta(g)\colon z\mapsto zg'(z)$. Expliciter $P(\Delta)(g)$ lorsque $g\colon z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et $P\in\R[X]$. + 4. Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a un rayon de convergence non nul et donner une méthode simple pour trouver une équation différentielle linéaire non triviale à coefficients polynomiaux dont sa somme est solution. + 5. Résoudre le même problème lorsqu'il existe $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$. + 6. Justifier que le cadre de la question s'applique bien a la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Dépend de $\sum \a_i$. + 2. $f(z^i) = \sum_{\om} e^{\om z}$ + 3. $P(\Delta)(x^k) = P(k) x^k$ + 4. $P(\N)$ est minoré, donc $v_n \geq \frac{c}{k^n}$. + Appliquer $P(\Delta)$. +#+END_proof + + +# ID:7233 #+begin_exercice [ENS 2023 # 128] Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{n!\,(30n)!}{(15n)!\,(10n)!\,(6n)!}$. - Montrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier. - - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum u_nx^n$. + - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum u_n x^n$. - Trouver une équation différentielle vérifiée par la somme de la série entière précédente. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Legendre. + - Stirling. Quelque chose ! + - Il existe des polynômes $P,Q$ tels que $u_{n+1} = \frac{Q(n+1)}{P(n+1)} u_n$. Quand on prend $g$ et qu'on dérive puis multiplie par $z$, on transforme $u_n$ en $n u_n$. +#+END_proof + +# ID:139 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 129] Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que $\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$ ? #+END_exercice @@ -1373,44 +1665,73 @@ Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que $\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \un Cf un précédent #+END_proof +# ID:7234 #+begin_exercice [ENS 2023 # 130] -- Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une série entière de rayon $R\gt 0$. Montrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$. - - Soit $f$ une fonction développable en série entière de rayon de convergence égal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuité sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$. - - On admet que le rayon de convergence du développement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du développement en série entière en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer $M$ en fonction de $f$. + - Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une série entière de rayon $R\gt 0$. Montrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$. + - Soit $f$ une fonction développable en série entière de rayon de convergence égal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuité sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. + - Soit $f\colon x\in \interval]{-1, 1}[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$. + - On admet que le rayon de convergence du développement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du développement en série entière en $0$ de $f$ sont bornés par $M\gt 0$. + - s Exprimer $M$ en fonction de $f$. #+end_exercice - -#+begin_exercice [ENS 2023 # 131] -Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\sin x}{x}\,dx$ a l'aide de la transformation de Laplace. -#+end_exercice - -#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 132] -Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$. - 1. Si $a \in \R^+$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. - 2. Si $a \in \R^{-*}$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$. -#+END_exercice #+BEGIN_proof - 1. Si $a\gt 0$, si $a = 0$. - 2. + - + - + - C'est du $e^{\frac{1}{1+x}}$, c'est de la composée… + - On peut appliquer ce qui précède à la fonction $e^{-\frac{1-x}{1+x}}$, dont les coefficients sont bornés. + + Plutôt directement, la fonction $f$ est prolongeable en $-1$, et partout ailleurs (pour la bonne définition de $\frac{1}{\sqrt{1-z}}$ hein…) + - ?? #+END_proof +# ID:7172 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 131] +Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\sin x}{x}\,dx$ a l'aide de la transformation de Laplace. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + $f(p) = \int_0^{+\i} e^{-pt} f(t)\dt$ +#+END_proof + + +# ID:7235 +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 132] +Soit $(a, b) \in \R \times \R_-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$. + 1. Si $a \in \R_+$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. + 2. Si $a \in \R_-^*$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$. +#+END_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Si $a\gt 0$, on peut minorer par $(1 + \frac{a}{2}x)^n$ sur un voisinage de taille de l'ordre $\frac{1}{n}$, et cela permet de conclure. + + Si $a = 0$. Il faut faire un changement $u = \sqrt{n} t$, et convergence dominée. + 2. Faire le changement de variable. +#+END_proof + + +# ID:7244 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 133] Soit, pour $x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$. Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+, f(x) \leq (a x+b) e^{-x}$. #+END_exercice #+BEGIN_proof - +Il suffit de chercher quand est-ce que les deux sommandes sont égaux, avec $\cos^2 = 1$ et $\sin^2 (t) = t^2$, puis on majore chaque partie en retirant l'autre terme. Ça marche. #+END_proof +# ID:7245 #+begin_exercice [ENS 2023 # 134] Pour $x$ réel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$. - Calculer $J(0)$. - Montrer que $J$ est de classe $\mc C^{\i}$. - - En estimant $\int_{\frac{\pi}{2}-\eps}^{\frac{\pi}{2}+\eps}\cos(x\sin t)\, dt$ pour un $\eps$ a choisir convenablement en fonction de $x$, etablir que $J(x)=O(x^{-1/2})$ quand $x\to+\i$. + - Établir que $J(x)=O(x^{-1/2})$ quand $x\to+\i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $J(0) = \pi$ + - Trivial. + - Couper en $\frac{1}{\sqrt{x}}$ et $\pi - \frac{1}{\sqrt{x}}$, forcer l'IPP, et majorer le $\frac{1}{\sin^2}$ par $\frac{1}{t^2}$. +#+END_proof +# ID:7222 #+begin_exercice [ENS 2023 # 135] -Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g\colon x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. Montrer que $f\star g$ est dérivable et donner une expression de sa derivée. +Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g\colon x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t) g(x-t) dt$. Montrer que $f\star g$ est dérivable et donner une expression de sa derivée. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 136] @@ -1434,21 +1755,25 @@ Si et seulement si toutes les valeurs propres ont une partie réelle $\lt 0$ (pu #+END_proof +# ID:7241 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 138] Soit $I$ un (vrai) intervalle de $\R$. -Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}\right)$. Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. +Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}$. Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. 1. Soit $g \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. Montrer que $W_r\left(g f_1, \ldots, g f_r\right)=g^r W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$. 2. On suppose que, pour tout $k \in \db{1, r }, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$ ne s'annule pas. Montrer que, pour tout $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$. 3. On suppose que $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est identiquement nul sur $I$ et que $W_{r-1}\left(f_1, \ldots, f_{r-1}\right)$ ne s'annule pas. Montrer que $\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est liée. #+END_exercice #+BEGIN_proof - + 1. + 2. Récurrence, factoriser par $f_1$ (qui par hypothèse ne s'annule pas). + 3. #+END_proof +# ID:7242 #+begin_exercice [ENS 2023 # 139] On considère l'équation différentielle $(D_{\lambda})\colon y''+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$, $r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On considère $E_{\lambda}$ l'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$ telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$. 1. Quelles sont les dimensions possibles de $E_{\lambda}$? - 2. On note $y_{\lambda}$ la solution du probleme de Cauchy $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$. Caractériser le cas où $\dim(E_{\lambda})=1$. + 2. On note $y_{\lambda}$ la solution du problème de Cauchy $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$. Caractériser le cas où $\dim(E_{\lambda})=1$. 3. Montrer que, à $r$ fixé, les $E_{\lambda}$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1 fg$. 4. On note $N_{\lambda}$ le nombre de zeros de $y_{\lambda}$ sur $[0,1]$. Pourquoi est-il fini? 5. Calculer $N_{\lambda}$ dans le cas $r=0$, $\lambda\gt 0$. @@ -1460,41 +1785,63 @@ On considère l'équation différentielle $(D_{\lambda})\colon y''+(\lambda-r)y= 3. 4. 5. - 6. + 6. On veut une monotonie, et des limites. #+END_proof +# ID:7243 #+begin_exercice [ENS 2023 # 140] -Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. On considère l'équation différentielle $(E):x^{''}+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$. - - Soit $x$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que les zeros de $x$ sont isoles. - - On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu'il existe $z$ de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ définisse une bijection de l'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de $y^{''}+q(t)\,y=0$. - - Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i)$ : $y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$. - - Soient $q:I\to\R$ continue, et $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle de $y^{''}+q(t)y=0$. Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq\beta-\alpha\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$. +Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. On considère l'équation différentielle $(E):x''+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$. + - Soit $x$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que les zéros de $x$ sont isolés. + - On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu'il existe $z$ de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ définisse une bijection de l'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de $y''+q(t)\,y=0$. + - Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i)$ : $y''+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zéros consécutifs de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$. + - Soient $q\colon I\to\R$ continue, et $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zéros consécutifs d'une solution non nulle de $y''+q(t)y=0$. Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq\beta-\alpha\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$. #+end_exercice +# ID:7221 #+begin_exercice [ENS 2023 # 141] -Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application dérivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$. +Soient $A$ une application continue de $\R_+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application dérivable de $\R_+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + $g(t) = \det M(t)$, et différentielle du déterminant, en $H\mapsto \langle H, \op{Com} X\rangle$. Donc $g'(t) = \langle A(t) M(t), \op{Com} M(t)\rangle = \op{Tr}\big(A(t)\big) \det M(t)$. +#+END_proof -#+begin_exercice [ENS 2023 # 142] -Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-périoddique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'équation $u^{''}+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$. + +#+begin_exercice [ENS 2023 # 142] :todo: +Soit $p\colon\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-périodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'équation $u''+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: +On pose $v = u e^{-t\tau}$, de sorte que $v$ soit périodique, on obtient $v' = u'e^{-t\tau} - \tau v$, $v'' = u'' e^{-t\tau} - 2\tau e^{-t\tau} u' + \tau^2 e^{-t\tau} u$, + donc $v'' = (3\tau^2 - p)v - 2\tau v'$, je crois. +#+END_proof + +# ID:7220 #+begin_exercice [ENS 2023 # 143] -Soit $A_0\in\M_n(\R)$ telle que $\text{Sp}(A_0+A_0^T)\subset\R^-$. +Soit $A_0\in\M_n(\R)$ telle que $\text{Sp}(A_0+A_0^T)\subset\R_-$. -On admet l'existence d'une unique fonction $A:\R^+\to\M_n(\R)$ telle que $A(0)=A_0$ et $\forall t\geq 0,\ A'(t)=\left(A(t)\right)^2-\left(A(t)^T\right)^2$. Montrer que la fonction $A$ a une limite en $+\i$ et expliciter cette limite. +On admet l'existence d'une unique fonction $A\colon\R_+\to\M_n(\R)$ telle que $A(0)=A_0$ et $\forall t\geq 0,\ A'(t)=\left(A(t)\right)^2-\left(A(t)^T\right)^2$. Montrer que la fonction $A$ a une limite en $+\i$ et expliciter cette limite. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + $A'(t)$ est antisymétrique, donc la partie symétrique de $A$ est inchangée. +On écrit $A = S + U$, avec $S = A_0 + A_0^T$ et $U$ est antisymétrique. + +Alors $U' = SU + US + U^2 +US + SU - U^2= 2 (SU + US)$. C'est la dérivée de $e^{2tS}Ue^{2tS}$. +#+END_proof + + +# ID:7219 #+begin_exercice [ENS 2023 # 144] Soit $A\in\M_3(\R)$. Décrire le comportement asymptotique en $+\i$ des solutions de l'équation différentielle $X'(t)=AX(t)$. #+end_exercice +# ID:7218 #+begin_exercice [ENS 2023 # 145] On considère l'équation différentielle $(1)\colon X'(t)=P(t)X(t)$ où $P$ est une application continue et périodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. - Résoudre $(1)$ si $\forall t\in\R,\ P(t)=\left(\begin{array}{cc}1&\cos(t)\\ 0&-1\end{array}\right)$. - On revient au cas général. Soit $T\in\R^{+*}$ une période de $P$. On note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l'espace des solutions de $(1)$ et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer qu'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$. - - Avec les notations de la question précédente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-périoddique. + - Avec les notations de la question précédente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-périodique. #+end_exercice #+BEGIN_proof - @@ -1509,9 +1856,9 @@ On considère l'équation différentielle $(1)\colon X'(t)=P(t)X(t)$ où $P$ est #+END_proof +# ID:7215 #+begin_exercice [ENS 2023 # 146] - - Soit $f\colon (x,y)\ \mapsto \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$. - Donner le domaine de définition $\Omega$ de $f$. Étudier la continuité et la différentiabilité de $f$. + - Soit $f\colon (x,y)\ \mapsto \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$. Donner le domaine de définition $\Omega$ de $f$. Étudier la continuité et la différentiabilité de $f$. - On identifie naturellement $\R^2$ à $\C$. Montrer que, si $(x,y)\in\Omega$, $df_{(x,y)}$ est $\C$-linéaire. #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -1531,17 +1878,18 @@ On considère l'équation différentielle $(1)\colon X'(t)=P(t)X(t)$ où $P$ est #+END_proof +# ID:7214 #+begin_exercice [ENS 2023 # 149] Soient $q\in\R^+$, $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Déterminer $\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$. #+end_exercice +# ID:7213 #+begin_exercice [ENS 2023 # 150] -Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. - -Déterminer les extrema de $x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$. +Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. Déterminer les extrema de $x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$. #+end_exercice +# ID:7212 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 151] Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans $\R, L \in \R^{+*}$. 1. Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$. @@ -1549,6 +1897,7 @@ Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans $\R, L \in \R^ Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$. #+END_exercice +# ID:7211 #+begin_exercice [ENS 2023 # 152] Soit $p\gt 1$. Montrer qu'il existe $K_p\in\R$ tel que, pour tous $x$, $y\in\R$ tels que $|x|^p+|y|^p=2$, on a $(x-y)^2\leq K_p(4-(x+y)^2)$. #+end_exercice @@ -1570,10 +1919,16 @@ Par l'absurde, on extrait deux suite $(x_n), (y_n)$ qui tendent vers $x$. Alors #+END_proof +# ID:7210 #+begin_exercice [ENS 2023 # 154] -On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, de classe $C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$. +On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, de classe $\mc C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Différencier $\int_{-\pi}^{\pi} f(re^{it})\dt$. +#+END_proof + +# ID:7209 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 155] On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$. #+END_exercice @@ -1589,15 +1944,21 @@ Mieux : On a $\lN f(0)\rN = \frac{1}{2}$ et $\lN dg_u(v) - f(0)\rN\leq \frac{1}{ ** Géométrie +# ID:7225 #+begin_exercice [ENS 2023 # 156] -- Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$ tel que - -$\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$. - - Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degré de $T_n\,?$ En déduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$. - - Déterminer les triangles du plan euclidien dont les cotes ont des longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels de $\pi$. + - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$ tel que + $\forall\theta\in\R,\, T_n(2\cos(\theta))=2\cos(n\theta)$. + - Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degré de $T_n$ ? En déduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$. + - Déterminer les triangles du plan euclidien dont les côtés ont des longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels de $\pi$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - + - Si on complète le triangle en un triangle rectangle, et que l'on écrit deux fois pythagore, on obtient que le trangle rectangle est rationnel, (au moins le côté complété), donc que le cosinus de l'angle est rationnel. +#+END_proof +# ID:7226 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 157] Soit $G$ un groupe d'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ contient une translation autre que l'identité de $\R^2$. #+END_exercice @@ -1612,6 +1973,7 @@ Si tous les éléments de $G^+$ ont le même point fixe, tout élément de $G^{- #+END_proof +# ID:7227 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 158] Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z \mapsto a z+b$ avec $a \in \mathbb{U}$ et $b \in \C$. Soit $G$ un sous-groupe de $S$ vérifiant les conditions suivantes : + si $g \in G, g(0)$ est nul ou de module supérieur ou égal à 1 ; @@ -1622,14 +1984,20 @@ Montrer que l'ensemble $\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \ Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s'accumule. On peut supposer qu'elle s'accumule sur $1$, puis on peut borner les $(b_n)$, puis extraire une suite convergence, donc elle est constante à partir d'un certain rang. Donc on a une infinité de $z\mapsto a_n z$, ce qui est impossible. #+END_proof +# ID:7228 #+begin_exercice [ENS 2023 # 159] Soit $L$ la courbe du plan complexe d'équation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$. - Trouver une équation cartésienne réelle définissant $L$. - En déduire une paramétrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - - Montrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'écrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$. - - Montrer que $A$ définit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$. - - On définit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ vérifie une équation différentielle du second ordre. + - s Montrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'écrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$. + - s Montrer que $A$ définit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$. + - s On définit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ vérifie une équation différentielle du second ordre. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $x^2 + y^2 = \cos (2 \theta) = 2\cos^2 \theta - 1 = 2 \frac{1}{\tan^2 \theta + 1} - 1 = \frac{2}{\frac{x^2}{y^2} + 1} - 1 = \frac{2 y^2}{x^2 + y^2} - 1 = \frac{y^2 - x^2}{x^2 + y^2}$. + - En posant $r = x^2 + y^2$, on a $r^2 = r - 2 x^2$, donc $x = \sqrt{\frac{r^2-r}{2}}$, et $y = \sqrt{\frac{r^2+r}{2}}$ + - +#+END_proof # ID:7009 #+begin_exercice [ENS 2023 # 160] @@ -1653,17 +2021,6 @@ Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Z e_1+\Z e #+END_proof -#+begin_exercice [ENS 2023 # 161] - - On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Démontrer qu'il existe une suite $(C_i)_{i\in\N}$ de parties de $D$ telle que : - + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carré de $\R^2$ dont les cotes sont parallèles aux axes ; - + les $C_i$ soient d'intérieurs disjoints ; - + $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$. - - On note $C=[-1,1]^2$. Démontrer qu'il existe une suite $(D_i)_{i\in\N}$ de parties de $C$ telle que : - + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de $\R^2$ ; - + les $D_i$ soient d'intérieurs disjoints ; - + $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$. -#+end_exercice - ** Probabilités # ID:6832 @@ -1725,18 +2082,19 @@ Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une pièce truquée donnant pile avec une probab - Découle des questions précédentes. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS 2023 # 167, 177] -On joue a pile ou face avec une pièce pipée qui donne pile avec probabilité $p\lt \frac{1}{2}$. On lance la pièce $2n$ fois et on compte le nombre de «Piles». Déterminer l'entier $n$ qui maximise la probabilité d'avoir compté au moins $n+1$ «Piles». +# Relier à l'exercice d'espérance avec des 6 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 167, 177] :todo: +On joue à pile ou face avec une pièce pipée qui donne pile avec probabilité $p\lt \frac{1}{2}$. On lance la pièce $2n$ fois et on compte le nombre de «Piles». Déterminer l'entier $n$ qui maximise la probabilité d'avoir compté au moins $n+1$ «Piles». #+end_exercice -#+BEGIN_proof +#+BEGIN_proof :todo: On a $P(S_{2n} = n+k)\leq P(S_{2n} = n-k)$, puis on montre que $P(S_{2n}\geq n+1) + \frac{1}{2}P(S_{2n} = n)$ est décroissante. Mais on connaît $P(S_{2n} = n)$, et il suffit de voir quand elle devient plus petite que les premières valeurs de $P(S_{2n} \geq n+1)$. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 168] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 168] :todo: Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ? #+END_exercice -#+BEGIN_proof +#+BEGIN_proof :todo: On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En notant $e = P(X=1)$, on a $E(X 1_{X\gt 1}) E(X^3 1_{X\gt 1})\geq E(X^2 1_{X\gt 1})^2$, donc $(*)$ $(1-e)(5-e) \geq (2-e)^2$, qui donne $e\leq \frac{1}{2}$. Comme $E(X) = 1$, on doit avoir $P(X=0)\geq \frac{1}{4}$, mais le cas d'égalité ne donne pas les bonnes valeurs : mais $E(X) = 1$, $E(X^2) = \frac{3}{2}$ et $E(X^3) = \frac{5}{2}$. @@ -1760,18 +2118,36 @@ Pour les autres valeurs que $0$ modulo $n$, il faut prendre $X^k G_m(X)$, cela m #+END_proof -# À Relier. #+begin_exercice [ENS 2023 # 170] Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$ c'est-a-dire le nombre de couples $(i,j)$ avec $i\lt j$ et $\sigma(i)\gt \sigma(j)$. - Montrer que $P_n=\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}X^{I(\sigma)}=\prod_{k=1}^{n-1}(1+X+ \cdots+X^k)$. - - On pose $f(n)=|\{\sigma\in\mc{S}_n,\,(n+1)$ divise $I(\sigma)\}|$. Exprimer $f(n)$ a l'aide de $P_n$. - - Montrer qu'il existe une infinite de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\lt \frac{(p-1)!}{p}$ et de meme une infinite de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\gt \frac{(p-1)!}{p}$. + - On pose $f(n)=\big|\{\sigma\in\mc{S}_n \text{ t.q. } (n+1) \mid I(\sigma)\}\big|$. Exprimer $f(n)$ à l'aide de $P_n$. + - Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\lt \frac{(p-1)!}{p}$ et de même une infinité de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\gt \frac{(p-1)!}{p}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $\sigma$ est déterminé par : le nombre d'inversion avec $(n-1)$ (une ou $0$), le nombre d'inversions avec $n-2$, etc. En effet, pour chaque $\sigma$, on peut donner ces nombres, et réciproquement, si on les connaît, on connaît l'image de $(n-1)$ par rapport à l'image de $n$, puis l'image de $n-2$ par rapport à $(n-1)$ et $n$, etc, donc $\sigma$ est entièrement déterminée. + - $f(n)$ est la somme des coefficients en $X^{k(n+1)}$ de $P_n$, donc $\frac{P(1) + P(\om) + \dots + P(\om^n)}{n+1}$. + - Avec les questions précédentes, on trouve $f(p-1) = \frac{1}{p}\left((p-1)! + \sum_{\om \in \m U_p\setminus 1} \frac{p}{(1-\om)^2}\right)$. + Cette somme, s'obtient en prenant $Q = 1 + X + \dots + X^{p-1}$, $\frac{Q'}{Q} = \sum \frac{1}{X - \om}$, donc $\frac{Q''Q - (Q')^2}{Q^2} = - \sum \frac{1}{(X-\om)^2}$ + En évaluant en $1$, on obtient un dénominateur de $p^2$, et un numérateur $p \sum_{k=2}^{p-1} k (k-1)- \big(\frac{(p-1)p}{2}\big)^2 = \frac{p^2}{3}(p-2)(p-1) - \big(\frac{(p-1)p}{2}\big)^2$, qui a un signe constant APCR… + + J'ai confirmé numériquement que $\sum \frac{1}{(1-\om)^2}$ est négatif… !! +#+END_proof + + + + +# ID:7236 #+begin_exercice [ENS 2023 # 171] Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicités). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On a $N = \sum_{i} \m 1_{i\text{ rac}}$. +#+END_proof + +# ID:7237 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 172] Dans tout l'exercice, les variables aléatoires considérées sont supposées réelles, discrètes et à loi de support fini. Pour deux telles variables $X$ et $Y$, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe $f\colon \R \ra \R$. 1. Soient $X$ une variable aléatoire vérifiant les conditions de l'exercice et $f\colon \R \ra \R$ convexe. Montrer que $f(\mathbf{E}(X)) \leq \mathbf{E}(f(X))$. @@ -1781,10 +2157,22 @@ Dans tout l'exercice, les variables aléatoires considérées sont supposées r $$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mathbf{P}(Y \geq x)\dx.$$ #+END_exercice #+BEGIN_proof + 1. Convexité + 2. Prendre $X = 1$ et $Y = \mc U(\{0, 2\})$. + 3. Prendre $f = \op{Id}$ et $g = - \op{Id}$. + 4. On a $\int_a^{\i} P(X\geq x)\dx = (x_i - a) p_i + \dots + (x_n -a) p_n$, où la somme porte sur les $x_j\gt a$. + La fonction $a\mapsto \int_a^{\i}$ est décroissante, affine par morceaux, nulle en $+\i$, et de pente $-1$ en $-\i$. Par ailleurs, la condition $E(X) = E(Y)$ est équivalente à l'égalité des fonctions en $-\i$. + + La quantité $(x_i - a) p_i + \dots + (x_n -a) p_n$ est l'espérance pour $f(x) = (x-a)_+$. donc si $X\leq_c Y$, l'inégalité est bien vérifiée. + + Réciproquement, si elle est vérifiée, alors $E(f(X))\leq E(f(Y))$ est vérifiée pour la fonction $\op{Id}$, et $-\op{Id}$ (grâce à l'espérance), puis pour toutes les fonctions convexes affines par morceaux. + + Si $f$ est une fonction convexe quelconque, on se débrouille. #+END_proof +# ID:7238 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 173] On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \db{1, N}$, puis $u_2 \in \db{1, u_1-1}$, et ainsi de suite jusqu'à arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note $E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$. 1. Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$. @@ -1797,38 +2185,70 @@ On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \db{1, N}$, pu 3. Semble facile. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS 2023 # 174] -Dans tout l'énonce, on fixe un entier $p\geq 1$. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 174] :todo: +Dans tout l'énoncé, on fixe un entier $p\geq 1$. - Développper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ de nombres réels. - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$. - Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq p^p(\mathbf{E}(X^2))^p$. - Soit $(a_k)_{k\geq 1}$ une suite réelle telle que $\sum_{k=1}^{+\i}a_k^2=1$. Soient $x\in\R$ et $Y_x=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx)\,X_i$. -Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au moins une valeur inférieure ou égal a $2\pi p^p$. + Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p} \dx$ prend au moins une valeur inférieure ou égal a $2\pi p^p$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: + - + - Si on développe, seuls les termes d'exposants tous pairs restent. On veut alors + $$\sum_{n_1 + \dots + n_n = p} {2p \choose 2n_1,\dots, 2n_n} a_1^{2n_1}\dots a_n^{2n_p}\leq (2p)^p \sum_{n_1 + \dots + n_n = p} {n\choose n_1,\dots, n_n} a_1^{2n_1}\dots a_n^{2n_p}.$$ + Il suffit de le montrer pour chaque multinôme. Pour $n = 2$ c'est déjà pas si clair… -#+begin_exercice [ENS 2023 # 175] + !! + Si $g\colon \db{1,2p}\ra \db{1,n}$ est une application telle que $1$ ait $2n_1$ antécédents, …, $n$ en ait $2n_n$, on peut lui associé le couple formé de $h_1\colon \db{1,p}\ra \db{1,n}$ définie en ne gardant que les $n_1$ premiers antécédents de $1$, …, les $n_n$ premiers antécédents de $n_n$ et $h_2\db{1,2p}\ra \db{1,p}$ qui à $i$ associe le premier élément qui a la même image que lui. NOPE. + + L'application $h\colon (h_1,h_2)$ est injective, et le nombre de $h_2$ possible est $\leq (2p)^p$. + - + - Pas de difficulté. +#+END_proof + + +#+begin_exercice [ENS 2023 # 175] :todo: suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et $a_1,\ldots,a_n$ des réels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$. - - Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$. - - Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$. - - Montrer que si $\sum_{k=1}^na_k^2=1$ alors $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$. - - Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute généralite. + 1. Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$. + 2. Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$. + 3. Montrer que si $\sum_{k=1}^na_k^2=1$ alors $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$. + 4. Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute généralite. #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: + 1. + 2. + 3. On veut $E(|Y|)^2 \geq \frac{1}{e}$, sachant $\sum a_k^2 = 1$, !! +#+END_proof + +# ID:7239 #+begin_exercice [ENS 2023 # 176] -Une variable aléatoire discrète réelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aléatoires discrètes réelles non presque sûrement constantes et indépendantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aléatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aléatoire binomiale est-elle decomposable? - - Montrer que le polynôme $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynômes de degré $2$ a coefficients dans $\R^+$. En déduire une variable aléatoire réelle discrète decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable. - - Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme que $\db{0,n-1}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable. +Une variable aléatoire discrète réelle $X$ est dite décomposable s'il existe deux variables aléatoires discrètes réelles non presque sûrement constantes et indépendantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. + - Une variable aléatoire de Bernoulli est-elle décomposable? Une variable aléatoire binomiale est-elle décomposable? + - Montrer que le polynôme $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynômes de degré $2$ à coefficients dans $\R^+$. En déduire une variable aléatoire réelle discrète décomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas décomposable. + - Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\db{0,n-1}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit décomposable. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Bernoulli : non, cf l'image. Binomiale : oui, prendre $\mc B(n,p) = \mc B(n-1,p) + \mc B(p)$. + 2. Prendre $X\hookrightarrow \mc B(2, \frac{1}{2})$, qui est décomposable, et $X^2$ a comme fonction génératrice le polynôme donné. + + Si $X^2 = A+B$, alors $\min A + \min B = 0$, quitte à ajouter/retirer une constante, on peut supposer que $\min A = \min B = 0$. Alors comme $X$ est à valeurs entières, $A$ et $B$ également, donc elles sont à valeurs dans $\N$, et ont des fonctions génératrices. + 3. $G(t) = 1 + \dots + t^{n-1}$. Si $n$ n'est pas premier, on peut factoriser simplement $G$ par $(1+t+t^{d-1})$ fois un polynôme à coefficients positifs. + + Si $n$ est premier, le polynôme est irréductible. +#+END_proof +# ID:7240 #+begin_exercice [ENS 2023 # 178] On fixe $n\in\N^*$ et on pose $X=\db{1,n}$. Soient $A$ et $B$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$. - - Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$). - - Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - - Pour $i\in\db{1,n}$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Déterminer la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$. - - Calculer $\mathbf{P}(A\subset B)$. Commenter. + 1. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$). + 2. Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. + 3. Pour $i\in\db{1,n}$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Déterminer la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$. + 4. Calculer $\mathbf{P}(A\subset B)$. Commenter. #+end_exercice # ID:6839 @@ -1836,6 +2256,7 @@ On fixe $n\in\N^*$ et on pose $X=\db{1,n}$. Soient $A$ et $B$ des variables alé Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considère un échiquier $n\times n$. On colorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilité $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilité pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constitué uniquement de cases rouges (les déplacements ne se font pas en diagonale) ? Que dire de la fonction $Q$? #+end_exercice +# ID:7284 #+begin_exercice [ENS 2023 # 180] Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Rademacher. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ pour $n\geq 1$. - Calculer l'espérance du nombre $R$ de retour en zero de la suite $(S_n)_{n\geq 1}$. @@ -1843,24 +2264,43 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de loi - Montrer que l'évènement $(R=+\i)$ est presque sûr. #+end_exercice #+BEGIN_proof - - Passer par la probabilité de premier retour en $0$, il faut tout refaire… + - C'est simple : on connaît la probabilité d'être en $0$ à l'instant $n$. + - C'est de la ruine du joueur. + - Découle de ce qui précède. #+END_proof +# ID:7285 #+begin_exercice [ENS 2023 # 181] -Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilisé et $(m_k)_{k\in\N}$ une suite de réels positifs de somme 1. On considère un arbre aléatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aléatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aléatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement indépendantes. On note $X_1$ la variable aléatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caracteriser le fait que la longueur de l'arbre soit presque surement finie. +Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilisé et $(m_k)_{k\in\N}$ une suite de réels positifs de somme 1. On considère un arbre aléatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aléatoire $X$ de successeurs avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aléatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement indépendantes. On note $X_1$ la variable aléatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caractériser le fait que la hauteur de l'arbre soit presque surement finie. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +C'est la probabilité d'extinction. +#+END_proof -#+begin_exercice [ENS 2023 # 182] -On construit iterativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble de sommets $\db{1,n}$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aléatoirementun point dans $\db{1,k}$ (avec probabilité uniforme) et on rajoute une arete orientée de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere indépendante les uns des autres. - - On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre d'aretes partant du point $1$. Déterminer l'espérance et la variance de $X_n$. + +#+begin_exercice [ENS 2023 # 182] :todo: +On construit itérativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble de sommets $\db{1,n}$ (graphe orienté) selon le procédé suivant : à l'étape $k$, on choisit aléatoirement un point dans $\db{1,k}$ (avec probabilité uniforme) et on rajoute une arete orientée de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere indépendante les uns des autres. + - On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre d'arêtes partant du point $1$. Déterminer l'espérance et la variance de $X_n$. - On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Déterminer la loi de $S_n$. - Calculer l'espérance du nombre de feuilles de l'arbre. #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: + 1. $H_n$, c'est simple. + 2. $P(S_n = 0) = \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{n-2}{n-1} = \frac{1}{n-1}$. + + En général, $P(S_n^k = 0) = \frac{k-1}{n-1}$. + + $P(S_n = 1) = \sum_{i=3}^{n} \frac{\frac{1}{2} \dots \frac{n-2}{n-1}}{\frac{i-2}{i-1}} \frac{1}{i-1} \frac{i-1}{n-1}$ $=\sum_{i=3}^{n} \frac{1}{(n-1)^2}\frac{1}{i-2}$ $=\frac{1}{(n-1)^2} H_{n-2}$ + + En général, $P(S_n^k = 1) = \frac{k-1}{(n-1)^2}(H_{n-2} - H_{k-2})$ + $P(S_n = 2)$ oops, impossibruh. !! +#+END_proof +# ID:7286 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 183] -Soient $E$ un ensemble fini, $V: E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point $a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout $b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient $b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que $f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, pour tout $n \geq 0$ : +Soient $E$ un ensemble fini, $V\colon E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point $a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout $b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient $b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que $f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, pour tout $n \geq 0$ : + si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$; + sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$. Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins $1 / 2$. @@ -1875,28 +2315,51 @@ On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer que c' Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à traiter le cas du graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$. #+END_proof +# ID:7287 #+begin_exercice [ENS 2023 # 184] Une variable aléatoire réelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\db{1,n}}$ i.i.d. et admettant des moments d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornée et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Si $X$ est bornée par $b$, $|X_{i,n}|\leq \frac{b}{n}$, donc $V(X_{i,j}) \leq \frac{C}{n^2}$. +#+END_proof + +# ID:7288 #+begin_exercice [ENS 2023 # 185] -On se donne une suite $(X_i)_{i\geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$. - - Quelle relation doivent vérifier $a_i$ et $p_i$ pour que $\mathbf{V}(X_i)=1$? Dans toute la suite, on suppose cette relation vérifiée et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. +On se donne une suite $(X_i)_{i\geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit à valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$. + - Quelle relation doivent vérifier $a_i$ et $p_i$ pour que $\mathbf{V}(X_i)=1$? + - E Dans toute la suite, on suppose cette relation vérifiée et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. - Calculer la variance de $n^{-1/2}S_n$. - Montrer que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))=\prod_{i=1}^n\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tX_i)$. - En déduire que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Vaut $1$. + - $\cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$. + - On a $E\left(\cos \big(n^{-1/2} t X_i\big)\right) = E\left(1 - \frac{t^2}{2n} X_i^2\right) + O(\frac{1}{n^2})$ $= 1 - \frac{t^2}{2n} + O(\frac{1}{n^2})$ +#+END_proof + +# ID:7289 #+begin_exercice [ENS 2023 # 186] On fixe un entier $n\geq 1$. On considère la relation d'ordre partielle $\preccurlyeq$ sur $\R^n$ définie par $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\db{1,n},\ x_i \leq y_i$. Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque $f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que $x\preccurlyeq y$. - Donner un exemple de fonction croissante non constante de $\{0,1\}^n$ dans $\R$. - - Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables aléatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$. Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$. + - E Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables aléatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$. + - Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$. Montrer que + $$\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big(\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_ {n-1},0)+\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_{n-1},1))\Big).$$ + - Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ et $g\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissantes. -Montrer que $\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big{(}\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_ {n-1},0)+\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_{n-1},1))\Big{)}$. - Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ et $g:\{0,1\}^n\to\R$ croissantes. - -Montrer que $\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \,\mathbf{E}(g(X_1,\ldots,X_n))$. + Montrer que $$\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \,\mathbf{E}(g(X_1,\ldots,X_n)).$$ #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - La somme des termes… + - Pas de difficulté. + - C'est une récurrence avec ce qui précède. On a fondamentalement uniquement besoin d'une inégalité de Tchebychev, à $2$ termes. +#+END_proof + +# ID:nil #+begin_exercice [ENS 2023 # 187] Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilité. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation. - Soit $I\subset\db{1,n}$. Calculer $\mathbf{P}\left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)$. @@ -1907,19 +2370,17 @@ Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilité. On - Calculer $\mathbf{P}(N=0)$. #+end_exercice +# ID:7290 #+begin_exercice [ENS 2023 # 188] On considère une suite i.i.d. $(X_n)_{n\geq 1}$ de variables aléatoires suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On définit $(S_n)_{n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$. -_a) i)_ Déterminer l'espérance et la variance de $S_n$. - - Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$. - - Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n^{2/3})$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$. - - On considère la variable aléatoire $T_n:\omega\mapsto\min\{k\in\N,\ S_k(\omega)\geq n\}$. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $T_n$. + - Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$. + - On considère la variable aléatoire $T_n\colon\omega\mapsto\min\{k\in\N,\ S_k(\omega)\geq n\}$. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $T_n$. - Soit $k\geq 2$. Montrer que $\mathbf{P}(T_n=k)=\frac{1}{2}\mathbf{P}(T_{n-1}=k-1)+\frac{1}{2} \mathbf{P}(T_{n-2}=k-1)$. - Calculer l'espérance de $T_n$. #+end_exercice - - +# ID:7291 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 189] Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et $S = \left\{ \pm e_i, 1 \leq i \leq d\right\}$, où $e_i$ désigne l'élément de $G$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la $i$-ème, égale à $\overline{1}$. Soient enfin $f\colon G \ra \R$ une fonction quelconque et $X$ une variable aléatoire uniformément distribuée sur $G$. @@ -2142,7 +2603,7 @@ Soit $\alpha\in\R$. On pose $g_{\alpha}:t\in\,]0,+\i[\mapsto e^{-t}t^{\alpha}$. - Calculer $I(p)=\int_0^{+\i}e^{-pt}\,dt$, avec $p\in]0,+\i[$. - Justifier l'existence de $\frac{d^kI}{dp^k}$ pour tout $k\in\N$. - En déduire $\int_0^{+\i}g_n(t)dt$ pour tout $n\in\N$. - - Retrouver ce résultat en integrant par parties $\int_{\eps}^xg_n(t)dt$ pour $0\lt \eps\lt x$. + - Retrouver ce résultat en intégrant par parties $\int_{\eps}^xg_n(t)dt$ pour $0\lt \eps\lt x$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 212] @@ -2305,7 +2766,7 @@ On note $\parallel\;\;\parallel_1$ la norme sur $\R^n$ définie par : $\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\;\|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_{ k}|$. - Soit $(x,y)\in\left(\R^n\right)^2$. Montrer que $\|x+y\|_1+\|x-y\|_1=2(\|x\|_1+\|y\|_1)$ si et seulement si $\forall k\in\db{1,n},\;x_ky_k=0$. - - Soit $f\in\mc{L}(\R^n)$ qui preserve la norme $\parallel\;\;\|_1:\forall x\in\R^n,\;\|f(x)\|_1=\|x\|_1$. Montrer que la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de $f$ sur la base canonique est une matrice de permutation signée, c'est-a-dire qu'il existe une permutation $\sigma$ de $\db{1,n}$ et $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ vérifiant $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,a_{i,j}=\eps_j \delta_{i,\sigma(j)}$. + - Soit $f\in\mc{L}(\R^n)$ qui preserve la norme $\parallel\;\;\|_1\colon\forall x\in\R^n,\;\|f(x)\|_1=\|x\|_1$. Montrer que la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de $f$ sur la base canonique est une matrice de permutation signée, c'est-a-dire qu'il existe une permutation $\sigma$ de $\db{1,n}$ et $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ vérifiant $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,a_{i,j}=\eps_j \delta_{i,\sigma(j)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 231] @@ -2418,7 +2879,7 @@ Soit $g\in{\cal C}^0([0,1],{\R}_+^*)$. On définit $\Phi\colon x\in{\R}\mapsto\l #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 257] Soit $f\in C^k({\R}^+,{\R})$ telle que $f^{(k)}$ est bornée sur ${\R}^+$. -Soit $F:\lambda\in{\R}^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}e^{-\lambda t}f(t)\,{\rm d }t$. Déterminer un développement asymptotique de $F(\lambda)$ lorsque $\lambda\to+\i$. +Soit $F\colon\lambda\in{\R}^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}e^{-\lambda t}f(t)\,{\rm d }t$. Déterminer un développement asymptotique de $F(\lambda)$ lorsque $\lambda\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 258] @@ -2459,7 +2920,7 @@ On retourne une par une les cartes d'un jeu de 52 cartes. Trouver l'espérance d #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 264] -On considère deux capteurs indépendants, qui detectent chacun en moyenne 5000 évènements par an. Quelle est la probabilité que les deux detecteurs detectent un évènement pendant la meme seconde? +On considère deux capteurs indépendants, qui detectent chacun en moyenne 5000 évènements par an. Quelle est la probabilité que les deux detecteurs detectent un évènement pendant la même seconde? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 265] @@ -2479,7 +2940,7 @@ On considère $X$ de loi $\mc{B}(p)$ et $Y$ de loi $\mc{P}(p)$ avec $p\in[0,1]$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 269] -Soient $X,Y$ deux variables aléatoires entières indépendantes qui suivent la meme loi. +Soient $X,Y$ deux variables aléatoires entières indépendantes qui suivent la même loi. - On suppose que $X$ suit une loi géométrique commencant a zero, c'est-a-dire qu'il existe $p\in\,]\,0\,;1\,[$ tel que $\forall k\in\N,\,\mathbf{P}(X=k)=(1-p)^kp$. Montrer que $\forall n\in\N,\,\forall k\in\db{0\,;\,n}$, $\mathbf{P}(X=k\,|\,X+Y=n)=\frac{1}{n+1}$. @@ -2499,7 +2960,7 @@ ${}^{\bigstar}$ Soit $\left(X_n\right)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 272] -Soient $n\in\N^*$ et $p\in]0,1[$. On considère dans le plan un graphe non oriente aléatoire de $n$ sommets. On note $X_{i,j}=1$ si les points d'indices $i$ et $j$ sont relies, et $0$ sinon. On suppose les $X_{i,j}$ indépendantes et de meme loi $\mc{B}(p)$. On note $T_n$ le nombre de triangles formes par ces $n$ points. On pose $a_n=\binom{n}{3}p^3$. +Soient $n\in\N^*$ et $p\in]0,1[$. On considère dans le plan un graphe non oriente aléatoire de $n$ sommets. On note $X_{i,j}=1$ si les points d'indices $i$ et $j$ sont relies, et $0$ sinon. On suppose les $X_{i,j}$ indépendantes et de même loi $\mc{B}(p)$. On note $T_n$ le nombre de triangles formes par ces $n$ points. On pose $a_n=\binom{n}{3}p^3$. Calculer $\mathbf{E}(T_n)$ et montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_n}{a_n}-1\right|\gt \eps\right)=0$. #+end_exercice @@ -2525,6 +2986,7 @@ Pour tout réel $\eps\gt 0$, montrer que $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\Big{(}\lambda ** Algèbre +# ID:7246 #+begin_exercice [X MP 2023 # 275] :sup: On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter que $p(n)\leq 2^{n-1}$. #+end_exercice @@ -2532,7 +2994,6 @@ On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter que $p(n)\ On a $p(n)\leq p(n-1) + p(n-2) + \dots + p(1) + 1$, en considérant le (un) plus grand élément de la partition. Formellement, on a une surjection $\sqcup_{k=0}^{n-1} \mc P_k \ra \mc P_n\quad (X, k)\mapsto X + (n-k)$. #+END_proof -# Relier à Lucas : 3721 # ID:7027 #+begin_exercice [X MP 2023 # 276] :sup: Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ et $X=\{s\in\N;\ 2^s\,|\,n!\}$. @@ -2550,7 +3011,7 @@ Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ Donc forcément, il faut que là où $k$ a un chiffre $1$, $n$ l'ait également. #+END_proof -# Relier à d'autres… +# ID:7247 #+begin_exercice [X MP 2023 # 277] - Montrer que l'équation $a^2-2b^2=1$ admet une infinité de solutions $(a,b)\in\N^2$. @@ -2563,15 +3024,17 @@ Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ #+END_proof +# ID:7248 #+begin_exercice [X MP 2023 # 278] -Si $G$ est un groupe, les éléments d'ordre fini forment-il un sous-groupe? +Si $G$ est un groupe, les éléments d'ordre fini de $G$ en forment-il un sous-groupe? #+end_exercice #+BEGIN_proof Non : cf le produit libre $\Z/2\Z * \Z/2\Z$ : l'ensemble des mots sur $\{A,B\}$ où deux $A$ d'affilée, ou deux $B$ d'affilées se simplifient, muni de la concaténation. Cf # 281 #+END_proof +# ID:7249 #+begin_exercice [X MP 2023 # 279] - - Trouver deux groupes $G_1$ et $G_2$ non isomorphes de cardinal $2023=7.17^2$. + - Trouver deux groupes $G_1$ et $G_2$ non isomorphes de cardinal $2023=7\times 17^2$. - Soit $p$ premier. Montrer qu'un groupe de cardinal $p^2$ est isomorphe à $\Z/p^2\Z$ ou à $(\Z/p\Z)^2$. - Soient $G,H$ deux groupes finis et $\psi\colon G\to H$ un morphisme surjectif. @@ -2598,14 +3061,21 @@ Non : cf le produit libre $\Z/2\Z * \Z/2\Z$ : l'ensemble des mots sur $\{A,B\}$ #+END_proof -# Cf année précédente +# ID:7133 #+begin_exercice [X MP 2023 # 280] Soit $G$ un groupe fini de neutre $1$. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans point fixe c'est-a-dire tel que : $\forall x\in G$, $\phi(x)=x\Rightarrow x=1$. On note $n$ l'ordre de $\phi$ ; c'est le plus petit entier $n\in\N^*$ tel que $\phi^n=\op{id}$. - Montrer que $\forall x\in G$, $x\,\phi(x)\,\phi^2(x)\,\cdots\,\phi^{n-1}(x)=1$. - Si $n=2$, que peut-on dire du groupe $G$? Donner un exemple. - Si $n=3$, montrer que, pour tout $x\in G$, $x$ et $\phi(x)$ commutent. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Il est fixe. + - $x = x^{-1}$. + - On a $x\phi(x) \phi^2(x) = 1$, et $x\phi (x)$ est l'inverse de $\phi^2(x)$, mais on a de même $\phi^2(x) \phi(x) x = 1$. +#+END_proof + +# ID:7167 #+begin_exercice [X MP 2023 # 281] Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des éléments de $G$ d'ordre fini. - En général, $T$ est-il un sous-groupe de $G$? @@ -2621,22 +3091,27 @@ Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des éléments de $G$ d'ordre fini. #+END_proof +# ID:7250 #+begin_exercice [X MP 2023 # 282] - - Soit $s\colon \R^*\to\R^*,\, t\mapsto t^{-1}$. Déterminer le groupe engendré par $s$. - - On définit les applications $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et - - Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe a $\mc{S}_3$. - - Retrouver le résultat de la question précédente en considérant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$. + - Soit $s\colon \R^*\to\R^*\, t\mapsto t^{-1}$. Déterminer le groupe engendré par $s$. + - On définit les applications $s_1\colon (t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et $s_2\colon (t,u)\mapsto (tu,u^{-1})$. Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe à $\mc{S}_3$. + - Retrouver le résultat de la question précédente en considérant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinéarité, la bijection $f\colon A\to(\R^*)^2$ qui associe à la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$. - Soit $n\geq 3$. Déterminer le groupe engendre par les bijections $(s_i)_{1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ définies par $s_i(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},...,t_n)$ si $1\lt i\lt n$, $s_1(t_1,...,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,...,t_n)$ et $s_n(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$. Ind. Considèrer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ définie par $f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - +#+END_proof + +# ID:7251 #+begin_exercice [X MP 2023 # 283] Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On note, pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d'éléments de $G$ d'ordre $d$. - Montrer que $n=\sum_{d\mid n}n_d(G)$. - Calculer les $n_d(G)$ lorsque $G$ est cyclique. - - Montrer que, si pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $|\{x\in G,\ x^d=1\}|\leq d$, alors $G$ est cyclique. - Soient $\mathbb{K}$ un corps et $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$. Montrer que $G$ est cyclique. + - Montrer que, si pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $|\{x\in G,\ x^d=1\}|\leq d$, alors $G$ est cyclique. + - Soient $\mathbb{K}$ un corps et $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$. Montrer que $G$ est cyclique. #+end_exercice #+call: get_exo(4216) @@ -2659,13 +3134,17 @@ On pose $\Q[i]=\{a+ib,\,a,b\in\Q\}$. #+END_proof +# ID:7283 #+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 286] Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait $\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ? #+END_exercice #+BEGIN_proof -Pour tout morphisme d'algèbre $\tau\colon A\ra A$, $u_A$ commute avec $\tau$. Donc $u_A(PMP^{-1}) = Pu_A(M)P^{-1}$, donc $u_A = \op{Id}$, ou $u_A = 0$. +On prend $A = \F_p[X]$, $\tau_A$ l'endomorphisme dedans. En prenant $A =B$, $u_A$ doit commuter avec tout morphisme d'algèbre $P \mapsto P(Q(X))$, donc $u_A(P(X)) = P(u_A(X))$,donc $u_A$ est défini par $u_A(X)$, et $u_A\colon P\mapsto P\circ Q_A$. + +Par suite, pour tout $B$, $u_B\colon b\mapsto Q_A(b)$ #+END_proof +# ID:7252 #+begin_exercice [X MP 2023 # 287] :sup: Soit, pour $n\in\N^*$, $P_n=1+X+\cdots+X^{n-1}$. @@ -2678,6 +3157,7 @@ Interprétation probabiliste : on divise par $2$, à gauche, on a la probabilit #+END_proof +# ID:7253 #+begin_exercice [X MP 2023 # 288] - Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynôme $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$. - Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_{n-1}$. @@ -2685,6 +3165,8 @@ Interprétation probabiliste : on divise par $2$, à gauche, on a la probabilit - En déduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_n$. #+end_exercice + +# ID:7282 #+begin_exercice [X MP 2023 # 289] :sup: Soit $n\in\N^*$. Soit $q\in\C$ tel que $0\lt |q|\lt 1$. @@ -2698,9 +3180,10 @@ On pose $F\colon z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - Existence claire, via $f(z) = f(1/z)$. Unicité via l'unicité polynomiale. - - On a $F(q^2z) = F(z) \frac{1 + q^{2n+1}z}{1 + qz} \frac{1 + z^{-1}q^{-1}}{1 + q^{2n-1} z^{-1}}$. Multiplier par le dénominateur, identifié. + - On a $F(q^2z) = F(z) \frac{1 + q^{2n+1}z}{1 + qz} \frac{1 + z^{-1}q^{-1}}{1 + q^{2n-1} z^{-1}}$. Multiplier par le dénominateur, identifier. #+END_proof +# ID:7166 #+begin_exercice [X MP 2023 # 290] Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que $(X+Y)^n$ soit congru a $X^n+Y^n$ modulo $p$. #+end_exercice @@ -2709,6 +3192,7 @@ Pour $n=p$ ok, si $n = p^{\a}$ aussi. Sinon, cf Lucas pour les coefficients bino #+END_proof +# ID:7254 #+begin_exercice [X MP 2023 # 291] Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrer qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$. #+end_exercice @@ -2716,6 +3200,7 @@ Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrer qu'il ex C'est des DLs : faire le DL de $\sqrt[k]{f}$. #+END_proof +# ID:7255 #+begin_exercice [X MP 2023 # 292] Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynômes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une définition similaire pour les polynômes a une indéterminée. - Exhiber un polynôme $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. @@ -2729,14 +3214,16 @@ Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynômes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $ #+END_proof +# ID:7256 #+begin_exercice [X MP 2023 # 293] -Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux a deux distincts. Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. Montrer qu'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise $H-H_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$. +Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux à deux distincts. Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. Montrer qu'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise $H-H_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$. #+end_exercice #+BEGIN_proof Interpolation de Hermite. #+END_proof +# ID:7257 #+begin_exercice [X MP 2023 # 294] - Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux à deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu'il existe un entier $F$ tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in\db{1,r}$. - Soient $N_1,\ldots,N_r$ des éléments de $\C[X]$ premiers entre eux deux à deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des éléments de $\C[X]$. Montrer qu'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$ pour tout $i\in\db{1,r}$. @@ -2767,12 +3254,13 @@ On écrit $P = (X-x_1) Q$. Et on obtient que $\sum_{i=0}^{n-2} |q_i|\lt 1$. Donc #+END_proof -# Kronecker +#+call: get_exo(17) #+begin_exercice [X MP 2023 # 296] -Soit $P\in\Z[X]$ un polynôme unitaire dont les racines complexes ont un module inférieur ou égal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unite. +Soit $P\in\Z[X]$ un polynôme unitaire dont les racines complexes ont un module inférieur ou égal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unité. #+end_exercice +# ID:7258 #+begin_exercice [X MP 2023 # 297] :sup: Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n\in\Z$. On écrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$. - Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$. @@ -2786,13 +3274,14 @@ Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n\in\Z$. On écr #+END_proof +# ID:7259 #+begin_exercice [X MP 2023 # 298] :sup: On se propose de donner une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss. - Montrer qu'il suffit de montrer le théorème pour les polynômes a coefficients réels. Dans la suite, on écrira le degré d'un polynôme non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$. - Montrer le théorème dans le cas ou $n=0$. Dans la suite, on suppose le résultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe. - - Soit $P\in\R[X]$ de degré $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet l'existence d'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ est scinde, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixe $c\in\R$, on pose $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$. + - Soit $P\in\R[X]$ de degré $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet l'existence d'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ est scindé, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixé $c\in\R$, on pose $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$. - Montrer que le polynôme $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients réels. - Montrer que l'un des $y_{ij}(c)$ est élément de $\C$. - Montrer finalement que l'un des $x_i$ est élément de $\C$. @@ -2807,10 +3296,11 @@ On se propose de donner une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss. #+END_proof +# ID:7260 #+begin_exercice [X MP 2023 # 299] :sup: Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$. - On suppose que $q$ n'est pas une racine de l'unite. Montrer qu'il existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s'il y en a deux alors elles sont opposées l'une de l'autre. - - Montrer que le résultat precedent peut tomber en defaut si l'on ne suppose plus que $q$ n'est pas une racine de l'unite. + - Montrer que le résultat precedent peut tomber en defaut si l'on ne suppose plus que $q$ n'est pas une racine de l'unité. #+end_exercice #+BEGIN_proof - On a $G(qX) G(q^{-1} X) = \frac{F-1}{F(q^{-2}X)}$. @@ -2823,13 +3313,14 @@ Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$. #+END_proof -# Liberté des caractères +#+call: get_exo(4369) #+begin_exercice [X MP 2023 # 300] Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$. Montrer que $\M$ est une partie libre du $\C$-espace vectoriel $\C^G$. #+end_exercice +# ID:7261 #+begin_exercice [X MP 2023 # 301] -On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien définie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien périoddique a partir d'un certain rang. +On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi\colon C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien définie et trouver \ quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien périoddique a partir d'un certain rang. #+end_exercice #+BEGIN_proof $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \ra (ad-bc) \begin{pmatrix}1/d & -1/b \\ -1/c & 1/a\end{pmatrix}$ @@ -2845,7 +3336,7 @@ Donc on est point fixe si et seulement si $(ad - bc)(bc - ad) = adbc \ssi (ad-bc #+END_proof -# Relier à 6486 +# ID:7262 #+begin_exercice [X MP 2023 # 302] Soit $R\in\M_n(\Z)$ non nulle et $M=I_n+3R$. Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, $M^k\neq I_n$. #+end_exercice @@ -2854,6 +3345,7 @@ $R = \frac{A -I_n}{3}$, mais les valeurs propres de $R$ sont de module $1$, donc #+END_proof +# ID:6649 #+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 303] :sup: Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que $p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$. #+END_exercice @@ -2861,8 +3353,9 @@ Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On On a $u(\Ker p)\subset \Im p$ et $u(\Im p) \subset \Ker p$. #+END_proof +# ID:7263 #+begin_exercice [X MP 2023 # 304] :sup: -Pour $(A,B)\in\M_n(\R)^2$, on pose $\phi_{A,B}:M\in\M_n(\R)\mapsto AMB$. +Pour $(A,B)\in\M_n(\R)^2$, on pose $\phi_{A,B}\colon M\in\M_n(\R)\mapsto AMB$. Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$. - L'ensemble $T$ est-il un $\R$-espace vectoriel? @@ -2874,10 +3367,11 @@ Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$. #+END_proof +# ID:7264 #+begin_exercice [X MP 2023 # 305] :sup: Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $R_P=\det(I_n+(X-1)P)$. - Calculer $R_P$ en fonction de $P$. - - Soient $P,Q$ des matrices de projecteur dans $\M_n(\mathbb{K})$ telles que $PQ=QP=0$. Montrer que $R_PR_Q=R_{P+Q}$. + - Soient $P,Q$ des matrices de projecteurs dans $\M_n(\mathbb{K})$ telles que $PQ=QP=0$. Montrer que $R_PR_Q=R_{P+Q}$. - Soit $\phi$ un automorphisme de la $\mathbb{K}$-algèbre $\M_n(\mathbb{K})$. - Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout $i\in\db{1,n}$. - Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans $\db{1,n}$? @@ -2886,11 +3380,12 @@ Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $R_P=\det(I_n+(X- #+BEGIN_proof - $R_P = X^r$ - C'est-à-dire que $\rg (P+Q) = \rg P + \rg Q$. - - Pas de rapport avec ce qui précède. + - - #+END_proof +# ID:7265 #+begin_exercice [X MP 2023 # 306] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une application $q\colon V\to\C$ telle que $u^2=q(u)\op{id}_E$ pour tout $u\in V$. - Monter que, pour tous $u,v\in V$, il existe $B(u,v)\in\C$ tel que $uv+vu=2B(u,v)\op{id}_E$. @@ -2906,27 +3401,39 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$ un sous- #+END_proof -# À relier à un classique : 5692 +# ID:7266 #+begin_exercice [X MP 2023 # 307] Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On suppose que $\phi(I_n)$ est inversible et que $\forall A,B\in\M_n(\C)$, $\phi(AB)=\phi(A)\,\phi(B)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que : $\forall A\in\M_n(\C)$, $\phi(A)=PAP^{-1}$. #+end_exercice -# Relier : automorphismes d'algèbres de $\C(X)$ : 4136. +# ID:7267 #+begin_exercice [X MP 2023 # 308] - Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ vérifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$. - Déterminer les automorphismes de $\C(X)$ vérifiant $(*)$. #+end_exercice -# Perron-Frobenius +# +# ID:7268 #+begin_exercice [X MP 2023 # 309] Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$. - Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de $M$ est de module $\leq 1$. - - On note $\mu=\min_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$. + - On note $\mu=\min\limits_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$. - On suppose que $\mu\gt 0$ et que 1 est valeur propre de multiplicité 1 dans $\chi_M$. Montrer que $(M^p)_{p\geq 1}$ converge vers une matrice de rang $1$ dont toutes les lignes sont égales. - On se donne trois réels strictement positifs $p,q,r$ tels que $p+q+r=1$. On considère la matrice $B\in\M_n(\R)$ définie par $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Retirer $I_n$ et multiplier par $\frac{1}{1-\mu}$. + - Il n'y a qu'une seule valeur propre de module $1$, de vecteur propre $(1,1,\dots, 1)$. -# À relier + Direct via les espaces caractéristiques. + + On peut aussi écrire $\chi_M = (X-1) Q$, avec $(X-1) U + VQ = 1$, alors $(M-1)U(M)$ est la projection sur l'espace caractéristique. Ensuite jsp. + - +#+END_proof + + +# ID:7269 #+begin_exercice [X MP 2023 # 310] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $f\in\mc{L}(E)$ cyclique, $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$. Montrer que l'induit par $f$ sur $F$ est cyclique. #+end_exercice @@ -2943,6 +3450,7 @@ Si on admet que tout facteur irréductible de $\chi$ est un facteur de $\pi$, la #+END_proof +# ID:7270 #+begin_exercice [X MP 2023 # 311] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$ telles que $ab-ba=fv$. - Que peut-on dire de $\det(ab-ba)$? @@ -2960,6 +3468,7 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $a,b\in\mc{L}(E)$. On su #+END_proof +# ID:7271 #+begin_exercice [X MP 2023 # 312] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout vecteur $x\in E$, l'ensemble $\{f^n(x),\ n\in\N\}$ est fini. - Montrer que, si $f\in\mathrm{GL}(E)$, il existe $k\in\N^*$ tel que $f^k=\op{Id}$. @@ -2971,12 +3480,12 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel qu #+END_proof -# Classique +# ID:nil #+begin_exercice [X MP 2023 # 313] Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associée a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguées dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables. #+end_exercice -# À relier +# ID:7281 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 314] Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$. 1. Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable. @@ -2985,10 +3494,15 @@ Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$. 4. Montrer que le spectre de $p \circ q$ est inclus dans $[0,1]$. #+END_exercice #+BEGIN_proof + 1. Il est symétrique. + 2. $\Im p + \Ker q$ est l'orthogonal de $\Im q\cap \Ker p$. + 3. On prend un base de $\Im p$, que l'on complète avec du $\Ker q$ et $\Im q \cap \Ker p$, sur lesquels $p\circ q$ est nul. Alors la matrice de $p\circ q$ est triangulaire inférieure par blocs : $\begin{pmatrix}A & 0 \\ B & 0\end{pmatrix}$ et le bloc $A$ est diagonalisable, d'après la première question. + On peut aussi les voir comme limites de produit $AB$ avec $A$ def pos, auquel cas $AB \sim \sqrt{A} B \sqrt{A}$, qui est diagonalisable. + 4. C'est trivial. #+END_proof -# Classique, quadrature +# ID:7272 #+begin_exercice [X MP 2023 # 315] Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynômes. - Déterminer le degré de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. @@ -2997,6 +3511,7 @@ Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de der $\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$. #+end_exercice +# ID:7273 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 316] Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $\lN\cdot \rN$ désigne la norme euclidienne canonique. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes. + $\alpha=2$. @@ -3004,14 +3519,16 @@ Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $ $$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-b_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^\alpha$$ #+END_exercice #+BEGIN_proof -Pour $\a = 2$, on veut montrer que si on prend $3n$ points dans la sphère unité, il existe un point tel que la somme des distances au carré soient égales. +Pour $\a = 2$, on veut $\langle p, \sum a_i\rangle = \langle p, \sum b_i\rangle = \langle p, \sum c_i\rangle$, c'est-à-dire $p$ orthogonal à la fois à $\sum a_i - b_i$ et à $\sum c_i - b_i$. -Pour $n = 1$ : c'est l'intersection de la droite passant par l'origine et le centre du cercle circonscrit au triangle. +Réciproquement, on l'applique avec $n$ fois le même point simple : $n \lN (1, 0, 0) - p\rN^\a + \lN (0,1,0) - p\rN^{\a} = n \lN (0, 1, 0) - p\rN + \lN (0, 1, 0)\rN^{\a} = n\lN (0, 0, 1) - p\rN + \lN (1, 0, 0)\rN^\a$ par exemple. Nécessairement, le point $p_n \ra (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$, et on fait un DL à l'ordre $2$ ? -!! -Pour $n = 2$, On peut $P_a(x) + P_a'(y) = P_b(x) + P_b'(y) = \dots$ +Plutôt : $n$ fois un point, $n$ fois un autre et $n/2$ fois l'un ou l'autre, ou leurs opposés ? Chiant. + +Si on écrit $p_n = (1/\sqrt{3} + x_n, \frac{1}{\sqrt{3}} + y_n, \frac{1}{\sqrt{3}} + z_n)$, à l'ordre $1$, être sur la sphère donne $x_n + y_n + z_n = 0$, et les distances donnent $\dots$. #+END_proof +# ID:7274 #+begin_exercice [X MP 2023 # 317] Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ vérifiant $B^2=A$? #+end_exercice @@ -3019,8 +3536,9 @@ Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ Par l'absurde, si toute matrice a une racine carrée rationnelle. S'il en existe une, son opposé marche aussi. On a $\cos \theta = \sqrt{\frac{1 + \cos (2\theta)}{2}}$ : on passe de $\frac{p}{q}$ à $\sqrt{\frac{q+p}{2q}}$, donc le dénominateur diminue, donc fini par atteindre $1$ ou $2$, ce qui n'est pas possible. #+END_proof +# ID:7275 #+begin_exercice [X MP 2023 # 318] -Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi:\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un extremum. +Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi\colon\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un extremum. #+end_exercice #+BEGIN_proof Si $\la$ est valeur propre, $\Phi(t v_{\la}) = \la^2 (t^2 - t^4)$, donc pas de minimum. @@ -3033,6 +3551,7 @@ Si une est négative l'autre positive, vérifier avec le cas $n=2$ qu'on peut pr #+END_proof +# ID:7276 #+begin_exercice [X MP 2023 # 319] On considère dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$. - Soit $K\in\M_{2n}(\R)$ tel que $K^2=-I$. Montrer que $K^TJ\in\mc{S}_{2n}(\R)$ si et seulement si $J=K^TJK$. @@ -3046,6 +3565,7 @@ On considère dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\e #+END_proof +# ID:7277 #+begin_exercice [X MP 2023 # 320] Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. #+end_exercice @@ -3053,18 +3573,21 @@ Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B Simple ? Écrire $A = PD P^T$ et $B = P P^T$, si $\det B\gt 0$. #+END_proof -# À relier à un de l'année précédente +# ID:7280 #+begin_exercice [X MP 2023 # 321] Golden-Thompson inequality Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$. - Montrer que $\op{tr}\left(e^Ae^B\right)\gt 0$. - - Montrer que $\op{tr}\left(e^{A+B}\right)\leq\op{tr}\left(e^Ae^ {B}\right)$. + - Montrer que $\op{tr}\left(e^{A+B}\right)\leq\op{tr}\left(e^Ae^{B}\right)$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - On se ramène à $A$ diagonale, et $e^B$ est définie positive, donc de coefficients diagonaux $\gt 0$. + + ou directement, $\op{tr}\big(e^A e^B\big) = \op{tr}\big(e^{A/2} e^B e^{A/2}\big)$, et la matrice intérieure est définie positive. - Cf https://terrytao.wordpress.com/2010/07/15/the-golden-thompson-inequality/, et un énoncé de l'année précédente. Super dur, et utilise au finale que $e^{A+B} = \lim (e^{A/p} e^{B/p})^p$. #+END_proof +# ID:7278 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 322] Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels. 1. Montrer que la matrice $A=\left(t_i t_j\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$. @@ -3074,21 +3597,23 @@ Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels. #+BEGIN_proof 1. $X^T AX = (\sum t_i x_i)^2$ 2. $\int \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2$ - 3. Il s'agit de montrer que $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$, c'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l'intégrale est sur $[0,1]$. + 3. Il s'agit de montrer que $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$, c'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l'intégrale est sur $[0,1]$. C'est Cauchy-Schwarz. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2023 # 323] +# ID:7279 +#+begin_exercice [X MP 2023 # 323] Inégalité de Hilbert On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note $\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$. - - Montrer que $\lN \cdot\rN$ définit une norme sur $\M_n(\R)$. - - Montrer que $\lN A\rN=\sup_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$. - - On prend $A=\Big(\dfrac{1}{i+j+1}\Big)_{0\leq i,j\leq n}$ dans $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X=(x_0\cdots x_n)^T$ et $Y=(y_0\cdots y_n)^T$ dans $\R^{n+1}$, donner une interpretation de $\left\langle AX,Y\right\rangle$ a l'aide d'une intégrale faisant intervenir $P:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et $Q:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^ny_ke^{ikt}$. - - En déduire que $\|\!|\!|A|\!|\leq 2\pi$. - - Montrer que l'on a même $\|\!|A|\!|\!|\leq\pi$. + 1. Montrer que $\lN \cdot\rN$ définit une norme sur $\M_n(\R)$. + 2. Montrer que $\lN A\rN=\sup\limits_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$. + 3. On prend $A=\Big(\dfrac{1}{i+j+1}\Big)_{0\leq i,j\leq n}$ dans $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X,Y$ dans $\R^{n+1}$, en interprétant $\langle AX,Y\rangle$ comme une intégrale , montrer que + $$\left\langle AX,Y\right\rangle^2 \leq 4\sum_{\substack{i,j\\ i+j \text{ pair}}} \frac{x_i x_j}{i+j+1} \sum_{\substack{i,j\\ i+j \text{ pair}}} \frac{y_i y_j}{i+j+1}.$$ + 4. À l'aide d'une intégrale faisant intervenir $P\colon t\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et $Q\colon t\mapsto\sum_{k=0}^n y_ke^{ikt}$, en déduire que $\lN |A|\rN\leq \pi$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - - - - - - + 1. + 2. + 3. C'est $\int_0^1 P(t)Q(t)\dt$, et Cauchy-Schwarz donne ce qu'on veut, en majorant $\int_0^1 P(t)^2 \leq \int_{-1}^1 P(t)^2$ + 4. C'est $\int_{-1}^1 P(t)^2 = \int_0^{\pi} P(e^{it})^2 e^{it}\dt$, que l'on majore par l'intégrale du module, qui fait $\sum |x_i|^2$. #+END_proof @@ -3227,6 +3752,9 @@ Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu'il existe un $n \in \ Dérivée discrète. #+END_proof + + +#+call: get_exo(6138) #+begin_exercice [X MP 2023 # 333] Pour $n\geq 2$, on note $\l_n=\min\left\{k\in\db{1,n} \mid \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$. - Montrer que $\l_n=o(n)$. @@ -3248,16 +3776,28 @@ Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives Cf une année précédente. #+END_proof +# ID:7134 #+begin_exercice [X MP 2023 # 335] On considère la suite réelle définie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un réel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$. #+end_exercice #+BEGIN_proof -!! +Résultats intermédiaires pertinents, peut-être pas tous nécessaires. + + On montre que $x_n \ra +\i$. + + On montre que $n = o_{+\i}(x_n)$ + + De même $n^2 = o_{+\i}(x_n)$. + + Chercher alors à montrer que $u_n = \big(\frac{\ln x_n}{2^n}\big)$ converge (vers une constante $C$), + + Écrire $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. L'expression se prête naturellement au lien suite <-> série. + + Poser $\ln x_n = C 2^n + y_n$, écrire la relation sur $y_n$. Reste à montrer que $y_n = 2\ln n + o_{+\i}(1)$. #+END_proof +# ID:7140 #+begin_exercice [X MP 2023 # 336] - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ la suite réelle définie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un équivalent de $a_n$. +Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ la suite réelle définie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,\,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un équivalent de $a_n$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On a $(a_n)$ croissante, puis $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ra 2$, donc $\ln (a_{n+1}) - \ln (a_n) = \ln 2 + \ln \big(1 + \frac{a_{n-1}}{2n^2 a_n}\big)$, donc $\ln (a_n) = n \ln 2 + C + o(1)$. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 337] Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la série de terme général $a_n^2$ ? @@ -3302,6 +3842,7 @@ On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$. - Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un développement asymptotique à trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$. #+end_exercice +# ID:7128 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 343] Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et $\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature. #+END_exercice @@ -3311,17 +3852,20 @@ $$\int_0^{+\i} \frac{1}{f(t)}\dt = \int_0^{+\i} \frac{1}{u f'(f^{-1}(u))} \du,$$ puis IPP. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2023 # 344] +# ID:7208 +#+begin_exercice Inégalité de Hilbert [X MP 2023 # 344] - Soit $m\in\N^*$. Montrer que $\sum\limits_{n=1}^{+\i} \frac{\sqrt{m}}{(m+n)\sqrt{n}}\leq \pi$. Ind. : Dans $\R^2$, considérer les points $x_n= (\sqrt{m}, \sqrt{n})$ et l'intersection $r_n$ du cercle $C(0,\sqrt{m})$ avec le segment $[0,x_n]$. - - Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carré sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$. + - Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carré sommable et à termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$. + - s Montrer que la constante $\pi$ est optimale. #+end_exercice #+BEGIN_proof - Se fait par comparaison intégrale. - Méthode géométrique : $\frac{1}{m+n}$ est l'inverse de la longueur de l'hypothénuse. IDK - - !! À Relier, Carlemann. + Méthode géométrique : on regarde les angles à l'origine faits par les segments $[0, x_n]$. On obtient $\sum_{n=0}^{+\i}\b_n = \frac{\pi}{2}$, et $\b_n = \arctan \big(\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{m}}\big) - \arctan \big(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}\big)$, et on majore la dérivée par $\frac{1}{1 + \big(\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{m}}\big)^2}$. On obtient le résultat (noter $n = 0$ contre $n = 1$). + - On applique Cauchy-Schwarz (à la somme double), avec $\frac{a_n b_m}{n+m} = \frac{a_m}{\sqrt{n+m}}\big(\frac{m}{n}\big)^{1/4} \frac{b_n}{\sqrt{n+m}}\big(\frac{n}{m}\big)^{1/4}$ . + - Prendre $a_n =b_n = n^{-1/2 - \eps}$. #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 345] @@ -3352,6 +3896,8 @@ Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $|f'|+|f+1 ?? On obtient $f\leq 0$, $f= 0\rightarrow f' = 0$, la fonction est coincée entre $-2$ et $0$. On peut juste poser $g = f+1$, auquel cas $|g| + |g'|\leq 1$. La fonction $g$ peut osciller tranquillement… + +Remplacer par $|f'| + |f+1| = 1$ ? #+END_proof @@ -3382,9 +3928,9 @@ Calculer $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt$. #+begin_exercice [X MP 2023 # 352] Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivée $n$-ième de $(X^2-1)^n$. - - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $:\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $\int_{-1}^1PL_n=0$. + - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $\colon\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $\int_{-1}^1PL_n=0$. - Montrer que $L_n$ possède $n$ racines distinctes $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n$ dans $]-1,1[$. - - Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que $:\forall P\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$. + - Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que $\colon\forall P\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 353] @@ -3408,13 +3954,16 @@ Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}^3$. #+begin_exercice [X MP 2023 # 354] -- Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$. + - Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$. - Déterminer la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 355] Justifier l'existence et calculer $\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Facile +#+END_proof #+BEGIN_exercice [X 2023 # 356] Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$. @@ -3557,6 +4106,7 @@ Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$. #+END_proof +# ID:7092 #+begin_exercice [X MP 2023 # 369] Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\deg F}$. - Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrer que la famille $\big(|F|^{-s}\big)$, indexée par les polynômes $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme, qu'on notera $z(s)$. @@ -3567,12 +4117,13 @@ Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\de - Sommabilité est simple, la somme est $$z(s) = \sum_{d} \frac{p^d}{p^{ds}} = \sum_{d} \frac{1}{p^{d (s-1)}} = \frac{1}{1 - 1/p^{s-1}} = \frac{p^{s-1}}{p^{s-1} - 1}.$$ - $z(2s)$ correspond à la somme sur tous les carrés. Par multiplicativité, on a le résultat. - - !! todo + - Développer le résultat $\frac{z(s)}{z(2s)} = \frac{p^{s-1}}{p^{s-1} - 1} \frac{p^{2s - 1}-1}{p^{2s - 1}}$ $=\frac{1}{1 - \frac{1}{p^{s-1}}} \big(1 - \frac{1}{p^{2s-1}}\big)$ $= \big(1 - \frac{1}{p^{2s-1}}\big) \sum_{d} \frac{p^d}{p^{ds}}$ + $= \sum_d \frac{p^d - p p^{d-2}}{p^{ds}}$, donc la proportion serait $1 - \frac{1}{p}$, sous réserve d'unicité du développement $\sum \frac{u_d}{p^{ds}}$, qui revient à poser $x = \frac{1}{p^s}$. #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 370] -Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$. +Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g\colon x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$. - Donner un équivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$. - On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'ecart avec l'équivalent trouve. - Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$? @@ -3613,7 +4164,7 @@ Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1} #+begin_exercice [X MP 2023 # 375] - Soient $K$ un segment et $f:K\to K$ une fonction continue croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe. - - On considère l'équation différentielle non linéaire $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ vérifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ réels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possède une solution $2\pi$-périoddique. + - On considère l'équation différentielle non linéaire $(E)\colon\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ vérifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ réels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possède une solution $2\pi$-périoddique. #+end_exercice # ID:6896 @@ -3649,7 +4200,7 @@ Soient $v\colon \R\to\R$ une fonction continue à support compact et $\omega\in\ #+begin_exercice [X MP 2023 # 378] Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. - Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$. - - Soient $q:\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle $x$ de $y''+q(t)\,y=0$. + - Soient $q\colon\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle $x$ de $y''+q(t)\,y=0$. - Montrer que les zeros de $x$ fortner une suite strictement croissante $(t_n)_{n\in\N}$. - Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tout $n\in\N$. #+end_exercice @@ -3695,14 +4246,14 @@ Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimêtre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes - Calculer $P_n$ et étudier la convergence de la suite $(P_n)_{n\geq 2}$. - Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$. - Estimer l'erreur $2\pi-P_n$. - - Proposer une methode d'approximation de $\pi$ par exces. + - Proposer une méthode d'approximation de $\pi$ par exces. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 382] On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l'unique point tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L'objectif est de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral. - On note $f,g,h$ les rotations de centres respectifs $A,B,C$ et d'angles de mesures respectives $\frac{2a}{3}$, $\frac{2b}{3}$ et $\frac{2c}{3}$. Montrer que $P$ est l'unique point fixe de $g\circ h$. - Montrer que $(f^3\circ g^3\circ h^3)(z)=z$ pour tout nombre complexe $z$. - - On note $f:z\mapsto a_1z+b_1$, $g:z\mapsto a_2z+b_2$ et $h:z\mapsto a_3z+b_3$. Experimer $P,Q,R$ en fonction des $a_i$ et des $b_i$. + - On note $f:z\mapsto a_1z+b_1$, $g:z\mapsto a_2z+b_2$ et $h:z\mapsto a_3z+b_3$. Exprimer $P,Q,R$ en fonction des $a_i$ et des $b_i$. - Conclure. #+end_exercice @@ -3789,6 +4340,7 @@ Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des v #+END_proof +# ID:6712 #+begin_exercice [X MP 2023 # 392] Soient $d\in\N^*$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,d}$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. - Soient $Y$ une variable aléatoire a valeurs dans $\Z$, $r\in\db{0,d-1}$, $\omega=e^{2i\pi/n}$. @@ -4013,7 +4565,7 @@ On pose$M=\left(\begin{array}{cccc}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\e #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 422] -On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ indépendantes a valeurs dans $\db{0,n}$ qui suivent la meme loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $\db{0,n}$. +On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ indépendantes a valeurs dans $\db{0,n}$ qui suivent la même loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $\db{0,n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 423] @@ -4030,7 +4582,7 @@ Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $m\in\N^*$ et $\eps_1,\ldots,\eps_m #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 435] -Soit $A\in\M_n(\C)$ une matrice qui n'est pas une homothetie. On suppose que $M$ est une matrice qui commute avec $PAP^{-1}$ pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $M$ est une homothetie. Meme question pour $A$ et $M$ matrices réelles. +Soit $A\in\M_n(\C)$ une matrice qui n'est pas une homothetie. On suppose que $M$ est une matrice qui commute avec $PAP^{-1}$ pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $M$ est une homothetie. même question pour $A$ et $M$ matrices réelles. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 436] @@ -4175,7 +4727,7 @@ i) $\forall A\in\M_n(\R),\ f\big{(}AA^T\big{)}\geq 0$; ii) $\exists B\in\mc{S}_n^+(\R),\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)= \mathrm{Tr}(AB)$; -iii) $\exists m\in\N,\ \exists(X_i)_{i\in\db{1\,:\,m}}\in \M_{n,1}(\R)^m,\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)=\sum_{i=1}^m \mathrm{Tr}\,\big{(}X_i^TAX_i\big{)}$. +iii) $\exists m\in\N,\ \exists(X_i)_{i\in\db{1\,\colon\,m}}\in \M_{n,1}(\R)^m,\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)=\sum_{i=1}^m \mathrm{Tr}\,\big{(}X_i^TAX_i\big{)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 460] @@ -4195,7 +4747,7 @@ On pose : $E=\M_n(\R)$ et $F=\big{\{}P\in E,\ P=P^T=P^2\big{\}}$. Soit $(P,Q)\in #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 463] -Soit $A:\R\to\M_n(\C)$ continue telle que $A(0)=A(1)=I_n$ et $A(s+t)=A(s)A(t)$ pour tous $s,t$. +Soit $A\colon\R\to\M_n(\C)$ continue telle que $A(0)=A(1)=I_n$ et $A(s+t)=A(s)A(t)$ pour tous $s,t$. - Donner des exemples non triviaux de telles applications. - Montrer qu'il existe $P$ inversible et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\Z$ tels que : @@ -4216,7 +4768,7 @@ Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie inclus dans $C^1(\R,\R)$. On sup #+begin_exercice [X PC 2023 # 466] Soit $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie. Soient $p,q\in\mc{L}(E)$ tels que $p^2=p$ et $q^2=q$. On suppose que $\forall x\neq 0$, $\|(p-q)(x)\|\lt \|x\|$. - - Montrer que $p$ et $q$ ont le meme rang. + - Montrer que $p$ et $q$ ont le même rang. - Montrer que $u=pq+(\mathrm{id}-p)(\mathrm{id}-q)$ est inversible et que $p=uqu^{-1}$. #+end_exercice @@ -4296,7 +4848,7 @@ Que peut-on en deduire sur la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 481] -Soient $f$ et $g:\R\to\R$ continues et croissantes. Soit $\lambda\gt 0$. Montrer qu'il existe un unique couple $(u,v)\in\R^2$ tel que $\lambda u+f(u-v)=\lambda v+g(v-u)=0$. +Soient $f$ et $g\colon\R\to\R$ continues et croissantes. Soit $\lambda\gt 0$. Montrer qu'il existe un unique couple $(u,v)\in\R^2$ tel que $\lambda u+f(u-v)=\lambda v+g(v-u)=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 482] @@ -4343,7 +4895,7 @@ On pose $m=\inf\limits_{[a,b]}\dfrac{f}{g}$ et $M=\sup\limits_{[a,b]}\dfrac{f}{g #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 490] -Soient $ K:\left[0,1\right]^2\to\R$ et $f,g:\left[0,1\right]\to\R$ continues telles que : +Soient $ K\colon\left[0,1\right]^2\to\R$ et $f,g\colon\left[0,1\right]\to\R$ continues telles que : $\forall x\in\left[0,1\right]$, $ f\left(x\right)=\int_0^1K(x,z)g(z)\,dz$ et $ g\left(x\right)=\int_0^1K(x,z)f(z)\,dz$. Montrer que $ f=g$. #+end_exercice @@ -4453,7 +5005,7 @@ On pose, pour $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $\zeta(k)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^k}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 507] -- Soit $\lambda\in\R$. Déterminer s'il existe $y:\R\to\R$ développable en série entière telle que $xy^{''}+(1-x)y'-\lambda y=0$. +- Soit $\lambda\in\R$. Déterminer s'il existe $y\colon\R\to\R$ développable en série entière telle que $xy^{''}+(1-x)y'-\lambda y=0$. - On suppose $\lambda=2$. Expliciter les solutions sur $\R^{+*}$ et $\R^{-*}$ (on admet que sur chacun des deux intervalles l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2). - Déterminer les solutions sur $\R$. #+end_exercice @@ -4465,7 +5017,7 @@ On note $W_n(f_1,\ldots,f_n)=\begin{vmatrix}f_1&f_2&\cdots&f_n\\ f_1'&f_2'&\cdot #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 509] -Soient $\lambda\gt 0$ et $x,y:\R^+\to\R$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ telles que $x(0)\gt 0$, $y(0)\gt 0$, $x'=-xy$ et $y'=xy-\lambda y$. +Soient $\lambda\gt 0$ et $x,y\colon\R^+\to\R$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ telles que $x(0)\gt 0$, $y(0)\gt 0$, $x'=-xy$ et $y'=xy-\lambda y$. - Montrer que $x$ et $y$ admettent des limites en $+\i$. Ces limites sont-elles nulles? - Montrer qu'il existe $K\gt 0$ et $\mu\gt 0$ tels que $y(t)\sim Ke^{-\mu t}$ quand $t\to+\i$. #+end_exercice @@ -4521,6 +5073,7 @@ Soient $p$ un nombre premier et $C_p$ l'ensemble des $z\in\C$ tels qu'il existe - Déterminer les sous-groupes de $C_p$. #+end_exercice +# ID:5737 #+begin_exercice [Mines 2023 # 519] Déterminer tous les couples $(m,n)\in\N^2$ vérifiant : $3^m=8+n^2$. #+end_exercice @@ -4542,7 +5095,7 @@ Soit $A=\{n\in\N,\ 2^n+1\equiv 0\ [n]\}$. # ID:6975 #+begin_exercice [Mines 2023 # 522] -- Soit $n\gt 6$ un entier. Montrer qu'il existe un couple $(a,b)\in(\N\setminus\{0,1\})^2$ tel que $a+b=n$ et $a\wedge b=1$. + - Soit $n\gt 6$ un entier. Montrer qu'il existe un couple $(a,b)\in(\N\setminus\{0,1\})^2$ tel que $a+b=n$ et $a\wedge b=1$. - Soit $(p_n)$ la suite croissante des nombres premiers. Montrer que, pour tout $k\geq 3$, $p_1\cdots p_k\geq p_{k+1}+p_{k+2}$. Ind. Utiliser la premiere question avec $n=p_1\cdots p_k$. #+end_exercice @@ -4580,8 +5133,8 @@ Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers #+begin_exercice [Mines 2023 # 528] Soit $p$ un nombre premier impair. - - D enombrer les carrés de $\mathbb{F}_p$. - - Montrer que $-1$ est un carré de $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p\equiv 1$[4]. + - Dénombrer les carrés de $\mathbb{F}_p$. + - Montrer que $-1$ est un carré de $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p\equiv 1 [4]$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 529] @@ -4606,7 +5159,7 @@ $R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ ; $R(I)+R(J)\subset R(I+J)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 532] -Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de meme module tels que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $\left|\sum_{k=1}^nz_k\right|=\left|\sum_{k=1}^nz_k-z_i\right|$. Calculer $\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)$. +Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de même module tels que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $\left|\sum_{k=1}^nz_k\right|=\left|\sum_{k=1}^nz_k-z_i\right|$. Calculer $\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 533] @@ -4738,7 +5291,7 @@ Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que $h\in\m #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 555] -Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semblables a $A$ appartiennent au commutant de $M$. Déterminer $M$. Meme question dans $\M_n(\C)$. +Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semblables a $A$ appartiennent au commutant de $M$. Déterminer $M$. même question dans $\M_n(\C)$. #+end_exercice #+BEGIN_proof Si $A$ admet un espace caractéristique non trivial, $M$ stabilise tous les espaces qui ont la même dimension, ce qui implique, par intersections judicieuses, que $M$ stabilise toutes les droites. @@ -4757,7 +5310,7 @@ Il suffit de calculer les trois premières valeurs, $N_0,N_1,N_2$, puis ils vér #+begin_exercice [Mines 2023 # 557] -${}^{\bigstar}$ Soit $n\in\N^*$. Calculer $\det((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n})$. +Soit $n\in\N^*$. Calculer $\det((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n})$. Ind. On rappelle que, pour $N\in\N^*$, $N=\sum_{d|N}\phi(d)$ ou $\phi$ est l'indicatrice d'Euler. #+end_exercice @@ -4825,12 +5378,11 @@ Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente. - Le résultat est-il toujours vrai si $AM\neq MA$? #+end_exercice +# ID:7126 #+begin_exercice [Mines 2023 # 569] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(u,v)\in\mc{L}(E)^2$. - Montrer que $|\op{rg}(u)-\op{rg}(v)|\leq\op{rg}(u+v) \leq\op{rg}(u)+\op{rg}(v)$. - - Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $G$ et $H$ deux supplémentaires de $F$. On note $p$ (resp. $q$) la projection sur $F$ (sur $H$) parallélément a $G$ (a $F$). - -Montrer que $\op{rg}(p+q)=\op{rg}p+\op{rg}q$. + - Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $G$ et $H$ deux supplémentaires de $F$. On note $p$ (resp. $q$) la projection sur $F$ (sur $H$) parallélément à $G$ (à $F$). Montrer que $\op{rg}(p+q)=\op{rg}p+\op{rg}q$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 570] @@ -4868,7 +5420,7 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$. - Quelles sont les parties denses de $\mc{L}(E)$ si $E$ est de dimension finie? - Dans cette question, on suppose que $E$ n'est pas de dimension finie. - Montrer que $\{f\in\mc{L}(E),\ \mathrm{rg}\,f\lt +\i\}$ est dense dans $\mc{L}(E)$. - - Meme question avec $\{f\in\mc{L}(E);\ \mathrm{rg}\,f$ est fini et pair$\}$. + - même question avec $\{f\in\mc{L}(E);\ \mathrm{rg}\,f$ est fini et pair$\}$. - Si $S$ est dense dans $\mc{L}(E)$, déterminer $\{g\in\mc{L}(E)\ ;\forall f\in S,\ fg=gf\}$. #+end_exercice @@ -4953,25 +5505,30 @@ Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 591] - +Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$. + - Déterminer un polynôme de degré $2$ annulateur de $f$. + - Étudier la diagonalisabilité de $f$. #+end_exercice - Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$. - Déterminer un polynôme de degré $2$ annulateur de $f$. - Étudier la diagonalisabilité de $f$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 592] - +Soient $(M,N)\in\M_{2n+1}(\C)$. On suppose que $MN=0$ et que $M+M^T$ est inversible. + - Montrer que $M$ et $N$ ont un vecteur propre commun. + - Montrer que $N+N^T$ n'est pas inversible. #+end_exercice - Soient $(M,N)\in\M_{2n+1}(\C)$. On suppose que $MN=0$ et que $M+M^T$ est inversible. - Montrer que $M$ et $N$ ont un vecteur propre commun. - Montrer que $N+N^T$ n'est pas inversible. + #+begin_exercice [Mines 2023 # 593] - +Soient $P\in\M_n(\R)$ une matrice de projection et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto PM-MP$. + - L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? + - Calculer la trace de $f$. #+end_exercice - Soient $P\in\M_n(\R)$ une matrice de projection et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto PM-MP$. - L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? - Calculer la trace de $f$. + #+begin_exercice [Mines 2023 # 594] - + Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$ diagonalisables. Soit $\Delta$ l'endomorphisme de $\M_n(\mathbb{K})$ défini par $\forall M\in\M_n(\mathbb{K})$, $\Delta(M)=AM+MB$. Montrer que $\Delta$ est diagonalisable et preciser ses valeurs propres. #+end_exercice - Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$ diagonalisables. Soit $\Delta$ l'endomorphisme de $\M_n(\mathbb{K})$ défini par $\forall M\in\M_n(\mathbb{K})$, $\Delta(M)=AM+MB$. Montrer que $\Delta$ est diagonalisable et preciser ses valeurs propres. + #+begin_exercice [Mines 2023 # 595] Soit $\sigma$ une permutation de $\db{1,n}$. Pour $M\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $p(M)=M'$ avec : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,m'_{i,j}=m_{i,j}$ si $i=\sigma(j)$ et $m'_{i,j}=0$ sinon. - Montrer que $p$ est un projecteur. Déterminer son noyau et son image. @@ -4980,14 +5537,21 @@ Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle. On définit deux applications $\phi$ et $ $\forall M\in\M_n(\mathbb{K}),\phi(M)=\sum_{k=1}^nm_{\sigma(k),k}$ et $u_A(M)=\phi(M)A+\phi(A)M$. - Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $\phi(A)\neq 0$. + - L'endomorphisme $u_A$ peut-il être un projecteur? #+end_exercice - - L'endomorphisme $u_A$ peut-il être un projecteur? #+begin_exercice [Mines 2023 # 596] Soient $E$ un $\R$-espace de dimension $n$, $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que $f\circ g-g\circ f=f$. + - s Calculer $f\circ g^m - g^m\circ f$. - Montrer que $f$ est nilpotent. - On suppose que $g$ est diagonalisable et que $\dim(\op{Ker}f)=1$. Déterminer $g$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Via la trace des puissances $k$… + - +#+END_proof + #+begin_exercice [Mines 2023 # 597] Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$. @@ -5114,11 +5678,24 @@ Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre Soit $A\in\M_n(\C)$. On pose $M_p = \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1} A^k$. Donner une CNS pour que la suite $(M_p)_{p\geq 1}$ soit bornée. #+END_exercice +# ID:7102 #+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 618] Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C(A) = \{M\mid AM = MA\}$. 1. Montrer que $C(A)$ est de dimension $\geq n$. - 2. Montrer que $C(A)$ est de dimension $n$ si et seulement si $\chi_A = \pi_A$. + 2. s Montrer que $C(A) = \K[A]$ si et seulement si $\chi_A = \pi_A$. + 3. s Montrer que $C(A)$ est de dimension $n$ si et seulement si $\chi_A = \pi_A$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Considérer $\phi\colon \mc T_n \ra \mc T_n \quad B\mapsto AB - BA$, après avoir trigonalisé $A$. + 2. Si $\chi_A = \pi_A$, alors on est cyclique : il existe un $x$, et l'application $\phi\colon \mc C(A)\ra E \quad B\mapsto Bx$ est injective. + + Si $\mc C(A)$ est de dimension $n$. Par réduction caractéristique, on peut supposer que $A$ est nilpotente. On peut faire du Jordan (), puis on explicite plus de $n$ matrices qui commutent… + + 3. Si $\chi_A = \pi_A$, alors on est cyclique : il existe un $x$, et l'application $\phi\colon \mc C(A)\ra E \quad B\mapsto Bx$ est injective. + + Si $C(A) = \K[A]$, comme il est de dimension $\geq n$, c'est clair. +#+END_proof + #+BEGIN_exercice [Mines 2023 # 619] Soit $M\in\M_n(\R)$ possédant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que $C(M) = \vect I_n,\dots, M^{n-1}$. @@ -5214,7 +5791,7 @@ $\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f( #+begin_exercice [Mines 2023 # 634] - Enoncer le théorème de reduction pour une matrice de $\text{SO}_3(\R)$. - - Montrer que deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ qui ont meme axe commutent. + - Montrer que deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ qui ont même axe commutent. - Montrer que deux demi-tours de $\text{SO}_3(\R)$ d'axes orthogonaux commutent. - Montrer que si deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ commutent, alors on est dans l'un des deux cas precedents. #+end_exercice @@ -5236,9 +5813,15 @@ $\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$. - Calculer la distance de $X^3$ a $\R_2[X]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines 2023 # 637] -Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left(P(x)+x^n\right)^ {2}\,dx\geq(n!)^2$. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 637] :todo: +Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left(P(x)+x^n\right)^{2}\,dx\geq(n!)^2$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: +!! + + $\frac{(-1)^n}{n!} e^x \big(e^{-x} x^n\big)^{(n)}$ est une BON. + + Ou, comme quotient de deux déterminants de Gram… +#+END_proof + #+begin_exercice [Mines 2023 # 638] Soit $E=\R_3[X]$. @@ -5289,9 +5872,23 @@ Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$, $p,q\in\mc{L}(E)$ des projecteurs orthogonaux. - Montrer que le spectre de $pq$ est inclus dans $[0,1]$. #+end_exercice +# ID:7099 #+begin_exercice [Mines 2023 # 643] Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$. Montrer que $q\circ p$ est un projecteur si et seulement si $p$ et $q$ commutent. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On montre que $p$ et $q$ commutent en montrant que l'espace se décompose comme $(\Ker p\cap \Ker q)\oplus (\Ker p \cap \Im q) \oplus \dots$. + +Si $q\circ p$ est un projecteur, on a $\lN q\cric p (x)\rN = \lN x\rN$ donc $x\in \Im p$ et $x\in \Im q$. Par ailleurs $\Im (q\circ p) = q(\Im p)$, on en déduit que $\Im p = \big(\Im p\cap \Im q\big) \oplus \big(\Ker q \cap \Im p\big)$. + +(Autre argument : on a $\Ker (q\circ p) = \Ker p + (\Im p \cap \Ker q)$, et comme c'est supplémentaire à $\Im p \cap \Im q$, on obtient $\Im p = (\Im p \cap \Ker q) + (\Im p \cap \Im q)$). + +Par ailleurs, en prenant la transposée, $p\circ q$ est aussi un projecteur, donc $\Im q = (\Im q \cap \Ker p) + (\Im p \cap \Im q)$. + +On a alors une description de $\Im p + \Im q$, comme somme de trois espaces, et son orthogonal est $\Ker p\cap \Ker q$. Donc l'espace est la somme des quatre, d'où la commutativité. +#+END_proof + + #+begin_exercice [Mines 2023 # 644] On munit $E=\R^n$ munit du produit scalaire usuel. Soit $A\in\M_n(\R)$. @@ -5323,8 +5920,8 @@ Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice diagonale #+begin_exercice [Mines 2023 # 650] Soient $A,M,N\in{\cal M}_n(\R)$. - Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont diagonalisables. - - Montrer que $MN$ et $NM$ ont les memes valeurs propres et que, pour toute valeur propre non nulle, les sous-espaces propres associes sont de meme dimension. - - Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont les memes valeurs propres avec les memes multiplicités. + - Montrer que $MN$ et $NM$ ont les mêmes valeurs propres et que, pour toute valeur propre non nulle, les sous-espaces propres associes sont de même dimension. + - Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont les mêmes valeurs propres avec les mêmes multiplicités. - Montrer qu'il existe $U\in{\cal O}_n(\R)$ telle que : $A^TA=UAA^TU^{-1}$. #+end_exercice @@ -5371,7 +5968,7 @@ Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E) #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 660] -Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$prises avec multiplicité. Montrer que $A$ est diagonale. +Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$ prises avec multiplicité. Montrer que $A$ est diagonale. #+end_exercice # ID:6899 @@ -5390,7 +5987,7 @@ Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont #+begin_exercice [Mines 2023 # 662] -Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $(a,b)\in\R^2$ tels que $:\forall X\in\R^n,a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b \|X\|^2$. Soit $P\in\R[X]$ tel que $:\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. Montrer que $P(A)\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. +Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $(a,b)\in\R^2$ tels que $\colon\forall X\in\R^n,a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b \|X\|^2$. Soit $P\in\R[X]$ tel que $\colon\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. Montrer que $P(A)\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 663] @@ -5671,7 +6268,8 @@ Soit $(u_n)$ une suite réelle définie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, #+begin_exercice [Mines 2023 # 705] Pour $n\geq 2$, on considère l'équation $\sin(x)=\frac{x}{n}$. - Montrer que cette équation admet une unique solution sur $]0,\pi[$ qu'on notera $x_n$. - - Montrer que la suite $(x_n)_{n\geq 2}$ converge. Quelle est sa limite? - Donner un développement asymptotique de $x_n$ a la precision $o\left(\frac{1}{n^3}\right).$ + - Montrer que la suite $(x_n)_{n\geq 2}$ converge. Quelle est sa limite? + - Donner un développement asymptotique de $x_n$ a la precision $o\left(\frac{1}{n^3}\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 706] @@ -5687,7 +6285,7 @@ Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}= #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 708] -Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup_{t\in[0,1]}|P(t)|.$ Pour tout $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf_{P\in E_n}N(P)$. +Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup_{t\in[0,1]}|P(t)|$. Pour tout $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf_{P\in E_n}N(P)$. - Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$. - Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ est decroissante et de limite nulle. #+end_exercice @@ -5697,7 +6295,7 @@ Limite et développement asymptotique en $o(1/n)$ de $u_n=\prod_{k=1}^n\cos\left #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 710] -Soit $(u_n)$ une suite réelle vérifiant : $\forall(m,n)\in\N^2,u_{n+m}\leq u_m+u_n.$ Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big{\{}\frac{u_n} {n}\text{ pour }n\in\N^*\Big{\}}$. +Soit $(u_n)$ une suite réelle vérifiant : $\forall(m,n)\in\N^2,u_{n+m}\leq u_m+u_n$. Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big\{\frac{u_n} {n},\,n\in\N^*\Big\}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 711] @@ -5789,7 +6387,7 @@ On dit que la série de terme général $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, p #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 728] -- Soit $\sum u_n$ une série a termes positifs. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. Montrer que si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum\frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi. + - Soit $\sum u_n$ une série a termes positifs. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. Montrer que si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum\frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi. - Soit $\sum y_n$ une série a termes complexes telle que, pour toute suite $(x_n)$ qui tend vers $0$, la série $\sum x_ny_n$ converge. Montrer que $\sum|y_n|$ converge. #+end_exercice @@ -5800,17 +6398,22 @@ Soit $(u_n)\in(\R^+)^{\N}$. On suppose que $\sum u_n$ converge. Construire $(v_n #+begin_exercice [Mines 2023 # 730] Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : -i) pour toute série $\sum u_n$ convergente de terme général positif, la série $\sum f(u_n)$ est convergente ; - -ii) l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornée au voisinage de $0^+$. + + pour toute série $\sum u_n$ convergente de terme général positif, la série $\sum f(u_n)$ est convergente ; + + l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornée au voisinage de $0^+$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines 2023 # 731] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 731] :todo: Soit $\sum u_n$ une série convergente a termes strictement positifs. - Montrer que $\sum_{k=1}^nku_k=o(n)$. - Montrer que $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nku_k$ est le terme général d'une série convergente. - Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}$ est convergente et que :$$\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}\leq \sum_{k=1}^{+\i}u_k.$$ #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: + - C'est la somme $\sum_{k=1}^n R_k - n R(n)$. + - $\sum_n^N \sum_k \frac{k u_k}{n (n+1)} = \sum_k \sum_{n = k}^N \frac{k u_k}{n} - \frac{ku_k}{n+1} = \sum_k \frac{ku_k}{N} - \frac{k u_k}{k}$. + - avec $v_n = (\prod ku_k)^{1/n}$, on a $\ln (v_n) = \frac{1}{n}\sum \ln(k u_k) \leq \frac{1}{n}\sum (k u_k - 1) = o(1) - 1$. !! +#+END_proof + #+begin_exercice [Mines 2023 # 732] Pour toute permutation $f$ de $\N^*$, on note $E_f=\left\{\alpha\in\R,\;\sum\frac{f(n)}{n^{\alpha}}\lt +\i\right\}$. @@ -5876,7 +6479,7 @@ Soient $f\colon\R^+\to\R^+$ de classe $\mc C^1$, $\ell\in\R^{+*}$ et $P=\sum_{k= #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 744] -Soient $h:\R\to\R^+$ continue, $\ell\in\R^{+*}$, $n\in\N^*$. On suppose : $h(x)\int_0^xh^n\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Déterminer un équivalent de $h$ en $+\i$. +Soient $h\colon\R\to\R^+$ continue, $\ell\in\R^{+*}$, $n\in\N^*$. On suppose : $h(x)\int_0^xh^n\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Déterminer un équivalent de $h$ en $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 745] @@ -5913,7 +6516,7 @@ Donne $\sin 1$. On somme avec l'autre partie, pour obtenir $\int_0^1 \frac{\cos #+begin_exercice [Mines 2023 # 750] -Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $f\in\mc C^0([a,b],R)$, $\epsilon\gt 0$. Montrer qu'il existe $P,Q\in\R[X]$ tels que $\forall x\in[a,b]$, $P(x)\leq f(x)\leq Q(x)$ et $\int_a^b(Q-P)\leq\epsilon$. Est-ce toujours vrai si $f$ est uniquement continue par morceaux? +Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $f\in\mc C^0([a,b],R)$, $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe $P,Q\in\R[X]$ tels que $\forall x\in[a,b]$, $P(x)\leq f(x)\leq Q(x)$ et $\int_a^b(Q-P)\leq\eps$. Est-ce toujours vrai si $f$ est uniquement continue par morceaux? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 751] @@ -5922,19 +6525,19 @@ Soit $f:[0,1]\to\R$ continue. - Soit $n\in\N$. On suppose que, pour tout $k\in\d #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 752] -Soit $f\in C^0([a,b],\R)$ telle que $:\forall(\alpha,\beta)\in[a,b]^2,\int_{\alpha}^{\beta}f=0$. Montrer que $f=0$. +Soit $f\in C^0([a,b],\R)$ telle que $\colon\forall(\alpha,\beta)\in[a,b]^2,\int_{\alpha}^{\beta}f=0$. Montrer que $f=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 753] -Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Déterminer les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ vérifiant $:\forall g\in F,\int_a^bfg=0$. +Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Déterminer les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ vérifiant $\colon\forall g\in F,\int_a^bfg=0$. #+end_exercice +# ID:7096 #+begin_exercice [Mines 2023 # 754] -Soit $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$. - -Montrer $:120\Big{(}\int_0^1f\Big{)}^2\leq\int_0^1(f^{''})^2$. +Soit $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que $120\Big(\int_0^1f\Big)^2\leq\int_0^1 (f'')^2$. #+end_exercice + #+begin_exercice [Mines 2023 # 755] Soient $E=\mc C^0([a,b],\R)$ muni de $\parallel\parallel_{\i}$ et $B$ la boule unite fermée de $E$. Soit $f\in E$. Montrer que $\sup_{g\in B}\int_a^bfg=\int_a^b|f|$. #+end_exercice @@ -5952,7 +6555,7 @@ Nature de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^x\,dx$ puis de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^{x^{\alph #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 759] -Soit $\alpha\gt 0$. Étudier la convergence de l'intégrale $:\int_0^{+\i}\left(\exp\left(\frac{\sin^2x}{x^{\alpha}}\right)-1 \right)\,dx$. +Soit $\alpha\gt 0$. Étudier la convergence de l'intégrale $\colon\int_0^{+\i}\left(\exp\left(\frac{\sin^2x}{x^{\alpha}}\right)-1 \right)\,dx$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 760] @@ -6015,13 +6618,13 @@ Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carré intégrable de $\R^+$ d #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 772] -Donner un équivalent, quand $x\to+\i$, de $\int_1^x\!t^tdt\,$? +Donner un équivalent, quand $x\to+\i$, de $\int_1^x t^tdt$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 773] Soit $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}dt$. - Montrer que $f$ est définie sur $\R^{+*}$ et seulement sur cet ensemble. - - Étudier l'integrabilité de $f$ sur $\R^{+*}$. + - Étudier l'intégrabilité de $f$ sur $\R^{+*}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 774] @@ -6029,10 +6632,17 @@ Si $a\gt 0$ et $b\gt 0$, calculer $\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\ dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 775] -Soit $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ une fonction de classe $C^1$. On suppose que $f'/f$ tend vers une limite $a\in\R^{-*}$ en $+\i$. +Soit $f\colon\R^+\to\R_+^{*}$ une fonction de classe $\mc C^1$. On suppose que $f'/f$ tend vers une limite $a\in\R_{-}^{*}$ en $+\i$. - Montrer que $f$ et $f'$ sont intégrables sur $\R^+$. - Donner un équivalent de $\int_x^{+\i}f$ lorsque $x$ tend vers $+\i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $f'/f$ est négative APCR, donc $f$ décroissante, donc converge, vers une limite nulle, donc $f'$ aussi, donc $f'$ est intégrable. + + En fait, en primitivant l'équivalent, on a $\ln f \sim at$, d'où l'intégrabilité de $f$. + - Équivalent des restes ? Non, mais équivalent à $f(x)/a$ ou un truc du genre. +#+END_proof + #+begin_exercice [Mines 2023 # 776] Trouver une valeur approchée rationnelle a $10^{-3}$ pres de $\int_0^1e^{-t}\ln(t)\,dt$. @@ -6223,7 +6833,7 @@ On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^2x}$. - Soit $z\in\C$ avec $|z|\lt 1$. Calculer $\exp\left(f(z)\right)$. Ind. Considèrer $t\in[0,1]\mapsto\exp\left(f(tz)\right)$. - Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ tel que : -$\forall z\in\C,\ |z|\leq\alpha\Rightarrow\det(I_n+zA)=\exp \left(\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,\op{tr}(A^k)\,z^{k }\right).$ + $$\forall z\in\C,\ |z|\leq\alpha\Rightarrow\det(I_n+zA)=\exp \left(\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,\op{tr}(A^k)\,z^{k }\right).$$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 810] @@ -6291,7 +6901,7 @@ Soit $\alpha\gt 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n(\alpha)=\int_0^{+\i}\frac{\op{ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 821] -Soit $g:\R^+\to\R$, continue par morceaux, intégrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornée. +Soit $g\colon\R^+\to\R$, continue par morceaux, intégrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornée. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 822] @@ -6338,7 +6948,7 @@ Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t(1+t^2)}\,dt$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 828] Soit $f:x\mapsto\int_{\R}e^{tx-t^2}\,dt$. - Montrer que $f$ est définie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. Quelle équation différentielle vérifie $f$? - - Trouver les solutions du probleme de Cauchy $-2y^{''}+xy'+y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=\sqrt{\pi}$ et $y'(0)=0$. + - Trouver les solutions du problème de Cauchy $-2y^{''}+xy'+y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=\sqrt{\pi}$ et $y'(0)=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 829] @@ -6398,13 +7008,13 @@ Montrer que $\int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{\ln(t)}{1-t}\,dt=\int_0^{ \frac{1}{2}}\d #+begin_exercice [Mines 2023 # 839] - Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ sommable. Montrer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sum_{n=0}^{+\i}a_n\dfrac{t^n}{n!} \,dt=\sum_{n=0}^{+\i}a_n$. - - Montrer le meme résultat en ne supposant que la convergence de la série $\sum a_n$. + - Montrer le même résultat en ne supposant que la convergence de la série $\sum a_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 840] Soient $\alpha\in\Big{]}0,\dfrac{\pi}{2}\Big{[}$ et $f:t\mapsto\dfrac{1}{1-\sin\alpha\cos t}$: - - Expliciter une suite $(a_n)$ telle que $:\forall t\in\R$, $f(t)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n\cos(nt)$. - - En déduire, pour $n\in\N$, la valeur de $:\int_0^{\pi}\dfrac{\cos(nt)}{1-\sin\alpha\cos t}\,dt$. + - Expliciter une suite $(a_n)$ telle que $\colon\forall t\in\R$, $f(t)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n\cos(nt)$. + - En déduire, pour $n\in\N$, la valeur de $\colon\int_0^{\pi}\dfrac{\cos(nt)}{1-\sin\alpha\cos t}\,dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 841] @@ -6445,17 +7055,21 @@ On considère la fonction $f\colon\R\to\R$ définie par : $f(x)=\exp(-x^{-2})$ s #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 848] -Résoudre le systeme différentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te^t\\ y'=3x+2y+3z+e^t\\ z'=3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.$ +Résoudre le systeme différentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te^t\\ y'=3x+2y+3z+e^t\\ z'=3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 849] -Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On note $(S)$ le systeme différentiel : $\forall p\in[1,n],x_p^{(m)}=\sum_{q=1}^na_{p,q}x_q(t)$. +Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On note $(S)$ le systeme différentiel : $\forall p\in \db{1,n},\,x_p^{(m)}=\sum_{q=1}^na_{p,q}x_q(t)$. Montr per que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Si $A$ nilpotente, c'est clair. Si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales, par dimension il y a une borne sur leurs degrés. +#+END_proof + #+begin_exercice [Mines 2023 # 850] -Résoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'=x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t\\ z'=-x+2y+z+t^2e^t.\end{array}.$, $\left\{\begin{array}{c}x'=x+8y+te^t\\ y'=2x+y+e^{-t}.\end{array}.$. +Résoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'=x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t\\ z'=-x+2y+z+t^2e^t.\end{array}$, $\left\{\begin{array}{c}x'=x+8y+te^t\\ y'=2x+y+e^{-t}.\end{array}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 851] @@ -6489,7 +7103,7 @@ Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}e^{x\sin(t)}dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 856] -- Soient $A\in\R^+$, $f,g:\R^+\to\R^+$ continues. On suppose que +- Soient $A\in\R^+$, $f,g\colon\R^+\to\R^+$ continues. On suppose que $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A+\int_0^xf(t)\,g(t)dt$. Montrer que $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A\exp\left(\int_0^xg(t)dt\right)$. @@ -6519,11 +7133,11 @@ Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x, #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 861] -Étudier la differentiabilité de la fonction $f$ définie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$. +Étudier la différentiabilité de la fonction $f$ définie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 862] - On note $T$ le triangle plein défini par les points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Déterminer le minimum sur $T$ de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2+\frac{1}{2}(1-x-y)$. +On note $T$ le triangle plein défini par les points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Déterminer le minimum sur $T$ de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2+\frac{1}{2}(1-x-y)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 863] @@ -6568,20 +7182,15 @@ Ind. Utiliser le changement de variable $(u,v)=(x+y,\,2x+y)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 870] -- Soit $f\in C^1(\R^n,\R)$. + - Soit $f\in C^1(\R^n,\R)$. Montrer que : $\forall x\in\R^n,f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^nx_i\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)\,dt$. -Montrer que : $\forall x\in\R^n,f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^nx_i\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)\,dt$. - -On pose $E=C^{\i}(\R^n,\R)$ et - -$D=\Big{\{}\phi\in\mc{L}(E,\R)\ ;\ \forall(f,g)\in E^2,\phi(fg)=f(0) \phi(g)+g(0)\phi(f)\Big{\}}$. - - Montrer que la famille $(\phi_i)_{1\leq i\leq n}$ est libre, avec : $\phi_i:f\mapsto\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)$. + On pose $E=C^{\i}(\R^n,\R)$ et $D=\Big{\{}\phi\in\mc{L}(E,\R)\ ;\ \forall(f,g)\in E^2,\phi(fg)=f(0) \phi(g)+g(0)\phi(f)\Big{\}}$. + - Montrer que la famille $(\phi_i)_{1\leq i\leq n}$ est libre, avec : $\phi_i\colon f\mapsto\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)$. - Montrer que $D$ est de dimension finie. - #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 871] -Soient $f\in C^2(\R^2,\R)$, $k\in[0,1[$ tels que $\forall a\in\R^2,\left|\frac{\partial f}{\partial x}(a)\right|+ \left|\frac{\partial f}{\partial y}(a)\right|\leq k$. Soit $(u_n)$ définie par $(u_0,u_1)\in\R^2$ et $:\forall n\in\N,u_{n+2}=f(u_n,u_{n+1})$. +Soient $f\in C^2(\R^2,\R)$, $k\in[0,1[$ tels que $\forall a\in\R^2,\left|\frac{\partial f}{\partial x}(a)\right|+ \left|\frac{\partial f}{\partial y}(a)\right|\leq k$. Soit $(u_n)$ définie par $(u_0,u_1)\in\R^2$ et $\colon\forall n\in\N,u_{n+2}=f(u_n,u_{n+1})$. Pour tout $n\in\N$, on pose $:a_n=\max\left(|u_{n+1}-u_n|,|u_{n+2}-u_{n+1}|\right).$ - Montrer $\forall(a,b)\in(\R^2)^2$, $\exists c\in\R^2$, $f(b)-f(a)=(b-a|\nabla f(c))$. @@ -6621,7 +7230,7 @@ $f(x,y)=\left(\sum_{0\leq i,j\leq n\atop i+j=k}x_iy_j\right)_{k \in[0,2n]}\in\R^ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 876] -${}^{\bigstar}$ Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ differentiable telle que : i) pour tout $x\in\R^n$, $\op{d}\!f(x)$ est injective ; ii) $\|f(x)\|\underset{\|x\|\to+\i}{\longrightarrow}+\i$. +${}^{\bigstar}$ Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ différentiable telle que : i) pour tout $x\in\R^n$, $\op{d}\!f(x)$ est injective ; ii) $\|f(x)\|\underset{\|x\|\to+\i}{\longrightarrow}+\i$. Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$. - Calculer $\op{d}\!g$. - Montrer que $g$ admet un minimum. @@ -6656,6 +7265,7 @@ Si $n\in\N^*$, déterminer $T_{I_n}\mathrm{SO}_n(\R)$, puis, si $M\in\mathrm{SO} On tire au hasard un élément $A$ de $P(\db{1,n})$. Calculer la probabilité que $\op{Card}A$ soit un entier pair. #+end_exercice +# ID:4917 #+begin_exercice [Mines 2023 # 881] Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux urnes contenant chacune des boules numérotées de $1$ à $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance. #+end_exercice @@ -6711,7 +7321,7 @@ Une urne contient $n+1$ boules numérotées de $0$ à $n$. On y effectue des tir #+begin_exercice [Mines 2023 # 890] -Soit $(J_n)_{n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilité $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un meme joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'évènement \lt \lt le $n$-ième match est joue \gt \gt . Déterminer la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$. +Soit $(J_n)_{n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilité $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un même joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'évènement \lt \lt le $n$-ième match est joue \gt \gt . Déterminer la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 891] @@ -6794,7 +7404,7 @@ On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X #+begin_exercice [Mines 2023 # 903] Soit $p\geq 3$ premier. Soit $K=\big{\{}x^2,\ x\in\Z/p\Z\big{\}}$. - Denombrer le cardinal de $K$. - - Soient $A$, $B$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\Z/p\Z$. Soit $N$ variable aléatoire comptant le nombre de solutions de $(E):\ X^2+AX+B=0$. Déterminer l'espérance et la variance de $N$. + - Soient $A$, $B$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\Z/p\Z$. Soit $N$ variable aléatoire comptant le nombre de solutions de $(E)\colon\ X^2+AX+B=0$. Déterminer l'espérance et la variance de $N$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 904] @@ -6808,9 +7418,22 @@ Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilité $\mathbf{P}_{\alph - En déduire la formule d'Euler $\zeta(\alpha)=\prod_{k=1}^{+\i}\left(1-\dfrac{1}{p_k^{\alpha}} \right)^{-1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines 2023 # 906] -Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de meme loi et d'espérance finie. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 906] :todo: +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de même loi et d'espérance finie. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes. #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: +Si $X,Y$ sont indépendantes, c'est du Cauchy-Schwarz. Sinon, on a $\sum_y \sum_x \frac{x}{y} P(X = x, Y = y) = \sum_y \frac{1}{y} E(X \mid Y = y) P(Y = y)$, sachant $\sum E(X \mid Y = y) P(Y = y) = E(X)$, + +C'est une inégalité de concavité pour $x\mapsto \frac{1}{x}$ : + + $$\sum_y \frac{1}{y}\sum_{x} x P(X = x, Y = y) \geq \left(\sum_{y, x} x P(X=x, Y=y)\right) \frac{1}{\sum_y y \sum_x x P(X=x, Y = y)} = \frac{E(X)}{E(XY)}$$ + +Ne permet pas de conclure. On perd le cas d'égalité $X = Y$. !! + +If we drag a value to $1$ : On a $\sum_{x, y} \frac{x}{y} P(X = x, Y = y)$, et on le considère comme une fonction de $X(\Om)^2$. On fixe une valeur $x\gt 1$, et on la remplace par $1$. On a alors transformé + $x \sum_{y} \frac{1}{y}P(X = x, Y = y) + \frac{1}{x} \sum_y y P(Y = x, X = y)$ en $\sum_y \frac{1}{y} P(X=x, Y = y) + y P(Y = x, X = y)$ +#+END_proof + #+begin_exercice [Mines 2023 # 907] Soit $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. @@ -6860,7 +7483,9 @@ Soient $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X_n)_{k\geq 1}$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 914] -Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de paramètre $1/2$. - Donner la loi de $Z_n=\sum_{k=0}^n2^{n-k}X_k$. - Déterminer $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 3^n)$ et $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 2^n)$. +Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de paramètre $1/2$. + - Donner la loi de $Z_n=\sum_{k=0}^n2^{n-k}X_k$. + - Déterminer $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 3^n)$ et $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 2^n)$. #+end_exercice # ID:6888 @@ -6882,14 +7507,14 @@ Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. On suppose que #+begin_exercice [Mines 2023 # 917] Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on déterminera tel que : -$\forall\epsilon\gt 0$, ${\bf P}\left(\left|\frac{1}{\ln(n)}\max_{1\leq k\leq n}X_k-\alpha \right|\geq\epsilon\right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. +$\forall\eps\gt 0$, ${\bf P}\left(\left|\frac{1}{\ln(n)}\max_{1\leq k\leq n}X_k-\alpha \right|\geq\eps\right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. #+end_exercice # ID:6887 #+begin_exercice [Mines 2023 # 918] Soit $g\colon t\mapsto\frac{e^t}{(1+e)-t}$ - Montrer que $g$ est la fonction génératrice d'une variable aléatoire $X$ a valeurs dans $\N$. - - Soit $(X_{i,j})_{1\leq i\lt j\leq n}$ une famille i.i.d. de variables aléatoires de meme loi que $X$. Déterminer la probabilité que + - Soit $(X_{i,j})_{1\leq i\lt j\leq n}$ une famille i.i.d. de variables aléatoires de même loi que $X$. Déterminer la probabilité que $$M=\left(\begin{array}{cccc}0&X_{1,2}&\ldots&X_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&X_{n-1,n}\\ 0&\ldots&\ldots&0\end{array}\right)$$ ait un nombre fini de sous-espaces stables. #+end_exercice @@ -6903,7 +7528,7 @@ Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Berno Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes, strictement positives, $L^2$ et telles que : $\forall n\in\N$, $\mathbf{E}(X_n)=1$. On dit que $(X_n)$ converge en probabilités vers $0$ si : $\forall\alpha\gt 0,\mathbf{P}(X_n\geq\alpha)\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=1}^nX_i$. - Soient $\lambda\in[0,1]$ et $X\in L^2$ telle que $\mathbf{E}(X^2)\gt 0$. -Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$. + Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$. - Montrer que $\mathbf{E}(\sqrt{P_n})\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$ si et seulement si $(X_n)$ converge vers $0$ en probabilités. #+end_exercice @@ -6916,9 +7541,9 @@ Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \ma Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. possedant un moment d'ordre $4$. On pose : $m=\mathbf{E}(X_i)$ et $V_4=\mathbf{E}((X_i-m)^4)$. - Justifier la bonne définition (dans $\R$) de $m$ et $V_4$. -Pour $\epsilon\gt 0$, on pose : $A_n^{\epsilon}=\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-m) \right|\geq\epsilon\right)$. - - Montrer que $\mathbf{P}(A_n^{\epsilon})\leq\dfrac{3V_4}{n^2\epsilon^4}$. - - Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{n=1}^{+\i}\bigcup_{p=n}^{+\i}A_p^{ \epsilon}\right)=0$. +Pour $\eps\gt 0$, on pose : $A_n^{\eps}=\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-m) \right|\geq\eps\right)$. + - Montrer que $\mathbf{P}(A_n^{\eps})\leq\dfrac{3V_4}{n^2\eps^4}$. + - Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{n=1}^{+\i}\bigcup_{p=n}^{+\i}A_p^{ \eps}\right)=0$. - Montrer que $\mathbf{P}\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\underset{n\to+ \i}{\longrightarrow}m\right)=1$. #+end_exercice @@ -6938,7 +7563,7 @@ $\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $ P(X+n)+\sum_{k=0}^{n-1}a_kP(X+k)=0$. #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 925] Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'équation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$. - Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallèlement a $u$. - - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D):\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$ + - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D)\colon\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 926] @@ -6977,7 +7602,7 @@ ${}^{\bigstar}$ Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 932] -Diagonaliser $A=$$\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ 1&\cdots&1&1\end{pmatrix}$$\in\M_n(\R)$. +Diagonaliser $A=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ 1&\cdots&1&1\end{pmatrix}\in\M_n(\R)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1201] @@ -6990,7 +7615,7 @@ Pour $k\in\db{1,n}$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$. #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1202] Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme sur $\db{1\,;\,N}$. - - Montrer que les évènements $(p_k|X_1):\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont indépendants pour $k\in\db{1\,;\,m}$. + - Montrer que les évènements $(p_k|X_1)\colon\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont indépendants pour $k\in\db{1\,;\,m}$. - Pour $k\in\db{1\,;\,m}$, calculer $\mathbf{P}(p_k|X_1$ et $p_k|X_2)$. - Calculer la probabilité de l'évènement $\triangleleft X_1$ et $X_2$ sont premiers entre eux $\mathchar 13334\relax$. #+end_exercice @@ -7004,11 +7629,11 @@ Soit $n\in\N^*$. On munit $\db{1\,;\,n}$ de la probabilité uniforme. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1204] -Soit $X$ une variable aléatoire discrète a valeurs réelles. Soient $b\gt 0$ et $I$ un intervalle de $\R$. Soit $g:\R\to\R^+$ une fonction telle que $g(x)\geq b$ pour tout $x\in I$. +Soit $X$ une variable aléatoire discrète a valeurs réelles. Soient $b\gt 0$ et $I$ un intervalle de $\R$. Soit $g\colon\R\to\R^+$ une fonction telle que $g(x)\geq b$ pour tout $x\in I$. - Montrer que $\mathbf{P}(X\in I)\leq\frac{\mathbf{E}(g(X))}{b}$. - On suppose que $X$ a un ecart-type $\sigma$ et que $\mathbf{E}(X)=0$. -Montrer $:\forall t\gt 0,\,\mathbf{P}(X\gt t)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}$. +Montrer $\colon\forall t\gt 0,\,\mathbf{P}(X\gt t)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}$. Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un réel $c\gt 0$. #+end_exercice @@ -7022,8 +7647,8 @@ Les variables aléatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1207] -- Soit $(A_n)_{n\in\N^*}$ une suite d'évènements. Montrer que $B:\triangleleft$ II existe un rang a partir duquel $A_n$ est vraie $\mathchar 13334\relax$ est un évènement et que $B=\bigcup\limits_{n\in\N^*}\left(\bigcap\limits_{k\geq n}A_{k }\right)$. - - Soient $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles de meme loi que $X$.On suppose $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^4)\lt +\i$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. +- Soit $(A_n)_{n\in\N^*}$ une suite d'évènements. Montrer que $B\colon\triangleleft$ II existe un rang a partir duquel $A_n$ est vraie $\mathchar 13334\relax$ est un évènement et que $B=\bigcup\limits_{n\in\N^*}\left(\bigcap\limits_{k\geq n}A_{k }\right)$. + - Soient $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles de même loi que $X$.On suppose $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^4)\lt +\i$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. - Calculer $\mathbf{E}({S_n}^4)$ en fonction de $n$, $\mathbf{E}(X^2)$ et $\mathbf{E}(X^4)$. - En déduire que pour tout $\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\bigcap_{k\geq n}\left(\left|\frac{S_{ k}}{k}\right|\leq\eps\right)\right)=1$ et que, presque sûrement, $\lim_{n\to+\i}\frac{S_n}{n}=0$. #+end_exercice @@ -7139,7 +7764,7 @@ Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\ - À l'aide des matrices $U_{x,y}=\left(\begin{array}{cc}x&1\\ y&1\end{array}\right)$, montrer que $f$ est injective. - En utilisant l'ensemble $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x\lt y\}$, en déduire que $f$ est strictement monotone. - On suppose que $f(\R)=\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $a\in\R$ tel que, pour tous $x,y\in\R$, il existe $z_{x,y}\in\R$ tel que $f(x)f(y)=f(a)f(z_{x,y})$, et conclure a une absurdite. - - Traiter de meme le cas $f(\R)=\R^{-*}$. + - Traiter de même le cas $f(\R)=\R^{-*}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1220] @@ -7153,7 +7778,7 @@ Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\ Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)$. - Montrer que, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$. - Trouver les endomorphismes $h$ de $\M_n(\R)$ qui vérifient, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $f(F(A),B)=f(A,h(B))$. - - Dans cette question, on suppose que $n=2$. Soit $h:\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\in{\cal M}_2(\R)\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}a+c &b+d-a-c\\ c&d-c\end{array}\right)$. Déterminer les endomorphismes $k$ de ${\cal M}_n(\R)$ tels que $f(h(A),B)=f(A,k(B))$ pour tout $(A,B)\in{\cal M}_n(\R)^2$. Parmi eux, preciser ceux qui sont trigonalisables, diagonalisables. + - Dans cette question, on suppose que $n=2$. Soit $h\colon\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\in{\cal M}_2(\R)\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}a+c &b+d-a-c\\ c&d-c\end{array}\right)$. Déterminer les endomorphismes $k$ de ${\cal M}_n(\R)$ tels que $f(h(A),B)=f(A,k(B))$ pour tout $(A,B)\in{\cal M}_n(\R)^2$. Parmi eux, preciser ceux qui sont trigonalisables, diagonalisables. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1222] @@ -7204,15 +7829,16 @@ Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $ - Soient $G_1,G_2$ deux sous-espaces vectoriels supplémentaires stables par un $f\in{\cal L}(E)$. On pose $f_i=f_{|G_i}$. On suppose que $\pi_{f_1}\wedge\pi_{f_2}=1$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$. #+end_exercice +# ID:6540 #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1228] Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\in{\N}$, $a\in E$ un vecteur unitaire, et $H$ l'hyperplan orthogonal a la droite vectorielle dirigée par $a$. On note $\sigma$ la symétrie orthogonale par rapport a l'hyperplan $H$, et $p$ la projection orthogonale sur $H$. - - Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, $F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}F^{\perp}=E$. - - Montrer que, pour $x\in E$, $p(x)=x-\langle a,x\rangle a$. - - Soit $\Omega=\{x\in E,\;\langle a,x\rangle\geq 0\;\;\mbox{et}\;\;\langle x,\sigma(x) \rangle\leq 0\}$. + 1. Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, $F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}F^{\perp}=E$. + 2. Montrer que, pour $x\in E$, $p(x)=x-\langle a,x\rangle a$. + 3. Soit $\Omega=\{x\in E,\;\langle a,x\rangle\geq 0\;\;\mbox{et}\;\;\langle x,\sigma(x) \rangle\leq 0\}$. -Montrer les équivalences suivantes, pour $x\in E$ : - - $x\in\Omega$ si et seulement si $\langle a,x\rangle\leq\|p(x)\|$, - - $x\in\Omega$ si et seulement si $\forall y\in\Omega$, $\langle x,y\rangle\leq 0$. + Montrer les équivalences suivantes, pour $x\in E$ : + 1. $x\in\Omega$ si et seulement si $\langle a,x\rangle\leq\|p(x)\|$, + 2. $x\in\Omega$ si et seulement si $\forall y\in\Omega$, $\langle x,y\rangle\leq 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1229] @@ -7223,12 +7849,24 @@ Soit $E$ un espace euclidien. Soit $s\in{\cal L}(E)$. + $\forall(x,y)\in E^2,\,\langle x,y\rangle=0\;\Rightarrow\;\langle s(x),s(y) \rangle=0$. #+end_exercice +# ID:7127 #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1230] -- Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_0^1PQ$ définit un produit scalaire sur ${\R}_{n-1}[X]$. En déduire qu'il existe un unique $P\in{\R}_{n-1}[X]$ tel que $\int_0^1x^kP(x)\,{\rm d}x=1$ pour 0 $\leq k\leq n-1$. On pose $P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}$. - Soit $f:[0,1]\to\R$ continue telle que $\int_0^1x^kf(x)\,dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$. Montrer que $\int_0^1f^2\geq\sum_{i=0}^{n-1}a_i$, puis que $\int_0^1f^2\geq n^2$. + - Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_0^1PQ$ définit un produit scalaire sur $\R_{n-1}[X]$. + - En déduire qu'il existe un unique $P\in{\R}_{n-1}[X]$ tel que $\int_0^1x^kP(x) \dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$. + + On pose $P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}$. + - Soit $f\colon [0,1]\to\R$, $\mc C^0$ telle que $\int_0^1x^kf(x)\dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$. Montrer que $\int_0^1f^2\geq\sum_{i=0}^{n-1}a_i$, puis que $\int_0^1f^2\geq n^2$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - La fonction qui à $P$ associe la famille des produits scalaires. + - $P$ est le projeté de $f$ sur $\R_{n-1}[X]$, donc $\lN f\rN^2 \geq \lN P\rN^2 = \langle P, P\rangle = \sum a_i$. + + Pour la deuxième partie, super dure, cf 1264. +#+END_proof + #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1231] -- Montrer que l'application $(P,Q)\mapsto\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$. + - Montrer que l'application $(P,Q)\mapsto\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$. - Soit $(E,\phi)$ un espace euclidien et $B=(e_1,...,e_n)$ une base de $E$. Montrer que la matrice $(\phi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est symétrique définie positive. - Pour tout $p\in\N$, on pose $L_p=\frac{d^p}{dX^p}\,[X^p(1-X)^p]\in\R[X]$. Montrer que la famille $(L_p)$ est orthogonale pour le produit scalaire de la question $a$. Est-elle orthonormale? - Soit $M=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n+1}$. Montrer que la matrice $M$ est symétrique définie positive et calculer $\det M$. @@ -7396,33 +8034,45 @@ Soient $(a_n)$ une suite a termes réels positifs et $(b_n)$ une suite a termes - Montrer la réciproque admise ci-dessus. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1249] -Soit $I=]-1,+\i[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ vérifie $(*)$ si et seulement si : +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1249] :todo: +Soit $I=\interval]{-1, +\i}[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ vérifie $(*)$ si et seulement si : $\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$. -$\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$. - -On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit $f\in\mc C^0(I,\R)$. - - Simplifier $x_n+y_n+x_ny_n$. Montrer que la série de terme général $ f(x_n)$ converge et exprimer $\sum_{n=0}^{+\i}f(x_n)$ en fonction de $f(1)$. - - Montrer que $f$ est dérivable. - Trouver toutes les fonctions continues vérifiant $(*)$. +On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit $f\in\mc C^0(I,\R)$ vérifiant $(*)$. + 1. Simplifier $x_n+y_n+x_ny_n$. Montrer que la série de terme général $f(x_n)$ converge et exprimer $\sum_{n=0}^{+\i}f(x_n)$ en fonction de $f(1)$. + 2. Montrer que $f$ est dérivable. + 3. Trouver toutes les fonctions continues vérifiant $(*)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. $\frac{n+1}{n+2}$, donc $y_{n+1}$, donc la série est télescopique. + 2. Il suffit de montrer la dérivabilité en $0$. On a $f(0) = 0$. + !! +#+END_proof + #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1250] -Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois dérivable telle que $ff^{(3)}=0$. - - Montrer que, si $f'$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ prend une meme valeur au plus deux fois sur $I$. - - On pose $\Gamma=\{x\in I,{f'}'(x)=0\}$. Montrer que, si $\Gamma$ est non vide, alors $\Gamma$ n'est ni majore, ni minore. - - Montrer que $\Gamma$ est un intervalle et en déduire $f$. +Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois dérivable telle que $f f^{(3)}=\tilde{0}$. + 1. Montrer que, si $f'$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ prend une même valeur au plus deux fois sur $I$. + 2. On pose $\Gamma=\{x\in I \mid f''(x)=0\}$. Montrer que, si $\Gamma$ est non vide, alors $\Gamma$ n'est ni majoré, ni minoré. + 3. Montrer que $\Gamma$ est un intervalle et en déduire $f$. #+end_exercice +# ID:7107 #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1251] -- Soit $g:[a,b]\to\R$ continue et injective. Montrer que $g$ est strictement monotone. + 1. Soit $g\colon [a,b]\to\R$ continue et injective. Montrer que $g$ est strictement monotone. -On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, $g^2(x)=2g(x)-x$. - - Montrer qu'une telle fonction est bijective et strictement croissante. - - Exprimer $g^n$ pour tout $n\in\N$ puis conclure. + On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, $g^2(x)=2g(x)-x$. + 2. Montrer qu'une telle fonction est bijective et strictement croissante. + 3. Exprimer $g^n$ pour tout $n\in\N$ puis conclure. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. On a $f\circ g = - \op{Id}$, donc $g$ est injective, donc strictement monotone. Par ailleurs $2g(x) = g^2(x) + x$, donc $g(x)\tend{x\ra +\i} +\i$, donc elle est croissante, et ne peut pas admettre de limite finie en $-\i$. + 3. Récurrence d'ordre $2$. +#+END_proof + #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1252] -- Rappeler la définition d'une fonction lipschitzienne. Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue. Soient $\alpha\in]0,1]$ et + - Rappeler la définition d'une fonction lipschitzienne. Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue. Soient $\alpha\in]0,1]$ et $H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha}\big{\}}$. - Montrer $H_{\alpha}$ est un $\R$-espace vectoriel, que si $0\lt \alpha\leq\beta\leq 1$, alors $H_{\beta}\subset H_{\alpha}$. Vérifier que $x\mapsto x^{\alpha}\in H_{\alpha}$. @@ -7431,7 +8081,7 @@ $H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1253] -- Soient $a,b$ dans $\R$ avec $a\lt b$ et $f:]a,b[\to\R$ dérivable. On suppose que $f$ admet la meme limite finie $\ell$ en $a$ et en $b$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$. +- Soient $a,b$ dans $\R$ avec $a\lt b$ et $f:]a,b[\to\R$ dérivable. On suppose que $f$ admet la même limite finie $\ell$ en $a$ et en $b$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto e^{\frac{1}{x^2-1}}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $]-1,1[$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynôme $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(x^2-1)^{2n}}f(x)$. Quel est le degré de $P_n$? - Combien $f^{(n)}$ a-t-elle de zeros? #+end_exercice @@ -7579,12 +8229,12 @@ Pour tout réel $a$, on pose $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1271] -- Montrer le théorème d'intégration des séries uniformément convergentes sur un segment. - - Pour $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $\gamma:[a,b]\ra\C$ de classe $C^1$ et $f\colon\C\ra\C$ continue, on pose $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$. Meme définition lorsque $f$ est a valeurs dans $\M_n(\C)$. + - Montrer le théorème d'intégration des séries uniformément convergentes sur un segment. + - Pour $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $\gamma:[a,b]\ra\C$ de classe $C^1$ et $f\colon\C\ra\C$ continue, on pose $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$. même définition lorsque $f$ est a valeurs dans $\M_n(\C)$. On note, pour $r\gt 0$, $\gamma_r:t\in[0,2\pi]\mapsto re^{it}$. -Soit $F:\C\ra\C$ la somme d'une série entière de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$. +Soit $F\colon\C\ra\C$ la somme d'une série entière de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$. - En déduire, pour toute matrice $M\in\M_n(\C)$ et pour $r$ assez grand (à preciser), l'égalité $\exp(M)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\, dz$. #+end_exercice @@ -7616,7 +8266,7 @@ Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $b\in\R^n$ et $J:x\mapsto\frac{1}{2}\langle Ax,x #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1275] Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$. - Pour tout $x\in E$, exprimer la projection orthogonale de $x$ sur $F$ a l'aide d'une base orthonormale de $F$. Justifier la formule. - - On définit la fonction $d_F:E\setminus F\to\R,x\mapsto d(x,F)$. Montrer que $d_F$ est differentiable, et calculer sa différentielle. + - On définit la fonction $d_F:E\setminus F\to\R,x\mapsto d(x,F)$. Montrer que $d_F$ est différentiable, et calculer sa différentielle. #+end_exercice ** Probabilités @@ -7757,3 +8407,10 @@ Soit $A$ une matrice $2\times 2$ dont les quatre coefficients sont des variables On rappelle que $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$. #+END_exercice + +* Todoes :todo:ignore: +:PROPERTIES: +:COLLECT-TAGS: todo +:END: + +{{{enlargepage}}}