diff --git a/Exercices 2025.org b/Exercices 2025.org index cd63ab5..ffba074 100644 --- a/Exercices 2025.org +++ b/Exercices 2025.org @@ -1,8 +1,8 @@ -# -*- org-export-switch: "todoes"; -*- +# -*- org-export-switch: "xens mp"; -*- #+title: Exercices 2025 #+author: Sébastien Miquel #+date: 22-07-2025 -# Time-stamp: <03-08-26 22:02> +# Time-stamp: <24-08-26 12:39> #+OPTIONS: toc:t * Meta :noexport: @@ -35,10 +35,10 @@ *** XENS MP -# #+select_tags: xens -# #+exclude_tags: autre -# #+exclude_types: proof -# #+export_file_name: Exercices XENS MP 2025 +#+select_tags: xens +#+exclude_tags: autre +#+exclude_types: proof +#+export_file_name: Exercices XENS MP 2025 *** Centrale @@ -59,10 +59,10 @@ *** todoes -#+options: title:nil nopage:t tags:nil toc:nil -#+select_tags: todo -#+export_file_name: Exercices 2025 todo -#+relocate_tags: todo +# #+options: title:nil nopage:t tags:nil toc:nil +# #+select_tags: todo +# #+export_file_name: Exercices 2025 todo +# #+relocate_tags: todo *** autre diff --git a/Exercices 2026.org b/Exercices 2026.org new file mode 100644 index 0000000..d8f5e24 --- /dev/null +++ b/Exercices 2026.org @@ -0,0 +1,12723 @@ +# -*- org-export-switch: "xens mp"; -*- +#+title: Exercices 2026 +#+author: Sébastien Miquel +#+date: 22-07-2026 +# Time-stamp: <24-10-26 18:33> +#+OPTIONS: toc:t + +* Meta :noexport: +** Statistiques + +#+BEGIN_SRC emacs-lisp +(my-stats-exo) +#+END_SRC + +#+RESULTS: +| ? | ! | todo | unexed | unexed xens | +| 0 | 0 | 5 | 5 | 5 | + +** Options + +#+OPTIONS: latex:verbatim +#+OPTIONS: toc:t +# #+exclude_types: proof + +*** All + +# #+OPTIONS: toc:t +# #+export_file_name: Exercices 2026 +# #+exclude_types: proof + +*** XENS + +# #+select_tags: xens +# #+export_file_name: Exercices XENS 2026 + +*** XENS MP + +#+select_tags: xens +#+exclude_tags: autre +#+exclude_types: proof +#+export_file_name: Exercices XENS MP 2026 + +*** Centrale + +# #+select_tags: cent +# #+export_file_name: Exercices Centrale 2026 + +*** Mines + +# #+select_tags: mines +# #+export_file_name: Exercices Mines 2026 + +*** Mines Centrale + +# #+select_tags: mines cent +# #+exclude_tags: autre +# #+options: toc:2 +# #+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2026 + +*** todoes + +# #+options: title:nil nopage:t tags:nil toc:nil +# #+select_tags: todo +# #+export_file_name: Exercices 2026 todo +# #+relocate_tags: todo + +*** autre + +# #+options: title:nil nopage:t tags:nil +# #+select_tags: autre +# #+export_file_name: Exercices XENS 2026 autres +# #+relocate_tags: todo + +*** autres + +# #+options: title:nil nopage:t tags:nil +# #+select_tags: autres +# #+export_file_name: Exercices 2026 Autres MP +# #+relocate_tags: todo + + +* ENS MP/MPI :xens: + +** Algèbre + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 1] +Soit $F$ un sous-ensemble fini de $R$. On note +$F+F = \{e+f \mid (e,f)\in F^2\}$. Majorer le cardinal de $F+F$ ; montrer +qu'il est minoré par $2|F|-1$. Cela reste-t-il vrai dans $R^d$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 2] +Soit $f : \{-1,1\}^n\to\R$. Montrer l'existence et l'unicité d'une fonction +$c : \mathcal P(\db{1,n})\to\R$ telle que, pour tout +$x=(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$, +$$f(x)=\sum_{S\subset\{1,2,\ldots,n\}} c(S)\prod_{i\in S}x_i.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 3] +Soient $E$ un ensemble et $n\in\N$. On note $C(E,n)$ l'ensemble des parties +de $E$ de cardinal $n$. Déterminer toutes les parties +$\{a_1,\ldots,a_n\}\in C(\Z,n)$, avec $a_1<\cdots3$. + Montrer que si $A\equiv I_2+X\pmod p$, alors + $A^p\equiv I_2+pX\pmod{p^2}$. +3. Soit $H$ un sous-groupe de $\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$ tel que + $\Pi(H)=\mathrm{SL}_2(\Z/p\Z)$. Montrer que + $H=\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$. +4. Montrer le même résultat avec $\mathrm{SL}_2(\Z/p^k\Z)$ à la place de + $\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 12] +1. Montrer que $\Z[X]$ est un sous-anneau de $\R[X]$. +2. Soient $A,B\in\Z[X]$ avec $B$ unitaire. Montrer qu'il existe + $Q,R\in\Z[X]$ tels que $A=BQ+R$ avec $\deg(R)<\deg(B)$. +3. Soient $n\in\N^*$ et $y\in\Z$. Montrer que l'application + $\phi:P\in\Z[X]\mapsto P(y)\in\Z/n\Z$ est un morphisme surjectif + d'anneaux, de noyau + $$\{(X-y)A+nB\mid(A,B)\in\Z[X]^2\}.$$ +4. Soient $Q\in\Z[X]$ unitaire de degré strictement positif et $R$ un + anneau. On suppose qu'il existe un morphisme d'anneaux de $\Z[X]$ dans + $R$ de noyau $\{QA+nB\mid(A,B)\in\Z[X]^2\}$. Montrer que $R$ est fini + et déterminer son cardinal. +5. On suppose désormais que $Q(X)=X^2+bX+c$. Déterminer une condition + nécessaire et suffisante sur $n,b,c$ pour que l'anneau $R$ soit intègre. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 13] +Un idéal $I$ d'un anneau commutatif est dit premier si $A\setminus I$ est +stable par multiplication ; il est dit maximal si les seuls idéaux qui le +contiennent sont $I$ et $A$. +1. Montrer que tout idéal premier non nul de $\Z[\sqrt{5}]$ est maximal. +2. Montrer que tout idéal maximal de $\Z[\sqrt{5}]$ est premier. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 14] +Soit $A$ une $\R$-algèbre commutative unitaire de dimension finie. On note +$\mathrm{Nil}(A)=\{x\in A\mid x\text{ est nilpotent}\}$. +1. Rappeler la définition d'un idéal et montrer que $\mathrm{Nil}(A)$ est un + idéal. +2. Montrer que si $x\in\mathrm{Nil}(A)$, alors $1-x$ est inversible. +3. Montrer qu'il existe $M\in\N$ tel que, pour tous + $x_1,\ldots,x_M\in\mathrm{Nil}(A)$, $x_1\cdots x_M=0$. +4. Montrer que $M=\dim A$ convient. +5. Soit $L_x:y\in A\mapsto xy\in A$. Montrer que $x\in\mathrm{Nil}(A)$ si + et seulement si $\chi_{L_x}=X^{\dim A}$. +6. Montrer que, pour tout $x\in A$, $\chi_{L_x}(x)=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 15] +1. Soit $P\in\R[X]$. Montrer que, pour tout $x\in\R$, $P(x)\geq0$ si et + seulement s'il existe $A,B\in\R[X]$ tels que $P=A^2+B^2$. + Indication : montrer que l'ensemble + $\{A^2+B^2\mid(A,B)\in\R[X]^2\}$ est stable par produit. +2. Montrer que, pour tout $x\in\R^+$, $P(x)\geq0$ si et seulement s'il + existe $(A,B)\in\R[X]^2$ tels que $P=A^2+XB^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 16] +Soit $P\in\R[X]$ de degré au moins $2$. Le polynôme $P$ est dit sympathique +s'il est le produit de deux polynômes non constants à coefficients positifs. +On suppose qu'il existe $n\geq2$ tel que $P(X^n)$ soit sympathique. Démontrer +que $P$ est également sympathique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 17] +Soient $K$ un corps de caractéristique nulle et $a\in K$. Soit +$(P,Q)\in K[X]^2$ non tous deux nuls en $a$. Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il +existe $(\lambda,\mu)\in K^2$ tels que $\lambda P+\mu Q$ soit un polynôme +non nul admettant $a$ comme racine de multiplicité $n$ si et seulement si +$a$ est racine de $P'Q-PQ'$ de multiplicité $n-1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 18] +1. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $U_n,V_n\in\Z[X]$ tels que, + pour tout $z\in\C$, $(1+iz)^n=U_n(z)+iV_n(z)$. Donner le degré de $V_n$, + puis ses racines. +2. Soit $p$ un nombre premier tel que $p\equiv3\pmod4$. Montrer que, pour + tout $k\in\Z$, $p$ divise $V_{p+1}(k)$. +3. Soient $p$ un nombre premier impair, $m,n\in\N^*$ et $d=m\wedge n$. + Soit $k\in\Z$. On suppose que $p\mid V_m(k)$ et $p\mid V_n(k)$. Montrer + que $p\mid V_d(k)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 19] +On pose $P=\sum_{i=0}^N a_iX^i\in\C[X]$, avec $a_0\neq0$ et $a_N=1$, et +$$H(P)=\sup_{|z|=1}\frac{|P(z)|}{\sqrt{|a_0|}}.$$ +1. Montrer que + $$\frac{1}{|a_0|}\sum_{i=0}^N|a_i|^2\leq H(P)^2\leq + \frac{N+1}{|a_0|}\sum_{i=0}^N|a_i|^2$$ + et étudier les cas d'égalité. +2. On pose $\ln^+(x)=\max(0,\ln x)$. Montrer que + $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} + \ln^+\left(\frac{|P(e^{i\theta})|}{\sqrt{|a_0|}}\right)\,d\theta + \leq \ln H(P).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 20] +Soit $(u,v)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On appelle cristal +engendré par $(u,v)$ l'ensemble $C=\{au+bv\mid(a,b)\in\Z^2\}$. +1. Trouver les $\Phi\in\mathcal L(\R^2)$ tels que $\Phi(C)=C$, pour $C$ le + cristal engendré par la base canonique. +2. Trouver les rotations $\Phi$ de $\R^2$ telles que $\Phi(C)=C$, pour $C$ + le cristal engendré par la base canonique. +3. Trouver les rotations $\Phi$ de $\R^2$ telles que $\Phi(C)=C$, pour $C$ + un cristal quelconque. +4. Soit $C$ une partie de $\R^2$ stable par $+$ et $-$. Montrer que $C$ est + un cristal si et seulement si $\operatorname{Vect}(C)=\R^2$ et $C$ est + discret. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 21] +Soient $A,B\in\mathcal M_{m,n}(\R)$. On dit que $A$ est équivalente à $B$ +par rapport aux lignes si, pour tous $k$ et tous +$1\leq i_1<\cdots1$ et on écrit par blocs + $$M=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ *&A&X&B\\ *&*&y&*\\ *&C&Z&D\end{pmatrix},$$ + avec $A,B,C,D\in\mathcal M_{n-1}(\Z)$, $y\in\Z$ et + $X,Z\in\mathcal M_{n-1,1}(\Z)$. Montrer que $y=1$, $X=Z=0$ et + $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in G_{n-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 32] +On souhaite déterminer les ordres possibles des éléments $A$ de +$\mathrm{GL}_2(\Z)$. Pour cela, on écrit +$\chi_A=X^2-tX+d$. Préciser les valeurs de $t$ et $d$, puis discuter les +ordres possibles. Fournir des exemples explicites pour les différents +ordres possibles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 33] +Soient $A$ et $B$ des matrices de $\mathcal M_n(\C)$ telles que +$A^2+B^2=2AB$. Montrer que $\chi_A=\chi_B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 34] +Soit $G$ un sous-groupe d'ordre $6$ de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Étudier les +propriétés de réduction simultanée des éléments de $G$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 35] +Soient $K$ un corps et $A\in\mathcal M_2(K)$. On suppose que le polynôme +caractéristique $\chi_A$ est irréductible sur $K$. Soit +$B\in\mathrm{GL}_2(K)$ telle que $B$ ne commute pas avec $A$. Montrer que +$B^2$ est une matrice scalaire. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 36] +Soit $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$. +1. On suppose que $G$ est fini. Montrer que les éléments de $G$ sont + diagonalisables. Que peut-on dire de leurs spectres ? +2. On suppose que $G$ est compact. Soit $M\in G$. + a. Montrer que $\operatorname{Sp}(M)\subset\mathbb U$. + b. Soit $\lambda\in\operatorname{Sp}(M)$. Montrer que + $\ker(M-\lambda I_n)=\ker((M-\lambda I_n)^2)$ et en déduire que + $M$ est diagonalisable. +3. Caractériser les sous-groupes abéliens finis et les sous-groupes abéliens + compacts de $\mathrm{GL}_n(\C)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 37] +Soit $K$ un corps. Une matrice $M\in\mathrm{GL}_2(K)$ est dite +super-puissante si, pour tout $n\in\N^*$, il existe +$A_n\in\mathcal M_2(K)$ tel que $M=A_n^n$. +1. Déterminer les matrices super-puissantes dans le cas où $K=\C$. +2. On suppose $K=\R$. Montrer que $M\in\mathrm{GL}_2(\R)$ est + super-puissante si et seulement s'il existe $R\in\mathcal M_2(\R)$ tel + que $M=R^2$. +3. Sur $\Q$, montrer que les matrices super-puissantes sont de déterminant $1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 38] +1. Soit $A\in\mathcal M_2(\C)$ tel que $\det A=1$. Exprimer $\chi_A$ en + fonction d'une forme linéaire usuelle de $A$. +2. Soient $A,B\in\mathcal M_2(\C)$ telles que $\det A=\det B=1$. Montrer + que $\operatorname{Tr}(AB^2)=\operatorname{Tr}(B)\operatorname{Tr}(AB) + -\operatorname{Tr}(A)$. +3. Soit + $S=\{(x,y,z)\in\Z^3\mid x^2+y^2+z^2=xyz\}$. Soient + $A,B\in\mathcal M_2(\Z)$ de déterminant $1$. Montrer que + $(\operatorname{Tr}(A),\operatorname{Tr}(B),\operatorname{Tr}(AB))\in S$ + si et seulement si $\operatorname{Tr}(ABA^{-1}B^{-1})=-2$. +4. Montrer que, pour tout $(x,y,z)\in S\setminus\{(0,0,0)\}$, il existe + $A,B\in\mathcal M_2(\Z)$ de déterminant $1$ tels que + $x=\operatorname{Tr}(A)$, $y=\operatorname{Tr}(B)$ et + $z=\operatorname{Tr}(AB)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 39] +Soit $K$ un sous-corps de $\C$. +1. Montrer que, si $M\in\mathcal M_n(K)$, alors $M$ est nilpotente si et + seulement si $\chi_M=X^n$. +2. Pour $M\in\mathcal M_n(K)$, on pose + $\sin(M)=\frac{1}{2i}(e^{iM}-e^{-iM})$. On note $\mathcal N$ l'ensemble + des matrices nilpotentes de $\mathcal M_n(K)$. Montrer que $\sin$ induit + une bijection de $\mathcal N$ sur elle-même. +3. Soit $G=\{P\in\R_n[X]\mid P(0)=0,\ P'(0)\neq0\}$. Pour $P,Q\in G$, + on note $P*Q=P(Q(X))\pmod{X^{n+1}}$. Montrer que $(G,*)$ est un groupe. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 40] +Pour $X,Y\in\mathcal M_n(\C)$, on pose $[X,Y]=XY-YX$. +1. On pose $A=\{X\in\mathcal M_2(\C)\mid\operatorname{Tr}X=0\}$. Montrer + que $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_2(\C)$ stable par + crochet. +2. On pose + $$X=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad + Y=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\quad + H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$ + Calculer les différents crochets. +3. Soit $\rho:A\to\mathcal M_n(\C)$ telle que + $\rho([A,B])=[\rho(A),\rho(B)]$ pour tous $A,B\in\mathcal M_2(\C)$. + On note $E_\lambda=\ker(\rho(H)-\lambda I_n)$. Soit $\alpha$ une valeur + propre de $\rho(H)$. + a. Montrer que $\rho(X)(E_\alpha)\subset E_{\alpha+2}$ et + $\rho(Y)(E_\alpha)\subset E_{\alpha-2}$. + b. Soit $V\in E_\alpha$. Montrer que la suite + $(\rho(X)^kV)_{k\in\N}$ est nulle à partir d'un certain rang. +4. On dit que $\rho$ est irréductible si, pour tout sous-espace vectoriel + $V$ de $\C^n$ et tout $A\in A$, la condition $\rho(A)(V)\subset V$ + implique $V=\{0\}$ ou $V=\C^n$. Si $\rho$ est irréductible, montrer que + $\rho(H)$ est diagonalisable. +5. Montrer que $\operatorname{Sp}(\rho(H))=\{-m,-m+2,\ldots,m-2,m\}$ avec + $m\in\N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 41] +Soient $V$ un $\R$-espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $V$. Dans les +deux premières questions, on suppose $V$ de dimension finie. +1. Montrer que $\lambda\in\R$ est valeur propre de $u$ si et seulement si + elle est racine du polynôme caractéristique de $u$. +2. On dit que $\lambda\in\C\setminus\R$ est valeur propre imaginaire de + $u$ s'il existe $P\in\R[X]$ unitaire de degré $2$ tel que $P(\lambda)=0$ + et $P(u)$ n'est pas injectif. Une valeur propre complexe de $u$ est une + valeur propre réelle ou imaginaire. Montrer que les racines complexes de + $\chi_u$ sont exactement les valeurs propres complexes de $u$. +3. On suppose maintenant que $V$ est de dimension quelconque et muni d'une + norme, et que $u$ est un homéomorphisme linéaire de $V$ sur lui-même. On + munit $\mathcal L_c(V)$ des endomorphismes continus de la norme d'opérateur + associée. Montrer que si la suite $(u^n)_{n\in\Z}$ est bornée, alors, + pour tout $x\in V\setminus\{0\}$, $0$ n'est pas valeur d'adhérence de la + suite $G(x)=(u^n(x))_{n\in\Z}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 42] +Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien. Soit +$(x_1,\ldots,x_n)$ une base orthogonale de $E$. Déterminer, en fonction de +$\|x_1\|,\ldots,\|x_n\|$, quels sont les entiers $m\in\N$ avec $00$ tel que $|a+\rho v|=1$. +2. On identifie $\C$ au $\R$-espace vectoriel $\R^2$ muni de sa structure + euclidienne canonique. Soient $T$ un automorphisme de $\C$ et $a\in\C$. + On définit + $$T_a:z\in\mathbb U\longmapsto + \frac{a+T(z)}{|a+T(z)|}\in\mathbb U.$$ + Montrer que $T_a$ est bien définie, continue et bijective si et seulement + si $|T^{-1}(a)|<1$. +3. On suppose la condition précédente vérifiée. Montrer que $T_a$ est une + involution si et seulement si $T$ est autoadjoint, $a$ est un vecteur + propre de $T$ associé à une valeur propre $\lambda<0$, et l'autre valeur + propre $\mu$ vérifie $\lambda^2=|a|^2+\mu^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 46] +Soit $S\in\mathcal S_n(\R)$ à valeurs propres simples et $V\in\R^n$ +unitaire. Pour $t\in\R$, on pose $G(t)=S+tVV^T$. +1. À quelle condition $G(t)$ et $S$ n'ont-elles pas de valeurs propres + communes ? +2. Étudier les valeurs propres de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 47] +Soient les matrices de $\mathcal M_2(\C)$ suivantes : +$$E=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad +I=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix},\quad +J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad K=IJ.$$ +Soit $H$ le $\R$-espace vectoriel engendré par $\{E,I,J,K\}$. +1. Montrer que $H$ est une $\R$-algèbre de dimension $4$. +2. On pose $A^*=A^T$ pour $A\in\mathcal M_2(\C)$. Vérifier que + $A\mapsto A^*$ est un endomorphisme de $H$. Montrer que + $(AB)^*=B^*A^*$ et $A^{**}=A$, puis donner la matrice de $A\mapsto A^*$ + dans la base $(E,I,J,K)$. +3. Soit $H_1=\{X\in H\mid XX^*=E\}$. Montrer que $H_1$ est un groupe. + En identifiant $H_1$ à $\R^4$, donner une description géométrique de + $H_1$. +4. Soit $H_2$ le sous-espace de $H$ engendré par $\{I,J,K\}$. Pour + $X\in H_1$, on définit $\alpha(X):Y\in H_2\mapsto XYX^*\in H_2$. + En identifiant $\alpha(X)$ à sa matrice dans la base $(I,J,K)$, montrer + que $\alpha$ définit un morphisme surjectif de $H_1$ dans + $\mathrm{SO}_3(\R)$ dont le noyau est $\{E,-E\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 48] +Une matrice $M=(m_{i,j})\in\mathcal M_n(\R)$ est dite centro-symétrique +lorsque $m_{n+1-i,n+1-j}=m_{i,j}$ pour tous $(i,j)\in\db{1,n}^2$, et elle +est dite bisymétrique lorsqu'elle est à la fois symétrique et +centro-symétrique. Un vecteur $X=(x_i)_{i}\in\R^n$ est dit symétrique si +$x_{n+1-i}=x_i$ pour tout $i$, et antisymétrique si $x_{n+1-i}=-x_i$. +1. On suppose $n=2k$ pour $k\in\N^*$, et on note + $J_k=(\delta_{i+j,k+1})_{1\leq i,j\leq k}$. Montrer qu'une matrice + $M\in\mathcal M_n(\R)$ est centro-symétrique si et seulement s'il + existe deux matrices symétriques $A,E\in\mathcal M_k(\R)$ telles que + $$M=\begin{pmatrix}A&EJ_k\\J_kE&J_kAJ_k\end{pmatrix}.$$ +2. Soit $M\in\mathcal M_n(\R)$ bisymétrique. Montrer qu'il existe une + base orthonormée de $\R^n$ formée de vecteurs propres de $M$, chacun + symétrique ou antisymétrique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 49] +Soit $n\geq2$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et +$\mathcal M_n(\R)$ de la norme d'opérateur associée. On rappelle que toute +matrice $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ a une unique racine carrée dans +$\mathcal S_n^{++}(\R)$, notée $\sqrt A$. Pour $A,B\in\mathcal S_n(\R)$, +on note $A\leq B$ si $B-A\in\mathcal S_n^+(\R)$, et $A0$. +1. Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm O_n(\R)$ + et un unique $\sigma(M)\in A_+$ tels que + $M^TM=P\sigma(M)P^T$. Discuter l'unicité de $P$. +2. On note $\sigma(M)=\operatorname{Diag}(\sigma_1(M),\ldots,\sigma_n(M))$. + On munit $\R^n$ de sa norme euclidienne canonique et $\mathcal M_n(\R)$ + de la norme d'opérateur associée. Montrer que + $\|M\|_{\mathrm{op}}^2=\sigma_1(M)$. +3. On munit $\mathcal A_n(\R)$ du produit scalaire défini par + $\langle X,Y\rangle=-\operatorname{Tr}(XY)$. Trouver une base + orthonormée $B$ de $\mathcal A_n(\R)$. +4. Soit $\phi_M$ définie par $\phi_M(X)=MXM^T$ pour $X\in\mathcal A_n(\R)$, + et soit $F_M$ la matrice de $\phi_M$ dans la base $B$. Montrer que + $\sigma_1(F_M)=\sigma_1(M)\sigma_2(M)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 52] +On munit $\R^n$ et $\mathcal S_n(\R)$ de leur structure euclidienne +canonique. Pour toute matrice $A\in\mathcal S_n(\R)$, on note +$\lambda_{\max}(A)$ sa plus grande valeur propre. +1. Montrer que + $\lambda_{\max}(A)=\max_{x\in\R^n,\,\|x\|=1}x^TAx$. +2. Montrer que la fonction $\lambda_{\max}:\mathcal S_n(\R)\to\R$ est + convexe. +3. Soient $X$ un espace euclidien et $f:X\to\R$ une fonction convexe. + Pour tout $x\in X$, on pose + $$\partial f(x)=\{d\in X\mid\forall y\in X,\ f(y)\geq + f(x)+\langle d,y-x\rangle\}.$$ + Déterminer $\partial f$ pour une fonction convexe $f\in C^1(\R,\R)$ et + pour $f:x\in\R\mapsto|x|$. +4. Soit $A\in\mathcal S_n(\R)$ telle que $\lambda_{\max}(A)$ soit une + valeur propre simple. Soit $v$ un vecteur propre unitaire associé à + $\lambda_{\max}(A)$. Montrer que $\partial\lambda_{\max}(A)=\{vv^T\}$. + Indication : montrer, pour $H\in\mathcal S_n(\R)$ et $t\in\R$, + $$\lambda_{\max}(A)+v^T(tH)v\leq\lambda_{\max}(A+tH) + \leq\lambda_{\max}(A)+v^T(tH)v+ + \frac{2t^2\|H\|^2}{\lambda_{\max}(A)-\lambda_2},$$ + où $\lambda_2$ est la deuxième plus grande valeur propre de $A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 53] +Soit $E$ un espace euclidien. Pour $f\in\mathcal S(E)$, on pose +$\operatorname{Sp}_a(f)=\{|\lambda|\mid\lambda\in\operatorname{Sp}(f)\}$. +Soit $j\in\mathcal S(E)$ tel que $j^2=\operatorname{id}$. Un vecteur $x$ +est dit $j$-symétrique (resp. $j$-antisymétrique) lorsque $j(x)=x$ +(resp. $j(x)=-x$). +1. Dans cette question, $E=\R^2$. Déterminer $\operatorname{Sp}_a(j)$ et + les vecteurs $j$-symétriques et $j$-antisymétriques possibles pour $j$. +2. Donner un exemple d'un couple $(j,f)\in\mathcal S(E)^2$ tel que + $j^2=\operatorname{id}$ et que $j\circ f$ ne soit pas diagonalisable. +3. Soient $f\in\mathcal S(E)$ et $v$ un vecteur propre de $f$ associé à + une valeur propre $\mu$ telle que + $|\mu|=\max\operatorname{Sp}_a(f)=\max\operatorname{Sp}_a(j\circ f)$. + Montrer qu'il existe un unique couple $(e,h)$ de vecteurs propres de + $f$ tel que $v=e+h$, avec $e$ $j$-symétrique et $h$ $j$-antisymétrique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 54] +Soient $S=(s_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal S_n^{++}(\R)$, +$T=S^{-1}=(t_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ et +$\Phi(S)=(s_{i,j}t_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\Phi(S)$ est +dans $\mathcal S_n^{++}(\R)$ et que sa plus petite valeur propre est $1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 55] +Soit $E$ un espace euclidien orienté et soit $b$ une application bilinéaire +de $E\times E$ dans $E$ telle que, pour tout $f\in\mathrm{SO}(E)$, +$f(b(u,v))=b(f(u),f(v))$. Que dire de $b$ ? +#+end_exercice + + + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 56] +On munit $\R^2$ d'une norme $\|\cdot\|$, on note $B$ la boule unité +fermée et l'on pose +$$\Delta=\sup_{(x,y,z)\in B^3} +\min(\|x-y\|,\|y-z\|,\|z-x\|).$$ +1. Montrer que $\Delta$ est atteint. +2. Montrer que $\Delta\leq2$. +3. Calculer $\Delta$ pour la norme euclidienne canonique. +4. Calculer $\Delta$ pour la norme infinie. +5. Montrer que $\Delta\geq1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 57] +Soit $D=\{z\in\C\mid |z|\leq1\}$. +1. Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $[0,1]$. Montrer que $f$ + admet un point fixe. +2. On admet que, pour toute fonction continue $g:D\to\mathbb U$, il existe + une fonction continue $\theta:D\to\R$ telle que $g=\exp(i\theta)$. + Montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to\mathbb U$ dont + la restriction à $\mathbb U$ soit l'identité de $\mathbb U$. +3. Déduire de la question précédente que toute fonction continue de $D$ + dans $D$ admet un point fixe. +4. Soit $C$ un convexe fermé de $\R^2$. Est-il vrai que toute fonction + continue de $C$ dans $C$ admet un point fixe ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 58] +Soit $A$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]^2\to[0,1]$ telles que +$$\forall(u,v)\in[0,1]^2,\quad f(0,v)=f(u,0)=0\text{ et }f(u,1)=u,$$ +et, pour tous $0\leq u_1\leq u_2\leq1$ et $0\leq v_1\leq v_2\leq1$, +$$f(u_1,v_2)-f(u_1,v_1)\leq f(u_2,v_2)-f(u_2,v_1).$$ +Déterminer $h_0,h_1\in A$ tels que, pour tout $f\in A$ et tout +$(u,v)\in[0,1]^2$, $h_0(u,v)\leq f(u,v)\leq h_1(u,v)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 59] +On appelle groupe réel tout ensemble $G$ qui est un sous-groupe de +$\mathrm{GL}_n(\R)$ pour un certain $n\in\N^*$. Un groupe réel $G$ est +discret si, pour tout $x\in G$, il existe $\varepsilon>0$ tel que +$B(x,\varepsilon)\cap G=\{x\}$. +1. Soit $G$ un groupe réel connexe par arcs. Montrer que, si $H$ est un + sous-groupe de $G$ d'intérieur relatif non vide, alors $H=G$. +2. Montrer qu'un groupe réel discret est fermé dans $\mathrm{GL}_n(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 60] +Soient $d,p\in\N^*$. Soit $f:\R^d\to\R^p$. On munit $\R^d$ et $\R^p$ +de leur structure euclidienne canonique. On suppose que, pour tout +$x\in\R^d$ et tout $\delta>0$, il existe $\varepsilon>0$ tel que, pour +tous $y,z\in B(x,\varepsilon)$, +$$\left|\|f(y)-f(z)\|-\|y-z\|\right|\leq\delta\|y-z\|.$$ +1. Montrer que $f$ est continue. +2. Montrer que, pour tous $x,y\in\R^d$, + $\|f(x)-f(y)\|\leq\|x-y\|$. +3. On suppose $d=p=1$. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$, + $|f(x)-f(y)|=|x-y|$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 61] +Soit $E=C^0([0,1],\R)$. Une forme linéaire $\phi\in E^*$ est dite positive +si, pour tout $f\in E$ à valeurs dans $\R_+$, $\phi(f)\in\R_+$. +1. Montrer que toute forme linéaire positive sur $E$ est continue pour + $\|\cdot\|_\infty$. +2. Soit $\phi$ une forme linéaire sur $E$ continue pour $\|\cdot\|_\infty$. + Montrer que $\phi$ est différence de deux formes linéaires positives + sur $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 62] +Soient $n\geq2$ et $\|\cdot\|$ une norme sur $\mathcal M_n(\C)$. Pour +$\varepsilon>0$, on pose +$S_\varepsilon=\{g\in\mathrm{GL}_n(\C)\mid\|g-I_n\|\leq\varepsilon\}$. +1. Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que $S_\varepsilon$ soit compact + et, si l'on note $U$ son intérieur, que le groupe engendré par $U$ soit + à la fois ouvert et fermé dans $\mathrm{GL}_n(\C)$. +2. On note $S=S_\varepsilon$ pour le $\varepsilon>0$ trouvé en 1 et + $\langle S\rangle$ le sous-groupe engendré par $S$. Pour + $g\in\langle S\rangle$, on note + $$\ell_S(g)=\min\{k\in\N\mid g=g_1^{s_1}\cdots g_k^{s_k},\quad + g_i\in S,\ s_i=\pm1\}.$$ + Trouver tous les $g\in\langle S\rangle$ tels que + $(\ell_S(g^n))_{n\in\N}$ soit bornée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 63] +Soit $n\in\N^*$. On munit $\mathcal M_{n,1}(\R)$ d'une norme $N$. Soit +$A\in\mathcal M_n(\R)$. On dit que $A$ est stable si la suite $(A^k)_{k\in\N}$ +converge vers la matrice nulle, et contractante pour $N$ s'il existe +$c\in]0,1[$ tel que $N(Ax)\leq cN(x)$ pour tout +$x\in\mathcal M_{n,1}(\R)$. +1. Montrer que si $A$ est contractante pour $N$, alors elle est stable. +2. On suppose $A$ stable. Montrer que la série + $\sum_{k=0}^{+\infty}(A^k)^TA^k$ converge et que sa somme est dans + $\mathcal S_n^{++}(\R)$. +3. Montrer que si $A$ est stable, alors $A$ est contractante pour une norme + euclidienne bien choisie. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 64] +Soit $d$ un entier supérieur ou égal à $2$. +1. Existe-t-il $M\in\mathcal M_d(\R)$ telle que + $\operatorname{Sp}_{\C}(M)\subset\R$ et que + $\{\operatorname{tr}(M^n)\mid n\in\N\}$ soit dense dans $\R$ ? +2. Même question lorsque $M$ a exactement deux valeurs propres non réelles. + Indication : considérer une énumération des rationnels. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 65] +Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. On note $d$ la +distance associée à la norme. Soit $f:E\to E$ une application s'annulant +en $0$. +1. On suppose que $f$ est continue et que, pour tous $(x,y)\in E^2$, + $$f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}.$$ + Que dire de $f$ ? +2. On suppose dans la suite que $f$ préserve la distance $d$ et est + surjective. Montrer que $f$ est linéaire dans les deux cas suivants : + a. $E=\R^n$ muni de la norme euclidienne canonique ; + b. $E=\R^2$ muni de la norme infinie. +3. On revient au cas général. Soient $p,q\in E$ avec $q=-p$. Soit + $(X_n)_{n\in\N}$ la suite de parties de $E$ définie par + $$X_0=\{e\in E\mid d(e,p)=d(e,q)=d(p,q)/2\},$$ + $$X_n=\{e\in X_{n-1}\mid\forall x\in X_{n-1},\ d(e,x) + \leq\operatorname{diam}(X_{n-1})/2\},\quad n\in\N^*.$$ + Montrer que $0\in X_n$ pour tout $n\in\N$, puis caractériser + $\bigcap_{n\in\N}X_n$. Conclure que $f$ est linéaire. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 66] +Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq2$. +1. Montrer que $B(0,1)\setminus\{0\}$ est connexe par arcs. +2. Soient $U$ un ouvert connexe par arcs de $E$ et $V$ une partie finie de + $E$. Montrer que $U\setminus V$ est connexe par arcs. +3. Soient $U$ un ouvert connexe par arcs de $E$ et $V$ une union dénombrable + de sous-espaces affines de $E$ de dimension au plus $n-2$. Montrer que + $U\setminus V$ est connexe par arcs. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 67] +On considère l'espace vectoriel normé des suites réelles sommables, noté +$E$, muni de la norme $\|u\|=\sum_{k=0}^{+\infty}|u_k|$. +1. Rappeler la définition d'une partie compacte de $E$. +2. Montrer que la boule unité fermée + $B(0,1)=\{u\in E\mid\|u\|\leq1\}$ n'est pas compacte dans $E$. + + Une partie $K\subset E$ est dite équisommable si, pour tout + $\varepsilon>0$, il existe $n_0\in\N$ tel que, pour tout $u\in K$, + $$\sum_{k=n_0}^{+\infty}|u_k|<\varepsilon.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 68] +Montrer qu'il existe un unique couple $(\alpha,\theta)\in(\R_+^*)^2$ tel +que +$$\sin\left(\frac{\theta}{n^\alpha}\right) +=\frac{\theta}{(n+1)^\alpha}+O\left(\frac{1}{n^{\alpha+2}}\right) +\qquad(n\to+\infty).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 69] +Soient $(c_n)_{n\in\N^*}$ une suite de réels strictement positifs et +$p\in\N\setminus\{0,1\}$. Pour $n\in\N^*$, on pose +$$x_n=\sqrt[p]{c_1+\sqrt[p]{c_2+\sqrt[p]{\cdots+\sqrt[p]{c_n}}}}.$$ +Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\N^*}$ converge si et seulement si la +suite $\left(\frac{\ln(c_n)}{p^n}\right)_{n\in\N^*}$ est majorée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 70] +Soient $N$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $\alpha$ un réel strictement +positif. On pose +$$S_N=\sum_{m\in\N^*}\frac{1}{m^\alpha} +\sin^2\left(\frac{m\pi}{N}\right).$$ +1. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la série définissant $S_N$ est-elle + convergente ? +2. Déterminer la limite de $S_N$ lorsque $N\to+\infty$. +3. Déterminer un équivalent de $S_N$ lorsque $N\to+\infty$ dans le cas où + $1<\alpha\leq2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 71] +1. Soient $\alpha\geq0$ et $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive. On suppose + que $\sum d_n$ converge. Montrer que + $\sum\frac{d_n}{1+n^\alpha d_n}$ converge. +2. Soient $\alpha>1$ et $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive. Montrer que + $\sum\frac{d_n}{1+n^\alpha d_n}$ converge. +3. Soit $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive telle que $\sum d_n$ diverge. + Montrer que $\sum\frac{d_n}{1+d_n}$ diverge. +4. Soit $\alpha\in]0,1]$. Montrer l'existence de deux suites positives + $(e_n)_{n\geq0}$ et $(f_n)_{n\geq0}$ telles que : + a. $\sum e_n$ diverge et $\sum\frac{e_n}{1+n^\alpha e_n}$ diverge ; + b. $\sum f_n$ diverge et $\sum\frac{f_n}{1+n^\alpha f_n}$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 72] +Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. +1. Montrer que + $$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(\ln n)^{\sigma(n)}}<+\infty$$ + et expliciter un majorant de la somme. +2. Soit $\alpha\leq2$. Montrer que + $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sigma(n)}{n^\alpha}=+\infty.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 73] +1. Déterminer le nombre de solutions de $ye^y=x$ selon la valeur de $x$. +2. Soit $f$ qui à $x\in[-1/e,+\infty[$ renvoie l'unique solution $y\geq-1$ + de $ye^y=x$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]-1/e,+\infty[$. +3. Montrer que $f'(x)=\frac{1}{x+e^{f(x)}}$ et en déduire que $f$ est + solution de $x(1+y)y'=y$. +4. Trouver un développement asymptotique de $f$ en $+\infty$, à deux + termes, et montrer que le troisième terme est un $o(1)$. +5. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$, + et trouver son rayon de convergence. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 74] +Soit $\beta\geq1$. On considère l'équation +$y^\beta=\frac13e^y$. Montrer qu'il existe une unique solution sur +$[1,+\infty[$, que l'on note $y(\beta)$, puis déterminer un développement +asymptotique de $y(\beta)$ lorsque $\beta$ tend vers $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 75] +Soit $f:x\in\R\mapsto x^3$. Soit $T_x$ la fonction polynomiale de degré +inférieur ou égal à $2$ définie sur $\R$ telle que +$T_x(x)=f(x)$, $T_x'(x)=f'(x)$ et $T_x''(x)=f''(x)$. Que dire de l'ensemble +$$\{(y,T_x(y))\mid(x,y)\in\R^2\}?$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 76] +1. Montrer que, pour tout $k\in\N$, il existe une fonction $f$ non nulle, + de classe $C^k$, à support compact et telle que $f(\Q)\subset\Q$. +2. Montrer qu'il existe une fonction $f$ non nulle, de classe $C^\infty$ et + à support compact. +3. Montrer qu'il existe une fonction $f$ non nulle, de classe $C^\infty$, + à support compact et telle que $f(\Q)\subset\Q$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 77] +Soient $a,b\in\R_+^*$. Soit +$$E=\{f\in C^2([0,1],\R)\mid f(0)=f(1)=0,\quad +\|f'\|_\infty\leq a,\quad\|f''\|_\infty\leq b\}.$$ +Calculer $\sup_{f\in E}\|f\|_\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 78] +Soit $f$ une fonction de classe $C^\infty$ de $\R$ dans $\R$. +1. Soit $S$ un segment non trivial de $\R$ sur lequel $f$ n'est pas + polynomiale. Montrer qu'il existe un sous-segment non trivial $S'$ de + $S$ sur lequel $f$ n'est pas polynomiale et ne s'annule pas. +2. On suppose que, pour tout $x\in\R$, il existe $n\in\N$ tel que + $f^{(n)}(x)=0$. Montrer que $f$ est polynomiale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 79] +1. Soit $f\in C^0([0,\pi],\R)$. Montrer que + $$\int_0^\pi f(t)\cos(nt)\,dt\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.$$ +2. Déterminer $(a,b)\in\R^2$ tel que, pour tout $n\in\N^*$, + $$\int_0^\pi(at^2+bt)\cos(nt)\,dt=\frac{1}{n^2}.$$ +3. Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}$ et + $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(2n-1)^2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 80] +Soient $a,b\in\R_+^*$ et $k\in\Z$. Calculer +$$\int_0^{+\infty}x^{k+\frac12}e^{-ax-\frac bx}\,dx.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 81] +Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f$ et $f''$ soient de carré intégrable. +1. Montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty}(f')^2$ converge. +2. Montrer que $f$ et $f'$ tendent vers $0$ en $\pm\infty$. +3. Montrer que + $$\int_{-\infty}^{+\infty}(f')^2\leq + \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}f^2\int_{-\infty}^{+\infty}(f'')^2}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 82] +Soit $\alpha>0$. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f$ de classe $C^2$ +de $\R_+$ dans $\R$ telles que +$$J(f)=\int_0^{+\infty}\big((f')^2+\alpha f^2\big)<+\infty.$$ +1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\R_+,\R)$. +2. Montrer que, pour tout $v\in\R$, il existe $x\in E$ tel que $x(0)=v$. +3. On fixe $v\in\R$. Déterminer la borne inférieure de $J$ sur l'ensemble + des $x\in E$ tels que $x(0)=v$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 83] +Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f:\R_+\to[0,1]$ continues par morceaux +et telles que $\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\leq1$. Pour $f\in E$, on pose +$$F(f)=-\int_0^{+\infty}f(x)\ln(x)\,dx.$$ +1. Montrer que $F(E)=[-\infty,1]$. +2. Soit $\varepsilon\in]0,1[$. Caractériser + $$G_\varepsilon=\sup\left\{\int_1^{+\infty}f(x)\,dx\mid + f\in E\text{ et }F(f)\geq1-\varepsilon\right\}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 84] +Trouver une constante $C>0$ telle que, pour toute fonction $f$ continue à +support compact de $\R$ dans $\R$, on ait, pour tout $x\in\R$, +$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|f(y)|}{\sqrt{|y-x|}}\,dy +\leq C\sqrt{\|f\|_\infty\|f\|_1}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 85] +1. Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions croissantes de $\R$ dans + $[0,1]$, tendant toutes vers $0$ en $-\infty$ et vers $1$ en $+\infty$. + Montrer que cette suite admet une suite extraite qui converge simplement + sur $\R$. +2. Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires réelles + discrètes. Montrer qu'il existe une extraction $\phi$ telle que + $(\E(g(X_{\phi(n)})))_{n\in\N}$ converge pour toute fonction + $g:\R\to\R$ continue et nulle en dehors d'un segment. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 86] +On note $f$ la fonction indicatrice de l'ensemble $\Q$ des rationnels. +1. La fonction $f$ est-elle limite simple sur $\R$ d'une suite de fonctions + continues ? +2. Existe-t-il une famille $(f_{n,m})_{(n,m)\in\N^2}$ de fonctions + continues de $\R$ dans $\R$ telle que, pour tout $x\in\R$, + $f(x)=\lim_{n\to+\infty}\lim_{m\to+\infty}f_{n,m}(x)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 87] +Soient $q,n\in\N^*$ et $x_1,\ldots,x_n\in\R$. +1. Montrer qu'il existe $p\in\{1,\ldots,q^n\}$ tel que, pour tout + $i\in\{1,\ldots,n\}$, $d(px_i,\Z)\leq\frac1q$. +2. Soit $(a_n)_{n\geq1}$ une suite de réels positifs. On suppose qu'il + existe $x_0\in\R$ tel que la série $\sum a_n/n^x$ converge si et + seulement si $x>x_0$. Soit $T>0$. Pour $z\in\C$ vérifiant + $\operatorname{Re}(z)>x_0$, on pose + $$f(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n^z}.$$ + On considère $F=\{z\in\C\mid\operatorname{Re}(z)>x_0, + \operatorname{Im}(z)\geq T\}$. Montrer que $f$ est bien définie sur + $F$ et qu'elle n'y est pas bornée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 88] +Soient $(a_n)_{n\geq0}\in\C^\N$ et +$f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. On pose +$$E_c(f)=\left\{z\in\C\mid |z|=1\text{ et } +\sum a_nz^n\text{ converge}\right\}.$$ +1. Montrer que $E_c(f)$ peut être vide, le cercle unité $\mathbb U$ tout + entier, ou $\mathbb U\setminus S$ avec $S$ une partie finie. Montrer en + revanche que $E_c(f)$ ne peut pas être n'importe quel sous-ensemble de + $\mathbb U$. +2. On suppose que $a_n\to0$. Montrer qu'il est possible que $E_c(f)=\varnothing$ + ou que $E_c(f)=\{1\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 89] +Si $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, un élément $\sigma$ de +$\mathfrak S_n$ est dit en zigzags si, pour tout $i\in\{2,\ldots,n-1\}$, +$\sigma(i)$ n'est pas compris entre $\sigma(i-1)$ et $\sigma(i+1)$. Une +permutation en zigzags est dite ascendante si $\sigma(2)>\sigma(1)$, +descendante dans le cas contraire. +1. Montrer que, si $n\geq2$, il y a autant de permutations en zigzags + ascendantes que descendantes. +2. Pour $n\geq2$, soit $A_n$ le nombre de permutations de + $\{1,\ldots,n\}$ en zigzags et ascendantes. On convient que $A_0=A_1=1$. + Pour $n\geq1$, vérifier que + $$2A_{n+1}=\sum_{k=0}^n\binom nk A_kA_{n-k}.$$ + Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A_n}{n!}x^n$. +3. Montrer que le rayon de convergence de $f$ est supérieur ou égal à $1$. +4. En utilisant une équation différentielle, déterminer une expression de + $f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 90] +Soit $E=C^2([0,1],\R)$. Soit $\phi:E\to E$ l'application qui à $f\in E$ +associe +$$\phi(f):x\in[0,1]\longmapsto\int_0^x sf(s)\,ds ++x\int_x^1f(s)\,ds.$$ +1. Déterminer $\ker(\phi)$ et l'ensemble des valeurs propres de $\phi$, + ainsi que les espaces propres associés. +2. On pose $P_0=1$ et, pour $n\in\N$, $P_{n+1}=\phi(P_n)$. Déterminer, + pour tout $x\in[0,1]$, le rayon de convergence de la série entière + $\sum P_n(x)z^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 91] +1. Déterminer le domaine de définition de + $f:x\mapsto\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}$. +2. Déterminer la limite en $+\infty$ et un développement asymptotique à + deux termes de $f$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 92] +Soient $r>0$ et $G=\{z\in\C\mid |z|=r\}$. Pour $f:G\to\C$ continue, on +note +$$I(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})re^{i\theta}\,d\theta.$$ +1. Calculer $I(z\mapsto z^k)$ et $I\left(z\mapsto\frac1{z-a}\right)$ si + $k\in\N$ et $a\in\C\setminus G$. +2. Soit $f:\C\to\C$ la somme d'une série entière de rayon de convergence + infini. Soit $a\in\C$ avec $|a|a>0$ réels. Montrer qu'il existe une fonction continue + $u:\R\to[a,b]$ telle que $(E_u)$ possède une solution non bornée sur $\R$. +2. Montrer qu'il existe une fonction continue $u:\R\to\R$, tendant vers + $1$ en $+\infty$, telle que $(E_u)$ possède une solution non bornée sur + $\R_+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 95] +Soit $f\in C^0([0,1],\R)$. On considère une solution +$y\in C^2([0,1],\R)$ du problème aux limites +$$y''-y=f,\qquad y(0)=y(1)=0.$$ +1. Montrer que la solution $y$ est unique. +2. Montrer que + $$\int_0^1y^2\leq\frac{1}{(1+\pi^2)^2}\int_0^1f^2.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 96] +Soient $n\in\N^*$ et $S\in\mathcal S_{2n}^{++}(\R)$. On pose +$$J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\I_n&0\end{pmatrix}.$$ +1. Montrer que les solutions sur $\R$ du système différentiel + $X'=JSX$ sont bornées. +2. Montrer qu'il existe des réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que + $JS$ soit semblable sur $\C$ à la matrice diagonale de coefficients + diagonaux $i\lambda_1,-i\lambda_1,\ldots,i\lambda_n,-i\lambda_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 97] +Soient $N:\R_+\to\R_+$ continue et strictement croissante, et $a>0$. +1. Montrer que l'application + $$L:v\in\R_+^*\longmapsto\int_v^a\frac{dw}{N(w)}$$ + est bien définie, de classe $C^1$, injective et possède une limite + (finie ou infinie) en $0$. On note cette limite $L(0)$. +2. Soient $T>0$, $u\in C^1([0,T[,\R_+)$, $A\in\R_+$ et + $B:[0,T[\to\R_+$ continue et intégrable tels que, pour tout $t\in[0,T[$, + $$u(t)\leq A+\int_0^tB(s)N(u(s))\,ds.$$ + a. On suppose $A>0$. Montrer que, pour tout $t\in[0,T[$, + $$-L(u(t))\leq-L(A)+\int_0^tB(s)\,ds.$$ + b. Expliciter l'inégalité précédente quand $B$ est constante et $N$ est + l'identité. + c. On suppose $A=0$ et $L(0)=+\infty$. Montrer que $u(t)=0$ pour tout + $t\in[0,T[$. +3. Étendre ce qui précède au cas où $u$ est seulement continue. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 98] +Soient $x,y\in C^1(\R_+,\R)$ telles que +$$\begin{cases} +x'(t)=-y(t)(1+x(t)y(t))-x^3(t),\\ +y'(t)=x(t)(1-x(t)y(t))-y^3(t). +\end{cases}$$ +1. Étudier le comportement asymptotique de $x$ et $y$. +2. En posant $X(t)=(x(t),y(t))$, décrire le mouvement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 99] +Soient $m,n\in\N^*$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne +canonique. Soient $A\in\mathcal M_{n,m}(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose +$S=\{X\in\R^m\mid AX=B\}$ et on suppose $S$ non vide. +1. Montrer que $S$ admet un élément de norme minimale et le caractériser + géométriquement. +2. Soient $t>0$, $q>1$ et + $$f_t:X\in\R^m\longmapsto\frac12\|X\|^2+ + \frac tq\|AX-B\|^q.$$ + a. Montrer que $f_t$ atteint son minimum en un unique point $X_0$. + b. Soit $(u_k)_{k\geq1}$ une suite d'éléments de $\R^m$ telle que + $f_t(u_k)\to\min f_t$. Que dire de la suite $(u_k)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 100] +On se place dans un $\C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Soit +$f\in\mathcal L(E)$. On pose $\rho=\max\{|\lambda|\mid\lambda\in +\operatorname{Sp}(f)\}$. +1. Montrer que $f$ est trigonalisable puis que, pour tout $\varepsilon>0$, + il existe une base $B_\varepsilon$ de $E$ telle que la matrice + $M=\operatorname{Mat}_{B_\varepsilon}(f)$ vérifie $M_{i,j}=0$ si $ji$. +2. En déduire qu'il existe une norme $N_\varepsilon$ sur $E$ telle que + $N_\varepsilon(f(x))\leq(\rho+\varepsilon)N_\varepsilon(x)$ pour tout + $x\in E$. +3. Montrer que le résultat persiste sur $\R$. +4. Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien et + $f\in\mathrm{GL}(E)$. Montrer que + $\phi:x\in E\setminus\{0\}\mapsto f(x)/\|f(x)\|$ est de classe $C^1$ + et calculer sa différentielle. +5. Quels sont les points fixes de $\phi$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 101] +Soient $f:\R^2\to\R$ de classe $C^1$ et $(x_0,y_0)\in\R^2$. On définit, +pour $(x,y)\in\R^2$, +$$A(x,y)=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial x} +(x_0+t(x-x_0),y)\,dt,$$ +$$B(x,y)=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial y} +(x_0,y_0+t(y-y_0))\,dt.$$ +1. Après avoir rappelé les hypothèses de continuité sous le signe intégral, + montrer que $A$ et $B$ sont continues. +2. Montrer que, pour tout $(x,y)\in\R^2$, + $$f(x,y)=f(x_0,y_0)+(x-x_0)A(x,y)+(y-y_0)B(x,y).$$ +3. Montrer que si $\phi:\R\to\R$ vérifie les hypothèses suivantes : + a. $\phi$ est continue ; + b. $f(x,\phi(x))=0$ pour tout $x\in\R$ ; + c. $\frac{\partial f}{\partial y}(x,\phi(x))\neq0$ pour tout $x\in\R$ ; + alors $\phi$ est de classe $C^1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 102] +Soit $\|\cdot\|$ une norme sur $\R^n$. On note $\|\cdot\|_{\mathrm{op}}$ +la norme subordonnée sur $\mathcal L(\R^n)$. +1. Soient $f:\R^n\to\R^n$ de classe $C^1$ et $U$ un ouvert convexe tels + que $\|df(x)\|_{\mathrm{op}}\leq M$ pour tout $x\in U$. Montrer que, + pour tous $(x,y)\in U^2$, + $\|f(x)-f(y)\|\leq M\|x-y\|$. +2. Dans la suite, $f$ est de classe $C^2$ et $U$ n'est plus supposé convexe. + On suppose qu'il existe $a\in U$ tel que $f(a)=0$ et $df(a)$ soit + inversible. Montrer qu'il existe un ouvert $V\subset U$ contenant $a$ + tel que, pour tout $x\in V$, $df(x)$ soit inversible. +3. On définit $F:V\to\R^n$ par + $F(x)=x-(df(x))^{-1}(f(x))$. Montrer qu'il existe un ouvert non vide + $W\subset V$ tel que $F(W)\subset W$ et que, pour toute suite définie + par $x_0\in W$ et $x_{k+1}=F(x_k)$, la suite $(x_k)$ converge vers $a$. +4. Soit $P\in\R[X]$. On suppose qu'il existe une matrice $A$ telle que + $P(A)=0$ et $P'(A)$ soit inversible. On définit au voisinage de $A$ + l'application $F:M\mapsto M-(P'(M))^{-1}P(M)$. Montrer qu'il existe un + ouvert non vide $W$ tel que, pour toute suite définie par $M_0=M\in W$ + avec $AM=MA$ et $M_{k+1}=F(M_k)$, la suite $(M_k)$ converge vers $A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 103] +On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne orientée canonique. On note $S$ +la sphère unité, $B$ la boule unité fermée et $r$ la rotation d'angle $\pi/2$. +Soient $u:\R^2\to\R^2$ de classe $C^1$ et $x:\R_+\to\R^2$ de classe $C^1$ +telles que : +1. $x'(t)=u(x(t))$ pour tout $t\in\R_+$ ; +2. $\langle u(y),y\rangle<0$ pour tout $y\in\R^2\setminus B$ ; +3. $\langle u(y),r(y)\rangle=\|y\|^2$ pour tout $y\in S$ ; +4. il existe $e\in S$ tel que $\langle u(e),e\rangle<0$. + +Montrer qu'il existe $T\in\R_+$ tel que, pour tout $t\in[T,+\infty[$, +$\|x(t)\|<1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 104] +On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit +$f\in C^1(\R^n,\R)$ une fonction minorée. On note +$f^*=\inf_{\R^n}f$, $S=\{x\in\R^n\mid\nabla f(x)=0\}$ et +$E=\{x\in\R^n\mid f(x)=f^*\}$. On note $(PL)$ la propriété +$$\exists\mu>0,\ \forall x\in\R^n,\quad +f(x)-f^*\leq\frac{1}{2\mu}\|\nabla f(x)\|^2.$$ +1. Quel lien y a-t-il entre $S$ et $E$ lorsque $f$ vérifie $(PL)$ ? +2. Soit $E'\subset\R^n$ un sous-espace affine. Existe-t-il une fonction + $f$ vérifiant $(PL)$ pour laquelle $E=E'$ ? Même question lorsque $E'$ + est la sphère unité de $\R^n$. +3. On suppose que $f$ vérifie $(PL)$. Montrer que $E$ est connexe par arcs. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 105] +Soient $d\in\N^*$, $u:\R^d\to\R^d$ et $\phi:\R\times\R^d\to\R^d$ +telles que, pour tout $(t,x)\in\R\times\R^d$, +$$\frac{\partial\phi}{\partial t}(t,x)=u(\phi(t,x)),\qquad +\phi(0,x)=x.$$ +Pour $t\in\R$, on note $\phi_t=\phi(t,\cdot)$. On suppose que +$\operatorname{tr}(du(x))=0$ pour tout $x\in\R^d$. Montrer que, pour tout +$(t,x)\in\R\times\R^d$, $\det d\phi_t(x)=1$. +#+end_exercice + +** Géométrie + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 106] +On appelle similitude directe de $\C$ une application de $\C$ dans $\C$ de +la forme $z\mapsto az+b$ avec $(a,b)\in\C^*\times\C$. +1. Montrer que l'ensemble des similitudes directes est un groupe pour la + composition. +2. Rappeler l'écriture complexe d'une rotation. +3. Soient $A_1,A_2,A_3$ des points du plan d'affixes $z_1,z_2,z_3$. + Montrer que $A_1A_2A_3$ est un triangle équilatéral direct si et + seulement si $z_1+jz_2+j^2z_3=0$. +4. Peut-on généraliser pour caractériser un polygone régulier à $n$ côtés ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 107] +On munit $\R^2$ de sa structure affine euclidienne canonique. Pour +$v\in\R^2$, soit $t_v$ la translation de vecteur $v$. +1. Soit $G$ l'ensemble des bijections de $\R^2$ dans lui-même de la forme + $t_v\circ u$ où $u\in\mathrm{GL}_2(\R)$ et $v\in\R^2$. Montrer que $G$ + est un sous-groupe du groupe des bijections de $\R^2$ sur lui-même et + que, si $(a_1,b_1,c_1)$ et $(a_2,b_2,c_2)$ sont deux triplets de points + non alignés de $\R^2$, il existe un unique $g\in G$ tel que + $g(a_1)=a_2$, $g(b_1)=b_2$, $g(c_1)=c_2$. +2. On appelle ellipse toute image d'un cercle de rayon strictement positif + de $\R^2$ par un élément de $G$. Montrer que, pour tout triangle non + aplati $T=(a,b,c)$ de $\R^2$, il existe une ellipse tangente aux côtés + de $T$ en leurs milieux. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 108] +Soit $M\subset\R^2$ une partie du plan contenant au moins deux points. On +dit que $M$ vérifie la propriété $(P)$ si, pour tous $P,Q\in M$ avec +$P\neq Q$, la droite $(PQ)$ n'intersecte $M$ qu'en $P$ et $Q$. On dit que +$M$ est maximale si, pour tout $X\notin M$, $M\cup\{X\}$ ne vérifie plus +$(P)$. +1. Trouver tous les sous-groupes additifs de $\R^2$ vérifiant $(P)$. +2. Montrer qu'il existe une partie dense de $\R^2$ vérifiant $(P)$. +3. Montrer que le cercle unité est maximal. +4. Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\R^2$ tel que la frontière de $\Omega$ + vérifie $(P)$. Que dire de $\Omega$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 109] +On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne standard. Une ellipse est +définie comme l'image directe du disque unité fermé par un certain +endomorphisme $f$ de $\R^2$, et l'on définit son aire comme $\pi|\det(f)|$. +Soit $K$ une partie compacte non vide de $\R^2$. +1. Montrer que, parmi les disques fermés contenant $K$, il en existe un et + un seul de rayon minimal (éventuellement nul). +2. Montrer que, parmi les ellipses contenant $K$, il en existe une d'aire + minimale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 110] +Soit $C\subset\R^2$ une partie convexe compacte dont la frontière est une +courbe de classe $C^1$. On définit un billard commençant par un point $M$ de +la frontière et un vecteur $\vec v$ comme le chemin obtenu en faisant des +rebonds chaque fois que la trajectoire touche la frontière, de sorte que +les rebonds soient symétriques par rapport à la normale au point de +réflexion. Montrer qu'il existe une trajectoire triangulaire périodique. +Indication : prendre un triangle dont la somme des longueurs des côtés est +maximale. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 111] +1. On considère trois dés équilibrés dont les faces sont numérotées + respectivement par les ensembles $\{18,9,8,7,6,5\}$, + $\{17,16,15,4,3,2\}$ et $\{14,13,12,11,10,1\}$, et l'on note $A,B,C$ + les résultats de chaque lancer. Calculer $\mathbb P(A>B)$, + $\mathbb P(B>C)$ et $\mathbb P(C>A)$. Commenter le résultat. +2. On numérote les faces de trois dés à $n$ faces avec les entiers de $1$ + à $3n$ et l'on note $A,B,C$ les résultats de chaque lancer. Montrer que + l'une des trois probabilités $\mathbb P(A>B)$, $\mathbb P(B>C)$ ou + $\mathbb P(C>A)$ est inférieure ou égale à $2/3$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 112] +On considère un tableau de taille $n\times n$, dont on révèle les cases +une par une aléatoirement. +1. Soient $m\in\N^*$ et $i\in\db{1,n}$. Calculer la probabilité qu'après + $m$ étapes, la ligne $i$ n'ait aucune case révélée. La majorer par + $(1-1/n)^m$. +2. On note $H_n$ le nombre d'étapes nécessaires pour que toute ligne et + toute colonne contienne au moins une case révélée. Soit $\varepsilon>0$. + Montrer que + $\mathbb P(H_n>\lfloor(1+\varepsilon)n\ln n\rfloor)\to0$ lorsque + $n\to+\infty$. Déterminer la vitesse de convergence. +3. Soit $\varepsilon\in]0,1[$. On note $X_n$ le nombre de lignes ne + contenant pas de case révélée à l'instant + $\tau=\lfloor(1-\varepsilon)n\ln n\rfloor$. Montrer que + $\mathbb E(X_n)\to+\infty$ lorsque $n\to+\infty$. +4. Montrer que $\mathbb P(X_n=0)\to0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 113] +Que dire de deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes $X$ +et $Y$ telles que $X+Y$ et $Y$ soient indépendantes ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 114] +Soit, pour $n\in\N^*$, $M_n$ une matrice aléatoire dont les coefficients +sont des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de +paramètre $1/2$. Montrer qu'il existe une constante absolue $c>0$ telle que, +pour tout $n\in\N^*$, +$$\mathbb P(M_n\in\mathrm{GL}_n(\R))\geq c.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 115] +Soit $R>0$. On choisit aléatoirement un polynôme $P_n\in\C_n[X]$ unitaire +de degré $n$, à coefficients indépendants suivant la loi uniforme sur +$B(0,R)\cap\Z[i]$. Où se situent les racines de $P_n$ quand $n$ tend vers +$+\infty$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 116] +On définit, pour une suite de réels $u=(u_i)_{i\geq0}$, la suite de +matrices $H(u)$ telle que +$H_n(u)=(u_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$. +1. On suppose que, pour tout $n\in\N$, $u_n=\E(X^n)$, avec $X$ une variable + aléatoire réelle discrète admettant un moment de tout ordre. Montrer que + toutes les matrices $H_n(u)$ sont symétriques positives. Quel est leur + rang ? +2. On suppose que $u_0,\ldots,u_{2M-2}$ vérifient + $H_M(u)\in\mathcal S_M^{++}(\R)$. Montrer que la suite $u$ peut être + prolongée à partir du rang $2M-1$ en une suite infinie telle que, pour + tout $n\geq M$, $\operatorname{rg}(H_n(u))=M$. +3. On suppose que $H_n(u)\in\mathcal S_n^+(\R)$ pour tout $n\in\N$. Montrer + que les seules natures possibles pour la suite + $(\operatorname{rg}(H_n(u)))_{n\geq0}$ sont : soit + $\operatorname{rg}(H_n(u))=n$ pour tout $n\in\N$ ; soit il existe $M$ + tel que $\operatorname{rg}(H_n(u))=n$ pour $n\leq M$, puis cette suite + est stationnaire égale à $M$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 117] +Soit $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur +$\mathfrak S_m$. Quelle est la loi de la longueur du cycle de $\sigma$ +contenant $1$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 118] +Soit $p\geq5$ un nombre premier. On admet que le polynôme $X^3-1$ a pour +unique racine $1$ dans $\mathbb F_p$ si et seulement si $p\equiv2\pmod3$. +On tire une matrice $M$ dans $\mathrm{GL}_3(\mathbb F_p)$ avec la +probabilité uniforme. Calculer $\mathbb P(M^3=I_3)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 119] +Soit $n\in\N^*$. On dit que la matrice $A\in\mathcal M_2(\Z)$ est +inversible modulo $n$ s'il existe $B\in\mathcal M_2(\Z)$ telle que, pour +tous $(i,j)\in\db{1,2}^2$, $(AB)_{i,j}\equiv\delta_{i,j}\pmod n$. +1. Montrer que $A$ est inversible modulo $n$ si et seulement si + $\det(A)\wedge n=1$. +2. Soient $a,b,c,d$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme + sur $\db{0,n-1}$, et + $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. Calculer la probabilité que + $M$ soit inversible modulo $n$ pour $n=p^k$, avec $p$ premier et + $k\in\N^*$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 120] +Soient $n\in\N^*$ et $(a_1,b_1),\ldots,(a_k,b_k),\ldots$ une suite i.i.d. +de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Pour +$m\in\N^*$, soit $\sigma_m$ la permutation aléatoire +$\sigma_m=(a_1\ b_1)\circ\cdots\circ(a_m\ b_m)$, et soit $\mu_m$ la loi +de $\sigma_m$. +1. Pour $m\in\N^*$, exprimer $\mu_{m+1}$ en fonction de $\mu_m$. +2. À quelle condition sur $m$ a-t-on $\mu_m(\{\sigma\})>0$ pour tout + $\sigma\in\mathfrak S_n$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 121] +Soient $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la +loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Pour $N\in\N^*$, on pose +$$S_N=\sum_{i=1}^N\frac{X_i}{i^\alpha},\qquad +F_N:x\in\R\longmapsto\mathbb P(S_N\leq x).$$ +Montrer que la suite $(F_N)$ converge ; on note $F$ sa limite. Pour quelles +valeurs de $\alpha>0$, $\lambda>0$ et $x\geq0$ a-t-on $F(x)>0$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 122] +1. Soient $a\in]0,1[$ et $b\in\R_+^*$. Montrer qu'il existe + $c_{a,b}>0$ tel que, pour toute variable aléatoire $Z$ à valeurs dans + $\R_+$ vérifiant $\E(Z)=1$ et $\E(Z^2)\leq b$, on ait + $\mathbb P(Z\geq a)\geq c_{a,b}$. +2. Soient $(X_k)_{k\geq1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant + la loi de Rademacher et, pour $n\in\N^*$, + $S_n=X_1+\cdots+X_n$. + a. Montrer que, pour tout $a>0$, il existe $\phi(a)>0$ tel que, pour + tout $n$ assez grand, + $\mathbb P(S_n/\sqrt n\geq a)\geq\phi(a)$. + b. Montrer que + $$\mathbb P\left(\left(\frac{S_n}{\sqrt n}\right)_{n\geq1} + \text{ est bornée}\right)=0.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 123] +1. Montrer que la fonction $\tau$ qui associe à un entier naturel non nul + son nombre de diviseurs positifs vérifie + $\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)$ pour tous $m,n\in\N^*$ premiers entre eux. +2. Trouver un équivalent de $\E(\tau(T_N))$ quand $N\to+\infty$, où + $T_N\sim\mathcal U(\db{1,N})$. +3. Montrer que + $\mathbb P(\tau(T_N)>\ln^3(N))=O(1/\ln^3(N))$ quand $N\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 124] +Soient $p\in\N^*$, $N\in\N$ avec $N\geq2$, et $X_0,X_1,\ldots,X_N$ des +variables aléatoires complexes telles que, pour tous $i,j\in\{0,\ldots,N\}$, +$$\E(|X_i-X_j|^p)\leq\left(\frac{|i-j|}{N}\right)^2.$$ +1. Soit $\eta>0$. Donner une majoration de + $\mathbb P\left(\max_{1\leq i\leq N}|X_i-X_0|\geq\eta\right)$. +2. À partir de quel $p$ cette majoration est-elle pertinente ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 125] +Soit $(p_n)_{n\in\N}\in[0,1]^\N$. Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de +variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $n\in\N$, +$X_n\sim\mathcal B(p_n)$. Montrer l'équivalence entre : +1. pour toute distribution de probabilités $(q_i)_{i\geq0}$ sur $\N$, + il existe une suite $(g_n)$ de fonctions de $\{0,1\}^{n+1}$ dans $\N$ + telle que $(g_n(X_0,\ldots,X_n))$ converge presque sûrement vers une + variable aléatoire suivant la loi associée à $(q_i)$ ; +2. $\sum_{n=1}^{+\infty}p_n(1-p_n)=+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 126] +1. Soit $p\in]0,1[$. Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables + aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p$. Pour + $n\in\N^*$, on note $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. Donner un équivalent + simple de $\E(M_n)$ quand $n\to+\infty$. +2. Soit $(Y_i)_{i\in\N}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant + la loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Pour $n\in\N^*$, on note + $P_n=\max(Y_1,\ldots,Y_n)$. Montrer que $\E(P_n)=o(\E(M_n))$, puis + trouver un équivalent de $\E(P_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 127] +Soient $\beta\in]2,+\infty[$ et $(X_k)_{k\geq1}$ une suite i.i.d. de +variables aléatoires telles que, pour tout $m\in\N^*$, +$$\mathbb P(X_1=m)=\frac{1}{\zeta(\beta)}\frac{1}{m^\beta}.$$ +Pour $n\in\N^*$, soit $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. Déterminer un +équivalent simple de $\E(M_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 128] +Soient $(p_k)_{k\geq0}\in]0,1[^{\N}$ et $(X_k)_{k\geq0}$ une suite de +variables de Bernoulli indépendantes telle que $p_k=\mathbb P(X_k=1)$ pour +tout $k\in\N$. Soit $(a_k)_{k\geq0}$ une suite de réels positifs. +1. On suppose que $\sum_{k\in\N}a_kp_k<+\infty$. Montrer que, pour tout + $A\in\R_+^*$, + $$\lim_{n\to+\infty}\mathbb P\left(\sum_{k=0}^na_kX_k\leq A\right)>0.$$ +2. On suppose que $\sum_{k\in\N}a_kp_k=+\infty$ et que $(a_k)$ est + bornée. Montrer que, pour tout $A\in\R_+^*$, + $$\lim_{n\to+\infty}\mathbb P\left(\sum_{k=0}^na_kX_k\leq A\right)=0.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 129] +Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discrètes réelles +indépendantes. On suppose que, pour tout $k\in\db{1,n}$, +$\E(|X_k|)<+\infty$ et $\E(X_k)\geq0$. On note +$S_k=\sum_{i=1}^kX_i$. +1. Montrer que, pour tout $C>0$, + $$\mathbb P\left(\max(S_1,\ldots,S_n)\geq C\right) + \leq\frac{\E(\max(S_n,0))}{C}.$$ +2. On suppose de plus que, pour tout $k\in\db{1,n}$, + $\E(X_k)=0$ et $\E(X_k^2)<+\infty$. Montrer que, pour tout $C>0$, + $$\mathbb P\left(\max(|S_1|,\ldots,|S_n|)\geq C\right) + \leq\frac{\E(S_n^2)}{C^2}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 130] +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N$. On note +$X\leq_{\mathrm{st}}Y$ la condition +$\forall m\in\N,\ \mathbb P(X\geq m)\leq\mathbb P(Y\geq m)$. Soient +$00$. Montrer que, + pour tout $u>0$, + $$\mathbb P(X\geq\lambda(1+u))\leq e^{-\lambda h(u)}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS U 2026 # 133] +Soit $d\in\N^*$. Pour $x=(x_1,\ldots,x_d)$, $y=(y_1,\ldots,y_d)\in\Z^d$, +on note $x\preceq y$ si $x_i\leq y_i$ pour tout $1\leq i\leq d$. On dit que +$f:\Z^d\to\R$ est croissante si $x\preceq y$ implique $f(x)\leq f(y)$. +Soient $f,g$ deux fonctions croissantes et bornées de $\Z^d$ dans $\R$. +Montrer que +$$\E(f(X_1,\ldots,X_d)g(X_1,\ldots,X_d)) +\geq\E(f(X_1,\ldots,X_d))\E(g(X_1,\ldots,X_d))$$ +dans chacun des cas suivants : +1. $X_1,\ldots,X_d$ sont des variables de Bernoulli indépendantes ; +2. $X_1,\ldots,X_d$ sont des variables de Poisson indépendantes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 134] +Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On note +$F_X:t\in\R\mapsto\mathbb P(X\leq t)$. Pour $q\in]0,1[$, on pose +$$C_X(q)=\inf\{t\in\R\mid F_X(t)\geq q\}.$$ +1. Soit $q\in]0,1[$. Montrer que $C_X(q)$ est bien défini. Calculer + $C_X(q)$ pour $X\sim\mathcal B(p)$ avec $p\in]0,1[$. +2. Soient $x\in\R$ et $q\in]0,1[$. Montrer que + $C_X(q)\leq x$ si et seulement si $q\leq F_X(x)$. En déduire que + $$\int_0^1\mathbf 1_{C_X(q)\leq x}\,dq=\mathbb P(X\leq x).$$ + En déduire une expression de $\E(X)$ lorsque $X$ est à valeurs dans $\N$. +3. Soit $\widetilde C_X(q)=\sup\{t\in\R\mid\mathbb P(X0$. Quel est le + nombre de multiples de $p^\alpha$ entre $1$ et $n$ ? +2. Montrer que la plus grande puissance de $p$ qui divise $n!$ est + $$\sum_{\alpha=1}^{+\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^\alpha}\right\rfloor.$$ +3. Montrer que, lorsque $x\to+\infty$, + $$\sum_{\substack{p\leq x\\p\text{ premier}}}\frac{\ln(p)}p + \geq\ln(x)+O(1).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 141] +Soient $a_10$, et posons $R_t:x\in\R\mapsto\frac1{t-f(x)}$. +1. Donner un développement asymptotique à deux termes en $+\infty$ de $f$ + puis de $R_t$. +2. Soit $i\in\db{1,n}$. Justifier que $f$ réalise une bijection de + $]a_i,a_{i+1}[$ sur un intervalle $I_i$ que l'on précisera. On note + $g_i$ sa réciproque. +3. Montrer que, pour tout $t>0$, + $$g_i(t)-a_i=\int_t^{+\infty}\frac{ds}{|f'(g_i(s))|}.$$ +4. Soient $x\in\R$ et $t>0$. Montrer que + $$R_t(x)=\frac1t\frac{\prod_{i=1}^n(x-a_i)} + {\prod_{i=1}^n(x-g_i(t))} + =\frac1t+\sum_{i=1}^n\frac{1}{x-g_i(t)} + \frac{1}{|f'(g_i(t))|}.$$ +5. Montrer que, pour tout $t>0$, + $$\sum_{i=1}^n\frac{1}{|f'(g_i(t))|}=\frac{d}{t^2}.$$ +6. Soit $P$ un polynôme réel scindé. Soit $t>0$, et posons + $$E_t=\left\{x\in\R\mid\frac{P'}P(x)>t\right\}.$$ + Montrer que $E_t$ est une réunion finie d'intervalles ouverts et que la + somme de leurs longueurs vaut $d/t$, où $d$ est le degré de $P$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 142] +1. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$ n'ayant pas de valeur propre réelle. + Montrer que $\det A>0$. + + Soient $A,B\in\mathcal M_n(\C)$ et + $$M=\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}.$$ +2. On suppose que $\operatorname{Sp}_{\R}(M)=\varnothing$. Montrer que + $\det M>0$. +3. On suppose que $M$ est diagonalisable. Montrer que $\det M\geq0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 143] +Soit $K=\R$ ou $\C$ et soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension +$n\geq1$. Soit $f\in\mathcal L(E)$. +1. Montrer que $\ker f=\ker(f^2)$ si et seulement si + $E=\ker f\oplus\operatorname{Im}f$. +2. Trouver un exemple d'espace $E$ et d'application $f\in\mathcal L(E)$ + telle que $\operatorname{Im}f=\ker f$. +3. Si $K=\C$, montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si, pour + tout $\lambda\in\operatorname{Sp}(f)$, + $\ker(f-\lambda\operatorname{id})=\ker((f-\lambda\operatorname{id})^2)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 144] +Soit $n\geq2$. +1. Résoudre l'équation $AA^TA=I_n$ d'inconnue $A\in\mathcal M_n(\R)$. +2. a. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai si + $A\in\mathcal M_n(\C)$ ? + b. Trouver une solution non diagonale dans $\mathcal M_n(\C)$. Plus + généralement, donner une infinité de solutions non diagonales dans + $\mathcal M_n(\C)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 145] +Soient $A,B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. +1. Montrer qu'il existe $Q\in\mathrm{GL}_n(\R)$ et une matrice diagonale + $D\in\mathcal M_n(\R)$ telles que $A=QQ^T$ et $B=QDQ^T$. Montrer que + les coefficients diagonaux de $D$ sont strictement positifs. +2. Montrer que $\det(A+B)\geq\det A+\det B$. +3. Montrer que $\mathcal S_n^{++}(\R)$ est dense dans $\mathcal S_n^+(\R)$. + En déduire une inégalité générale valable sur $\mathcal S_n^+(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 146] +Soit $n\in\N^*$. Soit $A\in\mathcal S_n(\R)$ à coefficients dans +$\{0,1\}$ et de trace nulle. Soient $J\in\mathcal M_n(\R)$ et +$U\in\R^n$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$. On note +$A^2=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. On suppose qu'il existe +$d\in\N^*$ tel que +$$A^2+A-(d-1)I_n=J.$$ +1. a. Déterminer $\operatorname{Sp}(J)$ et les dimensions des sous-espaces + propres de $J$. + b. Montrer que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $b_{i,i}$ est égal au nombre + de coefficients égaux à $1$ dans la colonne (ou la ligne) numéro $i$ de + $A$. + c. Montrer que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $a_{i,i}=0$, puis que + $b_{i,i}-(d-1)=1$. +2. Posons $P(X)=X^2+X-(d-1)$. + a. Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre associée à $A$, alors + $P(\lambda)$ est une valeur propre associée à $J$. + b. Montrer que $n=d^2+1$. + c. Montrer que $E_J(n)=E_A(d)$. +3. Soient $a>b$ les racines de $P$, $\Delta$ le discriminant de $P$, + $F_a=\{X\in\R^n\mid AX=aX\}$, $F_b=\{X\in\R^n\mid AX=bX\}$, + $\alpha=\dim(F_a)$ et $\beta=\dim(F_b)$. + a. Expliciter $a$ et $b$. Peut-on avoir $\alpha\beta=0$ ? + b. Montrer que $1+\alpha+\beta=n$, $d+\alpha a+\beta b=0$ et + $\sqrt\Delta(\alpha-\beta)=d^2-2d$. + c. Montrer que $d$ appartient à un ensemble fini que l'on déterminera. + On pourra raisonner sur la condition $\sqrt\Delta\in\N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 147] +1. Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer que, pour tout + $k\in\db{1,n}$, + $\det((a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})>0$. +2. On cherche désormais à démontrer la réciproque. Soit + $M\in\mathcal S_n(\R)$, que l'on écrit par blocs + $$M=\begin{pmatrix}M_{n-1}&V\\V^T&\alpha\end{pmatrix},$$ + avec $M_{n-1}\in\mathcal S_{n-1}(\R)$. On suppose que tous les mineurs + principaux dominants vérifient + $\det((a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})>0$. + a. Montrer qu'il existe $Q\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telle que + $$Q^TMQ=\begin{pmatrix}M_{n-1}&0\\0&\beta\end{pmatrix}$$ + avec $\beta>0$. + b. Conclure. +3. Pour quelles valeurs de $n\in\N^*$ la matrice tridiagonale + $$A_n=\begin{pmatrix} + 2&1&0&\cdots&0\\1&2&1&\ddots&\vdots\\0&1&2&\ddots&0\\ + \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\0&\cdots&0&1&2 + \end{pmatrix}$$ + appartient-elle à $\mathcal S_n^{++}(\R)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 148] +Soient $A\in\mathcal S_n(\R)$ et $B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. +1. Montrer qu'il existe $C\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telle que $C^2=B$. +2. En déduire que $AB$ est diagonalisable. +3. On suppose de plus que $A$ est positive. Montrer que + $\operatorname{Sp}(AB)\subset\R_+$. +4. Soit $\lambda\in\operatorname{Sp}(AB)$. Montrer que + $$\min_{\substack{\alpha\in\operatorname{Sp}(A)\\ + \beta\in\operatorname{Sp}(B)}}\alpha\beta\leq\lambda\leq + \max_{\substack{\alpha\in\operatorname{Sp}(A)\\ + \beta\in\operatorname{Sp}(B)}}\alpha\beta.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 149] +Soit $n\geq2$. Pour $A,B\in\mathcal M_n(\R)$, on pose +$\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}(A^TB)$. +1. Montrer que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire. +2. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$. Montrer que $AA^T$ a $n$ valeurs propres + positives notées $\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n$. Déterminer + $$\sup_{\substack{x\in\R^n\\\|x\|_2=1}}\|A^Tx\|_2.$$ +3. On note $E_r$ l'ensemble des matrices de $\mathcal M_n(\R)$ de rang au + plus $r$. Montrer que tout élément de $E_1$ peut s'écrire sous la forme + $xy^T$, où $x,y\in\R^n$. +4. Montrer que, pour tout $A\in\mathcal M_n(\R)$ et tout $M\in E_1$, + $$\|A-M\|_2\geq\left(\sum_{i=2}^n\lambda_i\right)^{1/2}.$$ + Cette minoration est-elle optimale ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 150] +1. Montrer que $(A,B)\mapsto\operatorname{Tr}(A^TB)$ définit un produit + scalaire sur $\mathcal M_n(\R)$. +2. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$ telle que + $\operatorname{Tr}(A^TA)=\operatorname{Tr}(A^2)$. Montrer que + $A\in\mathcal S_n(\R)$. +3. Soit $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer que $A$ est inversible et + que $A^{-1}\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Justifier les inégalités + $$\operatorname{Tr}(A)\operatorname{Tr}(A^{-1})\geq n^2,\qquad + \operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(A^{-1})\geq2n.$$ + Discuter les cas d'égalité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 151] +On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et on note +$S=\{x\in\R^n\mid\|x\|=1\}$. Soient $u,v\in\mathcal S(\R^n)$ tels que +$$\forall x\in\R^n,\quad\langle u(x),x\rangle\leq\langle v(x),x\rangle.$$ +1. Soit $f:S\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $x_0\in S$ en lequel + la borne inférieure de $f$ est atteinte. +2. Justifier que $u$ et $v$ possèdent $n$ valeurs propres + $\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n$ et + $\mu_1\geq\cdots\geq\mu_n$. On note $G_k$ l'ensemble des sous-espaces + vectoriels de dimension $k$. Soit $(f_1,\ldots,f_n)$ une base + orthonormée de vecteurs propres de $u$, avec $u(f_k)=\lambda_kf_k$. + On veut montrer que + $$\lambda_k=\sup_{V\in G_k}\min_{\substack{x\in V\\\|x\|=1}} + \langle u(x),x\rangle.$$ + a. Soient $k\in\db{1,n}$ et $V\in G_k$. Montrer que + $V\cap\operatorname{Vect}(f_k,\ldots,f_n)\neq\{0\}$. + b. Montrer que le supremum précédent est inférieur ou égal à $\lambda_k$. + c. En déduire l'égalité. +3. Montrer que $\lambda_i\leq\mu_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$. +#+end_exercice + +** Analyse + + + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 152] +1. Montrer que $\mathrm{GL}_n(\R)$ est un ouvert dense dans + $\mathcal M_n(\R)$. +2. Soit $r\in\{1,\ldots,n\}$. Montrer que l'ensemble $A_r$ des matrices + de rang supérieur ou égal à $r$ est un ouvert de $\mathcal M_n(\R)$. + Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A_r$ soit dense + dans $\mathcal M_n(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 153] +Soient $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $f\in\mathcal L(E)$. +Lorsque cette définition a un sens, on pose +$$\|f\|_L=\sup_{\substack{x\in E\\\|x\|=1}}\|f(x)\|.$$ +1. Si $E$ est de dimension finie, montrer que, pour tout $f\in\mathcal L(E)$, + $f$ est continue et $\|f\|_L$ existe. +2. Si $E$ est de dimension infinie, montrer que la continuité de $f$ + équivaut à l'existence de $\|f\|_L$. +3. Montrer que, pour $f,g\in\mathcal L(E)$ continues, + $$\|f+g\|_L\leq\|f\|_L+\|g\|_L,\qquad + \|fg\|_L\leq\|f\|_L\|g\|_L.$$ +4. Soient $f,g\in\mathcal L(E)$ continues telles que $fg-gf=\operatorname{id}$. + Donner, pour $n\in\N^*$, une expression de $fg^n-g^nf$. Montrer qu'un + tel couple n'existe pas. +5. On prend $E=\R[X]$. Donner une condition nécessaire pour que + $D:P\mapsto P'$ soit continue. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 154] +1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum z^n/n!$. +2. a. Soit $D\in\mathcal M_n(\R)$ diagonale. Montrer que la suite + $$\left(\sum_{k=0}^n\frac{D^k}{k!}\right)_{n\in\N}$$ + converge. On note sa limite $\exp(D)$. + b. Même question pour $A\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisable. +3. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisables. Montrer que $A$ et + $B$ commutent si et seulement si $\exp(A)$ et $\exp(B)$ commutent. +4. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisables. Montrer que + $\exp(A)=\exp(B)$ si et seulement si $A=B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 155] +1. Soit $z\in\C$. Étudier la convergence de $(z^n)_{n\in\N}$ si + $|z|\neq1$. +2. Soit $\theta\in2\pi\Q$. Étudier la convergence de $(z^n)_{n\in\N}$ + où $z=e^{i\theta}$. +3. Soient $N\in\N$ et $x_0,\ldots,x_N\in[0,1]$. Montrer qu'il existe + $i,j\in\db{0,N}$ tels que $i\neq j$ et $|x_i-x_j|\leq1/N$. +4. Soient $\alpha\in\R\setminus\Q$ et $\beta\in\R$. On pose + $\delta(\alpha)=\min_{n\in\Z}|\alpha-n|$. Justifier l'existence de + $\delta$. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, il existe + $k\in\N^*$ tel que $\delta(k\alpha-\beta)<\varepsilon$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 156] +Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite de réels positifs. +1. Déterminer un équivalent simple de + $\frac1{\ln(n+1)}-\frac1{\ln n}$. +2. A-t-on + $(u_n+u_{n+1})\sim_{n\to+\infty}2/n\Rightarrow + u_n\sim_{n\to+\infty}1/n$ ? +3. A-t-on + $(u_n+u_{n+2})\sim_{n\to+\infty}2/n\Rightarrow + u_n\sim_{n\to+\infty}1/n$ ? +4. A-t-on + $(u_n+u_{2n})\sim_{n\to+\infty}3/(2n)\Rightarrow + u_n\sim_{n\to+\infty}1/n$ ? +5. Reprendre les questions précédentes en supposant $(u_n)$ décroissante. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 157] +Soient $(a,b)\in(\R_+^*)^2$. On considère les suites +$(u_n)_{n\geq0}\in\R^\N$ vérifiant +$$\forall n\in\N,\qquad\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+a}{n+b}.$$ +1. a. Démontrer qu'il existe une constante $K>0$ telle que + $u_n\sim K/n^{b-a}$. + b. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que + $\sum u_n$ converge. + + On suppose désormais cette condition vérifiée. +2. a. Montrer que $(nu_n)$ converge et déterminer sa limite. + b. En déduire la valeur de $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 158] +1. Montrer qu'une série numérique complexe absolument convergente est + convergente. +2. On définit la suite $(u_n)_{n\in\N^*}$ par $u_1=1$ et, pour tout + $n\in\N^*$, + $$u_{n+1}=u_n+\frac{1}{n^\alpha u_n}.$$ + a. On suppose $\alpha>1$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, + $0\leq u_{n+1}-u_n\leq1/n^\alpha$. En déduire que $(u_n)$ converge. + b. On suppose $\alpha\leq1$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, + $$\frac{2}{n^\alpha}\leq u_{n+1}^2-u_n^2 + \leq\frac{2}{n^\alpha}+\frac{1}{n^{2\alpha}}.$$ + En déduire que $(u_n)$ diverge et en donner un équivalent. +3. On suppose $\alpha>1$. On note $f$ la fonction qui à $\alpha$ + associe la limite de la suite $(u_n)$ correspondante. Montrer que $f$ + est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$ et ne se prolonge pas par + continuité en $1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 159] +1. Soit $\alpha\in\Q$. La fonction + $F_1:x\mapsto\cos(x)+\cos(\alpha x)$ est-elle périodique ? +2. Soit $\alpha\in\R\setminus\Q$. La fonction + $F_1:x\mapsto\cos(x)+\cos(\alpha x)$ est-elle périodique ? +3. Soit $\alpha\in\R\setminus\Q$. La fonction + $F_2:x\mapsto\sin(x)+\sin(\alpha x)$ est-elle périodique ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 160] +1. Soit $\psi:\R\to\R$ une fonction de classe $C^1$ et convexe. + a. Soit $t_0\in\R$. Montrer qu'il existe une fonction affine $a$ telle + que $\psi\geq a$ et $\psi(t_0)=a(t_0)$. + b. Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ positive et telle que + $\int_0^1f(t)\,dt=1$. Montrer que + $$\psi\left(\int_0^1tf(t)\,dt\right) + \leq\int_0^1f(t)\psi(t)\,dt.$$ +2. Soient $I$ un intervalle contenant $0$ et $g\in C^2(I,\R)$ telle que + $g''$ soit convexe. On pose + $$G:x\longmapsto2\int_0^1(1-t)g''(tx)\,dt.$$ + a. Montrer que, pour tout $x\in I$, + $\frac{x^2}{2}G(x)=g(x)-g(0)-xg'(0)$. + b. Montrer que, pour tout $x\in I$, $G(x)\geq g''(x/3)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 161] +Soit $g:x\in\R_+^*\longmapsto\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$. +1. Montrer que $g$ est bien définie et étudier sa continuité. +2. Soit $x>0$. On pose + $$\phi_x:t\in[1,+\infty[\longmapsto + \frac1{(2t-1)^x}-\frac1{(2t)^x},\qquad + u:t\in[1,+\infty[\longmapsto\lfloor t\rfloor+1-t.$$ + Montrer que + $$g(x)=\int_1^{+\infty}\phi_x(t)\,dt- + \int_1^{+\infty}u(t)\phi_x'(t)\,dt.$$ +3. La fonction $g$ admet-elle une limite en $0^+$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 162] +Soit +$$J:\lambda\longmapsto\int_0^1\frac{t^\lambda}{\sqrt{1-t^2}}\,dt.$$ +1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $J$. +2. Montrer que $J$ est dérivable en $0$. +3. Calculer $J'(0)$, puis en déduire un développement limité à l'ordre $1$ + en $0$ de la fonction $J$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 163] +1. Soit $f\in C^1(\R_+,\R)$ vérifiant $f(0)=1$ et + $f'(x)\leq e^{-x}f(x)$ pour tout $x\geq0$. Montrer que $f(x)\leq e$ + pour tout $x\geq0$. Indication : considérer + $g(x)=f'(x)-e^{-x}f(x)$. +2. Justifier l'existence et l'unicité de la solution du problème + $$y''(x)=(1+e^{-x})y(x),\qquad y(0)=1,\quad y'(0)=1.$$ + Montrer que, pour tout $x\geq0$, + $$y(x)=e^x+\frac{e^x}{2}\int_0^xe^{-2t}y(t)\,dt + -\frac{e^{-x}}2\int_0^xy(t)\,dt.$$ +3. On pose $z(x)=e^{-x}|y(x)|$. Montrer que + $$z(x)\leq1+\int_0^xz(t)e^{-t}\,dt\quad(x\geq0).$$ + En déduire que $y(x)=O(e^x)$ lorsque $x\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 164] +Soient $N,\alpha,\beta\in\R_+^*$ et $\varepsilon>0$ petit devant $N$. +Soit $(x,y,z)\in C^1(\R_+,(\R_+^*)^3)$ solution de +$$x'=-\alpha\frac{xy}{N},\qquad +y'=\alpha\frac{xy}{N}-\beta y,\qquad z'=\beta y,$$ +avec $(x,y,z)(0)=(N-\varepsilon,\varepsilon,0)$. +1. Montrer que $(x,y,z)$ possède une limite en $+\infty$, notée + $(x^*,y^*,z^*)$. +2. Trouver une relation entre $x^*$ et $y^*$. +3. Montrer que + $$x^*=(N-\varepsilon)\exp\left(\frac{\alpha(x^*-N)}{N\beta}\right).$$ + On pose $\rho=\alpha/\beta$. +4. Que dire de $x^*$ quand $\rho<1$ ? +5. Lorsque $\rho>1$, montrer que l'équation + $$x=N\exp\left(\frac{\rho(x-N)}N\right)$$ + possède une unique solution $x(\rho)$ dans $]0,N[$ et que celle-ci est + décroissante en $\rho$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 165] +Soit $f:\R^2\to\R^2$ de classe $C^2$ telle que, pour tous $x,y,t\in\R$, +$f(tx,ty)=t^kf(x,y)$, où $k$ est un entier positif. On suppose également +que +$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)+ +\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)=0.$$ +1. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$, + $$x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+ + y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=kf(x,y),$$ + puis que + $$x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)+ + y^2\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)+ + 2xy\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)=k(k-1)f(x,y).$$ +2. Soit $h:\theta\in\R\mapsto f(\cos\theta,\sin\theta)$. Montrer que + $h''(\theta)+k^2h(\theta)=0$. +3. Montrer que $f$ est un polynôme à coefficients réels, c'est-à-dire + qu'il existe $p,q\in\N$ et des réels $a_{i,j}$ tels que + $$f(x,y)=\sum_{i=0}^p\sum_{j=0}^qa_{i,j}x^iy^j.$$ +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 166] +On dit qu'une famille $(A_i)_{1\leq i\leq p}$ de parties d'un ensemble est +une $p$-antichaîne lorsque, pour tous $i\neq j$, $A_i\not\subset A_j$. +1. a. Donner les variations de $k\in\{1,\ldots,n\}\mapsto\binom nk$. + b. Soit $k\in\{1,\ldots,n\}$, et soit $E_k$ l'ensemble des parties de + $\{1,\ldots,n\}$ à $k$ éléments. Montrer que $E_k$ est une + $p$-antichaîne, pour un entier $p$ à préciser. + c. Déterminer $\max_{1\leq k\leq n}\operatorname{Card}(E_k)$. + + On note $\mathfrak S_n$ l'ensemble des permutations de + $\{1,\ldots,n\}$, muni de la loi uniforme. On considère une + $p$-antichaîne $(A_i)_{1\leq i\leq p}$ formée de parties de + $\{1,\ldots,n\}$. Pour tout $i$, on note $a_i=\operatorname{Card}(A_i)$ et + $E_i=\{\sigma\in\mathfrak S_n\mid + \sigma(\{1,\ldots,a_i\})=A_i\}$. +2. a. Montrer que les événements $E_i$ sont incompatibles et déterminer + leur probabilité. + b. Donner une majoration de $p$. +3. On note $(x_1,\ldots,x_n)$ une famille de réels supérieurs ou égaux à + $1$. On munit $\Omega_n=\{-1,1\}^n$ de la loi uniforme. On note $X$ la + variable aléatoire définie par + $X((\omega_i)_{1\leq i\leq n})=\sum_{k=1}^n\omega_kx_k$. + Trouver une majoration de $\mathbb P(00$, + $$\mathbb P(X\geq n(p+\varepsilon))\leq + \left(\frac{1-p+pe^t}{e^{t(p+\varepsilon)}}\right)^n.$$ +3. On suppose $0<\varepsilon<1-p$. En utilisant $f$, montrer que + $$\mathbb P(X\geq n(p+\varepsilon))\leq + \left[\left(\frac{p+\varepsilon}{p}\right)^{p+\varepsilon} + \left(\frac{1-p-\varepsilon}{1-p}\right)^{1-p-\varepsilon}\right]^{-n}.$$ +4. Soit + $$H:\theta\in[0,1-p[\longmapsto(p+\theta)\ln\left(\frac{p+\theta}{p}\right) + +(1-p-\theta)\ln\left(\frac{1-p-\theta}{1-p}\right).$$ + Montrer que $H(\theta)\geq2\theta^2$. En déduire que + $\mathbb P(X\geq n(p+\varepsilon))\leq e^{-2n\varepsilon^2}$. + Donner une majoration de cette probabilité par l'inégalité de + Bienaymé-Tchebychev et comparer les deux majorations. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 168] +1. Soient $n\in\N^*$, $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$ et + $(b_1,\ldots,b_n)\in(\R_+^*)^n$. Montrer que + $$\frac{a_1^2}{b_1}+\cdots+\frac{a_n^2}{b_n} + \geq\frac{(a_1+\cdots+a_n)^2}{b_1+\cdots+b_n}.$$ +2. Soit $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$ muni d'une probabilité + $\mathbb P$. Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires défini sur + $\Omega$ avec $Y>0$. Montrer que + $$\E\left(\frac{X^2}{Y}\right) + \geq\frac{\E(|X|)^2}{\E(Y)}\geq\frac{\E(X)^2}{\E(Y)}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 169] +Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, de série génératrice +$G$. On suppose que le rayon de convergence $R$ de $G$ est supérieur à $1$. +On suppose qu'il existe $H\in C^1(\R_+,\R)$ telle que +$$G(x)G(y)=H(x^2+y^2)$$ +pour tous $x,y\in\R$ tels que $\max(|x|,|y|)1$. +1. Montrer que + $$|\lambda|^n\leq|\lambda^na_n+\lambda^{n-1}a_{n-1}| + \leq9\frac{|\lambda|^{n-1}-1}{|\lambda|-1}.$$ +2. Montrer que $\operatorname{Re}(\lambda)<4$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 172] +On dit qu'un nombre $\alpha\in\C$ est algébrique lorsqu'il existe +$P\in\Z[X]\setminus\{0\}$ tel que $P(\alpha)=0$. +1. Si $k\in\N^*$, montrer que $\sqrt{k}$ est algébrique. +2. Soit $(u_n)$ une suite d'entiers positifs. On définit $(v_n)$ par + $v_0=u_0$ et, pour tout $n\in\N^*$, + $$v_{n+1}=u_{n+1}+\sqrt{v_n}.$$ + Montrer que les termes de la suite $(v_n)$ sont tous algébriques. +3. Montrer que l'ensemble des nombres algébriques est dense dans $\C$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 173] +Soient $x_0<\cdotsn(n-1)$. Montrer qu'il existe + $A\in F\setminus\{0\}$ dont les colonnes numérotées de $2$ à $n$ sont + nulles, puis qu'il existe $(P,Q)\in\mathrm{GL}_n(\C)^2$ tel que + $PAQ=E_{1,1}$. +4. Montrer que $F'=\{PMQ\mid M\in F\}$ ne contient pas de matrice + inversible. +5. On pose + $$g:F'\to\mathcal M_{n-1}(\C),\quad + M=(m_{i,j})\mapsto(m_{i+1,j+1})_{1\leq i,j\leq n-1}.$$ + Montrer que $g(F')$ ne contient pas de matrice inversible. Conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 178] +Soient $n,p\in\N^*$. Déterminer la dimension de l'espace vectoriel +$$\left\{M=(m_{i,j})\in\mathcal M_{n,p}(\R)\ \middle|\ +\exists a\in\R,\ \forall k\in\db{1,n},\quad +\sum_{j=1}^pm_{k,j}=a=\sum_{i=1}^nm_{i,k}\right\}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 179] +Soient $A=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)$ et +$B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ où $b_{1,n}=1$, $b_{i,i-1}=1$ pour +$2\leq i\leq n$, les autres coefficients étant nuls. Montrer que +$$\operatorname{Vect}\{B^kA^\ell\mid k,\ell\in\N\}=\mathcal M_n(\R).$$ +Indication : commencer par déterminer $\operatorname{Vect}(A^k\mid k\in\N)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 180] +Caractériser les matrices $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telles que $M$ et +$M^{-1}$ soient à coefficients positifs. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 181] +On pose $E=C^\infty(\R,\R)$, +$X:f\in E\mapsto(t\mapsto tf(t))$ et $P:f\in E\mapsto f'$. +1. Montrer que $X$ et $P$ sont des endomorphismes de $E$. Déterminer leur + noyau et leur image. +2. On pose $a=\frac1{\sqrt2}(X+P)$ et + $a^*=\frac1{\sqrt2}(X-P)$. Déterminer leur noyau et leur image. +3. Pour $n\in\N^*$, soit + $$F_n=\{t\mapsto Q(t)e^{-t^2/2}\mid Q\in\R_n[X]\}.$$ + Montrer que $a$ et $N=aa^*$ induisent des endomorphismes de $F_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 182] +Soit $N\in\mathcal M_n(\C)$ une matrice nilpotente d'indice de nilpotence +$d\in\N^*$. +1. Déterminer $\dim\C[N]$, où $\C[N]=\{P(N)\mid P\in\C[X]\}$. +2. Soit $Q\in\C[X]$ tel que $Q(0)\neq0$. Montrer qu'il existe + $P\in\C[X]$ tel que $P(NQ(N))=N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 183] +Soit +$$A=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\&\ddots&0\\&&\ddots\\1&\cdots&1\end{pmatrix}.$$ +Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 184] +1. Montrer qu'une matrice de rang $1$ de $\mathcal M_n(\C)$ s'écrit sous + la forme $XY^T$, avec $X,Y\in\C^n\setminus\{0\}$. +2. Déterminer $\operatorname{Sp}(XY^T)$ pour + $(X,Y)\in(\C^n\setminus\{0\})^2$. Donner une condition nécessaire et + suffisante pour que $XY^T$ soit diagonalisable. +3. Calculer $\det(I_n+XY^T)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 185] +1. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\C)$. On suppose que $A$ et $B$ sont + diagonalisables et commutent. Montrer que $A+\lambda B$ est + diagonalisable pour tout $\lambda\in\C$. +2. On suppose $n=2$. Montrer que si, pour tous $\lambda,\mu\in\C$, + $\lambda A+\mu B$ est diagonalisable, alors $A$ et $B$ sont + codiagonalisables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 186] +Déterminer la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de +$\mathcal M_n(\R)$ ne contenant que des matrices diagonalisables sur $\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 187] +Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$ telle que $A^3-A-I_n=0$. Montrer que +$\det(A)>0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 188] +Soient $A,B\in\mathcal M_n(\C)$. +1. Étudier les implications entre les deux propositions : (i) $A$ est + semblable à $B$ ; (ii) $A$ et $B$ ont même spectre. +2. On suppose qu'il existe $M\in\mathcal M_n(\C)$ non nulle telle que + $MA=BM$. Montrer que, pour tout $P\in\C[X]$, $MP(A)=P(B)M$. En déduire + que $A$ et $B$ ont une valeur propre commune. +3. Étudier la réciproque de la question 2. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 189] +1. Soit $n\in\N^*$, $P\in\R[X]$ scindé à racines simples et de degré $n$, + et $Q\in\R_{n-1}[X]$. Montrer que, pour tout $\varepsilon$ assez + petit, $P+\varepsilon Q$ est scindé à racines simples. +2. Soit $D\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisable, à valeurs propres toutes + distinctes. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$. Montrer qu'il existe + $\varepsilon_0>0$ tel que, pour tout réel $\varepsilon$ avec + $|\varepsilon|<\varepsilon_0$, $D+\varepsilon A$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 190] +Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$. +Un drapeau de $E$ est une famille $(E_0,\ldots,E_k)$ de sous-espaces +vectoriels telle que $\{0\}=E_0\subsetneq E_1\subsetneq\cdots\subsetneq E_k$. +Le drapeau est total si $k=n$. +1. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$. Exhiber un drapeau total de + $E$. Réciproque ? +2. Soit $(E_0,\ldots,E_n)$ un drapeau total de $E$. Montrer qu'il existe + une base orthonormée $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$ de $E$ telle + que $E_i=\operatorname{Vect}(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_i)$ pour + tout $i\in\db{0,n}$. +3. Soit $u\in\mathcal L(E)$. On dit que le drapeau $(E_0,\ldots,E_k)$ est + stable par $u$ si $u(E_i)\subset E_i$ pour tout $i\in\db{1,k}$. Montrer + que si $u$ est diagonalisable, il existe un drapeau total stable par $u$. + A-t-on unicité d'un tel drapeau ? +4. Montrer que $u$ est trigonalisable si et seulement s'il existe un + drapeau total stable par $u$. +5. On suppose $u$ nilpotent d'indice $n$. Exhiber un drapeau total stable + par $u$. A-t-on unicité d'un tel drapeau ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 191] +Caractériser les matrices qui s'écrivent comme somme de projecteurs +orthogonaux. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 192] +Déterminer les matrices $M\in\mathcal M_n(\R)$ vérifiant +$M^T=M^2-I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 193] +Déterminer les matrices $A\in\mathcal M_n(\R)$ vérifiant chacune des +équations suivantes : +1. $A^TAA^TA^2=I_n$ ; +2. $A^TAA^TA=I_n$ ; +3. $A^TA^TAA=I_n$. +#+end_exercice + +** Analyse + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 194] +On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique. +1. Soient $C$ une partie convexe, fermée et non vide de $\R^n$, et + $x\in\R^n$. Montrer qu'il existe un unique $y\in C$ tel que + $d(x,C)=\|x-y\|$. +2. Déterminer les parties convexes fermées de $\R^n$ dont le complémentaire + est également convexe. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 195] +Soit $(u_n)_{n\geq0}$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\N$, +$u_{n+1}=1-e^{-u_n}$. Montrer que $u_n\to0$. Déterminer un équivalent +de $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS L 2026 # 196] +Soit $a\in]0,1[$. Soit $(x_n)_{n\in\N}$ telle que $x_0=1$ et, pour tout +$n\in\N$, +$$x_{n+1}=\frac23\left(x_n+\frac{a}{2x_n^2}\right).$$ +Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel $\ell\in[0,1]$, puis déterminer +un équivalent de $x_n-\ell$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 197] +Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f(0)=0$, $f'(0)\neq0$ et $f''(0)\neq0$. +On définit la suite $(a_n)_{n\geq0}$ par $a_0,a_1\in\R$ et, pour tout +$n\geq1$, +$$a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{\Delta_n},\qquad +\Delta_n=\frac{f(a_n)-f(a_{n-1})}{a_n-a_{n-1}}.$$ +Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que, si +$a_0,a_1\in]0,\varepsilon[$, alors $a_n\to0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 198] +Soit $(a_n)_{n\in\N^*}$ telle que $a_n>0$ pour tout $n\in\N^*$. Pour +$n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^na_k$. Donner une condition +nécessaire et suffisante sur $(a_n)$ pour que, pour toute suite réelle +$(u_n)_{n\geq1}$ convergeant vers $\ell$, on ait +$$\lim_{n\to+\infty}\frac1{S_n}\sum_{k=1}^na_ku_k=\ell.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 199] +1. Montrer que $e$ est irrationnel. +2. Pour tout $x\in[0,1]$, montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n\geq2}$ + telle que + $$x=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x_n}{n!},\qquad + x_n\in\db{0,n-1}\text{ pour tout }n\geq2.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 200] +Soit $(u_n)$ une suite à valeurs strictement positives telle que +$\sum u_n$ diverge. Montrer qu'il existe une suite $(w_n)$ à valeurs +strictement positives telle que $w_n=o(u_n)$ et $\sum w_n$ diverge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 201] +Déterminer un équivalent de +$$\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^\alpha},\qquad\alpha>1.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 202] +Soit $f\in C^\infty(\R_+,\R)$ telle que +$\lim_{x\to+\infty}f(x)=f(0)=0$. Montrer que, pour tout $k\in\N$, il +existe $y\in\R_+$ tel que $f^{(k)}(y)=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 203] +Déterminer les fonctions dérivables $f:\R\to\R$ telles que +$$\forall x\in\R,\ \forall n\in\N^*,\qquad +f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 204] +Soit $f:\R\to\R$ dérivable. Pour $a0$, on note $\theta_h$ l'unique réel de $[0,h]$ tel que + $$f(x+h)=f(x)+hf'(x+\theta_h).$$ +3. Trouver un équivalent de $\theta_h$ lorsque $h\to0^+$. +4. Proposer un contre-exemple si $f''(x)=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 205] +Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ et d'intégrale nulle. Montrer que, +pour tout $x\in[0,1]$, +$$\left|\int_0^xf(s)\,ds\right| +\leq\frac18\sup_{t\in[0,1]}|f'(t)|.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 206] +Soient $f\in C^0([a,b],\R)$ et $n\in\N^*$. On suppose que, pour tout +$k\in\db{0,n-1}$, +$$\int_a^b t^kf(t)\,dt=0.$$ +Montrer que $f$ s'annule au moins $n$ fois sur $]a,b[$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 207] +Soient $(a_1,\ldots,a_N)\in\R^N$ et +$$f(x)=\int_0^x\frac{\prod_{k=1}^N\cos(a_kr)}{1+r}\,dr.$$ +Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ possède une +limite finie en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 208] +1. Soient $r>0$ et $N\in\N^*$. Montrer que + $$r^N-1=\prod_{k=0}^{N-1}(r-e^{2ik\pi/N}).$$ +2. Soit $\alpha\in\C\setminus\mathbb{U}$. Montrer que + $$\int_0^1\ln|e^{2\pi it}-\alpha|\,dt=\ln(\max(1,|\alpha|)).$$ +3. Soit $P(X)=\lambda\prod_{k=0}^{N-1}(X-z_k)=\sum_{k=0}^{N-1}a_kX^k$ + avec $\lambda\in\C^*$ et $|z_k|\neq1$. Exprimer + $$m(P)=\int_0^1\ln|P(e^{2\pi it})|\,dt$$ + en fonction des $z_k$ et de $\lambda$. +4. On pose $M(P)=\exp(m(P))$ et $L(P)=\sum_{k=0}^{N-1}|a_k|$. + Montrer qu'il existe des constantes $C_1,C_2>0$, indépendantes de $P$ + mais éventuellement dépendantes de $N$, telles que, pour tout polynôme + $P\in\C[X]$ de degré $N$, + $$C_2M(P)\leq L(P)\leq C_1M(P).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 209] +Soient $X_1,\ldots,X_n$ des points distincts du plan euclidien. Pour $t>0$, +on considère +$$L_X(t)=\sup_{A\in\R^2}\operatorname{Card} + (\{X_1,\ldots,X_n\}\cap B_f(A,t)).$$ +1. Montrer que $L_X(t)$ est définie et que la borne supérieure est atteinte. +2. Montrer que $L_X$ est croissante et déterminer ses limites en $0$ et en + $+\infty$. +3. La fonction $L_X$ prend-elle nécessairement toutes les valeurs de + $\{1,\ldots,n\}$ ? +4. Pour d'autres points distincts $Y_1,\ldots,Y_n\in\R^2$, montrer que + $$\int_0^{+\infty}|L_X(t)-L_Y(t)|\,dt<+\infty.$$ +5. On suppose qu'il existe $\delta\geq0$ tel que + $\|X_k-Y_k\|\leq\delta$ pour tout $k$. Montrer qu'il existe $K$, + dépendant de $n$ mais pas du choix des points, tel que, pour $\delta$ + assez petit, + $$\int_0^{+\infty}|L_X(t)-L_Y(t)|\,dt\leq K\delta.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 210] +Soient $T>0$, $K\in\N^*$ et $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions +continues de $\R$ dans $\R$ convergeant uniformément vers $f$. +1. On suppose les $f_n$ périodiques de période $T$. Montrer que $f$ est + $T$-périodique. +2. On suppose que, pour tout $n$, $f_n$ est périodique de période $k(n)T$, + où $k(n)\in\{1,\ldots,K\}$. Montrer que $f$ est périodique. +3. Donner un exemple où les $f_n$ sont périodiques et $f$ ne l'est pas. + Indication : considérer + $$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}2^{-n}\cos\left(\frac{2\pi x}{2^n}\right).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 211] +On pose +$$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{4^n}\cos(32^n\pi x).$$ +1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$. +2. Montrer que $f$ n'est dérivable en aucun point. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 212] +Soient $\varepsilon>0$, $\alpha\in[0,1[$ et $\beta>0$. Déterminer un +équivalent, lorsque $\varepsilon\to0^+$, de +$$\int_0^1\frac{dx}{x^\alpha(x+\varepsilon)^\beta}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 213] +Soit +$$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}{1+t^2}\,dt.$$ +1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$. +2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$. +3. L'application $f$ est-elle dérivable en $0$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 214] +Soient $r\in\R_+$ et $f:\C_r\to\C$, où +$\C_r=\{z\in\C\mid |z|=r\}$. On pose +$$\int_{\C_r}f(z)\,dz=\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})ire^{i\theta}\,d\theta.$$ +1. Calculer $\displaystyle\int_{\C_r}\frac{dz}{z-a}$ pour + $a\in\C\setminus\C_r$. +2. On suppose $f$ développable en série entière de rayon de convergence + infini. Montrer que, pour tout $r>|a|$, + $$f(a)=\frac1{2\pi i}\int_{\C_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$ +3. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$. Justifier que + $\exp(M)=\sum_{k=0}^{+\infty}M^k/k!$ a un sens, puis montrer que, pour + $r$ assez grand, + $$\exp(M)=\frac1{2\pi i}\int_{\C_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\,dz.$$ +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 215] +Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive et $k\in\N^*$. A-t-on +équivalence entre $\E(X^k)<+\infty$ et +$$\P(X\geq n)=o(n^{-k})?$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 216] +Soit $M=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice aléatoire dont les +coefficients sont i.i.d. et suivent la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. +1. Déterminer $\E(\operatorname{tr}(M^2))$. +2. Soit $t\in\R$. Déterminer $\E(\chi_M(t))$. +3. Quelle est la loi de $\operatorname{tr}(M^2)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 217] +Soient $L>0$, $f:[-L,L]\to\R$ une fonction convexe, et $X$ une variable +aléatoire à valeurs dans $[-L,L]$ telle que $\E(X)=0$. Montrer que +$$\E(f(X))\leq\frac{f(L)+f(-L)}2.$$ +#+end_exercice + +* X MP/MPI :xens: + +** Probabilités + +#+begin_exercice [X 2026 # 218] +Soit $(A_n)_{n\geq1}$ une suite d'événements indépendants telle que +$\sum_{n=1}^{+\infty}\P(A_n)=+\infty$. Montrer que, pour tout +$\varepsilon>0$, +$$\lim_{n\to+\infty}\P\left(\left| +\frac{\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{A_i}}{\sum_{j=1}^n\P(A_j)}-1 +\right|>\varepsilon\right)=0.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 219] +1. Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre $2$. Exprimer + $\E((X-a)^2)$ en fonction de $\V(X)$, $\E(X)$ et de $a$. +2. Soit $Y$ une variable aléatoire réelle telle que $\E(Y)=1$ et qui admet + un moment d'ordre $2$. Pour $\theta\in[0,1]$, montrer que + $$\P(Y>\theta)\geq\frac{(1-\theta)^2}{\V(Y)+(1-\theta)^2}.$$ +3. Caractériser le cas d'égalité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 220] +Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. Pour $k\in\N$, on +pose $p_k=\P(X=k)$. On définit, pour $\beta\in\R_+$, +$$z(\beta)=\sum_{k=0}^{+\infty}p_ke^{-\beta k},\qquad +u_k=\frac{p_ke^{-\beta k}}{z(\beta)}.$$ +1. Calculer les $u_k$ lorsque $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$. +2. Montrer que $\beta\mapsto\ln(z(\beta))$ est convexe. +3. Soit $X_\beta$ une variable aléatoire de loi $(u_k)$. Montrer que + $\beta\mapsto\E(X_\beta)$ est décroissante. +4. Pour $\beta\in\R$, on note $m_\beta$ la médiane définie par + $$m_\beta=\min\{k\in\N\mid\P(X_\beta>k)\leq1/2\}.$$ + Montrer que $\beta\mapsto m_\beta$ est décroissante sur $\R_+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 221] +Pour $n\in\N^*$, soit $M_n=((M_n)_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice +symétrique aléatoire dont les coefficients $(M_n)_{i,j}$, pour $i\leq j$, +sont i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre $1/2$. On note +$\lambda_1(M_n)$ sa plus grande valeur propre. +1. Montrer que, pour tout $u\in\R^n$, + $$\langle u,M_nu\rangle\leq\lambda_1(M_n)\|u\|^2.$$ +2. Déterminer le spectre et les vecteurs propres de la matrice + $(\E((M_n)_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n}$. +3. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, + $$\lim_{n\to+\infty}\P\left(\lambda_1(M_n)\geq + (\tfrac12-\varepsilon)n\right)=1.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 222] +1. Caractériser les projecteurs orthogonaux de rang $1$. +2. Soient $p_1,\ldots,p_k$ des projecteurs orthogonaux de $\R^n$. + Soit $(N_r)_{r\geq0}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la + loi uniforme sur $\db{1,k}$. Soit $X_0\in\R^n$ et, pour tout $r\in\N$, + $$X_{r+1}=p_{N_r}(X_r).$$ + Étudier la limite éventuelle de $(\E(\|X_n\|))_{n\geq1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 223] +Soient $N\geq2$ et $k\in\N^*$. On considère une grille $N\times N$ +formée de petits carrés $1\times1$. Chaque carré est blanc ou noir, +indépendamment, avec probabilité $1/2$. +1. Soit $A_N$ l'événement « il existe au moins un carré blanc de taille + $k\times k$ ». Montrer que + $$\P(A_N)\leq 2^{-k^2}N^2.$$ +2. Déterminer $\E(Y_{k,N})$, où $Y_{k,N}$ est le nombre de carrés blancs + de taille $k\times k$. +3. Montrer que + $$\lim_{N\to+\infty}\frac{\V(Y_{k,N})}{\E(Y_{k,N})^2}=0.$$ + On pourra traiter séparément les cas $k=1$ et $k=2$. +#+end_exercice + +** Algèbre + +#+begin_exercice [X 2026 # 224] +Soit $n\geq3$. Montrer que +$$\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom ni(n-i)^{n-2}=n^{n-2}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 225] +1. Pour $n\geq1$, on note $\pi(n)$ le nombre de nombres premiers + inférieurs ou égaux à $n$. Montrer que si $n\geq8$, alors $\pi(n)\leq n/2$. +2. Soient $p$ premier et $n,k,\alpha\in\N^*$ tels que $k\leq n$ et + $p^\alpha$ divise $\binom nk$. Montrer que $p^\alpha\leq n$. +3. Montrer que, pour tout entier $n\geq8$, il existe un nombre premier + entre $\lfloor\sqrt n\rfloor+1$ et $n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 226] +Résoudre l'équation $x^2+x-2=0$ dans $\Z/7\Z$, puis déterminer les entiers +$n\geq2$ tels que cette équation admette exactement une solution dans +$\Z/n\Z$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 227] +Soit $n\geq2$. +1. Soit $\sigma$ une permutation de $\Z/n\Z$. On suppose que + $\sigma-\operatorname{id}$ est une bijection. Montrer que $n$ est + impair. Que peut-on dire si $\sigma+\operatorname{id}$ est aussi une + bijection ? +2. On suppose $n$ impair et on note $D_n$ le groupe des isométries linéaires + du plan $\C$ qui laissent invariant $\mathbb{U}_n$. Montrer qu'il + n'existe pas de permutation $f$ de $D_n$ telle que $g\mapsto gf(g)$ soit + aussi une permutation de $D_n$. +3. Montrer que $g\mapsto\det g$ est l'unique morphisme non trivial de + $D_n$ dans $\{\pm1\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 228] +Déterminer le cardinal de l'ensemble +$$\left\{(x_k)_{k\geq0}\in\db{0,9}^{\N}\ \middle|\ +\forall n\geq0,\ a_n^2\equiv a_n\pmod{10^n},\quad +a_n=\sum_{k=0}^{n-1}x_k10^k\right\}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 229] +Soient $A$ un anneau fini et $a,b\in A$ tels que $ab^2=b$. Montrer que +$bab=b$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 230] +Soit $A$ un anneau tel que, pour tout $x\in A$, il existe $n\in\N^*$ tel +que +$$x=\sum_{k=2}^{n}x^k.$$ +1. Déterminer la caractéristique de $A$. +2. Montrer que, pour tout $x\in A$, $x^2=x$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 231] +Soit $G$ un groupe fini. On suppose que, pour tout automorphisme $f$ de +$G$, il existe $m\in\N^*$ tel que $f(x)=x^m$ pour tout $x\in G$. +1. Soient $a,b\in G$ tels que l'ordre de $a$ divise celui de $b$. Montrer + que $ab=ba$. +2. Écrire $|G|=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ et poser + $$G_i=\{x\in G\mid x^{p_i^{\alpha_i}}=e\}.$$ + Montrer que $G_i$ est un sous-groupe commutatif de $G$. +3. Pour $i\neq j$, montrer que $xy=yx$ pour tout $(x,y)\in G_i\times G_j$. +4. Montrer que $G$ est commutatif. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 232] +Soit $G$ un groupe fini. +1. Soient $g,h$ deux éléments d'ordres finis $a,b$ qui commutent, avec + $a$ et $b$ premiers entre eux. Montrer que $gh$ est d'ordre fini et + déterminer cet ordre. +2. Montrer que, dans un groupe quelconque, le produit de deux éléments + d'ordre fini n'est pas nécessairement d'ordre fini. +3. Soit $g\in G$ d'ordre fini $n$, et soit $n=ab$ avec $a,b$ premiers + entre eux. Montrer que $g=hh'$ où $h,h'$ commutent et sont d'ordres + respectifs $a,b$. +4. Y a-t-il unicité du couple $(h,h')$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 233] +Soit $p$ un nombre premier et $G$ un sous-groupe de $S_p$ transitif sur +$\db{1,p}$. On admet que tout groupe fini dont l'ordre est divisible par +$p$ contient un élément d'ordre $p$. On note $\operatorname{Aff}(\F_p)$ le +groupe des permutations de $\F_p$ de la forme $x\mapsto ax+b$, avec +$a\in\F_p^*$ et $b\in\F_p$. Montrer l'équivalence des conditions : +1. Il existe deux éléments distincts $x,y\in\db{1,p}$ tels que le seul + élément de $G$ fixant $x$ et $y$ soit l'identité. +2. $|G|0$. +Montrer que $A$ et $B$ sont scindés sur $\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 236] +Soit $n\in\N^*$. +1. Montrer qu'il existe un polynôme $P\in\R[X]$ de degré $2n-1$ tel que, + pour tout $\theta\in]0,\pi[$, + $$\frac{\sin(4n\theta)}{\cos\theta\sin\theta}=P(\cos^2\theta).$$ +2. Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{2n-1}\cos\left(\frac{k\pi}{4n}\right)$. +3. Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{4n}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 237] +Pour $\sigma\in S_n$, on note +$$\operatorname{Inv}(\sigma)=\operatorname{Card}\{(i,j)\in\db{1,n}^2\mid +i\sigma(j)\}.$$ +Pour $k\in\N$, on pose $P_k=\sum_{i=0}^kX^i$. +1. Montrer que + $$\sum_{\sigma\in S_n}X^{\operatorname{Inv}(\sigma)} + =\prod_{k=1}^{n-1}P_k.$$ +2. Soient $p$ premier et $k\in\db{1,p-1}$. Simplifier + $P_{p-1}(e^{2ik\pi/p})$. +3. Exprimer le cardinal de $\{\sigma\in S_n\mid (n+1)\mid + \operatorname{Inv}(\sigma)\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 238] +Soit $L\geq3$ et $f\in\Z[X]$ de degré $d>0$, de coefficient constant +$-1$ et de coefficient dominant $a_d>0$. Montrer que l'ensemble +$$\{p\in\mathbb{P}\mid p\not\equiv1\ [L],\ \exists m\in\Z,\ f(m)\equiv0\ [p]\}$$ +est infini. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 239] +Soient $a\geq3$ et $P=X^2+X+a$. On suppose que, pour tout +$n\in\db{0,a-2}$, $P(n)$ est premier. Soit $k\in\db{0,a-2}$. +1. Montrer que si $k+1$ est un carré, alors $P(a+k)$ n'est pas premier. +2. Réciproquement, on suppose que $P(a+k)$ n'est pas premier. + a. Montrer que son plus petit facteur premier $p$ vérifie $p\geq a$. + b. Montrer que $P(a+k-p)=p$. + c. Conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 240] +Soit $(x_n)_{n\in\N}\in\R^\N$ telle que $x_0,x_1>0$ et +$$x_{n+1}x_{n-1}=1+x_n^2\qquad(n\geq1).$$ +1. Montrer que $(x_n)$ ne peut pas être périodique. +2. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ et $\beta>1$ tels que + $x_n\sim\alpha\beta^n$. +3. On pose $Q_0=i$, $Q_1=iX$ et, pour tout $n\geq1$, + $Q_{n+1}Q_{n-1}=1+Q_n^2$. Montrer que, pour tout $n$, $Q_n\in i\Z[X]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 241] +1. Montrer l'existence et l'unicité d'une famille de polynômes de $\Q[q]$, + notés $\binom nk_q$, vérifiant + $$\binom n0_q=\binom nn_q=1,\qquad + \binom nk_q=\binom{n-1}k_q+q^{n-k}\binom{n-1}{k-1}_q + =q^k\binom{n-1}k_q+\binom{n-1}{k-1}_q.$$ + On pourra les exprimer en fonction des $\binom n1_q$, notés $[n]_q$. +2. Montrer que + $$(X+Y)(X+qY)\cdots(X+q^{n-1}Y) + =\sum_{k=0}^n q^{k(k-1)/2}\binom nk_qX^{n-k}Y^k.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 242] [MPI] +Soit $P\in\Z[X]$ unitaire de degré $d\geq1$, de racines complexes +$\lambda_1,\ldots,\lambda_d$, toutes de module au plus $1$. On pose +$f_n=\lambda_1^n+\cdots+\lambda_d^n$ pour $n\in\N$. +1. Montrer que $f_n\in\Z$ pour tout $n$, puis qu'il existe $p\geq1$ et + $n_0\in\N$ tels que $f_{n+p}=f_n$ pour tout $n\geq n_0$. +2. En déduire que, pour tout $k\in\db{1,d}$, $\lambda_k=0$ ou + $|\lambda_k|=1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 243] +Soit $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ telle que +$$\det(M^{2024}-I_2)=\det(M^{2024}+I_2),\qquad +\det(M^{2026}-I_2)=\det(M^{2026}+I_2).$$ +Montrer que, pour tout $n\geq1$, +$$\det(M^n-I_2)=\det(M^n+I_2).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 244] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_2(\R)$ tels que $(A-B)^2=0$. +1. Montrer que $\det(A^2-B^2)=(\det A-\det B)^2$. +2. Montrer que $\det(AB-BA)=0$ si et seulement si $\det A=\det B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 245] +Soit $A\in\operatorname{GL}_2(\R)$ telle que +$$\det(A+A^{-1})+\det(A-A^{-1})=4.$$ +Montrer que $\det(A+A^{-1})=(\operatorname{Tr}A)^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 246] +Soient $A\in\operatorname{GL}_4(\R)$ et $B\in\mathcal{M}_4(\R)$ tels +que $AB=BA$ et $\det(A^2-AB+B^2)=0$. Montrer que +$$\det(A+B)+3\det(A-B)=6(\det A+\det B).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 247] +Soient $n\geq2$, $A,B\in\mathcal{M}_n(\Z)$ et $p$ un nombre premier. +Montrer que +$$\operatorname{Tr}((A+B)^p)\equiv\operatorname{Tr}(A^p)+ +\operatorname{Tr}(B^p)\pmod p.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 248] +Pour $A\in\mathcal{M}_n(\Z)$, on note $\varphi(A)$ le pgcd de ses +coefficients. +1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\Z)$. Trouver une relation entre + $\varphi(AB)$ et $\varphi(A)\varphi(B)$. +2. Montrer que $\varphi(AB)$ divise $\det(A)\varphi(B)$. +3. Soit $\alpha\in\Z$ et $A^2-\alpha A+I_n=0$. Donner une condition + nécessaire et suffisante pour que $\varphi(A^k-I_n)\to_{k\to+\infty}+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 249] +1. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\Q)$ ne peut pas être engendré par un + nombre fini d'éléments. +2. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\Q)$ est dense dans + $\operatorname{SL}_n(\R)$. +3. Montrer que $(S,T)$ engendre $\operatorname{SL}_2(\Z)$, où + $$S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad + T=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 250] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $A^2+B^2=2AB$. +1. Montrer que $AB-BA$ n'est pas inversible. +2. On suppose $\operatorname{rg}(A-B)=1$. Montrer que $AB=BA$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 251] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que +$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)$ si et seulement s'il existe +$P,Q,R\in\operatorname{GL}_n(\R)$ tels que $AP+QB=ARB$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 252] +1. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$ telle que + $\operatorname{rg}(M^2)\neq\operatorname{rg}(M)$. Montrer qu'il existe + $A\in\mathcal{M}_n(\C)\setminus\{0\}$ telle que + $AM=MA=A^2=0$ : + a. dans le cas $n=2$ ; + b. dans le cas où $M$ est nilpotente ; + c. dans le cas général. +2. Le résultat subsiste-t-il pour $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que + $\operatorname{rg}(M)\neq\operatorname{rg}(M^2)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 253] +Pour $A,B\in\mathcal{M}_2(\C)$, on pose $[A,B]=AB-BA$. +1. Soient $X,Y,Z\in\mathcal{M}_2(\C)$. Montrer que + $[X,[Y,Z]^2]=0$. +2. A-t-on nécessairement $[X,[Y,Z]]=0$ ? +3. Expliciter le sous-espace vectoriel engendré par + $\{[X,[Y,Z]]\mid X,Y,Z\in\mathcal{M}_2(\C)\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 254] +Soient $n,p\in\N\setminus\{0,1\}$ et +$E=\{A_1,\ldots,A_p\}\subset\mathcal{M}_{2n}(\C)$ tel que $AB\in E$ +pour tous $A,B\in E$. Montrer qu'il existe +$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_p)\in\{0,1,-1\}^p\setminus\{0\}$ +tel que $\operatorname{rg}(\sum_{i=1}^p\varepsilon_iA_i)\leq n$. +On suppose le contraire. +1. Pour $A\in E$, montrer que $M\mapsto AM$ est injective sur $E$. +2. Pour $A\in E$, montrer que $\operatorname{rg}(A-I_{2n})\leq n$. + Indication : considérer $S=\sum_{i=1}^pA_i$. +3. Conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 255] +Soit $n\geq1$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et +on pose +$$J=\begin{pmatrix}I_n&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad +G=\{M\in\mathcal{M}_{n+1}(\R)\mid M^TJM=J\}.$$ +1. Montrer que $G$ est un sous-groupe de $\operatorname{GL}_{n+1}(\R)$, + stable par transposition. +2. Posons $H=\{(X,z)\in\R^n\times\R\mid z^2-\|X\|^2=1\}$ et + $a_0=(0_{\R^n},1)$. Montrer que, pour tout $a\in H$, il existe + $g\in G$ tel que $ga_0=a$. +3. Soit $g\in G$, écrit par blocs + $g=\begin{pmatrix}M&X\\Y^T&z\end{pmatrix}$. Montrer que $z\geq1$. + On note $L(g)$ l'unique réel positif tel que $\cosh(L(g))=z$. + Caractériser les $g$ tels que $L(g)=0$. +4. Montrer que, pour tous $g,h\in G$, $L(g)=L(g^{-1})$ et + $L(gh)\leq L(g)+L(h)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 256] [MPI] +Soit $p$ un nombre premier impair. +1. Soient $n\in\N$, $P\in\C[X]$ dont les racines sont de module $1$ et + $Q\in\Z[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que si + $$P(X)=p^nQ\left(\frac{X-1}{p}\right),$$ + alors $P(X)=(X-1)^n$. +2. Montrer que $\operatorname{GL}_n(\Z)$ est un groupe et que + $$\operatorname{GL}_n(\Z)=\{M\in\mathcal{M}_n(\Z)\mid\det M=\pm1\}.$$ +3. Soient $A,B\in\operatorname{GL}_n(\Z)$ congruentes coefficient par + coefficient modulo $p$. Montrer qu'il existe $M\in\mathcal{M}_n(\Z)$ + telle que $AB^{-1}=I_n+pM$. +4. Montrer que si $A$ et $B$ appartiennent à un même sous-groupe fini de + $\operatorname{GL}_n(\Z)$, alors $A=B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 257] +Soit $M\in\operatorname{GL}_n(\C)$. Montrer qu'il existe +$A\in\operatorname{GL}_n(\C)$ tel que $M=A^2$. Est-ce encore vrai dans +$\operatorname{GL}_n(\R)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 258] +Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $d$ et +$u\in\mathcal{L}(E)$. Montrer que si la suite +$(\operatorname{Tr}(u^n))_{n\in\N}$ est bornée, alors elle est bornée par $d$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 259] +Soient $n\geq2$, $a,b\in\C$ avec $a\neq0$ et $b^k\neq1$ pour tout +$k\in\db{1,n}$. +Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB=aI_n+bBA$. +1. Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles. +2. Que peut-on dire du spectre de $AB$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 260] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. On pose +$$\sin(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^kA^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$ +1. Quelles sont les matrices réelles diagonalisables qui s'écrivent + $\sin(A)$ avec $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ ? +2. Quelles sont les matrices de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui s'écrivent + $\sin(A)$ avec $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 261] +Soient $n\geq3$ et $(a,b)\in\C^2$ avec $b\neq0$. Pour +$k\in\db{1,n-1}$, on pose +$$A_k=\operatorname{diag}(I_{k-1},H,I_{n-k-1}),\qquad +H=\begin{pmatrix}a&b\\(1-a^2)/b&-a\end{pmatrix}.$$ +1. Pour $|k-k'|\neq1$, déterminer le cardinal du sous-groupe de + $\operatorname{GL}_n(\C)$ engendré par $A_k,A_{k'}$. +2. Trouver un vecteur propre commun à tous les $A_k$. +3. Montrer que ce vecteur n'est inclus dans aucun plan de $\C^n$ stable + par tous les $A_k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 262] +Soit $n\geq2$. +1. Déterminer les couples $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\C)^2$ tels que + $AB=BA^2$, $\operatorname{Sp}(A)\subset\R$, et $A^2,B$ n'ont pas de + vecteur propre commun. +2. Que se passe-t-il si l'on enlève la condition $\operatorname{Sp}(A)\subset\R$ ? +3. Déterminer les couples $(A,B)$ tels que $AB=BA^2$, $B$ inversible et + $A$ nilpotente. +4. Soit $A$ telle que $\operatorname{Sp}(A)=\{1\}$. Existe-t-il $B$ + inversible telle que $AB=BA^2$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 263] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ diagonalisable. On pose +$$C(A)=\{M\in\mathcal{M}_n(\C)\mid AM=MA\},$$ +et +$$C(C(A))=\{N\in\mathcal{M}_n(\C)\mid MN=NM\text{ pour tout }M\in C(A)\}.$$ +1. Montrer que $C(C(A))=\C[A]$. +2. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $C(C(A))=C(A)$. +3. Montrer que + $$2n-\dim C(A)\leq\dim C(C(A))\leq n\leq\dim C(A).$$ +4. On ne suppose plus $A$ diagonalisable, mais nilpotente non nulle avec + $n=2$. Montrer que $C(A)=\C[A]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 264] +Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension +$n\geq2$. Déterminer les fonctions continues $f:E\to\R$ telles que +$$\langle x,y\rangle=0\Longrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 265] +On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $a,b>0$ et +$x,y\in\R^n$. +1. On suppose $\langle by-x,x-ay\rangle\geq0$. Montrer que + $$\|x\|\|y\|\leq\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}|\langle x,y\rangle|.$$ +2. On suppose qu'il existe $m_1,m_2,M_1,M_2>0$ tels que + $x_i\in[m_1,M_1]$ et $y_i\in[m_2,M_2]$ pour tout $i$. Montrer que + $$\langle x,y\rangle\geq + \frac{2\sqrt{m_1m_2M_1M_2}}{\sqrt{M_1M_2} + \sqrt{m_1m_2}}\|x\|\|y\|.$$ +3. Montrer que $\langle by-x,ay-x\rangle\leq0$ si et seulement si + $$\left\|x-\frac{a+b}{2}y\right\| + \leq\frac{|b-a|}{2}\|y\|.$$ +4. Montrer que si $\langle by-x,x-ay\rangle\geq0$, alors + $$\|x\|^2\|y\|^2-\langle x,y\rangle^2 + \leq\frac{(b-a)^2}{4}\|y\|^4.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 266] +On se place dans $\R^d$ muni de sa structure euclidienne canonique. +Soient $E,F$ deux sous-espaces vectoriels de $\R^d$, et $A,B$ les matrices +des projections orthogonales sur $E,F$. Montrer qu'il existe +$Q\in\mathcal{M}_d(\R)$ et $\alpha\in]0,1[$ tels que, pour tout +$v\in\R^d$ vérifiant $\|v\|\leq1$ et tout $n\in\N$, +$$\|(AB)^nv-Qv\|\leq\alpha^n.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 267] [MPI] +1. Soient $E$ un espace vectoriel réel, $n\geq1$ et + $f_1,\ldots,f_n\in\mathcal{L}(E,\R)$. Pour $f\in\mathcal{L}(E,\R)$, + montrer que $f\in\operatorname{Vect}(f_1,\ldots,f_n)$ si et seulement + si $\ker f_1\cap\cdots\cap\ker f_n\subset\ker f$. +2. Pour $n\geq1$, on note $L_n(X)$ la dérivée $n$-ième de $(X^2-1)^n$. + Montrer que, pour tout $Q\in\R_{n-1}[X]$, + $$\int_{-1}^1L_n(x)Q(x)\,dx=0,$$ + puis que $L_n$ est simplement scindé à racines dans $]-1,1[$. +3. Notons $-10$, on définit $d(x,y)=|x-y|$ et +$h(x,y)=|\ln x-\ln y|$. +1. Pour $x>0$ et $(x_n)\in(\R_+^*)^\N$, montrer que + $d(x_n,x)\to0$ si et seulement si $h(x_n,x)\to0$. +2. Soient $a,b,c,d>0$ et $T(x)=(c+dx)/(a+bx)$. Montrer que + $T(\R_+^*)$ est inclus dans un compact de $\R_+^*$. +3. Pour $x\neq x'$ positifs, poser $\lambda=h(a/c,b/d)$, + $y=T(x)$ et $y'=T(x')$. Montrer que + $$\frac{h(y,y')}{h(x,x')}\leq\tanh(\lambda/4).$$ +4. Pour $x>0$, poser $x_0=x$ et $x_{n+1}=T(x_n)$. Montrer que $(x_n)$ + converge vers l'unique point fixe de $T$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 282] +1. Soit $u_{n+1}=e^{u_n}/(n+1)$, avec $u_0\in\R$. Quelle est la nature + de la série de terme général $u_n$ ? +2. Soit $u_{n+1}=e^{u_n}/(n+1)^2$, avec $u_0\leq0$. Quelle est la nature + de la série de terme général $u_n$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 283] +On pose +$$\alpha=4\sum_{k=0}^{499999}\frac{(-1)^k}{2k+1}.$$ +Montrer qu'exactement une des 16 premières décimales de $\alpha$ diffère +de la décimale correspondante de $\pi$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 284] +Résoudre dans $\R$ l'équation +$$\frac{\ln(6^x+1)}{\ln7}=\frac{\ln(7^x-1)}{\ln6}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 285] +Soient $f,g:[0,1]\to[0,1]$. On suppose que $g$ est monotone et surjective +et que $|f(x)-f(y)|\leq|g(x)-g(y)|$ pour tous $x,y\in[0,1]$. +1. Montrer qu'il existe $x_0\in[0,1]$ tel que $f(x_0)=g(x_0)$. +2. Montrer que $\{x\in[0,1]\mid f(x)=g(x)\}$ est un segment. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 286] +Soit $T\geq2$ et $f:\Z\to\R$ une fonction $T$-périodique telle que, +pour tout $n\geq1$ et $k\in\Z$, +$$\sum_{i=-n}^{n-1}f(i+k)\leq\sum_{i=-n}^{n-1}f(i).$$ +1. Si $T$ est impair, montrer que $f$ est constante. +2. Donner un exemple non constant lorsque $T$ est pair. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 287] +Soit $f:\R\to\R$ sous-additive : $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$. +1. On suppose qu'il existe $\delta>0$ et + $\varphi:] -\delta,\delta[\to\R$ telle que $\varphi(0)=0$, + $\varphi$ dérivable en $0$ et $f\leq\varphi$. Montrer qu'il existe + $a\in\R$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x$. +2. On suppose qu'il existe $x_0,y_0>0$ tels que $f(x_0),f(-y_0)\leq0$ + et $x_0/y_0\in\Q$. Montrer que $f$ est périodique. +3. Construire une fonction avec $f(x_0),f(-y_0)\leq0$ pour certains + $x_0,y_0>0$, mais qui n'est pas périodique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 288] +Soit $f\in C^2(\R,\R_+)$ telle que $ff''-(f')^2\geq0$. Montrer que si +$f$ s'annule en un point, alors $f=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 289] +Soit $I$ un intervalle de $\R$. On dit que $f:I\to I$ vérifie $P$ si, +pour tous $x,y\in I$, $f_n(x)-f_n(y)\to0$, où $f_n$ est la $n$-ième +itérée de $f$. Pour $f(x)=x+1/x$ sur $\R_+^*$, $f$ admet-elle un point +fixe ? Vérifie-t-elle $P$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 290] [MPI] +Déterminer tous les couples $(f,g)$ de polynômes trigonométriques réels +tels que $f^2+g^2=1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 291] +Soit $f:\R\to\R$ et $g(x)=2f(x)+f(-x)$. +1. On suppose $g$ continue en $0$ et $f$ bornée au voisinage de $0$. + Montrer que $f$ est continue en $0$. +2. Trouver une fonction $f$ discontinue en $0$ telle que $g$ soit continue. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 292] +Soit +$$F=\{f\in C^0(\R,\R)\mid e^{f(x)}+f(x)\geq x+1\text{ pour tout }x\in\R\}.$$ +Calculer $\displaystyle\inf_{f\in F}\int_0^e f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 293] [MPI] +On appelle polynôme trigonométrique complexe toute combinaison linéaire +complexe des fonctions $e_k:x\mapsto e^{ikx}$, $k\in\Z$. Déterminer les +polynômes $H$ tels que $H(\R)\subset\R$ et $\cos\circ H$ soit un +polynôme trigonométrique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 294] [MPI] +1. Déterminer les endomorphismes $T$ de $\R[X]$ qui commutent avec la + dérivation et avec la multiplication par $X$. +2. Posons + $$S=\{f\in C^\infty(\R,\R)\mid + \sup_{x\in\R}|x^kf^{(n)}(x)|<+\infty\text{ pour tous }k,n\in\N\}.$$ + Montrer que $S$ est un espace vectoriel stable par dérivation et par + multiplication par l'identité de $\R$. Déterminer les endomorphismes + de $S$ qui commutent avec ces deux opérateurs. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 295] +Posons $E=C^0([-1,1],\C)$. Soit $g:[-1,1]\to[-1,1]$ continue, +croissante et surjective, et $\Phi:f\mapsto f\circ g$. Montrer que $1$ +est la seule valeur propre possible de $\Phi$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 296] +Soit $P\in\R[X]$ tel que $P(1)=P(-1)=0$ et $P(x)>0$ pour $x\in]-1,1[$. +1. Calculer l'aire $T$ du triangle formé par l'axe des abscisses et les + tangentes à $P$ en $-1$ et $1$. +2. Posons $A=\int_{-1}^1P(x)\,dx$. On suppose + $P=(X^2-1)\prod_{i\in I}(X-\lambda_i)$, avec $\lambda_i$ réels, + distincts et différents de $\pm1$. Montrer que + $$A\geq\frac43\prod_{i\in I}(\lambda_i^2-1).$$ +3. En déduire que $A\geq2T/3$. +4. Ce résultat reste-t-il vrai si $P$ possède des racines non réelles ? +5. On suppose de plus $P$ concave sur $[-1,1]$. Soit $R$ l'aire du + rectangle formé par l'axe des abscisses, $x=\pm1$ et la tangente + horizontale de $P$ sur l'intervalle. Montrer que $A\leq cR$ pour une + constante $c<1$ indépendante de $P$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 297] +Soient $a0$ tel que + $\int_0^M f=1/2$. +3. Montrer que $\int_0^{+\infty}xf(x)\,dx\geq M$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 299] +On définit $f_1(x)=\sin x$ sur $]0,\pi[$, puis +$f_{n+1}(x)=\sin(f_n(x))$. Montrer que $(\sqrt n f_n)_{n\geq1}$ converge +simplement vers la fonction constante $\sqrt3$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 300] +Soit $f:\R_+\to\R_+$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=0$ et +$$|f'(x)-k|\leq\mu x^\lambda,$$ +avec $k\in]0,1[$ et $\lambda,\mu>0$. Posons $f_0=\operatorname{id}$, +$f_{n+1}=f\circ f_n$ et $x_n=f_n(x)$. +1. Montrer qu'il existe $a>0$ et $b\in]0,1[$ tels que, pour $x\in[0,a]$, + $x_n\leq b^nx$. +2. Posons $g_n=f_n/k^n$. Montrer que, pour $x\in[0,a]$, + $$\left|\frac{g_n'(x)}{g_{n+1}'(x)}-1\right| + \leq\frac{\mu}{k}x^\lambda b^{\lambda n}.$$ +3. Montrer qu'on peut choisir $a>0$ tel que $f_n'(x)>0$ sur $[0,a]$. +4. Montrer que $(g_n)$ et $(g_n')$ convergent uniformément sur $[0,a]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 301] +Soit +$$f(x)=\sum_{n\in\Z}\frac1{(x-n)^2+1}.$$ +Montrer que $f$ n'est pas polynomiale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 302] +Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ une série entière à coefficients +réels, avec $a_0=1$ et rayon de convergence $R>0$. On suppose qu'il existe +$g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n$, de rayon de convergence positif, telle +que $f(x)(1-g(x))=1$ au voisinage de $0$. +1. Montrer que si tous les $b_n$ sont positifs, alors tous les $a_n le sont. +2. Trouver un exemple où tous les $a_n$ sont positifs et où au moins un + $b_n$ est strictement négatif. +3. On suppose $a_{n+1}a_{n-1}\geq a_n^2$ pour tout $n\geq1$. Montrer que + $b_n\geq0$ pour tout $n\geq1$. +4. On suppose, pour $x\in]-R,R[$, + $$f(x)=1+\frac12\ln\left(\frac1{1-x}\right).$$ + Montrer que $b_n\geq0$ pour tout $n\geq1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 303] +Soit $P=a_1X+\cdots+a_dX^d\in\R[X]$, avec $a_d\neq0$, et +$f(z)=e^{P(z)}$. On suppose que son développement en série entière +$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_nz^n$ vérifie $c_n>0$ pour tout $n\geq0$. +1. Montrer que $a_d>0$ et $a_v>0$, où $v=\min\{i\mid a_i\neq0\}$. +2. Si $P=a_vX^v+a_mX^m+a_dX^d$ avec $v0$. On suppose +$(f-g)(t)=o(e^{t/2})$ lorsque $t\to+\infty$, et que +$F=f''-f'+f$ est $T$-périodique et $G=g''-g'+g$ est $S$-périodique. +On suppose aussi que $F(t)-G(t)\to0$. Montrer que $f=g$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 309] +On considère l'équation fonctionnelle $u'(x)=u(x-x^2)$, où +$u:[0,1]\to\R$ est dérivable. +1. Montrer que si deux solutions coïncident sur $[0,\varepsilon]$ pour + un $\varepsilon>0$, elles coïncident sur $[0,1]$. +2. Montrer qu'il existe une solution non nulle. Indication : considérer + $u_0(x)=1$ et + $$u_n(x)=1+\int_0^x u_{n-1}(t-t^2)\,dt.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 310] +Soient $\lambda\in]-1,1[$ et $F$ l'espace des fonctions dérivables +$f:\R\to\R$ vérifiant $f'(t)=e^tf(\lambda t)$ pour tout $t\in\R$. +1. Montrer que $F$ est de dimension $1$. +2. Majorer asymptotiquement aussi bien que possible les éléments de $F$ + lorsque $t\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 311] +Soit $M_0\in O_2(\R)$. Pour quels couples +$(A,B)\in\mathcal{M}_2(\R)^2$ la solution du problème de Cauchy +$M(0)=M_0$, $M'(t)=AM(t)B$ est-elle à valeurs dans $O_2(\R)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 312] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Pour l'équation différentielle +$M'(t)=AM(t)B$, donner une condition nécessaire et suffisante pour que +toutes les solutions soient bornées. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 313] [MPI] +Soient $A\in\mathcal{M}_n(\R)$, $B\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ et $T>0$. +On note $A_T$ l'ensemble des $v\in\R^n$ pour lesquels il existe +$u\in C^0([0,T],\R^p)$ et une solution de $X'=AX+Bu(t)$ telle que +$X(0)=0$ et $X(T)=v$. Montrer que $A_T=\R^n$ si et seulement si +$$M=(B\mid AB\mid A^2B\mid\cdots\mid A^{n-1}B)$$ +est de rang $n$. +#+end_exercice + +** Géométrie + +#+begin_exercice [X 2026 # 314] +Quel est le périmètre maximal d'un triangle dont les sommets sont sur le +cercle unité ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 315] [MPI] +Soit $A_0A_1A_2$ un triangle du plan. On définit $A'_2$ comme le sommet +extérieur au triangle $A_0A_1A_2$ du triangle $A_0A_1A'_2$ isocèle en +$A'_2$, d'angle au sommet $2\pi/3$. On définit de même $A'_0,A'_1$ par +permutation circulaire. Montrer que $A'_0A'_1A'_2$ est équilatéral. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 316] +Soit $K$ un quadrilatère convexe de sommets $O,u,v,w$ dans le sens +trigonométrique, avec $v>0$. On note $A$ son aire. +1. Montrer que + $$A^2=\frac{v^2}{4}\left(|w-u|^2-(\operatorname{Re}(w)-\operatorname{Re}(u))^2\right).$$ +2. Montrer que + $$A^2=\frac14\left(p^2q^2-\frac14(a^2-b^2+c^2-d^2)^2\right),$$ + où $a,b,c,d$ sont les longueurs des côtés dans le sens direct et + $p,q$ celles des diagonales. +3. Si $K$ est inscriptible dans un cercle, montrer que $pq=ac+bd$. + En notant $S=(a+b+c+d)/2$, montrer ensuite + $$A^2=(S-a)(S-b)(S-c)(S-d).$$ +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [X 2026 # 317] +1. Montrer qu'il existe deux multiensembles distincts de six entiers + strictement positifs issus de $\{1,2,3,4,5,6\}$ tels que deux dés + équilibrés construits avec leurs éléments donnent la même loi pour la + somme que deux dés classiques. +2. Montrer que, pour $N$ assez grand, il existe deux dés pipés à $N$ faces, + portant les entiers de $1$ à $N$, dont la somme suit la loi de la somme + de deux dés équilibrés à $N$ faces. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 318] +Soit $\sigma$ uniforme sur $S_n$. +1. Pour $k,i\in\db{1,n}$, calculer la probabilité que $i$ appartienne à + un cycle de longueur $k$ dans la décomposition de $\sigma$. +2. Si $X_k$ est le nombre de cycles de longueur $k$, montrer que + $\E(X_k)=1/k$. +3. Soit $\alpha\in]0,1[$ et $p_n$ la probabilité que tous les cycles de + $\sigma$ aient longueur au plus $\alpha n$. Montrer qu'il existe + $C_\alpha>0$ tel que $p_n\geq C_\alpha$ pour $n$ assez grand. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 319] +On fixe $N\geq1$. Soit $U_1$ uniforme sur $\db{1,N}$ et, pour $n\geq1$, +$U_{n+1}$ uniforme sur $\db{1,U_n}$. Posons $E_N=\{U_j\mid j\geq1\}$. +1. Montrer que $\P(1\in E_N)=1$. +2. Calculer $\P(k\in E_N)$ pour $1\leq k\leq N$. +3. Montrer que les événements $(k\in E_N)$ sont indépendants. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 320] +Soient $p\in]0,1[$ et $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. de loi de Bernoulli +$B(p)$. Posons $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et +$$T_n=\inf\{m\in\N\mid|\{i\in\db{1,m}:X_i=0\}|\geq n\}.$$ +1. Montrer que $(S_n\geq k)=(T_{n-k+1}\geq n+1)$. +2. En déduire + $$\P(S_n\geq k)=\binom n{n-k}(1-p)^{n-k+1}p^k + \sum_{\ell\geq0}\frac{(n+1)\cdots(n+\ell)}{(k+1)\cdots(k+\ell)}p^\ell.$$ +3. En déduire que, si $p=1/2$ et $j\geq3$, + $$\P(S_{nj}\leq n)\sim2^{-nj}\binom{nj}{n}\frac{j-1}{j-2}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 321] +Soit $X=(X_1,\ldots,X_n)^T$ un vecteur aléatoire à composantes i.i.d. +dans $L^4$, à valeurs dans $\R$, avec $\E(X_1)=0$ et +$\V(X_1^2)=\V(X_1)=1$. Soient $F\subset\R^n$ de dimension $k$ et $P$ +la matrice de la projection orthogonale sur $F^\perp$. +1. Justifier que $d(X,F)^2=X^TPX$ et montrer que + $\E(d(X,F)^2)=n-k$. +2. Montrer que $\V(d(X,F)^2)\leq n-k$. +3. Si $\lambda\geq1$, montrer que + $$\P\left(|d(X,F)-\sqrt{n-k}|\geq\lambda\right)\leq\frac2{\lambda^2}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 322] +Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe des +variables aléatoires $X,X_1,X_2$ telles que $X=aX_1+bX_2$, avec +$X\sim\mathcal{P}(\nu)$, $X_1\sim\mathcal{P}(\lambda)$, +$X_2\sim\mathcal{P}(\mu)$, et $X_1,X_2$ indépendantes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X 2026 # 323] +Pour $k,n\geq1$, on note +$$B_{k,n}=\{p\in\mathbb{P}\mid p\leq n^{1/10},\ p\mid k\},$$ +et $X_n$ uniforme sur $\db{1,n}$. +1. Montrer que + $$\E(|B_{X_n,n}|)=\sum_{p\in\mathbb{P},p\leq n^{1/10}}\frac1p+O(n^{-9/10}).$$ +2. Montrer que + $$\V(|B_{X_n,n}|)=\sum_{p\in\mathbb{P},p\leq n^{1/10}} + \left(\frac1p-\frac1{p^2}\right)+O(n^{-8/10}).$$ +3. Si $\nu(x)=|\{p\in\mathbb{P}\mid p\mid x\}|$ et $a_n\to+\infty$, + montrer que + $$\P\left(|\nu(X_n)-\ln\ln n|\geq a_n\sqrt{\ln\ln n}\right)\to0.$$ + On pourra utiliser $\sum_{p\leq n,\ p\in\mathbb{P}}1/p=\ln\ln n+O(1)$. +#+end_exercice + +* X PSI :autre: + +** Algèbre + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 324] +Soit $n\in\N^*$. Résoudre dans $\R$ l'équation +$$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom n{2k}(-1)^kx^{2k}=0.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 325] +Soit $P\in\C[X]$. Montrer que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-X$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 326] +Soit $P\in\R[X]$ sans racine réelle multiple. Quel est le nombre maximal +de racines réelles multiples de $Q=P(X^3-X)$ ? Donner un polynôme $Q$ +réalisant ce maximum. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 327] +Soit $P_n(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0$, avec $a_0\neq0$, et +$$Q_n(X)=X^n-|a_{n-1}|X^{n-1}-\cdots-|a_0|.$$ +1. Montrer qu'il existe un unique $\rho>0$ tel que $Q_n(\rho)=0$. +2. Si $P_n(z)=0$, montrer que $|z|\leq\rho$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 328] +Soit $E$ de dimension $n$ et $F_1,F_2$ deux sous-espaces vectoriels de +$E$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $F_1,F_2$ pour +qu'ils admettent un supplémentaire commun. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 329] +Déterminer les fonctions $\varphi:\mathcal{M}_n(\R)\to\R_+$ telles que +$$\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)$$ +pour toutes matrices $A,B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 330] +1. Soient $p\geq1$ et $\lambda,\mu\in\C$ distincts. Montrer qu'il existe + $a,b_1,\ldots,b_p\in\C$ tels que + $$1=a(X-\mu)^p+\sum_{k=1}^pb_k(X-\lambda)^k.$$ +2. Si $A\in\mathcal{M}_d(\C)$ vérifie $(A-I_d)^2A=0$, calculer $A^n$. +3. Si $\C^d=\ker((A-I_d)^2)\oplus\ker((A-2I_d)^2)$, expliciter la + matrice du projecteur sur $\ker((A-I_d)^2)$ parallèlement à + $\ker((A-2I_d)^2)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 331] +Soit $\Phi:\R_n[X]\to\R_n[X]$, $\Phi(P)=X^nP(1/X)$. +1. $\Phi$ est-il diagonalisable ? +2. Trouver une base de vecteurs propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 332] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ et $T:M\mapsto AM$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$. +1. Si $A$ est diagonalisable, montrer que $T$ l'est aussi et expliciter + une base de diagonalisation à partir de celle de $A$. +2. Étudier la réciproque. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 333] +Soit $P=X^7+2X^6+4X^5+4X^4+4X^3+2X^2+X$. Déterminer +$$\{M\in\mathcal{M}_n(\R)\mid M\text{ est diagonalisable sur }\R, P(M)=0\}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 334] +Soit $d\geq1$ et $T:\C^d\to\C^d$ défini par +$$T((z_k)_{0\leq k0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 349] +1. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^n\cos^n(x/n)\,dx$. +2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha\in\R$ pour + que la suite $\left(\int_0^n\cos^n(x^\alpha/n)\,dx\right)$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 350] +Soient $k\in\R$ et $f_k(x,y)=x^2+(x-k)y-y^3$. Déterminer les extrema +de $f_k$ selon les valeurs de $k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 351] +Soit $f(x,y)=(xy-y^2)|y^2-x|$. Déterminer les extrema locaux de $f$. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 352] +Un promeneur se déplace entre trois sites $A,B,C$. À l'instant initial, +il est en $A$ ; à chaque instant, il reste sur place avec probabilité +$2/3$, ou rejoint chacun des deux autres sites avec probabilité $1/6$. +1. Déterminer les probabilités qu'il soit en $A,B,C$ à l'instant $n$. +2. La suite de ces probabilités possède-t-elle une limite ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 353] +Soit $K>0$ et $f:[0,1]\to\R$ $K$-lipschitzienne. Pour $x\in[0,1]$, +soit $X_n^x\sim B(n,x)$ et posons $f_n(x)=\E(f(X_n^x/n))$. +1. Comment $f_n$ dépend-elle de $x$ ? +2. Montrer que $|f_n(x)-f(x)|\to0$ pour tout $x\in[0,1]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 354] +1. Soit $(u_n)$ une suite positive sous-additive : + $u_{n+m}\leq u_n+u_m$. Montrer que $u_n/n$ converge vers + $\inf_{k\geq1}u_k/k$. +2. On considère une marche aléatoire simple sur $\Z^3$ et note $p_n$ la + probabilité que le chemin de longueur $n$ soit auto-évitant. Montrer que + $p_{n+m}\leq p_np_m$. Que peut-on en déduire sur $(p_n^{1/n})$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PSI 2026 # 355] +Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini +$A\subset\Z$. Posons $f_X(t)=\E(e^{-2i\pi tX})$. +1. Exprimer $\P(X=k)$ à l'aide d'une intégrale faisant intervenir $f_X$. +2. Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. de loi de Rademacher et + $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner un équivalent de $\P(S_{2n}=0)$ sans + utiliser la formule de Stirling. +#+end_exercice + +* X – ESPCI – PC :autre: + +** Algèbre + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 356] +Montrer qu'il existe une infinité de points à coordonnées décimales sur +le cercle unité de $\R^2$. Indication : commencer par montrer qu'il y a +une infinité de points à coordonnées rationnelles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 357] +Soient $z_1,\ldots,z_n\in\C$ distincts et +$(u_1,\ldots,u_n),(w_1,\ldots,w_n)\in\C^n$. Montrer qu'il existe un +unique $P\in\C[X]$ de degré strictement inférieur à $2n$ tel que +$P(z_k)=u_k$ et $P'(z_k)=w_k$ pour tout $k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 358] +Déterminer les polynômes $P\in\C[X]$ tels que $P(X^2)=P(X)P(X-1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 359] +Soit $N\in\N$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_N\in\R[X]$ +tel que, pour tout $n\in\N$, +$$P_N(n)=\sum_{k=1}^nk^N.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 360] +Déterminer les $P\in\C[X]$ vérifiant +$$P(P''(X))=(P(X+1)-P(X)-P'(X))^2.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 361] +Soit $\mathbb{U}=\{z\in\C\mid|z|=1\}$. Déterminer les $P\in\C[X]$ +tels que $P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 362] +Soit $P\in\Z[X]$ unitaire dont les racines sont non nulles et de module +au plus $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 363] +On définit $D:\R[X]\to\R[X]$ par $D(P)=P(X+1)-P(X)$. +1. Déterminer l'image et le noyau de $D$. +2. Montrer qu'il existe une unique base $(H_n)$ de $\R[X]$ telle que + $H_0=1$ et, pour $n\geq1$, $H_n(0)=0$ et $D(H_n)=H_{n-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 364] +Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$. +Montrer l'équivalence entre $f^2=0$ et l'existence d'un projecteur +$p\in\mathcal{L}(E)$ tel que $f=p\circ f-f\circ p$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 365] +Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$. +Déterminer un équivalent de $\operatorname{Tr}(A^n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 366] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_2(\Z)$ telles que $A+kB$ soit inversible à +inverse entière pour tout $k\in\{0,1,2,3,4\}$. Montrer que $A+5B$ est +inversible à inverse entière. Généraliser à $\mathcal{M}_n(\Z)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 367] +Soient $n>m$ et $M\in\mathcal{M}_{n,m}(\Z)$. Montrer qu'il existe +$X\in\Z^n\setminus\{0\}$ tel que $MX=0$ et +$$\|X\|_\infty\leq(n\|M\|_\infty)^{m/(n-m)}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 368] +Soient $n\geq2$ et $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. +1. Montrer que $e^A=\sum_{k=0}^{+\infty}A^k/k!$ est bien définie. +2. Si $A$ est diagonalisable, que dire de $e^A$ ? +3. Pour $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ et + $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, calculer $e^A,e^B,e^{A+B}$. +4. Même question avec + $A=\begin{pmatrix}-1&0\\-2&0\end{pmatrix}$ et + $B=\begin{pmatrix}-2&0\\-2&-1\end{pmatrix}$. +5. Si $AB=BA$, montrer que $e^{A+B}=e^Ae^B$. La réciproque est-elle vraie ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 369] +Pour $A\in\mathcal{M}_n(\C)$, on pose $\exp(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}A^k/k!$. +1. Montrer que $\exp(A)$ est bien définie. +2. Si $A=I_n+M$ avec $M$ nilpotente, montrer qu'il existe $P\in\C[X]$ + tel que $M=\exp(P(M))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 370] +Soit $A=(a_{i,j})\in\operatorname{GL}_n(\C)$ et +$d_k=\det((a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})$. Montrer l'équivalence entre : +1. $d_k\neq0$ pour tout $k\in\db{1,n}$ ; +2. il existe une matrice triangulaire inférieure $L$ à diagonale unité et + une matrice triangulaire supérieure $U$ telles que $A=LU$. +Montrer aussi l'unicité de cette décomposition. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 371] +Soient $m,n\geq1$, $m\leq n$, $I$ non vide et $(V_i)_{i\in I}$ une +famille de sous-espaces de $\R^n$ tels que $\dim V_i=m$ et +$\dim(V_i\cap V_j)=m-1$ si $i\neq j$. Montrer qu'il existe soit un +sous-espace de dimension $m-1$ contenu dans tous les $V_i$, soit un +sous-espace de dimension $m+1$ contenant tous les $V_i$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 372] +Soient $A,B,C,D\in\mathcal{M}_n(\C)$. +1. Les matrices + $$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},\quad + \begin{pmatrix}D&C\\B&A\end{pmatrix},\quad + \begin{pmatrix}A&-B\\-C&D\end{pmatrix}$$ + sont-elles semblables ? +2. Montrer que le polynôme caractéristique de + $\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}$ est à coefficients réels. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 373] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer qu'il existe +$P,Q\in\operatorname{GL}_n(\C)$ tels que $PAQ$ et $PBQ$ soient +triangulaires supérieures. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 374] +Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$. +Déterminer la limite puis un équivalent de $(\operatorname{tr}(A^n))_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 375] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ et $u:M\mapsto AM-MB$. +1. Si $\lambda\in\operatorname{Sp}(A)$ et $\mu\in\operatorname{Sp}(B)$, + montrer que $\lambda-\mu\in\operatorname{Sp}(u)$. +2. Si $P\in\C[X]$, $\alpha\in\operatorname{Sp}(u)$ et $M$ est un + vecteur propre associé, montrer que $P(A)M=MP(B+\alpha I_n)$. +3. Si $\alpha\in\operatorname{Sp}(u)$, montrer qu'il existe + $\lambda\in\operatorname{Sp}(A)$ et $\mu\in\operatorname{Sp}(B)$ + tels que $\alpha=\lambda-\mu$. Conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 376] +1. Montrer que toute $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ est limite d'une suite de + matrices diagonalisables. En déduire une démonstration du théorème de + Cayley-Hamilton. +2. Toute matrice réelle est-elle limite d'une suite de matrices réelles + diagonalisables ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 377] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que +$\operatorname{rg}(AB-BA)\leq1$. Montrer que $A$ et $B$ sont +cotrigonalisables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 378] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$, $\mu=(X-\alpha)^2(X-\beta)$, avec +$\mu(A)=0$ et le degré minimal d'un polynôme complexe non nul annulant +$A$ égal à $3$. +1. Montrer qu'il existe un unique $(a,b,c)\in\R^3$ tel que + $$(aA+bI_n)(A-\beta I_n)+c(A-\alpha I_n)^2=I_n.$$ +2. Poser $P_\alpha=(aA+bI_n)(A-\beta I_n)$ et + $P_\beta=c(A-\alpha I_n)^2$. Montrer que $P_\alpha P_\beta=0$ et que + ces matrices sont des projecteurs. Déterminer leurs espaces propres. +3. Montrer que $\alpha P_\alpha+\beta P_\beta$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 379] +Soit $n\geq1$. Quels $\alpha\in\R$ existent tels qu'on puisse trouver +des vecteurs unitaires $x_1,\ldots,x_{n+1}\in\R^n$ vérifiant +$\langle x_i,x_j\rangle=\alpha$ pour tous $i0$ tels que $\sum_i\alpha_iv_i=0$. Montrer que +$$\left\|\sum_{i=1}^pv_i\right\|\leq p-2,$$ +et que cette inégalité ne peut pas être améliorée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 384] +Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$ et $B\in\R^n$. +1. Montrer que $\inf_{X\in E}\|X-B\|$ est un minimum, atteint en un + unique point à expliciter. +2. Soient $A\in\mathcal{M}_{n,q}(\R)$ et $F\subset\R^q$ un sous-espace. + Montrer que $\inf_{X\in F}\|AX-B\|$ est atteint. Si le minimum est + atteint en $X_0$, montrer que l'ensemble des minimiseurs est + $X_0+\ker A$. +3. Montrer que $A^TAX=A^TB$ admet une solution et que son ensemble de + solutions est l'ensemble des minimiseurs de $X\mapsto\|AX-B\|$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 385] +Soient $E,F$ euclidiens et $L\in\mathcal{L}(E,F)$. La restriction de $L$ +à $(\ker L)^\perp$ est un isomorphisme sur $\operatorname{Im}L$. +Notons $M$ cette restriction, $\pi$ le projecteur orthogonal sur +$\operatorname{Im}L$ et $L^+=M^{-1}\circ\pi$. +1. Montrer que $L^+L$ est le projecteur orthogonal sur $(\ker L)^\perp$. +2. Montrer que $LL^+=\pi$. +3. Pour $b\in F$, montrer que $\inf_{x\in E}\|L(x)-b\|$ est atteint + en $L^+(b)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 386] +1. Soit $A\in\mathcal{A}_n(\R)$. Montrer que ses valeurs propres sont + imaginaires pures. +2. Montrer que $x\mapsto(1-ix)/(1+ix)$ est une bijection de $\R$ sur + $\mathbb{U}\setminus\{-1\}$. +3. Pour $A\in\mathcal{A}_n(\R)$, poser + $g(A)=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}$. Déterminer l'image de $g$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 387] +Posons $E_n=\{M\in\mathcal{S}_n^+(\R)\mid\operatorname{Tr}M=1\}$. +1. Montrer que $E_n$ est convexe. +2. Montrer que tout projecteur orthogonal de rang $1$ appartient à $E_n$. +3. Montrer que ces projecteurs sont exactement les matrices de rang $1$ + de $E_n$. +4. Pour $M\in E_n$, montrer l'équivalence entre l'existence d'un + unitaire $U$ tel que $\langle U,MU\rangle=1$ et le fait que $M$ soit + un projecteur orthogonal de rang $1$. +5. Montrer que les points extrémaux de $E_n$ sont exactement ces projecteurs. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 388] +Soit $M=(m_{i,j})\in\mathcal{S}_n^+(\R)$ dont les coefficients sont non +nuls. On suppose que $N=(1/m_{i,j})$ appartient aussi à $\mathcal{S}_n^+(\R)$. +Montrer que $M$ est de rang $1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 389] +1. Pour $V\in\R^n\setminus\{0\}$, poser + $H(V)=I_n-2VV^T/\|V\|^2$. Caractériser géométriquement $H(V)$. +2. Si $e$ est unitaire, montrer que $H(V-\|V\|e)V=\|V\|e$. +3. En déduire un algorithme de décomposition QR de toute matrice + inversible $A$, avec $Q$ orthogonale et $R$ triangulaire supérieure + à diagonale positive. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 390] +Soit $\rho\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ telle que $\operatorname{tr}(\rho)=1$. +Posons $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(\rho A^TB)$ sur +$\mathcal{M}_n(\R)$. +1. Montrer que cela définit un produit scalaire. +2. Déterminer une base orthonormée contenant $I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 391] +Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ de valeurs propres +$\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. Pour un sous-espace $M$, posons +$$\mu(M)=\inf\{\langle Au,u\rangle\mid u\in M,\ \|u\|=1\}.$$ +1. Montrer que la borne inférieure est atteinte. +2. Si $G_k$ est l'ensemble des sous-espaces de dimension $k$, montrer que + $$\lambda_k=\max\{\mu(M)\mid M\in G_{n+1-k}\}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 392] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que, pour tout $X\in\C^n$, +les égalités $X^TAX=0$ et $X^TBX=0$ impliquent $X=0$. Montrer qu'il +existe $P\in\operatorname{GL}_n(\C)$ tel que $P^TAP$ et $P^TBP$ soient +triangulaires supérieures. +#+end_exercice + +** Analyse + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 393] +Soit $E$ un espace vectoriel normé réel et posons +$$\eta=\sup_{(u,v)\neq(0,0)} +\frac{\|u+v\|^2+\|u-v\|^2}{2(\|u\|^2+\|v\|^2)}.$$ +Montrer que $\eta=1$ si et seulement si la norme est associée à un +produit scalaire. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 394] +On munit $\ell_1(\R)=\{u=(u_n)\mid\sum|u_n|<+\infty\}$ de sa norme +naturelle. Montrer que toute suite de Cauchy de $\ell_1(\R)$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 395] +On note $\ell'_1$ le dual continu de $\ell_1(\R)$, muni de sa norme +d'opérateur, et $\ell_\infty(\R)$ l'espace des suites bornées. Pour +$v\in\ell_\infty$, poser $F(v)(u)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n$. +Montrer que $F$ est une isométrie bijective de $\ell_\infty$ sur $\ell'_1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 396] +Soit $V$ un espace vectoriel réel et $T:V\to V$ additive. On suppose $T$ +bornée sur la boule unité. Montrer que $T$ est un endomorphisme continu +de $V$. Que peut-on dire de $T$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 397] +Soit $E$ un espace vectoriel normé et $\mathcal{L}_c(E)$ l'espace des +endomorphismes continus. +1. Pour $f\in\mathcal{L}_c(E)$, poser + $N(f)=\sup_{x\neq0}\|f(x)\|/\|x\|$. Montrer que $N(f)$ est définie. +2. Montrer que $N$ est une norme et que $N(f\circ g)\leq N(f)N(g)$. +3. Si $f\circ g-g\circ f=\lambda\operatorname{id}$, montrer que + $\lambda=0$ lorsque $E$ est de dimension finie, puis lorsque $f,g$ + sont continus. +4. Pour $E=\R[X]$, $f(P)=P'$ et $g(P)=XP$, montrer qu'il n'existe pas + de norme rendant $f$ et $g$ continus. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 398] +Soit $F_0=F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. +1. Montrer que tout entier naturel s'écrit comme somme de termes $F_i$ + distincts. +2. Montrer que tout entier naturel s'écrit comme somme de puissances de + $2$ distinctes. +3. Généraliser à d'autres suites d'entiers. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 399] +Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^2\sum_{k=0}^{n^2}\frac1{k^2+n^2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 400] +Déterminer les réels $x$ qui s'écrivent +$$x=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_i}{i},\qquad +\varepsilon_i\in\{0,1\}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 401] +Déterminer les réels qui s'écrivent +$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_n}{n^2},\qquad +\varepsilon_n\in\{0,1\}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 402] +Soient $(c_n)$ une suite bornée d'entiers naturels non nuls et $(t_n)$ +une suite strictement croissante d'entiers, avec $t_0\geq2$. On pose +$$S=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{c_n}{\prod_{k=0}^nt_k}.$$ +1. Montrer que $S$ est bien définie et irrationnelle. +2. Que dire si les $c_n$ sont des entiers relatifs non nuls ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 403] +Soit $f\in C^0(\R,\R)$ telle que +$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\frac{f(x)+f(y)}2.$$ +Montrer que $f$ est convexe. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 404] +Montrer qu'il n'existe pas de fonction $f:\R\to\R$ telle que +$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)+|x-y|\leq\frac{f(x)+f(y)}2$$ +pour tous $x,y\in\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 405] +Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^2$, avec $f(0)=0$ et $f''(x)>0$ sur +$]0,1[$. +1. Montrer qu'il existe $\alpha\in]0,1[$ tel que $f'(\alpha)0$. On suppose + $|\varphi'|\geq1$ et $\varphi'$ monotone. Montrer qu'il existe une + constante universelle $C$ telle que + $$\left|\int_a^be^{i\lambda\varphi(x)}dx\right|\leq C/\lambda.$$ +2. Pour $k\geq2$, montrer qu'il existe $C_k$ tel que, si + $|\varphi^{(k)}|\geq1$, + $$\left|\int_a^be^{i\lambda\varphi(x)}dx\right|\leq C_k\lambda^{-1/k}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 409] +Déterminer un équivalent de $\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,dt$ +lorsque $x\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 410] +Soient $\alpha,\beta,\gamma\in\R$ avec $\alpha>0$. Étudier la +convergence et calculer +$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha t^2+\beta t+\gamma}\,dt.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 411] +Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f^2$ et $(f'')^2$ soient intégrables. +Montrer que $(f')^2$ est intégrable et que +$$\left(\int_\R(f')^2\right)^2\leq +\left(\int_\R f^2\right)\left(\int_\R(f'')^2\right).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 412] +Soient $f:\C\to\C$ continue et $\gamma:[a,b]\to\C$ continue, $C^1$ par +morceaux. On définit $\int_\gamma f(z)\,dz$ par paramétrisation. +1. Si $f$ est développable en série entière et $\gamma(a)=\gamma(b)$, + montrer que $\int_\gamma f(z)\,dz=0$. +2. Pour $f(z)=\exp((i-1)z^2)$ et $\gamma_R(t)=Re^{it}$ sur + $[0,\pi/8]$, montrer que $\int_{\gamma_R}f(z)\,dz\to0$. +3. Calculer $\int_0^\infty e^{-t^2}\cos(t^2)dt$ et + $\int_0^\infty e^{-t^2}\sin(t^2)dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 413] +1. Si $f:[a,b]\to\R$ est $C^1$, montrer que les intégrales de + $f(t)\cos(nt)$ et $f(t)\sin(nt)$ tendent vers $0$. +2. Pour $x\in]0,2\pi[$, montrer que + $$\sum_{n=1}^N\frac{\sin(nx)}n\longrightarrow\frac{\pi-x}{2}.$$ +3. Montrer que + $$\sum_{n=1}^N\frac{\sin(nx)}n= + \int_0^{(N+1/2)x}\frac{\sin y}{y}dy-\frac{x}{2}+o(x)\quad(x\to0).$$ +4. Montrer que le supremum de l'erreur entre la somme et $(\pi-x)/2$ + sur $x\in]0,2\pi[$ et $N\geq1$ est au moins $0,27$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 414] +1. Calculer $A_n=\int_0^\infty t^ne^{-t}\cos t\,dt$ et + $B_n=\int_0^\infty t^ne^{-t}\sin t\,dt$. +2. Montrer qu'il existe $f\in C^0(\R_+,\R)$ non nulle telle que + $\int_0^\infty t^nf(t)dt=0$ pour tout $n\in\N$. +3. Montrer qu'il n'existe pas de telle fonction non nulle continue sur + $[0,1]$ avec les intégrales prises sur $[0,1]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 415] +Soit $f\in C^0(\R,\C)$ limite uniforme d'une suite de fonctions +polynomiales. Montrer que $f$ est polynomiale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 416] +Soit $f:\R\to\C$ continue telle qu'il existe $M\geq0$ vérifiant +$|f(x+y)-f(x)-f(y)|\leq M$ pour tous $x,y\in\R$. +1. Poser $g_n(x)=f(2^nx)/2^n$. Montrer que $(g_n)$ converge uniformément + vers une fonction continue $g$. +2. Montrer que $f$ est somme d'une fonction affine et d'une fonction + bornée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 417] +On donne $\sum_{n=1}^\infty1/n^4=\pi^4/90$. +1. Calculer $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx$. +2. Pour $x\in\R$, poser + $$g(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).$$ + Calculer $\int_{-\pi}^{\pi}g(x)^2dx$. +3. Calculer $\int_{-\pi}^{\pi}(x^2-g(x))^2dx$ et conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 418] +Quel est le rayon de convergence maximal de $\sum a_nz^n$ lorsque $(a_n)$ +est une suite entière non presque nulle ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 419] +Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite complexe telle que $\sum a_n$ converge. +Posons $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. Déterminer +$\lim_{x\to1^-}f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 420] +L'abscisse de convergence de $f$ est +$\inf\{\alpha\in\R\mid e^{-\alpha t}f(t)\text{ est bornée}\}$. +Soient $\alpha\in\R$ et $f$ d'abscisse strictement inférieure à $\alpha$. +Pour $s>\alpha$, poser $L(f)(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$. +1. Calculer $L(f)$ pour $f(t)=t^n$, $e^t$, $te^t$. +2. Si $f\in C^n(\R_+)$ et les $f^{(k)}$ ont abscisse de convergence + strictement inférieure à $\alpha$, calculer $L(f^{(n)})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 421] +Soient +$$f(x)=\left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right)^2,\qquad +g(x)=\int_0^1\frac{e^{-(1+t^2)x^2}}{1+t^2}dt.$$ +1. Montrer que $f$ et $g$ sont $C^1$ et calculer leurs dérivées. +2. Montrer que $g'=-f'$. +3. En déduire $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 422] +Soit $f:\R\to\R$ continue et bornée. Pour $t>0$, poser +$$P_t(f)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\frac1{\sqrt{2\pi t}} +e^{-(x-y)^2/(2t)}dy.$$ +1. Montrer que $P_t(f)$ est bien définie. +2. Montrer que $P_t(f)(x)\to f(x)$ lorsque $t\to0^+$. +3. Si $f\in C^3$ et ses dérivées jusqu'à l'ordre $3$ sont bornées, + montrer que $(P_t(f)(x)-f(x))/t\to f''(x)/2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 423] +1. Soit $P\in\C[X]$ sans racine de module $r$. Montrer que + $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} + \frac{P'(re^{i\theta})}{P(re^{i\theta})}re^{i\theta}d\theta$$ + est le nombre de racines de $P$ de module inférieur à $r$, comptées + avec multiplicité. +2. Si $|Q(z)|<|P(z)|$ sur le cercle de rayon $r$, montrer que $P$ et + $P+Q$ ont le même nombre de racines dans le disque de rayon $r$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 424] +Pour $f\in L^1(\R,\C)$, poser +$$\widehat f(y)=\int_\R f(x)e^{-iyx}\,dx.$$ +On admet Plancherel : si $f\in L^1\cap L^2$, alors +$\widehat f\in L^2$ et $\int|\widehat f|^2=2\pi\int|f|^2$. +Soit $f\in C^1(\R,\C)$ telle que $xf(x),xf'(x)\in L^2$. Poser +$$\Delta_f=\int_\R|xf(x)|^2dx,\qquad c=\int_\R|f(x)|^2dx.$$ +1. Montrer que $f\in L^2$ et $x\mapsto x(f(x))^2\in L^1$. +2. Montrer que $f,f'\in L^1$. +3. Montrer que $f(x),f'(x)\to0$ lorsque $x\to\pm\infty$. +4. Montrer que $x(f(x))^2\to0$ lorsque $x\to\pm\infty$. +5. Montrer que $\widehat{f'}(y)=iy\widehat f(y)$. +6. Montrer que + $$\sqrt{\Delta_f\Delta_{\widehat f}}\geq + \sqrt{2\pi}\left|\int_\R xf(x)f'(x)dx\right|.$$ +7. Montrer que $\sqrt{\Delta_f\Delta_{\widehat f}}\geq\sqrt{\pi/2}\,c$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 425] +Pour $x\in\R$, noter $x_+=\max(x,0)$ et poser +$$\widehat f(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty} +\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2e^{i\xi x}dx.$$ +1. Montrer que $\widehat f$ est définie et continue. +2. Pour $N\in\N$, établir + $$\frac1{N+1}\sum_{k=0}^N\sum_{j=-k}^ke^{ijx} + =\sum_{j=-N}^N\left(1-\frac{|j|}{N+1}\right)e^{ijx} + =\frac1{N+1}\left(\frac{\sin((N+1)x/2)}{\sin(x/2)}\right)^2.$$ +3. En déduire la formule des coefficients de Fourier de ce noyau de Fejér. +4. En comparant les noyaux correspondants, montrer que, pour tout $\xi\in\R$, + $$\widehat f(\xi)=\pi\left(1-\frac{|\xi|}{2}\right)_+.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 426] +Soient +$$I(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t\sqrt t}\cos(tx)dt,\qquad +J(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t\sqrt t}\sin(tx)dt.$$ +1. Montrer que $I,J$ sont définies et de classe $C^1$ sur $\R$. +2. Calculer $I$ et $J$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 427] +Soient $f,g\in C^2(\R,\R)$ et +$$W_{f,g}(t)=\det\begin{pmatrix}f(t)&g(t)\\f'(t)&g'(t)\end{pmatrix}.$$ +Dans les deux premières questions, $f,g$ sont solutions de +$y''+a(t)y'+b(t)y=0$, où $a,b$ sont continues. +1. Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que + $$W_{f,g}(t)=C\exp\left(-\int_0^ta(s)ds\right).$$ +2. Montrer que $(f,g)$ est une base de l'espace des solutions si et + seulement si $W_{f,g}$ ne s'annule pas. +3. Dans le cas général, si $W_{f,g}$ ne s'annule pas, montrer qu'il + existe des fonctions continues $a,b$ telles que $f,g$ forment une base + de solutions de cette équation différentielle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 428] +1. Soient $t_0\in\R$ et $a,y\in C^0([t_0,+\infty[)$ avec $a\geq0$ et + $$y(t)\leq C+\int_{t_0}^ta(s)y(s)ds.$$ + Montrer que $y(t)\leq C\exp(\int_{t_0}^ta(s)ds)$. +2. Soit $f:\R\to\R$ lipschitzienne et $y'=f\circ y$. Pour deux + solutions $y_1,y_2$, montrer qu'il existe $M$ tel que + $$|y_2(t)-y_1(t)|\leq|y_2(0)-y_1(0)|e^{Mt}\quad(t\geq0).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 429] +On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne. Soient +$A\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\R^n$. Posons +$$J(X)=\frac12\langle AX,X\rangle-B^TX.$$ +1. Montrer que $J$ est strictement convexe. +2. Montrer que $J(X)\to+\infty$ lorsque $\|X\|\to+\infty$. +3. Montrer que $J$ admet un unique minimum en la solution $X_0$ de $AX=B$. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 430] +Soit $d_n$ le nombre de dérangements de $\db{1,n}$ et +$A(x)=\sum_{n\geq0}d_nx^n/n!$. +1. Montrer que $n!=\sum_{k=0}^n\binom nkd_{n-k}$. +2. Minorer le rayon de convergence de $A$. +3. Calculer $e^xA(x)$, puis en déduire une expression de $d_n$. +4. Quelle est la probabilité qu'une permutation soit un dérangement et + quelle est sa limite lorsque $n\to\infty$ ? +5. On répète $n$ fois une expérience de réussite $1/n$. Quelle est la + probabilité d'au moins une réussite ? Que devient-elle lorsque $n$ croît ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 431] +Soit $X=(X_1,\ldots,X_n)$ un vecteur aléatoire et +$A=(\operatorname{Cov}(X_i,X_j))_{i,j}$. +1. Montrer que $A$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles. +2. Si $\lambda$ est sa plus grande valeur propre, montrer que + $$\lambda=\sup_{\|V\|=1}\V(V^TX),$$ + et donner un cas d'égalité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 432] +1. Soient $H,K\in\mathcal{S}_n(\R)$ commutant et + $R\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe des variables + aléatoires réelles $X,Y$ telles que, pour tous $s,t\in\R$, + $$\E(e^{i(sX+tY)})=\operatorname{Tr}(R e^{i(sH+tK)}).$$ +2. Pour $H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$, + $K=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ et $R=I_2/2$, + montrer que la propriété précédente est fausse. +#+end_exercice + +* Mines-Ponts MP/MPI :autre: + +** Algèbre + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 433] +On note $\Q_1=\Q\cap[1,+\infty[$. Pour $r=p/q$ irréductible, on pose +$$f(r)=\frac{p(p-1)}2+q.$$ +1. Montrer que $f$ prend ses valeurs dans $\N^*$ et que $3$ n'a pas + d'antécédent. Que peut-on en déduire ? +2. Si $f(p/q)=f(p'/q')$, établir + $(p'-p)(p+p'-1)=2(q-q')$, puis montrer que $f$ est injective. +3. Montrer que $\Q_1$ et $\Q$ sont dénombrables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 434] +Majorer asymptotiquement aussi bien que possible l'ordre maximal d'un +élément de $S_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 435] +Soit $F_0=0,F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. +1. Exprimer $F_n$ en fonction de $n$. +2. Montrer que $F_n\wedge F_{n+1}=1$ pour $n\geq1$. +3. Montrer que $F_{n+m}=F_nF_{m+1}+F_{n-1}F_m$ pour $n,m\geq1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 436] +Fermat conjecturait que $26$ est le seul entier naturel qui s'écrit à la +fois comme un carré augmenté de $1$ et comme un cube diminué de $1$. On +se propose de le démontrer en étudiant l'équation $y^3=x^2+2$ dans $\Z$. +1. Montrer que $A=\{a+ib\sqrt2\mid(a,b)\in\Z^2\}$ est un sous-anneau + de $\C$ et que cette écriture est unique. +2. Montrer que $A$ est euclidien, puis principal. +3. Déterminer les inversibles de $A$. +4. Si $(x,y)$ est solution, montrer que $x+i\sqrt2$ et $x-i\sqrt2$ sont + premiers entre eux dans $A$, puis en déduire que $x+i\sqrt2$ possède + une racine cubique dans $A$. +5. Déterminer les couples $(x,z)\in\Z\times A$ tels que + $z^3=x+i\sqrt2$, puis conclure pour l'équation initiale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 437] +1. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers. +2. Poser $F_n=2^{2^n}+1$. Montrer que + $\prod_{k=0}^{n-1}F_k=F_n-2$, que les $F_n$ sont deux à deux premiers + entre eux, et conclure. +3. On suppose les nombres premiers en nombre fini et $p$ maximum. Soit + $q$ premier divisant $2^p-1$. Montrer que $2$ est d'ordre $p$ modulo + $q$, puis obtenir une contradiction. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 438] +Le groupe des inversibles de $\Z/n\Z$ est-il cyclique ? On pourra traiter +le cas où $n$ est premier puis une puissance d'un nombre premier. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 439] +Soit $p$ un nombre premier impair. +1. Montrer que chaque $k\in\db{1,p-1}$ admet un unique inverse $k'$ modulo $p$. +2. Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1}k'\equiv0\pmod p$. +3. Si $p-1$ divise $m$, montrer que $\sum_{k=1}^{p-1}k^m=-1$ dans $\Z/p\Z$. +4. Sinon, trouver $a$ tel que $a^m\not\equiv1\pmod p$ et en déduire + $\sum_{k=1}^{p-1}k^m\equiv0\pmod p$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 440] +Soit $G$ un groupe fini dont tous les éléments non neutres sont d'ordre $2$. +1. Montrer que $G$ est abélien. +2. Soient $H$ un sous-groupe et $y\in G\setminus H$. Montrer que + $H\cup yH$ est un sous-groupe et que cette union est disjointe. +3. En déduire que $|G|$ est une puissance de $2$. +4. Calculer le produit de tous les éléments de $G$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 441] +Soient $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal. Posons +$$R(I)=\{x\in A\mid\exists n\geq1,\ x^n\in I\}.$$ +1. Montrer que $R(I)$ est un idéal contenant $I$. +2. Pour des idéaux $I,J$, montrer que $R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ et + $R(I)+R(J)\subset R(I+J)$. +3. Montrer que $R(n\Z)=n\Z$ si et seulement si $n$ est sans facteur carré. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 442] +Déterminer les $z\in\C$ tels que les points d'affixes $z,z^2,z^5$ soient +alignés. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 443] +Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$, avec +$a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n>0$. Montrer que toute racine complexe +$z$ de $P$ vérifie $|z|\geq1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 444] +Soient $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\Z[X]$ et +$M=\max_{0\leq k\leq n}|a_k|/|a_n|$. +1. Montrer que toute racine $z$ de $P$ vérifie $|z|\leq1+M$. +2. Si $m\in\N$, $m>M+2$ et $P(m)$ est premier, montrer que $P$ est + irréductible dans $\Z[X]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 445] +1. Soient $01$. +2. Si $Q=\sum_{k=0}^nb_kX^k$ a des coefficients strictement positifs, + montrer que toute racine $z$ vérifie + $$\min_{0\leq k0$, scindé à racines simples sur $\R$. +1. Déterminer la décomposition en éléments simples de $P'/P$. +2. Montrer que $(P')^2(x)-P(x)P''(x)>0$ pour tout $x\in\R$. +3. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples sur $\R$. +4. Montrer que $(P^{(k+1)}(0))^2>P^{(k+2)}(0)P^{(k)}(0)$ pour + $0\leq ka_ka_{k+2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 451] +Soit $K$ un corps. On appelle pgcd de $P_1,P_2\in K[X]$ un diviseur +commun de degré maximal. +1. Montrer qu'un pgcd existe et qu'il existe un unique pgcd unitaire. +2. Rappeler la division euclidienne et énoncer puis démontrer Bézout. +3. Montrer que l'algorithme d'Euclide s'applique dans $K[X]$ et calculer + le pgcd de $X^3-3X^2+1$ et $2X^2-1$. +4. Soient $A,B\in K[X]$, $A$ non constant, $d=\deg A$, et $R_n$ le + reste de $X^nB$ modulo $A$. Montrer qu'il existe $U_n,V_n$ tels que + $R_n=U_nA+V_nB$, $\deg R_n<\deg A$, et que $(R_n)$ vérifie une + récurrence linéaire d'ordre au plus $d$. Si $\gcd(A,B)=1$, montrer + que $(R_n)$ engendre $K_{d-1}[X]$ et que $(R_0,\ldots,R_{d-1})$ en + est une base. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 452] +Un complexe est un entier algébrique s'il annule un polynôme unitaire +de $\Z[X]$. Soient $a,b$ deux entiers algébriques. +1. Montrer que $\operatorname{Vect}_{\Q}\{a^kb^\ell\mid k,\ell\in\N\}$ + est de dimension finie. +2. Si $P,Q$ sont les polynômes minimaux unitaires entiers de $a,b$, la + famille $(a^kb^\ell)_{0\leq k<\deg P,\ 0\leq\ell<\deg Q}$ est-elle + toujours libre ? +3. Si elle est libre, montrer que $a+b$ et $ab$ sont des entiers + algébriques. +4. Établir le même résultat dans le cas général. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 453] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ nilpotente de rang $n-1$. Montrer qu'elle +est semblable à la matrice ayant des $1$ sur la surdiagonale et des $0$ +ailleurs. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 454] +Trouver les $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ telles que +$$M^3+2M=\begin{pmatrix}3&5\\0&-12\end{pmatrix}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 455] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer qu'il existe une matrice diagonale +$D$ à coefficients diagonaux dans $\{-1,1\}$ telle que $A+D$ soit +inversible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 456] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB=0$. Montrer que +$$\operatorname{tr}((A+B)^k)=\operatorname{tr}(A^k)+\operatorname{tr}(B^k)$$ +pour tout $k\geq1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 457] +Soient $z\in\C^*$ et $M=(z^{|p-q|})_{1\leq p,q\leq n}$. Donner une +condition sur $z$ pour que $M$ soit inversible et déterminer alors $M^{-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 458] +Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie. +1. Montrer que deux sous-espaces de même dimension ont un supplémentaire + commun. +2. Soit $K$ un sous-groupe fini de $\operatorname{GL}(E)$ et $F$ stable + par tous ses éléments. Montrer que $F$ possède un supplémentaire + stable par $K$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 459] +1. Soit $J_n$ la matrice nulle sur la diagonale et égale à $1$ ailleurs. + Pour $n\geq2$, poser $A_n=\operatorname{diag}(J_2,J_{n-2})$. + Calculer $\det J_n$ et $\det A_n$. +2. Soit $M\in\mathcal{S}_n$ telle que $m_{ii}=0$ et $m_{ij}>0$ si + $i\neq j$. $M$ est-elle nécessairement inversible ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 460] +1. Soit $P=X^2+aX+b\in\C[X]$ de racines $x_1,x_2$. Poser + $N_1=x_1+x_2$, $N_2=x_1^2+x_2^2$. Calculer + $\det\begin{pmatrix}2&N_1\\N_1&N_2\end{pmatrix}$. +2. Pour $P=X^3+pX+q$ de racines $x_1,x_2,x_3$, poser + $N_k=\sum_i x_i^k$. Calculer $\det(N_{i+j})_{1\leq i,j\leq3}$. +3. Pour un polynôme unitaire $P$ de degré $n$ et ses racines + $x_1,\ldots,x_n$, poser $N_0=n$, $N_k=\sum_ix_i^k$. Relier + $\det(N_{i+j})_{0\leq i,j0).$$ +1. Montrer que $T$ définit un endomorphisme de $\R_n[X]$. +2. Déterminer ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 485] +Soient $E=\C^\N$ et $F$ le sous-espace des suites convergentes. Pour +$u\in E$, poser $\varphi(u)_n=2^{-n}\sum_{k=0}^n\binom nk u_k$. +1. Déterminer les éléments propres de $\varphi$. +2. Montrer que $F$ est stable et déterminer les valeurs propres de + l'endomorphisme induit. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 486] +Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\R)$ définie par +$a_{i,j}=(n-1)i+j$. +1. Calculer $\operatorname{rg}(A)$. +2. $A$ est-elle diagonalisable ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 487] +1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ tels que $AB-BA=B$. Montrer que + $B$ est nilpotente. +2. Si $AB-BA=\lambda A+\mu B$, montrer que $A,B$ possèdent un vecteur + propre commun, puis sont cotrigonalisables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 488] +Soit $n\geq3$ et $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que +$a_{i,1}=a_{i,n}=1$ pour tout $i$, les autres coefficients étant nuls. +Montrer que $A$ est diagonalisable et la diagonaliser. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 489] +Posons $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ et +$$B=\begin{pmatrix}0&0&A\\A&0&0\\0&A&0\end{pmatrix}.$$ +Déterminer les éléments propres complexes de $B$. Est-elle diagonalisable ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 490] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ telle que $\operatorname{tr}(A^i)=0$ pour +$1\leq i0$ et des unitaires + $u_1,\ldots,u_m\in\R^n$ tels que + $|\langle u_i,u_j\rangle^2-\alpha^2|<\varepsilon^2$ pour $i\neq j$. + Poser $G(x,y)=\langle x,y\rangle^2-\alpha^2\|x\|^2\|y\|^2$. + Montrer que, pour $\varepsilon$ assez petit, $(G(u_i,u_j))$ est + inversible et $m\leq n(n+1)/2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 529] +Soient $v_1,\ldots,v_n$ des vecteurs unitaires d'un espace préhilbertien +réel. Montrer qu'il existe $\varepsilon_i\in\{-1,1\}$ tels que +$$\left\|\sum_{i=1}^n\varepsilon_iv_i\right\|\leq\sqrt n.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 530] +Soit $E$ euclidien. Déterminer les $u\in\mathcal{L}(E)$ tels que +$u(V^\perp)=u(V)^\perp$ pour tout sous-espace vectoriel $V$ de $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 531] +Soit $E$ euclidien et $f:E\to E$ telle que $f(0)=0$ et +$\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$. +1. Que peut-on dire de $f$ ? +2. Étudier la convergence de $u_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f^k$. +3. Que se passe-t-il si $f$ est linéaire et $\|f(x)\|\leq\|x\|$ ? +4. Que devient l'exercice dans un espace préhilbertien ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 532] +Soient $E$ euclidien et $f\in\mathcal{L}(E)$ telle que +$\|f(x)\|\leq\|x\|$. +1. Montrer que $f(x)=x$ implique $f^*(x)=x$. +2. Montrer que $\operatorname{Im}(f-\operatorname{id})\oplus + \ker(f-\operatorname{id})=E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 533] +Soient $E$ euclidien non nul et $u\in\mathcal{L}(E)$. Caractériser les +$v\in\mathcal{L}(E)$ tels que $\|v(x)\|=\|u(x)\|$ pour tout $x\in E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 534] +Soit $E=\mathcal{M}_n(\R)$ muni de $\langle U,V\rangle=\operatorname{Tr}(UV^T)$. +Pour $A\in E$, poser $T_A(M)=AM-MA$. +1. Montrer que $\operatorname{Im}(T_A)^\perp=\{M\mid A^TM=MA^T\}$. +2. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $A\in\operatorname{Im}(T_A)$. +3. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si elle est semblable à $2A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 535] +Soient $E$ euclidien, $V$ l'ensemble de ses sous-espaces et $x\in E$. +Pour $W\in V$, soit $\pi_W$ la projection orthogonale sur $W$. +Déterminer $\{\pi_W(x)\mid W\in V\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 536] +Déterminer les $P\in\R[X]$ tels que, pour tout $n\geq1$, +$P(\mathcal{A}_n(\R))\subset\mathcal{A}_n(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 537] +Déterminer les matrices $M\in\mathcal{A}_n(\R)$ telles que +$\operatorname{Sp}_\C(M)\subset\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 538] +Soient $n\geq2$ et $A\in\mathcal{A}_n(\R)\setminus\{0\}$. Montrer +que $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs +diagonaux non nuls sont de taille $2\times2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 539] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre $A$ antisymétrique +et $P^{-1}AP$ à diagonale nulle pour toute $P\in O_n(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 540] +Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$. Discuter le nombre de matrices +$B\in\mathcal{M}_n(\R)$ telles que $B^2=A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 541] +Déterminer les $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ telles que $M^2=M^T$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 542] +1. Soient $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ et $p\geq1$ tels que + $(M+M^T)^p=0$. Montrer que $M$ est antisymétrique. +2. Trouver $M\in\mathcal{M}_2(\C)$ telle que $(M+M^T)^2=0$ mais + $M+M^T\neq0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 543] +Déterminer toutes les matrices $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telles que +$A+A^T=A^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 544] +Soient $A,B\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ non colinéaires et +$M=AB^T+BA^T$. +1. Justifier que $M$ est diagonalisable. +2. Calculer $\operatorname{rg}M$. +3. Expliciter ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 545] +Soient $A,B\in\mathcal{S}_n(\Q)$ telles que +$\operatorname{rg}(A+tB)0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 552] +Soit $n\geq2$ et +$U_n=\{M\in\mathcal{M}_n(\C)\mid M^T=M\}$. +1. Montrer que si $M\in U_n$, ses valeurs propres sont réelles. +2. Pour $M=(m_{k,j})$ définie par $m_{k,j}=i$ si $kj$ et diagonale nulle, montrer que $M$ est + diagonalisable et déterminer valeurs propres et vecteurs propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 553] +Posons $\Omega=\{M\in\mathcal{M}_n(\R)\mid I_n+M\text{ est inversible}\}$. +1. Montrer que $O_n(\R)$ est un groupe. +2. Montrer que $\mathcal{A}_n(\R)\subset\Omega$ et + $\mathcal{A}_n(\R)\neq\Omega$. +3. Pour $M\in\Omega$, poser $f(M)=(I_n-M)(I_n+M)^{-1}$. Si + $M\in O_n(\R)\cap\Omega$, montrer que $f(M)$ est antisymétrique et + $f(f(M))=M$. +4. Pour $M\in O_n(\R)$, montrer qu'il existe une diagonale $J$ à + coefficients dans $[-1,1]$ telle que $\det(M+J)=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 554] +Soient $p\geq2$, $A\in\mathcal{S}_p^{++}(\R)$, $b\in\R^p$ et $\alpha>0$. +Posons $a=A^{-1}b$ et $x_{n+1}=x_n+\alpha(b-Ax_n)$. Pour quelles +valeurs de $\alpha$ la suite converge pour tout $x_0$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 555] +Soient $A\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mathcal{S}_n(\R)$. +1. Montrer qu'il existe $P\in\operatorname{GL}_n(\R)$ et diagonale $D$ + telles que $A=P^TP$ et $B=P^TDP$. +2. Si $B$ est définie positive et $\alpha,\beta\geq0$ avec + $\alpha+\beta=1$, montrer que + $$\det(\alpha A+\beta B)\geq\det(A)^\alpha\det(B)^\beta.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 556] +Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$. +1. Montrer que $\ker(A^TA)=\ker A$, donc $A$ et $A^TA$ ont même rang $r$. +2. Montrer qu'il existe une famille orthonormée $(y_1,\ldots,y_r)$ de + $\R^p$ telle que la matrice de restriction de $A^TA$ soit diagonale + à coefficients strictement positifs. +3. Montrer qu'il existe $U\in O_n(\R)$, $V\in O_p(\R)$ et + $\Lambda\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ diagonale rectangulaire positive + telle que $A=U\Lambda V$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 557] +1. Donner deux définitions de $\mathcal{S}_n^+(\R)$ et établir leur + équivalence. +2. Si $A\in\mathcal{S}_n(\R)$, montrer que $A\in\mathcal{S}_n^+(\R)$ + si et seulement si $\operatorname{tr}(AB)\geq0$ pour toute + $B\in\mathcal{S}_n^+(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 558] +Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ telle que +$a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b\|X\|^2$ pour tout $X$. +Si $P\in\R[X]$ vérifie $P(x)>0$ sur $[a,b]$, montrer que +$P(A)\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 559] +Soient $S\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $S'\in\mathcal{S}_n(\R)$. +Montrer que $SS'$ est diagonalisable sur $\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 560] +1. Soit $A\in\mathcal{S}_n^+(\R)$. Montrer que + $\det A\leq\prod_{i=1}^na_{i,i}$. +2. Soient $E$ euclidien de dimension $n$ et $f\in\mathcal{S}^+(E)$ de + spectre $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. Montrer que + $$\prod_i\lambda_i=\inf_{(e_i)\text{ base orthonormée}} + \prod_i\langle f(e_i),e_i\rangle.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 561] +Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ et $A_i$ sa sous-matrice principale d'ordre $i$. +1. Si $A$ est définie positive, montrer que chaque $A_i$ l'est et + $\det A_i>0$. +2. Réciproquement, si $\det A_i>0$ pour tout $i$, montrer que $A$ est + définie positive (traiter d'abord $n=1,2$). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 562] +Soit $S\in\mathcal{S}_n(\R)$. Montrer que +$\{X\in\R^n\mid X^TSX=1\}$ est compact non vide si et seulement si +$S\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 563] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre : +1. $A$ est symétrique et la somme de deux valeurs propres de $A$ n'est + jamais nulle. +2. Pour toute matrice symétrique $B$, il existe une unique matrice + symétrique $M$ telle que $B=MA+AM$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 564] +1. Soit $A\in\mathcal{S}_n^+(\R)$. Montrer que $\operatorname{rg}A\leq r$ + si et seulement si $A=\sum_{i=1}^rX_iX_i^T$ pour des $X_i\in\R^n$. +2. Cette propriété reste-t-elle vraie pour $A$ symétrique quelconque ? +3. Pour $A\in\mathcal{S}_n(\C)$ de rang $1$, montrer qu'il existe $X$ + tel que $A=XX^T$. +4. Généraliser aux matrices complexes symétriques de rang $r$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 565] +Soit $E$ euclidien et $N$ la norme d'opérateur. +1. Pour $f\in\mathcal{S}^+(E)$, montrer qu'il existe un unique + $r\in\mathcal{S}^+(E)$ tel que $f=r^2$. +2. Pour $u\in\mathcal{S}(E)$, exprimer $N(u)$ à l'aide de son spectre. +3. Pour $f,g\in\mathcal{S}^+(E)$, montrer que + $$N(R(f)-R(g))\leq\sqrt{N(f-g)}.$$ +#+end_exercice + +** Analyse + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 566] +Soit $C$ une partie d'un espace normé telle que, pour tous $u\neq v$ de +$C$, $]u,v[\cap C=\varnothing$. Montrer que si $C$ est fermée, alors +$C$ est convexe. Est-ce vrai sans l'hypothèse de fermeture ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 567] +Pour $M\in\mathcal{M}_n(\R)$, poser +$N(M)=\sup_{P\in O_n(\R)}|\operatorname{Tr}(PM)|$. Montrer que $N$ est +une norme sur $\mathcal{M}_n(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 568] +Soit $E=C^1([0,1],\R)$ et $N(f)=(f(0)^2+\int_0^1(f')^2)^{1/2}$. +1. Montrer que $N$ est une norme. +2. La comparer à $\|\cdot\|_\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 569] +Pour $P\in\R[X]$, poser $\|P\|_1=\int_0^1|P(t)|dt$, +$\|P\|_\infty=\sup_{[0,1]}|P|$ et +$N(P)=\sup_{n\in\N}|\int_0^1P(t)t^n dt|$. +1. Montrer que $N$ est une norme. +2. $N$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont-elles équivalentes ? +3. $N$ et $\|\cdot\|_1$ sont-elles équivalentes ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 570] +Pour $a\in\R$ et $P\in\R[X]$, poser +$N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1|P'(t)|dt$. +1. Montrer que $N_a$ est une norme. +2. Comparer $N_a$ et $N_b$ et étudier la continuité de $P\mapsto P(b)$ + pour la norme $N_a$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 571] +Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $F=\{f\in E\mid f(0)=0\}$. +1. Montrer que $F$ est fermé pour $\|\cdot\|_\infty$. +2. Est-ce encore vrai pour $N(f)=\int_0^1|f|$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 572] +Soit $E=\{f\in C^2([0,1],\R)\mid f(0)=f'(0)=0\}$ et +$N(f)=\|f+2f'+f''\|_\infty$. +1. Montrer que $N$ est une norme. +2. Si $g=f+2f'+f''$, exprimer $f$ en fonction de $g$. +3. Montrer qu'il existe $a>0$ tel que $\|f\|_\infty\leq aN(f)$. +4. Les normes $N$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont-elles équivalentes ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 573] +Soient $K$ un compact d'un espace normé et $\varepsilon>0$. Une partie +$A\subset K$ est $\varepsilon$-séparée si deux points distincts sont à +distance au moins $\varepsilon$. Montrer qu'il existe $M(\varepsilon)$ +tel que toute partie $\varepsilon$-séparée de $K$ ait cardinal au plus +$M(\varepsilon)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 574] +Soit $f:\R^2\to\R$ telle que $|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$ pour tous +$x,y$. Montrer que $f$ est constante. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 575] +Soit $f:\R^n\to\R$ telle que, pour tout $\alpha\in\R$, les ensembles +$\{x\mid f(x)>\alpha\}$ et $\{x\mid f(x)<\alpha\}$ soient ouverts. +Montrer que $f$ est continue. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 576] +1. Si $P\in\C[X]$ est de degré $n$, montrer que + $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|P(a+re^{i\theta})|^2d\theta + =\sum_{k=0}^n\frac{|P^{(k)}(a)|^2}{(k!)^2}r^{2k}.$$ +2. Si $K$ est un compact et $\partial K=K\setminus\mathring K$, + montrer que $|P(z)|\leq\max_{w\in\partial K}|P(w)|$ pour $z\in K$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 577] +Soit $K$ un compact non vide d'un espace normé et $f:K\to K$ une +isométrie. Montrer que $f$ est surjective. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 578] +Décrire les sous-groupes compacts de $(\C^*,\times)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 579] +Soit $f:\R^2\to\R$ continue. +1. S'il existe $c$ tel que $f^{-1}(\{c\})$ soit un singleton, que peut-on + dire de $c$ ? +2. S'il existe $c$ tel que cette fibre soit compacte non vide, montrer + que $f$ possède un extremum. +3. Si toutes les fibres sont compactes, montrer que $f(x)$ admet une + limite, éventuellement infinie, lorsque $\|x\|\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 580] +Soit $E$ un espace normé. +1. Si $f:E\to E$ est additive et bornée sur la boule unité, montrer que + $f$ est linéaire. +2. Si $E$ est de dimension finie, $f$ linéaire et $\|f(x)\|\leq\|x\|$, + poser $u_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f^k$. Étudier la convergence si + $\|f\|_{op}<1$, puis si $\|f\|_{op}=1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 581] +Soit $u$ une contraction d'un espace normé $E$. Posons +$v_n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nu^k$. +1. Simplifier $v_n\circ(u-\operatorname{id})$. +2. Montrer que $\operatorname{Im}(u-\operatorname{id})\cap + \ker(u-\operatorname{id})=\{0\}$. +3. Si $E$ est de dimension finie, montrer que leur somme est $E$. +4. Si $E=\operatorname{Im}(u-\operatorname{id})\oplus\ker(u-\operatorname{id})$, + montrer que $v_n$ converge simplement et que l'image est fermée. +5. Réciproquement, si $v_n$ converge simplement et l'image est fermée, + montrer que cette somme directe vaut $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 582] +Soit $f:E\to\R$ une forme linéaire continue non nulle sur un espace +normé, et $a\in E$ tel que $f(a)\neq0$. +1. Montrer que $\|f\|_{op}=|f(a)|/d(a,\ker f)$. +2. Montrer que la distance est atteinte si et seulement s'il existe + $b\neq0$ tel que $\|f\|_{op}=|f(b)|/\|b\|$. +3. Pour $E=C^0([-1,1],\R)$ muni de $\|\cdot\|_\infty$, poser + $F(g)=\int_0^1g-\int_{-1}^0g$. Montrer que $F$ est continue et + calculer sa norme d'opérateur. Est-elle atteinte ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 583] +Soit $E$ l'espace des fonctions réelles continues bornées sur $\R$. +Pour $p\in\N$, poser $N_p(f)=\sup_{t\in\R}|t^pe^{-|t|}f(t)|$. +1. Montrer que $N_p$ est une norme. +2. Pour $c\in\R$, la forme $f\mapsto f(c)$ est-elle continue pour $N_p$ ? +3. Si $p\neq q$, les normes $N_p,N_q$ sont-elles équivalentes ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 584] +1. Énoncer et démontrer le théorème des bornes atteintes. +2. Soit $C$ un convexe compact non vide d'un espace euclidien. Pour $x$, + montrer qu'il existe un unique projeté $p(x)\in C$ réalisant la + distance à $C$, et caractériser $y=p(x)$ par + $\langle x-y,c-y\rangle\leq0$ pour tout $c\in C$. +3. Montrer que $x\mapsto p(x)$ est continue. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 585] +Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et +seulement si sa classe de similitude est fermée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 586] +1. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\R)$ est un fermé non compact. +2. Montrer que $\operatorname{SO}_n(\R)$ est connexe par arcs. +3. Pour $M\in\operatorname{GL}_n(\R)$, montrer qu'il existe $O\in O_n(\R)$ + et $S\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ tels que $M=OS$. +4. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\R)$ est connexe par arcs et + déterminer les composantes connexes par arcs de $\operatorname{GL}_n(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 587] +Soit $u_1>0$ et $u_{n+1}=u_n+1/(nu_n)$. Étudier $(u_n)$ et donner un +équivalent de $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 588] +1. Soit $u_0\geq0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$. Étudier la suite. +2. Soit $v_0\geq0$ et $v_{n+1}=\sqrt{v_n}+1/(n+1)$. Étudier la suite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 589] +Soient $p,q>0$, $p+q=1$ et $p0$ et $u_{n+1}=u_n+n/u_n$. +1. Étudier la monotonie de $(u_n)$ et le cas $u_0=1$. +2. Montrer que $(u_n-n)_{n\geq1}$ converge. +3. Poser $y_n=n(u_n-n)$. Si $u_n>n$, montrer que + $y_{n+1}/y_n=1+O(n^{-2})$, puis qu'il existe $\alpha\neq0$ tel que + $u_n=n+\alpha/n+O(n^{-2})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 592] +1. Montrer que, pour $n\geq2$, $P_n=X^n-nX+1$ possède une unique racine + $u_n\in]0,1[$. +2. Montrer que $(u_n)$ converge. +3. Déterminer un développement asymptotique à deux termes de $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 593] +Soit $x_0>0$ et $x_{n+1}=x_n+1/S_n$, où $S_n=x_0+\cdots+x_n$. +1. Montrer que $x_n\to+\infty$ et $x_{n+1}\sim x_n$. +2. En étudiant $S_{n+1}/x_{n+1}-S_n/x_n$, montrer que $S_n\sim nx_n$. +3. Déterminer un équivalent de $x_{n+1}^2-x_n^2$, puis de $x_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 594] +Pour $m\in\N$, poser +$$F_m(x)=\int_0^x\frac{u^me^u}{m!}\,du.$$ +1. Montrer qu'il existe un unique $x_m>0$ tel que $F_m(x_m)=1$. +2. Pour $v>0$, déterminer la limite et un équivalent de $F_m(vm)$. +3. Donner un équivalent de $x_m$ lorsque $m\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 595] +Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=1+u_0u_1\cdots u_n$. Posons $v_n=u_n-1/2$. +1. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$. +2. Montrer que $v_n\geq2^{n-2}$ pour $n\geq1$. +3. Montrer qu'il existe $r>0$ tel que + $v_n=r^{2^n}(1+O(4^{-n}))$. +4. Montrer qu'il existe $(x_n)$ tendant vers $0$ tel que + $u_n=r^{2^n}+1/2+x_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 596] +1. Pour $n\geq3$, montrer qu'il existe $k0$ tel que +$$n!=C\sqrt n\left(\frac ne\right)^n +\left(1+\frac1{12n}+o(1/n)\right).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 601] +Posons $u_n=\ln(n)/n$, +$$s_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k\frac{\ln k}{k},\qquad +R_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{\ln(1+k/n)}{1+k/n}.$$ +1. Étudier la décroissance de $u_n$ et la convergence de $(s_{2n})$. +2. Établir $s_{2n}=H_n\ln2-T_n$, où + $H_n=\sum_{k=1}^n1/k$ et $T_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\ln(k)/k$. +3. À l'aide des développements de $H_n$ et $\sum_{k=1}^n\ln(k)/k$, + déterminer l'asymptotique de $T_n$. +4. Montrer que $R_n$ est une somme de Riemann, calculer sa limite et + établir $T_n=\ln(n)(H_{2n}-H_n)+R_n$. +5. En déduire la somme $\sum_{k\geq1}(-1)^k\ln(k)/k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 602] +Pour $n\geq1$, poser $v_n=\sum_{k=1}^n1/\sqrt{k}$ et +$u_n=(-1)^n(v_n-(-1)^n)$. Déterminer la nature de $\sum u_n$ et donner +un équivalent du reste en cas de convergence, ou de la somme partielle +en cas de divergence. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 603] +Soit $(u_k)$ positive. +1. Si $\sum_{k=n+1}^{2n}u_k\leq\frac1n\sum_{k=1}^nu_k$ pour tout $n$, + déterminer la nature de $\sum u_n$. +2. Même question si la borne de la somme de gauche est $2n+p$ et son + départ $n+p+1$, pour un $p\geq1$ fixé. +3. Même question si la somme est de $pn+1$ à $(p+1)n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 604] +Soit $u_0>0$ et $u_{n+1}=e^{-u_n}/(n+1)$. +1. Déterminer les limites de $u_n$ et $nu_n$. +2. Donner un développement asymptotique à trois termes de $u_n$. +3. Étudier $\sum u_n$ et $\sum(-1)^nu_n$. +4. Donner un équivalent du reste des séries convergentes et des sommes + partielles des séries divergentes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 605] +Soit $(u_n)_{n\geq1}$ réelle, $u_n\neq-1$, et +$$v_n=\frac{u_n}{(1+u_1)\cdots(1+u_n)}.$$ +1. Si $u_n\geq0$, montrer que $\sum v_n$ converge. Si $\sum u_n$ + diverge, calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}v_n$. +2. Étudier $\sum v_n$ pour $u_n=(-1)^n/(n+1)$ puis + $u_n=(-1)^n/\sqrt{n+1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 606] +Soit $f\in C^1([1,+\infty[,\R)$ strictement croissante telle que +$f(x)\to+\infty$ et $f'(x)\to0$. +1. En utilisant $|e^{if(b)}-e^{if(a)}|\leq(b-a)\sup_{[a,b]}|f'|$, + montrer que $\{e^{if(n)}\mid n\in\N\}$ est dense dans le cercle unité. +2. Pour $f\in C^1([a,+\infty[)$, montrer que + $$\left|f(n)-\int_n^{n+1}f(t)dt\right| + \leq\frac12\max_{[n,n+1]}|f'(x)|.$$ +3. En déduire la nature de $\sum\sin(\ln n)/n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 607] +Comparer $\pi^3$ et $3^\pi$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 608] +Soit $f(x)=\arctan(1/(1+x^2))$. Montrer que $f$ est $C^\infty$ et +calculer $f^{(n)}(0)$ pour tout $n\in\N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 609] +Déterminer les fonctions dérivables $f:\R_+^*\to\R$ telles que +$f'(x)=f(1/x)$ pour tout $x>0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 610] +Déterminer les fonctions continues $f:\R\to\R$ telles que +$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$$ +pour tous $x,y\in\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 611] +Déterminer les fonctions deux fois dérivables $f:\R\to\R$ telles que +$$f''(x)\cos(f(x))\geq f'(x)^2\sin(f(x))$$ +pour tout $x\in\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 612] +Soit $E$ l'espace des fonctions de $\R$ dans $\R$ et +$D(f)(x)=f(x+1)-f(x)$. Pour $n\in\N$, soit +$$F_n=\{x\mapsto x^{n-1}w_{n-1}(x)+\cdots+xw_1(x)+w_0(x) +\mid w_0,\ldots,w_{n-1}\in\ker D\}.$$ +1. Montrer que $F_n=D(F_{n+1})$. +2. Montrer par récurrence que $\ker(D^n)=F_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 613] +Soit $f:[0,1]\to\R$. +1. Montrer que $f$ est dérivable en $0$ si et seulement si elle admet un + développement limité d'ordre $1$ en $0$. +2. Si $f(0)=0$ et $f$ est dérivable en $0$, montrer que + $u_n=\sum_{k=1}^nf(k/n^2)$ converge et calculer sa limite. +3. Si $f$ est continue en $0$ et $\lambda\in]0,1[$, montrer que $f$ est + dérivable en $0$ si et seulement s'il existe $\ell$ tel que + $(f(x)-f(\lambda x))/x\to\ell$, et préciser le lien avec $f'(0)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 614] +Soit $f(x)=x-\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$. +1. Montrer que les restrictions de $f$ à $]-1,0]$ et $[0,+\infty[$ + sont des bijections sur $\R_+$. +2. Déterminer un équivalent de $f$ en $0$, puis ceux des fonctions + réciproques en $0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 615] +Soit $f:\R_+\to\R$ continue, bornée et intégrable. Posons +$\alpha=\sup_{\R_+}|f|$ et $u_n=\int_0^{+\infty}f(t)^n dt$. +1. Montrer que les $u_n$ sont bien définis. +2. Si $\alpha<1$, montrer que $\sum u_n$ converge. +3. Si $\alpha>1$, montrer que $\sum u_n$ diverge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 616] +Soient $a0\ \forall x\}$. Pour $f\in A$, poser +$$\Phi(f)=\left(\int_a^bf(x)dx\right) +\left(\int_a^b\frac{dx}{f(x)}\right).$$ +1. Montrer que $\Phi$ admet un minimum et le déterminer. +2. $A$ est-elle ouverte ? Fermée ? +3. Déterminer $\Phi(A)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 617] +Soit $F(x)=\int_x^{\sqrt{x}}e^t/t\,dt$. Déterminer la limite et un +équivalent de $F$ en $0^+$ et en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 618] +Soit $n\in\N$ et +$$F=\{f\in C^\infty(\R,\R)\mid f(x)=x^{n+1}g(x)\text{ pour un }g\in C^\infty\}.$$ +Pour $f\in C^\infty$, poser +$$\varphi(f)(x)=\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$ +Montrer que $\varphi$ est le projecteur sur $F$ parallèlement aux +polynômes de degré au plus $n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 619] +Étudier la nature des intégrales impropres +$$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx,\quad +\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{\sin x+\sqrt{x}}dx,\quad +\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x+\sqrt{x}}dx.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 620] +Posons $I=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin t)dt$. +1. Justifier la convergence et montrer que $I=\int_0^{\pi/2}\ln(\cos t)dt$ + et $I=\frac12\int_0^\pi\ln(\sin t)dt$. +2. Calculer $I$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 621] +1. Pour $\alpha>1$, montrer que $x^\alpha=\sin x$ a une unique solution + $a>0$. +2. Déterminer la nature de + $$\int_a^{+\infty}\frac{\cos t}{\sqrt{|t^\alpha-\sin t|}}dt.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 622] +1. Pour $a>-1$, calculer $\int_0^{\pi/2}(1+a\sin^2t)^{-1}dt$ en posant + $x=\tan t$. +2. Déterminer la nature des séries et intégrales : + $$\sum_n\int_0^\pi\frac{dt}{1+(n\pi)^\alpha\sin^2t},\quad + \sum_n\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{dt}{1+t^\alpha\sin^2t},\quad + \int_0^\infty\frac{dt}{1+t^\alpha\sin^2t}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 623] +Soit $a>0$. Étudier la convergence et calculer éventuellement +$$\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{(1+t^a)^2}dt.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 624] +Soit $f(x)=\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt$. Donner un équivalent de $f(x)$ +en $+\infty$, puis un équivalent de $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty}e^{-k^2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 625] +1. Soient $a\alpha}\varphi_n(t)dt\to0$ pour tout $\alpha>0$. +Pour $f$ continue bornée, poser $f_n(x)=\int_\R\varphi_n(t)f(x-t)dt$. +Montrer que $f_n\to f$ uniformément sur tout segment. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 634] +1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que + $$e^A-e^B=\int_0^1e^{xA}(A-B)e^{(1-x)B}dx.$$ +2. Montrer que $f_p:A\mapsto(I_n+A/p)^p$ converge vers l'exponentielle + uniformément sur les compacts de $\mathcal{M}_n(\C)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 635] +Posons $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-\sqrt n x}$. Déterminer son domaine, +montrer que $S$ est continue, puis déterminer sa limite en $+\infty$ et +un équivalent en $0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 636] +Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}/(n+x)$. +1. Déterminer le domaine $D$ et étudier la continuité sur $D$. +2. La série converge-t-elle uniformément sur $D$ ? +3. Déterminer limites et équivalents aux bornes de $D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 637] +Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(2^nx)/2^n$. +1. Montrer que $f$ est continue sur $\R$. +2. $f$ est-elle dérivable en $0$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 638] +Déterminer le rayon de convergence de +$$\sum_{n\geq1}\frac{z^n}{(\sqrt n)^{\sqrt n}}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 639] +Soit $\alpha>1$ et +$$a_n=\left(\sin(n)^\alpha+\alpha\sin(1/n)\right)^n.$$ +Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$. On admet que $\pi$ +est irrationnel. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 640] +Pour $m\in\N$, poser $W_m=\int_0^{\pi/2}\cos^m(t)dt$ et +$f(x)=\sum_{m=0}^{+\infty}W_mx^m$. +1. Montrer que $mW_m=(m-1)W_{m-2}$ pour $m\geq2$. +2. Montrer que $1/(m+1)\leq W_m\leq\pi/2$. +3. Calculer le rayon de convergence de $f$. +4. Exprimer $f(x)$ à l'aide du résultat de la question 1, puis à l'aide + de $\int_0^{\pi/2}(1-x\cos t)^{-1}dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 641] +Pour $n\in\N$, poser $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et +$u_n(x)=a_nx^n/n^\alpha$. +1. Déterminer la limite de $(a_n)$. +2. Trouver une relation simple entre $a_{n+2}$ et $a_n$. +3. Étudier la série de terme général $u_n(x)$ selon $x,\alpha$. +4. Pour $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$, exprimer $f$ avec des + fonctions usuelles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 642] +Pour $n\in\N$, poser $u_n=\int_0^1(1-t^2)^ndt$ et +$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$. +1. Déterminer le domaine de définition de $f$. +2. Expliciter $f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 643] +Soient $a_n=n!/(1\cdot3\cdots(2n+1))$ et +$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{2n+1}$. +1. Déterminer le rayon de convergence, une équation différentielle + vérifiée par $f$ et une expression simplifiée de $f$. +2. Étudier la convergence de la série aux bornes du disque. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 644] +Soient $a,b,c\in\C\setminus(-\N)$. Pour $n\geq1$, poser +$$u_n=\frac1{n!}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}.$$ +1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$. +2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b,c$ pour que la + série converge sur le bord de son disque de convergence. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 645] +Pour $n\in\N$, poser $I_n=\int_0^{\ln2}(e^t-1)^ndt$ et +$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}I_nx^n$. +1. Trouver une récurrence vérifiée par $(I_n)$. +2. Donner un équivalent de $I_n$. +3. Déterminer le rayon de convergence de $f$ et exprimer $f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 646] +Soit $t\in\R\setminus\pi\Z$ et +$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(nt)}n x^n$. +1. Déterminer le rayon de convergence. +2. Étudier la convergence de la série en $\pm R$. +3. Exprimer $f(x)$ pour $x\in]-R,R[$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 647] +Soit $(a_n)_{n\in\N}$ réelle telle que $\sum a_n$ converge et +$F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n/n!$. +1. Montrer que $F$ est définie et $C^\infty$ sur $\R$. +2. Montrer que $\sum_pF^{(p)}$ converge simplement sur $\R$, d'abord + si $\sum a_n$ converge absolument, puis dans le cas général. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 648] +Soit $a_0=a_1=1$ et $a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}/(n+1)$ pour $n\geq1$. +Posons $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. +1. Montrer que $1\leq a_n\leq n^2$ pour $n\geq1$. +2. Déterminer le rayon de convergence. +3. Montrer que $(1-x)y'-(2x+1)y=0$ est vérifiée par $f$. +4. Exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 649] +Soit $f:\R\to\R$ dérivable et bornée telle que $f'(x)=f(x+1)$. +1. Montrer que $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}(0)x^n/n!$. +2. Montrer que, pour tout $k\in\N$, + $$f^{(k)}(0)=-\sum_{n=k+2}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{(n-k)!}.$$ +3. Conclure que $f=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 650] +Pour $p\geq2$, poser +$$I_p=\int_0^1\frac{t^p\ln t}{t^2-1}dt.$$ +1. Justifier la bonne définition de $I_p$. +2. Calculer $I_2$ (on admet la valeur de $\zeta(2)$). +3. Déterminer un équivalent simple de $I_p$ lorsque $p\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 651] +1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}\sin(u^2)du$ converge. +2. Pour $a,b>0$, donner un équivalent simple de + $I_n=\int_0^{+\infty}\sin(n(au^2+bu^3))du$ en fonction de $I$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 652] +Pour $n\geq1$, poser +$$I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(nt)}{1+n^5t^3}dt.$$ +1. Montrer que $I_n$ est bien définie. +2. Déterminer sa limite et un équivalent simple. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 653] +1. Déterminer l'ensemble $\Delta$ des $z\in\C$ tels que + $u_z(t)=e^{-t}t^{z-1}$ soit intégrable sur $\R_+^*$. +2. Pour $z\in\Delta$, montrer que + $$\int_0^n(1-t/n)^nt^{z-1}dt\to\Gamma(z).$$ +3. Montrer que $\Gamma$ ne s'annule pas sur $\Delta$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 654] +Soit $(a_n)$ positive, $01$ sur $D$. +3. Pour $y\in\R$, déterminer le nombre de solutions de $f(x)=y$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 656] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{e^t-1}dt$. +1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$. +2. Donner un équivalent de $f$ en $0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 657] +Pour $x\geq0$ et $00$, poser +$$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{(1+t^2)(x^2+t^2)}}.$$ +Justifier l'existence, montrer que $f\in C^1(\R_+^*)$ et donner des +équivalents lorsque $x\to+\infty$ puis $x\to0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 660] +Soit $f\in C^0(\R_+^*)$ telle que $f(x)\to0$ lorsque $x\to+\infty$. +Pour $00$, calculer $f(x)+f(1/x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 662] +Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-2t}}{x+t}dt$. +1. Déterminer le domaine et étudier la continuité. +2. Donner un équivalent de $F$ en $+\infty$ et en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 663] +Posons $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{e^{xt}-1}dt$. +1. Montrer que $F$ est définie sur $\R_+^*$. +2. Montrer que + $$F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{1+n^2x^2}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 664] +Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(tx)}{t(1+t^2)}dt$. +1. Déterminer le domaine $D$ et montrer que $F\in C^1(D)$. +2. Exprimer $F$ sur $D$ (on pourra calculer d'abord $F'$ sur $\R_+$). +3. Calculer $\int_0^{+\infty}(\arctan t)^2/t\,dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 665] +Soit $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$. +1. Déterminer le domaine de définition. +2. Montrer que $f$ est développable en série entière et préciser un + intervalle de validité. +3. Expliciter les coefficients de ce développement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 666] +Soit $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$. +1. Montrer que $\Gamma$ est définie sur $\R_+^*$. +2. Établir une relation entre $\Gamma(x)$ et $\Gamma(x+1)$. +3. Montrer que $\ln\circ\Gamma$ est convexe. +4. Pour $x>1$, en utilisant les différences de $\ln\Gamma$, montrer que + $$\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=\ln x+o(1)\quad(x\to+\infty).$$ +5. Montrer que $\sum_{k=1}^n1/k-\ln n$ converge vers une constante $\gamma$. +6. En déduire $\int_0^{+\infty}\ln(t)e^{-t}dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 667] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}\arctan(t)dt$. +1. Déterminer son domaine et montrer que $f\in C^\infty$. +2. Donner un développement asymptotique de $f$ à tout ordre en $+\infty$. +3. Terminer l'étude de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 668] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}(\sin t/t)e^{-xt}dt$. +1. Déterminer le domaine de définition $D$. +2. Montrer que $f$ est continue sur $D$ et $C^1$ sur $\R_+^*$. +3. Calculer $\int_0^{+\infty}\sin(t)/t\,dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 669] +Soit $f(x)=\int_0^{\pi/2}(x-\cos t)^{-1/2}dt$. Déterminer le domaine +de définition et tracer le graphe aussi précisément que possible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 670] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}(\cosh^2t-x)^{-1/2}dt$. +1. Déterminer le domaine de définition. +2. Montrer que $f$ est développable en série entière autour de $0$ et + expliciter ce développement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 671] +Soit $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ sur $\R_+^*$. +1. Montrer que $\ln\circ\Gamma$ est convexe. +2. Soit $f:\R_+^*\to\R$ telle que $f(1)=1$, $f(x+1)=xf(x)$ et + $\ln\circ f$ convexe. Montrer que $f=\Gamma$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 672] +Soit $f:\R_+\to\R$ continue et intégrable, avec $f(0)\neq0$. On admet +$\int_0^{+\infty}e^{-y^2}dy=\sqrt\pi/2$. +1. Pour $t>0$, montrer que $x\mapsto e^{-tx^2}f(x)$ est continue et + intégrable. +2. Pour $a>0$, montrer que $\sqrt t\int_a^{+\infty}e^{-tx^2}f(x)dx\to0$. +3. Déterminer $A$ tel que + $$\int_0^{+\infty}e^{-tx^2}f(x)dx\sim A/\sqrt t.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 673] +On admet $\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(t^2)dt= +\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(t^2)dt=\sqrt{\pi/2}$. +Posons $K(x)=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{ix\cos t}dt$ et +$J(x)=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(x\cos t)dt$. +1. Montrer que + $$K(x)=2e^{ix}\int_{-\sqrt2/2}^{\sqrt2/2} + e^{-2ixy^2}(1-y^2)^{-1/2}dy.$$ +2. Développer $(1-y^2)^{-1/2}$ en série entière. +3. Montrer que $\int_{\sqrt x}^{+\infty}e^{-iy^2}dy=-ie^{-ix}/\sqrt x+O(1/x)$. +4. En déduire une constante explicite $C$ telle que + $J(x)=C/\sqrt x+O(1/x)$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 674] +Soit +$$f(x,y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{itx}}{(t-y)^2+x^2}dt.$$ +Déterminer son domaine de définition et calculer $f(x,y)$ sur ce domaine. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 675] +Pour $n\geq1$ et $\alpha\in\R$, poser +$$U_n(\alpha)=\int_0^{\pi/2}\sin(t)^\alpha\cos(t)^n dt.$$ +Préciser la nature de $\sum U_n(1)$, puis de $\sum U_n(\alpha)$ selon +$\alpha$. Calculer $U_2(3)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 676] +Soit $f:[0,1]\to\R_+$ continue et $u_n=\int_0^1t^nf(t)dt$. +1. Montrer que $\sum(-1)^nu_n$ converge vers + $S=\int_0^1f(t)/(1+t)dt$. +2. Montrer que $2S=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^1(1-t^2)^nf(t)dt$ et en + déduire une expression de $\ln2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 677] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. +1. Pour $r>0$ assez grand, montrer que $re^{it}I_n-A$ est inversible et + développer son inverse en série géométrique. +2. Montrer que, pour tout $P\in\C[X]$, + $$P(A)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} + P(re^{it})re^{it}(re^{it}I_n-A)^{-1}dt.$$ +3. En déduire Cayley-Hamilton. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 678] +Déterminer les fonctions $f\in C^1(\R_+,\R)$ telles que +$$f'(x)=\int_0^x\frac{f(r)}rdr+f(x)+2.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 679] +Soit $k\geq1$ et $f\in C^0(\R,\R)$ $2\pi$-périodique. Donner une +condition nécessaire et suffisante simple sur $f$ pour que l'équation +$y''+k^2y=f$ admette des solutions $2\pi$-périodiques. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 680] +Soit $y$ une solution bornée sur $\R_+$ de $y''+\varphi(x)y=0$, où +$\varphi$ est intégrable sur $\R_+$. Montrer que $y'(x)\to0$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 681] +Soit l'équation différentielle $x^2y'+y=x$. +1. Admet-elle une solution développable en série entière en $0$ ? +2. Admet-elle une solution définie sur $\R$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 682] +Soit $y$ solution sur $\R_+^*$ de $xy''+y'+xy=0$, et posons +$u(x)=\sqrt{x}\,y(x)$. +1. Donner une équation différentielle vérifiée par $u$. +2. Pour $v''+v=0$ et $00$, il existe $x_a\in[a,a+\pi[$ tel que + $y(x_a)=0$. +4. En déduire que $J_0(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k(x^2/4)^k/(k!)^2$ + s'annule une infinité de fois sur $\R_+^*$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 683] +Soient $f\in C^1(\R_+,\R)$ et $g=f+f'$, avec $\int_0^\infty|g(t)|^2dt<\infty$. +1. Montrer que + $$f(x)=e^{-x}f(0)+e^{-x}\int_0^xe^tg(t)dt.$$ +2. Montrer que $f$ est bornée. +3. Montrer que $\int_A^\infty g(t)^2dt\to0$ puis $f(x)\to0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 684] +On considère l'équation différentielle $ty''(t)+ty'(t)-y(t)=0$ sur $\R_+^*$. +1. Pour quels $a\in\R$, $h_a(t)=t^a$ est-elle solution ? +2. Justifier que $g(t)=e^{-t}/t^2$ admet une primitive sur $\R_+^*$. +3. Étudier les variations et limites de $G(x)=\int_1^xg(t)dt$. +4. Pour $f\in C^2(\R_+^*)$, poser $s(t)=tf(t)$. Montrer que $f$ est + solution de l'équation + $$E':\quad z'(t)+\left(1+\frac2t\right)z(t)=0$$ + si et seulement si $s'$ est solution de $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 685] +Résoudre les systèmes différentiels +$$\begin{cases}x'=x+2y+te^t\\y'=8x+y+e^{-t}\end{cases}\qquad\text{et}\qquad +\begin{cases}x_1'=(1+t)x_1-tx_2-e^t\\x_2'=tx_1+(1-t)x_2+e^t.\end{cases}$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 686] +Posons $E=\{(x,y)\in\R^2\mid x>y\}\cup\{(0,0)\}$. Pour $\alpha\in\R$, +définissons $f(0,0)=\alpha$ et, ailleurs sur $E$, +$$f(x,y)=\frac1{\sqrt{x^2-y^2}}\exp\left(-\frac1{x^2+y^2}\right).$$ +Montrer qu'aucune valeur de $\alpha$ ne rend $f$ continue en $(0,0)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 687] +Montrer que la fonction +$$f(x_1,\ldots,x_n)=-\left(\prod_{k=1}^nx_k\right)^{1/n}$$ +est convexe sur $(\R_+^*)^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 688] +Soit $E=\{(x,y)\in\R^2\mid |x|\leq\pi/2,\ |y|\leq\cos x\}$ et +$f(x,y)=y^2+y\cos x-\sin x-2$. Déterminer les extrema de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 689] +Soit $f(x,y)=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-xy/\sqrt2$. Déterminer les +extrema locaux, s'ils existent, et les caractériser. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 690] +On munit $\R^n$ de sa norme euclidienne, $S=\{x\mid\|x\|=1\}$ et +$f(x)=\prod_{i=1}^nx_i^2$. +1. Déterminer le maximum de $f$ sur $S$. +2. En déduire que + $$\left|\prod_{i=1}^nx_i\right|\leq\left(\frac{\|x\|}{\sqrt n}\right)^n.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 691] +Soient $A\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. Déterminer le +minimum de $g(x)=\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 692] +Étudier les extrema locaux de $f(x,y)=x\sin(xy)+y^2/2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 693] +Soit $f(x,y)=x^y-xy$ sur $\R_+^*\times\R$. Déterminer les extrema de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 694] +Posons $D=\{(x,y)\in\R^2\mid xy>-1\}$ et $\Delta=\{(x,y)\mid xy=0\}$. +1. Représenter $D,\Delta$ et dire s'ils sont ouverts ou fermés. +2. Pour $f(x,y)=\ln(1+xy)/(xy)$, montrer qu'on peut prolonger $f$ en + une fonction $C^\infty$ sur $D$. +3. Calculer $df(0,0)$. La fonction atteint-elle un extremum local en $(0,0)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 695] +Soit $f:M\mapsto MM^T$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ dans $\mathcal{S}_n(\R)$. +1. Montrer que $df(M)$ est surjective si $M$ est inversible. +2. Pour la restriction $g=f|_{\mathcal{S}_n(\R)}$, si $M$ est symétrique + inversible, $dg(M)$ est-elle surjective ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 696] +Déterminer l'espace tangent à $\operatorname{SL}_n(\R)$ en $I_n$, puis +en un point quelconque. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 697] +1. Calculer la différentielle de $\det:\mathcal{M}_n(\R)\to\R$ en $I_n$. +2. Montrer de deux façons que $\det$ n'atteint pas d'extremum local en $I_n$. +3. Que peut-on dire d'un éventuel extremum local de $\det$ ? +4. Pour $1\leq r1\right\}.$$ +Si $f:D\to\R$ vérifie $|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$ pour tous $x,y\in D$, +que peut-on dire de $f$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 699] +Soit $f:\R^n\to\R$ de classe $C^1$. +1. Si $f(x)\to+\infty$ lorsque $\|x\|\to+\infty$, montrer que $f$ + atteint un minimum. +2. Si $f(x)/\|x\|\to+\infty$, montrer que $\nabla f$ est surjective. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 700] +Soit $U$ un ouvert non vide de $\R^n$ et $f:U\to\R$. On suppose que, +pour chaque $x\in U$, il existe $\alpha_x\in\mathcal{L}(\R^n,\R)$ tel que +$$|f(y)-f(x)-\alpha_x(y-x)|\leq\|y-x\|^2\quad(y\in U).$$ +1. Montrer que $f$ est différentiable et préciser $df$. +2. Si $U=\R^n$, montrer qu'il existe $C>0$ tel que + $$|df(x)h-df(y)h|\leq C(\|h\|^2+\|h\|\|x-y\|+\|x-y\|^2),$$ + puis en déduire que $df$ est lipschitzienne. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 701] +Soit $f:\R^n\to\R$ différentiable et minorée. Montrer que, pour tout +$\varepsilon>0$, il existe $x_\varepsilon$ tel que +$$|d_{x_\varepsilon}f(h)|\leq\varepsilon\|h\|\quad(h\in\R^n).$$ +Indication : considérer $x\mapsto f(x)+\varepsilon\|x\|$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 702] +Soit $f:\R^n\to\R$ de classe $C^2$. +1. Pour $x\in\R^n$, exprimer $t\mapsto f(tx)$ avec le gradient et la + hessienne de $f$. +2. Si, en tout point, les valeurs propres de la hessienne sont dans + $[1,+\infty[$, montrer que + $$f(x)\geq f(0)+\langle\nabla f(0),x\rangle+\frac12x^Tx,$$ + que $f$ admet un minimum et que $\nabla f$ est bijective de $\R^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 703] +Soit $m\geq1$ et $S^m=\{x\in\R^{m+1}\mid\|x\|=1\}$. +1. Pour $a\in S^m$, montrer que $T_aS^m=\operatorname{Vect}(a)^\perp$. +2. Si $f:\R^{m+1}\to\R$ est $C^1$ et $f(a)=\max_{x\in S^m}f(x)$, + montrer que $\nabla f(a)\in\R a$. +3. En déduire qu'un endomorphisme symétrique réel possède un vecteur + propre, puis établir le théorème spectral. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 704] +On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne. Soient $a\in\R^n$, $r>0$, +et $f$ continue sur la boule fermée $B(a,r)$, de classe $C^2$ dans son +intérieur. Posons $\Delta f=\sum_i\partial_{x_i}^2f$. +1. Montrer que $f$ atteint un maximum sur la boule et sur la sphère. +2. Si $\Delta f>0$, montrer que les maxima sur la boule et la sphère + sont égaux. +3. Étendre au cas $\Delta f\geq0$ en considérant + $f_\varepsilon(x)=f(x)+\varepsilon\|x-a\|^2$. +#+end_exercice + +** Géométrie + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 705] +Sur un cercle de centre $O$, on place trois arcs $\widehat{AB}$, +$\widehat{CD}$ et $\widehat{EF}$ d'angle au centre $\pi/3$. Soient +$M,N,P$ les milieux de $[BC],[DE],[AF]$. Montrer que $MNP$ est équilatéral. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 706] +Un immeuble a $n$ étages. Au rez-de-chaussée, $p$ personnes montent dans +un ascenseur et choisissent indépendamment et uniformément un étage parmi +les $n$. Calculer l'espérance et la variance du nombre d'arrêts. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 707] +Deux sacs contiennent chacun les boules numérotées de $1$ à $n$. À chaque +étape, on tire simultanément une boule de chaque sac, sans remise. Soit +$X_n$ le premier tirage après lequel un numéro a été tiré deux fois depuis +le début. +1. Déterminer $\P(X_n\geq k)$. +2. Pour $k$ fixé, donner un équivalent de $\P(X_n=k)$ lorsque $n\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 708] +Une urne contient $a$ boules rouges, $b$ blanches, $c$ noires. On tire +avec remise jusqu'au premier tirage blanc. Soit $X$ le nombre de boules +rouges tirées. Déterminer la loi de $X$ et son espérance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 709] +On lance une pièce infiniment souvent, avec probabilité $p\in]0,1[$ de +Pile à chaque lancer. Pour $n\geq2$, soit $A_n$ l'événement que les +lancers $n-1,n$ soient Pile et qu'aucune paire consécutive de Pile ne soit +apparue auparavant. Posons $a_n=\P(A_n)$. +1. Calculer $a_2,a_3,a_4$. +2. Pour $n\geq4$, trouver une relation entre $a_n,a_{n-1},a_{n-2}$. +3. Déterminer $\P(\bigcup_{n\geq2}A_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 710] +Soit $E=A\sqcup B$, avec $|A|=a$, $|B|=b$. +1. Construire une bijection entre les parties à $n$ éléments de $E$ et + $\bigcup_{k=0}^n\mathcal{P}_k(A)\times\mathcal{P}_{n-k}(B)$. +2. En déduire l'identité de Vandermonde + $$\binom{a+b}{n}=\sum_{k=0}^n\binom ak\binom b{n-k}.$$ +3. Deux joueurs lancent chacun $n$ fois une pièce équilibrée. + Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la valeur absolue de + la différence de leurs nombres de Pile. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 711] +Une urne contient les boules numérotées de $1$ à $n$. On effectue $n$ +tirages sans remise. Il y a rencontre à l'instant $k$ si la boule tirée +porte le numéro $k$. Soit $p_n$ la probabilité de n'avoir aucune rencontre, +avec $p_0=1$. +1. Montrer que $\sum_{k=0}^n\binom n{n-k}p_k=1$. +2. En déduire une expression simplifiée de $p_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 712] +1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$ + telle que $\P(X=k)=(k-1)/2^k$. +2. Calculer son espérance et sa variance, sous réserve d'existence. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 713] +Soit $\theta\in]0,\pi/2[$. +1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ + telle que + $$\P(X=n)=\frac{\cos\theta}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} + (\sin\theta\sin t)^n dt.$$ +2. Calculer son espérance et sa variance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 714] +Soit $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et +$\theta_n=\P(T=n\mid T\geq n)$, avec $\P(T\geq n)>0$ pour tout $n$. +1. Montrer que $\theta_n\in[0,1[$. +2. Exprimer $\P(T\geq n)$ avec les $\theta_n$ et montrer que $\sum\theta_n$ + diverge. +3. Réciproquement, pour toute suite $\theta_n\in[0,1[$ de somme + divergente, peut-on construire une telle variable $T$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 715] +Une expression bien parenthésée de longueur $2n$ est une suite de $n$ +parenthèses ouvrantes et $n$ fermantes telle que tout préfixe contient +au moins autant d'ouvrantes que de fermantes. Notons $C_n$ leur nombre, +avec $C_0=1$. +1. Montrer que $C_{n+1}=\sum_{k=0}^nC_kC_{n-k}$. +2. Pour $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}C_nx^n$, montrer que son rayon $R>0$ + et établir une relation entre $f$ et $f^2$ sur $]-R,R[$. +3. Donner une expression de $C_n$. +4. Pour $n$ fixé, quelle est l'espérance du nombre d'expressions bien + parenthésées parmi 1400 tirages uniformes indépendants ? +5. Sans limiter le nombre de tirages, calculer le temps moyen d'attente + de la première expression bien parenthésée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 716] +Soient $a\in]0,1[$ et $b>0$. On considère un couple $(X,Y)$ à valeurs dans +$\N^2$, de loi jointe +$$\P(X=n,Y=k)=e^{-b}\frac{b^n}{k!(n-k)!}a^k(1-a)^{n-k}$$ +pour $0\leq k\leq n$, et nulle sinon. +1. Déterminer la loi de $X$, puis son espérance et sa variance. +2. Montrer que $Y\sim\mathcal P(ab)$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles + indépendantes ? +3. Déterminer la loi de $X-Y$ et vérifier que $Y$ et $X-Y$ sont + indépendantes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 717] +Soit $G$ un groupe fini. On munit $\Omega=G^2$ de la probabilité uniforme, +et l'on pose $C=\{(x,y)\in G^2\mid xy=yx\}$ et $p=\P(C)$. +1. Montrer que $p>0$. Que dire si $p=1$ ? +2. Calculer $p$ pour $G=S_3$ et $G=S_4$. +3. On définit $x\sim y$ si et seulement s'il existe $g\in G$ tel que + $x=gyg^{-1}$. Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence et que + le nombre $s$ de ses classes vérifie $s=p|G|$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 718] +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique +de paramètre $p\in]0,1[$. Calculer $\P(X^Y\leq Y^X)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 719] +Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle à valeurs dans $[a,b]$. +1. Montrer que $X\in L^2$ et que $V(X)\leq\left(\frac{b-a}{2}\right)^2$. +2. Caractériser le cas d'égalité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 720] +Soient $p\in]0,1[$ et $X$ une variable aléatoire de loi géométrique de +paramètre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\frac{X+1}{2}\right\rfloor$. +1. Montrer que $Y$ suit une loi géométrique. +2. Montrer que $Y$ et $2Y-X$ sont indépendantes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 721] +Soit $(X_k)_{k\geq1}$ une suite i.i.d. de variables de Rademacher. Pour +$n\geq1$, on pose $Y_n=\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^nX_k$ et +$f_n(t)=\E(e^{itY_n})$ pour $t\in\R$. Montrer que $(f_n)$ converge vers +une limite à préciser. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 722] +Soit $(A_\lambda)_{\lambda>0}$ une famille de variables aléatoires telle +que $A_\lambda\sim\mathcal P(\lambda)$ pour tout $\lambda>0$. Montrer qu'il +existe un automorphisme $u$ de $\R[X]$ tel que, pour tous $\lambda>0$ et +$P\in\R[X]$, +$$\E(P(A_\lambda))=u(P)(\lambda).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 723] +Soient $1\leq i\leq p\leq n$. Une urne contient $n$ jetons numérotés de +1 à $n$. On tire uniformément une poignée de $p$ jetons et l'on note $X_i$ +le numéro du $i$-ième jeton dans l'ordre croissant. +1. Déterminer la loi de $X_i$. +2. Calculer $\E(X_i)$ puis $V(X_i)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 724] +Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de +même espérance et de même variance. On pose +$M_n=\frac1n(X_1+\cdots+X_n)$. Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que, +pour tout $\varepsilon>0$, +$$\P(|M_n-\ell|\geq\varepsilon)\longrightarrow0.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 725] +Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On suppose qu'il existe +$\alpha,\beta\in\R^*$ tels que $\alpha/\beta\notin\Q$ et +$$\left|\E(e^{i\alpha X})\right|=\left|\E(e^{i\beta X})\right|=1.$$ +Montrer que $X$ est presque sûrement constante. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 726] +Soit $f:\R_+\to\R$ continue et bornée. Pour $h>0$, on pose $u_0^h=f$ et, +pour $n\in\N$ et $x\in\R_+$, +$$u_{n+1}^h(x)=\frac{u_n^h(x+h)-u_n^h(x)}h.$$ +1. Donner une expression de $u_n^h(x)$ à l'aide des valeurs de $f$. On pose + $a_n^h=u_n^h(0)$. Montrer que + $S(h,x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^h\frac{x^n}{n!}$ est bien définie et + exprimer cette somme à l'aide d'une variable de loi de Poisson de + paramètre $x/h$. +2. Montrer que, pour tout $x\in\R_+$, $S(h,x)\to f(x)$ quand $h\to0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 727] +Soit $(X_i)_{i\geq1}$ une suite i.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et +$S_k=X_1+\cdots+X_k$. +1. Montrer que, pour $k\geq1$ et $s,t>0$, + $\P(e^{tS_k}\geq e^{ts})\leq e^{-ts}\operatorname{ch}^k(t)$. +2. En déduire que, pour tous $s>0$ et $k\geq1$, + $\P(|S_k|>s)\leq2e^{-s^2/(2k)}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 728] +Soient $n\geq2$, $p,q\in]0,1[$ et $(X,Y)$ deux variables indépendantes +de lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Calculer +$\P(X\equiv Y\ [n])$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 729] +Soit $f:[0,1]\to\R$ continue. +1. Montrer que + $$\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac1n f\left(\frac kn\right)\right) + \longrightarrow\int_0^1f.$$ +2. Soit $(X_k)_{k\geq1}$ une suite de variables indépendantes telles que + $\P(X_k=0)=1-1/k$ et $\P(X_k=k)=1/k$. On pose + $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Pour $a>0$, calculer la limite de + $\E(e^{aS_n/n})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 730] +Soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes de loi géométrique de +paramètre $p\in]0,1[$ et $M=\begin{pmatrix}X&Y\\Y&X\end{pmatrix}$. +1. Déterminer la probabilité que $M$ soit inversible. +2. Justifier que $M$ admet deux valeurs propres réelles $v_1\leq v_2$ et + calculer leur covariance. Ces variables sont-elles indépendantes ? +3. Déterminer la loi de $X+Y$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 731] +Soient $p\in]0,1[$ et $X_1,\ldots,X_n$ des variables indépendantes de +Bernoulli de paramètre $p$. On pose $U=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=UU^T$. +1. Déterminer les lois de $\operatorname{tr}(M)$ et de $\operatorname{rg}(M)$. +2. Quelle est la probabilité que $M$ soit une matrice de projection ? +3. Pour $n=2$, on pose $V=(1,1)^T$ et $S=V^TMV$. Calculer $\E(S)$ et + $V(S)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 732] +Soit $n\geq1$ et $J=(J_{i,j})\in M_n(\C)$ définie par +$J_{i+1,i}=1$, $J_{1,n}=1$ et $J_{i,j}=0$ sinon. +1. Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de $J$. +Soient ensuite $X_0,\ldots,X_{n-1}$ i.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$, +et $M$ la matrice circulante dont la première ligne est +$(X_0,X_{n-1},\ldots,X_1)$. +2. Exprimer $M$ en fonction de $J$. +3. Pour $n=2$, calculer $\P(M\in GL_2(\C))$. +4. Déterminer le spectre de $M$. +5. On suppose $n$ premier et on admet que $1+X+\cdots+X^{n-1}$ est + irréductible sur $\Q$. Déterminer $\P(M\in GL_n(\C))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 733] +Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. à valeurs dans $\N$. Pour $n\geq1$, +on pose $C_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$. Montrer que $\E(C_n)=o(n)$ quand +$n\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 734] +Soit $a\in]1/2,1[$ et, pour $n\in\N$, +$$I_n=\left\{k\in\{0,\ldots,n\}:\left|k-\frac n2\right| +\leq\frac{n^a}{2}\right\}.$$ +1. Montrer que $|I_n|=o(n)$ et déterminer la limite de + $2^{-n}\sum_{k\in I_n}\binom nk$. +2. Pour une suite quelconque de parties $I_n\subset\{0,\ldots,n\}$, + a-t-on équivalence entre $|I_n|=o(n)$ et + $\sum_{k\in I_n}\binom nk=o(2^n)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 735] +Une suite $(Z_i)_{i\in\N}$ de variables aléatoires à valeurs dans $\Z$ +est dite transiente si, pour toute partie bornée $A$ de $\Z$, +$\sum_{i=0}^{+\infty}\P(Z_i\in A)<+\infty$. +1. Soit $\alpha>0$ et $(X_i)_{i\geq1}$ indépendantes, avec + $X_i\sim\mathcal P(\alpha/i)$. Déterminer la loi de + $Y_n=X_1+\cdots+X_n$ et dire si $(Y_n)$ est transiente. +2. Soit $p\in]0,1[$ et $(Z_i)_{i\in\N}$ i.i.d. avec + $\P(Z_1=1)=1-\P(Z_1=-1)=p$. La suite + $T_n=Z_0+\cdots+Z_n$ est-elle transiente ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 736] +On considère $n\geq1$ sièges numérotés en rangée. Des personnes entrent +successivement et s'assoient sur un siège libre n'ayant pas de voisin, +jusqu'à ce que cela ne soit plus possible. Soit $X_n$ le nombre de sièges +occupés à la fin, et posons $X_0=X_{-1}=0$. On suppose les $X_n$ indépendantes. +1. Soit $Y$ le numéro du siège choisi par la première personne. + a) Expliquer que, pour $1\leq j,k\leq n$, + $\P(X_n=k\mid Y=j)=\P(X_{j-2}+X_{n-j-1}=k-1)$. + b) Montrer que $\E(X_n)=1+\frac2n\sum_{j=0}^{n-2}\E(X_j)$. +2. On pose $u_i=\sum_{j=0}^i\E(X_j)$ et + $f(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}u_i\frac{x^i}{i!}$. + a) Établir une relation entre $u_n,u_{n+1},u_{n+2}$. + b) Montrer que la série entière définissant $f$ a un rayon non nul. + c) Trouver une équation différentielle linéaire d'ordre 1 vérifiée par $f$. + d) Déterminer $(u_n)$ puis un équivalent de $\E(X_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 737] +Soit $\alpha\in\R$. +1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une + variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que + $G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$. +2. Si cette condition est vérifiée, calculer $\E(X)$ et $V(X)$, puis + montrer que $\P(X=n)=O\left(\frac{n^{\lfloor\alpha\rfloor}}{2^n}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 738] +Soit $a>0$ et $X$ à valeurs dans $\N^*$ telle que +$\P(X=n)=\frac{a}{n(n+1)}$ pour $n\geq1$. +1. Déterminer $a$. +2. $X$ admet-elle une espérance finie ? une variance ? +3. Expliciter sa fonction génératrice. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 739] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{e^t-x}}$ pour $x\in]-1,1[$. +Soient $\lambda>0$ et $X\sim\mathcal P(\lambda)$. +1. Montrer que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$, puis + déterminer la loi de $Y=f^{(X)}(0)$. +2. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\E(Y)$ soit + finie et, dans ce cas, montrer que + $\E(Y)=\frac{2e^{-\lambda}\arcsin(\sqrt\lambda)}{\sqrt\lambda}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 740] +On pose $f(x)=\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}t\,dt$ et, pour $n\in\N$, +$p_n=\int_n^{n+1}f$. +1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et montrer que $p_n$ est + définie pour tout $n\in\N$. +2. Existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que + $\P(X=n)=p_n$ ? +3. Si oui, $X$ est-elle d'espérance finie ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 741] +Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. à valeurs dans $\N$ et d'espérance +finie. Soit $T$ une variable à valeurs dans $\N$, indépendante des $X_n$ +et d'espérance finie. On pose $Y=\sum_{i=1}^T X_i$. Montrer que $Y$ est +d'espérance finie et calculer $\E(Y)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 742] +Soit $(X_i)_{i\in\N}$ une suite de variables de Poisson indépendantes, +avec $X_i\sim\mathcal P(\lambda_i)$ et $\lambda_i>0$. +1. Déterminer la loi de $X_1+X_2$. +2. On suppose $\sum_i\lambda_i$ convergente. Montrer que + $\P(\bigcap_{n\geq0}\bigcup_{i\geq n}(X_i\neq0))=0$, puis que + $\sum_iX_i$ converge presque sûrement. +3. Soit $Y$ indépendante des $X_i$, de loi de Poisson de paramètre + $\lambda=\sum_{i=0}^{+\infty}\lambda_i$. Montrer que, pour $n\in\N$ + et $t\in[0,1]$, + $$|G_{X_0+\cdots+X_n}(t)-G_Y(t)|\leq\sum_{i=n+1}^{+\infty}\lambda_i,$$ + puis que $\sum_{i=0}^{+\infty}X_i\sim\mathcal P(\lambda)$. +#+end_exercice + +* Mines-Ponts PSI 2026 +** Algèbre + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 743] +Soit $P\in\R[X]$. Montrer qu'il existe un unique $Q\in\R[X]$ tel que +$Q(0)=0$ et $Q(X+1)-Q(X)=P(X)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 744] +Soit $P\in\R[X]$ scindé à racines simples. Montrer que, pour tout $x\in\R$, +$$P'(x)^2-P''(x)P(x)>0.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 745] +Pour $n\geq1$, soit $h(n)$ le plus petit entier $k$, s'il existe, tel que +pour tout $g\in\C[X]$, il existe $f_1,\ldots,f_k\in\C[X]$ vérifiant +$g=f_1^n+\cdots+f_k^n$. +1. Peut-on se contenter de vérifier la propriété pour un polynôme $g$ + particulier pour établir l'existence de $h(n)$ ? +2. Déterminer $h(2)$. +3. Montrer que $h(n)\geq3$ si $n\geq3$. +4. Montrer que $h(n)\leq n$ pour tout $n\geq1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 746] +Soient $A\in M_{3,2}(\R)$ et $B\in M_{2,3}(\R)$ telles que +$AB=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$. Que vaut $BA$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 747] +Résoudre dans $M_2(\R)$ l'équation +$$X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 748] +Soient $A,B\in M_n(\R)$ telles que $A$ et $B$ commutent et $B$ est +nilpotente. Montrer que $\det(A+B)=\det(A)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 749] +Soient $A,B\in M_n(\C)$. On suppose qu'il existe $n+1$ complexes distincts +$\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $A+\alpha_iB$ soit nilpotente pour +chaque $i$. +1. Montrer que si $N\in M_n(\C)$ est nilpotente, alors $N^n=0$. +2. Montrer que $(A+\alpha B)^n=0$ pour tout $\alpha\in\C$. +3. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 750] +Soit $n\geq1$. +1. Montrer que $M_n(\R)=\Vect(I_n)\oplus\Ker(\operatorname{Tr})$. +2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour qu'il existe + $A,B\in M_n(\R)$ tels que $(AB-BA)^2=I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 751] +Soient $m\geq1$ et $A\in M_m(\R)$ tels que $A^{m-1}\neq0$ et $A^m=0$. +On pose $L=\{M\in M_m(\R):AM=MA\}$. +1. Montrer qu'il existe $x_0\in\R^m$ tel que + $(x_0,Ax_0,\ldots,A^{m-1}x_0)$ soit une base de $\R^m$. +2. En déduire que $(I_m,A,\ldots,A^{m-1})$ est une base de $L$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 752] +Soit $p\geq1$ et $E_p$ l'ensemble des suites complexes $p$-périodiques. +1. Montrer que $E_p$ est un $\C$-espace vectoriel et donner sa dimension. +2. Donner une base de $E_p$ constituée de suites géométriques. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 753] +Une fonction $f\in C^0([0,1],\R)$ est dite affine par morceaux s'il existe +une subdivision $0=a_00$ et $E_\alpha$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0([0,1],\R)$ +pour lesquelles il existe $M\in\R$ tel que +$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\alpha$ pour tous $x,y\in[0,1]$. On pose +$$\|f\|_\alpha=\sup_{x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.$$ +1. Montrer que $E_\alpha$ est un espace vectoriel. +2. L'application $f\mapsto\|f\|_\alpha$ est-elle une norme ? +3. Soient $0<\beta<\alpha\leq1$. Montrer que $E_\alpha\subset E_\beta$ + et donner une inégalité entre les deux quantités. L'inclusion est-elle + stricte ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 809] +1. Soit $f(x)=(1+x)^{1/x}$. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction + de classe $C^1$ sur $]-1,+\infty[$ et la représenter graphiquement. +2. Montrer que $u_n=(1+1/n)^n$ et $v_n=(1-1/n)^{-n}$ sont adjacentes. +3. Montrer que $(1+1/n)^n\leq e\leq(1+1/n)^{n+1}$ et commenter cet + encadrement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 810] +Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite strictement positive. Montrer que les séries +$$\sum u_n,\qquad \sum\ln(1+u_n),\qquad +\sum\frac{u_n}{1+u_n},\qquad +\sum\int_0^{u_n}\frac{dx}{1+x^2}$$ +sont de même nature. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 811] +Pour $x\geq0$, on pose $f_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$. +1. Montrer que, pour tout $n\geq1$, il existe un unique $x_n\geq0$ tel que + $f_n(x_n)=2$. +2. Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$. +3. Étudier la convergence de $\sum(x_n-\ell)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 812] +Pour $n\in\N$, on pose $a_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{k+1}\sqrt{k}$. +1. La suite $(a_n)$ converge-t-elle ? +2. Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que + $a_n+(-1)^n\sqrt{n}/2\to\ell$, puis montrer que $\ell>0$. +3. Étudier la nature de $\sum 1/a_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 813] +Pour $n\geq2$, on pose $v_n=\frac{\cos n}{n}$ et +$u_n=\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$. +1. Pour deux suites réelles $(a_n),(b_n)$, poser + $A_n=\sum_{k=2}^na_k$. Montrer que + $$\sum_{m=2}^Na_mb_m=\sum_{m=2}^{N-1}A_m(b_m-b_{m+1})+A_Nb_N,$$ + puis en déduire la nature de $\sum v_n$. +2. Déterminer la nature de $\sum u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 814] +Soit $(u_n)_{n\geq0}$ strictement positive et supposons qu'il existe +$\lambda\in\R$ tel que +$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\lambda}{n}+v_n,$$ +où $(v_n)$ est le terme général d'une série convergente. +1. Montrer que la série de terme général + $\frac{\lambda}{n}+\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ est absolument + convergente. +2. En déduire que $(u_nn^\lambda)$ converge dans $\R_+^*$. +3. En déduire la nature de la série de terme général + $v_n=\frac{n^n}{n!e^n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 815] +Calculer la limite et un équivalent de +$$u_n=\prod_{k=2}^n\left(1+\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\right).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 816] +Soit $(u_n)\in\R^\N$ définie par $u_0\in]0,1[$ et +$u_{n+1}=u_n-u_n^2$. +1. Déterminer la nature des séries $\sum u_n^2$ et $\sum u_n$. +2. Poser $A_n=\frac1{u_{n+1}}-\frac1{u_n}$ et + $B_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}A_k$. Trouver un équivalent de $u_n$. +3. Trouver un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^nu_k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 817] +1. Soient $(u_n),(v_n)$ strictement positives telles que $u_n\sim v_n$ + et $\sum v_n$ diverge. Montrer que + $\sum_{k=0}^nu_k\sim\sum_{k=0}^nv_k$. +2. Pour $n\geq1$, poser $S_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}}$. + a) Montrer que $S_n\sim\frac{(-1)^{n+1}}{2\sqrt n}$. + b) Montrer que $S_n+S_{n+1}$ tend vers une limite réelle positive. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 818] +Soit $(z_n)_{n\in\N}$ une suite complexe telle que +$|z_n-z_m|>\sqrt2$ si $n\neq m$. +1. Pour $A>0$, poser $C_A=\{n:|\operatorname{Re}(z_n)|\leq A, + |\operatorname{Im}(z_n)|\leq A\}$. Montrer que $C_A$ est fini. +2. Montrer que $|z_n|\to+\infty$. +3. Si les $z_n$ sont non nuls, montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty}|z_n|^{-3}$ + converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 819] +On définit $f:\R\to\R$ par $f(0)=0$ et, pour $x\neq0$, +$f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x}$. +1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\R$. +2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\R$ sur $\R$. +3. Déterminer le développement limité à l'ordre 5 en 0 de $f^{-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 820] +Soit $E=C^0([0,1],\R)$. Pour $f\in E$, on pose +$$\varphi(f)(x)=\int_0^xf(t)dt-\int_x^1f(t)dt.$$ +1. $\varphi$ est-elle un endomorphisme ? +2. Est-elle injective ou surjective ? Déterminer $\operatorname{Im}(\varphi)$. +3. Déterminer ses valeurs propres. +4. Montrer que $\|\varphi(f)\|_\infty\leq\|f\|_2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 821] +Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f$ et $f''$ soient bornées sur $\R$. +Montrer que $f'$ est bornée et que +$\|f'\|_\infty\leq2\|f\|_\infty\|f''\|_\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 822] +Soit $f:[a,b]\to\R_+^*$ continue. +1. Montrer qu'il existe une unique subdivision $(x_0,\ldots,x_n)$ de + $[a,b]$ telle que, pour $1\leq k\leq n$, + $$\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(t)dt=\frac1n\int_a^bf(t)dt.$$ +2. Déterminer la limite quand $n\to+\infty$ de + $\frac1n\sum_{k=0}^nf(x_k)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 823] +Soient $f,g\in C^\infty(\R,\R)$, avec $g$ 1-périodique. +1. Écrire $\int_0^1f(x)g(nx)dx$ comme une somme d'intégrales, puis en + déterminer la limite quand $n\to+\infty$. +2. Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ telle que $\int_0^1f(t)dt=1/2$. Montrer + qu'il existe $x\in[0,1]$ tel que $f(x)=x$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 824] +On pose $E=\{f\in C^1(\R_+,\R):f(0)=0\}$. Pour $f\in E$, définir +$\Lambda(f)(x)=\int_0^x\frac{f(t)}t\,dt$. +1. Montrer que $\Lambda(f)$ est bien définie. +2. Montrer que $\Lambda$ est un endomorphisme de $E$. +3. Déterminer ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 825] +Soient $(x,y)\in\R^2$, $z=x+iy\in\C\setminus\R$ et $n\in\N$. +Déterminer la nature de +$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{(t-z)^n}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 826] +Soit $f\in C^0(\R_+,\R_+^*)$ telle que +$\frac{f(x+1)}{f(x)}\to\ell\in]0,1[$ quand $x\to+\infty$. +1. Montrer qu'il existe $q\in]0,1[$ et $x_0\geq0$ tels que, pour tout + $x\geq x_0$ et $k\in\N$, $f(x+k)\leq q^kf(x)$. +2. En déduire la nature de $\int_0^{+\infty}f(x)dx$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 827] +Soit $f\in C^0(\R_+,\R)$ et $s_0\in\R$. On suppose que +$\int_0^{+\infty}f(t)e^{-s_0t}dt$ converge. Montrer que, pour tout +$s>s_0$, $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ converge. +Indication : effectuer une intégration par parties. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 828] +Soit $f:[0,1]\to\R$ définie par +$$f(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac1{n-x}-\frac1{n+x}\right).$$ +1. Montrer que $f$ est définie sur $[0,1]$. +2. Montrer que $f$ est continue et intégrable sur $[0,1]$. +3. Calculer $\int_0^1f(x)dx$. +4. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. Est-elle de classe $C^k$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 829] +Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\ln\left(\frac{n+1+x}{n+x}\right)$. +1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\R_+^*$. +2. Déterminer sa limite en $+\infty$. +3. Déterminer un équivalent de $f$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 830] +Soit $S(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac1k-\frac1{k+x}\right)$. +1. Montrer que $S$ est définie, continue et croissante sur $\R_+$. +2. Calculer $S(0),S(1)$ et $S(1/2)$. +3. Montrer que $u_n=-\ln(n+1)+\sum_{k=1}^n\frac1k$ converge ; noter + $\gamma$ sa limite. +4. Montrer que $\int_0^1S(x)dx=\gamma$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 831] +Soit $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^x}$. +Déterminer son domaine de définition et montrer sa continuité et sa classe +$C^\infty$. Déterminer sa limite en $+\infty$ et un équivalent en $1^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 832] +Soit $F(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac1{\ln(n)n^x}$. +1. Déterminer le domaine de définition de $F$. +2. Montrer que $F$ est de classe $C^\infty$ sur ce domaine. +3. Étudier le comportement de $F$ au bord de son domaine de définition. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 833] +On considère la suite définie par $u_0=1$, $u_1=0$ et +$u_{n+2}=u_{n+1}+\frac{u_n}{n+2}$ pour $n\in\N$. +1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$. +2. Montrer que sa somme vérifie $(1-x)y'+(1+x)y=-1$. +3. En déduire une expression de cette somme. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 834] +Pour $n\in\N$, on pose $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et +$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. +1. Déterminer le rayon de convergence de $f$. +2. Étudier la convergence aux extrémités de l'intervalle de convergence. +3. Montrer que $f$ est continue en $-1$. +4. Déterminer explicitement $f$ sur $[-1,1[$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 835] +1. Montrer que l'équation différentielle $f'(x)=xf(x)^2$ admet une + solution $S$ développable en série entière et vérifiant $S(0)=1$. +2. Donner une expression analytique de $S$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 836] +Soit $P\in\C[X]$. +1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière + $f(z)=\sum_{n\geq0}P(n)z^n$. +2. Montrer que $f$ coïncide avec une fraction rationnelle sur son disque + ouvert de convergence. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 837] +On pose $f(x)=e^{-2x^2}\int_0^xe^{2t^2}dt$. +1. Montrer que $f$ est développable en série entière en 0. +2. Déterminer ce développement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 838] +Soit $\alpha\in\R\setminus\pi\Z$ et +$$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+2x\cotan(\alpha)-1}.$$ +Poser +$$g(x)=\frac{(\cos\alpha+1)/\sin\alpha}{x+(\cos\alpha+1)/\sin\alpha} ++\frac{(\cos\alpha-1)/\sin\alpha}{x+(\cos\alpha-1)/\sin\alpha}.$$ +1. Montrer que $f(x)$ peut s'exprimer à l'aide de $g(x)$. +2. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0 + et donner le domaine de validité de ce développement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 839] +Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ln(n)x^n$. +1. Déterminer son intervalle de convergence et étudier sa continuité. +2. Poser $a_1=1$ et, pour $n\geq2$, + $a_n=-\ln(1-1/n)-1/n$. Déterminer le domaine de définition de + $g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n$. +3. Trouver une relation entre $f$ et $g$. +4. Calculer $g(1)$ et $g(-1)$, puis trouver un équivalent de $f$ en $1^-$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 840] +Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite $p$-périodique non nulle et +$S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$. +1. Déterminer le rayon de convergence de $S$. +2. Donner un équivalent de $S(x)$ quand $x\to1^-$. +3. Même question si $(u_n)$ est ultimement périodique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 841] +Pour $n\in\N$, poser $u_n=\int_0^1\frac{t^n\ln t}{1+t}dt$. +1. Montrer que $u_n$ est bien défini, étudier les variations de $(u_n)$ et + déterminer sa limite. +2. Calculer $u_{n+1}+u_n$, puis donner un équivalent de $u_n$. +3. Poser $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$. Déterminer son rayon et son + domaine de définition. +4. Pour $x\in[-1,1]$, poser $T(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^n/n^2$. + Exprimer $T(x)$ puis $S(x)$ à l'aide d'intégrales. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 842] +Soit $a\in]0,1[$ et $f:\R\to\R$ dérivable telle que $f'(x)=f(ax)$. +1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ et exprimer $f^{(n)}$ en + fonction de $f$. +2. Montrer que $f$ est égale en tout point à sa série de Taylor en 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 843] +Pour $n\in\N$, noter $T_n$ le coefficient de $X^n$ dans $(1+X+X^2)^n$. +1. Pour $R>0$, montrer que + $$T_n=\frac1{2\pi R^n}\int_{-\pi}^{\pi} + (1+Re^{i\theta}+R^2e^{2i\theta})^ne^{-in\theta}d\theta.$$ +2. En déduire que $T_n\leq3^n$. +3. Établir la représentation intégrale gaussienne du coefficient obtenue + par le changement d'échelle $t=\theta\sqrt{2n/3}$. +4. Montrer que l'intégrale transformée admet une limite et la calculer. + En déduire un équivalent de $T_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 844] +1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ converge et que + $$I=\lim_{n\to+\infty}\int_0^{\sqrt n}\left(1-\frac{t^2}{n}\right)^ndt.$$ +2. En déduire que $I=\lim_{n\to+\infty}\sqrt n\,I_{2n}/2$, où + $I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)dt$. +3. Montrer que $nI_nI_{n-1}=\pi/2$ et en déduire + $I_n\sim\sqrt{\pi/(2n)}$. +4. Montrer que $I=\sqrt\pi/2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 845] +Soit $p\geq1$. Pour $n\in\N$, on pose +$$S_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac1{1+pk}.$$ +1. Montrer que $S_n=\int_0^1(1-t^p)^ndt$, puis que + $$S_n=\frac1p\int_0^1(1-u)^nu^{1/p-1}du.$$ +2. Montrer que, pour $n\geq1$, + $$S_n=\prod_{k=1}^n\frac1{1+1/(pk)}.$$ +3. Déterminer un équivalent de $S_n$ quand $n\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 846] +Soit $f(x)=\int_0^1|\ln(t)|^xdt$. +1. Déterminer son domaine de définition $D$. +2. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $D$. +3. Calculer $f^{(n)}$ pour tout $n\in\N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 847] +Soit $f(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(x+1)}$. +1. Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$. +2. Montrer que $f$ est continue sur $D$. +3. Déterminer un équivalent de $f(\alpha)$ quand $\alpha\to0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 848] +Soit $I(x)=\frac1\pi\int_0^{\sqrt\pi}e^{x\cos t}dt$. Montrer que +$$I(x)\sim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}.$$ +Indication : poser $u=\sqrt{x}\,t$ et utiliser +$\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 849] +Soit $\alpha\in]0,1[$ et +$$f(\theta)=e^{i\alpha\theta}\int_0^{+\infty} +\frac{u^{\alpha-1}}{1+ue^{i\theta}}du.$$ +1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$. +2. Poser $g(u)=\frac{u^\alpha}{1+ue^{i\theta}}$. Montrer que $f$ est + de classe $C^1$ sur $D$ et que + $f'(\theta)=ie^{i\alpha\theta}\int_0^{+\infty}g'(u)du$. + En déduire que $f$ est constante sur chaque intervalle de $D$. +3. Pour $\theta\in]-\pi,\pi[$, établir la relation trigonométrique + donnée par l'intégrale et en déduire + $$\sin(\alpha\theta)f(\theta)=\int_0^{+\infty} + \frac{(u\sin\theta-\cos\theta)^\alpha}{1+u^2}du.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 850] +Soient +$$F(x)=\int_0^1\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt,\qquad +G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt.$$ +1. Montrer que $F,G$ sont définies et de classe $C^1$ sur $\R$. +2. Montrer que $x\mapsto F(x)+G(x)$ est constante et déterminer sa valeur. +3. En déduire la convergence et la valeur de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 851] +1. Montrer que, pour tout $x>0$, + $$\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(x/t)}{1+t^2}dt + =\int_0^x\frac{\ln t}{t^2-1}dt.$$ +2. En déduire la valeur de $\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 852] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$. +1. Montrer que $|\arctan u|\leq|u|$ pour tout $u\in\R$. +2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$. +3. Pour $x^2\neq1$, déterminer $A(x),B(x)$ tels que + $$\frac1{(1+t^2)(1+x^2t^2)}=\frac{A(x)}{1+t^2} + +\frac{B(x)}{1+x^2t^2}.$$ +4. Montrer que $f'(x)=\frac{\pi}{2(1+x)}$ pour $x>0$, puis exprimer $f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 853] +Soit $f(x)=\int_0^{2\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)dt$. +1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et montrer que $f$ y est + continue. +2. Exprimer $f(x)$ sans signe intégral. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 854] +Soit $E=C^0([0,1],\R)$ et +$$k(x,t)=\begin{cases}t^2/x&0\leq t0$, établir + $$T(f)(x)=\frac1x\int_0^xt^2f(t)dt+x^2\int_x^1\frac{f(t)}t dt.$$ + Montrer que $T(f)$ est continue sur $[0,1]$, calculer $T(f)(0)$ et + montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$. +2. Montrer que $T(f)$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$, calculer $T(f)'(0)$, + puis montrer qu'elle est de classe $C^2$ sur $]0,1]$. +3. Résoudre sur $]0,1]$ l'équation différentielle + $y''-\frac2{x^2}y=-3f$. Indication : chercher les solutions homogènes + sous la forme $x\mapsto x^n$, avec $n\in\Z$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 855] +1. Soient $a,c>0$. Montrer que + $$\int_0^1\frac{t^{a-1}}{1+t^c}dt= + \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{a+nc}.$$ +2. En déduire la valeur de cette somme pour $a=1,c=3$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 856] +Donner une expression de l'intégrale +$$I=\int_0^{+\infty}\frac{\ln^2(x)}{1+x^2}dx.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 857] +Pour $n\geq1$, on pose $f_n(x)=e^{-nx}-2e^{-2nx}$ pour $x>0$. +1. Montrer que $f_n$ est intégrable sur $\R_+^*$ et calculer son intégrale. + En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(x)dx$. +2. Poser $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$. Exprimer $S(x)$, montrer + qu'elle est intégrable sur $\R_+^*$ et calculer son intégrale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 858] +Soient $f\in C^0(\R,\C)$ et $\theta\in\C$. Donner l'unique solution de +$z'+\theta z=f$ telle que $z(0)=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 859] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}\ln(t)dt$. +1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\R_+^*$. +2. Montrer que $f$ est solution de $x^2y'+xy+1=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 860] +Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ telle que, pour $x\in]0,1[$, +$$f(x)=\int_1^{1-x}\frac{f(t)}t dt.$$ +1. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $]0,1[$. +2. Donner une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 vérifiée + par $f$ sur $]0,1[$. +3. Résoudre cette équation en posant $g(x)=f(x)/x$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 861] +Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} +\frac{n!}{1\cdot3\cdots(2n+1)}x^{2n+1}$. +1. Déterminer le rayon de convergence de $f$. +2. Montrer que $f$ vérifie $(x^2-2)y'+xy+2=0$. En déduire une expression + de $f$ et déterminer son intervalle de définition. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 862] +On considère l'équation différentielle $2xy''+y'-y=0$. +1. Déterminer une solution développable en série entière, solution de + l'équation et telle que $f(0)=1$. +2. Exprimer cette fonction à l'aide des fonctions usuelles. +3. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 863] +On considère $x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=2(1+x)$. +1. Trouver les solutions homogènes de la forme $x^\alpha$ sur + $]0,+\infty[$ et donner une base de l'espace des solutions. +2. Trouver une solution particulière sous la forme + $\alpha(x)x+\beta(x)x^2$ sur chacun des intervalles + $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$, avec + $\alpha'(x)x+\beta'(x)x^2=0$. +3. Existe-t-il des solutions sur $\R$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 864] +On considère $y''+(1-2/x^2)y=0$ sur $]0,+\infty[$. +1. Montrer que ses solutions sont de classe $C^2$. +2. Poser $f(x)=\sin(x)/x-\cos(x)$. Montrer que $f$ est solution, se + prolonge en une fonction développable en série entière en 0, et possède + une infinité de zéros sur $]0,+\infty[$. +3. Poser $g_\omega(x)=\cos(x)/x+\omega\sin(x)$. Déterminer les $\omega$ + pour lesquels $g_\omega$ est solution et montrer qu'elle a une infinité + de zéros. +4. Montrer que toute solution possède une infinité de zéros. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 865] +On considère $(t^2+1)y''-2y=0$. +1. Déterminer une solution polynomiale non nulle $\varphi$. +2. Résoudre l'équation en posant $y=\varphi z$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 866] +Soit $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{1+y^{2n}}$. +1. Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition de $f$. +2. Étudier l'existence de ses dérivées partielles d'ordre 1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 867] +Étudier les extrema de +$g:(x,y)\in(\R_+^*)^2\mapsto x\ln(y)-y\ln(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 868] +Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien, +$f\in\mathcal S_{++}(E)$ et $v\in E$. +1. Montrer que $\langle f(x),x\rangle>0$ pour tout $x\neq0$. +2. Montrer que $g(x)=\frac12\langle f(x),x\rangle-\langle v,x\rangle$ + est de classe $C^1$. +3. Montrer que $g$ possède un unique point critique $c$. +4. Montrer que $g$ atteint en $c$ un minimum global. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 869] +Soit $X\sim\mathcal P(\lambda)$ avec $\lambda>0$. +1. Déterminer $\P(X\in2\N)$ et $\P(X\in2\N+1)$, puis les comparer. +2. Poser $Y=(-1)^X$. Déterminer la loi et l'espérance de $Y$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 870] +Une urne contient $n$ boules dont $p$ blanches et $n-p$ noires. On effectue +des tirages successifs sans remise. Déterminer la loi et l'espérance du +rang de la dernière boule blanche tirée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 871] +Soit $N\geq2$. On tire sans remise les $N$ boules numérotées de 1 à $N$. +On note $B_i$ le résultat du $i$-ième tirage. Pour $1\leq p\leq N$, soit +$X_p$ le nombre de $p$-croissances, c'est-à-dire de $i$ tels que +$B_i0$. Soit $(X,Y)$ à valeurs dans $\N^2$ tel que +$$\P(X=i,Y=j)=\begin{cases}0&i1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 887] +Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$ et +$S_n=X_1+\cdots+X_n$. Fixer $r>0$. +1. Montrer que $\operatorname{ch}(t)\leq e^{t^2/2}$ pour $t>0$. +2. Montrer que, pour $t>0$, + $$\P(S_n/n\geq r)\leq\E(e^{t(S_n/n-r)}).$$ +3. En déduire que $\P(S_n/n\geq r)\leq e^{-nr^2/2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 888] +Soit $\alpha>0$. +1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ + de fonction génératrice $G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$. +2. Si $\alpha\in\N^*$, donner un équivalent de $\P(X=n)$. +3. Pour $\lambda>0$, montrer que + $\P(X\geq\lambda+\alpha)\leq2\alpha/\lambda^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 889] +Soient $(\lambda_n)_{n\geq0}$ des réels positifs et $(X_n)_{n\geq0}$ des +variables indépendantes avec $X_n\sim\mathcal P(\lambda_n)$. Déterminer +la loi de $S=\sum_{n=0}^{+\infty}X_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 890] +On considère une marche aléatoire sur $\Z^2$ issue de l'origine, avec +déplacements indépendants et équiprobables vers l'est, l'ouest, le nord +ou le sud. On note $A_n=(X_n,Y_n)$ sa position après $n$ pas. +1. Déterminer $\E(X_n),V(X_n)$ puis $\E(Y_n),V(Y_n)$. +2. Poser $Z_n=\|A_n\|_2=\sqrt{X_n^2+Y_n^2}$. Montrer que + $\E(Z_n)\leq\sqrt n$. +3. Montrer que $\sum_{i=0}^n\binom ni^2=\binom{2n}n$, puis déterminer + $\P(Z_n=0)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 891] +Soit $p\in]0,1[$ et $X_n\sim\mathcal B(n,p)$. +1. Rappeler la formule de Stirling. +2. Montrer que, pour tout $t\in\R$, + $$\E\left(\exp\left(t\frac{X_n-\E(X_n)}{\sqrt{V(X_n)}}\right)\right) + \longrightarrow e^{t^2/2}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 892] +Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$, +$x\geq0$. +1. Montrer que $f_n(x)=1/2$ admet une unique solution $a_n\geq0$ et que + $(a_n)$ est croissante. +2. Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi de Poisson de paramètre $\lambda$ et + $S_n=\sum_{k=0}^nX_k$. Donner la loi, l'espérance et la variance de + $S_n$. Par Bienaymé-Tchebychev, montrer que $\P(S_n\geq n)\to0$ si + $\lambda<1$ et tend vers 1 si $\lambda>1$. +3. Utiliser $\P(S_n\geq n)=f_n(n\lambda)$ pour montrer que $a_n\sim n$. +#+end_exercice + +* Mines-Ponts PC 2026 +** Algèbre + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 893] +On pose $a=(5\sqrt2+7)^{1/3}$ et $b=(5\sqrt2-7)^{1/3}$. Calculer +$a^3-b^3$, $ab$ et $a-b$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 894] +Soit $z=\frac12(1+i\sqrt7)$. Montrer que, pour tout $n\geq1$, +$2\operatorname{Re}(z^n)$ est un entier impair. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 895] +Calculer +$$\sum_{0\leq3k\leq n}\binom n{3k}\quad\text{et}\quad +\sum_{0\leq3k\leq n}(-1)^k\binom n{3k}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 896] +Soit $(a_0,\ldots,a_n)\in K^{n+1}$. Montrer que tout $Q\in K_n[X]$ +peut s'écrire sous la forme $\sum_{k=0}^na_kP^{(k)}$ si et seulement si +$a_0\neq0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 897] +Soit $n\in\N$. +1. Montrer que $x\mapsto\frac{(x+1)^n-1}{x}$ est polynomiale ; noter $P$ + le polynôme associé. +2. Pour $n\geq2$, montrer que les affixes des racines de $P$ sont sur un + cercle à déterminer. +3. Calculer $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 898] +Pour $P\in\R[X]$ non constant, soit $\Omega_P$ l'ensemble des $r\in\R$ +tels que $P+r$ soit scindé à racines simples sur $\R$. +1. Donner un exemple tel que $\Omega_P=\varnothing$. +2. Montrer que $\Omega_P$ est un intervalle ouvert. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 899] +Déterminer les polynômes $P\in\R[X]$ tels que +$P(X)P(X-1)=P(X^2)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 900] +Soient $n\geq2$ et $P=X^n-3X+7$, de racines complexes +$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ comptées avec multiplicité. +1. Déterminer le nombre de racines réelles distinctes de $P$. +2. Déterminer le nombre de racines complexes distinctes de $P$. +3. Expliciter $Q=\prod_{i=1}^n\left(X-\frac{\lambda_i}{1+\lambda_i}\right)$. +4. Expliciter $R=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^2)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 901] +Soient $n\geq1$, $P\in\R_n[X]$ tel que $P(0)=1$, $P(1)=0$, +$U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité et $U$ le cercle unité. +1. Calculer $\sum_{\omega\in U_n}|P(\omega)|^2$ en fonction des + coefficients de $P$. +2. En déduire que $\sup_{z\in U}|P(z)|\geq\sqrt{1+1/n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 902] +1. Pour $\theta\not\equiv0\ [\pi]$ et $n\in\N$, montrer qu'il existe + $P\in\R_n[X]$ tel que + $$\sin((2n+1)\theta)=\sin^{2n+1}(\theta) + P\left(\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\right),$$ + où $P(X)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n+1}{2k+1}X^{n-k}$. +2. En déduire + $$\sum_{k=1}^n\frac1{\cos^2(k\pi/(2n+1))\sin^2(k\pi/(2n+1))} + =\frac{n(2n-1)}3,$$ + puis $\sum_{k=1}^{+\infty}k^{-2}=\pi^2/6$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 903] +On pose $E=\{Q^2+XR^2:(Q,R)\in\R[X]^2\}$. +1. Montrer que $E$ est stable par produit. +2. Comparer par inclusion $E$ et + $G=\{P\in\R[X]:\forall x\in\R_+,\ P(x)\geq0\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 904] +Soient $a_0,\ldots,a_{n-1}\in\C$ et +$P(X)=X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k=\prod_{j=1}^n(X-\lambda_j)$. +Poser $\rho=\max_j|\lambda_j|$. +1. Déterminer le nombre de racines réelles strictement positives de + $X^n-\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|X^k$. +2. Si $r\geq0$ et $r^n\geq\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|r^k$, montrer que $\rho\leq r$. +3. Montrer que $\rho\leq\max(1,\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|)$. +4. En utilisant $Q(X)=(X-1)P(X)$, montrer que + $\rho\leq|a_0|+\sum_{k=0}^{n-1}|a_{k+1}-a_k|$, où $a_n=1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 905] +1. Montrer qu'il existe une unique famille $(L_k)_{0\leq k\leq n}$ de + polynômes de $\R_n[X]$ telle que $L_i(j)=\delta_{i,j}$. +2. Préciser le coefficient dominant de $L_k$. +3. Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que + $\max_{0\leq k\leq n}|P(k)|\geq n!/2^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 906] +Soit $\Delta:P\mapsto P(X+1)-P(X)$. +1. Montrer que, pour $P\in\R[X]$ et $n\in\N$, + $$\Delta^n(P)=\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}P(X+k).$$ +2. En déduire que, pour $P\in\R_{n-1}[X]$, + $\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}P(k)=0$. +3. Déterminer $\inf_{P\in\R_{n-1}[X]}\sum_{k=0}^n(k^n-P(k))^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 907] +Soit $P\in\R[X]$ non constant sans racine réelle, de racines complexes +$z_1,\ldots,z_n$ comptées avec multiplicité. +1. Pour $z\notin\{z_1,\ldots,z_n\}$, montrer que + $$\left|\frac{P'(z)}{P(z)}\right|^2\leq n\sum_{k=1}^n\frac1{|z-z_k|^2}.$$ +2. Montrer qu'il existe une constante $\alpha$ telle que, pour $n\geq2$ + et tout tel $P\in\R_n[X]$, + $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P'(x)^2}{P(x)^2+P'(x)^2}dx + \leq\alpha n^{3/2}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 908] +Soit $n\geq1$. Déterminer le plus petit sous-espace de $\mathcal L(\R^n)$ +contenant toutes les symétries vectorielles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 909] +Soient $E$ un $K$-espace vectoriel, $(v_1,\ldots,v_n)\in E^n$ et +$(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n$. Poser +$w=\sum_{k=1}^n\lambda_kv_k$. Montrer que +$$\operatorname{rg}(v_1+w,\ldots,v_n+w)=n$$ +si et seulement si $\operatorname{rg}(v_1,\ldots,v_n)=n$ et +$\lambda_1+\cdots+\lambda_n\neq-1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 910] +Soit $D=\operatorname{Diag}(-1,4)$. Trouver les matrices +$M\in M_2(\R)$ telles que $M^3-2M=D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 911] +Soit +$$A=\begin{pmatrix}-1&2&0&8\\-1&2&4&-4\\0&0&2&-6\end{pmatrix}.$$ +1. Donner une base de $\operatorname{Im}(A)$. +2. Donner une base de $\Ker(A)$. +3. Trouver $P\in GL_3(\R)$ et $Q\in GL_4(\R)$ tels que + $PAQ=J_2=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$. +4. Pour $n\geq2$, montrer que $\{M\in M_{n,3}(\R):MA=0\}$ est un + sous-espace vectoriel de dimension à déterminer. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 912] +Soient $A\in GL_n(\R)$ et $X\in\R^n$. Montrer que +$$X^TA^{-1}X=\frac{\det(A+XX^T)}{\det A}-1.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 913] +1. Soit $a\in\R$. Montrer que $A=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$ + est semblable à son inverse. +2. Soit $M=\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}$, + avec $a,b,c\in\R$. Expliciter $M^{-1}$ et montrer que $M-I_3$ et + $M^{-1}-I_3$ sont semblables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 914] +1. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $F$ un sous-espace + de dimension $r0$ tel que $A(z)$ soit inversible si + $0<|z|0$. +1. Montrer que $f$ s'annule au plus $n-1$ fois sur $\R_+^*$. +2. Soient $t_1<\cdots1$. +2. Montrer que $\sum_{\lambda\in\operatorname{Sp}_\C(A)}\lambda^n\in\N$ + pour tout $n\geq1$. +3. Déterminer la nature de $\sum\sin(\pi a^n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 943] +Soit $u\in\mathcal L(\R_n[X])$ dont la matrice dans la base canonique a +pour coefficients $a_{i,i+1}=i$, $a_{i+1,i}=n-i+1$, les autres étant nuls. +1. Montrer que $u(P)=(1-X^2)P'+nXP$. +2. Si $\lambda$ est valeur propre et $P$ un vecteur propre, montrer que + $\deg P=n$ et que ses racines complexes appartiennent à $\{-1,1\}$. +3. En étudiant les multiplicités de $1$ et $-1$, déterminer tous les + vecteurs propres de $u$. +4. Montrer que $u$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 944] +Soit $E=M_n(\C)$ et $\rho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda\in\operatorname{Sp}(A)\}$. +1. $\rho$ est-elle une norme sur $E$ ? +2. Si $A^p\to0$, montrer que $\rho(A)<1$. +3. Pour $0\leq k\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|$ pour tout $i$. Montrer que $A$ est + inversible. +2. Montrer que toutes les valeurs propres de $A$ appartiennent à + $\bigcup_{i=1}^n\{z\in\C:|z-a_{i,i}|\leq\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|\}$. +3. Soit $B=(b_{i,j})$ définie par $b_{i,j}=1$ si $|i-j|=1$ et 0 sinon. + Déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 951] +Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $u\in\mathcal L(E)$ +ayant $n$ valeurs propres distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. +1. Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^nE_{\lambda_i}(u)$. +2. Pour chaque $i$, donner $P_i\in K_{n-1}[X]$ tel que + $P_i(\lambda_j)=\delta_{i,j}$. + Caractériser $P_i(u)$. +3. Si $F$ est stable par $u$, montrer que + $F=\bigoplus_{i=1}^n(F\cap E_{\lambda_i}(u))$. +4. Combien $E$ possède-t-il de sous-espaces stables par $u$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 952] +Soient $M\in M_n(\C)$, +$N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}$, $m\in\C$ et +$T=\begin{pmatrix}m&m^2\\0&m\end{pmatrix}$. +1. La matrice $T$ est-elle diagonalisable ? +2. Pour $Q\in\C[X]$, exprimer $Q(N)$ à l'aide de $Q,M,M^2$. +3. Montrer que $N$ est diagonalisable si et seulement si $M=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 953] +Soient $A\in M_n(\R)$ et $T:M\mapsto AM$ sur $M_n(\R)$. +1. Donner le spectre de $T$ en fonction de celui de $A$. +2. Exprimer $\chi_T$ en fonction de $\chi_A$. +3. Montrer que $T$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 954] +Soient $A\in M_n(\C)$ et +$M=\begin{pmatrix}0&I_n\\A&0\end{pmatrix}\in M_{2n}(\C)$. +1. Montrer que $\dim\Ker(M-\lambda I_{2n})=\dim\Ker(A-\lambda^2I_n)$. +2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit + diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 955] +Soient $A\in M_n(\R)$ et +$B=\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}\in M_{2n}(\R)$. +Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $B$ soit +diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 956] +1. Montrer que $M=(1_{i-j\equiv1\ (\mathrm{mod}\ n)})_{1\leq i,j\leq n}$ + est diagonalisable et déterminer ses éléments propres. +2. Exprimer $A=(a_{i-j\ (\mathrm{mod}\ n)})_{1\leq i,j\leq n}$ en + fonction de $M$ et $(a_0,\ldots,a_{n-1})$. +3. En déduire $\det(A)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 957] +1. Soient $U,V\in M_n(\R)$. Montrer que si elles sont semblables sur + $\C$, elles le sont sur $\R$. +2. Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n$. + a) Montrer que $n$ est pair. + b) Avec $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, montrer que $A$ est + semblable à la matrice diagonale par blocs ayant $n/2$ blocs $J$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 958] +1. Soient $E$ de dimension finie et $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables + et commutant. Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres + communs. +2. Soit $A\in M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que + $M\mapsto AM-MA$ sur $M_n(\C)$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 959] +Soient $P\in GL_n(\C)$ et $\varphi_P:M\mapsto PMP^{-1}$. +1. Si $M$ est vecteur propre de $\varphi_P$ associé à $\lambda$, montrer + que $\lambda\neq0$ et que soit $M$ est nilpotente, soit $\lambda$ est + une racine $q$-ième de l'unité pour un $1\leq q\leq n$. +2. Pour une racine $q$-ième de l'unité $\lambda$, exhiber $P$ tel que + $\lambda$ soit valeur propre de $\varphi_P$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 960] +Soit $A\in M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une matrice diagonale $D$ à +coefficients dans $\{-1,1\}$ telle que $A+D$ soit inversible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 961] +Déterminer les matrices $A\in M_n(\R)$ telles que $A^{2026}=A^{10}$ et +$\operatorname{Tr}(A)=n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 962] +Soient $A,B\in M_n(\C)$ tels que $A(AB-BA)=0$. +1. Montrer que $(AB)^k=A^kB^k$ pour tout $k\in\N$. +2. Soit $C\in M_n(\C)$ tel que $\operatorname{tr}(C^k)=0$ pour tout + $k\geq1$. Montrer que $C$ est nilpotente. +3. Montrer que $AB-BA$ est nilpotente. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 963] +Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB=BA^2$. On suppose que toutes les +valeurs propres de $A$ ont un module différent de 1. Montrer que $A$ et +$B$ ont un vecteur propre commun. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 964] +Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB=0$. Montrer que $A$ et $B$ ont un +vecteur propre commun. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 965] +Soit $f\in\mathcal L(E)$, où $E$ est de dimension $n$. Montrer que $f$ est +diagonalisable si et seulement s'il existe $n$ hyperplans $H_1,\ldots,H_n$ +stables par $f$ tels que $H_1\cap\cdots\cap H_n=\{0\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 966] +Soit $n\geq2$, $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormée de $\R^n$ et +$f_1,\ldots,f_n\in\R^n$ tels que $\|e_k-f_k\|<1/\sqrt n$ pour tout $k$. +Montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est une base de $\R^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 967] +Poser +$$I=\inf_{(a,b)\in\R^2}\int_{-1}^1(e^t-a-bt)^2dt.$$ +Justifier l'existence de $I$ et le calculer. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 968] +Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension +$n$, $(u_1,\ldots,u_n)\in E^n$ et +$f(x)=\sum_{i=1}^n\langle x,u_i\rangle u_i$. +1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$. +2. Montrer que $f=\operatorname{id}$ si et seulement si + $(u_1,\ldots,u_n)$ est une base orthonormée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 969] +1. Soit $P$ un polynôme scindé de $\R[X]$. À l'aide de + $x\mapsto e^{-x^2}P(x)$, montrer que $P'-2XP$ est scindé. +2. Pour $\varphi(x)=e^{-x^2}$, montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe + $H_n\in\R[X]$ tel que $\varphi^{(n)}(x)=H_n(x)\varphi(x)$. Préciser + son degré et son coefficient dominant. +3. Que dire de la position relative des racines de $H_n$ et $H_{n+1}$ ? +4. Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t^2}dt$ + est un produit scalaire sur $\R[X]$. +5. Montrer que $(((-1/2)^nH_n))_{n\geq0}$ est une famille orthogonale + de polynômes unitaires pour ce produit scalaire. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 970] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}(1+x_1t+\cdots+x_nt^n)^2dt$, +pour $x=(x_1,\ldots,x_n)^T\in\R^n$. +1. Montrer que $f$ est bien définie et de classe $C^1$ sur $\R^n$. +2. Poser $u=(1,x_1,\ldots,x_n)^T$ et + $M=((i+j)!)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que $u^TMu=f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 971] +Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel. Une forme bilinéaire +$B:E^2\to\R$ est dite positive si $B(u,u)\geq0$ pour tout $u$, négative +si $B(u,u)\leq0$, et symétrique si $B(x,y)=B(y,x)$. On pose +$C_B=\{u:B(u,u)=0\}$ et $K_B=\{u:\forall x,\ B(u,x)=0\}$. +1. Sur $\R^3$, pour $B((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2))=x_1y_2+x_2y_1$, + déterminer $C_B,K_B$. +2. Pour $B$ symétrique, montrer l'équivalence entre $K_B=C_B$, + $C_B$ sous-espace vectoriel, et $B$ positive ou négative. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 972] +Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie. Montrer que deux +produits scalaires sur $E$ ayant le même groupe orthogonal sont +proportionnels. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 973] +Pour $A\subset\N$, noter $1_A$ sa fonction indicatrice. Soient $a\geq1$, +$n,m\geq1$ et $U_1,\ldots,U_m$ des parties distinctes non vides de +$\{1,\ldots,n\}$ telles que $|U_i\cap U_j|=a$ pour $i\neq j$. Poser +$M=(1_{U_j}(i))_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$. +1. Calculer $M^TM$. +2. Montrer que $\{j:[M^TM]_{j,j}=a\}$ a au plus un élément. +3. Pour $X\in M_{m,1}(\R)$, calculer $X^TM^TMX$. +4. Donner $\dim\Ker(M)$. +5. Montrer que $m\leq n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 974] +Soit $E$ un espace euclidien. +1. Pour $F,G$ sous-espaces, montrer que $(F+G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp$. +2. Soient $p,q$ des projecteurs orthogonaux. Montrer que $pqp$ est + autoadjoint. +3. Montrer que $x\mapsto pq(x)$ est diagonalisable sur $\operatorname{Im}(p)$. +4. Montrer que $pq$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 975] +Soit $p$ un projecteur d'un espace euclidien $E$. +1. Montrer que $p$ est orthogonal si et seulement si $p$ est + autoadjoint. +2. Montrer que $p$ est orthogonal si et seulement si + $\|p(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x\in E$. +3. Si $p,q$ sont orthogonaux, montrer que $p\circ q$ est un projecteur + si et seulement si $p$ et $q$ commutent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 976] +Soient $A\in M_n(\R)$ et $k\geq2$ tels que $A^k=A^T$. Montrer que +$\Ker(A)$ et $\operatorname{Im}(A)$ sont supplémentaires orthogonaux et +que $A^{k+1}$ est la matrice d'un projecteur orthogonal. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 977] +Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^2=A^3$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que +$A^2=A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 978] +Soit $A\in M_2(\R)$ telle que $A^2=A^T$ et poser $M=A^TA$. +1. La matrice $M$ est-elle diagonalisable ? +2. On dit que $M,N$ sont orthosemblables s'il existe $P\in O_2(\R)$ tel + que $P^{-1}MP=N$. Montrer que $A$ est orthosemblable à l'une des + matrices $0$, $I_2$, $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, + $\dfrac12\begin{pmatrix}-1&-\sqrt3\\\sqrt3&-1\end{pmatrix}$, + $\dfrac12\begin{pmatrix}-1&\sqrt3\\-\sqrt3&-1\end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 979] +Soient $A,B\in\mathcal S_n(\R)$ telles que $A^2=B^2$. Montrer qu'il +existe $P\in O_n(\R)$ telle que $PA=B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 980] +Soient $n$ impair et $A,B\in M_n(\R)$ tels que $AB=0$. Montrer qu'au +moins l'une des matrices $A+A^T$ et $B+B^T$ n'est pas inversible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 981] +Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $p\in\mathcal L(E)$ un +projecteur. Montrer que $\operatorname{Im}(p)\perp\Ker(p)$ si et seulement +si $\langle p(x),x\rangle\geq0$ pour tout $x\in E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 982] +Soit $E$ euclidien et $u\in O(E)$. Si $\lambda$ est une valeur propre de +$u$, montrer que $\dim E_\lambda(u)$ est égale à sa multiplicité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 983] +Soit $E=\R_n[X]$, muni du produit scalaire +$\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)dt$. Pour $P\in E$, poser +$u(P)(x)=\int_0^1(x+t)^nP(t)dt$. +1. Montrer que $u\in\mathcal L(E)$. +2. Montrer qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle $u$ est + diagonale. +3. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$, + $$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n\lambda_iP_i(x)P_i(y),$$ + où $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $u$ et $(P_i)$ une base + orthonormée de vecteurs propres associée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 984] +Soit $H_n=(1/(i+j+1))_{0\leq i,j\leq n-1}$ et +$X=(x_0,\ldots,x_{n-1})^T$. Poser +$P_X(t)=x_0+x_1t+\cdots+x_{n-1}t^{n-1}$. +1. Montrer que $X^TH_nX=\int_0^1P_X(t)^2dt$. En déduire que $H_n$ est + diagonalisable et que son spectre est inclus dans $\R_+^*$. +2. Soit $\beta_n$ sa plus grande valeur propre. Montrer que + $X^TH_nX\leq\beta_n\|X\|^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 985] +1. Soit $f:I\to\R$ convexe, $n\geq1$ et $x_1,\ldots,x_n\in I$. + Montrer que + $$f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)\leq + \frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k).$$ +2. Soit $S\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer que + $(\operatorname{Tr}(S)/n)^n\geq\det(S)$ et préciser le cas d'égalité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 986] +On munit $M_n(\R)$ du produit scalaire $\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}(A^TB)$. +1. Comparer $\operatorname{Tr}(A^2)$ et $\operatorname{Tr}(A^TA)$. +2. Montrer que $A^TA$ est diagonalisable à valeurs propres positives. +3. Comparer $\Ker(A)$ et $\Ker(A^TA)$, puis leurs rangs. +4. Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont mêmes valeurs propres avec mêmes + multiplicités. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 987] +1. Rappeler les définitions de $\mathcal S_n^+(\R)$ et $\mathcal S_n^{++}(\R)$. +2. Soit $H=(1/(i+j-1))_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que + $H\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. +3. Soit $B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe une unique + $R\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telle que $B=R^2$. Si + $A\in\mathcal S_n(\R)$, montrer que $AB$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 988] +On munit $M_n(\R)$ du produit scalaire +$\langle M,N\rangle=\operatorname{Tr}(M^TN)$. Soit $A\in GL_n(\R)$. +1. Montrer que, pour tout $S\in\mathcal S_n^+(\R)$, il existe + $B\in\mathcal S_n^+(\R)$ telle que $S=B^2$. +2. Montrer qu'il existe $(U,S)\in O_n(\R)\times\mathcal S_n^+(\R)$ tel + que $A=US$. +3. Pour $V\in O_n(\R)$, établir $\|A-V\|^2=\|D-W\|^2$, où $W\in O_n(\R)$ et $D$ est une matrice diagonale semblable à $A$. +4. Montrer que la distance de $A$ à $O_n(\R)$ est atteinte. +5. Montrer que $A\mapsto d(A,O_n(\R))$ est lipschitzienne. +#+end_exercice + +** Analyse + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 989] +Soit $E=\{(u_n)\in\R^\N:\sum|u_n|\text{ converge}\}$ et +$\alpha=(\alpha_n)_{n\geq0}\in\R^\N$. Pour $u\in E$, poser +$N(u)=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_n|u_n|$. Donner une condition +nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $N$ soit une norme sur $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 990] +Soient $p,q>1$ tels que $1/p+1/q=1$. +1. Pour $u,v\geq0$, montrer que $uv\leq u^p/p+v^q/q$. +2. En déduire l'inégalité de Hölder pour deux suites finies positives. +3. Que reconnaît-on pour $p=2$ ? +4. Montrer l'inégalité triangulaire pour la norme $\ell^p$ sur les + vecteurs à coordonnées positives. +5. Montrer que l'ensemble $\ell^p$ des suites réelles telles que + $\sum|u_n|^p$ converge est un espace vectoriel et que + $u\mapsto(\sum_{n=0}^{+\infty}|u_n|^p)^{1/p}$ est une norme. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 991] +Pour $A\subset\N$, poser $x_A=\sum_{k\in A}(9/10)^k$. +1. Justifier la définition de $x_A$. +2. Soit $E=\{x_A:A\subset\N\}$. Montrer que $E$ admet une symétrie. +3. Montrer que $E$ est fermé. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 992] +1. Soit $z=re^{i\theta}=x+iy\in\C\setminus\R_-$ avec $\theta\in]-\pi,\pi[$. + Montrer que $\theta=2\arctan\left(\frac{y}{x+|z|}\right)$. +2. En déduire qu'il existe une fonction continue + $L_0:\C\setminus\R_-\to\C$ telle que $z=\exp(L_0(z))$. +3. Déterminer toutes les fonctions continues $L$ sur ce domaine telles + que $z=\exp(L(z))$. +4. Montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $L:\C\to\C$ telle + que $z=\exp(L(z))$ pour tout $z$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 993] +Soit $\|\cdot\|$ une norme sur $M_n(\C)$. +1. Montrer qu'il existe $c>0$ tel que $\|AB\|\leq c\|A\|\|B\|$. +2. Pour $A\in M_n(\C)$, montrer que $(\|A^k\|^{1/k})_{k\geq1}$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 994] +Soit $\mathcal N$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $M_n(\C)$. +1. Soit $A$ de rang 1 et de trace nulle. Montrer que $A\in\mathcal N$. +2. $\mathcal N$ est-il ouvert ou fermé ? +3. Soient $A\in GL_n(\C)$ et $B\in\mathcal N$ commutant. Montrer que + $\det(A+B)=\det(A)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 995] +1. Soit $A\in M_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre + $\Ker(A)=\Ker(A^2)$, $\operatorname{Im}(A)=\operatorname{Im}(A^2)$, + et $\Ker(A)\oplus\operatorname{Im}(A)=\R^n$. +2. L'ensemble des matrices vérifiant la première propriété est-il convexe, + fermé ou ouvert ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 996] +Soit $a\in\C$ tel que $\operatorname{Re}(a)>0$ et $\operatorname{Im}(a)>0$. +On définit $z_0=a$ et $z_{n+1}=\frac12(z_n+|z_n|)$. Déterminer la limite +de $(z_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 997] +Soit $(u_n)_{n\geq0}$ définie par $u_1>0$ et +$u_{n+1}=u_n+\frac1{n u_n}$ pour $n\geq1$. +1. Étudier la convergence de $(u_n)$. +2. Déterminer un équivalent de $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 998] +Étudier la nature et déterminer la limite éventuelle de +$$u_n=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{\sqrt{k(n-k)}}n\right).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 999] +Soit $\ell\in\C$. On veut montrer que +$\left(1+\frac\ell n\right)^n\to e^\ell$. +1. Traiter le cas $\ell\in\R$. +2. Pour $\ell\in\C$, montrer que + $$\left|e^\ell-\left(1+\frac\ell n\right)^n\right| + \leq e^{|\ell|}-\left(1+\frac{|\ell|}n\right)^n$$ + et conclure. +3. Soit $(u_n)$ complexe de limite $\ell$. Montrer que + $(1+u_n/n)^n\to e^\ell$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1000] +Pour $n\geq1$, poser $P_n=-1+\sum_{k=1}^nX^k$. +1. Montrer que $P_n$ admet une unique racine $u_n$ dans $\R_+$. +2. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$. +3. Déterminer un équivalent de $u_n-\ell$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1001] +Pour $x\geq0$ et $n\geq1$, poser $f_n(x)=\sum_{k=1}^n x^k/k-1$. +1. Montrer qu'il existe un unique $x_n>0$ tel que $f_n(x_n)=0$. +2. Montrer que $(x_n)$ est strictement décroissante et converge. +3. Expliciter $f(x)=\lim_{n\to+\infty}f_n(x)$. +4. Déterminer $\ell=\lim x_n$. +5. Justifier qu'il existe $c_n\in]\ell,x_n[$ tel que + $-f_n(\ell)=f_n'(c_n)(x_n-\ell)$ et en déduire un équivalent de + $x_n-\ell$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1002] +Soit $k\geq1$. Étudier la convergence et calculer la somme de +$\sum_{i\geq1}\frac1{i(i+k)}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1003] +Pour $n\geq2$, on pose +$$u_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{2k+1}.$$ +1. La série $\sum u_n$ est-elle convergente ? +2. Déterminer un équivalent de $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1004] +Étudier la nature de la série de terme général +$$u_n=\frac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n1/\sqrt{k}}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1005] +Étudier la nature de $\sum\frac{\sin(\sqrt n)}n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1006] +Soit $a>0$. Pour $n$ assez grand, poser +$$u_n=\arccos\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{(-1)^n}{n^a}\right)-\frac\pi6.$$ +Déterminer la nature de la série de terme général $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1007] +Pour $n\geq1$, poser $a_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\sqrt{k}$. Montrer que +$$a_n+\frac{(-1)^n\sqrt n}{2}$$ +admet une limite $\ell>0$, puis étudier $\sum1/a_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1008] +1. Pour $n\in\N$, montrer qu'il existe un unique $a_n\geq0$ tel que + $e^{a_n}+na_n=2$. +2. Étudier la nature des séries $\sum a_n$ et $\sum(-1)^na_n$. +3. Déterminer $\lim_{n\to+\infty}n(1-na_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1009] +Soit $(u_n)$ définie par $u_0=\pi/2$ et +$u_{n+1}=(-1)^n\arctan(u_n)$. +1. Montrer que $(u_n)$ converge. +2. Montrer que $\sum u_n$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1010] +Soit $(u_n)_{n\geq1}$ réelle et +$v_n=\frac1n(u_1+\cdots+u_n)$. +1. Si $\sum u_n$ ne diverge pas grossièrement, montrer que $\sum v_n$ + ne diverge pas grossièrement. +2. Si $\sum u_n$ converge, peut-on conclure pour $\sum v_n$ ? +3. On suppose $\sum u_n^2$ convergente. Montrer que + $$v_n^2-2u_nv_n\leq(n-1)v_{n-1}^2-nv_n^2,$$ + puis que $\sum v_n^2$ converge et + $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n^2\leq4\sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1011] +Soit $(u_n)$ définie par $u_0>0$ et $u_{n+1}=1/(2+u_n)$. Montrer que +$(u_n)$ converge vers une limite $\ell$ à préciser, et déterminer la +nature de $\sum(u_n-\ell)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1012] +Soit $f:\R^*\to\R$ définie par $f(x)=1+\frac12\sin(1/x)$. +1. Montrer que $f(f(x))\geq1$ pour tout $x\neq0$. +2. Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\ell$. +3. Pour $u_0\neq0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, montrer que $(u_n)$ est bien + définie et converge vers $\ell$. +4. Déterminer la nature de $\sum(\ell-u_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1013] +Soit $f\in C^1(\R_+,\R_+^*)$. +1. Si $f'(x)/f(x)\to-\infty$, montrer que $f(x+1)/f(x)\to0$ et en + déduire que $\sum f(n)$ converge. +2. Si $f'(x)/f(x)\to\alpha<0$, déterminer la limite de $f(x+1)/f(x)$ et, + selon $\beta\in\R$, la nature de $\sum n^\beta f(n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1014] +Soit $(u_n)_{n\in\N}\in\C^\N$ telle que $\sum|u_n|$ converge et +$\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^k=0$ pour tout $k\geq1$. Montrer que $(u_n)$ +est la suite nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1015] +Soit $(q_n)_{n\in\N}$ une suite croissante d'entiers au moins égaux à 2. +1. Si $(q_n)$ est stationnaire, montrer que + $\sum_{n=0}^{+\infty}(q_1q_2\cdots q_n)^{-1}\in\Q$. +2. En admettant la réciproque, montrer que $e$ et $\operatorname{ch}(1)$ + sont irrationnels. +3. Montrer la réciproque de la première question. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1016] +Soit $(u_n)_{n\geq0}$ strictement positive et $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. +1. Si $S_n\to+\infty$, montrer que $\sum u_n/S_n^\alpha$ converge si + et seulement si $\alpha>1$. +2. Si $S_n\to S>0$, poser $R_n=S-S_n$. Montrer que + $\sum u_n/R_{n-1}^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha<1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1017] +Étudier la fonction +$f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}\arctan(x)$ : domaine, graphe, limites et asymptotes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1018] +1. Résoudre $\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x+5-6\sqrt{x-4}}=1$. +2. Soient $x_1<\cdots0$, poser $f(x)=x^{x^{1/x}}$. Déterminer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$, +$\lim_{x\to+\infty}f(x+1)/f(x)$ et un équivalent de $f(x)$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1021] +Soit $\lambda\in\R$. Déterminer les $f\in C^1(\R,\R)$ telles que +$f'(x)=f(\lambda x)$ pour $\lambda=1$, $\lambda=-1$, puis $|\lambda|<1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1022] +Soit $f:\R_+\to\R$ continue et surjective. Pour $y\in\R$, montrer que +$y$ admet une infinité d'antécédents. Une fonction polynomiale de +$\R_+$ dans $\R$ peut-elle être surjective ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1023] +Soit $f:\R\to\R$ continue en 0 et telle que +$$\frac{f(4x)-f(x)}x\longrightarrow\ell\quad(x\to0).$$ +Montrer que $f$ est dérivable en 0 et déterminer $f'(0)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1024] +Soit $f:[0,1]\to\R$ dérivable, non identiquement nulle, et telle qu'il +existe $M>0$ vérifiant $|f'(x)|\leq M|f(x)|$ pour tout $x\in[0,1]$. +Montrer que $f$ ne s'annule pas. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1025] +Soit $f:[0,1]\to\R$ continue et strictement positive. +1. Pour $n\geq1$, montrer qu'il existe un unique + $(a_{n,0},\ldots,a_{n,n})\in[0,1]^{n+1}$ avec + $0=a_{n,0}<\cdots0).$$ +Déterminer $\lim_{x\to0}g(x)$ et $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}g(x)$, puis +montrer que $g^2$ est intégrable sur $\R_+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1031] +1. Pour quels $z\in\C$ l'intégrale $\int_1^{+\infty}t^{-z}dt$ converge ? + On rappelle $t^z=\exp(z\ln t)$. +2. Montrer que $\sum(1/n^z-\int_n^{n+1}t^{-z}dt)$ converge pour + $\operatorname{Re}(z)>0$. +3. Étudier la convergence de $\sum1/n^z$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1032] +Pour $n\geq1$ et $x\geq0$, poser $f_n(x)=(1+x/n)^{-n}$. +1. Montrer que $(f_n)$ converge simplement sur $\R_+$ vers une fonction $g$. +2. Montrer que $f_n\geq g$. +3. Montrer qu'il existe $\alpha_n>0$ tel que + $\|f_n-g\|_\infty=(f_n-g)(\alpha_n)$. +4. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $g$ sur $\R_+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1033] +Pour $N\in\N$ et $x\in\R\setminus\Z$, poser +$S_N(x)=\sum_{k=-N}^N\frac1{x+k}$. +1. Montrer la convergence simple de $(S_N)$ vers $S$ et que $S$ est + impaire et 1-périodique. +2. Montrer que $S$ est continue. +3. On admet $S(x/2)+S((x+1)/2)=2S(x)$. Poser + $f(x)=\pi\cot(\pi x)-S(x)$. Montrer que $f$ est continue, impaire et + 1-périodique. +4. Montrer que $f$ se prolonge continûment en 0 puis sur $\R$. +5. Montrer que $f$ est majorée et atteint un maximum $M$ en $a\in\R$. +6. Montrer que $f(a/2)=M$ et en déduire que $f=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1034] +Soit $(a_n)$ décroissante et positive, et $f_n(x)=a_nx^n(1-x)$ sur $[0,1]$. +1. Montrer que $\sum f_n$ converge simplement. +2. Montrer que $\sum f_n$ converge normalement si et seulement si + $\sum a_n/n$ converge. +3. Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément si et seulement si + $a_n\to0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1035] +Soit $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\sqrt{x+n}$. +1. Étudier la continuité et la dérivabilité de $S$. +2. Déterminer les limites de $S$ en 0 et en $+\infty$. +3. Montrer que, pour $x>0$, + $$S(x)=\frac1{\sqrt\pi}\int_0^{+\infty} + \frac{e^{-tx}}{\sqrt{t}(1+e^{-t})}dt.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1036] +Pour $n\geq1$, poser $u_n(x)=\arctan(nx)/n^2$. +1. Déterminer le domaine de définition de $S=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ + et étudier sa continuité. +2. Donner un équivalent de $S(x)$ quand $x\to0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1037] +Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{1-x^n}$. +1. Préciser son domaine de définition $D$. +2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $D$. +3. Pour $\psi(u)=e^{-u}/(1-e^{-u})$, trouver un équivalent de + $\sum_{n\geq1}\psi(nu)$ quand $u\to0^+$. +4. En déduire un équivalent de $f$ en $1^-$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1038] +Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=x/(x^2+n^2)$ et +$F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$. +1. Déterminer le domaine de définition de $F$. Est-elle de classe $C^1$ ? +2. Déterminer la limite de $F$ en $+\infty$. +3. La série $\sum f_n$ converge-t-elle uniformément sur son domaine ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1039] +Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=\frac{nx}{n^4+x^2}$ pour $x\geq0$ et +$S=\sum_{n\geq1}f_n$. +1. Montrer que la série converge simplement. +2. Montrer que $S$ est continue. +3. Montrer que $n^4+x^2\geq\frac12(n^2+x)^2$ et en déduire + $S(x)\leq\sum_{n\geq1}\frac{\sqrt{x}}{n^2+x}$. +4. Montrer que $S$ est bornée. +5. Montrer que $S(x)$ ne tend pas vers 0 quand $x\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1040] +Soit $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-x}$. +1. Montrer que $\zeta$ est de classe $C^\infty$ sur $]1,+\infty[$. +2. Déterminer ses variations (sans les limites) et étudier sa convexité. +3. Déterminer sa limite en $+\infty$. +4. Déterminer un équivalent de $\zeta$ en $1$. +5. $\ln(\zeta)$ est-elle convexe ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1041] +Soit $f\in C^\infty(\R,\R)$ telle que +$\sum_{n\in\N}f^{(n)}/n!$ converge uniformément sur tout segment de $\R$. +Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}/n!$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1042] +Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ln(n)x^n$. +1. Donner son domaine de définition. +2. Poser $g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(\ln(1+1/n)-1/n)x^n$. + Déterminer le domaine de définition de $g$. +3. Donner la limite et un équivalent de $f(x)$ quand $x\to1^-$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1043] +Soit $(u_n)$ définie par $u_0=u_1=1$ et +$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n/(n+2)$. +1. Déterminer la limite de $(u_n)$. +2. Poser $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$. Montrer que son rayon de + convergence est strictement positif, calculer $S$ sur son domaine, + puis déterminer explicitement $u_n$ et un équivalent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1044] +Soit $(F_n)$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et +$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. Calculer $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n$ +et déterminer son rayon de convergence. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1045] +Pour $n\in\N$, poser $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et +$h(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. +1. Si $R$ est le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$, donner celui de + $\sum a_n^3x^n$. +2. Étudier $(a_n)$. +3. Que peut-on dire de $R$ ? +4. Calculer $h(x)$. +5. Établir une relation entre $a_{n+2}$ et $a_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1046] +Soit $P\in\R[X]$ de degré 2. +1. Montrer que $e^{P(x)}$ est développable en série entière + $\sum a_nx^n$ et préciser son rayon de convergence. +2. Montrer qu'il n'existe pas d'indice $n$ tel que $a_{n+1}=a_n=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1047] +Pour $n\geq1$, poser $a_n=(-1)^n\ln(n)$ et +$S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. +1. Déterminer le rayon de convergence et le domaine de définition de $S$. +2. Montrer, en utilisant $(1+x)S(x)$, que la série converge en $x=1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1048] +Soit $f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\ln(1+1/k)x^k$ et $R$ son rayon. +1. Calculer $f(-R)$. +2. Déterminer la limite et un équivalent de $f(x)$ quand $x\to R^-$. +3. Calculer $\int_0^1(-1)^{\lfloor1/x\rfloor}x\,dx$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1049] +Soit $(a_n)$ une suite réelle non nulle telle que +$a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ pour $n\geq2$. Déterminer une fonction de +classe $C^\infty$ définie au voisinage de 0 telle que $f^{(n)}(0)=a_n$ +pour tout $n\in\N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1050] +Soit $(a_n)$ positive telle que $\sum a_n$ converge et +$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$, de rayon de convergence 1. +Montrer que $f(x)\to\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ quand $x\to1^-$. +Que dire si $\sum a_n$ diverge ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1051] +Soit $(a_n)$ sommable dans $\C$ et +$g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n/n!$. +1. Montrer que $g$ est définie et continue. +2. Montrer que $\int_0^{+\infty}e^{-t}g(t)dt=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$. +3. Supposons seulement que $\sum a_n$ converge. Poser + $A_n=\sum_{k=0}^na_k$, $A_{-1}=0$ et + $F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_{n-1}x^n/n!$. Montrer que $F$ est définie, + de classe $C^1$, que $\int_0^xe^{-t}g(t)dt=e^{-x}F(x)$, et que + l'égalité précédente reste vraie. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1052] +Soit $f(x)=e^{-1/x}$ si $x>0$ et $f(x)=0$ si $x\leq0$. +1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\R$. +2. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de tout + $a\in\R^*$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1053] +Soient $r>0$ et $E_r$ l'ensemble des fonctions développables en série +entière sur $]-r,r[$. Pour $f\in E_r$, poser +$\Phi(f)(x)=\int_0^x\frac{f(t)}{t+x}dt$. +1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E_r$. +2. Déterminer ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1054] +Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(2^nx)}{n!}$. +1. Justifier la définition de $f$ et préciser sa régularité. +2. La fonction $f$ est-elle développable en série entière ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1055] +Pour $n\in\N$, poser +$I_n=\int_0^1\frac{t^{n+1}\ln(t)}{1-t^2}dt$. +1. Montrer que $I_n$ existe. +2. Exprimer $I_n$ à l'aide d'une série. +3. Donner un équivalent de $I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1056] +Pour $n\geq1$, poser +$$I_n=\int_0^1\frac{dt}{(1+t^4)^n},\qquad +J_n=\frac1{4\sqrt n}\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^4}.$$ +1. Montrer que $I_n,J_n$ sont définies. +2. Montrer que $(I_n)$ est monotone, puis déterminer sa limite. +3. Montrer que $0\leq I_n\leq J_n$. +4. Montrer que $\ln(1+\alpha)\geq\alpha/(1+\alpha)$ pour $\alpha\geq0$. +5. Poser $K_n=\int_0^nt^{-3/4}(1+t/n)^{-n}dt$. Montrer que $(K_n)$ + converge et calculer sa limite. +6. En déduire un équivalent de $I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1057] +Pour $n\geq1$, poser $I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(nt)}{1+n^5t^3}dt$. +1. Montrer que $I_n$ est bien définie. +2. Déterminer sa limite puis un équivalent de $I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1058] +Pour $n\geq1$, poser $u_n=\int_0^1\frac{dt}{1+t+\cdots+t^{n-1}}$. +1. Montrer que $u_n$ est bien définie et que $\sum1/k^2$ converge. +2. Déterminer la limite de $(u_n)$. + Poser $S(n)=\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(nk+1)(nk+2)}$. +3. Montrer que $u_n=\ell+S(n)/n^2$ pour un réel $\ell$. +4. Montrer que $(S(n))$ admet une limite finie et en déduire un équivalent + de $u_n-\ell$. +5. Déterminer un développement asymptotique de $u_n-\ell$ à $o(1/n^3)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1059] +Pour $x>-1$, poser +$$f(x)=\int_0^{\pi/2}(\cos t)^xdt,\qquad +g(x)=(x+1)f(x)f(x+1).$$ +1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]-1,+\infty[$. +2. Établir des relations entre $f(x+2),f(x)$ puis entre $g(x+1),g(x)$. +3. Montrer que $f(x+1)\sim f(x)$ quand $x\to+\infty$. +4. Étudier les variations de $x\mapsto g(x)/(x+1)$. +5. Calculer $g(n)$ pour $n\in\N$. +6. Montrer que $g$ est constante et donner un équivalent de $f(x)$ en + $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1060] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}\ln(2+t)}{x+t}dt$. +1. Déterminer son intervalle de définition $I$. +2. Étudier la continuité de $f$ sur $I$. +3. Donner ses limites aux bornes de $I$. +4. Donner un équivalent de $f$ aux bornes de $I$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1061] +Soient +$$F(a)=\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{sh}(at)}{e^t-1}dt, +\qquad G(a)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2-a^2}.$$ +1. Montrer que $F$ est continue sur un domaine $D$ à déterminer. +2. $F$ est-elle de classe $C^\infty$ sur $D$ ? +3. Montrer que $G$ est continue sur son domaine de définition. +4. Montrer que $F(a)=aG(a)$ pour $a\in D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1062] +1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ converge. +2. Pour $x\geq0$, poser + $$F(x)=\int_0^1\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt, + \qquad G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt.$$ + Montrer que $(F+G)/2$ est constante, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$, + puis en déduire $I$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1063] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t}{1+t^2}e^{-xt}dt$. +1. Déterminer le domaine de définition. +2. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$. +3. Donner ses limites aux deux bornes. +4. Donner un équivalent aux deux bornes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1064] +Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, poser +$I_n(x)=\int_0^1(1-t^2)^n\cos(tx)dt$. +1. Montrer que $I_n$ est de classe $C^\infty$ et exprimer $I_n'$ en + fonction de $I_{n+1}$. +2. Déterminer une relation de récurrence entre $I_{n+1}(0)$ et $I_n(0)$. +3. En déduire la valeur de + $\sum_{k=0}^n(-1)^k/((2k+1)(n-k)!)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1065] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$. +1. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$. +2. Montrer que $f'(x)=\frac{\pi}{2(x+1)}$ pour $x>0$ et en déduire $f(x)$. +3. Étudier la convergence et calculer + $\int_0^{+\infty}(\arctan(x)/x)^2dx$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1066] +Soit $E$ l'espace des fonctions continues et bornées de $\R$ dans $\R$. +Pour $f\in E$, poser +$$\Phi(f)(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(tx)f(t)}{1+t^2}dt,$$ +et $N(f)=\sup_{t\in\R}|f(t)|$. +1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E$. +2. Montrer que $\Phi(f)$ est de classe $C^1$. +3. Pour $f_0(x)=1$ et $g=\Phi(f_0)$, calculer $g'$ et $g(1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1067] +Soient $a,b>0$ et +$$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t\cos(xt)dt.$$ +1. Montrer que $F$ est bien définie. +2. Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que + $$F(x)=C+\frac12\ln\left(\frac{a^2+x^2}{b^2+x^2}\right).$$ +3. Poser $\psi(t)=(e^{-at}-e^{-bt})/t$. Montrer que $\psi$ se prolonge + en une fonction $C^1$ sur $\R_+$ et que $\psi'$ est intégrable. + Calculer $C$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1068] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}{e^t-1}dt$. +1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$. +2. Montrer que $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{x^2+n^2}$. +3. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x\to+\infty$. +4. La série de fonctions $\sum x/(x^2+n^2)$ converge-t-elle uniformément ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1069] +Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}\ln(x+t)}{x+t}dt$. +1. Déterminer son domaine $D$. +2. Montrer que $f$ est continue sur $D$. +3. Déterminer ses limites aux bornes de $D$. +4. Donner des équivalents simples aux bornes de $D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1070] +Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+xt^2)}{t(1+t^2)}dt$. +1. Déterminer son domaine de définition. +2. Montrer que + $$F(x)=\frac12\int_0^x\frac{\ln t}{t-1}dt.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1071] +Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos(xt)dt$. +1. Déterminer son domaine de définition. +2. Montrer que $F$ est de classe $C^\infty$ sur son domaine. +3. Montrer que $F$ est développable en série entière en 0 et préciser + son développement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1072] +Pour $x\in\R$, poser $G(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2-x^2/t^2}dt$. +1. Montrer que $G$ est définie et continue sur $\R$. +2. Montrer que $G$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$. +3. Déterminer $G$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1073] +Pour $\alpha\in\R$, lorsque cela a un sens, poser +$I_\alpha=\int_1^{+\infty}|\sin(t)/t^\alpha|dt$. +1. Déterminer l'ensemble $D$ des $\alpha$ pour lesquels $I_\alpha$ converge. +2. Montrer que $F:\alpha\mapsto I_\alpha$ est continue sur $D$. +3. Déterminer la limite et un équivalent de $F(\alpha)$ au bord inférieur + de $D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1074] +On sait que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt\pi$. Soit +$\varphi:\R\to\R$ continue et bornée et, pour $n\geq1$, +$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac n\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} +\varphi(y)e^{-n(x-y)^2}dy.$$ +1. Montrer que $\psi_n$ est bien définie et de classe $C^1$. +2. Montrer que $(\psi_n)$ converge simplement sur $\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1075] +Soit $f\in C^{n+1}(\R,\R)$ telle que $f(0)=0$. Pour $x\neq0$, poser +$g(x)=f(x)/x$. +1. Montrer que $g(x)=\int_0^1f'(xt)dt$. +2. Pour $0\leq k\leq n$, déterminer $\lim_{x\to0^+}g^{(k)}(x)$ et + montrer que $g$ est de classe $C^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1076] +Soient $a0$, poser $f(x)=\int_0^1\ln(t)\ln(1-t^x)dt$. +Montrer que $f$ est définie et l'exprimer comme somme d'une série. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1078] +Soit $F(x)=\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}dt$ pour $x\in]0,1[$. +Montrer que $F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+x}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1079] +Soit $f:\R\to\R$ continue et intégrable. Montrer que +$y'-y=f(x)$ admet une unique solution bornée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1080] +On considère $2xy'(x)+y(x)=\frac1{1-x}$. +1. Résoudre l'équation sur les intervalles pertinents. +2. Montrer que sur $]-\infty,1[$ elle possède une unique solution + de classe $C^\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1081] +Soit $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{\binom{2n}{n}}$. +1. Déterminer le rayon $R$ et montrer que $S$ vérifie + $x(x-4)y'+(x+2)y=2$ sur $]-R,R[$. +2. En déduire une expression de $S(x)$ pour $x\in]0,4[$, puis calculer + $\sum_{n=0}^{+\infty}1/\binom{2n}{n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1082] +On considère $(1-x)y'-xy=0$, avec $y(0)=1$. +1. Déterminer la solution sur $]-\infty,1[$. +2. Montrer que $y$ est développable en série entière et donner une + récurrence pour ses coefficients. +3. Pour $n\in\N$, soit $D_n$ le nombre de permutations de $\{1,\ldots,n\}$ + sans point fixe. Montrer que $D_{n+1}=n(D_n+D_{n-1})$. +4. À l'aide des deux premières questions, donner une expression de $D_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1083] +On considère $4xf''(x)+2f'(x)+f(x)=0$. Déterminer les solutions +développables en série entière en 0. Avec le changement de variable +$t=\sqrt{x}$, déterminer toutes les solutions sur $\R_+^*$ et $\R_-^*$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1084] +On considère $t^2y''+ty'-(t^2+t+1)y=0$. +1. Déterminer les solutions développables en série entière au voisinage + de 0. +2. Trouver des solutions de la forme $t\mapsto t^re^{\alpha t}$. +3. Donner toutes les solutions. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1085] +Déterminer les fonctions $f:\R^2\to\R$ de classe $C^1$ telles que +$\frac{\partial f}{\partial x}-xy\frac{\partial f}{\partial y}=0$. +On pourra poser $(u,v)=(x,ye^{x^2/2})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1086] +Soit $f:\R^2\to\R$ de classe $C^2$ telle que $\Delta f=f_{xx}+f_{yy}=0$. +Pour $(r,\theta)\in\R^2$, poser $g(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)$. +1. Montrer que $g$ est de classe $C^2$ et établir l'équation polaire + vérifiée par $g$ sur $\R^*\times\R$. +2. Montrer que $F(r)=\int_0^{2\pi}g(r,\theta)d\theta$ est constante. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1087] +Soit $f:(x,y)\in(\R_+^*)^2\mapsto\frac1{xy}+x+y$. +Déterminer ses extrema. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1088] +Soit $A=\{(x,y)\in\R^2:x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}$ et +$f(x,y)=3x^2+2y^2+4xy-2x+3y$. Déterminer $\sup f$ et $\inf f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1089] +Soit +$U=\{(x,y)\in]-\pi/2,\pi/2[^2:x<0,\ y-x>\pi/2\}$ et +$f(x,y)=\tan(y)-\tan(x)+\tan(x-y)$. +1. Montrer que $f$ admet un minimum sur $U$ et le déterminer. +2. Pour un cercle $C$ du plan affine euclidien, déterminer les triangles + pleins contenant $C$ d'aire minimale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1090] +Soit $T=\{(x,y):x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}$ et +$f(x,y)=3x^2+2y^2+4xy-4x-3y+1$. Déterminer les extrema de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1091] +Soient +$$A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\1&2&3\end{pmatrix},\qquad +f(X)=(1+X^TAX)e^{-\|X\|^2},\quad X\in\R^3.$$ +Déterminer les extrema globaux de $f$ sur $\R^3$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1092] +Soit $f:\R^n\to\R$ de classe $C^2$ telle que +$\operatorname{Sp}(H_f(x))\subset[1,+\infty[$ pour tout $x$. +1. Pour $x\in\R^n$, poser $\varphi(t)=f(tx)$. Montrer que $\varphi$ est + $C^2$ et expliciter $\varphi',\varphi''$. +2. Pour $x,h\in\R^n$, comparer $h^TH_f(x)h$ et $\|h\|^2$. +3. Poser $\psi(t)=f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-t^2\|x\|^2/2$. + Montrer que $\psi$ est convexe. +4. Montrer que $f$ admet un minimum global. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1093] +On considère $N$ personnes se présentant à un examen qu'elles peuvent +repasser. Chaque tentative réussit avec probabilité $p\in]0,1[$, et +chacun s'arrête au premier succès. Soit $X_k$ le nombre de tentatives de +la personne $k$, $X$ le nombre total de candidatures et $Y$ le nombre de +sessions. Les $X_k$ sont indépendantes. Déterminer les lois, espérances et +variances de $X_k$, $X$ et $Y$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1094] +Deux groupes $D_1,D_2$ ont chacun $n$ équipes. On forme aléatoirement des +matchs par paires parmi les $2n$ équipes. Soit $A_n$ l'événement que chaque +match oppose une équipe de chaque groupe. +1. Calculer $\P(A_n)$ et donner un équivalent quand $n\to+\infty$. +2. Soit $X_n$ le nombre de matchs intergroupes. Calculer $\E(X_n)$. +3. Pour $n$ pair, calculer $\P(X_n=0)$ et déterminer la loi de $X_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1095] +On répartit au hasard $n$ boules dans $n$ boîtes, chaque boule choisissant +uniformément une boîte. Soit $X_n$ le nombre de boîtes vides. +1. Calculer $\E(X_n)$ et $V(X_n)$. +2. Déterminer les limites de $\E(X_n/n)$ et $V(X_n/n)$. +3. Pour $\varepsilon>0$, montrer que + $\P(|X_n/n-e^{-1}|\geq\varepsilon)\to0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1096] +Soient $r\geq2$ et $(X_n)$ i.i.d. uniformes sur $\{1,\ldots,r\}$. +Soit $A_n$ l'événement que, parmi $X_1,\ldots,X_{nr}$, chaque valeur +$k\in\{1,\ldots,r\}$ apparaisse exactement $n$ fois. Calculer $\P(A_n)$, +puis $\P(\bigcap_{n\geq1}\bigcup_{p\geq n}A_p)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1097] +On lance une pièce jusqu'à obtenir deux piles. Soit $X$ le nombre de faces. +1. Déterminer la loi de $X$. +2. $X$ est-elle d'espérance finie ? La calculer si oui. +On tire ensuite une boule parmi $X+1$ boules numérotées de 0 à $X$ et on +note $Y$ son numéro. +3. Déterminer la loi de $Y$. +4. $Y$ est-elle d'espérance finie ? La calculer si oui. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1098] +Soit $N\sim\mathcal G(p)$. On réalise $N$ lancers d'une pièce équilibrée +et note $X$ le nombre de faces. +1. Montrer que $X$ est une variable aléatoire discrète. +2. Déterminer la loi de $X$ sachant $N=n$. +3. Pour $k\in\N$, donner le rayon et la somme de + $\sum_{n\geq k}\binom nkx^n$. +4. Déterminer la loi de $X$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1099] +Soient $r\in\N$ et $Z_1,\ldots,Z_r$ indépendantes telles que $Z_1=1$ et +$Z_i\sim\mathcal G((r-i+1)/r)$ pour $2\leq i\leq r$. Poser +$C_r=Z_1+\cdots+Z_r$. Déterminer son espérance et sa variance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1100] +Pour $s>1$, poser $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-s}$ et définir une +probabilité sur $(\N^*,\mathcal P(\N^*))$ par +$\P(\{n\})=1/(\zeta(s)n^s)$. +1. Pour $k\geq1$, poser $M_k=k\N^*$. Montrer que $\P(M_k)=k^{-s}$. +2. Montrer que les événements $M_{p_1},\ldots,M_{p_k}$ sont indépendants + si $p_i$ sont des nombres premiers distincts. +3. Montrer que $\P(\bigcap_iM_{p_i}^c)=\prod_i(1-p_i^{-s})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1101] +Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique $\mathcal G(p)$, +$p\in]0,1[$. Déterminer la loi de $X+Y$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1102] +Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$. Soient $X,Y$ indépendantes et +uniformes sur l'ensemble des parties de $E$. Déterminer la loi de +$Z=|X\cap Y|$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1103] +Soit $Z$ uniforme sur l'ensemble $U_n$ des racines $n$-ièmes de l'unité. +Poser $X=\operatorname{Re}(Z)$ et $Y=\operatorname{Im}(Z)$. Calculer +$\operatorname{Cov}(X,Y)$. $X,Y$ sont-elles indépendantes ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1104] +Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$, +$Z=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=ZZ^T$. +1. Déterminer les lois de $\operatorname{rg}(M)$ et $\operatorname{Tr}(M)$. +2. Déterminer la probabilité que $M$ soit une projection. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1105] +Soient $(\varepsilon_k)_{k\geq1}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. +Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que, pour tout $\varepsilon>0$, +$$\P\left(\left|\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac kn+\varepsilon_k\right) +-\ell\right|\geq\varepsilon\right)\longrightarrow0.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1106] +Soit $f(t)=\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1]$ et $(\varepsilon_n)$ i.i.d. +uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser +$$I_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n),\qquad +X_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n)(1-\varepsilon_k).$$ +1. Montrer que $(I_n)$ converge et calculer sa limite $\ell$. +2. Pour $\varepsilon>0$, déterminer la limite de $\P(|X_n-\ell|\geq\varepsilon)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1107] +Soit $n\geq2$. On tire sans remise les boules numérotées de 1 à $n$ et +$X_k$ est le résultat du $k$-ième tirage. Soit $T_k$ l'indicatrice de +$X_k>\max(X_1,\ldots,X_{k-1})$ et $S_n=\sum_{k=1}^nT_k$. +1. Calculer $\P(S_n=1)$ et $\P(S_n=n)$. +2. Donner la loi de $T_k$ et l'espérance de $S_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1108] +1. Calculer $I_{p,q}=\int_0^1t^p(1-t)^qdt$ pour $p,q\in\N$. +2. On choisit uniformément une urne $U_i$ parmi $p$ urnes, l'urne $U_i$ + contenant $i$ boules blanches et $p-i$ noires. On tire avec remise + $2n$ boules et $A_{n,p}$ est l'événement d'obtenir $n$ blanches et + $n$ noires. Écrire $\P(A_{n,p})$ comme somme, puis calculer ses limites + quand $n\to+\infty$ et quand $p\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1109] +Soit $(X,Y)$ à valeurs dans $\N^2$ avec $X\leq Y$, $\P(X=n)>0$ et la +loi conditionnelle de $Y$ sachant $X=n$ uniforme sur $\{0,\ldots,n\}$. +1. Exprimer la loi de $Y$ en fonction de celle de $X$ et montrer que + $Y$ et $X-Y$ suivent la même loi. +2. Si $Y+1$ suit une loi géométrique de paramètre $p$, déterminer la loi + de $X$ et montrer que $Y$ et $X-Y$ sont indépendantes. +3. Réciproquement, montrer que leur indépendance entraîne que $Y+1$ est + géométrique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1110] +Pour $k=1,\ldots,n$, l'urne $k$ contient une boule noire et $k$ boules +blanches. On tire une boule de chaque urne indépendamment. Soit $X_n$ le +nombre de boules noires tirées et $A_k$ l'événement que le tirage de l'urne +$k$ donne une boule noire. +1. Montrer que $X_n=\sum_{k=1}^n1_{A_k}$ et calculer $\E(X_n)$. +2. Calculer $V(X_n)$ et montrer $V(X_n)\leq\E(X_n)$. +3. Pour $\varepsilon>0$, montrer que + $\P(|X_n-\E(X_n)|>\varepsilon\E(X_n))\leq1/(\varepsilon^2\E(X_n))$. +4. Montrer $\ln(n+2)-1\leq\E(X_n)\leq\ln(n+1)$. +5. En déduire que $X_n/\E(X_n)\to1$ en probabilité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1111] +Une puce se déplace sur $\{0,\ldots,n-1\}$, modulo $n$, depuis $k$ vers +$k+1$ ou $k-1$ avec probabilité $1/2$. On note $X_k$ sa position à +l'instant $k$ et $U_k=(\P(X_k=0),\ldots,\P(X_k=n-1))^T$. +1. Donner $A\in M_n(\R)$ telle que $U_{k+1}=AU_k$. +2. $A$ est-elle diagonalisable ? Déterminer ses sous-espaces propres. +3. Pour chaque $i$, déterminer $\lim_{k\to\infty}\P(X_k=i)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1112] +Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(1/2)$, +$S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et +$u_n=\sum_{k=1}^n\binom nk\ln(k)$. Poser $f(0)=0$ et $f(x)=\ln x$ pour +$x\in]0,1]$. +1. Montrer que $\P(S_n/n\leq1/4)=O(1/n)$. +2. Exprimer $\E(f(S_n/n))$ en fonction de $u_n$. +3. Montrer que $|f(S_n/n)-f(1/2)|\leq\ln n+\ln2$. +4. Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $[1/4,1]$. +5. En déduire un équivalent de $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1113] +Soit $T$ à valeurs dans $\N$, avec $\P(T\geq n)>0$ pour tout $n\in\N$, et $t_n=\P(T=n\mid T\geq n)$. +1. Exprimer $\P(T\geq n+1\mid T\geq n)$ à l'aide des $t_k$. +2. Exprimer $\P(T\geq n)$ et $\P(T=n)$ à l'aide des $t_k$. +3. Montrer que $t_n\in[0,1[$ et que $\sum t_n$ diverge. +4. Réciproquement, pour $(t_n)\in[0,1[^\N$ telle que $\sum t_n$ diverge, construire $T$ telle que $\P(T=n\mid T\geq n)=t_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1114] +On dit que $X$ est presque sûrement bornée s'il existe $c\geq0$ avec $\P(|X|\leq c)=1$ ; $X$ admet un moment d'ordre $k$ si $\E(|X|^k)<+\infty$. +1. Existe-t-il des variables ayant des moments à tout ordre sans être presque sûrement bornées ? +2. Soient $X,Y$ ayant des moments à tout ordre, $Y$ presque sûrement bornée et $\E(X^k)=\E(Y^k)$ pour tout $k\in\N$. Montrer que $X$ est presque sûrement bornée et que $X,Y$ ont même loi. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1115] +Soit $(p_n)_{n\in\N}\subset]0,1[$ telle que $\sum p_n$ converge. Soient $(X_n)$ indépendantes avec $X_n\sim\mathcal B(p_n)$. Poser $S_n=\sum_{k=0}^nX_k$ et $S=\lim S_n$. +1. Exprimer $(S\geq m)$ en fonction des événements $(S_n\geq m)$ et en déduire que $S$ est une variable aléatoire. +2. Montrer que $S$ est finie presque sûrement. +3. Montrer que $S$ est d'espérance finie et la calculer. +4. Donner la loi de $S$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1116] +Soient $X,Y$ réelles et $(X_n),(Y_n)$ définies sur le même espace probabilisé, avec $X_n\to X$ et $Y_n\to Y$ en probabilité. +1. Si $|x+y|\geq\varepsilon$, montrer que $|x|\geq\varepsilon/2$ ou $|y|\geq\varepsilon/2$. +2. Montrer que $X_n+Y_n\to X+Y$ en probabilité. +3. Pour $(U_n)$ i.i.d. de Bernoulli($p$), poser $V_k=U_k+U_{k+1}$. Montrer que $n^{-1}\sum_{i=1}^nV_i\to2p$ en probabilité. +4. Montrer que $\P(|X|>M)\to0$ quand $M\to+\infty$. +5. Montrer que $X_nY_n\to XY$ en probabilité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1117] +Soit $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$, $p\in]0,1[$. Poser $P_k=\prod_{i=1}^kX_i$, $R_n=\sum_{k=1}^nP_k$ et $R=\sum_{k\geq1}P_k$. +1. Donner loi, espérance et variance de $P_k$. +2. Montrer que $R$ est discrète et donner sa loi. +3. Montrer que $R_n,R$ sont d'espérance finie et que $\E(|R_n-R|)\to0$. +4. Montrer que $(R_n\to R)$ est un événement. +5. Montrer que $\P(R_n\to R)=1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1118] +Soient $X,Y$ indépendantes et $A=\begin{pmatrix}X&0\\2&Y\end{pmatrix}$. +1. Pour $n\geq2$, avec $X\sim\mathcal B(n,1/4)$ et $Y\sim\mathcal B(n,3/4)$, calculer les probabilités que $A$ soit inversible, diagonalisable. +2. Même question avec $X\sim\mathcal G(p_1)$, $Y\sim\mathcal G(p_2)$, $p_1,p_2\in]0,1[$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1119] +Soient $p\in]0,1[$ et $(\varepsilon_k)_{k\in\N}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$. Soit $r(n)$ le reste modulo $3$ et $X_{n+1}=r(X_n+2-\varepsilon_n)$, avec $X_0\in\{0,1,2\}$. Poser $V_n=(a_n,b_n,c_n)^T=(\P(X_n=0),\P(X_n=1),\P(X_n=2))$. +1. Justifier $a_n+b_n+c_n=1$. +2. Pour $Q=\begin{pmatrix}0&p&1-p\\1-p&0&p\\p&1-p&0\end{pmatrix}$, montrer $V_{n+1}=QV_n$. +3. Montrer que $Q$ est diagonalisable. La suite $(V_n)$ converge-t-elle ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1120] +Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. et $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. +1. Si $X_1$ est uniforme sur $\{1,\ldots,N\}$, calculer $\P(M_n0$, montrer $\E(|M_n-x_N|^p)\to0$ pour tout $p\geq1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1121] +Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. uniformes sur $\{1,\ldots,N\}$. Poser $S_n=\sum X_k$, $m=\E(X_1)$, $V_n=(S_n-nm)/(\sqrt n\,\sigma(X_1))$ et $M_n(t)=\E(e^{tV_n})$. Montrer $M_n(t)\to e^{t^2/2}$ pour tout $t\in\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1122] +Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser $S_0=0$, $S_n=S_{n-1}+X_n$ et $A_n=|S_n|$. +1. Déterminer la loi de $(S_n+n)/2$, puis $\E(S_n)$ et $\V(S_n)$. +2. Déterminer $A_n(\Omega)$. +3. Montrer $\E(A_{n+1})=\E(A_n)+\P(S_n=0)$. Indication : $|x+y|=|x|+\operatorname{sgn}(x)y$ pour $x\in\Z$, $y\in\{-1,1\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1123] +Soient $(\varepsilon_n)_{n\geq2}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser $X_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k+\varepsilon_k}$ et $I_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k}$. +1. Montrer qu'il existe $M\geq0$ tel que $|X_n-I_n|\leq M$. +2. Donner un équivalent simple de $I_n$. +3. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, $\P(|2X_n/\ln^2 n-1|\geq\varepsilon)\to0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1124] +Pour $n\geq1$, soient $X_n,Y_n$ indépendantes uniformes sur $\{1,\ldots,n\}$ et $Z_n=|X_n-Y_n|$. +1. Calculer $\E(Z_n)$ et $\V(Z_n)$. +2. Déterminer le comportement asymptotique de ces suites. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1125] +Pour $X$ réelle à image finie, poser $L_X(t)=\E(e^{tX})$. Montrer que $L_X$ caractérise la loi de $X$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1126] +Soient $(X_n)_{n\in\N}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(2/3)$. Pour $k\geq1$, poser $A_k=(X_{2k-1}X_{2k}=0)$ et $T=\min\{k\geq1:X_{k-1}=X_k=0\}$. +1. Montrer $\P(\bigcap_{k\geq1}A_k)=1$ et en déduire $\P(T\in\N^*)=1$. +2. Donner une récurrence d'ordre 2 sur $\P(T=n)$. +3. Déterminer $\E(T)$, éventuellement à l'aide d'une fonction génératrice. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1127] +On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec probabilité $p\in]0,1[$. Soit $X$ le rang du premier pile. Sachant que le premier pile est au $k$-ième lancer, choisir $Z$ uniformément entre $1$ et $k$. +1. Donner la loi de $X$. +2. Poser $Y=1/(X(X+1))$. Montrer que $Y$ est d'espérance finie et la calculer. +3. Donner la loi de $Z$. +4. Calculer $\E(Z)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1128] +1. Soit $\alpha>0$. Montrer qu'il existe une variable $X$ à valeurs dans $\N$ telle que $G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$ pour tout $t\in[-1,1]$. +2. Donner un équivalent de $\P(X=n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1129] +Poser $g(t)=\frac{e^t}{1+e-t}$. +1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ telle que $g=G_X$ sur $[-1,1]$. +2. La variance de $X$ est-elle définie ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1130] +Soient $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$ et $Y$ à valeurs dans $\N^*$, indépendant des $X_n$. Poser $W=\sum_{i=1}^Y X_i$. +1. Relation entre les fonctions génératrices de $X_1$ et $X_1+\cdots+X_n$. +2. Pour $s\geq0$, calculer $\E(s^W\mathbf1_{Y=n})$ et en déduire $G_W=G_Y\circ G_{X_1}$. +3. Calculer $\E(W)$ en fonction de $\E(X_1),\E(Y)$. +4. Si $X_1,Y$ admettent des variances, calculer $\V(W)$. +5. Si $X_1\sim\mathcal B(p)$, donner la loi de $W$ pour $Y\sim\mathcal G(q)$, puis pour $Y\sim\mathcal P(\lambda)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1131] +Soient $N\geq2$, $b\in\{0,\ldots,N\}$. Une urne contient initialement $b$ boules bleues et $N-b$ rouges. À chaque tour, tirer une boule et la remplacer par une boule de l'autre couleur. Soit $X_n$ le nombre de boules bleues après $n$ tours. +1. Exprimer $\P(X_{n+1}=i)$ en fonction de la loi de $X_n$. +2. Calculer $\E(X_n)$ et sa limite. +3. Pour $G_n(s)=\E(s^{X_n})$, trouver une relation entre $G_{n+1},G_n,G_n'$. +4. En déduire une récurrence sur $\V(X_n)$. +#+end_exercice + +* Centrale MP-MPI 2026 +** Algèbre + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1132] +Soient $a=2^{1/3}$ et $L=\Q[a]$. +1. Définir un polynôme irréductible dans $K[X]$ et énoncer Bézout. Montrer que $X^3-2$ est irréductible sur $\Q$. +2. Montrer que $L$ est un $\Q$-espace vectoriel et un corps. En donner la dimension et une base. +3. Poser $B=1+a+a^2$. Montrer que $f:x\mapsto Bx$ est un automorphisme de $L$. Donner ses polynômes caractéristique et minimal. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1133] +1. Montrer que tout idéal non nul de $K[X]$, pour $K\subset\C$ un sous-corps, possède un unique générateur unitaire. +2. Pour un nombre algébrique $\alpha$, montrer qu'il existe un unique polynôme minimal unitaire $\mu_\alpha\in\Q[X]$ tel que $P(\alpha)=0\iff\mu_\alpha\mid P$ pour tout $P\in\Q[X]$. +3. Quels rationnels sont algébriques ? Donner leur polynôme minimal. +4. $\sqrt2$ est-il algébrique ? Donner son polynôme minimal. +5. Soient $\alpha,\beta$ algébriques de degrés $m,n$. Ordonner les $(\alpha^i\beta^j)_{0\leq i0$ tel que $(x-\delta,x+\delta)\cap X=\{x\}$ pour tout $x\in X$. +1. Démontrer Heine. +2. Donner un exemple explicite montrant $]0,1]\notin H$. +3. Montrer que toute partie espacée appartient à $H$. +4. Construire $X\in H$ et $f:X\to\R$ continue telle que $f(X)\notin H$. +5. Montrer que tout élément de $H$ est fermé dans $\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1162] +Soit $(E,\|\cdot\|)$ normé. +1. Rappeler les définitions de segment, ensemble convexe, frontière, et montrer que $\operatorname{conv}(A)$ (intersection des convexes contenant $A$) est convexe et contient $A$. +2. Si $K\subset E$ est convexe compact et $x\in K\setminus\partial K$, $x\neq0$, poser $D=\operatorname{Vect}(x)$. Montrer $D\cap K=[y,z]$ pour $y,z\in\partial K$. +3. Si $K$ est compact convexe d'intérieur non vide, montrer $K=\operatorname{conv}(\partial K)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1163] +1. Définir la convexité d'une fonction et la caractériser par $f'$ lorsqu'elle est dérivable. +2. Pour $\ell^p=\{x\in\R^\N:\sum|x_n|^p<+\infty\}$, montrer que c'est un espace vectoriel normé pour $\|x\|_p=(\sum_{n\geq0}|x_n|^p)^{1/p}$. +3. Trouver une suite $(x_k)$ dont le sous-espace engendré est dense dans $\ell^p$, puis une partie dénombrable dense. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1164] +Soient $E$ normé, $X$ compact et $f:E\to E$ continue. Que peut-on dire de $f(X)$ ? On suppose ensuite $f(X)\subset X$ et $\|f(x)-f(y)\|\geq\|x-y\|$ sur $X$. +1. Pour $a\in X$, poser $u_0=a$, $u_{n+1}=f(u_n)$. Montrer qu'une sous-suite converge vers $a$. +2. Montrer $\|f(a)-f(b)\|=\|a-b\|$ pour tous $a,b\in X$, puis que $f$ est bijective. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1165] +Pour $K=\R$ ou $\C$, munir $K^n$ de la norme euclidienne et noter $\|\!|\!|M\|\!|\!|_K=\sup_{\|x\|_K=1}\|Mx\|_K$. +1. Montrer que c'est une norme sur $M_n(K)$. +2. Pour $x\in\C^n$, montrer $\|x\|_\C^2=\|\Re x\|_\R^2+\|\Im x\|_\R^2$, puis que les normes subordonnées réelle et complexe coïncident pour $M\in M_n(\R)$. +3. Si $\|\!|\!|N-I_n\|\!|\!|_\R<1$, montrer que les valeurs propres $\lambda$ vérifient $|\lambda-1|<1$, puis que $N$ est inversible. +4. Montrer $\sum_{k\geq0}(I_n-N)^k=N^{-1}$ et la borne correspondante. Montrer ensuite $\Re(\lambda)>0$, donc $\det N>0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1166] +Munir $\C^n$ d'une norme et considérer sa norme subordonnée sur $M_n(\C)$. +1. La définir, montrer que c'est une norme sous-multiplicative. +2. Pour $A$ inversible, $A+\widetilde A$ inversible, $Ax_0=b$ et $(A+\widetilde A)x_p=b$, établir +$$\frac{\|x_0-x_p\|}{\|x_p\|}\leq\kappa(A)\frac{\|\!|\!|\widetilde A\|\!|\!|}{\|\!|\!|A\|\!|\!|},\qquad \kappa(A)=\|\!|\!|A\|\!|\!|\|\!|\!|A^{-1}\|\!|\!|.$$ +3. Si $\|\!|\!|\widetilde A\|\!|\!|<1/\|\!|\!|A^{-1}\|\!|\!|$, $b\neq0$ et $(A+\widetilde A)x_p=b+\widetilde b$, établir la borne d'erreur avec $\widetilde A,\widetilde b$. Montrer qu'il peut y avoir égalité pour des choix optimaux. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1167] +1. Définir un polynôme simplement scindé, en donner et démontrer une caractérisation. Dans la suite $P=X^3+aX+b\in\C[X]$. +2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b$ pour que $P$ soit simplement scindé. +3. Si $a,b\in\R$, donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\{(x,y)\in\R^2:y^2=P(x)\}$ soit connexe par arcs. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1168] +1. Énoncer et démontrer l'égalité des accroissements finis. +2. Pour $f(x)=\sin(x)/x$ sur $\R^*$, montrer que son prolongement en $0$ est $C^\infty$ et que toutes ses dérivées sont bornées. +3. Soient $T>0$, $N\geq1$, $h=T/N$, $(\varepsilon_k)_{0\leq k-1$ et $\sum a_n^2$ converge. Poser $p_n=\prod_{k=1}^n(1+a_k)$. +1. Rappeler le théorème de convergence radiale d'Abel. +2. Montrer que $(p_n)$ converge vers une limite strictement positive si et seulement si $\sum a_n$ converge. +3. Construire $(b_n)$ avec $b_n=O(a_n^2)$ telle que, pour $x\in[0,1]$, +$$\left|\ln(1+a_nx^n)-\ln(1+a_n)+\frac{a_n}{1+a_n}(1-x^n)\right|\leq b_n(1-x^n).$$ +4. Si $\sum a_n$ converge, montrer $\prod_{n\geq0}(1+a_nx^n)\to\prod_{n\geq0}(1+a_n)$ quand $x\to1^-$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1174] +Pour $k\in\N$, poser $f_k(x)=\sin((k!)^2x)/k!$ et $W=\sum_{k\geq0}f_k$. +1. Montrer que $W$ est définie sur $\R$ et continue. Poser $W_n=\sum_{k=0}^nf_k$ et $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}f_k$ ; montrer $|R_n(t)|\leq2/(n+1)!$. +2. Pour $x\in\R$, poser $I_n=]x+\pi/(n!)^2,x+3\pi/(n!)^2[$. Montrer que, pour $y\in I_n$, $|W_{n-1}(x)-W_{n-1}(y)|\leq4\pi/(n\,n!)$. +3. Montrer qu'il existe $x_n\in I_n$ tel que $|f_n(x)-f_n(x_n)|=1/n!$. +4. En déduire que $W$ n'est dérivable en aucun point. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1175] +Déterminer le rayon de convergence et la somme de $\sum_{n\geq0}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1176] +1. Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière. +2. Pour $r\in\N$, déterminer le rayon de convergence de $\sum_{k\geq0}\frac{k^r}{k!}x^k$. +3. Si $\alpha_n$ est le nombre de partitions de $\{1,\ldots,n\}$ et $\alpha_0=1$, calculer $\alpha_1,\ldots,\alpha_4$. +4. Montrer $\alpha_{n+1}=\sum_{i=0}^n\binom ni\alpha_i$. +5. Calculer le rayon de convergence de $\sum\alpha_i x^i$. +6. Calculer le rayon de convergence et la somme de $\sum_{i\geq0}\frac{\alpha_i}{i!}x^i$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1177] +1. Soient $f,g:\R\to\R$ continues par morceaux avec $f=o(g)$ à $+\infty$. Donner et démontrer des conditions suffisantes pour que $\int_x^{+\infty}f(t)\,dt=o(\int_x^{+\infty}g(t)\,dt)$. +2. Pour $H(x)=e^{x^2}\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,dt$, montrer que $H$ est développable en série entière sur $\R$ et donner son développement. +3. Étudier les variations, la convexité et les limites de $H$ en $\pm\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1178] +1. Montrer qu'une série entière de rayon $R$ converge normalement sur tout disque fermé de rayon $r0$, calculer $\int_0^{2\pi}f(re^{it})e^{-ipt}\,dt$. En déduire que si $f$ est bornée sur $\C$, elle est constante. +3. S'il existe une suite $(z_k)\to0$ avec $f(z_k)=0$ pour tout $k$, montrer que $f$ est nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1183] +Soit $I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t/n)}{t(1+t^2)}\,dt$ pour $n\geq1$. +1. Montrer que $I_n$ est bien définie. +2. Donner un équivalent simple quand $n\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1184] +1. Rappeler le développement en série entière de $\arctan$ et son rayon de convergence. +2. Poser $I=\int_0^1\frac{\arctan(t)}{\sqrt t}\,dt$. Exprimer $I$ sous forme de somme. +3. Calculer $J=\sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{4k+3}$ et en déduire $I$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1185] +Considérer $(E):y''+y=c$, où $c\in C^0(\R,\R)$ est $2\pi$-périodique. +1. Énoncer Cauchy-Lipschitz linéaire et exprimer une solution particulière sous forme intégrale. +2. Si $f\in C^2(\R,\R)$ vérifie $f''+f\geq0$, montrer $f(t)+f(t+\pi)\geq0$. +3. Sur les fonctions continues $2\pi$-périodiques, utiliser $\langle f,g\rangle=\int_0^{2\pi}f(t)g(t)\,dt$ pour montrer l'équivalence : $c\in\operatorname{Vect}(\cos,\sin)^\perp$ ; toute solution est $2\pi$-périodique ; $(E)$ admet une solution $2\pi$-périodique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1186] +1. Énoncer Cauchy linéaire. +2. Étudier son application à $(E):xy''+y'+y=0$, après mise sous forme normalisée, notamment en $x=0$. +3. Chercher une solution développable en série entière et déterminer son rayon de convergence. Préciser son domaine et vérifier l'équation. +4. Justifier que les solutions sur $]0,+\infty[$ forment un espace vectoriel de dimension $2$. Cauchy s'applique-t-il en $x_0=0$ ? +5. Existe-t-il une seconde solution non proportionnelle à $f$ ? On pourra chercher $g=f\ln x+h$ avec $h$ en série entière et comparer les comportements en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1187] +Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie. +1. Rappeler la formule d'intégration le long d'un arc. +2. Soit $A\neq\varnothing$, $f:A\to A$ $k$-lipschitzienne avec $k\in[0,1[$. Pour $x_0=x$, $x_{n+1}=f(x_n)$, montrer la convergence vers l'unique point fixe. +3. Soit $\Omega$ ouvert contenant $0$ et $f:\Omega\to E$ de classe $C^1$, avec $f(0)=0$, $df(0)=\operatorname{id}$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour $r\in]0,\alpha]$, $(f-\operatorname{id})(B_r)\subset B_{r/2}$ et $f-\operatorname{id}$ est $1/2$-lipschitzienne sur $B_r$. +4. En déduire $B_{r/2}\subset f(B_r)$. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1188] +Soient $n,p,k\in\N$ tels que $00$, donner les lois de $X,Y$, puis $\E(X)$ et $\V(X)$. +3. Montrer que $X,Y$ sont indépendantes. +4. Calculer $\operatorname{Cov}(X,N)$. $X,N$ sont-elles indépendantes ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1190] +Soit $\mathfrak S_n$ l'ensemble des bijections de $\{1,\ldots,n\}$ et $T$ l'ensemble des transpositions. +1. Montrer que $\mathfrak S_n$ est engendré par $T$. +Pour $p\geq1$, choisir uniformément $2p$ entiers dans $\{1,\ldots,n\}$, notés $X_1,Y_1,\ldots,X_p,Y_p$, et poser $S=(X_1Y_1)\circ\cdots\circ(X_pY_p)$. +2. Décrire l'espace probabilisé. +3. La variable aléatoire $S$ peut-elle suivre une loi uniforme sur $\mathfrak S_n$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1191] +Une plateforme mobile part de $0$ sur $\Z$ et à chaque étape avance de $+1$ avec probabilité $p$, de $-1$ avec $q=1-p$. Soit $X_n$ sa position à l'étape $n$. +1. Calculer $\P(X_n=0)$. +2. Déterminer la loi de $X_n$. +3. Calculer $\operatorname{Cov}(X_n,X_k)$ pour $k\leq n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1192] +1. Énoncer et démontrer la loi faible des grands nombres. +2. Soit $A=\Z[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2:(a,b)\in\Z^2\}$. Montrer que $A$ est un anneau et déterminer ses inversibles, puis montrer que $A$ est dense dans $\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1193] +1. Rappeler la définition d'une distribution de probabilités sur $\N$. +2. Soit $(u_n)$ réelle avec $u_0=1$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(u_n-u_{n+1})$ soit une distribution. Soit alors $X$ de loi $\P(X=n)=u_n-u_{n+1}$. +3. Étudier les liens logiques entre $\E(X)<+\infty$ et l'existence de $\rho\in]0,1[$ tel que $u_n=O(\rho^n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1194] +1. Rappeler la loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ et donner son espérance et sa variance. +2. Si $X_1,\ldots,X_n$ sont indépendantes de loi $\mathcal P(1)$, donner la loi de leur somme $S_n$. +3. Pour $a0$. +1. Montrer que $X$ est intégrable et calculer son espérance. +2. Calculer $\varphi_X(t)=\E(e^{itX})$. +3. Pour $k\in\N$, montrer $\int_{-\pi}^{\pi}\exp(k(e^{it}-1-it))\,dt=2\pi k^k e^{-k}/k!$. +4. En admettant $\int_\R e^{-u^2/2}\,du=\sqrt{2\pi}$, retrouver Stirling. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1196] +1. Rappeler l'inégalité triangulaire dans $\C$ et son cas d'égalité. +2. Si $X\geq0$ est d'espérance nulle, que peut-on dire de $X$ ? Le démontrer. +3. Si $X$ est de variance finie et $\V(X)=0$, que peut-on dire ? Le démontrer. +Soit $X$ à valeurs dans $\Z$ et à support fini, $(X_i)$ i.i.d. de même loi, $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$, $g_n(t)=\E(e^{itS_n})$ et $f(t)=\E(e^{itX})$. +4. Montrer que $f,g_n$ sont bien définies et continues, et préciser le lien entre elles. +5. Montrer $\P(S_n=k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)^ne^{-ikt}\,dt$. +6. Si $\P(X=0),\P(X=1)>0$, montrer $|f(t)|<1$ pour $t\in[-\pi,\pi]\setminus\{0\}$, donner un DL à l'ordre 2 de $|f(t)|^2$ en 0 et établir $\sup_{k\in\Z}\P(S_n=k)\leq c/\sqrt n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1197] +Soit $\sigma_n$ uniforme sur le groupe $\mathfrak S_n$. Les orbites de $x$ sont $O(x,\sigma)=\{\sigma^k(x):k\in\Z\}$. +1. Rappeler la définition d'une partition et montrer que les orbites partitionnent $\{1,\ldots,n\}$. +2. Noter $C_n$ le nombre d'orbites, $N_{k,n}$ le nombre d'orbites de taille $k$ et $L_i$ la taille de l'orbite de $i$. Déterminer la loi de $L_1$, calculer $\E(C_n)$ et en donner un équivalent. +3. Calculer $\V(C_n)$ et son équivalent, montrer $C_n/\ln n\to1$ en probabilité, puis montrer $N_{k,n}$ converge en loi vers $\mathcal P(1/k)$ pour tout $k\geq1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1198] +Soit $A\in S_n^{++}(\R)$, de valeurs propres ordonnées $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$, et une base orthonormée de vecteurs propres $(e_i)$. Soit $X=\sum x_ie_i$ de norme $1$. +1. Énoncer et démontrer Cauchy-Schwarz dans un espace préhilbertien. +2. Pour $\lambda_i>0$, montrer $(\sum x_i^2)^2\leq(\sum\lambda_ix_i^2)(\sum x_i^2/\lambda_i)$. +3. Construire $U$ telle que $\P(U=\lambda_i)=x_i^2$. +4. Montrer $\E(1/U)\leq(\lambda_1+\lambda_n-\E(U))/(\lambda_1\lambda_n)$. +5. En déduire $1\leq(X^TAX)(X^TA^{-1}X)\leq(\lambda_1+\lambda_n)^2/(4\lambda_1\lambda_n)$. +#+end_exercice + +* Centrale PSI 2026 +** Algèbre + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1199] +Soient $n\geq2$ et $E=M_n(\R)$. +1. Calculer $E_{i,j}E_{p,\ell}$. +2. Pour $K,L\in E$, poser $u_{K,L}(M)=KM-ML$. Calculer $\operatorname{tr}(u_{K,L})$. +3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $u_{K,L}=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1200] +1. Pour $M_0=(m_{ij})$ et $M_x=(m_{ij}+x)$, montrer qu'il existe $\alpha\in\R$ tel que $\det(M_x)=\alpha x+\det(M_0)$. +2. Pour $A_{a,b,c}=(a_{ij})$ définie par $a_{ii}=a$, $a_{ij}=b$ si $ij$, calculer son déterminant si $b\neq c$, puis si $b=c$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1201] +Soit $A\in M_n(\R)$ triangulaire supérieure de diagonale $(1,2,\ldots,n)$. Étudier les solutions de $M^2=A$. +1. Résoudre pour $n=2$ et $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$. +2. Pour $n=2$ et $A$ quelconque satisfaisant les hypothèses, donner le nombre de solutions. +3. Pour $n$ quelconque, donner le nombre de solutions et dire si elles sont toutes triangulaires supérieures. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1202] +1. Dans la base canonique $(e_1,e_2)$ de $\R^2$, soit $p$ le projecteur sur $\operatorname{Vect}(e_1)$ parallèlement à $\operatorname{Vect}(e_1+e_2)$. Donner sa matrice $A$ et déterminer les $B$ telles que $AB-BA=B$. +2. Pour $f\in\mathcal L(E)$, poser $\psi_f(g)=f\circ g-g\circ f$. Si $\psi_f(g)=g$ pour un $g\neq0$, montrer $\psi_f(g^k)=kg^k$ pour $k\geq1$, puis en déduire qu'une puissance de $g$ est nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1203] +Dans la base canonique $\varepsilon$ de $\R^3$, poser $e_1=\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $e_2=-\varepsilon_1/4+\varepsilon_2/4$, $e_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2$, et soit $f$ représenté par $\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}$. +1. Montrer que $e=(e_1,e_2,e_3)$ est une base et déterminer la matrice de $f$ dans cette base. +2. $f$ est-il diagonalisable ? Montrer $\R^3=\Ker(f^2)\oplus\Ker(f-2\operatorname{id})$ et donner des bases de ces noyaux. +3. Si $g^2=f$, que dire de la matrice de $g$ dans la base $e$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1204] +Soit $S=\begin{pmatrix}5&-3\\3&-5\end{pmatrix}$. +1. Montrer que $S$ est semblable à une matrice diagonale et la préciser. +2. Montrer qu'elle est semblable à une matrice de diagonale nulle. +3. À l'aide de $\Phi(M)=\operatorname{diag}(1,2)M-M\operatorname{diag}(1,2)$, trouver $A,B$ telles que $S=AB-BA$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1205] +Soit $M\in M_n(\R)$ nilpotente. +1. Montrer $M^n=0$. +2. Soient $\lambda_1\neq\lambda_2$ et $n=m_1+m_2$, avec $m_i\geq1$. Poser $A=\operatorname{diag}(\lambda_1I_{m_1}+N_1,\lambda_2I_{m_2}+N_2)$, où $N_1,N_2$ sont nilpotentes. Exprimer $\chi_A$ avec $\chi_{N_1},\chi_{N_2}$ et donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1206] +Soit $A\in GL_n(\C)$. +1. Définir le polynôme minimal $\pi_A$ et exprimer $\pi_{A^{-1}}$ en fonction de $\pi_A$. +2. Pour $P=\sum_{k=0}^da_kX^k$, poser $P^*=\sum_{k=0}^da_{d-k}X^k$. Pour $n=2$, donner une condition nécessaire et suffisante sur $\pi_A,\pi_A^*$ pour que $A$ soit semblable à $A^{-1}$. +3. Pour $n\geq3$ et $A$ diagonalisable, montrer que cette condition n'est plus suffisante, puis donner une condition nécessaire et suffisante. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1207] +Munir $\R_n[X]$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$. +1. Vérifier que c'est un produit scalaire. +2. Montrer que la distance de $X^n$ à $\R_{n-1}[X]$ est atteinte en un unique $P_n\in\R_{n-1}[X]$. Écrire $P_n=\sum_{j=0}^{n-1}a_jX^j$ et $f(t)=1/(t+n+1)-\sum_{j=0}^{n-1}a_j/(t+j+1)$. +3. Calculer $f(k)$ pour $k=0,\ldots,n-1$. +4. Montrer qu'il existe $Q\in\R_n[X]$ tel que $Q(t)=\prod_{j=0}^n(t+j+1)f(t)$ sur $\R_+$. +5. En déduire la distance cherchée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1208] +Soient $E,F$ euclidiens et $f\in\mathcal L(E,F)$. +1. Pour $y\in F$, montrer qu'il existe un unique $(x,z)\in(\Ker f)^\perp\times(\operatorname{Im}f)^\perp$ tel que $y=f(x)+z$. +2. Associer à $y$ le $x$ de cette décomposition. Montrer que l'application obtenue est linéaire et déterminer son noyau et son image. +3. Montrer que $g\circ f$ et $f\circ g$ sont des projecteurs et les caractériser. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1209] +1. Montrer que $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^TB)$ est un produit scalaire sur $M_3(\R)$. +2. Soit $F$ l'espace des matrices dont la troisième ligne est nulle. Calculer $d(M,F)$. +3. Si $A\in SO_3(\R)$, calculer $d(A,F)$ puis $d(SO_3(\R),F)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1210] +1. Décrire $O_2(\R)$ et $SO_2(\R)$ et montrer que tout élément de $SO_2$ est produit de deux éléments de $O_2\setminus SO_2$. +2. Soit $E$ euclidien de dimension $4$ et $u$ une isométrie sans vecteur propre. En étudiant $M+M^T$, montrer qu'il existe un plan stable par $u$, puis une base orthonormée où $u$ a une forme bloc-diagonale $\operatorname{diag}(R_1,R_2)$ avec des rotations planes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1211] +Soient $E$ euclidien et $p,q$ des projecteurs orthogonaux. +1. Montrer que $p$ est autoadjoint et $1$-lipschitzien. +2. Montrer que $\chi_{p+q}$ est scindé dans $\R[X]$ et $\Sp(p+q)\subset[0,2]$. +3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $p+q$ soit un projecteur. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1212] +Sur $\R_n[X]$, poser $\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}P(t)Q(t)\,dt$ et $\varphi(P)=(1-X^2)P''+(2X-1)P'$. +1. Montrer que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire. +2. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme autoadjoint et en déduire une unique base propre $(P_0,\ldots,P_n)$ avec $P_k$ unitaire de degré $k$. +3. Expliciter les $P_k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1213] +Soient $E$ euclidien, $e$ une base orthonormée et $u$ un endomorphisme dont la matrice $M$ commute avec $M^T$. +1. Montrer que la matrice $N$ de $u$ dans toute autre base orthonormée vérifie $N^TN=NN^T$. +2. Montrer que si $F$ est stable par $u$, alors $F^\perp$ l'est aussi. +3. Si $u$ est trigonalisable, montrer qu'il est diagonalisable et autoadjoint. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1214] +1. Si $u$ est autoadjoint sur un espace euclidien et $\lambda_1$ sa plus petite valeur propre, montrer $\lambda_1=\min_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$. +2. Soient $D=\operatorname{diag}(0,1,\ldots,p-1)$, $J$ la matrice de tous les $1$ et $M=D+\frac1nJ$. Montrer pour $x=(x_1,\ldots,x_p)^T$ que $\langle u(x),x\rangle=s^2/n+\sum_{k=1}^{p-1}kx_{k+1}^2$, où $s=\sum x_i$, puis encadrer $\lambda_1$ dans $[0,p-1]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1215] +Soient $E$ euclidien de dimension $n$ et $f\in\mathcal L(E)$. +1. Justifier l'existence d'une base orthonormée. +2. Montrer l'équivalence entre $\langle f(x),y\rangle=-\langle x,f(y)\rangle$ pour tous $x,y$ et l'existence d'une base orthonormée dans laquelle la matrice de $f$ est antisymétrique. +3. Montrer que le rang de $f$ est pair. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1216] +1. Si $A=P DQ$ avec $P,Q$ orthogonales et $D$ diagonale à coefficients positifs, montrer que les valeurs propres de $A^TA$ sont les coefficients diagonaux de $D^2$. +2. Pour toute matrice réelle $A$, montrer $\Sp(A^TA)\subset\R_+$. +3. Montrer que $\operatorname{rg}(A)$ est le nombre de valeurs propres non nulles de $A^TA$, comptées avec multiplicité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1217] +Une contraction d'un espace euclidien est un endomorphisme $f$ tel que $\|f(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x$. +1. Si $f$ est autoadjoint, montrer l'équivalence entre être une contraction et $|\lambda|\leq1$ pour tout $\lambda\in\Sp(f)$. +2. Pour $P\in\R[X]$, montrer $\|P(f)(x)\|\leq\sup_{\lambda\in\Sp(f)}|P(\lambda)|\,\|x\|$. +3. Si $f$ est un automorphisme de matrice $M$, montrer qu'il existe $S$ symétrique définie positive telle que $M^TM=S^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1218] +Poser $B_n(\R)=\{A\in M_n(\R):\chi_A=\prod_{i=1}^n(X-a_{ii})\}$. +1. Montrer que $B_n(\R)$ est non vide. +2. Si $A$ est symétrique de valeurs propres $\alpha_i$, montrer $\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_i\alpha_i^2$ et déterminer $B_n(\R)\cap S_n(\R)$. +3. Déterminer $B_n(\R)\cap\mathcal A_n(\R)$. +4. Si $V$ est un sous-espace de matrices inclus dans $B_n(\R)$, déterminer sa dimension maximale. +#+end_exercice + +** Analyse + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1219] +Pour $A=(a_{ij})\in M_n(\R)$, poser $N(A)=\sum_{i,j}|a_{ij}|$ et $\|x\|_1=\sum_i|x_i|$. +1. Montrer que $N$ est une norme et que $\|Ax\|_1\leq N(A)\|x\|_1$. +2. Pour $0<\alpha<1$, poser $K_\alpha=\{A:N(A-I_n)\leq\alpha\}$ et $\psi(A)=\det(A^{-1})$. Vérifier que $\psi$ est bien définie, bornée sur $K_\alpha$ et y atteint ses bornes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1220] +Soit $n\geq2$. +1. Pour $M\in M_n(\C)$, rappeler la formule du déterminant et montrer que $GL_n(\C)$ est ouvert. +2. Montrer dense l'ensemble $D=\{M:|\Sp(M)|=n\}$. +3. Pour $M$, poser $C(M)=\{Q:QM=MQ\}$. Déterminer $\dim C(D)$ pour $D\in D$. +4. Pour $a=(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\C^n$, soit $F(a)\in M_n(\C)$ la matrice dont la dernière colonne est $(a_0,\ldots,a_{n-1})^T$, la sous-diagonale est formée de $1$ et les autres coefficients sont nuls. Montrer que $F=\{PF(a)P^{-1}:a\in\C^n,\ P\in GL_n(\C)\}$ est un ouvert dense de $M_n(\C)$ contenant $D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1221] +1. Pour la norme euclidienne canonique sur $\R^n$, montrer que la norme d'opérateur associée est une norme matricielle. +2. Pour $x\in\C^n$, montrer $\|x\|_\C^2=\|\Re x\|_\R^2+\|\Im x\|_\R^2$. +3. En déduire que les normes d'opérateur réelle et complexe coïncident sur $M_n(\R)$. +4. Si $B=\{M:\|M-I_n\|_R<1\}$, montrer que $|\lambda-1|<1$ pour toute valeur propre de $M\in B$. +5. Si $G$ est un sous-groupe de $GL_n(\R)$ inclus dans $B$, montrer $\Sp(A)=\{1\}$ pour tout $A\in G$, puis que $G=\{I_n\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1222] +1. Rappeler les définitions d'un segment, d'une partie convexe et de la frontière. +2. Pour $A\subset E$, poser $\operatorname{Conv}(A)$ égal à l'intersection des convexes contenant $A$. Montrer que $\operatorname{Conv}(A)$ est convexe et contient $A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1223] +Pour $n\geq2$, poser $u_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k}$. +1. Par comparaison série-intégrale, donner un équivalent de $u_n$. +2. Montrer que $v_n=u_n-\frac12\ln^2n$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1224] +Soient $u_n\geq0$, $u_0>0$, $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$, et supposons $\sum u_n$ divergente. +1. Si $\alpha\leq1$, étudier $\sum\ln(1-u_n/S_n)$, puis en déduire la nature de $\sum u_n/S_n$ et de $\sum u_n/S_n^\alpha$. +2. Si $\alpha>1$, en utilisant $u_n=S_n-S_{n-1}$, montrer que $\sum u_n/S_n^\alpha$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1225] +1. Définir la sommabilité d'une famille $(a_{i,j})_{(i,j)\in\N^2}$. +2. Étudier la sommabilité pour $a_{i,j}=1/(i^2+j^2+1)$. +3. Pour $x,y>0$, poser $F(x,y)=\sum a_{i,j}x^iy^j$, et $D=\{(x,y):F(x,y)<+\infty\}$, $L=\{(\ln x,\ln y):(x,y)\in D\}$. Représenter $D,L$ pour les cas $a_{i,j}=1$, $a_{i,j}=2^i\delta_{i,j}$ et $a_{i,j}=\binom{i+j}{i}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1226] +Soit $f\in C^1(\R,\R)$ et $S=\{\varphi\in C^2(\R,\R):\varphi''=|\varphi+f|\}$. +1. Montrer $e^t\geq1+t$. +2. Pour $f=\exp$, montrer qu'il existe une unique solution $\varphi\in S$ telle que $\varphi(0)=\varphi'(0)=-1$. +3. Si $f$ n'est pas constante, existe-t-il une solution périodique ? bornée ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1227] +Soit $f\in C^2(\R)$ telle que $f''>0$. +1. Montrer que $f$ n'est pas majorée. Peut-elle être minorée ? +2. Montrer que $f$ admet un minimum ssi $f'(a)=0$ pour un certain $a$. +3. Si $f(x)/|x|\to+\infty$ quand $x\to\pm\infty$, montrer que $f'$ est une bijection de $\R$ sur $\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1228] +Soit $F=C^\infty([0,+\infty[,\R)$ et $E=\{f\in F:f(0)=0,\ \lim_{x\to+\infty}f^{(m)}(x)\in\R\ \forall m\in\N\}$. +1. Montrer que $E$ est un espace vectoriel. +2. Poser $\Phi(f)(x)=f'(x)-f'(0)$. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme injectif. +3. Pour $g(x)=(x+1)\sin(\pi\sqrt{x+1})-\pi x/2$, montrer que, pour $m\geq2$, $g^{(m)}(x)=P_m(1/\sqrt{x+1})\sin(\pi\sqrt{x+1})+Q_m(1/\sqrt{x+1})\cos(\pi\sqrt{x+1})$ avec $P_m,Q_m\in\R[X]$. Résoudre $\Phi(f)=g'$ dans $E$ et déterminer si $\Phi$ est surjectif. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1229] +Soit $f\in C^1(\R)$ $T$-périodique et $\int_0^T f(t)\,dt=0$. +1. Poser $g(x)=\int_x^{+\infty}f(t)/t^2\,dt$ pour $x>0$. Montrer que $g$ est bien définie, $C^1$, et calculer $g'$. +2. Montrer que toute primitive de $f$ est bornée sur $\R_+$. +3. Trouver $a$ tel que $g(x)=a/x+O(\ln x)$ quand $x\to0^+$. +4. $g$ est-elle intégrable sur $\R_+$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1230] +Soit $A=\{f\in C^1([0,1]): f'(x)=x^2+f(x)^2,\ f(0)=0\}$. +1. Montrer qu'un $f\in C^0([0,1])$ appartient à $A$ ssi $f(x)=x^3/3+\int_0^xf(t)^2dt$. Poser $f_0(x)=x^3/3$ et itérer cette relation pour définir $f_n$. +2. Montrer $f_n(x)\leq(2/5)x^3$ et $0\leq f_{n+1}(x)-f_n(x)\leq f_{n+1}(1)-f_n(1)$. +3. Étudier $(f_n)$ et en déduire que $A$ est non vide. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1231] +Poser $u_0(x)=x$ et $u_{n+1}(x)=2\sqrt{u_n(x)/(1+u_n(x))}$ pour $x>0$. +1. Montrer que $(u_n)$ converge simplement sur $]0,+\infty[$. +2. Poser $U_n(x)=(1+u_n(x))/(2\sqrt{u_n(x)})$. Montrer $|U_{n+1}(x)-1|\leq\frac12|U_n(x)-1|$. +3. Montrer la convergence uniforme sur tout segment inclus dans $]0,+\infty[$. +4. Est-elle uniforme sur tout $]0,+\infty[$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1232] +Soit $\varphi(x)=\sum_{n\geq1}1/(n(n+x))$ pour $x\geq0$. +1. Montrer que $\varphi$ est bien définie, continue et décroissante. +2. Calculer sa limite en $+\infty$. +3. Montrer $\varphi(x)=O(1/\sqrt{x})$. +4. Avec $H_n=\sum_{k=1}^n1/k=\ln n+\gamma+o(1)$, exprimer $\varphi(n)$ et en déduire un équivalent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1233] +Soit $E$ l'espace des fonctions lipschitziennes $\R\to\R$ et $F=\{f\in E:f(0)=0\}$. Pour $t\in[0,1[$, poser $\Phi(f)(x)=f(x)-f(tx)$. +1. Montrer que $E$ est un sous-espace de $C^0(\R,\R)$, que $F$ en est un sous-espace et donner un supplémentaire. +2. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme injectif de $F$. +3. Si $g=\Phi(f)$, montrer $f(x)=\sum_{k\geq0}g(t^kx)$. Qu'en déduire sur $\Phi$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1234] +Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=1/(n^2+n^4x^2)$ et $S=\sum_{n\geq1}f_n$. +1. Montrer que $S$ est définie et $C^\infty$ sur $\R^*$. +2. $S$ est-elle $C^1$ sur $\R$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1235] +Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}1/(x^{\sqrt n}n^{3/2})$. +1. Déterminer son domaine de définition. +2. Montrer que $f$ est continue sur $[1,+\infty[$ et dérivable sur $]1,+\infty[$. +3. Donner un équivalent de $f$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1236] +Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\ln(1+1/(n^2x^2))$. +1. Déterminer son domaine et ses variations. +2. Étudier sa continuité. +3. Donner un équivalent lorsque $x$ tend vers la borne supérieure du domaine. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1237] +Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}(-1)^n/(1+n^2x^2)$. +1. Déterminer son domaine de définition. +2. Montrer que $f$ est continue sur son domaine. +3. Montrer qu'il existe $a\in\R$ tel que $f(x)\sim a/x^2$ quand $x\to+\infty$. +4. Montrer que $f$ est intégrable sur $\R_+$ et calculer son intégrale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1238] +Poser $f_k(x)=\sin((k!)^2x)/k!$, $W_n=\sum_{k=0}^nf_k$, $R_n=\sum_{k=n+1}^\infty f_k$ et $W=\sum_{k=0}^\infty f_k$. +1. Énoncer et démontrer le théorème de continuité des séries de fonctions. +2. Montrer que $W,R_n$ sont définies et continues sur $\R$, puis que $|R_n|\leq2/(n+1)!$. +3. Montrer $|W_n'(x)|\leq2n!$. +4. À l'aide d'une suite convenable, montrer que $W$ n'est dérivable en aucun point. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1239] +Sur $]-\pi/2,\pi/2[$, poser $f(x)=(1+\sin x)/\cos x$. +1. Montrer que $f$ satisfait une équation différentielle d'ordre 1. +2. Poser $P_0=1+X$. Montrer qu'il existe des polynômes unitaires $P_n\in\Z[X]$ de degré $n$ tels que $f^{(n)}(x)=P_n(\sin x)/\cos^{n+1}x$. +3. Pour $a_n=P_n(0)$, relier $a_1$ à $a_0$ puis exprimer $a_{n+1}$ à l'aide de $\sum_{k=0}^n\binom nk a_ka_{n-k}$. +4. Pour $A(t)=\sum_{n\geq0}a_nt^n/n!$, trouver une équation différentielle et en déduire les $a_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1240] +Soient $a_n>0$ et $S_n=\sum_{k=1}^na_k$. +1. Si $(a_n)$ est majorée, poser $f(x)=\sum_{n\geq1}S_nx^n$, $g(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n$. Déterminer leurs rayons de convergence, établir une relation entre $f,g$, puis expliciter $f$ si $a_n=1/n$. +2. Si $a_1=1$ et $a_{n+1}=a_n+1/S_n$, calculer le rayon de convergence de $\sum S_nx^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1241] +Soient $\alpha,\lambda\in\R$, $|\lambda|<1$, et $F=\{f\in C^1(\R): f'=\alpha f+f(\lambda x)\}$. +1. Montrer $F\subset C^\infty(\R)$. +2. Déterminer les fonctions non nulles de $F$ développables en série entière. +3. Si $f\in F$ et $f(0)=0$, montrer $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n$, puis en déduire une propriété de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1242] +Pour $a>-1/2$, poser $I_a(x)=\int_0^1(1-t^2)^{a-1/2}\cos(xt)\,dt$. +1. Montrer que l'intégrande pondérateur est intégrable. +2. Montrer que $I_a$ est $C^2$ et relier $I_a'',I_a,I_{a+1}$. +3. Montrer que $I_a$ est développable en série entière sur $\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1243] +Soient $u_0=a>0$ et $u_{n+1}=\ln(1+u_n)$. +1. Étudier la limite de $(u_n)$. +2. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$. +3. Poser $v_n=1/u_{n+1}-1/u_n$. La série converge-t-elle en $x=1$ et $x=-1$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1244] +Pour $n,k\in\N$, poser $u_{n,k}=k^n/k!$ et noter $A_n=\sum_{k\geq0}u_{n,k}$. +1. Montrer la convergence et exprimer $A_{n+1}$ en fonction des $A_i$. +2. Montrer $0\leq A_n/n!\leq e$. +3. Trouver une équation différentielle satisfaite par $f(x)=\sum_{n\geq0}A_nx^n/n!$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1245] +Soit $\varphi:[n_0,+\infty[\to\R_+^*$ continue décroissante telle que $\sum_{n\geq n_0}\varphi(n)$ diverge. +1. Pour $\alpha\geq0$, déterminer la nature de $\sum_{n\geq2}1/(n(\ln n)^{1-\alpha})$. +2. Déterminer le rayon de convergence de $\sum_{n\geq n_0}\varphi(n)x^n$. +3. Montrer que cette somme tend vers $+\infty$ quand $x\to1^-$ et qu'elle est équivalente à $\int_{n_0}^{+\infty}\varphi(t)x^t\,dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1246] +Poser $N_0=1$, $N_k=\frac1{k!}\prod_{i=0}^{k-1}(X-i)$, $F_P(x)=\sum_{k\geq0}P(k)x^k/k!$ et $P_j=j!N_j$. +1. Pour $P_j$, déterminer le rayon de convergence de $F_{P_j}$ et sa somme. +2. Pour $P\neq0$, déterminer le rayon de convergence de $F_P$ et montrer qu'il existe un unique $Q_P$, de même degré que $P$, tel que $F_P(x)=Q_P(x)e^x$. +3. Poser $I_k=\int_0^1N_k(t)\,dt$. Pour $k\geq2$, montrer $1/(6k^2)\leq|I_k|\leq1/(6k)$ et déterminer le rayon de convergence de $\sum I_kx^k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1247] +Poser $I_n=\int_0^n(1-t/n)^n\ln(t)\,dt$ et $J_n=\int_0^1u^n\ln(1-u)\,du$. +1. Montrer que $I_n$ converge et tend vers $\int_0^\infty e^{-t}\ln(t)\,dt$. +2. Montrer que $J_n$ converge et vaut $-\frac1{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}1/k$. +3. En déduire $\int_0^\infty e^{-t}\ln(t)\,dt=-\gamma$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1248] +Poser $I_n=\int_0^\infty(1+t^3)^{-n}\,dt$, $u_n=\sum_{k=1}^n1/k-\ln n$, $v_n=\sum_{k=1}^n1/k-\ln(n+1)$. +1. Montrer que $u_n,v_n$ convergent vers une même limite $\gamma$. +2. Montrer $I_{n+1}/I_n=1-1/(3n)$. +3. Montrer qu'il existe $C>0$ tel que $I_n\sim C/n^{1/3}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1249] +Soit $f(x)=\int_0^{\pi/2}\sin^x(t)\,dt$. +1. Déterminer son domaine, de la forme $]a,+\infty[$. +2. Sur $J=]a+1,+\infty[$, poser $\varphi(x)=xf(x)f(x-1)$. Montrer $\varphi(x+1)=\varphi(x)$ et que $\varphi(x)/x$ est décroissante. +3. Calculer $\varphi(n)$ et montrer que $\varphi$ est constante. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1250] +Définir $f(x)=\sin(x^2)/x^2$ pour $x>0$ et $f(0)=1$. Poser $S(x)=\int_0^\infty f(\lfloor t/x\rfloor x)\,dt$. +1. Montrer que $S(x)$ converge pour tout $x>0$. +2. Si $x_n\to0^+$, montrer $S(x_n)\to\int_0^\infty f(t)\,dt$. +3. Pour $G(x)=\sum_{n\geq1}\sin(n^2x)/n^2$, exprimer $G(x)$ à l'aide de $S(\sqrt{x})$ et déterminer un équivalent en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1251] +Poser $f(x)=\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$. +1. Montrer que $f$ est définie sur $\R_+$ et que $|f(x)|\leq1/x$ pour $x>0$. +2. Montrer que $f$ est $C^1$ sur $]0,+\infty[$, puis calculer $f'$ et $f$. +3. Montrer la continuité en $0$ et en déduire $\int_0^\infty\sin(t)/t\,dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1252] +Poser $f(x)=\int_0^\infty\arctan(tx)e^{-t}\,dt$. +1. Montrer que $f\in C^3(\R)$. +2. Montrer que $f(x)$ a le signe de $x$ et $|f(x)|\leq|x|$. +3. Pour $x_{n+1}=f(x_n)$, montrer $x_n\to0$. Trouver $\alpha$ tel que $x_{n+1}^\alpha-x_n^\alpha$ ait une limite non nulle pour $x_0>0$, puis en déduire un équivalent de $x_n$ si $x_0\neq0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1253] +Soit $f(x)=\int_0^1\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$. +1. Montrer que $f$ est définie et continue, calculer $f(0)$. +2. Montrer $f(x)=\int_0^{\pi/2}\cos(x\sin u)\,du$ et que $f\in C^2(\R)$. +3. Montrer que $f$ admet un développement en série entière en $0$ et l'expliciter. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1254] +Pour $p\in\N$, poser $I_p(x)=\int_0^\infty e^{-(2p+1)t}\cos(xt)\,dt$. +1. Montrer que $\int_0^\infty\cos(xt)/\cosh(t)\,dt$ est définie et poser $G(x)=\int_0^\infty\cos(xt)/\sinh(t)\,dt$. +2. Calculer $I_p$. +3. Exprimer $G(x)$ à l'aide des $I_p(x)$. +4. Montrer que $G$ est développable en série entière en zéro. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1255] +Soient $\varphi(x)=\int_x^\infty\sin(t)/t\,dt$ et $\psi(x)=\int_x^\infty\cos(t)/t\,dt$ pour $x>0$, avec $\psi'(x)=-\cos(x)/x$ admis. +1. Montrer $\varphi$ est $C^1$ et $\varphi'(x)=-\sin(x)/x$. +2. Montrer que $f(x)=\varphi(x)\cos x-\psi(x)\sin x$ résout $y''+y=1/x$. +3. Montrer que $g(x)=\int_0^\infty e^{-tx}/(1+t^2)\,dt$ résout aussi cette équation. +4. En déduire $\int_0^\infty\sin(t)/t\,dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1256] +Pour $\alpha>0$, poser $I(\alpha)=\int_0^1\ln(t)\ln(1-t^\alpha)\,dt$. +1. Rappeler que la limite uniforme de fonctions continues est continue. +2. Montrer que $I(\alpha)$ est bien définie. +3. Écrire $I(\alpha)$ comme somme d'une série. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1257] +Soit $f:[0,1]\to\R$ continue et $u_n=\int_0^1f(x)^n\,dx$. +1. Si $f(1)>1$, montrer qu'il existe $c>1$ et $a<1$ tels que $f(t)\geq c$ pour $t\in[a,1]$. +2. Montrer que si $\sum u_n$ converge, alors $f(1)=0$. +3. Si $f\in C^1([0,1])$, montrer que $\sum u_n$ converge ssi $f(1)=0$, puis calculer $\sum_{n\geq0}u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1258] +Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues $f:\R_+^*\to\R$ pour lesquelles $x^\alpha f(x)\to0$ pour un certain $\alpha\geq0$. +1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $C^0(\R_+^*,\R)$. +2. Pour $f\in E$, poser $\varphi_f(x)=e^x\int_x^\infty e^{-t}f(t)\,dt$. Montrer que c'est l'unique solution dans $E$ de $y'-y+f=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1259] +Soit $f(x,y)=(x-xy)\sqrt y-yx^2$, $K=[-1,1]\times[0,1]$, $O=]-1,1[\times]0,1[$. +1. Montrer que $f$ atteint un maximum et un minimum sur $K$. +2. Déterminer ses extrema locaux sur $O$. +3. Déterminer maximum et minimum sur $K$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1260] +Soit $F(x,y)=\sin(x)\cosh(y)-\sin(y)\cosh(x)$ et $\Delta=\{(x,x):x>0\}$. +1. Montrer $F\in C^2(\R^2)$. +2. Montrer que le gradient s'annule sur $\Delta$ en des points $(x_n,x_n)$ avec $x_n\in[n\pi+\pi/4,n\pi+\pi/2]$. +3. $F$ possède-t-elle des extrema sur $\Delta$ ? sur $\R^2$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1261] +Soit $f(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2-xy$. +1. Déterminer le plan tangent au graphe en $(0,0,f(0,0))$ et préciser sa position locale. +2. Montrer que $f$ admet un minimum global sur $\R^2$, et déterminer sa valeur et ses points d'atteinte. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1262] +Soit $(\Omega,\P)$ fini et $F$ l'espace des fonctions $\Omega\to\R$. Poser $\Phi(X,Y)=\E(XY)$. Montrer que $\Phi$ est un produit scalaire ssi $\P(\{\omega\})>0$ pour tout $\omega\in\Omega$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1263] +Deux joueurs $A,B$ jouent à tour de rôle. À son tour, $A$ gagne avec probabilité $p$, $B$ avec probabilité $q$ ; en cas de victoire, l'autre joue au tour suivant, en cas de défaite le même joueur rejoue. Soit $X_n$ l'identité du joueur au tour $n$, et $U_1=(1/3,2/3)^T$. +1. Déterminer $A$ telle que $U_{n+1}=AU_n$. +2. Diagonaliser $A$ et en déduire la loi de $X_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1264] +Soient $A,B,C$ indépendantes de loi $\mathcal B(n,p)$ et $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A&B&C\\A&B&C\end{pmatrix}$. +1. Calculer les probabilités que $M$ soit inversible, nilpotente ou matrice d'un projecteur. +2. Déterminer la loi, l'espérance et la variance du nombre de valeurs propres de $M$, puis la probabilité que $M$ soit diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1265] +Soient $(X_n)_{n\in\N}$ i.i.d. géométriques de paramètre $p\in]0,1[$. Poser $I_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$ et $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. +1. Montrer que $I_n$ est géométrique. +2. Calculer $\E(I_n)$ et $\V(I_n)$. +3. Montrer que l'événement où $(I_n)$ est constante à partir d'un certain rang est de probabilité $1$. +4. Montrer que $M_n$ admet une espérance. +5. Déterminer la limite de $\E(M_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1266] +1. Résoudre $U_0=U_1=1$, $U_{n+2}=U_{n+1}+\frac12U_n$. +2. Soient $(X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal B(1/2)$ et $U_0=U_1=1$, $U_{n+2}=U_{n+1}+X_nU_n$. + a. Montrer que, pour tout $\omega$, $(U_n(\omega))$ admet une limite dans $\R_+\cup\{+\infty\}$. + b. Pour $A=\{\omega:(U_n(\omega))\text{ admet une limite finie}\}$, montrer $\P(A)=0$. + c. Donner un équivalent de $\E(U_n)$. +#+end_exercice + +* Centrale PC 2026 +** Algèbre + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1267] +1. Montrer $2^nn!\leq(2n)!$ et $\cosh(t)\leq e^{t^2/2}$. +2. Pour $X$ uniforme sur $\{-1,1\}$, montrer $\E(e^{tX})\leq e^{t^2/2}$. +3. Pour $x\in[-1,1]$, montrer $e^{tx}\leq\frac{1+x}{2}e^t+\frac{1-x}{2}e^{-t}$. +4. Si $X\in[-1,1]$ et $\E(X)=0$, montrer $\E(e^{tX})\leq e^{t^2/2}$, puis $\P(|X|\geq\lambda)\leq2e^{-\lambda^2/2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1268] +1. Montrer que $E=\{(a_n):\sum a_n^2<+\infty\}$ est un espace préhilbertien pour $\langle a,b\rangle=\sum a_nb_n$. +2. Pour $X\in\N$ de loi $(u_k)$, dire que $(\star)$ signifie $u_k>0$, $\E(X^2)<+\infty$ et $\sum_{k\geq0}(u_k-u_{k-1})^2/u_k<+\infty$, avec $u_{-1}=0$. + a. Si $X\sim\mathcal P(\lambda)$, montrer $(\star)$ et calculer $S(X)\V(X)$, où $S(X)$ est la série ci-dessus. + b. Pour $X$ vérifiant $(\star)$, montrer que $\sum_n(u_n-u_{n-1})(n-\E(X))$ converge et que $S(X)\V(X)\geq1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1269] +Soient $A\in S_n^{++}(\R)$ de valeurs propres $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. +1. Énoncer et démontrer Cauchy-Schwarz. +2. Pour $x\in\R^n$, montrer $(\sum x_k^2)^2\leq(\sum\lambda_kx_k^2)(\sum x_k^2/\lambda_k)$. +3. Si $\sum x_i^2=1$, construire $I$ à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$ avec $\P(I=i)=x_i^2$ et poser $U=\lambda_I$. Montrer $\E(1/U)\leq(\lambda_1+\lambda_n-\E(U))/(\lambda_1\lambda_n)$. +4. En déduire $\|X\|^4\leq\langle AX,X\rangle\langle A^{-1}X,X\rangle\leq\frac{(\lambda_1+\lambda_n)^2}{4\lambda_1\lambda_n}\|X\|^4$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1270] +Trouver tous les polynômes $P\in\R[X]$ tels que $P(X)P(X+1)=P(X^2+X+1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1271] +Poser $P_n=(X+1)^n-(X-1)^n$. +1. Résoudre $z^n=1$, puis $z^n=\omega^n$. +2. Trouver degré et coefficient dominant de $P_n$. +3. Calculer $\sum_{k=1}^n\cot(k\pi/n)$. +4. Calculer $\prod_{k=1}^n\cot(k\pi/(2n+1))$ à l'aide de $P_{2n+1}$, puis en déduire $\sum_{k=1}^n\cot^2(k\pi/n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1272] +Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n$ et $Q=\sum_{k=0}^na_{n-k}X^k$ son symétrique. +1. Quel est le degré de $Q$ ? +2. Déterminer les $P$ tels que $P(\mathbb U)\subset\mathbb U$. Indication : considérer $f(z)=Q(1/z)z^q$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1273] +Pour $n\geq2$, montrer $(H_n)$ : pour tous $P,Q\in\C[X]$ de degrés $n,n-1$, il existe $a\in\C$ tel que $P-aQ$ ait une racine multiple. +1. Vérifier $(H_2)$ et supposer les résultats établis jusqu'à $n$. +2. Si $P,Q$ ont une racine commune, montrer $(H_{n+1})$. +3. Sinon, poser $R=P'Q-PQ'$. Si $\alpha$ est racine de multiplicité $m$ de $P-aQ$, montrer que sa multiplicité dans $R$ vaut $m-1$, puis conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1274] +Soit $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\R^n$. Calculer $\det(\cos((j-1)\alpha_i))_{1\leq i,j\leq n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1275] +1. Pour $n\geq2$, déterminer le sous-espace de $M_n(\C)$ engendré par les matrices nilpotentes. +2. En déduire que tout hyperplan de $M_n(\C)$ contient une matrice inversible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1276] +Soit $\mathcal N=\{M\in M_n(\C):M^p=0\text{ pour un }p\}$ et $(E_{i,j})$ la base canonique. +1. Montrer que si $M\in\mathcal N$, alors $M^n=0$. +2. Calculer $E_{i,j}E_{k,\ell}$. +3. Si $i\neq j$, montrer que $I_n-E_{i,j}$ est inversible et calculer son inverse. +4. Déterminer une base de $\Ker\operatorname{tr}$. +5. Montrer $\Ker\operatorname{tr}=\operatorname{Vect}(\mathcal N)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1277] +Soient $E$ réel et $p_1,\ldots,p_n\in\mathcal L(E)$ vérifiant $p_i\circ p_j=\delta_{i,j}p_i$. Poser $F_i=\operatorname{Im}p_i$ et supposer les $F_i$ de dimension finie. +1. Montrer que les $F_i$ sont en somme directe ssi $\dim(\sum_iF_i)=\sum_i\dim F_i$. +2. Pour $a\in\R^n$, poser $u_a=\sum_i a_ip_i$. Calculer $u_a^k$ et caractériser quand $u_a$ est un projecteur. +3. Si $\sum_i p_i=\operatorname{id}$, montrer $E=\bigoplus_iF_i$. +4. Exprimer $\Ker p_i$ à l'aide des $F_j$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1278] +1. Montrer que, pour $A\in M_n(\R)$ et $\lambda\geq0$, $\det(A^2+\lambda I_n)\geq0$. +2. Si $n$ est impair et $B$ inversible, montrer $A^2+B^2\neq-I_n$. +3. Si $n$ est pair, donner $A,B$ telles que $A^2+B^2=-I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1279] +Pour $n\geq2$ et $M\in M_n(\C)$, montrer que $M$ n'est pas inversible ssi il existe $P\in GL_n(\C)$ tel que $P+zM$ soit inversible pour tout $z\in\C$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1280] +Soient $A,B\in M_n(\R)$ avec $\operatorname{rg}(B)=1$ et $A^3=B$. +1. Donner une relation entre $\operatorname{tr}(A)$ et $\operatorname{tr}(B)$. +2. Si $\operatorname{tr}(B)=0$, montrer que $A$ n'est pas diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1281] +Soient $E$ complexe de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$. Poser $\C[u]=\{P(u):P\in\C[X]\}$ et $S_u=\{f\in\C[u]:f\text{ est une symétrie}\}$. Si $u$ est diagonalisable avec $p$ valeurs propres distinctes, calculer $\dim\C[u]$ et $\operatorname{card}(S_u)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1282] +Soit $A\in M_n(\C)$ et $\varphi_A(B)=AB$. +1. Si $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$, montrer $\varphi_A$ diagonalisable et $\chi_{\varphi_A}=\chi_A^2$. +2. Si $D$ est diagonale, montrer $\varphi_D$ diagonalisable et $\chi_{\varphi_D}=\chi_D^n$. +3. Étendre à $A$ diagonalisable, puis à toute matrice $A\in M_n(\C)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1283] +Soient $n\geq1$, $A\in M_n(\R)$ et $B=\begin{pmatrix}4A&2A\\-3A&-A\end{pmatrix}$. Montrer que $B$ est diagonalisable sur $\R$ ssi $A$ l'est sur $\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1284] +Soit $A=(a_{ij})$ une matrice stochastique : $a_{ij}\geq0$ et chaque ligne somme à $1$. +1. Montrer que $1$ est valeur propre et que toute valeur propre $\lambda$ vérifie $|\lambda|\leq1$. +2. Montrer que $A^p$ est stochastique et étudier la convergence de $(A^p)$. +3. Pour $\lambda\in]-1,1]$ et $N$ nilpotente, montrer que $((\lambda I_n+N)^p)_p$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1285] +Soient $U=\begin{pmatrix}A&A\\0&A\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}A&0\\0&A\end{pmatrix}$. On suppose $A$ diagonalisable et $U,V$ semblables. +1. Montrer qu'il existe un polynôme $\pi$ scindé à racines simples tel que $A\pi'(A)=0$. +2. Montrer $A=0$. +3. Le résultat subsiste-t-il sans l'hypothèse de diagonalisabilité de $A$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1286] +Soient $E$ complexe de dimension $n$ et $\mathcal A\subset GL(E)$ tel que, pour $u\neq v$ dans $\mathcal A$, $u\circ v=-v\circ u$. +1. Si $n$ est impair, montrer que $\mathcal A$ a au plus un élément. +2. Si $\mathcal A$ a au moins deux éléments, montrer que pour $u\in\mathcal A$, toute valeur propre $\lambda$ entraîne la valeur propre $-\lambda$ de même multiplicité. +3. Si $n=2$, trouver une base où la matrice de $u$ est $\operatorname{diag}(\lambda,-\lambda)$. +4. Montrer que $\mathcal A$ a au plus trois éléments. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1287] +1. Montrer que $\langle f,g\rangle=\int_0^1fg$ est un produit scalaire sur $E=\{f\in C^0(]0,1],\R):f^2\text{ est intégrable}\}$. +2. Pour $F(x,y)=\int_0^1(\ln t-tx-y)^2dt$, calculer $\inf_{(x,y)\in\R^2}F(x,y)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1288] +Soient $E$ euclidien de dimension $3$, $H$ un plan, $u\neq0$ normal à $H$, $f$ une isométrie et $s$ la réflexion orthogonale par rapport à $H$. Poser $h=f\circ s\circ f^{-1}$. Montrer que $h$ est une réflexion et préciser ses éléments caractéristiques. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1289] +1. Pour $A,B\in M_n(\R)$, montrer que si $0$ est valeur propre de $AB$, alors c'est une valeur propre de $BA$. +2. Même question pour une valeur propre non nulle. +3. Comparer les spectres et dimensions des espaces propres de $AA^T$ et $A^TA$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1290] +Soient $A\in S_n^{++}(\R)$ et $U\in M_n(\R)$ tels que $AU=U^TA$. Poser $\langle X,Y\rangle=X^TAY$. +1. Montrer que c'est un produit scalaire. +2. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ et $D$ diagonale telles que $P^TAP=I_n$ et $P^{-1}UP=D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1291] +Soient $x_0,\ldots,x_{n-1}>0$, $A=\frac1n\sum x_k$ et $G=(\prod x_k)^{1/n}$. +1. Montrer $\exp(t/A-1)\geq t/A$ pour $t>0$, puis $A\geq G$. L'inégalité vaut-elle pour des $x_k\geq0$ ? +2. Si $S\in S_n^+(\R)$, montrer $\det(S)^{1/n}\leq\operatorname{tr}(S)/n$. +3. Pour $A\in M_n(\R)$, montrer $\det(A)^2\leq(\frac1n\sum_{i,j}a_{ij}^2)^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1292] +Soit $F=\{A\in S_n^+(\R):a_{ij}<0\text{ si }i\neq j\}$. +1. Pour $a_{ii}=a$ et $a_{ij}=-b$ hors diagonale, caractériser l'appartenance à $F$. +2. Si $A\in F$ et $X^TAX=0$, montrer $X\in\Ker(A)$. +3. En déduire $a_{ii}>0$ pour tout $i$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1293] +Dire que $A\in M_n(\R)$ est de type $m$ si $A^m=A^T$. +1. Déterminer les matrices de type $m$ pour $m=0,1$. +2. Si $A$ est de type $m$, poser $B=A^{m+1}$. Montrer $B^m=B$ et $B$ symétrique, puis que $B$ est un projecteur orthogonal. +3. Si $A$ est inversible et de type $m$, montrer $A\in O_n(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1294] +1. Pour $\omega\in M_{n,1}(\R)$, montrer $\omega\omega^T\in S_n^+(\R)$ et est de rang $0$ ou $1$. +2. Pour $B\in S_n(\R)$ de spectre $(x_1,\ldots,x_n)$, construire une base $(f_k)$ telle que $Bf_k=x_kf_k$, $\sum f_kf_k^T=I_n$ et $B=\sum x_kf_kf_k^T$. +3. Si $B\in S_n^+(\R)$, montrer qu'il existe $\Omega$ telle que $B=\Omega\Omega^T$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1295] +1. Montrer que $S\in M_n(\R)$ est symétrique définie positive ssi $S=P^TP$ pour un $P$ inversible. +2. Montrer que $A$ est diagonalisable ssi il existe $S$ symétrique définie positive tel que $A^T=S^{-1}AS$. +3. L'assertion reste-t-elle vraie si l'on remplace $S$ par un $P$ inversible quelconque ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1296] +Poser $\|M\|=\sqrt{\operatorname{tr}(M^TM)}$. +1. Montrer que c'est une norme et qu'elle est invariante par multiplication à gauche et à droite par des matrices orthogonales. +Soient $A,B$ symétriques, de valeurs propres ordonnées $\lambda_i(A),\lambda_i(B)$, et $D_A,D_B$ les diagonales correspondantes. +2. Montrer qu'il existe $P\in O_n(\R)$ tel que $\|A-B\|=\|D_AP-PD_B\|$, puis que $\|A-B\|^2=\sum_{i,j}p_{ij}^2(\lambda_i(A)-\lambda_j(B))^2$. +3. Pour $f_{A,B}(M)=\sum_{i,j}m_{ij}(\lambda_i(A)-\lambda_j(B))^2$, montrer qu'elle est bornée sur les matrices bistochastiques. +4. Par une transformation élémentaire, montrer que $f(M)\geq f(I_n)$ pour toute matrice bistochastique. +5. En déduire $\sum_i(\lambda_i(A)-\lambda_i(B))^2\leq\|A-B\|^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1297] +Soit $u$ autoadjoint sur un espace euclidien, de spectre ordonné $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. +1. Montrer que $\lambda_1=\min_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$ et $\lambda_n=\max_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$. +2. Si $v$ est autoadjoint de spectre $\mu_1\leq\cdots\leq\mu_n$, montrer $\Sp(u+v)\subset[\lambda_1+\mu_1,\lambda_n+\mu_n]$. +3. Montrer $|\lambda_1-\mu_1|\leq\sup_{\|x\|=1}\|u(x)-v(x)\|$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1298] +1. Si $\mu_1<\cdots<\mu_n$, $x_i\neq0$, $D=\operatorname{diag}(\mu_i)$ et $M=\begin{pmatrix}D&X\\X^T&\alpha\end{pmatrix}$, montrer l'entrelacement strict des valeurs propres de $M$ et $D$. +2. Pour $S$ symétrique de valeurs propres $\mu_i$ et $N=\begin{pmatrix}S&X\\X^T&\alpha\end{pmatrix}$, montrer l'entrelacement large. +3. Pour des variables $R_i$ à moment d'ordre $2$, avec matrice de covariance $\Sigma_n$ et $U=(u_i)^T$, montrer $\V(\sum_i u_iR_i)=U^T\Sigma_nU$. +#+end_exercice + +** Analyse + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1299] +Pour $C$ convexe fermé d'un espace vectoriel réel de dimension finie, $x$ est extrémal si $x=(y+z)/2$ avec $y,z\in C$ entraîne $x=y=z$. +1. Déterminer les points extrémaux de $\{x\in\R^n:\sum|x_k|\leq1\}$. +2. Déterminer ceux de la boule unité d'un espace euclidien. +3. Montrer que tout convexe fermé borné non vide en dimension finie possède un point extrémal. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1300] +Soit $E$ l'espace des fonctions continues bornées $\R\to\R$, muni de la norme uniforme. Pour $|a|<1$, poser $T(f)(x)=f(x)-af(\ell x)$. +Montrer que $T$ est un automorphisme continu de $E$ et que $T^{-1}$ est continue. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1301] +Soit $E=C^1([0,1],\R)$ et $T(f)(x)=\int_0^xf(t)\,dt$, muni de la norme uniforme. +1. Montrer que $T$ est un endomorphisme continu. +2. Calculer $\|T\|$. +3. Montrer $|T^n(f)(x)|\leq x^n\|f\|_\infty/n!$. +4. En déduire une borne pour $\|T^n\|$ et la déterminer. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1302] +Poser $A_n=\min\{p\geq1:\sum_{k=1}^p1/k\geq n\}$. Montrer que $A_n$ est bien défini et donner la limite et un équivalent de $(A_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1303] +Soit $u_0=1$, $u_{n+1}e^{u_{n+1}}=u_n/2$. +1. Montrer que $(u_n)$ est bien définie et déterminer sa limite. +2. Montrer que $\sum u_n$ converge. +3. Montrer qu'il existe $c>0$ tel que $u_n\sim c/2^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1304] +Pour $n\geq1$, considérer $x=1+\ln(n+x)$. +1. Montrer qu'il existe une unique solution $x_n\geq0$. +2. Montrer $x_n\to+\infty$ et donner un équivalent. +3. Déterminer la limite de $x_n-\ln n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1305] +Soient $u_0=\alpha>0$ et $u_{n+1}=u_n^2+u_n$. +1. Montrer $u_n\to+\infty$. +2. Poser $v_n=2^{-n}\ln u_n$. Montrer que $(v_n)$ converge vers $\beta$. +3. Montrer $|v_n-\beta|=o(2^{-n})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1306] +Soit $\theta\in]0,\pi/2[$, $x_0=\cos\theta$, $y_0=\sin\theta$, et +$$x_{n+1}=\frac{2+2y_n+x_n}{3+2x_n+2y_n},\qquad y_{n+1}=\frac{2+2x_n+y_n}{3+2x_n+y_n}.$$ +1. Montrer que $(x_n,y_n)$ est bien définie et reste sur le quart de cercle unité. +2. Montrer sa convergence et déterminer sa limite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1307] +Étudier la convergence de $\sum\sin\left(\frac{\pi n!}{\sum_{k=0}^nk!}\right)$ et de $\sum\sin(\pi n!e)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1308] +Soient $\ell\in\N$ et $f\in C^1([\ell,+\infty[,\R)$. +1. Montrer $\sum_{k=\ell+1}^nf(k)=\int_\ell^nf(t)\,dt+\int_\ell^n(t-\lfloor t\rfloor)f'(t)\,dt$. +2. Si $f'$ est intégrable sur $[\ell,+\infty[$, comparer la nature de $\sum_{k\geq\ell}f(k)$ et de $\int_\ell^\infty f$. +3. Déterminer la nature de $\sum\cos(\ln n)/n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1309] +Soit $\mathcal C$ l'ensemble des suites croissantes à valeurs dans $\N\setminus\{0,1\}$. Pour $u\in\mathcal C$, poser $v_n=\sum_{k=0}^n1/(u_0\cdots u_k)$. +1. Étudier la limite de $v_n$ si $u$ est constante, $u_n=n+2$, puis $u_n=2n+2$. +2. Montrer pour tout $u$ que $v_n$ converge avec limite dans $]0,1]$. +3. Montrer que $u\mapsto\lim v_n$ est injective. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1310] +Soient $\alpha,\beta\in\R$, $a_1=1$ et, pour $n\geq2$, $a_n\sum_{k=1}^{n-1}a_k^\alpha=n^{-\beta}$. +1. Montrer $a_n>0$. +2. Si $\sum a_n^\alpha$ diverge, montrer $a_n^\alpha=o(n^{-\alpha\beta})$. +3. En déduire que si $\alpha\beta>1$, cette série converge. +4. Montrer que si $\alpha\beta\leq1$, alors $a_n=o(n^{-\beta})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1311] +1. Pour $\lambda\geq0$, montrer $\int_0^\pi\frac{dx}{1+\lambda\sin^2x}=2\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\lambda\sin^2x}$. +2. Calculer cette intégrale. +3. Pour $\alpha\geq0$, étudier $\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^\alpha\sin^2x}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1312] +Soit $f\in C^0(\R_+,\R_+)$ décroissante vers $0$ et $g(u)=f(u)\sin u$. +1. Montrer que $\int_0^\infty g(u)\,du$ converge. +2. Montrer que $f$ est intégrable sur $\R_+$ ssi $g$ l'est. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1313] +Soient $f,g$ continues et de carré intégrable sur $\R$. Montrer que $fg$ est intégrable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1314] +Étudier et représenter le graphe de $f(x)=\sum_{n\geq1}\frac{\cos^n(x)\sin(nx)}n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1315] +1. Donner un équivalent simple de $u_n=\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln n)$. +2. Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=x(1-x)^n/\ln(n+1)$. Déterminer le domaine de $F=\sum f_n$ et étudier la convergence uniforme et normale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1316] +Soient $a>0$ et $f\in C^1(\R_+,\R_+^*)$ décroissante avec $f(x)\sim a\ln x$. Déterminer le domaine de $u(x)=\sum_{n\geq0}f(n)e^{-nx}$ et les limites aux bornes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1317] +Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\ln(n)x^n$. +1. Donner le rayon de convergence. +2. Pour $00$, et $S_n(z)=\sum_{k=0}^na_kz^k$. +1. Calculer $\int_0^{2\pi}e^{ik\theta}\,d\theta$ pour $k\in\Z$. +2. Pour $01$, poser $I_n(\alpha)=\int_0^\infty(1+t^\alpha)^{-n}\,dt$. +1. Montrer que $I_n(\alpha)$ est définie. +2. Relier $I_{n+1}(\alpha)$ à $I_n(\alpha)$ et en déduire une expression. +3. Déterminer la limite de $I_n(\alpha)$. +4. Montrer qu'il existe $K(\alpha)>0$ tel que $I_n(\alpha)\sim K(\alpha)n^{-1/\alpha}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1327] +Pour $n\geq1$, poser $u_n=\int_0^\infty\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(t+n)}\,dt$. +1. Montrer l'existence et établir $u_n=\ln(1+1/n)+\sum_{k=1}^{\infty}\bigl((n+k)\ln(1+1/(n+k))-k\ln(1+1/k)\bigr)$. +2. Montrer $1-\frac1{2n}\leq n\ln(1+1/n)\leq1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}$. +3. Montrer $\sum_{k\geq1}(1/k-1/(k+n))\sim\ln n$. +4. Déterminer un équivalent de $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1328] +Soient $F=\{f\in C^1([0,1]):f(0)=0,f(1)=1\}$, $g\in F$ croissante, $g'(1)=0$. Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=g(nx)e^{1-x}$ si $x\in[0,1/n]$, et $0$ sinon. +1. Montrer $f_n\in F$. +2. Poser $I_n=\int_0^1|f_n-f'_n|$. Calculer $\ell=\lim I_n$ et donner un équivalent de $I_n-\ell$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1329] +Poser $F(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{\arctan(x\tan\theta)}{\tan\theta}\,d\theta$. +1. Montrer que $F$ est définie sur $\R$ et de classe $C^1$. +2. Calculer $F(x)$. +3. Après justification de convergence, calculer $\int_0^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,d\theta$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1330] +Poser $f(x)=\int_0^\infty\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(t+x)}\,dt$. +1. Déterminer son domaine, ses variations et ses limites aux bornes. +2. Calculer $f(1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1331] +Poser $f(x)=\int_1^\infty\frac{dt}{t^x(1+t)}$. +1. Déterminer son domaine. +2. Montrer que $f$ est $C^\infty$ et donner $f^{(n)}$. +3. Donner des équivalents en $0$ et en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1332] +Pour $x\in[0,\pi/2]$, poser $f(x)=\int_0^1\frac{\ln(1+2t\cos x+t^2)}t\,dt$. +1. Montrer que $f$ est de classe $C^1$. +2. Donner une expression simple de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1333] +Étudier $f(x)=\int_0^1\frac{\ln(1-x\cos t+t^2)}t\,dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1334] +Poser $f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{xe^{it}}{x^2+t^2}\,dt$. +1. Montrer que $f$ est définie pour $x>0$. +2. Montrer $f(x)=\int_\R\frac{e^{ixu}}{u^2+1}\,du$ et en déduire sa limite en $0$. +3. Calculer le laplacien de $G(x,t)=x/(x^2+t^2)$. +4. Montrer que $f\in C^2(\R_+^*)$ et résout une équation différentielle linéaire d'ordre 2. +5. Donner une expression simple de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1335] +Soit $f\in C^1([0,1],\R_+^*)$. Pour $x>0$, poser $F(x)=\int_0^1f(t)^x\,dt$ et $G(x)=F(x)^{1/x}$. +1. Montrer $G\in C^1(\R_+^*)$. +2. Déterminer les limites de $G$ en $0^+$ et $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1336] +Soit $f(x,y)=x^2y^2+\frac12(x+y)^2+xy+\frac34$. +1. Déterminer les points critiques et leur nature. +2. $f$ admet-elle des extrema globaux ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1337] +1. Soient $P,Q\in\R[X]$, $Q$ de degré $2$ à racines distinctes $r_1,r_2$. Montrer que $P/Q$ est développable en série entière et préciser le rayon. +2. Sur $U=(\R\setminus\{-1\})\times]0,\pi/2[$, poser $f(x,t)=\arctan\left(\frac{1-x}{1+x}\tan t\right)$. Étudier ses extrema. +3. Pour $t$ fixé, montrer que $x\mapsto f(x,t)$ est développable en série entière en $0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1338] +Sur $\R^2\setminus\Delta$, avec $\Delta=\{(x,x)\}$, poser $f(x,y)=(h(x)-h(y))/(x-y)$. +1. Si $h\in C^1$, montrer que $f$ se prolonge continûment à $\R^2$. +2. Si $h\in C^2$, montrer que ce prolongement est $C^1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1339] +Soit $n\geq1$, $f\in C^1(\R^2,\R)$. Dire que $f$ vérifie $H_n$ si $f(tx,ty)=t^nf(x,y)$ pour tous $x,y$ et $t\geq0$. +1. Montrer que $H_n$ équivaut à $x\partial_xf+y\partial_yf=nf$. +2. Si $n\geq2$, montrer $\partial_xf(0,0)=\partial_yf(0,0)=0$. +3. Montrer que $f$ ne s'annule qu'en $(0,0)$ ssi $|f(x,y)|\to+\infty$ lorsque $\|(x,y)\|\to+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1340] +Soit $f\in C^2(\R^n,\R)$ radiale : $f(x)=\varphi(\|x\|)$ pour $x\neq0$. +1. Montrer $\Delta f(x)=\varphi''(\|x\|)+\frac{n-1}{\|x\|}\varphi'(\|x\|)$. +2. Déterminer les fonctions radiales harmoniques de classe $C^2$ sur $\R^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1341] +Soit $f\in C^2(\R^n,\R)$ telle que le spectre de sa hessienne soit inclus dans $[1,+\infty[$ en tout point. +1. Montrer $y^TH_f(x)y\geq\|y\|^2$. +2. En déduire $f(x)\geq f(0)+\nabla f(0)^Tx+\|x\|^2/2$. +3. Montrer que $f$ admet un minimum, puis qu'il est unique. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1342] +Soit $n\geq3$. Placer successivement $n$ billes, uniformément et indépendamment, dans trois boîtes initialement vides. Soit $N$ le nombre de boîtes vides. +1. Calculer $\E(N)$. +2. Donner la loi de $N$. +3. En déduire le nombre de surjections de $\{1,\ldots,n\}$ dans $\{1,2,3\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1343] +Une urne contient une boule blanche et une noire. À chaque tirage, remettre la boule tirée en ajoutant deux boules : une de sa couleur et une noire. Soit $T_n$ le nombre de boules blanches après $n$ tirages. +Préciser $X_n=T_n-T_{n-1}$ et sa loi, calculer $\E(T_n)$ et donner un équivalent en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1344] +Soient $n=2q+1$, $A_k$ les racines $n$-ièmes de l'unité d'arguments $2k\pi/n$, et $B_k$ l'intersection de $(A_0A_k)$ avec la droite $x=-1$. Si $W_n$ est uniforme sur $\{1,\ldots,n-1\}$, poser $Z_n=2\cot(\pi W_n/n)$. +1. Montrer que l'ordonnée de $B_k$ vaut $2\cot(k\pi/n)$. +2. Calculer $\E(Z_n)$. +3. Donner un équivalent de $\E(|Z_n|)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1345] +Soit $n\geq2$ et $\mathcal P_n$ l'ensemble des parties de $\{1,\ldots,n\}$. +1. Si $A$ est uniforme sur $\mathcal P_n$, donner la loi de $|A|$. +2. Pour $A,B$ uniformes indépendantes, calculer $\P(A\cap B=\varnothing)$. +3. Pour $n$ parties uniformes indépendantes $A_1,\ldots,A_n$, poser $Z=|\bigcap_iA_i|$. Donner $\E(Z)$ et la loi de $Z$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1346] +On lance indéfiniment une pièce équilibrée et numérote les séries de lancers identiques consécutifs. Soit $N_n$ le numéro de la série contenant le lancer $n$. +1. Donner $N_n(\Omega)$, $\P(N_n=1)$ et $\P(N_n=n)$. +2. Relier $\P(N_n=k)$ aux probabilités $\P(N_{n-1}=i)$. +3. Donner la fonction génératrice de $N_n$ et son espérance. +4. Calculer $\V(N_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1347] +Soit $X\geq0$ à support fini et $k\geq1$. Montrer $\E(X^k)=\int_0^\infty kt^{k-1}\P(X>t)\,dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1348] +Soit $\mathfrak S_n$ uniforme, $n\geq2$, et $X_i(\sigma)=1$ si $\sigma(i)=i$, $0$ sinon. +1. Donner la loi de $X_i$. Les $X_i$ sont-elles indépendantes ? +2. Pour $Y$ le nombre de points fixes, calculer espérance et variance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1349] +Soit $f\in C^1([0,1])$ et $B_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkf(k/n)x^k(1-x)^{n-k}$. +1. Montrer que $f$ est lipschitzienne. +2. Réécrire $B_n(x)-f(x)$ comme somme pondérée des écarts. +3. Pour $X_i$ i.i.d. Bernoulli($x$), poser $X_n=(\sum X_i)/n$. Donner loi, espérance, variance et montrer $\V(X_n)\leq1/(4n)$. +4. Montrer $\E(f(X_n))=B_n(x)$. +5. Pour $\varepsilon>0$, majorer la contribution des indices avec $|x-k/n|\geq\varepsilon/M$ par $2\|f\|_\infty\P(|X_n-x|\geq\varepsilon/M)$. +6. En déduire $B_n\to f$ uniformément. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1350] +Soit $X$ à valeurs dans $\N$ et $(X_n)$ i.i.d. de même loi. Pour $n\geq2$, poser $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$. Dire que $X$ est implosive si $\E(X)=+\infty$ et $\E(Y_n)<+\infty$ pour un certain $n$. +1. Si $\P(X=k)=1/\sqrt{k+1}-1/\sqrt{k+2}$, montrer que $X$ est implosive et donner son indice d'implosion. +2. Poser $u_n=a/(n\ln^2n)$ pour $n\geq2$. Choisir $a$ pour que $(u_n)$ soit une loi et montrer que la variable associée n'est pas implosive. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1351] +Soient $(X_n)$ i.i.d. avec $\P(X_n=1)=p$, $\P(X_n=-1)=q=1-p$, et $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. +1. Étudier $\sum\P(S_n=0)$. +2. Pour $t>0$, montrer $\P(S_n>a)\leq e^{-ta}(qe^{-t}+pe^t)^n$. +3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $p$ pour que $\sum\P(S_n\in A)$ converge pour toute partie bornée $A\subset\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1352] +Soit $M_n=(X_{ij})$ avec coefficients i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$ et $\Delta_n=\det M_n$. +1. Calculer $\E(\Delta_n)$. +2. Montrer $\V(\Delta_n)=n!$. +3. Donner une condition suffisante sur $(a_n)\subset\R_+$ pour que $\P(\Delta_n\geq a_n)\to0$. +4. Calculer $\E(\operatorname{tr}(M_n^k))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1353] +1. Pour des variables bornées $(X_1,\ldots,X_n)$, montrer que leur matrice de covariance est dans $S_n^+(\R)$. +2. Réciproquement, toute matrice de $S_n^+(\R)$ est-elle matrice de covariance d'un n-uplet de variables réelles bornées ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1354] +Soient $(X_n)$ indépendantes, de même espérance $m$ et variance $\sigma^2$, et $\overline X_n=n^{-1}\sum_{k=1}^nX_k$. Soit $f:\R\to\R$ continue bornée. +1. Montrer $\P(|f(\overline X_n)-f(m)|>\varepsilon)\to0$. +2. Montrer $\E(f(\overline X_n))\to f(m)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1355] +Soit $Y_n\sim\mathcal G(1/n)$. +1. Pour $x>0$, déterminer si elle existe la limite de $\P(Y_n/n\leq x)$. +2. Pour $f$ continue bornée sur $\R_+$, déterminer si elle existe la limite de $\E(f(Y_n/n))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1356] +Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$, $E_k=\bigcup_{i=1}^n(X_i=k)$ et $Y_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$. +1. Montrer $Y_n=\sum_{k\geq0}\mathbf1_{E_k}$. +2. Pour $m\in\N$, poser $R_m=\sum_{k=m+1}^\infty\mathbf1_{E_k}$. Montrer $\E(R_m)\leq n\P(X_1\geq m+1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1357] +1. Pour $n\geq2$, montrer qu'une matrice $A\in M_n(\C)$ est de rang $1$ ssi elle s'écrit $A=UV^T$ avec $U,V\in\C^n\setminus\{0\}$. +2. Pour $(X,Y)$ à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}^2$, poser $A=(\P(X=i,Y=j))$. + a. Montrer que $\operatorname{rg}(A)=1$ ssi $X,Y$ sont indépendantes. + b. Montrer que l'indépendance équivaut à $\E(e^{sX+tY})=\E(e^{sX})\E(e^{tY})$ pour tous $s,t\in\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1358] +Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$ et $T\in\N$ indépendante de chaque famille finie $(X_1,\ldots,X_n)$; poser $S_T=\sum_{i=1}^T X_i$. Supposer $X_1,T$ intégrables. +1. Exprimer $G_{X_1+\cdots+X_n}$ en fonction de $G_{X_1}$. +2. Montrer $G_{S_T}(s)=G_T(G_{X_1}(s))$ pour $s\in[0,1]$. +3. Montrer $\E(S_T)=\E(X_1)\E(T)$. +4. Application : des poules pondent un nombre d'œufs de loi de Poisson ; chaque œuf éclot avec probabilité $p$. +#+end_exercice + +* Autres Écoles MP-MPI 2026 +** Algèbre + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1359] +[IMT] $f:\N\to\N$, $f(m+1)>f(f(m))$. Montrer par récurrence $m\geq p\Rightarrow f(m)\geq p$, puis $f(m)\geq m$, que $f$ est croissante et conclure $f=\operatorname{id}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1360] +[IMT] Factoriser $X^n-1$ et $1+X+\cdots+X^{n-1}$ dans $\C[X]$, puis calculer $\sum_{k=1}^{n-1}\sin(2k\pi/n)$ et $\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1361] +[IMT] Pour $A,B\in M_n(\R)$, calculer la trace de $\varphi:M\mapsto AMB$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1362] +[IMT] Montrer que $A^2=A$ ssi $\operatorname{rg}(A)\leq\operatorname{tr}(A)$ et $\operatorname{rg}(I_n-A)\leq\operatorname{tr}(I_n-A)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1363] +[IMT] Soient $P_1,P_2$ deux plans distincts de $\R^3$ et $S$ l'espace des endomorphismes les laissant stables. Montrer que $S$ est un sous-espace, étudier si les plans sont supplémentaires et montrer qu'ils ont un vecteur propre commun à tout $u\in S$. Trouver une base où les matrices de $S$ sont de la forme $\begin{pmatrix}a&0&0\\b&c&d\\0&0&e\end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1364] +Diagonaliser la matrice $A$ de taille $4$ dont tous les coefficients valent $1$, ainsi que $B$ à diagonale $16$ et hors-diagonale $1$. Déterminer $\pi_B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1365] +[CCINP] Pour $a,b,c,d\in\C$, $M=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{pmatrix}$. Calculer $MM^T$, en déduire $\det M$, son rang selon $a^2+b^2+c^2+d^2$, puis son spectre et discuter la diagonalisabilité si $b^2+c^2+d^2=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1366] +[CCINP] Soient $a,b\in\R$, $A$ la matrice de taille $n$ à diagonale $b$ et hors-diagonale $a$, et $J$ la matrice de tous les $1$. Montrer que $A,J$ sont diagonalisables, déterminer les éléments propres de $J$, donner une condition d'inversibilité de $A$ et exprimer $A^{-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1367] +[IMT] Soient $A\in M_{3,2}(\R)$, $B\in M_{2,3}(\R)$. Montrer $\operatorname{rg}(AB)\leq2$, discuter l'inversibilité. Si $AB=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$, déterminer les $x$ possibles et discuter la diagonalisabilité de $BA$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1368] +[CCINP] Pour $n\geq2$, $f(P)=(X^2+X)P(1)+(X^2-X)P'(1)$ sur $\R_n[X]$. Déterminer noyau, image, valeurs propres, espaces propres et diagonalisabilité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1369] +[IMT] Pour des endomorphismes $u,v$ d'un espace de dimension finie, montrer que toute valeur propre de $u\circ v$ est valeur propre de $v\circ u$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1370] +[IMT] Si $A^2+A+I_n=0$ pour $A\in M_n(\R)$, montrer $n$ pair et calculer $\det A,\operatorname{tr}A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1371] +[IMT] Soit $A\in M_n(\R)$ avec $n$ valeurs propres distinctes. Si $A$ est diagonale, montrer $\R[A]$ égale les matrices diagonales. En général, construire $M_i$ tels que $A^p=\sum_i\lambda_i^pM_i$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1372] +[IMT] Soit $M$ à diagonale nulle et coefficients hors diagonale égaux à $1$. Déterminer son spectre puis montrer qu'aucune forme linéaire $\varphi$ ne donne une valeur propre de $A$ pour toute matrice $A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1373] +[IMT] Pour $f\in\mathcal L(E)$, $\dim E=n$, déterminer $\dim\{g:f\circ g=g\circ f=0\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1374] +[IMT] Si $\operatorname{tr}(A)\neq0$, montrer que $M\mapsto\operatorname{tr}(M)A-\operatorname{tr}(A)M$ est diagonalisable et déterminer ses espaces propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1375] +[IMT] Soit $M\in M_2(\R)$, $\det M=0$, $M^T=M^2$. Montrer $M^4=M$, que $M$ est semblable à $\begin{pmatrix}0&a\\0&b\end{pmatrix}$, $b\in\{0,1\}$, puis discuter $b=0$, l'idempotence, diagonalisabilité et trigonalisabilité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1376] +[CCINP] Pour $E$ réel de dimension $4$ et $\pi_f=(X^2+1)(X^2+4)$, décomposer les noyaux, trouver $x,y$ tels que $f^2(x)=-x$, $f^2(y)=-4y$, montrer $(x,f(x),y,f(y))$ base et écrire la matrice. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1377] +[CCINP] Soit $A$ stochastique. Montrer $1\in\Sp(A)$ et $|\lambda|\leq1$. Si la diagonale est strictement positive, montrer $|\lambda-w|\leq1-w$ pour un $w\in]0,1]$, puis situer le spectre dans un disque fermé de rayon $<1$ tangent au cercle unité en $1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1378] +[IMT] Sur $C^1([0,1])$, $\langle f,g\rangle=\int_0^1xfg$. Montrer que c'est un produit scalaire et calculer le projeté de $1$ sur $\operatorname{Vect}(x,x^2)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1379] +[CCINP] Sur $\R_n[X]$, $\langle P,Q\rangle=\sum_{i=0}^nP(a_i)Q(a_i)$ pour $a_i$ distincts. Montrer que c'est un produit scalaire. Pour $H=\{P:\sum\alpha_iP(a_i)=0\}$, $\alpha\neq0$, donner $\dim H$ et calculer $d(Q,H)$ pour le générateur unitaire $Q$ de $H^\perp$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1380] +[CCINP] Soient $u$ isométrique et $v=\operatorname{id}-u$. Montrer $\operatorname{Im}v\perp\Ker v$. Pour $f_n(x)=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}u^k(x)$, établir la décomposition puis la convergence simple vers le projecteur orthogonal sur $\Ker v$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1381] +[CCINP] Montrer successivement que toute matrice positive admet une racine carrée positive, que $M^TM$ est positive, que toute matrice positive est de la forme $M^TM$, et que $A$ est diagonalisable réelle ssi $A^T=SAS^{-1}$ pour un $S$ symétrique définie positive. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1382] +[IMT] Si $f$ est autoadjoint sur un espace euclidien, montrer que $\langle f(x),x\rangle=0$ pour tout $x$ entraîne $f=0$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour $\|f(x)\|^2=\langle x,f(x)\rangle$ pour tout $x$. +#+end_exercice + +** Analyse + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1383] +[IMT] Si $f\in\mathcal L(E,F)$ est continue entre espaces normés, montrer $\Ker f$ fermé. La réciproque est-elle vraie ? Montrer qu'elle l'est pour $F=\R$ ou $\C$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1384] +[IMT] Sur $C^1([0,1])$ muni de $\|\cdot\|_\infty$, poser $A=\{f:f(0)=0,\int_0^1f\geq1\}$. Montrer que $A$ est fermé non vide, que $\|f\|_\infty>1$ sur $A$, et calculer $d(0,A)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1385] +[IMT] Pour $n\notin\{0,1\}$, montrer qu'il existe un unique $x_n>0$ tel que $x_n+e^{x_n}=n$, avec $\frac12\ln nn}(-1)^k/(k\ln k)^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1387] +[CCINP] Soit $u_0>0$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$. Étudier $(u_n)$ et les séries $\sum(-1)^nu_n,\sum u_n^2,\sum u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1388] +[IMT] Pour $x>0$, poser $I(x)=\int_x^{7x}(1-e^{-t})/t^2\,dt$. Déterminer les limites en $0^+$ et $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1389] +[IMT] Pour $f(t)=\ln(t)/(1-t)$, montrer que $\int_0^1f$ et $\int_0^11/f$ convergent puis que leur produit est au moins $1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1390] +[IMT] Montrer que $\int_0^\infty\cos(t^2)\,dt$ existe et est strictement positive. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1391] +[CCINP] Poser $f(x)=\int_x^1e^t/t\,dt$. +1. Montrer $f(x)\geq-\ln x$ et sa limite en $0^+$. +2. Pour tout $n\geq1$, montrer qu'il existe un unique $u_n\in]0,1]$ tel que $f(u_n)=n$ et déterminer sa limite. +3. Montrer $I=\int_0^1(e^t-1)/t\,dt$ converge et $u_n\sim e^{I-n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1392] +[CCINP] Pour $|x|<1$, $f_x(\theta)=\sum_{n\geq1}x^n\cos(n\theta)/n$. Étudier convergence et régularité, calculer $f_x(0),f_x(\pi)$, montrer $f'_x=-x\sin\theta/(1-2x\cos\theta+x^2)$, en déduire $f_x$ et calculer $\int_0^\pi\ln(1-2x\cos\theta+x^2)d\theta$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1393] +[CCINP] Poser $f_n(x)=\cos^n(x)\sin(nx)/n$. Montrer $\sum f_n$ converge simplement, que sa somme est $C^1$ sur $\R\setminus\pi\Z$ et de dérivée $-1$, puis l'expliciter. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1394] +[IMT] Pour $f(x)=\sum_{n\geq0}n^3x^n/n!$, déterminer le rayon et exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1395] +Soit $a_1=a_0>0$, $a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}/n$. +1. Montrer que $(a_n)$ croît, que $a_n=a_1+2\sum_{k=2}^na_{k-2}/k$, et qu'elle diverge; établir $a_n\leq n^2a_1$. +2. Pour $f(x)=\sum a_nx^n$, trouver le rayon et vérifier $(1-x)y'=(1+2x)y$. +3. Résoudre l'équation et en déduire $a_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1396] +[IMT] Poser $a_n=\int_0^\infty(\cosh t)^{-n}dt$. Montrer l'existence, étudier $(a_n)$, la série alternée $\sum(-1)^na_n$ et le rayon de $\sum a_nx^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1397] +[IMT] Poser $a_n=\int_0^1t^n/\sqrt{1-t^3}\,dt$. Montrer l'existence, calculer la limite et le rayon de $\sum a_nx^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1398] +[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty(1+x^3)^{-n}dx$. Montrer l'existence et la limite, puis calculer la somme de $\sum_{k\geq1}(-1)^kI_k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1399] +[IMT] Poser $\psi(x)=\int_0^\infty\sin(xt)e^{-t}/t\,dt$. Montrer $\int_0^\infty\cos(xt)e^{-t}dt=1/(1+x^2)$, puis que $\psi$ est $C^1$ et calculer $\psi',\psi$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1400] +[CCINP] Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-t}e^{ixt}/\sqrt t\,dt$, déterminer son domaine, montrer $C^1$, calculer $f(0)$, établir une équation différentielle et en déduire une expression. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1401] +[IMT] Poser $f(x)=e^{-x^2/2}\int_0^xe^{-t^2/2}dt$. Montrer $C^\infty$, trouver une équation différentielle et le développement en série entière. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1402] +[IMT] Soit $f$ continue et $f(x)=1-\int_0^x(x+t)f(x-t)dt$. Poser $F(x)=\int_0^xf(t)dt$. Montrer $f\in C^1$, $F''+xF'+2F=0$, $F(0)=0,F'(0)=1$, puis expliciter $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1403] +[IMT] Soient $q\leq0$ continue et $y''+qy=0$. Montrer $y^2$ convexe, qu'une solution ayant deux zéros distincts est nulle, que toute solution bornée est nulle et, si $y(0)=y_0>0,y'(0)=0$, que $y\geq y_0$ et est convexe. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1404] +[IMT] Résoudre sur $\R_+^*$ $x^2y''+y=0$, d'abord avec $y=x^\alpha$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1405] +[CCINP] Soit $y\in C^3(\R)$ vérifiant $(E):y^{(3)}-5y''+7y'-3y=0$. +1. Montrer que $y$ vérifie $(E)$ si et seulement si $Y'=AY$, où $Y=(y,y',y'')^T$ et $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\3&-7&5\end{pmatrix}$. +2. Pour $M=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\3&-7&5\end{pmatrix}$, trouver $P\in GL_3(\R)$ tel que $P^{-1}MP=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}$. +3. Poser $Z=P^{-1}Y$, établir l'équation vérifiée par $Z$, la résoudre puis en déduire les solutions de $(E)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1406] +[CCINP] Pour $A(-1,1),B(0,1),C(0,-1),D(-1,-1)$ et $f(x,y)=-2x^3+x^2-y^2+5$, montrer que $f$ est bornée sur le rectangle et déterminer ses extrema. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1407] +[IMT] Un lion chasse un jour sur deux : après avoir mangé, il ne chasse pas le lendemain ; sinon il chasse et mange avec probabilité $1/2$. La veille du jour 1 il n'a pas mangé. +1. Probabilité qu'il ne mange pas durant les $n$ premiers jours. +2. Probabilité de son premier repas le jour $n$. +3. Si $p_i$ est la probabilité qu'il mange le jour $i$, établir une récurrence et l'expliciter. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1408] +[CCINP] Marche aléatoire sur $\Z$ depuis $0$, vers la gauche avec probabilité $p$, vers la droite avec $q=1-p$. Noter $r_n$ la probabilité d'être en $0$ au temps $n$, et $s_n$ celle du premier retour à $0$ au temps $n$. +1. Calculer $r_n$. +2. Pour $F(x)=\sum_{n\geq0}r_nx^n$, $G(x)=\sum_{n\geq1}s_nx^n$, étudier les domaines et continuité. +3. Montrer $F(t)G(t)=F(t)-1$ sur $[0,1[$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1409] +[CCINP] Deux urnes contiennent respectivement $(2\,blanches,3\,noires)$ et $(4\,blanches,3\,noires)$. À chaque tirage, choisir une urne au hasard, tirer avec remise, puis tirer au tour suivant dans $U_1$ si la boule était blanche, $U_2$ sinon. Pour $p_n=\P(B_n)$, calculer $p_1$, établir $p_{n+1}=-6p_n/35+4/7$ et résoudre. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1410] +[IMT] Soient $X\sim\mathcal P(\lambda)$ et $Y$ indépendantes avec $\P(Y=n)=p(1-p)^n$. +1. Calculer $\E(Y),\V(Y),\P(X\neq0,Y\neq0)$. +2. Pour $M_{a,b}=\begin{pmatrix}-a&a&0\\2a&0&0\\0&0&b\end{pmatrix}$, déterminer le spectre. +3. Calculer $\P(M_{X,Y}$ inversible). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1411] +[IMT] Soient $X,Y\sim\mathcal G(p)$ et $Z\sim\mathcal P(\lambda)$ indépendantes. Soit $M_n\in M_n(\R)$ la matrice symétrique dont les coefficients $(1,1)$ et $(n,n)$ valent $X$, les coefficients $(1,n)$ et $(n,1)$ valent $Y$, les autres coefficients diagonaux valent $Z$, et les autres coefficients sont nuls. Calculer $\P(M_n\in S_n^{++}(\R))$ puis $\E(M_n)$. +#+end_exercice + +* Autres Écoles PSI 2026 +** Algèbre + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1412] +[Navale] Pour $n\geq2$, montrer qu'un hyperplan de $M_n(\C)$ ne contenant aucune matrice inversible contient toutes les nilpotentes, puis en déduire que tout hyperplan contient une matrice inversible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1413] +[CCINP] Soient $p,q\in\mathcal L(E)$ avec $p+q=\operatorname{id}$ et $\operatorname{rg}(p)+\operatorname{rg}(q)\leq\dim E$. Rappeler la définition d'un projecteur et montrer que $p,q$ sont des projecteurs. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1414] +[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $\varphi(X)=X+\operatorname{tr}(X)A$. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme, bijectif si $\operatorname{tr}(A)\neq-1$, puis déterminer rang et image lorsque $\operatorname{tr}(A)=-1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1415] +[ENSEA] Pour $T=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&0&1&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}$, déterminer rang, valeurs propres sans calculer $\chi_T$, et diagonalisabilité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1416] +[IMT] Sur $E=\C^3$, définir $f_a(e_1)=f_a(e_3)=ae_1+e_2-ae_3$, $f_a(e_2)=0$. +1. Déterminer image et noyau, puis sa matrice. +2. Calculer $A^2$ et en déduire des propriétés de $f_a$. +3. $A$ est-elle inversible ou diagonalisable ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1417] +[ENSEA] Pour $a\neq b$, décomposer $\frac{nx+\lambda}{(x-a)(x-b)}$ en éléments simples. Montrer ensuite que $\Phi(P)=(X-a)(X-b)P'-nXP$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$ et déterminer ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1418] +[ENSEA] Poser $\Phi(P)=P(X+1)$ sur $\R_n[X]$. Vérifier que c'est un endomorphisme, étudier sa diagonalisabilité et ses éléments propres, donner sa matrice, calculer ses puissances et discuter son inversibilité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1419] +[CCINP] Soit $u\in\mathcal L(\R^3)$ avec $u^3+u=0$. +1. Montrer $\operatorname{Im}(u^2+\operatorname{id})\subset\Ker u$ et que $\Ker(u^2+\operatorname{id})$ et $\Ker u$ sont en somme directe. +2. Montrer que $0$ est sa seule valeur propre réelle. +3. En déduire que les deux noyaux sont non nuls et qu'il existe une base où $u$ a la matrice $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1420] +[IMT] Si $A\in M_n(\R)$ est diagonalisable, montrer $(\operatorname{tr}A)^2\leq\operatorname{rg}(A)\operatorname{tr}(A^2)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1421] +[CCINP] Si $f^3+f=0$, montrer $\Ker f$ et $\operatorname{Im}f$ supplémentaires et, en dimension finie, que $\operatorname{rg}f$ est pair. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1422] +[IMT] Soient $\lambda_0,\ldots,\lambda_n$ distincts. +1. Construire les polynômes de Lagrange $L_i$ avec $L_i(\lambda_j)=\delta_{ij}$. +2. Pour $A\in\C[X]$, $B=\prod_{k=0}^n(X-\lambda_k)$, montrer que $\Phi(P)$ égale le reste de $AP$ modulo $B$ définit un endomorphisme de $\C_n[X]$. +3. Montrer que les $L_i$ forment une base propre et donner les valeurs propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1423] +[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $B=\begin{pmatrix}0&A\\A&I_n\end{pmatrix}$. +1. Exprimer $\det B$ en fonction de $\det A$. +2. Déterminer $\chi_B$ et relier les spectres. +3. Rappeler deux critères de diagonalisabilité et montrer $B$ diagonalisable ssi $A$ l'est. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1424] +[IMT] Pour $u,v\in\mathcal L(E)$, montrer qu'une valeur propre non nulle de $u\circ v$ est valeur propre de $v\circ u$. En dimension finie, montrer l'égalité des spectres. Donner un contre-exemple sur $\R[X]$ avec $u(P)=XP$, $v(P)=P'$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1425] +[IMT] Déterminer les matrices $M\in M_3(\R)$ telles que $\operatorname{tr}(M)=3$ et $M^5=M^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1426] +[CCINP] Soit $u$ en dimension $n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes, et $Z(u)=\{v:uv=vu\}$. +1. Montrer que $Z(u)$ est un espace vectoriel et que les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v\in Z(u)$. +2. Déterminer leurs dimensions et montrer qu'une base propre de $u$ existe. +3. Montrer que $v\in Z(u)$ ssi sa matrice dans cette base est diagonale, déterminer $\dim Z(u)$ et en donner une base parmi $\operatorname{id},u,\ldots,u^{n-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1427] +[CCINP] Pour $A=B^2$. +1. Combien $I_n$ a-t-elle de racines carrées diagonales réelles ? +2. Montrer que $-I_{2n+1}$ a des racines carrées complexes mais aucune réelle. +3. La matrice nulle a-t-elle des racines carrées non nulles ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1428] +[CCINP] Déterminer les $M\in M_n(\R)$ vérifiant $M^3=4M$ et $\operatorname{tr}(M)=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1429] +[IMT] Dans une base orthonormée directe d'un espace euclidien de dimension $3$, déterminer la matrice de la rotation d'angle $2\pi/3$ autour de l'axe dirigé par $(e_1-e_2+e_3)/\sqrt3$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1430] +[CCINP] Soient $(e_1,\ldots,e_n)$ unitaires dans un espace préhilbertien réel, avec $\|x\|^2=\sum_i\langle x,e_i\rangle^2$ pour tout $x$. +1. Montrer que la famille est orthonormale. +2. Montrer que l'espace est de dimension $n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1431] +[CCINP] Si $u$ est orthogonal sur un espace euclidien et $v=\operatorname{id}-u$, montrer $\Ker v=(\operatorname{Im}v)^\perp$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1432] +[IMT] Pour $M\in GL_n(\R)$, poser $A=M^TM$. +1. Montrer $A\in S_n^{++}(\R)$ et qu'il existe $S\in S_n^{++}$ tel que $A=S^2$. +2. En déduire une décomposition $M=OS$ avec $O$ orthogonale et $S$ symétrique définie positive. +#+end_exercice + +** Analyse + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1433] +[IMT] Soit $F_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$. Montrer $\inf_{P\in F_n}\int_0^1|P(t)|dt>0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1434] +[IMT] Pour $n\geq1$, $u_n=\frac{1\cdot3\cdots(2n+1)}{2\cdot4\cdots2n}$. Montrer $u_n\to0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1435] +[IMT] Pour $n\geq2$, $f_n(x)=nx^3+n^2x-2$. +1. Montrer qu'il existe un unique $u_n\in(0,1)$ tel que $f_n(u_n)=0$. +2. Étudier la monotonie et la limite de $u_n$. +3. Donner un équivalent de $u_n-\ell$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1436] +[IMT] Soit $u_0\in]0,1[$ et $u_{n+1}=(u_n+u_n^2)/2$. Étudier $(u_n)$ et la série $\sum u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1437] +[IMT] Pour $u_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\sin(nt)\,dt$. +1. Établir la convergence de $(u_n)$. +2. Montrer $u_{n+1}-u_n=1/(n+1)-u_{n+1}$. +3. Déterminer la nature de $\sum u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1438] +[ENSEA] Déterminer les fonctions continues $f:\R\to\R$ telles que $f(x)-\int_0^1f(t)dt=1$ pour tout $x$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1439] +[CCINP] Sur $E=C^0([0,1])$, poser $\Phi(f)(0)=f(0)$ et $\Phi(f)(x)=x^{-1}\int_0^xf(t)dt$ si $x>0$. +1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme. +2. Montrer que $0$ n'est pas valeur propre et déterminer l'espace propre associé à $1$. +3. Déterminer toutes les valeurs propres et leurs espaces propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1440] +[CCINP] Poser $f_n(x)=x^2/(x^2+n^2+\sin x)$. +1. Montrer la convergence simple sur $\R$ et donner la limite. +2. Étudier la convergence uniforme sur $[-a,a]$, puis sur $\R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1441] +[CCINP] Poser $f(t)=\sum_{n\geq1}\frac{t^n}{1+t^n}$. Déterminer son domaine, sa continuité et un équivalent lorsque $t\to1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1442] +[Navale] Poser $u_n(x)=e^{-xn}$. +1. Étudier la convergence de la série en fonction de $x$. +2. Montrer que sa somme est continue sur $\R_+^*$. +3. Déterminer sa limite à $+\infty$ et un équivalent en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1443] +[CCINP] Si $\varphi\in C^0(\R)$ et $|\varphi(x)|\leq C/(1+x^2)$, poser $f(x)=\varphi(x)+\sum_{n\geq1}(\varphi(x+n)+\varphi(x-n))$. +1. Montrer que $f$ est définie, continue et $1$-périodique. +2. Pour $g$ continue $1$-périodique, montrer $\varphi g$ intégrable et $\int_\R\varphi g=\int_0^1fg$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1444] +[IMT] +1. Montrer que la convergence uniforme de $\sum g_n$ implique $g_n\to0$ uniformément. +2. Pour $f_n(x)=nx^2e^{-\sqrt{nx}}$ sur $\R_+$, déterminer la limite simple et étudier la convergence uniforme de $(f_n)$, puis de $\sum f_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1445] +[CCINP] +1. Décomposer $\frac1{1+x^3}=\frac a{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}$ et en déduire une primitive sur $]-1,1[$. +2. Déterminer le rayon de $\sum_{n\geq0}(-1)^nx^{3n+1}/(3n+1)$, sa somme, puis $\sum_{n\geq0}(-1)^n/(3n+1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1446] +[ENSEA] Poser $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(x)\,dx$. +1. Déterminer rayon et somme de $\sum_{n\geq0}x^{n+1}/(n+1)$. +2. Montrer $0\leq I_n\leq\pi/4$ et en déduire une minoration du rayon de $\sum I_nx^n$. +3. Montrer $I_n+I_{n+2}=1/(n+1)$ et en déduire le rayon. +4. Montrer $\sum I_n$ diverge et $\sum(-1)^nI_n$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1447] +[CCINP] Poser $I_{k,n}=\int_0^\infty t^ke^{-nt}dt$ et $a_n=n!/n^{n+1}$. +1. Calculer $\lim(1-1/n)^n$ et $I_{k,n}$. +2. Déterminer le rayon de $\sum a_nx^n$ et étudier $\sum a_ne^n,\sum a_n(-e)^n$. +3. Pour $x$ dans l'intervalle de convergence, montrer $\sum_{n\geq1}a_nx^n=\int_0^\infty\frac{xt}{e^t-xt}\,dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1448] +[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty\frac{e^{nx}}{(1+2e^x)^{n+1}}dx$. +1. Justifier la convergence. +2. Montrer pour $n\geq2$ que $I_n=\dfrac{1}{2n3^n}+\dfrac{n-1}{2n}I_{n-1}$. +3. Étudier la convergence et la limite de $(I_n)$. +4. Exprimer $n2^nI_n$, puis déterminer rayon et somme de $\sum I_nx^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1449] +[CCINP] Poser $u_n=\int_0^1\frac{t^n}{1+t^2}dt$, $S(x)=\sum_{n\geq0}u_nx^n$. +1. Rappeler le rayon de convergence et le déterminer. +2. Trouver $a,b,c$ tels que $\frac1{(1+t^2)(1-xt)}=\frac{ax+b}{1+t^2}+\frac c{1-xt}$. +3. Calculer $S(x)$ pour $|x|0$ : +1. Montrer l'existence et calculer la limite en $+\infty$. +2. Montrer $g\in C^1$, calculer $g'$ puis $g$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1455] +[IMT] Justifier l'existence puis calculer $\int_0^\infty\frac{t}{e^t-1}dt$. Indication : $\sum_{n\geq1}1/n^2=\pi^2/6$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1456] +[CCINP] Soit $I=\int_0^\infty\sin(t)/\sinh(t)\,dt$. +1. Établir la convergence et développer $\sin t/\sinh t$ en série exponentielle. +2. En déduire $I=\sum_{n\geq0}2/((2n+1)^2+1)$ et montrer $\pi/4\leq I\leq\pi/4+1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1457] +[CCINP] Justifier l'existence de $I=\int_0^\infty x^2/(e^x-1)\,dx$ et montrer $I=\sum_{n\geq1}2/n^3$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1458] +[CCINP] Pour $I=\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$, montrer que l'intégrale converge puis que $I=\sum_{n\geq0}1/(2n+1)^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1459] +[IMT] +1. Selon $\lambda\in\R$, déterminer le nombre de solutions de $xe^{-x}=\lambda$. +2. Pour $K=\{(x,y)\in\R_+^2:x+y\leq1\}$ et $f(x,y)=xy(1-x-y)$, montrer sans calcul que $f$ atteint un maximum et le déterminer. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1460] +[IMT] Soient $n\geq3$, $h=1/n$, $D_1=(d_{ij})$ définie par $d_{11}=1$, $d_{k,k} = 1$ et $d_{k,k-1}=-1$ pour $2\leq k\leq n$, les autres coefficients étant nuls, et $D_2$ la matrice symétrique tridiagonale de diagonale $(2,\ldots,2,1)$ et de coefficients sous- et sur-diagonaux $-1$. Sur $\R^n$, poser $\langle X,Y\rangle_h=h\sum_{k=1}^n x_ky_k$ et $f(X)=\|D_1X\|_h^2-\langle X,V\rangle_h$. +1. Calculer $D_1^TD_1$. +2. Montrer $f\in C^1$ et calculer son gradient. +3. Montrer $D_2$ inversible, déterminer l'unique point critique $X_c$ en fonction de $D_2,V$, puis exprimer $f(X_c)$ en fonction de $\langle X_c,V\rangle_h$. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1461] +[CCINP] Tirages indépendants avec remise, probabilité $p$ d'obtenir une verte. +1. Pour $X_1$ rang de la première verte, donner loi et espérance. +2. Pour $X_2$ rang de la deuxième verte, donner loi et espérance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1462] +[CCINP] Deux dés donnent $X_1,X_2$, fonctions génératrices $G_1,G_2$. Poser $P(X)=\sum_{k=0}^{10}X^k$. +1. Expliciter $G_1$. +2. Montrer que si $X_1+X_2$ était uniforme sur $\{2,\ldots,12\}$, alors $G_1(t)G_2(t)=t^2P(t)/12$. +3. Trouver les racines de $P$ et conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1463] +[CCINP] La probabilité qu'une famille ait $n\geq1$ enfants vaut $\alpha\lambda^n$, avec $0<\lambda<1$, $(1+\alpha)\lambda<1$. Chaque enfant est garçon avec probabilité $q=1-p$. +1. Calculer la probabilité qu'une famille n'ait aucun enfant. +2. Montrer $\sum_{n\geq k}\binom nkx^n=x^k/(1-x)^{k+1}$. +3. Calculer la probabilité d'avoir exactement $k$ garçons puis celle d'en avoir au moins deux sachant qu'il y en a au moins un. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1464] +[CCINP] Pour $(X,Y)\in\N^2$, $\P(X=k,Y=n)=\binom nkp(1-p)^{n/2-n}$ si $k\leq n$, et $0$ sinon. +1. Déterminer la loi de $Y$. +2. Montrer $\sum_{n\geq k}\binom nkx^{n-k}=(1-x)^{-k-1}$. +3. Déterminer la loi de $X$ et étudier l'indépendance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1465] +[IMT] Si $X_\lambda\sim\mathcal P(\lambda)$ : +1. Pour $\lambda$ fixé, déterminer le $n$ maximisant $\P(X=n)$. +2. Pour $n$ fixé, déterminer le $\lambda$ maximisant $\P(X=n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1466] +[ENSEA] Pour $p\in]0,1[$, $\P(X=n)=p^2n(1-p)^{n-1}$ pour $n\geq1$. +1. Vérifier qu'il s'agit d'une loi. +2. Calculer $\E(X-1)$ et $\E((X-2)(X-1))$. +3. En déduire espérance et variance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1467] +[CCINP] Soient $X_1,X_2$ indépendantes de loi $\mathcal B(n,1/2)$. +1. En développant $(1+X)^{2n}$ de deux façons, montrer $\sum_{k=0}^n\binom nk^2=\binom{2n}n$. +2. En déduire la probabilité que $\begin{pmatrix}X_1&1\\0&X_2\end{pmatrix}$ soit diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1468] +[CCINP] Pour $M=\begin{pmatrix}0&-a\\a&2b\end{pmatrix}$, montrer $\chi_M=(X-b)^2+a^2-b^2$ et caractériser sa diagonalisabilité réelle. +Pour $X\sim\mathcal G(p)$, calculer $\P(X\geq n)$. Si $X,Y$ géométriques indépendantes de paramètres $p_1,p_2$, déterminer la probabilité que $\begin{pmatrix}0&-X\\X&2Y\end{pmatrix}$ soit diagonalisable, puis calculer $\P(X=Y)$. +#+end_exercice + +* Autres Écoles PC 2026 +** Algèbre + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1469] +[CCINP] Si $E$ est réel et $f,g\in\mathcal L(E)$ avec $E=\Ker f+\operatorname{Im}g$, montrer $\operatorname{Im}f=\operatorname{Im}(f\circ g)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1470] +[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $E_A=\{M:AMA=0\}$. Montrer que $E_A$ est un espace vectoriel et préciser sa dimension. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1471] +[CCINP] Soit $A\in M_3(\R)$ non nulle telle que $A^3+9A=0$. +1. Montrer $A$ diagonalisable sur $\C$ et $\Sp(A)\subset\{0,\pm3i\}$, puis que $\det A=0$. +2. Par conjugaison, établir $\Sp(A)=\{0,\pm3i\}$. +3. Construire une base réelle où $A=P\begin{pmatrix}0&3&0\\-3&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}P^{-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1472] +[IMT] Pour $A$ à diagonale $3$ et coefficients hors diagonale $1$, déterminer les éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1473] +[IMT] Pour $A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}$, discuter la diagonalisabilité et déterminer ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1474] +[CCINP] Poser $M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{pmatrix}$. +1. Écrire $M(a,b,c)$ avec $J=M(0,1,0)$ et $J^2$; montrer que ces matrices forment une algèbre stable par produit. +2. Diagonaliser $J$ sur $\C$ et en déduire les valeurs propres de $M(a,b,c)$. +3. Montrer que $M$ est diagonalisable sur $\R$ ssi $b=c$. +4. Déterminer les triplets donnant un projecteur autre que $0,I_3$ et préciser noyau et image. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1475] +[IMT] Soient $f,g\in\mathcal L(E)$ complexes et $fg-gf=\beta f$. +1. Montrer $fg^n-g^nf=n\beta g^n$. +2. En déduire que $g^n=0$ à partir d'un certain rang. +3. Montrer que $f,g$ ont un vecteur propre commun. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1476] +[CCINP] Soient $\varphi:E\to\C$ non nulle, $a\in\Ker\varphi\setminus\{0\}$ et $t(x)=x-\varphi(x)a$. +1. Rappeler qu'une symétrie est diagonalisable, avec quelles valeurs propres. +2. Montrer qu'une forme linéaire non nulle est surjective; construire $b\neq0$ avec $t(b)=b$. +3. Déterminer $\operatorname{Im}(t-\operatorname{id})$, $\Ker(t-\operatorname{id})$, le spectre et la diagonalisabilité de $t$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1477] +[CCINP] Soit $M=(m_{jk})\in M_n(\C)$ définie par $m_{jj}=0$, $m_{jk}=i$ si $jk$, et soit $B$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. Pour $\lambda\in\C$, poser $A(\lambda)=\lambda I_n-M$ et $P(z)=\det(A(\lambda)+zB)$. +1. Pour $\alpha=e^{i\pi/n}$, calculer $\alpha^n$ et résoudre $z^n=-1$. +2. Montrer $(X-i,X+i)$ est une base de $\C_1[X]$. +3. Trouver $a,b$ dépendant de $\lambda$ tels que $P(z)=a(z-i)+b(z+i)$. +4. $M$ est-elle diagonalisable ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1478] +[CCINP] Sur $E=C^0(\R)$, poser $\varphi(f)(x)=x^{-1}\int_0^xf(t)dt$ si $x\neq0$ et $\varphi(f)(0)=f(0)$. +1. Montrer que $\varphi$ est linéaire et envoie $E$ dans $E$. +2. Étudier la stabilité de $\R[X]$ et $\R_n[X]$, l'injectivité et la surjectivité des applications induites. +3. Résoudre $\lambda xy'+(1-\lambda)y=0$ avec continuité en $0$, selon $\lambda\neq0$. +4. Déterminer les valeurs propres de $\varphi$ et des restrictions. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1479] +[CCINP] Si $f$ est de rang $1$ sur un espace complexe de dimension $n\geq2$, montrer $\chi_f(X)=X^{n-1}(X-\operatorname{tr}f)$ et que $f$ est diagonalisable ssi $\operatorname{tr}f\neq0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1480] +[CCINP] Soit $E$ réel de dimension impaire et $f+f^3=0$. Préciser le spectre, discuter l'automorphisme, et montrer $\operatorname{Im}f$ et $\Ker f$ supplémentaires. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1481] +[CCINP] Soient $A\in M_{20,5}(\R)$ et $B=A^TA$. Montrer $B$ diagonalisable sur $\R$, que $0$ est valeur propre, et donner une borne sur la dimension du noyau. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1482] +[CCINP] +1. Pour $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$, montrer que l'endomorphisme associé est autoadjoint, trouver ses valeurs propres et une base propre orthonormée. +2. Pour $u$ autoadjoint de spectre ordonné $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$, montrer $\langle u(x),x\rangle=\sum\lambda_kx_k^2$ dans une base propre orthonormée et $\lambda_n=\max_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$. +#+end_exercice + +** Analyse + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1483] +[CCINP] Une suite $(u_n)$ est adaptée à $f$ si $u_nf(nx)=\sum_{j=0}^{n-1}f(x+j/n)$. +1. Montrer que les fonctions $1$ et $x-1/2$ appartiennent à $E$ avec suites adaptées respectives $u_n=n$ et $u_n=1$. +2. Si $f\neq0$ admet une suite adaptée, montrer son unicité. Si $f\in C^p$ et $f^{(p)}\neq0$, montrer que les dérivées $f^{(k)}$ sont dans $E$ et relier les suites adaptées. +3. Définir les polynômes $B_0=1$, $B'_p=pB_{p-1}$, $\int_0^1B_p=0$. Calculer $B_1,B_2$, leurs degrés et montrer $B_p\in E$ avec sa suite adaptée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1484] +[IMT] Soit $E=\{f\in C^0(\R): f(2x)=1+\int_0^x(x-t)f(2t)dt\}$. +1. Montrer que $f\in E$ implique $f$ dérivable et exprimer $f'$. +2. En déduire une équation différentielle linéaire d'ordre 2. +3. Déterminer $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1485] +[CCINP] Poser $f(x)=\sum_{n\geq1}(-1)^n/(x+n)$. +1. Déterminer son domaine et montrer la continuité sur $\R_+$. +2. Montrer $\sum_{n\geq0}(-1)^n/(x+n)\sim1/x$ quand $x\to0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1486] +[CCINP] Pour $f_n(x)=x/[n(1+n^2x^2)]$ : +1. Dresser son tableau de variations. +2. Pour $f=\sum_{n\geq1}f_n$, déterminer le domaine et étudier la continuité. +3. Étudier $\sum f_n'$ et la régularité de $f$ sur $\R^*$. +4. Pour $x>0$, montrer $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\geq\displaystyle\int_x^{+\infty}\dfrac{du}{2u(1+u^2)}$ et étudier la dérivabilité en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1487] +[IMT] Développer en série entière $x\mapsto\int_0^1\arctan(xt)\,dt$ et préciser le rayon. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1488] +[CCINP] Pour $f(x)=\ln(1+x)/x$, préciser le domaine, prolonger en $0$, puis montrer par série entière que $f\in C^\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1489] +[IMT] Soit $u_0=1$, $u_{n+1}=\sum_{k=0}^nu_ku_{n-k}$. Trouver $u_n$ en étudiant $f(x)=\sum_{n\geq0}u_nx^n$ et $xf(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1490] +[CCINP] Poser $I_n=\int_0^1x^n/(1+x)\,dx$. +1. Étudier la convergence de $(I_n)$ et calculer la limite. +2. Calculer $I_n+I_{n+1}$. +3. Déterminer $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}/k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1491] +[IMT] Soit $f\in C^1([0,1],\R_+)$ et $I_n=\int_0^1\sin(f(t)/n)dt$. +1. Déterminer la limite de $I_n$. +2. Donner un équivalent puis un développement à deux termes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1492] +[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^2+t^n}$. Justifier l'existence et déterminer la limite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1493] +[Actuariat] Poser $f(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt$. +1. Montrer que $f$ est définie pour $x>0$. +2. Montrer sa convexité directement par définition, puis par la dérivée seconde. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1494] +[CCINP] Rappeler $\arctan t\leq t$ pour $t\geq0$. Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\arctan(t)dt$, déterminer le domaine et la limite en $+\infty$, puis établir $xf(x)=\int_0^\infty e^{-xt}/(1+t^2)dt$ et calculer la limite de $xf(x)$ en $0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1495] +[CCINP] Pour $F(x)=\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}e^{-tx}dt$, montrer $|\sin t|\leq|t|$, justifier l'existence et étudier la continuité sur $\R_+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1496] +[CCINP] Montrer la convergence et calculer $\int_0^\infty\frac{\ln t}{1+t^2}dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1497] +[CCINP] Pour $f(x,y)=x^2+y^2$, étudier les points critiques et extrema, déterminer les équipotentielles et représenter $z=f(x,y)$. +#+end_exercice + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1498] +[IMT] +1. Déterminer $a>0$ pour que $(a/(i!j!))_{(i,j)\in\N^2}$ soit une loi. +2. Pour $\P(X=i,Y=j)=a/(i!j!)$, déterminer les lois marginales et l'indépendance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1499] +[IMT] Soit $X$ intégrable avec $\E(X)\neq0$. Pour $A$, poser $\P_X(A)=\E(\mathbf1_AX)/\E(X)$. +1. Calculer $\E(\mathbf1_A)$. +2. Si $X\sim\mathcal P(\lambda)$ et $A=2\N$, calculer $\P(A)$ et $\P_X(A)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1500] +[IMT] Deux urnes contiennent respectivement $(2\,blanches,3\,noires)$ et $(4\,blanches,3\,noires)$. Choisir une urne, tirer avec remise, puis tirer au tour suivant dans $U_1$ après une blanche et $U_2$ après une noire. Pour $p_n=\P(B_n)$, calculer $p_1$, établir une récurrence et expliciter $p_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1501] +[CCINP] Soit $U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité, $X$ uniforme sur $U_n$. +1. Montrer $\sum_{k=0}^{n-1}z_k=0$. +2. Calculer $\E(X),\E(\overline X),\E(|X|^2)$. +3. Pour $(X_i)$ i.i.d. de même loi, calculer $\E(|S_p|^2)$ où $S_p=\sum_{k=1}^pX_k$, puis illustrer Markov. +4. Pour $T_p=\prod_{k=1}^pX_k$, montrer que $T_p$ a la loi de $X$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1502] +[CCINP] Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire une boule de numéro $k$ ; si $k=1$, on s'arrête, sinon on retire les boules numérotées de $k$ à $n$ et on recommence. Soient $I_n$ le premier numéro tiré et $X_n$ le nombre de tirages jusqu'à obtenir la boule $1$. +1. Donner la loi et l'espérance de $I_n$. +2. Déterminer les valeurs prises par $X_n$. +3. Donner la loi et l'espérance de $X_2$. +4. Calculer $\P(X_n=1)$ et montrer $\P(X_n=n)=1/n!$. +5. Pour $2\leq j\leq n$, montrer $\P(X_n=j)=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\P(X_k=j-1)$. +6. Montrer $\E(X_n)=\E(X_{n-1})+1/n$ et en déduire $\E(X_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1503] +Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. Déterminer la loi de $U=\min(X,Y)$. +#+end_exercice + +* De Christophe :xens: + +# ID:9071 +#+begin_exercice [ENS SR 2026] +On munit $\R^2$ d'une norme $\|\cdot\|$. On note $B = \{x \in \R^2, \|x\| \le 1\}$ et +$$\Delta_3(B) = \sup_{x,y,z \in B} \min(\|x - y\|, \|y - z\|, \|x - z\|)$$ + 1. Montrer que $\Delta_3(B)$ est atteint. + 2. Montrer que $\Delta_3(B) \le 2$. + 3. Calculer $\Delta_3(B)$ pour chacune des normes $\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_2$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Trivial. + - Trivial. + - Pour $\lN \cdot \rN_2$, se placer en un minimum. +#+END_proof + + +#+begin_exercice [ENS SR 2026] +Soit $a > 0$. On considère l'équation différentielle +$$y_a''(t) = \frac{1}{2y_a(t)^{1+a}}, y_a(0) = 1, y_a'(0) = 0$$ +On suppose qu'il existe $T_a$ et $y_a \in C^2([0, T_a[, \R^+)$ solution telle que $T_a = +\infty$ ou $y_a(t) + \frac{1}{y_a(t)} \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$. + 1. Trouver une relation entre $(y_a')^2$ et $y_a$. + 2. Montrer que le cas $\frac{1}{y_a(t)} \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$ est impossible pour $T_a$ fini. + 3. Montrer que le cas $y_a(t) \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$ est impossible pour $T_a$ fini. + 4. Montrer que $y_a$ est strictement croissante sur $\R^+$ et de limite $+\infty$ en $+\infty$. + 5. Donner un équivalent de $y_a$ en $+\infty$. + 6. Question bonus : lemme de Gronwall +#+end_exercice + +# ID:9075 +#+begin_exercice [ENS U 2026] :todo: + 1. On considère un sous-groupe $G$ de $\Z/n\Z$. Soit $\varphi \colon G \to \Z/n\Z$ un morphisme de groupe. Montrer qu'il existe un morphisme $\psi \colon \Z/n\Z \to \Z/n\Z$ tel que $\forall x \in G, \psi(x) = \varphi(x)$. + 2. Soit $(G, +)$ un groupe fini, commutatif. Montrer qu'il existe $n \in \N^*$ tel que $\forall x \in G, n.x = 0$ et $n$ minimal pour la division. Montrer qu'il existe un sous-groupe $H$ de $G$ tel que $G = \Z/n\Z \oplus H$. + 3. Montrer que tout groupe fini commutatif est isomorphe à un unique groupe de la forme $\prod \Z/d_i\Z$, où $\forall i,\, d_i \mid d_{i+1}$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Écrire $G = \langle x\rangle$, et $\phi(x)$ doit vérifier… + 2. On veut construire un morphisme $G\ra \Z/n\Z$ qui étend celui de $\langle x\rangle$. + + On procède petit à petit. Si $y\not\in \langle x\rangle$, on a déjà un morphisme de $\langle y\rangle \cap \langle x\rangle\ra \Z/n\Z$, que l'on peut étendre à $\langle y\rangle$, donc à $\langle x, y\rangle$. +#+END_proof + + +# ID:9076 +#+begin_exercice [ENS PSLR 2026] + 1. Soit $(c_n) \in [0, 1]^\N$. Montrer que + $$\prod_{i=0}^{n-1} (1 - c_i) \le e^{-\sum_{i=0}^{n-1} c_i}$$ + 2. Soit $f \in C^2(\R^2, \R)$ telle qu'il existe $\alpha > 0$ et $m \ge \alpha$ vérifiant + $$\forall x \in \R^2, H_f(x) - \alpha I_n \in S_n^{++}(\R) \text{ et } m I_n - H_f(x) \in S_n^{++}(\R)$$ + Montrer que $\exists! x^* \in \R^2, \nabla f(x^*) = 0$. + 3. Soient $x_0 \in \R^2$ et $s > 0$. On définit + $\forall n \ge 0, x_{n+1} = x_n - s\nabla f(x_n)$ + Montrer que + $$\|x_{n+1} - x^*\| \le \max((1 - \alpha s)^2, (1 - ms)^2)\|x_n - x^*\|^2$$ +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. trivial. + 2. Unicité claire, existence aussi via un élément dont la valeur de $f$ est minimale. En partant de $\nabla f(0)$, on est convexe dans chaque direction (avec un contrôle explicite), donc on sait que sur une boule éloignée, on est grand. + 3. $x_{n+1} - x^* = (I_2 - s \nabla f(x_n)) (x_n - x^*)$, et appliquer taylor lagrange pour $\nabla f(x_n)$. +#+END_proof + + +# ID:9077 +#+begin_exercice [ENS 2026 L] +Soit $(p_k)_{k\in\N^*}$ une suite à valeurs dans $[0, 1]$, et soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p_k$. + +Montrer que, pour toute distribution de probabilité $(q_i)_{i\in\N}$, il existe une suite de fonctions $f_n \colon \{0, 1\}^n \longrightarrow \N$ telle que la suite de variables aléatoires $(f_n(X_1, \dots, X_n))_{n\in\N^*}$ converge presque sûrement vers une variable aléatoire $X$ de loi $(q_i)$ si et seulement si la série $\sum_{k=1}^{+\infty} p_k(1 - p_k)$ diverge. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof +Si les $p_k$ valent $\frac{1}{2}$ (alors $\sum p_k(1-p_k)$ diverge), +étant donné une loi $(q_i)$, on découpe $[0,1]$ suivant les $q_i$, et +suivant $\frac{1}{2^n}$, on choisit aussi une bijection de +$\{0,1\}^n\ra \db{0, 2^n-1}$, et cela définit $f_n$ qui marche, pour +une convergence en loi. Pour une convergence presque sûr, hm, oui ça +marche aussi (du moment que $X_n$ est le bit faible). + +On peut supposer que les $p_k\leq \frac{1}{2}$, auquel cas l'hypothèse +est la divergence, ou convergence de $\sum p_k$. + +Si $\sum p_k$ diverge, alors $\prod (1-p_k)$ tend vers $0$, donc quand +on découpe naturellement $[0,1]$ en morceau (obtenus en écrivant $1 = +(p_0 + (1-p_0)) (p_1 + (1-p_1)),\dots$, chaque morceau tend vers $0$, +ce qui suffit. + +Réciproquement, si $\sum p_k$ converge, $\prod (1-p_k)$ converge, donc +l'évènement tous les $X_i$ donnent $1$ a une grosse probabilité, donc +si on converge vers une loi, au moins un des $q_i$ a une grosse probabilité. +#+END_proof + + +# ID:9072 +#+begin_exercice [ENS U 2026] +Soient $m$ et $N$ dans $\N^*$. On considère $X_1, \dots, X_m$ variables aléatoires mutuellement indépendantes, respectivement à valeurs dans $E_1, \dots, E_m$ qui sont des parties de $\R$. +On suppose que $X_1 + \dots + X_m$ suit une loi uniforme sur $\db{0, N - 1}$. Les $X_i$ suivent-ils une loi uniforme ? +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + + On se ramène au cas où les $X_i$ sont à valeurs entières. + + Quitte à translater $\db{0, N - 1}$, on peut supposer les $X_i$ positifs. + + On est ramené à écrire $X^n \frac{X^m - 1}{X-1}$ comme un produit. + + Ensuite, on prend le produit de deux polynômes $1 + \dots + X^{p-1}$ avec $p-1$ premier. +#+END_proof + + +#+begin_exercice [X 2026] +Soit $(A, +, \times)$ un anneau qui n'est pas un corps et vérifiant +$$\forall x \in A \setminus A^\times, \exists n_x \in \N^*, x = \sum_{k=2}^{2^{n_x}} x^k$$ + 1. Montrer que $\forall x \in A \setminus A^\times, x + x = 0_A$. On pourra considérer $y_x = \sum_{k=1}^{2^{n_x}-1} x^k$. + 2. Montrer que $1_A + 1_A = 0_A$. + 3. Montrer que $\forall x \in A \setminus A^\times, x = x^2$. On pourra d'abord montrer que $x = x^{2^{n_x}+1}$. +#+end_exercice + + +#+begin_exercice [X 2026] +On pose $E = \C[X] \oplus \C[X]$. Soient $\varphi_1, \varphi_2 \in \mathcal{L}(E)$ tels que pour tous $r, s$ de $\N$, +$$\varphi_1(X^r, X^s) = (-X^{r+2}, X^s + X^{r+1}) \text{ et } \varphi_2(X^r, X^s) = (X^{s+1} + X^r, -X^{s+2})$$ + 1. Déterminer les spectres de $\varphi_1$ et $\varphi_2$. + 2. $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont-ils des automorphismes de $E$ ? + 3. Mêmes questions avec $E = \C(X) \oplus \C(X)$. + 4. On pose $B_n = \{\varphi_{i_1} \circ \dots \circ \varphi_{i_n}, i_1, \dots, i_n \in \{1, 2\}\}$ pour $n \in \N^*$. Trouver le cardinal de $B_1, B_2, B_3$. +#+end_exercice + +# ID:9073 +#+begin_exercice [X 2026] +Soit $M \in \mathcal{M}_2(\R)$ vérifiant +$$\det(M^{2024} + I_2) = \det(M^{2024} - I_2) \text{ et } \det(M^{2026} + I_2) = \det(M^{2026} - I_2)$$ +Montrer que $\quad\forall n \ge 1, \det(M^n + I_2) = \det(M^n - I_2)$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + $M$ est tri sup. +#+END_proof + +# ID:9074 +#+begin_exercice [ENS SR 2026] +On note $\mathbb{H}$ l'algèbre des quaternions sur $\R$. C'est un $\R$-espace vectoriel de dimension 4 muni d'une base canonique $(1, i, j, k)$ dont la multiplication est régie par : +$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ +Pour tout quaternion $z = a + bi + cj + dk \in \mathbb{H}$, on définit son conjugué par $\bar{z} = a - bi - cj - dk$. On admet que $\overline{wz} = \bar{z}\bar{w}$. + 1. Inversibilité dans $\mathbb{H}$. Montrer que tout élément non nul $z \in \mathbb{H}$ admet un inverse pour la loi de multiplication, et exprimer explicitement $z^{-1}$ en fonction de $\bar{z}$ et $N(z)$. En déduire que $\mathbb{H}$ est un corps non commutatif. + 2. Anneaux de Lipschitz et de Hurwitz. On note $\mathbb{H}(\Z) = \{a + bi + cj + dk \in \mathbb{H} \mid a, b, c, d \in \Z\}$. On pose $\delta = \frac{1+i+j+k}{2}$ et on définit $A = \mathbb{H}(\Z) + \Z\delta$. Montrer que $\mathbb{H}(\Z)$ et $A$ sont des sous-anneaux de $\mathbb{H}$. + 3. Lien avec la somme de quatre carrés. Soit $n \in \N$. Démontrer que $n$ s'écrit comme la somme de quatre carrés d'entiers si et seulement s'il existe un quaternion de Hurwitz $z \in A$ tel que $n = N(z)$. + 4. Structure euclidienne et application au théorème de Lagrange. + 1. Démontrer que l'anneau $A$ est euclidien (à droite) pour la norme $N$. + 2. Soit $p$ un nombre premier impair. On admet qu'il existe $x, y \in \Z$ tels que $x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod p$. Montrer que $p$ n'est pas irréductible dans $A$, puis qu'il existe $z \in A$ tel que $p = N(z)$. + 3. En déduire le théorème des quatre carrés de Lagrange. + 4. Démontrer la propriété admise. +#+end_exercice + +# ID:9078 +#+begin_exercice [X 2026] +Soit $(u_n)_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires telle que $u_1$ suit la loi uniforme sur $\db{1, N}$ ($N \in \N^*$ fixé) et pour $n \ge 1$, $u_{n+1}$ suit la loi uniforme sur $\db{1, u_n}$. On pose $E_N = \{u_i, i \ge 1\}$. + 1. Montrer que $\mathbb{P}(1 \in E_N) = 1$. + 2. Pour $k \in \db{1, N}$, on pose $p_{N,k} = \mathbb{P}(k \in E_N)$. Calculer $p_{N,k}$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. L'évènement complémentaire est exactement la réunion, d'évènements $u_k = i$ et $\forall j\geq k,\, u_j = i$, chacun étant de probabilité nulle. + 2. Pour $N = 1$, trivial. + + Pour $N = 2$, on a $\P(2\in E_2) = \frac{1}{2}$. + + Par récurrence, on a ce qu'on veut. +#+END_proof + + +#+begin_exercice [ENS SR 2026] +Soit $T > 0$ et $[a, b]$ un intervalle de $\R$. On considère une fonction $u : [a, b] \times [0, T] \to \R$ de classe $C^4$ solution de : +$$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}(x, t) - \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t) = 0 & \text{pour } (x, t) \in ]a, b[ \times ]0, T[ \\ u(a, t) = 0 \text{ et } u(b, t) = 0 & \text{pour tout } t \in [0, T] \end{cases}$$ +où $\nu > 0$. On définit un maillage régulier : $\Delta x = \frac{b-a}{M+1}$ et $\Delta t = \frac{T}{N}$. +On note $u_j^n$ l'approximation de $u(x_j, t_n)$ par le schéma : +$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - \nu \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{(\Delta x)^2} = 0$$ + 1. En définissant $U^n = (u_1^n, \dots, u_M^n)^\top \in \R^M$, montrer que $U^{n+1} = AU^n$. + 2. On définit l'erreur de troncature $\varepsilon_j^n$. Montrer qu'il existe $C > 0$ telle que $\max |\varepsilon_j^n| \le C(\Delta t + (\Delta x)^2)$. +#+end_exercice + +# ID:9079 +#+begin_exercice [X 2026] +Soient $a, b \in \C$ avec $|a| > \sqrt{3}$ et $b \neq 0$ et $n \ge 3$ un entier. On note $B = \begin{pmatrix} a & b \\ \frac{1-a^2}{b} & -a \end{pmatrix}$ et pour $k \in \db{1, n - 1}$, $A_k = \text{diag}(I_{k-1}, B, I_{n-k-1}) \in \mathcal{M}_n(\C)$. + 1. Soient $k, k' \in \db{1, n - 1}$. Donner l'ordre du sous-groupe de $GL_n(\C)$ engendré par $A_k$ et $A_{k'}$. + 2. Trouver un vecteur propre commun à tous les $A_k$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. On a $B^2 = I_2$. + + Si $|k-k'| = 1$, alors $A_k A_{k+11}$ a comme polynôme caractéristique $(X - 1)(X^2 + (a^2+1)X + 1)$, qui est d'ordre infini. + 2. On peut trouver un vecteur propre de valeur propre $1$ commun à tous les $A_k$ +#+END_proof + + +#+begin_exercice [ENS PLSR 2026] +Soit $n \ge 1$ un entier. On considère $G_n = \{ \frac{j}{2^n} \mid j \in \{0, 1, \dots, 2^n - 1\} \}$. Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un échantillon de variables indépendantes uniformes sur $G_1, \dots, G_n$. Pour $\varphi : [0, 1] \to \R$, on définit $\hat{\varphi}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varphi(X_i)$. Soit $\mathcal{L}_1$ l'ensemble des fonctions 1-lipschitziennes de $[0, 1]$ dans $\R$. + 1. Montrer que $\sup_{\varphi \in \mathcal{L}_1} |\hat{\varphi}_n - \int_0^1 \varphi(x) \dx| \ge \frac{1}{2^{n+2}}$. + 2. Soit $M \ge 1$. Montrer que $\sup_{\varphi \in \mathcal{L}_1} |\hat{\varphi}_n - \int_0^1 \varphi(x) \dx| \le \frac{2}{M} + \sum_{m=1}^M |\frac{1}{n} \text{Card}\{i \mid X_i \in B_m\} - \frac{1}{M}|$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Pas d'aléa. +#+END_proof + + +# ID:9080 +#+begin_exercice [X 2026] +Soient $f, g \colon \R \to \R$ telles que $\forall x \in \R, g(x) = 2f(x) + f(x^2)$. + 1. On suppose $g$ continue en $0$ et $f$ bornée au voisinage de $0$. Montrer que $f$ est continue en $0$. + 2. Donner un exemple où $g$ est continue en $0$ et $f$ discontinue en $0$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. On a $f(x) = \frac{g(x)}{2} - \frac{g(x^2)}{4} + \frac{g(x^4)}{8}\dots$. + 2. Il faut donc que $f$ soit non bornée. + + On prend $g = 0$, et on peut poser $x = e^{-t}$ pour obtenir $h(2t) = - 2h(t)$. +#+END_proof + + +#+begin_exercice [X 2026] +Soit $P \in \C[X]$ tel que $\forall z \in \C, P(z) = 0 \implies \text{Im}(z) > 0$. On écrit $P = A + iB$ avec $A, B \in \R[X]$. Montrer que $A$ et $B$ sont scindés sur $\R$. +#+end_exercice + +# ID:9082 +#+begin_exercice [ENS L 2026] :todo: +Soit $f \colon x \mapsto x(1 + \ln |1 - |x||)$. + 1. Étudier $f$. + 2. Soit $(x_n)$ définie par $x_0 \in \R \setminus \{-1; 1\}$ et $x_{n+1} = f(x_n)$. Trouver les $x_0$ tels que $(x_n)$ soit 3-périodique. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. $f$ est impaire, asymptotes verticales en $\pm 1$, s'annule en $1 \pm e^{-1}$. + + Sur $[1,+\i[$, $f$ est croissante. Sur $\interval]{0,1, b}[$, $f$ est concave. + 2. On considère les intervalles $\interval]{1-e^{-1}, 1}[$, $\interval]{1, 1+e^{-1}}[$ et $\interval]{1+e^{-1}, +\i}[$. + + Sur l'intervalle $\interval]{0, 1-e^{-1}}[$, il est stable et $f(r)\lt r$ dessus. + + Sur les autres intervalles, on a $T'\gt 1$, donc $T^3 - \op{id}$ est strictement monotone. + + Chaque cycle doit passer par $\interval]{1+e^{-1}, +\i}[$. On énumère les cycles en énumérant les «trajectoires» possibles dans les trois intervalles précédents. On trouve $4$ cycles possibles, auquel il faut ajouter les points fixes $0$ et $2$. +#+END_proof + + +# ID:9081 +#+begin_exercice [ENS PLSR 2026] +Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension $n$. + 1. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\forall x \in E, \exists \lambda \in \C, f(x) = \lambda x$. Que dire de $f$ ? + 2. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f$ n'est pas une homothétie. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice $M$ de $f$ vérifie $\forall i, M_{i,i+1} \neq 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS PLSR 2026] :todo: +Soit $V$ un espace euclidien. Pour $B = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $V$, on note $L = \text{vect}_\Z(e_1, \dots, e_n)$. + 1. Montrer que $L = \{ \sum_{i=1}^n m_i e_i, m_i \in \Z \}$. + 2. Soit $B'$ une autre base. Montrer qu'elle engendre $L$ ssi la matrice de passage est dans $GL_n(\Z)$ avec un déterminant $\pm 1$. + 3. Justifier que $\lambda_1(L) = \min \{ \|x\|, x \in L \setminus \{0\} \}$ est bien défini. + 4. Montrer qu'il existe une base $(b_1, b_2)$ de $\R^2$ qui engendre $L$ avec $\|b_1\| = \lambda_1(L)$ et $\frac{|(b_1|b_2)|}{\|b_1\|^2} \le \frac{1}{2}$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. + 3. C'est l'équivalence des normes. De manière élémentaire ? +#+END_proof + + +#+begin_exercice [X 2026] :todo: +Pour $n \in \Z$ et $x \in \R$, on pose $J_n(x) = \frac{1}{2\pi i^n} \int_0^{2\pi} e^{i(n\theta + x\cos\theta)} \dt\theta$. + 1. Montrer que $J_n(x) \in \R$ et relier $J_n$ et $J_{-n}$. + 2. DSE et équation différentielle vérifiée par $J_0$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Pour le premier, développer $e^{i\theta}$ et poser $u = \pi + \theta$. + + Pour le second, $J_{-n}(-x) = J_n(x)$. +#+END_proof + + +#+begin_exercice [X 2026] :todo: +Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même lois telle que $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ avec $p \in ]0, 1[$. On pose $q = 1-p$, $S_n = X_1 + \dots + X_n$ et $T_n$ le nombre minimal d'expériences pour avoir $n$ échecs. + 1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que $\forall k \in \db{0, n}, (S_n \ge + k) = (T_{n+1-k} \ge n + 1)$. + 2. Montrer que $\mathbb{P}(S_n \ge k) = {n \choose n - k} p^k + q^{n-k+1} \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(n + 1)\dots(n + \ell)}{(k + + 1)\dots(k + \ell)} p^\ell$. + 3. Soit $j \ge 3$. On suppose $p = 1/2$. Montrer que + $\mathbb{P}(S_{nj} \le n) \sim 2^{-jn} {jn \choose n} + \frac{j-1}{j-2}$. +#+end_exercice + + +* Todoes :todo:ignore: +:PROPERTIES: +:COLLECT-TAGS: todo +:END: + +{{{enlargepage}}} diff --git a/Exercices XENS MP 2025.pdf b/Exercices XENS MP 2025.pdf index b67c9db..222f967 100644 Binary files a/Exercices XENS MP 2025.pdf and b/Exercices XENS MP 2025.pdf differ diff --git a/Exercices XENS MP 2026.pdf b/Exercices XENS MP 2026.pdf new file mode 100644 index 0000000..cb65a52 Binary files /dev/null and b/Exercices XENS MP 2026.pdf differ