Fournée 2024

Exercices 2023.org

@@ -2,38 +2,24 @@
 #+title:  Exercices 2023
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   02-12-2023
-# Time-stamp: <14-07-24 13:19>
+# Time-stamp: <30-11-24 16:31>
 #+OPTIONS:
 
 
 * Meta                                                             :noexport:
 
+ - $z^n\chi_A(1/n) = e^{- \sum \tr{A^n} \frac{z^n}{n}}$ ?
+   Si A est inversible : dérivée logarithmique, et décomposition en éléments simples.
+
 ** Statistiques
 
 #+BEGIN_SRC emacs-lisp
-(defun nb_unexed ()
+(my-stats-exo)
-  (let ((n 0))
-    (save-excursion
-      (goto-char (point-min))
-      (while (go-find-unexed-exo nil)
-        (setq n (1+ n))
-        (forward-line 1))
-      n)))
-
-(defun nb_todo ()
-  (save-excursion
-    (goto-char (point-min))
-    (let ((count 0))
-      (while (re-search-forward "exercice.*:todo:" nil t)
-        (setq count (1+ count))
-        (forward-line 1))
-      count)))
-
-`(,(count-matches "\\?\\?") ,(1- (count-matches "!!")), (nb_todo), (nb_unexed))
 #+END_SRC
 
 #+RESULTS:
-| 5 | 11 | 14 | 673 |
+| ? | ! | todo | unexed |
+| 1 | 1 |    1 |    633 |
 
 #+BEGIN_SRC emacs-lisp
 (defun find_bad_hash ()
@@ -190,6 +176,13 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name(
 # #+select_tags: mines
 # #+export_file_name: Exercices Mines 2023
 
+*** Mines Centrale
+
+# #+select_tags: mines cent
+# #+options: toc:2
+# #+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2023
+
+
 *** todoes
 
 #+options: title:nil nopage:t tags:nil
@@ -197,7 +190,18 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name(
 #+export_file_name: Exercices 2023 todo
 #+relocate_tags: todo
 
+*** autre
 
+# #+options: title:nil nopage:t tags:nil
+# #+select_tags: autre
+# #+export_file_name: Exercices XENS 2023 autres
+# #+relocate_tags: todo
+
+
+
+* 2024
+
+#+INCLUDE: "./2024/Exercices 2024.org::*Christophe"
 
 * ENS MP-MPI                                                           :xens:
 
@@ -600,7 +604,7 @@ On considère $\phi\colon\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ assoc
  2. Réciproquement, la seule difficulté est de montrer que $\phi$ est non nulle, pour $(u,v)$ libre. Mais si elle était nulle, pour tout $w, w'$, $\det( u', v', w,w')$ serait nul.
  3. $\Rightarrow$ : On peut vérifier que transformer $u, v$ en $Pu, Pv$ transforme $A$ en $P A P^T$, on est donc ramené aux cas où $u = (1,0, 0, 0)$ et $v = (0, 1, 0, 0)$.
 
-    $\Leftarrow$ : Réduction d'une matrie antisymétrique ? Prendre $x$, $Ax$ (ils sont orthogonaux), puis une BON du reste, alors dans cette base $A$ doit être antisymétrique, et le premier ??. Plutôt, partir du noyau, qui est de dimension $2$ et stable, et prendre un orthogonal du noyau.
+    $\Leftarrow$ : Réduction d'une matrie antisymétrique ? Prendre $x$, $Ax$ (ils sont orthogonaux), puis une BON du reste, alors dans cette base $A$ doit être antisymétrique, et le premier ?. Plutôt, partir du noyau, qui est de dimension $2$ et stable, et prendre un orthogonal du noyau.
  4. Le noyau est $\vect (u,v)^{\bot}$, l'image est $\vect (u, v)$, car les deux sont orthogonaux.
 #+END_proof
 
@@ -964,16 +968,21 @@ On obtient l'autre inégalité en passant à l'opposé.
     ou $XAX = B$, qui se met sous la forme $\sqrt{A} X \sqrt{A} \sqrt{A} X \sqrt{A} = \sqrt{A}B\sqrt{A}$ : on a trouvé $X$.
 #+END_proof
 
-#+begin_exercice [ENS 2023 # 72]                                               :todo:
+# ID:7683
+#+begin_exercice [ENS 2023 # 72] 
 Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On définit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On définit de même $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$.
  - Montrer que $p(A)+q(A)=\mbox{rg}\,A$.
  - Montrer que, si $A$ est inversible, alors $p$ et $q$ sont constantes sur un voisinage de $A$ dans ${\cal S}_n({\R})$.
  - Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f\colon t\mapsto\det(A+tB)$ n'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  - Simple.
  - Elles sont localement croissante : si on a un témoin $V$, il suffit de témoigner sur l'intersection de $V$ avec la sphère unité.
  - Si $B$ est définie positive, par coréduction ça marche. Sinon ?
+
+   Simplement, on regarde les valeurs propres de $A+tB$, quand $t\ra +\i$, elles ont le même signe que celles de $B$, et quand $t\ra -\i$, les signes opposés. Si $B$ est inversible, on conçoit bien que pour passer d'un état à un autre, il faut que le nombre annoncé de racines changent de signe (ici, continuité des valeurs propres), qui se faut via la question précédente.
+
+   Si $B$ n'est pas inversible.
 #+END_proof
 
 
@@ -1067,6 +1076,17 @@ Soit $\lN\cdot\rN$ une norme multiplicative sur $\M_n(\R)$. Si $\lN A\rN\neq \lN
 
 ** Analyse
 
+# ID:7354
+#+BEGIN_exercice
+Soit $k\geq 1$ et $f\in\mc C^k(\R,\R)$ telle que $\sum_{j=0}^k f^{(j)}(x)$ admette une limite quand $x\ra +\i$. Peut-on en déduire que $f$ admet une limite en $+\i$, selon la valeur de $k$ ?
+#+END_exercice
+#+BEGIN_proof
+Si $\sum_{j=0}^k f^{(j)}(x) = k$, on regarde l'équation homogène, dont l'équation caractéristique est $1 + X + \dots + X^k = 0$, et dont le comportement est décidé par le signe de la partie réelle des racines. Si $k = 1$ c'est bon, si $k = 2$, c'est bon aussi, pour $k=3$, on a $\pm i$ comme racines, donc ce n'est plus le cas.
+
+Reste à traiter les cas $k = 1, 2$ en général, par des variations de la constante.
+#+END_proof
+
+
 # ID:7160
 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 79]
 Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$, $\lN x\rN_{p} = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$.
@@ -1257,13 +1277,18 @@ On considère une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\
  + (La solution de $\l = \frac{1}{4 - \l}$ est irrationnelle.)
  + La suite $p_{n^{(k)}_1}$ converge vers $\l$.
  + Un peu galère, mais on peut en déduire que $(p_{n_k})$ converge vers $l$, donc que $(p_n)$ converge vers $\l$ (les $n_k$ sont distants d'au plus $3$).
+
+En fait, on a $n_k = (a_0 + 1) + \dots + (a_{k-1} + 1)$   , donc $n_k = 4k - \#\{n_i \in \db{0,k-1}\}$.
 #+END_proof
 
-#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 97]                                               :todo:
+# ID:7588
+#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 97]
 On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n \geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de $2$ soit égal à $a_n$. Montrer qu'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$.
 #+END_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
-On sait que la proportion de terme qui vaut $2$ tend vers la solution à $\l = \frac{1}{4 - \l}$.
+On sait que la proportion de terme qui vaut $2$ tend vers la solution à $\l = \frac{1}{4 - \l}$, c'est-à-dire $2 + \sqrt{3}$.
+
+On vérifie que ça marche : il s'agit de justifier qu'en notant $n_k = \lfloor k \a\rfloor + 1$, $n_k$ est bien égal à $4k - \#\{n_i \in \db{0,k-1}\}$.
 #+END_proof
 
 
@@ -1741,15 +1766,19 @@ Pour $x$ réel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$.
 Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g\colon x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t) g(x-t) dt$. Montrer que $f\star g$ est dérivable et donner une expression de sa derivée.
 #+end_exercice
 
-#+begin_exercice [ENS 2023 # 136]
-Soit $f:]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$, on pose
 
-$a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,du$.
+# ID:7424
+#+begin_exercice [ENS 2023 # 136]
+Soit $f\colon ]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$, on pose  $a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,du$.
  - On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$.
  - On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_n(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$ et tout $n\in\N^*$.
  - Réciproquement, on suppose $f$ de classe $\mc C^2$ et $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. Montrer que $f$ est strictement convexe.
-
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - On obtient $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos t \big(f(t) - f(\pi - t) - f(\pi + 1) + f(2\pi - t)\big)\dt$. Faire le dessin des quatre valeurs dans $[0,2\pi]$, c'est la différence de deux différences (à même distance) de valeurs de $f$. Si on avait une FAF, on conclurait, mais sans, c'est une inégalité des pentes (avec des pentes intermédiaires).
+ - Découper.
+ - Quant $t\ra s$, l'intégrale est équivalente à $f''(s)$.
+#+END_proof
 
 # ID:6895
 #+begin_exercice [ENS 2023 # 137]
@@ -1814,15 +1843,22 @@ Soient $A$ une application continue de $\R_+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique appl
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [ENS 2023 # 142]                                              :todo:
+# ID:7473
+#+begin_exercice [ENS 2023 # 142] # Critère de stabilité de Lyapounov, pour l'équation de Hill
 Soit $p\colon\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-périodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'équation $u''+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
-On pose $v = u e^{-t\tau}$, de sorte que $v$ soit périodique, on obtient $v' = u'e^{-t\tau} - \tau v$, $v'' = u'' e^{-t\tau} - 2\tau e^{-t\tau} u' + \tau^2 e^{-t\tau} u$,
+Remarque : l'application $u\mapsto u(\cdot +\pi)$ a une matrice de déterminant $1$ (à cause du Wronskien). On veut savoir si elle admet une valeur propre réelle.
- donc $v'' = (3\tau^2 - p)v - 2\tau v'$, je crois.
+
+Si la solution $u$ ne s'annule pas, on à $\int \frac{u''}{u} = \int p$, mais une IPP donne une contradiction avec la positivité.
+
+Si la solution s'annule, les zéros sont isolés, on en considère deux consécutifs $a\lt b$, avec $u$ positive, et on montre que $\int \left|\frac{u''}{u}\right| \gt \frac{4}{b-a}$.
+
+Pour cela, on majore par $u_{max}^{-1} \max |u'(x) - u'(y)|$, et on applique Rolle entre $a$ et le max, et le max et $b$, puis IAG.
 #+END_proof
 
 
+
 # ID:7220
 #+begin_exercice [ENS 2023 # 143]
 Soit $A_0\in\M_n(\R)$ telle que $\text{Sp}(A_0+A_0^T)\subset\R_-$.
@@ -2079,38 +2115,70 @@ Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois.
 # ID:7044
 #+begin_exercice [ENS 2023 # 166]
 Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une pièce truquée donnant pile avec une probabilité égale à $5/9$. Les règles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers indépendants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aléatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$).
- - Trouver un équivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right)$.
+ - Trouvre la limite de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right)$ quand $n\ra +\i$.
  - Montrer que $\mathbf{P}\left(A_n\geq B_n\right)\geq\frac{1}{2}$.
  - Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)$ ?
+ - S Trouver un équivalent, quand $n\ra +\i$, de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right)$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
- - IDK, Cela ne dépend que du nombre de Pile obtenus, pas du gain… Éventuellement, on tend vers une loi normale…
+ - 
  - C'est clair.
  - Découle des questions précédentes.
+ - C'est $\sum_{k=0}^{9n} a_k^2 = \sum_{k=0}^{9n} a^{2k} b^{2(9n-k)} {9 n \choose k} {9 n \choose 9n - k}$.
+
+   Pour calculer un équivalent de $\sum_{k=0}^{9n} {9n \choose k} {9 n \choose 9n - k}$ sans la formule de Van der Monde, on l'écrit comme $\int_0^{2\pi} \left(1 + e^{i\theta})^{9n}(1 + e^{-i\theta}\right)^{9n}$, puis CVD.
+
+   Pour trouver l'équivalent de $\sum {n\choose k}^2$ : on trouve l'élément maximal, en $m = \frac{n}{2}$, on factorise par ça, puis $\l$ termes à droite/ à gauche, on a $\frac{(m-1)\dots(m-\l)}{(m+1)\dots (m+\l)}$. On prend le logarithme, on utilise $|\ln (1+x) - x| \leq \frac{x^2}{2}$. On obtient l'ordre de grandeur précis du terme, on peut sommer et comparer à une intégrale.
 #+END_proof
 
-# Relier à l'exercice d'espérance avec des 6
+# ID:7466
-#+begin_exercice [ENS 2023 # 167, 177]                                         :todo:
+#+begin_exercice [ENS 2023 # 167, 177]
 On joue à pile ou face avec une pièce pipée qui donne pile avec probabilité $p\lt \frac{1}{2}$. On lance la pièce $2n$ fois et on compte le nombre de «Piles». Déterminer l'entier $n$ qui maximise la probabilité d'avoir compté au moins $n+1$ «Piles».
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
-On a $P(S_{2n} = n+k)\leq P(S_{2n} = n-k)$, puis on montre que  $P(S_{2n}\geq n+1) + \frac{1}{2}P(S_{2n} = n)$ est décroissante. Mais on connaît $P(S_{2n} = n)$, et il suffit de voir quand elle devient plus petite que les premières valeurs de $P(S_{2n} \geq n+1)$.
+On écrit $$P(S_{2(n+1)}\geq n+2) = P(S_{2n}\geq n+2) + P(S_{2n}= n+1) \big(1 - (1-p)^2\big) + P(S_{2n} = n)p^2 = P(S_{2n}\geq n+1) + P(S_{2n} = n)p^2 - P(S_{2n} = n+1)(1-p)^2,$$
+puis on compare ces deux, et on obtient $n\leq \frac{p}{1-2p}$.
 #+END_proof
 
 
-#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 168]                                              :todo:
+# ID:7486
+#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 168]
 Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ?
 #+END_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
 On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En notant $e = P(X=1)$, on a $E(X 1_{X\gt 1}) E(X^3 1_{X\gt 1})\geq E(X^2 1_{X\gt 1})^2$, donc $(*)$ $(1-e)(5-e) \geq (2-e)^2$, qui donne $e\leq \frac{1}{2}$.
 
 Comme $E(X) = 1$, on doit avoir $P(X=0)\geq \frac{1}{4}$, mais le cas d'égalité ne donne pas les bonnes valeurs : mais $E(X) = 1$, $E(X^2) = \frac{3}{2}$ et $E(X^3) = \frac{5}{2}$.
 
 Si on suppose que $e = \frac{1}{2}$, on doit avoir égalité dans Cauchy-Schwarz qui donne $(*)$, donc $X$ ne prend qu'une seule valeur $\gt 1$. On peut prendre $Y$ qui vaut $3$ avec probabilité $\frac{1}{6}$ et $0$ avec probabilité $\frac{1}{3}$, et on a les bonnes valeurs (et c'est la seule façon).
 
-On a aussi $E(X 1_{X\geq 1})^2\leq E(1_{X\geq 1}) E(X^2)$, donc $(1 - r)\geq \frac{1}{2}$, $r\leq \frac{1}{2}$
+On montre que l'on ne peut pas faire mieux.
 
-!! Manque : on ne peut pas faire mieux…
+Stratégie :
+ + On montre que si $X$ prend $5$ valeurs (avec des probabilités $\gt 0$), alors on peut toujours diminuer la probabilité que $P(X=0)$.
+ + Si $X$ prend $4$ valeurs, le système de Van der Monde a une unique solution (pas forcément positive…). On montre que la valeur $p_0$ est minimale si les quatre valeurs sont $0, 1, 2, 3$.
+
+   Comment ? En diminuant continûment une valeur sinon.
+
+On sait que $X$ doit prend la valeur $0$, car $E(X) = 1$ (non…). Si on suppose que $X$ ne prend pas la valeur $1$, alors $P(X = 0)\geq \frac{3}{8}$ (via $E(X^3) = 5$), qui est plus grand que le $\frac{1}{3}$ trouvé.
+
+On note $v_2,v_3$ les autres valeurs. ($v_0 = 0$, $v_1 = 1$)
+
+Les $p_i$ vérifient $V = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & v_2 & v_3 \\ 0 & 1 & v_2^2 & v_3^2 \\ 0 & 1 & v_2^3 & v_3^3 \end{pmatrix} \vvvv{p_0}{p_1}{p_2}{p_3} = \vvvv{1}{1}{2}{5}$.
+On cherche la première ligne de $V^{-1}$. $V^T$ est la matrice de Vandermonde, qui à $P$ associe $(P(0), P(1), P(v_2), P(v_3))$. On cherche la première colonne de son inverse, c'est-à-dire les coefficients du polynôme $\frac{(X-1)(X-v_2)(X-v_3)}{- v_2 v_3} =  1 + X\big(-1 - \frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_3}\big) + X^2\big(\frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} + \frac{1}{v_2 +v_3}\big) - \frac{1}{v_2v_3} X^3$
+Puis, le coefficient en $p_0$ est le produit avec $(1\, 1\, 2\, 5)$, donc $-\frac{1}{v_2} - \frac{1}{v_3} + 2 \big(\frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} + \frac{1}{v_2v_3}\big) - \frac{5}{v_2v_3}$ $= \frac{1}{v_2} + \frac{1}{v_3} - \frac{3}{v_2v_3}$
+
+On veut montrer qu'en diminuant $v_3$, il diminue, mais c'est $\frac{1}{v_3} \big(1 - \frac{3}{v_2}\big)$, donc c'est le cas si $v_2 \gt 3$. Autrement dit, si l'un des termes est $\geq 3$, on peut diminuer l'autre.
+
+Il faudrait montrer que pour $v_2 = 2$, il y a toujours une solution positive.
+
+Plutôt : on les diminues ensembles, la différentielle est : $-\frac{1}{(v_2)^2} - \frac{1}{(v_3)^2} + \frac{3}{v_2 v_3^2} + \frac{3}{v_3 v_2^2}$
+
+Si $v_2 = 2$, on veut montrer qu'une solution n'est pas possible, sauf $v_3 = 3$. Pour cela, on différencie la seconde (troisième) coordonnée selon $v_3$.
+
+Le polynôme est $\frac{X(X-1)(X-v_3)}{2 (2-v_3)} = \frac{X^3 - (1+v_3)X^2 + v_3 X}{2(2-v_3)}$, sa troisième coordonnée est $-\frac{1+v_3}{2(2-v_3)}$, qui est décroissante, donc si on passe de $(\cdot, \cdot, 2, v_3)$ à $(\cdot, \cdot, 2, 3)$, la partie en $2$ a augmenté, et a atteint $0$, impossible !
+
+Donc la seule solution avec un $2$ est $(\cdot, \cdot, 2, 3)$. Puis si on a une solution où les deux termes sont $\geq 3$, on peut se ramener à $(\cdot, \cdot, 3, 4)$, puis $(\cdot, \cdot, 3, 3)$, qui existe bien. D'où le résultat.
 #+END_proof
 
 
@@ -2125,6 +2193,7 @@ Pour les autres valeurs que $0$ modulo $n$, il faut prendre $X^k G_m(X)$, cela m
 #+END_proof
 
 
+# ID:7375
 #+begin_exercice [ENS 2023 # 170]
 Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$ c'est-a-dire le nombre de couples $(i,j)$ avec $i\lt j$ et $\sigma(i)\gt \sigma(j)$.
  - Montrer que $P_n=\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}X^{I(\sigma)}=\prod_{k=1}^{n-1}(1+X+ \cdots+X^k)$.
@@ -2134,12 +2203,13 @@ Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$
 #+BEGIN_proof
  - $\sigma$ est déterminé par : le nombre d'inversion avec $(n-1)$ (une ou $0$), le nombre d'inversions avec $n-2$, etc. En effet, pour chaque $\sigma$, on peut donner ces nombres, et réciproquement, si on les connaît, on connaît l'image de $(n-1)$ par rapport à l'image de $n$, puis l'image de $n-2$ par rapport à $(n-1)$ et $n$, etc, donc $\sigma$ est entièrement déterminée.
  - $f(n)$ est la somme des coefficients en $X^{k(n+1)}$ de $P_n$, donc $\frac{P(1) + P(\om) + \dots + P(\om^n)}{n+1}$.
- - Avec les questions précédentes, on trouve $f(p-1) = \frac{1}{p}\left((p-1)! + \sum_{\om \in \m U_p\setminus 1} \frac{p}{(1-\om)^2}\right)$.
+ - Avec les questions précédentes, on trouve $f(p-1) = \frac{1}{p}\left((p-1)! + \sum_{\om \in \m U_p\setminus 1} \frac{p}{(1-\om)^p}\right)$, en utilisant $1+X + \dots + X^{k-1} = \frac{1 - X^k}{1-X}$.
 
-   Cette somme, s'obtient en prenant $Q = 1 + X + \dots + X^{p-1}$, $\frac{Q'}{Q} = \sum \frac{1}{X - \om}$, donc $\frac{Q''Q - (Q')^2}{Q^2} = - \sum \frac{1}{(X-\om)^2}$
+   Par ailleurs, $(1+\om)^p = 2^p \left(\cos \big(\frac{\theta}{2}\big)\right)^p e^{i \frac{p\theta}{2}}$, la partie en $e^{i\dots}$ valant $\pm 1$.
-   En évaluant en $1$, on obtient un dénominateur de $p^2$, et un numérateur $p \sum_{k=2}^{p-1} k (k-1)- \big(\frac{(p-1)p}{2}\big)^2 = \frac{p^2}{3}(p-2)(p-1) - \big(\frac{(p-1)p}{2}\big)^2$, qui a un signe constant APCR…
 
-   J'ai confirmé numériquement que $\sum \frac{1}{(1-\om)^2}$ est négatif… !!
+   La somme porte donc sur $p-1$ éléments, qui parcourent le demi-cercle supérieur. Comme $p$ est impair, les signes à droite et à gauche sont les mêmes (car le $\pm 1$ alterne, un nombre impair de fois, et le cos change de signe).
+
+   Comme $p-1$ est pair, il n'y a pas de terme au milieu. Une fois regroupé sur le quadrant en haut à droite, la somme est alternée. Son signe est donnée par la parité de $\frac{p-1}{2}$.
 #+END_proof
 
 
@@ -2162,6 +2232,7 @@ Dans tout l'exercice, les variables aléatoires considérées sont supposées r
  3. Montrer que si $X \leq_c Y$ alors $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(X) \leq \mathbf{V}(Y)$.
  4. Montrer que $X \leq_c Y$ si et seulement si $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et
     $$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mathbf{P}(Y \geq x)\dx.$$
+ 5. Montrer que $X + E(X)\leq 2X$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
  1. Convexité
@@ -2192,7 +2263,8 @@ On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \db{1, N}$, pu
  3. Semble facile.
 #+END_proof
 
-#+begin_exercice [ENS 2023 # 174]                                              :todo:
+# ID:7348
+#+begin_exercice [ENS 2023 # 174]
 Dans tout l'énoncé, on fixe un entier $p\geq 1$.
  - Développper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ de nombres réels.
  - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.
@@ -2202,32 +2274,34 @@ Dans tout l'énoncé, on fixe un entier $p\geq 1$.
 
    Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p} \dx$ prend au moins une valeur inférieure ou égal a $2\pi p^p$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  - 
  - Si on développe, seuls les termes d'exposants tous pairs restent. On veut alors
    $$\sum_{n_1 + \dots + n_n = p} {2p \choose 2n_1,\dots, 2n_n} a_1^{2n_1}\dots a_n^{2n_p}\leq (2p)^p \sum_{n_1 + \dots + n_n = p} {n\choose n_1,\dots, n_n} a_1^{2n_1}\dots a_n^{2n_p}.$$
-   Il suffit de le montrer pour chaque multinôme. Pour $n = 2$ c'est déjà pas si clair…
+   Il suffit de le montrer pour chaque multinôme.
 
-   !!
+   Pour $n = 2$ : On veut montrer que ${2p\choose 2k}\leq (2p)^p {p \choose k}$, c'est-à-dire $\frac{(2p) \dots (2p-2k+1)}{(2k)!} \leq (2p)^p \frac{(p) \dots (p-k+1)}{k!}$. Ce qui se fait assez bien : on majore les premiers facteurs par $2p$, et s'il en restent, par le reste, ce qui est possible car $2k - p \leq k$.
-   Si $g\colon \db{1,2p}\ra \db{1,n}$ est une application telle que $1$ ait $2n_1$ antécédents, …, $n$ en ait $2n_n$, on peut lui associé le couple formé de $h_1\colon \db{1,p}\ra \db{1,n}$ définie en ne gardant que les $n_1$ premiers antécédents de $1$, …, les $n_n$ premiers antécédents de $n_n$ et $h_2\db{1,2p}\ra \db{1,p}$ qui à $i$ associe le premier élément qui a la même image que lui. NOPE.
 
-   L'application $h\colon (h_1,h_2)$ est injective, et le nombre de $h_2$ possible est $\leq (2p)^p$.
+   La même démonstration marche assez bien dans le cas général.
- - 
+ - Pour $n = 2$ : on veut $\frac{(2p) \dots (2p-2k+1)}{(2k)!} \leq (p)^p \frac{(p) \dots (p-k+1)}{k!}$, cela revient à $\frac{(2p) \dots (2p-2k+1)}{(p) \dots (p-k+1)} \frac{k!}{(2k)!}\leq p^p$, et en groupant les termes avec le prochain, on obtient $\frac{(2p) (2p-1)}{(2k) (2k-1)} k = \frac{p (2p-1)}{2k-1}\leq p$, d'où la conclusion.
+
+   J'imagine que ça marche aussi en général.
  - Pas de difficulté.
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [ENS 2023 # 175]                                              :todo:
+# ID:7489
+#+begin_exercice [ENS 2023 # 175]
 suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et $a_1,\ldots,a_n$ des réels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$.
  1. Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$.
  2. Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$.
- 3. Montrer que si $\sum_{k=1}^na_k^2=1$ alors $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$.
+ 3. On suppose que $\sum_{k=1}^na_k^2=1$. En considérant la variable complexe $Z = \prod_{k=1}^n (1 + i X_k)$, montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$.
  4. Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute généralite.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  1.
  2.
- 3. On veut $E(|Y|)^2 \geq \frac{1}{e}$, sachant $\sum a_k^2 = 1$, !!
+ 3. La variable $G$ vérifie $|G|^2 = \prod (1 + a_k^2)\leq e^{\sum a_k^2} = e^1$, et l'espérance de $YG$ vaut $1$.
 #+END_proof
 
 
@@ -2435,11 +2509,14 @@ $a_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+1=j\\ -c_{i-1}\ \ \text{si }j=n\end{cases
  - La matrice $\left(\begin{array}{cc}-1&0\\ 0&-4\end{array}\right)$ est-elle le carré d'une matrice réelle?
 #+end_exercice
 
+# ID:7388
 #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 196]
 Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer qu'il existe $P\in{\R}[X]$ tel que $P(A)={\rm Com}(A)^T$.
-
-_Ind._ Commencera par $A$ inversible.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Pour $A$ inversible, c'est le morceau du polynôme caractéristique, sans le terme constant, qui vaut d'office $\det A$. Par continuité des coefficients du polynôme caractéristique, et des coefficients de la comatrice, c'est encore le cas si $A$ non inversible.
+#+END_proof
+
 
 #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 197]
 Soient $E$ un ${\R}$-espace vectoriel de dimension $d\in{\N}^*$ et $f\in{\cal L}(E)$ telle que $f\circ f=-$id.
@@ -2523,16 +2600,35 @@ On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0
  - Montrer que $A$ s'écrit comme le produit de deux matrices symétriques.
 #+end_exercice
 
+
+# ID:7425
 #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 205]
-_a) i)_ Soit $m$ un entier $\geq 2$. Montrer que $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}\leq\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1} {\sqrt{k(m-k)}}$.
+ - 
- -  Calculer $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}$ l'aide du changement de variables $x=\frac{m}{1+t^2}$.
+   - Soit $m$ un entier $\geq 2$. Montrer que $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}\leq\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1} {\sqrt{k(m-k)}}$.
+   - Calculer $\int_1^{m-1}\frac{\dx}{\sqrt{x(m-x)}}$ à l'aide du changement de variables $x=\frac{m}{1+t^2}$.
  - Soit $A_n\in{\cal M}_n(\R)$ la matrice de terme général $\frac{1}{i+j-1}$.
    - Montrer que $A_n\in S_n^{++}(\R)$.
- -  Soit $\lambda_n$ la plus petite des valeurs propres de $A_n$. Montrer qu'il existe $a,b\gt 0$ tels que $\forall n\geq 1,\,0\leq\lambda_n\leq\frac{1}{n}\big{(}a+b \ln(n)\big{)}$.
+   - Soit $\lambda_n$ la plus petite des valeurs propres de $A_n$. Montrer $\la_n = O\big(\frac{1}{n}\big)$.
- - Soient $\mu_n$ la plus grande valeur propre de $A_n$ et $X=(1/\sqrt{1},1/\sqrt{2},\ldots,1/\sqrt{n})^T\in\R^n$. Montrer que $\langle A_nX,X\rangle\geq 2\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\arctan(\sqrt{i-1})$ ou $\langle\,\ \rangle$ designe le produit scalaire canonique sur $\R^n$.
+ - Soient $\mu_n$ la plus grande valeur propre de $A_n$ et $X=(1/\sqrt{1},1/\sqrt{2},\ldots,1/\sqrt{n})^T\in\R^n$.
- - Montrer que, pour tout $P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,{\rm d}t=-i\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})e^{i\theta}\,{\rm d}\theta$. En déduire que, pour tout $Q=\sum_{k=0}^da_kX^k\in\R[X]$, $\int_0^1Q^2(t)\,{\rm d}t\leq\int_{-1}^1Q^2(t)\,{\rm d}t \leq\pi\sum_{k=0}^da_k^2$.
+   - Montrer que
+     $$\langle A_nX,X\rangle\geq 2\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\arctan(\sqrt{i-1}),$$
+   - Montrer que, pour tout $P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\dt=-i\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})e^{i\theta}\d\theta$. En déduire que, pour tout $Q=\sum_{k=0}^da_kX^k\in\R[X]$, $\int_0^1Q^2(t)\dt\leq\int_{-1}^1Q^2(t)\dt \leq\pi\sum_{k=0}^da_k^2$.
    - En déduire que $\lim_{n\to+\i}\mu_n=\pi$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+   - Trivial.
+   - Simple. À écrire, on trouve du $\arctan$.
+ - 
+   - Pas simple…
+   - On a $\langle AU, U\rangle = \int_0^1 \big(\sum u_i t^{i-1}\big)^2\dt$. On veut montrer que $\la_n = O\big(\frac{\ln n}{n}\big)$, il suffit de trouver $U$ tel que $\frac{\langle AU, U\rangle}{\lN U\rN^2} = O\big(\frac{\ln n}{n}\big)$.
+
+     Si on prend $U$ avec des coefficients $\pm 1$, on obtient $O\big(\frac{1}{n}\big)$. L'énoncé d'origine annonçait $O\big(\frac{\ln n}{n}\big)$.
+ - 
+   - C'est les préliminaires : sans passer par l'intégrale, on fait apparaître la somme, et on applique les deux questions.
+   - Pas de difficulté.
+   - C'est Cesàro, et l'inégalité précédente.
+#+END_proof
 
 #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 206]
 On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. On considère des réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, et, pour tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq n$, on pose $M_i=(\lambda_i,\lambda_i^{-1})$.On considère $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\R^n$ tel que $\|y\|_2=1$ et on note $M$ le barycentre des $M_i$ pondere par les coefficients $y_i^2$.
@@ -2653,22 +2749,37 @@ _c) i)_ Trouver toutes les solutions ${\cal C}^2$ de l'équation d'onde a variab
  -  Soit $n\in\N$. On pose : $g:x\mapsto\sum_{k=1}^na_k\sin(k\pi x)$ et $h=0$. Déterminer $u(x,t)$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7423
 #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 215]
-On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. On dit que $f$ est differentiable sur l'ouvert $\Omega$ si $\nabla f$ existe et est continu.
+On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. On dit que $f$ est différentiable sur l'ouvert $\Omega$ si $\nabla f$ existe et est continu.
- - Soient $C$ ouvert convexe non vide de $\R^d$, $f:C\to\R$ differentiable. On suppose que $\nabla f$ est $L$-lipschitzien. Soient $w,v\in C$ et $g:t\mapsto f(v+t(w-v))$.
+ 1. Soient $C$ ouvert convexe non vide de $\R^d$, $f\colon C\to\R$ différentiable. On suppose que $\nabla f$ est $L$-lipschitzien.
- - Experimer $g'(t)$.
+    1. Soient $w,v\in C$ et $g:t\mapsto f(v+t(w-v))$. Exprimer $g'(t)$.
- -  Montrer que $f(w)-f(v)=\int_0^1\left\langle\nabla f(v+t(w-v)),w-v\right\rangle{\rm d}t$.
+    2. Montrer que $f(w)-f(v)=\int_0^1\left\langle\nabla f(v+t(w-v)),w-v\right\rangle{\rm d}t$.
- -  Montrer que $f(w)\leq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle+\frac{L}{2}\left\| w-v\right\|$.
+    3. Montrer que $f(w)\leq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle+\frac{L}{2}\left\| w-v\right\|$.
- - Soit $f\colon\R^d\to\R$ differentiable. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si
+ 2. Soit $f\colon\R^d\to\R$ différentiable. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si
-
+    $\forall w,v\in\R^d,\, f(w)\geq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle$.
-$\forall w,v\in\R^d$, $f(w)\geq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle$. Ind. Commencer par $d=1$.
+ 3. Soit $f\colon\R^d\to\R$ différentiable. On pose $v_0=0$ et $v_{n+1}=v_n-\frac{1}{2L}\|\nabla f(v_n)\|^2$ pour $n\in\N$.
- - Soit $f\colon\R^d\to\R$ differentiable. On pose $v_0=0$ et $v_{n+1}=v_n-\frac{1}{2L}\|\nabla f(v_n)\|^2$ pour $n\in\N$. Montrer que $f(v_{n+1})\leq f(v_n)-\frac{1}{2L}\|\nabla f(v_n)\|^2$ pour $n\in\N$.
+    1. Montrer que $f(v_{n+1})\leq f(v_n)-\frac{1}{L}\nabla f(v_n)$ pour $n\in\N$.
- - On suppose de plus $f$ convexe.
+    2. On suppose dorénavant que plus $f$ est convexe. On considère $w\in\R^d$.
- - Montrer que $\forall w\in\R^d$, $f(v_{n+1})\leq f(w)+\left\langle\nabla f(v_n),v_n-w\right\rangle- \frac{1}{2L}\|\nabla f(v_n)\|^2$.
+       1. Montrer que$f(v_{n+1})\leq f(w)+\left\langle\nabla f(v_n),v_n-w\right\rangle- \frac{1}{2L}\|\nabla f(v_n)\|^2$.
- -  Montrer que $f(v_n)-f(w)\leq\frac{L}{2}(\|v_n-w\|^2-\|v_{n+1}-w\|^2)$.
+       2. Montrer que $f(v_n)-f(w)\leq\frac{L}{2}(\|v_n-w\|^2-\|v_{n+1}-w\|^2)$.
- -  Montrer que $f(v_n)-f(w)\leq\frac{L}{2n}\|w\|^2$.
+       3. Montrer que $f(v_n)-f(w)\leq\frac{L}{2n}\|w\|^2$.
- - Soit $v_*$ un point critique de $f$. Montrer que $v_*$ est un minimum local de $f$ et que la suite $(v_n)$ converge vers $v_*$.
+    3. On suppose $f$ strictement convexe. Soit $v_*$ un point critique de $f$. Montrer que $v_*$ est un minimum local de $f$ et que la suite $(v_n)$ converge vers $v_*$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ 1.
+    1. Simple,
+    2. Simple.
+    3. Utilise le caractère $L$-lip.
+ 2. Si $f$ est convexe, utiliser la question b), et réciproquement, on obtient la croissance de $g'$.
+ 3.
+    1. Ok.
+    2.
+       1.
+       2.
+       3.
+    3.
+#+END_proof
 
 *** Probabilités
 
@@ -2715,9 +2826,14 @@ Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires a valeurs réelles, identiquem
 ${}^{\bigstar}$ Soit $A$ une partie de cardinal $n$ de $\R$. On pose $B=A+A=\{a+a',\ a,a'\in A\}$. Montrer que $2n-1\leq\mathrm{card}(B)\leq\dfrac{n(n+1)}{2}$. Généraliser a $B=kA=A+A+\cdots+A$ ($k$ fois).
 #+end_exercice
 
+# ID:7380
 #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 220]
 Soient $a,b\in\Z$ deux entiers distincts. Trouver tous les polynômes $P\in\Z[X]$ tels que $P(a)=b$ et $P(b)=a$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+On peut appliquer $P\mapsto Q(X-a) + a$, pour supposer que $a = 0$, alors on a $P(b) = 0$ et $P(0) = b$, donc $P = (X-b) Q$ tel que $Q(0) = 1$ (et à coefficients entiers).
+#+END_proof
+
 
 #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 221]
 ${}^{\bigstar}$ Soient $P_1,P_2,P_3,P_4\in\R[X]$. Montrer qu'il n'existe aucun voisinage ouvert de $0$ sur lequel on ait simultanement i) $\forall x\lt 0,\ P_1(x)\lt P_2(x)\lt P_3(x)\lt P_4(x)$
@@ -3682,15 +3798,14 @@ Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On défi
 #+END_proof
 
 
+# ID:7421
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 328]
 On définit la longueur d'un intervalle borné $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$.
  - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$?
- - Soit $\delta\colon [0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$.
  - Soit $(I_n)_{n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$?
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  - 
- - Incompréhensible ??. Quel sens pour $x_1$ ? Il faudrait que $\delta$ soit continue ?
  - Si $\sum \ell(I_n)\lt 1$, on montre que ce n'est pas possible. On considère une suite $(\eps_n)$ telle que $\sum \ell(I_n) + \eps_n \lt 1$.
 
    On choisit $x_0 = 0$, puis le plus grand intervalle restant qui contient (n'existe pas …) $x_0$, puis $\l(I_{n_0}) \lt x_1\lt \l(I_{n_0}) + \eps_{n_0}$, puis le plus grand qui le contient etc.
@@ -3910,11 +4025,12 @@ Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{
 Easy.
 #+END_proof
 
+# ID:nil
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 347]
 Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $|f'|+|f+1|\leq 1$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
-?? On obtient $f\leq 0$, $f= 0\rightarrow f' = 0$, la fonction est coincée entre $-2$ et $0$.
+On obtient $f\leq 0$, $f= 0\rightarrow f' = 0$, la fonction est coincée entre $-2$ et $0$.
 
 On peut juste poser $g = f+1$, auquel cas $|g| + |g'|\leq 1$. La fonction $g$ peut osciller tranquillement…
 
@@ -4009,6 +4125,7 @@ Justifier l'existence et calculer $\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor
 Facile
 #+END_proof
 
+# ID:7453
 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 356]
 Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$.
  1. Montrer que $f(x)\lt \frac{1}{x}$ pour tout $x\gt 0$.
@@ -4017,10 +4134,10 @@ Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
  1. On a $xf(x)\lt e^{x^2/2} \int_x^{+\i} t e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$, ou IPP.
- 2. L'IPP donne $\frac{1}{x} - e^{x^2/2} \int_x^{+\i} \frac{e^{-t^2/2}}{t^2}$. Une autre donnera $\geq \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}$, ce qui ne permet pas de conclure.
+ 2. L'IPP donne une minoration, insuffisante (cf question suivante).
 
-    L'inégalité revient à montrer que $f(x)^2 + x f(x) - 1 \geq 0$. !!
+    L'inégalité revient à montrer que $f(x)^2 + x f(x) - 1 \geq 0$, c'est-à-dire $f(x)\big(f(x) + x\big)\gt 1$. En dérivant $\big(x e^{-x^2/2}\big)' = e^{-x^2/2}\big(1 - x^2\big)$, donc $f(x) + x = e^{x^2/2}\int_x^{+\i} t^2 e^{-t^2/2}\dt$. Puis Cauchy-Schwarz sur le produit $f(x)\big(f(x) + x\big)$ donne le résultat.
- 3. IPP successives semblent fonctionner.
+ 3. L'IPP donne $\frac{1}{x} - e^{x^2/2} \int_x^{+\i} \frac{e^{-t^2/2}}{t^2}$, et on réitère.
 #+END_proof
 
 
@@ -4082,20 +4199,32 @@ Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f)\colon x\in[0,1]\mapsto\inf\limits_{y\in[
 #+END_proof
 
 
+# ID:7374
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 361]
 Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$.
  1. s Rappeler le théorème d'intégration des relations de comparaison.
  2. Donner un équivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$.
  3. Déterminer le domaine de définition de la fonction $u\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$.
  4. Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de définition.
- 5. Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ telle que $u(x)\sim\dfrac{C}{x}u\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$.
+ 5. Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ telle que $u(x)\sim\frac{C}{x^{\a + 1}}u\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  1.
  2. $\ln f(x) \sim a \ln x$.
  3. Tout $x\gt 0$.
  4. L'infini et $0$.
- 5. !!
+ 5. On regarde le produit $x u(x) u\big(\frac{1}{x}\big)$. Si $f(x) = x^{a}$, alors $u(x) = \sum n^{\a} e^{-n x}$.
+
+    Pour $\a$ entier, c'est la dérivée $\a$-ième de $\frac{1}{1-e^{-x}}$.
+
+    On prend $a = 1$, c'est $\frac{e^x}{\big(e^x-1\big)^2}$, équivalent à $e^{-x}$ en $+\i$,
+    et en $0$, on est équivalent à $\frac{1}{x^2}$.
+
+    Problème d'énoncé.
+
+    En général, $u(x)$ va être équivalent, en $+\i$, à son premier terme.
+
+    En $0$, les premiers termes sont toujours négligeables, donc on peut remplacer $f(n)$ par $n^{\a}$, puis dans l'intégrale obtenue, il suffit de faire le changement de variable : $\int_0^{+\i} t^{\a} e^{-tx}\dt$.
 #+END_proof
 
 # ID:7314
@@ -4219,18 +4348,26 @@ Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g\colon x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}\dt$
 # ID:7322
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 372]
  - Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout réel $x$.
- - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$
+ - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F''(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$
  - Donner une expression simplifiée de $F$.
 #+end_exercice
 
-#+begin_exercice [X MP 2023 # 373]                                             :todo:
+# ID:7504
+#+begin_exercice [X MP 2023 # 373]
 Soit $f\in\mc C^0(\R_+^{*},\R)$ de carré intégrable. On pose $S_f\colon x\in\R_+^{*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$.
  - Justifier la bonne définition de $S_f$.
  - Montrer que $S_f$ est de carré intégrable.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  - CS
- - !!
+ - On a, par Cauchy-Schwarz, en multipliant et divisant par du $y^{1/4}$,
+   $$S_f(x)^2 = \left(\int_0^{+\i} \frac{f(y) \sqrt{y}}{\sqrt{x+y}} \times \frac{1}{\sqrt{y} (x+y)}\right)^2 \leq \int \frac{f^2 y}{x+y} \dy \int \frac{1}{y (x+y)\dy},$$
+
+   $$S_f(x)^2 \leq \int \frac{1}{x+y} \frac{\dy}{\sqrt{y}} \int \frac{f(y)^2 \sqrt{y}}{x+y}\dy.$$
+
+   Le premier facteur est en $x^{-1/2}$, puis $x^{-1/2}\int \frac{f(y)^2 \sqrt{y}}{x+y}\dy = x^{-1/2}$, si on admet Fubini (positif), $\int \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} (x+y)}\dx = \pi$, d'où l'intégrabilité en $x$ de ce qui précède.
+
+ - R L'opérateur est connu sous le nom de «Hilbert-Hankel», ou «Carleman». C'est le carré de l'opérateur de Laplace $L_f \colon x\mapsto \int_{0}^{+\i} e^{-xy} f(y)\dy$. La démonstration de la bonne définition de $L_f$ est la même
 #+END_proof
 
 
@@ -4276,6 +4413,7 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$. S
 #+END_proof
 
 
+# ID:7422
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 377]
 Soient $v\colon \R\to\R$ une fonction continue à support compact et $\omega\in\R^{+*}$. On considère l'équation différentielle $y''+\omega^2 y=v(t)$ dont on note $\mc{S}_E$ l'ensemble des solutions.
  - Montrer que, pour tout $(a,b)\in\R^2$, il existe une unique solution $f^+_{a,b}$ (resp. $f^-_{a,b}$) de $(E)$ telle que $f^+_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $+\i$, (resp. $f^-_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $-\i$.
@@ -4286,8 +4424,8 @@ Soient $v\colon \R\to\R$ une fonction continue à support compact et $\omega\in\
 #+BEGIN_proof
  1. Appliquer les conditions aux bords du compact.
  2. Pas de difficulté.
- 3. Méthode de variation de la constante je pense, à écrire.
+ 3. Intégrer l'équation différentielle, une fois multipliée par $\cos (\om t)$, faire deux IPP. Pour simplifier, se placer en un multiple de $2\pi$, en dehors du support.
- 4. !!
+ 4. Ce serait le cas si $\forall \om,\, c(\om) = s(\om) = 0$. On peut ou bien appliquer le théorème de Weierstrass trigonométrique, ou bien dériver successivement, et obtenir que $\int P(t) v(t) \cos (\om t) \dt = 0$, et en prenant $P$ une approximation à $\eps$ près de $v$, on conclut.
 #+END_proof
 
 
@@ -4581,18 +4719,27 @@ Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succes
 #+END_proof
 
 
-#+BEGIN_exercice [X 2023 # 396]                                                :todo:
+# ID:7349
+#+BEGIN_exercice [X 2023 # 396]
 Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$.
  1. Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un triangle équilatéral.
  2. Déterminer un équivalent de $p_n$.
 #+END_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  1. On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes $1$, et autant de différences entre les deux.
 
     On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et $B\oplus C$.
 
-    Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints.
+    Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints, et cela revient à les choisir.
- 2. Super dur, fait dans la RMS.
+
+    On obtient $sum_{k} {n\choose k}{n-k\choose k} {n-2k \choose k}$.
+ 2. Par exemple, dans le cas plus simple $\sum_k {n\choose k}$, on sait que le poids est aux environs de $k = \frac{n}{2}$, avec de l'ordre de $\sqrt{n}$ autour.
+
+    Pour $\sum_k {n\choose k} {n-k \choose k} = \sum_k \frac{n!}{k! k! (n-2k)!}$, le terme est maximal lorsque $k^2 = (n - 2k)(n-2k -1)$, c'est-à-dire $k\simeq \frac{n}{3}$.
+
+    La RMS remarque que $p_n$, à un facteur près, est égal à l'intégrale double
+    $$I_n = \int_{-\pi}^{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \big(1 + e^{i\theta} + e^{i \theta'} + e^{-i(\theta + \theta')}\big)^n \d\theta \d \theta'.$$
+    Puis on écrit la fonction intégrée comme $1 - \frac{1}{4}\big(\theta^2 + \theta'^2 + \theta \theta'\big) + o(\theta^2 + \theta'^2)$. On change de variable en $\sqrt{n}$, on fait de la convergence dominée, on diagonalise la forme quadratique (dans une BON).
 #+END_proof
 
 # ID:nil
@@ -4631,22 +4778,26 @@ Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$
  - On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont indépendantes. Déterminer la loi de $Y$, puis celle de $X$.
 #+end_exercice
 
-#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 400]                                             :todo:
+# ID:7350
+#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 400]
  Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aléatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-même telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilité que $F$ soit bijective.
 #+END_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
 Quand $X_k$ vaut $2$, le prochain ne doit pas valoir $1$, et quand $X_k$ vaut $3$ le prochain ne doit pas valoir $2$, et celui d'après ne doit pas valoir $1$.
 
 On interdit les pattern 21, 32, et 3*1.
 
-Si c'est une bijection, alors en itérant, ou bien on obtient deux $\frac{n}{2}$-cycles, ou bien $3$, $\frac{n}{3}$-cycles, ou bien ?
+Plutôt, pour un interstice entre $i$ et $i+1$, on regarde le nombre de truc qui lui saute au dessus. S'il y en a $3$, alors cela implique de même pour le prochain interstice. S'il y en a $1$ seul, de même.
- + S'il y a au moins trois cycles, il doivent trois alternés, donc ils sont tous de longueur $3$. Facile de les compter.
- + S'il y a un unique cycle, on peut compter le nombre de tours qu'il fait. S'il fait un seul tour, c'est que des $+1$.
 
-   S'il fait trois tours, ils doivent $3$-alterner, donc c'est que des $+3$.
+S'il y en a $2$, alors ou bien les sauts se croisent, ou il ne se croisent pas, et il peut en être de même pour les interstices d'à côté. Je dirais donc qu'il y a $2^n$ possibilités, plus $2$.
 
-   S'il fait deux tours : alors il peut juste jamais faire 1, 1, attention également à la fin du tour (compter aussi le premier pas, et le dernier qui arrive en n-1).
+Vérifions : pour $n = 2$. Soit $+1, +1$, soit $+2, + 2$, soit $+3, +3$, soit $+1, +3$, $+3, +1$. Bon ça ne marche pas.
- + S'il y a deux cycles, ils sont fortement liés, et l'un détermine entièrement le second. Il faut simplement que l'un ne fasse jamais deux sauts de $1$.
+
+Pour $n = 3$ : $(1, 1, 1)$ (chaque interstice est sautée une fois). $(3, 3, 3)$ (chaque interstice est sautée trois fois). $(2, 2, 2)$ donne tous croisés, et il se trouve que si une interstice est parallèle, les deux autres doivent être croisées. Finalement, $6$ possibilités.
+
+En fait, autour d'une parallèle, on doit être croisé. Le nombre de cercle de $n$ termes $0, 1$ sans paires de $1$ consécutifs est : $F_{n-1} + F_{n-3}$.
+
+Pour $n = 4$, on prédit donc $1 + 1 + 5 + 2 = 9$, ce qui fonctionne.
 #+END_proof
 
 
@@ -4683,6 +4834,7 @@ Soient $x\in\R^{+*}$, $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoire
 ** X PSI                                                              :autre:
 *** Algèbre
 
+# ID:7381
 #+begin_exercice [X PSI 2023 # 404]
 Pour $n\geq 2$ on pose $P_n=(X+1)^n+X^n+1$ et $Q(X)=(X^2+X+1)^2$.
 
@@ -4758,11 +4910,13 @@ Calculer le volume du parallelepipede engendre par les vecteurs $\overrightarrow
 #+end_exercice
 
 *** Géométrie
+
+# ID:7382
 #+begin_exercice [X PSI 2023 # 418]
 Soient $abc$ un vrai triangle du plan complexe, $\alpha$ (resp. $\beta$, resp. $\gamma$) a rotation de centre $a$ (resp. $b$, resp. $c$) et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
- - Montrere que le centre de $\alpha\circ\beta$ appartient a l'intersection des trisectrices du triangles.
+ - Montrer que le centre de $\alpha\circ\beta$ appartient à l'intersection des trisectrices du triangle.
- - Montrere que $\alpha^3\circ\beta^3\circ\gamma^3$ est l'identite du plan.
+ - Montrer que $\alpha^3\circ\beta^3\circ\gamma^3$ est l'identité du plan.
- - Montrere que les points d'intersection des trisectrices forment un triangle equlateral.
+ - Montrer que les points d'intersection des trisectrices forment un triangle équilatéral.
 #+end_exercice
 
 *** Probabilités
@@ -4794,6 +4948,7 @@ On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aléatoires indépe
 ** X PC                                                               :autre:
 *** Algèbre
 
+# ID:7383
 #+begin_exercice [X PC 2023 # 424]
 Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $m\in\N^*$ et $\eps_1,\ldots,\eps_m\in\{-1,1\}$ tels que $n=\sum_{k=1}^m\eps_kk^2$.
 #+end_exercice
@@ -4989,9 +5144,14 @@ Soit $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie. Soient $p,q\in\mc{L}(E)$
  - Montrer que $u=pq+(\mathrm{id}-p)(\mathrm{id}-q)$ est inversible et que $p=uqu^{-1}$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7387
 #+begin_exercice [X PC 2023 # 467]
 Soit $x\geq 0$. Donner un équivalent de la suite de terme général $u_n=\prod_{i=1}^n(x+i)$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Quotienter par $n!$, passer au logarithme, et utiliser $\big|\ln (1+x) - x\big|\leq x^2$.
+#+END_proof
+
 
 #+begin_exercice [X PC 2023 # 468]
 Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $\sum_{k=0}^{n-1}|\cos(k)|\geq\frac{4n}{10}$.
@@ -5072,9 +5232,14 @@ Soient $f$ et $g\colon\R\to\R$ continues et croissantes. Soit $\lambda\gt 0$. Mo
 Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.
 #+end_exercice
 
+# ID:7384
 #+begin_exercice [X PC 2023 # 483]
-Soit $f:[0,1]\mapsto\R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que, pour tout $a\in\R$, $f'+af$ s'annule sur $]0,1[$.
+Soit $f\colon [0,1]\mapsto\R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que, pour tout $a\in\R$, $f'+af$ s'annule sur $]0,1[$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+C'est la dérivée de…
+#+END_proof
+
 
 #+begin_exercice [X PC 2023 # 484]
 - Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ une fonction $C^{\i}$. Montrer que pour tout $n\gt 0$ et pour tout $x\gt 0$ il existe $c\in]x,x+n[$ tel que $\sum_{k=0}^n\binom{k}{n}(-1)^{n-k}f(x+k)=f^{(n)}(c)$.
@@ -5098,12 +5263,19 @@ Soit $f\colon\R\to\R$ continue. Montrer que les propositions suivantes sont équ
  -  pour tout intervalle $I\subset\R$ ouvert, pour toute $\phi\in\mc C^{\i}\left(I,\R\right)$, pour tout $x_0\in I$, si $f-\phi$ admet un minimum local en $x_0$, alors $\phi'\left(x_0\right)\geq 0$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7385
 #+begin_exercice [X PC 2023 # 488]
 Soit $g\in\mc C^3([0,2],\R)$ telle que $g(0)=g(1)=g(2)=0$.
  - Montrer : $\forall x\in[0,2]$, $\exists c\in[0,2]$, $g(x)=\dfrac{1}{6}x(x-1)(x-2)g^{(3)}(c)$.
  - Montrer que $\int_0^2|g(x)|\ dx\leq\dfrac{1}{12}\|g^{(3)}\|_{\i}$.
  - Montrer que $\left|\int_0^2g(x)\ dx\right|\leq\dfrac{1}{24}\left[\sup \left(g^{(3)}\right)-\inf\left(g^{(3)}\right)\right]$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - 
+ - Retirer à $g$ un polynôme de la forme $\la (x-1)(x-2)x$, qui a une intégrale nulle, de sorte que son sup soit égal à l'opposé de son inf.
+#+END_proof
+
 
 #+begin_exercice [X PC 2023 # 489]
  Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$, et $f,g\in\mc C^0([a,b],\R^{+*})$.
@@ -5262,9 +5434,14 @@ On dispose de $N$ pieces equilibrées. On lance les $N$ pieces de maniere indép
  - Soit $T$ l'instant ou l'on n'a plus de piece. Calculer $\mathbf{E}\left(T\right)$ dans le cas ou $N=4$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7386
 #+begin_exercice [X PC 2023 # 514]
-Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes indépendantes telles que $Y$ prenne un nombre fini de valeurs, et $\mathbf{E}(Y)=0$. On suppose que $|X|$ admet une espérance. Montrer que $\mathbf{E}(|X-Y|)\geq\mathbf{E}(|X|)$.
+Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes indépendantes telles que $Y$ prenne un nombre fini de valeurs, et $\mathbf{E}(Y)=0$. On suppose que $|X|$ admet une espérance. Montrer que $\mathbf{E}(|X+Y|)\geq\mathbf{E}(|X|)$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Conditionner sur les valeurs de $X$, c'est de la convexité de la valeur absolue.
+#+END_proof
+
 
 #+begin_exercice [X PC 2023 # 515]
 On tire une piece $n$ fois indépendamment avec probabilité de faire pile $1/n$. Soit $p_n$ la probabilité d'obtenir un nombre impair de fois pile. Étudier le comportement de $p_n$.
@@ -5468,9 +5645,14 @@ Montrer que, pour tout $q\in\N^*$, $P_q=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^q)$ est a coef
 Soit $\mathbb{K}=\Q+\sqrt{2}\Q+\sqrt{3}\Q+\sqrt{6}\Q$. Montrer que $\mathbb{K}$ est un $\Q$-sous-espace vectoriel de $\R$ et que $(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ est une base de $\mathbb{K}$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7528
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 547]
-Quelle est la dimension du $\Q$-sous-espace de $\R$ engendre par $\mathbb{U}_5$?
+Quelle est la dimension du $\Q$-sous-espace de $\R$ engendré par $\mathbb{U}_5$?
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+On a $1$, on a $\cos \frac{2\pi}{5} = \frac{1}{4}\big(\sqrt{5} - 1\big)$, ce que l'on trouve ou bien en écrivant $\cos (2\theta) = \cos (3\theta)$ et en linéarisant, ou bien en écrivant $\cos \frac{2\pi}{5} = z + z^{-1}$. Comme $1 + z + \dots + z^4 = 0$, on peut trouver une équation quadratique vérifiée par $\cos \theta$.
+#+END_proof
+
 
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 548]
 Soient $x,y,z$ des rationnels non nuls. Montrer que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}x&y&z\\ 2y&z&2x\\ z&x&2y\end{array}\right)$ est inversible.
@@ -5480,9 +5662,16 @@ Soient $x,y,z$ des rationnels non nuls. Montrer que la matrice $\left(\begin{arr
  Soient $x,y\in\R$ et $D=\begin{vmatrix}1&0&1&0&0\\ x&1&y&1&0\\ x^2&2x&y^2&2y&2\\ x^3&3x^2&y^3&3y^2&6y\\ x^4&4x^3&y^4&4y^3&12y^2\end{vmatrix}$. Montrer que $D=0$ si et seulement si $x=y$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7529
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 550]
 Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ dont on note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes. Soit $B$ la matrice dont les colonnes sont $C'_1,\ldots,C'_n$ avec : $C'_j=\sum_{i\neq j}C_i$. Déterminer $\det B$ en fonction de $\det A$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Depuis $C'$, on retire chaque colonne à la précédente, on obtient
+ $C_2-C_1, C_3-C_2, \dots,C_n - C_{n-1}, \sum_{i\neq n} C_i$. En ajoutant des premières à la dernière, on obtient $(n-1)C_n$ comme dernière colonne.
+
+ Par ailleurs, à partir de $(C_1,\dots, C_n)$, $(-C_1, -C_2,\dots, -C_n)$, puis $(C_2 - C_1, C_3 - C_2, \dots, C_n-C_{n-1}, -C_n)$, puis
+#+END_proof
 
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 551]
 - Soient $p\in\N^*$, $a_1,\ldots,a_p\in\R$ non tous nuls et $b_1,\ldots,b_p\in\R$ avec $b_1\lt \cdots\lt b_p$. Montrer que $f_p:x\in\R\mapsto\sum_{i=1}^pa_ie^{b_ix}$ s'annule au plus $p-1$ fois sur $\R$.
@@ -5570,12 +5759,16 @@ Montrer $\forall k\geq 1$, $\mathrm{tr}(A^k)+\mathrm{tr}(B^k)=\mathrm{tr}\left((
 Soit $f\colon\M_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ non constante telle que : $\forall A,B\in\M_n(\mathbb{K})$, $f(AB)=f(A)f(B)$. Montrer que $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\Longleftrightarrow f(A)\neq 0$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7516
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 565]
 Soient $A,B$ dans $\M_n(\R)$. Montrer que $\mathrm{Ker}\,A=\mathrm{Ker}\,B$ si et seulement s'il existe $P$ inversible telle que $B=PA$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7517
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 566]
-Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer l'equivalence entre : i) $u^2=0$ et $\exists v\in\mc{L}(E),\,u\circ v+v\circ u=\mathrm{id}$,   ii) $\mathrm{Im}\,u=\mathrm{Ker}\,u$.
+Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer l'equivalence entre :
+ + $u^2=0$ et $\exists v\in\mc{L}(E),\,u\circ v+v\circ u=\op{id}$
+ + $\op{Im} u=\op{Ker} u$.
 #+end_exercice
 
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 567]
@@ -5650,6 +5843,7 @@ Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ vérifiant : $\forall(i,j,k,\ell
  - Expliciter les automorphismes de l'algèbre $\M_n(\mathbb{K})$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7551
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 578]
 Soit $U$ une partie de $\M_n(\C)$ non vide, finie et stable par produit. Montrer qu'il existe $M\in U$ tel que $\mathrm{tr}\,M\in\{0,\ldots,n\}$.
 #+end_exercice
@@ -5721,6 +5915,7 @@ Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$.
  - Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.
 #+end_exercice
 
+# ID:7552
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 591]
 Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$.
  - Déterminer un polynôme de degré $2$ annulateur de $f$.
@@ -5794,10 +5989,9 @@ On suppose dans la suite que $\mathbb{K}=\C$ et que $E$ est de dimension $n\in\N
  - Soient $f_1,\dots,f_n\in\mc{L}(E)$ nilpotents qui commutent. Calculer $f_1\circ\dots\circ f_n$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7553
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 600]
- Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si
+Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\forall P\in{\C}[X],\ P(A)$ nilpotent $\Rightarrow P(A)=0$.
-
-$\forall P\in{\C}[X],\ P(A)$ nilpotent $\Rightarrow P(A)=0$.
 #+end_exercice
 
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 601]
@@ -6030,13 +6224,14 @@ $\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$.
  - Calculer la distance de $X^3$ a $\R_2[X]$.
 #+end_exercice
 
-#+begin_exercice [Mines 2023 # 637]                                            :todo:
+# ID:7590
-Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left(P(x)+x^n\right)^{2}\,dx\geq(n!)^2$.
+#+begin_exercice [Mines 2023 # 637]
+Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left(P(x)+x^n\right)^{2} \dx\geq(n!)^2$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
-!!
+On cherche le projeté orthogonal de $-X^n$ sur $\R_{n-1}[X]$. On le note $Q = \sum a_i X^i$. On écrit $\langle Q + X^n, X^k \rangle = 0$, on obtient des relations sur les $a_i$, et en les divisant par $i!$, cela donne des racines d'un polynôme $T = X(X+1)\dots (X+n-1) + \sum a_i X(X+1)\dots (X+i)$, ou un truc du genre.
- + $\frac{(-1)^n}{n!} e^x \big(e^{-x} x^n\big)^{(n)}$ est une BON.
+
- + Ou, comme quotient de deux déterminants de Gram…
+Rmq : $\frac{(-1)^n}{n!} e^x \big(e^{-x} x^n\big)^{(n)}$ est une BON.
 #+END_proof
 
 
@@ -6418,6 +6613,7 @@ Soit $f:[0,2]\to\R$ une fonction $C^1$. On pose $u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\le
 Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7530
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 695]
 Pour $n\in\N^*$, on pose $u_n=\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{\sqrt{k}}{n}\right)$. Déterminer un équivalent de $u_n$.
 #+end_exercice
@@ -6428,20 +6624,23 @@ Soit $\mc{B}$ le sous-espace de $\C^{\Z}$ formé des suites $(u_n)_{n\in\Z}$ bor
  - Déterminer les sous-espaces de dimension finie de $\mc{B}$ stables par $T$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7531
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 697]
-Étudier les suites définies par $u_1,v_1$ réels et
+Étudier les suites définies par $u_1,v_1$ réels et $\forall n\in\N^*$, $u_{n+1}=u_n+v_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et $v_{n+1}=v_n-u_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$.
-
-$\forall n\in\N^*$, $u_{n+1}=u_n+v_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et $v_{n+1}=v_n-u_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Il suffit de montrer que les suites sont bornées. Pour ça, on passe en valeur absolue, et en sommant, $|u_n| + |v_n|$ reste bornée.
+#+END_proof
+
 
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 698]
-?? $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle convergente?  - La suite $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle bornée?
+ $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle convergente?  - La suite $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle bornée?
 #+end_exercice
 
+# ID:7532
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 699]
 Soit $(b_n)_{n\in\N}$ une suite strictement positive, croissante et non majorée.
  - Montrer que, si $(a_n)_{n\in\N}$ est une suite réelle convergente de limite $\ell$, alors
-
    $$\frac{1}{b_n}\sum_{k=0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)a_k\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}\ell.$$
  - Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle. Montrer que, si la suite $\left(\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\right)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\in\R$, alors $\frac{a_n}{b_n}\to\ell$ quand $n\to+\i$.
  - La réciproque de la propriété précédente est-elle vraie?
@@ -6495,10 +6694,11 @@ Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=0}^n(X-i)$.
  - Déterminer un équivalent simple de $r_n$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7533
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 707]
 Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{n+u_n}$
  - Montrer que $u_n\to+\i$.
- - Donner un développement asymptotique a trois termes de $u_n$.
+ - Donner un développement asymptotique à trois termes de $u_n$.
 #+end_exercice
 
 #+begin_exercice [Mines 2023 # 708]
@@ -7636,20 +7836,17 @@ Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilité $\mathbf{P}_{\alph
  - En déduire la formule d'Euler $\zeta(\alpha)=\prod_{k=1}^{+\i}\left(1-\dfrac{1}{p_k^{\alpha}} \right)^{-1}$.
 #+end_exercice
 
-#+begin_exercice [Mines 2023 # 906]                                            :todo:
+# ID:7356
-Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de même loi et d'espérance finie. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas où $X$ et $Y$ sont indépendantes.
+#+begin_exercice [Mines 2023 # 906]
+Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de même loi et d'espérance finie.
+ 1. On suppose $X$ et $Y$ indépendantes. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$.
+ 2. Même question, sans l'hypothèse d'indépendance.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
-Si $X,Y$ sont indépendantes, c'est du Cauchy-Schwarz. Sinon, on a $\sum_y \sum_x \frac{x}{y} P(X = x, Y = y) = \sum_y \frac{1}{y} E(X \mid Y = y) P(Y = y)$, sachant $\sum E(X \mid Y = y) P(Y = y) = E(X)$,
+ 1. Si $X,Y$ sont indépendantes, c'est du Cauchy-Schwarz.
+ 2. C'est du réordonnement. Si $X$ est à valeurs finies, de plus grande valeur $a_1$, et si l'évènement $(X = a_1, Y = a_2)$ est de probabilité $\gt 0$, alors il existe $a_3$ tel que $(X = a_3, Y = a_1)$ soit possible, en notant $p$ la plus petite des deux probabilités, on peut annuler l'un des évènements en changeant la répartition (en ajoutant du $(X = x_3, Y = a_2)$). Cela diminue l'espérance, du moment que $(a_1 - a_2) (a_1 - a_3)\geq 0$.
 
-C'est une inégalité de concavité pour $x\mapsto \frac{1}{x}$ :
+    On peut obtenir le cas $X,Y$ à valeurs dénombrable par limite…
-
- $$\sum_y \frac{1}{y}\sum_{x} x P(X = x, Y = y) \geq \left(\sum_{y, x} x P(X=x, Y=y)\right) \frac{1}{\sum_y y \sum_x x P(X=x, Y = y)} = \frac{E(X)}{E(XY)}$$
-
-Ne permet pas de conclure. On perd le cas d'égalité $X = Y$. !!
-
-If we drag a value to $1$ : On a $\sum_{x, y} \frac{x}{y} P(X = x, Y = y)$, et on le considère comme une fonction de $X(\Om)^2$. On fixe une valeur $x\gt 1$, et on la remplace par $1$. On a alors transformé
- $x \sum_{y} \frac{1}{y}P(X = x, Y = y) + \frac{1}{x} \sum_y y P(Y = x, X = y)$ en $\sum_y \frac{1}{y} P(X=x, Y = y) + y P(Y = x, X = y)$
 #+END_proof