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Exercices 2024.org

@@ -1,8 +1,8 @@
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+# -*- org-export-switch: "mines centrale"; -*-
 #+title:  Exercices 2024
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   20-11-2024
-# Time-stamp: <30-12-24 15:43>
+# Time-stamp: <31-12-24 23:08>
 
 * Meta                                                             :noexport:
 
@@ -14,7 +14,7 @@
 
 #+RESULTS:
 | ? | ! | todo | unexed |
-| 2 | 3 |   10 |   1116 |
+| 3 | 3 |    8 |   1098 |
 
 ** Options
 
@@ -34,10 +34,10 @@
 
 *** XENS MP
 
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+# #+export_file_name: Exercices XENS MP 2024
 
 *** Centrale
 
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 *** Mines Centrale
 
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-# #+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2024
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+#+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2024
 
 *** todoes
 
@@ -708,7 +709,8 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $v,w\in\mc{L}(E)$. On
 #+end_exercice
 
 
-#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 44]                                            :todo:
+# ID:7791
+#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 44]
 Soit $A,B$ dans $\M_n(\C)$.
  - Montrer que $M\in\M_n(\C)$ est nilpotente si et seulement si $\forall k\in\N^*,\ \op{tr}(M^k)=0$.
  - On suppose que $A(AB-BA)=0$. Montrer que $AB-BA$ est nilpotente.
@@ -717,7 +719,7 @@ Soit $A,B$ dans $\M_n(\C)$.
 #+BEGIN_proof
  - 
  - Quand on développe $(AB-BA)^k$, dans la trace, chaque produit a autant de $A$ que de $B$. En utilisant la propriété $A^2 B = ABA$ (et la trace), on a la même trace que n'importe quel produit alterné.
- - !!
+ - On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BA (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule.
 #+END_proof
 
 
@@ -742,15 +744,15 @@ Pour $A\in\mc{U}_n(\mathbb{K})$, on pose $\ln(A)=\sum_{p=1}^{+\i}\frac{(-1)^{p-1
  - Déterminer finalement les matrices toutes-puissantes de $\M_n(\C)$.
 #+end_exercice
 
-
+# ID:7792
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 47]
 Soient $A$, $B$, $C\in\M_n(\R)$. On considére l'équation $(E)\colon X-AXB=C$ d'inconnue $X\in\M_n(\R)$. On note $\mathrm{Sp}_{\C}(A)$ et $\mathrm{Sp}_{\C}(B)$ les spectres complexes de $A$ et $B$.
  - On suppose que, pour tout $(\alpha,\beta)\in\mathrm{Sp}_{\C}(A)\times\mathrm{Sp}_{\C}(B)$, $\alpha\beta\neq 1$. Montrer que l'équation $(E)$ admet une unique solution.
  - Que se passe-t-il dans le cas general?
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
- - Il n'est pas possible que $X = AXB$ sans que $X$ soit nulle : prendre une base de trigonalisation de $B$ (espace caractéristique par espace caractéristique), et montrer que $X$ s'annule dessus, par récurrence.
+ - Il n'est pas possible que $X = AXB$ sans que $X$ soit nulle : prendre une base de trigonalisation de $B$, et montrer que $X$ s'annule dessus, par récurrence.
- - On veut trouver un $X$ tel que $AXB = X$, sous l'hypothèse d'une valeur propre $\la$ pour $B$ et $\frac{1}{\la}$ pour $A$. !!
+ - On veut trouver un $X$ tel que $AXB = X$, sous l'hypothèse d'une valeur propre $\la$ pour $B$ et $\frac{1}{\la}$ pour $A$. Quitte à conjuguer, on peut supposer que $B = \begin{pmatrix}\la & * \\ 0 & *\end{pmatrix}$, on prend $X = (C|\vec 0 |\dots |\vec 0)$, où $C$ est un vecteur propre de $A$, de valeur propre $\frac{1}{\la}$.
 #+END_proof
 
 
@@ -865,11 +867,16 @@ Trouver un espace préhilbertien $(E,\langle\;,\;\rangle)$ et $f\colon\R\ra E$ t
 #+END_proof
 
 
+# ID:nil
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 59]
-Soient $m,n\in\N^*$ tels que $n\lt m$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $r\in\N^*$, on considére $r$ vecteurs de $\R^m$ notes $x_1,\ldots,x_r$.
+Soient $m,n\in\N^*$ tels que $n\lt m$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $r\in\N^*$, on considére $r$ vecteurs de $\R^m$ notés $x_1,\ldots,x_r$.
  - Montrer qu'il existe une matrice $U_0\in\M_{m,n}(\R)$ minimisant $\sum_{i=1}^r\|x_i-UU^Tx_i\|_2^2$ parmi toutes les matrices $U\in\M_{m,n}(\R)$ telles que $U^TU=I_n$.
  - Montrer que $\min_{U\in\M_{m,n}(\R)}\sum_{i=1}^r\|x_i-UU^Tx_i\|_2 ^2=\min_{U,V\in\M_{m,n}(\R)}\sum_{i=1}^r\|x_i-UV^Tx_{ i}\|_2^2$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - La condition donne que les colonnes de $U$ (longues) sont de module $1$, et orthogonales, donc $U$ est bornée.
+ - Énoncé ? Quelle est la condition sur $U$ ? et sur $V$ ?
+#+END_proof
 
 # ID:7740
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 60]
@@ -975,6 +982,12 @@ On munit $\M_n(\R)$ du produit scalaire défini par $\left\langle A,B\right\rang
 
 Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\colon\inf\limits_{\|G\|=1}\|AG-GB\|=\min\limits_{(\lambda_1,\lambda_2)\in\text {Sp}(A)\times\text{Sp}(B)}|\lambda_1-\lambda_2|$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Si on prend $G = X_A X_{B^T}^T$, on a $AG = GA = (\la_1 - \la_2) G$, donc $\inf \leq \min$.
+
+Réciproquement, l'inf est atteint, en un point où on a $H\mapsto \langle AG - GB, AH - HB\rangle$, donc le gradient est $(A^2G - AGB) - (AGB - GB^2) = A^2 G - 2AGB + GB^2$, qui doit être colinéaire à $G$.
+!!
+#+END_proof
 
 
 # ID:7788
@@ -998,9 +1011,16 @@ Soient $p\geq 1$ et $A,B\in\mc{S}_p^{++}(\R)$.
  - Montrer que $\op{Tr}\left(I_p-A^{-1}B\right)\leq\ln\left(\frac{\det A}{ \det B}\right)$.
  - Soient $n\geq 1$, $u_1,\ldots,u_n\in\R^p$ et $\lambda\gt 0$. Pour $1\leq m\leq n$, on pose $A_m=\sum_{k=1}^mu_k\ u_k^T$ et $B_m=\lambda I_p+A_m$. Montrer que, pour $1\leq m\leq n$, $B_m$ est symétrique définie positive.
  - Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ les valeurs propres (avec multiplicité) de $A_n$.
-
    Montrer que $\sum_{m=1}^n\left\langle u_m,B_m^{-1}u_m\right\rangle \leq\sum_{i=1}^p\ln\left(1+\frac{\lambda_i}{\lambda}\right)$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Écrire $A = PP^T$ et $B = PD P^T$, on trouve que la trace vaut $\sum 1 - d_i$, avec $\prod d_i = \det B/\det A$.
+ - Trivial.
+ - Si $n=1$, $A_m$ a une unique valeur propre non nulle, qui vaut $\lN u_1\rN^2$, et $\ln (1 + \frac{\la_i}{\la}) = \ln \frac{\la + \la_i}{\la} = \ln \frac{\det (B_1)}{\det \la I_n}\geq \op{Tr}\big(I_p - \la B^{-1}\big)$
+
+   On a $\langle u_1, B_1^{-1} u_1\rangle$
+   !!
+#+END_proof
 
 
 # ID:7772
@@ -1161,6 +1181,7 @@ Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Soit $f\colon E\ra F$ telle q
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7793
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 83]
 On se place dans $\R^n$ et $\R^m$ munis d'une norme.
  - Montrer qu'il existe $C\gt 0$ et $R_0\geq 0$ tels que, pour tout $r\geq R_0,\ \mathrm{card}\{x\in\Z^n\,;\,\|X\|\leq r\} \leq Cr^n$.
@@ -1179,45 +1200,68 @@ On se place dans $\R^n$ et $\R^m$ munis d'une norme.
    - Majoration : on a $\lN f(x) - f(y)\rN\leq \mu \lN x-y\rN + b$, et on peut retirer le $b$, car on est sur $\Z^n$.
 
      Minoration : Sinon, il existerait des $x_n,y_n$, avec $\lN x_n-y_n\rN$ arbitrairement grand, et $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN$ borné, ce qui contredit la deuxième condition.
-   - !!
+   - Supposons par l'absurde que $m\lt n$.
- - 
+
+     Les éléments de la boule de rayon $R$ sont tous envoyés dans une boule de rayon $C R$. Mais, pour $\lN x-y\rN$ assez grand, $\lN f(x) - f(y)\rN\geq 1$, donc la fonction est essentiellement injective. Il n'y a pas assez de points entiers dans la boule de rayon $CR$, car il y en a au plus $K C^m R^m$.
+ - On recouvre par des boules.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7794
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 84]
 On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $f\colon\R^2\ra\R^2$ un homéomorphisme. Pour $x\in\R^2$ et $r\gt 0$, on pose :
 
  $L_f(x,r)=\sup\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|\leq r \big{\}}$,
 
  $\ell_f(x,r)=\inf\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\| \geq r\big{\}}$.
- - Montrer que :
+ - Montrer que : $L_f(x,r)=\sup\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|=r\big{\}}$,
 
- $L_f(x,r)=\sup\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|=r\big{\}}$,
+   $\ell_f(x,r)=\inf\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|=r\big{\}}$.
+ - Pour $x$ fixé, montrer que $r\mapsto L_f(x,r)$ et $r\mapsto\ell_f(x,r)$ sont croissantes.
 
- $\ell_f(x,r)=\inf\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|=r\big{\}}$. - Pour $x$ fixe, montrer que $r\mapsto L_f(x,r)$ et $r\mapsto\ell_f(x,r)$ sont croissantes.
+ - E On dit que $f$ est quasi-conforme s'il existe $K_f\gt 0$ tel que : $\forall(x,r)\in\R^2\times\R^{+*},\,L_f(x,r)\leq K_f\ell_f(x,r)$.
-
-On dit que $f$ est quasi-conforme s'il existe $K_f\gt 0$ tel que :
-
- $\forall(x,r)\in\R^2\times\R^{+*}$, $L_f(x,r)\leq K_f\ell_f(x,r)$.
  - On suppose $f$ quasi-conforme. Montrer qu'alors $L_f(x,2r)\leq(1+K_f)L_f(x,r)$.
  - Montrer que $f$ est quasi-conforme si et seulement si $f^{-1}$ est quasi-conforme.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Comme $f^{-1}$ est continue, $f$ est ouverte.
+ - C'est clair pour $L_f$, et pour $\l_f$ aussi.
+ - Si $\lN y - x\rN\leq 2r$, alors si $\lN y - x\rN\leq r$, c'est bon. Sinon, il existe un point $z$ entre les deux à une distance $r$ de $x$, et on a $\lN y - z\rN\leq L_f(z, r)\leq K_f l_f(z, r)\leq K_f L_f(x,r)$.
+ - Si $f$ est quasi-conforme, et $f^{-1}$ ne l'est pas. C'est qu'il existe des $x_n, r_n, y_n,z_n$ tels que on ait $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN = r_n$, $\lN f(x_n) - f(z_n)\rN = r_n$, mais $\frac{\lN x_n - y_n\rN}{\lN x_n - z_n\rN}$ non majorée. Mais $\lN f(x_n) - f(z_n)\rN\leq L_f(\lN x_n - z_n\rN)$ et $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN\geq \l_f(\lN x_n - y_n\rN)$, donc $L_f(\lN x_n - z_n\rN)\geq \l_f(\lN x_n - y_n\rN)$, donc $L_f(\lN x_n - z_n\rN)\geq \frac{1}{K_f} L_f(\lN x_n - y_n\rN)$. Mais en fait, on a $L_f(x, 2r)\geq L_f(x,r) + \l_f(x + y_r, r)\geq L_f(x,r) + K L_f(x + y_r, r)$, car $f$ surjective, et cette dernière quantité ne peut pas être tout petite sinon, $L_f(x, r)\leq L_f(x+y_r, 2r)\leq (1+K_f) L_f(x,r)$.
+#+END_proof
 
 
+# ID:7795
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 85]
 Soient $n\geq 2$ et $e_1$ le premier vecteur de la base canonique de $\R^n$. Soit $\mc{A}$ l'ensemble des matrices $M$ de $\M_n(\R)$ telles que, pour tout $v\in\R^n$, il existe $a_{v,M}\in\R$, tel que la suite $(M^kv)_{k\geq 1}$ tende vers $a_{v,M}e_1$, avec de plus $v\mapsto a_{v,M}$ non identiquement nulle.
 
-Soit $v\in\R^n$. Montrer que l'application $f_v:M\in\mc{A}\mapsto a_{v,M}$ est continue.
+Soit $v\in\R^n$. Montrer que l'application $f_v\colon M\in\mc{A}\mapsto a_{v,M}$ est continue.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Sur $\C$, $M$ a des valeurs propres $\lt 1$, sauf $1$, de multiplicité $1$.
+
+et $f_v$ est la coordonnée de $v$ dans $E_1$, parallèlement aux autres espaces caractéristiques. Par ailleurs, $E_1 = \vect e_1$.
+
+La projection sur $E_1$ est simplement $P(M)B(M)$, où $P$ est l'autre facteur de $\chi_m$, et $B$ est un couple de Bézout $A (X-1) + BP = 1$. La partie $P(M)$ est continue. L'application $P\mapsto B$ est aussi continue, puisque $B$ est en fait une constante, égale à $P(1)^{-1}$.
+#+END_proof
 
 
+
+# ID:nil
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 86]
 Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel normé. Pour $X\subset E$ et $x\in E$, on note $d(x,X)=\inf_{y\in X}\|y-x\|$ et $\Pi_X(x)=\{y\in X\;;\;\forall z\in X,\;\|y-x\|\leq\|z-x\|\}$.
  - Pour quels ensembles $Y\subset E$ existe-t-il $X\subset E$ et $x\in E$ tels que $Y=\Pi_X(x)$?
  - Soient $X\subset E$ et $x\in E\setminus X$ tels que $d(x,X)=0$. Montrer que $\Pi_X(x)=\emptyset$.
  - Existe-t-il $X\subset E$ et $x\in E\setminus X$ tels que $d(x,X)\gt 0$ et $\Pi_X(x)=\emptyset$?
- - On suppose qu'il existe un produit scalaire $\langle\,\ \rangle$ tel que $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ pour tout $x\in E$, que $E$ est de dimension finie et que $X\subset E$ est un ensemble convexe ferme et borne. Montrer que $\Pi_x(X)$ est un singleton.
+ - On suppose qu'il existe un produit scalaire $\langle\,\ \rangle$ tel que $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ pour tout $x\in E$, que $E$ est de dimension finie et que $X\subset E$ est un ensemble convexe fermé et borné. Montrer que $\Pi_x(X)$ est un singleton.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - $\Pi_X(x)$ est l'ensemble des points où la distance est atteinte.
+   Ça peut être n'importe quel point, ou n'importe quelle paire de points, ou n'importe quel ensemble de points inclus dans une sphère.
+ - Trivial.
+ - Oui, si $X$ non fermé.
+ - Trivial
+#+END_proof
 
 
 # ID:7748
@@ -1286,10 +1330,16 @@ Soit $\Delta=\left\{x\in(\R^+)^n,\,\sum_{i=1}^nx_i=1\right\}$. On admet que pour
 
    Soit $A\in\M_n(\R)$. Soient $x_1,y_1\in\Delta$ et $(\gamma_k)_{k\geq 1}$ une suite strictement positive. Pour $k\geq 2$, on définit par récurrence $x_{k+1}=\pi(x_k+\gamma_kAy_k)$ et $y_{k+1}=\pi(y_k-\gamma_kA^Tx_k)$.
  - Montrer qu'on peut choisir la suite $(\gamma_k)_{k\geq 1}$ de sorte que
-
    $$\max_{x\in\Delta}\sum_{k=1}^N\left\langle x,Ay_k\right\rangle-\min_{y\in \Delta}\sum_{k=1}^N\left\langle x_k,Ay\right\rangle\leq o(N)\text{.}$$
  - En déduire que $\max_{x\in\Delta}\min_{y\in\Delta}\left\langle x,Ay\right\rangle=\min_{y\in \Delta}\max_{x\in\Delta}\left\langle x,Ay\right\rangle$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+C'est le projeté de $x$ sur $\Delta$.
+ - Le terme de droite est $2\langle z, x' - x \rangle + \lN x\rN^2 - \lN x'\rN^2 + \lN u\rN^2$.
+
+   Par ailleurs $\langle z - x', x + u - x'\rangle\leq 0$, donc $2\langle z, x'-x\rangle\geq 2\lN x'\rN^2\dots$.
+ - 
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 92]
@@ -1302,57 +1352,86 @@ L'objectif est de montrer qu'il existe $h\in\R^+$ et un unique $u\in\mc{O}(E)$ t
  $\forall x\in E,\,\left\|T(x)-u(x)\right\|\leq h$.
  - Conclure dans le cas ou $C=0$.
  - Prouver l'unicité de $u$.
- - Pour tout $x$ de $E$, on pose $u_0(x)=\lim_{n\ra+\i}\dfrac{T(2^nx)}{2^n}$. Montrer que $u_0$ est bien définie, lineaire et conserve la norme.
+ - Pour tout $x$ de $E$, on pose $u_0(x)=\lim\limits_{n\ra+\i}\dfrac{T(2^nx)}{2^n}$. Montrer que $u_0$ est bien définie, linéaire et conserve la norme.
  - Conclure.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  - Simple.
  - Simple.
- - 
+ - $\frac{T(2^n x)}{2^n}$ a une norme proche de $\lN x\rN$. $\lN T(2x) - 2T(x)\rN\leq \lN T(x)\rN + \lN x\rN + C$, donc $\lN\frac{T(2x)}{2} - T(x)\rN \leq \frac{\lN x\rN + \lN T(x)\rN}{2} + \frac{C}{2}$. Ce raisonnement montre que la suite est de Cauchy ?? À vérifier.
+
+   La norme est clairement préservée.
  -
 #+END_proof
 
 
-# Relier à l'X…
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 93]
 Soient $(E,\left\langle\,\ \right\rangle)$ un espace préhilbertien, $F:E\ra E$ et $G=\dfrac{1}{2}(\op{id}-F)$.
- - Montrer que, $F$ est $1$-lipschitzienne pour $\parallel$ si et seulement si
+ - Montrer que, $F$ est $1$-lipschitzienne pour $\parallel$ si et seulement si  $\forall x,x'\in E,\,\left\langle G(x')-G(x),x'-x \right\rangle\geq\left\|G(x')-G(x)\right\|^2$.
-
+ - On suppose que $F$ est $1$-lipschitzienne pour et qu'il existe $x_*\in E$ tel que $F(x_*)=x_*$. Soit $(x_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $x_1\in E$ et, pour $n\geq 1$, $x_{n+1}=\dfrac{x_n+F(x_n)}{2}$. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $\left\|F(x_n)-x_n\right\|\leq\dfrac{2\left\|x_1-x_*\right\|}{ \sqrt{n}}$.
- $\forall x,x'\in E,\,\left\langle G(x')-G(x),x'-x \right\rangle\geq\left\|G(x')-G(x)\right\|^2$.
- - On suppose que $F$ est $1$-lipschitzienne pour $\parallel$ et qu'il existe $x_*\in E$ tel que $F(x_*)=x_*$ (autrement dit $x_*$ est un point fixe de $F$). Soit $(x_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $x_1\in E$ et, pour $n\geq 1$, $x_{n+1}=\dfrac{x_n+F(x_n)}{2}$. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $\left\|F(x_n)-x_n\right\|\leq\dfrac{2\left\|x_1-x_*\right\|}{ \sqrt{n}}$.
  - En déduire que, si $E$ est un espace euclidien, $(x_n)_{n\geq 1}$ converge vers un point fixe de $F$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ 1. Simple.
+ 2. On reformule en termes de $G$. on suppose que $x^* = 0$. On a $G(x^*) = 0$. La question précédente donne, pour $x = 0$, $\lanGle G(y), y\ranGle \leq \lN G(y)\rN^2$, ce qui est un peu plus fort que $G$ est $1$-lips.
+
+    La suite $(x_n)$ est définie par $x_{n+1} = x_n - G(x_n)$, et on veut montrer que $\lN G(x_n)\rN^2 \leq \frac{\lN x_1\rN}{\sqrt{n}}$.
+
+    Pour $n = 1$, c'est juste le caractère $1$-lip de $G$.
+
+    Pour $n= 2$ :
+    + De $\lanGle G(x_2) - G(x_1), - G(x_1)\ranGle = \lanGle G(x_2) - G(x_1), x_2 - x_1\ranGle \geq \lN G(x_2) - G(x_1)\rN^2$, on obtient
+      $\lanGle G(x_2), G(x_1)\ranGle\geq \lN G(x_2)\rN^2$, donc $\lN G(x_2)\rN\leq \lN G(x_1)\rN$.
+    + Par ailleurs, $$\lN x_1\rN^2 = \lN x_2 + G(x_1)\rN^2 = \lN x_2\rN^2 + \lN G(x_1)\rN^2 + 2 \lanGle x_2, G(x_1)\ranGle = \lanGle x_2\ranGle^2 - \lN G(x_1)\rN^2 + 2\lanGle x_1, G(x_1)\ranGle \geq \lN x_2\rN^2 - \lN G(x_1)\rN^2 + 2\lN G(x_2)\rN^2,$$
+    + avec le point précédent, on obtient $\lN x_1\rN^2 \geq \lN x_2\rN^2 + \lN G(x_2)\rN^2 \geq 2 \lN G(x_2)\rN^2$.
+
+    En général : !!
+#+END_proof
 
 
+# ID:7802
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 94]
 Soient $n\geq 2$ et $I_n(\R)=\{A\in\M_n(\R)\,;\,\exists\lambda\in \op{Sp}(A),\,\,\op{Im}(A)\subset E_{\lambda}(A)\}$, ou $E_{\lambda}(A)$ est le sous-espace propre de $A$ associe à la valeur propre $\lambda$.
  - Montrer que $I_n(\R)$ est stable par similitude.
  - Soient $A,B\in I_n(\R)$.Montrer que $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si $\op{rg}A=\op{rg}B$ et $\op{tr}(A)=\op{tr}(B)$.
- - On note $I_n^*(\R)=\{A\in\M_n(\R)\;;\;\exists\lambda\in \op{Sp}(A),\;\op{Im}(A)=E_{\lambda}(A)\}$. Étudier la connexite par arcs de $I_n(\R)$ et de $I_n^*(\R)$.
+ - On note $I_n^*(\R)=\{A\in\M_n(\R)\;;\;\exists\lambda\in \op{Sp}(A),\;\op{Im}(A)=E_{\lambda}(A)\}$. Étudier la connexité par arcs de $I_n(\R)$ et de $I_n^*(\R)$.
  - Déterminer les classes de similitude incluses dans $I_2(\R)$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  - 
- - La condition donne que $A$ n'a qu'une seule valeur propre non nulle et $\R^n = E_{\la}\oplus E_0$.
+ - La condition donne que $A$ n'a qu'une seule valeur propre non nulle et $(A-\la)A = O_n$, ou alors que $A^2 = O_n$ ($A$ a une seule valeur propre).
+ - Pour $I_n$ on peut passer par $O_n$. Sinon, on est ramené au cas diagonale, via la connexité de $GL_n$. Le problème est le rang. Les fonctions vérifient $\tr A = \la \rg A$ et $\tr A^2 = \la^2 \rg A$. Sion ne passe pas $\la = 0$, le rang est donc continue, mais la seule matrice pour $A^2 = O_n$ soit n'existe pas, soit si $n$ est pair a un rang $\frac{n}{2}$, donc ne peut pas être approché par des matrices de rang petit. Pour $n=2$ cependant, ça marche.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7803
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 95]
 Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$.
  - Montrer qu'il existe une norme stricte sur $\R^n$ pour laquelle les éléments de $G$ sont des isométries.
- - On suppose que les éléments de $G$ stabilisent un convexe compact non vide de $\R^n$ note $K$. Montrer que les éléments de $G$ ont un point commun dans $K$.
+ - On suppose que les éléments de $G$ stabilisent un convexe compact non vide de $\R^n$ note $K$. Montrer que les éléments de $G$ ont un point fixe commun dans $K$.
  - Montrer qu'il existe un produit scalaire sur $\R^n$ pour lequel les éléments de $G$ sont des isométries.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Prendre $\sup_{g\in G} \lN gx\rN$
+ - Prendre un élément de $K$ de norme minimale.
+ - On veut une matrice symétrique $A$ def pos telle que $g A g^T = A$. $G$ agit sur $\M_n(\R)$. Prendre l'enveloppe convexe de l'orbite de $I_n$.
+#+END_proof
 
 
+# ID:7804
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 96]
 Soit $n\in\N^*$. Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$. Pour tous $g\in G$ et $A\in\M_n(\R)$, on pose $g\cdot A=gAg^T$.
  - Donner un exemple de produit scalaire sur $\M_n(\R)$ et la norme $N_0$ euclidienne associée.
- - Soit $N:A\mapsto\sup\limits_{g\in G}N_0(g\cdot A)$. Montrer que $N$ est une norme sur $\mc{S}_n(\R)$.
+ - Soit $N\colon A\mapsto\sup\limits_{g\in G}N_0(g\cdot A)$. Montrer que $N$ est une norme sur $\mc{S}_n(\R)$.
  - Soit $K=\{gg^T,g\in G\}$. Montrer qu'il existe un compact convexe $C$ vérifiant : $K\subseteq C$, $\{g\cdot A,\;(g,A)\in G\times C\}\subseteq C$ et $C\subseteq\mc{S}_n^{++}(\R)$.
  - Montrer qu'il existe un produit scalaire $G$ invariant pour $\cdot$.
- - La borne supérieure $\sup\limits_{A\in C}\sup\limits_{B\in C}\|A-B\|$ est-elle atteinte? Si oui, est-elle atteinte en un unique $A_0$?
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - 
+ - L'enveloppe convexe de $K$.
+ - $g$ agit de manière isométrique, pour $N$. Prendre un élément de $K$ de norme minimale.
+#+END_proof
 
 
 # ID:7752
@@ -1370,13 +1449,16 @@ Elle converge vers sa borne inférieure.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7805
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 99]                                            :todo:
 Soit $(z_n)_{n\geq 0}$ une suite complexe telle que $\forall n\in\N,z_{n+1}=z_ne^{-i\op{Im}(z_n)}$. Pour quelles valeurs de $z_0$ cette suite est-elle convergente?
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
 On écrit $z_n = r e^{i\theta_n}$, on a $\theta_{n+1} = \theta_n - r \sin \theta_n$.
 
-Si $r\leq 1$, cela converge vers $0$. Si
+Si $r\leq 1$, cela converge vers $0$. Si $r\leq 2$, aussi, car $|\theta_n|$ décroît.
+
+Si $r\gt 2$, cela ne converge vers $0$ que si elle est stationnaire en $0$.
 #+END_proof
 
 
@@ -1452,17 +1534,20 @@ On admet l'irrationalite de $\pi$. Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{(-1)^n}{n^{
 
 
 # Relier à 85
+# ID:7790
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 109]
- - Montrer que, pour $n\in\N^*$ et $(a_1,\ldots,a_n)\in{\R^+}^n$, $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i$.
+Soit $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de $\R_+^*$.
- - Soit $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de $\R_+^*$. Montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\lt e\sum_{n=1}^{+ \i}a_n$.
+ - sAV2 Montrer que, pour $n\in\N^*$ et $c_1,\dots,c_n\gt 0$, on a $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\leq\frac{1}{n\sqrt[n]{c_1\dots c_n}}\sum_{i=1}^na_i c_i$.
+ - sA Montrer que, pour $n\in\N^*$, on a $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i$.
+ - Montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\lt e\sum_{n=1}^{+ \i}a_n$.
  - Montrer que la constante $e$ est optimale.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  - 
- - On suppose que $\sum a_n$ converge. Pour toute suite $c_n$, on a $\sqrt[n]{a_1\dots a_n}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{c_1\dots c_n} n} \sum_{k=1}^n a_k c_k$, ce qu'on somme en une majoration de la forme $\sum_{k=1}^n a_k c_k \sum_{\l = k}^{+\i} \frac{1}{\sqrt[\l]{c_1\dots c_\l} \l}$.
+ - Pour toute suite $c_n$, on a $\sqrt[n]{a_1\dots a_n}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{c_1\dots c_n} n} \sum_{k=1}^n a_k c_k$, ce qu'on somme en une majoration de la forme $\sum_{k=1}^n a_k c_k \sum_{\l = k}^{+\i} \frac{1}{\sqrt[\l]{c_1\dots c_\l} \l}$.
 
-   Si on prend $c_k = k$
+   Ensuite, on prend $c_k$ de l'ordre de $k$ dont le produit soit télescopique : on veut $c_1\dots c_\l = \l^{\l}$, autrement dit $c_\l = \frac{\l^{\l}}{(\l-1)^{\l-1}}$, alors $\sum_{\l = k}^{+\i} \frac{1}{\sqrt[\l]{c_1\dots c_\l} \l}$ est $\sum_{\l = k}^{+\i} \frac{1}{\l^2} = \frac{1}{k}$, et $c_k \frac{1}{k}\ra e$.
- - 
+ - On veut que nos IAG soit égalitaires, donc prendre $a_n = \frac{1}{c_n}$, bon, ça diverge, mais c'est d'autant mieux parce que les premières fois où on majore par $e$ sont grossières, on prend des $0$ APCR.
 #+END_proof
 
 
@@ -4405,7 +4490,7 @@ Soit $\Omega$ un ensemble. On dit que $\M\subset\mc{P}(\Omega)$ est une classe m
  - Soit $C\subset\mc{P}(\Omega)$ stable par intersection finie. Montrer que la classe monotone $D$ engendrée par $C$ (c'est-a-dire la plus petite classe monotone contenant $C$) est une tribu.
 #+end_exercice
 
-* Mines - Ponts - MP
+* Mines - Ponts - MP                                                  :mines:
 
 ** Algèbre
 
@@ -5433,6 +5518,7 @@ Que dire de sa limite?
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7796
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 645]
 Soit $\alpha\gt 1$. On considére l'équation : $(E_n)\colon\prod_{k=1}^n(kx+n^2)=\alpha n^{2n}$.
  - Montrer que pour tout $n\in\N^*$, $(E_n)$ possède une unique solution strictement positive. On la note $x_n$.
@@ -5729,6 +5815,7 @@ Soit $f\in\mc C^0([0,1],\R)$. Montrer $\int_{-1/2}^{3/2}f(3x^2-2x^3)\dx=2\int_0^
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7800
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 689]
 Donner un équivalent de $f(x)=\int_1^xt^tdt$ lorsque $x$ tend vers $+\i$.
 #+end_exercice
@@ -5872,9 +5959,9 @@ Soit $f$ continue sur $[0,\pi]$ telle que $\forall n,\int_0^{\pi}\cos(nt)f(t)dt=
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 710]
-Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{\sin{(2^nx)}}{2^n}$.
+Soit $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{\sin{(2^nx)}}{2^n}$.
- - Montr re que $f$ est définie sur $\R$.
+ - Montrer que $f$ est définie sur $\R$.
- - Montr re que $f$ n'est pas dérivable en $0$.
+ - Montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -5930,9 +6017,15 @@ Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\left(\mbox{Arctan}(n+x)-\mbox{ Arctan}(n)\right
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7801
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 718]
-Domaine de définition et équivalent en $+\i$ de $f:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}\frac{(\ln n)^x}{n^2}$.
+Domaine de définition et équivalent en $+\i$ de $f\colon x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}\frac{(\ln n)^x}{n^2}$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Poser $u = \ln t$, on obtient $\int_{\ln 2}^{+\i} \frac{u^x}{e^u}\du$. Une étude du maximum de cette fonction montre qu'il est atteint en $x$. On pose $u = xz$, on obtient $x x^x\int_{\ln 2/x}^{+\i} e^{x (\ln z - z)}\dz$. Le maximum est atteint en $1$, et on est intégrable, donc on peut mettre $\int_0^{+\i} e^{x (\ln z - z)}$. Quitte à multiplier par $^x$, on a une situation classique, où la fonction $z\mapsto \ln z - z + 1$ est maximale en $z = 1$, de dérivée nulle. Bien technique en pratique…
+
+Enfin, le lien $\sum/int$ vient du fait que $f'(t) = \frac{(x- 2\ln t)}{t} f(t)$, on peut montrer à la main que $\sum f'(n)$ est négligeable devant $\sum f(n)$.
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 719]
@@ -9246,7 +9339,7 @@ Pour $n\in\N^*$, on pose $M_n=\max\{X_1,\ldots,X_n\}$.
 #+end_exercice
 
 
-* Centrale - MP
+* Centrale - MP                                                        :cent:
 
 ** Algèbre
 
@@ -9772,13 +9865,14 @@ Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que $\frac{u_{n+1}}{u_
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7797
 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1238]
-_Pour $n\in\N^*$, on pose $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ et $d_n=\op{card}\{p\in\db{1,n}\;;\;p\mid n\}$._
+Pour $n\in\N^*$, on pose $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ et $d_n=\op{card}\{p\in\db{1,n}\;;\;p\mid n\}$.
 
 Pour $x\in\R^+$, on définit $f(x)=\sum_{1\leq k\leq x}d_k$.
- -_Cours : comparaison série-intégrale. L'utiliser pour montrer l'équivalent $H_n\sim\ln n$._
+ - Cours : Montrer que $H_n\sim\ln n$.
- -_Déterminer un équivalent de $f$ en $+\i$._
+ - Déterminer un équivalent de $f$ en $+\i$.
- -_Déterminer le deuxieme terme du développement asymptotique de $f$._
+ - Déterminer le deuxième terme du développement asymptotique de $f$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -9792,11 +9886,12 @@ Pour $x\in\R^+$, on définit $f(x)=\sum_{1\leq k\leq x}d_k$.
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7798
 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1240]
-_Soit $A\subset\R^n$. On note $\mc C(A,\R)$ l'ensemble des fonctions continues de $A$ dans $\R$ et $\mc{UC}(A,\R)$ l'ensemble des fonctions uniformément continues de $A$ dans $\R$._
+Soit $A\subset\R^n$. On note $\mc C(A,\R)$ l'ensemble des fonctions continues de $A$ dans $\R$ et $\mc{UC}(A,\R)$ l'ensemble des fonctions uniformément continues de $A$ dans $\R$.
- -_Pour $n=1$ et $A$ un segment, montrer que $f\in\mc C(A,\R)$ si et seulement si $f\in\mc{UC}(A,\R)$._
+ - Pour $n=1$ et $A$ un segment, montrer que $f\in\mc C(A,\R)$ si et seulement si $f\in\mc{UC}(A,\R)$.
- -_Montrer que $\mc{UC}(A,\R)$ est stable par composition. Est-il stable par produit?_
+ - Montrer que $\mc{UC}(A,\R)$ est stable par composition. Est-il stable par produit?
- -_Soit $T\in\R^{+*}$ et $f$ une fonction continue et $T$-periodique. Montrer que $f\in\mc{UC}(A,\R)$._
+ - Soit $T\in\R^{+*}$ et $f$ une fonction continue et $T$-periodique. Montrer que $f\in\mc{UC}(A,\R)$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -9816,12 +9911,14 @@ Pour $h\gt 0$, soit $W_h=\bigg{\{}f\in\mc C^0(\R,\R)\;;\;\forall x\in \R,\;\int_
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7799
 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1243]
-_On pose $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$.__Pour $f\in E$, on définit la suite $(f_n)$ de fonctions de $E$ par $f_0=f$ et $\forall n\in\N$, $\forall x\in\R$, $f_{n+1}(x)=\int_0^xtf_n(t)dt$._
+On pose $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$. Pour $f\in E$, on définit la suite $(f_n)$ de fonctions de $E$ par $f_0=f$ et $\forall n\in\N$, $\forall x\in\R$, $f_{n+1}(x)=\int_0^xtf_n(t)dt$.
- -_Enoncer le theoreme de derivation terme à terme._
+ - s Énoncer le theoreme de derivation terme à terme.
- -_On se place dans le cas ou $f$ est constante. Montrer que la suite $(f_n)$ et la série $\sum f_n$ convergent simplement sur $\R$. Y a-t-il convergence uniforme?_ - On revient au cas general.
+ - On se place dans le cas ou $f$ est constante. Montrer que la suite $(f_n)$ et la série $\sum f_n$ convergent simplement sur $\R$. Y a-t-il convergence uniforme?
+ - On revient au cas general.
    - Montrer la convergence simple de la suite $(f_n)$ et de la série $\sum f_n$.
- - Montrer que l'application $T:f\in E\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f_n$ est un automorphisme de l'espace vectoriel $E$.
+   - Montrer que l'application $T\colon f\in E\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f_n$ est un automorphisme de l'espace vectoriel $E$.
 #+end_exercice