diff --git a/Exercices 2023.org b/Exercices 2023.org index b858166..262ebf0 100644 --- a/Exercices 2023.org +++ b/Exercices 2023.org @@ -1,8 +1,8 @@ -# -*- org-export-switch: "xens mp"; -*- +# -*- org-export-switch: "all"; -*- #+title: Exercices 2023 #+author: Sébastien Miquel #+date: 02-12-2023 -# Time-stamp: <10-04-24 22:04> +# Time-stamp: <14-04-24 20:04> #+OPTIONS: @@ -12,9 +12,24 @@ (let replacement ("decrire" "décrire") ("equation" "équation") + ("demontre" "démontre") + ("ee" "ée") + ("caracterist" "caractérist") + ("symetr" "symétr") ("differe" "différe") + ("resultat" "résultat") + ("propriete" "propriété") + ("reciproque" "réciproque") ("etre" "être") - ("reel" "réel") + ("superi" "supéri") + ("inferi" "inféri") + ("ecri" "écri") + ("verif" "vérif") + ("bilite" "bilité") + ("continuite" "continuité") + ("derivab" "dérivab") + ("consider" "considér") + ("réel" "réel") ("montrrer" "montrer") ("montrver" "montrer") ("algebre" "algèbre") @@ -129,8 +144,8 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( *** All -# #+OPTIONS: toc:t -# #+export_file_name: Exercices 2023 +#+OPTIONS: toc:t +#+export_file_name: Exercices 2023 *** XENS @@ -139,9 +154,9 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( *** XENS MP -#+select_tags: xens -#+exclude_tags: autre -#+export_file_name: Exercices XENS MP 2023 +# #+select_tags: xens +# #+exclude_tags: autre +# #+export_file_name: Exercices XENS MP 2023 * ENS MP-MPI :xens: @@ -200,7 +215,7 @@ Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre pr #+END_exercice -# See 2795 +# Sée 2795 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 9] 1. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler. 2. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$. @@ -508,14 +523,24 @@ On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Donc diagonalisable ? !! #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 42] Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit $f_g:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes : - + il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d'éléments de $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$ de $\R^2, f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$, - + il existe une droite vectorielle $L$ telle que $\left|\left\{i, L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$. + + il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d'éléments de $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$ de $\R^2$, $f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$, + + il existe une droite vectorielle $L$ telle que $\left|\left\{i\mid L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$. #+END_exercice #+BEGIN_proof Si il existe une droite $L$, en prenant $g_k = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k^{-1}\end{pmatrix}$ selon $L$ et n'importe quel supplémentaire, ça devrait être bon. -Réciproquement, !! -#+END_proof +Réciproquement, par décomposition polaire, on peut écrire $g_k = O_k D_k O_k'$, et supposer que $O_k \ra O_{\i}$ et $O_{k}'\ra O_{\i}'$, et $D_k = \begin{pmatrix}\la_k & 0 \\ 0 & \la_k^{-1}\end{pmatrix}$, avec $\la_k\geq 1$. + +On prend alors $e_L = O_{\i} e_1$. En effet, pour $x = O_{\i}'^{-1} (e_1 + y)$, on a $g_k x = O_k ((\la_k + o_{+\i}(\la_k)) e_1 + (\la_k^{-1} + o_{+\i}(\la_k^{-1}))e_2)$, donc, pour que ça tende vers $0$, il faut que $\phi(O_k e_1)\ra 0$, au moins un. + +En fait, les $m$ facteurs pour lesquels $\phi(O_{\i} e_1)\neq 0$ contribuent (en termes d'équivalent) $\la_k^m$. + +Lemme : Si $g_k$ est une suite, et $\phi$ est fixée, il existe une extraction, et un vecteur $x$ tel que $\phi(g_k(x))$ soit au moins de l'ordre de $\la_k^{-1}$. +Démonstration : Sinon, c'est que $\phi(g_k(x)) = o(\la_k^{-1})$, pour tout $x$. Prendre une BON $(e_1,e_2)$ avec $e_1$ dans le noyau de $\phi$. Les coordonnées de $g_k$ sont de taille au plus $\la_k$ donc l'un de $g_k(e_1), g_k(e_2)$ doit avoir une coordonnée en bas pas trop petite. + +On applique ça aux éléments qui ont $L$ dans leur noyau, et $e_L$ pour les autres. +#+end_proof + #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 43] Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$ @@ -676,7 +701,7 @@ Easy, on a $\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x #+begin_exercice [ENS 2023 # 60] On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire $(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$. On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection orthogonale de $1$ sur $F$. -On ecrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et $P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$. +On écrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et $P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$. - Déterminer $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour $k\in\db{1,n]\!]$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in[\![1,n}$. - Calculer $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\,dx$. #+end_exercice @@ -700,7 +725,7 @@ Soient $(E,\langle\rangle)$ un espace euclidien, $m \in \N^* \et u, u_1, \ldots, #+begin_exercice [ENS 2023 # 62] -Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'ecrit d'une unique façon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire superieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$. +Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'écrit d'une unique façon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire supérieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$. #+end_exercice #+BEGIN_proof C'est GS. @@ -708,10 +733,10 @@ C'est GS. #+begin_exercice [ENS 2023 # 63] -[Rennes sur dossier] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice antisymetrique et inversible. +[Rennes sur dossier] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice antisymétrique et inversible. - Que peut-on dire de l'entier $n$? - - En considerant $M^2$, montrer que $M$ admet un plan stable puis qu'il existe une matrice orthogonale $O\in{\cal O}_n({\R})$ telle que $O^TMO$ soit une matrice diagonale par blocs de la forme $\mathrm{diag}(R_{a_1},...,R_{a_k})$, avec $R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$. - - Qu'en est-il si $M$ n'est plus supposee inversible? + - En considérant $M^2$, montrer que $M$ admet un plan stable puis qu'il existe une matrice orthogonale $O\in{\cal O}_n({\R})$ telle que $O^TMO$ soit une matrice diagonale par blocs de la forme $\mathrm{diag}(R_{a_1},...,R_{a_k})$, avec $R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$. + - Qu'en est-il si $M$ n'est plus supposée inversible? #+end_exercice #+BEGIN_proof 1. pair. @@ -761,11 +786,11 @@ Classique #+begin_exercice [ENS 2023 # 69] Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$. - - Déterminer les valeurs propres de $J$ et leur multiplicite. + - Déterminer les valeurs propres de $J$ et leur multiplicité. - Soit $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$. Montrer qu'il existe une matrice $B\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telle que $B^2=A$. - Que peut-on dire de la matrice $BJB$? - Lorsque $A$ est diagonale, calculer les valeurs propres de $JA$. - - Montrer plus généralement que toute valeur propre d'une matrice antisymetrique réelle est imaginaire pure. + - Montrer plus généralement que toute valeur propre d'une matrice antisymétrique réelle est imaginaire pure. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 70] @@ -795,7 +820,7 @@ Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On définit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un #+begin_exercice [ENS 2023 # 73] On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonne d'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$. - Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, que dire du signe de $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$ -Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O - {i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ verifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$. +Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O - {i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ vérifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 74] @@ -874,16 +899,17 @@ Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 84] -Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermee si et seulement si $A$ est diagonalisable sur $\C$. +Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermée si et seulement si $A$ est diagonalisable sur $\C$. #+end_exercice + #+begin_exercice [ENS 2023 # 85] - - On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que : - + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ dont les cotes sont paralleles aux axes ; - + les $C_i$ soient d'interieurs deux a deux disjoints ; + - On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Démontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que : + + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carré de $\R^2$ dont les cotes sont parallèles aux axes ; + + les $C_i$ soient d'intérieurs deux a deux disjoints ; + $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$. - - On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que : + - On note $C=[-1,1]^2$. Démontrer qu'il existe une suite $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que : + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de $\R^2$ ; - + les $D_i$ soient d'interieurs deux a deux disjoints ; + + les $D_i$ soient d'intérieurs deux a deux disjoints ; + $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$. #+end_exercice @@ -930,7 +956,7 @@ Ensuite, utiliser une convexité ? #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 90] -On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornees de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ decrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des réels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$. +On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornées de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ décrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des réels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 91] @@ -959,25 +985,25 @@ Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 #+begin_exercice [ENS 2023 # 93] -Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement decroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite définie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un réel strictement positif. +Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement décroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite définie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un réel strictement positif. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 94] -Soit $(u_n)$ une suite définie par $:\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adherence de $(u_n)$. +Soit $(u_n)$ une suite définie par $:\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adhérence de $(u_n)$. - Montrer que, pour tous $x$ et $y\in{\R}$, $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$. - Montrer que $u_{n+1}-u_n\to 0$. - Montrer que $V$ est un intervalle inclus dans $[-1,1]$, puis que $V=[-1,1]$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 95] -Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densite si la suite $\left(\frac{|A\cap\db{1,n}|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite. Cette limite est alors notee $d(A)$. - - Si $m\in{\N}^*$, quelle est la densite de l'ensemble des multiples de $m$ dans ${\N}^*$? - - Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densite que l'on precisera. +Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densité si la suite $\left(\frac{|A\cap\db{1,n}|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite. Cette limite est alors notée $d(A)$. + - Si $m\in{\N}^*$, quelle est la densité de l'ensemble des multiples de $m$ dans ${\N}^*$? + - Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densité que l'on precisera. - Donner un exemple de partie de ${\N}^*$ n'admettant pas de densite. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 96] -On considère une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ieme occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ieme occurrence de $2$ soit egal a $a_n$. +On considère une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ième occurrence de $2$ soit égal a $a_n$. Étudier la convergence de la suite de terme général $\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\db{1,n},\,a_k=3\}\big{|}$. #+end_exercice @@ -1054,7 +1080,7 @@ On peut supposer $f'(a) = f'(b) = 0$. À relier. #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 104] -Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit derivable en aucun point. +Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit dérivable en aucun point. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 105] @@ -1063,6 +1089,7 @@ Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier #+BEGIN_proof $f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle, $f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$. #+END_proof + #+begin_exercice [ENS 2023 # 106] Soit $p\gt 1$ un réel. Montrer qu'il existe une constante $k_p\gt 0$ telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait $(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$. #+end_exercice @@ -1074,13 +1101,13 @@ Montrer que $f^*(x)=\sup_{a\text{ affine }\leq f}a(x)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 108] -Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynomes réels stable par derivation. On définit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$. +Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynômes réels stable par derivation. On définit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$. Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient $A_{\eps}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et $B_{\epsilon}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$. - - Montrer que $A_{\eps}$ est soit vide, soit reduit a un point, soit un intervalle ouvert. - - Si $A_{\eps}$ est non vide, montrer que $B_{\eps}$ est l'adherence de $A_{\eps}$. Si $A_{\eps}$ est vide, montrer que $B_{\eps}$ est soit vide suit un singleton. + - Montrer que $A_{\eps}$ est soit vide, soit réduit a un point, soit un intervalle ouvert. + - Si $A_{\eps}$ est non vide, montrer que $B_{\eps}$ est l'adhérence de $A_{\eps}$. Si $A_{\eps}$ est vide, montrer que $B_{\eps}$ est soit vide suit un singleton. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 109] @@ -1088,7 +1115,7 @@ Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^n$. - Soient $x_0,\ldots,x_n$ des points de $I$. On note $V(x_0,\ldots,x_n)$ le déterminant de Vandermonde associe a $(x_0,\ldots,x_n)$. Montrer qu'il existe $\tau\in I$ tel que $\begin{vmatrix}1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^{n-1}&f(x_0)\\ 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}&f(x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}&f(x_n)\\ \end{vmatrix}=\dfrac{f^{(n)}(\tau)}{n!}\,V(x_0,x_1,\ldots,x_n)$ - - On suppose que $n=2$, que $I$ est un segment et que $f$ est strictement convexe. On note $\Gamma_f=\{(x,f(x));x\in I\}\subset\R^2$ le graphe de $f$. Montrer qu'il existe une constante $C$, dependant uniquement de $I$ et $f$, telle que le nombre de points de $\Gamma_f\cap\frac{1}{N}\,\Z^2$ soit majore par $C\,N^{2/3}$ pour tout entier $N\geq 1$. + - On suppose que $n=2$, que $I$ est un segment et que $f$ est strictement convexe. On note $\Gamma_f=\{(x,f(x));x\in I\}\subset\R^2$ le graphe de $f$. Montrer qu'il existe une constante $C$, dépendant uniquement de $I$ et $f$, telle que le nombre de points de $\Gamma_f\cap\frac{1}{N}\,\Z^2$ soit majore par $C\,N^{2/3}$ pour tout entier $N\geq 1$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 110] @@ -1096,7 +1123,7 @@ Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$. - Montrer que $(w_n)_{n\geq 0}$ est decroissante. - Etablir une relation de recurrence entre $w_{n+2}$ et $w_n$. - Sans utiliser la formule de Stirling, déterminer un équivalent simple de $w_n$. - - Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum w_nx^n$. + - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum w_nx^n$. #+end_exercice @@ -1106,7 +1133,8 @@ Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$. 2. Soit $Q \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1 comptées avec multiplicité. #+END_exercice #+BEGIN_proof - + 1. Écrire $\frac{P'}{P}$ en éléments simples, puis développement en série à l'intérieur de l'intégrale. + 2. Prendre un arc continu entre les deux. #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 112] @@ -1137,19 +1165,19 @@ On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}f_i(x_j)\big{)}$ et $C(x_1,\dots,x_n)=\det\ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 116 - La fonction $f:x\in[1,+\i[\,\mapsto\frac{\sin(x^2)}{x}$ est-elle uniformement continue?] -- Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\R^+$ dans $\R$ admettant une limite en $+\i$ et telle que $f'$ est uniformement continue. Est-ce que $f'$ a une limite en $+\i$? +- Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\R^+$ dans $\R$ admettant une limite en $+\i$ et telle que $f'$ est uniformément continue. Est-ce que $f'$ a une limite en $+\i$? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 117] -[Rennes sur dossier] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P - {n\in\N}$ une suite de polynomes a coefficients réels de degre au plus $d$ et $x_1,...,x_N$ des réels distincts. On suppose que pour tout $j\in\{1,...,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornee. Montrer que l'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui converge uniformement sur $[0,1]$ vers un polynome de degre au plus $d$. +[Rennes sur dossier] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P - {n\in\N}$ une suite de polynômes a coefficients réels de degré au plus $d$ et $x_1,...,x_N$ des réels distincts. On suppose que pour tout $j\in\{1,...,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornée. Montrer que l'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui converge uniformément sur $[0,1]$ vers un polynôme de degré au plus $d$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 118] -Montrer que la suite de fonctions de terme général $f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformement sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. +Montrer que la suite de fonctions de terme général $f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformément sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 119] -On note $I$ (resp. $S$) l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to[0,1]$ telles que, pour tout $a\in\R$, l'ensemble $\{x\in[0,1],f(x)\leq a\}$ est ferme (resp. de meme avec l'inegalite dans l'autre sens). +On note $I$ (resp. $S$) l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to[0,1]$ telles que, pour tout $a\in\R$, l'ensemble $\{x\in[0,1],f(x)\leq a\}$ est ferme (resp. de meme avec l'inégalité dans l'autre sens). - Montrer que $S\cap I$ est l'ensemble $C$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$. - Soit $f:[0,1]\to[0,1]$. On pose $f_n:x\mapsto\inf(\{1\}\cup\{f(y)+n|x-y|,y\in[0,1]\})$ pour $n\in\N$. Montrer que $f_n$ est continue pour tout $n$, que la suite $(f_n)$ est croissante et que $f\in I$ si et seulement si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$. #+end_exercice @@ -1167,8 +1195,9 @@ Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 121] -Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractere non trivial $\chi$ sur le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c'est-a-dire un morphisme de groupes non constant $\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n'est pas premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou $\overline{m}$ designe la classe de $m$ modulo $q$). - - Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si et seulement si $s\gt 0$. - Montrer que la fonction $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$. +Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractère non trivial $\chi$ sur le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c'est-a-dire un morphisme de groupes non constant $\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n'est pas premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou $\overline{m}$ désigne la classe de $m$ modulo $q$). + - Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si et seulement si $s\gt 0$. + - Montrer que la fonction $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 122] @@ -1179,19 +1208,19 @@ C'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. Cela ten #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 123] -Pour tout polynome trigonometrique $P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$. +Pour tout polynôme trigonométrique $P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$. -On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynomes trigonometriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-periodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On définit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$. +On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynômes trigonométriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-périodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On définit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$. - Montrer qu'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que, pour tous $f$, $g\in{\cal T}$, $\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$. - - Déterminer tous les réels $d$ verifiant la condition de la question précédente. + - Déterminer tous les réels $d$ vérifiant la condition de la question précédente. - Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose, pour $k\in{\Z}$, $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$ et, pour tout $d\in{\R}$, $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Déterminer les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$. - - Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodiques et $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$. + - Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-périoddiques et $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 124] -Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose $f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Ecrire $f(z)$ sous la forme $\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que $c_n=0$. +Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose $f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Écrire $f(z)$ sous la forme $\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que $c_n=0$. #+end_exercice @@ -1206,30 +1235,30 @@ Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entièr Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$. - Déterminer les rayons de convergence de $f$ et $g$. - Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge. - - Montrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur ${\C}\setminus\{1\}$, développable en série entiere en tout point de ${\C}\setminus\{1\}$. + - Montrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur ${\C}\setminus\{1\}$, développable en série entière en tout point de ${\C}\setminus\{1\}$. - Montrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$. - Montrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$. - Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrer que $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$. - Soit $h:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrer que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$. - - Montrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas développable en série entiere en $z_0$. + - Montrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas développable en série entière en $z_0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 127] Soit $\alpha=(\alpha - {i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d'un certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$. - - Déterminer, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la série entiere $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$. + - Déterminer, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$. -Dans la suite, on note $f$ la somme de cette série entiere. +Dans la suite, on note $f$ la somme de cette série entière. - Expliciter $f$ si $\alpha=(-\delta_{i,1})_{i\geq 1}$. - - Pour une somme $g$ de série entiere sur un intervalle $]-a,a[$ non trivial, on pose $\Delta(g):z\mapsto zg'(z)$. Expliciter $P(\Delta)(g)$ lorsque $g:z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et $P\in\R[X]$. + - Pour une somme $g$ de série entière sur un intervalle $]-a,a[$ non trivial, on pose $\Delta(g):z\mapsto zg'(z)$. Expliciter $P(\Delta)(g)$ lorsque $g:z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et $P\in\R[X]$. - Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a un rayon de convergence non nul et donner une methode simple pour trouver une équation différentielle lineaire non triviale a coefficients polynomiaux dont sa somme est solution. - - Resoudre le meme probleme qu'en (d) lorsqu'il existe $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$. + - Résoudre le meme probleme qu'en (d) lorsqu'il existe $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$. - Justifier que le cadre de la question - s'applique bien a la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 128] Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{n!\,(30n)!}{(15n)!\,(10n)!\,(6n)!}$. - Montrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier. - - Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum u_nx^n$. - - Trouver une équation différentielle vérifiée par la somme de la série entiere précédente. + - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum u_nx^n$. + - Trouver une équation différentielle vérifiée par la somme de la série entière précédente. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 129] @@ -1240,9 +1269,9 @@ Cf un précédent #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 130] -- Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une série entiere de rayon $R\gt 0$. Montrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$. - - Soit $f$ une fonction développable en série entiere de rayon de convergence egal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuite sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est développable en série entiere au voisinage de $0$. - - On admet que le rayon de convergence du développement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du développement en série entiere en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer $M$ en fonction de $f$. +- Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une série entière de rayon $R\gt 0$. Montrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$. + - Soit $f$ une fonction développable en série entière de rayon de convergence égal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuité sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$. + - On admet que le rayon de convergence du développement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du développement en série entière en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer $M$ en fonction de $f$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 131] @@ -1275,7 +1304,7 @@ Pour $x$ réel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 135] -Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g\colon x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. Montrer que $f\star g$ est derivable et donner une expression de sa derivee. +Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g\colon x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. Montrer que $f\star g$ est dérivable et donner une expression de sa derivée. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 136] @@ -1284,7 +1313,7 @@ Soit $f:]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$, on pose $a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,du$. - On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. - On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_n(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$ et tout $n\in\N^*$. - - Reciproquement, on suppose $f$ de classe $\mc C^2$ et $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. Montrer que $f$ est strictement convexe. + - Réciproquement, on suppose $f$ de classe $\mc C^2$ et $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. Montrer que $f$ est strictement convexe. #+end_exercice @@ -1338,11 +1367,11 @@ Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 141] -Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application derivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$. +Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application dérivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 142] -Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-periodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'équation $u^{''}+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$. +Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-périoddique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'équation $u^{''}+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 143] @@ -1359,7 +1388,7 @@ Soit $A\in\M_3(\R)$. Décrire le comportement asymptotique en $+\i$ des solution On considère l'équation différentielle $(1)\colon X'(t)=P(t)X(t)$ où $P$ est une application continue et périodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. - Résoudre $(1)$ si $\forall t\in\R,\ P(t)=\left(\begin{array}{cc}1&\cos(t)\\ 0&-1\end{array}\right)$. - On revient au cas général. Soit $T\in\R^{+*}$ une période de $P$. On note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l'espace des solutions de $(1)$ et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer qu'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$. - - Avec les notations de la question précédente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-periodique. + - Avec les notations de la question précédente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-périoddique. #+end_exercice #+BEGIN_proof - @@ -1443,7 +1472,13 @@ On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, de classe On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$. #+END_exercice #+BEGIN_proof +La fonction $g = \op{Id} - f$ vérifie $\lN dg_u (v) - g(0)\rN\leq \frac{1}{2}$. En intégrant, on obtient $\lN g(x)\rN\leq \frac{1}{2}$ sur $B$. +Cela justifie que $\lN f\rN$ admet un minimum dans l'intérieur de la boule. L'inégalité de l'énoncé donne $df_u$ inversible, donc le minimum ne peut être atteint qu'en un point où $f$ s'annule. + +Si $f$ s'annule en deux points $x_1$ et $x_2$, la fonction $g$ a deux points fixes, mais sa différentielle est de norme $\leq \frac{1}{2} + \lN f(0)\rN$, avec par ailleurs $\lN f(0)\rN\leq \frac{1}{2}$. Donc il faudrait que $\lN f(0)\rN = \frac{1}{2}$, et que le long du chemin entre $x_1$ et $x_2$, on ait $d g_{\dots}(x_2-x_1)$ parallèle (de même sens) à $f(0)$, donc $x_2 - x_1$ est également parallèle à $f(0)$. + +Mieux : On a $\lN f(0)\rN = \frac{1}{2}$ et $\lN dg_u(v) - f(0)\rN\leq \frac{1}{2}$, donc $\lN dg_u(v)\rN$ doit être nul : $f(v) = v + f(0)$. #+END_proof ** Géométrie @@ -1452,7 +1487,7 @@ On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée d - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$ tel que $\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$. - - Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degre de $T_n\,?$ En déduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$. + - Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degré de $T_n\,?$ En déduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$. - Déterminer les triangles du plan euclidien dont les cotes ont des longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels de $\pi$. #+end_exercice @@ -1461,7 +1496,13 @@ $\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$. Soit $G$ un groupe d'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ contient une translation autre que l'identité de $\R^2$. #+END_exercice #+BEGIN_proof -Faux pour $G = O_2$. +Vrai pour $G = O_2$, avec $x=\vec 0$. + +Les éléments de $G$ sont de la forme $z\mapsto az + b$, ou $z\mapsto a\ol{z} + b$, avec $a\in\m U$. + +On considère $G^+$ (isométries affines qui préservent l'orientation), dont les éléments ont un unique point fixe. Si il existe deux éléments qui ne commutent pas dans $G^+$, on s'en sort : conjuguer, puis multiplier par l'inverse. Par ailleurs, deux éléments commutent si et seulement si ils ont le même point fixe. + +Si tous les éléments de $G^+$ ont le même point fixe, tout élément de $G^{-}$ (qui a une droite de points fixes) doit préserver ce point, sinon on créerai d'autres éléments de $G^+$ avec un point fixe différent. #+END_proof @@ -1477,15 +1518,15 @@ Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s'accumule. On peut supposer qu'elle s'ac #+begin_exercice [ENS 2023 # 159] Soit $L$ la courbe du plan complexe d'équation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$. - - Trouver une équation cartesienne réelle définissant $L$. - - En déduire une parametrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - Montrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'ecrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$. + - Trouver une équation cartésienne réelle définissant $L$. + - En déduire une paramétrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - Montrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'écrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$. - Montrre que $A$ définit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$. - - On définit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ verifie une équation différentielle du second ordre. + - On définit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ vérifie une équation différentielle du second ordre. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 160] Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2$ et on note $\mathrm{Vol}(L)=|\mathrm{det}(e_1,e_2)|$. - - Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d'aire strictement superieure a $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu'il existe deux éléments distincts $x$ et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$. + - Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d'aire strictement supérieure a $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu'il existe deux éléments distincts $x$ et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$. - Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un élément $\ell$ tel que $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\mathrm{Vol}(L)}$. - Soit $p$ un nombre premier congru a $1$ modulo $4$. - Montrer qu'il existe $\omega\in\Z$ tel que $p$ divise $1+\omega^2$. @@ -1493,13 +1534,13 @@ Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2 #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 161] -- On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que : - - pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ dont les cotes sont paralleles aux axes ; - - les $C_i$ soient d'interieurs disjoints ; +- On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Démontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que : + - pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carré de $\R^2$ dont les cotes sont parallèles aux axes ; + - les $C_i$ soient d'intérieurs disjoints ; - $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$. - - On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que : + - On note $C=[-1,1]^2$. Démontrer qu'il existe une suite $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que : - pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de $\R^2$ ; - - les $D_i$ soient d'interieurs disjoints ; + - les $D_i$ soient d'intérieurs disjoints ; - $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$. #+end_exercice @@ -1553,7 +1594,7 @@ Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois. # ID:6836 #+begin_exercice [ENS 2023 # 166] -Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une pièce truquée donnant pile avec une probabilité égale à $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aléatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$). +Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une pièce truquée donnant pile avec une probabilité égale à $5/9$. Les règles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers indépendants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aléatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$). - Trouver un équivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right)$. - Montrer que $\mathbf{P}\left(A_n\geq B_n\right)\geq\frac{1}{2}$. - Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)$ ? @@ -1606,7 +1647,7 @@ Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 171] -Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynomes unitaires de degre $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicites). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$. +Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicités). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 172] @@ -1635,14 +1676,14 @@ On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \db{1, N}$, pu #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 174] -Dans tout l'enonce, on fixe un entier $p\geq 1$. +Dans tout l'énonce, on fixe un entier $p\geq 1$. - Développper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ de nombres réels. - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$. - Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq p^p(\mathbf{E}(X^2))^p$. - Soit $(a - {k\geq 1}$ une suite réelle telle que $\sum_{k=1}^{+\i}a_k^2=1$. Soient $x\in\R$ et $Y_x=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx)\,X_i$. -Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au moins une valeur inferieure ou egal a $2\pi p^p$. +Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au moins une valeur inférieure ou égal a $2\pi p^p$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 175] @@ -1654,14 +1695,14 @@ suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables al #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 176] -Une variable aléatoire discrète réelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aléatoires discrètes réelles non presque surement constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aléatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aléatoire binomiale est-elle decomposable? - - Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$. En déduire une variable aléatoire réelle discrète decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable. +Une variable aléatoire discrète réelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aléatoires discrètes réelles non presque sûrement constantes et indépendantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aléatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aléatoire binomiale est-elle decomposable? + - Montrer que le polynôme $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynômes de degré $2$ a coefficients dans $\R^+$. En déduire une variable aléatoire réelle discrète decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable. - Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme que $\db{0,n-1}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 178] -On fixe $n\in\N^*$ et on pose $X=\db{1,n}$. Soient $A$ et $B$ des variables aléatoires independantes uniformement distribuees sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$. +On fixe $n\in\N^*$ et on pose $X=\db{1,n}$. Soient $A$ et $B$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$. - Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$). - Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - Pour $i\in\db{1,n}$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Déterminer la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$. @@ -1670,14 +1711,14 @@ On fixe $n\in\N^*$ et on pose $X=\db{1,n}$. Soient $A$ et $B$ des variables alé # ID:6839 #+begin_exercice [ENS 2023 # 179] -Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considère un échiquier $n\times n$. On colorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilité $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilité pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constitué uniquement de cases rouges (les deplacements ne se font pas en diagonale) ? Que dire de la fonction $Q$? +Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considère un échiquier $n\times n$. On colorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilité $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilité pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constitué uniquement de cases rouges (les déplacements ne se font pas en diagonale) ? Que dire de la fonction $Q$? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 180] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires independantes de loi de Rademacher. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ pour $n\geq 1$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Rademacher. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ pour $n\geq 1$. - Calculer l'espérance du nombre $R$ de retour en zero de la suite $(S_n)_{n\geq 1}$. - - Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la probabilité qu'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est egale a $1$. - - Montrer que l'evenement $(R=+\i)$ est presque sûr. + - Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la probabilité qu'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est égale a $1$. + - Montrer que l'évènement $(R=+\i)$ est presque sûr. #+end_exercice #+BEGIN_proof - Passer par la probabilité de premier retour en $0$, il faut tout refaire… @@ -1685,11 +1726,11 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires independantes de loi d #+begin_exercice [ENS 2023 # 181] -Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et $(m - {k\in\N}$ une suite de réels positifs de somme 1. On considère un arbre aléatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aléatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aléatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement independantes. On note $X_1$ la variable aléatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caracteriser le fait que la longueur de l'arbre soit presque surement finie. +Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et $(m - {k\in\N}$ une suite de réels positifs de somme 1. On considère un arbre aléatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aléatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aléatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement indépendantes. On note $X_1$ la variable aléatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caracteriser le fait que la longueur de l'arbre soit presque surement finie. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 182] -On construit iterativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aléatoirementun point dans $\db{1,k}$ (avec probabilité uniforme) et on rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere independante les uns des autres. +On construit iterativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aléatoirementun point dans $\db{1,k}$ (avec probabilité uniforme) et on rajoute une arete orientée de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere indépendante les uns des autres. - On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre d'aretes partant du point $1$. Déterminer l'espérance et la variance de $X_n$. - On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Déterminer la loi de $S_n$. - Calculer l'espérance du nombre de feuilles de l'arbre. @@ -1713,12 +1754,12 @@ Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retir #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 184] -Une variable aléatoire réelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\db{1,n}}$ i.i.d. et admettant des moments d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante. +Une variable aléatoire réelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\db{1,n}}$ i.i.d. et admettant des moments d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornée et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 185] -On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aléatoires independantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$. - - Quelle relation doivent verifier $a_i$ et $p_i$ pour que $\mathbf{V}(X_i)=1$? Dans toute la suite, on suppose cette relation verifiee et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. +On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aléatoires indépendantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$. + - Quelle relation doivent vérifier $a_i$ et $p_i$ pour que $\mathbf{V}(X_i)=1$? Dans toute la suite, on suppose cette relation vérifiée et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. - Calculer la variance de $n^{-1/2}S_n$. - Montrer que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))=\prod_{i=1}^n\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tX_i)$. - En déduire que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$. @@ -1770,7 +1811,7 @@ C'est simple : On peut passer d'un somme à un autre en au plus $\frac{n d}{2}$ *** Algèbre #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 191] -Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in\mc{L}(E)$, annule par un polynome $Q$ tel que $Q(0)=0$ et $Q'(0)\neq 0$. Montrer que $\op{Ker}u$ et $\op{Im}u$ sont supplementaires. +Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in\mc{L}(E)$, annule par un polynôme $Q$ tel que $Q(0)=0$ et $Q'(0)\neq 0$. Montrer que $\op{Ker}u$ et $\op{Im}u$ sont supplementaires. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 192] @@ -1783,7 +1824,7 @@ Soient $E$ un $\C$ espace vectoriel de dimension finie $n$, $f\in\mc{L}(E)$. On - Calculer $\phi_f^n(g)$ pour $g\in\mc{L}(E)$. - Montrer que $f^{n+1}\circ g-g\circ f^{n+1}=\sum_{k=0}^nf^k(f\circ g-g\circ f)f^{n-k}$. - On suppose $f$ non inversible. Montrer que $f$ est nilpotente si et seulement si $\phi_f$ l'est. - - Montrer que, si $f$ possede une unique valeur propre, alors $\phi_f$ est nilpotente. Étudier la reciproque. + - Montrer que, si $f$ possede une unique valeur propre, alors $\phi_f$ est nilpotente. Étudier la réciproque. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 194] @@ -1795,14 +1836,14 @@ $a_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+1=j\\ -c_{i-1}\ \ \text{si }j=n\end{cases - Montrer que $PB$ est triangulaire puis en déduire que $B$ est inversible. - Montrer que $AB=BA^T$. - Montrer que $A^T$ est semblable a $A$. - - Montrer que $A$ s'ecrit comme le produit de deux matrices symetriques. + - Montrer que $A$ s'écrit comme le produit de deux matrices symétriques. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 195] -- Soit $A\in\M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que, pour tout polynome $P$ a coefficients complexes, la matrice $P(A)$ est diagonalisable. - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$ diagonalisable. Décrire l'ensemble des matrices inversibles $P$ telles que $P^{-1}AP$ soit diagonale. - - Soient $A$ et $B$ deux matrices codiagonalisables. On suppose que $B$ a des valeurs propres deux a deux distinctes. Montrer qu'il existe un polynome $P\in{\C}[X]$ tel que $A=P(B)$. - - On suppose toujours $A$ et $B$ codiagonalisables mais on ne suppose plus $B$ a valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une matrice $C$ et deux polynomes $P$ et $Q$ tels que $A=P(C)$ et $B=Q(C)$. - - La matrice $\left(\begin{array}{cc}-1&0\\ 0&-4\end{array}\right)$ est-elle le carre d'une matrice réelle? +- Soit $A\in\M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que, pour tout polynôme $P$ a coefficients complexes, la matrice $P(A)$ est diagonalisable. - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$ diagonalisable. Décrire l'ensemble des matrices inversibles $P$ telles que $P^{-1}AP$ soit diagonale. + - Soient $A$ et $B$ deux matrices codiagonalisables. On suppose que $B$ a des valeurs propres deux a deux distinctes. Montrer qu'il existe un polynôme $P\in{\C}[X]$ tel que $A=P(B)$. + - On suppose toujours $A$ et $B$ codiagonalisables mais on ne suppose plus $B$ a valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une matrice $C$ et deux polynômes $P$ et $Q$ tels que $A=P(C)$ et $B=Q(C)$. + - La matrice $\left(\begin{array}{cc}-1&0\\ 0&-4\end{array}\right)$ est-elle le carré d'une matrice réelle? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 196] @@ -1813,7 +1854,7 @@ _Ind._ Commencera par $A$ inversible. #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 197] Soient $E$ un ${\R}$-espace vectoriel de dimension $d\in{\N}^*$ et $f\in{\cal L}(E)$ telle que $f\circ f=-$id. - - Donner un exemple d'application $f$ verifiant les hypotheses en dimension 2. + - Donner un exemple d'application $f$ vérifiant les hypotheses en dimension 2. - Montrer que $f$ n'a pas de valeur propre réelle. Montrer que $E$ est de dimension paire. - Montrer qu'il existe $(e_1,\ldots,e_p)$ telle que $(e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))$ soit une base de $E$ avec $d=2p$. Donner la matrice de $f$ dans cette base. #+end_exercice @@ -1822,7 +1863,7 @@ Soient $E$ un ${\R}$-espace vectoriel de dimension $d\in{\N}^*$ et $f\in{\cal L} Soient $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $AB-BA=A$. - Montrer que $A^kB-BA^k=kA^k$ pour $k\in{\N}$. - On définit l'application $\phi_B:M\mapsto MB-BM$. - - Verifier que $\phi_B$ est un endomorphisme et caracteriser son noyau. + - Vérifier que $\phi_B$ est un endomorphisme et caracteriser son noyau. - Montrer que, si $A^p\neq 0$, alors $p$ est une valeur propre de $\phi_B$. - La matrice $A$ est-elle nilpotente? Justifier. #+end_exercice @@ -1839,12 +1880,12 @@ On note ${\cal S}\subset{\cal M}_n({\R})$ l'ensemble des matrices stochastiques _c) i)_ Montrer que, pour tout $A\in{\cal S}$, on a ${\rm Sp}(A)\subset\{z\in{\C},|z|\leq 1\}$. _Ind._ Si $X=(x_1,\cdots,x_n)\in{\C}^n$ est un vecteur propre, considèrer $|x_i|=\max_{1\leq j\leq n}|x_j|$. - - Soient $\lambda\in{\rm Sp}\,A$ telle que $|\lambda|=1$. Montrer que $\lambda$ est une racine $\ell$-ieme de l'unite avec $\ell\leq n$. + - Soient $\lambda\in{\rm Sp}\,A$ telle que $|\lambda|=1$. Montrer que $\lambda$ est une racine $\ell$-ième de l'unite avec $\ell\leq n$. - On suppose que $A=(a_{i,j})\in{\cal S}$ est telle que $a_{i,j}\gt 0$ pour tout $(i,j)\in\db{1,n}^2$. - Montrer que 1 est une valeur propre de $A$ et que $\dim\ker\,(A-I_n)=1$. - - Montrer que si $\lambda\in{\rm Sp}(A)\setminus\{1\}$ alors $|\lambda|\lt 1$. - On dit que $B\in\M_n(\R)$ verifie $(\mc{P})$ si : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2$, $b_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nb_{i,k}\leq 1$. - - Montrer que si $B=(b_{ij})\in\M_n(\R)$ verifie $(\mc{P})$ alors $|\det B|\leq 1$. - - Déterminer l'ensemble des matrices $B\in\M_n(\R)$ qui verifient $(\mc{P})$ ainsi que $|\det B|=1$. + - Montrer que si $\lambda\in{\rm Sp}(A)\setminus\{1\}$ alors $|\lambda|\lt 1$. - On dit que $B\in\M_n(\R)$ vérifie $(\mc{P})$ si : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2$, $b_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nb_{i,k}\leq 1$. + - Montrer que si $B=(b_{ij})\in\M_n(\R)$ vérifie $(\mc{P})$ alors $|\det B|\leq 1$. + - Déterminer l'ensemble des matrices $B\in\M_n(\R)$ qui vérifient $(\mc{P})$ ainsi que $|\det B|=1$. - Déterminer l'ensemble des matrices stochastiques dont la valeur absolue du déterminant vaut 1. #+end_exercice @@ -1856,7 +1897,7 @@ $\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\db{1,n }\,\sigma(v_i)\in\ - Montrer que $\mathbb{D}_{2n}$ est un sous-ensemble finie de $\mc{O}(E)$. - Montrer que $\mathbb{D}_{2n}$ est stable par composition et passage a l'inverse. - Exprimer $\mathbb{D}_6$ et $\mathbb{D}_8$. - - Si $\sigma\in\mathbb{D}_{2n}$ verifie $\sigma(v_1)=v_i$, montrer que $\sigma(v_2)=v_{i-1}$ ou $\sigma(v_2)=v_{i+1}$. + - Si $\sigma\in\mathbb{D}_{2n}$ vérifie $\sigma(v_1)=v_i$, montrer que $\sigma(v_2)=v_{i-1}$ ou $\sigma(v_2)=v_{i+1}$. - En déduire que le cardinal de $\mathbb{D}_{2n}$ est $2n$. - Montrer que $\mathbb{D}_{2n}=\{\mathrm{id},r,sr,r^2,sr^2,r^3,sr^3,\ldots\}$ ou $s$ est une reflexion et $r$ une rotation d'angle $\mathrm{Arccos}\ (\langle v_1,v_2\rangle)$. - On note $D=\bigcup_{n\geq 3}D_{2n}$. Montrer que pour tout $\sigma\in\mc{O}(E)$, il existe une suite $(\sigma - {k\geq 0}\in D^{\N}$ telle que $\sigma=\lim_{k\ra+\i}\sigma_k$. @@ -1867,20 +1908,20 @@ $\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\db{1,n }\,\sigma(v_i)\in\ - Montrer que $\phi$ est un automorphisme. - Déterminer les valeurs propres de $\phi$. - L'application $\phi$ est-elle diagonalisable? Justifier. - - On fixe un réel $\mu\gt 0$. Soit $f$ l'application $t\mapsto(4\mu t^2,2\mu t)$ de $\R$ dans $\R^2$. On suppose que $t_0$ et $t_1$ sont deux réels tels que les tangentes au support de la courbe paramètree définies par $f$ sont orthogonales. + - On fixe un réel $\mu\gt 0$. Soit $f$ l'application $t\mapsto(4\mu t^2,2\mu t)$ de $\R$ dans $\R^2$. On suppose que $t_0$ et $t_1$ sont deux réels tels que les tangentes au support de la courbe paramètrée définies par $f$ sont orthogonales. - Montrer que $4t_0t_1+1=0$. - Montrer que le point d'intersection des tangentes en $f(t_0)$ et $f(t_1)$ appartient a une droite fixe. - Soient $Q\in\mc{O}_n(\R)$ et $X,Y\in\M_{n,1}(\R)$. - Montrer que $(QX)^T(QY)=X^TY$. - Déterminer les valeurs propres réelles de $Q$ puis montrer que deux vecteurs propres associés a des valeurs propres réelles distinctes sont orthogonaux. - - Soit $M\in\mc{O}_2(\R)$ diagonalisable sur $\R$. Montrer, qu'a similitude pres, $M$ peut prendre exactement trois formes distinctes. Pour chacune d'entre elles donner la transformation geometrique du plan correspondante. + - Soit $M\in\mc{O}_2(\R)$ diagonalisable sur $\R$. Montrer, qu'a similitude pres, $M$ peut prendre exactement trois formes distinctes. Pour chacune d'entre elles donner la transformation géométrique du plan correspondante. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 203] -- Soit $A\in S^+_n(\R)$ de rang $k$. Montrer qu'il existe des vecteurs $U_1,\ldots,U_k$ lineairement independants dans $\R^n$ tels que $A=\sum_{j=1}^kU_jU_j^T$.Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$. Leur produit d'Hadamard $A\circ B\in{\cal M}_n(\R)$ est la matrice de terme général $a_{ij}b_{ij}$. - - Montrer que, si $A$ et $B$ sont des matrices symetriques de rang $1$, alors $A\circ B$ est symetrique de rang au plus $1$. - - Montrer que, si $A$ et $B$ sont symetriques positives, alors $A\circ B$ est symetrique. - - Si $A$ et $B$ sont symetriques positives, montrer que $A\circ B$ est symetrique positive. +- Soit $A\in S^+_n(\R)$ de rang $k$. Montrer qu'il existe des vecteurs $U_1,\ldots,U_k$ lineairement indépendants dans $\R^n$ tels que $A=\sum_{j=1}^kU_jU_j^T$.Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$. Leur produit d'Hadamard $A\circ B\in{\cal M}_n(\R)$ est la matrice de terme général $a_{ij}b_{ij}$. + - Montrer que, si $A$ et $B$ sont des matrices symétriques de rang $1$, alors $A\circ B$ est symétrique de rang au plus $1$. + - Montrer que, si $A$ et $B$ sont symétriques positives, alors $A\circ B$ est symétrique. + - Si $A$ et $B$ sont symétriques positives, montrer que $A\circ B$ est symétrique positive. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 204] @@ -1889,8 +1930,8 @@ On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0 - On pose $\R[A]=\{M\in{\cal M}_n(\R)\,;\,\exists P\in\R[X],\ M=P(A)\}$. Montrer : $\dim\R[A]=n$. - Montrer que $CB$ est triangulaire. En déduire que $B$ est inversible. - Montrer que $AB=BA^T$. - - Montrer que $A$ est semblable a sa transposee. - - Montrer que $A$ s'ecrit comme le produit de deux matrices symetriques. + - Montrer que $A$ est semblable a sa transposée. + - Montrer que $A$ s'écrit comme le produit de deux matrices symétriques. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 205] @@ -1953,7 +1994,7 @@ Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite de fonctions définie par : $\forall x\in\R\,\ u_0(x)=0$ et $\forall n\in\N^*$, $\forall x\in\R$, $u_n(x)=\frac{x}{n(1+nx^2)}$. - Étudier la convergence de $\sum u_n$. - Sur quel domaine a-t-on $\left(\sum u_n\right)'=\sum u_n'\,?$ - - La fonction $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ est-elle derivable en $0\,?$ + - La fonction $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ est-elle dérivable en $0\,?$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 210] @@ -1979,7 +2020,7 @@ Soit $\alpha\in\R$. On pose $g_{\alpha}:t\in\,]0,+\i[\mapsto e^{-t}t^{\alpha}$. - Calculer $I(p)=\int_0^{+\i}e^{-pt}\,dt$, avec $p\in]0,+\i[$. - Justifier l'existence de $\frac{d^kI}{dp^k}$ pour tout $k\in\N$. - En déduire $\int_0^{+\i}g_n(t)dt$ pour tout $n\in\N$. - - Retrouver ce resultat en integrant par parties $\int_{\eps}^xg_n(t)dt$ pour $0\lt \eps\lt x$. + - Retrouver ce résultat en integrant par parties $\int_{\eps}^xg_n(t)dt$ pour $0\lt \eps\lt x$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 212] @@ -1987,17 +2028,17 @@ Soit $\alpha\in\R$. On pose $g_{\alpha}:t\in\,]0,+\i[\mapsto e^{-t}t^{\alpha}$. - Montrer que ces intégrales convergent. - Montrer que $I(a)=J(a)$, - En déduire que $I(a)=\frac{e^{-2a}}{2}\int_0^{+\i}\left(1+\frac{a}{t^2}\right)e^{-(t-a /t)^2}dt$ - - Montrer que $I(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2a}$. La valeur de l'intégrale de Gauss etait donnee. + - Montrer que $I(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2a}$. La valeur de l'intégrale de Gauss etait donnée. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 213] Soient $a\gt 0$ et $q\in\mc C^2([a,+\i[,\R^{+*})$ telle que $\int_a^{+\i}\sqrt{q(t)}\,dt=+\i$. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y^{''}+qy=0$. - Soient $y_1$ et $y_2$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ qui n'ont pas de zeros en commun. On pose $\Phi=y_1+iy_2$ et $\Phi(a)=r_0e^{i\theta_0}$. Montrer que $\forall x\geq a$, $\Phi(x)=e^{\Psi(x)}$ ou $\Psi(x)=\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)}\,dt+\ln(r_0) +i\theta_0$. - - Montrer que l'on peut ecrire $y_1(x)=r(x)\cos(\theta(x))$ et $y_2(x)=r(x)\sin(\theta(x))$ ou $r(x)=\sqrt{y_1^2(x)+y_2^2(x)}$ et $\theta(x)=\theta_0+\int_a^x\frac{y_1y_2'-y_2y_1^{ '}}{y_1^2+y_2^2}$. + - Montrer que l'on peut écrire $y_1(x)=r(x)\cos(\theta(x))$ et $y_2(x)=r(x)\sin(\theta(x))$ ou $r(x)=\sqrt{y_1^2(x)+y_2^2(x)}$ et $\theta(x)=\theta_0+\int_a^x\frac{y_1y_2'-y_2y_1^{ '}}{y_1^2+y_2^2}$. - On pose $x\mapsto f(x)=\int_a^x\sqrt{q(t)}\,dt$. Montrer que $f$ realise une bijection de $[a,+\i[$ sur $\R^+$. - Soit $y$ une solution de $(E)$, non identiquement nulle. On pose $Y=y\circ f^{-1}$. Montrer que $Y^{''}+vY'+Y=0$ ou $v:t\mapsto\frac{q'(f^{-1}(t))}{2(q(f^{-1}(t)))^{3/2}}$. - - Montrer que $Y$ et $Y'$ n'ont pas de zero en commun et que l'on peut ecrire $Y=r\cos(\theta)$ et $Y'=r\sin(\theta)$ ou $r,\theta$ sont des fonctions de classe $\mc C^1$. - - Montrer que $(r^2)'=-2vr^2\sin^2(\theta)$. En déduire que $y$ et $y'$ sont bornees. + - Montrer que $Y$ et $Y'$ n'ont pas de zero en commun et que l'on peut écrire $Y=r\cos(\theta)$ et $Y'=r\sin(\theta)$ ou $r,\theta$ sont des fonctions de classe $\mc C^1$. + - Montrer que $(r^2)'=-2vr^2\sin^2(\theta)$. En déduire que $y$ et $y'$ sont bornées. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 214] @@ -2013,13 +2054,13 @@ $u(x,t)=u_0(x_0)+\int_0^tf(x_0+c\theta,\theta)\,d\theta$. $\frac{\partial^2u}{\partial^2t}(x,t)-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2 x}(x,t)=0$ ou $u(x,0)=g(x)$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=h(x)$. _b) i)_: On suppose $u$ de classe $\mc C^2$. Montrer que :$\left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( \frac{\partial u}{\partial t}-c\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{ \partial^2u}{\partial^2t}-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2x}.$ - - En déduire qu'une solution $u$ de l'équation s'ecrit : $u(x,t)=u_1(x+ct)+u_2(x-ct)$. + - En déduire qu'une solution $u$ de l'équation s'écrit : $u(x,t)=u_1(x+ct)+u_2(x-ct)$. - On pose $v(x,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{ \partial x}(x,t)$. Montrer que $v$ est solution d'une équation de transport dont on precisera le paramètre $c$ ainsi que les conditions initiales. - Experimer $u$ en fonction de $v$ et déduire : $u(x,t)=\frac{1}{2}(g(x-ct)+g(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}h(\tau)\,{\rm d}\tau$. -_c) i)_ Trouver toutes les solutions ${\cal C}^2$ de l'équation d'onde a variables separees, de la forme : $u(x,t)=\phi(t)\psi(x)$ +_c) i)_ Trouver toutes les solutions ${\cal C}^2$ de l'équation d'onde a variables separées, de la forme : $u(x,t)=\phi(t)\psi(x)$ - Soit $n\in\N$. On pose : $g:x\mapsto\sum_{k=1}^na_k\sin(k\pi x)$ et $h=0$. Déterminer $u(x,t)$. #+end_exercice @@ -2045,9 +2086,9 @@ $\forall w,v\in\R^d$, $f(w)\geq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle$. #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 216] Soit $n\geq 2$. On note $n=p_1^{s_1}\dots p_r^{s_r}$ sa decomposition en facteurs premiers. On munit $\Omega=\{1,\dots,n\}$ de la loi uniforme. Pour tout diviseur $d$ de $n$, on note $A_d$ l'ensemble des multiples de $d$ contenus dans $\Omega:A_d=\left\{kd\,,\ k\leq\frac{n}{d}\right\}.$ -_a) i)_ Montrer que si $d$ et $d'$ sont deux entiers premiers entre eux alors $A_d\cap A_{d'}=A_{dd'}$, et en déduire que $A_d$ et $A_{d'}$ sont independants. - On note $B=\{k\in\Omega,\ k\wedge n=1\}$. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_i}$ et en déduire une expression de $\mathbf{P}(B)$ puis de $|B|$. Cette valeur sera notee $\phi(n)$. +_a) i)_ Montrer que si $d$ et $d'$ sont deux entiers premiers entre eux alors $A_d\cap A_{d'}=A_{dd'}$, et en déduire que $A_d$ et $A_{d'}$ sont indépendants. - On note $B=\{k\in\Omega,\ k\wedge n=1\}$. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_i}$ et en déduire une expression de $\mathbf{P}(B)$ puis de $|B|$. Cette valeur sera notée $\phi(n)$. - Soient $n$ et $m$ deux entiers premiers entre eux. Montrer que $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$. - - On note $\mc{U}=\bigcup_{n\in\N}\mathbb{U}_n$ ou $\mathbb{U}_n$ designe l'ensemble des racines $n$-iemes de l'unite. Pour $z$ dans $\mc{U}$, on note $n_z=\inf\{n\in\N\,\ z\in\mathbb{U}_n\}$. + - On note $\mc{U}=\bigcup_{n\in\N}\mathbb{U}_n$ ou $\mathbb{U}_n$ designe l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unite. Pour $z$ dans $\mc{U}$, on note $n_z=\inf\{n\in\N\,\ z\in\mathbb{U}_n\}$. - Pour $z\in\C$ tel que $|z|=1$, montrer qu'il existe une suite $(z - {k\in\N}$ a valeurs dans $\mc{U}$ telle que $\lim_{k\to+\i}z_k=z$. - Pour tout entier naturel $n$ on note $P_m=\{z\in\mc{U},\ n_z=m\}$. Montrer que $P_m$ est fini et de cardinal $\phi(m)$, et que si $n$ et $m$ sont distincts $P_m\cap P_n=\emptyset$. - Montrer que $\mc{U}=\bigcup_{m\in\N}P_m$. @@ -2070,8 +2111,8 @@ Enfin, on pose $\ell(X)=\sum_{n=0}^{+\i}u_n(X)$ si cette série converge, $\ell( #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 218] -Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires a valeurs réelles, identiquement distribuees, centres, de variance finie $\sigma^2$ et independantes. On suppose de plus $\mathbf{P}(|X_1|\gt 1)=0$. On note $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. - - Soient $Y_1,\ldots,Y_n$ des variables aléatoires independantes suivant la loi binomiale $\mc{B}(m,p)$ avec $m\in\N^*$ et $p\in\,]0,1[$. Pour $a\neq 0$ et $b\in\R$, on note $X_i=aY_i+b$. A quelle condition sur $a$ et $b$ les $X_i$ verifient-elles les conditions précédentes? +Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires a valeurs réelles, identiquement distribuées, centres, de variance finie $\sigma^2$ et indépendantes. On suppose de plus $\mathbf{P}(|X_1|\gt 1)=0$. On note $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. + - Soient $Y_1,\ldots,Y_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale $\mc{B}(m,p)$ avec $m\in\N^*$ et $p\in\,]0,1[$. Pour $a\neq 0$ et $b\in\R$, on note $X_i=aY_i+b$. A quelle condition sur $a$ et $b$ les $X_i$ vérifient-elles les conditions précédentes? - Montrer $\forall u\in\,]-\i,2],\ e^u\leq 1+u+\frac{u^2}{2}(1+\max(0,u))$. - Dans le cas général, montrer $\forall t\in[0,2],\ \mathbf{E}(e^{tX_1})\leq 1+\frac{\sigma^2t^2}{2}(1+t) \leq e^{\sigma^2t^2(1+t)/2}$. - En déduire que $\forall t\in[0,2],\,\mathbf{E}(e^{tS_n})\leq e^{n\sigma^2t^2(1+t)/2}$, - Soit $\alpha$ tel que $0\lt \alpha\lt 6\sigma^2$. Montrer $\mathbf{P}(S_n/n\geq\alpha)\leq e^{-n\alpha^2/6\sigma^2}$. @@ -2086,7 +2127,7 @@ ${}^{\bigstar}$ Soit $A$ une partie de cardinal $n$ de $\R$. On pose $B=A+A=\{a+ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 220] -Soient $a,b\in\Z$ deux entiers distincts. Trouver tous les polynomes $P\in\Z[X]$ tels que $P(a)=b$ et $P(b)=a$. +Soient $a,b\in\Z$ deux entiers distincts. Trouver tous les polynômes $P\in\Z[X]$ tels que $P(a)=b$ et $P(b)=a$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 221] @@ -2100,7 +2141,7 @@ ii) $\forall x\gt 0,\ P_2(x)\lt P_4(x)\lt P_1(x)\lt P_3(x)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 223] -Considerons des réels $0\leq x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n\leq 1$. Montrer qu'il existe des réels $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $\forall P\in\R_n[X]$, $\int_0^1P(t)\,dt=\sum_{k=0}^n\alpha_kP(x_k)$. +Considérons des réels $0\leq x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n\leq 1$. Montrer qu'il existe des réels $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $\forall P\in\R_n[X]$, $\int_0^1P(t)\,dt=\sum_{k=0}^n\alpha_kP(x_k)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 224] @@ -2126,7 +2167,7 @@ $\forall(x,y)\in(\R^n)^2,\ \langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$. Montrer #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 228] - Soit $A\in S_3(\R)$ telle que $\op{tr}(A)=3,\op{tr}(A^2)=5$, $\op{tr}(A^3)=9$. Déterminer la borne inferieure de $\op{tr}(M^2)$ lorsque $M$ decrit $\big{\{}M\in\mc{S}_3(\R)\;;\;\op{tr}(AM)=1$ et $\op{tr}(A^2M)=1\big{\}}$, + Soit $A\in S_3(\R)$ telle que $\op{tr}(A)=3,\op{tr}(A^2)=5$, $\op{tr}(A^3)=9$. Déterminer la borne inférieure de $\op{tr}(M^2)$ lorsque $M$ décrit $\big{\{}M\in\mc{S}_3(\R)\;;\;\op{tr}(AM)=1$ et $\op{tr}(A^2M)=1\big{\}}$, #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 229] @@ -2142,7 +2183,7 @@ On note $\parallel\;\;\parallel_1$ la norme sur $\R^n$ définie par : $\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\;\|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_{ k}|$. - Soit $(x,y)\in\left(\R^n\right)^2$. Montrer que $\|x+y\|_1+\|x-y\|_1=2(\|x\|_1+\|y\|_1)$ si et seulement si $\forall k\in\db{1,n},\;x_ky_k=0$. - - Soit $f\in\mc{L}(\R^n)$ qui preserve la norme $\parallel\;\;\|_1:\forall x\in\R^n,\;\|f(x)\|_1=\|x\|_1$. Montrer que la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de $f$ sur la base canonique est une matrice de permutation signee, c'est-a-dire qu'il existe une permutation $\sigma$ de $\db{1,n}$ et $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ verifiant $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,a_{i,j}=\eps_j \delta_{i,\sigma(j)}$. + - Soit $f\in\mc{L}(\R^n)$ qui preserve la norme $\parallel\;\;\|_1:\forall x\in\R^n,\;\|f(x)\|_1=\|x\|_1$. Montrer que la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de $f$ sur la base canonique est une matrice de permutation signée, c'est-a-dire qu'il existe une permutation $\sigma$ de $\db{1,n}$ et $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ vérifiant $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,a_{i,j}=\eps_j \delta_{i,\sigma(j)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 231] @@ -2176,7 +2217,7 @@ $H=\left\{\dfrac{\left\langle u,D(u)\right\rangle}{\left\|u\right\|^2}\;;\;u \in #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 235] On considère la suite $\left(F_n\right)_{n\geq 0}$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ puis $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$ pour tout $n\in\N$. -Montrere que tout entier $N\in\N^*$ s'ecrit de maniere unique $N=F_{p_1}+F_{p_2}+\cdots+F_{p_m}$ avec des entiers $p_i$ tels que $p_{i+1}-p_i\geq 2$ pour tout $i\in\db{1\,;\,m-1}$ et $p_1\geq 2$. Prouver l'unicite de cette ecriture. +Montrere que tout entier $N\in\N^*$ s'écrit de maniere unique $N=F_{p_1}+F_{p_2}+\cdots+F_{p_m}$ avec des entiers $p_i$ tels que $p_{i+1}-p_i\geq 2$ pour tout $i\in\db{1\,;\,m-1}$ et $p_1\geq 2$. Prouver l'unicite de cette écriture. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 236] @@ -2212,7 +2253,7 @@ Déterminer $\lim_{k\to+\i}\sum_{n=0}^{+\i}\exp(ka_n)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 243] -Soient $f\colon\R\to\R$ une fonction derivable et $\ell$ un réel. +Soient $f\colon\R\to\R$ une fonction dérivable et $\ell$ un réel. On suppose que $f(x)+f'(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Étudier la limite de $f$ et de $f'$ en $+\i$. #+end_exercice @@ -2222,7 +2263,7 @@ Soient $g:[0,1]\to\R$ continue et $F:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $:F( #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 245] -Soient $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ et $(a,b,c,d)\in\R^4$ tels que les fonctions $af'+bf$ et $cf'+df$ soient bornees. A quelle condition sur $(a,b,c,d)$ la fonction $f$ est-elle bornee? +Soient $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ et $(a,b,c,d)\in\R^4$ tels que les fonctions $af'+bf$ et $cf'+df$ soient bornées. A quelle condition sur $(a,b,c,d)$ la fonction $f$ est-elle bornée? #+end_exercice !! Page manquante. @@ -2234,17 +2275,17 @@ Soit $g\in{\cal C}^0([0,1],{\R}_+^*)$. On définit $\Phi\colon x\in{\R}\mapsto\l #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 257] -Soit $f\in C^k({\R}^+,{\R})$ telle que $f^{(k)}$ est bornee sur ${\R}^+$. +Soit $f\in C^k({\R}^+,{\R})$ telle que $f^{(k)}$ est bornée sur ${\R}^+$. Soit $F:\lambda\in{\R}^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}e^{-\lambda t}f(t)\,{\rm d }t$. Déterminer un développement asymptotique de $F(\lambda)$ lorsque $\lambda\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 258] -Soit $f$ une fonction développable en série entiere au voisinage de $0$ avec un rayon $\gt 1$. Soient $\phi\in C^0([0,1],{\R})$ et $g:x\mapsto\int_0^1\phi(y)f(x-y)\,{\rm d}y$. Montrer que $g$ est développable en série entiere au voisinage de $0$. +Soit $f$ une fonction développable en série entière au voisinage de $0$ avec un rayon $\gt 1$. Soient $\phi\in C^0([0,1],{\R})$ et $g:x\mapsto\int_0^1\phi(y)f(x-y)\,{\rm d}y$. Montrer que $g$ est développable en série entière au voisinage de $0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 259] -Soit $P\in{\R}_n[X]$. On cherche les applications $f:{\R}^2\mapsto{\R}$ de classe $C^2$ verifiant $(*)$ : $\forall(t,x)\in{\R}^2,\,\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)=\frac{ \partial^2f}{\partial x^2}(t,x)$ et $f(0,x)=P(x)$. +Soit $P\in{\R}_n[X]$. On cherche les applications $f:{\R}^2\mapsto{\R}$ de classe $C^2$ vérifiant $(*)$ : $\forall(t,x)\in{\R}^2,\,\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)=\frac{ \partial^2f}{\partial x^2}(t,x)$ et $f(0,x)=P(x)$. - Montrer qu'il existe une solution de $(*)$ polynomiale en $x$. - On suppose $P$ scinde a racines simples sur ${\R}$. Soit $f$ une solution de $(*)$ polynomiale en $x$. Montrer qu'il existe $\eps\gt 0$ tel que, pour tout $t\in[0,\eps[$, $x\mapsto f(t,x)$ est aussi scinde a racines simples. #+end_exercice @@ -2254,34 +2295,34 @@ Soient $u,v:{\R}^2\to{\R}$ de classe ${\cal C}^1$ telles que $\frac{\partial u}{ - Donner un exemple de telles fonctions $u$ et $v$. - On suppose que $u$ et $v$ sont de classe ${\cal C}^2$. Montrer que $\Delta u=\Delta v=0$. - Montrer que, pour tout $r\gt 0$, $u(0,0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,{\rm d}\theta$. - - Soit $V$ un ouvert contenant $(0,0)$. Soit $u$ de classe ${\cal C}^2$ sur $V$ telle que $\Delta u=0$ sur $V$. On admet que sous ces conditions, l'egalite de - est encore valable pour $r\gt 0$ suffisamment petit. + - Soit $V$ un ouvert contenant $(0,0)$. Soit $u$ de classe ${\cal C}^2$ sur $V$ telle que $\Delta u=0$ sur $V$. On admet que sous ces conditions, l'égalité de - est encore valable pour $r\gt 0$ suffisamment petit. On note $D$ le disque unite ouvert et $C$ le cercle unite. Soit $g$ une fonction continue sur $D$ et $f$ une fonction continue sur $C$. Montrer qu'il existe au plus une fonction $u$ de classe ${\cal C}^2$ sur le disque unite ferme, de classe ${\cal C}^2$ sur $D$ et telle que $\Delta u=g$ sur $D$ et $u=f$ sur $C$. #+end_exercice -*** Geometrie +*** Géométrie #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 261] Montrer qu'un polygone convexe a $n$ sommets inscrit dans le cercle unite est d'aire maximale si et seulement si le polygone est regulier. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 262] -- Sur le cercle trigonometrique ${\cal C}$, on place $A$ de coordonnees $(-1,0)$ et $P\neq A$ de coordonnees $(x,y)$. Soit $Q$ le point d'intersection de la droite $(AP)$ avec l'axe des ordonnees. On note $t$ l'ordonnee de $Q$. Exprimer $t$ en fonction de $x$ et $y$. - Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$. Que reconnait-on? Expliquer cela geometriquement. Peu-on paramètrer les points de $\mc C\setminus\{A\}$ a l'aide de fractions rationnelles? - - Peut-on paramètrer un arc $\Gamma$ (non reduit a un point) du cercle $\mc C$ a l'aide de polynomes a coefficients réels c'est-a-dire existe-t-il un intervalle $I$ et deux polynomes $P,Q\in\R[X]$ tels que le point de coordonnees $(x,y)$ appartienne a $\Gamma$ si et seulement s'il existe $t\in I$ tel que $x=P(t)$ et $y=Q(t)$? Et a l'aide de polynomes a coefficients complexes? +- Sur le cercle trigonometrique ${\cal C}$, on place $A$ de coordonnées $(-1,0)$ et $P\neq A$ de coordonnées $(x,y)$. Soit $Q$ le point d'intersection de la droite $(AP)$ avec l'axe des ordonnées. On note $t$ l'ordonnée de $Q$. Exprimer $t$ en fonction de $x$ et $y$. - Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$. Que reconnait-on? Expliquer cela géométriquement. Peu-on paramètrer les points de $\mc C\setminus\{A\}$ a l'aide de fractions rationnelles? + - Peut-on paramètrer un arc $\Gamma$ (non reduit a un point) du cercle $\mc C$ a l'aide de polynômes a coefficients réels c'est-a-dire existe-t-il un intervalle $I$ et deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ tels que le point de coordonnées $(x,y)$ appartienne a $\Gamma$ si et seulement s'il existe $t\in I$ tel que $x=P(t)$ et $y=Q(t)$? Et a l'aide de polynômes a coefficients complexes? #+end_exercice *** Probabilités #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 263] -On retourne une par une les cartes d'un jeu de 52 cartes. Trouver l'espérance du nombre de cartes retournees avant d'obtenir le premier as (on demande un raisonnement intuitif sans calcul de la loi). +On retourne une par une les cartes d'un jeu de 52 cartes. Trouver l'espérance du nombre de cartes retournées avant d'obtenir le premier as (on demande un raisonnement intuitif sans calcul de la loi). #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 264] -On considère deux capteurs independants, qui detectent chacun en moyenne 5000 evenements par an. Quelle est la probabilité que les deux detecteurs detectent un evenement pendant la meme seconde? +On considère deux capteurs indépendants, qui detectent chacun en moyenne 5000 évènements par an. Quelle est la probabilité que les deux detecteurs detectent un évènement pendant la meme seconde? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 265] -Soient $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur le groupe symetrique $\mc{S}_n$ et $A\subset\db{1,n}$. On pose $k=|A|$. Calculer $\mathbf{P}(A=\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})$. +Soient $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur le groupe symétrique $\mc{S}_n$ et $A\subset\db{1,n}$. On pose $k=|A|$. Calculer $\mathbf{P}(A=\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 266] @@ -2297,15 +2338,15 @@ On considère $X$ de loi $\mc{B}(p)$ et $Y$ de loi $\mc{P}(p)$ avec $p\in[0,1]$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 269] -Soient $X,Y$ deux variables aléatoires entieres independantes qui suivent la meme loi. - - On suppose que $X$ suit une loi geometrique commencant a zero, c'est-a-dire qu'il existe $p\in\,]\,0\,;1\,[$ tel que $\forall k\in\N,\,\mathbf{P}(X=k)=(1-p)^kp$. +Soient $X,Y$ deux variables aléatoires entières indépendantes qui suivent la meme loi. + - On suppose que $X$ suit une loi géométrique commencant a zero, c'est-a-dire qu'il existe $p\in\,]\,0\,;1\,[$ tel que $\forall k\in\N,\,\mathbf{P}(X=k)=(1-p)^kp$. Montrer que $\forall n\in\N,\,\forall k\in\db{0\,;\,n}$, $\mathbf{P}(X=k\,|\,X+Y=n)=\frac{1}{n+1}$. - - Prouver la reciproque. + - Prouver la réciproque. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 270] -On considère $M=\left(\begin{array}{cc}X&Y\\ Y&X\end{array}\right)$, ou $X$ et $Y$ independantes avec $X$ de loi $\mc{P}(\lambda)$ et $Y$ de loi $\mc{G}(p)$. +On considère $M=\left(\begin{array}{cc}X&Y\\ Y&X\end{array}\right)$, ou $X$ et $Y$ indépendantes avec $X$ de loi $\mc{P}(\lambda)$ et $Y$ de loi $\mc{G}(p)$. - Déterminer la probabilité que $M$ soit inversible. - Déterminer la probabilité que $M$ soit diagonalisable. Dans ce cas, preciser spectre et espaces propres. - Déterminer la probabilité que $M^8=I_2$. @@ -2317,13 +2358,13 @@ ${}^{\bigstar}$ Soit $\left(X_n\right)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 272] -Soient $n\in\N^*$ et $p\in]0,1[$. On considère dans le plan un graphe non oriente aléatoire de $n$ sommets. On note $X_{i,j}=1$ si les points d'indices $i$ et $j$ sont relies, et $0$ sinon. On suppose les $X_{i,j}$ independantes et de meme loi $\mc{B}(p)$. On note $T_n$ le nombre de triangles formes par ces $n$ points. On pose $a_n=\binom{n}{3}p^3$. +Soient $n\in\N^*$ et $p\in]0,1[$. On considère dans le plan un graphe non oriente aléatoire de $n$ sommets. On note $X_{i,j}=1$ si les points d'indices $i$ et $j$ sont relies, et $0$ sinon. On suppose les $X_{i,j}$ indépendantes et de meme loi $\mc{B}(p)$. On note $T_n$ le nombre de triangles formes par ces $n$ points. On pose $a_n=\binom{n}{3}p^3$. Calculer $\mathbf{E}(T_n)$ et montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_n}{a_n}-1\right|\gt \eps\right)=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 273] -On considère une matrice aléatoire $M=(m_{i,j})$ de taille $n\times n$ qui est symetrique, ou chaque variable aléatoire $m_{i,j}$ suit la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et ou les variables aléatoires $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont independantes. +On considère une matrice aléatoire $M=(m_{i,j})$ de taille $n\times n$ qui est symétrique, ou chaque variable aléatoire $m_{i,j}$ suit la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et ou les variables aléatoires $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont indépendantes. - Calculer $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M))$, $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^2))$ et $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^3))$. - Montrer que $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^4))=\mc{O}(n^3)$. - On note $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$. @@ -2332,9 +2373,9 @@ Pour tout $\eps\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}(\lambda_1\geq n\eps)\underset{n\t #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 274] -On note $\langle\,\ \rangle$ le produit scalaire canonique dans $\R^n$ et $\|\ \|$ la norme euclidienne associee. +On note $\langle\,\ \rangle$ le produit scalaire canonique dans $\R^n$ et $\|\ \|$ la norme euclidienne associée. - Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $x\in\R^n\setminus\{0\}$ et $a\in\R$. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $A$. Si $\langle Ax,x\rangle\geq a\left\|x\right\|^2$, montrer que $\lambda_1\geq a$. - - Soit $M=(m_{i,j})$ une variable aléatoire a valeurs dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que les $m_{i,j}$ suivent une loi de Bernoulli de paramètre $1/2$ et telle que les $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ soient independantes. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$. + - Soit $M=(m_{i,j})$ une variable aléatoire a valeurs dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que les $m_{i,j}$ suivent une loi de Bernoulli de paramètre $1/2$ et telle que les $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ soient indépendantes. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$. Pour tout réel $\eps\gt 0$, montrer que $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\Big{(}\lambda_1\geq\frac{n}{2}(1- \eps)\Big{)}\underset{n\to\i}{\longrightarrow}1$. #+end_exercice @@ -2414,7 +2455,7 @@ Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des éléments de $G$ d'ordre fini. - On définit les applications $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe a $\mc{S}_3$. - - Retrouver le resultat de la question précédente en considerant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$. + - Retrouver le résultat de la question précédente en considérant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$. - Soit $n\geq 3$. Déterminer le groupe engendre par les bijections $(s - {1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ définies par $s_i(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},...,t_n)$ si $1\lt i\lt n$, $s_1(t_1,...,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,...,t_n)$ et $s_n(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$. Ind. Considèrer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ définie par $f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$. @@ -2459,7 +2500,7 @@ Interprétation probabiliste : on divise par $2$, à gauche, on a la probabilit #+begin_exercice [X MP 2023 # 288] - - Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$. + - Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynôme $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$. - Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_{n-1}$. - Pour $n\geq 1$, donner une relation entre $S_n^{''}$ et $S_{n-1}'$. - En déduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_n$. @@ -2497,10 +2538,10 @@ C'est des DLs. #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 292] -Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une définition similaire pour les polynomes a une indéterminee. - - Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. - - Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. - - Déterminer tous les polynomes $P\in\Z[T]$ tels que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$. +Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynômes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une définition similaire pour les polynômes a une indéterminée. + - Exhiber un polynôme $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. + - Exhiber un polynôme $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. + - Déterminer tous les polynômes $P\in\Z[T]$ tels que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - $T^p$ @@ -2530,7 +2571,7 @@ Interpolation de Hermite. #+begin_exercice [X MP 2023 # 295] -Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irréductible dans $\Z[X]$? +Soit $n\in\N$. Le polynôme $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irréductible dans $\Z[X]$? #+end_exercice #+BEGIN_proof !! Pour $n=2$, $1$ est racine :) @@ -2539,12 +2580,12 @@ Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irréductible dans $\Z[X]$? # Kronecker #+begin_exercice [X MP 2023 # 296] -Soit $P\in\Z[X]$ un polynome unitaire dont les racines complexes ont un module inferieur ou egal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unite. +Soit $P\in\Z[X]$ un polynôme unitaire dont les racines complexes ont un module inférieur ou égal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unite. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 297] :sup: -Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n\in\Z$. On ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$. +Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n\in\Z$. On écrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$. - Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$. - En déduire qu'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$. #+end_exercice @@ -2555,13 +2596,13 @@ Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n\in\Z$. On ecri #+begin_exercice [X MP 2023 # 298] :sup: -On se propose de donner une preuve du theoreme de d'Alembert-Gauss. - - Montrer qu'il suffit de montrer le theoreme pour les polynomes a coefficients réels. Dans la suite, on ecrira le degre d'un polynome non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$. - - Montrer le theoreme dans le cas ou $n=0$. +On se propose de donner une preuve du théorème de d'Alembert-Gauss. + - Montrer qu'il suffit de montrer le théorème pour les polynômes a coefficients réels. Dans la suite, on écrira le degré d'un polynôme non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$. + - Montrer le théorème dans le cas ou $n=0$. - Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe. - - Soit $P\in\R[X]$ de degre $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet l'existence d'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ est scinde, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixe $c\in\R$, on pose $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$. - - Montrer que le polynome $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients réels. + Dans la suite, on suppose le résultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe. + - Soit $P\in\R[X]$ de degré $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet l'existence d'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ est scinde, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixe $c\in\R$, on pose $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$. + - Montrer que le polynôme $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients réels. - Montrer que l'un des $y_{ij}(c)$ est élément de $\C$. - Montrer finalement que l'un des $x_i$ est élément de $\C$. #+end_exercice @@ -2577,8 +2618,8 @@ On se propose de donner une preuve du theoreme de d'Alembert-Gauss. #+begin_exercice [X MP 2023 # 299] :sup: Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$. - - On suppose que $q$ n'est pas une racine de l'unite. Montrer qu'il existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s'il y en a deux alors elles sont opposees l'une de l'autre. - - Montrer que le resultat precedent peut tomber en defaut si l'on ne suppose plus que $q$ n'est pas une racine de l'unite. + - On suppose que $q$ n'est pas une racine de l'unite. Montrer qu'il existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s'il y en a deux alors elles sont opposées l'une de l'autre. + - Montrer que le résultat precedent peut tomber en defaut si l'on ne suppose plus que $q$ n'est pas une racine de l'unite. #+end_exercice #+BEGIN_proof - On a $G(qX) G(q^{-1} X) = \frac{F-1}{F(q^{-2}X)}$. @@ -2597,7 +2638,7 @@ Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$ #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 301] -On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien définie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique a partir d'un certain rang. +On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien définie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien périoddique a partir d'un certain rang. #+end_exercice #+BEGIN_proof $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \ra (ad-bc) \begin{pmatrix}1/d & -1/b \\ -1/c & 1/a\end{pmatrix}$ @@ -2670,8 +2711,8 @@ Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On supp # Relier : automorphismes d'algèbres de $\C(X)$ #+begin_exercice [X MP 2023 # 308] - - Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ verifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$. - - Déterminer les automorphismes de $\C(X)$ verifiant $(*)$. + - Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ vérifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$. + - Déterminer les automorphismes de $\C(X)$ vérifiant $(*)$. #+end_exercice # Perron-Frobenius @@ -2679,7 +2720,7 @@ Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On supp Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$. - Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de $M$ est de module $\leq 1$. - On note $\mu=\min_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$. - - On suppose que $\mu\gt 0$ et que 1 est valeur propre de multiplicite 1 dans $\chi_M$. Montrer que $(M^p)_{p\geq 1}$ converge vers une matrice de rang $1$ dont toutes les lignes sont egales. + - On suppose que $\mu\gt 0$ et que 1 est valeur propre de multiplicité 1 dans $\chi_M$. Montrer que $(M^p)_{p\geq 1}$ converge vers une matrice de rang $1$ dont toutes les lignes sont égales. - On se donne trois réels strictement positifs $p,q,r$ tels que $p+q+r=1$. On considère la matrice $B\in\M_n(\R)$ définie par $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$. #+end_exercice @@ -2717,7 +2758,7 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel qu # Classique #+begin_exercice [X MP 2023 # 313] -Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associee a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguees dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables. +Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associée a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguées dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables. #+end_exercice # À relier @@ -2734,8 +2775,8 @@ Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$. # Classique, quadrature #+begin_exercice [X MP 2023 # 315] -Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynomes. - - Déterminer le degre de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. +Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynômes. + - Déterminer le degré de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. - Montrer que $L_n$ est scinde a racines réelles simples $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$. - Montrer qu'il existe des réels $a_1,\ldots,a_n$ tels que $\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$. @@ -2757,7 +2798,7 @@ Pour $n = 2$, On peut $P_a(x) + P_a'(y) = P_b(x) + P_b'(y) = \dots$ #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 317] -Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ verifiant $B^2=A$? +Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ vérifiant $B^2=A$? #+end_exercice #+BEGIN_proof S'il en existe une, son opposé marche aussi. On a $\cos \theta = \sqrt{\frac{1 + \cos (2\theta)}{2}}$, si on pouvait appliquer ça à chaque fois, problème de taille du dénominateur. @@ -2774,7 +2815,7 @@ Si $\la$ est valeurs propres, $\Phi(t v_{\la}) = \la^2 t^2 - \la t^2 = (\la^2 - #+begin_exercice [X MP 2023 # 319] On considère dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$. - Soit $K\in\M_{2n}(\R)$ tel que $K^2=-I$. Montrer que $K^TJ\in\mc{S}_{2n}(\R)$ si et seulement si $J=K^TJK$. - - On note $\mc C$ l'ensemble des $K\in\M_{2n}(\R)$ telles que $K^2=-I$ et $K^TJ\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Soit $K\in\mc C$. Montrer que $K+J$ est inversible et que $(K+J)^{-1}(K-J)$ est symetrique. + - On note $\mc C$ l'ensemble des $K\in\M_{2n}(\R)$ telles que $K^2=-I$ et $K^TJ\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Soit $K\in\mc C$. Montrer que $K+J$ est inversible et que $(K+J)^{-1}(K-J)$ est symétrique. - Soit $K\in\mc C$. On pose $S=(K+J)^{-1}(K-J)$. Montrer que $SJ+JS=0$. #+end_exercice @@ -2884,15 +2925,15 @@ Montrer que : $\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i,1},a_{i+1,1})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{n,j},a_{n,j+1})+\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i+1,n},a_{i,n})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{1,j+1},a_{1,j})=0$ - Soit $M\in\M_{n+2}(\R)$ une matrice de la forme $\begin{pmatrix}1&1&\cdots&\cdots&1\\ 1&&&&3\\ \vdots&&M'&&\vdots\\ 1&&&&3\\ 1&2&\cdots&\cdots&2\end{pmatrix}$ ou $M'\in\M_n(\R)$ -est a coefficients dans $\{1,2,3\}$. Montrer qu'au moins un des petits carres de $M$ comporte trois valeurs differentes. - - Montrer qu'on dispose d'un $\eta\gt 0$ tel que, pour tous $x$, $y\in D$ verifiant $\|x-y\|_{\i}\leq\eta$, on a $\|r(x)-r(y)\|\leq\frac{1}{10}$. +est a coefficients dans $\{1,2,3\}$. Montrer qu'au moins un des petits carrés de $M$ comporte trois valeurs differentes. + - Montrer qu'on dispose d'un $\eta\gt 0$ tel que, pour tous $x$, $y\in D$ vérifiant $\|x-y\|_{\i}\leq\eta$, on a $\|r(x)-r(y)\|\leq\frac{1}{10}$. - Soit alors $n\in\N$ tel que $\frac{2}{n-1}\leq\eta$. Pour tous $i$, $j\in\db{1,n}$, on pose $v_{i,j}=\left(1-2\frac{i-1}{n-1},1-2\frac{j-1}{n-1}\right)$. Montrer que, pour tous $i$, $j\in\db{1,n-1}$, $v_{i,j},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1},v_{i,j+1}$ sont contenus dans une boule de rayon $1/10$. - En utilisant une fonction bien choisie de $C$ dans $\{1,2,3\}$, aboutir a une contradiction et conclure. - - Utiliser ce resultat pour montrer que toute fonction continue de $D$ dans $D$ admet un point fixe. + - Utiliser ce résultat pour montrer que toute fonction continue de $D$ dans $D$ admet un point fixe. #+end_exercice @@ -2912,16 +2953,16 @@ On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^ #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 331] -Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algèbre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algèbre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. On suppose $\mathbb{K}=\C$. +Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algèbre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algèbre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnée sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme vérifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. On suppose $\mathbb{K}=\C$. - Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$. - On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$. - En déduire que $\|a-1\|=2$. - En déduire que $A=\C$. - - Retrouver le resultat de la question précédente en utilisant des polynomes annulateurs. + - Retrouver le résultat de la question précédente en utilisant des polynômes annulateurs. Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$. - - Est-ce que $A$ est nécessairement egale a $\R$? - - On admet qu'il existe une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considère la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallélément a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considère la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien définie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative. + - Est-ce que $A$ est nécessairement égale a $\R$? + - On admet qu'il existe une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considère la symétrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallélément a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considère la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien définie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative. - Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algèbre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$. #+end_exercice @@ -2978,7 +3019,7 @@ Soit $\sum u_n$ une série convergente de réels positifs. Existe-t-il une suite #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 339] -Soit $(x_n)$ une suite réelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable pour toute suite réelle $(y_n)$ de carre sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carre sommable. +Soit $(x_n)$ une suite réelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable pour toute suite réelle $(y_n)$ de carré sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carré sommable. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 340] @@ -3013,7 +3054,7 @@ puis IPP. - Soit $m\in\N^*$. Montrer que $\sum\limits_{n=1}^{+\i} \frac{\sqrt{m}}{(m+n)\sqrt{n}}\leq \pi$. Ind. : Dans $\R^2$, considérer les points $x_n= (\sqrt{m}, \sqrt{n})$ et l'intersection $r_n$ du cercle $C(0,\sqrt{m})$ avec le segment $[0,x_n]$. - - Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carre sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$. + - Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carré sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - Se fait par comparaison intégrale. @@ -3077,7 +3118,7 @@ Calculer $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 352] -Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivee $n$-ieme de $(X^2-1)^n$. +Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivée $n$-ième de $(X^2-1)^n$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $:\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $\int_{-1}^1PL_n=0$. - Montrer que $L_n$ possede $n$ racines distinctes $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n$ dans $]-1,1[$. - Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que $:\forall P\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$. @@ -3139,7 +3180,7 @@ Soit $f\colon\R\to\R^+$ intégrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^ #+begin_exercice [X MP 2023 # 359] - - Soient $a$ et $b$ deux suites réelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f_m)_{m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformement vers une fonction constante. + - Soient $a$ et $b$ deux suites réelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f_m)_{m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformément vers une fonction constante. - On note $H$ l'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition des fonctions. - Soit $f\in H$. Montrer que $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$. #+end_exercice @@ -3162,7 +3203,7 @@ Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f( #+begin_exercice [X MP 2023 # 361] Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$. - - Rappeler le theoreme d'integration des relations de comparaison. + - Rappeler le théorème d'intégration des relations de comparaison. - Donner un équivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$. - Déterminer le domaine de définition de la fonction $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$. - Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de définition. @@ -3170,33 +3211,51 @@ Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfra #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 362] -Soit $(a - {n\in\N}$ une suite réelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et +Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et -$\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n$. - - Montrer que le rayon de convergence de la série entiere $\sum a_nx^n$ est strictement positif. +$$\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n.$$ + - Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum a_nx^n$ est strictement positif. - Déterminer la valeur de ce rayon de convergence. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - On $a_{n+2}\leq C a_{n+1} + D a_n$. + - On a $a_{n+2}\geq a_{n+1} + 3a_n$, et pour tout $\eps$, $a_{n+2}\leq (1+\eps) a_{n+1} + (3+\eps) a_n$. +#+END_proof + +# À relier #+begin_exercice [X MP 2023 # 363] Pour $x$ réel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve de convergence. - Déterminer le domaine de définition de $f$. - - Étudier la continuite puis la derivabilite de $f$. + - Étudier la continuité puis la dérivabilité de $f$. - Donner un équivalent simple de $f$ en $1^-$. - - Montrre que $f$ est développable en série entiere, et preciser le développement associe. + - Montrer que $f$ est développable en série entière, et preciser le développement associé. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $\interval]{-1, 1}[$ + - pas de soucis. + - Comparaison $\sum/\int$. +#+END_proof + + +# Relier à un précédent +#+begin_exercice [X MP 2023 # 364] + - Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d'une série entière. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel. + - Soient $A$ et $B$ deux polynômes a coefficients réels dont toute combinaison lineaire a coefficients réels est scindée ou nulle. Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrre que $[x,y]$ contient au moins une racine de $B$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP 2023 # 364] -- Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d'une série entiere. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel. - - Soient $A$ et $B$ deux polynomes a coefficients réels dont toute combinaison lineaire a coefficients réels est scindee ou nulle. Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrre que $[x,y]$ contient au moins une racine de $B$. -#+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 365] -Soit $\sum a_nz^n$ une série entiere de rayon de convergence egal a $1$ et de somme $f$. +Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence égal a $1$ et de somme $f$. On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$. -Montrre que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$. +Montrer que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Formule de Cauchy donne $(a_k k)$ bornée, donc $\sum |a_k|/k$ converge. +#+END_proof + #+BEGIN_exercice [X 2023 # 366] Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair. @@ -3211,24 +3270,33 @@ Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair. #+begin_exercice [X MP 2023 # 367] Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$. - Montrer que la suite de terme général $(x,q)_n$ converge vers un réel $(x,q)_{\i}\gt 0$. - - Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert de convergence. + - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert de convergence. - Etablir l'identife $f_{x,q}(z)-f_{x,q}(qz)=(1-x)zf_{x,q,q}(z)$ pour tout $z\in D$. - Etablir l'identife $f_{x,q}(z)=\frac{1-xz}{1-z}f_{x,q}(qz)$ pour tout $z\in D$. - - Demontrer que $f_{x,q}(z)=\frac{(zx,q)_{\i}}{(z,q)_{\i}}$ pour tout $z\in D$. + - Démontrer que $f_{x,q}(z)=\frac{(zx,q)_{\i}}{(z,q)_{\i}}$ pour tout $z\in D$. - Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Déterminer, pour tout $z\in D$, la limite de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 368] -- Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big{\{}(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big{\}}$. Trouver un équivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$. +- Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big\{(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big\}$. Trouver un équivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$. - On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Trouver un équivalent de $g$ en $1^-$ en utilisant $g^2$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Considérer $(\sum t^n) g(t)$. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 369] Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\deg F}$. - - Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrre que la famille $\big{(}|F|^{-s}\big{)}$, indexee par les polynomes $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme, qu'on notera $z(s)$. - - On note $A$ l'ensemble des polynomes unitaires de $F\in\mathbb{F}_p[X]$ sans facteur carre, c'est-a-dire tels que : $\forall D\in\mathbb{F}_p[X]$, $D^2|F\Rightarrow\deg D=0$. Montrre que $\sum_{F\in A}|F|^{-s}=\frac{z(s)}{z(2s)}$. - - En déduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynomes sans facteur carre parmi les polynomes unitaires de degre $d$ de $\mathbb{F}_p[X]$. + - Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrre que la famille $\big{(}|F|^{-s}\big{)}$, indexée par les polynômes $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme, qu'on notera $z(s)$. + - On note $A$ l'ensemble des polynômes unitaires de $F\in\mathbb{F}_p[X]$ sans facteur carré, c'est-a-dire tels que : $\forall D\in\mathbb{F}_p[X]$, $D^2|F\Rightarrow\deg D=0$. Montrre que $\sum_{F\in A}|F|^{-s}=\frac{z(s)}{z(2s)}$. + - En déduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynômes sans facteur carré parmi les polynômes unitaires de degré $d$ de $\mathbb{F}_p[X]$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +!! todo +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 370] Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$. @@ -3236,22 +3304,32 @@ Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x - On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'ecart avec l'équivalent trouve. - Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$? #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - CVD +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 371] -- Déterminer le domaine de définition de $f:x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$. - - Montrre, pour tout réel $x\gt 0$, l'egalite $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$. +- Déterminer le domaine de définition de $f\colon x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$. + - Montrre, pour tout réel $x\gt 0$, l'égalité $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 372] -- Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout réel $x$. - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$ - - Donner une expression simplifiee de $F$. + - Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout réel $x$. + - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$ + - Donner une expression simplifiée de $F$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 373] -Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre intégrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$. +Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carré intégrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$. - Justifier la bonne définition de $S_f$. - - Montrer que $S_f$ est de carre intégrable. + - Montrer que $S_f$ est de carré intégrable. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - CS + - Relier à des semblables. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 374] Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$. @@ -3262,7 +3340,7 @@ Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1} #+begin_exercice [X MP 2023 # 375] - Soient $K$ un segment et $f:K\to K$ une fonction continue croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe. - - On considère l'équation différentielle non lineaire $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ verifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ réels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possede une solution $2\pi$-periodique. + - On considère l'équation différentielle non lineaire $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ vérifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ réels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possede une solution $2\pi$-périoddique. #+end_exercice # ID:6896 @@ -3311,21 +3389,36 @@ Soient $v\colon \R\to\R$ une fonction continue à support compact et $\omega\in\ - $pup = 0$ - $u$ symétrique + $pu + up = u$ (puisque c'est le noyau de l'application linéaire). - $u$ doit envoyer $\Im p$ dans $\Ker p$ et $\Ker p$ dans $\Im p$. + En conjuguant par une matrice orthogonale, on se ramène à $u = J_r$. + + On considère $\mc G = \{S\in \mc S_n \mid J_r S + S J_r = S\}$. Matriciellement, $\mc G = \left\{\begin{pmatrix}O & U \\ U^T & O\end{pmatrix}\right\}$. + + On a l'inclusion de l'espace tangent dans $\mc G$. + + Réciproquement, $J_r$ est la projection sur $F = \vect (e_1,\dots, e_r)$ parallèlement à $\vect (e_{r+1},\dots, e_n)$. + + Étant donné des coefficients $u_{ij}$, et $t\in\R$, on peut considérer $F_t = \vect (e_1 + \sum_{j\geq r+1} u_{1j} e_{j}, \dots, e_r + \sum_{j\geq r+1} u_{rj} e_j)$, et $P_t$ la projection orthogonale sur $F_t$. + + En utilisant l'expression de la matrice de $P_t$ via des produits scalaires, on obtient (?). #+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2023 # 380] -On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considère le carre de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ sur ce carre. +#+begin_exercice [X MP 2023 # 380] :sup: +On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considère le carré de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ sur ce carré. - Montrer qu'il existe une disposition des points $A$, $B$ et $C$ maximisant l'aire du triangle $ABC$. - Caracteriser une telle disposition. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Si $A$ n'est pas dans un coin, il faut nécessairement que le côté $BC$ soit parallèle au côté sur lequel $A$ est. +#+END_proof -** Geometrie + +** Géométrie #+begin_exercice [X MP 2023 # 381] Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimêtre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite. - - Calculer $P_n$ et étudier la convergence de la suite $(P - {n\geq 2}$. + - Calculer $P_n$ et étudier la convergence de la suite $(P_n)_{n\geq 2}$. - Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$. - Estimer l'erreur $2\pi-P_n$. - Proposer une methode d'approximation de $\pi$ par exces. @@ -3345,21 +3438,26 @@ On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a Déterminer le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $\db{1,n}$. #+end_exercice +# Relier à l'autre #+begin_exercice [X MP 2023 # 384] -- Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$. + - Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$. - Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste decroissante $(\lambda - {1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes. -Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$. + Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$. - On fixe $n\geq 1$ et on considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in\db{1,n}:X_i=k\}|$. -Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ a preciser. + Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ a preciser. - Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +!! todo +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 385] On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$. - Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$. - - On lance une piece non truquee. Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$ qui donne l'instant de premiere apparition du motif Face-Face. + - On lance une piece non truquée. Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$ qui donne l'instant de premiere apparition du motif Face-Face. - Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$. - Donner un équivalent de ${\bf P}(X=n)$. #+end_exercice @@ -3375,14 +3473,14 @@ Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la v #+begin_exercice [X MP 2023 # 387] Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aléatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$. - Déterminer ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$. - - Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicite de $z$ comme valeur propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$. + - Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicité de $z$ comme valeur propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 388] -Soient $b,n\in{\N}^*$. On considère $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aléatoires independantes suivant la loi uniforme sur $\db{0,b-1}$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in \db{1,n} \mid B_i\gt B_{i+1}\}$. - - Pour $i\in \db{1,n-1}$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$. +Soient $b,n\in{\N}^*$. On considère $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\db{0,b-1}$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in \db{1,n} \mid B_i\gt B_{i+1}\}$. + - Pour $i\in\db{1,n-1}$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$. - Soit $j\in\db{1, n-j-1}$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$. - - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ éléments à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui verifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$. + - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ éléments à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui vérifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 389] @@ -3404,8 +3502,8 @@ Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P} #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 391] -Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires independantes uniformement distribuees sur $\db{0,d}$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$. - - La variable aléatoire $S_n$ est-elle uniformement distribuée sur $\Z/n\Z$? +Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\db{0,d}$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$. + - La variable aléatoire $S_n$ est-elle uniformément distribuée sur $\Z/n\Z$? - Calculer la loi de $S_n$. #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -3425,8 +3523,8 @@ Soient $d\in\N^*$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires s #+begin_exercice [X MP 2023 # 393] Soit $n\geq 1$. - - On se donne deux variables aléatoires independantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. Soit $r\in\Q$. Déterminer la probabilité $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit egal a $r$. Donner un équivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$. - - On se donne quatre variables aléatoires independantes $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. On note $p_n$ la probabilité pour que $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ soient parallèles. Montrer que $p_n=O\big(\frac{\ln n}{n^2}\big)$ quand $n\ra+\i$. + - On se donne deux variables aléatoires indépendantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. Soit $r\in\Q$. Déterminer la probabilité $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit égal a $r$. Donner un équivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$. + - On se donne quatre variables aléatoires indépendantes $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. On note $p_n$ la probabilité pour que $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ soient parallèles. Montrer que $p_n=O\big(\frac{\ln n}{n^2}\big)$ quand $n\ra+\i$. #+end_exercice #+BEGIN_proof !! @@ -3436,12 +3534,12 @@ Soit $n\geq 1$. #+begin_exercice [X MP 2023 # 394] - Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$. - - Soit $X$ une variable aléatoire réelle centree et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$. - - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires centrees admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$. + - Soit $X$ une variable aléatoire réelle centrée et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$. + - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires centrées admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$. #+end_exercice #+begin_exercice Urne de Polya [X MP 2023 # 395] -Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. À chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle tirée dans l'urne. On note $X_n$ le nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages et $T_n$ l'evenement «tirer une boule jaune au $n$-ième tirage». +Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. À chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle tirée dans l'urne. On note $X_n$ le nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages et $T_n$ l'évènement «tirer une boule jaune au $n$-ième tirage». 1. s Calculer $P(T_1\mid T_2)$. 2. Déterminer la loi de $X_n$. 3. Calculer $P(T_n)$. @@ -3490,25 +3588,25 @@ Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ # ID:6956 #+begin_exercice [X MP 2023 # 399] - Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\N$ verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in \db{0,n}$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$. + Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\N$ vérifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in \db{0,n}$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$. - Montrer que, si $(i,j)\in\N^2$, $\mathbf{P}(X=i,Y=j)=\mathbf{P}(X=i,X-Y=j)$, puis que $X-Y\sim Y$. - Montrer que $\mathbf{P}(Y=0)\gt 0$. - - On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont independantes. Déterminer la loi de $Y$, puis celle de $X$. + - On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont indépendantes. Déterminer la loi de $Y$, puis celle de $X$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 400] - Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aléatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilité que $F$ soit bijective. + Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aléatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilité que $F$ soit bijective. #+END_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 401] -On cherche a collectionner $N$ jouets. À chaque achat, chaque jouet a une probabilité uniforme d'être obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents. +On cherche a collectionner $N$ jouets. À chaque achat, chaque jouet a une probabilité uniforme d'être obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets différents. - Calculer l'espérance de $T_N$. - Calculer la variance de $T_N$. - Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 402] -Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles centrees. +Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles centrées. On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$. - Montrer que $\mathbf{E}\left(\left(X_1+\cdots+X_n\right)^4\right)=O(n^2)$. @@ -3532,7 +3630,7 @@ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que $Q$ divise $P$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 405] -Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu'il existe une base de $\mc{L}(E)$ formee de projecteurs. +Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu'il existe une base de $\mc{L}(E)$ formée de projecteurs. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 406] @@ -3544,7 +3642,7 @@ Trouver $\text{Vect}(\mc{O}_n(\R))$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 408] -- Soit $(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$. Montrer que $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. - Trouver une condition nécessaire d'egalite lorsque $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. +- Soit $(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$. Montrer que $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. - Trouver une condition nécessaire d'égalité lorsque $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. #+end_exercice @@ -3599,7 +3697,7 @@ On pose $E=\left\{(x,y,z)\in\R^3\ ;\ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left( \dfrac{y Calculer le volume du parallelepipede engendre par les vecteurs $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$. #+end_exercice -*** Geometrie +*** Géométrie #+begin_exercice [X PSI 2023 # 418] Soient $abc$ un vrai triangle du plan complexe, $\alpha$ (resp. $\beta$, resp. $\gamma$) a rotation de centre $a$ (resp. $b$, resp. $c$) et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. - Montrere que le centre de $\alpha\circ\beta$ appartient a l'intersection des trisectrices du triangles. @@ -3614,21 +3712,21 @@ Déterminer la loi d'une variable aléatoire $X$ a valeurs dans $\N^*$ telle que #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 420] -Une entreprise qui commercialise des eeufs en chocolat met dans chaque ceuf un jouet. Au total il y a $N$ jouets differents. On suppose qu'a chaque achat d'ceuf la probabilité de tomber sur un jouet donne est identique pour chaque jouet. On note $T_N$ le nombre d'eufs achetes jusqu'a obtenir la collection complete. +Une entreprise qui commercialise des éeufs en chocolat met dans chaque ceuf un jouet. Au total il y a $N$ jouets differents. On suppose qu'a chaque achat d'ceuf la probabilité de tomber sur un jouet donne est identique pour chaque jouet. On note $T_N$ le nombre d'eufs achetes jusqu'a obtenir la collection complete. Montrer que $\mathbf{E}(T_N)=N\times H_N$ avec $H_N=\sum_{n=1}^N\dfrac{1}{n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 421] -On pose$M=\left(\begin{array}{cccc}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{array}\right)$ avec $a,b,c,d$ des variables aléatoires a valeurs dans $\Z$ telles que $a+1,b+1,c+1,d+1$ suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda_a,\lambda_b,\lambda_c,\lambda_d$. Calculer la probabilité de l'evenement $*M$ est inversible $\Rightarrow$. +On pose$M=\left(\begin{array}{cccc}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{array}\right)$ avec $a,b,c,d$ des variables aléatoires a valeurs dans $\Z$ telles que $a+1,b+1,c+1,d+1$ suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda_a,\lambda_b,\lambda_c,\lambda_d$. Calculer la probabilité de l'évènement $*M$ est inversible $\Rightarrow$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 422] -On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ independantes a valeurs dans $\db{0,n]\!]$ qui suivent la meme loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $[\![0,n}$. +On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ indépendantes a valeurs dans $\db{0,n]\!]$ qui suivent la meme loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $[\![0,n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 423] -On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aléatoires independants avec remise. On note $N_n$ le nombre de tirages qu'il a fallu pour avoir les $n$ objets differents. +On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aléatoires indépendants avec remise. On note $N_n$ le nombre de tirages qu'il a fallu pour avoir les $n$ objets differents. - Calculer $\mathbf{E}(N_n)$ et $\mathbf{V}(N_n)$. - Montrere que $\forall\eps\gt0$, $\lim_{n\to\i}\mathbf{P}\left(\left|\dfrac{N_n}{n\ln(n)}-1\right|\gt \eps\right)=0$. #+end_exercice @@ -3661,18 +3759,18 @@ Caracteriser les matrices $A\in\M_n(\C)$ telles que l'ensemble des matrices semb #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 440] -Soit $G$ une partie de $\mathrm{GL}_2(\R)$ qui contient $I_2$ et qui est stable par produit et passage a l'inverse. On note $\mathrm{Vect}(G)$ l'ensemble des combinaisons lineaires d'éléments de $G$. Montrer que $\mathrm{Vect}(G)\neq\M_2(\R)$ si et seulement si une des conditions suivantes est verifiee : +Soit $G$ une partie de $\mathrm{GL}_2(\R)$ qui contient $I_2$ et qui est stable par produit et passage a l'inverse. On note $\mathrm{Vect}(G)$ l'ensemble des combinaisons lineaires d'éléments de $G$. Montrer que $\mathrm{Vect}(G)\neq\M_2(\R)$ si et seulement si une des conditions suivantes est vérifiée : -(i) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est triangulaire superieure, +(i) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est triangulaire supérieure, (ii) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est de la forme $\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}$ avec $a$ et $b$ dans $\R$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 441] -Soit $A\in\M_n\left(\C\right)$. On note $\mathrm{Sp}\left(A\right)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_r\}$ ou les $\lambda_i$ sont distincts et ou $\lambda_i$ est de multiplicite $m_i\in\N^*$. +Soit $A\in\M_n\left(\C\right)$. On note $\mathrm{Sp}\left(A\right)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_r\}$ ou les $\lambda_i$ sont distincts et ou $\lambda_i$ est de multiplicité $m_i\in\N^*$. - Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n\left(\C\right)$ telle que $A=PTP^{-1}$ avec -$$T=\!\!\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1I_{m_1}+N_1&*&\cdots&*\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&*\\ 0&\cdots&0&\lambda_rI_{m_r}+N_r\end{array}\right)\text{$$, ou les $N_i$ sont des matrices triangulaires superieures a diagonale nulle. +$$T=\!\!\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1I_{m_1}+N_1&*&\cdots&*\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&*\\ 0&\cdots&0&\lambda_rI_{m_r}+N_r\end{array}\right)\text{$$, ou les $N_i$ sont des matrices triangulaires supérieures a diagonale nulle. - On suppose que $A$ est inversible et qu'il existe $C\geq 0$ tel que $\forall k\in\Z$, $\forall\left(i,j\right)\in\db{1,n}^2$, $\left\lvert\left[A^k\right]_{i,j}\right\rvert\leq C$. Montrer que $A=QDQ^{-1}$ avec $Q\in\mathrm{GL}_n(\C)$, $D=\mathrm{Diag}\ (d_1,\ldots,d_n)$ ou, pour $i\in\db{1,n}$, $\left\lvert d_i\right\rvert=1$. #+end_exercice @@ -3697,7 +3795,7 @@ Caracteriser les matrices $M\in\M_n(\C)$ qui sont somme de deux matrices diagona #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 446] -Déterminer les entier $n$ tels qu'il existe $A\in\M_n(\Z)$ verifiant $A^2-A+I_n=0$. +Déterminer les entier $n$ tels qu'il existe $A\in\M_n(\Z)$ vérifiant $A^2-A+I_n=0$. Ind. Commencer par $n\leq 3$. #+end_exercice @@ -3723,7 +3821,7 @@ $\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^{\alpha}=\sum_{i=1}^n \left\|p-b_i\right\|^{\a #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 450] -Soit $n$ un entier $\geq 2$. Pour quelles valeurs du réel $\alpha$ existe-t-il $n+1$ vecteurs unitaires $u_0,u_1,\ldots,u_n$ de $\R^n$ verifiant $\forall(i,j)\in\{0,1,\ldots,n\}^2$, $i\neq j\Rightarrow\left\langle u_i,u_j\right\rangle=\alpha$? +Soit $n$ un entier $\geq 2$. Pour quelles valeurs du réel $\alpha$ existe-t-il $n+1$ vecteurs unitaires $u_0,u_1,\ldots,u_n$ de $\R^n$ vérifiant $\forall(i,j)\in\{0,1,\ldots,n\}^2$, $i\neq j\Rightarrow\left\langle u_i,u_j\right\rangle=\alpha$? Ind. Considèrer la matrice $A=\left(\left\langle u_i,u_j\right\rangle\right)_{1\leq i,j\leq n}$. #+end_exercice @@ -3739,11 +3837,11 @@ On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $n\geq 2$. Montrer q #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 453] -Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symetrique positive non nulle. Montrer qu'il existe $r\in\N^*$ et des réels $b_{i,k}$, avec $1\leq i\leq n$ et $1\leq k\leq r$, tels que $\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$, $a_{i,j}=\sum_{k=1}^rb_{i,k}b_{j,k}$. Quel est la plus petite valeur possible de $r$? +Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symétrique positive non nulle. Montrer qu'il existe $r\in\N^*$ et des réels $b_{i,k}$, avec $1\leq i\leq n$ et $1\leq k\leq r$, tels que $\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$, $a_{i,j}=\sum_{k=1}^rb_{i,k}b_{j,k}$. Quel est la plus petite valeur possible de $r$? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 454] -Soit $A=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre est inferieure ou egale a $\frac{1}{2n+1}$. +Soit $A=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre est inférieure ou égale a $\frac{1}{2n+1}$. On pourra montrer que $\forall P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,dt+\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\, d\theta=0$. #+end_exercice @@ -3753,19 +3851,19 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ et $A^T$ commutent si et seulement si $AA^T #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 456] -Soient $A\in\M_{m,n}(\R)$ non nulle, $X\in\R^n$ et $Y\in\R^m$. On munit $\R^n$ et $\R^m$ de leurs normes euclidiennes canoniques. Considerons les assertions : +Soient $A\in\M_{m,n}(\R)$ non nulle, $X\in\R^n$ et $Y\in\R^m$. On munit $\R^n$ et $\R^m$ de leurs normes euclidiennes canoniques. Considérons les assertions : (i) $\forall Z\in\R^n$, $\|AX-Y\|\leq\|AZ-Y\|$; (i)' $A^TAX=A^TY$; -(ii) $X$ est de norme minimale pour la propriete (i); +(ii) $X$ est de norme minimale pour la propriété (i); (ii)' $X\perp\mathrm{Ker}\,A^TA$. - Montrer que (i) $\Longleftrightarrow$ (i)'. - - On suppose (i) verifie. Montrer qu'alors (ii) $\Longleftrightarrow$ (ii)'. - - Montrer l'unicite de $X$ verifiant (i) et (ii). Notons $BY$ ce vecteur. - - Montrer que $B$ est lineaire. Montrer que, pour tout $Y\in\R^m$, $\|BY\|\leq\frac{\|Y\|}{\sqrt{\lambda_1}}$ ou $\lambda_1$ est la plus petite valeur propre non nulle de $A^TA$, et qu'il y a des cas d'egalite non triviaux. + - On suppose (i) vérifie. Montrer qu'alors (ii) $\Longleftrightarrow$ (ii)'. + - Montrer l'unicite de $X$ vérifiant (i) et (ii). Notons $BY$ ce vecteur. + - Montrer que $B$ est lineaire. Montrer que, pour tout $Y\in\R^m$, $\|BY\|\leq\frac{\|Y\|}{\sqrt{\lambda_1}}$ ou $\lambda_1$ est la plus petite valeur propre non nulle de $A^TA$, et qu'il y a des cas d'égalité non triviaux. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 457] @@ -3846,7 +3944,7 @@ Soit $c_n$ le nombre de listes $(a_1,\ldots,a_n)$ d'entiers telles que $\{a_1,\l #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 470] -Soit $C=0,1234567891011121314\ldots$ (on ecrit les ecritures decimales de tous les entiers naturels a la suite). Montrer que $C$ est irrationnel. +Soit $C=0,1234567891011121314\ldots$ (on écrit les écritures decimales de tous les entiers naturels a la suite). Montrer que $C$ est irrationnel. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 471] @@ -3877,7 +3975,7 @@ Ind. Étudier si $n\geq m$, $a_{m,n}=\sqrt{1+m\sqrt{1+(m+1)\sqrt{1+\cdots+(n-1)\ #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 476] -Soit $(u_n)$ une suite bornee. Montr er qu'il y a equivalence entre : +Soit $(u_n)$ une suite bornée. Montr er qu'il y a equivalence entre : (i) $\frac{1}{n}\sum_{k\lt n}|u_k|\to 0$, @@ -3889,15 +3987,15 @@ Soit $(u_n)$ une suite bornee. Montr er qu'il y a equivalence entre : #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 478] -- Soit $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$ une suite bornee telle que $\lim_{n\to+\i}\sum_{p=0}^{+\i}\frac{u_{n2^p}}{2^p}=1$. +- Soit $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$ une suite bornée telle que $\lim_{n\to+\i}\sum_{p=0}^{+\i}\frac{u_{n2^p}}{2^p}=1$. Que peut-on en dedaire sur la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$? - - Soit $(v - {n\in\N}$ une suite réelle bornee. On suppose $\lim_{n\to+\i}\left(v_n-\frac{1}{2}v_{2n}\right)=\frac{1}{2}$. Que dire $\left(v_n\right)_{n\in\N}$? + - Soit $(v - {n\in\N}$ une suite réelle bornée. On suppose $\lim_{n\to+\i}\left(v_n-\frac{1}{2}v_{2n}\right)=\frac{1}{2}$. Que dire $\left(v_n\right)_{n\in\N}$? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 479] - Soient $a\in\N^*$ et $n\in\N$. Montr er qu'il existe des entiers $c_j$, avec $0\leq j\leq a-1$, tels que $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{k^n}{k!^a}=\sum_{k=0}^{+\i}\frac{\sum_{j=0}^ {a-1}c_jk^j}{k!^a}$. - - Montr er que les $c_j$ sont uniquees (on traitera d'abord le cas $a=2$). + - Montr er que les $c_j$ sont uniquées (on traitera d'abord le cas $a=2$). #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 480] @@ -3924,7 +4022,7 @@ Soit $f:[0,1]\mapsto\R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que, po #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 485] -On appelle polynome trigonometrique réel toute fonction $f\colon\R\to\R$ donnee par une formule $\forall x\in\R,\ f(x)=\sum_{k=-n}^na_ke^{ikx}$ avec $n\in\N$ et des constantes $a_k\in\C$. Trouver tous les couples $(f,g)$ de polynomes trigonometriques réels tels que $f^2+g^2=1$. +On appelle polynôme trigonometrique réel toute fonction $f\colon\R\to\R$ donnée par une formule $\forall x\in\R,\ f(x)=\sum_{k=-n}^na_ke^{ikx}$ avec $n\in\N$ et des constantes $a_k\in\C$. Trouver tous les couples $(f,g)$ de polynômes trigonometriques réels tels que $f^2+g^2=1$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 486] @@ -3981,15 +4079,15 @@ Posons $ A=\Q\cap\left[\,0\,;\,1\,\right]$. Existe-t-il une suite $(f_n)$ de fon #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 494] -On considère l'ensemble $E$ des applications continues $ f\colon\R\mapsto\R$ telles qu'il existe $ M\gt 0$ verifiant $\forall x,y\in\R,\left|f(x+y)-f(x)-f(y)\right|\leq M$. - - Montrer que $E$ est un espace vectoriel contenant le sous-espace des applications lineaires et celui des applications bornees. - - Soit $ f\in E$. Pour $n\in\N$, on pose $ g_n:x\in\R\mapsto 2^{-n}f(2^nx)$. Montrer que la suite $(g_n)$ converge uniformement vers une application lineaire $g$. En déduire que $f$ s'ecrit, de facon unique, comme somme d'une application lineaire et d'une application bornee. +On considère l'ensemble $E$ des applications continues $ f\colon\R\mapsto\R$ telles qu'il existe $ M\gt 0$ vérifiant $\forall x,y\in\R,\left|f(x+y)-f(x)-f(y)\right|\leq M$. + - Montrer que $E$ est un espace vectoriel contenant le sous-espace des applications lineaires et celui des applications bornées. + - Soit $ f\in E$. Pour $n\in\N$, on pose $ g_n:x\in\R\mapsto 2^{-n}f(2^nx)$. Montrer que la suite $(g_n)$ converge uniformément vers une application lineaire $g$. En déduire que $f$ s'écrit, de facon unique, comme somme d'une application lineaire et d'une application bornée. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 495] On considère une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ d'applications de $[0,1]$ dans $\R$ qui converge simplement sur $[0,1]$ vers une application continue $f$. - - On suppose les $f_n$ de classe $C^1$ et de derivees uniformement bornees, c'est-a-dire qu'il existe $ C\geq 0$ tel que $\forall n,\ \ \|f_n'\|_{\i}\leq C$. Montrer que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ est uniforme sur $[0,1]$. - - On suppose maintenant les $f_n$ de classe $C^k$ pour un entier $ k\in\N^*$ et de derivees $k$-iemes uniformement bornees. La convergence de la suite $(f_n)$ est-elle toujours uniforme sur $[0,1]$? + - On suppose les $f_n$ de classe $C^1$ et de derivées uniformément bornées, c'est-a-dire qu'il existe $ C\geq 0$ tel que $\forall n,\ \ \|f_n'\|_{\i}\leq C$. Montrer que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ est uniforme sur $[0,1]$. + - On suppose maintenant les $f_n$ de classe $C^k$ pour un entier $ k\in\N^*$ et de derivées $k$-ièmes uniformément bornées. La convergence de la suite $(f_n)$ est-elle toujours uniforme sur $[0,1]$? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 496] @@ -4000,7 +4098,7 @@ Pour $ n\in\N^*$ et $ x\in\R^+$, on pose $ f_n(x)=\cos\biggl{(}\dfrac{x}{\sqrt{n #+begin_exercice [X PC 2023 # 497] Soit $(f - {n\in\N}$ une suite de fonctions appartenant a $\mc C^3(\R,\R)$ et $C$ une constante réelle positive. On suppose : (i) $\sup_{n\in\N}\|f_n^{(3)}\|_{\i}\leq C$, (ii) $\lim_{n\to+\i}\|f_n\|_{\i}=0$. - Montrer que $\lim\|f_n'\|_{\i}=\lim\|f_n^{''}\|_{\i}=0$. - - Les resultats precedents restent-ils vrais si on ne fait plus l'hypothese (i)? + - Les résultats precedents restent-ils vrais si on ne fait plus l'hypothese (i)? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 498] @@ -4008,7 +4106,7 @@ On note $E=\mc C^0([0,1],\R)$. Si $f\in E$, on définit la fonction $T(f)$ par $ On définit par recurrence sur $n\in\N$, $T^{n+1}(f)=T(T^n(f))$. - Montrer que $T$ est bien définie comme fonction de $E$ dans lui-meme. - - Soit $f\in E$. On suppose qu'il existe $\eps\gt 0$ tel que $f(x)=0$ si $x\in[0,\eps]$. Montrer que $T^nf$ converge uniformement vers la fonction nulle quand $n\to+\i$. + - Soit $f\in E$. On suppose qu'il existe $\eps\gt 0$ tel que $f(x)=0$ si $x\in[0,\eps]$. Montrer que $T^nf$ converge uniformément vers la fonction nulle quand $n\to+\i$. - Étudier le comportement de $(T^n(f))_{n\geq 0}$ quand $n\to+\i$ pour tout $f$ continue. #+end_exercice @@ -4029,7 +4127,7 @@ Soient $\alpha\gt 0$ et, pour $n\in\N^*$, $ f_n:x\mapsto\frac{\sin nx}{n^{\alpha #+begin_exercice [X PC 2023 # 501] On pose $ g:x\mapsto\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{2x}{n^2-x^2}$. - Montrer que $g$ est définie et continue sur $\R\setminus\Z$. - - Montrer que $g$ est 1-periodique. + - Montrer que $g$ est 1-périoddique. - Etablir une relation entre $ g\left(\frac{x}{2}\right)$, $ g\left(\frac{x+1}{2}\right)$ et $ g(x)$ des que les termes font sens. - En déduire que $\pi\,\mathrm{cotan}(\pi x)=g(x)$ pour tout $x\in\R\setminus\Z$. #+end_exercice @@ -4064,7 +4162,7 @@ On pose, pour $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $\zeta(k)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^k}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 507] -- Soit $\lambda\in\R$. Déterminer s'il existe $y:\R\to\R$ développable en série entiere telle que $xy^{''}+(1-x)y'-\lambda y=0$. +- Soit $\lambda\in\R$. Déterminer s'il existe $y:\R\to\R$ développable en série entière telle que $xy^{''}+(1-x)y'-\lambda y=0$. - On suppose $\lambda=2$. Expliciter les solutions sur $\R^{+*}$ et $\R^{-*}$ (on admet que sur chacun des deux intervalles l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2). - Déterminer les solutions sur $\R$. #+end_exercice @@ -4088,28 +4186,28 @@ Déterminer les extrema de $f\colon (x,y)\mapsto 3x^2+2xy+2y^2-x^4$ sur le disqu *** Probabilités #+begin_exercice [X PC 2023 # 511] -On a un de equilibre a $N$ faces numerotees de 1 a $N$, et on effectue une suite de lancers independants. Le jeu s'arrete lorsque le resultat du lancer $n+1$ est strictement inferieur a celui du lancer $n$. +On a un de equilibre a $N$ faces numerotées de 1 a $N$, et on effectue une suite de lancers indépendants. Le jeu s'arrete lorsque le résultat du lancer $n+1$ est strictement inférieur a celui du lancer $n$. - Calculer la probabilité $\pi_k$ que le jeu s'arrete apres le rang $k$. - Montrer que $\pi_k$ tend vers 0 pour $k\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 512] -Soient $a\in\R$, $q\geq 3$ et $(X_n)$ une suite de variables aléatoires mutuellement independantes et uniformes sur $\left\{\frac{k}{q},\ k=0,\ldots,q-1\right\}$. On définit la suite $(T_n)$ par : $T_0=0$ et $\forall n,T_{n+1}=T_n+a+\sin(2\pi(T_n-X_n))$. Déterminer l'espérance de $T_n$. +Soient $a\in\R$, $q\geq 3$ et $(X_n)$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et uniformes sur $\left\{\frac{k}{q},\ k=0,\ldots,q-1\right\}$. On définit la suite $(T_n)$ par : $T_0=0$ et $\forall n,T_{n+1}=T_n+a+\sin(2\pi(T_n-X_n))$. Déterminer l'espérance de $T_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 513] -On dispose de $N$ pieces equilibrees. On lance les $N$ pieces de maniere independante. On note $X_1$ le nombre de \lt \lt pile \gt \gt obtenus. On relance ces $X_1$ pieces et on note $X_2$ le nombre de \lt \lt pile \gt \gt obtenus... +On dispose de $N$ pieces equilibrées. On lance les $N$ pieces de maniere indépendante. On note $X_1$ le nombre de \lt \lt pile \gt \gt obtenus. On relance ces $X_1$ pieces et on note $X_2$ le nombre de \lt \lt pile \gt \gt obtenus... - Calculer la fonction génératrice de $X_2$. - Calculer la fonction génératrice de $X_k$, pour $k\geq 3$. - Soit $T$ l'instant ou l'on n'a plus de piece. Calculer $\mathbf{E}\left(T\right)$ dans le cas ou $N=4$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 514] -Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes independantes telles que $Y$ prenne un nombre fini de valeurs, et $\mathbf{E}(Y)=0$. On suppose que $|X|$ admet une espérance. Montrer que $\mathbf{E}(|X-Y|)\geq\mathbf{E}(|X|)$. +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes indépendantes telles que $Y$ prenne un nombre fini de valeurs, et $\mathbf{E}(Y)=0$. On suppose que $|X|$ admet une espérance. Montrer que $\mathbf{E}(|X-Y|)\geq\mathbf{E}(|X|)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 515] -On tire une piece $n$ fois independamment avec probabilité de faire pile $1/n$. Soit $p_n$ la probabilité d'obtenir un nombre impair de fois pile. Étudier le comportement de $p_n$. +On tire une piece $n$ fois indépendamment avec probabilité de faire pile $1/n$. Soit $p_n$ la probabilité d'obtenir un nombre impair de fois pile. Étudier le comportement de $p_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 516] @@ -4128,20 +4226,20 @@ Déterminer les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 518] -Soient $p$ un nombre premier et $C_p$ l'ensemble des $z\in\C$ tels qu'il existe $n\in\N$ verifiant $z^{p^n}=1$. +Soient $p$ un nombre premier et $C_p$ l'ensemble des $z\in\C$ tels qu'il existe $n\in\N$ vérifiant $z^{p^n}=1$. - Montrer que $C_p$ est un sous-groupe infini de $\C^*$. - Déterminer les sous-groupes de $C_p$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 519] -Déterminer tous les couples $(m,n)\in\N^2$ verifiant : $3^m=8+n^2$. +Déterminer tous les couples $(m,n)\in\N^2$ vérifiant : $3^m=8+n^2$. #+end_exercice #+BEGIN_proof Nécessairement, $m$ pair, donc cela s'écrit $3^{2m} - n^2 = 8$. #+END_proof #+begin_exercice [Mines 2023 # 520] -Soient $p,q$ deux entiers superieurs ou egaux a $2$. +Soient $p,q$ deux entiers supérieurs ou egaux a $2$. - Montrer que si $q^p-1$ est premier, alors $q=2$ et $p$ est premier. - On suppose que $p$ est premier et l'on note $k\in\N^*$ un diviseur de $2^p-1$. Montrer que : $k\equiv 1\,[2p]$. #+end_exercice @@ -4149,20 +4247,21 @@ Soient $p,q$ deux entiers superieurs ou egaux a $2$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 521] Soit $A=\{n\in\N,\ 2^n+1\equiv 0\ [n]\}$. - Montrer que $3$ est l'unique nombre premier appartenant a $A$. - - Montrer que $A$ contient toutes les puissances entieres de $3$. + - Montrer que $A$ contient toutes les puissances entières de $3$. #+end_exercice +# ID:6975 #+begin_exercice [Mines 2023 # 522] - Soit $n\gt 6$ un entier. Montrer qu'il existe un couple $(a,b)\in(\N\setminus\{0,1\})^2$ tel que $a+b=n$ et $a\wedge b=1$. - Soit $(p_n)$ la suite croissante des nombres premiers. Montrer que, pour tout $k\geq 3$, $p_1\cdots p_k\geq p_{k+1}+p_{k+2}$. Ind. Utiliser la premiere question avec $n=p_1\cdots p_k$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 523] -On ecrit $n\in\N$ en base $p\in\mc{P}:n=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_kp^k$ et l'on pose $S_p(n)=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_k$. +On écrit $n\in\N$ en base $p\in\mc{P}:n=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_kp^k$ et l'on pose $S_p(n)=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_k$. - Soit $k\in\db{0,n}$. Montrer que : $v_p{n\choose k}=\frac{S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n)}{p-1}$. - Exprimer $v_p{n\choose k}$ en fonction des retenues dans l'addition de $n-k$ et $k$ en base $p$. - Est-ce que $7$ divise ${1000\choose 500}$? - - Montrer que $2$ divise ${2n\choose n}$. Étudier la divisibilite par $4$ pour $n\geq 2$. + - Montrer que $2$ divise ${2n\choose n}$. Étudier la divisibilité par $4$ pour $n\geq 2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 524] @@ -4177,7 +4276,7 @@ Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers #+begin_exercice [Mines 2023 # 526] - Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Montrer que $H$ est cyclique d'ordre divisant $n$. Soit $d$ un diviseur de $n$. Montrer qu'il existe un unique sous-groupe de $G$ d'ordre $d$. - - On note $\phi$ l'indicatrice d'Euler. Soient $n\in\N^*$ et $D(n)$ l'ensemble des diviseurs positifs de $n$. Montrer l'egalite $n=\sum_{d\in\mc{D}(n)}\phi(d)$. + - On note $\phi$ l'indicatrice d'Euler. Soient $n\in\N^*$ et $D(n)$ l'ensemble des diviseurs positifs de $n$. Montrer l'égalité $n=\sum_{d\in\mc{D}(n)}\phi(d)$. - Montrer que si $p$, $q\in\N^*$ sont premiers entre eux, alors $\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $\phi(n)$ en fonction de la decomposition en facteurs premiers de $n$. #+end_exercice @@ -4191,8 +4290,8 @@ Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers #+begin_exercice [Mines 2023 # 528] Soit $p$ un nombre premier impair. - - D enombrer les carres de $\mathbb{F}_p$. - - Montrer que $-1$ est un carre de $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p\equiv 1$[4]. + - D enombrer les carrés de $\mathbb{F}_p$. + - Montrer que $-1$ est un carré de $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p\equiv 1$[4]. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 529] @@ -4213,7 +4312,7 @@ Si $I$ est un ideal de $A$, on note $R(I)=\{x\in A\ ;\ \exists n\in\N,\ x^n\in I - Soient $I$ et $J$ deux ideaux de $A$. Montrer : $R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ ; $R(I)+R(J)\subset R(I+J)$. - - Pour cette question, $A=\Z$. Montrer que l'ensemble des entiers naturels non nuls tels que $R(n\Z)=n\Z$ est l'ensemble des entiers naturels non nuls dont la decomposition primaire ne comporte aucun facteur premier d'exposant au moins egal a 2. + - Pour cette question, $A=\Z$. Montrer que l'ensemble des entiers naturels non nuls tels que $R(n\Z)=n\Z$ est l'ensemble des entiers naturels non nuls dont la decomposition primaire ne comporte aucun facteur premier d'exposant au moins égal a 2. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 532] @@ -4221,7 +4320,7 @@ Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de meme modul #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 533] -- Montrer qu'il existe une unique suite $(P_n)$ de polynomes a coefficients dans $\Z$ verifiant : $\forall n\in\N,\forall x\in\R^*,P_n\left(x+\frac{1}{x} \right)=x^n+\frac{1}{x^n}$. +- Montrer qu'il existe une unique suite $(P_n)$ de polynômes a coefficients dans $\Z$ vérifiant : $\forall n\in\N,\forall x\in\R^*,P_n\left(x+\frac{1}{x} \right)=x^n+\frac{1}{x^n}$. - Soit $a\in\Q$ tel que $\cos(a\pi)\in\Q$. Montrer que : $2\cos(a\pi)\in\Z$. #+end_exercice @@ -4233,7 +4332,7 @@ Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de meme modul #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 535] -Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n$. Montrer qu'il existe $k\in\db{0,n}$ tel que $|P(k)|\geq\frac{n!}{2^n}$. +Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer qu'il existe $k\in\db{0,n}$ tel que $|P(k)|\geq\frac{n!}{2^n}$. #+end_exercice #+BEGIN_proof Interpolation de Lagrange. @@ -4255,39 +4354,39 @@ On pose $B_0=1$ et pour tout $k\in\N^*$, $B_k=\frac{1}{k!}X(X-1)...(X-k+1)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 538] -Soient $n\in\N^*$ et $k\in\db{0,n-1}$. Soit $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in\C[X]$ polynome de degre $n$ tel que $(X-1)^k|P$. On note $\mu(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. On veut montrer que $\mu(P)\geq k+1$. On raisonne par l'absurde et on pose $A=\{i\in\db{0,n},\ a_i\neq 0\}$. +Soient $n\in\N^*$ et $k\in\db{0,n-1}$. Soit $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in\C[X]$ polynôme de degré $n$ tel que $(X-1)^k|P$. On note $\mu(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. On veut montrer que $\mu(P)\geq k+1$. On raisonne par l'absurde et on pose $A=\{i\in\db{0,n},\ a_i\neq 0\}$. - On pose $P_0=1$ et $P_s=\prod_{j=0}^{s-1}(X-j)$ pour $s\in\N^*$. Montrer que $\forall s\in\db{0,k-1},\ P^{(s)}(1)=\sum_{i\in A}a_iP_s(i)$. - En déduire que $\forall i\in A$, $a_i=0$, et conclure. - - L'inegalite demontree est-elle optimale? + - L'inégalité démontrée est-elle optimale? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 539] - Soit $P\in\R[X]$ simplement scinde sur $\R$ et non constant. Montrer que, si $\lambda\in\R$, $P'-\lambda P$ est simplement scinde sur $\R$. - - Le resultat de la question précédente s'etend-il a $P^{''}-\lambda P\,?$ Comment le généraliser? + - Le résultat de la question précédente s'etend-il a $P^{''}-\lambda P\,?$ Comment le généraliser? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 540] -- Soit $P$ un polynome irreductible dans $\Q[X]$. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples. - - Soient $k\in\N^*$, $P\in\Q[X]$ non constant avec $\deg(P)\leq 2k-1$, $\alpha\in\C$ une racine de $P$ de multiplicite $k$. Montrer que $\alpha$ est rationnel. +- Soit $P$ un polynôme irreductible dans $\Q[X]$. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples. + - Soient $k\in\N^*$, $P\in\Q[X]$ non constant avec $\deg(P)\leq 2k-1$, $\alpha\in\C$ une racine de $P$ de multiplicité $k$. Montrer que $\alpha$ est rationnel. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 541] Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ avec : $a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n\gt 0$. - - Montrer que les racines complexes de $P$ sont de module superieur ou egal a $1$. + - Montrer que les racines complexes de $P$ sont de module supérieur ou égal a $1$. - Soit $z\in\C$ tel que $P(z)=0$. Montrer $\min_{k\in[0,n-1]}\frac{a_k}{a_{k+1}}\leq|z|\leq\max_{k\in[0,n-1] }\frac{a_k}{a_{k+1}}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 542] -- Soit $P\in\R[X]$ de degre $n\geq 1$. Soit $x\in\R$. On considère la suite $\left(P^{(k)}(x)\right)_{k\in[0,n]}$. +- Soit $P\in\R[X]$ de degré $n\geq 1$. Soit $x\in\R$. On considère la suite $\left(P^{(k)}(x)\right)_{k\in[0,n]}$. On note $v(x)$ le nombre de changements de signe stricts : -Soit $a\lt b$ tel que $P(a)P(b)\neq 0$. Montrer que si l'on note $\mu(a,b)$ le nombre de racines comptees avec multiplicite sur $[a,b]$ de $P$ comptees avec multiplicite, alors : +Soit $a\lt b$ tel que $P(a)P(b)\neq 0$. Montrer que si l'on note $\mu(a,b)$ le nombre de racines comptées avec multiplicité sur $[a,b]$ de $P$ comptées avec multiplicité, alors : $\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $\mu(a,b)\equiv v(a)-v(b) [2]$. - - Soit $P=a_0+\cdots+a_nX^n\in\R[X]$ non constant. On pose $V(P)$ le nombre de changements de signe stricts de la suite $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ et $\mu(P)$ le nombre de racines strictement positives comptees avec multiplicite. Montrer que $\mu(P)\leq V(P)$ et $\mu(P)\equiv V(P)[2]$. + - Soit $P=a_0+\cdots+a_nX^n\in\R[X]$ non constant. On pose $V(P)$ le nombre de changements de signe stricts de la suite $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ et $\mu(P)$ le nombre de racines strictement positives comptées avec multiplicité. Montrer que $\mu(P)\leq V(P)$ et $\mu(P)\equiv V(P)[2]$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 543] @@ -4296,11 +4395,11 @@ $\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $\mu(a,b)\equiv v(a)-v(b) [2]$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 544] -Soit $P\in\R[X]$ un polynome de degre $n\geq 2$, ayant $n$ racines réelles distinctes et non nulles $a_1\lt ...\lt a_n$. Calculer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(a_i)}$ et $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_iP'(a_i)}$. +Soit $P\in\R[X]$ un polynôme de degré $n\geq 2$, ayant $n$ racines réelles distinctes et non nulles $a_1\lt ...\lt a_n$. Calculer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(a_i)}$ et $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_iP'(a_i)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 545] -Soit $P\in\C[X]$ un polynome unitaire de degre $n$. On note $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ses racines comptees avec multiplicite. On suppose que $P$ est a coefficients entiers. +Soit $P\in\C[X]$ un polynôme unitaire de degré $n$. On note $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ses racines comptées avec multiplicité. On suppose que $P$ est a coefficients entiers. Montrer que, pour tout $q\in\N^*$, $P_q=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^q)$ est a coefficients entiers. #+end_exercice @@ -4336,16 +4435,16 @@ Soit $f\in\mc{L}(E)$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Mon #+begin_exercice [Mines 2023 # 553] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. - - Montrer l'equivalence entre les trois proprietes suivantes : + - Montrer l'equivalence entre les trois propriétés suivantes : + $\op{Im}(u)=\op{Im}(u^2)$ + $\op{Ker}(u)=\op{Ker}(u^2)$ + $E=\op{Im}(u)\oplus\op{Ker}(u)$. - - Donner des exemples d'endomorphismes verifiant ces proprietes. + - Donner des exemples d'endomorphismes vérifiant ces propriétés. - L'equivalence est-elle vraie en dimension infinie? Montrer que $(i)$ et $(ii)$ equivaut a $(iii)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 554] -Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que $h\in\mc{L}(E)$ est une transvection s'il existe $\phi\in\mc{L}(E,\mathbb{K})$ non nulle et $a\in E$ non nul tels que : $\forall x\in E$, $h(x)=x+\phi(x)a$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que $\op{rg}(u-\op{id})=1$ et $(u-\op{id})^2=0$. Montrer que $u$ est une transvection. La reciproque est-elle vraie? +Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que $h\in\mc{L}(E)$ est une transvection s'il existe $\phi\in\mc{L}(E,\mathbb{K})$ non nulle et $a\in E$ non nul tels que : $\forall x\in E$, $h(x)=x+\phi(x)a$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que $\op{rg}(u-\op{id})=1$ et $(u-\op{id})^2=0$. Montrer que $u$ est une transvection. La réciproque est-elle vraie? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 555] @@ -4353,7 +4452,7 @@ Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semb #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 556] -Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non nécessairement distinctes) du polynome $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$. +Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non nécessairement distinctes) du polynôme $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$. Calculer, pour $n\in\N^*$, le déterminant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$. #+end_exercice @@ -4366,7 +4465,7 @@ Ind. On rappelle que, pour $N\in\N^*$, $N=\sum_{d|N}\phi(d)$ ou $\phi$ est l'ind #+begin_exercice [Mines 2023 # 558] Soient $K_1$,..., $K_n$ des segments non triviaux disjoints. - - Montrer que, si $P\in\R_{n-1}[X]$ verifie $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$, alors $P=0$. - Montrer qu'il existe $P\in\R_n[X]$ non nul tel que $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$. + - Montrer que, si $P\in\R_{n-1}[X]$ vérifie $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$, alors $P=0$. - Montrer qu'il existe $P\in\R_n[X]$ non nul tel que $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 559] @@ -4393,7 +4492,7 @@ Montrer $\forall k\geq 1$, $\mathrm{tr}(A^k)+\mathrm{tr}(B^k)=\mathrm{tr}\left(( #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 563] -- Soit $f\in\mc{L}\left(\M_n(\mathbb{K}),\mathbb{K}\right)$ verifiant : $\forall(A,B)\in\M_n(\mathbb{K})^2,f(AB)=f(BA)$. Montrer que $f$ est proportionnelle a la trace. +- Soit $f\in\mc{L}\left(\M_n(\mathbb{K}),\mathbb{K}\right)$ vérifiant : $\forall(A,B)\in\M_n(\mathbb{K})^2,f(AB)=f(BA)$. Montrer que $f$ est proportionnelle a la trace. - Soit $g\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ un endomorphisme d'algèbre. Montrer que $\mathrm{tr}\circ g=\mathrm{tr}$. #+end_exercice @@ -4416,14 +4515,14 @@ Soit $(E)$ l'équation matricielle $X^2=A$. - Quelles sont les matrices qui commutent avec $N$? - Montrer que les solutions de $(E)$ sont de la forme $X=\pm\begin{pmatrix}1&a_1&\cdots&a_{n-1}\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a_1\\ 0&\cdots&0&1\end{pmatrix}$. Montrer qu'il y a au plus deux solutions. - - Rappeler le développement limite a l'ordre $n$ de $x\mapsto\sqrt{1+x}$. Resoudre $(E)$. + - Rappeler le développement limite a l'ordre $n$ de $x\mapsto\sqrt{1+x}$. Résoudre $(E)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 568] Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente. - Calculer $\det(A+I_n)$. - Soit $M\in\M_n(\C)$ telle que $AM=MA$. Calculer $\det(A+M)$. On commencera par le cas ou $M\in\mathrm{GL}_n(\C)$. - - Le resultat est-il toujours vrai si $AM\neq MA$? + - Le résultat est-il toujours vrai si $AM\neq MA$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 569] @@ -4455,13 +4554,13 @@ Déterminer les ideaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes ad Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $f$ et $g$ deux éléments de $\mc{L}(E)$ tels que $fg-gf=\text{id}_E$. - Montrer que $E$ est de dimension infinie ou nulle. - Montrer que $f$ n'est pas nilpotent. - - Donner un exemple de triplet $(E,f,g)$ verifiant les conditions précédentes. + - Donner un exemple de triplet $(E,f,g)$ vérifiant les conditions précédentes. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 575] Soit $A\in\M_n(\R)$. - Montrer que $|\det A|\leq\prod_{i=1}^n\Big{(}\sum_{j=1}^n|A_{i,j}|\Big{)}$. - - Lorsque $\det A\neq 0$, étudier le cas d'egalite. + - Lorsque $\det A\neq 0$, étudier le cas d'égalité. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 576] @@ -4474,8 +4573,8 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 577] -Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ verifiant : $\forall(i,j,k,\ell)\in\db{1,n}^4,M_{i,j}M_{k,\ell}= \delta_{j,k}M_{i,\ell}$. - - Montrer que $\mathrm{Im}\,M_{i,j}$ est independante de $j$. On la notera $F_i$. +Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ vérifiant : $\forall(i,j,k,\ell)\in\db{1,n}^4,M_{i,j}M_{k,\ell}= \delta_{j,k}M_{i,\ell}$. + - Montrer que $\mathrm{Im}\,M_{i,j}$ est indépendante de $j$. On la notera $F_i$. - Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^nF_i$. - En déduire $\dim F_i$. - Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,M_{i,j}=PE_{i,j}P^{-1}$. @@ -4495,7 +4594,7 @@ Soit $M\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que l'ense #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 581] -Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $u^n=\mathrm{id}$. Pour $b\in E$ et $\lambda\in\R$, resoudre $x+\lambda u(x)=b$. +Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $u^n=\mathrm{id}$. Pour $b\in E$ et $\lambda\in\R$, résoudre $x+\lambda u(x)=b$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 582] @@ -4503,26 +4602,26 @@ Soit $Z=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\ \vdots&&\vdots\\ 1&\cdots&1\end{pmatrix}\in\ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 583] -Soient $n\in\N^*$, $U=(u_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},\ V=(v_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}\in\M_n(\R)$ ou $u_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i\leq n-1$, les autres coefficients etant nuls, $v_{i,j}=1$ si $j\gt i$, les autres coefficients etant nuls. - - Calculer le polynome minimal de $U$. +Soient $n\in\N^*$, $U=(u_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},\ V=(v_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}\in\M_n(\R)$ ou $u_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i\leq n-1$, les autres coefficients étant nuls, $v_{i,j}=1$ si $j\gt i$, les autres coefficients étant nuls. + - Calculer le polynôme minimal de $U$. - Montrer que $U$ et $V$ sont semblables. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 584] Soient $a_1\lt ...\lt a_n$ des réels et $M=\begin{pmatrix}a_1+1&1&\dots&1\\ 1&a_2+1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\dots&1&a_n+1\end{pmatrix}$. - - Déterminer le polynome caracteristique de $M$. + - Déterminer le polynôme caractéristique de $M$. - Montrer que $M$ est diagonalisable et que ses espaces propres sont des droites. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 585] -Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$, $a,b\in\R$ et $P=X^2+aX+b$. On suppose que $P$ est irreductible sur $\R$ et annulateur de $u$. +Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$, $a,b\in\R$ et $P=X^2+aX+b$. On suppose que $P$ est irréductible sur $\R$ et annulateur de $u$. - Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Montrer que $F_x=\op{Vect}(x,u(x))$ est un plan stable par $u$. - Soient $F$ un sous-espace vectoriel stable par $u$ et $x\in E\setminus F$. Montrer que $F\cap F_x=\{0\}$. - Montrer que $u$ est diagonalisable par blocs identiques de taille $2\times 2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 586] -Ecrire l'ensemble des matrices symetriques de $\M_2(\C)$ non diagonalisables comme reunion de deux plans vectoriels prives de leur droite d'intersection. +Écrire l'ensemble des matrices symétriques de $\M_2(\C)$ non diagonalisables comme reunion de deux plans vectoriels prives de leur droite d'intersection. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 587] @@ -4543,7 +4642,7 @@ Soit $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $\R[X]$ défini par $\forall P\in\R[X],\ u(P)=(X^2-1)P^{''}+4XP'$. - Montrer que le spectre réel de $u$ est l'ensemble $\{n(n+3),\ n\in\N\}$, et que les espaces propres associes sont des droites vectorielles. - - Pour $n\in\N$, on note $P_n$ l'unique polynome unitaire générateur de la droite propre associee a $n(n+3)$. Trouver une relation entre $P_n$, $P_{n-1}$ et $P_{n-2}$ pour $n\geq 2$. + - Pour $n\in\N$, on note $P_n$ l'unique polynôme unitaire générateur de la droite propre associée a $n(n+3)$. Trouver une relation entre $P_n$, $P_{n-1}$ et $P_{n-2}$ pour $n\geq 2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 590] @@ -4557,7 +4656,7 @@ Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$. #+end_exercice - Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$. - Déterminer un polynome de degre $2$ annulateur de $f$. - Étudier la diagonalisabilite de $f$. + Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$. - Déterminer un polynôme de degré $2$ annulateur de $f$. - Étudier la diagonalisabilité de $f$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 592] #+end_exercice @@ -4625,11 +4724,11 @@ Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ avec $B$ diagonalisable. On suppose que $AB^3=B^ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 602] -Quels sont les $n\in{\N}$ tels qu'existe $A\in{\cal M}_n({\R})$ verifiant $A^3-A^2=I_n$? +Quels sont les $n\in{\N}$ tels qu'existe $A\in{\cal M}_n({\R})$ vérifiant $A^3-A^2=I_n$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 603] -Déterminer les entiers $n\geq 1$ tels qu'il existe $f\in{\cal L}({\R}^n)$ verifiant $f^3+f^2-{\rm id}=0$ et ${\rm tr}\,f\in{\Q}$. +Déterminer les entiers $n\geq 1$ tels qu'il existe $f\in{\cal L}({\R}^n)$ vérifiant $f^3+f^2-{\rm id}=0$ et ${\rm tr}\,f\in{\Q}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 604] @@ -4657,7 +4756,7 @@ ii) il existe $x\in{\C}^n\setminus\{0\}$ tel que la fonction $t\mapsto e^{\lambd #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 607] -Donner une base de ${\cal M}_n({\R})$ constituee de matrices diagonalisables. +Donner une base de ${\cal M}_n({\R})$ constituée de matrices diagonalisables. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 608] @@ -4697,7 +4796,7 @@ $\forall T\in{\cal M}_n(\C),\ u(T)=AT-TB$. - Soit $\alpha\in\C$ (resp. $\beta\in\C$) une valeur propre de $A$ (resp. $B$). Montrer que $\alpha-\beta$ est valeur propre de $u$. - Soient $\lambda\in\C$ une valeur propre de $u$, et $T\in{\cal M}_n(\C)$ un vecteur propre associe. -Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$. +Montrer que, pour tout polynôme $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$. - Montrer qu'il existe $\alpha\in\mbox{Sp}(A)$ et $\beta\in\mbox{Sp}(B)$ telles que $\lambda=\alpha-\beta$. - En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $T\in{\cal M}_n(\C)$ non nulle telle que $AT=TB$. #+end_exercice @@ -4708,7 +4807,7 @@ Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 625] -On note $\mathbb{B}$ l'ensemble des suites bornees de $(\C)^{\Z}$. +On note $\mathbb{B}$ l'ensemble des suites bornées de $(\C)^{\Z}$. On s'interesse a l'endomorphisme $T\in{\cal L}(\mathbb{B})$ qui a $(u_n)$ associe $(u_{n+1})$. - Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de $T$. @@ -4719,7 +4818,7 @@ $$S=\bigoplus_{i=1}^r\mbox{Ker}\left(\widetilde{T}-\lambda_i\mbox{id}\right)$$ #+begin_exercice [Mines 2023 # 626] - Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $e^A$ est diagonalisable. Que se passe-t-il sur $\R$? - - Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Resoudre l'équation $e^M=A$. + - Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Résoudre l'équation $e^M=A$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 627] @@ -4728,12 +4827,12 @@ Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$, $v_1,\ldot #+begin_exercice [Mines 2023 # 628] Soient $(E,\langle\,\rangle)$ un espace euclidien, $c_1,c_2\in E$, $r_1,r_2\in\R^{+*}$. - - À quelle condition les boules fermees $B_f(c_1,r_1)$ et $B_f(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles? + - À quelle condition les boules fermées $B_f(c_1,r_1)$ et $B_f(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles? - À quelle condition les spheres $S(c_1,r_1)$ et $S(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 629] -Soient $E$ un espace prehilbertien réel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\forall x\in E,\ \|x\|^2=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormalee de $E$. Le resultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus la famille libre, mais seulement constituee de vecteurs non nuls? +Soient $E$ un espace prehilbertien réel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\forall x\in E,\ \|x\|^2=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormalée de $E$. Le résultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus la famille libre, mais seulement constituée de vecteurs non nuls? #+end_exercice # ID:6897 @@ -4746,7 +4845,7 @@ Si $B$ est fini, on prend une famille génératrice de $\vect A$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 631] -Soient $E$ un espace euclidien, $A$ et $B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux. Montrer que les symetries orthogonales par rapport a $A$ et par rapport a $B$ commutent et que leur composee est la symetrie orthogonale par rapport a $(A+B)^{\perp}$. +Soient $E$ un espace euclidien, $A$ et $B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux. Montrer que les symétries orthogonales par rapport a $A$ et par rapport a $B$ commutent et que leur composée est la symétrie orthogonale par rapport a $(A+B)^{\perp}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 632] @@ -4767,7 +4866,7 @@ $\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f( #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 634] -- Enoncer le theoreme de reduction pour une matrice de $\text{SO}_3(\R)$. +- Enoncer le théorème de reduction pour une matrice de $\text{SO}_3(\R)$. - Montrer que deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ qui ont meme axe commutent. - Montrer que deux demi-tours de $\text{SO}_3(\R)$ d'axes orthogonaux commutent. - Montrer que si deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ commutent, alors on est dans l'un des deux cas precedents. @@ -4775,7 +4874,7 @@ $\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f( #+begin_exercice [Mines 2023 # 635] Soient $a,b,c\in\R$ et $A(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix}$. - - Montrer que $A(a,b,c)$ est dans $\text{SO}_3(\R)$ si et seulement si $a,b,c$ sont les racines d'un polynome $X^3-X^2+t$ ou $t$ appartient a un intervalle $I$ que l'on déterminera. + - Montrer que $A(a,b,c)$ est dans $\text{SO}_3(\R)$ si et seulement si $a,b,c$ sont les racines d'un polynôme $X^3-X^2+t$ ou $t$ appartient a un intervalle $I$ que l'on déterminera. - Soit $a,b,c\in\R$. Déterminer une droite et un plan stables par $A(a,b,c)$. - Si $A(a,b,c)\in\text{SO}_3(\R)$, caracteriser l'endomorphisme canoniquement associe. #+end_exercice @@ -4786,7 +4885,7 @@ On travaille dans l'espace $E=\R[X]$. Pour $P$ et $Q$ dans $E$, on pose $\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$. - Montrer que $\Phi$ est correctement définie et munit l'espace $E$ d'un produit scalaire. - Calculer $\Phi(X^p,X^q)$ pour $p,q\in\N$. - - Calculer l'orthonormalisee de Gram-Schmidt de la famille $(1,X,X^2)$. + - Calculer l'orthonormalisée de Gram-Schmidt de la famille $(1,X,X^2)$. - Calculer la distance de $X^3$ a $\R_2[X]$. #+end_exercice @@ -4808,8 +4907,8 @@ Calculer le minimum de la fonction $f:(x,y)\in\R^2\mapsto\int_0^1(t\ln(t)-xt-y)^ #+begin_exercice [Mines 2023 # 640] On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\db{0,n}$. On munit également $\R_n[X]$ du produit scalaire défini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$. - Montrer que $(Q_0,\ldots,Q_n)$ est une base orthogonale de $\R_n[X]$. - - On fixe $k\in\db{0,n}$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des éléments de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est egal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$. - - Trouver $R_k\in\mc{F}_{k,n}\cap\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}^{\perp}$, et calculer $\int_0^1R_k(t)^2\,dt$. Interpréter le resultat. + - On fixe $k\in\db{0,n}$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des éléments de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est égal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$. + - Trouver $R_k\in\mc{F}_{k,n}\cap\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}^{\perp}$, et calculer $\int_0^1R_k(t)^2\,dt$. Interpréter le résultat. #+end_exercice #+BEGIN_proof - On a $\lN Q_n\rN^2 = \frac{(n!)^2}{2n+1}$ @@ -4824,9 +4923,9 @@ On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour #+begin_exercice [Mines 2023 # 641] Soient $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites réelles et $D:u\in E\longmapsto (u_{n+1}-u_n)_{n\in\N}$. - - Verifier que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? Surjectif? + - Vérifier que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? Surjectif? - Donner les éléments propres de l'endomorphisme $D$. - - Soit $F$ l'espace des suites réelles de carre sommable. + - Soit $F$ l'espace des suites réelles de carré sommable. Montrer que $F$ est stable par l'endomorphisme $D$. - On munit $F$ de son produit scalaire $\langle\,\ \rangle$ usuel. @@ -4836,7 +4935,7 @@ Décrire l'ensemble $H=\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2},\ u\in F\set #+begin_exercice [Mines 2023 # 642] Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$, $p,q\in\mc{L}(E)$ des projecteurs orthogonaux. - - Verifier que $\op{Im}p$ est stable par $pq$ et que l'endomorphisme induit est symetrique. + - Vérifier que $\op{Im}p$ est stable par $pq$ et que l'endomorphisme induit est symétrique. - Montrer que $\op{Ker}(pq)=\op{Ker}q\oplus(\op{Im}(q)\cap \op{Ker}(p))$. - Montrer que $E$ est somme directe orthogonale de $(\op{Im}p+\op{Ker}q)$ et de $(\op{Ker}p\cap\op{Im}q)$. - En déduire que $pq$ est diagonalisable. @@ -4871,14 +4970,14 @@ Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice définie #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 649] -Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux antisymetriques de taille au plus $2\times 2$. +Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux antisymétriques de taille au plus $2\times 2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 650] Soient $A,M,N\in{\cal M}_n(\R)$. - Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont diagonalisables. - Montrer que $MN$ et $NM$ ont les memes valeurs propres et que, pour toute valeur propre non nulle, les sous-espaces propres associes sont de meme dimension. - - Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont les memes valeurs propres avec les memes multiplicites. + - Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont les memes valeurs propres avec les memes multiplicités. - Montrer qu'il existe $U\in{\cal O}_n(\R)$ telle que : $A^TA=UAA^TU^{-1}$. #+end_exercice @@ -4917,15 +5016,15 @@ Soit $S\in\mc{S}_n^+(\R)$. Calculer $\max\{\text{tr}(OS)\;;\;O\in\mc{O}_n(\R)\}$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 659] -Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E)$) l'ensemble des endomorphismes antisymetriques (resp. symetriques, orthogonaux) de $E$. +Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E)$) l'ensemble des endomorphismes antisymétriques (resp. symétriques, orthogonaux) de $E$. - Soit $u\in\mc{L}(E)$. Montrer que l'ensemble $T=\{\op{tr}(uv)\,;\,v\in\mc{O}(E)\}$ est majore. - Montrer que si $u\in\mc{A}(E)$ alors pour tout $t\in\R$, $\exp(tu)\in\mc{O}(E)$. - On suppose que $\sup T$ est atteint en $v=\op{id}$. Montrer que $u\in\mc{S}^+(E)$. - - Étudier la reciproque. + - Étudier la réciproque. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 660] -Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$prises avec multiplicite. Montrer que $A$ est diagonale. +Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$prises avec multiplicité. Montrer que $A$ est diagonale. #+end_exercice # ID:6899 @@ -4948,9 +5047,9 @@ Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $(a,b)\in\R^2$ tels que $:\forall X\in\R^n,a\|X\|^2\l #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 663] - - Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice antisymetrique réelle. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures. + - Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice antisymétrique réelle. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures. - Montrer que $(I_n+A)(I_n-A)^{-1}\in\mc{O}_n(\R)$. - - Soit $Q\in\op{SO}_2(\R)$. Resoudre l'équation $(I_2+A)(I_2-A)^{-1}=Q$, d'inconnue une matrice antisymetrique $A\in\M_2(\R)$. + - Soit $Q\in\op{SO}_2(\R)$. Résoudre l'équation $(I_2+A)(I_2-A)^{-1}=Q$, d'inconnue une matrice antisymétrique $A\in\M_2(\R)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 664] @@ -5010,9 +5109,9 @@ Soit $f\in\mc{L}(\R^n,\R^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si (i) $|f(x)|\ra+\i$ lorsque $N(x)\ra+\i$ ; -(ii) l'image reciproque de tout compact par $f$ est un compact. - - Soit $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R^n$. On suppose que l'image reciproque de tout compact par $f$ est un compact. Montrer que l'image directe de tout ferme par $f$ est un ferme. - - La reciproque du resultat precedent est-elle vraie? +(ii) l'image réciproque de tout compact par $f$ est un compact. + - Soit $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R^n$. On suppose que l'image réciproque de tout compact par $f$ est un compact. Montrer que l'image directe de tout ferme par $f$ est un ferme. + - La réciproque du résultat precedent est-elle vraie? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 673] @@ -5020,7 +5119,7 @@ On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$. Si $f\in E$, on pose $u(f)=\sum_{k=1}^{+\i}\left(-\frac{1}{2}\right)^kf\left( \frac{1}{k}\right).\in\R$. - Montrer que $u$ est bien définie sur $E$. - - Montrer que $u$ est continue sur $E$ et déterminer sa norme subordonnee. + - Montrer que $u$ est continue sur $E$ et déterminer sa norme subordonnée. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 674] @@ -5040,12 +5139,12 @@ Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme réel, $p\in\N^*$, $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$ - Montrer que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre si et seulement si $\inf\left\{\left\|\sum_{i=1}^p\lambda_ix_i\right\|\ ;\ (\lambda_1, \ldots\lambda_p)\in\R^p\right\}\gt 0$. - - En déduire que l'ensemble des $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$ tels que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre est un ouvert de $E^p$. Retrouver ce resultat plus simplement si $E$ est de dimension finie. + - En déduire que l'ensemble des $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$ tels que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre est un ouvert de $E^p$. Retrouver ce résultat plus simplement si $E$ est de dimension finie. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 677] -Soient $n\geq 2$, $K$ un compact de $\R^n$ et $\eps\gt 0$. Une partie $A\subset K$ est $\eps$-separee si, pour tous $x$, $y\in A$ tel que $\|x-y\|\lt \eps$, on a $x=y$. - - Montrer qu'il existe un entier $M(\eps)$ tel que toute partie $\eps$-separee de $K$ est de cardinal inferieur a $M(\eps)$ et il existe une partie $\eps$-separee de $K$ de cardinal $M(\eps)$. +Soient $n\geq 2$, $K$ un compact de $\R^n$ et $\eps\gt 0$. Une partie $A\subset K$ est $\eps$-separée si, pour tous $x$, $y\in A$ tel que $\|x-y\|\lt \eps$, on a $x=y$. + - Montrer qu'il existe un entier $M(\eps)$ tel que toute partie $\eps$-separée de $K$ est de cardinal inférieur a $M(\eps)$ et il existe une partie $\eps$-separée de $K$ de cardinal $M(\eps)$. - Soit $f:K\to K$. On suppose que, pour tous $x$, $y\in K$, $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$. Montrer que $f$ est surjective. #+end_exercice @@ -5064,13 +5163,13 @@ Soit $E=\mc C^0([-1,1],\R)$ muni de la norme de la convergence uniforme. Pour $f #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 681] -On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $[-1,1]$ vers $\R$ continues par morceaux, muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg$ et de la norme euclidienne associee $\|\ \|$. +On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $[-1,1]$ vers $\R$ continues par morceaux, muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg$ et de la norme euclidienne associée $\|\ \|$. On dit qu'une suite $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement (resp. faiblement) vers $f\in E$ si $\|f_n-f\|\to 0$ (resp. $\langle f_n,\phi\rangle\to\langle f,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in C^1([-1,1],\R)$). - - Montrer que la convergence uniforme implique la convergence forte. La reciproque estelle vraie? + - Montrer que la convergence uniforme implique la convergence forte. La réciproque estelle vraie? - Montrer que la convergence forte implique la convergence faible. - - Soit $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ convergent faiblement vers $f\in C^1([-1,1],\R)$ et verifiant de plus $\|f_n\|\to\|f\|$. Montrer qu'alors $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement vers $f$. - - Soit $(\phi_n)_{n\geq 0}\in C^1([-1,1],\R)^{\N}$ convergeant uniformement vers $\phi$ et telle que $(\phi_n')_{n\geq 0}$ converge uniformement. Soit par ailleurs $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ bornee et convergeant faiblement vers $f$. Montrer qu'alors $\langle f_n,\phi_n\rangle\to\langle f,\phi\rangle$. + - Soit $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ convergent faiblement vers $f\in C^1([-1,1],\R)$ et vérifiant de plus $\|f_n\|\to\|f\|$. Montrer qu'alors $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement vers $f$. + - Soit $(\phi_n)_{n\geq 0}\in C^1([-1,1],\R)^{\N}$ convergeant uniformément vers $\phi$ et telle que $(\phi_n')_{n\geq 0}$ converge uniformément. Soit par ailleurs $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ bornée et convergeant faiblement vers $f$. Montrer qu'alors $\langle f_n,\phi_n\rangle\to\langle f,\phi\rangle$. - On pose $f_n(x)=\sin(nx)$ pour $n\geq 0$ et $x\in[-1,1]$. - Montrer que $(f_n)_{n\geq 0}$ converge faiblement vers la fonction nulle. - La suite $(f_n)_{n\geq 0}$ converge-t-elle fortement? #+end_exercice @@ -5079,31 +5178,31 @@ Soient $a_1\lt \cdots\lt a_p$ des réels et $P=\prod_{i=1}^p(X-a_i)$. On pose : $E=\Big{\{}M\in\M_n(\R),\ P(M)=0\Big{\}}$. - Soit $M\in E$. Déterminer les valeurs possibles de $\op{tr}M$. - - Déterminer les matrices $M\in E$ verifiant $\op{tr}M=na_1$. - - Montrer que la matrice $a_1I_n$ est isolee dans $E$. - - La matrice $\op{Diag}(a_2,a_1,\ldots,a_1)$ est-elle isolee? + - Déterminer les matrices $M\in E$ vérifiant $\op{tr}M=na_1$. + - Montrer que la matrice $a_1I_n$ est isolée dans $E$. + - La matrice $\op{Diag}(a_2,a_1,\ldots,a_1)$ est-elle isolée? - Généraliser. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 683] -- Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n\in\N^*$. Montrer que $P$ est scinde sur $\R$ si et seulement si : $\forall z\in\C$, $|P(z)|\geq|\text{Im}(z)|^n$. +- Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n\in\N^*$. Montrer que $P$ est scinde sur $\R$ si et seulement si : $\forall z\in\C$, $|P(z)|\geq|\text{Im}(z)|^n$. - Montrer que l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ trigonalisables est ferme. - Quelle est l'adherence de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 684] -Soient $n\geq 2$ et $r\in[1,n-1]$. L'ensemble $\mc{E}$ des matrices carrees de taille $n$ et de rang $r$ est-il ouvert? ferme? Déterminer l'interieur et l'adherence de $\mc{E}$. +Soient $n\geq 2$ et $r\in[1,n-1]$. L'ensemble $\mc{E}$ des matrices carrées de taille $n$ et de rang $r$ est-il ouvert? ferme? Déterminer l'interieur et l'adherence de $\mc{E}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 685] On munit l'espace $E=\mc C^0([0,1],\R)$ du produit scalaire usuel défini par -$\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)\,dt$ et de la norme associee $\|\quad\|_2$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ tel qu'il existe une constante $C\in\R$ telle que $\forall f\in F,\|f\|_{\i}\leq C\|f\|_2$. +$\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)\,dt$ et de la norme associée $\|\quad\|_2$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ tel qu'il existe une constante $C\in\R$ telle que $\forall f\in F,\|f\|_{\i}\leq C\|f\|_2$. - Montrer que $F\neq E$. - Soit $(f_1,\ldots,f_n)$ une famille orthonormale de $F$. Montrer que $\forall a_1,\ldots,a_n\in\R$, $\left|\sum_{i=1}^na_if_i\right|\leq C\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}$. - - En déduire que $F$ est de dimension finie majoree par $C^2$. + - En déduire que $F$ est de dimension finie majorée par $C^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 686] @@ -5163,7 +5262,7 @@ Pour $n\in\N^*$, on pose $ u_n=\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{\sqrt{k}}{n}\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 696] -Soit $\mc{B}$ le sous-espace de $\C^{\Z}$ forme des suites $(u - {n\in\Z}$ bornees. Soit $T$ l'endomorphisme de $\mc{B}$ qui a $(u - {n\in\Z}$ associe $(u_{n+1})_{n\in\Z}$. +Soit $\mc{B}$ le sous-espace de $\C^{\Z}$ forme des suites $(u - {n\in\Z}$ bornées. Soit $T$ l'endomorphisme de $\mc{B}$ qui a $(u - {n\in\Z}$ associe $(u_{n+1})_{n\in\Z}$. - Montrer que $T$ est lineaire. Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. - Déterminer les sous-espaces de dimension finie de $\mc{B}$ stables par $T$. #+end_exercice @@ -5175,16 +5274,16 @@ $\forall n\in\N^*$, $ u_{n+1}=u_n+v_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et $ v_{ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 698] -$\ \ - La suite $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle convergente? - La suite $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle bornee? +$\ \ - La suite $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle convergente? - La suite $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle bornée? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 699] -Soit $(b - {n\in\N}$ une suite strictement positive, croissante et non majoree. +Soit $(b - {n\in\N}$ une suite strictement positive, croissante et non majorée. - Montrer que, si $(a - {n\in\N}$ est une suite réelle convergente de limite $\ell$, alors $$\frac{1}{b_n}\sum_{k=0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)a_k\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}\ell.$$ - Soit $(a - {n\in\N}$ une suite réelle. Montrer que, si la suite $\left(\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\right)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\in\R$, alors $\frac{a_n}{b_n}\to\ell$ quand $n\to+\i$. - - La reciproque de la propriete précédente est-elle vraie? + - La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 700] @@ -5241,7 +5340,7 @@ Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}= #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 708] -Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup_{t\in[0,1]}|P(t)|.$ Pour tout $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynomes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf_{P\in E_n}N(P)$. +Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup_{t\in[0,1]}|P(t)|.$ Pour tout $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf_{P\in E_n}N(P)$. - Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$. - Montrer que $(a - {n\in\N}$ est decroissante et de limite nulle. #+end_exercice @@ -5251,7 +5350,7 @@ Limite et développement asymptotique en $o(1/n)$ de $u_n=\prod_{k=1}^n\cos\left #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 710] -Soit $(u_n)$ une suite réelle verifiant : $\forall(m,n)\in\N^2,u_{n+m}\leq u_m+u_n.$ Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big{\{}\frac{u_n} {n}\text{ pour }n\in\N^*\Big{\}}$. +Soit $(u_n)$ une suite réelle vérifiant : $\forall(m,n)\in\N^2,u_{n+m}\leq u_m+u_n.$ Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big{\{}\frac{u_n} {n}\text{ pour }n\in\N^*\Big{\}}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 711] @@ -5339,7 +5438,7 @@ On dit que la série de terme général $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, p - Soit $a\gt 0$. Donner un exemple de série divergente qui enveloppe $a$. - Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel $a\in\R^{+*}$. - Donner un exemple de série convergente qui n'enveloppe aucun réel $a\in\R^{+*}$. - - Montrer que, si une série enveloppe strictement un réel $a\gt 0$, alors elle est alternee. + - Montrer que, si une série enveloppe strictement un réel $a\gt 0$, alors elle est alternée. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 728] @@ -5352,11 +5451,11 @@ Soit $(u_n)\in(\R^+)^{\N}$. On suppose que $\sum u_n$ converge. Construire $(v_n #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 730] -Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les proprietes suivantes sont équivalentes : +Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : i) pour toute série $\sum u_n$ convergente de terme général positif, la série $\sum f(u_n)$ est convergente ; -ii) l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornee au voisinage de $0^+$. +ii) l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornée au voisinage de $0^+$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 731] @@ -5416,7 +5515,7 @@ Soit $E=\mc C^0([-1,1],\C)$. Soit $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ strictement crois #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 741] - Soit $f\colon\R\to\M_n(\R)$ derivable. Montrer l'equivalence entre les assertions suivantes : i) $f(0)=I_n$ et $\forall x\in\R,f'(x)=f'(0)f(x)$, + Soit $f\colon\R\to\M_n(\R)$ dérivable. Montrer l'equivalence entre les assertions suivantes : i) $f(0)=I_n$ et $\forall x\in\R,f'(x)=f'(0)f(x)$, ii) $\forall(x,y)\in\R^2,f(x+y)=f(x)f(y)$ et $\forall x\in\R,\det(f(x))\neq 0$. #+end_exercice @@ -5444,7 +5543,7 @@ Montrer qu'il existe $g\in F$ tel que $f=g^{''}$ si et seulement si $\int_a^bf(t #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 746] -Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application définie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Verifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Déterminer ses éléments propres. +Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application définie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Vérifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Déterminer ses éléments propres. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 747] @@ -5475,7 +5574,7 @@ Soit $f\in C^0([a,b],\R)$ telle que $:\forall(\alpha,\beta)\in[a,b]^2,\int_{\alp #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 753] -Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Déterminer les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ verifiant $:\forall g\in F,\int_a^bfg=0$. +Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Déterminer les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ vérifiant $:\forall g\in F,\int_a^bfg=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 754] @@ -5485,7 +5584,7 @@ Montrer $:120\Big{(}\int_0^1f\Big{)}^2\leq\int_0^1(f^{''})^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 755] -Soient $E=\mc C^0([a,b],\R)$ muni de $\parallel\parallel_{\i}$ et $B$ la boule unite fermee de $E$. Soit $f\in E$. Montrer que $\sup_{g\in B}\int_a^bfg=\int_a^b|f|$. +Soient $E=\mc C^0([a,b],\R)$ muni de $\parallel\parallel_{\i}$ et $B$ la boule unite fermée de $E$. Soit $f\in E$. Montrer que $\sup_{g\in B}\int_a^bfg=\int_a^b|f|$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 756] @@ -5526,21 +5625,21 @@ Soit $a\gt 0$. Montrer que l'intégrale : $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(ax)+\arctan #+begin_exercice [Mines 2023 # 764] Soit $f\in C^1([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$. - Soient $I_1=\int_0^1(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))f(t)^2\,dt$ et $I_2=\int_0^1f'(t)f(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)\,dt$. Montrer la convergence de $I_1$ et $I_2$. Trouver une relation entre $I_1$ et $I_2$. - - Montrer que $\int_0^1f'(t)^2\,dt\geq\pi^2\int_0^1f(t)^2 \,dt$ et étudier le cas d'egalite. + - Montrer que $\int_0^1f'(t)^2\,dt\geq\pi^2\int_0^1f(t)^2 \,dt$ et étudier le cas d'égalité. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 765] -Soit $f$ continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\R$. Montrer l'existence et l'unicite de $\lambda$ tel que $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,dt$ converge. +Soit $f$ continue et $T$-périoddique de $\R$ dans $\R$. Montrer l'existence et l'unicite de $\lambda$ tel que $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,dt$ converge. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 766] Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ une fonction continue decroissante. - On suppose que $f$ est intégrable sur $[0,+\i[$. Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$. - - Étudier la reciproque. + - Étudier la réciproque. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 767] -Soit $f\in\mc C^1(\R,\R^+)$ telle que $f'$ est bornee et $\int_{\R}f$ converge. +Soit $f\in\mc C^1(\R,\R^+)$ telle que $f'$ est bornée et $\int_{\R}f$ converge. Montrer que $\underset{+\i}{\lim}f=\underset{-\i}{\lim}f=0$. #+end_exercice @@ -5559,7 +5658,7 @@ Montrer que $\underset{+\i}{\lim}f=\underset{-\i}{\lim}f=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 771] -Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carre intégrable de $\R^+$ dans $\R$. Pour $x\in\R^{+*}$, soit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^xf$. +Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carré intégrable de $\R^+$ dans $\R$. Pour $x\in\R^{+*}$, soit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^xf$. - Déterminer la limite de $g$ en $0$. - Déterminer la limite de $g$ en $+\i$. #+end_exercice @@ -5570,7 +5669,7 @@ Donner un équivalent, quand $x\to+\i$, de $\int_1^x\!t^tdt\,$? #+begin_exercice [Mines 2023 # 773] Soit $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}dt$. - Montrer que $f$ est définie sur $\R^{+*}$ et seulement sur cet ensemble. - - Étudier l'integrabilite de $f$ sur $\R^{+*}$. + - Étudier l'integrabilité de $f$ sur $\R^{+*}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 774] @@ -5584,7 +5683,7 @@ Soit $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ une fonction de classe $C^1$. On suppose que $f'/f$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 776] -Trouver une valeur approchee rationnelle a $10^{-3}$ pres de $\int_0^1e^{-t}\ln(t)\,dt$. +Trouver une valeur approchée rationnelle a $10^{-3}$ pres de $\int_0^1e^{-t}\ln(t)\,dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 777] @@ -5596,13 +5695,13 @@ Soient $S$ un segment de $\R$ non reduit a un point, $n\in\N^*$, $m\in\R^{+*}$, #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 779] -Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une suite $(p_n)_{n\geq 0}$ d'applications polynomiales réelles telle que $(p_n)_{n\geq 0}$ converge uniformement vers $f$ sur tout segment de $\R$. +Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une suite $(p_n)_{n\geq 0}$ d'applications polynomiales réelles telle que $(p_n)_{n\geq 0}$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment de $\R$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 780] Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a\lt b$ et $S=[a,b]$. - On suppose que $S\cap\Z\neq\emptyset$. Expliciter une fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ qui n'est pas limite uniforme sur $S$ d'une suite d'éléments de $\Z[X]$. - - On suppose $S\subset]0,1[$. On définit une suite $(P_n)_{n\geq 0}$ de polynomes par $P_0=X$ et, pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=2P_n(1-P_n)$. Montrer que $(P_n)_{n\geq 0}$ converge uniformement sur $S$ vers la fonction constante egale a $\frac{1}{2}$. + - On suppose $S\subset]0,1[$. On définit une suite $(P_n)_{n\geq 0}$ de polynômes par $P_0=X$ et, pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=2P_n(1-P_n)$. Montrer que $(P_n)_{n\geq 0}$ converge uniformément sur $S$ vers la fonction constante égale a $\frac{1}{2}$. - On suppose que $S\cap\Z=\emptyset$. Montrer que toute fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ est limite uniforme sur $S$ d'une suite d'éléments de $\Z[X]$. #+end_exercice @@ -5617,11 +5716,11 @@ Soit $\alpha\gt 0$. Étudier les modes de convergence de la série de fonctions #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 783] -Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nx}}{x+n}$. Domaine de définition, continuite de $f$, équivalent de $f$ aux extremites de son domaine de définition. +Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nx}}{x+n}$. Domaine de définition, continuité de $f$, équivalent de $f$ aux extremites de son domaine de définition. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 784] -Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de définition, continuite, etude de la derivabilite, équivalents en $0$ et $+\i$. +Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de définition, continuité, etude de la dérivabilité, équivalents en $0$ et $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 785] @@ -5633,7 +5732,7 @@ Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de définition, cont Pour tout $n\in\N^*$ et $x\in\R^+$, on pose $f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{n}(n+x)}$. - Montrer la convergence simple de $\sum f_n$ sur $\R^+$. On note $f=\sum_{n=1}^{+\i}f_n$. - Montrer que la série $\sum f_n$ converge normalement sur les segments de la forme $[0,M]$ avec $M\gt 0$. Y a-t-il convergence normale sur $\R^+$? - - Étudier la continuite de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\i[$. + - Étudier la continuité de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\i[$. - Soient $n\geq 1$ et $x_0\geq n$. Montrer $:f(x_0)\geq\sum_{k=1}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}$. En déduire $:f(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}+\i$. - Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o(x)$. #+end_exercice @@ -5649,7 +5748,7 @@ On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N^*$ et $x\in[a,b]$, $f_n(x)=\int_a^xf_{n-1}(t)dt #+begin_exercice [Mines 2023 # 788] Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(\sin(nx))^2}{n^2}$. - Montrer que la fonction $f$ est définie et continue sur $\R$. - - La fonction $f$ est-elle derivable en $0$? + - La fonction $f$ est-elle dérivable en $0$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 789] @@ -5681,7 +5780,7 @@ Rayon de convergence et somme de $f\colon x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{4n^ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 794] -Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entiere $\sum z^{n+(-1)^n}$. +Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entière $\sum z^{n+(-1)^n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 795] @@ -5701,20 +5800,20 @@ Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs. - On note $S$ la somme de la série ci-dessus et pour tout $n\in\N$, $r_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{\alpha k+\beta}$. Exprimer $S$ et $r_n$ sous forme intégrale. - - Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum r_nx^n$. Étudier son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence. + - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum r_nx^n$. Étudier son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence. #+end_exercice # ID:6920 #+begin_exercice [Mines 2023 # 798] -Montrer qu'au voisinage de $0$, la fonction $f\colon x\mapsto\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$ est développable en série entiere et en donner les coefficients. +Montrer qu'au voisinage de $0$, la fonction $f\colon x\mapsto\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$ est développable en série entière et en donner les coefficients. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 799] -Expliciter le développement en série entiere de $\ln(x^2-x\sqrt{2}+1)$ au voisinage de $0$. +Expliciter le développement en série entière de $\ln(x^2-x\sqrt{2}+1)$ au voisinage de $0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 800] -Soient $\tau\in\R$ et $f:x\mapsto\arctan\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)$. Montrer que $f$ est développable en série entiere en $0$ et preciser le domaine exact de validite. +Soient $\tau\in\R$ et $f:x\mapsto\arctan\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)$. Montrer que $f$ est développable en série entière en $0$ et preciser le domaine exact de validite. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 801] @@ -5722,19 +5821,19 @@ Rayon de convergence, ensemble de définition et somme de $f:x\mapsto\sum_{n=1}^ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 802] -Déterminer le développement en série entiere en $0$ de $f:x\mapsto\sin\left(\frac{1}{3}\text{arcsin}(x)\right)$. +Déterminer le développement en série entière en $0$ de $f:x\mapsto\sin\left(\frac{1}{3}\text{arcsin}(x)\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 803] On pose : $\forall n\geq 2,u_n=\sum_{\begin{subarray}{c}(i,j)\in(\N^*)^2 \end{subarray}}\frac{1}{(ij)^2}$ et $S:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}u_nx^n$. - Déterminer un équivalent simple de $u_n$. - Déterminer le rayon de convergence $R$ de $S$ et simplifier $S(x)$ sur $]-R,R[$. - - Étudier la bonne définition et la continuite de $S$ en $R$ et en $-R$. + - Étudier la bonne définition et la continuité de $S$ en $R$ et en $-R$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 804] -Soit $P\in\R[X]$ de degre $p\in\N^*$. - - Déterminer le rayon de la série entiere $\sum_{n=0}^{+\i}P(n)x^n$ et montrer que la somme de cette série s'ecrit sous la forme $\frac{Q(x)}{R(x)}$ avec $Q,R\in\R[X]$. +Soit $P\in\R[X]$ de degré $p\in\N^*$. + - Déterminer le rayon de la série entière $\sum_{n=0}^{+\i}P(n)x^n$ et montrer que la somme de cette série s'écrit sous la forme $\frac{Q(x)}{R(x)}$ avec $Q,R\in\R[X]$. - Soit $M=(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p+1}$. Montrer que $\det(M)=0$. - Montrer que $\det(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0$. #+end_exercice @@ -5742,12 +5841,12 @@ Soit $P\in\R[X]$ de degre $p\in\N^*$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 805] Soit $f:x\mapsto(\arcsin(x))^2$. - Montrer que $f$ est solution d'une équation différentielle lineaire d'ordre $2$, sur un intervalle que l'on precisera. - - Montrer que $f$ est développable en série entiere au voisinage de $0$. Experimer les coefficients de ce développement en série entiere et donner son rayon de convergence. + - Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$. Experimer les coefficients de ce développement en série entière et donner son rayon de convergence. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 806] On définit la suite $(a_n)$ par : $a_0=a_1=1$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1}a_{n-1}$. - - Montrer que : $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$ et en déduire le rayon de convergence $R$ de la série entiere $\sum a_nx^n$. + - Montrer que : $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$ et en déduire le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_nx^n$. On pose $f:x\in\,]-R,R[\,\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$. - Montrer que $f$ est solution de $(1-x)y'-(1+2x)y=0$. @@ -5757,13 +5856,13 @@ On définit la suite $(a_n)$ par : $a_0=a_1=1$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=a_n+ #+begin_exercice [Mines 2023 # 807] On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^2x}$. - Montrer que $f$ est bien définie et de classe $\mc C^{\i}$. - - Est-elle développable en série entiere? + - Est-elle développable en série entière? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 808] - Rappeler la formule de Stirling. - - Calculer le rayon de convergence de la série entiere $\sum\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)x^n$. - - Calculer la somme de cette série entiere en $-1$ apres s'être assure de son existence. + - Calculer le rayon de convergence de la série entière $\sum\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)x^n$. + - Calculer la somme de cette série entière en $-1$ apres s'être assure de son existence. - Calculer $\int_0^1\frac{(-1)^{\lfloor 1/x\rfloor}}{x}{\rm d}x$. #+end_exercice @@ -5776,17 +5875,17 @@ $\forall z\in\C,\ |z|\leq\alpha\Rightarrow\det(I_n+zA)=\exp \left(\sum_{k=1}^{+\ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 810] -Soit $A\in\M_n(\C)$. - Déterminer le rayon de convergence de la série $f(z)=\sum_{p\in\N}\op{tr}(A^p)z^p$ - Calculer $f(z)$ en fonction du polynome caracteristique de $A$. +Soit $A\in\M_n(\C)$. - Déterminer le rayon de convergence de la série $f(z)=\sum_{p\in\N}\op{tr}(A^p)z^p$ - Calculer $f(z)$ en fonction du polynôme caracteristique de $A$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 811] Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$. On suppose que la série $\sum n|a_n|$ converge. - - Montrer que le rayon de $\sum a_nz^n$ est superieur ou egal a 1. + - Montrer que le rayon de $\sum a_nz^n$ est supérieur ou égal a 1. - On suppose $|a_1|\geq\sum_{n=2}^{+\i}n|a_n|$ avec $a_1\neq 0$. Montrer que $f:z\in\mathbb{D}\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ est injective. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 812] -- Développere en série entiere $\phi:z\mapsto\frac{z}{(1-z)^2}$. Montrer que $\phi$ est injective sur $D_o(0,1)$. +- Développere en série entière $\phi:z\mapsto\frac{z}{(1-z)^2}$. Montrer que $\phi$ est injective sur $D_o(0,1)$. On pose $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ avec $(a_n)$ une suite réelle. On suppose que $f$ est définie et injective sur $D_o(0,1)$. - Montrer que $f(z)\in\R\Longleftrightarrow z\in\R$. - En déduire que $\op{Im}z\geq 0\Longleftrightarrow\op{Im}f(z)\geq 0$. @@ -5840,13 +5939,13 @@ Soit $\alpha\gt 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n(\alpha)=\int_0^{+\i}\frac{\op{ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 821] -Soit $g:\R^+\to\R$, continue par morceaux, intégrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornee. +Soit $g:\R^+\to\R$, continue par morceaux, intégrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornée. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 822] Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$. - Montrer que, pour tout $u\in\R$, $|e^{iu}-1|\leq|u|$. - - En déduire que $f$ est derivable sur $\R$ puis simplifier l'expression de $f$. + - En déduire que $f$ est dérivable sur $\R$ puis simplifier l'expression de $f$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 823] @@ -5866,7 +5965,7 @@ On pose, pour tout $t\in\R$, $h(t)=\int_{\R}e^{-\pi(x^2+2itx)}\,dx$. Montrer que #+begin_exercice [Mines 2023 # 825] On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{\ln t}{t+x}\,dt$. - Déterminer le domaine de définition de $f$. - - Montrer que $f$ est derivable sur $\R^{+*}$ et expliciter $f'$. + - Montrer que $f$ est dérivable sur $\R^{+*}$ et expliciter $f'$. - On pose $g:x\mapsto f(x)+f(1/x)$. Simplifier $g(x)$ pour $x\gt 0$. #+end_exercice @@ -5880,13 +5979,13 @@ Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t(1+t^2)}\,dt$. On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-t^2-\frac{x^2}{t^2}}\,dt$. - Montrer que $F$ est définie sur $\R$. - Montrer que $F$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^*$. - - Trouver une équation différentielle d'ordre $1$ verifiee par $F$. + - Trouver une équation différentielle d'ordre $1$ vérifiée par $F$. - En déduire $F$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 828] Soit $f:x\mapsto\int_{\R}e^{tx-t^2}\,dt$. - - Montrer que $f$ est définie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. Quelle équation différentielle verifie $f$? + - Montrer que $f$ est définie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. Quelle équation différentielle vérifie $f$? - Trouver les solutions du probleme de Cauchy $-2y^{''}+xy'+y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=\sqrt{\pi}$ et $y'(0)=0$. #+end_exercice @@ -5912,25 +6011,25 @@ Soient $C\gt 0$, $d\gt 0$ et $\alpha\in\R$. Montrer que $\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2 #+begin_exercice [Mines 2023 # 833] Soit $f:x\mapsto\int_0^{\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)\,dt$. - - Déterminer le domaine de définition de $f$, étudier la continuite et les symetries. + - Déterminer le domaine de définition de $f$, étudier la continuité et les symétries. - Expliciter $f(x)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 834] On pose $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$. - Déterminer le domaine de définition de $f$. - - Déterminer le développement de $f$ en série entiere sur un intervalle $I$ centre en $0$ que l'on precisera. + - Déterminer le développement de $f$ en série entière sur un intervalle $I$ centre en $0$ que l'on precisera. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 835] - On pose, pour $x\in\R$, $f(x)=\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$. Montrer que $f$ est développable en série entiere au voisinage de 0 et expliciter son développement. + On pose, pour $x\in\R$, $f(x)=\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0 et expliciter son développement. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 836] Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$. On considère la fonction $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-xt}f(t)\,dt$. - - On suppose $f$ bornee. Montrer que $F$ est définie et de classe $C^{\i}$ sur $\R^{+*}$. + - On suppose $f$ bornée. Montrer que $F$ est définie et de classe $C^{\i}$ sur $\R^{+*}$. - On suppose que $f$ admet une limite finie non nulle $\ell$ en $+\i$. Donner un équivalent de $F$ en $0^+$. - - On suppose $f$ développable en série entiere sur $\R^+:f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$, et que la série $\sum n!a_n$ converge. Étudier le comportement de $F(1/x)$ au voisinage de 0 et de $+\i$. + - On suppose $f$ développable en série entière sur $\R^+:f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$, et que la série $\sum n!a_n$ converge. Étudier le comportement de $F(1/x)$ au voisinage de 0 et de $+\i$. - Donner des exemples de fonctions $f$ telles que le domaine de définition de $F$ soit $]0,+\i[$, $]1,+\i[$ ou $\emptyset$. #+end_exercice @@ -5947,7 +6046,7 @@ Montrer que $\int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{\ln(t)}{1-t}\,dt=\int_0^{ \frac{1}{2}}\d #+begin_exercice [Mines 2023 # 839] - Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ sommable. Montrer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sum_{n=0}^{+\i}a_n\dfrac{t^n}{n!} \,dt=\sum_{n=0}^{+\i}a_n$. - - Montrer le meme resultat en ne supposant que la convergence de la série $\sum a_n$. + - Montrer le meme résultat en ne supposant que la convergence de la série $\sum a_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 840] @@ -5972,7 +6071,7 @@ i) tous les éléments de $S$ sont bornes, ii) $a$ et $b$ sont intégrables. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 843] -Déterminer les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$ derivables et telles que $y'(x)=y(\pi-x)$. +Déterminer les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$ dérivables et telles que $y'(x)=y(\pi-x)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 844] @@ -5982,7 +6081,7 @@ Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que $f(0)=0$ et que $\forall x\in\R #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 845] -Resoudre l'équation différentielle $y'+|y|=1$. +Résoudre l'équation différentielle $y'+|y|=1$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 846] @@ -5994,7 +6093,7 @@ On considère la fonction $f\colon\R\to\R$ définie par : $f(x)=\exp(-x^{-2})$ s #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 848] -Resoudre le systeme différentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te^t\\ y'=3x+2y+3z+e^t\\ z'=3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.$ +Résoudre le systeme différentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te^t\\ y'=3x+2y+3z+e^t\\ z'=3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 849] @@ -6004,29 +6103,29 @@ Montr per que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S) #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 850] -Resoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'=x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t\\ z'=-x+2y+z+t^2e^t.\end{array}.$, $\left\{\begin{array}{c}x'=x+8y+te^t\\ y'=2x+y+e^{-t}.\end{array}.$. +Résoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'=x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t\\ z'=-x+2y+z+t^2e^t.\end{array}.$, $\left\{\begin{array}{c}x'=x+8y+te^t\\ y'=2x+y+e^{-t}.\end{array}.$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 851] -Déterminer les solutions développables en série entiere au voisinage de 0 de l'équation : +Déterminer les solutions développables en série entière au voisinage de 0 de l'équation : $2xy^{''}-y'+2y=0$. Les exprimer a l'aide des fonctions usuelles. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 852] -- Resoudre l'équation : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=0$ sur $\R$ en cherchant des solutions développables en série entiere. - - Resoudre : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=\frac{1}{1+t^2}$. +- Résoudre l'équation : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=0$ sur $\R$ en cherchant des solutions développables en série entière. + - Résoudre : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=\frac{1}{1+t^2}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 853] - On considère l'équation différentielle : $y^{''}-y=|\cos x|$. Existe-t-il des solutions positives? Bornees? Positives et bornees? + On considère l'équation différentielle : $y^{''}-y=|\cos x|$. Existe-t-il des solutions positives? Bornées? Positives et bornées? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 854] -Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y'+a(x)y+b(x)=0$. Soit $A:x\mapsto\int_0^xa(t)\,dt$ et $I=A(2\pi)$. - - Trouver une condition sur $I$ pour que $A$ soit $2\pi$-periodique. +Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-périoddiques de $\R$ dans $\R$. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y'+a(x)y+b(x)=0$. Soit $A:x\mapsto\int_0^xa(t)\,dt$ et $I=A(2\pi)$. + - Trouver une condition sur $I$ pour que $A$ soit $2\pi$-périoddique. - Montrer que si $y$ est solution de $(E)$, alors $x\mapsto y(x+2\pi)$ est aussi solution de $(E)$. - - Supposons $I\neq 0$. Montrer que $(E)$ admet une unique solution $2\pi$-periodique. + - Supposons $I\neq 0$. Montrer que $(E)$ admet une unique solution $2\pi$-périoddique. - Que dire si $I=0$? - Donner un exemple pour illustrer chacune de ces situations. #+end_exercice @@ -6034,7 +6133,7 @@ Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 855] Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}e^{x\sin(t)}dt$. - Montrer que $f$ est solution de $(*):xy^{''}+y'=xy$. - - Quelles sont les solutions développables en série entiere sur $\R$ de $(*)$? + - Quelles sont les solutions développables en série entière sur $\R$ de $(*)$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 856] @@ -6052,7 +6151,7 @@ $\forall t\geq 1$, $y(t)\leq K\exp\left(\int_1^tu\,|a(u)|du\right)\leq K \exp\le #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 857] -Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une application $X$ de classe $C^1$ de $\R$ dans $\C^n$ et $\lambda\in\C^*$ tels que $\forall t\in\R,\ X(t+T)=\lambda X(t)$. +Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-périoddique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une application $X$ de classe $C^1$ de $\R$ dans $\C^n$ et $\lambda\in\C^*$ tels que $\forall t\in\R,\ X(t+T)=\lambda X(t)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 858] @@ -6060,7 +6159,7 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n;$ Expliciter les solutions de $X'(t)=AX( #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 859] -Soit $A\in\M_n(\C)$. À quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme différentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornees sur $\R$? +Soit $A\in\M_n(\C)$. À quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme différentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornées sur $\R$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 860] @@ -6068,7 +6167,7 @@ Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x, #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 861] -Étudier la differentiabilite de la fonction $f$ définie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$. +Étudier la differentiabilité de la fonction $f$ définie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 862] @@ -6079,7 +6178,7 @@ Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x, Soit $f\colon\R^2\to\R$ telle que $f(0,0)=1$ et $f(x,y)=(x^2+y^2)^x$ si $(x,y)\neq(0,0)$. - Montrer que $f$ est continue sur $\R^2$. - Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$. - - La fonction $f$ admet-elle des derivees partielles en $(0,0)$? + - La fonction $f$ admet-elle des derivées partielles en $(0,0)$? - Étudier les variations de $g:x\mapsto f(x,0)$. - Déterminer les extrema de $f$. #+end_exercice @@ -6097,7 +6196,7 @@ Montrer que l'application $g\colon x\in E\mapsto f(x)\,e^{-\lN x\rN^2}$ admet un #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 866] -Déterminer les fonctions de classe $\mc C^2$ sur $(\R^{+*})^2$ verifiant $x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-y^2\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=0$. On pourra faire le changement de variables $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$. +Déterminer les fonctions de classe $\mc C^2$ sur $(\R^{+*})^2$ vérifiant $x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-y^2\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=0$. On pourra faire le changement de variables $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 867] @@ -6105,13 +6204,13 @@ Soit $K\in\R$. Déterminer toutes les fonctions $f:]0,+\i[\times\R\to\R$ de clas #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 868] -Soient $\alpha\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R^3,\R)$. On dit que $f$ est homogéné de degre $\alpha$ si : +Soient $\alpha\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R^3,\R)$. On dit que $f$ est homogéné de degré $\alpha$ si : -$\forall(x,y,z)\in\R^3$, $\forall t\in\R^{+*}$, $f(tx,ty,tz)=t^{\alpha}f(x,y,z)$. Montrer que $f$ est homogéné de degre $\alpha$ si et seulement si $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{ \partial f}{\partial z}=\alpha f$. +$\forall(x,y,z)\in\R^3$, $\forall t\in\R^{+*}$, $f(tx,ty,tz)=t^{\alpha}f(x,y,z)$. Montrer que $f$ est homogéné de degré $\alpha$ si et seulement si $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{ \partial f}{\partial z}=\alpha f$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 869] -Resoudre $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-3\,\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}+2\,\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$. +Résoudre $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-3\,\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}+2\,\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$. Ind. Utiliser le changement de variable $(u,v)=(x+y,\,2x+y)$. #+end_exercice @@ -6136,7 +6235,7 @@ Pour tout $n\in\N$, on pose $:a_n=\max\left(|u_{n+1}-u_n|,|u_{n+2}-u_{n+1}|\righ - Montrer $\forall(a,b)\in(\R^2)^2$, $\exists c\in\R^2$, $f(b)-f(a)=(b-a|\nabla f(c))$. - Montrer que $\forall(x,y,x',y')\in\R^4,\left|f(x,y)-f(x^{' },y')\right|\leq k\max\left(|x-x'|,|y-y'|\right)$. - Montrer que $\forall n\in\N,a_{n+2}\leq ka_n$, puis qu'il existe deux constantes $q$ et $C$ telles que $\forall n\in\N,a_n\leq Cq^n$. - - Montrer que $(u_n)$ est une suite convergente et donner une propriete verifiee par sa limite. + - Montrer que $(u_n)$ est une suite convergente et donner une propriété vérifiée par sa limite. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 872] @@ -6153,7 +6252,7 @@ Soient $R\in\R^{+*}$, $D_R=\{(x,y)\in\R^2\ ;\ x^2+y^2\lt R^2\}$, $(a_n)_{n\geq 0 Soient $A\in S^{++}_n(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose $:f:X\in\R^n\mapsto X^TAX-2B^TX$. - Calculer $\nabla f(X)$. - Montrer que $f$ admet un minimum global et le déterminer. - - Soit $(X_k)$ une suite de vecteurs non nuls verifiant + - Soit $(X_k)$ une suite de vecteurs non nuls vérifiant $\forall k\in\N,X_{k+1}=X_k-\frac{\|\nabla f(X_k)\|}{X_k^TAX_{ k}}\nabla f(X_k)$. On suppose que la suite $(X_k)$ est convergente. @@ -6180,7 +6279,7 @@ Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 877] Soient $U$ un ouvert convexe de $\R^n$ et $f:U\to\R$ une fonction de classe $C^1$. - Montrre que $f$ est convexe si et seulement si $f(y)-f(x)\geq df_x(y-x)$ pour tous $x,y\in U$. Que donne cette caracterisation dans le cas ou $n=1$? - - Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrre que $\Phi$ atteint sa borne inferieure en un unique élément de $E$, que l'on precisera. + - Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrre que $\Phi$ atteint sa borne inférieure en un unique élément de $E$, que l'on precisera. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 878] @@ -6206,13 +6305,13 @@ On tire au hasard un élément $A$ de $P(\db{1,n})$. Calculer la probabilité qu #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 881] -Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux urnes contenant chacune des boules numerotees de $1$ a $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance. +Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux urnes contenant chacune des boules numerotées de $1$ a $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 882] -Un couple met au monde quatre enfants. Chaque enfant a la probabilité $p\in]0,1[$ d'être une fille, et les naissances sont independantes. On considère les evenements $A$ : le dernier est une fille, $B$: le couple a autant de filles que de garcons: $C$ : les garcons naissent toujours apres une fille. - - Les evenements $A$ et $B$ (resp. $A$ et $C$) sont-ils independants? - - Les evenements $A,B,C$ sont-ils mutuellement independants? +Un couple met au monde quatre enfants. Chaque enfant a la probabilité $p\in]0,1[$ d'être une fille, et les naissances sont indépendantes. On considère les évènements $A$ : le dernier est une fille, $B$: le couple a autant de filles que de garcons: $C$ : les garcons naissent toujours apres une fille. + - Les évènements $A$ et $B$ (resp. $A$ et $C$) sont-ils indépendants? + - Les évènements $A,B,C$ sont-ils mutuellement indépendants? #+end_exercice # ID:6955 @@ -6221,11 +6320,11 @@ Soit $p\in]0,1[$. Dans un sac contenant $n$ jetons numerotes de $1$ a $n$, on ti #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 884] -On lance une piece jusqu'a obtenir deux piles de plus que de faces ou deux faces de plus que de piles. On note $p\in]0,1[$ la probabilité que la piece donne pile. On note $X$ la variablealéatoire associee au nombre de lancers. Déterminer la loi de $X$ et montrer que $X$ est presque surement finie. La variable aléatoire $X$ est-elle d'espérance finie? +On lance une piece jusqu'a obtenir deux piles de plus que de faces ou deux faces de plus que de piles. On note $p\in]0,1[$ la probabilité que la piece donne pile. On note $X$ la variablealéatoire associée au nombre de lancers. Déterminer la loi de $X$ et montrer que $X$ est presque surement finie. La variable aléatoire $X$ est-elle d'espérance finie? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 885] -Une urne contient $n\in\N^*$ boules noires et $b\in\N^*$ boules blanches. On tire successivement et sans remise les boules. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le rang de la derniere boule blanche titee. Calculer la loi, l'espérance et la variance de $X$. +Une urne contient $n\in\N^*$ boules noires et $b\in\N^*$ boules blanches. On tire successivement et sans remise les boules. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le rang de la derniere boule blanche titée. Calculer la loi, l'espérance et la variance de $X$. #+end_exercice # ID:6886 @@ -6234,31 +6333,31 @@ On considère une urne qui contient une proportion $p\in\,]0,1[$ de boules blanc #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 887] -On considère une urne remplie avec des boules numerotees de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise. +On considère une urne remplie avec des boules numerotées de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise. - Calculer la probabilité que les boules impaires soient tires exactement dans l'ordre $1,3,\ldots,2n-1$. - Soit $X$ la variable correspondant au nombre de tirages nécessaires pour obtenir toutes les boules impaires. Déterminer la loi et l'espérance de $X$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 888] -Soit $n\geq 2$. On place $n$ boules numerotees de $1$ a $n$ dans une urne et l'on realise des tirages successifs avec remise. On note $X$ le rang du tirage donnant pour la premiere fois un numero superieur ou egal aux precedents. +Soit $n\geq 2$. On place $n$ boules numerotées de $1$ a $n$ dans une urne et l'on realise des tirages successifs avec remise. On note $X$ le rang du tirage donnant pour la premiere fois un numero supérieur ou égal aux precedents. - Déterminer la loi de $X$. - Calculer l'espérance et la variance de $X$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 889] -Une urne contient $n+1$ boules numerotees de 0 a $n$. On y effectue des tirages avec remise. On pose $X_1=1$. Pour $i\geq 2$, $X_i$ est la variable de Bernoulli egale a 1 si le numero de la boule titee au $i$-eme tirage n'avait jamais ete obtenu avant. On pose, pour $i\in\N^*$, $Y_i=X_1+\cdots+X_i$. +Une urne contient $n+1$ boules numerotées de 0 a $n$. On y effectue des tirages avec remise. On pose $X_1=1$. Pour $i\geq 2$, $X_i$ est la variable de Bernoulli égale a 1 si le numero de la boule titée au $i$-eme tirage n'avait jamais ete obtenu avant. On pose, pour $i\in\N^*$, $Y_i=X_1+\cdots+X_i$. - Déterminer la loi des $X_i$. - Calculer l'espérance et la variance de $Y_i$. Donner un équivalent de $\mathbf{E}(Y_n)$. - Pour $(i,j)\in(\N^*)^2$, calculer $\mathbf{P}(X_i=1,X_j=1)$. - - Étudier l'independance des $X_i$. + - Étudier l'indépendance des $X_i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 890] -Soit $(J - {n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilité $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un meme joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'evenement \lt \lt le $n$-ieme match est joue \gt \gt . Déterminer la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$. +Soit $(J - {n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilité $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un meme joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'évènement \lt \lt le $n$-ième match est joue \gt \gt . Déterminer la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 891] -On suppose que lorsqu'un enfant natt, il a une chance sur deux d'être un garcon. Dans une famille donnee, le nombre d'enfants est la variable aléatoire $Z$ et le nombre de filles est $X$. +On suppose que lorsqu'un enfant natt, il a une chance sur deux d'être un garcon. Dans une famille donnée, le nombre d'enfants est la variable aléatoire $Z$ et le nombre de filles est $X$. - Montrer que : $\forall t\in[0,1],G_X(t)=G_Z\left(\frac{1+t}{2}\right)$. - Expliciter la loi de $X$ si $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. #+end_exercice @@ -6269,11 +6368,11 @@ Une puce se trouve sur l'origine de $\Z^2$. À chaque etape, elle saute aléatoi # ID:6855 #+begin_exercice [Mines 2023 # 893] -On munit $\mc{S}_n$ de la probabilité uniforme. Calculer la probabilité $\pi_n$ que $\sigma\in\mc{S}_n$ ait un cycle de longueur strictement superieure a $\frac{n}{2}$ dans sa decomposition en produit de cycles à supports disjoints. Déterminer un équivalent de $\pi_n$. +On munit $\mc{S}_n$ de la probabilité uniforme. Calculer la probabilité $\pi_n$ que $\sigma\in\mc{S}_n$ ait un cycle de longueur strictement supérieure a $\frac{n}{2}$ dans sa decomposition en produit de cycles à supports disjoints. Déterminer un équivalent de $\pi_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 894] -Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires independantes qui suivent la loi geometrique de paramètre $p\in\,]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$. +Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramètre $p\in\,]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$. - Calculer $\mathbf{P}(Y=0)$. - Déterminer la loi de $Y$. - Montrer que $Y$ est d'espérance finie et calculer $\mathbf{E}(Y)$. @@ -6281,8 +6380,8 @@ Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires independantes qui suivent la loi geo #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 895] -- Déterminer la loi de la somme de $n$ variables geometriques de paramètre $p\in]0,1[$, independantes et identiquement distribuees. - - Soit $p\in]0,1[$. On lance des des tels que la probabilité de tomber sur $6$ en jetant un de est $p$. Soit $X$ la variable aléatoire egale au rang du $n$-ieme $6$. Déterminer la loi et l'espérance de $X$. +- Déterminer la loi de la somme de $n$ variables géométriques de paramètre $p\in]0,1[$, indépendantes et identiquement distribuées. + - Soit $p\in]0,1[$. On lance des des tels que la probabilité de tomber sur $6$ en jétant un de est $p$. Soit $X$ la variable aléatoire égale au rang du $n$-ième $6$. Déterminer la loi et l'espérance de $X$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 896] @@ -6294,38 +6393,38 @@ Soient $\lambda\gt 0$ et $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 898] -Soit $p\in\,]0,1[$. Soit $(X - {k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. verifiant : +Soit $p\in\,]0,1[$. Soit $(X - {k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. vérifiant : $\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_k=-1)=1-p$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que $p=\dfrac{1}{2}$ si et seulement si : $\forall n\in\N^*,\max_{k\in\Z}\mathbf{P}(S_{2n}=k)=\mathbf{P}( S_{2n}=0)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 899] -Soient $A,B,C$ des variables aléatoires independantes telles que $A$ suive la loi de Rademacher, et $B$ et $C$ la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$. +Soient $A,B,C$ des variables aléatoires indépendantes telles que $A$ suive la loi de Rademacher, et $B$ et $C$ la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. - Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette deux racines réelles distinctes. - Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette une unique racine réelle. - Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ n'admette aucune racine réelle. - - Cette derniere probabilité peut-être egale a $\dfrac{1}{2}$? Dans ce cas, donner une valeur approchee de $p$ a $10^{-1}$ pres. + - Cette derniere probabilité peut-être égale a $\dfrac{1}{2}$? Dans ce cas, donner une valeur approchée de $p$ a $10^{-1}$ pres. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 900] On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi de poisson de paramètre $\lambda$ et on pose $Y=X^2+1$. - Calculer l'espérance de $Y$. - - Calculer la probabilité de l'evenement $(2X\lt Y)$. - - Comparer les probabilités des evenements $(X\in 2\N)$ et $(X\in 2\N+1)$. + - Calculer la probabilité de l'évènement $(2X\lt Y)$. + - Comparer les probabilités des évènements $(X\in 2\N)$ et $(X\in 2\N+1)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 901] Soit $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $[a,b]$, d'espérance $\mathbf{E}(X)=m$. - Montrere que $\mathbf{V}(X)\leq(m-a)(b-m)$. - - Montrere que cette inegalite est optimale. + - Montrere que cette inégalité est optimale. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 902] -Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $b\in\M_{n,1}(\R)$. On pose $M=\begin{pmatrix}A&b\\ b^T&c\end{pmatrix}$ et on suppose que les racines du polynome caracteristique de $M$ ne sont pas toutes simples. +Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $b\in\M_{n,1}(\R)$. On pose $M=\begin{pmatrix}A&b\\ b^T&c\end{pmatrix}$ et on suppose que les racines du polynôme caracteristique de $M$ ne sont pas toutes simples. - Montrere que $M$ admet un vecteur propre de la forme $V=(v_1,...,v_n,0)^T$. - Montrere que $(v_1,...,v_n)^T$ est vecteur propre de $A$ et orthogonal a $b$. - - Soient $X_1,...,X_5$ variables de Bernoulli independantes de paramètre $p\in]0,1[$. + - Soient $X_1,...,X_5$ variables de Bernoulli indépendantes de paramètre $p\in]0,1[$. -On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$. Montrere que la probabilité que le polynome caracte-ristique de la matrice $N$ n'ait que des racines simples est superieure ou egale a $3p^3-2p^4$. +On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$. Montrere que la probabilité que le polynôme caracte-ristique de la matrice $N$ n'ait que des racines simples est supérieure ou égale a $3p^3-2p^4$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 903] @@ -6341,16 +6440,16 @@ Caracteriser les couples $(X,a)$ avec $X$ variable aléatoire discrète complexe #+begin_exercice [Mines 2023 # 905] Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilité $\mathbf{P}_{\alpha}$ définie par $\mathbf{P}_{\alpha}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(\alpha)n^{\alpha}}$ pour $n\geq 1$. - Calculer $\mathbf{P}_{\alpha}(m\N^*)$ pour $m\geq 1$. - - On note $(p - {k\geq 1}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrere que les $p_k\N^*$ sont mutuellement independants. + - On note $(p - {k\geq 1}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrere que les $p_k\N^*$ sont mutuellement indépendants. - En déduire la formule d'Euler $\zeta(\alpha)=\prod_{k=1}^{+\i}\left(1-\dfrac{1}{p_k^{\alpha}} \right)^{-1}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 906] -Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de meme loi et d'espérance finie. Montrere que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas où $X$ et $Y$ sont independantes. +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de meme loi et d'espérance finie. Montrere que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 907] -Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$. +Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. On pose $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n),\beta_n=\mathbf{E}(Z_n)$. - Étudier la monotonie des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$. - Exprimer $\alpha_n$ en fonction de $n$. @@ -6358,13 +6457,13 @@ On pose $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ld #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 908] -Soient $p,q\in]0,1[$. On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$, independantes, suivant les lois geometriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Soit $M=\begin{pmatrix}X&1\\ 0&Y\end{pmatrix}$. Quelle est la probabilité que $M$ soit diagonalisable? +Soient $p,q\in]0,1[$. On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$, indépendantes, suivant les lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Soit $M=\begin{pmatrix}X&1\\ 0&Y\end{pmatrix}$. Quelle est la probabilité que $M$ soit diagonalisable? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 909] -Soient $p\in]0,1[$, $X$ une variable aléatoire suivant la loi geometrique de paramètre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$. - - Montrer que la variable $Y$ suit une loi geometrique. - - Montrer que les variables $Y$ et $2Y-X$ sont independantes. +Soient $p\in]0,1[$, $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$. + - Montrer que la variable $Y$ suit une loi géométrique. + - Montrer que les variables $Y$ et $2Y-X$ sont indépendantes. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 910] @@ -6379,8 +6478,8 @@ Soit $X$ une variable aléatoire discrète a valeurs dans $\R^{+*}$ telle que $\ Pour tout $t\in\R^+$, on pose : $F_X(t)=\mathbf{E}(e^{-tX})$. - Montrer que $F_X$ est bien définie (a valeurs réelles) et continue. - Montrer la convergence et calculer $\int_0^{+\i}F_X(t)\,dt$. - - Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires independantes suivant la loi geometrique de paramètre $p\in\!]0,1[$. Calculer $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X+Y}\right)$. - - Généraliser a $m$ variables i.i.d. suivant la loi geometrique de paramètre $p$. + - Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre $p\in\!]0,1[$. Calculer $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X+Y}\right)$. + - Généraliser a $m$ variables i.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 912] @@ -6406,18 +6505,18 @@ Soit $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $\R^+$. - Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}0$. - On suppose que ${\bf E}(X)\lt +\i$. Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$. - Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables aléatoires. On pose, pour $n\in\N^*$, $R_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$. - - Donner un équivalent de ${\bf E}(R_n)$ lorsque les $X_i$ suivent la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$. + - Donner un équivalent de ${\bf E}(R_n)$ lorsque les $X_i$ suivent la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. - Dans le cas général, montrer que ${\bf E}(R_n)=o(n)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 916] -Soit $(X - {i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. On suppose que chaque variable aléatoire $X_i+1$ suit la loi geometrique de paramètre $p\in\,]0,1[$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. +Soit $(X - {i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. On suppose que chaque variable aléatoire $X_i+1$ suit la loi géométrique de paramètre $p\in\,]0,1[$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. - Déterminer la loi de $S_n$. - Déterminer $M_n=\max\left\{{\bf P}(S_n=k),\ k\in\N\right\}$ puis un équivalent simple de $M_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 917] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on déterminera tel que : +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on déterminera tel que : $\forall\epsilon\gt 0$, ${\bf P}\left(\left|\frac{1}{\ln(n)}\max_{1\leq k\leq n}X_k-\alpha \right|\geq\epsilon\right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. #+end_exercice @@ -6437,7 +6536,7 @@ Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Berno #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 920] - Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires independantes, strictement positives, $L^2$ et telles que : $\forall n\in\N$, $\mathbf{E}(X_n)=1$. On dit que $(X_n)$ converge en probabilités vers $0$ si : $\forall\alpha\gt 0,\mathbf{P}(X_n\geq\alpha)\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=1}^nX_i$. + Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes, strictement positives, $L^2$ et telles que : $\forall n\in\N$, $\mathbf{E}(X_n)=1$. On dit que $(X_n)$ converge en probabilités vers $0$ si : $\forall\alpha\gt 0,\mathbf{P}(X_n\geq\alpha)\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=1}^nX_i$. - Soient $\lambda\in[0,1]$ et $X\in L^2$ telle que $\mathbf{E}(X^2)\gt 0$. Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$. @@ -6474,18 +6573,19 @@ $\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $ P(X+n)+\sum_{k=0}^{n-1}a_kP(X+k)=0$. #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 925] Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'équation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$. - - Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallélément a $u$. - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D):\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$ + - Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallèlement a $u$. + - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D):\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 926] -Soit $E=\R_n[X]$. On considère les polynomes $E_k=\binom{n}{k}X^k(1-X)^{n-k}$, $0\leq k\leq n$. +Soit $E=\R_n[X]$. On considère les polynômes $E_k=\binom{n}{k}X^k(1-X)^{n-k}$, $0\leq k\leq n$. - Montrer que $(E - {0\leq k\leq n}$ est une base de $E$. - Calculer $\sum_{k=0}^nkE_k$ et $\sum_{k=0}^nk^2E_k$. - - Comment aurait-on pu prevoir les resultats obtenus? + - Comment aurait-on pu prévoir les résultats obtenus? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 927] -Resoudre dans $\M_n(\R)$ l'équation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$. +Résoudre dans $\M_n(\R)$ l'équation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 928] @@ -6525,16 +6625,16 @@ Pour $k\in\db{1,n}$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1202] -Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires independantes qui suivent la loi uniforme sur $\db{1\,;\,N}$. - - Montrer que les evenements $(p_k|X_1):\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont independants pour $k\in\db{1\,;\,m}$. +Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi uniforme sur $\db{1\,;\,N}$. + - Montrer que les évènements $(p_k|X_1):\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont indépendants pour $k\in\db{1\,;\,m}$. - Pour $k\in\db{1\,;\,m}$, calculer $\mathbf{P}(p_k|X_1$ et $p_k|X_2)$. - - Calculer la probabilité de l'evenement $\triangleleft X_1$ et $X_2$ sont premiers entre eux $\mathchar 13334\relax$. + - Calculer la probabilité de l'évènement $\triangleleft X_1$ et $X_2$ sont premiers entre eux $\mathchar 13334\relax$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1203] Soit $n\in\N^*$. On munit $\db{1\,;\,n}$ de la probabilité uniforme. - Soit $a$ un diviseur de $n$, on note $D(a)$ l'ensemble des multiples de $a$ qui se trouvent dans $\db{1\,;\,n}$. Calculer $\mathbf{P}(D(a))$. - - On note $p_1,\ldots,p_k$ les diviseurs premiers (distincts) de $n$. Montrer que $D(p_1),\ldots,D(p_k)$ sont mutuellement independants. + - On note $p_1,\ldots,p_k$ les diviseurs premiers (distincts) de $n$. Montrer que $D(p_1),\ldots,D(p_k)$ sont mutuellement indépendants. - Soit $B$ l'ensemble des entiers dans $\db{1\,;\,n}$ qui sont premiers avec $n$. Calculer $\mathbf{P}(B)$ a l'aide de $p_1,\ldots,p_k$. - On note $\phi(n)$ le nombre d'entiers dans $\db{1\,;\,n}$ qui sont premiers avec $n$. Montrer que $\phi(n)=n\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\text{ premier}\\ \text{p divise }n\end{subarray}}\frac{p-1}{p}$ #+end_exercice @@ -6550,15 +6650,15 @@ Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un réel $c\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1205] -Soient $X,Y$ deux variables aléatoires discrètes a valeurs dans $\R^{+*}$, independantes et identiquement distribuees. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. À quelle condition a-t-on egalite? +Soient $X,Y$ deux variables aléatoires discrètes a valeurs dans $\R^{+*}$, indépendantes et identiquement distribuées. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. À quelle condition a-t-on égalité? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1206] -Les variables aléatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\db{1\,;\,n})$ et elles sont independantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$. +Les variables aléatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\db{1\,;\,n})$ et elles sont indépendantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1207] -- Soit $(A - {n\in\N^*}$ une suite d'evenements. Montrer que $B:\triangleleft$ II existe un rang a partir duquel $A_n$ est vraie $\mathchar 13334\relax$ est un evenement et que $B=\bigcup\limits_{n\in\N^*}\left(\bigcap\limits_{k\geq n}A_{k }\right)$. +- Soit $(A - {n\in\N^*}$ une suite d'évènements. Montrer que $B:\triangleleft$ II existe un rang a partir duquel $A_n$ est vraie $\mathchar 13334\relax$ est un évènement et que $B=\bigcup\limits_{n\in\N^*}\left(\bigcap\limits_{k\geq n}A_{k }\right)$. - Soient $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles de meme loi que $X$.On suppose $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^4)\lt +\i$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. - Calculer $\mathbf{E}({S_n}^4)$ en fonction de $n$, $\mathbf{E}(X^2)$ et $\mathbf{E}(X^4)$. - En déduire que pour tout $\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\bigcap_{k\geq n}\left(\left|\frac{S_{ k}}{k}\right|\leq\eps\right)\right)=1$ et que, presque surement, $\lim_{n\to+\i}\frac{S_n}{n}=0$. @@ -6583,7 +6683,7 @@ On considère, pour $n\in\N$, $C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1210] -Pour $n\in\N^*$, on note $\mc{P}(n)$ l'ensemble des nombres premiers inferieurs ou egaux a $n$ et $P_n=\prod_{p\in\mc{P}(n)}p$. +Pour $n\in\N^*$, on note $\mc{P}(n)$ l'ensemble des nombres premiers inférieurs ou egaux a $n$ et $P_n=\prod_{p\in\mc{P}(n)}p$. - Montrer que $\forall n\geq 2$, $\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\lt \binom{2n}{n}\lt 4^n$. - Montrer que $\forall n\geq 1$, $\binom{2n+1}{n}\lt 4^n$. - Montrer que $\forall n\in\N$, $P_{2n+1}\lt 4^nP_{n+1}$. @@ -6599,7 +6699,7 @@ _a) i)_: Donner la définition d'un automorphisme. Montrer que $\phi:x\mapsto x^ #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1212] Soient $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 3$[4] et $C=\{x\in\Z/p\Z,\ \exists y\in\Z/p\Z,\ x=y^2\}$. - - Rappeler l'enonce du petit theoreme de Fermat. Montrer que $-1\notin C$. + - Rappeler l'enonce du petit théorème de Fermat. Montrer que $-1\notin C$. On pose $\pi_x=\prod_{y\in C\setminus\{x\}}(x+y)$ pour $x\in C\setminus\{0\}$ et $\pi=\prod_{x\neq y\in C}(x+y)$. - Déterminer le cardinal de $C$. @@ -6617,18 +6717,18 @@ Pour $n\in\N$, on note $M_n=2^n-1$ et $s_n=u^{2^n}+v^{2^n}$. $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et $(x,y)\cdot(x',y')=(xx'+3yy',xy'+x^{ '}y)$. - Montrer que les deux lois précédentes muinssent $B$ d'une structure d'anneau commutatif fini. - - Montrer que, si $3$ n'est pas un carre modulo $q$, alors l'anneau precedent est un corps. + - Montrer que, si $3$ n'est pas un carré modulo $q$, alors l'anneau precedent est un corps. - On note $A=\Z+\sqrt{3}\Z$. Montrer que l'application $\pi$ définie par $\pi(a+b\sqrt{3})=(\overline{a},\overline{b})$ est bien définie et est un morphisme surjectif d'anneaux de $A$ dans $B$. - On suppose $n$ premier. Montrer que, si $M_n$ divise $s_{n-2}$ alors $M_n$ est premier. -Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considerant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et déterminer l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des éléments inversibles de l'anneau $B$. +Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considérant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et déterminer l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des éléments inversibles de l'anneau $B$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1214] Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est noetherien lorsque tous ses ideaux sont engendres par une partie finie de $A$. - Les anneaux $\Z$ et $\R[X]$ sont-ils noetheriens? - Montrer que $A$ est noetherien si et seulement si toute suite croissante d'ideaux est stationnaire. - - Soit $A$ un anneau non commutatif. On dit que $\mc{I}$ est un ideal a gauche de $A$ lorsque $\mc{I}A\subset\mc{I}$ (définition similaire pour un ideal a droite). Soit $A$ noetherien, c'est-a-dire que tous les ideaux, a droite ou a gauche, de $A$ sont de type fini. Montrer que l'inversibilite a gauche equivaut a l'inversibilite a droite, i.e. $\forall a\in A,\Big{(}\exists b\in A,\ ab=1\Longleftrightarrow\exists b\in A,\ ba=1 \Big{)}$. + - Soit $A$ un anneau non commutatif. On dit que $\mc{I}$ est un ideal a gauche de $A$ lorsque $\mc{I}A\subset\mc{I}$ (définition similaire pour un ideal a droite). Soit $A$ noetherien, c'est-a-dire que tous les ideaux, a droite ou a gauche, de $A$ sont de type fini. Montrer que l'inversibilité a gauche equivaut a l'inversibilité a droite, i.e. $\forall a\in A,\Big{(}\exists b\in A,\ ab=1\Longleftrightarrow\exists b\in A,\ ba=1 \Big{)}$. Ind. Considèrer $\phi:x\mapsto ax$. #+end_exercice @@ -6640,13 +6740,13 @@ Ind. Considèrer $\phi:x\mapsto ax$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1216] -Soit $(T - {n\in\N}$ la suite de polynomes réels définie par $T_0(X)=1,\ T_1(X)=X$ et pour $n\in\N,\,T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)$. +Soit $(T - {n\in\N}$ la suite de polynômes réels définie par $T_0(X)=1,\ T_1(X)=X$ et pour $n\in\N,\,T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)$. - Montrer que, pour $n\in\N$, $\forall\theta\in\R$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. - Montrer que $T_n\circ T_m=T_m\circ T_n$ pour $(m,n)\in\N^2$. - Montrre que, pour $n\geq m$, $2T_nT_m=T_{n+m}+T_{n-m}$. On considère l'équation différentielle $(E):(1-x^2)P^{' 2}=n^2(1-P^2)$. - Montrre que, pour $n\in\N$, $T_n$ et $-T_n$ sont solutions de $(E)$ sur $\R$. - - Montrre que tout polynome solution de $(E)$ est de degre $n$, puis déterminer les polynomes solution de $(E)$ sur $\R$. + - Montrre que tout polynôme solution de $(E)$ est de degré $n$, puis déterminer les polynômes solution de $(E)$ sur $\R$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1217] @@ -6657,7 +6757,7 @@ Soient $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$ et $b_1\lt b_2\cdots\lt b_p$ des réels et #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1218] - Rappeler la définition de l'indicatrice d'Euler, exprimer $\phi(n)$ en fonction de sa decomposition en facteurs premiers. - - Pour $n\geq 2$, calculer $\sum_{d|n}\phi(d)$ (la somme etant restreinte aux diviseurs positifs). + - Pour $n\geq 2$, calculer $\sum_{d|n}\phi(d)$ (la somme étant restreinte aux diviseurs positifs). - En déduire le déterminant de $A$, ou $A_{i,j}=i\wedge j$. #+end_exercice @@ -6679,19 +6779,19 @@ Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\ #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1221] Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)$. - Montrre que, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$. - - Trouver les endomorphismes $h$ de $\M_n(\R)$ qui verifient, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $f(F(A),B)=f(A,h(B))$. + - Trouver les endomorphismes $h$ de $\M_n(\R)$ qui vérifient, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $f(F(A),B)=f(A,h(B))$. - Dans cette question, on suppose que $n=2$.Soit $h:\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\in{\cal M}_2(\R)\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}a+c &b+d-a-c\\ c&d-c\end{array}\right).$ Déterminer les endomorphismes $k$ de ${\cal M}_n(\R)$ tels que $f(h(A),B)=f(A,k(B))$ pour tout $(A,B)\in{\cal M}_n(\R)^2.$ Parmi eux, preciser ceux qui sont trigonalisables, diagonalisables. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1222] -- Enoncer et demontrer la caracterisation du rang par les matrices extraites. +- Enoncer et démontrer la caracterisation du rang par les matrices extraites. - Soit $\Omega_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices $M=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de ${\cal M}_n(_K)$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, la matrice $M_k:=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq k}$ soit inversible. Si $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, montrer que $\Omega_n$ est un ouvert de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$. - - Montrer qu'une matrice $M$ de ${\cal M}_n(_K)$ appartient a $\Omega_n(\mathbb{K})$ si et seulement si $M$ s'ecrit $TT'$ ou $T$ (resp. $T'$) est une matrice de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ triangulaire inferieure (resp. superieure) inversible. + - Montrer qu'une matrice $M$ de ${\cal M}_n(_K)$ appartient a $\Omega_n(\mathbb{K})$ si et seulement si $M$ s'écrit $TT'$ ou $T$ (resp. $T'$) est une matrice de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ triangulaire inférieure (resp. supérieure) inversible. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1223] Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdots&\iddots&&\vdots\\ a_n&0&\ldots&0\end{array}\right)\in{\cal M}_n(\R)$ - - Donner la définition du polynome minimal $\pi_A$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. + - Donner la définition du polynôme minimal $\pi_A$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. - Calculer $\det(A)$ et $A^2$. - Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si ${\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^2)$. Donner une condition sur les $a_1,\ldots,a_n$ pour que $A$ soit diagonalisable. #+end_exercice @@ -6699,11 +6799,11 @@ Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdot #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1224] On se place dans ${\cal M}_n(\C)$. - Montrer que toute matrice est trigonalisable sur $\C$. - - Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ et $D={\rm Diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Montrer qu'il existe un polynome $f$ tel que pour tout $i\in\db{1,n}$, $f(\alpha_i)^2=\alpha_i$. En déduire que $f(D)^2=D$. + - Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ et $D={\rm Diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Montrer qu'il existe un polynôme $f$ tel que pour tout $i\in\db{1,n}$, $f(\alpha_i)^2=\alpha_i$. En déduire que $f(D)^2=D$. -On considère la suite $(c - {k}$ définie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_{k+1}=\sum_{i=0}^kc_ic_{k-i}$ et le polynome $\phi=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}$. +On considère la suite $(c - {k}$ définie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_{k+1}=\sum_{i=0}^kc_ic_{k-i}$ et le polynôme $\phi=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}$. - Déterminer le reste de la division euclidienne de $\phi^2$ par $X^n$. - - Trouver un polynome $g$ tel que, pour toute matrice nilpotente $N\in{\cal M}_n(\C)$, on ait $g(N)^2=I_n+N$. + - Trouver un polynôme $g$ tel que, pour toute matrice nilpotente $N\in{\cal M}_n(\C)$, on ait $g(N)^2=I_n+N$. - Soit $A$ une matrice inversible. Montrer qu'il existe $R\in\C[A]$ telle que $R^2=A$. #+end_exercice @@ -6712,7 +6812,7 @@ Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ - Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^rE_i$. - Soit $g$ un endomorphisme de $E$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : - $g$ commute avec $f$, - pour tout $i\in\db{1,r}$, $g(E_i)\subset E_i$.En déduire que la dimension du commutant de $f$ est $\sum_{i=1}^r{n_i}^2$. - - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$, montrer que la dimension du commutant de $A$ est superieure ou egale a $n$. + - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$, montrer que la dimension du commutant de $A$ est supérieure ou égale a $n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1226] @@ -6732,7 +6832,7 @@ Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $ #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1228] -Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\in{\N}$, $a\in E$ un vecteur unitaire, et $H$ l'hyperplan orthogonal a la droite vectorielle dirigee par $a$. On note $\sigma$ la symetrie orthogonale par rapport a l'hyperplan $H$, et $p$ la projection orthogonale sur $H$. +Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\in{\N}$, $a\in E$ un vecteur unitaire, et $H$ l'hyperplan orthogonal a la droite vectorielle dirigée par $a$. On note $\sigma$ la symétrie orthogonale par rapport a l'hyperplan $H$, et $p$ la projection orthogonale sur $H$. - Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, $F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}F^{\perp}=E$. - Montrer que, pour $x\in E$, $p(x)=x-\langle a,x\rangle a$. - Soit $\Omega=\{x\in E,\;\langle a,x\rangle\geq 0\;\;\mbox{et}\;\;\langle x,\sigma(x) \rangle\leq 0\}$. @@ -6758,21 +6858,21 @@ ii) $\forall(x,y)\in E^2,\,\langle x,y\rangle=0\;\Rightarrow\;\langle s(x),s(y) #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1231] - Montrer que l'application $(P,Q)\mapsto\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$. - - Soit $(E,\phi)$ un espace euclidien et $B=(e_1,...,e_n)$ une base de $E$. Montrer que la matrice $(\phi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est symetrique définie positive. + - Soit $(E,\phi)$ un espace euclidien et $B=(e_1,...,e_n)$ une base de $E$. Montrer que la matrice $(\phi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est symétrique définie positive. - Pour tout $p\in\N$, on pose $L_p=\frac{d^p}{dX^p}\,[X^p(1-X)^p]\in\R[X]$. Montrer que la famille $(L_p)$ est orthogonale pour le produit scalaire de la question $a$. Est-elle orthonormale? - - Soit $M=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n+1}$. Montrer que la matrice $M$ est symetrique définie positive et calculer $\det M$. + - Soit $M=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n+1}$. Montrer que la matrice $M$ est symétrique définie positive et calculer $\det M$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1232] Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. - - Rappeler la définition d'une matrice définie positive. Donner des proprietes d'une telle matrice. + - Rappeler la définition d'une matrice définie positive. Donner des propriétés d'une telle matrice. - Pour $x\in\R^n$, on pose $J(x)=\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. Montrer que $J$ est strictement convexe, c'est-a-dire que : $\forall x\neq y$, $\forall\lambda\in]0,1[$, $J(\lambda x+(1-\lambda)y)\lt \lambda J(x)+(1-\lambda)J(y)$. - Montrer que $J$ atteint un minimum en un unique point de $\R^n$ et que ce vecteur est solution de l'équation $Ax=b$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1233] Soient $n\in\N$ et $\alpha\gt 0$. On note $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det M\geq\alpha\}$. Le but de cet exercice est de s'interesser, pour $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, a la quantite $m_{\alpha}(A)=\inf_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)$. - - Montrer que les valeurs propres d'une matrice symetrique réelle sont réelles. Rappeler le theoreme spectral. Justifier l'existence de $m_{\alpha}(I_n)$ puis la calculer. + - Montrer que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles. Rappeler le théorème spectral. Justifier l'existence de $m_{\alpha}(I_n)$ puis la calculer. - Soit $A\in\mc{S}_n^+(\R)$. Justifier l'existence de $R\in\mc{S}_n^+(\R)$ telle que $A=R^2$. Prouver l'unicite puis calculer $m_{\alpha}(A)$. - Que se passe-t-il lorsque $\alpha=0$? #+end_exercice @@ -6781,26 +6881,26 @@ Soient $n\in\N$ et $\alpha\gt 0$. On note $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \de Soient $d\in\N^*$, $A\in\mc{S}_n(\R)$ a coefficients dans $\{0,1\}$ et de trace nulle. On suppose que $A^2+A-(d-1)I_n=J_n$ ou $J_n$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$. - Montrer que chaque ligne de $A$ contient $d$ coefficients egaux a $1$. - Montrer que $AU=dU$ ou $U=(1\,\cdots\,1)^T$. En déduire que $n=d^2+1$. - - Montrer que la multiplicite de $d$ est egale a $1$. + - Montrer que la multiplicité de $d$ est égale a $1$. - Montrer que les autres valeurs propres de $M$ sont racines de $X^2+X-d+1=0$. - - Montrer que'il existe deux entiers naturels $m_1$ et $m_2$ tels que $m_1+m_2=n-1$ et $d+m_1r_1+m_2r_2=0$ ou $r_1$ et $r_2$ sont les solutions de l'équation précédente. + - Montrer qu'il existe deux entiers naturels $m_1$ et $m_2$ tels que $m_1+m_2=n-1$ et $d+m_1r_1+m_2r_2=0$ ou $r_1$ et $r_2$ sont les solutions de l'équation précédente. - Montrer que si $m_1=m_2$ alors $d=2$. On suppose $d\gt 2$ dans la suite. - - Montrer que'il existe un entier $k$ tel que $4d-3=(2k+1)^2$ puis que $k^4\equiv 1\ [2k+1]$. + - Montrer qu'il existe un entier $k$ tel que $4d-3=(2k+1)^2$ puis que $k^4\equiv 1\ [2k+1]$. - Montrer que, pour tout entier $k\in\N$, on a $16k^4\equiv 1\ [2k+1]$. En déduire qu'on a forcement $d\in\{2,3,7,57\}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1235] - Soit $A=\begin{pmatrix}A_1&B\\ B^T&A_2\end{pmatrix}$ une matrice symetrique définie positive avec $A_1\in\mc{S}_p(\R)$ et $A_2\in\mc{S}_q(\R)$. + Soit $A=\begin{pmatrix}A_1&B\\ B^T&A_2\end{pmatrix}$ une matrice symétrique définie positive avec $A_1\in\mc{S}_p(\R)$ et $A_2\in\mc{S}_q(\R)$. - Montrer que $A_1$ et $A_2$ sont définies positives. - - Montrer qu'il existe $R_1$ et $R_2$ symetriques définies positives telles que $R_1^2=A_1$ et $R_2^2=A_2$. + - Montrer qu'il existe $R_1$ et $R_2$ symétriques définies positives telles que $R_1^2=A_1$ et $R_2^2=A_2$. - Montrer que $\det(A)\leq\det(A_1)\det(A_2)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1236] On considère la relation binaire pour $(A,B)\in(\mc{S}_n(\R))^2A\preceq B\Leftrightarrow B-A\in \mc{S}_n^+(\R)$. - Montrer que l'on définit ainsi une relation d'ordre sur $\mc{S}_n(\R)$. - - Montrer qu'une partie de $\mc{S}_n(\R)$ est bornee si et seulement si elle est majoree et minoree pour $\preceq$. - - Montrer que toute suite croissante majoree pour $\preceq$ converge. + - Montrer qu'une partie de $\mc{S}_n(\R)$ est bornée si et seulement si elle est majorée et minorée pour $\preceq$. + - Montrer que toute suite croissante majorée pour $\preceq$ converge. - Soient $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $A\preceq B\implies B^{-1}\preceq A^{-1}$. #+end_exercice @@ -6825,24 +6925,24 @@ Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme, $F$ un sous-espace vectoriel ferme strict d Soient $(E,N)$ et $(E',N')$ deux espaces vectoriels normes. Soit $d\in\N$. Pour $P(X)=p_0+p_1X+\cdots+p_dX^d\in\R_d[X]$ on pose $\|P\|=\max(|p_0|,...,|p_d|)$. - - Verifier que l'application $\|\ \|$ est une norme sur $\R_d[X]$. + - Vérifier que l'application $\|\ \|$ est une norme sur $\R_d[X]$. _b) i)_ Soit $(y - {n\in\N}$ une suite d'éléments de $E$, convergeant vers $\ell\in E$. Montrer que l'ensemble $Y=\{y_n,\ n\in\N\}\cup\{\ell\}$ est compact. - Soit $f:E\to E'$ continue telle que, pour tout compact $K$ de $E'$, $f^{-1}(K)$ est un compact de $E$. Montrer que, si $F$ est un ferme de $E$, alors $f(F)$ est un ferme de $E'$. - - Soit $P\in\R_d[X]$ un polynome unitaire. Montrer que, si $x\in\R$ est une racine de $P$ telle que $|x|\gt 1$, alors $|x|\leq\|P\|+1$. En déduire que l'ensemble des polynomes unitaires et scindes de $\R_d[X]$ est ferme dans $\R_d[X]$. + - Soit $P\in\R_d[X]$ un polynôme unitaire. Montrer que, si $x\in\R$ est une racine de $P$ telle que $|x|\gt 1$, alors $|x|\leq\|P\|+1$. En déduire que l'ensemble des polynômes unitaires et scindes de $\R_d[X]$ est ferme dans $\R_d[X]$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1240] -- Resoudre dans $\C$ l'équation $e^z=-1$. - - Soit $f\colon\mathbb{U}\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $z\in\mathbb{U}$ tel que $f(-z)=f(z)$. En déduire que, si $A$ et $B$ sont deux parties fermees de reunion $\mathbb{U}$, il existe deux points de $\mathbb{U}$ diametralement opposes tous deux dans $A$ ou tous deux dans $B$. - Soient $D$ le disque unite ferme du plan complexe et $g:D\to\C^*$ continue telle que, pour tout $z\in\mathbb{U}$, $g(-z)=-g(z)$. On admet qu'il existe $h$ continue telle que $g=\exp\circ h$. Montrer qu'il existe $z\in D$ tel que $h(-z)=h(z)$. +- Résoudre dans $\C$ l'équation $e^z=-1$. + - Soit $f\colon\mathbb{U}\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $z\in\mathbb{U}$ tel que $f(-z)=f(z)$. En déduire que, si $A$ et $B$ sont deux parties fermées de reunion $\mathbb{U}$, il existe deux points de $\mathbb{U}$ diametralement opposes tous deux dans $A$ ou tous deux dans $B$. - Soient $D$ le disque unite ferme du plan complexe et $g:D\to\C^*$ continue telle que, pour tout $z\in\mathbb{U}$, $g(-z)=-g(z)$. On admet qu'il existe $h$ continue telle que $g=\exp\circ h$. Montrer qu'il existe $z\in D$ tel que $h(-z)=h(z)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1241] Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme. Pour $A\subset E$ non vide et $x\in E$, on note $d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$. - On suppose $A$ ferme. Soit $x\in E$. Montrer que $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in A$. - - Soient $F$ un sous-espace vectoriel ferme de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe $x\in E$ unitaire verifiant $d(x,F)\geq\delta$. + - Soient $F$ un sous-espace vectoriel ferme de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe $x\in E$ unitaire vérifiant $d(x,F)\geq\delta$. - On suppose $E$ de dimension infinie et on admet que les sous-espaces vectoriels de dimension finie sont fermes. Montrer que la sphere unite n'est pas un compact de $E$. #+end_exercice @@ -6860,14 +6960,14 @@ On pose $f_v^*=\sup_{p\in S_n}f_v(p)$ et $E_v=\{p\in S_n,\ f_v(p)=f_v^*\}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1243] -Soient $(E,\|\ \|)$, $(E',\|\ \|)$ deva espaces vectoriels normes de dimension finie, $A$ un ferme non vide de $E$, $B$ une partie non vide de $E'$. Soit $f:A\to B$ continue bijective telle que l'image reciproque par $f$ de toute partie bornee de $B$ est bornee. Montrer que $f^{-1}$ est continue. +Soient $(E,\|\ \|)$, $(E',\|\ \|)$ deva espaces vectoriels normes de dimension finie, $A$ un ferme non vide de $E$, $B$ une partie non vide de $E'$. Soit $f:A\to B$ continue bijective telle que l'image réciproque par $f$ de toute partie bornée de $B$ est bornée. Montrer que $f^{-1}$ est continue. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1244] Un espace norme réel est dit separable lorsqu'il contient une partie denombrable dense. - L'espace $\R$ est-il separable? - Montrer qu'un espace norme de dimension finie est separable. - - Soit $E$ un espace prehilbertien réel de dimension infinie. Montrer que $E$ est separable si et seulement s'il existe une suite orthonormalee $(e_n)_{n\geq 0}$ telle que $\op{Vect}{(e_n)_{n\geq 0}}$ soit dense dans $E$. + - Soit $E$ un espace prehilbertien réel de dimension infinie. Montrer que $E$ est separable si et seulement s'il existe une suite orthonormalée $(e_n)_{n\geq 0}$ telle que $\op{Vect}{(e_n)_{n\geq 0}}$ soit dense dans $E$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1245] @@ -6902,24 +7002,24 @@ Soient $(a_n)$ une suite a termes réels positifs et $(b_n)$ une suite a termes #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1248] - Rappeler la regle de d'Alembert pour une série numerique a termes positifs. - On considère une suite croissante $(q_n)_{n\geq 1}$ d'entiers $\geq 2$. - - Quel est le rayon de convergence de la série entiere $\sum\frac{z^n}{q_1...q_n}$? + - Quel est le rayon de convergence de la série entière $\sum\frac{z^n}{q_1...q_n}$? - Montrer que si la suite $(q_n)$ est stationnaire alors le réel $ x=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{q_1...q_n}$ appartient a $\Q\cap]0,1]$. - - On admet reciproquement que si $(q_n)$ tend vers $+\i$ alors $x\notin\Q$. Montrer que les réels $e$, $\mathrm{ch}(\sqrt{2})$ et $e^{\sqrt{2}}$ sont irrationnels. - - Montrer la reciproque admise ci-dessus. + - On admet réciproquement que si $(q_n)$ tend vers $+\i$ alors $x\notin\Q$. Montrer que les réels $e$, $\mathrm{ch}(\sqrt{2})$ et $e^{\sqrt{2}}$ sont irrationnels. + - Montrer la réciproque admise ci-dessus. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1249] -Soit $I=]-1,+\i[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ verifie $(*)$ si et seulement si : +Soit $I=]-1,+\i[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ vérifie $(*)$ si et seulement si : $\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$. On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit $f\in\mc C^0(I,\R)$. - Simplifier $x_n+y_n+x_ny_n$. Montrer que la série de terme général $ f(x_n)$ converge et exprimer $\sum_{n=0}^{+\i}f(x_n)$ en fonction de $f(1)$. - - Montrer que $f$ est derivable. - Trouver toutes les fonctions continues verifiant $(*)$. + - Montrer que $f$ est dérivable. - Trouver toutes les fonctions continues vérifiant $(*)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1250] -Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois derivable telle que $ff^{(3)}=0$. +Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois dérivable telle que $ff^{(3)}=0$. - Montrer que, si $f'$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ prend une meme valeur au plus deux fois sur $I$. - On pose $\Gamma=\{x\in I,{f'}'(x)=0\}$. Montrer que, si $\Gamma$ est non vide, alors $\Gamma$ n'est ni majore, ni minore. - Montrer que $\Gamma$ est un intervalle et en déduire $f$. @@ -6937,33 +7037,33 @@ On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, - Rappeler la définition d'une fonction lipschitzienne. Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue. Soient $\alpha\in]0,1]$ et $H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha}\big{\}}$. - - Montrer $H_{\alpha}$ est un $\R$-espace vectoriel, que si $0\lt \alpha\leq\beta\leq 1$, alors $H_{\beta}\subset H_{\alpha}$. Verifier que $x\mapsto x^{\alpha}\in H_{\alpha}$. + - Montrer $H_{\alpha}$ est un $\R$-espace vectoriel, que si $0\lt \alpha\leq\beta\leq 1$, alors $H_{\beta}\subset H_{\alpha}$. Vérifier que $x\mapsto x^{\alpha}\in H_{\alpha}$. - Montrer que, pour $0\lt \alpha\lt \beta\leq 1$, $H_{\beta}$ est strictement inclus dans $H_{\alpha}$. - Montrer que $\mc C^1([0,1],\R)\subset H_{\alpha}\subset\mc C^0([0,1 ],\R)$ et que ces inclusions sont strictes. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1253] -- Soient $a,b$ dans $\R$ avec $a\lt b$ et $f:]a,b[\to\R$ derivable. On suppose que $f$ admet la meme limite finie $\ell$ en $a$ et en $b$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$. - - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto e^{\frac{1}{x^2-1}}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $]-1,1[$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynome $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(x^2-1)^{2n}}f(x)$. Quel est le degre de $P_n$? +- Soient $a,b$ dans $\R$ avec $a\lt b$ et $f:]a,b[\to\R$ dérivable. On suppose que $f$ admet la meme limite finie $\ell$ en $a$ et en $b$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$. + - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto e^{\frac{1}{x^2-1}}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $]-1,1[$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynôme $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(x^2-1)^{2n}}f(x)$. Quel est le degré de $P_n$? - Combien $f^{(n)}$ a-t-elle de zeros? #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1254] -- Donner la définition de la multiplicite d'une racine d'un polynome puis sa caracterisation a l'aide des derivees successives du polynome. +- Donner la définition de la multiplicité d'une racine d'un polynôme puis sa caractérisation a l'aide des derivées successives du polynôme. - Soit $P\in\C[X]$ non nul. Exprimer $P'/P$ a l'aide des racines de $P$. - - Soit $r\gt 0$. On suppose que $P$ ne s'annule pas sur le cercle $C(0,r)$ du plan complexe. On pose $N_r(P)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{P'(re^{it})}{P(re^{it})}re ^{it}\,dt$. Montrer que $N_r(P)$ est egal au nombre de racines de $P$ (comptees avec multiplicite) dans le disque $D(0,r)$. + - Soit $r\gt 0$. On suppose que $P$ ne s'annule pas sur le cercle $C(0,r)$ du plan complexe. On pose $N_r(P)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{P'(re^{it})}{P(re^{it})}re ^{it}\,dt$. Montrer que $N_r(P)$ est égal au nombre de racines de $P$ (comptées avec multiplicité) dans le disque $D(0,r)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1255] Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0(\R^+,\R)$ telles que $\int_0^{+\i}f^2\lt \i$. Soit $f\in E$. -On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on définit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$._a) i)_: Rappeler le theoreme concernant la derivabilite des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrer que $Tf$ est continue. - Montrer que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$. +On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on définit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$._a) i)_: Rappeler le théorème concernant la dérivabilité des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrer que $Tf$ est continue. - Montrer que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$. - Soit $A\gt 0$. Montrer que $\int_0^ATf(x)^2\,dx\leq 2\int_0^A\frac{f(x)}{x} \left(\int_0^xf\right)dx$. En déduire que $Tf\in E$ et que $\|Tf\|\leq 2\|f\|$ - - Montrer que la constante 2 est optimale dans l'inegalite $(*)$. On pourra considèrer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$. + - Montrer que la constante 2 est optimale dans l'inégalité $(*)$. On pourra considérer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1256] -Soient $(a_n)$ une suite réelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornee, $(b_n)$ une suite réelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$. +Soient $(a_n)$ une suite réelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornée, $(b_n)$ une suite réelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$. - Montrer qu'une série absolument convergente est convergente. - Montrer que la série de terme général $a_nb_n$ converge. - Montrer que la série de fonctions de terme général $b_nf_n$ converge. @@ -6971,24 +7071,24 @@ Soient $(a_n)$ une suite réelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bo #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1257] Soit $f\in C^1(\R^+,\R^{+*})$ croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\sim}\frac{a}{x}$ ou $a\gt 0$. - - Citer le theoreme d'integration des relations de comparaison, puis trouver un équivalent de $\ln(f(x))$ quand $x\to+\i$. + - Citer le théorème d'intégration des relations de comparaison, puis trouver un équivalent de $\ln(f(x))$ quand $x\to+\i$. - Donner le domaine de définition de $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)\,e^{-nx}$. Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son domaine de définition. - Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que $u(x)\sim\frac{C}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)$ lorsque $x\to 0^+$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1258] Soient $\alpha\in\N$ avec $\alpha\geq 2$ et $\beta\in]1,+\i[$. Soit $f:t\mapsto\sum_{n\geq 0}\frac{\cos(2\pi\alpha^nt)}{\beta^n}$. - - Montrer que $f$ est définie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est derivable sur $\R$. - - On suppose $\alpha\geq\beta$. Montrer que $f$ n'est pas derivable en $0$. + - Montrer que $f$ est définie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est dérivable sur $\R$. + - On suppose $\alpha\geq\beta$. Montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$. #+end_exercice # ID:6921 #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1259] -Soit $f\colon x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0$. Montrer que $f$ est $\mc C^{\i}$ puis développable en série entiere au voisinage de l'origine. +Soit $f\colon x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0$. Montrer que $f$ est $\mc C^{\i}$ puis développable en série entière au voisinage de l'origine. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1260] -On considère la série entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$. +On considère la série entière $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$. - Montrer que le rayon de convergence $R$ est $\geq 1$. - Calculer $S(x)$ pour $|x|\lt 1$ puis montrer que $R=1$. - Déterminer un équivalent de $a_n$. @@ -6996,74 +7096,74 @@ On considère la série entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1261] On pose, pour $n\in\N$, $c_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. - - Donner le développement en série entiere de $x\mapsto(1+x)^{\alpha}$. Exprimer le développement en série entiere de $f:x\mapsto\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (avec $f(0)=1$) a l'aide des $c_n$. - - Soit $r$ un rationnel que l'on peut ecrire $r=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ avec $b\wedge d=1$. Montrer que $r$ est entier. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $c_n\in\N$. + - Donner le développement en série entière de $x\mapsto(1+x)^{\alpha}$. Exprimer le développement en série entière de $f:x\mapsto\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (avec $f(0)=1$) a l'aide des $c_n$. + - Soit $r$ un rationnel que l'on peut écrire $r=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ avec $b\wedge d=1$. Montrer que $r$ est entier. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $c_n\in\N$. - Donner la valeur de $\sum_{k=0}^nc_kc_{n-k}$ en fonction de $c_{n+1}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1262] Pour $n\geq 1$, on note $t_n$ le nombre de $\sigma\in\mc{S}_n$ telles que $\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}$. On convient que $t_0=1$, - - Montrer que la série entiere $\sum\frac{t_n}{n!}\,x^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$. + - Montrer que la série entière $\sum\frac{t_n}{n!}\,x^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$. - Calculer $t_1,t_2,t_3$. Montrer que, si $n\geq 2$, $t_n=t_{n-1}+(n-1)t_{n-2}$. - Déterminer $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{t_n}{n!}x^n$ pour $x\in]-1,1[$. En déduire une expression de $t_n$ sous forme de somme. Calculer $\lim_{n\to+\i}\frac{t_n}{n!}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1263] -Pour $n\in\N$, on note $\mc{P}_n$ l'ensemble des polynomes $P$ a coefficients dans $\{0,1,2\}$ tels que $P(2)=n$, et $a_n=|\mc{P}_n|$. On note $s_n$ la somme des chiffres de l'ecriture binaire de l'entier $n$, et pour $k\in\db{0,7]\!]$, on pose $b_{n,k}=|\{i\in[\![0,n},\ s_i-s_{n-i}\equiv k\ [8]\}|$. +Pour $n\in\N$, on note $\mc{P}_n$ l'ensemble des polynômes $P$ a coefficients dans $\{0,1,2\}$ tels que $P(2)=n$, et $a_n=|\mc{P}_n|$. On note $s_n$ la somme des chiffres de l'écriture binaire de l'entier $n$, et pour $k\in\db{0,7]\!]$, on pose $b_{n,k}=|\{i\in[\![0,n},\ s_i-s_{n-i}\equiv k\ [8]\}|$. - Calculer $a_0$, $a_1$, $a_2$ et $a_3$. - Montrer que $\mc{P}_n$ est fini. - Montrer que, pour $n\in\N$, $a_{2n+1}=a_n$ et que, pour $n\in\N^*$, $a_{2n}=a_n+a_{n-1}$. -Ind. Pour la premiere egalite, on pourra exhiber une bijection entre $\mc{P}_n$ et $\mc{P}_{2n+1}$. - - Montrer que la série entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence egal a $1$. +Ind. Pour la premiere égalité, on pourra exhiber une bijection entre $\mc{P}_n$ et $\mc{P}_{2n+1}$. + - Montrer que la série entière $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence égal a $1$. On note $A(x)$ la somme de cette série. - Montrer que, pour $x\in]-1,1[$, $A(x)=(1+x+x^2)A(x^2)$. En déduire que $\forall x\in]-1,1[$, $A(x)=\lim_{n\to+\i}\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})$. - - On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$. Etablir que, pour $n\in\N$ et $x\in]-1,1[$, + - On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$. Établir que, pour $n\in\N$ et $x\in]-1,1[$, $$\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})=\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-j)^{n-s_k}x^k\right)\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-\overline{j})^{n-s_k}x^k \right).$$ - Que peut-on en déduire sur $(a_n)$? #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1264] - - Rappeler la définition de partie dense dans $\R$ et en donner une caracterisation sequentielle. + - Rappeler la définition de partie dense dans $\R$ et en donner une caractérisation sequentielle. - Trouver toutes les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que $\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y)$. -On dit qu'une suite réelle $(a - {n\in\N}$ verifie la propriete $(P)$ si :1. La série entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$, - 2. La somme $S_a$ de cette série entiere admet une limite réelle en $1^-$. - 3. - Montrer que, si la série $\sum a_n$ converge absolument, alors la suite $(a - {n\in\N}$ verifie $(P)$, - 4. Étudier la reciproque. - 5. Trouver toutes les suites $(a - {n\in\N}$ periodiques qui verifient $(P)$. +On dit qu'une suite réelle $(a - {n\in\N}$ vérifie la propriété $(P)$ si :1. La série entière $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence supérieur ou égal a $1$, + 2. La somme $S_a$ de cette série entière admet une limite réelle en $1^-$. + 3. - Montrer que, si la série $\sum a_n$ converge absolument, alors la suite $(a - {n\in\N}$ vérifie $(P)$, + 4. Étudier la réciproque. + 5. Trouver toutes les suites $(a - {n\in\N}$ périodiques qui vérifient $(P)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1265] -Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite de carre sommable et $f:t\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{a_n}{n-t}$. +Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite de carré sommable et $f:t\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{a_n}{n-t}$. - Preciser le domaine de définition de $f$. - - Montrer que $f$ est développable en série entiere autour de $0$. + - Montrer que $f$ est développable en série entière autour de $0$. - Montrer que si $f$ est identiquement nulle sur $[-1/2,1/2]$ alors la suite $(a_n)$ est nulle. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1266] -- Rappeler la définition d'une fonction $f$ développable en série entiere en $0$ et preciser une expression de $f^{(k)}(0)$ en fonction des coefficients pour $k\in\N$. +- Rappeler la définition d'une fonction $f$ développable en série entière en $0$ et preciser une expression de $f^{(k)}(0)$ en fonction des coefficients pour $k\in\N$. - Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ au voisinage de $0$ pour laquelle il existe $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$. -Montrer que $f$ est développable en série entiere en $0$. - - Soit $f$ une fonction développable en série entiere en $0$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$. +Montrer que $f$ est développable en série entière en $0$. + - Soit $f$ une fonction développable en série entière en $0$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1267] -On admet le theoreme suivant :_Pour $S$ une série entiere de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une série entiere $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z\in\C,\exp(L(z))=\ S(z)$. - - - Rappeler tous les modes de convergence d'une série entiere sur son disque ouvert de convergence. +On admet le théorème suivant :_Pour $S$ une série entière de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une série entière $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z\in\C,\exp(L(z))=\ S(z)$. + - - Rappeler tous les modes de convergence d'une série entière sur son disque ouvert de convergence. - Soient $F(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ de rayon de convergence infini et $ G(z)=\text{Re}(F(z))$. Pour $n\in\N^*$, montrer que $\int_0^{2\pi}F(re^{it})dt=2\pi a_nR^n$, puis que $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})e^{-int}dt=\pi a_nR^n$ et $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})dt=2\pi\text{Re}(a_0)$. - - Montrer que, s'il existe $p$ et $q$ réels strictement positifs tels que $\forall z\in\C,\ |G(z)|\leq p|z|+q$, alors $F$ est un polynome de degre au plus $1$. + - Montrer que, s'il existe $p$ et $q$ réels strictement positifs tels que $\forall z\in\C,\ |G(z)|\leq p|z|+q$, alors $F$ est un polynôme de degré au plus $1$. - Montrer que l'application $z\mapsto z\exp(z)$ est une surjection de $\C$ sur lui-meme. #+end_exercice @@ -7075,9 +7175,9 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montr - - Rappeler la définition de fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\R$. - _Pour $n\in\N^*$, on définit une fonction $f_n$ sur $\R^+$ par $f_n(x)=\frac{1}{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)$ si $x\in[0,n]$ et $f_n(x)=0$ sinon. Montrer que la suite $(f - {n\in\N^*}$ converge simplement sur $\R^+$ vers une fonction $f$ a preciser et que $\int_{\R^+}f_n\not\longrightarrow\int_{\R_+}f$ quand $n\ra+\i$. - - Rappeler le theoreme de convergence dominee. + - Rappeler le théorème de convergence dominée. -Le demontrer sous l'hypothese supplementaire d'une convergence uniforme sur tout segment. +Le démontrer sous l'hypothèse supplémentaire d'une convergence uniforme sur tout segment. - Soit $(f - {n\in\N}\in\left(\R^{\N}\right)^{\N}$ une suite de fonctions qui converge simplement sur $\N$ vers une suite $f\in\R^{\N}$. On suppose l'existence d'une suite sommable positive $\phi\in\R^{\N}$ telle que $\forall n\in\N,\;\forall t\in\N,\;|f_n(t)|\leq\phi(t)$. Montrer que les suites $f_n$ et $f$ sont sommables et que $\lim_{n\ra+\i}\sum_{k=0}^{+\i}f_n(k)=\sum_{k=0}^{+\i}f (k)$. @@ -7091,18 +7191,18 @@ Pour tout réel $a$, on pose $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1271] -- Montrer le theoreme d'integration des séries uniformement convergentes sur un segment. +- Montrer le théorème d'intégration des séries uniformément convergentes sur un segment. - Pour $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $\gamma:[a,b]\ra\C$ de classe $C^1$ et $f\colon\C\ra\C$ continue, on pose $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$. Meme définition lorsque $f$ est a valeurs dans $\M_n(\C)$. On note, pour $r\gt 0$, $\gamma_r:t\in[0,2\pi]\mapsto re^{it}$. -Soit $F:\C\ra\C$ la somme d'une série entiere de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$. +Soit $F:\C\ra\C$ la somme d'une série entière de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$. - En déduire, pour toute matrice $M\in\M_n(\C)$ et pour $r$ assez grand (à preciser), l'égalité $\exp(M)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\, dz$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1272] -Soient $E=\mc C^{\i}([0,\pi],\R)$ et $F=\{f\in E,\;f(0)=f(\pi)=0\}$. Soient $\phi,q\in E$, la fonction $q$ etant positive. On note $\alpha$ une primitive de $\phi$. On pose $D(y)=y^{''}+\phi y'-qy$ et $L(y)=-e^{\alpha}D(y)$ pour tout $y\in E$, et $\langle y,z\rangle=\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,dx$ pour tous $y,z\in F$. - - Rappeler le theoreme de Cauchy-Lipschitz. +Soient $E=\mc C^{\i}([0,\pi],\R)$ et $F=\{f\in E,\;f(0)=f(\pi)=0\}$. Soient $\phi,q\in E$, la fonction $q$ étant positive. On note $\alpha$ une primitive de $\phi$. On pose $D(y)=y^{''}+\phi y'-qy$ et $L(y)=-e^{\alpha}D(y)$ pour tout $y\in E$, et $\langle y,z\rangle=\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,dx$ pour tous $y,z\in F$. + - Rappeler le théorème de Cauchy-Lipschitz. - Montrer que $\langle\;,\;\rangle$ est un produit scalaire sur $F$. - Soit $h\in E$. Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\in F$ telle que $D(f_0)=h$. #+end_exercice @@ -7126,7 +7226,7 @@ Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $b\in\R^n$ et $J:x\mapsto\frac{1}{2}\langle Ax,x #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1275] -Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace prehilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$. +Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace préhilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$. - Pour tout $x\in E$, exprimer la projection orthogonale de $x$ sur $F$ a l'aide d'une base orthonormale de $F$. Justifier la formule. - On définit la fonction $d_F:E\setminus F\to\R,x\mapsto d(x,F)$. Montrer que $d_F$ est differentiable, et calculer sa différentielle. #+end_exercice @@ -7134,10 +7234,10 @@ Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace prehilbertien réel et $F$ un sous-esp ** Probabilités #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1276] -On note $d_n$ le nombre de derangements de $n$ objets, c'est-a-dire le nombre de permutations $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. +On note $d_n$ le nombre de dérangements de $n$ objets, c'est-a-dire le nombre de permutations $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. _a) i)_Soit $n\in\N$. Montrer $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}d_{n-k}=n!$. - - Montrer que la série entiere $\sum\frac{d_n}{n!}\,t^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$. + - Montrer que la série entière $\sum\frac{d_n}{n!}\,t^n$ a un rayon de convergence supérieur ou égal a $1$. On note $D(t)$ la somme de cette série. - Calculer $e^tD(t)$. @@ -7149,14 +7249,14 @@ _c) i)_Pour $n$ et $p$ entiers naturels, on note $s_n(p)$ le nombre de surjectio Montrer que $p^n=\sum_{k=0}^n\binom{p}{k}s_n(k)$. - Soit $(x,y)\in\R^2$. Montrer que la famille $\left(s_n(p)\frac{x^p}{p!}\,\frac{y^n}{n!}\right)_{(n,p)\in \N^2}$ est sommable. -Sa somme est notee $S(x,y)$. +Sa somme est notée $S(x,y)$. - Calculer $e^xS(x,y)$. - En déduire la valeur de $s_n(p)$ dans le cas $n=p$, puis dans le cas général $(n,p)\in\N^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1277] On melange les cartes d'un jeu de $2n$ cartes. -Avec quelle probabilité les cartes de numero impair sont-elles correctement ordonnees? +Avec quelle probabilité les cartes de numero impair sont-elles correctement ordonnées? #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1278] @@ -7165,8 +7265,8 @@ Pour $A_1,...,A_n$ parties finies d'un ensemble $E$, on admet que $\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1\lt i_2\lt ...\lt i_k\leq n}|A_{i_1}\cap...\cap A_{i_k}|$. - Expliciter la formule précédente pour $n=2$ et $n=3$. -La demontrer pour $n=2$. - - On définit une fonction $\mu$ sur $\N^*$ par $\mu(1)=1$, $\mu(n)=(-1)^k$ si l'entier $n\geq 2$ s'ecrit $n=p_1...p_k$ ou $p_1$,..., $p_k$ sont $k$ nombres premiers distincts et $\mu(n)=0$ sinon. +La démontrer pour $n=2$. + - On définit une fonction $\mu$ sur $\N^*$ par $\mu(1)=1$, $\mu(n)=(-1)^k$ si l'entier $n\geq 2$ s'écrit $n=p_1...p_k$ ou $p_1$,..., $p_k$ sont $k$ nombres premiers distincts et $\mu(n)=0$ sinon. Calculer la probabilité que deux entiers choisis aléatoirement dans l'ensemble $\{1,2,...,n\}$ soient premiers entre eux a l'aide de la fonction $\mu$. #+end_exercice @@ -7179,9 +7279,9 @@ Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Poiss #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1280.] -- Rappeler les formules des probabilités totales et composees. +- Rappeler les formules des probabilités totales et composées. -On fixe $d\in\N^*$ et $(U_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires independantes uniformement distribuees sur $\db{1,d}$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$. +On fixe $d\in\N^*$ et $(U_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\db{1,d}$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$. - Quelles sont les valeurs prises par $N_d$? - Montrer que $\mathbf{P}(N_d\gt k)=\dfrac{d!}{d^k(d-k)!}$ pour tout $k\in\db{0,d}$. - Pour tout réel $x\gt 0$, calculer $\lim_{d\to+\i}\mathbf{P}\left(\dfrac{N_d}{\sqrt{d}}\gt x\right)$. @@ -7214,13 +7314,13 @@ Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe #+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1284] Soit $A\in\M_2(\Z)$. - On suppose $A$ inversible. Montrer que $A^{-1}\in\M_2(\Z)$ si et seulement si $\text{det}(A)\in\{-1,1\}$. - - On suppose qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $A^p=I_2$. Montrer que $A$ est inversible, et que $A^{-1}$ est a coefficients entiers. Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de polynomes caracteristiques possibles pour $A$. + - On suppose qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $A^p=I_2$. Montrer que $A$ est inversible, et que $A^{-1}$ est a coefficients entiers. Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de polynômes caractéristiques possibles pour $A$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1285] Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&2\\ 2&0&1\\ 1&-1&2\end{array}\right)$. - Montrer que $A$ a une valeur propre double $a\gt 0$ et une simple $b\gt 0$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable? - - Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$ de classe $\mc C^2$. Montrer qu'il existe un unique polynome $P_f\in\R_2[X]$ tel que $:P_f(a)=f(a),P_f(b)=f(b),P'_f(a)=f'(a)$. + - Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$ de classe $\mc C^2$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_f\in\R_2[X]$ tel que $:P_f(a)=f(a),P_f(b)=f(b),P'_f(a)=f'(a)$. - Pour toute fonction $f\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$, on pose $f(A)=P_f(A)$. Calculer $f(A)$ dans les cas ou $f:x\mapsto x^2$, puis $f:x\mapsto x^3$. - Desormais on prend $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$. Conjecturer la valeur de $Af(A)$ et prouver cette conjecture. #+end_exercice