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Exercices 2022.org

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 #+title:  Exercices 2022
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   25-02-2023
-# Time-stamp: <16-04-24 18:59>
+# Time-stamp: <03-06-24 17:16>
 
 * Meta                                                             :noexport:
 
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 #+EXCLUDE_TYPES: indication
+#+exclude_types: proof
 
 * ENS
 
@@ -2364,21 +2365,6 @@ Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même
 
 
 
-# ID:6499
-#+BEGIN_exercice
-Soit $p\in \interval]{0, \frac{1}{2}}[$, et $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi $\mc R(p)$. On pose $S_n = X_1 + \dots + X_n$.
- 1. Montrer qu'il existe $t_0\gt 0$ tel que $pe^{t_0} + (1-p)e^{-t_0}\lt 1$.
- 2. Montrer qu'il existe $\a,\b\in \interval]{0, 1}[$ tels que
-    $$\forall n\in\N,\forall k\in\Z,\, P(S_n\geq k)\leq \a^k \b^n.$$
- 3. Montrer que $S_n$ tend vers $-\i$ presque sûrement.
-#+END_exercice
-#+BEGIN_proof
- 1. La dérivée en $0$ est $2 p - 1\lt 1$.
- 2. $P(S_n\geq k) = P(e^{tS_n}\geq e^{tk})\leq \frac{E(e^{t S_n})}{e^{tk}}$, d'où le résultat, avec $t = t_0$. On a $\b\lt 1$, d'après la première question.
- 3. Borel Cantelli.
-#+END_proof
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 # 157
 #+call: get_exa(6118)