From 50c532ac3b592d8eeb6273bfebc3d35643e58b96 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?S=C3=A9bastien=20Miquel?= Date: Sun, 27 Apr 2025 14:05:56 +0200 Subject: [PATCH] Vacances --- Exercices 2022.org | 2 +- Exercices 2024.org | 816 ++++++++++++++++++++++++++++++++++----------- 2 files changed, 625 insertions(+), 193 deletions(-) diff --git a/Exercices 2022.org b/Exercices 2022.org index c6be66b..8607f96 100644 --- a/Exercices 2022.org +++ b/Exercices 2022.org @@ -1,7 +1,7 @@ #+title: Exercices 2022 #+author: Sébastien Miquel #+date: 25-02-2023 -# Time-stamp: <21-12-24 17:17> +# Time-stamp: <24-02-25 19:45> * Meta :noexport: diff --git a/Exercices 2024.org b/Exercices 2024.org index 9b81773..c8c5c3d 100644 --- a/Exercices 2024.org +++ b/Exercices 2024.org @@ -1,8 +1,8 @@ -# -*- org-export-switch: "xens mp"; -*- +# -*- org-export-switch: "todoes"; -*- #+title: Exercices 2024 #+author: Sébastien Miquel #+date: 20-11-2024 -# Time-stamp: <24-02-25 19:45> +# Time-stamp: <29-04-25 21:12> * Meta :noexport: @@ -13,14 +13,14 @@ #+END_SRC #+RESULTS: -| ? | ! | todo | unexed | -| 2 | 16 | 11 | 1033 | +| ? | ! | todo | unexed | unexed xens | +| 1 | 7 | 15 | 976 | 34 | ** Options #+OPTIONS: latex:verbatim #+OPTIONS: toc:t -#+exclude_types: proof +# #+exclude_types: proof *** All @@ -34,10 +34,10 @@ *** XENS MP -#+select_tags: xens -#+exclude_tags: autre -#+exclude_types: proof -#+export_file_name: Exercices XENS MP 2024 +# #+select_tags: xens +# #+exclude_tags: autre +# #+exclude_types: proof +# #+export_file_name: Exercices XENS MP 2024 *** Centrale @@ -58,10 +58,10 @@ *** todoes -# #+options: title:nil nopage:t tags:nil -# #+select_tags: todo -# #+export_file_name: Exercices 2024 todo -# #+relocate_tags: todo +#+options: title:nil nopage:t tags:nil toc:nil +#+select_tags: todo +#+export_file_name: Exercices 2024 todo +#+relocate_tags: todo *** autre @@ -70,10 +70,6 @@ # #+export_file_name: Exercices XENS 2024 autres # #+relocate_tags: todo - - - - * ENS MP 2024 :xens: ** Algèbre @@ -180,6 +176,7 @@ On considère l'équation $2^a + 3^b = 5^c$, où $(a,b,c)\in\N^3$. # Clarifier, mettre une suite, sommes de Gauss +# ID: nil #+BEGIN_exercice [ENS MP 2024 # 7] Soit $p$ un nombre premier impair. - Quel est le cardinal du groupe des inversibles de $\Z/p\Z$ ? @@ -195,12 +192,16 @@ Soit $p$ un nombre premier impair. $$\chi(n)=\frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1}\sum_{a=0}^{p-1}\chi(a)\xi^{k(a-n)}.$$ - Pour $k\in\db{1,p-1}$, on note $S_k(N)=\sum_{n=0}^N\xi^{-kn}$. - Montrer que $\forall N\geq 0$, $|S_k(N)|\leq\frac{1}{|\sin(k\pi/p)|}$. - - En déduire que, pour $k\lt p/2$, $|S_k(N)|\leq p/2k$. + - En déduire que, pour $k\lt p/2$, $|S_k(N)|\leq p/(2k)$. - Trouver une majoration similaire pour $k\gt p/2$. - On pose $G_k=\sum_{a=0}^{p-1}\chi(a)\xi^{ka}$. - Montrer que, pour $k\in\db{1,p-1}$, $|G_k|=\sqrt{p}$. - - Montrer que $G_k$ est réel ou imaginaire pur. - - On suppose que $G_1$ est réel, montrer que $G_1\geq 0$. ?? Trouver des questions pour finir… + - Montrer que $G_k$ est réel ou imaginaire pur, et que cela ne dépend pas de $k$. (Non posé) + - On suppose que $G_1$ est réel, montrer que $G_1\geq 0$. (Non posé) + ?? Trouver des questions pour finir… + + Ressemble à une preuve classique, mais je ne vois pas comment + rester dans le monde des caractères. Il faut normalement #+END_exercice #+BEGIN_proof - @@ -218,7 +219,7 @@ Soit $p$ un nombre premier impair. - - Considérer $|G_k|^2$, et changement de variable. - Si $-1$ est un carré, $G_k$ est réel, et si $-1$ n'est pas un carré, $\ol{G_k} = - G_k$. - - On a $G_a = \chi(a) G_1$. Rajouter $\sum \chi(a)$, puis séparer la somme. La somme des termes pour les carrés $\leq \sqrt{n}$ + - On a $G_k = \chi(k) G_1$. Rajouter $\sum \chi(a)$, puis séparer la somme. La somme des termes pour les carrés $\leq \sqrt{n}$ On a $\chi(n) = \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1} G_k \xi^{-nk}$ #+END_proof @@ -433,21 +434,21 @@ Soit $(a_n)\in(\R^*)^{\N}$. On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall n\ # ID:417 # classique #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 23] - - Soit $P=X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$ unitaire de degre $n\geq 2$ à coefficients dans $\C$, avec $a_{n-1}\in\R_+$. Montrer, pour $M=\max(|a_0|,\ldots,|a_{n-2}|)$, que toute racine $z$ de $P$ vérifie $\mathfrak{Re}(z)\leq 0$ ou $|z|\leq\dfrac{1+\sqrt{1+4M}}{2}$. + - Soit $P=X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$ unitaire de degré $n\geq 2$ à coefficients dans $\C$, avec $a_{n-1}\in\R_+$. Montrer, pour $M=\max(|a_0|,\ldots,|a_{n-2}|)$, que toute racine $z$ de $P$ vérifie $\mathfrak{Re}(z)\leq 0$ ou $|z|\leq\dfrac{1+\sqrt{1+4M}}{2}$. - Soit $p$ un nombre premier et $b\geq 3$ un entier. On écrit $p=\overline{c_nc_{n-1}\cdots c_0}^b$ en base $b$. Montrer que $\sum_{k=0}^nc_kX^k$ est irreductible dans $\Z[X]$. #+end_exercice # ID:7676 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 24] -Soit $P$ un polynôme à $n$ indéterminées $X_1,X_2,\ldots,X_n$. On dit que $P$ est symétrique si, pour toute permutation $\sigma$ de $\{1,2,\ldots,n\}$, on a $P(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},\ldots,X_{\sigma(n)})=P(X_1,X_2,\ldots,X_n)$. On dit que $P$ est homogène de degre $k\in\N$ s'il est somme de mo- nomes de la forme $cX_1^{k_1}X_2^{k_2}\cdots X_n^{k_n}$ avec $k_1+k_2+\cdots+k_n=k$. +Soit $P$ un polynôme à $n$ indéterminées $X_1,X_2,\ldots,X_n$. On dit que $P$ est symétrique si, pour toute permutation $\sigma$ de $\{1,2,\ldots,n\}$, on a $P(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},\ldots,X_{\sigma(n)})=P(X_1,X_2,\ldots,X_n)$. On dit que $P$ est homogène de degré $k\in\N$ s'il est somme de mo- nomes de la forme $cX_1^{k_1}X_2^{k_2}\cdots X_n^{k_n}$ avec $k_1+k_2+\cdots+k_n=k$. - Montrer qu'il existe une famille presque nulle $(e_i(X_1,X_2,\ldots,X_n))_{i\geq 0}$ de polynômes à $n$ indéterminées symétriques et homogènes tels que, pour tout $t\in\R$, $(1+tX_1)(1+tX_2)\cdots(1+tX_n)=\sum_{i\geq 0}e_i(X_1,X_2, \ldots,X_n)t^i$. - Montrer qu'il existe une famille $(h_i(X_1,X_2,\ldots,X_n))_{i\geq 0}$ de polynômes à $n$ indéterminées symétriques et homogènes tels que, pour tous $x_1,x_2,\ldots,x_n\in\R$ et tout $t\in\R$ au voisinage de $0$, $\dfrac{1}{(1-tx_1)(1-tx_2)\cdots(1-tx_n)}=\sum_{i=0}^{+\i}h_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)t^i$. -On pose $\mc{P}_n=\{\ \lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\N^n,\ \lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n\ \}$ et, si $\alpha\in\N^n$, on pose $\Lambda(\alpha)$ le $n$-uplet obtenu en ordonnant les entiers de $\alpha$ par ordre decroissant, puis pour tout $\lambda\in\mc{P}_n$, $m_{\lambda}=\sum_{\alpha\in\N^n,\,\Lambda(\alpha)=\lambda}X_1^{ \alpha_1}X_2^{\alpha_2}\cdots X_n^{\alpha_n}$. +On pose $\mc{P}_n=\{\ \lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\N^n,\ \lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n\ \}$ et, si $\alpha\in\N^n$, on pose $\Lambda(\alpha)$ le $n$-uplet obtenu en ordonnant les entiers de $\alpha$ par ordre décroissant, puis pour tout $\lambda\in\mc{P}_n$, $m_{\lambda}=\sum_{\alpha\in\N^n,\,\Lambda(\alpha)=\lambda}X_1^{ \alpha_1}X_2^{\alpha_2}\cdots X_n^{\alpha_n}$. - Calculer $m_{\lambda}$ avec $\lambda=(2,1,0,0)$ et $\lambda$ le $n$-uplet contenant $r$ fois 1 et $n-r$ fois 0. - Pour $\lambda,\mu\in\mc{P}_n$, on note $M_{\lambda,\mu}$ le nombre de matrices dont les coefficients valent $0$ ou $1$ et telles que la somme des coefficients de la $i$-ieme ligne vaut toujours $\lambda_i$ et celle des coefficients de la $j$-ieme colonne vaut toujours $\mu_j$. Montrer que $\prod_{i=1}^ne_{\lambda_i}(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{\mu\in\mc{P}_n}M_{\lambda,\mu}m_{\mu}$. #+end_exercice @@ -762,15 +763,16 @@ Soient $A$, $B$, $C\in\M_n(\R)$. On considére l'équation $(E)\colon X-AXB=C$ d # ID:7732 -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 48] :todo: -Combien y-a-t-il de classes de similitude de $\M_{3n}(\R)$ constituées de matrices $M$ telles que $M^3=0$? +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 48] +Combien y a-t-il de classes de similitude de $\M_{3n}(\R)$ constituées de matrices $M$ telles que $M^3=0$? #+end_exercice #+BEGIN_proof -C'est du Jordan. +Pour $M^2 = O_n$, on prend un supplémentaire de $\Ker (M)$, en bijection avec $\Im M$ c'est tout. On a une inégalité sur la dimension du supplémentaire. -On doit avoir $\dim \Ker M\geq n$, $\dim \Ker M^2 \geq 2n$, et $3n - \dim \Ker M^2 \leq \dim \Ker M^2 - \dim \Ker M$, c'est-à-dire $2 \dim \Ker M^2 \geq 3n + \dim \Ker M$. +La suite des dimensions des noyaux itérés est concave. Soit $p_2\geq p_1$ vérifiant cette condition de concavité, montrons qu'il existe un unique $M$ qui convient. -Choisissons $\Im M^2 \subset \Ker M$, on élargit $\Im M^2$ en $\Im M$. + + On commence par choisir un supplémentaire de $\Ker M^2$, qui donne une base de $\Im M^2$ + + Puis, on prend un supplémentaire de $\Ker M$, dans $\Ker M^2$, qui est envoyé sur le reste d'une base de $\Im M$. C'est tout. #+END_proof @@ -839,7 +841,7 @@ Montrer que toute matrice de $\mathrm{GL}_n(\C)$ admet une racine carrée. #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 55] Soient $n\in\N$ et $w$ une fonction continue positive non identiquement nulle de $[0,1]$ dans $\R$. - Soit $(f_k)_{0\leq k\leq n}$ une suite de fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ telle que, pour tout $(k,\ell)\in\db{0,n}^2$, $\int_0^1f_kf_{\ell}w=\delta_{k,\ell}$. Montrer que $(f_k)_{0\leq k\leq n}$ est libre. - - Montrer qu'il existe une unique suite $(p_k)_{k\in\N}$ telle que, pour tout $(k,\ell)\in\N^2$, $\int_0^1p_kp_{\ell}w=\delta_{k,\ell}$ et que, pour tout $k\in\N$, $p_k$ soit polynomiale de degre $k$ à coefficient dominant positif. + - Montrer qu'il existe une unique suite $(p_k)_{k\in\N}$ telle que, pour tout $(k,\ell)\in\N^2$, $\int_0^1p_kp_{\ell}w=\delta_{k,\ell}$ et que, pour tout $k\in\N$, $p_k$ soit polynomiale de degré $k$ à coefficient dominant positif. - Montrer que, si $n\in\N^*$, $p_n$ à $n$ racines simples dans $]0,1[$ que l'on note $x_{1,n}\lt \cdots\lt x_{n,n}$. - Montrer que, si $n\in\N^*$, il existe un unique $(\lambda_{1,n},\ldots,\lambda_{n,n})\in\R^n$ tel que, pour tout $p\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_0^1pw=\sum_{k=1}^n\lambda_{k,n}p(x_{k,n})$. #+end_exercice @@ -1003,16 +1005,18 @@ On admet l'existence d'une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ d'unite $1$ admettant une #+end_exercice +# ID:7956 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 69] On munit $\M_n(\R)$ du produit scalaire défini par $\left\langle A,B\right\rangle=\op{tr}(A^TB)$. -Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\colon\inf\limits_{\|G\|=1}\|AG-GB\|=\min\limits_{(\lambda_1,\lambda_2)\in\text {Sp}(A)\times\text{Sp}(B)}|\lambda_1-\lambda_2|$. + 1. Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\inf\limits_{\|G\|=1}\|AG-GB\|=\min\limits_{(\lambda_1,\lambda_2)\in\text {Sp}(A)\times\text{Sp}(B)}|\lambda_1-\lambda_2|$. #+end_exercice #+BEGIN_proof -Si on prend $G = X_À X_{B^T}^T$, on a $AG = GÀ = (\la_1 - \la_2) G$, donc $\inf \leq \min$. + 1. Si on prend $G = X_A X_{B^T}^T$, on a $AG = GÀ = (\la_1 - \la_2) G$, donc $\inf \leq \min$. -Réciproquement, l'inf est atteint, en un point où on a $H\mapsto \langle AG - GB, AH - HB\rangle$, donc le gradient est $(A^2G - AGB) - (AGB - GB^2) = A^2 G - 2AGB + GB^2$, qui doit être colinéaire à $G$. -!! + Réciproquement, pour $A,B$ diagonale, on a exactement ce qu'on veut (un barycentre des $|\la_A - \la_B|$). + + Sinon, on peut écrire $\lN D_A G - G O D_B O^T\rN = \lN D_A GO - GO D_B\rN$, et $GO$ est de norme $\leq 1$, d'où le résultat. #+END_proof @@ -1032,19 +1036,23 @@ $$\left\langle a,b\right\rangle=\sum_{x,y\in X}\lambda_x\mu_yK(x,y).$$ #+END_proof -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 71] +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 71] :todo: Soient $p\geq 1$ et $A,B\in\mc{S}_p^{++}(\R)$. - Montrer que $\op{Tr}\left(I_p-A^{-1}B\right)\leq\ln\left(\frac{\det A}{ \det B}\right)$. - Soient $n\geq 1$, $u_1,\ldots,u_n\in\R^p$ et $\lambda\gt 0$. Pour $1\leq m\leq n$, on pose $A_m=\sum_{k=1}^mu_k\ u_k^T$ et $B_m=\lambda I_p+A_m$. Montrer que, pour $1\leq m\leq n$, $B_m$ est symétrique définie positive. - Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ les valeurs propres (avec multiplicité) de $A_n$. Montrer que $\sum_{m=1}^n\left\langle u_m,B_m^{-1}u_m\right\rangle \leq\sum_{i=1}^p\ln\left(1+\frac{\lambda_i}{\lambda}\right)$. #+end_exercice -#+BEGIN_proof - - Écrire $À = PP^T$ et $B = PD P^T$, on trouve que la trace vaut $\sum 1 - d_i$, avec $\prod d_i = \det B/\det A$. +#+BEGIN_proof :todo: + - Écrire $A = PP^T$ et $B = PD P^T$, on trouve que la trace vaut $\sum 1 - d_i$, avec $\prod d_i = \det B/\det A$. - Trivial. - Si $n=1$, $A_m$ a une unique valeur propre non nulle, qui vaut $\lN u_1\rN^2$, et $\ln (1 + \frac{\la_i}{\la}) = \ln \frac{\la + \la_i}{\la} = \ln \frac{\det (B_1)}{\det \la I_n}\geq \op{Tr}\big(I_p - \la B^{-1}\big)$ On a $\langle u_1, B_1^{-1} u_1\rangle$ + + En fait, $u_1$ est un vecteur propre de $A_1$ : $B_1 u_1 = (\la + \lN u_1\rN^2) u_1$ (faux pour $u_m$) + + Donc $\langle u_m, B_m^{-1}u_m\rangle = \frac{\lN u_m\rN^2}{\la + \lN u_m\rN^2}$ !! #+END_proof @@ -1346,6 +1354,7 @@ Projeter $0$ sur $C$, et prendre une droite orthogonale. #+END_proof +# ID:8029 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 91] Soit $n\in\N^*$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. @@ -1354,20 +1363,31 @@ Soit $\Delta=\left\{x\in(\R^+)^n,\,\sum_{i=1}^nx_i=1\right\}$. On admet que pour Montrer que, pour tout $z\in\Delta$, $2\left\langle u,z-x\right\rangle\leq\left\|z-x\right\|_2^2-\left\|z -x'\right\|_2^2+\left\|u\right\|_2^2$. - Soit $A\in\M_n(\R)$. Soient $x_1,y_1\in\Delta$ et $(\gamma_k)_{k\geq 1}$ une suite strictement positive. Pour $k\geq 2$, on définit par récurrence $x_{k+1}=\pi(x_k+\gamma_kAy_k)$ et $y_{k+1}=\pi(y_k-\gamma_kA^Tx_k)$. + - E Soit $A\in\M_n(\R)$. Soient $x_1,y_1\in\Delta$ et $(\gamma_k)_{k\geq 1}$ une suite strictement positive. Pour $k\geq 2$, on définit par récurrence $x_{k+1}=\pi(x_k+\gamma_kAy_k)$ et $y_{k+1}=\pi(y_k-\gamma_kA^Tx_k)$. - Montrer qu'on peut choisir la suite $(\gamma_k)_{k\geq 1}$ de sorte que - $$\max_{x\in\Delta}\sum_{k=1}^N\left\langle x,Ay_k\right\rangle-\min_{y\in \Delta}\sum_{k=1}^N\left\langle x_k,Ay\right\rangle\leq o(N)\text{.}$$ + $$\max_{x\in\Delta}\sum_{k=1}^N\left\langle x,Ay_k\right\rangle-\min_{y\in \Delta}\sum_{k=1}^N\left\langle x_k,Ay\right\rangle\leq o(N).$$ - En déduire que $\max_{x\in\Delta}\min_{y\in\Delta}\left\langle x,Ay\right\rangle=\min_{y\in \Delta}\max_{x\in\Delta}\left\langle x,Ay\right\rangle$. #+end_exercice #+BEGIN_proof C'est le projeté de $x$ sur $\Delta$. - - Le terme de droite est $2\langle z, x' - x \rangle + \lN x\rN^2 - \lN x'\rN^2 + \lN u\rN^2$. + - L'inégalité recherchée se réécrit $2 \langle z, u+x - x' \rangle\leq \lN x+u\rN^2 - \lN x'\rN^2$. En utilisant l'hypothèse, il suffit de montrer que $2\langle x', u+x\rangle\leq \lN u+x\rN^2 + \lN x'\rN^2$, ce qui est clair (c'est une norme au carré). + - En appliquant ce qui précède à $u = \gamma_k A y_k$ et $x = x_k$, on obtient + $$2\gamma_k \langle Ay_k, z\rangle \leq \lN z - x_k\rN^2 - \lN z - x_{k+1}\rN^2 + \lN \gamma_k Ay_k\rN^2 + 2 \gamma_k \langle x_k, A y_k\rangle$$ - Par ailleurs $\langle z - x', x + u - x'\rangle\leq 0$, donc $2\langle z, x'-x\rangle\geq 2\lN x'\rN^2\dots$. - - + De même, avec $u = - \gamma_kA^T x_k$, et $x = y_k$ + $$2\gamma_k \langle A^T x_k, z \rangle\geq - \lN z - y_k\rN^2 + \lN z - y_{k+1}\rN^2 - \lN \gamma_k A^T x_k\rN^2 + 2 \gamma_k \langle A^T x_k, y_k\rangle$$ + Avec le $-$ devant le min, on change le signe. Les derniers produits scalaires disparaissent. + + On somme, mais attention, ce n'est pas télescopique car on divise par $\gamma_k$. Les termes en $z$ sont chacun bornées. + + Il apparaît une quantité en $M \sum \left|\frac{1}{\gamma_k} - \frac{1}{\gamma_{k+1}}\right|$, plus $\sum \gamma_k M'$. On prend $\gamma_k = \frac{1}{\sqrt{k}}$, et on obtient une majoration en $\sqrt{N}$. + - On a automatiquement $\leq$ : car l'expression de gauche est $\leq \langle x_1, Ay_2\rangle$ $\leq \max_{x} \langle x, A y_2\rangle$ ($x_1$ là ou le terme de gauche est atteint, $y_2$ là ou le terme de droite est atteint). + + Si on avait $\lt$, on obtiendrait automatiquement que la quantité ne serait pas en $o(n)$. #+END_proof +# ID:8030 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 92] Soient $E$ euclidien et $T:E\ra E$. On suppose qu'il existe $C\in\R^+$ tel que : @@ -1384,13 +1404,26 @@ L'objectif est de montrer qu'il existe $h\in\R^+$ et un unique $u\in\mc{O}(E)$ t #+BEGIN_proof - Simple. - Simple. - - $\frac{T(2^n x)}{2^n}$ a une norme proche de $\lN x\rN$. $\lN T(2x) - 2T(x)\rN\leq \lN T(x)\rN + \lN x\rN + C$, donc $\lN\frac{T(2x)}{2} - T(x)\rN \leq \frac{\lN x\rN + \lN T(x)\rN}{2} + \frac{C}{2}$. Ce raisonnement montre que la suite est de Cauchy ?? À vérifier. + - $\frac{T(2^n x)}{2^n}$ a une norme proche de $\lN x\rN$, à $\frac{1}{2^n}$ près, car $\left|\lN T(u)\rN - \lN u\rN\right|\leq C$ + + $\lN T(2x)\rN$ a une norme proche de $2x$, et est à une distance $x$ de $T(x)$. + + On veut un contrôle de $\lN T(2x) - 2T(x)\rN \leq C'$, en utilisant que $\lN T(2x)\rN\simeq 2\lN x\rN$ et $\lN T(2x) - T(x)\rN \simeq \lN x\rN$. + + Pour cela, on écrit $\lN T(2x) - 2T(x)\rN^2$ avec le produit scalaire, et par ailleurs, $\big(C + \lN x\rN\big)^2 \geq \lN T(2x) - T(x)\rN^2$, qui fait intervenir le même produit scalaire. + + On en déduit que $\lN T(2x) - 2T(x)\rN^2 \leq C \lN x\rN + D$. + + Alors, $\sum \lN \frac{T(2^{n+1} x)}{2^{n+1}} - \frac{T(2^nx)}{2^n}\rN$ converge. La norme est clairement préservée. - - + + Pour la linéarité : utiliser $u_0(2x) = 2 u(x)$, et le fait que $u$ préserve les distances. + - Ok. #+END_proof +# ID:8031 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 93] Soient $(E,\left\langle\,\ \right\rangle)$ un espace préhilbertien, $F:E\ra E$ et $G=\dfrac{1}{2}(\op{id}-F)$. - Montrer que, $F$ est $1$-lipschitzienne pour $\parallel$ si et seulement si $\forall x,x'\in E,\,\left\langle G(x')-G(x),x'-x \right\rangle\geq\left\|G(x')-G(x)\right\|^2$. @@ -1399,19 +1432,19 @@ Soient $(E,\left\langle\,\ \right\rangle)$ un espace préhilbertien, $F:E\ra E$ #+end_exercice #+BEGIN_proof 1. Simple. - 2. On reformule en termes de $G$. on suppose que $x^* = 0$. On a $G(x^*) = 0$. La question précédente donne, pour $x = 0$, $\lanGle G(y), y\ranGle \leq \lN G(y)\rN^2$, ce qui est un peu plus fort que $G$ est $1$-lips. + 2. On reformule en termes de $G$. on suppose que $x^* = 0$. On a $G(x^*) = 0$. La question précédente donne, pour $x = 0$, $\langle G(y), y\rangle \geq \lN G(y)\rN^2$, ce qui est un peu plus fort que $G$ est $1$-lipschitzien. La suite $(x_n)$ est définie par $x_{n+1} = x_n - G(x_n)$, et on veut montrer que $\lN G(x_n)\rN^2 \leq \frac{\lN x_1\rN}{\sqrt{n}}$. - Pour $n = 1$, c'est juste le caractère $1$-lip de $G$. + En général : + On écrit $x_{n+1} = x_n - G(x_n)$, + donc $\lN x_{n+1}\rN^2 = \lN x_n\rN^2 - 2 \langle x_n, G(x_n)\rangle + \lN G(x_n)\rN^2$ + et $\langle x_n, G(x_n)\rangle\geq \lN G(x_n)\rN^2$, donc $\lN x_{n+1}\rN^2 \leq \lN x_n\rN^2 - \lN G(x_n)\rN^2$ - Pour $n= 2$ : - + De $\lanGle G(x_2) - G(x_1), - G(x_1)\ranGle = \lanGle G(x_2) - G(x_1), x_2 - x_1\ranGle \geq \lN G(x_2) - G(x_1)\rN^2$, on obtient - $\lanGle G(x_2), G(x_1)\ranGle\geq \lN G(x_2)\rN^2$, donc $\lN G(x_2)\rN\leq \lN G(x_1)\rN$. - + Par ailleurs, $$\lN x_1\rN^2 = \lN x_2 + G(x_1)\rN^2 = \lN x_2\rN^2 + \lN G(x_1)\rN^2 + 2 \lanGle x_2, G(x_1)\ranGle = \lanGle x_2\ranGle^2 - \lN G(x_1)\rN^2 + 2\lanGle x_1, G(x_1)\ranGle \geq \lN x_2\rN^2 - \lN G(x_1)\rN^2 + 2\lN G(x_2)\rN^2,$$ - + avec le point précédent, on obtient $\lN x_1\rN^2 \geq \lN x_2\rN^2 + \lN G(x_2)\rN^2 \geq 2 \lN G(x_2)\rN^2$. + Par ailleurs, comme $\langle G(x_{n+1})- G(x_n), x_{n+1} - x_n\rangle\geq \lN G(x_{n+1}) - G(x_n)\rN^2$, + on a $\langle G(x_{n+1}), G(x_n)\rangle\geq \lN G(x_{n+1})\rN^2$, donc $\lN G(x_n)\rN\geq \lN G(x_{n+1})\rN^2$. - En général : !! + En sommant la relation d'avant, on obtient $\sum \lN G(x_i)\rN^2 \leq \lN x_1\rN^2 - \lN x_n\rN^2 \leq \lN x_1\rN^2$, et la décroissance permet de conclure. #+END_proof @@ -1514,11 +1547,16 @@ Soient $m\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_m\in\mathbb{U}$ distincts et $a_1,\ldots,a_m\in #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 103] :todo: -Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ bornée telle que $\forall h\in\N^*$, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_ka_{k+h} \underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Montrer que $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\underset{n\ra+\i}{ \longrightarrow}0$. +# ID:7991 +#+begin_exercice Lemme de Van der Corput [ENS MP 2024 # 103] +Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ bornée telle que $\forall h\in\N^*$, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k \ol{a_{k+h}} \underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Montrer que $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\underset{n\ra+\i}{ \longrightarrow}0$. #+end_exercice #+BEGIN_proof -!! +Pour un $h$ fixé, on considère $h \sum_{i=1}^n a_i$ que l'on peut écrire comme une somme de $n-h$ groupes de $h$ termes consécutifs. + +En prenant le module au carré, d'après Cauchy-Schwarz, on peut le majorer par $(n+h) \sum_{i=1}^{n+h-1} \big|G_i\big|^2$. + +Quand on développe les $|G_i|^2$, on a que des choses qui relève de l'hypothèse. On s'en sort. #+END_proof @@ -1559,19 +1597,24 @@ On rempli les $u_n$ pour lesquels $\frac{b_n}{a_n}$ est maximal en premier. En p #+END_proof +# ID:8032 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 107] Soient $p\in]1,+\i[$ et $q\in\R$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. - Soient $(a_n)_{n\geq 0}$ et $(b_n)_{n\geq 0}$ des suites d'éléments de $\R^+$ telles que $\sum{a_n}^p$ et $\sum{b_n}^q$ convergent. Montrer que $\sum a_nb_n$ converge. - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs telle que $\sum a_n$ converge et $\alpha\in\R^{+*}$. Pour $n\in\N$, soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\i}a_k$. Déterminer la nature de $\sum{\frac{a_n}{{R_n}^{\alpha}}}$. - - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite d'éléments de $\R^+$. On suppose que, pour toute suite $(b_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $\R^+$ telle que $\sum{b_n}^q$ converge, $\sum a_nb_n$ converge. Montrer que $\sum{a_n}^p$ converge. + - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite d'éléments de $\R^+$. On suppose que, pour toute suite $(b_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $\R^+$ telle que $\sum{b_n}^q$ converge, $\sum a_nb_n$ converge. Montrer que $\sum a_n^p$ converge. #+end_exercice #+BEGIN_proof - $a_n b_n \leq \frac{a_n^p}{p} + \frac{b_n^q}{q}$ - - Intégrer $\frac{1}{t^{\a+1}}$ entre $R_n$ et $R_{n+1}$ : - $$\int_{R_{n+1}}^{R_n} \frac{1}{t^{\a + 1}}\leq \frac{a_n}{R_{n+1}^{\a}},$$ - donc $\sum \frac{a_n}{R_{n+1}^{a}}$ diverge, et $\frac{1}{R_{n+1}^\a} - \frac{1}{R_n^{\a}} = \frac{1}{R_{n}^{a}} \left(\frac{1}{\left(1 - \frac{a_n}{R_n}\right)} - 1\right)$ - !! Sée 1426 - - + - Intégrer $\frac{1}{t^{\a}}$ entre $R_n$ et $R_{n+1}$ : + $$\frac{a_n}{R_n}\leq \int_{R_{n+1}}^{R_n} \frac{1}{t^{\a}},$$ + donc pour $\a\gt 1$, on converge. + + Pour $\a = 1$, on montre la divergence classiquement, en regroupant des termes entre lesquels $R_{n+1}\leq \frac{R_n}{2}$. + + - On prend $b_n = \frac{a_n^{p-1}}{S_n}$, où $S_n$ sont les sommes de $a_n^p$. On a $b_n^q = \frac{a_n^p}{S_n^q}$. Si $\sum a_n^p$ diverge, comme $q\gt 1$, on convergera. + + Par ailleurs, $a_n b_n = \frac{a_n^p}{S_n}$, et, classiquement, cela diverge. #+END_proof @@ -1637,6 +1680,7 @@ On suppose que : $\forall\theta\in\R,\,g(\theta)=a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(k\thet #+end_exercice +# ID:8017 #+begin_exercice Inégalité de Muirhead [ENS MP 2024 # 113] Soient $(a_1\geq \dots \geq a_n)$ et $(b_1\geq \dots \geq b_n)$ dans $(\R^{+*})^n$. @@ -1649,7 +1693,7 @@ Réciproque : Si on prend les $x_i$ égaux, on obtient $\sum a_i = \sum b_i$ sel Si on prend $x_1$, et les autres valant $1$, on obtient $\sum_{\sigma} x_1^{a_{\sigma_1}}\geq \dots$,donc $\sum x^{a_i}\geq \sum x^{b_i}$. Quand $x\ra +\i$, on obtient que $a_1\geq b_1$. De même, $\sum x^{a_i + a_j}\geq \sum x^{b_i + b_j}$, donc $a_1 + a_2 \geq b_1 + b_2$. -Sens direct : on peut supposer que $\sum x_i = 1$, par homogénéité. En un extremum, toutes les dérivées partielles doivent être égales. Par rapport à $x_1$, on a $\frac{1}{x_1}\sum a_{\sigma(1)}\dots$ !! +Sens direct : Commencer par le cas $n = 2$. À traiter en supposant que $x_1 = 1$ par homogénéité. Puis on peut transformer les $(a_1\geq \dots \geq a_n)$ en $(b_1\geq \dots \geq b_n)$ par des opérations successives sur deux termes. #+END_proof @@ -1732,26 +1776,37 @@ On peut supposer $x\geq 0$. On a $|f(x)|e^{-Cx}$, dont la dérivée (là où $f$ #+END_proof -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 120] :todo: +# ID:8022 +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 120] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ uniformément continue et dont une primitive est bornée. On suppose que, pour tout $x\gt 0$, $|f(x)|\leq\dfrac{2}{x^2}\int_0^x(x-y)\,|f(y)|dy$. Montrer que $f(x)\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Quelles généralisations peut-on étudier? #+end_exercice #+BEGIN_proof Assume not, disons que $f(x_n)\geq 1$. D'après les hypothèses, $f$ est bornée. Comme $f(x)$ est une moyenne, on a toujours $|f(x)|\leq \sup_{[0,x]} |f(t)|$. -Si on pose $g(x) = \frac{2}{x^2}\int_0^x(x-y)\,|f(y)|dy$, on a $g'(x) = -\frac{4}{x^4}\int_0^x(x-y)\,|f(y)|dy + \frac{2}{x^2}\int_0^x |f(y)|$. La décroissance de $g$ n'est pas claire. +On considère $\limsup f$. Si elle vaut $1$ disons, alors apcr $x_0$, $|f(x_0)|\leq 1+\eps$, et la partie précédente à un poids qui tend vers $0$. Comme on continue à prendre des valeurs proches de $1$, c'est que une grande proportion ($\geq 1-\eps$) de $|f|$ est $\geq 1-\eps$. Par exemple, entre $\frac{x}{3}$ et $\frac{x}{2}$. + +Comme l'intégrale $f$ est bornée par $M$. On sépare les points d'une distance $D\geq 3M$. Entre chaque paire de points, ou bien $f$ prend une valeur nulle, ou bien la proportion est $\leq \frac{1}{2}$. Dans les deux cas, on perd un trop grande proportion $(\gt \eps)$. #+END_proof +# ID:8019 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 121] -On note $[a,b]$ un segment de $\R$. Une application $\delta:[a,b]\ra{\R^+}^*$ est appelée une jauge. Soit $D=((a - {0\leq i\leq n},(x - {0\leq i\leq n-1})$ une subdivision pointée de $[a,b]$, c'est-a-dire $a_0=a\lt a_1\lt \cdots\lt a_n=b$ et $\forall i\in\db{0,n-1},\ x_i\in[a_i,a_{i+1}]$. On dit que $D$ est $\delta$-fine lorsque pour tout $i$, $|a_{i+1}-a_i|\leq\delta(x_i)$. +On note $[a,b]$ un segment de $\R$. Une application $\delta:[a,b]\ra{\R^+}^*$ est appelée une jauge. Soit $D=((a_i)_{0\leq i\leq n},(x_i)_{0\leq i\leq n-1})$ une subdivision pointée de $[a,b]$, c'est-a-dire $a_0=a\lt a_1\lt \cdots\lt a_n=b$ et $\forall i\in\db{0,n-1},\ x_i\in[a_i,a_{i+1}]$. On dit que $D$ est $\delta$-fine lorsque pour tout $i$, $|a_{i+1}-a_i|\leq\delta(x_i)$. - Soit $f\in\mc C^0([a,b],\R)$. Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, il existe une jauge $\delta$ telles que $\forall x,y\in[a,b],y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow|f(x)-f(y)|\leq\eps$. - Si $\delta$ est une jauge, montrer qu'il existe une subdivision pointée $\delta$-fine. - Redémontrer le theoreme de Heine pour $f$ continue. - - Soient $f:[a,b]\ra\R$ une fonction continue par morceaux et $I$ un réel. On dit que $f$ est HK-intégrable, d'intégrale $I$ si, pour tout $\eps\gt 0$, il existe une jauge $\delta$ telle que, pour toute subdivision pointée $((a - {0\leq i\leq n},(x - {0\leq i\leq n-1})$ $\delta$-fine, on a $\left|\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)f(x_i)-I\right|\leq\eps$. + - Soient $f\colon [a,b]\ra\R$ une fonction continue par morceaux et $I$ un réel. On dit que $f$ est HK-intégrable, d'intégrale $I$ si, pour tout $\eps\gt 0$, il existe une jauge $\delta$ telle que, pour toute subdivision pointée $((a_i)_{0\leq i\leq n},(x_i)_{0\leq i\leq n-1})$ $\delta$-fine, on a $\left|\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)f(x_i)-I\right|\leq\eps$. -Montrer que $I$ est unique. On la note $\int_{HK}f$. + Montrer que $I$ est unique. On la note $\int_{HK}f$. - Montrer que, si $f$ est dérivable, $f'$ est HK-intégrable et $\int_{HK}f'=f(b)-f(a)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - C'est l'uniforme continuité. + - Pour commencer, prendre $x_0 = 0$. Puis prendre le sup de ce qu'on peut atteindre avec une subdivision finie, on peut prendre $x_n = \a$ pour aller plus loin que la précédente. + - + - + - Pour tout $\eps$, il faut une jauge. Elle est donnée, en un point $t$, par à quel point il faut être proche de $t$ pour que le taux d'accroissement soit $\lt \frac{\eps}{b-a}$. +#+END_proof # ID:nil @@ -1760,6 +1815,7 @@ Soient $P\in\C[X]$ non constant tel que $P(0)\neq 0$, $r\in\R^{+*}$, $z_1,\ldots #+end_exercice +# ID:8023 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 123] Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$. On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est positif si, pour tout $f\in E$, $f\geq 0$ implique $u(f)\geq 0$. On pose, pour $i\in\N$, $e_i:x\in[0,1]\mapsto x^i$. - Soit $u$ un endomorphisme positif de $E$. Montrer que pour tout $f\in E$, $|u(f)|\leq u(|f|)$. @@ -1767,24 +1823,49 @@ Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$. On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est positif si - Soit $(T_n)_{n\geq 0}$ une suite d'endomorphismes positifs de $E$. On suppose que, pour $i\in\{0,1,2\}$, la suite $(T_n(e_i))$ converge uniformément vers $e_i$ sur $[0,1]$. Montrer que, pour tout $f\in E$, la suite $(T_n(f))$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$. - Démontrer le theoreme de Weierstrass. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Simple. + - C'est exactement l'uniforme continuité. + - Pour chaque $y$, on a $\forall x,\, \dots\leq f(x)\leq f(y) + \eps + \frac{2\lN f\rN_{\i}}{\delta^2} (x-y)^2$. On applique $T_n$, on obtient un encadrement de $T_n(f)$, valable pour tout $y$. + - Prendre $T_n(f)\colon x\mapsto \sum {n\choose k} f\big(\frac{k}{n}\big)x^k (1-x)^{n-k}$. +#+END_proof +# ID:8006 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 124] Soit $s\gt 1$. On dit que $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ est $s$-Gevrey s'il existe $R,C\gt 0$ tels que : $\forall k\in\N$, $\forall x\in\R$, $\left|f^{(k)}(x)\right|\leq CR^k(k!)^s$. - - Soit $f:x\in\R\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^sx}$. Justifier que $f$ est bien définie et $s$-Gevrey. - - Soit $f:x\in\R\mapsto\mathbf{1}_{\R^+}(x)\,e^{-1/x}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ et 2-Gevrey. + - Soit $f\colon x\in\R\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^sx}$. Justifier que $f$ est bien définie et $s$-Gevrey. + - Soit $f\colon x\in\R\mapsto\mathbf{1}_{\R^+}(x)\,e^{-1/x}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ et 2-Gevrey. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Clairement définie, de classe $\mc C^{\i}$. On a $|f^{(k)}(x)|\leq \sum_n n^{sk} e^{-n}$. + + Le terme est maximal pour $n = sk$, de valeur $\frac{(sk)^{sk}}{e^{-sk}} = s^{sk} (k!)^s$. + + Par ailleurs, on peut multiplier par $2sk$ : la borne est encore de la forme voulue, et les termes pour $n\geq 2sk$ sont majorés par $e^{-n/2}$. + - $e^{-1/x} = \frac{P_n(x)}{x^{2n}}$, où $P_n$ est de degré $n$, et la relation de récurrence majore ses coefficients par quelque chose de l'ordre de $n!$. + + Par ailleurs, le sup de $\frac{e^{-1/x}}{x^n}$ est atteint en $x = \frac{1}{n}$, et vaut $n!$. On a donc une majoration en $(n!)^2$. +#+END_proof +# ID:8018 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 125] Pour $x\gt 0$ et $\alpha,\beta\in\C$, on pose : $F_{\alpha,\beta}(x)=\int_0^{+\i}e^{-xt}t^{\alpha}(1+t)^{\beta}\dt$. - Pour quels $(\alpha,\beta)$ l'intégrale $F_{\alpha,\beta}(x)$ converge-t-elle absolument? - Pour un tel couple $(\alpha,\beta)$, étudier la régularite de $F_{\alpha,\beta}$. - - On pose $f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_x^{+\i}e^{-t^2}\dt$ et $g:x\in\,]0,1[\mapsto\int_0^x\frac{\dt}{\ln t}$. Exprimer $f$ et $g$ en fonction des $F_{\alpha,\beta}$. + - On pose $f\colon x\in\R^{+*}\mapsto\int_x^{+\i}e^{-t^2}\dt$ et $g\colon x\in\,]0,1[\mapsto\int_0^x\frac{\dt}{\ln t}$. Exprimer $f$ et $g$ en fonction des $F_{\alpha,\beta}$. - Déterminer un développement asymptotique de $F_{\alpha,\beta}$ en $+\i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - + - je sais pas. + - Ne dépend que de $\a$, IPP. +#+END_proof +# ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 126] Soit $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. - Soit $n\in\N$. Montrer que $\Gamma(n+1/2)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\,\Gamma(1/2)$. @@ -1797,6 +1878,7 @@ Soit $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. #+end_exercice +# ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 127] Soient $x,y\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ vérifiant $x'(t)=\sin(y(t))$ et $y'(t)=\cos(x(t))$. - Montrer que $f:t\mapsto\sin(x(t))+\cos(y(t))$ est constante. @@ -1804,6 +1886,7 @@ Soient $x,y\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ vérifiant $x'(t)=\sin(y(t))$ et $y'(t)=\cos(x( #+end_exercice +# ID:234 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 128] Soient $A\in\M_n(\R)$, $B\in\M_{n,1}(\R)$, $E$ l'espace des applications continues de $[0,1]$ dans $\R$, $x\in\R^n$. Pour $u\in E$, soit $X_u$ l'unique application de classe $\mc C^1$ de $[0,1]$ dans $\R$ telle que $X_u(0)=x$ et $\forall t\in[0,1],X_u'(t)=AX_u(t)+Bu(t)$. @@ -1811,6 +1894,7 @@ Montrer que $\{X_u(1)\;;\;u\in E\}=\R^n$ si et seulement si la matrice $(A|AB|\l #+end_exercice +# ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 129] - Que dire du spectre complexe d'une matrice symétrique réelle? d'une matrice antisymétrique réelle? - Soient $A\in\mc C^1(\R,\M_n(\R))$ et $B\in\mc C^0(\R,\M_n(\R))$ vérifiant : $A'=AB-BA$. On suppose que : $\forall t\in\R,A(t)\in\mc{S}_n(\R)$ et $B(t)\in\mc{A}_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in\mc C^1(\R,\M_n(\R))$ à valeurs dans $\mc{O}_n(\R)$ telle que : $\forall t\in\R,A(t)=P(t)^{-1}A(0)P(t)$. @@ -1842,25 +1926,31 @@ C'est homogène, on peut supposer que $x+y+z = 1$, et montrer que $1 + 9 xyz \ge #+END_proof +# ID:7957 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 132] -Soit $F\colon\R^2\ra\R,\ (t,x)\mapsto F(t,x)$ continue et decroissante par rapport à $x$. +Soit $F\colon\R^2\ra\R,\ (t,x)\mapsto F(t,x)$ continue et décroissante par rapport à $x$. Soient $u$ et $v$ appartenant à $\mc C^2(\R^+\times\R)$ 1-périodiques par rapport à $x$. - On suppose que $\frac{\partial u}{\partial t}+F\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{ \partial^2u}{\partial x^2}\right)\leq 0\leq\frac{\partial v}{ \partial t}+F\left(\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial^2v}{\partial x ^2}\right)$. -Démontrer que $\sup_{\R^+\times\R}(u-v)=\sup_{\{0\}\times\R}(u-v)$. + Démontrer que $\sup_{\R^+\times\R}(u-v)=\sup_{\{0\}\times\R}(u-v)$. - On suppose que $\frac{\partial u}{\partial t}+F\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{ \partial^2u}{\partial x^2}\right)=0$. Montrer que $u$ est uniformément continue sur $\R^+\times\R$. #+end_exercice - - -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 133] -Soient $a\gt 0$, $n\geq 1$ et $x_1,\ldots,x_n\gt 0$. Calculer $\inf\limits_{\substack{y_1,\ldots,y_n\gt 0\\ y_1+\cdots+y_n\leq }}\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i}{y_i^a}$. -#+end_exercice #+BEGIN_proof + - En un temps $t_0$, et un point $x$ pour lequel $u-v$ est maximal, on a d'une part $\frac{\partial u}{\partial x} (t_0, x_0) = \frac{\partial v}{\partial x} (t_0, x_0)$, et d'autre part que la dérivée seconde de $v$ est plus grand que celle en $u$. Donc $F(u)\geq F(v)$. Donc la dérivée de $u$ en $t$ est plus petite que celle de $v$. + Il suffit en fait de traiter le cas d'un compact $[0, t_0]\times \R$. Le maximum est atteint quelque part : $(t_1, x_1)$, et en remontant le temps, pour tout $t$, le point $(t,x_1)$ sera un maximum en $x$, donc la dérivée le long du chemin est négative, jusqu'en $t = 0$. + - Sinon, $u(t_n, x_n) - u(t_n', x_n')$ est grand, alors que $t_n-t_n'\ra 0$, en appliquant ce qui précède à $u$ et $\tau_{t_n'-t_n, x_n - x_n'} u$, on obtient que $u(0, x_n'') - u(t_n'-t_n, x_n'' + x_n - x_n')$ est grand, ce qui n'est pas possible, par compacité. #+END_proof +# ID:8015 +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 133] +Soient $a\gt 0$, $n\geq 1$ et $x_1,\ldots,x_n\gt 0$. Calculer $\inf\limits_{\substack{y_1,\ldots,y_n\gt 0\\ y_1+\cdots+y_n\leq }}\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i}{y_i^a}$. +#+end_exercice + + +# ID:8033 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 134] Soit $n\in\N^*$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. @@ -1873,8 +1963,8 @@ Soit $f\colon\R\ra\R^+$ une fonction continue croissante telle que $f(x)\underse #+end_exercice #+BEGIN_proof - Prendre les $e_i$ et $v = -\sum e_i$ - - - - + - Découle du fait que si $x\ra +\i$, alors $\max_i \langle v_i, x\rangle\ra +\i$. + - Notons que si $f$ est dérivable, $\nabla g (x) = \sum_{i=1}^{n+1} f'\big(\langle v_i, x\rangle\big) v_i$. Il suffit donc d'appliquer ce qui précède à une primitive de $f$. #+END_proof @@ -1903,10 +1993,15 @@ On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. #+end_exercice +# ID:8024 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 137] - On note $G$ le groupe (pour la composition) des deplacements du plan, i.e. des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a\in\mathbb{U}$ et $b\in\C$. Montrer que, si $H$ est un sous-groupe de $G$, $H$ est discret si et seulement si l'orbite de tout $z\in\C$ sous l'action de $H$ n'a pas de point d'accumulation. - Le résultat subsiste-t-il si on remplace $G$ par le groupes des similitudes directes du plan, i.e. des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a\in\C^*$ et $b\in\C$? #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Pas de difficulté. + - Non, $a = \frac{1}{2}$. +#+END_proof ** Probabilités @@ -1926,7 +2021,7 @@ On considére une pièce equilibrée et $\eps_n$ la valeur du $n$-ieme lancer qu #+end_exercice -# ID:nil +# ID:8005 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 140] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X$ suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda\gt 0$, et $Y$ la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1]$. - Montrer que $\mathbf{P}(X=Y)=\sum_{k=0}^{+\i}\mathbf{P}(X=k)\mathbf{P}(Y=k)$. On pose $A=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ 0&Y\end{pmatrix}$. @@ -1934,15 +2029,23 @@ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X$ suivant la loi - Calculer $\mathbf{P}(A\in\op{GL}_2(\R))$ puis $\mathbf{P}(A\in\op{GL}_2(\Z))$. - Déterminer la probabilité pour que $A$ soit diagonalisable sur $\R$. - On pose $B=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ X-Y&Y\end{pmatrix}$. Calculer $\mathbf{P}(B\in\mc{O}_2(\R))$. - - Soient $Z$ une variable aléatoire réelle et $C=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ Z&Y\end{pmatrix}$. Calculer $\mathbf{P}(C\in\mc{O}_2(\R))$. - Soit $M$ une matrice aléatoire dans ${\cal M}_n(\R)$ dont la famille des coefficients est i.i.d., chaque coefficient suivant la loi uniforme sur $\{0,-1,1\}$. Déterminer $P(M\in{\cal O}_n(\R))$. + - Soient $Z$ une variable aléatoire réelle et $C=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ Z&Y\end{pmatrix}$. Calculer $\mathbf{P}(C\in\mc{O}_2(\R))$. + - Soit $M$ une matrice aléatoire dans ${\cal M}_n(\R)$ dont la famille des coefficients est i.i.d., chaque coefficient suivant la loi uniforme sur $\{0,-1,1\}$. Déterminer $P(M\in{\cal O}_n(\R))$. #+end_exercice +# ID:8020 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 141] On note $E=\db{1,n}$ et $\Delta$ la différence symétrique. Soit $p\in[0,1]$ et $X$ et $Y$ deux variables aléatoires i.i.d de $\Omega$ dans ${\cal P}(E)$ telles que, pour tout $i\in E,\ {\bf P}(i\in X)=p$. - Calculer ${\bf E}({\rm card}(X\Delta Y))$. - - On note $D(n)$ le cardinal maximal d'une partie ${\cal A}$ de ${\cal P}(E)$ telle que, pour toutes parties $A$ et $B$ distinctes de ${\cal A}$, $|A\Delta B|\geq n/3$. Calculer $D(n)$. + - On note $D(n)$ le cardinal maximal d'une partie ${\cal A}$ de ${\cal P}(E)$ telle que, pour toutes parties $A$ et $B$ distinctes de ${\cal A}$, $|A\Delta B|\geq n/3$. + + Montrer qu'il existe $C>0 ; D_n \geq C \sqrt{n}$ #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Indication: Considérer une suite de v.a idd $\left(X_i\right)_{i \in\{1, \ldots, m\}}$ et utiliser 1 ) en exploitant l'inégalité de Bienaymé-TCHEBYCHEV +#+END_proof # ID:7787 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 142] @@ -1979,18 +2082,26 @@ On note ${\rm AA}=\{xy,\ (x,y)\in A^2\}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 145] +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 145] Paley-Sigmund, trois séries de Kolmogorov :todo: - Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive $L^2$. Montrer que, pour $\lambda\in]0,1[$, ${\bf P}(X\geq\lambda{\bf E}(X))\geq(1-\lambda)^2\frac{{\bf E}(X)^{ 2}}{{\bf E}(X^2)}$. - - Soit $(u_n)$ une suite de variables aléatoires positives indépendantes. Montrer que la série $\sum u_n$ converge presque surement si et seulement si $\sum_{n=0}^{+\i}{\bf E}(\min(u_n,1))\lt +\i$. - - Soit $\alpha\gt 0$. On suppose que ${\bf P}(X_n\geq r)\underset{r\ra+\i}{\sim}r^{-\alpha}$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $(x_n)_{n\in\N}\in(\R^+)^{\N}$ pour que $\sum x_nX_n$ converge presque surement. + - Soit $(u_n)$ une suite de variables aléatoires positives indépendantes. Montrer que la série $\sum u_n$ converge presque sûrement si et seulement si $\sum_{n=0}^{+\i}\E(\min(u_n,1))\lt +\i$. + - Soit $\alpha\gt 0$. On suppose que ${\bf P}(X_n\geq r)\underset{r\ra+\i}{\sim}r^{-\alpha}$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $(x_n)_{n\in\N}\in(\R^+)^{\N}$ pour que $\sum x_nX_n$ converge presque sûrement. #+end_exercice -#+BEGIN_proof +#+BEGIN_proof :todo: - Cauchy-Schwarz : $E(X^2) P(X\geq\la E(X)) \geq E(X 1_{X\geq \la E(X)})^2$, et $E(X 1_{X\leq \la E(X)})\leq \la E(X)$. - Si $\sum E(u_n)$ converge, pour $\eps = \frac{1}{N}$, $P(X\gt )$ + + Si $\sum u_n$ converge presque sûrement, alors $u_n \ra 0$ presque sûrement. + + On suppose $u_n \leq 1$. Alors $\sum v_n =\min(u_n, 1)$ converge. + - Si $\sum u_n$ converge presque sûrement, alors $\sum P(X_n \gt c)$ + doit converger pour tout $c\gt 0$ d'après Borel-Cantelli. + + #+END_proof -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 146] +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 146] :todo: Soient $\lambda\gt 0$ et $N_{\lambda}$ une variable de Poisson de paramètre $\lambda$. Pour $f\colon\N\ra\R$ bornée, on pose $Tf:n\in\N\mapsto\lambda f(n+1)-nf(n)$. @@ -2001,6 +2112,7 @@ Pour $f\colon\N\ra\R$ bornée, on pose $Tf:n\in\N\mapsto\lambda f(n+1)-nf(n)$. #+end_exercice +# ID:8026 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 147] Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}$. L'entropie de $X$ est définie par ${\cal H}(X)=-\sum_{k=1}^np_i\ln(p_i)$ avec $p_i={\bf P}(X=x_i)$. - Montrer que ${\cal H}(X)\geq 0$ avec égalité si et seulement si $X$ est constante. @@ -2013,38 +2125,53 @@ Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}$. L'entropi On note $p_{i,j}={\bf P}(X=x_i,Y=x_j)$ pour $1\leq i,j\leq n$. L'entropie de $(X,Y)$ est ${\cal H}(X,Y)=-\sum_{i,j=1}^np_{i,j}\ln(p_{i,j})$. - - Montrer que ${\cal H}(X,Y)\leq{\cal H}(X)+{\cal H}(Y)$. + + Montrer que ${\cal H}(X,Y)\leq{\cal H}(X)+{\cal H}(Y)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Trivial. + - + - Inégalité de concavité. + - Prendre $q_i = \frac{1}{n}$ + - Cela revient à appliquer l'inégalité précédente, où $q_{i,j} = p_i q_j$. +#+END_proof +# ID:8025 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 148] Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien. Soient $v_1,\ldots,v_n\in E$ tels que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $\|v_i\|\leq 1$. Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in[-1,1]$ et $w=\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i$. Montrer qu'il existe des $\eps_1,\ldots,\eps_n\in\{-1,1\}$ tels que $v=\sum_{i=1}^n\eps_iv_i$ satisfait $\|v-w\|\leq\sqrt{n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 149] +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 149] :todo: Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d sur $\Z$ à support fini suivant la loi $\mu$. On pose $\nu(k)=\frac{e^{\lambda k}\mu(k)}{{\bf E}(e^{\lambda X_1})}$ et on considére une suite $(Y_n)_{n\geq 1}$ i.i.d suivant la loi $\nu$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et $T_n=\sum_{k=1}^nY_k$. On prend $\lambda\geq 0,a\in\R,\eps\gt 0,n\geq 1$. - Montrer que ${\bf P}(na\leq T_n\leq(a+\eps)n)\leq\frac{e^{ \lambda n(a+\eps)}}{({\bf E}(e^{\lambda X}))^n}{\bf P}(S_n\geq na)$. - On suppose $X\sim-X$ et $\exists k\gt a,\ (a\gt 0),\ \mu(k)\gt 0$. -Démontrer que $\frac{1}{n}\ln{\bf P}(S_n\geq na)\xrightarrow[n\ra+\i]{}\inf_{s \geq 0}(-sa+\log{\bf E}(e^{sX}))$. + Démontrer que $\frac{1}{n}\ln{\bf P}(S_n\geq na)\xrightarrow[n\ra+\i]{}\inf_{s \geq 0}(-sa+\log{\bf E}(e^{sX}))$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: + - On peut faire une récurrence. Aussi, expression explicite de la loi. + - +#+END_proof +# ID:6794 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 150] Soient $\sigma\gt 0$, $n\geq 1$ un entier et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles discretes telles que pour tout $1\leq i\leq n$ et $s\gt 0$, ${\bf E}\left(\exp(sX_i)\right)\leq\exp\left(\sigma^2s^2\right)$. Montrer que ${\bf E}\left(\max_{1\leq i\leq n}X_i\right)\leq 2\sigma\sqrt{\ln n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 151] +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 151] :todo: Soient $n\geq 1$, $a\gt 0$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discretes, indépendantes, d'espérance nulle, et à valeurs dans $[-a,a]$. - - Montrer que, pour tout $1\leq i\leq n$ et $s\gt 0$, ${\bf E}\left[e^{sX_i}\right]\leq\exp\left(\frac{{\bf V}(X_i)}{a^2} \left(e^{as}-1-as\right)\right)$. - On note $\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{V}(X_i)$. Montrer que, pour tout $t\geq 0$, + - Montrer que, pour tout $1\leq i\leq n$ et $s\gt 0$, ${\bf E}\left[e^{sX_i}\right]\leq\exp\left(\frac{{\bf V}(X_i)}{a^2} \left(e^{as}-1-as\right)\right)$. + - On note $\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{V}(X_i)$. Montrer que, pour tout $t\geq 0$, $$\mathbf{P}\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right|\geq t\right) \leq 2\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2\sigma^2+2at/3}\right).$$ #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 152] +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 152] :todo: Pour $x\gt 0$, on pose $\Gamma(x)=\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. On pourra utiliser sans demonstration le fait que $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ et $\Gamma(1)=1$. - Montrer que, pour tout $k\geq 1$ entier, $\Gamma(k)=(k-1)!$ et $\Gamma(k+1/2)\leq k!$. - Soient $\sigma\gt 0$ et $X$ une variable aléatoire réelle discrete à valeurs dans un ensemble discret, telle que, pour tout $t\geq 0$, $\mathbf{P}\left(\left|X\right|\gt t\right)\leq 2\exp\left(-\dfrac{t^2}{2 \sigma^2}\right)$. Montrer que, pour tout entier $k\geq 1$, $\mathbf{E}\left(\left|X\right|^k\right)\leq(2\sigma^2)^{k/2}k\Gamma(k /2)$. @@ -2109,7 +2236,7 @@ Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle #+END_proof -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 157] +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 157] :todo: Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ telle que, pour tous $n,k\in\N$, $\mathbf{P}\left(X_n=k\right)\gt 0$. Soit $N\in L^2$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, indépendante de $(X_k)_{k\in\N}$. On pose $X=X_N$. - Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\colon\N\ra\R$, que l'on déterminera, telle que $\mathbf{E}\left((f_0(X)-N)^2\right)=\min\limits_{g\colon\N\ra\R} \mathbf{E}\left((g(X)-N)^2\right)$. - On pose, pour tout $n\in\N$ et tout $g\colon\N\ra\R$, $R(g,n)=\mathbf{E}\left((g(X_n)-n)^2\right)$. Montrer que, si la suite $(R(f_0,n))_{n\in\N}$ est constante egale à un certain $R_0$, alors $R_0=\min\limits_{g\colon\N\ra\R}\sup\limits_{n\in\N}R(g,n)$ et $f_0$ est l'unique fonction vérifiant cette condition. @@ -2137,7 +2264,7 @@ $\!\!$Résoudre $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$ dans $\M_2(\R)$. #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 160] -$\!\!$Soient $N\in\N^*$ et $x_0\lt x_1\lt ...\lt x_N$ des réels. On définit $S_3^N$ l'ensemble des fonctions $s$ de classe $\mc C^2$ sur $[x_0,x_N]$ tel que $\forall i\in\db{0,N}$, $s_i=s_{||x_i,x_{i+1}[}$ soit un polynôme de degre au plus 3. +$\!\!$Soient $N\in\N^*$ et $x_0\lt x_1\lt ...\lt x_N$ des réels. On définit $S_3^N$ l'ensemble des fonctions $s$ de classe $\mc C^2$ sur $[x_0,x_N]$ tel que $\forall i\in\db{0,N}$, $s_i=s_{||x_i,x_{i+1}[}$ soit un polynôme de degré au plus 3. - Montrer que $S_2^3$ est de dimension 5. - Montrer que $S_3^N$ est de dimension $N+3$. @@ -2303,8 +2430,8 @@ Soit $X$ une partie bornée. Pour $\rho\gt 0$ on définit un $\rho$-recouvrement On définit, pour $s\geq 0$ : $$H_s^{\rho}(X)=\inf\left\{\sum_{k\geq 0}d(A_k)^s\,\ (A_k)_{k\in \N}\ \rho\text{-recouvrement de}\ X\right\}.$$ - - Montrer que $H_s^{\rho}(X)$ est fini et qu'il est decroissant en $\rho$. - - Montrer que $H_s(X)=\sup_{\rho\gt 0}(H_s^{\rho}(X))=\lim_{\rho\ra 0}(H_s^{\rho}(X))$ est decroissante par rapport à $s$. + - Montrer que $H_s^{\rho}(X)$ est fini et qu'il est décroissant en $\rho$. + - Montrer que $H_s(X)=\sup_{\rho\gt 0}(H_s^{\rho}(X))=\lim_{\rho\ra 0}(H_s^{\rho}(X))$ est décroissante par rapport à $s$. - Calculer $H_0(X)$ et $H_s(X)$ pour $s\gt n$. - Pour $X$ partie bornée et $v$ vecteur de $\R^n$, comparer $H_s(X+v)$ et $H_s(X)$. - Pour $\lambda\gt 0$, comparer $H_s(\lambda X)$ et $H_s(X)$. @@ -2483,7 +2610,7 @@ Soient deux réels $a$ et $b$. On pose $P=X^4+aX^3+bX^2+X$. On suppose que les r #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 189] -Soit $(P_n)_{n\in\N}$ une suite définie par $P_0\in\R[X]$ de degre $\geq 2$ et $\forall n\in\N$, $P_{n+1}=XP_n'$. Montrer qu'il existe une suite de réels positifs $(\lambda_n)_{n\in\N}$ convergeant vers $0$ telle que, pour tout $n\in\N$, les racines complexes de $P_n$ appartiennent au disque de centre $0$ et de rayon $\lambda_n$. +Soit $(P_n)_{n\in\N}$ une suite définie par $P_0\in\R[X]$ de degré $\geq 2$ et $\forall n\in\N$, $P_{n+1}=XP_n'$. Montrer qu'il existe une suite de réels positifs $(\lambda_n)_{n\in\N}$ convergeant vers $0$ telle que, pour tout $n\in\N$, les racines complexes de $P_n$ appartiennent au disque de centre $0$ et de rayon $\lambda_n$. #+end_exercice @@ -2546,7 +2673,7 @@ Soient $a_0,\ldots,a_n$ des réels. Pour des polynômes $P,Q\in\R_n[X]$, on définit $\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^nP^{(k)}(a_k)\,Q^{(k)}(a_k)$. - Montrer que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $\R_n[X]$. - - Montrer qu'il existe une base $(P_0,\ldots,P_n)$ de $\R_n[X]$, orthonormée pour ce produit scalaire et telle que, pour chaque $i\in\db{0\,;\,n}$, le polynôme $P_i$ soit de degre $i$ et à coefficient dominant strictement positif. + - Montrer qu'il existe une base $(P_0,\ldots,P_n)$ de $\R_n[X]$, orthonormée pour ce produit scalaire et telle que, pour chaque $i\in\db{0\,;\,n}$, le polynôme $P_i$ soit de degré $i$ et à coefficient dominant strictement positif. - Déterminer $P_k^{(k)}(a_k)$ pour tout $k\in\db{0\,;\,n}$. - On suppose $a_0=\cdots=a_n=a$. Déterminer les polynômes $P_k$. #+end_exercice @@ -2809,7 +2936,7 @@ Soit $f\in\mc C^1(\left[\,0\,;1\,\right],\R)$ telle que $\int_0^1f(t)\dt=0$. Mon #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 241] -Soit $f\colon\R^{+*}\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^1$, à valeurs dans $\R^{+*}$, decroissante et intégrable sur $\R^{+*}$. +Soit $f\colon\R^{+*}\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^1$, à valeurs dans $\R^{+*}$, décroissante et intégrable sur $\R^{+*}$. - On suppose que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Montrer que $\frac{f(x)}{\int_x^{+\i}f(t)\dt}\underset{x\ra+\i}{ \longrightarrow}0$ - On suppose que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}-\i$. Que dire de $\lim_{x\ra+\i}\frac{f(x)}{\int_x^{+\i}f(t)\dt}$? #+end_exercice @@ -2852,7 +2979,8 @@ Soit $(a,b)\in\R^2$. Trouver toutes les fonctions $f\in\mc C^1(\R^2,\R)$ bornée #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 248] :todo: +# ID:7992 +#+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 248] Montrer que la fonction $f\colon P\in\R_n[X]\mapsto f(P) = \int_0^1 \big(P(x) - e^x\big)^2 \dx$ admet un unique point critique. #+end_exercice @@ -3061,7 +3189,9 @@ On note $\mc{E}(n,k)=\R^{+*}\cap\left\{\sum_{i=1}^k\sqrt{a_i}-\sum_{i= 1}^k\sqrt - Conclure. #+end_exercice #+BEGIN_proof - - le dénominateur est le nombre de valeurs possibles de $\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i}$ (on choisit un $k$-uplet croissant). Le $\sqrt{n}-1$ car la valeur minimale prise est $k$ (tous égaux à $1$). Le $-1$ au numérateur, vient du raisonnement des tiroirs. + - le dénominateur est le nombre de valeurs possibles de $\sum_{i=1}^k \sqrt{a_i}$ (on choisit un $k$-uplet croissant). Le $\sqrt{n}-1$ car la valeur minimale prise est $k$ (tous égaux à $1$). Le $-1$ au numérateur, vient du raisonnement des tiroirs. + + (On regarde un sous-ensemble de l'ensemble des $\sum_{i=1}^k a_i$ possibles : juste ceux qui sont sommes d'éléments de $\mc F$) #+END_proof @@ -3137,23 +3267,42 @@ Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*)\colon x^2-dy^2=1$ d' Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p+\sum_{\chi_1,\chi_2\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[3] \setminus\{1\}}J(\chi_1,\chi_2)=p-2+2\Re \big(J(\omega,\omega)\big)$ si $\omega\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[3]\setminus\{1\}$, où $J(\chi_1,\chi_2)=\sum_{a+b=1}\chi_1(a)\chi_2(b)$. - On admet que $|J(\omega,\omega)|=\sqrt{p}$ et $pJ(\omega,\omega)=g_{\omega}^3$ ou $g_{\omega}=\sum_{x\in\mathbb{F}}\omega(x)\zeta_p^x$ avec $\zeta_p=e^{\frac{2i\pi}{p}}$. -Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p-2-a_p$ avec $a_p^2+27b_p^2=4p$ ou $b_p\in\Z$. + Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p-2-a_p$ avec $a_p^2+27b_p^2=4p$ ou $b_p\in\Z$. #+end_exercice -#+BEGIN_proof +#+BEGIN_proof :todo: - Si $\a^n = u$, alors $\chi(\a)^n = \chi(u) = 1$, et il y a autant de $\chi$ que de racines $n$-ième de $1$. Si $u$ n'a pas de racine $n$-ième, idem, $\chi$ est défini par $\chi(\gamma)$ et $u$ s'écrit $u = \gamma^k$. - On écrit $N(X^3 + Y^3 = 1)$ comme $\sum_{a,b \mid a+b = 1} N(X^3 = a) N(Y^3 = b)$. + + On remplace chaque $N$ par la question précédente, ce qui fait sortir le $p$ voulu, ainsi que + $\sum_{\chi_1} \sum_{a+b = 1}\chi_1(a) + \sum_{\chi_2} \sum_{a+b = 1}\chi_1(2) + \sum_{\chi_1,\chi_2}\sum_{a+b = 1} \chi_1(a)\chi_2(b)$ + Les premières sommes sont nulles. On obtient exactement la somme sur $J$. + + Comme $\m F^\times$ est cyclique, les éléments de $\m F^{\times}[3]$ sont $\om$ et $\om^2$. + - On a $J(\om, \om)$ qui est dans $\Z[e^{\frac{2i \pi}{3}}] = \Z[j, j^2] = \Z[j]$. Il s'écrit donc $(c-\frac{d}{2}) + i d \frac{\sqrt{3}}{2}$, et on a $(c- d/2)^2 + 3d^2/4 = p$, donc $c^2 - dc + d^2 = p$. + + On prend donc $a_p = d - 2c$. Le résultat voulu revient à montrer + que $d$ est un multiple de $3$, donc que $J(\om, \om)\equiv 1 [3]$ + + On a $\sum_{x\in \m F} \om(x)\zeta_p^x = \sum_{3 \mid x} \zeta_p^x + \sum_{x \equiv 1 [3]} j \zeta_p^x + \sum_{x \equiv 2 [3]} j^2 \zeta_p^x$. La première somme est + + C'est donc $\sum_{x=1}^{p-1} (\zeta_p j)^x = \frac{\zeta_p j - j}{1 - \zeta_p j}$. On l'élève à la puissance $3$, on obtient $\frac{(\zeta_p - 1)^3}{(1 - \zeta_p j)^3}$ #+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 277] :todo: +# ID:8010 +#+begin_exercice [X MP 2024 # 277] Pour $p$ premier impair, on note $\chi\colon\mathbb{F}_p\ra\{1,-1,0\}$ la fonction définie par $\chi(0)=0$, $\chi(x)=1$ pour tout élément $x$ de $\mathbb{F}_p^{\times}$ qui est un carre, et $\chi(x)=-1$ dans toute autre situation. -Pour $x\in\mathbb{F}_p$, on note $e^{\frac{2i\pi x}{p}}$ la quantite $e^{\frac{2i\pi k}{p}}$, ou $k\in\Z$ est un representant quelconque de $x$. - Pour $t\in\N$, on pose $g_p(t)=\sum_{x\in\mathbb{F}_p}\chi(tx)e^{\frac{2i\pi x}{p}}$. - Soit $p$ un nombre premier impair, et des entiers $a$ et $b$ tels que $0\lt a\lt b\lt p$. Montrer que $g_p(1)\sum_{n=a}^{b-1}\chi(n)=\sum_{x\in\mathbb{F}_p}\chi(x)\sum_{t=a}^{b -1}e^{\frac{2i\pi tx}{p}}$. On admettra dans la suite que $|g_p(1)|=\sqrt{p}$. - Montrer qu'il existe une constante $M\gt 0$ telle que, quels que soient $p$ premier impair, et $a,b$ entiers tels que $0\leq a\lt b\lt p$, on ait $\op{card}\{k\in\db{a,b-1},\ k\ \text{est un carre modulo}\ p\}=\dfrac{b-a}{2}+u_{p,a,b}$ ou $|u_{p,a,b}|\leq M\,\sqrt{p}\,\ln p$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - C'est le fait que $\chi$ soit un morphisme, into un simple changement de variable. + - Le cardinal est la somme $\sum \frac{1 + \chi(x)}{2}$, donc on a le $\frac{b-a}{2}$, et il reste à gérer une somme de $\chi(n)$, via la question précédente. + + La somme intérieure peut être majorée par du $\frac{p}{x}$, que l'on somme sur $x$ en $p\ln p$. +#+END_proof # ID:7891 @@ -3203,6 +3352,7 @@ Soit $G$ un groupe d'ordre $n\geq 1$. Pour $g_1$,..., $g_k\in G$, on note $E(g_1 #+END_proof +# ID:8060 #+begin_exercice [X MP 2024 # 281] On note $\mc{S}(\C)$ le groupe des permutations de $\C$. Soit $G$ un sous-groupe cyclique de $\mc{S}(\C)$ d'ordre $2^n$, ou $n\geq 2$, contenant la conjugaison complexe. - Montrer que, pour tout $z\in\C\setminus\R$, il existe $\tau\in G$ tel que $\tau(z)\neq\pm z$. @@ -3212,12 +3362,16 @@ On note $\mc{S}(\C)$ le groupe des permutations de $\C$. Soit $G$ un sous-groupe #+end_exercice #+BEGIN_proof 1. Utiliser le caractère cyclique, pour $z\not\in i\R$, une puissance est égale à $\ol{z}$. - 2. C'est forcément $\langle g^2\rangle$. Les conditions de l'énoncé sont très souples, on peut construire plein d'exemple du moment qu'on choisit des orbites de tailles $2^n$ qui passent par $\ol{z}$. !! + 2. C'est forcément $\langle g^2\rangle$. + + Le groupe $H$ contient l'identité. Par ailleurs, le groupe doit contenir le seul élément dont le carré est l'identité, c'est-à-dire la conjugaison. 3. Non, car la conjugaison n'est pas un carré, d'après le déterminant. - 4. + 4. S'il contient un élément $\R$-linéaire, quand on l'élève au carré + successivement, on finit par tomber sur la conjugaison, impossible. #+END_proof +# ID:7990 #+begin_exercice [X MP 2024 # 282] Soit $\mc{A}$ une $\C$-algèbre. On suppose que $\mc{A}$ est munie d'une norme $N$ vérifiant : $\forall a,b\in\mc{A},\,N(ab)=N(a)N(b)$. - Soit $x\in\mc{A}$. En posant $z=z\cdot 1_{\mc{A}}$, on identifie $\C$ à une sous-algèbre de $\mc{A}$. Montrer qu'il existe $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,N(x-z_0)\leq N(x-z)$. On pose $a=x-z_0$. @@ -3232,14 +3386,12 @@ Soit $\mc{A}$ une $\C$-algèbre. On suppose que $\mc{A}$ est munie d'une norme $ En général $N(\prod (a-\om^k)) \geq N(a-1) 2^{n-1}$ et $= N(a^n - 1)\leq 2^n +1$. Donc par limite, $N(a-1) = 2$. - On obtient de même, pour tout $z\in\m U_n$, $N(a-z) = 2$, et par continuité, sur $\m U$, et par I.T., sur $\mc D$. - - On a obtenu aussi que $N(a^n - u) = 2^n$ !! - + Ce que l'on a fait pour $a$ marche verbatim pour $a' = a-1$. En itérant, on obtient $N(a-5) = 2$. - $N(a-5) = 2$ contredit l'I.T. #+END_proof +# ID:8061 #+begin_exercice [X MP 2024 # 283] - Soit $f$ l'application qui à $z\in\mathbb{U}\setminus\{i\}$ associe le point d'intersection de $\R$ et de la droite passant par $z$ et $i$. Montrer que $f(z)\in\Q\Leftrightarrow z\in\Q(i)$. - Montrer qu'il existe une infinite de triplets non proportionnels $(a,b,c)\in\Z^3$ tels que $a^2+b^2=c^2$. @@ -3278,18 +3430,27 @@ Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n\geq 2$ dont on note $z_0,\ldots - On suppose que $|z_0|=1$. Montrer qu'il existe $i\in\db{1,n-1}$ tel que $|z_0-t_i|\leq 1$. - Soient $Q\in\R[X]$ non constant et $\alpha\in\R^*$. On pose $P=Q^2+\alpha^2$. Montrer qu'il existe une racine $z$ de $P$ et une racine $t$ de $P'$ telles que $|z-t|\leq|z|$. #+end_exercice -#+BEGIN_proof +#+BEGIN_proof :todo: - Classique. - D'une part c'est $\sum \frac{1}{z_0 - t_k}$, d'autre part, on part de $\frac{P'}{P} = \sum \frac{1}{X - z_k}$, on dérive en $\frac{P''}{P} - \frac{P'^2}{P^2}$ !! #+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 287] :todo: +#+call: get_exo(7993) +#+begin_exercice [X MP 2024 # 287] Pour $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\in\C[X]$, on pose $\lN P\rN = \left(\sum_{i=0}^n |a_i|^2\right)^{1/2}$. - Montrer que pour tout $P\in\C[X]$ et $z\in\C$, $\lN (X-z)P\rN = \lN(1-\ol{z} X) P\rN$. - On suppose $P$ unitaire, et on note $M_P$ le produit des modules des racines de $P$ de module $\geq 1$. Montrer que $M_P\leq \lN P\rN$. - Montrer, pour $1\leq k\leq n-1$, que $|a_k|\leq {n-1\choose k} M_P + {n-1 \choose k-1}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Ou bien faire le calcul avec les coefficients, ou bien via $\lN P\rN_2 = \int |P(e^{i\theta})|^2 \d \theta$. + 2. On écrit $P$ comme un produit. Avec la question précédente, pour les $z$ grand, on remplace $(X-z)$ par $(1 - \ol{z})X$. Alors le produit des racines $\geq 1$ de $P$ est son coefficient dominant. + 3. ${n-1\choose k-1} = {n-1 \choose n-k}\geq {n-G \choose n-k}$ où $G$ est le nombre de grandes racines. + + De même, ${n-1 \choose k} = {n-1\choose n-1-k}$ : produits où on a choisit au moins la plus grande racine. +#+END_proof + # ID:7897 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 288] @@ -3313,8 +3474,8 @@ Soient $\om,q\in\C^*$ tels que $\om^2$ n'est pas une puissance entière de $q$. #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 290] Soit $\theta\in\C$ un nombre algébrique. - Montrer que l'ensemble des polynômes annulateurs de $\theta$ est l'ensemble des multiples d'un certain polynôme $P\in\Q[X]$ unitaire, déterminé de manière unique. On écrit $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$, avec $a_n = 1$, et on suppose $P$ à coefficients entiers, $\theta$ irrationnel et $a_0\geq 0$. - - Montrer que $n\ge q2$, $a_0\gt 0$ et $\theta$ est racine simple de $P$. - - On pose $Q = X^n P(1/X)$ et $f\colon z\mapsto \frac{P(z)}{Q(z)}$. Montrer que si $\theta^{-1}$ est un pôle de $f$, alors $a_0 = 1$ et $n$ est pair. + - Montrer que $n\geq 2$, $a_0\gt 0$ et $\theta$ est racine simple de $P$. + - On pose $Q = X^n P(1/X)$ et $f\colon z\mapsto \frac{P(z)}{Q(z)}$. Montrer que si $\theta^{-1}$ n'est pas un pôle de $f$, alors $a_0 = 1$ et $n$ est pair. - Montrer qu'il existe $r\gt 0$ et une suite $(b_n)$ d'entiers telle que pour tout $z\in D(0, r)$, on ait $f$ définie en $z$ et $f(z) = \sum_{n=0}^{+\i} b_n z^n$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -3338,19 +3499,34 @@ Soit $M\in\M_n(\R)$. # See 7791 -#+begin_exercice [X MP 2024 # 292] +#+begin_exercice [X MP 2024 # 292] :todo: Soient $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, et $a,b\in\mc{L}(V)$. Pour $u,v\in\mc{L}(V)$, on pose $[u,v]=uv-vu$. On suppose que $a$ est nilpotent et que $[a,[a,b]]=0$. Montrer que $[a,b]$ et $ab$ sont nilpotents. #+end_exercice -#+BEGIN_proof +#+BEGIN_proof :todo: On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BA (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule. -Si $ab(x) = \la x$, $ba(x) = \la x - [a, b](x)$ !! +Si $ab(x) = \la x$, $ba(x) = \la x - [a, b](x)$ + +Dans le produit $(ab)^n = ababab\dots ab$, on fait passer les $a$ à droite. + $(ab)^n = ba^2baba\dots ab + [a,b]abab\dots ab$. + + Si on les fait tous en même temps, on a $\prod ab = \prod (ba + [a,b]) = b (ab)^{n-1}a$. + +On note $a_0 = a$, et $a_{i+1} = [b, a_i]$. La suite $(a_i)$ commutent avec elle-même, et sont nilpotents. + +En effet, le résultat précédent montre que si $a_i$ est nilpotent et commute avec $a_{i+1}$, alors $a_{i+1}$ est nilpotent, et commute avec $a_{i+2}$, car $[a_{i+1}, [a_{i+1}, b]]$ vaut $[a_{i+1}, [[a_i, b], b]] = [[a_i, b], [[a_i, b], b]]$ !! Nope #+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 293] :todo: +# ID:7996 +#+begin_exercice [X MP 2024 # 293] Soit $V_0,\ldots,V_n$ des espaces vectoriels, $(v_0^+,\ldots,v_{n-1}^+)\in\mc{L}(V_0,V_1)\times\cdots\times \mc{L}(V_{n-1},V_n)$ et $(v_1^-,\ldots,v_n^-)\in\mc{L}(V_1,V_0)\times\cdots\times \mc{L}(V_n,V_{n-1})$. On suppose que $v_{i-1}^+\circ v_i^-=-v_{i+1}^-\circ v_i^+$ pour tout $i\in\db{1,n-1}$, et que $v_{n-1}^+\circ v_n^-=0$. Montrer que l'endomorphisme $v_1^-\circ v_0^+$ de $V_0$ est nilpotent. Déterminer l'indice de nilpotence maximal possible de $v_1^-\circ v_0^+$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Par récurrence sur $n$, on a $v_1^{-} v_0^+ \circ v_1^{-} v_0^+ \circ \dots \circ v_1^{-} v_0^+ = v_1^- \big(v_2^{-} v_1^+\big)^{n-1}v_0^+$ (et on peut ajouter un dernier espace $V_{n+1} = \{0\}$ si besoin). + +On donne un exemple où c'est atteint prendre $\{c_1,c_2,c3\}\ra \{b_1,b_2\}\ra \{a_1\} \ra \{0\}$, où $c_i$ est envoyé sur $b_i$ ou $0$ pour le dernier $c_i$, et $b_i$ est envoyé sur $c_{i+1}$. +#+END_proof # ID:nil # Classique @@ -3450,12 +3626,12 @@ Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. Soient $a,b\in\mc{L}(E)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP 2024 # 302] +#+begin_exercice [X MP 2024 # 302] :todo: Soit $\mc{A}$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$ stable par crochet de Lie : pour $M,N\in\mc{A}$, $[M,N]=MN-NM\in\mc{A}$. - On suppose que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme diagonalisable de $\mc{A}$. Montrer que $\forall M,N\in\mc{A}$, $[M,N]=0$. - On suppose que $\dim\mc{A}\leq 3$ et que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme nilpotent de $\mc{A}$. On pose $\mc{A}_0=\mc{A}$ et, pour $j\in\N$, $\mc{A}_{j+1}=\{[M,N],\ (M,N)\in\mc{A}_j^2\}$. Montrer que $\mc{A}_3=\{0\}$. #+end_exercice -#+BEGIN_proof +#+BEGIN_proof :todo: - Si $[M, N] = \la N$, alors !! #+END_proof @@ -3481,6 +3657,7 @@ Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Un drapeau de $E$ est une famille #+END_proof +# ID:7997 #+begin_exercice [X MP 2024 # 304] On considére un groupe fini $G$ et un $\C$-espace vectoriel $V$ de dimension finie. Soit $\rho$ un morphisme injectif de $G$ dans $\mathrm{GL}(V)$. - Calculer $\mathrm{tr}(\rho(e))$ ou $e$ est le neutre de $G$. @@ -3501,7 +3678,9 @@ On considére un groupe fini $G$ et un $\C$-espace vectoriel $V$ de dimension fi - Les valeurs propres sont des racines $n$-ièmes de l'unité. Elles valent $1$ et $g$ est diagonalisable. - Les autres termes sont négligeables. - C'est clair. Le faire pour un élément $g\in G$ fixé. - - Les valeurs propres sont $\pm 1$, ou $j,\ol{j}$. !! + - Les valeurs propres sont $\pm 1$, ou $1, j,\ol{j}$. Prendre $\sigma = (1\, 2\, 3)$ et $\tau = (1\, 2)$. + + Comme l'autre trois cycle est $\sigma^{-1} = \tau \sigma \tau$, l'espace propre $E_1$ est stable par $\tau$, et $\tau$ envoie $E_{j}$ sur $E_{\ol{j}}$. Pour chaque $f\in E_j$, prendre $\vect f, \tau f$, qui est stable. #+END_proof @@ -3683,11 +3862,19 @@ La difficulté est le relèvement : localement il existe un relèvement, et si o #+END_proof +# ID:8052 #+begin_exercice [X MP 2024 # 320] - - Soit $A\in\M_n(\R)$, exprimer la norme subordonnée de $A$ relative à la norme infinie, puis à la norme 1. + - Soit $A\in\M_n(\R)$, exprimer la norme subordonnée de $A$ relative à la norme infinie, puis à la norme $1$. - Montrer que si $\|A\|_{\mathrm{op},\i}\leq 1$ et $\|A\|_{\mathrm{op},1}\leq 1$, alors $\|A\|_{\mathrm{op},2}\leq 1$. - Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, montrer que $\inf_{B\notin\mathrm{GL}_n(\R)}\|B-A\|_{\mathrm{op},2}=\sqrt{\lambda_{ 1}}$, ou $\lambda_1$ est la plus petite valeur propre de $AA^T$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Pour la norme infinie, c'est $\max_{1\leq i\leq n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|$. + + Pour la norme $1$, c'est $\max_{1\leq j\leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|$. + - On a $\lN A \rN_2 \leq \sqrt{\lN A\rN_1 \cdot \lN A\rN_{\i}}$ (normes subordonnées), car $\lN x\rN_2^2 \leq \lN x\rN_1 \lN x\rN_{\i}$, donc $\forall x,\, \frac{\lN Ax\rN_2^2}{\lN x\rN^2} \leq \lN A\rN_1 \lN A\rN_{\i}$. + - On prend une racine de $A A^T$, on a $A A^T = (P D) (PD)^T$, avec $P$ orthogonale, donc $D^{-1}P^TA$ est orthogonale, donc $A = P D Q$. Ce qui ramène la question à gérer une matrice diagonale. +#+END_proof # ID:7747 @@ -3735,11 +3922,12 @@ Pour la valeur critique, on aura $u_n^\a \ra \lim a_n$. +# ID:8053 #+begin_exercice [X MP 2024 # 325] - Soient $a,b\in\N^*$ avec $a\wedge b=1$. Montrer l'existence de $N\in\N^*$ tel que, pour tout $n\geq N$, il existe $(u,v)\in\N^2$ vérifiant $n=au+bv$. - Soit $(s_n)_{n\geq 1}$ une suite strictement croissante d'éléments de $\N\setminus\{0,1\}$. On suppose que l'ensemble $S=\{s_n,\ n\in\N^*\}$ est stable par produit. -Montrer que $\frac{s_{n+1}}{s_n}\ra 1$ si et seulement s'il existe $p,q\in\N^*$ tels que $\frac{\ln(s_p)}{\ln(s_q)}\not\in\Q$. + Montrer que $\frac{s_{n+1}}{s_n}\ra 1$ si et seulement s'il existe $p,q\in\N^*$ tels que $\frac{\ln(s_p)}{\ln(s_q)}\not\in\Q$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - @@ -3749,17 +3937,20 @@ Montrer que $\frac{s_{n+1}}{s_n}\ra 1$ si et seulement s'il existe $p,q\in\N^*$ #+END_proof +# ID:8054 #+begin_exercice [X MP 2024 # 326] Soit $f\colon\R\ra\R$ 1-périodique. On définit $\colon\forall S\in\R^{\N^*},\ \forall n\in\N^*,\ M_n(f,S)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(S_k)$. - Montrer que la suite $(M_n(f,S))$ converge pour toute suite $S$ si et seulement si $f$ est constante. - - On dit qu'une suite réelle $(u_n)$ est équirépartie modulo 1 lorsque + - On dit qu'une suite réelle $(u_n)$ est équirépartie modulo 1 lorsque pour tout fonction continue $1$-périodique, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(u_k)\tend{n\ra+\i}\int_0^1f(x) dx$. - $\forall f\in\mc C(\R,\R)$ 1-périodique, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(u_k)\xrightarrow[n\ra+\i]{}\int_0^1f(x) dx$. - -Montrer que la suite $(\sqrt{n})$ est equiperpartie modulo 1. + Montrer que la suite $(\sqrt{n})$ est équirépartie modulo 1. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Clair. + - Il suffit de le vérifier sur des fonctions en escaliers. +#+END_proof # ID:7670 @@ -3784,22 +3975,25 @@ Réciproquement, sous cette condition, la somme de deux paquets consécutifs est #+END_proof +# ID:7998 #+begin_exercice [X MP 2024 # 330] Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que la série $\sum u_n$ converge. Montrer que la série de terme general $v_n=\frac{1}{1+n^2u_n}$ diverge. #+end_exercice #+BEGIN_proof -!! +Si $\sum \frac{1}{1+n^2u_n}$ converge, alors $n^2 u_n \ra +\i$, donc (équivalent), $\sum \frac{1}{n^2 u_n}$ converge, mais Cauchy-Schwarz donne $\sum \frac{1}{n}$ converge. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 331] +#+begin_exercice [X MP 2024 # 331] :todo: - Soit $(u_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\xrightarrow[n\ra+\i]{}a\gt 0$. Déterminer la nature de $(S_n)$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_n}\sum_{k=0}^nku_k$. - - Soient $(u_n)_{n\geq 0},(v_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$ et $T_n=v_0+\cdots+v_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\xrightarrow[n\ra+\i]{}a\in\R^{+*}$ et $\frac{T_n}{nv_n}\xrightarrow[n\ra+\i]{}b\in\R^{+*}$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_nv_n}\sum_{k=0}^nu_kv_k$. + - Soient $(u_n)_{n\geq 0},(v_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$ et $T_n=v_0+\cdots+v_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\tend{n\ra+\i}a\in\R_+^{*}$ et $\frac{T_n}{nv_n}\tend{n\ra+\i}b\in\R_+^{*}$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_nv_n}\sum_{k=0}^nu_kv_k$. #+end_exercice -#+BEGIN_proof +#+BEGIN_proof :todo: - $(S_n)$ est croissante. Si elle convergeait, on aurait $u_n \sim \frac{\l}{n}$, contradiction. + + Alors par sommation des équivalents, $\sum ku_k \sim \sum S_k = \sum (n-k) u_k$, et la somme des deux fait $nS_n$. On trouve comme équivalent $\frac{n^2}{2}$ (si $a = 1$) - !! #+END_proof @@ -3819,11 +4013,18 @@ Par ailleurs, ceci étant vrai pour tout $x$, on obtient que $f'$ est constant l #+END_proof +# ID:8066 #+begin_exercice [X MP 2024 # 333] Soit $f\colon\N^*\ra\R$ telle que $f(mn)=f(m)+f(n)$ pour tous $m,n\geq 1$. - - On suppose $f$ croissante. Montr per qu'il existe $c\in\R$ tel que $\colon\forall n\in\N^*$, $f(n)=c\ln n$. + - On suppose $f$ croissante. Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que $\colon\forall n\in\N^*,\, f(n)=c\ln n$. - On suppose que $f(n+1)-f(n)\ra 0$ quand $n\ra+\i$. Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que : $\forall n\in\N^*$, $f(n)=c\ln n$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Sans difficulté. $f$ est déterminée par l'image des nombres premiers, et la croissance montre que les images doivent être les mêmes. + - On peut supposer $f(2) = 0$. Alors, si il existe $p$ tel que $f(p)\gt 0$, en considérant $2^{p-1}-1$, on obtient l'existence de nombre premiers tels que $f(q)\lt 0$. + + En fait, via Cesàro directement, on aurait $f(n) = o_{+\i}(n)$. En utilisant d'une part $f(2^p) = 0$ et plus généralement $f(2x) = f(x)$, il suffit de $\ln n$ opérations pour passer de $n$ à $1$, donc $f(n) = o_{+\i}(\ln n)$, ce qui implique $f(p) = 0$ pour tout $p$. Easy. +#+END_proof # ID:nil @@ -3840,25 +4041,34 @@ Ind. Étudier $y\mapsto f(x+y)$ et $y\mapsto\sum_{k=0}^n\dfrac{y(y-1)\cdots(y-k+ #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP 2024 # 335] :todo: +# ID:7942 +#+begin_exercice [X MP 2024 # 335] Déterminer les $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telles que $\forall x\in[0,1]$, $f(x)=2(f(x/2)+f(1-x/2))$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Dériver deux fois, on obtient que $f''$ est une moyenne. Considérer le maximum/minimum. +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 336] -Soient $N$ et $d$ deux entiers supérieurs ou egaux à 1. On pose $D=\left[\!\left[-N,N\right]\!\right]^d$ et on note $(e_1,\ldots,e_d)$ la base canonique de $\R^d$. +#+begin_exercice [X MP 2024 # 336] :todo: +Soient $N$ et $d$ deux entiers supérieurs ou egaux à 1. On pose $D=\db{-N,N}^d$ et on note $(e_1,\ldots,e_d)$ la base canonique de $\R^d$. -On note $\partial D=\left\{\sum_{i=1}^dx_ie_i\,;\,(x_1,\ldots,x_n)\in D,\; \exists i\in\left[\!\left[1,d\right]\!\right],\;|x_i|=N\right\}$ et $\overset{\circ}{D}=D\setminus\partial D$. +On note $\partial D=\left\{\sum_{i=1}^dx_ie_i\,;\,(x_1,\ldots,x_n)\in D,\; \exists i\in\db{1,d},\;|x_i|=N\right\}$ et $\overset{\circ}{D}=D\setminus\partial D$. -Pour $i\in\left[\!\left[1,d\right]\!\right]$ et $u:D\ra\R$, on pose $\forall x\in\overset{\circ}{D},\;\Delta_iu(x)=2u(x)-u(x+e_i)-u(x-e_i)$. +Pour $i\in\db{1,d}$ et $u\colon D\ra\R$, on pose $\forall x\in\overset{\circ}{D},\,\Delta_iu(x)=2u(x)-u(x+e_i)-u(x-e_i)$. On pose, pour $x\in\overset{\circ}{D}$, $Mu(x)=\prod_{i=1}^d\Delta_iu(x)$. - - Construire une fonction $u:D\ra\R^+$ concave, i.e. vérifiant $\forall i\in\left[\!\left[1,d\right]\!\right]$, $\Delta_iu\geq 0$, telle que $\forall x\in\overset{\circ}{D},Mu(x)\gt 0$ et $u|_{\partial D}=0$. + - Construire une fonction $u\colon D\ra\R^+$ concave, i.e. vérifiant $\forall i\in\db{1,d},\, \Delta_iu\geq 0$, telle que $\forall x\in\overset{\circ}{D},Mu(x)\gt 0$ et $u|_{\partial D}=0$. -Pour $f\colon\overset{\circ}{D}\ra\R^+$ fixée, on note $A$ l'ensemble des $h:D\ra\R^+$ concaves, nulles sur $\partial D$ et telles que $Mh\geq f$. Soit $u:x\mapsto\inf_{h\in A}h(x)$. + Pour $f\colon\overset{\circ}{D}\ra\R^+$ fixée, on note $A$ l'ensemble des $h\colon D\ra\R^+$ concaves, nulles sur $\partial D$ et telles que $Mh\geq f$. Soit $u\colon x\mapsto\inf_{h\in A}h(x)$. - Montrer que $A$ est non vide. - Montrer que $u\in A$ et que $Mu=f$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: + - Prendre $u = prod (N^2 - x_i^2)$ + - L'ensemble $D$ est fini. + - L'inf de fonctions concaves est concave, et on a $Mh\geq f$. Si $Mh \gt f$ en un point. !! +#+END_proof # ID:218 @@ -3903,18 +4113,30 @@ Si $f$ est une fonction de $[0,1]$ dans $\R$, on note $V(f)$ la borne supérieur +# ID:8055 #+begin_exercice [X MP 2024 # 339] Soient $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$. Montrer l'équivalence entre : - -(i) $f$ n'est pas polynomiale, - -(ii) Vect $\big(\{x\mapsto f(\alpha x+\beta)\;;(\alpha,\beta)\in\R^2\}\big)$ est dense dans $\mc C^0([a,b],\R)$. + + $f$ n'est pas polynomiale, + + $\vect \big(\{x\mapsto f(\alpha x+\beta)\;;(\alpha,\beta)\in\R^2\}\big)$ est dense dans $\mc C^0([a,b],\R)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Clairement, si $f$ est polynomiale, ce n'est pas dense. + +Réciproquement, si $f$ n'est pas polynomiale, on montre que l'adhérence du vect contient les polynômes. + + Il contient directement les fonctions constantes ($\a = 0$, et $f$ non constante) + + Il contient $x\mapsto f'(0) x$, car en grossissant $f$, on voit + apparaître sa tangente. + Il existe un point en lequel $f'(x_0)\neq 0$, donc on obtient une fonction affine. + + Formellement, si $f'(0)\neq 0$, on considère $g_{n}\colon n(f(x/n) - f(0))$. + + Pour $x^2$, idem en utilisant un $DL_2$ de $f$, en un point où $f''(0)\neq 0$. +#+END_proof +# ID:8056 #+begin_exercice [X MP 2024 # 340] Soient $F$ un fermé de $\R$, $O=\R\setminus F$. - - Montrer que $O$ est reunion dénombrable d'intervalles ouverts bornes. + - Montrer que $O$ est reunion dénombrable d'intervalles ouverts bornés. - Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $\mc C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$. #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -3923,15 +4145,28 @@ Soient $F$ un fermé de $\R$, $O=\R\setminus F$. #+END_proof +# ID:8067 #+begin_exercice [X MP 2024 # 341] On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\;\|_{\i}$. -Pour $f\in E$, soit $T(f):t\in[0,1]\mapsto\sup_{[0,t]}(f)-f(t)$. Soit $f\in E$. +Pour $f\in E$, soit $T(f)\colon t\in[0,1]\mapsto\sup_{[0,t]}(f)-f(t)$. Soit $f\in E$. - Montrer que $T(f)$ est continue, que $T(f)\geq 0$ et que $T(f)(0)=0$. - - Montrer que la suite $(\|T^n(f)\|)_{n\geq 0}$ est decroissante. + - Montrer que la suite $(\|T^n(f)\|)_{n\geq 0}$ est décroissante. - Si $f$ est $K$-lipschitzienne, montrer que $T(f)$ est lipschitzienne. - Soit $f\in E$ lipschitzienne. Montrer que $(T^nf)$ converge uniformément vers la fonction nulle. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Classique. + - Simple. + - Simple, $T(f)$ est directement $2K$-lips. En fait $T(f)$ est $K$-lip : prendre $t$ et $u\geq 0$ deux points. + + $T(f)(t) - T(f)(t+u)$. Si les deux sups sont au même point c'est trivial, sinon le sup sur $[0, t+u]$ est atteint en $[0, t+u_0]$, et $\sup_{[0,t]} f$ est atteint une autre fois entre $t$ et $t+u_0$. On obtient deux différences sur deux segments dont la somme des tailles est $\leq u$. + - La suite $\lN T^n(f)\rN$ est décroissante. Si elle converge vers $L_n$, on note $x_n$ le premier point où il est atteint. + + On a $L_{n+1} = \sup_{[0, x_{n+1}]} f_n - f_n(x_{n+1})$. En particulier, il faut que $f_n(x_{n+1}) \leq L_n - L_{n+1}$, ce qui implique que $x_{n+1}$ est éloigné de $x_n$. + + Considérons plutôt $x_n$ le premier point où on est $\geq L$. Alors $(x_n)$ est croissant, et $x_{n+1}$ doit être éloigné de $x_n$, contradiction. +#+END_proof # ID:nil # Classique @@ -3944,6 +4179,7 @@ Montrer que $\int_0^1f(t)^2dt\leq ab$. Intégrer $(b-f)(f + a)$. #+END_proof +# ID:8000 #+begin_exercice [X MP 2024 # 343] Pour $r\in\R$ et $n\in\N$, soit $D_n(r)=\int_{-1}^1(1-x^2)^n\cos(rx)dx$. - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n$ et $Q_n$ des polynômes à coefficients entiers de degré au plus $n$ tels que, pour tout $r\in\R$, $D_n(r)=\frac{n!}{r^{2n+1}}(P_n(r)\cos(r)+Q_n(r)\sin(r))$. @@ -3951,19 +4187,23 @@ Pour $r\in\R$ et $n\in\N$, soit $D_n(r)=\int_{-1}^1(1-x^2)^n\cos(rx)dx$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP 2024 # 344] :todo: +# ID:7464 +#+begin_exercice [X MP 2024 # 344] Soient $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ à support compact et $E$ l'ensemble des fonctions $\phi$ de $\R$ dans $\R$, de classe $\mc C^1$ bornées par $1$. Déterminer $\sup\bigg{\{}\int_{-\i}^{+\i}f\phi'\;;\;\phi\in E \bigg{\}}$. #+end_exercice #+BEGIN_proof -C'est $\int_{-\i}^{+\i} |f|$. Soit $\eps$, l'intégrale est proche de $\int_{-\i}^{+\i} |f| 1_{|f|\geq \eps}$ (c'est de la triche, cette indicatrice n'est pas intégrable sans Lebesgue), mais on peut approcher $f$ de manière uniforme par des fonctions polynomiales… +C'est $\int_{-\i}^{+\i} |f|$. On peut approcher $f$ de manière uniforme par des fonctions polynomiales. + +Pour une fonction polynomiale, l'intégrale est proche de $\int_{-\i}^{+\i} |f| 1_{|f|\geq \eps}$. #+END_proof +# ID:8027 #+begin_exercice [X MP 2024 # 345] -Nature de $\int_0^{+\i}\frac{e^x}{e^{-x}+e^{2x}|\sin x|}\dx$? +Nature de $\int_0^{+\i}\frac{e^x}{e^{-x}+e^{2x}|\sin x|}\dx$ ? #+end_exercice #+BEGIN_proof -On est ramené à une série, de $\int_0^{\pi} \frac{e^{x+n\pi}}{e^{-x-n\pi} + e^{2x + 2n\pi} \sin x}$, dont on cherche un équivalent. En fait, plutôt couper en $\frac{\pi}{2}$. C'est $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t e^x}{e^{-x}/t + e^{2x} t^2 \sin x}\dx$, dont on veut un équivalent quand $t\ra +\i$. +On est ramené à une série, de $\int_0^{\pi} \frac{e^{x+n\pi}}{e^{-x-n\pi} + e^{2x + 2n\pi} \sin x}$, dont on cherche un équivalent. En fait, plutôt couper en $\frac{\pi}{2}$. C'est $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t e^x}{e^{-x}/t + e^{2x} t^2 \sin x}\dx$, dont on veut un équivalent quand $t\ra +\i$. Écrivons $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t^2 e^x}{e^{-x} + e^{2x} t^3 \sin x}\dx$ $\geq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t^2e^x}{1 + e^{2x} t^3}$ qui est manifestement en $\frac{1}{t}$. #+END_proof @@ -3987,17 +4227,24 @@ Soit $(f_n)$ une suite de $\mc C^1([0,1],\R)$ convergeant uniformément vers une On obtient, que pour toute fonction continuen $g'$ vérifiant $\int g' = 0$, $\int f g' = 0$, donc $f$ est constante. #+END_proof +# ID:8057 #+begin_exercice [X MP 2024 # 347] Soit $x\in\R$. Calculer $\sum_{n\in\N^*}\frac{\cos(nx)}{n^2}$. #+end_exercice #+BEGIN_proof +C'est censé être $\frac{x^2}{4} - \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi^2}{6}$. +On prend une somme partielle jusqu'à $N$, que l'on dérive en $S_N(x) = \sum_{n=1}^N -\frac{\sin nx}{n}$, et une seconde fois en $S_N'(x) = \sum_{n=1}^N \cos x$. Il suffit de traiter des $x$ sympas, pour lesquels $S_N(x) = \frac{1}{2}\int_0^x \frac{\sin \left(\frac{Nt}{2}\right) \sin \left(\frac{(N+1)t}{2}\right)}{\sin \frac{t}{2}} \dt - \frac{x}{2}$, quand $N\ra +\i$, on prend la limite, et on trouve $\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$, si on montre une sorte d'uniformité, de la convergence, on est bon. #+END_proof +# ID:8068 #+begin_exercice [X MP 2024 # 348] Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\big(1-(1-e^{-n})^x\big)\sim\ln(x)$ quand $x\ra+\i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Comparaison série intégrale, changement $t = \ln x u$ et convergence dominée. Éventuellement Bernoulli : $1 - (1-e^{-a})^x\leq x e^{-a}$. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 349] @@ -4005,8 +4252,9 @@ Soit $q\in\R^*$. Soit $a\in\mc C^0(\R,\R^*)$. Soit $m,M$ deux réels vérifiant #+end_exercice +# ID:223 #+begin_exercice [X MP 2024 # 350] -Soit $\sum a_nz^n$ une série entière dont le rayon de convergence appartient à $]0,+\i[$. +Soit $\sum a_nz^n$ une série entière dont le rayon de convergence appartient à $]0,+\i[$. Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_n z^{n^2}$. #+end_exercice @@ -4019,7 +4267,7 @@ Soit $x\gt 0$. #+begin_exercice [X MP 2024 # 352] -Montrer que, pour tous $r\in$ ] $0,1[$ et $\theta\in\R$, $\ln\left|1-re^{i\theta}\right|=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{r^n}{n}\cos(n\theta)$. +Montrer que, pour tous $r\in \interval]{0, 1}[$ et $\theta\in\R$, $\ln\left|1-re^{i\theta}\right|=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{r^n}{n}\cos(n\theta)$. #+end_exercice @@ -4040,25 +4288,38 @@ Soit $(L_n)_{n\geq 0}$ définie par $L_0=L_1=1$ et, si $n\geq 1$, $L_{n+1}=(n+1) #+end_exercice +# ID:8002 #+begin_exercice [X MP 2024 # 355] Une série $\sum_{n\geq 0}a_n$ est dite primitive lorsqu'elle est à termes entiers et il n'existe pas d'entier $d\gt 1$ divisant tous les $a_n$. - Soit $\sum_{n\geq 0}a_n$ et $\sum_{n\geq 0}b_n$ deux séries primitives. Montrer que leur produit de Cauchy est une série primitive. - Soit $F(z)=\sum_{n\in\N}c_nz^n$, ou $c_n\in\Z$ pour tout $n$, telle qu'il existe $P$ et $Q$ dans $\C[X]$ avec $P\wedge Q=1$ et $Q(0)=1$, tels que, pour $z$ voisin de 0, on ait $F(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$. Montrer que $(P,Q)\in\Q[X]^2$. + - s À Compléter. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Le produit de Cauchy est intègre dans $(\Z/p\Z)^{\N}$. + - La fraction rationnelle prend des valeurs rationnelles, classiquement, $F$ est quotient de polynômes rationnels. +#+END_proof +# ID:8001 #+begin_exercice [X MP 2024 # 356] -Soit $n\geq 2$. On pose $g_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^{4k}}\binom{2k}{k}^2$. Soit $K_n$ l'élément de $\R_n[X]$ tel que - - $\frac{1}{\sqrt{1-x}}\underset{x\ra 0}{=}K_n(x)+o(x^n)$. +Soit $n\geq 2$. On pose $g_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^{4k}}\binom{2k}{k}^2$. Soit $K_n$ l'élément de $\R_n[X]$ tel que $\frac{1}{\sqrt{1-x}}\underset{x\ra 0}{=}K_n(x)+o(x^n)$. - Montrer que $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left|K_n\left(e^{i\theta} \right)\right|^2d\theta=g_n$. - Soit $\sum a_kz^k$ une série entière de rayon de convergence supérieur ou egal à $1$, de somme $f(z)$. On suppose que, pour $|z|\lt 1$, $|f(z)|\leq 1$. Montrer que $\left|\sum_{k=0}^na_k\right|\leq g_n$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Immédiat, par orthogonalité. + - On a $K_n^2 = \frac{1}{1-x} = 1 + x + \dots + x^n$, donc $\sum_{k=0}^na_k$ est le coefficient en $x^n$ de $K_n^2 f(x)$. Appliquer la formule de Cauchy. +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 357] +#+begin_exercice [X MP 2024 # 357] :todo: Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=n\int_0^{+\i}\sin(t^n)\dt$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: +Poser $x = t^n$, on obtient $\int_0^{+\i} x^{1/n - 1}\sin x\dx$, que l'on peut lier à la fonction $\Gamma$. +#+END_proof + # ID:7694 @@ -4090,9 +4351,13 @@ Soit $t\gt 0$. Our $p\in\R$, on pose $F_c(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\cos(px^2)\dx$ $F_s(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\sin(px^2)\dx$ et $Z=F_c+iF_s$. - Montrer que $Z$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$. - - Déterminer une équation différentielle du premier ordre satisfaite par $F$. + - Déterminer une équation différentielle du premier ordre satisfaite par $Z$. - En déduire $F_c$ et $F_s$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 362] @@ -4121,53 +4386,83 @@ On a $F' = AF$. Le Wronkien vérifie $W' = \op{Tr} À W$, donc $W$ est une expon #+END_proof +# ID:8058 #+begin_exercice [X MP 2024 # 365] - Soit $f\in\mc C^1([0,\pi],\R)$ telle que $f(0)=f(\pi)=0$. Montrer que $\int_0^{\pi}f^2\leq\frac{\pi^2}{8}\int_0^{\pi}(f')^2$. - Soit $f,q\in\mc C^0([0,\pi],\R)$ telle que $\forall x\in[0,\pi],\ q(x)\lt \frac{8}{\pi^2}$. Soient $a,b\in\R$. Montrer qu'il existe une unique fonction $y\in\mc C^2([0,\pi],\R)$ telle que $y''+qy=f,\ y(0)=a,\ y(\pi)=b$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - En écrivant $f(x)^2 = \left(\int_0^{x} f'(t)\dt\right)^2 \leq x \int_0^{x} |f'(t)|^2\dt \leq x \int_0^{\frac{\pi}{2}} f'(t)^2 \dt$, on obtient $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\leq \frac{\pi^2}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f'(t)^2\dt$. + - Unicité revient à montrer que si $y(0) = y(\pi) = 0$ et $y'' + qy = 0$, alors $y$ est nulle. En multipliant par $y$, puis avec une IPP sur $y''y$, on obtient $\int_0^{\pi} q y^2 = \int_0^{\pi} y'^2$, et la première question permet de conclure. + + Existence : Les solutions vérifiant $y(0) = a$ forment une droite affine, et elles ne peuvent pas toutes s'annuler en $\pi$, d'après l'unicité. +#+END_proof +# ID:nil # Quel intérêt ? #+begin_exercice [X MP 2024 # 366] -Pour $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$, on pose $H(f):x\mapsto x^2f(x)-f''(x)$, $A_-(f):x\mapsto-f'(x)+xf(x)$ et $A_+(f):x\mapsto f'(x)+xf(x)$. +Pour $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$, on pose $H(f)\colon x\mapsto x^2f(x)-f''(x)$, $A_-(f)\colon x\mapsto-f'(x)+xf(x)$ et $A_+(f)\colon x\mapsto f'(x)+xf(x)$. - Déterminer $A_-\circ A_+$ et $A_+\circ A_-$. - - Montrer qu'il existe une unique $\phi_0\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ de carré intégrable, telle que $H(\phi_0)=\phi_0$ et $\phi_0(0)=1$.On pose, pour $n\in\N^*$, $\phi_n=A_-^n(\phi_0)$. - - Montrter que, pour tout $n\in\N$, $H(\phi_n)=(2n+1)\phi_n$. - - Montrter que $\phi_n$ s'écrit sous la forme $P_n\times\phi_0$ avec $P_n$ polynomiale. + - Montrer qu'il existe une unique $\phi_0\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ de carré intégrable, telle que $H(\phi_0)=\phi_0$ et $\phi_0(0)=1$. + - E On pose, pour $n\in\N^*$, $\phi_n=A_-^n(\phi_0)$. + - Montrer que, pour tout $n\in\N$, $H(\phi_n)=(2n+1)\phi_n$. + - Montrer que $\phi_n$ s'écrit sous la forme $P_n\times\phi_0$ avec $P_n$ polynomiale. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - On a $A_- A_+ = H - I$ et $A_+ A_- = H + I$. + - $\phi_0(x) = e^{-x^2/2}$. + - + - +#+END_proof +# ID:6805 #+begin_exercice [X MP 2024 # 367] - - Soit $f$ une fonction croissante de $[a,b]$ dans $[a,b]$. Montrter que $f$ possède un point fixe. - - On s'intéresse à l'équation différentielle $(E)$ $x'(t)=\cos(x(t))+\cos(t)$. On admet que, pour tout $a\in[0,\pi]$, il existe une unique solution $\phi_a$ définie sur $\R$ telle que $\phi_a(0)=a$, et de plus que s'il existe $t$ tel que $\phi_a(t)=\phi_b(t)$ alors $a=b$. + - Soit $f$ une fonction croissante de $[a,b]$ dans $[a,b]$. Montrer que $f$ possède un point fixe. + - On s'intéresse à l'équation différentielle $(E)\colon x'(t)=\cos(x(t))+\cos(t)$. On admet que, pour tout $a\in[0,\pi]$, il existe une unique solution $\phi_a$ définie sur $\R$ telle que $\phi_a(0)=a$, et de plus que s'il existe $t$ tel que $\phi_a(t)=\phi_b(t)$ alors $a=b$. Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-périodique. - -_Ind._ Montrter que toute solution $\phi_a$ est à valeurs dans $[0,\pi]$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - On pose $f(a) = \phi_a(2\pi)$. On vérifie que $f$ est strictement croissante. + + Par ailleurs, $\phi_a(2\pi) - \phi_a(0) = \int_0^{2\pi}\dots = \int_0^{2\pi} \cos \big(\phi_a(t)\big)\dt$. + + On a $\phi_a$ reste à valeurs dans $[0,\pi]$. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 368] - Soit $x$ de classe $\mc C^1$ au voisinage de $+\i$. On suppose qu'il existe $\tau\gt 0$ et $\lambda\gt 0$ tels qu'on ait $x'(t)+\lambda x(t-\tau)\leq 0$ et $x(t)\geq 0$ au voisinage de $+\i$. -Démontrer que $x(t-\tau)\leq\frac{4}{(\lambda\tau)^2}x(t)$ au voisinage de $+\i$. + Démontrer que $x(t-\tau)\leq\frac{4}{(\lambda\tau)^2}x(t)$ au voisinage de $+\i$. - Soient $x$ de classe $\mc C^1$ sur $\R$, $m$ et $n$ dans $\N^*$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n,\mu_1,\ldots,\mu_m$ des réels, $\tau_1,\ldots,\tau_n$, des réels strictement positifs, $\sigma_1,\ldots,\sigma_m$ des réels positifs. -On suppose que $\forall t\in\R,\ x'(t)+\sum_{i=1}^n\lambda_ix'(t- \tau_i)+\sum_{i=1}^m\mu_ix(t-\sigma_i)=0$. + On suppose que $\forall t\in\R,\ x'(t)+\sum_{i=1}^n\lambda_ix'(t- \tau_i)+\sum_{i=1}^m\mu_ix(t-\sigma_i)=0$. -Démontrer qu'il existe $c$ et $K$ réels tels que, pour $t$ au voisinage de $+\i$, $|x'(t)|\leq Ke^{ct}$. + Démontrer qu'il existe $c$ et $K$ réels tels que, pour $t$ au voisinage de $+\i$, $|x'(t)|\leq Ke^{ct}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 369] - Soient $f,g\colon\R^+\ra\R$ des fonctions continues et $K$ un réel strictement positif. On suppose que, pour tout $t\in\R^+$, $f(t)\leq g(t)+K\int_0^tf(u)\,du$. -Montrter que, pour tout $t\in\R^+$, $f(t)\leq g(t)+K\int_0^te^{K(t-u)}g(u)\,du$. + Montrer que, pour tout $t\in\R^+$, $f(t)\leq g(t)+K\int_0^te^{K(t-u)}g(u)\,du$. - Soient $A,B\colon\R^+\ra\M_n(\R)$ des fonctions continues, et $M,N\colon\R^+\ra\M_n(\R)$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $\forall t\in\R^+$, $M'(t)=A(t)M(t)$, $N'(t)=B(t)N(t)$ et que $M(0)=N(0)=I_n$. -On suppose de plus que $\|A(t)\|\leq K$ et $\|A(t)-B(t)\|\leq\eta$ pour tout $t\in[0,T]$, ou $K,\eta,T$ sont des réels strictement positifs, et $\|\ \|$ une norme subordonnée sur $\M_n(\R)$. + On suppose de plus que $\|A(t)\|\leq K$ et $\|A(t)-B(t)\|\leq\eta$ pour tout $t\in[0,T]$, ou $K,\eta,T$ sont des réels strictement positifs, et $\|\ \|$ une norme subordonnée sur $\M_n(\R)$. -Montrer que, pour tout $t\in[0,T]$, $\|M(t)-N(t)\|\leq e^{Kt}\left(e^{\eta t}-1\right)$. + Montrer que, pour tout $t\in[0,T]$, $\|M(t)-N(t)\|\leq e^{Kt}\left(e^{\eta t}-1\right)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Poser $H(t) = \int_0^t f(s)\ds$, de sorte que $H'(t)\leq g(t) +K H(t)$, puis considérer $H(t) e^{-Kt}$. + - On pose $D(t) = M(t) - N(t)$. +#+END_proof # ID:7931 @@ -4190,13 +4485,20 @@ On munit $\R^2$ de la norme euclidienne canonique. Soit $P\colon\R^2\ra\R$ une f #+END_proof +# ID:8059 #+begin_exercice [X MP 2024 # 371] -Soient $u_0,u_1\in\mc C^{\i}(\R,\R)$. Déterminer les fonctions $u\colon\R^2\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telles que $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial t^2}= \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2-\left(\frac{\partial u}{ \partial t}\right)^2,$ avec $u(t=0,\cdot)=u_0$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(t=0,\cdot)=u_1$. +Soient $u_0,u_1\in\mc C^{\i}(\R,\R)$. Déterminer les fonctions $u\colon\R^2\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telles que $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2-\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2$, avec $u(t=0,\cdot)=u_0$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(t=0,\cdot)=u_1$. Ind. On utilisera la fonction $U=f\circ u$ avec $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ convenable. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On pose $U = e^{-u(t,x)}$, on obtient $\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = 0$. + +Ensuite, on pose $\xi = x+t$ et $\eta = x-t$, qui sont bien adaptées aux équations de type onde, qui donne $\frac{\partial U}{\partial \xi \partial \eta} = 0$. +#+END_proof +# ID:7326 #+begin_exercice [X MP 2024 # 372] Soient $n\in\N^*$ et $r\in\db{0,n}$, $\mc{P}$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $\R^n$ sur un sous-espace de dimension $r$ et $p\in\mc{P}$. Déterminer l'ensemble des vecteurs tangents à $\mc{P}$ en $p$. #+end_exercice @@ -4335,6 +4637,7 @@ Une grille $\{1,2,3\}\times\{1,2,...,n\}$ modélise un tuyau vertical. On dépos #+end_exercice +# ID:7999 #+begin_exercice [X MP 2024 # 387] - Soient $n\in\N^*$ et $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur les entiers pairs entre $2$ et $2n$. Déterminer $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 1)$ et $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 2)$. - Soient $n\in\N^*$ et $X_1,...,X_n$ des variables aléatoires à valeurs dans $\Z$, indépendantes et identiquement distribuées. Pour $m\in\N$, on pose : @@ -4350,7 +4653,7 @@ Une grille $\{1,2,3\}\times\{1,2,...,n\}$ modélise un tuyau vertical. On dépos #+BEGIN_proof - - Fonctions indicatrices : $E(S_{m}(n))$. - - Il y a toujours les paires $(i, i)$. Ensuite, si l'on suppose qu'il y a au moins $2n$ autres paires $(i,j)$ telles que $|x_i - x_j|\leq 2$, il faut que les paires supplémentaires contribuent. !! + - Écrire $n_d$ le nombre de termes qui prennent la valeur $d$. Alors $s_2(n) = \sum n_d^2 + 2 \sum n_d n_{d+1} + 2 \sum n_d n_{d+2}$, et par Cauchy-Schwarz, la troisième somme est $\leq \sum n_d^2$. - Trivial : On prend des variables finies. Marche aussi sinon. #+END_proof @@ -4913,6 +5216,127 @@ Soit $\Omega$ un ensemble. On dit que $\M\subset\mc{P}(\Omega)$ est une classe m - Soit $C\subset\mc{P}(\Omega)$ stable par intersection finie. Montrer que la classe monotone $D$ engendrée par $C$ (c'est-a-dire la plus petite classe monotone contenant $C$) est une tribu. #+end_exercice +* Autres X/ENS :xens: + +#+begin_exercice [Ly 2024 # Christophe] :todo: +Soit $E$ un espace euclidien. Soient $X\in\mc{P}(E)\setminus\{\emptyset\}$ et $x\in E$. On pose + +$$\Pi_X(x)=\{y\in X,\ \forall z\in X,\ \|z-x\|\geq\|z-y\|\}$$ + +Donner une CNS sur $x$ et $X$ pour que $\Pi_X(x)\neq\emptyset$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof :todo: +Si $x\in X$ c'est bon. Si $x$ est dans l'adhérence de $X$ mais pas dans $X$, c'est pas bon. + +Si un $y$ marche, alors $x$ est séparé de $X$ de l'hyperplan médian entre $x$ et $y$. + +Réciproquement, on montre que si un point $y$ marche, ça doit être l'un des points les plus proches de $X$ (il peut y en avoir plusieurs, et ils ne marchent pas forcément tous). + +On peut montrer que si $y$ ne marche pas, que si $z$ est un témoin du fait que $y$ ne marche pas, et si $d(z, x)\gt d(y,x)$, alors $z$ ne marche pas ($y$ n'est pas dans le demi espace). + +On prend l'ensemble des éléments les plus proches de $x$, leur enveloppe convexe, la projection de $x$ sur celle-ci. Nah. +#+END_proof + + +# ID:8009 +#+begin_exercice [Lyon 2024 # Christophe] +Soit $A$ un ensemble quelconque. Montrer que toutes les bijections de $A$ dans lui meme sont des produits (composees) de deux involutions. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof +Il suffit de traiter le cas de cycles finis, et de cycles infinis. +#+END_proof + + +# ID:8016 +#+begin_exercice [ULSR 2024] + 1. Soit $z\in\C$ tel que $|z|\lt 1$. Montrer que $\quad\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\i}\frac{z^{2^n}}{1-z^{2^{n+1}}}=\frac{z^2}{1-z^2}$. + 2. On definit $(F_n)$ par $F_0=0,\ F_1=1,\ \forall n\geq 2,\, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$. Deduire la valeur de $\sum\limits_{k=0}^{\i}\frac{1}{F_{2^k}}$. + 3. $\sum\limits_{n=1}^{\i}\frac{1}{F_{n!}}$ est-il algebrique? Indication : cerire les sommes partielles comme des rationnels dont on majorera le denominateur, estimer le reste et raisonner par l'absurde. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Quand on développe à gauche, on trouve les entier tels que $m\equiv 2^n [2^{n+1}]$. + 2. Utiliser la formule de Binet, et la question 1. + 3. On a $F_p\mid F_{pq}$, donc le dénominateur de la somme partielle est $F_{n!}$. Puis mauvaise approximabilité des nombres algébriques. +#+END_proof + + +# ID:nil +#+begin_exercice [X 2024] +On pose pour tout $f\in C^{\i}(\R,\R)$, $H_f(x)=-f''(x)+x^2f(x)$. + 1. Montrer qu'il existe, a scalaire multiplicatif pres, une unique fonction $\phi_0$ de carre integrable telle que $H_{\phi_0}=\phi_0$. + 2. Construire $\phi_n$ tel que $H_{\phi_n}=(2n+1)\phi_n$ et $\phi_n=P_n\phi_0$ avec $P_n$ polynome de degre $n$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. $e^{-\frac{x^2}{2}}$ est solution. Puis on se ramène à une équation d'ordre $1$. + 2. Simple +#+END_proof + +# ID:8013 +#+begin_exercice [ENS 2024] + 1. Pour $a\in\N^*$ pair, on pose $W\colon x\mapsto \sum_{k=0}^{+\i} \frac{\sin (a^k x)}{a^k}$. Montrer que $W$ est continue. + 2. Pour $x\in\R$ et $h\gt 0$, montrer l'inégalité $\quad\displaystyle\left|\frac{\sin (x+h) - \sin x}{h} - \cos x\right|\leq \frac{h}{2}$. + 3. En considérant les suites $(h_n = \frac{2\pi}{a^n})$ et $(h_n' = \frac{\pi}{a^n})$, ainsi que les quantités + $$\Delta_n = \frac{W(x+h_n) - W(x)}{h_n}\quad\et\quad \Delta_n' = \frac{W(x+h_n') - W(x)}{h_n},$$ + montrer que pour $a$ assez grand, la fonction $W$ n'est dérivable en aucun point. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. Taylor Lagrange. + 3. +#+END_proof + +# ID:8014 +#+BEGIN_exercice [X 2024] +Soit $N\geq 1$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ indépendantes de même loi $\mu$ sur $\db{1,N}$ telle que $\mu(1)\gt 0$. On pose $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$, et $E = \{S_i,\, i\in\N\}$. + 1. Montrer que $\forall n\geq 1$, $P(n\in E) = \sum_{k=1}^N \mu(k) P(n-k\in E)$. + 2. Soit $F(z) = \sum_{n\geq 0} P(n\in E) z^n$ et $G(z) = \sum_{k=1}^N \mu(k)z^k$. Montrer que $F(z) = \frac{1}{1 - G(z)}$. + 3. Montrer que $F$ admet un pôle simple en $1$ et que les autres pôles sont en module strictement plus grand que $1$. + 4. Montrer que ce résultat reste vrai si l'on remplace «$\mu(1)\gt 0$» par «$\pgcd \{k\mid \mu(k)\gt 0\} = 1$». + 5. On décompose $F$ en éléments simples sous la forme $F(z) = \frac{a}{1-z} + \dots$. Déterminer $a$. + 6. Déterminer $\lim_{n\ra +\i} P(n\in E)$. +#+END_exercice + +# ID:8007 +#+BEGIN_exercice +Soit $n \in \N^*$. On considère $v=\left(v_i\right)_{i \in \Z / n \Z} \in \R^{\Z / n \Z}$ et $\left(t_i\right)_{i \in \Z / n \Z} \in \interval]{0, 1}[^{\Z / n \Z}$. +On définit $\left(v^{(k)}\right)_{k \in \N}=\left(v_i^{(k)}\right)_{i \in \Z / n \Z, k \in \N} \in\left(\R^{\Z / n \Z}\right)^{\N}$ par : $\quad\displaystyle \left\{\begin{array}{l} v_i^{(0)}=v_i \\ v_i^{(k+1)}=\left(1-t_i\right) v_i^{(k)}+t_i v_{i+1}^{(k)} \end{array}$. + +Montrer que les $\left(v_i^{(k)}\right)_{k \in \N}$ convergent vers la même limite. +#+END_exercice +#+BEGIN_proof +Le max décroît strictement, le min croit. +#+END_proof + +# ID:8064 +#+BEGIN_exercice +Soit une fonction $f\colon [a, b] \ra \R,(b \neq a)$ on pose pour $x \in[a, b] \tau_{a, b, f}(x)=\frac{b-x}{b-a} f(a)+\frac{x-a}{b-a} f(b)$ on dit que $f$ est $\eps$-linéaire si $\left|f(x)-\tau_{a, b, f}(x)\right| \leq \eps|b-a|$ pour tout $x \in[a, b]$. +Soit $f$ $1$-lipschitzienne sur $[a, b]$. Montrer qu'il existe $c, d \in[a, b]$ tels que f est $\eps$-linéaire sur $[\mathrm{c}, d]$ avec $d-c\gt \alpha_{\eps}(b-a)$ où $\alpha_{\eps}$ une constante à déterminer. +#+END_exercice +#+BEGIN_proof +Si on n'est pas $\eps$-linéaire entre $a$ et $b$, il existe un point en dehors, en lequel une des pentes est $\geq \eps + \tau$. Par ailleurs, ce point est à une distance au moins $\eps (b-a)$ de $a$ ou de $b$ (car $f$ est $1$-lip). En réitérant $\lfloor \frac{1}{\eps}\rfloor$ fois, on obtient une contradiction, donc une constante en $\alpha_{\eps} = \eps^{1/\eps}$. + +En fait, on a mieux, car si le point est $\leq K (b-a)$, alors la pente est $\geq \frac{\eps}{K}$. +#+END_proof + +# ID:8008 +#+BEGIN_exercice +Soit $\mc A_1 = \{A\in\M_n(\R)\mid \forall v\in\R^n,\, \exists \a_v \in\R \,\text{t.q.}\, A^kv \ra \a_v e_1\}$. On pose $\phi_v\colon \mc A_1 \ra\R \quad A\mapsto \a_v$. Montrer que $\phi_v$ est continue, pour tout $v\in\R^n$. +#+END_exercice +#+BEGIN_proof +Notons que $e_1$ est un vecteur propre de $A$, que les autres valeurs propres (complexes) sont de modules $\lt 1$. En fait $\a_v$ est la valeur propre de $e_1$. Donc c'est assez clair. +#+END_proof + + +# ID:8015 +#+BEGIN_exercice [ENS 2024] +Soit $a\gt 0$ et $x_1,\dots,x_n\geq 0$. Déterminer + $\quad\displaystyle\inf \left\{\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{y_i^a},\,\,y_i\gt 0 \et \sum y_i \leq 1\right\}$. +#+END_exercice +#+BEGIN_proof +Existence, puis par homogénéité, c'est atteint sur le bord. Extrema liées donnent $\frac{x_i}{y_i^{a+1}} = C$, donc $y_i = \big(\frac{x_i}{C}\big)^{1/(a+1)}$, comme $\sum y_i = 1$, on trouve $C$. +#+END_proof + + * Mines - Ponts - MP :mines: ** Algèbre @@ -5870,7 +6294,7 @@ Soit $Q\in\R[X]$. Construire une norme $N$ sur $\R[X]$ telle que : $N(X^n-Q)\und #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 626] Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup\limits_{t\in[0,1]}|P(t)|$. Pour $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf\limits_{P\in E_n}N(P)$. - Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$. - - Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ est decroissante et de limite nulle. + - Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ est décroissante et de limite nulle. #+end_exercice @@ -5933,7 +6357,7 @@ Déterminer la limite de $u_n=\frac{1}{16^n}\sum_{k=n}^{3n}\left(\begin{matrix}4 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 644] Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=x\gt 0$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=\frac{e^{u_n}}{n+1}$. - - Soit $k\in\N$. Montrer que, si $u_{k+1}\leq u_k$, alors la suite $(u_n)_{n\geq k+1}$ est strictement decroissante. + - Soit $k\in\N$. Montrer que, si $u_{k+1}\leq u_k$, alors la suite $(u_n)_{n\geq k+1}$ est strictement décroissante. - Montrer que, si la suite $(u_n)$ est croissante, alors sa croissance est stricte. Que dire de sa limite? @@ -5967,7 +6391,7 @@ Soient $f\in\mc C^1(\R,\R)$ et $(u_n)$ une suite vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ pou Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0\in\R^{+*}$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+2}$. Montrer qu'il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N\gt 1$. - - Montrer qu'il existe $n_0\gt N$ tel que $(u_n)_{n\geq n_0}$ est decroissante. + - Montrer qu'il existe $n_0\gt N$ tel que $(u_n)_{n\geq n_0}$ est décroissante. - La suite $(u_n)$ est-elle convergente? Si oui, trouver sa limite. #+end_exercice @@ -6002,7 +6426,7 @@ Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ à valeurs dans $[0,1]$. On dit que $(u_n)$ est equirepar #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 652] -Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle decroissante de limite nulle. Quelle est la nature de la série $\sum(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}u_n$? +Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Quelle est la nature de la série $\sum(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}u_n$? #+end_exercice @@ -6047,7 +6471,7 @@ Existe-t-il une suite réelle $(u_n)$ telle que $\sum u_n$ converge et $\sum u_n #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 659] Soit $(u_n)_{n\in\N}$ à valeurs dans $\R^+$. - On suppose $\sum u_n$ convergente et on pose $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}u_k$. construire à partir de $R_n$ une suite $v_n\gt 0$ croissante tendant vers $+\i$ telle que $\sum u_nv_n$ converge. - - On suppose $\sum u_n$ divergente. construire $v_n$ decroissante qui tend vers $0$ telle que $\sum u_nv_n$ diverge. + - On suppose $\sum u_n$ divergente. construire $v_n$ décroissante qui tend vers $0$ telle que $\sum u_nv_n$ diverge. #+end_exercice @@ -6095,7 +6519,7 @@ Soit $T$ l'endomorphisme de $\R^{\N}$ qui à la suite $u$ associe $Tu$ telle que - Si $u$ converge vers $\ell$, montr'er que $Tu$ converge vers $\ell$. - On suppose que $u$ est à valeurs positives. -On note $\sqrt{u}$ la suite telle que : $\forall n$, $(\sqrt{u})_n=\sqrt{u_n}$. Si $Tu$ tend vers 0, montr'er que $T\sqrt{u}$ tend egalement vers 0.On suppose $u$ positive et decroissante. +On note $\sqrt{u}$ la suite telle que : $\forall n$, $(\sqrt{u})_n=\sqrt{u_n}$. Si $Tu$ tend vers 0, montr'er que $T\sqrt{u}$ tend egalement vers 0.On suppose $u$ positive et décroissante. - On pose $w_n=\sqrt{n}\,u_n$. Montrer que $Tw$ tend vers 0 si et seulement si $w$ tend vers 0. On pose, pour $n\in\N$, $s_n=\sum_{k=0}^nu_k$ et $v_n=nu_n$. @@ -6118,7 +6542,7 @@ Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$ telle que $\d #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 669] -Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle decroissante de limite nulle. Montrer que la série $\sum\dfrac{u_n}{n}$ converge si et seulement si la série $\sum(u_n-u_{n+1})\ln n$ converge. +Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Montrer que la série $\sum\dfrac{u_n}{n}$ converge si et seulement si la série $\sum(u_n-u_{n+1})\ln n$ converge. #+end_exercice @@ -6781,7 +7205,7 @@ Pour $x\in\R$, calculer $f(x)=\int_{-\i}^{+\i}e^{-t^2/2}e^{-ixt}dt$ par deux met #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 765] Soit $f$ définie par : $f(x)=\int_0^{\pi/2}\sin^x(t)\dt$. - Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$. - - Montrer que $f$ est continue et decroissante. + - Montrer que $f$ est continue et décroissante. - Pour tout $x\in D_f$, on pose $g(x)=(x+1)f(x+1)f(x)$. Montrer que : $\forall x\in D_f,g(x+1)=g(x)$. @@ -6795,15 +7219,16 @@ Montrer que : $\forall x\in D_f,g(x+1)=g(x)$. - On admet que $\int_0^{+\i}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. Calculer $\int_0^{+\i}e^{-it^2}dt$ à l'aide de $f$. #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 767] - -#+end_exercice - Trouver toutes les fonctions $f\colon\R^{+*}\ra\R$ d $\mathrm{\acute{e}ivables\ \mathrm{v}\mathrm{e}rifiant}\colon\forall x\gt 0,f'(x)=f(1/x)$. -#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 768] - #+end_exercice + +# ID:7943 +#+begin_exercice [Mines MP 2024 # 768] Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^1$, monotone et admettant une limite finie en $+\i$. Montrer que les solutions de l'équation différentielle $y''+y=f(x)$ sont bornées. +#+end_exercice + + #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 769] On considére l'équation différentielle $(E):2xy''+y'-y=0$. - Montrer que $(E)$ possède une unique solution $f$ sur $\R$ telle que $f(0)=1$ et qui soit la somme d'une série entière. @@ -6826,6 +7251,7 @@ Déterminer une solution de $(E):y''+xy'+y=1$ développable en série entière a #+end_exercice +# ID:7944 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 773] Soit $(E)$ l'équation différentielle $ax^2y''+bxy'+cy=0$ sur $\R^{+*}$. - Résoudre $(E)$ en utilisant le changement de variable $t=\ln x$. @@ -7927,7 +8353,7 @@ Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$ telle que $f\circ f=2f-\math #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 921] -Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ ou $g$ est à valeurs dans $[0,1]$ et $f$ decroissante. On pose $c=\int_a^bg$. Montrer que $\int_{b-c}^bf\leq\int_a^bfg\leq\int_a^{a+c}f$. +Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ ou $g$ est à valeurs dans $[0,1]$ et $f$ décroissante. On pose $c=\int_a^bg$. Montrer que $\int_{b-c}^bf\leq\int_a^bfg\leq\int_a^{a+c}f$. Ind. On pourra introduire une fonction d'une variable bien choisie. #+end_exercice @@ -9282,7 +9708,7 @@ Existence et calcul de $\int_0^{+\i}e^{-t}\left(\ln(t)-\frac{1}{t}+\frac{1}{1-e^ #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1113] -Soit $f\colon\R^+\ra\R$ continue, positive, decroissante et telle que $\int_0^{+\i}f(t)\dt$ converge. +Soit $f\colon\R^+\ra\R$ continue, positive, décroissante et telle que $\int_0^{+\i}f(t)\dt$ converge. Montrer que $tf(t)\underset{t\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Ind. Considérer $\int_t^{2t}f(x)\dx$. #+end_exercice @@ -10433,7 +10859,7 @@ Soit $f:t\in[0,\pi/2[\mapsto-\ln(\cos(t))$. On munit $\M_n(\R)$ de la norme euclidienne canonique. Soient $A\in\mc{S}_n^+(\R)$ et $B\in\M_n(\R)$. On s'intéresse à l'équation différentielle $(E):X'=-AX+B$. On suppose que l'ensemble $S=\big{\{}U\in\M_n(\R)\,;\;AU=B\big{\}}$ est non vide. - Montrer que les valeurs propres de $A$ sont positives. - Quelles sont les solutions constantes de $(E)$? - - Soient $X$ et $Y$ deux solutions de $(E)$. Montrer que $t\mapsto\|X(t)-Y(t)\|$ est decroissante. En déduire que toute solution est bornée sur $\R^+$. + - Soient $X$ et $Y$ deux solutions de $(E)$. Montrer que $t\mapsto\|X(t)-Y(t)\|$ est décroissante. En déduire que toute solution est bornée sur $\R^+$. - Soit $X$ une solution de $(E)$. Montrer que $X(t)$ admet une limite $X_{\i}$ quand $t$ tend vers $+\i$. - Montrer que $\|X(0)-X_{\i}\|=\inf_{U\in S}\|X(0)-U\|$. #+end_exercice @@ -10539,3 +10965,9 @@ Soient $p\in]0,1[$ et $q=1-p$. On suppose que $\mu=\frac{\ln 2}{|\ln q|}$ n'est - Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p$. Montrer qu'il existe un unique entier $m$ tel que $\mathbf{P}(X\geq m)\geq\frac{1}{2}$ et $\mathbf{P}(X\leq m)\geq\frac{1}{2}$. - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramêtre $p$. On pose $Y_n=\mathbf{1}_{X_n\geq m}$ et $S_n=Y_1+\cdots+Y_{2n-1}$ pour $n\geq 1$. Montrer que $\mathbf{P}(S_n\geq n)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}1$. #+end_exercice + +* [#C] Todoes :todo: +:PROPERTIES: +:COLLECT-TAGS: todo +:IGNORE: t +:END: