J'ai rajouté des trucs.

Exercices 2022.org

@@ -1,14 +1,14 @@
 #+title:  Exercices
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   25-02-2023
-# Time-stamp: <31-10-23 12:45>
+# Time-stamp: <06-11-23 07:42>
 
 #+BEGIN_SRC emacs-lisp
 `(,(count-matches "\\?\\?") ,(count-matches "!!"))
 #+END_SRC
 
 #+RESULTS:
-| 3 | 6 |
+| 1 | 6 |
 
 Essai.
 
@@ -1112,17 +1112,16 @@ Soit $E$ euclidien, et $A$ une partie bornée non vide de $E$.
 
 #+END_indication
 
-# Problème d'énoncé…
 # 78
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
 On munit $\R^n$ d'une norme, et $\mc L(\R^n, \R)$ de la norme d'opérateur associée. Montrer qu'il existe une base de vecteurs unitaires de $\R^n$ dans laquelle les formes linéaires coordonnées sont unitaires.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
- $\lN \l \rN = \sup_{\lN x\rN = 1} \lN \l (x)\rN$.
+ $\lN \l \rN = \sup_{\lN x\rN = 1} \lN \l (x)\rN = \frac{1}{\inf_{\lN \l(x)\rN = 1} \lN x\rN}$ : on cherche des $x_j$ tel que $\lN x_i + \sum \a_j x_j\rN \geq \lN x_i\rN$, pour tout $\a_j$.
 
-Soit $\mc B = (f_1,\dots, f_n)$ une base, et $P$ la matrice de passage. On veut que les colonnes de $P$ soient unitaires (pour la norme quelconque). On a $\mc l_i\colon X \mapsto \langle P^{-1} X, E_i \rangle = \langle L_i, X\rangle$.
+On choisit $x_1$ unitaire. La boule unité admet (au moins) un plan tangent en $x_i$, qui défini un espace $L_1$ de dimension $n-1$, supplémentaire à $x_1$. Alors si on complète en une base quelconque de $L_1$, la forme coordonnée en $x_1$ sera bien unitaire. D'autre part, en tout $y\in L_1$, on aura nécessairement $x_1$ qui appartiendra à (au moins un) plan tangent à $y$.
 
-Faux pour $n = 1$… !!
+On recommence, en choisissant $x_2$ quelconque dans $L_1$, etc.
 #+END_proof
 
 # 79
@@ -2307,13 +2306,15 @@ Soit $\a\in [0,1]$. Pour $z\in [0,1]$, on pose $\phi_a(z) = 1 - (1-z)^\a$.
 # 153
 #+BEGIN_exercice
  1. Soient $X_1,\dots,X_n$ des variables aléatoires réelles centrées admettant un moment d'ordre $2$. Montrer que la matrice $\left(\op{Cov}(X_i, X_j)\right)$ est symétrique positive.
- 2. Soit $(X_n)_{n\in \N}$ une suive de variables aléatoires réelles centrées, admettant un moment d'ordre $2$ et telles que les $\op{Cov}(X_i, X_j)$ ne dépendent que de $i-j$. On suppose que $V(X_0)\gt 0$ et $\op{Cov}(X_n, X_0)\ra 0$. Montrer que pour tout $n\geq 1$, la matrice $\left(\op{Cov}(X_i, X_j)\right)$ est symétrique définie positive.
+ 2. Soit $(X_n)_{n\in \N}$ une suite de variables aléatoires réelles centrées, admettant un moment d'ordre $2$ et telles que les $\op{Cov}(X_i, X_j)$ ne dépendent que de $i-j$. On suppose que $V(X_0)\gt 0$ et $\op{Cov}(X_n, X_0)\ra 0$. Montrer que pour tout $n\geq 1$, la matrice $\left(\op{Cov}(X_i, X_j)\right)$ est symétrique définie positive.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
  1. C'est une matrice de Gram
  2. Énoncé très bizarre.
 
     Si le déterminant est nul, c'est qu'une combinaison linéaire des $X_i$ a une variance nulle, donc est presque sûrement constante.
+
+    On a $V(\sum a_i X_i) = n a_i^2 V(X_1) + (n-1) Cov(X_1,X_2) + \dots + Cov(X_1, X_n)$
 #+END_proof
 
 
@@ -2353,15 +2354,38 @@ On trouve $P(X = \sigma)$, par récurrence sur la dimension.
 Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi d'espérance finie strictement positive. On note $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$. Montrer que $P(\forall n\geq 1,\, S_n \gt 0) \gt 0$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-Si ce n'est pas le cas, presque sûrement on retourne toujours en négatif.
+ + Si ce n'est pas le cas, presque sûrement on retourne toujours en négatif.
 
-Donc presque sûrement, on devient arbitrairement petit.
+   Donc presque sûrement, on devient arbitrairement petit.
 
-Ça contredit la loi forte des grands nombres, avec hypothèses intégrables…
+ + Ça contredit la loi forte des grands nombres, avec hypothèses intégrables…
 
-On peut supposer $X_n$ majorée, en tronquant, alors elle a un moment exponentiel, et on peut faire comme dans l'exercice suivant. Non, c'est dans le mauvais sens : il faudrait l'existence d'un moment exponentiel négatif ? !!
+ + On peut supposer $X_n$ majorée, en tronquant, alors elle a un moment exponentiel, et on peut faire comme dans l'exercice suivant. Non, c'est dans le mauvais sens : il faudrait l'existence d'un moment exponentiel négatif ? !!
+ + $P(S_n \leq 0) = P(e^{-S_n} \geq 1) \leq E(e^{-S_n}) = \prod E(e^{- t X_i})$.
+
+   Si $X_i$ est bornée, il existe $t_0$ tel que $E(e^{-t X_i})\lt 1$, et on a une majoration exponentielle.
+
+   Plus précisément, si $|X_i|\leq M$, on a $|e^{-t x} - (1-tx)| \leq t^2 x^2 e^{tx} \leq t^2 M^2 e^{tM}$. On prend $t = \frac{1}{M}$.
+
+   $E(Y_i^2) = E(X_i^2\m 1_{|X_i|\leq i}) = o(i^2)$
+
+   Sinon, on pose $Y_i = X_i \m 1_{|X_i|\leq i}$.
+   $E(e^{-t Y_i}) \leq 1 - \frac{E(Y_i)}{n} + \frac{i^2}{n^2}$
+ + En posant $Y_n = X_n 1_{|X_n|\leq n}$, on a $\sum P(Y_n \neq X_n)$ qui converge.
+ + $P(|S_n - E(S_n)|\gt E(S_n)) \leq \frac{V(S_n)}{E(S_n)^2} = \frac{V(S_n)}{n^2 E(X_1)^2}$
 #+END_proof
 
+#+BEGIN_exercice
+Dualité d'une marche aléatoire.
+#+END_exercice
+#+BEGIN_proof
+ + On note $T$ l'instant de la première arrivée en une valeur $\gt 0$.
+   On a $P(T\gt n) = P(n \text{ est un record minimal})$, en inversant la marche entre $0$ et $n$. Donc $E(T)$ est l'espérance du nombre de records minimaux.
+ + On note $T$ l'instant de la première arrivée en une valeur $\lt 0$. Par l'absurde, $T$ est bien définie. On a $P(T\gt n) = P(n \text{ est un record maximal})$. Admettons que le nombre de records maximal est nécessairement infini. Alors $E(T)$ est infinie.
+#+END_proof
+
+
+# ID:6499
 #+BEGIN_exercice
 Soit $p\in \interval]{0, \frac{1}{2}}[$, et $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $\mc R(p)$. On pose $S_n = X_1 + \dots + X_n$.
  1. Montrer qu'il existe $t_0\gt 0$ tel que $pe^{t_0} + (1-p)e^{-t_0}\lt 1$.
@@ -2415,6 +2439,7 @@ Considérer l'ensemble $\mc P$ des $m$-listes $(P_1,\dots, P_m)$ de parties non
 
 
 # 159
+# ID:6500
 #+BEGIN_exercice Définition de variables sous-gaussiennes
 Soit $X$ une variable aléatoire réelle centrée. Montrer l'équivalence entre
  + il existe $a\gt 0$ tel que $\forall \la\in\R,\, E(e^{\la X})\leq e^{a\la^2}$.
@@ -2437,6 +2462,7 @@ Si $\la\gt 1$, on utilise $\la X\leq \la^2 + X^2$, donc $E(e^{\la X})\leq e^{\la
 
 
 # 160
+# ID:6501
 #+BEGIN_exercice
 Soient $\la,c\in \interval]{0, 1}[$. On considère une suite $(X_n)_{n\geq 0}$ de variables aléatoires à valeurs dans $[0,1]$ telles que $X_0 = c$ et pour tout $n\in\N$, et tout $x\in [0,1]$, $P(X_{n+1} = \la + (1-\la) X_n \mid X_n = x) = x$ et $P(X_{n+1} = (1-\la) X_n \mid X_n = x) = 1-x$. On note $u_n(p) = E(X_n^p)$.
  1. Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe $A_n\subset [0,1]$ de cardinal au plus $2^n$ tel que $P(X_n\in A_n) = 1$.
@@ -2455,6 +2481,7 @@ Soient $\la,c\in \interval]{0, 1}[$. On considère une suite $(X_n)_{n\geq 0}$ d
 #+END_proof
 
 # 161
+# ID:6502
 #+BEGIN_exercice [ENS 2022]
  1. Soit $n\geq 2$ et $k\in\db{1,n}$. Dénombrer les manières de choisir $k$ nombres dans $\db{1,n}$ sans prendre deux nombres consécutifs.
  2. On installe $n$ couples autour d'une table ronde, en alternant hommes et femmes. Montrer que la probabilité que personne ne soit assis à côté de son partenaire est
@@ -2463,7 +2490,7 @@ Soient $\la,c\in \interval]{0, 1}[$. On considère une suite $(X_n)_{n\geq 0}$ d
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
  1. En utilisant $(x_1,\dots, x_{k})\mapsto (x_1, x_2 - 1,\dots, x_k - k+1)$, on trouve ${n-k+1 \choose k}$.
- 2. On cherche la probabilité que $k$ couples donnés soient assis cote à cote.
+ 2. On cherche la probabilité que $k$ couples donnés soient assis côte à côte.
 
     Sous l'hypothèse que le premier élément d'un des couples soit assis à la place $1$, donnée.
 
@@ -2591,6 +2618,7 @@ Soit $p$ premier et $a_1,\dots, a_{2p-1}$ des entiers quelconques. On veut montr
 
 # Raisonnement sympa : on peut supposer
 # 213
+# ID:6503
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soient $a,c,m\in\N$ avec $m\gt 1$. $x_0 = 0$ et $x_{n+1} = ax_n + c$ dans $\Z/m\Z$.
  1. Montrer que $(x_n)$ est périodique APCR.
@@ -2629,7 +2657,7 @@ Soit $p\geq 3$ premier et $t\in\N^*$. On considère $p_1,\dots, p_r$ des nombres
 
 # 215
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
-Soit $p$ premier. On considère $K = F_p[ [X] ]$ l'ensemble des séries formelles : $\m F_p^{\N}$ muni du produit de Cauchy, qui en fait une algèbre.
+Soit $p$ premier. On considère $K = F_p[ [X] ]$ l'ensemble des séries formelles, c'est-à-dire $\m F_p^{\N}$ muni du produit de Cauchy, qui en fait une algèbre.
  1. Montrer que $(f+g)^p = f^p + g^p$.
  2. Si $f = \sum a_n X^n$, alors $f^p = \sum a_n X^{np}$.
  3. Pour $r\leq p-1$, on pose $\La_r(f) = \sum_{n=0}^{+\i} a_{np+r} X^n$. Montrer que $\La_r(f^pg) = f\La_r(g)$ pour tous $f,g$.
@@ -2644,6 +2672,7 @@ Soit $p$ premier. On considère $K = F_p[ [X] ]$ l'ensemble des séries formelle
 #+END_proof
 
 # 216
+# ID:6504
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 On note $G = SL_2(\Z)$, $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$.
  1. Montrer que $G = \langle S, T\rangle$.
@@ -2669,7 +2698,6 @@ Soit $A$ un anneau commutatif non nul. On dit que $b\in A$ est un diviseur de $0
 
 #+END_indication
 
-# Lier à 412
 # 218
 #+call: get_exa(6129)
 #+BEGIN_exercice  $\bigstar$ $\bigstar$  [X 2022]
@@ -2817,6 +2845,7 @@ Soit $n\geq 2$ et $A,B,C,D\in\M_n(\R)$ telles que $AC - BD = I_n$ et $AD + BC =
 
 
 # 227
+# ID:6505
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $M\in\M_{n+1}(\R)$ définie par $M_{i,j} = {j-1 \choose i-1}$.
  1. $M$ est-elle diagonalisable ?
@@ -2832,6 +2861,7 @@ Soit $M\in\M_{n+1}(\R)$ définie par $M_{i,j} = {j-1 \choose i-1}$.
 #+END_proof
 
 # 228
+# ID:6506
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $E = \C^{\N^*}$ et $T$ l'endomorphisme de $E$ qui à $(u_n)_{n\geq 1}$ associe $(v_n)_{n\geq 1}$ définie par $v_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n u_k$.
  1. Déterminer les éléments propres de $T$.
@@ -2847,6 +2877,7 @@ Soit $E = \C^{\N^*}$ et $T$ l'endomorphisme de $E$ qui à $(u_n)_{n\geq 1}$ asso
 #+END_proof
 
 # 229
+# ID:6507
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soient $\K$ un corps et $E$ un $\K$-ev de dimension finie $n\geq 1$ et $u\in\mc L(E)$.
  1. Quels sont les $P\in\K[X]$ tels que $P(u)\in GL(E)$ ?
@@ -2877,6 +2908,7 @@ En termes de leurs orbites, à quelle condition $\sigma$ et $\sigma'$ sont-elles
 
 
 # 231
+# ID:6508
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $E$ de dimension finie et $u\in\mc L(E)$.
  1. On suppose $u$ diagonalisable. À quelle condition a-t-on $C(u) = \K[u]$ ?
@@ -2890,6 +2922,7 @@ Soit $E$ de dimension finie et $u\in\mc L(E)$.
 #+END_proof
 
 # 232
+# ID:6509
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $E$ un $\C$-ev de dimension finie, et $p,q\in\mc L(E)$. On pose $c = pq - qp$ et on suppose que $c$ commute avec $p$ et $q$.
  1. Montrer que $c$ est nilpotente.
@@ -2903,6 +2936,7 @@ Soit $E$ un $\C$-ev de dimension finie, et $p,q\in\mc L(E)$. On pose $c = pq - q
 #+END_proof
 
 # 233
+# ID:6510
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $V$ de dimension $2n$, $\sigma$ une symétrie de $V$. On suppose qu'il existe $(a,b)$ et $(a',b,)$ tels que $ab = ba$, $a'b' = b' a'$ et $b\sigma = \sigma a$ et $b'\sigma = \sigma a'$.
 
@@ -2923,6 +2957,7 @@ On suppose que $a$ admet $2n-1$ valeurs propres distinctes, et que $a'$ admet $2
 
 
 # 234
+# ID:6513
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $f\in\mc L(E)$ où $E$ est un $\C$-ev de dimension finie. On suppose que les valeurs propres de $f$ sont simples. Déterminer les $u\in\mc L(E)$ telles que $u\circ f - f\circ u = u^m$, où $m\geq 2$.
 #+END_exercice
@@ -2943,6 +2978,7 @@ Dans une base de diagonalisation de $f$, $u$ est triangulaire supérieure, mais
 #+END_proof
 
 # 235
+# ID:6511
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soit $n\geq 1$ et $A\in\C_{n-1}[X]$. On considère l'endomorphisme $\phi_A$ qui à $P\in\C_{n-1}[X]$ associe le reste de la division euclidienne de $AP$ par $X^n - 1$. Est-ce que $\phi_A$ est diagonalisable ?
 #+END_exercice
@@ -2952,8 +2988,6 @@ La matrice dans la base canonique correspond à des permutations cycliques de la
 On prend les polynômes $L_i$ de Lagrange en les racines de $X^n-1$. Ils forment une base. Puis on remarque que $\phi(L_i)=A(\omega_i) L_i$ donc diagonalisable et les valeurs propres sont les $A( \omega_i)$.
 #+END_proof
 
-# TODO Extraire un exercice : matrice d'une application linéaire.
-
 # 236
 #+call: get_exa(6024)
 #+BEGIN_exercice  $\bigstar$  [X 2022]
@@ -2967,6 +3001,7 @@ La condition est $\dim \Ker u \geq 2 + \dim \Ker u \cap \Im u$.
 #+END_indication
 
 # 237
+# ID:6512
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soient $A,B\in\M_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre les conditions suivantes :
  + $\forall m\in\M_n(\C),\, \chi_{AM+B} = \chi_{AM}$
@@ -3898,13 +3933,17 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ indépendantes de même loi centrée et bornée, et $S_n
 
 # 306
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
-Soient $A_1,\dots, A_n$ des évènements, $x_1,\dots,x_n \in \interval]{0, 1}[$ et $D_1,\dots,D_n$ des parties de $\db{1,n}$. On suppose que pour tout $i$, $\m 1_{A_i}$ est indépendante de la variable conjointe $(\m 1_{A_j})_{j\in\db{1,n}\setminus D_i}$. On suppose aussi que $P(A_i)\leq x_i \prod_{D_i} (1-x_j)$, pour tout $i$.
+Soient $A_1,\dots, A_n$ des évènements, $x_1,\dots,x_n \in \interval]{0, 1}[$ et $D_1,\dots,D_n$ des parties de $\db{1,n}$. On suppose que pour tout $i$, $\m 1_{A_i}$ est indépendante de la variable conjointe $(\m 1_{A_j})_{j\in\db{1,n}\setminus D_i}$. On suppose aussi que $P(A_i)\leq x_i \prod_{D_i\setminus \{i\}} (1-x_j)$, pour tout $i$.
 
 Soit $E\subset \db{1,n}$ et $i\in\db{1,n} \setminus E$. On pose $B_E = \bigcap_{E} \ol{A_j}$, que l'on suppose non négligeable. Montrer que $P(A_i \mid B_E)\leq x_i$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
  $P(A_i\mid B_E) = P(A_i \mid \cap_{E} \ol{A_j})$ $=P(A_i \mid \cap_{E \cap D_i} \ol{A_j} \cap_{E \cap \ol{D_i}} \ol{A_j})$
  ??
+
+Si $D_i = \{i\}$, l'inégalité découle de $P(A_i)\leq x_i (1-x_i)\Rightarrow P(A_i)\leq x_i$.
+
+Si $D_i = E$, on a $P(A_i \mid B_E) = \frac{P(A_i \cap B_E)}{P(B_E)}$, et attention, les évènements de $B_E$ ne sont pas indépendants. 
 #+END_proof