From 76b11a926ee0a094173e1a0d674445d1440cd41a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?S=C3=A9bastien=20Miquel?= Date: Mon, 12 Feb 2024 17:04:07 +0100 Subject: [PATCH] Try pandoc --- Exercices 2023.md | 14563 ++++++++++---------------------------------- 1 file changed, 3212 insertions(+), 11351 deletions(-) diff --git a/Exercices 2023.md b/Exercices 2023.md index f9250be..350c9d7 100644 --- a/Exercices 2023.md +++ b/Exercices 2023.md @@ -1,12044 +1,3905 @@ +--- +author: Sébastien Miquel +date: 02-12-2023 +title: Exercices 2023 +--- +# ENS MP-MPI [[xens]{.smallcaps}]{.tag tag-name="xens"} {#ens-mp-mpi} -# ENS MP-MPI :xens: +::: exercice +Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f$ une application +de $S$ dans $T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. +Montrer que +$|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left(\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)$. +::: -
-

-Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f$ une application de $S$ dans $T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. Montrer que $|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left(\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)$. -

+::: proof +Pour le terme de gauche, il s\'agit de montrer que +$\sum_{y} n_y^2 \geq \frac{\big(\sum_{y} n_y\big)^2}{\sum_y 1}$, c\'est +Cauchy-Schwarz. -
+Pour le terme de droite, c\'est un principe des tiroirs, puis compter +pour $1$ les éléments qui ne sont pas dans le tiroir. +::: -
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-Pour le terme de gauche, il s'agit de montrer que $\sum_{y} n_y^2 \geq \frac{\big(\sum_{y} n_y\big)^2}{\sum_y 1}$, c'est Cauchy-Schwarz. -

+::: exercice +Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer +qu\'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de +$\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que +$\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$. +::: -

-Pour le terme de droite, c'est un principe des tiroirs, puis compter pour $1$ les éléments qui ne sont pas dans le tiroir. -

+::: proof +$S$ sera un sous-ensemble d\'entiers consécutifs : considérer les sommes +partielles $S_0,\dots, S_n$. +::: -
+::: exercice +Pour tout $n\in\N^*$, on note $E(n)$ la valuation $5$-adique de +$\prod_{k=1}^n k^k$. Donner un équivalent de $E(n)$, quand $n\ra +\i$. +::: -
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-Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$. -

+::: exercice +Soit $n$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo +$n$ si et seulement si $n$ est somme de deux carrés d\'entiers. +::: -
+::: proof +Si $p$ est somme de deux carrés d\'entiers, $p\equiv 1[4]$, et $a$ est +un carré si et seulement si $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$. -
-

-$S$ sera un sous-ensemble d'entiers consécutifs : considérer les sommes partielles $S_0,\dots, S_n$. -

+Réciproquement, si $n\mid m^2 + 1$, dur, dur. !! +::: -
+::: exercice +1. Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que + $\big(\Z/p\Z\big)^\times$ contient $(p-1)/2$ carrés. -
-

-Pour tout $n\in\N^*$, on note $E(n)$ la valuation $5$-adique de $\prod_{k=1}^n k^k$. Donner un équivalent de $E(n)$, quand $n\ra +\i$. -

+2. Montrer que tout élément de $\Z/p\Z$ s\'écrit comme la somme de deux + carrés de $\Z/p\Z$. -
+3. Soit $n$ un entier impair. Montrer que tout élément de + $\big(\Z/n\Z\big)^{\times}$ s\'écrit comme somme de deux carrés. -
-

-Soit $n$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo $n$ si et seulement si $n$ est somme de deux carrés d'entiers. -

+ **Indication** : Commencer par le cas où $n$ est sans facteur carré. +::: -
+::: exercice +Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un +nombre premier et si $r\in\Q^*$ s\'écrit $\frac{a}{b}$ de manière +irréductible, on définit la $p$-valuation $v_p(r)$ comme +$v_p(a) - v_p(b)$. -
-

-Si $p$ est somme de deux carrés d'entiers, $p\equiv 1[4]$, et $a$ est un carré si et seulement si $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$. -

+1. Montrer que si $p\geq 3$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 1$. +2. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 2$. +3. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{(p-1)}p)\geq 1$. +4. Pour $n\in\N^*$, calculer $v_2(~H_~)$. +::: -

-Réciproquement, si $n\mid m^2 + 1$, dur, dur. !! -

+::: exercice +1. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est + l\'indicatrice d\'Euler. +2. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de + Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ + pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et + $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose + $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$. +3. Montrer que + $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$. +::: -
+::: proof +1. $\sum_{d \mid n} \phi(d) = n$ +2. $\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0$, ou $1$ pour $n = 1$. +3. Par inversion de Möbius, on a + $\phi(d) = \sum\limits_{d'\mid d} \mu\big(\frac{d}{d'}\big) d'$. +::: -
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    -
  1. Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que $\big(\Z/p\Z\big)^\times$ contient $(p-1)/2$ carrés.
    2. -
  2. Montrer que tout élément de $\Z/p\Z$ s'écrit comme la somme de deux carrés de $\Z/p\Z$.
    3. -

  3. -Soit $n$ un entier impair. Montrer que tout élément de $\big(\Z/n\Z\big)^{\times}$ s'écrit comme somme de deux carrés. -

    +::: exercice +Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la +valuation $p$-adique d\'un entier $n$. On pose, pour +$m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. +Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout +$m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$. +::: -

    -Indication : Commencer par le cas où $n$ est sans facteur carré. -

    4. -
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-Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre premier et si $r\in\Q^*$ s'écrit $\frac{a}{b}$ de manière irréductible, on définit la $p$-valuation $v_p(r)$ comme $v_p(a) - v_p(b)$. -

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    -
  1. Montrer que si $p\geq 3$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 1$.
    2. -
  2. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 2$.
    3. -
  3. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{(p-1)}p)\geq 1$.
    4. -
  4. Pour $n\in\N^*$, calculer $v_2(~H_~)$.
    5. -
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    -
  1. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.
    2. -
  2. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$.
    3. -
  3. Montrer que $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$.
    4. -
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    -
  1. $\sum_{d \mid n} \phi(d) = n$
    2. -
  2. $\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0$, ou $1$ pour $n = 1$.
    3. -
  3. Par inversion de Möbius, on a $\phi(d) = \sum\limits_{d'\mid d} \mu\big(\frac{d}{d'}\big) d'$.
    4. -
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-Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la valuation $p$-adique d'un entier $n$. On pose, pour $m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout $m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$. -

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+::: proof Relier à 423 (LTE). -

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On a $v_p(a^n - b^n) = v_p(a-b) + v_p(n)$ (pour $p\neq 2$). -

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-Donc $v_p(N(m)) = \sum_{k=1}^m v_p(1 - q) + v_p(m!)$, plus formule de Legendre. -

+Donc $v_p(N(m)) = \sum_{k=1}^m v_p(1 - q) + v_p(m!)$, plus formule de +Legendre. +::: -
+::: exercice +Si $X$ est un ensemble fini, on note +$X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la +concaténation et $\l\colon X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ +deux ensembles finis et $\phi\colon A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous +$a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$. -
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-Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la concaténation et $\l\colon X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis et $\phi\colon A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous $a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$. -

+1. On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l\'injectivité + des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur + $A^*$ par $\phi\colon A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, + $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi\colon A \ra B^*$ telle que + $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$. +2. Montrer que, si $\phi$ est injective, alors + $\sum_{a \in A}|B|^{-\l(\phi(a))} \leq 1$. +::: -
    -
  1. On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l'injectivité des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur $A^*$ par $\phi\colon A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi\colon A \ra B^*$ telle que $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$.
    2. -
  2. Montrer que, si $\phi$ est injective, alors $\sum_{a \in A}|B|^{-\l(\phi(a))} \leq 1$.
    3. -
+::: proof +1. La première est non injective : $0100110$ peut être lu de deux + façons. -
+ La seconde l\'est. -
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    -

  1. -La première est non injective : $0100110$ peut être lu de deux façons. -

    +2. On note $C_N$ le nombre de choix possibles, de mots, dont la + longueur totale $N$. -

    -La seconde l'est. -

    2. -

  2. -On note $C_N$ le nombre de choix possibles, de mots, dont la longueur totale $N$. -

    + On doit avoir $C_N\leq |B|^N$. Mais $C_N$ vérifie une relation de + récurrence : $C_N = \sum_{a\in A} C_{N-\l(a}$. -

    -On doit avoir $C_N\leq |B|^N$. Mais $C_N$ vérifie une relation de récurrence : -$C_N = \sum_{a\in A} C_{N-\l(a}$. -

    + Donc les racines de cette récurrence doivent être $\leq |B|$, ce qui + implique qu\'en $|B|$ la valeur est négative, d\'où le résultat. +::: -

    -Donc les racines de cette récurrence doivent être $\leq |B|$, ce qui implique qu'en $|B|$ la valeur est négative, d'où le résultat. -

    3. -
+::: exercice +1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition $(1\, 2)$ et le + cycle + $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ + engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$. +2. La transposition $(1\, 3)$ et le cycle $(1\, 2\, 3\, 4)$ + engendrent-ils $\mc{S}_4$ ? +3. Soient $n \in \N^*$ et $1 \leq a\lt b \leq n$ tels que $\tau=(a b)$ + et + $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ + engendrent $\mc{S}_n$. Montrer que $b-a$ et $n$ sont premiers entre + eux. +4. Montrer la réciproque de la propriété précédente. +::: -
+::: proof +1. +2. Non. +3. Si $p\mid b-a \wedge n$, alors $\sigma(a) - \sigma(b)\equiv a-b[p]$. +4. Facile de se ramener à un cycle $(u\, u+1)$ +::: -
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    -
  1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition $(1\, 2)$ et le cycle $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$.
    2. -
  2. La transposition $(1\, 3)$ et le cycle $(1\, 2\, 3\, 4)$ engendrent-ils $\mc{S}_4$ ?
    3. -
  3. Soient $n \in \N^*$ et $1 \leq a\lt b \leq n$ tels que $\tau=(a b)$ et $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent $\mc{S}_n$. Montrer que $b-a$ et $n$ sont premiers entre eux.
    4. -
  4. Montrer la réciproque de la propriété précédente.
    5. -
+::: exercice +Soit $G$ un groupe fini. Si $X$ et $Y$ sont des parties non vides de +$G$, on pose $X^{-1}=\left\{x^{-1}, x \in X\right\}$ et +$X Y=\{x y,(x, y) \in X \times Y\}$. Dans la suite, $X$ désigne une +partie non vide de $G$. -
+1. On suppose que $|X X|\lt 2|X|$. Montrer que $X X^{-1}=X^{-1} X$. +2. On suppose que $\left|X X^{-1}\right|\lt \frac{3}{2}|X|$. Montrer + que $X^{-1} X$ est un sous-groupe de $G$. +::: -
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    -
  1. +::: proof +1. Si $X$ a un seul élément, ok. Sinon, alors pour tous $a, b\in X$, + les ensembles $aX$ et $bX$ ne sont pas disjoints, donc il existe + $u,v$ tels que $au = bv \ssi a^{-1} b = u v^{-1}$. D\'où le + résultat. -
  2. Non.
    3. -
  3. Si $p\mid b-a \wedge n$, alors $\sigma(a) - \sigma(b)\equiv a-b[p]$.
    4. -
  4. Facile de se ramener à un cycle $(u\, u+1)$
    5. -
+2. $X^{-1}X$ contient l\'élément neutre, et stable par inverse. -
+ Si ce n\'est pas un sous-groupe, c\'est qu\'il existe + $u^{-1} v a^{-1} b$ qui ne s\'écrit pas de cette forme. -
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-Soit $G$ un groupe fini. Si $X$ et $Y$ sont des parties non vides de $G$, on pose $X^{-1}=\left\{x^{-1}, x \in X\right\}$ et $X Y=\{x y,(x, y) \in X \times Y\}$. -Dans la suite, $X$ désigne une partie non vide de $G$. -

+ !! -
    -
  1. On suppose que $|X X|\lt 2|X|$. Montrer que $X X^{-1}=X^{-1} X$.
    2. -
  2. On suppose que $\left|X X^{-1}\right|\lt \frac{3}{2}|X|$. Montrer que $X^{-1} X$ est un sous-groupe de $G$.
    3. -
+ Quitte à translater, on peut supposer que $e\in X$. Alors $X X^{-1}$ + contient tous les éléments de $X$, et leurs inverses. Au moins la + moitié des éléments de $X$ ont leurs inverses dans $X$ ! +::: -
+::: exercice +Soient $A$ un anneau et $B\subset A$ finie non vide. On note +$E(B) = \big|\{(a,b,c,d)\in B^4 \mid ab = cd\}\big|$. Montrer que +$E(B)\geq \frac{|B|^4}{|BB|}$. +::: -
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    -
  1. Si $X$ a un seul élément, ok. Sinon, alors pour tous $a, b\in X$, les ensembles $aX$ et $bX$ ne sont pas disjoints, donc il existe $u,v$ tels que $au = bv \ssi a^{-1} b = u v^{-1}$. D'où le résultat.
    2. -

  2. -$X^{-1}X$ contient l'élément neutre, et stable par inverse. -

    +::: exercice +1. Montrer que $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et + $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ engendrent + $SL_2(\Z)$. +2. Soit $m\geq 2$. Montrer que le morphisme + $\pi\colon SL_2(\Z)\ra SL_2(\Z/m\Z)$ est surjectif. +::: -

    -Si ce n'est pas un sous-groupe, c'est qu'il existe $u^{-1} v a^{-1} b$ qui ne s'écrit pas de cette forme. -

    +::: exercice +Soit $p$ un nombre premier. On admet qu\'il existe un anneau commutatif +$A$ dans lequel $p^2.1_A=0_A$ et il existe un élément inversible $x$ tel +que : -

    -!! -

    +- tout élément de $A$ s\'écrive $P(x) x^{-k}$ pour un $P \in \Z[X]$ et + un $k \in \N$; +- pour deux polynômes $P, Q$ dans $\Z[X]$ et deux entiers naturels + $k, l$, l\'égalité $P(x) x^{-k}=$ $Q(x) x^{-\l}$ équivaut à ce que + $X^k Q$ et $X^\l P$ aient même réduit modulo $p^2$ (autrement dit, + tous les coefficients de $X^k Q-X^\l P$ sont des multiples de + $p^2$). -

    -Quitte à translater, on peut supposer que $e\in X$. Alors $X X^{-1}$ contient tous les éléments de $X$, et leurs inverses. Au moins la moitié des éléments de $X$ ont leurs inverses dans $X$ ! -

    3. -
+1. Soient $P \in \Z[X]$ et $k \in \N$. Caractériser l\'inversibilité de + $P(x) x^{-k}$ dans $A$. +2. Montrer que le groupe multiplicatif $A^{\times}$ ne possède pas de + partie génératrice finie. +::: -
+::: proof +::: -
-

-Soient $A$ un anneau et $B\subset A$ finie non vide. On note $E(B) = \big|\{(a,b,c,d)\in B^4 \mid ab = cd\}\big|$. Montrer que $E(B)\geq \frac{|B|^4}{|BB|}$. -

+::: exercice +Soit $f \in \Z[X]$. On pose +$S_q=\sum\limits_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum\limits_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$ +pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors +$S_{q q'}=S_q S_{q'}$. +::: -
+::: proof +Les $a\in\db{1,qq'}$ premiers avec $q$ et $q'$ sont les $bq + aq'$, avec +$a$ premier avec $q$ et $b$ premier avec $q'$. +::: -
-
    -
  1. Montrer que $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ engendrent $SL_2(\Z)$.
    2. -
  2. Soit $m\geq 2$. Montrer que le morphisme $\pi\colon SL_2(\Z)\ra SL_2(\Z/m\Z)$ est surjectif.
    3. -
+::: exercice +On dit qu\'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : +$\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, +il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un +même cercle. +::: -
+::: proof +On veut que les $\sin (\frac{\theta_i - \theta_j}{2})$ soient +rationnels, c\'est-à-dire les +$\sin \frac{\theta_i}{2} \cos \frac{\theta_j}{2} - \sin \frac{\theta_j}{2} \cos \frac{\theta_i}{2}$. -
-

-Soit $p$ un nombre premier. On admet qu'il existe un anneau commutatif $A$ dans lequel $p^2.1_A=0_A$ et il existe un élément inversible $x$ tel que : -

+Il suffit donc de prendre les doubles d\'une infinité de points +rationnels sur le cercle. +::: - +::: exercice +Soit $z\in\C$ annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. +Soit $Q\in\Z[X]$. Montrer que $Q(z)$ est annulé par un polynôme unitaire +à coefficients entiers. +::: -
    -
  1. Soient $P \in \Z[X]$ et $k \in \N$. Caractériser l'inversibilité de $P(x) x^{-k}$ dans $A$.
    2. -
  2. Montrer que le groupe multiplicatif $A^{\times}$ ne possède pas de partie génératrice finie.
    3. -
+::: exercice +Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de +degré $2 m$ tel que +$\forall x \in \R \setminus \Z, \sin (n x)=(\sin x)^n P_m(\op{cotan} x)$. -
+1. Donner une expression simplifiée de + $\sum_{k=1}^m \op{cotan}^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)$. +2. Donner une expression simplifiée de + $\sum_{k=1}^m \frac{1}{\sin ^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)}$. +3. En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$. +::: -
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-Soit $f \in \Z[X]$. On pose $S_q=\sum\limits_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum\limits_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$ pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors $S_{q q'}=S_q S_{q'}$. -

- -
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-Les $a\in\db{1,qq'}$ premiers avec $q$ et $q'$ sont les $bq + aq'$, avec $a$ premier avec $q$ et $b$ premier avec $q'$. -

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-On dit qu'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : $\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un même cercle. -

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-On veut que les $\sin (\frac{\theta_i - \theta_j}{2})$ soient rationnels, c'est-à-dire les $\sin \frac{\theta_i}{2} \cos \frac{\theta_j}{2} - \sin \frac{\theta_j}{2} \cos \frac{\theta_i}{2}$. -

- -

-Il suffit donc de prendre les doubles d'une infinité de points rationnels sur le cercle. -

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-Soit $z\in\C$ annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. Soit $Q\in\Z[X]$. Montrer que $Q(z)$ est annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. -

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-Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré $2 m$ tel que $\forall x \in \R \setminus \Z, \sin (n x)=(\sin x)^n P_m(\op{cotan} x)$. -

- -
    -
  1. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \op{cotan}^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)$.
    2. -
  2. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \frac{1}{\sin ^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)}$.
    3. -
  3. En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.
    4. -
- -
- -
-

+::: proof Easy. -

+::: -
- -
-

+::: exercice Pour $n\in\N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$. -

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    -
  1. Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $\C$.
    2. -
  2. Montrer que si $n$ est impair, alors $P_n$ possède exactement une racine réelle, et qu'elle appartient à $[-n, - 1]$.
    3. -
  3. On suppose $n$ pair. Le polynôme $P_n$ a-t-il une racine réelle ?
    4. -
  4. Déterminer les variations et la convexité de $x\mapsto P_n(x)$.
    5. -
+1. Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $\C$. +2. Montrer que si $n$ est impair, alors $P_n$ possède exactement une + racine réelle, et qu\'elle appartient à $[-n, - 1]$. +3. On suppose $n$ pair. Le polynôme $P_n$ a-t-il une racine réelle ? +4. Déterminer les variations et la convexité de $x\mapsto P_n(x)$. +::: -
- -
-

+::: exercice Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$. -

-
    -
  1. On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que $\forall x \in \R, n P(x) P''(x) \leq(n-1) P'(x)^2$.
    2. -
  2. Donner un polynôme ne vérifiant pas le résultat de la question précédente, puis un polynôme non scindé le vérifiant.
    3. -
+1. On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que + $\forall x \in \R, n P(x) P''(x) \leq(n-1) P'(x)^2$. +2. Donner un polynôme ne vérifiant pas le résultat de la question + précédente, puis un polynôme non scindé le vérifiant. +::: -
+::: proof +1. +2. Ajouter à un précédent. +::: -
-
    -
  1. +::: exercice +Soit $n\in\N^*$, $P = X^n + \sum_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\C[X]$. On +factorise $P$ sous la forme $P = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$. Pour $k\in\N$, +on note $S_k = \sum_{i=1}^n z_i^k$. Montrer que, si $k\gt n$, +$S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_0 S_{k-n} = 0$ et que, si +$k\leq n$, +$S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_1 = - k a_{n-k}$. +::: -
  2. Ajouter à un précédent.
    3. -
+::: exercice +Une suite d\'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme si pour +tous $n,m\in\N^*$, $m-n\mid a_m - a_n$. -
+1. Soit $P\in\Z[X]$. Montrer que $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ est un + pseudo-polynôme. +2. Montrer que $\big(\lfloor n! e\rfloor\big)_{n\geq 1}$ est un + pseudo-polynôme. +3. Trouver un polynôme $P\in\Q[X]\setminus \Z[X]$ tel que + $P(\Z)\subset \Z$ et que la suite $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ ne soit + pas un pseudo-polynôme. +::: -
-

-Soit $n\in\N^*$, $P = X^n + \sum_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\C[X]$. On factorise $P$ sous la forme $P = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$. Pour $k\in\N$, on note $S_k = \sum_{i=1}^n z_i^k$. Montrer que, si $k\gt n$, $S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_0 S_{k-n} = 0$ et que, si $k\leq n$, $S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_1 = - k a_{n-k}$. -

+::: exercice +Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe +$\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que, +pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le +polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$. +::: -
- -
-

-Une suite d'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme si pour tous $n,m\in\N^*$, $m-n\mid a_m - a_n$. -

- -
    -
  1. Soit $P\in\Z[X]$. Montrer que $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme.
    2. -
  2. Montrer que $\big(\lfloor n! e\rfloor\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme.
    3. -
  3. Trouver un polynôme $P\in\Q[X]\setminus \Z[X]$ tel que $P(\Z)\subset \Z$ et que la suite $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ ne soit pas un pseudo-polynôme.
    4. -
- -
- -
-

-Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que, pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$. -

- -
- -
-

+::: proof Easy, à relier. -

+::: -
- -
-

+::: exercice Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si -

- +- $-P$ et $Q$ sont scindés à racines simples sur $\R$, +- $P$ et $Q$ n\'ont aucune racine réelle commune, +- entre deux racines consécutives de $P$ (respectivement $Q$) il y a + une unique racine de $Q$ (respectivement $P$). -

-Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout $\lambda, \mu \in \R^*, \lambda P+\mu Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, alors $P$ et $Q$ sont entrelacés. -

+Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout +$\lambda, \mu \in \R^*, \lambda P+\mu Q$ est scindé à racines simples +sur $\R$, alors $P$ et $Q$ sont entrelacés. +::: -
- -
-

+::: proof À relier. -

+::: -
+::: exercice +Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On +note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$. +Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$. +::: -
-

-Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$. -

+::: proof +$X + X^2Q(X) - z_i = 0$ avec $|z_i|\lt \frac{1}{n}$ admet toujours une +racine, $\lt 1$. -
- -
-

-$X + X^2Q(X) - z_i = 0$ avec $|z_i|\lt \frac{1}{n}$ admet toujours une racine, $\lt 1$. -

- -

Vient des relations coefficients-racines. -

+::: -
+::: exercice +- CNS sur $n$ pour que $\Z/n\Z$ soit un corps. +- On suppose cette condition satisfaite. Combien y a-t-il de polynômes + de degré $d\in\N$ fixé dans $\Z/n\Z$ ? +- Soit $p$ premier. Montrer qu\'il existe des polynômes irréductibles + de degré $2$ et $3$ dans $\Z/p\Z$. +::: -
- +::: exercice +Soit $n\in\N^*$, $\K$ un corps, et $V$ un sous-espace vectoriel de +$\M_n(\K)$ dont tous les éléments sont de rang $\leq 1$. Montrer que $V$ +est de dimension $\leq n$. Étudier le cas d\'égalité. +::: -
+::: exercice +Quelle est la dimension maximale d\'un sous-espace vectoriel $V$ de +$\M_n(\R)$ tel que pour tout $(X,Y)\in V^2$, on ait $\op{Tr} (XY) = 0$. +::: -
-

-Soit $n\in\N^*$, $\K$ un corps, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\K)$ dont tous les éléments sont de rang $\leq 1$. Montrer que $V$ est de dimension $\leq n$. Étudier le cas d'égalité. -

+::: exercice +Soient $A,B\in\M_n(\R)$ de même rang telles que $A^2 B = A$. Montrer que +$B^2 A = B$. +::: -
+::: proof +::: -
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-Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel $V$ de $\M_n(\R)$ tel que pour tout $(X,Y)\in V^2$, on ait $\op{Tr} (XY) = 0$. -

- -
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-Soient $A,B\in\M_n(\R)$ de même rang telles que $A^2 B = A$. Montrer que $B^2 A = B$. -

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+::: exercice Soient $n\geq 1$ et $E$ une partie de $\mc P(\db{1,n})$. -

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    -
  1. On suppose que $E$ est stable par différence symétrique. Que dire de $C = \{m 1_A\}$ comme partie de l'espace vectoriel $\big(\Z/2\Z\big)^n$ ?
    2. -
  2. On ne fait plus l'hypothèse précédente, mais on suppose que $A\cap B$ est de cardinal pair pour tous $A,B\in E$. Montrer que $|E|\leq 2^{\lfloor n/2\rfloor}$.
    3. -
+1. On suppose que $E$ est stable par différence symétrique. Que dire de + $C = \{m 1_A\}$ comme partie de l\'espace vectoriel + $\big(\Z/2\Z\big)^n$ ? +2. On ne fait plus l\'hypothèse précédente, mais on suppose que + $A\cap B$ est de cardinal pair pour tous $A,B\in E$. Montrer que + $|E|\leq 2^{\lfloor n/2\rfloor}$. +::: -
+::: exercice +Soient $(a_1,\dots, a_n)\in\R^n$ telle que $|a_i|\geq 2$, pour tout +$i\in\db{1,n}$. -
-

-Soient $(a_1,\dots, a_n)\in\R^n$ telle que $|a_i|\geq 2$, pour tout $i\in\db{1,n}$. -

+1. Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall i,\, a_{ii} = a_i$, + $a_{ij} = 1$ si $|i-j| = 1$ et $a_{ij} = 0$ sinon. Montrer que $A$ + est inversible et que son déterminant a le même signe que + $\prod a_k$. +2. Montrer que la conclusion tient encore si l\'on suppose + $|a_{ij}|\leq 1$ si $|i-j| = 1$ au lieu de $a_{ij} = 1$. +::: -
    -
  1. Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall i,\, a_{ii} = a_i$, $a_{ij} = 1$ si $|i-j| = 1$ et $a_{ij} = 0$ sinon. Montrer que $A$ est inversible et que son déterminant a le même signe que $\prod a_k$.
    2. -
  2. Montrer que la conclusion tient encore si l'on suppose $|a_{ij}|\leq 1$ si $|i-j| = 1$ au lieu de $a_{ij} = 1$.
    3. -
+::: exercice +On considère $\phi:\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ +associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut +$\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$. -
+1. Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0$ ? +2. Que dire de la réciproque? +3. Montrer que $A$ s\'écrit comme $\phi(u, v)$ avec $(u, v)$ libre si + et seulement si $A \in \mc{A}_4(\R)$, $\op{det}(A)=0$ et $A \neq 0$. +4. Décrire l\'image et le noyau d\'une telle matrice. +::: -
-

-On considère $\phi:\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut $\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$. -

+::: proof +::: -
    -
  1. Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0$ ?
    2. -
  2. Que dire de la réciproque?
    3. -
  3. Montrer que $A$ s'écrit comme $\phi(u, v)$ avec $(u, v)$ libre si et seulement si $A \in \mc{A}_4(\R)$, $\op{det}(A)=0$ et $A \neq 0$.
    4. -
  4. Décrire l'image et le noyau d'une telle matrice.
    5. -
+::: exercice +Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$. On +pose +$A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$. +Montrer qu\'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$ +où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$. +::: -
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-Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$. -On pose $A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$. Montrer qu'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$ où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$. -

- -
- -
-

+::: proof On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Donc diagonalisable ? -

+::: -
+::: exercice +Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non +nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit +$f_g:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, +application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l\'équivalence +entre les propositions suivantes : -
-

-Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit $f_g:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes : -

+- il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d\'éléments de + $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$ + de + $\R^2, f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$, +- il existe une droite vectorielle $L$ telle que + $\left|\left\{i, L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$. +::: - +::: proof +Si il existe une droite $L$, en prenant +$g_k = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k^{-1}\end{pmatrix}$ selon $L$ et +n\'importe quel supplémentaire, ça devrait être bon. -
- -
-

-Si il existe une droite $L$, en prenant $g_k = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k^{-1}\end{pmatrix}$ selon $L$ et n'importe quel supplémentaire, ça devrait être bon. -

- -

Réciproquement, !! -

+::: -
+::: exercice +Soit $G$ l\'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme +$\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où +$a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$ +est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices +$\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et +$\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$ +::: -
-

-Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$ -

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- -
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+::: proof Facile ? Attention : faux pour 2. -

+::: -
+::: exercice +Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C_A\colon X\in\M_n(\C)\mapsto AX -XA$. Montrer +que si la matrice $A$ est diagonalisable, alors $C_A$ l\'est aussi. +::: -
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-Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C_A\colon X\in\M_n(\C)\mapsto AX -XA$. Montrer que si la matrice $A$ est diagonalisable, alors $C_A$ l'est aussi. -

+::: exercice +Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que +$A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$. +::: -
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-Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que $A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$. -

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+::: proof $\Leftarrow$ Ok. -

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-Si $ABA^{-1}B^{-1}$ commute avec un $\vect$ de dimension $2$. Si $AB = \la BA$, c'est bon. Sinon, alors le commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$ est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, puis faire de la réduction. -

+Si $ABA^{-1}B^{-1}$ commute avec un $\vect$ de dimension $2$. Si +$AB = \la BA$, c\'est bon. Sinon, alors le commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$ +est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, puis faire de la +réduction. +::: -
+::: exercice +Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_r$ les valeurs propres +distinctes de $A$ et $\a_1,\dots, \a_r$ leurs multiplicités. On note +$P_k = (X-\la_k)^{\a_k}$ et $F_k = \Ker P_k(A)$. -
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-Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_r$ les valeurs propres distinctes de $A$ et $\a_1,\dots, \a_r$ leurs multiplicités. On note $P_k = (X-\la_k)^{\a_k}$ et $F_k = \Ker P_k(A)$. -

+1. Montrer que $\C^n = \bigoplus_{i=1}^r F_i$. +2. Montrer que $P_k$ est le polynôme caractéristique de + l\'endomorphisme induit par $A$ sur $F_k$. +3. Montrer que $A$ se décompose en $D + N$, avec $D$ diagonalisable, + $N$ nilpotente et $ND = DN$. +::: -
    -
  1. Montrer que $\C^n = \bigoplus_{i=1}^r F_i$.
    2. -
  2. Montrer que $P_k$ est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par $A$ sur $F_k$.
    3. -
  3. Montrer que $A$ se décompose en $D + N$, avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente et $ND = DN$.
    4. -
+::: exercice +Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$. +Montrer l\'équivalence entre -
+- $\Ker A = \Ker A^2$. +- il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^m = A$. +- pour tout $k\geq 1$, il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^k = A$. +::: -
-

-Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$. Montrer l'équivalence entre -

+::: exercice +Soit $M\in GL_n(\Z)$ dont toutes les valeurs propres sont de module +$\leq 1$. Montrer qu\'il existe $k\geq 1$ tel que $M^k - I_n$ soit +nilpotente. +::: - +::: exercice +Soit $n\geq 1$. Pour $\sigma\in\mc S_n$, on note +$P_{\sigma} = \big(\delta_{i+1,j}\big)_{i,j}$ la matrice de permutation +associée. On note $\mc A$ l\'ensemble des fonctions polynomiales +$f\colon \M_n(\C)\ra\C$ telles que +$\forall A,P\in \M_n(\C)\tmes GL_n(\C),\quad f(PAP^{-1}) = f(A)$. On +note $\mc A$ l\'ensemble des fonctions polynomiales +$f\colon \mc D_n(\C)\ra \C$ telles que +$f(P_{\sigma} D P_{\sigma}^{-1}) = f(D)$. Expliciter un isomorphisme +d\'algèbres de $\mc A$ sur $\mc B$. +::: -
+::: exercice +Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, +$f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d\'indice $m, x \in E$ tel que +$f^{m-1}(x) \neq 0$. -
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-Soit $M\in GL_n(\Z)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\leq 1$. Montrer qu'il existe $k\geq 1$ tel que $M^k - I_n$ soit nilpotente. -

+1. Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est + libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille. +2. Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi(f^{m-1}(x)) \neq 0, W$ le + sous-espace de $E^*$ engendré par + $(\phi \circ f^i)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\bot}$ l\'ensemble des + $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\bot}, \psi(y)=0$. Montrer + que $W^{\bot}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$. +3. Montrer qu\'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de + $f$ soit diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme + $J_k$ avec $k \in \N^*$, où $J_k \in \M_k(\mathbb{K})$ est une + matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la + sur-diagonale qui sont égaux à $1$. +::: -
+::: proof +::: -
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-Soit $n\geq 1$. Pour $\sigma\in\mc S_n$, on note $P_{\sigma} = \big(\delta_{i+1,j}\big)_{i,j}$ la matrice de permutation associée. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \M_n(\C)\ra\C$ telles que $\forall A,P\in \M_n(\C)\tmes GL_n(\C),\quad f(PAP^{-1}) = f(A)$. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \mc D_n(\C)\ra \C$ telles que $f(P_{\sigma} D P_{\sigma}^{-1}) = f(D)$. Expliciter un isomorphisme d'algèbres de $\mc A$ sur $\mc B$. -

+::: exercice +Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 1$. Un élément $u\in\mc L(E)$ +est dit cyclique s\'il existe $x\in E$ tel que +$(u^k(x))_{0\leq k\leq n-1}$ soit une base de $E$. -
+1. Quels sont les endomorphismes de $E$ diagonalisables et cycliques ? +2. Montrer que si $u$ est cyclique, le commutant de $u$ est égale à + $\K[u]$. +3. Montrer que si $u\in\mc L(E)$, il existe $r\in\N^*$ et des + sous-espaces $E_1,\dots, E_r$ de $E$ stables par $u$ tels que + $E = \bigoplus_{i=1}^r E_i$ et que, pour tout $i$, $u_{E_i}$ soit + cyclique. +::: -
-

-Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d'indice $m, x \in E$ tel que $f^{m-1}(x) \neq 0$. -

+::: exercice +Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à +2 tels que $d_1\left|d_2\right| \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus +petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe +isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$. +::: -
    -
  1. Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille.
    2. -
  2. Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi(f^{m-1}(x)) \neq 0, W$ le sous-espace de $E^*$ engendré par $(\phi \circ f^i)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\bot}$ l'ensemble des $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\bot}, \psi(y)=0$. Montrer que $W^{\bot}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$.
    3. -
  3. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ soit diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme $J_k$ avec $k \in \N^*$, où $J_k \in \M_k(\mathbb{K})$ est une matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la sur-diagonale qui sont égaux à $1$.
    4. -
+::: proof +$n = r$ convient. Réciproquement, si $G$ contient un tel groupe, on peut +codiagonaliser. +::: -
+::: exercice +Le groupe $GL_2(\Q)$ contient-il un élément d\'ordre $5$ ? +::: -
-

+::: exercice +On note $H$ l\'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle. -

+1. Montrer que $\forall M\in H,\, e^M\in SL_2(\R)$. +2. Montrer que $\forall M\in H,\, \tr e^M\geq -2$. +3. A-t-on $\exp(H) = SL_2(\R)$ ? +4. Montrer que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit d\'une matrice + de $SO_2(\R)$ et d\'une matrice triangulaire supérieure à + coefficients diagonaux $\gt 0$. +5. En déduire que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit de deux + exponentielles de matrices de $H$. +::: -
+::: exercice +Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ +deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu\'il existe une norme sur $E$ +pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que +$\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$ commute avec $h_1$ et +$h_2$. Montrer que l\'espace des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et +$h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$. +::: -
-

-Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 1$. Un élément $u\in\mc L(E)$ est dit cyclique s'il existe $x\in E$ tel que $(u^k(x))_{0\leq k\leq n-1}$ soit une base de $E$. -

+::: proof +On peut supposer que l\'ensemble $F$ des points fixes est de dimension +$1$. Donc est le noyau d\'une forme linéaire $\phi$. !! -
    -
  1. Quels sont les endomorphismes de $E$ diagonalisables et cycliques ?
    2. -
  2. Montrer que si $u$ est cyclique, le commutant de $u$ est égale à $\K[u]$.
    3. -
  3. Montrer que si $u\in\mc L(E)$, il existe $r\in\N^*$ et des sous-espaces $E_1,\dots, E_r$ de $E$ stables par $u$ tels que $E = \bigoplus_{i=1}^r E_i$ et que, pour tout $i$, $u_{E_i}$ soit cyclique.
    4. -
- -
- -
-

-Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $d_1\left|d_2\right| \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$. -

- -
- -
-

-$n = r$ convient. Réciproquement, si $G$ contient un tel groupe, on peut codiagonaliser. -

- -
- -
-

-Le groupe $GL_2(\Q)$ contient-il un élément d'ordre $5$ ? -

- -
- -
-

-On note $H$ l'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle. -

- -
    -
  1. Montrer que $\forall M\in H,\, e^M\in SL_2(\R)$.
    2. -
  2. Montrer que $\forall M\in H,\, \tr e^M\geq -2$.
    3. -
  3. A-t-on $\exp(H) = SL_2(\R)$ ?
    4. -
  4. Montrer que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit d'une matrice de $SO_2(\R)$ et d'une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux $\gt 0$.
    5. -
  5. En déduire que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit de deux exponentielles de matrices de $H$.
    6. -
- -
- -
-

-Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une norme sur $E$ pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que $\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$ commute avec $h_1$ et $h_2$. Montrer que l'espace des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et $h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$. -

- -
- -
-

-On peut supposer que l'ensemble $F$ des points fixes est de dimension $1$. Donc est le noyau d'une forme linéaire $\phi$. !! -

- -

Notons $C$ le commutateur. On a $Ch_2 = h_1h_2 h_1^{-1}$. -

-

Si $h_1$ et $h_2$ commutent. -

-

Si $h_1 = h_2$. -

+::: -
- -
-

+::: exercice Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_n$ ses valeurs propres. -

-
    -
  1. Montrer que $\sum |\la_i|^2 \leq \sum_{i,j} |a_{ij}|^2$.
    2. -
  2. Montrer que $|\det A|\leq n^{n/2}\sup |a_{ij}|$.
    3. -
+1. Montrer que $\sum |\la_i|^2 \leq \sum_{i,j} |a_{ij}|^2$. +2. Montrer que $|\det A|\leq n^{n/2}\sup |a_{ij}|$. +::: -
+::: exercice +Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien, +$m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ +tels que, pour tout +$(i, j) \in \llbracket 1, m \rrbracket^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. +On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur +$\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que +$\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$. +::: -
-

-Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien, $m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \llbracket 1, m \rrbracket^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$. -

+::: proof +Easy, on a +$\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x\rangle$. +::: -
+::: exercice +On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire +$(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$. +On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection +orthogonale de $1$ sur $F$. -
-

-Easy, on a $\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x\rangle$. -

+On ecrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et +$P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$. -
+- Determiner $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour + $k\in[\![1,n]\!]$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in[\![1,n]\!]$. +- Calculer + $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\,dx$. +::: -
-

-On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire $(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$. On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection orthogonale de $1$ sur $F$. -

+::: exercice +Soient +$(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u, u_1, \ldots, u_m$ +des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et +seulement si pour tout $x \in E$, +$\left\{x \in E ; \forall i \in \llbracket 1, m \rrbracket,\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E ;\langle u, x\rangle \leq 0\}$. +::: -

-On ecrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et $P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$. -

- - - -
- -
-

-Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u, u_1, \ldots, u_m$ des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $\left\{x \in E ; \forall i \in \llbracket 1, m \rrbracket,\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E ;\langle u, x\rangle \leq 0\}$. -

- -
- -
-

+::: proof $\Rightarrow$ : Easy. -

-

-$\Leftarrow$ : Si les vecteurs $u_i$ sont libres, on peut prendre un élément $x$ orthogonal à tous sauf $1$. -

+$\Leftarrow$ : Si les vecteurs $u_i$ sont libres, on peut prendre un +élément $x$ orthogonal à tous sauf $1$. -

- Sinon, si $u_m$ est combinaison linéaire des précédents, avec un coefficient $\lt 0$. +Sinon, si $u_m$ est combinaison linéaire des précédents, avec un +coefficient $\lt 0$. !! +::: + +::: exercice +Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s\'ecrit d\'une unique +facon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ +triangulaire superieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$. +::: + +::: exercice +\[Rennes sur dossier\] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice +antisymetrique et inversible. + +- Que peut-on dire de l\'entier $n$? +- En considerant $M^2$, montrer que $M$ admet un plan stable puis + qu\'il existe une matrice orthogonale $O\in{\cal O}_n({\R})$ telle + que $O^TMO$ soit une matrice diagonale par blocs de la forme + $\mathrm{diag}(R_{a_1},...,R_{a_k})$, avec + $R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$. +- Qu\'en est-il si $M$ n\'est plus supposee inversible? +::: + +::: exercice +Soit $n\geq 1$. Determiner les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ +telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$. +::: + +::: exercice +Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans +$\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$ +$M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer +$\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$. +::: + +::: proof +$\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix})$. !! -

+::: -
+::: exercice +Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit +$v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n\'ont pas de valeur propre +commune. Sous reserve d\'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$ +pour $x$ reel. -
-

-Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'ecrit d'une unique facon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire superieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$. -

+- Montrer que les zeros de $F$ sont les valeurs propres de $A+vv^T$. +- On note $\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ les valeurs propres de + $A$. Montrer que chaque intervalle $]\lambda_1,\lambda_2[$,..., + $]\lambda_{n-1},\lambda_n[,]\lambda_n,+\i[$ contient exactement une + valeur propre de $A+vv^T$. +::: -
+::: exercice +Soient $n\in{\N}$ impair, $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que, pour toute +$A\in{\cal A}_n({\R})$, $A+M$ soit nonversible. Montrer que +$M\in{\cal A}_n({\R})$. +::: -
-

-[Rennes sur dossier] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice antisymetrique et inversible. -

+::: exercice +Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n\'ont pas -1 pour +valeur propre et telles que $A B$ n\'ait pas 1 pour valeur propre. +Montrer que +$\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est +antisymétrique. +::: - - -
- -
-

-Soit $n\geq 1$. Determiner les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$. -

- -
- -
-

-Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$ $M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer $\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$. -

- -
- -
-

-$\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix})$. !! -

- -
- -
-

-Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit $v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n'ont pas de valeur propre commune. Sous reserve d'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$ pour $x$ reel. -

- - - -
- -
-

-Soient $n\in{\N}$ impair, $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que, pour toute $A\in{\cal A}_n({\R})$, $A+M$ soit nonversible. Montrer que $M\in{\cal A}_n({\R})$. -

- -
- -
-

-Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n'ont pas -1 pour valeur propre et telles que $A B$ n'ait pas 1 pour valeur propre. Montrer que $\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est antisymétrique. -

- -
- -
-

+::: proof Classique -

+::: -
+::: exercice +Soit $n\in{\N}^*$. On pose +$J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$. -
-

-Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$. -

+- Determiner les valeurs propres de $J$ et leur multiplicite. +- Soit $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$. Montrer qu\'il existe une matrice + $B\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telle que $B^2=A$. +- Que peut-on dire de la matrice $BJB$? +- Lorsque $A$ est diagonale, calculer les valeurs propres de $JA$. +- Montrer plus generalement que toute valeur propre d\'une matrice + antisymetrique reelle est imaginaire pure. +::: - +::: exercice +Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note +$\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non +nécessairement distinctes. Montrer que +$\forall k \in\left[1, n \rrbracket, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$. +::: -
+::: proof +::: -
-

-Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non nécessairement distinctes. Montrer que $\forall k \in\left[1, n \rrbracket, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$. -

+::: exercice +1. Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B \in \mc{S}_n^+(\R)$ Montrer + que $A B$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles. +2. Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose + $f_{A, B}: X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$. + Montrer que $f_{A, B}$ admet un minimum $\mu_{A, B}$ atteint en une + unique matrice $M_{A, B}$. Expliciter $\mu_{A, B}$ et $M_{A, B}$. +::: -
+::: proof +::: -
-

+::: exercice +Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On definit $p(A)$ comme la dimension +maximale d\'un sous-espace $V$ sur lequel +$\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On definit de +meme $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$. -

+- Montrer que $p(A)+q(A)=\mbox{rg}\,A$. +- Montrer que, si $A$ est inversible, alors $p$ et $q$ sont constantes + sur un voisinage de $A$ dans ${\cal S}_n({\R})$. +- Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f:t\mapsto\det(A+tB)$ + n\'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au + moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$. +::: -
+::: exercice +On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonne +d\'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$. -
-
    -
  1. Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B \in \mc{S}_n^+(\R)$ -Montrer que $A B$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles.
    2. -
  2. Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose $f_{A, B}: X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$. -Montrer que $f_{A, B}$ admet un minimum $\mu_{A, B}$ atteint en une unique matrice $M_{A, B}$. Expliciter $\mu_{A, B}$ et $M_{A, B}$.
    3. -
+- Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que + $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, + que dire du signe de + $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$?\[MISSING~PAGEFAIL~:1\]# 80 -
+Soient $a\leq b$ deux reels, et $(O - {i\in I}$ une famille d\'ouverts +de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ +l\'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu\'il existe une partie finie +$J\subset I$ verifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que +$X=[a,b]$. +::: -
-

+::: exercice +Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note +$\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ le spectre ordonné de $M$. -

+1. On considère $A, B \in \mc{S}_n(\R)$ telles que + $A+B \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. Montrer que, si $i+j\lt n+2$ alors + $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0$. +2. Généraliser à $A_1, \ldots, A_d \in \mc{S}_n(\R)$ telles que + $A_1+\cdots+A_d \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. telle que $B=P^T A P$. +::: -
+::: proof +::: -
-

-Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On definit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On definit de meme $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$. -

+::: exercice +On note $\lN\cdot \rN$ la norme d\'opérateur sur $\M_n(\R)$ associée à +la norme euclidienne. Soit $S\in\mc S_n$. On suppose que +$E = \{M\in\M_n(\R)\mid S = M^T M - M M^T\}$ est non vide. On note +$\gamma(S) = \inf_{M\in E}\lN M\rN^2$. Montrer que +$\lN S\rN\leq \gamma(S)\leq 2\lN S\rN$. +::: - +::: exercice +1. Soient $A,B\in\mc S_n^{++}$. Montrer qu\'il existe $P\in GL_n(\R)$ + telle que $B = P^T A P$. +2. Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une + définition naturelle de $f(A)$ si $A \in$ $\mc{S}_n^{++}(\R)$. +3. Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose + $d(A, B)=\left\|\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\right\|$. + Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance + $\op{sur} \mc{S}_n^{++}(\R)$. +4. Soient $P \in \mathrm{GL}_n(\R), A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. + Montrer que $d\left(P^T A P, P^T B P\right)=d(A, B)$. +::: -
+::: proof +::: -
-

-On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonne d'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$. -

- - - -

-Soient $a\leq b$ deux reels, et $(O - {i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ verifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$. -

- -
- -
-

-Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ le spectre ordonné de $M$. -

- -
    -
  1. On considère $A, B \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A+B \in \mc{S}_n^{–}(\R)$. Montrer que, si $i+j\lt n+2$ alors $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0$.
    2. -
  2. Généraliser à $A_1, \ldots, A_d \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A_1+\cdots+A_d \in \mc{S}_n^{–}(\R)$. telle que $B=P^T A P$.
    3. -
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-On note $\lN\cdot \rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\R)$ associée à la norme euclidienne. Soit $S\in\mc S_n$. On suppose que $E = \{M\in\M_n(\R)\mid S = M^T M - M M^T\}$ est non vide. On note $\gamma(S) = \inf_{M\in E}\lN M\rN^2$. Montrer que $\lN S\rN\leq \gamma(S)\leq 2\lN S\rN$. -

- -
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    -
  1. Soient $A,B\in\mc S_n^{++}$. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ telle que $B = P^T A P$.
    2. -
  2. Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une définition naturelle de $f(A)$ si $A \in$ $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
    3. -
  3. Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose $d(A, B)=\left\|\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\right\|$. Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance $\op{sur} \mc{S}_n^{++}(\R)$.
    4. -
  4. Soient $P \in \mathrm{GL}_n(\R), A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $d\left(P^T A P, P^T B P\right)=d(A, B)$.
    5. -
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+::: exercice Soit $n\in\N^*$. -

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    -
  1. Montrer que $(X,Y)\mapsto \op{Tr} X^T Y$ est un produit scalaire sur $\M_n(\R)$. On note $\lN \cdot\rN$ la norme associée.
    2. -
  2. Si $M\in\M_n(\R)$, soit $L(M)\colon X\in \M_n(\R)\mapsto MX$. Montrer que $L$ est un morphisme d'algèbre injectif.
    3. -
  3. Soit $\lN|\cdot|\rN_2$ la norme sur $\M_n(\R)$ subordonnée à la norme euclidienne de $\R^n$, et $\lN |\cdot|\rN$ la norme sur $\mc L(\M_n(\R))$ subordonnée à $\lN\cdot\rN$. Si $M\in\M_n(\R)$, montrer que $\lN |L(M)|\rN\leq \lN|M|\rN_2$.
    4. -
  4. Montrer que $\lN |M^T|\rN_2 = \lN |M|\rN_2$ pour tout $M\in\M_n(\R)$.
    5. -
+1. Montrer que $(X,Y)\mapsto \op{Tr} X^T Y$ est un produit scalaire sur + $\M_n(\R)$. On note $\lN \cdot\rN$ la norme associée. +2. Si $M\in\M_n(\R)$, soit $L(M)\colon X\in \M_n(\R)\mapsto MX$. + Montrer que $L$ est un morphisme d\'algèbre injectif. +3. Soit $\lN|\cdot|\rN_2$ la norme sur $\M_n(\R)$ subordonnée à la + norme euclidienne de $\R^n$, et $\lN |\cdot|\rN$ la norme sur + $\mc L(\M_n(\R))$ subordonnée à $\lN\cdot\rN$. Si $M\in\M_n(\R)$, + montrer que $\lN |L(M)|\rN\leq \lN|M|\rN_2$. +4. Montrer que $\lN |M^T|\rN_2 = \lN |M|\rN_2$ pour tout + $M\in\M_n(\R)$. +::: -
+::: exercice +On note $\lN \cdot\rN$ la norme d\'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à +la norme $X \mapsto \sqrt{\bar{X}^T X}$. -
-

-On note $\lN \cdot\rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à la norme $X \mapsto \sqrt{\bar{X}^T X}$. -

+1. Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que + $\left\|e^{i A}-e^{i B}\right\| \leq\|A-B\|$. +2. Démontrer le même résultat sous l\'hypothèse que $A$ et $B$ sont + deux matrices de $\M_n(\C)$ telles que $\bar{A}^T=A$ et + $\bar{B}^T=B$. +::: -
    -
  1. Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left\|e^{i A}-e^{i B}\right\| \leq\|A-B\|$.
    2. -
  2. Démontrer le même résultat sous l'hypothèse que $A$ et $B$ sont deux matrices de $\M_n(\C)$ telles que $\bar{A}^T=A$ et $\bar{B}^T=B$.
    3. -
+::: proof +::: -
+::: exercice +Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$, +$\lN x\rNp = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$. -
-

+1. Montrer qu\'il s\'agit bien d\'une norme. +2. Montrer l\'inégalité de Hölder. +3. Dans $\R^2$, dessiner la boule unité de la norme $p$ pour plusieurs + valeurs de $p$. +::: -

+::: exercice +Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d\'ouverts +de $\R$ telle que $[a,b]\subset \bigcup_i O_i$. On note $X$ l\'ensemble +des $x\in [a,b]$ tels qu\'il existe une partie finie $J\subset I$ telle +que $[a,x]\subset \bigcup_{j\in J} O_j$. Montrer que $X = [a,b]$. +::: -
+::: exercice +Soient $K$ un compact convexe non vide d\'un espace norme $E$, $f$ un +endomorphism continu de $E$ tel que $f(K)\subset K$. Montrer que $f$ +admet un point fixe dans $K$. +::: -
-

-Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$, $\lN x\rNp = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$. -

+::: exercice +Peut-on écrire $\interval]{0, 1}[$ comme réunion dénombrable disjointe +de segments d\'intérieurs non vides? +::: -
    -
  1. Montrer qu'il s'agit bien d'une norme.
    2. -
  2. Montrer l'inégalité de Hölder.
    3. -
  3. Dans $\R^2$, dessiner la boule unité de la norme $p$ pour plusieurs valeurs de $p$.
    4. -
+::: proof +Non. Par l\'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont +la distance tend vers $0$, alors la limite n\'appartient à aucun +segment. +::: -
+::: exercice +Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note +$0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose, +pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel +que $0\lt a\lt 9$. On définit +$P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et +$P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide, +d\'intérieur vide et sans point isolé. +::: -
-

-Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset \bigcup_i O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in [a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ telle que $[a,x]\subset \bigcup_{j\in J} O_j$. Montrer que $X = [a,b]$. -

+::: proof +$P$ est borné et fermé, car $S_n$ est continue inférieurement. +Clairement non vide et d\'intérieur vide. Si $x\in P$, en retirant $1$ a +un chiffre de $x$ arbitrairement grand, on reste dans $P$. Possible sauf +si $x$ est décimal, auquel cas on peut ajouter $1$. +::: -
+::: exercice +Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. +Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermee si et seulement si +$A$ est diagonalisable sur $\C$. +::: -
-

-Soient $K$ un compact convexe non vide d'un espace norme $E$, $f$ un endomorphism continu de $E$ tel que $f(K)\subset K$. Montrer que $f$ admet un point fixe dans $K$. -

+::: exercice +- On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer + qu\'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que + : + - pour tout $i\in\N$, l\'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ + dont les cotes sont paralleles aux axes ; + - les $C_i$ soient d\'interieurs deux a deux disjoints ; + - $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$. +- On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu\'il existe une suite + $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que : + - pour tout $i\in\N$, l\'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de + $\R^2$ ; + - les $D_i$ soient d\'interieurs deux a deux disjoints ; + - $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$. +::: -
+::: exercice +Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l\'ensemble des polynômes unitaires de +degré $d$ de $\R[X]$. -
-

-Peut-on écrire $\interval]{0, 1}[$ comme réunion dénombrable disjointe de segments d'intérieurs non vides? -

+1. On pose + $A=\{(P, x) \in \mc{P} \times \R ; P(x)=0\} \et P'(x) \neq 0\}$. + Déterminer les composantes connexes par arcs de $A$ dans + $\R_d[X] \times \R$. +2. On pose + $B=\{P \in \mc{P} ; \forall x \in \R, P(x) \neq 0 \ou P'(x) \neq 0\}$. + Déterminer les composantes connexes par arcs de $B$ dans $\R_d[X]$. +::: -
+::: proof +1. Par translation, on peut passer de $(P, x)$ à $(\tilde{P}, 0)$. + Alors $P = X^n + Q + \a X$, avec $\a\neq 0$. On peut ramener $Q$ à + $0$, et $\a$ à $\pm 1$. Deux composantes connexes, selon le signe de + $\a = P'(x)$. +2. $B$ est l\'ensemble des polynômes unitaires à racines simples. Le + nombre de racines simples est un invariant, et réciproquement, ces + morceaux sont clairement connexes par arcs. +::: -
-

-Non. Par l'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont la distance tend vers $0$, alors la limite n'appartient à aucun segment. -

+::: exercice +Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ +semblables les unes aux autres, $\lN\cdot\rN$ une norme sur $\M_n(\C)$. +On suppose que $\lN M_k\rN \ra+\i$. Montrer qu\'il existe une matrice +$N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi\colon \N \ra \N$ +telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} \ra N$. +::: -
+::: proof +On peut extraire $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN}$ convergent, +vers $\Pi$. -
-

-Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose, pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel que $0\lt a\lt 9$. On définit $P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et $P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide, d'intérieur vide et sans point isolé. -

+Si $\Pi$ a une valeur propre complexe $X$, comme +$\lN \frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} - \Pi\rN\leq \eps$, on a une +valeur propre complexe proche de $\la$, donc $M_{\phi(k)}$ a une valeur +propre qui tend vers $+\i$. +::: -
+::: exercice +Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module +$\lt 1$. Montrer qu\'il existe une norme \\\|\\\| sur $\C^n$ telle que, +pour la norme d\'opérateur associée, on ait $\|A\|\lt 1$. +::: -
-

-$P$ est borné et fermé, car $S_n$ est continue inférieurement. Clairement non vide et d'intérieur vide. Si $x\in P$, en retirant $1$ a un chiffre de $x$ arbitrairement grand, on reste dans $P$. Possible sauf si $x$ est décimal, auquel cas on peut ajouter $1$. -

+::: proof +Trigonaliser, puis conjuguer par une matrice diagonale pour n\'avoir que +des petits coefficients hors de la diagonale. +::: -
+::: exercice +Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et +$\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout +$i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance +euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$, +pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$. Montrer que $A$ est +inversible et que +$\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x \in \R^n,\|x\|_1=1\right\} \leq \frac{1}{\eps}$. +::: -
-

-Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermee si et seulement si $A$ est diagonalisable sur $\C$. -

+::: proof +$A$ est inversible car aucune ligne n\'est combinaison linéaire des +autres. -
+Si $x = E_i$, on considère les colonnes de $A^{-1}$, notées $C_i$. On +$\langle C_i, L_i\rangle = 1$ et $C_i$ orthogonal aux autres lignes, ce +qui donne $\lN C_i\rN_{2}\leq \frac{1}{\eps}$, peut-être. -
- - -
- -
-

-Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $d$ de $\R[X]$. -

- -
    -
  1. On pose $A=\{(P, x) \in \mc{P} \times \R ; P(x)=0\} \et P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $A$ dans $\R_d[X] \times \R$.
    2. -
  2. On pose $B=\{P \in \mc{P} ; \forall x \in \R, P(x) \neq 0 \ou P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $B$ dans $\R_d[X]$.
    3. -
- -
- -
-
    -
  1. Par translation, on peut passer de $(P, x)$ à $(\tilde{P}, 0)$. Alors $P = X^n + Q + \a X$, avec $\a\neq 0$. On peut ramener $Q$ à $0$, et $\a$ à $\pm 1$. Deux composantes connexes, selon le signe de $\a = P'(x)$.
    2. -
  2. $B$ est l'ensemble des polynômes unitaires à racines simples. Le nombre de racines simples est un invariant, et réciproquement, ces morceaux sont clairement connexes par arcs.
    3. -
- -
- -
-

-Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblables les unes aux autres, $\lN\cdot\rN$ une norme sur $\M_n(\C)$. On suppose que $\lN M_k\rN \ra+\i$. Montrer qu'il existe une matrice $N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi\colon \N \ra \N$ telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} \ra N$. -

- -
- -
-

-On peut extraire $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN}$ convergent, vers $\Pi$. -

- -

-Si $\Pi$ a une valeur propre complexe $X$, comme $\lN \frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} - \Pi\rN\leq \eps$, on a une valeur propre complexe proche de $\la$, donc $M_{\phi(k)}$ a une valeur propre qui tend vers $+\i$. -

- -
- -
-

-Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\lt 1$. Montrer qu'il existe une norme \|\| sur $\C^n$ telle que, pour la norme d'opérateur associée, on ait $\|A\|\lt 1$. -

- -
- -
-

-Trigonaliser, puis conjuguer par une matrice diagonale pour n'avoir que des petits coefficients hors de la diagonale. -

- -
- -
-

-Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et $\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$, pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$. -Montrer que $A$ est inversible et que $\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x \in \R^n,\|x\|_1=1\right\} \leq \frac{1}{\eps}$. -

- -
- -
-

-$A$ est inversible car aucune ligne n'est combinaison linéaire des autres. -

- -

-Si $x = E_i$, on considère les colonnes de $A^{-1}$, notées $C_i$. On $\langle C_i, L_i\rangle = 1$ et $C_i$ orthogonal aux autres lignes, ce qui donne $\lN C_i\rN_{2}\leq \frac{1}{\eps}$, peut-être. -

- -

Ensuite, utiliser une convexité ? -

+::: -
+::: exercice +On note ${\cal B}({\R})$ l\'espace vectoriel des fonctions bornees de +${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe +$g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ +l\'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ +decrivant ${\Z}$. Montrer que l\'ensemble des reels $t$ lets que +$\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est +un sous-groupe discret de ${\R}$. +::: -
-

-On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornees de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ decrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des reels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$. -

+::: exercice +Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de +limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive +telle que, pour tout $n, u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, +pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et +$w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites +$\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent. +::: -
+::: proof +Soit $m$. On peut écrire +$u_{a+n} = G_n u_a + G_{n+1} u_{a-1}\et u_{a+n+1} = G_{n+1} u_a + G_{n2} u_{a-1}$, +où $G_n\tend{a\ra +\i} F_n$, ce qui devrait implique ce que l\'on veut. -
-

-Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive telle que, pour tout $n, u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent. -

+$w_n$ s\'obtient à partir de $v_n$ par Cesàro. +::: -
+::: exercice +1. Si $n \geq 2$ est un entier, montrer que + $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor=\sum_{j=2}^n\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor$. +2. Donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\i$ de + $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor$, puis un + développement asymptotique à deux termes. +::: -
-

-Soit $m$. On peut écrire $u_{a+n} = G_n u_a + G_{n+1} u_{a-1}\et u_{a+n+1} = G_{n+1} u_a + G_{n2} u_{a-1}$, où $G_n\tend{a\ra +\i} F_n$, ce qui devrait implique ce que l'on veut. -

+::: proof +1. Le premier compte les puissances de $k$ inférieures à $n$, dont + $k^1$. -

-$w_n$ s'obtient à partir de $v_n$ par Cesàro. -

+ Le second compte les puissances $j$-èmes inférieures à $n$. -
+2. En coupant la somme en $k = \sqrt{n}$, on a du + $\sqrt{n} \ln n + (n-\sqrt{n})n$, d\'où un équivalent à $n$. -
-
    -
  1. Si $n \geq 2$ est un entier, montrer que $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor=\sum_{j=2}^n\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor$.
    2. -
  2. Donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\i$ de $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor$, puis un développement asymptotique à deux termes.
    3. -
+ En suite, on prend l\'autre expression, on retire $n$. Le premier + terme est $\sqrt{n}$. Les termes non nuls correspondent à + $\sqrt[j]{n}\geq 2\ssi n\geq 2^j$, donc les autres termes sont au + plus en $\sqrt[3]{n} \ln n$, d\'où le DSA + $n + \sqrt{n} + o_{+\i}(\sqrt{n})$. +::: -
+::: exercice +Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement +decroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite +definie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, +$u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu\'il existe un unique +$u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un reel +strictement positif. +::: -
-
    -

  1. -Le premier compte les puissances de $k$ inférieures à $n$, dont $k^1$. -

    +::: exercice +Soit $(u_n)$ une suite definie par $:\forall n\in{\N}^*$, +$u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l\'ensemble des valeurs d\'adherence de +$(u_n)$. -

    -Le second compte les puissances $j$-èmes inférieures à $n$. -

    2. -

  2. -En coupant la somme en $k = \sqrt{n}$, on a du $\sqrt{n} \ln n + (n-\sqrt{n})n$, d'où un équivalent à $n$. -

    +- Montrer que, pour tous $x$ et $y\in{\R}$, + $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$. +- Montrer que $u_{n+1}-u_n\to 0$. +- Montrer que $V$ est un intervalle inclus dans $[-1,1]$, puis que + $V=[-1,1]$. +::: -

    -En suite, on prend l'autre expression, on retire $n$. Le premier terme est $\sqrt{n}$. Les termes non nuls correspondent à $\sqrt[j]{n}\geq 2\ssi n\geq 2^j$, donc les autres termes sont au plus en $\sqrt[3]{n} \ln n$, d'où le DSA $n + \sqrt{n} + o_{+\i}(\sqrt{n})$. -

    3. -
+::: exercice +Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densite si +la suite +$\left(\frac{|A\cap\llbracket 1,n\rrbracket|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet +une limite. Cette limite est alors notee $d(A)$. -
+- Si $m\in{\N}^*$, quelle est la densite de l\'ensemble des multiples + de $m$ dans ${\N}^*$? +- Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une + densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densite que l\'on + precisera. +- Donner un exemple de partie de ${\N}^*$ n\'admettant pas de densite. +::: -
-

-Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement decroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite definie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un reel strictement positif. -

+::: exercice +On considere une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour +tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la +$n$-ieme occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ieme occurrence de $2$ soit +egal a $a_n$. -
+Etudier la convergence de la suite de terme general +$\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\,a_k=3\}\big{|}$. +::: -
-

-Soit $(u_n)$ une suite definie par $:\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adherence de $(u_n)$. -

+::: exercice +On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour +tout $n \geq 1$, le nombre de 3 apparaissant dans la suite $a$ entre la +$n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de 2 soit égal à +$a_n$. Montrer qu\'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les +indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la +forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$. +::: - +::: proof +::: -
+::: exercice +Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si +elle vérifie, pour tout entier +$k \in \Z^*, \lim_{N \ra+\i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 i k \pi x_n}=0$. -
-

-Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densite si la suite $\left(\frac{|A\cap\llbracket 1,n\rrbracket|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite. Cette limite est alors notee $d(A)$. -

+1. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que la suite $(n \alpha)$ + est équirépartie modulo 1. +2. Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N^*}$. On suppose que pour tout + $h \in \N^*$, la suite $\left(x_{n+h}-x_n\right)_{n \in \N^*}$ est + équirépartie; on veut montrer que $(x_n)$ est équirépartie + modulo 1. a) Soit $\left(a_n\right)$ une suite de complexes de + module $\leq 1$. Montrer, pour tous + $N, H \in \N^*:\left|\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right|+\frac{2 H}{N}$. b) + Montrer que + $\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right| \leq \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|\sum_{h=0}^{H-1} \frac{a_{n+h}}{H}\right|^2}$. c) + Conclure. +3. Soit $P \in \R[X]$ non constant et de coefficient dominant + irrationnel. Montrer que $(P(n))_{n \geq 1}$ est équirépartie modulo + 1. +4. Soit $\left(x_n\right)_{n \geq 1}$ une suite réelle équirépartie + modulo 1, et $f\colon \R \ra \C$ une fonction continue 1-périodique. + Montrer que + $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right) \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} \int_0^1 f$. +5. On reprend les hypothèses de la question 3. Montrer que la distance + de $P(\Z)$ à $\Z$ est nulle. +::: - +::: proof +1. +2. +3. +4. +5. ?? +::: -
+::: exercice +Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, +on note $A_n$ la matrice +$\left(\begin{matrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{matrix}\right)$ +ou, pour tout $k\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, +$a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$. -
-

-On considere une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ieme occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ieme occurrence de $2$ soit egal a $a_n$. -

+Soit $q\in\N^*$. Determiner la limite de +$(\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$. +::: -

-Etudier la convergence de la suite de terme general $\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\,a_k=3\}\big{|}$. -

+::: exercice +Montrer la convergence et calculer +$\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\ln (k)}{\ln (2)}\right\rfloor$. +::: -
+::: proof +Écrit quelque part... +::: -
-

-On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n \geq 1$, le nombre de 3 apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de 2 soit égal à $a_n$. Montrer qu'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$. -

+::: exercice +On note $\ell^2(\R)$ l\'ensemble des suites réelles de carré sommable +indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$ +ainsi qu\'une suite $\left(u_k\right)_k$ d\'éléments de $\ell^2(\R)$ +(l\'élément $u_k$ est donc noté +$\left.\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}\right)$. On suppose que, pour +tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général +$w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers +$\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$. Montrer que +$\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sigma(n)}-v_n\right)^2 \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$. +::: -
+::: proof +Écrit quelque part... -
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-Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si elle vérifie, pour tout entier $k \in \Z^*, \lim_{N \ra+\i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 i k \pi x_n}=0$. -

- -
    -
  1. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que la suite $(n \alpha)$ est équirépartie modulo 1.
    2. -
  2. Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N^*}$. On suppose que pour tout $h \in \N^*$, la suite $\left(x_{n+h}-x_n\right)_{n \in \N^*}$ est équirépartie; on veut montrer que $(x_n)$ est équirépartie modulo 1. -
      -
    1. Soit $\left(a_n\right)$ une suite de complexes de module $\leq 1$. -Montrer, pour tous $N, H \in \N^*:\left|\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right|+\frac{2 H}{N}$.
      2. -
    2. Montrer que $\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right| \leq \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|\sum_{h=0}^{H-1} \frac{a_{n+h}}{H}\right|^2}$.
      3. -
    3. Conclure.
      4. -
    3. -
  3. Soit $P \in \R[X]$ non constant et de coefficient dominant irrationnel. Montrer que $(P(n))_{n \geq 1}$ est équirépartie modulo 1.
    4. -
  4. Soit $\left(x_n\right)_{n \geq 1}$ une suite réelle équirépartie modulo 1, et $f\colon \R \ra \C$ une fonction continue 1-périodique. Montrer que $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right) \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} \int_0^1 f$.
    5. -
  5. On reprend les hypothèses de la question 3. Montrer que la distance de $P(\Z)$ à $\Z$ est nulle.
    6. -
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- -
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    -
  1. - -
  2. - -
  3. - -
  4. - -
  5. ??
    6. -
- -
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-Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, on note $A_n$ la matrice $\left(\begin{matrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{matrix}\right)$ ou, pour tout $k\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, $a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$. -

- -

-Soit $q\in\N^*$. Determiner la limite de $(\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$. -

- -
- -
-

-Montrer la convergence et calculer $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\ln (k)}{\ln (2)}\right\rfloor$. -

- -
- -
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-Écrit quelque part… -

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-On note $\ell^2(\R)$ l'ensemble des suites réelles de carré sommable indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$ ainsi qu'une suite $\left(u_k\right)_k$ d'éléments de $\ell^2(\R)$ (l'élément $u_k$ est donc noté $\left.\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}\right)$. On suppose que, pour tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général $w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers $\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$. -Montrer que $\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sigma(n)}-v_n\right)^2 \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$. -

- -
- -
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-Écrit quelque part… -

- -

On peut supposer que les $(v_n)$ sont décroissants, par réordonnement. -

+::: -
+::: exercice +Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et +telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et +$q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de +continuité de $f$ ? +::: -
-

-Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et $q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de continuité de $f$ ? -

- -
- -
-

+::: proof Facile. -

+::: -
+::: exercice +Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et +$[a, b] \subset I$ avec $a\lt b$. On suppose que $f'(a)=f'(b)$. Montrer +qu\'il existe $c\in \interval]{a, b}[$ tel que la tangente au graphe de +$f$ en $c$ passe par le point $(a, f(a))$. +::: -
-

-Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et $[a, b] \subset I$ avec $a\lt b$. On suppose que $f'(a)=f'(b)$. Montrer qu'il existe $c\in \interval]{a, b}[$ tel que la tangente au graphe de $f$ en $c$ passe par le point $(a, f(a))$. -

- -
- -
-

+::: proof On peut supposer $f'(a) = f'(b) = 0$. À relier. -

+::: -
+::: exercice +Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit derivable +en aucun point. +::: -
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-Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit derivable en aucun point. -

+::: exercice +Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout +entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale. +::: -
+::: proof +$f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle, +$f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$. +::: -
-

-Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale. -

+::: exercice +Soit $p\gt 1$ un reel. Montrer qu\'il existe une constante $k_p\gt 0$ +telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait +$(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$. +::: -
+::: exercice +Soit $f\colon\R\ra\R$. On note $f^*(s)=\sup_{x\in\R}\,(sx-f(x))$ et +$f^*(x)=\sup_{s\in\R}\,(sx-f^*(s))$. -
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-$f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle, $f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$. -

- -
- -
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-Soit $p\gt 1$ un reel. Montrer qu'il existe une constante $k_p\gt 0$ telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait $(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$. -

- -
- -
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-Soit $f\colon\R\ra\R$. On note $f^*(s)=\sup_{x\in\R}\,(sx-f(x))$ et $f^*(x)=\sup_{s\in\R}\,(sx-f^*(s))$. -

- -

Montrer que $f^*(x)=\sup_{a\text{ affine }\leq f}a(x)$. -

+::: -
+::: exercice +Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynomes +reels stable par derivation. On definit une fonction signe par +$\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$. -
-

-Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynomes reels stable par derivation. On definit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$. -

+Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient +$A_{\eps}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et -

-Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient $A_{\eps}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et -

- -

$B_{\epsilon}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$. -

- +- Montrer que $A_{\eps}$ est soit vide, soit reduit a un point, soit + un intervalle ouvert. +- Si $A_{\eps}$ est non vide, montrer que $B_{\eps}$ est l\'adherence + de $A_{\eps}$. Si $A_{\eps}$ est vide, montrer que $B_{\eps}$ est + soit vide suit un singleton. +::: -
- -
-

+::: exercice Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^n$. -

- + $\begin{vmatrix}1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^{n-1}&f(x_0)\\ 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}&f(x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}&f(x_n)\\ \end{vmatrix}=\dfrac{f^{(n)}(\tau)}{n!}\,V(x_0,x_1,\ldots,x_n)$ -
+- On suppose que $n=2$, que $I$ est un segment et que $f$ est + strictement convexe. On note + $\Gamma_f=\{(x,f(x));x\in I\}\subset\R^2$ le graphe de $f$. Montrer + qu\'il existe une constante $C$, dependant uniquement de $I$ et $f$, + telle que le nombre de points de $\Gamma_f\cap\frac{1}{N}\,\Z^2$ + soit majore par $C\,N^{2/3}$ pour tout entier $N\geq 1$. +::: -
-

+::: exercice Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$. -

- +- Montrer que $(w - {n\geq 0}$ est decroissante. +- Etablir une relation de recurrence entre $w_{n+2}$ et $w_n$. +- Sans utiliser la formule de Stirling, determiner un equivalent + simple de $w_n$. +- Determiner le rayon de convergence de la serie entiere + $\sum w_nx^n$. +::: -
+::: exercice +Soit $P \in \C[X]$ ne s\'annulant pas sur $\mathbb{U}$. -
-

-Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$. -

+1. Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement + inférieur à 1 comptées avec multiplicité n\'est autre que + $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$. +2. Soit $Q \in \C[X]$ ne s\'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que + $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et + $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1 + comptées avec multiplicité. +::: -
    -
  1. Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement inférieur à 1 comptées avec multiplicité n'est autre que $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$.
    2. -
  2. Soit $Q \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1 comptées avec multiplicité.
    3. -
+::: proof +::: -
+::: exercice +Pour $n\in\N$, on note $A_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\,dx$ et +$B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}(x)\,dx$. On admet que, pour +$n\in\N^*$, $2nA_n=(2n-1)A_{n-1}$. -
-

+- Montrer que + $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{2B_0}{A_0}-\frac{2B_n}{A_n}$ pour + tout $n\in\N^*$. +- En deduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ puis + que + $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac{1}{n}\right)$. +::: -

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-Pour $n\in\N$, on note $A_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\,dx$ et $B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}(x)\,dx$. On admet que, pour $n\in\N^*$, $2nA_n=(2n-1)A_{n-1}$. -

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-Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique c'est-à-dire telle que, pour tout $\epsilon\gt 0$, il existe $T\gt 0$ tel que : $\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \epsilon$. +::: exercice +Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique +c\'est-à-dire telle que, pour tout $\epsilon\gt 0$, il existe $T\gt 0$ +tel que : +$\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \epsilon$. Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique. -

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    -
  1. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R^+$.
    2. -
  2. Montrer que $t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t f$ possède une limite quand $t \ra+\i$.
    3. -
+1. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R^+$. +2. Montrer que $t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t f$ possède une limite + quand $t \ra+\i$. +::: -
+::: proof +1. Easy. +2. !! +::: -
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    -
  1. Easy.
    2. -
  2. !!
    3. -
+::: exercice +Soit $f$ une fonction continue par morceaux et croissante de $[0,1]$ +dans $\R$. Montrer que +$\int_0^1f(x)e^{i\lambda x}dx\underset{\lambda\to+\i}{=}O \left(\frac{1}{\lambda}\right)$. +::: -
+::: exercice +Soient $f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n$ des fonctions de +$\mc C^0([0,1],\R)$. Soit $A$ la matrice de terme general +$A_{i,j}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\,dx$. -
-

-Soit $f$ une fonction continue par morceaux et croissante de $[0,1]$ dans $\R$. Montrer que $\int_0^1f(x)e^{i\lambda x}dx\underset{\lambda\to+\i}{=}O \left(\frac{1}{\lambda}\right)$. -

+On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}f_i(x_j)\big{)}$ et +$C(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}g_i(x_j)\big{)}$.Montrer que +$\int_{[0,1]^n}B(x_1,\ldots,x_n)\,C(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n=n!\det(A)$. +::: -
+::: exercice +- Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\R^+$ dans $\R$ admettant + une limite en $+\i$ et telle que $f'$ est uniformement continue. + Est-ce que $f'$ a une limite en $+\i$? +::: -
-

-Soient $f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n$ des fonctions de $\mc C^0([0,1],\R)$. Soit $A$ la matrice de terme general $A_{i,j}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\,dx$. -

+::: exercice +\[Rennes sur dossier\] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient +$(P - {n\in\N}$ une suite de polynomes a coefficients reels de degre au +plus $d$ et $x_1,...,x_N$ des reels distincts. On suppose que pour tout +$j\in\{1,...,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornee. Montrer +que l\'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui +converge uniformement sur $[0,1]$ vers un polynome de degre au plus $d$. +::: -

-On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}f_i(x_j)\big{)}$ et $C(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}g_i(x_j)\big{)}$.Montrer que $\int_{[0,1]^n}B(x_1,\ldots,x_n)\,C(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n=n!\det(A)$. -

+::: exercice +Montrer que la suite de fonctions de terme general +$f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformement sur +$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. +::: -
+::: exercice +On note $I$ (resp. $S$) l\'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to[0,1]$ +telles que, pour tout $a\in\R$, l\'ensemble $\{x\in[0,1],f(x)\leq a\}$ +est ferme (resp. de meme avec l\'inegalite dans l\'autre sens). -
- +- Montrer que $S\cap I$ est l\'ensemble $C$ des fonctions continues de + $[0,1]$ dans $[0,1]$. +- Soit $f:[0,1]\to[0,1]$. On pose + $f_n:x\mapsto\inf(\{1\}\cup\{f(y)+n|x-y|,y\in[0,1]\})$ pour + $n\in\N$. Montrer que $f_n$ est continue pour tout $n$, que la suite + $(f_n)$ est croissante et que $f\in I$ si et seulement si la suite + $(f_n)$ converge simplement vers $f$. +::: -
+::: exercice +Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ +avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note +$\mc{P}$ l\'ensemble des nombres premiers. -
-

-[Rennes sur dossier] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P - {n\in\N}$ une suite de polynomes a coefficients reels de degre au plus $d$ et $x_1,…,x_N$ des reels distincts. On suppose que pour tout $j\in\{1,…,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornee. Montrer que l'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui converge uniformement sur $[0,1]$ vers un polynome de degre au plus $d$. -

+1. Montrer que, pour tout + $n \in \N^*, \sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$. +2. Montrer que, pour tout + $s\gt 1,\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{\Lambda(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{1}{n^s}\right)=\sum_{n \in \N^*} \frac{\ln (n)}{n^s}$. +3. Montrer que, pour tout + $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{\ln (p)}{p^s} \underset{s \ra 1+}{=} \frac{1}{s-1}+O(1)$. +4. Montrer que, pour tout + $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{1}{p^s} \underset{s \ra 1^+}{=} \ln \left(\frac{1}{s-1}\right)+O(1)$. + Qu\'en déduire? +::: -
+::: proof +::: -
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-Montrer que la suite de fonctions de terme general $f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformement sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. -

+::: exercice +Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractere non trivial $\chi$ sur +le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c\'est-a-dire un +morphisme de groupes non constant +$\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. +Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n\'est pas +premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou +$\overline{m}$ designe la classe de $m$ modulo $q$). -
+- Montrer que la serie $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si + et seulement si $s\gt 0$. - Montrrer que la fonction + $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe + ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$. +::: -
-

-On note $I$ (resp. $S$) l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to[0,1]$ telles que, pour tout $a\in\R$, l'ensemble $\{x\in[0,1],f(x)\leq a\}$ est ferme (resp. de meme avec l'inegalite dans l'autre sens). -

+::: exercice +Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite +nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$. +Quelle est la limite de $g$ en $0^+$? +::: - +::: proof +C\'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. +Cela tend vers $\frac{1}{2}f(0)$, en découpant sur un segment, et en +utilisant l\'uniforme continuité de $f'$. +::: -
+::: exercice +Pour tout polynome trigonometrique +$P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support +fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose +$\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$. -
-

-Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers. -

+On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l\'espace vectoriel +${\cal T}$ des polynomes trigonometriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ +l\'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-periodiques de +${\R}$ dans ${\C}$. On definit le produit de convolution de deux +fonctions $f,g\in E$ par : +$f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. +Enfin, on pose, pour $f\in E$, +$\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$. -
    -
  1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*, \sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$.
    2. -
  2. Montrer que, pour tout $s\gt 1,\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{\Lambda(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{1}{n^s}\right)=\sum_{n \in \N^*} \frac{\ln (n)}{n^s}$.
    3. -
  3. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{\ln (p)}{p^s} \underset{s \ra 1+}{=} \frac{1}{s-1}+O(1)$.
    4. -
  4. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{1}{p^s} \underset{s \ra 1^+}{=} \ln \left(\frac{1}{s-1}\right)+O(1)$. Qu'en déduire?
    5. -
+- Montrrer qu\'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que, + pour tous $f$, $g\in{\cal T}$, -
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- -
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-Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractere non trivial $\chi$ sur le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c'est-a-dire un morphisme de groupes non constant $\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n'est pas premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou $\overline{m}$ designe la classe de $m$ modulo $q$). -

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- -
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-Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$. Quelle est la limite de $g$ en $0^+$? -

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-C'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. Cela tend vers $\frac{1}{2}f(0)$, en découpant sur un segment, et en utilisant l'uniforme continuité de $f'$. -

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-Pour tout polynome trigonometrique $P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$. -

- -

-On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynomes trigonometriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-periodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On definit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$. -

- - - -

$\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$. -

- +- Determiner tous les reels $d$ verifiant la condition de la question + precedente. +- Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose, + pour $k\in{\Z}$, + $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$ + et, pour tout $d\in{\R}$, + $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Determiner + les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$. +- Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodiques et + $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$. +::: -
+::: exercice +Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour +tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose +$f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Ecrire $f(z)$ sous la forme +$\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que +$c_n=0$. +::: -
-

-Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose $f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Ecrire $f(z)$ sous la forme $\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que $c_n=0$. -

+::: exercice +Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série +entière sur $]-R, R[$ telles que +$\forall x \in]-R, R\left[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que +l\'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle +sur $]-R, R[$. +::: -
+::: proof +::: -
-

-Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $]-R, R[$ telles que $\forall x \in]-R, R\left[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $]-R, R[$. -

+::: exercice +Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et +$g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$. -
+- Determiner les rayons de convergence de $f$ et $g$. +- Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge. +- Montrrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur + ${\C}\setminus\{1\}$, developpable en serie entiere en tout point de + ${\C}\setminus\{1\}$. +- Montrrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$. - + Montrrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$. +- Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrrer que + $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$. +- Soit $h:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrrer + que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$. +- Montrrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et + $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur + $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction + $\tilde{h}$ n\'est pas developpable en serie entiere en $z_0$. +::: -
-

+::: exercice +Soit $\alpha=(\alpha - {i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d\'un +certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose +$u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$. -

+- Determiner, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ + de la serie entiere $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$. -
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-Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$. -

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-Soit $\alpha=(\alpha - {i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d'un certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$. -

- - - -

Dans la suite, on note $f$ la somme de cette serie entiere. -

- +- Expliciter $f$ si $\alpha=(-\delta_{i,1})_{i\geq 1}$. +- Pour une somme $g$ de serie entiere sur un intervalle $]-a,a[$ non + trivial, on pose $\Delta(g):z\mapsto zg'(z)$. Expliciter + $P(\Delta)(g)$ lorsque $g:z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et + $P\in\R[X]$. +- Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine + dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$, + $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a + un rayon de convergence non nul et donner une methode simple pour + trouver une equation differentielle lineaire non triviale a + coefficients polynomiaux dont sa somme est solution. +- Resoudre le meme probleme qu\'en (d) lorsqu\'il existe $P$ et $Q$ + dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que + $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en + supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$. +- Justifier que le cadre de la question - s\'applique bien a la suite + $(u - {n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$. +::: -
- -
-

+::: exercice Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{n!\,(30n)!}{(15n)!\,(10n)!\,(6n)!}$. -

- +- Montrrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier. +- Determiner le rayon de convergence de la serie entiere + $\sum u_nx^n$. +- Trouver une equation differentielle verifiee par la somme de la + serie entiere precedente. +::: -
+::: exercice +Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que +$\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$ +? +::: -
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-Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que $\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$ ? -

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+::: proof Cf un précédent -

+::: -
+::: exercice +- Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d\'une serie + entiere de rayon $R\gt 0$. Montrrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et + pour tout $n\in\N$, + $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$. + - Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere de rayon de + convergence egal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par + continuite sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la + formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit + $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. + Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage + de $0$. + - On admet que le rayon de convergence du developpement de $f$ en + $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du developpement en + serie entiere en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer + $M$ en fonction de $f$. +::: -
- +::: exercice +Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\sin x}{x}\,dx$ a l\'aide de la +transformation de Laplace. +::: -
+::: exercice +Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que +$\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$. -
-

-Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\sin x}{x}\,dx$ a l'aide de la transformation de Laplace. -

+1. Si $a \in \R^+$, montrer que + $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. +2. Si $a \in \R^{-*}$, montrer que + $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$. +::: -
+::: proof +::: -
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-Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$. -

+::: exercice +Soit, pour +$x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$. +Montrer qu\'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que +$\forall x \in \R^+, f(x) \leq (a x+b) e^{-x}$. +::: -
    -
  1. Si $a \in \R^+$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$.
    2. -
  2. Si $a \in \R^{-*}$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$.
    3. -
+::: proof +::: -
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-Soit, pour $x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$. -Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+, f(x) \leq (a x+b) e^{-x}$. -

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+::: exercice Pour $x$ reel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$. -

- +- Calculer $J(0)$. +- Montrer que $J$ est de classe $\mc C^{\i}$. +- En estimant + $\int_{\frac{\pi}{2}-\eps}^{\frac{\pi}{2}+\eps}\cos(x\sin t)\, dt$ + pour un $\eps$ a choisir convenablement en fonction de $x$, etablir + que $J(x)=O(x^{-1/2})$ quand $x\to+\i$. +::: -
+::: exercice +Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans +$\R$. On pose $f\star g:x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. +Montrer que $f\star g$ est derivable et donner une expression de sa +derivee. +::: -
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-Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g:x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. Montrer que $f\star g$ est derivable et donner une expression de sa derivee. -

+::: exercice +Soit $f:]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$, +on pose -
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-Soit $f:]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$, on pose -

- -

$a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,du$. -

- +- On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_1(f,s,t)\gt 0$ + pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. +- On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_n(f,s,t)\gt 0$ + pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$ et tout $n\in\N^*$. +- Reciproquement, on suppose $f$ de classe $\mc C^2$ et + $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. Montrer que $f$ + est strictement convexe. +::: -
+::: exercice +Soit $\mc{S}$ l\'ensemble des solutions de l\'equation differentielle +sur $\R:\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$. -
-

-Soit $\mc{S}$ l'ensemble des solutions de l'equation differentielle sur $\R:\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$. -

+A quelle condition sur $n$ tout element de $\mc{S}$ possede-t-il une +limite en $+\i$? +::: -

-A quelle condition sur $n$ tout element de $\mc{S}$ possede-t-il une limite en $+\i$? -

+::: exercice +Soit $I$ un (vrai) intervalle de $\R$. Si $r \in \N^*$ et +$f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose +$W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}\right)$. +Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. -
+1. Soit $g \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. Montrer que + $W_r\left(g f_1, \ldots, g f_r\right)=g^r W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$. +2. On suppose que, pour tout + $k \in \llbracket 1, r \rrbracket, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$ + ne s\'annule pas. Montrer que, pour tout + $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction + $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s\'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$. +3. On suppose que $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est identiquement + nul sur $I$ et que $W_{r-1}\left(f_1, \ldots, f_{r-1}\right)$ ne + s\'annule pas. Montrer que $\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est liée. +::: -
-

-Soit $I$ un (vrai) intervalle de $\R$. -Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}\right)$. Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. -

+::: proof +::: -
    -
  1. Soit $g \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. Montrer que $W_r\left(g f_1, \ldots, g f_r\right)=g^r W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$.
    2. -
  2. On suppose que, pour tout $k \in \llbracket 1, r \rrbracket, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$ ne s'annule pas. Montrer que, pour tout $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$.
    3. -
  3. On suppose que $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est identiquement nul sur $I$ et que $W_{r-1}\left(f_1, \ldots, f_{r-1}\right)$ ne s'annule pas. Montrer que $\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est liée.
    4. -
+::: exercice +On considere l\'equation differentielle +$(D_{\lambda}):y^{''}+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$, +$r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On +considere $E_{\lambda}$ l\'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$ +telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$. -
+- Quelles sont les dimensions possibles de $E_{\lambda}$? +- Caracteriser le cas $\dim(E_{\lambda})=1$. (On souhaite une + condition portant sur $y_{\lambda}$, solution du probleme de Cauchy + $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$.) +- Montrer que, a $r$ fixe, les $E_{\lambda}$ sont orthogonaux pour le + produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1fg$. +- On note $N_{\lambda}$ le nombre de zeros de $y_{\lambda}$ sur + $[0,1]$. Pourquoi est-il fini? +- Calculer $N_{\lambda}$ dans le cas $r=0$, $\lambda\gt 0$. +- Dans le cas general, etudier le comportement de $N_{\lambda}$. +::: -
-

+::: exercice +Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions +continues de $I$ dans $\R$. On considere l\'equation differentielle +$(E):x^{''}+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$. -

+- Soit $x$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que les zeros de + $x$ sont isoles. +- On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu\'il existe $z$ de + classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que + $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ definisse une bijection de + l\'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de + $y^{''}+q(t)\,y=0$. +- Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles + que $q_1\leq q_2$. On considere l\'equation differentielle $(E_i)$ : + $y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. Soient $y_1,y_2$ des + solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient + $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs de $y_1$. Montrer que $y_2$ + s\'annule dans $[\alpha,\beta]$. +- Soient $q:I\to\R$ continue, et $m,M$ deux reels strictement positifs + tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros + consecutifs d\'une solution non nulle de $y^{''}+q(t)y=0$. Montrer + que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq\beta-\alpha\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$.# + 141 -
+Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ +l\'unique application derivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que +$M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que +$\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$. +::: -
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-On considere l'equation differentielle $(D_{\lambda}):y^{''}+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$, $r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On considere $E_{\lambda}$ l'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$ telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$. -

+::: exercice +Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, +$\pi$-periodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et +$\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l\'equation +$u^{''}+pu=0$ n\'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle +qu\'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, +$u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$. +::: - - -
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-Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. On considere l'equation differentielle $(E):x^{''}+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$. -

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-Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application derivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$. -

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-Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-periodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'equation $u^{''}+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$. -

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+::: exercice Soit $A_0\in\M_n(\R)$ telle que $\text{Sp}(A_0+A_0^T)\subset\R^-$. -

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-On admet l'existence d'une unique fonction $A:\R^+\to\M_n(\R)$ telle que $A(0)=A_0$ et $\forall t\geq 0,\ A'(t)=\left(A(t)\right)^2-\left(A(t)^T\right)^2$. Montrer que la fonction $A$ a une limite en $+\i$ et expliciter cette limite. -

+On admet l\'existence d\'une unique fonction $A:\R^+\to\M_n(\R)$ telle +que $A(0)=A_0$ et +$\forall t\geq 0,\ A'(t)=\left(A(t)\right)^2-\left(A(t)^T\right)^2$. +Montrer que la fonction $A$ a une limite en $+\i$ et expliciter cette +limite. +::: -
+::: exercice +Soit $A\in\M_3(\R)$. Decrire le comportement asymptotique en $+\i$ des +solutions de l\'equation differentielle $X'(t)=AX(t)$. +::: -
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-Soit $A\in\M_3(\R)$. Decrire le comportement asymptotique en $+\i$ des solutions de l'equation differentielle $X'(t)=AX(t)$. -

+::: exercice +On considere l\'equation differentielle $(1)$: $X'(t)=P(t)X(t)$ ou $P$ +est une application continue et periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. -
+- Resoudre $(1)$ si \$∀ t∈`\R`{=latex},\\ + P(t)=`\left`{=latex}(\\begin{array}{cc}1&cos (t)\\\\ + 0&-1\\end{array}`\right`{=latex}).\$ +- On revient au cas general. Soit $T\in\R^{+*}$ une periode de $P$. On + note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l\'espace des solutions de $(1)$ + et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer + qu\'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que + $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$. +- Avec les notations de la question precedente, montrer qu\'il existe + $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l\'application + $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-periodique. +::: -
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-On considere l'equation differentielle $(1)$: $X'(t)=P(t)X(t)$ ou $P$ est une application continue et periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. -

+::: exercice +- Soit + $f:(x,y)\ \mapsto\ \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$. + Donner le domaine de definition $\Omega$ de $f$. Etudier la + continuite et la differentiabilite de $f$. + - On identifie naturellement $\R^2$ a $\C$. Montrer que, si + $(x,y)\in\Omega$, $df_{(x,y)}$ est $\C$-lineaire. +::: - +::: exercice +Calculer +$\sup_{a,b,c\gt 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b+\left(1-\frac{1}{2b}\right)^c+ \left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$. +::: -
+::: exercice +Trouver +$\sup_{a,b,c\geq 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\left(1-\frac{1}{2b} \right)^c\left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$. +::: -
- +::: exercice +\[Rennes sur dossier\] Soient $q\in\R^+$, +$D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Determiner +$\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$. +::: -
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-

-Calculer $\sup_{a,b,c\gt 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b+\left(1-\frac{1}{2b}\right)^c+ \left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$. -

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-Trouver $\sup_{a,b,c\geq 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\left(1-\frac{1}{2b} \right)^c\left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$. -

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-[Rennes sur dossier] Soient $q\in\R^+$, $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Determiner $\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$. -

- -
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+::: exercice Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. -

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-Determiner les extrema de $x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$. -

+Determiner les extrema de +$x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$. +::: -
+::: exercice +Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans +$\R, L \in \R^{+*}$. -
-

-Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans $\R, L \in \R^{+*}$. -

+1. Montrer que + $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$. +2. On suppose que l\'application $\nabla f$ est $L$-lipschitzienne. -
    -
  1. Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$.
    2. -
  2. On suppose que l'application $\nabla f$ est $L$-lipschitzienne.
    3. -
+Montrer que +$\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$. +::: -

-Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$. -

+::: exercice +Soit $p\gt 1$. Montrer qu\'il existe $K_p\in\R$ tel que, pour tous $x$, +$y\in\R$ tels que $|x|^p+|y|^p=2$, on a $(x-y)^2\leq K_p(4-(x+y)^2)$. +::: -
+::: exercice +Soient $f$ une application de classe $C^1$ de $\R^n$ dans $\R^m$, +$x\in\R^n$ telle que $df_x$ soit injective. Montrer qu\'il existe un +voisinage de $x$ dans $\R^n$ sur lequel $f$ est injective. +::: -
-

-Soit $p\gt 1$. Montrer qu'il existe $K_p\in\R$ tel que, pour tous $x$, $y\in\R$ tels que $|x|^p+|y|^p=2$, on a $(x-y)^2\leq K_p(4-(x+y)^2)$. -

+::: exercice +On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, +de classe $C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que +$f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$. +::: -
- -
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-Soient $f$ une application de classe $C^1$ de $\R^n$ dans $\R^m$, $x\in\R^n$ telle que $df_x$ soit injective. Montrer qu'il existe un voisinage de $x$ dans $\R^n$ sur lequel $f$ est injective. -

- -
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-On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, de classe $C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$. -

- -
- -
-

-On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$. -

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+::: exercice +On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité +fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ +de classe $C^1$ et telle que, pour tout +$(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. +Montrer que $f$ s\'annule exactement une fois sur $B$. +::: +::: proof +::: ## Géométrie -
- +::: exercice +- Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$ + tel que -

$\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$. -

- +- Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degre de $T_n\,?$ En + deduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$. +- Determiner les triangles du plan euclidien dont les cotes ont des + longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels + de $\pi$. +::: -
+::: exercice +Soit $G$ un groupe d\'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout +point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ +contient une translation autre que l\'identité de $\R^2$. +::: -
-

-Soit $G$ un groupe d'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ contient une translation autre que l'identité de $\R^2$. -

- -
- -
-

+::: proof Faux pour $G = O_2$. -

+::: -
+::: exercice +Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans +$\C$ de la forme $z \mapsto a z+b$ avec $a \in \mathbb{U}$ et +$b \in \C$. Soit $G$ un sous-groupe de $S$ vérifiant les conditions +suivantes : -
-

-Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z \mapsto a z+b$ avec $a \in \mathbb{U}$ et $b \in \C$. Soit $G$ un sous-groupe de $S$ vérifiant les conditions suivantes : -

+- si $g \in G, g(0)$ est nul ou de module supérieur ou égal à 1 ; +- l\'ensemble des $b \in \C$ tels que $z \mapsto z+b$ appartienne à + $G$ contient deux éléments $\R$ linéairement indépendants. - +Montrer que l\'ensemble +$\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \}$ est fini. +::: -

-Montrer que l'ensemble $\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \}$ est fini. -

+::: proof +Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s\'accumule. On peut supposer +qu\'elle s\'accumule sur $1$, puis on peut borner les $(b_n)$, puis +extraire une suite convergence, donc elle est constante à partir d\'un +certain rang. Donc on a une infinité de $z\mapsto a_n z$, ce qui est +impossible. +::: -
+::: exercice +Soit $L$ la courbe du plan complexe d\'equation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$. -
-

-Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s'accumule. On peut supposer qu'elle s'accumule sur $1$, puis on peut borner les $(b_n)$, puis extraire une suite convergence, donc elle est constante à partir d'un certain rang. Donc on a une infinité de $z\mapsto a_n z$, ce qui est impossible. -

+- Trouver une equation cartesienne reelle definissant $L$. +- En deduire une parametrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme + $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - Montrrer que la longueur de la + courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s\'ecrit + : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$. +- Montrre que $A$ definit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle + de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$. +- On definit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ verifie une equation + differentielle du second ordre. +::: -
+::: exercice +Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose +$L=\Ze_1+\Ze_2$ et on note $\mathrm{Vol}(L)=|\mathrm{det}(e_1,e_2)|$. -
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-Soit $L$ la courbe du plan complexe d'equation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$. -

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-Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2$ et on note $\mathrm{Vol}(L)=|\mathrm{det}(e_1,e_2)|$. -

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+- Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d\'aire strictement superieure a + $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu\'il existe deux elements distincts $x$ + et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$. +- Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu\'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un + element $\ell$ tel que + $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\mathrm{Vol}(L)}$. +- Soit $p$ un nombre premier congru a $1$ modulo $4$. +- Montrrer qu\'il existe $\omega\in\Z$ tel que $p$ divise + $1+\omega^2$. +- Montrrer qu\'il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $p=a^2+b^2$. +::: +::: exercice +- On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer + qu\'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que + : + - pour tout $i\in\N$, l\'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ + dont les cotes sont paralleles aux axes ; + - les $C_i$ soient d\'interieurs disjoints ; + - $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$. + - On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu\'il existe une suite + $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que : + - pour tout $i\in\N$, l\'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de + $\R^2$ ; + - les $D_i$ soient d\'interieurs disjoints ; + - $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$. +::: ## Probabilités -
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-On note $\mc{A}$ l'ensemble des parties de $A$ de $\N$ telles que $\lim_{n\to+\i}\frac{|A\cap[\![1,n]\!]|}{n}$ existe. Est-ce que $\mc{A}$ est une tribu? -

+::: exercice +On note $\mc{A}$ l\'ensemble des parties de $A$ de $\N$ telles que +$\lim_{n\to+\i}\frac{|A\cap[\![1,n]\!]|}{n}$ existe. Est-ce que $\mc{A}$ +est une tribu? +::: -
+::: exercice +On pose, pour toute permutation $\sigma\in S_n$, +$d(\sigma)=\sum_{k=1}^n|\sigma(k)-k|$ et on note, pour $p\in\N$, +$q_{n,p}=|\{\sigma\in S_n,\ d(\sigma)=p\}|$. Montrer que, si $p\geq 2n$, +alors $q_{n,p}$ est pair. +::: -
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-On pose, pour toute permutation $\sigma\in S_n$, $d(\sigma)=\sum_{k=1}^n|\sigma(k)-k|$ et on note, pour $p\in\N$, $q_{n,p}=|\{\sigma\in S_n,\ d(\sigma)=p\}|$. Montrer que, si $p\geq 2n$, alors $q_{n,p}$ est pair. -

+::: exercice +Un derangement est une permutation $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. +On note $D_n$ le sous-ensemble de $\mc{S}_n$ forme des derangements. -
+- Soit $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $D_n$. + Calculer la probabilite que $X$ soit une permutation paire. -
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-Un derangement est une permutation $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. On note $D_n$ le sous-ensemble de $\mc{S}_n$ forme des derangements. -

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Indications. -

- +- On pourra calculer la difference du nombre d\'elements pairs et + impairs de $D_n$. -
+ - Soit $Y$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur + $\mc{S}_n$. Calculer la probabilite de $(Y\in D_n)$ sachant que + $Y$ est paire. +::: -
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-Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l'ensemble des morphismes de groupes de $(\Z / m \Z)^r$ dans $\Z / m \Z$ de la loi uniforme. Donner une expression simple de la probabilité de l'événement «le morphisme $\phi$ est surjectif». -

+::: exercice +Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l\'ensemble des +morphismes de groupes de $(\Z / m \Z)^r$ dans $\Z / m \Z$ de la loi +uniforme. Donner une expression simple de la probabilité de l\'événement +«le morphisme $\phi$ est surjectif». +::: -
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+::: proof Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois. -

+::: -
+::: exercice +Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une piecee truquee donnant pile avec une +probabilite egale a $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile +rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des +joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) +la variable aleatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$).\* -
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-Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une piecee truquee donnant pile avec une probabilite egale a $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aleatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$).* -

+- Trouver un equivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de + \$**P**`\left`{=latex}(A~n~=B~n~`\right`{=latex}).\$ +- Montrer que $\mathbf{P}\left(A_n\geq B_n\right)\geq\frac{1}{2}$. +- Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)?$ +::: - +::: exercice +On joue a pile ou face avec une piecee pipee : la probabilite de tomber +sur pile est $p\lt 1/2$. On effectue plusieurs lancers a la suite. Le +score est le nombre de fois ou l\'on est tombe sur pile. On gagne le jeu +si, au bout de $2n$ lancers, le score est superieur a $n+1$. Trouver $n$ +qui maximise la probabilite de gagner le jeu au bout de $2n$ lancers.\* +::: -
+::: exercice +Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que +$\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et +$\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de +$\mathbf{P}(X=0)$ ? +::: -
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-On joue a pile ou face avec une piecee pipee : la probabilite de tomber sur pile est $p\lt 1/2$. On effectue plusieurs lancers a la suite. Le score est le nombre de fois ou l'on est tombe sur pile. On gagne le jeu si, au bout de $2n$ lancers, le score est superieur a $n+1$. Trouver $n$ qui maximise la probabilite de gagner le jeu au bout de $2n$ lancers.* -

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-Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ? -

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+::: proof !! -

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On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En fait, mieux, $E(X) E(X^2)\geq (\)$ -

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-On a $(\sum p_i x_i^2) (\sum p_i)\geq (\sum p_i x_i)^2$, donc $2 \sum p_i \geq 1$, donc $\sum p_i \geq \frac{1}{2}$ : $p_0\leq \frac{1}{2}$. -

+On a $(\sum p_i x_i^2) (\sum p_i)\geq (\sum p_i x_i)^2$, donc +$2 \sum p_i \geq 1$, donc $\sum p_i \geq \frac{1}{2}$ : +$p_0\leq \frac{1}{2}$. +::: -
+::: exercice +Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X - {m\geq 0}$ une suite de +variables aleatoires a valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour +$m\in\N$, +$\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$. +Montrer que $(X - {m\geq 1}$ converge en loi vers la loi uniforme sur +$\Z/n\Z$.\* +::: -
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-Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X - {m\geq 0}$ une suite de variables aleatoires a valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour $m\in\N$, $\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$. Montrer que $(X - {m\geq 1}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $\Z/n\Z$.* -

+::: exercice +Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d\'inversions de +$\sigma$ c\'est-a-dire le nombre de couples $(i,j)$ avec $i\lt j$ et +$\sigma(i)\gt \sigma(j)$. -
+- Montrer que + $P_n=\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}X^{I(\sigma)}=\prod_{k=1}^{n-1}(1+X+ \cdots+X^k)$. +- On pose $f(n)=|\{\sigma\in\mc{S}_n,\,(n+1)$ divise $I(\sigma)\}|$. + Exprimer $f(n)$ a l\'aide de $P_n$. +- Montrer qu\'il existe une infinite de nombres premiers $p$ tels que + $f(p-1)\lt \frac{(p-1)!}{p}$ et de meme une infinite de nombres + premiers $p$ tels que $f(p-1)\gt \frac{(p-1)!}{p}$. +::: -
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-Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$ c'est-a-dire le nombre de couples $(i,j)$ avec $i\lt j$ et $\sigma(i)\gt \sigma(j)$. -

+::: exercice +Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aleatoire +suivant la loi uniforme sur l\'ensemble des polynomes unitaires de degre +$n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans +$\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicites). Calculer +$\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$. +::: - +::: exercice +Dans tout l\'exercice, les variables aléatoires considérées sont +supposées réelles, discrètes et à loi de support fini. Pour deux telles +variables $X$ et $Y$, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que +$\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe +$f\colon \R \ra \R$. -
+1. Soient $X$ une variable aléatoire vérifiant les conditions de + l\'exercice et $f\colon \R \ra \R$ convexe. Montrer que + $f(\mathbf{E}(X)) \leq \mathbf{E}(f(X))$. +2. Donner un exemple de couple $(X, Y)$ pour lequel $X \leq_c Y$ mais + $X \neq Y$. +3. Montrer que si $X \leq_c Y$ alors $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et + $\mathbf{V}(X) \leq \mathbf{V}(Y)$. +4. Montrer que $X \leq_c Y$ si et seulement si + $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et -
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-Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynomes unitaires de degre $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicites). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$. -

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-Dans tout l'exercice, les variables aléatoires considérées sont supposées réelles, discrètes et à loi de support fini. Pour deux telles variables $X$ et $Y$, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe $f\colon \R \ra \R$. -

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    -
  1. Soient $X$ une variable aléatoire vérifiant les conditions de l'exercice et $f\colon \R \ra \R$ convexe. Montrer que $f(\mathbf{E}(X)) \leq \mathbf{E}(f(X))$.
    2. -
  2. Donner un exemple de couple $(X, Y)$ pour lequel $X \leq_c Y$ mais $X \neq Y$.
    3. -
  3. Montrer que si $X \leq_c Y$ alors $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(X) \leq \mathbf{V}(Y)$.
    4. -
  4. Montrer que $X \leq_c Y$ si et seulement si $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et
    5. -
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$$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mathbf{P}(Y \geq x)\dx.$$ -

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-On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \llbracket 1, N \rrbracket$, puis $u_2 \in \llbracket 1, u_1-1 \rrbracket$, et ainsi de suite jusqu'à arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note $E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$. -

- -
    -
  1. Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$.
    2. -
  2. Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \not\in E_N\right)$.
    3. -
  3. Calculer $\mathbf{E}\left(\left|E_N\right|\right)$ et $\mathbf{V}\left(\left|E_N\right|\right)$.
    4. -
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    -
  1. $P(k\in E_{k+1}) = \frac{1}{k}$, puis $P(k\in E_n) = \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\big(P(k\in E_{N-1}) + \dots + P(k\in E_{k+1})\big)$. On trouve $P(k\in E_N) = \frac{1}{k}$.
    2. -
  2. On a $P(2\in E_N \mid 3\in E_N) = \frac{1}{2}$.
    3. -
  3. Semble facile.
    4. -
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-Dans tout l'enonce, on fixe un entier $p\geq 1$. -

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-Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au moins une valeur inferieure ou egal a $2\pi p^p$. -

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-suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et $a_1,\ldots,a_n$ des reels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$. -

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-Une variable aleatoire discrete reelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aleatoires discretes reelles non presque surement constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aleatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aleatoire binomiale est-elle decomposable? -

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-Soit $p\in\left]0,1/2\right[$. Soit $(X - {k\geq 1}$ une suite de variables de Bernoulli i.i.d. de parametre $p$. On pose $ Sn=∑k=1nXk$ pour $n\in\N^*$. Determiner la plus grande valeur prise par la suite $(\mathbf{P}(S_{2n}\gt n))_{n\geq 1}$. -

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-On fixe $n\in\N^*$ et on pose $ X=[\![1,n]\!]$. Soient $A$ et $B$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$. -

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-Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considere un echiquier $n\times n$. On calorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilite $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilite pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constite uniquement de cases rouges (il est entendu que les deplacements ne se font pas en diagonale). Que dire de la fonction $Q$? -

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-Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes de loi de Rademacher. On pose $ Sn=X1+⋯+Xn$ pour $n\geq 1$. -

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-Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et $(m - {k\in\N}$ une suite de reels positifs de somme 1. On considere un arbre aleatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aleatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aleatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement independantes. On note $X_1$ la variable aleatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caracteriser le fait que la longueur de l'arbre soit presque surement finie. -

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-On construit iterativement et aleatoirement un arbre aleatoire sur l'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aleatoirementun point dans $\llbracket 1,k\rrbracket$ (avec probabilite uniforme) et on rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere independante les uns des autres. -

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-Soient $E$ un ensemble fini, $V: E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point $a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout $b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient $b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que $f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, pour tout $n \geq 0$ : -

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-Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins $1 / 2$. -

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-La donnée est celle d'un graphe. Étant donné l'algorithme, on peut retirer des arêtes, de sorte que les voisins de $a$ vérifient $f(b)\lt f(a)$. Auquel cas il n'y a plus de cycles. -

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-Alors on choisit $\sqrt{n}$ sommets du graphe, puis le minimum. On veut montrer la plus longue chaîne décroissante à partir de celui-ci est de longueur $\leq \sqrt{n}$ avec probabilité $\frac{1}{2}$. -

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-On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer que c'est injectif. -

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-Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à un graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$. -

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-Une variable aleatoire reelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ i.i.d. et admettant des moment d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante. -

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-On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aleatoires independantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$. -

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-On fixe un entier $n\geq 1$. On considere la relation d'ordre partielle $\preccurlyeq$ sur $\R^n$ definie par $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ x_i \leq y_i$. Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque $f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que $x\preccurlyeq y$. -

- - - -

-Montrer que $\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big{(}\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_ {n-1},0)+\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_{n-1},1))\Big{)}$. - Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ et $g:\{0,1\}^n\to\R$ croissantes. -

- -

-Montrer que $\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \,\mathbf{E}(g(X_1,\ldots,X_n))$. -

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-Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilite. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation. -

- - - -
- -
-

-On considere une suite i.i.d. $(X - {n\geq 1}$ de variables aleatoires suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On definit $(S - {n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$. -

- -

-a) i) Determiner l'esperance et la variance de $S_n$. -

- - - -
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-Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et $S = \left\{ \pm e_i, 1 \leq i \leq d\right\}$, où $e_i$ désigne l'élément de $G$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la $i$-ème, égale à $\overline{1}$. Soient enfin $f\colon G \ra \R$ une fonction quelconque et $X$ une variable aléatoire uniformément distribuée sur $G$. -

- -

-Montrer que $\mathbf{E}(|f(X)-\mathbf{E}(f(X))|) \leq \frac{n d}{2} \max_{s \in S} \mathbf{E}(|f(X)-f(X+s)|)$. -

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-C'est simple : On peut passer d'un somme à un autre en au plus $\frac{n d}{2}$ pas. -

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- - -## ENS PSI :autre: - - -### Algebre - -
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-Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in\mc{L}(E)$, annule par un polynome $Q$ tel que $Q(0)=0$ et $Q'(0)\neq 0$. Montrer que $\op{Ker}u$ et $\op{Im}u$ sont supplementaires. -

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-Soient $E$ un $\C$ espace vectoriel de dimension finie $n$, $f\in\mc{L}(E)$. On pose $\forall g\in\mc{L}(E)$, $\phi_f(g)=f\circ g-g\circ f$. -

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-Soient $n\in\N^*$, $c_0,c_1,\cdots,c_{2n-1}\in\R$ tels que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\cdots=c_{2n-1}=0$. Soit $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On definit les matrices $A,B,P$ de $\M_n(\R)$ par -

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-$a_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+1=j\\ -c_{i-1}\ \ \text{si }j=n\end{cases}$, $b_{i,j}=c_{i+j-1}$ et $p_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+j-1=n\\ 0\ \ \text{sinon}\end{cases}$. -

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-Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer qu'il existe $P\in{\R}[X]$ tel que $P(A)={\rm Com}(A)^T$. -

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-Ind. Commencera par $A$ inversible. -

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-Soient $E$ un ${\R}$-espace vectoriel de dimension $d\in{\N}^*$ et $f\in{\cal L}(E)$ telle que $fˆ f=-$id. -

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-Soient $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $AB-BA=A$. -

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-Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que ${\rm Sp}(A)\subset\bigcup_{i=1}^n\Bigg{\{}z\in{\C},|z-a_{i,i}| \leq\sum_{1\leq j\leq n\atop j\neq i}|a_{i,j}|\Bigg{\}}$. -

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-On note ${\cal S}\subset{\cal M}_n({\R})$ l'ensemble des matrices stochastiques : $M=(m_{i,j})\in{\cal S}$ si $\forall(i,j)\in[\![1,n]\!]^2$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nm_{i,k}=1$. Pour tout $A\in{\cal M}_n({\R})$, on note ${\rm Sp}(A)$ l'ensemble de ses valeurs propres. -

- - - -

-c) i) Montrer que, pour tout $A\in{\cal S}$, on a ${\rm Sp}(A)\subset\{z\in{\C},|z|\leq 1\}$. -

- -

-Ind. Si $X=(x_1,\cdots,x_n)\in{\C}^n$ est un vecteur propre, considerer $|x_i|=\max_{1\leq j\leq n}|x_j|$. -

- - - -
- -
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-Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un plan euclidien, $\mc{V}=(v_1,\ldots,v_n)$ une famille de vecteurs de $E$ de norme 1 telle que $\langle v_1,v_2\rangle=\langle v_2,v_3\rangle=\ldots=\langle v_n,v_ {1}\rangle$. Soit $\mathbb{D}_{2n}$ l'ensemble des isometries vectorielles de $E$ qui laissent invariantes la famille $\mc{V}$, c'est-a-dire : -

- -

-$\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\llbracket 1,n \rrbracket\,\sigma(v_i)\in\mc{V}\}$. -

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- - -
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-On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0,\ldots,c_{2n-1})\in\R^{2n}$ tel que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\ldots=c_{2n-1}=0$. On pose $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On considere enfin les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ suivantes : $A=(a_{i,j})$, ou $a_{i,j}=1$ si $j=i-1$, $a_{i,j}=-c_{i-1}$ si $j=n$ et $a_{i,j}=0$ sinon ; $B=(c_{i+j-1})$ et $C=(\delta_{i+j,n+1})$. -

- - - -
- -
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-a) i) Soit $m$ un entier $\geq 2$. Montrer que $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}\leq\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1} {\sqrt{k(m-k)}}$. -

- - - -
- -
-

-On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. On considere des reels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, et, pour tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq n$, on pose $M_i=(\lambda_i,\lambda_i^{-1})$.On considere $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\R^n$ tel que $\|y\|_2=1$ et on note $M$ le barycentre des $M_i$ pondere par les coefficients $y_i^2$. -

- - - -

-Montrer que $\|x\|_2^4\leq\langle Ay,y\rangle\langle A^{-1}y,y\rangle\leq \dfrac{1}{4}\left(\sqrt{\dfrac{\lambda_1}{\lambda_n}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}}\right)^2\|x\|_2^4$. -

- - - -
- - -### Analyse - -
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-On pose $A_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\sin(t)dt$, $B_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\cos(t)dt$ et $X_n=\begin{pmatrix}A_n\\ B_n\end{pmatrix}$ pour tout $n\in\N$. -

- - - -

-$\forall n\in\N,\int_0^{+\i}t^ng_1(t)dt=\int_0^{+ \i}t^ng_2(t)dt$ -

- -
- -
-

-Soient $E=\mc C^0([0,1],\C)$ et $F=\mc{D}^1([0,1],\C)$. On definit $T$ comme l'operateur qui, a tout $f\in E$ associe : On note $E_{\lambda}$ le sous-espace propre de $T$ pour une valeur propre $\lambda$. -

- -

-a) i): Montrver que $T$ est un endomorphisme. -

- - - -

-b) i): Montrver que $E_1$ est l'ensemble des fonctions constantes. -

- - - -
- -- Montrver que, si $|\\lambda|\\lt \\dfrac{1}{2}$, $D\_{\\lambda}\\neq\\{0\\}$. - Comparer $T(f')$ et $(Tf)'$ pour $f\\in F$. - -**iii)**: Montrrer que, si $|\\lambda|\\geq\\frac{1}{2}$ et $\\lambda\\neq\\frac{1}{2}$, $D\_{\\lambda}=\\{0\\}$. - -
-

-Soit $(u - {n\geq 0}$ la suite de fonctions definie par : -

- -

-$\forall x\in\R\,\ u_0(x)=0$ et $\forall n\in\N^*$, $\forall x\in\R$, $u_n(x)=\frac{x}{n(1+nx^2)}$. -

- - - -
- -
-

-On fixe $p\gt 1$. On note $q$ l'unique reel tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. -

- -

-Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ continue et non identiquement nulle tel que $\int_0^{+\i}f(t)^pe^t\,dt$ converge. -

- - - -

-Ind. Utiliser un argument de convexite ou une etude de fonction. -

- -

-b) i): Soit $A\gt 0$, et soient $g$ et $h$ deux fonctions continues de $[0,A]$ dans $\R$. -

- -

-Montr re que la suite $(u_n)$ est bien definie et qu'il existe $K\in\R^{+*}$ telle que -

- -

-$\forall n\in\N\,,\ |u_n|\leq K\left(\frac{p}{q}\right)^n(I( nq))^{1/q}$. -

- - - -
- -
-

-Soit $\alpha\in\R$. On pose $g_{\alpha}:t\in\,]0,+\i[\mapsto e^{-t}t^{\alpha}$. -

- - - -

-Soit $a\gt 0$. On pose $I(a)=\int_0^{+\i}e^{-t^2-a^2/t^2}\,dt$ et $J(a)=a\int_0^{+\i}\frac{e^{-t^2-a^2/t^2}}{t^2}dt$. -

- - - -
- -
-

-Soient $a\gt 0$ et $q\in\mc C^2([a,+\i[,\R^{+*})$ telle que $\int_a^{+\i}\sqrt{q(t)}\,dt=+\i$. Soit $(E)$ l'equation differentielle $y^{''}+qy=0$. -

- - - -
- -
-

-On considere une solution $u$ de l'equation de transport : -

- -

-$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=f(x,t)$ ou $u(x,0)=u_0(x)$. -

- - - -

-$u(x,t)=u_0(x_0)+\int_0^tf(x_0+c\theta,\theta)\,d\theta$. -

- - - -

-$\frac{\partial^2u}{\partial^2t}(x,t)-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2 x}(x,t)=0$ ou $u(x,0)=g(x)$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=h(x)$. -

- -

-b) i): On suppose $u$ de classe $\mc C^2$. Montrver que :$\left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( \frac{\partial u}{\partial t}-c\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{ \partial^2u}{\partial^2t}-c2\frac{∂2u}{∂2x}.$ -

- - - -

-$u(x,t)=\frac{1}{2}(g(x-ct)+g(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}h(\tau)\,{\rm d}\tau$. -

- -

-c) i) Trouver toutes les solutions ${\cal C}^2$ de l'equation d'onde a variables separees, de la forme : $u(x,t)=\phi(t)\psi(x)$ -

- - - -
- -
-

-On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. On dit que $f$ est differentiable sur l'ouvert $\Omega$ si $\nabla f$ existe et est continu. -

- - - -

-$\forall w,v\in\R^d$, $f(w)\geq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle$. Ind. Commencer par $d=1$. -

- - - -
- - -### Probabilites - -
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-Soit $n\geq 2$. On note $n=p_1^{s_1}\dots p_r^{s_r}$ sa decomposition en facteurs premiers. On munit $\Omega=\{1,\dots,n\}$ de la loi uniforme. Pour tout diviseur $d$ de $n$, on note $A_d$ l'ensemble des multiples de $d$ contenus dans $Ω:Ad=\left\{kd\,,\ k≤\frac{n}{d}\right\}.$ -

- -

-a) i) Montrer que si $d$ et $d'$ sont deux entiers premiers entre eux alors $A_d\cap A_{d'}=A_{dd'}$, et en deduire que $A_d$ et $A_{d'}$ sont independants. - On note $B=\{k\in\Omega,\ k\wedge n=1\}$. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_i}$ et en deduire une expression de $\mathbf{P}(B)$ puis de $|B|$. Cette valeur sera notee $\phi(n)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $X$ une variable aleatoire definie sur $(\N,\mc{P}(\N))$. Soient $\mathbf{P_1}$ et $\mathbf{P_2}$ deux probabilites sur $(\N,\mc{P}(\N))$. On suppose que, pour tout $n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_2}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_1}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P_2}(X=n)\gt 0$. Soit $A=\{n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\leq\mathbf{P_2}(\{n\})\}$. -

- -

-On pose, pour $n\in\N$, $u_n(X)=\mathbf{P_2}(X=n)\ln\left(\frac{\mathbf{P_2}(X=n)}{\mathbf{P_1} (X=n)}\right)$. -

- -

-Enfin, on pose $\ell(X)=\sum_{n=0}^{+\i}u_n(X)$ si cette serie converge, $\ell(X)=+\i$ sinon. -

- - - -
- -
-

-Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires a valeurs reelles, identiquement distribuees, centres, de variance finie $\sigma^2$ et independantes. On suppose de plus $\mathbf{P}(|X_1|\gt 1)=0$. On note $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. -

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- - -## ENS PC :autre: - - -### Algebre - -
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-${}^{\bigstar}$ Soit $A$ une partie de cardinal $n$ de $\R$. On pose $B=A+A=\{a+a',\ a,a'\in A\}$. Montrer que $2n-1\leq\mathrm{card}(B)\leq\dfrac{n(n+1)}{2}$. Generaliser a $B=kA=A+A+\cdots+A$ ($k$ fois). -

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-Soient $a,b\in\Z$ deux entiers distincts. Trouver tous les polynomes $P\in\Z[X]$ tels que $P(a)=b$ et $P(b)=a$. -

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-${}^{\bigstar}$ Soient $P_1,P_2,P_3,P_4\in\R[X]$. Montrer qu'il n'existe aucun voisinage ouvert de $0$ sur lequel on ait simultanement i) $\forall x\lt 0,\ P_1(x)\lt P_2(x)\lt P_3(x)\lt P_4(x)$ -

- -

-ii) $\forall x\gt 0,\ P_2(x)\lt P_4(x)\lt P_1(x)\lt P_3(x)$. -

- -
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-[PL] Soit $E=\M_n(\R)$. Calculer le determinant de l'application $\Phi\colon M\in E\mapsto M^T\in E$. -

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-Considerons des reels $0\leq x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n\leq 1$. Montrer qu'il existe des reels $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $\forall P\in\R_n[X]$, $\int_0^1P(t)\,dt=\sum_{k=0}^n\alpha_kP(x_k)$. -

- -
- -
-

-Soient $A,B\in\M_n(\R)$. -

- - - -
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-Soit $M\in\M_2(\Z)$. On suppose qu'il existe $k\in\N^*$ tel que $M^k=I_2$. Montrer que $M^{12}=I_2$. -

- -
- -
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-Soient $\eps\in\bigg{]}\,0\,;\dfrac{1}{4}\,\bigg{[}$ et $M$ la matrice $M=\left(\begin{smallmatrix}1-2\eps&\eps&0&\cdots&0&\eps \\ \eps&1-2\eps&\eps&\ddots&\vdots&0\\ 0&\eps&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\eps&0\\ 0&\cdots&0&\eps&1-2\eps&\eps\\ \eps&0&\cdots&0&\eps&1-2\eps\\ \end{smallmatrix}\right)\in\M_k(\R)$ -

- - - -
- -
-

-Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ qui preserve le produit scalaire canonique : -

- -

-$\forall(x,y)\in(\R^n)^2,\ \langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$. Montrer que $f$ est une isometrie lineaire.# 228 - Soit $A\in S_3(\R)$ telle que $\op{tr}(A)=3,\op{tr}(A^2)=5$, $\op{tr}(A^3)=9$. Determiner la borne inferieure de $\op{tr}(M^2)$ lorsque $M$ decrit $\big{\{}M\in\mc{S}_3(\R)\;;\;\op{tr}(AM)=1$ et $\op{tr}(A^2M)=1\big{\}}$, -

- -
- -
-

-Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mc{S}_2^+\left(\R\right)$ telles que, pour tout $s\in\R^{+*}$, -

- -

-$\op{tr}\left(\left(sI_2+A\right)^{-1}\right)=\op{tr} \left(\left(sI_2+B\right)^{-1}\right)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. Est-ce toujours vrai en dimension $n$? -

- -
- - -### Analyse - -
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-On note $\parallel\;\;\parallel_1$ la norme sur $\R^n$ definie par : -

- -

-$\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\;\|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_{ k}|$. -

- - - -
- -
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-Soient $d\in\N^*$ avec $d\geq 2$ et $p\in[1,+\i[$. On definit la norme $\parallel\;\;\parallel_p$ sur $\R^d$ par $\forall X\in\R^d,\,\|X\|_p=\left(\sum_{k=1}^d|x_k|^p \right)^{1/p}$. Pour tous $X,Y\in\R^d$ et $t\in\R$, on pose -

- -

-$\rho(X,Y,t)=\frac{1}{2}(\|X+tY\|_p+\|X-tY\|_p)-1$ et $\overline{\rho}(t)=\sup_{\|X\|_p=\|Y\|_p=1}\rho(X,Y,t)$. -

- - - -
- -
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-Soit $E$ l'espace des fonctions $f\colon\left[\,0\,;1\,\right]\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $f(0)=0$. Pour $f\in E$, on pose $\|f\|=\left\|f+f'\right\|_{\i}$. -

- - - -
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-Soient $(E,\left\|\cdot\right\|)$ un espace vectoriel norme de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|\leq\|x\|$. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nf^k$. Etudier le comportement de $s_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. -

- -
- -
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-Soient $E=\R^{\N}$ et $D:E\to E$ defini par -

- -

-$\forall u\in E,\,D(u)=u'$ avec $\forall n\in\N,\;u'_n=u_{n+1}-u_n$. -

- - - -

-$H=\left\{\dfrac{\left\langle u,D(u)\right\rangle}{\left\|u\right\|^2}\;;\;u ∈ F∖\left\{0\right\}\right\}.$ -

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-On considere la suite $\left(F_n\right)_{n\geq 0}$ definie par $F_0=0$, $F_1=1$ puis $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$ pour tout $n\in\N$. -

- -

-Montrere que tout entier $N\in\N^*$ s'ecrit de maniere unique $N=F_{p_1}+F_{p_2}+\cdots+F_{p_m}$ avec des entiers $p_i$ tels que $p_{i+1}-p_i\geq 2$ pour tout $i\in\llbracket 1\,;\,m-1\rrbracket$ et $p_1\geq 2$. Prouver l'unicite de cette ecriture. -

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-

-Pour $n\in\N^*$, on pose $u_n=\left(\prod_{k=n}^{2n}k^k\right)^{1/n}$ -

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-Quelle est la nature de la serie $\sum\sin(2\pi\,n!\,e)\,?$ -

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-Quelle est la nature de la serie $\sum\tan(2\pi\,n!\,e)\,?$ -

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-Nature, suivant la valeur de $\alpha\in\R$, de $\sum|\sin\left(2\pi\mathrm{e}n!\right)|^{\alpha}$. -

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-Quelle est la nature de la serie de terme general $\dfrac{\sin^2(n)}{n}\,?$ -

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-Soit $\sum a_n$ une serie convergente de reels positifs. Montrere que la serie $\sum\dfrac{a_n^x}{n}$ converge pour tout $x\gt 0$. -

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-Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $\sum\exp(a_n)$ converge. -

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-Determiner $\lim_{k\to+\i}\sum_{n=0}^{+\i}\exp(ka_n)$. -

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-Soient $f\colon\R\to\R$ une fonction derivable et $\ell$ un reel. -

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-On suppose que $f(x)+f'(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Etudier la limite de $f$ et de $f'$ en $+\i$. -

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-Soient $g:[0,1]\to\R$ continue et $F:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $:F(0)=1$ et $\forall x\in[0,1]$, $|F'(x)|=F(x)g(x)$. Determiner les valeurs possibles de $F(1)$. -

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-Soient $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ et $(a,b,c,d)\in\R^4$ tels que les fonctions $af'+bf$ et $cf'+df$ soient bornees. A quelle condition sur $(a,b,c,d)$ la fonction $f$ est-elle bornee?[MISSINGPAGEFAIL:1]# 256 - [PL] Soit $g\in{\cal C}^0([0,1],{\R}_+^*)$. On definit $\Phi\colon x\in{\R}\mapsto\ln\left(\int_0^1e^{xt}g(t)\;{\rm d}t\right)$. -

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-Soit $f\in C^k({\R}^+,{\R})$ telle que $f^{(k)}$ est bornee sur ${\R}^+$. -

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-Soit $F:\lambda\in{\R}^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}e^{-\lambda t}f(t)\,{\rm d }t$. Determiner un developpement asymptotique de $F(\lambda)$ lorsque $\lambda\to+\i$. -

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-Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere au voisinage de $0$ avec un rayon $\gt 1$. Soient $\phi\in C^0([0,1],{\R})$ et $g:x\mapsto\int_0^1\phi(y)f(x-y)\,{\rm d}y$. Montrer que $g$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$. -

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-Soit $P\in{\R}_n[X]$. On cherche les applications $f:{\R}^2\mapsto{\R}$ de classe $C^2$ verifiant $(*)$ : $\forall(t,x)\in{\R}^2,\,\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)=\frac{ \partial^2f}{\partial x^2}(t,x)$ et $f(0,x)=P(x)$. -

- - - -
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-Soient $u,v:{\R}^2\to{\R}$ de classe ${\cal C}^1$ telles que $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$. -

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-On note $D$ le disque unite ouvert et $C$ le cercle unite. Soit $g$ une fonction continue sur $D$ et $f$ une fonction continue sur $C$. Montrer qu'il existe au plus une fonction $u$ de classe ${\cal C}^2$ sur le disque unite ferme, de classe ${\cal C}^2$ sur $D$ et telle que $\Delta u=g$ sur $D$ et $u=f$ sur $C$. -

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- - -### Geometrie - -
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-Montrer qu'un polygone convexe a $n$ sommets inscrit dans le cercle unite est d'aire maximale si et seulement si le polygone est regulier. -

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- - -### Probabilites - -
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-On retourne une par une les cartes d'un jeu de 52 cartes. Trouver l'esperance du nombre de cartes retournees avant d'obtenir le premier as (on demande un raisonnement intuitif sans calcul de la loi). -

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-On considere deux capteurs independants, qui detectent chacun en moyenne 5000 evenements par an. Quelle est la probabilite que les deux detecteurs detectent un evenement pendant la meme seconde? -

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-Soient $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur le groupe symetrique $\mc{S}_n$ et $A\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. On pose $k=|A|$. Calculer $\mathbf{P}(A=\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})$. -

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-Soient $X,Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\{1,2,3\}$ telles que $Y$ suive la loi uniforme sur $\{1,2,3\}$ et $\mathbf{P}(X=1)=\frac{1}{2}$, $\mathbf{P}(X=2)=\mathbf{P}(X=3)=\frac{1}{4}$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{E}((X-Y)^2)$? -

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-Existe-t-il des variables aleatoires $X,Y$ telles que $X\sim\mc{B}(p)$, $Y\sim\mc{P}(p)$ et telles que l'on ait $\mathbf{P}(X=Y)=1-p+pe^{-p}$? -

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-On considere $X$ de loi $\mc{B}(p)$ et $Y$ de loi $\mc{P}(p)$ avec $p\in[0,1]$. Majorer $\mathbf{P}(X=Y)$ et trouver des variables $X$ et $Y$ pour lesquelles cette majoration est atteinte. -

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-Soient $X,Y$ deux variables aleatoires entieres independantes qui suivent la meme loi. -

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-Montrer que $\forall n\in\N,\,\forall k\in\llbracket 0\,;\,n\rrbracket$, $\mathbf{P}(X=k\,|\,X+Y=n)=\frac{1}{n+1}$. -

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-On considere $M=\left(\begin{array}{cc}X&Y\\ Y&X\end{array}\right)$, ou $X$ et $Y$ independantes avec $X$ de loi $\mc{P}(\lambda)$ et $Y$ de loi $\mc{G}(p)$. -

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-${}^{\bigstar}$ Soit $\left(X_n\right)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires a valeurs dans $\N$. On suppose que $\mathbb{P}(X_1=0)\mathbb{P}(X_1=1)\neq 0$. On pose, pour $n\in\N$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Montrer que $\mathbf{P}(4\text{ divise }S_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\frac{1}{4}$. -

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-Soient $n\in\N^*$ et $p\in]0,1[$. On considere dans le plan un graphe non oriente aleatoire de $n$ sommets. On note $X_{i,j}=1$ si les points d'indices $i$ et $j$ sont relies, et $0$ sinon. On suppose les $X_{i,j}$ independantes et de meme loi $\mc{B}(p)$. On note $T_n$ le nombre de triangles formes par ces $n$ points. On pose $a_n=\binom{n}{3}p^3$. -

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-Calculer $\mathbf{E}(T_n)$ et montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_n}{a_n}-1\right|\gt \eps\right)=0$. -

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-On considere une matrice aleatoire $M=(m_{i,j})$ de taille $n\times n$ qui est symetrique, ou chaque variable aleatoire $m_{i,j}$ suit la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et ou les variables aleatoires $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont independantes. -

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-Pour tout $\eps\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}(\lambda_1\geq n\eps)\underset{n\to\i}{ \longrightarrow}0$. -

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-On note $\langle\,\ \rangle$ le produit scalaire canonique dans $\R^n$ et $\|\ \|$ la norme euclidienne associee. -

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-Pour tout reel $\eps\gt 0$, montrer que $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\Big{(}\lambda_1\geq\frac{n}{2}(1- \eps)\Big{)}\underset{n\to\i}{\longrightarrow}1$. -

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- - -# X :xens: - -
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-On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter que $p(n)\leq 2^{n-1}$. -

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-Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ et $X=\{s\in\N;\ 2^s\,|\,n!\}$. -

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+::: + +::: proof +::: + +::: exercice +On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable +$u_1 \in \llbracket 1, N \rrbracket$, puis +$u_2 \in \llbracket 1, u_1-1 \rrbracket$, et ainsi de suite jusqu\'à +arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note +$E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$. + +1. Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$. +2. Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \not\in E_N\right)$. +3. Calculer $\mathbf{E}\left(\left|E_N\right|\right)$ et + $\mathbf{V}\left(\left|E_N\right|\right)$. +::: + +::: proof +1. $P(k\in E_{k+1}) = \frac{1}{k}$, puis + $P(k\in E_n) = \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\big(P(k\in E_{N-1}) + \dots + P(k\in E_{k+1})\big)$. + On trouve $P(k\in E_N) = \frac{1}{k}$. +2. On a $P(2\in E_N \mid 3\in E_N) = \frac{1}{2}$. +3. Semble facile. +::: + +::: exercice +Dans tout l\'enonce, on fixe un entier $p\geq 1$. + +- Developpper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ + de nombres reels. +- Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la + loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose + $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que + $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$. +- Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq p^p(\mathbf{E}(X^2))^p$. + +```{=html} + +``` +- Soit $(a - {k\geq 1}$ une suite reelle telle que + $\sum_{k=1}^{+\i}a_k^2=1$. Soient $x\in\R$ et + $Y_x=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx)\,X_i$. + +Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au +moins une valeur inferieure ou egal a $2\pi p^p$. +::: + +::: exercice +suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des +variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et +$a_1,\ldots,a_n$ des reels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$. + +- Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$. +- Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$. +- Montrer que si $\sum_{k=1}^na_k^2=1$ alors + $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$. +- Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute + generalite. +::: + +::: exercice +Une variable aleatoire discrete reelle $X$ est dite decomposable s\'il +existe deux variables aleatoires discretes reelles non presque surement +constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - +Une variable aleatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable +aleatoire binomiale est-elle decomposable? + +- Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme + produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$. + En deduire une variable aleatoire reelle discrete decomposable $X$ + telle que $X^2$ ne soit pas decomposable. +- Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aleatoire suivant la loi + uniforme que $[\![0,n-1]\!]$. Donner une condition necessaire et + suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable. +::: + +::: exercice +Soit $p\in\left]0,1/2\right[$. Soit $(X - {k\geq 1}$ une suite de +variables de Bernoulli i.i.d. de parametre $p$. On pose \$ +S~n~=∑~k=1~^nX^~k~\$ pour $n\in\N^*$. Determiner la plus grande valeur +prise par la suite $(\mathbf{P}(S_{2n}\gt n))_{n\geq 1}$. +::: + +::: exercice +On fixe $n\in\N^*$ et on pose \$ X=\[\\\![1,n\]\\!\]\$. Soient $A$ et +$B$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur +l\'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$. + +- Determiner la loi, l\'esperance et la variance de la variable + aleatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$). +- Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, + $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. +- Pour $i\in[\![1,n]\!]$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction + indicatrice du singleton $\{i\}$. Determiner la loi de + $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$. +- Calculer $\mathbf{P}(A\subset B)$. Commenter. +::: + +::: exercice +Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considere un echiquier $n\times n$. +On calorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilite $p$ +(resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilite pour qu\'il existe un +chemin joignant le bord gauche au bord droit constite uniquement de +cases rouges (il est entendu que les deplacements ne se font pas en +diagonale). Que dire de la fonction $Q$? +::: + +::: exercice +Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes de +loi de Rademacher. On pose \$ S~n~=X~1~+⋯+X~n~\$ pour $n\geq 1$. + +- Calculer l\'esperance du nombre $R$ de retour en zero de la suite + $(S - {n\geq 1}$. +- Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la + probabilite qu\'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est egale + a $1$. +- Montrer que l\'evenement $(R=+\i)$ est presque sdr. +::: + +::: exercice +Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et +$(m - {k\in\N}$ une suite de reels positifs de somme 1. On considere un +arbre aleatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre +aleatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, +$\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aleatoires correspondant au nombre +de succcesseurs sont mutuellement independantes. On note $X_1$ la +variable aleatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. +Caracteriser le fait que la longueur de l\'arbre soit presque surement +finie. +::: + +::: exercice +On construit iterativement et aleatoirement un arbre aleatoire sur +l\'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon +le procede suivant : a l\'etape $k$, on choisit aleatoirementun point +dans $\llbracket 1,k\rrbracket$ (avec probabilite uniforme) et on +rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix +s\'effectuent de maniere independante les uns des autres. + +- On note $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre d\'aretes + partant du point $1$. Determiner l\'esperance et la variance de + $X_n$. +- On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aleatoire donnant le + nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Determiner la + loi de $S_n$. +- Calculer l\'esperance du nombre de feuilles de l\'arbre. +::: + +::: exercice +Soient $E$ un ensemble fini, $V: E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ +vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point +$a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout +$b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient +$b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et +uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que +$f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit +$\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, +pour tout $n \geq 0$ : + +- si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$; +- sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et + $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$. + +Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins +$1 / 2$. +::: + +::: proof +La donnée est celle d\'un graphe. Étant donné l\'algorithme, on peut +retirer des arêtes, de sorte que les voisins de $a$ vérifient +$f(b)\lt f(a)$. Auquel cas il n\'y a plus de cycles. + +Alors on choisit $\sqrt{n}$ sommets du graphe, puis le minimum. On veut +montrer la plus longue chaîne décroissante à partir de celui-ci est de +longueur $\leq \sqrt{n}$ avec probabilité $\frac{1}{2}$. + +On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer +que c\'est injectif. + +Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on +peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à un +graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$. +::: + +::: exercice +Une variable aleatoire reelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet +un moment d\'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe +$(X_{i,n})_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ i.i.d. et admettant des +moment d\'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si +$X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement +constante. +::: + +::: exercice +On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aleatoires +independantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe +$a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs +dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et +$\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$. + +- Quelle relation doivent verifier $a_i$ et $p_i$ pour que + $\mathbf{V}(X_i)=1$? Dans toute la suite, on suppose cette relation + verifiee et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. +- Calculer la variance de $n^{-1/2}S_n$. +- Montrer que + $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))=\prod_{i=1}^n\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tX_i)$. +- En deduire que + $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$. +::: + +::: exercice +On fixe un entier $n\geq 1$. On considere la relation d\'ordre partielle +$\preccurlyeq$ sur $\R^n$ definie par +$x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ x_i \leq y_i$. +Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque +$f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que +$x\preccurlyeq y$. + +- Donner un exemple de fonction croissante non constante de + $\{0,1\}^n$ dans $\R$. +- Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables + aleatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$. Soit + $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$. + +Montrer que +$\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big{(}\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_ {n-1},0)+\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_{n-1},1))\Big{)}$. - +Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ et $g:\{0,1\}^n\to\R$ croissantes. + +Montrer que +$\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \,\mathbf{E}(g(X_1,\ldots,X_n))$. +::: + +::: exercice +Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de +probabilite. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la +variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d\'une permutation. + +- Soit $I\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer + $\mathbf{P}\left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)$. +- Exprimer $N$ avec des indicatrices. Calculer $\mathbf{E}(N)$ et + $\mathbf{V}(N)$. +- Soient $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ et + $F\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer + $\sum\limits_{I\subset\llbracket 1,n\rrbracket,\ |I|=k}\prod\limits_{i\in I} \mathbf{1}_F(i)$. +- Soit $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer + $\mathbf{E}(N(N-1)\cdots(N-k+1))$. +- Soient $X\sim\mc{P}(1)$ et $k\in\N$. Calculer + $\mathbf{E}(X(X-1)\cdots(X-k+1))$. +- Calculer $\mathbf{P}(N=0)$. +::: + +::: exercice +On considere une suite i.i.d. $(X - {n\geq 1}$ de variables aleatoires +suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On definit +$(S - {n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$. + +[a) i)]{.underline} Determiner l\'esperance et la variance de $S_n$. + +- Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n)$ + tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$. +- Soit $\eps\gt 0$. Montrer que + $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n^{2/3})$ tend vers $0$ quand $n$ + tend vers $+\i$. +- On considere la variable aleatoire + $T_n:\omega\mapsto\min\{k\in\N,\ S_k(\omega)\geq n\}$. Determiner + l\'ensemble des valeurs prises par $T_n$. +- Soit $k\geq 2$. Montrer que + $\mathbf{P}(T_n=k)=\frac{1}{2}\mathbf{P}(T_{n-1}=k-1)+\frac{1}{2} \mathbf{P}(T_{n-2}=k-1)$. +- Calculer l\'esperance de $T_n$. +::: + +::: exercice +Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et +$S = \left\{ \pm e_i, 1 \leq i \leq d\right\}$, où $e_i$ désigne +l\'élément de $G$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la +$i$-ème, égale à $\overline{1}$. Soient enfin $f\colon G \ra \R$ une +fonction quelconque et $X$ une variable aléatoire uniformément +distribuée sur $G$. + +Montrer que +$\mathbf{E}(|f(X)-\mathbf{E}(f(X))|) \leq \frac{n d}{2} \max_{s \in S} \mathbf{E}(|f(X)-f(X+s)|)$. +::: + +::: proof +C\'est simple : On peut passer d\'un somme à un autre en au plus +$\frac{n d}{2}$ pas. +::: + +# X [[xens]{.smallcaps}]{.tag tag-name="xens"} {#x} + +::: exercice +On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter +que $p(n)\leq 2^{n-1}$. +::: + +::: exercice +Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, +$n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ et $X=\{s\in\N;\ 2^s\,|\,n!\}$. + +- Montrer que $\max X=n-r$. +- Montrer que le nombre d\'entiers $k$ tels que $\binom{n}{k}$ est + impair est $2^r$. +::: + +::: exercice ${}^{\bigstar}$ -

- +- Montrer que l\'equation $a^2-2b^2=1$ admet une infinite de solutions + $(a,b)\in\N^2$. -

-Determiner l'ensemble des solutions. -

+Determiner l\'ensemble des solutions. - +- Que dire de l\'ensemble des solutions de $a^2-2b^2=-1$?# 278 -

-Si $G$ est un groupe, les elements d'ordre fini forment-il un sous-groupe? -

+Si $G$ est un groupe, les elements d\'ordre fini forment-il un +sous-groupe? +::: -
+::: exercice +- Trouver deux groupes $G_1$ et $G_2$ non isomorphes de cardinal + $2023=7.17^2$. + - Soit $p$ premier. Montrer qu\'un groupe de cardinal $p^2$ est + isomorphe a $\Z/p^2\Z$ ou $\hat{\text{a}}\,(\Z/p\Z)^2$. + - Soient $G,H$ deux groupes finis et $\psi:G\to H$ un morphisme + surjectif. -
- - -

Montrer que $|G|=|H|\times|\op{Ker}\psi|$. -

- +- On suppose que $G$ est un groupe de cardinal $2023$, que $H=\Z/7\Z$ + et que $\phi:G\to H$ est un morphisme surjectif. Montrer que $G$ est + isomorphe a $\Z/7\Z\times\op{Ker}\phi$. +- Montrer que tout groupe de cardinal $2023$ est isomorphe a $G_1$ ou + $G_2$. +::: -
+::: exercice +Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ +sans point fixe c\'est-a-dire tel que : $\forall x\in G$, +$\phi(x)=x\Rightarrow x=1$. On note $n$ l\'ordre de $\phi$ ; c\'est le +plus petit entier $n\in\N^*$ tel que $\phi^n=\op{id}$. -
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-Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans point fixe c'est-a-dire tel que : $\forall x\in G$, $\phi(x)=x\Rightarrow x=1$. On note $n$ l'ordre de $\phi$ ; c'est le plus petit entier $n\in\N^*$ tel que $\phi^n=\op{id}$. -

+- Montrer que $\forall x\in G$, + $x\,\phi(x)\,\phi^2(x)\,\cdots\,\phi^{n-1}(x)=1$. +- Si $n=2$, que peut-on dire du groupe $G$? Donner un exemple. +- Si $n=3$, montrer que, pour tout $x\in G$, $x$ et $\phi(x)$ + commutent. +::: - +::: exercice +Soient $G$ un groupe et $T$ l\'ensemble des elements de $G$ d\'ordre +fini. -
+- En general, $T$ est-il un sous-groupe de $G$? +- Soit $S$ une partie finie de $G$ stable par conjugaison munie d\'une + relation d\'ordre totale $\leq$. Montrer que, pour tous $s_1$,..., + $s_r\in S$, il existe $s'_1$,..., $s'_r\in S$ tels que + $s'_1\leq s'_2\cdots\leq s'_r$ et + $s_1s_2\cdots s_r=s'_1s'_2\cdots s'_r$. +- Avec la question precedente, montrer que, si $T$ est fini, alors $T$ + est un sous-groupe de $G$. +::: -
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-Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des elements de $G$ d'ordre fini. -

+::: exercice +- Soit $s:\R^*\to\R^*,t\mapsto t^{-1}$. Determiner le groupe engendre + par $s$. + - On definit les applications + $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ + et - +Montrer que le sous-groupe qu\'elles engendrent est isomorphe a +$\mc{S}_3$. -
+- Retrouver le resultat de la question precedente en considerant le + quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la + bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de + $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les + permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ + et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$. +- Soit $n\geq 3$. Determiner le groupe engendre par les bijections + $(s - {1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ definies par + $s_i(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},...,t_n)$ + si $1\lt i\lt n$, + $s_1(t_1,...,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,...,t_n)$ et + $s_n(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$. -
- +Ind. Considerer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ definie par +$f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ +et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que +$s_i\circ f=f\circ s'_i$. +::: -

-Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe a $\mc{S}_3$. -

+::: exercice +Soit $G$ un groupe fini d\'ordre $n$. On note, pour tout diviseur +positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d\'elements de $G$ d\'ordre $d$. - +- Montrer que $n=\sum_{d\mid n}n_d(G)$. +- Calculer les $n_d(G)$ lorsque $G$ est cyclique. +- Montrer que, si pour tout diviseur positif $d$ de $n$, + $|\{x\in G,\ x^d=1\}|\leq d$, alors $G$ est cyclique. - Soient + $\mathbb{K}$ un corps et $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$. + Montrer que $G$ est cyclique. +::: -

-Ind. Considerer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ definie par $f(t_1,…,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},…,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$. -

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-Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On note, pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d'elements de $G$ d'ordre $d$. -

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+::: exercice On pose $\Q[i]=\{a+ib\;;\ a,b\in\Q\}$. -

- +- Montrver que $\Q[i]$ est un sous-corps de $\C$. +- Determiner les elements de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d\'ordre + fini. +::: -
+::: exercice +- Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$. + On considere la $\mathbb{K}$-algebre $A$ admettant une base sur + $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. A quelle condition + cette algebre est-elle un corps? + - On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p$ ou $p$ est un nombre + premier. Combien de $\mathbb{F}_p$-algebres non isomorphes + peut-on obtenir ainsi? +::: -
- +::: exercice +Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute +$\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de +sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout +morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait +$\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ? +::: -
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-Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait $\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ? -

- -
- -
-

+::: proof Pour tout isomorphisme $\tau\colon A\ra \A$, $u_A$ commute avec $\tau$. -

+::: -
- -
-

+::: exercice Soit, pour $n\in\N^*$, $P_n=1+X+\cdots+X^{n-1}$. -

-

-Montrer que $\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}P_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}{2}\right)$. -

+Montrer que +$\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}P_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}{2}\right)$. +::: -
+::: exercice +- Montrrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome + $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. + Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$. + - Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de + $b_0,\ldots,b_{n-1}$. + - Pour $n\geq 1$, donner une relation entre $S_n^{''}$ et + $S_{n-1}'$. + - En deduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en + fonction de $b_0,\ldots,b_n$. +::: -
- - -
- -
-

+::: exercice Soit $n\in\N^*$. Soit $q\in\C$ tel que $0\lt |q|\lt 1$. -

-

On pose $F:z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$. -

- +- Montrver qu\'il existe une unique list $(c_0,\ldots,c_n)\in\C^{n+1}$ + telle que -

$\forall z\in\C^*,\ F(z)=\sum_{k=0}^nc_k(z^k+z^{-k})$. -

- +- Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en + deduire une expression de $c_k$ a l\'aide d\'un produit. Ind. + Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$. +::: -
+::: exercice +Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que +$(X+Y)^n$ soit congru a $X^n+Y^n$ modulo $p$. +::: -
-

-Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que $(X+Y)^n$ soit congru a $X^n+Y^n$ modulo $p$. -

+::: exercice +Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrver +qu\'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$.# 292 Soit $p$ un +nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note +$P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients +(devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une definition +similaire pour les polynomes a une indeterminee. -
+- Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, + $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. +- Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, + $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et + $P\not\equiv 0\ [p]$. +- Determiner tous les polynomes $P\in\Z[T]$ tels que + $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$. +::: -
-

-Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrver qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$.# 292 - Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une definition similaire pour les polynomes a une indeterminee. -

+::: exercice +Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux a deux distincts. +Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. +Montrer qu\'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise +$H-H_i$ pour tout $i\in[\![1,n]\!]$. +::: - +::: exercice +- Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux a deux, + et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu\'il existe un entier $F$ + tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in[\![1,r]\!]$. + - Soient $N_1,\ldots,N_r$ des elements de $\C[X]$ premiers entre + eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des elements de $\C[X]$. + Montrer qu\'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$ + pour tout $i\in[\![1,r]\!]$. + - Soient $f,g$ deux elements de $\C[X]$ premiers entre eux, et + $n\in\N^*$. Montrer qu\'il existe $h\in\C[X]$ tel que $g$ divise + $h^n-f$. +::: -
+::: exercice +Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irreductible dans +$\Z[X]$? +::: -
-

-Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux a deux distincts. Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. Montrer qu'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise $H-H_i$ pour tout $i\in[\![1,n]\!]$. -

+::: exercice +Soit $P\in\Z[X]$ un polynome unitaire dont les racines complexes ont un +module inferieur ou egal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des +racines de l\'unite. +::: -
+::: exercice +Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n$. On +ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose +$R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$. -
- +- Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$. +- En deduire qu\'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que + $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$. +::: -
+::: exercice +On se propose de donner une preuve du theoreme de d\'Alembert-Gauss. -
-

-Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irreductible dans $\Z[X]$? -

+- Montrer qu\'il suffit de montrer le theoreme pour les polynomes a + coefficients reels. Dans la suite, on ecrira le degre d\'un polynome + non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et + $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$. +- Montrer le theoreme dans le cas ou $n=0$. -
+Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu\'au rang $n$, ou +$n\geq 1$ est fixe. -
-

-Soit $P\in\Z[X]$ un polynome unitaire dont les racines complexes ont un module inferieur ou egal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unite. -

+- Soit $P\in\R[X]$ de degre $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet + l\'existence d\'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ + est scinde, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans + $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixe $c\in\R$, on pose + $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$. +- Montrer que le polynome $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a + coefficients reels. - Montrrer que l\'un des $y_{ij}(c)$ est element + de $\C$. +- Montrer finalement que l\'un des $x_i$ est element de $\C$. +::: -
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-

-Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n$. On ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$. -

- - - -
- -
-

-On se propose de donner une preuve du theoreme de d'Alembert-Gauss. -

- - - -

-Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe. -

- - - -
- -
-

+::: exercice Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$. -

- +- On suppose que $q$ n\'est pas une racine de l\'unite. Montrer qu\'il + existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que + $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s\'il y en a deux alors + elles sont opposees l\'une de l\'autre. +- Montrer que le resultat precedent peut tomber en defaut si l\'on ne + suppose plus que $q$ n\'est pas une racine de l\'unite. +::: -
+::: exercice +Soit $G$ un groupe, $\M$ l\'ensemble des morphismes de groupes de $G$ +dans $\C^*$. Montrer que $\M$ est une partie libre du $\C$-espace +vectoriel $\C^G$. +::: -
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-Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$. Montrer que $\M$ est une partie libre du $\C$-espace vectoriel $\C^G$. -

+::: exercice +On note $C$ l\'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les +coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, +on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit +$\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien +definie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite +$\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique +a partir d\'un certain rang. +::: -
+::: exercice +Soit $R\in\M_n(\Z)$ non nulle et $M=I_n+3R$. Montrer que, pour tout +$k\in\N^*$, $M^k\neq I_n$. +::: -
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-On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien definie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique a partir d'un certain rang. -

+::: exercice +Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, +$p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que +$p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$. +::: -
- -
-

-Soit $R\in\M_n(\Z)$ non nulle et $M=I_n+3R$. Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, $M^k\neq I_n$. -

- -
- -
-

-Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que $p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$. -

- -
- -
-

+::: proof On a $u(\Ker p)\subset \Im p$ et $u(\Im p) \subset \Ker p$. -

+::: -
- -
-

+::: exercice Pour $(A,B)\in\M_n(\R)^2$, on pose $\phi_{A,B}:M\in\M_n(\R)\mapsto AMB$. -

-

Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$. -

- +- L\'ensemble $T$ est-il un $\R$-espace vectoriel? +- Montrer que l\'espace vectoriel engendre par $T$ est + $\mc{L}\left(\M_n(\R)\right)$. +::: -
+::: exercice +Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose +$R_P=\det(I_n+(X-1)P)$. -
-

-Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $R_P=\det(I_n+(X-1)P)$. -

+- Calculer $R_P$ en fonction de $P$. +- Soient $P,Q$ des matrices de projecteur dans $\M_n(\mathbb{K})$ + telles que $PQ=QP=0$. Montrer que $R_PR_Q=R_{P+Q}$. +- Soit $\phi$ un automorphisme de la $\mathbb{K}$-algebre + $\M_n(\mathbb{K})$. +- Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout + $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$. +- Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans + $\llbracket 1,n\rrbracket$? +- Montrer que + $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Im}\,\phi(E_{i,1})$. +::: - +::: exercice +Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$ +un sous-espace vectoriel de $\mc{L}(E)$. On suppose qu\'il existe une +application $q:V\to\C$ telle que $u^2=q(u)\,\mathrm{id}$ pour tout +$u\in V$. -
+- Monter que, pour tous $u,v\in V$, il existe $B(u,v)\in\C$ tel que + $uv+vu=2B(u,v)\,\mathrm{id}_E$. +- Montrer que $B$ est une forme bilineaire. - Soient $d\geq 1$ et + $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous + $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que $(u_1,\ldots,u_d)$ est + libre. +- Soient $d\geq 2$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que + $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous + $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que les $u_i$ sont de + trace nulle, et que $\dim E$ est paire. +::: -
-

-Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une application $q:V\to\C$ telle que $u^2=q(u)\,\mathrm{id}$ pour tout $u\in V$. -

+::: exercice +Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. +On suppose que $\phi(I_n)$ est inversible et que +$\forall A,B\in\M_n(\C)$, $\phi(AB)=\phi(A)\,\phi(B)$. Montrer qu\'il +existe $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que : $\forall A\in\M_n(\C)$, +$\phi(A)=PAP^{-1}$. +::: - +::: exercice +- Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ verifiant $(*)$ : + $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$. + - Determiner les automorphismes de $\C(X)$ verifiant $(*)$. +::: -
+::: exercice +Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : +$\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$. -
-

-Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On suppose que $\phi(I_n)$ est inversible et que $\forall A,B\in\M_n(\C)$, $\phi(AB)=\phi(A)\,\phi(B)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que : $\forall A\in\M_n(\C)$, $\phi(A)=PAP^{-1}$. -

+- Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de + $M$ est de module $\leq 1$. +- On note $\mu=\min_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de + $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$. +- On suppose que $\mu\gt 0$ et que 1 est valeur propre de multiplicite + 1 dans $\chi_M$. Montrer que $(M^p)_{p\geq 1}$ converge vers une + matrice de rang $1$ dont toutes les lignes sont egales. +- On se donne trois reels strictement positifs $p,q,r$ tels que + $p+q+r=1$. On considere la matrice $B\in\M_n(\R)$ definie par + $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ + si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont + nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter + la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$. +::: -
+::: exercice +Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, +$f\in\mc{L}(E)$ cyclique, $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$. +Montrer que l\'induit par $f$ sur $F$ est cyclique. +::: -
- +::: exercice +Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, +$a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose qu\'il existe $f\in\mc{L}(\C,E)$ et +$v\in\mc{L}(E,\C)$ telles que $ab-ba=fv$. -
+- Que peut-on dire de $\det(ab-ba)$? +- Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables. +- A quelle condition sur $u\in\mc{L}(E)$ existe-t-il $w\in\mc{L}(E)$ + tel que $uw-wv$ soit de rang 1? +::: -
-

-Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$. -

+::: exercice +Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et +$f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout vecteur $x\in E$, l\'ensemble +$\{f^n(x),\ n\in\N\}$ est fini. - +- Montrer que, si $f\in\mathrm{GL}(E)$, il existe $k\in\N^*$ tel que + $f^k=\mathrm{id}$. +- On revient au cas general. Montrer l\'existence de $k\in\N^*$ et + $p\in\N$ tels que $f^{p+k}=f^p$. +::: -
+::: exercice +Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de +permutation associee a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ +sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguees dans +$\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont +semblables. +::: -
-

-Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $f\in\mc{L}(E)$ cyclique, $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$. Montrer que l'induit par $f$ sur $F$ est cyclique. -

+::: exercice +Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien +$E$. -
+1. Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable. +2. Montrer que $E=\op{Im} p+\op{Ker} q+(\op{Im} q \cap \op{Ker} p)$. +3. Montrer que $p \circ q$ est diagonalisable. +4. Montrer que le spectre de $p \circ q$ est inclus dans $[0,1]$. +::: -
-

-Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$ telles que $ab-ba=fv$. -

+::: proof +::: - +::: exercice +Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe +l\'operateur de derivation des polynomes. -
+- Determiner le degre de $L_n$. Montrer que + $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. - + Montrer que $L_n$ est scinde a racines reelles simples + $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$. - Montrer + qu\'il existe des reels $a_1,\ldots,a_n$ tels que -
-

-Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout vecteur $x\in E$, l'ensemble $\{f^n(x),\ n\in\N\}$ est fini. -

- - - -
- -
-

-Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associee a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguees dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables. -

- -
- -
-

-Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$. -

- -
    -
  1. Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable.
    2. -
  2. Montrer que $E=\op{Im} p+\op{Ker} q+(\op{Im} q \cap \op{Ker} p)$.
    3. -
  3. Montrer que $p \circ q$ est diagonalisable.
    4. -
  4. Montrer que le spectre de $p \circ q$ est inclus dans $[0,1]$.
    5. -
- -
- -
-

- -

- -
- -
-

-Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynomes. -

- - - -

$\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$. -

+::: -
+::: exercice +Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note +$S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $\lN\cdot \rN$ désigne la +norme euclidienne canonique. Montrer l\'équivalence entre les +propositions suivantes. -
-

-Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $\lN\cdot \rN$ désigne la norme euclidienne canonique. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes. -

+- $\alpha=2$. +- $\forall n \geq 1, \forall\left(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_n\right) \in\left(S^2\right)^{3 n}, \exists p \in S^2$ + tel que - - -

$$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-b_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^\alpha$$ -

+::: -
+::: proof +::: -
-

+::: exercice +Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu\'il n\'existe pas +$B\in\text{SO}_2(\Q)$ verifiant $B^2=A$? +::: -

+::: exercice +Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, +$\Phi:\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. +Donner une condition necessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un +extremum. +::: -
+::: exercice +On considere dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices +$J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et +$I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$. -
-

-Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ verifiant $B^2=A$? -

+- Soit $K\in\M_{2n}(\R)$ tel que $K^2=-I$. Montrer que + $K^TJ\in\mc{S}_{2n}(\R)$ si et seulement si $J=K^TJK$. +- On note $\mc C$ l\'ensemble des $K\in\M_{2n}(\R)$ telles que + $K^2=-I$ et $K^TJ\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Soit $K\in\mc C$. Montrer + que $K+J$ est inversible et que $(K+J)^{-1}(K-J)$ est symetrique. +- Soit $K\in\mc C$. On pose $S=(K+J)^{-1}(K-J)$. Montrer que + $SJ+JS=0$. +::: -
+::: exercice +Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, +$\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. +::: -
-

-Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi:\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un extremum. -

- -
- -
-

-On considere dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$. -

- - - -
- -
-

-Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. -

- -
- -
-

+::: exercice Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$. -

- +- Montrer que $\op{tr}\left(e^Ae^B\right)\gt 0$. +- Montrer que + $\op{tr}\left(e^{A+B}\right)\leq\op{tr}\left(e^Ae^ {B}\right)$. +::: -
- -
-

+::: exercice Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels. -

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    -
  1. Montrer que la matrice $A=\left(t_i t_j\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
    2. -
  2. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n$. Montrer que la matrice $B=\left(\min \left(t_i, t_j\right)\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
    3. -
  3. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq 1$. Montrer que $M=B-A \in \mc{S}_n^+(\R)$.
    4. -
+1. Montrer que la matrice $A=\left(t_i t_j\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ + est dans $\mc{S}_n^+(\R)$. +2. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n$. Montrer que la matrice + $B=\left(\min \left(t_i, t_j\right)\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est + dans $\mc{S}_n^+(\R)$. +3. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq 1$. Montrer que + $M=B-A \in \mc{S}_n^+(\R)$. +::: -
+::: proof +1. $X^T AX = (\sum t_i x_i)^2$ +2. $\int \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2$ +3. Il s\'agit de montrer que + $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$, + c\'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l\'intégrale + est sur $[0,1]$. +::: -
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    -
  1. $X^T AX = (\sum t_i x_i)^2$
    2. -
  2. $\int \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2$
    3. -
  3. Il s'agit de montrer que $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$, c'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l'intégrale est sur $[0,1]$.
    4. -
- -
- -
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-On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note $\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$. -

- - - -
+::: exercice +On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note +$\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$. +- Montrver que $\|\!|\!|\!|\!|\!|$ definit une norme sur $\M_n(\R)$. +- Montrver que + $\|\!|\!|A|\!|\!|=\sup_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$. +- On prend $A=\Big{(}\dfrac{1}{i+j+1}\Big{)}_{0\leq i,j\leq n}$ dans + $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X=(x_0\cdots x_n)^T$ et $Y=(y_0\cdots y_n)^T$ + dans $\R^{n+1}$, donner une interpretation de + $\left\langle AX,Y\right\rangle$ a l\'aide d\'une integrale faisant + intervenir $P:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et + $Q:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^ny_ke^{ikt}$. +- En deduire que $\|\!|\!|A|\!|\leq 2\pi$. +- Montrver que l\'on a meme $\|\!|A|\!|\!|\leq\pi$. +::: ## Analyse -
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-Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par $(0,0)$ est continue. -

+::: exercice +Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, +discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par +$(0,0)$ est continue. +::: -
- -
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+::: exercice Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide. -

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    -
  1. On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s'écrit comme intersection de carrés fermés.
    2. -
  2. On suppose $K$ non borné et $K \neq \R^2$. Donner des exemples de tels convexes. Montrer que si $K$ contient deux droites, celles-ci sont parallèles.
    3. -
  3. On suppose toujours $K$ non borné. Montrer que $K$ contient une demi-droite.
    4. -
+1. On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s\'écrit comme intersection de + carrés fermés. +2. On suppose $K$ non borné et $K \neq \R^2$. Donner des exemples de + tels convexes. Montrer que si $K$ contient deux droites, celles-ci + sont parallèles. +3. On suppose toujours $K$ non borné. Montrer que $K$ contient une + demi-droite. +::: -
+::: proof +1. Si $x\not\in K$, on peut trouver une droite séparant $x$ de $K$, + donc un carré contenant $K$ et non $x$. +2. Si $K$ contient deux droites non parallèles, $K = \R^2$. La partie + au dessus du graphe de $x\mapsto e^x$. +3. Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et + prendre une valeur d\'adhérence des segments $[y, x_n]$. +::: -
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    -
  1. Si $x\not\in K$, on peut trouver une droite séparant $x$ de $K$, donc un carré contenant $K$ et non $x$.
    2. -
  2. Si $K$ contient deux droites non parallèles, $K = \R^2$. La partie au dessus du graphe de $x\mapsto e^x$.
    3. -
  3. Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et prendre une valeur d'adhérence des segments $[y, x_n]$.
    4. -
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+::: exercice Determiner les endomorphismes continus du groupe $\C^*$. -

+::: -
+::: exercice +Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. +On definit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, +$\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$. -
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-Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On definit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, $\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$. -

+- Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrver que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$. +- Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite reelle. On suppose que la serie de + terme general $|u_n-1|$ converge. - - -

Montrer que la suite de terme general $\prod_{k=0}^nu_k$ converge. -

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-Soit $(M - {n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose que la serie de terme general $\|M_n-I_d\|$ converge. On pose, pour $n\in\N$, $B_n=M_0\times M_1\times\cdots\times M_n$. -

+Soit $(M - {n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose +que la serie de terme general $\|M_n-I_d\|$ converge. On pose, pour +$n\in\N$, $B_n=M_0\times M_1\times\cdots\times M_n$. - +- Montrver que la suite $(B - {n\geq 0}$ converge. +- Soit $\sigma$ une permutation de $\N$. Que peut-on dire de la suite + de terme general $M_{\sigma(0)}\times\cdots\times M_{\sigma(n)}$? +- Soit + $E=\left\{\prod_{k=0}^{+\i}M_{\sigma(k)},\ \sigma\in\mc{S}( \N)\right\}$. + Existe-t-il une suite de matrices pour laquelle $E$ n\'est pas + ferme? +- Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M - {n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle + que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes? +::: -
+::: exercice +On definit la longueur d\'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ +par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des +intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. +Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$? -
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-On definit la longueur d'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$? -

+- Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu\'il existe $p\in\N^*$, + $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels + que, pour tout $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$, + $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$. +- Soit $(I - {n\geq 1}$ une suite d\'intervalles bornes de $\R$ telle + que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de + $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$? +::: - +::: exercice +Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite ferme pour la norme infinie, +$C$ la sphere unite pour la norme infinie. On cherche a montrer qu\'il +n\'existe pas de fonction continue $r:D\to C$ telle que la restriction +de $r$ a $C$ soit l\'identite. -
+- On considere une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetric (i.e. + $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice reelle + telle que : $\forall i,j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, -
-

-Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite ferme pour la norme infinie, $C$ la sphere unite pour la norme infinie. On cherche a montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to C$ telle que la restriction de $r$ a $C$ soit l'identite. -

- - - -

$f(a_{i,j},a_{i+1,j})+f(a_{i+1,j},a_{i+1,j+1})+f(a_{i+1,j+1},a_{i,j+1})+f(a_{i,j+1},a_{i,j})=0$. -

-

Montrer que : -

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$\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i,1},a_{i+1,1})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{n,j},a_{n,j+1})+\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i+1,n},a_{i,n})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{1,j+1},a_{1,j})=0$ -

- +- Soit $M\in\M_{n+2}(\R)$ une matrice de la forme + $\begin{pmatrix}1&1&\cdots&\cdots&1\\ 1&&&&3\\ \vdots&&M'&&\vdots\\ 1&&&&3\\ 1&2&\cdots&\cdots&2\end{pmatrix}$ + ou $M'\in\M_n(\R)$ -

-est a coefficients dans $\{1,2,3\}$. Montrer qu'au moins un des petits carres de $M$ comporte trois valeurs differentes. -

+est a coefficients dans $\{1,2,3\}$. Montrer qu\'au moins un des petits +carres de $M$ comporte trois valeurs differentes. - +- Montrer qu\'on dispose d\'un $\eta\gt 0$ tel que, pour tous $x$, + $y\in D$ verifiant $\|x-y\|_{\i}\leq\eta$, on a + $\|r(x)-r(y)\|\leq\frac{1}{10}$. +- Soit alors $n\in\N$ tel que $\frac{2}{n-1}\leq\eta$. Pour tous $i$, + $j\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on pose -

$v_{i,j}=\left(1-2\frac{i-1}{n-1},1-2\frac{j-1}{n-1}\right)$. -

-

-Montrer que, pour tous $i$, $j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, $v_{i,j},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1},v_{i,j+1}$ sont contenus dans une boule de rayon $1/10$. -

+Montrer que, pour tous $i$, $j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, +$v_{i,j},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1},v_{i,j+1}$ sont contenus dans une boule +de rayon $1/10$. - +- En utilisant une fonction bien choisie de $C$ dans $\{1,2,3\}$, + aboutir a une contradiction et conclure. +- Utiliser ce resultat pour montrer que toute fonction continue de $D$ + dans $D$ admet un point fixe. +::: -
+::: exercice +On dit qu\'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés +de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si -
-

-On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si -

+- pour tous $s, t \in \R^+$ distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres + distincts, +- pour tous $s, t \in \R^+$ tels que $s\lt t, D_s \subset D_t$. - +1. Existe-t-il une telle famille? +2. Soit $A\colon \R^+ \ra \R^2$ une fonction $C^1$ et injective. + Existe-t-il une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ vérifiant + $(\mc{P})$ telle que, pour tout $t \in \R^+, A(t)$ soit le centre de + $D_t$ ? +3. Le résultat subsiste-t-il si $A$ est seulement supposée continue? +::: -
    -
  1. Existe-t-il une telle famille?
    2. -
  2. Soit $A\colon \R^+ \ra \R^2$ une fonction $C^1$ et injective. Existe-t-il une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ vérifiant $(\mc{P})$ telle que, pour tout $t \in \R^+, A(t)$ soit le centre de $D_t$ ?
    3. -
  3. Le résultat subsiste-t-il si $A$ est seulement supposée continue?
    4. -
+::: proof +1. Cercles de centre $(x,0)$, de rayon $x$. +2. Prendre $D_t$ de rayon la longueur de la courbe de $A(0)$ à $A(t)$. +3. Prendre une fonction non réglée. +::: -
+::: exercice +Dans tout l\'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une +$\mathbb{K}$-algebre $A$ de dimension finie, et on identifie +$\mathbb{K}$ a une sous-algebre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. +On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement +dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. +Jusqu\'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$. -
-
    -
  1. Cercles de centre $(x,0)$, de rayon $x$.
    2. -
  2. Prendre $D_t$ de rayon la longueur de la courbe de $A(0)$ à $A(t)$.
    3. -
  3. Prendre une fonction non réglée.
    4. -
+- Soit $x\in A$. Montrer qu\'il existe un $z_0\in\C$ tel que + $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$. +- On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que + $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$. +- En deduire que $\|a-1\|=2$. +- En deduire que $A=\C$. +- Retrouver le resultat de la question precedente en utilisant des + polynomes annulateurs. -
- -
-

-Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algebre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algebre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. Jusqu'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$. -

- - - -

Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$. -

- +- Est-ce que $A$ est necessairement egale a $\R$? +- On admet qu\'il existe une $\R$-algebre $\mathbb{H}$ ayant une base + de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et + $i^2=j^2=k^2=-1$. On considere la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ + par rapport a $\R$ parallelement a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on + considere la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ + est bien definie, est effectivement une norme, et qu\'elle est + multiplicative. +- Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algebre, a $\R$, + $\C$ ou $\mathbb{H}$. +::: -
+::: exercice +Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu\'il existe un +$n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$. +::: -
-

-Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu'il existe un $n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$. -

- -
- -
-

+::: proof Dérivée discrète. -

+::: -
+::: exercice +Pour $n\geq 2$, on note +$\ell_n=\min\left\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$. -
-

-Pour $n\geq 2$, on note $\ell_n=\min\left\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$. -

+- Montrer que $\ell_n=o(n)$. +- Donner un equivalent de $\ell_n$. +::: - +::: exercice +Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles +positives telles que la série de terme général $b_n$ converge, que la +série de terme général $n a_n$ diverge et que $\sum_{n=0}^{+\i} a_n=1$. -
+1. Montrer qu\'il existe une unique suite $\left(u_n\right)$ telle que, + $\forall n \in \N, u_n=b_n+\sum_{k=0}^n u_k a_{n-k}$. +2. Montrer que $\left(u_n\right)$ est bornée. +3. Montrer que, $\mathrm{si}\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite + est 0. +::: -
-

-Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives telles que la série de terme général $b_n$ converge, que la série de terme général $n a_n$ diverge et que $\sum_{n=0}^{+\i} a_n=1$. -

- -
    -
  1. Montrer qu'il existe une unique suite $\left(u_n\right)$ telle que, $\forall n \in \N, u_n=b_n+\sum_{k=0}^n u_k a_{n-k}$.
    2. -
  2. Montrer que $\left(u_n\right)$ est bornée.
    3. -
  3. Montrer que, $\mathrm{si}\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite est 0.
    4. -
- -
- -
-

+::: proof Cf une année précédente. -

+::: -
+::: exercice +On considere la suite reelle definie par $x_0=2$ et +$x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu\'il +existe un reel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$.# +336 Soit $(a - {n\geq 0}$ la suite reelle definie par $a_0=1,a_1=2$ et +$\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un +equivalent de $a_n$. +::: -
-

-On considere la suite reelle definie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un reel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$.# 336 - Soit $(a - {n\geq 0}$ la suite reelle definie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un equivalent de $a_n$. -

+::: exercice +Soit $(a - {n\geq 0}$ definie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, +$a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la serie de terme general \$a~n~\$2? +::: -
+::: exercice +Soit $\sum u_n$ une serie convergente de reels positifs. Existe-t-il une +suite $(v - {n\geq 0}$ de reels positifs tendant vers $+\i$ telle que la +serie $\sum u_nv_n$ converge? +::: -
-

-Soit $(a - {n\geq 0}$ definie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la serie de terme general $an$2? -

+::: exercice +Soit $(x_n)$ une suite reelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable +pour toute suite reelle $(y_n)$ de carre sommable. Montrer que $(x_n)$ +est de carre sommable. +::: -
+::: exercice +Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Determiner la nature de la +serie $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$. +::: -
-

-Soit $\sum u_n$ une serie convergente de reels positifs. Existe-t-il une suite $(v - {n\geq 0}$ de reels positifs tendant vers $+\i$ telle que la serie $\sum u_nv_n$ converge? -

+::: exercice +Etudier la convergence de la serie de terme general +$\frac{\sin(\ln n)}{n}$. +::: -
+::: exercice +On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout +$n\geq 1$. -
-

-Soit $(x_n)$ une suite reelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable pour toute suite reelle $(y_n)$ de carre sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carre sommable. -

+- Montrer que $u$ converge vers une limite $\ell$. +- Montrer que + $\ell=-(\sqrt{2}+1)\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$. +- Montrer que + $u_n=\ell+\frac{1}{2n^{1/2}}+O\Big{(}\frac{1}{n^{3/2}}\Big{)}$. +- Montrer que + $\ell=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})^2}$. +- Etudier les variations de $u$. +- Determiner un developpement asymptotique semblable a celui de la + question - pour la suite de terme general + $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$. +- Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un developpement asymptotique a + trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$. +::: -
+::: exercice +Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et +bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et +$\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature. +::: -
-

-Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Determiner la nature de la serie $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$. -

- -
- -
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-Etudier la convergence de la serie de terme general $\frac{\sin(\ln n)}{n}$. -

- -
- -
-

-On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$. -

- - - -
- -
-

-Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et $\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature. -

- -
- -
-

-La série $\sum \frac{1}{f(n)}$ a la même nature que $\int \frac{1}{f}$. On peut raccorder $f$ de manière $\mc C^1$, puis on pose $u = f(t)$ : +::: proof +La série $\sum \frac{1}{f(n)}$ a la même nature que $\int \frac{1}{f}$. +On peut raccorder $f$ de manière $\mc C^1$, puis on pose $u = f(t)$ : $$\int_0^{+\i} \frac{1}{f(t)}\dt = \int_0^{+\i} \frac{1}{u f'(f^{-1}(u))} \du,$$ puis IPP. -

+::: -
+::: exercice +- Soit $m\in\N^*$. Montrer que + $\sum\limits_{n=1}^{+\i} \frac{\sqrt{m}}{(m+n)\sqrt{n}}\leq \pi$. -
- +- Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carre + sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et + $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que + $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$. +::: -
+::: exercice +- Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que + $\forall(x,y)\in\R^2$, $f(xy)=f(x)\,f(y)$. +- Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que + $\forall x\neq y\in\R$, + $f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$. +::: -
- +::: exercice +Que dire d\'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et +$\sqrt{2}$-périodique? +::: -
- -
-

-Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique? -

- -
- -
-

+::: proof Easy. -

+::: -
+::: exercice +Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que +$|f'|+|f+1|\leq 1$. +::: -
-

-Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $|f'|+|f+1|\leq 1$. -

+::: exercice +Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum_{p\in\mc{P},\ p\leq x}\ln(p)$. +Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$. +::: -
+::: exercice +Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu\'il existe une fonction $f$ de +classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$. +::: -
-

-Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum_{p\in\mc{P},\ p\leq x}\ln(p)$. Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$. -

+::: exercice +Soit $(x - {n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une +condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation +$\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et +une suite strictement croissante $(t - {n\geq 0}$ d\'elements de $[0,1]$ +telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$. +::: -
- -
-

-Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$. -

- -
- -
-

-Soit $(x - {n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t - {n\geq 0}$ d'elements de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$. -

- -
- -
-

+::: exercice Calculer $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt$. -

+::: -
- -
-

+::: exercice Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivee $n$-ieme de $(X^2-1)^n$. -

- +- Soit $n\in\N^*$. Montrer que $:\forall P\in\R_{n-1}[X]$, + $\int_{-1}^1PL_n=0$. +- Montrer que $L_n$ possede $n$ racines distinctes + $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n$ dans $]-1,1[$. +- Montrer qu\'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que + $:\forall P\in\R_{2n-1}[X]$, + $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$. +::: -
+::: exercice +Pour $n\in\N$, on pose \$ +I~n~=∑~k=0~^n^(-1)^k^`\binom{n}{k}`{=latex}^3^\$. -
-

-Pour $n\in\N$, on pose $ In=∑k=0n(-1)k\binom{n}{k}3$. -

+- On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$. +- On suppose $n$ multiple de $4$. Montrer que $I_n\gt 0$. +- Montrer, pour tout $n\in\N$, l\'egalite - +\$ I~2n~=(-1)^n^`\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}`{=latex}∫~0~^2π^∫~0~^2π^ +sin ^2n^(x)\\,sin ^2n^(y)\\,sin ^2n^(x+y)\\,dx\\,dy\$. +::: -

-$ I2n=(-1)n\frac{43n-1}{π2}∫02π∫02π sin2n(x)\,sin2n(y)\,sin2n(x+y)\,dx\,dy$. -

+::: exercice +- Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer + que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ + admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une + expression simple de ce point en fonction de $f$. + - Determiner la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. +::: -
+::: exercice +Justifier l\'existence et calculer +$\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}$. +::: -
- +::: exercice +Soit +$f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$. -
+1. Montrer que $f(x)\lt \frac{1}{x}$ pour tout $x\gt 0$. +2. Montrer que $f(x)\gt \frac{\sqrt{x^2+4}-x}{2}$ pour tout $x\gt 0$. +3. Donner un développement limité à quatre termes de $f(x)$ quand + $x \ra+\i$. +::: -
-

-Justifier l'existence et calculer $\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}$. -

+::: proof +::: -
+::: exercice +Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer +$I_r(u, v)=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(u-r e^{i \theta}\right)\left(v-r e^{i \theta}\right)}$. +::: -
-

-Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$. -

+::: proof +::: -
    -
  1. Montrer que $f(x)\lt \frac{1}{x}$ pour tout $x\gt 0$.
    2. -
  2. Montrer que $f(x)\gt \frac{\sqrt{x^2+4}-x}{2}$ pour tout $x\gt 0$.
    3. -
  3. Donner un développement limité à quatre termes de $f(x)$ quand $x \ra+\i$.
    4. -
+::: exercice +Soit $f\colon\R\to\R^+$ integrable, de classe $\mc C^1$, telle que +$\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s\'annule en un unique +$M\in\R$. -
+- Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu\'il existe un + unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$. +- Montrer que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$ il existe un unique couple + $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et + $f(x_1)=f(x_2)=\ell$. +- Supposons que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. + Montrer que $m\gt M$. +::: -
-

+::: exercice +- Soient $a$ et $b$ deux suites reelles telles que $b-a$ converge vers + $0$. Soit $(f - {m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. + On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel + que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ + converge uniformement vers une fonction constante. + - On note $H$ l\'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ + strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout + $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition + des fonctions. + - Soit $f\in H$. Montrer que + $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$. +::: -

+::: exercice +On note $F$ l\'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ +l\'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi +$I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est +ferme$\}$ et +$S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est +ferme$\}$. -
+Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit +$L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$. -
-

-Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v)=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(u-r e^{i \theta}\right)\left(v-r e^{i \theta}\right)}$. -

+- Montrer que $C=I\cap S$. - Montrrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est + une suite croissante d\'applications continues. +- Soit $f\in F$. Montrrer que $f\in I$ si et seulement s\'il existe + une suite $(f - {n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout + $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$. +::: -
+::: exercice +Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle +que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$. -
-

+- Rappeler le theoreme d\'integration des relations de comparaison. +- Donner un equivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$. +- Determiner le domaine de definition de la fonction + $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$. +- Determiner les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de + definition. +- Montrer qu\'il existe une constante $C\gt 0$ telle que + $f(x)\sim\dfrac{C}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$. +::: -

+::: exercice +Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ +et -
- -
-

-Soit $f\colon\R\to\R^+$ integrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$. -

- - - -
- -
- - -
- -
-

-On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi $I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est ferme$\}$ et $S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est ferme$\}$. -

- -

-Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$. -

- - - -
- -
-

-Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$. -

- - - -
- -
-

-Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et -

- -

$\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n$. -

- +- Montrer que le rayon de convergence de la serie entiere + $\sum a_nx^n$ est strictement positif. +- Determiner la valeur de ce rayon de convergence. +::: -
+::: exercice +Pour $x$ reel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous +reserve de convergence. -
-

-Pour $x$ reel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve de convergence. -

+- Determiner le domaine de definition de $f$. +- Etudier la continuite puis la derivabilite de $f$. +- Donner un equivalent simple de $f$ en $1^-$. +- Montrre que $f$ est developpable en serie entiere, et preciser le + developpement associe. +::: - +::: exercice +- Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d\'une + serie entiere. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend + vers $0$. Montrrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins + $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un + nombre reel. + - Soient $A$ et $B$ deux polynomes a coefficients reels dont toute + combinaison lineaire a coefficients reels est scindee ou nulle. + Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrre que $[x,y]$ + contient au moins une racine de $B$. +::: -
+::: exercice +Soit $\sum a_nz^n$ une serie entiere de rayon de convergence egal a $1$ +et de somme $f$. -
- +On suppose qu\'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, +$\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$. -
- -
-

-Soit $\sum a_nz^n$ une serie entiere de rayon de convergence egal a $1$ et de somme $f$. -

- -

-On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$. -

- -

Montrre que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$. -

+::: -
- -
-

+::: exercice Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair. -

-
    -
  1. Montrer l'existence d'une suite réelle $\left(b_k\right)_{k \geq 0}$ telle que : $\forall x \in \R, \exp (P(x))=\sum_{k=0}^{+\i} b_k x^k$.
    2. -
  2. Montrer que les $b_k$ sont tous non nuls.
    3. -
+1. Montrer l\'existence d\'une suite réelle + $\left(b_k\right)_{k \geq 0}$ telle que : + $\forall x \in \R, \exp (P(x))=\sum_{k=0}^{+\i} b_k x^k$. +2. Montrer que les $b_k$ sont tous non nuls. +::: -
+::: proof +1. +2. Quand on dérive successivement $e^P$, on trouve une quantité qui + vaut toujours $1$ modulo $2$. +::: -
-
    -
  1. +::: exercice +Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose +$(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$. -
  2. Quand on dérive successivement $e^P$, on trouve une quantité qui vaut toujours $1$ modulo $2$.
    3. -
+- Montrrer que la suite de terme general $(x,q)_n$ converge vers un + reel $(x,q)_{\i}\gt 0$. +- Determiner le rayon de convergence de la serie entiere + $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa + somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert + de convergence. +- Etablir l\'identife $f_{x,q}(z)-f_{x,q}(qz)=(1-x)zf_{x,q,q}(z)$ pour + tout $z\in D$. +- Etablir l\'identife $f_{x,q}(z)=\frac{1-xz}{1-z}f_{x,q}(qz)$ pour + tout $z\in D$. +- Demontrer que $f_{x,q}(z)=\frac{(zx,q)_{\i}}{(z,q)_{\i}}$ pour tout + $z\in D$. +- Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Determiner, pour tout $z\in D$, la limite + de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$. +::: -
+::: exercice +- Pour $x\geq 0$ on pose + $f(x)=\op{card}\big{\{}(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big{\}}$. + Trouver un equivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$. + - On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Trouver un equivalent de + $g$ en $1^-$ en utilisant $g^2$. +::: -
-

-Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$. -

+::: exercice +Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose +$|F|=p^{\deg F}$. - +- Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrre que la famille + $\big{(}|F|^{-s}\big{)}$, indexee par les polynomes + $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme, + qu\'on notera $z(s)$. +- On note $A$ l\'ensemble des polynomes unitaires de + $F\in\mathbb{F}_p[X]$ sans facteur carre, c\'est-a-dire tels que : + $\forall D\in\mathbb{F}_p[X]$, $D^2|F\Rightarrow\deg D=0$. Montrre + que $\sum_{F\in A}|F|^{-s}=\frac{z(s)}{z(2s)}$. +- En deduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynomes sans + facteur carre parmi les polynomes unitaires de degre $d$ de + $\mathbb{F}_p[X]$. +::: -
+::: exercice +Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ +pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$. -
- +- Donner un equivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$. +- On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l\'ecart avec + l\'equivalent trouve. +- Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$? +::: -
+::: exercice +- Determiner le domaine de definition de + $f:x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$. + - Montrre, pour tout reel $x\gt 0$, l\'egalite + $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$. +::: -
-

-Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\deg F}$. -

+::: exercice +- Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout reel $x$. - On + pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. + Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que + $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$ + - Donner une expression simplifiee de $F$. +::: - +::: exercice +Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre integrable. On pose +$S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$. -
+- Justifier la bonne definition de $S_f$. +- Montrer que $S_f$ est de carre integrable. +::: -
-

-Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$. -

+::: exercice +Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose +$I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$. - +- Determiner la limite et un equivalent de $I$ en $+\i$. +- Donner un developpement asymptotique de $I$ a tout ordre. +- Donner une condition necessaire et suffisante pour que ce + developpement soit la somme partielle d\'une serie convergente pour + tout $x\gt 0$. +::: -
+::: exercice +- Soient $K$ un segment et $f:K\to K$ une fonction continue + croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe. + - On considere l\'equation differentielle non lineaire + $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il + existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ verifiant + $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ reels distincts, les + fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. + Montrer que $(E)$ possede une solution $2\pi$-periodique. +::: -
- +::: exercice +Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans +$\R^{+*}$. Soit $a\in[0,1]$. -
+- Justifier qu\'il existe une unique fonction $x_a:\R^+\to\R$ de + classe $\mc C^1$ telle que + $\forall t\in\R^+,\ x'(t)=f(t)-(f(t)+g(t))\,x(t)$ et $x(0)=a$. +- On suppose que $f$ et $g$ ont une limite finie strictement positive + en $+\i$. Montrer que $x_a$ tend vers $0$ en $+\i$. +- Montrer que $f$ et $g$ peuvent etre choisies de telle sorte que + $x_a$ n\'ait pas de limite en $+\i$. +- On suppose que l\'une des fonctions $f$ et $g$ n\'est pas integrable + sur $\R^+$. Montrer que $x_1-x_0$ tend vers $0$ en $+\i$. +::: -
- +::: exercice +Soient $v:\R\to\R$ une fonction continue a support compact et +$\omega\in\R^{+*}$. On considere l\'equation differentielle +\$y^\'\'^+ω^2y^=v(t),\$ dont on note $\mc{S}_E$ l\'ensemble des +solutions. -
+- Montrer que, pour tout $(a,b)\in\R^2$, il existe une unique solution + $f^+_{a,b}$ (resp. $f^-_{a,b}$) de $(E)$ telle que + $f^+_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un + voisinage de $+\i$, (resp. + $f^-_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un + voisinage de $-\i$. +- Montrer que + $\mc{S}_E=\{f^+_{a,b},(a,b)\in\R^2\}=\{f^-_{a,b},(a,b)\in \R^2\}$. +- On pose $c(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\cos(\omega t)\,dt$ et + $s(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\sin(\omega t)\,dt$, et on definit + l\'application $S_{\omega}:\R^2\to\R^2$ par : + $f^-_{a,b}=f^+_{S_{\omega}(a,b)}$ pour tout $(a,b)\in\R^2$. + Expliciter l\'application $S_{\omega}$ en fonction de $c(\omega)$ et + $s(\omega)$. +- On suppose que $S_{\omega}=\mathrm{id}_{\R^2}$ pour tout + $\omega\gt 0$. Montrer que $v$ est identiquement nulle. +::: -
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-Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre integrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$. -

+::: exercice +Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que +$q_1\leq q_2$. On considere l\'equation differentielle +$(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. - +- Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur + $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros de $y_1$. Montrer que $y_2$ + s\'annule dans $[\alpha,\beta]$. +- Soient $q:\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux reels strictement positifs + tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros + consecutifs d\'une solution non nulle $x$ de $y^{''}+q(t)\,y=0$. +- Montrer que les zeros de $x$ fortner une suite strictement + croissante $(t - {n\in\N}$. +- Montrer que + $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour + tout $n\in\N$. +::: -
+::: exercice +- Soit $p$ un projecteur d\'un espace vectoriel $E$ de dimension + finie, et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $pu+up=u$. Montrer que + $\mathrm{tr}(u)=0$. + - Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit + $r\in\llbracket 0,n\rrbracket$. On note $G$ l\'ensemble des + projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$. + Determiner l\'espace vectoriel tangent a $G$ en $p$. +::: -
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-Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$. -

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-Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$. Soit $a\in[0,1]$. -

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-Soient $v:\R\to\R$ une fonction continue a support compact et $\omega\in\R^{+*}$. On considere l'equation differentielle $y''+ω2y=v(t),$ dont on note $\mc{S}_E$ l'ensemble des solutions. -

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-Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considere l'equation differentielle $(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. -

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-On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considere le carre de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ sur ce carre. -

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+::: exercice +On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considere le +carre de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ +et $C$ sur ce carre. +- Montrer qu\'il existe une disposition des points $A$, $B$ et $C$ + maximisant l\'aire du triangle $ABC$. +- Caracteriser une telle disposition. +::: ## Geometrie -
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-Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimetre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite. -

+::: exercice +Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimetre d\'un polygone regulier a +$2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite. - +- Calculer $P_n$ et etudier la convergence de la suite + $(P - {n\geq 2}$. +- Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$. +- Estimer l\'erreur $2\pi-P_n$. +- Proposer une methode d\'approximation de $\pi$ par exces. +::: -
+::: exercice +On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note +respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes +$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, +$(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et +$(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l\'unique point +tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de +$(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une +mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l\'unique +point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de +$(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une +mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l\'unique +point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de +$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une +mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L\'objectif est +de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral. -
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-On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l'unique point tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L'objectif est de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral. -

+- On note $f,g,h$ les rotations de centres respectifs $A,B,C$ et + d\'angles de mesures respectives $\frac{2a}{3}$, $\frac{2b}{3}$ et + $\frac{2c}{3}$. Montrer que $P$ est l\'unique point fixe de + $g\circ h$. +- Montrer que $(f^3\circ g^3\circ h^3)(z)=z$ pour tout nombre complexe + $z$. +- On note $f:z\mapsto a_1z+b_1$, $g:z\mapsto a_2z+b_2$ et + $h:z\mapsto a_3z+b_3$. Experimer $P,Q,R$ en fonction des $a_i$ et + des $b_i$. +- Conclure. +::: - +::: exercice +Determiner le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, +d\'une permutation de $[\![1,n]\!]$. +::: -
+::: exercice +- Montrer que + $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$. + - Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste + decroissante $(\lambda - {1\leq k\leq n}$ d\'entiers naturels + non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles + listes. -
-

-Determiner le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $[\![1,n]\!]$. -

- -
- -
- - -

Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$. -

- +- On fixe $n\geq 1$ et on considere une variable aleatoire $X$ suivant + la loi uniforme sur l\'ensemble des partitions de $n$. On fixe + $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose + $N_k=|\{i\in[\![1,n]\!]:X_i=k\}|$. -

-Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ a preciser. -

+Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour +des entiers $a$ et $b$ a preciser. - +- Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$. +::: -
+::: exercice +On considere la suite $(a_n)$ definie par $a_1=0$, $a_2=1$ et +$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$. -
-

-On considere la suite $(a_n)$ definie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$. -

+- Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$. +- On lance une piece non truquee. Determiner la loi de la variable + aleatoire $X$ qui donne l\'instant de premiere apparition du motif + Face-Face. +- Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$. +- Donner un equivalent de ${\bf P}(X=n)$. +::: - +::: exercice +Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note +$N$ la variable aleatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le +nombre de ses orbites. -
+- Calculer ${\bf P}(N=1)$ et ${\bf P}(N=n)$. +- Donner une formule simple pour la fonction generatrice de $N$. +- Donner un equivalent de ${\bf E}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$. +- Donner un equivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$. +::: -
-

-Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aleatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites. -

+::: exercice +Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. +suivant la loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la +base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable +aleatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, +$f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$. - +- Determiner + ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$. +- Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicite de $z$ comme valeur + propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$. +::: -
+::: exercice +Soient $b,n\in{\N}^*$. On considere $(B - {1\leq i\leq n}$ des variables +aleatoires independantes suivant la loi uniforme sur $[\![0,b-1]\!]$. On +note $S$ l\'ensemble des descentes de la suite $B$ c\'est-a-dire +$S=\{i\in[\![1,n]\!],\ B_i\gt B_{i+1}\}$. -
-

-Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aleatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$. -

+- Pour $i\in[\![1,n-1]\!]$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$. +- Soit $j\in[\![1,n-j-1]\!]$. Calculer + ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$. - Pour + $I\subset\llbracket 1,n\rrbracket$, on pose $\alpha(I)$ (resp. + $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ elements a valeurs dans + $\llbracket 0,b-1\rrbracket$ qui verifient $S\subset I$ (resp. + $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en + fonction de $\alpha$. +::: - +::: exercice +Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note +$s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points +$e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note +$b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment +(ou on dit que deux segments se croisent s\'ils ont un point +d\'intersection qui n\'est pas une extremite). -
+Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aleatoire suivant la loi +uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Determiner $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en +donner un equivalent. +::: -
-

-Soient $b,n\in{\N}^*$. On considere $(B - {1\leq i\leq n}$ des variables aleatoires independantes suivant la loi uniforme sur $[\![0,b-1]\!]$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in[\![1,n]\!],\ B_i\gt B_{i+1}\}$. -

+::: exercice +Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que +$\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et +$\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : +$\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$. - +1. Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et + enfin que $p \leq \frac{1}{4}$. +2. Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose + $\Phi_X\colon \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$. + Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$. +3. En déduire que $p \leq \frac{1}{4}$ est une condition suffisante. +::: -
+::: proof +1. On regarde les probabilités, jusqu\'à $n = 3$. +2. $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy. +3. +::: -
-

-Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note $s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points $e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note $b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment (ou on dit que deux segments se croisent s'ils ont un point d'intersection qui n'est pas une extremite). -

+::: exercice +Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et +$X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes uniformement +distribuees sur $\llbracket 0,d\rrbracket$. On note $S_n$ la classe de +$X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$. -

-Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Determiner $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en donner un equivalent. -

+- La variable aleatoire $S_n$ est-elle uniformement distribuee sur + $\Z/n\Z$? +- Calculer la loi de $S_n$. +::: -
+::: exercice +Soient $d\in\N^*$, $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables +aleatoires suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,d\rrbracket$. Pour +$n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. -
-

-Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : $\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$. -

+- Soient $Y$ une variable aleatoire a valeurs dans $\Z$, + $r\in\llbracket 0,d-1\rrbracket$, $\omega=e^{2i\pi/n}$. -
    -
  1. Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et enfin que $p \leq \frac{1}{4}$.
    2. -
  2. Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $\Phi_X\colon \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$. Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$.
    3. -
  3. En déduire que $p \leq \frac{1}{4}$ est une condition suffisante.
    4. -
+Montrer que \$**P**(Y≡ r\[*d*\])=`\frac{1}{n}`{=latex}∑~k=0~^n-1^ +`\frac{1}{\omega^{kr}}`{=latex}**E**`\left`{=latex}(ω^kY^`\right`{=latex}).\$ -
+- Soit $r\in\llbracket 0,d-1\rrbracket$. Donner une expression de + $\mathbf{P}(S_n\equiv r\left[d\right])$. +- Determiner la limite de la suite de terme general + $\mathbf{P}(S_n\equiv 0\left[d\right])$. +::: -
-
    -
  1. On regarde les probabilités, jusqu'à $n = 3$.
    2. -
  2. $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy.
    3. -
  3. -
- -
- -
-

-Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $\llbracket 0,d\rrbracket$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$. -

- - - -
- -
-

-Soient $d\in\N^*$, $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,d\rrbracket$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. -

- - - -

-Montrer que $\mathbf{P}(Y≡ r\left[d\right])=\frac{1}{n}∑k=0n-1 \frac{1}{ωkr}\mathbf{E}\left(ωkY\right).$ -

- - - -
- -
-

+::: exercice Soit $n\geq 1$. -

- +- On se donne deux variables aleatoires independantes $X_n$ et $Y_n$ + suivant chacune la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket^2$. + Soit $r\in\Q$. Determiner la probabilite $u_n(r)$ pour que $X_n$ et + $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la + droite $(X_nY_n)$ soit egal a $r$. Donner un equivalent de $u_n(r)$ + lorsque $n\to+\i$. +- On se donne quatre variables aleatoires independantes + $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur + $\llbracket 1,n\rrbracket^2$. On note $p_n$ la probabilite pour que + $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ + soient paralleles. Montrer que + $p_n=O\Big{(}\frac{\ln n}{n^2}\Big{)}$ quand $n\to+\i$. +::: -
+::: exercice +Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$.\*a)\*: +Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$. -
-

-Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$.*a)*: Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$. -

+- Soit $X$ une variable aleatoire reelle centree et admettant un + moment d\'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, + $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$. +- Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires + centrees admettant un moment d\'ordre 2. Montrer que, pour + $n\in\N^*$, + $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$. +::: - +::: exercice +Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue +une succession de tirages d\'une boule dans l\'urne avec remise. A +chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle titee dans +l\'urne. Soit $X_n$ la variable aleatoire du nombre de boules jaunes +dans l\'urne apres $n$ tirages. Soit $T_n$ l\'evenement «tirer une boule +jaune au $n^{\text{ieme}}$ tirage». -
+- Calculer $\mathbf{P}_{T_2}(T_1)$. +- Determiner la loi de $X_n$. +- Calculer $\mathbf{P}(T_n)$. +- Pour $n_1,...,n_p,m_1,...,m_q$ tous distincts, calculer + $\mathbf{P}(T_{n_1}\cap...\cap T_{n_p}\cap\overline{T_{m_1}}\cap...\cap \overline{T_{m_q}})$. +::: -
-

-Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. A chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle titee dans l'urne. Soit $X_n$ la variable aleatoire du nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages. Soit $T_n$ l'evenement «tirer une boule jaune au $n^{\text{ieme}}$ tirage». -

+::: exercice +Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes +uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$. - +1. Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un + triangle équilatéral. +2. Déterminer un équivalent de $p_n$. +::: -
- -
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-Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$. -

- -
    -
  1. Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un triangle équilatéral.
    2. -
  2. Déterminer un équivalent de $p_n$.
    3. -
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+::: proof Relier à un précédent. -

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    -

  1. -On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes $1$, et autant de différences entre les deux. -

    +1. On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes + $1$, et autant de différences entre les deux. -

    -On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et $B\oplus C$. -

    + On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et + $B\oplus C$. -

    -Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints. -

    2. -
+ Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ + vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et + disjoints. +::: -
+::: exercice +On munit l\'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la +probabilite uniforme. Soit $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre +de points fixes d\'une permutation aleatoire $\sigma\in\mc{S}_n$. -
-

-On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilite uniforme. Soit $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation aleatoire $\sigma\in\mc{S}_n$. -

+- Calculer $\mathbf{P}(X_n=0)$. +- Determiner la loi de $X_n$. +- Etudier la convergence en loi de la suite $(X - {n\in\N^*}$. +- Calculer les esperance et variance de la variable aleatoire $X_n$. +::: - +::: exercice +Soit +$M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ +une matrice aleatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, +$(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et +$(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$. -
+- Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible. +- Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible et + diagonalisable dans $\R$. +::: -
-

-Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aleatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$. -

+::: exercice +Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\N$ +verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout +$i\in[\![0,n]\!]$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et +$\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$. - +- Montrer que, si $(i,j)\in\N^2$, + $\mathbf{P}P(X=i,Y=j)=\mathbf{P}(X=i,X-Y=j)$, puis que $X-Y\sim Y$. +- Montrer que $\mathbf{P}(Y=0)\gt 0$. +- On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont independantes. Determiner la loi de + $Y$, puis celle de $X$. +::: -
+::: exercice +Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la +reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables +aleatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout +$k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $X_k$ suit la loi uniforme sur +$\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l\'application +aleatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout +$k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. +Calculer la probabilite que $F$ soit bijective. +::: -
-

-Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\N$ verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in[\![0,n]\!]$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$. -

+::: exercice +On cherche a collectionner $N$ jouets. A chaque achat, chaque jouet a +une probabilite uniforme d\'etre obtenu. Pour +$i\in\llbracket 1,N\rrbracket$, on note $T_i$ le temps d\'attente pour +obtenir $i$ jouets differents. - +- Calculer l\'esperance de $T_N$. +- Calculer la variance de $T_N$. +- Montrer que $\forall\eps\gt 0$, + $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ + quand $N\ra+\i$. +::: -
+::: exercice +Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles +centrees. -
-

-Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aleatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilite que $F$ soit bijective. -

- -
- -
-

-On cherche a collectionner $N$ jouets. A chaque achat, chaque jouet a une probabilite uniforme d'etre obtenu. Pour $i\in\llbracket 1,N\rrbracket$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents. -

- - - -
- -
-

-Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles centrees. -

- -

On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$. -

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-Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient $S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$. -

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- - -## X PSI :autre: - - -### Algebre - -
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-Pour $n\geq 2$ on pose $P_n=(X+1)^n+X^n+1$ et $Q(X)=(X^2+X+1)^2$. -

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-Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $Q$ divise $P$. -

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-Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu'il existe une base de $\mc{L}(E)$ formee de projecteurs. -

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-Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. Montrer que $f$ possede $n$ valeurs propres distinctes si et seulement s'il existe $v\in E$ tel que $(v,f(v)\cdots,f^{n-1}(v))$ soit libre. -

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- -
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-Trouver $\text{Vect}(\mc{O}_n(\R))$.# 408 -

- -
- -- Soit $(A,B)\\in\\mc{S}\_n^+(\\R)^2$. Montrer que $\\det(A+B)\\geq\\max(\\det(A),\\det(B))$. - Trouver une condition necessaire d'egalite lorsque $A\\in\\mc{S}\_n^{++}(\\R)$. - -
-

-Soit $A\in\M_n(\R)$ tel que $A^2\in\mc{S}_n(\R)$. - A-t-on necessairement $A\in\mc{S}_n(\R)$? - Trouver une condition necessaire supplementaire pour avoir $A\in\mc{S}_n(\R)$. -

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- - -### Analyse - -
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-Soit $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$. Montrer qu'il existe $(n,m)\in\N^2$ tel que $\sqrt{n}-\sqrt{m}\in]a,b[$. -

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-Soit $\alpha\gt 0$. Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites reelles telles que, pour tout $n\in\N$, $a_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(b_n+c_n)$, $b_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+c_n)$, $c_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+b_n)$. Etudier leur comportement asymptotique. -

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-Étudier la serie $\sum(-1)^n\dfrac{\sin(\ln(n))}{n}$. -

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-Soit $f:[0,+\i[\to[0,+\i[$ de classe $C^1$, strictement croissante avec $\lim_{x\to+\i}f(x)=+\i$. Montrer que $\sum\dfrac{1}{f(n)}$ converge si et seulement si $\sum\dfrac{f^{-1}(n)}{n^2}$ converge. -

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-écrit quelque part… -

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-Comparaison série intégrale, puis changement de variable. -

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-Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall(x,y)\in\R^2,f(xy)=f(x)f(y)$. -

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-Pour $a\in]0,1[$ et $n\in\N$, on pose $I_n(a)=\int_0^1\dfrac{1}{1+(at)+\cdots+(at)^n}dt$. -

- -

-Determiner $\lim_{n\to+\i}\left(\lim_{a\to 1}I_n(a)\right)$ et $\lim_{a\to 1}\left(\lim_{n\to+\i}I_n(a)\right)$. -

- -
- -
-

-Soient $a,b,c$ trois reels strictement positifs. -

- -

-On pose $E=\left\{(x,y,z)\in\R^3\ ;\ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left( \dfrac{y}{b}\right)^2+\left(\dfrac{z}{c}\right)^2=1\right\}$. On suppose que $A,B,C$ sont trois points distincts de $E$ tels que le plan tangent a $E$ en $A$ est parallele a $(BC)$, le plan tangent a $E$ en $B$ est parallele a $(CA)$, le plan tangent a $E$ en $C$ est parallele a $(AB)$. -

- -

-Calculer le volume du parallelepipede engendre par les vecteurs $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$. -

- -
- - -### Geometrie - -
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-Soient $abc$ un vrai triangle du plan complexe, $\alpha$ (resp. $\beta$, resp. $\gamma$) a rotation de centre $a$ (resp. $b$, resp. $c$) et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. -

- - - -
- - -### Probabilites - -
-

-Determiner la loi d'une variable aleatoire $X$ a valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall(k,\ell)\in(\N^*)^2$, $\mathbf{P}(X\gt k+\ell\,|\,X\gt k)=\mathbf{P}(X\gt \ell)$. -

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- -
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-Une entreprise qui commercialise des eeufs en chocolat met dans chaque ceuf un jouet. Au total il y a $N$ jouets differents. On suppose qu'a chaque achat d'ceuf la probabilite de tomber sur un jouet donne est identique pour chaque jouet. On note $T_N$ le nombre d'eufs achetes jusqu'a obtenir la collection complete. -

- -

-Montrer que $\mathbf{E}(T_N)=N\times H_N$ avec $H_N=\sum_{n=1}^N\dfrac{1}{n}$. -

- -
- -
-

-On pose$M=\left(\begin{array}{cccc}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{array}\right)$ avec $a,b,c,d$ des variables aleatoires a valeurs dans $\Z$ telles que $a+1,b+1,c+1,d+1$ suivent des lois de Poisson de parametres respectifs $\lambda_a,\lambda_b,\lambda_c,\lambda_d$. Calculer la probabilite de l'evenement $*M$ est inversible $\Rightarrow$. -

- -
- -
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-On considere deux variables aleatoires $X$ et $Y$ independantes a valeurs dans $[\![0,n]\!]$ qui suivent la meme loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $[\![0,n]\!]$. -

- -
- -
-

-On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aleatoires independants avec remise. On note $N_n$ le nombre de tirages qu'il a fallu pour avoir les $n$ objets differents. -

- - - -
- - -## X PC :autre: - - -### Algebre - -
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-Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $m\in\N^*$ et $\eps_1,\ldots,\eps_m\in\{-1,1\}$ tels que $n=\sum_{k=1}^m\eps_kk^2$. -

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- -
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-Soit $A\in\M_n(\C)$ une matrice qui n'est pas une homothetie. On suppose que $M$ est une matrice qui commute avec $PAP^{-1}$ pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $M$ est une homothetie. Meme question pour $A$ et $M$ matrices reelles. -

- -
- -
-

-Soit $n\geq 2$. Si $A\in\M_n(\C)$ est nilpotente, determiner les valeurs possibles du cardinal de l'ensemble $\{B\in\M_n(\C),\ A=B^2\}$. -

- -
- -
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-Trouver les matrices $A$ de $\M_2\left(\C\right)$ telles que $A^p=A$, ou $p$ est un entier $\geq 2$. -

- -
- -
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-Soient $A,B\in\M_n(\C)$. Montrer $A$ et $B$ ont une valeur propre commune si et seulement s'il existe $P\in\M_n(\C)\setminus\{0\}$ telle que $AP=PB$. -

- -
- -
-

-Caracteriser les matrices $A\in\M_n(\C)$ telles que l'ensemble des matrices semblables a $A$ engendre l'espace $\M_n(\C)$. -

- -
- -
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-Soit $G$ une partie de $\mathrm{GL}_2(\R)$ qui contient $I_2$ et qui est stable par produit et passage a l'inverse. On note $\mathrm{Vect}(G)$ l'ensemble des combinaisons lineaires d'elements de $G$. Montrer que $\mathrm{Vect}(G)\neq\M_2(\R)$ si et seulement si une des conditions suivantes est verifiee : -

- -

-(i) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est triangulaire superieure, -

- -

-(ii) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est de la forme $\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}$ avec $a$ et $b$ dans $\R$. -

- -
- -
-

-Soit $A\in\M_n\left(\C\right)$. On note $\mathrm{Sp}\left(A\right)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_r\}$ ou les $\lambda_i$ sont distincts et ou $\lambda_i$ est de multiplicite $m_i\in\N^*$. -

- - - -

-$$T=\!\!\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1I_{m_1}+N_1&*&\cdots&*\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&*\\ 0&\cdots&0&\lambda_rI_{m_r}+N_r\end{array}\right)\text{$$, ou les $N_i$ sont des matrices triangulaires superieures a diagonale nulle. -

- - - -
- -
-

-Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AB^2-B^2A=B$. Montrer qu'il existe $p\in\N$ tel que $B^{2p}\neq 0$ et $B^{2p+1}=0$. -

- -
- -
-

-Soient $n\in\N$ impair, $A$ et $B$ dans $\M_n\left(\C\right)$ telles que : $AB+BA=A$. -

- - - -
- -
-

-Soit $A\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres non nulles distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. - Montrrer qu'il existe des nombres complexes $c_{i,j}$, avec $1\leq i\leq n$, $0\leq j\leq n-1$, tels que $\forall k\in\N$, $A^k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}c_{i,j}\lambda_i^kA^j$. -

- - - -
- -
-

-Caracteriser les matrices $M\in\M_n(\C)$ qui sont somme de deux matrices diagonalisables de rang 1. -

- -
- -
-

-Determiner les entier $n$ tels qu'il existe $A\in\M_n(\Z)$ verifiant $A^2-A+I_n=0$. -

- -

-Ind. Commencer par $n\leq 3$. -

- -
- -
-

-Soit $G=\{M\in\M_2(\Z),\ \det{(M)}=1\}$. On note $\mathrm{ord}(A)=\inf\{n\gt 0,\ A^n=I\}$. -

- - - -
- -
-

-Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que si $\lambda$ est un reel strictement negatif qui est valeur propre de la matrice $A\overline{A}$, alors la dimension du sous-espace propre associe est paire. -

- -
- -
-

-Soit $\alpha\in\R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x\in\R^3,\ \|x\|=1\right\}$ ou $\|\ \|$ designe la norme euclidienne canonique. Montrer l'equivalence entre les propositions suivantes. -

- -

-(i) $\alpha=2$. -

- -

-(ii) $\forall n\geq 1$, $\forall\left(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n,c_1,\ldots,c_n\right) \in(S^2)^{3n}$, $\exists p\in S^2$ tel que -

- -

-$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^{\alpha}=\sum_{i=1}^n \left\|p-b_i\right\|^{\alpha}=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^{\alpha}$. -

- -
- -
-

-Soit $n$ un entier $\geq 2$. Pour quelles valeurs du reel $\alpha$ existe-t-il $n+1$ vecteurs unitaires $u_0,u_1,\ldots,u_n$ de $\R^n$ verifiant $\forall(i,j)\in\{0,1,\ldots,n\}^2$, $i\neq j\Rightarrow\left\langle u_i,u_j\right\rangle=\alpha$? -

- -

-Ind. Considerer la matrice $A=\left(\left\langle u_i,u_j\right\rangle\right)_{1\leq i,j\leq n}$. -

- -
- -
-

-On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $n\geq 2$. Montrer que tout endomorphisme de $\R^n$ est somme d'un nombre fini d'isometries. -

- -
- -
- - -
- -
-

-Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symetrique positive non nulle. Montrer qu'il existe $r\in\N^*$ et des reels $b_{i,k}$, avec $1\leq i\leq n$ et $1\leq k\leq r$, tels que $\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$, $a_{i,j}=\sum_{k=1}^rb_{i,k}b_{j,k}$. Quel est la plus petite valeur possible de $r$?# 454 - Soit $A=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre est inferieure ou egale a $\frac{1}{2n+1}$. -

- -

-On pourra montrer que $\forall P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,dt+\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\, d\theta=0$. -

- -
- -
-

-Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ et $A^T$ commutent si et seulement si $AA^TA=A^2A^T$. -

- -
- -
-

-Soient $A\in\M_{m,n}(\R)$ non nulle, $X\in\R^n$ et $Y\in\R^m$. On munit $\R^n$ et $\R^m$ de leurs normes euclidiennes canoniques. Considerons les assertions : -

- -

-(i) $\forall Z\in\R^n$, $\|AX-Y\|\leq\|AZ-Y\|$; -

- -

-(i)' $A^TAX=A^TY$; -

- -

-(ii) $X$ est de norme minimale pour la propriete (i); -

- -

-(ii)' $X\perp\mathrm{Ker}\,A^TA$. -

- - - -
- -
-

-Donner une condition sur $A=\left(a_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{S}_n\left( \R\right)$ pour que l'application qui a $U=\left(u_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{O}_n\left( \R\right)$ associe $\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}u_{i,j}$ atteigne son maximum en un unique $U$. -

- -
- -
-

-Soit $\alpha\in\,]0,1[$. -

- - - -
- -
-

-Soit $f\colon\mc{S}_n(\R)\to\R$ une forme lineaire. Montrer l'equivalence des trois assertions suivantes : -

- -
    -
  1. $\forall A\in\M_n(\R),\ f\big{(}AA^T\big{)}\geq 0$;
    2. -
- -

-ii) $\exists B\in\mc{S}_n^+(\R),\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)= \mathrm{Tr}(AB)$; -

- -

-iii) $\exists m\in\N,\ \exists(X - {i\in\llbracket 1\,:\,m\rrbracket}\in \M_{n,1}(\R)^m,\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)=\sum_{i=1}^m \mathrm{Tr}\,\big{(}X_i^TAX_i\big{)}$. -

- -
- -
-

-Sont $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$ et $B\in\mc{A}_n\left(\R\right)$. Montrer que $AB$ est diagonalisable sur $\C$. -

- -
- - -### Analyse - -
-

-Si $I$ est un intervalle de $\R$, on note $|I|$ sa longueur. Montrer qu'il existe une famille $(I - {j\in A}$ d'intervalles de $\R$, non reduits a un point, deux a deux disjoints et tels que -

- -

-$\Q\subset\bigcup_{j\in A}I_j$ et $\sum_{j\in A}|I_j|=42$. -

- -
- -
-

-On pose : $E=\M_n(\R)$ et $F=\big{\{}P\in E,\ P=P^T=P^2\big{\}}$. Soit $(P,Q)\in F^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $f:[0,1]\to F$ continue telle que $f(0)=P$ et $f(1)=Q$. -

- -
- -
-

-Soit $A:\R\to\M_n(\C)$ continue telle que $A(0)=A(1)=I_n$ et $A(s+t)=A(s)A(t)$ pour tous $s,t$. -

- - - -

-$\forall t\in\R$, $A(t)=P\mathrm{diag}(e^{i2\pi\lambda_1t},\ldots,e^{i2\pi\lambda_nt})P^{-1}$. -

- -
- -
-

-Soit $A\in\M_n(\R)$. On definit une suite de matrices par $M_0=A$ et, pour tout $k\in\N$, $M_{k+1}=M_k-M_k^2$. On etudie la convergence eventuelle de $(M - {k\geq 0}$. -

- - - -
- -
-

-Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie inclus dans $C^1(\R,\R)$. On suppose que $E$ est stable par translation, c'est-a-dire que $\forall f\in E,\forall a\in\R,(x\mapsto f(x+a))\in E$. Montrer que $\forall f\in E,f'\in E$. -

- -
- -
-

-Soit $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie. Soient $p,q\in\mc{L}(E)$ tels que $p^2=p$ et $q^2=q$. On suppose que $\forall x\neq 0$, $\|(p-q)(x)\|\lt \|x\|$. -

- - - -
- -
-

-Soit $x\geq 0$. Donner un equivalent de la suite de terme general $u_n=\prod_{i=1}^n(x+i)$. -

- -
- -
-

-Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $\sum_{k=0}^{n-1}|\cos(k)|\geq\frac{4n}{10}$. -

- -
- -
-

-Soit $c_n$ le nombre de listes $(a_1,\ldots,a_n)$ d'entiers telles que $\{a_1,\ldots,a_n\}=\{1,\ldots,n\}$ et $\forall i\in\{1,\ldots n-1\}$, $a_{i+1}\neq a_i+1$. -

- - - -
- -
-

-Soit $C=0,1234567891011121314\ldots$ (on ecrit les ecritures decimales de tous les entiers naturels a la suite). Montrer que $C$ est irrationnel.# 471 - Soit $a\in\R$. On suppose que $\left(n\left\{an!\right\}\right)_{n\in\N}$ converge ou on note $\left\{x\right\}=x-\left\lfloor x\right\rfloor$ pour $x\in\R$. Montr er que $a\in\Q+\mathsf{e}\N$. -

- -
- -
- - -
- -
-

-Soit $u_n$ le maximum de la fonction $x\mapsto(n-x)\ln(x)$ sur $[0,n]$. -

- - - -
- -
-

-Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_0\gt 0$ et $\forall n\geq 0$, $u_{n+1}=u_n-e^{-1/u_n}$. -

- - - -
- -
-

-Determiner $\lim_{n\to+\i}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$. -

- -

-Ind. Etudier si $n\geq m$, $a_{m,n}=\sqrt{1+m\sqrt{1+(m+1)\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$, et considerer $a_{m,n}^2-(m+1)^2$. -

- -
- -
-

-Soit $(u_n)$ une suite bornee. Montr er qu'il y a equivalence entre : -

- -

-(i) $\frac{1}{n}\sum_{k\lt n}|u_k|\to 0$, -

- -

-(ii) il existe $A\subset\N$ tel que $\frac{1}{n}\left|A\cap[0,n-1]\right|\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$ et $\lim_{n\notin A}u_n=0$. -

- -
- -
-

-Etudier la convergence de la serie de terme general $\left|\sin(2\pi n!e)\right|^{\alpha}$ selon les valeurs du reel $\alpha\gt 0$. -

- -
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- - -

-Que peut-on en dedaire sur la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$? -

- - - -
- -
- - -
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-Soient $f$ et $g:\R\to\R$ continues et croissantes. Soit $\lambda\gt 0$. Montrer qu'il existe un unique couple $(u,v)\in\R^2$ tel que $\lambda u+f(u-v)=\lambda v+g(v-u)=0$. -

- -
- -
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-Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe. -

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- -
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-Soit $f:[0,1]\mapsto\R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que, pour tout $a\in\R$, $f'+af$ s'annule sur $]0,1[$. -

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-On appelle polynome trigonometrique reel toute fonction $f\colon\R\to\R$ donnee par une formule $\forall x\in\R,\ f(x)=\sum_{k=-n}^na_ke^{ikx}$ avec $n\in\N$ et des constantes $a_k\in\C$. Trouver tous les couples $(f,g)$ de polynomes trigonometriques reels tels que $f^2+g^2=1$. -

- -
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-Soient $a,b$ deux reels strictement positifs. Pour $x\gt 0$, on pose $f(x)=\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$. -

- - - -
- -
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-Soit $f\colon\R\to\R$ continue. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes : -

- - - -
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-Soit $g\in\mc C^3([0,2],\R)$ telle que $g(0)=g(1)=g(2)=0$. -

- - - -

-Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$, et $f,g\in\mc C^0([a,b],\R^{+*})$. -

- -

-On pose $ m=inf\limits[a,b]\dfrac{f}{g}$ et $ M=⊃\limits[a,b]\dfrac{f}{g}⋅$ Montrer que $\int_a^bf^2\int_a^bg^2\leq\dfrac{\left(M+m\right)^2}{4 Mm}\left(\int_a^bfg\right)^2$. -

- -
- -
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-Soient $ K:\left[0,1\right]2→\R$ et $f,g:\left[0,1\right]\to\R$ continues telles que : -

- -

-$\forall x\in\left[0,1\right]$, $ f\left(x\right)=∫01K(x,z)g(z)\,dz$ et $ g\left(x\right)=∫01K(x,z)f(z)\,dz$. Montrer que $ f=g$. -

- -
- -
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-Soit $E$ l'espace des fonctions $ f∈\mc C2(\R,\R)$ telles que -

- -

-$\sup\limits_{x\in\R}\left(1+x^2\right)\bigl{(}\left|f(x)\right|+ \left|f'(x)\right|+\left|f^{''}(x)\right|\bigr{)}\lt +\i$. -

- -

-Pour $(t,x)\in\R^2$, on definit $ At(f)(x)=txf(x)+f'(x)$ et $ At*(f)(x)=txf(x)-f'(x)$. -

- -

-Montrer que $\forall t\in\R$, $\forall f\in E$, $\int_{-\i}^{+\i}A_t^*(A_t(f))(x)\,f(x)\,dx\geq 0$. -

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- -
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-Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$. -

- - - -
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-Posons $ A=\Q∩\left[\,0\,;\,1\,\right]$. Existe-t-il une suite $(f_n)$ de fonctions de $A$ dans $A$, continues sur $A$ et qui converge simplement sur $A$ vers une fonction $f$ qui n'est continue en aucun point de $A$? La convergence peut-elle etre uniforme? -

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-On considere l'ensemble $E$ des applications continues $ f:\R\mapsto\R$ telles qu'il existe $ M> 0$ verifiant $\forall x,y\in\R,\left|f(x+y)-f(x)-f(y)\right|\leq M$. -

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-On considere une suite $(f - {n\geq 0}$ d'applications de $[0,1]$ dans $\R$ qui converge simplement sur $[0,1]$ vers une application continue $f$. -

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-Pour $ n∈\N*$ et $ x∈\R^+$, on pose $ fn(x)=cos\biggl{(}\dfrac{x}{\sqrt{n}}\biggr{)}\,\mathbf{1}_{\left[1,\frac{ π\sqrt{n}}{2}\right]}(x)$. -

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-Soit $(f - {n\in\N}$ une suite de fonctions appartenant a $\mc C^3(\R,\R)$ et $C$ une constante reelle positive. On suppose : (i) $\sup_{n\in\N}\|f_n^{(3)}\|_{\i}\leq C$, (ii) $\lim_{n\to+\i}\|f_n\|_{\i}=0$. -

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-On note $E=\mc C^0([0,1],\R)$. Si $f\in E$, on definit la fonction $T(f)$ par $T(f)(0)=f(0)$ et $ T(f)(x)=\frac{1}{x}∫0xf(t)dt$ pour $x\in\,]0,1]$. -

- -

-On definit par recurrence sur $n\in\N$, $T^{n+1}(f)=T(T^n(f))$. -

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-Soit $ F:x\mapsto∑k=0+\i\left(-1\right)kx2k$. -

- - - -

-On pose $ G:x\mapsto∑k=0+\ix4k\left(1-x4k\right)$. -

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-Soient $\alpha\gt 0$ et, pour $n\in\N^*$, $ fn:x\mapsto\frac{\sin nx}{nα}$. La serie $\sum f_n$ converge-t-elle simplement sur $\R$? Pour quels $\alpha$ a-t-on convergence uniforme? -

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-On pose $ g:x\mapsto\frac{1}{x}-∑n=1+\i\frac{2x}{n^2-x^2}$. -

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-Soit $(a_n)$ une suite de reels positifs tels que $\sum a_n$ diverge. -

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-Soit une suite $\left(a_n\right)_{n\in\N}$ telle que $\forall n\in\N$, $a_{n+2}=\frac{n+3}{n+2}a_{n+1}+\frac{3n+7}{n+1}a_n$. Montrer que le rayon de convergence de $\sum a_nz^n$ est strictement positif et trouver un minorant de ce rayon. -

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-Soit $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ une suite de nombres reels. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=a_0+\cdots+a_n$ et $\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^ns_k$. On considere les assertions : -

- -

-(i) la suite $(\sigma_n)$ converge, -

- -

-(ii) $f(x)=\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$, et $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)$ existe (et est finie). -

- -

-A-t-on (i) $\Longrightarrow$ (ii)? A-t-on (ii) $\Longrightarrow$ (i)? -

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-Etudier la limite de $f(x)=\sum_{k=0}^{+\i}(-1)^kx^{k!}$ lorsque $x$ tend vers $1^-$. -

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-On pose, pour $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $\zeta(k)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^k}$. -

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-Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $I$ un intervalle de $\R$ et $f_1,\ldots,f_n\in\mc C^{n-1}(I,\R)$. -

- -

-On note $W_n(f_1,\ldots,f_n)=\begin{vmatrix}f_1&f_2&\cdots&f_n\\ f_1'&f_2'&\cdots&f_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ f_1^{(n-1)}&f_2^{(n-1)}&\cdots&f_n^{(n-1)}\end{vmatrix}$.Ind. On admettra que, si $a_0,\ldots,a_{n-2}$ sont des fonctions continues sur $I$, alors l'ensemble des solutions de l'equation differentielle $y^{(n-1)}+a_{n-2}(t)y^{(n-2)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$ est un espace vectoriel de dimension $n-1$. -

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-Soient $\lambda\gt 0$ et $x,y:\R^+\to\R$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ telles que $x(0)\gt 0$, $y(0)\gt 0$, $x'=-xy$ et $y'=xy-\lambda y$. -

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-Determiner les extrema de $f:(x,y)\mapsto 3x^2+2xy+2y^2-x^4$ sur le disque unite ferme et les points en lesquels ils sont atteints. -

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- - -### Probabilites - -
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-On a un de equilibre a $N$ faces numerotees de 1 a $N$, et on effectue une suite de lancers independants. Le jeu s'arrete lorsque le resultat du lancer $n+1$ est strictement inferieur a celui du lancer $n$. -

- - - -
- -
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-Soient $a\in\R$, $q\geq 3$ et $(X_n)$ une suite de variables aleatoires mutuellement independantes et uniformes sur $\left\{\frac{k}{q},\ k=0,\ldots,q-1\right\}$. On definit la suite $(T_n)$ par : $T_0=0$ et $\forall n,T_{n+1}=T_n+a+\sin(2\pi(T_n-X_n))$. Determiner l'esperance de $T_n$. -

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-On dispose de $N$ pieces equilibrees. On lance les $N$ pieces de maniere independante. On note $X_1$ le nombre de < < pile > > obtenus. On relance ces $X_1$ pieces et on note $X_2$ le nombre de < < pile > > obtenus… -

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-

-Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires discretes independantes telles que $Y$ prenne un nombre fini de valeurs, et $\mathbf{E}(Y)=0$. On suppose que $|X|$ admet une esperance. Montrer que $\mathbf{E}(|X-Y|)\geq\mathbf{E}(|X|)$. -

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-On tire une piece $n$ fois independamment avec probabilite de faire pile $1/n$. Soit $p_n$ la probabilite d'obtenir un nombre impair de fois pile. Etudier le comportement de $p_n$. -

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- - -# Mines - -
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-Determiner les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$. -

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-Soient $p$ un nombre premier et $C_p$ l'ensemble des $z\in\C$ tels qu'il existe $n\in\N$ verifiant $z^{p^n}=1$. -

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-Determiner tous les couples $(m,n)\in\N^2$ verifiant : $3^m=8+n^2$. -

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-Nécessairement, $m$ pair, donc cela s'écrit $3^{2m} - n^2 = 8$. -

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-Soient $p,q$ deux entiers superieurs ou egaux a $2$. -

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-Soit $A=\{n\in\N,\ 2^n+1\equiv 0\ [n]\}$. -

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-On ecrit $n\in\N$ en base $p\in\mc{P}:n=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_kp^k$ et l'on pose $S_p(n)=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_k$. -

- - - -
- -
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-Soient $G$ un groupe et $k\in\N$. -

- -

-On suppose que : $\forall i\in[\![k,k+2]\!],\forall(a,b)\in G^2,(ab)^i=a^ib^i$. Montrer que $G$ est abelien. -

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-Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique. Trouver un contre-exemple dans le cas ou $G$ n'est pas commutatif.# 526 -

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-Soit $p$ un nombre premier impair. -

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-Soient $A$ un anneau commutatif integre et $(a_0,\ldots,a_n)$ une famille non nulle d'elements de $A$. Montrer que l'equation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ admet au plus $n$ solutions dans $A$. -

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- -
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-On pose $\Z[i]=\{a+ib,\ (a,b)\in\Z^2\}$. -

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-Montrer que $\Z[i]$ est un anneau integre et determiner ses inversibles. -

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-en Soit $A$ un anneau commutatif. -

- -

-Si $I$ est un ideal de $A$, on note $R(I)=\{x\in A\ ;\ \exists n\in\N,\ x^n\in I\}$. -

- - - -

-$R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ ; $R(I)+R(J)\subset R(I+J)$. -

- - - -
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-Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de meme module tels que, pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $\left|\sum_{k=1}^nz_k\right|=\left|\sum_{k=1}^nz_k-z_i\right|$. Calculer $\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)$. -

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- - -
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-Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n$. Montrer qu'il existe $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$ tel que $|P(k)|\geq\frac{n!}{2^n}$. -

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-Interpolation de Lagrange. -

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-Soit $P\in\C[X]$. -

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-On pose $B_0=1$ et pour tout $k\in\N^*$, $B_k=\frac{1}{k!}X(X-1)…(X-k+1)$. -

- - - -
- -
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-Soient $n\in\N^*$ et $k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$. Soit $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in\C[X]$ polynome de degre $n$ tel que $(X-1)^k|P$. On note $\mu(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. On veut montrer que $\mu(P)\geq k+1$. On raisonne par l'absurde et on pose $A=\{i\in\llbracket 0,n\rrbracket,\ a_i\neq 0\}$. -

- - - -

-Montrer que $\forall s\in\llbracket 0,k-1\rrbracket,\ P^{(s)}(1)=\sum_{i\in A}a_iP_s(i)$. -

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- - -
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- - -

-On note $v(x)$ le nombre de changements de signe stricts : -

- -

-Soit $a\lt b$ tel que $P(a)P(b)\neq 0$. Montrer que si l'on note $\mu(a,b)$ le nombre de racines comptees avec multiplicite sur $[a,b]$ de $P$ comptees avec multiplicite, alors : -

- -

-$\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $μ(a,b)≡ v(a)-v(b)$$[2]$. -

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- - -
- -
-

-Soit $P\in\R[X]$ un polynome de degre $n\geq 2$, ayant $n$ racines reelles distinctes et non nulles $a_1\lt …\lt a_n$. Calculer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(a_i)}$ et $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_iP'(a_i)}$. -

- -
- -
-

-Soit $P\in\C[X]$ un polynome unitaire de degre $n$. On note $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ses racines comptees avec multiplicite. On suppose que $P$ est a coefficients entiers. -

- -

-Montrer que, pour tout $q\in\N^*$, $P_q=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^q)$ est a coefficients entiers. -

- -
- -
-

-Soit $\mathbb{K}=\Q+\sqrt{2}\Q+\sqrt{3}\Q+\sqrt{6}\Q$. Montrer que $\mathbb{K}$ est un $\Q$-sous-espace vectoriel de $\R$ et que $(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ est une base de $\mathbb{K}$. -

- -
- -
-

-Quelle est la dimension du $\Q$-sous-espace de $\R$ engendre par $\mathbb{U}_5$? -

- -
- -
-

-Soient $x,y,z$ des rationnels non nuls. Montrer que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}x&y&z\\ 2y&z&2x\\ z&x&2y\end{array}\right)$ est inversible.# 549 - Soient $x,y\in\R$ et $D=\begin{vmatrix}1&0&1&0&0\\ x&1&y&1&0\\ x^2&2x&y^2&2y&2\\ x^3&3x^2&y^3&3y^2&6y\\ x^4&4x^3&y^4&4y^3&12y^2\end{vmatrix}$. Montrer que $D=0$ si et seulement si $x=y$. -

- -
- -
-

-Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ dont on note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes. Soit $B$ la matrice dont les colonnes sont $C'_1,\ldots,C'_n$ avec : $C'_j=\sum_{i\neq j}C_i$. Determiner $\det B$ en fonction de $\det A$. -

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- - -
- -
-

-Soit $f\in\mc{L}(E)$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que $\op{rg}f=\op{rg}f^2$ si et seulement si $E=\op{Ker}f\oplus\op{Im}f$. -

- -
- -
-

-Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que $h\in\mc{L}(E)$ est une transvection s'il existe $\phi\in\mc{L}(E,\mathbb{K})$ non nulle et $a\in E$ non nul tels que : $\forall x\in E$, $h(x)=x+\phi(x)a$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que $\op{rg}(u-\op{id})=1$ et $(u-\op{id})^2=0$. Montrer que $u$ est une transvection. La reciproque est-elle vraie? -

- -
- -
-

-Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semblables a $A$ appartiennent au commutant de $M$. Determiner $M$. Meme question dans $\M_n(\C)$. -

- -
- -
-

-Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non necessairement distinctes) du polynome $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$. -

- -

-Calculer, pour $n\in\N^*$, le determinant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$. -

- -
- -
-

-${}^{\bigstar}$ Soit $n\in\N^*$. Calculer $\det((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n})$. -

- -

-Ind. On rappelle que, pour $N\in\N^*$, $N=\sum_{d|N}\phi(d)$ ou $\phi$ est l'indicatrice d'Euler. -

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- -
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-Soient $K_1$,…, $K_n$ des segments non triviaux disjoints. -

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-Soit $n\in\N^*$. Soit $D$ l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\mathbb{K})$ telles que $m_{i,j}=0$ si $i$ et $j$ sont de parites differentes. -

- - - -
- -
-

-Trouver les solutions dans $\M_2(\R)$ de $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$. -

- -
- -
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-Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AB=0$. -

- -

-Montrer $\forall k\geq 1$, $\mathrm{tr}(A^k)+\mathrm{tr}(B^k)=\mathrm{tr}\left((A+B)^k\right)$. -

- -
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- - -
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-

-Soit $f\colon\M_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ non constante telle que : $\forall A,B\in\M_n(\mathbb{K})$, $f(AB)=f(A)f(B)$. Montrer que $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\Longleftrightarrow f(A)\neq 0$. -

- -
- -
-

-Soient $A,B$ dans $\M_n(\R)$. Montrer que $\mathrm{Ker}\,A=\mathrm{Ker}\,B$ si et seulement s'il existe $P$ inversible telle que $B=PA$. -

- -
- -
-

-Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer l'equivalence entre : i) $u^2=0$ et $\exists v\in\mc{L}(E),\,u\circ v+v\circ u=\mathrm{id}$, ii) $\mathrm{Im}\,u=\mathrm{Ker}\,u$. -

- -
- -
-

-Soient $A=\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $N=A-I_n$. -

- -

-Soit $(E)$ l'equation matricielle $X^2=A$. -

- - - -

-Montrer qu'il y a au plus deux solutions. -

- - - -
- -
-

-Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente. -

- - - -
- -
-

-Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(u,v)\in\mc{L}(E)^2$. -

- - - -

-Montrer que $\op{rg}(p+q)=\op{rg}p+\op{rg}q$. -

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-Determiner les parties $G$ de $\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ soit un groupe multiplicatif et $G$ ne soit pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$. -

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- -
-

-Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $\sum_{M\in G}\text{Tr}(M)$ est un entier divisible par le cardinal de $G$. -

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- - -
- -
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-Determiner les ideaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes additifs stables par multiplication a gauche et a droite par n'importe quel element de $\M_n(\R)$. -

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-Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $f$ et $g$ deux elements de $\mc{L}(E)$ tels que $fg-gf=\text{id}_E$. -

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-

-Soit $A\in\M_n(\R)$. -

- - - -

-Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une partie $S$ de $\mc{L}(E)$ est dite dense si, pour tout $n\geq 1$, toute famille $(b_1,\ldots,b_n)$ de vecteurs de $E$ et toute famille libre $(a_1,\ldots,a_n)$ de vecteurs de $E$, il existe $f\in S$ tel que $f(a_i)=b_i$ pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$. -

- - - -
- -
-

-Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ verifiant : $\forall(i,j,k,\ell)\in\llbracket 1,n\rrbracket^4,M_{i,j}M_{k,\ell}= \delta_{j,k}M_{i,\ell}$. -

- - - -
- -
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-Soit $U$ une partie de $\M_n(\C)$ non vide, finie et stable par produit. Montrer qu'il existe $M\in U$ tel que $\mathrm{tr}\,M\in\{0,\ldots,n\}$. -

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-

-Pour tout $x\in\R$, on pose $A_x=\begin{pmatrix}0&x\\ x&0\end{pmatrix}$. Determiner la structure de l'ensemble : $\{\exp(A_x),\ x\in\R\}$ et expliciter $\exp(A_x)$ pour tout $x\in\R$. -

- -
- -
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-Soit $M\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec $M$ est $\text{Vect}(I_n,M,\ldots,M^{n-1})$. -

- -
- -
-

-Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $u^n=\mathrm{id}$. Pour $b\in E$ et $\lambda\in\R$, resoudre $x+\lambda u(x)=b$. -

- -
- -
-

-Soit $Z=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\ \vdots&&\vdots\\ 1&\cdots&1\end{pmatrix}\in\M_n(\C)$. Calculer $\chi_{Z^2}$. La matrice $Z$ est-elle diagonalisable? -

- -
- -
-

-Soient $n\in\N^*$, $U=(u_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},\ V=(v_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}\in\M_n(\R)$ ou $u_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i\leq n-1$, les autres coefficients etant nuls, $v_{i,j}=1$ si $j\gt i$, les autres coefficients etant nuls. -

- - - -

-Soient $a_1\lt …\lt a_n$ des reels et $M=\begin{pmatrix}a_1+1&1&\dots&1\\ 1&a_2+1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\dots&1&a_n+1\end{pmatrix}$. -

- - - -
- -
-

-Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$, $a,b\in\R$ et $P=X^2+aX+b$. On suppose que $P$ est irreductible sur $\R$ et annulateur de $u$. -

- - - -
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-Ecrire l'ensemble des matrices symetriques de $\M_2(\C)$ non diagonalisables comme reunion de deux plans vectoriels prives de leur droite d'intersection. -

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-

-Soient $a,b$ dans $\R^*$ et $A$ la matrice de taille $2n$ dont la diagonale contient des $a$, l'anti-diagonale des $b$ et les autres coefficients sont nuls. -

- - - -
- -
-

-Soient $A=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 1&0&0&&\vdots\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&0&1\\ 1&\ddots&&&0\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$ dans $\M_n(\R)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $\R[X]$ defini par -

- -

-$\forall P\in\R[X],\ u(P)=(X^2-1)P^{''}+4XP'$. -

- - - -
- -
-

-Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$. -

- - - -
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- -

- -
- -Soient $A,B\\in\\M\_n(\\R)$ non nulles et $f:M\\in\\M\_n(\\R)\\mapsto M+\\op{tr}(AM)B$. - Determiner un polynome de degre $2$ annulateur de $f$. - Etudier la diagonalisabilite de $f$. - -
-

- -

- -
- -Soient $(M,N)\\in\\M\_{2n+1}(\\C)$. On suppose que $MN=0$ et que $M+M^T$ est inversible. - Montrer que $M$ et $N$ ont un vecteur propre commun. - Montrer que $N+N^T$ n'est pas inversible. - -
-

- -

- -
- -Soient $P\\in\\M\_n(\\R)$ une matrice de projection et $f:M\\in\\M\_n(\\R)\\mapsto PM-MP$. - L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? - Calculer la trace de $f$. - -
-

- -

- -
- -Soient $A,B\\in\\M\_n(\\mathbb{K})$ diagonalisables. Soit $\\Delta$ l'endomorphisme de $\\M\_n(\\mathbb{K})$ defini par $\\forall M\\in\\M\_n(\\mathbb{K})$, $\\Delta(M)=AM+MB$. Montrer que $\\Delta$ est diagonalisable et preciser ses valeurs propres. - -
-

-Soit $\sigma$ une permutation de $[\![1,n]\!]$. Pour $M\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $p(M)=M'$ avec : $\forall(i,j)\in[\![1,n]\!]^2,\,m'_{i,j}=m_{i,j}$ si $i=\sigma(j)$ et $m'_{i,j}=0$ sinon. -

- - - -

-Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle. On definit deux applications $\phi$ et $u_A$ par : -

- -

-$\forall M\in\M_n(\mathbb{K}),\phi(M)=\sum_{k=1}^nm_{\sigma(k),k}$ et $u_A(M)=\phi(M)A+\phi(A)M$. -

- - - -
- -- L'endomorphisme $u\_A$ peut-il etre un projecteur? - -
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-Soient $E$ un $\R$-espace de dimension $n$, $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que $f\circ g-g\circ f=f$. -

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-

-Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$. -

- - - -
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-

-Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. -

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-

-Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. -

- - - -

-Montrer que : $E=\op{Im}f\oplus\op{Ker}f$. -

- -

-On suppose dans la suite que $\mathbb{K}=\C$ et que $E$ est de dimension $n\in\N^*$. -

- - - -

-Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si -

- -

-$\forall P\in{\C}[X],\ P(A)$ nilpotent $\Rightarrow P(A)=0$. -

- -
- -
-

-Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ avec $B$ diagonalisable. On suppose que $AB^3=B^3A$. Montrer que $A$ et $B$ commutent. Generaliser. -

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-Quels sont les $n\in{\N}$ tels qu'existe $A\in{\cal M}_n({\R})$ verifiant $A^3-A^2=I_n$? -

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-

-Determiner les entiers $n\geq 1$ tels qu'il existe $f\in{\cal L}({\R}^n)$ verifiant $f^3+f^2-{\rm id}=0$ et ${\rm tr}\,f\in{\Q}$. -

- -
- -
-

-Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On pose $f_A:M\in{\cal M}_n({\C})\mapsto AMA^T\in{\cal M}_n({\C})$. -

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- -
-

-Soit $p$ une permutation de $[\![1,n]\!]^2$. On considere l'application $u:{\cal M}_n({\C})\to{\cal M}_n({\C})$ definie par $:u(A)=(A_{p(i,j)})_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2}$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n({\C})$. Est-il diagonalisable? -

- -
- -
- - -

-Montrer que $\det\left(\begin{array}{cc}A&B\\ C&D\end{array}\right)=\det(AD-BC)$. -

- - - -
    -
  1. $\lambda$ est valeur propre de la matrice $\left(\begin{array}{cc}0&A^{-1}C\\ I_n&A^{-1}B\end{array}\right)$,
    2. -
- -

-ii) il existe $x\in{\C}^n\setminus\{0\}$ tel que la fonction $t\mapsto e^{\lambda t}x$ soit solution de $Ay^{''}-By'-Cy=0$. -

- -
- -
-

-Donner une base de ${\cal M}_n({\R})$ constituee de matrices diagonalisables. -

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-

-Soient $E$ un ${\C}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in{\cal L}(E)$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable et ${\rm Ker}(f)={\rm Ker}(f^2)$. -

- -
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-

-Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. -

- -

-Montrer que $A^2=A$ si et seulement si ${\rm rg}\,A\leq{\rm tr}\,A$ et ${\rm rg}(I_n-A)\leq{\rm tr}(I_n-A)$. -

- -
- -
-

-Soit $A\in{\cal M}_2({\R})$ telle qu'il existe $n\in{\N}^*$ tel que $A^{2^n}=I_2$. -

- -

-Montrer que $A^2=I_2$ ou qu'il existe $k\in{\N}^*$ tel que $A^{2^k}=-I_2$. -

- -
- -
-

-Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de ${\C}^n$. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes :[MISSINGPAGEFAIL:1]# 621 - Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit diagonalisable? -

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-Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit trigonalisable? -

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-

-Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\cal M}_n(\C)$ defini par -

- -

-$\forall T\in{\cal M}_n(\C),\ u(T)=AT-TB$. -

- - - -

-Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$. -

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-On note $\mathbb{B}$ l'ensemble des suites bornees de $(\C)^{\Z}$. -

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-On s'interesse a l'endomorphisme $T\in{\cal L}(\mathbb{B})$ qui a $(u_n)$ associe $(u_{n+1})$. -

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-$$S=\bigoplus_{i=1}^r\mbox{Ker}\left(\widetilde{T}-\lambda_i\mbox{id}\right)$$ -

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-

-Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$, $v_1,\ldots,v_{n+2}$ des vecteurs de $E$. Montrer qu'on ne peut avoir : $\forall i\neq j,\ \langle v_i,v_j\rangle\lt 0$. -

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-Soient $(E,\langle\,\rangle)$ un espace euclidien, $c_1,c_2\in E$, $r_1,r_2\in\R^{+*}$. -

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-Soient $E$ un espace prehilbertien reel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\forall x\in E,\ \|x\|^2=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormalee de $E$. Le resultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus la famille libre, mais seulement constituee de vecteurs non nuls?# 630 - Soient $E$ un espace euclidien, $A$ une partie de $E$ et $B=\left\{\left\langle x,y\right\rangle;\;(x,y)\in A^2\right\}$. Montrer que $A$ est fini si et seulement si $B$ est fini. -

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-Soient $E$ un espace euclidien, $A$ et $B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux. Montrer que les symetries orthogonales par rapport a $A$ et par rapport a $B$ commutent et que leur composee est la symetrie orthogonale par rapport a $(A+B)^{\perp}$. -

- -
- -
-

-Soient $(E,\left\langle\;,\;\right\rangle)$ un espace euclidien et $a\in E\setminus\{0\}$. -

- -

-Pour $\lambda\in\R$, soit $\Phi_{\lambda}:x\mapsto x-\lambda\left\langle a,x\right\rangle a$. -

- - - -
- -
-

-Soit $E$ un espace euclidien. -

- - - -

-$\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f(y)\right\rangle=0$. -

- - - -
- -
- - -
- -
-

-Soient $a,b,c\in\R$ et $A(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix}$. -

- - - -
- -
-

-On travaille dans l'espace $E=\R[X]$. Pour $P$ et $Q$ dans $E$, on pose -

- -

-$\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$. -

- - - -
- -
-

-Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left(P(x)+x^n\right)^ {2}\,dx\geq(n!)^2$. -

- -
- -
-

-Soit $E=\R_3[X]$. - Montrer que l'application $\phi:(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$ d$\!$efinit un produit scalaire sur $E$, - Determiner $\inf_{(a,b,c)\in\R^3}\int_{-1}^1(t^3-at^2-bt-c)^2 dt$. -

- -
- -
-

-Calculer le minimum de la fonction $f:(x,y)\in\R^2\mapsto\int_0^1(t\ln(t)-xt-y)^2dt$. -

- -
- -
-

-On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\llbracket 0,n\rrbracket$. On munit egalement $\R_n[X]$ du produit scalaire d$\!$efini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$. -

- - - -
- -
-

-Soient $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites reelles et $D:u\in E\longmapsto(u_{n+1}-u - {n\in\N}$. -

- - - -

-Montrer que $F$ est stable par l'endomorphisme $D$. -

- - - -

-Decrire l'ensemble $H=\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2},\ u∈ F∖\{(0)n∈ \N\}\right\}.$ -

- -
- -
-

-Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$, $p,q\in\mc{L}(E)$ des projecteurs orthogonaux. -

- - - -
- -
-

-Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$. Montrer que $q\circ p$ est un projecteur si et seulement si $p$ et $q$ commutent. -

- -
- -
-

-On munit $E=\R^n$ munit du produit scalaire usuel. Soit $A\in\M_n(\R)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $E$ un espace euclidien de dimension $4$. Trouver les endomorphismes $f\neq 0$ de $E$ tels que ${\rm tr}(f)=0,\ f+f^4=0$ et $f^*=-f^2$. -

- -
- -
-

-Soit $M\in{\cal O}_n(\R)$. Pour $k\in\N^*$, on pose $C_k=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^kM^j$. Etudier la convergence de la suite $(C - {k\in\N}$. -

- -
- -
-

-Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice definie par blocs : $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $B$ est inversible de taille $p$. Montrer que $p$ est pair. -

- -
- -
-

-Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux antisymetriques de taille au plus $2\times 2$. -

- -
- -
-

-Soient $A,M,N\in{\cal M}_n(\R)$. -

- - - -
- -
-

-Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$ telles que $A^TA=B^TB$. Montrer qu'il existe $Q\in{\cal O}_n(\R)$ telle que $B=QA$. -

- -
- -
-

-Soit $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $A^2=AA^T$. Montrer que $A\in{\cal S}_n(\R)$. -

- -
- -
-

-Soit $M\in{\cal M}_n(\R)$ nilpotente telle que : $M^TM=MM^T$. Determiner $M^TM$ puis $M$. -

- -
- -
-

-Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal S}_n^+(\R)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $A\in{\cal S}_n(\R)$. On suppose que la suite $(A^k)_{k\geq 1}$ converge vers $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|b_{i,j}|\leq n\sqrt{{\rm rg}\,B}$. -

- -
- -
-

-Soit $A=(a_{i,j})\in{\cal O}_n(\R)$. Montrer que $\left|\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\right|\leq n\leq\sum_{1 \leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$.# 657 - Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left(\sum_{i=1}^na_{i,i}\right)^2\leq\text{rg}(A)\sum_{i=1}^n\sum_{ j=1}^na_{i,j}^2$. -

- -
- -
-

-Soit $S\in\mc{S}_n^+(\R)$. Calculer $\max\{\text{tr}(OS)\;;\;O\in\mc{O}_n(\R)\}$. -

- -
- -
-

-Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E)$) l'ensemble des endomorphismes antisymetriques (resp. symetriques, orthogonaux) de $E$. -

- - - -
- -
-

-Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$prises avec multiplicite. Montrer que $A$ est diagonale. -

- -
- -
- - -

-Montrer que $\left|λ-\frac{\op{tr}A}{n}\right|≤\left(\frac{n-1}{n} \right)1/2\left(\sqrt{\|A\|22-\frac{(\op{tr}A)2}{n}} \right).$ -

- -
- -
-

-Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $(a,b)\in\R^2$ tels que $:\forall X\in\R^n,a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b \|X\|^2$. Soit $P\in\R[X]$ tel que $:\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. Montrer que $P(A)\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. -

- -
- -
- - -
- -
-

-Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mc{S}_n^+(\R)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $A$ appartient a $\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si, pour toute matrice $B\in\mc{S}_n^+(\R)$, on a $\op{tr}(AB)\geq 0$. -

- -
- -
-

-On considere la forme quadratique $q:(x,y,z)\in\R^3\mapsto(x+z)^2+2xy+4yz$. -

- - - -
- -
-

-Soient $E$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie de $E$. On considere l'ensemble des parties que l'on peut obtenir en appliquant successivement des passages a l'interieur ou a l'adherence a partir de $A$. -

- - - -
- -
-

-Soient $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie non vide de $E$. -

- -

-Soit $f:x\in E\mapsto d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$. -

- - - -
- -
-

-Soient $E$ un espace vectoriel norme et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie. -

- - - -
- -
-

-Determiner les sous-groupes compacts de $\C^*$. -

- -
- -
-

-Soit $f\in\mc{L}(\R^n,\R^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si l'image de tout ouvert par $f$ est un ouvert. -

- -
- -
- - -

-(i) $|f(x)|\ra+\i$ lorsque $N(x)\ra+\i$ ; -

- -

-(ii) l'image reciproque de tout compact par $f$ est un compact. -

- - - -
- -
-

-On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$. -

- -

-Si $f\in E$, on pose $u(f)=\sum_{k=1}^{+\i}\left(-\frac{1}{2}\right)^kf\left( \frac{1}{k}\right).\in\R$. -

- - - -
- -
-

-Soient $L^1(\R)$ l'espace vectoriel des suites sommables et $N:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\lvert x_n\rvert$. -

- - - -

-On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. -

- -

-Soit $D=\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^+)^n\,;\,\sum x_i^2\lt 1,\, \sum x_i\gt 1\right\}$. Soit $f:D\to\R$ telle que $\forall x,y\in D,|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$. Que dire de $f\,?$ -

- -
- -
-

-Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme reel, $p\in\N^*$, $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$,. -

- - - -

-$\inf\left\{\left\|\sum_{i=1}^p\lambda_ix_i\right\|\ ;\ (\lambda_1, \ldots\lambda_p)\in\R^p\right\}\gt 0$. -

- - - -
- -
-

-Soient $n\geq 2$, $K$ un compact de $\R^n$ et $\eps\gt 0$. Une partie $A\subset K$ est $\eps$-separee si, pour tous $x$, $y\in A$ tel que $\|x-y\|\lt \eps$, on a $x=y$. -

- - - -
- -
-

-Soient $n\geq 2$ et $f\colon\R^n\to\R$ continue telle que, pour tout $a\in\R$, $f^{-1}(\{a\})$ est compact. Montrer que $f$ admet un extremum global. Que se passe-t-il si $n=1\,?$ -

- -
- -
-

-Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme reel de dimension finie, $k\in]0,1[$, $f$ une application $k$-lipschitzienne de $E$ dans $E$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe. -

- -
- -
-

-Soit $E=\mc C^0([-1,1],\R)$ muni de la norme de la convergence uniforme. Pour $f\in E$ on pose $\phi(f)=\int_0^1f(t)\,dt-\int_{-1}^0f(t)\,dt$. -

- - - -
- -
-

-On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $[-1,1]$ vers $\R$ continues par morceaux, muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg$ et de la norme euclidienne associee $\|\ \|$. -

- -

-On dit qu'une suite $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement (resp. faiblement) vers $f\in E$ si $\|f_n-f\|\to 0$ (resp. $\langle f_n,\phi\rangle\to\langle f,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in C^1([-1,1],\R)$). -

- - - -
- -
-

-Soient $a_1\lt \cdots\lt a_p$ des reels et $P=\prod_{i=1}^p(X-a_i)$. -

- -

-On pose : $E=\Big{\{}M\in\M_n(\R),\ P(M)=0\Big{\}}$. -

- - - -
- -
- - -
- -
-

-Soient $n\geq 2$ et $r\in[1,n-1]$. L'ensemble $\mc{E}$ des matrices carrees de taille $n$ et de rang $r$ est-il ouvert? ferme? Determiner l'interieur et l'adherence de $\mc{E}$. -

- -
- -
-

-On munit l'espace $E=\mc C^0([0,1],\R)$ du produit scalaire usuel defini par -

- -

-$\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)\,dt$ et de la norme associee $\|\quad\|_2$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ tel qu'il existe une constante $C\in\R$ telle que $\forall f\in F,\|f\|_{\i}\leq C\|f\|_2$. -

- - - -

-Montrer que $\forall a_1,\ldots,a_n\in\R$, $\left|\sum_{i=1}^na_if_i\right|\leq C\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}$. -

- - - -
- -
-

-Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si l'ensemble $\{PAP^{-1},\ P\in\op{GL}_n(\C)\}$ est ferme. -

- -
- -
-

-Soit $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$. Montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes de $\M_n(\mathbb{K})$ est connexe par arcs. -

- -
- -
-

-Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$. -

- - - -
- -
-

-On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algebre. -

- - - -

-Cette condition est-elle necessaire pour que la serie soit convergente? -

- - - -
- -
-

-Lorsque $J$ est un intervalle de $\R$, on pose $S_n(J)=\{M\in\mc{S}_n(\R)\,\ \ \mathrm{Sp}(M)\subset J\}$. -

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- -
- - -
- -
-

-Determiner la limite de la suite de terme general $ un=∑k=0n-1\left(\frac{n-k}{n}\right)n$. -

- -
- -
-

-On pose $ un=∑k=1n\frac{1}{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)k$ pour tout $n\geq 1$. -

- - - -
- -
-

-Soit $ f:[0,2]→\R$ une fonction $C^1$. On pose $ un=\frac{1}{n}∑k=1nf\left(\frac{k}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$ pour $n\geq 1$. -

- -

-Etudier la convergence de la suite $(u - {n\geq 1}$. -

- -
- -
-

-Pour $n\in\N^*$, on pose $ un=∑k=1nsin\left(\frac{\sqrt{k}}{n}\right)$. Determiner un equivalent de $u_n$. -

- -
- -
-

-Soit $\mc{B}$ le sous-espace de $\C^{\Z}$ forme des suites $(u - {n\in\Z}$ bornees. Soit $T$ l'endomorphisme de $\mc{B}$ qui a $(u - {n\in\Z}$ associe $(u_{n+1})_{n\in\Z}$. -

- - - -
- -
-

-Etudier les suites definies par $u_1,v_1$ reels et -

- -

-$\forall n\in\N^*$, $ un+1=un+vnarctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et $ vn+1=vn-unarctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$. -

- -
- -
-

-$\ \ - La suite $(d - {n\geq 1}$ est-elle convergente? - La suite $(d - {n\geq 1}$ est-elle bornee? -

- -
- -
-

-Soit $(b - {n\in\N}$ une suite strictement positive, croissante et non majoree. -

- - - -

-$$\frac{1}{b_n}\sum_{k=0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)a_k\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}\ell.$$ -

- - - -
- -
-

-Soit $(a - {n\geq 0}$ une suite reelle decroissante de reels strictement positifs, telle que $a_0=1$. On pose $b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{a_k}$ pour tout $n\geq 1$. -

- - - -
- -
-

-Soit $a\in]0,1[$. On definit $(u_n)$ par $u_0=a$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n+u_n^2\ln(u_n)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $(u - {n\in\N}$ definie par $u_0\in]0,\pi/2]$ et $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=\sin(u_n)$. Etudier la convergence de $(u_n)$. Determiner un equivalent de $u_n$. -

- -
- -
-

-Pour tout $n\geq 2$, on pose $f_n(x)=x^n-nx+1$. -

- - - -
- -
-

-Determine un developpement asymptotique a deux termes de $x_n$. -

- -
- -
-

-Soit $(u_n)$ une suite reelle definie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+1}$. -

- - - -
- -
-

-Pour $n\geq 2$, on considere l'equation $\sin(x)=\frac{x}{n}$. -

- - - -
- -
-

-Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=0}^n(X-i)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $(u_n)$ la suite definie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{n+u_n}$ -

- - - -
- -
-

-Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=⊃t∈[0,1]|P(t)|.$ Pour tout $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynomes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf_{P\in E_n}N(P)$. -

- - - -
- -
-

-Limite et developpement asymptotique en $o(1/n)$ de $u_n=\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{\sqrt{k(n-k)}}{n^{3/2}}\right)$. -

- -
- -
-

-Soit $(u_n)$ une suite reelle verifiant : $∀(m,n)∈\N2,un+m≤ um+un.$ Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big{\{}\frac{u_n} {n}\text{ pour }n\in\N^*\Big{\}}$. -

- -
- -
- - -
- -
-

-Soit $x\in\Big{[}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$. Convergence et somme de $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^n}\tan\Big{(}\frac{x}{2^n}\Big{)}$. -

- -

-Ind. Montrer que $\tan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$. -

- -
- -
-

-Soit $(u_n)$ une suite reelle telle que $n(u_{n+1}-u_n)\to 1$. Quelle est la nature de la serie $\sum u_n$? -

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- -
-

-Determiner la convergence et la somme de la serie de terme general $u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$. -

- -
- -
-

-Determiner la nature de $\sum\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$.# 716 - Si $n\in\N^*$, soit $u_n=\sum_{k=1}^n(\ln(k))^2$. Determiner la nature de $\sum\dfrac{1}{u_n}$. -

- -
- -
-

-Nature de la serie de terme general $\dfrac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}-(-1)^n}$? -

- -
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-

-Soit $\alpha\gt 0$ fixe. Nature de la serie de terme general $\sum\dfrac{\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor-\lfloor\sqrt{n}\rfloor}{n^{\alpha}}$? -

- -
- -
-

-Soient $\alpha\gt 0$ et $\beta\in]0,1[$. Nature de la serie $\sum\dfrac{(-1)^{\lfloor n^{\beta}\rfloor}}{n^{\alpha}}$. -

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-

-Soient $a,b$ deux reels tels que $0\lt a\lt b$. -

- -

-On pose $u_0\gt 0$ et : $\forall n\in\N,u_{n+1}=\dfrac{n+a}{n+b}u_n$. -

- - - -
- -
-

-Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite decroissante de reels positifs. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\dfrac{1}{1+n^2u_n}$. Montrrer que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ diverge. -

- -
- -
-

-On pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)\,dx$. Quel est le signe de $u_n$? Montrrer que la serie $\sum u_n$ est semi-convergente. -

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-

-Etudier $\lim_{n\to+\i}\sum_{k=n+1}^{+\i}\dfrac{n}{k\sqrt{k^2-n^2}}$. -

- -
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-

-Pour tout $n\in\N^*$, on pose $u_n=\int_n^{n+1}\dfrac{\cos\left(\ln(t)\right)}{t}\,dt$ et $v_n=\dfrac{\cos\ln(n)}{n}$. -

- - - -
- -
-

-Soit $f\in C^1(\R,\R^{+*})$ telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}-\i$. Montrer que $\sum f(n)$ converge. -

- -
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-

-On dit que la serie de terme general $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, pour tout $n\in\N$, $\left|a-\sum_{k=0}^nu_k\right|\leq|u_{n+1}|$. On dit qu'elle enveloppe strictement $a\in\R^{+*}$ lorsqu'il existe une suite $(\theta_n)\in]0,1[^{\N}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $a-\sum_{k=0}^nu_k=\theta_{n+1}u_{n+1}$. -

- - - -
- -
- - -
- -
-

-Soit $(u_n)\in(\R^+)^{\N}$. On suppose que $\sum u_n$ converge. Construire $(v_n)\in(\R^+)^{\N}$, croissante et de limite $+\i$, telle que $\sum u_nv_n$ converge. -

- -
- -
-

-Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes : -

- -
    -
  1. pour toute serie $\sum u_n$ convergente de terme general positif, la serie $\sum f(u_n)$ est convergente ;
    2. -
- -

-ii) l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornee au voisinage de $0^+$. -

- -
- -
-

-Soit $\sum u_n$ une serie convergente a termes strictement positifs. -

- - - -
- -
-

-Pour toute permutation $f$ de $\N^*$, on note $Ef=\left\{α∈\R,\;∑\frac{f(n)}{nα}< +\i\right\}.$ -

- - - -
- -
-

-Soit $f_n=x\mapsto\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$. -

- - - -
- -
-

-Soit $\alpha$ un reel non nul. On pose, pour $x\in[-1,1]$, $g_{\alpha}(x)=\cos(\alpha\arcsin x)$. A quelle condition sur $\alpha$ la fonction $g_{\alpha}$ est-elle polynomiale? -

- -
- -
-

-Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^2$, telle que $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c\in\,]0,1[$ tel que $|f^{''}(c)|\geq 4$. -

- -
- -
-

-Soient $I$ un intervalle non vide de $\R$ et $f:I\to\R$ de classe $C^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si : $\forall(x,y)\in I^2,\;\exists t\in\,]0,1[,\;f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y)$. -

- -
- -
-

-Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que $f(0)=1$ et, pour tout $x\in\R$, $f(2x)=f(x)\cos(x)$. -

- -
- -
-

-Soient $A,B\in\R^+$, $f\colon\R\to$ de classe $\mc C^2$ telle que, pour tout $x\in\R$, $|f(x)|\leq A$ et $|f^{''}(x)|\leq B$. -

- - - -
- -
-

-Soit $f:x\in\,]-1,+\i[\,\mapsto x-\ln(1+x)$. -

- - - -
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-

-Soit $E=\mc C^0([-1,1],\C)$. Soit $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ strictement croissante et surjective. Soit $\Phi\in\mc{L}(E)$ l'application qui a $f\in E$ associe $f\circ g$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie stable par $\Phi$. On note $\Phi_F$ l'endomorphisme de $F$ induit par $\Phi$ sur $F$. -

- - - -

-Soit $f\colon\R\to\M_n(\R)$ derivable. Montrer l'equivalence entre les assertions suivantes : i) $f(0)=I_n$ et $\forall x\in\R,f'(x)=f'(0)f(x)$, -

- -

-ii) $\forall(x,y)\in\R^2,f(x+y)=f(x)f(y)$ et $\forall x\in\R,\det(f(x))\neq 0$. -

- -
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-

-Soient $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $D:f\in E\mapsto f'$. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et determiner ses elements propres. -

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-Soient $f\colon\R^+\to\R^+$ de classe $\mc C^1$, $\ell\in\R^{+*}$ et $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ avec $n\in\N^*$ et $a_n\neq 0$. On suppose que $f'(x)\,P\,(f(x))\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Determiner un equivalent de $f$ en $+\i$. -

- -
- -
-

-Soient $h:\R\to\R^+$ continue, $\ell\in\R^{+*}$, $n\in\N^*$. On suppose : $h(x)\int_0^xh^n\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Determiner un equivalent de $h$ en $+\i$. -

- -
- -
-

-Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$ et $E=\mc C^0([a,b],\R)$. -

- -

-On pose $F=\big{\{}g\in\mc C^2([a,b],\R)\;;\;g(a)=g(b)=g'(a)=g^{ '}(b)=0\big{\}}$. -

- - - -

-Montrer qu'il existe $g\in F$ tel que $f=g^{''}$ si et seulement si $\int_a^bf(t)dt=\int_a^btf(t)dt=0$. -

- - - -
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-

-Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application definie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Verifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Determiner ses elements propres. -

- -
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-

-Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle $F\in\R(X)$ telle que : -

- -

-$\forall x\in\R,\int_0^xe^{t^2}\,dt=F(x)\,e^{x^2}$. -

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-Etudier la fonction $f:x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{t\sqrt{1-t}}$. -

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-Calculer $I=\int_{-1}^1\frac{\cos x}{e^{\frac{1}{x}}+1}\,dx$. -

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-Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $f\in\mc C^0([a,b],R)$, $\epsilon\gt 0$. Montrer qu'il existe $P,Q\in\R[X]$ tels que $\forall x\in[a,b]$, $P(x)\leq f(x)\leq Q(x)$ et $\int_a^b(Q-P)\leq\epsilon$. Est-ce toujours vrai si $f$ est uniquement continue par morceaux? -

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-

-Soit $f:[0,1]\to\R$ continue. - Soit $n\in\N$. On suppose que, pour tout $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois. -

- - - -
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-Soit $f\in C^0([a,b],\R)$ telle que $:\forall(\alpha,\beta)\in[a,b]^2,\int_{\alpha}^{\beta}f=0$. Montrer que $f=0$. -

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-Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Determiner les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ verifiant $:\forall g\in F,\int_a^bfg=0$. -

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-

-Soit $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$. -

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-Montrer $:120\Big{(}\int_0^1f\Big{)}^2\leq\int_0^1(f^{''})^2$. -

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-Soient $E=\mc C^0([a,b],\R)$ muni de $\parallel\parallel_{\i}$ et $B$ la boule unite fermee de $E$. Soit $f\in E$. Montrer que $\sup_{g\in B}\int_a^bfg=\int_a^b|f|$. -

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-Etudier la convergence et calculer $\int_{-\i}^{+\i}\frac{dx}{x^6+1}$. -

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-Etudier la convergence de l'integrale $\int_0^{+\i}t|\cos t|^{t^5}\,dt$. -

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-Nature de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^x\,dx$ puis de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^{x^{\alpha}}\,dx$ avec $\alpha\in]1,+\i[$. -

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-Soit $\alpha\gt 0$. Etudier la convergence de l'integrale $:\int_0^{+\i}\left(\exp\left(\frac{\sin^2x}{x^{\alpha}}\right)-1 \right)\,dx$. -

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-

-Nature suivant $a\in\R$ de $I(a)=\int_0^{+\i}\frac{x-\ln(1+x)}{x^a}\,dx\,?$ Calculer $I(5/2)$. -

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-Soient $I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}\,dt$ et $J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{t}\,dt$. -

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-Soit $a\gt 0$. Montrer que l'integrale : $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(ax)+\arctan(x/a)}{1+x^2}\,dx$ converge et calculer sa valeur. -

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-Soit $f\in C^1([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$. -

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-Soit $f$ continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\R$. Montrer l'existence et l'unicite de $\lambda$ tel que $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,dt$ converge. -

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-Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ une fonction continue decroissante. -

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-Soit $f\in\mc C^1(\R,\R^+)$ telle que $f'$ est bornee et $\int_{\R}f$ converge. -

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-Montrer que $\underset{+\i}{\lim}f=\underset{-\i}{\lim}f=0$. -

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-Etudier la convergence $\int_0^{+\i}t|\cos(t)|^{t^5}\,dt$. -

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-Etudier la convergence et la convergence absolue de $\int_2^{+\i}\frac{\cos(x)}{\ln(x)}dx$. -

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-Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carre integrable de $\R^+$ dans $\R$. Pour $x\in\R^{+*}$, soit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^xf$. -

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-Donner un equivalent, quand $x\to+\i$, de $∫1x\!ttdt\,$? -

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-Soit $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}dt$. -

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-Si $a\gt 0$ et $b\gt 0$, calculer $\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\ dt$. -

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-Soit $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ une fonction de classe $C^1$. On suppose que $f'/f$ tend vers une limite $a\in\R^{-*}$ en $+\i$. -

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-Trouver une valeur approchee rationnelle a $10^{-3}$ pres de $\int_0^1e^{-t}\ln(t)\,dt$. -

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-Quelles sont les fonctions de $\R^+$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $\R^+$ d'une suite d'applications polynomiales reelles? -

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-Soient $S$ un segment de $\R$ non reduit a un point, $n\in\N^*$, $m\in\R^{+*}$, $\eps\in\R^{+*}$, $f$ une fonction de classe $C^n$ de $S$ dans $\R$ telle que $\|f^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$. Montrer qu'il existe $p\in\R[X]$ tel que $\|f-p\|_{\i,S}\lt \eps$ et $\|p^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$. -

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-Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une suite $(p - {n\geq 0}$ d'applications polynomiales reelles telle que $(p - {n\geq 0}$ converge uniformement vers $f$ sur tout segment de $\R$. -

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-Soient $a$ et $b$ deux nombres reels tels que $a\lt b$ et $S=[a,b]$. -

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-Soit, pour $n\in\N$, $f_n:x\in\R^+\mapsto x^n(1-\sqrt{x})$. -

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-Soit $\alpha\gt 0$. Etudier les modes de convergence de la serie de fonctions $\sum u_n$ definie par $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$. -

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-Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nx}}{x+n}$. Domaine de definition, continuite de $f$, equivalent de $f$ aux extremites de son domaine de definition. -

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-Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de definition, continuite, etude de la derivabilite, equivalents en $0$ et $+\i$. -

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-Pour tout $n\in\N^*$ et $x\in\R^+$, on pose $f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{n}(n+x)}$. -

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-Soit $f\in\mc C([a,b],\R)$. -

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-On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N^*$ et $x\in[a,b]$, $f_n(x)=\int_a^xf_{n-1}(t)dt$. -

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-Etudier la convergence simple de la serie $\sum f_n$ et calculer sa somme. -

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-Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(\sin(nx))^2}{n^2}$. -

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-Soient $a\gt 0$ et $f:x\mapsto∑n=1+\iln\left(1+\frac{a}{n^2x^2}\right).$ -

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-Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, on pose $u_n(x)=e^{-x\sqrt{n}}$. -

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-Rayon de convergence et somme de $ f:x\mapsto∑n=1+\i\frac{x2n+2}{n(n+1)(2n+1)}$. -

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-Rayon de convergence et somme de $ f:x\mapsto∑n=1+\i\frac{x^n}{4n^2-5n+1}$. -

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-Determiner le rayon de convergence et la somme de la serie entiere $\sum z^{n+(-1)^n}$. -

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-Soit $u$ qui a $ P∈\C[X]$ associe $ u(P):z\mapsto e-z∑n=0+\i\frac{P(n)}{n!}zn$. Montrer que $u$ est bien definie, et que c'est un automorphisme de $\C[X]$. Determiner ses elements propres. -

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-

-Soient $ q∈]-1,1[$ et $ f:x\mapsto∑n=0+\isin(qnx)$. -

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-Soient $\alpha$ et $\beta$ deux reels strictement positifs. -

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-Exprimer $S$ et $r_n$ sous forme integrale. -

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-Montrer qu'au voisinage de $0$, la fonction $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$ est developpable en serie entiere et en donner les coefficients. -

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-Expliciter le developpement en serie entiere de $\ln(x^2-x\sqrt{2}+1)$ au voisinage de $0$. -

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-Soient $\tau\in\R$ et $f:x\mapsto\arctan\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere en $0$ et preciser le domaine exact de validite. -

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-

-Rayon de convergence, ensemble de definition et somme de $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\mathrm{ch}(n)}{n}x^{2n}$? -

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-Determiner le developpement en serie entiere en $0$ de $f:x\mapsto\sin\left(\frac{1}{3}\text{arcsin}(x)\right)$. -

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-On pose : $\forall n\geq 2,u_n=\sum_{\begin{subarray}{c}(i,j)\in(\N^*)^2 \end{subarray}}\frac{1}{(ij)^2}$ et $S:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}u_nx^n$. -

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-Soit $P\in\R[X]$ de degre $p\in\N^*$. -

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-Soit $f:x\mapsto(\arcsin(x))^2$. -

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-On definit la suite $(a_n)$ par : $a_0=a_1=1$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1}a_{n-1}$. - Montrer que : $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$ et en deduire le rayon de convergence $R$ de la serie entiere $\sum a_nx^n$. -

- -

-On pose $f:x\in\,]-R,R[\,\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$. -

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-On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^2x}$. -

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-$∀ z∈\C,\ |z|≤α⇒det(In+zA)=exp \left(∑k=1+\i\frac{(-1)^k}{k}\,\op{tr}(Ak)\,zk \right).$ -

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-Soit $A\in\M_n(\C)$. - Determiner le rayon de convergence de la serie $f(z)=\sum_{p\in\N}\op{tr}(A^p)z^p$ - Calculer $f(z)$ en fonction du polynome caracteristique de $A$. -

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-Soit $(a - {n\geq 0}\in\C^{\N}$. On suppose que la serie $\sum n|a_n|$ converge. -

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-On pose $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ avec $(a_n)$ une suite reelle. On suppose que $f$ est definie et injective sur $D_o(0,1)$. - Montrrer que $f(z)\in\R\Longleftrightarrow z\in\R$. -

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-

-Soit, pour $n\in\N$, $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan(t)^n\op{d}t$. -

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-Soit, pour $n\geq 2$, $I_n=\int_1^{+\i}\frac{\op{d}t}{1+t+\cdots+t^n}$. Determiner de trois facons differentes la nature de $\sum I_n$. -

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-

-On pose, pour tout $n\in\N^*$, $u_n=\int_1^{+\i}\exp(-x^n)\op{d}x$. Justifier l'existence de $(u_n)$. Etudier la convergence de la suite $(u_n)$ et de la serie $\sum u_n$. -

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-

-Developpement asymptotique a deux termes de $I_n=\int_0^{+\i}e^{-nx}\ln(n+x)dx$? -

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-Pour $n\in\N^*$ et $\alpha\in\R^+$, on pose $u_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-\alpha x}\op{d}x$. Determiner un equivalent simple de $u_n$ dans les cas $\alpha=0$, $\alpha\gt 1$, $\alpha=1$. -

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-Ind. Poser $t=\sqrt{na}u$. -

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-Soit $\alpha\gt 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n(\alpha)=\int_0^{+\i}\frac{\op{d}t}{(1+t^{\alpha})^n}$. -

- - - -

-On pose, pour tout $x\in\,]0,1[$, $f(x)=\frac{x^2\ln x}{x-1}$. -

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- -
-

-Soit $g:\R^+\to\R$, continue par morceaux, integrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornee. -

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- -
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-Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$. -

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-On admet que $\int_0^{+\i}e^{-x^2}dx=\frac{\pi}{2}$. -

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-On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-(t^2+i)x^2}}{t^2+i}dt$. -

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-

-On pose, pour tout $t\in\R$, $h(t)=\int_{\R}e^{-\pi(x^2+2itx)}\,dx$. Montrer que l'integrale $h(t)$ est bien definie pour tout $t\in\R$ puis la calculer explicitement. -

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- -
-

-On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{\ln t}{t+x}\,dt$. -

- - - -
- -
-

-Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t(1+t^2)}\,dt$. -

- - - -

-On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-t^2-\frac{x^2}{t^2}}\,dt$. -

- - - -
- -
-

-Soit $f:x\mapsto\int_{\R}e^{tx-t^2}\,dt$. -

- - - -
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-

-On pose $f(x)=\int_0^{+\i}|\sin(t)|e^{-xt}dt$. Determiner le domaine de definition de la fonction $f$ et montrer qu'elle y est de classe $\mc C^{\i}$. Expliciter la valeur de $f(x)$. -

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- -
-

-Soient $f\in\mc C^0(\R,\R)$ et $g:x\mapsto\frac{1}{x}\int_0^x\cos(x-y)f(y)\,dy$. Montrer que $g$ est bien definie sur $\R^{+*}$ et trouver sa limite en $0$. On suppose que $f$ tend vers $\ell$ en $+\i$. Etudier la limite de $g$ en $+\i$. -

- -
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-

-Soient $C\gt 0$, $d\gt 0$ et $\alpha\in\R$. Montrer que $\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^{\alpha}dx\underset{t\to+\i}{ \sim}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^{\alpha}}{\sqrt{t}}$. -

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-Soit $f:x\mapsto\int_0^{\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)\,dt$. -

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-

-On pose $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$. -

- - - -

-On pose, pour $x\in\R$, $f(x)=\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de 0 et expliciter son developpement. -

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-Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$. On considere la fonction $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-xt}f(t)\,dt$. -

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-

-On note $\mc{L}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues et integrables, et $\mc{E}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues telles que, pour tout $s\gt 0$, la fonction $u\mapsto\dfrac{f(u)}{u+s}$ est integrable. Si $f\in\mc{E}$, on pose $\widehat{f}(s)=\int_0^{+\i}\dfrac{f(u)}{u+s}\,du$ pour tout $s\gt 0$. -

- - - -
- -
-

-Montrer que $\int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{\ln(t)}{1-t}\,dt=\int_0^{ \frac{1}{2}}\dfrac{\ln(1-t)}{t}dt$ et en deduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{2^nn^2}$. -

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- - -
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-

-Soient $\alpha\in\Big{]}0,\dfrac{\pi}{2}\Big{[}$ et $f:t\mapsto\dfrac{1}{1-\sin\alpha\cos t}$: -

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-

-Soit $(\lambda - {n\in\N}$ une suite croissante de reels strictement positifs. -

- -

-On pose : $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n\exp(-\lambda_nx)$. -

- - - -
- -
-

-Soient $a$ et $b$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R^+$ et $S$ l'ensemble des solutions de $y'=ay+b$. Montr per l'equivalence entre : -

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    -
  1. tous les elements de $S$ sont bornes, ii) $a$ et $b$ sont integrables.
    2. -
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- -
-

-Determiner les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$ derivables et telles que $y'(x)=y(\pi-x)$. -

- -
- -
-

-Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que $f(0)=0$ et que $\forall x\in\R^*,f(x)=e^{-1/x^2}$. -

- - - -
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-

-Resoudre l'equation differentielle $y'+|y|=1$. -

- -
- -
-

-Soient $n\in\N^*$ et $\omega\in\C$ tel que $\omega^n=1$. Trouver les fonctions $y\in C^n(\R,\C)$ solutions de $\sum_{k=0}^ny^{(k)}\omega^{n-k}=0$. -

- -
- -
-

-On considere la fonction $f\colon\R\to\R$ definie par : $f(x)=\exp(-x^{-2})$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montr per que $f$ n'est solution d'aucune equation differentielle lineaire homogene a coefficients constants (d'ordre quelconque). -

- -
- -
-

-Resoudre le systeme differentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+tet\\ y'=3x+2y+3z+et\\ z'=3x+3y+2z+t2et\end{array}.$ -

- -
- -
-

-Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On note $(S)$ le systeme differentiel : $\forall p\in[1,n],x_p^{(m)}=\sum_{q=1}^na_{p,q}x_q(t)$. -

- -

-Montr per que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales. -

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- -
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-Resoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t\\ z'-x+2y+z+t2et.\end{array}.$, $\left\{\begin{array}{c}x'=x+8y+tet\\ y'=2x+y+e-t.\end{array}.$. -

- -
- -
-

-Determiner les solutions developpables en serie entiere au voisinage de 0 de l'equation : -

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-$2xy^{''}-y'+2y=0$. Les exprimer a l'aide des fonctions usuelles. -

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-Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. Soit $(E)$ l'equation differentielle $y'+a(x)y+b(x)=0$. Soit $A:x\mapsto\int_0^xa(t)\,dt$ et $I=A(2\pi)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}e^{x\sin(t)}dt$. -

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- - -

-$\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A+\int_0^xf(t)\,g(t)dt$. Montrer que $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A\exp\left(\int_0^xg(t)dt\right)$. -

- -

-Soit $(*)$ l'equation differentielle $x^{''}(t)+a(t)x(t)=b(t)$ avec $a$ et $b$ continues sur $\R^+$, $b$ et $t\mapsto t\,a(t)$ integrables sur $\R^+$. Soit $x$ solution de $(*)$. -

- - - -

-$\forall t\geq 1$, $x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)du+\int_{1 }^t(t-u)\,b(u)du$. -

- - - -

-$\forall t\geq 1$, $y(t)≤ Kexp\left(∫1tu\,|a(u)|du\right)≤ K exp\left(∫1+\iu\,|a(u)|du\right).$ -

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-

-Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une application $X$ de classe $C^1$ de $\R$ dans $\C^n$ et $\lambda\in\C^*$ tels que $\forall t\in\R,\ X(t+T)=\lambda X(t)$. -

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-Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n;$ Expliciter les solutions de $X'(t)=AX(t)$. -

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-Soit $A\in\M_n(\C)$. A quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme differentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornees sur $\R$? -

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-Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x,y)=y(1-x)$ sinon. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $D$ et les determiner. -

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-Etudier la differentiabilite de la fonction $f$ definie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$.# 862 - On note $T$ le triangle plein defini par les points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Determiner le minimum sur $T$ de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2+\frac{1}{2}(1-x-y)$. -

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-Soit $f\colon\R^2\to\R$ telle que $f(0,0)=1$ et $f(x,y)=(x^2+y^2)^x$ si $(x,y)\neq(0,0)$. -

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-Soit $f:(\R^+)^2\to\R$ definie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=\frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}$ sinon. -

- - - -
- -
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-Soient $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie, $f$ une forme lineaire sur $E$. -

- -

-Montrer que l'application $g:x\in E\mapsto f(x)\,e^{-\|x\|^2}$ admet un minimum et un maximum, puis determiner ce maximum et ce minimum. -

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- -
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-Determiner les fonctions de classe $\mc C^2$ sur $(\R^{+*})^2$ verifiant $x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-y^2\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=0$. On pourra faire le changement de variables $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$. -

- -
- -
-

-Soit $K\in\R$. Determiner toutes les fonctions $f:]0,+\i[\times\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ solutions de l'equation $x\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)-y\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=K\,f(x,y)$. -

- -
- -
-

-Soient $\alpha\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R^3,\R)$. On dit que $f$ est homogene de degre $\alpha$ si : -

- -

-$\forall(x,y,z)\in\R^3$, $\forall t\in\R^{+*}$, $f(tx,ty,tz)=t^{\alpha}f(x,y,z)$. Montrer que $f$ est homogene de degre $\alpha$ si et seulement si $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{ \partial f}{\partial z}=\alpha f$. -

- -
- -
-

-Resoudre $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-3\,\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}+2\,\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$. -

- -

-Ind. Utiliser le changement de variable $(u,v)=(x+y,\,2x+y)$. -

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- - -

-Montrer que : $\forall x\in\R^n,f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^nx_i\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)\,dt$. -

- -

-On pose $E=C^{\i}(\R^n,\R)$ et -

- -

-$D=\Big{\{}\phi\in\mc{L}(E,\R)\ ;\ \forall(f,g)\in E^2,\phi(fg)=f(0) \phi(g)+g(0)\phi(f)\Big{\}}$. -

- - - -

-Soient $f\in C^2(\R^2,\R)$, $k\in[0,1[$ tells que$:\forall a\in\R^2,\left|\frac{\partial f}{\partial x}(a)\right|+ \left|\frac{\partial f}{\partial y}(a)\right|\leq k$. Soit $(u_n)$ definie par $(u_0,u_1)\in\R^2$ et $:\forall n\in\N,u_{n+2}=f(u_n,u_{n+1})$. -

- -

-Pour tout $n\in\N$, on pose $:an=max\left(|un+1-un|,|un+2-un+1|\right).$ -

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-Soient $\Omega$ un ouvert de $\R$, $K$ une partie compacte non vide de $\Omega$, $f$ une fonction de classe $C^2$ de $\Omega$ dans $\R$. -

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-Soient $R\in\R^{+*}$, $D_R=\{(x,y)\in\R^2\ ;\ x^2+y^2\lt R^2\}$, $(a - {n\geq 0}$ une suite complex telle que $\sum a_nz^n$ ait pour rayon de convergence $R$. Pour $(x,y)\in D_R$, on pose $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n(x+iy)^n$. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ et harmonique sur $D_R$. -

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-Soient $A\in S^{++}_n(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose $:f:X\in\R^n\mapsto X^TAX-2B^TX$. -

- - - -

-$\forall k\in\N,X_{k+1}=X_k-\frac{\|\nabla f(X_k)\|}{X_k^TAX_{ k}}\nabla f(X_k)$. On suppose que la suite $(X_k)$ est convergente. -

- -

-Determiner sa limite. -

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-Pour $x=(x_0,\ldots,x_n)$ et $y=(y_0,\ldots,y_n)$ dans $\R^{n+1}$, on pose -

- -

-$f(x,y)=\left(\sum_{0\leq i,j\leq n\atop i+j=k}x_iy_j\right)_{k \in[0,2n]}\in\R^{2n+1}$. -

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- -
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-${}^{\bigstar}$ Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ differentiable telle que : i) pour tout $x\in\R^n$, $\op{d}\!f(x)$ est injective ; ii) $\|f(x)\|\underset{\|x\|\to+\i}{\longrightarrow}+\i$. -

- -

-Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$. -

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-Soient $U$ un ouvert convexe de $\R^n$ et $f:U\to\R$ une fonction de classe $C^1$. -

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-Soit $E=\M_n(\R)$ muni de la norme euclidienne canonique. -

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-On pose $f:M\in E\mapsto\|M\|^2=\mathrm{tr}(M^TM)$ et $g:M\in E\mapsto\det M-1$. On note $h$ la restriction de $f$ a $\mathrm{SL}_n(\R)$. -

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-Si $n\in\N^*$, determiner $T_{I_n}\mathrm{SO}_n(\R)$, puis, si $M\in\mathrm{SO}_n({}_R)$,$T_M\mathrm{SO}_n(\R)$. -

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-Probabilities -

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-On tire au hasard un element $A$ de $P([\![1,n]\!])$. Calculer la probabilite que $\mathrm{card}\,A$ soit un entier pair. -

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-Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux unres contenant chacune des boules numerotees de $1$ a $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance. -

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-Un couple met au monde quatre enfants. Chaque enfant a la probabilite $p\in]0,1[$ d'etre une fille, et les naissances sont independantes. On considere les evenements $A:≪$e dernier est une fille $\Rightarrow$, $B:≪$e couple a autant de filles que de garcons $\Rightarrow$, $C:≪$es garcons naissent toujours apres une fille $\Rightarrow$. -

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-Soit $p\in]0,1[$. Dans un sac contenant $n$ jetons numerotes de $1$ a $n$, on tire $S$ jetons ou $S$ est une variable aleatoire suivant la loi binomiale de parametre $n$ et $p$. Quelle est la probabilite d'obtenir des jetons de numeros consecutifs? -

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-On lance une piece jusqu'a obtenir deux piles de plus que de faces ou deux faces de plus que de piles. On note $p\in]0,1[$ la probabilite que la piece donne pile. On note $X$ la variablealeatoire associee au nombre de lancers. Determiner la loi de $X$ et montrer que $X$ est presque surement finie. La variable aleatoire $X$ est-elle d'esperance finie? -

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-Une urne contient $n\in\N^*$ boules noires et $b\in\N^*$ boules blanches. On tire successivement et sans remise les boules. On note $X$ la variable aleatoire qui donne le rang de la derniere boule blanche titee. Calculer la loi, l'esperance et la variance de $X$. -

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-On considere une urne qui contient une proportion $p\in\,]0,1[$ de boules blanches. On effectue un tirage avec remise des boules. Soit $X_n$ la variable donnant le nombre de tirages successifs necessaires pour obtenir $n$ boules blanches. Donner la loi de $X_1$ ainsi que sa fonction generatrice $\mc{G}_{X_1}$. En deduire $\mc{G}_{X_n}$. Loi et esperance de $X_n$? -

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-On considere une urne remplie avec des boules numerotees de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise. -

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-Soit $n\geq 2$. On place $n$ boules numerotees de $1$ a $n$ dans une urne et l'on realise des tirages successifs avec remise. On note $X$ le rang du tirage donnant pour la premiere fois un numero superieur ou egal aux precedents. -

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-Une urne contient $n+1$ boules numerotees de 0 a $n$. On y effectue des tirages avec remise. On pose $X_1=1$. Pour $i\geq 2$, $X_i$ est la variable de Bernoulli egale a 1 si le numero de la boule titee au $i$-eme tirage n'avait jamais ete obtenu avant. On pose, pour $i\in\N^*$, $Y_i=X_1+\cdots+X_i$. -

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-Soit $(J - {n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilite $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un meme joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'evenement < < le $n$-ieme match est joue > > . Determiner la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$. -

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-On suppose que lorsqu'un enfant natt, il a une chance sur deux d'etre un garcon. Dans une famille donnee, le nombre d'enfants est la variable aleatoire $Z$ et le nombre de filles est $X$. -

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-Une puce se trouve sur l'origine de $\Z^2$. A chaque etape, elle saute aleatoirement dans l'une des quatre directions. On note $X_n$ l'abscisse de la puce a l'etape $n$. Calculer $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{E}(X_n^2)$. -

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-On munit $\mc{S}_n$ de la probabilite uniforme. Calculer la probabilite $\pi_n$ que $\sigma\in\mc{S}_n$ ait un cycle de longueur strictement superieure a $\dfrac{n}{2}$ dans sa decomposition en produit de cycles a supports disjoints. Determiner un equivalent de $\pi_n$. -

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-Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi geometrique de parametre $p\in\,]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$. -

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-Soient $n\in\N^*$, $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Pour $m\in[\![1,n]\!]$, on note $X_m=\min\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$ et $Y_m=\max\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$. Calculer la loi de $X_m$ et $Y_m$, et leur esperance. -

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-Soient $\lambda\gt 0$ et $X$ une variable aleatoire qui suit la loi de Poisson de parametre $\lambda$. Soient $b\in\N^*$ et $Y$ le reste de la division euclidienne de $X$ par $b$. Determiner la loi de $Y$. -

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-Soit $p\in\,]0,1[$. Soit $(X - {k\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. verifiant : -

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-$\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_k=-1)=1-p$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que $p=\dfrac{1}{2}$ si et seulement si : $\forall n\in\N^*,\max_{k\in\Z}\mathbf{P}(S_{2n}=k)=\mathbf{P}( S_{2n}=0)$. -

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-Soient $A,B,C$ des variables aleatoires independantes telles que $A$ suive la loi de Rademacher, et $B$ et $C$ la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. -

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-On considere une variable aleatoire $X$ suivant la loi de poisson de parametre $\lambda$ et on pose $Y=X^2+1$. - Calculer l'esperance de $Y$. -

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-Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $[a,b]$, d'esperance $\mathbf{E}(X)=m$. -

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-Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $b\in\M_{n,1}(\R)$. On pose $M=\begin{pmatrix}A&b\\ b^T&c\end{pmatrix}$ et on suppose que les racines du polynome caracteristique de $M$ ne sont pas toutes simples. -

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-On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$. Montrere que la probabilite que le polynome caracte-ristique de la matrice $N$ n'ait que des racines simples est superieure ou egale a $3p^3-2p^4$. -

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-Soit $p\geq 3$ premier. Soit $K=\big{\{}x^2,\ x\in\Z/p\Z\big{\}}$. -

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-Caracteriser les couples $(X,a)$ avec $X$ variable aleatoire discrete complexe et $a\in\C$ tels que $X\sim aX$. -

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-Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilite $\mathbf{P}_{\alpha}$ definie par $\mathbf{P}_{\alpha}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(\alpha)n^{\alpha}}$ pour $n\geq 1$. -

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-Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires discretes strictement positives, de meme loi et d'esperance finie. Montrere que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas ou $X$ et $Y$ sont independantes. -

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-Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. suivant la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. -

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-On pose $:Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n),\beta_n=\mathbf{E}(Z_n)$. -

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-Soient $p,q\in]0,1[$. On considere deux variables aleatoires $X$ et $Y$, independantes, suivant les lois geometriques de parametres respectifs $p$ et $q$. Soit $M=\begin{pmatrix}X&1\\ 0&Y\end{pmatrix}$. Quelle est la probabilite que $M$ soit diagonalisable? -

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-Soient $p\in]0,1[$, $X$ une variable aleatoire suivant la loi geometrique de parametre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$. -

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-Soient $n\in\N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. suivant la loi uniforme sur $[\![1,d]\!]$. Pour $j\in\{1,\ldots,n\}$, on pose $Y_j=|\{i\in[\![1,n]\!],\;X_i=j\}|$. -

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-Soit $X$ une variable aleatoire discrete a valeurs dans $\R^{+*}$ telle que $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X}\right)\lt +\i$. -

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-Pour tout $t\in\R^+$, on pose : $F_X(t)=\mathbf{E}(e^{-tX})$. -

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-Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,2\}$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. -

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-Pour $n\in\Z$, soit $A_n=(\exists k\geq 0,\;S_k=-n)$ et $p_n=\mathbf{P}(A_n)$. -

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-Soient $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute partie finie $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(S_n\in A)\lt +\i$. -

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-Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de parametre $1/2$. - Donner la loi de $Z_n=\sum_{k=0}^n2^{n-k}X_k$. - Determiner $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 3^n)$ et $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 2^n)$. -

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-Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $\R^+$. -

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-On pose, pour $n\in\N^*$, $R_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$. -

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-Soit $(X - {i\geq 1}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. On suppose que chaque variable aleatoire $X_i+1$ suit la loi geometrique de parametre $p\in\,]0,1[$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. -

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-Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on determinera tel que : -

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-$\forall\epsilon\gt 0$, ${\bf P}\left(\left|\frac{1}{\ln(n)}\max_{1\leq k\leq n}X_k-\alpha \right|\geq\epsilon\right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. -

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-Soit $g:t\mapsto\frac{e^t}{(1+e)-t}$ -

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-Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de parametre $p$. On pose $U=(X_1\ \cdots\ X_n)$ et $M=U^TU$. -

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-Soit $(X_n)$ une suite de variables aleatoires independantes, strictement positives, $L^2$ et telles que : $\forall n\in\N$, $\mathbf{E}(X_n)=1$. On dit que $(X_n)$ converge en probabilites vers $0$ si : $\forall\alpha\gt 0,\mathbf{P}(X_n\geq\alpha)\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=1}^nX_i$. -

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-Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$. -

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-Soit $(X - {i\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. possedant un moment d'ordre $4$. On pose : $m=\mathbf{E}(X_i)$ et $V_4=\mathbf{E}((X_i-m)^4)$. -

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-Pour $\epsilon\gt 0$, on pose : $ Anε=\left(\left|\dfrac{1}{n}∑i=1n(Xi-m) \right|≥ε\right).$ -

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- - -## Mines PSI - - -### Algebre - -
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-Soit $P\in\Z[X]$ tel que $\forall k\in\Z$, $P(k)$ est premier. Montrer que $P$ est constant. -

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-Montrer qu'il existe $(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\R^n$ tel que -

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-$\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $ P(X+n)+∑k=0n-1akP(X+k)=0$. -

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-Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'equation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$. -

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-Soit $E=\R_n[X]$. On considere les polynomes $E_k=\binom{n}{k}X^k(1-X)^{n-k}$, $0\leq k\leq n$. -

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-Resoudre dans $\M_n(\R)$ l'equation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$. -

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-Soit $M=\left(\begin{array}{c|c}A&A\\ \hline A&B\end{array}\right)$ avec $A,B\in\M_n(\R)$. Trouver une condition necessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit inversible. Calculer alors $M^{-1}$. -

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-Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente d'indice $n$. -

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-c) i): Soit $\lambda\in\C^*$. Montrrer que $\lambda(e^{J_n}-I_n)$ est nilpotente. Preciser son indice de nilpotence. -

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-${}^{\bigstar}$ Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$ nilpotent, $F$ est sous-espace vectoriel de $E$ tel que $u(F)\subset F$. On suppose que $E=F+\text{Im}(u)$. Montrer que $E=F$. -

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-Diagonaliser $A=$$\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ 1&\cdots&1&1\end{pmatrix}$$∈\Mn(\R)$.# 1201 - On considere un de equilibre a $n$ faces. Les lancers se modelisent par une suite $(X - {i\geq 1}$ i.i.d de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket$. -

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-Pour $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$. -

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-Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi uniforme sur $\llbracket 1\,;\,N\rrbracket$. -

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-Soit $n\in\N^*$. On munit $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$ de la probabilite uniforme. -

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-Soit $X$ une variable aleatoire discrete a valeurs reelles. Soient $b\gt 0$ et $I$ un intervalle de $\R$. Soit $g:\R\to\R^+$ une fonction telle que $g(x)\geq b$ pour tout $x\in I$. -

- - - -

-Montrer $:\forall t\gt 0,\,\mathbf{P}(X\gt t)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}$. -

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-Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un reel $c\gt 0$. -

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-Soient $X,Y$ deux variables aleatoires discretes a valeurs dans $\R^{+*}$, independantes et identiquement distribuees. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. A quelle condition a-t-on egalite? -

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-Les variables aleatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\llbracket 1\,;\,n\rrbracket)$ et elles sont independantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$. -

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-Soit $\alpha\gt 0$. -

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- - -# Centrale - - -## Algebre - -
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-On considere, pour $n\in\N$, $ Cn=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. -

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-Pour $n\in\N^*$, on note $\mc{P}(n)$ l'ensemble des nombres premiers inferieurs ou egaux a $n$ et $ Pn=∏p∈\mc{P}(n)p$. -

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-Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini commutatif tel que le nombre d'automorphismes de $G$ est $3$. -

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-a) i): Donner la definition d'un automorphisme. Montrer que $\phi:x\mapsto x^{-1}$ est un automorphisme de $G$. -

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-Soient $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 3$[4] et $C=\{x\in\Z/p\Z,\ \exists y\in\Z/p\Z,\ x=y^2\}$. -

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-On pose $\pi_x=\prod_{y\in C\setminus\{x\}}(x+y)$ pour $x\in C\setminus\{0\}$ et $\pi=\prod_{x\neq y\in C}(x+y)$. -

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-On pose $u=2+\sqrt{3}$, $v=2-\sqrt{3}$. -

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-Pour $n\in\N$, on note $M_n=2^n-1$ et $s_n=u^{2^n}+v^{2^n}$. -

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-$(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et $(x,y)\cdot(x',y')=(xx'+3yy',xy'+x^{ '}y)$. -

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-Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considerant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et determiner l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des elements inversibles de l'anneau $B$. -

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-Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est noetherien lorsque tous ses ideaux sont engendres par une partie finie de $A$. -

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-Ind. Considerer $\phi:x\mapsto ax$. -

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-Soit $(T - {n\in\N}$ la suite de polynomes reels definie par $T_0(X)=1,\ T_1(X)=X$ et pour $n\in\N,\,T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)$. -

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-On considere l'equation differentielle $(E):(1-x^2)P^{' 2}=n^2(1-P^2)$. -

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-Soient $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$ et $b_1\lt b_2\cdots\lt b_p$ des reels et $M=(e^{a_ib_j})_{1\leq i,j\leq p}$. -

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-Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, l'on ait $\left(f(a_{ij})\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{ R})$. -

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-Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)$. -

- - - -
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- - -
- -
-

-Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdots&\iddots&&\vdots\\ a_n&0&\ldots&0\end{array}\right)\in{\cal M}_n(\R)$ -

- - - -
- -
-

-On se place dans ${\cal M}_n(\C)$. -

- - - -

-On considere la suite $(c - {k}$ definie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_{k+1}=\sum_{i=0}^kc_ic_{k-i}$ et le polynome $\phi=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}$. -

- - - -
- -
-

-Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. On note $E_i$ ses sous-espaces propres et $n_i=\dim E_i$. -

- - - -
- -
-

-Soit $A\in{\cal M}_d({\C})$. On note $\rho(A)=\max_{\lambda\in{\rm Sp}(A)}|\lambda|$. On pose, pour $n\in{\N}$, $u_n=\sqrt[n]{|{\rm tr}\,(A^n)|}$. -

- - - -

-On suppose maintenant que $A$ a au moins deux valeurs propres distinctes. -

- - - -
- -
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-Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Pour toute partie $A\subset{\cal L}(E)$, on note ${\cal C}(A)=\{u\in{\cal L}(E)\;;\;\forall v\in A,\;u\circ v=v\circ u\}$. L'objectif de l'exercice est d'etudier ${\cal B}(f)={\cal C}({\cal C}(\{f\}))$. -

- - - -
- -
-

-Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\in{\N}$, $a\in E$ un vecteur unitaire, et $H$ l'hyperplan orthogonal a la droite vectorielle dirigee par $a$. On note $\sigma$ la symetrie orthogonale par rapport a l'hyperplan $H$, et $p$ la projection orthogonale sur $H$. -

- - - -

-Montrer les equivalences suivantes, pour $x\in E$ : -

- - - -
- -
-

-Soit $E$ un espace euclidien. Soit $s\in{\cal L}(E)$. -

- - - -
    -
  1. $∃ c∈{\R},\;∀(x,y)∈ E2,\;⟨ s(x),s(y)⟩=c ⟨ x,y⟩,$
    2. -
- -

-ii) $\forall(x,y)\in E^2,\,\langle x,y\rangle=0\;\Rightarrow\;\langle s(x),s(y) \rangle=0$. -

- -
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- - -
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- - -
- -
-

-Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. -

- - - -
- -
-

-Soient $n\in\N$ et $\alpha\gt 0$. On note $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det M\geq\alpha\}$. Le but de cet exercice est de s'interesser, pour $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, a la quantite $m_{\alpha}(A)=\inf_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)$. -

- - - -
- -
-

-Soient $d\in\N^*$, $A\in\mc{S}_n(\R)$ a coefficients dans $\{0,1\}$ et de trace nulle. On suppose que $A^2+A-(d-1)I_n=J_n$ ou $J_n$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$. -

- - - -

-Soit $A=\begin{pmatrix}A_1&B\\ B^T&A_2\end{pmatrix}$ une matrice symetrique definie positive avec $A_1\in\mc{S}_p(\R)$ et $A_2\in\mc{S}_q(\R)$. -

- - - -
- -
-

-On considere la relation binaire pour $(A,B)\in(\mc{S}_n(\R))^2A\preceq B\Leftrightarrow B-A\in \mc{S}_n^+(\R)$. -

- - - -
- -
-

-Si $S\in\mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(S)\leq\cdots\leq\lambda_n(S)$ le spectre ordonne de $S$. On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique note $\langle\,\ \rangle$ et on note $S^{n-1}$ la spere unite. -

- - - -

-$\lambda_k(S)=\min\limits_{V\in\mc{V}_k}\max\{\langle Sx,x\rangle\ ;\ x\in V \cap S^{n-1}\}=\max\limits_{V\in\mc{V}_{n-k+1}}\min\{\langle Sx,x\rangle \ ;\ x\in V\cap S^{n-1}\}$. -

- - - -

-$\lambda_{i+j-1}(S+S')\leq\lambda_i(S)+\lambda_j(S')$. -

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- - -## Analyse - -
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-Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme, $F$ un sous-espace vectoriel ferme strict de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe un vecteur unitaire $u$ de $E$ tel que $d(u,F)\geq\delta$. -

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- -
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-Soient $(E,N)$ et $(E',N')$ deux espaces vectoriels normes. -

- -

-Soit $d\in\N$. Pour $P(X)=p_0+p_1X+\cdots+p_dX^d\in\R_d[X]$ on pose $\|P\|=\max(|p_0|,…,|p_d|)$. -

- - - -

-b) i) Soit $(y - {n\in\N}$ une suite d'elements de $E$, convergeant vers $\ell\in E$. -

- -

-Montrer que l'ensemble $Y=\{y_n,\ n\in\N\}\cup\{\ell\}$ est compact. -

- - - -
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- - -
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-Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme. Pour $A\subset E$ non vide et $x\in E$, on note $d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$. -

- - - -
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-Soit $\phi$ la fonction definie sur $[0,1]$ par $\phi(0)=0$ et $\phi(t)=-t\ln(t)$ pour $t\in]0,1]$. Soit $n\in\N^*$. On pose $S_n$ l'ensemble des vecteurs $p=(p_1,…,p_n)\in\R^n$ tels que $p_1+…+p_n=1$ et $p_i\geq 0$ pour tout $1\leq i\leq n$. On pose enfin $H_n(p)=\sum_{i=1}^n\phi(p_i)$ pour $p\in S_n$. -

- - - -

-Soit $v=(v_1,…,v_n)\in\R^n$. On pose $f_v(p)=H_n(p)+\sum_{i=1}^np_iv_i$ pour $p\in S_n$. -

- -

-On pose $f_v^*=\sup_{p\in S_n}f_v(p)$ et $E_v=\{p\in S_n,\ f_v(p)=f_v^*\}$. -

- - - -
- -
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-Soient $(E,\|\ \|)$, $(E',\|\ \|)$ deva espaces vectoriels normes de dimension finie, $A$ un ferme non vide de $E$, $B$ une partie non vide de $E'$. Soit $f:A\to B$ continue bijective telle que l'image reciproque par $f$ de toute partie bornee de $B$ est bornee. Montrer que $f^{-1}$ est continue. -

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-

-Un espace norme reel est dit separable lorsqu'il contient une partie denombrable dense. -

- - - -
- -
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-Soit $E$ l'espace des fonctions polynomiales de $\R$ dans $\R$. Pour tout $f\in E$, on note $\phi(f)$ la primitive de $f$ d'integrale nulle sur l'intervalle $[0,1]$. -

- - - -

-On munit $E$ de la norme $\|\ \|_{\i}$ sur $[0,1]$. -

- -

-On note $\|φ\|\mathrm{op}=⊃\left\{\frac{\|φ(f)\|\i,[0,1]}{\|f \|\i,[0,1]},\ f∈ E∖\{0E\}\right\}.$ -

- - - -

-$$G(x)=xF(x)-\int_0^xtf(t)dt=(x-1)F(x)-\int_x^1(1-t)f(t)\mathrm{d }t.$$ -

- - - -
- -
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-Soit $A\in\M_n(\R)$, on pose $f_A(x)=(A+xI_n)^{-1}A$ pour $x$ reel convenable. -

- - - -

-En deduire l'existence de deux supplementaires $F$ et $G$ dans $\R^n$, stables par $u$, tels que $u$ induit sur $F$ un automorphisme et induit sur $G$ un endomorphisme nilpotent. -

- - - -
- -
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-Soient $(a_n)$ une suite a termes reels positifs et $(b_n)$ une suite a termes complexes. On suppose que la serie $\sum a_n$ diverge et que $b_n\sim a_n$. On note $S_n=\sum_{k=0}^na_k$. -

- - - -
- -
- - -
- -
-

-Soit $I=]-1,+\i[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ verifie $(*)$ si et seulement si : -

- -

-$\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$. -

- -

-On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit $f\in\mc C^0(I,\R)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois derivable telle que $ff^{(3)}=0$. -

- - - -
- -
- - -

-On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, $g^2(x)=2g(x)-x$. -

- - - -
- -
- - -

-$H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha}\big{\}}$. -

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- -
- - -
- -
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-Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0(\R^+,\R)$ telles que $\int_0^{+\i}f^2\lt \i$. Soit $f\in E$. -

- -

-On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on definit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$.a) i)_: Rappeler le theoreme concernant la derivabilite des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrver que $Tf$ est continue. - Montrver que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$. -

- - - -
- -
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-Soient $(a_n)$ une suite reelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornee, $(b_n)$ une suite reelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$. -

- - - -
- -
-

-Soit $f\in C^1(\R^+,\R^{+*})$ croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\sim}\frac{a}{x}$ ou $a\gt 0$. -

- - - -
- -
-

-Soient $\alpha\in\N$ avec $\alpha\geq 2$ et $\beta\in]1,+\i[$. Soit $f:t\mapsto\sum_{n\geq 0}\frac{\cos(2\pi\alpha^nt)}{\beta^n}$. -

- - - -
- -
-

-Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0$. Montrver que $f$ est $\mc C^{\i}$ puis developpable en serie entiere au voisinage de l'origine. -

- -
- -
-

-On considere la serie entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$. -

- - - -

-On pose, pour $n\in\N$, $c_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. -

- - - -
- -
-

-Pour $n\geq 1$, on note $t_n$ le nombre de $\sigma\in\mc{S}_n$ telles que $\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}$. On convient que $t_0=1$, -

- - - -
- -
-

-Pour $n\in\N$, on note $\mc{P}_n$ l'ensemble des polynomes $P$ a coefficients dans $\{0,1,2\}$ tels que $P(2)=n$, et $a_n=|\mc{P}_n|$. On note $s_n$ la somme des chiffres de l'ecriture binaire de l'entier $n$, et pour $k\in[\![0,7]\!]$, on pose $b_{n,k}=|\{i\in[\![0,n]\!],\ s_i-s_{n-i}\equiv k\ [8]\}|$. -

- - - -

-Ind. Pour la premiere egalite, on pourra exhiber une bijection entre $\mc{P}_n$ et $\mc{P}_{2n+1}$. -

- - - -

-On note $A(x)$ la somme de cette serie. -

- - - -

-En deduire que $\forall x\in]-1,1[$, $A(x)=\lim_{n\to+\i}\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})$. -

- - - -

-$$\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})=\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-j)^{n-s_k}x^k\right)\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-\overline{j})^{n-s_k}x^k \right).$$ -

- - - -
- -
- - -

-$\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y)$. -

- -

-On dit qu'une suite reelle $(a - {n\in\N}$ verifie la propriete $(P)$ si :1. La serie entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$, -

- -
    -
  1. La somme $S_a$ de cette serie entiere admet une limite reelle en $1^-$.
    2. -
  2. - Montrer que, si la serie $\sum a_n$ converge absolument, alors la suite $(a - {n\in\N}$ verifie $(P)$,
    3. -
  3. Etudier la reciproque.
    4. -
  4. Trouver toutes les suites $(a - {n\in\N}$ periodiques qui verifient $(P)$.
    5. -
- -
- -
-

-Soient $(a - {n\geq 1}$ une suite de carre sommable et $ f:t\mapsto∑n=1+\i\frac{a_n}{n-t}$. -

- - - -
- -
- - -

-Montrer que $f$ est developpable en serie entiere en $0$. -

- - - -
- -
-

-On admet le theoreme suivant :Pour $S$ une serie entiere de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une serie entiere $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z\in\C,\exp(L(z))=\ S(z)$. -

- - - -

-Pour $n\in\N^*$, montrer que $\int_0^{2\pi}F(re^{it})dt=2\pi a_nR^n$, puis que -

- -

-$\int_0^{2\pi}G(Re^{it})e^{-int}dt=\pi a_nR^n$ et $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})dt=2\pi\text{Re}(a_0)$. -

- - - -
- -
-

-Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe $r\gt 0$ tel que, pour tout $t\in]-r,r[,\ \det(\mathrm{id}-tu)=\exp\Big{(}-\sum_{k=1}^{+\i}\frac{t^k\, \mathrm{tr}(u^k)}{k}\Big{)}$. -

- -
- -
- - -

-Montrer que la suite $(f - {n\in\N^*}$ converge simplement sur $\R^+$ vers une fonction $f$ a preciser et que $\int_{\R^+}f_n\not\longrightarrow\int_{\R_+}f$ quand $n\ra+\i$. -

- - - -

-Le demontrer sous l'hypothese supplementaire d'une convergence uniforme sur tout segment. -

- - - -

-Montrer que les suites $f_n$ et $f$ sont sommables et que $\lim_{n\ra+\i}\sum_{k=0}^{+\i}f_n(k)=\sum_{k=0}^{+\i}f (k)$. -

- -
- -
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-Pour tout reel $a$, on pose $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$. -

- - - -
- -
- - -

-On note, pour $r\gt 0$, $\gamma_r:t\in[0,2\pi]\mapsto re^{it}$. -

- -

-Soit $F:\C\ra\C$ la somme d'une serie entiere de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$. -

- - - -
- -
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-Soient $E=\mc C^{\i}([0,\pi],\R)$ et $F=\{f\in E,\;f(0)=f(\pi)=0\}$. Soient $\phi,q\in E$, la fonction $q$ etant positive. On note $\alpha$ une primitive de $\phi$. On pose $D(y)=y^{''}+\phi y'-qy$ et $L(y)=-e^{\alpha}D(y)$ pour tout $y\in E$, et $\langle y,z\rangle=\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,dx$ pour tous $y,z\in F$. -

- - - -

-Montrer que $\nabla(\mathrm{det})(A)=\mathrm{Com}(A)$. -

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-Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $b\in\R^n$ et $J:x\mapsto\frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. -

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-Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace prehilbertien reel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$. -

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- - -## Probabilites - -
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-On note $d_n$ le nombre de derangements de $n$ objets, c'est-a-dire le nombre de permutations $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. -

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-_a) i)Soit $n\in\N$. Montrer $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}d_{n-k}=n!$. -

- - - -

-On note $D(t)$ la somme de cette serie. -

- - - -

-_c) i)Pour $n$ et $p$ entiers naturels, on note $s_n(p)$ le nombre de surjections de $[\![1,n]$ sur $[1,p]$. -

- -

-Montrer que $p^n=\sum_{k=0}^n\binom{p}{k}s_n(k)$. -

- - - -

-Sa somme est notee $S(x,y)$. -

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-On melange les cartes d'un jeu de $2n$ cartes. -

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-Avec quelle probabilite les cartes de numero impair sont-elles correctement ordonnees? -

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-Pour $A_1,…,A_n$ parties finies d'un ensemble $E$, on admet que -

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-$\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1\lt i_2\lt …\lt i_k\leq n}|A_{i_1}\cap…\cap A_{i_k}|$. -

- - - -

-La demontrer pour $n=2$. -

- - - -

-Calculer la probabilite que deux entiers choisis aleatoirement dans l'ensemble $\{1,2,…,n\}$ soient premiers entre eux a l'aide de la fonction $\mu$. -

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-Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de parametre 1. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et $T_n=\dfrac{S_n-n}{\sqrt{n}}$. -

- - - -
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- - -

-On fixe $d\in\N^*$ et $(U - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $[\![1,d]\!]$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$. -

- - - -
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- - -

-Soient $\alpha\in\R$ et $u_{\alpha}:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{n^{\alpha}}{n!}x^n$. -

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- - -## Centrale - PSI - - -### Algebre - -
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-Soit $A=\begin{pmatrix}0&c&b\\ -c&0&a\\ -b&-a&0\end{pmatrix}\in\M_3(\R)$. Trouver $\alpha$ pour que $A^3=\alpha A$. Calculer $A^n$ en fonction de $\alpha$. -

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-Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $a,b\in\R$ avec $a\neq b$ tels que $:(f-a\op{id})\circ(f-b\op{id})=0$. -

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-Soit $A\in\M_2(\Z)$. -

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-Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&2\\ 2&0&1\\ 1&-1&2\end{array}\right)$. -

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-Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales. -

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-Si $P\in E$, on pose $L(P):x\mapsto e^{-x}\int_{-\i}^xP(t)\,e^t \dt$. -

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-On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $u=\left(a,b,c\right)^T$ un vecteur unitaire de $\R^3$. On note $D$=$\text{Vect}(u)$ et $p$ la projection orthogonale sur $D$. -

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+- Montrer que + $\mathbf{E}\left(\left(X_1+\cdots+X_n\right)^4\right)=O(n^2)$. +- Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la serie de terme general + $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\gt \eps\right)$? +::: + +::: exercice +Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables +aleatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient +$S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$. + +- Montrer que + $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)dx=\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n\frac{1}{n!}$. +- On admet que, pour tout $x\in\R$, + $\mathbf{P}(T_n\geq x)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\i}e^{-t^2/2}dt$. + Retrouver la formule de Stirling. +:::