Some changes.
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2c55a6f709
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2104d33266
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@ -1,12 +1,14 @@
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#+title: Exercices 2023
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#+author: Sébastien Miquel
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#+date: 02-12-2023
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# Time-stamp: <30-12-23 18:30>
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# Time-stamp: <03-01-24 21:13>
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#+OPTIONS:
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* Meta :noexport:
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[[file:Étoilés 2023.pdf]]
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* Meta :noexport:
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** Trying to make nougat work
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@ -207,7 +209,7 @@ Soit $p$ un nombre premier. On admet qu'il existe un anneau commutatif $A$ dans
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Soit $f \in \Z[X]$. On pose $S_q=\sum_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$ pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors $S_{q q'}=S_q S_{q'}$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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!!
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#+END_proof
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@ -216,7 +218,7 @@ Soit $f \in \Z[X]$. On pose $S_q=\sum_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}}
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On dit qu'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : $\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un même cercle.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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!!
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#+END_proof
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@ -228,18 +230,19 @@ Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré
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4. En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Easy.
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#+END_proof
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# 23
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#+BEGIN_exercice
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Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$.
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1. On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que $\forall x \in \R, n P(x) P^{' '}(x) \leq(n-1) P'(x)^2$.
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1. On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que $\forall x \in \R, n P(x) P''(x) \leq(n-1) P'(x)^2$.
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2. Donner un polynôme ne vérifiant pas le résultat de la question précédente, puis un polynôme non scindé le vérifiant.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2. Ajouter à un précédent.
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#+END_proof
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@ -248,7 +251,7 @@ Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$.
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Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que, pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Easy, à relier.
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#+END_proof
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# 27
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@ -260,7 +263,7 @@ Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si
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Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout $\lambda, \mu \in \R^*, \lambda P+\mu Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, alors $P$ et $Q$ sont entrelacés.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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À relier.
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#+END_proof
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@ -294,7 +297,7 @@ Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$.
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On pose $A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$. Montrer qu'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$ où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Donc diagonalisable ?
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#+END_proof
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@ -305,7 +308,7 @@ Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur
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+ il existe une droite vectorielle $L$ telle que $\left|\left\{i, L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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!!
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#+END_proof
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@ -314,7 +317,7 @@ Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur
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Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Facile ? Attention : faux pour 2.
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#+END_proof
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@ -323,16 +326,18 @@ Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begi
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Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que $A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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$\Leftarrow$ Ok.
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Si $ABA^{-1}B^{-1}$ commute avec un $\vect$ de dimension $2$. Si $AB = \la BA$, c'est bon. Sinon, alors le commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$ est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, puis faire de la réduction.
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#+END_proof
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# 52
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#+BEGIN_exercice
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#+BEGIN_exercice Décomposition de Jordan
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Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d'indice $m, x \in E$ tel que $f^{m-1}(x) \neq 0$.
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1. Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille.
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2. Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi\left(f^{m-1}(x)\right) \neq 0, W$ le sous-espace de $E^*$ engendré par $(\phi \circ$ $\left.f^i\right)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\perp}$ l'ensemble des $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\perp}, \psi(y)=0$. Montrer que $W^{\perp}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$.
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3. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ soit diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme $J_k$ avec $k \in \N^*$, où $J_k \in \M_k(\mathbb{K})$ est une matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la sur-diagonale qui sont égaux à 1.
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2. Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi(f^{m-1}(x)) \neq 0, W$ le sous-espace de $E^*$ engendré par $(\phi \circ f^i)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\bot}$ l'ensemble des $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\bot}, \psi(y)=0$. Montrer que $W^{\bot}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$.
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3. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ soit diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme $J_k$ avec $k \in \N^*$, où $J_k \in \M_k(\mathbb{K})$ est une matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la sur-diagonale qui sont égaux à $1$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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@ -344,7 +349,7 @@ Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \
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Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $d_1\left|d_2\right| \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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$n = r$ convient. Réciproquement, si $G$ contient un tel groupe, on peut codiagonaliser.
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#+END_proof
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@ -353,7 +358,7 @@ Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tel
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Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une norme sur $E$ pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que $\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1{ }^{-1} h_2{ }^{-1}$ commute avec $h_1$ et $h_2$. Montrer que l'espace des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et $h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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On peut supposer que l'ensemble $F$ des points fixes est de dimension $1$. Donc est le noyau d'une forme linéaire $\phi$. !!
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#+END_proof
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@ -362,7 +367,7 @@ Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ deux él
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Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \llbracket 1, m \rrbracket^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Easy, on a $\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x\rangle$.
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#+END_proof
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@ -371,7 +376,12 @@ Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m,
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Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u, u_1, \ldots, u_m$ des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $\left\{x \in E ; \forall i \in \llbracket 1, m \rrbracket,\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E ;\langle u, x\rangle \leq 0\}$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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$\Rightarrow$ : Easy.
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$\Leftarrow$ : Si les vecteurs $u_i$ sont libres, on peut prendre un élément $x$ orthogonal à tous sauf $1$.
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Sinon, si $u_m$ est combinaison linéaire des précédents, avec un coefficient $\lt 0$.
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!!
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#+END_proof
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@ -380,7 +390,7 @@ Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u, u_1, \ldots, u
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Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$ $M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer $\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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$\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix})$. !!
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#+END_proof
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@ -389,7 +399,7 @@ Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}(
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Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n'ont pas -1 pour valeur propre et telles que $A B$ n'ait pas 1 pour valeur propre. Montrer que $\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est antisymétrique.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Classique
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#+END_proof
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@ -461,7 +471,7 @@ Non. Par l'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont la distan
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Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose, pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel que $0\lt a\lt 9$. On définit $P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et $P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide, d'intérieur vide et sans point isolé.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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$P$ est borné et fermé, car $S_n$ est continue inférieurement. Clairement non vide et d'intérieur vide. Si $x\in P$, en retirant $1$ a un chiffre de $x$ arbitrairement grand, on reste dans $P$. Possible sauf si $x$ est décimal, auquel cas on peut ajouter $1$.
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#+END_proof
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@ -472,16 +482,17 @@ Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré
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2. On pose $B=\{P \in \mc{P} ; \forall x \in \R, P(x) \neq 0 \ou P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $B$ dans $\R_d[X]$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Par translation, on peut passer de $(P, x)$ à $(\tilde{P}, 0)$. Alors $P = X^n + Q + \a X$, avec $\a\neq 0$. On peut ramener $Q$ à $0$, et $\a$ à $\pm 1$. Deux composantes connexes, selon le signe de $\a = P'(x)$.
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2. $B$ est l'ensemble des polynômes unitaires à racines simples. Le nombre de racines simples est un invariant, et réciproquement, ces morceaux sont clairement connexes par arcs.
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#+END_proof
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# 87
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#+BEGIN_exercice
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Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblables les unes aux autres, \|\| une norme sur $\M_n(\C)$. On suppose que $\left\|M_k\right\| \ra+\i$. Montrer qu'il existe une matrice $N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi: \N \ra \N$ telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\left\|M_{\phi(k)}\right\|} \ra N$.
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Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblables les unes aux autres, $\lN\cdot\rN$ une norme sur $\M_n(\C)$. On suppose que $\lN M_k\rN \ra+\i$. Montrer qu'il existe une matrice $N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi\colon \N \ra \N$ telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} \ra N$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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!!
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#+END_proof
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@ -490,7 +501,7 @@ Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblab
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Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\lt 1$. Montrer qu'il existe une norme \|\| sur $\C^n$ telle que, pour la norme d'opérateur associée, on ait $\|A\|\lt 1$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Trigonaliser, puis conjuguer par une matrice diagonale pour n'avoir que des petits coefficients hors de la diagonale.
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#+END_proof
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@ -509,7 +520,9 @@ Montrer que $A$ est inversible et que $\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x
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Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive telle que, pour tout $n, u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Soit $m$. On peut écrire $u_{a+n} = G_n u_a + G_{n+1} u_{a-1}\et u_{a+n+1} = G_{n+1} u_a + G_{n2} u_{a-1}$, où $G_n\tend{a\ra +\i} F_n$, ce qui devrait implique ce que l'on veut.
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$w_n$ s'obtient à partir de $v_n$ par Cesàro.
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#+END_proof
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@ -574,7 +587,7 @@ Montrer que $\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sig
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Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et $q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de continuité de $f$ ?
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Facile.
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#+END_proof
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@ -583,7 +596,7 @@ Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et telle que
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Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et $[a, b] \subset I$ avec $a\lt b$. On suppose que $f'(a)=f'(b)$. Montrer qu'il existe $\left.c \in\right] a, b[$ tel que la tangente au graphe de $f$ en $c$ passe par le point $(a, f(a))$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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On peut supposer $f'(a) = f'(b) = 0$. À relier.
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#+END_proof
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@ -592,12 +605,12 @@ Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et $[a, b] \subse
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Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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$f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle, $f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$.
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#+END_proof
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# 111
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#+BEGIN_exercice
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#+BEGIN_exercice Théorème de Rouché
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Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$.
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1. Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement inférieur à 1 comptées avec multiplicité n'est autre que $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$.
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||||
2. Soit $Q \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1 comptées avec multiplicité.
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@ -615,7 +628,8 @@ Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique.
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2. Montrer que $t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t f$ possède une limite quand $t \ra+\i$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Easy.
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2. !!
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#+END_proof
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@ -637,7 +651,7 @@ Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$
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Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$. Quelle est la limite de $g$ en $0^+$?
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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C'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. Cela tend vers $\frac{1}{2}f(0)$, en découpant sur un segment, et en utilisant l'uniforme continuité de $f'$.
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#+END_proof
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@ -650,13 +664,12 @@ Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entièr
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#+END_proof
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# 29
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# 129
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#+BEGIN_exercice
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Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que $\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$ ?
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Montrer que $\{a \in \mathbb{U} ; \exists b \in \C, z \mapsto a z+b \in G\}$ est fini.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Cf un précédent
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#+END_proof
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@ -674,7 +687,7 @@ Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0
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# 133
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#+BEGIN_exercice
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Soit, pour $x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$.
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Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+, f(x) \leq(a x+b) e^{-x}$.
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Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+, f(x) \leq (a x+b) e^{-x}$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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@ -699,7 +712,12 @@ Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left(
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Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans $\R, L \in \R^{+*}$.
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1. Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$.
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2. On suppose que l'application $\nabla f$ est $L$-lipschitzienne.
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Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$. unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$.
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Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$.
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#+END_exercice
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# 155
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#+BEGIN_exercice
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On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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@ -711,7 +729,7 @@ Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x),
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Soit $G$ un groupe d'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ contient une translation autre que l'identité de $\R^2$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Faux pour $G = O_2$.
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#+END_proof
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@ -723,7 +741,7 @@ Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans $\C$ de l
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Montrer que l'ensemble $\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \}$ est fini.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s'accumule. On peut supposer qu'elle s'accumule sur $1$, puis on peut borner les $(b_n)$, puis extraire une suite convergence, donc elle est constante à partir d'un certain rang. Donc on a une infinité de $z\mapsto a_n z$, ce qui est impossible.
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#+END_proof
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@ -732,7 +750,7 @@ Montrer que l'ensemble $\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \
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Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l'ensemble des morphismes de groupes de $(\Z / m \Z)^r$ dans $\Z / m \Z$ de la loi uniforme. Donner une expression simple de la probabilité de l'événement «le morphisme $\phi$ est surjectif».
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois.
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#+END_proof
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@ -741,7 +759,11 @@ Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l'ensemble des morphismes
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Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ?
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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!!
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On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En fait, mieux, $E(X) E(X^2)\geq (\)$
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On a $(\sum p_i x_i^2) (\sum p_i)\geq (\sum p_i x_i)^2$, donc $2 \sum p_i \geq 1$, donc $\sum p_i \geq \frac{1}{2}$ : $p_0\leq \frac{1}{2}$.
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#+END_proof
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@ -763,23 +785,31 @@ $$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mat
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#+BEGIN_exercice
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On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \llbracket 1, N \rrbracket$, puis $u_2 \in \llbracket 1, u_1-1 \rrbracket$, et ainsi de suite jusqu'à arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note $E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$.
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1. Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$.
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2. Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \notin E_N\right)$.
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2. Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \not\in E_N\right)$.
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3. Calculer $\mathbf{E}\left(\left|E_N\right|\right)$ et $\mathbf{V}\left(\left|E_N\right|\right)$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. $P(k\in E_{k+1}) = \frac{1}{k}$, puis $P(k\in E_n) = \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\big(P(k\in E_{N-1}) + \dots + P(k\in E_{k+1})\big)$. On trouve $P(k\in E_N) = \frac{1}{k}$.
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2. On a $P(2\in E_N \mid 3\in E_N) = \frac{1}{2}$.
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3. Semble facile.
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#+END_proof
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# 183
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#+BEGIN_exercice
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Soient $E$ un ensemble fini, $V: E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point $a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout $b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient $b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que $f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, pour tout $n \geq 0$ :
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+ si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$;
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+ sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$.
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||||
+ si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$;
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+ sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$.
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Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins $1 / 2$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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La donnée est celle d'un graphe. Étant donné l'algorithme, on peut retirer des arêtes, de sorte que les voisins de $a$ vérifient $f(b)\lt f(a)$. Auquel cas il n'y a plus de cycles.
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Alors on choisit $\sqrt{n}$ sommets du graphe, puis le minimum. On veut montrer la plus longue chaîne décroissante à partir de celui-ci est de longueur $\leq \sqrt{n}$ avec probabilité $\frac{1}{2}$.
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On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer que c'est injectif.
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Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à un graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$.
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#+END_proof
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# 189
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@ -789,7 +819,7 @@ Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et $S = \left\{ \pm e_i
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Montrer que $\mathbf{E}(|f(X)-\mathbf{E}(f(X))|) \leq \frac{n d}{2} \max_{s \in S} \mathbf{E}(|f(X)-f(X+s)|)$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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C'est simple : On peut passer d'un somme à un autre en au plus $\frac{n d}{2}$ pas.
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#+END_proof
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* Écoles Normales Supérieures - PC
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@ -962,7 +992,7 @@ Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et bijective
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#+BEGIN_proof
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La série $\sum \frac{1}{f(n)}$ a la même nature que $\int \frac{1}{f}$. On peut raccorder $f$ de manière $\mc C^1$, puis on pose $u = f(t)$ :
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$$\int_0^{+\i} \frac{1}{f(t)}\dt = \int_0^{+\i} \frac{1}{u f'(f^{-1}(u))} \du,$$
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puis IPP.
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puis IPP.
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#+END_proof
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@ -971,7 +1001,7 @@ puis IPP.
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Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique?
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Easy.
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#+END_proof
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@ -1003,19 +1033,22 @@ Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair.
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2. Montrer que les $b_k$ sont tous non nuls.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2. Quand on dérive successivement $e^P$, on trouve une quantité qui vaut toujours $1$ modulo $2$.
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#+END_proof
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# 390
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#+BEGIN_exercice
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Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : $\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$.
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1. Montrer que $p \leq 1 / 3$, puis que $p\lt 1 / 3$ et enfin que $p \leq 1 / 4$.
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2. Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $\Phi_X: \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$. Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$.
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3. En déduire que $p \leq 1 / 4$ est une condition suffisante.
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1. Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et enfin que $p \leq \frac{1}{4}$.
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2. Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $\Phi_X\colon \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$. Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$.
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3. En déduire que $p \leq \frac{1}{4}$ est une condition suffisante.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. On regarde les probabilités, jusqu'à $n = 3$.
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2. $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy.
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3.
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#+END_proof
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@ -1026,7 +1059,12 @@ Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniform
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2. Déterminer un équivalent de $p_n$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Relier à un précédent.
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1. On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes $1$, et autant de différences entre les deux.
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On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et $B\oplus C$.
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Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints.
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#+END_proof
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* École Polytechnique - PSI
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Reference in New Issue