From 3afaa56e8ad4e4f035db26b7b0d4ee17da54ef1a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?S=C3=A9bastien=20Miquel?= Date: Sun, 14 Jul 2024 13:32:10 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Mise=20=C3=A0=20jour?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- Exercices 2022.org | 4 +- Exercices 2023.org | 179 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------- 2 files changed, 152 insertions(+), 31 deletions(-) diff --git a/Exercices 2022.org b/Exercices 2022.org index d611780..ce114e4 100644 --- a/Exercices 2022.org +++ b/Exercices 2022.org @@ -1,7 +1,7 @@ #+title: Exercices 2022 #+author: Sébastien Miquel #+date: 25-02-2023 -# Time-stamp: <03-06-24 17:16> +# Time-stamp: <14-07-24 10:44> * Meta :noexport: @@ -3897,7 +3897,7 @@ Soit $p\in \interval]{0, 1}[$. $X_1,\dots,X_n$ variables aléatoires indépendan # Manque la fin de l'énoncé… # 304 -# ID:6809 +# ID:nil #+BEGIN_exercice [X 2022] Soient $n,b\geq 2$, $X_1,\dots, X_n$ indépendantes de même loi uniforme sur $\db{0, b-1}$. 1. Déterminer $P(X_{i+1}\lt X_i)$. diff --git a/Exercices 2023.org b/Exercices 2023.org index 6da3b4b..f533587 100644 --- a/Exercices 2023.org +++ b/Exercices 2023.org @@ -2,7 +2,7 @@ #+title: Exercices 2023 #+author: Sébastien Miquel #+date: 02-12-2023 -# Time-stamp: <13-07-24 19:04> +# Time-stamp: <14-07-24 13:19> #+OPTIONS: @@ -33,7 +33,7 @@ #+END_SRC #+RESULTS: -| 5 | 11 | 12 | 692 | +| 5 | 11 | 14 | 673 | #+BEGIN_SRC emacs-lisp (defun find_bad_hash () @@ -2287,20 +2287,20 @@ C'est la probabilité d'extinction. # ID:7329 -#+begin_exercice [ENS 2023 # 182] :todo: +#+begin_exercice [ENS 2023 # 182] On construit itérativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble de sommets $\db{1,n}$ (graphe orienté) selon le procédé suivant : à l'étape $k$, on choisit aléatoirement un point dans $\db{1,k}$ (avec probabilité uniforme) et on rajoute une arete orientée de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere indépendante les uns des autres. - On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre d'arêtes partant du point $1$. Déterminer l'espérance et la variance de $X_n$. - On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Déterminer la loi de $S_n$. - Calculer l'espérance du nombre de feuilles de l'arbre. #+end_exercice -#+BEGIN_proof :todo: +#+BEGIN_proof 1. $H_n$, c'est simple. 2. $P(S_n = 0) = \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{n-2}{n-1} = \frac{1}{n-1}$. $P(S_n = 1) = \sum_{i=3}^{n} \frac{\frac{1}{2} \dots \frac{n-2}{n-1}}{\frac{i-2}{i-1}} \frac{1}{i-1} \frac{i-1}{n-1}$ $=\sum_{i=3}^{n} \frac{1}{(n-1)^2}\frac{1}{i-2}$ $=\frac{1}{(n-1)^2} H_{n-2}$ $$P(S_n = 2) = \sum_{3\leq i\lt j} \frac{1}{i-1} \frac{1}{j-1} \prod_{2\lt k\lt i} \frac{k-2}{k-1} \prod_{i\lt k\lt j} \frac{k-3}{k-1} \prod_{j\lt k\lt n} \frac{k-3}{k-1} + \sum_{i\lt j} \frac{1}{i-1} \frac{1}{j-1} \prod_{2\lt k\lt i} \frac{k-2}{k-1} \prod_{i\lt k\lt j} \frac{k-3}{k-1} \prod_{j\lt k\lt n} \frac{k-3}{k-1} = 2 \frac{(n-3)!}{n!}$$ - 3. La probabilité que $k$ soit une feuille est la probabilité qu'il n'ai pas de descendants, donc $P(S_n^k = 0) = \frac{k-1}{n-1}$. + 3. La probabilité que $k$ soit une feuille est la probabilité qu'il n'ait pas de descendants, donc $P(S_n^k = 0) = \frac{k-1}{n-1}$. #+END_proof @@ -4337,14 +4337,22 @@ On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considère le carré d ** Géométrie +# ID:7330 #+begin_exercice [X MP 2023 # 381] -Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimêtre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite. +Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le périmètre d'un polygone régulier à $2^n$ cotés inscrit dans le cercle unité. - Calculer $P_n$ et étudier la convergence de la suite $(P_n)_{n\geq 2}$. - - Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$. + - Établir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$. - Estimer l'erreur $2\pi-P_n$. - - Proposer une méthode d'approximation de $\pi$ par exces. + - Proposer une méthode d'approximation de $\pi$ par excès. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. On a une expression avec des $\left|e^{i (k+1)\theta} - e^{i k\theta}\right|$. + 2. Angle double. + 3. Probablement assez simple. + 4. Tu prends un polygone circonscrit : en choisissant les points de tangente, puis Pythagore donne la longueur. +#+END_proof +# ID:7331 #+begin_exercice [X MP 2023 # 382] On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l'unique point tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L'objectif est de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral. - On note $f,g,h$ les rotations de centres respectifs $A,B,C$ et d'angles de mesures respectives $\frac{2a}{3}$, $\frac{2b}{3}$ et $\frac{2c}{3}$. Montrer que $P$ est l'unique point fixe de $g\circ h$. @@ -4355,29 +4363,36 @@ On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a ** Probabilités +# ID:7332 #+begin_exercice [X MP 2023 # 383] Déterminer le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $\db{1,n}$. #+end_exercice -# Relier à l'autre +# ID:7334 #+begin_exercice [X MP 2023 # 384] - - Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$. - - Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste décroissante $(\lambda_k)_{1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes. - - Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$. + - Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste décroissante $(\lambda_k)_{1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes. Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$. - On fixe $n\geq 1$ et on considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in\db{1,n}:X_i=k\}|$. Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ à préciser. - Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - - Revient à $(\ln u)^2 u \lt (1-u)^2$, pour $u\in \interval]{0, 1}[$. En posant $u = 1-h$ et en développant en série, par CSSA, c'est bon. - Par récurrence, bof. - L'évènement $(N_k \geq j)$ correspond à «il y a au moins $j$ occurrences de $k$», cela correspond à $\frac{P(n - kj)}{P(n)}$. - C'est $n$. #+END_proof +# ID:7333 +#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 384] +Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$. +#+END_exercice +#+BEGIN_proof +Revient à $(\ln u)^2 u \lt (1-u)^2$, pour $u\in \interval]{0, 1}[$. En posant $u = 1-h$ et en développant en série, par CSSA, c'est bon. +#+END_proof + + +# ID:7335 #+begin_exercice [X MP 2023 # 385] On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$. - Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$. @@ -4385,34 +4400,75 @@ On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{ - Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$. - Donner un équivalent de ${\bf P}(X=n)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Pas dur. + - + - +#+END_proof + +# ID:7336 #+begin_exercice [X MP 2023 # 386] -Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aléatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites. +Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aléatoire associant à tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites. - Calculer ${\bf P}(N=1)$ et ${\bf P}(N=n)$. - - Donner une formule simple pour la fonction génératrice de $N$. + - s Donner une formule simple pour la fonction génératrice de $N$. - Donner un équivalent de ${\bf E}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$. - Donner un équivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - En notant $\om(\sigma)$ son nombre d'orbites, on cherche $G(X) = \sum_{\sigma} X^{\om(\sigma)}$. On trouve $X(X+1)\dots (X+n-1)$. + On peut le montrer par récurrence, via $c_n(k) = c_{n−1}(k − 1) + (n − 1)c_{n−1}(k)$. + - Utiliser $G$. + - Idem. +#+END_proof + +# ID:7338 #+begin_exercice [X MP 2023 # 387] -Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aléatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$. +Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aléatoire à valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$. - Déterminer ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$. - Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicité de $z$ comme valeur propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Le rang est le cardinal de $\{X_1,\dots, X_n\}$. + - Si $\la$ est valeur propre, non nul, en écrivant $X = \sum x_i e_i$, les $e_i$ sont dans l'image, donc on est une permutation sur les $e_i$ de l'image. + Les valeurs propres d'une permutation sont les racines de l'unité des longueurs des cycles. Si $\mu_z$ est une racine primitive $k$-ième de l'unité, elle intervient pour chaque cycle de longueur $k$, $2k$, $3k$, etc. + + On connaît l'espérance du nombre de cycles de longueur $k$, etc. +#+END_proof + + +# ID:7339 #+begin_exercice [X MP 2023 # 388] Soient $b,n\in{\N}^*$. On considère $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\db{0,b-1}$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in \db{1,n} \mid B_i\gt B_{i+1}\}$. - Pour $i\in\db{1,n-1}$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$. - Soit $j\in\db{1, n-j-1}$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$. - - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ éléments à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui vérifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$. + - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites à $n$ éléments à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui vérifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - + - +#+END_proof + +# ID:7340 #+begin_exercice [X MP 2023 # 389] Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note $s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points $e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note $b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment (ou on dit que deux segments se croisent s'ils ont un point d'intersection qui n'est pas une extrémité). Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Déterminer $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en donner un équivalent. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Il suffit de compter le nombre de croisements avec le segment $k = 0 (= 2n)$. +Pour $k\in \db{1, 2n-1}$, $s(\sigma, 0)$ et $s(\sigma, k)$ se croisent avec probabilité $\frac{1}{2n}\left(\sum_{\l = 1}^{k-1} \frac{\l - 1}{2n} + \sum_{\l = k+1}^{2n-1}\frac{2n - \l - 1}{2n}\right)$. +#+END_proof + + +# ID:7341 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 390] Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : $\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$. 1. Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et enfin que $p \leq \frac{1}{4}$. @@ -4421,10 +4477,12 @@ Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P} #+END_exercice #+BEGIN_proof 1. On regarde les probabilités, jusqu'à $n = 3$. - 2. $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy. - 3. + 2. $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy, c'est-à-dire + $P(X = k) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \phi_X(\theta) e^{-i k\theta}\d\theta$ + 3. Par ailleurs $\phi_X(\theta) = (1 - 2p + 2 p \cos \theta)^n$, donc si $p\leq \frac{1}{4}$, on est toujours positif. #+END_proof +# ID:7342 #+begin_exercice [X MP 2023 # 391] Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\db{0,d}$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$. - La variable aléatoire $S_n$ est-elle uniformément distribuée sur $\Z/n\Z$? @@ -4446,6 +4504,7 @@ Soient $d\in\N^*$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires s - Déterminer la limite de la suite de terme général $\mathbf{P}(S_n\equiv 0 [d])$. #+end_exercice +# ID:7343 #+begin_exercice [X MP 2023 # 393] Soit $n\geq 1$. - On se donne deux variables aléatoires indépendantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. Soit $r\in\Q$. Déterminer la probabilité $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit égal a $r$. Donner un équivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$. @@ -4471,12 +4530,38 @@ Soit $n\geq 1$. #+END_proof +# ID:7344 #+begin_exercice [X MP 2023 # 394] - - Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$. - - Soit $X$ une variable aléatoire réelle centrée et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$. - - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires centrées admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$. +Soit $a\in[1,2]$. + - On pose $f_a\colon x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$. + - Soit $X$ une VAR centrée et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$. + - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de VAR centrées admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Sur $\R_+$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} - 2 x^{a-1} - 1\big)$, qui est négative, car $a\in [1,2]$, donc $a-1 \in [0,1]$ (marche avec $1$ au lieu de $2$). + Sur $[-1, 0]$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} + 2 |x|^{a-1} - 1\big)$, qui est positive, car $(1+x)^{a-1}\geq 1 + (a-1) x$, et $(a-1)x + 2 |x|^{a-1} \geq 0$, car la partie négative est $ax$ plus petite que $2|x|$ (marche avec $1$ au lieu de $2$). + + Sur $\interval]{-\i, -1}]$, en posant $x = -1 - y$ ($y\geq 0$) on a $y^a - 2 (1+y)^a + a + ay$. + On écrit $(1+y)^a\geq 1 + y^a$, ça donne $a - 1 + ay - (1+y)^a \leq a - 2 \leq 0$. + - Écrire $E(|c + X|^a) = |c|^a \left(E(\big|1 + \frac{X}{c}\big|^a)\leq |c|^a E\left(|2^a| \left|\frac{X}{c}\right|^a - a \frac{X}{c}\right) + 1\right)$ + - La récurrence ne passe pas, l'ami, mais conditionner par rapport aux valeurs de la somme $Y = \sum_{i=2}^n X_i$. +#+END_proof + +# ID:7345 +#+BEGIN_exercice +Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a\colon x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$. +#+END_exercice +#+BEGIN_proof +Sur $\R_+$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} - 2 x^{a-1} - 1\big)$, qui est négative, car $a\in [1,2]$, donc $a-1 \in [0,1]$ (marche avec $1$ au lieu de $2$). + + Sur $[-1, 0]$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} + 2 |x|^{a-1} - 1\big)$, qui est positive, car $(1+x)^{a-1}\geq 1 + (a-1) x$, et $(a-1)x + 2 |x|^{a-1} \geq 0$, car la partie négative est $ax$ plus petite que $2|x|$ (marche avec $1$ au lieu de $2$). + + Sur $\interval]{-\i, -1}]$, en posant $x = -1 - y$ ($y\geq 0$) on a $y^a - 2 (1+y)^a + a + ay$. +#+END_proof + + +# ID:7346 #+begin_exercice Urne de Polya [X MP 2023 # 395] Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. À chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle tirée dans l'urne. On note $X_n$ le nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages et $T_n$ l'évènement «tirer une boule jaune au $n$-ième tirage». 1. s Calculer $P(T_1\mid T_2)$. @@ -4496,20 +4581,21 @@ Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succes #+END_proof -#+BEGIN_exercice [X 2023 # 396] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 396] :todo: Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$. 1. Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un triangle équilatéral. 2. Déterminer un équivalent de $p_n$. #+END_exercice -#+BEGIN_proof -Relier à un précédent. +#+BEGIN_proof :todo: 1. On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes $1$, et autant de différences entre les deux. On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et $B\oplus C$. Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints. + 2. Super dur, fait dans la RMS. #+END_proof +# ID:nil #+begin_exercice [X MP 2023 # 397] On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilité uniforme. Soit $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation aléatoire $\sigma\in\mc{S}_n$. - Calculer $\mathbf{P}(X_n=0)$. @@ -4518,11 +4604,23 @@ On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilité un - Calculer les espérance et variance de la variable aléatoire $X_n$. #+end_exercice +# ID:7347 #+begin_exercice [X MP 2023 # 398] -Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aléatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$. +Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aléatoire où $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$. - Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible. - Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible et diagonalisable dans $\R$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $M = a I_n + A$. La matrice $A$ est antisymétrique. Les valeurs propres possibles de $A$ sont $0$ les autres valeurs propres sont imaginaire pures (car leur carré est valeur propre négative de $A A^T$). + + Si $a\neq 0$, on est inversible. + + En fait, on a $M M^T = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) I_n$ (quaternion). + - On ne peut pas être diagonalisable, sauf si on est scalaire, puisque si on était diagonalisable, les valeurs propres seraient $\pm \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$. + + On peut retirer $a$ (supposer $a = 0$), et alors $M^2 = -(b^2 + c^2 + d^2) I_n$. +#+END_proof + # ID:6956 @@ -4533,10 +4631,26 @@ Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ - On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont indépendantes. Déterminer la loi de $Y$, puis celle de $X$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 400] - Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aléatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-même telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilité que $F$ soit bijective. +#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 400] :todo: + Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aléatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-même telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilité que $F$ soit bijective. #+END_exercice +#+BEGIN_proof :todo: +Quand $X_k$ vaut $2$, le prochain ne doit pas valoir $1$, et quand $X_k$ vaut $3$ le prochain ne doit pas valoir $2$, et celui d'après ne doit pas valoir $1$. +On interdit les pattern 21, 32, et 3*1. + +Si c'est une bijection, alors en itérant, ou bien on obtient deux $\frac{n}{2}$-cycles, ou bien $3$, $\frac{n}{3}$-cycles, ou bien ? + + S'il y a au moins trois cycles, il doivent trois alternés, donc ils sont tous de longueur $3$. Facile de les compter. + + S'il y a un unique cycle, on peut compter le nombre de tours qu'il fait. S'il fait un seul tour, c'est que des $+1$. + + S'il fait trois tours, ils doivent $3$-alterner, donc c'est que des $+3$. + + S'il fait deux tours : alors il peut juste jamais faire 1, 1, attention également à la fin du tour (compter aussi le premier pas, et le dernier qui arrive en n-1). + + S'il y a deux cycles, ils sont fortement liés, et l'un détermine entièrement le second. Il faut simplement que l'un ne fasse jamais deux sauts de $1$. +#+END_proof + + +# ID:nil #+begin_exercice [X MP 2023 # 401] On cherche à collectionner $N$ jouets. À chaque achat, chaque jouet a une probabilité uniforme d'être obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets différents. - Calculer l'espérance de $T_N$. @@ -4544,6 +4658,7 @@ On cherche à collectionner $N$ jouets. À chaque achat, chaque jouet a une prob - Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$. #+end_exercice +# ID:310 #+begin_exercice [X MP 2023 # 402] Soit $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles centrées. @@ -4552,11 +4667,17 @@ On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$. - Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la série de terme général $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\gt \eps\right)$? #+end_exercice +# ID:nil #+begin_exercice [X MP 2023 # 403] Soient $x\in\R^{+*}$, $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient $S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$. - Montrer que $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)dx=\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n\frac{1}{n!}$. - On admet que, pour tout $x\in\R$, $\mathbf{P}(T_n\geq x)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\i}e^{-t^2/2}dt$. Retrouver la formule de Stirling. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - C'est $E(T_n)$. + - Vide. +#+END_proof + ** X PSI :autre: