diff --git a/Exercices 2023.org b/Exercices 2023.org index 45f881d..ffa338f 100644 --- a/Exercices 2023.org +++ b/Exercices 2023.org @@ -1,8 +1,8 @@ -# -*- org-export-switch: "todoes"; -*- +# -*- org-export-switch: "centrale"; -*- #+title: Exercices 2023 #+author: Sébastien Miquel #+date: 02-12-2023 -# Time-stamp: <08-05-25 12:50> +# Time-stamp: <30-05-25 18:34> #+OPTIONS: @@ -168,8 +168,8 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( *** Centrale -# #+select_tags: cent -# #+export_file_name: Exercices Centrale 2023 +#+select_tags: cent +#+export_file_name: Exercices Centrale 2023 *** Mines @@ -185,10 +185,10 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( *** todoes -#+options: title:nil nopage:t tags:nil -#+select_tags: todo -#+export_file_name: Exercices 2023 todo -#+relocate_tags: todo +# #+options: title:nil nopage:t tags:nil +# #+select_tags: todo +# #+export_file_name: Exercices 2023 todo +# #+relocate_tags: todo *** autre @@ -8707,9 +8707,7 @@ Sa somme est notée $S(x,y)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1277] -On melange les cartes d'un jeu de $2n$ cartes. - -Avec quelle probabilité les cartes de numéro impair sont-elles correctement ordonnées? +On mélange les cartes d'un jeu de $2n$ cartes. Avec quelle probabilité les cartes de numéro impair sont-elles correctement ordonnées ? #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1278] diff --git a/Exercices 2024.org b/Exercices 2024.org index 6970b97..64caf2f 100644 --- a/Exercices 2024.org +++ b/Exercices 2024.org @@ -1,11 +1,10 @@ -# -*- org-export-switch: "todoes"; -*- +# -*- org-export-switch: "mines centrale"; -*- #+title: Exercices 2024 #+author: Sébastien Miquel #+date: 20-11-2024 -# Time-stamp: <27-05-25 19:42> +# Time-stamp: <21-06-25 16:21> * Meta :noexport: - ** Statistiques #+BEGIN_SRC emacs-lisp @@ -52,17 +51,17 @@ *** Mines Centrale -# #+select_tags: mines cent -# #+exclude_tags: autre -# #+options: toc:2 -# #+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2024 +#+select_tags: mines cent +#+exclude_tags: autre +#+options: toc:2 +#+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2024 *** todoes -#+options: title:nil nopage:t tags:nil toc:nil -#+select_tags: todo -#+export_file_name: Exercices 2024 todo -#+relocate_tags: todo +# #+options: title:nil nopage:t tags:nil toc:nil +# #+select_tags: todo +# #+export_file_name: Exercices 2024 todo +# #+relocate_tags: todo *** autre @@ -72,7 +71,6 @@ # #+relocate_tags: todo * ENS MP 2024 :xens: - ** Algèbre # ID:7636 @@ -102,7 +100,6 @@ En pratique les éléments de $S$ seront les triplets où $a\lt b\lt c$, ou $c\l + Alors un élément n'est jamais au milieu, et cela suffit (appliquer la récurrence aux trois autres). #+END_proof - # ID:7652 #+begin_exercice Théorème d'Ostrowski [ENS MP 2024 # 2] Soit $N$ une application de $\Q$ vers $\R^+$ vérifiant : @@ -118,10 +115,9 @@ On a $N(1) = 1$, puis $N(\frac{1}{p}) = \frac{1}{N(p)}$. La multiplicativité pe # ID:nil # Classique #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 3] -On etend de facon naturelle la valuation $2$-adique $v_2$ à $\Q^*$. Pour $n\in\N^*$, soit $H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$. Calculer $v_2(H_n)$. +On étend de facon naturelle la valuation $2$-adique $v_2$ à $\Q^*$. Pour $n\in\N^*$, soit $H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$. Calculer $v_2(H_n)$. #+end_exercice - # ID:7637 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 4] Congruences sur les coefficients binomiaux Soit $(m,n,p)\in\left(\N^*\right)^3$, avec $p$ premier supérieur ou egal à 5, $m$ et $p$ premiers entre eux. @@ -159,7 +155,6 @@ Soit $p$ un nombre premier impair. - Chaque $2k$ s'écrit $\eps_k k'$, avec $k' \in \db{1,\frac{p-1}{2}}$ et $\eps_k = \pm 1$, et $k\mapsto k'$ est bijective. En comptant le nombre, on trouve ce qu'on veut. #+END_proof - # ID:7638 #+BEGIN_exercice [ENS MP 2024 # 6] On considère l'équation $2^a + 3^b = 5^c$, où $(a,b,c)\in\N^3$. @@ -175,7 +170,6 @@ On considère l'équation $2^a + 3^b = 5^c$, où $(a,b,c)\in\N^3$. - On a $b,c$ pair, donc une différence de carrés, on obtient $2^a = (3^b - 5^c)(3^b + 5^c)$ et on peut descendre. #+END_proof - # Clarifier, mettre une suite, sommes de Gauss # ID: nil #+BEGIN_exercice [ENS MP 2024 # 7] @@ -225,8 +219,6 @@ Soit $p$ un nombre premier impair. On a $\chi(n) = \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1} G_k \xi^{-nk}$ #+END_proof - - # ID:7639 #+begin_exercice Anneaux euclidiens [ENS MP 2024 # 8] On dit que $A$ est un anneau euclidien si $A$ est un anneau intègre (donc commutatif) et qu'il existe $t\colon A\setminus\{0\}\ra\N$ vérifiant : @@ -237,7 +229,6 @@ On dit que $A$ est un anneau euclidien si $A$ est un anneau intègre (donc commu - Dans cette question, on se donne $A$ un anneau euclidien tel que $t(1)=1$. Soit $x\in A$. Montrer que $x$ est inversible si et seulement si $t(x)=1$. #+end_exercice - # ID:259 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 9] Soit $A$ l'ensemble des fonctions de $\N^*$ dans $\C$. @@ -248,7 +239,6 @@ Pour $f,g\in A$, on pose $(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\,g(n/d)$ pour tout $n\in\N - Résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$ dans l'anneau $A$ avec $a$ et $b^2-4ac$ inversibles. #+end_exercice - # ID:7666 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 10] - Montrer que les sous-groupes de $\Z/n\Z$ sont cycliques. @@ -272,15 +262,12 @@ Pour $f,g\in A$, on pose $(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\,g(n/d)$ pour tout $n\in\N Pour l'autre interprétation : probablement pas faisable. #+END_proof - # ID:7641 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 11] - Soient $\sigma\in S_n$ et $c_1\circ\cdots\circ c_r$ sa décomposition en produit de cycles à supports disjoints. Calculer l'ordre de $\sigma$ dans le groupe $S_n$. - On note $g(n)$ l'ordre maximal d'une permutation de $S_n$. Montrer que $g$ est croissante et $n\leq g(n)\leq n!$ - Trouver $n$ minimal tel que $g(n)\gt n$. - - On note $(p_k)_{k\in\N^*}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrer que : - - $n\geq\sum_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}\implies g(n)\geq \prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$. + - On note $(p_k)_{k\in\N^*}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrer que : $n\geq\sum_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}\implies g(n)\geq \prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$. - On suppose que $g(n)=\prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$. Montrer que : $n\geq\sum_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$. - Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\exists C\gt 0,\,\forall n\in\N^*,\,g(n)\leq Ce^{ \eps n}$. #+end_exercice @@ -291,7 +278,6 @@ Pas de difficulté. - #+END_proof - # ID:nil # Classique #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 12] Lorsque $\sigma\in S_n$, on note $n_k(\sigma)$ le nombre de $k$-cycles dans la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints. Ainsi $n_1(\sigma)$ est le nombre de points fixes de $\sigma$. On note egalement $m(\sigma)=\sum_{k=1}^nn_k(\sigma)$ le nombre d'orbites de $\sigma$. @@ -306,7 +292,6 @@ Ind. Considérer les matrices $A=(1\!1_{i|j})$ et $B=(\phi(j)1\!1_{j|i})$. - Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées si et seulement si les matrices de permutation $P_{\sigma}$ et $P_{\tau}$ sont semblables. #+end_exercice - # ID:nil # Cf année précédente. #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 13] Soient $G$ un groupe, $A$ une partie finie non vide de $G$. Montrer que $|A|=|AA|$ si et seulement si $A=xH$ avec $x\in G$ et $H$ sous-groupe de $G$ tel que $x^{-1}Hx=H$. @@ -327,8 +312,6 @@ Soient $G$ un groupe et $A\subset G$ fini non vide tel que $|AA|\lt \frac{3}{2}| - Il ne peut pas avoir que des éléments d'ordre $2$. Donc il a un élément d'ordre $q$, et un autre qui agit sur $\Z/q\Z$ par conjugaison. Si l'action est trivial, le groupe est commutatif. Sinon, on est isomorphe à $D_{2q}$. #+END_proof - - # ID:7654 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 16] - Trouver tous les groupes d'ordre $8$ dont l'ordre maximal des éléments est $4$. @@ -343,7 +326,6 @@ Soient $G$ un groupe et $A\subset G$ fini non vide tel que $|AA|\lt \frac{3}{2}| - Si l'ordre maximal est $2$, c'est $\left(\Z/2\Z\right)^3$. #+END_proof - # ID:7675 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 17] - Donner des exemples de groupes d'ordre $12$ commutatifs ainsi qu'un exemple non commutatif. @@ -373,7 +355,6 @@ Soient $G$ un groupe et $A\subset G$ fini non vide tel que $|AA|\lt \frac{3}{2}| + On trouve un produit semi-direct de $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ par $\Z/3\Z$, qui est isomorphe à $\mc A_4$. #+END_proof - # ID:nil # Bof, quel intérêt #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 18] Soit $A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}\in\M_3(\mathbb{F}_3)$. On admet que $A^{13}=-I_3$. @@ -390,7 +371,6 @@ Soit $A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}\in\M_3(\mathbb{F}_3)$ - #+END_proof - # ID:7658 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 19] - Montrer que toute rotation du plan complexe est composée de deux symétries orthogonales par rapport à des droites. @@ -405,13 +385,11 @@ Soit $A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}\in\M_3(\mathbb{F}_3)$ Donc ça persiste, en découpant selon les orbites finies et infinies. #+END_proof - # ID:nil # Trivial #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 20] Soit $P\in\C[X]$ non constant à coefficients dans $\{-1,1\}$. Soit $z\in\C$ une racine de $P$. Montrer que $|z|\lt 2$. #+end_exercice - # ID:7667 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 21] Soient $m\in\N^*$ et $(a_0,...,a_m)\in\R^{m+1}$. @@ -432,14 +410,12 @@ Soit $(a_n)\in(\R^*)^{\N}$. On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall n\ - Montrer que, pour $n$ suffisamment grand, $P_n$ n'est pas scindé sur $\R$. #+end_exercice - # ID:417 # classique #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 23] - Soit $P=X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$ unitaire de degré $n\geq 2$ à coefficients dans $\C$, avec $a_{n-1}\in\R_+$. Montrer, pour $M=\max(|a_0|,\ldots,|a_{n-2}|)$, que toute racine $z$ de $P$ vérifie $\mathfrak{Re}(z)\leq 0$ ou $|z|\leq\dfrac{1+\sqrt{1+4M}}{2}$. - Soit $p$ un nombre premier et $b\geq 3$ un entier. On écrit $p=\overline{c_nc_{n-1}\cdots c_0}^b$ en base $b$. Montrer que $\sum_{k=0}^nc_kX^k$ est irreductible dans $\Z[X]$. #+end_exercice - # ID:7676 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 24] Soit $P$ un polynôme à $n$ indéterminées $X_1,X_2,\ldots,X_n$. On dit que $P$ est symétrique si, pour toute permutation $\sigma$ de $\{1,2,\ldots,n\}$, on a $P(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},\ldots,X_{\sigma(n)})=P(X_1,X_2,\ldots,X_n)$. On dit que $P$ est homogène de degré $k\in\N$ s'il est somme de mo- nomes de la forme $cX_1^{k_1}X_2^{k_2}\cdots X_n^{k_n}$ avec $k_1+k_2+\cdots+k_n=k$. @@ -465,7 +441,6 @@ On pose $\mc{P}_n=\{\ \lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\N^n,\ \lambda_1\ge Le coefficient en $\mu$ de $\prod_{i=1}^n e_{\la_i}(X_1,\dots,X_n)$ est la même chose : à chaque $\la_i$, on choisit sur quelles variables (= colonnes) mettre les $\la_i$ coefficients qui valent $1$, de sorte que les choix totaux respectent $\mu$. #+END_proof - # ID:7677 #+begin_exercice Théorème de Liouville [ENS MP 2024 # 25] Soient $A,B,C\in\C[X]$ non tous constants et premiers entre eux deux à deux. @@ -487,7 +462,6 @@ Soient $A,B,C\in\C[X]$ non tous constants et premiers entre eux deux à deux. - #+END_proof - # ID:7678 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 26] Soit $\R\left[X,X^{-1}\right]$ l'ensemble des fractions rationnelles dont le dénominateur est une puissance de $X$. @@ -503,8 +477,6 @@ Soit $\R\left[X,X^{-1}\right]$ l'ensemble des fractions rationnelles dont le dé - $X$ est envoyé sur un élément de degré $1$ ou $-1$, qui doit être inversible. Cette fois, on peut envoyer $X$ sur $\a X$. #+END_proof - - # ID:7681 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 27] Soient $P,Q\in\R[X]$ unitaires. On dit que $P$ et $Q$ sont entrelacés lorsqu'entre deux racines consécutives de l'un (en tenant compte des multiplicités) il y a exactement une racine de l'autre. On suppose que $\deg(Q)=\deg(P)-1$, que $Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, et que $P$ et $Q$ n'ont aucune racine commune. On pose enfin $F=\dfrac{P}{Q}$, $\mathbb{H}=\{z\in\C,\ \text{Im}(z)\gt 0\}$. Montrer l'équivalence entre : @@ -517,7 +489,6 @@ Si $Q(x_1) = Q(x_2) = 0$ avec $x_1\lt x_2$, sans racines de $P$ entre les deux, Réciproquement, c'est clair. #+END_proof - # ID:7682 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 28] Soient $n\in\N^*$, $A\in\op{GL}_n(\R)$ et $u,v\in\R^n\setminus\{0\}$. Exprimer $\det(A+uv^T)$. Dans le cas ou celui-ci est non-nul, exprimer $(A+uv^T)^{-1}$. @@ -526,7 +497,6 @@ Soient $n\in\N^*$, $A\in\op{GL}_n(\R)$ et $u,v\in\R^n\setminus\{0\}$. Exprimer $ Plutôt : si $A$ inversible vaut l'identité, c'est $\det (I_n + uv^T) = 1 - \langle u, v\rangle$, qui admet un inverse de la forme $I_n + c uv^T$. #+END_proof - # ID:nil # Trivial #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 29] Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$. @@ -534,7 +504,6 @@ Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$. - Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ telle que $\op{tr}A=0$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice dont la diagonale est nulle. #+end_exercice - # ID:7679 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 30] - Calculer $\det\left(i^j\right)_{1\leq i,j\leq n}$. @@ -547,13 +516,11 @@ Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$. - Pour $n = 3$, on trouve le déterminant de Van der Monde. En général, on retire la première colonne aux autres, on obtient une ligne de $0$, une ligne de $a_1 - a_i$, et on peut factoriser par ces $a_1 - a_i$. On obtient exactement le déterminant de taille $n-1$ : en général, les termes sans $a_1$ ni $a_i$ partent, et il reste la différence des termes en $a_i$ et ceux en $a_1$. #+END_proof - # ID:nil # Trivial #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 31] Soient $n,r,k\in\N$ avec $1\leq r\leq n$ et $r+k\leq n$. Soit $M=\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}\in\M_n(\C)$, ou $A\in\op{GL}_r(\C)$. Montrer que $M$ est de rang $r+k$ si et seulement si $D-CA^{-1}B$ est de rang $k$. #+end_exercice - # ID:7680 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 32] Soient $n\in\N^*$, $m$ un entier supérieur ou egal à $2$. Montrer que la reduction modulo $m$ définit un morphisme de groupes de $\text{SL}_n(\Z)$ dans $\text{SL}_n(\Z/m\Z)$, puis que ce morphisme est surjectif. @@ -562,7 +529,6 @@ Soient $n\in\N^*$, $m$ un entier supérieur ou egal à $2$. Montrer que la reduc Surjectivité : Dans $SL_n(\Z/m\Z)$, on est produit de transvections : le pgcd des coefficients de la première colonne et de $m$ doit être $1$, donc on peut trouver un coefficient premier avec $m$, et le mettre en haut à gauche. Etc. #+END_proof - # ID:7702 #+begin_exercice Sous-algèbre transitive [ENS MP 2024 # 33] Soient $n\in\N^*$, $\mc M$ une sous-algèbre de $\M_n(\C)$. On suppose que, pour tout $v\in\C^n$ non nul, on a $\{Mv\ ;\ M\in \mc M\}=\C^n$. Montrer que $A=\M_n(\C)$. @@ -581,7 +547,6 @@ Sinon, notons $w\in K$ non colinéaire à $E_1$. Alors, dans $\mc M$, $M w$ est On a alors, pour tout $N\in\mc M$, $NM w = ANM E_1 = N AM E_1$, donc $A$ commute avec tous les $N$. Si $A$ est une homothétie, on obtient une contradiction avec $Mw = AM E_1$. Sinon, $A$ admet un espace stable, qui est stable par toutes les matrices de $\mc M$. #+END_proof - # ID:7925 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 34] Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ telles que $A^2+B^2=AB$ et $AB-BA\in{\rm GL}_n({\R})$. Montrer que $n$ est divisible par $3$. @@ -600,7 +565,6 @@ Pour $3$. On se place sur un espace propre de $A^3$, stable par $A,B$, sur leque On trouve alors que les dims de $E_{\la e^{\pm i\pi/3}}(A)$ sont grandes. Autrement dit, si $\la$ est valeur propre de $B$ de dimension $m$, les dimensions de celles de $A$ sont au moins égales. On en déduit que toutes les dims sont égales, donc sur l'espace propre de $A^3$, la dimension est multiple de trois. On peut conclure par récurrence. #+END_proof - # ID:nil # Chiant #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 35] Soient $\chi\colon ({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes non constant. Soit ${\cal A}$ l'ensemble des matrices de la forme $(a+b\chi(r)+c\overline{\chi(s)}+d\chi(r)\overline{\chi(s)})_{r,s\in({\mathbb{ Z}}/n{\Z})^{\times}}$ avec $a$, $b$, $c$ et $d\in{\R}$. @@ -612,7 +576,6 @@ Soient $\chi\colon ({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes non c #+END_proof - # ID:7697 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 36] On s'intéresse aux parties de ${\cal M}_n({\R})$ qui sont des groupes pour le produit matriciel. @@ -628,7 +591,6 @@ On s'intéresse aux parties de ${\cal M}_n({\R})$ qui sont des groupes pour le p Si deux matrices $A,B$ n'ont pas la même image, $BA$ a au plus l'image de $B$, donc son image est celle de $B$, et elle doit être stabilisée par $BA$, donc par $A$, impossible. #+END_proof - # ID:7700 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 37] Pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, soit ${\rm Pf}(A)=a_{1,2}a_{3,4}-a_{1,3}a_{2,4}+a_{1,4}a_{2,3}$. @@ -649,7 +611,6 @@ Pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, soit ${\rm Pf}(A)=a_{1,2}a_{3,4}-a_{1,3}a_{2,4 - Comme $R_1$ et $R_2$ ont les mêmes polynômes caractéristiques, ils sont conjugués dans $O_4(\R)$, donc c'est le cas de $A_1,A_2$. Comme elles ont le même Pfaffien, elles sont en fait conjuguées dans $SO_4$. #+END_proof - # ID:7698 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 38] Déterminer l'image de $\phi:M\in{\cal M}_2({\C})\mapsto\sum_{n\in{\N}}\frac{(- 1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}$. @@ -660,7 +621,6 @@ C'est $\sin M$. Sur $\C$, la fonction $\sin$ est surjective, car $\frac{e^{iz} + Reste l'étude de matrices $M = \begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, avec $M^2 = 2a$, donc $\sin(M) = \begin{pmatrix}\sin 1 & a \cos 1 \\ \sin 1 & \cos a\end{pmatrix}$, donc surjective. #+END_proof - # ID:7699 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 39] À quelle condition sur la matrice $A$, la comatrice de $A$ est-elle diagonalisable? @@ -669,8 +629,6 @@ Reste l'étude de matrices $M = \begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, ave Si $A$ inversible, $\op{Com} À = A^{-1}$. Si $\rg A\leq n-2$. Si $\rg À = n-1$, $\rg \op{Com} À = 1$, elle est diagonalisable si et seulement si son image n'est pas dans son noyau, mais son image est le noyau de $A$, et son noyau est l'image de $A$. #+END_proof - - # ID:nil # Classique, drôle de façon de le présenter… #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 40] Pour $i\in{\N}$ et $A\in{\cal M}_n({\C})$, on note $c_i(A)$ le coefficient numéro $i$ du polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ de la matrice $A$. @@ -678,7 +636,6 @@ Pour $i\in{\N}$ et $A\in{\cal M}_n({\C})$, on note $c_i(A)$ le coefficient numé - Le résultat reste-t-il valable pour des matrices à coefficients dans un corps ${\mathbb{K}}$ quelconque? #+end_exercice - # ID:7730 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 41] Soient $n\in{\N}$ avec $n\geq 2$, $\zeta=e^{2i\pi/n}$ et $S=\Big(\zeta^{(r-1)(s-1)}\Big)_{1\leq r,s\leq n}$. @@ -694,7 +651,6 @@ Soient $n\in{\N}$ avec $n\geq 2$, $\zeta=e^{2i\pi/n}$ et $S=\Big(\zeta^{(r-1)(s- - Vérifier que $(\zeta^{s^2})$ est un vecteur propre, en utilisant que $2$ est inversible modulo $n$. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 42] - Rappeler l'ordre d'un élément $k$ de $\Z/n\Z$. @@ -702,7 +658,6 @@ Soient $n\in{\N}$ avec $n\geq 2$, $\zeta=e^{2i\pi/n}$ et $S=\Big(\zeta^{(r-1)(s- - Soit $c$ un cycle de longueur $k$. Déterminer le nombre de cycles dans la décomposition de $c^i$ en produit de cycles à supports disjoints. #+end_exercice - # ID:7731 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 43] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $v,w\in\mc{L}(E)$. On note $u=vw-wv$. Pour $\lambda\in\op{Sp}(u)$, on note $F_u(\lambda)=\bigcup_{m\geq 1}\op{Ker}(u-\lambda\op{id })^m$ @@ -715,7 +670,6 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $v,w\in\mc{L}(E)$. On - On suppose desormais que $vw^2-w^2v=w$. Montrer qu'il existe un entier $d$ impair tel que $\pi_w=X^d$. #+end_exercice - # ID:7791 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 44] Soit $A,B$ dans $\M_n(\C)$. @@ -729,7 +683,6 @@ Soit $A,B$ dans $\M_n(\C)$. - On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BÀ (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule. #+END_proof - # ID:nil # Classique #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 45] Soit $A\in\M_n(\C)$ de polynôme caractéristique $\chi_A=\prod_{i=1}^r\underbrace{(X-\lambda_i)^{\alpha_i}}_{=P_i}$. @@ -762,7 +715,6 @@ Soient $A$, $B$, $C\in\M_n(\R)$. On considére l'équation $(E)\colon X-AXB=C$ d - On veut trouver un $X$ tel que $AXB = X$, sous l'hypothèse d'une valeur propre $\la$ pour $B$ et $\frac{1}{\la}$ pour $A$. Quitte à conjuguer, on peut supposer que $B = \begin{pmatrix}\la & * \\ 0 & *\end{pmatrix}$, on prend $X = (C|\vec 0 |\dots |\vec 0)$, où $C$ est un vecteur propre de $A$, de valeur propre $\frac{1}{\la}$. #+END_proof - # ID:7732 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 48] Combien y a-t-il de classes de similitude de $\M_{3n}(\R)$ constituées de matrices $M$ telles que $M^3=0$? @@ -776,13 +728,11 @@ La suite des dimensions des noyaux itérés est concave. Soit $p_2\geq p_1$ vér + Puis, on prend un supplémentaire de $\Ker M$, dans $\Ker M^2$, qui est envoyé sur le reste d'une base de $\Im M$. C'est tout. #+END_proof - # ID:nil # Cf année précédente #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 49] Déterminer les $M$ de $\M_n(\R)$ telles que $M$ soit semblable à $2M$. #+end_exercice - # ID:7766 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 50] Déterminer les matrices $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telles que, pour tout $k\geq 2$, on dispose de $M\in\M_n(\Z)$ vérifiant $A=M^k$. @@ -790,16 +740,14 @@ Déterminer les matrices $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telles que, pour tout $k\geq 2$ #+BEGIN_proof Les valeurs propres de $M_k$ doivent tendre vers $1$, mais il n'y a qu'un nombre fini de valeurs propres possibles d'un polynôme à coefficients entiers, assez proches de $1$, donc les valeurs propres de $A$ sont de module $1$. Ce sont en fait des racines de l'unité, et elle admettent des racines $k$-ièmes pour tout $k$, dans cet ensemble fini. Ce n'est pas possible, (pour $n!$ essentiellement). Pour $k$ assez grand, la racine $k$-ième considérée est unipotente aussi. -Donc les seules valeurs propres de $A$ sont $0$ et $1$, donc $0$ car inversible : $A$ unipotente. On sait que $A$ admet une racine $p$-ième $B$ unipotente dans la même base de trigonalisation, de plus $B$ est un polynôme en $A$. Si $C$ est une autre racine $p$-ième unipotente, on a $C^p = B^p$ et $C, B$ commutent : $(C-B)(\sum B^k C^{p-1-k}) = O_n$. Mais la somme est inversible, car co-trigonalisable, donc $B=C$. Mais clairement, cette racine $p$-ième ne peut pas être entière pour tout $p$, de par son expression : si $À = I_n + N$, c'est $I_n + \frac{N}{p} + N^2 +\dots$. +Donc les seules valeurs propres de $A$ sont $0$ et $1$, donc $0$ car inversible : $A$ unipotente. On sait que $A$ admet une racine $p$-ième $B$ unipotente dans la même base de trigonalisation, de plus $B$ est un polynôme en $A$. Si $C$ est une autre racine $p$-ième unipotente, on a $C^p = B^p$ et $C, B$ commutent : $(C-B)(\sum B^k C^{p-1-k}) = O_n$. Mais la somme est inversible, car co-trigonalisable, donc $B=C$. Mais clairement, cette racine $p$-ième ne peut pas être entière pour tout $p$, de par son expression : si $A = I_n + N$, c'est $I_n + \frac{N}{p} + N^2 +\dots$. #+END_proof - # ID:7733 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 51] Montrer que toute matrice de $\mathrm{GL}_n(\C)$ admet une racine carrée. #+end_exercice - # ID:7767 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 52] - Montrer que toute $M\in\mathrm{SL}_n(\C)$ s'écrit de facon unique $UD$ ou $U\in\mathrm{SL}_n(\C)$ est de la forme $I_n+N$ avec $N$ nilpotente, $D\in\mathrm{SL}_n(\C)$ est diagonalisable et $UD=DU$. @@ -816,7 +764,6 @@ Montrer que toute matrice de $\mathrm{GL}_n(\C)$ admet une racine carrée. La somme des valeurs propres est une expression polynomiale en les coefficients de $U$, et elle est bornée, donc elle est constante, donc elle vaut toujours $n$, et les valeurs propres valent toutes $1$. #+END_proof - # ID:7738 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 53] - Soient $A,B\in\M_n(\C)$ diagonalisables. à quelle condition existe-t-il $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que $PAP^{-1}$ et $PBP^{-1}$ soient diagonales? @@ -830,14 +777,12 @@ Montrer que toute matrice de $\mathrm{GL}_n(\C)$ admet une racine carrée. - $P(D+N) = P(D) + P'(D)N + \dots + \frac{P^{(k)}(D)}{k!} N^k$ #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 54] - Soient $u,v$ deux endomorphismes diagonalisables d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, tels que $uv=vu$. Montrer que $u$ et $v$ sont codiagonalisables. - Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montrer que $u$ admet au plus une décomposition de la forme $u=d+n$, ou $(d,n)\in\mathbb{K}[u]^2$, l'endomorphisme $d$ est diagonalisable, l'endomorphisme $n$ est nilpotent et $dn=nd$. #+end_exercice - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 55] Soient $n\in\N$ et $w$ une fonction continue positive non identiquement nulle de $[0,1]$ dans $\R$. @@ -847,7 +792,6 @@ Soient $n\in\N$ et $w$ une fonction continue positive non identiquement nulle de - Montrer que, si $n\in\N^*$, il existe un unique $(\lambda_{1,n},\ldots,\lambda_{n,n})\in\R^n$ tel que, pour tout $p\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_0^1pw=\sum_{k=1}^n\lambda_{k,n}p(x_{k,n})$. #+end_exercice - # ID:7739 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 56] Soient $e_1,\ldots,e_n$ des vecteurs d'un espace euclidien $E$ tels que $\langle e_i,e_j\rangle\leq 0$ pour tous $i,j$ distincts dans $\db{1,n}$. Montrer que $(e_1,\ldots,e_n)$ est libre si et seulement s'il existe une forme linéaire $f$ sur $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\;f(e_i)\gt 0$. @@ -858,7 +802,6 @@ Si elle est libre, la base duale marche (prendre la somme des $e_i^*$). Si elle est liée, $\sum \la_i e_i = 0$, alors les $\la_i$ doivent tous avoir le même signe (sinon, $\sum_1 \la_i e_i = - \sum_1 \la_i e_j$, et écrire $\langle v,v\rangle\leq 0$). #+END_proof - # ID:7919 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 57] Soient $n,m\geq 1$ des entiers. On note $\langle\;,\;\rangle$ le produit scalaire canonique sur $\R^n$. Montrer qu'il existe un espace préhilbertien $(E,\langle\;,\;\rangle_E)$ et une application $f\colon\R^n\ra E$ (non linéaire) tels que, pour tous $x,x'\in\R^n$, $\langle x,x'\rangle^m=\langle f(x),f(x')\rangle_E$. @@ -885,8 +828,6 @@ Pour $A,B\in\M_n(\R)$, on note $A\star B$ la matrice $(a_{ij} b_{ij})_{i,j\leq n Ou bien voir $A\star B$ comme une matrice extraite de la matrice de taille $n^2$ dont les coefficients d'indices $(i,j), (k,\l)$ les $a_{ij}b_{k\l}$. (Mettre, par blocs, $a_{11}B, a_{12}B,\dots$). Celle-ci est clairement symétrique positive, et on extrait les coefficients où $i=k$ et $j=\l$, donc on reste positive. #+END_proof - - # ID:7789 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 58] Trouver un espace préhilbertien $(E,\langle\;,\;\rangle)$ et $f\colon\R\ra E$ tels que, pour tous $x,y\in\R$, $\exp\left(-\frac{(y-x)^2}{2}\right)=\langle f(x),f(y)\rangle$. @@ -895,7 +836,6 @@ Trouver un espace préhilbertien $(E,\langle\;,\;\rangle)$ et $f\colon\R\ra E$ t $f(x) = t\mapsto e^{-(x-t)^2}$, avec $\langle f,g\rangle = \int_{\R} f(t) g(t)\dt$. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 59] Soient $m,n\in\N^*$ tels que $n\lt m$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $r\in\N^*$, on considére $r$ vecteurs de $\R^m$ notés $x_1,\ldots,x_r$. @@ -920,7 +860,6 @@ On admettra que le déterminant de la matrice de coefficient general $m_{i,j}=\d - On trouve que $\sum \frac{1}{\la_i}$ diverge. #+END_proof - # ID:7741 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 61] Soit $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $\left\langle\;,\;\right\rangle_1$ et $\left\langle\;,\;\right\rangle_2$ deux produits scalaires tels que $\forall(x,y)\in V^2$, $\left\langle x,y\right\rangle_1=0\Longleftrightarrow\left\langle x,y\right\rangle_2=0$ @@ -934,7 +873,6 @@ Soit $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $\left\langle\;,\;\right\r - #+END_proof - # ID:7742 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 62] Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$. On pose $\Lambda=\Big{\{}\sum_{i=1}^n\lambda_ie_i,\,(\lambda_i)_{1 \leq i\leq n}\in\Z^n\Big{\}}$. @@ -943,7 +881,6 @@ Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(e_1,\ldots,e_n)$ une base d - Ici $n=3$. Montrer que tous les éléments de $G_{\Lambda}$ ont un ordre qui divise $12$. #+end_exercice - # ID:7743 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 63] Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$, $G$ un groupe fini et $\rho$ un morphisme injectif de $G$ dans $\text{GL}(E)$ tel que, pour tout $g\in G$, $\rho(g)\in\mc{S}(E)$. Montrer que les éléments de $G$ sont d'ordre $1$ ou $2$, puis que $|G|$ divise $2^n$. @@ -952,7 +889,6 @@ Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$, $G$ un groupe fini et $\rho$ un Ils sont diagonalisables, à valeurs propres réelles, donc d'ordre $1$, ou $2$. #+END_proof - # ID:7768 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 64] - Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $a\in\R$ pour que la matrice $\begin{pmatrix}1&a\\ a&1\end{pmatrix}$ soit positive, puis définie positive. @@ -973,7 +909,6 @@ Ils sont diagonalisables, à valeurs propres réelles, donc d'ordre $1$, ou $2$. Si $n$ est pair. chaque valeur a deux antécédents, donc deux des quotients sont égaux, ce qui donne deux des carrés égaux, ce qui conclut. #+END_proof - # ID:7769 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 65] - s Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$ à coefficients strictement positifs. Montrer qu'il existe un vecteur propre de $A$ dont tous les coefficients sont $\gt 0$. @@ -986,26 +921,22 @@ Ils sont diagonalisables, à valeurs propres réelles, donc d'ordre $1$, ou $2$. - D'après la question précédente, il existe un vecteur propre réel, à coefficients positifs. S'il existait une valeur propre rationnelle, les deux le seraient. Le produit vaut $2$, et la somme est entière donc la valeur propre vaut $\pm 1$, donc on a un vecteur entier $\vv{p}{q}$, qui retombe sur lui-même, mais $\begin{pmatrix}a_i & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\vv{p}{q} = \vv{a_1 p + q}{p}$, donc à chaque étape, le premier coefficient est trop grand. #+END_proof - # ID:7770 #+begin_exercice Réduction des endomorphismes normaux [ENS MP 2024 # 66] - Rappeler la définition de l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien. - Soient $E$ un espace euclidien et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer que $u$ et $u^*$ commutent si et seulement s'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs, les blocs diagonaux etant soit de taille $1$, soit de taille $2$ et de la forme $\left(\begin{array}{cc}a&b\\ -b&a\end{array}\right)$. #+end_exercice - # ID:7771 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 67] Montrer que $\text{SO}_3(\Q)$ est dense dans $\text{SO}_3(\R)$. #+end_exercice - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 68] On admet l'existence d'une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ d'unite $1$ admettant une base de la forme $(1,i,j,k)$ avec $i^2=j^2=k^2=-1$ et $ij=k=-ji,jk=i=-kj,ki=j=-ik$. Montrer que le groupe des automorphismes de la $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ est isomorphe à $\text{SO}_3(\R)$. #+end_exercice - # ID:7956 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 69] On munit $\M_n(\R)$ du produit scalaire défini par $\left\langle A,B\right\rangle=\op{tr}(A^TB)$. @@ -1020,7 +951,6 @@ On munit $\M_n(\R)$ du produit scalaire défini par $\left\langle A,B\right\rang Sinon, on peut écrire $\lN D_A G - G O D_B O^T\rN = \lN D_A GO - GO D_B\rN$, et $GO$ est de norme $\leq 1$, d'où le résultat. #+END_proof - # ID:7788 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 70] Soient $X$ un ensemble et $K\colon X\times X\ra\R$. On suppose que, pour tous $n\geq 1$ et $x_1,\ldots,x_n\in X$, $(K(x_i,x_j))_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{S}_n^+(\R)$. Pour $x\in X$, on note $K_x\colon y\mapsto K(x,y)$. Soit $E$ le sous-espace de $\R^X$ engendré par les fonctions $(K_x)_{x\in X}$. @@ -1036,7 +966,6 @@ $$\left\langle a,b\right\rangle=\sum_{x,y\in X}\lambda_x\mu_yK(x,y).$$ - C'est clair. #+END_proof - #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 71] :todo: Soient $p\geq 1$ et $A,B\in\mc{S}_p^{++}(\R)$. - Montrer que $\op{Tr}\left(I_p-A^{-1}B\right)\leq\ln\left(\frac{\det A}{ \det B}\right)$. @@ -1057,7 +986,6 @@ Soient $p\geq 1$ et $A,B\in\mc{S}_p^{++}(\R)$. !! #+END_proof - # ID:7772 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 72] Si $G$ est un groupe, on note $Z(G)$ son centre. On pose $U_n(\C)=\left\{A\in\M_n(\C)\,,\,A^*A=I_n\right\}$ ou $A^*=\overline{A}^T$, l'ensemble des matrices unitaires. @@ -1075,7 +1003,6 @@ Si $G$ est un groupe, on note $Z(G)$ son centre. On pose $U_n(\C)=\left\{A\in\M_ - Si on est dans le centre, on commute avec toutes les matrices de $\M_n(\C)$. #+END_proof - ** Analyse # ID:7757 @@ -1089,7 +1016,6 @@ Soit $F$ l'application qui à une norme $N$ sur $\R^n$ associe la boule fermée - Ce sont les parties convexes, contenant un voisinage de $0$, classique. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 74] Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $\phi:E\ra\R^+$ une application telle que @@ -1102,13 +1028,11 @@ On note $C=\{x\in E,\ \phi(x)\leq 1\}$. - Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Posons $I(x)=\{\lambda\gt 0\,;\ \exists k\in K,\ x=\lambda k\}$. Montrer que $I(x)$ est un convexe ferme, non vide. #+end_exercice - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 75] Soit $G$ un sous-groupe de $(\R^n,+)$ dans lequel $0$ est un point isolé. Montrer qu'il existe une famille libre $(u_1,\ldots,u_p)$ dans $\R^n$ telle que $G=\left\{\sum_{k=1}^pa_k.u_k,\ (a_1,\ldots,a_p)\in\Z^p\right\}$. #+end_exercice - # ID:7759 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 76] Soit $n\in\N^*$. Soit $E$ l'ensemble des pavés de $\R^n$, c'est-a-dire des parties de la forme $[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ avec $a_1\leq b_1$,..., $a_n\leq b_n$. Pour toute partie finie $G\subset\R^n$, on note $f(G)=\{F\cap G,\ F\in E\}$. Déterminer $\sup\{k\in\N\ ;\ \exists G\subset\R^n,\ |G|=k,\ f(G)= \mc{P}(G)\}$. @@ -1117,7 +1041,6 @@ Soit $n\in\N^*$. Soit $E$ l'ensemble des pavés de $\R^n$, c'est-a-dire des part L'ensemble $\{\pm e_i\}^n$ permet d'atteindre $k = 2n$. Réciproquement, c'est la valeur maximale : si un ensemble a strictement plus de $2n$ points, on prend celui d'abscisse maximale, celui d'abscisse minimale, idem pour la seconde coordonnée, etc, tout pavé contenant tous ces points contient tous les autres. #+END_proof - # ID:7760 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 77] - Soient $E$ un espace vectoriel normé et $K$ un compact convexe non vide de $E$. Soit $(f_i)_{i\in\N}$ une suite de fonctions affines, continues, qui commutent deux à deux et telles que $f_i(K)\subset K$ pour tout $i\in\N$. Montrer que les fonctions $f_i$ ont un point fixe commun. @@ -1134,8 +1057,6 @@ L'ensemble $\{\pm e_i\}^n$ permet d'atteindre $k = 2n$. Réciproquement, c'est l On a un point d'accumulation. Il est dans toutes les intersections. #+END_proof - - # ID:7782 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 78] Soient $H$ le groupe (pour la composition) des homéomorphismes de $\R$ sur $\R$, $H^+$ le sous-groupe des homéomorphismes croissants. @@ -1155,7 +1076,6 @@ Soient $H$ le groupe (pour la composition) des homéomorphismes de $\R$ sur $\R$ Par ailleurs, c'est bien un morphisme, car la composée de deux fonctions de ce type l'est encore. #+END_proof - # ID:7783 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 79] Soient $m$ et $n$ dans $\N^*$, $F$ une partie finie de $\R^n$, $x\in\R^n\setminus F$, $f$ une application $1$-lipschitzienne (pour les normes euclidiennes canoniques) de $F$ dans $\R^m$. @@ -1177,7 +1097,6 @@ Soient $m$ et $n$ dans $\N^*$, $F$ une partie finie de $\R^n$, $x\in\R^n\setminu Alors $\lN \sum \la_j f(x_j)\rN\gt \lN \sum \la_j x_j\rN^2$, ce qui empêche $\sum \la_j x_j = \vec 0$. #+END_proof - # ID:7761 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 80] Soient $\gamma,\tau\in\R^{+*}$. On pose, pour $N\in\N^*$, @@ -1192,7 +1111,6 @@ Montrer que $D$ est fermé et d'intérieur vide. Qu'en est-il de $D_N$? Pour $D_N$ : c'est une intersection de deux demi-hyperplans, opposés séparés d'une constante. Chacun retire au plus une direction : pour tout $x$, pour $\la$ assez grand, $\la x\in D_N$. #+END_proof - # ID:7784 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 81] Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Soit $f\colon E\ra F$ telle que : $\forall r\in \interval]{0, 1}]$, $\forall x\in E,\ B\left(f(x),\frac{r}{2}\right)\subset f(B(x,r))\subset B(f(x),2r)$. @@ -1206,7 +1124,6 @@ Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Soit $f\colon E\ra F$ telle q - Si on découple $\gamma$ en des points à des distances $\lt \frac{1}{2}$, on peut trouver une suite de points à des distances $\leq 1$ tel que $f(y_i) = \gamma_i$. On recommence, etc. On trouve $c$. #+END_proof - # ID:nil : Sée 4272 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 82] - Soit $X\subset\R^n$ un fermé non vide. Soit $f:X\ra X$. On suppose qu'il existe $\theta\in[0,1[$ tel que $\forall x,y\in X$, $\|f(x)-f(y)\|\leq\theta\|x-y\|$. Montrer que $f$ possède un unique point fixe $c$ et que, pour tout $x\in X$, $f^m(x)\underset{m\ra+\i}{\longrightarrow}c$. @@ -1215,7 +1132,6 @@ Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Soit $f\colon E\ra F$ telle q - En déduire que $f$ possède un unique point fixe. #+end_exercice - # ID:7793 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 83] On se place dans $\R^n$ et $\R^m$ munis d'une norme. @@ -1241,7 +1157,6 @@ On se place dans $\R^n$ et $\R^m$ munis d'une norme. - On recouvre par des boules. #+END_proof - # ID:7794 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 84] On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $f\colon\R^2\ra\R^2$ un homéomorphisme. Pour $x\in\R^2$ et $r\gt 0$, on pose : @@ -1265,7 +1180,6 @@ On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $f\colon\R^2\ra\R^2$ - Si $f$ est quasi-conforme, et $f^{-1}$ ne l'est pas. C'est qu'il existe des $x_n, r_n, y_n,z_n$ tels que on ait $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN = r_n$, $\lN f(x_n) - f(z_n)\rN = r_n$, mais $\frac{\lN x_n - y_n\rN}{\lN x_n - z_n\rN}$ non majorée. Mais $\lN f(x_n) - f(z_n)\rN\leq L_f(\lN x_n - z_n\rN)$ et $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN\geq \l_f(\lN x_n - y_n\rN)$, donc $L_f(\lN x_n - z_n\rN)\geq \l_f(\lN x_n - y_n\rN)$, donc $L_f(\lN x_n - z_n\rN)\geq \frac{1}{K_f} L_f(\lN x_n - y_n\rN)$. Mais en fait, on a $L_f(x, 2r)\geq L_f(x,r) + \l_f(x + y_r, r)\geq L_f(x,r) + K L_f(x + y_r, r)$, car $f$ surjective, et cette dernière quantité ne peut pas être tout petite sinon, $L_f(x, r)\leq L_f(x+y_r, 2r)\leq (1+K_f) L_f(x,r)$. #+END_proof - # ID:7795 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 85] Soient $n\geq 2$ et $e_1$ le premier vecteur de la base canonique de $\R^n$. Soit $\mc{A}$ l'ensemble des matrices $M$ de $\M_n(\R)$ telles que, pour tout $v\in\R^n$, il existe $a_{v,M}\in\R$, tel que la suite $(M^kv)_{k\geq 1}$ tende vers $a_{v,M}e_1$, avec de plus $v\mapsto a_{v,M}$ non identiquement nulle. @@ -1280,8 +1194,6 @@ et $f_v$ est la coordonnée de $v$ dans $E_1$, parallèlement aux autres espaces La projection sur $E_1$ est simplement $P(M)B(M)$, où $P$ est l'autre facteur de $\chi_m$, et $B$ est un couple de Bézout $À (X-1) + BP = 1$. La partie $P(M)$ est continue. L'application $P\mapsto B$ est aussi continue, puisque $B$ est en fait une constante, égale à $P(1)^{-1}$. #+END_proof - - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 86] Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel normé. Pour $X\subset E$ et $x\in E$, on note $d(x,X)=\inf_{y\in X}\|y-x\|$ et $\Pi_X(x)=\{y\in X\;;\;\forall z\in X,\;\|y-x\|\leq\|z-x\|\}$. @@ -1298,7 +1210,6 @@ Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel normé. Pour $X\subset E$ et $x\in E$, on - Trivial #+END_proof - # ID:7748 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 87] Soit $n\geq 1$ un entier, $L\in\left]0,1\right[$, $F\colon\R^n\ra\R^n$ une application $L$-lipschitzienne pour $\left\|\ \right\|_{\i}$, et $x_*\in\R^n$ tel que $F(x_*)=x_*$. @@ -1314,7 +1225,6 @@ Montrer que $F^{|I}$ est $1$-lipschitzienne pour $\left\|\ \right\|_{\i}$. - La suite $|(x_k - x_*)_i|$ est décroissante, donc converge, d'où le résultat. #+END_proof - # ID:7749 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 88] On munit l'espace $\ell^{\i}$ des suites réelles bornées de la norme $\|\ \|_{\i}$. @@ -1336,7 +1246,6 @@ On munit l'espace $\ell^{\i}$ des suites réelles bornées de la norme $\|\ \|_{ - On définit les $a_i$ comme l'image de $(0,\dots, 0, 1, 0 \dots)$, on vérifie que la famille est sommable, et une fois que l'on coïncide sur les suites nulles APCR, on coïncide, par $\eps$. #+END_proof - # ID:7750 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 89] Soient $r\in\R_+^{*}$, $E$ une partie de $\R^2$ couplant toute boule de rayon $r$ (pour la norme euclidienne canonique), $P\in\R[X,Y]$ s'annulant sur $E$. Montrer que $P=0$. @@ -1345,7 +1254,6 @@ Soient $r\in\R_+^{*}$, $E$ une partie de $\R^2$ couplant toute boule de rayon $r Écrire $P(X,Y) = \sum X^n P_n(Y)$. Prendre la valeur en $(n^n, n)$. #+END_proof - # ID:7751 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 90] Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n\geq 2$, $C$ un convexe ouvert de $E$ ne contenant pas $0$. Montrer qu'il existe une droite vectorielle ne couplant pas $C$. @@ -1354,7 +1262,6 @@ Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n\geq 2$, $C$ un convex Projeter $0$ sur $C$, et prendre une droite orthogonale. #+END_proof - # ID:8029 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 91] Soit $n\in\N^*$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. @@ -1387,7 +1294,6 @@ C'est le projeté de $x$ sur $\Delta$. Si on avait $\lt$, on obtiendrait automatiquement que la quantité ne serait pas en $o(n)$. #+END_proof - # ID:8030 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 92] Soient $E$ euclidien et $T:E\ra E$. On suppose qu'il existe $C\in\R^+$ tel que : @@ -1423,7 +1329,6 @@ L'objectif est de montrer qu'il existe $h\in\R^+$ et un unique $u\in\mc{O}(E)$ t - Ok. #+END_proof - # ID:8031 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 93] Soient $(E,\left\langle\,\ \right\rangle)$ un espace préhilbertien, $F:E\ra E$ et $G=\dfrac{1}{2}(\op{id}-F)$. @@ -1448,7 +1353,6 @@ Soient $(E,\left\langle\,\ \right\rangle)$ un espace préhilbertien, $F:E\ra E$ En sommant la relation d'avant, on obtient $\sum \lN G(x_i)\rN^2 \leq \lN x_1\rN^2 - \lN x_n\rN^2 \leq \lN x_1\rN^2$, et la décroissance permet de conclure. #+END_proof - # ID:7802 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 94] Soient $n\geq 2$ et $I_n(\R)=\{A\in\M_n(\R)\,;\,\exists\lambda\in \op{Sp}(A),\,\,\op{Im}(A)\subset E_{\lambda}(A)\}$, ou $E_{\lambda}(A)$ est le sous-espace propre de $A$ associe à la valeur propre $\lambda$. @@ -1463,7 +1367,6 @@ Soient $n\geq 2$ et $I_n(\R)=\{A\in\M_n(\R)\,;\,\exists\lambda\in \op{Sp}(A),\,\ - Pour $I_n$ on peut passer par $O_n$. Sinon, on est ramené au cas diagonale, via la connexité de $GL_n$. Le problème est le rang. Les fonctions vérifient $\tr À = \la \rg A$ et $\tr A^2 = \la^2 \rg A$. Sion ne passe pas $\la = 0$, le rang est donc continue, mais la seule matrice pour $A^2 = O_n$ soit n'existe pas, soit si $n$ est pair a un rang $\frac{n}{2}$, donc ne peut pas être approché par des matrices de rang petit. Pour $n=2$ cependant, ça marche. #+END_proof - # ID:7803 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 95] Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$. @@ -1477,7 +1380,6 @@ Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$. - On veut une matrice symétrique $A$ def pos telle que $g À g^T = A$. $G$ agit sur $\M_n(\R)$. Prendre l'enveloppe convexe de l'orbite de $I_n$. #+END_proof - # ID:7804 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 96] Soit $n\in\N^*$. Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$. Pour tous $g\in G$ et $A\in\M_n(\R)$, on pose $g\cdot A=gAg^T$. @@ -1493,13 +1395,11 @@ Soit $n\in\N^*$. Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$. Pour tous $ - $g$ agit de manière isométrique, pour $N$. Prendre un élément de $K$ de norme minimale. #+END_proof - # ID:7752 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 97] -Déterminer les valeurs d'adherence des suites $(\cos n)$ et $(\cos^nn)$. +Déterminer les valeurs d'adhérence des suites $(\cos n)$ et $(\cos^nn)$. #+end_exercice - # ID:7753 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 98] [PSLR] Soit $S$ une partie de $\N^*$ infinie et stable par produit. On range les éléments de $S$ en une suite strictement croissante $(s_n)_{n\geq 1}$. Montrer que la suite $\left(\dfrac{s_{n+1}}{s_n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite dans $[1,+\i[$. @@ -1508,7 +1408,6 @@ Déterminer les valeurs d'adherence des suites $(\cos n)$ et $(\cos^nn)$. Elle converge vers sa borne inférieure. #+END_proof - # ID:7805 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 99] Soit $(z_n)_{n\geq 0}$ une suite complexe telle que $\forall n\in\N,z_{n+1}=z_ne^{-i\op{Im}(z_n)}$. Pour quelles valeurs de $z_0$ cette suite est-elle convergente? @@ -1521,7 +1420,6 @@ Si $r\leq 1$, cela converge vers $0$. Si $r\leq 2$, aussi, car $|\theta_n|$ déc Si $r\gt 2$, cela ne converge vers $0$ que si elle est stationnaire en $0$. #+END_proof - # ID:7822 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 100] Trouver un équivalent de $S_n=\sum\limits_{k=1}^{+\i}\dfrac{k^n}{2^k}$ quand $n\ra+\i$. @@ -1532,7 +1430,6 @@ C'est maximum quand $t = \frac{n}{\ln 2}$. Essayer de comparer à l'intégrale. La comparaison $\sum/\int$ est justifiée, car, au pire des cas, on est monotone d'un côté et de l'autre, du point où $f' = 0$, et comme les termes individuels sont négligeables, ça passe. #+END_proof - # ID:7823 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 101] On fixe un entiers $n\geq 2$ et $(t_i)_{i\in\Z/n\Z}$ une famille d'éléments de $]0,1[$. Soit pour $i\in\Z/n\Z$, $(x_k^i)_{k\geq 0}$ une suite réelle. On suppose que, pour tout $i\in\Z/n\Z$ et tout $k\in\N$, $x_{k+1}^i=(1-t_i)x_k^i+t_ix_k^{i+1}$. Montrer que les $n$ suites $(x_k^i)_{k\geq 0}$ pour $i\in\Z/n\Z$ convergent vers une même limite. @@ -1541,13 +1438,11 @@ On fixe un entiers $n\geq 2$ et $(t_i)_{i\in\Z/n\Z}$ une famille d'éléments de Le maximum des suites est strictement décroissant, etc. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 102] Soient $m\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_m\in\mathbb{U}$ distincts et $a_1,\ldots,a_m\in\C$. On suppose que $\sum\limits_{k=1}^ma_kz_k^n\underset{n\ra+\i}{ \longrightarrow}\;0$. Montrer que $a_1=\cdots=a_m=0$. #+end_exercice - # ID:7991 #+begin_exercice Lemme de Van der Corput [ENS MP 2024 # 103] Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ bornée telle que $\forall h\in\N^*$, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k \ol{a_{k+h}} \underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Montrer que $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\underset{n\ra+\i}{ \longrightarrow}0$. @@ -1560,7 +1455,6 @@ En prenant le module au carré, d'après Cauchy-Schwarz, on peut le majorer par Quand on développe les $|G_i|^2$, on a que des choses qui relève de l'hypothèse. On s'en sort. #+END_proof - # ID:7657 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 104] Pour $x_0\gt 0$, on définit par récurrence $x_{n+1}=x_n+\int_{x_n}^{+\i}e^{-t^2}\dt$. Étudier la suite $(x_n)_{n\geq 0}$. Donner un équivalent de $x_n$ puis un développement asymptotique à deux termes. @@ -1573,7 +1467,6 @@ Si on considère $x_{n+1} - (u_{n+1}) = (x_n - u_n) - \frac{1}{n\sqrt{\ln n}} + Puis, sommation des équivalents des restes. #+END_proof - # ID:7762 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 105] Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Montrer qu'il existe une unique suite $(n_i)_{i\geq 1}\in(\N^*)^{\N^*}$ telle que, pour tout $i\in\N^*$, $n_{i+1}\geq{n_i}^2$ et que $\alpha=\sum_{i=1}^{+\i}\ln\bigg(1+\frac{1}{n_i}\bigg)$. @@ -1582,7 +1475,6 @@ Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Montrer qu'il existe une unique suite $(n_i)_{i\geq 1}\ On a $\sum_{n=0} \ln \left( 1 + \frac{1}{a^{2^n}}\right) = \ln \prod \left(1 + \frac{1}{a^{2^n}}\right) = \ln \sum_{k\geq 0} \frac{1}{a^k} = \ln \frac{a}{a-1}= \ln 1 + \frac{1}{a-1}$. #+END_proof - # ID:7824 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 106] Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle positive. @@ -1597,7 +1489,6 @@ Pourquoi cette quantité est bornée : plus petite que $\sum b_n$. On est manife On rempli les $u_n$ pour lesquels $\frac{b_n}{a_n}$ est maximal en premier. En pratique, on regarde si $\sum_{n \mid \frac{b_n}{a_n}\gt \frac{b_{n_0}}{a_{n_0}}} a_n \lt \a$, et si oui, on met du poids sur $u_{n_0}$, en faisant attention, à ce que d'autre $n_i$ peuvent avoir le même quotient, on a qu'à les remplir simultanément. #+END_proof - # ID:8032 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 107] Soient $p\in]1,+\i[$ et $q\in\R$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. @@ -1618,7 +1509,6 @@ Soient $p\in]1,+\i[$ et $q\in\R$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Par ailleurs, $a_n b_n = \frac{a_n^p}{S_n}$, et, classiquement, cela diverge. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 108] On admet l'irrationalite de $\pi$. Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}+\cos(n)}$. @@ -1626,7 +1516,6 @@ On admet l'irrationalite de $\pi$. Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{(-1)^n}{n^{ - Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $\sum u_n$ converge. #+end_exercice - # ID:7790 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 109] Soit $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de $\R_+^*$. @@ -1643,7 +1532,6 @@ Soit $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de $\R_+^*$. - On veut que nos IAG soit égalitaires, donc prendre $a_n = \frac{1}{c_n}$, bon, ça diverge, mais c'est d'autant mieux parce que les premières fois où on majore par $e$ sont grossières, on prend des $0$ APCR. #+END_proof - # ID:7825 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 110] Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$. On pose, pour $n\in\N$, $H_{0,n}=a_0+\cdots+a_n$ et, pour $\alpha\in\N^*$, @@ -1663,7 +1551,6 @@ Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$. On pose, pour $n\in\N$, $H_{0,n}=a_0+\cdots+a_ - $n^{\a}$ #+END_proof - # ID:nil # Classique… #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 111] - Montrer que : $\cos(k\theta),\frac{\sin((k+1)\theta)}{\sin\theta},\frac{\cos((k+1/2)\theta)}{ \cos(\theta/2)}$ et $\frac{\sin((k+1/2)\theta)}{\sin(\theta/2)}$ sont des polynômes en $\cos\theta$. @@ -1680,7 +1567,6 @@ On suppose que : $\forall\theta\in\R,\,g(\theta)=a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(k\thet Montrer que, pour tout $x\in\R$, $\left(\frac{f^n(x)-x}{n}\right)_{n\geq 1}$ converge vers une limite qui ne depend pas de $x$. #+end_exercice - # ID:8017 #+begin_exercice Inégalité de Muirhead [ENS MP 2024 # 113] Soient $(a_1\geq \dots \geq a_n)$ et $(b_1\geq \dots \geq b_n)$ dans $(\R^{+*})^n$. @@ -1697,7 +1583,6 @@ Si on prend $x_1$, et les autres valant $1$, on obtient $\sum_{\sigma} x_1^{a_{\ Sens direct : Commencer par le cas $n = 2$. À traiter en supposant que $x_1 = 1$ par homogénéité. Puis on peut transformer les $(a_1\geq \dots \geq a_n)$ en $(b_1\geq \dots \geq b_n)$ par des opérations successives sur deux termes. #+END_proof - # ID:7826 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 114] - Soit $f\colon [0,2\pi]\ra\R$ une fonction continue. Montrer qu'il existe $x\in[0,2\pi]$ tel que $f(x)\geq\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)dt$. @@ -1706,7 +1591,6 @@ Sens direct : Commencer par le cas $n = 2$. À traiter en supposant que $x_1 = 1 Montrer qu'il existe une partie $I$ de $\db{1,n}$ telle que $\left|\sum_{j\in I}z_j\right|\geq\dfrac{1}{\pi}\sum_{j=1}^n|z_j|$. #+end_exercice - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 115] Soient $a\lt b$. Une dissection du segment $[a,b]$ est une suite finie $(t_k)_{0\leq k\leq n}$ strictement croissante telle que $t_0=a$ et $t_n=b$. Pour $f:[a,b]\ra\R$, on définit la variation de $f$ sur $[a,b]$ par $V(f,[a,b])=\sup_{t\,\text{\tiny{\rm dissection}}\atop\text{\tiny{\rm def}}\,[a,b ]}\sum_{i=0}^{n-1}|f(t_{i+1})-f(t_i)|$. @@ -1717,7 +1601,6 @@ Soient $a\lt b$. Une dissection du segment $[a,b]$ est une suite finie $(t_k)_{0 #+END_proof - # ID:7827 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 116] Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction dérivable. On pose $S_-=\{x\in\R,\ f'(x)\lt 0\}$. @@ -1731,7 +1614,6 @@ Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction dérivable. On pose $S_-=\{x\in\R,\ f'(x)\lt Alors, on peut considérer la plus grand fonction décroissante $g$, qui reste en dessous de $f$. Cette fonction vérifie $g'\neq 0 \Rightarrow g'(x) = f'(x)$, et elle est à variations bornées. #+END_proof - # ID:7828 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 117] Soient $E$ un espace vectoriel, $C\subset E$ un ensemble convexe non vide, $a\lt b$ deux réels, et $F$ l'ensemble des fonctions $f\colon C\ra[a,b]$ convexes. Soit $x,y\in C$ fixes. Déterminer $\sup_{f\in F}\left(f(y)-f(x)\right)$. Déterminer les cas ou la borne supérieure est atteinte. @@ -1749,8 +1631,6 @@ En général, on fait la même chose, ce qui intervient est l'intersection de $[ Soit $C = [c,d]$ et $F$ l'ensemble des fonctions $f\colon C\ra [a,b]$ convexes. Soient $x\lt y\in C$ fixés. Déterminer $\sup_{f\in F}\left(f(y)-f(x)\right)$. #+END_exercice - - # ID:7830 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 118] Pour toute fonction $f\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$, on note $\mathrm{dom}(f)=\{x\in\R,\ f(x)\neq+\i\}$. Si $\mathrm{dom}(f)\neq\emptyset$, on définit $f^*\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$ par $f^*(y)=\sup_{x\in\R}\left\{xy-f(x)\right\}$, pour tout $y\in\R$. @@ -1763,7 +1643,6 @@ Pour toute fonction $f\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$, on note $\mathrm{dom}(f)=\{x\in - Étendre au cas ou $g$ n'est pas dérivable. #+end_exercice - # ID:7831 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 119] Soient $I$ un intervalle réel contenant $0$ et $f\colon I\ra\R$ de classe $\mc C^1$. @@ -1776,7 +1655,6 @@ Montrer que $\forall x\in I,\ |f(x)|\leq|f(0)|e^{C|x|}+\dfrac{A}{C}\left(e^{C|x| On peut supposer $x\geq 0$. On a $|f(x)|e^{-Cx}$, dont la dérivée (là où $f$ est non nulle) est $e^{-Cx}\big(f'(x) - C |f(x)|\big)\leq À e^{C x}$. D'où le résultat. #+END_proof - # ID:8022 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 120] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ uniformément continue et dont une primitive est bornée. On suppose que, pour tout $x\gt 0$, $|f(x)|\leq\dfrac{2}{x^2}\int_0^x(x-y)\,|f(y)|dy$. Montrer que $f(x)\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Quelles généralisations peut-on étudier? @@ -1789,7 +1667,6 @@ On considère $\limsup f$. Si elle vaut $1$ disons, alors apcr $x_0$, $|f(x_0)|\ Comme l'intégrale $f$ est bornée par $M$. On sépare les points d'une distance $D\geq 3M$. Entre chaque paire de points, ou bien $f$ prend une valeur nulle, ou bien la proportion est $\leq \frac{1}{2}$. Dans les deux cas, on perd un trop grande proportion $(\gt \eps)$. #+END_proof - # ID:8019 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 121] On note $[a,b]$ un segment de $\R$. Une application $\delta:[a,b]\ra{\R^+}^*$ est appelée une jauge. Soit $D=((a_i)_{0\leq i\leq n},(x_i)_{0\leq i\leq n-1})$ une subdivision pointée de $[a,b]$, c'est-a-dire $a_0=a\lt a_1\lt \cdots\lt a_n=b$ et $\forall i\in\db{0,n-1},\ x_i\in[a_i,a_{i+1}]$. On dit que $D$ est $\delta$-fine lorsque pour tout $i$, $|a_{i+1}-a_i|\leq\delta(x_i)$. @@ -1809,13 +1686,11 @@ On note $[a,b]$ un segment de $\R$. Une application $\delta:[a,b]\ra{\R^+}^*$ es - Pour tout $\eps$, il faut une jauge. Elle est donnée, en un point $t$, par à quel point il faut être proche de $t$ pour que le taux d'accroissement soit $\lt \frac{\eps}{b-a}$. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 122] Soient $P\in\C[X]$ non constant tel que $P(0)\neq 0$, $r\in\R^{+*}$, $z_1,\ldots,z_p$ les racines de module strictement inférieur à $r$ de $P$ comptées avec multiplicité. Montrer que $\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\ln(|P(re^{it})|)dt=\ln(|P(0))|+\sum_ {k=1}^p\ln\left(\dfrac{r}{|z_k|}\right)$. #+end_exercice - # ID:8023 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 123] Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$. On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est positif si, pour tout $f\in E$, $f\geq 0$ implique $u(f)\geq 0$. On pose, pour $i\in\N$, $e_i:x\in[0,1]\mapsto x^i$. @@ -1831,7 +1706,6 @@ Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$. On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est positif si - Prendre $T_n(f)\colon x\mapsto \sum {n\choose k} f\big(\frac{k}{n}\big)x^k (1-x)^{n-k}$. #+END_proof - # ID:8006 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 124] Soit $s\gt 1$. On dit que $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ est $s$-Gevrey s'il existe $R,C\gt 0$ tels que : $\forall k\in\N$, $\forall x\in\R$, $\left|f^{(k)}(x)\right|\leq CR^k(k!)^s$. @@ -1849,7 +1723,6 @@ Soit $s\gt 1$. On dit que $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ est $s$-Gevrey s'il existe $R, Par ailleurs, le sup de $\frac{e^{-1/x}}{x^n}$ est atteint en $x = \frac{1}{n}$, et vaut $n!$. On a donc une majoration en $(n!)^2$. #+END_proof - # ID:8018 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 125] Pour $x\gt 0$ et $\alpha,\beta\in\C$, on pose : $F_{\alpha,\beta}(x)=\int_0^{+\i}e^{-xt}t^{\alpha}(1+t)^{\beta}\dt$. @@ -1865,7 +1738,6 @@ Pour $x\gt 0$ et $\alpha,\beta\in\C$, on pose : $F_{\alpha,\beta}(x)=\int_0^{+\i - Ne dépend que de $\a$, IPP. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 126] Soit $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. @@ -1878,7 +1750,6 @@ Soit $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. - On note, pour $n\in\N^*$, $\Gamma_n(x)=\int_0^nt^{x-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^n dt$. Démontrer que la suite $(\Gamma_n)_{n\geq 1}$ converge simplement vers $\Gamma$. #+end_exercice - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 127] Soient $x,y\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ vérifiant $x'(t)=\sin(y(t))$ et $y'(t)=\cos(x(t))$. @@ -1886,7 +1757,6 @@ Soient $x,y\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ vérifiant $x'(t)=\sin(y(t))$ et $y'(t)=\cos(x( - Soit $\phi:t\mapsto\frac{1}{2}\left(x(t)+y(t)-\frac{\pi}{2}\right)$. Montrer que les points $(\sin(\phi(t)),\phi'(t))$ sont situes sur un même cercle dont on déterminera le rayon. #+end_exercice - # ID:234 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 128] Soient $A\in\M_n(\R)$, $B\in\M_{n,1}(\R)$, $E$ l'espace des applications continues de $[0,1]$ dans $\R$, $x\in\R^n$. Pour $u\in E$, soit $X_u$ l'unique application de classe $\mc C^1$ de $[0,1]$ dans $\R$ telle que $X_u(0)=x$ et $\forall t\in[0,1],X_u'(t)=AX_u(t)+Bu(t)$. @@ -1894,7 +1764,6 @@ Soient $A\in\M_n(\R)$, $B\in\M_{n,1}(\R)$, $E$ l'espace des applications continu Montrer que $\{X_u(1)\;;\;u\in E\}=\R^n$ si et seulement si la matrice $(A|AB|\ldots|AB^{n-1})$ de $\M_{n,n^2}(\R)$ est de rang $n$. #+end_exercice - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 129] - Que dire du spectre complexe d'une matrice symétrique réelle? d'une matrice antisymétrique réelle? @@ -1904,7 +1773,6 @@ Montrer que $\{X_u(1)\;;\;u\in E\}=\R^n$ si et seulement si la matrice $(A|AB|\l - Trouver une solution particuliere de $(S)$ au voisinage de $0$. #+end_exercice - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 130] Pour $k\geq 3$, on note $G_k:z\mapsto\sum_{(n,m)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}}\frac{1}{(m+nz)^{ k}}$. @@ -1917,7 +1785,6 @@ Pour $k\geq 3$, on note $G_k:z\mapsto\sum_{(n,m)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}}\frac{ exclut $(n,m)=(0,0)$. Ces limites sont-elles égales? #+end_exercice - # ID:7786 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 131] Soit $(x,y,z)\in(\R^+)^3$. Démontrer que $(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$. @@ -1926,7 +1793,6 @@ Soit $(x,y,z)\in(\R^+)^3$. Démontrer que $(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx) C'est homogène, on peut supposer que $x+y+z = 1$, et montrer que $1 + 9 xyz \geq 4 (xy + yz+zx)$. On cherche le minimum de la différence, de gradient $(9yz - 4y - 4z, 9\dots,\dots)$. Sur un bord où $x = 0$ c'est clair, et sinon, il faut que les trois coordonnées soient égales : $9yz - 4y - 4z = 9xz - 4x - 4z$ donne $9z(y-x) = 4 (y-x)$, donc soit les coordonnées sont égales, soit $z = \dots$. #+END_proof - # ID:7957 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 132] Soit $F\colon\R^2\ra\R,\ (t,x)\mapsto F(t,x)$ continue et décroissante par rapport à $x$. @@ -1944,13 +1810,11 @@ Soient $u$ et $v$ appartenant à $\mc C^2(\R^+\times\R)$ 1-périodiques par rapp - Sinon, $u(t_n, x_n) - u(t_n', x_n')$ est grand, alors que $t_n-t_n'\ra 0$, en appliquant ce qui précède à $u$ et $\tau_{t_n'-t_n, x_n - x_n'} u$, on obtient que $u(0, x_n'') - u(t_n'-t_n, x_n'' + x_n - x_n')$ est grand, ce qui n'est pas possible, par compacité. #+END_proof - # ID:8015 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 133] -Soient $a\gt 0$, $n\geq 1$ et $x_1,\ldots,x_n\gt 0$. Calculer $\inf\limits_{\substack{y_1,\ldots,y_n\gt 0\\ y_1+\cdots+y_n\leq }}\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i}{y_i^a}$. +Soient $a\gt 0$, $n\geq 1$ et $x_1,\ldots,x_n\gt 0$. Calculer $\inf\limits_{\substack{y_1,\ldots,y_n\gt 0\\ y_1+\cdots+y_n\leq 1}}\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i}{y_i^a}$. #+end_exercice - # ID:8033 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 134] Soit $n\in\N^*$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. @@ -1968,7 +1832,6 @@ Soit $f\colon\R\ra\R^+$ une fonction continue croissante telle que $f(x)\underse - Notons que si $f$ est dérivable, $\nabla g (x) = \sum_{i=1}^{n+1} f'\big(\langle v_i, x\rangle\big) v_i$. Il suffit donc d'appliquer ce qui précède à une primitive de $f$. #+END_proof - # ID:7785 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 135] On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. @@ -1984,7 +1847,6 @@ On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. - On travaille sous $\det M = 0$, est la différentielle du déterminant est $H\mapsto \op{Tr}(\op{Com} M_0^T H)$, donc $\op{Com} M_0^T$ est colinéaire à $A-M_0$. #+END_proof - ** Géométrie # ID:nil @@ -1993,7 +1855,6 @@ On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. - Soient $p$ un nombre premier, $G$ un groupe fini d'ordre $2p$. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/2p\Z$ ou à $\mc{D}_{2p}$. #+end_exercice - # ID:8024 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 137] - On note $G$ le groupe (pour la composition) des deplacements du plan, i.e. des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a\in\mathbb{U}$ et $b\in\C$. Montrer que, si $H$ est un sous-groupe de $G$, $H$ est discret si et seulement si l'orbite de tout $z\in\C$ sous l'action de $H$ n'a pas de point d'accumulation. @@ -2004,7 +1865,6 @@ On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. - Non, $a = \frac{1}{2}$. #+END_proof - ** Probabilités # ID:7764 @@ -2015,13 +1875,11 @@ Soit $E$ un espace vectoriel normé et soit $(u_1,\ldots,u_n)\in E^n$. On consid La fonction $\la\mapvo \lN u + \la v\rN + \lN u - \la v\rN$ est croissante sur $\R_+$. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 139] On considére une pièce equilibrée et $\eps_n$ la valeur du $n$-ieme lancer que l'on considére à valeurs dans $\{-1,1\}$. Soient $X_n=\sum_{k=1}^n\eps_k$ et $\tau=\min\{n\in\N^*,\;X_n=0\}$. Déterminer $\mathbf{P}(\tau=n)$ ainsi qu'un équivalent de cette quantite lorsque $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice - # ID:8005 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 140] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X$ suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda\gt 0$, et $Y$ la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1]$. @@ -2034,7 +1892,6 @@ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X$ suivant la loi - Soit $M$ une matrice aléatoire dans ${\cal M}_n(\R)$ dont la famille des coefficients est i.i.d., chaque coefficient suivant la loi uniforme sur $\{0,-1,1\}$. Déterminer $P(M\in{\cal O}_n(\R))$. #+end_exercice - # ID:8020 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 141] On note $E=\db{1,n}$ et $\Delta$ la différence symétrique. Soit $p\in[0,1]$ et $X$ et $Y$ deux variables aléatoires i.i.d de $\Omega$ dans ${\cal P}(E)$ telles que, pour tout $i\in E,\ {\bf P}(i\in X)=p$. @@ -2065,7 +1922,6 @@ Soient $(X_n)_{n\in\Z}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivan De plus, le nombre de séquences sans facteur $110$ est le même que le nombre de séquences sans facteur $011$. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 143] Soient $E=\db{1,n}$ et $p\in]0,1[$. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans ${\cal P}(E)$ telle que $\forall i\in E,\ {\bf P}(i\in X)=p$ et, pour $i\neq j\in E$, $(i\in X)$ et $(j\in X)$ sont indépendants. @@ -2082,7 +1938,6 @@ On note ${\rm AA}=\{xy,\ (x,y)\in A^2\}$. - Montr per que ${\bf P}({\rm AA}=G)$ tend vers $1$ quand $N$ tend vers l'infini. #+end_exercice - # ID:8071 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 145] Paley-Sigmund, trois séries de Kolmogorov - Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive $L^2$. Montrer que, pour $\lambda\in]0,1[$, ${\bf P}(X\geq\lambda{\bf E}(X))\geq(1-\lambda)^2\frac{{\bf E}(X)^{ 2}}{{\bf E}(X^2)}$. @@ -2116,7 +1971,6 @@ On note ${\rm AA}=\{xy,\ (x,y)\in A^2\}$. Le terme de droite est aussi en $x_n^{\a}$, donc converge, et le terme de gauche a le même ordre de grandeur aussi, donc tout converge. #+END_proof - # ID:8091 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 146] Soient $\lambda\gt 0$ et $N_{\lambda}$ une variable de Poisson de paramètre $\lambda$. @@ -2136,7 +1990,6 @@ Pour $f\colon\N\ra\R$ bornée, on pose $Tf:n\in\N\mapsto\lambda f(n+1)-nf(n)$. En appliquant ça plein de fois, le terme $|u_{n-1} - \frac{u_n}{v_n}|$ apparaît en facteur de $v_n + v_n v_{n+1} + v_n v_{n+1}v_{n+2} + \dots$, ce qui est $\frac{P(N \geq n)}{P(N = n-1)}$, c'est-à-dire une constante. #+END_proof - # ID:8026 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 147] Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}$. L'entropie de $X$ est définie par ${\cal H}(X)=-\sum_{k=1}^np_i\ln(p_i)$ avec $p_i={\bf P}(X=x_i)$. @@ -2161,13 +2014,11 @@ Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}$. L'entropi - Cela revient à appliquer l'inégalité précédente, où $q_{i,j} = p_i q_j$. #+END_proof - # ID:8025 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 148] Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien. Soient $v_1,\ldots,v_n\in E$ tels que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $\|v_i\|\leq 1$. Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in[-1,1]$ et $w=\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i$. Montrer qu'il existe des $\eps_1,\ldots,\eps_n\in\{-1,1\}$ tels que $v=\sum_{i=1}^n\eps_iv_i$ satisfait $\|v-w\|\leq\sqrt{n}$. #+end_exercice - # ID:8092 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 149] Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d sur $\Z$ à support fini suivant la loi $\mu$. On pose $\nu(k)=\frac{e^{\lambda k}\mu(k)}{{\bf E}(e^{\lambda X_1})}$ et on considére une suite $(Y_n)_{n\geq 1}$ i.i.d suivant la loi $\nu$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et $T_n=\sum_{k=1}^nY_k$. On prend $\lambda\geq 0,a\in\R,\eps\gt 0,n\geq 1$. @@ -2194,13 +2045,11 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d sur $\Z$ à supp Dans l'autre sens, on dérive l'expression, et on peut vérifier que pour le $s$ réalisant l'inf, on a $\E(T_n) = a$. Comme le support est fini, on a un contrôle sur la variance, et Bienaymé-Tchebychev permet de minorer $\P(n a \leq t_n \leq (a+\eps)n)$ par une constante. #+END_proof - # ID:6794 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 150] Soient $\sigma\gt 0$, $n\geq 1$ un entier et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles discretes telles que pour tout $1\leq i\leq n$ et $s\gt 0$, ${\bf E}\left(\exp(sX_i)\right)\leq\exp\left(\sigma^2s^2\right)$. Montrer que ${\bf E}\left(\max_{1\leq i\leq n}X_i\right)\leq 2\sigma\sqrt{\ln n}$. #+end_exercice - # ID:8072 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 151] Soient $n\geq 1$, $a\gt 0$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discretes, indépendantes, d'espérance nulle, et à valeurs dans $[-a,a]$. @@ -2214,7 +2063,6 @@ Soient $n\geq 1$, $a\gt 0$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discre - On retire la valeur absolue par symétrie (cf le facteur 2). Puis Markov exponentielle, etc. #+END_proof - # ID:8073 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 152] Pour $x\gt 0$, on pose $\Gamma(x)=\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. On pourra utiliser sans demonstration le fait que $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ et $\Gamma(1)=1$. @@ -2223,7 +2071,6 @@ Pour $x\gt 0$, on pose $\Gamma(x)=\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. On pourra utili - On suppose de plus que $\mathbf{E}\left(X\right)=0$. Montrer que $\forall s\gt 0$, $\mathbf{E}\left[\exp(sX)\right]\leq\exp\left(4\sigma^2s^2\right)$. #+end_exercice - # ID:nil # Problème d'énoncé #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 153] Soient $n\geq 3$ un entier. Si $\sigma\in\mc{S}_n$, une suite alternante pour $\sigma$ est une suite strictement croissante $(i_1)_{1\leq m}$ d'éléments de $\db{1,n}$ telle que : @@ -2238,7 +2085,6 @@ On note $\Delta(\sigma)$ la longueur maximale d'une suite alternante pour $\sigm Problème d'énoncé ? #+END_proof - # ID:nil # Cf année précédente #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 154] Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires discretes réelles i.i.d. Pour $n\geq 1$, on note $M_n=\max\limits_{1\leq k\leq n}X_k$. Soit $\alpha\gt 0$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes : @@ -2248,7 +2094,6 @@ Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires discretes réelles i.i (ii) $\forall x\gt 0,\quad\dfrac{\mathbf{P}(X_1\gt xt)}{\mathbf{P}(X_1\gt t)} \xrightarrow[t\ra\i]{}x^{-\alpha}\qquad(\text{et }\forall t\gt 0,\mathbf{P}(X_1\gt t)\gt 0)$. #+end_exercice - # ID:7774 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 155] Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $n\in\N^*$, $X_n\sim\mc{B}\left(1/n\right)$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. @@ -2261,7 +2106,6 @@ Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle - D'après ce qui précède, presque sûrement, $\frac{S_{k^4}}{\ln (k^4)}\ra 1$, ce qui implique $\frac{S_n}{\ln n}\ra 1$. #+END_proof - # ID:7773 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 156] - Soient $n\in\N$, $(p_0,\ldots,p_n)\in\{-1,1\}^{n+1}$. Montrer que les racines de $\sum_{i=0}^np_iX^i$ dans $\C$ sont de module inférieur ou egal à 1. @@ -2280,7 +2124,6 @@ Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle - Multiplier par $\sum x^n$ et appliquer la question précédente. La probabilité qu'on s'annule est en $\frac{1}{\sqrt{k}}$. #+END_proof - # ID:8120 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 157] Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ telle que, pour tous $n,k\in\N$, $\mathbf{P}\left(X_n=k\right)\gt 0$. Soit $N\in L^2$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, indépendante de $(X_k)_{k\in\N}$. On pose $X=X_N$. @@ -2294,7 +2137,6 @@ Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ te - On a vu que l'espérance de droite est $H(g) = \sum_i \P (N=i) R(g, i)$. On suppose que les $R(f_0, i)$ sont tous égaux. Alors trivialement $R_0$ est le min des sup comme annoncé. Et si une autre fonction le vérifiait, elle aurait la même valeur que $f_0$, et l'optimisation de la question précédente montre que ce n'est pas possible, je pense. #+END_proof - # ID:7765 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 158] Soient $a\in]0,1[$ et $m\in\N^*$. à l'aide d'une interprétation probabiliste, calculer la borne supérieure, pour $(u_n)_{n\geq 1}$ parcourant l'ensemble des suites à valeurs dans $[0,1]$, de @@ -2305,16 +2147,13 @@ $$\sum_{1\leq n_1\lt n_2\lt \cdots\lt n_m}\prod_{\ell=1}^mu_{n_{\ell}}\prod_ {n_ Si on multiplie par $a^m$, on a des évènements indépendants de probabilité $a u_k$, c'est la probabilité qu'il s'en produit au moins $m$. Cela vaut $1$. #+END_proof - * ENS PSI 2024 :autre: - ** Algèbre #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 159] $\!\!$Résoudre $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$ dans $\M_2(\R)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 160] $\!\!$Soient $N\in\N^*$ et $x_0\lt x_1\lt ...\lt x_N$ des réels. On définit $S_3^N$ l'ensemble des fonctions $s$ de classe $\mc C^2$ sur $[x_0,x_N]$ tel que $\forall i\in\db{0,N}$, $s_i=s_{||x_i,x_{i+1}[}$ soit un polynôme de degré au plus 3. - Montrer que $S_2^3$ est de dimension 5. @@ -2326,13 +2165,11 @@ Soit $f$ de classe $\mc C^2$ sur $[x_0,x_N]$. - Montrter qu'il existe une unique $\forall i\in\db{0,N},s(x_i)=f(x_i)$, $s'(x_0)=f'(x_0)$, $s''(x_N)=f''(x_N)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 161] - Soit $f\in\mc{L}(\C^n)$. Montrter que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable et $\mathrm{Ker}(f)=\mathrm{Ker}(f^2)$. - Soit $f\in\mc{L}(\R^n)$. On suppose $f^2$ diagonalisable. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 162] Soit $E=\R^{\N}$. On définit $F\,\colon\,E\ra E$ par : $\forall u\in E,\;\forall n\in\N,\;(F(u))_n=u_{n+1}$. - Montrter que $F$ est linéaire. Est-elle injective? Surjective? @@ -2352,7 +2189,6 @@ En déduire la dimension de $\text{Ker}(F-\lambda\text{id})$. - Traiter le cas $|\lambda|=2$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 163] Pour toute matrice $A\in\M_n(\C),$ on note $\rho(A)=\max_{\lambda\in\mathrm{Sp}(A)}|\lambda|$. On admet que, pour tout $A\in\M_n(\C)$, il existe $D,N$ dans $\M_n(\C)$ respectivement diagonale et nilpotente telles que $DN=ND$, et $P\in\text{GL}_n(\C)$ vérifiant $A=P(D+N)P^{-1}$. - Pour cette question seulement on pose $A=\left(\begin{array}{cc}a&c\\ 0&b\end{array}\right)$. @@ -2362,7 +2198,6 @@ Pour toute matrice $A\in\M_n(\C),$ on note $\rho(A)=\max_{\lambda\in\mathrm{Sp}( - Soient $A,B,C\in\M_n(\C)$ telles que $\rho(A)\rho(B)\lt 1$. Montrer qu'il existe $D\in\M_n(\C)$ telle que $ADB-D=C$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 164] On dit que $U\in{\cal M}_n({\C})$ est unipotente si $U-I_n$ est nilpotente. Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On admet qu'il existe un unique couple $(D_0,N_0)$ avec $D_0$ diagonalisable et $N_0$ nilpotente tel que $A=D_0+N_0$ et $D_0N_0=N_0D_0$. - Soit $U\in{\cal M}_n({\C})$ unipotente. @@ -2375,7 +2210,6 @@ On dit que $U\in{\cal M}_n({\C})$ est unipotente si $U-I_n$ est nilpotente. Soit - Si $A\in{\cal M}_n({\R})$, montrer que $D\in{\cal M}_n({\R})$ et $U\in{\cal M}_n({\R})$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 165] Pour $A,B\in{\cal M}_n({\C})$, on pose $[A,B]=AB-BA$. @@ -2388,7 +2222,6 @@ On note ${\cal S}=\{[A,B]\;,\;(A,B)\in{\cal M}_n({\C})^2\}$ - Montrer que ${\cal N}={\cal S}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 166] Soit $B\in{\cal M}_d({\C})$. - Montrer que si $B$ est diagonalisable alors $e^B$ l'est aussi. @@ -2402,7 +2235,6 @@ Soit $B\in{\cal M}_d({\C})$. - Que dire de $\exp$? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 167] - On considére la fonction $f$ définie sur ${\cal M}_{n,1}({\R})$ par $:f(X)=\frac{1}{2}X^TAX-B^TX$ ou $A\in{\cal S}_n({\R})$ et $B\in{\cal M}_{n,1}({\R})$. @@ -2411,7 +2243,6 @@ Montrer que $f$ est minorée si et seulement si ${\rm Sp}(A)\subset{\R}^+$ et $B - Soient $A_1,A_2$ dans ${\cal S}_n^+({\R})$. Montrer que ${\rm Im}(A_1+A_2)={\rm Im}(A_1)+{\rm Im}(A_2)$. En déduire que ${\rm Ker}(A_1+A_2)={\rm Ker}(A_1)\cap{\rm Ker}(A_2)$. #+end_exercice - ** Analyse #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 168] @@ -2420,7 +2251,6 @@ Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$. On pose $\|M\|_{\i}=\sup_{X\neq 0,X\in{\R}^n}\frac{ Montrer que $\|M\|_{\i}=\sup_{i\in\{1,\ldots,n\}}\sum_{j=1}^n|m_{i,j}|$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 169] Soit $d\in{\N}^*$. On se place dans ${\cal M}_d({\R})$ muni du produit scalaire canonique. On note ${\mathbb{B}}_d({\R})$ l'ensemble des matrices bistochastiques, c'est-a-dire des matrices $P=(p_{i,j})_{1\leq i,j\leq d}$ à coefficients dans $[0,1]$ telles que $\colon\forall i\in\db{1,d]\!]\,,\,\sum_{k=1}^dp_{i,k}=1$ et $\forall j\in[\![1,d}\,,\,\sum_{k=1}^dp_{k,j}=1$ On note ${\mathbb{P}}_d({\R})$ l'ensemble des matrices de permutation, c'est-a-dire des matrices de ${\cal M}_d({\R})$ de la forme $\big(\delta_{\sigma(i),j}\big)_{1\leq i,j\leq n}$ ou $\sigma\in{\cal S}_n$. - Montrer que ${\mathbb{B}}_d({\R})$ est convexe. Est-ce un sous-espace vectoriel de ${\cal M}_d({\R})$? @@ -2438,7 +2268,6 @@ On note $R=\big(p_{i,j}^2\big)_{1\leq i,j\leq d}$. - Montrer que $\|A-B\|^2=\sum_{1\leq i,j\leq d}r_{i,j}|\lambda_i(A)- \lambda_j(B)|^2$ ou les $\lambda_i(A)$ (resp. $\lambda_i(B)$) sont les valeurs propres de $A$ (resp. $B$). #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 170] On dit qu'une suite $(u_n)$ à valeurs dans un espace vectoriel normé $(E,\|\ \|)$ est de Cauchy si $\forall\eps\gt 0\;,\;\exists N\in{\N}\;,\;\forall(m,n)\in{\mathbb{ N}}^2,\;m,n\geq N\Rightarrow\|u_n-u_m\|\leq\eps$. @@ -2451,7 +2280,6 @@ Si $u=(u_n)_{n\in{\N}}\in\ell^2({\C})$ on pose $\|u\|_2=\left(\sum_{n=0}^{+\i}|u Montrer qu'une suite à valeurs dans $\ell^2({\C})$ est de Cauchy (au sens de $\|\ \|_2$) si et seulement si elle converge. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 171] Pour $n\in{\N}^*$, on pose $\omega_n=e^{2i\pi/n}$.On définit une application $\mc{F}$ sur $\M_{n,1}(\C)$ en posant, pour $v=\left(v_1\,\cdots\,v_n\right)^T$, $\mc{F}(v)=\left(\zeta_1\,\cdots\zeta_n\right)^T$ ou, pour $k\in\db{1,n}$, $\zeta_k=\sum_{j=1}^nv_j\omega_n^{(k-1)(j-1)}$. - Montrter que $\mc{F}$ est linéaire et donner sa matrice $A$ dans la base canonique. @@ -2461,7 +2289,6 @@ Pour $n\in{\N}^*$, on pose $\omega_n=e^{2i\pi/n}$.On définit une application $\ Montrer que $\|\mc{F}(v)\|_2=\sqrt{n}\,\|v\|_2$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 172] Soit $M\in\M_n(\R)$. On pose $\|M\|_2=\sup_{X\neq 0,X\in\M_{n,1}(\R)}\frac{|MX|_2}{|X|_{ 2}}$ et $k(A)=\|A\|_2\|A^{-1}\|_2$ si $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$. - Rappeler la définition de la norme euclidienne $|\ |_2$ et montrer que $\|M\|_2=\sup_{|X|_2=1}|MX|_2$. @@ -2473,7 +2300,6 @@ Soit $M\in\M_n(\R)$. On pose $\|M\|_2=\sup_{X\neq 0,X\in\M_{n,1}(\R)}\frac{|MX|_ - Montrer que $k(A)=1$ si et seulement s'il existe $\alpha\in\R^*$ et $Q\in\mc{O}_n(\R)$ tels que $A=\alpha Q$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 173] On se place dans $\R^n$ muni de sa norme euclidienne canonique. Pour toute partie $A$ non vide bornée on définit le diamêtre de $A$ par $d(A)=\sup\{\|x-y\|,\ (x,y)\in A^2\}$. @@ -2494,7 +2320,6 @@ Montrer que $H_s(X\cup Y)=H_s(X)+H_s(Y)$. - Soit $s\geq 0$. Montrer que si $H_s(X)\gt 0$ alors $H_t(X)=+\i$ pour tout $t\lt s$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 174] Pour $f\in\mc C^3([-1,1],\R)$ et $w_1,w_2,w_3\in\R$, on note $I_{app}(f)=w_1f(-2/3)+w_2f(0)+w_3f(2/3)$. - Déterminer $w_1,w_2,w_3$ de sorte que $\forall P\in\R_2[X]$, $I_{app}(P)=\int_{-1}^1P$. @@ -2509,7 +2334,6 @@ _Ind._ Considérer l'application $t\mapsto f(t)-P(t)-(f(x)-P(x))\frac{(t+2/3)t(t - En déduire une majoration de $\left|I_{app}(f)-\int_{-1}^1f\right|$ en fonction de $\|f^{(3)}\|_{\i,[-1,1]}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 175] Soit $f\in\mc C^0(\R^+,\R)$ carre intégrable. Pour $x\in\R^{+*}$, on pose $g(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\dt$. - Montr per que $g$ est prolongeable en une fonction continue sur $\R^+$. @@ -2517,13 +2341,11 @@ Soit $f\in\mc C^0(\R^+,\R)$ carre intégrable. Pour $x\in\R^{+*}$, on pose $g(x) - Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz et la condition nécessaire et suffisante d'égalité. Discuter de l'optimalite de la constante $4$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 176] - Soient $a,b\in\R$ avec $0\lt a\lt b\lt 1$, $I=[a,b]$ et $\phi:x\in I\mapsto 2x(1-x)$. Soit $(\phi_n)_{n\geq 0}$ définie par $\phi_0=\phi$ et $\forall n\in\N,\,\phi_{n+1}=\phi\circ\phi_n$. Étudier la convergence sur $I$ de la suite de fonctions $(\phi_n)_{n\geq 0}$ - Soit $P:I\ra\R$ une fonction polynomiale. Montr per qu'il existe une suite de fonctions polynomiales à coefficients entiers qui converge uniformément vers $P$ sur $I$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 177] - Existe-t-il une fonction $g\colon\R^+\ra\R^+$ telle que pour toute fonction $f$ polynomiale on ait $f(x)\underset{x\ra+\i}{=}o(g(x))$? - Donner le rayon de convergence de la série entière $\sum n!\,z^{n^2}$ @@ -2531,7 +2353,6 @@ Soit $f\in\mc C^0(\R^+,\R)$ carre intégrable. Pour $x\in\R^{+*}$, on pose $g(x) - Une fonction est dite analytique si elle est développable en série entière au voisinage de tout point de son domaine de définition. Montr per que, si $f$ est limite simple de polynômes à coefficients positifs sur $\R^+$, alors elle est analytique sur $\R^+$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 178] - Soit $P\in\R[X]$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $t\mapsto|P(t)|^{-1/2}$ soit intégrable sur $\R$. - Soit $F$ une fraction rationnelle complexe. Montr per que $F$ est intégrable sur $\R$ si et seulement si $\deg(F)\leq-2$ et $F$ n'a pas de pole réel.On écrit alors $F(X)=\sum_{x\in\C}\left(\frac{a_{x,n_x}}{(X-x)^{n_x}}+\ldots+\frac{a_{x,1}}{X-x}\right)$, ou les $a_{x,j}$ sont dans $\C$. @@ -2540,7 +2361,6 @@ Montrer que $\int_{\R}F(t)\dt=i\pi\sum_{x\in\C}\xi(x)a_{x,1}$ ou $\xi(x)$ design - Soit $P$ un polynôme complexe non constant. En etudiant la fonction $F:r\mapsto\int_0^{2\pi}\frac{dt}{P(re^{it})}$, démontrer le theoreme de d'Alembert-Gauss. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 179] On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique note $\langle\,\ \rangle$. On considére $Q$ ensemble des fonctions $\mc C^1$ de $\R^n$ dans $\R$ telles que : @@ -2552,7 +2372,6 @@ On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique note $\langle\,\ \rangle$. On cons - On suppose $\langle\nabla f(x),h\rangle=0$. Que dire du signe de $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(x)h_ih_j$? #+end_exercice - ** Probabilités #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 180] @@ -2561,14 +2380,12 @@ Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. On note $G$ sa série gen - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\N$, telle que $(G_{X_n})_{n\geq 1}$ converge simplement sur $]-R,R[$ vers une fonction notée $G$. La fonction $G$ est-elle nécessairement la série generatrice d'une variable aléatoire? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 181] On considére un de equilibre cubique. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre obtenu à un lancer. Donner sa série generatrice. - On note $Y$ la variable aléatoire qui correspond à la somme des lancers de deux des cubiques equilibres. Donner sa série generatrice. - Est-il possible de truquer le de utilise de sorte que $Y$ suive la loi uniforme sur $\db{2,12}$? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 182] Soit $(Z_k)_{k\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toute la loi de Bernoulli de paramêtre $p\in]0,1[$. - On note $U=\min\left\{k\in\N^*,\ Z_k=0\right\}\in\N^*\cup\{+\i\}$. @@ -2581,7 +2398,6 @@ Soit $(Z_k)_{k\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant - En déduire $\mathbf{P}(V=+\i)$. - Trouver une relation de récurrence linéaire vérifiée par la suite $(\mathbf{P}(V=k))$. - Montrer que $V$ est d'espérance finie et calculer $\mathbf{E}(V)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 183] On munit $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$ de la distribution uniforme de probabilité. @@ -2607,7 +2423,6 @@ $$\sum_{k=1}^m\mathbf{P}(Z=\alpha_k)\beta_k=0\text{ et }\sum_{k=1}^m \mathbf{P}( - Montrer que, pour tout $i$ entre $1$ et $n-1,$ on a $\mathbf{E}(X_i^3)=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 184] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles discretes telles que $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)=0$ et $\mathbf{V}(X)=\mathbf{V}(Y)=1$. On pose $\rho=\mathbf{E}(XY)$. - Enoncer les inégalités de Markov et de Bienayme-Tchebychev. @@ -2619,7 +2434,6 @@ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles discretes telles que $\mat - Pour $(\alpha,\beta)\in(\R^+)^2$, donner une majoration de $\mathbf{P}(|X|\geq\alpha$ ou $|Y|\geq\beta)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 185] Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Rademacher. - On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de $S_n$. @@ -2642,11 +2456,7 @@ Montrer: $\forall\lambda\in\R$, $\mathbf{E}(e^{\lambda X})\leq\frac{b-\mathbf{E} - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. On suppose que, pour tout $k\in\{1,\ldots,n\}$, $X_k(\Omega)\subset[a_k,b_k]$. Montrer pour tout $\eps\gt 0\colon\mathbf{P}(|S_n-\mathbf{E}(S_n)|\geq\eps) \leq 2\exp\bigg(-\frac{2\eps^2}{\sum_{k=1}^n(b_k-a_k)^{2 }}\bigg)$. #+end_exercice - - - * ENS - PC :autre: - ** Algèbre #+BEGIN_exercice [ENS PSI 2024 # 187] @@ -2660,17 +2470,14 @@ Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, il existe $j\in\N$ telle que $\mathrm{Card}(X Soient deux réels $a$ et $b$. On pose $P=X^4+aX^3+bX^2+X$. On suppose que les racines de $P$ sont toutes distinctes deux à deux et qu'elles appartiennent à un même cercle du plan complexe. Montrer que $3\lt ab\lt 9$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 189] Soit $(P_n)_{n\in\N}$ une suite définie par $P_0\in\R[X]$ de degré $\geq 2$ et $\forall n\in\N$, $P_{n+1}=XP_n'$. Montrer qu'il existe une suite de réels positifs $(\lambda_n)_{n\in\N}$ convergeant vers $0$ telle que, pour tout $n\in\N$, les racines complexes de $P_n$ appartiennent au disque de centre $0$ et de rayon $\lambda_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 190] Soit $E$ l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\R)$ à coefficients $0$ ou $1$ qui sont inversibles. Quel est le nombre maximal de $1$ d'un élément de $E$? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 191] On dit qu'une matrice est positive si tous ses coefficients sont positifs. Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre: @@ -2679,47 +2486,38 @@ On dit qu'une matrice est positive si tous ses coefficients sont positifs. Soit (ii) $\forall X\in\R^n$, $AX\geq 0\Rightarrow X\geq 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 192] Soit $E$ un sous-espace vectoriel de ${\cal M}_n\,(\R)$ tel que $\forall A\in E$, $\mbox{rg}\,(A)\leq 1$. Montrer que $\dim\,(E)\leq n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 193] Déterminer les $X\in{\cal M}_2(\R)$ telle que $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 194] Caractériser les matrices $A\in{\cal M}_n(\R)$ nilpotentes d'indice $n-1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 195] Existe-t-il deux matrices $N$ et $P$ de ${\cal M}_n(\R)$ telles que $N^2=0$, $P^2=P$, $NP$ est nilpotente et $(NP)^2\neq 0\,$? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 196] Soit $M\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $M^3=0$. Montrer qu'il existe une unique matrice $X\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $X+MX+XM^2=M$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 197] On pose $A_0=\begin{pmatrix}3/4&1/2\\ 1/2&5/4\end{pmatrix}$ puis, pour tout $n\in\N$, $A_{n+1}=2A_n-A_n^2$. Déterminer la limite de $(\det(A_n))$ quand $n\ra+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 198] On pose $A_1=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 1&0\end{array}\right)$ et, pour $n\in\N^*$, $A_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}A_n&I_{2^n}\\ \hline I_{2^n}&A_n\end{array}\right)$. Montrer que $A_n$ admet $(n+1)$ valeurs propres $\lambda_0\lt \lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ d'ordres respectifs $\begin{pmatrix}n\\ k\end{pmatrix}$ pour $0\leq k\leq n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 199] On munit $\R_n\,[X]$ du produit scalaire défini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1\!\!P(x)Q(x)\dx$. Montrer que $M=\left(\langle X^i,X^j\rangle\right)_{(i,j)\in\db{0,n}^2}$ est inversible. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 200] Soient $a_0,\ldots,a_n$ des réels. @@ -2730,14 +2528,12 @@ Pour des polynômes $P,Q\in\R_n[X]$, on définit $\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^ - On suppose $a_0=\cdots=a_n=a$. Déterminer les polynômes $P_k$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 201] Soient $n,k\in\N^*$ et $(f_1,\ldots,f_k)$ une famille de vecteurs de $\R^n$. On suppose que $\forall x\in\R^n\setminus\{0\},\exists i\in\{1,\ldots,k\},\ \langle x,f_i\rangle\gt 0$. - Donner un exemple de famille de $\R^n$ vérifiant cette propriété. - Montrer que $(f_1,\ldots,f_k)$ est une famille generatrice de $\R^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 202] Soit $n\in\N$ et $M\in\mc{S}_n(\R)$. En notant $(s_1,\ldots,s_n)$ les valeurs propres de $M$, on pose @@ -2746,7 +2542,6 @@ $$N_p(M)=\left(\sum_{i=1}^n|s_i|^p\right)^{1/p}.$$ - Montrer que $N_1(M)=\sup\{|\op{tr}(MO)|,\ O\in\mc{O}_n(\R)\}$. En déduire que $N_1$ est une norme sur $\mc{S}_n(\R)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 203] Soient $n\in\N^*$ et $A\in\mc{A}_n(\R)$. - Montrer que les valeurs propres dans $\C$ de $A$ sont imaginaires pures. @@ -2754,19 +2549,16 @@ Soient $n\in\N^*$ et $A\in\mc{A}_n(\R)$. - On suppose $n$ pair et on considére la matrice $J\in\M_n(\R)$ dont tous les coefficients valent $1$. Montrer que $\det(A+J)=\det(A)$ #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 204] Soit $A=(a_{i,j})_{(i,j)\in[1,n]^2}$ vérifiant $\forall(i,j)\in[1,n]^2,\ a_{i,j}\in\{0,1\}$. On note $J\in\M_n(\R)$ la matrice dont tous les coefficients sont egaux à $1$. On suppose qu'il existe $k\in\N^*$ tel que $A^TA=kI_n+J$. Montrer que $A$ est inversible. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 205] Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=A^T$. - Quelles sont les valeurs propres complexes possibles de $A$? - Donner un exemple de matrice $A$ qui vérifie $A^2=A^T$ et qui possède toutes les valeurs propres possibles trouvées à la question précédente. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 206] - Soit $S\in\mc{S}_n(\R)$ inversible. Montrer que les assertions sont équivalentes : @@ -2776,18 +2568,15 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=A^T$. - Soit $S\in\mc{S}_n(\R)$ inversible. Soit $P\in\text{GL}_n(\R)$. Montrer que $P^TSP$ et $S$ ont le même nombre de valeurs propres positives. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 207] - Montrer que toute matrice symétrique positive admet une racine carrée. - Montrer que $A\in\M_n(\R)$ est diagonalisable si et seulement s'il existe $S$ symétrique définie positive telle que $SA=A^TS$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 208] Soit $E$ un espace euclidien. Soit $a$ un endomorphisme autoadjoint de $E$. Soient $u\in E$ non nul et $V=\text{Vect}\left\{a^k(u)\ ;k\in\N\right\}$. Montrer que l'endomorphisme induit par $a$ sur $V$ n'a que des valeurs propres simples. #+end_exercice - ** Analyse #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 209] @@ -2797,27 +2586,22 @@ Soit $A$ un ensemble de $\R^2$. On dit que $x,\ y\ \in A$ sont connectes si et s - Déterminer les points connectes de $\R^2\setminus\{x,\ \|x\|=1\}$. - Déterminer les points connectes de $\R^2\setminus\underset{i\in\Z^2}{\cup}\mc{B}_o\left(i, \eps\right)$ ou $\eps\in\R^{+*}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 210] On considére $f:A\in\M_n(\R)\mapsto\underset{\lambda\in\mathrm{Sp}(A)}{ \sup}\left|\lambda\right|$, ou le spectre est pris sur $\C$. L'application $f$ est-elle lipschitzienne? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 211] On pose $a_1\geq 0$ puis $a_{n+1}=10^n{a_n}^{n^2}$ pour tout $n\in\N^*$. à quelle condition sur $a_1$ la suite $\left(a_n\right)$ tend-elle vers $0$? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 212] On pose, pour $n\in\N$, $f\left(n\right)=\sum_{k=0}^n\frac{n^k}{k!}$. Donner un équivalent de $f\left(n\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 213] Étudier les suites $u$ et $v$ telles que $u_0=v_0=0$ et $u_1=v_1=1$ et, pour tout $n\geq 1$, $\left\{\begin{array}{lll}u_{n+1}&=&au_n+bv_n+cu_{n-1}+dv_{n-1}\\ v_{n+1}&=&a'u_n+b'v_n+c'u_{n-1}+d'v_{n-1} \end{array}$. avec toutes les constantes réelles. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 214] Pour $a\in\R$, soit $\left(u_n\right)$ définie par $u_0\in\left[0,1\right]$ et $\forall n,x_{n+1}=ax_n(1-x_n)$. - Pour quelles valeurs de $a$ a-t-on $\forall n,u_n\in\left[0,1\right]$? Que peut-on dire alors de la suite $\left(x_n\right)$? @@ -2825,21 +2609,18 @@ Pour $a\in\R$, soit $\left(u_n\right)$ définie par $u_0\in\left[0,1\right]$ et - On suppose que $a\in\left[2,3\right]$ et que $\left(x_n\right)$ converge. Quelle est la limite de $\left(x_n\right)$? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 215] Soit $\left(p_{i,j}\right)_{(i,j)\in\N^2}$ une famille de réels positifs ou nuls telle que $p_{i,j}=0$ si $j\gt i$. On suppose que $\forall n\in\N,\ \sum_{j=0}^np_{n,j}=1$. Montrer l'équivalence des deux assertions suivantes : - pour chaque $j\in\N$, la suite $\left(p_{n,j}\right)_{n\in\N}$ tend vers $0$, - pour toute suite convergente $\left(s_n\right)_{n\geq 0}$ de limite $S$, on a $\underset{n\ra\i}{\lim}\sum_{j=0}^np_{n,j}s_j=S$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 216] Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $f(0)=0$ et $f'(0)\neq 0$. Soit $\left(u_n\right)_{n\in\N}$ une suite réelle vérifiant $u_0\neq u_1$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=u_n-\frac{u_n-u_{n-1}}{f(u_n)-f(u_{n-1})}f(u_n)$. - Montrer que, si $u_0$ et $u_1$ sont assez petits, alors $\underset{n\ra+\i}{\lim}\ u_n=0$. - Sous les hypotheses de -, déterminer un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 217] Pour $c\in\C$, on définit la suite $\left(z_n\right)$ par $z_0=0$ et $z_{n+1}=z_n^2+c$ pour tout $n\in\N$. On pose $\M=\left\{c\in\C,\ (z_n)\text{ est bornée}\right\}$. - Montrer que, si $\left|c\right|\leq 1/4$, alors $c\in\M$. @@ -2847,76 +2628,62 @@ Pour $c\in\C$, on définit la suite $\left(z_n\right)$ par $z_0=0$ et $z_{n+1}=z - Discuter de l'ensemble $\M\cap\R$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 218] Soient $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ et $\left(b_n\right)_{n\geq 0}$ deux suites réelles. Soit $S\in\R$. On suppose que : (i) $\forall n\in\N,\ b_n\gt 0$ ; (ii) la série $\sum b_n$ diverge ; (iii) $\underset{n\ra\i}{\lim}\frac{a_n}{b_n}=S$.Montrer que $\lim_{n\ra\i}\frac{a_0+\cdots+a_n}{b_0+\cdots+b_n}=S$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 219] Soit $(x_n)_{n\in\N}$ une suite de réels positifs telle que $\sum_{n=0}^{+\i}x_n=A$. Quelles sont les valeurs que peut prendre $\sum_{n=0}^{+\i}x_n^2$? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 220] Soit $g:[0,+\i[\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $g(0)=g'(0)=0$ et $g''(0)\gt 0$. Pour $\lambda\gt 0$, on pose $A_{\lambda}=\{x\gt 0,\ g(x)=\lambda x\}$. Montrer qu'il existe $\mu\gt 0$ tel que $\forall\lambda\in]0,\mu]$, $A_{\lambda}\neq\emptyset$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 221] Soient $f:[0,1]\ra\R$ continue par morceaux et $g:[0,1]\ra\R$ continue. On suppose que $f+g$ est croissante. Montrer que $f([0,1])$ est un intervalle. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 222] Trouver toutes les fonctions $f\in\mc C^2(\R,\R)$ telles que : $\forall t\in\R,\ f(t)^2=f\left(t\sqrt{2}\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 223] Soient $f,g:[0,1]\ra[0,1]$ continues. On suppose $f\circ g=g\circ f$ et $g$ croissante. Montrer que $f$ et $g$ admettent un point fixe commun. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 224] Déterminer les fonctions $f$ de classe $\mc C^1$ sur $[-1,1]$ telles que : $\forall(x,y)\in[-1,1]^2,\ f(x)-f(y)\geq f(x)^2(x-y)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 225] Déterminer les fonctions $f\in\mc C^2\left(\R,\R\right)$ telles que $\forall x\in\R$, $f\left(7x+1\right)=49f\left(x\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 226] Soit $f:t\mapsto\sum_{k=1}^Na_k\sin(2\pi kt)$ ou les $a_k$ sont des nombres réels avec $a_N\neq 0$. On note $N_j$ le nombre de racines comptées avec multiplicité (notion qu'on admettra) de $f^{(j)}$ sur $[0,1]$. Montrer que $(N_j)_{j\geq 0}$ est une suite croissante qui tend vers $2N$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 227] Soit $V=\{f\in\mc C^1(\left[\,0\,;1\,\right],\R)\ ;\ f(0)=0$ et $f(1)=1\}$. Trouver tous les réels $\alpha$ tels que : $\forall f\in V,\ \exists x\in\left[\,0,1\,\right],\ f(x)+\alpha=f'(x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 228] Soit $g\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\lim_{t\ra+\i}g(t)=0$ et $f$ telle que $f'(t)-f(t)=g(t)$. On pose $a=f(0)$. Montrer qu'il existe une unique valeur $a$ pour laquelle $\lim_{t\ra+\i}f(t)=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 229] Soit $f\in\mc C^1(\R^+,\R)$ ne prenant pas les valeurs $0$ et $1$. On suppose que $\forall x\geq 0,f'(x)=\frac{1}{f(x)}+\frac{1}{f(x)-1}$. Déterminer la limite de $f$ en $+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 230] Soit $f\colon\R\ra\R$ $1$-lipschitzienne, $\lambda\in\left]0,1\right[$ et $a\in\R$. Montrer qu'il existe une unique application $F\colon\R\ra\R$ lipschitzienne telle que $\forall x\in\R,F(x)=f(x)+\lambda F(x+a)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 231] Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$. On pose $f_a:x\mapsto f(x+a)$ et $F_f=\mathrm{Vect}(f_a)_{a\in\R}$. - Trouver $f$ telle que $F_f$ est de dimension finie. Preciser la dimension. - Montrter que, si $F_f$ est de dimension finie, alors $F_{f'}$ est aussi de dimension finie. @@ -2937,7 +2704,6 @@ On dit que $(x_n)$ converge au sens de Cesaro vers $\ell$ lorsque $\dfrac{x_1+\c Déterminer toutes les fonctions $f\colon\R\ra\R$ qui vérifient la propriété suivante: pour toute suite réelle $(x_n)$, si la suite $(x_n)$ converge au sens de Cesaro vers $\ell$, alors la suite $(f(x_n))$ converge au sens de Cesaro vers $f(\ell)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 234] Soit $g$ une fonction $\mc C^2$ de $\R^+$ dans $\R$ telle que $g(0)=g'(0)=0$ et $g''(0)\gt 0$. On pose, pour $\lambda$ dans $\R^{+*}$, $A(\lambda)=\{x\gt 0,\ g(x)=\lambda x\}$. - Montrez qu'il existe $\lambda_0\gt 0$ tel que, pour tout $\lambda$ dans $]\,0\,;\lambda_0\,[$, $A(\lambda)\neq\emptyset$. @@ -2947,7 +2713,6 @@ Soit $g$ une fonction $\mc C^2$ de $\R^+$ dans $\R$ telle que $g(0)=g'(0)=0$ et - Montrer que cette fonction $h$ est continue au voisinage de $0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 235] Soit $M\in\mc C^1\left(\R,\M_n(\C)\right)$. On suppose que, pour tout $t$, $M(t)$ est inversible. L'objectif est de montrer que $\dfrac{d}{dt}\left(\det\left(M\left(t\right)\right) \right)=\det\left(M\left(t\right)\right)\mathrm{tr}\left(M\left(t\right)^{-1} \dfrac{d}{dt}\left(M\left(t\right)\right)\right)$. - Le montrer si $M$ est diagonale. @@ -2956,7 +2721,6 @@ Soit $M\in\mc C^1\left(\R,\M_n(\C)\right)$. On suppose que, pour tout $t$, $M(t) - Traiter le cas general. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 236] Soit $f\in\mc C^{\i}\left(\R,\R\right)$. On pose $f_a:x\mapsto f\left(a+x\right)$ et $F_f=\mathrm{Vect}\left(f_a,a\in\R\right)$. - Si $F_f$ est de dimension finie, montrer que $F_{f'}$ l'est aussi. @@ -2964,51 +2728,42 @@ Soit $f\in\mc C^{\i}\left(\R,\R\right)$. On pose $f_a:x\mapsto f\left(a+x\right) - Réciproquement, montrer que si $\dim\left(F_f\right)=1$, alors $f=\exp$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 237] On suppose $e=\dfrac{p}{q}\in\Q$. Montrer que $q\int_0^1x^ne^x\dx\in\N^*$. Conclure. Adapter la preuve précédente pour prouver $e^2\notin\Q$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 238] Soit $f\colon\R\mapsto\R$ une application continue. On suppose que $x\mapsto f(x)+\int_0^xf(t)dt$ tend vers le réel $\ell$ en $+\i$. Montrer que $f$ possède une limite en $+\i$ que l'on déterminera. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 239] Soit $f:[0,1]\ra\R^+$ et intégrable telle que, pour tout $x\in[0,1]$, $f\left(x\right)f\left(1-x\right)=1$. Montrer que $\int_0^1f\geq 1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 240] Soit $f\in\mc C^1(\left[\,0\,;1\,\right],\R)$ telle que $\int_0^1f(t)\dt=0$. Montrer que $\left|\int_0^1f(t)\dt\right|\leq\frac{1}{8}\left\|f^{ '}\right\|_{\i}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 241] Soit $f\colon\R^{+*}\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^1$, à valeurs dans $\R^{+*}$, décroissante et intégrable sur $\R^{+*}$. - On suppose que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Montrer que $\frac{f(x)}{\int_x^{+\i}f(t)\dt}\underset{x\ra+\i}{ \longrightarrow}0$ - On suppose que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}-\i$. Que dire de $\lim_{x\ra+\i}\frac{f(x)}{\int_x^{+\i}f(t)\dt}$? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 242] Soit $(P_n)$ une suite de polynômes de $\R[X]$ telle que $\lim_{n\ra+\i}\sup_{x\in[-1,1]}|P_n(x)-e^x|=0$. Montrer que $\deg(P_n)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 243] Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions définie sur $[0,+\i[$ par $f_0=1$ et $\forall n\in\N$, $f_n(0)=1$ et $f_{n+1}'(x)=e^x\sqrt{f_n(x)}$. Justifier l'existence de $\lim_{n\ra+\i}f_n(x)$ et déterminer sa valeur. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 244] Encadrer et donner un équivalent en $+\i$ de $S:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\frac{x^k}{\sqrt{k!}}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 245] - Montrer que la suite $\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln(n)\right)_{n\in\N^*}$ converge. On note $\gamma$ sa limite. - Montrer que la fonction $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$. @@ -3018,19 +2773,16 @@ Ind. On admet que l'on peut \lt \lt deriver \gt \gt le développement précéd - Montrer que $\Psi$ est croissante et justifier le développement admis precedemment. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 246] Soient $f,g\colon\R\ra\R$ des fonctions continues. On suppose qu'il existe des constantes $C_1,C_2,a,b\in\R^{+*}$ telles que $\forall x\in\R$, $|f(x)|\leq\frac{C_1}{(1+|x|)^a}$ et $|g(x)|\leq\frac{C_2}{(1+|x|)^b}$.Lorsque c'est possible, on pose $f*g(x)=\int_{-\i}^{+\i}f(x-y)\,g(y)\,dy$. - à quelle condition sur $C_1,C_2,a,b$ la fonction $f*g$ est-elle définie sur $\R$? - On suppose maintenant $a$ et $b$ strictement supérieurs à $1$. Montrer qu'il existe $C_3\gt 0$ telle que $\forall x\in\R$, $\ \ |f*g(x)|\leq\dfrac{C_3}{(1+|x|)^{\min(a,b)}}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 247] Soit $(a,b)\in\R^2$. Trouver toutes les fonctions $f\in\mc C^1(\R^2,\R)$ bornées sur $\R^2$ et telles que $f=a\dfrac{\partial f}{\partial x}+b\dfrac{\partial f}{\partial y}$. #+end_exercice - # ID:7992 #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 248] Montrer que la fonction $f\colon P\in\R_n[X]\mapsto f(P) = \int_0^1 \big(P(x) - e^x\big)^2 \dx$ admet un unique point critique. @@ -3060,24 +2812,20 @@ On considère une urne vide qu'on remplit successivement d'une boule blanche (av On dispose d'une urne vide. On ajoute des boules une par une et on s'arrête dès qu'on a ajouté une boule rouge. La probabilité d'ajouter une boule rouge à chaque étape est égale à $\frac{1}{m}$. On mélange ensuite les boules et on les retire une à une jusqu'à retirer la boule rouge. Calculer l'espérance du nombre de boules restantes. #+END_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 254] Soit $n\in\N^*$. Pour $A$ partie de $\db{1,n\rrbracket^2$, on note $M(A)$ la matrice carrée de taille $n$ à coefficients dans $\{0,1\}$ caractérisée par $\forall(i,j),M(A)_{i,j}=1\iff(i,j)\in A$. On considére l'ensemble $P$ des parties de $\llbracket 1,n}^2$ de cardinal $n$ et une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur $P$. Quelle est la probabilité que $M(X)$ soit inversible? #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 255] Soit $(X_n)_{n\in\N^*}$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $n\in\N^*$, soit $M_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt{n}}$. Déterminer $\mathbf{E}\left(M_n^k\right)$ pour $k\in\N$._Ind._ Distinguer selon la parite de $k$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 256] Soient, pour $\lambda\gt 0$, $A_{\lambda}$, $B_{\lambda}$, $C_{\lambda}$, $D_{\lambda}$ quatre variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$. - Calculer $\lim\limits_{\lambda\ra+\i}\mathbf{P}\left(A_{\lambda}X^2+B_{ \lambda}X+C_{\lambda}\ \mathbf{n}\text{'a que des racines réelles}\right)$. - Même question pour $A_{\lambda}X^3+B_{\lambda}X^2+C_{\lambda}X+D_{\lambda}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 257] Soit $n\in\N^*$. On munit l'ensemble $S_n$ des permutations de $\{1,2,\ldots,n\}$ de la probabilité uniforme. Soit $k\in\{1,\ldots,n\}$. Pour $\sigma\in S_n$, on note @@ -3086,42 +2834,36 @@ Soit $n\in\N^*$. On munit l'ensemble $S_n$ des permutations de $\{1,2,\ldots,n\} l'ensemble des sous-suites croissantes de longueur $k$ de la permutation $\sigma$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 258] Soient $\lambda\in\left[0,1\right]$, $\left(X_{k,n}\right)_{\genfrac{}{}{0.0pt}{}{1\leq k\leq n}{n\geq 1}}$ des variables aléatoires mutuellement indépendantes, ou $X_{k,n}$ suit la loi $\mc{B}\left(\lambda/n\right)$. On pose $X_n=X_{1,n}+\cdots+X_{n,n}$. Soit $t\in\R$. Déterminer $\lim\limits_{n\ra+\i}\mathbf{E}(\exp(tX_n))$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 259] On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs réelles est infiniment divisible si, pour tout $n\in\N^*$, il existe des variables aléatoires $X_{1,n},\ldots,X_{n,n}$ indépendantes et de même loi telles que $X\sim X_{1,n}+\cdots+X_{n,n}$. - Donner des exemples de variables aléatoires indéfiniment divisibles. - Soit $X$ une variable aléatoire infiniment divisible non nulle telle que $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^2)\lt +\i$. Montrer que, pour tout $A\gt 0,\ \mathbf{P}(X\gt A)\gt 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 260] Pour $x\in\R$, on pose $\gamma(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}e^{-x^2/2}$. Soit $(X_n)_{n\in\N^*}$ des variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $n\in\N^*$, on pose $M_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}{\sqrt{n}}$. Montrer que pour tout polynôme $P\in\R[X]$, on a $\lim\limits_{n\ra\i}\mathbf{E}(P(M_n))=\int_{-\i}^{+\i} \gamma(x)P(x)\dx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 261] On note $D(X)$ le nombre de diviseurs premiers de $X$, ou $X$ suit la loi uniforme sur $\db{1,n}$. - Calculer $\lim\limits_{n\ra+\i}\mathbf{E}(D(X))$. - On admet que $\sum\limits_{p\text{ premier, }p\leq n}\frac{1}{p}\sim\ln(\ln n)$. Montrer $\lim\limits_{n\ra+\i}\mathbf{P}\left(\left|\frac{D(X)}{\ln(\ln n)}-1\right|\geq\eps\right)=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 262] Soient $C\in\text{GL}_q(\R)$ et $N\in\M_q(\R)$ nilpotente. Soit $p\in]0,1[$. On définit $(B_n)_{n\in\N}$ par $B_0=I_n$ et $B_{n+1}=A_nB_n$, ou $\mathbf{P}(A_n=C)=p$ et $\mathbf{P}(A_n=N)=1-p$. Déterminer $\lim\limits_{n\ra+\i}\mathbf{P}(B_n\neq O)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 263] On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. @@ -3130,7 +2872,6 @@ Soient $\theta\in\left]-\pi,\pi\right]$ et $p\in\left]0,1[$. On note $R(\theta)= Soit $(u_n)$ une suite de vecteurs aléatoires de $\R^2$ avec $u_0=(1,0)^T$ et telle que, pour tout $n\in\N$, $\mathbf{P}\left(u_{n+1}=R(\theta)u_n\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(u_{n+1}=Mu_n\right)=1-p$. Déterminer la limite de $(\mathbf{E}(\left\|u_n\right\|)$ pour $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$ puis pour $\theta$ quelconque. #+end_exercice - #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 264] Soit $\theta\in\left[\,0\,;2\pi\,\right]$. Soit $p\in\left]\,0\,;1\right[$. On pose $R=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ et $Q=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}$. @@ -3148,7 +2889,6 @@ Dans toute la suite, on suppose que $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$. #+end_exercice * X - MP :xens: - ** Algèbre # ID:7884 @@ -3177,7 +2917,6 @@ On se donne donc $A=\{a_1\dots,a_n\}$ une partie finie non vide de $\R$, avec $a - C'est la même somme, car les autres termes sont nuls. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [X MP 2024 # 266] - Soit $n\geq 1$, premier avec $10$. Montrer que $n$ possède un multiple dont l'écriture en base $10$ n'a que des $9$. @@ -3194,7 +2933,6 @@ Expliquer. - La période est l'ordre de $10$ modulo $n$. Le résultat #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [X MP 2024 # 267] Pour $r$ un rationnel non nul s'écrivant $r=2^ka/b$ avec $k\in\Z$ et $a,b$ deux entiers impairs, on définit la valuation dyadique de $r$ par $v_2(r)=k$. @@ -3208,7 +2946,6 @@ On note enfin, pour tout $n\in\N^*$, $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$. - La question - peut-elle s'adapter à la valuation 3-adique? #+end_exercice - # ID:7734 #+begin_exercice [X MP 2024 # 268] Quels sont les $m$ de $\N^*$ tels qu'il existe $m$ éléments consécutifs de $\N^*$ divisibles par des cubes d'éléments de $\N^*\setminus\{1\}$? @@ -3217,7 +2954,6 @@ Quels sont les $m$ de $\N^*$ tels qu'il existe $m$ éléments consécutifs de $\ C'est simple : marche pour n'importe quel $m$, d'après le lemme Chinois. #+END_proof - # ID:7885 #+begin_exercice [X MP 2024 # 269] Montrer que tout $n\in\Z$ s'écrit sous la forme $\sum_{k=0}^N\eps_k(-2)^k$ avec $N\geq 0$ et les $\eps_k$ dans $\{0,1\}$. @@ -3226,7 +2962,6 @@ Montrer que tout $n\in\Z$ s'écrit sous la forme $\sum_{k=0}^N\eps_k(-2)^k$ avec Par récurrence, puis si $4\mid n$ on est bon, si $n\equiv 1 [4]$, on met un $1$, si $n\equiv 2 [4]$, on met un $-2$, si $n\equiv 3[4]$, on met $-2 + 1$. #+END_proof - # ID:7886 #+begin_exercice [X MP 2024 # 270] Soit $n\in\N^*$. On note $\mc{F}$ l'ensemble des entiers naturels qui ne sont pas divisibles par le carré d'un entier supérieur ou egal à $2$, et $q(n)=|\mc{F}\cap\db{1,n}|$. @@ -3250,7 +2985,6 @@ On note $\mc{E}(n,k)=\R^{+*}\cap\left\{\sum_{i=1}^k\sqrt{a_i}-\sum_{i= 1}^k\sqrt (On regarde un sous-ensemble de l'ensemble des $\sum_{i=1}^k a_i$ possibles : juste ceux qui sont sommes d'éléments de $\mc F$) #+END_proof - # ID:7887 #+begin_exercice [X MP 2024 # 271] Soit $p$ un nombre premier congru à $3$ modulo $4$. On note $L$ l'ensemble des carres de $\mathbb{F}_p^*$. @@ -3264,7 +2998,6 @@ Soit $p$ un nombre premier congru à $3$ modulo $4$. On note $L$ l'ensemble des - Le cardinal est le même pour $x$ que pour $-x$, et également pour $x$ et $c^2 x$. #+END_proof - # ID:7888 #+begin_exercice [X MP 2024 # 272] Soit $p$ un nombre premier impair. @@ -3311,7 +3044,6 @@ Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*)\colon x^2-dy^2=1$ d' - Conclure que $(*)$ possède des solutions non triviales. #+end_exercice - # ID:8094 #+begin_exercice [X MP 2024 # 276] - Soit $\mathbb{F}$ un corps fini. On admet que le groupe multiplicatif $\mathbb{F}^{\times}$ est cyclique. @@ -3340,7 +3072,6 @@ Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*)\colon x^2-dy^2=1$ d' Si $d$ est un multiple de trois, ou $c$ est un multiple de $3$, on est bon. Sinon, on peut écrire $4p = (c+d)^2 + 3 (c-d)^2$. Comme $c\not\equiv -d$, on a $3\mid c- d$. #+END_proof - # ID:8010 #+begin_exercice [X MP 2024 # 277] Pour $p$ premier impair, on note $\chi\colon\mathbb{F}_p\ra\{1,-1,0\}$ la fonction définie par $\chi(0)=0$, $\chi(x)=1$ pour tout élément $x$ de $\mathbb{F}_p^{\times}$ qui est un carre, et $\chi(x)=-1$ dans toute autre situation. @@ -3356,7 +3087,6 @@ Pour $t\in\N$, on pose $g_p(t)=\sum_{x\in\mathbb{F}_p}\chi(tx)e^{\frac{2i\pi x}{ La somme intérieure peut être majorée par du $\frac{p}{x}$, que l'on somme sur $x$ en $p\ln p$. #+END_proof - # ID:7891 #+begin_exercice [X MP 2024 # 278] Soit $G$ un groupe fini de cardinal $2n$ ou $n$ est impair. @@ -3371,7 +3101,6 @@ Soit $G$ un groupe fini de cardinal $2n$ ou $n$ est impair. - Considérer le noyau de $\eps \circ \Phi$. #+END_proof - # ID:nil # Cf un précédent #+begin_exercice [X MP 2024 # 279] Soit $p$ un nombre premier. On dit qu'un groupe $G$ est un $p$-groupe si, pour tout $g\in G$, l'ordre de $g$ est une puissance de $p$. Si $k\in\N^*$, on dit que $G$ est $k$-divisible si, pour tout $g\in G$, il existe $x\in G$ tel que $x^k=g$. @@ -3380,7 +3109,6 @@ Soit $p$ un nombre premier. On dit qu'un groupe $G$ est un $p$-groupe si, pour t - Montrer que $G$ est alors $k$-divisible pour tout $k$. #+end_exercice - # ID:7894 #+begin_exercice [X MP 2024 # 280] Soit $G$ un groupe d'ordre $n\geq 1$. Pour $g_1$,..., $g_k\in G$, on note $E(g_1,\ldots,g_k)=\{g_{i_1}\cdots g_{i_s}\;;\;s\in\N,\;\;1 \leq i_1\lt \cdots\lt i_s\leq k\}$ (avec la convention que l'élément neutre est le produit vide donc appartient à cet ensemble). @@ -3403,7 +3131,6 @@ Soit $G$ un groupe d'ordre $n\geq 1$. Pour $g_1$,..., $g_k\in G$, on note $E(g_1 Le $2$ du $2n\ln n$ revient à un $+1$. #+END_proof - # ID:8060 #+begin_exercice [X MP 2024 # 281] On note $\mc{S}(\C)$ le groupe des permutations de $\C$. Soit $G$ un sous-groupe cyclique de $\mc{S}(\C)$ d'ordre $2^n$, ou $n\geq 2$, contenant la conjugaison complexe. @@ -3422,7 +3149,6 @@ On note $\mc{S}(\C)$ le groupe des permutations de $\C$. Soit $G$ un sous-groupe successivement, on finit par tomber sur la conjugaison, impossible. #+END_proof - # ID:7990 #+begin_exercice [X MP 2024 # 282] Soit $\mc{A}$ une $\C$-algèbre. On suppose que $\mc{A}$ est munie d'une norme $N$ vérifiant : $\forall a,b\in\mc{A},\,N(ab)=N(a)N(b)$. @@ -3442,14 +3168,12 @@ Soit $\mc{A}$ une $\C$-algèbre. On suppose que $\mc{A}$ est munie d'une norme $ - $N(a-5) = 2$ contredit l'I.T. #+END_proof - # ID:8061 #+begin_exercice [X MP 2024 # 283] - Soit $f$ l'application qui à $z\in\mathbb{U}\setminus\{i\}$ associe le point d'intersection de $\R$ et de la droite passant par $z$ et $i$. Montrer que $f(z)\in\Q\Leftrightarrow z\in\Q(i)$. - Montrer qu'il existe une infinite de triplets non proportionnels $(a,b,c)\in\Z^3$ tels que $a^2+b^2=c^2$. #+end_exercice - # ID:7895 #+begin_exercice [X MP 2024 # 284] On appelle nombre de coefficients positifs du polynôme $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ de degré $n\geq 1$ le cardinal de l'ensemble $\{i\in\db{0,n},\;a_i\geq 0\}$. @@ -3461,7 +3185,6 @@ On appelle nombre de coefficients positifs du polynôme $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in - On se débrouille pour que les seuls coefficients $\geq 0$ soient $X^{2n}$, $X^0$ et $X^n$ : prendre $a_{n-1}\lt 0$, $a_{n-2}$ assez négatif, puis $a_{n-3}$ assez négatif, etc, jusqu'à $a_0$, qu'on prend immense positif, et qui suffit à garantir que les autres coefficients sont $\lt 0$. #+END_proof - # ID:7896 #+begin_exercice [X MP 2024 # 285] Soient $n\in\N$, $P\in\Z[X]$ de degré majore par $n$, $\Delta$ le pgcd de $P(0),P(1),\ldots,P(n)$. Montrer que, pour tout $k\in\Z$, $\Delta$ divise $P(k)$. @@ -3470,7 +3193,6 @@ Soient $n\in\N$, $P\in\Z[X]$ de degré majore par $n$, $\Delta$ le pgcd de $P(0) Revient à montrer que les polynômes de Lagrange sont à valeurs entières, car ce sont des coefficients binomiaux. #+END_proof - # ID:8069 #+begin_exercice [X MP 2024 # 286] Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n\geq 2$ dont on note $z_0,\ldots,z_{n-1}$ les racines. On note $t_1,\ldots,t_{n-1}$ les racines complexes de $P'$ et l'on suppose que : $\forall k\in\db{0,n-1},|z_k|\leq 1$. @@ -3495,7 +3217,6 @@ Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n\geq 2$ dont on note $z_0,\ldots - C'est vrai indépendamment de l'expression de $P$. Manque une fin. #+END_proof - #+call: get_exo(7993) #+begin_exercice [X MP 2024 # 287] Pour $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\in\C[X]$, on pose $\lN P\rN = \left(\sum_{i=0}^n |a_i|^2\right)^{1/2}$. @@ -3511,10 +3232,9 @@ Pour $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\in\C[X]$, on pose $\lN P\rN = \left(\sum De même, ${n-1 \choose k} = {n-1\choose n-1-k}$ : produits où on a choisit au moins la plus grande racine. #+END_proof - # ID:7897 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 288] - - Soient $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_nX^n\in\C[X]$ de degré $n\geq 1$. On pose $r = \min \{|z|,\, z\in\C,\, P(z) = 0\}$, et on suppose $r\gt 0$. Si $a_k\neq 0$, montrer que $r^k\leq {~n~\choose k}\frac{|a_0|}{|a_k|}$. + - Soient $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_nX^n\in\C[X]$ de degré $n\geq 1$. On pose $r = \min \{|z|,\, z\in\C,\, P(z) = 0\}$, et on suppose $r\gt 0$. Si $a_k\neq 0$, montrer que $r^k\leq {n\choose k}\frac{|a_0|}{|a_k|}$. - Soit $A_n = \{P\in\C[X]\mid \deg P = n,\, P(-1) = P(1) = 0\}$. Montrer que $\sup_{P\in A_n}\{\min \{|z|,\, P'(z) = 0\}\}\lt +\i$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -3522,8 +3242,6 @@ Pour $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\in\C[X]$, on pose $\lN P\rN = \left(\sum - Il s'agit de montrer qu'au moins un des coefficients de $P'$ n'est pas minus par rapport à $a_1$. #+END_proof - - # ID:8075 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 289] Soient $\om,q\in\C^*$ tels que $\om^2$ n'est pas une puissance entière de $q$. On considère l'équation $(*)\colon \om f(z) g(qz) = \om^2 f(qz) g(z) + P(z)$, d'inconnues $(P,f,g)\in\C[X]^3$, avec $g,P$ unitaires. @@ -3537,7 +3255,6 @@ Soient $\om,q\in\C^*$ tels que $\om^2$ n'est pas une puissance entière de $q$. - L'unicité est clair, par linéarité. #+END_proof - # ID:7898 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 290] Soit $\theta\in\C$ un nombre algébrique. @@ -3553,7 +3270,6 @@ Soit $\theta\in\C$ un nombre algébrique. - #+END_proof - # ID:7899 #+begin_exercice [X MP 2024 # 291] Soit $M\in\M_n(\R)$. @@ -3565,7 +3281,6 @@ Soit $M\in\M_n(\R)$. - $n$ suffit toujours : les $n$ diagonaux. #+END_proof - # ID:8095 #+begin_exercice [X MP 2024 # 292] Soient $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, et $a,b\in\mc{L}(V)$. Pour $u,v\in\mc{L}(V)$, on pose $[u,v]=uv-vu$. On suppose que $a$ est nilpotent et que $[a,[a,b]]=0$. Montrer que $[a,b]$ et $ab$ sont nilpotents. @@ -3582,7 +3297,6 @@ Considérons $F_2 = \Ker a^2$. Il est stable par $X$. Qu'advient-il sous l'actio Par ailleurs, dans le quotient $F_2/F_1$, on a $ba$ qui est nul, donc $ab$ est nilpotent. #+END_proof - # ID:7996 #+begin_exercice [X MP 2024 # 293] Soit $V_0,\ldots,V_n$ des espaces vectoriels, $(v_0^+,\ldots,v_{n-1}^+)\in\mc{L}(V_0,V_1)\times\cdots\times \mc{L}(V_{n-1},V_n)$ et $(v_1^-,\ldots,v_n^-)\in\mc{L}(V_1,V_0)\times\cdots\times \mc{L}(V_n,V_{n-1})$. On suppose que $v_{i-1}^+\circ v_i^-=-v_{i+1}^-\circ v_i^+$ pour tout $i\in\db{1,n-1}$, et que $v_{n-1}^+\circ v_n^-=0$. Montrer que l'endomorphisme $v_1^-\circ v_0^+$ de $V_0$ est nilpotent. Déterminer l'indice de nilpotence maximal possible de $v_1^-\circ v_0^+$. @@ -3593,7 +3307,6 @@ Par récurrence sur $n$, on a $v_1^{-} v_0^+ \circ v_1^{-} v_0^+ \circ \dots \ci On donne un exemple où c'est atteint prendre $\{c_1,c_2,c3\}\ra \{b_1,b_2\}\ra \{a_1\} \ra \{0\}$, où $c_i$ est envoyé sur $b_i$ ou $0$ pour le dernier $c_i$, et $b_i$ est envoyé sur $c_{i+1}$. #+END_proof - # ID:nil # Classique #+begin_exercice [X MP 2024 # 294] Pour tout $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\R)$ la matrice de permutation associée et, pour tout $k$, $n_k(\sigma)$ le nombre de cycles de longueur $k$ dans la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints. @@ -3601,7 +3314,6 @@ Pour tout $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\R)$ la matrice de per - En déduire que deux permutations $\sigma$, $\tau\in\mc{S}_n$ sont conjuguées dans $\mc{S}_n$ si et seulement si les matrices $P_{\sigma}$ et $P_{\tau}$ sont semblables. #+end_exercice - # ID:7900 #+begin_exercice [X MP 2024 # 295] Soient $V=\C^n$ et $T=(\C^*)^n$. Pour tout $v\in V$ et toute partie $H\subset V$, on note $H\cdot v=\{(h_1v_1,\ldots,h_nv_n),\ h\in H\}$. @@ -3615,7 +3327,6 @@ Soient $V=\C^n$ et $T=(\C^*)^n$. Pour tout $v\in V$ et toute partie $H\subset V$ - On trouve $n!$. #+END_proof - # ID: nil # Manque la fin. #+begin_exercice [X MP 2024 # 296] Soient $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie non nulle et $\phi$ un morphisme de groupes de $\mathbb{U}$ dans $\op{GL}(V)$ tel que $\{0\}$ et $V$ soient les seuls sous-espaces vectoriels de $V$ stables par tous les $\phi(g)$ pour $g\in\mathbb{U}$. @@ -3623,7 +3334,6 @@ Soient $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie non nulle et $\phi$ un mo - On suppose $f\colon\theta\in\R\mapsto\phi(e^{i\theta})$ dérivable en $0$. Déterminer $\phi$. #+end_exercice - # ID:7901 #+begin_exercice [X MP 2024 # 297] Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\C)$. On dit que $(V,A,B)$ est une realisation de $M$ si : @@ -3642,7 +3352,6 @@ On dit que $d$ est la dimension de la réalisation. - Il s'agit de montrer que $M_0$ n'est pas réalisable dans $\R^2$. Si c'était le cas, on aurait une bijection entre l'espace et $\R^2$ via la donnée des deux formes linéaires. #+END_proof - # ID:7902 #+begin_exercice Formule de Glauber [X MP 2024 # 298] Soient $A,B\in\M_n(\R)$ commutant à $AB-BA$. @@ -3658,7 +3367,6 @@ Soient $A,B\in\M_n(\R)$ commutant à $AB-BA$. Ensuite poser $V = e^{-t^2/2 [A,B]} U(t)$. #+END_proof - # ID:7903 #+begin_exercice [X MP 2024 # 299] Soient $A,B,M\in\M_n(\R)$ telles que $\chi_A=\chi_B$ et $AM=MB$. @@ -3674,7 +3382,6 @@ Soient $A,B,M\in\M_n(\R)$ telles que $\chi_A=\chi_B$ et $AM=MB$. - Conséquence directe de la question précédente. #+END_proof - # ID:7904 #+begin_exercice [X MP 2024 # 300] La matrice $\left(\begin{array}{cc}1&2024\\ 0&1\end{array}\right)$ peut-elle s'écrire $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1}$ avec $A\in\M_2(\R)$? @@ -3692,7 +3399,6 @@ Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. Soient $a,b\in\mc{L}(E)$. - Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables. #+end_exercice - # ID:8122 #+begin_exercice [X MP 2024 # 302] Soit $\mc{A}$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$ stable par crochet de Lie : pour $M,N\in\mc{A}$, $[M,N]=MN-NM\in\mc{A}$. @@ -3712,7 +3418,6 @@ Soit $\mc{A}$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$ stable par crochet de Lie : On considère $\op{ad}_U$. Sa matrice est de la forme $\begin{pmatrix}0 & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix}$. Le bloc carré du bas doit être nilpotent, donc il existe $V$ tel que $\op{ad}_U(V) = \la U$. Alors $\op{ad}_U(W)\subset \vect(U, V)$, sinon, non nilpotent, et de même pour $\op{ad}_V(W)$, car sinon, non nilpotent ! Alors $[\mc A,\mc A]\subset \vect (U,V)$. #+END_proof - # ID:7907 #+begin_exercice [X MP 2024 # 303] Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Un drapeau de $E$ est une famille de sous-espaces $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ telle que $F_0\subsetneq F_1\subsetneq\cdots\subsetneq F_n$. @@ -3733,7 +3438,6 @@ Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Un drapeau de $E$ est une famille - #+END_proof - # ID:7997 #+begin_exercice [X MP 2024 # 304] On considére un groupe fini $G$ et un $\C$-espace vectoriel $V$ de dimension finie. Soit $\rho$ un morphisme injectif de $G$ dans $\mathrm{GL}(V)$. @@ -3760,7 +3464,6 @@ On considére un groupe fini $G$ et un $\C$-espace vectoriel $V$ de dimension fi Comme l'autre trois cycle est $\sigma^{-1} = \tau \sigma \tau$, l'espace propre $E_1$ est stable par $\tau$, et $\tau$ envoie $E_{j}$ sur $E_{\ol{j}}$. Pour chaque $f\in E_j$, prendre $\vect f, \tau f$, qui est stable. #+END_proof - # ID:7908 #+begin_exercice [X MP 2024 # 305] Soit $d\geq 2$. On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $\delta_1,\delta_2\gt 0$ avec $\delta_1\neq\delta_2$. Soient $x_1,\ldots,x_n\in\R^d$. On suppose que $\forall i\neq j$, $\|x_i-x_j\|\in\{\delta_1,\delta_2\}$. Montrer que $n\leq\dfrac{(d+1)(d+4)}{2}$. @@ -3775,7 +3478,6 @@ Les $f_i$ appartiennent à un espace, de dimension : les constantes, les $\lN y\ On trouve comme dimension $1 + 1 + n + n + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+4)(n+1)}{2}$. #+END_proof - # Relier à 3092 # ID:7909 #+begin_exercice [X MP 2024 # 306] @@ -3802,7 +3504,6 @@ Pour $n\in\N^*$, soit $H_n=\big{\{}M\in\M_n(\{-1,1\}) \, \mid \, M^TM=nI_n\big{\ Plus généralement, si on prend deux colonnes $i,j$, on obtient, à deux termes près, $\sum_{a\in\Z/p\Z} \chi (a)\chi(a + (j-i))$. On a $\chi(a) = a^{\frac{p-1}{2}}$, et on peut développer $(a+k)^{\frac{p-1}{2}}$ avec le binôme, sachant que $\sum_{a\in\Z/p\Z} a^k = 0$, pour tout $k$. #+END_proof - # ID:8076 #+begin_exercice [X MP 2024 # 307] On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u\in\R^3$ unitaire. @@ -3824,7 +3525,6 @@ Soient $\sigma_u\colon x\mapsto x-2\left\langle x,u\right\rangle u$ et $\Omega_u Réciproquement, $f$ est de la forme $f(x) = \langle x, v\rangle w$. Il faut que $v\in \Om_u$, et que $v$ soit dans la frontière aussi. Dans ce cas, on est probablement extrémal. #+END_proof - # ID:nil # bof #+begin_exercice [X MP 2024 # 308] On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $(v_1,\ldots,v_n)\in\R^n\setminus\{0\}$ et $r=\mathrm{rg}(v_1,\ldots,v_n)$. On cherche à quelle condition il existe une base orthonormée $(f_1,\ldots,f_n)$ de $\R^n$ et un projecteur orthogonal $p$ tels que $\colon\forall i\in\db{1,n}$, $p(f_i)=v_i$. @@ -3832,7 +3532,6 @@ On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $(v_1,\ldots,v_n)\ - On suppose dans cette question que $n=2$ et $r=1$. Donner une condition nécessaire et suffisante dans ce cas. #+end_exercice - # ID:7910 #+begin_exercice [X MP 2024 # 309] Combien y a-t-il de matrices orthogonales de taille $n\in\N^*$ à coefficients dans $\Z$? @@ -3841,7 +3540,6 @@ Combien y a-t-il de matrices orthogonales de taille $n\in\N^*$ à coefficients d De norme $1$, donc $n!$. #+END_proof - # ID:nil # Chiant #+begin_exercice [X MP 2024 # 310] Un produit scalaire hermitien $\Phi$ sur le $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\Phi:E\times E\ra\C$ telle que : $\forall y\in E$, $x\mapsto\Phi(x,y)$ est linéaire ; $\forall(x,y)\in E^2$, $\Phi(y,x)=\overline{\Phi(x,y)}$ ; $\forall x\in E\setminus\{0\}$, $\Phi(x,x)\gt 0$. On note alors $\|x\|=\sqrt{\Phi(x,x)}$ pour $x\in E$. @@ -3849,7 +3547,6 @@ Un produit scalaire hermitien $\Phi$ sur le $\C$-espace vectoriel $E$ est une ap - On munit l'espace $\ell^2(\N,\C)$ des suites complexes $(u_n)_{n\geq 0}$ de carré sommable du produit scalaire défini par : $\langle u,v\rangle=\sum_{n=0}^{+\i}u_n\overline{v_n}$. Soit $T$ l'endomorphisme de $\ell^2(\N,\C)$ qui à $(u_n)_{n\geq 0}$ associe la suite $(u_{n+1})_{n\geq 0}$. Déterminer $\left\{\langle Tu,u\rangle\ ;\ u\in\ell^2(\N,\C),\ \|u\|^2=1\right\}$. #+end_exercice - # ID:7911 #+begin_exercice [X MP 2024 # 311] Soient $n\in\N^*$, $a_1\leq\cdots\leq a_n$ et $b_1\leq\cdots\leq b_n$ des nombres réels, $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n(\R)$ telles que $\chi_A=\prod_{k=1}^n(X-a_k)$ et $\chi_B=\prod_{k=1}^n(X-b_k)$. Montrer que $\op{tr}(AB)\leq\sum_{k=1}^na_kb_k$. @@ -3858,7 +3555,6 @@ Soient $n\in\N^*$, $a_1\leq\cdots\leq a_n$ et $b_1\leq\cdots\leq b_n$ des nombre Ajouter $I_n$ à l'une et l'autre des matrices, puis codiagonaliser. #+END_proof - # ID:7912 #+begin_exercice [X MP 2024 # 312] On munit l'espace $E=\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint de $E$. On note $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$ les valeurs propres de $u$. Soit $(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\ \langle u(e_i),e_i\rangle=\lambda_i$. @@ -3869,7 +3565,6 @@ Montrer que $(e_1,...,e_n)$ est une base de vecteurs propres de $u$. On a une matrice symétrique dont la diagonale est égale aux valeurs propres. En regardant la plus grand v.p, qui vaut $\langle A E_i, E_i\rangle$, on obtient que la $i$-ème colonne doit être $E_i$, etc. #+END_proof - ** Analyse # ID:7735 @@ -3877,7 +3572,6 @@ On a une matrice symétrique dont la diagonale est égale aux valeurs propres. E Soit $E$ un espace vectoriel normé. Que dire d'une partie $A$ de $E$ à la fois ouverte et fermée ? #+end_exercice - # ID:7744 #+begin_exercice [X MP 2024 # 314] Trouver une partie $A$ de $\R$ telle que $A$, $A^{\circ}$, $\overline{A}$, $\stackrel{{\circ}}{\ol{A}}$ et $\ol{\stackrel{\circ}{A}}$ soient toutes distinctes. @@ -3888,7 +3582,6 @@ Partir de $\{\frac{1}{k},\,k\in\N^*\}$. Ajouter un petit intervalle fermé autou Puis ajouter tous les rationnels de $[-1, 0]$. #+END_proof - # ID:7745 #+begin_exercice [X MP 2024 # 315] Soit $N$ une norme sur $\R^d$ (ou $d\geq 1$). @@ -3896,7 +3589,6 @@ Soit $N$ une norme sur $\R^d$ (ou $d\geq 1$). - Soit $C$ une partie non vide de $E$, fermée, bornée, d'intérieur non vide, convexe et symétrique par rapport à $0$. Montrer qu'il existe une norme sur $\R^d$ dont $C$ est la boule unite fermée. #+end_exercice - # ID:6707 #+begin_exercice [X MP 2024 # 316] Soit $f\colon [0,1]\ra\R$. @@ -3908,7 +3600,6 @@ Soit $f\colon [0,1]\ra\R$. - #+END_proof - # ID:nil # Année précédente #+begin_exercice [X MP 2024 # 317] Soient $E$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\{-1,0,1\}$ et $A$ l'ensemble des racines des polynômes non nuls de $E$. @@ -3917,7 +3608,6 @@ Soient $E$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\{-1,0,1\}$ et $A$ l' - Montrer que $\overline{A}=[-2,-1/2]\cup\{0\}\cup[1/2,2]$. #+end_exercice - # ID:7746 #+begin_exercice [X MP 2024 # 318] Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ muni de la norme infinie. @@ -3933,7 +3623,6 @@ Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ muni de la norme infinie. Sinon, clairement non continue. #+END_proof - # ID:7905 #+begin_exercice [X MP 2024 # 319] Existe-t-il une fonction continue $f\colon\C\ra\C$ telle que $f\circ f=\exp$ ? @@ -3946,7 +3635,6 @@ Donc $\exp$ doit être bijective… Impossible. La difficulté est le relèvement : localement il existe un relèvement, et si on prend un chemin sur $\C$, il existe une unique façon de relever $f$ le long de ce chemin. #+END_proof - # ID:8052 #+begin_exercice [X MP 2024 # 320] - Soit $A\in\M_n(\R)$, exprimer la norme subordonnée de $A$ relative à la norme infinie, puis à la norme $1$. @@ -3961,7 +3649,6 @@ La difficulté est le relèvement : localement il existe un relèvement, et si o - On prend une racine de $A A^T$, on a $A A^T = (P D) (PD)^T$, avec $P$ orthogonale, donc $D^{-1}P^TA$ est orthogonale, donc $A = P D Q$. Ce qui ramène la question à gérer une matrice diagonale. #+END_proof - # ID:7747 #+begin_exercice [X MP 2024 # 321] Soit $(u_n)$ une suite réelle majorée telle que $\forall n\in\N^*,\, u_n = \frac{1}{n}\sum_{k=n+1}^{2n} u_k$. Montrer que $(u_n)$ est constante. @@ -3972,7 +3659,6 @@ D'après le CG. Il y a une suite de termes, de plus en plus grand. et une suite Si la suite est positive, alors $G_1 u_{G_1} + G_2 u_{G_2}$ contient une proportion non triviale de $p u_p$, et sont majorés. C'est impossible. #+END_proof - # ID:7668 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 322] On définit la suite $(z_n)$ par $z_0\in\C^*$ et, pour tout $n\in\N$, $z_{n+1} = \frac{1}{2}\left(z_n + \frac{1}{z_n}\right)$. @@ -3988,7 +3674,6 @@ On définit la suite $(z_n)$ par $z_0\in\C^*$ et, pour tout $n\in\N$, $z_{n+1} = Idem si $\Re(z)\lt 0$. Si $\re(z) = 0$, on tombe sur un des cas précédents. #+END_proof - # ID:7669 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 323] - Si $n\in\N^*$, montrer que l'équation $\sum_{k=1}^n x^k = 1$ admet une unique solution dans $\R_+$ que l'on note $a_n$. @@ -4005,8 +3690,6 @@ Si $u_0$ est assez petit, $u_n^{\a} + a_n \lt 1$. Si $u_0\gt 1$, on tend vers $+ Pour la valeur critique, on aura $u_n^\a \ra \lim a_n$. #+END_proof - - # ID:8053 #+begin_exercice [X MP 2024 # 325] - Soient $a,b\in\N^*$ avec $a\wedge b=1$. Montrer l'existence de $N\in\N^*$ tel que, pour tout $n\geq N$, il existe $(u,v)\in\N^2$ vérifiant $n=au+bv$. @@ -4021,7 +3704,6 @@ Pour la valeur critique, on aura $u_n^\a \ra \lim a_n$. Réciproquement, on peut supposer deux éléments $s_1,s_2$ dont le quotient ne soit pas rationnel, et on traite le cas où $S = \{s_1^n s_2^m\}$. #+END_proof - # ID:8054 #+begin_exercice [X MP 2024 # 326] Soit $f\colon\R\ra\R$ 1-périodique. @@ -4037,7 +3719,6 @@ On définit $\colon\forall S\in\R^{\N^*},\ \forall n\in\N^*,\ M_n(f,S)=\frac{1}{ - Il suffit de le vérifier sur des fonctions en escaliers. #+END_proof - # ID:7670 #+begin_exercice [X MP 2024 # 327] Calculer la somme de la série de terme general $n^2 2^{-(n+1)}$. @@ -4048,7 +3729,6 @@ Calculer la somme de la série de terme general $n^2 2^{-(n+1)}$. Soit $\phi\colon\N^*\ra\N^*$ injective. Nature de $\sum\frac{\phi(n)}{n^2}$ ? #+end_exercice - # ID:7922 #+begin_exercice [X MP 2024 # 329] Déterminer la nature de la série $\sum\frac{\sin(\pi\sqrt{n})}{n^{\alpha}}$. @@ -4059,7 +3739,6 @@ On regroupe, suivant la périodicité de $\sin$, sur des intervalles de longueur Réciproquement, sous cette condition, la somme de deux paquets consécutifs est en $O(\frac{1}{n^{\a}})$, ce qui donne $O(\frac{1}{n^{2\a}})$, donc on converge. #+END_proof - # ID:7998 #+begin_exercice [X MP 2024 # 330] Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que la série $\sum u_n$ converge. @@ -4070,7 +3749,6 @@ Montrer que la série de terme general $v_n=\frac{1}{1+n^2u_n}$ diverge. Si $\sum \frac{1}{1+n^2u_n}$ converge, alors $n^2 u_n \ra +\i$, donc (équivalent), $\sum \frac{1}{n^2 u_n}$ converge, mais Cauchy-Schwarz donne $\sum \frac{1}{n}$ converge. #+END_proof - # ID:8119 #+begin_exercice [X MP 2024 # 331] - Soit $(u_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\xrightarrow[n\ra+\i]{}a\gt 0$. Déterminer la nature de $(S_n)$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_n}\sum_{k=0}^nku_k$. @@ -4089,7 +3767,6 @@ Si $\sum \frac{1}{1+n^2u_n}$ converge, alors $n^2 u_n \ra +\i$, donc (équivalen Si $\sum u_k v_k$ converge (ce qui est possible), on ne peut rien dire, si ce n'est qu'on est équivalent à la somme divisé par $\frac{1}{u_n v_n}$. #+END_proof - # ID:7923 #+begin_exercice [X MP 2024 # 332] Déterminer les fonctions dérivables $f\colon\R\ra\R$ telles que $\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x)f(y)=f(x+yf(x))$. @@ -4104,7 +3781,6 @@ Si $f(x)\neq 0$, on obtient $f'(x) f(y) = f'(y) (1+y f'(x))$, donc $\frac{f'(y}{ Par ailleurs, ceci étant vrai pour tout $x$, on obtient que $f'$ est constant là où $f$ est non nulle. D'après essentiellement le théorème de limite de la dérivée, $f'$ est constante partout, donc $f$ est affine. #+END_proof - # ID:8066 #+begin_exercice [X MP 2024 # 333] Soit $f\colon\N^*\ra\R$ telle que $f(mn)=f(m)+f(n)$ pour tous $m,n\geq 1$. @@ -4118,7 +3794,6 @@ Soit $f\colon\N^*\ra\R$ telle que $f(mn)=f(m)+f(n)$ pour tous $m,n\geq 1$. En fait, via Cesàro directement, on aurait $f(n) = o_{+\i}(n)$. En utilisant d'une part $f(2^p) = 0$ et plus généralement $f(2x) = f(x)$, il suffit de $\ln n$ opérations pour passer de $n$ à $1$, donc $f(n) = o_{+\i}(\ln n)$, ce qui implique $f(p) = 0$ pour tout $p$. Easy. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [X MP 2024 # 334] Soit $E$ l'ensemble des $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ telles que $f\underset{+\i}{\longrightarrow}0$. @@ -4132,7 +3807,6 @@ Montrer qu'il existe $x_n\in\left]x,x+n\right[$ tel que $\Delta^n(f)(x)=f^{(n)}( Ind. Étudier $y\mapsto f(x+y)$ et $y\mapsto\sum_{k=0}^n\dfrac{y(y-1)\cdots(y-k+1)}{k!}\,\Delta^k(f)(x)$. #+end_exercice - # ID:7942 #+begin_exercice [X MP 2024 # 335] Déterminer les $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telles que $\forall x\in[0,1]$, $f(x)=2(f(x/2)+f(1-x/2))$. @@ -4141,7 +3815,6 @@ Déterminer les $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telles que $\forall x\in[0,1]$, $f(x)=2( Dériver deux fois, on obtient que $f''$ est une moyenne. Considérer le maximum/minimum. #+END_proof - # ID:8121 #+begin_exercice [X MP 2024 # 336] Soient $N$ et $d$ deux entiers supérieurs ou egaux à 1. On pose $D=\db{-N,N}^d$ et on note $(e_1,\ldots,e_d)$ la base canonique de $\R^d$. @@ -4167,7 +3840,6 @@ On pose, pour $x\in\overset{\circ}{D}$, $Mu(x)=\prod_{i=1}^d\Delta_iu(x)$. Comment diminuer $M(u)$ en un point $a$, où $M(u)(a)\gt 0$ ? On diminue la valeur $u(a)$ : cela diminue $M(u) (a)$, mais cela augmente les $M(u)$ des voisins. Ce n'est pas grave. #+END_proof - # ID:218 #+begin_exercice [X MP 2024 # 337] Si $f$ est une fonction de $[0,1]$ dans $\R$, on note $V(f)$ la borne supérieure, dans $[0,+\i]$, de l'ensemble $\left\{\sum_{k=0}^{n-1}|f(a_{k+1}-f(a_k)|\;;\;n\in\N^*,0\leq a_0\leq a_1\cdots\leq a_n\leq 1\right\}$. On note $VB$ l'ensemble des fonctions $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ telles que $V(f)\lt +\i$. @@ -4187,7 +3859,6 @@ Si $f$ est une fonction de $[0,1]$ dans $\R$, on note $V(f)$ la borne supérieur #+END_proof - # ID:7883 #+begin_exercice [X MP 2024 # 338] 1. Soit $f\colon\R^{+*}\ra\R$ une fonction convexe. @@ -4208,8 +3879,6 @@ Si $f$ est une fonction de $[0,1]$ dans $\R$, on note $V(f)$ la borne supérieur 3. Récurrence triviale. #+END_proof - - # ID:8055 #+begin_exercice [X MP 2024 # 339] Soient $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$. Montrer l'équivalence entre : @@ -4229,7 +3898,6 @@ Réciproquement, si $f$ n'est pas polynomiale, on montre que l'adhérence du vec + Pour $x^2$, idem en utilisant un $DL_2$ de $f$, en un point où $f''(0)\neq 0$. #+END_proof - # ID:8056 #+begin_exercice [X MP 2024 # 340] Soient $F$ un fermé de $\R$, $O=\R\setminus F$. @@ -4241,7 +3909,6 @@ Soient $F$ un fermé de $\R$, $O=\R\setminus F$. - Prendre $e^{-1/d(x, F)^2}$ #+END_proof - # ID:8067 #+begin_exercice [X MP 2024 # 341] On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\;\|_{\i}$. @@ -4265,7 +3932,6 @@ Pour $f\in E$, soit $T(f)\colon t\in[0,1]\mapsto\sup_{[0,t]}(f)-f(t)$. Soit $f\i Considérons plutôt $x_n$ le premier point où on est $\geq L$. Alors $(x_n)$ est croissant, et $x_{n+1}$ doit être éloigné de $x_n$, contradiction. #+END_proof - # ID:nil # Classique #+begin_exercice [X MP 2024 # 342] Soit $f:[0,1]\ra[-a,b]$ continue, ou $a$ et $b$ sont dans $\R^+$. On suppose que $\int_0^1f(t)dt=0$. @@ -4283,7 +3949,6 @@ Pour $r\in\R$ et $n\in\N$, soit $D_n(r)=\int_{-1}^1(1-x^2)^n\cos(rx)dx$. - En déduire que $\pi$ est irrationnel. #+end_exercice - # ID:7464 #+begin_exercice [X MP 2024 # 344] Soient $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ à support compact et $E$ l'ensemble des fonctions $\phi$ de $\R$ dans $\R$, de classe $\mc C^1$ bornées par $1$. Déterminer $\sup\bigg{\{}\int_{-\i}^{+\i}f\phi'\;;\;\phi\in E \bigg{\}}$. @@ -4294,7 +3959,6 @@ C'est $\int_{-\i}^{+\i} |f|$. On peut approcher $f$ de manière uniforme par des Pour une fonction polynomiale, l'intégrale est proche de $\int_{-\i}^{+\i} |f| 1_{|f|\geq \eps}$. #+END_proof - # ID:8027 #+begin_exercice [X MP 2024 # 345] Nature de $\int_0^{+\i}\frac{e^x}{e^{-x}+e^{2x}|\sin x|}\dx$ ? @@ -4303,7 +3967,6 @@ Nature de $\int_0^{+\i}\frac{e^x}{e^{-x}+e^{2x}|\sin x|}\dx$ ? On est ramené à une série, de $\int_0^{\pi} \frac{e^{x+n\pi}}{e^{-x-n\pi} + e^{2x + 2n\pi} \sin x}$, dont on cherche un équivalent. En fait, plutôt couper en $\frac{\pi}{2}$. C'est $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t e^x}{e^{-x}/t + e^{2x} t^2 \sin x}\dx$, dont on veut un équivalent quand $t\ra +\i$. Écrivons $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t^2 e^x}{e^{-x} + e^{2x} t^3 \sin x}\dx$ $\geq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t^2e^x}{1 + e^{2x} t^3}$ qui est manifestement en $\frac{1}{t}$. #+END_proof - # ID:7696 #+begin_exercice [X MP 2024 # 346] Soit $f\colon\R\ra\R$ intégrable et lipschitzienne. Peut-il exister un réel $x$ non nul tel que la série de terme general $f(nx)$ diverge? @@ -4334,7 +3997,6 @@ C'est censé être $\frac{x^2}{4} - \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi^2}{6}$. On prend une somme partielle jusqu'à $N$, que l'on dérive en $S_N(x) = \sum_{n=1}^N -\frac{\sin nx}{n}$, et une seconde fois en $S_N'(x) = \sum_{n=1}^N \cos x$. Il suffit de traiter des $x$ sympas, pour lesquels $S_N(x) = \frac{1}{2}\int_0^x \frac{\sin \left(\frac{Nt}{2}\right) \sin \left(\frac{(N+1)t}{2}\right)}{\sin \frac{t}{2}} \dt - \frac{x}{2}$, quand $N\ra +\i$, on prend la limite, et on trouve $\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$, si on montre une sorte d'uniformité, de la convergence, on est bon. #+END_proof - # ID:8068 #+begin_exercice [X MP 2024 # 348] Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\big(1-(1-e^{-n})^x\big)\sim\ln(x)$ quand $x\ra+\i$. @@ -4343,7 +4005,6 @@ Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\big(1-(1-e^{-n})^x\big)\sim\ln(x)$ quand $x\ra+\i$ Comparaison série intégrale, changement $t = \ln x u$ et convergence dominée. Éventuellement Bernoulli : $1 - (1-e^{-a})^x\leq x e^{-a}$. #+END_proof - # ID:8077 #+begin_exercice [X MP 2024 # 349] Soit $q\in\R^*$. Soit $a\in\mc C^0(\R,\R^*)$. Soit $m,M$ deux réels vérifiant $:0\lt m\lt M$ et $m\leq|a|\leq M$. On suppose egalement que $m\gt 2$ ou $M\lt \frac{1}{2}$. Montrer qu'il existe une unique fonction $F\colon\R\ra\R^*$ continue et bornée vérifiant $\colon\forall t\in\R,F(t)=1+\frac{F(qt)}{a(t)}$. @@ -4352,13 +4013,11 @@ Soit $q\in\R^*$. Soit $a\in\mc C^0(\R,\R^*)$. Soit $m,M$ deux réels vérifiant L'application $T\colon F\mapsto 1 + \frac{F(qt)}{a(t)}$ est $\frac{1}{2}$-lips. La suite $(T^n(f))$ converge, car $\sum \lN T^{(n+1)}(f) - T^n(f)\rN$ converge. #+END_proof - # ID:223 #+begin_exercice [X MP 2024 # 350] Soit $\sum a_nz^n$ une série entière dont le rayon de convergence appartient à $]0,+\i[$. Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_n z^{n^2}$. #+end_exercice - # ID:8078 #+begin_exercice [X MP 2024 # 351] Soit $x\gt 0$. @@ -4373,7 +4032,6 @@ Soit $x\gt 0$. - On peut développer $\cos(xt)$ en série pour trouver le développement en série entière (il y a une intégrale de type Wallis). Pour le signe des dérivées, il faut dériver l'intégrale. #+END_proof - # ID:8079 #+begin_exercice [X MP 2024 # 352] Montrer que, pour tous $r\in \interval]{0, 1}[$ et $\theta\in\R$, $\ln\left|1-re^{i\theta}\right|=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{r^n}{n}\cos(n\theta)$. @@ -4382,7 +4040,6 @@ Montrer que, pour tous $r\in \interval]{0, 1}[$ et $\theta\in\R$, $\ln\left|1-re Vérifier que les dérivées coïncident. #+END_proof - # ID:nil # Classique #+begin_exercice [X MP 2024 # 353] Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $\forall n\in\N,\ \forall x\in\R,\ f^{(n)}(x)\geq 0$. @@ -4391,7 +4048,6 @@ Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $\forall n\in\N,\ \forall - Démontrer que $\forall x\in\R$, $\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\xrightarrow[n\ra+\i]{}f(x)$. #+end_exercice - # ID:8080 #+begin_exercice [X MP 2024 # 354] Soit $(L_n)_{n\geq 0}$ définie par $L_0=L_1=1$ et, si $n\geq 1$, $L_{n+1}=(n+1)L_n-\binom{n}{2}L_{n-2}$, avec $L_{-1}=0$. On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{L_n}{n!}\,x^n$. @@ -4407,7 +4063,6 @@ Soit $(L_n)_{n\geq 0}$ définie par $L_0=L_1=1$ et, si $n\geq 1$, $L_{n+1}=(n+1) - On trouve $f(x)$ de l'ordre de $(1-x)^{-1/2}$, puis formule de Cauchy, je pense. #+END_proof - # ID:8002 #+begin_exercice [X MP 2024 # 355] Une série $\sum_{n\geq 0}a_n$ est dite primitive lorsqu'elle est à termes entiers et il n'existe pas d'entier $d\gt 1$ divisant tous les $a_n$. @@ -4420,7 +4075,6 @@ Une série $\sum_{n\geq 0}a_n$ est dite primitive lorsqu'elle est à termes enti - La fraction rationnelle prend des valeurs rationnelles, classiquement, $F$ est quotient de polynômes rationnels. #+END_proof - # ID:8001 #+begin_exercice [X MP 2024 # 356] Soit $n\geq 2$. On pose $g_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^{4k}}\binom{2k}{k}^2$. Soit $K_n$ l'élément de $\R_n[X]$ tel que $\frac{1}{\sqrt{1-x}}\underset{x\ra 0}{=}K_n(x)+o(x^n)$. @@ -4432,7 +4086,6 @@ Soit $n\geq 2$. On pose $g_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^{4k}}\binom{2k}{k}^2$. Soit - On a $K_n^2 = \frac{1}{1-x} = 1 + x + \dots + x^n$, donc $\sum_{k=0}^na_k$ est le coefficient en $x^n$ de $K_n^2 f(x)$. Appliquer la formule de Cauchy. #+END_proof - # ID:8090 #+begin_exercice [X MP 2024 # 357] Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=n\int_0^{+\i}\sin(t^n)\dt$. @@ -4442,8 +4095,6 @@ Poser $x = t^n$, on obtient $\int_0^{+\i} x^{1/n - 1}\sin x\dx$, que l'on peut l En $x = 0$ pas de soucis. On devrait tendre vers $\int_0^{+\i} \frac{\sin x}{x}\dx$ (qui vaut $\frac{\pi}{2}$). Pour le montrer, on peut regrouper par deux périodes consécutives, pour obtenir une convergence dominée. #+END_proof - - # ID:7694 #+begin_exercice [X MP 2024 # 358] Soit $r\in \interval]{0, \pi}[$. Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=\int_{-r}^r\frac{\sin(nt)}{\sin t}\dt$. @@ -4452,13 +4103,11 @@ Soit $r\in \interval]{0, \pi}[$. Déterminer la limite de la suite de terme gene Comparer à $u_n = \int_{-r}^r \frac{\sin (nt)}{t}\dt$. #+END_proof - # ID:7454 #+begin_exercice [X MP 2024 # 359] Déterminer un équivalent en $1^-$ de $x\mapsto\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}dt$. #+end_exercice - # ID:nil #+begin_exercice [X MP 2024 # 360] Calculer $f(x)=\int_{\R}\frac{e^{ixt}}{1+t^2}dt$. @@ -4467,7 +4116,6 @@ Calculer $f(x)=\int_{\R}\frac{e^{ixt}}{1+t^2}dt$. Changer $u = xt$, dériver deux fois, faire deux ipps, on trouve $f(x) = f''(x)$. #+END_proof - # ID:8081 #+begin_exercice [X MP 2024 # 361] Soit $t\gt 0$. Our $p\in\R$, on pose $F_c(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\cos(px^2)\dx$, @@ -4482,7 +4130,6 @@ Soit $t\gt 0$. Our $p\in\R$, on pose $F_c(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\cos(px^2)\dx$ - #+END_proof - # ID:8093 #+begin_exercice [X MP 2024 # 362] Soit $f\colon\R^+\ra\R_+^{*}$ de classe $\mc C^1$ telle que $\frac{xf'(x)}{f(x)}\ra a\in\R$ quand $x\ra+\i$. @@ -4501,7 +4148,6 @@ Soit $f\colon\R^+\ra\R_+^{*}$ de classe $\mc C^1$ telle que $\frac{xf'(x)}{f(x)} - Revient exactement à montrer que $f$ est intégrable. #+END_proof - # ID:8098 #+begin_exercice [X MP 2024 # 363] - Soient $I$ et $J$ deux segments de $\R$, et $f:I\times J\ra\R$ continue. Montrer l'existence et l'égalité des deux quantites $\int_I\left(\int_Jf(x,y)dy\right)dx$ et $\int_J\left(\int_If(x,y)dx\right)dy$. @@ -4516,7 +4162,6 @@ Soit $f\colon\R^+\ra\R_+^{*}$ de classe $\mc C^1$ telle que $\frac{xf'(x)}{f(x)} Pour traiter le cas $y\in [x,x+1]$, il faut faire Cauchy-Schwarz et appliquer deux fois Fubini. #+END_proof - # ID:7693 #+begin_exercice [X MP 2024 # 364] Soient $n\in\N^*$, $(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ des éléments de $\R^{+*}$, $f_1,\ldots,f_n$ des fonctions dérivables de $\R^+$ dans $\R$ tendant vers $0$ en $+\i$ telles que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $f'_i=\sum_{j=1}^na_{i,j}f_j$. Montrer que la famille $(f_1,\ldots,f_n)$ est liée. @@ -4525,7 +4170,6 @@ Soient $n\in\N^*$, $(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ des éléments de $\R^{+*}$, $f On a $F' = AF$. Le Wronkien vérifie $W' = \op{Tr} À W$, donc $W$ est une exponentielle positive, mais les fonctions tendent vers $0$, ainsi que leurs dérivées, donc il est nul. #+END_proof - # ID:8058 #+begin_exercice [X MP 2024 # 365] - Soit $f\in\mc C^1([0,\pi],\R)$ telle que $f(0)=f(\pi)=0$. Montrer que $\int_0^{\pi}f^2\leq\frac{\pi^2}{8}\int_0^{\pi}(f')^2$. @@ -4538,7 +4182,6 @@ On a $F' = AF$. Le Wronkien vérifie $W' = \op{Tr} À W$, donc $W$ est une expon Existence : Les solutions vérifiant $y(0) = a$ forment une droite affine, et elles ne peuvent pas toutes s'annuler en $\pi$, d'après l'unicité. #+END_proof - # ID:nil # Quel intérêt ? #+begin_exercice [X MP 2024 # 366] Pour $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$, on pose $H(f)\colon x\mapsto x^2f(x)-f''(x)$, $A_-(f)\colon x\mapsto-f'(x)+xf(x)$ et $A_+(f)\colon x\mapsto f'(x)+xf(x)$. @@ -4555,7 +4198,6 @@ Pour $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$, on pose $H(f)\colon x\mapsto x^2f(x)-f''(x)$, $A_- - #+END_proof - # ID:6805 #+begin_exercice [X MP 2024 # 367] - Soit $f$ une fonction croissante de $[a,b]$ dans $[a,b]$. Montrer que $f$ possède un point fixe. @@ -4572,7 +4214,7 @@ Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-péri On a $\phi_a$ reste à valeurs dans $[0,\pi]$. #+END_proof - +# ID:8127 #+begin_exercice [X MP 2024 # 368] - Soit $x$ de classe $\mc C^1$ au voisinage de $+\i$. On suppose qu'il existe $\tau\gt 0$ et $\lambda\gt 0$ tels qu'on ait $x'(t)+\lambda x(t-\tau)\leq 0$ et $x(t)\geq 0$ au voisinage de $+\i$. @@ -4584,10 +4226,22 @@ Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-péri Démontrer qu'il existe $c$ et $K$ réels tels que, pour $t$ au voisinage de $+\i$, $|x'(t)|\leq Ke^{ct}$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - - - - -#+END_proof + - À partir du moment $x_0$ où la fonction est positive, elle est décroissante à partir de $x_0 + \tau$. + On suppose $\tau = 1$. Donc $|f'|$ est supérieure à $\la f$ (en utilisant $f(t)\leq f(t-1)$), à partir de $x_0 + 2$. + + Par ailleurs, en intégrant la relation, on a $f(t) - f(t+1) \geq \rho \int_{t-1}^t f(u)\du$ donc $f(t) - f(t+1) \geq \rho \frac{f(t-1/2)}{2}$ donc $f(t - 1/2)\leq \frac{2 f(t)}{\rho}$, donc $f(t-1)\leq \frac{4}{\rho^2}f(t)$, ce qui contredit l'autre inégalité. + - Si on remplace $x$ par $y = x e^{-Kt}$, de dérivée $y' = x' e^{-Kt} - K x e^{-Kt}$, + + On a $y'(t) = x' e^{-Kt} - K y = \sum \la_i x'(t-\tau_i) e^{-Kt} + \sum \mu_i x(t-\sigma_i)e^{-Kt} - Ky = \sum \la_i x'(t-\tau_i) e^{-Kt} + \sum \mu_i e^{-K\sigma_i} y(t-\sigma_i) - Ky$ + $y'(t) = \sum \la_i y'(t-\tau_i)e^{-K\tau_i} + \sum \la_i K y(t-\tau_i) e^{-K \tau_i} + \sum \mu_i e^{-K\sigma_i} y(t-\sigma_i) - K y$. + En un sup $[0, t]$ + + Plus simple : on a $|x'(t)|\leq K (\sup_{[t-c, t]} |x| + \sup_{[t-d_1, t-d_2]} |x'|)$. On peut remplacer ça par un entier $K$ et + $|x'(t)|\leq K \big(\sup_{[t-k, t]} |x| + \sup_{[t-k, t-1]} |x'|\big)$. + + Alors, is à un instant $u$, $|x|$ et $|x'|$ sont majorées par $M$, on a, sur $[t, t+1]$, $|x'|\leq k \sup |x| + M$, ce qui donne un contrôle jusqu'à l'instant $u+1$. +#+END_proof # ID:8082 #+begin_exercice [X MP 2024 # 369] @@ -4607,7 +4261,6 @@ Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-péri On a une expression intégrale de $D'$, qui permet de conclure. #+END_proof - # ID:7931 #+begin_exercice [X MP 2024 # 370] On munit $\R^2$ de la norme euclidienne canonique. Soit $P\colon\R^2\ra\R$ une fonction polynomiale à valeurs positives. @@ -4627,7 +4280,6 @@ On munit $\R^2$ de la norme euclidienne canonique. Soit $P\colon\R^2\ra\R$ une f Si $P$ est de degré $\gt 2$, on prend juste les coefficients de degré maximaux. Les $x,y$ pour lesquels $P(tx,ty)$ n'est pas équivalent au degré est un polynôme en $\frac{x}{y}$. #+END_proof - # ID:8059 #+begin_exercice [X MP 2024 # 371] Soient $u_0,u_1\in\mc C^{\i}(\R,\R)$. Déterminer les fonctions $u\colon\R^2\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telles que $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2-\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2$, avec $u(t=0,\cdot)=u_0$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(t=0,\cdot)=u_1$. @@ -4640,7 +4292,6 @@ On pose $U = e^{-u(t,x)}$, on obtient $\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - \frac Ensuite, on pose $\xi = x+t$ et $\eta = x-t$, qui sont bien adaptées aux équations de type onde, qui donne $\frac{\partial U}{\partial \xi \partial \eta} = 0$. #+END_proof - # ID:7326 #+begin_exercice [X MP 2024 # 372] Soient $n\in\N^*$ et $r\in\db{0,n}$, $\mc{P}$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $\R^n$ sur un sous-espace de dimension $r$ et $p\in\mc{P}$. Déterminer l'ensemble des vecteurs tangents à $\mc{P}$ en $p$. @@ -4649,22 +4300,30 @@ Soient $n\in\N^*$ et $r\in\db{0,n}$, $\mc{P}$ l'ensemble des projecteurs orthogo Relier à une année précédente : $(p+tv)^2 = p+tv$ et $\tr v = 0$. #+END_proof - ** Géométrie +# ID:8132 #+begin_exercice [X MP 2024 # 373] Soit $P$ un polynôme réel de degré $6$. Une droite $D$ est tangente à la courbe $C_P$ en trois points $A,B,C$ d'abscisses $a\lt b\lt c$. - - On suppose que $AB=BC$. Montrer que les aires delimitées par $[BC]$ et $C_P$ d'une part, et par $[AB]$ et $C_P$ d'autre part, sont egales. - - On pose : $q=\frac{BC}{AB}$ et $Q=\frac{A_1}{A_2}$ avec $A_1$ et $A_2$ les aires susmentionnées. Montrer que : $\frac{2}{7}q^5\leq Q\leq\frac{7}{2}q^5$. + - On suppose que $AB=BC$. Montrer que les aires delimitées par $[BC]$ et $C_P$ d'une part, et par $[AB]$ et $C_P$ d'autre part, sont égales. + - On pose $q=\frac{BC}{AB}$ et $Q=\frac{A_1}{A_2}$ avec $A_1$ et $A_2$ les aires susmentionnées. Montrer que : $\frac{2}{7}q^5\leq Q\leq\frac{7}{2}q^5$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - On peut supposer que $c = 1$, $b = 0$, $c=-1$, et en retirant la fonction affine, le polynôme est $c X^2 (X-1)^2 (X+1)^2$. - On peut supposer que le polynôme est $X^2 (X-1)^2 (X+a)^2$. + + Après changement de variable, cela revient à encadrer le quotient de $\int_0^1 X^2 (X-1)^2 (X+a)^2 \dx$ et $\int_0^1 X^2(X-1)^2 (aX + 1)^2 \dx$. + + $\int_0^1 X^2 (X-1)^2 X^2 = 1/105 = 1/7x15$, $\int_0^1 X^2 (X-1)^2 = 1/30 = 1/2x15$, $\int_0^1 x^2 (x-1)^2 x \dx = 1/60 = 1/4x15$. + + $\frac{1/7 + a + a^2/4}{1/4 + a + a^2/7}$ + + On trouve que la fonction est croissante, de $a = 0$ à $+\i$. #+END_proof - +# ID:nil # Chiant. #+begin_exercice [X MP 2024 # 374] -On se place dans le plan $\R^2$. Soient $e_0=(1,0)$, $e_1=(0,1)$ $e_2=(-1,0)$, $e_3=(0,-1)$ et, pour $k\geq 4$, $e_k=e_{k\bmod 4}$. Soit $P\in\R[X]$. On écrit $P=c_0X^n-c_1X^{n-1}+\cdots+(-1)^nc_n$. On pose $M_{-1}(P)=(0,0)$, et pour $k\in\db{0,n}$, $M_k(P)=M_{k-1}(P)+c_k\,e_k$. Pour $k\in\N$, soit $D_k$ la droite passant par $M_k(P)$ dirigée par $e_k$. Soit $\lambda\in\R$. On pose $\Delta_1(\lambda)$ la droite passant par $(0,0)$ de pente $\lambda$, $\Delta_0(\lambda)$ la perpendicularaire à $\Delta_1(\lambda)$ et passant par $(0,0)$ et, pour $k\geq 2$, $\Delta_k(\lambda)=\Delta_{(k\bmod 2)}(\lambda)$. +On se place dans le plan $\R^2$. Soient $e_0=(1,0)$, $e_1=(0,1)$ $e_2=(-1,0)$, $e_3=(0,-1)$ et, pour $k\geq 4$, $e_k=e_{k\bmod 4}$. Soit $P\in\R[X]$. On écrit $P=c_0X^n-c_1X^{n-1}+\cdots+(-1)^nc_n$. On pose $M_{-1}(P)=(0,0)$, et pour $k\in\db{0,n}$, $M_k(P)=M_{k-1}(P)+c_k\,e_k$. Pour $k\in\N$, soit $D_k$ la droite passant par $M_k(P)$ dirigée par $e_k$. Soit $\lambda\in\R$. On pose $\Delta_1(\lambda)$ la droite passant par $(0,0)$ de pente $\lambda$, $\Delta_0(\lambda)$ la perpendiculaire à $\Delta_1(\lambda)$ et passant par $(0,0)$ et, pour $k\geq 2$, $\Delta_k(\lambda)=\Delta_{(k\bmod 2)}(\lambda)$. On pose $\mu_0=(0,0)$. Pour $k\in\N^*$, $\mu_k$ est l'intersection de $D_k$ et de la parallele à $\Delta_k(\lambda)$ passant par $\mu_{k-1}$. - On suppose dans cette question que $P=X^3-2X^2-5X+6$. @@ -4674,7 +4333,6 @@ On pose $\mu_0=(0,0)$. Pour $k\in\N^*$, $\mu_k$ est l'intersection de $D_k$ et d - En notant $\delta_k$ la distance algebrique selon $e_k$ de $M_k$ à $\mu_k$, montrer que $M_n=\mu_n$ si et seulement si $P(\lambda)=0$. #+end_exercice - ** Probabilités # ID:nil # Méthode probabiliste, classique @@ -4687,13 +4345,11 @@ Soient $v_1,\ldots,v_n$ des vecteurs unitaires d'un espace euclidien. Montrer qu Soit $E$ un ensemble fini. Dénombrer les triplets $(A,B,C)$ de parties de $E$ telles que $A\subset B\subset C$. #+end_exercice - # ID:7695 #+begin_exercice [X MP 2024 # 377] Soit $r\in\N^*$. Combien y a-t-il de facon d'apparier les entiers de $1$ à $2r$? #+end_exercice - # ID:7736 #+begin_exercice [X MP 2024 # 378] Soit $n\in\N^*$. @@ -4701,14 +4357,11 @@ Soit $n\in\N^*$. - On fixe $r\in\N^*$. Dénombrer les décompositions $n=n_1+\cdots+n_r$ ou $n_1,\ldots,n_r$ sont des entiers naturels non nuls. #+end_exercice - - # ID:7737 #+begin_exercice [X MP 2024 # 379] Soit $N\in\N^*$. Dénombrer les fonctions $f\colon\db{0,2N}\ra \db{0,2N}$ telles que $f(0)=f(2N)=0$ et $\forall k\in \db{0,2N-1},\;|f(k+1)-f(k)|=1$. #+end_exercice - # ID:7928 #+begin_exercice [X MP 2024 # 380] Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$. @@ -4726,13 +4379,11 @@ On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$, et on note $N\colon\omega\mapsto\op{Card}\{n\in\N - Pas trop dur. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [X MP 2024 # 381] Soit $n\in\N^*$. Déterminer espérance et variance du nombre de points fixes d'une permutation de $\db{1,n}$. #+end_exercice - # ID:8083 #+begin_exercice [X MP 2024 # 382] On munit $\mc{S}_n$ de la loi uniforme et on considére $X_n$ la variable aléatoire qui associe à une permutation le nombre d'orbites de cette permutation. @@ -4746,14 +4397,12 @@ On munit $\mc{S}_n$ de la loi uniforme et on considére $X_n$ la variable aléat - $E(t^{X_n})$ #+END_proof - # ID:7929 #+begin_exercice [X MP 2024 # 383] - Déterminer le nombre de listes de $k$ entiers non consécutifs dans l'intervalle d'entiers $\db{1,n}$. - On place aléatoirement des couples $(A_i,B_i)$, ou $i\in\{1,\ldots,n\}$, autour d'une table ronde à $2n$ places, de sorte qu'aucun des $A_i$ ne soit assis à côté d'un autre $A_j$. On cherche la probabilité $p_n$ que $A_i$ et $B_i$ ne soient pas à côté. Montrer que, si la configuration des $A_i$ est fixée, la probabilité que $A_i$ et $B_i$ ne soient pas à cote est inchangée. En déduire une expression sommatoire de $p_n$. #+end_exercice - # ID:nil # Loi zeta #+begin_exercice [X MP 2024 # 384] Soit $s$ un $\op{\mathsf{r}\acute{e}el}\gt 1$. On munit $\N^*$ de la probabilité $\mathbf{P}_s$ définie par $\mathbf{P}_s(\{n\})=\frac{1}{n^s\zeta(s)}$ pour tout $n\geq 1$. On note par ailleurs $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Pour tout $p\in\mc{P}$ on note $X_p$ la variable aléatoire définie sur $\N^*$ telle que $X_p(n)=1$ si $p$ divise $n$, et 0 sinon. @@ -4762,7 +4411,6 @@ Soit $s$ un $\op{\mathsf{r}\acute{e}el}\gt 1$. On munit $\N^*$ de la probabilit - Pour $p\in\mc{P}$ et $n\in\N^*$, on note $v_p(n)$ la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$. Déterminer la loi de $v_p$ étudier l'indépendance mutuelle des variables aléatoires $v_p$. #+end_exercice - # ID:7930 #+begin_exercice [X MP 2024 # 385] On joue à pile ou face avec probabilité $p\in]0,1[$ d'obtenir pile. On découpe la succession des lancers en sequences maximales de résultats identiques. Déterminer l'espérance de la longueur de la deuxième séquence. @@ -4772,7 +4420,6 @@ On joue à pile ou face avec probabilité $p\in]0,1[$ d'obtenir pile. On découp C'est $\sum_{k,\l\geq 1} \l \big(p^k (1-p)^{\l}p + (1-p)^{k} p^{\l} (1-p)\big) = \frac{p^2}{1-p} \frac{1-p}{(1- (1-p))^2} + \frac{(1-p)^2}{p} \frac{p}{(1-p)^2} = 2$. #+END_proof - # ID:7882 #+begin_exercice [X MP 2024 # 386] Une grille $\{1,2,3\}\times\{1,2,...,n\}$ modélise un tuyau vertical. On dépose à l'instant $t=0$ une goutte d'eau au point $(2,n)$. à chaque instant, si elle se trouve au milieu (i.e. en un point $(2,k)$), la goutte descend d'un niveau avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou se deplace à droite (resp. gauche) avec probabilité $\frac{1}{4}$; si elle se trouve sur un bord, elle descend avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou va au milieu avec probabilité $\frac{1}{2}$. @@ -4780,7 +4427,6 @@ Une grille $\{1,2,3\}\times\{1,2,...,n\}$ modélise un tuyau vertical. On dépos - s Calculer l'espérance du temps d'attente pour que l'eau sorte du tuyau. #+end_exercice - # ID:7999 #+begin_exercice [X MP 2024 # 387] - Soient $n\in\N^*$ et $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur les entiers pairs entre $2$ et $2n$. Déterminer $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 1)$ et $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 2)$. @@ -4801,7 +4447,6 @@ Une grille $\{1,2,3\}\times\{1,2,...,n\}$ modélise un tuyau vertical. On dépos - Trivial : On prend des variables finies. Marche aussi sinon. #+END_proof - # ID:7932 #+begin_exercice [X MP 2024 # 388] Soit, pour $n\in\N^*$, $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $\db{1,n}$. On considère les évènements : $A_n$ : «$\sqrt{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre apres la virgule», $B_n$ : «$\big(\sqrt{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre», et $C_n$ : «$2^{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre». @@ -4815,7 +4460,6 @@ Soit, pour $n\in\N^*$, $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme su - $\log_{10}(2)$ #+END_proof - # ID:8084 #+begin_exercice [X MP 2024 # 389] On dit qu'une variable aléatoire $Y$ est $k$-divisible lorsqu'elle à la même loi que la somme de $k$ variables indépendantes et identiquement distribuées. @@ -4829,7 +4473,6 @@ On dit qu'une variable aléatoire $Y$ est $k$-divisible lorsqu'elle à la même - Sympatoche. #+END_proof - # ID:8089 #+begin_exercice [X MP 2024 # 390] Soient $\alpha\gt 0$ et $(B_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que $\mathbf{P}(B_i=1)=1-\mathbf{P}(B_i=0)=\frac{1}{i^{\alpha}}$. Soit $S=\{n\in\N^*,B_n=1\}$. @@ -4843,7 +4486,6 @@ Soient $\alpha\gt 0$ et $(B_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires in - Pour $a$ fixé, la probabilité que $a$ marche est une constante non nulle. En prenant pour $a$ les nombres premiers $p_i$, les évènements sont indépendants, donc on est sûr qu'un fonctionne. #+END_proof - # ID:7933 #+begin_exercice [X MP 2024 # 391] Soient $N\geq 1$, $\mu$ une distribution de probabilité sur $\db{1,N}$ telle que $\mu(1)\gt 0$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mu$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Soit $E=\{S_m,\ m\in\N\}$. @@ -4862,57 +4504,47 @@ Soient $N\geq 1$, $\mu$ une distribution de probabilité sur $\db{1,N}$ telle qu - Décomposition en éléments simples. #+END_proof - * X - PSI :autre: - ** Algèbre #+begin_exercice [X PSI 2024 # 392] Soit $n\in\N^*$. On pose $P_0=1$ et, pour $1\leq k\leq n$, $P_k=\prod_{j=0}^{k-1}(X-j)$. Montrer qu'il existe $(s_0,\ldots,s_n)\in\Z^{n+1}$ tel que $X^n=\sum_{k=0}^ns_kP_k$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 393] Soit $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie. - Quels sont les endomorphismes de $E$ qui commutent avec tous les projecteurs? - Quels sont les éléments de $\op{GL}(E)$ qui commutent avec tous les éléments de $\op{GL}(E)$? #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 394] Soient $A_1,\ldots,A_m$ des matrices distinctes de $\M_n(\R)$, commutant entre elles et telles que $\colon\forall i\in\db{1,m}\,,A_i^2=I_n$. Montrer que $m\leq 2^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 395] Soient $A,B\in\M_n(\C)$. Montrer que $A$ et $B$ ont une valeur propre commune si et seulement s'il existe $C\in\M_n(\C)$ non nulle telle que $AC=CB$. #+end_exercice - ** Analyse #+begin_exercice [X PSI 2024 # 396] Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $c\gt 0$ tel que, pour tout $(v_1,\ldots,v_n)\in(\R^n)^n$, $|\det(v_1,\ldots,v_n)|\leq c\prod_{j=1}^n\|v_i\|_{\i}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 397] Déterminer les $f\in{\cal C}^0({\R},{\R})$ telles que: $\forall(x,y)\in{\R}^2$, $f(x)f(y)=\int_{x-y}^{x+y}f(t)\,{\rm d}t$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 398] On note ${\cal S}({\R})=\{\phi\in{\cal C}^{\i}({\R},{\R}) \;;\;\forall k\in{\N},\,\forall j\in{\N},\,x\mapsto x^k \phi^{(j)}(x)$ est bornée}. - Montrer que $\forall k\in{\N},\,\forall j\in{\N},\,x\mapsto x^k\phi^{( j)}(x)$ est intégrable sur ${\R}$. - Soit $\phi\in{\cal S}({\R})$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\phi$ pour que $\phi$ possède une primitive appartenant à ${\cal S}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 399] On munit ${\R}^n$ de son produit scalaire canonique. Soient $U$ et $W$ deux sous-espaces vectoriels de même dimension $m$. On suppose qu'il existe un vecteur $u\in U$ tel que $u\in W^{\perp}$, $u\neq 0$. Montrer qu'il existe $v\neq 0\in W$ tel que $v\in U^{\perp}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 400] Soit $f\in{\cal C}^0([0,\pi/2],{\R})$. On pose, pour $n\in{\N}^*$, $I_n=(n+1)\int_0^{\pi/2}x\,f(x)\cos(x)^n\,{\rm d}x$. @@ -4921,17 +4553,14 @@ Déterminer la limite de $(I_n)_{n\geq 0}$. Ind. Utiliser $J_n=(n+1)\int_0^{\pi/2}\sin(x)\cos(x)^ndx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 401] Soient $f\in{\cal L}^1({\R})$ et $F:x\in{\R}\mapsto\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,e^{it^2x}{\rm d}t$. Montrer que $F$ est définie et qu'elle tend vers 0 en $+\i$._Ind._ Traiter le cas ou $f$ est ${\cal C}^1$, le cas ou $f$ est nulle sur ${\R}$ prive de $[-a,a]$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 402] Soit $(E):y''+\frac{t}{1+t^3}y=0$. Montrer que $(E)$ admet une solution non bornée. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 403] On considére l'équation différentielle $(E):y''(t)+\phi(t)y(t)=0$, avec $\phi$ continue $2\pi$-périodique et on note $Sol$ l'ensemble des solutions de $(E)$ de classe ${\cal C}^2$ à valeurs complexes. - Montrer qu'il existe $y_1\in Sol$ telle que $y_1(0)=1$, $y'_1(0)=0$, et $y_2\in Sol$ telle que $y_2(0)=0,y'_2(0)=1$. @@ -4946,7 +4575,6 @@ Déterminer la nature de l'application $\Psi$. - Montrer que $\lambda$ ne peut être nul puis que $\det(\phi)=1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 404] Soient $E_{n,d}=\{(i_1,...,i_d)\in{\N}^d,\;i_1+\cdots+i_d=n\}$ et @@ -4955,14 +4583,12 @@ Soient $E_{n,d}=\{(i_1,...,i_d)\in{\N}^d,\;i_1+\cdots+i_d=n\}$ et - Soit $\Delta:f\in{\rm Vect}(V_{n,d})\mapsto\Delta(f)=\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2f}{\partial x_d^2}$. Déterminer ${\rm Ker}\,\Delta$. #+end_exercice - ** Géométrie #+begin_exercice [X PSI 2024 # 405] Soient $n\in\N^*$ et $x_1,\ldots,x_{2n}$ des points distincts de $\R^2$. Montrer qu'il existe toujours une droite separant ces $2n$ points en deux groupes de $n$ points. #+end_exercice - ** Probabilités #+begin_exercice [X PSI 2024 # 406] @@ -4971,29 +4597,23 @@ Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mc{G}(1/2)$. Pour tout $k\in\N^*$, on - Même question pour $p$ et $q$ quelconques dans $\N^*$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 407] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. On suppose que $X$ suit la loi géométrique de paramêtre $p$ et que, pour tout $N\in\N^*$, la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=N)$ est la loi binomiale $\mc{B}(N,p)$. Déterminer $\mathbf{E}(Y)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 408] Soit $M\,=\,\begin{pmatrix}X_1&1&0\\ 0&X_2&1\\ 0&0&X_3\end{pmatrix}$ ou $X_1$, $X_2$, $X_3$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramêtre $p$. Calculer la probabilité que $M$ soit diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 409] Soient $(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une famille de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Déterminer $\mathbf{E}(\det(A))$ et $\mathbf{V}(\det(A))$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PSI 2024 # 410] Soit $Y$ une variable aléatoire à support fini inclus dans $\R^+$. Déterminer à quelle condition on a $\mathbf{E}(Y^{1/2^n})=\mathbf{E}(Y)^{1/2^n}$ pour tout entier naturel $n$. #+end_exercice - * X - ESPCI - PC :autre: - ** Algèbre #+begin_exercice [X PC 2024 # 411] @@ -5004,86 +4624,70 @@ Un graphe est un couple $G=(S,A)$ ou $S$ est un ensemble fini et $A$ un ensemble Donner une majoration du nombre de graphes à $n$ sommets et $k$ arêtes deux à deux non isomorphes. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 412] Soient $n\geq 2$ et $a_0,\ldots,a_n\in\R$. Montrer qu'il existe un entier $i\in\db{0,n}$ tel que l'on $$\text{ait}\left|\sum_{k=0}^ia_k-\sum_{k=i+1}^na_k\right|\leq \sup_{0\leq k\leq n}|a_k|.$$ #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 413] Soit $P=X^2+c_1X+c_0$ à coefficients dans $\N$. Déterminer les suites d'entiers naturels $(a_n)$ telles que, pour tout $n\in\N$, $P\left(a_n\right)=a_{n+1}a_{n+2}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 414] Soit $k\in\N$. Déterminer les suites $(a_n)_{n\in\N}$ à valeurs dans $\N$ pour lesquelles il existe un polynôme $P$ à coefficients dans $\N$, unitaire et de degré $k$ tel que $\forall n\in\N$, $P(a_n)=\prod_{j=1}^ka_{n+j}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 415] Soient $A$ et $B$ deux éléments de $\R[X]$ dont toute combinaison linéaire réelle est scindée ou nulle, $x$ et $y$ deux racines de $A$ telles que $x\lt y$. Montrer que $B$ à une racine dans $[x,y]$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 416] Calculer $\sum_{z\in\mathbb{U}_n}\frac{1}{2-z}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 417] Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soient $u_1,\ldots,u_n$ des nombres complexes de module 1. Montrer que $\prod_{i\neq j}|u_i-u_j|^{\frac{1}{n(n-1)}}\leq n^{\frac{1}{n}}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 418] Pour $n\in\N^*$, calculer le module de $\sum_{k=0}^{n-1}\exp\bigg(2i\pi\frac{k^2}{n}\bigg)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 419] Soit $P\in\R[X]$ scindé sur $\R$. Soit $a\in\R$. Montrer que le polynôme $\op{Re}\big(P(X+ia)\big)$, polynôme dont les coefficients sont les parties réelles du polynôme $P(X+ia)$, est scindé sur $\R$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 420] On note $\mathbb{D}=\{z\in\C\;;\;|z|\leq 1\}$ et $\|P\|=\sup_{z\in\mathbb{D}}|P(z)|$ pour $P\in\C[X]$. Pour $P\in\C[X]$, on définit la suite $(P_n)_{n\geq 0}$ en posant $P_0=P$ puis $P_{n+1}=(P_n')^2$ pour tout $n\in\N$. Montrer qu'il existe un réel $\eps\gt 0$ tel que, si $\|P\|\lt \eps$, alors $\lim_{n\ra+\i}\|P_n\|=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 421] Soit $F$ un polynôme non constant à coefficients dans $\Z$. Montrer qu'il existe une infinite d'entiers $n\in\Z$ tels que $F(n)$ ne soit pas premier. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 422] Montrer que $\R^n$ ne s'écrit pas comme reunion finie de sous-espaces vectoriels strictly. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 423] Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe une matrice $M\in\M_n(\R)$ telle que, pour n'importe quelle permutation de ses $n^2$ coefficients, on obtienne toujours une matrice inversible. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 424] Soient $E$ et $F$ deux $\C$-espaces vectoriels. Une application $f:E\mapsto F$ est dite antilinéaire si $\forall x,y\in E,\forall\lambda\in\C,f(x+\lambda y)=f(x)+\overline{ \lambda}f(y)$ Pour quels entiers $n$ existe-t-il $f\colon\C^n\mapsto\C^n$ antilinéaire telle que $f\circ f=-\op{id}$? #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 425] Soient $n\geq 2$ et $A=\left(\begin{array}{cccc}0&1&\cdots&1\\ 1&0&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\cdots&1&0\end{array}\right)$. Montrer que $A\in\op{GL}_n(\R)$. Trouver les valeurs propres de $A$ et leurs multiplicités. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 426] Soient $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$, $(b_1,\ldots,b_n)\in\R^n$ et $A=(a_i+\delta_{i,j}b - {1\leq i,j\leq n}\in\M_n( \R)$. - Calculer $\det(A)$. - La matrice $A$ est-elle diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 427] Soient $A$ et $B\in\M_n(\C)$. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes ; @@ -5092,17 +4696,14 @@ Soient $A$ et $B\in\M_n(\C)$. Montrer que les assertions suivantes sont équival (ii) il existe $P\in\M_n(\C)$ non nulle telle que $PA=BP$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 428] Soient $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $A^2=B^2=-I_n$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 429] Soit $n$ un entier naturel impair. Soient $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB+BA=A$. Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre commun. Le résultat persiste-t-il pour $n$ pair? #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 430] Soient $A$ et $B$ des matrices de $\M_n\left(\R\right)$ telles que $AB$ est diagonalisable. - Est-ce que que $BA$ est diagonalisable? @@ -5112,50 +4713,41 @@ Soient $A$ et $B$ des matrices de $\M_n\left(\R\right)$ telles que $AB$ est diag - Est-ce que que $\left(BA\right)^2$ est diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 431] Soient $A$ et $B$ dans $\M_n(\R)$. On suppose que les valeurs propres complexes de $A$ ont une partie réelle strictement negative et que celles de $B$ ont une partie réelle negative. Soit $C\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une unique matrice $M\in\M_n(\R)$ telle que $C=AM+MB$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 432] Dans $\M_n(\C)$, soient $S$ et $S'$ diagonalisables, $N$ et $N'$ nilpotentes. On suppose $NS=SN$ et $N'S'=S'N'$ et $S+N=S'+N'$. Montrer que $S=S'$ et $N=N'$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 433] Montrer que, pour toute matrice $A\in\mc{S}_n(\R)$, il existe un unique couple $(B,C)$ de matrices symétriques positives telles que $A=B-C$ et $BC=CB=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 434] - Montrer que toute matrice réelle de taille $n$ symétrique positive admet une racine carrée symétrique positive. - Soient $S$ et $A$ deux matrices de taille $n$ avec $S$ symétrique définie positive et $A$ antisymétrique. Montrer que $AS$ est $\C$-diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 435] Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $k\in\N^*$. Pour $H\in\mc{S}_n(\R)$, on pose $\phi_k(H)=\sum_{i=0}^{k-1}A^iHA^{k-1-i}$. - Montrer que $\phi_k$ est un endomorphisme de $\mc{S}_n(\R)$. - à quelle condition $\phi_k$ est-elle injective? surjective? bijective? #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 436] Soit $f\in\mc{L}\left(S_n(\R),\R\right)$ telle que $\forall M\in\mc{S}_n^+(\R),\ f(M)\geq 0$. Montrer que $f$ est une combinaison linéaire des formes linéaires $\phi_X:M\mapsto X^TMX$ avec $X\in\M_{n,1}(\R)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 437] Soit $n$ un entier naturel impair. Soient $A$ et $B$ dans $S_n(\R)$. On note $C(A)$ (resp. $C(B)$) l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ qui commutent avec $A$ (resp. $B$).Montrer que $C(A)\cap C(B)=\RI_n$ si et seulement s'il n'existe pas deux sous-espaces $F$ et $G$ de $\R^n$, stables par $A$ et $B$, de dimension $\geq 1$, tels que $F\oplus G=\R^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 438] Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$ deux matrices dont les valeurs propres sont strictement supérieures à $1$. Montrer que les valeurs propres de $AB$ sont strictement supérieures à $1$. #+end_exercice - ** Analyse #+begin_exercice [X PC 2024 # 439] @@ -5170,97 +4762,82 @@ Chercher les fonctions $f\colon \R^2\ra\R^2$ bijectives, continues, dont la réc On note $a = \sqrt{2}$. Pour $n\geq 1$, soit $S_n = \frac{1}{n}\sum_{a \lt \frac{k}{n}\lt a+1} \frac{1}{\sqrt{\frac{k}{n} - a}}$. Étudier la convergence de $(S_n)$. #+END_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 449] Soit $(a_n)$ une suite de réels de $]0,1[$ telle que la série $\sum\frac{a_n}{\ln(1/a_n)}$ converge. Montrer que la série $\sum\frac{a_n}{\ln(n)}$ converge. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 450] Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite complexe vérifiant, pour $n\in\N$, $a_{n+1}=a_n+\frac{1}{(n+1)^2}\sum_{k=0}^na_n$. - Trouver $\alpha$ tel qu'il existe $C$ vérifiant $\forall n\in\N^*$, $|a_n|\leq Cn^{\alpha}$ - On suppose $a_0\gt 0$. Montrer que $\sum a_n$ diverge. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 451] Prouver que la série de terme general $2^{-2^n}$ converge et que sa somme $\sum_{n=0}^{+\i}2^{-2^n}$ est irrationnelle. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 452] Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positifs telle que $\sum a_n$ converge. Soit $(u_n)$ une suite réelle. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\frac{\sum_{k=0}^na_ku_{n-k}}{\sum_{k=0}^na_k}$. - Montrer que, si $\sum u_n$ converge absolument, alors $\sum v_n$ converge. - Est-ce toujours le cas si $\sum u_n$ ne converge pas absolument? #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 453] Soit $f\in[\,0\,;+\i\,[\,\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\int_0^{+\i}|f'(t)|\,\dt$ converge. Montrer que $$\int_0^{+\i}f(t)\dt$$ converge si et seulement si $$\sum f(n)$$ #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 454] Soient $k\in\N^*$ et $x_1,\ldots,x_k\in\R^{+*}$. Montrer l'inégalité $\prod_{i=1}^k(1+x_i^k)\geq\left(1+\prod_{i=1}^kx_i \right)^k$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 455] Déterminer les fonctions continues $f\colon\R\ra\R$ telles que : $\forall(a,b)\in\R^2,a\lt b$, $f\left(\frac{a+b}{2}\right)=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(t)\dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 456] Soient $n\in\N$ et $\lambda\in\,]0,1[$ distinct de $\frac{1}{n+2}$. - Trouver toutes les fonctions $f$ de classe $\mc C^{n+1}$ telles que, pour tous réels $a$ et $b$, on ait $f(b)=\sum_{k=0}^n\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\frac{(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}f^ {(n+1)}(\lambda b+(1-\lambda a))$. - Étudier le cas $\lambda=\frac{1}{n+2}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 457] Soient $a_1,\ldots,a_n$ des réels et $P:x\mapsto\sum_{k=1}^na_k\sin(kx)$. Pour tout entier $r\in\N$, on suppose que $(-1)^rP^{(2r)}$ est positive sur $[\,0\,;\pi\,]$. Montrer que $P$ est la fonction $x\mapsto a_1\sin(x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 458] Soit $(u_{k,n})_{(k,n)\in\N\times\N}$ une suite doublement indexée à valeurs complexes. On suppose que, pour toute suite complexe $(v_n)_{n\in\N}$ bornée, $\lim_{k\ra+\i}\sum_{n=0}^{+\i}v_nu_{k,n}=0$. Montrer que $\lim_{k\ra+\i}\sum_{n=0}^{+\i}|u_{k,n}|=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 460] Soient $f,g\in\mc C^0([0,1], \R)$ telles que $\int_0^1 fg = 0$. - Montrer que $$\int_0^1 f^2 \left(\int_0^1 g\right)^2 + \int_0^1 g^2 \left(\int_0^1 f\right)^2 \geq 4 \left(\int_0^1 f \int_0^1 g\right)^2.$$ - Montrer que $$\int_0^1 f^2 \int_0^1 g^2 \geq 4\left(\int_0^1 f \int_0^1 g\right)^2.$$ #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 464] Pour $f:[0,1]\ra\R$ et $n\in\N^*$, on pose $P_n:x\mapsto\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f\Big(\frac{k}{n}\Big)\,x^k(1-x)^{ n-k}$. On admet que, si $f$ est continue, alors $(P_n)$ tend uniformément vers $f$ sur $[0,1\,]$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $f:[\,0,1\,]\ra\R$ afin qu'il existe une suite de polynômes à coefficients entiers qui converge uniformément vers $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 465] Soit $f:z\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^5\left(1+\frac{i}{n^3}-z\right)}$. - Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0. - Montrer que la restriction de $f$ à l'ensemble des nombres complexes de module 1 n'est pas continue. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 466] Soit $\mc{S}$ l'ensemble des $f\in\mc C^1(\R,\R)$ telles que, pour tout $x\in\R$, $f\left(x\right)=xf'\left(x/2\right)$. - Chercher les $f\in\mc{S}$ développables en série entière. - L'espace $\mc{S}$ est-il de dimension finie? #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 467] Soit $\left(u_n\right)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ une suite qui tend vers $0$. Pour $t\in\,]-1,1[$, on pose $f(t)=\sum_{n=0}^{+\i}u_nt^n$. - Vérifier que $f$ est bien définie sur $]-1\,;1\,[$. @@ -5268,43 +4845,36 @@ Soit $\left(u_n\right)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ une suite qui tend vers $0$. Pour $t - On suppose de plus qu'il existe des réels $a_1,\ldots,a_r$ et $0\lt \theta_1\lt \cdots\lt \theta_r\lt \pi$ tels que $\forall n\in\N,\,u_n=\sum_{k=1}^ra_k\cos(n\theta_k)$. Montrer que $a_k=0$ pour tout $k\in\db{1,r}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 468] La fonction $f:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}(-1)^kx^{k!}$ admet-elle une limite lorsque $x$ tend vers $1^-\,$? #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 469] Soit $(a_{k,n})_{(k,n)\in\N^2}$ une famille de nombres complexes telle que, pour tout $n\in\N$, la série entière $f_n:z\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}a_{k,n}z^k$ à un rayon de convergence supérieur ou egal à 1. On note $B$ l'ensemble des nombres complexes de module $\leq 1$. On suppose que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $B$ et qu'il existe $M\in\R^+$ tel que, pour tous $n\in\N$ et $z\in B$, $|f_n(z)|\leq M$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $\{z\in\C,\;|z|\leq r\}$ pour tout $r\lt 1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 470] Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, $k\in\N$ et $f$ une fonction de $U$ dans $\C$ développable en série entière au voisinage de $0$ telle que $f(z)\underset{z\ra 0}{=}O(z^k)$. Montrer que, pour $r\gt 0$ assez petit, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)\in\R$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 471] Pour $x\geq 0$, on pose $I(x)=\int_0^{\pi/2}\cos(x\cos\theta)\,d\theta$. - Écrire $I(x)$ sous la forme d'une série. - Montrer que $I(x)=\mc{O}(x^{-1/4})$ quand $x$ tend vers $+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 472] On admet le theoreme d'approximation de Weierstrass. Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction continue. Soient $a,b\gt 0$. On suppose que $f(x)=0$ pour tout $x\in\R\setminus[\,-a\,;a\,]$. Pour $x\in\R$, on pose $\hat{f}(x)=\int_{-\i}^{+\i}f(t)e^{-ixt}\dt$. - On suppose que $\hat{f}(x)=0$ pour tout $x\in[\,-b\,;b\,]$. Montrer que $f=0$. - On suppose que $\hat{f}(x)=0$ pour tout $x\in\R\setminus[\,-b\,;b\,]$. Montrer que $f=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 473] Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle : $xy''+y'-4xy=0$. Ind. Chercher les solutions développables en série entière. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 474] Soient $p\colon\R\ra\R$ intégrable et $y\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$ vérifiant $(E):y''-py=0$. - Montrer que $\lim_{x\ra+\i}y'(x)=0$. @@ -5313,29 +4883,24 @@ Soient $p\colon\R\ra\R$ intégrable et $y\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$ vér Montrer que $(E)$ admet une solution non bornée. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 475] Soit $X\colon\R\mapsto\R^{2n}$ de classe $\mc C^1$ telle que $X'(t)=JSX(t)$, ou $J=\left(\begin{array}{cc}O_n&-I_n\\ I_n&O_n\end{array}\right)$ et $S\in S_n^{++}(\R)$. Montrer que $X$ est bornée sur $\R$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 476] Déterminer les extrema globaux et locaux de $f:M\in\text{SO}_4(\R)\mapsto\op{tr}(A)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 477] Soient $d\in\N$ et $\Omega\in\mc C^2(\R^d,\R)$. On suppose que $\nabla(\Omega)(0)=0$ et on note $D_a^2(\Omega)$ la hessienne en $a$ de $\Omega$. On suppose que $\op{Im}(D_a^2(\Omega))=F$, ou $F$ est indépendant de $a$ et de rang $p$. Montrer qu'il existe un changement de coordonnées $f$ (c'est-a-dire une application de $\R^d$ dans $\R^d$) tel que, pour tout $(x_1,\ldots,x_d)\in\R^d$, $(\Omega\circ f)(x_1,\ldots,x_d)$ ne depende que de $(x_1,\ldots,x_p)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 478] Soient $N\in\N^*$ et $f\in\mc C^0(\R^N,\R)$. Montrer qu'il existe une suite $(f_n)$ de fonctions dans $\mc C^{\i}(\R^N,\R)$ et une suite $(x_n)$ d'éléments de $\R^N$ qui tend vers $0$ telles que, pour tout $n\in\N$, la fonction $f-\phi_n$ admette un minimum local en $x_n$. #+end_exercice - ** Probabilités #+begin_exercice [X PC 2024 # 479] @@ -5344,24 +4909,20 @@ On lance une pièce une infinite de fois. On note $S_n$ le nombre de successions - On pose $T=\min\{n\in\N,\ S_n=1\}$. Calculer $G_T(t)$ et en déduire sa loi. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 480] Soit $f:[\,0\,;1\,]\ra\R$ une fonction croissante. Pour $n\in\N^*$, montrer que la fonction $p_n:x\mapsto\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f\Big(\frac{k}{n}\Big)\,x^k(1- x)^{n-k}$ est croissante sur $[0,1]$. Interpréter d'un point de vue probabiliste. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 481] On étudie un groupe de cellules. à l'instant initial, $n=0$, il y en à une. à chaque instant, chaque cellule peut de facon equiprobable : mourir, raster telle qu'elle est, se diviser en 2, se diviser en 3. Calculer la probabilité que le groupe disparaisse. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 482] Soient $p\in\left]0,1\right[$, $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires définie par $X_0=0$ et, pour $n\in\N$, $X_{n+1}=X_n+1$ avec une probabilité $p$ et $X_{n+1}=0$ avec probabilité $1-p$. Déterminer la loi de $X_n$, son espérance et sa variance. #+end_exercice - #+begin_exercice [X PC 2024 # 483] Soit $\Omega$ un ensemble. On dit que $\M\subset\mc{P}(\Omega)$ est une classe monotone si elle vérifie : @@ -5394,7 +4955,6 @@ On peut montrer que si $y$ ne marche pas, que si $z$ est un témoin du fait que On prend l'ensemble des éléments les plus proches de $x$, leur enveloppe convexe, la projection de $x$ sur celle-ci. Nah. #+END_proof - # ID:8009 #+begin_exercice [Lyon 2024 # Christophe] Soit $A$ un ensemble quelconque. Montrer que toutes les bijections de $A$ dans lui meme sont des produits (composees) de deux involutions. @@ -5403,7 +4963,6 @@ Soit $A$ un ensemble quelconque. Montrer que toutes les bijections de $A$ dans l Il suffit de traiter le cas de cycles finis, et de cycles infinis. #+END_proof - # ID:8016 #+begin_exercice [ULSR 2024] 1. Soit $z\in\C$ tel que $|z|\lt 1$. Montrer que $\quad\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\i}\frac{z^{2^n}}{1-z^{2^{n+1}}}=\frac{z^2}{1-z^2}$. @@ -5416,7 +4975,6 @@ Il suffit de traiter le cas de cycles finis, et de cycles infinis. 3. On a $F_p\mid F_{pq}$, donc le dénominateur de la somme partielle est $F_{n!}$. Puis mauvaise approximabilité des nombres algébriques. #+END_proof - # ID:nil #+begin_exercice [X 2024] On pose pour tout $f\in C^{\i}(\R,\R)$, $H_f(x)=-f''(x)+x^2f(x)$. @@ -5483,7 +5041,6 @@ Soit $\mc A_1 = \{A\in\M_n(\R)\mid \forall v\in\R^n,\, \exists \a_v \in\R \,\tex Notons que $e_1$ est un vecteur propre de $A$, que les autres valeurs propres (complexes) sont de modules $\lt 1$. En fait $\a_v$ est la valeur propre de $e_1$. Donc c'est assez clair. #+END_proof - # ID:8015 #+BEGIN_exercice [ENS 2024] Soit $a\gt 0$ et $x_1,\dots,x_n\geq 0$. Déterminer @@ -5493,53 +5050,45 @@ Soit $a\gt 0$ et $x_1,\dots,x_n\geq 0$. Déterminer Existence, puis par homogénéité, c'est atteint sur le bord. Extrema liées donnent $\frac{x_i}{y_i^{a+1}} = C$, donc $y_i = \big(\frac{x_i}{C}\big)^{1/(a+1)}$, comme $\sum y_i = 1$, on trouve $C$. #+END_proof - * Mines - Ponts - MP :mines: - ** Algèbre #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 484] Soit $n\in\N\setminus\{0,1\}$. Calculer $S_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2k}(-3)^k$ et $T_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}\binom{n}{3k}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 485] Soient $(a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n)\in\R^n$. Montrer que l'application définie sur l'ensemble des permutations de $\db{1,n}$ par $f(\sigma)=\sum_{i=1}^na_ib_{\sigma(i)}$ admet un minimum et un maximum à expliciter. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 486] On note $\phi$ la fonction indicatrice d'Euler. - Calculer $\phi(7)$ et $\phi(37044)$. - Montrer que : $\forall n\in\N^*,\phi(n)\geq\frac{n\ln 2}{\ln n+\ln 2}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 487] Soient $a$ et $b$ dans $\N^*$. Montrer que $a\wedge b=1$ si et seulement si, pour tout $n\geq ab$, il existe $u,v\in\N$ tels que $au+bv=n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 488] Pour $n\in\N$, soit $F_n=2^{2^n}+1$. - - Montrer que, si $m$ et $n$ sont deux entiers naturels distincts, $F_m\wedge F_n=1$. - - Retrouver à l'aide de la question précédente que l'ensemble des nombres premiers est infini. + 1. Montrer que, si $m$ et $n$ sont deux entiers naturels distincts, $F_m\wedge F_n=1$. + 2. Retrouver à l'aide de la question précédente que l'ensemble des nombres premiers est infini. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 489] Soit $n\in\N^*$. Déterminer et dénombrer les sous-groupes de $\Z/n\Z$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 490] Soit $G$ un groupe fini non reduit à l'élément neutre et tel que : $\forall g\in G,\ g^2=e$. - - Montrer que $G$ est abelien. - Soit $H$ un sous-groupe strict de $G$ et $a\in G\setminus H$. Montrer que $H\cup aH$ est un sous groupe de $G$ et que l'union est disjointe. + - Montrer que $G$ est abelien. + - Soit $H$ un sous-groupe strict de $G$ et $a\in G\setminus H$. Montrer que $H\cup aH$ est un sous groupe de $G$ et que l'union est disjointe. - Montrer que le cardinal de $G$ est une puissance de 2. - Calculer le produit des éléments de $G$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 491] Soient $G$ un groupe fini et $\Omega=G^2$ que l'on munit de la probabilité uniforme. @@ -5552,40 +5101,32 @@ Dans la suite, on suppose que $G$ n'est pas commutatif. - On note $s$ le nombre de classes d'équivalence. Montrer que : $p=\frac{s}{\op{card}G}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 492] Soit $G$ un groupe abelien. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux, et $x\in G$ d'ordre $a$ et $y\in G$ d'ordre $b$. Montrer que $xy$ est d'ordre $ab$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 493] Soit $G$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\cdot$ associative, telle qu'il existe $e\in G$ vérifiant $xe=x$ pour tout $x\in G$, et, pour tout $x\in G$, il existe $x'\in G$ tel que $xx'=e$. Montrer que $(G,\cdot)$ est un groupe. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 494] -Soit $\alpha=e^{i\theta}$ un nombre complexe de module $1$. Calculer $\prod_{k=0}^n(\alpha^{2^{-k}}+\bar{\alpha}^{2^{-k}})$. +Soit $\alpha=e^{i\theta}$ un nombre complexe de module $1$. Calculer $\prod_{k=0}^n(\alpha^{2^{-k}}+\ol{\alpha}^{2^{-k}})$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 495] Soit $n$ un entier $\geq 2$. On pose $Q=1+2X+\cdots+nX^{n-1}$. Calculer $\prod_{\zeta\in\mathbb{U}_n}Q(\zeta)$, ou $\mathbb{U}_n$ designe le groupe des racines $n$-iemes de l'unite. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 496] Soient $m\in\N^*$, $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_m$ des nombres réels, $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ des éléments de $\N^*$ et $P=\prod_{k=1}^m(X-x_k)^{\alpha_k}$. Quel est le nombre de racines réelles distinctes de $P'$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 497] - Soit $n\in\N$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n\in\Z[X]$ tel que - - $\forall x\in\R^*,\;P_n\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^n+\frac{1}{x ^n}$. +$\forall x\in\R^*,\;P_n\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^n+\frac{1}{x ^n}$. - Soit $a\in\Q$ tel que $\cos(a\pi)\in\Q$. Montrer que $2\cos(a\pi)\in\Z$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 498] Soient $0\lt a_0\lt \cdots\lt a_n$, $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ et $Q=(X-1)P$. - Soient $p\geq 2$ et $z_1$, $\ldots$, $z_p\in\C^*$ tels que $|z_1+\cdots+z_p|=|z_1|+\cdots+|z_p|$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R^{+*}$ tel que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $z_k=\lambda z_1$. @@ -5593,12 +5134,10 @@ Soient $0\lt a_0\lt \cdots\lt a_n$, $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ et $Q=(X-1)P$. - Montrer que les racines de $P$ sont de module strictement inférieur à $1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 499] Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$. Déterminer les $P\in\C[X]$ tel que $P(\mathbb{K})\subset\mathbb{K}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 500] Soit $P\in\C[X]$. - à quelle condition a-t-on $P(\C)=\C$? @@ -5606,7 +5145,6 @@ Soit $P\in\C[X]$. - à quelle condition a-t-on $P(\Q)=\Q$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 501] Soit $P\in\R[X]$ un polynôme non constant. On note $r^+(P)$ le nombre de racines de $P$ dans $\R^{++}$ et $N(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. - Que dire de $P$ si $N(P)=1$? si $N(P)=2$? @@ -5616,7 +5154,6 @@ Soit $P\in\R[X]$ un polynôme non constant. On note $r^+(P)$ le nombre de racine - Soit $n\in\N$. Soient $0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n$ des réels et $0\leq p_1\lt \cdots p_n$ des entiers. Montr per que : $\det\left(x_i^{p_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\gt 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 502] Soit $P$ un polynôme à coefficients complexes. - Donner la décomposition en éléments simples de $P'/P$. @@ -5624,7 +5161,6 @@ Soit $P$ un polynôme à coefficients complexes. - Montr per que si un demi-plan ferme $H$ contient une racine de $P'$ alors $H$ contient une racine de $P$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 503] - Soient $a,b,c\in\Z$ premiers entre eux, montrer que $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\ 2c&a&b\\ 2b&2c&a\end{pmatrix}$ est inversible. - On pose $\alpha=2^{1/3}$. Soit $(a,b,c)\in\Q^3$ tel que $a+b\alpha+c\alpha^2=0$. @@ -5632,7 +5168,6 @@ Soit $P$ un polynôme à coefficients complexes. Montrer que $a=b=c=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 504] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u\in\mc{L}(E)$. - On suppose que $E$ est de dimension finie. Montr per que les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) $\op{Ker}u=\op{Ker}u^2$ ; (ii) $\op{Im}u=\op{Im}u^2$ ; (iii) $\op{Ker}u\oplus\op{Im}u=E$. @@ -5640,71 +5175,59 @@ Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u\in\mc{L}(E)$. - En dimension finie ou infinie, montrer que : (iii) $\Longleftrightarrow$ ((i) et (ii)). #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 505] -Soit $f\in\mc{L}(\R^3)$ tel que $f^2=0$. Montr per que, si $F$ est un plan vectoriel de $\R^3$ stable par $f$, on a $\op{Im}(f)\subset F$. +Soit $f\in\mc{L}(\R^3)$ tel que $f^2=0$. Montrer que, si $F$ est un plan vectoriel de $\R^3$ stable par $f$, on a $\op{Im}(f)\subset F$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 506] Soit $\phi$ une forme linéaire sur $\M_n(\mathbb{K})$. Montr per qu'il existe $A\in\M_n(\mathbb{K})$ telle que $\phi=M\mapsto\op{tr}(AM)$. En déduire que tout hyperplan de $\M_n(\mathbb{K})$ contient une matrice inversible. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 507] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n\geq 2$, $p_1,\ldots,p_n\in\mc{L}(E)\setminus\{0\}$ tels que : $\forall i,j,\ p_i\circ p_j=\delta_{i,j}p_i$. Montr per que les $p_i$ sont de rang 1 et que $E=\bigoplus_{i=1}^n\op{Im}(p_i)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 508] Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie. - Soient $u\in\mc{L}(E,F)$ et $v\in\mc{L}(F,E)$ tels que $uvu=u$ et $vuv=v$. Montrer que $E=\op{Ker}(u)\oplus\op{Im}(v)$. - Soient $u\in\mc{L}(E,F)$, $E_1$ un supplementaire de $\op{Ker}u$ dans $E$, $F_1$ un supplementaire de $\op{Im}(u)$ dans $F$. Montrer qu'il existe un unique $v\in\mc{L}(F,E)$ tel que $\op{Ker}v=F_1$, $\op{Im}v=E_1$, $uvu=u$ et $vuv=v$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 509] Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. Soient $u,v\in\mc{L}(E)$. - Montrer que : $\op{rg}u+\op{rg}v-\dim E\leq\op{rg}(u \circ v)\leq\min(\op{rg}u,\op{rg}v)$. - On suppose que $u\circ v=0$ et $u+v\in\op{GL}(E)$. Montrer que $\op{rg}u+\op{rg}v=\dim E$, $\op{Im}v=\op{Ker}u$, $E=\op{Ker}u\oplus\op{Im}u$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 510] Soient $a,b\in\C$ distincts, $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ vérifiant $(u-a\op{id})\circ(u-b\op{id})=0$. On pose $p=\frac{1}{b-a}(u-a\op{id})$ et $q=\frac{1}{a-b}(u-b\op{id})$. Déterminer $p^2$, $q^2$, $p\circ q$, $q\circ p$ et $p+q$ puis montrer que $E=\op{Ker}(p)\oplus\op{Ker}(q)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 511] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension infinie dénombrable, $(e_n)_{n\geq 0}$ une base de $E$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que : $\forall n\in\N$, $u(e_n)=e_{n+1}$. Soit $\Phi$ l'endomorphisme de $\mc{L}(E)$ tel que : $\forall v\in\mc{L}(E)$, $\Phi(v)=uv-vu$. - Montrer que $\Phi$ n'est pas injectif et que la dimension de $\op{Ker}\Phi$ est infinie. - Soient $x_0\in E$ et $w\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe un unique $v\in\mc{L}(E)$ tel que $\Phi(v)=w$ et $v(e_0)=x_0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 512] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $\mc{A}$ une sous-algèbre de $\mc{L}(E)$ telle que les seuls sous-espaces vectoriels stables par tous les éléments de $\mc{A}$ sont $E$ et $\{0\}$. Montrer que, pour tout $x\in E$ non nul et tout $y\in E$, il existe $u\in\mc{A}$ tel que $u(x)=y$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 513] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u\in\mc{L}(E)$ nilpotent de rang $n-1$. Montrer que $u$ admet exactement $n+1$ sous-espaces stables. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 514] Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Trouver les endomorphismes de $E$ qui commutent avec tous les automorphismes de $E$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 515] - Soient $n\geq 2$ et $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ à coefficients entiers telle que, pour tout $i$, $b_{i,i}$ soit impair et, pour tout $(i,j)$ avec $i\neq j,b_{i,j}$ soit pair. Montrer que $B$ est inversible. - La propriété est-elle encore vérifiée lorsqu'on intervertit \lt \lt pair \gt \gt et \lt \lt impair \gt \gt ? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 516] Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=0$. Déterminer une condition nécessaire sur $n$ et $A$ pour qu'il existe $B\in\M_n(\R)$ telle que $A=B^2$. #+end_exercice @@ -5716,17 +5239,14 @@ seul, il faut un $0$ de plus. On a $\rg A\leq n/2$. Le seul cas qui ne marche pas est le cas où $\rg A = \frac{n}{2}$ et que $\frac{n}{2}$ est impair. On montre à la main que ce n'est pas possible, en prenant des antécédents de machins. #+END_proof - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 517] Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $A=B^3$. On suppose que $A$ est de rang $1$. Donner une relation entre $\op{tr}A$ et $\op{tr}B$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 518] Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une matrice $D\in\M_n(\R)$ diagonale à coefficients diagonaux éléments de $\{-1,1\}$ telle que $A+D$ soit inversible. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 519] Soient $n\in\N$ et $x_1\lt x_2\lt ...\lt x_n$ réels. On note $V=(x_i^{j-1})_{1\leq i,j\leq n}$. - Calculer le déterminant de la matrice $V$. @@ -5735,12 +5255,10 @@ Soient $n\in\N$ et $x_1\lt x_2\lt ...\lt x_n$ réels. On note $V=(x_i^{j-1})_{1\ Ind. On pourra interpréter $V$ comme matrice de passage dans $\R_{n-1}[X]$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 520] Soient $n\in\N^*$ et $P_1,\ldots,P_n\in\mathbb{K}[X]$. Montrer que la famille $(P_1,\ldots,P_n)$ est libre si et seulement s'il existe $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{K}$ tels que la matrice $(P_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}$ soit inversible. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 521] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que : $fg-gf=\op{id}$. - Montrer que : $\forall P\in\mathbb{K}[X],\,fP(g)-P(g)f=P'(g)$. @@ -5748,19 +5266,16 @@ Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que : $fg- - Si $E=\R[X]$, donner un exemple de couple $(f,g)$ vérifiant les relations précédentes. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 522] Soient $n\geq 2$ et $E$ un ensemble à $n$ éléments. On pose $N=2^n-1$ et $E_1,\ldots,E_N$ les parties non vides de $E$. Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq N}\in\M_N(\R)$ ou $a_{i,j}=1$ si $E_i\cap E_j\neq\emptyset$, et 0 sinon. Calculer $\det A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 523] Soient $n\in\N^*$ et $f_1,...,f_n$ des fonctions de $\R$ dans $\R$. Montrer que la famille $(f_1,...,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $(x_1,...,x_n)\in\R^n$ tel que $\det\left((f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}\right)\neq 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 524] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel et $f_1,...,f_p$ des formes linéaires sur $E$. @@ -5770,31 +5285,26 @@ Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : - il existe $x_1,...,x_p\in E$ tels que $\det\left((f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq p}\right)\neq 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 525] Soient $A,M\in\M_n(\C)$ avec $A$ inversible et $M$ de rang 1. - On suppose que $\det(A+M)=0$. Que dire de $\op{tr}\left(A^{-1}M\right)$? - On suppose que $\det(A+M)\neq 0$. Donner une expression de $(A+M)^{-1}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 526] Soient $A\in\M_n(\C)$ et $M=\begin{pmatrix}I_n&A\\ A&I_n\end{pmatrix}$. Étudier l'inversibilité de $M$, et le cas echeant, déterminer $M^{-1}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 527] Soient $A,B\in\M_n(\R)$ avec $B$ nilpotente et $AB=BA$. - Montrer que $A\in\op{GL}_n(\R)$ si et seulement si $A+B\in\op{GL}_n(\R)$. - Calculer $(A+B)^{-1}$ quand $A$ est inversible. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 528] Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$. Montrer que $A^2=0$ si et seulement si $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}0&I_r\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $2r\leq n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 529] Pour $n\in\N^*,$ soit $P_n=X^n-X+1$. - @@ -5804,7 +5314,6 @@ Pour $n\in\N^*,$ soit $P_n=X^n-X+1$. - Notons $r_1,r_2,r_3$ les racines de $P_3$. Calculer $\begin{pmatrix}r_1+1 & 1 & 1 \\ 1 & r_2+1 & 1 \\ 1 & 1 & r_3 + 1 \end{pmatrix}$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 530] - Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $p\in\db{1,n-1}$. Soit $u\in\mc{L}(E)$, qui stabilise tous les sous-espaces de dimension $p$. Montrer que $u$ est une homothetie. - Soient $A,M\in\M_n(\C)$. On suppose que $A$ n'est pas scalaire et que $M$ commute avec toutes les matrices semblables à $A$. Que dire de $M$? @@ -5812,12 +5321,10 @@ Pour $n\in\N^*,$ soit $P_n=X^n-X+1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 531] Soient $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$, $A$ et $B$ dans $\M_n(\mathbb{K})$. Si $A$ et $B$ sont semblables, montrer que $\text{Com}(A)$ et $\text{Com}(B)$ le sont aussi. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 532] Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que, si $t\in\R^+$, $\det(A^2+tI_n)\geq 0$. @@ -5844,14 +5351,12 @@ Soient $n\geq 2$ et $A\in\M_n(\C)$ non nulle et non inversible. Montrer que $A^m B= A^{m-1} BÀ = \dots = BA^m$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 536] Soient $n\in\N$, $P\in\mathbb{K}[X]$ de degré $n$, $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ des éléments distincts de $\mathbb{K}$. - Calculer le déterminant de la matrice $(P^{(i)}(\alpha_j))_{0\leq i,j\leq n}$. - Montrer que $(P(X+\alpha_j))_{0\leq j\leq n}$ est une base de $\mathbb{K}_n[X]$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 537] Soient $n\gt 2$, $m=2^n-2$, $E=\db{1,n}$ et $\mc{F}=\mc{P}(E)\setminus\{\emptyset,E\}$. - Montrer qu'il existe une unique bijection $g\colon\mc{F}\ra\mc{F}$ telle que $\forall\alpha\in\mc{F}$, $g(\alpha)\cap\alpha=\emptyset$. @@ -5862,12 +5367,10 @@ Soient $n\gt 2$, $m=2^n-2$, $E=\db{1,n}$ et $\mc{F}=\mc{P}(E)\setminus\{\emptyse Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $3n$ et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose que $f^3=0$ et $\op{rg}(f)=2n$. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $f$ est egale à $\left(\begin{array}{c|c}0&I_n&0\\ \hline 0&0&I_n\\ \hline 0&0&0\end{array}\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 539] Soit $G$ un sous-groupe de $\op{GL}_n(\R)$ vérifiant $\forall M\in G,\ M^2=I_n$. Montrer que $G$ est fini. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 540] Soit $I$ l'ensemble des matrices inversibles de $\M_n(\Z)$ et $A\in\M_n(\Z)$. - Preciser la structure algebrique de $I$. @@ -5875,12 +5378,10 @@ Soit $I$ l'ensemble des matrices inversibles de $\M_n(\Z)$ et $A\in\M_n(\Z)$. - Pour toute colonne $X$ à coefficients entiers, on note $\alpha(X)$ le pgcd de ses coefficients. Montrer que $A\in I$ si et seulement si, pour toute colonne $X$ à coefficients entiers, $\alpha(AX)=\alpha(X)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 541] Déterminer les parties $G\subset\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ est un groupe multiplicatif mais pas un sous-groupe de $\op{GL}_n(\C)$. Montrer que toutes les matrices de $G$ ont même rang. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 542] Soit $f\in\op{GL}\left(\M_n(\R)\right)$ vérifiant : $\forall A,B\in\M_n(\R),f(AB)=f(A)f(B)$. - Calculer $f(I_n)$. @@ -5888,14 +5389,12 @@ Soit $f\in\op{GL}\left(\M_n(\R)\right)$ vérifiant : $\forall A,B\in\M_n(\R),f(A - Expliciter $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 543] Soient $A,B\in\M_n(\C)$. On suppose qu'il existe $c\in\C$ tel que $AB-BA=cA$. - Montrer que $\forall k\in\N$, $(A-cI_n)^kB=BA^k$. - Montrer que $\forall t\in\R$, $e^{-ct}e^{tA}B=Be^{tA}$. #+end_exercice - # ID:7701 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 544] Pour $M\in\M_n(\R)$, on dit que $M$ est stochastique si : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,m_{i,j}\geq 0$ et $\forall i\in \db{1,n},\sum_{j=1}^n m_{i,j}=1$. Soit $A\in\M_n(\R)$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\exp(tA)$ soit stochastique pour tout $t\in\R^+$. @@ -5906,32 +5405,27 @@ En dérivant, on trouve que $AJ = 0$ (ce qui assure le caractère $\sum = 1$). E Réciproquement, ces conditions suffisent, car $e^{tA} = \left(e^{\frac{tA}{n}}\right)^n$. #+END_proof - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 545] - Soient $M\in\M_{n,p}(\mathbb{K})$ et $N\in\M_{p,n}(\mathbb{K})$. Trouver une relation entre $\chi_{MN}$ et $\chi_{NM}$. - Soit $A\in\op{GL}_n(\mathbb{K})$. On pose $B=(1+a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$, on écrit $A^{-1}=(s_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ et on pose enfin $S=\sum_{1\leq i,j\leq n}s_{ij}$. Trouver une relation entre $\det A$, $\det B$ et $S$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 546] Soient $J=$ $\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&\ddots&1\\ 1&0&\cdots&0&0\end{pmatrix}$, $A=$ $\dfrac{1}{2}$ $\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0&1\\ 1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&\ddots&\ddots&1\\ 1&0&\cdots&\cdots&1&0\end{pmatrix}\in\M_n(\R)$. - Montrer que $J$ est diagonalisable dans $\M_n(\C)$, et preciser ses éléments propres. - Déterminer les éléments propres de la matrice $A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 547] Soient $(a_1,\ldots,a_n)\in\C^n$ et $M=$ $\begin{pmatrix}0&\ldots&0&a_n\\ a_1&\ddots&\vdots&0\\ \vdots&\ddots&0&\vdots\\ 0&\ldots&a_{n-1}&0\end{pmatrix}$. à quelle condition $M$ est-elle diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 548] Soient $a,b\in\R$ avec $a^2\neq b^2$. Diagonaliser si possible la matrice $A\in\M_{2n}(\R)$ telle que $a_{i,j}=a$ si $i+j$ est pair et $a_{i,j}=b$ sinon. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 549] Soit $A=$ $\begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 1&k&1&1\\ 0&1&0&0\\ 0&1&0&0\end{pmatrix}\in\M_4(\C)$. - Justifier que $A$ est diagonalisable lorsque $k\in\R$. @@ -5939,7 +5433,6 @@ Soit $A=$ $\begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 1&k&1&1\\ 0&1&0&0\\ 0&1&0&0\end{pmatrix}\in\ - à quelle condition $A$ est-elle diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 550] Soit $n\in\N^*$. Soit $A=(a_{i,j})\in\M_n(\R)$ définie par $a_{i,j}=j$ si $i\neq j$ et $0$ sinon. - Calculer $\det(A+kI_n)$ pour $k\in\{1,2,...,n\}$. @@ -5948,12 +5441,10 @@ Soit $n\in\N^*$. Soit $A=(a_{i,j})\in\M_n(\R)$ définie par $a_{i,j}=j$ si $i\ne - Déterminer la somme et le produit des valeurs propres de $A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 551] Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice diagonalisable dans $\M_n(\C)$. Montrer que les matrices $A$ et $A^T$ sont semblables dans $\M_n(\R)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 552] Soit $\omega$ un nombre complexe non réel - Montrer qu'il existe un unique couple $(\alpha,\beta)\in\R^2$ tel que $\omega^2=\alpha\omega+\beta$. @@ -5963,7 +5454,6 @@ Soit $\omega$ un nombre complexe non réel - Quelle est la matrice de $u$ dans $e\,?$ Son polynôme caractéristique? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 553] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $H$ un hyperplan de $E$, $u\in\op{GL}(E)\setminus\{\op{id}\}$ tel que $\forall x\in H$, $u(x)=x$. Montrer l'équivalence des conditions suivantes : - pour tout supplementaire $S$ de $H$ dans $E$, il existe $x\in S$ tel que $u(x)\neq x$ ; @@ -5975,14 +5465,12 @@ _(iii)_ $u$ admet une valeur propre autre que $1$ ; - il existe $\lambda\neq 1$ et une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est $\op{Diag}(1,\ldots,1,\lambda)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 554] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $s\in\mc{L}(E)$ une symétrie. Soit $\Phi:u\in\mc{L}(E)\mapsto\dfrac{su+us}{2}$. Déterminer les éléments propres de $\Phi$ puis étudier sa diagonalisabilité. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 555] Soient $A,B\in\M_n(\R)$ des matrices non nulles. Soit $f$ l'endomorphisme de $\M_n(\R)$ défini par $f(M)=M+\op{tr}(AM)B$ pour tout $M\in\M_n(\R)$. - Déterminer un polynôme annulateur de degré $2$ de $f$. @@ -5990,12 +5478,10 @@ Soient $A,B\in\M_n(\R)$ des matrices non nulles. Soit $f$ l'endomorphisme de $\M - Déterminer les éléments propres de $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 556] Soit $B\in\M_3(\R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $B$ pour que l'équation $A^3=B$ admette au moins une solution. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 557] Pour $P\in\R[X]$, on pose $L(P)\in\R[X]$ le polynôme associe à la fonction polynomiale $x\mapsto\int_0^{+\i}P(x+t)\,e^{-t}dt$. - Montrer que $L$ définit un endomorphisme de $\R[X]$. @@ -6004,7 +5490,6 @@ Pour $P\in\R[X]$, on pose $L(P)\in\R[X]$ le polynôme associe à la fonction pol - Déterminer le commutant de $L$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 558] Soient $E=\mc C^0(\R,\R)$ et $\phi$ tel que, pour tout $f\in E$ et tout $x\in\R\colon\phi(f)(x)=\dfrac{1}{2x}\int_{-x}^xf(u)\,du$ si $x\neq 0$, $\phi(f)(0)=f(0)$. - Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$. @@ -6012,44 +5497,36 @@ Soient $E=\mc C^0(\R,\R)$ et $\phi$ tel que, pour tout $f\in E$ et tout $x\in\R\ - Montrer que $\phi$ stabilise $\R_n[X]$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 559] Soient $E=\mc C^0([-1,1],\C)$ et $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ surjective et croissante. Soit $\Phi\in\mc{L}(E)$ définie par : $\forall f\in E$, $\Phi(f)=f\circ g$. On considére $F\neq\{0\}$ un sous-espace de dimension finie de $E$ stable par $\Phi$. - Montrer que $\Phi_F$ est un automorphisme. - Montrer que 1 est l'unique valeur propre de $\Phi_F$. - Montrer que $u=\Phi_F-\mathrm{id}_F$ est nilpotent. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 560] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $v\in\mc{L}(E)$ diagonalisable et $P\in\C[X]$ non constant. Montrer qu'il existe $u\in\mc{L}(E)$ tel que $v=P(u)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 561] Quelles sont les $M\in\M_n(\C)$ telles que l'ensemble $\{M^k\;;\;k\in\N\}$ soit fini? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 562] Trouver les $A\in\M_n(\C)$ telles que $PA$ est diagonalisable pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 563] Soit $A=\begin{pmatrix}aM&bM\\ bM&cM\end{pmatrix}$ avec $M\in\M_n(\R)$ et $a$, $b$, $c\in\R$. Étudier la diagonalisabilité de $A$ en fonction de $a$, $b$, $c$ et $M$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 564] Soient $A$, $B$, $C\in\M_n(\C)$ telles que $AB=BC$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\begin{pmatrix}A&B\\ 0&C\end{pmatrix}$ soit diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 565] Soit $A\in\M_n(\Z)$ tel que $A^p=I_n$ ( $p\in\N^*$). Soit $m\geq 3$. On suppose que les coefficients de $A-I_n$ sont divisibles par $m$. Montrer que $A=I_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 566] Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\C)$. On note $\overline{M}=\big(\overline{M_{i,j}}\big)_{1\leq i,j\leq,n}$. - Montrer qu'il existe $\alpha\in\mathbb{U}$ tel que $\alpha M+\overline{\alpha}I_n\in\mathrm{GL}_n(\C)$. @@ -6061,59 +5538,49 @@ Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\C)$. On note $\overline{M}=\big(\ove (ii) $M=PD\overline{P}^{-1}$ avec $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ et $D\in\M_n(\C)$ diagonale. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 567] - Montrer l'existence et l'unicité d'une suite $(P_n)_{n\geq 0}$ de polynômes telle que $P_0=2$, $P_1=X$ et $\forall n\in\N$, $P_{n+2}=XP_{n+1}-P_n$, $\deg(P_n)=n$. - Soit $n,N\in\N^*$. Soit $A\in\M_N(\C)$ telle que $P_n(A)=0$. Montrer que $A$ est diagonalisable. - Soit $n\geq 2$. Résoudre le systeme $\forall i\in\db{1,n}$, $x_i=x_{i-1}+x_{i+1}$ en convenant que $x_0=x_{n+1}=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 568] Soit $A\in\M_n(\R)$ diagonalisable sur $\C$. Montrer que $A$ est semblable sur $\R$ à une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont soit de taille $1$, soit de la forme $\left(\begin{array}{cc}a&-b\\ b&a\end{array}\right)$ avec $(a,b)\in\R\times\R^*$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 569] Soient $A$ et $B$ deux matrices non cotrigonalisables de $\M_2(\C)$. Montrer qu'il existe $P\in\text{GL}_2(\C)$ telle que $P^{-1}AP$ soit triangulaire supérieure et $P^{-1}BP$ triangulaire inférieure. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 570] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$. - Soit $F$ un plan stable par $f$. Montrer qu'il existe $P\in\mathbb{K}[X]$ non nul de degré au plus $2$ tel que : $F\subset\mathrm{Ker}\,P(f)$. - Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ non nul de degré $2$ divisant le polynôme minimal de $f$. Montrer qu'il existe un plan $F$ stable par $f$ tel que $F\subset\op{Ker}P(f)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 571] Soient $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in\mc{L}(E)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\chi_u$ pour que les seuls sous-espaces stables par $u$ soient $\{0\}$ et $E$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 572] Soient $A$ et $B$ dans $\M_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre : (i) $BA=0$ et $B$ nilpotente, (ii) $\forall M\in E$, $\chi_{AM+B}=\chi_{AM}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 573] Soient $A,B$ dans $\M_n(\C)$ telles que $\op{sp}A\cap\op{sp}B=\emptyset$. - Montrer que $\chi_A(B)$ est inversible. - Soit $M\in\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une unique matrice $X$ telle que $AX-XB=M$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 574] Quelles sont les $A$ de $\M_n(\C)$ qui commutent avec chaque matrice de leur classe de similitude? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 575] Soient $A,B\in\M_n(\C)$. - On suppose que $AB-BA=\alpha A$ avec $\alpha\in\C$. Montrer que $A$ et $B$ sont cotrigonalisables. - On suppose que $AB-BA=\alpha A+\beta B$. Montrer que $A$ et $B$ sont cotrigonalisables. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 576] Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$. - On suppose que $A$ et $B$ admettent une valeur propre commune $\lambda$. Montrer qu'il existe $C\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle telle que $AC=CB=\lambda C$. @@ -6121,19 +5588,16 @@ Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$. - Étudier la réciproque. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 577] Pour $A\in\M_n(\C)$, soit $C(A)$ la sous-algèbre des matrices de $\M_n(\C)$ qui commutent avec $A$. - On suppose que $A$ est diagonalisable. Calculer la dimension de $C(A)$. à quelle condition a-t-on $C(A)=\C[A]$? - Montrer que, sans hypothese sur $A$, la dimension de $C(A)$ est supérieure ou egale à $n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 578] Pour $A\in\M_n(\C)$, soit $C(A)$ la sous-algèbre des matrices de $\M_n(\C)$ qui commutent avec $A$. à quelle condition sur $A$ est-il vrai que $C(A)$ ne contient aucune matrice nilpotente non nulle? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 579] Soient $n\in\N^*$, $A$, $B\in\M_n(\R)$, $P\in\R[X]$ et $M=\begin{pmatrix}A&B\\ 0&A\end{pmatrix}$. - Supposons $\deg P\geq 2$. Montrer que, si $P$ est scindé à racines simples, $P'$ l'est egalement. @@ -6141,21 +5605,18 @@ Soient $n\in\N^*$, $A$, $B\in\M_n(\R)$, $P\in\R[X]$ et $M=\begin{pmatrix}A&B\\ 0 - Montrer que $M$ est diagonalisable dans $\R$ si et seulement si $A$ est diagonalisable dans $\R$ et $B=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 580] Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\|x\|^2=\sum_{i=1}^n\left\langle x,e_i\right\rangle^2$ pour tout $x\in E$. - Montrer que $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormale de $E$. - On remplace l'hypothese $\lnot(e_1,\ldots,e_n)$ est libre $\triangleright$ par $\lnot\lnot$ les vecteurs $e_1,\ldots,e_n$ sont non-nuls $\triangleright$. Le résultat subsiste-t-il? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 581] On munit $\R^n$ de son produit scalaire canonique. Soient $\delta\gt 0$ et $A$ une partie de $\R^n$ vérifiant : $\forall(x,y)\in A^2,x\neq y\implies\|x-y\|=\delta$. - Soient $p\in\N$ et $u_0,\ldots,u_p\in A$ distincts. On considére la matrice $M\in\M_p(\R)$ définie par : $m_{i,j}=\left\langle u_i-u_0,u_j-u_0\right\rangle$. Montrer que $M$ est inversible. - Montrer que $A$ est finie. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 582] - Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1\frac{P(t)\,Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$. - - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynôme $T_n$ tel que $\forall x\in\R,\ T_n(\cos(x))=\cos(nx)$. @@ -6165,49 +5626,40 @@ On munit $\R^n$ de son produit scalaire canonique. Soient $\delta\gt 0$ et $A$ u Calculer $\min_{P\in U_n}\int_{-1}^1\frac{P^2(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 583] Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer que : $|\det M|\leq\prod_{j=1}^n\sqrt{\sum_{i=1}^nm_{i,j}^2}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 584] Soient $E$ un espace euclidien et $f\in\mc{L}(E)$ tel que $\|f(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x\in E$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nf^k$ pour tout $n\geq 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 585] Soient $E$ un espace euclidien et $f\in\mc{L}(E)$ un endomorphisme $1$-lipschitzien. Montrer que : $E=\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id})\overset{\perp}{\oplus}\mathrm{Im}(f-\mathrm{id})$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 586] Soit $M\in\M_n(\R)$ une matrice nilpotente non nulle. Déterminer l'image de l'application $\phi:x\in\R^n\mapsto x^TMx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 587] Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. Montrer que l'application $f:x\in E\mapsto\frac{x}{\max(\|x\|,1)}$ est $1$-lipschitzienne. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 588] Soit $(a,b,x_0)$ une famille libre d'un espace euclidien $E$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un endomorphisme $u$ de $E$ tel que $u(x_0)=a$ et $u^*(x_0)=b$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 589] Soient $E$ un espace euclidien, $p$ et $q$ dans ${\cal L}(E)$ des projecteurs orthogonaux. Montrer que $q\circ p$ est un projecteur si et seulement si c'est un projecteur orthogonal. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 590] Soient $E$ un espace euclidien, $u$ et $v$ dans ${\cal O}(E)$ telles que $\det(u)\det(v)\lt 0$. Calculer $\|v-u\|_{_{\rm op}}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 591] Pour ${\mathbb{K}}={\R}$ ou ${\mathbb{K}}={\C}$, on appelle $d_n({\mathbb{K}})$ la dimension du plus grand sous-espace vectoriel de ${\cal M}_n({\mathbb{K}})$ dont tous les éléments sont diagonalisables. - Que peut-on dire du spectre réel d'une matrice antisymétrique? @@ -6215,7 +5667,6 @@ Pour ${\mathbb{K}}={\R}$ ou ${\mathbb{K}}={\C}$, on appelle $d_n({\mathbb{K}})$ - Déterminer $d_2({\C})$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 592] Soit $n\geq 3$. Soient $A,B\in{\R}^n$ non colinéaires. On pose : $M=AB^T+BA^T$. - Montrer que $M$ est diagonalisable. @@ -6223,24 +5674,20 @@ Soit $n\geq 3$. Soient $A,B\in{\R}^n$ non colinéaires. On pose : $M=AB^T+BA^T$. - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $M$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 593] Soit $J=\begin{pmatrix}0_n&I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}\in{\cal M}_{2n}({\R})$. Soit $G=\{M\in{\cal M}_{2n}({\R}),M^TJM=J\}$. - Montrer que $G$ est un sous-groupe de ${\rm GL}_{2n}({\R})$. - Caractériser les éléments de ${\cal O}_{2n}({\R})\cap G$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 594] Décrire $\left\{e^A\ ;\ A\in{\cal A}_n({\R})\right\}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 595] Soient $f:{\cal M}_n({\R})\ra{\R}^{+*}$ continue et $A\in{\cal A}_n({\R})$. Montrer que $\inf_{x\in{\R}}f(e^{xA})\gt 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 596] - Trouver toutes les applications $f$ de ${\R}^n$ dans ${\rm GL}_n({\R})$ telles que @@ -6248,7 +5695,6 @@ Soient $f:{\cal M}_n({\R})\ra{\R}^{+*}$ continue et $A\in{\cal A}_n({\R})$. Mont - Même question en remplacant ${\rm GL}_n({\R})$ par ${\cal\tilde{O}}_n({\R})$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 597] - Soit $A\in{\cal A}_n({\R})$. Montrer que ${\rm Sp}_{{\C}}(A)\subset i{\R}$. - On note ${\cal L}$ l'ensemble des matrices $M\in{\rm SO}_n({\R})$ telles que $-1\notin{\rm Sp}(M)$. Montrer que l'application $\phi:{\cal A}_n({\R})\ra{\cal L},M\mapsto(I_n+M)(I_n-M)^{-1}$ est une bijection. @@ -6257,14 +5703,12 @@ Soient $f:{\cal M}_n({\R})\ra{\R}^{+*}$ continue et $A\in{\cal A}_n({\R})$. Mont Résoudre l'équation : $(I_n+X)(I_n-X)^{-1}=Q$ d'inconnue $X\in{\cal A}_2({\R})$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 598] Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal O}_n({\R})$. Montrer que $\Big{|}\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}\Big{|}\leq n \leq\sum_{1\leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 599] On munit ${\R}^3$ de sa structure euclidienne canonique. @@ -6273,7 +5717,6 @@ Soient $e_1,e_2\in{\R}^3$ et $f:x\mapsto\langle x,e_1\rangle\,e_2+\langle x,e_1\ - Étudier la réciproque. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 600] Soit $E$ un espace réel de dimension $n\geq 2$. Lorsque $\Phi$ est un produit scalaire sur $E$, on note $\mc{O}_{\Phi}(E)$ le groupe des isométries pour $\Phi$, et $\mc{S}_{\Phi}^{++}(E)$ l'ensemble des endomorphismes autoadjoints définis positifs pour $\Phi$. - On fixe un produit scalaire $\Phi$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : @@ -6283,19 +5726,16 @@ Soit $E$ un espace réel de dimension $n\geq 2$. Lorsque $\Phi$ est un produit s - Soit $P$ l'ensemble des produits scalaires sur $E$. Déterminer $\bigcap_{\Psi\in P}\mc{O}_{\Psi}(E)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 601] Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$ de $\R^n$ telle que $(Me_1,\ldots,Me_n)$ soit orthogonale. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 602] Soit $k$ un réel fixe. On pose $A=$ $\begin{pmatrix}k&1&0&\cdots&0\\ 1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&0&1&k\end{pmatrix}\in\M_n(\R)$. Montrer que $\max_{\lambda\in\op{Sp}A}\lambda\geq k+1$ et $\min_{\lambda\in\op{Sp}A}\lambda\geq k-1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 603] Soit $\in\mc{S}_n(\R)$. - Montrer l'équivalence des enonces suivants : (i) $x^TSx\geq 0$ pour tout $x\in\R^n$, @@ -6307,14 +5747,12 @@ Desormais, on suppose ces conditions realisées. - On suppose de plus les coefficients de $S$ non nuls, et on pose $T=\left(\frac{1}{s_{i,j}}\right)_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $T\in\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si $\op{rg}S=1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 604] Soit $A\in\M_n(\R)$. - Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $S\in\mc{S}_n(\R)$ telle que $A=S^2+S+I_n$. - à quelle condition la matrice $S$ est-elle unique? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 605] Soient $A,C\in\mc{S}_2(\R)$ et $B\in\mc{A}_2(\R)$. - Montrer que $M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&C\end{pmatrix}$ est diagonalisable. @@ -6323,39 +5761,32 @@ Soient $A,C\in\mc{S}_2(\R)$ et $B\in\mc{A}_2(\R)$. - On suppose ici que $A$ est inversible. On pose $P=\begin{pmatrix}I_2&A^{-1}B\\ 0&I_2\end{pmatrix}$. Calculer $MP$. En déduire le rang de $M$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 606] Soit $A=\left(\frac{1}{i+j}\right)_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $A$ est diagonalisable et que son spectre est inclus dans $\R^{+*}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 607] Soit $A_n=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A_n$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre de $A_n$ est inférieure à $\frac{1}{2n+1}$. On pourra montrer que, pour $P\in\R[X]$, on a $\int_{-1}^1P(t)\dt+\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\, d\theta=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 608] Soient $E$ un espace euclidien, $u\in\mc{S}(E)$, $a$ et $b$ deux réels tels que $a\lt b$, $P\in\R[X]$ tel que $\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. On suppose que $\forall x\in E,\ a\|x\|^2\leq\langle u(x),x\rangle\leq b\|x\|^2$. Montrer que $P(u)\in\mc{S}^{++}(E)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 609] Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer que $M$ est combinaison linéaire de quatre matrices orthogonales. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 610] Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^TA=A^TA$. Montrer que si $F$ est un sous-espace de $\R^n$ stable par $A$ alors $F^{\perp}$ est stable par $A^T$. On suppose $n=3$. Montrer que $A$ est soit diagonalisable, soit semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&\alpha&\beta\\ 0&-\beta&\alpha\end{pmatrix}$ avec $\beta\neq 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 611] Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. - Montrer qu'il existe un unique couple $(O,S)\in\mc{O}_n(\R)\times S_n^{++}(\R)$ tel que $M=OS$. - Déterminer $\sup_{A\in\mc{O}_n(\R)}\mathrm{tr}(AM)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 612] Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien. - Soit $u\in\mc{S}(E)$. Montrer que $E=\mathrm{Ker}(u)\oplus\mathrm{Im}\,u$. @@ -6365,22 +5796,18 @@ Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien. Montrer que $\mathrm{Im}(f+g)=\mathrm{Im}\,f+\mathrm{Im}\,g$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 613] Soient $S\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $A\in\M_n(\R)$ qui commute avec $S^2$. Montrer que $A$ commute avec $S$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 614] Soient $A,B\in\mc{S}_n^+(\R)$ telles que $A^2B^2=B^2A^2$. Montrer que $AB=BA$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 615] Soient $n,k\in\N^*$. Étudier l'injectivite et la surjectivite de l'application $f\colon\mc{S}_n(\R)\ra\mc{S}_n(\R)$ définie par $f(A)=A^k$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 616] Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. - Montrer qu'il existe $P\in\mc{O}_n(\R)$ et $D=\mathrm{Diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ avec $\lambda_i\gt 0$ pour tout $i$ telles que $P^TM^TMP=D^2$. @@ -6389,14 +5816,12 @@ Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. - Montrer le même résultat si $M$ est non inversible. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 617] Soit $n\geq 2$ - Déterminer le sous-espace vectoriel engendre par $\mc{S}_n^{++}(\R)$. - Déterminer le plus petit sous-anneau de $\M_n(\R)$ contenant $\mc{S}_n^{++}(\R)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 618] Soit $n\geq 2$. - Soit $S\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\R)$ tel que $S=P^TP$. @@ -6406,7 +5831,6 @@ Soit $n\geq 2$. Montrer que $|\mathrm{det}(\alpha_1A_1+\cdots+\alpha_kA_k)|\leq\mathrm{det}(| \alpha_1|A_1+\cdots+|\alpha_k|A_k)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 619] Soient $E$ un espace euclidien et $u\in\mc{L}(E)$. - Montrer que $|\!|\!|u|\!|\!|=\sup\limits_{\|x\|=1}\|u(x)\|=\sup\limits_{\|x\|\leq 1} \|u(x)\|$. @@ -6414,14 +5838,12 @@ Soient $E$ un espace euclidien et $u\in\mc{L}(E)$. - On suppose $u$ symétrique. Montrer que $|\!|\!|u|\!|\!|=\sup\limits_{\|x\|=1}|\langle u(x),x\rangle|=\sup\limits_{\|x \|\leq 1}|\langle u(x),x\rangle|$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 620] On munit $\M_n(\R)$ de la norme subordonnée à la norme euclidienne canonique. Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$. On note $r$ la plus petite valeur propre de $A^{\rap}A$ et $R$ la plus grande. Montrer que $\|A\|^2=R$ et $\|A^{-1}\|^{-2}=r$. #+end_exercice - ** Analyse #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 621] @@ -6430,43 +5852,36 @@ Soient $E=\mc C^1([0,1],\R)$ et $N:f\mapsto\sqrt{f(0)^2+\int_0^1f'(t)^2\dt}$. - Compare $N$ à la norme $\|\!\|\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 622] Pour $a\in\R$ et $P\in\R[X]$, on pose $N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1|P'|$. - Montrer que, pour tout $a\in\R$, $N_a$ est une norme. - Soient $a,b\in\R$. Les normes $N_a$ et $N_b$ sont-elles équivalentes? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 623] On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique. Soit $f\in\mc C^0([a,b],\R^n)$. Montrer que $\left\|\int_a^bf\right\|=\int_a^b\|f\|$ si et seulement s'il existe $\Phi\in\mc C^0([a,b],\R^+)$ et $u\in\R^n$ tels que $\forall t\in[a,b],\,f(t)=\Phi(t)u$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 624] On pose $E=\{f\in\mc C^2([0,1],\R),\;f(0)=f'(0)=0\}$. - Montrer que $\|f\|=\|f+2f'+f''\|_{\i}$ définit une norme sur $E$. - Les normes $\|\!|\!|$ et $\|\!|\!|\!|_{\i}$ sur $E$ sont-elles équivalentes? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 625] Soit $Q\in\R[X]$. Construire une norme $N$ sur $\R[X]$ telle que : $N(X^n-Q)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 626] Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup\limits_{t\in[0,1]}|P(t)|$. Pour $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf\limits_{P\in E_n}N(P)$. - Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$. - Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ est décroissante et de limite nulle. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 627] Déterminer les sous-groupes compacts de $(\C^*,\times)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 628] Soit $Q\in\R[X]$ non nul. Pour $P\in\R[X]$, on pose $\|P\|_Q=\sup\limits_{x\in[-1,1]}|PQ(x)|$. - Montrer que $\|\ \|_Q$ est une norme sur $\R[X]$. @@ -6476,35 +5891,29 @@ Soit $Q\in\R[X]$ non nul. Pour $P\in\R[X]$, on pose $\|P\|_Q=\sup\limits_{x\in[- - Qu'en déduire? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 629] Soient $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel normé, $A$ une partie de $E$, $f:[0,1]\ra E$ continue. On suppose que $f(0)\in A$ et $f(1)\in E\setminus A$. Montrer que $f([0,1])\cap\text{Fr}(A)\neq\emptyset$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 630] On munit $E=\mc C^0([a,b],\R)$ de la norme de la convergence uniforme. Soit $(x - {1\leq i\leq n}$ des points distincts de $[a,b]$ et $(y - {1\leq i\leq n}$ des réels. Montrer que l'adherence de l'ensemble $\{P\in\R[X];\forall i\in\db{1,n]\!],P(x_i)=y_i\}$ est $\{f\in E;\forall i\in[\![1,n},f(x_i)=y_i\}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 631] On munit $\C[X]$ de la norme $\|P\|=\max|p_k|$ ou $P=\sum\limits_{k=0}^{+\i}p_kX^k$. Déterminer les valeurs $b\in\C$ pour lesquelles $f:P\mapsto P(b)$ est continue. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 632] Soient $C$ une partie convexe d'un espace norme $E$, $X$ une partie de $E$ telle que $C\subset X\subset\overline{C}$. Montrer que $X$ est connexe par arcs. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 633] - Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que $P$ est scindé sur $\R$ si et seulement si, pour tout $z\in\C$, $|\op{Im}(z)|^n\leq|P(z)|$. - On note $\mc{T}$ l'ensemble des matrices trigonalisables sur $\R$ et $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables. Montrer que $\mc{T}$ est un fermé de $\M_n(\R)$ et que l'adherence de $\mc{D}$ est $\mc{T}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 634] - Montrer que l'image par une fonction continue d'une partie connexe par arcs est connexe par arcs. - Montrer qu'une fonction continue injective de $\R$ dans $\R$ est strictement monotone. @@ -6512,13 +5921,10 @@ Soient $C$ une partie convexe d'un espace norme $E$, $X$ une partie de $E$ telle - Montrer que $f$ est injective et ne s'annule pas sur $\R^*$. - Montrer que $f(0)=0$. #+end_exercice - - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 643] Déterminer la limite de $u_n=\frac{1}{16^n}\sum_{k=n}^{3n}\left(\begin{matrix}4n\\ k\end{matrix}\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 644] Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=x\gt 0$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=\frac{e^{u_n}}{n+1}$. - Soit $k\in\N$. Montrer que, si $u_{k+1}\leq u_k$, alors la suite $(u_n)_{n\geq k+1}$ est strictement décroissante. @@ -6528,7 +5934,6 @@ Que dire de sa limite? - On admet que $e^{e-2}\lt 9/4$. Montrer que, pour $x$ suffisamment petit, la suite $(u_n)$ converge. #+end_exercice - # ID:7796 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 645] Soit $\alpha\gt 1$. On considére l'équation : $(E_n)\colon\prod_{k=1}^n(kx+n^2)=\alpha n^{2n}$. @@ -6537,12 +5942,10 @@ Soit $\alpha\gt 1$. On considére l'équation : $(E_n)\colon\prod_{k=1}^n(kx+n^2 - Montrer la convergence et calculer la limite de la suite $(x_n)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 646] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^1$ telle que $f(x)\ra+\i$ et $f'(x)\ra 0$ quand $x\ra+\i$. Montrer que $\left\{e^{if(n)},n\in\N\right\}$ est dense dans le cercle unite. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 647] Soient $f\in\mc C^1(\R,\R)$ et $(u_n)$ une suite vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$. - Montrer que si $(u_n)$ converge alors sa limite $\ell$ est un point fixe de $f$. Dans la suite on considére $a$ un point fixe de $f$. @@ -6550,7 +5953,6 @@ Soient $f\in\mc C^1(\R,\R)$ et $(u_n)$ une suite vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ pou - On suppose que $|f'(a)|\lt 1$. Montrer qu'il existe $\eta\gt 0$ et $k\in[0,1[$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour $x\in]a-\eta,a+\eta[$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $a$ si et seulement s'il existe un rang $p$ tel que $u_p\in]a-\eta,a+\eta[$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 648] Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0\in\R^{+*}$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+2}$. @@ -6559,7 +5961,6 @@ Montrer qu'il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N\gt 1$. - La suite $(u_n)$ est-elle convergente? Si oui, trouver sa limite. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 649] Soit $f\colon\R^+\ra\R^+$ une fonction bornée et telle que $|f(x)-f(y)|\lt |x-y|$ pour tous $x,y\in\R^+$ tels que $x\neq y$. On considére une suite $(u_n)_{n\geq 1}$ telle que $u_1\in\R^+$ et $u_{n+1}=f(u_n)+\frac{1}{n}$ pour tout $n\geq 1$. On pose enfin $a_n=|u_{n+1}-u_n|$ pour tout $n\geq 1$. - Soient $p$ et $q$ des entiers tels que $1\leq p\lt q$. Montrer que $a_q-a_p\leq\frac{1}{p}$. @@ -6567,17 +5968,16 @@ Soit $f\colon\R^+\ra\R^+$ une fonction bornée et telle que $|f(x)-f(y)|\lt |x-y - Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente. #+end_exercice - +# ID:8156 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 650] Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\gt -1$ et $\forall n\in\N^*,\;u_{n+1}=u_n+u_n^2$. - Montrer que la suite $(u_n)$ converge. - On suppose $u_0\gt 0$ et on pose $v_n=\frac{\ln(u_n)}{2^n}$ pour $n\in\N$. - Montrer la convergence de la suite $(v_n)$ vers un réel $\alpha$ puis que $0\leq\alpha-v_n\leq\frac{1}{2^nu_n}$. - Donner un équivalent de $u_n$. - - Donner un équivalent de $u_n$ dans le cas $u_0\in]-1,0[$. + - Donner un équivalent de $u_n$ dans le cas $u_0\in \interval]{-1, 0}[$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 651] Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ à valeurs dans $[0,1]$. On dit que $(u_n)$ est equirepartie si et seulement si, pour tous $\alpha\lt \beta$ dans $[0,1]$, on a $\frac{1}{n}\op{card}\big{\{}k\in\db{1,n},\alpha\lt u_n\lt \beta\big{\}}\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\ra+\i}\beta-\alpha$. - On suppose $(u_n)$ equiperaptie. Montrer que $(u_n)$ diverge. Montrer que $\{u_n,n\in\N^*\}$ est dense dans $[0,1]$. @@ -6588,74 +5988,61 @@ Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ à valeurs dans $[0,1]$. On dit que $(u_n)$ est equirepar (iii) $\forall m\in\N^*,\lim\frac{1}{n}\sum_{k=1}^ne^{2\pi imu_k}=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 652] Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Quelle est la nature de la série $\sum(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}u_n$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 653] Existe-t-il une bijection $f\colon\N^*\ra\N^*$ telle que la série $\sum\frac{f(n)}{n^2}$ converge? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 654] Soient $(u_n)$ une suite de réels non nuls et $\lambda\in\R$. On suppose que : $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\lambda}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\cdot$ Étudier la nature de $\sum u_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 655] Soit $f\colon\R\ra\R$ telle que $f(x)\mathop{=}\limits_{x\ra+\i}a_0+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_p}{ x^p}+o\left(\frac{1}{x^p}\right)$. - à quelle condition la série de terme general $u_n=f(n)$ converge-t-elle? - à quelle condition la suite de terme general $v_n=\prod_{k=1}^nf(k)$ converge-t-elle? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 656] - - Soit $f:[1,+\i[\ra\R$ de classe $\mc C^1$. - -Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $\left|f(n)-\int_n^{n+1}f(t)\dt\right|\leq\frac{1}{2}\max_{t \in[n,n+1]}|f'(t)|$. + - Soit $f\colon [1,+\i[\ra\R$ de classe $\mc C^1$. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, + $$\left|f(n)-\int_n^{n+1}f(t)\dt\right|\leq\frac{1}{2}\max_{t \in[n,n+1]}|f'(t)|$$. - Quelle est la nature de la série $\sum\frac{\sin(\ln n)}{n}$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 657] Pour tout $n\geq 0$, on pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)dx$. - Étudier le signe de $u_n$. - Montr'er que la série $\sum u_n$ est semi-convergente. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 658] Existe-t-il une suite réelle $(u_n)$ telle que $\sum u_n$ converge et $\sum u_n^3$ diverge? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 659] Soit $(u_n)_{n\in\N}$ à valeurs dans $\R^+$. - On suppose $\sum u_n$ convergente et on pose $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}u_k$. construire à partir de $R_n$ une suite $v_n\gt 0$ croissante tendant vers $+\i$ telle que $\sum u_nv_n$ converge. - On suppose $\sum u_n$ divergente. construire $v_n$ décroissante qui tend vers $0$ telle que $\sum u_nv_n$ diverge. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 660] Étudier la convergence de la série $\sum\sin(\pi en!)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 661] Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle telle que la série $\sum n(\ln n)^2u_n^2$ converge. Montr'er que la série $\sum u_n$ converge. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 662] On considére la suite réelle définie par $x_0=0$ et $x_{n+1}=\sqrt{\frac{1+x_n}{2}}$ pour tout $n\geq 0$. Étudier la convergence de la série $\sum(1-x_n)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 663] Soient $\alpha\in\R^+$ et $(u_n)_{n\geq 1}$ vérifiant $u_1\in\R^{+*}$ et, pour $n\in\N^*$, $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{n^{\alpha}u_n}$. - Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $(u_n)$ converge. @@ -6663,19 +6050,16 @@ Soient $\alpha\in\R^+$ et $(u_n)_{n\geq 1}$ vérifiant $u_1\in\R^{+*}$ et, pour - Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $(u_n)$ diverge. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 664] Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs divergente. On pose $v_n=\frac{u_n}{\prod_{k=0}^n(1+u_k)}$ pour tout $n\geq 0$. Montr'er que la série $\sum v_n$ est convergente et calculer sa somme. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 665] Soient $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_0\gt 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\ln((\exp(u_n)-1)/u_n)$. - Déterminer la limite eventuelle de $(u_n)$. - En déduire la nature de $\sum u_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 666] Soit $T$ l'endomorphisme de $\R^{\N}$ qui à la suite $u$ associe $Tu$ telle que : @@ -6691,7 +6075,6 @@ On pose, pour $n\in\N$, $s_n=\sum_{k=0}^nu_k$ et $v_n=nu_n$. - On suppose que $Ts$ converge. Montrer que $Tv$ tend vers 0 si et seulement si la série $\sum u_n$ converge. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 667] Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs convergeant vers 0. On pose, pour tout $n\in\N$, $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$ et on suppose $u_0\gt 0$ et $(|S_n-nu_n|)$ majorée. On suppose enfin $\sum u_n$ divergente. - Montrer que $\ln S_n\sim\ln n$. @@ -6699,34 +6082,29 @@ Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs convergeant vers 0. On pose, pour tout - Montrer que $\lim u_n\gt 0$. Conclusion? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 668] Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\ra+\i}{\ra}-\i$. Montrer que $\sum f(k)$ converge et donner un équivalent de $\sum_{k=n}^{+\i}f(k)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 669] Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Montrer que la série $\sum\dfrac{u_n}{n}$ converge si et seulement si la série $\sum(u_n-u_{n+1})\ln n$ converge. #+end_exercice - +# ID:8133 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 670] Soient $\alpha\gt 0$ et $(a_n)$ définie par $a_1\gt 0$, $a_1+a_2\gt 0$ et $\forall n\geq 2$, $a_{n+1}=\dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\sum_{i=1}^na_i$. Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la série $\sum a_n$ converge. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 671] Nature et somme de la série de terme general $u_n=\sum_{k=n}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{k^2}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 672] Soit $x\in\R\setminus(-\N)$. Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\dfrac{1}{x(x+1)\cdots(x+n)}=e\sum_{n=0}^{+ \i}\dfrac{(-1)^n}{n!(x+n)}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 673] - Pour $n\in\N^*$, soit $d(n)$ le nombre de diviseurs de $n$. @@ -6734,7 +6112,6 @@ Pour $\alpha\gt 1$, montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{d(n)}{n^{\alpha}}=\zeta( - Pour $\alpha\gt 2$, montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{\phi(n)}{n^{\alpha}}=\dfrac{\zeta(\alpha-1)}{ \zeta(\alpha)}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 674] - Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=u_n^{u_n}$. On choisit desormais $u_0\in\N\setminus\{0,1\}$. - Montrer que $\forall N\in\N,\ \forall n\in\db{0,N},\ u_n\mid u_N$. @@ -6744,59 +6121,50 @@ Pour $\alpha\gt 1$, montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{d(n)}{n^{\alpha}}=\zeta( - Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\dfrac{1}{u_n}\notin\Q$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 675] Soit $f\colon\R\ra\R$ croissante. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 676] Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si, pour tous $x\in\R$ et $r\in\R^+$, $2rf(x)\leq\int_{x-r}^{x+r}f(t)\dt$. #+end_exercice - +# ID:8129 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 677] Soit $I$ un intervalle non trivial de $\R$. Montrer que toute fonction de classe $\mc C^2$ sur $I$ est la différence deux fonctions convexes. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 678] Soit $f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$. Montrer que la derivée $n$-ieme de $f$ s'écrit sous la forme $\dfrac{P_n(t)}{(1+t^2)^{n+\frac{3}{2}}}$ ou $P_n\in\R[X]$. Trouver une relation linéaire entre $P_{n+2},P_{n+1}$ et $P_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 679] Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $f\colon\R\ra E$ continue en 0. Montrer que $f$ est dérivable en 0 si et seulement si $x\mapsto\dfrac{f(2x)-f(x)}{x}$ possède une limite quand $x\ra 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 680] Soient $I=\left]-3,9\right[$ et $f$ une fonction de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$. Pour $x\in I\setminus\{3\}$, on pose $g(x)=\tan\left(\dfrac{\pi x}{6}\right)f(x)$. à quelle condition la fonction $g$ se prolonge-t-elle continument à $I$? Le prolongement est-il de classe $\mc C^1$ sur $I$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 681] Une fonction de classe $\mc C^{\i}$ de $[0,1]$ dans $\R$ est-elle nécessairement monotone par morceaux? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 682] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $f(0)\gt 0$, $f'(0)\gt 0$ et $\lim\limits_{x\ra+\i}f(x)=0$. - Montrer qu'il existe $x_1$ tel que $f'(x_1)=0$. - Montrer qu'il existe une suite $(x_n)$ strictement croissante telle que, pour tout $n\in\N$, $f^{(n)}(x_n)=0$. #+end_exercice - +# ID:8128 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 683] -Montrer que la fonction $x\mapsto e^{x^2}$ n'admet pas de primitive de la forme $x\mapsto f(x)e^{x^2}$, ou $f\colon\R\ra\R$ est une fonction rationnelle. +Montrer que la fonction $x\mapsto e^{x^2}$ n'admet pas de primitive de la forme $x\mapsto f(x)e^{x^2}$, où $f\colon\R\ra\R$ est une fonction rationnelle. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 684] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $f'(t)+f(t)\ra 0$ quand $t\ra+\i$. Montrer que $f(t)\ra 0$ quand $t\ra+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 685] Posons $f:x\neq 0\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}$ prolongée par continuité en $0$. - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$. @@ -6805,12 +6173,10 @@ Posons $f:x\neq 0\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}$ prolongée par continuité en $0$. - Montrer que les polynômes $P_n$ sont scindés dans $\R$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 686] Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, $M\in\R^{+*}$ et $f$ une fonction de classe $\mc C^1$ de $I$ dans $\C$ non identiquement nulle et telle que $|f'|\leq M|f|$. Montrer que $f$ ne s'annule pas. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 687] Soit $E=\mc C^0(\R^+,\R)$. - Soit $f\in E$. Montrer $v:x\in\R^{+*}\mapsto\frac{1}{x^{p+1}}\int_0^xt^pf(t)\dt$ se prolonge par continuité en $0$. @@ -6820,18 +6186,15 @@ On note $u(f)$ ce prolongement. - Déterminer son spectre. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 688] Soit $f\in\mc C^0([0,1],\R)$. Montrer $\int_{-1/2}^{3/2}f(3x^2-2x^3)\dx=2\int_0^1f(3x^2-2x^3)\, dx$. #+end_exercice - # ID:7800 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 689] Donner un équivalent de $f(x)=\int_1^xt^tdt$ lorsque $x$ tend vers $+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 690] Soit $f\colon\R^+\ra\R^+$ une fonction continue, strictement croissante telle que $f(0)=0$. - On suppose que $f$ est de classe $\mc C^1$. @@ -6846,13 +6209,11 @@ Montrer que $\sum_{i=0}^{n-1}x_{i,n}(f(x_{i+1,n})-f(x_{i,n}))\longrightarrow \in Montrer que $\int_0^af(t)dt+\int_0^bf^{-1}(t)dt\geq ab$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 691] Soit $f$ continue et strictement positive sur $[a,b]$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe une unique subdivision $(x_{0,n},\ldots,x_{n,n})$ de $[a,b]$ telle que $\forall k\in\db{1,n},\int_{x_{k-1,n}}^{x_k,n}f=\frac{1}{n}\int_a^bf$ - Déterminer la limite de la suite de terme general $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(x_{k,n})$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 692] Soit $f\in\mc C^n(\R,\R)$. On suppose que $f$ et $f^{(n)}$ sont bornées sur $\R$. - Pour tout $p\in\db{1,n}$, on pose : $\phi_p:x\mapsto f(x+p)-\int_x^{x+p}\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x+p-t)^{n-1}\, dt$. @@ -6861,54 +6222,45 @@ Montrer que $\phi_p$ est bornée sur $\R$. - En déduire que $f',\ldots,f^{(n-1)}$ sont bornées sur $\R$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 693] - Soit $f\in\mc C^0([0,1],\R)$. On suppose que, pour toute fonction $\phi\in\mc C^1([0,1],\R)$ vérifiant $\phi(0)=\phi(1)=0$, l'on ait $\int_0^1f(t)\phi(t)dt=0$. Montrer que $f=0$. - Soient maintenant $f,g\in\mc C^0([0,1],\R)$ telles que, pour tout $\phi\in\mc C^1([0,1],\R)$ vérifiant $\phi(0)=\phi(1)=0$, l'on ait $\int_0^1f(t)\phi(t)\dt=\int_0^1g(t)\phi'(t)\, dt$. Montrer que $g$ est de classe $\mc C^1$ et déterminer sa derivée. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 694] Soient $h\gt 0$, $f\in\mc C^2([a,b],\R)$ avec $f''\geq m^2\gt 0$, et $E=\{x\in[a,b],|f'(x)|\gt h\}$. - On suppose que $[c,d]$, avec $c\lt d$, est inclus dans $E$. Montrer que $\left|\int_c^de^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{3}{h}$. - - Montrer que $\left|\int_Ée^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{6}{h}$. + - Montrer que $\left|\int_E e^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{6}{h}$. - Montrer que $\left|\int_a^be^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{6}{h}+ \frac{2h}{m^2}$. - Montrer que $\left|\int_a^be^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{8}{m}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 695] Déterminer la nature de $\int_2^{+\i}\frac{\cos x}{\ln x}dx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 696] Soit $a\gt 0$. Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\ln t}{a^2+t^2}\dt$. Que dire de $\int_0^{+\i}\frac{\ln t}{a^p+t^p}\dt$ pour $p\geq 2$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 697] Soit $E$ l'ensemble des $f\in\mc C^1([0,1],\R)$ telles que $f(0)=f(1)=0$. - Pour $f\in E$, montrer la convergence de $I_1=\int_0^1f(t)f'(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)dt$ et de $I_2=\int_0^1f^2(t)\;(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))dt$. Comparer $I_1$ et $I_2$. - Montrer que, si $f\in E$, $\int_0^1(f')^2\geq\pi^2\int_0^1f^2$. Pour quelles $f$ y-a-t-il égalité? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 698] Convergence et calcul de $\int_0^1\sqrt{\frac{x}{1-x}}\ln(x)dx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 699] Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Nature de l'intégrale $\int_0^{+\i}\exp(-t^{\alpha}\sin^2(t))dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 700] Montrer que $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{dt}{t(e^{\sqrt{t}}-1)}$ est définie, continue et intégrable sur $]0,+\i[$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 701] - Calculer $\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(x)}{1+\sqrt{\sin(2x)}}dx$. - Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$. @@ -6916,7 +6268,6 @@ Montrer que $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{dt}{t(e^{\sqrt{t}}-1)}$ est définie, c Montrer que $\int_0^{\pi/2}f(\sin(2x))\sin(x)dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos^2(y)) \cos(y)dy$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 702] - Soit $(a,\eps)\in(\R^{+*})^2$. Apres avoir simplifie $\ln\left(\frac{1-e^{2ax}}{1-e^{ax}}\right)$, montrer que @@ -6926,7 +6277,6 @@ $$\int_{\eps}^{+\i}\frac{\ln(1+e^{ax})}{x}dx=-\int_1^2 \frac{a\eps}{e^{a\eps y}- - Retrouver le résultat précédent par un calcul direct de $\int_0^{+\i}\frac{\ln(x)}{e^x-1}dx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 703] Soit $F$ définie sur $\R^{+*}$ par $\colon\forall x\gt 0,F(x)=\int_x^{+\i}\frac{\sin t}{t^2}dt$. - Montrer que $F$ est bien définie. @@ -6934,12 +6284,10 @@ Soit $F$ définie sur $\R^{+*}$ par $\colon\forall x\gt 0,F(x)=\int_x^{+\i}\frac - Calculer $\int_0^{+\i}F(x)\dx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 704] Soit $f\colon\R^+\ra\R^+$ une fonction continue. On note $F$ la primitive de $f$ qui s'annule enE $0$. Montrer que les intégrales $\int_0^{+\i}\frac{F(t)}{(t+1)^2}dt$ et $\int_0^{+\i}\frac{f(t)}{t+1}dt$ sont de même nature. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 705] - Soit $f:[1,+\i[\ra\R$ continue. On suppose que l'intégrale $\int_1^{+\i}f$ est convergente. @@ -6947,35 +6295,29 @@ Montrer que $\int_1^{+\i}\frac{f(t)}{t}\dt$ est une intégrale convergente. - Soit $\sum u_n$ une série convergente. Montrer que $\sum\frac{u_n}{n}$ est une série convergente. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 706] Trouver un équivalent simple de $\int_0^x\frac{|\sin t|}{t}\dt$ quand $x$ tend vers $+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 707] Soit $f\colon\R\ra\C$ une fonction continue et $T$-périodique. - à quelle condition $f$ admet-elle une primitive $T$-périodique? - On suppose à present que $\int_0^Tf(x)\dx\neq 0$, et on fixe un réel $a\in]0,1]$. Donner un équivalent de $\int_1^x\frac{f(t)}{t^a}\dt$ quand $x\ra+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 708] Quelles sont les fonctions de $[0,1]$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $[0,1]$ d'une suite de polynômes convexes? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 709] Soit $f$ continue sur $[0,\pi]$ telle que $\forall n,\int_0^{\pi}\cos(nt)f(t)dt=0$. Que dire de $f$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 710] Soit $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{\sin{(2^nx)}}{2^n}$. - Montrer que $f$ est définie sur $\R$. - Montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 711] Soit $\alpha\in\R^{+*}$. - Montr re qu'en posant $\forall x\in\R^{+*},\ f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}e^{-n^{\alpha}x}$, on définit une fonction de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^{+*}$ dans $\R$. @@ -6983,19 +6325,16 @@ Soit $\alpha\in\R^{+*}$. - Donner la limite puis un équivalent simple de $f$ en $0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 712] Déterminer le domaine de définition et un équivalent simple en $1^-$ de $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}x^{n^2}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 713] Pour $n\geq 0$, soit $u_n:x\mapsto\prod_{i=0}^n\frac{1}{x+i}$. - Montr re que $S=\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ est définie et continue sur $\R^{+*}$. - Ex primer $S(x+1)$ en fonction de $S(x)$ et de $x$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 714] On pose $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{e^{-nx}}{n+x}$. - Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$. @@ -7003,14 +6342,12 @@ On pose $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{e^{-nx}}{n+x}$. - Déterminer des équivalents de $f$ aux extremites de $D$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 715] - Soit $x\in[0,1[$ Justifier la convergence de $f(x)=\prod_{n=0}^{+\i}\left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}$. - Montrer que, pour tout $x\in]0,1[$, $\ln f(x)=\frac{x-1}{x}\sum_{n=1}^{+\i}x^n\ln(1+x^n)+\ln 2$. - En déduire que, pour tout $x\in[0,1[$, $\ln f(x)=\ln 2+\sum_{m=1}^{+\i}\frac{(-1)^m}{m}\frac{x^m}{1+x+ \cdots+x^m}$. - Montrer que $f$ possède une limite finie en $1$ et la déterminer. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 716] On pose $f:x\mapsto\sum_{p=0}^{+\i}\frac{(-1)^p}{p!(x+p)}$. - Déterminer le domaine de définition de $f$. @@ -7020,14 +6357,12 @@ On pose $f:x\mapsto\sum_{p=0}^{+\i}\frac{(-1)^p}{p!(x+p)}$. - Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum\frac{(-1)^p}{p!(x+p)}$ sur les parties du domaine de définition de $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 717] Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\left(\mbox{Arctan}(n+x)-\mbox{ Arctan}(n)\right)$. - Donner le domaine de définition de $f$. Étudier sa régularite. - Exprimer $f(x+1)$ en fonction de $f(x)$ et de $x$. #+end_exercice - # ID:7801 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 718] Domaine de définition et équivalent en $+\i$ de $f\colon x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}\frac{(\ln n)^x}{n^2}$. @@ -7038,7 +6373,6 @@ Poser $u = \ln t$, on obtient $\int_{\ln 2}^{+\i} \frac{u^x}{e^u}\du$. Une étud Enfin, le lien $\sum/int$ vient du fait que $f'(t) = \frac{(x- 2\ln t)}{t} f(t)$, on peut montrer à la main que $\sum f'(n)$ est négligeable devant $\sum f(n)$. #+END_proof - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 719] Soit $u_0$ l'identite de $[1,+\i[$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}:x\in[1,+\i[\mapsto u_n(x)+\frac{1}{u_n(x)}$. - Montrer que la suite de fonction $(u_n)$ est bien définie. @@ -7050,7 +6384,6 @@ Pour $n\in\N$, soit $f_n:x\in[1,+\i[\mapsto\frac{(-1)^n}{u_n(x)}$. - A-t-on convergence normale sur $[1,+\i[$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 720] Notons, pour $\alpha\gt 0$, $n\in\N^*$ et $x\geq 0$, $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$. - Déterminer les modes de convergence de $\sum u_n$ sur $\R^+$ et $\R^{+*}$. @@ -7058,7 +6391,6 @@ Notons, pour $\alpha\gt 0$, $n\in\N^*$ et $x\geq 0$, $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha} - Pour $\alpha\leq 1/2$, $S_{\alpha}$ est-elle continue en $0$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 721] Pour $x$ réel convenable, on note $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^x}$. - Déterminer le domaine $\mc{D}$ de définition de $\zeta$. @@ -7069,29 +6401,24 @@ En déduire que $\zeta$ peut être prolongée sur un ensemble $\mc{D}'$. - Montrer que le prolongement de $\zeta$ sur $\mc{D}'$ se prolonge par continuité en $\inf(\mc{D}')$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 722] Soit, pour $x\in\R^+$, $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{1+nx}$. - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $[0,1[$. - Donner un équivalent de $f(x)$ en $1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 723] Rayon de convergence et somme de $\sum_{n\geq 1}\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right)\frac{x^n}{n}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 724] Montrer que la fonction $f:x\mapsto\ln(1+e^{-x})$ est développable en série entière au voisinage de $0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 725] Déterminer le rayon et la somme de $\sum_{n\geq 0}\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}x^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 726] Soit, pour $n\in\N$, $a_n=\int_0^{\pi/2}\cos(t)^n\sin(nt)\dt$. Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$. - Calculer $a_0,a_1,a_2$. @@ -7099,13 +6426,11 @@ Soit, pour $n\in\N$, $a_n=\int_0^{\pi/2}\cos(t)^n\sin(nt)\dt$. Soit $f:x\mapsto\ - En déduire $a_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 727] - Soit $z\in\C$ tel que $|z|\neq 1$. Montrer que la fonction $t\mapsto\frac{1}{e^t-z}$ est développable en série entière au voisinage de $0$. - Soient $F\in\C(X)$ sans pole de module $1$ et $\alpha\in\R$. Montrer que la fonction $t\mapsto F(e^{\alpha t})$ est développable en série entière au voisinage de $0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 728] Pour $n\in\N^*$, on note $a_n=\nu_2(n)$ (valuation 2-adique). - Déterminer les valeurs d'adherence de $(a_n)$. @@ -7113,19 +6438,16 @@ Pour $n\in\N^*$, on note $a_n=\nu_2(n)$ (valuation 2-adique). - Déterminer le rayon de convergence de $\sum b_nx^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 729] Pour $n\in\N$, soit $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(x)\dx$. - Montrer que $(a_n)_{n\geq 0}$ tend vers $0$. - Si $n\in\N$, exprimer $a_{n+2}$ en fonction de $a_n$. - Déterminer le rayon de convergence $R$ de $x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$. Calculer la somme. Étudier le comportement en $\pm R$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 730] On pose $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u_ku_{n-k}$ pour tout $n$. Trouver $u_n$ en considérant la série entière $\sum_{n\geq 0}\dfrac{u_n}{n!}x^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 731] La suite $(a_n)_{n\geq 0}$ est définie par $a_0\gt 0$ et $\forall n\in\N,a_{n+1}=\ln(1+a_n)$. - Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ tend vers $0$. @@ -7134,7 +6456,6 @@ La suite $(a_n)_{n\geq 0}$ est définie par $a_0\gt 0$ et $\forall n\in\N,a_{n+1 - Donner un équivalent de $\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ quand $x$ tend vers $R^-$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 732] Soit $t\in\R$ tel que : $\forall n\in\N^*$, $nt\not\in 2\pi\Z$. Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\dfrac{\sin(nt)}{n}x^n$. - Déterminer le rayon de convergence $R$ de $f$. @@ -7142,28 +6463,24 @@ Soit $t\in\R$ tel que : $\forall n\in\N^*$, $nt\not\in 2\pi\Z$. Soit $f:x\mapsto - Exprimer $f(x)$ pour $x\in]-R,R[$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 733] Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite complexe telle que la série $\sum na_n$ converge absolument. On note $\mathbb{D}$ le disque unite ouvert de $\C$. Soit $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$. - Montrer que le rayon de convergence de $f$ est $\geq 1$. - On suppose que $a_1\neq 0$ et que $\sum_{n=2}^{+\i}n|a_n|\leq|a_1|$. Montrer que $f$ est injective sur $\mathbb{D}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 734] Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=a_1=0$, $a_2=\dfrac{1}{2}$ et $a_{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}\sum_{i+j=n}a_ia_j$ pour $n\geq 2$. - Montrer que le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$ est supérieur ou egal à 1. - Montrer que $x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ est solution de l'équation $xy''-x=y^2$ sur $]0,1[$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 735] Soit $(a_n)$ définie par $a_0=a_1=1$ et $\forall n\geq 1,\,a_{n+1}=a_n+\dfrac{2}{n+1}a_{n-1}$. - Montrer que $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$. En déduire le rayon $R$ de $f(x)=\sum a_nx^n$. - Montrer que $f$ est solution de $(1-x)y'-(2x+1)y=0$. Exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 736] Soient $f(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence $R\gt 0$, et $D$ son disque ouvert de convergence. - Montrer que, s'il existe $(z_k)\in(D\setminus\{0\})^{\N}$ de limite nulle telle que $\forall k\in\N$, $F(z_k)=0$, alors $F$ est nulle. @@ -7176,7 +6493,6 @@ Ind. Raisonner par contraposée et montrer l'existence de $p\in\N$ tel que pour $$|F(z)|\geq|F(0)+a_pz^p|-\sum_{n=p+1}^{+\i}|a_n||z|^n.$$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 737] Soit $(b_n)$ la suite définie par $b_0=1$ et $\forall n\in\N^*$, $b_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{b_{n-k}}{k!}$. - Montrer que $\forall n\in\N$, $b_n\leq\dfrac{1}{\ln^n(2)}$. @@ -7186,7 +6502,6 @@ Soit $(b_n)$ la suite définie par $b_0=1$ et $\forall n\in\N^*$, $b_n=\sum_{k=1 - En déduire une expression sommatoire explicite de $b_n$ pour $n\in\N$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 738] Soit $f:z\in\C\setminus\{1\}\mapsto\exp\left(\dfrac{z}{1-z}\right)$. - Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence. On écrit $f(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$. @@ -7195,7 +6510,6 @@ Soit $f:z\in\C\setminus\{1\}\mapsto\exp\left(\dfrac{z}{1-z}\right)$. - Donner un développement asymptotique de $\ln(a_n)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 739] Soit $a\in\C^*$. On pose $A_0=1$ et, pour $k\in\N^*$, $A_k=\dfrac{1}{k!}X(X-ak)^k$. - Montrer que, pour tout $P\in\C_n[X]$, $P(X)=\sum_{k=0}^nP^{(k)}(ak)A_k(X)$. @@ -7206,7 +6520,6 @@ En déduire que $\forall y\in\C^*$, $ny^{n-1}=\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}(-ak)^k(y+ Donner une expression simple de $h:x\mapsto S(x)\,e^{S(x)}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 740] Soit $(a_n)_{n\geq 2}$ une suite réelle telle que la série entière associée est de rayon de convergence supérieur ou egal à $1$. @@ -7216,14 +6529,12 @@ On suppose que $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ est injective sur $\mathbb{ - Calculer, pour $n\in\N^*$ et $r\lt 1$, $\int_0^{2\pi}\op{Im}(f(re^{it}))\sin(nt)dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 741] Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs avec $a_0\gt 0$ et $a_1=1$. Soient $S:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}a_kx^k$ et, pour $n\in\N$, $S_n:x\mapsto\sum_{k=0}^na_kx^k$. On suppose que le rayon de convergence de $S$ est $R\gt 0$. - Soient $n\geq 1$ et $y\gt a_0$. Montrer qu'il existe un unique $x_n(y)\in\R^+$ tel que $S_n(x_n(y))=y$. Montrer que la suite $(x_n(y))$ converge vers un réel note $T(y)$. Montrer que $|T(y)|\leq R$. - On suppose que $|T(y)|\leq R$. Calculer $(S\circ T)(y)$. Que peut-on en déduire? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 742] Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R\gt 0$ et de somme $f$. - Montrer que, pour tout $r\in[0,R[$, $I(r)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^2d\theta=\sum_{ n=0}^{\i}|a_n|^2r^{2n}$, puis que la fonction $I$ est croissante sur $[0,R[$. @@ -7231,12 +6542,10 @@ Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R\gt 0$ et de so - Montrer que la fonction $t\mapsto\ln\big(I(e^t)\big)$ est convexe sur $]-\i,\ln R[$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 743] Soient $P\in\R[X]$ de degré $2$ et $f:x\mapsto e^{P(x)}$. Montrer que $f$ est développable en série entière en $0$ et que deux coefficients consécutifs de ce développement ne sont jamais simultanement nuls. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 744] Soit $(p_n)$ une suite strictement croissante d'entiers naturels telle que $n=o(p_n)$. @@ -7245,12 +6554,10 @@ Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}x^{p_n}$. - Déterminer la limite en $1^-$ de $f$ puis de $x\mapsto(1-x)f(x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 745] Déterminer un équivalent de $p(n)=\big{|}\big{\{}(x,y,z)\in\N^3,\;x+2y+3z=n\big{\}}\big{|}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 746] On dit que la suite $(a_n)_{n\geq 0}\in\R^{\N}$ vérifie $\mc{P}$ si le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$ est supérieur ou egal à 1 et si $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ possède une limite finie en $1^-$. - Déterminer les $f\colon\R\ra\R$ continues en 0 telles que : $\forall x,y\in\R$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$, @@ -7258,7 +6565,6 @@ On dit que la suite $(a_n)_{n\geq 0}\in\R^{\N}$ vérifie $\mc{P}$ si le rayon de - Déterminer les $f\colon\R\ra\R$ telles que, pour toute suite $(a_n)\in\R^{\N}$ vérifiant $\mc{P}$, la suite $(f(a_n))$ vérifie $\mc{P}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 747] Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ dont la série de Taylor en 0 à un rayon de convergence $+\i$. - Montrer que $E$ est une $\R$ algèbre. @@ -7269,22 +6575,18 @@ Pour $f\in E$, on pose $T(f):x\mapsto f(x)-\sum_{n=0}^{+\i}\frac{f^{(n)}(0)}{n!} - Déterminer le spectre de $T$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 748] Limite de $u_n=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots+ \sqrt{2+2x}}}}}$ (ou il y a $n$ racines car $\mathrm{e}$es)? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 749] Soit $I_n=\int_0^{+\i}\sin(t^n)\dt$. Déterminer les $n\in\N$ pour lesquels $I_n$ est définie. Donner un équivalent de $I_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 750] Déterminer un développement asymptotique de $u_n=\int_0^1\frac{du}{1+u^n}$ en $o(1/n^2)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 751] Pour tout $n\in\N$, on pose : $u_n=\int_0^1(-t^2+t-1)^n\dt$. - Montrer que $(u_n)$ converge vers $0$. @@ -7292,7 +6594,6 @@ Pour tout $n\in\N$, on pose : $u_n=\int_0^1(-t^2+t-1)^n\dt$. - Trouver un équivalent simple de $u_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 752] Pour tout $n\in\N$, on pose : $I_n=\int_0^1\frac{t^{n+1}\ln t}{1-t^2}dt$. - Montrer la convergence de $I_n$. @@ -7300,12 +6601,10 @@ Pour tout $n\in\N$, on pose : $I_n=\int_0^1\frac{t^{n+1}\ln t}{1-t^2}dt$. - Trouver un équivalent simple de $I_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 753] Exprimer sous forme de somme $\int_0^{+\i}e^{-t^2}\cos(t)dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 754] #+end_exercice @@ -7365,7 +6664,6 @@ Pour $x\in\R$, calculer $f(x)=\int_{-\i}^{+\i}e^{-t^2/2}e^{-ixt}dt$ par deux met - en montrant que $f$ est de classe $\mc C^1$ et vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre $1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 765] Soit $f$ définie par : $f(x)=\int_0^{\pi/2}\sin^x(t)\dt$. - Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$. @@ -7386,13 +6684,11 @@ Montrer que : $\forall x\in D_f,g(x+1)=g(x)$. Trouver toutes les fonctions $f\colon\R^{+*}\ra\R$ d $\mathrm{\acute{e}ivables\ \mathrm{v}\mathrm{e}rifiant}\colon\forall x\gt 0,f'(x)=f(1/x)$. #+end_exercice - # ID:7943 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 768] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^1$, monotone et admettant une limite finie en $+\i$. Montrer que les solutions de l'équation différentielle $y''+y=f(x)$ sont bornées. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 769] On considére l'équation différentielle $(E):2xy''+y'-y=0$. - Montrer que $(E)$ possède une unique solution $f$ sur $\R$ telle que $f(0)=1$ et qui soit la somme d'une série entière. @@ -7409,12 +6705,10 @@ Soit $\lambda\in\R$. Montrer que les solutions de : $(E):y''+(\lambda-1)x^2y=0$ R $\mathrm{\acute{e}soudre}$ l'équation différentielle $(1+x^2)y''+xy'-y=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 772] Déterminer une solution de $(E):y''+xy'+y=1$ développable en série entière au voisinage de 0. #+end_exercice - # ID:7944 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 773] Soit $(E)$ l'équation différentielle $ax^2y''+bxy'+cy=0$ sur $\R^{+*}$. @@ -7422,7 +6716,6 @@ Soit $(E)$ l'équation différentielle $ax^2y''+bxy'+cy=0$ sur $\R^{+*}$. - Résoudre $x^2y''+xy'+y=\sin(a\ln x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 774] Considérons l'équation différentielle $(E):x^2y'+y+x^2=0$. - Résoudre $(E)$ sur $\R^{+*}$. @@ -7431,7 +6724,6 @@ Considérons l'équation différentielle $(E):x^2y'+y+x^2=0$. - Déterminer les solutions de $(E)$ développables en série entière. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 775] Soient $n\in\N$ et $(*)$ l'équation différentielle : @@ -7441,12 +6733,10 @@ Soient $n\in\N$ et $(*)$ l'équation différentielle : - Existe-il une solution définie sur $]1,+\i[$ et bornée? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 776] Soit $f$ une fonction continue et bornée de $\R$ dans $\R$. Déterminer les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$, de classe $\mc C^2$ et bornées, telles que $y''-y=f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 777] Soit $y$ une solution sur $\R^{+*}$ de $xy''+y'+xy=0$, - On pose : $\forall x\gt 0$, $u(x)=\sqrt{x}\,y(x)$. Déterminer une équation différentielle dont $u$ est solution. @@ -7455,7 +6745,6 @@ Soit $y$ une solution sur $\R^{+*}$ de $xy''+y'+xy=0$, - Montrer que $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^nx^{2n}}{4^n(n!)^2}$ s'annule une infinite de fois. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 778] On note $S$ l'ensemble solution de l'équation différentielle $(E):xy''+xy'-y=0$ sur $\R^{+*}$. - Trouver $\alpha\in\R$ tel que $x\mapsto x^{\alpha}$ soit solution de $(E)$. @@ -7464,86 +6753,69 @@ On note $S$ l'ensemble solution de l'équation différentielle $(E):xy''+xy'-y=0 - Expliciter $S$ à l'aide de $G$. Étudier les limites des solutions en $0^+$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 779] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ une fonction monotone de classe $\mc C^1$ admettant une limite réelle en $+\i$. Montrer que les solutions de l'équation $y''+y=f$ sont bornées sur $\R^+$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 780] Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^2$ de $\R$ dans $\R$ telle que $f''+f\geq 0$. Montrer que, pour $t\in\R$, $f(t)+f(t+\pi)\geq 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 781] Résoudre les systemes différentiels $$\left\{\begin{array}{rcl}x'&=&2x+3y+3z+te^t\\ y'&=&3x+2y+3z+e^t\\ z'&=&3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.,\quad\left\{\begin{array}[] {rcl}x'&=&2y-z&+te^t\\ y'&=&3x-2y&+e^t\\ z'&=&-2x-2y+z&+t^2e^t\end{array}.$$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 782] Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On considére le systeme différentiel $(S):Y^{(m)}=AY$ d'inconnue $Y\in\mc C^m(\R,\R^n)$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 783] On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique. Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ est antisymétrique si et seulement si les solutions de $Y'=AY$ sont de norme constante. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 784] Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-périodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $\C^*$ et une application $X$ de classe $\mc C^1$ non identiquement nulle de $\R$ dans $\C^n$ telle que, pour tout $t\in\R$, $X'(t)=A(t)X(t)$ et $X(t+T)=\lambda X(t)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 785] Soit $S\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer qu'il existe une unique fonction $M$ de $\R$ dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $M'(t)=SM(t)S$ pour tout $t\in\R$. à quelle condition sur $S$ la fonction $M$ est-elle bornée? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 786] Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien, $u\colon\R\ra$ SO $(E)$ dérivable. Montrer l'équivalence entre : (i) $\forall s,t\in\R$, $u(s+t)=u(s)\,u(t)$, (ii) $\exists a\in\mc{A}(E)$, $\forall t\in\R$, $u(t)=e^{at}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 787] Déterminer le domaine de définition de $f:(x,y)\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(x+y)^n}{n^2}$. Est-elle continue? de classe $\mc C^1$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 788] On pose $f(0,0)=0$ et, pour $(x,y)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$, $f(x,y)=\frac{x^3y}{x^4+y^2}$. Ethier la continuité et la différentiabilité de $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 789] Soient $f\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$ et $g$ définie sur $(\R^{+*})^2$ par $:g(x,y)=f\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)\cdot$ Déterminer les fonctions $f$ qui vérifient $\colon\frac{\partial^2g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2g}{\partial y ^2}=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 790] -On munit $\R^2$ de sa norme euclidienne canonique. - -On définit $f$ sur $\R^2$ par $\colon\forall(x,y)\in\R^2$, $f(x,y)=\Big(\frac{1}{2}\sin(x+y),\frac{1}{2}\cos(x-y)\Big)$. +On munit $\R^2$ de sa norme euclidienne canonique. On définit $f$ sur $\R^2$ par $\colon\forall(x,y)\in\R^2$, $f(x,y)=\Big(\frac{1}{2}\sin(x+y),\frac{1}{2}\cos(x-y)\Big)$. - Calculer la différentielle de $f$ en tout point. - Montrer que $\colon\forall(x,y)\in\R^2,\|df(x,y)\|_{\mathrm{op}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$. - En déduire que $f$ possède au plus un point fixe. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 791] - Soit $f\colon\R\ra\R$ dérivable et minorée. On pose $m=\inf_{\R}f$. On suppose que $m$ n'est pas atteint. Montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n\geq 0}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $f(x_n)\leq m+\frac{1}{2^n}$ et $|x_n|\geq n$. En déduire qu'il existe une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ telle que $|u_n|\ra+\i$ et $f'(u_n)\ra 0$. - Soient $p\geq 2$ et $f\in\mc C^1(\R^p,\R)$ minorée. Pour $\eps\gt 0$, soit $g_{\eps}:x\mapsto f(x)+\eps\|x\|$. Montrer que $g_{\eps}$ atteint son minimum (la norme est la norme euclidienne standard). En déduire qu'il existe une suite $(u_n)$ telle que $\nabla f(u_n)\ra 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 792] - Soient $n\geq 2$, $U$ un ouvert de $\R^n$ et $f:U\ra\R$ différentiable. Soient $a,b\in U$ tels que $[a,b]\subset U$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=df_c(b-a)$. - Application : si on souhaite connaitre la valeur de $\frac{\sqrt{2}}{e+\pi^3}$ à la precision $10^{-20}$, avec quelle precision doit-on alors connaitre $\sqrt{2},e$ et $\pi$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 793] Soit $f\in\mc C^2(\R^n,\R)$ telle qu'en tout point $x$ le spectre de la hessienne soit inclus dans $[1,+\i[$. - Montrer que, pour tout $x\in\R^n$ on a $f(x)\geq f(0)+\langle\nabla f(0),x\rangle+\frac{1}{2}x^Tx$. @@ -7552,7 +6824,6 @@ _Ind._ Considérer $\psi:t\mapsto f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-\frac{1}{2} - En déduire que $f$ admet un minimum. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 794] On munit $E=\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Pour $x\in E\setminus\{0\}$, on note $f(x)$ l'unique vecteur $y$ positivement colinéaire à $x$ vérifiant : $\|x\|\times\|y\|=1$. - Montrer que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle en tout point. @@ -7560,7 +6831,6 @@ On munit $E=\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Pour $x\in E\setminus\{ - En déduire que $df(x)$ conserve les angles. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 795] Soient $\lambda\in\R$, $n\in\N^*$ et $f$ une application de classe $\mc C^1$ de $\R^n\setminus\{0\}$ dans $\R$. Montrer l'équivalence des conditions @@ -7569,7 +6839,6 @@ _(i) $\forall(t,x)\in\R^{+*}\times(\R^n\setminus\{0\},f(tx)=t^{ \lambda}f(x)$_ : _(ii) $\forall x\in\R^n\setminus\{0\},\sum_{i=1}^nx_i\partial_if(x)= \lambda f(x)$._ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 796] - Calculer la différentielle du déterminant au point $I_n$. @@ -7577,23 +6846,22 @@ La fonction det atteint-elle un extremum local en $I_n$? - Déterminer points critiques et extrema locaux de la fonction det sur $\M_n(\R)$. #+end_exercice - +# ID:8126 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 797] -On pose $D=\left]0,1\right[^2$ et l'on définit $f$ sur $D$ par : - - $\forall(x,y)\in D,f(x,y)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}$. +On pose $D=\left]0,1\right[^2$ et l'on définit $f$ sur $D$ par : $\forall(x,y)\in D,f(x,y)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}$. - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$. - - Déterminer les extrema locaux de $f$. - En etudiant la restriction de $f$ à $K=\left\{(x,y)\in D\;;\;(x,y)\in\left[0,\frac{7}{9}\right]\mbox{ et }x+y\geq\frac{2}{9}\right\}$ d'eterminer les extrema globaux de $f$. + - Déterminer les extrema locaux de $f$. + - En etudiant la restriction de $f$ à $K=\left\{(x,y)\in + D\;;\;(x,y)\in\left[0,\frac{7}{9}\right]\mbox{ et + }x+y\geq\frac{2}{9}\right\}$ déterminer les extrema globaux de $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 798] Soient $f\colon\R^2\ra\R$ de classe $\mc C^1$, $a\in\R^2$ et $\gamma$ un arc paramêtre plan de classe $\mc C^1$ tel que $\gamma(0)=a$ et, pour tout $t$, $\|\gamma'(t)\|=1$. Pour tout $\lambda\in\R$, on note $C_{\lambda}=f^{-1}(\{\lambda\})$. - Montrer que $\nabla f(a)$ indique la direction de plus grande pente sur la surface representative de $f$ en $a$. - Supposons $\gamma'(0)\in\R^+\nabla f(a)$. Montr per que, pour $\lambda$ suffisamment proche de $\alpha=f(a)$, il existe un unique $t_{\lambda}$ voisin de $0$ tel que $\gamma(t_{\lambda})$ appartient à $C_{\lambda}$. Donner un équivalent de $\|\gamma(t_{\lambda})-a\|$ quand $\lambda\ra\alpha$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 799] Soit $f=(f_1,\ldots,f_n)\colon\R^n\ra\R^n$ de classe $\mc C^2$ sur $\R^n$. On considére les assertions : (i) $\forall(x,h)\in\R^n,\;\|df_x(h)\|=\|h\|$, (ii) $\forall(x,h)\in\R^n,\;\|f(x+h)-f(x)\|=\|h\|$. - On suppose (i) et on pose, pour tous $i,j,k\in\db{1,n}$, $a_{i,j,k}=\sum_{m=1}^n\frac{\partial f_m}{\partial x_i}\cdot\frac{ \partial f_m}{\partial x_j\partial x_k}$. @@ -7602,31 +6870,26 @@ Montr per que $a_{i,j,k}=a_{i,k,j}=-a_{k,i,j}$ puis que $a_{i,j,k}=0$. - Montr per l'équivalence des assertions (i) et (ii). #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 800] Soit $f\colon\R^n\ra\R^n,x\mapsto(f_1(x),\ldots,f_n(x))$. - On suppose $f$ de classe $\mc C^2$. Montr per que $J_f(x)$ est antisymétrique pour tout $x\in\R^n$ si et seulement s'il existe $A\in\mc{A}_n(\R)$ et $b\in\R^n$ tels que $f(x)=Ax+b$ pour tout $x\in\R^n$. - On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Montr per que $J_f(x)$ est symétrique pour tout $x\in\R^n$ si et seulement s'il existe $\phi\colon\R^n\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $f=\nabla g$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 801] -Extrema de $f:(x,y)\in\R^2\mapsto xe^y+ye^x$. +Extrema de $f\colon (x,y)\in\R^2\mapsto xe^y+ye^x$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 802] Soient $E$ un espace euclidien, $\phi\in E^*$ une forme linéaire et $f:x\mapsto\phi(x)e^{-\|x\|^2}$. Étudier les extrema de $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 803] Soient $n\geq 2$ un entier et $f\colon\R^n\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que la hessienne de $f$ est toujours à valeurs propres dans $[1,+\i[$. - Soit $x\in\R^n$. Montr per que la fonction $t\mapsto f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-\frac{t^2}{2}\|x\|^2$ est convexe. - Montr per que $f$ admet un minimum global. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 804] Soient $E$ un espace euclidien, $v\in E$ non nul et $f\in\mc{S}^{++}(E)$. - Montr per qu'il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ formée de vecteurs propres de $f$. @@ -7637,7 +6900,6 @@ Soient $E$ un espace euclidien, $v\in E$ non nul et $f\in\mc{S}^{++}(E)$. - Montr per que $g$ admet un minimum global en $c$. Existe-t-il d'autres extrema locaux? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 805] On munit $\R^n$ de la norme euclidienne usuelle. On note $\mc{B}$ la boule unite ouverte et $\mc{S}$ la sphere unite. Soit $f\colon\overline{\mc{B}}\ra\R$ de classe $\mc C^2$. - On suppose que $f_{|\mc{S}}\leq 0$ et qu'il existe $\zeta\in\mc{B}$ tel que $f(\zeta)\gt 0$. @@ -7646,19 +6908,16 @@ Montrer que $\phi:x\in\overline{\mc{B}}\mapsto f(x)+\eps(\|x\|^2-1)$ admet un ma - On suppose que $\Delta f=0$. Montrer que $\min\limits_{\overline{\mc{B}}}f=\min\limits_{\mc{S}}f$ et $\max\limits_{\overline{\mc{B}}}f=\max\limits_{\mc{S}}f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 806] Déterminer les espaces tangents en $I_n$ aux parties $\text{SL}_n(\R)$ et $\mc{O}_n(\R)$ de $\M_n(\R)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 807] - Soient $A$ la $\R$-algèbre des fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^n$ dans $\R$ et $I$ l'ensemble des $f\in A$ telles que $f(0)=0$. Montrer que $I$ est un idéal de $A$ et que tout élément de $I$ s'écrit $\sum\limits_{i=1}^nf_i\theta_i$ ou les $f_i$ sont dans $A$ et les $\theta_i$ sont les formes linéaires coordonnées canoniques sur $\R^n$. - Déterminer les $\phi$ de $A^*$ vérifiant, pour tout $(f,g)\in A^2$, $\phi(fg)=f(0)\phi(g)+g(0)\phi(f)$. - Montrer que l'ensemble des formes linéaires de la question précédente est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $A^*$. Quelle est sa dimension? #+end_exercice - ** Probabilités #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 808] @@ -7667,12 +6926,10 @@ On considére $n$ ampoules eteintes numérotées de 1 à $n$. L'ampoule $i$ à u - On fixe à present $m$ et on considére des $p_i$ tels que $\mathbf{E}(Y)=m$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les $p_i$ pour que $\mathbf{V}(Y)$ soit maximal. Donner la loi de $Y$ dans ce cas. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 809] Un magasin dispose d'un stock de $N$ produits. Le nombre de clients qui passent dans une journée suit la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$ et chaque client à une probabilité $p$ d'acheter le produit. Quelle est la probabilité que le magasin soit en rupture de stock avant la fin de la journée? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 810] On lance $N$ des. à chaque tour, on relance ceux qui n'ont pas donne $6$ lors des tours précédents. Soit $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre total de des ayant donne $6$ au cours des $n$ premiers tours. - Montrer que $S_n$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramêtres. @@ -7682,7 +6939,6 @@ On lance $N$ des. à chaque tour, on relance ceux qui n'ont pas donne $6$ lors d - Montrer que $T_N$ admet une espérance et la calculer. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 811] Un peage comporte $3$ voies et $n$ voitures se presentent en choisissant aléatoirement et indépendamment une voie. On note $X_i$ le nombre de voitures qui passent par la voie $i$ pour $i\in\{1,2,3\}$. - Déterminer la loi des $X_i$. @@ -7690,24 +6946,20 @@ Un peage comporte $3$ voies et $n$ voitures se presentent en choisissant aléato - Les variables $X_1,X_2,X_3$ sont-elles indépendantes deux à deux? mutuellement indépendantes? #+end_exercice - # ID:7880 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 812] Une urne contient des boules numérotées de 0 à $n$. On en prend une poignée au hasard et on note les numéros obtenus. On effectue deux tirages indépendants. Soit $X$ la variables aléatoire correspondant au nombre de numéros communs entre les deux poignées. Déterminer la loi de $X$. #+end_exercice - # ID:7881 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 813] Soient $m,n,p$ des entiers $\geq 1$ tels que $p\leq\min(m,n)$. Une urne contient $m$ boules mauves et $n$ boules noires. On tire simultanement $p$ boules dans l'ume et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules mauves tires. Quelle est la valeur la plus probable de $X$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 814] Une urne contient $a\geq 1$ boules blanches et $b\geq 1$ boules rouges. à chaque tirage, on remet la boule tirée et on ajoute $c\geq 1$ boules de la même couleur. Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le rang de la première boule blanche tirée. Donner sa loi. Admet-elle une espérance? Un moment d'ordre $p\geq 2$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 815] On dispose de deux urnes $A$ et $B$, et de $2N$ boules numérotées de 1 à $2N$ reparties aléatoirement dans ces urnes. à chaque iteration, on pioche une boule au hasard et on la change d'urne. On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules dans l'urne $B$ à la $n^{\text{e}}$ iteration. On pose, pour $n\in\N$, $U_n=\left(\mathbf{P}(X_n=0)\ \mathbf{P}(X_n=1)\ \cdots\ \mathbf{P}(X_n=2N) \right)^T$. - Déterminer $M\in\M_{2N+1}(\R)$ telle que, pour tout $n$, $U_{n+1}=MU_n$. @@ -7716,27 +6968,23 @@ On dispose de deux urnes $A$ et $B$, et de $2N$ boules numérotées de 1 à $2N$ - La matrice $M$ est-elle diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 816] -On lance simultanement deux pièces equilibrées $n$ fois. Soit $E_n$ l'évènement \lt \lt les deux pièces donnent le me nombre de pile \gt \gt . - - - Pour $a,b,n\in\N$ tels que $n\leq a+b$, montrer que $\sum_{k=0}^n\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}=\binom{a+b}{n}$. +On lance simultanement deux pièces equilibrées $n$ fois. Soit $E_n$ l'évènement «les deux pièces donnent le me nombre de pile». + - Pour $a,b,n\in\N$ tels que $n\leq a+b$, montrer que $\sum_{k=0}^n\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}=\binom{a+b}{n}$. - En déduire $\mathbf{P}(E_n)$. - Déduire combien de fois en moyenne les pièces sont tombées sur Pile lorsque l'évènement $E_n$ est realise. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 817] Soient $A$ et $B$ deux évènements. Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $\mathbf{P}\big(A\cap B\big)\mathbf{P}\big(\overline{A}\cap\overline{B} \big)=\mathbf{P}\big(A\cap\overline{B}\big)\mathbf{P}\big(\overline{A} \cap B\big)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 818] Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et d'espérance finie. Montrer que $\sum_{n\in\N^*}\mathbf{P}(X\geq n)$ converge et donner sa somme. #+end_exercice - # ID:7845 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 819] Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$. @@ -7744,39 +6992,33 @@ Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambd Calculer $\mathbf{E}\left(\frac{1}{X+1}\right)$ et $\mathbf{E}\left(\frac{1}{(X+1)(X+2)}\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 820] Soient $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi géométrique de paramêtre $1/2$. On pose : $U=\max(X,Y)$ et $V=\min(X,Y)$. Déterminer la loi de $(X,Y)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 821] À quelle condition sur $\alpha$ existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$ telle que $\mathbf{P}(X=n)=\int_1^{+\i}\frac{dt}{(1+t^{\alpha})^n}$ pour tout $n\in\N^*$. Lorsque cela est realise montrer que $X$ admet une variance et la calculer. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 822] Soient $\alpha\in\R$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$. Comparer $\mathbf{E}(X^{\alpha})$ et $\mathbf{E}(X)^{\alpha}$ au sens de $\overline{\R}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 823] Soient $A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\ 2&1&-2\\ 1&-1&-1\end{pmatrix}$ et $U=\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix}$ avec $X$, $Y$, $Z$ trois variables aléatoires indépendantes, $X$ et $Z$ suivant $\mc{G}(p)$ avec $p\in]0,1[$ et $Y$ suivant $\mc{P}(\lambda)$ avec $\lambda\in\R^{+*}$. Déterminer la probabilité que $U$ soit vecteur propre de $A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 824] Soient $X,Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\R^{+*}$. Minorer aussi precisement que possible $\mathbf{E}(X/Y)$. #+end_exercice - +# Il a un id quelque part. #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 825] Soient $n\in\N^*$ et $X_1,...,X_n$ variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\R^{+*}$. Calculer $\mathbf{E}\left(\frac{X_1+\cdots+X_k}{X_1+\cdots+X_n}\right)$ pour $k\in\db{1,n}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 826] Soient $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$ et $Y=X^2+1$. - Calculer $\mathbf{E}(Y)$. @@ -7784,7 +7026,6 @@ Soient $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lam - Comparer $\mathbf{P}(X\in 2\N)$ et $\mathbf{P}(X\in 2\N+1)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 827] On suppose que la probabilité de tirer un entier $n\in\N^*$ est $\frac{1}{2^n}$. - Calculer $\mathbf{P}(A_p)$ ou $A_p$ est l'évènement $\lnot n$ est multiple de $p$. @@ -7797,28 +7038,23 @@ On suppose que la probabilité de tirer un entier $n\in\N^*$ est $\frac{1}{2^n}$ - #+END_proof - # ID:7843 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 828] Soit $A,B$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. Calculer ${\bf P}(A^B\leq B^A)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 829] Soit $X$ une variable de loi de Poisson ${\cal P}(\lambda)$, avec $\lambda\gt 0$. Soient $p\in\N^*$ et $Y=\overline{X}$ à valeurs dans $\Z/p\Z$. Quelle est la loi de $Y$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 830] Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables i.i.d. de loi de Bernoulli ${\cal B}(p)$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Montrer que $p=1/2$ si et seulement si, pour tout $n\in\N^*$ et tout $k\in\Z$, ${\bf P}(S_{2n}=k)\leq{\bf P}(S_{2n}=0)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 831] Soit $(E_n)_{n\geq 0}$ une suite d'évènements de $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ et $Z=\sum_{n=0}^{+\i}{\bf 1}_{E_n}$. Montrer que si $\sum{\bf P}(E_n)$ converge alors $Z$ est d'espérance finie. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 832] - Soit $n\in\N^*$. Donner le développement en série entière de $f:t\mapsto\frac{1}{(1-t)^n}$. - En déduire que $|\{(k_1,\ldots,k_n)\in\N^n,\ k_1+\cdots+k_n=s\}|=\binom{s+n- 1}{n}$. @@ -7827,33 +7063,28 @@ Soit $(E_n)_{n\geq 0}$ une suite d'évènements de $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ e Déterminer ${\bf P}\left(\bigcup_{n\geq 1}\left(X_1+\cdots+X_n=s\right)\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 833] Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles discretes indépendantes. - Montrer que $X_1+X_2,X_3,\ldots,X_n$ sont indépendantes. - En déduire que, pour tout $r\in\,\db{2,n-1}$, $X_1+\cdots+X_r,X_{r+1},\ldots,X_n$ sont indépendantes. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 834] Soient $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $a_0,\ldots,a_{k-1}\in\,]0,1[^k$ tels que $a_0+\cdots+a_{k-1}=1$. Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\Z/k\Z$. On suppose que : ${\bf P}(X_0=0)=1$ et $\forall n\in\N,\,\forall j\in\Z/k\Z, {\bf P}(X_{n+1}=j)=\sum_{i=0}^{k-1}a_i{\bf P}(X_n=j-i)$. - Déterminer la loi de $X_n$. - Soit $j\in\Z/k\Z$ fixe. Étudier le comportement asymptotique de $({\bf P}(X_n=j))_{n\geq 0}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 835] Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $Y=\int_0^{2\pi}\sin(t)^Xdt$. Montrer que $Y$ possède une espérance et la calculer. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 836] Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$. - Calculer ${\bf P}(Y=0)$ puis ${\bf P}(Y=n)$ pour $n\in\N^*$. Montrer que $Y$ admet une espérance et la calculer. - Montrer que ${\bf E}(X_1-X_2)^2=2\,{\bf V}(X_1)$. En déduire que $Y$ admet une variance et la calculer. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 837] Soient un espace probabilise $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ et une variable aléatoire $X$ suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda\gt 0$. - Montrer que ${\bf P}(X\geq 2\lambda)\leq\frac{1}{\lambda}$. @@ -7862,14 +7093,12 @@ Soient un espace probabilise $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ et une variable aléato - En déduire que ${\bf P}(Z\geq a)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}$ et ${\bf P}(X\geq 2\lambda)\leq\frac{1}{\lambda+1}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 838] - Rappeler le développement en série entière au voisinage de $0$ de $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$, ainsi que sa validite. - Donner une condition nécessaire et suffisante sur le réel $r$ pour qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que ${\bf P}(X=n)=\frac{(2n)!}{2^{3n}(n!)^2}r$ pour tout $n\in\N$. - Calculer alors l'espérance et la variance de $X$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 839] Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall k\in\N^*,\ {\bf P}(X=k)=\frac{1}{2^k}$. - Justifier la bonne définition d'une telle loi et calculer l'espérance de $X$. @@ -7877,7 +7106,6 @@ Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall k\in\ - Étudier l'indépendance de $A_p$ et $A_q$ pour $p$ et $q$ entiers quelconques. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 840] Soit $p\in\,]0,1[$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi ${\cal G}(p)$. On pose $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$ ; $\alpha_n={\bf E}(Y_n)$ et $\beta_n={\bf E}(Z_n)$. - Déterminer la monotonie des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$. @@ -7885,7 +7113,6 @@ Soit $p\in\,]0,1[$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d - Déterminer la limite de $(\beta_n)$. Donner un équivalent de $\beta_n$. #+end_exercice - # ID:7844 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 841] Soient $\lambda\gt 0$ et $n\in\N$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On pose $Y=(X+n)!$ @@ -7893,19 +7120,16 @@ Soient $\lambda\gt 0$ et $n\in\N$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la - On suppose que $Y\in L^1$. Montrer que : $\forall m\in\N^*,{\bf P}(Y\geq m)\leq\frac{n!}{m(1-\lambda)^{ n+1}}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 842] - Montrer qu'il existe une variable aléatoire telle que : $\forall t\in[0,1],G_X(t)=\frac{e^{t-1}}{\sqrt{2-t}}$. - Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 843] Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\R^{+*}$ telle que : ${\bf E}\left(1/X\right)\lt +\i$. On définit $F_X$ sur $\R^+$ par : $\forall t\in\R^+,F_X(t)={\bf E}(e^{-tX})$. - Montrer que $F_X$ est bien définie, continue, intégrable sur $\R^+$ et calculer $\int_0^{+\i}F_X$. - Soient $Y,Z$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent chacune la loi géométrique de paramêtre $p\in\,]0,1[$. Calculer ${\bf E}\Big(\frac{1}{X+Y}\Big)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 844] Soient $X_1$,..., $X_n$ des variables aléatoires indépendantes. Notons, pour tout $k$ $F_k$ la fonction de repartition associée à $X_k$. @@ -7915,7 +7139,6 @@ On note $X=\max(X_1,\ldots,X_n)$ et $Y=\min(X_1,\ldots,X_n)$. - Supposons que les $X_k$ suivent des lois géométrique de paramêtre $p_k\in]0,1[$. Déterminer la loi de $Y$. #+end_exercice - # ID:7846 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 845] Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et admettant une variance. @@ -7923,7 +7146,6 @@ Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et admettant une variance. - Prouver que ${\bf E}\left(\frac{1}{X+1}\right)\leq 1-\frac{2}{3}{\bf E}(X)+\frac{1}{6}{ \bf E}(X^2)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 846] Soient $m,n\in\N$ tels que $n\gt m+2$. On définit une suite $(u_k)_{k\in\N}$ en fixant $u_0\in\R$ et en posant, pour tout $k\in\N$, $u_{k+1}=\frac{k+m}{k+n}u_k$. - étudier la série $\sum\ln\left(\left(\frac{k+1}{k}\right)^{n-m}\frac{u_{k+1}}{u_k}\right)$. En déduire l'existence d'une constante $C\gt 0$ telle que $u_k\underset{k\ra+\i}{\sim}Ck^{m-n}$. @@ -7933,19 +7155,16 @@ Soient $m,n\in\N$ tels que $n\gt m+2$. On définit une suite $(u_k)_{k\in\N}$ en - Montrer que $X\in L^1$ et calculer ${\bf E}(X)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 847] Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique ${\cal G}(p)$, avec $p\in]0,1[$. - Soit $n\in\N^*$. Donner la loi de $S_n=X_1+\cdots+X_n$. - Déterminer un équivalent de $\max\{{\bf P}(S_n=k),k\in\N\}$ lorsque $n\ra+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 848] Soient $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi ${\cal G}(p)$ et $N$ une variable indépendante des $X_i$ qui suit la loi ${\cal G}(q)$. Soit $S=\sum_{k=1}^NX_k$. Montrer que $S$ est une variable aléatoire et déterminer son espérance et sa variance. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 849] Soit $N\in\N^*$. On repartit $2N$ boules entre deux urnes $A$ et $B$. On tire successivement une boule au hasard dans l'une des urnes, et on la place dans l'autre urne. @@ -7959,7 +7178,6 @@ Pour $\lambda\in\R$, montrer que $V\in\mathrm{Ker}(M-\lambda I_{2N+1})$ si et se - La matrice $M$ est-elle diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 850] Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique $\mc{G}(p)$, avec $p\in]0,1[$. Pour $n\in\N^*$, soient $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$, $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$, $a_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $b_n=\mathbf{E}(Z_n)$. - Étudier la monotonie de $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$. @@ -7967,7 +7185,6 @@ Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi - Déterminer la limite et un équivalent simple de $(b_n)_{n\geq 1}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 851] Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires de Rademacher. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. - Pour $t\in{\R^+}^*$ et $n\in\N^*$, montrer que $\mathbf{E}(e^{tS_n})\leq\exp\left(\frac{nt^2}{2}\right)$. @@ -7975,7 +7192,6 @@ Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires de Rademacher. - Montrer que le résultat de la question précédente subsite si $(X_k)_{k\geq 1}$ est une suite i.i.d. de variables aléatoires bornées par $1$ et centrées. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 852] Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrete. - Pour $t\in\R$, justifier l'existence de $\phi_X(t)=\mathbf{E}(e^{itX})$. @@ -7983,7 +7199,6 @@ Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrete. - Montrer que $\phi_X$ détermine la loi de $X$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 853] Soient $k\leq n\in\N$. Un parking dispose de $n$ places consécutives numérotées de $1$ à $n$. On y dispose des vehicules nécessit chacun $k$ places consécutives pour être gares. Chaque vehicule est successivement place aléatoirement sur les emplacements disponibles jusqu'a ce qu'on ne puisse plus en garer aucun. @@ -7997,9 +7212,7 @@ Montrer que la somme $f$ de la série entière $\sum S_nt^n$ est au moins défin - Expliciter $f$ et en déduire une expression de $\mathbf{E}(X_n)$ pour $n\in\N$. #+end_exercice - * Mines - Ponts - PSI :autre: - ** Algèbre #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 854] @@ -8008,22 +7221,18 @@ Soit $A=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}7&-4&0\\ 6&-7&0\\ 0&0&-5\end{pmatrix}$. - Donner l'image du plan $P$ d'équation $x-y-z=0$ par $A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 855] Soit $P\in\M_n(\R)$ representant un projecteur $p$ de rang $r$ dans la base canonique de $\R^n$. Déterminer la trace de l'endomorphisme de $\M_n(\R)$ défini par : $\Psi(X)=PX-XP$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 856] Soient $n\in\N^*,x\in\R$ et $P\in\R_{n-2}[X]$. Montrer que la matrice $A\in\M_n(\R)$ définie par : $A_{i,j}=P(x+i+j-2)$ n'est pas inversible. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 857] Montrer que la matrice $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}$ n'admet pas de racine carrée. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 858] On note $D_n$ le nombre de permutations sans point fixe de $\db{1,n}$. On note $D_0=1$. - Soit $M=\left(\begin{pmatrix}j\\ i\end{pmatrix}\right)_{0\leq i,j\leq n}\in\M_{n+1}(\R)$. Déterminer $M^{-1}$. @@ -8031,14 +7240,12 @@ On note $D_n$ le nombre de permutations sans point fixe de $\db{1,n}$. On note $ - En déduire une expression de $D_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 859] Soit $r\geq 2$. - Montrer que l'équation $X^r=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$ n'a pas de solution $X\in\M_2(\C)$. - Déterminer les solutions $X\in\M_2(\C)$ de l'équation $X^r=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 860] Soient $a_1,\dots,a_n$ des nombres complexes distincts. Soit $A\in\M_n(\C)$ la matrice de terme general $a_{i,j}=\left\{\begin{array}{c}0\text{ si }i=j\\ a_j\text{ si }i\neq j\end{array}.$. Soit $P\::x\mapsto\det(A+xI_n)$. - Montrer que $P$ est un polynôme unitaire de degré $n$. @@ -8048,12 +7255,10 @@ Soient $a_1,\dots,a_n$ des nombres complexes distincts. Soit $A\in\M_n(\C)$ la m - Calculer $\det(A+I_n)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 861] Soient $A_1,\dots,A_n\in\M_n(\C)$ telles que $\forall i\in\db{1,n]\!]$, $\exists p\in[\![1,n]\!]$, $A_i^p=0\text{ et }\forall i,j\in[\![1,n}$, $A_iA_j=A_jA_i$. Montrer que $\prod_{i=1}^nA_i=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 862] On dit qu'une matrice $A\in{\cal M}_n(\R)$ admet un pseudo-inverse s'il existe $B\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $AB=BA$, $B=BAB$ et $A=ABA$. - Montrer que, si $A$ admet un pseudo-inverse, alors $A$ et $A^2$ sont de même rang. @@ -8061,7 +7266,6 @@ On dit qu'une matrice $A\in{\cal M}_n(\R)$ admet un pseudo-inverse s'il existe $ - Montrer que, si $A$ et $A^2$ sont de même rang, alors $\ker(A)$ et $\op{Im}(A)$ sont supplementaires. Étudier la réciproque de la première question. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 863] Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. On suppose qu'il existe des complexes deux à deux distincts $\lambda_0,\ldots,\lambda_n$ tels que $A+\lambda_iB$ est nilpotente pour tout $i$. - Montrer que l'indice de nilpotence d'une matrice nilpotente de taille $n$ est inférieur ou egal à $n$. @@ -8069,20 +7273,17 @@ Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. On suppose qu'il existe des complexes deux à deu - Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 864] Soient $n\geq 2$ et $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $\forall M\in{\cal M}_n(\R)$, $\det(A+M)=\det(A)+\det(M)$. - Montrer que $A$ n'est pas inversible. - Montrer que $A=0$._Ind._ Écrire $A=PJ_rQ^{-1}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 865] - Soit $n\in\N$. Montrer qu'il existe un polynôme $P_n$ de degré $\leq n$ tel que $X+1-P_n^2(X)$ soit divisible par $X^{n+1}$._Ind._ Penser aux développements limites. - Soit $N\in{\cal M}_n(\C)$ une matrice nilpotente. Montrer qu'il existe une matrice $B\in\op{GL}_n(\C)$ tel que $B^2=I_n+N$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 866] Soit $B=(b_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal M}_n(\R)$ telle que @@ -8092,17 +7293,14 @@ Soit $B=(b_{ij})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal M}_n(\R)$ telle que - En déduire que $B^{-1}$ est à coefficients $\geq 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 867] Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $d\in\db{1,n-1}$. Trouver l'ensemble des endomorphismes de $E$ qui stabilisent tous les sous-espaces vectoriels de dimension $d$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 868] Soient $A$ et $B$ dans ${\cal M}_n(\R)$. On suppose que $AB=BA$ et qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $B^p=0$. Montrer que $\det(A+B)=\det(A)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 869] Soient $a,b,c\in\R$ et $A=\begin{pmatrix}0&-a&b\\ a&0&-c\\ -b&c&0\end{pmatrix}$. - Montrer qu'il existe $d$ tel que $A^3+dA=0$. @@ -8110,7 +7308,6 @@ Soient $a,b,c\in\R$ et $A=\begin{pmatrix}0&-a&b\\ a&0&-c\\ -b&c&0\end{pmatrix}$. - Déterminer $\alpha$ et $\beta$ tels que $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{A^k}{k!}=I_3+\alpha A+\beta A^2$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 870] Soit $A=\begin{pmatrix}1&j&j^2\\ j&j^2&1\\ j^2&1&j\end{pmatrix}$ ou $j=e^{2i\pi/3}$. - La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Déterminer une matrice semblable à $A$, diagonale ou triangulaire. @@ -8119,28 +7316,23 @@ Soit $A=\begin{pmatrix}1&j&j^2\\ j&j^2&1\\ j^2&1&j\end{pmatrix}$ ou $j=e^{2i\pi/ - Peut-on retrouver $C_A$ par des arguments de stabilité? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 871] Soit $k\in\C$. Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 1&k&1&1\\ 0&1&0&0\\ 0&1&0&0\end{pmatrix}$. Étudier la diagonalisabilité de $A$ en fonction de $k$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 872] Soit $f\in\mc{L}(\C^n)$. On suppose $f^2$ diagonalisable. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $\op{Ker}(f)\cap\op{Im}(f)=\{0\}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 873] - Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2$ soit diagonalisable et $\op{Sp}(A^2)\subset]0,+\i[$. Montrer que $A$ est diagonalisable. - Diagonaliser $A=$ $\begin{pmatrix}a&b&\ldots&b\\ b&a&\ddots&\\ &\ddots&\ddots&b\\ b&\ldots&b&a\end{pmatrix}$ et $B=$ $\begin{pmatrix}b&\ldots&b&a\\ \vdots&\ddots&\ddots&b\\ b&\ldots&\ddots&\vdots\\ a&b&\ldots&b\end{pmatrix}$ avec $a\in\R$ et $b\in\R^*$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 874] Soient $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose que $f^2$ est un projecteur. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $f$ pour que $f$ soit diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 875] Soient $a\in\C$ et $u:P\in\C[X]\mapsto(X-a)P'$. - Montrer que $u$ est linéaire. @@ -8148,7 +7340,6 @@ Soient $a\in\C$ et $u:P\in\C[X]\mapsto(X-a)P'$. - Trouver les $P$ dans $\C[X]$ tels que $P'$ divise $P$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 876] Soient $E=\C_n[X]$, $\alpha\in\C$ et $f\,:P\in E\mapsto P-\alpha(X-\alpha)P'$. - Montrer que $f\in\mc{L}(E)$ et donner sa matrice dans la base canonique. @@ -8157,12 +7348,10 @@ Soient $E=\C_n[X]$, $\alpha\in\C$ et $f\,:P\in E\mapsto P-\alpha(X-\alpha)P'$. - Montrer, pour tout $k\in\N:E=\op{Ker}(f^k)\oplus\op{Im}(f^k)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 877] Soit $A\in\M_n(\C)$ telle que $\op{rg}(A)=2$, $\op{tr}(A)=0$ et $A^n\neq 0_n$. Montrer que $A$ est diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 878] Soit $A=$ $\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&2&1\\ 2&-2&-1\end{pmatrix}$. - Donner le spectre de $A$ et ses espaces propres. La matrice $A$ est-elle diagonalisable? @@ -8171,7 +7360,6 @@ Soit $A=$ $\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&2&1\\ 2&-2&-1\end{pmatrix}$. - Trouver l'ensemble des matrices $M\in\M_3(\R)$ qui commutent avec $A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 879] Soit $A=\begin{pmatrix}-1&1&1\\ 0&5&-14\\ 0&-3&-8\end{pmatrix}$. - La matrice $A$ est-elle diagonalisable? @@ -8179,19 +7367,16 @@ Soit $A=\begin{pmatrix}-1&1&1\\ 0&5&-14\\ 0&-3&-8\end{pmatrix}$. - Déterminer $A^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 880] Soit $u$ l'application définie par : $\forall P\in\C[X]$, $\forall z\in\C$, $u(P)(z)=e^{-z}\sum_{k=0}^{+\i}\frac{P(n)}{n!}z^n$. - Montrer que $u$ est un endomorphisme de $\C[X]$. - Trouver les valeurs propres de $u$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 881] Soit $M\in\M_2(\Z)$ telle qu'il existe $n\in\N^*$ vérifiant $M^n=I_2$. Prouver que $M^{12}=I_2$. Ind. Montrer que $M$ est $\C$-diagonalisable et considérer sa trace. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 882] Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$. On dit que $f\in\mc{L}(E)$ est cyclique lorsqu'il existe $x\in E$ tel que $(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))$ est une base de $E$. - On suppose $f^{n-1}\neq 0$ et $f$ nilpotent. Montrer que $f$ est cyclique. @@ -8199,19 +7384,16 @@ Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$. On dit que $f\in\mc{L - On suppose $f$ diagonalisable. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit cyclique. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 883] Soient $E$ un $\mathbb{K}$ espace vectoriel de dimension finie $n\geq 2$ et $u\in\mc{L}(E)$. On dit que $u$ est cyclique s'il existe $x_0$ tel que $(x_0,u(x_0),\ldots,u^{n-1}(x_0))$ soit une base de $E$. Soient $E=\op{Vect}(1,\cos,\sin)$ dans $\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $u$ la derivation. Montrer que $u$ est un endomorphisme cyclique non diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 884] Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^3-A-I_n=0$. Montrer que $\det A\gt 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 885] Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que la suite $(A^k)_{k\in\N}$ converge vers une matrice $B$. - Montrer que $B^2=B$. @@ -8221,13 +7403,11 @@ En considérant une division euclidienne, montrer que : $\forall k\in\N,\ A^k\in - Décrire $B$ à l'aide des éléments propres de $A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 886] - Soit $P\in\C[X]$ un polynôme non constant. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $P(M)=0$. - Soit $Q\in\R[X]$ un polynôme de degré $2$. Montrer qu'il existe $M\in\M_2(\R)$ telle que $Q(M)=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 887] Soit $C\in\M_n(\C)$ une matrice de rang $r$. - Démontrer le theoreme du rang pour les endomorphismes de $\C^n$. @@ -8236,7 +7416,6 @@ Soit $C\in\M_n(\C)$ une matrice de rang $r$. - Que peut-on dire dans - quand $r=n$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 888] Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$. Soit $f_A\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ définie par $\forall M\in\M_n(\mathbb{K}),\,f_A(M)=AM$. - Pour $P\in\mathbb{K}[X]$, déterminer $P(f_A)$. @@ -8245,7 +7424,6 @@ Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$. Soit $f_A\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ définie par - Donner le lien entre les éléments propres de $A$ et ceux de $f_A$. Retrouver le résultat de la question -. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 889] Soit $E_N$ l'ensemble des suites à valeurs complexes $N$-périodiques. - Montrer que $E_N$ est un espace vectoriel de dimension finie et en déterminer sa dimension. Soit $T\,:E_N\ra E_N$ définie par $\forall u\in E_N,\,(T(u))_n=u_{n+1}$. @@ -8254,7 +7432,6 @@ Soit $E_N$ l'ensemble des suites à valeurs complexes $N$-périodiques. - L'endomorphisme $T$ est-il diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 890] Soit $E=\R_3[X]$. pour $P,Q\in E$, on note $\Phi(P,Q)=\sum_{k=0}^3(P(k)+P(1))(Q(k)+Q(1))$. @@ -8264,7 +7441,6 @@ Pour tout $i\in\db{0,3}$, on note $L_i(t)=\prod_{0\leq k\leq 3\atop k\neq i}\fra - Trouver une base orthonormée de $E$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 891] Soient $E=\R_4[X]$, $F$ le sous-espace vectoriel de $E$ forme des polynômes pairs, $G$ le sous-espace vectoriel de $E$ forme des polynômes impairs. @@ -8274,12 +7450,10 @@ Pour $P,Q\in E$, on note $\Phi(P,Q)=\sum_{k=0}^4\big(P(k)+(-1)^kP(-k)\big)\big(Q - Déterminer une base orthonormée de $E$ adaptée à $E=F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}G$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 892] Soit $E$ un espace euclidien de dimension $3$. On considére une isométrie indirecte $f$. Montrer que $f$ se décompose en une rotation d'axe $\Delta$ et une reflexion de plan $\Delta^{\perp}$. Cette décomposition est-elle unique? La rotation et la reflexion commutent-elles? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 893] On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. @@ -8288,7 +7462,6 @@ Soit $F=\{M\in\M_n(\R),\op{tr}(M)=0\}$. - Pour $A\in\M_n(\R)$, donner $d(A,F)$ en fonction notamment de $\op{tr}(A)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 894] Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. - Montrer que $F\subset(F^{\perp})^{\perp}$. @@ -8298,14 +7471,12 @@ Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espa - Pour $E$ préhilbertien, donner une condition suffisante sur $F$ pour que $F=(F^{\perp})^{\perp}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 895] Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien. Pour $x_1,\ldots,x_p$ dans $E$, on note $G(x_1,\ldots,x_p)$ la matrice de coefficient $G_{i,j}=\langle x_i,x_j\rangle$. - Montrer que $\colon\ G$ est inversible si et seulement si $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre. - Montrer que $\op{rg}(G)=\op{rg}(x_1,\ldots,x_p)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 896] Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien et $F$ une partie fermée, non vide et convexe de $E$. @@ -8319,25 +7490,21 @@ Pour $x\in E$ on pose $d(x)=\inf_{f\in F}\|x-f\|$ et $\Gamma(x)=\{f\in F,\ \|x-f - Montrer que $p(x)$ est caractérise par $\colon\forall y\in F,\ \langle x-p(x),y-p(x)\rangle\ \leq 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 897] On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u$ l'endomorphisme de $\R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2&2&-1\\ -1&2&2\\ 2&-1&2\end{pmatrix}$. Déterminer sa nature et ses valeurs propres. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 898] - Que peut-on dire du spectre d'une matrice orthogonale? - Que peut-on dire de la matrice $A=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}-2&6&-3\\ 6&3&2\\ -3&2&6\end{pmatrix}$? Que décrit-elle? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 899] Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien. - Montrer que $u=p-q$ est diagonalisable et que $\op{Sp}(u)\subset[-1,1]$. - Déterminer $\op{Ker}(u+\op{id})$ et $\op{Ker}(u-\op{id})$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 900] Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien, $\alpha$ un réel et $a$ un vecteur de $E$ unitaire. @@ -8349,17 +7516,14 @@ On définit $f_{\alpha}:x\mapsto x+\alpha\,\langle x,a\rangle\,a$. - Pour quels $\alpha$, $f_{\alpha}$ est-il auto-adjoint? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 901] Soient $E$ un espace euclidien et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$ telle que la famille $(u(e_1),\ldots,u(e_n))$ soit orthogonale. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 902] Déterminer l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\R)$ telles que $M^TMM^T=I_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 903] Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telle que $A^2+A^T=I_n$. - Montrer que $A^4-2A^2+A=0$. @@ -8367,7 +7531,6 @@ Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telle que $A^2+A^T=I_n$. - Montrer que $A$ est diagonalisable dans $\M_n(\R)$ et déterminer l'expression des $A$ possibles. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 904] On munit $\R_n[X]$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_0^1PQ$. On pose pour tout $P\in\R_n[X]$ @@ -8380,19 +7543,16 @@ Soit $(P_0,\ldots,P_n)$ une base orthonormée de vecteurs propres de $u$ associe - En déduire que $\mathrm{tr}(u)=\frac{2^n}{n+1}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 905] Soit $S=(s_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{S}_n(\R)$. On pose $D=\mathrm{diag}(s_{1,1},\ldots,s_{n,n})$. On suppose $S$ et $D$ semblables. Montrer que $S=D$. Ind. Considérer la trace de $S^2$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 906] Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. On dit que $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ lorsque, pour toute matrice $X\in\M_{n,1}(\R)$ non nulle, $X^TAX\gt 0$. - Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. - Soit $A\in\mc{S}_n^{++}(\R):A=\begin{pmatrix}B&C\\ C^T&D\end{pmatrix}$. Montrer que $\det(B)\gt 0$, puis montrer que $\det(A)\leq\det(B)\det(D)$. #+end_exercice - ** Analyse #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 907] @@ -8400,7 +7560,6 @@ Soient $E=\mc C^0([0,1],\R)$ et $\phi\in E$. On note, pour $f\in E$, $N_{\phi}(f - Montrer que $N_{\phi}$ est une norme si et seulement si $\phi^{-1}(\{0\})$ est d'intérieur vide. - Montrer que $N_{\phi}$ et $\|\ \|_{\i}$ sont équivalentes si et seulement si $\phi^{-1}(\{0\})$ est vide. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 908] Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel, $N_1$ et $N_2$ deux normes sur $E$. - Soit $(u_n)$ une suite qui converge dans $(E,N_1)$. On suppose que $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes. Montrer que $(u_n)$ converge dans $(E,N_2)$. @@ -8410,7 +7569,6 @@ Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel, $N_1$ et $N_2$ deux normes sur $E$. - En déduire que $N_a$ et $N_b$ ne sont pas équivalentes si $0\leq a\lt b$ et $b\gt 1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 909] Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel normé. Une suite $(u_n)\in E^{\N}$ est de Cauchy si @@ -8424,7 +7582,6 @@ de terme general $P_n=1+\sum_{k=1}^n\dfrac{X^k}{k}$ est de Cauchy sans être con - On admet le theoreme de Bolzano-Weierstrass dans $\R$. Montrer que si $E$ est de dimension finie, alors la suite $(u_n)$ est convergente si et seulement si elle est de Cauchy. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 910] Soit $E$ l'ensemble des applications lipschitzienne de $[0,1]$ dans $\R$. Pour $f\in E$, on note $K(f)=\inf\{k\in\R^+,\,f$ est $k-$lishtzienne}. - Montrer que $E$ est un espace vectoriel. @@ -8435,19 +7592,16 @@ Soit $E$ l'ensemble des applications lipschitzienne de $[0,1]$ dans $\R$. Pour $ - L'application $f\mapsto\dfrac{K(f)}{\|f\|_{\i}}$ est-elle bornée sur $E\setminus\{0\}$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 911] Soit $f\,\colon\,(x,y)\in(\R^{+*})^2\mapsto x^2+y^2+\dfrac{3}{xy}$. La fonction $f$ est-elle prolongeable par continuité en $(0,0)$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 912] Soit $a\in\R$. Pour tout $n\in\N^*$, on définit $A_n=\begin{pmatrix}1&a/n\\ -a/n&1\end{pmatrix}$. - Soient $\alpha\in\R$ et, pour tout $n\in\N^*$, $z_n=\Big(1+i\dfrac{\alpha}{n}\Big)^n$. Montrer que $z_n\ra e^{i\alpha}$. - Diagonaliser $A_n$ dans $\C$. - Déterminer $\lim A_n^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 913] Soit $(x_n)_{n\in\N^*}$ une suite de réels positifs et, pour $n\geq 1$, $y_n=\sqrt{x_1+\sqrt{x_2+\cdots+\sqrt{x_n}}}$. - Étudier la convergence de la suite $(y_n)$ lorsque la suite $(x_n)$ est constante. @@ -8455,7 +7609,6 @@ Soit $(x_n)_{n\in\N^*}$ une suite de réels positifs et, pour $n\geq 1$, $y_n=\s - Montrer que la suite $(y_n)$ converge si et seulement si la suite $\left(x_n^{1/2^n}\right)$ est bornée. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 914] Pour $n\geq 2$, on s'intéresse à l'équation $e^x-x^n=0$. - Montrer que cette équation admet exactement deux solutions positives $u_n$ et $v_n$, avec $u_n\lt v_n$. @@ -8464,7 +7617,6 @@ Pour $n\geq 2$, on s'intéresse à l'équation $e^x-x^n=0$. - Montrer que la suite $(v_n)$ diverge. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 915] On définit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ par : $u_{3n}=\frac{2}{\ln(n+3)}$ et $u_{3n+1}=u_{3n+2}=\frac{-1}{\ln(n+3)}$. - Montrer que la série $\sum u_n$ est convergente et calculer sa somme. @@ -8472,7 +7624,6 @@ On définit la suite $(u_n)_{n\in\N}$ par : $u_{3n}=\frac{2}{\ln(n+3)}$ et $u_{3 - Montrer, pour tout entier $p\geq 2$, la divergence de la série $\sum u_n^p$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 916] On donne $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\ln n+\gamma+o(1)$. - On pose $u_k=\frac{(-1)^k}{k}$. Étudier la convergence et la somme de $\sum_{k\geq 1}u_k$. @@ -8484,14 +7635,12 @@ Donner $\sigma(k)$. - Déterminer la somme de la série $\sum_{k\geq 1}u_{\sigma(k)}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 917] Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite définie par $u_1\gt 0$ et, pour tout $n\in\N^*$, $u_{n+1}=\frac{u_n}{n}+\frac{1}{n^2}$. - Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$. - Étudier la convergence de la série $\sum u_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 918] Soit $f$ : $\R^{+*}\ra\R^{+*}$. - à quelle condition nécessaire la série $\sum\frac{(-1)^k}{f(k)}$ est-elle convergente? Cette condition est-elle suffisante? On suppose par la suite que cette condition est vérifiée. - On suppose de plus que $f$ est croissante à partir d'un certain rang. @@ -8502,12 +7651,10 @@ On pose $u_n=\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{f(k)}$. Déterminer le signe de $u_n$ Déterminer la nature de la série $\sum u_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 919] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ continue et surjective. Montrer que tout $y\in\R$ admet une infinite d'antecedents par $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 920] Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$ telle que $f\circ f=2f-\mathrm{id}$. - Montrer que $f$ est une bijection strictement croissante de $\R$ dans $\R$. @@ -8515,19 +7662,16 @@ Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$ telle que $f\circ f=2f-\math - Déterminer $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 921] Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ ou $g$ est à valeurs dans $[0,1]$ et $f$ décroissante. On pose $c=\int_a^bg$. Montrer que $\int_{b-c}^bf\leq\int_a^bfg\leq\int_a^{a+c}f$. Ind. On pourra introduire une fonction d'une variable bien choisie. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 922] Trouver les fonctions $f\in\mc C^1(\R,\R)$ telles que $\forall x\in\R,\,f(x)+\int_0^x(x-t)f(t)\dt=1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 923] Soit $\theta\in\R\setminus 2\pi\Z$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{e^{ik\theta}}{k}=\int_0^1e^{i\theta}\frac{1-( te^{i\theta})^n}{1-te^{i\theta}}\,d\theta$. @@ -8536,19 +7680,16 @@ Soit $\theta\in\R\setminus 2\pi\Z$. - Déterminer de même $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{\cos(k\theta)}{k}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 924] Calculer $\int_0^{+\i}\lfloor x\rfloor e^{-x}dx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 925] Soit, pour $n\in\N$ et $x\in\R$, $I_n(x)=\int_0^{\pi}\frac{\cos(nt)-\cos(nx)}{\cos(t)-\cos(x)}dt$. - Montrer que $I_n(x)$ est bien définie. - Calculer $I_{n+1}(x)+I_{n-1}(x)$ et trouver une relation de récurrence. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 926] - Justifier que $I=\int_0^{+\i}\bigg{[}\frac{1}{\sqrt{x}}\bigg{]}{\rm d}x$ converge. #+end_exercice @@ -8594,14 +7735,12 @@ Soit la suite de fonctions définies par $f_n\,:x\mapsto\frac{x^n}{n!}e^{-x}$. Étudier la convergence simple et la convergence uniforme de la suite de fonctions $(f_n)_{n\geq 0}$ définie sur $\R^{+*}$ par $\forall x\gt 0,\,f_0(x)=x$ et $\forall n\in\N,\,f_{n+1}(x)=\frac{1}{2}\left(f_n(x)+\frac{x}{f_n( x)}\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 934] Soit $f:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}\frac{xe^{-nx}}{\ln(n)}$. - Trouver les domaines de définition/continuité/dérivabilité de $f$. - Trouver la limite de $f$ en $+\i$ puis un équivalent. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 935] Pour $a\in\R$, on considére la suite de fonctions définie par $f_0=1$ et, pour $n\in\N^*$, $f_n:x\mapsto e^{-n^a}e^{inx}$. - Pour quelles valeurs de $a$, la série $\sum f_n$ converge-t-elle simplement sur $\R$? @@ -8611,14 +7750,12 @@ On suppose cette condition remplie dans la suite. On pose $S=\sum_{n=0}^{+\i}f_n - En utilisant le theoreme de Fubini, montrer que $S$ est développable en série entière au voisinage de $0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 936] - Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum\frac{x^n}{n^2}$. - Montr'er que pour tout $x\in[0,R[,\sum_{n\geq 1}\frac{x^n}{n^2}=x\int_0^1\frac{\ln(t)}{xt-1} \dt$. - Que se passe-t-il pour $x=1$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 937] Soit $f\ :x\mapsto\sum_{n\geq 0}\binom{2n}{n}x^n$. - Déterminer le rayon de convergence de $f$. @@ -8627,7 +7764,6 @@ Soit $f\ :x\mapsto\sum_{n\geq 0}\binom{2n}{n}x^n$. - Que vaut $\sum_{n\geq 0}\binom{2n}{n}\frac{(-1)^n}{4^n}$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 938] Soient $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{x^n}{(n+1)!}$ et $F:x\mapsto\int_0^xe^{-t}f(t)\dt$. - Déterminer le rayon de convergence de $f$ et exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles. @@ -8635,7 +7771,6 @@ Soient $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{x^n}{(n+1)!}$ et $F:x\mapsto\int_0^xe^{- - Montr'er que $F$ est développable en série entière et déterminer ce développement. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 939] On cherche à déterminer le cardinal $m_n$ de l'ensemble $M_n$ forme des $n$-uplets $(a - {1\leq i\leq n}$ @@ -8648,14 +7783,12 @@ On pose $m_0=1$. - Soit $:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}m_nx^n$. Montrer que le rayon de convergence de cette série entière est $\gt 0$ et déterminer $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 940] Soit $g\,\colon\,x\mapsto\frac{1}{\cos x}$. - Montrer que $g$ est développable en série entière au voisinage de $0$. - Donner un encadrement du rayon de convergence. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 941] Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{(2^nn!)^2}x^{2n}$. - Trouver l'ensemble de définition de $f$. @@ -8663,7 +7796,6 @@ Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{(2^nn!)^2}x^{2n}$. - Calculer $\int_0^{+\i}f(t)e^{-xt}dt$ pour $x\in]1,+\i[$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 942] On pose $f(x,s)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{n^s}$. - Calculer $f(x,0)$ et $f(x,1)$ lorsque cela est possible. @@ -8673,7 +7805,6 @@ On pose $f(x,s)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{n^s}$. - Soit $p\in\N$. Déterminer un équivalent de $f(x,-p)$ lorsque $x\ra 1^-$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 943] On définit la suite $(u_n)$ par : $u_0=1$ et, pour $n\in\N^*$, $u_n=\sqrt{n+u_{n-1}}$. - Montrer que, pour tout $n\in\N$, on a : $\sqrt{n}\leq u_n\leq 2\sqrt{n+1}$. @@ -8682,7 +7813,6 @@ On définit la suite $(u_n)$ par : $u_0=1$ et, pour $n\in\N^*$, $u_n=\sqrt{n+u_{ - Calculer $\lim_{x\ra R^-}\sum_{n=0}^{+\i}u_nx^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 944] Soit $a_n\,=\,\int_0^1\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^ndt$. On pose $f\,\colon\,x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ et l'on note $R$ le rayon de convergence de cette série entière. - Montrer que : $\forall n\in\N,\ \frac{1}{2^n}\leq a_n\leq 1\,$. En déduire un encadrement de $R$. @@ -8693,7 +7823,6 @@ Soit $a_n\,=\,\int_0^1\left(\frac{1+t^2}{2}\right)^ndt$. On pose $f\,\colon\,x\m $$\forall x\in]-1,1[,\ f(x)=\int_0^1\sum_{n=0}^{+\i}\left(\frac{(1+t^2)x }{2}\right)^ndt=\int_0^1\frac{1}{1-\frac{(1+t^2)x}{2}} dt\text{ et en calculant cette intégrale.}$$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 945] Soit $\alpha\in\R^{+*}$_: - Montrer que $\int_0^{+\i}\sin(t)\,e^{-\alpha t}\dt\text{ et }\int_0^{+\i}|\sin(t)|\,e^{-\alpha t}\dt$ convergent et déterminer leur valeur. @@ -8702,7 +7831,6 @@ Soit $\alpha\in\R^{+*}$_: - Adapter les questions précédentes pour déterminer $\int_0^{+\i}\frac{\sin(t)}{\mathrm{ch}(t)}\dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 946] Soient $u_n=\int_1^{+\i}e^{-x^n}\dx\text{ et }I=\int_1^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}\dt$. - Montrer que $u_n$ est bien défini pour tout $n\geq 1$. @@ -8710,18 +7838,15 @@ Soient $u_n=\int_1^{+\i}e^{-x^n}\dx\text{ et }I=\int_1^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}\dt$ - Déterminer la nature de $\sum u_n$._Ind._ Effectuer un changement de variable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 947] Soient $f\in\mc C^0([0,1],\R)$ et, pour $n\in\N$, $I_n=\int_0^1f(t^n)dt$. Limite de $(I_n)\,$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 948] - Soient $a$ et $b$ deux réels $\gt 0$. Montrer que $\int_0^1\frac{t^{a-1}}{1+t^b}\dt=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{a+bn}$. - Calculer $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{1+3n}\text{ et }\sum_{n=0}^{+ \i}\frac{(-1)^n}{1+4n}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 949] Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\arctan(tx)}{t(1+t^2)}\dt$. - Montrer que $\colon\forall u\in\R$, $|\arctan(u)|\leq|u|$. @@ -8731,7 +7856,6 @@ Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\arctan(tx)}{t(1+t^2)}\dt$. - Déterminer $\int_0^{+\i}\left(\frac{\arctan(t)}{t}\right)^2\dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 950] Soit $f\,\colon\,\alpha\mapsto\int_0^{+\i}\frac{dt}{t^{\alpha}(t+1)}$. - Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$. @@ -8741,7 +7865,6 @@ Soit $f\,\colon\,\alpha\mapsto\int_0^{+\i}\frac{dt}{t^{\alpha}(t+1)}$. - Déterminer un équivalent de $f$ en $0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 951] Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\arctan(xt)\,e^{-t}\dt$. - Montr e que $f$ est définie et de classe $\mc C^1$ sur $\R$. @@ -8749,7 +7872,6 @@ Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\arctan(xt)\,e^{-t}\dt$. - Trouver un équivalent de $u_n$ en $+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 952] Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{1}{x+e^t}dt$. - Montr e que $f$ est définie au moins sur un intervalle de la forme $]-\alpha,\alpha[$ avec $\alpha\gt 0$. @@ -8757,7 +7879,6 @@ Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{1}{x+e^t}dt$. - Calculer ce développement et en déduire une expression $f(x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 953] Soit $f:x\mapsto\int_0^xe^{-t^2}dt$. - Montr e que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R$ et donner $f'$. @@ -8766,7 +7887,6 @@ Soit $f:x\mapsto\int_0^xe^{-t^2}dt$. - La fonction $g$ est-elle développable en série entière? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 954] Soit $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. - Montr e que $\Gamma$ est définie sur $]0,+\i[$ et qu'elle est de classe $\mc C^2$. Montr e plus que $\Gamma(x)\gt 0$ pour tout $x\gt 0$. @@ -8776,14 +7896,12 @@ Soit $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. - Montr e que la suite de fonctions $f_n:x\in\R^{+*}\mapsto\frac{n^xn!}{x(x+1)\ldots(x+n)}$ converge simplement vers $\Gamma$. Ind. Procéed par intégrations par parties successives. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 955] On admet que $\int_0^{+\i}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. On pose $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\cos(2xt)e^{-t^2}dt$. - Montr e que $F$ est définie et de classe $\mc C^1$ sur $\R$. - Trouver une relation entre $f$ et $f'$. - En déduire une expression simple de $f(x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 956] Soit $F\colon\ x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{t^3}{\sqrt{1+t^4}}e^{-xt}{\rm d}t\,$. - Déterminer le domaine de définition $I$ de $F$. @@ -8796,7 +7914,6 @@ Montrer que $F$ est de classe $\mc C^1$ sur $I$ et donner son sens de variation. _Ind._ On pourra étudier $\mid F-G\mid$ et utiliser la relation de Chasles. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 957] On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{{\rm e}^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1}{\rm d}t$ et $g:x\mapsto\int_0^x{\rm e}^{-t^2}{\rm d}t$. - Montrer que $f$ est définie sur $\R$ et qu'elle est paire. Que vaut $f(0)$? @@ -8807,12 +7924,10 @@ On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{{\rm e}^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1}{\rm d}t$ et $g:x\ - En déduire la limite de $g$ en $+\i$ puis conclure que $\int\limits_0^{+\i}{\rm e}^{-t^2}{\rm d}t=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 958] Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ telle que $f(0)=0$. Soit $g:x\mapsto\frac{f(x)}{x}$. à l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que $g$ se prolonge en une fonction de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 959] Soit $(E)$ l'équation différentielle : $x^2y'(x)+y(x)=x^2$. - Montrer que $(E)$ n'admet pas de solution développable en série entière. @@ -8820,7 +7935,6 @@ Soit $(E)$ l'équation différentielle : $x^2y'(x)+y(x)=x^2$. - Montrer qu'il existe une unique solution tendant vers $0$ en $0^+$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 960] Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-t}e^{-x/t}}{\sqrt{t}}{\rm d}t$. - Montrer que $f$ est définie sur $\R^+$. @@ -8828,7 +7942,6 @@ Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-t}e^{-x/t}}{\sqrt{t}}{\rm d}t$. - Résoudre l'équation en posant $y(x)=z(\sqrt{x})$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 961] On s'intéresse aux solutions $f:x\mapsto\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ de l'équation différentielle @@ -8837,7 +7950,6 @@ On s'intéresse aux solutions $f:x\mapsto\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ de l'équation di - Déterminer les $a_n$, le rayon de convergence de $f$ puis exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 962] On note $(E)$ l'équation différentielle $x(1-x)y''+(1-3x)y'-y=0$. - Déterminer les solutions de $(E)$ non nulles développables en série entière. Preciser le rayon de convergence. @@ -8845,7 +7957,6 @@ On note $(E)$ l'équation différentielle $x(1-x)y''+(1-3x)y'-y=0$. - Les raccorder entre elles. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 963] On note $(E)$ l'équation différentielle $x^2y''-2xy'+2y=2(1+x)$. - Trouver les solutions de l'équation homogène associée de la forme $x\mapsto x^{\alpha}$, ou $\alpha\in\R$. @@ -8857,7 +7968,6 @@ telles que $x\alpha'(x)+x^2\beta'(x)=0$. - L'équation $(E)$ admet-elle des solutions sur $\R$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 964] Pour $(a,b,c)\in\R^3$, on définit $f_{a,b,c}:t\in\R\mapsto\left(\begin{array}{c}be^t+ce^{-t}\\ 2a-be^t\\ a+ce^{-t}\end{array}\right)\in\R^3$. @@ -8868,7 +7978,6 @@ Soit $F=\left\{f_{a,b,c},\ (a,b,c)\in\R^3\right\}$. - Quelles sont les valeurs propres de $M$? Pouvait-on s'y attendre? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 965] - Soit $\alpha\in\R$. à l'aide d'un changement de variables classique, résoudre l'équation $x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\alpha f (x,y)$ d'inconnue $f\in\mc C^1(\R^{+*}\times\R^{+*},\R)$. - Résoudre $x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\sqrt{ x^2+y^2}f(x,y)$ d'inconnue @@ -8876,7 +7985,6 @@ Soit $F=\left\{f_{a,b,c},\ (a,b,c)\in\R^3\right\}$. $f\in\mc C^1(\R^{+*}\times\R^{+*},\R)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 966] Soit $J:x\mapsto\int_0^{\pi}\cos(x\sin(\theta))\,d\theta$. - Montr e que $J$ est bien définie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. @@ -8885,7 +7993,6 @@ Soit $J:x\mapsto\int_0^{\pi}\cos(x\sin(\theta))\,d\theta$. - Soit $(x,y)\mapsto\phi(x,y)=J\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$. Montr e que $\phi$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$ et que $\Delta\phi+\phi=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 967] On pose $f(x,y)=\frac{1}{1-y^2}\ln\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$. On note $\Omega$ l'ensemble de définition de $f$. - Representer $\Omega$ et montrer que c'est un ouvert. @@ -8893,7 +8000,6 @@ On pose $f(x,y)=\frac{1}{1-y^2}\ln\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$. On note $\Omeg - Montrer que $f$ vérifie $:2yf+(1-x^2)\frac{\partial f}{\partial x}-(1-y^2)\frac{\partial f}{ \partial y}=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 968] - Résoudre $(1-t^2)y''-2ty'=0$ sur $I=]-1,1[$. - Soit $f$ de classe $\mc C^2$ sur $I$ à valeurs dans $\R$. On pose $g(x,y)=f\left(\frac{\cos(2x)}{\mathrm{ch}(2y)}\right)$. @@ -8901,7 +8007,6 @@ On pose $f(x,y)=\frac{1}{1-y^2}\ln\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$. On note $\Omeg Déterminer l'ensemble des fonctions $f$ telles que $g$ soit non constante et de laplacien nul, c'est-a-dire telles que $\frac{\partial^2g}{\partial x^2}(x,y)+\frac{\partial^2g}{ \partial y^2}(x,y)=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 969] On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $\rho:x\mapsto\|x\|^2$. - Montrer que $\rho\in\mc C^2(\R^n,\R)$. @@ -8910,12 +8015,10 @@ On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $\rho:x\mapsto\|x\|^ Déterminer les fonctions $g$ vérifiant $\Delta f=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 970] Soit $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\ x+y\leq 1\}$. Soient $a,b,c$ des réels $\gt 0$ et $f\ :D\ra\R$ la fonction définie par $(x,y)\mapsto x^ay^b(1-x-y)^c$. Montrer l'existence d'extrema locaux pour $f$ et les déterminer. #+end_exercice - ** Probabilités #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 971] @@ -8925,7 +8028,6 @@ On considére une classe de PSI constituée de $N$ eleves, dont $n$ provenant de - Soit $i\in\N^*$. On note $X_i$ la variable aléatoire qui compte le nombre de tirages nécessaires pour faire passer $i$ eleves de PCSI distincts au tableau. Déterminer la loi de $X_i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 972] On considére initialement une urne contenant une boule blanche et une boule rouge. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet dans l'urne et on rajoute deux boules de la même couleur que celle trée. On repete indéfiniment le processus. - Calculer la probabilité de ne tirer que des boules rouges lors des $n$ premiers tirages? @@ -8934,7 +8036,6 @@ On considére initialement une urne contenant une boule blanche et une boule rou - Le résultat de la question - reste-t-il vrai si on rajoute 3 boules (au lieu de 2)? 4 boules? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 973] - Calculer $\int_0^1x^p(1-x)^qdx$ avec $p,q\in\N$. - On dispose de $p$ unres contenant chacune $p$ boules. Pour $i\in\db{1,p}$, l'urne $i$ contient $i$ boules noires et $p-i$ blanches. On choisit une des urnes aléatoirement et on en tire successivement des boules avec remise. On note $A_{n,p}$ l'évènement : on tire $2n$ boules et on a autant de boules noires que de boules blanches. @@ -8943,7 +8044,6 @@ On considére initialement une urne contenant une boule blanche et une boule rou - Déterminer la limite de $\mathbf{P}(A_{n,p})$ quand $p$ tend vers $+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 974] On considére des lancers indépendants avec la probabilité $p\in]0,1[$ d'avoir pile. On pose par convention $T_0=0$ et pour $r\in\N^*$, $T_r$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers nécessaires pour avoir $r$ piles. On pose $Z_r=T_r-T_{r-1}$ pour $r\in\N^*$. - Déterminer la loi de $Z_r$. @@ -8952,7 +8052,6 @@ On considére des lancers indépendants avec la probabilité $p\in]0,1[$ d'avoir - Calculer $\mathbf{E}(T_r)$ de deux facons différentes. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 975] Soient $s\gt 1$ et $\zeta(s)=\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{k^s}$. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall n\in\N^*,\mathbf{P}(X=n)=\frac{1}{\zeta(s)} \frac{1}{n^s}$. - Soit $n\in\N^*$. Calculer $\mathbf{P}(n$ divise $X)$. @@ -8961,7 +8060,6 @@ Soient $s\gt 1$ et $\zeta(s)=\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{k^s}$. Soit $X$ une variab Déterminer la loi de $v_p(X)$ puis son espérance. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 976] On effectue des lancers avec une pièce dont la probabilité de donner pile est $p\in]0,1[$. On lance la pièce jusqu'a obtenir pile pour la deuxieme fois. On note $X$ le nombre de faces obtenues au cours de l'experience. - Donner la loi de $X$. @@ -8969,21 +8067,18 @@ On effectue des lancers avec une pièce dont la probabilité de donner pile est - On prend une urne et, si $X=n$, on pose $n+1$ boules numérotées de $0$ à $n$ dans l'une. Donner la loi de $Y$ ou $Y$ est le numéro de la boule tirée dans l'urne. Calculer ensuite l'esprance de $Y$ ainsi que sa variance. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 977] - Soit $S:t\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{n^2+n+1}{n!}t^n$. Déterminer le rayon de convergence et donner une expression de $S$. - Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ de fonction generatrice $G_X=\lambda S$. Déterminer $\lambda$ et la loi de $X$. - Calculer $\mathbf{E}(X)$ et $\mathbf{V}(X)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 978] Soient $n\in\N$ et $p\in]0,1[$. On considére une variable aléatoire $X$ telle que $X(\Omega)\subset\N$ et $\forall k\in\N,\mathbf{P}(X=k)=a\binom{n+k}{k}p^k$. - Quelle est la valeur de $a$? - Déterminer $\mathbf{E}(X)$ et $\mathbf{V}(X)$ si elles existent. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 979] Soit $(X_k)$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramêtre $2/3$. On pose $A_k=(X_{2k-1}X_{2k}=0)$, $B_p=\bigcap_{k=0}^pA_k$. @@ -8993,7 +8088,6 @@ Soit $T=\min\{k\geq 2,X_{k-1}=X_k=1\}\in\N\cup\{+\i\}$. - Calculer l'espérance de $T$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 980] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives $\mc{G}(p)$ et $\mc{G}(q)$, ou $p$ et $q$ sont éléments de $]0,1[$. On pose $U=\dfrac{X}{Y}$. - Donner la loi de $U$. @@ -9001,7 +8095,6 @@ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives - Si $p=q$, montrer que $\mathbf{E}(U)\gt 1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 981] Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. de loi $\mc{B}(p)$. On note $U$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}X_1&\cdots&X_n\end{pmatrix}$ et $M=U^TU$. - Déterminer les lois de $\op{rg}(M)$ et $\op{Tr}(M)$. @@ -9011,14 +8104,12 @@ Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. de loi $\mc{B}(p)$. On Déterminer l'espérance et la variance de $X$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 982] Soient $a,b\gt 0$, $X,Y,Z$ des variables aléatoires indépendantes telles que $X\sim\mc{P}(a)$, $Y\sim\mc{P}(b)$, $\mathbf{P}(Z=1)=1-p$ et $\mathbf{P}(Z=-1)=p$. Quelle est la probabilité que la matrice $A=\begin{pmatrix}X&Y\\ YZ&X\end{pmatrix}$ soit diagonalisable #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 983] Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. On définit $(S_n)_{n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N^*$, $S_n=S_{n-1}+X_n$. - Déterminer la loi de $\dfrac{S_n+n}{2}$. En déduire $\mathbf{E}(S_n)$ et $\mathbf{V}(S_n)$. @@ -9030,9 +8121,7 @@ Ind. Exprimer $\mathbf{E}(A_{n+1})$ et appliquer la formule des probabilités to - En déduire pour tout $n\in\N^*$ : $\mathbf{E}(A_{2n})=\mathbf{E}(A_{2n-1})=\sum_{k=0}^{n-1}\begin{pmatrix}2k\\ k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ 4\end{pmatrix}^k$. #+end_exercice - * Mines - Ponts - PC :autre: - ** Algèbre #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 984] @@ -9042,29 +8131,24 @@ Soient $A$ un ensemble de réels de cardinal $n\geq 2$ et $B=\{a+a',\;(a,a')\in - Généraliser à $B_k=\{a_1+a_2+\cdots+a_k\;;\;a_1,...,a_k\in A\}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 985] Trouver tous les polynômes $P\in\C[X]$ tels que $(X+4)P(X)=XP(X+1)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 986] Déterminer les polynômes réels $P$ vérifiant $P(X)P(X+1)=P(X^2)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 987] - Soit $P\in\Z[X]$ unitaire. Montrer que ses racines rationnelles sont dans $\Z$. - Pour $n\in\N^*$, montrer qu'il existe un polynôme unitaire $P_n\in\Z[X]$ de degré $n$ tel que, pour tout $\theta\in\R$, on ait $P_n(2\cos\theta)=2\cos(n\theta)$. - Montrer que $\cos(\pi\Q)\cap\Q=\biggl{\{}-1,-\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2},1 \biggr{\}}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 988] Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Calculer $\sum_{k=0}^n\dfrac{P(k)}{\prod_{i\neq k}(k-i)}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 989] Soit $n\in\N$, $n\geq 2$. On note $(*)\;(1+iX)^{2n+1}-(1-iX)^{2n+1}=2iXQ_n\,(X)$. - Montrer qu'il existe un unique $Q_n\in\R\,[X]$ vérifiant $(*)$. Donner le degré et le coefficient dominant de $Q_n$. @@ -9072,80 +8156,67 @@ Soit $n\in\N$, $n\geq 2$. On note $(*)\;(1+iX)^{2n+1}-(1-iX)^{2n+1}=2iXQ_n\,(X)$ - Calculer $\prod_{k=0}^{n-1}\bigg(4+\tan^2\bigg(\dfrac{k\pi}{2n+1}\bigg) \bigg)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 990] Soient $n\in\N^*$ et $P\in\R\,[X]$ tel que $\forall x\in\R$, $P(x)\geq 0$. On pose $Q=P+P'+\cdots+P^{(n)}$. - Montrer que $Q$ est minore sur $\R$. - Montrer que $Q$ est positif sur $\R$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 991] L'union de deux sous-espaces vectoriels est-elle un sous-espace vectoriel? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 992] Soit $n\in\N^*$. Trouver toutes les matrices $A\in\M_2(\C)$ telles que $A^n=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 993] Soit $n\in\N^*$. Soit $E=\{S_1,\ldots,S_k\}$ l'ensemble des parties non vides de $\{1,\ldots,n\}$. Soit $A\in\M_k(\R)$ définie par $a_{i,j}=\left\{\begin{array}{cc}1&\text{si }S_i\cap S_j\neq\emptyset\\ 0&\text{si }S_i\cap S_j=\emptyset\end{array}.$.Déterminer le rang de $A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 994] - Soient $A,B\in\M_{n,p}(\R)$. Montrer que $|\mathrm{rg}A-\mathrm{rg}B|\leq\mathrm{rg}(A+B)\leq\mathrm{rg}A+ \mathrm{rg}B$. - Soit $(v_1,...,v_k)\in(\R^n)^k$ tel que $\sum_{i=1}^kv_i(v_i)^T=I_n$. Montrer que $k\geq n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 995] Soit $(A,B)\in\M_n\left(\R\right)^2$ telles que $:A^2=A$, $B^2=B$ et $AB=BA$. Montrer que $\det\left(A-B\right)\in\left\{-1,0,1\right\}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 996] - Four $A\in\M_n(\R)$, on définit $f_A:M\mapsto\op{tr}(AM)$. Montrer que l'application $f\colon\M_n(\R)\ra\mc{L}(\M_n(\R),\R),\ A\mapsto f_A$ est un isomorphisme. - Soit $g\in\mc{L}(\M_n(\R),\R)$ telle que $\forall(A,B)\in\M_n(\R)^2,g(AB)=g(BA)$. Montrer que $g$ est proportionnelle à la trace. - Soit $h$ un endomorphisme de $\M_n(\R)$ tel que $\forall(A,B)\in\M_n(\R)^2,\ h(AB)=h(BA)$. Montrer que $h$ préserve la trace. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 997] Trouver $\dim(\op{Vect}(A))$ dans les deux cas suivants : - $A=\{M\in\M_2(\C)$, $M^n=\op{Diag}(1,2)\}$ avec $n\geq 2$, - $A=\{M\in\M_2(\C)$, $M^2=I_2\}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 998] Si $A\in\M_n(\R)$, on note $S(A)$ l'ensemble des matrices semblables à $A$. Déterminer les matrices $A$ telles que $S(A)$ est fini. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 999] Soit $\mathfrak{S}_n$ l'ensemble des permutations de $\db{1,n}$. - Soit $\sigma\in\mathfrak{S}_n$. Montrer que $\phi_{\sigma}:s\mapsto s\circ\sigma$ est une permutation de $\mathfrak{S}_n$. - Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$, $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$. Pour $\sigma\in\mathfrak{S}_n$, on note $f_{\sigma}$ l'endomorphisme de $E$ défini par $\forall i\in\db{1,n}\ f_{\sigma}\left(e_i\right)=e_{\sigma(i)}$. On pose $p_n=\frac{1}{n!}\underset{\sigma\in\mathfrak{S}_n}{\sum}\ f_{\sigma}$. Montrer que $p_n$ est un projecteur et expliciter son image et son noyau. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1000] Soient $n\geq 2$, $E=\R_n\left[X\right]$ et $\phi:P\in E\mapsto P-P'$. - Montrer que $\phi$ est bijectif de deux manieres différentes. - Soit $Q$ l'antecedent de $P$ par $\phi$. On suppose que $Q\geq 0$. Montrer que $P\geq 0$. Exprimer $P$ en fonction de $Q$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1001] Soit $A\in\M_{3,2}\left(\R\right)$ et $B\in\M_{2,3}\left(\R\right)$ telles que $AB=\left(\begin{array}{rrr}0&-1&-1\\ -1&0&-1\\ 1&1&2\end{array}\right)$. Vérifier que $\left(AB\right)^2=AB$. Déterminer $\op{rg}\left(A\right)$, $\op{rg}\left(B\right)$. Montrer que $BA=I_2$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1002] Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $\phi$ une forme linéaire sur $E$ et $f\in\mc{L}\left(E\right)$. - Montrer que $\op{Ker}\left(\phi\right)$ est stable par $f$ si et seulement s'il existe $\lambda\in\R$ tel que $\phi\circ f=\lambda\phi$. @@ -9153,40 +8224,33 @@ Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $\phi$ une forme linéaire sur $E$ et $f\in - Trouver toutes les droites stables par l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de $\R^3$ est $\left(\begin{array}{rrr}1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2\end{array}\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1003] Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$. On suppose $ABAB=0$. A-t-on $BABA=0$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1004] Soit $f\in\mc{L}\left(E\right)$ telle que $f^2=-4\op{id}$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$. - Déterminer le noyau et l'image de $f$. L'endomorphisme $f$ est-il inversible? Si c'est le cas, déterminer $f^{-1}$. - Montrer que $n$ est nécessairement pair. - Pour $x\neq 0$, montrer que $\left(x,f\left(x\right)\right)$ est une famille libre. - On suppose maintenant que $n=4$. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la $$\text{matrice de }f\text{ est }\left(\begin{array}{cccc}0&-4&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&-4\\ 0&0&1&0\end{array}\right)\text{.}$$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1005] Soit $A\in\M_n\left(\R\right)$. R $\acute{\text{e}}$soudre $X+X^T=\op{tr}\left(X\right)A$ d'inconnue $X\in\M_n\left(\R\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1006] - Soit $A\in\M_n\left(\C\right)$ telle que, pour tout $X\in\M_{n,1}\left(\C\right)$, $\left(X,AX\right)$ est l $\acute{\text{e}}$e. Que dire de $A$? - Montrer que toute matrice $A\in\M_n\left(\C\right)$ de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1007] Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Soit $u$ un endomorphisme nilpotent tel que tout sous-espace de $E$ stable par $u$ admet un supplementaire stable par $u$. Montrer que $u$ est l'endomorphisme nul. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1008] Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie, $u\in\mc{L}(E,F),v=\mc{L}(F,G)$ et $w=v\circ u$. Montrer que $w$ est un isomorphisme si et seulement si les trois conditions suivantes sont realisées - $u$ est injective, - $v$ est surjective, - $F=\op{Im}u\oplus\op{Ker}v$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1009] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u,v\in\mc{L}(E)$ tels que $\op{rg}(u)=\op{rg}(v)$ et $u^2\circ v=u$. - Montrer que $v\circ u\circ v=v$. @@ -9194,44 +8258,37 @@ Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u,v\in\mc{L}( - Montrer que $u\circ v\circ u=u$ puis que $v^2\circ u=v$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1010] Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. - Que dire de la trace d'un projecteur de $E$? Montrer que, pour $p$ projecteur de $E$, $\op{Im}(p)$ et $\op{Ker}(p)$ sont supplementaires dans $E$. - Soient $p,q$ deux projecteurs de $E$. Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si $p\circ q=q\circ p=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1011] Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimensions finies. Soient $f\in\mc{L}(E,F)$ et $g\in\mc{L}(F,G)$. Montrer que $\op{rg}(g\circ f)\geq\op{rg}(f)+\op{rg}(g)-\dim(F)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1012] Soient $E,F,G$ trois $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie. Soient $u\in\mc{L}(E,F)$, $v\in\mc{L}(F,G)$. Soit $w=v\circ u$. Montrer que $w$ est un isomorphisme si et seulement si $u$ est injectif, $v$ est surjectif et $\op{Im}u\oplus\op{Ker}v=F$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1013] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u,v\in\mc{L}(E)$. - Montrer que $\op{rg}(v)\leq\op{rg}(u\circ v)+\dim(\op{ Ker}u)$. - On suppose que $u$ est nilpotent d'indice $p$. Montrer que $\big(\dim(\op{Ker}u^k)\big)_{k\in\N}$ est strictement croissante puis stationnaire. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1014] - Existe-t-il deux matrices $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=I_n$? - Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice non nulle de trace nulle. Montrer qu'il existe $u\in\R^n$ telle que la famille $(u,Au)$ soit libre. - Soit $A\in\M_n(\R)$ de trace nulle. Montrer que $A$ est semblable à une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1015] Soient $A$ et $B$ dans $\M_n(\C)$ telles que $\op{rg}(AB-BA)=1$. Montrer que $A(\op{Ker}(B))\subset\op{Ker}(B))$ ou $A(\op{Im}(B))\subset\op{Im}(B))$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1016] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $p$ et $f_1,\ldots,f_p$ des formes linéaires sur $E$. Prouver l'équivalence des trois assertions suivantes : - $(f_1,\ldots,f_p)$ est libre, @@ -9239,27 +8296,22 @@ Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $p$ et $f_1,\ldots,f_p$ - il existe $x_1,\ldots,x_p\in E$ tels que $\det(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1017] Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a_1,\ldots,a_n)\in\C^n$ pour que la matrice $\begin{pmatrix}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\ldots&0&a_{n-1}\\ a_1&\ldots&a_{n-1}&a_n\end{pmatrix}$ soit diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1018] Soient $(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n}$ et $M=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&b_1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\ldots&0&b_n\\ a_1&\ldots&a_n&0\end{pmatrix}$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1019] Soit $\alpha\in\C$. La matrice $M=\begin{pmatrix}1&\alpha&0\\ \alpha&0&1\\ 0&1&-1\end{pmatrix}$ est-elle diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1020] Redémontrer qu'une matrice diagonalisable à un polynôme annulateur scindé à racines simples. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1021] Soit $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}$. - Monter que $A$ est diagonalisable sur $\C$ et qu'elle admet une unique valeur propre réelle strictement positive $a$. @@ -9267,14 +8319,12 @@ Soit $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}$. - Déterminer la nature de la série $\sum_{\lambda\in\op{Sp}(A)}\lambda^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1022] Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. - Soit $f\in\mc{L}(E)$ nilpotent. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ est triangulaire supérieure avec des 0 sur la diagonale. - Soient $v$ et $w$ dans $\mc{L}(E)$ tels que $v$ est diagonalisable, $w$ est nilpotent et $v\circ w=w\circ v$. Montrer que $v+w$ et $v$ ont le même polynôme caractéristique. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1023] Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 2$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ de spectre vide. - Montrer qu'il existe $P\in\R[X]$ de degré $2$ tel que $\op{Ker}P(u)\neq\{0\}$. @@ -9282,12 +8332,10 @@ Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 2$. Soit $u\in\mc{L} - En déduire que tout endomorphisme de $E$ admet un sous-espace vectoriel stable de dimension 1 ou 2. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1024] Soit $f\in\mc{L}(E)$, ou $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable et $\op{Ker}f=\op{Ker}f^2$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1025] Soient $f,g$ deux endomorphismes d'un $\R$-espace vectoriel $E$ de dimension finie tels que $f\circ g=f+g$. - Montrer que $\op{Im}f=\op{Im}g$ et que $\op{Ker}f=\op{Ker}g$. @@ -9295,24 +8343,20 @@ Soient $f,g$ deux endomorphismes d'un $\R$-espace vectoriel $E$ de dimension fin - Montrer qu'aucune valeur propre de $f\circ g$ n'appartient à $]0,4\,[$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1026] Soit $A\in\M_3(\C)$. Montrer que $A$ est semblable à $-A$ si et seulement si $\op{tr}(A)=0$ et $\det(A)=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1027] Déterminer toutes les matrices $A\in\M_4(\R)$ telles que $A^2=\op{diag}(1,2,-1,-1)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1028] Soient $A\in\M_n(\C)$ et $B=\begin{pmatrix}0&A\\ A&0\end{pmatrix}\in\M_{2n}(\C)$. - Exprimer le rang de $B$ en fonction du rang de $A$. - Étudier la diagonalisabilité de $B$ en fonction de celle de $A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1029] Soient $A\in\M_n(\C)$ et $B=\begin{pmatrix}0&I_n\\ A&0\end{pmatrix}$. - Trouver une relation entre les valeurs propres de $A$ et celles de $B$ ainsi qu'entre les sous-espaces propres de $A$ et ceux de $B$. @@ -9320,12 +8364,10 @@ Soient $A\in\M_n(\C)$ et $B=\begin{pmatrix}0&I_n\\ A&0\end{pmatrix}$. - Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $B$ soit diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1030] Soient $A,B\in\M_n\left(\C\right)$ telles que $AB=BA$. Peut-on trigonaliser $A$ et $B$ dans une même base? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1031] Soient $\left(\alpha_i\right)_{1\leq i\leq n}\in\R^n$ et $\left(\beta_i\right)_{1\leq i\leq n}\in\R^n$. On pose $A=\left(\alpha_i\beta_j\right)_{1\leq i,j\leq n}$. - Quel est le rang de $A$? @@ -9334,7 +8376,6 @@ Soient $\left(\alpha_i\right)_{1\leq i\leq n}\in\R^n$ et $\left(\beta_i\right)_{ - à quelle condition la matrice $A$ est-elle diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1032] Soient $A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{array}\right)$ et $M\in\M_3\left(\R\right)$ telle que $M^3=I_3$ et $M\neq I_3$. - La matrice $A$ est-elle diagonalisable dans $\M_3\left(\C\right)$? dans $\M_3\left(\R\right)$? Donner ses valeurs propres. @@ -9342,7 +8383,6 @@ Soient $A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 1&0&0\\ 0&1&0\end{array}\right)$ et $M - Montrer que $A$ et $M$ sont semblables dans $\M_3\left(\C\right)$, puis dans $\M_3\left(\R\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1033] Soient $M\in\M_n\left(\C\right)$, $\left(A,B\right)\in\M_n\left(\C\right)^2$ et $\left(\lambda,\mu\right)\in\left(\C\ast\right)^2$ tels que $\lambda\neq\mu$. On suppose : $I_n=A+B,\ M=\lambda A+\mu B,\ M^2=\lambda^2A+\mu^2B$. - Montrer que $M$ est inversible et déterminer $M^{-1}$. @@ -9350,7 +8390,6 @@ Soient $M\in\M_n\left(\C\right)$, $\left(A,B\right)\in\M_n\left(\C\right)^2$ et - La matrice $M$ est-elle diagonalisable? Si oui, trouver $\op{Sp}\left(M\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1034] Soient $A$ et $B$ dans $\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=A$. @@ -9361,7 +8400,6 @@ Calculer $\op{tr}(A)$. - Montrer que si $A$ n'est pas nilpotente alors $\Psi$ à une infinite de valeurs propres. Conclure #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1035] Soient $n\geq 2$ et $A\in\M_n(\R)$ telle que $\op{Tr}(A)\neq 0$. - On considére $\Phi\colon\M_n(\R)\ra\M_n(\R)$ définie par $\Phi:M\mapsto\op{Tr}(A)M-\op{Tr}(M)A$. @@ -9373,12 +8411,10 @@ Soient $n\geq 2$ et $A\in\M_n(\R)$ telle que $\op{Tr}(A)\neq 0$. - Montrer que $\Psi$ est bijective et déterminer sa réciproque. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1036] Soit $A\in\M_n(\R)$. Soit $f_A\in\mc{L}(\M_n(\R))$ défini par $f_A(M)=AM$. Montrer que $A$ et $f_A$ ont les memes valeurs propres. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1037] Soit $A\in\M_3(\R)$. On cherche le nombre de solutions de l'équation $B^3=A$ dans $\M_3(\R)$. - Montrer que, si $B$ est solution, alors $AB=BA$. @@ -9386,7 +8422,6 @@ Soit $A\in\M_3(\R)$. On cherche le nombre de solutions de l'équation $B^3=A$ da - Traiter le cas ou $A$ admet trois valeur propres réelles distinctes. - Traiter le cas ou $A=\begin{pmatrix}r\cos(\theta)&-r\sin(\theta)&0\\ r\sin(\theta)&r\cos(\theta)&0\\ 0&0&\lambda\end{pmatrix}$ avec $r\gt 0$, $\lambda\in\R$ et $\theta\in\R\setminus\pi\Z$. - Cas general? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1038] On note $D:P\mapsto P'$ l'endomorphisme derivation de $\R[X]$. - Montrer que, pour tout $n\in\N$, $\R_n[X]$ est stable par $D$ et déterminer la matrice de l'endomorphisme induit par $D$ dans la base canonique de $\R_n[X]$. @@ -9397,7 +8432,6 @@ On note $D:P\mapsto P'$ l'endomorphisme derivation de $\R[X]$. - Expliciter tous les sous-espaces vectoriels de $\R[X]$ stables par $D$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1039] On note $E=\mc C^0(\R^+,\R)$. Soit $\Phi$ l'application qui à $f\in E$ associe la fonction $\Phi(f)$ définie par : $\Phi(f)(0)=f(0)$ et $\forall x\in]0,+\i[$, $\Phi(f)(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\dt$. - Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E$. @@ -9405,24 +8439,20 @@ On note $E=\mc C^0(\R^+,\R)$. Soit $\Phi$ l'application qui à $f\in E$ associe - Soit $n\in\N$. Montrer que $\Phi$ stabilise $\R_n[X]$. L'endomorphisme induit par $\Phi$ sur $\R_n[X]$ est-il diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1040] Soit $A\in\M_2(\R)$. On suppose qu'il existe $n\in\N^*$ tel que $A^{2^n}=I_2$. Montrer que $A^2=I_2$ ou qu'il existe $k\in\N^*$ tel que $A^{2^k}=-I_2$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1041] Soit $n\in\N^*$. Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$ ne contenant que des matrices diagonalisables. - Montrer que $\dim(E)\leq\frac{n(n+1)}{2}$. - Lorsque $\mathbb{K}=\R$, quelle est la dimension maximale de $E$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1042] Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2$ soit triangulaire supérieure avec des coefficients diagonaux egaux à $1,2,\ldots,n$. Montrer que $A$ est triangulaire supérieure. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1043] Soit $A\in\M_n(\R)$. On suppose que la suite $(A^k)_{k\in\N}$ admet une limite $B\in\M_n(\R)$. - Montrer que $B^2=B$, $BA=AB$. Déterminer $\mathrm{Ker}(B)$ et $\mathrm{Im}(B)$. @@ -9430,20 +8460,17 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$. On suppose que la suite $(A^k)_{k\in\N}$ admet une limite $ - Montrer que la multiplicité de 1 dans le polynôme caractéristique de $A$ est egale à la dimension de $\mathrm{Ker}(A-I_n)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1044] Soient $a,b$ deux réels et $n$ un entier. Montrer que $\Phi:P\in\R_n[X]\mapsto(X-a)(X-b)P'-nP$ est un endomorphisme et déterminer ses éléments propres. L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1045] - Soient $A\in\M_n(\R)$ diagonalisable et $B=I_n+A+A^3$. Montr are $A$ est un polynôme en $B$. - Le résultat de - subsiste-t-il lorsque $A$ est complexe? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1046] - Soit $A\in\M_3(\R)$ non trigonalisable. Montr are $A$ est $\C$-diagonalisable. - Soit $A\in\M_4(\R)$. Montr are $\mathfrak{l}$'une des conditions suivantes est realisées : @@ -9451,28 +8478,24 @@ Montrer que $\Phi:P\in\R_n[X]\mapsto(X-a)(X-b)P'-nP$ est un endomorphisme et dé - $A$ est $\R$-semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}B&C\\ 0&B\end{pmatrix}$ avec $B,C\in\M_2(\R)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1047] Soient $n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^{n-1}\neq 0$ et $A^n=0$. Soit $L$ l'ensemble $L=\{M\in\M_n(\R),\ AM=MA\}$. - Montr are qu'il existe $x_0\in\R^n$ tel que la famille $(x_0,Ax_0,A^2x_0,\ldots,A^{n-1}x_0)$ soit une base de $\R^n$. - En déduire que la famille $(I_n,A,A^2,\ldots,A^{n-1})$ est une base de $L$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1048] Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. Soit $u$ un automorphisme de $E$ tel que, pour tout $x\in E$, l'ensemble $\{u^k(x)\ ;\ k\in\N\}$ est fini. - Montr are qu'il existe $N\in\N^*$ tel que $u^N=\mathrm{id}$. - L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1049] Soit $(u_1,...,u_p)$ une famille de vecteurs de $\R^n$ telle que $\forall i\neq j$, $\langle u_i,u_j\rangle\lt 0$. Montr are que toute sous-famille de $(u_1,...,u_p)$ de cardinal $(p-1)$ est libre. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1050] Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice nilpotente non nulle. - Montr are qu'il existe $V\in\R^n$ tel que $AV\neq 0$ et $A^2V=0$. @@ -9482,7 +8505,6 @@ Déterminer l'ensemble $\{\langle AX,X\rangle\ ;\ X\in\R^n\}$. - Trouver les matrices $B\in\M_n(\R)$ telles que $\{\langle BX,X\rangle\ ;\ X\in\R^n\}=\{0\}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1051] Soit $E=\R_n[X]$. Soient $a_0\lt a_1\lt \cdots\lt a_n$ des réels. Pour $P,Q\in E$, on pose $\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^nP(a_k)Q(a_k)$. - Montr are que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $E$. @@ -9491,12 +8513,10 @@ Soit $E=\R_n[X]$. Soient $a_0\lt a_1\lt \cdots\lt a_n$ des réels. Pour $P,Q\in - Pour $P\in E$, déterminer $d(P,H)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1052] Soient $a,b\in\R$ et $A=\begin{pmatrix}a^2&ab&ab&b^2\\ ab&a^2&b^2&ab\\ ab&b^2&a^2&ab\\ b^2&ab&ab&a^2\end{pmatrix}$. Preciser le spectre et les sous-espaces propres. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1053] - Montrer que $\phi:P\mapsto(X^2-1)P''+2XP'$ définit un endomorphisme de $\R_n[X]$ qui est symétrique pour le produit scalaire $\left\langle P,Q\right\rangle=\int_{-1}^+P(t)Q(t)\dt$. - Déterminer les valeurs propres de $\phi$. @@ -9507,7 +8527,6 @@ Que peut-on en déduire? - Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $]-1,1[$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1054] Soient $a,b\in\R$ et $\Phi_{a,b}$ l'endomorphisme de $\M_n(\R)$ défini par $\Phi_{a,b}:M\mapsto aM+bM^T$. - Trouver les valeurs propres et les sous-espaces propres de $\Phi_{a,b}$. @@ -9516,26 +8535,22 @@ Soient $a,b\in\R$ et $\Phi_{a,b}$ l'endomorphisme de $\M_n(\R)$ défini par $\Ph - L'endomorphisme $\Phi_{a,b}$ est-il autoadjoint? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1055] Soit $A\in\M_n\left(\C\right)$ telle que $A^2+A^T=I_n$ et $\mathrm{tr}\left(A\right)=0$. - Montrer que toute valeur propre de $A$ vérifie $\lambda^4-2\lambda^2+\lambda=0$ et que $A$ est diagonalisable. - Montrer que $n$ est multiple de 4. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1056] Soient $\left(E,\left\langle\ \,\ \ \right\rangle\right)$ un espace euclidien, $a$ et $b$ deux vecteurs libres de $E$ et $f\colon x\in E\mapsto\left\langle a,x\right\rangle a+\left\langle b,x\right\rangle b$. - Déterminer le noyau et l'image de $f$. - Déterminer les éléments propres de $f$. L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? Aurait-on pu le prevoir sans étudier les éléments propres? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1057] Soit $A\in\M_n\left(\R\right)$ telle que, pour tout $X\in\M_{n,1}\left(\R\right)$, $X^TAX=0$. Montrer que $\det\left(A\right)\geq 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1058] Soit $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$ de spectre $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$. Soit $X\in\M_{n,1}\left(\R\right)$. - Montrer que $\left\|X\right\|^4\leq\left\langle AX,X\right\rangle\left\langle A^{-1 }X,X\right\rangle$. @@ -9543,26 +8558,22 @@ Soit $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$ de spectre $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\ - Montrer qu'il existe une base orthonormale $\left(P_0,\ldots,P_n\right)$ de $E$ telle que, pour tout $k\in\left[\![0,n]\!\right]$, $\deg\left(P_k\right)=k$ et $\left\langle P_k,X^k\right\rangle\gt 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1059] Pour $t\in\R$, on pose $M\left(t\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\ 1&1&0\\ 1&0&t\end{array}\right)$. On note $\alpha\left(t\right)\leq\beta\left(t\right)\leq\gamma\left(t\right)$ les valeurs propres de $M\left(t\right)$. - Montrer que $\alpha\left(t\right)\lt 0\lt \beta\left(t\right)\lt 2\lt \gamma\left(t\right)$. - Montrer que, lorsque $t\ra+\i$, $\alpha\left(t\right)\ra 0$, $\beta\left(t\right)\ra 2$ et que $\gamma\left(t\right)=t+O\left(\dfrac{1}{t}\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1060] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer que $M$ est antisymétrique si et seulement si pour toute $P\in{\cal O}_n({\R})$, la matrice $P^{-1}MP$ est à diagonale nulle. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1061] Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal O}_n({\R})$. Montrer : $$\sum_{i,j}m_{i,j}^2=n,\ \ \left|\sum_{i,j}m_{i,j}\right|\leq n,\ \ \ n \leq\sum_{i,j}|m_{i,j}|\leq n\ln(n).$$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1062] Soient $E$ un espace euclidien et $p,q$ deux projecteurs orthogonaux. On considére $h=p\circ q$. - Montrer que ${\rm Im}(q)$ et ${\rm Ker}(p)$ sont stables par $h$. @@ -9571,7 +8582,6 @@ Soient $E$ un espace euclidien et $p,q$ deux projecteurs orthogonaux. On consid - Montrer que le spectre de $h$ est contenu dans le segment $[0,1]$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1063] Soient $n\geq 2$, $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ et $B\in{\cal S}_n^+({\R})$. - Montrer qu'il existe une matrice $C$ telle que $C^2=A^{-1}$. @@ -9579,12 +8589,10 @@ Soient $n\geq 2$, $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ et $B\in{\cal S}_n^+({\R})$. - En déduire que $(\det(A+B))^{\frac{1}{n}}\geq(\det A)^{\frac{1}{n}}+(\det B)^{\frac{1}{n}}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1064] Soit $A\in{\rm GL}_n({\R})$. Montrer qu'il existe $O\in{\cal O}_n({\R})$ et $S\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telles que $A=OS$. Étudier l'unicité d'une telle décomposition. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1065] Soient $A,B\in{\cal S}_n({\R})$ telles que $ABA=B$ et $BAB=A$. - Montrer que $A^2=B^2$. @@ -9592,7 +8600,6 @@ Soient $A,B\in{\cal S}_n({\R})$ telles que $ABA=B$ et $BAB=A$. - On ne suppose plus que $A$ est inversible. Montrer que ${\rm Im}\,A={\rm Im}\,B$ et ${\rm Ker}\,A={\rm Ker}\,B$. #+end_exercice - ** Analyse #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1066] @@ -9601,63 +8608,52 @@ Les parties $E=\left\{(x,y)\in{\R}^2\,\ x^2(x-1)(x-3)+y^2(y^2-4)=0\right\}$ et $F=\left\{(x,y)\in{\R}^2\,\ 2x^2-y(y-1)=0\right\}$ sont elles fermées? bornées? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1067] Soit $E$ un espace euclidien. Soit $u\in{\cal S}^{++}(E)$. Montrer qu'il existe $m\gt 0$ et un ouvert $\Omega$ dense dans $E$ tels que $\forall x\in\Omega$, $\frac{\left\|u^{k+1}(x)\right\|}{\left\|u^k(x)\right\|}\xrightarrow[k\ra+ \i]{}m$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1068] - Soit $A\in{\cal M}_2({\C})$. Montrer que $\left\{Q(A)\ ;\ Q\in{\C}[X]\right\}$ est un fermé de ${\cal M}_2({\C})$. - Soient $B\in{\cal M}_n({\C})$ et $Q\in{\C}[X]$ non constant. On suppose que $B$ à $n$ valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe $A\in{\cal M}_n({\C})$ telle que $B=Q(A)$. - Soit $Q\in{\C}[X]$ non constant. Montrer que $\left\{Q(A)\ ;\ A\in{\cal M}_2({\C})\right\}$ est une partie dense de ${\cal M}_2({\C})$. Cet ensemble est-il ferme? borne? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1069] Soient $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ et $\left(b_n\right)_{n\geq 0}$ deux suites réelles convergeant vers $a$ et $b$ respectivement. Montrer que $\dfrac{1}{n+1}\sum_{k=0}^na_kb_{n-k}\xrightarrow[n\ra+\i]{}ab$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1070] Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle définie par $u_1\in\R$ et $\forall n\geq 1$, $u_{n+1}=nu_n-1$. Montrer que $u_1=e-1$ si et seulement si il existe $a\in\R$ vérifiant $u_n=O(n^a)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1071] Pour $n$ et $p$ dans $\N^*$, on pose $u_{n,p}=\dfrac{1}{p^n}\left(\sqrt[n]{1+\dfrac{1}{p}}+\sqrt[n]{1+\dfrac{2}{ p}}+\cdots+\sqrt[n]{1+\dfrac{p}{p}}\right)^n$. - Calculer $\lim\limits_{n\ra+\i}\lim\limits_{p\ra+\i}u_{n,p}$. - Calculer $\lim\limits_{p\ra+\i}\lim\limits_{n\ra+\i}u_{n,p}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1072] On pose $S_n(t)=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!}t^{2k+1}$ et $x_n=\min\{t\gt 0,\ S_n(t)=0\}$. - Montrer que $x_n$ est bien défini pour tout $n\in\N^*$. - Étudier les variations et la convergence de $(x_n)_{n\in\N^*}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1073] Soit $\left(x_n\right)_{n\geq 0}$ une suite réelle telle que $x_0\gt 1$ et, pour tout $n\in\N$, $x_{n+1}=x_n+x_n^{-1}$. Montrer que $x_n\sim\sqrt{2n}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1074] Pour tout $n\in\N^*$, on note $x_n$ la solution de $e^x=n-x$. Limite, équivalent et développement asymptotique à deux termes de $x_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1075] Soit $\alpha\in\R$. Nature de la série de terme general $u_n=n^{\alpha}\prod_{k=1}^n\left(1+\dfrac{(-1)^{k-1}}{\sqrt{k}}\right)?$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1076] Nature de la série de terme general $u_n=\dfrac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}+(-1)^n}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1077] Pour $n\in\N^*$, on pose $x_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k},H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k},u_n= \sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^k\ln k}{k},v_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{\ln k}{k}$ et $w_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{\ln(2k)}{k}$. - Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel $\ell$ à déterminer. Montrer que $x_n=\ell+\mc{O}\left(\dfrac{1}{n}\right)$. @@ -9666,53 +8662,44 @@ Pour $n\in\N^*$, on pose $x_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k},H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1} - Établir la convergence de $(u_n)$ et preciser sa limite. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1078] Soit $\left(a_n\right)_{n\in\N^*}$ la suite définie par $a_1=1$ et, pour tout $n\geq 2$, $a_n=2a_{\lfloor n/2\rfloor}$. Montrer que $\sum{\dfrac{1}{a_n^2}}$ converge. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1079] Soit $f\in\mc C^1(\R,\R^{+*})$ telle que $f'\leq 0$ et $f(0)=1$. On pose $a_0=1$ et, pour $n\in\N$, $a_{n+1}=a_nf(a_n)$. Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ decroit et tend vers 0. Étudier la nature de la série $\sum a_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1080] Soit $\alpha\in\R$. On pose, pour $n\in\N$, $u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{\sin t}{t^{\alpha}}dt$ et $v_n=u_{2n}+u_{2n+1}$. Déterminer la nature de $\sum u_n$ et $\sum v_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1081] Pour $n\in\N^*$, on pose $R_n^{(0)}=\frac{(-1)^n}{n}$, $R_n^{(1)}=\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}$ et pour $\ell\in\N^*$, $R_n^{(\ell)}=\sum_{k=n}^{+\i}R_k^{(\ell-1)}$. Justifier l'existence et étudier le signe de $R_n^{(\ell)}$. Ind. Calculer $\int_0^1t^k\dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1082] Soit $f$ une fonction continue et injective de $\R$ dans $\R$. En considérant $g_x:t\mapsto f(x+t)-f(x)$ montrer que $f$ est strictement monotone. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1083] Déterminer les applications $f\colon\R\ra\R$ telles que l'image de tout segment est un segment de même longueur. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1084] Soit $f\colon\R^p\ra\R^n$ telle que $\forall(x,y)\in(\R^p)^2$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Montrer que $f$ est continue si et seulement si $f$ est linéaire. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1085] Trouver toutes les fonctions $f\colon\R\ra\R$ dérivables en 0 telles que : $\forall x\in\R,f(2x)=2f(x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1086] Soit $f\in\mc C^0(\R,\R)$ telle que $(*)\colon\forall\left(x,y\right)\in\R^2$, $f\left(x+y\right)f\left(x-y\right)=\left(f\left(x\right)f\left(y\right)\right) ^2$. - Donner toutes les valeurs que peut prendre $f\left(0\right)$. @@ -9720,67 +8707,54 @@ Soit $f\in\mc C^0(\R,\R)$ telle que $(*)\colon\forall\left(x,y\right)\in\R^2$, $ - Trouver toutes les fonctions continues vérifiant $(*)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1087] Soient $f$, $g$ deux fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$ telles que $f\circ g=g\circ f$. Montrer qu'il existe $x\in[0,1]$ tel que $f\left(x\right)=g\left(x\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1088] Soit $f:[0,1]\ra\R$ dérivable et non nulle pour laquelle il existe $M\gt 0$ tel que $\forall x\in[0,1]$, $f'\left(x\right)\leq Mf\left(x\right)$. Montrer que $f$ ne s'annule pas. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1089] Montrer que $x\mapsto\cos\left(x\right)$ admet un unique point fixe. Montrer qu'il n'existe pas de fonction $f$ dérivable telle que $\cos=f\circ f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1090] Soit $f$ une fonction telle que, pour $0\lt x\lt 1$, $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{x}}\ln\left(\frac{1+\sqrt{x}}{1-\sqrt{x}}\right)$. Trouver $g\in\mc C^{\i}\left(]-\i,1[\right)$ telle que $g\mid_{0,1}[=f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1091] Soit $f\in\mc C^1(\left[a,b\right],\R)$ telle que $f'(a)=f'(b)=0$. Montrer qu'il existe $x\in\left]a,b\right[$ tel que $f'(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1092] Soit $f\colon\R\ra\R$ dérivable telle que $f^2+\left(1+f'\right)^2\leq 1$. Montrer que $f=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1093] Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^{n+1}$ telle que $f(0)=0$. Pour $x\gt 0$, on pose $g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$. Déterminer, pour $k\in\left\{0,1,\ldots,n\right\}$, $\lim\limits_{x\ra 0}g^{(k)}(x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1094] Soit $x\in\R$. Montrer qu'il existe un unique $a\in\R$ tel que $\int_x^a\exp\left(t^2\right)dt=1$. On définit alors $x\mapsto a\left(x\right)$. Montrer que $a$ est $\mc C^{\i}$. Montrer que le graphe de $a$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $y=-x$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1095] Trouver un équivalent simple en $0$ de $f:x\mapsto\int_{x^2}^{x^3}\dfrac{e^t}{\arcsin t}\dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1096] Calculer $\int_0^{\pi/4}\ln\left(1+\tan(x)\right)dx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1097] Soit $f\in\mc C^1(\left[0,1\right],\R)$. Pour $n\in\N^*$, on pose $U_n=\int_0^1f(x)\dx-\dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f \Big(\dfrac{k}{n}\Big)$. Déterminer la limite de $\left(nU_n\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1098] Soit $f\colon\left[0,1\right]\ra\R$ continue. On suppose que $\int_0^1f(x)x^ndx=0$ pour $0\leq k\leq n$. Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois sur $]0,1[$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1099] Soit $x$ un nombre complexe de module différent de 1. Calculer $I=\int_0^{2\pi}\dfrac{dt}{x-e^{it}}:$ @@ -9789,31 +8763,26 @@ Soit $x$ un nombre complexe de module différent de 1. Calculer $I=\int_0^{2\pi} - par une autre methode. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1100] Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$, et $f,g\in\mc C^0(\left[a,b\right],\R^{+*})$. On pose $m=\inf\limits_{\left[a,b\right]}\dfrac{f}{g}$ et $M=\sup\limits_{\left[a,b\right]}\dfrac{f}{g}\cdot$ Montrer que $\int_a^bf^2\int_a^bg^2\leq\dfrac{\left(M+m\right)^2}{4 Mm}\left(\int_a^bfg\right)^2$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1101] Soient $c\in\R$, $u$ et $v$ deux fonctions continues sur $\R^+$ à valeurs respectivement dans $\R$ et dans $\R^+$ telles que $\forall x\in\R^+$, $u\left(x\right)\leq c+\int_0^xv\left(t\right)u\left(t\right) dt$. Montrer que $\forall x\in\R^+$, $u\left(x\right)\leq c\exp\left(\int_0^xv\left(t\right) dt\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1102] Montrer qu'il existe $(A,B)\in\R^2$ tel que, pour tout $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ $2\pi$-périodique, on ait $\sup_{\R}|f|\leq A{\int_0^{2\pi}|f|+B{\int_0^{2\pi}|f'|.}}$ L'inégalité subsiste-elle si on enleve une hypothese. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1103] On considére une fonction $f:[a,b]\mapsto\R$ de classe $\mc C^1$. On suppose qu'on dispose de $x_0\in]a,b[$, $y_0\gt f(x_0)$ et qu'un cercle $C$ de centre $(x_0,y_0)$ passant par $(x_0,f(x_0))$ est au-dessus du graphe de $f$. Montrer que $f'(x_0)=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1104] Soit $M:t\in\R\mapsto\begin{pmatrix}2e^{-t}&(t-1)^2\\ 1&0\end{pmatrix}$. - Montrer que l'application $N:A=(a_{i,j})\in\M_2(\R)\mapsto\sup_{1\leq i,j \leq 2}|a_{i,j}|$ est une norme. @@ -9823,32 +8792,26 @@ Déterminer $\phi(t)=N(M(t))$ et tracer le graphe de $\phi$. La fonction $\phi$ - Soit $F$ la primitive de $M$ telle que $F(0)=0$. Prouver $\forall t\geq 0,N(F(t))\leq\Phi(t)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1105] Nature de l'intégrale ${\int_0^{+\i}\frac{\sin\left(x\right)}{\sqrt{x}+\sin\left(x\right)}}$d $x$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1106] Pour $\alpha\gt 0$ déterminer la nature de ${\int_0^{+\i}\left(1+\ln(\op{sh}x^{\alpha})-2 \op{sh}(\ln(x^{^{\alpha}}+1))\right)dx}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1107] Nature de ${\int_1^{+\i}\frac{\ln|1-x|\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x^{ \alpha}\left(1+x\right)}dx}$ et ${\int_0^1\frac{\ln|1-x|\cos\left(\ln\left(x\right)\right)}{x^{ \alpha}\left(1+x\right)}dx}$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1108] Étudier la convergence de l'intégrale ${\int_0^{+\i}\left|\sin x\right|^x\dx}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1109] Existence et calcul des intégrales ${I=\int_0^{+\i}\frac{x}{\op{sh}x}\dx}$ et ${J=\int_0^{+\i}\frac{x}{\op{ch}x}\dx}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1110] On considére ${E=\{f\in\mc C^2([0,1],\R),\ f(0)=f(1)=0\}}$. Soit $f\in E$. - Montrer que ${I(f)=\int_0^1\frac{\cos(\pi t)}{\sin(\pi t)}f'(t)f(t)\dt}$ est bien définie, et que @@ -9860,31 +8823,26 @@ On considére ${E=\{f\in\mc C^2([0,1],\R),\ f(0)=f(1)=0\}}$. Soit $f\in E$. - Déterminer les fonctions $f$ pour lesquelles il y a égalité dans -. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1111] Soit $p\in\N$. Montrer que la fonction $t\mapsto e^{-\left(t-p\pi\right)^2}\sin(t)$ est intégrable sur $\R$ et que son intégrale est nulle. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1112] Existence et calcul de $\int_0^{+\i}e^{-t}\left(\ln(t)-\frac{1}{t}+\frac{1}{1-e^{-t}}\right)\, dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1113] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ continue, positive, décroissante et telle que $\int_0^{+\i}f(t)\dt$ converge. Montrer que $tf(t)\underset{t\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Ind. Considérer $\int_t^{2t}f(x)\dx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1114] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $\int_0^{+\i}f'(t)^2\dt$ et $\int_0^{+\i}t^2f(t)^2\dt$ convergent. Montrer que $\int_0^{+\i}f(t)^2\dt$ converge et que $$\int_0^{+\i}f(t)^2\dt\leq\left(\int_0^{+\i}f^{ '}(t)^2\dt\right)^{1/2}\left(\int_0^{+\i}t^2f(t)^2 \dt\right)^{1/2}.$$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1115] Pour $n\in\N^*$, on pose $A_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{x^k}{k}$. - Montrer que, pour tout $y\geq 0$, il existe un unique $x\geq 0$ tel que $A_n(x)=y$. On pose $f_n(y)=x$. @@ -9893,7 +8851,6 @@ Pour $n\in\N^*$, on pose $A_n(x)=\sum_{k=1}^n\frac{x^k}{k}$. - Montrer que $\forall x\geq 0$, $f(x)=1-e^{-x}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1116] Soit $f:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}\left(\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n+x}\right)$. - Montrer que $f$ est bien définie sur $[\,0\,;1\,]$. @@ -9902,7 +8859,6 @@ Soit $f:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}\left(\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n+x}\right)$. - Montrer que $f$ est dérivable. Est-elle de classe $\mc C^k$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1117] Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+n^2x^2}$. - Déterminer le domaine de définition et de continuité de $f$. @@ -9910,12 +8866,10 @@ Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+n^2x^2}$. - Déterminer la limite de $f$ et un équivalent en $0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1118] Soit $F:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\mathrm{e}^{-n^2x^2}$. Déterminer les limites et équivalents de $F$ en $0$ et en $+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1119] Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{x^2}{\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{\left(n-x \right)^2}}+{\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{\left(n+x\right)^2}}$. @@ -9926,17 +8880,14 @@ On note $(*)$ la propriété $\colon\forall x\in\R\setminus\Z$, $g\left(\dfrac{x - Montrer que, pour tout $x\in\R\setminus\Z$, $f\left(x\right)=\dfrac{\pi^2}{\sin^2\left(\pi x\right)}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1120] Preciser le domaine de définition de $f:x\mapsto\sum_{n\geq 0}e^{-n}e^{in^2x}$. Montrer que l'application $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$. Est-elle développable en série entière? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1121] Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum e^{-x}\dfrac{x^k}{k!}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1122] Soit $\alpha\gt 0$. Pour $n\in\N^*$ et $x\gt 0$, on pose $u_n(x)=x^{\alpha}e^{-n^2x}$ puis $f_{\alpha}(x)=\sum_{n=1}^{+\i}u_n(x)$. - Montrer que $f_{\alpha}$ est bien définie sur $\R^{+*}$. @@ -9945,21 +8896,18 @@ Soit $\alpha\gt 0$. Pour $n\in\N^*$ et $x\gt 0$, on pose $u_n(x)=x^{\alpha}e^{-n - Trouver la limite puis un équivalent de $f_{\alpha}(x)$ lorsque $x\ra 0^+$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1123] Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle telle que $\forall n\geq 2$, $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$. Trouver $f$ de classe $\mc C^{\i}$ au voisinage de 0 telle que $\forall n\in\N$, $f^{(n)}(0)=a_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1124] Soit $f:x\in\,]-1,1[\,\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{(-1)^n}{x+n}$. - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$. - Montrer que $f$ est développable en série entière. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1125] On s'intéresse à la série entière suivante $:f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}u_nx^n$ avec $u_n=\int_1^{+\i}e^{-t^n}\dt$. - Déterminer la limite de la suite $(u_n)$. @@ -9967,14 +8915,12 @@ On s'intéresse à la série entière suivante $:f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}u_nx^n$ av - Déterminer la limite de $f$ à la borne de droite du domaine de convergence. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1126] Soit $N$ un entier qui n'est pas un carré parfait. On pose $a=\sqrt{N}$. - Montrer qu'il existe une suite d'entiers $(p_n)_{n\in\N}$ telle que $na-p_n\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$. - Montrer qu'il existe une constante $c\gt 0$ tels que $\forall n\in\N^*$, $\sin(na\pi)\gt cn^{-1}$. - En déduire le rayon de convergence de $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{x^n}{\sin(n\pi\sqrt{2})}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1127] On pose $b_0=1$ et, pour $n\in\N$, $b_{n+1}=-\frac{1}{n+2}\sum_{k=0}^n\binom{n+2}{k}b_k$. - Montrer que, pour tout $n$, $|b_n|\leq n!$. @@ -9983,7 +8929,6 @@ On pose $b_0=1$ et, pour $n\in\N$, $b_{n+1}=-\frac{1}{n+2}\sum_{k=0}^n\binom{n+2 - Quel est le lien entre les deux dernieres questions? On pourra poser $z=2i\pi x$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1128] Soit $S:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{x^n}{\binom{2n}{n}}$. - Déterminer le rayon de convergence $R$ de $S$. Montrer que $S$ est solution de l'équation différentielle $x(x-4)y'+(x+2)y=2$. @@ -9991,31 +8936,26 @@ Soit $S:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{x^n}{\binom{2n}{n}}$. - Calculer $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{1}{\binom{2n}{n}}$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1129] Montrer qu'il existe une fonction $\phi$ développable en série entière en 0 vérifiant au voisinage de 0 : $\phi'\left(x\right)=x+\phi^2\left(x\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1130] Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}dt$ et $J_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin((2n+1)t)}{t}dt$. - Que dire de $I_n$? - Montrer que $\left(I_n\right)$ et $\left(J_n\right)$ convergent vers la même limite. Trouver cette limite. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1131] Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\int_0^{+\i}\frac{dt}{\left(1+t^2\right)\sqrt[n]{1+t^{ n}}}$. Montrer que chaque intégrale $I_n$ est convergente puis déterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1132] Pour $n\geq 2$, on pose $I_n=\int_1^{+\i}\frac{dt}{1+t+\cdots+t^n}$. Justifier que $I_n$ existe puis déterminer un équivalent de $I_n$ quand $n\ra+\i$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1133] Pour $n\in\N$ et $x\in[0,1]$, on pose $f_n(x)=\frac{2^nx}{1+n2^nx^2}$. - Étudier la convergence simple de la suite $\left(f_n\right)_{n\in\N}$. @@ -10024,7 +8964,6 @@ Pour $n\in\N$ et $x\in[0,1]$, on pose $f_n(x)=\frac{2^nx}{1+n2^nx^2}$. - Donner un développement asymptotique à deux termes de $I_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1134] Soient $a\gt -1$ et $b\gt 0$. On définit les suites $(I_n)$ et $(J_n)$ par $J_n=\int_0^{+\i}x^ae^{-nx}\dx$ et $I_n=\int_0^{+\i}\frac{x^ae^{-nx}}{\sqrt{1+x^b}}\dx$. - Étudier l'existence de $J_n$ et en déduire celle de $I_n$. @@ -10033,12 +8972,10 @@ Soient $a\gt -1$ et $b\gt 0$. On définit les suites $(I_n)$ et $(J_n)$ par $J_n - Déterminer un équivalent de $I_n$ à l'aide de $J_n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1135] Montrer : $\int_0^1\frac{dx}{1+x^p}=\sum_{k=0}^{+\i} \frac{{(-1)}^k}{1+kp}$. Calculer $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{{(-1)}^k}{1+k}$, $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{{(-1)}^k}{1+2k}$, $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{{(-1)}^k}{1+3k}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1136] Pour tout $n\in\N$, on pose $I_n=\int_0^1\ln{(1+t^n)}\dt$. - Déterminer la limite de $(I_n)$. @@ -10047,7 +8984,6 @@ Pour tout $n\in\N$, on pose $I_n=\int_0^1\ln{(1+t^n)}\dt$. - Montrer que $J=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{{(-1)}^{n-1}}{n^2}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1137] - Montrer que $I=\int_0^{+\i}\frac{\ln(x)}{x^2-1}\dx$ est convergente. - On pose $J=\int_0^1\frac{\ln(x)}{x^2-1}\dx$. Montrer que $I=2J$. @@ -10055,26 +8991,22 @@ Pour tout $n\in\N$, on pose $I_n=\int_0^1\ln{(1+t^n)}\dt$. - On donne $\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$. Calculer $J$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1138] On considére $J=\int_0^1\ln(t)\ln(1-t)\dt$. Montrer que $J$ est bien définie et que $J=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{1}{n(n+1)^2}$. En déduire la valeur de $J$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1139] Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\mathrm{sh}\,t}{t}e^{-xt}dt$. - Déterminer le domaine de définition et la limite en $+\i$ de $F$. - Donner une expression simple de $F(x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1140] Étudier $x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{1-\cos(xt)}{t^2}dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1141] Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$. - Montr are $F$ est définie sur $\R$ et impaire. @@ -10083,7 +9015,6 @@ Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$. - En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(t^2)}{t^2}dt$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1142] Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-a^{-bt}}{t}\cos(xt)\dt$, ou $0\lt a\lt b$. - Montr are que $f$ est définie sur $\R$ et de classe $\mc C^1$. @@ -10091,7 +9022,6 @@ Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-a^{-bt}}{t}\cos(xt)\dt$, ou $0\lt a\lt - Déterminer $\lim\limits_{x\ra+\i}F(x)$ et conclure quant à la constante $C$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1143] Soit $f\colon\R\ra\R$ continue et bornée. Soit $g:x\in\R\mapsto-\frac{1}{2}\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,e^{-|x-t|}\, dt$. - Montr are $g$ est définie sur $\R$ et bornée. @@ -10099,12 +9029,10 @@ Soit $f\colon\R\ra\R$ continue et bornée. Soit $g:x\in\R\mapsto-\frac{1}{2}\int - Soit $h\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$ et bornée sur $\R$ vérifiant l'équation $(*)$. A-t-on $g=h\,$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1144] Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin\left(xt\right)}{t}\mathrm{e}^{-t} dt$. Trouver le domaine de définition de $F$ et exprimer $F$ sans le signe intégral. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1145] Soit $F:x\mapsto\int_1^{+\i}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t^{x+1}}dt$. - Déterminer le domaine de définition de $F$. @@ -10112,7 +9040,6 @@ Soit $F:x\mapsto\int_1^{+\i}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t^{x+1}}dt$. - Pour $x\geq 1$, donner l'expression de $F\left(x\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1146] Pour tout $x\gt 0$, on pose $f\left(x\right)=\int_0^1\ln\left(t\right)\ln\left(1-t^x\right)dt$. - La fonction $f$ est-elle bien définie? @@ -10120,14 +9047,12 @@ Pour tout $x\gt 0$, on pose $f\left(x\right)=\int_0^1\ln\left(t\right)\ln\left(1 - Déterminer la limite de $f\left(x\right)$ quand $x$ tend vers 0. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1147] Pour $x\gt 0$, on pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\mathrm{e}^{-xt}}{\sqrt{t+t^2}}dt$. - Calculer $F'\left(x\right)$. - Calculer $\lim\limits_{x\ra+\i}F\left(x\right)$, puis déterminer un équivalent de $F$ en $+\i$. - Montrer que $\underset{x\ra 0}{\lim}F\left(x\right)=+\i$, puis déterminer un équivalent de $F$ en 0. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1148] Soit $f\in\mc C^0([0,1],\R^{+*})$. Pour $x\gt 0$, on pose $N_f(x)=\left(\int_0^1f(t)^x\dt\right)^{1/x}$. - Montrer que $N_f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R^{+*}$. @@ -10136,7 +9061,6 @@ Soit $f\in\mc C^0([0,1],\R^{+*})$. Pour $x\gt 0$, on pose $N_f(x)=\left(\int_0^1 - Déterminer la limite de $N_f(x)$ lorsque $x\ra 0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1149] Soit $f$ une fonction continue de $[a,b]\times[c,d]$ dans $\R$. @@ -10145,21 +9069,18 @@ Montrer que $\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)dy\right)dx=\int_c^{ d}\left(\int_a^bf( Ind. Considérer $g:t\mapsto\int_a^b\left(\int_c^tf(x,y)dy\right) dx$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1150] Soit $(E):x^2y''+4xy'+2y=\ln\left(1+x\right)$. - Trouver les solutions de $(E)$ développables en série entière et déterminer leur rayon de convergence. - Écrire ces fonctions à l'aide des fonctions usuelles. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1151] Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\mathrm{Tr}(A)\gt 0$. Soit $x\colon\R\ra\R^n$ une fonction de classe $\mc C^1$ telle que : (i) pour tout $t\in\R$, on a $x'(t)=Ax(t)$, (ii) pour tout $i\in\db{1,n}$, on a $\lim_{t\ra+\i}x_i(t)=0$. Montrer qu'il existe une forme linéaire $\ell\colon\R^n\ra\R$ non nulle telle que $\forall t\in\R,\,\ell(x(t))=0$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1152] On définit $E=\mc C^0(\left[0,1\right],\R)$ et $F=\mc C^{\i}(\left[0,1\right],\R)$. @@ -10169,58 +9090,48 @@ Soit $n\in\N^*$. Pour $u\in E$ et $\left(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\right)\in\R^ - Pour $i\in\db{1,n}$, on définit un élément de $F$ en posant $f_i:s\mapsto e^{\lambda_i(1-s)}$. Montrer que la famille $(\phi_1,\ldots,\phi_n)$ est libre si et seulement si la famille $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1153] Soit $f\colon\R^2\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=0$. Déterminer $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1154] Déterminer les extrema de $f(x,y)=x\ln y-y\ln x$ pour $(x,y)\in(\R^{+*})^2$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1155] Trouver les extrema de $f:(x,y)\mapsto x^4+y^4-2(x-y)^2$. #+end_exercice - ** Probabilités #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1156] Une poite contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire des boules, une à une, avec remise, tant que le numéro de la boule tirée est supérieur au précédent. On note $Z$ le nombre de boules tires. Déterminer la loi de $Z$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1157] Une urne contient deux boules. L'une est blanche et l'autre est soit blanche soit noire avec probabilité $1/2$. On tire successivement deux boules de l'urne sans remise. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche au second tirage sachant qu'on a tire une boule blanche au premier tirage? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1158] Soient $a\in\N^*$, $n\in\N^*$ et $N=an$. On dispose de $N$ boules indiscernables et $n$ unres numérotées de $1$ à $n$. On dépose les $N$ boules dans les unres. On note $T_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si l'urne $i$ est vide, et $0$ sinon. On note $Y_n$ le nombre d'urnes vides et $S_n=\dfrac{1}{n}Y_n$. - Donner la loi de $T_i$. Calculer l'espérance et la variance de $T_i$. - Calculer l'espérance et la variance de $S_n$. Étudier les limites de $(\mathbf{E}(S_n))$ et $(\mathbf{V}(S_n))$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1159] Une panier contient $r$ pommes rouges et $v$ pommes vertes. On mange les pommes une à une, on s'arrête lorsqu'on a mange toutes les pommes vertes. Déterminer la probabilité d'avoir mange toutes les pommes. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1160] On repartit $N$ objets dans $N-1$ boites. Probabilité pour qu'aucune boite ne soit vide? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1161] La durée de vie (en jours) d'une ampoule suit la loi géométrique de paramêtre $\dfrac{1}{2}$. - Quelle est la durée de vie moyenne de cette ampoule? - L'ampoule à deja vecu $n$ jours. Quelle est la durée de vie moyenne de cette ampoule à partir du $n$-eme jour? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1162] On considére deux des et, pour $i\in\db{1,6}$, on note $p_i$ (respectivement $q_i$) la probabilité que le premier de (respectivement le second de) donne le résultat $i$. On note $P$ et $Q$ les fonctions generatrices des deux des. On note $R$ la fonction generatrice de la somme des deux des. - Donner $R$. @@ -10229,58 +9140,49 @@ On considére deux des et, pour $i\in\db{1,6}$, on note $p_i$ (respectivement $q - Montrer que les deux des ne sont pas pipes. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1163] Dans un magasin, on a $n$ caisses et $np$ clients. Chaque client choisit une caisse de facon indépendante et avec la même probabilité pour chacune des caisses. On note $X_i$ le nombre de clients à la caisse numéro $i$. - En écrivant $X_i$ comme une somme de variables aléatoires indépendantes, déterminer la loi, l'espérance et la variance de $X_i$. - Pour $(i,j)\in\db{1\,;\,n}^2$, calculer $\op{Cov}(X_i,X_j)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1164] Soient $A$ et $B$ deux évènements. Montrer que $|\mathbf{P}(A)\mathbf{P}(B)-\mathbf{P}(A\cap B)|\leq\dfrac{1}{4}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1165] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N^*$ telles que, pour tout $n\in\N^*$, la loi de $X$ sachant $(Y=n)$ est la loi uniforme sur $\db{1,n}$. - Montrer que $Y+1-X$ et $X$ ont même loi. - On suppose $X$ suit la loi géométrique $\mc{G}(p)$. Montrer que $X$ et $Y+1-X$ sont indépendantes. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1166] - On munit l'ensemble des fonctions $f\colon\db{1,n\rrbracket\ra\llbracket 1,n-1}$ de la loi uniforme. Déterminer la probabilité pour que $f$ soit surjective. - Même question avec $f\colon\db{1,n\rrbracket\ra\llbracket 1,n-2}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1167] Soient $U$ une variable aléatoire discrete, $n$ et $\ell$ deux entiers naturels tels que $n\geq\ell+3$ et $\mathbf{P}\left(U\gt n\right)\mathbf{P}\left(U\gt \ell\right)\gt 0$. On pose $Y=\left\lfloor\frac{U}{2}\right\rfloor$ et $Z=\left\lfloor\frac{U+1}{2}\right\rfloor$. - Montrer que $Y$ et $Z$ ne sont pas indépendantes. - On suppose que $U\sim\mc{B}\left(n,p\right)$ avec $n\geq 4$ pair. Montrer que $Y$ ne suit pas une loi binomiale. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1168] Soit $Z$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$ telle que $|Z|+1\sim\mc{G}(p)$ et telle que $\forall n\in\Z,\mathbf{P}(Z=n)=\mathbf{P}(Z=-n)$. Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}0&Z&Z\\ Z&0&1\\ 1&1&0\end{array}\right)$. - Déterminer la loi du rang de $A$. - Déterminer la probabilité pour que $A$ soit diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1169] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramêtres $p$ et $q$ respectivement. En notant $M=\left(\begin{array}{cc}X&1\\ 0&Y\end{array}\right)$, donner la probabilité pour $M$ soit diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1170] Soit $M=(X_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice aléatoire réelle ou les $(1+X_{i,j})$ sont i.i.d. de loi $\mc{G}(p)$ avec $p\in]0,1[$. - Déterminer la probabilité que $M$ soit symétrique. - Déterminer la probabilité que $M$ soit orthogonale. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1171] Soit $a$ un réel. On pose $g:t\mapsto\frac{a\,e^t}{2-t}$. - Montrer qu'il existe une unique valeur de $a$ pour laquelle il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ dont $g$ soit la fonction generatrice. @@ -10290,51 +9192,43 @@ On suppose maintenant que $a$ est egal à cette valeur et que $X$ est une variab - Quelle est la probabilité que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}X&X&0\\ -X&-X&0\\ X&X&0\end{array}\right)$ soit diagonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1172] Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $(\N^*)^2$. On suppose que $X\leq Y$, que $\forall i\in\N^*,\mathbf{P}(Y=i)\gt 0$, $\forall 1\leq k\leq i,\mathbf{P}(X=k|Y=i)=\dfrac{1}{i}$. Montrer que $X$ et $Y-X+1$ ont la même loi. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1173] Soient $n\in\N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $M=(X_iX - {1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}$. - Déterminer la loi du rang de $M$, de la trace de $M$. - Quelle est la probabilité que $M$ soit un projecteur? #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1174] Soit $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\forall n$, $\mathbf{P}\left(T\gt n\right)\gt 0$. Pour tout entier naturel $n$, on pose $\theta_n=\mathbf{P}\left(T=n\,|\,T\geq n\right)$. - Montrer que $\forall n\in\N$, $\theta_n\in[0,1[$. - Exprimer $\theta_n$ en fonction de $\mathbf{P}\left(T\geq n\right)$. En déduire que $\sum\theta_n$ diverge. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1175] Soient $n\in\N^*$ et $p\in\,]0,1]$. - Soit $U$ une variable aléatoire telle que $U\sim\mc{B}\left(n,p\right)$. Déterminer la fonction generatrice de $U$. - Soient $Y$ et $Z$ deux variables aléatoires dicretes indépendantes telles que $U=Y+Z$ et $U\sim\mc{B}\left(n,p\right)$. Montrer que $Y$ et $Z$ suivent des lois binomiales (pas nécessairement de memes paramêtres). #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1176] - Soit $r\in\N^*$ et $x\in\,]\,-1\,;1\,[$. Montrer que $\sum_{n=r-1}^{+\i}\binom{n}{r-1}x^{n-r+1}=\dfrac{1}{(1-x)^r}$. - Soit $(U_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi $\mc{B}(p)$. Soit $X$ le rang du $r$-eme succès. Quelle est la loi de $X$? Déterminer $\mathbf{E}(X)$, $\mathbf{E}(X(X+1))$ et $\mathbf{V}(X)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1177] Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$. - Montrer que $\mathbf{P}(X\geq\lambda+1)\leq\lambda$. - Montrer que $\mathbf{P}\!\left(X\leq\dfrac{\lambda}{3}\right)\leq\dfrac{9}{4\lambda}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1178] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discretes à valeurs strictement positives indépendantes et suivant la même loi. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1179] - Montrer qu'il existe une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ telle que, pour tout $n\in\N^*$, $\mathbb{P}(Y=n)=\dfrac{1}{n(n+1)}$. - Si $X\colon\Omega\ra\N^*$ est un variable aléatoire telle que $X(\Omega)=\N^*$, on définit le_taux de defaillance_ de $X$ pour $n\in\N^*$ par $x_n=\mathbb{P}(X=n|X\geq n)$. @@ -10344,7 +9238,6 @@ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discretes à valeurs strictement po - Calculer le taux de defaillance de la variable $Y$ introduite à la première question. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1180] Soit $(p_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $]0,1[$ tel que la série $\sum p_n$ converge. Pour tout $n\in\N$, soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramêtre $p_n$. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nX_k$ et $S=\sum_{k=0}^{+\i}X_k$. - Soit $k\in\N$. Exprimer l'évènement $(S\geq k)$ à l'aide des évènements $(S_n\geq k)$. En déduire que $S$ est une variable aléatoire. @@ -10352,7 +9245,6 @@ Soit $(p_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $]0,1[$ tel que la série $\sum - Montrer que $S$ admet une espérance et la calculer. #+end_exercice - #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1181] Soient $p\in]0,1[$ et $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant la loi géométrique de paramêtre $p$. @@ -10362,9 +9254,7 @@ Pour $n\in\N^*$, on pose $M_n=\max\{X_1,\ldots,X_n\}$. - En déduire un équivalent de $\mathbf{E}(M_n)$ lorsque $n\ra+\i$. #+end_exercice - * Centrale - MP :cent: - ** Algèbre #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1182] @@ -10374,7 +9264,6 @@ Un entier $n\geq 2$ est un faux premier (FP) s'il n'est pas premier et si, pour - On admet que, pour tout $p$ premier impair et tout $v\in\N^*$, le groupe multiplicatif $(\Z/p^v\Z)^{\times}$ est cyclique. En déduire la réciproque de la question précédente. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1183] Soient $G$ un groupe admettant un nombre fini de generateurs, $H$ un groupe fini, $f:G\ra G$ un morphisme de groupes surjectif et $g:G\ra H$ un morphisme de groupes. - Montrer que l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ vers $H$ est fini. @@ -10384,7 +9273,6 @@ Soient $G$ un groupe admettant un nombre fini de generateurs, $H$ un groupe fini - Montrer que tout endomorphisme surjectif de $\Gamma$ est bijectif. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1184] On note $\mathbb{U}$ le groupe des nombres complexes de module $1$. Soit $q$ un entier $\geq 2$ fixe. On pose $H_q=\left\{z\in\C\ ;\ \exists n\in\N,\ z^{q^n}=1\right\}$. - Montrer que $H_q$ est un sous-groupe dense de $\mathbb{U}$. @@ -10392,14 +9280,12 @@ On note $\mathbb{U}$ le groupe des nombres complexes de module $1$. Soit $q$ un - En déduire qu'il existe $m\in\Z$ tel que $f(z)=z^m$ pour tout $z\in H_q$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1185] - Rappeler, pour tous $P,Q\in\C[X]$, la définition de $P\circ Q$ et preciser le degré de de ce polynôme. - Montrer que seuls les polynômes de degré 1 possèdent un inverse pour la loi $\circ$. - On pose $P=X^2+\alpha$ avec $\alpha\in\C$. Montrer qu'il existe au plus un polynôme de degré $n$ qui commute avec $P$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1186] - Soit $I$ un idéal de $\Q[X]$ distinct de $\{0\}$. Montrer qu'il existe un polynôme $\mu\in\Q[X]$ tel que $I=\mu\Q[X]$. - Soit $\lambda\in\C$. Montrer que $I_{\lambda}=\{P\in\Q[X],\ P(\lambda)=0\}$ est un idéal de $\Q[X]$. @@ -10407,7 +9293,6 @@ On note $\mathbb{U}$ le groupe des nombres complexes de module $1$. Soit $q$ un - Soient $P\in\Q[X]$ et $\lambda\in\C$ racine de $P$ avec multiplicité $m\gt \dfrac{\deg P}{2}$. Montrer que $\lambda\in\Q$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1187] - Rappeler la définition d'une $\mathbb{K}$-algèbre et d'un endomorphisme de $\mathbb{K}$-algèbre. - Soit $\phi$ un endomorphisme de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}(X)$. Montrer que $\phi(X)\neq 0$. @@ -10415,18 +9300,17 @@ On note $\mathbb{U}$ le groupe des nombres complexes de module $1$. Soit $q$ un - Déterminer les automorphismes de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}(X)$. #+end_exercice - +# ID:8136 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1188] Soit $n\in\N^*$. Pour $A,B\in\M_n(\C)$, on pose $[A,B]=AB-BA$. Soit $E=\{[A,B],(A,B)\in\M_n(\C)^2\}$. - - Montrer que $\op{tr}(M)=0$ pour toute matrice $M\in E$. + - Montrer que $\op{tr}(M)=0$ pour toute matrice $M\in E$. - Montrer que l'ensemble $E$ est stable par similitude matricielle et par multiplication par un scalaire. - Montrer qu'une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle. - Montrer que $E$ est egal à l'ensemble des matrices de trace nulle. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1189] Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $G$ un sous-groupe fini de $\op{GL}(E)$, $p=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g$, $V^G=\{x\in E\ ;\ \forall g\in G,\ g(x)=x\}$. - Montrer que, si $h\in G$, $g\in G\mapsto h\circ g\in G$ est une bijection de $G$ sur lui-meme, puis que $p$ est un projecteur. @@ -10434,7 +9318,6 @@ Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $G$ un sous-groupe fini - Montrer que tout sous-espace $V$ de $E$ stable par tous les éléments de $G$ admet un supplementaire stable par tous les éléments de $G$. On pourra partir d'un projecteur $q$ de $E$ sur $V$ et considérer $\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g\circ q\circ g^{-1}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1190] Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$ et $u\in\mc{L}(E)$. - Calculer, en fonction de $\op{tr}u$ et de $\op{tr}(u^2)$, les coefficients de $X^{n-1}$ et de $X^{n-2}$ du polynôme caractéristique de $u$. @@ -10443,7 +9326,6 @@ Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$ et $u\in\mc{L}(E)$. - à quelle condition l'endomorphisme $u$ est-il trigonalisable? #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1191] Pour $a\in\Z$, on pose $S_a=\begin{pmatrix}1&a\\ 0&-1\end{pmatrix}$ et $T_a=\begin{pmatrix}1&a\\ 0&1\end{pmatrix}$. - Donner le lien entre l'inverse d'une matrice carrée inversible et sa comatrice. @@ -10452,7 +9334,6 @@ Pour $a\in\Z$, on pose $S_a=\begin{pmatrix}1&a\\ 0&-1\end{pmatrix}$ et $T_a=\beg - Soit $M\in\M_2(\Z)$ de polynôme caractéristique $X^2-1$. Montrer qu'il existe $P\in\op{GL}_2(\Z)$ tel que $M=PS_0P^{-1}$ ou $M=PS_1P^{-1}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1192] Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$. - Cours : lemme des noyaux (avec demonstration). @@ -10463,7 +9344,6 @@ Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$. $\forall(i,j)\in\db{1,k}^2,\ (i\neq j\implies s_i\circ s_j=-s_j\circ s_i)$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1193] - Montrer que les valeurs propres d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie sont les racines de son polynôme caractéristique. - Montrer que, pour $p,q\in\Q$ avec $p\neq q$, il existe $a,b,c\in\Z$ premiers entre eux dans leur ensemble tels que $p=a/c$ et $q=b/c$. @@ -10471,7 +9351,6 @@ Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$. - Existe-t-il $M\in\M_2(\Q)$ symétrique dont $\sqrt{2}$ est valeur propre? #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1194] - Pour $A\in\M_n(\mathbb{K})$, rappeler la définition des polynômes minimal $\pi_A$ et caractéristique $\chi_A$. - Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\pi_A$ pour que $A$ soit trigonalisable. @@ -10485,7 +9364,6 @@ Ind. On pourra examiner le cas des rotations. - Soit $A\in\M_n(\C)$. On suppose : $\forall X\in\C^n,\ \exists p\in\N^*,\ A^pX=X$. Montrer que $A$ est diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1195] Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On note $\chi_A=\sum_{i=0}^na_iX^{n-i}$ et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ les valeurs propres de $A$. - Donner et démontrer la décomposition en éléments simples de $P'/P$. @@ -10499,7 +9377,6 @@ Montrer que $Q(x)(xI_n-A)=\chi_A(x)I_n$ et ${\rm tr}\big(Q(x)\big)=\chi'_A(x)$. $$\sum_{i=0}^ja_iS_{j-i}=(n-j)a_j.$$ #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1196] Soient $n\in{\N}^*$ et $S_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ à coefficients dans ${\Z}$ dont toutes les racines complexes ont un module majore par $1$. @@ -10514,7 +9391,6 @@ On note $z_1,...,z_n$ les racines de $P$ eventuellement confondues. - Conclure que les racines non nulles de $P$ sont de module $1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1197] Soient $n\in{\N}^*$ et $p$ un entier premier impair. On note ${\rm GL}_n({\Z})$ l'ensemble des matrices $M\in{\rm GL}_n({\R})$ telles que $M$ et $M^{-1}$ sont à coefficients entiers. - Rappeler la définition de la comatrice. @@ -10523,14 +9399,12 @@ Soient $n\in{\N}^*$ et $p$ un entier premier impair. On note ${\rm GL}_n({\Z})$ - Déterminer un majorant des cardinaux des sous-groupes finis de ${\rm GL}_n({\Z})$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1198] - Si $n\in{\N}^*$, montrer que le groupe ${\rm GL}_n({\Z})$ des inversibles de l'anneau ${\cal M}_n({\Z})$ est l'ensemble des $M\in{\cal M}_n({\Z})$ de déterminant $\pm 1$. - Pour $a\in\Z$, soient $T_a=\left(\begin{array}{cc}1&a\\ 0&1\end{array}\right)$ et $S_a=\left(\begin{array}{cc}1&a\\ 0&-1\end{array}\right)$. Pour $a\in\Z$ et $b\in\Z$, calculer $T_bS_a{T_b}^{-1}$. - Soit $M\in\M_2(\Z)$ telle que $M^2=I_2$. Montrer qu'il existe $P\in\text{GL}_2(\Z)$ telle que $PMP^{-1}\in\{S_0,S_1\}$. - Existe-t-il $Q\in\text{GL}_2(\Z)$ telle que $S_1=QS_0Q^{-1}$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1199] - Rappeler le theoreme de Cayley-Hamilton et le prouver dans le cas diagonalisable. Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $\op{Sp}(A)\cap\op{Sp}(B)=\emptyset$. - Montrer que $\chi_A(B)$ et $\chi_B(A)$ sont inversibles. @@ -10540,7 +9414,6 @@ Soient $n\in{\N}^*$ et $p$ un entier premier impair. On note ${\rm GL}_n({\Z})$ - En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les matrices $A$ et $B$ pour que $\left(\begin{matrix}A&C\\ 0&B\end{matrix}\right)$ soit diagonalisable. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1200] - Rappeler les définitions de morphisme de groupes et d'ordre d'un élément. @@ -10550,7 +9423,6 @@ On appelle representation de degré $n$ un morphisme de groupes de $\mc{S}_3$ da - Donner un exemple de representation de degré $3$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1202] Soit $M\in\M_n(\R)$ à coefficients positifs et telle que la somme des coefficients sur chaque ligne vaut $1$. - Montrer que $1$ est valeur propre de $M$ puis que toute valeur propre complexe de $M$ vérifie $|\lambda|\leq 1$. @@ -10558,14 +9430,12 @@ Soit $M\in\M_n(\R)$ à coefficients positifs et telle que la somme des coefficie - Montrer que $\op{Ker}(M-I_n)^2=\op{Ker}(M-I_n)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1203] Soit $A\in\M_n(\C)$. On designe par $\mu_A$ son polynôme minimal. - Montrer que tout idéal de $\C[X]$ est de la forme $P\C[X]$, ou $P\in\C[X]$. - Pour $x\in\M_{n,1}(\C)$ non nul, on note $\mu_{A,x}$ le generateur unitaire de l'idéal annulateur ponctuel $\{P\in\C[X],\ P(A)x=0\}$. Montrer qu'il existe $x\in\M_{n,1}(\C)$ tel que $\mu_{A,x}=\mu_A$. - Soit $A$ une matrice diagonale par blocs dont la diagonale vaut $(A_1,A_2)$ ou $A_1$ et $A_2$ sont des matrices de Frobenius (compagnon) et $\chi_{A_1}\wedge\chi_{A_2}=1$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de Frobenius. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1204] - Définir l'exponentielle d'une matrice de $\M_n(\C)$. @@ -10575,7 +9445,6 @@ Pour $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$, montrer que $\exp(P^{-1}AP)=P^{-1}\exp(A)P$. - Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\C)$. On suppose que $M=I_n+A$ avec $A$ nilpotente. Montrer qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $M=\exp\bigl(P(M)\bigr)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1205] - Justifier la définition de l'exponentielle de matrice. - Calculer $\exp(A)$ pour $A=\begin{pmatrix}0&t\\ -t&0\end{pmatrix}$ et $t\in\R$. @@ -10583,7 +9452,6 @@ Pour $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$, montrer que $\exp(P^{-1}AP)=P^{-1}\exp(A)P$. - Dans cette question, on admet l'existence et l'unicité de la décomposition de Jordan-Dunford. En notant $D+N$ la décomposition de Jordan-Dunford de $A$, montrer que la décomposition de $\exp(A)$ est $\exp(D)+\exp(D)(\exp(N)-I_n)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1206] Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$. - Montrer que, pour tout hyperplan $H$ de $E$, il existe $a\in E$ tel que $H=\mathrm{Vect}(a)^{\perp}$. @@ -10591,7 +9459,6 @@ Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$. - Montrer l'existence d'une telle famille. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1207] Soient $n\in\N\setminus\{0,1\}$ et $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$. On considére une base orthonormale $\mc{B}=(e_1,\ldots,e_n)$ et deux familles $(x_1,\ldots,x_n)$ et $(y_1,\ldots,y_n)$ d'éléments de $E$. On note respectivement $A$ et $B$ les matrices representatives des familles précédentes dans la base $\mc{B}$. - Exprimer les coordonnées et la norme d'un vecteur $x$ de $E$ à l'aide des éléments de $\mc{B}$. @@ -10606,7 +9473,6 @@ Soient $n\in\N\setminus\{0,1\}$ et $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien Montrer que $(x_1,\ldots,x_n)$ est une base de $E$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1208] - Rappeler le procede d'orthonormalisation de Gram-Schmidt. - Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe $O\in\mc{O}_n(\R)$ et $T$ triangulaire supérieure telles que $M=OT$. - Soient $M\in\M_n(\R)$, $C_1$,..., $C_n$ ses colonnes. Montrer que $|\mathrm{det}(M)|\leq\prod_{i=1}^n\lVert C_i\rVert$. - On suppose que le résultat précédent est vérifie pour des matrices dans $\M_n(\C)$ avec le produit scalaire hermitien $((x_1,\ldots,x_n),(w_1,\ldots,w_n))\mapsto\sum_{k=1}^nx_i \overline{w_i}$. @@ -10614,7 +9480,6 @@ Montrer que $(x_1,\ldots,x_n)$ est une base de $E$. Soit $\overline{\mathbb{D}}=\{z\in\C,\ |z|\leq 1\}$. Trouver le maximum et les points realisant le maximum de $f:(z_1,\ldots,z_n)\in\overline{\mathbb{D}}^n\mapsto\prod_{1\leq i\lt j \leq n}|z_i-z_j|$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1209] On note $E$ l'ensemble des fonctions réelles, continues et de carré intégrable sur $\R^+$. - - Définir la notion de fonction intégrable sur $[0,+\i[$. - Montrer que, pour $f,g\in E$, $fg$ est intégrable et en déduire que $E$ est un $\R$-espace vectoriel. @@ -10627,14 +9492,12 @@ On note $E$ l'ensemble des fonctions réelles, continues et de carré intégrabl Montrer que $\mathrm{det}(A)\geq 0$ et étudier le cas d'égalité. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1210] Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. - Montrer que toutes les valeurs propres d'une isométrie vectorielle de $E$ sont de module $1$. - Soit $u\in\mc{L}(E)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $1$ et vérifiant : $\forall x\in E$, $\lVert u(x)\rVert\leq\lVert x\rVert$. Montrer que $\mathrm{Ker}(u-\mathrm{Id}_E)$ et $\mathrm{Im}(u-\mathrm{Id}_E)$ sont en somme directe. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1211] Pour tout $t\in\left]-1,1\right[$, on note $\omega(t)=\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$. Pour $(P,Q)\in\R_n[X]^2$, on pose $\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)\omega(t)\dt$. - Montrer que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $\R_n[X]$. @@ -10643,7 +9506,6 @@ Pour tout $t\in\left]-1,1\right[$, on note $\omega(t)=\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$. P - Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres de degrés echelonnes. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1212] Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que $a_{i,j}=2$ si $i=j$, $a_{i,j}=-1$ si $|i-j|=1$ ou $|i-j|=n-1$, $a_{i,j}=0$ sinon. - Montrer que les sous-espaces propres d'une matrice symétrique sont orthogonaux. @@ -10652,7 +9514,6 @@ Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que $a_{i,j}=2$ si $i=j$, - Lister les valeurs propres de $A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1213] Soit $n\in\N^*$. On note $\Omega=\{M\in\M_n(\R),\;I_n+M\in\mathrm{GL}_n(\R)\}$. - Montrer que $(\mc{O}_n(\R),\times)$ est un groupe. @@ -10666,7 +9527,6 @@ Ind. On pourra faire une récurrence et comparer deux déterminants. - Soit $M\in\mc{O}_n(\R)$. Montrter qu'il existe une matrice diagonale $J$ à coefficients diagonaux dans $\{-1,1\}$ et $A\in\mc{A}_n(\R)$ telles que $M=Jf(A)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1214] Soient $A$ une matrice réelle antisymétrique de taille $n$ et $f$ l'endomorphisme de $\R^n$ canoniquement associe. - Enoncer le theoreme du rang. @@ -10679,14 +9539,12 @@ Soient $A$ une matrice réelle antisymétrique de taille $n$ et $f$ l'endomorphi Ind. On pourra commencer par le sous-espace propre associe à la valeur propre nulle. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1215] - Rappeler la définition d'un matrice symétrique définie positive. Caractérisation a l'aide du spectre? - Montrter que l'exponentielle définit une bijection continue de $\mc{S}_n(\R)$ sur $\mc{S}_n^{++}(\R)$. - Montrter que sa réciproque est continue. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1216] - Rappeler la définition d'une matrice définie positive. Caractérisation a l'aide du spectre? - Soit $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. @@ -10698,14 +9556,12 @@ Ind. Considérer les sous-espaces propres de l'endomorphisme canoniquement assoc - Montrter les relations : $A\#A=A$, $A\#B=B\#A$, $(A\#B)^{-1}=A^{-1}\#B^{-1}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1217] Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels euclidiens de dimensions respectives $n$ et $m$. - Soit $u\in\mc{L}(E,F)$. Montrter qu'il existe un unique $u^*\in\mc{L}(F,E)$ tel que $\forall x\in E,\forall y\in F$, $\left\langle u(x),y\right\rangle_F=\left\langle x,u^*(y)\right\rangle_E$. - Montrter que $u^*u$ est autoadjoint positif. - Soit $M\in\M_{m,n}(\R)$ de rang $r$. Montrer qu'il existe $P\in\mc{O}_m(\R)$, $Q\in\mc{O}_n(\R)$ et $\sigma_1,\ldots,\sigma_r\in\R^{+*}$ tels que $(PMQ)_{i,i}=\sigma_i$ si $i\leq r$, les autres coefficients etant nuls. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1218] Soit $E$ un espace euclidien. - Soit $s\in\mc{S}^+(E)$. Montrer qu'il existe un unique $r\in\mc{S}^+(E)$ tel que $s=r^2$. @@ -10714,14 +9570,12 @@ Soit $E$ un espace euclidien. - Montrer que $u^*u$ est le projecteur orthogonal sur $\mathrm{Ker}(u)^{\perp}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1219] - Soit $M\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $M\in\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si $\mathrm{sp}(M)\subset\R^+$. - Soit $M\in\mc{S}_n(\R^+)$ c'est-a-dire symétrique à coefficients positifs. Est-ce que toutes les valeurs propres de $M$ peuvent être strictement negatives? Peut-on trouver $M$ avec une unique valeur propre strictement positive? - Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $X_1,\ldots,X_n$ une base orthonormée de vecteurs propres associes aux valeurs propres $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. Pour $\alpha\in\R$ on pose $B(\alpha)=\left(\begin{array}{cc}A&\alpha X_n\\ \alpha X_n^T&0\end{array}\right)$. Montrer que $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}$ sont valeurs propres de $B(\alpha)$ et exprimer les deux restantes en fonction de $\lambda_n$ et $\alpha$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1220] Soient $E$ un espace euclidien et $u,v$ dans $\mc{S}(E)$ avec $u\in\mc{S}^{++}(E)$. - Caractériser spectralement le fait que $u\in\mc{S}^{++}(E)$. @@ -10729,7 +9583,6 @@ Soient $E$ un espace euclidien et $u,v$ dans $\mc{S}(E)$ avec $u\in\mc{S}^{++}(E - A-t-on l'équivalence $v\in\mc{S}^{++}(E)\Leftrightarrow w\in\mc{S}^{++}(E)$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1221] - Soit $M\in\mc{S}_d\left(\R\right)$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans $\R^+$ si et seulement si $\forall x\in\R^d$, $\left\langle Mx,x\right\rangle\geq 0$. - Soient $M_1,\ldots,M_n\in\M_d\left(\R\right)$ telles que $\sum_{i=1}^nM_i^TM_i=I_d$. On pose, pour $X\in\mc{S}_d(\R)$, @@ -10742,16 +9595,14 @@ Pour $M,N\in\M_d\left(\R\right)$, on note $M\geq N$ si et seulement si $M-N$ est - On suppose qu'il existe $\mc{K}$ du même type que $\mc{L}$ tel que $\mc{L}\circ\mc{K}=\mc{K}\circ\mc{L}=\mc{I}$. Montrer que : $\forall X\in\M_d(\R)$, $\mc{L}\left(X^TX\right)=\mc{L}\left(X^T\right)\mc{L}\left(X\right)$. #+end_exercice - ** Analyse #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1222] - - Formuler et démontrer le cas d'égalité du theoreme des accroissements finis. On note $\mc{E}$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\left\{-1,0,1\right\}$ et $A$ l'ensemble des racines réelles des polynômes de $\mc{E}$. - - Montrer que $A\setminus\left\{0\right\}$ est stable par $x\mapsto-x$ et $x\mapsto\dfrac{1}{x}$. - - Montrer que $A\cap\left]2,+\i\right[=\emptyset$. + - Formuler et démontrer le cas d'égalité du théorème des accroissements finis. On note $\mc{E}$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\left\{-1,0,1\right\}$ et $A$ l'ensemble des racines réelles des polynômes de $\mc{E}$. + - Montrer que $A\setminus\left\{0\right\}$ est stable par $x\mapsto-x$ et $x\mapsto\dfrac{1}{x}$. + - Montrer que $A\cap \interval]{2, +\i}[=\emptyset$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1224] Soit $A=(a_0,\ldots,a_n)\in\N^{n+1}$ avec $a_0\lt a_1\lt \cdots\lt a_n$. Pour $P\in\R_n[X]$ on pose $\|P\|_A=\max_{0\leq k\leq n}|P(a_k)|$. On pose $d_{n,A}=\inf_{P\in\R_{n-1}[X]}\|X^n-P\|_A$. - Montrer que $\|\ \|_A$ est une norme sur $\R_n[X]$. @@ -10761,7 +9612,6 @@ Soit $A=(a_0,\ldots,a_n)\in\N^{n+1}$ avec $a_0\lt a_1\lt \cdots\lt a_n$. Pour $P - Calculer $d_{n,A}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1225] Soient $a\lt b$ des réels fixes. On munit l'espace $E=\mc C^0([a,b],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$. On fixe enfin un entier $n\geq 0$ et $f\in E$, et on pose $m=d(f,\R_n[X])$. - On pose $C=\{g\in\R_n[X]\ ;\ \|f-g\|_{\i}\leq m+1\}$. Montrer que $C$ est compact et non vide. En déduire qu'il existe $p\in\R_n[X]$ tel que $m=\|f-p\|_{\i}$. @@ -10769,7 +9619,6 @@ Soient $a\lt b$ des réels fixes. On munit l'espace $E=\mc C^0([a,b],\R)$ de la - En déduire que $p$ est unique. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1226] Notons $\mc C$ l'espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ muni de la norme $\i$. Pour $f\in\mc C$, notons $Af(x)=\int_x^1\frac{f(t)}{\sqrt{t-x}}dt$ si $x\in[0,1[$ et $Af(1)=0$. - Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha\in\R$ pour que l'intégrale $\int_0^1\frac{dt}{t^{\alpha}}$ soit convergente. La démontrer. @@ -10779,7 +9628,6 @@ Notons $\mc C$ l'espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ muni de la - Étudier la dérivabilité de $Af$ pour une fonction $f:[0,1]\ra\R$ de classe $\mc C^1$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1227] - Soient $E$ et $E'$ deux espaces vectoriels normés et $u\in\mc{L}(E,E')$. @@ -10791,7 +9639,6 @@ Pour $\phi$ forme linéaire sur $E$, on pose $N(\phi)=\sup\{|\phi(f)|,\ f\in S_{ - Calculer $N(\phi)$ avec $\phi:f\mapsto\int_{-1}^0f-\int_0^1f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1228] Soit $(\lambda_n)$ une suite de réels positifs strictement croissante telle que $\lambda_0=0$, $\lambda_n\ra+\i$ et la série de terme general $\frac{1}{\lambda_n}$ diverge. Pour $m\in\N^*$ fixe, on pose $Q_0:x\mapsto x^m$ et, pour tout $n$, @@ -10803,7 +9650,6 @@ En déduire que $(Q_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0,1] - Montrer que, toute fonction continue sur $[0,1]$ est limite uniforme d'une suite de fonctions appartenant à $\mathrm{Vect}\left\{x\mapsto x^{\lambda_n},\ n\in\N\right\}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1229] - Enoncer et démontrer le theoreme des bornes atteintes. @@ -10814,7 +9660,6 @@ Soit $C$ une partie convexe compacte non vide d'un espace euclidien $E$. - Montrer que l'application $p$ définie dans ce qui precede est continue. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1230] Si $A\in\M_n(\C)$, on pose $\rho(A)=\{|\lambda|\ ;\ \lambda\in\text{Sp}(A)\}$. On munit $\C^n$ d'une norme $\|\ \|$ et $\M_n(\C)$ de la norme $\|\ \|$ d'operateur associe. - L'application $A\mapsto\rho(A)$ est-elle une norme? @@ -10822,18 +9667,16 @@ Si $A\in\M_n(\C)$, on pose $\rho(A)=\{|\lambda|\ ;\ \lambda\in\text{Sp}(A)\}$. O - Montrer que, pour toute norme $N$ sur $\M_n(\C)$, $N(A^k)^{1/k}\ra\rho(A)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1231] On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $\R$ dans $\R$ et de limite nulle en $\pm\i$. On munit $E$ de la norme $\|\ \|_{\i}$ et on définit $T(f)$ pour tout $f\in E$ par : $$\forall x\in\R,\,T(f)(x)=\frac{1}{2}\int_{\R}\mathrm{e}^{-|x-t| }f(t)dt$$ - - Rappeler le theoreme de Heine. + - Rappeler le théorème de Heine. - Montrer que $f$ est uniformément continue. - Montrer que $T\in\mc{L}(E)$ puis que $T$ est continu. - Déterminer sa norme d'operateur. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1232] Soient $A,B\in\M_p(\mathbb{K})$. Pour $A\in\M_p(\mathbb{K})$, on pose $\|M\|=\max_{1\leq i\leq p}\sum_{j=1}^p|a_{i,j}|$. - Montrer que $\|\ \|$ est une norme et que $\forall A,B\in\M_p(\mathbb{K})$, $\|AB\|\leq\|A\|\cdot\|B\|$. @@ -10842,14 +9685,12 @@ Soient $A,B\in\M_p(\mathbb{K})$. Pour $A\in\M_p(\mathbb{K})$, on pose $\|M\|=\ma - Trouver $\lim_{n\ra+\i}\left(\mathrm{e}^{A/n}\mathrm{e}^{B/n}\right)^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1233] - Rappeler la définition de la borne inférieure d'une partie non vide de $\R$. - On note $X$ une partie non vide minorée de $\R$. Montrer qu'il existe une suite de $X$ convergent vers la borne inférieure de $X$. Réciproquement, prouver que si une suite de $X$ converge vers un minorant $m$ de $X$, alors $m$ est la borne inférieure de $X$. - Soit $n\in\N^*$. On pose $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det(M)\geq\alpha\}$ pour $\alpha\gt 0$. On souhaite prouver que, si $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, $\inf\limits_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)=n(\alpha\det(A))^{1/n}$. Prouver ce résultat lorsque $A=I_n$ puis lorsque $A\in\mc{S}_n^+(\R)$. - Est-ce toujours le cas lorsque $\alpha=0$? #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1234] On note $\mc{A}$ l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ à coefficients dans $[-1,1]$. - Montrer la continuité du déterminant sur $\M_n(\R)$. @@ -10858,7 +9699,6 @@ On note $\mc{A}$ l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ à coefficients dans $[-1 - Montrer que $\alpha\leq n^{n/2}$ avec égalité si et seulement si les colonnes de $A$ sont deux à deux orthogonales pour le produit scalaire euclidien canonique de $\R^n$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1235] - Montrer que les parties connexes par arcs de $\R$ sont ses convexes. - Soit $n\in\N^*$. On note $\Gamma_n$ l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $\{0,1\}$. Justifier l'existence de $a_n=\max\limits_{M\in\Gamma_n}\det(M)$ et étudier son comportement quand $n\ra+\i$. @@ -10867,7 +9707,6 @@ On note $\mc{A}$ l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ à coefficients dans $[-1 Montrer que $\det(C_n)=[-a_n,a_n]$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1236] Soient $d\in\N^*$ et $(\omega_n)\in\C^{\N^*}$ une suite $d$-périodique. @@ -10880,7 +9719,6 @@ La réciproque est-elle vraie? - Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda\in\C$ pour que la suite $(S_n(\lambda))$ converge. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1237] Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n}+v_n$ ou $\sum|v_n|$ converge. - Étudier la convergence de $a_{n+1}-a_n$ ou $a_n=\ln(n^{\alpha}u_n)$. En déduire qu'il existe $K\gt 0$ tel que $u_n\sim\frac{K}{n^{\alpha}}$. @@ -10888,7 +9726,6 @@ Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que $\frac{u_{n+1}}{u_ - On suppose maintenant que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$. Montrer que si $\alpha\gt 1$ alors la série $\sum u_n$ converge, et que si $\alpha\lt 1$ alors elle diverge. #+end_exercice - # ID:7797 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1238] Pour $n\in\N^*$, on pose $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ et $d_n=\op{card}\{p\in\db{1,n}\;;\;p\mid n\}$. @@ -10899,17 +9736,15 @@ Pour $x\in\R^+$, on définit $f(x)=\sum_{1\leq k\leq x}d_k$. - Déterminer le deuxième terme du développement asymptotique de $f$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1239] - -_Enoncer le theoreme de Rolle._ - -_Soient $a,b\in\R\cup\{\pm\i\}$ tels que $a\lt b$. Montrer que le theoreme reste vrai pour $f\colon\,]a,b[\ra\R$ dérivable et admettant en $a$ et $b$ une même limite finie._ - -_On définit la fonction $f:]-1,1[\ra\R,x\mapsto\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)$._ - -_Montrer que $f$ est $\mc C^{\i}$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynôme $P_n\in\R[X]$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(1-x^2)^{2n}}f(x)$ pour tout $x\in]-1,1[$._ - -_Quel est le degré de $P_n$?_ - -_Que dire du nombre de zéros de $f^{(n)}$?_ + - Énoncer le theoreme de Rolle. + - Soient $a,b\in\R\cup\{\pm\i\}$ tels que $a\lt b$. Montrer que le theoreme reste vrai pour $f\colon\,]a,b[\ra\R$ dérivable et admettant en $a$ et $b$ une même limite finie. + - On définit la fonction $f\colon ]-1,1[\ra\R,x\mapsto\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)$. + - Montrer que $f$ est $\mc C^{\i}$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynôme $P_n\in\R[X]$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(1-x^2)^{2n}}f(x)$ pour tout $x\in]-1,1[$. + - Quel est le degré de $P_n$ ? + - Que dire du nombre de zéros de $f^{(n)}$ ? #+end_exercice - # ID:7798 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1240] Soit $A\subset\R^n$. On note $\mc C(A,\R)$ l'ensemble des fonctions continues de $A$ dans $\R$ et $\mc{UC}(A,\R)$ l'ensemble des fonctions uniformément continues de $A$ dans $\R$. @@ -10918,23 +9753,20 @@ Soit $A\subset\R^n$. On note $\mc C(A,\R)$ l'ensemble des fonctions continues de - Soit $T\in\R^{+*}$ et $f$ une fonction continue et $T$-périodique. Montrer que $f\in\mc{UC}(A,\R)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1241] -_Soient $E$ l'espace vectoriel des suites réelles et $\Delta$ l'endomorphisme de $E$ défini par : pour $u\in E$ et tout $n\in\N$, $[\Delta(u)]_n=u_{n+1}-u_n$._ - -_Démontrer le theoreme des accroissements finis._ - -_Soit $f\colon\R^+\mapsto\R$ de classe $\mc C^{\i}$. On pose, pour tout $n\in\N$, $u_n=f(n)$. Montrer que, pour tout $n\in\N$ et tout $p\in\N^*$, il existe $x\in]n,n+p[$ tel que $[\Delta^pu]_n=f^{(p)}(x)$._ +Soient $E$ l'espace vectoriel des suites réelles et $\Delta$ l'endomorphisme de $E$ défini par : pour $u\in E$ et tout $n\in\N$, $[\Delta(u)]_n=u_{n+1}-u_n$. + - Démontrer le theoreme des accroissements finis. + - Soit $f\colon\R^+\mapsto\R$ de classe $\mc C^{\i}$. On pose, pour tout $n\in\N$, $u_n=f(n)$. Montrer que, pour tout $n\in\N$ et tout $p\in\N^*$, il existe $x\in]n,n+p[$ tel que $[\Delta^pu]_n=f^{(p)}(x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1242] - -_Soient $I$ un intervalle non vide et $f\in\mc C^0(I,\R)$. Montrer que, pour tout $a\in I$, l'application $F_a:x\mapsto\int_a^xf(t)dt$ est dérivable, de derivée $f$._ + - Soient $I$ un intervalle non vide et $f\in\mc C^0(I,\R)$. Montrer que, pour tout $a\in I$, l'application $F_a:x\mapsto\int_a^xf(t)dt$ est dérivable, de derivée $f$. Pour $h\gt 0$, soit $W_h=\bigg{\{}f\in\mc C^0(\R,\R)\;;\;\forall x\in \R,\;\int_{x+h}^{x+2h}f(t)dt=2\int_x^{x+h}f(t)dt \bigg{\}}$._ - -_Montrer que, pour tout $h\gt 0$, $W_h$ est un espace vectoriel de dimension infinie._ - -_Existe-t-il des fonctions non bornées appartenant à $W_h$?_ + - Montrer que, pour tout $h\gt 0$, $W_h$ est un espace vectoriel de dimension infinie. + - Existe-t-il des fonctions non bornées appartenant à $W_h$? #+end_exercice - # ID:7799 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1243] On pose $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$. Pour $f\in E$, on définit la suite $(f_n)$ de fonctions de $E$ par $f_0=f$ et $\forall n\in\N$, $\forall x\in\R$, $f_{n+1}(x)=\int_0^xtf_n(t)dt$. @@ -10945,14 +9777,12 @@ On pose $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$. Pour $f\in E$, on définit la suite $(f_n)$ de fo - Montrer que l'application $T\colon f\in E\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f_n$ est un automorphisme de l'espace vectoriel $E$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1244] Pour $x\geq 0$ et $n\in\N^*$, on définit $g_n(x)=\dfrac{1}{(1+x)\cdots(1+x^n)}$. - Étudier la convergence simple de $(g_n)$ sur $\R^+$. - Étudier la convergence uniforme de $(g_n)$ sur $[1,+\i[$ et sur tout segment. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1245] Pour $n\in\N^*$, soient $\Omega(n)$ le nombre de facteurs premiers de $n$ comptes avec multiplicité, $\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}$, $\Lambda(n)=\sum_{d|n}\lambda(d)$. - Montrer que, si $m$ et $n$ sont deux éléments de $\N^*$ premiers entre eux, $\lambda(mn)=\lambda(m)\lambda(n)$ et $\Lambda(mn)=\Lambda(m)\Lambda(n)$. @@ -10960,7 +9790,6 @@ Pour $n\in\N^*$, soient $\Omega(n)$ le nombre de facteurs premiers de $n$ compte - Montrer que, si $|z|\lt 1$, $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{\lambda(n)z^n}{1-z^n}=\sum_{n=1}^{+ \i}z^{n^2}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1246] - Pour $x\in\R\setminus\Z$, montrer que la suite $\left(\sum_{k=-n}^n\dfrac{1}{x-k}\right)_{n\geq 1}$ converge. On note $f(x)$ sa limite. - Montrer que $f$ est continue et $1$-périodique sur $\R\setminus\Z$. @@ -10968,7 +9797,6 @@ Pour $n\in\N^*$, soient $\Omega(n)$ le nombre de facteurs premiers de $n$ compte - Montrer que, pour tout $x\in\R\setminus\Z$, $f(x)=\pi\op{cotan}(\pi x)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1247] - Retrouver le développement en série entière de la fonction $\arctan$ et montrer que : $\sum_{k=0}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\dfrac{\pi}{4}$. - Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=4\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$. @@ -10976,7 +9804,6 @@ Pour $n\in\N^*$, soient $\Omega(n)$ le nombre de facteurs premiers de $n$ compte Montrer que $\left|\pi-S_n+(-1)^n\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\right)\right| \leq\dfrac{1}{n^3}$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1248] - Soit $\alpha\in\R$. Donner $R\gt 0$ tel que : $\forall x\in\left]-R,R[\,,\ (1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{+\i}\binom{\alpha}{n}x^n$. Que vaut $\binom{\alpha}{n}$? - Soit $\beta\gt 0$. Montrer que $p_n=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\beta}{k}\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini. - Soit $(\alpha,\alpha')\in\R^2$. Montrer : $\forall n\in\N,\ \left(\begin{matrix}\alpha+{\alpha'}'\\ n\end{matrix}\right)=\sum_{\scriptsize{(p,q)\in\N^2\atop p+q=n}} \left(\begin{matrix}\alpha\\ p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\alpha'\\ q\end{matrix}\right)$. @@ -10990,7 +9817,6 @@ Montrer que $\left|\pi-S_n+(-1)^n\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\right)\right| - Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ sur un ouvert contenant $0$. Montrer qu'elle est développable en série entière au voisinage de $0$ si et seulement si : #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1250] Soient $R\gt 0$ et $\mc{A}_R$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R\ra\R$ développables en série entière de rayon $\geq R$. - Montrer que $\mc{A}_R$ est une $\R$-algèbre pour des lois que l'on precisera. @@ -11018,7 +9844,6 @@ Soit $f:t\in[0,\pi/2[\mapsto-\ln(\cos(t))$. - Soit $\alpha\in\R^+$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1256] On munit $\M_n(\R)$ de la norme euclidienne canonique. Soient $A\in\mc{S}_n^+(\R)$ et $B\in\M_n(\R)$. On s'intéresse à l'équation différentielle $(E):X'=-AX+B$. On suppose que l'ensemble $S=\big{\{}U\in\M_n(\R)\,;\;AU=B\big{\}}$ est non vide. - Montrer que les valeurs propres de $A$ sont positives. @@ -11028,7 +9853,6 @@ On munit $\M_n(\R)$ de la norme euclidienne canonique. Soient $A\in\mc{S}_n^+(\R - Montrer que $\|X(0)-X_{\i}\|=\inf_{U\in S}\|X(0)-U\|$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1257] - Montrer que toute série numerique absolument convergente est convergente. @@ -11038,14 +9862,12 @@ On définit $s(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ pour tout complexe $z$ et $\phi(z)= - Montrer que $\phi$ admet deux extrema sur $D$ et trouver les points ou ils sont attentions. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1258] Soit $f:A\in{\cal M}_n({\R})\mapsto A^TA$. - Montrer que $f$ est de classe ${\cal C}^1$, et calculer sa différentielle. - Pour $A\in{\cal M}_n({\R})$, calculer $\dim\op{Ker}\op{d}\!f(A)$ en fonction du rang de $A$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1259] Soient $A\in{\cal S}^{++}_n({\R})$, $b\in{\R}^n$ et $f$ la fonction de ${\R}^n$ dans ${\R}$ telle que, pour tout $x\in{\R}^n$, @@ -11056,7 +9878,6 @@ Soient $A\in{\cal S}^{++}_n({\R})$, $b\in{\R}^n$ et $f$ la fonction de ${\R}^n$ - Montrer que, pour $\gamma$ bien choisi, $(x_j)_{j\geq 0}$ converge vers $\omega$ indépendamment du choix de $x_0$. Comment choisir $\gamma$ pour que la vitesse de convergence soit la meilleure possible? #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1260] - Soit $G$ un ensemble non vide. Rappeler les conditions sur la loi $*$ pour que $(G,*)$ soit un groupe. - Rappeler la définition de la différentielle d'une application en un point. Faire le lien avec les derivées partielles dans le cas ${\cal C}^1$. @@ -11064,14 +9885,36 @@ Soient $A\in{\cal S}^{++}_n({\R})$, $b\in{\R}^n$ et $f$ la fonction de ${\R}^n$ - Montrer qu'il existe un ${\cal C}^1$-diffeomorphisme $\phi$ de ${\R}$ sur ${\R}$ tel que $\phi(x*y)=\phi(x)+\phi(y)$ pour tout $(x,y)\in{\R}^2$. #+end_exercice - ** Géométrie +# ID:8131 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1261] - - Soit $f\colon \R^2\ra{\R}$ différentiable. On suppose que $f$ admet un extremum en $a\in{\R}^n$. Rappeler la valeur de $\nabla f(a)$ (avec demonstration). - - Soit $\theta\in[0,\pi]$. Soient $A$ et $B$ du cercle unite de ${\R}^2$ tels que $\widehat{(OA,OB)}(=\theta$. Exprimer l'aire de la_lunule_ constituée des points exterieurs au disque unite et intérieurs au disque de diamêtre $[AB]$. + - Soit $f\colon \R^2\ra{\R}$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $f$ admet un extremum en $a\in{\R}^n$. Rappeler la valeur de $\nabla f(a)$ (avec demonstration). + - Soit $\theta\in[0,\pi]$. Soient $A$ et $B$ du cercle unite de ${\R}^2$ tels que $\widehat{(OA,OB)}=\theta$. Exprimer l'aire de la lunule constituée des points extérieurs au disque unité et intérieurs au disque de diamêtre $[AB]$. - Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du cercle unite tels que les trois angles $(\oa{OA}, \oa{OB})$, $(\oa{OB}, \oa{OC})$ et $(\oa{OC}, \oa{OA})$ soient dans $[0,\pi]$. Maximiser la somme des aires des trois lunules qu'ils définissent. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Si on se place en une configuration maximale, et que l'on déplace +légèrement un des points, la condition de point critique donne +$g'(\theta_1) = g'(\theta_2)$, où $\theta_1,\theta_2$ sont les deux +angles adjacents au point. + +La fonction $g'$ est (strictement) concave, donc il y a à chaque fois +au plus deux abscisses en lesquelles $g'(\theta_1) = g'(\theta_2)$. + +En appliquant ce raisonnement en chacun des trois points, on obtient +que au moins deux des trois angles sont égaux. + +On est ramené à l'étude de $2g(\theta) + g(2\pi - 2\theta)$. Sauf +erreur de ma part, cette fonction s'écrit sous la forme $u(\theta) + +u(2\theta)/2$, où $u(\theta) = \pi \sin^2(\theta/2) + 4 \sin +(\theta/2)$. + +En un point critique, il faut que $u'(\theta) = - u'(2\theta)$. La +symétrie de $u$ par rapport à $\pi$, et sa concavité semblent donner +$2\theta = 2\pi - \theta$, donc $\theta = \frac{2\pi}{3}$. +#+END_proof + ** Probabilités @@ -11082,14 +9925,12 @@ Soient $X,Y$ des variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique - Montrer que $\min (X,Y)$ et $X-Y$ sont indépendantes. #+END_exercice - #+BEGIN_exercice [Centrale MP 2024 # 1263] - Soit $u$ un endomorphisme de $\C^n$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $u$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. - Soient $A=\begin{pmatrix}1&-2\\ -2&1\end{pmatrix}$, $\eps_1$, $\eps_2$ deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$ et $Q=\eps_1X+\eps_2$. Déterminer la probabilité que $Q(A)$ soit inversible. - Soit $u$ un endomorphisme de $\C^n$ et $Q\in\C[X]$ tel que $Q(u)$ soit diagonalisable et $Q'(u)$ inversible. Montrer que $u$ est diagonalisable. #+END_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1264] La fonction de repartition d'une variable aléatoire réelle $X$ est $F_X:t\mapsto\mathbf{P}(X\leq t)$. - Montruer que, pour une variable aléatoire $X$, $F_X$ est croissante de limite $1$ en $+\i$. @@ -11101,7 +9942,6 @@ Ind. Pour $\eps\gt 0$ fixe, considérer une partie finie $I\subset E$ telle que - Montruer que $(F_{X_n})$ converge uniformément vers $F_X$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1265] - Soient $p$ un réel $\gt 1$ et $q=\dfrac{p}{p-1}$. - Montruer que $xy\leq\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}$ pour tous $x,y\in\R^+$. @@ -11110,7 +9950,6 @@ Ind. Pour $\eps\gt 0$ fixe, considérer une partie finie $I\subset E$ telle que - Soient $(\eps_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables de Rademacher indépendantes et $p$ un réel $\geq 1$. Montrer que, si $X\in\text{Vect}(\eps_n)_{n\geq 1}$, alors $\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\leq C\sqrt{p}\,\mathbf{E}(X^2)^{1/2}$, ou $C$ est une constante absolue. #+end_exercice - # ID:7842 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1266] - s En utilisant une comparaison série-intégrale, dont on rappellera le principe, donner un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$. @@ -11118,7 +9957,6 @@ Ind. Pour $\eps\gt 0$ fixe, considérer une partie finie $I\subset E$ telle que - Soient $X,Y,Z$ trois variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. On pose $M=\begin{pmatrix}X&Y\\ Z&X\end{pmatrix}$. Soit $p_n$ la probabilité que $M$ ne soit pas inversible. Montrer que $p_n=O\left(\dfrac{\ln n}{n^2}\right)$. #+end_exercice - #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1267] Une suite $(Z_n)_{n\geq 1}$ de variables aléatoires entières est dite transiente si, pour toute partie bornée $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(Z_n\in A)\lt +\i$. - Soient $\alpha\in\R^{+*}$, $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout $i\in\N^*$, $X_i\sim\mc{P}\left(\frac{\alpha}{i}\right)$. Pour $n\in\N^*$, quelle est la loi de $Y_n=\sum_{i=1}^nX_i$? La suite $(Y_n)_{n\geq 1}$ est-elle transiente? - Soient $p\in]0,1[$ et $(R_i)_{i\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires telles que, pour tout $i\in\N^*$, $\mathbf{P}(X_i=1)=p,\mathbf{P}(X_i=-1)=1-p$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. La suite $(S_n)_{n\geq 1}$ est-elle transiente? diff --git a/Exercices 2024.pdf b/Exercices 2024.pdf index 29517a1..decc49b 100644 Binary files a/Exercices 2024.pdf and b/Exercices 2024.pdf differ diff --git a/Exercices XENS MP 2024.pdf b/Exercices XENS MP 2024.pdf index caa9d32..9cbbf13 100644 Binary files a/Exercices XENS MP 2024.pdf and b/Exercices XENS MP 2024.pdf differ