diff --git a/Exercices 2023.org b/Exercices 2023.org index 458e947..18038e0 100644 --- a/Exercices 2023.org +++ b/Exercices 2023.org @@ -2,7 +2,7 @@ #+title: Exercices 2023 #+author: Sébastien Miquel #+date: 02-12-2023 -# Time-stamp: <03-04-24 19:32> +# Time-stamp: <09-04-24 23:00> #+OPTIONS: @@ -16,6 +16,8 @@ ("etre" "être") ("reel" "réel") ("montrrer" "montrer") + ("montrver" "montrer") + ("algebre" "algèbre") ("devel" "dével") ("serie" "série") ("integ" "intég")) @@ -1289,7 +1291,7 @@ $a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,d #+begin_exercice [ENS 2023 # 137] Soit $\mc{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sur $\R\colon\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$. -À quelle condition sur $n$ tout element de $\mc{S}$ possède-t-il une limite en $+\i$? +À quelle condition sur $n$ tout élément de $\mc{S}$ possède-t-il une limite en $+\i$? #+end_exercice #+BEGIN_proof Si et seulement si toutes les valeurs propres ont une partie réelle $\lt 0$ (puisque $0$ n'est pas racine). @@ -1482,8 +1484,8 @@ Soit $L$ la courbe du plan complexe d'équation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$. #+begin_exercice [ENS 2023 # 160] Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2$ et on note $\mathrm{Vol}(L)=|\mathrm{det}(e_1,e_2)|$. - - Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d'aire strictement superieure a $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu'il existe deux elements distincts $x$ et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$. - - Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un element $\ell$ tel que $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\mathrm{Vol}(L)}$. + - Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d'aire strictement superieure a $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu'il existe deux éléments distincts $x$ et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$. + - Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un élément $\ell$ tel que $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\mathrm{Vol}(L)}$. - Soit $p$ un nombre premier congru a $1$ modulo $4$. - Montrer qu'il existe $\omega\in\Z$ tel que $p$ divise $1+\omega^2$. - Montrer qu'il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $p=a^2+b^2$. @@ -1764,7 +1766,7 @@ C'est simple : On peut passer d'un somme à un autre en au plus $\frac{n d}{2}$ #+END_proof ** ENS PSI :autre: -*** Algebre +*** Algèbre #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 191] Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in\mc{L}(E)$, annule par un polynome $Q$ tel que $Q(0)=0$ et $Q'(0)\neq 0$. Montrer que $\op{Ker}u$ et $\op{Im}u$ sont supplementaires. @@ -1830,7 +1832,7 @@ Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que ${\rm Sp}(A)\subset\bigcup_{i=1}^n\Bigg #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 200] On note ${\cal S}\subset{\cal M}_n({\R})$ l'ensemble des matrices stochastiques : $M=(m_{i,j})\in{\cal S}$ si $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nm_{i,k}=1$. Pour tout $A\in{\cal M}_n({\R})$, on note ${\rm Sp}(A)$ l'ensemble de ses valeurs propres. - - Montrer que les elements de ${\cal S}$ ont tous une valeur propre commune. + - Montrer que les éléments de ${\cal S}$ ont tous une valeur propre commune. - Montrer que ${\cal S}$ est convexe, ferme, borne dans ${\cal M}_n({\R})$, et qu'il est stable pour le produit. _c) i)_ Montrer que, pour tout $A\in{\cal S}$, on a ${\rm Sp}(A)\subset\{z\in{\C},|z|\leq 1\}$. @@ -1875,26 +1877,26 @@ $\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\db{1,n }\,\sigma(v_i)\in\ #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 203] - Soit $A\in S^+_n(\R)$ de rang $k$. Montrer qu'il existe des vecteurs $U_1,\ldots,U_k$ lineairement independants dans $\R^n$ tels que $A=\sum_{j=1}^kU_jU_j^T$.Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$. Leur produit d'Hadamard $A\circ B\in{\cal M}_n(\R)$ est la matrice de terme général $a_{ij}b_{ij}$. - - Montrver que, si $A$ et $B$ sont des matrices symetriques de rang $1$, alors $A\circ B$ est symetrique de rang au plus $1$. - - Montrver que, si $A$ et $B$ sont symetriques positives, alors $A\circ B$ est symetrique. + - Montrer que, si $A$ et $B$ sont des matrices symetriques de rang $1$, alors $A\circ B$ est symetrique de rang au plus $1$. + - Montrer que, si $A$ et $B$ sont symetriques positives, alors $A\circ B$ est symetrique. - Si $A$ et $B$ sont symetriques positives, montrer que $A\circ B$ est symetrique positive. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 204] On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0,\ldots,c_{2n-1})\in\R^{2n}$ tel que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\ldots=c_{2n-1}=0$. On pose $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On considère enfin les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ suivantes : $A=(a_{i,j})$, ou $a_{i,j}=1$ si $j=i-1$, $a_{i,j}=-c_{i-1}$ si $j=n$ et $a_{i,j}=0$ sinon ; $B=(c_{i+j-1})$ et $C=(\delta_{i+j,n+1})$. - - Montrver que $Q(A)=0$. Ind. Calculer $A^ke_1$ pour tout $k\in\{0,\ldots,n\}$. + - Montrer que $Q(A)=0$. Ind. Calculer $A^ke_1$ pour tout $k\in\{0,\ldots,n\}$. - On pose $\R[A]=\{M\in{\cal M}_n(\R)\,;\,\exists P\in\R[X],\ M=P(A)\}$. Montrer : $\dim\R[A]=n$. - - Montrver que $CB$ est triangulaire. En déduire que $B$ est inversible. - - Montrver que $AB=BA^T$. - - Montrver que $A$ est semblable a sa transposee. - - Montrver que $A$ s'ecrit comme le produit de deux matrices symetriques. + - Montrer que $CB$ est triangulaire. En déduire que $B$ est inversible. + - Montrer que $AB=BA^T$. + - Montrer que $A$ est semblable a sa transposee. + - Montrer que $A$ s'ecrit comme le produit de deux matrices symetriques. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 205] _a) i)_ Soit $m$ un entier $\geq 2$. Montrer que $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}\leq\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1} {\sqrt{k(m-k)}}$. - Calculer $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}$ l'aide du changement de variables $x=\frac{m}{1+t^2}$. - Soit $A_n\in{\cal M}_n(\R)$ la matrice de terme général $\frac{1}{i+j-1}$. - - Montrver que $A_n\in S_n^{++}(\R)$. + - Montrer que $A_n\in S_n^{++}(\R)$. - Soit $\lambda_n$ la plus petite des valeurs propres de $A_n$. Montrer qu'il existe $a,b\gt 0$ tels que $\forall n\geq 1,\,0\leq\lambda_n\leq\frac{1}{n}\big{(}a+b \ln(n)\big{)}$. - Soient $\mu_n$ la plus grande valeur propre de $A_n$ et $X=(1/\sqrt{1},1/\sqrt{2},\ldots,1/\sqrt{n})^T\in\R^n$. Montrer que $\langle A_nX,X\rangle\geq 2\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\arctan(\sqrt{i-1})$ ou $\langle\,\ \rangle$ designe le produit scalaire canonique sur $\R^n$. - Montrer que, pour tout $P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,{\rm d}t=-i\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})e^{i\theta}\,{\rm d}\theta$. En déduire que, pour tout $Q=\sum_{k=0}^da_kX^k\in\R[X]$, $\int_0^1Q^2(t)\,{\rm d}t\leq\int_{-1}^1Q^2(t)\,{\rm d}t \leq\pi\sum_{k=0}^da_k^2$. @@ -1903,25 +1905,25 @@ _a) i)_ Soit $m$ un entier $\geq 2$. Montrer que $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\s #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 206] On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. On considère des réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, et, pour tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq n$, on pose $M_i=(\lambda_i,\lambda_i^{-1})$.On considère $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\R^n$ tel que $\|y\|_2=1$ et on note $M$ le barycentre des $M_i$ pondere par les coefficients $y_i^2$. - - Montrver que $M=(a,b)$ ou $a=\langle Dy,y\rangle$ et $b=\langle D^{-1}y,y\rangle$ ou $D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. - - Montrver que $a^{-1}\leq b\leq-\dfrac{a}{\lambda_1\lambda_n}+\lambda_1^{-1}+ \lambda_n^{-1}$. + - Montrer que $M=(a,b)$ ou $a=\langle Dy,y\rangle$ et $b=\langle D^{-1}y,y\rangle$ ou $D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. + - Montrer que $a^{-1}\leq b\leq-\dfrac{a}{\lambda_1\lambda_n}+\lambda_1^{-1}+ \lambda_n^{-1}$. - En déduire que $1\leq ab\leq\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{\dfrac{\lambda_1}{ \lambda_n}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}}\right)^2$. - On considère $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $x\in\R^n$. Montrer que $\|x\|_2^4\leq\langle Ay,y\rangle\langle A^{-1}y,y\rangle\leq \dfrac{1}{4}\left(\sqrt{\dfrac{\lambda_1}{\lambda_n}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}}\right)^2\|x\|_2^4$. - - Soient $b\in\R^n$ et $c\in\R$. Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle+c$. Montrver que $f$ admet un minimum atteint en un unique point, et déterminer sa valeur. + - Soient $b\in\R^n$ et $c\in\R$. Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle+c$. Montrer que $f$ admet un minimum atteint en un unique point, et déterminer sa valeur. #+end_exercice *** Analyse #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 207] On pose $A_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\sin(t)dt$, $B_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\cos(t)dt$ et $X_n=\begin{pmatrix}A_n\\ B_n\end{pmatrix}$ pour tout $n\in\N$. - - Montrver que $A_n$ et $B_n$ existent et que $|A_n|^2+|B_n|^2\leq(2n)!$. + - Montrer que $A_n$ et $B_n$ existent et que $|A_n|^2+|B_n|^2\leq(2n)!$. - Trouver $A_0$ et $B_0$. - - Montrver qu'il existe une matrice de rotation $R(\theta_0)$ telle que $(n+1)X_n=\sqrt{2}R(\theta_0)X_{n+1}$. + - Montrer qu'il existe une matrice de rotation $R(\theta_0)$ telle que $(n+1)X_n=\sqrt{2}R(\theta_0)X_{n+1}$. - Exprimer $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$. - Trouver une condition pour que $A_n=B_n$. - - Montrver qu'il existe $g_1,g_2\in\mc C^0(\R^+,\R^+)$ distinctes telle que + - Montrer qu'il existe $g_1,g_2\in\mc C^0(\R^+,\R^+)$ distinctes telle que $\forall n\in\N,\int_0^{+\i}t^ng_1(t)dt=\int_0^{+ \i}t^ng_2(t)dt$ #+end_exercice @@ -1929,19 +1931,19 @@ $\forall n\in\N,\int_0^{+\i}t^ng_1(t)dt=\int_0^{+ \i}t^ng_2(t)dt$ #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 208] Soient $E=\mc C^0([0,1],\C)$ et $F=\mc{D}^1([0,1],\C)$. On définit $T$ comme l'operateur qui, a tout $f\in E$ associe : On note $E_{\lambda}$ le sous-espace propre de $T$ pour une valeur propre $\lambda$. -_a) i)_: Montrver que $T$ est un endomorphisme. +_a) i)_: Montrer que $T$ est un endomorphisme. - Soit $f\in E$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $T^n(f)$ a l'aide d'une somme. - - Montrver que $(T^n(f))_{n\geq 1}$ converge simplement vers une fonction $\ell$. + - Montrer que $(T^n(f))_{n\geq 1}$ converge simplement vers une fonction $\ell$. -_b) i)_: Montrver que $E_1$ est l'ensemble des fonctions constantes. - - Montrver que $E_{\lambda}=\{0\}$ si $|\lambda|\geq 1$ et $\lambda\neq 1$. +_b) i)_: Montrer que $E_1$ est l'ensemble des fonctions constantes. + - Montrer que $E_{\lambda}=\{0\}$ si $|\lambda|\geq 1$ et $\lambda\neq 1$. - Soit $\lambda$ tel que $|\lambda|\lt 1$. - - Montrver que $f_{\lambda}:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\lambda^k\cos(2^k\pi x)$ est définie et continue sur $[0,1]$. - - Montrver que $f_{\lambda}\in E_{\lambda}$. + - Montrer que $f_{\lambda}:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\lambda^k\cos(2^k\pi x)$ est définie et continue sur $[0,1]$. + - Montrer que $f_{\lambda}\in E_{\lambda}$. - On note $D_{\lambda}=E_{\lambda}\cap F$. #+end_exercice - - Montrver que, si $|\lambda|\lt \dfrac{1}{2}$, $D_{\lambda}\neq\{0\}$. - Comparer $T(f')$ et $(Tf)'$ pour $f\in F$. + - Montrer que, si $|\lambda|\lt \dfrac{1}{2}$, $D_{\lambda}\neq\{0\}$. - Comparer $T(f')$ et $(Tf)'$ pour $f\in F$. *iii)*: Montrer que, si $|\lambda|\geq\frac{1}{2}$ et $\lambda\neq\frac{1}{2}$, $D_{\lambda}=\{0\}$. #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 209] @@ -1982,34 +1984,34 @@ Soit $\alpha\in\R$. On pose $g_{\alpha}:t\in\,]0,+\i[\mapsto e^{-t}t^{\alpha}$. #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 212] Soit $a\gt 0$. On pose $I(a)=\int_0^{+\i}e^{-t^2-a^2/t^2}\,dt$ et $J(a)=a\int_0^{+\i}\frac{e^{-t^2-a^2/t^2}}{t^2}dt$. - Montrer que ces intégrales convergent. - - Montrver que $I(a)=J(a)$, + - Montrer que $I(a)=J(a)$, - En déduire que $I(a)=\frac{e^{-2a}}{2}\int_0^{+\i}\left(1+\frac{a}{t^2}\right)e^{-(t-a /t)^2}dt$ - - Montrver que $I(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2a}$. La valeur de l'intégrale de Gauss etait donnee. + - Montrer que $I(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2a}$. La valeur de l'intégrale de Gauss etait donnee. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 213] Soient $a\gt 0$ et $q\in\mc C^2([a,+\i[,\R^{+*})$ telle que $\int_a^{+\i}\sqrt{q(t)}\,dt=+\i$. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y^{''}+qy=0$. - - Soient $y_1$ et $y_2$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ qui n'ont pas de zeros en commun. On pose $\Phi=y_1+iy_2$ et $\Phi(a)=r_0e^{i\theta_0}$. Montrver que $\forall x\geq a$, $\Phi(x)=e^{\Psi(x)}$ ou $\Psi(x)=\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)}\,dt+\ln(r_0) +i\theta_0$. - - Montrver que l'on peut ecrire $y_1(x)=r(x)\cos(\theta(x))$ et $y_2(x)=r(x)\sin(\theta(x))$ ou $r(x)=\sqrt{y_1^2(x)+y_2^2(x)}$ et $\theta(x)=\theta_0+\int_a^x\frac{y_1y_2'-y_2y_1^{ '}}{y_1^2+y_2^2}$. - - On pose $x\mapsto f(x)=\int_a^x\sqrt{q(t)}\,dt$. Montrver que $f$ realise une bijection de $[a,+\i[$ sur $\R^+$. - - Soit $y$ une solution de $(E)$, non identiquement nulle. On pose $Y=y\circ f^{-1}$. Montrver que $Y^{''}+vY'+Y=0$ ou $v:t\mapsto\frac{q'(f^{-1}(t))}{2(q(f^{-1}(t)))^{3/2}}$. - - Montrver que $Y$ et $Y'$ n'ont pas de zero en commun et que l'on peut ecrire $Y=r\cos(\theta)$ et $Y'=r\sin(\theta)$ ou $r,\theta$ sont des fonctions de classe $\mc C^1$. - - Montrver que $(r^2)'=-2vr^2\sin^2(\theta)$. En déduire que $y$ et $y'$ sont bornees. + - Soient $y_1$ et $y_2$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ qui n'ont pas de zeros en commun. On pose $\Phi=y_1+iy_2$ et $\Phi(a)=r_0e^{i\theta_0}$. Montrer que $\forall x\geq a$, $\Phi(x)=e^{\Psi(x)}$ ou $\Psi(x)=\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)}\,dt+\ln(r_0) +i\theta_0$. + - Montrer que l'on peut ecrire $y_1(x)=r(x)\cos(\theta(x))$ et $y_2(x)=r(x)\sin(\theta(x))$ ou $r(x)=\sqrt{y_1^2(x)+y_2^2(x)}$ et $\theta(x)=\theta_0+\int_a^x\frac{y_1y_2'-y_2y_1^{ '}}{y_1^2+y_2^2}$. + - On pose $x\mapsto f(x)=\int_a^x\sqrt{q(t)}\,dt$. Montrer que $f$ realise une bijection de $[a,+\i[$ sur $\R^+$. + - Soit $y$ une solution de $(E)$, non identiquement nulle. On pose $Y=y\circ f^{-1}$. Montrer que $Y^{''}+vY'+Y=0$ ou $v:t\mapsto\frac{q'(f^{-1}(t))}{2(q(f^{-1}(t)))^{3/2}}$. + - Montrer que $Y$ et $Y'$ n'ont pas de zero en commun et que l'on peut ecrire $Y=r\cos(\theta)$ et $Y'=r\sin(\theta)$ ou $r,\theta$ sont des fonctions de classe $\mc C^1$. + - Montrer que $(r^2)'=-2vr^2\sin^2(\theta)$. En déduire que $y$ et $y'$ sont bornees. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 214] On considère une solution $u$ de l'équation de transport : $\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=f(x,t)$ ou $u(x,0)=u_0(x)$. - - Montrver alors que si $u$ est solution de l'équation homogéné, alors $u$ est constante le long de la droite $x=x_0+ct$. En déduire qu'il existe une unique solution de l'équation homogéné, et que celle-ci est : $u(x,t)=u_0(x-ct)$. - - On suppose $f$ non nulle. Montrver que pour une solution $u$, on a : + - Montrer alors que si $u$ est solution de l'équation homogéné, alors $u$ est constante le long de la droite $x=x_0+ct$. En déduire qu'il existe une unique solution de l'équation homogéné, et que celle-ci est : $u(x,t)=u_0(x-ct)$. + - On suppose $f$ non nulle. Montrer que pour une solution $u$, on a : $u(x,t)=u_0(x_0)+\int_0^tf(x_0+c\theta,\theta)\,d\theta$. - En déduire que : $u(x,t)=u_0(x-ct)+\int_0^tf(x-c(t-\theta),\theta)\,d\theta$. On considère maintenant une solution $u$ de l'équation des ondes : $\frac{\partial^2u}{\partial^2t}(x,t)-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2 x}(x,t)=0$ ou $u(x,0)=g(x)$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=h(x)$. -_b) i)_: On suppose $u$ de classe $\mc C^2$. Montrver que :$\left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( \frac{\partial u}{\partial t}-c\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{ \partial^2u}{\partial^2t}-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2x}.$ +_b) i)_: On suppose $u$ de classe $\mc C^2$. Montrer que :$\left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( \frac{\partial u}{\partial t}-c\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{ \partial^2u}{\partial^2t}-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2x}.$ - En déduire qu'une solution $u$ de l'équation s'ecrit : $u(x,t)=u_1(x+ct)+u_2(x-ct)$. - On pose $v(x,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{ \partial x}(x,t)$. Montrer que $v$ est solution d'une équation de transport dont on precisera le paramètre $c$ ainsi que les conditions initiales. - Experimer $u$ en fonction de $v$ et déduire : @@ -2076,7 +2078,7 @@ Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires a valeurs réelles, identiquem ** ENS PC :autre: -*** Algebre +*** Algèbre #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 219] ${}^{\bigstar}$ Soit $A$ une partie de cardinal $n$ de $\R$. On pose $B=A+A=\{a+a',\ a,a'\in A\}$. Montrer que $2n-1\leq\mathrm{card}(B)\leq\dfrac{n(n+1)}{2}$. Généraliser a $B=kA=A+A+\cdots+A$ ($k$ fois). @@ -2340,38 +2342,50 @@ Pour tout réel $\eps\gt 0$, montrer que $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\Big{(}\lambda ** Algèbre -#+begin_exercice [X MP 2023 # 275] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 275] :sup: On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter que $p(n)\leq 2^{n-1}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On a $p(n)\leq p(n-1) + p(n-2) + \dots + p(1) + 1$, en considérant le (un) plus grand élément de la partition. Formellement, on a une surjection $\sqcup_{k=0}^{n-1} \mc P_k \ra \mc P_n\quad (X, k)\mapsto X + (n-k)$. +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2023 # 276] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 276] :sup: Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ et $X=\{s\in\N;\ 2^s\,|\,n!\}$. - Montrer que $\max X=n-r$. - Montrer que le nombre d'entiers $k$ tels que $\binom{n}{k}$ est impair est $2^r$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Formule de Legendre. + - Relié à Lucas. +#+END_proof +# Relier à d'autres… #+begin_exercice [X MP 2023 # 277] -${}^{\bigstar}$ - Montrer que l'équation $a^2-2b^2=1$ admet une infinite de solutions $(a,b)\in\N^2$. -Déterminer l'ensemble des solutions. + Déterminer l'ensemble des solutions. - Que dire de l'ensemble des solutions de $a^2-2b^2=-1$? #+end_exercice + #+begin_exercice [X MP 2023 # 278] - Si $G$ est un groupe, les elements d'ordre fini forment-il un sous-groupe? +Si $G$ est un groupe, les éléments d'ordre fini forment-il un sous-groupe? #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Non : cf le produit libre $\Z/2\Z * \Z/2\Z$ : l'ensemble des mots sur $\{A,B\}$ où deux $A$ d'affilée se simplifient, munit de la concaténation. Cf # 281 +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 279] - Trouver deux groupes $G_1$ et $G_2$ non isomorphes de cardinal $2023=7.17^2$. - Soit $p$ premier. Montrer qu'un groupe de cardinal $p^2$ est isomorphe a $\Z/p^2\Z$ ou $\hat{\text{a}}\,(\Z/p\Z)^2$. - - Soient $G,H$ deux groupes finis et $\psi:G\to H$ un morphisme surjectif. + - Soient $G,H$ deux groupes finis et $\psi\colon G\to H$ un morphisme surjectif. Montrer que $|G|=|H|\times|\op{Ker}\psi|$. - - On suppose que $G$ est un groupe de cardinal $2023$, que $H=\Z/7\Z$ et que $\phi:G\to H$ est un morphisme surjectif. Montrer que $G$ est isomorphe a $\Z/7\Z\times\op{Ker}\phi$. + - On suppose que $G$ est un groupe de cardinal $2023$, que $H=\Z/7\Z$ et que $\phi\colon G\to H$ est un morphisme surjectif. Montrer que $G$ est isomorphe a $\Z/7\Z\times\op{Ker}\phi$. - Montrer que tout groupe de cardinal $2023$ est isomorphe a $G_1$ ou $G_2$. #+end_exercice +# Cf année précédente #+begin_exercice [X MP 2023 # 280] Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans point fixe c'est-a-dire tel que : $\forall x\in G$, $\phi(x)=x\Rightarrow x=1$. On note $n$ l'ordre de $\phi$ ; c'est le plus petit entier $n\in\N^*$ tel que $\phi^n=\op{id}$. - Montrer que $\forall x\in G$, $x\,\phi(x)\,\phi^2(x)\,\cdots\,\phi^{n-1}(x)=1$. @@ -2380,39 +2394,48 @@ Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans po #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 281] -Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des elements de $G$ d'ordre fini. +Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des éléments de $G$ d'ordre fini. - En général, $T$ est-il un sous-groupe de $G$? - Soit $S$ une partie finie de $G$ stable par conjugaison munie d'une relation d'ordre totale $\leq$. Montrer que, pour tous $s_1$,..., $s_r\in S$, il existe $s'_1$,..., $s'_r\in S$ tels que $s'_1\leq s'_2\cdots\leq s'_r$ et $s_1s_2\cdots s_r=s'_1s'_2\cdots s'_r$. - Avec la question précédente, montrer que, si $T$ est fini, alors $T$ est un sous-groupe de $G$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Non : cf le produit libre $\Z/2\Z * \Z/2\Z$ : l'ensemble des mots sur $\{A,B\}$ où deux $A$ d'affilée se simplifient, munit de la concaténation. + - Pour deux éléments : on peut écrire $s_1 s_2 = s_2 \big(s_2^{-1} s_1 s_2\big)$ : on a mis le second en premier. On peut recommencer tant que le premier est plus grand, on obtient une suite strictement décroissante, qui s'arrête car $S$ fini. + + Puis récurrence sympa. + - Si $T$ est fini, si $ab\not \in T$, alors on obtient une infinité de puissances, qui sont distinctes, mais d'après la question précédentes, elle s'écrivent comme un produit croissant, qui n'a qu'un nombre fini de possibilités. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 282] -- Soit $s:\R^*\to\R^*,t\mapsto t^{-1}$. Déterminer le groupe engendre par $s$. + - Soit $s\colon \R^*\to\R^*,\, t\mapsto t^{-1}$. Déterminer le groupe engendré par $s$. - On définit les applications $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et -Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe a $\mc{S}_3$. + Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe a $\mc{S}_3$. - Retrouver le resultat de la question précédente en considerant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$. - Soit $n\geq 3$. Déterminer le groupe engendre par les bijections $(s - {1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ définies par $s_i(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},...,t_n)$ si $1\lt i\lt n$, $s_1(t_1,...,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,...,t_n)$ et $s_n(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$. -Ind. Considèrer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ définie par $f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$. + Ind. Considèrer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ définie par $f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 283] -Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On note, pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d'elements de $G$ d'ordre $d$. +Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On note, pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d'éléments de $G$ d'ordre $d$. - Montrer que $n=\sum_{d\mid n}n_d(G)$. - Calculer les $n_d(G)$ lorsque $G$ est cyclique. - Montrer que, si pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $|\{x\in G,\ x^d=1\}|\leq d$, alors $G$ est cyclique. - Soient $\mathbb{K}$ un corps et $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$. Montrer que $G$ est cyclique. #+end_exercice +# Cf un précédent #+begin_exercice [X MP 2023 # 284] On pose $\Q[i]=\{a+ib\;;\ a,b\in\Q\}$. - - Montrver que $\Q[i]$ est un sous-corps de $\C$. - - Déterminer les elements de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d'ordre fini. + - Montrer que $\Q[i]$ est un sous-corps de $\C$. + - Déterminer les éléments de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d'ordre fini. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 285] -- Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$. On considère la $\mathbb{K}$-algebre $A$ admettant une base sur $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. A quelle condition cette algebre est-elle un corps? - - On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p$ ou $p$ est un nombre premier. Combien de $\mathbb{F}_p$-algebres non isomorphes peut-on obtenir ainsi? +- Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$. On considère la $\mathbb{K}$-algèbre $A$ admettant une base sur $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. À quelle condition cette algèbre est-elle un corps? + - On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p$ ou $p$ est un nombre premier. Combien de $\mathbb{F}_p$-algèbres non isomorphes peut-on obtenir ainsi? #+end_exercice #+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 286] @@ -2422,85 +2445,152 @@ Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $ Pour tout isomorphisme $\tau\colon A\ra \A$, $u_A$ commute avec $\tau$. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2023 # 287] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 287] :sup: Soit, pour $n\in\N^*$, $P_n=1+X+\cdots+X^{n-1}$. Montrer que $\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}P_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}{2}\right)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Revient à l'identité $\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{k=p+1}^{n} {n\choose k} = \sum_{k=p}^{n-1} \frac{1}{2^k} {k\choose p}$, qui peut se démontrer par des récurrence, en appliquant successivement la formule de Pascal. Faire le dessin. + +Interprétation probabiliste : on divise par $2$, à gauche, on a la probabilité de tirer une partie de taille $\gt p$. À droite, si on imagine des tirages pile/face successif, c'est la probabilité d'obtenir le $p+1$-ème élément au rang $k+1$ exactement. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 288] -- Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$. + - Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$. - Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_{n-1}$. - Pour $n\geq 1$, donner une relation entre $S_n^{''}$ et $S_{n-1}'$. - En déduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP 2023 # 289] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 289] :sup: Soit $n\in\N^*$. Soit $q\in\C$ tel que $0\lt |q|\lt 1$. -On pose $F:z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$. - - Montrver qu'il existe une unique list $(c_0,\ldots,c_n)\in\C^{n+1}$ telle que +On pose $F\colon z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$. + - Montrer qu'il existe une unique liste $(c_0,\ldots,c_n)\in\C^{n+1}$ telle que -$\forall z\in\C^*,\ F(z)=\sum_{k=0}^nc_k(z^k+z^{-k})$. - - Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en déduire une expression de $c_k$ a l'aide d'un produit. Ind. Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$. + $$\forall z\in\C^*,\ F(z)=\sum_{k=0}^nc_k(z^k+z^{-k})$$. + - Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en déduire une expression de $c_k$ a l'aide d'un produit. + + Ind. Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Existence claire, unicité via l'unicité polynomiale. + - On a $F(q^2z)$. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 290] Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que $(X+Y)^n$ soit congru a $X^n+Y^n$ modulo $p$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Pour $n=p$ ok. Sinon, cf Lucas pour les coefficients binomiaux, on veut que $n$ divise tous les ${n\choose k}$. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 291] -Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrver qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$. +Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrer qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +C'est des DLs. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 292] - Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une définition similaire pour les polynomes a une indéterminee. +Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une définition similaire pour les polynomes a une indéterminee. - Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. - Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. - Déterminer tous les polynomes $P\in\Z[T]$ tels que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $T^p$ + - $T^p$ + - +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 293] Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux a deux distincts. Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. Montrer qu'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise $H-H_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Interpolation de Hermite. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 294] -- Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu'il existe un entier $F$ tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in\db{1,r}$. - - Soient $N_1,\ldots,N_r$ des elements de $\C[X]$ premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des elements de $\C[X]$. Montrer qu'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$ pour tout $i\in\db{1,r}$. - - Soient $f,g$ deux elements de $\C[X]$ premiers entre eux, et $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $h\in\C[X]$ tel que $g$ divise $h^n-f$. + - Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu'il existe un entier $F$ tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in\db{1,r}$. + - Soient $N_1,\ldots,N_r$ des éléments de $\C[X]$ premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des éléments de $\C[X]$. Montrer qu'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$ pour tout $i\in\db{1,r}$. + - Soient $f,g$ deux éléments de $\C[X]$ premiers entre eux, et $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $h\in\C[X]$ tel que $g$ divise $h^n-f$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - + - Se ramener au cas de $g = X^n$, via ce qui précède, peut-être. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 295] -Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irreductible dans $\Z[X]$? +Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irréductible dans $\Z[X]$? #+end_exercice +#+BEGIN_proof +!! Pour $n=2$, $1$ est racine :) +#+END_proof + +# Kronecker #+begin_exercice [X MP 2023 # 296] Soit $P\in\Z[X]$ un polynome unitaire dont les racines complexes ont un module inferieur ou egal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unite. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP 2023 # 297] -Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n$. On ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$. + +#+begin_exercice [X MP 2023 # 297] :sup: +Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n\in\Z$. On ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$. - Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$. - En déduire qu'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - C'est juste le degré de $R$. +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2023 # 298] + +#+begin_exercice [X MP 2023 # 298] :sup: On se propose de donner une preuve du theoreme de d'Alembert-Gauss. - Montrer qu'il suffit de montrer le theoreme pour les polynomes a coefficients réels. Dans la suite, on ecrira le degre d'un polynome non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$. - Montrer le theoreme dans le cas ou $n=0$. -Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe. + Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe. - Soit $P\in\R[X]$ de degre $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet l'existence d'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ est scinde, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixe $c\in\R$, on pose $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$. - - Montrer que le polynome $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients réels. - Montrer que l'un des $y_{ij}(c)$ est element de $\C$. - - Montrer finalement que l'un des $x_i$ est element de $\C$. + - Montrer que le polynome $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients réels. + - Montrer que l'un des $y_{ij}(c)$ est élément de $\C$. + - Montrer finalement que l'un des $x_i$ est élément de $\C$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Considérer $Q \ol{Q}$. + - Tout polynôme de degré impair admet une racine. + - + - Propriété de symétrie : prendre son conjugué. + - Découle de la première question. + - Pour tout $c\in\R$, un des $x_i + x_j + c x_i x_j$ est dans $\R$. Si $i = j$ c'est bon. Sinon, pour une infinité de $c$, c'est le même couple, donc $x_i + x_j\in\C$, et $x_i x_j\in\C$. +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2023 # 299] + +#+begin_exercice [X MP 2023 # 299] :sup: Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$. - On suppose que $q$ n'est pas une racine de l'unite. Montrer qu'il existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s'il y en a deux alors elles sont opposees l'une de l'autre. - Montrer que le resultat precedent peut tomber en defaut si l'on ne suppose plus que $q$ n'est pas une racine de l'unite. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - On a $G(qX) G(q^{-1} X) = \frac{F-1}{F(q^{-2}X)}$. + Si $x_i$ sont les poles/racines de $G$, les poles/racines de $G(qX) G(q^{-1}X)$ sont les $qx_i$ et les $q^{-1} x_i$, de multiplicités $m(y_i) = m_{q^{-1}y_i} + m_{q y_i}$. + + Ces multiplicités déterminent entièrement les multiplicités d'origine, car $q$ n'est pas une racine de l'unité (… technique à écrire). + + Si on a l'égalité $G(qX) G(q^{-1} X) = G'(qX) G(^{-1}X)$, on a les mêmes poles/racines, et quitte à les retirer, on a la même constante, à $\pm$ près. +#+END_proof + + +# Liberté des caractères #+begin_exercice [X MP 2023 # 300] Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$. Montrer que $\M$ est une partie libre du $\C$-espace vectoriel $\C^G$. #+end_exercice @@ -2508,52 +2598,82 @@ Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$ #+begin_exercice [X MP 2023 # 301] On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien définie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique a partir d'un certain rang. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \ra (ad-bc) \begin{pmatrix}1/d & -1/b \\ -1/c & 1/a\end{pmatrix}$ +Si on est un point fixe, on vérifie $a/b = -\frac{1/d}{1/b}$ , c'est-à-dire $b^2 = - ad$ et $c^2 = - ad$. Donc $b = \pm c$, mais si $b = -c$, $ad - bc = 0$, donc $b = c$. +et $ad-bc = 2ad = -2b^2$ + +Alors $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \ra \begin{pmatrix}2a & 2b \\ 2c & 2d\end{pmatrix}$, donc pas de point fixe. + +Si on applique une deuxième fois l'application, comme $\phi(c x) = c \phi(x)$, on obtient + $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\ra (ad-bc) \big(\frac{1}{da} - \frac{1}{bc}\big) \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ +Donc on est point fixe si et seulement si $(ad - bc)(bc - ad) = adbc \ssi (ad-bc)^2 = -adbc$ $\ssi X^2 +Y^2 = 3XY$. M'enfin, si c'est le cas, c'est directement le cas je dirais, peut-être. +#+END_proof + + +# À relier… #+begin_exercice [X MP 2023 # 302] Soit $R\in\M_n(\Z)$ non nulle et $M=I_n+3R$. Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, $M^k\neq I_n$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [X 2023 # 303] +#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 303] :sup: Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que $p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$. #+END_exercice #+BEGIN_proof On a $u(\Ker p)\subset \Im p$ et $u(\Im p) \subset \Ker p$. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2023 # 304] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 304] :sup: Pour $(A,B)\in\M_n(\R)^2$, on pose $\phi_{A,B}:M\in\M_n(\R)\mapsto AMB$. Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$. - L'ensemble $T$ est-il un $\R$-espace vectoriel? - - Montrer que l'espace vectoriel engendre par $T$ est $\mc{L}\left(\M_n(\R)\right)$. + - Montrer que l'espace vectoriel engendré par $T$ est $\mc{L}\left(\M_n(\R)\right)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Non. + - On prend les $E_{ij} M E_{k\l}$, ils forment une famille libre. +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2023 # 305] + +#+begin_exercice [X MP 2023 # 305] :sup: Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $R_P=\det(I_n+(X-1)P)$. - Calculer $R_P$ en fonction de $P$. - Soient $P,Q$ des matrices de projecteur dans $\M_n(\mathbb{K})$ telles que $PQ=QP=0$. Montrer que $R_PR_Q=R_{P+Q}$. - - Soit $\phi$ un automorphisme de la $\mathbb{K}$-algebre $\M_n(\mathbb{K})$. - - Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout $i\in\db{1,n}$. - - Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans $\db{1,n}$? - - Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Im}\,\phi(E_{i,1})$. + - Soit $\phi$ un automorphisme de la $\mathbb{K}$-algèbre $\M_n(\mathbb{K})$. + - Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout $i\in\db{1,n}$. + - Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans $\db{1,n}$? + - Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Im}\,\phi(E_{i,1})$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $R_P = X^r$ + - C'est-à-dire que $\rg (P+Q) = \rg P + \rg Q$. + - Pas de rapport avec ce qui précède. + - +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 306] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une application $q:V\to\C$ telle que $u^2=q(u)\,\mathrm{id}$ pour tout $u\in V$. - Monter que, pour tous $u,v\in V$, il existe $B(u,v)\in\C$ tel que $uv+vu=2B(u,v)\,\mathrm{id}_E$. - - Montrer que $B$ est une forme bilineaire. - Soient $d\geq 1$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\db{1,n}$. Montrer que $(u_1,\ldots,u_d)$ est libre. + - Montrer que $B$ est une forme bilineaire. + - Soient $d\geq 1$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\db{1,n}$. Montrer que $(u_1,\ldots,u_d)$ est libre. - Soient $d\geq 2$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\db{1,n}$. Montrer que les $u_i$ sont de trace nulle, et que $\dim E$ est paire. #+end_exercice +# À relier à un classique. #+begin_exercice [X MP 2023 # 307] Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On suppose que $\phi(I_n)$ est inversible et que $\forall A,B\in\M_n(\C)$, $\phi(AB)=\phi(A)\,\phi(B)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que : $\forall A\in\M_n(\C)$, $\phi(A)=PAP^{-1}$. #+end_exercice +# Relier : automorphismes d'algèbres de $\C(X)$ #+begin_exercice [X MP 2023 # 308] - Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ verifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$. - Déterminer les automorphismes de $\C(X)$ verifiant $(*)$. #+end_exercice +# Perron-Frobenius #+begin_exercice [X MP 2023 # 309] Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$. - Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de $M$ est de module $\leq 1$. @@ -2562,6 +2682,7 @@ Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i - On se donne trois réels strictement positifs $p,q,r$ tels que $p+q+r=1$. On considère la matrice $B\in\M_n(\R)$ définie par $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$. #+end_exercice +# À relier #+begin_exercice [X MP 2023 # 310] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $f\in\mc{L}(E)$ cyclique, $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$. Montrer que l'induit par $f$ sur $F$ est cyclique. #+end_exercice @@ -2570,7 +2691,7 @@ Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $f\in\mc{L}(E)$ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$ telles que $ab-ba=fv$. - Que peut-on dire de $\det(ab-ba)$? - Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables. - - A quelle condition sur $u\in\mc{L}(E)$ existe-t-il $w\in\mc{L}(E)$ tel que $uw-wv$ soit de rang 1? + - À quelle condition sur $u\in\mc{L}(E)$ existe-t-il $w\in\mc{L}(E)$ tel que $uw-wv$ soit de rang 1? #+end_exercice #+BEGIN_proof - $fv$ est un endomorphisme de rang $1$, on note son image $\vect (t)$. @@ -2593,10 +2714,12 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel qu #+END_proof +# Classique #+begin_exercice [X MP 2023 # 313] Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associee a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguees dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables. #+end_exercice +# À relier #+BEGIN_exercice [X 2023 # 314] Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$. 1. Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable. @@ -2608,11 +2731,13 @@ Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$. #+END_proof +# Classique, quadrature #+begin_exercice [X MP 2023 # 315] Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynomes. - - Déterminer le degre de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. - Montrer que $L_n$ est scinde a racines réelles simples $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$. - Montrer qu'il existe des réels $a_1,\ldots,a_n$ tels que - -$\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$. + - Déterminer le degre de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. + - Montrer que $L_n$ est scinde a racines réelles simples $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$. + - Montrer qu'il existe des réels $a_1,\ldots,a_n$ tels que + $\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [X 2023 # 316] @@ -2622,7 +2747,12 @@ Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $ $$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-b_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^\alpha$$ #+END_exercice #+BEGIN_proof +Pour $\a = 2$, on veut montrer que si on prend $3n$ points dans la sphère unité, il existe un point tel que la somme des distances au carré soient égales. +Pour $n = 1$ : c'est l'intersection de la droite passant par l'origine et le centre du cercle circonscrit au triangle. + +!! +Pour $n = 2$, On peut $P_a(x) + P_a'(y) = P_b(x) + P_b'(y) = \dots$ #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 317] @@ -2664,11 +2794,11 @@ Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels. #+begin_exercice [X MP 2023 # 323] On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note $\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$. - - Montrver que $\|\!|\!|\!|\!|\!|$ définit une norme sur $\M_n(\R)$. - - Montrver que $\|\!|\!|A|\!|\!|=\sup_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$. + - Montrer que $\|\!|\!|\!|\!|\!|$ définit une norme sur $\M_n(\R)$. + - Montrer que $\|\!|\!|A|\!|\!|=\sup_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$. - On prend $A=\Big{(}\dfrac{1}{i+j+1}\Big{)}_{0\leq i,j\leq n}$ dans $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X=(x_0\cdots x_n)^T$ et $Y=(y_0\cdots y_n)^T$ dans $\R^{n+1}$, donner une interpretation de $\left\langle AX,Y\right\rangle$ a l'aide d'une intégrale faisant intervenir $P:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et $Q:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^ny_ke^{ikt}$. - En déduire que $\|\!|\!|A|\!|\leq 2\pi$. - - Montrver que l'on a meme $\|\!|A|\!|\!|\leq\pi$. + - Montrer que l'on a meme $\|\!|A|\!|\!|\leq\pi$. #+end_exercice ** Analyse @@ -2695,13 +2825,13 @@ Déterminer les endomorphismes continus du groupe $\C^*$. #+begin_exercice [X MP 2023 # 327] Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On définit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, $\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$. - - Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrver que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$. + - Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrer que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$. - Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle. On suppose que la série de terme général $|u_n-1|$ converge. Montrer que la suite de terme général $\prod_{k=0}^nu_k$ converge. Soit $(M_n)_{n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose que la série de terme général $\|M_n-I_d\|$ converge. On pose, pour $n\in\N$, $B_n=M_0\times M_1\times\cdots\times M_n$. - - Montrver que la suite $(B_n)_{n\geq 0}$ converge. + - Montrer que la suite $(B_n)_{n\geq 0}$ converge. - Soit $\sigma$ une permutation de $\N$. Que peut-on dire de la suite de terme général $M_{\sigma(0)}\times\cdots\times M_{\sigma(n)}$? - Soit $E=\left\{\prod_{k=0}^{+\i}M_{\sigma(k)},\ \sigma\in\mc{S}( \N)\right\}$. Existe-t-il une suite de matrices pour laquelle $E$ n'est pas ferme? - Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M_n)_{n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes? @@ -2751,7 +2881,7 @@ On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^ #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 331] -Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algebre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algebre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. Jusqu'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$. +Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algèbre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algèbre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. Jusqu'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$. - Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$. - On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$. - En déduire que $\|a-1\|=2$. @@ -2760,8 +2890,8 @@ Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{ Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$. - Est-ce que $A$ est necessairement egale a $\R$? - - On admet qu'il existe une $\R$-algebre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considère la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallelement a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considère la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien définie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative. - - Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algebre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$. + - On admet qu'il existe une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considère la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallélément a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considère la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien définie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative. + - Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algèbre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [X 2023 # 332] @@ -2870,7 +3000,7 @@ Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\ #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 350] -Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ d'elements de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$. +Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 351] @@ -3160,7 +3290,7 @@ Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la l Soient $b,n\in{\N}^*$. On considère $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aléatoires independantes suivant la loi uniforme sur $\db{0,b-1}$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in \db{1,n} \mid B_i\gt B_{i+1}\}$. - Pour $i\in \db{1,n-1}$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$. - Soit $j\in\db{1, n-j-1}$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$. - - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ elements à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui verifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$. + - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ éléments à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui verifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 389] @@ -3219,7 +3349,7 @@ Soit $n\geq 1$. #+end_exercice #+begin_exercice Urne de Polya [X MP 2023 # 395] -Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. A chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle tirée dans l'urne. On note $X_n$ le nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages et $T_n$ l'evenement «tirer une boule jaune au $n$-ième tirage». +Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. À chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle tirée dans l'urne. On note $X_n$ le nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages et $T_n$ l'evenement «tirer une boule jaune au $n$-ième tirage». 1. s Calculer $P(T_1\mid T_2)$. 2. Déterminer la loi de $X_n$. 3. Calculer $P(T_n)$. @@ -3279,7 +3409,7 @@ Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ #+END_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 401] -On cherche a collectionner $N$ jouets. A chaque achat, chaque jouet a une probabilité uniforme d'être obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents. +On cherche a collectionner $N$ jouets. À chaque achat, chaque jouet a une probabilité uniforme d'être obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents. - Calculer l'espérance de $T_N$. - Calculer la variance de $T_N$. - Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$. @@ -3301,7 +3431,7 @@ Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires ** X PSI :autre: -*** Algebre +*** Algèbre #+begin_exercice [X PSI 2023 # 404] Pour $n\geq 2$ on pose $P_n=(X+1)^n+X^n+1$ et $Q(X)=(X^2+X+1)^2$. @@ -3412,7 +3542,7 @@ On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aléatoires indepen #+end_exercice ** X PC :autre: -*** Algebre +*** Algèbre #+begin_exercice [X PC 2023 # 424] Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $m\in\N^*$ et $\eps_1,\ldots,\eps_m\in\{-1,1\}$ tels que $n=\sum_{k=1}^m\eps_kk^2$. @@ -3439,7 +3569,7 @@ Caracteriser les matrices $A\in\M_n(\C)$ telles que l'ensemble des matrices semb #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 440] -Soit $G$ une partie de $\mathrm{GL}_2(\R)$ qui contient $I_2$ et qui est stable par produit et passage a l'inverse. On note $\mathrm{Vect}(G)$ l'ensemble des combinaisons lineaires d'elements de $G$. Montrer que $\mathrm{Vect}(G)\neq\M_2(\R)$ si et seulement si une des conditions suivantes est verifiee : +Soit $G$ une partie de $\mathrm{GL}_2(\R)$ qui contient $I_2$ et qui est stable par produit et passage a l'inverse. On note $\mathrm{Vect}(G)$ l'ensemble des combinaisons lineaires d'éléments de $G$. Montrer que $\mathrm{Vect}(G)\neq\M_2(\R)$ si et seulement si une des conditions suivantes est verifiee : (i) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est triangulaire superieure, @@ -3892,7 +4022,7 @@ On tire une piece $n$ fois independamment avec probabilité de faire pile $1/n$. #+begin_exercice [X PC 2023 # 516] - Montrer que $\forall x\in\R$, $\mathrm{ch}(x)\leq e^{x^2/2}$. - - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Soit $\lambda\in\R^{+*}$. Montrer que $\mathbf{P}(S_n\geq\lambda)\leq e^{-\lambda^2/2n}$._Algebre_ + - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Soit $\lambda\in\R^{+*}$. Montrer que $\mathbf{P}(S_n\geq\lambda)\leq e^{-\lambda^2/2n}$._Algèbre_ #+end_exercice @@ -3974,7 +4104,7 @@ Soit $p$ un nombre premier impair. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 529] -Soient $A$ un anneau commutatif integre et $(a_0,\ldots,a_n)$ une famille non nulle d'elements de $A$. Montrer que l'équation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ admet au plus $n$ solutions dans $A$. +Soient $A$ un anneau commutatif integre et $(a_0,\ldots,a_n)$ une famille non nulle d'éléments de $A$. Montrer que l'équation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ admet au plus $n$ solutions dans $A$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 530] @@ -4019,9 +4149,9 @@ Interpolation de Lagrange. #+begin_exercice [Mines 2023 # 536] Soit $P\in\C[X]$. - - A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\C$ sur $\C\,?$ - - A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\R$ sur $\R\,?$ - - A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\Q$ sur $\Q\,?$ + - À quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\C$ sur $\C\,?$ + - À quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\R$ sur $\R\,?$ + - À quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\Q$ sur $\Q\,?$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 537] @@ -4069,7 +4199,7 @@ $\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $\mu(a,b)\equiv v(a)-v(b) [2]$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 543] -- Soit $P\in\C[X]\setminus\{0\}$. Decomposer $P'/P$ en elements simples. +- Soit $P\in\C[X]\setminus\{0\}$. Decomposer $P'/P$ en éléments simples. - On note $a_1,...,a_n$ les racines de $P$. Soit $a$ une racine de $P'$. Montrer qu'il existe des réels positifs $t_1,...,t_n$ tels que $t_1+\cdots+t_n=1$ et $t_1a_1+\cdots+t_na_n=a$. #+end_exercice @@ -4155,7 +4285,7 @@ Soient $K_1$,..., $K_n$ des segments non triviaux disjoints. #+begin_exercice [Mines 2023 # 560] Soit $n\in\N^*$. Soit $D$ l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\mathbb{K})$ telles que $m_{i,j}=0$ si $i$ et $j$ sont de parites differentes. - - Montrer que $D$ est une sous-algebre de $\M_n(\mathbb{K})$. + - Montrer que $D$ est une sous-algèbre de $\M_n(\mathbb{K})$. - Soit $M\in D\cap\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $\,\text{Com}(M)\in D$. - Traiter le cas ou $M$ n'est pas inversible. #+end_exercice @@ -4172,7 +4302,7 @@ Montrer $\forall k\geq 1$, $\mathrm{tr}(A^k)+\mathrm{tr}(B^k)=\mathrm{tr}\left(( #+begin_exercice [Mines 2023 # 563] - Soit $f\in\mc{L}\left(\M_n(\mathbb{K}),\mathbb{K}\right)$ verifiant : $\forall(A,B)\in\M_n(\mathbb{K})^2,f(AB)=f(BA)$. Montrer que $f$ est proportionnelle a la trace. - - Soit $g\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ un endomorphisme d'algebre. Montrer que $\mathrm{tr}\circ g=\mathrm{tr}$. + - Soit $g\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ un endomorphisme d'algèbre. Montrer que $\mathrm{tr}\circ g=\mathrm{tr}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 564] @@ -4207,7 +4337,7 @@ Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente. #+begin_exercice [Mines 2023 # 569] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(u,v)\in\mc{L}(E)^2$. - Montrer que $|\op{rg}(u)-\op{rg}(v)|\leq\op{rg}(u+v) \leq\op{rg}(u)+\op{rg}(v)$. - - Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $G$ et $H$ deux supplementaires de $F$. On note $p$ (resp. $q$) la projection sur $F$ (sur $H$) parallelement a $G$ (a $F$). + - Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $G$ et $H$ deux supplementaires de $F$. On note $p$ (resp. $q$) la projection sur $F$ (sur $H$) parallélément a $G$ (a $F$). Montrer que $\op{rg}(p+q)=\op{rg}p+\op{rg}q$. #+end_exercice @@ -4222,15 +4352,15 @@ Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $\sum_{M\in G}\ #+begin_exercice [Mines 2023 # 572] - Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ tel que $\sum_{g\in G}\op{tr}g=0$. Montrer que $\sum_{g\in G}g=0$. - - Soient $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$ stable par tous les elements de $G$. Montrer que $V$ admet un supplementaire stable par tous les elements de $G$. + - Soient $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$ stable par tous les éléments de $G$. Montrer que $V$ admet un supplementaire stable par tous les éléments de $G$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 573] -Déterminer les ideaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes additifs stables par multiplication a gauche et a droite par n'importe quel element de $\M_n(\R)$. +Déterminer les ideaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes additifs stables par multiplication a gauche et a droite par n'importe quel élément de $\M_n(\R)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 574] -Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $f$ et $g$ deux elements de $\mc{L}(E)$ tels que $fg-gf=\text{id}_E$. +Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $f$ et $g$ deux éléments de $\mc{L}(E)$ tels que $fg-gf=\text{id}_E$. - Montrer que $E$ est de dimension infinie ou nulle. - Montrer que $f$ n'est pas nilpotent. - Donner un exemple de triplet $(E,f,g)$ verifiant les conditions précédentes. @@ -4257,7 +4387,7 @@ Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ verifiant : $\forall(i,j,k,\ell) - Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^nF_i$. - En déduire $\dim F_i$. - Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,M_{i,j}=PE_{i,j}P^{-1}$. - - Expliciter les automorphismes de l'algebre $\M_n(\mathbb{K})$. + - Expliciter les automorphismes de l'algèbre $\M_n(\mathbb{K})$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 578] @@ -4305,8 +4435,8 @@ Ecrire l'ensemble des matrices symetriques de $\M_2(\C)$ non diagonalisables com #+begin_exercice [Mines 2023 # 587] Soient $a,b$ dans $\R^*$ et $A$ la matrice de taille $2n$ dont la diagonale contient des $a$, l'anti-diagonale des $b$ et les autres coefficients sont nuls. - - La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Déterminer ses elements propres. - - A quelle condition $A$ est-elle inversible? + - La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Déterminer ses éléments propres. + - À quelle condition $A$ est-elle inversible? - Calculer $A^k$ pour $k\in\N$. #+end_exercice @@ -4377,7 +4507,7 @@ Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 598] Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. - Montrer que deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ qui commutent ont un vecteur propre en commun. - - Montrer qu'une famille finie $F$ d'endomorphismes de $E$ qui commutent admet une base de trigonalisation commune a ses elements. + - Montrer qu'une famille finie $F$ d'endomorphismes de $E$ qui commutent admet une base de trigonalisation commune a ses éléments. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 599] @@ -4506,8 +4636,8 @@ Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$, $v_1,\ldot #+begin_exercice [Mines 2023 # 628] Soient $(E,\langle\,\rangle)$ un espace euclidien, $c_1,c_2\in E$, $r_1,r_2\in\R^{+*}$. - - A quelle condition les boules fermees $B_f(c_1,r_1)$ et $B_f(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles? - - A quelle condition les spheres $S(c_1,r_1)$ et $S(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles? + - À quelle condition les boules fermees $B_f(c_1,r_1)$ et $B_f(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles? + - À quelle condition les spheres $S(c_1,r_1)$ et $S(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 629] @@ -4533,7 +4663,7 @@ Soient $(E,\left\langle\;,\;\right\rangle)$ un espace euclidien et $a\in E\setmi Pour $\lambda\in\R$, soit $\Phi_{\lambda}:x\mapsto x-\lambda\left\langle a,x\right\rangle a$. - Déterminer les $\lambda$ pour lesquels $\Phi_{\lambda}$ est inversible. - Si $\lambda,\mu\in\R$, calculer $\Phi_{\lambda}\circ\Phi_{\mu}$. - - Soit $\lambda\in\R$. Déterminer les elements propres de $\Phi_{\lambda}$. + - Soit $\lambda\in\R$. Déterminer les éléments propres de $\Phi_{\lambda}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 633] @@ -4586,7 +4716,7 @@ Calculer le minimum de la fonction $f:(x,y)\in\R^2\mapsto\int_0^1(t\ln(t)-xt-y)^ #+begin_exercice [Mines 2023 # 640] On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\db{0,n}$. On munit également $\R_n[X]$ du produit scalaire défini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$. - Montrer que $(Q_0,\ldots,Q_n)$ est une base orthogonale de $\R_n[X]$. - - On fixe $k\in\db{0,n}$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des elements de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est egal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$. + - On fixe $k\in\db{0,n}$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des éléments de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est egal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$. - Trouver $R_k\in\mc{F}_{k,n}\cap\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}^{\perp}$, et calculer $\int_0^1R_k(t)^2\,dt$. Interpréter le resultat. #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -4603,7 +4733,7 @@ On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour #+begin_exercice [Mines 2023 # 641] Soient $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites réelles et $D:u\in E\longmapsto (u_{n+1}-u_n)_{n\in\N}$. - Verifier que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? Surjectif? - - Donner les elements propres de l'endomorphisme $D$. + - Donner les éléments propres de l'endomorphisme $D$. - Soit $F$ l'espace des suites réelles de carre sommable. Montrer que $F$ est stable par l'endomorphisme $D$. @@ -4900,7 +5030,7 @@ Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 689] -On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algebre. +On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algèbre. - Soit $A\in E$. Étudier la convergence de la série $\sum A^k$ si $\|A\|\lt 1$. Cette condition est-elle necessaire pour que la série soit convergente? @@ -5158,7 +5288,7 @@ Soit $f_n=x\mapsto\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 734] -Soit $\alpha$ un réel non nul. On pose, pour $x\in[-1,1]$, $g_{\alpha}(x)=\cos(\alpha\arcsin x)$. A quelle condition sur $\alpha$ la fonction $g_{\alpha}$ est-elle polynomiale? +Soit $\alpha$ un réel non nul. On pose, pour $x\in[-1,1]$, $g_{\alpha}(x)=\cos(\alpha\arcsin x)$. À quelle condition sur $\alpha$ la fonction $g_{\alpha}$ est-elle polynomiale? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 735] @@ -5200,7 +5330,7 @@ ii) $\forall(x,y)\in\R^2,f(x+y)=f(x)f(y)$ et $\forall x\in\R,\det(f(x))\neq 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 742] -Soient $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $D:f\in E\mapsto f'$. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et déterminer ses elements propres. +Soient $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $D:f\in E\mapsto f'$. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et déterminer ses éléments propres. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 743] @@ -5222,7 +5352,7 @@ Montrer qu'il existe $g\in F$ tel que $f=g^{''}$ si et seulement si $\int_a^bf(t #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 746] -Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application définie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Verifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Déterminer ses elements propres. +Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application définie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Verifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Déterminer ses éléments propres. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 747] @@ -5379,9 +5509,9 @@ Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une su #+begin_exercice [Mines 2023 # 780] Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a\lt b$ et $S=[a,b]$. - - On suppose que $S\cap\Z\neq\emptyset$. Expliciter une fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ qui n'est pas limite uniforme sur $S$ d'une suite d'elements de $\Z[X]$. + - On suppose que $S\cap\Z\neq\emptyset$. Expliciter une fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ qui n'est pas limite uniforme sur $S$ d'une suite d'éléments de $\Z[X]$. - On suppose $S\subset]0,1[$. On définit une suite $(P_n)_{n\geq 0}$ de polynomes par $P_0=X$ et, pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=2P_n(1-P_n)$. Montrer que $(P_n)_{n\geq 0}$ converge uniformement sur $S$ vers la fonction constante egale a $\frac{1}{2}$. - - On suppose que $S\cap\Z=\emptyset$. Montrer que toute fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ est limite uniforme sur $S$ d'une suite d'elements de $\Z[X]$. + - On suppose que $S\cap\Z=\emptyset$. Montrer que toute fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ est limite uniforme sur $S$ d'une suite d'éléments de $\Z[X]$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 781] @@ -5463,7 +5593,7 @@ Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entiere $\sum z^{n+ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 795] -Soit $u$ qui a $P\in\C[X]$ associe $u(P):z\mapsto e^{-z}\sum_{n=0}^{+\i}\frac{P(n)}{n!}z^n$. Montrer que $u$ est bien définie, et que c'est un automorphisme de $\C[X]$. Déterminer ses elements propres. +Soit $u$ qui a $P\in\C[X]$ associe $u(P):z\mapsto e^{-z}\sum_{n=0}^{+\i}\frac{P(n)}{n!}z^n$. Montrer que $u$ est bien définie, et que c'est un automorphisme de $\C[X]$. Déterminer ses éléments propres. #+end_exercice # ID:6919 @@ -5746,7 +5876,7 @@ On pose : $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n\exp(-\lambda_nx)$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 842] Soient $a$ et $b$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R^+$ et $S$ l'ensemble des solutions de $y'=ay+b$. Montr per l'equivalence entre : -i) tous les elements de $S$ sont bornes, ii) $a$ et $b$ sont intégrables. +i) tous les éléments de $S$ sont bornes, ii) $a$ et $b$ sont intégrables. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 843] @@ -5838,7 +5968,7 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n;$ Expliciter les solutions de $X'(t)=AX( #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 859] -Soit $A\in\M_n(\C)$. A quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme différentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornees sur $\R$? +Soit $A\in\M_n(\C)$. À quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme différentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornees sur $\R$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 860] @@ -5958,7 +6088,7 @@ Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 877] Soient $U$ un ouvert convexe de $\R^n$ et $f:U\to\R$ une fonction de classe $C^1$. - Montrre que $f$ est convexe si et seulement si $f(y)-f(x)\geq df_x(y-x)$ pour tous $x,y\in U$. Que donne cette caracterisation dans le cas ou $n=1$? - - Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrre que $\Phi$ atteint sa borne inferieure en un unique element de $E$, que l'on precisera. + - Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrre que $\Phi$ atteint sa borne inferieure en un unique élément de $E$, que l'on precisera. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 878] @@ -5980,7 +6110,7 @@ Si $n\in\N^*$, déterminer $T_{I_n}\mathrm{SO}_n(\R)$, puis, si $M\in\mathrm{SO} # ID:6954 #+begin_exercice [Mines 2023 # 880] -On tire au hasard un element $A$ de $P(\db{1,n})$. Calculer la probabilité que $\op{Card}A$ soit un entier pair. +On tire au hasard un élément $A$ de $P(\db{1,n})$. Calculer la probabilité que $\op{Card}A$ soit un entier pair. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 881] @@ -6238,7 +6368,7 @@ Pour $\epsilon\gt 0$, on pose : $A_n^{\epsilon}=\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i= #+end_exercice ** Mines PSI -*** Algebre +*** Algèbre #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 923] Soit $P\in\Z[X]$ tel que $\forall k\in\Z$, $P(k)$ est premier. Montrer que $P$ est constant. @@ -6252,7 +6382,7 @@ $\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $ P(X+n)+\sum_{k=0}^{n-1}a_kP(X+k)=0$. #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 925] Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'équation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$. - - Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallelement a $u$. - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D):\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$ + - Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallélément a $u$. - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D):\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 926] @@ -6328,7 +6458,7 @@ Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un réel $c\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1205] -Soient $X,Y$ deux variables aléatoires discrètes a valeurs dans $\R^{+*}$, independantes et identiquement distribuees. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. A quelle condition a-t-on egalite? +Soient $X,Y$ deux variables aléatoires discrètes a valeurs dans $\R^{+*}$, independantes et identiquement distribuees. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. À quelle condition a-t-on egalite? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1206] @@ -6351,7 +6481,7 @@ Soit $\alpha\gt 0$. * Centrale -** Algebre +** Algèbre #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1209] On considère, pour $n\in\N$, $C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. @@ -6399,7 +6529,7 @@ $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et $(x,y)\cdot(x',y')=(xx'+3yy',xy'+x^{ '}y)$. - On note $A=\Z+\sqrt{3}\Z$. Montrer que l'application $\pi$ définie par $\pi(a+b\sqrt{3})=(\overline{a},\overline{b})$ est bien définie et est un morphisme surjectif d'anneaux de $A$ dans $B$. - On suppose $n$ premier. Montrer que, si $M_n$ divise $s_{n-2}$ alors $M_n$ est premier. -Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considerant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et déterminer l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des elements inversibles de l'anneau $B$. +Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considerant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et déterminer l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des éléments inversibles de l'anneau $B$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1214] @@ -6412,8 +6542,8 @@ Ind. Considèrer $\phi:x\mapsto ax$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1215] -- Soit $G$ un groupe commutatif fini. Si $a$ et $b$ sont deux elements de $G$ d'ordre premiers entre eux, quel est l'ordre de $ab$? - - Soit $G$ un groupe commutatif fini. Montrer qu'il existe un element de $G$ dont l'ordre est le ppcm des ordres des elements de $G$. +- Soit $G$ un groupe commutatif fini. Si $a$ et $b$ sont deux éléments de $G$ d'ordre premiers entre eux, quel est l'ordre de $ab$? + - Soit $G$ un groupe commutatif fini. Montrer qu'il existe un élément de $G$ dont l'ordre est le ppcm des ordres des éléments de $G$. - Soit $p$ un nombre premier. Montrer que le groupe $\mathbb{F}_p^*$ est cyclique. #+end_exercice @@ -6441,7 +6571,7 @@ Soient $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$ et $b_1\lt b_2\cdots\lt b_p$ des réels et #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1219] Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, l'on ait $\left(f(a_{ij})\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{ R})$. - - A l'aide des matrices $U_{x,y}=\left(\begin{array}{cc}x&1\\ y&1\end{array}\right)$, montrer que $f$ est injective. + - À l'aide des matrices $U_{x,y}=\left(\begin{array}{cc}x&1\\ y&1\end{array}\right)$, montrer que $f$ est injective. - En utilisant l'ensemble $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x\lt y\}$, en déduire que $f$ est strictement monotone. - On suppose que $f(\R)=\R^{+*}$. Montrre qu'il existe $a\in\R$ tel que, pour tous $x,y\in\R$, il existe $z_{x,y}\in\R$ tel que $f(x)f(y)=f(a)f(z_{x,y})$, et conclure a une absurdite. - Traiter de meme le cas $f(\R)=\R^{-*}$. @@ -6504,7 +6634,7 @@ On suppose maintenant que $A$ a au moins deux valeurs propres distinctes. #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1227] Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Pour toute partie $A\subset{\cal L}(E)$, on note ${\cal C}(A)=\{u\in{\cal L}(E)\;;\;\forall v\in A,\;u\circ v=v\circ u\}$. L'objectif de l'exercice est d'étudier ${\cal B}(f)={\cal C}({\cal C}(\{f\}))$. - - Montrer que ${\cal B}(f)$ est une ${\mathbb{K}}$-algebre contenant ${\mathbb{K}}[f]$. + - Montrer que ${\cal B}(f)$ est une ${\mathbb{K}}$-algèbre contenant ${\mathbb{K}}[f]$. - On suppose $f$ nilpotente d'indice $n$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$. - Soient $G_1,G_2$ deux sous-espaces vectoriels supplementaires stables par un $f\in{\cal L}(E)$. On pose $f_i=f_{|G_i}$. On suppose que $\pi_{f_1}\wedge\pi_{f_2}=1$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$. #+end_exercice @@ -6605,7 +6735,7 @@ Soient $(E,N)$ et $(E',N')$ deux espaces vectoriels normes. Soit $d\in\N$. Pour $P(X)=p_0+p_1X+\cdots+p_dX^d\in\R_d[X]$ on pose $\|P\|=\max(|p_0|,...,|p_d|)$. - Verifier que l'application $\|\ \|$ est une norme sur $\R_d[X]$. -_b) i)_ Soit $(y - {n\in\N}$ une suite d'elements de $E$, convergeant vers $\ell\in E$. +_b) i)_ Soit $(y - {n\in\N}$ une suite d'éléments de $E$, convergeant vers $\ell\in E$. Montrer que l'ensemble $Y=\{y_n,\ n\in\N\}\cup\{\ell\}$ est compact. - Soit $f:E\to E'$ continue telle que, pour tout compact $K$ de $E'$, $f^{-1}(K)$ est un compact de $E$. Montrer que, si $F$ est un ferme de $E$, alors $f(F)$ est un ferme de $E'$. @@ -6735,29 +6865,29 @@ $H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1255] Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0(\R^+,\R)$ telles que $\int_0^{+\i}f^2\lt \i$. Soit $f\in E$. -On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on définit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$._a) i)_: Rappeler le theoreme concernant la derivabilite des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrver que $Tf$ est continue. - Montrver que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$. - - Soit $A\gt 0$. Montrver que $\int_0^ATf(x)^2\,dx\leq 2\int_0^A\frac{f(x)}{x} \left(\int_0^xf\right)dx$. En déduire que $Tf\in E$ et que $\|Tf\|\leq 2\|f\|$ - - Montrver que la constante 2 est optimale dans l'inegalite $(*)$. On pourra considèrer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$. +On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on définit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$._a) i)_: Rappeler le theoreme concernant la derivabilite des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrer que $Tf$ est continue. - Montrer que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$. + - Soit $A\gt 0$. Montrer que $\int_0^ATf(x)^2\,dx\leq 2\int_0^A\frac{f(x)}{x} \left(\int_0^xf\right)dx$. En déduire que $Tf\in E$ et que $\|Tf\|\leq 2\|f\|$ + - Montrer que la constante 2 est optimale dans l'inegalite $(*)$. On pourra considèrer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1256] Soient $(a_n)$ une suite réelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornee, $(b_n)$ une suite réelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$. - - Montrver qu'une série absolument convergente est convergente. - - Montrver que la série de terme général $a_nb_n$ converge. - - Montrver que la série de fonctions de terme général $b_nf_n$ converge. + - Montrer qu'une série absolument convergente est convergente. + - Montrer que la série de terme général $a_nb_n$ converge. + - Montrer que la série de fonctions de terme général $b_nf_n$ converge. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1257] Soit $f\in C^1(\R^+,\R^{+*})$ croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\sim}\frac{a}{x}$ ou $a\gt 0$. - Citer le theoreme d'integration des relations de comparaison, puis trouver un équivalent de $\ln(f(x))$ quand $x\to+\i$. - Donner le domaine de définition de $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)\,e^{-nx}$. Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son domaine de définition. - - Montrver qu'il existe $C\in\R$ tel que $u(x)\sim\frac{C}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)$ lorsque $x\to 0^+$. + - Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que $u(x)\sim\frac{C}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)$ lorsque $x\to 0^+$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1258] Soient $\alpha\in\N$ avec $\alpha\geq 2$ et $\beta\in]1,+\i[$. Soit $f:t\mapsto\sum_{n\geq 0}\frac{\cos(2\pi\alpha^nt)}{\beta^n}$. - - Montrver que $f$ est définie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est derivable sur $\R$. - - On suppose $\alpha\geq\beta$. Montrver que $f$ n'est pas derivable en $0$. + - Montrer que $f$ est définie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est derivable sur $\R$. + - On suppose $\alpha\geq\beta$. Montrer que $f$ n'est pas derivable en $0$. #+end_exercice # ID:6921 @@ -6767,7 +6897,7 @@ Soit $f\colon x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0 #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1260] On considère la série entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$. - - Montrver que le rayon de convergence $R$ est $\geq 1$. + - Montrer que le rayon de convergence $R$ est $\geq 1$. - Calculer $S(x)$ pour $|x|\lt 1$ puis montrer que $R=1$. - Déterminer un équivalent de $a_n$. #+end_exercice @@ -6920,7 +7050,7 @@ _a) i)_Soit $n\in\N$. Montrer $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}d_{n-k}=n!$. On note $D(t)$ la somme de cette série. - Calculer $e^tD(t)$. - En déduire que $d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$. - - Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\i$ de la probabilité $p_n$ qu'un element de $\mc{S}_n$ soit un derangement. + - Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\i$ de la probabilité $p_n$ qu'un élément de $\mc{S}_n$ soit un derangement. _c) i)_Pour $n$ et $p$ entiers naturels, on note $s_n(p)$ le nombre de surjections de $[\![1,n]$ sur $[1,p]$. @@ -6976,7 +7106,7 @@ Soient $\alpha\in\R$ et $u_{\alpha}:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{n^{\alpha}}{n #+end_exercice ** Centrale - PSI -*** Algebre +*** Algèbre #+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1282] Soit $A=\begin{pmatrix}0&c&b\\ -c&0&a\\ -b&-a&0\end{pmatrix}\in\M_3(\R)$. Trouver $\alpha$ pour que $A^3=\alpha A$. Calculer $A^n$ en fonction de $\alpha$. @@ -7008,7 +7138,7 @@ Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales. Si $P\in E$, on pose $L(P):x\mapsto e^{-x}\int_{-\i}^xP(t)\,e^t \dt$. - Montrer que $L$ est un endomorphisme de $E$. - - Trouver les elements propres de $L$. + - Trouver les éléments propres de $L$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1287] diff --git a/Exercices XENS MP 2023.pdf b/Exercices XENS MP 2023.pdf index b97e244..9aee55c 100644 Binary files a/Exercices XENS MP 2023.pdf and b/Exercices XENS MP 2023.pdf differ