Une quinzaine

Exercices 2024.org

@@ -2,7 +2,7 @@
 #+title:  Exercices 2024
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   20-11-2024
-# Time-stamp: <29-04-25 21:12>
+# Time-stamp: <04-05-25 20:47>
 
 * Meta                                                             :noexport:
 
@@ -14,7 +14,7 @@
 
 #+RESULTS:
 | ? | ! | todo | unexed | unexed xens |
-| 1 | 7 |   15 |    976 |          34 |
+| 1 | 5 |   12 |    957 |          15 |
 
 ** Options
 
@@ -1671,7 +1671,7 @@ Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$. On pose, pour $n\in\N$, $H_{0,n}=a_0+\cdots+a_
 On suppose que : $\forall\theta\in\R,\,g(\theta)=a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(k\theta) +b_k\sin(k\theta))\geq 0$. Montrer qu'il existe un polynôme complexe $P$ tel que : $\forall\theta\in\R,\,g(\theta)=|P(e^{i\theta})|^2$.
 #+end_exercice
 
-# Classique…
+# ID:8074
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 112]
  - Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\forall n,p,u_{n+p}\leq u_n+u_p+C$, ou $C$ est une constante réelle. Montrer que $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ converge ou tend vers $-\i$.
  - Soit $f\in\mc C(\R,\R)$ continue et croissante, telle que $\forall x\in\R,\,f(x+1)=f(x)+1$. On note $f^n$ la composée iterée de $f$ ( $n$ fois).
@@ -2082,12 +2082,13 @@ On note ${\rm AA}=\{xy,\ (x,y)\in A^2\}$.
 #+end_exercice
 
 
-#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 145]  Paley-Sigmund, trois séries de Kolmogorov                          :todo:
+# ID:8071
+#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 145]  Paley-Sigmund, trois séries de Kolmogorov
  - Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive $L^2$. Montrer que, pour $\lambda\in]0,1[$, ${\bf P}(X\geq\lambda{\bf E}(X))\geq(1-\lambda)^2\frac{{\bf E}(X)^{ 2}}{{\bf E}(X^2)}$.
  - Soit $(u_n)$ une suite de variables aléatoires positives indépendantes. Montrer que la série $\sum u_n$ converge presque sûrement si et seulement si $\sum_{n=0}^{+\i}\E(\min(u_n,1))\lt +\i$.
- - Soit $\alpha\gt 0$. On suppose que ${\bf P}(X_n\geq r)\underset{r\ra+\i}{\sim}r^{-\alpha}$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $(x_n)_{n\in\N}\in(\R^+)^{\N}$ pour que $\sum x_nX_n$ converge presque sûrement.
+ - Soit $\alpha\gt 0$. On suppose que ${\bf P}(X_n\geq r)\underset{r\ra+\i}{\sim}r^{-\alpha}$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $(x_n)_{n\in\N}\in(\R_+)^{\N}$ pour que $\sum x_nX_n$ converge presque sûrement.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  - Cauchy-Schwarz : $E(X^2) P(X\geq\la E(X)) \geq E(X 1_{X\geq \la E(X)})^2$, et $E(X 1_{X\leq \la E(X)})\leq \la E(X)$.
  - Si $\sum E(u_n)$ converge, pour $\eps = \frac{1}{N}$, $P(X\gt )$
 
@@ -2097,7 +2098,21 @@ On note ${\rm AA}=\{xy,\ (x,y)\in A^2\}$.
  - Si $\sum u_n$ converge presque sûrement, alors $\sum P(X_n \gt c)$
    doit converger pour tout $c\gt 0$ d'après Borel-Cantelli.
 
+   Si $\sum \E(u_n)$ converge, alors $\E(\sum u_n)$ est fini, donc presque sûrement, $\sum u_n$ est fini.
 
+   Si $\sum \E(\min(u_n, 1))$ diverge, pour $n$ on trouve $N_n$ tel que $\sum_{n}^{N_n}\dots \geq 1$. Alors $\P(\sum_{n}^{N_n} u_k \geq 1/2)\geq \frac{1}{4}\frac{\big(\E(\sum u_k)\big)^2}{\E (\sum u_k)^2}$. On applique cela, mais à $\min(u_n, 1)$ plutôt que $u_n$, comme ça on est bien $L^2$, et on empêche $\E(X^2)$ d'être trop grand, par rapport à $\E(X)$.
+
+   Alternative :  si $\sum u_n$ converge presque sûrement, $E(e^{-\sum u_n})$ est strictement positive, mais c'est $\prod E(e^{-u_n}) \simeq \prod (1 - E(u_n))$, donc $\sum E(u_n)$ converge.
+ - Converge presque sûrement si et seulement si $\sum E(\min (x_n X_n, 1))$ converge, c'est-à-dire $\sum x_n \E(\min (X_n, \frac{1}{x_n}))$.
+
+   Si $x_n \not \ra 0$, $\sum x_n X_n$ diverge grossièrement.
+
+   Si $\a\gt 1$, alors $X_n$ a une espérance, et $\E(\min (X_n, \frac{1}{x_n})) = \Theta(1)$, donc la série converge si et seulement si $\sum x_n$ converge.
+
+   Si $\a\lt 1$, $X_n$ n'a pas d'espérance. Il faut que $\sum x_n \frac{1}{x_n}\P(X_n \geq \frac{1}{x_n})$ converge, c'est-à-dire $\sum x_n^{\a}$ converge.
+
+   Réciproquement, dans ce cas, le reste est $\E(X_n \m 1_{_n \leq 1/x_n})) = \int_0^{\frac{1}{x_n}} \P(u\leq X_n \leq 1/x_n)\du$ $= \int_0^{\frac{1}{x_n}} \P(X_n \geq u) \du - \frac{1}{x_n}\P(X_n \geq 1/x_n)$. (à multiplier par $x_n$)
+   Le terme de droite est aussi en $x_n^{\a}$, donc converge, et le terme de gauche a le même ordre de grandeur aussi, donc tout converge.
 #+END_proof
 
 
@@ -2151,8 +2166,13 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d sur $\Z$ à supp
    Démontrer que $\frac{1}{n}\ln{\bf P}(S_n\geq na)\xrightarrow[n\ra+\i]{}\inf_{s \geq 0}(-sa+\log{\bf E}(e^{sX}))$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof                                                          :todo:
- - On peut faire une récurrence. Aussi, expression explicite de la loi.
+ - Écrire explicitement la loi de $T_n$, comme une somme sur les
- - 
+   configurations des $X_i$ possibles.
+ - D'après la question précédente $\frac{1}{n}\ln \P(S_n\geq a)\geq -\la (a+\eps) + \ln \E(e^{s X}) + \frac{1}{n}\ln \left(\P(na \leq T_n \leq (a+\eps) n)\right)$. Par
+   Par ailleurs, en l'appliquant à $a+\eps$, c'est aussi
+   $\geq -\la (a + 2\eps) + \ln \E(e^{\la X}) + \frac{1}{n}\ln \left(\P(na \leq T_n \leq (a+\eps) n)\right)$.
+
+   Si on écrit plutôt $\P(na \leq S_n \leq (a+\eps)n)\leq \frac{e^{-\la n (a+\eps)}}{\E(e^{-\la X})^n} \P(T_n \geq na)$, le $-\la X$ au dénominateur est.
 #+END_proof
 
 
@@ -2162,16 +2182,22 @@ Soient $\sigma\gt 0$, $n\geq 1$ un entier et $X_1,\ldots,X_n$ des variables alé
 #+end_exercice
 
 
-#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 151]                                           :todo:
+# ID:8072
+#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 151]
 Soient $n\geq 1$, $a\gt 0$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discretes, indépendantes, d'espérance nulle, et à valeurs dans $[-a,a]$.
  - Montrer que, pour tout $1\leq i\leq n$ et $s\gt 0$, ${\bf E}\left[e^{sX_i}\right]\leq\exp\left(\frac{{\bf V}(X_i)}{a^2} \left(e^{as}-1-as\right)\right)$.
  - On note $\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{V}(X_i)$. Montrer que, pour tout $t\geq 0$,
 
    $$\mathbf{P}\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right|\geq t\right) \leq 2\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2\sigma^2+2at/3}\right).$$
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Il suffit de justifier que $e^{sX_i}\leq 1 + sX_i + \frac{X_i^2}{a^2}(e^{as} - 1 - as)$. Utiliser le développement en série.
+ - On retire la valeur absolue par symétrie (cf le facteur 2). Puis Markov exponentielle, etc.
+#+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 152]                                           :todo:
+# ID:8073
+#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 152]
 Pour $x\gt 0$, on pose $\Gamma(x)=\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. On pourra utiliser sans demonstration le fait que $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ et $\Gamma(1)=1$.
  - Montrer que, pour tout $k\geq 1$ entier, $\Gamma(k)=(k-1)!$ et $\Gamma(k+1/2)\leq k!$.
  - Soient $\sigma\gt 0$ et $X$ une variable aléatoire réelle discrete à valeurs dans un ensemble discret, telle que, pour tout $t\geq 0$, $\mathbf{P}\left(\left|X\right|\gt t\right)\leq 2\exp\left(-\dfrac{t^2}{2 \sigma^2}\right)$. Montrer que, pour tout entier $k\geq 1$, $\mathbf{E}\left(\left|X\right|^k\right)\leq(2\sigma^2)^{k/2}k\Gamma(k /2)$.
@@ -3277,15 +3303,18 @@ Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*)\colon x^2-dy^2=1$ d'
    $\sum_{\chi_1} \sum_{a+b = 1}\chi_1(a) + \sum_{\chi_2} \sum_{a+b = 1}\chi_1(2) + \sum_{\chi_1,\chi_2}\sum_{a+b = 1} \chi_1(a)\chi_2(b)$
    Les premières sommes sont nulles. On obtient exactement la somme sur $J$.
 
-   Comme $\m F^\times$ est cyclique, les éléments de $\m F^{\times}[3]$ sont $\om$ et $\om^2$.
+   Comme $\m F^\times$ est cyclique, les éléments de $\m F^{\times}[3]$ sont $\om$ et $\om^2$. La somme comporte $J(\om, \om) + J(\om, \om^2) + J(\om^2, \om) + J(\om^2, \om^2)$, et on trouve $J(\om, \om^2) = -1$. Les deux autres sont conjugués.
  - On a $J(\om, \om)$ qui est dans $\Z[e^{\frac{2i \pi}{3}}] = \Z[j, j^2] = \Z[j]$. Il s'écrit donc $(c-\frac{d}{2}) + i d \frac{\sqrt{3}}{2}$, et on a $(c- d/2)^2 + 3d^2/4 = p$, donc $c^2 - dc + d^2  = p$.
 
    On prend donc $a_p = d - 2c$. Le résultat voulu revient à montrer
-   que $d$ est un multiple de $3$, donc que $J(\om, \om)\equiv 1 [3]$
+   que $d$ est un multiple de $3$, donc que $J(\om,\om) = a + 3 d' j$.
 
-   On a $\sum_{x\in \m F} \om(x)\zeta_p^x = \sum_{3 \mid x} \zeta_p^x + \sum_{x \equiv 1 [3]} j \zeta_p^x + \sum_{x \equiv 2 [3]} j^2 \zeta_p^x$. La première somme est
+   On a $\sum_{x\in \m F} \om(x)\zeta_p^x$.
 
-   C'est donc $\sum_{x=1}^{p-1} (\zeta_p j)^x = \frac{\zeta_p j - j}{1 - \zeta_p j}$. On l'élève à la puissance $3$, on obtient $\frac{(\zeta_p - 1)^3}{(1 - \zeta_p j)^3}$
+   C'est donc $\sum_{x=1}^{p-1} (\zeta_p' j)^x = \frac{\zeta_p' j - j}{1 - \zeta_p j}$ (ici, on utilise $p\equiv 1[3]$). On l'élève à la puissance $3$, on obtient $\frac{(\zeta_p' - 1)^3}{(1 - \zeta_p j)^3}$ qui s'écrit on obtient $1 - 3\frac{\zeta_p'^2 - \zeta_p'}{(1-j \zeta_p')^3}$. Donc le quotient appartient à $\Q[j]$ (étant égal à $pJ$).
+
+   On écrit ça comme $(1-j\zeta_p)^3 pJ = (1-j\zeta_p)^3 - 3
+   (\zeta_p^2 - \zeta_p)$ (remarque : $\zeta_p$ ici est un $e^{\frac{2i k\pi}{p}}$, où $k$ est un générateur de $\m F^{\times}$, mais c'est quand même bizarre)
 #+END_proof
 
 
@@ -3419,7 +3448,8 @@ Revient à montrer que les polynômes de Lagrange sont à valeurs entières, car
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 286]                                             :todo:
+# ID:8069
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 286]
 Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n\geq 2$ dont on note $z_0,\ldots,z_{n-1}$ les racines. On note $t_1,\ldots,t_{n-1}$ les racines complexes de $P'$ et l'on suppose que : $\forall k\in\db{0,n-1},|z_k|\leq 1$.
  - Montrer que : $\forall k\in\db{1,n-1},|t_k|\leq 1$.
  - On suppose que $z_0$ est racine simple de $P$. Calculer $\dfrac{P''(z_0)}{P'(z_0)}$ deux façons :
@@ -3428,11 +3458,18 @@ Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n\geq 2$ dont on note $z_0,\ldots
  - Soit $z\in\C\setminus\{-1\}$ tel que $|z|\leq 1$. Montrer que $\mathfrak{Re}\left(\dfrac{1}{1+z}\right)\geq\dfrac{1}{2}$.
  - On suppose que $z_0=1$ et que $z_0$ est racine simple. Montrer qu'il existe $k\in\db{1,n-1}$ tel que $|1-t_k|\leq 1$.
  - On suppose que $|z_0|=1$. Montrer qu'il existe $i\in\db{1,n-1}$ tel que $|z_0-t_i|\leq 1$.
- - Soient $Q\in\R[X]$ non constant et $\alpha\in\R^*$. On pose $P=Q^2+\alpha^2$. Montrer qu'il existe une racine $z$ de $P$ et une racine $t$ de $P'$ telles que $|z-t|\leq|z|$.
+ - s Soient $Q\in\R[X]$ non constant et $\alpha\in\R^*$. On pose $P=Q^2+\alpha^2$. Montrer qu'il existe une racine $z$ de $P$ et une racine $t$ de $P'$ telles que $|z-t|\leq|z|$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  - Classique.
- - D'une part c'est $\sum \frac{1}{z_0 - t_k}$, d'autre part, on part de $\frac{P'}{P} = \sum \frac{1}{X - z_k}$, on dérive en $\frac{P''}{P} - \frac{P'^2}{P^2}$ !!
+ - D'une part c'est $\sum \frac{1}{z_0 - t_k}$.
+
+   D'autre part, si on décompose $P = (X-z_0)\prod (X - z_k)$, on a $P'(z_0) = \prod (z_0 - z_k)$, et $P''(z_0) = 2\sum_{i=1}^k \prod_{k\neq i} (z_0 - z_k)$.
+
+   Donc $\frac{P''(z_0)}{P'(z_0)} = 2 \sum_{i=1}^k \frac{1}{z_0-z_k}$.
+ - La question précédente donne que la partie réelle de $\sum \frac{1}{1 - z_k}$ est plus grande que $1$, donc la somme est de module $\geq n$, donc un des termes à gauche est en module $\geq 1$.
+ - Simple transformation.
+ - C'est vrai indépendamment de l'expression de $P$. Manque une fin.
 #+END_proof
 
 
@@ -3463,12 +3500,20 @@ Pour $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\in\C[X]$, on pose $\lN P\rN = \left(\sum
 #+END_proof
 
 
+
+# ID:8075
 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 289]
 Soient $\om,q\in\C^*$ tels que $\om^2$ n'est pas une puissance entière de $q$. On considère l'équation $(*)\colon \om f(z) g(qz) = \om^2 f(qz) g(z) + P(z)$, d'inconnues $(P,f,g)\in\C[X]^3$, avec $g,P$ unitaires.
  - Si $(P,f,g)$ vérifie $(*)$, trouver une relation entre les degrés de $P,f,g$.
  - On fixe $P$. Montrer l'existence de $(f,g)$ tel que $(P,f,g)$ vérifie $(*)$.
  - On fixe $(P,f)$. Y a-t-il unicité de $g$ tel que $(P,f,g)$ vérifie $(*)$ ?
 #+END_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Comme $\om$ n'est pas une puissance entière de $q$, les coefficients dominants de $\om f(z) g(qz)$ et $\om^2 f(qz) g(z)$ sont différents.  Leurs degrés sont les mêmes, dont nécessairement égaux à celui de $P$.
+ - Prendre $g = 1$.
+ - L'unicité est clair, par linéarité.
+#+END_proof
+
 
 # ID:7898
 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 290]
@@ -3632,7 +3677,8 @@ Soit $\mc{A}$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$ stable par crochet de Lie :
  - On suppose que $\dim\mc{A}\leq 3$ et que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme nilpotent de $\mc{A}$. On pose $\mc{A}_0=\mc{A}$ et, pour $j\in\N$, $\mc{A}_{j+1}=\{[M,N],\ (M,N)\in\mc{A}_j^2\}$. Montrer que $\mc{A}_3=\{0\}$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof                                                          :todo:
- - Si $[M, N] = \la N$, alors !!
+ - Si $[M, N] = \la N$, alors $[M, [M,N]] = [M, \la N] = \la^2 N$, mais
+ - 
 #+END_proof
 
 
@@ -3726,19 +3772,26 @@ Pour $n\in\N^*$, soit $H_n=\big{\{}M\in\M_n(\{-1,1\}) \, \mid \, M^TM=nI_n\big{\
 #+END_proof
 
 
+# ID:8076
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 307]
 On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u\in\R^3$ unitaire.
 
-Soient $\sigma_u:x\mapsto x-2\left\langle x,u\right\rangle u$ et $\Omega_u=\big{\{}x\in\R^3\;;\;\left\langle x,u\right\rangle \geq 0\text{ et }\left\langle x,\sigma_u(x)\right\rangle\leq 0 \big{\}}$.
+Soient $\sigma_u\colon x\mapsto x-2\left\langle x,u\right\rangle u$ et $\Omega_u=\big\{x\in\R^3 \mid \left\langle x,u\right\rangle \geq 0\text{ et }\left\langle x,\sigma_u(x)\right\rangle\leq 0 \big\}$.
- - Décrire et representer $\Omega_u$.
+ - Décrire et représenter $\Omega_u$.
- - Montrer que $\Omega_u$ est auto-dual, c'est-a-dire que $\Omega_u=\big{\{}y\in\R^3\;;\;\forall x\in\Omega_u,\;\left\langle x,y\right\rangle\geq 0\big{\}}$.
+ - Montrer que $\Omega_u$ est auto-dual, c'est-à-dire que $\Omega_u=\big{\{}y\in\R^3\;;\;\forall x\in\Omega_u,\;\left\langle x,y\right\rangle\geq 0\big{\}}$.
- - On dit que $x\in\Omega_u$ est extremal si $\colon\forall x_1,x_2\in\Omega_u$, $x=x_1+x_2\Rightarrow x,x_1,x_2$ colinéaires.
+ - On dit que $x\in\Omega_u$ est extrémal si $\colon\forall x_1,x_2\in\Omega_u$, $x=x_1+x_2\Rightarrow x,x_1,x_2$ colinéaires. Quels sont les points extrémaux de $\Omega_u$?
+ - Si $f\in\mc{L}(\R^3)$, on dit que $f$ est extrémal si $f(\Omega_u)\subset\Omega_u$ et, pour tous $g,h\in\mc{L}(\R^3)$ tels que $f=g+h$, $g(\Omega_u)\subset\Omega_u$, $h(\Omega_u)\subset\Omega_u$, on a $f,g,h$ colinéaires.
 
-   Quels sont les points extremaux de $\Omega_u$?
+   Déterminer les endomorphismes extrémaux de rang 1.
- - Si $f\in\mc{L}(\R^3)$, on dit que $f$ est extremal si $f(\Omega_u)\subset\Omega_u$ et, pour tous $g,h\in\mc{L}(\R^3)$ tels que $f=g+h$, $g(\Omega_u)\subset\Omega_u$, $h(\Omega_u)\subset\Omega_u$, on a $f,g,h$ colinéaires.
-
-   Déterminer les endomorphismes extremaux de rang 1.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - La condition $\langle x, \sigma_u(x)\rangle \geq 0$ est équivalente à $\langle x, x\rangle - 2 \langle x, u\rangle^2 \leq 0$, c'est-à-dire $\langle x, u\rangle \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \lN x\rN$. C'est un cone d'angle $\frac{\pi}{4}$ autour de $u$.
+ - 
+ - 
+ - Clairement, l'image doit être un point extrémal de $\Om_u$.
+
+   Réciproquement, $f$ est de la forme $f(x) = \langle x, v\rangle w$. Il faut que $v\in \Om_u$, et que $v$ soit dans la frontière aussi. Dans ce cas, on est probablement extrémal.
+#+END_proof
 
 
 # ID:nil # bof
@@ -3758,6 +3811,7 @@ De norme $1$, donc $n!$.
 #+END_proof
 
 
+# ID:nil # Chiant
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 310]
 Un produit scalaire hermitien $\Phi$ sur le $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\Phi:E\times E\ra\C$ telle que : $\forall y\in E$, $x\mapsto\Phi(x,y)$ est linéaire ; $\forall(x,y)\in E^2$, $\Phi(y,x)=\overline{\Phi(x,y)}$ ; $\forall x\in E\setminus\{0\}$, $\Phi(x,x)\gt 0$. On note alors $\|x\|=\sqrt{\Phi(x,x)}$ pour $x\in E$.
  - On munit $\C^2$ du produit scalaire hermitien tel que $\langle(x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=x_1\overline{y_1}+x_2\overline {y_2}$. Soit $T$ l'endomorphisme de $\C^2$ dont la matrice dans la base canonique est $\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$. Déterminer $\left\{\langle Tx,x\rangle\ ;\ x\in\C^2,\ \|x\|^2=1\right\}$.
@@ -4247,9 +4301,13 @@ Comparaison série intégrale, changement $t = \ln x u$ et convergence dominée.
 #+END_proof
 
 
+# ID:8077
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 349]
 Soit $q\in\R^*$. Soit $a\in\mc C^0(\R,\R^*)$. Soit $m,M$ deux réels vérifiant $:0\lt m\lt M$ et $m\leq|a|\leq M$. On suppose egalement que $m\gt 2$ ou $M\lt \frac{1}{2}$. Montrer qu'il existe une unique fonction $F\colon\R\ra\R^*$ continue et bornée vérifiant $\colon\forall t\in\R,F(t)=1+\frac{F(qt)}{a(t)}$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+L'application $T\colon F\mapsto 1 + \frac{F(qt)}{a(t)}$ est $\frac{1}{2}$-lips. La suite $(T^n(f))$ converge, car $\sum \lN T^{(n+1)}(f) - T^n(f)\rN$ converge.
+#+END_proof
 
 
 # ID:223
@@ -4258,19 +4316,31 @@ Soit $\sum a_nz^n$ une série entière dont le rayon de convergence appartient
 #+end_exercice
 
 
+# ID:8078
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 351]
 Soit $x\gt 0$.
  - Montrer que $\colon\forall n\in\N,\sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k\frac{x^k}{k!}\lt e^{-x}\lt  \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{x^k}{k!}$.
  - Montrer que $\colon\forall n\in\N,\sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\lt  \arctan x\lt \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$.
- - Montrer que $\forall n\in\N,\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{(-1)^kx^{2k}}{4^k(k!)^2}\lt  \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}\dt\lt \sum_{k=0 }^{2n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{4^k(k!)^2}$.
+ - s Montrer que $\forall n\in\N,\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{(-1)^kx^{2k}}{4^k(k!)^2}\lt  \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}\dt\lt \sum_{k=0 }^{2n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{4^k(k!)^2}$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Étude de fonction, ou Taylor-Lagrange.
+ - Revient à trouver le signe des dérivées successives de $\arctan x$,
+   via décomposition en éléments simples.
+ - On peut développer $\cos(xt)$ en série pour trouver le développement en série entière (il y a une intégrale de type Wallis). Pour le signe des dérivées, il faut dériver l'intégrale.
+#+END_proof
 
 
+# ID:8079
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 352]
 Montrer que, pour tous $r\in \interval]{0, 1}[$ et $\theta\in\R$, $\ln\left|1-re^{i\theta}\right|=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{r^n}{n}\cos(n\theta)$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Vérifier que les dérivées coïncident.
+#+END_proof
 
 
+# ID:nil # Classique
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 353]
 Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $\forall n\in\N,\ \forall x\in\R,\ f^{(n)}(x)\geq 0$.
  - On suppose que $f(0)=0$. Montrer que $\forall x\leq 0,\ f(x)=0$.
@@ -4279,6 +4349,7 @@ Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $\forall n\in\N,\ \forall
 #+end_exercice
 
 
+# ID:8080
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 354]
 Soit $(L_n)_{n\geq 0}$ définie par $L_0=L_1=1$ et, si $n\geq 1$, $L_{n+1}=(n+1)L_n-\binom{n}{2}L_{n-2}$, avec $L_{-1}=0$. On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{L_n}{n!}\,x^n$.
  - Montrer que le rayon de convergence de $f$ est strictement positif.
@@ -4286,6 +4357,12 @@ Soit $(L_n)_{n\geq 0}$ définie par $L_0=L_1=1$ et, si $n\geq 1$, $L_{n+1}=(n+1)
  - Déterminer $f$. Ind. Trouver une équation différentielle vérifiée par $f$.
  - En déduire un équivalent de $\frac{L_n}{n!}$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - 
+ - $(1-x) f'(x) = 1 + (1 - \frac{x^2}{2})f(x)$
+ - On trouve $f(x)$ de l'ordre de $(1-x)^{-1/2}$, puis formule de Cauchy, je pense.
+#+END_proof
 
 
 # ID:8002
@@ -4313,11 +4390,13 @@ Soit $n\geq 2$. On pose $g_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^{4k}}\binom{2k}{k}^2$. Soit
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 357]                                             :todo:
+# ID:8090
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 357]
 Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=n\int_0^{+\i}\sin(t^n)\dt$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
 Poser $x = t^n$, on obtient $\int_0^{+\i} x^{1/n - 1}\sin x\dx$, que l'on peut lier à la fonction $\Gamma$.
+En $x = 0$ pas de soucis. On devrait tendre vers $\int_0^{+\i} \frac{\sin x}{x}\dx$ (qui vaut $\frac{\pi}{2}$). Pour le montrer, on peut regrouper par deux périodes consécutives, pour obtenir une convergence dominée.
 #+END_proof
 
 
@@ -4346,6 +4425,7 @@ Changer $u = xt$, dériver deux fois, faire deux ipps, on trouve $f(x) = f''(x)$
 #+END_proof
 
 
+# ID:8081
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 361]
 Soit $t\gt 0$. Our $p\in\R$, on pose $F_c(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\cos(px^2)\dx$,
 
@@ -4360,21 +4440,25 @@ Soit $t\gt 0$. Our $p\in\R$, on pose $F_c(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\cos(px^2)\dx$
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 362]
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 362]                                             :todo:
 Soit $f\colon\R^+\ra\R^{+*}$ de classe $\mc C^1$ telle que $\frac{xf'(x)}{f(x)}\ra a\in\R$ quand $x\ra+\i$.
  - Soit $m\in\R^{+*}$. Montrer que $x\mapsto\frac{f(mx)}{f(x)}$ admet une limite en $+\i$ ; la calculer.
 
-Soit $I:t\mapsto\int_0^{+\i}e^{-tx}f(x)dx$.
+ - Soit $I:t\mapsto\int_0^{+\i}e^{-tx}f(x)dx$.
    - Montrer que $I$ est définie sur $\R^{+*}$.
    - Montrer que $I$ admet une limite finie en $+\i$.
    - Supposons $a\lt -1$. Déterminer la limite de $I$ en $0^+$.
 #+end_exercice
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 363]
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 363]                                             :todo:
  - Soient $I$ et $J$ deux segments de $\R$, et $f:I\times J\ra\R$ continue. Montrer l'existence et l'égalité des deux quantites $\int_I\left(\int_Jf(x,y)dy\right)dx$ et $\int_J\left(\int_If(x,y)dx\right)dy$.
  - Pour $\alpha\in\,]0,1[$ et $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $f^2$ et $f^{' 2}$ sont intégrables sur $\R$, on note $\|f\|_{\alpha}^2=\int_{\R}\left(\int_{\R}\frac{|f(x)-f(y)|^ {2}}{|x-y|^{1+2\alpha}}dy\right)dx$. Montrer que $\|\ \|_{\alpha}$ définit une norme sur l'espace vectoriel $\{f\in\mc C^1(\R,\R),\ (f,f')\in L^2( \R,\R)^2\}$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - 
+#+END_proof
 
 
 # ID:7693
@@ -4449,6 +4533,7 @@ Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-péri
 #+END_proof
 
 
+# ID:8082
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 369]
  - Soient $f,g\colon\R^+\ra\R$ des fonctions continues et $K$ un réel strictement positif. On suppose que, pour tout $t\in\R^+$, $f(t)\leq g(t)+K\int_0^tf(u)\,du$.
 
@@ -4461,7 +4546,9 @@ Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-péri
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  - Poser $H(t) = \int_0^t f(s)\ds$, de sorte que $H'(t)\leq g(t) +K H(t)$, puis considérer $H(t) e^{-Kt}$.
- - On pose $D(t) = M(t) - N(t)$.
+ - On pose $D(t) = M(t) - N(t)$. On a $D'(t) = A(t)D(t) + (A(t) - B(t))N(t)$.
+
+   On a une expression intégrale de $D'$, qui permet de conclure.
 #+END_proof
 
 
@@ -4590,6 +4677,7 @@ Soit $n\in\N^*$. Déterminer espérance et variance du nombre de points fixes d'
 #+end_exercice
 
 
+# ID:8083
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 382]
 On munit $\mc{S}_n$ de la loi uniforme et on considére $X_n$ la variable aléatoire qui associe à une permutation le nombre d'orbites de cette permutation.
  - Calculer $\mathbf{P}(X_n=1)$ et $\mathbf{P}(X_n=n)$.
@@ -4672,19 +4760,32 @@ Soit, pour $n\in\N^*$, $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme su
 #+END_proof
 
 
+# ID:8084
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 389]
 On dit qu'une variable aléatoire $Y$ est $k$-divisible lorsqu'elle à la même loi que la somme de $k$ variables indépendantes et identiquement distribuées.
  - On suppose que $Y\sim\mc{B}(n,p)$. Pour quels entiers $k\gt 0$ la variable $Y$ est-elle $k$-divisible?
  - Construire une variable aléatoire $Y$ non constante infiniment divisible.
  - Soit $Y$ une variable aléatoire bornée infiniment divisible. Montrer que $Y$ est constante presque surement.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - Loi de Poisson.
+ - Sympatoche.
+#+END_proof
 
 
+# ID:8089
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 390]
 Soient $\alpha\gt 0$ et $(B_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que $\mathbf{P}(B_i=1)=1-\mathbf{P}(B_i=0)=\frac{1}{i^{\alpha}}$. Soit $S=\{n\in\N^*,B_n=1\}$.
- - Donner une condition sur $\alpha$ pour que $S$ soit infini presque surement, puis pour que $S$ soit fini presque surement. - On suppose $\alpha\lt 1$. On pose $\beta\gt 0$ et $N=\max\{n\in\N^*,S\cap\db{n,n+n^{\beta}}=\emptyset\}$. Donner des conditions sur $\beta$ pour que $\mathbf{P}(N=+\i)=1$ et pour que $\mathbf{P}(N=+\i)=0$.
+ - Donner une condition sur $\alpha$ pour que $S$ soit infini presque surement, puis pour que $S$ soit fini presque sûrement.
+ - On suppose $\alpha\lt 1$. On pose $\beta\gt 0$ et $N=\max\{n\in\N^*,S\cap\db{n,n+n^{\beta}}=\emptyset\}$. Donner des conditions sur $\beta$ pour que $\mathbf{P}(N=+\i)=1$ et pour que $\mathbf{P}(N=+\i)=0$.
  - Montrer que, presque surement, il existe un rationnel $\gamma$ tel que $\lfloor\gamma^{2^n}\rfloor\not\in S$ pour tout $n\in\N$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - C'est les deux versions de BC. La condition est $\sum \frac{1}{n^{\a}}$ converge.
+ - On trouve $P(A_n) = e^{-n^{\b}/n^{\a}}$. Si $\b\gt \a$ la série converge, sinon, la probabilité est une constante, et les $A_n$ éloignés sont indépendants.
+ - Pour $a$ fixé, la probabilité que $a$ marche est une constante non nulle. En prenant pour $a$ les nombres premiers $p_i$, les évènements sont indépendants, donc on est sûr qu'un fonctionne.
+#+END_proof
 
 
 # ID:7933