Quelques exercices.

Exercices 2023.org

@@ -1,7 +1,7 @@
 #+title:  Exercices 2023
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   02-12-2023
-# Time-stamp: <27-12-23 14:18>
+# Time-stamp: <30-12-23 18:30>
 #+OPTIONS:
 
 [[file:Étoilés 2023.pdf]]
@@ -91,20 +91,18 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name(
 Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f$ une application de $S$ dans $T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. Montrer que $|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left(\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
+Pour le terme de gauche, il s'agit de montrer que $\sum_{y} n_y^2 \geq \frac{\big(\sum_{y} n_y\big)^2}{\sum_y 1}$, c'est Cauchy-Schwarz.
 
+Pour le terme de droite, c'est un principe des tiroirs, puis compter pour $1$ les éléments qui ne sont pas dans le tiroir.
 #+END_proof
 
 
 # 2
 #+BEGIN_exercice
 Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$.
- 1. Calculer $\sum_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.
- 2. Calculer $\sum_{\left.d\right|_n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F: x \in \R^+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$.
- 3. Montrer que $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$.
-$10 \star[\mathrm{P}]$ Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la valuation $p$-adique d'un entier $n$. On pose, pour $m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout $m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+$S$ sera un sous-ensemble d'entiers consécutifs : considérer les sommes partielles $S_0,\dots, S_n$.
 #+END_proof
 
 # 5
@@ -112,30 +110,69 @@ $10 \star[\mathrm{P}]$ Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v
 Soit $n$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo $n$ si et seulement si $n$ est somme de deux carrés d'entiers.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
+Si $p$ est somme de deux carrés d'entiers, $p\equiv 1[4]$, et $a$ est un carré si et seulement si $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$.
 
+Réciproquement, si $n\mid m^2 + 1$, dur, dur.  !!
+#+END_proof
+
+# Relier à l'inversion de Mobius.
+# See 2795
+# 9
+#+BEGIN_exercice
+ 1. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.
+ 2. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$.
+ 3. Montrer que $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$.
+#+END_exercice
+#+BEGIN_proof
+ 1. $\sum_{d \mid n} \phi(d) = n$
+ 2. $\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0$, ou $1$ pour $n = 1$.
+ 3. Par inversion de Möbius, on a $\phi(d) = \sum\limits_{d'\mid d} \mu\big(\frac{d}{d'}\big) d'$.
+#+END_proof
+
+# 10
+#+BEGIN_exercice
+Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la valuation $p$-adique d'un entier $n$. On pose, pour $m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout $m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$.
+#+END_exercice
+#+BEGIN_proof
+Relier à 423 (LTE).
+
+On a $v_p(a^n - b^n) = v_p(a-b) + v_p(n)$ (pour $p\neq 2$).
+
+Donc $v_p(N(m)) = \sum_{k=1}^m v_p(1 - q)  + v_p(m!)$, plus formule de Legendre.
 #+END_proof
 
 
 # 11
 #+BEGIN_exercice
-Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c:\left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la concaténation et $\ell: X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis et $\phi: A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous $a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$.
+Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la concaténation et $\l\colon X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis et $\phi\colon A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous $a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$.
- 1. On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l'injectivité des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur $A^*$ par $\phi: A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi: A \ra B^*$ telle que $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$.
+ 1. On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l'injectivité des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur $A^*$ par $\phi\colon A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi\colon A \ra B^*$ telle que $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$.
- 2. Montrer que, si $\phi$ est injective, alors $\sum_{a \in A}|B|^{-\ell(\phi(a))} \leq 1$.
+ 2. Montrer que, si $\phi$ est injective, alors $\sum_{a \in A}|B|^{-\l(\phi(a))} \leq 1$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
+ 1. La première est non injective : $0100110$ peut être lu de deux façons.
 
+    La seconde l'est.
+ 2. On note $C_N$ le nombre de choix possibles, de mots, dont la longueur totale $N$.
+
+    On doit avoir $C_N\leq |B|^N$. Mais $C_N$ vérifie une relation de récurrence :
+    $C_N = \sum_{a\in A} C_{N-\l(a}$.
+
+    Donc les racines de cette récurrence doivent être $\leq |B|$, ce qui implique qu'en $|B|$ la valeur est négative, d'où le résultat.
 #+END_proof
 
 
 # 12
 #+BEGIN_exercice
- 1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition (1 12$)$ et le cycle $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$.
+ 1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition $(1\, 2)$ et le cycle $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$.
- 2. La transposition (1 3) et le cycle ( 1234) engendrent-ils $\mc{S}_4$ ?
+ 2. La transposition $(1\, 3)$ et le cycle $(1\, 2\, 3\, 4)$ engendrent-ils $\mc{S}_4$ ?
  3. Soient $n \in \N^*$ et $1 \leq a\lt b \leq n$ tels que $\tau=(a b)$ et $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent $\mc{S}_n$. Montrer que $b-a$ et $n$ sont premiers entre eux.
  4. Montrer la réciproque de la propriété précédente.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+ 1.
+ 2. Non.
+ 3. Si $p\mid b-a \wedge n$, alors $\sigma(a) - \sigma(b)\equiv a-b[p]$.
+ 4. Facile de se ramener à un cycle $(u\, u+1)$
 #+END_proof
 
 
@@ -232,7 +269,9 @@ Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout $\lambda, \mu \in \R^*, \lamb
 Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
+ $X + X^2Q(X) - z_i = 0$ avec $|z_i|\lt \frac{1}{n}$ admet toujours une racine, $\lt 1$.
 
+ Vient des relations coefficients-racines.
 #+END_proof
 
 
@@ -410,10 +449,10 @@ On note $\lN \cdot\rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à la norm
 
 # 82
 #+BEGIN_exercice
-Peut-on écrire $] 0,1[$ comme réunion dénombrable disjointe de segments d'intérieurs non vides?
+Peut-on écrire $\interval]{0, 1}[$ comme réunion dénombrable disjointe de segments d'intérieurs non vides?
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+Non. Par l'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont la distance tend vers $0$, alors la limite n'appartient à aucun segment.
 #+END_proof
 
 
@@ -802,7 +841,9 @@ Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans po
  3. Si $n=3$, montrer que, pour tout $x \in G, x$ et $\phi(x)$ commutent.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+ 1. Cet élément est fixé par $\phi$.
+ 2. On a $x\phi(x) = 1$, donc $\phi(x) =x^{-1}$. Cela implique que $G$ est commutatif, et qu'aucun élément n'est inverse de lui-même, donc $G$ commutatif, de cardinal impair.
+ 3. Écrire $x\phi(x) \phi^2(x) = 1$, $\phi(x) \phi^2(x) x = 1$ et $\phi^2(x) \phi(x) x = 1$.
 #+END_proof
 
 
@@ -811,7 +852,7 @@ Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans po
 Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait $\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ?
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+Pour tout isomorphisme $\tau\colon A\ra \A$, $u_A$ commute avec $\tau$.
 #+END_proof
 
 
@@ -820,7 +861,7 @@ Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $
 Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que $p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+On a $u(\Ker p)\subset \Im p$ et $u(\Im p) \subset \Ker p$.
 #+END_proof
 
 
@@ -857,7 +898,9 @@ Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels.
  3. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq 1$. Montrer que $M=B-A \in \mc{S}_n^+(\R)$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+ 1. $X^T AX = ()\sum t_i x_i)^2$
+ 2. $\int \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2$
+ 3. Il s'agit de montrer que $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$, c'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l'intégrale est sur $[0,1]$.
 #+END_proof
 
 
@@ -869,7 +912,9 @@ Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.
  3. On suppose toujours $K$ non borné. Montrer que $K$ contient une demi-droite.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+ 1. Si $x\not\in K$, on peut trouver une droite séparant $x$ de $K$, donc un carré contenant $K$ et non $x$.
+ 2. Si $K$ contient deux droites non parallèles, $K = \R^2$. La partie au dessus du graphe de $x\mapsto e^x$.
+ 3. Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et prendre une valeur d'adhérence des segments $[y, x_n]$.
 #+END_proof
 
 
@@ -880,11 +925,13 @@ On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$de disques fermés de $\R^2
  + pour tous $s, t \in \R^+$ tels que $s\lt t, D_s \subset D_t$.
 # Sep
  1. Existe-t-il une telle famille?
- 2. Soit $A: \R^+ \ra \R^2$ une fonction $C^1$ et injective. Existe-t-il une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$vérifiant $(\mc{P})$ telle que, pour tout $t \in \R^+, A(t)$ soit le centre de $D_t$ ?
+ 2. Soit $A\colon \R^+ \ra \R^2$ une fonction $C^1$ et injective. Existe-t-il une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ vérifiant $(\mc{P})$ telle que, pour tout $t \in \R^+, A(t)$ soit le centre de $D_t$ ?
  3. Le résultat subsiste-t-il si $A$ est seulement supposée continue?
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+ 1. Cercles de centre $(x,0)$, de rayon $x$.
+ 2. Prendre $D_t$ de rayon la longueur de la courbe de $A(0)$ à $A(t)$.
+ 3. Prendre une fonction non réglée.
 #+END_proof
 
 # 332
@@ -892,7 +939,7 @@ On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$de disques fermés de $\R^2
 Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu'il existe un $n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+Dérivée discrète.
 #+END_proof
 
 
@@ -904,7 +951,7 @@ Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives
  3. Montrer que, $\mathrm{si}\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite est 0.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+Cf une année précédente.
 #+END_proof
 
 
@@ -913,7 +960,9 @@ Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives
 Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et $\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-
+La série $\sum \frac{1}{f(n)}$ a la même nature que $\int \frac{1}{f}$. On peut raccorder $f$ de manière $\mc C^1$, puis on pose $u = f(t)$ :
+$$\int_0^{+\i} \frac{1}{f(t)}\dt = \int_0^{+\i} \frac{1}{u f'(f^{-1}(u))} \du,$$
+puis IPP. 
 #+END_proof