diff --git a/Exercices 2025.org b/Exercices 2025.org index dc6ed6e..a379967 100644 --- a/Exercices 2025.org +++ b/Exercices 2025.org @@ -1,4 +1,4 @@ -# -*- org-export-switch: "all"; -*- +# -*- org-export-switch: "xens mp"; -*- #+title: Exercices 2025 #+author: Sébastien Miquel #+date: 22-07-2025 @@ -24,9 +24,9 @@ *** All -#+OPTIONS: toc:t -#+export_file_name: Exercices 2025 -#+exclude_types: proof +# #+OPTIONS: toc:t +# #+export_file_name: Exercices 2025 +# #+exclude_types: proof *** XENS @@ -35,10 +35,10 @@ *** XENS MP -# #+select_tags: xens -# #+exclude_tags: autre -# #+exclude_types: proof -# #+export_file_name: Exercices XENS MP 2025 +#+select_tags: xens +#+exclude_tags: autre +#+exclude_types: proof +#+export_file_name: Exercices XENS MP 2025 *** Centrale @@ -184,7 +184,7 @@ On note $d_n$ le nombre de diviseurs de $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $d_n = Soient $p$ un nombre premier impair, $\alpha \in \mathbb{N}^*$, $q = p^{\alpha}$ et $f: (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^2 \to \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ une fonction. Une partie $D$ de $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ est dite $f$-génératrice si : $\forall y \in \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}, \exists n \geq 2, \exists d_1, \dots, d_n \in D, y = f(\dots f(f(d_1, d_2), d_3), \dots d_n)$. 1. On considère le cas où $f:(x,y)\mapsto x-y$. Déterminer les parties $f$-génératrices de cardinal minimal et calculer leur nombre. - 2. E Dans la suite de l'exercice, on considère le cas où $f:(x,y)\mapsto xy$. + 2. $E$ Dans la suite de l'exercice, on considère le cas où $f:(x,y)\mapsto xy$. 3. Montrer qu'il n'existe pas de partie $f$-génératrice de cardinal 1. 4. On admet que le groupe $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$ est cyclique. Montrer qu'il existe une partie $f$-génératrice de cardinal 2. 5. Caractériser les parties $f$-génératrices de cardinal 2. @@ -345,7 +345,7 @@ Soit $(A, +, \times)$ un anneau intègre (donc commutatif). On suppose que $A$ e 1. Montrer que $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{R}[X]$ sont euclidiens, tout comme n'importe quel corps $\mathbb{K}$. 1. Montrer que tout idéal de $A$ est principal. 1. On suppose que $t(1_A)=0$. Montrer que les éléments inversibles de $A$ sont les $u\in A\setminus\{0\}$ tels que t(u)=0. - 2. E On suppose dans toute la suite de l'exercice que dans l'hypothèse (i) il y a en plus unicité du couple (q,r) solution. + 2. $E$ On suppose dans toute la suite de l'exercice que dans l'hypothèse (i) il y a en plus unicité du couple (q,r) solution. 1. Montrer que $t(a+b) \leq \max(t(a),t(b))$ quels que soient $a \in A \setminus \{0\}$ et $b \in A \setminus \{0\}$ tels que $a+b \neq 0$. 1. Montrer que $A^{\times} \cup \{0\}$ est un sous-corps de $A$. 1. Montrer que $A$ est un corps ou est isomorphe à $\mathbb{K}[X]$ pour un corps $\mathbb{K}$. @@ -393,30 +393,55 @@ Si $P(\frac{a}{b}) = k$, alors $a\mid a_0 - k$ et $b\mid a_n$, pour des coeffici #+END_proof +# ID:8488 #+begin_exercice [ENS 2025 # 21] Soient $n, m \in \mathbb{N}^*$ avec $m$ < $n$. Soit $\mathcal{P}_{n,m}$ l'ensemble des polynômes complexes de degré $n$ dont 0 est racine d'ordre $m$ et dont les autres racines sont de module $\geq 1$. Déterminer $\inf\{|z| \; ; \; z \in \mathbb{C}^*, \; \exists P \in \mathcal{P}_{n,m}, \; P'(z) = 0\}$. #+end_exercice #+BEGIN_proof Si $m = 0$, c'est $0$. -Si $m = 1$. Pour $n = 3$ : écrire les relations coefficients racines. Les racines $y_1,y_2$ de la dérivée vérifient $y_1 + y_2 = \frac{2}{3}(x_1 + x_2)$ et $y_1 y_2 = \frac{x_1x_2}{3}$. +Si $m = 1$. Pour $n = 3$ : écrire les relations coefficients racines. Les racines $y_1,y_2$ de la dérivée vérifient $y_1 + y_2 = \frac{2}{3}(x_1 + x_2)$ et $y_1 y_2 = \frac{x_1x_2}{3}$. On peut s'en sortir mais c'est vraiment dur. -Commencer par comprendre pourquoi l'inf n'est pas zéro : si $y_1$ était petite, $y_2$ seraient très grand (en $\frac{x_1x_2}{y_1}$), alors $y_1+y_2$ serait trop grand pour $x_1+x_2$. - -Si on écrit les I.T. ? Ça a un espoir de marcher si le cas d'égalité final est $X (X-1)^2$. +Plutôt : écrire $\frac{P'}{P}$. On obtient finalement que l'inf est réalisé pour $X (X-1)^n$. #+END_proof +# ID:8535 #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 22] Soit $I=\{P\in\mathbb{C}[X]:\forall n\in\mathbb{Z},\ P(n)\in\mathbb{Z}\}$. On pose $H_0=1$ et, pour $n\in\mathbb{N}^*$, $H_n=\frac{X(X-1)\cdots(X-n+1)}{n!}$. Pour $P\in\mathbb{C}[X]$, on pose $\Delta(P)=P(X+1)-P(X)$ et $D_n(P)=\Delta^n(P)(0)$. 1. Montrer que $(H_n)_{n\geq 0}$ est une base de $\mathbb{C}[X]$. - 1. Montrer que, pour tout $n, H_n \in I$. - 1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\Delta(H_n) = H_{n-1}$. *d*) Montrer que $I \subset \mathbb{Q}[X]$. - 1. Montrer que $I = \left\{ \sum_{i=0}^n a_i H_i \; ; \; n \in \mathbb{N}, \; (a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{Z}^n \right\}$. - 1. Soient $P_1, P_2 \in I$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $P_1(n)$ soit premier avec $P_2(n)$. Montrer qu'il existe $U_1, U_2 \in I$ tels que $U_1P_1 + U_2P_2 = 1$. + 2. Montrer que, pour tout $n, H_n \in I$. + 3. sV2 Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\Delta(H_n) = H_{n-1}$. + 4. sV2 Montrer que $I \subset \mathbb{Q}[X]$. + 5. Montrer que $I = \left\{ \sum_{i=0}^n a_i H_i \; ; \; n \in \mathbb{N}, \; (a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{Z}^n \right\}$. + 6. Soient $P_1, P_2 \in I$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $P_1(n)$ soit premier avec $P_2(n)$. Montrer qu'il existe $U_1, U_2 \in I$ tels que $U_1P_1 + U_2P_2 = 1$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. + 3. + 4. + 5. + 6. Il existe un tel polynôme à coefficients dans $\Q$, donc $U_1 + P_1 + U_2 P_2 = d$, pour $U_1,U_2\in\Z[X]$. + L'ensemble de $U P_1 + V P_2$ est un idéal, noté $J$. Pour $p$ + premier, on a $pJ$ qui est l'ensemble des polynômes dont les + valeurs sont toutes divisibles par $p$, ou toutes les valeurs de + $\db{1,d}$. + + Pour tout $k$, on peut trouver $u_k P_1(k) + v_k P_2(k) = 1$. + Puis, on peut construire des polynômes de $I$ qui sont toujours + congrus à $u_k/v_k$ modulo $p$. + + On aura alors $U P_1 + V P_2 \equiv 1 [p]$, donc $1 \in J + pI$. + + Si $d$ est premier, on en déduit que $1\in J$. +#+END_proof + + +# ID:8489 #+BEGIN_exercice [ENS PLSR 2025 # 23] Soit $H = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. On note $C_H = \{M \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}), \ MH = HM\}$. 1. Montrer que $C_H$ est un sous-groupe infini de $GL_2(\mathbb{Z})$. @@ -430,6 +455,7 @@ Soit $H = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. On note $C_H = \{M \in #+END_proof +# ID:8536 #+begin_exercice [ENS L 2025 # 24] Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $AB = BA$. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Déterminer le signe de $\det (A^k + B^k)$. #+end_exercice @@ -441,10 +467,15 @@ quelque chose de positif. Si $A, B$ sont des matrices de $O_2$, leurs carrés sont des matrices de rotation, que l'on somme… On obtient $\begin{pmatrix}1 + \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & 1 + \cos \theta\end{pmatrix}$ de déterminant $2 + 2 \cos \theta\geq 0$. -Donc le résultat a l'air vrai. +Donc ça a l'air d'être positif. + +Il suffit de traiter le cas $k = 2$. On a alors $A^2 + B^2 = (A-iB)(A+iB)$, de déterminant positif. + +Pour $k$ impair, on a $\det (A^k + B^k) = \det (A+B) \det (A^{k-1} + A^{k-2} B + \dots + B^{k-1})$. On peut factoriser dans $\C$, et à nouveau, regrouper par termes conjugués. #+END_proof +# ID:nil # Inintéressant #+BEGIN_exercice [ENS SR 2025 # 25] Soient $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{+*})$ et $x_0, \ldots, x_{n-1}$ des réels > 0. On souhaite montrer que : @@ -461,13 +492,39 @@ $$\det\left(\frac{d^j}{dx^j}(f(x)^{x_i})\right)_{0\leqslant i,j< n} = f(x)^{\sum #+END_exercice +# ID:8537 #+begin_exercice [ENS L 2025 # 26] Soit $A \in GL_3(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est semblable à $A^{-1}$ si et seulement s'il existe $B, C \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $A = BC, B^2 = C^2 = I_3$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Si $A = BC$, $A^{-1} = CB$. + +Si $A$ est semblable à $A^{-1}$ : + + $A$ est diagonalisable, $A$ doit avoir $1$ ou $-1$ comme valeur + propre et deux autres inverses l'une de l'autre. + + $A$ est diagonalisable sur $\C$, avec $\pm 1$ et $e^{\pm i \theta}$. + + Sinon, $A$ est trigonalisable sur $\R$, avec ou bien trois $\pm 1$ + sur la diagonale, ou bien deux 1 et un $-1$. + +Dans le premier cas, on prenant le produit (dans $\R^2$), de $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0 & \la \\ \frac{1}{\la} & 0\end{pmatrix}$ + +Dans le second cas s'obtient en faisant le produit de deux symétries axiales dans $\R^2$. + +Dans le troisième cas, dans $\R^2$, les transvections sont produit de $\begin{pmatrix}-1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$. + +Reste, dans $\R^3$, le cas de $\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Ne peut-on pas faire la même chose, avec une matrice diagonale simple ? +#+END_proof + #+begin_exercice [ENS P 2025 # 27] -Soit $n \ge 2$. On note $\mathcal{R}_n$ l'ensemble des matrices $M$ de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ telles que $M\overline{M}$ appartient à $\mathbb{C}^*I_n$. On définit une relation d'équivalence $\sim$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ en posant $A\sim B$ s'il existe $M \in GL_n(\mathbb{C})$ et $\lambda \in \mathbb{C}^*$ tels que $A = \lambda \overline{M}BM^{-1}$. Justifier que $\sim$ induit une relation d'équivalence sur $\mathcal{R}_n$. Déterminer les classes d'équivalence sur $\mathcal{R}_n$. +Soit $n \geq 2$. On note $\mathcal{R}_n$ l'ensemble des matrices $M$ de $\mathrm{GL}_n(\C)$ telles que $M\overline{M}$ appartient à $\C^*I_n$. On définit une relation d'équivalence $\sim$ sur $\mathcal{M}_n(\C)$ en posant $A\sim B$ s'il existe $M \in GL_n(\C)$ et $\lambda \in \C^*$ tels que $A = \lambda \overline{M}BM^{-1}$. Justifier que $\sim$ induit une relation d'équivalence sur $\mathcal{R}_n$. Déterminer les classes d'équivalence sur $\mathcal{R}_n$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Si on restreint aux matrices réelles, ce sont les matrices telles que $M^2 = \la I_n$. On a comme classe d'équivalence le nombre de valeurs propres d'un signe donné. + +Ce sont peut-être les seules classes d'équivalence. +#+END_proof + #+begin_exercice [ENS P 2025 # 28] On note $G_n$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^n$. Soit $\Phi: G_n \to \mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}$ une application telle que $\forall V, W \in G_n, \ \Phi(V \cap W) + \Phi(V + W) \leqslant \Phi(V) + \Phi(W)$ @@ -496,12 +553,12 @@ $$S = \left\{ \begin{pmatrix} e^t & 0 & x \\ 0 & e^{-t} & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pm #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 31] - 1. Soient $r \in \mathbb{N}^*$ et $(F_1, \ldots, F_r) \in \mathbb{C}(X)^r$. On pose $M_r = (F_j^{(i-1)})_{1 \leq i,j \leq r} \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C}(X))$. Montrer que la famille $(F_1, \ldots, F_r)$ est liée si et seulement si la matrice $M_r$ + 1. Soient $r \in \N^*$ et $(F_1, \ldots, F_r) \in \C(X)^r$. On pose $M_r = (F_j^{(i-1)})_{1 \leq i,j \leq r} \in \mathcal{M}_r(\C(X))$. Montrer que la famille $(F_1, \ldots, F_r)$ est liée si et seulement si la matrice $M_r$ n'est pas inversible. - 1. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A = (A_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}(X))$. - Pour $p \in \mathbb{N}$, on note $A^{(p)} = (A_{i,j}^{(p)})$ la matrice des dérivées $p^{\text{èmes}}$ des coefficients de A. + 1. Soient $n \in \N^*$ et $A = (A_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\C(X))$. + Pour $p \in \N$, on note $A^{(p)} = (A_{i,j}^{(p)})$ la matrice des dérivées $p^{\text{èmes}}$ des coefficients de A. -Montrer que les matrices $A^{(p)}$ pour $p \in \mathbb{N}$ commutent deux à deux si et seulement s'il existe $r \in \mathbb{N}^*, (F_1, \dots, F_r) \in (\mathbb{C}(X))^r$ et des matrices $C_1, \dots, C_r \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ commutant deux à deux telles que $A = F_1C_1 + \cdots + F_rC_r$. +Montrer que les matrices $A^{(p)}$ pour $p \in \N$ commutent deux à deux si et seulement s'il existe $r \in \N^*, (F_1, \dots, F_r) \in (\C(X))^r$ et des matrices $C_1, \dots, C_r \in \mathcal{M}_n(\C)$ commutant deux à deux telles que $A = F_1C_1 + \cdots + F_rC_r$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 32] @@ -510,25 +567,27 @@ Soit $S = \begin{pmatrix} (0) & 1 \\ & \ddots & \\ 1 & (0) \end{pmatrix} \in \ma 1. Donner une base orthonormale de vecteurs propres de $S$. 1. Caractériser les sous-espaces de $\mathbb{R}^n$ stables par $S$. - 1. Soient $\omega = \exp(2i\pi/n)$ et $A = \left(\frac{\omega^{jk}}{\sqrt{n}}\right)_{1 \leq j, k \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Calculer les puissances - -de A. En déduire que $A$ est diagonalisable. + 1. Soient $\omega = \exp(2i\pi/n)$ et $A = \left(\frac{\omega^{jk}}{\sqrt{n}}\right)_{1 \leq j, k \leq n} \in \mathcal{M}_n(\C)$. Calculer les puissances de A. En déduire que $A$ est diagonalisable. 1. On suppose $n$ impair. Déterminer les valeurs propres de $A$ et leurs multiplicités. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 33] - 1. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que si $N \in$ $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est suffisamment proche de $M$, alors $N$ admet $n$ valeurs propres distinctes. - 1. Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$. À quelle condition la matrice $A + \eps B$ admet-elle deux valeurs propres distinctes pour tout $\eps > 0$ assez petit? + 1. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que si $N \in$ $\mathcal{M}_n(\C)$ est suffisamment proche de $M$, alors $N$ admet $n$ valeurs propres distinctes. + 1. Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B \in \mathcal{M}_2(\C)$. À quelle condition la matrice $A + \eps B$ admet-elle deux valeurs propres distinctes pour tout $\eps > 0$ assez petit? 1. Même question en demandant que $A + \eps B$ soit diagonalisable pour tout $\eps > 0$ assez petit. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 34] -Soient $\mathbb{K}$ un corps et $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$. On suppose que $\chi_A$ est irréductible et qu'il existe $B \in GL_2(\mathbb{K})$ telle que $B^{-1}AB$ commute avec A, mais que $B$ ne commute pas avec A. Montrer que $B^2$ est scalaire. +Soient $\mathbb{K}$ un corps et $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$. On suppose que $\chi_A$ est irréductible et qu'il existe $B \in GL_2(\mathbb{K})$ telle que $B^{-1}AB$ commute avec $A$, mais que $B$ ne commute pas avec $A$. Montrer que $B^2$ est scalaire. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + +#+END_proof + #+begin_exercice [ENS L 2025 # 35] -Soient A, $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que $\operatorname{rg}(AB BA) = 1$. Montrer que $A$ et $B$ sont cotrigonalisables. +Soient A, $B$ dans $\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $\operatorname{rg}(AB - BA) = 1$. Montrer que $A$ et $B$ sont cotrigonalisables. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 36] @@ -538,20 +597,24 @@ Soient $A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telles que $\operatorname{rg}(A) = \ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 37] -Soient $n, k \in \mathbb{N}^*$, $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $B \in \mathcal{M}_k(\mathbb{C})$, $C \in \mathbb{C}$ $\mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{C})$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $A$ et $B$ sont diagonalisables et il existe $X \in \mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{C})$ telle que $C$ = AX - XB. +Soient $n, k \in \N^*$, $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\C)$, $B \in \mathcal{M}_k(\C)$, $C \in \C$ $\mathcal{M}_{n,k}(\C)$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $A$ et $B$ sont diagonalisables et il existe $X \in \mathcal{M}_{n,k}(\C)$ telle que $C = AX - XB$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 38] Soit $\mathbb K$ un sous-corps de $\mathbb C$. On dit qu'une matrice $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est de Bourdaud si $\chi_M = \prod (X - m_{i,i})$. - 1. Montrer qu'une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est semblable sur $\mathbb{K}$ à une matrice de Bourdaud si et - seulement si elle est trigonalisable sur $K$. - 1. Montrer qu'une matrice de $S_n(\mathbb{R})$ est de Bourdaud si et seulement si elle est diagonale. - 1. Est-il vrai que toute matrice de Bourdaud de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est diagonalisable? - 1. On dit que $A$ est normale si $A^TA = AA^T$. Déterminer les matrices réelles normales et de Bourdaud. + 1. Montrer qu'une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est + semblable sur $\mathbb{K}$ à une matrice de Bourdaud si et + seulement si elle est trigonalisable sur $K$. + 1. Montrer qu'une matrice de $S_n(\mathbb{R})$ est de Bourdaud si et + seulement si elle est diagonale. + 1. Est-il vrai que toute matrice de Bourdaud de + $\mathcal{M}_n(\C)$ est diagonalisable? + 1. On dit que $A$ est normale si $A^TA = AA^T$. Déterminer les + matrices réelles normales et de Bourdaud. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 39] -Soient $n, k \in \mathbb{N}^*$, $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $B \in \mathcal{M}_k(\mathbb{R})$, $C \in \mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{R})$. On pose $e^M = \begin{pmatrix} M_1 & \phi_{A,B}(C) \\ M_2 & M_2 \end{pmatrix}$. +Soient $n, k \in \N^*$, $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $B \in \mathcal{M}_k(\mathbb{R})$, $C \in \mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{R})$. On pose $e^M = \begin{pmatrix} M_1 & \phi_{A,B}(C) \\ M_2 & M_2 \end{pmatrix}$. 1. Déterminer $M_1, M_2, M_3$. 1. Montrer que $\phi_{A,B}$ est linéaire. @@ -561,33 +624,33 @@ Soient $n, k \in \mathbb{N}^*$, $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix #+end_exercice #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 40] -Si $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on pose [A, B] = AB BA. Soit $\mathcal{A} = \{ M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}), \operatorname{tr}(M) = 0 \}$. - 1. Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ stable par [,]. +Si $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$, on pose [A, B] = AB BA. Soit $\mathcal{A} = \{ M \in \mathcal{M}_2(\C), \operatorname{tr}(M) = 0 \}$. + 1. Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\C)$ stable par [,]. 1. Calculer les [A,B] pour les $A,B \in \{X,Y,H\}$ où $X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $$H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$ - 1. Soit $\rho: A \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ linéaire telle que, pour tous $A, B \in A$, $\rho([A, B]) = [\rho(A), \rho(B)]$. Montrer que $\rho(H)$ admet une valeur propre $\alpha$. + 1. Soit $\rho: A \to \mathcal{M}_n(\C)$ linéaire telle que, pour tous $A, B \in A$, $\rho([A, B]) = [\rho(A), \rho(B)]$. Montrer que $\rho(H)$ admet une valeur propre $\alpha$. Montrer que $\rho(X)(E_{\alpha}(\rho(H))) \subset \operatorname{Ker}(\rho(H) - (\alpha + 2)I_n)$. Montrer que $\rho(Y)$ $(E_{\alpha}(\rho(H))) \subset \text{Ker } (\rho(H) (\alpha 2)I_n)$. - 1. On suppose que, si $V$ est un sous-espace de $\mathbb{C}^n$ stable par tous les $\rho(A)$, pour $A \in \mathcal{A}$, - alors $V = \mathbb{C}^n$ ou $V = \{0\}$. Déterminer les $\rho$ possibles. + 1. On suppose que, si $V$ est un sous-espace de $\C^n$ stable par tous les $\rho(A)$, pour $A \in \mathcal{A}$, + alors $V = \C^n$ ou $V = \{0\}$. Déterminer les $\rho$ possibles. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS U 2025 # 41] Soient $k$ un corps de caractéristique nulle, $E$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. On écrit $\pi_u = \prod_i P_i^{n_i}$, le polynôme minimal de $u$, où les $P_i$ sont irréductibles -distincts et les $n_i$ dans $\mathbb{N}^*$. On pose $f=P_1\times\cdots\times P_r$. On définit une suite en posant $u_0=u$ +distincts et les $n_i$ dans $\N^*$. On pose $f=P_1\times\cdots\times P_r$. On définit une suite en posant $u_0=u$ - et, pour $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n f(u_n) f'(u_n)^{-1}$. + et, pour $n \in \N$, $u_{n+1} = u_n f(u_n) f'(u_n)^{-1}$. 1. Montrer que $(u_n)$ est bien définie. 1. Montrer que $(u_n)$ est stationnaire de valeur ultime $d \in \mathcal{L}(E)$ où $d$ est un polynôme en $u$, $u$-d est nilpotent et $d$ est annulé par $f$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 42] -Déterminer le cardinal minimal $p$ d'un sous-groupe $G$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ tel que $\operatorname{Vect}(G) = \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$. Si $G_1$ et $G_2$ conviennent et sont de cardinal $p$, sont-ils conjugués? +Déterminer le cardinal minimal $p$ d'un sous-groupe $G$ de $\mathrm{GL}_2(\C)$ tel que $\operatorname{Vect}(G) = \mathcal{M}_2(\C)$. Si $G_1$ et $G_2$ conviennent et sont de cardinal $p$, sont-ils conjugués? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 43] @@ -596,35 +659,35 @@ On dit que la propriété $MT(n, \mathbb{K})$ est vraie si, pour tout couple (A, 1. Montrer que, si $A$ et $B$ sont dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, diagonalisables et commutent, alors, pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$, $A + \lambda B$ est diagonalisable. 1. On suppose que $n \ge 2$. La propriété $MT(n, \mathbb{R})$ est-elle vraie? - 1. Montrer que $MT(2,\mathbb{C})$ est vraie. + 1. Montrer que $MT(2,\C)$ est vraie. 1. On suppose que $n \ge 2$. La propriété $MT(n, \mathbb{F}_2)$ est-elle vraie? 1. Soit $p \ge 3$ un nombre premier. La propriété $MT(2, \mathbb{F}_p)$ est-elle vraie? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 44] -Quelle est l'image de l'application $f: M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} M^{2n+1}$ ? +Quelle est l'image de l'application $f: M \in \mathcal{M}_2(\C) \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} M^{2n+1}$ ? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 45] - 1. Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que AB = BA. Justifier que $e^{A+B} = e^A e^B$. - 1. Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $P \in GL_n(\mathbb{C})$. Montrer que $e^{PAP^{-1}} = Pe^AP^{-1}$. - 1. Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ convenable, on pose $\log A = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} (A I_n)^k$. Pour quelles + 1. Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB = BA. Justifier que $e^{A+B} = e^A e^B$. + 1. Soient $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $P \in GL_n(\C)$. Montrer que $e^{PAP^{-1}} = Pe^AP^{-1}$. + 1. Pour $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ convenable, on pose $\log A = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} (A I_n)^k$. Pour quelles matrices $\log A$ est-il défini? Montrer les égalités $\exp(\log A) = A$ et $\log(\exp A) = A$. Pour chaque égalité, déterminer les matrices $A$ qui la satisfont. - 1. Montrer que, si $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \left(e^{\frac{A}{k}} e^{\frac{B}{k}}\right)^k \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} e^{A+B}$. + 1. Montrer que, si $A, B \in \mathcal{M}_n(\C), \left(e^{\frac{A}{k}} e^{\frac{B}{k}}\right)^k \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} e^{A+B}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 46] -Soient $(a_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ et $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ de rayon de convergence égal à $+\infty$. - 1. Pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, justifier la définition de $f^*(M) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k M^k$. +Soient $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ et $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ de rayon de convergence égal à $+\infty$. + 1. Pour $M \in \mathcal{M}_n(\C)$, justifier la définition de $f^*(M) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k M^k$. 1. Montrer que $f^*$ est continue. $\emph{c}$ ) On suppose que $f$ est surjective. Montrer que $f$ induit une surjection de l'ensemble des matrices diagonalisables sur lui-même. - 1. On suppose que, pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$, il existe $z \in \mathbb{C}$ tel que $f(z) = \lambda$ et $f'(z) \neq 0$. Montrer que $f^*$ est une surjection de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ sur lui-même. + 1. On suppose que, pour tout $\lambda \in \C$, il existe $z \in \C$ tel que $f(z) = \lambda$ et $f'(z) \neq 0$. Montrer que $f^*$ est une surjection de $\mathcal{M}_n(\C)$ sur lui-même. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 47] -Soit $d \in \mathbb{N}^*$. On munit $\mathbb{R}^d$ de sa structure euclidienne canonique. Déterminer les $n \in \mathbb{N}^*$ pour lesquels il existe un ensemble $F_n \subset \mathbb{R}^d$ de cardinal $n$ tel que, pour toute partie $G$ de $F_n$, il existe $\omega \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que $G = \{x \in F_n, \langle \omega, x \rangle + b > 0\}$. +Soit $d \in \N^*$. On munit $\mathbb{R}^d$ de sa structure euclidienne canonique. Déterminer les $n \in \N^*$ pour lesquels il existe un ensemble $F_n \subset \mathbb{R}^d$ de cardinal $n$ tel que, pour toute partie $G$ de $F_n$, il existe $\omega \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que $G = \{x \in F_n, \langle \omega, x \rangle + b > 0\}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 48] @@ -642,16 +705,16 @@ Déterminer l'ensemble des symétries linéaires sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 51] -Soit $H = (H_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. On suppose que, pour tous $i \neq j, H_{i,j} \leq 0$. Si $(i,j) \in [\![1,n]\!]^2$, on dit que $i$ et $j$ sont connectés s'il existe $m \in \mathbb{N}^*, k_1, \ldots, k_m \in [\![1,n]\!]$ tels que $k_1 = i, k_m = j$ et, pour tout $\ell \in [\![1,m-1]\!], H_{k_\ell,k_{\ell+1}} \neq 0$. +Soit $H = (H_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. On suppose que, pour tous $i \neq j, H_{i,j} \leq 0$. Si $(i,j) \in \db{1,n}^2$, on dit que $i$ et $j$ sont connectés s'il existe $m \in \N^*, k_1, \ldots, k_m \in \db{1,n}$ tels que $k_1 = i, k_m = j$ et, pour tout $\ell \in \db{1,m-1}, H_{k_\ell,k_{\ell+1}} \neq 0$. Montrer que $i$ et $j$ sont connectés si et seulement si $H_{i,j}^{-1} > 0$, où $H_{i,j}^{-1}$ est le coefficient d'indice (i,j) de $H^{-1}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 52] -On considère $n \in \mathbb{N}^*$ et $(A, B) \in \mathcal{A}_{2n}(\mathbb{R})^2$. On pose $C$ = AB et on s'intéresse aux valeurs propres réelles de $C$. +On considère $n \in \N^*$ et $(A, B) \in \mathcal{A}_{2n}(\mathbb{R})^2$. On pose $C$ = AB et on s'intéresse aux valeurs propres réelles de $C$. 1. Donner un exemple de $n$, $A$ et $B$ tels que $\chi_C$ n'admette aucune racine réelle. - 1. On suppose $A$ inversible. On note $\phi: (\mathbb{C}^{2n})^2 \to \mathbb{C}$ définie par $\phi(X,Y) = X^T A^{-1} Y$. Montrer que les sous-espaces caractéristiques $F_{\lambda}(C)$ de $C$ sont deux à deux $\phi$ -orthogonaux, $i$.e. pour tous $\lambda$ et $\mu$ distinctes dans $\operatorname{Sp} C$, $\forall (X,Y) \in F_{\lambda}(C) \times F_{\mu}(C)$, $\phi(X,Y) = 0$. + 1. On suppose $A$ inversible. On note $\phi: (\C^{2n})^2 \to \C$ définie par $\phi(X,Y) = X^T A^{-1} Y$. Montrer que les sous-espaces caractéristiques $F_{\lambda}(C)$ de $C$ sont deux à deux $\phi$ -orthogonaux, $i$.e. pour tous $\lambda$ et $\mu$ distinctes dans $\operatorname{Sp} C$, $\forall (X,Y) \in F_{\lambda}(C) \times F_{\mu}(C)$, $\phi(X,Y) = 0$. 1. Que peut-on en déduire? #+end_exercice @@ -666,7 +729,7 @@ On munit $\mathbb{R}^3$ de sa structure canonique d'espace euclidien orienté, e #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 54] 1. Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, diagonalisables et telles que AB = BA. Montrer qu'il existe $P \in GL_n(\mathbb{R})$ telle que $PAP^{-1}$ et $PBP^{-1}$ soient diagonales. 1. Montrer que l'application $\Phi: (S,O) \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \times \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \mapsto SO \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est bien définie et bijective, et que $\Phi^{-1}$ est continue. - 1. Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe une unique suite de matrices $(M_k)_{k \in \mathbb{N}}$ telle que $M_0 = M$ et $\forall k \in \mathbb{N}, \ M_{k+1} = \frac{M_k}{2}(I_n + (M_k^T M_k)^{-1})$, et étudier sa convergence. + 1. Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe une unique suite de matrices $(M_k)_{k \in \N}$ telle que $M_0 = M$ et $\forall k \in \N, \ M_{k+1} = \frac{M_k}{2}(I_n + (M_k^T M_k)^{-1})$, et étudier sa convergence. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 55] @@ -703,24 +766,24 @@ On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique et $\mathcal{M}_n( #+end_exercice #+begin_exercice [ENS nil 2025 # 59] -Soient $S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$. Montrer que SA est diagonalisable sur $\mathbb{C}$. +Soient $S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$. Montrer que SA est diagonalisable sur $\C$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 60] -Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On appelle forme quadratique sur $\mathbb{R}^n$ toute application $q : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ telle qu'il existe $(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $q(x) = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j} x_i x_j$ pour tout $x = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j} x_i x_j$ +Soit $n \in \N^*$. On appelle forme quadratique sur $\mathbb{R}^n$ toute application $q : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ telle qu'il existe $(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $q(x) = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j} x_i x_j$ pour tout $x = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j} x_i x_j$ $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$. Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(\mathbb{R})$ tels que $\{0\}$ et $\mathbb{R}^n$ sont les seuls sous-espaces de $\mathbb{R}^n$ stables par tous les éléments de $G$. Montrer que les formes quadratiques invariantes par $G$ constituent une droite vectorielle. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 61] Soit $n \ge 2$. On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $H \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On pose $\nabla_H : (x,y) \in (\mathbb{R}^n)^2 \mapsto x^T H y$ et $Q_H : x \in \mathbb{R}^n \mapsto x^T H x$. 1. Soit $H \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Exprimer la norme d'opérateur de $H$ à l'aide de $Q_H$. - 1. Soient $m, n \in \mathbb{N}^*$. On munit $\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{R}^m$ de leur structure euclidienne canonique. Si $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$, comment déterminer la norme d'opérateur de $A$ pour ces normes? + 1. Soient $m, n \in \N^*$. On munit $\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{R}^m$ de leur structure euclidienne canonique. Si $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$, comment déterminer la norme d'opérateur de $A$ pour ces normes? 1. Soient $J$, $K$ deux ensembles finis non vides, $(a_{j,k})_{(j,k)\in J\times K}\in (\mathbb{R}^+)^{J\times K}$. On suppose qu'il existe $C_1$ et $C_2$ tels que : $\forall j\in J, \sum_{k\in K}a_{j,k}\leqslant C_1$ et $\forall k\in K, \sum_{j\in J}a_{j,k}\leqslant C_2$. On ordonne $J$ et $K$ et on note $A$ la matrice des $a_{j,k}$. Montrer que $||A||_{\text{op}} \leqslant \sqrt{C_1 C_2}$. - 1. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $J$ = $K$ = [1, n], on pose, pour $1 \leqslant j, k \leqslant n$, $a_{j,k}^n = \frac{1}{(j-k)^2}$ si $j \neq k$, et $a_{j,k}^n=0$ sinon. On note enfin $A^n=\left(a_{j,k}^n\right)_{1\leqslant j,k\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Déterminer la limite de $(\|A^n\|_{\rm op})_{n\geq 1}$. + 1. Pour $n \in \N^*$, $J$ = $K$ = [1, n], on pose, pour $1 \leqslant j, k \leqslant n$, $a_{j,k}^n = \frac{1}{(j-k)^2}$ si $j \neq k$, et $a_{j,k}^n=0$ sinon. On note enfin $A^n=\left(a_{j,k}^n\right)_{1\leqslant j,k\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Déterminer la limite de $(\|A^n\|_{\rm op})_{n\geq 1}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 62] @@ -755,7 +818,7 @@ Soient $n \ge 2$, $a: [0,1] \to \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ continue et $A = \i #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 65] -Soit $(O_n)_{n\geq 0}$ une suite d'ouverts non majorés de $\mathbb{R}^{+*}$. Montrer qu'il existe $x\in\mathbb{R}^{+*}$ tels que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, l'ensemble $O_n\cap\mathbb{N}x$ soit infini. +Soit $(O_n)_{n\geq 0}$ une suite d'ouverts non majorés de $\mathbb{R}^{+*}$. Montrer qu'il existe $x\in\mathbb{R}^{+*}$ tels que, pour tout $n\in\N$, l'ensemble $O_n\cap x \N$ soit infini. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 66] @@ -765,7 +828,7 @@ Soit $E$ un ensemble non vide. Soit $d: E^2 \to \mathbb{R}$ vérifiant, pour tou + $d(x,y) \leqslant \max(d(x,z), d(z,y))$. Ainsi $d$ est une distance sur $E$. Pour $x \in E$ et $r \in \mathbb{R}^+$, on note $B(x,r) = \{y \in E, d(x,y) \leq r\}$ la boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$. On suppose que, pour tout $x \in E$ et tous $r$, r' vérifiant 0 < $r$ < r', on a $B(x,r) \subsetneq B(x,r')$. Enfin, on suppose qu'il existe une suite d'éléments de $E$ dense dans (E,d). - Montrer qu'il existe une suite $(z_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $E$ et une suite $(r_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $\mathbb{R}^{+*}$ telles que : $\forall n\in\mathbb{N}, B(z_{n+1},r_{n+1})\subset B(z_n,r_n)$ et $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B(z_n,r_n)=\emptyset$. + Montrer qu'il existe une suite $(z_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $E$ et une suite $(r_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $\mathbb{R}^{+*}$ telles que : $\forall n\in\N, B(z_{n+1},r_{n+1})\subset B(z_n,r_n)$ et $\bigcap_{n\in\N}B(z_n,r_n)=\emptyset$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 67] @@ -792,10 +855,10 @@ Soit $E = C^0([0, 1], \mathbb{R})$. #+begin_exercice [ENS L 2025 # 70] Soit $E = C^0([0,1], \mathbb{R})$. -$$\text{Si } a=(a_n)_{n\geq 0}\in [0,1]^{\mathbb{N}} \text{, on pose, pour } f,g\in E, \langle f,g\rangle_a=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f(a_n)\,g(a_n)}{2^n}.$$ +$$\text{Si } a=(a_n)_{n\geq 0}\in [0,1]^{\N} \text{, on pose, pour } f,g\in E, \langle f,g\rangle_a=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f(a_n)\,g(a_n)}{2^n}.$$ 1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\langle \; , \; \rangle_a$ soit un produit scalaire sur $E$. On note alors $\|\; \|_a$ la norme associée. - 1. Si $a,b \in [0,1]^{\mathbb{N}}$ vérifient les hypothèses de a), donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\| \|_a$ et $\| \|_b$ soient équivalentes. + 1. Si $a,b \in [0,1]^{\N}$ vérifient les hypothèses de a), donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\| \|_a$ et $\| \|_b$ soient équivalentes. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS nil 2025 # 71] @@ -838,7 +901,7 @@ On munit $E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ des normes $\| \|_2$ et $\| \|_{\ Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On note $D = \{\ell 2^{-k} + 2^{-k}[0, 1] ; (k, \ell) \in \mathbb{Z}^2\}$. Pour tout intervalle $I$ de $D$, on note $\log(I)$ la longueur de $I$ et on pose $M_I(f) = \frac{1}{\log(I)} \int_I f$. On pose $||f|| = \sup \left\{ \frac{1}{\log(I)} \int_{\Gamma} |f M_I(f)| \; ; \; I \in D \right\}$. - 1. On suppose ||f|| finie. Soit $m \in \mathbb{N}^*$, $(I, J) \in D^2$ avec $I \subset J$ tels que $\log(J) = 2^m \log(I)$. Démontrer que $|M_I(f) M_I(f)| \le 2m||f||$ + 1. On suppose ||f|| finie. Soit $m \in \N^*$, $(I, J) \in D^2$ avec $I \subset J$ tels que $\log(J) = 2^m \log(I)$. Démontrer que $|M_I(f) M_I(f)| \le 2m||f||$ $2^m \log(I)$. Démontrer que $|M_I(f) M_J(f)| \le 2m ||f||$. 1. On suppose que ||f|| = 1 et $M_{[0,1]}(f) = 0$. On note $F_k = \{I \in D : I \subset [0,1], M_I(f) > 5k \text{ et } I \text{ maximal pour cette propriété}\}$. On pose $\Omega_k = \bigcup_{I \in F_k} I \text{ et et } \log(\Omega_k) = \sum_{I \in F_k} \log(F_I)$. @@ -857,18 +920,18 @@ On munit les espaces $\ell^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R})$ et $\ell^2_{\mathbb{Z}}(\ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 79] -On note $\ell^1$ l'ensemble des suites sommables de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. On munit $\ell^1$ de la norme +On note $\ell^1$ l'ensemble des suites sommables de $\mathbb{R}^{\N}$. On munit $\ell^1$ de la norme définie, pour $u = (u_n)_{n \geq 0}$, par $||u||_1 = \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|$. - Soient $(u^k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\ell^1$ et $u\in\ell^1$. Montrer l'équivalence entre : - + la suite $(u^{\overline{k}})_{k\in\mathbb{N}}$ converge vers $u$ pour la norme $\| \|_1$, - + pour toute suite $(\phi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ bornée, $\sum_{n=0}^{+\infty} \phi_n u_n^k \underset{k\to+\infty}{\longrightarrow} \sum_{n=0}^{+\infty} \phi_n u_n$. + Soient $(u^k)_{k\in\N}$ une suite d'éléments de $\ell^1$ et $u\in\ell^1$. Montrer l'équivalence entre : + + la suite $(u^{\overline{k}})_{k\in\N}$ converge vers $u$ pour la norme $\| \|_1$, + + pour toute suite $(\phi_n)_{n\in\N}$ bornée, $\sum_{n=0}^{+\infty} \phi_n u_n^k \underset{k\to+\infty}{\longrightarrow} \sum_{n=0}^{+\infty} \phi_n u_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 80] -On note $S=\{z\in\mathbb{C},\,|z|=1\}$ et $\Gamma=\{\gamma\in\mathcal{C}^0([0,1],S)\,\,;\,\,\gamma(0)=\gamma(1)=1\}$. +On note $S=\{z\in\C,\,|z|=1\}$ et $\Gamma=\{\gamma\in\mathcal{C}^0([0,1],S)\,\,;\,\,\gamma(0)=\gamma(1)=1\}$. 1. Soit $\gamma\in\Gamma$, montrer qu'il existe $\theta:[0,1]\to\mathbb{R}$ continue telle que $\forall t,\,\,\gamma(t)=e^{i2\pi\theta(t)}$. 1. On prend $\gamma_0, \gamma_1 \in \Gamma$. On note $F$ la propriété : « il existe $h \in \mathcal{C}([0,1]^2,S)$ tel que $\forall x \in [0,1], \ h(x,\cdot) \in \Gamma, \ h(0,\cdot) = \gamma_0$ et $h(1,\cdot) = \gamma_1$ ». On pose $\gamma_0 = 1$ et $\gamma_1 : t \mapsto e^{2i\pi t}$. Montrer que $\gamma_0$ et $\gamma_1$ ne vérifient pas $F$. - 1. On note $D$ le disque fermé unité de $\mathbb{C}$. Existe-t-il $f \in \mathcal{C}^0(D,S)$ telle que $f|_S = \mathrm{id}$ ? + 1. On note $D$ le disque fermé unité de $\C$. Existe-t-il $f \in \mathcal{C}^0(D,S)$ telle que $f|_S = \mathrm{id}$ ? #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS PLSR 2025 # 81] @@ -883,7 +946,7 @@ On note $S=\{z\in\mathbb{C},\,|z|=1\}$ et $\Gamma=\{\gamma\in\mathcal{C}^0([0,1] #+begin_exercice [ENS L 2025 # 82] Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b],[a,b])$. On suppose dans les questions a) et b) que $f$ n'a pas de point de période 2, c'est-à-dire que $\forall x \in [a,b], f(x) \neq x \Rightarrow (f \circ f)(x) \neq x$. - 1. Soit $c \in [a, b]$ tel que f(c) > $c$. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $f^k(c) > c$. + 1. Soit $c \in [a, b]$ tel que f(c) > $c$. Montrer que pour tout $k \in \N^*$, $f^k(c) > c$. 1. Soit $x_0 \in [a,b]$, on pose pour tout $n$, $x_{n+1} = f(x_n)$. Démontrer que la suite $(x_n)$ converge. 1. Démontrer que la suite $(x_n)$ converge pour tout choix de $x_0$ si et seulement si $f$ n'a pas de point de période 2. @@ -891,34 +954,34 @@ Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b],[a,b])$. On suppose dans les questions a) et b) #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 83] 1. Déterminer la nature des séries $\sum \frac{\sin n}{n}, \sum \frac{\sin^2 n}{n}, \sum \frac{|\sin n|}{n}$. - 1. Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et $Q \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu'il existe $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in [1, Q]$ tels que $|qx p| \leqslant \frac{1}{Q}$. - En déduire qu'il existe une infinité de couples (p,q) de $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*$ tels que $\left|x \frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{1}{q^2}$. + 1. Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et $Q \in \N^*$. Montrer qu'il existe $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in [1, Q]$ tels que $|qx p| \leqslant \frac{1}{Q}$. + En déduire qu'il existe une infinité de couples (p,q) de $\mathbb{Z} \times \N^*$ tels que $\left|x \frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{1}{q^2}$. 1. On admet que $\pi$ est irrationnel. Déterminer la nature de la série $\sum \frac{1}{n \sin(n)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 84] Soit $(a_n)$ une suite de réels décroissante de limite nulle. - Pour $P\subset \mathbb{N}$, on note $A(P)=\sum_{n\in P}a_n$. On suppose $A(\mathbb{N})=A_\infty\in \mathbb{R}$. Montrer que + Pour $P\subset \N$, on note $A(P)=\sum_{n\in P}a_n$. On suppose $A(\N)=A_\infty\in \mathbb{R}$. Montrer que -$$\{A(P),\ P\in\mathcal{P}(\mathbb{N})\}=[0,A_{\infty}] \text{ si et seulement si } \forall n\in\mathbb{N},\ a_n\leqslant \sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k.$$ +$$\{A(P),\ P\in\mathcal{P}(\N)\}=[0,A_{\infty}] \text{ si et seulement si } \forall n\in\N,\ a_n\leqslant \sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k.$$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 85] - 1. Pour quels réels *s* la somme $\sum_{n,m\in\mathbb{N}^*} \frac{|n-m|^s}{nm(n^2-m^2)^2}$ est-elle finie? + 1. Pour quels réels *s* la somme $\sum_{n,m\in\N^*} \frac{|n-m|^s}{nm(n^2-m^2)^2}$ est-elle finie? $\begin{array}{l} \textbf{\textit{b})} \ \ \text{Pour } n=(n_1,n_2)\in \mathbb{Z}^2 \text{, on note } |n|=\sqrt{n_1^2+n_2^2}. \\ \\ \text{Pour quels réels } s \ \text{la somme} \ \sum_{(n,m)\in (\mathbb{Z}^2\backslash \{0\})^2} \frac{|n-m|^s}{|n||m|(1+(|n|-|m|)^2)} \ \text{est-elle finie}? \\ \end{array}$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 86] -On note $S$ l'ensemble des suites croissantes à termes dans $\mathbb{N} \setminus \{0,1\}$. +On note $S$ l'ensemble des suites croissantes à termes dans $\N \setminus \{0,1\}$. 1. Pour $a \in S$, montrer que $\phi(a) = \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \prod_{k=0}^{n} \frac{1}{a_k} \right)$ appartient à ]0,1]. 1. Montrer que $\phi$ définit une bijection de $S$ sur ]0,1]. 1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a \in S$ pour que $\phi(a) \in \mathbb{Q}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 87] -Soit $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}^{+*}$ décroissante de limite nulle. Soit $\phi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ croissante. On suppose que, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}^{+*}$, il existe une unique suite $(n_i)_{i \in \mathbb{N}}$ telle que $\alpha = \sum_{i=0}^{+\infty} f(n_i)$ et, pour tout $i \in \mathbb{N}$, $n_{i+1} \geq \phi(n_i)$. - Montrer que $\phi(0)=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $f(n-1)=\sum_{i=0}^{+\infty}f\left(\phi^i(n)\right)$, où $\phi^i$ désigne l'itérée $i$-ème de $\phi$ pour la composition des applications. +Soit $f: \N \to \mathbb{R}^{+*}$ décroissante de limite nulle. Soit $\phi: \N \to \N$ croissante. On suppose que, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}^{+*}$, il existe une unique suite $(n_i)_{i \in \N}$ telle que $\alpha = \sum_{i=0}^{+\infty} f(n_i)$ et, pour tout $i \in \N$, $n_{i+1} \geq \phi(n_i)$. + Montrer que $\phi(0)=0$ et, pour tout $n\in\N^*$, $f(n-1)=\sum_{i=0}^{+\infty}f\left(\phi^i(n)\right)$, où $\phi^i$ désigne l'itérée $i$-ème de $\phi$ pour la composition des applications. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 88] @@ -983,7 +1046,7 @@ Une partie $E$ de [0, 1] est dite négligeable si, pour tout $\eps \gt 0$, il e #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS P 2025 # 98] -Soient $n \in \N^*$, $(P_k)_{k \in \db{1,n]\!]}$ et $(Q_k)_{k \in \db{1,n}}$ deux familles de polynômes réels, $f$ la fonction de $\mathbb{P}$ dens $\mathbb{P}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{P}$, $f(x) = \sum_{n=1}^n P_n(x) e^{Q_k(x)}$. Montrer que si +Soient $n \in \N^*$, $(P_k)_{k \in \db{1,n}}$ et $(Q_k)_{k \in \db{1,n}}$ deux familles de polynômes réels, $f$ la fonction de $\mathbb{P}$ dens $\mathbb{P}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{P}$, $f(x) = \sum_{n=1}^n P_n(x) e^{Q_k(x)}$. Montrer que si fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=\sum_{k=1}P_k(x)\,e^{Q_k(x)}$. Montrer que, si $f$ n'est pas identiquement nulle, alors $f$ ne possède qu'un nombre fini de zéros. @@ -1168,7 +1231,7 @@ Soit $f \in \mc C^2(\R, \C)$. On pose $\partial_P f = \sum_{k=0}^{\i} a_k f^{(k)}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $P$ pour que, quelle que soit $f \in \mc C^2(\R, \C)$, $\partial_P f \xrightarrow[+\i]{} 0$ implique $f \xrightarrow[+\i]{} 0$. 1. Soit $a, b, c \in \R$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que -$$\forall (x,y,z) \in \mc C^1(\R,\C)^3, \quad \left\{ \begin{array}{l} x' + ax + by + cz \xrightarrow{+\i} 0 \\ y' + bx + cy + az \xrightarrow{+\i} 0 \\ z' + cx + ay + bz \xrightarrow{+\i} 0 \end{array} . \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \xrightarrow{+\i} 0 \\ y \xrightarrow{+\i} 0 \\ z \xrightarrow{+\i} 0 \end{array}.$$ +$$\forall (x,y,z) \in \mc C^1(\R,\C)^3, \quad \left\{ \begin{array}{l} x' + ax + by + cz \xrightarrow{+\i} 0 \\ y' + bx + cy + az \xrightarrow{+\i} 0 \\ z' + cx + ay + bz \xrightarrow{+\i} 0 \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \xrightarrow{+\i} 0 \\ y \xrightarrow{+\i} 0 \\ z \xrightarrow{+\i} 0 \end{array}\right.$$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 125] @@ -1212,11 +1275,11 @@ Soit $f\colon \R^2 \ra \R$ telle que $f(x,y) = \frac{e^x e^y}{x y}$ si $x \neq y #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 131] -Soient $d\in\N^*$ et $f\colon\R^d\ra\R$ de classe $\mc C^2$. Soit $L\geq\ell\gt 0$ des réels. On suppose qu'en tout point de $\R^d$ la hessienne de f a son spectre inclus dans $[\ell,L]$. Soit $\tau\in ]0,2/L[$ ainsi qu'une suite u à termes dans $\R^d$ vérifiant la relation de récurrence $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=u_n-\tau\nabla f(u_n)$. Montrer que u converge. +Soient $d\in\N^*$ et $f\colon\R^d\ra\R$ de classe $\mc C^2$. Soit $L\geq\ell\gt 0$ des réels. On suppose qu'en tout point de $\R^d$ la hessienne de $f$ a son spectre inclus dans $[\ell,L]$. Soit $\tau\in ]0,2/L[$ ainsi qu'une suite $u$ à termes dans $\R^d$ vérifiant la relation de récurrence $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=u_n-\tau\nabla f(u_n)$. Montrer que $u$ converge. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 132] -Soient $d \in \N^*$ et $f : \R^d \ra \R$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $f$ tend vers $+\i$ en $\i$, que $\nabla f$ est lipschitzienne et que les points critiques de $f$ sont isolés dans $\R^d$. Montrer qu'il existe un réel $\tau \gt 0$ tel que, quel que soit le choix de $a \in \R^d$, la suite définie par $x_0 = a$et $\forall $n$ \in \N, \ x_{n+1} = x_n - \tau \nabla f(x_n)$ soit convergente. On commencera par le cas où d=1 et $f\colon x \mapsto \frac{x^2}{2}$. +Soient $d \in \N^*$ et $f : \R^d \ra \R$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $f$ tend vers $+\i$ en $\i$, que $\nabla f$ est lipschitzienne et que les points critiques de $f$ sont isolés dans $\R^d$. Montrer qu'il existe un réel $\tau \gt 0$ tel que, quel que soit le choix de $a \in \R^d$, la suite définie par $x_0 = a$ et $\forall n \in \N, \ x_{n+1} = x_n - \tau \nabla f(x_n)$ soit convergente. On commencera par le cas où $d=1$ et $f\colon x \mapsto \frac{x^2}{2}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 133] @@ -1274,7 +1337,7 @@ brique du polygone $z_1\cdots z_n$ comme $\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(\op{Re}(z_ # ID:8451 #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 140] -Soient $p \in [0,1]$ et $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi Bernoulli de paramètre $p$. On pose $S_0=1$ et, pour $n\geq 0$, $S_{n+1}=\left\{\begin{array}{cc} 3S_n+1 & \text{ si } X_n=1\\ \frac{S_n}{2} & \text{ si } X_n=0 \end{array}\right$. +Soient $p \in [0,1]$ et $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi Bernoulli de paramètre $p$. On pose $S_0=1$ et, pour $n\geq 0$, $S_{n+1}=\begin{array}{cc} 3S_n+1 & \text{ si } X_n=1\\ \frac{S_n}{2} & \text{ si } X_n=0 \end{array}$ 1. Étudier les cas $p=0$ et $p=1$. On supposera que $0\lt p \lt 1$ dans toute la suite de l'exercice. 1. Donner une formule de récurrence vérifiée par la suite $(\mathbf{E}(S_n))_{n\geq 0}$, et étudier son comportement quand $n\ra +\i$. 1. Montrer que $\mathbf{P}((S_n)_{n\geq 0} \text{ est bornée}) = 0$. @@ -1286,13 +1349,13 @@ Soient $p \in [0,1]$ et $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite i.i.d. de variables aléato # ID:nil #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 141] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. telles que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. telles que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$. On pose $T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ pour tout $n \ge 1$. Montrer que la suite $(T_n)_{n \ge 0}$ converge presque sûrement vers $\mathbf{E}(X_1)$. #+end_exercice # ID:8452 #+begin_exercice [ENS L 2025 # 142] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ (resp. $(Y_n)_{n\geq 1}$) une suite de variables aléatoires i.i.d à valeurs dans $\N$. On note $T=\inf\{n\geq 2\ ;\ X_n\notin\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}\}$ et $S=\inf\{n\geq 2\ ;\ Y_n\notin\{Y_1,\ldots,Y_{n-1}\}\}$. On suppose que $T\sim S$. Que peut-on dire du lien entre les suites $(X_n)$ et $(Y_n)$ ? +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ (resp. $(Y_n)_{n\geq 1}$) une suite de variables aléatoires $i$.i.d à valeurs dans $\N$. On note $T=\inf\{n\geq 2\ ;\ X_n\notin\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}\}$ et $S=\inf\{n\geq 2\ ;\ Y_n\notin\{Y_1,\ldots,Y_{n-1}\}\}$. On suppose que $T\sim S$. Que peut-on dire du lien entre les suites $(X_n)$ et $(Y_n)$ ? #+end_exercice #+BEGIN_proof La variable $T$ est à valeurs dans $\{n\geq 2\}$. On a $\P(T = 2) = \P(X_1\neq X_2)$. @@ -1307,14 +1370,15 @@ Conclusion : les lois sont permutations l'une de l'autre. #+END_proof +# ID:8468 #+begin_exercice [ENS P 2025 # 143] Soit $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers et $\beta \gt 1$. Soit $(Y_p)_{p \in \mc{P}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\N$ vérifiant $\mathbf{P}(Y_p = k) = (1 - p^{-\beta})p^{-k\beta}$ pour $k \in \N$ et $p \in \mc{P}$. On pose $Z = \sum_{n \in \mc{P}} Y_p \ln p$ et $X = \exp Z$. 1. Donner la loi de $X$. - 1. En déduire que $\sum_{i=1}^{+\i} \frac{\mu(n)}{n^{\beta}} = \frac{1}{\zeta(\beta)}$ où $\mu$ est la fonction de Möbius. + 1. En déduire que $\sum_{i=1}^{+\i} \frac{\mu(n)}{n^{\beta}} = \frac{1}{\zeta(\beta)}$ où $\mu$ est la fonction de Möbius, définie par $\mu(n) = 0$ si $n$ est divisible par un carré $\gt 1$, et $\mu(n) = (-1)^m$, où $m$ est le nombre de ses facteurs premiers, sinon. #+end_exercice #+BEGIN_proof - 1. $X = \prod p^{Y_p}$. Pour $n\in\N^*$, $\P(X = n) = \prod_{p^{\a}\mid n} (1-p^{-\b}) p^{-\a\b} = \prod_{p} (1-p^{-\b}) \frac{1}{n^{\b}}$. - 2. + 1. $X = \prod p^{Y_p}$. Pour $n\in\N^*$, $\P(X = n) = \prod_{p^{\a}\mid n} (1-p^{-\b}) p^{-\a\b} = \prod_{p} (1-p^{-\b}) \frac{1}{n^{\b}}$. C'est une loi Zeta. + 2. On obtient alors que $\frac{1}{\zeta(\b)} = \prod_{p} (1-p^{-\b})$, mais en développant ceci, on trouve la fonction $\mu$. #+END_proof @@ -1330,44 +1394,67 @@ Soient $\theta \in ]0,1[$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\R^+$ Soit $n \in \N$ avec $n \ge 2$. Soit $E_n = \{e_1, \dots, e_n\}$ un ensemble de cardinal $n$. Soient $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $S_n$. Si $i, j \in [1, n]$, on pose $e_i e_j = e_{\sigma_i(j)}$. Montrer que la probabilité que $(E, )$ soit un groupe, sachant que admet un neutre, tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini. #+end_exercice +# ID:8486 #+BEGIN_exercice [ENS L 2025 # 147] Soient $d \in \N^*$ et $(e_1, \ldots, e_d)$ la base canonique de $\Z^d$. Soit $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbf{P}(X_n = e_i) = \mathbf{P}(X_n = -e_i) = \frac{1}{2d}$ pour $1 \leq i \leq d$. On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_k$ et $S_0 = 0$. Soit $T = \inf\{n \gt 0, S_n = 0\}$ et $p_d = \mathbf{P}(T \lt +\i)$. On admet que $p_d \lt 1$ pour $d \geq 3$. Montrer que $p_d \ra 0$ lorsque $d \ra +\i$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +Revient à savoir montrer que $\P(S_n = \vec 0)\tend{d\ra +\i} 0$. + +Si on admet cela, alors quand on passe de $d$ à $2d$, la probabilité +de retour du couple est la probabilité que l'un des deux retournent +avant que l'autre ne commence (qui peut être choisie arbitrairement +petite), plus la probabilité que les deux retournent qui est $\leq +p^2$ (demande un peu de travail, hein, les deux projections sont des +marches aléatoires indépendantes). Suffit de choisir de sorte que +$\eps + p^2 \lt p$. + +Pour montrer le résultat admis : le nombre de chemins à $n$ étapes est +$(2d)^n$. On montre qu'il y en a moins que $\frac{1}{d}$ qui +reviennent en $0$ : à la première étape, choisir n'importe quelle +autre premier pas ne le fait plus revenir en $0$. +#+END_proof #+begin_exercice [ENS P 2025 # 148] -Soient $p \in ]0, 1/2[$ et $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires telle que $\mathbf{P}(X_n=1)=1-\mathbf{P}(X_n=-1)=p. \text{ Pour } n\in\N^*, \text{ on note } S_n=X_1+\cdots+X_n. \text{ Montrer } 1\text{'existence de } c,C_1,C_2\gt 0 \text{ tels que } \forall u\geq 0,\ C_1e^{-cu}\leq \mathbf{P}\left(\sup_{n\geq 1}S_n\geq u\right)\leq C_2e^{-cu}$. +Soient $p \in ]0, 1/2[$ et $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires telle que $\mathbf{P}(X_n=1)=1-\mathbf{P}(X_n=-1)=p. \text{ Pour } n\in\N^*, \text{ on note } S_n=X_1+\cdots+X_n. \text{ Montrer } 1\text{'existence de } c,C_1,C_2\gt 0 \text{ tels que } \forall u\geq 0,\ C_1e^{-cu}\leq \mathbf{P}\left(\sup_{n\geq 1}S_n\geq u\right)\leq C_2e^{-cu}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 149] 1. Soit $X$ une variable aléatoire réelle et $s$ \gt 0 tel que $\mathbf{E}(e^{sX})$ soit finie. Démontrer que $\forall a \gt 0$, $\mathbf{P}(X \ge a) \le e^{-sa} \mathbf{E}(e^{sX})$. - 1. Soit $(X_i)_{i \ge 1}$ une suite de variable aléatoires i.i.d. à valeurs dans [0, 1]. + 1. Soit $(X_i)_{i \ge 1}$ une suite de variable aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans [0, 1]. On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$. Démontrer que $\forall t \gt 0$, $\mathbf{P}(|S_n - \mathbf{E}(S_n)| \ge t) \le 2e^{-t^2/(2n)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 150] Soit $(E, \mc{P}(E))$ un espace probabilisable avec $E$ dénombrable. - 1. Rappeler la définition d'une probabilité sur cet espace. - 1. Pour $A$ et $B$ probabilités sur cet espace, on pose $d(A,B) = \max_{S \subset E} A(S) B(S)$. - - $\text{Montrer que } d(A,B) = \frac{1}{2} \sum_x |A(\{x\}) - B(\{x\})|$. - - $c$. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans $E$ de lois respectives $A$ et $B$. Montrer que $P(X \neq Y) \ge d(A, B)$. - - $d$. Les deux lois $A$ et $B$ étant fixées, montrer qu'on peut construire $X$ et $Y$ de façon à assurer l'égalité dans l'inégalité précédente. + 2. Pour $A$ et $B$ probabilités sur cet espace, on pose $d(A,B) = \max\limits_{S \subset E} A(S) B(S)$. Montrer que $d(A,B) = \frac{1}{2} \sum_x |A(\{x\}) - B(\{x\})|$. + 3. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes à valeurs + dans $E$ de lois respectives $A$ et $B$. Montrer que $P(X \neq Y) + \ge d(A, B)$. + 4. Les deux lois $A$ et $B$ étant fixées, montrer qu'on peut + construire $X$ et $Y$ de façon à assurer l'égalité dans + l'inégalité précédente. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. Vient du fait que $\sum\limits_{x \mid A(x)\gt B(x)} A(x) - B(x) = + \sum\limits_{x \mid A(x)\lt B(x)} B(x) - A(x)$. On prend pour $S$ + l'ensemble des points où $A(x)\gt B(x)$. + 3. !! +#+END_proof + #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 151] -Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, \mc{A}, \mathbf{P})$ et à valeurs dans [0, n]. On pose $p_k = \mathbf{P}(X = k)$ et $q_k = \mathbf{P}(Y = k)$ pour tout $k \in \db{0, n \rrbracket, \op{et} d(p,q) = \max_{S \subset \llbracket 0, n }} \overline{\mathbf{P}}(X \in S) - \mathbf{P}(Y \in S)$. +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, \mc{A}, \mathbf{P})$ et à valeurs dans [0, n]. On pose $p_k = \mathbf{P}(X = k)$ et $q_k = \mathbf{P}(Y = k)$ pour tout $k \in \db{0, n}, \op{et} d(p,q) = \max_{S \subset \db{0, n }} \overline{\mathbf{P}}(X \in S) - \mathbf{P}(Y \in S)$. 1. Montrer que $d(p,q) \ge 0$. Que dire si d(p,q) = 0? 1. Soit $\phi : \R \ra \R$ une fonction convexe. Comparer $\mathbf{E}(\phi(X))$ et $\phi(\mathbf{E}(X))$. - 1. On suppose de plus qu'il existe au moins deux éléments $k$ de [0,n] tels que $p_k\gt 0$. On suppose de plus que $\phi$ strictement convexe, c'est-à-dire telle que $\forall (x,y) \in \R^2, \ \forall t \in$ -$]0,1[\,\ x\neq y\Rightarrow \phi((1-t)x+ty)\leq (1-t)\phi(x)+t\phi(y).\ \text{Montrer que }\mathbf{E}(\phi(X))\gt \phi(\mathbf{E}(X))$. + 1. On suppose de plus qu'il existe au moins deux éléments $k$ de [0,n] tels que $p_k\gt 0$. On suppose de plus que $\phi$ strictement convexe, c'est-à-dire telle que $\forall (x,y) \in \R^2, \ \forall t \in \,]0,1[\,\ x\neq y\Rightarrow \phi((1-t)x+ty)\leq (1-t)\phi(x)+t\phi(y).\ \text{Montrer que }\mathbf{E}(\phi(X))\gt \phi(\mathbf{E}(X))$. 1. On suppose que : $\forall k \in \db{0, n }, \, p_k \gt 0$ et $q_k \gt 0$. On pose $H(p,q) = \sum_{k=0}^n p_k \ln \left( \frac{p_k}{q_k} \right)$. Montrer que $H(p,q) \ge 0$. Que dire si H(p,q) = 0? @@ -1380,16 +1467,16 @@ $(i, j) \in \N^* \times \N$, on pose $p_{i,j} = r_i$ si $j = i + 1, famille de variables aléatoires $(X_k^i)_{(i,k)\in\N^*\times\N}$ telles que - + $X_0^{i_0} = i_0$ $p$.s. pour tout $i_0 \in \N^*$, + + $X_0^{i_0} = i_0$ p.s. pour tout $i_0 \in \N^*$, + $\mathbf{P}\left(\bigcap_{i=1}^n (X_k^{i_k} = i_{k-1})\right) = \prod_{i=1}^n p_{i_{k-1}, i_k} \text{ pour tout } (i_0, \dots, i_k) \in \N^{*k+1}$. -On pose, pour $i,j\in\N^*,$ $\tau^i_j=\inf\{k\in\llbracket 0,+\i\llbracket,\ X^i_k=j\}\in\N\cup\{+\i\}$. +On pose, pour $i,j\in\N^*$, $\tau^i_j=\inf\{k\in\db{ 0,+\i},\ X^i_k=j\}\in\N\cup\{+\i\}$. Soit $b \in \N$. Calculer, pour $i \in [0, b]$, $\hat{p_i} = \mathbf{P}(\tau_0^i \lt \tau_b^i)$ en fonction des $\gamma_k = \prod_{i=1}^k \frac{1 - r_i}{r_i}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 153] -Soient $(X_k)_{k \in \N^*}$ une suite de variables de Rademacher indépendantes et $X_0 =$ $k \in \Z$ (constante). On pose, pour tout $n \in \N$, $S_n = X_0 + \cdots + X_n$. +Soient $(X_k)_{k \in \N^*}$ une suite de variables de Rademacher indépendantes et $X_0 =k \in \Z$ (constante). On pose, pour tout $n \in \N$, $S_n = X_0 + \cdots + X_n$. 1. Déterminer l'espérance et la variance de $S_n$. 1. Soient $m \in \N^*$ et $k_1, \ldots, k_m \in \Z$. Que dire de la loi de $(S_n)_{n \geq m}$ conditionnée par $(S_1 = k_1, \ldots, S_m = k_m)$ ? 1. Soient $k, N \in \N^*$ avec $N \ge k$. On considère que la marche aléatoire s'arrête dès que $S_n = 0$ ou $S_n = N$. On admet que l'arrêt est presque sûr. Déterminer la probabilité $p_k$ que la marche s'arrête sur 0 en partant de $k$. @@ -1409,7 +1496,7 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires indépendantes à vale #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 156] -Soit $(p_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de [0,1]. Pour $n\in\N^*$, on note $G_n$ le graphe aléatoire $G_{n,p_n}$ d'Erdös-Renyi, c'est-à-dire un graphe aléatoire de sommets [1,n] et une famille $(X_{\{i,j\}})_{\{i,j\}\in\mc{P}_2([1,n])}$ de variables de Bernoulli i.i.d. de paramètre $p_n$, avec $X_{\{i,j\}}=$ 1 si et seulement s'il existe une arête reliant $i$ et $j$. On note $I_n$ le nombre de sommets isolés $de G_n$. +Soit $(p_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de [0,1]. Pour $n\in\N^*$, on note $G_n$ le graphe aléatoire $G_{n,p_n}$ d'Erdös-Renyi, c'est-à-dire un graphe aléatoire de sommets [1,n] et une famille $(X_{\{i,j\}})_{\{i,j\}\in\mc{P}_2([1,n])}$ de variables de Bernoulli $i$.i.d. de paramètre $p_n$, avec $X_{\{i,j\}}=$ 1 si et seulement s'il existe une arête reliant $i$ et $j$. On note $I_n$ le nombre de sommets isolés $de G_n$. 1. Soit $\eps \in ]0,1[$. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$, $p_n \geq (1+\eps)\frac{\ln(n)}{n}$. Montrer que $\mathbf{P}(I_n \geq 1) \xrightarrow[n \ra +\i]{} 0$. 1. Soit $\eps \in ]0,1[$. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$, $p_n \leq (1-\eps)\frac{\ln(n)}{n}$. Montrer que $\mathbf{P}(I_n \geq 1) \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 1$. #+end_exercice @@ -1422,26 +1509,26 @@ qu'une $p$-liste $(z_1,\ldots,z_p)$ d'éléments de $\mathbb{U}_n$ telle que $\l #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 158] -Soit $p \in [0,1/2]$. On fixe une suite $(X_n)_{n \ge 1}$ de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\{-1,0,1\}$ et telles que $P(X_1 = 1) = P(X_1 = -1) = p$ et $P(X_1 = 0) = p$ +Soit $p \in [0,1/2]$. On fixe une suite $(X_n)_{n \ge 1}$ de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans $\{-1,0,1\}$ et telles que $P(X_1 = 1) = P(X_1 = -1) = p$ et $P(X_1 = 0) = p$ valeurs dans $$\{-1,0,1\}$$ et telles que $\mathbf{P}(X_1=1)=\mathbf{P}(X_1=-1)=p$ et $\mathbf{P}(X_1=1)=1-2p$. Pour $b\in\Z, a\in\Z^{\N^*}$ et $n\in\N^*$, on pose $P(b,a,n)=\mathbf{P}\left(\sum_{k=1}^n a_k X_k=b\right)$. - 1. On suppose a = (2\lt sup\gt $k$-1\lt /sup\gt )\lt sub\gt k∈N\lt /sub\gt . Calculer P(0, a, n) pour tout $n$ ∈ $N$. - b) On suppose $p$ = 1/4 et a = (1)\lt sub\gt k∈N\lt /sub\gt . Calculer P(0, a, n) pour tout $n$ ∈ $N$. - c) Déterminer les valeurs de $p$ pour lesquelles $b$ → P(b, a, n) est maximale en 0 pour tout $a \in \Z^{\N^*}$. + 1. On suppose $a= 2^{k-1}$. Calculer P(0, a, n) pour tout $n\in \N$. + 2. On suppose $p$ = 1/4 et $a = (1)_{k\in\N}$. Calculer P(0, a, n) pour tout $n\in N$. + 3. Déterminer les valeurs de $p$ pour lesquelles $b\mapsto P(b, a, n)$ est maximale en 0 pour tout $a \in \Z^{\N^*}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 159] Soit $n \ge 3$. Une alpiniste dispose de $n$ lieux possibles pour planter sa tente, lieux numérotés de 1 à $n$. Elle peut visiter chacun de ces lieux successivement, à partir du numéro 1, et doit décider si elle y plante sa tente. Lorsqu'elle visite le lieu $k$, elle peut savoir si elle préfère ce lieu à tous les lieux précédemment visités, mais ne sait pas si elle le préfère aux lieux non encore visités. Une fois un lieu visité, si l'alpiniste a refusé d'y installer sa tente elle ne pourra plus revenir sur ce lieu. L'alpiniste a pour objectif de maximiser la probabilité d'avoir choisi celui des $n$ lieux qui a sa préférence parmi les $n$ lieux. 1. Déterminer une stratégie optimale pour l'alpiniste lorsque n=3. - 1. On fixe un $k \in [0, n-1]$. L'alpiniste suit la stratégie décrite ci-après : elle visite automatiquement les k+1 premiers lieux; étant donné $\ell \in [k+1, n-1]$, si l'alpiniste visite le ℓ-ième lieu alors elle l'écarte si et seulement s'il n'a pas sa préférence parmi tous les lieux déjà visités. Déterminer la probabilité $p_{n,k}$ pour que l'alpiniste s'installe sur le lieu ayant sa préférence parmi les $n$ lieux. - 1. On fixe un $k_n$ maximisant $p_{n,k}$ lorsque $k$ parcourt [0, $n$-1]. Étudier le comportement asymptotique de $k_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. + 1. On fixe un $k \in [0, n-1]$. L'alpiniste suit la stratégie décrite ci-après : elle visite automatiquement les k+1 premiers lieux; étant donné $\ell \in [k+1, n-1]$, si l'alpiniste visite le $\l$-ième lieu alors elle l'écarte si et seulement s'il n'a pas sa préférence parmi tous les lieux déjà visités. Déterminer la probabilité $p_{n,k}$ pour que l'alpiniste s'installe sur le lieu ayant sa préférence parmi les $n$ lieux. + 1. On fixe un $k_n$ maximisant $p_{n,k}$ lorsque $k$ parcourt $[0, n-1]$. Étudier le comportement asymptotique de $k_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 160] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles discrètes. Pour $t\in\R$ et $n \in \N^*$, on considère la variable aléatoire $f_n(t) = \frac{1}{n} \left| \{k \in [1, n], X_k \leq t\} \right|$. Montrer qu'il existe une fonction $f\colon \R \ra \R$ telle que $\mathbf{P}\left(\sup_{t \in \R} |f_n(t) - f(t)| \gt \eps\right) \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 0$ pour tout réel $\eps \gt 0$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires réelles discrètes. Pour $t\in\R$ et $n \in \N^*$, on considère la variable aléatoire $f_n(t) = \frac{1}{n} \left| \{k \in [1, n], X_k \leq t\} \right|$. Montrer qu'il existe une fonction $f\colon \R \ra \R$ telle que $\mathbf{P}\left(\sup_{t \in \R} |f_n(t) - f(t)| \gt \eps\right) \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 0$ pour tout réel $\eps \gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 161] @@ -1516,7 +1603,7 @@ Soit $f\colon\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \M_2(\R) \mapsto \ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 168] -On dit que $P=(p_{i,j})\in\M_n(\R)$ est une matrice de permutation s'il existe une permutation $\sigma$ de l'ensemble $\db{1,n]\!]$ telle que $\forall (i,j)\in [\![1,n}^2,\; p_{i,j}=\delta_{i,\sigma(j)}$. +On dit que $P=(p_{i,j})\in\M_n(\R)$ est une matrice de permutation s'il existe une permutation $\sigma$ de l'ensemble $\db{1,n}$ telle que $\forall (i,j)\in \db{1,n}^2,\; p_{i,j}=\delta_{i,\sigma(j)}$. On dit que $H \in \M_n(\R)$ est une $H$-matrice si tous ses coefficients valent $\pm 1$ et si ses colonnes forment une famille orthogonale pour le produit scalaire canonique. 1. Soit $P$ une matrice de permutation. Montrer que $P$ est orthogonale et que $P^T$ est une matrice de permutation. 1. Soit $M \in \M_n(\{-1,1\})$.Montrer que $M$ est une $H$-matrice si et seulement si $M^TM = nI_n$. @@ -1528,8 +1615,6 @@ On dit que $H \in \M_n(\R)$ est une $H$-matrice si tous ses coefficients valent 1. Montrer que $\forall i, j \in \db{2, n }$ avec $i \neq j$, on a $\sum_{k=1}^n (s_{i,k}+1)(s_{j,k}+1) = n$. 1. En déduire que $n$ est un multiple de 4. On écrit n=4k avec $k \in \N^*$. ${\it g}$) Montrer qu'il existe une $H$-matrice de taille $n$ dont les trois premières lignes sont présentées en quatre blocs de taille $k$ de la forme suivante : - -$$\left(\begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|cc$$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 169] @@ -1551,24 +1636,24 @@ Soit $A \in \M_n(\R)$. Soit $u : M \in \M_n(\R) \mapsto AMA^T$. 1. On suppose $A$ diagonalisable. a. Montrer que *u* est diagonalisable. - b. Montrer que $tr(u) = [tr(A)]^2$. - c. Montrer que $\mc{S}_n(\R)$ est stable par $u$. On note $u_S$ l'endomorphisme induit par $u$ sur + $b$. Montrer que $tr(u) = [tr(A)]^2$. + $c$. Montrer que $\mc{S}_n(\R)$ est stable par $u$. On note $u_S$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $$\mc{S}_n(\R)$$ . Montrer que $\op{tr}(u_S) = \frac{1}{2}(\op{tr}(A^2) + [\op{tr}(A)]^2)$. 1. On suppose désormais que $\tilde{A}^m = I_n$ pour un entier $m \geq 1$. a. Montrer que $A$ est diagonalisable sur $\C$. - b. Montrer qu'il existe des entiers $r$,s tels que $r+2s\leq n$ et des entiers $k_1\leq \cdots\leq k_s$ tels que $\op{tr}(A)=r+2\sum_{s=1}^s\cos\left(\frac{2k_i\pi}{m}\right)$. - c. Montrer que $\{A^k, k \in \N\}$ est fini. - d. On pose $N = \op{Card}(\{A^k, k \in \N\})$. Montrer que $\op{tr}(u) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \op{tr}(A^k)$. + $b$. Montrer qu'il existe des entiers $r$,s tels que $r+2s\leq n$ et des entiers $k_1\leq \cdots\leq k_s$ tels que $\op{tr}(A)=r+2\sum_{s=1}^s\cos\left(\frac{2k_i\pi}{m}\right)$. + $c$. Montrer que $\{A^k, k \in \N\}$ est fini. + $d$. On pose $N = \op{Card}(\{A^k, k \in \N\})$. Montrer que $\op{tr}(u) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \op{tr}(A^k)$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [# 171] 1. Soit $f\colon \R \ra \R$ une fonction $k$-lipschitzienne, avec $k \ge 0$. a. Montrer que $f$ est continue. - b. On suppose $k$ \lt 1. Montrer que $f$ admet un unique point fixe. - c. Donner un exemple de fonction 1-lipschitzienne de $\R$ dans $\R$ qui n'a pas de point fixe. + $b$. On suppose $k$ \lt 1. Montrer que $f$ admet un unique point fixe. + $c$. Donner un exemple de fonction 1-lipschitzienne de $\R$ dans $\R$ qui n'a pas de point fixe. 1. On considère $E = \R^d$ muni d'une norme $N$. Soit $f\colon \R^d \ra \R^d$ une fonction 1lipschitzienne. Soit $\Omega$ l'ensemble des vecteurs $x$ de $E$ tels que la suite $(f^n(x))_{n\in\N}$ est bornée. Montrer que $\Omega = \emptyset$ ou $\Omega = E$. 1. On suppose $E = \C$ et f(z) = az + $b$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit 1-lipschitzienne. En supposant cette condition réalisée, donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\Omega = E$. #+END_exercice @@ -1739,11 +1824,11 @@ On suppose $n$ pair et on note $A$ l'événement « les $\frac{n}{2}$ premiers t - Montrer que $\| \|_2$ et $\| \|_4$ sont des normes sur $E$. - Montrer que $\| \cdot \|_4 \geq \| \cdot \|_2$. - - Soit $(f_n)_{n\in\N^*}$ la suite de fonctions définies par $\forall x\in[0,1/2n],\ f_n(x)=0,$ + - Soit $(f_n)_{n\in\N^*}$ la suite de fonctions définies par $\forall x\in[0,1/2n],\ f_n(x)=0$, $\forall x \in [1/n, 1], f_n(x) = x^{-1/4} \text{ et } f_n \text{ est affine sur } [1/2n, 1/n]$. Comparer $||f_n||_2$ et $||f_n||_4$. Qu'en déduit-on? - 1. Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. + 1. Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $$a=(a_n)_{n\geq 1}\in\R^{\N^*},\, n\geq 1$$ @@ -1794,7 +1879,7 @@ Ind. Découper la somme entre $[1, \sqrt{n}], [\sqrt{n}, n - \sqrt{n}]$ et $[n - #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 189] -Soient $m, n \in \N^*$. Soit $A_{m,n} = \{a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_n\}$ où les $a_i, b_j$ sont des éléments distincts. Soit $H_{m,n}$ l'ensemble des bijections $f$ de $A_{m,n}$ sur $\db{1,m+n]\!]$ telles que, pour tout $(i,j) \in [\![1,m]\!]$, $i$ \lt $j$ implique $f(a_i) \lt f(a_j)$ et, pour tout $(i,j) \in [\![1,n}^2$, $i$ \lt $j$ implique $f(b_i) \lt f(b_j)$. +Soient $m, n \in \N^*$. Soit $A_{m,n} = \{a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_n\}$ où les $a_i, b_j$ sont des éléments distincts. Soit $H_{m,n}$ l'ensemble des bijections $f$ de $A_{m,n}$ sur $\db{1,m+n}$ telles que, pour tout $(i,j) \in \db{1,m}$, $i$ \lt $j$ implique $f(a_i) \lt f(a_j)$ et, pour tout $(i,j) \in \db{1,n}^2$, $i$ \lt $j$ implique $f(b_i) \lt f(b_j)$. 1. Calculer le cardinal de $H_{m,n}$. Soit $f_{m,n}$ suivant la loi uniforme sur $H_{m,n}$. @@ -1828,7 +1913,7 @@ Soit $I$ un intervalle de $\R$. #+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 191] Soient $n \ge 2$ et $p \in \{1, \dots, n\}$. Soit $A \in \M_{n,p}(\R)$ telle que $A^T A$ est inversible. On pose $P = A(A^T A)^{-1}A^T$. -On considère des variables aléatoires i.i.d. $(z_k)_{1 \leq k \leq n}$ d'espérance nulle et ayant un moment d'ordre 4. On pose $\sigma = \sqrt{\mathbf{V}(z_1)}$ et $Z = (z_1 \dots z_n)^T$. +On considère des variables aléatoires $i$.i.d. $(z_k)_{1 \leq k \leq n}$ d'espérance nulle et ayant un moment d'ordre 4. On pose $\sigma = \sqrt{\mathbf{V}(z_1)}$ et $Z = (z_1 \dots z_n)^T$. On considère une matrice colonne $X_0 \in \M_{p,1}(\R)$. On pose $Y = AX_0 + Z$ et $X = (A^TA)^{-1}A^TY$. On pose enfin $T = ||A(X - X_0)||^2$, où || || est la norme euclidienne usuelle sur $\M_{p,1}(\R)$. @@ -1844,9 +1929,9 @@ Exprimer $\mathbf{E}(T_1)$, $\mathbf{E}(T_2)$ et $\mathbf{E}(T_1T_2)$ en fonctio #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 192] -Soit $Y$ une variable aléatoire. On dit que $Y$ est $k$-divisible $(k \in \N^*)$ s'il existe un vecteur aléatoire $(X_1, \ldots, X_k)$ où les $X_i$ sont i.i.d. tel que $Y \sim (X_1 + \cdots + X_n)$. On dit que $Y$ est infiniment divisible si elle est $k$-divisible pour tout $k \in \N^*$. +Soit $Y$ une variable aléatoire. On dit que $Y$ est $k$-divisible $(k \in \N^*)$ s'il existe un vecteur aléatoire $(X_1, \ldots, X_k)$ où les $X_i$ sont $i$.i.d. tel que $Y \sim (X_1 + \cdots + X_n)$. On dit que $Y$ est infiniment divisible si elle est $k$-divisible pour tout $k \in \N^*$. 1. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendante suivant les lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda$ et $\nu$. Donner la loi de X+Y. En déduire que si $Y\sim \mc{P}(\lambda)$ alors $Y$ est infiniment divisible. - 1. Soit $Y$ une variable aléatoire. On suppose qu'il existe A\gt 0 tel que $\mathbf{P}(Y\in[-A,A])=1$ et que $Y$ est $k$-divisible pour un certain $k\in\N^*$. On a donc $Y\sim(X_1+\cdots+X_k)$ où les $X_i$ sont i.i.d. + 1. Soit $Y$ une variable aléatoire. On suppose qu'il existe A\gt 0 tel que $\mathbf{P}(Y\in[-A,A])=1$ et que $Y$ est $k$-divisible pour un certain $k\in\N^*$. On a donc $Y\sim(X_1+\cdots+X_k)$ où les $X_i$ sont $i$.i.d. - Montrer que, pour tout $i$, $P(X_i \in [-A/k, A/k]) = 1$. - Montrer que, pour tout $i \in [1, k]$, $\mathbf{V}(X_i) \leq \left(\frac{A}{k}\right)^2$. En déduire une majoration de $\mathbf{V}(Y)$. - Que peut-on dire si la variable aléatoire $Y$ vérifie $\mathbf{P}(Y \in [-A, A]) = 1$ et qu'elle est infiniment divisible? @@ -1868,7 +1953,7 @@ $$N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\0&1&X_5&X_2\\0&X_5&-1&X_3\\X_1&X_2&X_3&X_4\end{pma #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 194] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $$n \in \N^*$$ @@ -2109,7 +2194,7 @@ $$\text{Trouver } C\gt 0 \text{ et } \alpha\gt 0 \text{ tels que } \forall \lamb #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 230] -Soit E un sous-espace vectoriel de dimension 4 de $\mc C^0(\R,\R)$. On note $L^\i(\R,\R)$ l'espace des fonctions bornées et $L^2(\R, \R)$ l'espace des fonctions de carré intégrable. +Soit $E$ un sous-espace vectoriel de dimension 4 de $\mc C^0(\R,\R)$. On note $L^\i(\R,\R)$ l'espace des fonctions bornées et $L^2(\R, \R)$ l'espace des fonctions de carré intégrable. l'espace des fonctions bornées et $$L^2(\R, \R)$$ @@ -2260,7 +2345,7 @@ Soient $n$ et $d$ dans $\N^*$. On note $[-n,n]^d$ l'ensemble des vecteurs de $\R #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2025 # 254] -Soient $d \in \N^*$ et $(X_1, \ldots, X_n)$ une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans [1,d]. On note $p_k = \mathbf{P}(X_1 = k)$. Soit $N_k$ la variable aléatoire égale au nombre de fois que la valeur $k$ est obtenue. Donner la matrice $(Cov(N_i, N_j))_{1 \le i,j \le n}$ et préciser son rang. +Soient $d \in \N^*$ et $(X_1, \ldots, X_n)$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans [1,d]. On note $p_k = \mathbf{P}(X_1 = k)$. Soit $N_k$ la variable aléatoire égale au nombre de fois que la valeur $k$ est obtenue. Donner la matrice $(Cov(N_i, N_j))_{1 \le i,j \le n}$ et préciser son rang. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2025 # 255] @@ -2268,13 +2353,13 @@ Soient $d \in \N^*$ et $(X_1, \ldots, X_n)$ une suite de variables aléatoires i Montrer que, pour tout $\gamma \in \R$, $\mathbf{E}\left(e^{\gamma X}\right) \leq e^{\gamma^2/2}$. -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soient $(c_n)_{n\geq 1}\in\R^{\N^*}$. Pour $N\in\N^*$, on pose $Y_N=c_1X_1+\cdots+c_NX_N$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soient $(c_n)_{n\geq 1}\in\R^{\N^*}$. Pour $N\in\N^*$, on pose $Y_N=c_1X_1+\cdots+c_NX_N$. 1. Montrer que, pour tout $t$ \gt 0, $\mathbf{E}(e^{tY_N}) \leq e^{t^2(c_1^2 + \dots + c_N^2)/2}$. $\begin{array}{l} \textbf{\textit{c})} \ \ \text{Soit} \ \lambda \gt 0. \ \text{Montrer que} \ \mathbf{P}(|Y_N| \gt \lambda) \leq 2e^{-\frac{\lambda^2}{2(c_1^2+\cdots+c_N^2)}}. \\ \textbf{\textit{d})} \ \ \text{Montrer que} \ N^{10} \ \mathbf{P}(|X_1+\cdots+X_N| \gt N^{3/4}) \underset{N \ra +\i}{\longrightarrow} 0. \end{array}$ #+end_exercice -* X MP :xens: +* $X$ MP :xens: ** Algèbre #+begin_exercice [X MP 2025 # 256] @@ -2356,29 +2441,41 @@ On admet le résultat suivant. Soient $c \in \C$, $U$ un voisinage de $c$ dans $ #+begin_exercice [X MP 2025 # 267] Soient $F \in \R(X)$, $A = \{x \in \Q, F(x) \in \Q\}$ et $A' = \{x \in \Z, F(x) \in \Z\}$. 1. On suppose $A$ infini. Montrer que $F \in \Q(X)$. - 1. On suppose A' infini. Que peut-on dire de F? + 1. On suppose $A'$ infini. Que peut-on dire de $F$ ? #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 268] Soit $f = \sum_{k=0}^n c_k X^k$ un polynôme de degré $n$ à coefficients entiers et dont toutes les racines complexes appartiennent à $\Q^*$. On pose $H = \max(|c_0|, \dots, |c_n|)$. 1. Montrer que pour le complexe $i$ on a $|f(i)|^2 \le H^2\left(\frac{n^2}{2} + n + 1\right)$. - 1. Montrer que |f(i)|\lt sup\gt 2\lt /sup\gt ≥ 2\lt sup\gt n\lt /sup\gt . - c) En déduire que si $n$ ≥ 10 alors $n$ ≤ 5 log\lt sub\gt 2\lt /sub\gt (H). + 1. Montrer que $|f(i)|\lt 2^n$. + c) En déduire que si $n\geq 10$ alors $n\leq 5 \log_2(H)$. #+end_exercice +# ID:8490 #+begin_exercice [X MP 2025 # 269] -Soient $A, B \in \M_n(\R)$ de rang 1 telles que Tr(A) = Tr(B). Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. +Soient $A, B \in \M_n(\R)$ de rang $1$ telles que $\tr(A) = \tr(B)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 270] Soient $A$ et $B$ appartenant à $\M_n(\R)$, on note $k = \dim \op{Ker}(AB)$. Quelles sont les valeurs possibles pour la dimension de $\op{Ker}(BA)$ ? #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On a $\rg (AB)\leq \max(\rg A, \rg B)$ et $\geq \max(\rg A + \rg B - n, 0)$. Il s'agit de montrer que toutes les valeurs peuvent être prises, indépendamment. + +On peut supposer $A = J_r$. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2025 # 271] -Soient $n \in \N^*$ et $C_n = \{-1, 1\}^n$. On pose $H = \{f \in \mc{L}(\R^n), \ f(C_n) = C_n\}$.Montrer que $H$ est un groupe pour la loi de composition et déterminer son cardinal. +Soient $n \in \N^*$ et $C_n = \{-1, 1\}^n$. On pose $H = \{f \in \mc{L}(\R^n), \ f(C_n) = C_n\}$. Montrer que $H$ est un groupe pour la loi de composition et déterminer son cardinal. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Par le groupe orthogonal, on peut supposer que… +#+END_proof + +# ID:nil #+begin_exercice [X MP 2025 # 272] Soient $X, Y \in \M_2(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\C$. Montrer que la matrice $A = XY + YX - \op{tr}(X)Y - \op{tr}(Y)X + (\op{tr}(X)\op{tr}(Y) - \op{tr}(XY))I_2$ est nulle. #+end_exercice @@ -2408,41 +2505,66 @@ On fixe un entier $n \ge 1$ et, pour $k \in [1, n]$, on note $\mc{R}_k$ l'ensemb Soient $X_1, X_2, Y_0$ dans $\R^n \setminus \{0\}$ et $P_1, P_2, Q_1, Q_2$ dans $\R^n$ tels que $\phi(X_1Y_0^T) = P_1Q_1^T$ et $\phi(X_2Y_0^T)=P_2Q_2^T$, avec $(P_1,P_2)$ libre. Montrer qu'il existe $A\in \mathrm{GL}_n(\R)$ et $Q_0\in\R^n\setminus\{0\}$ tels que $\forall X\in\R^n,\ \phi\left(XY_0^T\right)=AXQ_0^T$. #+end_exercice +# ID:8491 #+begin_exercice [X MP 2025 # 276] Soit $n \in \N$ avec $n \ge 2$. Pour $k \in [0, n]$, on pose $N(k) = \{ N = (n_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \M_n(\C) : \forall i,j \in [1,n], i \gt j-k \implies N_{i,j} = 0 \}$ et $T(k) = \{I_n + N ; N \in N(k)\}$. - 1. Montrer que, pour tout $k \in [0, n]$, T(k) est un sous groupe de $GL_n(\C)$. - 1. Construire pour, $k \in [0, n-1]$, un morphisme de groupes $\phi_k : T(k) \ra G(k)$ où G(k)est un groupe abélien bien choisi tel que $Ker(\phi(k)) = T(k+1)$. - 1. Pour un groupe $G$, on note D(G) le sous-groupe engendré par $\{ghg^{-1}h^{-1}; g, h \in G\}$. Montrer que T(0) est résoluble $i$.e. qu'il existe $q \in \N$ tel que $D^q(T(0)) = \{I_n\}$. + 1. Montrer que, pour tout $k \in [0, n]$, $T(k)$ est un sous groupe de $GL_n(\C)$. + 1. Construire pour, $k \in \db{0,n-1}$, un morphisme de groupes + $\phi_k : T(k) \ra G(k)$ où $G(k)$ est un groupe abélien bien + choisi tel que $Ker(\phi(k)) = T(k+1)$. + 1. Pour un groupe $G$, on note $D(G)$ le sous-groupe engendré par + $\{ghg^{-1}h^{-1}; g, h \in G\}$. Montrer que $T(0)$ est résoluble + $i$.e. qu'il existe $q \in \N$ tel que $D^q(T(0)) = \{I_n\}$. #+end_exercice +# ID:nil #+begin_exercice [X MP 2025 # 277] - 1. Soit $D \in \M_n(\C)$ une matrice diagonale à coefficients diagonaux distincts. Montrer que l'ensemble des $X \in \M_n(\C)$ telles que $X^2 = D$ est fini non vide, déterminer son cardinal. - 1. Soit $N \in \M_n(\C)$ nilpotente. Montrer qu'il existe $X \in \M_n(\C)$ telle que $X^2 = I_n + N$. + 1. Soit $D \in \M_n(\C)$ une matrice diagonale à coefficients + diagonaux distincts. Montrer que l'ensemble des $X \in \M_n(\C)$ + telles que $X^2 = D$ est fini non vide, déterminer son cardinal. + 1. Soit $N \in \M_n(\C)$ nilpotente. Montrer qu'il existe $X \in + \M_n(\C)$ telle que $X^2 = I_n + N$. #+end_exercice +# ID:8492 #+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 278] Pour $A \in \M_n(\C)$ on pose $R(A) = \{M \in \M_n(\C), M^2 = A\}$. - 1. Déterminer le cardinal maximal d'une famille de matrices de $R(I_n)$ non semblables deux à deux -à deux. - 1. On suppose $A$ diagonalisable avec $n$ valeurs propres distinctes. Déterminer le cardinal de - 1. Est-il vrai que, si $A$ est diagonalisable, toutes les matrices de R(A) le sont? - 1. Toute matrice $A$ de $\M_n(\C)$ admet-elle une racine carrée? - 1. On pose $U_n = \{I_n + N, N \text{ nilpotente}\}$. Montrer que toute matrice $A$ de $U_n$ admet une unique racine carrée dans $U_n$. + 1. Déterminer le cardinal maximal d'une famille de matrices de + $R(I_n)$ non semblables deux à deux à deux. + 2. On suppose $A$ diagonalisable avec $n$ valeurs propres distinctes. + Déterminer le cardinal de $R(A)$. + 3. Est-il vrai que, si $A$ est diagonalisable, toutes les matrices de $R(A)$ le sont? + 4. Toute matrice $A$ de $\M_n(\C)$ admet-elle une racine carrée? + 5. On pose $U_n = \{I_n + N, N \text{ nilpotente}\}$. Montrer que + toute matrice $A$ de $U_n$ admet une unique racine carrée dans + $U_n$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Si $R^2 = I_n$, alors $R$ est diagonalisable. + 2. Simple. + 3. Non : Dimension du noyau. + 4. Non : nilpotente. + 5. Usuel. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2025 # 279] -Pour $n \in \N^*$, on pose - -R(A). - -$$\mc{I}\mc{A} = \sup \{r \in \N ; \exists A_1, \dots, A_r \in \M_n(\C), \forall i, A_i^2 = I_n \text{ et } \forall i \neq j, A_i A_j = -A_j A_i \}$$. - +Pour $n \in \N^*$, on pose $\quad\displaystyle\mc{IA} = \sup \{r \in \N ; \exists A_1, \dots, A_r \in \M_n(\C), \forall i, A_i^2 = I_n \text{ et } \forall i \neq j, A_i A_j = -A_j A_i \}$. 1. Si $n$ est impair, montrer que $\mc{IA}(n) = 1$. 1. Soient $s, t \in \N$. Montrer que $\mc{IA}(2^s(2t+1)) = 2s+1$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Déterminant. + 2. Dans $\M_2(\C)$, prendre $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0 & i \\ -i & 0\end{pmatrix}$. + + Si on en a le bon nombre, et qu'on multiplie la dimension par $2$. Prendre les $\begin{pmatrix}A & 0 \\ 0 & -A\end{pmatrix}$ et les deux antidiagonales, avec des $I_n$. + + Si on en avait plus : +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2025 # 280] 1. Soit $A \in \M_n(\R)$ une matrice diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour qu'il existe $x \in \R^n$ tel que $(x, Ax, \ldots, A^{n-1}x)$ soit une base de $\R^n$. @@ -2491,6 +2613,7 @@ On note $\phi$ l'endomorphisme de $F$ défini par $\phi: f \mapsto f \circ g$. 1. Que peut-on dire des valeurs propres possibles de $\phi$ si $q$ n'est plus supposée surjective? #+end_exercice +# ID:nil #+begin_exercice [X MP 2025 # 284] Soit $p$ un nombre premier, $A$ et $B$ appartenant à $\M_n(\Z)$. Démontrer que $\op{tr}((A+B)^p) \equiv \op{tr}(A^p) + \op{tr}(B^p) \pmod{p}$. @@ -2504,6 +2627,7 @@ Soient $n \in \N^*$ et $H$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\C)$ stable par pro 1. Soit $\delta \in D$. Pour $\lambda \in \C$, on note $H_{\lambda}$ le sous-espace caractéristique de $\delta$ associé à $\lambda$ (éventuellement $\{0\}$). Soient $\lambda$, $\mu \in \C$, $A \in H_{\lambda}$ et $B \in H_{\mu}$. Montrer que $AB \in H_{\lambda+\mu}$. #+end_exercice +# ID:nil #+begin_exercice [X MP 2025 # 286] 1. Soient $k, m, n \in \N^*$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $(v_1,\ldots,v_n)$ une famille de vecteurs unitaires de $\R^m$ tels que $\langle v_i,v_j\rangle\leq -1/k$ pour tous $i$,jdistincts. Montrer que $n \leq k+1$. 1. Montrer qu'il existe une famille $(v_1,\ldots,v_{k+1})$ de vecteurs unitaires de $\R^k$ tels que $\langle v_i, v_j \rangle = -1/k$ pour tous $i$, $j$ distincts. @@ -2591,7 +2715,7 @@ Dans la suite de l'exercice, on suppose $A \in \mc{S}_n(\R)$ et on note $\lambda #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 296] -Soit E un $\R$ -espace vectoriel de dimension finie. Montrer que tout convexe non borné contient au moins une demi-droite. On pourra commencer par le cas d'un convexe fermé. +Soit $E$ un $\R$ -espace vectoriel de dimension finie. Montrer que tout convexe non borné contient au moins une demi-droite. On pourra commencer par le cas d'un convexe fermé. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 297] @@ -2612,17 +2736,11 @@ Soit $\rho: [0,1] \mapsto \M_n(\C)$ continue telle que, pour tout $t, \rho(t)^2 1. Montrer que $t \mapsto \op{rg} \rho(t)$ est constante. 1. Montrer l'existence de $u \in \mc C^0([0,1], \mathrm{GL}_n(\C))$ telle que $\forall t, \rho(t) = u(t)\rho(0)u^{-1}(t)$. - 1. On suppose de plus que $\rho(1) = \rho(0)$. Montrer que l'on peut choisir $u$ de sorte que l'on ait aussi u(0) = u(1). + 1. On suppose de plus que $\rho(1) = \rho(0)$. Montrer que l'on peut choisir $u$ de sorte que l'on ait aussi $u(0) = u(1)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 300] -Soit $n \ge 2$. On note $\mc{B}_n$ l'ensemble des matrices bistochastiques de $\M_n(\R)$ c'est-à-dire - - $\text{les } M \,=\, (m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \,\in\, \M_n(\R) \,\, \text{telles que} : \forall i \,\in\, \db{1,n \rrbracket,\, \sum_{i=1}^n m_{i,j} \,=\, 1,\, \forall j \,\in\, \llbracket 1,n },$ - - $\sum_{i=1}^n m_{i,j} = 1 \text{ et } \forall (i,j) \in [[1,n]]^2, m_{i,j} \geq 0. \text{ Si } \sigma \in \mc{S}_n, \text{ on note } P_{\sigma} = (\delta_{i,\sigma(j)})_{1 \leq i,j \leq n} \text{ la}$ - -matrice de permutation associée à $\sigma$ ; la matrice $P_{\sigma}$ est dans $\mc{B}_n$. +Soit $n \ge 2$. On note $\mc{B}_n$ l'ensemble des matrices bistochastiques de $\M_n(\R)$ c'est-à-dire les $M = (m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \in \M_n(\R)$ telles que : $\forall i \in \db{1,n},\, \sum_{i=1}^n m_{i,j} = 1,\, \forall j \,\in\, \db{1,n},\sum_{i=1}^n m_{i,j} = 1$ et $\forall (i,j) \in \db{1,n}^2 m_{i,j} \geq 0$. Si $\sigma \in \mc{S}_n$, on note $P_{\sigma} = (\delta_{i,\sigma(j)})_{1 \leq i,j \leq n}$ la matrice de permutation associée à $\sigma$ ; la matrice $P_{\sigma}$ est dans $\mc{B}_n$. 1. Montrer que $\mc{B}_n$ est une partie convexe de $\M_n(\R)$. Un élément $M$ de $\mc{B}_n$ est dit extrémal lorsqu'il ne peut pas s'écrire M=(1-t)A+tB avec A, $B$ éléments distincts dans $\mc{B}_n$ et $t \in ]0, 1[$. @@ -2630,7 +2748,7 @@ A, $B$ éléments distincts dans $\mc{B}_n$ et $t \in ]0, 1[$. 1. On fixe un élément $M$ de $\mc{B}_n$. - Pour une partie $I$ de [1, n], on note $\mc{F}(I) = \{i \in [1, n] : \exists j \in I, m_{i,j} \gt 0\}$. + Pour une partie $I\subset\db{1,n}$, on note $\mc{F}(I) = \{i \in \db{1,n} : \exists j \in I, m_{i,j} \gt 0\}$. 1. Montrer que $|I| \leq |\mc{F}(I)|$. 2. Montrer qu'il existe une injection $f\colon [1,n] \ra [1,n]$ telle que, pour tout $i \in [1,n]$, $m_{i,f(i)} \gt 0$. 3. En déduire l'ensemble des points extrémaux de $\mc{B}_n$. @@ -2911,7 +3029,7 @@ f(x). #+begin_exercice [X MP 2025 # 337] 1. Soit $n \in \N$. Montrer qu'il existe un unique $T_n \in \Z[X]$ tel que : $\forall x \in \R, T_n(2\cos(x)) = 2\cos(nx)$. - 1. Pour $x, y \in [-2, 2[$ avec $x \neq y,$ on pose $S(x, y) = \sum_{n=0}^{+\i} \frac{1}{n} T_n(x) T_n(y)$. + 1. Pour $x, y \in [-2, 2[$ avec $x \neq y$, on pose $S(x, y) = \sum_{n=0}^{+\i} \frac{1}{n} T_n(x) T_n(y)$. - Montrer que $S_n(x, y)$ est bien défini. - Montrer que, pour $x, y \in [-2, 2[$ avec $x \neq y$, on a $S(x, y) = -2 \ln |x y|$. #+end_exercice @@ -2976,7 +3094,7 @@ Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n \ge 1$. #+begin_exercice [X MP 2025 # 346] -Soit (u, v) une base de $\R^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur (u, v) pour qu'il existe un polygone régulier à $n$ côtés dont les sommets sont tous dans $\Qu + \Qv$. +Soit $(u, v)$ une base de $\R^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(u, v)$ pour qu'il existe un polygone régulier à $n$ côtés dont les sommets sont tous dans $\Q u + \Q v$. #+end_exercice ** Probabilités @@ -3018,7 +3136,7 @@ Calculer $f_n$ où $f_n: x \mapsto \sum_{k=1}^n C_k x^k$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 351] -Soient $p \in ]0,1[$ et t\gt 0. Soient $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. vérifiant $\mathbf{P}(X_n=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_n=-1)=1-p$ et $N\sim\mc{P}(t)$ indépendante des $X_n$. On pose : +Soient $p \in ]0,1[$ et t\gt 0. Soient $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. vérifiant $\mathbf{P}(X_n=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_n=-1)=1-p$ et $N\sim\mc{P}(t)$ indépendante des $X_n$. On pose : $$S_n = \sum_{i=0}^n X_i$$. @@ -3036,7 +3154,7 @@ Soient $p \in [0, 1[, m \ge 2 \text{ et } \xi = e^{2i\pi/m}]$. $$\forall a,b \in \C, \quad \sum_{k \in \db{0,n }} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} (b + \xi^j a)^n$$. - 1. Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On pose : $A_n=(m\mid X_1+\cdots+X_n)$ et $u_n=\mathbf{P}(A_n)$. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. + 1. Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On pose : $A_n=(m\mid X_1+\cdots+X_n)$ et $u_n=\mathbf{P}(A_n)$. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. 1. Montrer que : $\forall n \in \N^*, \left| u_n \frac{1}{m} \right| \leq e^{-8pqn/m^2}$ où $q$ = 1 $p$. #+end_exercice @@ -3045,13 +3163,12 @@ Soit $X$ une variable aléatoire discrète positive ayant un moment d'ordre 2 et #+end_exercice #+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 354] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\N^*$. On suppose +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans $\N^*$. On suppose de plus que $\mathbf{E}(X_1^2) \lt +\i$, et on pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et $T_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{S_i}$ pour $n \geq 1$. 1. Montrer que, pour tout $\omega$, $(T_n(\omega))_{n\geq 1}$ a une limite dans $[0,+\i]$. - 1. Montrer qu'il existe une constante $C$ \gt 0 et une suite strictement croissante $(n_k)_{k \ge 1}$ -d'entiers $\geq 1$ vérifiant $n_{k+1} \geq 2n_k$ et $\mathbf{P}(S_{n_k} \geq 2n_k \mathbf{E}(X_1)) \leq \frac{C}{2^k}$ pour tout $k \geq 1$. + 1. Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ et une suite strictement croissante $(n_k)_{k \ge 1}$ d'entiers $\geq 1$ vérifiant $n_{k+1} \geq 2n_k$ et $\mathbf{P}(S_{n_k} \geq 2n_k \mathbf{E}(X_1)) \leq \frac{C}{2^k}$ pour tout $k \geq 1$. 1. En déduire que $(T_n)_{n\geq 1}$ tend presque sûrement vers $+\i$. 1. Montrer que $\mathbf{V}(T_n) \leq \sum_{i=1}^n \mathbf{E}\left(\frac{1}{S_i^2}\right)$ pour tout $n \geq 1$. #+END_exercice @@ -3067,20 +3184,20 @@ On pose $(X)_0 = 1$ et, pour $n \in \N^*$, $(X)_n = X(X-1) \cdots (X-n+1)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 356] -On cherche à prouver l'existence d'un réel $C$ \gt 0 tel que, pour toutes variables aléatoires réelles $X$ et $Y$ indépendantes et de même loi, on ait l'inégalité $\mathbf{P}(|X-Y| \leq 2) \leq C \, \mathbf{P}(|X-Y| \leq 1)$. - 1. On suppose $X$ et $Y$ à valeurs dans $\Z$. Montrer l'existence de C' \gt 0 indépendant de $X$ tel que $\mathbf{P}(|X Y| \leq 2) \leq C' \mathbf{P}(X = Y)$. +On cherche à prouver l'existence d'un réel $C \gt 0$ tel que, pour toutes variables aléatoires réelles $X$ et $Y$ indépendantes et de même loi, on ait l'inégalité $\mathbf{P}(|X-Y| \leq 2) \leq C \, \mathbf{P}(|X-Y| \leq 1)$. + 1. On suppose $X$ et $Y$ à valeurs dans $\Z$. Montrer l'existence de $C' \gt 0$ indépendant de $X$ tel que $\mathbf{P}(|X Y| \leq 2) \leq C' \mathbf{P}(X = Y)$. 1. Montrer le résultat souhaité. - 1. Montrer que C' ≥ 3. + 1. Montrer que $C' \geq 3$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 357] 1. Soient $n \in \N^*$ et $p \in ]0,1[$. Existe-t-il deux variables aléatoires indépendantes $Y_1$ et $Y_2$ de même loi telles que $Y_1 + Y_2 \sim \mc{B}(n,p)$ ? - 1. On dit qu'une variable aléatoire $Z$ est infiniment divisible si, pour tout $k \in \N^*$, il existe des variables aléatoires i.i.d. $Y_1, \ldots, Y_k$ telles que $Y_1 + \cdots + Y_k \sim Z$, avec a priori $(Y_1, \ldots, Y_k)$ défini sur un espace probabilisé différent de celui de $Z$. + 1. On dit qu'une variable aléatoire $Z$ est infiniment divisible si, pour tout $k \in \N^*$, il existe des variables aléatoires $i$.i.d. $Y_1, \ldots, Y_k$ telles que $Y_1 + \cdots + Y_k \sim Z$, avec a priori $(Y_1, \ldots, Y_k)$ défini sur un espace probabilisé différent de celui de $Z$. Donner un exemple d'une telle variable aléatoire. 1. Que dire d'une variable aléatoire $Z$ infiniment divisible de support inclus dans [0,1]? - 1. Soient $(X_i)_{i\in\N}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. et $N\sim\mc{P}(\lambda)$ indépendante des $X_i$ (avec $\lambda\gt 0$). Montrer que $Z=X_1+\cdots+X_N$ est une variable aléatoire infiniment divisible. + 1. Soient $(X_i)_{i\in\N}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. et $N\sim\mc{P}(\lambda)$ indépendante des $X_i$ (avec $\lambda\gt 0$). Montrer que $Z=X_1+\cdots+X_N$ est une variable aléatoire infiniment divisible. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 358] @@ -3097,8 +3214,7 @@ de plus la fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans $N$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 359] -Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbf{P}(X_n=0)=1-\frac{1}{n}$ -et $\mathbf{P}(X_n=n)= rac{1}{n}$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. +Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbf{P}(X_n=0)=1-\frac{1}{n}$ et $\mathbf{P}(X_n=n)=\frac{1}{n}$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. 1. Soit $\lambda \in \R^+$. Déterminer la limite de $\left(\mathbf{E}\left(e^{-\lambda\frac{S_n}{n}}\right)\right)_{n\geq 1}$. 1. Soit $f \in \mc C^0(\R^{+*}, \R)$ dérivable sur $]1, +\i[$ et telle que : $\forall x \gt 1, f(x-1) + xf'(x) = 0$ et $\forall x \in [0, 1], f(x) = 1$. Montrer qu'il existe une unique fonction $f$ qui respecte ces conditions, qu'elle est strictement positive sur $\R^+$ et tend vers 0 en $+\i$. @@ -3107,13 +3223,13 @@ Montrer qu'il existe une unique fonction $f$ qui respecte ces conditions, qu'ell #+begin_exercice [X MP 2025 # 360] Soient $X$ une variable aléatoire à support fini à valeurs dans $\Z^2$ et telle que $-X \sim$ -$X, (X_k)_{k \geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. +$X, (X_k)_{k \geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. 1. Montrer que, si $n \in \N^*$, $\mathbf{E}(\|S_n\|^2) = n \, \mathbf{E}(\|X\|^2)$ et $\mathbf{P}(S_{2n} = 0) = \sum_{x \in \Z^2} \mathbf{P}(S_n = x)^2$. 1. Montrer qu'il existe $c \in \R^{+*}$ tel que $\forall n \in \N^*, \mathbf{P}(S_{2n} = 0) \geq \frac{c}{n}$. 1. Démontrer que $P(\exists n \ge 1, S_n = 0) = 1$. #+end_exercice -* X PSI :autre: +* $X$ PSI :autre: ** Algèbre @@ -3253,14 +3369,14 @@ On effectue $n \leq N$ tirages sans remise dans un sac de $N$ jetons numérotés #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2025 # 384] -On pose $(X_k)$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de para- +On pose $(X_k)$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de para- mètre $p \in [0,1]$. Pour $n \in \N$, on pose $Y_n = \sum_{k=1}^n \frac{X_k}{k+n}$ 1. Calculer l'espérance de $Y_n$ 1. Déterminer la limite de $(\mathbf{E}(Y_n))$ 1. Trouver $\alpha \in \R$ tel que, pour tout $\eps \gt 0$, on ait $\lim_{n \ra \i} \mathbf{P}(|Y_n \alpha| \gt \eps) = 0$. #+end_exercice -* X PC :autre: +* $X$ PC :autre: ** Algèbre @@ -3371,9 +3487,7 @@ $$v \in \R^n \setminus \{0\}$$ #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2025 # 401] -Soient $E = \db{1,n]\!]$ et $A_1,\ldots,A_m$ des parties distinctes de $E$ telles qu'il existe $c \in \N^*$ vérifiant : $\forall (i,j) \in [\![1,n]\!]^2, i \neq j, \Rightarrow \op{Card}(A_i \cap A_j) = c$. Montrer que $m \leq n$. Ind. Considérer d'abord le cas où il existe $i$ tel que $\op{card}(A_i) = c$. Ensuite pour $i \in [\![1,m}$, - -$$\op{poser} v_i = \begin{pmatrix} \mathbf{1}_{A_i}(1) \\ \vdots \\ \mathbf{1}_{A_i}(n) \end{pmatrix} \in \M_{n,1}(\R) \text{ et considérer } G = (\langle v_i, v_j \rangle)_{1 \leq i,j \leq m}$$. +Soient $E = \db{1,n}$ et $A_1,\ldots,A_m$ des parties distinctes de $E$ telles qu'il existe $c \in \N^*$ vérifiant : $\forall (i,j) \in\db{1,n}^2, i \neq j, \Rightarrow \op{Card}(A_i \cap A_j) = c$. Montrer que $m \leq n$. Ind. Considérer d'abord le cas où il existe $i$ tel que $\op{card}(A_i) = c$. Ensuite pour $i \in \db{1,m}$, poser $v_i = \begin{pmatrix} \mathbf{1}_{A_i}(1) \\ \vdots \\ \mathbf{1}_{A_i}(n) \end{pmatrix} \in \M_{n,1}(\R) \text{ et considérer } G = (\langle v_i, v_j \rangle)_{1 \leq i,j \leq m}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2025 # 402] @@ -3505,10 +3619,7 @@ $$\sum_{n=0}^{+\i} |u_n|$$ #+end_exercice #+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 415] -On munit $\ell^1=\left\{u\in\R^\N,\ \sum_{n=0}^{+\i}|u_n|\lt +\i -ight\}$ de la norme définie par $\|u\|_1=\sum_{n=0}^{+\i}|u_n|$ - -et +On munit $\ell^1=\{u\in\R^\N,\ \sum_{n=0}^{+\i}|u_n|\lt +\i\}$ de la norme définie par $\|u\|_1=\sum_{n=0}^{+\i}|u_n|$ et $$\ell^{\i} = \{u \in \R^{\N} : \exists M \in \R, \forall n \in \N, |u_n| \leq M\}$$ de la norme définie par $||u||_{\i} = \{u \in \R^{\N} : \exists M \in \R, \forall n \in \N, |u_n| \leq M\}$ @@ -3805,13 +3916,13 @@ Une suite $(Y_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ est dite *transi #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2025 # 454] -Une suite $(S_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ est dite *transiente* si, pour toute partie bornée $A$ de $\N$, on a $\sum_{n \in \N} \mathbf{P}(S_n \in A) \lt +\i$. Soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite i.i.d. de variables +Une suite $(S_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ est dite *transiente* si, pour toute partie bornée $A$ de $\N$, on a $\sum_{n \in \N} \mathbf{P}(S_n \in A) \lt +\i$. Soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires telle que $\mathbf{P}(X_1 = 1) = p$ et $\mathbf{P}(X_1 = -1) = 1 - p$, avec $p \in ]0,1[$. On pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. Montrer que $(S_n)$ est transiente si et seulement si $p \neq 1/2$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2025 # 455] -Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. telle que $\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et +Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. telle que $\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et $$P(X_k = -1) = 1 - p$$ . On pose $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$, $T = \inf\{n \in \N^*, S_n = 1\}$ et $f_n = P(T = n)$. @@ -3840,7 +3951,7 @@ Soit $X = (X_1, \dots, X_n)^T$ un vecteur aléatoire à valeurs dans $\R^n$. On 1. On dit que $X$ est centrée lorsque $\mathbf{E}(X)=0$. Montrer que, si $X$ est centrée, alors $\op{rg}(V_1,\ldots,V_m)\lt m$. 1. On dit que $X$ est centrée-réduite lorsque $\mathbf{E}(X)=0$ et que la matrice de covariance $(\op{Cov}(X_i,X_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est égale à $I_n$. Montrer que si $X$ est centrée-réduite alors $m\geq n$. - 1. On suppose que $m$ = $n$ + 1. Montrer que $X$ est centrée-réduite si et seulement si, pour tous $i \neq i$ $\langle V_i, V_j \rangle = -1$ et pour tout $i$ n = 1 + 1. On suppose que $m$ = $n$ + 1. Montrer que $X$ est centrée-réduite si et seulement si, pour tous $i \neq i$ $\langle V_i, V_j \rangle = -1$ et pour tout $i$ $n$ = 1 tous $i \neq j$, $\langle V_i, V_j \rangle = -1$ et, pour tout $i$, $p_i = \frac{1}{\|V_i\|^2 + 1}$. #+end_exercice @@ -4139,7 +4250,7 @@ On dit qu'une matrice est de Bordaud si ses coefficients diagonaux sont exacteme 1. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de Bordaud si et seulement si $A$ est trigonalisable dans $\R$. 2. Existe-t-il une matrice symétrique dans $\C$, non diagonalisable, qui est de Bordaud ? - 3. Caractériser les matrices $A$ qui sont normales, i.e. $A^T A=A A^T$, et de Bordaud. + 3. Caractériser les matrices $A$ qui sont normales, $i$.e. $A^T A=A A^T$, et de Bordaud. #+END_exercice #+BEGIN_proof 1. Le polynôme caractéristique est alors scindé. @@ -4170,7 +4281,7 @@ Soit $S=\left\{x_0, x_1, \ldots, x_n\right\}$ avec $x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n, $$J_S(f, g):=\sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i\right)\left(g\left(x_{i+1}\right)-g\left(x_i\right)\right)$$ - 1. Montrer que : $\quad\displaystyle \left|J_S(f, g)-f(a)(g(b)-g(a))\right| \leq $A$ B|2(b-a)|^{\alpha+\beta} \zeta(\alpha+\beta)$, où $\zeta$ désigne la fonction zêta de Riemann. + 1. Montrer que : $\quad\displaystyle \left|J_S(f, g)-f(a)(g(b)-g(a))\right| \leq A B|2(b-a)|^{\alpha+\beta} \zeta(\alpha+\beta)$, où $\zeta$ désigne la fonction zêta de Riemann. 2. Montrer qu'il existe une unique valeur $I \in \R$ telle que : $$\forall \eps\gt 0, \exists \delta\gt 0, \text { si } \max_{0 \leq i\lt n}\left|x_{i+1}-x_i\right|\lt \delta \Rightarrow\left|J_S(f, g)-I\right|\lt \eps$$ @@ -4189,7 +4300,7 @@ $$J_S(f, g)=\sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_k\right)\left(g\left(x_{k+1}\right)-g\left 1. Montrer qu'il existe un indice $i$ entre 1 et $n-1$ tel que $x_{i+1}-x_{i-1}\lt \frac{2(b-a)}{n-1}$. 2. Soit un tel $i$, et $S'=S \setminus\left\{x_i\right\}$. Exprimer simplement puis majorer $\left|J_S(f, g)-J_{S'}(f, g)\right|$. - 3. Montrer que $\quad\displaystyle\left|J_S(f, g)-f(a)(g(b)-g(a))\right| \leq $A$ B(2(b-a))^{\alpha+\beta} \zeta(\alpha+\beta)$. + 3. Montrer que $\quad\displaystyle\left|J_S(f, g)-f(a)(g(b)-g(a))\right| \leq A B(2(b-a))^{\alpha+\beta} \zeta(\alpha+\beta)$. 4. Montrer qu'il existe un réel $I$ tel que pour tout $\eps\gt 0$, il existe $\delta\gt 0$ tel que pour toute subdivision $S$ de $[a, b]$ de pas inférieur à $\delta$, @@ -4217,3 +4328,8552 @@ On pose $u_0=\frac{1}{2}$ et $\forall n, u_n=u_{n-1}(1-u_{n-1})$. 3. On a $\frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} = \frac{1}{u_n (1-u_n)} - \frac{1}{u_n}$ $=\frac{1}{u_n (1-u_n)}\big(1 - (1-u_n)\big) = \frac{1}{1-u_n} = 1 + u_n + O(u_n^2)$. #+END_proof +* Mines - MP + +** Algèbre + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 458] +Pour $n \geq 2$, on pose $f(n) = \prod_{\substack{d \in [1, n-1] \\ d \mid n}} d$. Résoudre l'équation $f(n) = n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 459] +Soit $n \in \N^*$ dont on note $\{d_1, \dots, d_k\}$ l'ensemble des diviseurs positifs. Montrer que : + +$$\sqrt{n} \leqslant \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} d_i \leqslant \frac{n+1}{2}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 460] +Soient $p$, $q$ deux entiers naturels premiers entre eux tels que $p$ < $q$. Montrer qu'il existe un entier $n \geq1$ et une liste strictement croissante $(a_1, \ldots, a_n) \in (\N^*)^n$ telle que + +$$\frac{p}{q} = \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k-1}}{a_k} \text{ et } a_1 \leqslant \left\lfloor \frac{q}{p} \right\rfloor.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 461] +a) Soit $p$ premier impair. Pour $k \in [1, p-1]$ montrer qu'il existe un unique $k^{-1} \in\db{1,p-1}$. + tel que $k\cdot k^{-1}\equiv 1$ $[p]$. Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1}k^{-1}\equiv 0$ $[p]$. + +b) Soit $m$ un entier naturel impair. Montrer que $\sum_{i=1}^{p-1} k^m \equiv 0$ [p]. +c) Ici, $p \geq5$. Montrer que pour $k \in [1, p-1]$, il existe un unique $k^* \in [1, p^2 1]$ tel que + +$$k \cdot k^* \equiv 1 \ [p^2].$$ Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1} k^* \equiv 0 \ [p^2]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 462] +On note $\tau(n)$ (resp. $\sigma(n)$ ) le nombre de diviseurs positifs de $n$ (resp. la somme des diviseurs positifs de n). +a) Montrer que si $n \wedge m = 1$ alors $\sigma(nm) = \sigma(n) \sigma(m)$. +b) Montrer que si $\sigma(n)$ est premier alors $\tau(n)$ l'est aussi. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 463] +Pour $n \in \N$, on pose $M_n = 2^n 1$, $u = 2 + \sqrt{3}$, $v = 2 \sqrt{3}$ et $s_n = u^{2^n} + v^{2^n}$. +a) Montrer que, si $M_n$ est premier, alors $n$ l'est aussi. +b) Montrer que $\forall n \in \N, \ s_{n+1} = s_n^2 2$. Qu'en déduire sur la suite $(s_n)$ ? c) Pour $q \in \N^*$, on pose $B = (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^2$ et, pour $(x,y), (x',y') \in B$, on pose (x,y) + 2(x', y') = (x + x', y + y') et $(x, y) \times (x', y') = (xx' + 3yy', xy' + yx')$. + - i) Montrer que $(B, +, \times)$ est un anneau commutatif. + - ii) On pose $A = \mathbb{Z} + \sqrt{3}\mathbb{Z}$ et $\pi : a + \sqrt{3}b \in A \mapsto (\overline{a}, \overline{b}) \in B$. + +Montrer que $\pi$ est bien défini et est un morphisme surjectif d'anneaux. + +d) Soit $n$ un nombre premier. Montrer que, si $M_n$ divise $s_{n-2}$, alors $M_n$ est premier. Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considérant le plus petit diviseur premier $q$ de $M_n$ et l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans $B^{\times}$.- +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 464] +Soient $A$ un anneau commutatif intègre et $a_0, a_1, \ldots, a_n$ dans A. Montrer que, si $a_n \neq 0$, l'équation $a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n = 0$ admet au plus $n$ solutions dans A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 465] +Soient $m$ et $n$ dans $\N^*$. Déterminer les morphismes de groupes de $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 466] +Soient $p$ un nombre premier, et $G$ un groupe fini d'ordre 2p. Montrer que $G$ possède un élément d'ordre $p$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 467] +On note $S_n$ le groupe des permutations de $\{1, \ldots, n\}$ et $M_n$ le maximum des ordres des éléments de $S_n$. +a) Montrer que $n \leq M_n \leq n!$. +b) Si $n \geq 4$, montrer que $M_n \leqslant \max_{2 \leqslant k \leqslant n-1} (k M_{n-k})$. +c) Montrer que $M_n = O(3^{n/3})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 468] +Soit $G$ un groupe fini dont tous les éléments sauf le neutre sont d'ordre 2. +a) Montrer que $G$ est abélien. +b) Soient $H$ un sous-groupe de $G$ et $y \in G \setminus H$. Montrer que $H \cup yH$ est un sous-groupe de $G$, et que l'union est disjointe. +c) En déduire que |G| est une puissance de 2. +d) Calculer le produit de tous les éléments de $G$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 469] +Soit $G$ un groupe abélien fini dont l'ensemble des automorphismes est de cardinal 3. +a) Montrer que $\phi: x \in G \mapsto x^{-1}$ est un automorphisme de $G$, puis que $\forall x \in G, x^2 = e$. +${\it b}$ ) Montrer que ${\it G}$ admet un sous-groupe ${\it V}$ d'ordre ${\it 4}$ et déterminer les automorphismes de ${\it V}$. +c) Montrer qu'il existe $r \in \N$ tel que $G$ soit isomorphe à $V \times (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^r$, et en déduire une absurdité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 470] +Soient $G$ un groupe abélien fini et $\widehat{G}$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $(\C^*,\times)$. +a) Montrer que $\widehat{G}$ est un groupe fini. +b) Soit $\phi \in \widehat{G}$ non trivial. Montrer que $\sum_{g \in G} \phi(g) = 0$. +c) Montrer que $\widehat{G}$ est une partie libre de l'espace vectoriel $\mathcal{F}(G,\C)$. +d) En déduire que $|\widehat{G}| \leq |G|$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 471] +Soient $\mathbb{K}$ un corps, A, $B$ deux parties finies de $\mathbb{K}$. On note $m = \operatorname{card}(A)$ et $n = \operatorname{card}(B)$. On pose $C = \{a + b, (a, b) \in A \times B\}$. +a) Pour $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, montrer que $\operatorname{Card}(C) \geq m+n-1$. +b) Montrer le même résultat pour $\mathbb{K}=\C$. On pourra utiliser l'ordre lexicographique sur $\C$. Pour $\mathbb{K}=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$, où $p$ est premier, on veut montrer que $\operatorname{card}(C)\geq \min(p,m+n-1)$. On suppose par l'absurde que $\operatorname{card}(C)=m+n-q$ avec $q\geq 2$ et m+n-q< $p$. +c) Montrer qu'il existe $f: A \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ et $g: B \to \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ telles que : +(i) $\forall k \in \{0, \dots, m-2\}, \sum_{a \in A} f(a) a^k = 0$, (ii) $\sum_{a \in A} f(a) a^{m-1} = 1$,(iii) +$$\forall k \in \{0, \dots, n-1\} \setminus \{n+1-q\}, \sum_{b \in B} g(b) b^k = 0$$ +, (iv) $\sum_{b \in B} g(b) b^{n+1-q} = 1$. + +d) Conclure en calculant de deux manières différentes la quantité : + +$$Q = \sum_{(a,b) \in A \times B} f(a)g(b) \prod_{c \in C} (a+b-c).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 472] +Soient $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal de A. On dit que $I$ est un idéal premier si $I$ est distinct de $A$ et si, pour tout $(x,y) \in I^2$, la condition $xy \in I$ implique $x \in I$ ou $y \in I$. +a) Déterminer les idéaux premiers de $Z$. + b) Soit $P\in K[X]$ irréductible. Montrer que PK[X] est un idéal premier de K[X]. +c) Soient $J$ et $K$ deux idéaux et $I$ un idéal premier. Montrer que : $J \cap K = I$ implique $J$ = $I$ ou $K$ = $I$. +d) Soit $A$ un anneau commutatif non trivial dont tous les idéaux distincts de $A$ sont premiers. Montrer que $A$ est intègre puis que $A$ est un corps. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 473] +Soit $i$ un idéal d'un anneau commutatif a. +On appelle radical de $I$ l'ensemble $\sqrt{I} = \{x \in A : \exists n \in \N, x^n \in I\}$. +a) Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$ contenant $I$. +b) Déterminer les radicaux des idéaux de $\mathbb{Z}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 474] +Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ non constant tel que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $P(x) \geq 0$. +a) Montrer que $P$ est de la forme + +$$P = \lambda \times \prod_{i=1}^{p} (X - \alpha_i)^{2a_i} \times \prod_{j=1}^{q} \left[ (X - \lambda_j)^{n_j} (X - \overline{\lambda_j})^{n_j} \right],$$ + +avec $\lambda \geq 0$, les $\alpha_i$ dans $\mathbb{R}$ et les $\lambda_i$ dans $\C \setminus \mathbb{R}$. +b) Montrer qu'il existe $A, B \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P = A^2 + B^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 475] +Soit $\mathbb D$ désigne le disque unité ouvert de $\mathbb C$. Soit $P\in\mathbb C[X]$ de degré $n\in\mathbb N^*$. On suppose que $P$ possède une racine $z_0\in\mathbb C$ vérifiant $|z_0|<1$. Montrer qu'il existe $Q\in\mathbb C_n[X]$ tel que : $\forall z\in\mathbb U,\, |P(z)|=|Q(z)|$ et $\forall z\in\mathbb D,\, |P(z)|<|Q(z)|$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 476] +Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$ unitaire de degré $n \geq 1$. On note $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ ses racines complexes, distinctes ou non. Montrer que, pour tout $q \in \N^*$, le polynôme $\prod_{k=1}^n (X \lambda_k^q)$ est encore à coefficients entiers. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 477] +Soit $P \in \mathbb{R}_n[X]$, unitaire de degré $n \geq 2$, dont toutes les racines sont réelles et négatives. Montrer que P'(0) $P(1) \geq \frac{n^{n+1}}{(n-1)^{n-1}}P(0)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 478] +Montrer qu'il existe un polynôme à coefficients entiers dont $\sin \frac{\pi}{180}$ est racine. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 479] +Soit $n \in \N^*$. On pose $P_n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{2n+1}{2k+1} X^{n-k}$. + +a) Montrer que $\sin((2n+1)\theta) = (\sin \theta)^{2n+1} P_n(\cos^2(\theta)/\sin^2(\theta))$ pour tout $\theta \in \mathbb{R} \setminus \pi\mathbb{Z}$. +b) En déduire que $\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos^2(k\pi/(2n+1))}{\sin^2(k\pi/(2n+1))} = \frac{n(2n-1)}{3}$. +c) Conclure que $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 480] +On fixe un entier $n \in \N^*$. + +note + +a) Montrer que l'équation $(E_n)$ : $\tan(y) = 2n\tan(y/2n)$ possède au moins $n$-1 solutions dans $]0, n\pi[$. +b) Expliciter deux polynômes A,B à coefficients réels tels que $\tan(2nt)=\frac{A(\tan t)}{B(\tan t)}$ pour +tout réel $t$ tel que $\tan t$ et $\tan(2nt)$ soient définis. c) Mettre en évidence un polynôme $P$ tel que les solutions de $(E_n)$ soient les solutions de +$P(1/\tan^2(y/2n)) = 0$. d) Dénombrer les solutions de $(E_n)$ dans $]0, n\pi[$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 481] +a) Montrer que, pour $n \in \N^*$, il existe $P_n \in \mathbb{Z}[X]$ unitaire tel que $P_n\left(X + \frac{1}{X}\right) =$ $X^n + \frac{1}{X^n}$. +b) Déterminer les $r \in \mathbb{Q}$ tels que $\cos(\pi r) \in \mathbb{Q}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 482] +Pour une partie finie $I = \{x_1, \dots, x_n\}$ (de cardinal n) d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$, on + +$$\operatorname{Conv}(I) = \left\{ \sum_{k=0}^{n} \lambda_k x_k \; ; \; (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in (\mathbb{R}^+)^n, \; \sum_{k=0}^{n} \lambda_k = 1 \right\}.$$ + +Pour $P \in \C[X]$, on note $\mathcal{Z}(P)$ l'ensemble de ses racines complexes. Soit $P \in \C[X]$ non +constant. +a) Écrire la décomposition en éléments simples de $\frac{P'}{D}$. +b) Montrer que $Conv(\mathcal{Z}(P')) \subset Conv(\mathcal{Z}(P))$. c) Soit $H$ un demi-plan fermé de $\C$ contenant au moins une racine de P'. Montrer que $H$ - contient au moins une racine de $P$. Démontrer ensuite que $P(H) = \C$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 483] +Quelle est la dimension du $\mathbb{Q}$ -sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}$ engendré par $\mathbb{U}_5$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 484] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$. Pour tout $x \in \mathbb{Z}^n$, on pose $\Lambda(x) = \operatorname{pgcd}(x_1, \ldots, x_n)$. Montrer l'équivalence des énoncés suivants : i) $\Lambda(Ax) = \Lambda(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ ; ii) det $A = \pm 1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 485] +Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$.- a) Calculer $A^n$ pour $n \in \mathbb{Z}$. +b) Trouver $B \in \mathcal{M}_4(\mathbb{Q})$ telle que $B^2 = A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 486] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $P \in \mathbb{K}[X]$ tel que $P(0) \neq 0$. On suppose que AB = P(A). Montrer que $A$ est inversible puis que $A$ et $B$ commutent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 487] +a) Soit $\phi$ une forme linéaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe une unique $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \phi(M) = \operatorname{tr}(AM)$. +b) Déterminer les formes linéaires $\phi$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $\forall M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $\phi(MN) = \phi(NM)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 488] +Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $\operatorname{rg} M = 1$. +a) Montrer qu'il existe $a,b\in\C^n$ tels que $M=ab^T$. +b) Montrer que $M^2 = (\operatorname{tr} M)I_n$. c) Calculer $\chi_M$. À quelle condition nécessaire et suffisante la matrice $M + I_n$ est-elle inversible? Dans ce cas, expliciter son inverse. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 489] +Déterminer les matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que, pour toute matrice $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, AB = 0 implique BA = 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 490] +Trouver les solutions dans $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ de $X^2 + X = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 491] +Soient $z \in \C^*$ et $M = (z^{ij})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\C)$. +a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $z$ pour que $M$ soit inversible. +b) Calculer rg $M$ en fonction de $z$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 492] +Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{K}^n$. On pose $a_{n+1}=a_1$. Soit $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ définie par : $m_{i,j}=a_j^i+a_{j+1}^i$. +a) Calculer $\det M$. +$\boldsymbol{b}$ ) Étudier l'inversibilité de $M$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 493] +Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n, u \in \mathcal{L}(E)$ nilpotent d'indice $n$-1. +a) Calculer dim (Ker $u^j$ ) pour $1 \le j \le n-1$. +b) Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ est + +$$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & 1 & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & \vdots \\ 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 494] +Dans $\mathcal{M}_n(\C)$ avec $n \geq 2$, soient $\mathcal{N}$ l'ensemble des matrices nilpotentes et $\mathcal{H}$ celui des matrices de trace nulle.- a) Montrer que $Vect(\mathcal{N}) \neq \mathcal{N}$. +b) Montrer que $\operatorname{Vect}(\mathcal{N}) \subset \mathcal{H}$. A-t-on $\mathcal{H} = \operatorname{Vect}(\mathcal{N})$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 495] +Soient $A$ et $B$ dans $GL_n(\mathbb{R})$. + +Montrer que l'ensemble des matrices de $\{tA+(1-t)B,\ t\in[0,1]\}$ n'appartenant pas à $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est fini de cardinal au plus $n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 496] +a) Que peut-on dire du déterminant d'une matrice de $GL_n(\mathbb{Z})$, le groupe des inversibles de l'anneau $\mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ ? +b) Soient $B, C \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que, pour tout $k \in [0, 2n]$, $B + kC \in GL_n(\mathbb{Z})$. Calculer $|\det B|$ et $\det C$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 497] +Soient $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $k \in \N^*$. On suppose que $kM^{k+1} = (k+1)M^k$. Montrer que $I_n M$ est inversible et déterminer son inverse. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 498] +a) Définir la fonction indicatrice d'Euler puis exprimer $\phi(n)$ en fonction de la décomposition primaire de $n \in \N^*$. +b) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $n = \sum_{n \in \N} \phi(d)$. +c) En déduire le déterminant de la matrice $(i \wedge j)_{0 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 499] +Montrer que : $\forall t \geq 0, \forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \det(A^2 + tI_n) \geq 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 500] +a) Soient $P_0, \ldots, P_{n-1}$ des polynômes de $\C[X]$ avec $P_k$ de degré $k$ et $z_0, \ldots, z_{n-1}$ des nombres complexes. Calculer $\det(P_{i-1}(z_{j-1}))_{1 \leq i,j \leq n}$. +b) Soient $x_0, x_1, \ldots, x_n \in \mathbb{Z}$. Montrer que $\prod_{0 \le i < j \le n} \frac{x_j x_i}{j i} \in \mathbb{Z}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 501] +Soient $a_1 < a_2 < \dots < a_n$ et $b_1 < b_2 < \dots < b_n$ des réels et $M = (e^{a_i b_j})_{1 \le i,j \le n}$. +a) Montrer que $\det M > 0$ lorsque $n$ = 2. +b) Calculer $\det M$ lorsque $b_k = k 1$ pour tout $k$. +c) Montrer que $M$ est inversible puis que $\det M > 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 502] +Soient $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que : $\sum_{i\neq j}(A_iA_j+A_jA_i)=0$. Montrer que : + +$$\det\left(\sum_{k=1}^{n} (A_k + I_n)^2 - (n-2)I_n\right) \geq0.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 503] +a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$ dont tous les coefficients diagonaux sont impairs et les autres pairs. Montrer que $A$ est inversible. +b) Est-ce encore le cas si on suppose les coefficients diagonaux pairs et les autres impairs? +c) On dispose de 2p+1 masses telles que, dès qu'on en enlève une, les 2p masses restantes peuvent être regroupées en deux ensembles de cardinal $p$ de même masse. Montrer que les 2p+1 masses sont toutes égales. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 504] +Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel, où $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\C$. Soient $f,g\in\mathcal{L}(E)$ tels que $()$ $f \circ g - g \circ f = id$. + +a) Vérifier que, pour tout $P \in \mathbb{K}[X]$, $f \circ P(g) - P(g) \circ f = P'(g)$ et montrer que $(g^n)_{n \in \N}$ est libre. + +b) Pour $E = \mathbb{R}[X]$, donner un exemple qui vérifie $()$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 505] +Soient $A \in \mathrm{GL}_n(\C)$ et $N \in \mathcal{M}_n(\C)$ nilpotente telles que AN = NA. Montrer qu'il existe $B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $B^2 = A + N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 506] +Soient A, $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $k \in \N^*$. On suppose que $A^{k+1}B^k = A$ et que $A$ et $B$ sont équivalentes. + +a) Montrer que $\dim \operatorname{Ker} A = \dim \operatorname{Ker} A^2$. + +b) Montrer que $\mathbb{K}^n = \operatorname{Ker} A \oplus \operatorname{Im} A$. + +c) Montrer que $B^{k+1}A^k = B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 507] +Soient $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$ et $A,B\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ deux matrices semblables. Montrer que Com $A$ et Com $B$ sont semblables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 508] +Soient $n \geq2$ et $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\C$. + +a) Calculer $\operatorname{Com}(J_r)$ où $J_r = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ avec $0 \leqslant r \leqslant n$. + +b) Montrer que Com(AB) = Com(A) Com(B) pour tout couple $(A, B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})^2$. + +c) Exprimer $\operatorname{rg}(\operatorname{Com}(A))$ en fonction de $\operatorname{rg} A$. d) Étudier l'injectivité de $\gamma: A \mapsto \text{Com}(A)$. Quelle est son image? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 509] +Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$. Soient $p_1, \ldots, p_n \in \mathcal{L}(E) \setminus \{0\}$. On suppose que : $\forall (i,j) \in [1,n]^2, p_i \circ p_j = \delta_{i,j}p_i$. + +a) Montrer que : $\forall i \in [1, n], \operatorname{rg} p_i = 1$. b) Montrer que la somme $\operatorname{Im} p_1 + \cdots + \operatorname{Im} p_n$ est directe. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 510] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. a) Montrer que : $\operatorname{rg} A = \operatorname{rg} A^2 \iff \mathbb{R}^n = \operatorname{Im} A \oplus \operatorname{Ker} A$. + +b) Montrer que rg $A = \operatorname{rg} A^2$ si et seulement si $t(A+tI_n)^{-1}$ possède une limite finie quand ttend vers 0+. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 511] +Si $V$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, on note $V^o$ l'ensemble des $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que $\forall A \in V, \operatorname{tr}(AM) = 0$ ; l'ensemble $V^o$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. + +a) Exprimer la dimension de $V^o$ en fonction de celle de $V$. + +b) Déterminer $V^o$ si $V$ est le sous-espace des matrices triangulaires supérieures de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 512] +Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ tel que $V \setminus \{0\} \subset \mathrm{GL}_n(\mathbb{Q})$. + +a) Montrer que $\dim V \leq n$. + +b) On note $S$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{Q})$ définie par $s_{i,j} = \begin{cases} 1 \text{ si } i = j+1 \\ 2 \text{ si } i = 1 \text{ et } j = n \\ 0 \text{ sinon.} \end{cases}$. + Soient $\lambda_0,\ldots,\lambda_{n-1}\in\mathbb{Z}$ tels que $\lambda_0$ soit impair. Montrer que $\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_kS^k\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{Q})$. + +c) En déduire que dans la question a) l'égalité est possible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 513] +Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie, $\mathcal{A}$ une sous-algèbre de $\mathcal{L}(E)$ telle que les seuls sous-espaces stables par tous les éléments de $\mathcal{A}$ soient $\{0\}$ et $E$. +a) Soit $x \in E$. Donner $\Gamma_x = \{f(x), f \in A\}$. +b) i) Soient $u \in \mathcal{A}$ tel que $\operatorname{rg}(u) = r \geq 1$ et $f \in \mathcal{A}$. Montrer qu'il existe $\alpha \in \C$ tel que $\operatorname{rg}(u \circ f \circ u \alpha u) < r$. + - ii) En déduire qu'il existe $u \in A$ tel que rg(u) = 1. +c) Montrer que $A = \mathcal{L}(E)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 514] +Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel et $u \in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $\operatorname{Im} u^2 = \operatorname{Ker} u^3$. Montrer que : $\operatorname{Im} u = \operatorname{Ker} u^4$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 515] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. On note S(A) sa classe de similitude. On suppose S(A) bornée. a) Montrer que $A$ est diagonale à l'aide des matrices de dilatation $I_n + (\lambda - 1)E_{i,i}$, où $\lambda \in \C$ +et $i \in \{1, ..., n\}$. Montrer que toute matrice de S(A) est diagonale. +b) À l'aide des matrices de transvection $I_n + E_{i,j}$ où $i \neq j$, montrer que $A \in \C I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 516] +Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$. a) Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que A, $B$ et $A$ + $B$ sont nilpotentes. Montrer: $\operatorname{tr}(AB) = 0$. +b) Soit $(A_1, \ldots, A_r)$ une famille libre de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. +Soit $\Phi: B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mapsto ((\operatorname{tr}(A_1B), \dots, \operatorname{tr}(A_rB)) \in \mathbb{K}^r$. Montrer que $\Phi$ est surjective. +c) Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ constitué de matrices nilpotentes. + - i) Exprimer la dimension de $G^{\circ}=\{B\,;\,\forall A\in G, \operatorname{tr}(AB)=0\}$ en fonction de celle de $G$. + - ii) Montrer que dim $G \leqslant \frac{n(n-1)}{2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 517] +Soit $n \in \N^*$. Soit $\mathcal{D}$ l'ensemble des matrices $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que $m_{i,j} = 0$ pour tous $i, j \in [1, n]$ tels que $i$ $j$ est impair. +a) Montrer que $\mathcal{D}$ est une sous-algèbre de $\mathcal{M}_n(\C)$. +b) Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $M \in \mathcal{D}$ si et seulement si $\mathrm{Com}(M) \in \mathcal{D}$. +c) L'équivalence précédente reste-t-elle vraie si on ne suppose plus $M$ inversible? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 518] +Déterminer les applications $f$ de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que, pour tout $X \in \mathbb{R}^n$ et toute $P \in GL_n(\mathbb{R})$, on ait $f(PX) = Pf(X)P^{-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 519] +Soient $n \geq2$ et $f \in \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\C))$. On suppose que, pour toute matrice $A \in \mathrm{GL}_n(\C)$, la matrice f(A) appartient à $\mathrm{GL}_n(\C)$. +a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C) \setminus \mathrm{GL}_n(\C)$. + - i) Montrer que $A$ est équivalente à une matrice nilpotente. + - ii) En déduire que $f(A) \notin GL_n(\C)$. +b) Montrer que $f$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_n(\C)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 520] +Soit $\mathcal{D}_n$ le sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$ constitué des matrices diagonales inversibles. Déterminer les $P \in \mathrm{GL}_n(\C)$ telles que $\forall M \in D_n, PMP^{-1} \in D_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 521] +Soit +$\phi$ + définie sur $\mathbb{R}[X]$ par $\phi(P) = \frac{1}{2} \left( P(X) + P(-X) \right) + \frac{X}{2} \left( P(X) - P(-X) \right)$. + +a) Montrer que $\operatorname{Ker} \phi = \{(1 X)P, \ P \in \mathbb{R}[X] \text{ impair}\}\ \text{et } \operatorname{Im} \phi = \{P \in \mathbb{R}[X] \text{ pair}\}$. b) Montrer que $\operatorname{Im} \phi \text{ et } \operatorname{Ker} \phi \text{ sont supplémentaires. Que dire de } \phi$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 522] +Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$. Déterminer la comatrice de la comatrice de $M$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 523] +Rappeler la base canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Donner une base de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ formée de matrices +diagonalisables. + + 524 Soient $n$, $d$ > 2 des entiers fixés. On note Lla matrice de $M$ ( $\C$ ) dont tous les coeffi- +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 524] +Soient $n, d \geq2$ des entiers fixés. On note $J$ la matrice de $\mathcal{M}_n(\C)$ dont tous les coefficients sont égaux à 1. Soit $M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ vérifiant les conditions suivantes : +i) $m_{i,i} = 0$ pour tout $1 \le i \le n$ ; ii) sur chaque ligne, $M$ a exactement $d$ coefficients égaux à 1 et $n$ - $d$ coefficients nuls; +iii) pour tous $1 \leqslant i \neq j \leqslant n$ : +si $m_{i,j} = 0$ alors il existe un unique $k \in [1, n]$ tel que $m_{i,k} = m_{k,j} = 1$, +$-\sin m_{i,j}=1$ alors il n'existe aucun $k\in \db{1,n}$ tel que $m_{i,k}=m_{k,j}=1$. +a) Déterminer le spectre de $J$. + b) Exprimer MJ, JM et M² en fonction de $M$, $J$ et $I_n$ . +c) Montrer que $\operatorname{Ker}(M-dI_n)=\operatorname{Im} J$. Que peut-on en déduire concernant le couple (n,d)? + d) Montrer que les autres valeurs propres de $M$ sont racines d'un polynôme du second degré à préciser. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 525] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant : $\forall i \in [1, n], \sum_{i=1}^n a_{i,j} = 1$ et $\forall (i, j) \in [1, n]^2, a_{i,j} \in [0, 1]$. +a) Montrer que 1 est valeur propre de $A$ puis que si $\lambda \in \operatorname{Sp}_{\C}(A)$, alors $|\lambda| \leq 1$. +b) On suppose que $\forall (i,j) \in [1,n]^2, \ a_{i,j} > 0$. +Montrer que 1 est la seule valeur propre complexe de $A$ de module 1. c) On revient au cas général et l'on suppose que $\lambda$ est une valeur propre complexe de $A$ de module 1. Montrer que : $\lambda^{n!} = 1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 526] +Soient A, $B$, $C$ dans $\mathcal{M}_2(\C)$ telles que $C$ = AB BA et $C$ commute avec $A$ et $B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 526] +Soient A, $B$, $C$ dans $\mathcal{M}_2(\C)$ telles que $C$ = AB BA et $C$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $C$ = 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 527] +Soient $n \geq2$ et $f$ un endomorphisme de $\C^n$ de rang 2. + a) Exprimer $\chi_f$ en fonction de $\tr f$ et $\tr f^2$. + b) Déterminer en fonction de tr $f$ et tr f² si $f$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 528] +Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $f_A : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto A^T M A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +a) Soient $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(Y_1,\ldots,Y_n)$ deux familles de $\mathbb{R}^n$. Montrer que $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(Y_1,\ldots,Y_n)$ sont deux bases de $\mathbb{R}^n$ si et seulement si $(X_iY_j^T)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ est une base de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +b) Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f_A$ est bijective.- c) On suppose que $A$ est diagonalisable. Montrer que $f_A$ est diagonalisable. +d) Soient $\lambda$ une valeur propre non nulle de $A^T$ et $Y$ un vecteur propre associé. Montrer que : + +d) Soient +$\lambda$ + une valeur propre non nulle de $A^T$ et $Y$ un vecteur propre associé. Montrer que : $F = \{XY^T, X \in \mathbb{R}^n\}$ est un sous-espace stable par $f_A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 529] +Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $M^2 + M^T = I_n$. +a) Montrer que $M$ est inversible si et seulement si $1 \notin \operatorname{sp}(M)$. +b) Montrer que $M$ est diagonalisable. +c) Déterminer les $M$ dans $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, puis dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, telles que $M^2+M^T=I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 530] +Soient $J \in \mathcal{M}_n(\C)$ la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1 et $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $A^3 = J$. Montrer que $tr(A)^3 = tr(J)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 531] +Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$. Déterminer l'ensemble $I = \{P \in \C[X], P(M) \text{ nilpotente}\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 532] +Soient $n \geq2$, $A, B \in \mathbb{R}[X]$ avec $B$ scindé à racines simples de degré n+1, et $f$ l'application qui à $P$ associe le reste de la division euclidienne de AP par $B$. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$. Quelles sont ses valeurs propres? $f$ est-il diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 533] +Soit $(A, B) \in \mathcal{M}_n(\C)^2$. Montrer qu'il y a équivalence entre : +i) $A$ et $B$ ont une valeur propre commune; +ii) il existe $C \in \mathcal{M}_n(\C)$ non nulle telle que AC = CB. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 534] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ tel que $\operatorname{Tr}(A^n) \neq 0$ et, pour tout $k \in [1, n-1]$, $\operatorname{Tr}(A^k) = 0$. Montrer +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 535] +Soit $E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$. Si $f \in E$, soit $T(f) : x \in [0,1] \mapsto \int_0^1 \min(x,t) f(t) dt$. +Montrer que $T \in \mathcal{L}(E)$. Déterminer les éléments propres de $T$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 536] +On identifie éléments de $\mathbb{R}[X]$ et fonctions polynomiales de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. +a) Montrer que $u: P \mapsto \left[ x \mapsto \int_0^{+\infty} P(x+t)e^{-t} \, dt \right]$ constitue un endomorphisme de $E$. +b) Montrer que $u(P) = \sum_{k=0}^{+\infty} P^{(k)}$ pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$. +c) Déterminer les éléments propres de $u$. + +que $A$ est diagonalisable. + +d) Caractériser les endomorphismes de $\mathbb{R}[X]$ qui commutent avec $u$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 537] +On pose $SL_2(\mathbb{Z}) = \{ M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z}), \det(M) = 1 \}$. +a) Vérifier que c'est un groupe. b) Quels sont les ordres finis possibles d'une matrice de $SL_2(\mathbb{Z})$ ? +c) Existe-t-il une matrice de $SL_2(\mathbb{Z})$ d'ordre infini? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 538] +On identifie ici les polynômes à coefficients dans $C$ avec leur fonction polynomiale associée. Soit $u$ qui à $P \in \C[X]$ associe $u(P): z \mapsto e^{-z} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{P(n)}{n!} z^n$.- a) Montrer que $u$ est bien définie et que $u(P) \in \C[X]$. +b) Montrer que $u$ est un automorphisme de $\C[X]$. Déterminer ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 539] +Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie et $u, v \in \mathcal{L}(E)$. Montrer qu'il existe un vecteur propre commun à $u$ et $v$ dans les cas suivants : $u \circ v = 0$, $u \circ v = \alpha u$ et $u \circ v = \alpha u + \beta v$ avec $\alpha, \beta \in \C$. Montrer que $u$ et $v$ sont alors cotrigonalisables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 540] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB + BA = A. Montrer que si $n$ est impair alors Aet $B$ ont un vecteur propre commun. Que dire si $n$ est pair? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 541] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que AB est diagonalisable. +a) La matrice BA est-elle diagonalisable? +b) La matrice $(BA)^2$ est-elle diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 542] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice diagonalisable. On pose : + + $\mathcal{C}(A) = \{ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), AB = BA \}$ + + $\mathcal{C}'(A) = \{ B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ; \forall C \in \mathcal{C}(A), CB = BC \}$. +# +a) Montrer que $\mathcal{C}(A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et en déterminer la dimension. À quelle condition a-t-on $C(A) = \mathbb{R}[A]$ ? +b) Montrer que $\mathcal{C}'(A)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et en déterminer la dimension. Montrer que $C'(A) = \mathbb{R}[A]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 543] +Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geq 1$ et $u \in \mathcal{L}(E)$. + +On écrit +$$\chi_u = \prod_{k=1}^r (X - \lambda_k)^{\alpha_k}.$$ + +On écrit $\chi_u = \prod_{k=1}^r (X \lambda_k)^{\alpha_k}$. a) Montrer que $E = \bigoplus_{k=1}^r \operatorname{Ker} (u \lambda_k \operatorname{id}_E)^{\alpha_k}$. +b) On suppose $u$ nilpotent d'indice $n$. +i) Montrer qu'il existe une base $\mathcal{B}$ de $E$ telle que $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(u) = \begin{bmatrix} \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & & \ddots & 1 \end{bmatrix}$. +ii) Montrer que les sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $u$ sont en nombre fini. +c) On suppose que $u$ est nilpotent et qu'il n'existe qu'un nombre fini de sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $u$. Montrer que $u$ est nilpotent d'indice $n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 544] +Soit $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $m_{1,i}=m_{n,i}=m_{i,n-i+1}=1$ pour $1\leqslant i\leqslant n$, les autres coefficients étant nuls. Calculer $\chi_{M^2}$. Est-ce que $M^2$ est diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 545] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\chi_A(X^2) = \chi_A(X)\chi_A(X-1)$. Montrer que $n$ est pair. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 546] +Soient $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ diagonalisable et $B = \begin{pmatrix} A & 2A \\ 0 & 3A \end{pmatrix}$. Montrer que $B$ est diagonalisable et déterminer ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 547] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, soit : $B = \begin{pmatrix} A & A \\ 0 & I_n \end{pmatrix}$ +a) Étudier la diagonalisabilité de $B$. +b) Étudier le rang de $B I_{2n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 548] +Soit $n \geq2$. On pose : $E_1 = \{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ; (I_n, B, \dots, B^{n-1}) \text{ libre} \}$ et $E_2 = \{B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ; \exists X \in \mathbb{R}^n, (X, BX, \dots, B^{n-1}X) \text{ libre} \}$. +a) Montrer que $E_2 \subset E_1$. +b) Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $X \in \mathbb{R}^n$. On pose $I_X = \{Q \in \mathbb{R}[X] ; Q(A)X = 0\}$. Montrer qu'il existe $P_{A,X} \in \mathbb{R}[X]$ unitaire tel que $I_X = P_{A,X}\mathbb{R}[X]$. +c) Montrer que : $\mathbb{R}^n = \bigcup_{X \in \mathbb{R}^n} \operatorname{Ker} P_{A,X}(A)$. +d) Montrer qu'il existe $U \subset \mathbb{R}^n$ finie telle que $\mathbb{R}^n = \bigcup_{X \in U} \operatorname{Ker} P_{A,X}(A)$. +e) Soient $p \in \N^*$ et $\phi_1, \dots, \phi_p$ des formes linéaires sur $\mathbb{R}^n$ telles que : $\mathbb{R}^n = \bigcup_{i=1}^p \operatorname{Ker} \phi_i$. +Montrer qu'il existe $i \in [1, p]$ tel que $\phi_i = 0$. +f) Montrer que $E_1 \subset E_2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 549] +Soit $H$ un sous-groupe fini de $GL_n(\mathbb{R})$ dont tous les éléments ont un spectre inclus dans $\{-1,1\}$. +a) Montrer que $H$ est commutatif. +b) Déterminer les valeurs possibles du cardinal de $H$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 550] +Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie, $u \in \mathcal{L}(E)$. Pour $x \in E$, on note : +$I_x = \{P \in \C[X], \ P(u)(x) = 0\}$ et $E_x = \{P(u)(x), \ P \in \C[X]\}$. a) Montrer que $I_x$ est un idéal non nul de $\C[X]$. On note $\mu_x$ le polynôme unitaire qui l'en- +gendre. b) Soient $x,y\in E$ tels que $\mu_x\wedge\mu_y=1$. Montrer que $\mu_{x+y}=\mu_x\mu_y$, puis que $E_{x+y}=0$ +$E_x \oplus E_y$. c) Soit $\pi_u$ le polynôme minimal de $u$. Montrer qu'il existe $x \in E$ tel que $\mu_x = \pi_u$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 551] +Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\pi_u = X^2 + aX + b$. On suppose $\pi_u$ non scindé sur $\mathbb{R}$. +a) Soient $x \in E \setminus \{0\}$. Montrer que $P_x = \text{Vect}(x, u(x))$ est un plan stable par $u$. +b) Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $u$ et $x \in E \setminus F$. Montrer que $P_x \cap F = \{0\}$. +c) Démontrer l'existence d'une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant tous identiques, de taille $2\times 2$, et de polynôme minimal $\pi_u$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 552] +Soit $A \in \mathcal{M}_3(\C)$. On pose $G_A = \{c \in \C^*, cA \text{ est semblable à } A\}$. +a) Montrer que $G_A$ est un sous-groupe de $\C^*$.- b) Montrer que $G_A$ est infini si et seulement si $A$ est nilpotente, et qu'alors $G_A = \C^*$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 553] +a) Déterminer les $\lambda \in \mathbb{R}$ pour lesquels il existe $A, B \in GL_n(\C)$ telles que $AB = \lambda BA$. +b) Déterminer, parmi les $\lambda$ trouvés en a), ceux pour lesquels toutes les matrices A,B vérifiant cette condition sont diagonalisables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 554] +Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n \geq2$. On s'intéresse aux endomorphismes $u$ de $E$ dont les seuls sous-espaces stables sont $\{0\}$ et $E$. +a) Déterminer ces endomorphismes dans le cas $\mathbb{K} = \C$ puis dans le cas $\mathbb{K} = \mathbb{R}$. +b) Dans le cas général caractériser ces endomorphismes à l'aide de leur polynôme caractéristique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 555] +Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie. +a) On suppose que $f$ a un plan vectoriel stable $F$. Montrer qu'il existe un polynôme $P \in \mathbb{K}_2[X]$ tel que $F \subset \operatorname{Ker} P(f)$. +b) On suppose qu'il existe un polynôme $P \in \mathbb{K}_2[X]$ tel que $\dim \operatorname{Ker} P(f) \geq 2$. Montrer que $\operatorname{Ker} P(f)$ contient un plan vectoriel stable par $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 556] +Soient $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$, $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$. +a) On suppose que $u$ est nilpotent d'indice $p$. + - i) Montrer que $p$ = $n$ si et seulement si dim Ker $u$ = 1. + - ii) Montrer que p=n si et seulement si $u$ possède un nombre fini de sous-espaces stables. +b) On revient au cas général. Montrer que $u$ possède un nombre fini de sous-espaces stables si et seulement si $\deg \pi_u = n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 557] +Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. On suppose que la fonction polynomiale associée est injective sur $\mathbb{R}$. Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisables vérifiant P(A) = P(B). Montrer que $A$ = $B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 558] +a) Montrer que deux matrices diagonalisables qui commutent sont simultanément diagonalisables. +b) Même question, avec un nombre quelconque de matrices. +c) Soit $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que $\forall A \in G, A^2 = I_n$. Montrer que $G$ est fini et donner une majoration de son cardinal. +d) Soit $n \neq m$. Montrer que $GL_n(\C)$ et $GL_m(\C)$ ne sont pas isomorphes. +e) On considère $G$ comme dans la question c). Montrer que $\operatorname{card} G$ est une puissance de 2. +f) Trouver tous les groupes multiplicatifs de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui ne sont pas des sous-groupes de $\mathrm{GL}_n(\C)$. On précise qu'un groupe multiplicatif de $\mathcal{M}_n(\C)$ est un sous-ensemble stable par produit matriciel et formant un groupe pour la loi induite par le produit matriciel. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 559] +Soient $A \in \mathcal{M}_m(\C)$, $B \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $\Phi_{A,B}$ l'endomorphisme de $\mathcal{M}_{m,n}(\C)$ défini par $\forall M \in \mathcal{M}_{m,n}(\C)$, $\Phi_{A,B}(M) = AM MB$. +a) Montrer que, si $A$ et $B$ n'ont pas de valeur propre commune, $\Phi_{A,B}$ est un automorphisme de $\mathcal{M}_{m,n}(\C)$. +b) Supposons que $\lambda$ soit une valeur propre commune à $A$ et $B$. Montrer que le noyau de $\Phi_{A,B}$ contient une matrice de rang 1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 560] +Soit $E = \{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), A^3 = A\}$. Montrer que $E$ est réunion d'un nombre fini de classes de similitude de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ que l'on précisera. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 561] +Soient $u \in \mathcal{L}(\C^n)$ et $\alpha > 0$. Montrer qu'il existe une base $e$ telle que la matrice $M$ de udans la base $e$ vérifie $\forall (i,j) \in [1,n]^2, i \neq j \implies |m_{i,j}| \leq \alpha$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 562] +Soient $n \geq2$ et $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$ tel qu'il existe $N \in \N^*$ tel que $A^N = I_n$ pour tout $A \in G$. + +a) Montrer que tous les éléments de $G$ sont diagonalisables. + +b) Soit $(M_i)_{1 \leq i \leq m}$ une base de Vect(G) constituée d'éléments de $G$. Soit $f: A \in G \mapsto$ $(\operatorname{tr}(AM_1),\ldots,\operatorname{tr}(AM_m))$. + +Soient $A, B \in G$ telles que f(A) = f(B). On pose $C = AB^{-1}$. + +i) Montrer que $\forall k \in \N$, $\operatorname{tr}(C^k) = n$. +ii) En déduire que $C I_n$ est nilpotente. +c) Montrer que $G$ est fini. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 563] +Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\C)$. + +Montrer que $\chi_A = \chi_B$ si et seulement si $\forall k \in \N^*$, $\operatorname{tr}(A^k) = \operatorname{tr}(B^k)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 564] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $3A^3 = A^2 + A + I_3$. Montrer que la suite $(A^k)_{k \geq0}$ converge vers une matrice que l'on précisera. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 565] +Soit $A \in GL_n(\mathbb{R})$. Exprimer le polynôme minimal de $A^{-1}$ en fonction du polynôme minimal de A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 566] +$ $ Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. + +a) Montrer que, pour $r \in \mathbb{R}^{+*}$ assez grand, $(re^{it}I_n A)^{-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{A^k}{r^{k+1}e^{i(k+1)t}}$. +b) Montrer que, pour tout $P \in \C[X]$ et tout $r$ > 0 assez grand, $P(A) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} re^{it} P(re^{it}) (re^{it} I_n - A)^{-1} dt$. +c) En déduire le théorème de Cayley-Hamilton. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 567] +Soient $U$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $U^{++}$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ à spectre inclus dans $\mathbb{R}^{+*}$. Soit $A \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, U^{++})$ telle que $t \mapsto A(t)^2$ est constante. + +a) Montrer que $A$ est constante. + +b) Le résultat subsiste-t-il si $A \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, U)$ ? +c) Le résultat subsiste-t-il si $A$ n'est pas de classe $C^1$ ? + +d) Le résultat subsiste-t-il si $A$ est valeurs dans l'ensemble des matrices trigonalisables à spectre inclus dans $\mathbb{R}^{+*}$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 568] +Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien, $X$ une partie de $E$. Montrer que $X$ est finie si et seulement si $\{\langle x,y\rangle,\ (x,y)\in X^2\}$ est fini. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 569] +Soit $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien non réduit à $\{0\}$. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\operatorname{tr}(u) = 0$.- a) Montrer qu'il existe $x \in E \setminus \{0\}$ tel que $\langle u(x), x \rangle = 0$. +b) Montrer qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est de diagonale nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 570] +Soit $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien de dimension 3. Soient $f, g \in SO(E)$. +a) On suppose qu'il existe $x \in E \setminus \{0\}$ tel que f(x) = g(x) = $x$. Montrer que $f$ et $g$ commutent. +${\it b}$ ) On suppose que $f$ et $g$ commutent. Montrer que l'une des deux propositions suivantes est vraie : +il existe $x \in E \setminus \{0\}$ tel que f(x) = g(x) = $x$, +-f et $g$ sont des symétries orthogonales par rapport à deux droites orthogonales entre elles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 571] +Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien et $p \in \mathcal{L}(E)$ un projecteur. Montrer l'équivalence entre : i) $p$ est un projecteur orthogonal, ii) $\forall x \in E, ||p(x)|| \leq ||x||$, iii) $p$ est symétrique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 572] +On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R})$ avec $n \geq p$ et $b \in \mathbb{R}^n$. On suppose que $\operatorname{rg}(A) = p$. +a) Montrer que la fonction $f: x \in \mathbb{R}^p \mapsto \|Ax b\|_2$ admet un minimum sur $\mathbb{R}^p$ atteint en un unique $x_0 \in \mathbb{R}^p$. +b) Montrer que $x_0$ est l'unique solution de $A^T A x = A^T b$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 573] +Montrer l'existence et calculer $\min_{P \in \mathbb{R}_{n-1}[X]} \sum_{i=1}^{n} (i^n P(i))^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 574] +On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de sa structure euclidienne usuelle. +a) En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz, démontrer que $||AB|| \le ||A|| \, ||B||$ quels que soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +b) Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ainsi qu'une suite $(M_p)_{p \in \N}$ à termes dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et telle que $\|I_n AM_0\| < 1$ et $\forall p \in \N, \ M_{p+1} = 2M_p M_pAM_p$. Montrer que $A$ est inversible et que +$(M_p)_{p\in\N}$ converge vers $A^{-1}$. +c) Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\mapsto \|I_n-AM\|$ admet un minimum, et le +c) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto ||I_n AM||$ admet un minimum, et le calculer en fonction de A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 575] +a) Montrer que $\langle P, Q \rangle = \int_{-1}^{1} \frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}} dt$ définit un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$. +a) i) Montrer qu'il existe une unique suite $(T_n)$ de polynômes réels telle que $\forall n \in \N, \ \forall x \in \mathbb{R}, \ T_n(\cos(x)) = \cos(nx)$. +ii) Déterminer degré et coefficient dominant de $T_n$ pour $n \in \N$. +c) On note $U_n[X]$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n \in \N$ de $\mathbb{R}[X]$. +Calculer $\min_{P \in U_n[X]} \int_{-1}^1 \frac{P^2(t)}{\sqrt{1-t^2}} dt$. +d) Que dire de la factorisation de $T_n$ dans $\mathbb{R}[X]$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 576] +$\text{ Soit } M \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}). \text{ Montrer que } \left| \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} m_{i,j} \right| \leqslant n \leqslant \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} |m_{i,j}| \leqslant n^{3/2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 577] +Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $n \in \N^*$. + +On dispose de deux produits scalaires $\phi$ et $\psi$ sur $E$, et on suppose qu'ils sont tels que $\mathcal{O}((E,\psi)) \subset \mathcal{O}((E,\phi))$, où $\mathcal{O}$ désigne l'ensemble des isométries vectorielles de l'espace euclidien considéré. Montrer que $\mathcal{O}((E,\psi)) = \mathcal{O}((E,\phi))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 578] +Soit $E$ un espace euclidien. Montrer que deux produits scalaires sur $E$ qui ont le même groupe orthogonal sont proportionnels. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 579] +On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $V_n = \operatorname{Vect} \operatorname{SO}_n(\mathbb{R})$. + +a) Expliciter $V_2$. +b) On suppose désormais $n \geq3$. Montrer que : $\exp \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \subset \mathrm{SO}_n(\mathbb{R})$ et $V_n^{\perp} \subset \mathcal{A}_n(\mathbb{R})^{\perp}$. c) Montrer que $V_n = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 580] +a) On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ stable par A. Montrer que $F^{\perp}$ est stable par $A^T$. +b) Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $AA^T = A^TA$. Montrer que $A$ est diagonalisable ou semblable à une matrice de la forme : $\begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \alpha & -\eta \\ 0 & n & \alpha \end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 581] +Soit $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\det(I_n + A) \geq 1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 582] +a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A + A^T = A^2$. Trouver un polynôme annulateur de A. +b) Caractériser les matrices $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $A + A^T = A^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 583] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = 0$. Montrer que $\operatorname{Im}(A + A^T) = \operatorname{Im} A + \operatorname{Im} A^T$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 584] +Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +a) Montrer que $u: S \mapsto MSM^T$ définit un endomorphisme de $S_n(\mathbb{R})$. +b) Montrer que $u: S \mapsto MSM^-$ definit un endomorphisme de $S_n(\mathbb{R})$. +c) Montrer que $u$ est un automorphisme si et seulement si $M$ est inversible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 585] +Soient $M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ non nulles, la matrice $N$ étant nilpotente d'indice $n$. +a) Montrer que $\operatorname{rg} N = n 1$. +b) On suppose que $MN^T = N^TM = NM^T$. Montrer que $\mathbb{R}^n = \operatorname{Im} M \oplus \operatorname{Im} N$. c) Étudier la réciproque de b). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 586] +a) Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer l'équivalence des énoncés suivants : +i) $x^T A x \geq 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, ii) $\operatorname{Sp} A \subset \mathbb{R}^+$. +b) Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, u) Sp $A \subset \mathbb{R}^+$. b) Montrer que, pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $A^T A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. +c) Montrer que, pour tout $S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$, il existe $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $S = A^T A$, puis déterminer $\{A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), A^T A = S\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 587] +a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ si et seulement si les coefficients diagonaux de $P^{-1}AP$ sont nuls pour toute matrice $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. +b) Soit $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$. Montrer que le rang de $A$ est pair. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 588] +On pose $\sigma(A) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i,j}^2$ pour $A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. + +a) Calculer $\sigma(\Omega)$ pour $\Omega \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. +b) Montrer que $\sigma(\Omega^T A \Omega) = \sigma(A)$ pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et tout $\Omega \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. +c) Calculer $\sigma(A)$ lorsque $A$ représente une projection orthogonale dans une base orthonormée. +d) Déterminer les matrices $P \in GL_n(\mathbb{R})$ telles que $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \ \sigma(P^{-1}AP) = \sigma(A)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 589] +Soient $n,m\in\N^*,\,S\in\mathcal{S}_m(\mathbb{R})$. On pose $A=\left(\mathrm{Tr}(S^{i+j-2})\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. Montrer que $\operatorname{rg}(A) = \min(n, \operatorname{deg}(\pi_S))$, où l'on a noté $\pi_S$ le polynôme minimal de $\hat{S}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 590] +Soit $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien. +a) Soit $u \in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $E = \text{Ker}(u) \oplus \text{Im}(u)$. +b) Soit $u \in \mathcal{S}^+(E)$. Montrer qu'il existe $h \in \mathcal{S}^+(E)$ tel que $u = h^2$. +c) Soient $f, g \in S^+(E)$. Montrer que $\operatorname{Ker}(f+g) = \operatorname{Ker}(f) \cap \operatorname{Ker}(g)$. Que dire de $\operatorname{Im}(f+g)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 591] +Soit $C: A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R}) \mapsto (I_n A)^{-1}(I_n + A) \in SO_n(\mathbb{R})$. +a) Montrer que $C$ est bien définie. +b) Étudier l'inversibilité de $I_n + C(A)$. Montrer que $C$ est injective. L'application $C$ est-elle surjective? Dans le cas contraire, donner son image. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 592] +Soit $G$ un sous-groupe borné de $GL_n(\mathbb{R})$. Montrer que $G \cap \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) = \{I_n\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 593] +On munit $\mathbb{R}^n$ de son produit scalaire canonique. Soit $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Une fonction $f: \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ est strictement convexe si $\forall (A,B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2, A \neq B \Rightarrow (\forall t \in \mathbb{R})$ [0,1[,f((1-t)A+tB)<(1-t)f(A)+tf(B)). Montrer que la fonction $x\mapsto \langle Ax,x\rangle$ est convexe sur $\mathbb{R}^n$. Étudier sa stricte convexité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 594] +Déterminer les applications $f$ de $\mathbb{R}^n$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que, pour tout $X \in \mathbb{R}^n$ et toute $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$, on ait $f(PX) = Pf(X)P^{-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 595] +Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Déterminer le nombre de matrices $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $A = B^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 596] +Montrer que si $M \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ alors $\operatorname{Com}(M) \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 597] +Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ telle que $\operatorname{Sp}(A)\subset\mathbb{R}^{+*}$. a) Montrer que $a_{i,i}>0$ pour $1\leqslant i\leqslant n$, puis que $a_{i,j}^2\leqslant a_{i,i}a_{j,j}$ pour $1\leqslant i,j\leqslant n$. +b) Montrer que $\max_{1 \leqslant i,j \leqslant n} |a_{i,j}| = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} a_{k,k}$. c) Que dire de la matrice $A_{i,j} = \begin{pmatrix} a_{i,i} & a_{i,j} \\ a_{i,i} & a_{i,j} \end{pmatrix}$ pour $1 \leqslant i < j \leqslant n$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 598] +Soient $A, B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer que si un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ contient toutes les valeurs propres de $A$ et $B$, alors $I$ contient également les valeurs propres de (1-t)A+tB pour tout $t \in [0, 1].$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 599] +Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Pour $i \in \db{1,n}$, on note $A_i$ la matrice extraite des $i$ premières lignes et colonnes de A. Montrer que $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \iff \forall i \in \db{1,n}$, $\det(A_i) > 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 600] +Montrer que le spectre de +$$A = \left(\frac{1}{i+j}\right)_{1 \le i \le n}$$ + est inclus dans $\mathbb{R}^{+*}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 601] +Soient $\alpha \in \mathbb{R}$, $n \in \N^*$ et $S = \left(\alpha^{|i-j|}\right)_{1 \le i, j \le n}$. +a) Calculer $\det(S_n)$. +b) À quelle condition a-t-on $S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 602] +$ $ a) Soient $U, V \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $R \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ tel que $U = R^2$ et en déduire $\operatorname{tr}(UV) \geq 0$. +b) Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$, $f: I \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ dérivable et $P \in \mathbb{R}[X]$. Montrer que : $\alpha: t \mapsto \operatorname{tr} P(f(t))$ est dérivable et calculer $\alpha'$. +$\alpha: t \mapsto \operatorname{tr} P(f(t))$ est dérivable et calculer $\alpha$. c) Soient $A, B \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ telles que $B - A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer que : $\operatorname{tr}(e^A) \leq \operatorname{tr}(e^B)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 603] +Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. +a) Montrer qu'il existe un unique couple $(O, S) \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \times \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ tel que $M$ = OS. +b) Calculer sup{tr(AM), $A \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ }. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 604] +Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$ > 0 et $u \in \mathcal{S}(E)$. On note $\lambda_1 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n$ les valeurs propres de $u$ et, pour $k \in [0, n]$, on note $\mathcal{G}_k$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$ de dimension $k$. On note enfin $E$ la sphère unité de $E$. +a) Pour un sous-espace vectoriel non nul $V$ de $E$, montrer que $x \in V \cap S \mapsto \langle x, u(x) \rangle$ possède un maximum et un minimum. +b) Montrer, pour tout $k \in [1, n]$, les identités $\lambda_k = \min_{V \in \mathcal{G}_k} \max_{x \in V \cap S} \langle x, u(x) \rangle = \max_{V \in \mathcal{G}_{n+1-k}} \min_{x \in V \cap S} \langle x, u(x) \rangle$. +#+end_exercice + +** Analyse + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 605] +Donner un exemple de forme linéaire discontinue sur un espace normé. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 606] +Soit +$$E = \{ f \in \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R}), \ f(0) = f'(0) = 0 \}.$$ + +Pour $f \in E$, on pose $N(f) = ||f + 2f' + f''||_{\infty}$. + +a) Montrer que $N$ est une norme sur le $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$. +b) Soit $f \in E$. On pose $g$ = $f$ + 2f' + f''. Exprimer $f$ en fonction de $g$. c) Montrer qu'il existe a > 0 telle que $\forall f \in E, \|f\|_{\infty} \leq aN(f)$. +d) Les normes $N$ et $\| \|_{\infty}$ sont-elles équivalentes ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 607] +Pour $a \in \mathbb{R}$ et $P \in \mathbb{R}[X]$, on pose $N_a(P) = |P(a)| + \max\{|P'(x)|, x \in [-1, 1]\}$. +a) Justifier que $N_a$ est une norme. +b) Pour $a, b \in \mathbb{R}$, $N_a$ et $N_b$ sont-elles équivalentes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 608] +Pour +$P \in \mathbb{R}[X]$ +, on pose $||P||_{\infty} = \sup_{t \in [0,1]} |P(t)|$, $||P||_1 = \int_0^1 |P(t)| \, \mathrm{d}t$ et$$N(P) = \sup_{n \in \N} \left| \int_0^1 t^n P(t) \, \mathrm{d}t \right|.$$ + +a) Montrer que $N$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$. +b) Comparer les normes $N$ et $\| \|_{\infty}$. +c) Comparer les normes $N$ et $\| \cdot \|_1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 609] +Soit $Q \in \mathbb{R}[X] \setminus \{0\}$. Pour $P \in \mathbb{R}[X]$ on pose $\|P\|_Q = \sup_{t \in [-1,1]} |P(t)|Q(t)|$. +a) Montrer que $\| \|_Q$ est une norme sur $\mathbb{R}[X]$. +b) On pose $Q_1=1$. Donner une condition suffisante sur $Q$ pour que $\|\ \|_Q$ et $\|\ \|_{Q_1}$ soient équivalentes. +c) On suppose que $Q$ admet un zéro $\alpha$ dans [-1,1]. +i) Montrer qu'il existe $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré 2 tel que $P(\alpha) = 1$, $P'(\alpha) = 0$ et $\forall t \in [-1, 1] \setminus \{\alpha\}, \ 0 \leq P(t) < 1$. +ii) Montrer que $(t \mapsto P(t)^n Q(t))_{n \in \N}$ converge uniformément sur [-1,1] vers la fonction nulle. + - iii) Conclure que $\| \|_Q$ et $\| \|_{Q_1}$ ne sont pas équivalentes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 610] +a) Existe-t-il une norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant : +$\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \forall P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), \|P^{-1}AP\| = \|A\|$ ? b) Même question en remplaçant $\mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ par $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 611] +L'ensemble des polynômes scindés à racines simples et de degré $n$ est-il un ouvert de $\mathbb{R}_n[X]$ ? Un fermé de $\mathbb{R}_n[X]$ ? L'ensemble des polynômes scindés, à racines simples est-il un ouvert de $\mathbb{R}_n[X]$ ? Un fermé de $\mathbb{R}_n[X]$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 612] +Soient $p \in \N^*$ et $S$ un segment de $\mathbb{R}$. On note $E = \mathcal{C}^0(S, \mathbb{R})$, que l'on munit de la norme infinie. On note $\mathcal{Z}_p$ l'ensemble des éléments de $E$ qui s'annulent en au moins $p$ points. +a) Montrer que $\mathcal{Z}_1$ est fermé dans $E$. +b) Déterminer l'adhérence de $\mathcal{Z}_p$ pour n'importe quel $p$ dans $\N^*$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 613] +Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ continue. Montrer que la restriction de $f$ à un cercle de rayon strictement positif n'est pas injective. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 614] +Soient (E, || ||) un espace vectoriel normé et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq ||x||$. + +Pour tout +$n \in \N$ +, on pose : $v_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} u^k$. + +a) Simplifier $v_n \circ (u id)$. +b) Montrer que Ker(u id) et Im(u id) sont en somme directe. +c) Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : +i) $\operatorname{Ker}(u \operatorname{id}) \oplus \operatorname{Im}(u \operatorname{id}) = E$ ; +ii) $(v_n)$ converge simplement sur $E$ et $\mathrm{Im}(u-\mathrm{id})$ est fermé dans $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 615] +Soit $K$ un convexe compact non vide d'un espace normé $E$.a) Soit $u$ un endomorphisme continu de $E$ tel que $u(K) \subset K$. Montrer que $C = (\mathrm{id} - u)(K)$ + +est convexe et compact. En utilisant la suite $x_n = \sum_{k=0}^{n-1} (\operatorname{id} - u)(u^k(x))$ montrer que $u$ admet + +un point fixe. +b) Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite d'endomorphismes continus de $E$ qui stabilisent tous $K$ et qui commutent. On note $F_n$ l'ensemble des points de $K$ fixes par $u_1, \ldots, u_n$. Montrer que $F_n$ est non vide pour tout $n$. En déduire qu'il existe un point fixe commun à tous les endomorphismes $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 616] +Soient $N_1, N_2$ et $N_3$ des normes sur respectivement $\mathbb{R}_m[X], \mathbb{R}_n[X]$ et $\mathbb{R}_{n+m}[X]$. +a) Justifier que $N_4:(P,Q)\mapsto N_1(P)+N_2(Q)$ est une norme sur $\mathbb{R}_m[X]\times\mathbb{R}_n[X]$. b) Montrer que $\inf_{\substack{P\in\mathbb{R}_m[X]\setminus\{0\}\\Q\in\mathbb{R}_n[X]\setminus\{0\}}}\frac{N_3(PQ)}{N_1(P)N_2(Q)}>0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 617] +Soit $\mathcal{B}$ l'espace des suites réelles bornées muni de la norme infinie. +a) Pour $X \in \mathcal{P}(\N)$ on pose $u_X = (\mathbf{1}_X(n))_{n \geq 0}$. Montrer que $\phi : X \mapsto u_X$ est une bijection de $\mathcal{P}(\N)$ sur $\{0,1\}^{\N}$. +b) On suppose l'existence d'une partie dénombrable $A = \{a_k, k \in \N\}$ de $\mathcal{B}$ dense dans $\mathcal{B}$. Soient $b\gt 0$ et $X \in \mathcal{P}(\N)$. +Justifier l'existence de $k_X = \min\{k \in \N, ||u_X a_k||_{\infty} \leq b\}$. Aboutir à une contradiction. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 618] +Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels. Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si l'imageqdirecte par $f$ de tout ouvert de $\mathbb{R}^n$ est un ouvert de $\mathbb{R}^p$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 619] +a) On munit $E = C^0([0, 1], \mathbb{R})$ de la norme $\| \|_{\infty}$. + +Les parties $A=\left\{f\in E,\; \int_0^1 f=1\right\}$ et $B=\left\{f\in E,\;\; f([0,1])\subset [0,1]\right\}$ sont-elles compactes? + +Si $(E, \| \|)$ un espace vectoriel normé et $K$ un compact non vide de $E$, on dit que $f \colon K \to K$ est une isométrie si $\forall (x, y) \in K^2$, ||f(x) - f(y)|| = ||x - y||. +b) Dans $\mathbb{R}$, quelles sont les isométries de [0,1]? +c) Soit $f$ une isométrie du compact $K$. Montrer que $f$ est surjective. +d) Soient $K$ un compact et $f: K \to K$ telle que $: \forall (x,y) \in K^2, \|f(x) f(y)\| \geq\|x y\|$. Montrer que $f$ est une isométrie. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 620] +Soient (E, || ||) un espace vectoriel normé et $f: E \to E$ vérifiant : $\forall (x,y) \in E^2, ||f(x) - f(y)|| \leq ||x - y||^2$. Montrer que $f$ est constante. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 621] +Soient $K$ un compact non vide et $f: K \to K$ une fonction continue telle que : $\forall (x,y) \in K^2, ||f(x) - f(y)|| \geq||x - y||$. +a) Montrer que $f$ est bijective. +b) Montrer que $f^{-1}$ est continue. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 622] +Soient $(E, \| \|)$ un espace normé de dimension finie et $f: E \to E$ telle que, pour tous $x,y\in E$, $\|f(x)-f(y)\|\leq \frac{1}{4}\left(\|f(x)-x\|+\|f(y)-y\|\right)$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 623] +On pose $E=\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+,\mathbb{R})\cap L^2$ que l'on munit de la norme $\|\ \|_2$. Si $f\in E$, on pose + +$$\phi(f): x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \begin{cases} \frac{1}{x} \int_0^x f \sin x > 0 \\ f(0) \sin n. \end{cases}$$ + . Montrer que $\phi$ est un endomorphisme continu de $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 624] +Soit $C$ un fermé non vide de $\mathbb{R}^n$ tel que : $\forall (x,y) \in C^2, x \neq y \Rightarrow ]x,y[ \cap C \neq \emptyset$. Montrer que $C$ est convexe. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 625] +a) Soient (E, || ||) un espace vectoriel normé et $f$ une forme linéaire continue non nulle sur $E$. On fixe $x_0 \in E$ tel que $f(x_0) \neq 0$. + +i) Montrer que $\|f\|_{\mathrm{op}} = \frac{|f(x_0)|}{d(x_0, \operatorname{Ker} f)}$. + +calculer $\|\Phi\|_{op}$. + +ii) Montrer que les deux énoncés suivants sont équivalents : +il existe $a \in E$ tel que ||a|| = 1 et $||f||_{op} = |f(a)|$, +il existe $y \in \text{Ker}(f)$ tel que $d(x_0, \text{Ker } f) = ||x_0 y||$. +b) On munit l'espace $E = \mathcal{C}^0([-1,1],\mathbb{R})$ de la norme $\| \|_{\infty}$, et on définit l'application $\Phi:u\in E\mapsto \int_0^1 u(t)\mathrm{d}t-\int_0^1 u(t)\mathrm{d}t$. Montrer que $\Phi$ est une forme linéaire continue, et +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 626] +Pour tout $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on pose $S(A) = \{P^{-1}AP, P \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})\}$. Pour tout $k \in \N^*$, +on pose $Q_k = \text{Diag}(k^n, k^{n-1}, \dots, k)$. a) Soit $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une matrice triangulaire supérieure. Calculer $\lim_{k \to +\infty} Q_k^{-1} T Q_k$. +b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est trigonalisable si et seulement si $\overline{S(A)}$ contient une matrice diagonale. +c) Montrer l'équivalence des énoncés suivants : i) $A$ est nilpotente, ii) S(A) contient une matrice triangulaire supérieure de diagonale nulle, iii) $0 \in \overline{S(A)}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 627] +On considère l'ensemble des matrices de $\mathcal{M}_n(\C)$ dont le polynôme caractéristique est scindé à racines simples. Cet ensemble est-il ouvert? fermé? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 628] +Soir $r \in [0, n]$. Déterminer l'intérieur, l'adhérence et les composantes connexes par arcs de l'ensemble des matrices de rang $r$ de $\mathcal{M}_n(\C)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 629] +On munit $\C^n$ de la norme $\|\cdot\|_2$. Pour $r \in \mathbb{R}^+$ et $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$, on dit que $G$ vérifie $\mathcal{P}(r)$ si $||AX - X||_2 \leqslant r||X||_2$ pour tout $A \in G$ et tout $X \in \C^n$. +a) Pour quels $r$ le groupe $SO_2(\mathbb{R})$ vérifie-t-il $\mathcal{P}(r)$ ? +b) Soient $G$ sous-groupe de $GL_n(\C)$ qui vérifie $\mathcal{P}(r)$, $A \in G$ et $\lambda \in \operatorname{sp}(A)$. Montrer que $|\lambda| = 1$ puis que $\text{Ker}(A - \lambda I_n)^2 = \text{Ker}(A - \lambda I_n)$. En déduire que les éléments de $G$ sont diagonalisables.- c) Montrer que si $r < \sqrt{2}$ alors le seul groupe qui vérifie $\mathcal{P}(r)$ est $\{I_n\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 630] +Pour $n \in \N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$. +a) Montrer que $P_n$ n'a pas de racine réelle si $n$ est pair, et a une unique racine réelle sinon. +b) On note $x_n$ la racine réelle de $P_{2n+1}$. Montrer que $(x_n)_{n\geq 0}$ est strictement décroissante et tend vers $-\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 631] +Soient $a,b\in\N$ avec $b>a\geq 1$. Déterminer la limite de la suite de terme général $\sum_{n=0}^{b} \ln\left(1-\frac{k}{n^2}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 632] +Déterminer la limite de la suite de terme général $\sum_{k=0}^{n} \frac{n+k}{2+\sin(n+k)+(n+k)^2}$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 633] +Pour $n \in \N^*$, soit $u_n = \left(\cos\left(\frac{n\pi}{3n+1}\right) + \sin\left(\frac{n\pi}{6n+1}\right)\right)^n$. Déterminer la limite de $(u_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 634] +On considère une suite réelle $u$ vérifiant $u_0 > 0$ et $\forall n \in \N, \ u_{n+1} = \sqrt{u_n} + \frac{1}{n+2}$. +a) Montrer qu'il existe $n \in \N$ tel que $u_n > 1$. +$\boldsymbol{b}$ ) Montrer que $u$ est décroissante à partir d'un certain rang, puis qu'elle est convergente, et déterminer sa limite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 635] +Soit $\alpha \in ]1, +\infty[$. +a) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, l'équation $\prod_{k=1}^n (kx+n^2) = \alpha n^{2n}$ possède une unique solution strictement positive, que l'on notera $x_n$. +b) Montrer que $\forall n \in \N^*, x_n < 2\alpha$. +c) Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 636] +On note, pour $j \in \N^*, k_j = \min \left\{ n \in \N^*, \ \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \geq j \right\}$. +a) Montrer que $k_i$ est bien défini. +b) Étudier la monotonie et la limite éventuelle de $(k_j)_{j\in\N^*}$. +c) Montrer que $\frac{k_{j+1}}{k_i} \xrightarrow{j \to +\infty} e$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 637] +Soit $(a_n)$ une suite strictement monotone telle que $a_n \to +\infty$ et $(a_{n+1}-a_n)$ est bornée. Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+*},\mathbb{R})$ telle que $f'(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0$. +Montrer que, si $f(a_n) \longrightarrow \ell \in \mathbb{R}$, alors $f(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} \ell$.- +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 638] +Pour $a \in \{0, 1\}$, on pose $v_{1,a} = x \in \mathbb{R}$ et $v_{n+1,a} = \left(2 + \frac{1}{n}\right) v_{n,a} a$ pour $n \in \N^*$. +a) Expliciter $t_n \neq 0$ tel que $v_{n,0} = xt_n$ pour tout $n \in \N^*$. b) Exprimer $\frac{v_{n+1,a}}{t_{n+1}} \frac{v_{n,a}}{t_n}$ en fonction de $t_{n+1}$. +c) En déduire la limite des suites $(v_{n,a})_{n\in\N}$ en fonction de $x$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 639] +Soit $(a_n)$ définie par $a_0=0, a_1=1$, et, pour $n\geq 1, a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$. a) Montrer que, pour tout $n, a_n^2-a_{n-1}a_{n+1}=1$. +b) Soit, pour $n \in \N^*$, $S_n = \sum_{k=1}^n \arctan\left(\frac{1}{4a_k^2}\right)$. Exprimer $S_n$ en fonction de $a_n$ et $a_{n+1}$. +c) Montrer que $S_n \xrightarrow[n \to +\infty]{\pi} \frac{\pi}{12}$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 640] +Soit $(x_n)$ définie par $x_0 > 0$ et, pour $n \in \N$, $x_{n+1} = x_n + e^{-x_n^2}$. En étudiant les suites de termes généraux $u_n = \frac{e^{x_n^2}}{r}$ et $v_n = u_{n+1} - u_n$, trouver un équivalent puis un développement asymptotique de $x_n$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 641] +Soit $\alpha = \frac{\ln 2}{\ln(10)}$. +a) Montrer que $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$. +b) Si $x \in \mathbb{R}$, on pose $\{x\} = x |x|$. Montrer que $A = \{\{n\alpha\}, n \in \N\}$ est dense dans $[0, 1]$. +c) Montrer qu'il existe $k \in \N$ tel que l'écriture décimale de $2^k$ commence par 2025. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 642] +a) Soit $a \in [1/2, 1]$. +Déterminer la limite de la suite de terme général $u_n = 2^{-n} \sum_{\frac{n-n^a}{2} \leqslant k \leqslant \frac{n+n^a}{2}} \binom{n}{k}$. +b) Soit $(I_n)_{n\in\N}$ une suite d'ensembles telle que $\forall n\in\N, I_n\subset[0,n]$. $Y$ a-t-il équivalence entre : i) $|I_n| = o(n)$, ii) la suite de terme général $2^{-n} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}$ tend vers 0? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 643] +a) Donner un équivalent de $H_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k}$. +b) Donner un équivalent de $u_n$, cardinal de $\{(x,y,z) \in \db{1,n}^3, xy=z\}$. c) Donner un équivalent de $v_n$, cardinal de $\{(x,y,z) \in \db{1,n}^3, xy=z^2\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 644] +Soient $\lambda \in \mathbb{R}$ et $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite d'éléments de $\mathbb{R}^{+*}$. +On suppose que $\frac{u_{n+1}}{u_n} = 1 \frac{\lambda}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Déterminer la nature de la série $\sum u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 645] +Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. Nature de $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{\sin(\arctan(n^{\alpha}))}{n}$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 646] +Soit $\alpha$ un réel > 1. Pour tout $n \geq1$, on pose $u_n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}$. + +a) Vérifier la bonne définition de $u_n$, et en donner un équivalent quand $n \to +\infty$. b) On pose $v_n = \frac{u_{n^2}}{u_n}$ pour tout $n \geq 1$. Étudier la convergence des séries $\sum v_n$ et + + $\sum (-1)^n v_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 647] +Pour $n \in \N^*$, on pose $u_n = \frac{\sqrt{n!}}{\left(1+\sqrt{1}\right)\left(1+\sqrt{2}\right)\cdots\left(1+\sqrt{n}\right)}$. Étudier la convergence et calculer $\sum_{n=0}^{\infty} u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 648] +On admet que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Démontrer la convergence et calculer la somme : $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n-1} \sum_{k=-1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 649] +a) Montrer que : $\sum_{k=0}^{n} (-1)^{\lfloor \sqrt{k} \rfloor} = O(\sqrt{n})$. + +b) Soit $z \in \mathbb{U}$. Montrer que $\sum \frac{(-1)^{\lfloor \sqrt{k} \rfloor}}{k} z^k$ est une série convergente. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 650] +Soit $(u_n)_{n\geq 0}\in (\mathbb{R}^+)^{\N}$. On pose, pour $n\in \N$, $v_n=\frac{1}{1+n^2u_n}$. Montrer que si la série $\sum v_n$ converge alors la série $\sum u_n$ diverge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 651] +a) Montrer que la série $\sum \frac{2^{k+1}(k!)^2}{(2k+1)!}$ converge. On pose $\sigma = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{2^{k+1}(k!)^2}{(2k+1)!}$. + +b) Soient a>0 et $(u_n)\in\C^{\N}$ telle que $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\in\C$. + +Montrer que $\frac{1}{(1+a)^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^k u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \ell$. + +c) En déduire que, si la série de terme général $u_n$ converge, alors la série de terme général + +$$\frac{a}{(1+a)^{n+1}} \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^k u_k$$ + converge. Lorsqu'il y a convergence, montrer que + + $\sum_{i=1}^{+\infty} \left( \frac{a}{(1+a)^{n+1}} \sum_{i=1}^{n} \binom{n}{i} a^i u_i \right) = \sum_{i=1}^{+\infty} u_i$. + +d) Montrer que $\arctan(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}$ pour tout $x \in [-1,1]$.- e) En déduire la valeur de $\sigma$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 652] +On pose $a_n = \frac{n! e^n}{n^n \cdot \sqrt{n}}$. +a) Montrer que $\sum (\ln(a_{n+1}) \ln(a_n))$ converge. +b) Donner un équivalent de $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$ quand $n$ tend vers $+\infty$. +c) Démontrer que $n! \sim \sqrt{2\pi n} \, n^n e^{-n} \left( 1 + \frac{1}{12n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 653] +a) Soit a > 0. Discuter de la nature de $\sum \frac{1}{(n!)^{a/n}}$ en fonction de a. +b) Soit $(v_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^{\N}$ telle que $\sum (n!)^{2/n}v_n^2$ converge. Montrer que $\sum v_n$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 654] +Montrer que les séries $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(\ln n)}{n}$ et $\sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{\sin(\ln t)}{t} dt$ sont de même nature. + +Quelle est cette nature? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 655] +Soit $(u_n) \in \mathbb{R}^{\N}$ de limite nulle. Nature de $\sum u_n$ avec les conditions suivantes : +i) $n(u_{n+1}-u_n) \to 1$, ii) $n^2(u_{n+1}-u_n) \to 1$, iii) $n^p(u_{n+1}-u_n) \to 1$ avec $p$ > 2. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 656] +Soit $(u_n)$ strictement positive telle que $\sum u_n$ converge. +a) Montrer que $\frac{1}{n}\sum ku_k \to 0$. +b) Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}ku_k$ converge. +c) Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n+1} \left( n! \prod_{k=1}^{n} u_k \right)^{1/n}$ converge, puis montrer que + +$$\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{n+1} \left( n! \prod_{k=0}^{n} u_k \right)^{1/n} \leqslant \sum_{k=0}^{+\infty} u_k.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 657] +Soit $\sum a_n$ une série convergente à termes positifs ou nuls. +a) Montrer que : $\forall n \in \N^*, \left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n} \leqslant \frac{1}{n(n!)^{1/n}} \sum_{k=1}^n k a_k$. +b) Montrer que : $\forall n \in \N^*, \left(\prod_{k=1}^n a_k\right)^{1/n} \leqslant \frac{e}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n k a_k$.- c) Montrer que : $\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\prod_{k=0}^{n} a_k\right)^{1/n} \leqslant e^{k} \sum_{k=0}^{+\infty} a_k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 658] +Soit $f$ strictement croissante de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 659] +Soient a et $b$ deux réels. Caractériser l'existence d'une fonction continue décroissante $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(f(x)) = ax + b$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 660] +Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, il existe $\eps > 0$ pour lequel $f_{|[x-\eps,x+\eps]}$ est convexe. +a) Montrer que $f$ est dérivable à droite en tout point. + +b) Montrer que $f$ est convexe et continue sur $\mathbb{R}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 661] +Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si : + +$$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \ x < y \Rightarrow f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leqslant \frac{1}{y-x} \int_{-\infty}^{y} f(t) \, dt.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 662] +Soient $\alpha > 1$ et $f_{\alpha} : x \in ]-1-\alpha, +\infty[ \mapsto \alpha \ln\left(1+\frac{x}{1+\alpha}\right)$. +a) Montrer que $f_{\alpha}$ admet un unique point fixe $x_{\alpha}$ et que $x_{\alpha} \in ]-2,-1[$. +b) On suppose que $\alpha$ est tel que $\frac{x_{\alpha}}{1+\alpha} > -\frac{1}{2}$. Montrer que + +$$\left| \ln \left( 1 + \frac{x_{\alpha}}{1+\alpha} \right) - \frac{x_{\alpha}}{1+\alpha} + \frac{1}{2} \left( \frac{x_{\alpha}}{1+\alpha} \right)^{2} \right| \leqslant \frac{8}{3} \frac{|x_{\alpha}|^{3}}{(1+\alpha)^{3}}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 663] +On note $E$ l'ensemble des applications réelles continues sur $\mathbb{R}$ de carré intégrable. Pour tout $f \in E$, on pose $||f|| = \left(\int_{-}^{} f^2\right)^{1/2}$. +a) Montrer que (E, || ||) et un espace vectoriel normé. +b) Soit $f \in E$ de classe $C^2$ telle que $f'' \in E$. Montrer que $f' \in E$ et $||f'||^2 \leq ||f|| \cdot ||f''||$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 664] +Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$. On note $S$ l'ensemble des fonctions continues sur Itelles que, pour tout $x \in I$, $\lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \left( f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) \right) = 0$. +a) On suppose $f$ dérivable sur $I$. Montrer que $f \in S$. +b) On suppose que $f \in S$ et que $f$ admet un maximum en $x_0 \in I$. Montrer que $f$ est dérivable en $x_0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 665] +On pose $f(x) = e^{-1/x^2}$ pour $x \in \mathbb{R}^*$, et f(0) = 0. a) Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ et qu'il existe une suite $(P_n)_{n\geq 0} \in \mathbb{R}[X]^{\N}$ telle que $\forall x \in \mathbb{R}^*, \ \forall n \in \N, \ f^{(n)}(x) = P_n(1/x)e^{-1/x^2}$. +b) Montrer que $f$ n'est solution sur $\mathbb{R}$ d'aucune équation différentielle de la forme y'=a(x)y avec $a: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue.- c) Montrer que $P_n$ est scindé sur $\mathbb{R}$ quel que soit $n \in \N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 666] +Étude et graphe de $f: x \mapsto \frac{\ln(|x|)}{\ln(|x-2|)}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 667] +Soit $f \in \mathcal{D}^3(\mathbb{R})$, telle que $ff^{(3)} = 0$. +a) Montrer que si f' est strictement monotone sur un intervalle $I$, $f$ prend au plus deux fois chaque valeur sur $I$. +b) Soit $\Gamma = \{x \in \mathbb{R}, f''(x) = 0\}$. Montrer que si $\Gamma \neq \emptyset$, alors $\Gamma$ n'est ni majoré, ni minoré. c) Montrer que $\Gamma$ est un intervalle de $\mathbb{R}$. Caractériser $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 668] +a) Soient $\lambda > 0$ et $f_{\lambda} : x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto x^{-\lambda} e^{1/x}$. Montrer l'existence d'un unique +$g(\lambda) > 0$ tel que $f_{\lambda}(g(\lambda)) = 1$. b) Trouver un développement asymptotique de $g(\lambda)$ lorsque $\lambda \to +\infty$ et lorsque $\lambda \to 0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 669] +Soit $E = \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie. On suppose que $F$ est stable par produit. Montrer que $F$ ne contient que des fonctions constantes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 670] +On munit $\mathbb{R}^2$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $r \in \mathbb{R}^+$ et $v \in \mathbb{R}^2$ tel que $||v|| \leq r$. Montrer qu'il existe $f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^2)$ vérifiant : + +$$\forall x \in \mathbb{R}, \ \|f(x)\| = r, \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f = v \text{ et } \forall x \in \mathbb{R}, \ f(x + 2\pi) = f(x).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 671] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre +i) AB = BA, ii) $\forall t \in \mathbb{R}$, $e^{t(A+B)} = e^{tA}e^{tB}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 672] +Calculer $\int_0^{\pi/2} \frac{x \cos(x) \sin(x)}{\cos^4(x) + \sin^4(x)} dx$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 673] +Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec a < $b$. On se place sur $E = \mathcal{C}^0([a, b], \mathbb{R})$. On introduit, pour $f \in E$ et $p \in \N^* : ||f||_p = \left( \int_{a}^{b} |f|^p \right)^{1/p}$. +a) Montrer que $\| \|_p$ est une norme sur $E$. b) Que vaut $\lim_{p \to +\infty} \|f\|_p$ ? +c) Si $f \geq 0$ et $g$ > 0 sur [a, b], que vaut $\lim_{p \to +\infty} \left( \int_{-b}^{b} g f^{p} \right)^{1/p}$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 674] +Soit $f \in \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R})$ telle que $f\left(\frac{1}{2}\right) = f'\left(\frac{1}{2}\right) = 0$. +Montrer que $\int_0^1 f''(x)^2 dx \geq320 \left[ \int_0^1 f(x) dx \right]^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 675] +On pose $E = \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$. Soit $p \in \N$. +a) Soit $f \in E$. Montrer qu'il existe un unique élément $u(f) \in E$ vérifiant :$\forall x > 0, u(f)(x) = \frac{1}{x^{p+1}} \int_0^x t^p f(t) dt$. + +b) Montrer que $u$ est linéaire et injective. +c) Déterminer les valeurs propres de $u$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 676] +Soit $a \in \mathbb{R}$. On pose $E_a = \{ f \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R}) ; f(0) = f(1) = 0 \text{ et } f'(0) = a \}$. Montrer que $\int_{-1}^{1} f''(t)^2 dt \geq 3a^2$ pour tout $f \in E_a$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 677] +Déterminer les $f$ de $C^0([0,\pi],\mathbb{R})$ vérifiant $\forall n \in \N^*, \int_0^{\pi} f(t) \cos(nt) dt = 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 678] +Déterminer la borne inférieure de $\int_0^1 |f'-f|$ lorsque $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ parcourt l'ensemble des fonctions de classe $C^1$ telles que f(0) = 0 et f(1) = 1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 679] +Soient $f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{K})$ avec $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, ou $\C$ et $\delta > 0$. Montrer qu'il existe $P \in \mathbb{K}[X]$ tel que $||f - P||_{\infty} \le \delta$ et $\int_{-\infty}^{\infty} f = \int_{-\infty}^{\infty} P$. On pourra commencer par le cas réel. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 680] +Expliciter la fonction $F: x \mapsto \int_{a}^{\sin^2 x} \arcsin\left(\sqrt{t}\right) dt + \int_{a}^{\cos^2 x} \arccos\left(\sqrt{t}\right) dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 681] +Déterminer $A = \left\{ \frac{\int_0^1 f(t) e^t dt}{\int_0^1 f(t) dt} ; f \in \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R}^+) \setminus \{0\} \right\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 682] +Soient $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et $g: x \mapsto \frac{1}{x} \int_0^x \cos(x-y) f(y) \, \mathrm{d}y$. +a) Calculer la limite de $q$ en 0. +b) On suppose que $f$ admet une limite finie en $+\infty$. Déterminer la limite de $g$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 683] +On admet que $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(u)}{u} du = \frac{\pi}{2}$. +Convergence et calcul de $\int_0^{+\infty} \frac{2 2\cos(u) u\sin(u)}{u^4} du$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 684] +Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour tout $n \in \N$, on pose : $I_n = \int_0^\pi \frac{\cos(nt) \cos(nx)}{\cos t \cos x} dt$. +a) Donner un sens à l'intégrale $I_n$. b) Expliciter $I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 685] +a) Montrer que, pour tout réel a > -1, $\int_{0}^{\pi/2} \frac{dt}{1 + a \sin^2 t} = \frac{\pi}{2\sqrt{a+1}}$. +Ind. Poser $x = \tan t$.b) Soit +$\alpha$ + un reer > 0. Etudier la convergence de $\sum u_n$, ou $u_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2 t}$ +c) Étudier la convergence de l'intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^{\alpha} \sin^2 t}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 686] +Calculer +$$\int_{0}^{1} (-1)^{\lfloor 1/x \rfloor} dx.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 687] +Soient +$f$ + une fonction continue périodique de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ et $\alpha \in \mathbb{R}^{+*}$. + +L'intégrale +$$\int_{1}^{+\infty} \frac{f(t)}{t^{\alpha}} dt$$ + est-elle convergente? absolument convergente? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 688] +a) Soit +$a > 0.$ Étudier la convergence de l'intégrale $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos(at)}{t} dt$. + +b) Soient +$$a_1, \ldots, a_n > 0$$ + et $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{R}$. + +Discuter la convergence de l'intégrale $\int_0^{+\infty} \sum_{i=1}^n \lambda_i \frac{\cos(a_i t)}{t} \, \mathrm{d}t$ et en cas de convergence, la calculer. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 689] +a) Soit +$$f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^{+*}, \mathbb{R}^{+*})$$ + décroissante et intégrable. Soit $S : r \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} f(kr)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 589] +a) Soit +$$f \in C^{\infty}(\mathbb{R}^{++}, \mathbb{R}^{++})$$ + decroissante et integrable. Soit $S: r \in \mathbb{R}$ + +Montrer que +$S(r)$ + existe et donner un équivalent de $S(r)$ lorsque $r \to 0^+$. + +Montrer que +$S(r)$ + existe et donner un équivalent de $S(r)$ lorsque $r \to 0^+$. +b) Soient $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, \C)$ et $a, b \in \mathbb{R}$ avec $b > a > 0$. On suppose que $\int_1^{+\infty} \frac{f(t)}{t} \mathrm{d}t$ converge. Prouver la convergence et calculer $\int_0^{+\infty} \frac{f(at) - f(bt)}{t} \, \mathrm{d}t$. + +c) Calculer +$$I = \int_{-t}^{+\infty} \frac{e^{-t} - e^{-2t}}{t} dt.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 690] +Soit +$$f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^{+*}$$ + une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\frac{f'(x)}{f(x)} \sim \frac{2}{x}$ quand $x \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 690] +Soit +$$f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^{+*}$$ + une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\frac{f(x)}{f(x)} \sim \frac{2}{x}$ quand $x \to +\infty$. Montrer que $\frac{1}{x} \int_{-x}^{x} f(t) dt \sim \frac{f(x)}{3}$ quand $x \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 691] +Soient +$$f \in C(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$$ + et $\ell \in \mathbb{R}^*$. On suppose que $: f(x) \int_0^x f \xrightarrow[x \to +\infty]{} \ell$. Déterminer un équivalent simple de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 692] +Pour tout +$x > 0$ +, on pose $f(x) = \int_{x}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 692] +Pour tout +$x > 0$ +, on pose $f(x) = \int_{x}^{\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$. + +a) Montrer que $f$ est bien définie. + +b) Étudier l'intégrabilité de +$f$ + sur $]0, +\infty[$. +c) Le cas échéant, calculer $\int_0^{+\infty} f(x) dx$.. a) Montrer qu'il existe un réel +$\gamma$ + tel que $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = \ln n + \gamma + o(1)$ quand $n \to +\infty$ + +b) Montrer que $\int_{a}^{+\infty} \frac{e^{-ax} - e^{-bx}}{x} dx = \ln(b) - \ln(a)$ pour tous réels a > 0 et $b$ > 0. + +c) Montrer l'existence de $I = \int_0^1 \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{\ln(1+t)}\right) dt$ puis l'égalité + +c) Montrer l'existence de +$$I = \int_0^1 \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{\ln(1+t)}\right) dt$$ + puis l'égalité $I = \int_0^{+\infty} e^{-u} \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{1-e^{-u}}\right) du$. + +d) Montrer que $I = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{+\infty} \left( \frac{e^{-nu} - e^{-(n+1)u}}{u} - e^{-nu} \right) du$. + +e) En déduire que +$I = -\gamma.$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 694] +Soit $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ de classe $C^1$ telle que f(0) = f(1) = 0. + +a) Montrer que +$$\int_0^1 f(t)f'(t) \cot n(\pi t) dt$$ + converge. + +b) En déduire que $\pi^2 \int_0^1 f(t)^2 dt \le \int_0^1 f'(t)^2 dt$. + +605 Soit +$$f \in C^1(\mathbb{D}^+, \mathbb{D})$$ + On suppose the fact integrable out $\mathbb{D}^+$ and $f(x)$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 695] +Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+,\mathbb{R})$. On suppose que $f$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$, que $f(x) \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et que f' est croissante. Montrer que, pour tout $x \geq0$, $\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 \le \frac{2}{3} f(x) \int_{-\infty}^{+\infty} f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 696] +On note +$E$ + l'ensemble des fonctions continues et de carré intégrable de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$. Soit $f \in E$. On pose $g(0) = f(0)$ et $g(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f$ pour tout $x > 0$. + +$f \in E.$ On pose $g(0) = f(0)$ et $g(x) = \frac{1}{x} \int_0^x f$ pour tout $x > 0$ +a) Montrer que $g$ est continue et $\int_0^x g^2 = -xg(x)^2 + 2 \int_0^x fg(x)$ + +a) Montrer que +$g$ + est continue et $\int_0^x g^2 = -xg(x)^2 + 2\int_0^x fg$. +b) Montrer que, pour tout $x \geq0$, $\int_0^x g^2 \le 4\int_0^x f^2$. + +En déduire que $g \in E$ et $\int_{0}^{+\infty} g^{2} \leqslant 4 \int_{0}^{+\infty} f^{2}$. + + $\left| f(x) - \sum_{k} a_k e^{-kx} \right| \leqslant \eps;$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 697] +On pose, pour +$n \in \N$ +, $f_n(x) = x^n \ln(x)$ si $x \in ]0,1]$, et $f_n(0) = 0$. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers $0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 698] +Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec a < $b$. Quelles sont les fonctions de [a, b] dans $\mathbb{R}$ qui sont limite uniforme sur [a,b] d'une suite $(p_n)_{n\geq 0}$ de polynômes tels que, pour tout $n\in\N$ et tout $x \in [a, b], p_n''(x) > 0$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 699] +Soit +$f$ + une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$. Montrer l'équivalence entre : + +i) pour tout $\eps > 0$, il existe $n \in \N$ et $(a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ tels que, pour tout $x \in \mathbb{R}^+$, +ii) $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$ et admet une limite finie en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 700] +Soit $(f_n)$ une suite de fonctions convexe sur [a,b] à valeurs dans $\mathbb{R}$. On suppose que $(f_n)$ converge simplement sur [a, b] vers une fonction $f$. +a) Montrer que $f$ est convexe. +b) Soient $\alpha, \eta$ tels que : $a < \alpha < \eta < b$. Montrer qu'il existe $K$ > 0 tel que : +$\forall n \in \N, \forall (x, y) \in [\alpha, \eta]^2, |f_n(x) f_n(y)| \leqslant K|x y|$. +c) i) Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment de [a,b[ mais pas nécessairement sur [a, b]. + - ii) Montrer que si $f$ est continue, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur [a,b]. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 701] +On pose $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x e^{-nx}}{\ln(n)}$. +a) Déterminer les domaines de définition, de continuité, puis de dérivabilité de $f$. +b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, puis en donner un équivalent simple. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 702] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \ln\left(\frac{n+1+x}{n+x}\right)$. Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^{+*}$. +Déterminer la limite et un équivalent de $f$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 703] +a) Soit $x \in [0, 1[$. Justifier l'existence de $f(x) = \prod_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}$. +b) Montrer que, pour tout $x \in ]0, 1[$, $\ln(f(x)) = \ln 2 + \frac{x-1}{x} \sum_{n=1}^{+\infty} x^n \ln(1+x^n)$. +c) En déduire que, pour tout $x \in ]0,1[$, $\ln{(f(x))} = \ln{2} + \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{(-1)^m}{m} \frac{x^m}{1 + x + \dots + x^m}$. +d) Montrer que $f$ possède une limite finie en 1 et la déterminer +On admettra que $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 704] +a) Déterminer le domaine de définition de $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x}{n(1+n^2x)}$ + - b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. + - c) Déterminer un équivalent de $f$ en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 705] +a) Montrer que $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\cos(nx)}{n^{3/2}}$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. +b) Pour $n \in \N$ et $x \in \mathbb{R}$, donner une expression simplifiée de $\sum_{n=0}^{\infty} \sin(kx)$. +c) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur tout segment inclus dans $\mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 706] +On pose $f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1 + x^{2n}}$. + +a) Domaine de définition de f? +b) Étudier la continuité de $f$ sur son domaine de définition. Est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ ? +c) Déterminer des équivalents de $f$ en $0, 1^-, 1^+$ et $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 707] +Soient a > 0 et $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivable telle que : $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = f(ax)$. + +a) Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$. +b) Calculer $f^{(n)}$ et expliciter $f^{(n)}(0)$ en fonction de f(0). +c) Déterminer le rayon de convergence de la série entière : $\sum \frac{1}{n!} a^{n(n-1)/2} x^n$. + +On suppose $a \in ]0,1[$ et l'on note $:g:x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{n!}a^{n(n-1)/2}x^n$. + +d) Montrer que $g$ est bien définie sur $\mathbb{R}$, de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et : $\forall x \in \mathbb{R}, g'(x) = g(ax)$. +e) On suppose f(0) = 0. Montrer que $f$ = 0. f) Résoudre l'équation fonctionnelle : y'(x) = y(ax). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 708] +Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ bornée et dérivable, vérifiant : $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = f(x+1)$. + +a) Montrer que : $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{f(n)}{n!} x^n$. +b) Montrer que : $\forall k \in \N, f(k) = -\sum_{n=k+2}^{n=0} \frac{f(n)}{(n-k)!}$ +c) Montrer que $f$ = 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 709] +Soit $f: x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Z} \mapsto \frac{-\pi^2}{\sin^2(\pi x)} + \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(x-n)^2}$. +a) Montrer que $f$ est bien définie, 1-périodique et continue. + +b) Montrer que $f$ est prolongeable par continuité sur $\mathbb{R}$ et que + +$$\forall x \in \mathbb{R}, 4f(x) = f\left(\frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x+1}{2}\right).$$ + +c) Montrer que f=0 et en déduire : $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 710] +Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^{+*})$ une fonction croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)} \sim \frac{a}{x \to +\infty} \frac{a}{x}$ avec a > 0. +a) Rappeler les théorèmes d'intégration des équivalents et donner un équivalent de $\ln(f(x))$ quand $x \to +\infty$. +b) On pose $u: x \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} f(n) e^{-nx}$. Déterminer le domaine de définition de $u$ et donner les limites de $u$ aux bornes de ce domaine. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 711] +Soit $p \in ]0,1[$. Soit $f$ définie par : $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} n^x p^n$. + +b) Tracer une allure du graphe de $f$. + +a) Déterminer le domaine de définition de $f$. + +c) Étudier l'intégrabilité de $f$ en $-\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 712] +Soient $\lambda \in \C$ et $F_{\lambda}: s \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\lambda^n}{s(s+1)\cdots(s+n)}$. +a) Déterminer l'ensemble $\Delta_{\lambda}$ des $s \in \mathbb{R}^{+*}$ pour lesquels $F_{\lambda}(s)$ est bien défini. +b) Trouver la limite de $F_{\lambda}$ quand $s \to \sup(\Delta_{\lambda})$. c) Donner un équivalent de $F_{\lambda}(s)$ quand $s$ tend vers $\inf(\Delta_{\lambda})$. +d) Calculer $\int_0^1 y^n (1-y)^{s-1} dy$. En déduire une expression intégrale de $F_{\lambda}(s)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 713] +On admet que $\pi$ est irrationnel. Soit $\alpha > 1$. On pose, pour $n \in \N^*$ : $a_n = \left(\frac{\cos(n)}{n} + \frac{\alpha}{n}\right)^n$. +a) Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum a_n x^n$. +b) Étudier la convergence de la série en $R$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 714] +Soient $q \in ]-1,1[$ et $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \sin(q^n x)$. +a) Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. +b) Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinageqde 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 715] +Soit $f: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t} \operatorname{sh}\left(x\sqrt{t}\right) dt$. +a) Donner le domaine de définition de $f$. +b) Développer $f$ en série entière puis exprimer $f$ à l'aide des fonctions usuelles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 716] +Pour tout $n \in \N$, on pose : $a_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n t \, dt$. Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$, faire l'étude aux bords et calculer la somme. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 717] +Notons $D_n$ le nombre de permutations de $\{1,\ldots,n\}$ qui n'admettent aucun point fixe. On pose par convention $D_0 = 1$. +a) Montrer que $\sum_{k=0}^{n} {k \choose k} D_k = n!$. +b) Soit $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{D_n}{n!} x^n$. Montrer que $S$ a un rayon de convergence $\geq 1$. +c) Calculer $e^x S(x)$ et en déduire une expression de $D_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 718] +On définit $f(z) = \frac{z}{e^z - 1}$ pour $z$ complexe lorsque cela a un sens, et f(0) = 1. On + +définit une suite réelle +$$(b_n)_{n\in\N}$$ + par $b_0=1$ et $\forall n\in\N\setminus\{0,1\},\ \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n}{k}b_k=0$. + +a) Déterminer le domaine de définition de $f$. +b) Montrer que $|b_n| \leq n!$ pour tout $n \in \N$. +c) Montrer que $f$ est développable en série entière autour de 0 et que $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{b_n}{n!} z^n$ pour + $z$ voisin de 0. Montrer que le rayon de convergence de la série entière en question appartient à $[1, 2\pi]$. + +d) En considérant $z \mapsto f(z) + \frac{z}{2}$, calculer $b_n$ pour tout $n \in \N$ impair. +e) Montrer que tan est développable en série entière autour de 0 et expliciter le développement en série entière associé en fonction des $b_n$. Ind. Considérer f(z) + f(-z). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 719] +Soit $p \in \mathbb{R}$. L'application $f: x \in \mathbb{R} \mapsto \left(x + \sqrt{1 + x^2}\right)^p$ est-elle développable en série entière au voisinageqde 0? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 720] +Pour +$n \in \N$ +, on pose $u_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \prod_{k=0}^n \left(1 - \frac{x}{2^k}\right)$. + +a) Montrer que la suite $(u_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}$ vers une fonction $u$ que l'on ne cherchera pas à expliciter. +b) Montrer que $u$ est continue sur $\mathbb{R}$. +c) Montrer que $u$ est développable en série entière au voisinageqde 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 721] +On considère : +$$f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-n} e^{in^2 x}.$$ + +a) Montrer que $f$ est bien définie et de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. +b) Montrer que $f$ n'est pas développable en série entière au voisinageqde 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 722] +Soit $(u_n)$ une suite définie par $u_0 \in ]0, \pi/2[$ et $u_{n+1} = \sin(u_n)$ pour $n \in \N$. Pour $n \in \N$, on pose $a_n = \int_0^{u_n} \frac{\mathrm{d}t}{1+\sin t}$. + +Pour +$n \in \N$ +, on pose $a_n = \int_0^{u_n} \frac{\mathrm{d}t}{1 + \sin t}$. + +a) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ et étudier le comportement de la suite $(a_n)$. +b) Montrer la divergence de $\sum u_n^2$ et la convergence de $\sum u_n^3$. +c) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$. Préciser le comportement de sa somme en 1 et en -1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 723] +Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite complexe telle que $\sum n|a_n|$ converge. Soit $f:z\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$. +a) Montrer que le rayon de convergence de $f$ est $\geq 1$.- b) On suppose que $a_1 \neq 0$ et que $\sum_{n=0}^{+\infty} n |a_n| \leq |a_1|$. Montrer que $f$ est injective sur le disque +unité ouvert. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 724] +Pour $n \in \N$, on note p(n) le cardinal de l'ensemble $\{(x,y,z) \in \N^3 : x+2y+3z=n\}$. +Soit $G: t \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} p(n) t^n$. a) Montrer que le rayon de $G$ est $\geq 1$ et que $\forall t \in ]-1, 1[\ , G(t) = \frac{1}{(1-t)(1-t^2)(1-t^3)}$ +b) Expliciter p(n) et en déterminer un équivalent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 725] +Soient $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et $f \in \mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{R})$ telle que, pour tout $n \in \N$, $f^{(n)} \geq 0$. Montrer que, pour tout $x \in I$, il existe $r$ > 0 et $(a_n)_{n \geq 0} \in \mathbb{R}^{\N}$ tels que $]x r, x + r[ \subset I$ et +$\forall t \in ]-r, r[, f(x+t) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n t^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 726] +a) Déterminer les endomorphismes continus du groupe $(\mathbb{R}, +)$. Si $(a_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^{\N}$, on dit que $(a_n)_{n\geq 0}$ vérifie la propriété $\mathcal{P}$ si le rayon de convergence de $\sum a_n x^n$ est supérieur ou égal à 1 et si $x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ admet une limite finie en $1^-$. +b) Montrer que, si $\sum a_n$ converge absolument, $(a_n)_{n\geq 0}$ vérifie $\mathcal{P}$. Étudier la réciproque. +c) Déterminer les fonctions $f$ de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ telles que, pour toute suite $(a_n)_{n\geq 0}$ vérifiant $\mathcal{P}$, la suite $(f(a_n))_{n\geq 0}$ vérifie $\mathcal{P}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 727] +a) Soient $(p,q) \in (\N^*)^2$ et $f \in \mathcal{C}^0([0,p/q],\mathbb{R})$. Pour $n \in \N^*$, on pose : $P_n =$ +$\frac{X^n(p-qX)^n}{n!}$ Montrer que : $\int_0^{p/q} P_n(t)f(t) dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. b) Montrer que $\pi$ est irrationnel +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 728] +Déterminer un équivalent de $\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-nt}|\cos t|}{\sqrt{t}} dt$ lorsque $n \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 729] +Déterminer un équivalent de $I_n = \int_0^{+\infty} (1 + nx^4)^{-n} dx$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 730] +Soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ strictement croissante vérifiant f(0)=0 et f(1)=1. Montrer que: $\int_{0}^{1} f(t)^{n} dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 731] +On pose : $\forall x \in ]0,1[\,,f(x)=\frac{-x}{\ln(1-x)}$ et $\forall n \in \N,\ I_n=\int_0^1 x^n f(x)\,\mathrm{d}x$. +a) Étudier la bonne définition, la convergence et la limite de la suite $(I_n)$. +b) Déterminer un équivalent simple de $I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 732] +Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^+)$ bornée. + +Déterminer la limite de la suite de terme général $\frac{1}{n} \left( \int_0^{+\infty} \left( \ln \left( 1 + e^{nf(x)} \right) \right)^n e^{-x} dx \right)^{1/n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 733] +Soit +$$a \in \mathbb{R}^* \setminus \{-1, 1\}.$$ On pose $I_n = \int_0^{\pi} \frac{\cos(nt)}{1 - 2a\cos t + a^2} dt$. + +a) Montrer que $a(I_n + I_{n+2}) = (a^2 + 1)I_{n+1}$ pour tout $n$. +b) Calculer $I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 734] +Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^{\pi/4} (\tan(x))^n dx$. +a) Trouver une relation de récurrence vérifiée par $(I_n)$ et en déduire un équivalent de $I_n$. +b) Donner le rayon de convergence de $\sum I_n x^n$. +c) Montrer que $I_{2n} = (-1)^n \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$. Exprimer de même $I_{2n+1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 735] +Soit $x \in \mathbb{R}$. Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) dt$ et $J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) \cos(2xt) dt$. +a) Donner une relation entre $I_n$ et $I_{n+2}$. b) Montrer que la suite $((n+1)I_nI_{n+1})$ est constante et en déduire $I_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$. +c) i) Montrer l'existence de $\alpha > 0$ tel que $\forall t \in [0, \pi/2], \cos(t) \leqslant 1 \alpha t^2$ et déduire que $\int_{-\infty}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{nt} \cos^n(t) dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. +$J_0$ ii) Soit $f \in \mathcal{C}^1([0,\pi/2],\mathbb{R})$. Montrer que $\frac{1}{I} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) \cos^n(t) dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(0)$. + - iii) Montrer que, si $x \neq \pm \frac{n}{2}$, alors $J_n = \left(1 \frac{4x^2}{n^2}\right)^{-1} \frac{n-1}{n} J_{n-2}$. + - *iv*) Conclure que, si $x \in ]-\pi, \pi[$, alors $\pi x \prod_{n=0}^{\infty} \left(1 \frac{x^2}{k^2}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sin(\pi x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 736] +Exprimer $\int_0^{+\infty} \frac{\ln^2(x)}{x^2+1} dx$ sous forme de somme d'une série. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 737] +On appelle suite de fonctions de Bertrand une suite $(f_n)$ de fonctions continues sur $\mathbb{R}^+$ à valeurs positives, uniformément majorées et vérifiant : $\forall n \in \N, \int_0^{+\infty} f_n = 1$. +Soit $\mathcal B$ une suite de fonctions de Bertrand et $\sum a_n$ une série numérique réelle. On dit que $\sum a_n$ est $\mathcal B$ -convergente si +$-\sum a_nf_n$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$, vers une fonction continue;- $-\int_{0}^{+\infty}\sum_{n=0}^{+\infty}a_{n}f_{n}$ est une intégrale convergente. +a) Montrer que toute série absolument convergente est $\mathcal{B}$ -convergente. +b) On pose : $\forall n \in \N, \forall t \in \mathbb{R}^+, f_n(t) = \frac{t^n e^{-\overline{t}}}{n!}$. Montrer que $(f_n)$ est une suite de fonctions +de Bertrand. Expliciter une série divergente qui est $b$-convergente. +c) Pour $n \in \N$, on définit $f_n : t \in \mathbb{R}^+ \mapsto \begin{cases} 0 \text{ si } t \leqslant n \\ t n \text{ si } n < t \leqslant n + 1 \\ n + 2 t \text{ si } n + 1 < t \leqslant n + 2 \end{cases}$. +Montrer que $(f_n)$ est une suite de Bertrand et montrer qu'une série $\sum a_n$ converge si et seulement si elle est $\mathcal{B}$ -convergente. +En cas de convergence, montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n = \int_{0}^{+\infty} \sum_{n=0}^{+\infty} a_n f_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 738] +Montrer l'existence et calculer : $\lim_{\lambda \to +\infty} \int_{0}^{\pi/2} \cos(\lambda \sin t) dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 739] +Soit $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ une fonction continue. On pose F(0)=0 et, pour $x\in[0,1]$, $F(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^{x} \frac{f(t)}{\sqrt{x-t}} dt$. Étudier la continuité de $F$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 740] +Soit $F: a \in \mathbb{R}^+ \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}x}{(1+x^2)(1+x^a)}$. Montrer que $F$ est constante, en déduire sa valeur. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 741] +Pour tout $x \in \mathbb{R}$, existence et calcul de $\int_{-t}^{+\infty} \frac{e^{ixt}-1}{t}e^{-t}dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 742] +Soit $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2} dt$. +a) Domaine de définition $D$ de $F$ - b) Montrer que $F(x) = \int_{-t}^{+\infty} \frac{\sin(t-x)}{t} dt$ pour tout $x \in D$. c) En déduire que $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 743] +a) Déterminer les $z \in \C$ tels que $\int_{0}^{+\infty} t^{z-1} e^{-t} dt$ soit absolument convergente. On note G(z) cette intégrale. +b) i) On pose $I_n: z \mapsto \int_0^n t^{z-1} \left(1 \frac{t}{n}\right)^n dt$. Justifier que $I_n$ est bien définie. +ii) Montrer que $\lim_{n \to +\infty} I_n(z) = G(z)$.- c) Montrer que $G$ ne s'annule pas sur son domaine de définition. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 744] +On pose $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)} dt$. a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $F$. +b) Montrer que $F$ est de classe $C^1$, puis calculer $F$. +c) En déduire la valeur de $\int_{-t^2}^{+\infty} \frac{(\arctan t)^2}{t^2} dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 745] +a) Montrer que $\int_{0}^{+\infty} \sin(x^2) dx$ est une intégrale convergente. +b) Montrer que : $G: t \mapsto \left(\int_0^t e^{ix^2} dx\right)^2 + i \int_0^1 \frac{e^{it^2(x^2+1)}}{x^2+1} dx$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et +calculer G'. c) On admet que : $\int_0^1 \frac{e^{it^2(x^2+1)}}{x^2+1} dx \to 0$ quand $t \to +\infty$. Calculer $\int_0^{+\infty} \sin(x^2) dx$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 746] +Soit $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t} dt$. a) Domaine de définition $D$ de $F$. Montrer que $F$ est positive et décroissante. + - b) Montrer que $F(x) \leqslant \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-xt} dt$ pour tout $x \in D$ et en déduire la limite de $F$ en $+\infty$. + - c) Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $D$ et que $F(x) F'(x) = \frac{1}{x}$ pour tout $x \in D$. En + - déduire que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $D$. d) Montrer que $F(x) = e^x \int_{-t}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$ pour tout $x \in D$ et en déduire la limite de $F$ en $0^+$. + - e) Montrer que $F(x) \sim -\ln x$. + - +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 747] +Pour x>0, on pose $\Gamma: x\mapsto \int_{0}^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\mathrm{d}t$. + - a) Trouver une relation entre $\Gamma(x)$ et $\Gamma(x+1)$ pour x>0. + - b) On pose, pour $n \in \N^*$, $u_n = \ln(\Gamma(n))$ Montrer que $u_n = n \ln(n) - n - \frac{\ln(n)}{2} + \frac{\ln 2\pi}{2} + o(1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 748] +Soient $E=\left\{f\in\mathcal{C}^2([0,1],\C)\,,\,f(0)=f(1)=0\right\}$ et $F=\mathcal{C}^0([0,1],\C)$. a) Montrer que $\Delta:f\mapsto f''$ est un isomorphisme de $E$ dans $F$. +b) Pour $g \in F$, on pose $G: x \in [0,1] \mapsto \int_0^1 |x-t| g(t) dt$. Montrer que $G$ est de classe $C^2$ et calculer G''. +c) En déduire une fonction de deux variables $k:[0,1]^2 \to \mathbb{R}$ telle que +$\forall g \in F, \forall x \in [0,1], \Delta^{-1}(g)(x) = \int_0^1 k(x,t) g(t) dt.$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 749] +Soit $F: a \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1+t^2)(1+at^2)}}$. Donner un équivalent de $F$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 750] +On pose +$$f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \left( e^{-xt} \int_0^t \frac{\sin(u)}{u} du \right) dt.$$ Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ et exprimer $f$ à l'aide des fonctions usuelles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 751] +a) Déterminer le domaine de définition de $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{t^x}{e^t - 1} dt$ et montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur ce domaine. + +b) Donner un équivalent de $f$ en chacune des bornes du domaine. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 752] +Soient $f$, $g$ continues sur $\mathbb{R}$. a) On suppose $f$ intégrable sur $\mathbb{R}$ et $g$ bornée. + +Montrer que $(f*g): x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) g(x-t) dt$ est continue et bornée sur $\mathbb{R}$. + +b) On suppose $f$ et $g$ de carré intégrable sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ $g$ est définie et bornée sur $\mathbb{R}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 753] +Soit +$$f \in C^0([0,1], \mathbb{R}^{+*}).$$ Soient $N_f : x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \left( \int_0^1 f(t)^x dt \right)^{1/x}$. + +a) Montrer que $N_f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. +b) Déterminer la limite de $N_f$ en $+\infty$. +c) Déterminer la limite de $N_f$ en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 754] +On pose $E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ et on se donne $K:[0,1]^2 \to \mathbb{R}$ continue. + +a) Montrer que $T: f \in E \mapsto \left[ x \mapsto \int_0^x f(t) K(x,t) dt \right]$ est un endomorphisme de $E$. +b) Soit $\phi:[0,1]^2\to\mathbb{R}$ continue et telle que $\partial_2\phi$ soit définie et continue sur $[0,1]^2$. +i) Montrer que $(u,s) \in [0,1]^2 \mapsto \int_0^u \phi(x,s) \, \mathrm{d}x$ est de classe $\mathcal{C}^1$ (dans un sens à préciser). +ii) En déduire que $g: s \in [0,1] \mapsto \int_0^s \phi(x,s) \, \mathrm{d}x$ est de classe $\mathcal{C}^1$, et expliciter sa dérivée. +c) On pose $T^: f \in E \mapsto \left[x \mapsto \int_x^1 f(t) \, K(x,t) \, \mathrm{d}t\right]$. On note $\langle \; , \; \rangle$ le produit scalaire sur $E$ défini par $\langle a,b \rangle = \int_0^1 a(t) \, b(t) \, \mathrm{d}t$. Montrer que $\forall (f,g) \in E^2, \; \langle T(f),g \rangle = \langle f,T^(g) \rangle$ et que $T$ est l'unique endomorphisme de $E$ ayant cette propriété. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 755] +Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ intégrable sur $\mathbb{R}$. Montrer que l'équation différentielle y'-y+f=0 possède une unique solution bornée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 756] +On considère l'équation différentielle $(E): 6(1+t^2)y''-2y=t$. +a) Déterminer une solution polynomiale non nulle $\phi$ de $(1+t^2)y''-2y=0$. +b) Résoudre (E) grâce au changement de fonction inconnue $y=\phi z$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 757] +Soient $k \in \N^*$ et $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ $2\pi$ -périodique. + +L'équation différentielle $y'' + k^2y = f$ admet-elle une solution $2\pi$ -périodique? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 758] +Soient $\phi \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $K \in \mathbb{R}^{+*}$. Montrer que toute solution non nulle de l'équation différentielle $y'' + \phi(x)y' - Ky = 0$ s'annule au plus une fois sur $\mathbb{R}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 759] +Soit $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) + f''(x) \geq0$. + +Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) + f(x + \pi) \geq0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 760] +Soit () l'équation différentielle 2xy'' + y' - y = 0. + +a) Trouver une solution $f$ de () développable en série entière au voisinageqde 0 et telle que f(0)=1. + +b) Exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles. +c) Déterminer toutes les solutions de (). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 761] +On pose $E=\mathcal{C}^\infty(\mathbb{R},\mathbb{R})$ et $\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par : + + $\forall f \in E, \forall t \in \mathbb{R}, \phi(f)(t) = f'(t) + tf(t)$. a) Déterminer les éléments propres de $\phi$. + +b) Déterminer les éléments propres de $\phi^2$. +c) Résoudre l'équation différentielle : $y'' + 2ty + (t^2 + 3)y = 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 762] +Soit (E) l'équation différentielle sur $\mathbb{R}^{+*}$ : ty'' + ty' y = 0. +a) Déterminer les réels a tels que $h_a: t \mapsto t^a$ soit solution de (E). +b) Soient $g: t \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{e^{-t}}{t^2}$ et $G: t \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_1^t g(s) \, \mathrm{d}s$. Dresser le tableau de variation de $G$. Étudier la limite de $G$ en $0^+$ et montrer que $G$ admet une limite finie en $+\infty$. + +c) Soient $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^{+*}, \mathbb{R})$ et $h: t \mapsto tf(t)$. Montrer que $h$ est solution de (E) si et seulement + +si f' est solution de : (E') : $z' + \left(1 + \frac{2}{4}\right)z = 0$. +d) Résoudre l'équation (E) et étudier le comportement des solutions en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 763] +On note (S) le problème de Cauchy $\left(-2y''+xy'+y=0,\ y(0)=\sqrt{\pi},\ y'(0)=0\right)$. +a) Montrer que (S) possède une unique solution développable en série entière sur $\mathbb R$ et l'expliciter. +b) On pose : $f: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} e^{tx-t^2} dt$. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ et expliciter f(x). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 764] +Montrer que la fonction $x \mapsto \exp\left(-\frac{1}{x^2}\right)$ n'est pas solution sur $\mathbb{R}^{+*}$ d'une équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 765] +Déterminer les $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^{+*}, \mathbb{R})$ telles que $\forall x \in \mathbb{R}^{+*}, f'(1/x) = -f(x/2)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 766] +Soit $q: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^{+*}$ continue. On suppose que (E): y'' + q(x)y = 0 admet une solution strictement positive y et on pose $f = \frac{y'}{y}$.- a) Trouver une équation différentielle d'ordre 1 dont $f$ est solution. +b) Montrer que $f$ est décroissante et strictement positive. +c) Montrer que $q$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$ et que $\int_{-\infty}^{+\infty} q(t) dt = O\left(\frac{1}{x}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 767] +L'espace $\mathbb{R}^n$ est muni de sa structure euclidienne canonique. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer l'équivalence des énoncés suivants : i) $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$, + - ii) toute solution $x: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$ de l'équation différentielle x' = Ax est de norme constante. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 768] +a) Soient $f, g \in C^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R}^{+*})$. +On suppose qu'il existe $A$ > 0 telle que $\forall x \geq0$, $f(x) \le A + \int_0^x f(t) g(t) dt$. +Montrer que $\forall x \geq0, f(x) \le A \exp\left(\int_{0}^{x} g(t) dt\right)$. +b) Soient $a, b \in C^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$ telles que $b$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$ et $u \mapsto u \, a(u)$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$. Soit $x$ une solution sur $\mathbb{R}^+$ de l'équation différentielle x'' + ax = $b$. Montrer que, + +pour tout +$t \geq0$ +, $x(t) = x(1) + (t-1)x'(1) - \int_1^t (t-u) \, a(u) \, x(u) \, du + \int_1^t (t-u) \, b(u) \, du$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 769] +Résoudre les systèmes différentiels + +$$\begin{cases} x' = 7x + 3y + te^{t} \\ y' = 3x - y + e^{t} \end{cases}, \begin{cases} x' = 2x - y - z \\ y' = -x + y + z \\ z' = x + 2y + 2z \end{cases}$$ +$$\begin{cases} x'' = 9x + 10y \\ y'' = -5x - 6y \end{cases}, \begin{cases} x'(t) = (t+3)x(t) + 2y(t) \\ y'(t) = -4x(t) + (t-3)y(t) \end{cases}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 770] +Soit $A \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ telle que $A^2 + I_{2n} = 0$. Déterminer les solutions de : X' = AX. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 771] +Déterminer les matrices $A$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que, pour tout $t \in \mathbb{R}^+$, la matrice $e^{tA}$ soit stochastique, c'est-à-dire que tous ses coefficients sont positifs, et que la somme des coefficients sur n'importe quelle ligne vaut 1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 772] +Soit $n \in \N^*$. On pose $\mathcal{A} = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) ; \forall i, j \in [1, n], (-1)^{i+j} m_{i,j} \geq0 \}$. +a) Montrer que $A$ est stable par + et $\times$. b) Soient $A \in \mathcal{A}$ et $M \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^+, \mathcal{M}_n(\mathbb{R}))$ vérifiant : $\forall t \in \mathbb{R}^+, M'(t) = AM(t)$ et +$M(0) \in \mathcal{A}$. Montrer que : $\forall t \in \mathbb{R}^+, M(t) \in \mathcal{A}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 773] +Soit $A:[0,1]\to\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\forall t \in [0, 1], A^2(t) - 5A(t) + 6I_n = 0$. +a) Montrer qu'il existe une fonction $P:[0,1]\to \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que, pour tout $t\in[0,1]$, +$A(t) = P(t)A(0)P(t)^{-1}$. b) Soient $t \in [0, 1], \lambda \in \mathbb{R}$ et $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ tels que $A(t)X = \lambda X$. +Montrer que $A(t)A'(t)X = (5 \lambda)A'(t)X$. +c) Montrer qu'il existe une fonction $P:[0,1]\to \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\forall t\in[0,1]$, $A(t) = P(t)A(0)P(t)^{-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 774] +On considère la fonction $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}, (x,y) \mapsto \begin{cases} (x^2 + y^2)^x \text{ si } (x,y) \neq (0,0) \\ 1 \text{ si } x = y = 0. \end{cases}$. + +a) Étudier la continuité de $f$. +b) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$. Admet-elle des dérivées partielles en (0,0)? +c) Étudier les variations de la fonction $x \mapsto f(x,0)$. +d) Étudier les extrema de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 775] +Soit +$$f:(x,y)\in\mathbb{R}^2\mapsto\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-\frac{xy}{\sqrt{2}}.$$ Déterminer les extrema de $f$ et préciser leur nature. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 776] +Soit $D = \{(x, y) \in [0, \pi]^2 : x + y \le \pi\}$. + +Déterminer les extrema de $\phi: (x,y) \in D \mapsto \sin(x) \sin(y) \sin(x+y)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 777] +Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}^2$ par : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2$, $f(x,y) = x^2 xy^2$. +a) Déterminer les points critiques de $f$. +b) Soit $D$ une droite passant par (0,0). Montrer que la restriction de $f$ à $D$ admet un minimum local en (0,0). +c) La fonction $f$ possède-t-elle un extremum local en (0,0)? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 778] +Soit $E$ un espace vectoriel normé non nul. Soit $N$ une norme quelconque sur $E$. Montrer que $N$ n'est pas différentiable en 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 779] +a) Soient +$$f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$$ + et $x \in \mathbb{R}^n$. Montrer : $f(x) = f(0) + \sum_{i=1}^n x_i \int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx) dt$. + +b) Soit $D$ le sous-espace des formes linéaires $\phi$ sur $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ vérifiant : $\forall (f,g) \in E^2, \ \phi(fg) = f(0) \ \phi(g) + g(0) \ \phi(f)$. + +Montrer que $D$ est de dimension finie puis que dim $D$ = $n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 780] +a) Soient $(E, \| \|)$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel normé de dimension finie, $f \in \mathcal{L}(E, \mathbb{R}) \setminus \{0\}$. + +On pose $g: x \in E \mapsto f(x) e^{-\|x\|^2}$. Montrer que $g$ admet un minimum et un maximum. + +b) On prend $E = \mathbb{R}^n$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soient $a \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ et $g: x \in E \mapsto \langle a, x \rangle \ e^{-\|x\|^2}$. Déterminer le minimum et le maximum de $g$ et indiquer les points en lesquels ils sont atteints. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 781] +Déterminer les extrema de $f:(x,y)\in\mathbb{R}^2\mapsto xe^y+ye^x$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 782] +On considère la fonction $f:(a,b)\in\mathbb{R}^2\mapsto\int_{-1}^1|t^2+at+b|\mathrm{d}t$. + +a) Déterminer le minimum de la fonction $b \mapsto f(0,b)$. +b) On fixe $b \in \mathbb{R}$. Déterminer le minimum de la fonction $a \mapsto f(a,b)$. +c) Déterminer le minimum de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 783] +Soient $(E, \| \|_E)$, $(F, \| \|_F)$, $(G, \| \|_G)$ trois espaces vectoriels normés. On pose, pour $(x,y) \in E \times F$, $\|(x,y)\|_{E \times F} = \max(\|x\|_E, \|y\|_F)$. Soit $B: E \times F \to G$ bilinéaire et + +continue. a) Montrer qu'il existe $\alpha > 0$ tel que, pour tout $(x,y) \in E \times F$ vérifiant la condition + + $||(x,y)||_{E\times F} \leq \alpha$, on ait $||B(x,y)||_G \leq 1$. + +En déduire que $||B(x,y)||_G \leqslant \frac{||x||_E ||y||_F}{\alpha^2}$ pour tout $(x,y) \in E \times F$. + +a) Montrer que $B$ est différentiable et que $dB(x,y) \cdot (h,k) = B(x,k) + B(h,y)$. + +b) Montrer que $(u, v) \in \mathcal{L}(E)^2 \mapsto u \circ v$ est différentiable et exprimer sa différentielle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 784] +a) Calculer la différentielle de la fonction det : $\mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathbb{R}$ en $I_n$. b) Montrer de deux façons différentes que det n'atteint pas d'extremum local en $I_n$. + +c) Que peut-on dire d'un éventuel extremum local de la fonction det? d) On fixe $r \in [1, n-1]$. Expliciter une matrice «simple» de rang $r$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. La fonction det y atteint-elle un extremum local? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 785] +Soient $\mathcal{U}$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$, $x_0 \in \mathcal{U}$ et trois applications $f, g_1, g_2 : \mathcal{U} \to \mathbb{R}$ telles que $g_1 \le f \le g_2$ et $g_1(x_0) = g_2(x_0)$. On suppose de plus que $g_1$ et $g_2$ sont différentiables sur $\mathcal{U}$. Montrer que $f$ est différentiable en $x_0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 786] +Soit (E, || ||) un espace vectoriel normé de dimension finie (non nulle). Soit $f: B_F(0,1) \to \mathbb{R}$ continue, constante sur la sphère unité et différentiable sur la boule ouverte $B_o(0,1)$. Montrer que $f$ admet un point critique sur $B_o(0,1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 787] +On munit $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ d'une norme sous-multiplicative. a) Montrer qu'il existe $C \in \mathbb{R}^+$ tel que $\forall X \in E, |\operatorname{tr} X| \leq C ||X||$. + +b) Montrer que $g: X \mapsto X^2$ est différentiable sur $E$ et calculer sa différentielle. c) Montrer que $f: X \mapsto \operatorname{tr} X^2$ est différentiable sur $E$ et calculer sa différentielle. + +d) Montrer que: $\forall (A, B) \in E^2$, $|\operatorname{tr} A^2 - \operatorname{tr} B^2| \leq 2C \max(||A||, ||B||) ||A - B||$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 788] +Soient $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ une fonction différentiable, et $k$ un entier $\geq 1$. Montrer l'équivalence des énoncés suivants : + +i) $\forall t \in \mathbb{R}^+, \forall x \in \mathbb{R}^n, f(tx) = t^k f(x), \text{ ii) } \forall x \in \mathbb{R}^n, df(x)(x) = k f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 789] +Soit $\phi$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $\forall t > 0, \phi(t) = -t \ln t$ et $\phi(0) = 0$. Soit $N \geq2$. + +On pose : $\Sigma_N = \left\{ p \in (\mathbb{R}^+)^N \; ; \; \sum_{i=1}^N p_i = 1 \right\}$. + +Soit $h$ définie sur $\Sigma_N$ par : $\forall p \in \Sigma_N, h(p) = \sum_{i=1}^N \phi(p_i)$. + +a) Montrer que $\Sigma_N$ est un compact convexe. b) Montrer que $\phi$ est continue et strictement concave sur $\mathbb{R}^+$, c'est-à-dire que + + $\forall \lambda \in [0,1[, \forall (x,y) \in (\mathbb{R}^+)^2, x \neq y \Rightarrow \phi((1-\lambda)x + \lambda y) \leqslant (1-\lambda)\phi(x) + \lambda \phi(y)$. c) Soient $a, b \in \mathbb{R}^+$ tels que a < $b$. Soit $t \in [0, (b-a)/2]$. + +Montrer que $\phi(a+t) + \phi(b-t) > \phi(a) + \phi(b)$. + +d) Montrer que $h$ admet un maximum, atteint en un unique point $p$.- e) En raisonnant sur $q=(p_1+\eps,p_2-\eps,p_3,\ldots,p_N)$, montrer que $p_1=\cdots=p_N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 790] +Soit $f \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ dont toutes les valeurs propres sont strictement positives. +a) Rappeler pourquoi $f$ possède une base orthonormée de vecteurs propres. +b) Rappeler pourquoi $\forall x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}, \ \langle x, f(x) \rangle > 0$. c) Soit $v \in \mathbb{R}^n$. Montrer que $g: x \in \mathbb{R}^n \mapsto \frac{1}{2}\langle x, f(x) \rangle - \langle v, x \rangle$ est de classe $\mathcal{C}^1$. +d) Déterminer le gradient de $q$ en tout point +e) Montrer que $g$ admet un unique point critique, en un point noté $c$, et préciser sa valeur. +f) Montrer que $q$ a un extremum global en $c$. La fonction $q$ possède-t-elle d'autres extrema? + - +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 791] +Soit $f:(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n\mapsto \exp\left(n-1-\sum_{k=1}^n x_k\right)+\sum_{k=1}^n e^{x_k}$. +a) Déterminer les points critiques de $f$. +b) Préciser la hessienne aux points critiques. Qu'en déduire sur f? c) Déterminer les extrema de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 792] +Soit $n \in \N$. On munit $\mathbb{R}^{n+1}$ de sa structure euclidienne canonique. +Pour $x=(x_0,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$ et $y=(y_0,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$, on pose + +$$f(x,y) = \left(\sum_{i+j=k} x_i y_j\right)_{0 \leqslant k \leqslant 2n} \in \mathbb{R}^{2n+1}.$$ + +a) Montrer que, si $x$ et y sont non nuls, alors f(x, y) est non nul. +b) On pose $u: x \in \mathbb{R}^{n+1} \mapsto f(x,x)$ et $v: x \in \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\} \mapsto \frac{f(x,x)}{\|f(x,x)\|}$. +Étudier la différentiabilité de $u$ et $v$ et calculer leurs différentielles quand c'est possible. +c) Déterminer le rang de dv(x) pour $x \in \mathbb{R}^{n+1}$ non nul. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 793] +Soit $n \geq2$. On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $c$ > 0 et f: +$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$ de classe $\mathcal{C}^1$ telle que $\forall (x,y) \in (\mathbb{R}^n)^2$, $||f(x) f(y)|| \geq ||x y||$. +a) Soit $a \in \mathbb{R}^n$. Montrer que $\|\mathrm{d}f(a)(h)\| \geq c \|h\|$ pour tout $h \in \mathbb{R}^n$. En déduire que $\mathrm{d}f(a)$ +est bijective. +b) Soient $b \in \mathbb{R}^n$ et $g_b : x \mapsto ||f(x) b||^2$. Montrer que $g_b$ admet un minimum sur $\mathbb{R}^n$. +c) En déduire que $f$ est bijective. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 794] +On considere l'application $f: P \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto P^T P \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. +a) Montrer que, si $M \in GL_n(\mathbb{R})$, la différentielle de $f$ en $M$ est surjective. b) On pose $g = f_{|\mathcal{S}_n(\mathbb{R})}$. Si $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}) \cap \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, la différentielle de $g$ en $M$ est-elle surjective? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 795] +Soient $p \in \N^*$, $D_1, \ldots, D_p$ des droites affines de $\mathbb{R}^2$ non parallèles deux à deux, $f_1, \ldots, f_p$ des formes linéaires non nulles telles que chaque $f_i$ soit constante (égale à $a_i$ ) +sur $D_i$. On pose $T = \mathbb{R}^2 \setminus \bigcup_{i=1}^r D_i$, et on considère une composante connexe par arcs $C$ de $T$. +a) Soit $i \in [1, p]$. Montrer que $g_i = f_i a_i$ ne changeqpas de signe sur $C$. b) Soit $\Phi:(x,y)\in C\mapsto \sum_{i=1}^{p}b_{i}\ln|g_{i}(x,y)|$ où les $b_{i}$ sont des constantes >0. + +i) Montrer que $\Phi$ est de classe $C^2$. +ii) Soient $z_1$ et $z_2$ dans $C$, et $\Psi: t \in [0,1] \mapsto \Phi(tz_1 + (1-t)z_2)$. Montrer que $\Psi$ est concave et que $\Psi''$ ne s'annule pas. +iii) Si $C$ est bornée, montrer que $\Phi$ n'admet qu'un seul point critique sur $C$. La fonction $\Phi$ admet-elle un extremum en ce point? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 796] +Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ de $\mathbb{R}^2$ dans $\mathbb{R}$. Déterminer la limite lorsque $r$ tend vers +0 de $\frac{1}{2\pi r^2} \int_{-\pi}^{\pi} f(r\cos(t), r\sin(t)) dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 797] +Soient $r$ > 0 et $a \in \mathbb{R}^n$. Soit $f \in \mathcal{C}^0(B_f(a,r),\mathbb{R})$, de classe $\mathcal{C}^2$ sur $B_o(a,r)$. + +On pose : +$$\Delta f = \sum_{k=1}^{n} \frac{\partial^2 f}{\partial x_k^2}.$$ + +a) On suppose : $\forall x \in B_o(a,r), \ \Delta(f)(x) > 0$. Montrer que $f$ admet un maximum sur $B_f(a,r)$ et que ce dernier ne peut pas être atteint sur $B_o(a,r)$. +b) On suppose : $\forall x \in B_o(a,r)$, $\Delta(f)(x) \geq0$. Montrer que $f$ atteint un maximum sur $B_f(a,r)$ et que ce dernier est atteint en un point de la sphère de centre a et de rayon $r$. Ind. Pour $\eps > 0$, poser $f_{\eps} : x \mapsto f(x) + \eps ||x a||^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 798] +Soit $n \geq2$. Soit $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $C^2$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, les valeurs propres de la hessienne de $f$ en $x$ soient supérieures ou égales à 1. +Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, $f(x) \geq f(0) + \langle \nabla f(0), x \rangle + \frac{\|x\|^2}{2}$ et en déduire que $f$ admet un minimum. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 799] +Soit $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$. On suppose qu'il existe un réel $\alpha > 0$ tel que $\forall (x,y) \in (\mathbb{R}^n)^2, \ \langle \nabla f(x) \nabla f(y), x y \rangle \geq \alpha ||x-y||^2$. Montrer que $f \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 800] +$ $ Soit $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$. +a) On suppose $f$ de classe $C^2$. Montrer que sa jacobienne $J_f(x)$ est antisymétrique pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ si et seulement s'il existe $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ et $b \in \mathbb{R}^n$ tels que f(x) = Ax + $b$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$. +b) On suppose $f$ de classe $\mathcal{C}^1$. Montrer que sa jacobienne $J_f(x)$ est symétrique pour tout $x \in \mathbb{R}^n$ si et seulement s'il existe $g : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^2$ telle que $f = \nabla g$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 801] +Soit $G: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^1$. On suppose qu'il existe $\alpha > 0$ tel que, pour tous $x,y \in \mathbb{R}^n$, $G(y) G(x) \geq \langle \nabla G(x), y x \rangle + \frac{\alpha}{2} \|y x\|^2$ +a) Montrer que, si $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ est continue et si $\lim_{\|x\| \to +\infty} f(x) = +\infty$, alors $f$ admet un minimum. +b) Montrer que $G$ atteint son minimum en un unique point. +c) Soit $x \in \mathbb{R}^n$ tel que $\nabla G(x) \neq 0$. Montrer que la fonction $t \mapsto G(x + t\nabla G(x))$ atteint son minimum en un unique point. Que se passe-t-il si $\nabla G(x) = 0$ ?d) Soit la suite $(u_k)$ définie par $u_0 \in \mathbb{R}^n$ et, pour tout $k \in \N$, $u_{k+1} = u_k + t_k \nabla G(u_k)$, où $t_k \in \mathbb{R}$ est tel que la fonction $t \mapsto G(u_k + t \nabla G(u_k))$ atteint son minimum en $t = t_k$. Quelle est la relation entre $\nabla G(u_{k+1})$ et $\nabla G(u_k)$ ? + +e) Montrer que $(u_k)$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 802] +a) Soit $U$ un ouvert convexe de $\mathbb{R}^n$ et $f:U\to\mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si $H_f(x)\in\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ pour tout $x\in U$ (où $H_f(x)$ désigne la matrice hessienne de $f$ en x). + +b) On fixe $p \in \mathbb{R}^{+*}$. Soit + +$$f: (x_1, \dots, x_n) \in (\mathbb{R}^{+*})^n \mapsto \left(\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{1/p}.$$ + +À quelle condition la fonction $f$ est-elle convexe? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 803] +Soit $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathcal{C}^2$. On note $H_f(x)$ la matrice hessienne de $f$ au point $x$. + +a) Montrer que si $H_f(x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$, alors il existe $a \in \mathbb{R}^n$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que $f(x) = \langle a, x \rangle + b$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$. +b) Montrer que si la fonction $x \mapsto H_f(x)$ est constante sur $\mathbb{R}^n$, alors il existe $u \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$, $a \in \mathbb{R}^n$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que $f(x) = \frac{1}{2} \langle u(x), x \rangle + \langle a, x \rangle + b$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 804] +Soit $E$ un espace euclidien non nul dont on note $S$ la sphère unité. Soit $u \in \mathcal{S}(E)$. On pose : $f: x \mapsto \langle u(x), x \rangle$ et $g: x \mapsto ||x||^2 - 1$. + +a) Montrer que $f$ et $g$ sont différentiables sur $E$ et calculer les différentielles. +b) Montrer que la restriction de $f$ à $S$ admet un maximum, en un vecteur $e$. + c) Montrer que $e$ est un vecteur propre de $u$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 805] +Montrer que l'ensemble des vecteurs tangents à $SL_n(\mathbb{R})$ au point $I_n$ est l'hyperplan des matrices de trace nulle de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 806] +Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^n)$ telle que l'imageqde tout fermé de $\mathbb{R}^n$ par $f$ est fermée. On suppose + +de plus que, pour tout $a \in \mathbb{R}^n$, $\mathrm{d} f(a)$ est bijective. On pose $X = f(\mathbb{R}^n)$. +a) Soit $x \in X$. Montrer que l'espace tangent $T_x X$ est égal à $\mathbb{R}^n$. b) Montrer que $X = \mathbb{R}^n$. Ind. On pourra raisonner par l'absurde. +#+end_exercice + + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 807] +Soient $n \geq2$ et $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\mathcal{P}(\db{1, n})$. + +a) Déterminer $\mathbf{E}(\operatorname{card}(X))$. +b) Déterminer $\mathbf{E}(\operatorname{card}(X \cap Y))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 808] +Soient $n, p \in \N$ avec $1 \le p < n$. On considère une urne contenant $p$ boules blanches et $n$-p boules noires. On effectue des tirages sans remise des boules de l'urne. Donner la loi et l'espérance de la variable donnant le rang de la dernière boule blanche tirée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 809] +Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. On dit que $X$ est sans mémoire si : $\forall (m, n) \in \N^2, \mathbf{P}(X > n) > 0 \text{ et } \mathbf{P}(X > m + n \mid X > n) = \mathbf{P}(X > m)$. + +a) Soit $p \in [0, 1[$. On suppose que $X \sim \mathcal{G}(p)$. Montrer que $X$ est sans mémoire. b) On suppose que $X$ est sans mémoire. + - i) Montrer que $\mathbf{P}(X>0)=1$, puis que : $\exists p\in ]0,1[\,,\forall n\in\N,\mathbf{P}(X>n)=(1-p)^n$. + - ii) Montrer que $X \sim \mathcal{G}(p)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 810] +On considère une urne contenant deux fois plus de boules noires que de blanches. On y effectue des tirages avec remise, et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de tirages nécessaires pour obtenir pour la première fois deux boules noires consécutives. Pour + +tout $n \geq0$, on pose $u_n = \mathbf{P}(X > n)$. a) Montrer que $u_{n+2} = \frac{1}{3}u_{n+1} + \frac{2}{9}u_n$ pour tout $n \geq0$. +b) En déduire la loi de $X$ c) Montrer que $X$ admet des moments de tout ordre, et calculer son espérance. + +b) Calculer la fonction génératrice de $X_n$ et en déduire sa loi et son espérance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 811] +Soit $p \in [0,1[$. On dispose d'une urne contenant des boules blanches et noires, avec une proportion $p$ de boules blanches. On effectue des tirages successifs avec remise. Pour tout $n \in \N^*$, on note $X_n$ le nombre de tirages à effectuer pour obtenir $n$ boules blanches. +a) Déterminer la loi de $X_1$ et sa fonction génératrice. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 812] +Alice et Bob possèdent chacun un sac avec $n$ jetons numérotés de 1 à $n$. Alice tire un jeton au hasard. Bob tire ensuite des jetons, sans remise, jusqu'à ce que le numéro tiré soit supérieur ou égal au numéro tiré par Alice. On note $Y$ le nombre de jetons tirés par Bob. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 813] +On pose, pour $k \in \N^*$ : $\mathbf{P}(X = k) = \frac{k-1}{2^k}$. +a) Montrer que cette relation définit une loi de probabilité. +b) Calculer la fonction génératrice de $X$. + +c) Calculer l'espérance de $X$. + +Déterminer la loi de Y. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 814] +Soient $a \in \mathbb{R}^{+*}$ et $p \in [0,1] \setminus \{1/2\}$. On considère des variables aléatoires $X$ et $Y$ à +valeurs dans $\N$ telles que $\forall (k,n) \in \N^2$, $\mathbf{P}(X=k,Y=n)=a\,\frac{(1-p)^{n-k}}{2n}\mathbf{1}_{k\leqslant n}$. +a) Calculer a, puis les lois de $X$ et Y. b) Calculer, si elles existent, l'espérance et la variance de $X$ et Y. +c) Calculer la covariance de $X$ et Y. Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 815] +Soient $a\in ]0,1[,\,b>0$ et (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\N^2$ tel que : $\forall (i,j)\in \N^2,\, \mathbf{P}(X=i,Y=j)=\frac{e^{-b}b^ia^j(1-a)^{i-j}}{j!(i-j)!}\,\mathbf{1}_{i\geq j}$. +b) Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes? +c) Déterminer la loi de $Z$ = $X$ Y. + +a) Déterminer les lois de $X$ et Y.d) Les variables aléatoires $Y$ et $Z$ sont-elles indépendantes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 816] +Soient $X$, $Y$ des variables aléatoires telles que $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ et $Y = \frac{1}{X+1}$. Calculer $\mathbf{E}(Y)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 817] +Soit $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$. + +a) Calculer la probabilité que $X$ soit paire. +b) On pose $Y = (-1)^X$. Espérance et loi de Y. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 818] +Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs entières ayant un moment d'ordre 2. + +$$\text{Montrer que } \mathbf{E}\left(\frac{1}{X+1}\right)\leqslant 1-\frac{2}{3}\,\mathbf{E}(X)+\frac{1}{6}\,\mathbf{E}(X^2) \text{ et caractériser l'égalité}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 819] +Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. +a) Montrer que : $\forall t \in [0,1[\,,\sum_{k=0}^{+\infty} \mathbf{P}(X>k)\,t^k = \frac{1-G_X(t)}{1-t}$. +b) On suppose que $X^2$ est d'espérance finie. + +Montrer que : +$$\forall t \in [0,1], \sum_{k=0}^{+\infty} \mathbf{P}(X > k) t^k \geq \frac{3-t}{2} \mathbf{E}(X) + \frac{t-1}{2} \mathbf{E}(X^2).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 820] +On considère deux compartiments séparés par une valve. À l'instant t=0, le compartiment $A$ contient 2N particules et le second est vide. On ouvre la valve. À chaque instant, de manière équiprobable, une des 2N particules passe d'un compartiment à l'autre. On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de particules dans le compartiment $A$ à l'instant $n$. +a) Soit $k \in [0, 2N]$. Trouver une relation entre $\mathbf{P}(X_n > k)$, $\mathbf{P}(X_{n-1} > k+1)$, $\mathbf{P}(X_{n-1} = k+1)$ et $\mathbf{P}(X_{n-1} = k)$. +b) En déduire que, pour $n \geq 1$, $\mathbf{E}(X_n) = 1 + \left(1 \frac{1}{N}\right)\mathbf{E}(X_{n-1})$. +c) Déterminer $\mathbf{E}(X_n)$ pour $n \in \N$, puis $\lim_{n \to +\infty} \mathbf{E}(X_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 821] +Une urne contient $r$ boules rouges et $b$ boules blanches. À chaque tirage, on pioche une boule dans l'urne et on remet la boule tirée dans l'urne si et seulement si elle est rouge. On note $E_{n,b}$ l'espérance du nombre de boules blanches tirées à l'issue de $n$ tirages (on considère $r$ comme fixé définitivement). +a) Montrer que $F:(u,v)\in ]-1,1[^2\mapsto \sum_{(n,b)\in(\N^*)^2}E_{n,b}u^nv^b$ est convenablement définie. +b) Montrer la relation $(b+r)E_{n,b} = b + bE_{n-1,b-1} + rE_{n-1,b}$ (si b>0 et n>0). c) Montrer que $\partial_2 F$ est bien définie sur ]-1, 1[ et que +$\forall (u,v) \in ]-1,1[^2,\ v\ \partial_2 F(u,v) + r\ F(u,v) = \frac{uv}{(1-u)^2(1-v)^2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 822] +a) Montrer que le polynôme $P = X^3 X^2 X 1$ admet une unique racine réelle et deux racines complexes non réelles de module strictement inférieur à 1.b) On lance une pièce équilibrée. Pour $n \geq3$, $A_n$ est l'événement « obtenir trois pile consécutifs pour la première fois à l'instant $n$ ». + +Déterminer une relation de récurrence d'ordre 3 vérifiée par la suite $(\mathbf{P}(A_n))_{n\geq 3}$ et en déduire sa limite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 823] +On lance simultanément $n \in \N^*$ fois deux pièces équilibrées. Soit $E_n$ l'événement « les deux pièces donnent le même nombre de pile ». +a) i) Pour $a,b,n\in\N$ tels que $a+b\leqslant n$, montrer que $\sum_{k=0}^n \binom{a}{k}\binom{b}{n-k}=\binom{a+b}{n}$. +ii) Calculer $P(E_n)$. b) On note $N$ le nombre de fois où les pièces ont donné le même nombre de pile au cours des $n$ lancers. Calculer E(N). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 824] +On donne la formule du crible de Poincaré : si $A_1, \ldots, A_p$ sont des ensembles finis alors + +$$\operatorname{card}(A_1 \cup \dots \cup A_p) = \sum_{k=1}^p (-1)^{k-1} \sum_{1 \leq i_1 < \dots < i_k \leq p} \operatorname{card} A_{i_1} \cap \dots \cap A_{i_k}.$$ + +a) On munit $S_n$ de la probabilité uniforme. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points fixes d'une permutation de $S_n$. +b) Calculer P(X=0). +c) Déterminer la loi de $X$. +d) Démontrer la formule de Poincaré. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 825] +Une pièce tombe sur pile avec probabilité $p \in ]0,1[$. On la lance jusqu'à obtenir pile, et on note $N$ le nombre de lancers effectués. On relance alors $N$ fois la pièce, et on note $X$ le nombre de pile obtenus. Déterminer la loi de $N$, celle de $X$ et calculer $\mathbf{E}(X)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 826] +On dispose de $n$ chapeaux et $n$ tiroirs. On rangeqaléatoirement chaque chapeau dans un des tiroirs (chaque tiroir pouvant contenir jusqu'à $n$ chapeaux). On note $X_k$ la variable aléatoire donnant le numéro du tiroir dans lequel est rangé le chapeau numéro $k$. On note $Z_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de tiroirs vides à l'issue du rangement. +a) Calculer l'espérance et la variance de $Z_n$. +b) Déterminer un équivalent de $\mathbf{E}(Z_n)$ et de $\mathbf{V}(Z_n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 827] +a) Donner la loi d'une somme de $n$ variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$. +b) On lance un dé qui a une probabilité $p \in ]0,1[$ de tomber sur 6. On note $X$ le nombre de lancers nécessaires pour avoir $n$ fois 6. Déterminer la loi et l'espérance de $X$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 828] +Soient $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$. +a) Calculer l'espérance et la variance de $\frac{(X+1)^2}{X}$, notamment en fonction de $\int_0^1 \frac{\ln(u)}{1-u} du$. +b) Calculer l'espérance de $\frac{(X+1)^2}{V}$ et de $(X+1)^2Y$.- c) Les variables aléatoires $\frac{(X+1)^2}{V}$ et $(X+1)^2 Y$ sont-elles indépendantes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 829] +Soit $X$ une variable aléatoire telle que $X+1\sim \mathcal{G}(p)$. +a) Soient $m, n \in \N^*$ et $x \in ]0,1[$. Montrer que $\frac{1-x^{nm}}{1-x^m} \leqslant \frac{1-x^n}{1-x}$. +b) Les événements « $m$ divise $X$ » et « $n$ divise $X$ » sont-ils indépendants? On pourra commencer par le cas $n \wedge m = 1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 830] +Soient a, $b$ > 0 et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que, pour tout $n \in \N$, $\mathbf{P}(X = n + 1) = a \mathbf{P}(X = n) + b^{n+1}$. +a) Montrer que a, $b$ sont strictement inférieurs à 1 et expliciter la loi de $X$. +b) Calculer $\mathbf{E}(X)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 831] +Soit $(E_k)$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Montrer l'existence d'un réel $\ell$ tel que : + +$$\forall \alpha > 0, \quad \lim_{n \to +\infty} \mathbf{P}\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{k}{n} + E_k\right) - \ell\right| > \alpha\right) = 0.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 832] +a) Donner une condition sur le couple $(r,s) \in \mathbb{R}^2$ pour qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{P}(X=n)=r\binom{2n}{n}s^n$ pour tout $n\in\N$. On suppose dans le suite sette condition vériféée et en se denne une telle variable. $Y$ - dans la suite cette condition vérifiée et on se donne une telle variable $X$. b) Montrer que $G_X$ est solution sur [0,1] de l'équation différentielle (1-4st)y'(t)=2sy(t). +c) En déduire l'espérance et la variance de $X$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 833] +a) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha \in \mathbb{R}$ pour qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ vérifiant $\forall t \in [0, 1]$ $G_{x}(t) = \frac{1}{1-1}$. +variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\mathbb N$ vérifiant $\forall t \in [0,1], \ G_X(t) = \frac{1}{(2-t)^{\alpha}}$ +b) Calculer l'espérance et la variance de $X$ et montrer que $\mathbf{P}(X=n) = O\left(\frac{n^{\lfloor \alpha \rfloor}}{2^n}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 834] +Soient $X_1, \ldots, X_n$ des variables aléatoires $i$.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p$. On introduit $Y = \max(X_1, \ldots, X_n)$. Calculer $\mathbf{P}(Y \geq k)$ et $\mathbf{P}(Y = k)$ pour $k \in \N$. Montrer que $Y$ est d'espérance finie. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 835] +Pour $n \geq 2$, soit $X_n$ une variable aléatoire à valeurs dans $\db{1,n}$ telle que, pour tout $k \in \db{1,n}$, $\mathbf{P}(X_n=k) = \frac{\ln(k)}{\ln(n!)}$. Déterminer un équivalent de $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{E}(X_n^2)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 836] +Soient a et $b$ dans $\mathbb{R}$ avec a < $b$. Quelle est la variance maximale d'une variable aléatoire à valeurs dans [a,b]? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 837] +Soient $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$ bornée et $X$ une variable aléatoire réelle.Montrer que : $(\mathbf{E}(f(X)^n))^{1/n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \sup \{f(x) \; ; \; x \in \mathbb{R}, \; \mathbf{P}(X=x) > 0\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 838] +Soient $X$,Y deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. + +a) Calculer la probabilité que la matrice $A = \begin{pmatrix} X & 1 \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ soit diagonalisable. +b) Calculer la probabilité que $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$ (resp. $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ ) soit vecteur propre de A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 839] +Une matrice est dite à spectre simple lorsque toutes ses valeurs propres sont de multiplicité 1. + +a) Soit $M = \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & c \end{pmatrix} \in \mathcal{S}_{n+1}(\mathbb{R})$, où $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On suppose que $M$ n'est pas à spectre simple. Montrer que $M$ possède un vecteur propre dont le dernier coefficient est pul +simple. Montrer que $M$ possède un vecteur propre dont le dernier coefficient est nul. b) En déduire que $A$ possède un vecteur propre orthogonal à $b$. +c) Soient $X_1, \ldots, X_5$ des variables $i$.i.d. de Bernoulli de paramètre $p$. Montrer que la pro- + +babilité que la matrice aléatoire +$$N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\0&1&X_5&X_2\\0&X_5&-1&X_3\\X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$$ + soit à spectre simple est + +supérieure ou égale à $3p^3 - 2p^4$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 840] +Soit $n \in \N^*$. On définit la matrice $J = (J_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\C)$ par $J_{i+1,i} = 1$, $J_{1,n} = 1$ et $J_{i,j} = 0$ sinon. + +a) Calculer le polynôme caractéristique de $J$ ainsi que son polynôme minimal. Soient $X_0, \ldots, X_{n-1}$ des variables aléatoires $i$.i.d. de loi uniforme sur $\{-1, 1\}$. + +$$\operatorname{On pose} M = \begin{pmatrix} X_0 & X_{n-1} & \cdots & \cdots & X_1 \\ X_1 & X_0 & \ddots & & X_2 \\ X_2 & X_1 & X_0 & \ddots & \vdots \\ \vdots & & \ddots & \ddots & X_{n-1} \\ X_{n-1} & \cdots & X_2 & X_1 & X_0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\C).$$ + +b) Exprimer $M$ en fonction de $J$. +c) On suppose dans cette question que n=2. Calculer $\mathbf{P}(M\in \mathrm{GL}_2(\C))$. +d) Déterminer le spectre de $M$. +e) On suppose que $n$ est premier et on admet qu'alors le polynôme $1+X+X^2+\cdots+X^{n-1}$ est irréductible sur $\mathbb{Q}$. Déterminer $\mathbf{P}(M\in \mathrm{GL}_n(\C))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 841] +Soient $X_1, \ldots, X_n$ $i$.i.d. de loi $\mathcal{B}(p), U = (X_1 \cdots X_n)$ et $M = U^T U$. + +a) Déterminer la loi de rg(M) et de tr(M). +$\boldsymbol{b}$ ) Calculer la probabilité de l'événement « $M$ est un projecteur ». +c) Ici $n=2, V=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ et $S=VMV^T$. Déterminer l'espérance et la variance de $S$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 842] +Soient $n \geq2$ entier, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ de dimension $k$. On note $p_V$ la projection orthogonale sur $V$, $M$ sa matrice dans la base canonique. On écrit M=D+Aoù $D$ est diagonale et $A$ a tous ses coefficients diagonaux nuls. Soit $X = (X_1, \dots, X_n)^T$ un vecteur aléatoire dont les composantes $X_i$ suivent la loi de Rademacher et sont indépendantes. Soit enfin $R$ = d(X, V). + +a) Montrer que $0 \le R \le \sqrt{n}$. +b) Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}^n, \ d(x,V)^2 = \|x\|^2 \langle x, p_V(x) \rangle$. c) Montrer que $R^2 = n k X^T AX$ et calculer l'espérance de $R^2$. +d) Montrer que $\operatorname{tr}(D^2) \geq \frac{k^2}{n}$. +e) Calculer l'espérance de $(X^TAX)^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 843] +Soit $(X_i)_{i \geq1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi géométrique de paramètre $p \in [0, 1[$. Pour $n \geq1$, on pose $M_n = \max\{X_1, \dots, X_n\}$. +a) Donner une expression de $\mathbf{E}(M_n)$. +b) Pour tout $n \geq1$, on définit la fonction $f_n : t \in \mathbb{R}^+ \mapsto 1 (1 q^t)^n$. Montrer que l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} f_n(t) dt$ est convergente, et en donner un équivalent quand $n \to +\infty$. +c) Donner un équivalent de $\mathbf{E}(M_n)$ quand $n \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 844] +Soit $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ une fonction continue et bornée. Soit h>0. On définit la suite de $\text{fonctions } (u_n^h)_{n\in\N} \text{ par } u_0^h = f \text{ et, pour tous } n\in\N \text{ et } x\geq 0, u_{n+1}^h(x) = \frac{u_n^h(x+h) - u_n^h(x)}{h}$. +a) Exprimer $u_n^h$ à l'aide de $f$. +b) On pose $a_n^h = u_n^h(0)$ et $S(x,h) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{a_k^h x^k}{k!}$, où $x \geq0$. Montrer que S(x,h) est bien +définie. c) Exprimer S(x,h) à l'aide de la variable aléatoire $X_h$, où $X_h \sim \mathcal{P}\left(\frac{x}{h}\right)$. En déduire $\lim_{h\to 0^+} S(x,h)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 845] +Soient $(p_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de ]0,1[ et $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $n, X_n \sim \mathcal{G}(p_n)$. Montrer que $A = \{\omega, X_n(\omega) \xrightarrow[n \to +\infty]{}$ $+\infty$ } est un événement, et calculer sa probabilité en fonction de $(p_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 846] +Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables de Rademacher idépendantes. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n = X_1 + \dots + X_n$. +a) Calculer $\mathbf{E}(e^{tS_n})$ si $n \in \N^*$ et $t \in \mathbb{R}$. +b) Montrer que, pour $n \in \N^*$ et $a \in \mathbb{R}^{+*}$, $\mathbf{P}(|S_n| \geq na) \leqslant 2 \exp\left(-\frac{na^2}{2}\right)$. +c) Montrer que le résultat de la question précédente subsiste si on suppose que $(X_k)_{k \geq1}$ est une suite $i$.i.d. de variables aléatoires centrées et bornées par 1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 847] +Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec $a \leq b, X$ une variable aléatoire à valeurs dans $[a, b], (X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables $i$.i.d. suivant la loi de $X$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. + +Soit +$$f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R}).$$ Montrer que $\mathbf{E}\left(f\left(\frac{S_n}{n}\right)\right) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} f\left(\mathbf{E}(X)\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 848] +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs réelles et admettant un moment d'ordre 4. + +On note $m = \mathbf{E}(X_1)$, $V_2 = \mathbf{E}((X_1 - m)^2)$ et $V_4 = \mathbf{E}((X_1 - m)^4)$. + +Pour $\eps>0$ et $n\in\N^*$, on définit l'événement $A_n^\eps=\left\{\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nX_k-m\right|\geq\eps\right\}$. + +a) Majorer $P(A_n^{\eps})$ en fonction de $\eps$, $V_2$ et $V_4$. +b) Montrer que la série $\sum \mathbf{P}(A_n^{\eps})$ converge. +c) Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{n=1}^{+\infty}\bigcup_{k=n}^{+\infty}A_k^{\eps}\right)=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 849] +Soient $p, \alpha \in ]0, 1[$. On pose $q$ = 1 - $p$ et $\beta = 1 - \alpha$. Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ un espace probabilisé. Soit $(X_n)_{n \in \N}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mathcal{G}(p)$. On pose : + +$$A = \left\{ \omega \in \Omega \; ; \; \sum \frac{1}{n^{\alpha} X_n(\omega)} \text{ converge} \right\} \text{ et } A_{\beta} = \bigcup_{n=1}^{+\infty} \bigcap_{n=1}^{+\infty} (X_n \leqslant n^{\beta}).$$ + +a) Soit $k \in \N^*$. Montrer que : $\mathbf{P}\left(\bigcup_{n=k}^{+\infty} \left(X_n > n^{\beta}\right)\right) \leqslant \sum_{n=k}^{k=1} n^{n=k} q^{n^{\beta}-1}$. +b) Montrer que $P(\overline{A_{\beta}}) = 0$. +c) Calculer P(A). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines MP 2025 # 850] +Soit $(\lambda_n)_{n\geq 1}\in (\mathbb{R}^+)^{\N^*}$. On suppose que $\sum \lambda_n$ converge. Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que $X_n\sim \mathcal{P}(\lambda_n)$ pour tout $n\geq 1$. + +a) Montrer que $\sum \mathbf{P}(X_n \neq 0)$ converge. +b) Montrer que $\bigcap_{n\in\N^*}\bigcup_{k\geq n}(X_k\neq 0)$ est un événement négligeable. +c) Montrer que $\sum X_n$ converge presque sûrement. On note $S = \sum_{n=1}^{+\infty} X_n$ et on admettra dans la suite qu'il s'agit d'une variable aléatoire (à valeurs dans $\N \cup \{+\infty\}$ ). +d) Soient $Y$ et $Z$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N$. +Montrer que $\forall t \in [0, 1], |G_Y(t) G_Z(t)| \leq 2 \mathbf{P}(Y \neq Z)$. e) Montrer que $S \sim \mathcal{P}(\theta)$ pour $\theta = \sum_{i=1}^{+\infty} \lambda_n$. +#+end_exercice + + +* Mines - PSI +** Algèbre + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 851] +a) Montrer que : $\forall \theta \in ]0, \pi/2[, \sin \theta < \theta < \tan \theta]$. + +b) En déduire que : $\forall \theta \in ]0, \pi/2[, \cot^2 \theta < \frac{1}{\theta^2} < 1 + \cot^2 \theta$. + +c) Montrer que, $\forall \theta \in ]0, \pi/2[$, $\frac{\sin((2n+1)\theta)}{(\sin\theta)^{2n+1}} = \operatorname{Im}\left((1+i\cot \theta)^{2n+1}\right);$ + +d) Montrer qu'il existe un polynôme $P_n$ tel que, $\forall \theta \in ]0, \pi/2[, \frac{\sin((2n+1)\theta)}{(\sin\theta)^{n+1}} = P_n((\cot\theta)^2)$. + +e) Calculer la somme des racines de $P_n$. + +f) Montrer que, pour $1 \leqslant k \leqslant n$, $\cot \left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)$ est racine de $P_n$. + +g) En déduire que $\sum_{m=0}^{+\infty} \frac{1}{m^2} = \frac{\pi^2}{6}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 852] +On considère des entiers $N \geq1$ et $n \geq2$, et une famille de réels $(a_i)_{1 \le i \le n}$ tous distincts. On pose $\phi: P \in \mathbb{R}_N[X] \mapsto (P(a_1), P'(a_1), P(a_2), P'(a_2), \dots, P(a_n), P'(a_n))$. + +a) Quel est le rang de $\phi$ ? b) À quelle condition, $\phi$ est-il un isomorphisme? Cette condition étant remplie, déterminer l'imageqréciproque de $(x_1, y_1, \dots, x_n, y_n) \in \mathbb{R}^{2n}$ par $\phi$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 853] +Soient $n \in \N^*$ et $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\C$. On pose $V = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}), \operatorname{rg}(M) \leq 1\}$. a) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $M$ appartient à $V$ si et seulement s'il existe $X, Y \in \mathbb{K}^n$ tels que $M = XY^T$. + +b) Soient $M_1 = X_1 Y_1^T$ et $M_2 = X_2 Y_2^T$ avec $X_1, X_2, Y_1, Y_2 \in \mathbb{K}^n$. Montrer que, si $M_1 +$ $M_2$ est de rang inférieur ou égal à 1, alors $(X_1, X_2)$ est liée ou $(Y_1, Y_2)$ est liée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 854] +Soient $I_0, \ldots, I_n$ des segments de $\mathbb{R}$ non réduits à des points. Existe-t-il $P \in \mathbb{R}_{n+1}[X]$ tel que $\forall k \in \{0,\ldots,n\}, \int_{L} P(t) dt = 0$ ? Même question avec $P \in \mathbb{R}_n[X]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 855] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$. On pose $M = \begin{pmatrix} A & A \\ A & B \end{pmatrix}$. + +a) Déterminer la rang de $M$. b) $A$ quelle condition la matrice $M$ est-elle inversible? + +c) Cette condition étant vérifiée, déterminer l'inverse de $M$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 856] +Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ nilpotent d'indice $n$. + +a) Montrer que $\exists x \in E$ tel que $(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x))$ soit une base de $E$. b) Soit $F$ un sous-espace vectoriel de dimension $k$ stable par $u$. Montrer que $F = \text{Ker}(u^k)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 857] +Soit $n \geq2$. Soit $\Delta$ la matrice diagonale $Diag(n, n-1, \ldots, 1)$. Déterminer l'ensemble $\mathcal{I}$ des matrices semblables à $\Delta$ et qui commutent avec $\Delta$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 858] +Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 3 & -2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\C)$. +a) Déterminer le nombre de sous-espaces vectoriels de $\C^3$ stables par $A$. +b) Soit $E = \{M \in \mathcal{M}_3(\C), AM = MA\}$. Déterminer la dimension de $E$. +c) Combien l'équation $M^2 = A$ a-t-elle de solutions dans $\mathcal{M}_3(\C)$ ? dans $\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 859] +Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. +b) Déterminer une base de l'espace vectoriel engendré par les puissances de A. c) Déterminer l'ensemble des matrices commutant avec A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 860] +Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$. Soient $U$ et $V$ deux sous-espaces vecto- +riels de $\mathcal{L}(E)$ tels que $U + V = \mathcal{L}(E)$ et tels que $\forall u \in U, \forall v \in V, u \circ v + v \circ u = 0$. a) Montrer qu'il existe $p \in U$ et $q \in V$ deux projecteurs tels que $p + q = \mathrm{id}$. +b) Si $v \in V$, on pose $\phi(v) = v|_{\mathrm{Ker}(p)} \in \mathcal{L}(\mathrm{Ker}\,p,E)$. Montrer que $\phi$ est injective. En déduire que $\dim(V) \leq (n-r)^2$, avec $r = \operatorname{rg}(p)$. +c) Montrer que $U$ ou $V$ est égal à $\{0\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 861] +Soient $A \in \mathcal{M}_p(\C)$ et $\Delta : M \in \mathcal{M}_p(\C) \mapsto AM MA \in \mathcal{M}_p(\C)$. a) Montrer: $\forall n \in \N, \forall (M, N) \in \mathcal{M}_p(\C)^2, \Delta^n(MN) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \Delta^{n-k}(M) \Delta^k(N)$. +b) Soient $B, H \in \mathcal{M}_p(\C)$ telles que $A$ et $B$ commutent et $\Delta(H) = B$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $\Delta^{n+1}(H^n) = 0$. +c) Montrer que, pour tout $n \in \N$, $\Delta^n(H^n) = n!B$. +d) Soit $\| \|$ une norme. Montrer que $(\|\Delta(H^n)\|^{\frac{1}{n}})_{n\geq 1}$ tend vers une limite finie. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 862] +Soit $G \subset GL_n(\C)$ tel que : i) si $A, B \in G$ alors $AB \in G$ ; ii) si $A \in G$ alors $A^{-1} \in G$ ; iii) si $A \in G$ alors il existe $k \in \N^*$ tel que $A^k = I_n$. +Soit $\mathcal{F}$ le sous-espace de $\mathcal{M}_n(\C)$ engendré par les éléments de $G$ et $(M_1,\ldots,M_r)$ une base de $\mathcal{F}$ formée d'éléments de $G$. +On considère $\phi: A \in G \mapsto (\operatorname{tr}(AM_i))_{1 \leq i \leq r} \in \C^r$. +a) Montrer que $\phi$ est injective. +b) Montrer que $\phi(G)$ est fini. +c) Que peut-on en déduire sur la dimension de $\mathcal{F}$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 863] +Soient $a_0, \ldots, a_n \in \C$ distincts. Soient $A$ et $B \in \mathcal{M}_n(\C)$. +On pose $\Phi: P \in \C_n[X] \mapsto (P(a_0), \dots, P(a_n)) \in \C^{n+1}$ +a) Montrer que $\Phi$ est un isomorphisme. b) Montrer que, pour tout $i \in [0, n]$, il existe un unique $L_i \in \C_n[X]$ tel que $L_i(a_i) = 1$ et +$L_i(a_i) = 0 \text{ si } j \neq i$. +c) Exprimer $\chi_A$ comme une combinaison linéaire des $L_i$. d) En déduire que $f: A \in \mathcal{M}_n(\C) \mapsto \chi_A \in \C_n[X]$ est continue. +e) Montrer finalement que $\chi_{AB} = \chi_{BA}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 864] +Soient $A$ et $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que AB BA = $B$.a) Montrer que $\forall X, Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX)$. + +b) Montrer que $\forall k \in \N$, $AB^k - B^k A = kB^k$. + +c) En déduire que $B$ est nilpotente (on pourra utiliser $\theta: X \mapsto AX - XB$ ). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 865] +Montrer que +$$A = \begin{pmatrix} 0 & \dots & 0 & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \dots & 0 & 1 \\ 1 & \dots & 1 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$$ + est diagonalisable puis diagonali- + +ser A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 866] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ avec $A$ diagonalisable. On pose $P: t \in \C \mapsto \det(tA+B) \in \C$. + +a) Montrer que $P$ est un polynôme en $t$ et que $\deg P \leqslant \operatorname{rg} A$. b) Montrer qu'il existe $B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $\deg P = \operatorname{rg} A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 867] +Soient +$$(a_1, a_2, \dots, a_n) \in \C^n$$ + avec $a_2 \neq 0$, $A_n = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & \cdots & a_n \\ a_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_n & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\C)$. + +a) Quel est le rang de $A_n$ ? b) Montrer que $\chi_{A_n}=X^{n-2}(X^2-a_1X-b_n)$ avec $b_n=a_2^2+a_3^2+\cdots+a_n^2$. c) La matrice $A_n$ est-elle diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 868] +Soit $A_n \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $a_{i,i} = i$ et $a_{i,j} = 1$ si $i \neq j$. On note $P_n$ son polynôme caractéristique. + +a) Montrer que $P_{n+1}=(X-n)P_n-X(X-1)\cdots(X-n+1)$. b) En déduire que $A_n$ possède $n$ valeurs propres distinctes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 869] +Soit +$$A = \begin{pmatrix} 0 & z & z \\ 1 & 0 & z \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ + avec $z \in \C$. + +a) Si z=1, justifier que $A$ est diagonalisable. + +b) Pour quels $z \in \C$, la matrice $A$ est-elle diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 870] +Soit +$$E = \mathbb{R}_n[X].$$ Si $P \in E$, on pose $L(P) : x \in E \mapsto e^x \int_0^x e^t P(t) dt$. + +a) Montrer que L(P) est bien défini. + +b) Montrer +$$\forall k \in [0, n]$$ +, $L(X^k)(x) = (-1)^k k! \sum_{j=0}^k (-1)^j \frac{x^j}{j!}$. + +c) Montrer que $L$ est un automorphisme de $E$. + +d) Trouver les éléments propres de $L$. Est-il inversible? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 871] +On définit une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ par $f_0=1, f_1=1$ et, pour $n\in\N, f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$. Pour $n \in \N^*$, on pose $A_n = (f_{i+j-2})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. + +a) Représenter explicitement $A_2$, $A_3$ et $A_4$.- b) Donner l'ordre de la valeur propre 0 dans $A_n$. +c) Montrer que la matrice $A_n$ admet deux valeurs propres distinctes $a_n < 0 < b_n$. +d) Étudier les suites $(a_n)$ et $(b_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 872] +Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel et $f, g \in \mathcal{L}(E)$. +a) Montrer que les valeurs propres non nulles de $f \circ g$ sont valeurs propres de $g \circ f$. +b) On suppose $E$ de dimension finie. Montrer que les valeurs propres de $f \circ g$ sont valeurs propres de $g \circ f$. +c) Soient $E = \mathbb{R}[X]$, $f: P \mapsto XP$ et $g: P \mapsto P'$. Est-ce que 0 est valeur propre de $f \circ g$ ? de $g \circ f$ ? Conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 873] +Soit $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable. La matrice $M=\begin{pmatrix}A&I_n\\I_n&A\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$ l'est-elle également? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 874] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On pose $B = \begin{pmatrix} A & A \\ A & A \end{pmatrix}$. +a) Exprimer les sous-espaces propres de $B$ en fonction de ceux de A. +b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $B$ soit diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 875] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. +a) Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $Sp(A) = \{0\}$. +On pose $E_A = \{X \in \C^n ; \exists \lambda \in \C, AX = \lambda X\}$. +b) On suppose det(A) = 0. Montrer que $E_A$ est un espace vectoriel si et seulement si $A$ est nilpotente. +c) On suppose $det(A) \neq 0$. À quelle condition nécessaire et suffisante, $E_A$ est-il un espace vectoriel? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 876] +Soit +$$A = \begin{pmatrix} 0 & -3 & 5 \\ -1 & -2 & 5 \\ -1 & -3 & 6 \end{pmatrix}.$$ + +a) Déterminer les valeurs propres de A. La matrice $A$ est-elle diagonalisable? +b) Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe des réels $a_n$ et $b_n$ tels que $A^n = a_n I_3 + b_n A$. +c) La matrice $A$ est-elle inversible? Le résultat de la question précédente reste-t-il valable pour tout $n \in \mathbb{Z}$ ? +d) Existe-t-il $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$ tel que $M = \alpha I_3 + \beta A$ et $M^2 = A$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 877] +Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n \in \N^*$, $f \in \mathcal{L}(E)$ de rang appartenant à [1, $n$-1] et $H$ un supplémentaire de $\operatorname{Ker} f$. +a) i) Montrer que $f$ induit un isomorphisme $g$ de $H$ sur Im $f$. + - ii) Montrer qu'il existe deux bases $b_1$ et $b_2$ de $E$ telles que : $\operatorname{Mat}_{b_1,b_2}(f) = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. +b) Soit $C \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $\operatorname{rg}(C) = r$. Montrer qu'il existe $P, Q \in \operatorname{GL}_n(\C)$ telles que : + +$$C = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q.$$c) Soit $(A, B) \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AC = CB avec $C \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $\operatorname{rg}(C) = r$. Montrer que $A$ et $B$ ont au moins $r$ valeurs propres communes (comptées avec multiplicité). + +d) Redémontrer le résultat précédent dans le cas où $C$ est inversible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 878] +On se place dans $\mathcal{M}_2(\C)$. On pose $\Phi: M \in \mathcal{M}_2(\C) \mapsto \operatorname{tr}(M)I_2 - M$. + +a) Calculer $\Phi(M)$. +b) Montrer que $\Phi$ est un automorphisme et déterminer sa matrice dans la base canonique. +c) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de $\Phi$. +d) Montrer que $M$ et $\Phi(M)$ ont le même polynôme caractéristique. + e) Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\C)$ tel que $\forall M\in\M_2(\C),\, \Phi(M) = PM^T P^{-1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 879] +Soient $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\C$, $n \in \N^*$, $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $A \in E$. On pose $f_A : M \in E \mapsto AM$. +a) Montrer que, pour tout $P \in \mathbb{K}[X]$, il existe $B \in E$ tel que $P(f_A) = f_B$. +b) Montrer que $f_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable. +c) Exprimer les valeurs propres et les espaces propres de $f_A$ en fonction de ceux de A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 880] +a) On considère le polynôme $P=X^5-4X^4+2X^3+8X^2-8X$. Montrer que P(2)=P'(2)=0 et en déduire une factorisation de $P$ en polynômes irréductibles de $\mathbb{R}[X]$. b) Trouver les matrices $M\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $M^5-4M^4+2M^3+8M^2-8M=0$ et + + $\operatorname{tr}(M) = 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 881] +Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension supérieure ou égale à 2. Soient $f_1, \ldots, f_n$ des endomorphismes de $E$ tels que $f_1 + \cdots + f_n = \operatorname{id}$ et, si $1 \leq i, j \leq n$ avec $i \neq j$, alors + +des endomorphismes de +$E$ + tels que $f_1 + \cdots + f_n = \operatorname{id}$ et, si $1 \leqslant i, j \leqslant n$ $f_i \circ f_j = 0$. Soient $\lambda_1, \ldots, \lambda_n \in \mathbb{K}$. On pose $g = \sum_{i=1}^n \lambda_i f_i$. Diagonaliser $g$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 882] +a) Montrer que $\ln^2$ est intégrable sur [0,1] et calculer $\int_0^1 \ln^2(t) dt$. +b) Soient $a, b \in \mathbb{R}$. Établir l'inégalité : $|ab| \leqslant \frac{a^2 + b^2}{2}$. +c) En déduire que l'ensemble $E=\left\{f\in\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})\;;\;\int_0^1f^2(t)\,\mathrm{d}t\;\mathrm{converge}\right\}$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel. +d) Montrer que l'application $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2 \mapsto \int_0^1 (\ln t \alpha t \beta)^2 dt$ atteint un minimum. +e) Déterminer la valeur de ce minimum et les points en lesquels il est atteint. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 883] +On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de sa structure euclidienne canonique. + +Soit $\mathcal{F} = \{ M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \operatorname{tr}(M) = 0 \}$. + +a) Montrer que $\mathcal{F}$ est un sous-espace vectoriel et déterminer sa dimension. +b) Si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, calculer $d(A, \mathcal{F})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 884] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ non nulles. +a) Montrer que l'application $(X,Y) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2 \mapsto \operatorname{tr}(X^TY)$ est un produit scalaire sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.- b) Soit $\phi: X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto \operatorname{tr}(AX)B$. L'endomorphisme $\phi$ est-il diagonalisable? +c) Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\phi$ soit un projecteur orthogonal. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 885] +a) Soient $E$ un espace vectoriel et $p$ un projecteur de $E$. + +Montrer que $Ker(p - id) \cap Im(p - id) = \{0\}$. + +b) Soient $E$ un espace vectoriel normé et $u \in \mathcal{L}(E)$ tel que : $\forall x \in E, ||u(x)|| \leq ||x||$. + - i) Soit $x \in E$ tel que u(x) = $x$ et il existe $y \in E$ tel que $x$ = u(y) y. + +Montrer par récurrence que pour tout $n \in \N$, $||nx + y|| \le ||y||$. +ii) Montrer que $Ker(u id) \cap Im(u id) = \{0\}$. c) Soient $E$ un espace euclidien et $p$ un projecteur de $E$ tel que $\forall x \in E, \|p(x)\| \leq \|x\|$. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 886] +Soient +$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ 0 & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ + et $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. + +a) Montrer que $A$ est semblable à $B$. +b) Déterminer $P \in \mathcal{O}_3(\mathbb{R})$ telle que $P^TAP = B$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 887] +Soit $V$ un hyperplan de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ dont tous les éléments sont diagonalisables sur $\mathbb{R}$. + +a) Donner un exemple de tel hyperplan. +b) Soit $F = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \right\}_{(a,b) \in \mathbb{R}^2}$. Montrer que $F \cap V \neq \{0\}$ et en déduire que $I_2 \in V$. +c) On munit $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ de son produit scalaire canonique. Quelle est la dimension de $V^{\perp}$ ? Montrer qu'il existe $Q \in GL_2(\mathbb{R})$ telle que $QVQ^{-1} = S_2(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 888] +Soit $T \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $t_{i,j} = 1$ si |i-j| = 1 et 0 sinon. On pose $M = T - 2I_n$. + +a) Montrer que $M$ est diagonalisable sur $\mathbb{R}$. +b) Comparer les éléments propres de $M$ et ceux de $T$. +c) Soit $\lambda \in \operatorname{Sp}(T)$. + - i) Montrer qu'il existe $i \in [1, n]$ tel que $|t_{i,i} \lambda| \leqslant \sum_{i \neq i} |t_{i,j}|$. + - ii) En déduire qu'il existe $\alpha \in [0, \pi]$ tel que $\lambda = 2\cos(\alpha)$. +iii) Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $X=(x_1,\ldots,x_n)^T$ soit vecteur propre de $T$ associé à $\lambda$. + - iv) En déduire que $\alpha \in ]0, \pi[$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 889] +Pour $P,Q\in\mathbb{R}[X]$, on pose $\langle P,Q\rangle=\int_0^{+\infty}P(x)\,Q(x)\,e^{-x}\mathrm{d}x$. On admet que c'est bien un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$. On pose : $\forall P \in \mathbb{R}[X], \phi(P) = XP'' + (1-X)P'$. + +a) Justifier que $\langle P, Q \rangle$ pour $P, Q \in \mathbb{R}[X]$ est bien défini. +b) Justifier que $\phi$ est un endomorphisme. +c) Soient $P_1$, $P_2$ des vecteurs propres de $\phi$ associés à des valeurs propres différentes. Montrer que $P_1$ et $P_2$ sont orthogonaux.d) Soit $N \geq2$. Démontrer que $\phi$ induit un endomorphisme $\phi_N$ sur $\mathbb{R}_N[X]$ et que $\phi_N$ est diagonalisable. + +e) Écrire $\phi_N$ dans la base $(1, X, \dots, X^N)$. Donner les valeurs propres de $\phi_N$. +f) Pour $n \in \N$, soit $L_n : x \mapsto \frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^n e^{-x})$. Montrer que $L_n$ est polynomiale et donner ses coefficients. +g) Montrer que $(L_0, \ldots, L_N)$ forme une base de $\mathbb{R}_N[X]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 890] +a) Soient $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $B \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. Comparer $\operatorname{Tr}(A)$ et $\operatorname{Tr}(AB)$. +b) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que la série $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{M^k}{k!}$ converge. On note sa limite $\exp(M)$. +c) On admet que, si $M, N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ commutent, alors $\exp(M+N) = \exp(M) \exp(N)$. Montrer que, si $B \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$, alors, pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a $\exp(xB) \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 891] +Soit $n \geq2$. +a) Montrer que la somme de deux matrices de $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ appartient encore à $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. +b) Soient $A, B \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer que $I_n + AB$ et AB + BA sont inversibles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 892] +Soient $U$ et $V$ sans $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer que $\det(U+V) \geq \det(U) + \det(V)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 893] +Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien, $u \in \mathcal{S}(E)$, $\lambda_1 \leqslant \lambda_2 \leqslant \cdots \leqslant \lambda_n$ les valeurs propres de $u$. +a) Montrer que, $\forall x \in E, \lambda_1 ||x||^2 \leq \langle u(x), x \rangle \leq \lambda_n ||x||^2$. b) Trouver $x_1, x_n \in E \setminus \{0\}$ tels que $\langle u(x_1), x_1 \rangle = \lambda_1 ||x_1||^2$ et $\langle u(x_n), x_n \rangle = \lambda_n ||x_n||^2$. +c) Montrer qu'il existe $y_1,y_n\in E$ tels que $\|y_1\|=1, \|y_n\|=1, \langle u(y_1),y_1\rangle=\lambda_1$ et $\langle u(y_n), y_n \rangle = \lambda_n$. +d) On note $S$ la sphère unité de $E$. Que valent $\inf_{x \in S} \langle u(x), x \rangle$ et $\sup_{x \in S} \langle u(x), x \rangle$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 894] +Soit $E = \mathbb{R}^{\N}$. On note $F$ le sous-espace de $E$ constitué des suites de carré sommable. Si $u = (u_n)_{n \geq0} \in E$, on pose $D(u) = (u_{n+1} - u_n)_{n \geq0}$. +a) Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? surjectif? +b) Trouver les valeurs propres et les vecteurs propres de $D$. Quelle est la dimension de ses espaces propres? Si $u, v \in F$, on pose $\langle u, v \rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n v_n$, ce qui définit bien un produit scalaire sur l'ensemble $F$ des suites de carré sommable. +d) Montrer que $\left\{ \frac{\langle U, D(U) \rangle}{\langle U, U \rangle} \; ; \; U \in F, U \neq 0 \right\} = ]-2, 0[$. +Ind. Considérer l'application $D(id)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 895] +Soit $E = \mathcal{S}_{n}^{++}(\mathbb{R})$. +a) Montrer que $\forall A \in GL_n(\mathbb{R}), \operatorname{tr}(A^T A) > 0$. +b) Montrer que $\forall S \in E, \exists A \in GL_n(\mathbb{R}), S = A^T A$. +c) Montrer que $\forall (S, S') \in E^2$, $\operatorname{tr}(SS') > 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 896] +a) Rappeler la définition de $S_n^+(R)$ et de $S_n^{++}(R)$. + +b) i) Pour $A, B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, on note $A \leq B$ si et seulement si $A B \in \mathcal{S}_n^+(R)$. Montrer que +c'est une relation d'ordre sur $S_n(\mathbb{R})$. +ii) Soit $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $C \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ telle que $C^2 = A$. iii) Soient $M \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $M' \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Montrer que M'MM' appartient à $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. +c) i) Montrer que, si $M \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, alors $M$ inversible et $M^{-1} \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. +ii) Soit $f: M \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \mapsto M^{-1} \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. Montrer que $f$ est décroissante, $i$.e. si $A \leq B$ alors $f(B) \leq f(A)$. Ind. Montrer que si $I_n \leq B$ alors $f(B) \leq f(I_n)$. +#+end_exercice + + +** Analyse + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 897] +Soient $n \geq 2$, $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^n$ et $\gamma: [0,1] \to U$ une fonction continue. Montrer qu'il existe $\delta > 0$ tel que $\forall t \in [0, 1], B(\gamma(t), \delta) \subset U$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 898] +Soient a>0 et $\omega\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, ]0, +\infty[)$. +Pour $f \in E = \mathcal{C}^0([0,a],\mathbb{R})$, on pose $T(f): x \in ]0,a] \mapsto \frac{1}{\int_0^x \omega(t) \,\mathrm{d}t} \int_0^x f(t) \,\omega(t) \,\mathrm{d}t$. +a) Montrer que T(f) est continue sur [0, a] et prolongeable par continuité sur [0, a]. +b) Montrer que $T$ est un endomorphisme injectif de $E$ et qu'il est continu lorsque $E$ est muni de la norme infinie. +c) Déterminer ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 899] +Soient $X, Y \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On pose $Z = \begin{pmatrix} 0 & X \\ Y & 0 \end{pmatrix}$. +a) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe une suite de matrices inversibles convergeant vers $M$. +b) Si $X$ est inversible, montrer que $\forall \lambda \in \mathbb{R}, \chi_Z(\lambda) = \chi_{XY}(\lambda^2)$. Est-ce toujours vrai si $X$ n'est pas inversible? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 900] +a) Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que $P$ est scindé sur $\mathbb{R}$ si et seulement si $\forall z \in \C, \mid P(z) \mid \geq \mid \text{Im } z \mid^{\deg P}$. +b) Montrer que l'ensemble des matrices trigonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est un fermé de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +c) Montrer que l'adhérence des matrices diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est égale à l'ensemble des matrices trigonalisables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 901] +Pour $n \geq2$, on considère le polynôme $P_n = X^n + X^{n-1} + \cdots + X 1$. +a) Montrer que $P_n$ admet une unique racine dans $\mathbb{R}^+$, notée $x_n$. +b) Montrer que $x_n \in [1/2, 1]$. +c) Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel $\ell$. d) Donner un équivalent de $x_n - \ell$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 902] +Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u_k$. +a) On suppose que $(u_n)$ converge. Montrer la convergence de $(v_n)$ et trouver sa limite. +b) Étudier la réciproque. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 903] +Soit $a \in \mathbb{R}^{+*}$. + +a) Si $n \in \N$, montrer que l'équation $\sum_{k=0}^{n} \frac{1}{x-k} = a$ admet une unique solution dans + + $n, +\infty$, que l'on notera $x_n$. + +b) Étudier la monotonie de la suite $(x_n)$. +c) Trouver un équivalent simple de $x_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 904] +Soient $(x_n) \in \C^{\N}$ et $\lambda \in \C$ avec $|\lambda| > 1$. Montrer que la suite $(x_n)$ converge si et seulement si la suite $(x_n + \lambda x_{n+1})$ converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 905] +On pose $F: x \mapsto \int_x^{+\infty} e^{-t^2} dt$. +a) Trouver un équivalent de $F$ en $+\infty$. +b) Soit $(a_n)_{n\in\N}$ telle que : $a_0=1$ et, pour $n\in\N$, $a_{n+1}=a_n+\int_{a_n}^{+\infty}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t$. Trouver un équivalent de $a_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 906] +Soient $n \geq2$, $M_0, \ldots, M_{n-1}$ des points distincts de $\mathbb{R}^2$. On note $M_k = (x_k, y_k)$. On suppose que $M_0 = (0,0)$ et, pour tout $k \in [0, n-2]$, $(x_{k+1} = x_k \text{ et } y_{k+1} = y_k \pm 1)$ ou $(x_{k+1} = x_k \pm 1 \text{ et } y_{k+1} = y_k)$. On constitue ainsi des chemins. On note $c_n$ le nombre de chemins auto-évitants (i.e. tels que pour tous $i \ne j$, $M_i \ne M_j$ ). On pose $u_n = \ln(c_n)$. +a) Que valent $c_1$ et $c_2$ ? b) Montrer que pour tout $n$, $m$ entiers naturels $c_{n+m} \le c_n c_m$. +c) On fixe $m \in \N^*$ et $\eps > 0$. En utilisant la division euclidienne de $n$ par $m$, démontrer qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n$ > $N$, $\frac{c_n}{n} \geq \frac{c_m}{m} \eps$. +d) Démontrer que $\frac{c_n}{n} \longrightarrow \ell$ où $\ell = \sup \left\{ \frac{c_k}{k}, \ k \in \N^* \right\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 907] +Nature de la série de terme général $\ln \left( \tan \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{2k+1} \right) \right)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 908] +Pour $n \in \N^*$, on pose $f_n : x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \sum_{i=0}^n \frac{x^k}{k!}$ et on note $(E_n)$ l'équation $f_n(x) = 2$. +a) Montrer que $(E_n)$ admet une unique solution dans $\mathbb{R}^+$ ; on notera $x_n$ cette solution. +b) Montrer que la suite $(x_n)$ converge. +c) Déterminer la limite $\ell$ de la suite $(x_n)$. +d) La série $\sum (x_n \ell)$ est-elle convergente? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 909] +Nature de la série de terme général $e^{u_n} 2$ avec $u_n = \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 910] +Résoudre dans $\mathcal{C}^2(\mathbb{R},\mathbb{R})$ l'équation fonctionnelle : f(2x) = 4f(x) + 3x + 1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 911] +Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $f(x) = \frac{e^x - 1}{x}$ si $x \neq 0$ et f(0) = 1. + +a) Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ + +b) Montrer que $f$ réalise une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. + +c) Donner le développement limité à l'ordre 5 de $f^{-1}$ au voisinageqde 1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 912] +Pour $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, on note $()$ la propriété : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \ f(x+y)f(x-y) = f(x)^2 - f(y)^2$. + +a) Montrer que si $f$ vérifie $()$ alors $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ et qu'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel $f'' = \lambda f$. b) Déterminer toutes les solutions de (). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 913] +Soit $f: x \mapsto \int_{1/2}^{2\ln(x)} \frac{e^t}{t} dt$. Quel est le comportement de f(x) lorsque $x \to 1$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 914] +a) Montrer que, pour $t \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}$, $\sum_{k=0}^{n} \cos(kt) = \frac{\sin\left((n+\frac{1}{2})t\right)}{2\sin\left(\frac{t}{2}\right)} - \frac{1}{2}$. + +b) Montrer que $\forall x \in ]0, \pi], \int_{-\pi}^{x} \sum_{t=0}^{+\infty} \cos(kt) dt = \frac{\pi - x}{2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 915] +Pour tout $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^{+\infty} x^n e^{\omega x} dx$, où $\omega = -\left(\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. + +a) Calculer $I_n$. En déduire un exemple de fonction $g$ continue sur $\mathbb{R}^+$, à valeurs réelles et non identiquement nulle, telle que $\forall k \in \N, \int_{0}^{+\infty} t^k g(t) dt = 0$. + +b) Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R})$ telle que $\forall k \in \N, \int_0^b t^k f(t) dt = 0$. En admettant le théorème d'approximation de Weierstrass, montrer que $\tilde{f}$ est identiquement nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 916] +Pour $N \in \N^*$, on pose $H_N = \sum_{i=1}^N \frac{1}{k}$. Soit $I = \int_0^1 \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{\ln(1-t)}\right) dt$. + +a) Montrer que $H_N = \ln(N) + \gamma + O(1/N)$ + +b) Montrer que $I$ est bien défini. c) Montrer que $I = \int_{0}^{+\infty} \left( \frac{1}{1 - e^{-u}} - \frac{1}{u} \right) e^{-u} du$. + +d) En déduire que $I = \gamma$, en utilisant $u_x : t \mapsto e^{-xt} \left(1 - \frac{1 - e^{-t}}{\iota}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 917] +On pose $f: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin t}{t^2} dt$ et $J = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$. + +a) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$ et donner f'. b) Montrer que l'intégrale $J$ converge. On admet que $J = \frac{\pi}{2}$. + +c) Montrer que $f(x) = O\left(\frac{1}{x}\right)$.- d) Trouver un équivalent de $f$ en $0^+$ +e) La fonction $f$ est-elle intégrable sur $]0, +\infty[$ ? +f) Calculer $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx$ en fonction de $J$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 918] +Soit $f:[2,+\infty[\to\mathbb{R}^{+*}]$ telle que $f$ soit intégrable. On pose $g:x\mapsto f(x)^{1-1/x}$. Que dire de l'intégrabilité de g? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 919] +Pour tout $x \in \mathbb{R}^{+*}$, on définit la suite $(f_n(x))_{n \in \N}$ par $f_0(x) = x$ et $\forall n \in \N$, $f_{n+1}(x) = \frac{1}{2} \left( f_n(x) + \frac{x}{f_n(x)} \right)$. Étudier la convergence simple, puis la convergence uniforme, de la suite de fonctions $(f_n)_{n \in \N}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 920] +Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle convergeant vers $\ell\in\mathbb{R}^*$. +On pose $f: x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n e^{-x}}{n!} x^n$. +a) Étudier la convergence normale de $f$ sur $\mathbb{R}^+$, puis sur des intervalles appropriés. +b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 921] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n^x \ln(n)}$. +a) Donner le domaine de définition de $f$. Montrer la continuité de $f$ sur cet intervalle. +b) Donner les limites et des équivalents aux bornes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 922] +Soit, pour $n \in \N^*$, $u_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \frac{x}{x^2 + n^2}$ pour $n \in \N^*$. Soit $S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n$. +a) Montrer que $S$ est définie sur $\mathbb{R}$. +b) La série converge-t-elle normalement sur $\mathbb{R}$ ? +c) Montrer que $S$ est de classe $C^1$. +d) Trouver un équivalent de $S$ quand en $0^+$. On rappelle que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. +e) Trouver la limite de $S$ en $+\infty$. +f) La série de fonctions converge-t-elle uniformément sur $\mathbb{R}$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 923] +Pour tout réel $x$ > 0, on pose $f(x) = -\sum_{n=0}^{+\infty} \ln(1 e^{-nx})$. +a) Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^{+*}$. +b) Soit a > 0. La série de fonctions définissant $f$ est-elle uniformément convergente sur $[a, +\infty[? \text{Sur } \mathbb{R}^{+*}?]$ +c) Déterminer des équivalents de $f$ en $0^+$ et $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 924] +a) Déterminer le rayon de convergence de $\sum \frac{(n+1)(n+2)}{2^n} x^n$. b) Calculer la somme $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n+1)(n+2)}{2^n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 925] +Pour $n \in \N^*$, on note $a_n$ le nombre de bijections d'un ensemble à $n$ éléments n'ayant pas de point fixe. On pose $a_0 = 1$. +a) Montrer que, pour tout $n \in \N$, $n! = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a_{n-k}$. +b) Montrer que la série entière $\sum \frac{a_n}{n!} x^n$ a un rayon strictement positif. +c) Calculer $e^x \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n!} x^n$. +d) Exprimer $a_n$ sous forme d'une somme. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 926] +Soit $f: x \mapsto \int_{-\infty}^{x} e^{-t^2} dt$. +a) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ et calculer sa dérivée. +b) On pose $g: x \mapsto e^{x^2} f(x)$. Montrer que $g$ est solution du problème de Cauchy : y(0) = 0 et y' 2xy = 1. +c) Déterminer les fonctions développables en série entière solutions du problème de Cauchy. +d) En déduire que $g$ est développable en série entière et déterminer son développement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 927] +a) Soit $f \in \mathcal{C}^0([1, +\infty[, \mathbb{R}) \text{ telle que } f(x) \to 0 \text{ quand } x \to +\infty. \text{ Montrer que } \int_1^{+\infty} f \text{ et } \sum_{n=1}^{+\infty} \int_n^{n+1} f \text{ sont de même nature.}$ +b) Montrer que $\sum_{n=1}^{+\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{\cos(\ln t)}{t} dt$ et $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(\ln n)}{n}$ sont de même nature. +c) En déduire le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n} \frac{\cos(\ln n)}{n} x^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 928] +a) Montrer que $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{k} = \ln(n) + \gamma + o(1)$ avec $\gamma \in \mathbb{R}$. +b) Soient a>0 et $f_a:x\in ]a,+\infty[\mapsto \left(1-\frac{a}{x}\right)^x$. Montrer que $f_a$ est bien définie et croissante. Donner la limite de $f_a$ en $+\infty$. +c) Pour $n \in \N^*$, justifier l'existence de $I_n = \int_0^n f_t(n) \ln(t) dt$. +d) Justifier que $I_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} \int_0^{+\infty} e^{-t} \ln(t) dt$. +e) En déduire que $\int_{0}^{+\infty} e^{-t} \ln(t) dt = -\gamma$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 929] +Soit, pour $n \in \N$, $U_n = \int_0^1 \frac{t^{n+1}}{\ln(1-t)} dt$. + +a) Montrer que, pour tout $n \in \N$, $U_n$ est bien définie. + +b) Trouver un équivalent de $U_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 930] +Soit, pour $n \in \N$, $f_n : x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \frac{x^n e^{-x}}{x!}$. +a) Montrer que $(f_n)$ converge simplement sur $\mathbb{R}^+$ vers une fonction $g$. b) Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}^+$. +c) Calculer $\int_{0}^{+\infty} f_n(x) dx$ et $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{+\infty} f_n(x) dx$. Pouvait-on s'attendre à un tel résultat au regard du cours? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 931] +a) Soient a et $b$ strictement positifs. Montrer que $\int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b} dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{a+nb}$. +b) Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+3n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 932] +Soit $f: x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{1 e^{-xt}}{t} \sin(t) dt$. +a.i) Justifier la convergence de l'intégrale $I = \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$. + - ii) En déduire que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^+$ +b) La fonction $f$ est-elle continue sur $\mathbb{R}^{+*}$ ? Sur $\mathbb{R}^{+}$ ? +c) Montrer que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$. Exprimer f' d'une manière simple. +d) Trouver une expression de $f$. En déduire la valeur de $I$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 933] +Soient $f: x \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2} dt$ et $g: x \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{x+t} dt$. a) Montrer que $f$ et $g$ sont de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^{+}$ et qu'elles vérifient l'équation différentielle +$y'' + y = \frac{1}{x}$. +b) Montrer que $f$ et $q$ sont continues en 0. +c) Trouver les limites de $f$ et $g$ en $+\infty$. d) En déduire que $\int_{-t}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt = \frac{\pi}{2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 934] +On pose $\cos: z \in \C \mapsto \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$. +a) Exprimer $\cos z$ en fonction de $\Re \mathfrak{e}(z)$ et $\operatorname{Im}(z)$. +b) En déduire $\max_{|z| \le 1} |\cos z|^2$. c) On pose $f:(x,y)\in\mathbb{R}^2\mapsto\cos(x+iy)$. +Montrer que la fonction $r \in \mathbb{R}^+ \mapsto \int_0^{2\pi} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \,d\theta$ est constante. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 935] +Soit $s$ > 0. Soit $w : (a, x, y, t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+*} \times \mathbb{R} \mapsto \frac{ay^{2s}}{((x-t)^2 + y^2)^{s+\frac{1}{2}}}$. + +a) Pour tout $(a, x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+*}$, établir la convergence de $\int_{-\infty}^{+\infty} w(a, x, y, t) dt$. +b) Montrer qu'il existe une unique constante $c \in \mathbb{R}$ telle que, pour tout $(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+*}$, $f^{+\infty}$ +$\int_{-\infty}^{+\infty} w(c, x, y, t) dt = 1$. c) Soient $x \in \mathbb{R}$ et $\eps > 0$. On pose $U_{\eps} = \{t \in \mathbb{R}, |t x| > \eps\}$. + +Montrer que $\int_{U_s} w(c,x,y,t) dt \underset{y \to 0^+}{\longrightarrow} 0$. + +d) Soit $f$ une fonction continue et bornée sur $\mathbb{R}$. + +Pour tout $x \in \mathbb{R}$, prouver $\int_{-\infty}^{+\infty} w(c,x,y,t) f(t) dt \xrightarrow[y \to 0^+]{} f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 936] +À partir des solutions développables en séries entière, trouver toutes les solutions de $(x^2 + x)y'' + (3x + 1)y' + y = 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 937] +Soient $E = \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$ et $k: (x,t) \in [0,+\infty[^2 \mapsto \begin{cases} t^2/x \text{ si } x > t \\ x/t^2 \text{ si } x < t \end{cases}$ $x$ = $t$ +Pour $f \in E$ on pose $T(f): x \mapsto \int_0^1 k(x,t) f(t) dt$. + +a) Montrer que, pour $x \in ]0,1], T(f)(x) = \frac{1}{x} \int_0^x t^2 f(t) dt + x^2 \int_x^1 \frac{f(t)}{t} dt$. +b) Montrer que $T(f) \in E$ et calculer T(f)(0). +c) Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$. +d) i) Montrer que T(f) est $C^1$ sur [0,1] et calculer T(f)'(0). +ii) Montrer que T(f) est de classe $C^2$ sur ]0,1]. + + iii) Résoudre $y'' \frac{2}{x^2}y = -3f$. On pourra chercher les solutions de l'équation homogène sous la forme $x \mapsto x^n$ avec $n \in \mathbb{Z}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 938] +Soient $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $p \in E$. Soit $\phi : y \in E \mapsto y' + py$. +a) Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$. b) Montrer que $\operatorname{Im}(\phi^2) \subset \operatorname{Im}(\phi)$. Soient $g \in \operatorname{Im}(\phi^2)$ et $f$ un antécédent de $g$ par $\phi^2$. +Trouver un antécédent de $g$ par $\phi$ en fonction de $f$ et de $p$. + +c) Cas particulier : $p$ = th (pour toute la suite) Calculer $\phi^2(q)$ pour $q \in E$. + +d) Soit $(E): y'' + 2\operatorname{th}(x)y' + y = \operatorname{ch}^2(x)$. Trouver une solution particulière de la forme $y_p = a + b\operatorname{ch}^2$ avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2$. + +e) Donner les solutions de $y' + th(x)y = ch^2(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 939] +Déterminer toutes les fonctions continues $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que l'équation différentielle y''(x) + y'(x) + f(x)y(x) = 0 admette une base de l'ensemble des solutions de la forme $(g^2, g)$, où $g$ est une fonction de classe $C^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 940] +On note (E) l'équation différentielle $y'' = (x^2 1)y$. +a) Soit y une solution de (E). On suppose que y(0) = 0 (resp. y'(0) = 0). Montrer que y est impaire (resp. paire). Ind. Utiliser le théorème de Cauchy linéaire. +b) Pour quelle(s) valeur(s) de $a \in \mathbb{R}$, la fonction $x \mapsto e^{ax^2}$ est-elle solution de (E)? +c) Soit $u \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Montrer que $x \mapsto u(x)e^{-x^2/2}$ est solution de (E) si et seulement si uest solution d'une équation différentielle que l'on déterminera. +d) Exprimer l'ensemble des solutions de (E) à l'aide de $\phi: x \in \mathbb{R} \mapsto \int_{-\infty}^{x} e^{t^2} dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 941] +Soit $(x,y) \in \mathbb{R}^2$. On pose $f(x,y) = \sum_{i=1}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{1 + y^{2n}}$. +a) Déterminer le domaine de définition de f; le représenter graphiquement. +b) Étudier l'existence des dérivées partielles d'ordre 1 de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 942] +On pose $u_n: (x,a) \in ]-\rho, \rho[\times]0, +\infty[\mapsto \frac{x^n}{n+a}]$. +b) Vérifier $\forall a, a' \in \mathbb{R}^+, \ \forall x \in ]-\rho, \rho[, \ |u_n(x,a')-u_n(x,a)| \leqslant \frac{|a-a'|}{n^2}$. +c) On pose $F:(x,a)\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x,a)$. Montrer que $F$ est continue sur $]-\rho,\rho[\times]0,+\infty[$. +d) Montrer que $F$ est dérivable par rapport à $x$ et que $\frac{\partial F}{\partial x}$ est $\mathcal{C}^0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 943] +Pour $x, y \geq 0$, on définit $f(x, y) = \frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}$ et on pose f(0, 0) = 0. +a) Montrer que $f$ est continue sur $[0, +\infty]^2$. b) Déterminer ses extrema. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 944] +Soit $f:(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\mapsto \frac{x^2y^2}{(1+x^2)(1+u^2)(x^2+u^2)}$. +a) Montrer que $f$ est continue en (0,0). +b) La fonction $f$ ainsi prolongée est-elle de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ ? +c) Montrer que $f$ admet un minimum global, le calculer. +d) Montrer que $f$ admet un maximum global. +#+end_exercice + + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 945] +Soit $n \in \N^*$. On considère l'univers $\Omega = \{1, 2, \ldots, n\}$. Pour $p \in \N$, on note $A_p$ l'ensemble des éléments de $\Omega$ multiples de $p$.- a) Soit $d \in \N^*$ avec $d$ divisant $n$. Calculer $\mathcal{P}(A_d)$. +b) Soit $n = p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \dots p_r^{\alpha_r}$ la décomposition en facteurs premiers de $n$. + +Montrer que $A_{p_1}, \ldots, A_{p_r}$ sont indépendants. + +c) Soit $\phi(n)$ le nombre d'éléments de $\Omega$ premiers avec $n$. + +Montrer que +$$\phi(n) = n \prod_{i=1}^r \left(1 - \frac{1}{p_i}\right).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 946] +On dispose d'une station d'appels. Le nombre d'appels entre 10 $h$ et 11 $h$ est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. La probabilité pour qu'un appel concerne le standard $A$ est $p \in [0,1]$. On note $Y$ la variable aléatoire correspondant au nombre de personnes ayant choisi le standard $A$ entre 10 $h$ et 11 $h$. Donner la loi de Y. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 947] +On considère un immeuble de trois étages avec un rez-de-chaussée). Cinq personnes prennent l'ascenseur. On considère que chacune va aller à un étageqde manière équiprobable et indépendamment des quatre autres. L'ascenseur ne fait pas demi-tour, il ne fait qu'une montée pour déposer les personnes. On note $X_i$ le nombre de personnes qui descendent à l'étageq$i$. +a) Donner la loi de $X_1$, $\mathbf{E}(X_1)$, $\mathbf{V}(X_1)$. +b) Que dire de $X_2$ et $X_3$ ? +On considère $Y_i$ qui vaut 1 si l'ascenseur s'arrête au $i$-ème étage, 0 sinon. +c) Déterminer $P(Y_i = 0)$ et $P(Y_i = 1)$. +d) En déduire $\mathbf{E}(Z)$ avec $Z$ la variable aléatoire représentant le nombre d'arrêts de l'ascenseur. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 948] +Soit $(X_n)_{n\geq 2}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p_n=n^{-\alpha}$ où $\alpha$ est un réel strictement positif. + +On pose $\tau = \min\{n \geq2, X_n(\omega) = 1\} \in \N^* \cup \{+\infty\}$. + +a) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $\mathbf{P}(\tau = +\infty) = 0$. +b) Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $\mathbf{E}(\tau) < +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 949] +Soit $p \in [0,1]$. On a un détecteur de particules qui détecte une particule avec la probabilité $p$, de manière indépendante. On note $N$ le nombre de particules qui traversent le +détecteur. On suppose $N \sim \mathcal{P}(\lambda)$. On note $S$ le nombre de particules détectées. a) Soit $0 \le s \le n$. Calculer $\mathbf{P}(S = s \mid N = n)$. Puis $\mathbf{P}(S = s, N = n)$ et enfin $\mathbf{P}(S = s)$. +b) En déduire $\mathbf{E}(S)$ et $\mathbf{V}(S)$. +c) Sans calculs, donner la loi de $N$ $S$. + d) Les variables $N$ $S$ et $S$ sont-elles indépendantes? +a) Les variables $N$-S et $S$ sont-elles indépendantes e) Les variables $N$ et $S$ sont-elles indépendantes? +f) Calculer P(N = n|S = s) avec $0 \le s \le n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 950] +Soient $n \in \N$, $a \in \mathbb{R}^+$ et $p \in ]0,1[$. On considère une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ dont la loi est donnée par $\forall k \in \N$, $\mathbf{P}(X=k) = a \binom{n+k}{k} p^k$. +a) Que vaut a? +b) Déterminer $\mathbf{E}(X)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 951] +Soient $p_1, p_2 \in ]0, 1[$. On considère deux variables aléatoires indépendantes $X$ et $Y$ de lois respectives $\mathcal{G}(p_1)$ et $\mathcal{G}(p_2)$. On note $M$ la matrice aléatoire $\begin{pmatrix} X & 1 \\ 0 & V \end{pmatrix}$. + +a) Déterminer la probabilité que $M$ soit diagonalisable. +b) Soit $q \in ]0,1[$. On considère une variable aléatoire $Z$ de loi $\mathcal{B}(q)$ indépendante de (X,Y). + +On note M' la matrice aléatoire $\begin{pmatrix} X & Z \\ 1 & Y \end{pmatrix}$. Quelle est la probabilité que M' soit diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 952] +On dispose d'une pièce pour laquelle la probabilité de faire pile est $p \in [0,1[$. On note $q$ = 1 - $p$. On réalise une suite de lancers indépendants jusqu'à faire deux *pile*, pas nécessairement consécutifs et on note $X$ le nombre de face obtenus. +a) Montrer que l'espérance de $X$ est finie et la calculer. +b) Lorsque X=n, on tire une boule dans une urne contenant n+1 boules numérotées de 0à $n$. On note $Y$ le numéro de la boule tirée. + +Montrer que l'espérance de $Y$ est finie et la calculer. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 953] +On considère une pièce que donne pile avec une probabilité 2/3 et face avec une probabilité 1/3. Soit $X_k$ une variable aléatoire qui vaut 1 si on obtient face au $k$-ième lancer et à 0 sinon. Soit $T$ la variable aléatoire qui compte le nombre de lancers nécessaires pour avoir deux face consécutifs. +a) Quelles sont les valeurs possibles de T? +b) On note $p_n = \mathbf{P}(T=n)$. + - i) Calculer $p_1$ et $p_2$. +ii) Soit $n \geq3$. Montrer que $(X_1 = 1, X_2 = 0), (X_1 = 1, X_2 = 1), (X_1 = 0)$ forme un système complet d'évènements. + - iii) En déduire que, pour tout $n \geq 2$, $p_n = \frac{2}{9}p_{n-2} + \frac{2}{3}p_{n-1}$. + - iv) En déduire une expression de $p_n$ en fonction de $n$. +c) Est-ce que $T$ possède une espérance? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 954] +On considère une urne contenant $n$ boules numérotées de 1 à $n$. On effectue des tirages successifs. À chaque tirage, on retire les boules de numéro supérieur ou égal à celui obtenu. On note $X_n$ le nombre de tirages nécessaires pour vider l'urne. +a) Calculer $\mathbf{E}(X_1)$ et $\mathbf{E}(X_2)$. +b) Montrer que $\mathbf{E}(X_n) = 1 + \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \mathbf{E}(X_k)$. +c) Déterminer $\mathbf{E}(X_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 955] +Soient $n, N \geq2$. On considère $n$ variables aléatoires $i$.i.d. de loi $\mathcal{U}(\{1, \dots, N\})$. On note $T$ le nombre de valeurs distinctes prises par ces $n$ variables. +a) Calculer $\mathbf{E}(T)$. b) Donner un équivalent de $\mathbf{E}(T)$ lorsque +i) $n \to +\infty$, à $N$ fixé; ii) $N \to +\infty$, à $n$ fixé; iii) $n = N \to +\infty$. c) Calculer V(T). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 956] +Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $X_n \sim \mathcal{P}(\lambda_n)$ avec $\sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n$ convergente. On note $A$ l'événement « la suite $(X_n)$ est nulle à partir d'un certain rang ». + +a) Déterminer la probabilité de A. +b) Montrer que $X = \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=0}^{\infty} e^{X_k}$ est presque sûrement définie. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 957] +Soient $E$ un espace euclidien et $(u_1, ..., u_n)$ une famille de vecteurs unitaires de $E$. Soient $X_1, ..., X_n$ des variables aléatoires indépendantes et de même loi uniforme sur $\{-1, 1\}$. Soit $X = \|X_1 u_1 + \cdots + X_n u_n\|^2$. + +a) Calculer $\mathbf{E}(X)$. +b) Montrer qu'il existe $(\eps_1, \dots, \eps_n) \in \{-1, 1\}^n$ tel que $\|\eps_1 u_1 + \dots + \eps_n u_n\| \leqslant \sqrt{n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 958] +Soient $a>0, p\in ]0,1[$ et $X$,Y deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb N$ telles que $\forall (i,j)\in \mathbb N^2, \ \mathbf P(X=i,Y=j)=ap^{i+j}$. + +a) Calculer a. +b) Déterminer la loi de $X$ et de Y, $\mathbf{E}(X)$ et $\mathbf{V}(X)$. +c) Calculer la covariance de $X$ et Y. + d) Soit $U = max(X, Y)$. Soit $n\in\N$. Déterminer la loi de $U$ sachant $(X + Y = 2n + 1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2025 # 959] +Une variable aléatoire $X$ est décomposable s'il existe deux variables $Z$ et $Y$ indépendantes +dantes et non constantes telles que $X \sim Y + Z$. a) Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ décomposable telle que $\mathbf{P}(X=0) > 0$. +Soit (Y, Z) un couple de variables aléatoires indépendantes et non constantes telles que $X \sim Y + Z$. Montrer que $Y$ et $Z$ sont à valeurs dans $\N$. Donner une relation entre $G_X, G_Y$ et $G_Z$. +Y+Z. Montrer que $Y$ et $Z$ sont a valeurs dans $\N$. Donner une relation entre $G_X, G_Y$ et $G_Z$ b) Soient $n \geq2$, $p \in ]0, 1[$, $X \sim \mathcal{B}(n, p)$. Montrer que $X$ est décomposable. +c) Soit $n \geq2$ non premier, $X \sim \mathcal{U}(\db{0, n-1})$. + - $\textbf{\textit{i})} \ \ \text{Montrer } \exists r,s \in \N \setminus \{0,1\} \text{ tels que } G_X(t) = \left(\frac{1}{r}\sum_{i=0}^{r-1}t^i\right) \times \left(\frac{1}{s}\sum_{j=0}^{s-1}t^{rj}\right)$. + - ii) En déduire que $X$ est décomposable. +#+end_exercice + + +* Mines - PC + +** Algèbre + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 960] +Calculer $\min_{\sigma \in \mathcal{S}_n} \sum_{i=1}^n \left\lfloor \frac{\sigma(i)}{i} \right\rfloor$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 961] +Soit $n \in \N^*$. Soient A, $B$, $C$ trois points du plans complexe d'affixes a, $b$ et $c$. On suppose que le triangle ABC n'est pas aplati et que a, $b$, $c \in \mathbb{U}_n$. +a) Combien y a-t-il de tels triangles? +b) Combien d'entre eux sont rectangles?- +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 962] +Pour $z\in\C$, on pose $f(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ et $\phi(z)=|f(z)|^2$. +a) La fonction $\phi$ est-elle bornée sur b) Montrer que $\phi$ est bornée sur $D = \{z \in \C, |z| \leq 1\}$ et déterminer son maximum sur $D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 963] +On pose $f: z \in \C \setminus \{i\} \mapsto \frac{1}{z-i}$. +a) Montrer que l'imageqde toute droite du plan complexe ne passant pas par $i$ est un cercle privé de l'origine. +b) Peut-on généraliser à $f: z \in \C \setminus \{b\} \mapsto \frac{z-a}{z-b}$, avec $(a,b) \in \C^2$ et $a \neq b$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 964] +On dit que $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n \geq0$ est un polynôme réciproque si $P = X^n P\left(\frac{1}{Y}\right)$. Soit $P$ un polynôme réciproque. +a) Soit $z$ une racine complexe de $P$. Montrer que $z \neq 0$. Montrer que 1/z est une racine de $P$ de même multiplicité que $z$. +b) On note $\alpha$, $\beta$ les multiplicités (éventuellement nulle) de 1 et -1 comme racines de $P$. Montrer qu'il existe $q$ un $\N$ et $Q \in \mathbb{R}[X]$ de degré $q$ tels que : + +$$P = (X - 1)^{\alpha} (X + 1)^{\beta} X^{q} Q \left( X + \frac{1}{X} \right).$$ + +c) Factoriser $X^7 \frac{5}{2}X^6 + \frac{3}{2}X^5 + \frac{3}{2}X^2 \frac{5}{2}X + 1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 965] +Soient $p,q\in\N^*$ distincts. Déterminer les $P\in\C[X]$ tels que $P(X^p)^q=P(X^q)^p$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 966] +Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n$ dont les racines sont distinctes, réelles, strictement supérieures à 1. On pose $Q = (X^2 + 1)PP' + X(P^2 + P'^2)$. Montrer que $Q$ admet au moins 2n-1 racines réelles distinctes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 967] +Soit $\phi: P \in \mathbb{R}[X] \mapsto P P'$. +a) Pour $n \in \N$, montrer que la restriction de $\phi$ à $\mathbb{R}_n[X]$ induit une bijection sur $\mathbb{R}_n[X]$. +b) Pour $Q \in \mathbb{R}[X]$, montrer qu'il existe un unique $R \in \mathbb{R}[X]$ tel que $Q$ = $R$ R'. +c) Avec les notations précédentes, on suppose $\forall x \in \mathbb{R}, Q(x) \geq0$. +En considérant $f: x \mapsto e^{-x} R(x)$, montrer que : $\forall x \in \mathbb{R}, R(x) \geq 0$. d) On suppose $R$ scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples. Montrer que $Q$ est scindé sur $\mathbb{R}$ à racines simples. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 968] +Soient $L_1, \ldots, L_n$ les polynômes de Lagrangeqassociés au $n$-uplet $(-1, -2, \ldots, -n)$. + +Pour $k \in [1, n]$, soit $\alpha_{n,k} = \prod_{\substack{1 \leq i \leq n \\ i \neq k}} (i - k)$. + +Soient enfin +$$f_n: x \mapsto \frac{1}{(x+1)\cdots(x+n)}$$ + et $g_n(x) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{\alpha_{n,k}(x+k)}$. + +a) Donner l'écriture factorisée des polynômes $L_i$ et les valeurs de $L_i(-j)$ pour $i, j \in [1, n]$. +b) Montrer que $(L_1, \ldots, L_n)$ est une base de $\mathbb{R}_{n-1}[X]$. Donner la décomposition de $P \in$ $\mathbb{R}_{n-1}[X]$ dans cette base.- c) Calculer $\sum L_k$ et en déduire une expression simple reliant $f_n$ et $g_n$. +d) Montrer que $f_n$ est intégrable sur $\mathbb{R}^+$ pour $n \geq2$. +e) Trouver une relation simple entre $\frac{1}{\alpha_{n,k}}$ et $\binom{n-1}{k-1}$. +f) Donner une expression de $\int_{0}^{+\infty} f_n(t) dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 969] +Si $P \in \C[X]$ et $k \in \mathbb{Z}$, on pose $c_k(P) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} P(e^{it}) e^{-ikt} dt$. +a) Exprimer les $c_k(P)$ en fonction des coefficients de $P$. +b) Déterminer les polynômes $P \in \C[X]$ vérifiant $P(\mathbb{U}) \subset \mathbb{R}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 970] +Soit $n\geq 2$. On considère l'égalité $(*):(1+iX)^{2n+1}-(1-iX)^{2n+1}=2iX$ $Q_n(X)$. +a) Montrer qu'il existe un unique $Q_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que () soit vérifiée. Déterminer le degré et le coefficient dominant de $Q_n$. +b) Déterminer les racines de $Q_n$. +c) Calculer $\prod_{k=0}^{n-1} \left(4 + \tan^2\left(\frac{k\pi}{2n+1}\right)\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 971] +Soit $u \in \mathbb{R}$. On pose $P_0 = 1$ et, pour $k \in \N^*$, $P_k = X(X ku)^{k-1}$. +a) Montrer que $(P_0, \dots, P_n)$ est une base de $\mathbb{R}_n[X]$. b) Montrer que $\forall P \in \mathbb{R}_n[X], P(X) = P(0) + \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(ku)}{k!} P_k(X)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 972] +Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré $n \in \N^*$. On suppose que $P$ est minoré sur $\mathbb{R}$. +On pose $Q = P + P' + \cdots + P^{(n)}$. Montrer que $Q$ est minoré sur $\mathbb{R}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 973] +Déterminer les $P \in \C[X]$ tels que $P(\mathbb{U}) \subset \mathbb{U}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 974] +Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que : $\forall x \in \mathbb{R}, \ P(x) \geq 0$. Montrer qu'il existe $(Q, R) \in \mathbb{R}[X]^2$ tel que $P = Q^2 + R^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 975] +Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que, pour tout $x \in [-1, 1], P(x) \geq 0$. +a) On suppose que $\deg(P) \leqslant 2$. Montrer qu'il existe $\alpha, \beta \in \mathbb{R}^+$ et $a \in [-1,1]$ tels que $P = \alpha(X a)^2 + \beta(1 X^2)$. +b) On revient au cas général. +Montrer qu'il existe $A, B \in \mathbb{R}[X]$ tels que $P = A^2 + B^2(1 X^2)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 976] +Soit $n \in \N^*$. Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. Montrer que $\dim(F) = n 1$ si et seulement s'il existe $\Phi \in \mathcal{L}(E, \mathbb{K})$ non nulle telle que $F = \operatorname{Ker}(\Phi)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 977] +Soient $p$ et $q$ deux projecteurs d'un espace vectoriel $E$. Montrer que $p$-q est un projecteur si et seulement si $q \circ p = p \circ q = q$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 978] +Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $v \in \mathcal{L}(E)$ tel que $u \circ v = 0$ et $u$ + $v$ inversible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 979] +Soit +$$A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}).$$ Résoudre $X^T + X = \operatorname{tr}(X)A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 980] +Soient $n \geq2$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\operatorname{rg}(A) = 1$ et $\operatorname{tr}(A) = 0$. Montrer que $A$ est semblable à $E_{1,n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 981] +a) Existe-t-il +$$(A, B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$$ + tel que $AB - BA = I_n$ ? + +b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ non nulle et de trace nulle. Montrer qu'il existe $u \in \mathbb{R}^n$ tel que (u, Au)est libre. +c) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de trace nulle. Montrer que $A$ est semblable à une matrice à diagonale nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 982] +Soient +$$A \in \mathcal{M}_{3,2}(\mathbb{R})$$ + et $B \in \mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})$ telles que $AB = \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$. + +a) « Décrire » AB. +b) Montrer que BA est inversible. +c) Étudier le noyau et l'imageqde $A$ et $B$. +d) Déterminer BA. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 983] +$$ + Soit $(A, B, C) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^3$. Montrer que $\operatorname{rg}(ABC) + \operatorname{rg}(B) \geq \operatorname{rg}(AB) + \operatorname{rg}(BC)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 984] +Soient +$$x_1, x_2 \in \C.$$ + +Montrer que +$$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ x_1 & 1 & x_2 & 1 & 0 \\ x_1^2 & 2x_1 & x_2^2 & 2x_2 & 2 \\ x_1^3 & 3x_1^2 & x_2^3 & 3x_2^2 & 6x_2 \\ x_1^4 & 4x_1^3 & x_1^4 & 4x_2^3 & 12x_2^2 \end{vmatrix} = 0 \text{ si et seulement si } x_1 = x_2.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 985] +Soit +$$(a_1, \ldots, a_n, b_0, \ldots, b_n) \in \mathbb{K}^{2n}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 985] +Soit +$$(a_1, \dots, a_n, b_0, \dots, b_n) \in \mathbb{K}^{2n}.$$ + +Calculer $\Delta_n = \begin{vmatrix} a_1 + b_1 & b_1 & b_1 & \cdots & b_1 \\ b_2 & a_2 + b_2 & & \vdots \\ b_3 & b_3 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & b_{n-1} \\ b_n & b_n & \cdots & b_n & a_n + b_n \end{vmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 986] +Calculer +$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & \cdots & n-1 & n \\ 2 & 3 & \cdots & n & 1 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ n-1 & n & \cdots & n-3 & n-2 \\ n & 1 & \cdots & n-2 & n-1 \end{vmatrix} .$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 987] +a) Pour +$$(x_1, \ldots, x_n) \in \C^n$$ +, calculer $V(x_1, \ldots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & \cdots & x_1^{n-1} \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix}$. + +b) Montrer: +$$\forall (m_1, \dots, m_n) \in \mathbb{Z}^n$$ + +$$\prod_{k=1}^{n-1} k! \mid \prod_{1 \leq j < i \leq n} (m_j - m_i)$$ + +b) Montrer: +$$\forall (m_1, \dots, m_n) \in \mathbb{Z}^n \quad \prod_{k=1}^{n-1} k! \mid \prod_{1 \le j < i \le n} (m_j - m_i).$$ + +Ind. Considerer $D_n = \begin{vmatrix} 1 & m_1 & m_1(m_1 - 1) & \cdots & m_1 \cdots (m_1 - n + 1) \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots \\ 1 & m_n & m_n(m_n - 1) & \cdots & m_n \cdots (m_n - n + 1) \end{vmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 988] +a) Soit $(U,V) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$ tel que $U + iV \in \mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer qu'il existe $x_0 \in \mathbb{R}$ tel que $U + x_0 V \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$. +b) Soient $M$ et $N$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ semblables sur $\C$. Montrer que $M$ et $N$ sont semblables sur $\mathbb{R}$. +c) Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est semblable à une unique matrice de la forme $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$, $(a,b) \in \mathbb{R}^2$, ou $\begin{pmatrix} a & 1 \\ 0 & a \end{pmatrix}$, $a \in \mathbb{R}$, ou encore $\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$, $(a,b) \in \mathbb{R}^2$, $b \neq 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 989] +Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que BAB = $A$ et ABA = $B$. Montrer que $A^2 = B^2$. Montrer que $A$ et $B$ ont le même noyau et la même image. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 990] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $\det(A) = \det(B) = \det(A+B) = \det(A-B) = \det(A-B)$ 0. Montrer que $\forall x, y \in \mathbb{R}$, $\det(xA + yB) = 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 991] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$. On suppose que $\forall k \in [0, 2n], \det(A + kB) = \pm 1$. Déterminer +$\det(A)$ et $\det(B)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 992] +Soient A, $B$, $C$, $D$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On pose $M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}$ et $J = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & -I_n \end{pmatrix}$. On suppose que $M^T J M = J$. Montrer que $A$ et $D$ sont inversibles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 993] +Soit $p \in \N$ avec $p \geq 2$. Déterminer toutes les matrices $M \in \mathcal{M}_2(\C)$ triangulaires supérieures telles que $M^p = I_2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 994] +Soit $D$ l'endomorphisme de dérivation de $\mathbb{K}[X]$. Déterminer tous les sous-espaces vectoriels de $\mathbb{K}[X]$ stables par $D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 995] +Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension $n$, ainsi que $u_1, \ldots, u_n$ des endomorphismes nilpotents de $E$ commutant deux à deux. Simplifier $u_1 \circ \cdots \circ u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 996] +Soit $A \in \mathcal{M}_2(\C)$. Montrer que $A$ et $A^T$ sont semblables. Et si $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 997] +Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $n$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f^2 = -\operatorname{id}$. + +a) Montrer que $n$ est pair. +b) Soit $x \in E$. Montrer que Vect (x, f(x)) est stable par $f$. +c) On suppose n=2p. Montrer qu'il existe une famille $(e_1,\ldots,e_p)$ de $E^p$ telle que $(e_1,u(e_1),\ldots,e_p,u(e_p))$ soit une base de $E$. Préciser la matrice de $f$ dans cette base. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 998] +Soit $A \in \mathcal{M}_{3n}(\mathbb{R})$ telle que $A^3 = 0$ et $\operatorname{rg} A = 2n$. Montrer que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ I_n & 0 & 0 \\ 0 & I_n & 0 \end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 999] +Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie. Soient $\mathcal{L}_1$ et $\mathcal{L}_2$ des sous-espaces vectoriels de $\mathcal{L}(E)$ tels que (1) $\mathcal{L}(E) = \mathcal{L}_1 \oplus \mathcal{L}_2$ et (2) $\forall (u,v) \in \mathcal{L}_1 \times \mathcal{L}_2, \ u \circ v + v \circ u = 0$. + +we correst the $\mathcal{L}(\mathcal{L})$ ters que (1) $\mathcal{L}(\mathcal{L}) = \mathcal{L}_1 \oplus \mathcal{L}_2$ et (2) $\forall (u,v) \in \mathcal{L}_1 \times \mathcal{L}_2, \ u \circ v + v \circ u = 0$. a) Montrer qu'il existe un projecteur $p_1 \in \mathcal{L}_1$ et un projecteur $p_2 \in \mathcal{L}_2$ tels que $p_1 + p_2 = \mathrm{id}$. +b) Montrer que $rg(p_1) + rg(p_2) = \dim E$. +c) Montrer, pour $i \in \{1, 2\}$, que si $w \in \mathcal{L}_i$, alors Im $p_1$ et Ker $p_1$ sont stables par $w$. +d) Montrer que $\mathcal{L}_1 = \{0\}$ ou $\mathcal{L}_2 = \{0\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1000] +Soit +$$(a_1, \ldots, a_n) \in \C^n.$$ À quelle condition la matrice +$$\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} \\ a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n \end{pmatrix}$$ + +est-elle diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1001] +Soient +$$(a,b) \in \C^2$$ + et $M = \begin{pmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0 \\ b & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b \\ 0 & \cdots & 0 & b & a \end{pmatrix}$. Éléments propres de $M$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1002] +Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ et $M = (m_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $m_{n-i+1,i} = a_i$ pour $1 \leq i \leq n$, les autres coefficients étant nuls. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1003] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\operatorname{tr}(A) \neq 0$. Soit $\phi : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto \operatorname{tr}(A)M - \operatorname{tr}(M)A$. + +a) Préciser Im $\phi$ et Ker $\phi$. +b) En déduire les éléments propres de $\phi$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1004] +Soit $n \in \N^*$. Pour $j \in [0, 2n]$, on pose $f_j : t \mapsto \operatorname{sh}^j(t) \operatorname{ch}^{2n-j}(t)$ définie sur $\mathbb{R}$.a) On note $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ engendré par les $f_i$. + +Montrer que $\mathcal{F} = (f_0, \dots, f_{2n})$ est une base de $F$. + +b) On note $D$ l'opérateur de dérivation sur $F$. Montrer que $D$ induit un endomorphisme. + +Donner ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1005] +Soient +$A \in \C[X]$ + et $B = \prod_{k=1}^n (X - \lambda_k)$, où $n \geq 1$ et les $\lambda_k$ sont des complexes distincts + +et non racines de A. Pour $j\in \db{1,n}$, on pose $P_j=\prod_{k=1\atop k\neq j}^n(X-\lambda_k)$. Soient $N\geq n-1$ et $\phi$ + +l'application qui à $P \in \C_N[X]$ associe le reste de la division de AP par $B$. + +a) Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $\C_N[X]$. +b) Donner le noyau et l'imageqde $\Phi$. +c) Donner une expression de $P_i(z)$ sans produit, pour $z \neq \lambda_i$. +d) L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable? Préciser ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1006] +a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telle que $\operatorname{rg}(A) = 1$. Donner le polynôme caractéristique de A. + +b) En déduire une condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité pour une matrice de rang 1. + +c) L'ensemble des matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ ? + +d) Existe-t-il une base de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ formée de matrices diagonalisables de rang 1? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1007] +a) Déterminer le commutant +$C(M)$ + de $M = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. + +b) Montrer que $C(M) = \text{Vect}(I_n, M, M^2)$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1008] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB = 0. Montrer qu'il existe $P \in GL_n(\C)$ tel que $P^{-1}AP$ et $P^{-1}BP$ soient triangulaires supérieures. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1009] +Montrer que deux matrices de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui commutent sont simultanément trigonalisables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1010] +Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie, $f \in \mathcal{L}(E)$ et $P \in \C[X]$. Que dire du spectre de P(f)? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1011] +Soient $A, B, M \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $\lambda, \mu \in \C^*$ avec $\lambda \neq \mu$. On suppose que $I_n = A + B$, $M = \lambda A + \mu B$ et $M^2 = \lambda^2 A + \mu^2 B$. + +a) Montrer que $M$ est inversible et déterminer $M^{-1}$. + +b) Montrer que $M$ est diagonalisable et déterminer son spectre. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1012] +Résoudre dans +$$\mathcal{M}_3(\mathbb{R})$$ + l'équation $X^2=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1013] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. À quelle condition la matrice $\begin{pmatrix} A & A \\ 0 & A \end{pmatrix}$ est-elle diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1014] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que $B = \begin{pmatrix} I_n & A \\ A & I_n \end{pmatrix}$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1015] +Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $\forall i \in [1, n]$, $a_{i,i} = 0$ et $\forall j \neq i, \ a_{i,j} = j$. a) Si $\lambda \in \mathbb{R}$ est une valeur propre de $A$ et $(x_1 \ldots x_n)^T$ un vecteur propre associé, montrer que $(\lambda + 1)x_1 = (\lambda + 2)x_2 = \cdots = (\lambda + n)x_n$. +b) Montrer que $-1, -2, \ldots, -n$ ne sont pas valeurs propres de A. +c) Montrer que $\lambda$ est valeur propre de $A$ si et seulement si $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{\lambda + k} = 1$. +d) En déduire que $A$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1016] +Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie $n, f, g \in \mathcal{L}(E)$ tels que $f \circ g =$ f+q. + +a) Montrer que Im $f$ = Im $g$ et Ker $f$ = Ker $g$. +b) On suppose $f$ diagonalisable, montrer que $f \circ g$ est diagonalisable et que ses valeurs propres ne peuvent pas être dans ]0, 4[. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1017] +Soit $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie. Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ de spectre vide. +a) Montrer qu'il existe $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré 2 tel que $\operatorname{Ker}(P(u)) \neq \{0\}$. +b) Montrer que l'on peut trouver un sous-espace stable par $u$ de dimension 2. +c) En déduire que tout endomorphisme d'un $R$-espace vectoriel de dimension finie admet un sous-espace stable de dimension 1 ou 2. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1018] +Soit $p \in \N$ avec $p \geq2$. + +Soit $(u_n)_{n\in\N}\in\C^{\N}$ telle que, pour tout $n\in\N,\ u_{n+p}=u_{n+p-1}+u_{n+p-2}+\cdots+u_n$. + +On note $P = X^p - \sum_{i=0}^{p-1} X^i$ et pour $n \in \N$, $U_n = (u_n \ u_{n+1} \ \cdots \ u_{n+p-1})^T$. + +a) Trouver une matrice $A \in \mathcal{M}_p(\C)$, ne dépendant pas de $(u_0, \ldots, u_{p-1})$, telle que, pour tout $n \in \N$, $U_{n+1} = AU_n$. En déduire une expression de $U_n$ en fonction A, $U_0$ et $n$. +b) Montrer que le polynôme caractéristique $\chi_A$ de $A$ est $P$. c) Montrer que $P$ admet une unique racine $\alpha$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ en considérant T=(X-1)P, puis +que $\alpha \in ]1,2[$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1019] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB = BA^2$ et $\forall \lambda \in \operatorname{Sp}(A), \ |\lambda| \neq 1$. Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre en commun. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1020] +Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = -I_n$ et $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ canoniquement associé à A. +a) Montrer que $n$ est pair. +b) Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $f$ est diagonale par blocs avec pour blocs diagonaux $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. +c) Montrer qu'il n'existe pas d'hyperplan stable par $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1021] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre les assertions suivantes : + + + $A$ est diagonalisable, + + $\forall P \in \C[X], P(A)^n = 0 \Longrightarrow P(A) = 0$, + + le seul élément nilpotent de $\C[A]$ est 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1022] +Soient $A, B, C \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB BA = $C$, AC CA = 0 et BC CB = 0. +a) Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\C)$. i) Que dire de la famille $(M^k)_{0 \le k \le n^2}$ ? + - ii) Montrer qu'il existe une famille $(\lambda_k)_{1 \leqslant k \leqslant n^2}$ telle que $I_n + \sum_{k=1}^{n^2} \lambda_k M^k = 0$. +iii) Montrer qu'on peut trouver un indice $k$ tel que $Tr(M^k) \neq 0$. +b) Montrer que $C$ n'est pas inversible. +c) Montrer que A, $B$ et $C$ admettent un vecteur propre commun. +d) Montrer qu'il existe une matrice $P$ inversible telle que $P^{-1}AP$, $P^{-1}BP$ et $P^{-1}CP$ soient triangulaires. +e) Montrer que $C$ est nilpotente. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1023] +Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A^3$ et $\dim(E_1(A)) = 1$. +a) Montrer que Ker $A^2$ et $E_1(A)$ sont supplémentaires. b) Montrer que Ker $A^2$ et $E_1(A)$ sont stables par A. +c) Montrer que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \eps \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ avec $\eps \in \{0, 1\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1024] +On note $\mathcal{D}_n$ l'ensemble des matrices carrées diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +a) L'ensemble $\mathcal{D}_n$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ? +b) Soit $V \subset \mathcal{D}_n$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $\dim V \leqslant \frac{n(n+1)}{2}$. +c) Exhiber un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ contenu dans $\mathcal{D}_n$ de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1025] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. On suppose $\operatorname{tr}(A^k) \xrightarrow[k \to +\infty]{} 0$. Montrer: $\forall \lambda \in \operatorname{Sp}(A), |\lambda| < 1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1026] +Si $A \in \mathcal{M}_n(\C)$, montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $\forall k \in \N^*$, $\operatorname{tr}(A^k) = 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1027] +On dit que $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ est d'ordre fini s'il existe un entier $k \in \N^*$ tel que $M^k = I_n$. Dans ce cas, on appelle ordre de $M$ le plus petit entier $k \in \N^*$ tel que $M^k = I_n$. +a) Montrer que les matrices d'ordre fini sont diagonalisables. +b) Soit $M$ une matrice d'ordre $p$ et soit $k \in \N^*$. Montrer que $M^k = I_n \iff k \in p\mathbb{Z}$. +c) Soient $V_n$ l'ensemble des matrices d'ordre fini de $\mathcal{M}_n(\C)$ à coefficients dans $\mathbb{Z}$ et $\mathcal{O}_n$ l'ensemble des ordres des éléments de $V_n$. Montrer que $V_n$ est non vide et que $\mathcal{O}_n$ est fini. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1028] +Soit $E$ préhilbertien. Pour $(a,b) \in E^2$ et $\alpha \in \mathbb{R}$, on pose $f_\alpha : x \mapsto x + \alpha \langle x, a \rangle b$. +a) A-t-on $f_{\alpha} \in \mathcal{L}(E)$ ? + +d) Déterminer $\mathcal{O}_2$.- b) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f_{\alpha}$ soit un isomorphisme, dans le cas où $E$ est euclidien. +c) Pour $\beta \in \mathbb{R}$, calculer $f_{\alpha} \circ f_{\beta}$. +d) En supposant $f_{\alpha} \in GL(E)$, préciser $f_{\alpha}^{-1}$. +e) Qu'en est-il lorsque l'on suppose $E$ simplement préhilbertien. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1029] +Soient $E$ et $F$ deux espaces euclidiens et $f \in \mathcal{L}(E,F)$. +a) Pour tout $y \in F$, montrer qu'il existe un unique $(x, y') \in (\operatorname{Ker} f)^{\perp} \times (\operatorname{Im} f)^{\perp}$ tel que y = f(x) + y'. +b) Avec les notations précédentes, on note $g: y \mapsto x$. Montrer que $g$ est linéaire. +c) Préciser Ker $q$ et Im $q$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1030] +Soit $E$ un espace euclidien. +a) Montrer: $\forall f \in \mathcal{L}(E, \mathbb{R}), \exists ! a \in \mathbf{E}, \ \forall x \in E, \ f(x) = \langle a, x \rangle$. +b) On munit $E = \mathbb{R}_n[X]$ du produit scalaire $(P,Q) \mapsto \int_0^1 PQ$. Soit $f: P \mapsto P(0)$. +Montrer qu'il existe $A \in E$ tel que : $\forall P \in E, f(P) = \int_{0}^{1} AP$. +c) Montrer que A(0) > 0 et $\deg(A) = n$. +d) Montrer qu'il n'existe pas de $A \in \mathbb{R}[X]$ tel que $P(0) = \int_0^1 AP$ pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$. +e) Montrer qu'il n'existe pas de $C \in \mathbb{R}$ tel que : $\forall P \in \mathbb{R}[X], |P(0)| \leq C||P||$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1031] +On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $(u_1, \ldots, u_p)$ une famille de $\mathbb{R}^n$. On note la propriété suivante $(1): \forall (i,j) \in \db{1,p}^2, i \neq j \Longrightarrow \langle u_i, u_j \rangle < 0$. a) Soit $(u_i)_{1 \leq i \leq p}$ une famille vérifiant (1). Montrer qu'il existe une sous-famille libre de $u$ - a) Soit $(u_i)_{1 \leqslant i \leqslant p}$ une famille vérifiant (1). Montrer qu'il existe une sous-famille libre de $u$ ayant $p$-1 vecteurs. +b) Montrer qu'il n'existe pas de famille ayant au moins n+2 vecteurs vérifiant (1). +c) Donner une famille $(u_1, \ldots, u_{n+1})$ vérifiant (1). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1032] +Soient $E$ un espace euclidien, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $p_F$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $F$ et $(f_1, \ldots, f_p)$ une base de $F$. On pose $G = (\langle f_i, f_j \rangle)_{1 \le i, j \le p}$. +orthogonal de $E$ sur $F$ et $(f_1, ..., a)$ Montrer que $G \in GL_p(\mathbb{R})$. +b) Soient $y \in E, Y = \begin{pmatrix} \langle y, f_1 \rangle \\ \vdots \\ \langle y, f_1 \rangle \end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_- \end{pmatrix}$ la solution de GX = Y. +Montrer que $p_F(y) = \sum_{i=1}^p x_i f_i$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1033] +Soit $E = \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R})$. On pose $\forall (f,g) \in E^2, \ \langle f,g \rangle = \int_0^1 (f(t) \, g(t) + f'(t) \, g'(t)) dt$ +a) Montrer que $\langle \ , \ \rangle$ est un produit scalaire. +b) Soit $V = \{ f \in \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R}), f = f'' \}$. Montrer que $V$ est un sous-espace vectoriel de dimension finie et déterminer une base de $V$.- c) Montrer que $V \oplus W = E$ et que $V^{\perp} = W$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1034] +Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de trace nulle. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $P^TMP$ soit de diagonale nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1035] +a) L'ensemble $\mathcal{O}_2(\mathbb{R})$ est-il un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ ? +b) Déterminer Vect $(\mathcal{O}_2(\mathbb{R}))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1036] +Soit $M \in \mathcal{O}_n\left(\mathbb{R}\right)$. Étudier la limite de la suite de matrices $A_k = \left(\frac{1}{k}\sum_{i=0}^{k-1}M^i\right)_{k\in\N^*}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1037] +Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}) \cap \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ semblable à son inverse. +a) Montrer que $tr(A^2) \geq n$. +b) Montrer que $tr(A^2) \geq n$ si et seulement si $A$ est une matrice de symétrie orthogonale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1038] +Soient $a \in \ ]0,1[$ et $M=\begin{pmatrix} 0 & a & 1-a \\ a & 1-a & 0 \\ 1-a & 0 & a \end{pmatrix}$. +a) La matrice $M$ est-elle diagonalisable? Préciser ses valeurs propres. +b) Montrer que $(M^n)_{n\in\N}$ converge vers une matrice $L$. Caractériser géométriquement $L$. +c) Soit $S \in \mathcal{S}_p(\mathbb{R})$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(S^n)_{n \in \N}$ converge et déterminer alors sa limite. +d) Soit $A \in \mathcal{A}_p(\mathbb{R})$ telle que $(A^n)_{n \in \N}$ converge. Déterminer sa limite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1039] +Pour +$$(a,b) \in \mathbb{R}$$ +, on pose $M(a,b) = \begin{pmatrix} a^2 & ab & ab & b^2 \\ ab & a^2 & b^2 & ab \\ ab & b^2 & a^2 & ab \\ b^2 & ab & ab & a^2 \end{pmatrix}$. + +a) Montrer que M(a, b) est diagonalisable. +b) Donner les valeurs propres et les vecteurs propres de M(a,b). +c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M(a,b)^n \to 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1040] +Soient +$n \geq 3$ + et $M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \dots & n \\ 2 & 0 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & 0 & \dots & 0 \end{pmatrix}$. + +a) Montrer que $M$ est diagonalisable. +b) Déterminer les valeurs propres de $M$ et leur multiplicité. +c) Trouver un polynôme annulateur de $M$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1041] +Soient $n\geq 2$, $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \dots & 0 \\ 1 & \ddots & \ddots & & \vdots \\ 0 & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & \dots & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $X_\ell = \begin{pmatrix} \sin\left(\frac{\ell\pi}{n+1}\right) \\ \sin\left(\frac{2\ell\pi}{n+1}\right) \\ \sin\left(\frac{2\ell\pi}{n+1}\right) \\ \vdots \\ \sin\left(\frac{n\ell\pi}{n+1}\right) \end{pmatrix}$ pour $\ell \in \db{1,n}$. On pose, pour $p,q \in \db{1,n}, S_{p,q} = \sum_{k=1}^n \sin\left(\frac{kp\pi}{n+1}\right) \sin\left(\frac{kq\pi}{n+1}\right)$. +a) Justifier que $A$ est diagonalisable. Que peut-on dire de ses sous-espaces propres? +b) Montrer que $(X_1, \ldots, X_n)$ est une base de vecteurs propres de A. +c) Calculer $S_{p,q}$ pour $p,q \in \db{1,n}$ avec $p \neq q$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1042] +Soit +$$U=\begin{pmatrix}u_1\\\vdots\\u_n\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R}),$$ + avec $\sum\limits_{i=1}^nu_i^2=1$. On pose $A=I_n-2UU^T$. + +Montrer que $A$ est orthogonale. Caractériser A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1043] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que les matrices $AA^T$ et $A^TA$ sont semblables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1044] +Montrer que $\mathcal{O}_n(\mathbb{R}) = \{ A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R}), \ A^T A = A A^T \ \mathrm{et} \ (A^k)_{k \in \mathbb{Z}} \ \mathrm{est} \ \mathrm{born\acute{e}e} \}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1045] +Déterminer les matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $M^2 = MM^T$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1046] +Soient $(a,b) \in \mathbb{R}^{*2}$ et $\Phi_{a,b} : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R} \mapsto aM + bM^T)$. + +a) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres associés de $\Phi_{a,b}$. +b) Donner la trace et le polynôme caractéristique de $\Phi_{a,b}$. +c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\Phi_{a,b}$ soit inversible. Préciser alors $\Phi_{a,b}^{-1}$. +d) L'endomorphisme $\Phi_{a,b}$ est-il autoadjoint pour le produit scalaire $(M,N) \mapsto \operatorname{tr}(M^T N)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1047] +On munit +$E = \mathbb{R}_n[X]$ + du produit scalaire $(P,Q) \mapsto \int_{-1}^1 PQ$. Soit $\Phi: E \to E$ + +l'endomorphisme défini par : $\Phi(P) = (1 - X^2)P'' + 2XP'$. + +a) Montrer que $\Phi$ est autoadjoint. +$\boldsymbol{b}$ ) Montrer que $\Phi$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres. +c) Montrer qu'il existe une unique base orthonormée $(P_0, \ldots, P_n)$ de $E$ telle que, pour tout $k \in [0, n]$, $\deg P_k = k$ et $\langle P_k, X^k \rangle > 0$. +d) Pour $k \in [0, n]$, on pose $Q_k = (-1)^k P_k(-X)$. Montrer que $(Q_0, \dots, Q_n)$ est une base orthonormée de $E$, telle que pour tout $k \in [1, n]$, on a $\deg(Q_k) = k$ et $\langle Q_k, X^k \rangle > 0$. +e) Conclusion? +f) Montrer que, pour tout $C \in \mathbb{R}_{n-1}[X]$, $C$ et $P_n$ sont orthogonaux. +g) Montrer que $P_n$ est scindé sur ]0,1[ à racines simples. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1048] +Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb{R}^n$ tel que, pour tout $X \in F \setminus \{0\}$, $X^T A X > 0$. On note $k$ la dimension de $F$. Montrer que $A$ possède au moins $k$ valeurs propres strictement positives. +#+end_exercice + + +** Analyse + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1049] +Pour +$q \in ]0,1[$ +, on pose $N_q: P \in \mathbb{R}[X] \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} |P(k)| q^k$. + +a) Montrer que $N_q$ est une norme. +b) Existe-t-il un produit scalaire sur $\mathbb{R}[X]$ dont $N_q$ soit la norme associée? +c) Soit $(p,q) \in [0,1]^2$ avec $p \neq q$. Les normes $N_p$ et $N_q$ sont-elles équivalentes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1050] +Soient +$E=\C[X]$ + et $b\in\C$. Si $P=\sum_{k\geq 0}a_kX^k$, on pose $\|P\|=\sup\{|a_k|,\ k\in\N\}$ ; + +c'est une norme sur $E$. Soit $f: P \in E \mapsto P(b)$ + +a) Montrer que $f$ est linéaire. +b) Étudier la continuité de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1051] +Soit $E = \mathbb{R}[X]$. Pour $P = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n X^n$ et $Q = \sum_{n=0}^{+\infty} b_n X^n$ dans $E$, on pose + +$$\langle P, Q \rangle = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n b_n \text{ et } \phi(P) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{2^n}.$$ + +a) Montrer que $\langle \ , \ \rangle$ est un produit scalaire et que $\phi$ est une forme linéaire sur $E$. On munit $E$ de la norme euclidienne associé à ce produit scalaire. +b) Soit $\psi$ une forme linéaire continue de $(E, \| \cdot \|)$. Montrer que Ker $\psi$ est un fermé de $E$. +c) Montrer que $H = \operatorname{Ker} \phi$ est un fermé de $(E, \|\cdot\|)$. +d) Soit $A$ une partie de $E$, montrer que $A^{\perp}$ est une partie fermée de $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1052] +Soit $n \in \N^*$. Soit $\omega = e^{\frac{2i\pi}{n}}$ et $V = \left(\omega^{(k-1)(\ell-1)}\right)_{1 \leqslant k, \ell \leqslant n+1} \in \mathcal{M}_{n+1}(\C)$. + +Si +$$P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k \in \C_n[X]$$ +, on pose $N_1(P) = \sup_{|z|=1} |P(z)|$ et $N_2(P) = \max_{0 \le k \le n} |a_k|$. + +a) Calculer $\sum_{k=1}^{n-1} \omega^k$. +b) Calculer $V \overline{V}$. En déduire que $V$ est inversible et calculer $V^{-1}$. +c) Soit $P = \sum_{k=0}^{n} a_k X^k \in \C_n[X]$. Déduire de b) une expression des $a_k$ en fonction des + +$$P(\omega^{\ell}), 0 \leqslant \ell \leqslant n-1.$$ + +d) Justifier l'existence de $N_1(P)$ et montrer que $N_2 \leqslant N_1$. +e) Trouver $\alpha$ et $\beta$ dans $\mathbb{R}^{+*}$ tels que $\alpha N_1 \leqslant N_2 \leqslant \beta N_1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1053] +Soit $E = \mathcal{C}^0([0,1], \mathbb{R})$. On munit $E$ de la norme donnée par $\forall f \in E, \|f\|_2 = \sqrt{\int_0^1 f(t)^2 dt}$. Soit $K:[0,1]^2 \to \mathbb{R}$ tel que K(s,t) = (1-s)t si $1 \geq t < s$ et $K(s,t) = (1-t)s$ sinon. + +Si $f \in E$, on pose $T(f): s \in [0,1] \mapsto \int_0^1 K(s,t) = (1-t)s$ sin + +a) Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$. +b) Montrer que, pour tout $f \in E$, $||T(f)||_2 \le \frac{1}{2\sqrt{10}}||f||_2$. + +Soit $F = \{ f \in \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R}), f(0) = f(1) = 0 \}$. + +c) Montrer que l'image de $T$ est incluse dans $F$. +d) A-t-on égalité? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1054] +On munit $E = \mathcal{M}_n(\C)$ d'une norme $\| \|$. Pour $A \in \mathcal{M}_n(\C)$, on pose $\rho(A) = 0$ $\max_{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)} |\lambda|$. +a) L'application $\rho$ est-elle une norme sur $\mathcal{M}_n(\C)$ ? +b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. On suppose que $A^p \xrightarrow[p \to +\infty]{} 0$. Montrer que $\rho(A) < 1$. +c) i) Soit $\lambda \in C$ vérifiant $|\lambda| < 1$. Pour $k \in \N$, montrer $\binom{p}{k} \lambda^{p-k} \xrightarrow[p \to +\infty]{} 0$. + +ii) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. On admet qu'il existe $(B, N) \in \mathcal{M}_n(\C)^2$ tel que $A$ = $B$ + $N$, avec $N$ nilpotente, BN = NB et $B$ diagonalisable. On suppose que $\rho(A) < 1$. Montrer que $A^p \xrightarrow[p \to +\infty]{} 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1055] +Déterminer la limite de la suite de terme général $\sum_{n=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{n^2-k^2}}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1056] +Pour +$n \in \N$ +, soit $f_n : x \mapsto -1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{x^k}{k}$. + +a) Montrer que, pour tout $n \geq2$, l'équation $f_n(x) = 0$ d'inconnue $x \in ]0,1[$ admet une unique solution qu'on notera $x_n$. +b) Montrer que la suite $(x_n)_{n\geq 2}$ ainsi définie est décroissante et convergente. +c) Calculer sa limite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1057] +Pour +$n \in \N^*$ +, on pose $u_n = \frac{1}{n} \left( \prod_{k=1}^n (3k-1) \right)^{1/n}$. Calculer $\lim_{n \to +\infty} u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1058] +Montrer que +$$\sum_{k=1}^{2n} \frac{1}{\sqrt{k}} \underset{n \to +\infty}{\sim} 2(\sqrt{2}-1)\sqrt{n}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1059] +Étudier la suite $(z_n)$, où $z_0 \in \C \setminus \mathbb{R}^-$ et, pour $n \in \N$, $z_{n+1} = \frac{1}{2}(z_n + |z_n|)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1060] +On définit $f: x \in \mathbb{R} \mapsto \pi + \arctan(\pi - x)$. On considère une suite $(u_n) \in \mathbb{R}^n$ + +vérifiant $u_0 \in [\pi/2, 3\pi/2]$ et, pour $n \in \N$, $u_{n+1} = f(u_n)$. + +a) Étudier les variations de $f$. Montrer que $(\pi, \pi)$ est un centre de symétrie du graphe de $f$. Préciser les asymptotes. + +b) Montrer: $\forall x \in \mathbb{R}^{+*}$, $x > \arctan x$. En déduire, pour $x \in [\pi/2, 3\pi/2]$, le signe de $f \circ f(x) - x$. + +c) Déterminer les solutions de $f \circ f(x) = x$. d) Étudier la convergence de $(u_{2n})$. + +e) Étudier la convergence de $(u_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1061] +Soit $(\eps_n) \in (\mathbb{R}^{+*})^{\N}$. Pour $n \in \N$ on pose : $u_n = \sqrt{\eps_0 + \sqrt{\eps_1 + \sqrt{\cdots + \sqrt{\eps_n}}}}$. + +a) Étudier $(u_n)$ dans le cas où $(\eps_n)$ est constante. + +b) Montrer que $(u_n)$ est croissante. c) Montrer que $(u_n)$ converge si et seulement s'il existe a>1 tel que, pour tout $n\in\N$, $\epsilon_n \leqslant a^{2^n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1062] +Soit $(x_n) \in (\mathbb{R}^{+*})^{\N}$ telle que : $x_n \to 0$ et $\frac{\ln(x_n)}{x_1 + \dots + x_n} \to a < 0$. Déterminer la limite de $\left(\frac{\ln(x_n)}{\ln x}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1063] +Soit $(u_n)_{n\geq 1}\in\mathbb{R}^{\N}$ telle que $:u_1>0$ et, pour tout $n\in\N,\ u_{n+1}=u_n+\frac{1}{nu}$. + +a) La suite $(u_n)$ est-elle convergente? b) Donner un équivalent simple de $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1064] +Soit, pour $n \geq2$, $u_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{\ln k}{k}$ a) Déterminer un équivalent de $u_n$. + +b) Déterminer un équivalent de $u_n - \frac{\ln^2 n}{2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1065] +Soit a > 0. Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = a$ et $\forall n \in \N, u_{n+1} = \arctan(u_n)$. + +a) Montrer que $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0$. + +b) Donner un équivalent de $u_n$. + +c) Quelle est la nature de la série $\sum u_n$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1066] +Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 > 1$ et $\forall n \in \N, \ u_{n+1} = u_n + \ln(u_n)$. + +a) Déterminer la limite de $(u_n)$. + +b) Soit a > 1. Nature de $\sum \frac{1}{u^a}$ ? + +c) Nature de $\sum \frac{\ln u_n}{u_n}$ ? d) Nature de $\sum \frac{1}{u}$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1067] +Soit $\theta \in \mathbb{R}$. Déterminer la nature de $\sum_{n\geq 1} \frac{e^{in\theta}}{n}$ et calculer sa somme en cas de convergence. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1068] +Soient +$$a,b,c\in\mathbb{R}^+$$ + tels que $a+b+c=\frac{\pi}{2}$. Montrer que $\sin(a)\sin(b)\sin(c)\leqslant\frac{1}{8}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1069] +Soit $P \in \mathbb{R}[X]$. Soit $n \in \N^*$. Montrer que $P(x) = o(x^{n-1})$ si et seulement si $X^n$ divise $P$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1070] +Soit $(A, B, \alpha) \in \mathbb{R}^3$. Soit $f$ la fonction définie par : $f(x) = \begin{cases} A(-x)^{\alpha} & \text{si } x < 0 \\ 0 & \text{si } x = 0 \\ Bx^{\alpha} & \text{si } x > 0. \end{cases}$ + +Discuter, en fonction de $(A, B, \alpha)$, du caractère dérivable de $f$, de son caractère $\mathcal{C}^1$. Soit $k \in \N^*$. Discuter du caractère $\mathcal{C}^k$ de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1071] +Soient $(a,b) \in \mathbb{R} \times ]-\pi,\pi]$ et $v_{a,b}: t \in ]-2\pi,-\pi[\mapsto t+e^{a-(b-t)\cot n(t)}\sin t$. +a) Montrer qu'il existe $y \in ]-2\pi, -\pi]$ tel que $v_{a,b}(y) = b$. +b) En déduire que le système $\begin{cases} x + e^x \cos y &= a \\ y - e^x \sin y &= b \end{cases}$ admet une solution. +c) Montrer que l'application $f: z \in \C \mapsto z e^z \in \C$ est surjective. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1072] +Déterminer les +$$f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$$ + vérifiant : $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2$, $f(x)f(y) = \int_{\mathbb{R}^{n+y}}^{x+y} f(t) dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1073] +Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que : $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2$ $f(x+y)f(x-y) = (f(x)f(y))^2$ (). +a) Quelles sont les valeurs possibles de f(0)? +b) Montrer que, si $f(x_0) = 0$, alors $f\left(\frac{x_0}{2^n}\right) = 0$ pour tout $n \in \N$. +c) Montrer que, si $f$ s'annule, alors est nulle. + d) Déterminer les fonctions qui vérifient (). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1074] +Soit $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ continue et surjective. +a) Montrer que $f$ a une infinité de zéros. +b) Montrer que tout réel a une infinité d'antécédents par $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1075] +a) Soit $f:I\to\mathbb{R}$ continue et injective, où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est strictement monotone. +b) Soit $f:[0,+\infty[\to [0,+\infty[$ continue telle que : $\forall x\in [0,+\infty[,\ f(f(x))=x$. Montrer : $\forall x\in [0,+\infty[,\ f(x)=x$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1076] +On admet le résultat suivant : si $f:I\to\mathbb{R}$ est continue et injective, où $I$ est un intervalle de $\mathbb{R}$, alors $f$ est strictement monotone. +On note $\mathcal{E}$ l'ensemble des $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle $f \circ f = \mathrm{id}$. On fixe un $f \in \mathcal{E} \setminus \{\mathrm{id}\}$. +a) Montrer que $f$ est décroissante. +b) Montrer que $f$ admet un unique point fixe, que l'on note $d$.c) On note $g|_{[d,+\infty[}$. Montrer que $g$ est strictement décroissante, que g(d)=d et que $\lim_{x \to +\infty} g(x) = -\infty$. + +d) Réciproquement, montrer que, si on se donne $d \in \mathbb{R}$ et une fonction continue $g:[d,+\infty[ \to \mathbb{R}$ strictement décroissante, telle que $g(d)=d \text{ et } \lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty$, alors il existe $f \in \mathcal{E} \setminus \{id\}$ tel que $f|_{[d,+\infty[} = g$. +e) Donner une condition nécessaire et suffisante sur $g$ pour $f$ soit de classe $C^1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1077] +Soit $E = \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Déterminer les sous-espaces vectoriels de $E$ vérifiant : +i) pour tout $f \in F$, on a $|f| \in F$, ii) pour tout $f \in F$, si $f \geq 0$, alors $\sqrt{f} \in F$. Ind. Soit $f \in F$. Poser $g$ = |f|. Que dire de $(g, g^{1/2}, \dots, g^{1/2^n})$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1078] +Soient $f,g\in\mathcal{C}^0(\mathbb{R},\mathbb{R})$. On suppose que $f\circ g$ est décroissante. Montrer que $f\circ g$ et $g \circ f$ ont un unique point fixe. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1079] +Déterminer les $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telles que : $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x) = 1 + 2 \int_0^x f(t) \cos(x t) \, dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1080] +Pour $n \in \N$, calculer $I(n) = \int_{0}^{\pi/2} \cos((n+2)x) \cos^{n}(x) dx$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1081] +On suppose $\pi = \frac{a}{b}$ avec $(a,b) \in \N^{*2}$. Pour $n \in \N$, on pose $P_n = \frac{X^n(a-bX)^n}{n!}$. +a) Pour tout $(n,k) \in \N^2$, montrer que $P_n^{(k)}(0)$ et $P_n^{(k)}(\pi)$ sont des entiers. b) Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^{\pi} P_n(t) \sin(t) dt$. Montrer: $\forall n \in \N, I_n \in \mathbb{Z}$. +c) Montrer: $\forall n \in \N, I_n > 0$. +d) Montrer qu'il existe un réel $\xi$ tel que : $\forall n \in \N, \ I_n \leqslant \pi \frac{\xi^n}{n!}$. Conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1082] +Soient $f,g \in \mathcal{C}^0(0,1],\mathbb{R}^{+*}$ ). Pour $n \in \N$, on pose $u_n = \int_0^1 g(t)f(t)^n dt$. Étudier la +suite $\left(\frac{u_{n+1}}{u}\right)$. *Ind.* Commencer par étudier la limite de $\left(u_n^{1/n}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1083] +Soit $E$ l'ensemble des fonctions des $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ $2\pi$ -périodiques. +a) Montrer qu'il existe $A, B \in \mathbb{R}$ tels que, pour toute $f \in E$, +$\sup_{m} |f| \leqslant A \int_{0}^{2\pi} |f'| + B \int_{0}^{2\pi} |f|$. +b) Est-ce toujours vrai pour des fonctions à valeurs complexes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1084] +Soit $p \in \N$. Montrer que $t \mapsto e^{-(t-p\pi)^2} \sin(t)$ est intégrable sur $\mathbb{R}$ et que son intégrale est nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1085] +Soient a > 1 et $b$ > 1 deux réels. Calculer $\int_0^{\pi} \ln\left(\frac{b \cos t}{a \cos t}\right) dt$.Ind. Remarquer que $x \mapsto \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$ est une primitive sur $]1, +\infty[$ de $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1086] +Soient $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ croissante et bornée, ainsi que $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ avec a < $b$. Convergence et calcul de $\int_{-\infty}^{+\infty} \left( f(b+t) - f(a+t) \right) \, \mathrm{d}t$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1087] +Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue, telle que $\lim_{x \to -\infty} = \ell$ et l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} f(x) \, \mathrm{d}x$ est convergente. Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec a < $b$. Montrer que l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} (f(b+x) - f(x+a)) dx$ convergente et la calculer. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1088] +Calculer +$$\int_0^{+\infty} \exp\left(-at^2 - \frac{b}{t^2}\right) dt$$ +, pour $(a,b) \in (\mathbb{R}^{+*})^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1089] +Soit $f: t \mapsto \frac{1}{t} - \left\lfloor \frac{1}{t} \right\rfloor$. + +a) La fonction $f$ est-elle intégrable sur $]0,1[$ ? +b) Calculer $\int_{0}^{1} f(t) dt$. + +$$I = \int_{1}^{+\infty} \frac{\ln(|1-x|)\cos(\ln x)}{x^{\alpha}(1+x)} dx \text{ et } J = \int_{0}^{1} \frac{\ln(|1-x|)\cos(\ln x)}{x^{\alpha}(1+x)} dx.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1091] +Pour +$n \in \N^*$ +, on pose $I_n = \int_0^{+\infty} \frac{\sin^{2n+1}(t)}{t} dt$ et $J_n = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(nt)}{t} dt$. + +a) Montrer que $I_0$ converge. On admet que $I_0 = \frac{\pi}{2}$. +b) Montrer que : $\forall n \in \N, \ \forall t \in \mathbb{R}, \ \sin^{2n+1}(t) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^k \binom{2n+1}{n-k} \frac{\sin((2k+1)t)}{2^{2n}}$. +c) Montrer l'existence de $J_n$ et de $I_n$ pour tout $n \in \N$ +d) Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $q_n \in \mathbb{Q}$ tel que $I_n = q_n \pi$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1092] +Soit (C): (y' + 2xy = 1, y(0) = 0.) +a) On note $\phi$ la solution de (C). Justifier l'existence et l'unicité de $\phi$. +b) Exprimer $\phi(x)$ à l'aide d'une intégrale que l'on de cherchera à calculer. +c) Pour x>0, sachant que $t^2\leqslant tx$ pour $t\in[0,x]$, donner le comportement de $\phi$ au voisinageqde $+\infty$. +d) Montrer $e^{-x^2} \int_{-t^2}^x \frac{e^{t^2}}{t^2} dt = o\left(\frac{1}{x}\right)$. +e) Donner un équivalent simple de $\phi(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1093] +Pour $n \in \N$ et $x \in [0, \pi/2]$, on pose $f_n(x) = \sin^n(x) \cos(x)$ et $g_n(x) = nf_n(x)$.Étudier la convergence simple et uniforme des suites $(g_n)$ et $(f_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1094] +Soit $(f_n)$ la suite définie par $f_0: x \in \mathbb{R}^+ \mapsto 0$ et, pour $n \in \N, f_{n+1}: x \in \mathbb{R}^+ \mapsto 0$ + + $f_n(x) + \frac{1}{2} \left( x - (f_n(x))^2 \right)$ + +a) Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur [0,1]. + +b) Est-ce que $(f_n)$ converge uniformément sur $[0, +\infty[$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1095] +Pour $n \in \N^*$, soit $f_n : x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \frac{\ln(n+x)}{n^2 + x^2}$. + +Étudier la Convergence simple/uniforme/normale de $\sum f_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1096] +Soit $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{x+n}}$. + +a) Étudier la continuité, la dérivabilité et les limites en 0 et en $+\infty$ de $S$. + +b) On admet que $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$. + +Montrer que, pour tout $x$ > 0, $S(x) = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_0^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{\sqrt{t} (1 + e^{-t})} dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1097] +Soit $S: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{1+nx}$. + +a) Montrer que $S$ est bien définie et continue sur $]0, +\infty[$. + +b) Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$ et donner un équivalent de S(x) quand $x \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1098] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sqrt{x \ln n}}{1 + n^2 x}$. + +a) Donner le domaine de définition de $f$. + +b) Étudier la continuité de $f$. + +c) Déterminer la limite puis un équivalent de $f$ en $+\infty$. + +d) Déterminer la limite puis un équivalent de $f$ en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1099] +On considère $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n(x)$, où $u_n(x)=\frac{1}{n+n^2x^2}$. + +a) Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}^*$, paire. + +b) Montrer que $\sum u_n$ ne converge pas normalement. + +c) Montrer que $\overline{f}$ est intégrable sur $\mathbb{R}^{+*}$ et donner son intégrale sous la forme de la somme d'une série numérique. + +*d*) Montrer que $f$ est monotone sur $\mathbb{R}^{+*}$. + +e) Donner la limite, puis un équivalent en $+\infty$. + +f) Donner la limite, puis un équivalent en 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1100] +Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R})$. On pose $f_0 = f$ et, pour $n \in \N$, $f_{n+1} : x \in [a,b] \mapsto \int_a^x f_n(t) dt$. + +On pose $g = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$. Justifier la définition de $g$ et l'exprimer en fonction de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1101] +Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in (\mathbb{R}^+)^N$ décroissante. Pour $n\in \N$, soit $u_n:x\in [0,1]\mapsto a_nx^n(1-x)$. +a) Montrer que $\sum u_n$ converge simplement. +b) Montrer que la convergence est normale si et seulement si $\sum \frac{a_n}{n}$ converge. +c) Montrer que la convergence est uniforme si et seulement si $a_n \stackrel{\sim}{\to} 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1102] +Soient $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \C)$ et $M \in \mathbb{R}^+$. On suppose que $\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2$, $|f(x + y) f(x) f(y)| \leq M$. +a) Si M=0, montrer qu'il existe $\alpha \in \C$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x)=\alpha x$. +a) Si M=0, montrer qu'il existe $\alpha\in\C$ tel que $\forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=\alpha x$. b) Pour $n\in\N$ et $x\in\mathbb{R}$, on pose $v_n(x)=\frac{f(2^nx)}{2^n}$. En considérant la série $\sum (v_{n+1}-v_n)$, +montrer que $(v_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers une fonction continue $g$. +c) Montrer que $g$ est la seule application linéaire telle que la fonction $f$-g soit bornée sur $\mathbb{R}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1103] +a) Montrer: $\forall x \in \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right], \ \frac{2}{\pi} |x| \leqslant |\sin x|$. +b) Donner le rayon de convergence de $\sum \frac{z^n}{\sin(n\pi\sqrt{3})}$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1104] +Soit $p \in \N^*$. Rayon de convergence et somme de la série entière $\sum_{k \geq 0} \frac{x^{kp}}{(kp)!}$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1105] +Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R \in \mathbb{R}^{+*} > 0$ telle que +$\sum a_n R^n$ soit absolument convergente. +a) Donner un exemple de telle série. +b) On pose $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$. Montrer que $f$ est continue sur [-R, R]. +c) Pour $t \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}$, on pose $g(t) = \frac{1}{t} \ln \left| \frac{1-t}{1+t} \right|$. +i) Montrer que $\int_{0}^{1} g$ converge. + - ii) Exprimer $g$ comme une somme de série entière sur ]-1,1[. En déduire $\int_0^1 g$. +iii) Calculer $\int_{1}^{+\infty} g$.- +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1106] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n!}{1 \times 3 \cdots \times (2n+1)} x^{2n+1}$. +a) Déterminer le rayon de convergence $R$ de $f$. +b) Montrer que $f$ est solution de l'équation différentielle (E): $(x^2-2)y'+xy+2=0$. +c) En déduire une expression de f(x). + d) La série entière converge-t-elle pour $x$ = R? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1107] +On donne $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Pour $n \in \N^*$, on pose $u_n = \sum_{\stackrel{(i,j) \in \N^{*2}}{i \perp i = n}} \frac{1}{i^2 j^2}$. +a) Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$. +b) Donner le rayon de convergence de $\sum u_n z^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1108] +Soit $\alpha \in ]0,1[$. Donner un équivalent de $S:x\mapsto \sum^{+\infty}\frac{x^n}{n^{\alpha}}$ en $1^-$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1109] +Soit $(T_n)$ la suite de polynômes définie par $T_0 = 1$ et, pour $n \in \N$, $T_{n+1}(X) = X(T_n(X) + T'_n(X))$. +$I_{n+1}(A) = A(I_n(A) + I_n(A))$. a) Expliciter $T_1, T_2, T_3$ et $T_4$. +b) Montrer que, pour tout $n \in \N$, $T_{n+1}(X) = X \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} T_k(X)$. +c) Soit $\phi: t \mapsto \exp(e^t)$. Montrer que, pour tout $n \in \N$ et tout $t \in \mathbb{R}$, $\phi^{(n)}(t) = T_n(e^t)\phi(t)$. + + d) Soit $n \in \N$. Développer $x \mapsto T_n(x) e^x$ en série entière. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1110] +Soit $D=\{z\in\C\ ,\ |z|\leqslant 1\}$. Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite de nombres complexes. On suppose que la série $\sum na_n$ est absolument convergente. +a) Montrer que le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n z^n$ est supérieur ou égal à 1. +b) Pour $z \in D$, on note $f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n$. On suppose que $a_1 \neq 0$ et que $\sum_{n=0}^{+\infty} n|a_n| \leqslant |a_1|$. + +Montrer que $f$ est injective. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1111] +On pose $f:(x,s)\mapsto \sum_{s=0}^{+\infty}\frac{x^n}{n^s}$. +a) Calculer f(x,0) et f(x,1) lorsque c'est possible. +b) Donner le rayon de convergence (à $s$ fixé). +c) Donner le domaine de définition. +d) Donner une relation entre f(x, s) et f(x, $s$ 1). +e) Donner une expression simple de f(x,-1) et f(x,-2). f) Donner un équivalent simple de f(x,-p) au voisinageqde $1^-$, avec $p \in \N^*$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1112] +Soit $(a_n) \in \mathbb{R}^{\N}$ telle que $\lim_{n \to +\infty} (na_n) = 0$.a) Montrer que le rayon de convergence de $\sum a_n x^n$ est au moins 1. + +a) Montrer que le rayon de convergence de +$\sum a_n x^n$ + est au moins $1 + \infty$ + +b) Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = o(\ln(1-x))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1113] +On note $I = \int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t} dt$ et, pour $n \geq1$, $u_n = \int_{1}^{+\infty} e^{-x^n} dx$. + +a) Montrer que $I$ est bien définie. b) Montrer que $(u_n)$ est bien définie. + +c) Trouver un équivalent de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$. Comment trouver le terme suivant du développement asymptotique? + +d) Donner le domaine de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1114] +Pour $n \in \N$, on pose lorsque cela a un sens $I_n = \int_1^{+\infty} \frac{1}{1 + t + \dots + t^n} dt$. + +a) Montrer que la suite $(I_n)_{n\geq 2}$ est bien définie et calculer sa limite + +b) Soit $n \geq3$. Montrer que $I_{n-1} = \int_{0}^{1} u^{n-3} \frac{1-u}{1-u^n} du$. + +Montrer que $I_{n-1} = \frac{1}{n^2} \int_0^1 \frac{n(1-s^{1/n})}{1-s} s^{-2/n} ds$. + +c) En déduire un équivalent de $I_n$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1115] +On donne $\int_{0}^{+\infty} e^{-\frac{t^2}{2}} dt = \sqrt{2\pi}$. + +Pour $n \in \N^*$ on pose $\gamma_n = n^{1/4}$ et $\phi_n : x \mapsto \frac{\gamma_n}{\sqrt{2\pi}} \left( \frac{\sin\left(\sqrt{\frac{3}{n}}\gamma_n x\right)}{\sqrt{\frac{3}{n}}\gamma_n x} \right)^n$. Soient également A>0 et $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ continue, nulle à l'extérieur de [-A,A]. Montrer que $\int_{-}^{\infty} f\phi_n \to f(0)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1116] +Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^1 \ln(t) \, \ln(1-t^n) \, \mathrm{d}d$. + +a) Trouver la limite de $(I_n)$. + +b) Trouver un équivalent de $I_n$. c) Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, nature de la série $\sum I_n^{\alpha}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1117] +Soit, pour $n \in \N$, $I_n = \int_0^1 \frac{\mathrm{d}t}{1+t^n}$. + +a) Montrer que $(I_n)$ admet une limite $\ell$ que l'on explicitera. b) Déterminer un équivalent de $I_n - \ell$. + +c) Montrer que $\int_0^1 \frac{\ln(1+y)}{y} dy = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{(k+1)^2}$. + +d) Déterminer un développement asymptotique de $I_n$ à trois termes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1118] +Pour tout $n \in \N$, on note $I_n = \int_0^1 \frac{t^{n+1} \ln t}{1-t^2} dt$. + +a) Montrer que $I_n$ est bien définie. b) Écrire $I_n$ sous forme d'une somme. + +c) Déterminer un équivalent de $I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1119] +Soient a, $b$ > 0. + +a) Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(a+nb)^2} = \int_0^{+\infty} \frac{te^{-at}}{1-e^{-bt}} dt$. + +b) Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{a+nb} = \int_0^1 \frac{t^{a-1}}{1+t^b} dt$. Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3n+1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1120] +Soit $x \in [0,1[$. Après avoir justifié l'existence des deux membres, montrer l'égalité $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n+x} = \int_0^{+\infty} \frac{t^{x-1}}{1+t} dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1121] +On pose $S: t \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \ln(1 + e^{-nt})$. +b) Convergence et calcul de $\int_{-1}^{1} \frac{\ln(1+u)}{u} du$. + +a) La fonction $S$ est-elle intégrable sur $[1, +\infty[?]0, 1]$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1122] +Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^1 \ln(1+t^n) dt$. +a) Déterminer la limite de $(I_n)$. +b) Justifier l'existence de $L = \int_{0}^{1} \frac{\ln(1+u)}{u} du$. +c) Montrer que $I_n \sim \frac{L}{r}$. +d) Montrer que $L = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1123] +Soit $F: x \mapsto \int_{1}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^{x}(1+t)}$. +a) Montrer que $F$ est définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ +b) Montrer que $F$ est continue et décroissante sur $\mathbb{R}^{+*}$. +c) Déterminer la limite de $F$ en $0^+$ et en $+\infty$. d) Déterminer un équivalent de $F$ en $0^+$ et en $+\infty$. Ind. Calculer F(x) + F(x+1). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1124] +On pose $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2} dt$. a) Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}^{+*}$ et de classe $\mathcal{C}^1$.b) On pose $F: x \mapsto \int_0^x \exp(-t^2) dt$ et l'on donne $\lim_{t \to \infty} F = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$. + +Exprimer simplement f'(x). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1125] +Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^x(t+1)}$. + +a) Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$. + +b) Montrer que $f$ est continue sur son domaine de définition. + +c) Montrer que la droite d'équation $x = \frac{1}{2}$ est un axe de symétrie de la courbe représentative + +d) Montrer que $f$ est minorée par une valeur que l'on explicitera. + +e) Déterminer un équivalent de $f$ en 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1126] +Pour $x$ > 0, on pose $s(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\sin t}{e^{xt} - 1} dt$. + +a) Montrer que $s$ est continue sur $]0, +\infty[$. + +b) Écrire $s$ comme la somme d'une série de fonctions rationnelles. + +c) Montrer que $s(x) \sim \frac{\pi}{2\pi}$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1127] +On pose $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{x+t} dt$. + +a) Donner le domaine de définition et montrer que $F$ est monotone. b) Montrer que $F$ est de classe $C^1$. + +c) Limite et équivalent de $F$ en $+\infty$. + +d) Limite et équivalent de $F$ en 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1128] +On pose $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^3 + x^3}$. + +a) Domaine de définition + +b) Montrer que $f$ est continue sur son domaine de définition. + +c) Calculer f(0). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1129] +On pose $f: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)(1+ixt)}$. + +a) Montrer que $f$ est définie, continue sur $\mathbb{I}$ b) Montrer: $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \in \mathbb{R}$. + +c) Exprimer f(x) sans signe intégral. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1130] +Soit $I: a \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(t)}{a^2 + t^2} dt$. + +a) Montrer que $I$ est bien définie + +b) Calculer I(1). + +c) En déduire une expression de I(a). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1131] +On pose $I: x \mapsto \int_{a}^{\frac{\pi}{2}} e^{x \cos t} dt$. Donner un équivalent, puis un développement à deux termes de I(x) lorsque $x \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1132] +Étudier $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-xt} \frac{\sin(t)}{t} dt$. En déduire la valeur de $\int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1133] +a) Pour quelles valeurs de $t$ la série $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^t}$ converge-t-elle? On note alors $\zeta(t)$ sa somme. + +Pour t>0, on pose $\Gamma(t)=\int_0^{+\infty}x^{t-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t$. On admet la convergence de cette intégrale. + +b) Soit $t$ > 1. Justifier l'existence de $\int_{0}^{+\infty} \frac{x^{t-1}}{e^x 1} dx$, et l'exprimer en fonction de $\zeta(t)$ et $\Gamma(t)$. +c) Justifier que $T(t) = \int_0^{+\infty} \frac{x^{t-1}}{e^x + 1} dx$ est définie pour $t$ > 0 et, pour $t$ > 1, exprimer T(t)à l'aide de $\zeta(t)$ et $\Gamma(t)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1134] +Soit $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\ln(1+xt^2)}{t(1+t^2)} dt$. Déterminer le domaine de définition $D$ de $F$ et montrer que $\forall x \in D, \ F(x) = -\frac{1}{2} \int_{-\pi}^{x} \frac{\ln(t)}{1-t} dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1135] +On donne $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \text{ et } \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{t^2}{1+t^4} = \frac{\pi\sqrt{2}}{4}$. +a) Justifier l'existence de $\int_0^{+\infty} \frac{e^{iu}}{\sqrt{u}} du$, puis de $K = \int_0^{+\infty} e^{it^2} dt$. +b) Pour $x \in \mathbb{R}$, on pose $f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x^2(i+t^2)}}{i+t^2} dt$. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}$. +c) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0, +\infty[$ et que $\forall x>0, \ f'(x)=-\sqrt{\pi}e^{-ix^2}$. d) Montrer que $\int_{0}^{+\infty} \cos(t^2) dt = \int_{0}^{+\infty} \sin(t^2) dt = \frac{\sqrt{2\pi}}{4}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1136] +On pose $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t^2} dt$ et $g: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\sin(t)}{x+t} dt$. +a) Montrer que $f$ et $g$ sont continues sur $\mathbb{R}^+$. +b) Montrer que $f$ et $g$ sont de sont de classe $C^2$ sur $]0, +\infty[$, et solutions de y'' + y = 1/t. c) Calculer $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin t}{t} dt$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1137] +Soit $f: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_{0}^{1} \ln(t) \ln(1-t^x) dt$. +a) Montrer que $f$ est bien définie.- b) Écrire $f$ comme somme d'une série de fonctions. +c) Déterminer la limite de $f$ en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1138] +Soit $f: t \mapsto \int_{1}^{+\infty} \frac{x^t}{\operatorname{ch}(x)} \mathrm{d}x$. +a) Justifier que $f$ est définie et de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}^+$. +b) Calculer f(0). +c) Montrer que, pour $n \geq2$, l'équation f(t) = $n$ possède une unique solution notée $t_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1139] +On pose $J: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ch}^x(t)}$. +a) Domaine de définition de J? +b) Étudier la continuité de $J$. +c) Calcul de J(1) et J(2). d) Déterminer une relation entre J(x+2) et J(x). +e) Expliciter J(2p) et J(2p+1) pour $p \in \N^*$. +f) A-t-on $J(x) \sim J(x+1)$ ? +g) Donner un équivalent de $J$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1140] +Soit $q \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On considère l'équation différentielle (E): y'' + y = $q$. +a) Donner les solutions de (E). +b) Soit $f$ une solution de (E) telle que : $\forall x \in \mathbb{R}, f''(x) + f(x) \geq0$. +Montrer: $\forall x \in \mathbb{R}, \ f(x+\pi) + f(x) \geq0$. c) Soit $f$ une solution de (E) pour laquelle il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(a+\pi)+f(a)=0$. Montrer que $f$ est de la forme $\lambda \cos + \mu \sin$, avec $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1141] +Déterminer les $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ vérifiant $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1142] +Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ telle que $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}, \ f(x,y) = \frac{x^2y}{x^2+y^2}$ et f(0,0) = 0. +a) Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$. +b) A-t-on $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ ? c) Calculer $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial u}(0,0)$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial x}(0,0)$ si elles existent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1143] +Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ de classe $\mathcal{C}^2$. a) Pour tout $(a,b,c,d) \in \mathbb{R}^4$ montrer: $f(b,d) - f(a,d) - f(b,c) + f(a,c) = \int_0^b g(x) dx$ +où $g: x \mapsto \int_{c}^{d} \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial u}(x, y) \, \mathrm{d}y$. +b) Montrer qu'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que : +$\forall (x,y) \in [-1,1]^2, |f(x,y) f(0,y) f(x,0) + f(0,0)| \leq M|xy|$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1144] +Soient $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^2, \mathbb{R})$ et $n \in \N$. Montrer l'équivalence entre les assertions :i) +$$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \forall t \in \mathbb{R}^+, f(tx,ty) = t^n f(x,y),$$ + +ii) +$$\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \ x \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + y \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = n f(x,y).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1145] +Étudier les extrema de $(x, y, z) \mapsto x^2 + y^2 + z^2 - 2xyz$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1146] +Soient $\phi \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ et $f: x \in \mathbb{R}^n \mapsto \phi(x) e^{-\|x\|^2}$. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum, que l'on déterminera. +#+end_exercice + + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1147] +Soient $\Omega$ un ensemble de cardinal $n$ et $\mathcal{P}(\Omega)$ l'ensemble de ses parties. On appelle mesure sur $\Omega$ toute application $\mu$ de $\mathcal{P}(\Omega)$ dans $\mathbb{R}$ telle que, pour tout couple (A,B) de parties disjointes de $\Omega$, $\mu(A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)$. On dit que $\mu$ est une mesure de probabilité si de plus $\mu$ est à valeurs dans $\mathbb{R}^+$ et $\mu(\Omega) = 1$. Soit $x_0 \in \Omega$. On définit $\delta_{x_0} : \mathcal{P}(\Omega) \to \{0,1\}$ par $\forall A \in \mathcal{P}(\Omega), \ \delta_{x_0}(A) = 1$ si $x_0 \in A$, et $\delta_{x_0}(A) = 0$ sinon. On admettra que $\delta_{x_0}$ est une mesure de probabilité. +a) Montrer que l'ensemble $M(\Omega)$ des mesures sur $\Omega$ est un espace vectoriel de dimension finie et calculer sa dimension. +b) Donner sans justifier une norme sur $M(\Omega)$. +c) On note $Pr(\Omega)$ l'ensemble des mesures de probabilité sur $\Omega$. Est-il convexe? borné? ouvert? fermé? +d) Montrer que, pour toute mesure $\mu \in M(\Omega)$ il existe $P_1$ et $P_2$ probabilités et $\lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}$ tels que $\mu = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2$. +Ind. On pourra introduire $A=\{\omega\in\Omega,\ \mu(\{\omega\})>0\}$ et $B=\{\omega\in\Omega,\ \mu(\{\omega\})<0\}$. +e) Montrer que $N(\mu) = \inf\{|\lambda_1| + |\lambda_2| ; \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R}, \exists P_1, P_2 \in \Pr(\Omega), \mu = \lambda_1 P_1 + \lambda_2 P_2\}$ est une norme sur $M(\Omega)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1148] +On munit $\mathcal{P}(\{1, 2, \dots, n\})^2$ de la probabilité uniforme. Quelle est la probabilité pour que deux parties de $\{1, 2, \dots, n\}$ soient disjointes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1149] +On considère une particule se déplaçant sur un axe de N+1 positions, indexées par $\db{0,N}$. Lorsqu'elle est en position $k\in\{1,\ldots,n-1\}$, la particule peut se déplacer en position k+1 avec probabilité $p\in ]0,1/2[$ ou bien en position $k$-1 avec une probabilité 1-p=q. On arrête le processus lorsque la particule atteint l'abscisse 0 ou $N$. + +On note $u_a$ la probabilité que la particule termine son parcours en 0 en ayant commencé à l'abscisse $a \in [0, N]$. + +a) Que valent $u_0$ et $u_N$ ? +b) Pour 0 < a < $N$, trouver une relation entre $u_a$, $u_{a-1}$ et $u_{a+1}$. +c) Quelle est la probabilité que le processus ne se termine pas? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1150] +On dispose d'urnes numérotées $(U_n)_{n\geq 1}$. Dans l'urne $U_n$ il y a une boule blanche et $n$ boules noires. On commence par tirer une boule de l'urne $U_1$. Si elle est blanche, on s'arrête et si elle est noire on recommence l'expérience dans l'urne suivante. Ainsi de suite jusqu'à ce qu'on obtienne une boule blanche. On note $X$ la variable aléatoire donnant le numéro de l'urne où l'on tire pour le première fois une boule blanche.- a) Déterminer la loi de $X$. +b) Soit $f: x \mapsto |\sqrt{x}|$. Montrer que f(X) est d'espérance finie et calculer cette espérance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1151] +Soit $n \in \N^*$. On considère deux jeux de hasard. Les deux jeux consistent à tirer à Pile ou Face un certain nombre de fois. Pour chaque lancer, on obtient Pile avec probabilité $p \in ]0,1[$. +Premier jeu : on tire 2n-1 fois la pièce. On gagne lorsqu'on obtient au moins $n$ fois Pile. +Deuxième jeu : on tire 2n fois la pièce. On gagne lorsqu'on obtient au moins n+1 fois Pile. Si on obtient $n$ fois Pile, on a alors une chance sur deux de gagner. + +On note $X_1$ le nombre de Piles au jeu 1 et $X_2$ le nombre de Piles au jeu 2. + +a) Donner les lois de $X_1$ et de $X_2$. +b) Exprimer $P(X_2 > n)$. +c) Soient $p_1$ la probabilité de gagner au jeu 1 et $p_2$ la probabilité de gagner au jeu 2. Exprimer $p_2 p_1$ en fonction de $\mathbf{P}(X_1 = n)$ et $\mathbf{P}(X_2 = n)$. +d) À quel jeu vaut-il mieux jouer si l'on aime gagner? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1152] +a) Soit $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$ un espace probabilisé. Caractériser les $A \in \mathcal{A}$ tels que, pour tout $B \in \mathcal{A}$, $A$ et $B$ sont indépendants. +b) Soit $\Omega$ un ensemble fini. Existe-t-il une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega))$ telle que les éléments de $\mathcal{P}(\Omega)$ soient mutuellement indépendants? Si oui, caractériser les probabilités qui vérifient cela. +c) Soient $\Omega$ un ensemble de cardinal $N \in \N^*$ et $\mathbf{P}$ une probabilité sur $\Omega$. Soit $(A_1, \ldots, A_m)$ une famille d'événements mutuellement indépendants, non négligeables et non presque-sûrs. Montrer que $2^m \leqslant N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1153] +Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles à valeurs dans un ensemble fini telles que $\forall k \in \N, \ \mathbf{E}(X^k) = \mathbf{E}(Y^k)$. Montrer que $X \sim Y$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1154] +Soit $X$ une variable aléatoire positive, qui ne prend qu'un nombre fini de valeurs. + +Soit +$k \in \N^*$. Montrer que $\mathbf{E}(X^k) = \int_0^{+\infty} kt^{k-1}\mathbf{P}(X>t)\,\mathrm{d}t$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1155] +Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans $(\N^*)^2$ tel que, pour tout $n \in \N^*$, la loi conditionnelle de $X$ sachant (Y = n) est la loi $\mathcal{U}([1, n])$. +a) Montrer que $X$ et $Y$ + 1 $X$ suivent la même loi. +b) On suppose $X \sim \mathcal{G}(p)$. Déterminer la loi de $Y$ et en déduire les valeurs possibles pour $p$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1156] +Soient $(p, p') \in ]0, 1[^2$ et $(X_n)_{n \in \N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout $n \in \N^*$, $X_{2n} \sim \mathcal{B}(p)$ et $X_{2n-1} \sim \mathcal{B}(p')$. + +On pose $Y = \min\{n \in \N, X_n = 1\}$. + +a) Montrer que $Y$ est presque sûrement finie. +b) Loi, espérance et variance de Y. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1157] +Soient $X$,Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$ et $U=\frac{X}{V}$.- a) Calculer la loi de $U$. +b) Calculer l'espérance de $U$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1158] +Soit $p \in ]0,1[$. Soit $(X_n)_{n \in \N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi $\mathcal{B}(p)$. On pose $Y_n = X_n + X_{n+1} + X_{n+2}$ pour tout $n \in \N^*$. + +Montrer que, pour tout +$\eps > 0$ +, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}Y_{k} - 3p\right| \geq \eps\right) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1159] +Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^+$. Soient $b$ > 0 et $I$ une partie de $\mathbb{R}$ telle que $\forall x \in I, \ g(x) \geq b$. +a) Montrer que $\mathbf{P}(X \in I) \leqslant \frac{\mathbf{E}(g(X))}{h}$. +b) On suppose que $\mathbf{E}(X) = 0$ et que $X$ admet une variance. Soit $t$ > 0. + +Montrer que $\mathbf{P}(X > t) \leqslant \frac{\mathbf{V}(X)}{\mathbf{V}(X) + t^2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1160] +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. suivant $\mathcal{B}(p)$, avec $p\in ]0,1[$. On note $q=1-p$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$ et $T_n=\frac{S_n-np}{\sqrt{npq}}$. + +a) Loi et fonction génératrice de $S_n$. +b) Donner $\mathbf{E}(T_n)$ et $\mathbf{V}(T_n)$. +c) Soit $x\gt 0$. Exprimer $\mathbf{E}\left(x^{T_n}\right)$ et déterminer la limite de $\left(\mathbf{E}\left(x^{T_n}\right)\right)_{n \geq1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1161] +Soit $N \in \N^*$. Soit $(U_n)_{n \in \N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1, 2, \dots, N\}$. On note $\mu$ l'espérance de $U_1$ et $\sigma^2$ la variance de $U_1$. + +Pour tout entier +$n \in \N^*$ +, on définit les variables $S_n = U_1 + \cdots + U_n$ et $V_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma \sqrt{n}}$. + +Soit $t \in \mathbb{R}$. Montrer que $\mathbf{E}(e^{tV_n}) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} e^{t^2/2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1162] +Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires de loi uniforme sur $\{-1,1\}$. + +Pour +$n \in \N^*$ +, on note $S_n = \sum_{k=0}^n X_k$ et $P_n = \prod_{k=0}^n X_k$. + +a) Déterminer l'espérance et la variance de $S_n^{k=1}$ et de $P_n$. +b) Déterminer la loi de $P_n$. +c) Les variables $S_n$ et $P_n$ sont-elles indépendantes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1163] +Soit $(X_n)_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans $\N$. On suppose que +$\mathbf{P}(X_0=0)<1$ et $\mathbf{E}(X_0)<+\infty$. On note $R$ le rayon de convergence de $\sum X_n\,t^n$ +a) Rappelez la définition du rayon de convergence d'une série entière. +b) Montrer que : $(R > 1) = (X_n = 0$ à partir d'un certain rang $N \in \N$ ). En déduire que (R > 1) est un événement et $\mathbf{P}(R > 1) = 0$. +c) Soit $0 \le c < 1$. Montrer que $\mathbf{P}(R \le c) = 0$. +d) Montrer que P(R=1)=1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1164] +Soit $(X_k)_{k \in \N^*}$ une suite de variables aléatoires de même loi, à valeurs dans $\N$ et d'espérance finie. Pour $n \in \N^*$, on pose $M_n = \max(X_1, \dots, X_n)$. + +Montrer que la verieble eléctoire $1 \leq V_n$ est d'espérance finie. + +a) Montrer que la variable aléatoire $\mathbf{1}_{\{X_1\geq N+1\}}X_1$ est d'espérance finie. Montrer que $\lim_{N\to+\infty}\mathbf{E}\left(\mathbf{1}_{\{X_1\geq N+1\}}X_1\right)=0$. + +b) Pour $N \in \N$, montrer que $M_n \leqslant N + \sum_{k=1}^n \mathbf{1}_{\{X_k \geq N+1\}} X_k$. +c) Déterminer $\lim_{n \to +\infty} \mathbf{E}\left(\frac{M_n}{n}\right)$. Ind. Revenir à la définition d'une limite. +d) Étendre ce résultat à une suite de variables aléatoires positives, de même loi et d'espérance finie. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1165] +a) Comparer $\mathbf{E}(X^2)$ et $\mathbf{E}(X)^2$ lorsque $X$ est une variable aléatoire réelle discrète telle que $\mathbf{E}(X^2)$ soit finie. +b) Soient $N$ > 0 et $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables à valeurs dans [0, N], ainsi que + +$$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ + de classe $\mathcal{C}^1$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_k$. + +Montrer que $\mathbf{E}\left(f\left(\frac{S_n}{n}\right)\right) \to f\left(\mathbf{E}(X_1)\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1166] +Soient $X$, $Y$ deux variables aléatoires et $(X_n), (Y_n)$ deux suites de variables aléatoires, toutes à valeurs dans $\N$, les variables étant définies sur un même espace probabilisé. +On suppose: $\forall \eps > 0$, $\mathbf{P}(|X_n X| \geq\eps) \tend{n \to +\infty} 0$ et $\mathbf{P}(|Y_n Y| \geq\eps) \tend{n \to +\infty} 0$. +a) Pour tout $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ et $\eps > 0$, montrer : $|x+y| \geq \eps \Rightarrow |x| \geq \frac{\eps}{2}$ ou $|y| \geq \frac{\eps}{2}$ +b) Montrer: $\forall \eps > 0$, $\mathbf{P}(|X_n + Y_n (X + Y)| \geq\eps) \tend{n \to +\infty} 0$. +c) Soit $(U_n)$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi $\mathcal{B}(p)$, où $p \in [0,1]$. Pour $n \in \N$, on pose $V_n = U_{n+1} + U_n$. Montrer: $\forall \eps > 0$, $\mathbf{P}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n V_i - 2p \geq \eps\right) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$. +d) Montrer $\mathbf{P}(|X| \geq M) \tend{M \to +\infty} 0$. +e) Montrer: $\forall \eps > 0$, $\mathbf{P}(|X_n Y_n XY| \geq\eps) \tend{n \to +\infty} 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1167] +Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires réelles $i$.i.d. telle que $X_1$ soit d'espérance finie, mais pas $X_1^2$. + + $\text{Pour }(n,k) \in \N^* \times \N^*, \text{ on pose }: Y_{n,k} = X_k \mathbf{1}_{(|X_k| \leqslant n)}, \ S_n = \sum^n X_k \text{ et } T_n = \sum^n Y_{n,k}$. + +a) Montrer que : $\frac{1}{n} \mathbf{E}(S_n T_n) \to 0$. +b) Montrer que: $\forall n \in \N^*, \ \mathbf{P}(S_n \neq T_n) \leqslant n \, \mathbf{P}(|X_1| > n)$. +c) Pour $n \in \N^*$ et $\eps > 0$, montrer: + +$$\mathbf{P}\left(\frac{1}{n}|S_n - \mathbf{E}(T_n)| \geq \eps\right) \leqslant \frac{\mathbf{V}(T_n)}{(n\eps)^2} + n\,\mathbf{P}(|X_1| > n).$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1168] +Soit $(\eps_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. + +Pour +$n \in \N^*$ +, on pose $X_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \eps_i$. + +Déterminer le comportement asymptotique de $(\mathbf{E}\left(\operatorname{ch}(X_n)\right))_{n\geq 1}$ et $(\mathbf{E}\left(\operatorname{sh}(X_n)\right))_{n\geq 1}$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1169] +Soit $p \in [0,1[$. Soit $n \in \N^*$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendent dantes suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. Soit $N$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, indépendante de $(X_1,\ldots,X_n)$. On pose $Y=X_1+\cdots+X_N$. + +a) Montrer que $Y$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. +b) En utilisant les fonctions génératrices, trouver la loi de Y. c) Retrouver ce résultat sans utiliser les fonctions génératrices. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1170] +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant les lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Quelle est la probabilité pour que $\begin{pmatrix} X & 1 \\ 0 & Y \end{pmatrix}$ soit diagonalisable ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1171] +Soient $p \in [0,1]$ et $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi $\mathcal{G}(p)$. On pose $M = \begin{pmatrix} X & Y \\ V & X \end{pmatrix}$. On note $S$ et $B$ respectivement la plus grande et la plus petite valeur propre de $M$. + +a) Exprimer $S$ et $B$ en fonction de $X$ et Y. Justifier qu'elles sont des variables aléatoires. +b) Calculer $\mathbf{E}(S)$, $\mathbf{V}(S)$, $\mathbf{E}(B)$ et $\mathbf{V}(B)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PC 2025 # 1172] +Soit $(X_{i,j})_{(i,j)\in(\N^*)^2}$ $i$.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $n\in\N^*$, on note $A_n = (X_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n}$ et $D_n = \det(A_n)$. +a) Calculer $\mathbf{E}(D_n)$. +b) Montrer, par récurrence, que, pour tout $n \in \N^*$, $\mathbf{V}(D_n) = n!$. +#+end_exercice + + +* Centrale - MP + +** Algèbre + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1173] +a) Donner la définition de la signature et calculer celle de la permutation $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 8 & 3 & 6 & 1 & 7 & 4 \end{pmatrix}$. + +$$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 2 & 5 & 8 & 2 & 6 & 1 & 7 & 4 \end{pmatrix}$$ + +b) Pour tout $\sigma \in \mathcal{S}_n$, on note $\eps(\sigma)$ la signature de $\sigma$, et $\nu(\sigma)$ le nombre de ses points fixes. + +i) On pose +$$A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & \cdots & -1 \\ -1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & -1 \\ -1 & \cdots & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$ Calculer $\chi_A$ sous forme factorisée. + +ii) En déduire la valeur de la somme $\sum_{\sigma \in S} \frac{\eps(\sigma)}{1 + \nu(\sigma)}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1174] +Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On appelle caractère de $G$ tout morphisme de groupes $\chi$ de $G$ vers $\C^*$. On note $\widehat{G}$ le groupe des caractères de $G$. + +a) Montrer que $\widehat{G}$ est un groupe multiplicatif, et que les éléments de $\widehat{G}$ sont à valeurs dans $\mathbb{U}_n$. +b) Dans cette question, on suppose $G$ cyclique. + +Montrer que $G$ est isomorphe à $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ et que $\widehat{G}$ est isomorphe à $G$. + +c) Dans cette question, on suppose $G$ abélien. Montrer que, si $H$ est un sous-groupe de $G$ et $\xi \in \widehat{H}$, il existe $\chi \in \widehat{G}$ tel que $\chi_{|H} = \xi$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1175] +On note, pour +$n\in\N^*$ +, $F_n=\prod_{\substack{\xi\in\mathbb{U}_n\\\omega(\xi)=n}}(X-\xi)$, où $\omega(\xi)$ est l'ordre de la racine $n$ -ième $\xi$ + +comme élément du groupe $\C^*$. + +a) Montrer que $\omega(\xi)$ divise $n$ pour tout $\xi \in \mathbb{U}_n$. +b) Exprimer $(X-1)F_n$ et $F_n$ dans le cas où $n$ est premier. +c) Soient $A, B \in \mathbb{Q}[X]$ tels que $AB \in \mathbb{Z}[X]$ et $A \in \mathbb{Z}[X]$ est unitaire. Montrer que $B \in \mathbb{Z}[X]$. +c) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $F_n \in \mathbb{Z}[X]$. +d) Soit $n \in \N^*$. Calculer $F_n(1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1176] +a) Écrire et démontrer l'inégalité de Jensen puis en déduire l'inégalité arithméticogéométrique. + +Soit $P \in \C[X]$. On note $H$ l'intersection des convexes de $\C$ contenant les racines de $P$. + +b) Montrer que $H$ est convexe et compact. +c) Soit $z \in \C \backslash H$. + - i) Montrer qu'il existe un unique $q \in H$ tel que d(z, H) = d(z, q). +ii) Montrer qu'il existe $\psi \in [0, \pi/2[$ tel que $\forall h \in H, \left| \text{Arg} \left( \frac{z h}{z q} \right) \right| \leqslant \psi$ (argument dans $[-\pi, \pi]$ ). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1177] +Soit $A$ et $B$ deux polynômes à coefficients complexes. + +a) Montrer que $\deg(A+B) \leqslant \max(\deg(A),\deg(B))$, et donner un exemple où l'inégalité est stricte. + +Dans la suite, on suppose que $A$ et $B$ n'ont pas de racine commune, et on pose $C$ = $A$ + $B$. On suppose enfin qu'aucun des polynômes A, $B$, $C$ n'est constant. On pose $W$ = A'B - AB'. + +b) Soit $z$ une racine de multiplicité $m$ de ABC. Montrer que $z$ est de multiplicité $m$-1 comme racine de $W$. +c) On note $\mu$ le nombre de racines distinctes de ABC. + +Montrer que $\mu \geq \deg(A) + \deg(B) + \deg(C) - \deg(W)$. + +d) En déduire que $\mu > \max(\deg A, \deg B, \deg C)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1178] +a) Rappeler la définition d'un polynôme irréductible sur un corps $\mathbb{K}$ et l'énoncé du théorème de d'Alembert-Gauss.- b) Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ non nul tel que $\forall x \in \mathbb{R}, \ P(x) \geq 0$. Montrer que toute racine réelle de $P$ est de multiplicité paire et que le coefficient dominant de $P$ est positif. En déduire qu'il existe $(A,B) \in \mathbb{R}[X]^2$ tel que $P = A^2 + B^2$. +c) Soit $Q \in \mathbb{R}[X]$ non nul tel que $\forall x \in [-1, 1], \ Q(x) \geq0$. +i) Montrer que si $\deg(Q) \leqslant 2$ alors il existe $(a,b) \in (\mathbb{R}^+)^2$ et $\lambda \in [-1,1]$ tels que $Q = (X \lambda)^2 + b(1 X^2)$ +$a(X-\lambda)^2+b(1-X^2)$. ii) Montrer plus généralement qu'il existe $(A,B)\in\mathbb{R}[X]^2$ tel que $Q=A^2+(1-X^2)B^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1179] +Dans ce qui suit, $K$ désigne un corps. +a) Énoncer le théorème de division euclidienne dans $\mathbb{K}[X]$. +b) Soient $P \in \mathbb{K}[X]$ et $a \in \mathbb{K}$. Déterminer le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que a soit racine simple de $P$. +c) Pour $n \geq2$, on pose $P_n = X^n X + (-1)^n$. Déterminer le nombre des racines de $P$ dans $\mathbb{Q}$, dans $\mathbb{R}$ et dans $\C$. +d) On note $a_1, \ldots, a_n$ les racines complexes de $P_n$. + +Calculer le déterminant +$$\begin{vmatrix} 1 + a_1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & \cdots & 1 & 1 + a_n \end{vmatrix}.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1180] +a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A \operatorname{Com}(A)^T = \det(A)I_n$. +b) On définit $GL_n(\mathbb{Z})$ comme l'ensemble des matrices de $GL_n(\mathbb{R})$ à coefficients entiers, dont l'inverse est également à coefficients entiers. +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{Z})$. Montrer que $A \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z})$ si et seulement si $\det(A) = \pm 1$. +c) Soit $P \in \mathbb{Q}[X]$ un polynôme irréductible sur $\mathbb{Q}$. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1181] +On note $S_n$ le groupe des permutations de $\{1, \ldots, n\}$ pour $n \in \N \setminus \{0, 1\}$. Soit $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension $n$. On se donne une base $\{e_1, \ldots, e_n\}$ de $E$ - $\C$ -espace vectoriel de dimension $n$. On se donne une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $E$. a) i) Soit $G$ un groupe fini. Que vaut $x^{|G|}$ pour $x \in G$ ? Le démontrer dans le cas abélien. +ii) Pour $\sigma \in S_n$, on définit l'endomorphisme $f_\sigma$ par $f_\sigma(e_i) = e_{\sigma(i)}$. Montrer que $\sigma \mapsto f_\sigma$ +est un morphisme de groupes de $S_n$ dans $\mathrm{GL}(E)$. +b) Soit $\sigma \in S_n$. Montrer que $f_\sigma$ est diagonalisable. Déterminer ses éléments propres. +c) On dit qu'un sous-espace de $E$ est stable par permutation si tous les $f_{\sigma}$ le stabilisent. Déterminer les sous-espaces stables par permutation. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1182] +a) Soit $\mathcal{A}$ un ensemble fini de matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui commutent entre elles. Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres communs à toutes les matrices de $\mathcal{A}$. +b) Montrer que, si $p \neq n$, les groupes $\mathrm{GL}_n(\C)$ et $\mathrm{GL}_p(\C)$ ne sont pas isomorphes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1183] +Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\C$, et $u \in \mathcal{L}(E)$. +a) Montrer que $\mathbb{K}[u]$ est de dimension finie et que $\dim \mathbb{K}[u] = \deg \pi_u$.- b) Montrer que si $u$ est inversible alors $u^{-1} \in \mathbb{K}[u]$. +c) Montrer que $\exp(u) \in \mathbb{K}[u]$. +d) On prend $E = \mathbb{K}[X]$ et $D$ l'opérateur de dérivation. Montrer que $u = \mathrm{id} D$ est inversible. A-t-on $u^{-1} \in \mathbb{K}[u]$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1184] +Soit $M \in \mathcal{M}_n(\C)$. On note $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ les valeurs propres deux à deux distinctes de $M$. +a) Montrer que, pour tout $P \in \C[X]$, $M$ et P(M) commutent. +b) On pose $P = \prod_{k=1}^{r} (X \lambda_k)$. Montrer que $P'(M) \in \mathrm{GL}_n(\C)$. +c) Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB = BA. +i) Montrer que $A$ et $B$ possèdent un vecteur propre commun. +ii) Montrer qu'il existe $Q \in \mathrm{GL}_n(\C)$ telle que les matrices $Q^{-1}AQ$ et $Q^{-1}BQ$ soient triangulaires supérieures. +d) On considère la suite $(M_k)_{k\geq 0}$ définie par $M_0=M$ et $M_{k+1}=M_k-P(M_k)P'(M_k)^{-1}$ pour tout $k \geq0$. Montrer que la suite $(M_k)_{k\geq0}$ est bien définie et étudier sa convergence. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1185] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. +a) Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ a un polynôme annulateur scindé à racines simples. +b) Soient A, $B$ deux matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_n(\C)$ et qui commutent. Montrer que +$A + \lambda B$ est diagonalisable pour tout $\lambda \in \C$. +c) Soit $n \geq3$. Mettre en évidence deux matrices A, $B$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ qui ne commutent pas et telles que $A + \lambda B$ soit diagonalisable pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$. +d) Soient A, $B$ deux matrices diagonalisables de $\mathcal{M}_2(\C)$ telles que $A + \lambda B$ soit diagonalisable pour tout $\lambda \in \C$. Montrer que $A$ et $B$ commutent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1186] +Soit $Y$ une colonne de $\C^{n-1}$ non nulle, $z \in \C$ et $\alpha = Y^T Y \in \C$. + +On pose $A = \begin{pmatrix} 0 & Y \\ Y^T & z \end{pmatrix}$. + +a) Montrer que $\chi_A$ s'écrit $X^{n-2}(X-\lambda)(X-\mu)$. Calculer $\lambda + \mu$ et $\lambda^2 + \mu^2$ et en déduire $\chi_A$ en fonction de $\alpha$, $z$ et $n$. +b) Discuter du rang de $A^2$. Déterminer le polynôme minimal de $A$ selon que $\alpha$ est nul ou +non. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1187] +Soient $n \in \N^*$ et $F = \sum_{k=0}^{n-1} a_k X^k \in \C_{n-1}[X]$. On désigne par $\Phi$ l'application qui à +$P \in \C_{n-1}[X]$ associe la reste de la division euclidienne de PF par $X^n 1$. +a) Rappeler la définition de la division euclidienne de deux polynômes. + +Montrer que $\Phi \in \mathcal{L}(\C_{n-1}[X])$. + +b) i) Donner la matrice de $\Phi$ dans la base canonique. ii) Déterminer les éléments propres de $\Phi$. L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1188] +Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $n$. a) Montrer que les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines de $\chi_u$.b) Exprimer les coefficients des termes en $X^{n-1}$ et $X^{n-2}$ de $\chi_u$ en fonction de tr(u) et $tr(u^2)$. + +c) On suppose $u$ de rang 2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur tr(u) et $tr(u^2)$ pour que $u$ soit diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1189] +Soient $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $\rho(A) = \max_{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)} |\lambda|$. + +a) Justifier que $\rho(A)$ est bien défini. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont les racines de $\chi_A$. + +b) On pose $P_A(X) = X^n \chi_A\left(\frac{1}{X}\right)$. Calculer la décomposition en éléments simples de $\frac{P_A'}{P_A}$. + +c) On suppose que $\rho(A) \leqslant 1$ et que $1 \notin \operatorname{Sp}(A)$. Montrer que $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\operatorname{tr}(A^k)}{k}$ est bien défini et + +que $\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\operatorname{tr}(A^k)}{k} = -\int_0^1 \frac{P_A'(t)}{P_A(t)} dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1190] +Pour $n \in \N^*$, soit $H_n = \left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0 < i, i < n-1} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On note $E$ le $\mathbb{R}$ -espace + +vectoriel des $f:[0,1[\to\mathbb{R} \text{ continues et intégrables. On pose }K_n:x\mapsto\sum_{k=1}^{n-1}x^k$. + +a) Énoncer et démontrer le critère d'injectivité d'une application linéaire. +b) Pour $f \in E$, on pose $T_n(f) : x \in [0, 1[ \mapsto \int_0^1 K_n(xt) f(t) dt$. +i) Montrer que $T_n$ est un endomorphisme de $E$. ii) Montrer que 0 est valeur propre de $T_n$. +iii) Comparer les valeurs propres de $T_n$ et de $H_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1191] +Soient $E$ un espace euclidien et une partie finie $\mathcal{R}$ de $E\setminus\{0\}$ telle que : + + $\mathcal{R}$ engendre $E$, + + pour tout $\alpha \in \mathcal{R}$, $\mathcal{R}$ est stable par la réflexion $s_{\alpha}$ par rapport à l'hyperplan de vecteur normal $\alpha$, + + pour tout $\alpha \in \mathcal{R}$, les seuls vecteurs colinéaires à $\alpha$ dans $\mathcal{R}$ sont $\alpha$ et $-\alpha$, + + pour tout $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$, $n_{\alpha, \beta} = 2 \frac{\langle \alpha, \beta \rangle}{\|\alpha\|^2} \in \mathbb{Z}$. +a) Soit $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$. + - i) Donner la définition de la réflexion $s_{\alpha}$ ainsi que son expression analytique. + - ii) Calculer $n_{\alpha,\beta}n_{\beta,\alpha}$ en fonction de $\frac{\langle \alpha,\beta \rangle}{\|\alpha\|\|\beta\|}$. +iii) On suppose $\alpha, \beta$ non colinéaires et tels que $n_{\alpha,\beta} > 0$. Montrer que $n_{\alpha,\beta} = 1$ ou $n_{\beta,\alpha}=1$. +b) On munit $E$ d'un ordre total $\leq$ qui respecte : + + $\forall (x, y, z) \in E^3, x \leqslant y \Longrightarrow x + z \leqslant y + z$, + + $\forall (x, y, \lambda) \in E^2 \times \mathbb{R}^+, x \leqslant y \Longrightarrow \lambda x \leqslant \lambda y$. + On note $\mathcal{R}^+$ l'ensemble des éléments de $\mathcal{R}$ plus grands que $0_E$ au sens de $\leq$. On note $\mathcal{B}$ l'ensemble des éléments de $\mathcal{R}^+$ ne s'écrivant pas comme somme de deux éléments de $\mathcal{R}^+$. + +i) Soit $x \in \mathbb{R}^+$. Montrer que $x$ s'écrit comme combinaison linéaire d'éléments de $\mathcal{B}$ à coefficients entiers positifs. + - ii) Montrer que $\mathcal{B}$ est une base de $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1192] +Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n \in \N^*$. +a) i) Donner la définition d'un endomorphisme autoadjoint. + +Soient $B$ une base orthonormale de $E$ et $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que $f$ est autoadjoint si et seulement si sa matrice dans la base $B$ est symétrique. + +i) Soient $B$ une base orthonormale de $E$ et $f \in S^+(E)$. +On note $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ la matrice de $f$ dans la base $B$. Soit $i\in [1,n]$. + +Montrer que, si $m_{i,i} = 0$, alors les ligne $i$ et colonne $i$ de la matrice $M$ sont nulles. Ind. Considérer l'application $t \mapsto \langle f(e_i + te_i), e_i + te_i \rangle$. + +b) Soient $f \in \mathcal{S}^+(E)$ et $g \in \mathcal{S}(E)$ tels que $\forall t \in \mathbb{R}, \ \det(f tg) = 0$. + - i) Montrer que $Ker(g) \neq \{0\}$. + - ii) Montrer que $Ker(f) \cap Ker(g) \neq \{0\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1193] +On pose, pour +$$A = (a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), N(A) = \max_{1 \le i,j \le n} \left( \frac{|a_{i,j}| + |a_{j,i}|}{2} \right).$$ + +a) Démontrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz. +b) L'application $N$ est-elle une norme sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ? +c) Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $\lambda \in \operatorname{Sp}(A)$. Montrer que $|\lambda| \leq nN(A)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1194] +L'espace $\mathbb{R}^n$ est muni de sa structure euclidienne canonique. +a) Soit $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ une fonction continue, positive et telle que $\int_a^b f=0$. Montrer que $f$ est nulle. +b) Montrer que la matrice $M_n = \left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ est symétrique définie positive. Indi- + +cation: $\frac{1}{i+j-1} = \int_0^1 t^{i+j-2} dt$. + +c) On note $\lambda_{\min}$ (resp. $\lambda_{\max}$ ) la plus petite (resp. grande) valeur propre de $M_n$. Montrer que $\lambda_{\min} ||x||^2 \leqslant x^T M_n x \leqslant \lambda_{\max} ||x||^2$ pour tout $x \in \mathbb{R}^n$. +d) On note $F$ le sous-espace propre de $M_n$ associé à $\lambda_{\max}$. Montrer que, si $x \in F$, toutes les coordonnées de $x$ sont de même signe. +e) Déterminer $\dim F$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1195] +a) Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Justifier que $A$ possède au moins une valeur propre réelle. +b) Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Soit $(x_1, \dots, x_k)$ une famille libre formée de vecteurs propres de $A$ tels que les valeurs propres associées $\mu_1, \dots, \mu_k$ soient en ordre croissant. + +On note $S = \text{Vect}(x_1, \dots, x_k)$. Montrer que +$$\mu_1 = \min_{x \in S, \ \|x\| = 1} x^T A x = \min_{x \in S \setminus \{0\}} \frac{x^T A x}{x^T x} \text{ et } \mu_k = \max_{x \in S, \ \|x\| = 1} x^T A x = \max_{x \in S \setminus \{0\}} \frac{x^T A x}{x^T x}.$$ +c) Soient A, $B$ dans $S_n(\mathbb{R})$. On note $\lambda_1(A) \leq \cdots \leq \lambda_n(A)$ les valeurs propres de $A$ (en tenant compte des multiplicités), et de même pour $B$ et $A+B$. + +Montrer que $\forall i \in [1, n], \ \forall j \in [0, n-i], \ \lambda_i(A+B) \leqslant \lambda_{i+j}(A) + \lambda_{n-j}(B)$. +#+end_exercice + + +** Analyse + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1196] +a) Montrer que $E = \ell^1(\N)$, espace des suites réelles sommables, est un espace vectoriel normé pour $u \mapsto \sum |u_n|$. +b) On munit $E$ de la relation d'ordre partielle $u \leq v \iff \forall n \in \N, \ u_n \leq v_n$. Soit $(u_k)$ une suite d'éléments de $E$ croissante et majorée par $v \in E$. Montrer que $(u_k)$ converge dans $E$. +c) Soient $u$, $v$ deux éléments de $E$ tels que $u \leq v$. Montrer que l'ensemble des éléments wde $E$ tels que $u \preceq w \preceq v$ est compact. +d) Donner un exemple de partie compacte $K$ de $E$ telle qu'il n'existe pas de suite $u \in E$ vérifiant $\forall x \in K, |x| \leq u$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1197] +Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension finie, $C$ un convexe compact d'intérieur non vide de $E$, symétrique par rapport à 0. + +Pour $x \in E$, on pose $j_C(x) = \inf \left\{ \lambda \in \mathbb{R}^{+*}, \frac{x}{\lambda} \in C \right\}$, en convenant que $\inf \emptyset = +\infty$. + +a) i) Rappeler la définition d'une norme. + - ii) Montrer que $j_C$ est à valeurs réelles, positive et homogène. + - iii) Montrer que $j_C(x) = 0$ si et seulement si $x$ = 0. +b) i) Montrer que $x \in C$ si et seulement si $j_C(x) \in [0,1]$. + - ii) Montrer que, pour tous $x, y \in E$, $j_C(x+y) \leq j_C(x) + j_C(y)$. + +Ind. Pour +$\eps > 0$ +, poser $x' = \frac{x}{j_C(x) + \eps}$, $y' = \frac{y}{j_C(y) + \eps}$ et $t = \frac{j_C(x) + \eps}{j_C(x) + j_C(y) + 2\eps}$. + +c) On munit $E$ d'une norme. Montrer l'existence de $f: E \to E$, continue, bijective, et telle + +que $f(C) = \overline{B(0,1)}$ et $f(C \setminus \mathring{C}) = S(0,1)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1198] +a) Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel normé $E$. Montrer que la continuité de $u$ est équivalente à son caractère lipschitzien, et aussi à sa continuité en 0. +b) On munit $\ell^2(\mathbb{Z})$, espace vectoriel des familles de réels de carré sommable indexées par $\mathbb{Z}$ (on admet qu'il s'agit d'un sous-espace vectoriel de $\mathbb{Z}^{\N}$ ), de $(u,v)\mapsto \sum_{n}u_{n}v_{n}$, dont on + +admet qu'il s'agit d'un produit scalaire, et on munit $\ell^2(\mathbb{Z})$ de la norme associée. On pose $T: u \in \ell^2(\mathbb{Z}) \mapsto (2u_n - u_{n+1} - u_{n-1})_{n \in \mathbb{Z}}$. + +Montrer que $T$ est un endomorphisme continu de $\ell^2(\mathbb{Z})$. + +c) Montrer que $T$ est injectif mais non surjectif. +d) Montrer que $T$ + id est surjectif. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1199] +a) i) Montrer que l'imageqd'une partie connexe par arcs par une fonction continue est connexe par arcs. +ii) Soit $f: I \to \mathbb{R}$ continue et injective sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ est strictement monotone.Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que, pour tout $n \in \N^*$ et toute matrice $A = (a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$, la matrice $f(A) = (f(a_{i,j}))_{1 \le i,j \le n}$ est inversible. + +b) Montrer que $f$ est strictement monotone et ne s'annule pas sur $\mathbb{R}^*$. +c) On suppose $f$ croissante et surjective. Caractériser $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1200] +a) Rappeler la définition de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ et montrer que c'est un compact de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A^T A \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. +Montrer qu'il existe $O \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ et $S \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ telles que $A$ = OS. +c) On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de la norme subordonnée à la norme euclidienne de $\mathbb{R}^n$. On note $\mathcal{B}$ la boule unité de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. + - i) Montrer que $\mathcal{B}$ est convexe. +ii) Trouver les points extrémaux de $\mathcal{B}$, c'est-à-dire les matrices $A \in \mathcal{B}$ telles que $\mathcal{B} \setminus \{A\}$ est convexe. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1201] +Soit $E_n = \mathcal{C}^n([-1,1],\C)$. Si $f \in E_n$, on pose $\pi_n(f) = \max_{k \in [0,n]} \|f^{(k)}\|_{\infty}$. +a) Montrer que $\pi_n$ est une norme sur $E_n$, puis calculer $\pi_n(x \mapsto x^n)$. +b) Si $f \in E_n$, on pose $A_n(f): x \in [-1,1] \mapsto x f(x)$. Montrer que $A_n$ est un endomorphisme de $E_n$, continu pour $\pi_n$, et de norme subordonnée n+1. +c) On suppose $n \in \N^*$. Si $f \in E_n$, on pose $B_n(f) : x \in [-1,1] \mapsto \int_0^1 f'(xt) dt$. Montrer que $B_n$ est une application linéaire de $E_n$ dans $E_{n-1}$. Montrer que $B_n$ est continue pour les normes $\pi_n$ et $\pi_{n-1}$, et de norme subordonnée 1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1202] +a) Énoncer les théorèmes de sommation des relations de comparaison pour les séries numériques. +b) Montrer que $\sum_{k=1}^{n} \ln(k) = n \ln(n) n + O(\ln(n))$. +c) Soient $(a_k)_{k\geq 2}$ une suite réelle et $b:[2,+\infty[\to\mathbb{R} \text{ de classe } \mathcal{C}^1. \text{ On pose } A(t)=\sum_{k=1}^{\lfloor t\rfloor}a_k$ +pour $t\geq 2$. Montrer que $\sum_{k=2}^n a_k b(k)=A(n)b(n)-\int_2^n b'(t)A(t)\,\mathrm{d}t$ pour tout entier $n\geq 2$. +d) On note $\mathcal{P}$ l'ensemble des nombres premiers. On pose $R: t>1 \mapsto \sum_{p\in\mathcal{P},\ p\leqslant t} \frac{\ln p}{p} \ln(t)$. +Montrer que $\sum_{p \in \mathcal{P}, p \leqslant n} \frac{1}{p} = 1 + \ln(\ln n) \ln(\ln 2) + \frac{R(n)}{\ln n} + \int_2^n \frac{R(t)}{t(\ln t)^2} \, \mathrm{d}t \text{ pour tout entier } t = 1 + \ln(\ln n) \ln(\ln 2) + \frac{R(n)}{\ln n} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{??}$ +e) Montrer qu'il existe une constante $C$ telle que $\sum_{p \in \mathcal{P}, n \leq p} \frac{1}{p} = \ln(\ln n) + C + O\left(\frac{1}{\ln n}\right)$ quand $n \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1203] +a) Énoncer et démontrer le théorème des bornes atteintes.b) Montrer que l'on définit une norme sur $\mathbb{R}[X]$ en posant $\|P\| = \sup_{x \in [-1,1]} |P(x)|$ pour tout $P \in \mathbb{R}[X]$. + +c) Montrer que, pour tout $d \in \N^*$, il existe un unique polynôme $T_d \in \mathbb{R}[X]$ unitaire de degré $d$ tel que $\cos(d\theta) = 2^{d-1}T_d(\cos\theta)$ pour tout $\theta \in \mathbb{R}$. + +d) Pour tout $d \in \N^*$, on note $E_d$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $d$ de $\mathbb{R}[X]$. + +i) Montrer que $||P|| \geq \frac{1}{2^{d-1}}$ pour tout $P \in E_d$. +ii) Étudier le cas d'égalité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1204] +a) Rappeler la définition de la continuité uniforme pour une fonction de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. + +b) Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue et périodique. Montrer que $f$ est uniformément continue. +c) Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ continue, périodique et non constante. Montrer que $f$ admet une plus petite période strictement positive, que l'on notera P(f). +d) Montrer que le résultat de la question précédente peut tomber en défaut si l'on omet l'hypothèse de continuité. +e) Soient $f$ et $g$ continues, périodiques et non constantes de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Montrer que f+g est périodique si et seulement si $\frac{P(f)}{P(g)} \in \mathbb Q$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1205] +Soient $f \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R}^2)$ et $\| \|$ une norme sur $\mathbb{R}^2$. + +a) Soit $\eps > 0$. Montrer qu'il existe $\eta > 0$ tel que : + +$$\forall (t,s) \in [0,1]^2, |t-s| \leqslant \eta \Rightarrow ||f(s)-f(t)-(s-t)f'(t)|| \leqslant \eps |s-t|.$$ + +b) En déduire que $\sum_{k=0}^{n-1} \left\| f\left(\frac{k+1}{n}\right) - f\left(\frac{k}{n}\right) \right\|$ tend vers $\int_0^1 \|f'(t)\| dt$ quand $n \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1206] +Pour +$n \in \N$ + on pose $I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin((2n+1)t)}{\sin t} dt$ et $J_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2(nt)}{\sin^2 t} dt$. + +a) Montrer que toute fonction continue par morceaux sur [0, 1] est limite uniforme d'une suite de fonctions en escalier. +b) Justifier l'existence des intégrales puis calculer $I_{n+1} I_n$, $I_n$, $J_{n+1} J_n$ et $J_n$. +c) Soit $f:[0,\pi/2]\to\C$ continue par morceaux. + +Montrer que +$$\int_{0}^{\pi/2} f(t) \sin^2(nt) dt \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi/2} f(t) dt.$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1207] +Soit $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. + +a) Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz pour un produit scalaire, ainsi que sa démonstration. +b) Montrer que si ff' a une limite (finie ou infinie) non nulle en $+\infty$, alors $f^2$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$. +c) On suppose désormais que $f^2$ et $(f'')^2$ sont intégrables sur $\mathbb{R}$. Montrer que $(f')^2$ l'est aussi. +d) Montrer que $\left(\int_{\mathbb{D}} (f')^2\right)^2 \leqslant \left(\int_{\mathbb{D}} f^2\right) \left(\int_{\mathbb{D}} (f'')^2\right)$. +e) Montrer que $f$ est uniformément continue et tend vers 0 en $\pm \infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1208] +Pour une fonction $f: \N^* \to \mathbb{R}$ et un réel $s$, on note $Lf(s) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{f(n)}{n^s}$ lorsque la + +série converge absolument. On pose $A(f) = \inf\{s \in \mathbb{R}, Lf(s) \text{ défini}\}$ avec la convention $\inf \emptyset = +\infty$. + +a) Rappeler la définition de la borne inférieure d'une partie de $\mathbb{R}$. +b) Soit $s$ un réel tel que $s$ > A(f). Montrer que Lf(s) est défini. +c) Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\N^*$ dans $\C$ telles que $A(f) < +\infty$ et $A(g) < +\infty$. On suppose que $\forall s > \max(A(f), A(g)), \ Lf(s) = Lg(s)$. Montrer que $f$ = $g$. +d) Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $\N^*$ dans $\mathbb{R}$ telles que $A(f) < +\infty$ et $A(g) < +\infty$. On pose $h(n) = \sum_{d|n} f(d) \, g(n/d)$. Montrer que $\forall s > \max(A(f), A(g)), \ Lh(s) = Lf(s)Lg(s)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1209] +On note $L^2(\mathbb{R}^+)$ l'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$, de carré intégrable. +a) Montrer que $(f,g)\mapsto \int_{\mathbb{D}^+}fg$ est un produit scalaire sur $L^2(\mathbb{R}^+)$. +b) Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz. +c) Montrer que $x \mapsto \frac{1}{x} \int_0^x f$ est prolongeable en une fonction continue $\psi$ sur $\mathbb{R}^+$. +d) Montrer que $\psi \in L^2(\mathbb{R}^+)$ et $\int_0^{+\infty} \psi^2 \leqslant 4 \int_0^{+\infty} \phi^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1210] +a) Énoncer les théorèmes de changement de variable et d'intégration par parties pour les intégrales généralisées. +b) Soit $P \in \mathbb{R}[X]$ de degré supérieur ou égal à 2. Montrer que $\int_0^{+\infty} \cos(P(t)) dt$ converge. +c) Montrer que $\int_0^{+\infty} \cos(t^2) dt$ n'est pas absolument convergente. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1211] +a) Caractériser la convexité pour les fonctions dérivables sur un intervalle. +b) Soit $n \in \N$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n \in \mathbb{R}[X]$ tel que $\forall \theta \in \mathbb{R}, \sin((2n+1)\theta) = (\sin \theta)P_n(\sin^2 \theta)$. +c) Montrer que $\forall x \in \mathbb{R}, \ \sin(\pi x) = (2n+1)\sin\left(\frac{\pi x}{2n+1}\right) \prod_{k=1}^{n} \left(1 \frac{\sin^2(\pi x/(2n+1))}{\sin^2(k\pi/(2n+1))}\right)$. +d) Pour $x \in \mathbb{R}$ et $n \in \N^*$, on pose $u_n(x) = \prod_{k=1}^n \left(1 \frac{x^2}{k^2}\right)$. Étudier la limite simple de la suite $(u_n)_{n \geq1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1212] +Pour tous $n \geq 1$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $K_n(x) = \sum_{k=-n}^n \left(1 \frac{|k|}{n}\right) e^{ikx}$. +a) Soient $q \in \C$ et $m, n \in \mathbb{Z}$ avec $m \leqslant n$. Calculer la somme $\sum_{k=0}^{n} q^{k}$. b) Pour tous $n \geq 1$ et $x \in \mathbb{R} \setminus 2\pi\mathbb{Z}$, montrer que $K_n(x) = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} \sum_{j=0}^{j} e^{ikx} = \frac{1}{n} \left( \frac{\sin \frac{nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}} \right)^2$. + +c) Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \C)$ $2\pi$ -périodique. On pose, pour $k \in \mathbb{Z}$, $c_k = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t)e^{-ikt} dt$. Pour + +$n \in \N$, soit $S_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \sum_{k=-n}^n c_k e^{ikx}$ et, pour $n \in \N^*$, soit $f_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} S_k(x)$. +i) Montrer que $f_n(x) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) K_n(x-t) dt$ pour tous $n \geq 1$ et $x \in \mathbb{R}$. +ii) Montrer que la suite $(f_n)_{n\geq 1}$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb{R}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1213] +Pour $n \geq1$, soit $f_n : x \in \mathbb{R} \mapsto \frac{1}{n} \arctan\left(\frac{x}{n}\right)$. On pose $f = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$. +a) Montrer que $f$ est bien définie et de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$. La convergence de $\sum f_n$ est-elle uniforme sur $\mathbb{R}^+$ ? +b) Montrer que $f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} +\infty$ et $f'(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$. c) Trouver un équivalent de f' en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1214] +Soit $(a_n) \in \mathbb{R}^{\N}$ telle que la série $\sum a_n$ converge. Soit $S: x \mapsto \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos\left(\frac{x}{n}\right)$. + +On suppose que $S$ a une limite réelle $\ell$ en $+\infty$. On souhaite montrer que la suite $(a_n)$ est nulle. + +a) i) Énoncer l'inégalité de Taylor-Lagrangeqà un ordre quelconque. +ii) Montrer que $S$ est bien définie sur $\mathbb{R}$. +b) On suppose dans cette question que la série $\sum a_n$ converge absolument et que $\ell=0$. + - i) Montrer que $S$ est continue. + - ii) Soit $m \in \N^*$. On pose $I: T \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{1}{T} \int_0^T S(x) \cos\left(\frac{x}{m}\right) dx$. + +Montrer que $\lim_{T \to +\infty} I(T) = 0$. + +iii) Montrer que $a_m = 0$. +c) Traiter le cas général. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1215] +On pose $E = \mathcal{C}^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Pour $f \in E$, on pose $f_0 = f$ et $f_{n+1} : x \mapsto \int_{\mathbb{R}}^x t f_n(t) dt$ pour $n \in \N$. +a) Énoncer le théorème d'intégration terme à terme. +b) Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$ puis de la série $\sum f_n$ : + - i) dans le cas où $f$ est constante, ii) dans le cas général. +c) Soit $T: f \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} f_n$. Montrer que $T$ définit un automorphisme de l'espace vectoriel $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1216] +a) Démontrer le théorème d'interversion série-intégrale sous convergence uniforme sur un segment + +b) Soit $I: x \mapsto \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} e^{2\sqrt{x}\sin(t)} dt$. Montrer que $I$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}^+$. +c) Donner un équivalent en $+\infty$ de $g: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{(n!)^2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1217] +a) Énoncer le théorème d'intégration terme à terme sur un intervalle quelconque. + +b) Pour tout $n \in \N$, calculer l'intégrale $I_n = \int_0^{+\infty} t^n e^{-t^2} dt$. +c) Soit $L: x \in \mathbb{R} \mapsto \int_0^{+\infty} e^{tx} e^{-t^2} \mathrm{d}t$. Montrer que la fonction $L$ est développable en série entière au voisinageqde 0. Préciser la validité et les coefficients de ce développement. On admettra que $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2/2} \, \mathrm{d}t = \sqrt{2\pi}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1218] +Soit $(a_n)$ une suite réelle. Pour $n \in \N$, on note $A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$. +a) Donner la définition du produit de Cauchy de deux séries entières et donner une minoration de son rayon de convergence. +b) Montrer que, si le rayon de convergence de $\sum a_n x^n$ vaut 1, alors le rayon de convergence de $\sum A_n x^n$ vaut également 1. La réciproque est-elle vraie? +c) Montrer que les séries entières $\sum \frac{a_n}{n!} x^n$ et $\sum \frac{A_n}{n!} x^n$ ont même rayon de convergence. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1219] +a) Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière et le comportement pour |z| < $R$ et |z| > $R$. +b) Montrer que le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum \tan(n)z^n$ est inférieur ou égal à 1. +On admet qu'il existe $\mu > 2$ tel que, pour tous $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in \N \setminus \{0,1\}, \left| \frac{1}{\pi} \frac{p}{a} \right| > \frac{1}{a^{\mu}}$. +c) Montrer que R=1. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1220] +Soient $a \in \mathbb{R}$ et $k \in \mathbb{R}$. Soit $(E_a)$ l'équation : $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = f(ax)$, d'inconnue $f$ dérivable de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. On note $S_{a,k}$ l'ensemble des solutions de $(E_a)$ qui vérifient en plus f(0) = $k$. +a) Déterminer $S_{1,k}$ et $S_{-1,k}$. Dans la suite, on suppose que |a| < 1. +b) Déterminer le rayon de convergence de $\sum_{n \geq 0} a^{\frac{n(n-1)}{2}} \frac{x^n}{n!}$. En déduire un élément de $S_{a,k}$. +c) Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Montrer que $f$ appartient à $S_{a,k}$ si et seulement si T(f) = $f$, où $T(f): x \mapsto k + \int_{-\infty}^{x} f(at) \, \mathrm{d}t$. +d) Montrer que $S_{a,k}$ est un singleton. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1221] +a) Rappeler la règle de d'Alembert. + +En déduire que, pour tout $p \in \N$, $A_p = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p \binom{2n}{n}}$ est définie. + +b) Soit $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2^{2n-1}}{n^2\binom{2n}{n}} x^{2n}$. Déterminer le rayon de convergence $R$ de $S$. +c) Montrer que, pour tout $x \in ]-R, R[, S(x) = \arcsin(x)^2$. Calculer $A_0, A_1, A_2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1222] +Pour $n \in \N$, on note $u_n$ la somme des chiffres de l'écriture binaire de $n$. + +On pose $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{\infty} u_n x^n$. + +a) Soit $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ continue et décroissante. + +Montrer que $\sum f(n)$ et $\int_{0}^{+\infty} f(t)dt$ sont de même nature. + +b) i) Donner le rayon de convergence $R$ de $\sum u_n x^n$. +ii) Donner une relation vérifiée par $S(x^2)$ et $S(x)$. +c) Exprimer $(1 - x)S(x)$ sous forme d'une somme, puis donner un équivalent de $S$ en $R^{-}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1223] +Une suite $u \in \C^{\N}$ est dite asymptotiquement périodique lorsqu'il existe des entiers + + $N \geq 0$ et $T \geq 1$ tels que $\forall n \geq N, \ u_{n+T} = u_n$. + +a) Énoncer et démontrer le lemme d'Abel (sur les séries entières). b) Soit $a \in \C^{\N}$ asymptotiquement périodique. Déterminer le rayon de convergence $R$ de + + $\sum a_n z^n$ et montrer qu'il existe une fraction rationnelle $F \in \C(X)$ telle que + +$\forall z \in D_o(0,R), \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n = F(z)$. +c) On définit une suite $b \in \mathbb{R}^{\N}$ par $b_0 = 1$, et $b_{2n+1} = -b_n$ et $b_{2n} = b_n$ pour tout $n \in \N$. Montrer que $b$ n'est pas asymptotiquement périodique. +$a^t 1$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1224] +Soient $f: t \mapsto \frac{e^t 1}{t}$ et $g: t \mapsto \frac{t}{e^t 1}$, prolongées continûment en 0. +a) Montrer que $f$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$. Montrer que $f$ et $g$ sont de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. +b) On admet que, si $h$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$ et que $h(0) \neq 0$, alors la fonction $x \mapsto \frac{1}{h(x)}$ est développable en série entière en 0. + +Montrer l'existence et l'unicité d'une suite $(P_n)_{n\geq 0}\in \mathbb{R}[X]^{\N}$ telle que, pour un $\rho>0$, + +$$\forall x \in \mathbb{R}, \forall t \in ]-\rho, \rho[\setminus\{0\}, \frac{t e^{xt}}{e^t - 1} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{P_n(x)}{n!} t^n.$$ + +c) Montrer le résultat admis. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1225] +Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^x}$. +a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.- b) Énoncer le théorème de convergence dominée; calculer les limites de $f$ aux bornes de $D$. +c) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ et étudier le signe de sa dérivée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1226] +Soit $f: x \in \mathbb{R}^{+*} \to \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{-t}}{t+x} dt$. +a) Rappeler le théorème de convergence dominée. +b) i) Montrer que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^{+*}$. +ii) Trouver la limite de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$. +c) Soit $n \in \N$. + +Montrer l'existence de $a_0, \ldots, a_n \in \mathbb{Z}$ tels que $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{x^k} + o\left(\frac{1}{x^n}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1227] +On note $C = \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ et $S$ le sous-espace des fonctions continues nulles en dehors d'un segment. + +Pour $f \in C$, $g \in S$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $\gamma(f,g)(x) = \int_{\mathbb{R}} f(t)g(x-t) dt$. + +a) i) Énoncer le théorème de dérivation sous le signe intégrale. +ii) On suppose $g$ de classe $C^1$. Montrer que $\gamma(f,g)$ est dérivable et exprimer sa dérivée en fonction de $f$,g et $\gamma$. +b) Soit $\phi \in S$ telle que $\int_{\mathbb{R}} \phi = 1$. On pose, pour tous $n \in \N^*$ et $x \in \mathbb{R}$, $\phi_n(x) = n\phi(nx)$. +Soit $f \in C$. Montrer que la suite $(\gamma(f, \phi_n))$ converge simplement vers $f$. c) Soit $f \in C$. Pour tous $x, \tau \in \mathbb{R}$, on pose $f_{\tau}(x) = f(x - \tau)$. On suppose que l'espace $\text{Vect}(f_{\tau}, \tau \in \mathbb{R})$ est de dimension finie. Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$. + +On admettra que, si $(f_1, \ldots, f_n)$ est une famille libre de $\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$, il existe $(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$ tel que la matrice $(f_i(x_i))_{1 \le i, j \le n}$ soit inversible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1228] +a) Énoncer le théorème de Cauchy pour les équations différentielles linéaires scalaires d'ordre $n$. +On note (E) l'équation différentielle xy'' + y' + xy = 0. +b) Montrer que $F: x \mapsto \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} \cos(x \sin(t)) dt$ est solution de (E). +c) Montrer que (E) admet une unique solution $J$ développable en série entière au voisinageqde 0 et telle que J(0) = 1. +d) Montrer, pour tout réel p>1, que $\widehat{J}(p)=\int_0^{+\infty}J(t)\,e^{-pt}\,\mathrm{d}t$ est bien définie, et en donner une expression plus explicite. +e) Justifier qu'il existe une infinité de solutions de (E) sur $\mathbb{R}^{+*}$ non développables en série entière au voisinageqde 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1229] +Soient $\nu \in \mathbb{R}$ et $(E): x^2y''(x) + xy'(x) + (x^2 \nu^2)y(x) = 0$. +a) Énoncer et démontrer le théorème d'intégration des relations de comparaison. +b) Montrer l'existence d'une fonction $\ell: ]0,1[ \to \mathbb{R}^{+*}$ deux fois dérivable telle que y est solution de (E) sur ]0,1[ si, et seulement si la fonction $z=\ell y$ est solution d'une équation différentielle du type $z''(x)+\alpha(x)z(x)=0$.- c) Résoudre l'équation (E) sur [0, 1[. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1230] +Soit $q \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ paire et $\pi$ -périodique. Soit (E): y'' + qy = 0. +a) Montrer que l'ensemble $S$ des solutions de (E) est un espace vectoriel et préciser sa dimension. +b) Pour $y \in S$, on note $\phi(y) : x \mapsto y(x+\pi)$. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $S$. +c) Soit $\mathcal{B}=(y_1,y_2)$ la base de $S$ formée des solutions vérifiant $y_1(0)=1,\,y_1'(0)=0$, + +$y_2(0)=0$ + et $y_2'(0)=1$. Montrer que $\operatorname{Mat}_{\mathcal{B}}(\phi)=\left( \begin{array}{cc} y_1(\pi) & y_2(\pi) \\ y_1'(\pi) & y_2'(\pi) \end{array} \right)$. + +d) Étudier la parité de $y_1$ et $y_2$. +e) Montrer que $\det A = 1$. +f) Montrer que $A^{-1}=\begin{pmatrix} y_1(-\pi) & y_2(-\pi) \\ y_1'(-\pi) & y_2'(-\pi) \end{pmatrix}$ puis que $A+A^{-1}=(\operatorname{tr} A)I_2$. En déduire que $y_1(\pi)=y_2'(\pi)$. Montrer que $\chi_A$ est de la forme $X^2-2aX+1$ pour un certain réel a. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1231] +Soit $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\C$. + +On munit l'espace $\mathcal{M}_d(\mathbb{K})$ de la norme définie par $N(A) = \sup_{j \in \db{1\,d}} \sum_{i=1}^a |a_{i,j}|$. + +a) Montrer que $N(AB) \leq N(A)N(B)$ pour tous $A, B \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K})$ +b) On fixe $k \in \N$. Montrer que l'application $R_k : A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K}) \mapsto A^k \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K})$ est différentiable, et calculer sa différentielle. +c) Soit $A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K})$. Montrer que l'application $\phi : t \in \mathbb{R} \mapsto \chi_{tA} \in \mathbb{R}_d[X]$ est dérivable, et calculer sa dérivée. +d) Soient $A, B \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K})$. Montrer que l'application $\psi : t \in \mathbb{R} \mapsto \chi_{tA}(B) \in \mathcal{M}_d(\mathbb{K})$ est dérivable, et calculer sa dérivée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1232] +a) i) Énoncer le théorème spectral. +ii) Définir l'ensemble $\mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ et montrer l'équivalence avec la positivité du spectre. b) On fixe $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et on pose $\phi : U \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \mapsto \operatorname{tr}(M^T U)$. Montrer que $\phi$ admet un maximum, atteint en une matrice $U_0 \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. +c) i) On fixe $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$ et on pose $\psi : t \in \mathbb{R} \mapsto \phi(\exp(tA)U_0)$. + +Montrer que $\psi$ est bien définie, continue, et dérivable en 0. Donner deux expressions de $\psi'(0)$. + +ii) Conclure sur la nature du maximum de $\phi$ en $U_0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1233] +Soient $U$ un ouvert non vide d'un espace normé $E$ de dimension finie et [a,b] un segment inclus dans $U$ avec $a \neq b$. +a) Soit $f: U \to \mathbb{R}$ différentiable. +Montrer qu'il existe $c \in [a, b]$ tel que f(b) f(a) = df(c)(b a). +b) Soit $f: U \to F$ où $F$ est un espace euclidien. On suppose $f$ différentiable sur $U$ et df bornée sur $U$. Montrer que $||f(b) - f(a)|| \leq \sup ||df(x)||_{op} ||b - a||$. +c) Montrer que l'inégalité est encore vérifiée si $F$ est un espace vectoriel normé de dimension finie. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1234] +a) Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec a < $b$ et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ continue. + +Montrer que +$$\sum_{k=1}^{n} \frac{b-a}{n} f\left(a+k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_{a}^{b} f(t) dt.$$ + +b) On suppose que $n \in \N^*$ candidats se présentent à un poste de secrétaire. Le recruteur les rencontrent successivement et pour chacun, il doit décider s'il l'engageqou pas. Si oui, il termine le processus de recrutement sans voir les candidats suivants. Sinon, le candidat est définitivement éliminé. + +La valeur de chaque candidat correspond à un score et on note $s_1 < \cdots < s_n$ la liste croissante des scores obtenus. On note $\sigma \in \mathcal{S}_n$ une permutation aléatoire telle que le candidat qui passe devant le recruteur en position numéro $j$ a obtenu le score $s_{\sigma(j)}$ pour tout $j \in [1, n]$. + +i) Déterminer la loi de $S_j$, variable aléatoire du score du $j^{\text{ème}}$ candidat. +ii) Déterminer la loi de $R_j$, variable aléatoire du rang du meilleur candidat parmi les $j$ premiers. +c) On choisit la stratégie de refuser les $m_n$ premiers candidats, et de choisir le premier candidat dont le score est supérieur à l'un des scores précédemment rencontrés. + - i) Soit $p_n$ la probabilité d'embaucher le meilleur candidat. + +Montrer que $p_n = \frac{m_n}{n} \sum_{j=m_n+1}^n \frac{1}{j-1}$. + +ii) On suppose que $\frac{m_n}{n} \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} x \in \mathbb{R}$. Montrer que $p_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} x \int_x^1 \frac{\mathrm{d}t}{t}$. + +Optimiser alors $x$ pour maximiser la probabilité de recruter le meilleur candidat. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1235] +On suppose que $N\geq 2$ candidats passent un concours. Pour $k\in \db{1,N}$, $X_k$ est le nombre de tentatives du candidat numéro $k$ pour réussir le concours. On suppose que $X_1,\ldots,X_N$ sont indépendantes et suivent la loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. On pose $S_N=X_1+\cdots+X_N$ le nombre total de tentatives, et $Y_N=\max(X_1,\ldots,X_N)$ le nombre maximal de tentatives. +a) Rappeler la définition d'une loi géométrique, ainsi que ses espérance et variance. Donner l'espérance et la variance de $S_N$, ainsi que la fonction génératrice de $X_1$. +b) Donner les lois de $S_N$ et $Y_N$. +c) i) Montrer que $Y_N$ est d'espérance finie, puis que $\mathbf{E}(Y_N) = \sum_{k=1}^N \binom{N}{k} \frac{(-1)^{k-1}}{1-q^k}$. + - ii) En utilisant $f(x) = \sum_{k=1}^{n} x^k (1-x)^k$, donner un équivalent de $\mathbf{E}(Y_N)$ quand $N \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1236] +Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $(v_1, \ldots, v_n)$ une famille de vecteurs unitaires de $E$, et $(X_1, \ldots, X_n)$ une famille de variables aléatoires $i$.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. +a) Que dire d'une variable aléatoire réelle, positive et d'espérance nulle?- b) On pose $U = \sum_{i=1}^{n} X_i v_i$. Calculer $\mathbf{E}(||U||^2)$. +c) Montrer l'équivalence des énoncés suivants : +i) il existe $\eps_1, \dots, \eps_n \in \{\pm 1\}$ tels que $\left\| \sum_{i=1}^n \eps_i v_i \right\| < \sqrt{n}$, ii) il existe $\eps_1, \ldots, \eps_n \in \{\pm 1\}$ tels que $\left\| \sum_{i=1}^n \eps_i v_i \right\| > \sqrt{n}$. +d) À quelle condition ces énoncés sont-ils réalisés? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1237] +Soient $X$ une variable aléatoire suivant $\mathcal{P}(\lambda)$ avec $\lambda > 0$ et $\phi_X : t \mapsto \mathbf{E}(e^{itX})$. a) Montrer que $X$ admet une espérance et la calculer. Calculer $\phi_X(t)$ pour $t \in \mathbb{R}$. +b) Montrer que $\int_{-\kappa}^{\kappa} \exp(k(e^{it} 1 it)) dt = 2\pi \frac{k^k}{k!} e^{-k}$ pour tout $k \in \N$. c) Retrouver la formule de Stirling. On admettra que $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2/2} dt = \sqrt{2\pi}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1238] +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de Poisson de +paramètre $\lambda > 0$. On pose, pour tout $n \in \N^*$, $S_n = \sum_{i=1}^n X_k$. a) Calculer la fonction génératrice associée à une loi de Poisson. +b) Montrer que $S_n \sim \mathcal{P}(n\lambda)$. +c) Montrer que, pour tout $\eps > 0$, $\mathbf{P}(|S_n n\lambda| \geq n\eps) \le \frac{\lambda}{n\eps^2}$. +$\textit{\textbf{d}}) \ \ \text{Soit} \ x > 0. \ \ \text{Montrer que} \ \lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^{\lfloor nx \rfloor} e^{-\lambda n} \frac{(n\lambda)^k}{k!} = \begin{cases} 0 \ \text{si} \ 0 < x < \lambda, \\ 1 \ \text{si} \ x > \lambda. \end{cases}$ +e) Si $f:\mathbb{R}^+ \to \C$ est une fonction continue et nulle en dehors d'un segment, on pose + +$$\mathcal{L}(f): x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \int_0^{+\infty} f(t)e^{-xt} dt.$$ + +Montrer que, pour tout $x \geq 0$, $\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=1}^{\lfloor nx \rfloor} (-1)^k \frac{n^k}{k!} \mathcal{L}(f)^{(k)}(n) = \int_0^x f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1239] +On pose $\phi(x) = -x \ln(x)$ pour $x \in [0,1]$ et $\phi(0) = 0$. Pour $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$, on pose, sous réserve d'existence, $H(X) = \sum_{x \in X(\Omega)} \phi(p_x)$ +où $p_x = \mathbf{P}(X = x)$. a) i) Rappeler la définition de l'espérance d'une variable aléatoire réelle discrète. Donner également le rayon de convergence et la valeur de la somme des séries entières $\sum x^n$ et $\sum nx^{n-1}$. +ii) On suppose que $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p \in [0, 1[$. Justifier la finitude de H(X) et calculer sa valeur. +b) On suppose que $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\N$.- i) Pour $x \in ]0,1]$, on pose $\psi(x) = \sqrt{x} \ln^2(x)$. Étudier la fonction $\psi$ et en déduire que, si $X$ est d'espérance finie, alors H(X) est finie. + - ii) Que dire si $\mathbf{E}(X) = +\infty$ ? +c) Soit $Z$ = (X, Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{R}^2$ Montrer que si H(X), H(Y) et H(Z) existent, alors $H(Z) \leq H(X) + H(Y)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1240] +On se place sur un espace probabilisé $(\Omega, \mathcal{A}, \mathbf{P})$. Soient $X$ une variable aléatoire dis- +crète et $A$ un événement non négligeable. On pose $\mathbf{E}(X \mid A) = \sum_{x \in X(\Omega)} x \, \mathbf{P}(X = x \mid A)$. +a) Montrer que, si $X \in L^1$ et si $A$ est un événement non négligeable, alors $\mathbf{E}(X \mid A)$ est bien définie. +b) Soient $(A_n)_{n\geq 0}$ un système complet d'événements et $(a_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{R}^{\N}$. On pose S= $\sum a_n \, \mathbf{1}_{A_n}$. Montrer que $S$ est une variable aléatoire et que $S$ admet une espérance si et +seulement si $\sum |a_n| \mathbf{P}(A_n)$ converge. +c) On suppose $X \in L^1$. On suppose que, pour tout $y \in Y(\Omega)$, $\mathbf{P}(Y=y) > 0$ et on pose $\mathbf{E}(X|Y) = \sum_{y \in Y(\Omega)} \mathbf{E}(X|Y=y) \mathbf{1}_{Y=y}. \text{ Montrer que } \mathbf{E}(\mathbf{E}(X|Y)) = \mathbf{E}(X)$. +d) On suppose que $X$ et $Y$ sont dans $L^2$, que $\mathbf{E}(X \mid Y) = Y$ et $\mathbf{E}(Y \mid X) = X$. Montrer que +$X$ = $Y$ presque sûrement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1241] +a) Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. Montrer : $\mathbf{E}(X) = \sum_{n=0}^{+\infty} \mathbf{P}(X \geq n)$. +b) Soit $(X_k)$ une suite $i$.i.d. de variables de Poisson de paramètre $\lambda > 0$. On pose $N = \inf\{k \in \N^*, X_k > X_0\} \in [1, +\infty]$. Montrer que $N$ est une variable aléatoire. +c) L'espérance de $N$ est-elle finie? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1242] +Soient $X$ une variable aléatoire réelle et $(a, b) \in \mathbb{R}^2$. +a) Montrer que si $X \in L^2$ alors $aX + b \in L^2$, et exprimer $\mathbf{V}(aX + b)$ en fonction de $\mathbf{V}(X)$. b) Montrer que, si $K(X) = \frac{\mathbf{E}((X \mathbf{E}(X))^4)}{\mathbf{V}(X)^2} 3$ existe alors, pour tout $(a, b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$, +il en est de même pour K(aX + b), et l'exprimer en fonction de K(X). +c) Montrer l'équivalence entre les conditions suivantes : +i) il existe un réel $\delta > 0$ tel que $\forall t \in ]-\delta, \delta[, e^{tX} \in L^1$, + ii) $\forall n \in \N, X^n \in L^1 \text{ et } \sum_{n \in \N} \frac{\mathbf{E}(X^n)}{n!} t^n \text{ a un rayon de convergence non nul.}$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1243] +Soit $m \in \N^*$. On munit $\mathbb{R}^m$ de sa structure euclidienne habituelle. On note $S$ sa sphère unité. Pour une famille $e=(e_i)_{i\in I}$ d'éléments de $S$ (éventuellement infinie), on note $Coh(e) = \sup_{(i,j) \in I^2} |\langle e_i, e_j \rangle|$. +a) Rappeler sans démonstration l'inégalité de Cauchy-Schwarz. +b) Soit $e \in S^I$. Que signifie l'égalité Coh(e) = 0?c) Soit $e \in S^I$ telle que Coh(e) < 1. Montrer que $I$ est fini. + +Pour $t \in \mathbb{R}$, montrer que $\mathbf{E}(e^{t\langle X,Y\rangle}) \leq e^{t^2/2m}$. + +d) Soit $Z$ une variable aléatoire réelle bornée. Montrer que $e^{tZ} \in L^1$ pour tout réel $t$. +d) Soient $X = (X_1, \dots, X_n)$ et $Y = (Y_1, \dots, Y_n)$ deux vecteurs aléatoires indépendants à + +valeurs dans $S$, tels que pour tout $i \in [1, m]$ les variables $\sqrt{n}X_i$ et $\sqrt{n}Y_i$ soient de Rademacher (i.e., suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ ), et $X_1,\ldots,X_n$ soient indépendantes d'une + +part, $Y_1, \ldots, Y_n$ indépendantes d'autre part. +e) Soit $\eps > 0$. Démontrer qu'il existe un ensemble fini $I$ de cardinal $\lfloor e^{m\eps^2/4} \rfloor$ et une famille $e \in S^I$ telle que $Coh(e) < \eps$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1244] +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $n \in \N^*$, on note $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. +a) Montrer, à l'aide d'une comparaison série-intégrale, que la série $\sum \frac{1}{n \ln^4(n)}$ converge. +b) i) Montrer que, pour tout a > 0, $\mathbf{P}(|S_n| \geq a) \leqslant \frac{3n^2}{a^4}$. +$ii) \ \ \text{On pose } A = \bigcup_{n=1}^{+\infty} \bigcap_{m=n}^{+\infty} \left( |S_m| < m^{\frac{3}{4}} \ln(m) \right). \ \text{Montrer que } \mathbf{P}(A) = 1$. +c) Montrer que la suite $\left(\frac{S_n}{n^{3/4}\ln(n)}\right)$ converge presque sûrement vers 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale MP 2025 # 1245] +a) Pour $n \in \N^*$, donner la décomposition en facteurs irréductibles du polynôme $T^n-1$ dans $\mathbb{R}[T]$ puis $\C[T]$. +b) Soient $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\N$. Rappeler pourquoi $G_{X+Y} = G_X G_Y$. +c) Soit un entier $p \geq2$. Sous les hypothèses précédentes, montrer que $X$ + $Y$ ne peut pas suivre la loi uniforme sur [2, 2p] sachant que $X$ et $Y$ prennent toutes les valeurs dans [1, p]avec probabilité non nulle. +#+end_exercice + + +* Centrale - PSI + +** Algèbre + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1246] +Soit, pour $n \geq2$, $P_n = X^n X + 1$. +a) Montrer que $P_n$ admet au plus une racine réelle; localiser cette racine dans un intervalle de longueur 1. +b) Déterminer les racines de $P'_n$ en utilisant les racines $n$-ièmes de l'unité. +c) Pour n=3, $P_3(X)=X^3-X+1$. On note $\eta_1,\eta_2,\eta_3$ les racines de $P_3$. Calculer $\begin{vmatrix} 1 + \eta_1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 + \eta_2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 + \eta_3 \end{vmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1247] +Soient $n \geq1$, $a, b \in \mathbb{R}$ tels que a < $b$. On cherche à prouver l'existence et l'unicité de $(\alpha_0,\ldots,\alpha_n)\in\mathbb{R}^{n+1}$ tel que (1):$$\forall P \in \mathbb{R}_n[X], \int_a^b P(x) dx = \frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^n \alpha_k P\left(a + k \frac{b-a}{n}\right).$$ + +a) On suppose l'existence de $(\alpha_0, \dots, \alpha_n)$. Montrer que (1) est équivalent à (2) + +$$\forall Q \in \mathbb{R}_n[X], \ \int_0^n Q(x) \, \mathrm{d}x = \sum_{k=0}^n \alpha_k Q(k).$$ + +En déduire que les $\alpha_k$ sont indépendants de (a, b). + +c) Pour $i \in [0,n]$, soit $B_i = \prod_{\substack{0 \leqslant k \leqslant n \\ k \neq i}} (X-k)$. Montrer que $(B_0,\ldots,B_n)$ est une base de + + $\mathbb{R}_n[X]$. Montrer l'existence et l'unicité de $(\alpha_0, \ldots, \alpha_n)$. + +d) Montrer que $\forall i \in [0, n], \alpha_i = \alpha_{n-i}$. +e) Calculer les $\alpha_i$ pour n=1, 2 et 3. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1248] +Soit $M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. + +a) Déterminer $\ker(M)$, $\operatorname{Im}(M)$, $\ker(M^2)$, $\operatorname{Im}(M^2)$. Ces deux derniers espaces sont-ils supplémentaires? + +Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. + +On pose $N(u) = \bigcup_{k \in \N} \ker(u^k)$ et $C(u) = \bigcap_{k \in \N} \operatorname{Im}(u^k)$. + +b) Montrer que N(u) et C(u) sont des sous-espaces et supplémentaires, stables par $u$, que l'endomorphisme induit par $u$ sur C(u) est un automorphisme, et que celui induit sur N(u) est nilpotent. +c) Démontrer qu'il existe $p$ dans $\N$ tel que $N(u) = \ker(u^p)$ et $C(u) = \operatorname{Im}(u^p)$. +d) Réciproquement, soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires de $E$ stables par $u$ tels que $u$ induise un automorphisme de $F$ et un endomorphisme nilpotent de $G$. Montrer que $F$ = C(u) et $G$ = N(u). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1249] +Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et $f, g \in \mathcal{L}(E)$ tels que $f^2 = g^2 = \mathrm{id}$ et $f \circ g + g \circ f = 0$. On note $A_f = \mathrm{Ker}(f - \mathrm{id})$, $B_f = \mathrm{Ker}(f + \mathrm{id})$, $A_g = \mathrm{Ker}(g - \mathrm{id})$, $B_g = \mathrm{Ker}(g + \mathrm{id})$. + +$B_g = \text{Ker}(g + \text{id})$. a) Démontrer que $g(A_f) = B_f$ et $g(B_f) = A_f$. +b) En déduire que la dimension de $E$ est paire. +c) Montrer qu'il existe une base $\mathcal{E}$ de $E$ telle que $\mathrm{Mat}_{\mathcal{E}}(f) = \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ 0 & -I_n \end{pmatrix}$, $\mathrm{Mat}_{\mathcal{E}}(g) = \begin{pmatrix} 0 & I_n \\ I_n & 0 \end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1250] +a) Montrer que : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\C), \operatorname{Tr}(AB) = \operatorname{Tr}(BA)$. +b) Soit $f \in \mathcal{L}(\mathcal{M}_n(\C), \mathcal{M}_p(\C))$ telle que : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\C), f(AB) = f(A) f(B)$. Soit $\phi : M \in \mathcal{M}_n(\C) \mapsto \operatorname{Tr}(f(M))$. Montrer : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\C), \phi(AB) = \phi(BA)$ +c) En déduire qu'il existe $\alpha \in \C$ tel que : $\forall M \in \mathcal{M}_n(\C), \operatorname{Tr}(f(M)) = \alpha \operatorname{Tr}(M)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1251] +Pour tout +$k \in \N^*$ +, on note $J_k$ la matrice $\begin{pmatrix} 0 & & (0) \\ 1 & \ddots & \\ & \ddots & \ddots \\ & & 1 & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_k(\mathbb{R})$. + +Si $M$ est une matrice nilpotente de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on appelle indice de nilpotence de $M$ le plus petit entier $p \in \N^*$ tel que $M^p = 0$. + +a) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ nilpotente d'indice $n$. Montrer que $M$ est semblable à $J_n$. +b) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ nilpotente d'indice $p$. Montrer que $p \leq n$. c) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ nilpotente d'indice 2 et de rang $r \in \{1, \dots, n-1\}$. Montrer que $M$ est semblable à diag $(J_2, \ldots, J_2, 0_{n-r})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1252] +a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $\chi_A = X^n$. +b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. On suppose $A$ semblable à 2A. Que peut-on dire de $\chi_A$ ? Montrer que $A$ est nilpotente. +c) On pose $A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Montrer que $A$ est semblable à 2A. + + d) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ telle que $A^{n-1} \neq 0$ et $A^n = 0$. Montrer que $A$ est semblable à 2A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1253] +Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension $n \in \N^*$ et $u \in \mathcal{L}(E)$ nilpotent. Soit $p \in \N^*$ tel que $u^p = 0$. +a) Montrer que $Sp(u) = \{0\}$. +b) Soit $v = \sum_{k=0}^{p-1} u^k$. Montrer que $v$ est un automorphisme et trouver $v^{-1}$. +c) Montrer que Ker(v id) = Ker(u). +d) Trouver le spectre de $v$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1254] +Soient $n \geq2$ et $E = \mathbb{R}_n[X]$. +a) Rappeler la formule de Taylor pour $P \in E$ et $a \in \mathbb{R}$ ; la démontrer dans le cas a = 0. +b) Soit $P \in E$. + +Montrer qu'il existe un unique $Q \in E$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}$, $(x-1)Q(x) = \int_{1}^{x} P(t) dt$. + +c) On note $f$ l'application qui à $P$ associe $Q$. Montrer que $f$ est un endomorphisme de Ediagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1255] +Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ tel que $ab(a-b) \neq 0$. Soient $E$ un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension $n \geq3$ et $f, u, v \in \mathcal{L}(E)$ vérifiant $f$ = au + bv, $f^2 = a^2u + b^2v$, $f^3 = a^3u + b^3v$. +a) Donner un exemple d'endomorphisme $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ diagonalisable et non nul vérifiant ces +conditions. +b) On revient au cas général. Montrer que $f$ est diagonalisable. c) Montrer que $u$ et $v$ sont des projecteurs qui commutent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1256] +Soit $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. + +On note $\Phi$ l'endomorphisme de $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ défini par $\forall M \in \mathcal{S}_2(\mathbb{R})$, $\Phi(M) = AM + (AM)^T$.a) Donner la matrice représentative de $\Phi$ dans la base de $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ constituée des matrices + +a) Donner la matrice représentative de +$\Phi$ + dans la base de $\mathcal{S}_2(\mathbb{R})$ constituée des matrices $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. + +b) Montrer que $\chi_{\Phi}(X) = 4(X - (a+d))\chi_{A}(X/2)$. + +c) Supposons $\Phi$ diagonalisable. La matrice $A$ est-elle diagonalisable? d) Supposons $A$ diagonalisable. L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1257] +Soit +$$T = \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix}$$ + avec $(x, y, z) \in \mathbb{R}^3$. + +a) Pour tout $n \in \N$, donner l'expression de $T^n$. + +b) Soit $E_n(T) = \sum_{k=0}^n \frac{T^k}{k!}$. Est-ce que $E_n(T)$ converge? On note $E(T)$ sa limite. Calculer + +E(T). Les valeurs propres de E(T) et $T$ peuvent-elles être égales? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1258] +Soient +$I = [0, \pi/2]$ + et $E = \mathcal{C}^0(I, \mathbb{R})$ muni du produit scalaire $\langle f, g \rangle = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(t) g(t) dt$. + +Si +$f \in E$ +, on pose $A(f): x \in I \mapsto \int_0^x f(t) dt$ et $B(f): x \in I \mapsto \int_x^{\frac{\pi}{2}} f(t) dt$. + +a) Montrer que, pour tous $f$ et $g$ de $E$, $\langle A(f), g \rangle = \langle f, B(g) \rangle$. En déduire que les valeurs propres réelles de $B \circ A$ sont positives. + +b) Montrer que, si +$f \in E$ +, alors $\forall x \in I$, $A(f)(x)^2 \le x \int_0^x f(t)^2 dt$. + +c) Montrer que, si $f \in E$, $||A(f)|| \le \frac{1}{\sqrt{2}}||f||$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1259] +Soit $A = (a_1, \dots, a_n)^T \in \mathbb{K}^n \setminus \{0\}$. On pose $M = AA^T$. + +a) Calculer le rang de $M$ et montrer que $M$ est symétrique. + +b) Si +$$\mathbb{K} = \mathbb{R}$$ +, montrer que $M \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. + +c) Soit $M \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ de rang 1. Montrer qu'il existe $A \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ tel que $M = AA^T$. + +$$\int Solitiff = O_n \text{ (as) de rang 1. Institute of a resister } T \in \mathbb{R}^n \text{ (b) tell que } M = 1.11$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1260] +On note $V_1$ l'ensemble des matrices $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $\operatorname{Sp}_{\C}(M) = \{1\}$. a) Donner un exemple de matrice $M \in V_1$ différente de l'identité. + +Soit $M \in V_1$. Montrer que $(M - I_n)^n = 0$. + +Soit $M \in V_1$. Montrer que $(M - I_n)^n = 0$. b) Cas $n$ = 4. + +Donner un exemple de matrice +$A \in V_1$ + telle que $(A - I_n)^2 \neq 0$ et $(A - I_n)^3 = 0$. + +c) Déterminer $V_1 \cap \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. + +d) Déterminer +$$V_1 \cap \mathcal{O}_3(\mathbb{R})$$ + et, plus généralement, $V_1 \cap \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1261] +a) Rappeler l'algorithme de Gram-Schmidt en le justifiant. + +b) Soit $A \in GL_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe un couple $(U,T) \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \times \mathcal{T}_n^+(\mathbb{R})$ tel que $A = UT$. + +c) Montrer que ce couple est unique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1262] +On identifie $\mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R})$ et $\mathbb{R}^2$. On munit $\mathbb{R}^2$ de sa structure euclidienne canonique. On pose $\mathcal{C}=\{A\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\,;\,\forall X\in\mathbb{R}^2,\;\|AX\|\leqslant\|X\|\}$. On dit que $A\in\mathcal{C}$ est un point extrémal de $\mathcal{C}$ lorsque $\forall B_1,B_2\in\mathcal{C},A=\frac{1}{2}B_1+\frac{1}{2}B_2\ \Rightarrow\ A=B_1=B_2$. + +a) Montrer $\mathcal{O}_2(\mathbb{R}) \subset \mathcal{C}$. +b) i) Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe $R \in SO_2(\mathbb{R})$ telle que $AR \in \mathcal{S}_2(\mathbb{R})$. + - ii) En déduire qu'il existe $\Omega_1, \Omega_2 \in \mathcal{O}_2(\mathbb{R})$ et $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ tels que $\Omega_1 A \Omega_2 = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$. + - iii) On suppose $A \in \mathcal{C}$. Montrer que a et $b$ appartiennent à [-1, 1]. +c) Montrer que l'ensemble des points extrémaux de $\mathcal{C}$ est $\mathcal{O}_2(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1263] +a) Soient $M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ et $\lambda \in \C$ une valeur propre de $M$. Montrer que $\lambda \in \mathbb{R}$. *Ind.* Considérer $\bar{Z}^TMZ$, où $Z$ est un vecteur propre associé à $\lambda$. + +b) Soit $A = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & n-1 \\ 1 & \cdots & n-1 & n \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. + +i) Calculer tr(A) et $tr(A^2)$. +ii) Donner les valeurs propres et vecteurs propres de A. +#+end_exercice + + +** Analyse + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1264] +On s'intéresse aux suites $(U_n)$ où $U_0$ et $U_1$ sont positifs et vérifient, pour tout $n \in \N$, +$U_{n+2} = \frac{1}{2} \left( U_{n+1}^2 + U_n^2 \right)$ +a) Déterminer l'éventuelle limite de $(U_n)$. Montrer que, si trois termes consécutifs sont égaux, alors la suite $(U_n)$ est constante. +b) Calculer les premiers termes de la suite $(U_n)$ pour différentes valeurs de $U_0$ et $U_1$. Que peut-on en déduire? Pour les suites telles que $U_n \to +\infty$, s'intéresser à la suite définie par $V_n = \frac{1}{2n} \ln \left( \frac{U_n}{2} \right)$. +c) Comparer les signes de $U_{n+1} U_n$ et $U_n U_{n-2}$. +d) On suppose désormais $(U_n)_{n\in\N}$ non constante. Montrer que, s'il existe $n_0$ tel que $U_{n_0+1}\geq U_{n_0}$ et $U_{n_0+1}\geq U_{n_0-1}$, alors la suite $(U_n)_{n\geq n_0+1}$ est strictement croissante. + +On admet que, s'il existe $n \in \N$ tel que $U_{n+1} \leq U_n$ et $U_{n+1} \leq U_{n-1}$, alors la suite $(U_n)$ est strictement décroissante. + +e) Supposons que, quel que soit $N \in \N$, la suite $(U_n)_{n\geq N}$ ne soit pas strictement monotone. Montrer que $U_0 \neq U_1$ et que, si $U_0 < U_1$, alors $U_0 < U_2 < U_3 < U_1$ (vérifier si l'inégalité est stricte ou non). En déduire que la suite $(U_n)$ converge vers 1. +f) Établir, pour une suite $(U_n)_{n\geq 0}$ non constante appartenant à $S$, l'équivalence des propriétés suivantes : +il existe un entier $N \geq 0$ tel que $U_N \geq 1$ et $U_{N+1} \geq 1$, +la suite $(U_n)_{n\geq 0}$ est strictement croissante à partir d'un certain rang, +la suite $(U_n)_{n\geq 0}$ tend vers $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1265] +On note $\mathcal C$ l'ensemble des suites à valeurs dans $\mathbb N\setminus\{0,1\}$. Si $\forall k=(k_n)_{n\in\mathbb N}\in\mathcal C$, soit $\Phi(k)$ la suite de terme général $\Phi(k)_n=\frac1{k_0}+\frac1{k_0k_1}+\ldots+\frac1{k_0k_1\ldots k_n}$. + +a) Étudier la convergence de $\Phi(k)$ dans les cas suivants : + - k est une suite constante, + - $\forall n \in \N, \ k_n = n+2$ + - $\forall n \in \N, \ k_n = 2n + 2$. +b) Si $k \in \mathcal{C}$, montrer que la suite $\Phi(k)$ converge vers une limite $\ell \in ]0,1]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1266] +Soit, pour $n \in \N$, $a_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n(t) dt$. +a) Trouver une relation entre $a_{n+1}$ et $a_{n-1}$. +b) Montrer de deux manières différentes que la suite $(a_n)$ converge. +c) i) Montrer que $a_n = \frac{1}{2n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. +ii) Soient $\alpha \in \mathbb{R}$ et $x \in \mathbb{R}$. Pour $n \in \N^*$, on pose $u_n = \frac{a_n}{n^{\alpha}} x^n$. Discuter en fonction de $x$ et $\alpha$ la nature de $\sum u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1267] +Soit $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$, une fonction continue telle qu'il existe une suite de réels $(a_k)_{k \in \N}$ telle que, quand $x$ tend vers $+\infty$, $f(x) = a_0 + \frac{a_1}{x} + \frac{a_2}{x^2} + \cdots + \frac{a_k}{x^k} + o\left(\frac{1}{x^k}\right)$. +a) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f(n)$ converge. +b) On suppose que $f$ ne s'annule pas sur $\N^*$. On pose, pour $n \in \N^*$, $p_n = \prod_{k=1}^n f(k)$. À quelle condition $(p_n)_{n \in \N}$ est-elle convergente? +c) On pose, pour $n \in \N^*$, $g_n = \prod_{k=1}^n \left(1 e^{-\frac{\alpha}{k}}\right)$. À quelle condition sur $\alpha$ la suite $(g_n)_{n \in \N}$ est-elle convergente? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1268] +Soit $g: x \in \mathbb{R} \mapsto x x^2$. +a) Déterminer le plus grand intervalle $I$ contenant 0 tel que $g|_I$ soit injective. +b) On pose $J$ = g(I) et $f$ la réciproque de $g|_{I}$. Déterminer l'expression de $f$. +c) Montrer que $f$ admet un développement en série entière au voisinageqde 0 et l'expliciter. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1269] +Soit $f \in \mathcal{C}^2([0,1],\mathbb{R})$ telle que f(0) < 0, f(1) > 0, f'(0) > 0. On suppose que $\forall x \in [0,1], f''(x) > 0$. +a) Montrer que $f$ admet un unique zéro sur [0,1]. On notera $z$ ce zéro. +b) Soit $a \in ]z,1]$. Montrer que la tangente à la courbe de $f$ en (a,f(a)) coupe l'axe des abscisses en un unique point appartenant à ]z,a[. +c) Soit $(x_n)$ la suite définie par $x_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N$, $x_{n+1}$ est l'abscisse du point d'intersection entre la tangente en $(x_n, f(x_n))$ et l'axe des abscisses. Montrer que $x_n \to z$. +d) On pose $M_2 = \sup_{x \in [0,1]} |f''(x)|$. Prouver $\forall n \in \N, 0 \leqslant x_{n+1} z \leqslant \frac{M_2}{2f'(0)} (x_n z)^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1270] +Soient $m \in \N$, $a_0, \ldots, a_m \in \mathbb{R}$, $P = a_0 + a_1 X + \ldots + a_m X^m$. + +a) Expliciter $(P(X))^2$ et en déduire que $\sum_{0 \leqslant p,q \leqslant m} \frac{a_p a_q}{p+q+1} \geq 0$. + b) Exprimer $\int_{-\pi}^{\pi} |P(e^{it})|^2 dt$ en fonction de $a_k$. + - c) Si $Q \in \C[X]$, montrer que $\int_{-1}^{1} Q(x) dx = -i \int_{-\pi}^{\pi} Q(e^{it}) e^{it} dt$. +d) En déduire que $\sum_{0 \le p, q \le m} \frac{a_p a_q}{p+q+1} \le \pi \sum_{k=0}^m a_k^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1271] +a) Soit $f: x \mapsto \frac{e^x}{1 + e^{4x} \sin^2(x)}$. Montrer que $f$ ne s'annule pas, n'a pas de limite en +$+\infty$ et n'est pas bornée. b) Pour a>0, on pose $J(a)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\mathrm{d}x}{1+a^2\sin^2(x)}$. Calculer J(a) à l'aide du changement +de variable $u = \tan(x)$, puis montrer que $\int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}x}{1 + a^2 \sin^2(x)} = 2J(a)$. c) Quelle est la nature de l'intégrale $\int_{-\infty}^{+\infty} f$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1272] +a) Existence et calcul de $F(x) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + x^2 + t^2}$ pour $x \geq 0$. b) Calculer $I_n = \int_0^{\pi} \frac{\mathrm{d}t}{1 + (n\pi)^{\alpha} \sin^2(t)}$. Ind. Poser $u = \frac{1}{\tan(t)}$. +c) Nature suivant $\alpha > 0$ de l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} \frac{dt}{1 + t\alpha \sin^2 t}$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1273] +Pour $n \in \N^*$, on pose : $f_n : x \in [0, +\infty[ \mapsto \frac{(-1)^n n}{n^2 + x}]$. +a) Étudier la convergence simple de $\sum f_n$. Montrer que sa somme $S$ est continue. +b) $Y$ a $t$-il convergence uniforme sur $[0, +\infty[$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1274] +Soit $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ avec a < $b$. Si $\phi \in \mathcal{C}^0([a,b],\mathbb{R})$, on pose $\|\phi\| = \sup_{[a,b]} |\phi|$. +a) Soit $n \in \N^*$. Montrer qu'il existe un unique $f_n \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}^{+*}, \mathbb{R})$ tel que $f_n(1) = f_n(2) = 0$ et, pour tout $x \in \mathbb{R}^{+*}$, $f_n''(x) = (-1)^n \times 2^{-nx^2}$. +b) Montrer la convergence uniforme des séries de fonction $\sum f''_n$, $\sum f'_n$ et $\sum f_n$ sur tout segment de $\mathbb{R}^{+*}$. +c) Montrer que $F = \sum_{n=0}^{\infty} f_n$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. Montrer : $||F|| \leq 1/3$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1275] +a) Soit $(a_n) \in (\mathbb{R}^{+*})^{\N}$. On suppose que $\frac{a_{n+1}}{a_n} = 1 \frac{\alpha}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)$ avec $\alpha > 1$.Montrer que $\sum a_n$ converge. *Ind*. Montrer que, pour tout $\beta \in ]1, \alpha[$, la suite $(n^{\beta}a_n)$ est décroissante à partir d'un certain rang. + +b) Déterminer le développement en série entière de $\sqrt{1-x}$. Montrer qu'il y a convergence en $x = \pm 1$. +c) Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour $n \in \N$, $u_{n+1} = \sum_{k=0}^{n} u_k u_{n-k}$. + +On pose $S: x \in ]-R, R[ \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} u_n x^n$. Déterminer $S$ et en déduire une expression de $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1276] +Soit $E$ l'ensemble des $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telles que $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)^2 e^{-x^2} dx$ converge. +a) i) Montrer que $E$ est un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel. +ii) Soit $\Phi:(f,g)\in E\times E\mapsto \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,g(x)\,e^{-x^2}\mathrm{d}x$. Montrer que $\Phi$ est bien définie et définit un produit scalaire sur $E$ - b) Calculer, pour $n \in \N$, $I_n = \int_{-\infty}^{+\infty} x^n e^{-x^2} dx$. On donne $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$. +c) On pose $F: z \in \C \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} e^{zx-x^2} dx$. Montrer que $F$ est développable en série entière au voisinageqde 0 et donner son développement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1277] +Soient $(u_n)$ une suite complexe bornée et, pour $n \in \N$, $s_n = \sum_{i=1}^n u_i$. +a) Déterminer les rayons de convergence de $U: x \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{u_k}{k!} x^k$ et $S: x \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{s_k}{k!} x^k$. +b) Trouver une relation entre U', S' et $S$. +c) On suppose que la suite $(s_n)$ tend vers 0. Montrer que $x \mapsto e^{-x}S(x)$ tend aussi vers 0 quand $x$ tend vers l'infini. +d) On suppose que la suite $(s_n)$ tend vers $\ell \in \C$. Montrer que $x \mapsto e^{-x}S(x)$ tend vers une limite à préciser quand $x$ tend vers l'infini. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1278] +Pour $n \in \N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k}$. +a) Montrer qu'il existe $\gamma \in \mathbb{R}$ tel que $H_n = \ln n + \gamma + o(1)$. b) Pour $n \in \N^*$, on définit $f_n : x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto (1 x/n)^n \ln(x) \mathbf{1}_{]0,n[}(x)$. +Montrer que $\int_0^{+\infty} f_n(x) dx \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_0^{+\infty} e^{-x} \ln(x) dx$. +c) Exprimer $\int_{0}^{+\infty} e^{-x} \ln(x) dx$ en fonction de $\gamma$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1279] +Soit (E) l'équation différentielle : $y''(t) + e^{it}y(t) = 0$.Soit $f$ solution de (E). Montrer que $f$ est $2\pi$ -périodique si et seulement si $f(0) = f(2\pi)$ et $f'(0) = f'(2\pi)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1280] +a) Soit $g \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$. On pose $h: x \mapsto \int_0^x \sin(x-t) g(t) dt$. Montrer que $h$ est de classe $C^2$ et exprimer h'' en fonction de $h$ et $g$. + +Déterminer toutes les solutions de $\mathbb{R}^+$ dans $\mathbb{R}$ de y'' + y = $g$. + +b) Soient $a \in \mathbb{R}$ et $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, \mathbb{R})$ telle que $\forall x \in \mathbb{R}^+, f(x) \leqslant a + \int_{\mathbb{R}^+}^x f(t) dt$. + +Montrer que, pour tout $x \geq0$, $f(x) \le ae^x$. + +c) Pour $\lambda$ réel, on note $\Phi_{\lambda}$ la solution du problème de Cauchy : + + $y''(x) + (1 - \sin(\lambda x))y(x) = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0$. Soit $x_0 \in \mathbb{R}$. On pose $f : \lambda \mapsto \Phi_{\lambda}(x_0)$. Montrer que $f$ est lipschitzienne. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1281] +a) Montrer l'existence et calculer $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u^2 + u + 1}$. + +b) Soient $I$ un intervalle ouvert de $\mathbb{R}$ et $y \in \widetilde{\mathcal{C}}^1(I,\mathbb{R})$ telle que $y' = y^2 + y + 1$. Montrer que $I$ est un intervalle borné. Expliciter y. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1282] +Soit $f:(x,y) \in \mathbb{R}^{+*} \times \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + xy$. + +a) Soit $S = \{(x, y, z), z = f(x, y)\}$. Déterminer l'équation du plan tangent à $S$ en un point + + $(a,b,c) \in S$. b) Montrer que $f$ est minorée puis qu'elle admet un minimum atteint en un point que l'on déterminera. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1283] +Soit $\phi:(x,y)\in[-1,1]^2\mapsto\int_{-1}^1|t-x|\times|t-y|\,\mathrm{d}t$. On pose $\mu=\min_{(x,y)\in[-1,1]^2}\phi(x,y)$. + +a) Montrer que $\phi$ est continue sur $[-1,1]^2$. En déduire l'existence de $\mu$. b) On pose $T=\left\{(x,y)\in[-1,1]^2,\ -1\leqslant x\leqslant y\leqslant 1\right\}$. Montrer que, pour tous $x,y\in T$, + + $\phi(x,y) = 3(y-x)^3 + \frac{2}{2} + 2xy$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1284] +On munit $\mathbb{R}^2$ de la norme infinie : $\|(x,y)\|_{\infty} = \max(|x|,|y|)$. On note $B(0,1) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : ||(x,y)||_{\infty} < 1\} \text{ et } B(0,1) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : ||(x,y)||_{\infty} \le 1\}$. + +a) Exprimer B(0,1) et $\overline{B(0,1)}$ comme un produit de deux ensembles. + +Soit $f:(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto -(x^2+y^2)^2 + \frac{3}{2}(x^2+y^2)$. b) Montrer que $f$ est de classe $C^1$, calculer son gradient et trouver ses points critiques. + +Soit $S = \{(x, y, f(x, y))\}_{(x,y) \in B(0,1)}$. + +c) Déterminer le plan tangent à $S$ et orthogonal au vecteur (0, -1, 1). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1285] +Soient $a \in (0, 1)$ et $f: (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto (x^2 + 2axy + y^2)e^{-(x^2 + y^2)/2}$. a) Justifier que $f$ est de classe $C^2$ et trouver ses points critiques. + +b) Montrer que $f$ admet en (0,0) un extrémum local. Est-il global? + +c) Montrer que $f$ admet en (1,1) un maximum global. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1286] +On définit +$$K : \forall (x,y) \in [0,1] \times [0,1] \to \mathbb{R}$$ + tel que : $K(x,y) = \begin{cases} x(1-y) & \text{si } x \leq y, \\ y(1-x) & \text{si } x > y. \end{cases}$ + +a) Montrer que $K$ est continue et bornée. +b) Soit $z \in \mathbb{R}$, trouver l'équation du plan tangent à la surface d'équation K(x,y)=z. +#+end_exercice + + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1287] +On considère une pièce donnant pile avec une probabilité 0 . +a) On lance $n$ fois cette pièce. Soit $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de pile obtenus. Donner la loi de $S_n$. +b) On considère deux pièces $(M_1, M_2)$ donnant pile avec une probabilité $p_1 \in ]0,1[$ et $p_2 \in ]0,1[$. Pour le premier lancer, on lance la pièce $M_1$. Pour $n \geq 2$, on lance la pièce $M_1$ au $n$-ième lancer si on a obtenu pile au (n-1)-ième lancer, et la pièce $M_2$ sinon. Pour $n \in \N^*$, on note $A_n$ l'évènement « on obtient pile au $n$-ième lancer ». + - i) Établir une relation entre $P(A_n)$ et $P(A_{n-1})$. + - ii) Montrer que la suite $(\mathbf{P}(A_n))_{n\geq 1}$ converge et donner sa limite. +iii) On rappelle le théorème de Cesàro. Soit $S'_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de pile obtenus pendant les $n$ lancers. Donner un équivalent de $\mathbf{E}(S'_n)$ quand $n \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1288] +Soient $\lambda > 0$, $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$, $Y \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $X$, $Y$ indépendantes. + +On pose +$$A = \begin{pmatrix} X & X \\ 0 & Y \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$$ + et $T = \operatorname{tr}(A)$. + +a) Donner la loi de $T$, son espérance et sa variance. +b) Calculer P(A diagonalisable). +c) On pose $M_{x,y}=\begin{pmatrix} x & x \ 0 & y \end{pmatrix}$ et $\ell_{x,y}:M\in\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\mapsto M_{x,y}M$. + - i) Que peut-on dire du rang de $\ell_{x,y}$ ? + - ii) Trouvez une condition nécessaire et suffisante pour que $rg(\ell_{xy}) = 6$. + - iii) Donner la loi de $\operatorname{rg}(\ell_{X,Y})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1289] +Soit $n \geq2$. On note $\Omega_n$ l'ensemble des applications de $\{1, \ldots, n\}$ dans lui-même. On munit $\Omega_n$ de la probabilité uniforme. Si $f \in \Omega_n$, on note $X_n(f)$ le nombre d'éléments de $\{1, \ldots, n\}$ n'ayant aucun antécédent par $f$ et, pour $i$ entre 1 et $n$, on pose $Y_i(f) = 1$ si $f^{-1}(\{i\}) = \emptyset$ et $Y_i(f) = 0$ sinon. +a) Déterminer la probabilité $p_n$ de $S=\{f\in\Omega_n\,,\,f\text{ surjective}\}$. Donner un équivalent de $p_n$ lorsque $n\to+\infty$. +b) Déterminer la loi de $Y_i$, puis celle de $Y_iY_j$ lorsque $i \neq j$. +c) Calculer l'espérance et la variance de $X_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PSI 2025 # 1290] +Soit $\theta \in \mathbb{R}^{+*}$. Des individus numérotés $1, 2, \ldots$ arrivent successivement dans un restaurant qui abrite une infinité de tables infiniment longues. Les convives s'installent aux différentes tables avec les conditions suivantes : lorsque le $(k+1)^e$ individu se présente, $k \geq1$, il choisit au hasard l'un des $k$ individus déjà attablés avec la probabilité $\frac{1}{k+\theta}$ et s'assied à lamême table, ou occupe une nouvelle table avec la probabilité $\frac{\theta}{k+\theta}$. On note $K_n$ la variable aléatoire indiquant le nombre de tables occupées lorsque $n$ individus ont pris place. + +a) Déterminer $P(K_n = 1)$. +b) Soit $G_n$ la fonction génératrice de $K_n$. + +Montrer que $G_n(x)=\frac{L_n( heta x)}{L_n( heta)}$, où $L_n(x)=\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)$. + +c) Calculer $\mathbf{E}(K_n)$ et $\mathbf{V}(K_n)$. Donner des équivalents de $\mathbf{E}(K_n)$ et $\mathbf{V}(K_n)$. +d) Étudier le comportement de la suite $\left(\frac{K_n}{\ln n}\right)$ quand $n \to +\infty$. +#+end_exercice + + +* Centrale - PC + +** Algèbre + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1291] +a) Soient $A, B \in \mathbb{R}[X]$ et $P = A^2 + B^2$. + - i) Montrer que $P$ est nul ou de degré pair, de coefficient dominant strictement positif. + - ii) Les polynômes $X^4 X^2 + 1$ et $X^4 1$ peuvent-ils s'écrire $A^2 + B^2$ avec $A, B \in \mathbb{R}[X]$ ? + - iii) Que dire des racines de $P$ et leurs multiplicités? +b) Montrer que tout polynôme $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $\forall x \in \mathbb{R}, \ P(x) \geq 0$ s'écrit $A^2 + B^2$ avec $A, B \in \mathbb{R}[X]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1292] +Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f \in \mathcal{L}(E)$. On dit que $f$ admet un pseudo-inverse s'il existe $q \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f \circ q \circ f = f$, $q \circ f \circ q = q$ et $f \circ q = q \circ f$. +a) Que dire si $f$ est inversible? si $f$ est l'endomorphisme nul? +b) On suppose que $f$ admet un pseudo-inverse. Montrer que $\operatorname{Im}(f) \oplus \operatorname{Ker}(f) = E$. +c) On suppose que $\operatorname{Im}(f) \oplus \operatorname{Ker}(f) = E$. Soit $f_1$ l'endomorphisme induit par $f$ sur $\operatorname{Im}(f)$. +Montrer que $f_1$ admet un pseudo-inverse. En déduire que $f$ admet un pseudo-inverse. d) Montrer que $f$ admet un pseudo-inverse si et seulement si $rg(f) = rg(f^2)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1293] +a) Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de Vandermonde soit inversible. +b) Soient $(Q_0, Q_1, \dots, Q_n)$ une famille de polynômes de $\mathbb{R}_n[X]$ et $(z_0, \dots, z_n)$ des nombres +réels. Calculer le déterminant de la matrice $R = (Q_i(z_i))_{0 \le i, i \le n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1294] +Soit $n \in \N^*$. On note $S_n$ l'ensemble des permutations de l'ensemble $\{1, \ldots, n\}$. Pour $\sigma \in \mathcal{S}_n$, on pose $P_{\sigma} = (\delta_{i,\sigma(j)})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\C)$. +a) Soient $\sigma$ et $s$ dans $S_n$. Montrer que $P_{\sigma}P_s = P_{\sigma \circ s}$ et montrer que $P_{\sigma}$ est une matrice orthogonale. +b) Soit $\sigma \in \mathcal{S}_n$. Montrer qu'il existe $\ell \in \N^*$ tel que $P_{\sigma}^{\ell} = I_n$. Montrer que toutes les valeurs propres complexes de $P_{\sigma}$ sont de module 1 et que 1 est valeur propre de $P_{\sigma}$. +c) À quelle condition $P_{\sigma}$ est-elle diagonalisable sur $\C$ ? sur $\mathbb{R}$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1295] +Soient $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $E = \{P(M), P \in \C[X]\}$. On note $p$ le nombre de valeurs propres distinctes de $M$.- a) Montrer que $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et que $p \leq \dim E \leq n$. +b) Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si dim $E$ = $p$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1296] +Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $f: M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto AM MA$. +a) Montrer que, si $A$ nilpotente, alors $f$ l'est également. +b) Montrer que, si $|\operatorname{Sp}(A)| = n$, alors $(I_n, A, \dots, A^{n-1})$ est une base de $\operatorname{Ker} f$. +c) Montrer que si $A$ est diagonalisable alors $A^T$ l'est également. Donner une base de vecteurs propres de $f$ dans ce cas. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1297] +Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ diagonalisable. Soit $p \in \db{1,n}$ le nombre de valeurs propres distinctes de A. Dénombrer les polynômes $P \in \mathbb{K}_{p-1}[X]$ tels que $A$ et P(A) soient semblables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1298] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $A^T = P(A)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1299] +a) Soient $u,v\in\mathcal{L}(\C^n)$ tels que $u\neq 0,v\neq 0$ et $u\circ v=0$. Montrer que $\mathrm{Ker}\,u\neq\{0\}$ et que $\mathrm{Ker}\,u$ est stable par $v$. En déduire que $u$ et $v$ possèdent un vecteur propre en commun. b) Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB=0. Montrer que $A$ et $B$ sont trigonalisables dans +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1300] +Soient $n \in \N^*$ et $(A, B) \in \mathcal{M}_n(\C)^2$ tel que $\operatorname{Sp}(A) \cap \operatorname{Sp}(B) = \emptyset$. +a) Montrer que $\chi_A(B)$ est inversible. +b) Montrer que pour tout $Y \in \mathcal{M}_n(\C)$, il existe $M \in \mathcal{M}_n(\C)$ tel que AM MB = Y. c) On suppose que $\operatorname{Sp}(A) \cap \operatorname{Sp}(B) \neq \emptyset$. Montrer qu'il existe $M \in \mathcal{M}_n(\C) \setminus \{0\}$ telle que AM = MB. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1301] +On pose $\phi: (A,B) \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})^2 \mapsto \operatorname{tr}(A^T B)$. +a) Montrer que $\phi$ est un produit scalaire. b) On pose $F = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}; \ (a,b) \in \mathbb{R}^2 \right\}$. Déterminer $F^{\perp}$. +c) Pour $\alpha \in \mathbb{R}$, on pose $J_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & \alpha \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calculer la distance de $J_{\alpha}$ à $F^{\perp}$. +$a \in \mathbb{R}$, on pose $a = \begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}$. Calcular la distance de $a \in \mathbb{R}$ a $a \in \mathbb{R}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1302] +Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien, $(x_1, \ldots, x_p)$ une famille de vecteurs de $E$ et $G = (\langle x_i, x_j \rangle)_{1 \leq i,j \leq p} \in \mathcal{M}_p(\mathbb{R})$. +a) Montrer que, si $(x_1, \ldots, x_p)$ est une famille libre, alors $\det(G) > 0$. +b) Dans le cas général, montrer que $\operatorname{rg}(x_1,\ldots,x_p)=\operatorname{rg}(G)$. c) Montrer que $\operatorname{Sp}(G)\subset\mathbb{R}^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1303] +Soit $E = \mathcal{C}^0([-1,1], \mathbb{R})$. +a) Montrer que $\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} (1 x^2) f(x) g(x) dx$ définit un produit scalaire sur $E$. +b) Soit $E_p$ (resp. $E_i$ ) l'ensemble des éléments de $E$ qui sont pairs (resp. impairs). Montrer que $E_p$ et $E_i$ sont orthogonaux et que $E_p \oplus E_i = E$. +c) Expliciter $E_p^{\perp}$ et $E_i^{\perp}$. + +une même base. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1304] +a) Montrer que tout endomorphisme d'un $\mathbb{R}$ -espace vectoriel $E$ de dimension finie $n \geq2$ admet une droite ou un plan stable. + +b) Montrer que toute matrice de $\mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ est diagonalisable dans $\C$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1305] +Déterminer toutes les matrices $A$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $A^TA^2 = A$ et $\mathrm{Tr}(A) = n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1306] +Soient $E$ un espace euclidien non nul et $u \in \mathcal{L}(E)$. +a) Montrer qu'il existe un unique $u^* \in \mathcal{L}(E)$ tel que : $\forall (x,y) \in E^2$, $\langle u(x), y \rangle = \langle x, u^*(y) \rangle$. +b) Montrer que $u^* \circ u$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont positives. +c) Montrer que $x \mapsto ||u(x)||$ est bornée sur la sphère unité. Exprimer $\max_{\|x\|=1} \|u(x)\|$ et $\min_{\|x\|=1} \|u(x)\|$ en termes de valeurs propres de $u^* \circ u$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1307] +On note $\mathcal{C}$ l'ensemble des matrices $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $\chi_A = \prod_{i=1}^n (X [A]_{i,i})$. +a) Soit $A \in \mathcal{C}$. Calculer $\operatorname{tr}(A^T A)$. +b) Déterminer $\mathcal{C} \cap \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. +c) Déterminer $\mathcal{C} \cap \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1308] +Soit $(A, B) \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})^2$ tel que $A^{2025} = B^{2025}$. +a) Montrer qu'il existe $P \in \mathbb{R}[X]$ tel que $A = P(A^{2025})$. En déduire que $A$ et $B$ commutent. +b) Montrer qu'il existe $Q \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ telle que $Q^TAQ$ et $Q^TBQ$ sont diagonales. +c) Montrer $A$ = $B$. +#+end_exercice + + +** Analyse + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1309] +Pour $i \in \{1, 2, \infty\}$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, on pose $||A||_i = \sup\{||AX||_i ; X \in \mathbb{R}^n \text{ et } ||X||_i = 1\}$ et, lorsque $A$ est inversible, $\operatorname{Cond}_i(A) = ||A||_i ||A^{-1}||_i$. +a) Pour tout $(A, B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2$, montrer $||AB||_i \leq ||A||_i ||B||_i$. +b) Déterminer $\min \{Cond_i(A) ; A \in GL_n(\mathbb{R}) \}$. +c) Déterminer $Cond_2(A)$ en fonction des valeurs propres de $A^TA$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1310] +Soit $E = \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. On définit la norme $N$ sur $E$ en posant $N(A) = \max_{1 \le i,j \le 2} |a_{i,j}|$ +$\begin{array}{l} \text{lorsque } A = (a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2}. \\ \textbf{\textit{a}) } \text{ Montrer qu'il existe } c \in \mathbb{R}^{+*} \text{ tel que : } \forall (A,B) \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})^2, \ N(AB) \leqslant c \, N(A) \, N(B). \end{array}$ +b) Montrer que la suite $\left(\sum_{k=0}^n \frac{A^k}{k!}\right)$ est convergente pour tout $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. On note $\exp(A)$ la limite de la suite. +c) Pour $t \in \mathbb{R}$, on pose $A_t = \begin{pmatrix} t & 1 \\ 0 & t \end{pmatrix}$ et $B_t = \begin{pmatrix} \cos(t) & -\sin(t) \\ \sin(t) & \cos(t) \end{pmatrix}$. Calculer $\exp(A_t)$ et $\exp(B_t)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1311] +Une norme $\| \|$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est dite sous-multiplicative si $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \|AB\| \leq \|A\| \times \|B\|$. +a) Donner un exemple de norme sous-multiplicative sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.b) Soient $\| \ \|$ une norme sous-multiplicative sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $Q \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. On définit la norme $\| \|_Q$ par $\forall A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), \|A\|_Q = \|Q^{-1}AQ\|$. Montrer que $\| \|_Q$ est sousmultiplicative. + +c) Soit $(u_n)_{n\in\N^*}\in (\mathbb{R}^{+*})^{\N^*}$ telle que $\forall m,n\in\N^*,\ u_{n+m}\leqslant u_n\times u_m$. On définit $\ell = \inf \left\{ u_n^{1/n}, \ n \in \N^* \right\}$. Soit $\eps > 0$. + +i) Montrer qu'il existe $m_{\eps}$ tel que $u_{m_{\eps}} \leqslant (\ell + \eps)^{m_{\eps}}$. ii) Montrer qu'il existe $\alpha_{\eps} > 0$ tel que $\forall n \geq m_{\eps}, \ u_n^{1/n} \leqslant (\ell + \eps)^{1 - \frac{r_n}{n}} \alpha_{\eps}^{1/n}$ où $r_n$ est le reste + +de la division euclidienne de $n$ par $m_{\eps}$. $i\ddot{u}$ ) En déduire que la suite $(u_n^{1/n})$ converge et préciser sa limite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1312] +Soit $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle que $f(0) = 1, \forall x \in \mathbb{R}, f(x) > 0$ et $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) < 0$. On considère une suite $(x_n)_{n\in\N}$ vérifiant $x_0\in\mathbb{R}^{+*}$ et, pour tout $n\in\N$, $x_{n+1}=x_nf(x_n)$. a) Étudier la suite $(x_n)$. + +b) Soit $(\alpha_n) \in \mathbb{R}^{\N}$ telle que $\alpha_n \to \ell \in \mathbb{R}$. Montrer que $\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{n} \alpha_k \to \ell$. + +c) Nature de $\sum x_n$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1313] +Soit $E$ l'ensemble des $f \in \mathcal{C}^0([0,1[,\mathbb{R}) \text{ s'annulant en } 0. \text{ Pour } f \in E, \text{ on pose } \phi(f)$ définie par : $\phi(f)(0) = 0$ et $\forall x \in ]0, +\infty[, \phi(f)(x) = \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f(t) dt$. + +a) Montrer que $\phi$ est un endomorphisme. + +b) L'application $\phi$ est-elle injective? surjective? + +c) Déterminer les valeurs propres et les espaces propres de $\phi$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1314] +Soit $f \in \mathcal{C}^3([0,1],\mathbb{R})$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n(f) = \frac{1}{n} \sum_{n=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)$. + +a) Quelle est la limite de $(S_n(f))$ ? + +b) Montrer qu'il existe $M$ > 0 tel que : $\forall n \in \N^*, \forall k \in \{0, 1, \dots, n-1\}, \forall t \in \left\lceil \frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right\rceil$ + + $\left|f(t) - f\left(\frac{k}{n}\right) - \left(t - \frac{k}{n}\right)f'\left(\frac{k}{n}\right) - \frac{(t - \frac{k}{n})^2}{2!}f''\left(\frac{k}{n}\right)\right| \leqslant \frac{M}{6}\left(t - \frac{k}{n}\right)^3$. + +c) En déduire que $S_n(f) = \int_0^1 f(t) dt - \frac{1}{2n} \int_0^1 f'(t) dt + \frac{1}{12n^2} \int_0^1 f''(t) dt + o\left(\frac{1}{n^2}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1315] +Soit $f: x \mapsto \int_{-\pi}^{2\pi} \frac{\cos(t)}{t} dt$. Déterminer les limites de $f$ en $0^+$, en $+\infty$ et en $-\infty$, puis les variations de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1316] +Pour $n \in \N$, soient $I_n = \int_0^{\pi/2} \cos^{2n}(t) dt$ et $J_n = \int_0^{\pi/2} t^2 \cos^{2n}(t) dt$ et $Q_n = \frac{J_n}{I_n}$. + +a) Montrer: $\forall n \in \N, \ (2n+2)I_{n+1} = (2n+1)I_n \text{ et } \forall n \in \N^*, \ I_n = -2n^2J_n + n(2n-1)J_{n-1}$. + +b) Montrer: $\forall n \in \N^*, Q_{n-1} - Q_n = \frac{1}{2n^2}$.c) Montrer: $\forall t \in [0, \pi/2], \ t \leqslant \frac{\pi}{2}\sin(t)$. + +d) Montrer: $\forall n \in \N, 0 \leqslant J_n \leqslant \frac{\pi^2}{4}(I_n - I_{n+1})$. + +e) Prouver finalement: $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1317] +On pose $f: x \mapsto \prod_{n=0}^{+\infty} \left(1 + e^{-n(x^2+1)}\right) = \lim_{N \to +\infty} \prod_{n=0}^{N} \left(1 + e^{-n(x^2+1)}\right)$. + +a) Montrer que $f$ est définie, de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. b) Étudier les variations de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1318] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{1-x^n}$. + +a) Domaine de définition? Montrer que $f$ est de classe $C^1$. + +b) Donner un équivalent de $f$ en 1. Ind. Considérer $g: t \mapsto f\left(e^{-t}\right)$ et en chercher un équivalent en 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1319] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(nx^2+1)}$. + +a) Déterminer le domaine de définition de $f$. + +) Déterminer le domaine de définition de $f$. + +b) Étudier la continuité de $f$ sur $]0, +\infty[$ et calculer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\infty$. c) La fonction $f$ est-elle intégrable sur $]0, +\infty[$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1320] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n-1} \frac{n}{x^2 + n^2}$. + +a) Déterminer le domaine de définition de $f$ et étudier la continuité de $f$. + +b) Pour $x \in \mathbb{R}$ et $\alpha > 0$, justifier l'existence de $I_{\alpha} = \int_{0}^{+\infty} \cos(xt) e^{-\alpha t} dt$ et calculer cette + +intégrale. + +c) La fonction +$f$ + est-elle développable en série entière? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1321] +Soit $\phi: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{\sqrt{n}}$. + +a) Montrer que +$\phi$ + est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. + +b) Donner un équivalent lorsque $x \to 0^+$ de $\phi(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1322] +Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite décroissante positive. + +Pour $n \in \N$, on pose $f_n : x \mapsto a_n x^n (1-x)$. + +a) Montrer la convergence simple de $\sum f_n \operatorname{sur} [0, 1]$. + +b) Montrer que $\sum f_n$ converge normalement sur [0,1] si et seulement si la série numérique $\sum \frac{a_n}{a}$ converge.c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\sum f_n$ converge uniformément sur [0, 1]. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1323] +Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ lipschitzienne. + +a) Soient $a \in \mathbb{R}^*$ et $\lambda \in ]-1,1[$. Montrer qu'il existe une unique fonction $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ lipschitzienne vérifiant : $\forall x \in \mathbb{R}, \ F(x) - \lambda F(x+a) = f(x)$. +b) Expliciter $F$ lorsque $f = \cos$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1324] +Pour $n \in \N$ et $x \in \mathbb{R}$, on note $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$ et $f: x \mapsto \sum_{k=0}^{+\infty} S_n \frac{x^n}{n!}$. +a) Donner le rayon de convergence de $\sum S_n \frac{x^n}{x!}$. +b) Pour $n \in \N^*$, on pose $v_n = S_n \ln n$. Montrer que $\sum (v_{n+1} v_n)$ est convergente. +c) Donner une équation différentielle vérifiée par $f$. d) Exprimer, pour $x$ > 0, f(x) à l'aide de $\int_0^x e^{-t} \ln(t) dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1325] +a) Pour $n \in \N^*$ et $t \in \mathbb{R}$, calculer $\sum_{i=1}^n \sin((2k-1)t)$. +b) Pour $n \in \N^*$, justifier l'existence de $I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2(nt)}{\sin t} dt$. +c) Rayon de convergence de $\sum I_n x^n$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1326] +Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=1$ et, pour $n\in\N^*$, $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1 t(t-1)\dots(t-n+1)\,\mathrm{d}t$. + +Rayon de convergence et somme de $x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1327] +On dit qu'une fonction $f \in \mathcal{C}^{\infty}(I,\mathbb{R})$ est absolument monotone si, pour tout $x \in I$ et tout $k \in \N$, $f^{(k)}(x) \geq0$. +a) Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral. +b) Montrer que, si $f$ et $g$ sont absolument monotones, alors $f$ + $g$ et fg sont absolument monotones. +c) Soient $R$ > 0 et $f$ une fonction absolument monotone sur [0, R]. +i) Soient $n \in \N$ et $R_n(x) = f(x) \sum_{k=1}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$. Montrer que $x \mapsto \frac{R_n(x)}{x^n}$ est croissante $\operatorname{sur} \left[ 0, R \right]$. +ii) Montrer que la série de Taylor de $f$ converge simplement vers $f$ sur [0, R]. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1328] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \ln(n) x^n$. +a) Déterminer le rayon de convergence de cette série entière.- b) On pose $g: x \in ]-1, 1[ \mapsto (1+x)f(x)$. Montrer que $g$ est développable en série entière +au voisinageqde 0 et expliciter ses coefficients. Déterminer son rayon de convergence. c) Montrer que la série définissant $g$ converge uniformément sur [0, 1]. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1329] +Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_1^{+\infty} \frac{1}{1+t+\cdots+t^n} \mathrm{d}t$ lorsque cela a un sens. +a) Montrer que la suite $(I_n)_{n\geq 2}$ est bien définie et calculer sa limite. +b) Montrer que, pour tout $n \geq 2$, $I_n = \int_0^1 u^{n-2} \frac{1-u}{1-u^{n+1}} du$. +c) Montrer que, pour tout $n \geq2$, $I_n = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{(nk+k-2)(nk+k-1)}$. +d) En déduire un équivalent de $I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1330] +Soit $f: x \mapsto \int_0^1 \frac{\ln(t^2 2t\cos(x) + 1)}{t} dt$. +a) Montrer que $f$ est définie sur $]0, 2\pi$ +Montrer que $\forall x \in ]0, 2\pi[$, $f(2\pi x) = f(x)$ et $f\left(\pi \frac{x}{2}\right) + f\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}f(x)$. +b) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0, 2\pi[$. Calculer f'(x) pour tout $x \in ]0, \pi[$. +c) On donne $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12}$. Calculer $\int_0^1 \frac{\ln(1+t)}{t} dt$. +d) En déduire l'expression de f(x) pour tout $x \in [0, 2\pi[$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1331] +Soit $f: x \in ]0,1[ \mapsto \frac{x^2}{x-1} \ln(x)$. +a) Montrer que $f$ se prolongeqcontinûment sur [0,1] et que ce prolongement est de classe $\mathcal{C}^1$. +b) Pour $n \in \N$, on pose $u_n = \int_0^1 x^n f(x) dx$. Montrer que $u_n \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ et trouver un équivalent de $u_n$ lorsque $n \to +\infty$. +c) Montrer que $\lim_{n \to +\infty} n \int_0^1 x^n f(x^n) dx = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1332] +a) Montrer que $\int_0^1 \frac{\ln(u)}{1-u} du = -\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2}$. +b) Soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1[\,,\mathbb{R})$ croissante telle que l'intégrale $\int_0^1 \frac{f(u)}{u} du$ converge. Montrer que + +$$\lim_{x \to 1^{-}} (1 - x) \sum_{n=1}^{+\infty} f(x^{n}) = \int_{0}^{1} \frac{f(u)}{u} du.$$ + +c) Donner un équivalent de $x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}\ln(1-x^n)$ lorsque $x\to 1^-$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1333] +Pour $x \in ]-1, +\infty[$, on pose $\theta(x) = 2 \int_{0}^{1} \frac{s}{1+x^{2}} ds$ + +a) Étudier les variations de $\theta$ et calculer $\theta(x)$. +b) Pour $x$ > 0, on pose $\Gamma : x \mapsto \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$. i) Justifier l'existence de $\Gamma(x)$. + - ii) Donner un équivalent de $\Gamma(x+1)$ lorsque $x\to +\infty$. Ind. Poser $u=\frac{t-x}{\sqrt{x}}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1334] +Pour $x \in \mathbb{R}^+$, on pose $f(x) = \int_0^{+\infty} \frac{1 \cos(t)}{t^2} e^{-xt} dt$. +a) Montrer que $f$ est définie, continue sur $[0, +\infty[$, de classe $\mathcal{C}^2$ sur $]0, +\infty[$. +b) Convergence et calcul de $\int_{0}^{+\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1335] +On donne $\int_{0}^{+\infty} e^{-u^2} du = \sqrt{\pi}$. Soit $f: x \in \mathbb{R} \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{e^{ixt}e^{-t}}{\sqrt{t}} dt$. Donner une expression simple de f(x). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1336] +Pour $x$ > 0, on pose $f(x) = \int_{1}^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{1+t} dt$. +a) Montrer que $f$ est bien définie et continue. Déterminer $\lim_{x\to +\infty} f(x)$. +b) Déterminer $(a_0, \ldots, a_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ tel que $f(x) = \sum_{x \to +\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{x^k} + o\left(\frac{1}{x^n}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1337] +Soit $F: x \mapsto \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{-xt^2}}{1+t^2} dt$. +a) Montrer que $F$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^+$. +b) Déterminer une équation différentielle linéaire satisfaite par $F$ sur $]0,+\infty[$. On admettra que $\int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1338] +a) Déterminer le domaine de définition de la fonction $\Gamma: x \mapsto \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} e^{-t} dt$. +b) Montrer que $x \mapsto \int_{0}^{+\infty} e^{-x^n t} g(t) dt$ est définie sur $\mathbb{R}^+$ pour toute fonction $g$ continue et intégrable sur $\mathbb{R}^+$ vérifiant $g(0) \neq 0$. +c) À l'aide du changement de variable $u=x^{1/n}t$, montrer que $f(x) \sim \frac{\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)}{nx^{n-1}}g(0)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1339] +Soit $\lambda \in ]-1,1[$. On cherche les fonctions $f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R},\mathbb{R})$ solutions de $(E): \forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = f(x) + f(\lambda x)$. +a) Déterminer les solutions de (E) qui sont développables en série entière. b) Déterminer les solutions de (E). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1340] +a) Déterminer les valeurs de $m \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$ pour lesquelles l'équation différentielle $xy'' + (x-4)y' - 3y = x^m$ admet au moins une solution polynomiale. + +b) Déterminer les solutions développables en série entière au voisinageqde 0 de l'équation différentielle xy'' + (x-4)y' - 3y = 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1341] +Soit $f: x \mapsto \int_{a}^{\pi/2} \cos(x \sin(t)) dt$. + +a) Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^2$ sur $\mathbb{R}$ et que, si $x \in \mathbb{R}$, xf''(x) + f'(x) + xf(x) = 0. +b) Trouver les solutions de l'équation différentielle xy'' + y' + xy = 0 qui sont développables en série entière sur $\mathbb{R}$. +c) Montrer que $f$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$. +d) En déduire la valeur de $\int_0^{\pi/2} \sin^n(t) dt$ pour tout entier naturel $n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1342] +On donne $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = \sqrt{\pi}$. Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ une fonction lipschitzienne. + +Soit $K:(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{+*}\mapsto \frac{1}{\sqrt{4\pi t}}e^{-\frac{x^2}{4t}}$ et $U:(x,t)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{+*}\mapsto \int_{\mathbb{R}}K(x-y,t)f(y)\mathrm{d}y$. + +a) Montrer que, pour tout $(x,t) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}^{+*}$, $\frac{\partial U}{\partial t}(x,t) = \frac{\partial^2 U}{\partial x^2}(x,t)$. +b) Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $U(x,t) \xrightarrow[t \to 0+]{} f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1343] +Soit $n \geq2$. Soient $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $Y \in \mathbb{R}^n$ fixé. Soit $\Phi : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, X \mapsto \langle X, AX - Y \rangle$. + +a) On suppose que n=2, $A=\begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 1/2 & 1 \end{pmatrix}$ et $Y=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Montrer que $\Phi$ a un unique point critique et déterminer si $\Phi$ admet un extremum local en celui-ci. +b) On revient au cas général. Montrer que $\Phi(X) \underset{\|X\| \to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$. + +Montrer que $\Phi$ admet un minimum et que celui-ci est atteint en un unique point. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1344] +a) Soit $z \in \C \setminus \mathbb{R}^-$. On écrit $z = x + iy = re^{i\theta}$ avec $(x,y) \in \mathbb{R}^2$, $r \in \mathbb{R}^{+*}$ et $\theta \in ]-\pi,\pi[$. + +Montrer que $\theta = 2 \arctan\left(\frac{y}{x + \sqrt{x^2 + y^2}}\right)$. La formule $\theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$ est-elle valable? + +b) On note $D=\mathbb{R}^2\backslash\{(x,0)\;,x\in\mathbb{R}^-\}$. Trouver les fonctions $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $D$ telles que, pour tout $u\in D$, $\langle u,\nabla(f)(u)\rangle=\frac{1}{\|u\|}$ pour la structure euclidienne de $\mathbb{R}^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1345] +Soit $f:(x,y)\mapsto (x-y)^3+6xy$. +a) La fonction $f$ admet elle des extrema globaux sur $\mathbb{R}^2$ ? +b) Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $D=\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\ ,\ x^2+y^2\leqslant 1\right\}$. Déterminer ces extrema. +c) Étudier les extrema locaux de $f$ sur $\mathbb{R}^2$. +#+end_exercice + + +** Géométrie + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1346] +On munit $\mathbb{R}^2$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $\eps = (\eps_1, \eps_2)$ la base canonique de $\mathbb{R}^2$. Soient $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ les disques fermés de centres $\omega_1$ et $\omega_2$ et de rayons $r_1 > 0$ et $r_2 > 0$. On pose $f: (u_1, u_2) \in \mathcal{D}_1 \times \mathcal{D}_2 \mapsto |\det_{\eps}(u_1, u_2)|$. +a) Montrer que $f$ admet un maximum. +b) Soit $(v_1, v_2)$ un point où $f$ atteint son maximum. Pour $i \in \{1, 2\}$, montrer que $v_i$ appartient au cercle de centre $\omega_i$ et de rayon $r_i$. +#+end_exercice + + +** Probabilités + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1347] +Pour $\lambda > 0$, soit $Y_{\lambda}$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. +a) Montrer qu'il existe $L_1, L_2 \in \mathbb{Z}[X]$ tels que, pour tout $\lambda > 0$, $\mathbf{E}(Y_{\lambda}) = L_1(\lambda)$ et $\mathbf{E}(Y_{\lambda}^2) = L_2(\lambda)$. +b) Soit $p \in \N^*$. Montrer qu'il existe $L_p \in \mathbb{Z}[X]$ tel que $\forall \lambda > 0$, $\mathbf{E}(Y_{\lambda}^p) = L_p(\lambda)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1348] +On dispose de $N$ pièces qui ont toutes pour probabilité $p \in ]0,1[$ de tomber sur Pile. Au premier tour, on lance toutes les pièces et on ne conserve que les pièces qui sont tombées sur Pile pour le tour suivant. On recommence ainsi l'expérience : on lance au tour $n$ toutes les pièces tombées sur Pile au tour $n$-1. On note $X_n$ le nombre de Pile obtenus au $n$-ième tour. On note $U_n = (\mathbf{P}(X_n = 0) \cdots \mathbf{P}(X_n = N))^T$. Déterminer une matrice $A$ telle que, pour tout $n$, $U_{n+1} = AU_n$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Exprimer $U_n$ en fonction de $A$ et de $U_0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1349] +On effectue une infinité de lancers identiques et indépendants d'une pièce. La probabilité d'obtenir Pile est $p \in ]0,1[$. On note $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de Face avant l'apparition du deuxième Pile. +a) Donner la loi de Y. +b) Montrer que $Y$ est d'espérance finie, la calculer. +c) Soit $k \in \N^*$. On note $Y_k$ la variable aléatoire donnant le nombre de Face avant l'apparition du $k$-ème Pile. Déterminer la loi de $Y_k$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1350] +Soit $p \in ]0,1[$. On considère une pièce qui tombe sur Pile avec une probabilité $p$. On lance la pièce jusqu'à obtenir Pile pour la première fois. On note $N$ le nombre de lancers. On lance ensuite $N$ fois la pièce et on note $X$ le nombre de Pile obtenus lors de cette deuxième série de lancers. +a) Déterminer la loi de $N$, la loi du couple (N, X), puis celle de $X$. +b) Soit $\lambda \in ]0,1[$. Soient $U$ et $V$ deux variables aléatoires indépendantes telles que $U \sim \mathcal{B}(\lambda)$ et $V \sim \mathcal{G}(\lambda)$. À quelle condition (portant sur $\lambda$ ) a-t-on $X \sim UV$ ? +c) Quelle est l'espérance de X? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1351] +On lance deux pièces équilibrées $n$ fois. On note $A_n$ l'événement « on obtient autant de Pile que de Face après le $n$-ème lancer ». On note $p_n = \mathbf{P}(A_n)$. +a) Montrer que $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$.- b) Déterminer $p_n$. +c) Déterminer le rayon de convergence et le domaine de définition de $\sum p_n x^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1352] +Soit $p \in \N$. On dispose de p+1 urnes numérotées de 0 à $p$ contenant des boules rouges et blanches. La proportion de boules rouges de l'urne numéro $j$ est $\frac{j}{p}$. On choisit au hasard une urne, on effectue $n$ tirages avec remise dans cette urne et l'on note $X_n$ le nombre de boules rouges piochées. +a) Loi et espérance de $X_n$. +b) Pour $k \in \db{0,n}$, calculer $\lim_{p \to +\infty} \mathbf{P}(X_n = k)$. Commenter. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale PC # 1353] +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{G}(p)$. On pose $M = \begin{pmatrix} X & Y \\ Y & X \end{pmatrix}$. +a) Donner $\mathbf{E}(\operatorname{rg}(M))$. +b) Déterminer l'espérance et la variance de la plus grande valeur propre de $M$. +#+end_exercice + + +* Autres Écoles - MP + +** Algèbre + +#+begin_exercice [IMT # 1354] +Soient a et $n$ deux entiers supérieurs ou égaux à a. Montrer que si $a^n 1$ est premier, alors a = 2 et $n$ est un nombre premier. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1355] +Résoudre l'équation $x^2 + x + \overline{1} = \overline{0}$ dans $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ et dans $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1356] +Soit $A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = 0$ et $A \neq 0$. + +Montrer que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1357] +a) Soient $n \in \N^*$, $u, v \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ nilpotents et non nuls tels que $u \circ v = v \circ u$. Montrer que $\operatorname{rg}(u \circ v) < \operatorname{rg}(v)$. +b) Soient $u_1, \ldots, u_n \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^n)$ nilpotents et commutant deux à deux. + +Montrer que $u_1 \circ \cdots \circ u_n = 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1358] +Soit $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $M^2 + M = J$ où $J = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. +a) Déterminer les valeurs propres de $J$. En déduire les valeurs propres éventuelles de $M$. +b) Trouver un polynôme annulateur de $M$. Montrer que $M$ est diagonalisable. +c) Déterminer les matrices $M$ solutions. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1359] +Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $(a,b,c,d) \in \mathbb{R}^4$ pour que + +la matrice $\begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 2 & c \\ 0 & 0 & d \end{pmatrix}$ soit diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1360] +Pour tout +$c \in \mathbb{R}$ +, on considère la matrice $A(c) = \begin{pmatrix} -c & 1 & -1 \\ 1 & 1-c & 1 \\ -1 & -1 & -c \end{pmatrix}$. + +a) La matrice A(c) est-elle diagonalisable? +b) Trouver $P \in GL_3(\mathbb{R})$ telle que la matrice $P^{-1}A(c)P$ soit triangulaire supérieure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1361] +Soient +$a > 0$ + et $A = \begin{pmatrix} 0 & -a & a^2 \\ 1 & 0 & -a \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $u = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. + +a) Calculer Au. Que peut-on en déduire b) Calculer det(A). La matrice $A$ est-elle inversible? +c) Déterminer le spectre réel de A. +d) Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1362] +Déterminer les valeurs propres de +$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & \cdots & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & & \vdots \\ 1 & 0 & \cdots & & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1363] +Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Déterminer les valeurs propres + +de A, ainsi que la dimension de ses sous-espaces propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1364] +Soit $n \geq2$. Soit $A = (a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \mathcal{M}_n(\C)$ avec $a_{i,j} = -1$ si $i > j, a_{i,j} = 1$ si $i$ < $j$ et $a_{i,i} = 0$. Soit $J \in \mathcal{M}_n(\C)$ dont tous les coefficients sont égaux à 1. +a) Soit $\lambda \in \C$. Montrer que : $P: x \mapsto \det(\lambda I_n A xJ)$ est polynomiale de degré au plus 1. +b) En déduire $\chi_A$. +c) Étudier la diagonalisabilité de A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1365] +Soient $n \in \N^*$ et $A, B \in \mathbb{R}_n[X]$ non nuls. On considère l'application $f$ qui à $P \in \mathbb{R}_n[X]$ associe le reste de la division euclidienne de AP par $B$. +a) Montrer que $f$ est un endomorphisme. Est-ce un automorphisme? +b) On note $p$ le degré de $B$ et $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ ses racines. + - i) Montrer que 0 est valeur propre de $f$. + - ii) Soit $\alpha \in \mathbb{R}^*$ une valeur propre de $f$. Montrer qu'il existe $i \in [1, p]$ tel que $A(\lambda_i) = \alpha$.iii) L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1366] +Soit +$$A=\begin{pmatrix}1&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&1\end{pmatrix}$$ + . Pour quels réels $a$ la suite $(a^nA^n)_{n\in\N}$ converge-telle? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1367] +Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $\alpha \neq 0$. Soient $f, g \in \mathcal{L}(E)$ telles que $f \circ g g \circ f = \alpha f$. +a) Donner une expression simple de $f^n \circ g g \circ f^n$. +b) En s'intéressant à $h\mapsto h\circ g-g\circ h$, montrer que $f$ est nilpotente. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1368] +Soit $A = \left(\frac{i}{j}\right)_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. + +a) La matrice $A$ est-elle inversible? +b) Trouver un polynôme annulateur de A. +c) Montrer que $A$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres. +d) Donner les sous-espaces propres de A. +e) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ commutant avec A. Montrer que $\operatorname{Ker}(A)$ et $\operatorname{Im}(A)$ sont stables par $M$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1369] +Soient $E = \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, $A, B \in E \setminus \{0\}$ et $f : M \in E \mapsto \operatorname{Tr}(AM)B$. + +a) Quels sont les éléments propres de f? L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? +b) On note $C = \{k \in \mathbb{R}^+ : \forall M \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}), \operatorname{Tr}(f(M)^2) \leq k \operatorname{Tr}(M^2)\}$. Montrer que $C \neq \emptyset$ et déterminer son minimum. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1370] +Soit $f \in \mathcal{L}(\C^n)$. +a) On suppose que $f^2$ est inversible et diagonalisable. À l'aide d'un polynôme annulateur de $f$, montrer que $f$ est diagonalisable. +b) On suppose que $f^2$ n'est plus inversible, que $f^2$ est diagonalisable et que $\operatorname{Ker} f = \operatorname{Ker} f^2$. Montrer que $f$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1371] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ de rang 1. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $tr(A) \neq 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1372] +Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ vérifiant $f^3 + f = 0$ et $f \neq 0$. +a) Montrer que $\mathbb{R}^3 = \operatorname{Ker} f \oplus \operatorname{Ker} (f^2 + \operatorname{id})$. +b) Soit $x \in \text{Ker}(f^2 + \text{id})$ non nul. Montrer que (x, f(x)) est libre. +c) Montrer qu'il existe une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. +d) Construire $u \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $u^2 = f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1373] +Donner toutes les matrices $M$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $M^5=M^2$ et $\mathrm{Tr}(M)=n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Dauphine # 1374] +Soient +$$a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{K}$$ + et la matrice $A = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_1 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n-1} \\ a_1 & \cdots & a_{n-1} & a_n \end{pmatrix}$. + +On suppose $a_1$ et $a_n$ non nuls. + +a) Pour $\mathbb{K} = \mathbb{R}$, montrer que $A$ est diagonalisable et trouver ses valeurs propres. +b) Pour $\mathbb{K}=\C$, justifier que $A$ n'est pas toujours diagonalisable avec un contre-exemple pour n=2. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1375] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice d'un projecteur de rang $p \in [1, n]$. + +On pose +$$B = \begin{pmatrix} A & 0 \\ A & -A \end{pmatrix}$$ + +a) La matrice $B$ est-elle diagonalisable? Ind. On pourra calculer $B^3$. +${\it b}$ ) Calculer les sous-espaces propres éventuels de $B$ et donner leur dimension en fonction de $n$ et $p$ - +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1376] +On munit l'espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire canonique. + +Calculer la distance de la matrice $M=(1)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ à l'espace $F$ des matrices de trace nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1377] +On munit +$$\mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$$ + du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)\mathrm{d}t$. On pose $e_1:t\mapsto 1,\,e_2:t\mapsto t$ et $F=\mathrm{Vect}(e_1,e_2)$. Calculer la distance de $\Phi:t\mapsto t^2$ à l'espace $F$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1378] +Soient $p, q \in \N^*$ et $M \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{R})$. +a) Montrer que, pour tout $\lambda \neq 0, \lambda \in \operatorname{Sp}(MM^T) \iff \lambda \in \operatorname{Sp}(M^TM)$. +b) Montrer que, pour $\lambda \neq 0$, les dimensions des espaces propres de $MM^T$ et $M^TM$ sont les mêmes. +c) Relier les polynômes caractéristiques de $MM^T$ et de $M^TM$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1379] +On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de son produit scalaire canonique. +a) Montrer que $S_n(\mathbb{R})$ et $A_n(\mathbb{R})$ sont supplémentaires orthogonaux + +b) Déterminer la distance de +$$M=\begin{pmatrix}0&2&1\\2&0&2\\-1&-1&0\end{pmatrix}$$ + à $\mathcal{S}_3(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1380] +On munit $\mathbb{R}^n$ de son produit scalaire canonique, et on fixe $v \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$. +a) On pose $H_v = I_n 2 \frac{v^T v}{\|v\|^2}$. Montrer que $H_v \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$. +b) Quelle est la nature de l'endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ canoniquement associé à $H_v$ ? +c) Soient $x, y \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}$ tels que ||x|| = ||y||. +i) Montrer que les vecteurs $x$ y et $x$ + y sont orthogonaux. +ii) Montrer qu'il existe $V \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ telle que Vx = y. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1381] +Soit $E$ l'espace des fonctions continues et $2\pi$ -périodiques de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$.- a) Montrer que l'application qui à $(f,g) \in E^2$ associe $\langle f,g \rangle = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} fg$ définit un produit scalaire sur $E$. +b) Déterminer le projeté orthogonal de $x \mapsto \sin^2(x)$ sur $\text{Vect}(x \mapsto \cos(x), x \mapsto \cos(2x))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1382] +On munit $E = \mathbb{R}^n$ du produit scalaire canonique $\langle , \rangle$. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On note $u$ l'endomorphisme de $\mathbb{R}^n$ canoniquement associé à $A$ et $w$ celui associé à $A^T$. +a) Montrer que : $\forall x, y \in E, \langle u(x), y \rangle = \langle x, w(y) \rangle$. +b) Montrer que, si un sous-espace $F$ est stable par $u$, alors $F^{\perp}$ est stable par $w$. +c) On choisit ici $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$. + - i) Calculer $\chi_A$. Les matrices $A^T$ et $A$ sont-elles diagonalisables dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ ? + - ii) Déterminer les sous-espaces stables par $u$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1383] +Soit $n \geq2$. Soit $F : (A, B) \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})^2 \mapsto \operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B) \operatorname{tr}(AB)$. On note $E_{i,j}$, pour $1 \le i,j \le n$, les matrices élémentaires de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +a) Calculer $\operatorname{tr}(E_{i,j}A)$ pour toute $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et tout $(i,j) \in [1,n]^2$. +b) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que $\forall M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), F(A, M) = 0$. Montrer que $A$ = 0. +c) Soit $u$ un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que, si $v: \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \to \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est telle que : $\forall A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, F(u(A), B) = F(A, v(B)), alors $v$ est linéaire. +d) L'application $F$ définit-elle un produit scalaire? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1384] +Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $A^2 = A^T$ avec $A \neq 0$. +a) Trouver un polynôme annulateur non nul de A. +b) Lorsque $0 \in \operatorname{Sp}(A)$, trouver $\operatorname{Sp}(A)$ et montrer que $A$ est orthogonalement semblable à la matrice $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1385] +Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq2$ et $f \in \mathcal{S}(E)$. On note a (resp. b) la plus petite (resp. la plus grande) valeur propre de $f$. +a) Montrer que $a ||x||^2 \le \langle f(x), x \rangle \le b ||x||^2$ pour tout $x \in E$. +b) Soit $r \in \mathbb{R}^+$ tel que, pour tout $x \in E$, $\langle f(x), x \rangle \leqslant r ||x||^2$. Montrer que $b \leqslant r$. +c) Soit $k \in \mathbb{R}$. On note $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ la matrice définie par $a_{i,i} = k$, $a_{i,j} = 1$ si $i = j \pm 1$, $a_{i,j} = 0$ sinon. Montrer que la plus grande valeur propre de $A$ est inférieure ou égale à $k$ + 2. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1386] +Soient $E$ un espace euclidien et $a,b\in E$ unitaires et non colinéaires. On considère $\phi:x\mapsto \langle a,x\rangle\,a+\langle b,x\rangle\,b$. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme autoadjoint et donner ses éléments propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1387] +Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n \geq3$ et deux vecteurs a, $b$ de $E$ non colinéaires. On considère l'endomorphisme $f: x \in E \mapsto \langle a, x \rangle \ a + \langle b, x \rangle \ b$. Déterminer $\operatorname{Ker}(f)$ et $\operatorname{Im}(f)$ puis montrer que $f$ est autoadjoint. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1388] +Soient $M, N \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Montrer que : $0 \leq \operatorname{tr}(MN) \leq (\operatorname{tr} M)(\operatorname{tr} N)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1389] +On munit $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ du produit scalaire usuel. Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, de polynôme caractéristique noté $\chi_A$. Montrer qu'il existe $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{R}$ tels que $\chi_A=\prod (X-\lambda_k)$ et + +que $||A||^2 = \sum_{k=1}^n \lambda_k^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1390] +Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $F$ un sous-espace de dimension $r \in [1, n-1]$. Soit $p$ le projecteur orthogonal sur $F$. On note $\mathcal{C} = \{f \in \mathcal{S}(E), p \circ f = f \circ p\}$. + +a) Soit $f \in \mathcal{S}(E)$. Montrer que $f \in \mathcal{C}$ si et seulement si $f(F) \subset F$. +b) Soit $f \in S^+(E)$. Montrer que $f^2 = p$ si et seulement si $f$ = $p$. +#+end_exercice + + +** Analyse + +#+begin_exercice [CCINP # 1391] +On note +$E=\C[X]$ + et, pour $P=\sum_{k\geq 0}a_kX^k$, $\|P\|=\sup_{k\geq 0}|a_k|$. + +a) Montrer que $\| \|$ est une norme de $E$. +b) Soit $b \in \C$. On souhaite étudier la continuité de l'application $f: P \in E \mapsto P(b) \in \C$. i) Montrer que, si |b| < 1, alors $f$ est continue. + - ii) Étudier la continuité de $f$ lorsque |b|=1 à l'aide des polynômes $P_n=\sum_{k=0}^n \overline{b}^k X^k$. + - iii) Montrer que, si |b| > 1, alors $f$ n'est pas continue. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1392] +On munit $E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ la norme $\|\cdot\|_{\infty}$. + +Si $f \in E$, on pose $u(f): x \in [0,1] \mapsto \int_0^1 \inf(x,t) f(t) dt$. Montrer que $u$ est un endomorphisme continu et calculer sa norme subordonnée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1393] +Soient $(u_n)_{n\geq 0}, (v_n)_{n\geq 0}, (w_n)_{n\geq 0}$ trois suites complexes. On suppose que, pour tout $n\in \N$, $\begin{cases} u_{n+1}=2u_n+v_n+w_n\\ v_{n+1}=u_n-v_n+w_n\\ w_{n+1}=u_n+v_n-w_n \end{cases}$. + +Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(u_0, v_0, w_0)$ pour que les trois suites convergent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1394] +Soient $a, b, c \in \mathbb{R}$. Pour $n \in \N^*$, on pose $u_n = a \ln(n) + b \ln(n+1) + c \ln(n+2)$. À quelles conditions sur a, $b$, $c$ la série $\sum u_n$ converge-t-elle? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1395] +On pose, pour $n \geq 3$, $u_n = \ln\left(\frac{n^4 2n^3 + 2n 1}{n^4 2n^3}\right)$. Étudier la nature de la série de terme général $u_n$ et calculer sa somme en cas de convergence. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1396] +Soit $\sigma: \N \to \N$ telle que $\sigma(3n) = 4n$, $\sigma(3n+1) = 4n+2$ et $\sigma(3n+2) = 2n+1$ pour tout $n \in \N$. +a) Montrer que $\sigma$ est bijective. b) On pose $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$ et $v_n = u_{\sigma(n)}$ pour tout $n \geq1$. Montrer que les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont convergentes, et calculer leurs sommes. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1397] +a) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\frac{1}{X^2(X+1)}$. + +b) Pour tout $n \in \N^*$, on pose : $u_n = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. + - i) Déterminer la nature de la série de terme général $u_n$. + - ii) Déterminer la nature de la série de terme général $u_n \frac{1}{n}$. iii) Déterminer la nature de la série de terme général $(n\,u_n-1)$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1398] +On considère la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_0\in ]0,\pi/2[$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} = \sin(u_n)$. +a) Montrer que la suite $(u_n)$ converge et donner sa limite. +b) Étudier la nature de la série $\sum (u_{n+1} u_n)$. En déduire la nature de la série $\sum u_n^3$. c) Étudier la nature de la série $\sum \ln \left( \frac{u_{n+1}}{u} \right)$. En déduire la nature de la série $\sum u_n^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1399] +On se donne deux réels $\alpha$ et $\beta$ vérifiant $0 < \beta \le 1 < \alpha$. +On pose, pour $n \in \N^*$, $R_n = \sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}$, $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{\beta}}$ et $\mu_n = \frac{R_n}{S_n}$. +a) Montrer que $R_n$ est définie +b) Donner un équivalent de $R_n$ puis de $S_n$. Étudier la nature des séries $\sum \mu_n$ et $\sum (-1)^n \mu_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1400] +Soient $\alpha \geq 0$ et, pour $n \in \N^*$, $u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+k)^{\alpha}}$. +a) Étudier la convergence de $(u_n)$ en fonction de $\alpha$. +b) Étudier la convergence de $\sum u_n$ en fonction de $\alpha$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1401] +Soit $f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ telle que, pour tout $n \in \N$, $\int_0^1 f(t) \, t^n \, \mathrm{d}t = 0$. Rappeler le théorème de Weierstrass. Prouver que $f$ est nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Dauphine # 1402] +Soit $f:[0,\pi]\to\mathbb{R}$ une fonction continue. + +Montrer que $\lim_{n \to +\infty} \int_0^{\pi} f(t) |\sin(nt)| dt = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(t) dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1403] +Soient $f,g \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) g\left(\frac{k}{n}\right)$ + +et $T_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right) g\left(\frac{k+1}{n}\right)$. +Déterminer les limites de $(S_n)$ et $(T_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1404] +Justifier la convergence de +$$\int_0^{+\infty} \frac{e^{-t}}{\sqrt{t+x}} dt$$ + pour $x \geq0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1404] +sustiner to convergence de +$$\int_0^\infty \sqrt{t+x} \, dx \, pour \, x \geq 0$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1405] +On pose $I = \int_0^{+\infty} \frac{t \sin(t)}{t^2 + 1} dt$. +a) Justifier l'existence de $I$. On pose, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $J(x) = \int_0^x \frac{t |\sin(t)|}{t^2 + 1} dt$. + +b) Montrer que, pour tout +$n \in \N^*$ +, $J(n\pi) = \sum_{k=0}^{n-1} \int_0^{\pi} \frac{(u+k\pi)\sin(u)}{(u+k\pi)^2+1} du$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1406] +Soit +$$f \in \mathcal{C}^1(]0,1], \mathbb{R}$$ +) telle que $|f'(t)| \underset{t \to 0^+}{\sim} \frac{1}{t^{3/2}}$. + +Déterminer un équivalent en +$0^+$ + de $F: x \mapsto \int_0^1 |f'(t)| dt$. + +a) Déterminer un équivalent en +$0^+$ + de $F: x \mapsto \int_x^1 |f'(t)| dt$. +b) En déduire que $x f(x) \underset{x \to 0^+}{\longrightarrow} 0$. + +Montrer qua +$$\int_{-1}^{1} f(t) dt$$ + converge + +c) L'intégrale $I$ est-elle absolument convergente? + +c) Montrer que +$$\int_{-1}^{1} f(t) dt$$ + converge. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1407] +Soit $f: x \in [0,1] \mapsto 2x(1-x)$. Pour $n \in \N^*$, soit $f_n = f \circ \cdots \circ f$ ( $n$ fois). + +a) Montrer que $(f_n)$ converge simplement sur [0,1] vers une fonction $g$ que l'on précisera. +La convergence est-elle uniforme? +b) Soit $a \in [0, 1/2]$. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $[a, 1-a]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1408] +On pose, pour +$x \in \mathbb{R}$ +, $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{n} \cos^n(x)$. + +a) Montrer que $f$ est définie sur $\mathbb{R}$. +b) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0, \pi[$ puis calculer f'. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1409] +Soit $f: x \mapsto \sum_{h=0}^{+\infty} \frac{1}{\sinh(nx)}$. Domaine de définition de $f$ ? Équivalent en $0^+$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1410] +On pose $f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-x\sqrt{n}}$. + +a) Déterminer les domaines de définition et de continuité de +$f$. + +b) Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. +c) Déterminer un équivalent de f(x) quand $x \to 0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1411] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n-1}}{2n-1}$. Déterminer le rayon de convergence de $f$. + +Calculer +$$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{t^{2n-1}}{2n-1}$$ + et en déduire $f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1412] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n!)^2}{(2n+1)!} x^n$. + +a) Déterminer le rayon de convergence +$R$ + de $f$. +b) Donner une expression de $f(x)$ pour $x \in ]-R, R[$. + +Ind. Utiliser $I(p,q) = \int_0^1 t^p (1-t)^q dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1413] +On pose +$$a_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n(t) dt$$ + pour tout $n \geq0$. + +a) Étudier la convergence de la suite $(a_n)_{n\geq 0}$. +b) Calculer $a_n + a_{n+2}$ pour tout $n \geq2$. +c) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$. On note $f$ sa somme. +d) La fonction $f$ admet-elle une limite en $1^-$ ? e) Expliciter $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1414] +Pour tout $n \in \N^*$, on pose : $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Déterminer le rayon de convergence + +de +$$f: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} H_n x^n$$ + et donner une expression de $f(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1415] +Pour tout $n \geq1$, on pose $a_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{ch}(t)^n}$. +a) Montrer que les $a_n$ sont bien définis. +b) Étudier la convergence de la suite $(a_n)_{n \geq1}$. c) Quelle est la nature de la série $\sum (-1)^n a_n$ ? +d) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1416] +Soit $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} \cos(xt^2) e^{-t} dt$. +a) Montrer que $F$ est de classe $C^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$. Calculer $F^{(k)}(0)$. +b) La fonction $F$ est-elle développable en série entière en 0? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1417] +Soit, pour $n \in \N$, $I_n = \int_0^e (\ln t)^n dt$. +a) Déterminer la limite de $(I_n)$. +b) Montrer que, pour tout $n \in \N$, $I_{n+1} = e (n+1)I_n$. En déduire un équivalent de $I_n$.- c) Donner un développement asymptotique à deux termes de $I_n$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1418] +a) Montrer que l'intégrale $I_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(1+t^4)^n}$ est convergente pour tout $n \in \N^*$. +b) Étudier la monotonie de la suite $(I_n)$ et montrer qu'elle converge. +c) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $I_{n+1} = \frac{4n-1}{4n}I_n$. +d) Étudier la convergence de la série $\sum \ln \left(\frac{4n-1}{4n}\right)$. En déduire la limite de $I_n$. +e) On pose, pour $n \in \N^*$ et $x \geq0$, $f_n(x) = \frac{x}{(1+x^4)^n}$. + +Étudier la convergence simple de la suite $(f_n)$ sur $\mathbb{R}^+$. $Y$ a-t-il convergence uniforme? + +f) Déterminer la limite de la suite $(I_n)$ à l'aide du théorème de convergence dominée. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1419] +Soit $\alpha > 1$. Pour tout $n \in \N^*$, on pose : $I_n(\alpha) = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{(1+t^\alpha)^n}$. +a) Vérifier la convergence de l'intégrale $I_n(\alpha)$. b) Montrer la suite $(I_n(\alpha))_{n\geq 1}$ est convergente et préciser sa limite. +c) Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}^{n}(-1)^{n-1}I_n(\alpha)$ est une série convergente et exprimer sa somme sous forme intégrale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1420] +Soit, pour $n \in \N^*$, $I_n = \int_0^{\pi/2} \frac{\sin^2(nx)}{\sin^2(x)} dx$. + +Justifier l'existence de $I_n$. Montrer que $I_n \sim n \int_0^{+\infty} \frac{\sin^2(u)}{u^2} du$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1421] +Soit, pour $n \in \N$, $I_n = \int_0^1 \frac{1}{1+t^n} dt$. Déterminer la limite de $(I_n)$, puis un développement asymptotique à deux termes de $I_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1422] +Montrer que $\int_0^{+\infty} \frac{x}{e^{2x} e^{-x}} dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{(3n+2)^2}$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1423] +On admet que $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2} dt = \sqrt{2\pi}$. +a) Existence et calcul de l'intégrale $\int_{\mathbb{D}} t^{2n} e^{-t^2} dt$ pour tout $n \in \N$. +b) Existence et calcul de l'intégrale $\int_{\mathbb{T}} \cos(tz) e^{-t^2} dt$ pour tout $z \in \C$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1424] +Pour $x \in \mathbb{R}$, on pose $f_x : t \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{\operatorname{sh}(xt)}{\operatorname{sh}(t)}$.- a) Déterminer l'ensemble $D$ des réels $x$ pour lesquels l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} f_{x}(t) dt$ converge. +b) Montrer l'égalité $\int_0^{+\infty} f_x(t) dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2x}{(2n+1)^2 x^2}$ pour tout $x \in D$. +c) Trouver un équivalent de la somme quand $x \to 1^-$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1425] +On pose, pour $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = e^{\frac{x^2}{2}} \int_0^x e^{-\frac{t^2}{2}} dt$. +a) Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ et trouver une équation différentielle vérifiée par $f$. +$\boldsymbol{b}$ ) Montrer que $f$ est développable en série entière et donner son développement. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1426] +a) Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrer que $t \mapsto e^{-t^2} \operatorname{ch}(xt)$ est intégrable sur $[0, +\infty[$. +b) La fonction $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \operatorname{ch}(xt) dt$ est-elle de classe $\mathcal{C}^1$ ? +c) On admettra que $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2/2} \, \mathrm{d}t = \sqrt{2\pi}$. Établir une équation différentielle vérifiée par $F$. Donner une expression simple de $F$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1427] +On admettra que $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2/2} dt = \sqrt{2\pi}$. Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t^2} \cos(tx) dt$. Préciser le domaine de définition de $f$ et exprimer $f$ à l'aide d'une équation différentielle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1428] +Soit $\eta: x \in ]-1, +\infty[ \mapsto \int_0^1 (1-t^2)^x dt$. Montrer que $\eta$ est bien définie et de classe $\mathcal{C}^1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1429] +Soit $F: x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t} \frac{\sin(xt)}{t} dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et l'exprimer à l'aide des fonctions usuelles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1430] +Soient $E = \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, $\mathcal{P}$ (resp. $\mathcal{I}$ ) le sous-espace des fonctions paires (resp. impaires) de $E$. +a) Montrer que $E = \mathcal{P} \oplus \mathcal{I}$. +b) Déterminer les $f \in E$ telles que $\forall x \in \mathbb{R}$, $f''(x) + f(-x) = x + \cos(x)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1431] +On considère l'équation différentielle $xy' + y = \frac{e^{-1/x^2}}{x^3}$. +a) Résoudre cette équation sur $\mathbb{R}^*$ puis sur $\mathbb{R}$. +b) Donner un développement limité d'une solution de l'équation différentielle à l'ordre 3 au voisinageqde 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1432] +a) Soit $f$ une fonction de $\mathbb{R}^2$ vers $\mathbb{R}$. +i) Donner, en utilisant des quantificateurs, la définition de la continuité de $f$ en (0,0). +ii) Donner la définition de « $f$ différentiable en (0,0) ».- b) On considère $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ définie par $f(x,y) = \begin{cases} xy \frac{x^2 y^2}{x^2 + y^2} & \text{si } (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & \text{sinon.} \end{cases}$ +i) Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^2$. +ii) Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1433] +Soit $f:[a,b] \to E$ où $E$ est un espace euclidien et $a,b \in \mathbb{R}$ vérifient a < $b$. On suppose $f$ continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. + +Montrer qu'il existe $c \in ]a, b[$ tel que $||f(b) - f(a)|| \le ||f'(c)||(b - a)$. Ind. On pourra introduire $\phi : t \mapsto \langle f(t), f(b) - f(a) \rangle$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1434] +Soient $K = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2, \ x,y \geq0 \text{ et } 0 \le x+y \le 1\} \text{ et } f:(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mapsto xy(1-x-y)$. Montrer que $f$ atteint un maximum et un minimum sur $K$ et les déterminer. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1435] +On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $u \in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n)$ et $f$, $g$ définies sur $\mathbb{R}^n$ par : $\forall x \in \mathbb{R}^n$, $f(x) = \langle u(x), x \rangle$ et $g(x) = ||x||^2 1$. +a) On pose $K = g^{-1}\{0\}$. Montrer que $K$ est compact. +b) Montrer que $f_{|K}$ admet un maximum en $a \in K$. +c) Montrer que $g$ est différentiable et calculer sa différentielle et son gradient en tout point. +d) Montrer que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle et son gradient en tout point. +e) Montrer que a est un vecteur propre de $u$. +#+end_exercice + + +** Probabilités + +#+begin_exercice [IMT # 1436] +Est-il possible de truquer deux dés à six faces de sorte que la somme obtenue pour un double lancer suive une loi uniforme? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1437] +Une urne contient a boules blanches et $b$ boules noires. On tire simultanément $n$ boules et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues. Donner la loi de $X$. Calculer son espérance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1438] +Lors d'une compétition de saut en hauteur, un participant saute à plusieurs reprises et, à l'instant $n$, a une chance sur $n$ de réussir son saut. S'il chute, la compétition s'arrête pour lui. On note $X$ le nombre de sauts réussis. Quelle est la loi de X? Existence et valeur de $\mathbf{E}(X)$ et de $\mathbf{V}(X)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1439] +On considère une pièce ayant une probabilité $p \in ]0,1[$ d'obtenir pile et un dé équilibré à 6 faces. On note $N$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pile, puis on lance $N$ fois le dé. Quelle est la probabilité d'obtenir un unique 6 parmi les $N$ lancers? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1440] +Soit $S$ la somme de $N$ dés équilibrés à 6 faces, où $N$ suit la loi uniforme sur $\db{1,52}$. Déterminer la probabilité des événements (S=1), (S=2), (S=3). Calculer l'espérance de $S$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1441] +On joue des parties indépendantes d'un jeu où la probabilité de gagner est de $\frac{2}{3}$. Soit $A_n$ l'événement « les parties $n$ et n+1 sont gagnées, mais ce sont les premières à être gagnées consécutivement ». On note $p_n = \mathbf{P}(A_n)$. + +a) Calculer $p_1$ et $p_2$. +b) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $p_{n+2} = \frac{1}{3}p_{n+1} + \frac{2}{9}p_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1442] +On dispose de $N$ coffres. Avec probabilité $p$, on place dans l'un des coffres un trésor (le choix du coffre est effectué sous loi uniforme). Quelle est la probabilité que le $N$-ième coffre contienne un trésor sachant que les $N$-1 autres coffres sont vides? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1443] +Soient $n, N \in \N \setminus \{0, 1\}$. On considère $N$ clients et $n$ fournisseurs. Chaque client peut choisir individuellement un fournisseur. On note $X_i$ le nombre de clients ayant choisi le fournisseur numéro $i$. +a) Pour tout $i \in [1, n]$, déterminer la loi, l'espérance et la variance de $X_i$. +b) On pose $Y = \left(\sum_{i=1}^{n} X_i\right)^2$. Exprimer $\mathbf{E}(Y)$ de deux manières. +c) Calculer $\mathbf{E}(X_iX_j)$ et $\mathbf{Cov}(X_i,X_j)$ pour $(i,j) \in [1,n]^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1444] +Soient $X$ et $Y$ indépendantes de loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$. Calculer la loi de S=X+Y. Déterminer la loi de $X$ sachant (S=n). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1445] +Soit $(X_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$ une famille de variables aléatoires $i$.i.d. de loi géométrique de paramètre $p \in ]0,1[$. On pose $X=\min(X_1,\ldots,X_n)$. Calculer $\mathbf{P}(X\geq k)$, en déduire la loi de $X$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1446] +Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\N^2$, dont la loi est donnée par $\mathbf{P}((X,Y)=(j,k))=\frac{j+k}{e^{2j+k}j!k!}$ pour tout $(j,k)\in\N^2$. Calculer $\mathbf{E}\left(2^{X+Y}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1447] +Soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes suivant la loi géométrique de para- +mètre $p \in ]0,1[$. On pose D=X-Y et $I=\min(X,Y)$. a) Rappeler l'espérance et la variance de $X$. +b) Déterminer la loi conjointe de (D, I). +c) Préciser les lois de $D$ et $I$. Sont-elles indépendantes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1448] +Soit $(X_k)_{k\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de lois données par $\mathbf{P}(X_k=-k^\lambda)=\mathbf{P}(X_k=k^\lambda)=\frac{1}{2}$, où $\lambda\in ]0,1/2[$. +Pour $n\in\N^*$, on définit $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$ et $Y_n=\frac{S_n-\mathbf{E}(S_n)}{n}$. +a) Déterminer $\mathbf{E}(S_n)$ et $\mathbf{V}(S_n)$. +b) Donner un équivalent de $u_n = \sum_{n=1}^{n} k^{\alpha}$, où $\alpha > 0$.c) Énoncer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev et déterminer $\lim_{n \to +\infty} \mathbf{P}(|Y_n| > \alpha)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ISUP # 1449] +Soit $X$ une variable aléatoire réelle d'espérance nulle et d'écart-type $\sigma$. Montrer que, pour tous $\lambda, \mu > 0$, $\mathbf{P}(X \geq \lambda) \leqslant \frac{\sigma^2 + \mu^2}{(\lambda + \mu)^2}$ et $\mathbf{P}(X \geq \lambda) \leqslant \frac{\sigma^2}{\lambda^2 + \sigma^2}$. +#+end_exercice + + +* Autres Écoles - PSI + +** Algèbre + +#+begin_exercice [IMT # 1450] +Soit le polynôme $P(X) = X^4 + \alpha X^3 + \beta X - 16$, avec $\alpha, \beta \in \C$. Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ pour lesquelles le polynôme $P$ admet une racine triple. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1451] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Soit $D_A = \{M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}), M^T + M = \text{Tr}(M)A\}$. Caractériser le sous-espace $D_A$ et déterminer sa dimension. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1452] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $A^2 = B^2 = I_n$ et AB = -BA. + +a) Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles et diagonalisables. +b) Montrer que $n$ est pair, puis que $A$ et $B$ sont semblables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1453] +Soit $A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Pour $x\in\mathbb{R}$, on pose $A(x)=(a_{i,j}+x)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$. On note $D(x)=\det(A(x))$. + +a) On donne $A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$. Calculer D(x). +b) Montrer que D(x) est un polynôme en $x$ de degré au plus 1. +c) Dans le cas où $a_{i,i} = a$, $a_{i,j} = b$ pour $i$ > $j$ et $c$ pour $i$ < $j$, calculer det(A). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENSEA # 1454] +On souhaite déterminer les suites $(a_n)_{n\in\N}$, $(b_n)_{n\in\N}$ et $(c_n)_{n\in\N}$ vérifiant la relation de récurrence suivante : $\begin{cases} a_{n+1} = 3 \ a_n + b_n \\ b_{n+1} = 3 \ b_n + c_n \\ c_{n+1} = 3 \ c_n \end{cases}$ +a) Écrire le système sous la forme $X_{n+1} = AX_n$. En déduire $X_n$ en fonction de $A$ et de $X_0$. +b) Calculer, pour tout $n, A^n$. + +c) Conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1455] +Soient $a \in \C$ et $U \in \C[X]$ non nul. On pose $f: P \mapsto P + P(a)U$. +a) Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\C[X]$. +b) Montrer que $Ker(f) \subset Vect(U)$. c) Montrer qu'il y a égalité si et seulement si U(a) = -1. Que vaut le noyau de $f$ sinon? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1456] +a) Énoncer le théorème du rang. +b) On considère l'énoncé suivant : +« Soient $E$ et $F$ deux espaces et $u \in \mathcal{L}(E,F)$. Alors $u$ injective $\Leftrightarrow u$ surjective. » Quelles hypothèses suffit-il de rajouter pour que cet énoncé soit vrai? Donner des contreexemples pour illustrer l'importance de ces hypothèses.- c) Démontrer que ces hypothèses sont en fait équivalentes à $\forall u \in \mathcal{L}(E,F), u$ injective $\Leftrightarrow u$ surjective. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1457] +On considère $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $p, q \in \mathcal{L}(E)^2$ tels que $p + q = \operatorname{id} \operatorname{etr} \operatorname{rg}(p) + \operatorname{rg}(q) \leqslant \dim(E)$. +a) Montrer que $\operatorname{Im}(p) \oplus \operatorname{Im}(q) = E$ +b) Montrer que $p$ et $q$ sont des projecteurs. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1458] +a) Rappeler la définition de deux matrices semblables. +b) Soit $A$ une matrice non inversible et non nulle. + - i) Montrer que $A$ est semblable à une matrice A' de première colonne nulle. +ii) Montrer qu'il existe (i, j) dans $\{1, \ldots, n\}^2$ tels que $A'E_{i,j} = E_{i,j}A' = 0$, où $E_{i,j}$ est la matrice avec des zéros partout, excepté un 1 sur la $i$-ème ligne et la *j*-ème colonne. + - iii) En déduire qu'il existe $B$ non nulle telle que AB = BA = 0. +c) Étudier la réciproque de la propriété précédente. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1459] +a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $\det(\overline{A}) = \overline{\det A}$. +b) Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que AB = BA. Montrer que $\det(A^2 + B^2) \geq0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1460] +Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in \mathcal{L}(E)$. Pour $k \in \N$ on note $K_k = \operatorname{Ker}(u^k)$ et $I_k = \operatorname{Im}(u^k)$. +a) Si $u$ est injectif, que peut-on dire que $I_k$ et $K_k$ ? +b) Montrer que $\forall k \in \N$, $I_{k+1} \subset I_k$ et $K_k \subset K_{k+1}$. +c) On suppose que $u$ n'est pas injectif. + - i) Montrer qu'il existe $p \in \db{1,n}$ tel que $I_{p+1} = I_p$ et $K_{p+1} = K_p$. + - ii) Montrer que $\forall k \in \N$, $K_{p+k} = K_p$ et $I_{k+p} = I_k$. + - iii) En déduire que $E = \operatorname{Ker}(u^p) \oplus \operatorname{Im}(u^p)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1461] +Soit $M=\begin{pmatrix}1&\cdots&\cdots&1\\\vdots&&&\vdots\\1&\cdots&\cdots&1\\n-1&\cdots&\cdots&n-1\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +La matrice $M$ est-elle diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1462] +On note +$$A = \left( \binom{j-1}{i-1} \right)_{1 \leqslant i,j \leqslant n+1} \in \mathcal{M}_{n+1}(\mathbb{R})$$ +, avec comme convention que $\binom{j-1}{i-1} = 0$ si $i > j$. + +a) La matrice $A$ est-elle inversible? Si oui, donner son inverse. +$\boldsymbol{b}$ ) La matrice $\boldsymbol{A}$ est-elle diagonalisable? Donner ses espaces propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1463] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $a_{i,j} = 1$ si $i$ = 1 ou $i$ = $n$ ou $j$ = 1 ou $j$ = $n$ et 0 sinon. Déterminer les éléments propres de A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1464] +Soit $f: P \in \mathbb{R}_n[X] \mapsto (X^2 - 1)P' - nXP$. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_n[X]$ et déterminer ses valeurs propres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1465] +Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $f$ et $g$ dans $\mathcal{L}(E)$. + +a) Soit $\lambda$ une valeur propre non nulle de $f \circ g$. Montrer que $\lambda$ est valeur propre de $g \circ f$. +b) Même question lorsque $\lambda = 0$. +c) Que peut-on en déduire sur les spectres de $f \circ g$ et $g \circ f$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1466] +Soient +$$(a,b) \in \mathbb{R}^2$$ + et $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & b & a & 0 \\ 0 & a & b & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$. + +a) À quelles conditions sur a et $b$, la matrice $A$ est-elle diagonalisable? +b) Ces conditions étant vérifiées, déterminer une base de vecteurs propres de A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1467] +Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$. + +a) Calculer le spectre de $A$ et son polynôme caractéristique. +b) Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur a,b,c, pour que $A$ soit diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1468] +Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & j & j^2 \\ j & j^2 & 1 \\ j^2 & 1 & j \end{pmatrix}$. + +a) i) Déterminer les valeurs propres de $A$. +ii) La matrice $A$ est-elle diagonalisable? +iii) Calculer la dimension du noyau de $A$. +b) Soit $\Phi: X \in \mathcal{M}_3(\C) \mapsto AXA$. +i) Déterminer les valeurs propres de $\Phi$. +ii) L'endomorphisme $\Phi$ est-il diagonalisable? +iii) Déterminer son image. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1469] +Soient $n \geq2$ et $E = \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On définit $f: M \in E \mapsto \operatorname{tr}(M)$. +a) Déterminer le rang de $f$. En déduire que $E = \operatorname{Ker}(f) \oplus \operatorname{Vect}(I_n)$. +b) On définit $g: M \in E \mapsto M + \operatorname{tr}(M) I_n$. Montrer que $g$ est diagonalisable. +c) Soit $J \in E$ de trace nulle. On définit $h: M \in E \mapsto M + \operatorname{tr}(M)J$. Le polynôme caractéristique de $h$ est-il scindé? L'endomorphisme $h$ est-il diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1470] +Soit $X \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$. On pose $A = XX^T$. +a) Déterminer le rang et le spectre de A. +b) Exprimer $\chi_A(\lambda)$ en fonction de $\lambda$ et $X$. +c) Montrer que $\det(I_n + XX^T) = 1 + X^TX$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1471] +Soient $f$ et $g$ dans $\mathcal{L}(\C^2)$ tels que $f \circ g = g \circ f$. On suppose que $f$ n'est pas une homothétie.- a) Montrer que les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $q$. +b) On suppose $f$ diagonalisable. Montrer que $g$ est diagonalisable et qu'il existe $(\alpha, \beta) \in \C^2$ tel que $g = \alpha \operatorname{id} + \beta f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1472] +Soit $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ tel que $f^3 + f^2 + f = 0$. On suppose que $f$ n'admet aucun polynôme annulateur non nul de degré inférieur ou égal à 2. +a) L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? +b) Montrer que rg(f) = 2. +c) Montrer que $\operatorname{Im}(f) \subset \operatorname{Ker}(f^2 + f + \operatorname{id})$ puis que $\mathbb{R}^3 = \operatorname{Ker}(f) \oplus \operatorname{Ker}(f^2 + f + \operatorname{id})$. +d) Soit $x$ non nul dans $Ker(f^2 + f + id)$. Montrer que la famille (x, f(x)) est libre. +e) Montrer qu'il existe une base de $\mathbb{R}^3$ dans laquelle $f$ a pour matrice $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1473] +On considère $A = \begin{pmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}$. +a) Déterminer le spectre de A. Montrer que $A$ est semblable à une matrice diagonale $D$ que l'on explicitera. +b) Montrer que toute matrice commutant avec $D$ est une matrice diagonale. +c) Soit $P(X) = X^7 + X + 1$. Identifier les matrices $M$ telles que P(M) = A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1474] +Soient $A = \begin{pmatrix} 3 & -3 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ et $a \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ canoniquement +associé à A. +a) Montrer que $Im(a) \subset ker(a)$. +b) Déterminer une base de Im(a) et ker(a). +c) Montrer que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1475] +Soit $\alpha \in \C^*$. On pose $A = (\alpha^{i+j-2})_{1 \le i,j \le n}$. +a) Si $\alpha \in \mathbb{R}$, montrer que $A$ est diagonalisable. +b) Déterminer le rang et le spectre de A. +c) Pour quelles valeurs de $\alpha \in \C^*$, la matrice $A$ est-elle diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1476] +a) Soient $a,b \in \mathbb{R}$ et $A = \begin{pmatrix} 0 & a \\ b & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. +b) Soient $(e_1,\ldots,e_{2p})$ la base canonique de $\mathbb{R}^{2p}$, $\alpha_1,\ldots,\alpha_{2p}\in\mathbb{R}$ et $f\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^{2p})$ dont la matrice dans cette base est $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2p}$ où $a_{i,2p+1-i}=\alpha_i$, les autres coefficients étant nuls. + - i) Représenter la matrice A. + - ii) Montrer que le sous-espace $E_i = \text{Vect}(e_i, e_{2p+1-i})$ est stable par $f$.- iii) Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si tous les induits $f_{E_i}$ sont diagonalisables. + - iv) En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. +c) Que peut-on dire en dimension impaire? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1477] +Soit $f: M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto M M^T$. +a) Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +b) Déterminer son noyau et sa dimension; est-il inversible? +c) Montrer que $f$ est diagonalisable et déterminer ses sous-espaces propres. +d) Montrer que $\dim S_n(\mathbb{R}) = \frac{n(n+1)}{2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1478] +Soit $n \in \N^*$. On considère $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\C)$ telles que AB = BA et on pose $M = \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & A \end{pmatrix}$. +a) Si $U, V \in \mathcal{M}_n(\C)$ sont semblables et si $R \in \C[X]$, montrer que R(U) et R(V) sont +semblables. b) Soit $P \in \C[Y]$ Exprimer P(M) an fonction de P(A) P'(A) at P(A) +b) Soit $P \in \C[X]$. Exprimer P(M) en fonction de P(A), P'(A) et $B$. +c) On suppose $B$ nulle et $A$ diagonalisable. Montrer que $M$ est diagonalisable. d) Si $\lambda \in \C$ n'est pas valeur propre de A, justifier que $A - \lambda I_n$ est inversible. +e) On suppose $M$ diagonalisable. Montrer que $B$ est nulle et $A$ diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1479] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que AB BA = A. +Soit $f: X \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto XB BX$. +a) Montrer que $f$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. b) Montrer que $\forall k \in \N^*, f(A^k) = kA^k$. +c) En déduire que $A$ est nilpotente. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1480] +Soit $\mathcal{E} = \{ A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R}), \ A^3 + 4A^2 + 5A = 0 \}$. +a) Soit $A \in \mathcal{E}$. Est-ce que $A$ est diagonalisable? Justifier. +b) Quelle relation peut-on écrire entre les racines d'un polynôme annulateur de $A$ et ses valeurs propres? +c) Déterminer l'ensemble des matrices de $\mathcal{E}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1481] +Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +a) On suppose $A^3 2A^2 + A 2I_n = 0$. Montrer que $A$ est inversible et exprimer son inverse en fonction de A. +b) On suppose $A^2 + A + 2I_n = 0$. Montrer que $n$ est pair. c) On suppose $A^3 + A^2 + 2A = 0$. Montrer que rg(A) est pair. +C) On suppose $A$ + $A$ + 2A = 0. Monther que $\operatorname{Ig}(A)$ est pair. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1482] +Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^3 A^2 + A I_n = 0$. a) Soit $P$ un polynôme annulateur de A. Quel est le lien entre les racines de $P$ et les valeurs +propres de A? b) Déterminer $\det(A)$. +c) Montrer que $tr(A) \in \N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENSEA # 1483] +Trouver les matrices $M \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ qui vérifient $\operatorname{tr}(M) = 3$ et $M^5 = M^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1484] +Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ vérifiant $(\mathcal{P}): M^3 - 4M = 0$ et $\mathrm{Tr}(M) = 0$. + +a) Montrer que les valeurs propres de $M$ sont racines de $X^3 - 4X$. + +b) Caractériser les matrices vérifiant (P). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1485] +a) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Que peut-on dire de $\det(A)$ s'il existe $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $B^2 = A$ ? + +b) Soient $a \in \mathbb{R}$ et $A = \begin{pmatrix} 2+a & 2 & 1+a \\ 3-a & 3 & 3-a \\ -2 & -2 & -1 \end{pmatrix}$. Calculer $\det(A)$. En déduire une condition + +pour qu'il existe $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $B^2$ + +c) Désormais $a \geq0$. Déterminer les éléments propres de $A$ puis donner une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A = PDP^{-1}$. + +d) Désormais $a \neq 1$ et $a \neq 3$. Montrer que, si $M$ est telle que $M^2 = D$ alors MD = DM. Déterminer les matrices $M$ telles que $M^2 = D$. En déduire les matrices $B$ telles que $B^2 = A$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1486] +Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ avec $A$ symétrique et les valeurs propres de $A$ positives ou nulles. On suppose que AB + BA = 0. + +a) Montrer que, pour tout $\alpha$ valeur propre de A, et pour tout vecteur propre $X$ associé à $\alpha$, on a ABX = 0. + +b) En déduire que AB = BA = 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [nil # 1487] +Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. Soit $P$ un polynôme annulateur de $u$. On suppose que 0 est une racine simple de $P$. + +a) Caractériser la condition sur $P$ à l'aide de ses coefficients. + +b) Montrer que le noyau de $u$ et celui de $u^2$ sont égaux. + +c) Démontrer que, si $u$ est nilpotent, alors $u$ est nul. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1488] +Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n \in \N^*$, $e = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $E, v \in E \setminus \{0\}$ et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f(e_1) = \cdots = f(e_n) = v$. Déterminer le rang de $f$ et son éventuelle diagonalisablilité. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1489] +Soient $n \in \N^*$ et $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable. Montrer que $(\operatorname{Tr}(A))^2 \leq \operatorname{rg}(A) \operatorname{Tr}(A^2)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1490] +Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel et $U \in \mathcal{L}(E)$. + +a) On suppose que $U$ est diagonalisable. Montrer que $U^2$ est diagonalisable. + +b) Montrer que la réciproque est fausse en donnant un contre-exemple. + +c) Soit $\lambda \in \C^*$. Montrer que : $\ker(U^2 - \lambda^2 \operatorname{id}) = \ker(U - \lambda \operatorname{id}) \oplus \ker(U + \lambda \operatorname{id})$. + +d) Montrer que si $U$ est un automorphisme alors la réciproque de la question a) est vraie, c'est-à-dire que $U^2$ diagonalisable implique $U$ diagonalisable. + +e) Montrer que, si $U$ est diagonalisable, alors, pour tout polynôme $Q$, Q(U) est diagonalisable. + +f) On suppose qu'il existe $Q$ dans $\C[X]$ tel que Q(U) est diagonalisable et que Q'(U) est bijectif. Montrer que $U$ est diagonalisable. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1491] +Soit $u \in \mathcal{L}(E)$ avec $E$ un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ de dimension $n$, vérifiant $u^3 = u^2$, $u \neq id$, $u^2 \neq u$ et $u^2 \neq 0$. + +a) Montrer que $Sp(u) \subset \{0,1\}$. +b) Montrer qu'il existe un vecteur $x \in E, x \neq 0$, tel que u(x) = 0. Que peut-on en déduire ? +c) Montrer de même que 1 est une valeur propre de $u$. +d) Montrer que $E = \ker(u^2) \oplus \operatorname{Im}(u^2)$ et que $\operatorname{Im}(u^2) = \ker(u \operatorname{Id}_E)$. e) Soient $p = \dim(\ker(u \operatorname{id}))$, $r = \dim(\ker(u))$ et $q$ = $n$ $p$ $r$. Montrer qu'il existe + +une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est de la forme $\begin{pmatrix} I_p & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ où $A$ une matrice quelconque. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1492] +Soient $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ et $\Phi : M \in \mathcal{M}_n(\C) \mapsto AM \in \mathcal{M}_n(\C)$. +a) Vérifier que $\Phi$ est un endomorphisme de $\mathcal{M}_n(\C)$. +b) Montrer que, pour tout $k \in \N$ et pour tout $M \in \mathcal{M}_n(\C)$, $\Phi^k(M) = A^k M$. c) Montrer que $P \in \C[X]$ annule $A$ si et seulement s'il annule $\Phi$. +d) En déduire que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\Phi$ l'est. +e) Montrer que $A$ et $\Phi$ ont le même spectre (on s'intéressera aux colonnes de M). +f) On suppose $A$ diagonalisable et on note $(X_1, \ldots, X_n)$ une base de vecteurs propres de A. Exprimer une base de vecteurs propres de $\Phi$ en fonction de $X_1, \ldots, X_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1493] +Soit $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel. +a) Soit $(u,v) \in \mathcal{L}(E)^2$. Soit $\lambda \in \mathbb{K}^*$. Montrer que si $\lambda$ est valeur propre de $u \circ v$ alors $\lambda$ est valeur propre de $v \circ u$. +b) Montrer que le résultat est vrai pour $\lambda = 0$ en dimension finie. +c) On se place dans $E=\mathbb{R}[X]$ et on considère $u,v\in\mathcal{L}(E)$ tels que $\forall P\in E, \forall x\in\mathbb{R}$, + +$$u(P)(x)=\int_0^x P(t)\,\mathrm{d}t$$ + et $v(P)(x)=P'(x)$. Déterminer $u\circ v,\,v\circ u$. Montrer que $0$ est valeur propre de l'un de ces deux endomorphismes mais pas de l'autre. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1494] +Soit $\phi$ l'application qui à $P \in \mathbb{R}_3[X]$ associe le reste de la division euclidienne de $X^2P$ par $X^4-1$. +a) Prouver que $\phi$ est un endomorphisme de $\mathbb{R}_3[X]$. +b) Donner la matrice $A$ de $\phi$ dans la base canonique de $\mathbb{R}_3[X]$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable? *Ind.* On pourra calculer $A^2$. +c) Donner le spectre de $\phi$. +d) Donner les sous-espaces propres de $\phi$. +e) La matrice $A$ est-elle inversible? Si oui, donnez son inverse. +f) L'endomorphisme $\phi$ est-il un automorphisme de $\mathbb{R}_3[X]$ ? g) Que représente la matrice $A$ géométriquement? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1495] +Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $M = \begin{pmatrix} A & A \\ 0 & A \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2n}(\mathbb{R})$. +a) Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ deux matrices semblables et $P \in \mathbb{R}[X]$. Montrer que P(A) et P(B) sont semblables. +b) Calculer $M^k$ pour $k \in \N^*$.- c) Exprimer P(M) en fonction de A, P(A), P'(A). +d) En déduire que si $M$ est diagonalisable alors $A$ l'est aussi. +e) Démontrer que si $M$ est diagonalisable alors $A$ est nulle. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1496] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $A^2 5A + 6I_n = 0$. +a) Citer deux conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une matrice carrée réelle soit diagonalisable. +b) Montrer que $A$ est diagonalisable et que $Sp(A) \subset \{2,3\}$. On notera $D$ une matrice diagonale associée. +c) Soit $f: M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \mapsto DM MD$. Montrer que $f$ est un endomorphisme et que $f$ est diagonalisable. Ind. Écrire $M$ et $D$ sous forme de matrices par blocs. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1497] +Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. On suppose que $A^k \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} B$. +a) Montrer que $B^2 = B$. +b) On suppose $A$ diagonalisable sur $\mathbb{R}$ avec $p$ valeurs propres distinctes. En utilisant une division euclidienne, montrer que, pour tout $k \in \N$, $A^k \in \mathbb{R}_{p-1}[A]$. +c) En déduire que $B \in \mathbb{R}_{p-1}[A]$. +d) Caractériser géométriquement $B$ à l'aide des sous-espaces propres de A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1498] +a) Énoncer l'inégalité de Cauchy-Schwarz. +b) Soit $(x_1, \ldots, x_n) \in (\mathbb{R}^{+*})^n$ tel que $\sum_{i=1}^n x_i = 1$. Montrer que $\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \geq n^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1499] +Soit $E = \mathbb{R}_n[X]$ muni de $\langle P, Q \rangle = \sum_{k=0}^n a_k b_k$, où les $a_k$ (resp. $b_k$ ) sont les +coefficients de $P$ (resp. de Q). On admet qu'il s'agit bien d'un produit scalaire sur $E$. +a) Soit $H = \{P \in E, P(1) = 0\}$. Montrer que $H$ est un sous-espace vectoriel de $E$ et en donner la dimension. +b) Déterminer la distance de $X$ à $H$. +c) On prend n=3. Donner une base orthonormée de $H$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1500] +Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(e_1, \ldots, e_n)$ une famille quelconque de $E$. On suppose que pour tout $x\in E, \|x\|^2=\sum_{i=1}^n \langle x,e_i\rangle^2$. + +Montrer que $(e_1, \ldots, e_n)$ est une base orthonormée de $E$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1501] +Pour $P, Q \in \mathbb{R}_2[X]$, on pose $\phi(P, Q) = P(0)Q(0) + P'(1)Q'(1) + P''(2)Q''(2)$. +a) Montrer qu'il s'agit d'un produit scalaire. +b) Déterminer une base orthonormée de $\mathbb{R}_2[X]$. +c) Calculer $d(X^2 + X 2, \mathbb{R}_1[X])$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1502] +a) Énoncer l'inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que le cas d'égalité. +b) Montrer que : $\forall (x,y) \in \mathbb{R}^2, \forall t \in \mathbb{R}, \frac{|x+ty|}{\sqrt{x^2+y^2}} \leqslant \sqrt{1+t^2}$. +c) Montrer que $\sup_{(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}} \frac{|x+ty|}{\sqrt{x^2+u^2}} = \sqrt{1+t^2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENSEA # 1503] +a) Montrer que l'application $\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}\left(A^TB\right)$ définit un produit scalaire sur l'espace vectoriel $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. +b) Soit $M = E_{1,2} + E_{2,3}$. Déterminer la projection orthogonale de $M$ sur le sous-espace vectoriel $S_n(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1504] +Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur [-1,1]. Pour toutes fonctions $f$ et $g$ dans $E$, on pose $\langle f, g \rangle = \int_{-1}^{1} f(t) g(t) dt$. + +a) Montrer que $\langle \; , \; \rangle$ est un produit scalaire sur $E$. Dans la suite, on munit $E$ de ce produit +scalaire. b) Soit $F = \{ f \in E : \forall x \in [0,1], f(x) = 0 \}$ et $G = \{ g \in E : \forall x \in [-1,0], g(x) = 0 \}$. + +Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces de $E$ orthogonaux et en somme directe. c) Sont-ils supplémentaires dans E? + +d) Montrer que $G \subset F^{\perp}$. +e) Le but de cette question est de montrer que $G = F^{\perp}$. Soit $q \in F^{\perp}$. +i) On définit $f_n \in E$ par la fonction nulle sur [0,1], g(0) sur [-1,-1/n] et affine sur [-1/n, 0]. Calculer $\langle f_n, g \rangle$ puis montrer que $g(0) \int_{-1}^{0} g(x) dx = 0$. +ii) En considérant la fonction nulle sur [0,1] et égale à $x \mapsto g(x) g(0)$ sur [-1,0], montrer que $g \in G$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1505] +Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien, $u$ un vecteur non nul de $E$ et $H$ = $\operatorname{Vect}(u)^{\perp}$. On note $p$ le projecteur orthogonal sur $H$ et $s$ la symétrie orthogonale par rapport à $H$. +a) Montrer $\forall x \in E, p(x) = x \frac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u$. +b) Montrer $\forall x \in E, s(x) = x 2 \frac{\langle x, u \rangle}{\|u\|^2} u$. +c) On se place dans $\mathbb{R}^3$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soit $H = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3, x - y + z = 0\}$. Écrire la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale $s$ par rapport à $H$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1506] +Soient $E$ un espace euclidien et $f \in \mathcal{L}(E)$. On dit que $f$ est une similitude vectorielle s'il existe $v \in \mathcal{O}(E)$ et $\lambda \in ]0, +\infty[$ tels que $f = \lambda v$. +a) Montrer que, si $f$ est une similitude vectorielle, alors $f$ conserve l'orthogonalité. +Soit $g \in \mathcal{L}(E)$ tel que $g$ conserve l'orthogonalité. +b) Si $a, b \in E$ sont unitaires, calculer $\langle a + b, a b \rangle$. +c) Montrer que $q$ est une similitude vectorielle. Conclure. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1507] +On munit $\mathbb{R}^n$ euclidien de sa structure euclidienne canonique. Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $M^T = M^3$. On pose $N = M^4$.- a) Montrer que $N$ est symétrique. +b) Montrer que, pour tout $X$ dans $E$, on a $\langle NX, X \rangle \geq0$. +c) Montrer que $N^3 = N$. +d) En déduire que $M$ est orthogonale. +e) Pour n=2, déterminer toutes les matrices $M$ qui vérifient l'équation initiale. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1508] +Soient $(E, \langle \ , \ \rangle)$ un espace euclidien, $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux. +Soient $f = p \circ q \circ p$ et $g = q \circ p \circ q$. a) Montrez que $f$ et $q$ sont des endomorphismes auto-adjoints +a) Montrez que $f$ et $g$ sont des endomorphismes auto-adjoints.b) Montrer que $f$ et $g$ sont positifs. +${\it c}$ ) Montrer que $f$ et $g$ ont les mêmes valeurs propres non nulles. +d) Montrer que $\ker(f) = \ker(q \circ p)$ et que $\ker(g) = \ker(p \circ q)$. e) Démontrer que $f$ = $g$ si et seulement si $p$ et $q$ commutent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENSEA # 1509] +On se place dans $\mathbb{R}^3$ munit de sa structure euclidienne orientée canonique. + +Soient $\vec{n}$ un vecteur unitaire et $\theta$ un angle. a) Montrer que la rotation $\Phi$ d'axe orienté $\text{Vect}(\vec{n})$ et d'angle $\theta$ est définie par : + +$$\forall \vec{u} \in \mathbb{R}^3, \, \Phi(\vec{u}) = \cos(\theta)\vec{u} + (1 - \cos(\theta)) \, \langle \vec{u}, \vec{n} \rangle \, \vec{n} + \sin(\theta)(\vec{n} \wedge \vec{u}).$$ + +b) Donner la matrice de $\Phi$ dans la base canonique pour $\theta = \frac{\pi}{3}$ et $\vec{n} = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1510] +Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $B = A + A^T$. On suppose qu'il existe $k \in \N^*$ tel que $B^k = 0$. Montrer que $A$ est antisymétrique. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1511] +Soient $E$ un espace euclidien et $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\forall x \in E, \langle f(x), x \rangle = 0$. a) Montrer que $E = \operatorname{Ker}(f) \oplus \operatorname{Im}(f)$ et $\operatorname{Ker}(f) \perp \operatorname{Im}(f)$. On pourra considérer la quantité + +b) On note $g$ l'endomorphisme induit par $f$ sur $\operatorname{Im}(f)$. Montrer que $g \in \operatorname{GL}(\operatorname{Im}(f))$. c) Montrer que, pour tout $\lambda \in \mathbb{R}^*$, $g - \lambda \operatorname{id} \in \operatorname{GL}(\operatorname{Im}(f))$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1512] +a) Montrer que, si $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ alors $S = AA^T$ est symétrique positive. +b) Si $S \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$, montrer qu'il existe $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $S = AA^T$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1513] +Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien et $u \in \mathcal{L}(E)$. Soient les trois propositions suivantes : i) $u \in \mathcal{O}(E)$, ii) $u^2 = -\operatorname{id}$, iii) $\forall x \in E^2$, $\langle u(x), x \rangle = 0$. Montrer si l'on suppose deux propositions vraies, alors la troisième est vraie. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1514] +Soit $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telle que $M^TM = MM^T$ et $M^2 + 2I_2 = 0$. +a) Justifier que $M^TM$ est diagonalisable. +b) Déterminer les valeurs propres de $M^TM$. +c) Montrer que $\frac{1}{\sqrt{2}}M \in \mathcal{O}_2(\mathbb{R})$. +d) Déterminer l'ensemble des matrices vérifiant les hypothèses. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1515] +Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ et $u : M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K}) \mapsto M \text{Tr}(M) A$.- a) Montrer que $u$ est un endomorphisme. +b) Déterminer les valeurs propres et sous-espaces propres de $u$. L'endomorphisme $u$ est-il diagonalisable? +c) On prend $A = I_n$ et $\mathbb{K} = \mathbb{R}$. Montrer que $u$ est autoadjoint pour le produit scalaire canonique de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Répondre d'une autre manière à la question b). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1516] +Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien et $u, v \in \mathcal{O}(E)$. +a) On suppose que $u$ + $v$ = 2 id. Montrer que $u$ = $v$ = id. +b) On suppose qu'il existe $m \in \mathcal{L}(E)$ telle que $umu^{-1} + vmv^{-1} = 2m$. Que dire de $u$, vet m? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1517] +Soient +$n \geq 3$ + et $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ n & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. + +a) Déterminer le rang de A. En déduire la dimension de ker(A). La matrice $A$ est-elle diagonalisable? En déduire la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre nulle. +b) Montrer que $\forall X \in \mathbb{R}^n$, $X^T A X \leqslant \max_{\lambda \in \operatorname{Sp}(A)} (\lambda) X^T X$. +c) Montrer qu'il y a égalité dans l'inégalité précédente si et seulement si $X$ est nul ou est un vecteur propre associé à la plus grande des valeurs propres. +d) Montrer que les valeurs propres de $A$ sont $0, \lambda$ et $1 \lambda$, où $\lambda$ désigne la plus grande valeur propre de A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1518] +Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien, $(e_1, \ldots, e_n)$ une base orthonormée de $E$. +a) Soit $f \in \mathcal{L}(E)$. Montrer que $\operatorname{tr}(f) = \sum_{k=1}^{n} \langle f(e_k), e_k \rangle$. +b) Soient $f, g \in \mathcal{S}^+(E)$. Montrer que $0 \le \operatorname{tr}(f \circ g) \le \operatorname{tr}(f) \operatorname{tr}(g)$. c) Soit $f \in \mathcal{S}^{++}(E)$. Déterminer les $g \in \mathcal{S}^+(E)$ tels que $\operatorname{tr}(f \circ g) = \operatorname{tr}(f) \operatorname{tr}(g)$. +#+end_exercice + + +** Analyse + +#+begin_exercice [CCINP # 1519] +Soit $E = \mathcal{C}^2([0,1], \mathbb{R})$. Si $f \in E$, on pose $N_0(f) = \int_0^1 |f(t)| dt$, + +$$N_1(f) = \left| \int_0^1 f(t) \, dt \right| + \int_0^1 |f'(t)| \, dt \text{ et}$$ + +$$N_2(f) = \left| \int_0^1 f(t) \, dt \right| + \left| \int_0^1 f'(t) \, dt \right| + \left| \int_0^1 f''(t) \, dt \right|.$$ + +a) Soit $f: x \mapsto \sin(2\pi x)$. Calculer $N_0(f)$, $N_1(f)$ et $N_2(f)$. +b) Montrer que $N_1$ est une norme. Est-ce que $N_2$ est une norme? +c) Montrer que, pour toute $f \in E$, il existe $c \in [0,1]$ tel que $f(c) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) dt$. +d) Montrer que $\forall f \in E, N_1(f) \leqslant N_0(f)$. Existe-t-il une fonction $f$ non identiquement nulle telle que $N_1(f) = N_0(f)$ ?- e) Existe-t-il $C \geq0$ tel que $\forall f \in E, N_0(f) \le CN_1(f)$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1520] +Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $F$ un sous-espace de $E$. On suppose que l'adhérence de $F$ est égale à $E$. Soient $v \in E \setminus F^{\perp}$ unitaire et $G = \{v\}^{\perp}$. +a) Soient $(x,y) \in F^2$ et $z = \langle x,v \rangle y \langle y,v \rangle x$. Montrer que $z \in F \cap G$. +b) Montrer que tout élément de $G$ est limite d'une suite d'éléments de $F \cap G$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1521] +Soit $(E, \langle , \rangle)$ un espace euclidien. On fixe $k \in [0, 1[$, et on considère l'ensemble : $F = \{ f \in \mathcal{L}(E) ; \forall x \in E, ||f(x)|| \leq k||x|| \}$. +a) Déterminer l'ensemble $F$ lorsque k=0. +b) Vérifier que l'application identité id n'appartient pas à $F$. +c) Montrer que $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $\mathcal{L}(E)$. +d) Montrer qu'il existe une norme sur $\mathcal{L}(E)$ telle que $F$ est une boule fermée pour cette norme. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1522] +Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{R}$ -espaces vectoriels normés et $f: E \to F$. +a) Montrer que les deux assertions suivantes sont équivalentes : + - i) $f$ est continue en $a \in E$, + - ii) pour toute suite $(x_n)$ telle que $x_n \to a$, on a $f(x_n) \to f(a)$. +On suppose ici que $E=F=\mathbb{R}$ et que $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est continue. On suppose de plus que $\forall a,b\in\mathbb{Q},\,a< b\Rightarrow f(a)< f(b)$. +$\forall a, b \in \mathcal{Q}, a < b \Rightarrow f(a) < f(b)$. b) Montrer que $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$. +c) Montrer que $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1523] +a) Pour $n \in \N^*$, montrer que l'équation $x^n + x\sqrt{n} 1 = 0$ possède une unique solution dans [0, 1], que l'on note $x_n$. +b) Déterminer la limite de $(x_n)_{n \in \N^*}$. +c) Que dire de la nature de la série de terme général $x_n$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1524] +Pour $n \geq2$, soit $f_n : x \mapsto nx^3 + n^2x 2$. +a) Pour $n \geq2$, montrer que l'équation $f_n(x) = 0$ possède une unique solution dans ]0,1[. On la note $u_n$. +b) Déterminer les variations de $(u_n)_{n\in\N}$. Montrer que $(u_n)_{n\in\N}$ admet une limite $\ell$ et la déterminer. +c) Déterminer un équivalent de $u_n \ell$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENSEA # 1525] +a) Pour $n \in \N^*$, montrer que l'équation $x e^{\sqrt{x}} = \sqrt{n}$ admet une unique solution $x_n \in \mathbb{R}^+$. +b) Déterminer la limite de la suite $(x_n)$. +c) Déterminer un équivalent de $x_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1526] +Déterminer la nature de la série de terme général $\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1527] +On pose, pour $n \in \N$, $U_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan(t)^n dt$.- a) Donner une relation entre $U_{n+2}$ et $U_n$. +b) Donner un équivalent de $U_n$ en $+\infty$. +c) Étudier la série de terme général $(-1)^n U_n$. +d) Montrer la convergence de la série $\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1}$ et calculer sa somme. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1528] +Soit $\alpha > 1$. Pour $n \in \N$, on pose $R_n(\alpha) = \sum_{k=-1}^{+\infty} \frac{1}{k^{\alpha}}$. +a) Montrer que $\lim_{n\to+\infty} R_n(\alpha) = 0$. +b) Montrer que $R_n(\alpha) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{1}{(\alpha 1)_{n}^{\alpha 1}}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1529] +a) Montrer que : $\forall x > -1, \ \forall k \in \N, \ (1+x)^k \geq1 + kx$. b) Pour $n \in \N^*$, on pose $x_n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k} \left(1 - \frac{1}{n}\right)^k$. Donner un encadrement de $x_n$. +c) i) Montrer que la série $\sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{n} \int_{t}^{t} \frac{dt}{t}\right)$ converge. + + - ii) En déduire un équivalent de $x_n$ lorsque $n \to \infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1530] +Étudier la nature de la série de terme général $u_n = \sin \left(\pi \sqrt{n^2 + 1}\right)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1531] +Étudier la nature de la série de terme général $u_n = e \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1532] +Étudier la nature de la série de terme général $u_n = \frac{(-1)^n}{n + (-1)^n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1533] +Étudier la nature de la série de terme général $u_n = (-1)^n \frac{\sin(\ln(n))}{n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1534] +Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0\in[0,\pi/2]$ et, pour $n\in\N$ $u_{n+1}=\sin(u_n)$. +a) Montrer que $(u_n)_{n\in\N}$ converge et déterminer sa limite. +b) Montrer que $\sum u_n^3$ converge. c) Montrer que $(u_{n+1}^{-2} - u_n^{-2})$ converge. +d) Donner un équivalent de $u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1535] +a) Énoncer le critère spécial des séries alternées. +b) Pour $n \in \N^*$, on pose $u_n = \cos\left(\pi n^2 \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)$. +Montrer que $u_n = \frac{(-1)^n \pi}{3n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. +c) En déduire la nature de la série $\sum u_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1536] +Déterminer la nature de l'intégrale $\int_{0}^{+\infty} \left(e^{\frac{\sin x}{\sqrt{x}}} - 1\right) dx$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENSEA # 1537] +Étudier, en fonction des paramètres réels $\alpha$ et $\beta$, l'intégrabilité sur $[2, +\infty[$ de $x \mapsto \frac{e^{\beta x}}{x^{\alpha} \ln(x)}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1538] +On pose $I = \int_0^{+\infty} \frac{\sin^3(t)}{t^2} dt$. + +a) Justifier la convergence de $I$. +b) Montrer $\forall t \in \mathbb{R}, \sin^3(t) = \frac{3}{4}\sin(t) \frac{1}{4}\sin(3t)$. +c) Montrer que $\int_0^{+\infty} \frac{\sin^3(t)}{t^2} dt = \frac{3}{4} \lim_{x \to 0^+} \int_x^{3x} \frac{\sin(t)}{t^2} dt$. +d) Soit $g: t \in \mathbb{R}^* \mapsto \frac{\sin(t) t}{t^2}$. Montrer que $g$ est prolongeable par continuité en 0. +e) Calculer $I$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1539] +a) Établir pour $n \in \N$ l'existence de $I_n = \int_n^{+\infty} e^{-t^2} dt$. +b) Déterminer la nature des séries $\sum I_n$ et $\sum nI_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [nil # 1540] +Soit $f: x \geq0 \mapsto \int_{-\pi}^{+\infty} \ln\left(\frac{t^2 + 2}{t^2 + 1}\right) dt$. +a) Justifier l'existence et la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}^+$. +b) Montrer que $f$ est dérivable sur $]0, +\infty[$ et calculer f'. +c) Que peut-on dire de f' en 0? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1541] +Pour $n \in \N^*$, on pose $f_n : x \in ]0,1[ \mapsto \sum_{k=1}^n \frac{x^k}{k} \int_1^n \frac{x^t}{t} dt$. Étudier la convergence de la suite $(f_n)_{n\geq 1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENSEA # 1542] +Pour $n \in \N^*$, soit $f_n : x \in [0,1] \mapsto \frac{n^2 x^2}{1 \perp n^3 x^3}$. +a) Étudier la convergence simple et uniforme sur [0, 1] de la suite $(f_n)$. b) Étudier la convergence simple et uniforme sur [0, 1] de $(f'_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [nil # 1543] +Pour $n \in \N$ et $x \in \mathbb{R}$, on pose $f_n(x) = \frac{nx^2}{1+nx}$ si $x \geq 0$ et $f_n(x) = \frac{nx^3}{1+nx^2}$ si $x$ < 0. +a) Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$ vers une fonction que l'on précisera. +b) Montrer que les $f_n$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et étudier la convergence de $(f'_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1544] +Pour $n \in \N^*$, soit $f_n : x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \frac{1}{\op{sh}(nx)}$. +a) Donner le domaine de définition de $f = \sum_{n=0}^{\infty} f_n$. +b) Donner le domaine de continuité de $f$. +c) Déterminer les variations de $f$. +d) Démontrer l'existence de $x_0 > 0$, tel que : $\forall x \geq x_0, \forall n \geq2, f_n(x) \le 3 e^{-nx}$. +e) Montrer que $f(x) \sim \frac{1}{\sinh(x)}$ quand $x$ tend vers $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1545] +Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{(2n+1)x}}{(2n+1)^2}$. +a) Déterminer l'ensemble de définition de $f$. +b) Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur son domaine de définition. +c) En déduire une expression de $f$ sur son domaine de définition. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1546] +Soit $S: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\cos(nx)}{2^n}$. +a) Déterminer le domaine de définition de $S$. +b) Donner une expression de $S$ à l'aide des fonctions usuelles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1547] +Pour $n \in \N^*$, soit $u_n : x \mapsto \frac{\ln(1+n^2x^2)}{n^2\ln(1+n)}$. Soit $S = \sum_{n=1}^{+\infty} u_n$. +a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $S$. +b) Montrer que $S$ est continue sur $D$. +c) Montrer que la série $\sum u_n'$ converge uniformément sur $D$. On s'aidera d'une comparaison série-intégrale. +d) Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1548] +Soient a>0 et $\phi$ une fonction continue sur I=[-a,a]. On suppose qu'il existe un réel $c\geq 0$ tel que $\forall x\in I, \ |\phi(x)|\leqslant c|x|$. On cherche l'ensemble des fonctions $f$ continues sur $I$ telles que f(0)=0 et $\forall x\in I, \ f(x)-f(x/2)=\phi(x)$. +a) Montrer que $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \phi(x/2^n)$ est définie et continue sur $I$. +b) Montrer que $S$ est l'unique solution du problème. +c) On suppose que $\phi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$. Montrer que $S$ est dérivable sur $I$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1549] +Pour $n \in \N$ on note $z_n = (1+i)^n$. +a) Calculer le module et un argument de $z_n$. +b) Montrer que la fonction $x \mapsto e^x \cos(x)$ est développable en série entière sur $\mathbb{R}$. +c) En notant $e^x \cos(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n!} x^n$, montrer que, pour tout $n \in \N$, $a_n \in \N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1550] +Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon $R$. On note R' le rayon de la série + +entière $\sum b_n z^n$, où $\forall n \in \N, b_n = \frac{a_n}{1 + |a_n|}$. a) Montrer que $R' \geq\max(1, R)$. +b) Si R' > 1, montrer que R' = $R$. c) Montrer que $R' = \max(1, R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1551] +Soit $u_1 \in \mathbb{R}$ et, pour tout $n \geq 1$, $u_{n+1} = \frac{1}{n} e^{-u_n}$. a) Donner la nature de la suite $(u_n)_{n\in\N}$. +b) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum u_n x^n$. +c) Sur quel ensemble la somme de cette série entière est-elle définie? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1552] +Soit, pour $n \in \N$, $a_n = \int_0^1 \left(\frac{1+t^2}{2}\right)^n$. Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$. +a) Montrer que la suite $(a_n)_{n\in\N}$ est convergente et déterminer sa limite +b) Montrer que $\sum (-1)^n a_n$ converge +c) Montrer que, pour tout $n, a_n \geq \frac{1}{2n+1}$. +d) En déduire le rayon de convergence $R$ de $f$. e) Montrer que, pour tout $n$, $(2n+2)a_{n+1} = 1 + (n+1)a_n$. +f) Montrer que $f$ est solution d'une équation différentielle que l'on déterminera. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1553] +Soit $(a_n)$ définie par $a_0 = a_1 = 1$ et $\forall n \in \N, \ a_{n+2} = a_{n+1} + \frac{a_n}{n+2}$. a) Montrer que $(a_n)$ est strictement positive. +b) Étudier sa monotonie. +c) Montrer que la série $\sum (a_{n+1} a_n)$ diverge. Quelle est la limite de $(a_n)$ ? +d) Quel est le rayon de convergence de la série entière $S: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ ? +e) Montrer que $S$ est solution de (x-1)y' + (x+1)y = 0. En déduire $S$. +f) Montrer que $a_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} (n-k+1)$. +g) Déterminer un équivalent de $a_n$ en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1554] +Pour tout $n \in \N^*$, on pose $I_n = \int_0^{+\infty} \frac{\sin(nx)}{1 + n^4 r^3} dx$. +a) Justifier l'existence de $I_n$. +b) Montrer que $I_n = \frac{1}{n^{5/3}} J_n$, où $J_n = \int_{-1}^{+\infty} \frac{n^{1/3} \sin(n^{-1/3}t)}{1 + t^3} dt$. +c) Montrer que la suite $(J_n)$ admet pour limite $K=\int_0^{+\infty}\frac{t}{1+t^3}\,\mathrm{d}t$. En déduire la limite de la suite $(I_n)$.d) À l'aide d'un changement de variable, montrer que +$K = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1+t^3}$. + +e) Montrer que $2K = \int_0^{+\infty} \frac{1+t}{1+t^3} dt = \frac{4\pi}{3\sqrt{3}}$. +$J_0$ $1+t^3$ $3\sqrt{3}$ f) En déduire un équivalent de $I_n$ lorsque $n \to +\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1555] +Soient $\alpha \in \mathbb{R}$ et $n \in \N$. On pose $J_n = \int_{-\pi}^{\pi/2} \cos(t)^n \sin(t)^{\alpha} dt$. +a) Étudier l'existence de $J_n$. +b) On suppose $\alpha \geq 2$ et on pose $g: t \mapsto \frac{\sin(t)^{\alpha}}{1 \cos(t)}$. Montrer que $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} g(t) dt$ existe. +c) On pose $K_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} g(t) \cos(t)^n dt$. En rappelant les hypothèses du théorème utilisé, donner la limite de $(K_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1556] +a) Soit $n \in \N$. Montrer que l'intégrale $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2 + t^n e^{-t}}$ converge. b) Existence et calcul de la limite de $(u_n)$ où $u_n = \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + t^2 + t^n e^{-t}}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1557] +Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_0^{+\infty} \frac{x^n}{1 + x^{n+2}} dx$. Montrer que $I_n$ est défini pour tout $n$ et déterminer la limite de $(I_n)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1558] +On pose, pour $n \in \N^*$, $U_n = \int_0^{+\infty} \frac{n \sin\left(\frac{x}{n}\right)}{x(1+x^2)} dx$. +a) Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, l'intégrale $U_n$ est bien définie. +b) Étudier la convergence de la suite $(U_n)_{n\geq 1}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1559] +Prouver la convergence de l'intégrale $I=\int_0^{+\infty}\frac{t}{\sinh t}\,\mathrm{d}t$ et en donner une valeur explicite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1560] +Pour tout $n \in \N$, on pose $I_n = \int_{a}^{+\infty} x^n e^{-x} dx$. +a) Existence et calcul de $I_n$. +b) Montrer $\int_{0}^{+\infty} \cos(\sqrt{x}) e^{-x} dx = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n \frac{n!}{(2n)!}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1561] +On note $I$ l'intégrale $\int_0^1 \frac{\ln(t^2) \ln(1-t^2)}{t^2} dt$. +a) Montrer que $I$ est bien définie. +b) Montrer que $t\mapsto \ln(1-t^2)$ est développable en série entière ; préciser le développement et son rayon.- c) Pour $n \in \N^*$, on pose $f_n : t \mapsto -\frac{2}{n}t^{2n-2}\ln(t)$. Montrer : $\int_0^1 f_n(t) dt = \frac{2}{n(2n-1)^2}$. +d) Montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty} \int_{0}^{1} f_n(t) dt = \int_{0}^{1} \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(t) dt$. En déduire $I = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{2}{n(2n-1)^2}$. + - e) Déterminer $a,b,c\in\mathbb{R}$ tels que $\forall n\in\N^*, \frac{1}{n(2n-1)^2}=\frac{a}{n}+\frac{b}{2n-1}+\frac{c}{(2n-1)^2}$. +f) Montrer que $\sum_{n=1}^{+\infty} \left( \frac{1}{n} \frac{2}{2n-1} \right) = 2 \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1562] +Soit $a \in \mathbb{R}^{+*}$. + +g) On admet que $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. Montrer que $I = -4\ln(2) + \frac{\pi^2}{2}$. + +a) Montrer que l'intégrale suivante est définie : $\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{a}} dt$. +b) Montrer que l'intégrale suivante est définie et calculer sa valeur : $\int_{0}^{1} t^{na} dt$. c) On souhaite montrer que $\int_0^1 \frac{1}{1+t^a} dt = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{na+1}$. + - i) Est-il possible de le montrer grâce à une intégration terme à terme en montrant la conver- +gence uniforme? +ii) Est-il possible de le montrer grâce à une intégration terme à terme en montrant la convergence de la série des intégrales? +d) Que se passe-t-il pour a = 1 et a = 2? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1563] +Soit $f: x \in ]0,1[ \mapsto \frac{\ln(x)}{x-1}$. On pose $I = \int_{-1}^{1} f(x) dx$. +a) Montrer que $f$ est prolongeable par continuité en 1. +b) Soit $g:t\mapsto f(1-t)$. Montrer que $g$ est développable en série entière en 0; préciser le + +iii) Est-il possible de le montrer en montrant que l'intégrale du reste tend vers 0? + +rayon de convergence. c) Calculer $I$ en admettant que $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1564] +On note $f: t \mapsto \frac{1}{t} \ln \left( \frac{1-t}{1+t} \right)$. +a) Montrer l'existence de $I = \int_0^1 f(t) dt$. +b) Exprimer $f$ sous la forme d'une série et calculer $I$, en sachant que $\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1565] +Soient $k \in \N$ et $n \in \N^*$. On pose : $I_{k,n} = \int_{a}^{+\infty} t^k e^{-nt} dt$ et $a_n = I_{n,n}$.- a) Déterminer la limite de $\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$ lorsque $n\to+\infty$. +b) Montrer que l'intégrale $I_{k,n}$ est bien définie. +c) Calculer explicitement $I_{k,n}$ en fonction de $k$ et de $n$. d) Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$. +e) Étudier la nature de la série $\sum a_n e^n$. +f) Étudier la nature de la série $\sum (-1)^n a_n e^n$. +g) Montrer que, pour tout $x \in ]-R, R[, \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n = \int_0^{+\infty} \frac{tx}{e^t tx} dt$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1566] +Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\arctan(xt)}{1+t^2} dt$. +a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $D$ et exprimer f' sans symbole d'intégrale. +b) En déduire la valeur de $\int_{0}^{+\infty} \frac{\ln x}{r^2 1} dx$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1567] +Soit $f: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\ln(t)}{r^2 + t^2} dt$. +a) Montrer que $f$ est bien définie. +b) Montrer que $f$ est continue. +c) Montrer que f(1) = 0. +d) Donner une expression explicite de $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1568] +Soit $g: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_{0}^{+\infty} e^{xt} \frac{\sin(t)^2}{t} dt$. +a) Montrer que $q$ est bien définie +b) Trouver la limite de $g$ en $+\infty$. Ind. Montrer: $\forall t \in \mathbb{R}^+$, $\sin(t)^2 \leq t^2$. +c) Montrer que $q$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. +d) Calculer g'(x) pour $x$ > 0 et trouver $g$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1569] +Le but est de calculer l'intégrale $A = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-u^2} du$. +On pose $\psi: x \in \mathbb{R}^+ \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2} dt$. +a) Montrer que $\psi$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^+$. +b) Montrer que $\psi$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. +c) Calculer $\psi(0)$ et déterminer la limite de $\psi$ en $+\infty$. d) Montrer que, pour tout $x$ > 0, $\psi'(x) = -A\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}$. +e) Montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty} \psi'(x) dx = -2A^2$. En déduire la valeur de A. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1570] +Soit $F: x \in ]-1, +\infty[ \mapsto \int_{0}^{+\infty} \frac{\left(e^{-t} - e^{-2t}\right)e^{-xt}}{t} dt$. + +a) Montrer que $F$ est bien définie sur $]-1, +\infty[$. + +b) Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $]-1, +\infty[$ et calculer F'. + +c) Montrer que $F$ admet une limite en $+\infty$ et la donner. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Saint-Cyr # 1571] +Soit $f: x \mapsto \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{1+t^x} dt$ + +d) Calculer F(x) pour tout $x$ > -1. + +a) Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$. + +b) Montrer que $f$ est continue puis de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathcal{D}_f$. + +c) Conjecturer à l'aide de Python la valeur de f(2). Prouver cette conjecture. + +d) Étudier la monotonie de la fonction $f$ sur son domaine. e) Calculer les limites de $f$ en $1^+$ et en $+\infty$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1572] +Soit $F: x \mapsto \int_0^\pi \sin(x\sin(t)) dt$. + +a) Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb{R}$. + +b) En déduire la limite de $x \mapsto \frac{F(x)}{x}$ lorsque $x$ tend vers 0. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1573] +Soient $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t} t^x dt$ et $g: x \mapsto \int_0^x \ln(f(t)) dt$. a) Montrer que $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}^+$. + +b) Trouver une relation entre f(x) et f(x-1). c) Montrer que $g$ est dérivable et calculer g'. + +d) Nature de la série $\sum \frac{(-1)^n}{a(n)}$ ? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1574] +Soit $f: x \in \mathbb{R} \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\cos(xt)}{(1+t^2)^2} dt$. + +a) Montrer que $f$ est bien définie. La fonction $f$ est-elle paire? continue? + +b) Montrer que $f$ est de classe $C^{\infty}$. + +c) Démontrer: $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = \frac{x}{2} \int_{0}^{+\infty} \frac{\cos(xt)}{1+t^2} dt$. d) Déterminer une équation différentielle linéaire du second ordre satisfaite par $f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1575] +Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}$. + +a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$. + +b) Montrer que $f$ est continue sur $D$. + +c) Pour tout $x \in D$, montrer que $1 x \in D$ et que f(1 x) = f(x). d) Soit $h: x \mapsto \int_{a}^{1} \frac{t^{x-1}}{1+t} dt$. +i) Montrer que $h$ est continue sur $]0, +\infty[$.- ii) Pour tout $x \in D$, prouver $f(x) = h(1-x) + \frac{1}{x} h(1+x)$. +iii) Donner un équivalent de $f$ en chaque borne de $D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1576] +Soit $f: x \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{1 + e^{tx} + e^{-t}}$ +a) Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$. +b) Montrer que $f$ est continue sur $D$.c) Donner des équivalents de $f$ aux bornes de $D$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1577] +Trouver les $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ vérifiant $\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \int_0^x f(t) dt = 1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1578] +Soit (E) l'équation différentielle : $y' 2xy = (-2x 1)e^x$. +a) Soit l'équation différentielle homogène y' + a(x)y = 0, où a est une fonction continue sur +$\mathbb{R}$. Montrer que l'ensemble des solutions est $\{x \mapsto \lambda e^{-A(x)}, \ \lambda \in \mathbb{R}\}$, où $A$ est une primitive de a. +b) Résoudre l'équation (E). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1579] +Soit (E) l'équation différentielle $(x^2 + x)y'' + (3x + 1)y' + y = 0$. +a) Déterminer une solution de (E) développable en série entière au voisinageqde 0. +b) En déduire que la fonction $f: x \mapsto \frac{1}{1+x}$ est solution de $E$. +c) Trouver une autre solution de (E) indépendante de la première à l'aide du changement d'inconnue $y(x)=\frac{u(x)}{1+x}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENSEA # 1580] +On considère l'équation différentielle $x^2y'(x) + y(x) = x$. +Soit $h: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_{a}^{x} \frac{1}{t} e^{-1/t} dt$. +a) Montrer que $h$ est bien définie. +b) Montrer que l'ensemble des solutions de (E) sur $\mathbb{R}^{+*}$ est $\{x \mapsto \lambda e^{\frac{x}{2}} + h(x) e^x, \ \lambda \in \mathbb{R}\}$. +c) Montrer que, pour tout $x$ > 0, $h(x) = x e^{-\frac{1}{x}} \int_0^\infty \frac{e^{-u}}{1 + ux} du$. Ind. Effectuer le change- +ment de variable $t = \frac{x}{1 + ux}$. +d) En déduire un équivalent de $h$ en $0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1581] +Soit $A = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$. +a) La matrice $A$ est-elle diagonalisable? +b) Trigonaliser explicitement A. +c) Résoudre le système différentiel $\begin{cases} x' = -x 4y + \operatorname{sh}(t) \\ y' = x + 3y + te^t. \end{cases}$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1582] +a) Soit $a \in \mathbb{R}$. Résoudre x'' + ax = 0.b) Résoudre +$$\begin{cases} x'' &= 2y+z \\ y'' &= 2x-z \\ z'' &= x+y \end{cases}$$ +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1583] +Soit $f:(x,y) \mapsto xe^y + ye^x$. + +d) Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum. + +a) Qu'est-ce qu'un point critique? Quel est le rapport entre point critique et extremum? +b) Montrer que, si (x, y) est un point critique de $f$, alors $y + e^{y \frac{1}{y}} = 0$. +c) Prouver que $f$ admet un unique point critique $(x_0, y_0) \in \mathbb{Z}^2$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1584] +Soit $T = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x \geq 0, \ y \geq 0, \ 1-x-y \geq 0\}$. Soit $f:(x,y) \in T \mapsto xy\sqrt{1-x-y}$. +a) Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $T$. +b) Déterminer ces extrema. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1585] +Trouver les plans tangents à la surface d'équation $x^2+y^2+z^2+4x+6y-2z=1$, qui sont parallèles au plan d'équation $x$ + y + $z$ = 0. +#+end_exercice + + +** Probabilités + +#+begin_exercice [IMT # 1586] +Soit $p \in [0,1]$. On lance une pièce, dont la probabilité de tomber sur pile est $p$. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le premier instant où on obtient pile, $Y$ celle qui compte le second. +a) Donner la loi de $X$ et celle du couple (X,Y). +b) En déduire la loi de Y. +c) On note $Z = \frac{1}{V-1}$. Donner $\mathbf{E}(Z)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1587] +On lance une pièce équilibrée, les lancers sont supposés indépendants. On note $Y$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le premier pile et $X$ le nombre de lancers nécessaires pour obtenir la séquence *pile-face* pour la première fois. +a) Déterminer la loi de $Y$ et son espérance. +b) Déterminer la loi conjointe de (X,Y). +c) En déduire la loi de $X$. +d) Calculer pour $x \in ]-1,1[,\sum_{n=0}^{+\infty}n(n-1)x^{n-2}$. +e) Calculer l'espérance et la variance de $X$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1588] +On lance un dé à 6 faces, équilibré, un certain nombre de fois. On note $X_i$ la valeur du $i$-ème lancer. +a) Déterminer la probabilité que $X_1 \neq X_2$. +b) Quelle est la probabilité que, pour tout $i$ dans $\N$, $X_i = X_1$ ? +c) On note $N = \inf \{i \in \N, X_i \neq X_1\}$. Déterminer la loi de $N$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1589] +On note, pour tout $n \geq1$, $p_n = \alpha \lambda^n$ la probabilité qu'une famille ait exactement $n$ enfants, où $0 < \lambda < 1$ et $(1 + \alpha)\lambda < 1$. La probabilité d'avoir un garçon est $q$ = 1 - $p$, où $p \in ]0,1[$ est la probabilité d'avoir une fille. + +a) Calculer la probabilité qu'une famille n'ait aucun enfant. +b) Soit $x \in ]-1, 1[$. Calculer $\sum_{k=0}^{+\infty} \binom{n}{k} x^{n}$. +c) Calculer la probabilité qu'une famille ait exactement $k$ garçons. +d) Calculer la probabilité qu'une famille ait au moins deux garçons, sachant qu'elle en a au moins un. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [nil # 1590] +Une entreprise vend deux produits, notés $A$ et $B$. Les commandes sont passées par téléphone, chaque appel étant indépendant des précédents. La probabilité qu'à un appel le produit $A$ (resp. B) soit commandé est 2/10 (resp. 8/10). On note $X_A$ (resp. $X_B$ ) la variable aléatoire donnant le nombre d'appels consécutifs nécessaires pour obtenir une première commande du produit $A$ (resp. B). On note $L$ la variable aléatoire donnant la longueur de la première « ligne d'appels », c'est-à-dire le nombre d'appels consécutifs qui commandent un même produit à partir du premier appel. +Par exemple, si la suite d'appels est AAABAABB, alors $X_A = 1$, $X_B = 4$ et $L$ = 3. +a) Déterminer la loi de $X_A$, donner une expression de $\mathbf{P}(X_A = n)$ pour $n \in \N^*$. Justifier que $X_A$ admet une espérance et une variance, et les calculer. +b) Même question pour la variable $X_B$. +c) Déterminer $P(X_A = n + 1, L = n)$. +d) En séparant les cas selon la nature du (n+1)-ième appel, calculer $\mathbf{P}(L=n)$, et vérifier que $\mathbf{P}(L=n)=0.8\,\mathbf{P}(X_A=n)+0.2\,\mathbf{P}(X_B=n)$. +e) Justifier que la variable $L$ admet une espérance, et la calculer. +f) Les variables $X_A$ et $X_B$ sont-elles indépendantes? +g) Les variables $X_A$ et $L$ sont-elles indépendantes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1591] +On considère une urne contenant $b \geq2$ boules rouges et $v \geq2$ boules vertes. + +À chaque tirage, on prélève une boule avec remise, avec une probabilité de $p \in [0, 1]$. + +On effectue une suite infinie de tirages indépendants. +a) Soit $X_1$ le rang d'apparition de la première boule verte. Déterminer la loi de $X_1$ ainsi que son espérance. +b) Soit $X_2$ le rang d'apparition de la deuxième boule verte. Déterminer la loi de $X_2$ ainsi que son espérance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1592] +Un conciergeqpossède $n$ clés et souhaite ouvrir une porte. On suppose qu'une seule clé du trousseau permet de l'ouvrir. +a) À chaque essai infructueux, il écarte la clé utilisée. Quel est le nombre moyen de tentatives avant qu'il arrive à ouvrir la porte? +b) Même question, en supposant qu'à chaque tentative il remet la clé utilisée avec les autres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1593] +Soient $X$ et $Y$ des variables aléatoires indépendantes de lois respectives $\mathcal{G}(p)$ et $\mathcal{G}(q)$, où $p,q \in ]0,1[$. +a) Déterminer P(Y > k) pour tout $k \in \N$.- b) Déterminer P(Y > X). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1594] +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes sur un même espace probabilisé. On suppose que $X \sim \mathcal{P}(\lambda)$ et $Y \sim \mathcal{P}(\mu)$. +a) Montrer que $Z$ = $X$ + $Y$ suit une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre. +b) Montrer que la loi de $X$ sachant (Z = n) est binomiale et déterminer ses paramètres. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1595] +Soient $X$, $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramètre $p \in ]0, 1[$. On note $Z = \min(X, Y)$. +a) Donner la loi de $X$, son espérance et sa variance. +b) Calculer P(X > 2). +c) Soit $n \in \N^*$. Calculer $\mathbf{P}(X > n)$. +d) Calculer P(Z > n). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1596] +Soient $\lambda > 0$ et $p \in ]0,1[$. Soient $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$ et $Y$ telle que, pour tout $n \in \N$, la loi de $Y$ sachant (X = n) est la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. +a) Déterminer la loi conjointe du couple (X, Y). +b) Déterminer la loi de Y.c) Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes? +d) Déterminer la loi de $Z$ = $X$ Y. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1597] +Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\N^2$. On suppose que $\forall k,n\in\N^2$, $\mathbf{P}(X=k,Y=n)=\binom{n}{k}\frac{1}{2^n}p(1-p)^n$ où $p\in[0,1]$ est fixé. +a) Déterminer la loi de Y. +b) Donner le développement en série entière de $x \mapsto \frac{1}{1-x}$. + +Montrer que: $\sum_{n=0}^{+\infty} \binom{n}{k} x^{n-k} = \frac{1}{(1-x)^{k+1}}$. + +c) En déduire la loi de $X$. +d) Les variables $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1598] +Soient (X, Y) un couple de variables aléatoires, avec $X$ à valeurs dans $\{1, 2\}$, + +$Y$ + à valeurs dans $\N$ et $\forall i \in \{1,2\}, \forall k \in \N, \mathbf{P}(X=i,Y=k) = \frac{q^k}{2i}$. + +a) Déterminer la valeur de $q$. +b) Déterminer les lois marginales de $X$ et de Y. +c) Déterminer l'espérance de Y. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1599] +Si $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, on appelle $taux\ d'arrêt\ de\ X$ la suite $(x_n)_{n\in\N}$ définie par $\forall n\in\N, x_n=\mathbf{P}(X=n\,|\,X\geq n)$. +a) Soit $Y$ de loi donnée par $\forall n \in \N^*$, $\mathbf{P}(Y=n) = \frac{1}{n(n+1)}$. Vérifier qu'il s'agit bien d'une distribution de probabilités sur $\N^*$, puis déterminer le taux d'arrêt de Y.- b) Si $(x_n)_{n\in\N}$ est le taux d'arrêt de $X$, montrer que $\forall n\in\N, \mathbf{P}(X\geq n)=\prod_{n=1}^{n-1}(1-x_k)$. +c) On suppose que $X$ est de taux d'arrêt constant. Déterminer la loi de $X$ et son espérance. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1600] +Soient $X_1, X_2$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. Soit $M = \begin{pmatrix} X_1 & 1 \\ 0 & X_2 \end{pmatrix}$. +a) En utilisant deux manière d'écrire $(1+X)^{2n}$, montrer que $\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}$. +b) Quelle est la probabilité que $M$ soit diagonalisable? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1601] +Soient $p \in [0,1]$ et $\lambda > 0$. Soient $X$,Y,Z trois variables aléatoires indépendent + +dantes telles que $X \sim \mathcal{G}(p), Y \sim \mathcal{G}(p), Z \sim \mathcal{P}(\lambda)$. Soit $M_n = \begin{pmatrix} X & 0 & \cdots & 0 & Y \\ 0 & Z & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ddots & Z & 0 \\ Y & 0 & \cdots & 0 & X \end{pmatrix}$. + +Déterminer la probabilité que $M_n$ soit dans $S_n^{++}(\mathbb{R})$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1602] +On considère la suite $(P_n)_{n\in\N}$ définie par : $P_0=1,\,P_1=X$ et, pour tout $n$ dans $\N,\,P_{n+2}=\frac{1}{2}(XP_{n+1}+P_n)$. +a) Montrer que $\bar{P}_n$ définit une fonction génératrice d'une variable aléatoire $X_n$. +b) Exprimer $\mathbf{E}(X_n)$ en fonction de $n$. c) Déterminer la variance de $X_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Navale # 1603] +Soit $X$ une variable aléatoire telle que $\forall k \in \N^*$, $\mathbf{P}(X=k) = \frac{k-1}{2k}$. +a) Vérifier par le calcul que $\sum_{k=1}^{+\infty} \mathbf{P}(X=k) = 1$. +b) Donner la fonction génératrice de $X$. Quel est son rayon de convergence? c) La variable $X$ admet-elle une espérance finie? Si oui, que vaut-elle? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1604] +Soient $r \in \N^*$ et $x \in \mathbb{R}$ avec |x| < 1. +a) Donner le développement en série entière de $\frac{1}{1-x}$ puis celui de $\frac{1}{(1-x)^r}$. +b) Soit $p \in ]0,1[$. On pose q=p-1 et $\forall k \in \N^*, p_k = \binom{k+r-1}{k} p^r q^k$. Montrer que +$\mathbf{P}(X=k)=p_k$ définit une probabilité. +c) Calculer la fonction génératrice de $X$. +d) En déduire l'espérance et la variance de $X$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1605] +Soient $\lambda \in ]0,1[$ et $k \in \N$.a) Montrer que la série $\sum_{n\geq k} \binom{n}{k} (1-\lambda)^{n-k}$ converge et déterminer sa somme. + +*Ind.* Utiliser la série entière $\sum_{n>0} x^n$. + +b) Soit $X_k$ une variable aléatoire telle que $\mathbf{P}(X_k=n)=\binom{n}{k}(1-\lambda)^{n-k}\lambda^{k+1}$ si $n\in\N$ avec $n \geq k$. + - i) Déterminer la fonction génératrice de $X_k$ ; en préciser le rayon de convergence. + - ii) Montrer que $X_k$ est d'espérance finie et la calculer. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [IMT # 1606] +a) Calculer la fonction génératrice, puis l'espérance, d'une variable aléatoire suivant la loi $\mathcal{U}(\{0,\ldots,n\})$. +b) Peut-on trouver deux variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ à valeurs entières, indépendantes et de même loi telles que $X_1 + X_2 \sim \mathcal{U}(\{0, \dots, n\})$ ? + +Ind. Par indépendance de $X_1$ et $X_2$, on a $G_{X_1+X_2}=G_{X_1}G_{X_2}$. +#+end_exercice + + +* Autres Écoles - PC + +** Algèbre + +#+begin_exercice [CCINP # 1607] +Soit $P = (X+1)^7 - X^7 - 1$. Montrer que $j$ est racine de $P$ et déterminer sa multiplicité. Factoriser $P$ dans $\C[X]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1608] +Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$. Soit $f: M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) \mapsto AM$. Vérifier que $f$ est linéaire. Montrer que $f$ est bijective si et seulement si $A$ est inversible. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1609] +Soit $A \in \mathcal{M}_4(\C)$ telle que $\operatorname{rg}(A) = 2$ et $A^2 = 0$. + +Montrer que $\operatorname{Im}(A) = \operatorname{Ker}(A)$ et que $A$ est semblable à $\begin{pmatrix} J_2 & 0 \\ 0 & J_2 \end{pmatrix}$ où $J_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1610] +On admet que l'on définit une norme sur $\mathcal{M}_n(\C)$ en posant, pour $A \in$ + +$$\mathcal{M}_n(\C), \|A\| = \max \left\{ \sum_{j=1}^n |a_{i,j}|, \ i \in \db{1, n} \right\}. \text{ On pose } \rho(A) = \max\{|\lambda|, \ \lambda \in \operatorname{Sp}(A)\}.$$ + +a) Soit $A = \begin{pmatrix} 1 & 1+i \\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$ avec $\theta \in \mathbb{R}$. Calculer $\|A\|$ et $\rho(A)$. + +b) Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $||AB|| \leq ||A|| \times ||B||$. +c) Soient $\lambda \in \operatorname{Sp}(A)$ et $X = (x_1 \cdots x_n)^T$ un vecteur propre associé. + +Montrer que, pour tout $i \in [1, n]$, $|\lambda| |x_i| \leqslant \sum_{i=1}^n |a_{i,j}| |x_i|$. En déduire que $\rho(A) \leqslant ||A||$. + +d) On suppose $A$ diagonalisable. Montrer que $\lim_{p \to +\infty} A^p = 0$ si et seulement si $\rho(A) < 1$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1611] +Soit $n \geq2$. Une matrice $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ est dite orthodiagonalisable (resp. orthotrigonalisable) s'il existe une matrice orthogonale $P$ telle que $P^TMP$ est diagonale + +(resp. triangulaire supérieure). Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. + +a) Montrer que si $A$ est orthodiagonalisable, alors $A$ est diagonalisable. +b) i) Montrer que $A$ est orthodiagonalisable si et seulement si $A$ est symétrique. ii) Donner un exemple de matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable et non symétrique. +c) Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ inversible. On note $(u_1, \ldots, u_n)$ le système de ses vecteurs colonnes. On munit $\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ de son produit scalaire usuel. + - i) Montrer qu'il existe une base orthonormée $(v_1, \ldots, v_n)$ telle que + +$$\forall j \in \{1,\ldots,n\}, u_j = \sum_{i=1}^{J} \langle u_j, v_i \rangle v_i.$$ + +ii) Montrer qu'il existe $Q$ orthogonale et $R$ triangulaire supérieure telles que $M$ = QR. +d) Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est orthotrigonalisable si et seulement si $A$ est trigonalisable. +e) Que dire d'une matrice antisymétrique et trigonalisable? +#+end_exercice + + +** Analyse + +#+begin_exercice [CCINP # 1612] +Soit $\lambda \in [-1, 1]$. On note $S_{\lambda}$ l'ensemble des fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ dérivables telles que $\forall x \in \mathbb{R}, f'(x) = f(\lambda x)$. +a) Montrer que $S_{\lambda}$ est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions dérivables de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$. +b) i) Déterminer $S_1$. + - ii) Montrer que, si $f \in S_0$, alors $f$ est affine. Déterminer $S_0$. +c) Soit $\phi: x \mapsto \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!} \lambda^{n(n-1)/2} x^n$. Montrer que $\phi$ est bien définie sur $\mathbb R$ et que $\phi \in \mathcal S_\lambda$. +d) Soit $f \in \mathcal{S}_{\lambda}$. Montrer que $f$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$ et que : $\forall n \in \N, \forall x \in \mathbb{R}, \ f^{(n)}(x) = \lambda^{n(n-1)/2} f(\lambda^n x)$. + +e) Soit $f \in \mathcal{S}_{\lambda}$ telle que f(0) = 0. Montrer que $f$ est la fonction nulle. +f) Déterminer $S_{\lambda}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1613] +Montrer que $\lim_{a\to 0} \int_{-u}^{3a} \frac{\cos(u)}{u} du = \ln(3)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [CCINP # 1614] +Pour +$n \in \N^*$ + et $x \in \mathbb{R}^+$, on pose $f_n(x) = \frac{1}{n + n^2 x}$ et $g_n(x) = x f_n(x)$. + +Pour +$$x \in \mathbb{R}^{+*}$$ +, on pose $f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n(x)$. + +a) Vérifier que $f$ est bien définie sur $\mathbb{R}^{+*}$. +b) Étudier la monotonie et la continuité de $f$ sur $\mathbb{R}^{+*}$. +c) Montrer que $f(x) \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$. +d) Montrer que la série $\sum g_n$ converge normalement sur $\mathbb{R}^+$.- e) Montrer qu'il existe une constante $A$ > 0 telle que $f(x) \sim \frac{A}{x \to +\infty} \frac{A}{x}$. +f) Trouver un équivalent de f(x) lorsque $x \to 0^+$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [nil # 1615] +Soit $F: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_0^{+\infty} \frac{\ln(t)}{x + t^2} dt$. +a) Montrer que $F$ est bien définie. +b) Calculer F(x) à l'aide du changement de variable $\sqrt{x}u=t$. +#+end_exercice + + +** Probabilités + +#+begin_exercice [CCINP # 1616] +On lance indéfiniment une pièce équilibrée. Soit $X$ le temps d'attente du premier pile. Soit $Y$ une variable aléatoire telle que, pour tout $n \in \N^*$, la loi de $Y$ sachant (X = n) est la loi uniforme sur l'ensemble $\{1, 2, \ldots, n\}$. +a) Rappeler la loi de $X$ et son espérance. b) Déterminer $\mathbf{P}(X=n,Y=k)$ pour tous $k,n\in\N^*$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles +indépendantes ? c) Montrer que, pour tout $k \in \N^*$, $\mathbf{P}(Y=k) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{1}{n2^k}$. +d) Rappeler le développement en série entière de $x \mapsto \ln(1-x)$. Calculer $\mathbf{P}(Y=1)$. +e) Montrer que, pour tout $k \in \N^*$, $\mathbf{P}(Y = k) = \int_0^{1/2} \frac{t^{k-1}}{1-t} dt$. +f) Calculer $\mathbf{E}(Y)$. +#+end_exercice diff --git a/Exercices 2025.pdf b/Exercices 2025.pdf index f539f01..1a37d99 100644 Binary files a/Exercices 2025.pdf and b/Exercices 2025.pdf differ diff --git a/Exercices XENS MP 2025.pdf b/Exercices XENS MP 2025.pdf index 671da27..62dd034 100644 Binary files a/Exercices XENS MP 2025.pdf and b/Exercices XENS MP 2025.pdf differ