From b0435abde716d46c14b391d2d6c5d4025c6fc8f4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?S=C3=A9bastien=20Miquel?= Date: Wed, 3 Apr 2024 19:03:49 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Mise=20=C3=A0=20jour?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- Exercices 2023.org | 2469 +++++++++++++++++++++++++------------------- 1 file changed, 1390 insertions(+), 1079 deletions(-) diff --git a/Exercices 2023.org b/Exercices 2023.org index 1be80f8..87fa114 100644 --- a/Exercices 2023.org +++ b/Exercices 2023.org @@ -2,12 +2,25 @@ #+title: Exercices 2023 #+author: Sébastien Miquel #+date: 02-12-2023 -# Time-stamp: <17-02-24 11:23> +# Time-stamp: <03-04-24 19:03> #+OPTIONS: * Meta :noexport: +#+BEGIN_SRC emacs-lisp +(let replacement + ("decrire" "décrire") + ("equation" "équation") + ("differe" "différe") + ("etre" "être") + ("reel" "réel") + ("montrrer" "montrer") + ("devel" "dével") + ("serie" "série") + ("integ" "intég")) +#+END_SRC + #+BEGIN_SRC emacs-lisp (defun nb_unexed () (let ((n 0)) @@ -24,6 +37,12 @@ #+RESULTS: | 1 | 8 | 937 | +#+BEGIN_SRC emacs-lisp +(defun find_bad_hash () + (interactive) + (re-search-forward "[^\n ]#")) +#+END_SRC + ** Trying to make nougat work @@ -107,6 +126,7 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( *** All +#+OPTIONS: toc:t #+export_file_name: Exercices 2023 *** XENS @@ -120,8 +140,6 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( # #+exclude_tags: autre # #+export_file_name: Exercices XENS MP 2023 - - * ENS MP-MPI :xens: ** Algèbre @@ -203,6 +221,7 @@ Donc $v_p(N(m)) = \sum_{k=1}^m v_p(1 - q) + v_p(m!)$, plus formule de Legendre. #+END_proof +# ID:6949 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 11] :sup: Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la concaténation et $\l\colon X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis et $\phi\colon A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous $a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$. 1. On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l'injectivité des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur $A^*$ par $\phi\colon A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi\colon A \ra B^*$ telle que $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$. @@ -221,6 +240,7 @@ Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \lef #+END_proof +# ID:6950 #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 12] :sup: 1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition $(1\, 2)$ et le cycle $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$. 2. La transposition $(1\, 3)$ et le cycle $(1\, 2\, 3\, 4)$ engendrent-ils $\mc{S}_4$ ? @@ -421,6 +441,10 @@ Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel $V$ de $\M_n(\R)$ te #+END_exercice #+BEGIN_proof !! + +On a $X\bot X^T$, donc la dimension de $X$ est $\leq \frac{n^2}{2}$. + +Réciproquement. #+END_proof @@ -650,7 +674,7 @@ Easy, on a $\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire $(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$. On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection orthogonale de $1$ sur $F$. On ecrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et $P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$. - - Determiner $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour $k\in\db{1,n]\!]$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in[\![1,n}$. + - Déterminer $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour $k\in\db{1,n]\!]$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in[\![1,n}$. - Calculer $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\,dx$. #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -694,7 +718,7 @@ C'est GS. #+begin_exercice [ENS 2023 # 64] -Soit $n\geq 1$. Determiner les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$. +Soit $n\geq 1$. Déterminer les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$. #+end_exercice #+BEGIN_proof On a $A$ et $A^T$ cotrigonalisable, donc $\la\mapsto \la + \la^k$ est une bijection sur les valeurs propres. La seule possibilité est que $A$ soit nilpotente, donc symétrique. @@ -708,7 +732,7 @@ Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}( #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 66] -Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit $v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n'ont pas de valeur propre commune. Sous reserve d'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$ pour $x$ reel. +Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit $v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n'ont pas de valeur propre commune. Sous reserve d'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$ pour $x$ réel. - Montrer que les zeros de $F$ sont les valeurs propres de $A+vv^T$. - On note $\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ les valeurs propres de $A$. Montrer que chaque intervalle $]\lambda_1,\lambda_2[$,..., $]\lambda_{n-1},\lambda_n[,]\lambda_n,+\i[$ contient exactement une valeur propre de $A+vv^T$. #+end_exercice @@ -734,11 +758,11 @@ Classique #+begin_exercice [ENS 2023 # 69] Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$. - - Determiner les valeurs propres de $J$ et leur multiplicite. + - Déterminer les valeurs propres de $J$ et leur multiplicite. - Soit $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$. Montrer qu'il existe une matrice $B\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telle que $B^2=A$. - Que peut-on dire de la matrice $BJB$? - Lorsque $A$ est diagonale, calculer les valeurs propres de $JA$. - - Montrer plus generalement que toute valeur propre d'une matrice antisymetrique reelle est imaginaire pure. + - Montrer plus généralement que toute valeur propre d'une matrice antisymetrique réelle est imaginaire pure. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 70] @@ -759,7 +783,7 @@ Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les va #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 72] -Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On definit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On definit de meme $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$. +Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On définit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On définit de meme $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$. - Montrer que $p(A)+q(A)=\mbox{rg}\,A$. - Montrer que, si $A$ est inversible, alors $p$ et $q$ sont constantes sur un voisinage de $A$ dans ${\cal S}_n({\R})$. - Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f:t\mapsto\det(A+tB)$ n'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$. @@ -768,7 +792,7 @@ Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On definit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un #+begin_exercice [ENS 2023 # 73] On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonne d'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$. - Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, que dire du signe de $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$ -Soient $a\leq b$ deux reels, et $(O - {i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ verifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$. +Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O - {i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ verifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 74] @@ -903,7 +927,7 @@ Ensuite, utiliser une convexité ? #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 90] -On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornees de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ decrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des reels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$. +On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornees de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ decrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des réels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 91] @@ -932,11 +956,11 @@ Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 #+begin_exercice [ENS 2023 # 93] -Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement decroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite definie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un reel strictement positif. +Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement decroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite définie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un réel strictement positif. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 94] -Soit $(u_n)$ une suite definie par $:\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adherence de $(u_n)$. +Soit $(u_n)$ une suite définie par $:\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adherence de $(u_n)$. - Montrer que, pour tous $x$ et $y\in{\R}$, $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$. - Montrer que $u_{n+1}-u_n\to 0$. - Montrer que $V$ est un intervalle inclus dans $[-1,1]$, puis que $V=[-1,1]$. @@ -950,9 +974,9 @@ Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densite si la suite #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 96] -On considere une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ieme occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ieme occurrence de $2$ soit egal a $a_n$. +On considère une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ieme occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ieme occurrence de $2$ soit egal a $a_n$. -Etudier la convergence de la suite de terme general $\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\db{1,n},\,a_k=3\}\big{|}$. +Étudier la convergence de la suite de terme général $\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\db{1,n},\,a_k=3\}\big{|}$. #+end_exercice @@ -987,7 +1011,7 @@ Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si elle v #+begin_exercice [ENS 2023 # 99] Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, on note $A_n$ la matrice $\left(\begin{matrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{matrix}\right)$ ou, pour tout $k\in\db{1,n-1}$, $a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$. -Soit $q\in\N^*$. Determiner la limite de $(\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$. +Soit $q\in\N^*$. Déterminer la limite de $(\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$. #+end_exercice @@ -1037,7 +1061,7 @@ Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier $f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle, $f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$. #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 106] -Soit $p\gt 1$ un reel. Montrer qu'il existe une constante $k_p\gt 0$ telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait $(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$. +Soit $p\gt 1$ un réel. Montrer qu'il existe une constante $k_p\gt 0$ telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait $(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 107] @@ -1047,7 +1071,7 @@ Montrer que $f^*(x)=\sup_{a\text{ affine }\leq f}a(x)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 108] -Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynomes reels stable par derivation. On definit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$. +Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynomes réels stable par derivation. On définit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$. Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient $A_{\eps}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et @@ -1058,7 +1082,7 @@ $B_{\epsilon}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$. #+begin_exercice [ENS 2023 # 109] Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^n$. - - Soient $x_0,\ldots,x_n$ des points de $I$. On note $V(x_0,\ldots,x_n)$ le determinant de Vandermonde associe a $(x_0,\ldots,x_n)$. Montrer qu'il existe $\tau\in I$ tel que + - Soient $x_0,\ldots,x_n$ des points de $I$. On note $V(x_0,\ldots,x_n)$ le déterminant de Vandermonde associe a $(x_0,\ldots,x_n)$. Montrer qu'il existe $\tau\in I$ tel que $\begin{vmatrix}1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^{n-1}&f(x_0)\\ 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}&f(x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}&f(x_n)\\ \end{vmatrix}=\dfrac{f^{(n)}(\tau)}{n!}\,V(x_0,x_1,\ldots,x_n)$ - On suppose que $n=2$, que $I$ est un segment et que $f$ est strictement convexe. On note $\Gamma_f=\{(x,f(x));x\in I\}\subset\R^2$ le graphe de $f$. Montrer qu'il existe une constante $C$, dependant uniquement de $I$ et $f$, telle que le nombre de points de $\Gamma_f\cap\frac{1}{N}\,\Z^2$ soit majore par $C\,N^{2/3}$ pour tout entier $N\geq 1$. @@ -1066,10 +1090,10 @@ Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^n$. #+begin_exercice [ENS 2023 # 110] Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$. - - Montrer que $(w - {n\geq 0}$ est decroissante. + - Montrer que $(w_n)_{n\geq 0}$ est decroissante. - Etablir une relation de recurrence entre $w_{n+2}$ et $w_n$. - - Sans utiliser la formule de Stirling, determiner un equivalent simple de $w_n$. - - Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum w_nx^n$. + - Sans utiliser la formule de Stirling, déterminer un équivalent simple de $w_n$. + - Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum w_nx^n$. #+end_exercice @@ -1085,7 +1109,7 @@ Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$. #+begin_exercice [ENS 2023 # 112] Pour $n\in\N$, on note $A_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\,dx$ et $B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}(x)\,dx$. On admet que, pour $n\in\N^*$, $2nA_n=(2n-1)A_{n-1}$. - Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{2B_0}{A_0}-\frac{2B_n}{A_n}$ pour tout $n\in\N^*$. - - En deduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ puis que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac{1}{n}\right)$. + - En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ puis que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac{1}{n}\right)$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 113] @@ -1104,7 +1128,7 @@ Soit $f$ une fonction continue par morceaux et croissante de $[0,1]$ dans $\R$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 115] -Soient $f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n$ des fonctions de $\mc C^0([0,1],\R)$. Soit $A$ la matrice de terme general $A_{i,j}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\,dx$. +Soient $f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n$ des fonctions de $\mc C^0([0,1],\R)$. Soit $A$ la matrice de terme général $A_{i,j}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\,dx$. On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}f_i(x_j)\big{)}$ et $C(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}g_i(x_j)\big{)}$.Montrer que $\int_{[0,1]^n}B(x_1,\ldots,x_n)\,C(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n=n!\det(A)$. #+end_exercice @@ -1114,11 +1138,11 @@ On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}f_i(x_j)\big{)}$ et $C(x_1,\dots,x_n)=\det\ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 117] -[Rennes sur dossier] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P - {n\in\N}$ une suite de polynomes a coefficients reels de degre au plus $d$ et $x_1,...,x_N$ des reels distincts. On suppose que pour tout $j\in\{1,...,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornee. Montrer que l'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui converge uniformement sur $[0,1]$ vers un polynome de degre au plus $d$. +[Rennes sur dossier] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P - {n\in\N}$ une suite de polynomes a coefficients réels de degre au plus $d$ et $x_1,...,x_N$ des réels distincts. On suppose que pour tout $j\in\{1,...,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornee. Montrer que l'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui converge uniformement sur $[0,1]$ vers un polynome de degre au plus $d$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 118] -Montrer que la suite de fonctions de terme general $f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformement sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. +Montrer que la suite de fonctions de terme général $f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformement sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 119] @@ -1141,7 +1165,7 @@ Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ #+begin_exercice [ENS 2023 # 121] Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractere non trivial $\chi$ sur le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c'est-a-dire un morphisme de groupes non constant $\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n'est pas premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou $\overline{m}$ designe la classe de $m$ modulo $q$). - - Montrer que la serie $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si et seulement si $s\gt 0$. - Montrrer que la fonction $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$. + - Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si et seulement si $s\gt 0$. - Montrer que la fonction $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 122] @@ -1154,12 +1178,12 @@ C'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. Cela ten #+begin_exercice [ENS 2023 # 123] Pour tout polynome trigonometrique $P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$. -On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynomes trigonometriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-periodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On definit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$. - - Montrrer qu'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que, pour tous $f$, $g\in{\cal T}$, +On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynomes trigonometriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-periodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On définit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$. + - Montrer qu'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que, pour tous $f$, $g\in{\cal T}$, $\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$. - - Determiner tous les reels $d$ verifiant la condition de la question precedente. - - Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose, pour $k\in{\Z}$, $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$ et, pour tout $d\in{\R}$, $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Determiner les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$. + - Déterminer tous les réels $d$ verifiant la condition de la question précédente. + - Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose, pour $k\in{\Z}$, $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$ et, pour tout $d\in{\R}$, $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Déterminer les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$. - Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodiques et $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$. #+end_exercice @@ -1169,7 +1193,7 @@ Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour tout $z\ #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 125] -Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $]-R, R[$ telles que $\forall x \in]-R, R\left[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $]-R, R[$. +Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $\interval]{-R, R}[$ telles que $\forall x \in \interval]{-R, R}[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $]-R, R[$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -1177,32 +1201,32 @@ Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entièr #+begin_exercice [ENS 2023 # 126] Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$. - - Determiner les rayons de convergence de $f$ et $g$. + - Déterminer les rayons de convergence de $f$ et $g$. - Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge. - - Montrrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur ${\C}\setminus\{1\}$, developpable en serie entiere en tout point de ${\C}\setminus\{1\}$. - - Montrrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$. - Montrrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$. - - Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrrer que $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$. - - Soit $h:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrrer que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$. - - Montrrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas developpable en serie entiere en $z_0$. + - Montrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur ${\C}\setminus\{1\}$, développable en série entiere en tout point de ${\C}\setminus\{1\}$. + - Montrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$. - Montrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$. + - Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrer que $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$. + - Soit $h:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrer que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$. + - Montrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas développable en série entiere en $z_0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 127] Soit $\alpha=(\alpha - {i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d'un certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$. - - Determiner, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la serie entiere $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$. + - Déterminer, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la série entiere $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$. -Dans la suite, on note $f$ la somme de cette serie entiere. +Dans la suite, on note $f$ la somme de cette série entiere. - Expliciter $f$ si $\alpha=(-\delta_{i,1})_{i\geq 1}$. - - Pour une somme $g$ de serie entiere sur un intervalle $]-a,a[$ non trivial, on pose $\Delta(g):z\mapsto zg'(z)$. Expliciter $P(\Delta)(g)$ lorsque $g:z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et $P\in\R[X]$. - - Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a un rayon de convergence non nul et donner une methode simple pour trouver une equation differentielle lineaire non triviale a coefficients polynomiaux dont sa somme est solution. + - Pour une somme $g$ de série entiere sur un intervalle $]-a,a[$ non trivial, on pose $\Delta(g):z\mapsto zg'(z)$. Expliciter $P(\Delta)(g)$ lorsque $g:z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et $P\in\R[X]$. + - Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a un rayon de convergence non nul et donner une methode simple pour trouver une équation différentielle lineaire non triviale a coefficients polynomiaux dont sa somme est solution. - Resoudre le meme probleme qu'en (d) lorsqu'il existe $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$. - - Justifier que le cadre de la question - s'applique bien a la suite $(u - {n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$. + - Justifier que le cadre de la question - s'applique bien a la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 128] Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{n!\,(30n)!}{(15n)!\,(10n)!\,(6n)!}$. - - Montrrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier. - - Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum u_nx^n$. - - Trouver une equation differentielle verifiee par la somme de la serie entiere precedente. + - Montrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier. + - Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum u_nx^n$. + - Trouver une équation différentielle vérifiée par la somme de la série entiere précédente. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 129] @@ -1213,9 +1237,9 @@ Cf un précédent #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 130] -- Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une serie entiere de rayon $R\gt 0$. Montrrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$. - - Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere de rayon de convergence egal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuite sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$. - - On admet que le rayon de convergence du developpement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du developpement en serie entiere en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer $M$ en fonction de $f$. +- Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une série entiere de rayon $R\gt 0$. Montrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$. + - Soit $f$ une fonction développable en série entiere de rayon de convergence egal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuite sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est développable en série entiere au voisinage de $0$. + - On admet que le rayon de convergence du développement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du développement en série entiere en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer $M$ en fonction de $f$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 131] @@ -1241,14 +1265,14 @@ Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+ #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 134] -Pour $x$ reel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$. +Pour $x$ réel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$. - Calculer $J(0)$. - Montrer que $J$ est de classe $\mc C^{\i}$. - En estimant $\int_{\frac{\pi}{2}-\eps}^{\frac{\pi}{2}+\eps}\cos(x\sin t)\, dt$ pour un $\eps$ a choisir convenablement en fonction de $x$, etablir que $J(x)=O(x^{-1/2})$ quand $x\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 135] -Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g:x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. Montrer que $f\star g$ est derivable et donner une expression de sa derivee. +Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g\colon x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. Montrer que $f\star g$ est derivable et donner une expression de sa derivee. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 136] @@ -1261,11 +1285,15 @@ $a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,d #+end_exercice +# ID:6895 #+begin_exercice [ENS 2023 # 137] -Soit $\mc{S}$ l'ensemble des solutions de l'equation differentielle sur $\R:\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$. +Soit $\mc{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sur $\R\colon\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$. -A quelle condition sur $n$ tout element de $\mc{S}$ possede-t-il une limite en $+\i$? +À quelle condition sur $n$ tout element de $\mc{S}$ possède-t-il une limite en $+\i$? #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Si et seulement si toutes les valeurs propres ont une partie réelle $\lt 0$ (puisque $0$ n'est pas racine). +#+END_proof #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 138] @@ -1280,26 +1308,38 @@ Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left( #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 139] -On considere l'equation differentielle $(D_{\lambda}):y^{''}+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$, $r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On considere $E_{\lambda}$ l'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$ telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$. - - Quelles sont les dimensions possibles de $E_{\lambda}$? - - Caracteriser le cas $\dim(E_{\lambda})=1$. (On souhaite une condition portant sur $y_{\lambda}$, solution du probleme de Cauchy $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$.) - - Montrer que, a $r$ fixe, les $E_{\lambda}$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1fg$. - - On note $N_{\lambda}$ le nombre de zeros de $y_{\lambda}$ sur $[0,1]$. Pourquoi est-il fini? - - Calculer $N_{\lambda}$ dans le cas $r=0$, $\lambda\gt 0$. - - Dans le cas general, etudier le comportement de $N_{\lambda}$. +On considère l'équation différentielle $(D_{\lambda})\colon y''+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$, $r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On considère $E_{\lambda}$ l'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$ telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$. + 1. Quelles sont les dimensions possibles de $E_{\lambda}$? + 2. On note $y_{\lambda}$ la solution du probleme de Cauchy $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$. Caractériser le cas où $\dim(E_{\lambda})=1$. + 3. Montrer que, à $r$ fixé, les $E_{\lambda}$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1 fg$. + 4. On note $N_{\lambda}$ le nombre de zeros de $y_{\lambda}$ sur $[0,1]$. Pourquoi est-il fini? + 5. Calculer $N_{\lambda}$ dans le cas $r=0$, $\lambda\gt 0$. + 6. Dans le cas général, étudier le comportement de $N_{\lambda}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. $0,1$ : c'est l'intersection de deux formes linéaires. + 2. + 3. + 4. + 5. + 6. +#+END_proof + #+begin_exercice [ENS 2023 # 140] -Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. On considere l'equation differentielle $(E):x^{''}+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$. +Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. On considère l'équation différentielle $(E):x^{''}+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$. - Soit $x$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que les zeros de $x$ sont isoles. - - On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu'il existe $z$ de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ definisse une bijection de l'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de $y^{''}+q(t)\,y=0$. - - Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considere l'equation differentielle $(E_i)$ : $y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$. - - Soient $q:I\to\R$ continue, et $m,M$ deux reels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle de $y^{''}+q(t)y=0$. Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq\beta-\alpha\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$.# 141 + - On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu'il existe $z$ de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ définisse une bijection de l'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de $y^{''}+q(t)\,y=0$. + - Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i)$ : $y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$. + - Soient $q:I\to\R$ continue, et $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle de $y^{''}+q(t)y=0$. Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq\beta-\alpha\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS 2023 # 141] Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application derivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 142] -Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-periodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'equation $u^{''}+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$. +Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-periodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'équation $u^{''}+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 143] @@ -1309,37 +1349,58 @@ On admet l'existence d'une unique fonction $A:\R^+\to\M_n(\R)$ telle que $A(0)=A #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 144] -Soit $A\in\M_3(\R)$. Decrire le comportement asymptotique en $+\i$ des solutions de l'equation differentielle $X'(t)=AX(t)$. +Soit $A\in\M_3(\R)$. Décrire le comportement asymptotique en $+\i$ des solutions de l'équation différentielle $X'(t)=AX(t)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 145] -On considere l'equation differentielle $(1)$: $X'(t)=P(t)X(t)$ ou $P$ est une application continue et periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. - - Resoudre $(1)$ si $\forall t\in\R,\ P(t)=\left(\begin{array}{cc}1&\cos(t)\\ 0&-1\end{array}\right).$ - - On revient au cas general. Soit $T\in\R^{+*}$ une periode de $P$. On note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l'espace des solutions de $(1)$ et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer qu'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$. - - Avec les notations de la question precedente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-periodique. +On considère l'équation différentielle $(1)\colon X'(t)=P(t)X(t)$ où $P$ est une application continue et périodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. + - Résoudre $(1)$ si $\forall t\in\R,\ P(t)=\left(\begin{array}{cc}1&\cos(t)\\ 0&-1\end{array}\right)$. + - On revient au cas général. Soit $T\in\R^{+*}$ une période de $P$. On note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l'espace des solutions de $(1)$ et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer qu'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$. + - Avec les notations de la question précédente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-periodique. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Par inversibilité, il existe $C$ tel que $M(T) = M(0) C$. + + Puis on considère $Y(t) = M(t)C$, elle vérifie la même équation différentielle. + - Si et seulement si $M(t)C e^{-(t+T)A} = M(t)e^{-tA}$, c'est-à-dire $C e^{-TA} = I_n$ + + Le caractère inversible de $A$ implique que $C$ ne peut pas avoir $1$ comme valeur propre, ce qui est faux pour $P = 0$. + + Sans cette condition, c'est la surjectivité de l'exponentielle… +#+END_proof + #+begin_exercice [ENS 2023 # 146] -- Soit $f:(x,y)\ \mapsto\ \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$. Donner le domaine de definition $\Omega$ de $f$. Etudier la continuite et la differentiabilite de $f$. - - On identifie naturellement $\R^2$ a $\C$. Montrer que, si $(x,y)\in\Omega$, $df_{(x,y)}$ est $\C$-lineaire. + - Soit $f\colon (x,y)\ \mapsto \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$. + Donner le domaine de définition $\Omega$ de $f$. Étudier la continuité et la différentiabilité de $f$. + - On identifie naturellement $\R^2$ à $\C$. Montrer que, si $(x,y)\in\Omega$, $df_{(x,y)}$ est $\C$-lineaire. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $\Om = \{(x,y)\mid x\neq 0\}$. La continuité et la différentiabilité ne posent pas de problème. + - +#+END_proof -#+begin_exercice [ENS 2023 # 147] -Calculer $\sup_{a,b,c\gt 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b+\left(1-\frac{1}{2b}\right)^c+ \left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$. -#+end_exercice -#+begin_exercice [ENS 2023 # 148] -Trouver $\sup_{a,b,c\geq 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\left(1-\frac{1}{2b} \right)^c\left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$. +# ID:6892 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 147, 148] + 1. Calculer $\sup\limits_{a,b,c\gt 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b+\left(1-\frac{1}{2b}\right)^c+ \left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$. + 2. Trouver $\sup\limits_{a,b,c\geq 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\left(1-\frac{1}{2b} \right)^c\left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - C'est $\leq e^{-\frac{b}{a}} + e^{\frac{c}{2b}} + e^{\frac{a}{3c}}$, et cela s'en approche pour $a,b,c$ très grand. Puis étudier cette quantité, en dérivant. + - C'est $\leq e^{-\frac{b}{a} - \frac{c}{2b} - \frac{a}{3c}}$, et cela s'en approche pour $a,b,c$ très grand. Puis étudier la quantité dans l'exponentielle. +#+END_proof + #+begin_exercice [ENS 2023 # 149] -[Rennes sur dossier] Soient $q\in\R^+$, $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Determiner $\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$. +[Rennes sur dossier] Soient $q\in\R^+$, $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Déterminer $\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 150] Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. -Determiner les extrema de $x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$. +Déterminer les extrema de $x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$. #+end_exercice @@ -1353,10 +1414,23 @@ Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), #+begin_exercice [ENS 2023 # 152] Soit $p\gt 1$. Montrer qu'il existe $K_p\in\R$ tel que, pour tous $x$, $y\in\R$ tels que $|x|^p+|y|^p=2$, on a $(x-y)^2\leq K_p(4-(x+y)^2)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Il s'agit de montrer que $\frac{(x-y)^2}{K_p (4-(x+y)^2)^2}$ est majorée. +On sait que $\frac{|x| + |y|}{2}\leq \left(\frac{|x|^p + |y|^p}{2}\right)^{1/p} = 2$, donc le seul problème de définition est en $(x,y) = (1,1)$, où il faut montrer que la fonction admet un prolongement par continuité. + +Le dénominateur est $(x-y)^2 - 2(x-1)^2 - 2 (y-1)^2 - 4(x-1) - 4(y-1)$. On pourrait poser $x'= x-1$. +#+END_proof + + +# ID:6885 #+begin_exercice [ENS 2023 # 153] Soient $f$ une application de classe $C^1$ de $\R^n$ dans $\R^m$, $x\in\R^n$ telle que $df_x$ soit injective. Montrer qu'il existe un voisinage de $x$ dans $\R^n$ sur lequel $f$ est injective. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Par l'absurde, on extrait deux suite $(x_n), (y_n)$ qui tendent vers $x$. Alors $f(x_n) = df_0(x_n) + o(x_n)$, idem pour $y_n$, et en posant $z_n = x_n - y_n$, on a $df(z_n) = o(z_n)$. Ce qui n'est pas possible car $\lN df(\dots)\rN$ est une norme. +#+END_proof + #+begin_exercice [ENS 2023 # 154] On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, de classe $C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$. @@ -1375,8 +1449,8 @@ On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée d - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$ tel que $\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$. - - Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degre de $T_n\,?$ En deduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$. - - Determiner les triangles du plan euclidien dont les cotes ont des longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels de $\pi$. + - Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degre de $T_n\,?$ En déduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$. + - Déterminer les triangles du plan euclidien dont les cotes ont des longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels de $\pi$. #+end_exercice @@ -1399,11 +1473,11 @@ Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s'accumule. On peut supposer qu'elle s'ac #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 159] -Soit $L$ la courbe du plan complexe d'equation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$. - - Trouver une equation cartesienne reelle definissant $L$. - - En deduire une parametrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - Montrrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'ecrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$. - - Montrre que $A$ definit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$. - - On definit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ verifie une equation differentielle du second ordre. +Soit $L$ la courbe du plan complexe d'équation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$. + - Trouver une équation cartesienne réelle définissant $L$. + - En déduire une parametrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - Montrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'ecrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$. + - Montrre que $A$ définit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$. + - On définit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ verifie une équation différentielle du second ordre. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 160] @@ -1411,8 +1485,8 @@ Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2 - Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d'aire strictement superieure a $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu'il existe deux elements distincts $x$ et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$. - Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un element $\ell$ tel que $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\mathrm{Vol}(L)}$. - Soit $p$ un nombre premier congru a $1$ modulo $4$. - - Montrrer qu'il existe $\omega\in\Z$ tel que $p$ divise $1+\omega^2$. - - Montrrer qu'il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $p=a^2+b^2$. + - Montrer qu'il existe $\omega\in\Z$ tel que $p$ divise $1+\omega^2$. + - Montrer qu'il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $p=a^2+b^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 161] @@ -1452,13 +1526,13 @@ On peut alors transformer $(i_1 i_2) (j_1 j_2)$ en $(i_1 j_2) (j_1 i_2)$, qui pr # ID:6834 #+begin_exercice [ENS 2023 # 164] Un derangement est une permutation $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. On note $D_n$ le sous-ensemble de $\mc{S}_n$ formé des derangements. - - Soit $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $D_n$. Calculer la probabilite que $X$ soit une permutation paire. + - Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $D_n$. Calculer la probabilité que $X$ soit une permutation paire. Indications. - + On donne la formule d'inversion de Pascal : si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites telles que$\forall n\in\N$, $a_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_k$, alors $\forall n\in\N$, $b_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}a_k$. + + On donne la formule d'inversion de Pascal : si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites telles que $\forall n\in\N$, $a_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_k$, alors $\forall n\in\N$, $b_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}a_k$. + On pourra calculer la difference du nombre d'éléments pairs et impairs de $D_n$. - - Soit $Y$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Calculer la probabilite de $(Y\in D_n)$ sachant que $Y$ est paire. + - Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Calculer la probabilité de $(Y\in D_n)$ sachant que $Y$ est paire. #+end_exercice #+BEGIN_proof - La différence du nombre d'éléments pairs et impairs est le déterminant de la matrice avec des $1$ et des $0$ sur la diagonale. @@ -1476,8 +1550,8 @@ Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois. # ID:6836 #+begin_exercice [ENS 2023 # 166] -Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une pièce truquée donnant pile avec une probabilité égale à $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aleatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$). - - Trouver un equivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right)$. +Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une pièce truquée donnant pile avec une probabilité égale à $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aléatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$). + - Trouver un équivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right)$. - Montrer que $\mathbf{P}\left(A_n\geq B_n\right)\geq\frac{1}{2}$. - Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)$ ? #+end_exercice @@ -1511,7 +1585,7 @@ Si on suppose que $e = \frac{1}{2}$, on peut prendre $Y$ qui vaut $3$ avec proba # ID:6838 #+begin_exercice [ENS 2023 # 169] -Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X_m)_{m\geq 0}$ une suite de variables aleatoires à valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour $m\in\N$, $\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$. Montrer que $(X_m)_{m\geq 0}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $\Z/n\Z$. +Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X_m)_{m\geq 0}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour $m\in\N$, $\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$. Montrer que $(X_m)_{m\geq 0}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $\Z/n\Z$. #+end_exercice #+BEGIN_proof On regarde la loi de $X_m + m$, dont la série génératrice est $G_m = \left(\frac{1+X^2}{2}\right)^m$. Puis on regarde $P(S_m = 0 [n])$, c'est $\sum_{\om \in\m U_n} G_m(\om) = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1 + e^{\frac{4ik\pi}{n}}}{2}\right)^m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \cos^{2m} \frac{2k\pi}{n}$ @@ -1529,7 +1603,7 @@ Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 171] -Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynomes unitaires de degre $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicites). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$. +Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynomes unitaires de degre $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicites). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 172] @@ -1559,47 +1633,47 @@ On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \db{1, N}$, pu #+begin_exercice [ENS 2023 # 174] Dans tout l'enonce, on fixe un entier $p\geq 1$. - - Developpper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ de nombres reels. - - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$. + - Développper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ de nombres réels. + - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$. - Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq p^p(\mathbf{E}(X^2))^p$. -- Soit $(a - {k\geq 1}$ une suite reelle telle que $\sum_{k=1}^{+\i}a_k^2=1$. Soient $x\in\R$ et $Y_x=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx)\,X_i$. +- Soit $(a - {k\geq 1}$ une suite réelle telle que $\sum_{k=1}^{+\i}a_k^2=1$. Soient $x\in\R$ et $Y_x=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx)\,X_i$. Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au moins une valeur inferieure ou egal a $2\pi p^p$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 175] -suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et $a_1,\ldots,a_n$ des reels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$. +suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et $a_1,\ldots,a_n$ des réels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$. - Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$. - Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$. - Montrer que si $\sum_{k=1}^na_k^2=1$ alors $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$. - - Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute generalite. + - Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute généralite. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 176] -Une variable aleatoire discrete reelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aleatoires discretes reelles non presque surement constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aleatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aleatoire binomiale est-elle decomposable? - - Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$. En deduire une variable aleatoire reelle discrete decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable. - - Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme que $\db{0,n-1}$. Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable. +Une variable aléatoire discrète réelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aléatoires discrètes réelles non presque surement constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aléatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aléatoire binomiale est-elle decomposable? + - Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$. En déduire une variable aléatoire réelle discrète decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable. + - Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme que $\db{0,n-1}$. Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 178] -On fixe $n\in\N^*$ et on pose $X=\db{1,n}$. Soient $A$ et $B$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$. - - Determiner la loi, l'esperance et la variance de la variable aleatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$). +On fixe $n\in\N^*$ et on pose $X=\db{1,n}$. Soient $A$ et $B$ des variables aléatoires independantes uniformement distribuees sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$. + - Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$). - Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - - Pour $i\in\db{1,n}$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Determiner la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$. + - Pour $i\in\db{1,n}$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Déterminer la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$. - Calculer $\mathbf{P}(A\subset B)$. Commenter. #+end_exercice # ID:6839 #+begin_exercice [ENS 2023 # 179] -Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considere un échiquier $n\times n$. On colorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilite $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilite pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constitué uniquement de cases rouges (les deplacements ne se font pas en diagonale) ? Que dire de la fonction $Q$? +Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considère un échiquier $n\times n$. On colorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilité $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilité pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constitué uniquement de cases rouges (les deplacements ne se font pas en diagonale) ? Que dire de la fonction $Q$? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 180] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes de loi de Rademacher. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ pour $n\geq 1$. - - Calculer l'esperance du nombre $R$ de retour en zero de la suite $(S_n)_{n\geq 1}$. - - Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la probabilite qu'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est egale a $1$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires independantes de loi de Rademacher. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ pour $n\geq 1$. + - Calculer l'espérance du nombre $R$ de retour en zero de la suite $(S_n)_{n\geq 1}$. + - Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la probabilité qu'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est egale a $1$. - Montrer que l'evenement $(R=+\i)$ est presque sûr. #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -1608,14 +1682,14 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes de loi de #+begin_exercice [ENS 2023 # 181] -Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et $(m - {k\in\N}$ une suite de reels positifs de somme 1. On considere un arbre aleatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aleatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aleatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement independantes. On note $X_1$ la variable aleatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caracteriser le fait que la longueur de l'arbre soit presque surement finie. +Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et $(m - {k\in\N}$ une suite de réels positifs de somme 1. On considère un arbre aléatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aléatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aléatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement independantes. On note $X_1$ la variable aléatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caracteriser le fait que la longueur de l'arbre soit presque surement finie. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 182] -On construit iterativement et aleatoirement un arbre aleatoire sur l'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aleatoirementun point dans $\db{1,k}$ (avec probabilite uniforme) et on rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere independante les uns des autres. - - On note $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre d'aretes partant du point $1$. Determiner l'esperance et la variance de $X_n$. - - On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aleatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Determiner la loi de $S_n$. - - Calculer l'esperance du nombre de feuilles de l'arbre. +On construit iterativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aléatoirementun point dans $\db{1,k}$ (avec probabilité uniforme) et on rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere independante les uns des autres. + - On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre d'aretes partant du point $1$. Déterminer l'espérance et la variance de $X_n$. + - On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Déterminer la loi de $S_n$. + - Calculer l'espérance du nombre de feuilles de l'arbre. #+end_exercice @@ -1628,29 +1702,29 @@ Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins $1 / 2$. #+BEGIN_proof La donnée est celle d'un graphe. Étant donné l'algorithme, on peut retirer des arêtes, de sorte que les voisins de $a$ vérifient $f(b)\lt f(a)$. Auquel cas il n'y a plus de cycles. -Alors on choisit $\sqrt{n}$ sommets du graphe, puis le minimum. On veut montrer la plus longue chaîne décroissante à partir de celui-ci est de longueur $\leq \sqrt{n}$ avec probabilité $\frac{1}{2}$. +Alors on choisit aléatoirement $\sqrt{n}$ sommets du graphe, et parmi ceux-ci le sommet de valeur minimale. On veut montrer que la plus longue chaîne décroissante à partir de celui-ci est de longueur $\leq \sqrt{n}$ avec probabilité $\geq \frac{1}{2}$. On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer que c'est injectif. -Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à un graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$. +Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à traiter le cas du graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$. #+END_proof #+begin_exercice [ENS 2023 # 184] -Une variable aleatoire reelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\db{1,n}}$ i.i.d. et admettant des moment d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante. +Une variable aléatoire réelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\db{1,n}}$ i.i.d. et admettant des moments d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 185] -On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aleatoires independantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$. +On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aléatoires independantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$. - Quelle relation doivent verifier $a_i$ et $p_i$ pour que $\mathbf{V}(X_i)=1$? Dans toute la suite, on suppose cette relation verifiee et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. - Calculer la variance de $n^{-1/2}S_n$. - Montrer que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))=\prod_{i=1}^n\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tX_i)$. - - En deduire que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$. + - En déduire que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 186] -On fixe un entier $n\geq 1$. On considere la relation d'ordre partielle $\preccurlyeq$ sur $\R^n$ definie par $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\db{1,n},\ x_i \leq y_i$. Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque $f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que $x\preccurlyeq y$. +On fixe un entier $n\geq 1$. On considère la relation d'ordre partielle $\preccurlyeq$ sur $\R^n$ définie par $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\db{1,n},\ x_i \leq y_i$. Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque $f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que $x\preccurlyeq y$. - Donner un exemple de fonction croissante non constante de $\{0,1\}^n$ dans $\R$. - - Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables aleatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$. Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$. + - Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables aléatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$. Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$. Montrer que $\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big{(}\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_ {n-1},0)+\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_{n-1},1))\Big{)}$. - Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ et $g:\{0,1\}^n\to\R$ croissantes. @@ -1658,7 +1732,7 @@ Montrer que $\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 187] -Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilite. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation. +Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilité. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation. - Soit $I\subset\db{1,n}$. Calculer $\mathbf{P}\left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)$. - Exprimer $N$ avec des indicatrices. Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$. - Soient $k\in\db{1,n}$ et $F\subset\db{1,n}$. Calculer $\sum\limits_{I\subset\db{1,n},\ |I|=k}\prod\limits_{i\in I} \mathbf{1}_F(i)$. @@ -1668,14 +1742,14 @@ Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilite. On n #+end_exercice #+begin_exercice [ENS 2023 # 188] -On considere une suite i.i.d. $(X - {n\geq 1}$ de variables aleatoires suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On definit $(S - {n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$. +On considère une suite i.i.d. $(X_n)_{n\geq 1}$ de variables aléatoires suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On définit $(S_n)_{n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$. -_a) i)_ Determiner l'esperance et la variance de $S_n$. +_a) i)_ Déterminer l'espérance et la variance de $S_n$. - Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$. - Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n^{2/3})$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$. - - On considere la variable aleatoire $T_n:\omega\mapsto\min\{k\in\N,\ S_k(\omega)\geq n\}$. Determiner l'ensemble des valeurs prises par $T_n$. + - On considère la variable aléatoire $T_n:\omega\mapsto\min\{k\in\N,\ S_k(\omega)\geq n\}$. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $T_n$. - Soit $k\geq 2$. Montrer que $\mathbf{P}(T_n=k)=\frac{1}{2}\mathbf{P}(T_{n-1}=k-1)+\frac{1}{2} \mathbf{P}(T_{n-2}=k-1)$. - - Calculer l'esperance de $T_n$. + - Calculer l'espérance de $T_n$. #+end_exercice @@ -1706,26 +1780,26 @@ Soient $E$ un $\C$ espace vectoriel de dimension finie $n$, $f\in\mc{L}(E)$. On - Calculer $\phi_f^n(g)$ pour $g\in\mc{L}(E)$. - Montrer que $f^{n+1}\circ g-g\circ f^{n+1}=\sum_{k=0}^nf^k(f\circ g-g\circ f)f^{n-k}$. - On suppose $f$ non inversible. Montrer que $f$ est nilpotente si et seulement si $\phi_f$ l'est. - - Montrer que, si $f$ possede une unique valeur propre, alors $\phi_f$ est nilpotente. Etudier la reciproque. + - Montrer que, si $f$ possede une unique valeur propre, alors $\phi_f$ est nilpotente. Étudier la reciproque. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 194] -Soient $n\in\N^*$, $c_0,c_1,\cdots,c_{2n-1}\in\R$ tels que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\cdots=c_{2n-1}=0$. Soit $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On definit les matrices $A,B,P$ de $\M_n(\R)$ par +Soient $n\in\N^*$, $c_0,c_1,\cdots,c_{2n-1}\in\R$ tels que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\cdots=c_{2n-1}=0$. Soit $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On définit les matrices $A,B,P$ de $\M_n(\R)$ par $a_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+1=j\\ -c_{i-1}\ \ \text{si }j=n\end{cases}$, $b_{i,j}=c_{i+j-1}$ et $p_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+j-1=n\\ 0\ \ \text{sinon}\end{cases}$. - Montrer que $Q(A)=0$ en calculant $A^ke_1$ ou $e_1=(1,0,\ldots,0)^T$. - Soit $R(A)=\{M\in\M_n(\R)\ ;\ \exists P\in\R[X],\ P(A)=M\}$. Montrer que $R(A)$ est de dimension $n$. - - Montrer que $PB$ est triangulaire puis en deduire que $B$ est inversible. + - Montrer que $PB$ est triangulaire puis en déduire que $B$ est inversible. - Montrer que $AB=BA^T$. - Montrer que $A^T$ est semblable a $A$. - Montrer que $A$ s'ecrit comme le produit de deux matrices symetriques. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 195] -- Soit $A\in\M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que, pour tout polynome $P$ a coefficients complexes, la matrice $P(A)$ est diagonalisable. - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$ diagonalisable. Decrire l'ensemble des matrices inversibles $P$ telles que $P^{-1}AP$ soit diagonale. +- Soit $A\in\M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que, pour tout polynome $P$ a coefficients complexes, la matrice $P(A)$ est diagonalisable. - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$ diagonalisable. Décrire l'ensemble des matrices inversibles $P$ telles que $P^{-1}AP$ soit diagonale. - Soient $A$ et $B$ deux matrices codiagonalisables. On suppose que $B$ a des valeurs propres deux a deux distinctes. Montrer qu'il existe un polynome $P\in{\C}[X]$ tel que $A=P(B)$. - On suppose toujours $A$ et $B$ codiagonalisables mais on ne suppose plus $B$ a valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une matrice $C$ et deux polynomes $P$ et $Q$ tels que $A=P(C)$ et $B=Q(C)$. - - La matrice $\left(\begin{array}{cc}-1&0\\ 0&-4\end{array}\right)$ est-elle le carre d'une matrice reelle? + - La matrice $\left(\begin{array}{cc}-1&0\\ 0&-4\end{array}\right)$ est-elle le carre d'une matrice réelle? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 196] @@ -1737,14 +1811,14 @@ _Ind._ Commencera par $A$ inversible. #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 197] Soient $E$ un ${\R}$-espace vectoriel de dimension $d\in{\N}^*$ et $f\in{\cal L}(E)$ telle que $f\circ f=-$id. - Donner un exemple d'application $f$ verifiant les hypotheses en dimension 2. - - Montrer que $f$ n'a pas de valeur propre reelle. Montrer que $E$ est de dimension paire. + - Montrer que $f$ n'a pas de valeur propre réelle. Montrer que $E$ est de dimension paire. - Montrer qu'il existe $(e_1,\ldots,e_p)$ telle que $(e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))$ soit une base de $E$ avec $d=2p$. Donner la matrice de $f$ dans cette base. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 198] Soient $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $AB-BA=A$. - Montrer que $A^kB-BA^k=kA^k$ pour $k\in{\N}$. - - On definit l'application $\phi_B:M\mapsto MB-BM$. + - On définit l'application $\phi_B:M\mapsto MB-BM$. - Verifier que $\phi_B$ est un endomorphisme et caracteriser son noyau. - Montrer que, si $A^p\neq 0$, alors $p$ est une valeur propre de $\phi_B$. - La matrice $A$ est-elle nilpotente? Justifier. @@ -1761,14 +1835,14 @@ On note ${\cal S}\subset{\cal M}_n({\R})$ l'ensemble des matrices stochastiques _c) i)_ Montrer que, pour tout $A\in{\cal S}$, on a ${\rm Sp}(A)\subset\{z\in{\C},|z|\leq 1\}$. -_Ind._ Si $X=(x_1,\cdots,x_n)\in{\C}^n$ est un vecteur propre, considerer $|x_i|=\max_{1\leq j\leq n}|x_j|$. +_Ind._ Si $X=(x_1,\cdots,x_n)\in{\C}^n$ est un vecteur propre, considèrer $|x_i|=\max_{1\leq j\leq n}|x_j|$. - Soient $\lambda\in{\rm Sp}\,A$ telle que $|\lambda|=1$. Montrer que $\lambda$ est une racine $\ell$-ieme de l'unite avec $\ell\leq n$. - On suppose que $A=(a_{i,j})\in{\cal S}$ est telle que $a_{i,j}\gt 0$ pour tout $(i,j)\in\db{1,n}^2$. - Montrer que 1 est une valeur propre de $A$ et que $\dim\ker\,(A-I_n)=1$. - Montrer que si $\lambda\in{\rm Sp}(A)\setminus\{1\}$ alors $|\lambda|\lt 1$. - On dit que $B\in\M_n(\R)$ verifie $(\mc{P})$ si : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2$, $b_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nb_{i,k}\leq 1$. - Montrer que si $B=(b_{ij})\in\M_n(\R)$ verifie $(\mc{P})$ alors $|\det B|\leq 1$. - - Determiner l'ensemble des matrices $B\in\M_n(\R)$ qui verifient $(\mc{P})$ ainsi que $|\det B|=1$. - - Determiner l'ensemble des matrices stochastiques dont la valeur absolue du determinant vaut 1. + - Déterminer l'ensemble des matrices $B\in\M_n(\R)$ qui verifient $(\mc{P})$ ainsi que $|\det B|=1$. + - Déterminer l'ensemble des matrices stochastiques dont la valeur absolue du déterminant vaut 1. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 201] @@ -1780,7 +1854,7 @@ $\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\db{1,n }\,\sigma(v_i)\in\ - Montrer que $\mathbb{D}_{2n}$ est stable par composition et passage a l'inverse. - Exprimer $\mathbb{D}_6$ et $\mathbb{D}_8$. - Si $\sigma\in\mathbb{D}_{2n}$ verifie $\sigma(v_1)=v_i$, montrer que $\sigma(v_2)=v_{i-1}$ ou $\sigma(v_2)=v_{i+1}$. - - En deduire que le cardinal de $\mathbb{D}_{2n}$ est $2n$. + - En déduire que le cardinal de $\mathbb{D}_{2n}$ est $2n$. - Montrer que $\mathbb{D}_{2n}=\{\mathrm{id},r,sr,r^2,sr^2,r^3,sr^3,\ldots\}$ ou $s$ est une reflexion et $r$ une rotation d'angle $\mathrm{Arccos}\ (\langle v_1,v_2\rangle)$. - On note $D=\bigcup_{n\geq 3}D_{2n}$. Montrer que pour tout $\sigma\in\mc{O}(E)$, il existe une suite $(\sigma - {k\geq 0}\in D^{\N}$ telle que $\sigma=\lim_{k\ra+\i}\sigma_k$. #+end_exercice @@ -1788,29 +1862,29 @@ $\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\db{1,n }\,\sigma(v_i)\in\ #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 202] - On note $\phi$ l'application $M\mapsto M^T$ de $\M_n(\R)$ dans $\M_n(\R)$. - Montrer que $\phi$ est un automorphisme. - - Determiner les valeurs propres de $\phi$. + - Déterminer les valeurs propres de $\phi$. - L'application $\phi$ est-elle diagonalisable? Justifier. - - On fixe un reel $\mu\gt 0$. Soit $f$ l'application $t\mapsto(4\mu t^2,2\mu t)$ de $\R$ dans $\R^2$. On suppose que $t_0$ et $t_1$ sont deux reels tels que les tangentes au support de la courbe parametree definies par $f$ sont orthogonales. + - On fixe un réel $\mu\gt 0$. Soit $f$ l'application $t\mapsto(4\mu t^2,2\mu t)$ de $\R$ dans $\R^2$. On suppose que $t_0$ et $t_1$ sont deux réels tels que les tangentes au support de la courbe paramètree définies par $f$ sont orthogonales. - Montrer que $4t_0t_1+1=0$. - Montrer que le point d'intersection des tangentes en $f(t_0)$ et $f(t_1)$ appartient a une droite fixe. - Soient $Q\in\mc{O}_n(\R)$ et $X,Y\in\M_{n,1}(\R)$. - Montrer que $(QX)^T(QY)=X^TY$. - - Determiner les valeurs propres reelles de $Q$ puis montrer que deux vecteurs propres associés a des valeurs propres reelles distinctes sont orthogonaux. + - Déterminer les valeurs propres réelles de $Q$ puis montrer que deux vecteurs propres associés a des valeurs propres réelles distinctes sont orthogonaux. - Soit $M\in\mc{O}_2(\R)$ diagonalisable sur $\R$. Montrer, qu'a similitude pres, $M$ peut prendre exactement trois formes distinctes. Pour chacune d'entre elles donner la transformation geometrique du plan correspondante. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 203] -- Soit $A\in S^+_n(\R)$ de rang $k$. Montrer qu'il existe des vecteurs $U_1,\ldots,U_k$ lineairement independants dans $\R^n$ tels que $A=\sum_{j=1}^kU_jU_j^T$.Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$. Leur produit d'Hadamard $A\circ B\in{\cal M}_n(\R)$ est la matrice de terme general $a_{ij}b_{ij}$. +- Soit $A\in S^+_n(\R)$ de rang $k$. Montrer qu'il existe des vecteurs $U_1,\ldots,U_k$ lineairement independants dans $\R^n$ tels que $A=\sum_{j=1}^kU_jU_j^T$.Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$. Leur produit d'Hadamard $A\circ B\in{\cal M}_n(\R)$ est la matrice de terme général $a_{ij}b_{ij}$. - Montrver que, si $A$ et $B$ sont des matrices symetriques de rang $1$, alors $A\circ B$ est symetrique de rang au plus $1$. - Montrver que, si $A$ et $B$ sont symetriques positives, alors $A\circ B$ est symetrique. - Si $A$ et $B$ sont symetriques positives, montrer que $A\circ B$ est symetrique positive. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 204] -On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0,\ldots,c_{2n-1})\in\R^{2n}$ tel que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\ldots=c_{2n-1}=0$. On pose $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On considere enfin les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ suivantes : $A=(a_{i,j})$, ou $a_{i,j}=1$ si $j=i-1$, $a_{i,j}=-c_{i-1}$ si $j=n$ et $a_{i,j}=0$ sinon ; $B=(c_{i+j-1})$ et $C=(\delta_{i+j,n+1})$. +On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0,\ldots,c_{2n-1})\in\R^{2n}$ tel que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\ldots=c_{2n-1}=0$. On pose $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On considère enfin les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ suivantes : $A=(a_{i,j})$, ou $a_{i,j}=1$ si $j=i-1$, $a_{i,j}=-c_{i-1}$ si $j=n$ et $a_{i,j}=0$ sinon ; $B=(c_{i+j-1})$ et $C=(\delta_{i+j,n+1})$. - Montrver que $Q(A)=0$. Ind. Calculer $A^ke_1$ pour tout $k\in\{0,\ldots,n\}$. - On pose $\R[A]=\{M\in{\cal M}_n(\R)\,;\,\exists P\in\R[X],\ M=P(A)\}$. Montrer : $\dim\R[A]=n$. - - Montrver que $CB$ est triangulaire. En deduire que $B$ est inversible. + - Montrver que $CB$ est triangulaire. En déduire que $B$ est inversible. - Montrver que $AB=BA^T$. - Montrver que $A$ est semblable a sa transposee. - Montrver que $A$ s'ecrit comme le produit de deux matrices symetriques. @@ -1819,23 +1893,23 @@ On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0 #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 205] _a) i)_ Soit $m$ un entier $\geq 2$. Montrer que $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}\leq\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1} {\sqrt{k(m-k)}}$. - Calculer $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}$ l'aide du changement de variables $x=\frac{m}{1+t^2}$. - - Soit $A_n\in{\cal M}_n(\R)$ la matrice de terme general $\frac{1}{i+j-1}$. + - Soit $A_n\in{\cal M}_n(\R)$ la matrice de terme général $\frac{1}{i+j-1}$. - Montrver que $A_n\in S_n^{++}(\R)$. - Soit $\lambda_n$ la plus petite des valeurs propres de $A_n$. Montrer qu'il existe $a,b\gt 0$ tels que $\forall n\geq 1,\,0\leq\lambda_n\leq\frac{1}{n}\big{(}a+b \ln(n)\big{)}$. - Soient $\mu_n$ la plus grande valeur propre de $A_n$ et $X=(1/\sqrt{1},1/\sqrt{2},\ldots,1/\sqrt{n})^T\in\R^n$. Montrer que $\langle A_nX,X\rangle\geq 2\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\arctan(\sqrt{i-1})$ ou $\langle\,\ \rangle$ designe le produit scalaire canonique sur $\R^n$. - - Montrer que, pour tout $P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,{\rm d}t=-i\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})e^{i\theta}\,{\rm d}\theta$. En deduire que, pour tout $Q=\sum_{k=0}^da_kX^k\in\R[X]$, $\int_0^1Q^2(t)\,{\rm d}t\leq\int_{-1}^1Q^2(t)\,{\rm d}t \leq\pi\sum_{k=0}^da_k^2$. - - En deduire que $\lim_{n\to+\i}\mu_n=\pi$. + - Montrer que, pour tout $P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,{\rm d}t=-i\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})e^{i\theta}\,{\rm d}\theta$. En déduire que, pour tout $Q=\sum_{k=0}^da_kX^k\in\R[X]$, $\int_0^1Q^2(t)\,{\rm d}t\leq\int_{-1}^1Q^2(t)\,{\rm d}t \leq\pi\sum_{k=0}^da_k^2$. + - En déduire que $\lim_{n\to+\i}\mu_n=\pi$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 206] -On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. On considere des reels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, et, pour tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq n$, on pose $M_i=(\lambda_i,\lambda_i^{-1})$.On considere $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\R^n$ tel que $\|y\|_2=1$ et on note $M$ le barycentre des $M_i$ pondere par les coefficients $y_i^2$. +On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. On considère des réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, et, pour tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq n$, on pose $M_i=(\lambda_i,\lambda_i^{-1})$.On considère $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\R^n$ tel que $\|y\|_2=1$ et on note $M$ le barycentre des $M_i$ pondere par les coefficients $y_i^2$. - Montrver que $M=(a,b)$ ou $a=\langle Dy,y\rangle$ et $b=\langle D^{-1}y,y\rangle$ ou $D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. - Montrver que $a^{-1}\leq b\leq-\dfrac{a}{\lambda_1\lambda_n}+\lambda_1^{-1}+ \lambda_n^{-1}$. - - En deduire que $1\leq ab\leq\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{\dfrac{\lambda_1}{ \lambda_n}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}}\right)^2$. - - On considere $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $x\in\R^n$. + - En déduire que $1\leq ab\leq\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{\dfrac{\lambda_1}{ \lambda_n}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}}\right)^2$. + - On considère $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $x\in\R^n$. Montrer que $\|x\|_2^4\leq\langle Ay,y\rangle\langle A^{-1}y,y\rangle\leq \dfrac{1}{4}\left(\sqrt{\dfrac{\lambda_1}{\lambda_n}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}}\right)^2\|x\|_2^4$. - - Soient $b\in\R^n$ et $c\in\R$. Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle+c$. Montrver que $f$ admet un minimum atteint en un unique point, et determiner sa valeur. + - Soient $b\in\R^n$ et $c\in\R$. Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle+c$. Montrver que $f$ admet un minimum atteint en un unique point, et déterminer sa valeur. #+end_exercice *** Analyse @@ -1853,7 +1927,7 @@ $\forall n\in\N,\int_0^{+\i}t^ng_1(t)dt=\int_0^{+ \i}t^ng_2(t)dt$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 208] -Soient $E=\mc C^0([0,1],\C)$ et $F=\mc{D}^1([0,1],\C)$. On definit $T$ comme l'operateur qui, a tout $f\in E$ associe : On note $E_{\lambda}$ le sous-espace propre de $T$ pour une valeur propre $\lambda$. +Soient $E=\mc C^0([0,1],\C)$ et $F=\mc{D}^1([0,1],\C)$. On définit $T$ comme l'operateur qui, a tout $f\in E$ associe : On note $E_{\lambda}$ le sous-espace propre de $T$ pour une valeur propre $\lambda$. _a) i)_: Montrver que $T$ est un endomorphisme. - Soit $f\in E$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $T^n(f)$ a l'aide d'une somme. @@ -1862,25 +1936,25 @@ _a) i)_: Montrver que $T$ est un endomorphisme. _b) i)_: Montrver que $E_1$ est l'ensemble des fonctions constantes. - Montrver que $E_{\lambda}=\{0\}$ si $|\lambda|\geq 1$ et $\lambda\neq 1$. - Soit $\lambda$ tel que $|\lambda|\lt 1$. - - Montrver que $f_{\lambda}:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\lambda^k\cos(2^k\pi x)$ est definie et continue sur $[0,1]$. + - Montrver que $f_{\lambda}:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\lambda^k\cos(2^k\pi x)$ est définie et continue sur $[0,1]$. - Montrver que $f_{\lambda}\in E_{\lambda}$. - On note $D_{\lambda}=E_{\lambda}\cap F$. #+end_exercice - Montrver que, si $|\lambda|\lt \dfrac{1}{2}$, $D_{\lambda}\neq\{0\}$. - Comparer $T(f')$ et $(Tf)'$ pour $f\in F$. -*iii)*: Montrrer que, si $|\lambda|\geq\frac{1}{2}$ et $\lambda\neq\frac{1}{2}$, $D_{\lambda}=\{0\}$. +*iii)*: Montrer que, si $|\lambda|\geq\frac{1}{2}$ et $\lambda\neq\frac{1}{2}$, $D_{\lambda}=\{0\}$. #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 209] -Soit $(u - {n\geq 0}$ la suite de fonctions definie par : +Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ la suite de fonctions définie par : $\forall x\in\R\,\ u_0(x)=0$ et $\forall n\in\N^*$, $\forall x\in\R$, $u_n(x)=\frac{x}{n(1+nx^2)}$. - - Etudier la convergence de $\sum u_n$. + - Étudier la convergence de $\sum u_n$. - Sur quel domaine a-t-on $\left(\sum u_n\right)'=\sum u_n'\,?$ - La fonction $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ est-elle derivable en $0\,?$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 210] -On fixe $p\gt 1$. On note $q$ l'unique reel tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. +On fixe $p\gt 1$. On note $q$ l'unique réel tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ continue et non identiquement nulle tel que $\int_0^{+\i}f(t)^pe^t\,dt$ converge. - Soient $t\in]0,1[$ et $(u,v)\in(\R^+)^2$. Montr re que $u^tv^{1-t}\leq tu+(1-t)v$. @@ -1889,10 +1963,10 @@ _Ind._ Utiliser un argument de convexite ou une etude de fonction. _b) i)_: Soit $A\gt 0$, et soient $g$ et $h$ deux fonctions continues de $[0,A]$ dans $\R$. -Montr re que la suite $(u_n)$ est bien definie et qu'il existe $K\in\R^{+*}$ telle que +Montr re que la suite $(u_n)$ est bien définie et qu'il existe $K\in\R^{+*}$ telle que $\forall n\in\N\,,\ |u_n|\leq K\left(\frac{p}{q}\right)^n(I( nq))^{1/q}$. - - En deduire que $\sum|u_n|^{-1/n}$ diverge. + - En déduire que $\sum|u_n|^{-1/n}$ diverge. - On suppose que $p=1$. Montr re que $\sum|u_n|^{-1/n}$ diverge. #+end_exercice @@ -1901,46 +1975,49 @@ Soit $\alpha\in\R$. On pose $g_{\alpha}:t\in\,]0,+\i[\mapsto e^{-t}t^{\alpha}$. - Donner les valeurs de $\alpha$ tels que $\int_0^{+\i}g_{\alpha}(t)dt$ converge. - Calculer $I(p)=\int_0^{+\i}e^{-pt}\,dt$, avec $p\in]0,+\i[$. - Justifier l'existence de $\frac{d^kI}{dp^k}$ pour tout $k\in\N$. - - En deduire $\int_0^{+\i}g_n(t)dt$ pour tout $n\in\N$. - - Retrouver ce resultat en integrant par parties $\int_{\eps}^xg_n(t)dt$ pour $0\lt \eps\lt x$.# 212 + - En déduire $\int_0^{+\i}g_n(t)dt$ pour tout $n\in\N$. + - Retrouver ce resultat en integrant par parties $\int_{\eps}^xg_n(t)dt$ pour $0\lt \eps\lt x$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 212] Soit $a\gt 0$. On pose $I(a)=\int_0^{+\i}e^{-t^2-a^2/t^2}\,dt$ et $J(a)=a\int_0^{+\i}\frac{e^{-t^2-a^2/t^2}}{t^2}dt$. - - Montrrer que ces integrales convergent. + - Montrer que ces intégrales convergent. - Montrver que $I(a)=J(a)$, - - En deduire que $I(a)=\frac{e^{-2a}}{2}\int_0^{+\i}\left(1+\frac{a}{t^2}\right)e^{-(t-a /t)^2}dt$ - - Montrver que $I(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2a}$. La valeur de l'integrale de Gauss etait donnee. + - En déduire que $I(a)=\frac{e^{-2a}}{2}\int_0^{+\i}\left(1+\frac{a}{t^2}\right)e^{-(t-a /t)^2}dt$ + - Montrver que $I(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2a}$. La valeur de l'intégrale de Gauss etait donnee. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 213] -Soient $a\gt 0$ et $q\in\mc C^2([a,+\i[,\R^{+*})$ telle que $\int_a^{+\i}\sqrt{q(t)}\,dt=+\i$. Soit $(E)$ l'equation differentielle $y^{''}+qy=0$. +Soient $a\gt 0$ et $q\in\mc C^2([a,+\i[,\R^{+*})$ telle que $\int_a^{+\i}\sqrt{q(t)}\,dt=+\i$. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y^{''}+qy=0$. - Soient $y_1$ et $y_2$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ qui n'ont pas de zeros en commun. On pose $\Phi=y_1+iy_2$ et $\Phi(a)=r_0e^{i\theta_0}$. Montrver que $\forall x\geq a$, $\Phi(x)=e^{\Psi(x)}$ ou $\Psi(x)=\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)}\,dt+\ln(r_0) +i\theta_0$. - Montrver que l'on peut ecrire $y_1(x)=r(x)\cos(\theta(x))$ et $y_2(x)=r(x)\sin(\theta(x))$ ou $r(x)=\sqrt{y_1^2(x)+y_2^2(x)}$ et $\theta(x)=\theta_0+\int_a^x\frac{y_1y_2'-y_2y_1^{ '}}{y_1^2+y_2^2}$. - On pose $x\mapsto f(x)=\int_a^x\sqrt{q(t)}\,dt$. Montrver que $f$ realise une bijection de $[a,+\i[$ sur $\R^+$. - Soit $y$ une solution de $(E)$, non identiquement nulle. On pose $Y=y\circ f^{-1}$. Montrver que $Y^{''}+vY'+Y=0$ ou $v:t\mapsto\frac{q'(f^{-1}(t))}{2(q(f^{-1}(t)))^{3/2}}$. - Montrver que $Y$ et $Y'$ n'ont pas de zero en commun et que l'on peut ecrire $Y=r\cos(\theta)$ et $Y'=r\sin(\theta)$ ou $r,\theta$ sont des fonctions de classe $\mc C^1$. - - Montrver que $(r^2)'=-2vr^2\sin^2(\theta)$. En deduire que $y$ et $y'$ sont bornees. + - Montrver que $(r^2)'=-2vr^2\sin^2(\theta)$. En déduire que $y$ et $y'$ sont bornees. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 214] -On considere une solution $u$ de l'equation de transport : +On considère une solution $u$ de l'équation de transport : $\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=f(x,t)$ ou $u(x,0)=u_0(x)$. - - Montrver alors que si $u$ est solution de l'equation homogene, alors $u$ est constante le long de la droite $x=x_0+ct$. En deduire qu'il existe une unique solution de l'equation homogene, et que celle-ci est : $u(x,t)=u_0(x-ct)$. + - Montrver alors que si $u$ est solution de l'équation homogéné, alors $u$ est constante le long de la droite $x=x_0+ct$. En déduire qu'il existe une unique solution de l'équation homogéné, et que celle-ci est : $u(x,t)=u_0(x-ct)$. - On suppose $f$ non nulle. Montrver que pour une solution $u$, on a : $u(x,t)=u_0(x_0)+\int_0^tf(x_0+c\theta,\theta)\,d\theta$. - - En deduire que : $u(x,t)=u_0(x-ct)+\int_0^tf(x-c(t-\theta),\theta)\,d\theta$. On considere maintenant une solution $u$ de l'equation des ondes : + - En déduire que : $u(x,t)=u_0(x-ct)+\int_0^tf(x-c(t-\theta),\theta)\,d\theta$. On considère maintenant une solution $u$ de l'équation des ondes : $\frac{\partial^2u}{\partial^2t}(x,t)-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2 x}(x,t)=0$ ou $u(x,0)=g(x)$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=h(x)$. _b) i)_: On suppose $u$ de classe $\mc C^2$. Montrver que :$\left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( \frac{\partial u}{\partial t}-c\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{ \partial^2u}{\partial^2t}-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2x}.$ - - En deduire qu'une solution $u$ de l'equation s'ecrit : $u(x,t)=u_1(x+ct)+u_2(x-ct)$. - - On pose $v(x,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{ \partial x}(x,t)$. Montrer que $v$ est solution d'une equation de transport dont on precisera le parametre $c$ ainsi que les conditions initiales. - - Experimer $u$ en fonction de $v$ et deduire : + - En déduire qu'une solution $u$ de l'équation s'ecrit : $u(x,t)=u_1(x+ct)+u_2(x-ct)$. + - On pose $v(x,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{ \partial x}(x,t)$. Montrer que $v$ est solution d'une équation de transport dont on precisera le paramètre $c$ ainsi que les conditions initiales. + - Experimer $u$ en fonction de $v$ et déduire : $u(x,t)=\frac{1}{2}(g(x-ct)+g(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}h(\tau)\,{\rm d}\tau$. -_c) i)_ Trouver toutes les solutions ${\cal C}^2$ de l'equation d'onde a variables separees, de la forme : $u(x,t)=\phi(t)\psi(x)$ - - Soit $n\in\N$. On pose : $g:x\mapsto\sum_{k=1}^na_k\sin(k\pi x)$ et $h=0$. Determiner $u(x,t)$. +_c) i)_ Trouver toutes les solutions ${\cal C}^2$ de l'équation d'onde a variables separees, de la forme : $u(x,t)=\phi(t)\psi(x)$ + - Soit $n\in\N$. On pose : $g:x\mapsto\sum_{k=1}^na_k\sin(k\pi x)$ et $h=0$. Déterminer $u(x,t)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 215] @@ -1960,12 +2037,12 @@ $\forall w,v\in\R^d$, $f(w)\geq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle$. - Soit $v_*$ un point critique de $f$. Montrer que $v_*$ est un minimum local de $f$ et que la suite $(v_n)$ converge vers $v_*$. #+end_exercice -*** Probabilites +*** Probabilités #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 216] Soit $n\geq 2$. On note $n=p_1^{s_1}\dots p_r^{s_r}$ sa decomposition en facteurs premiers. On munit $\Omega=\{1,\dots,n\}$ de la loi uniforme. Pour tout diviseur $d$ de $n$, on note $A_d$ l'ensemble des multiples de $d$ contenus dans $\Omega:A_d=\left\{kd\,,\ k\leq\frac{n}{d}\right\}.$ -_a) i)_ Montrer que si $d$ et $d'$ sont deux entiers premiers entre eux alors $A_d\cap A_{d'}=A_{dd'}$, et en deduire que $A_d$ et $A_{d'}$ sont independants. - On note $B=\{k\in\Omega,\ k\wedge n=1\}$. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_i}$ et en deduire une expression de $\mathbf{P}(B)$ puis de $|B|$. Cette valeur sera notee $\phi(n)$. +_a) i)_ Montrer que si $d$ et $d'$ sont deux entiers premiers entre eux alors $A_d\cap A_{d'}=A_{dd'}$, et en déduire que $A_d$ et $A_{d'}$ sont independants. - On note $B=\{k\in\Omega,\ k\wedge n=1\}$. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_i}$ et en déduire une expression de $\mathbf{P}(B)$ puis de $|B|$. Cette valeur sera notee $\phi(n)$. - Soient $n$ et $m$ deux entiers premiers entre eux. Montrer que $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$. - On note $\mc{U}=\bigcup_{n\in\N}\mathbb{U}_n$ ou $\mathbb{U}_n$ designe l'ensemble des racines $n$-iemes de l'unite. Pour $z$ dans $\mc{U}$, on note $n_z=\inf\{n\in\N\,\ z\in\mathbb{U}_n\}$. - Pour $z\in\C$ tel que $|z|=1$, montrer qu'il existe une suite $(z - {k\in\N}$ a valeurs dans $\mc{U}$ telle que $\lim_{k\to+\i}z_k=z$. @@ -1974,26 +2051,26 @@ _a) i)_ Montrer que si $d$ et $d'$ sont deux entiers premiers entre eux alors $A #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 217] -Soit $X$ une variable aleatoire definie sur $(\N,\mc{P}(\N))$. Soient $\mathbf{P_1}$ et $\mathbf{P_2}$ deux probabilites sur $(\N,\mc{P}(\N))$. On suppose que, pour tout $n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_2}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_1}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P_2}(X=n)\gt 0$. Soit $A=\{n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\leq\mathbf{P_2}(\{n\})\}$. +Soit $X$ une variable aléatoire définie sur $(\N,\mc{P}(\N))$. Soient $\mathbf{P_1}$ et $\mathbf{P_2}$ deux probabilités sur $(\N,\mc{P}(\N))$. On suppose que, pour tout $n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_2}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_1}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P_2}(X=n)\gt 0$. Soit $A=\{n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\leq\mathbf{P_2}(\{n\})\}$. On pose, pour $n\in\N$, $u_n(X)=\mathbf{P_2}(X=n)\ln\left(\frac{\mathbf{P_2}(X=n)}{\mathbf{P_1} (X=n)}\right)$. -Enfin, on pose $\ell(X)=\sum_{n=0}^{+\i}u_n(X)$ si cette serie converge, $\ell(X)=+\i$ sinon. +Enfin, on pose $\ell(X)=\sum_{n=0}^{+\i}u_n(X)$ si cette série converge, $\ell(X)=+\i$ sinon. - Soit $C\in\mc{P}(\N)$ avec $C\neq\N$ et $C\neq\emptyset$. Montrer que $0\lt \mathbf{P_1}(C)\lt 1$ pour $i=1,2$. - - On suppose que $X$ suit la loi de Poisson de parametre $\lambda_1$ pour $\mathbf{P_1}$ et de parametre $\lambda_2$ pour $\mathbf{P_2}$. + - On suppose que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda_1$ pour $\mathbf{P_1}$ et de paramètre $\lambda_2$ pour $\mathbf{P_2}$. - Calculer $u_n(X)$ en fonction de $n,\lambda_1,\lambda_2$. - Montrer que $\sum u_n(X)$ converge et exprimer sa somme $\ell(X)$ en fonction de $\lambda_1,\lambda_2$. - Montrer que $\ell(X)\geq 0$. - Montrer que $\{n\in\N,n\geq\max(\lambda_1,\lambda_2)\}\subset A\subset\{n \in\N,n\leq\min(\lambda_1,\lambda_2)\}$. - - On revient au cas general. Montrer que $\sum u_n(X)$ converge et que $\ell(X)\geq 0$. + - On revient au cas général. Montrer que $\sum u_n(X)$ converge et que $\ell(X)\geq 0$. - Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}|\mathbf{P_2}(X=n)-\mathbf{P_1}(X=n)|=2( \mathbf{P_2}(X\in A)-\mathbf{P_1}(X\in A))$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 218] -Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires a valeurs reelles, identiquement distribuees, centres, de variance finie $\sigma^2$ et independantes. On suppose de plus $\mathbf{P}(|X_1|\gt 1)=0$. On note $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. - - Soient $Y_1,\ldots,Y_n$ des variables aleatoires independantes suivant la loi binomiale $\mc{B}(m,p)$ avec $m\in\N^*$ et $p\in\,]0,1[$. Pour $a\neq 0$ et $b\in\R$, on note $X_i=aY_i+b$. A quelle condition sur $a$ et $b$ les $X_i$ verifient-elles les conditions precedentes? +Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires a valeurs réelles, identiquement distribuees, centres, de variance finie $\sigma^2$ et independantes. On suppose de plus $\mathbf{P}(|X_1|\gt 1)=0$. On note $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. + - Soient $Y_1,\ldots,Y_n$ des variables aléatoires independantes suivant la loi binomiale $\mc{B}(m,p)$ avec $m\in\N^*$ et $p\in\,]0,1[$. Pour $a\neq 0$ et $b\in\R$, on note $X_i=aY_i+b$. A quelle condition sur $a$ et $b$ les $X_i$ verifient-elles les conditions précédentes? - Montrer $\forall u\in\,]-\i,2],\ e^u\leq 1+u+\frac{u^2}{2}(1+\max(0,u))$. - - Dans le cas general, montrer $\forall t\in[0,2],\ \mathbf{E}(e^{tX_1})\leq 1+\frac{\sigma^2t^2}{2}(1+t) \leq e^{\sigma^2t^2(1+t)/2}$. - En deduire que $\forall t\in[0,2],\,\mathbf{E}(e^{tS_n})\leq e^{n\sigma^2t^2(1+t)/2}$, + - Dans le cas général, montrer $\forall t\in[0,2],\ \mathbf{E}(e^{tX_1})\leq 1+\frac{\sigma^2t^2}{2}(1+t) \leq e^{\sigma^2t^2(1+t)/2}$. - En déduire que $\forall t\in[0,2],\,\mathbf{E}(e^{tS_n})\leq e^{n\sigma^2t^2(1+t)/2}$, - Soit $\alpha$ tel que $0\lt \alpha\lt 6\sigma^2$. Montrer $\mathbf{P}(S_n/n\geq\alpha)\leq e^{-n\alpha^2/6\sigma^2}$. #+end_exercice @@ -2002,7 +2079,7 @@ Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires a valeurs reelles, identiquemen *** Algebre #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 219] -${}^{\bigstar}$ Soit $A$ une partie de cardinal $n$ de $\R$. On pose $B=A+A=\{a+a',\ a,a'\in A\}$. Montrer que $2n-1\leq\mathrm{card}(B)\leq\dfrac{n(n+1)}{2}$. Generaliser a $B=kA=A+A+\cdots+A$ ($k$ fois). +${}^{\bigstar}$ Soit $A$ une partie de cardinal $n$ de $\R$. On pose $B=A+A=\{a+a',\ a,a'\in A\}$. Montrer que $2n-1\leq\mathrm{card}(B)\leq\dfrac{n(n+1)}{2}$. Généraliser a $B=kA=A+A+\cdots+A$ ($k$ fois). #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 220] @@ -2016,11 +2093,11 @@ ii) $\forall x\gt 0,\ P_2(x)\lt P_4(x)\lt P_1(x)\lt P_3(x)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 222] -[PL] Soit $E=\M_n(\R)$. Calculer le determinant de l'application $\Phi\colon M\in E\mapsto M^T\in E$. +[PL] Soit $E=\M_n(\R)$. Calculer le déterminant de l'application $\Phi\colon M\in E\mapsto M^T\in E$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 223] -Considerons des reels $0\leq x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n\leq 1$. Montrer qu'il existe des reels $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $\forall P\in\R_n[X]$, $\int_0^1P(t)\,dt=\sum_{k=0}^n\alpha_kP(x_k)$. +Considerons des réels $0\leq x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n\leq 1$. Montrer qu'il existe des réels $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $\forall P\in\R_n[X]$, $\int_0^1P(t)\,dt=\sum_{k=0}^n\alpha_kP(x_k)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 224] @@ -2036,14 +2113,17 @@ Soit $M\in\M_2(\Z)$. On suppose qu'il existe $k\in\N^*$ tel que $M^k=I_2$. Montr #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 226] Soient $\eps\in\bigg{]}\,0\,;\dfrac{1}{4}\,\bigg{[}$ et $M$ la matrice $M=\left(\begin{smallmatrix}1-2\eps&\eps&0&\cdots&0&\eps \\ \eps&1-2\eps&\eps&\ddots&\vdots&0\\ 0&\eps&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\eps&0\\ 0&\cdots&0&\eps&1-2\eps&\eps\\ \eps&0&\cdots&0&\eps&1-2\eps\\ \end{smallmatrix}\right)\in\M_k(\R)$ - Quel est le spectre de $M$? - - Determiner la limite de la suite $(M^n)_{n\in\N}$. + - Déterminer la limite de la suite $(M^n)_{n\in\N}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 227] Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ qui preserve le produit scalaire canonique : -$\forall(x,y)\in(\R^n)^2,\ \langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$. Montrer que $f$ est une isometrie lineaire.# 228 - Soit $A\in S_3(\R)$ telle que $\op{tr}(A)=3,\op{tr}(A^2)=5$, $\op{tr}(A^3)=9$. Determiner la borne inferieure de $\op{tr}(M^2)$ lorsque $M$ decrit $\big{\{}M\in\mc{S}_3(\R)\;;\;\op{tr}(AM)=1$ et $\op{tr}(A^2M)=1\big{\}}$, +$\forall(x,y)\in(\R^n)^2,\ \langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$. Montrer que $f$ est une isometrie lineaire. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 228] + Soit $A\in S_3(\R)$ telle que $\op{tr}(A)=3,\op{tr}(A^2)=5$, $\op{tr}(A^3)=9$. Déterminer la borne inferieure de $\op{tr}(M^2)$ lorsque $M$ decrit $\big{\{}M\in\mc{S}_3(\R)\;;\;\op{tr}(AM)=1$ et $\op{tr}(A^2M)=1\big{\}}$, #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 229] @@ -2055,7 +2135,7 @@ $\op{tr}\left(\left(sI_2+A\right)^{-1}\right)=\op{tr} \left(\left(sI_2+B\right)^ *** Analyse #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 230] -On note $\parallel\;\;\parallel_1$ la norme sur $\R^n$ definie par : +On note $\parallel\;\;\parallel_1$ la norme sur $\R^n$ définie par : $\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\;\|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_{ k}|$. - Soit $(x,y)\in\left(\R^n\right)^2$. Montrer que $\|x+y\|_1+\|x-y\|_1=2(\|x\|_1+\|y\|_1)$ si et seulement si $\forall k\in\db{1,n},\;x_ky_k=0$. @@ -2063,7 +2143,7 @@ $\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\;\|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_{ k}|$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 231] -Soient $d\in\N^*$ avec $d\geq 2$ et $p\in[1,+\i[$. On definit la norme $\parallel\;\;\parallel_p$ sur $\R^d$ par $\forall X\in\R^d,\,\|X\|_p=\left(\sum_{k=1}^d|x_k|^p \right)^{1/p}$. Pour tous $X,Y\in\R^d$ et $t\in\R$, on pose +Soient $d\in\N^*$ avec $d\geq 2$ et $p\in[1,+\i[$. On définit la norme $\parallel\;\;\parallel_p$ sur $\R^d$ par $\forall X\in\R^d,\,\|X\|_p=\left(\sum_{k=1}^d|x_k|^p \right)^{1/p}$. Pour tous $X,Y\in\R^d$ et $t\in\R$, on pose $\rho(X,Y,t)=\frac{1}{2}(\|X+tY\|_p+\|X-tY\|_p)-1$ et $\overline{\rho}(t)=\sup_{\|X\|_p=\|Y\|_p=1}\rho(X,Y,t)$. - On suppose que $p\in[1,2]$ et qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall t\in\R,\;\overline{\rho}(t)\leq Ct^2$. Montrer que $p=2$. @@ -2074,40 +2154,40 @@ $\rho(X,Y,t)=\frac{1}{2}(\|X+tY\|_p+\|X-tY\|_p)-1$ et $\overline{\rho}(t)=\sup_{ Soit $E$ l'espace des fonctions $f\colon\left[\,0\,;1\,\right]\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $f(0)=0$. Pour $f\in E$, on pose $\|f\|=\left\|f+f'\right\|_{\i}$. - Montrer que $\parallel\;\;\parallel$ est une norme sur $E$. - Montrer qu'il existe $a\gt 0$ tel que, pour tout $f\in E$, on ait $\left\|f\right\|_{\i}\leq a\left\|f\right\|$. - - Les normes $\parallel\;\;\parallel$ et $\parallel\;\parallel_{\i}$ sont-elles equivalentes sur $E$? + - Les normes $\parallel\;\;\parallel$ et $\parallel\;\parallel_{\i}$ sont-elles équivalentes sur $E$? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 233] -Soient $(E,\left\|\cdot\right\|)$ un espace vectoriel norme de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|\leq\|x\|$. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nf^k$. Etudier le comportement de $s_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. +Soient $(E,\left\|\cdot\right\|)$ un espace vectoriel norme de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|\leq\|x\|$. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nf^k$. Étudier le comportement de $s_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 234] -Soient $E=\R^{\N}$ et $D:E\to E$ defini par +Soient $E=\R^{\N}$ et $D:E\to E$ défini par $\forall u\in E,\,D(u)=u'$ avec $\forall n\in\N,\;u'_n=u_{n+1}-u_n$. - - L'endomorphisme $D$ est-il injectif? surjectif? Quels sont ses valeurs propres et ses vecteurs propres? - On pose $F=\left\{u\in E\;,\;\sum u_n^2\text{ converge}\right\}$. Pour $u,v\in F$, on pose $\left\langle u,v\right\rangle=\sum_{n=0}^{+\i}u_nv_n$ et $\left\|u\right\|=\sqrt{\left\langle u,u\right\rangle}$. Montrter que $F$ est stable par $D$ puis determiner l'ensemble + - L'endomorphisme $D$ est-il injectif? surjectif? Quels sont ses valeurs propres et ses vecteurs propres? - On pose $F=\left\{u\in E\;,\;\sum u_n^2\text{ converge}\right\}$. Pour $u,v\in F$, on pose $\left\langle u,v\right\rangle=\sum_{n=0}^{+\i}u_nv_n$ et $\left\|u\right\|=\sqrt{\left\langle u,u\right\rangle}$. Montrter que $F$ est stable par $D$ puis déterminer l'ensemble $H=\left\{\dfrac{\left\langle u,D(u)\right\rangle}{\left\|u\right\|^2}\;;\;u \in F\setminus\left\{0\right\}\right\}.$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 235] -On considere la suite $\left(F_n\right)_{n\geq 0}$ definie par $F_0=0$, $F_1=1$ puis $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$ pour tout $n\in\N$. +On considère la suite $\left(F_n\right)_{n\geq 0}$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ puis $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$ pour tout $n\in\N$. Montrere que tout entier $N\in\N^*$ s'ecrit de maniere unique $N=F_{p_1}+F_{p_2}+\cdots+F_{p_m}$ avec des entiers $p_i$ tels que $p_{i+1}-p_i\geq 2$ pour tout $i\in\db{1\,;\,m-1}$ et $p_1\geq 2$. Prouver l'unicite de cette ecriture. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 236] Pour $n\in\N^*$, on pose $u_n=\left(\prod_{k=n}^{2n}k^k\right)^{1/n}$ - - Determiner un equivalent de $\ln(u_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini. - - Determiner un equivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. + - Déterminer un équivalent de $\ln(u_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini. + - Déterminer un équivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 237] -Quelle est la nature de la serie $\sum\sin(2\pi\,n!\,e)\,?$ +Quelle est la nature de la série $\sum\sin(2\pi\,n!\,e)\,?$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 238] -Quelle est la nature de la serie $\sum\tan(2\pi\,n!\,e)\,?$ +Quelle est la nature de la série $\sum\tan(2\pi\,n!\,e)\,?$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 239] @@ -2115,44 +2195,49 @@ Nature, suivant la valeur de $\alpha\in\R$, de $\sum|\sin\left(2\pi\mathrm{e}n!\ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 240] -Quelle est la nature de la serie de terme general $\dfrac{\sin^2(n)}{n}\,?$ +Quelle est la nature de la série de terme général $\dfrac{\sin^2(n)}{n}\,?$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 241] -Soit $\sum a_n$ une serie convergente de reels positifs. Montrere que la serie $\sum\dfrac{a_n^x}{n}$ converge pour tout $x\gt 0$. +Soit $\sum a_n$ une série convergente de réels positifs. Montrere que la série $\sum\dfrac{a_n^x}{n}$ converge pour tout $x\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 242] -Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $\sum\exp(a_n)$ converge. +Soit $(a - {n\in\N}$ une suite réelle telle que $\sum\exp(a_n)$ converge. -Determiner $\lim_{k\to+\i}\sum_{n=0}^{+\i}\exp(ka_n)$. +Déterminer $\lim_{k\to+\i}\sum_{n=0}^{+\i}\exp(ka_n)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 243] -Soient $f\colon\R\to\R$ une fonction derivable et $\ell$ un reel. +Soient $f\colon\R\to\R$ une fonction derivable et $\ell$ un réel. -On suppose que $f(x)+f'(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Etudier la limite de $f$ et de $f'$ en $+\i$. +On suppose que $f(x)+f'(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Étudier la limite de $f$ et de $f'$ en $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 244] -Soient $g:[0,1]\to\R$ continue et $F:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $:F(0)=1$ et $\forall x\in[0,1]$, $|F'(x)|=F(x)g(x)$. Determiner les valeurs possibles de $F(1)$. +Soient $g:[0,1]\to\R$ continue et $F:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $:F(0)=1$ et $\forall x\in[0,1]$, $|F'(x)|=F(x)g(x)$. Déterminer les valeurs possibles de $F(1)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 245] -Soient $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ et $(a,b,c,d)\in\R^4$ tels que les fonctions $af'+bf$ et $cf'+df$ soient bornees. A quelle condition sur $(a,b,c,d)$ la fonction $f$ est-elle bornee?[MISSING_PAGE_FAIL:1]# 256 - [PL] Soit $g\in{\cal C}^0([0,1],{\R}_+^*)$. On definit $\Phi\colon x\in{\R}\mapsto\ln\left(\int_0^1e^{xt}g(t)\;{\rm d}t\right)$. +Soient $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ et $(a,b,c,d)\in\R^4$ tels que les fonctions $af'+bf$ et $cf'+df$ soient bornees. A quelle condition sur $(a,b,c,d)$ la fonction $f$ est-elle bornee? +#+end_exercice + +!! Page manquante. + +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 256] +Soit $g\in{\cal C}^0([0,1],{\R}_+^*)$. On définit $\Phi\colon x\in{\R}\mapsto\ln\left(\int_0^1e^{xt}g(t)\;{\rm d}t\right)$. - Montrer que $\Phi$ est convexe. - - On suppose maintenant que $g$ est de classe ${\cal C}^1$. Trouver un equivalent et un developpement asymptotique de $\Phi$ en $+\i$. + - On suppose maintenant que $g$ est de classe ${\cal C}^1$. Trouver un équivalent et un développement asymptotique de $\Phi$ en $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 257] Soit $f\in C^k({\R}^+,{\R})$ telle que $f^{(k)}$ est bornee sur ${\R}^+$. -Soit $F:\lambda\in{\R}^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}e^{-\lambda t}f(t)\,{\rm d }t$. Determiner un developpement asymptotique de $F(\lambda)$ lorsque $\lambda\to+\i$. +Soit $F:\lambda\in{\R}^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}e^{-\lambda t}f(t)\,{\rm d }t$. Déterminer un développement asymptotique de $F(\lambda)$ lorsque $\lambda\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 258] -Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere au voisinage de $0$ avec un rayon $\gt 1$. Soient $\phi\in C^0([0,1],{\R})$ et $g:x\mapsto\int_0^1\phi(y)f(x-y)\,{\rm d}y$. Montrer que $g$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$. +Soit $f$ une fonction développable en série entiere au voisinage de $0$ avec un rayon $\gt 1$. Soient $\phi\in C^0([0,1],{\R})$ et $g:x\mapsto\int_0^1\phi(y)f(x-y)\,{\rm d}y$. Montrer que $g$ est développable en série entiere au voisinage de $0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 259] @@ -2178,38 +2263,38 @@ Montrer qu'un polygone convexe a $n$ sommets inscrit dans le cercle unite est d' #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 262] -- Sur le cercle trigonometrique ${\cal C}$, on place $A$ de coordonnees $(-1,0)$ et $P\neq A$ de coordonnees $(x,y)$. Soit $Q$ le point d'intersection de la droite $(AP)$ avec l'axe des ordonnees. On note $t$ l'ordonnee de $Q$. Exprimer $t$ en fonction de $x$ et $y$. - Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$. Que reconnait-on? Expliquer cela geometriquement. Peu-on parametrer les points de $\mc C\setminus\{A\}$ a l'aide de fractions rationnelles? - - Peut-on parametrer un arc $\Gamma$ (non reduit a un point) du cercle $\mc C$ a l'aide de polynomes a coefficients reels c'est-a-dire existe-t-il un intervalle $I$ et deux polynomes $P,Q\in\R[X]$ tels que le point de coordonnees $(x,y)$ appartienne a $\Gamma$ si et seulement s'il existe $t\in I$ tel que $x=P(t)$ et $y=Q(t)$? Et a l'aide de polynomes a coefficients complexes? +- Sur le cercle trigonometrique ${\cal C}$, on place $A$ de coordonnees $(-1,0)$ et $P\neq A$ de coordonnees $(x,y)$. Soit $Q$ le point d'intersection de la droite $(AP)$ avec l'axe des ordonnees. On note $t$ l'ordonnee de $Q$. Exprimer $t$ en fonction de $x$ et $y$. - Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$. Que reconnait-on? Expliquer cela geometriquement. Peu-on paramètrer les points de $\mc C\setminus\{A\}$ a l'aide de fractions rationnelles? + - Peut-on paramètrer un arc $\Gamma$ (non reduit a un point) du cercle $\mc C$ a l'aide de polynomes a coefficients réels c'est-a-dire existe-t-il un intervalle $I$ et deux polynomes $P,Q\in\R[X]$ tels que le point de coordonnees $(x,y)$ appartienne a $\Gamma$ si et seulement s'il existe $t\in I$ tel que $x=P(t)$ et $y=Q(t)$? Et a l'aide de polynomes a coefficients complexes? #+end_exercice -*** Probabilites +*** Probabilités #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 263] -On retourne une par une les cartes d'un jeu de 52 cartes. Trouver l'esperance du nombre de cartes retournees avant d'obtenir le premier as (on demande un raisonnement intuitif sans calcul de la loi). +On retourne une par une les cartes d'un jeu de 52 cartes. Trouver l'espérance du nombre de cartes retournees avant d'obtenir le premier as (on demande un raisonnement intuitif sans calcul de la loi). #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 264] -On considere deux capteurs independants, qui detectent chacun en moyenne 5000 evenements par an. Quelle est la probabilite que les deux detecteurs detectent un evenement pendant la meme seconde? +On considère deux capteurs independants, qui detectent chacun en moyenne 5000 evenements par an. Quelle est la probabilité que les deux detecteurs detectent un evenement pendant la meme seconde? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 265] -Soient $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur le groupe symetrique $\mc{S}_n$ et $A\subset\db{1,n}$. On pose $k=|A|$. Calculer $\mathbf{P}(A=\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})$. +Soient $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur le groupe symetrique $\mc{S}_n$ et $A\subset\db{1,n}$. On pose $k=|A|$. Calculer $\mathbf{P}(A=\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 266] -Soient $X,Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\{1,2,3\}$ telles que $Y$ suive la loi uniforme sur $\{1,2,3\}$ et $\mathbf{P}(X=1)=\frac{1}{2}$, $\mathbf{P}(X=2)=\mathbf{P}(X=3)=\frac{1}{4}$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{E}((X-Y)^2)$? +Soient $X,Y$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\{1,2,3\}$ telles que $Y$ suive la loi uniforme sur $\{1,2,3\}$ et $\mathbf{P}(X=1)=\frac{1}{2}$, $\mathbf{P}(X=2)=\mathbf{P}(X=3)=\frac{1}{4}$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{E}((X-Y)^2)$? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 267] -Existe-t-il des variables aleatoires $X,Y$ telles que $X\sim\mc{B}(p)$, $Y\sim\mc{P}(p)$ et telles que l'on ait $\mathbf{P}(X=Y)=1-p+pe^{-p}$? +Existe-t-il des variables aléatoires $X,Y$ telles que $X\sim\mc{B}(p)$, $Y\sim\mc{P}(p)$ et telles que l'on ait $\mathbf{P}(X=Y)=1-p+pe^{-p}$? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 268] -On considere $X$ de loi $\mc{B}(p)$ et $Y$ de loi $\mc{P}(p)$ avec $p\in[0,1]$. Majorer $\mathbf{P}(X=Y)$ et trouver des variables $X$ et $Y$ pour lesquelles cette majoration est atteinte. +On considère $X$ de loi $\mc{B}(p)$ et $Y$ de loi $\mc{P}(p)$ avec $p\in[0,1]$. Majorer $\mathbf{P}(X=Y)$ et trouver des variables $X$ et $Y$ pour lesquelles cette majoration est atteinte. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 269] -Soient $X,Y$ deux variables aleatoires entieres independantes qui suivent la meme loi. +Soient $X,Y$ deux variables aléatoires entieres independantes qui suivent la meme loi. - On suppose que $X$ suit une loi geometrique commencant a zero, c'est-a-dire qu'il existe $p\in\,]\,0\,;1\,[$ tel que $\forall k\in\N,\,\mathbf{P}(X=k)=(1-p)^kp$. Montrer que $\forall n\in\N,\,\forall k\in\db{0\,;\,n}$, $\mathbf{P}(X=k\,|\,X+Y=n)=\frac{1}{n+1}$. @@ -2217,22 +2302,25 @@ Montrer que $\forall n\in\N,\,\forall k\in\db{0\,;\,n}$, $\mathbf{P}(X=k\,|\,X+Y #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 270] -On considere $M=\left(\begin{array}{cc}X&Y\\ Y&X\end{array}\right)$, ou $X$ et $Y$ independantes avec $X$ de loi $\mc{P}(\lambda)$ et $Y$ de loi $\mc{G}(p)$. - - Determiner la probabilite que $M$ soit inversible. - - Determiner la probabilite que $M$ soit diagonalisable. Dans ce cas, preciser spectre et espaces propres. - - Determiner la probabilite que $M^8=I_2$. - - Determiner la probabilite qu'il existe une fonction $f\colon\R^2\to\R^2$ admettant un minimum local strict en $(0,0)$ et dont la matrice Hessienne en $(0,0)$ est $M$.# 271 -${}^{\bigstar}$ Soit $\left(X_n\right)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires a valeurs dans $\N$. On suppose que $\mathbb{P}(X_1=0)\mathbb{P}(X_1=1)\neq 0$. On pose, pour $n\in\N$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Montrer que $\mathbf{P}(4\text{ divise }S_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\frac{1}{4}$. +On considère $M=\left(\begin{array}{cc}X&Y\\ Y&X\end{array}\right)$, ou $X$ et $Y$ independantes avec $X$ de loi $\mc{P}(\lambda)$ et $Y$ de loi $\mc{G}(p)$. + - Déterminer la probabilité que $M$ soit inversible. + - Déterminer la probabilité que $M$ soit diagonalisable. Dans ce cas, preciser spectre et espaces propres. + - Déterminer la probabilité que $M^8=I_2$. + - Déterminer la probabilité qu'il existe une fonction $f\colon\R^2\to\R^2$ admettant un minimum local strict en $(0,0)$ et dont la matrice Hessienne en $(0,0)$ est $M$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 271] +${}^{\bigstar}$ Soit $\left(X_n\right)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires a valeurs dans $\N$. On suppose que $\mathbb{P}(X_1=0)\mathbb{P}(X_1=1)\neq 0$. On pose, pour $n\in\N$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Montrer que $\mathbf{P}(4\text{ divise }S_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\frac{1}{4}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 272] -Soient $n\in\N^*$ et $p\in]0,1[$. On considere dans le plan un graphe non oriente aleatoire de $n$ sommets. On note $X_{i,j}=1$ si les points d'indices $i$ et $j$ sont relies, et $0$ sinon. On suppose les $X_{i,j}$ independantes et de meme loi $\mc{B}(p)$. On note $T_n$ le nombre de triangles formes par ces $n$ points. On pose $a_n=\binom{n}{3}p^3$. +Soient $n\in\N^*$ et $p\in]0,1[$. On considère dans le plan un graphe non oriente aléatoire de $n$ sommets. On note $X_{i,j}=1$ si les points d'indices $i$ et $j$ sont relies, et $0$ sinon. On suppose les $X_{i,j}$ independantes et de meme loi $\mc{B}(p)$. On note $T_n$ le nombre de triangles formes par ces $n$ points. On pose $a_n=\binom{n}{3}p^3$. Calculer $\mathbf{E}(T_n)$ et montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_n}{a_n}-1\right|\gt \eps\right)=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 273] -On considere une matrice aleatoire $M=(m_{i,j})$ de taille $n\times n$ qui est symetrique, ou chaque variable aleatoire $m_{i,j}$ suit la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et ou les variables aleatoires $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont independantes. +On considère une matrice aléatoire $M=(m_{i,j})$ de taille $n\times n$ qui est symetrique, ou chaque variable aléatoire $m_{i,j}$ suit la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et ou les variables aléatoires $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont independantes. - Calculer $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M))$, $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^2))$ et $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^3))$. - Montrer que $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^4))=\mc{O}(n^3)$. - On note $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$. @@ -2243,9 +2331,9 @@ Pour tout $\eps\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}(\lambda_1\geq n\eps)\underset{n\t #+begin_exercice [ENS PC 2023 # 274] On note $\langle\,\ \rangle$ le produit scalaire canonique dans $\R^n$ et $\|\ \|$ la norme euclidienne associee. - Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $x\in\R^n\setminus\{0\}$ et $a\in\R$. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $A$. Si $\langle Ax,x\rangle\geq a\left\|x\right\|^2$, montrer que $\lambda_1\geq a$. - - Soit $M=(m_{i,j})$ une variable aleatoire a valeurs dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que les $m_{i,j}$ suivent une loi de Bernoulli de parametre $1/2$ et telle que les $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ soient independantes. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$. + - Soit $M=(m_{i,j})$ une variable aléatoire a valeurs dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que les $m_{i,j}$ suivent une loi de Bernoulli de paramètre $1/2$ et telle que les $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ soient independantes. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$. -Pour tout reel $\eps\gt 0$, montrer que $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\Big{(}\lambda_1\geq\frac{n}{2}(1- \eps)\Big{)}\underset{n\to\i}{\longrightarrow}1$. +Pour tout réel $\eps\gt 0$, montrer que $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\Big{(}\lambda_1\geq\frac{n}{2}(1- \eps)\Big{)}\underset{n\to\i}{\longrightarrow}1$. #+end_exercice * X :xens: @@ -2264,10 +2352,13 @@ Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ #+begin_exercice [X MP 2023 # 277] ${}^{\bigstar}$ - - Montrer que l'equation $a^2-2b^2=1$ admet une infinite de solutions $(a,b)\in\N^2$. + - Montrer que l'équation $a^2-2b^2=1$ admet une infinite de solutions $(a,b)\in\N^2$. -Determiner l'ensemble des solutions. - - Que dire de l'ensemble des solutions de $a^2-2b^2=-1$?# 278 +Déterminer l'ensemble des solutions. + - Que dire de l'ensemble des solutions de $a^2-2b^2=-1$? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X MP 2023 # 278] Si $G$ est un groupe, les elements d'ordre fini forment-il un sous-groupe? #+end_exercice @@ -2290,20 +2381,20 @@ Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans po #+begin_exercice [X MP 2023 # 281] Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des elements de $G$ d'ordre fini. - - En general, $T$ est-il un sous-groupe de $G$? + - En général, $T$ est-il un sous-groupe de $G$? - Soit $S$ une partie finie de $G$ stable par conjugaison munie d'une relation d'ordre totale $\leq$. Montrer que, pour tous $s_1$,..., $s_r\in S$, il existe $s'_1$,..., $s'_r\in S$ tels que $s'_1\leq s'_2\cdots\leq s'_r$ et $s_1s_2\cdots s_r=s'_1s'_2\cdots s'_r$. - - Avec la question precedente, montrer que, si $T$ est fini, alors $T$ est un sous-groupe de $G$. + - Avec la question précédente, montrer que, si $T$ est fini, alors $T$ est un sous-groupe de $G$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 282] -- Soit $s:\R^*\to\R^*,t\mapsto t^{-1}$. Determiner le groupe engendre par $s$. - - On definit les applications $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et +- Soit $s:\R^*\to\R^*,t\mapsto t^{-1}$. Déterminer le groupe engendre par $s$. + - On définit les applications $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe a $\mc{S}_3$. - - Retrouver le resultat de la question precedente en considerant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$. - - Soit $n\geq 3$. Determiner le groupe engendre par les bijections $(s - {1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ definies par $s_i(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},...,t_n)$ si $1\lt i\lt n$, $s_1(t_1,...,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,...,t_n)$ et $s_n(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$. + - Retrouver le resultat de la question précédente en considerant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$. + - Soit $n\geq 3$. Déterminer le groupe engendre par les bijections $(s - {1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ définies par $s_i(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},...,t_n)$ si $1\lt i\lt n$, $s_1(t_1,...,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,...,t_n)$ et $s_n(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$. -Ind. Considerer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ definie par $f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$. +Ind. Considèrer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ définie par $f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 283] @@ -2316,11 +2407,11 @@ Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On note, pour tout diviseur positif $d$ de #+begin_exercice [X MP 2023 # 284] On pose $\Q[i]=\{a+ib\;;\ a,b\in\Q\}$. - Montrver que $\Q[i]$ est un sous-corps de $\C$. - - Determiner les elements de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d'ordre fini. + - Déterminer les elements de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d'ordre fini. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 285] -- Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$. On considere la $\mathbb{K}$-algebre $A$ admettant une base sur $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. A quelle condition cette algebre est-elle un corps? +- Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$. On considère la $\mathbb{K}$-algebre $A$ admettant une base sur $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. A quelle condition cette algebre est-elle un corps? - On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p$ ou $p$ est un nombre premier. Combien de $\mathbb{F}_p$-algebres non isomorphes peut-on obtenir ainsi? #+end_exercice @@ -2338,10 +2429,10 @@ Montrer que $\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}P_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}{2}\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 288] -- Montrrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$. +- Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$. - Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_{n-1}$. - Pour $n\geq 1$, donner une relation entre $S_n^{''}$ et $S_{n-1}'$. - - En deduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_n$. + - En déduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 289] @@ -2351,7 +2442,7 @@ On pose $F:z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$. - Montrver qu'il existe une unique list $(c_0,\ldots,c_n)\in\C^{n+1}$ telle que $\forall z\in\C^*,\ F(z)=\sum_{k=0}^nc_k(z^k+z^{-k})$. - - Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en deduire une expression de $c_k$ a l'aide d'un produit. Ind. Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$. + - Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en déduire une expression de $c_k$ a l'aide d'un produit. Ind. Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 290] @@ -2359,11 +2450,14 @@ Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que $(X+Y)^n$ #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 291] -Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrver qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$.# 292 - Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une definition similaire pour les polynomes a une indeterminee. +Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrver qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X MP 2023 # 292] + Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une définition similaire pour les polynomes a une indéterminee. - Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. - Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. - - Determiner tous les polynomes $P\in\Z[T]$ tels que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$. + - Déterminer tous les polynomes $P\in\Z[T]$ tels que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 293] @@ -2387,17 +2481,17 @@ Soit $P\in\Z[X]$ un polynome unitaire dont les racines complexes ont un module i #+begin_exercice [X MP 2023 # 297] Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n$. On ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$. - Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$. - - En deduire qu'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$. + - En déduire qu'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 298] On se propose de donner une preuve du theoreme de d'Alembert-Gauss. - - Montrer qu'il suffit de montrer le theoreme pour les polynomes a coefficients reels. Dans la suite, on ecrira le degre d'un polynome non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$. + - Montrer qu'il suffit de montrer le theoreme pour les polynomes a coefficients réels. Dans la suite, on ecrira le degre d'un polynome non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$. - Montrer le theoreme dans le cas ou $n=0$. Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe. - Soit $P\in\R[X]$ de degre $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet l'existence d'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ est scinde, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixe $c\in\R$, on pose $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$. - - Montrer que le polynome $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients reels. - Montrrer que l'un des $y_{ij}(c)$ est element de $\C$. + - Montrer que le polynome $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients réels. - Montrer que l'un des $y_{ij}(c)$ est element de $\C$. - Montrer finalement que l'un des $x_i$ est element de $\C$. #+end_exercice @@ -2412,7 +2506,7 @@ Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$ #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 301] -On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien definie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique a partir d'un certain rang. +On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien définie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique a partir d'un certain rang. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 302] @@ -2456,8 +2550,8 @@ Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On supp #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 308] -- Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ verifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$. - - Determiner les automorphismes de $\C(X)$ verifiant $(*)$. + - Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ verifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$. + - Déterminer les automorphismes de $\C(X)$ verifiant $(*)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 309] @@ -2465,7 +2559,7 @@ Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i - Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de $M$ est de module $\leq 1$. - On note $\mu=\min_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$. - On suppose que $\mu\gt 0$ et que 1 est valeur propre de multiplicite 1 dans $\chi_M$. Montrer que $(M^p)_{p\geq 1}$ converge vers une matrice de rang $1$ dont toutes les lignes sont egales. - - On se donne trois reels strictement positifs $p,q,r$ tels que $p+q+r=1$. On considere la matrice $B\in\M_n(\R)$ definie par $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$. + - On se donne trois réels strictement positifs $p,q,r$ tels que $p+q+r=1$. On considère la matrice $B\in\M_n(\R)$ définie par $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 310] @@ -2478,12 +2572,26 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $a,b\in\mc{L}(E)$. On su - Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables. - A quelle condition sur $u\in\mc{L}(E)$ existe-t-il $w\in\mc{L}(E)$ tel que $uw-wv$ soit de rang 1? #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $fv$ est un endomorphisme de rang $1$, on note son image $\vect (t)$. + - Si $\Ker b$ non stable par $a$, alors il existe $x$ tel que $-b(a(x)) \in \vect t$, donc $t\in\Im b$. Alors $\Im b$ est stable par $a$. + + En appliquant ça à des $b-\la I_n$ répétitivement, on trouve un vecteur propre commun. + - Si $u$ a deux valeurs propres distinctes, en diagonalisant $u$ par blocs et en prenant une matrice $v$ avec un unique $1$ à l'intersection, on obtient une matrice de rang $1$. + + Si $u$ a une unique valeur propre, on peut supposer $u$ nilpotente. Alors, si $u$ est non nulle, on peut prendre $v$ de rang $1$, qui envoie un élément de l'image de $u$ sur un élément du noyau de $u$, et on obtient $uv-vu$ de rang $1$. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 312] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout vecteur $x\in E$, l'ensemble $\{f^n(x),\ n\in\N\}$ est fini. - - Montrer que, si $f\in\mathrm{GL}(E)$, il existe $k\in\N^*$ tel que $f^k=\mathrm{id}$. - - On revient au cas general. Montrer l'existence de $k\in\N^*$ et $p\in\N$ tels que $f^{p+k}=f^p$. + - Montrer que, si $f\in\mathrm{GL}(E)$, il existe $k\in\N^*$ tel que $f^k=\op{Id}$. + - On revient au cas général. Montrer l'existence de $k\in\N^*$ et $p\in\N$ tels que $f^{p+k}=f^p$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Les valeurs propres sont des $\m U_k$, et si elle n'était pas diagonalisable… +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 313] Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associee a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguees dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables. @@ -2502,7 +2610,7 @@ Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$. #+begin_exercice [X MP 2023 # 315] Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynomes. - - Determiner le degre de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. - Montrer que $L_n$ est scinde a racines reelles simples $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$. - Montrer qu'il existe des reels $a_1,\ldots,a_n$ tels que + - Déterminer le degre de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. - Montrer que $L_n$ est scinde a racines réelles simples $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$. - Montrer qu'il existe des réels $a_1,\ldots,a_n$ tels que $\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$. #+end_exercice @@ -2526,7 +2634,7 @@ Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi:\begin{array}{r #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 319] -On considere dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$. +On considère dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$. - Soit $K\in\M_{2n}(\R)$ tel que $K^2=-I$. Montrer que $K^TJ\in\mc{S}_{2n}(\R)$ si et seulement si $J=K^TJK$. - On note $\mc C$ l'ensemble des $K\in\M_{2n}(\R)$ telles que $K^2=-I$ et $K^TJ\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Soit $K\in\mc C$. Montrer que $K+J$ est inversible et que $(K+J)^{-1}(K-J)$ est symetrique. - Soit $K\in\mc C$. On pose $S=(K+J)^{-1}(K-J)$. Montrer que $SJ+JS=0$. @@ -2556,10 +2664,10 @@ Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels. #+begin_exercice [X MP 2023 # 323] On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note $\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$. - - Montrver que $\|\!|\!|\!|\!|\!|$ definit une norme sur $\M_n(\R)$. + - Montrver que $\|\!|\!|\!|\!|\!|$ définit une norme sur $\M_n(\R)$. - Montrver que $\|\!|\!|A|\!|\!|=\sup_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$. - - On prend $A=\Big{(}\dfrac{1}{i+j+1}\Big{)}_{0\leq i,j\leq n}$ dans $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X=(x_0\cdots x_n)^T$ et $Y=(y_0\cdots y_n)^T$ dans $\R^{n+1}$, donner une interpretation de $\left\langle AX,Y\right\rangle$ a l'aide d'une integrale faisant intervenir $P:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et $Q:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^ny_ke^{ikt}$. - - En deduire que $\|\!|\!|A|\!|\leq 2\pi$. + - On prend $A=\Big{(}\dfrac{1}{i+j+1}\Big{)}_{0\leq i,j\leq n}$ dans $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X=(x_0\cdots x_n)^T$ et $Y=(y_0\cdots y_n)^T$ dans $\R^{n+1}$, donner une interpretation de $\left\langle AX,Y\right\rangle$ a l'aide d'une intégrale faisant intervenir $P:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et $Q:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^ny_ke^{ikt}$. + - En déduire que $\|\!|\!|A|\!|\leq 2\pi$. - Montrver que l'on a meme $\|\!|A|\!|\!|\leq\pi$. #+end_exercice @@ -2582,32 +2690,32 @@ Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide. #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 326] -Determiner les endomorphismes continus du groupe $\C^*$. +Déterminer les endomorphismes continus du groupe $\C^*$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 327] -Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On definit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, $\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$. +Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On définit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, $\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$. - Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrver que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$. - - Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite reelle. On suppose que la serie de terme general $|u_n-1|$ converge. + - Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle. On suppose que la série de terme général $|u_n-1|$ converge. -Montrer que la suite de terme general $\prod_{k=0}^nu_k$ converge. +Montrer que la suite de terme général $\prod_{k=0}^nu_k$ converge. -Soit $(M - {n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose que la serie de terme general $\|M_n-I_d\|$ converge. On pose, pour $n\in\N$, $B_n=M_0\times M_1\times\cdots\times M_n$. - - Montrver que la suite $(B - {n\geq 0}$ converge. - - Soit $\sigma$ une permutation de $\N$. Que peut-on dire de la suite de terme general $M_{\sigma(0)}\times\cdots\times M_{\sigma(n)}$? +Soit $(M_n)_{n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose que la série de terme général $\|M_n-I_d\|$ converge. On pose, pour $n\in\N$, $B_n=M_0\times M_1\times\cdots\times M_n$. + - Montrver que la suite $(B_n)_{n\geq 0}$ converge. + - Soit $\sigma$ une permutation de $\N$. Que peut-on dire de la suite de terme général $M_{\sigma(0)}\times\cdots\times M_{\sigma(n)}$? - Soit $E=\left\{\prod_{k=0}^{+\i}M_{\sigma(k)},\ \sigma\in\mc{S}( \N)\right\}$. Existe-t-il une suite de matrices pour laquelle $E$ n'est pas ferme? - - Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M - {n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes? + - Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M_n)_{n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes? #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 328] -On definit la longueur d'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$? +On définit la longueur d'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$? - Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$. - - Soit $(I - {n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$? + - Soit $(I_n)_{n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$? #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 329] Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite ferme pour la norme infinie, $C$ la sphere unite pour la norme infinie. On cherche a montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to C$ telle que la restriction de $r$ a $C$ soit l'identite. - - On considere une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetric (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice reelle telle que : $\forall i,j\in\db{1,n-1}$, + - On considère une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetric (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice réelle telle que : $\forall i,j\in\db{1,n-1}$, $f(a_{i,j},a_{i+1,j})+f(a_{i+1,j},a_{i+1,j+1})+f(a_{i+1,j+1},a_{i,j+1})+f(a_{i,j+1},a_{i,j})=0$. @@ -2646,13 +2754,13 @@ On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^ Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algebre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algebre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. Jusqu'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$. - Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$. - On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$. - - En deduire que $\|a-1\|=2$. - - En deduire que $A=\C$. - - Retrouver le resultat de la question precedente en utilisant des polynomes annulateurs. + - En déduire que $\|a-1\|=2$. + - En déduire que $A=\C$. + - Retrouver le resultat de la question précédente en utilisant des polynomes annulateurs. Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$. - Est-ce que $A$ est necessairement egale a $\R$? - - On admet qu'il existe une $\R$-algebre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considere la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallelement a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considere la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien definie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative. + - On admet qu'il existe une $\R$-algebre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considère la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallelement a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considère la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien définie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative. - Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algebre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$. #+end_exercice @@ -2666,42 +2774,46 @@ Dérivée discrète. #+begin_exercice [X MP 2023 # 333] Pour $n\geq 2$, on note $\ell_n=\min\left\{k\in\db{1,n},\ \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$. - Montrer que $\ell_n=o(n)$. - - Donner un equivalent de $\ell_n$. + - Donner un équivalent de $\ell_n$. #+end_exercice +# ID:6961 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 334] Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives telles que la série de terme général $b_n$ converge, que la série de terme général $n a_n$ diverge et que $\sum_{n=0}^{+\i} a_n=1$. 1. Montrer qu'il existe une unique suite $\left(u_n\right)$ telle que, $\forall n \in \N, u_n=b_n+\sum_{k=0}^n u_k a_{n-k}$. 2. Montrer que $\left(u_n\right)$ est bornée. - 3. Montrer que, $\mathrm{si}\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite est 0. + 3. Montrer que, si $\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite est 0. #+END_exercice #+BEGIN_proof Cf une année précédente. #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 335] -On considere la suite reelle definie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un reel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$.# 336 - Soit $(a - {n\geq 0}$ la suite reelle definie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un equivalent de $a_n$. +On considère la suite réelle définie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un réel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X MP 2023 # 336] + Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ la suite réelle définie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un équivalent de $a_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 337] -Soit $(a - {n\geq 0}$ definie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la serie de terme general $a_n$2? +Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la série de terme général $a_n^2$ ? #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 338] -Soit $\sum u_n$ une serie convergente de reels positifs. Existe-t-il une suite $(v - {n\geq 0}$ de reels positifs tendant vers $+\i$ telle que la serie $\sum u_nv_n$ converge? +Soit $\sum u_n$ une série convergente de réels positifs. Existe-t-il une suite $(v_n)_{n\geq 0}$ de réels positifs tendant vers $+\i$ telle que la série $\sum u_nv_n$ converge? #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 339] -Soit $(x_n)$ une suite reelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable pour toute suite reelle $(y_n)$ de carre sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carre sommable. +Soit $(x_n)$ une suite réelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable pour toute suite réelle $(y_n)$ de carre sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carre sommable. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 340] -Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Determiner la nature de la serie $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$. +Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Déterminer la nature de la série $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 341] -Etudier la convergence de la serie de terme general $\frac{\sin(\ln n)}{n}$. +Étudier la convergence de la série de terme général $\frac{\sin(\ln n)}{n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 342] @@ -2710,9 +2822,9 @@ On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$. - Montrer que $\ell=-(\sqrt{2}+1)\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$. - Montrer que $u_n=\ell+\frac{1}{2n^{1/2}}+O\Big{(}\frac{1}{n^{3/2}}\Big{)}$. - Montrer que $\ell=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})^2}$. - - Etudier les variations de $u$. - - Determiner un developpement asymptotique semblable a celui de la question - pour la suite de terme general $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$. - - Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un developpement asymptotique a trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$. + - Étudier les variations de $u$. + - Déterminer un développement asymptotique semblable a celui de la question - pour la suite de terme général $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$. + - Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un développement asymptotique a trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [X 2023 # 343] @@ -2758,7 +2870,7 @@ Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\ #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 350] -Soit $(x - {n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t - {n\geq 0}$ d'elements de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$. +Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ d'elements de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 351] @@ -2773,17 +2885,15 @@ Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivee $n$-ieme de $(X^2-1)^n$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 353] -Pour $n\in\N$, on pose $ I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^3$. +Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^3$. - On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$. - On suppose $n$ multiple de $4$. Montrer que $I_n\gt 0$. - - Montrer, pour tout $n\in\N$, l'egalite - -$ I_{2n}=(-1)^n\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^{2n}(x)\,\sin^{2n}(y)\,\sin^{2n}(x+y)\,dx\,dy$. + - Montrer, pour tout $n\in\N$, l'égalité $I_{2n}=(-1)^n\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^{2n}(x)\,\sin^{2n}(y)\,\sin^{2n}(x+y)\dx\dy$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 354] - Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$. - - Determiner la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. + - Déterminer la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 355] @@ -2808,14 +2918,14 @@ Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 358] -Soit $f\colon\R\to\R^+$ integrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$. +Soit $f\colon\R\to\R^+$ intégrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$. - Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu'il existe un unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$. - Montrer que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)=\ell$. - Supposons que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. Montrer que $m\gt M$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 359] -- Soient $a$ et $b$ deux suites reelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f - {m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformement vers une fonction constante. +- Soient $a$ et $b$ deux suites réelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f - {m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformement vers une fonction constante. - On note $H$ l'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition des fonctions. - Soit $f\in H$. Montrer que $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$. #+end_exercice @@ -2824,42 +2934,42 @@ Soit $f\colon\R\to\R^+$ integrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{ On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi $I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est ferme$\}$ et $S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est ferme$\}$. Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$. - - Montrer que $C=I\cap S$. - Montrrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est une suite croissante d'applications continues. - - Soit $f\in F$. Montrrer que $f\in I$ si et seulement s'il existe une suite $(f - {n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$. + - Montrer que $C=I\cap S$. - Montrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est une suite croissante d'applications continues. + - Soit $f\in F$. Montrer que $f\in I$ si et seulement s'il existe une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 361] Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$. - Rappeler le theoreme d'integration des relations de comparaison. - - Donner un equivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$. - - Determiner le domaine de definition de la fonction $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$. - - Determiner les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de definition. + - Donner un équivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$. + - Déterminer le domaine de définition de la fonction $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$. + - Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de définition. - Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ telle que $f(x)\sim\dfrac{C}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 362] -Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et +Soit $(a - {n\in\N}$ une suite réelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et $\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n$. - - Montrer que le rayon de convergence de la serie entiere $\sum a_nx^n$ est strictement positif. - - Determiner la valeur de ce rayon de convergence. + - Montrer que le rayon de convergence de la série entiere $\sum a_nx^n$ est strictement positif. + - Déterminer la valeur de ce rayon de convergence. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 363] -Pour $x$ reel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve de convergence. - - Determiner le domaine de definition de $f$. - - Etudier la continuite puis la derivabilite de $f$. - - Donner un equivalent simple de $f$ en $1^-$. - - Montrre que $f$ est developpable en serie entiere, et preciser le developpement associe. +Pour $x$ réel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve de convergence. + - Déterminer le domaine de définition de $f$. + - Étudier la continuite puis la derivabilite de $f$. + - Donner un équivalent simple de $f$ en $1^-$. + - Montrre que $f$ est développable en série entiere, et preciser le développement associe. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 364] -- Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d'une serie entiere. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre reel. - - Soient $A$ et $B$ deux polynomes a coefficients reels dont toute combinaison lineaire a coefficients reels est scindee ou nulle. Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrre que $[x,y]$ contient au moins une racine de $B$. +- Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d'une série entiere. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel. + - Soient $A$ et $B$ deux polynomes a coefficients réels dont toute combinaison lineaire a coefficients réels est scindee ou nulle. Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrre que $[x,y]$ contient au moins une racine de $B$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 365] -Soit $\sum a_nz^n$ une serie entiere de rayon de convergence egal a $1$ et de somme $f$. +Soit $\sum a_nz^n$ une série entiere de rayon de convergence egal a $1$ et de somme $f$. On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$. @@ -2878,92 +2988,113 @@ Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair. #+begin_exercice [X MP 2023 # 367] Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$. - - Montrrer que la suite de terme general $(x,q)_n$ converge vers un reel $(x,q)_{\i}\gt 0$. - - Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert de convergence. + - Montrer que la suite de terme général $(x,q)_n$ converge vers un réel $(x,q)_{\i}\gt 0$. + - Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert de convergence. - Etablir l'identife $f_{x,q}(z)-f_{x,q}(qz)=(1-x)zf_{x,q,q}(z)$ pour tout $z\in D$. - Etablir l'identife $f_{x,q}(z)=\frac{1-xz}{1-z}f_{x,q}(qz)$ pour tout $z\in D$. - Demontrer que $f_{x,q}(z)=\frac{(zx,q)_{\i}}{(z,q)_{\i}}$ pour tout $z\in D$. - - Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Determiner, pour tout $z\in D$, la limite de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$. + - Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Déterminer, pour tout $z\in D$, la limite de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 368] -- Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big{\{}(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big{\}}$. Trouver un equivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$. - - On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Trouver un equivalent de $g$ en $1^-$ en utilisant $g^2$. +- Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big{\{}(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big{\}}$. Trouver un équivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$. + - On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Trouver un équivalent de $g$ en $1^-$ en utilisant $g^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 369] Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\deg F}$. - Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrre que la famille $\big{(}|F|^{-s}\big{)}$, indexee par les polynomes $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme, qu'on notera $z(s)$. - On note $A$ l'ensemble des polynomes unitaires de $F\in\mathbb{F}_p[X]$ sans facteur carre, c'est-a-dire tels que : $\forall D\in\mathbb{F}_p[X]$, $D^2|F\Rightarrow\deg D=0$. Montrre que $\sum_{F\in A}|F|^{-s}=\frac{z(s)}{z(2s)}$. - - En deduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynomes sans facteur carre parmi les polynomes unitaires de degre $d$ de $\mathbb{F}_p[X]$. + - En déduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynomes sans facteur carre parmi les polynomes unitaires de degre $d$ de $\mathbb{F}_p[X]$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 370] Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$. - - Donner un equivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$. - - On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'ecart avec l'equivalent trouve. + - Donner un équivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$. + - On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'ecart avec l'équivalent trouve. - Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$? #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 371] -- Determiner le domaine de definition de $f:x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$. - - Montrre, pour tout reel $x\gt 0$, l'egalite $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$. +- Déterminer le domaine de définition de $f:x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$. + - Montrre, pour tout réel $x\gt 0$, l'egalite $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 372] -- Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout reel $x$. - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$ +- Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout réel $x$. - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$ - Donner une expression simplifiee de $F$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 373] -Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre integrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$. - - Justifier la bonne definition de $S_f$. - - Montrer que $S_f$ est de carre integrable. +Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre intégrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$. + - Justifier la bonne définition de $S_f$. + - Montrer que $S_f$ est de carre intégrable. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 374] Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$. - - Determiner la limite et un equivalent de $I$ en $+\i$. - - Donner un developpement asymptotique de $I$ a tout ordre. - - Donner une condition necessaire et suffisante pour que ce developpement soit la somme partielle d'une serie convergente pour tout $x\gt 0$. + - Déterminer la limite et un équivalent de $I$ en $+\i$. + - Donner un développement asymptotique de $I$ a tout ordre. + - Donner une condition necessaire et suffisante pour que ce développement soit la somme partielle d'une série convergente pour tout $x\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 375] - Soient $K$ un segment et $f:K\to K$ une fonction continue croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe. - - On considere l'equation differentielle non lineaire $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ verifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ reels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possede une solution $2\pi$-periodique. + - On considère l'équation différentielle non lineaire $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ verifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ réels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possede une solution $2\pi$-periodique. #+end_exercice +# ID:6896 #+begin_exercice [X MP 2023 # 376] Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$. Soit $a\in[0,1]$. - - Justifier qu'il existe une unique fonction $x_a:\R^+\to\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\forall t\in\R^+,\ x'(t)=f(t)-(f(t)+g(t))\,x(t)$ et $x(0)=a$. + - Justifier qu'il existe une unique fonction $x_a\colon\R^+\to\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\forall t\in\R^+,\ x'(t)=f(t)-(f(t)+g(t))\,x(t)$ et $x(0)=a$. - On suppose que $f$ et $g$ ont une limite finie strictement positive en $+\i$. Montrer que $x_a$ tend vers $0$ en $+\i$. - - Montrer que $f$ et $g$ peuvent etre choisies de telle sorte que $x_a$ n'ait pas de limite en $+\i$. - - On suppose que l'une des fonctions $f$ et $g$ n'est pas integrable sur $\R^+$. Montrer que $x_1-x_0$ tend vers $0$ en $+\i$. + - Montrer que $f$ et $g$ peuvent être choisies de telle sorte que $x_a$ n'ait pas de limite en $+\i$. + - On suppose que l'une des fonctions $f$ et $g$ n'est pas intégrable sur $\R^+$. Montrer que $x_1-x_0$ tend vers $0$ en $+\i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. On peut exprimer la solution, via $\exp$. + 2. Utiliser l'expression. + 3. Prendre $f+g$ constante, et $f$ qui oscille. + 4. Expression intégrale. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 377] -Soient $v:\R\to\R$ une fonction continue a support compact et $\omega\in\R^{+*}$. On considere l'equation differentielle $y^{''}+\omega^2y=v(t),$ dont on note $\mc{S}_E$ l'ensemble des solutions. +Soient $v\colon \R\to\R$ une fonction continue à support compact et $\omega\in\R^{+*}$. On considère l'équation différentielle $y''+\omega^2 y=v(t)$ dont on note $\mc{S}_E$ l'ensemble des solutions. - Montrer que, pour tout $(a,b)\in\R^2$, il existe une unique solution $f^+_{a,b}$ (resp. $f^-_{a,b}$) de $(E)$ telle que $f^+_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $+\i$, (resp. $f^-_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $-\i$. - Montrer que $\mc{S}_E=\{f^+_{a,b},(a,b)\in\R^2\}=\{f^-_{a,b},(a,b)\in \R^2\}$. - - On pose $c(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\cos(\omega t)\,dt$ et $s(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\sin(\omega t)\,dt$, et on definit l'application $S_{\omega}:\R^2\to\R^2$ par : $f^-_{a,b}=f^+_{S_{\omega}(a,b)}$ pour tout $(a,b)\in\R^2$. Expliciter l'application $S_{\omega}$ en fonction de $c(\omega)$ et $s(\omega)$. + - On pose $c(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\cos(\omega t)\,dt$ et $s(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\sin(\omega t)\,dt$, et on définit l'application $S_{\omega}\colon \R^2\to\R^2$ par : $f^-_{a,b}=f^+_{S_{\omega}(a,b)}$ pour tout $(a,b)\in\R^2$. Expliciter l'application $S_{\omega}$ en fonction de $c(\omega)$ et $s(\omega)$. - On suppose que $S_{\omega}=\mathrm{id}_{\R^2}$ pour tout $\omega\gt 0$. Montrer que $v$ est identiquement nulle. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Appliquer les conditions aux bords du compact. + 2. Pas de difficulté. + 3. Méthode de variation de la constante je pense, à écrire. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 378] - Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considere l'equation differentielle $(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. + Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. - Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$. - - Soient $q:\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux reels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle $x$ de $y^{''}+q(t)\,y=0$. + - Soient $q:\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle $x$ de $y''+q(t)\,y=0$. - Montrer que les zeros de $x$ fortner une suite strictement croissante $(t - {n\in\N}$. - Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tout $n\in\N$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 379] -- Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie, et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $pu+up=u$. Montrer que $\mathrm{tr}(u)=0$. - - Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit $r\in\db{0,n}$. On note $G$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$. Determiner l'espace vectoriel tangent a $G$ en $p$. + - Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie, et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $pu+up=u$. Montrer que $\mathrm{tr}(u)=0$. + - Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit $r\in\db{0,n}$. On note $G$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$. Déterminer l'espace vectoriel tangent à $G$ en $p$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $pup = 0$ + - $u$ symétrique + $pu + up = u$ (puisque c'est le noyau de l'application linéaire). + + $u$ doit envoyer $\Im p$ dans $\Ker p$ et $\Ker p$ dans $\Im p$. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2023 # 380] -On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considere le carre de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ sur ce carre. +On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considère le carre de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ sur ce carre. - Montrer qu'il existe une disposition des points $A$, $B$ et $C$ maximisant l'aire du triangle $ABC$. - Caracteriser une telle disposition. #+end_exercice @@ -2971,8 +3102,8 @@ On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considere le carre de ** Geometrie #+begin_exercice [X MP 2023 # 381] -Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimetre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite. - - Calculer $P_n$ et etudier la convergence de la suite $(P - {n\geq 2}$. +Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimêtre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite. + - Calculer $P_n$ et étudier la convergence de la suite $(P - {n\geq 2}$. - Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$. - Estimer l'erreur $2\pi-P_n$. - Proposer une methode d'approximation de $\pi$ par exces. @@ -2989,7 +3120,7 @@ On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a ** Probabilités #+begin_exercice [X MP 2023 # 383] -Determiner le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $\db{1,n}$. +Déterminer le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $\db{1,n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 384] @@ -2997,36 +3128,36 @@ Determiner le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permut - Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste decroissante $(\lambda - {1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes. Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$. - - On fixe $n\geq 1$ et on considere une variable aleatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in\db{1,n}:X_i=k\}|$. + - On fixe $n\geq 1$ et on considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in\db{1,n}:X_i=k\}|$. Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ a preciser. - Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 385] -On considere la suite $(a_n)$ definie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$. +On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$. - Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$. - - On lance une piece non truquee. Determiner la loi de la variable aleatoire $X$ qui donne l'instant de premiere apparition du motif Face-Face. + - On lance une piece non truquee. Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$ qui donne l'instant de premiere apparition du motif Face-Face. - Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$. - - Donner un equivalent de ${\bf P}(X=n)$. + - Donner un équivalent de ${\bf P}(X=n)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 386] -Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aleatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites. +Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aléatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites. - Calculer ${\bf P}(N=1)$ et ${\bf P}(N=n)$. - - Donner une formule simple pour la fonction generatrice de $N$. - - Donner un equivalent de ${\bf E}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$. - - Donner un equivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$. + - Donner une formule simple pour la fonction génératrice de $N$. + - Donner un équivalent de ${\bf E}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$. + - Donner un équivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 387] -Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aleatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$. - - Determiner ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$. +Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aléatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$. + - Déterminer ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$. - Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicite de $z$ comme valeur propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 388] -Soient $b,n\in{\N}^*$. On considere $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aleatoires independantes suivant la loi uniforme sur $\db{0,b-1}$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in \db{1,n} \mid B_i\gt B_{i+1}\}$. +Soient $b,n\in{\N}^*$. On considère $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aléatoires independantes suivant la loi uniforme sur $\db{0,b-1}$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in \db{1,n} \mid B_i\gt B_{i+1}\}$. - Pour $i\in \db{1,n-1}$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$. - Soit $j\in\db{1, n-j-1}$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$. - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ elements à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui verifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$. @@ -3035,7 +3166,7 @@ Soient $b,n\in{\N}^*$. On considere $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aleato #+begin_exercice [X MP 2023 # 389] Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note $s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points $e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note $b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment (ou on dit que deux segments se croisent s'ils ont un point d'intersection qui n'est pas une extremite). -Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Determiner $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en donner un equivalent. +Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Déterminer $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en donner un équivalent. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [X 2023 # 390] @@ -3051,8 +3182,8 @@ Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P} #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 391] -Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $\db{0,d}$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$. - - La variable aleatoire $S_n$ est-elle uniformement distribuée sur $\Z/n\Z$? +Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires independantes uniformement distribuees sur $\db{0,d}$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$. + - La variable aléatoire $S_n$ est-elle uniformement distribuée sur $\Z/n\Z$? - Calculer la loi de $S_n$. #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -3062,34 +3193,35 @@ Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des v #+begin_exercice [X MP 2023 # 392] -Soient $d\in\N^*$, $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,d}$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. - - Soient $Y$ une variable aleatoire a valeurs dans $\Z$, $r\in\db{0,d-1}$, $\omega=e^{2i\pi/n}$. +Soient $d\in\N^*$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,d}$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. + - Soient $Y$ une variable aléatoire a valeurs dans $\Z$, $r\in\db{0,d-1}$, $\omega=e^{2i\pi/n}$. Montrer que $\mathbf{P}(Y\equiv r\left[d\right])=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\omega^{kr}}\mathbf{E}\left(\omega^{kY}\right)$. - Soit $\db{0,d-1}$. Donner une expression de $\mathbf{P}(S_n\equiv r\left[d\right])$. - - Determiner la limite de la suite de terme general $\mathbf{P}(S_n\equiv 0 [d])$. + - Déterminer la limite de la suite de terme général $\mathbf{P}(S_n\equiv 0 [d])$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 393] Soit $n\geq 1$. - - On se donne deux variables aleatoires independantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. Soit $r\in\Q$. Determiner la probabilite $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit egal a $r$. Donner un equivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$. - - On se donne quatre variables aleatoires independantes $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. On note $p_n$ la probabilite pour que $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ soient parallèles. Montrer que $p_n=O\big(\frac{\ln n}{n^2}\big)$ quand $n\ra+\i$. + - On se donne deux variables aléatoires independantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. Soit $r\in\Q$. Déterminer la probabilité $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit egal a $r$. Donner un équivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$. + - On se donne quatre variables aléatoires independantes $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. On note $p_n$ la probabilité pour que $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ soient parallèles. Montrer que $p_n=O\big(\frac{\ln n}{n^2}\big)$ quand $n\ra+\i$. #+end_exercice #+BEGIN_proof !! + - C'est la probabilité que $\frac{a_n - b_n}{c_n - d_n} = \frac{p}{q}$, c'est-à-dire $p(c_n - d_n) = q (a_n - b_n)$. Les différences suivent des lois #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 394] - Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$. - - Soit $X$ une variable aleatoire reelle centree et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$. - - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires centrees admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$. + - Soit $X$ une variable aléatoire réelle centree et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$. + - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires centrees admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$. #+end_exercice #+begin_exercice Urne de Polya [X MP 2023 # 395] Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. A chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle tirée dans l'urne. On note $X_n$ le nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages et $T_n$ l'evenement «tirer une boule jaune au $n$-ième tirage». 1. s Calculer $P(T_1\mid T_2)$. - 2. Determiner la loi de $X_n$. + 2. Déterminer la loi de $X_n$. 3. Calculer $P(T_n)$. 4. Pour $n_1,...,n_p,m_1,...,m_q$ tous distincts, calculer $P(T_{n_1}\cap\dots\cap T_{n_p}\cap\overline{T_{m_1}}\cap \dots\cap \overline{T_{m_q}})$. #+end_exercice @@ -3120,48 +3252,49 @@ Relier à un précédent. #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2023 # 397] -On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilite uniforme. Soit $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation aleatoire $\sigma\in\mc{S}_n$. +On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilité uniforme. Soit $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation aléatoire $\sigma\in\mc{S}_n$. - Calculer $\mathbf{P}(X_n=0)$. - - Determiner la loi de $X_n$. - - Etudier la convergence en loi de la suite $(X - {n\in\N^*}$. - - Calculer les esperance et variance de la variable aleatoire $X_n$. + - Déterminer la loi de $X_n$. + - Étudier la convergence en loi de la suite $(X - {n\in\N^*}$. + - Calculer les espérance et variance de la variable aléatoire $X_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 398] -Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aleatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$. - - Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible. - - Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible et diagonalisable dans $\R$. +Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aléatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$. + - Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible. + - Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible et diagonalisable dans $\R$. #+end_exercice +# ID:6956 #+begin_exercice [X MP 2023 # 399] - Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\N$ verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in \db{0,n}$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$. - - Montrer que, si $(i,j)\in\N^2$, $\mathbf{P}P(X=i,Y=j)=\mathbf{P}(X=i,X-Y=j)$, puis que $X-Y\sim Y$. + Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\N$ verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in \db{0,n}$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$. + - Montrer que, si $(i,j)\in\N^2$, $\mathbf{P}(X=i,Y=j)=\mathbf{P}(X=i,X-Y=j)$, puis que $X-Y\sim Y$. - Montrer que $\mathbf{P}(Y=0)\gt 0$. - - On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont independantes. Determiner la loi de $Y$, puis celle de $X$. + - On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont independantes. Déterminer la loi de $Y$, puis celle de $X$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 400] - Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aleatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilite que $F$ soit bijective. + Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aléatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilité que $F$ soit bijective. #+END_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 401] -On cherche a collectionner $N$ jouets. A chaque achat, chaque jouet a une probabilite uniforme d'etre obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents. - - Calculer l'esperance de $T_N$. +On cherche a collectionner $N$ jouets. A chaque achat, chaque jouet a une probabilité uniforme d'être obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents. + - Calculer l'espérance de $T_N$. - Calculer la variance de $T_N$. - Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 402] -Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles centrees. +Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles centrees. On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$. - Montrer que $\mathbf{E}\left(\left(X_1+\cdots+X_n\right)^4\right)=O(n^2)$. - - Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la serie de terme general $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\gt \eps\right)$? + - Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la série de terme général $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\gt \eps\right)$? #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2023 # 403] -Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient $S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$. +Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient $S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$. - Montrer que $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)dx=\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n\frac{1}{n!}$. - On admet que, pour tout $x\in\R$, $\mathbf{P}(T_n\geq x)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\i}e^{-t^2/2}dt$. Retrouver la formule de Stirling. #+end_exercice @@ -3185,10 +3318,14 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ un endomorphisme #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 407] -Trouver $\text{Vect}(\mc{O}_n(\R))$.# 408 +Trouver $\text{Vect}(\mc{O}_n(\R))$. #+end_exercice +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 408] - Soit $(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$. Montrer que $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. - Trouver une condition necessaire d'egalite lorsque $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. +#+end_exercice + + #+begin_exercice [X PSI 2023 # 409] Soit $A\in\M_n(\R)$ tel que $A^2\in\mc{S}_n(\R)$. - A-t-on necessairement $A\in\mc{S}_n(\R)$? - Trouver une condition necessaire supplementaire pour avoir $A\in\mc{S}_n(\R)$. #+end_exercice @@ -3205,12 +3342,12 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$ tel que $A^2\in\mc{S}_n(\R)$. - A-t-on necessairement $A\in #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 412] - Soit $\alpha\gt 0$. Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites reelles telles que, pour tout $n\in\N$, $a_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(b_n+c_n)$, $b_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+c_n)$, $c_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+b_n)$. Etudier leur comportement asymptotique. + Soit $\alpha\gt 0$. Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que, pour tout $n\in\N$, $a_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(b_n+c_n)$, $b_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+c_n)$, $c_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+b_n)$. Étudier leur comportement asymptotique. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 413] -Étudier la serie $\sum(-1)^n\dfrac{\sin(\ln(n))}{n}$. +Étudier la série $\sum(-1)^n\dfrac{\sin(\ln(n))}{n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 414] @@ -3229,11 +3366,11 @@ Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall(x,y)\in\R^2 #+begin_exercice [X PSI 2023 # 416] Pour $a\in]0,1[$ et $n\in\N$, on pose $I_n(a)=\int_0^1\dfrac{1}{1+(at)+\cdots+(at)^n}dt$. -Determiner $\lim_{n\to+\i}\left(\lim_{a\to 1}I_n(a)\right)$ et $\lim_{a\to 1}\left(\lim_{n\to+\i}I_n(a)\right)$. +Déterminer $\lim_{n\to+\i}\left(\lim_{a\to 1}I_n(a)\right)$ et $\lim_{a\to 1}\left(\lim_{n\to+\i}I_n(a)\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 417] -Soient $a,b,c$ trois reels strictement positifs. +Soient $a,b,c$ trois réels strictement positifs. On pose $E=\left\{(x,y,z)\in\R^3\ ;\ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left( \dfrac{y}{b}\right)^2+\left(\dfrac{z}{c}\right)^2=1\right\}$. On suppose que $A,B,C$ sont trois points distincts de $E$ tels que le plan tangent a $E$ en $A$ est parallele a $(BC)$, le plan tangent a $E$ en $B$ est parallele a $(CA)$, le plan tangent a $E$ en $C$ est parallele a $(AB)$. @@ -3248,28 +3385,28 @@ Soient $abc$ un vrai triangle du plan complexe, $\alpha$ (resp. $\beta$, resp. $ - Montrere que les points d'intersection des trisectrices forment un triangle equlateral. #+end_exercice -*** Probabilites +*** Probabilités #+begin_exercice [X PSI 2023 # 419] -Determiner la loi d'une variable aleatoire $X$ a valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall(k,\ell)\in(\N^*)^2$, $\mathbf{P}(X\gt k+\ell\,|\,X\gt k)=\mathbf{P}(X\gt \ell)$. +Déterminer la loi d'une variable aléatoire $X$ a valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall(k,\ell)\in(\N^*)^2$, $\mathbf{P}(X\gt k+\ell\,|\,X\gt k)=\mathbf{P}(X\gt \ell)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 420] -Une entreprise qui commercialise des eeufs en chocolat met dans chaque ceuf un jouet. Au total il y a $N$ jouets differents. On suppose qu'a chaque achat d'ceuf la probabilite de tomber sur un jouet donne est identique pour chaque jouet. On note $T_N$ le nombre d'eufs achetes jusqu'a obtenir la collection complete. +Une entreprise qui commercialise des eeufs en chocolat met dans chaque ceuf un jouet. Au total il y a $N$ jouets differents. On suppose qu'a chaque achat d'ceuf la probabilité de tomber sur un jouet donne est identique pour chaque jouet. On note $T_N$ le nombre d'eufs achetes jusqu'a obtenir la collection complete. Montrer que $\mathbf{E}(T_N)=N\times H_N$ avec $H_N=\sum_{n=1}^N\dfrac{1}{n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 421] -On pose$M=\left(\begin{array}{cccc}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{array}\right)$ avec $a,b,c,d$ des variables aleatoires a valeurs dans $\Z$ telles que $a+1,b+1,c+1,d+1$ suivent des lois de Poisson de parametres respectifs $\lambda_a,\lambda_b,\lambda_c,\lambda_d$. Calculer la probabilite de l'evenement $*M$ est inversible $\Rightarrow$. +On pose$M=\left(\begin{array}{cccc}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{array}\right)$ avec $a,b,c,d$ des variables aléatoires a valeurs dans $\Z$ telles que $a+1,b+1,c+1,d+1$ suivent des lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda_a,\lambda_b,\lambda_c,\lambda_d$. Calculer la probabilité de l'evenement $*M$ est inversible $\Rightarrow$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 422] -On considere deux variables aleatoires $X$ et $Y$ independantes a valeurs dans $\db{0,n]\!]$ qui suivent la meme loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $[\![0,n}$. +On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$ independantes a valeurs dans $\db{0,n]\!]$ qui suivent la meme loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $[\![0,n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2023 # 423] -On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aleatoires independants avec remise. On note $N_n$ le nombre de tirages qu'il a fallu pour avoir les $n$ objets differents. +On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aléatoires independants avec remise. On note $N_n$ le nombre de tirages qu'il a fallu pour avoir les $n$ objets differents. - Calculer $\mathbf{E}(N_n)$ et $\mathbf{V}(N_n)$. - Montrere que $\forall\eps\gt0$, $\lim_{n\to\i}\mathbf{P}\left(\left|\dfrac{N_n}{n\ln(n)}-1\right|\gt \eps\right)=0$. #+end_exercice @@ -3282,11 +3419,11 @@ Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $m\in\N^*$ et $\eps_1,\ldots,\eps_m #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 435] -Soit $A\in\M_n(\C)$ une matrice qui n'est pas une homothetie. On suppose que $M$ est une matrice qui commute avec $PAP^{-1}$ pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $M$ est une homothetie. Meme question pour $A$ et $M$ matrices reelles. +Soit $A\in\M_n(\C)$ une matrice qui n'est pas une homothetie. On suppose que $M$ est une matrice qui commute avec $PAP^{-1}$ pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $M$ est une homothetie. Meme question pour $A$ et $M$ matrices réelles. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 436] -Soit $n\geq 2$. Si $A\in\M_n(\C)$ est nilpotente, determiner les valeurs possibles du cardinal de l'ensemble $\{B\in\M_n(\C),\ A=B^2\}$. +Soit $n\geq 2$. Si $A\in\M_n(\C)$ est nilpotente, déterminer les valeurs possibles du cardinal de l'ensemble $\{B\in\M_n(\C),\ A=B^2\}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 437] @@ -3328,7 +3465,7 @@ Soient $n\in\N$ impair, $A$ et $B$ dans $\M_n\left(\C\right)$ telles que : $AB+B #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 444] -Soit $A\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres non nulles distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. - Montrrer qu'il existe des nombres complexes $c_{i,j}$, avec $1\leq i\leq n$, $0\leq j\leq n-1$, tels que $\forall k\in\N$, $A^k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}c_{i,j}\lambda_i^kA^j$. +Soit $A\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres non nulles distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. - Montrer qu'il existe des nombres complexes $c_{i,j}$, avec $1\leq i\leq n$, $0\leq j\leq n-1$, tels que $\forall k\in\N$, $A^k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}c_{i,j}\lambda_i^kA^j$. - Montrer l'unicite des $c_{i,j}$. - On suppose de plus $A$ inversible. Montrer que la formule reste vraie si $k\in\Z$. #+end_exercice @@ -3338,7 +3475,7 @@ Caracteriser les matrices $M\in\M_n(\C)$ qui sont somme de deux matrices diagona #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 446] -Determiner les entier $n$ tels qu'il existe $A\in\M_n(\Z)$ verifiant $A^2-A+I_n=0$. +Déterminer les entier $n$ tels qu'il existe $A\in\M_n(\Z)$ verifiant $A^2-A+I_n=0$. Ind. Commencer par $n\leq 3$. #+end_exercice @@ -3350,7 +3487,7 @@ Soit $G=\{M\in\M_2(\Z),\ \det{(M)}=1\}$. On note $\mathrm{ord}(A)=\inf\{n\gt 0,\ #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 448] -Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que si $\lambda$ est un reel strictement negatif qui est valeur propre de la matrice $A\overline{A}$, alors la dimension du sous-espace propre associe est paire. +Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que si $\lambda$ est un réel strictement negatif qui est valeur propre de la matrice $A\overline{A}$, alors la dimension du sous-espace propre associe est paire. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 449] @@ -3364,9 +3501,9 @@ $\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^{\alpha}=\sum_{i=1}^n \left\|p-b_i\right\|^{\a #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 450] -Soit $n$ un entier $\geq 2$. Pour quelles valeurs du reel $\alpha$ existe-t-il $n+1$ vecteurs unitaires $u_0,u_1,\ldots,u_n$ de $\R^n$ verifiant $\forall(i,j)\in\{0,1,\ldots,n\}^2$, $i\neq j\Rightarrow\left\langle u_i,u_j\right\rangle=\alpha$? +Soit $n$ un entier $\geq 2$. Pour quelles valeurs du réel $\alpha$ existe-t-il $n+1$ vecteurs unitaires $u_0,u_1,\ldots,u_n$ de $\R^n$ verifiant $\forall(i,j)\in\{0,1,\ldots,n\}^2$, $i\neq j\Rightarrow\left\langle u_i,u_j\right\rangle=\alpha$? -Ind. Considerer la matrice $A=\left(\left\langle u_i,u_j\right\rangle\right)_{1\leq i,j\leq n}$. +Ind. Considèrer la matrice $A=\left(\left\langle u_i,u_j\right\rangle\right)_{1\leq i,j\leq n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 451] @@ -3374,14 +3511,17 @@ On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $n\geq 2$. Montrer q #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 452] -- Est-il vrai que pour tout $n$ et tous $A,B\in\M_n(\R)$, les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables? + - Est-il vrai que pour tout $n$ et tous $A,B\in\M_n(\R)$, les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables? - Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont semblables. - Soient $F,G$ des sous-espaces de dimension $m$ de $\R^n$, $p_F$ et $p_G$ les projections orthogonales respectivement sur $F$ et $G$. Montrer que $\text{sp}(p_F\circ p_G)=\text{sp}(p_G\circ p_F)\subset[0,1]$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 453] -Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symetrique positive non nulle. Montrer qu'il existe $r\in\N^*$ et des reels $b_{i,k}$, avec $1\leq i\leq n$ et $1\leq k\leq r$, tels que $\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$, $a_{i,j}=\sum_{k=1}^rb_{i,k}b_{j,k}$. Quel est la plus petite valeur possible de $r$?# 454 - Soit $A=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre est inferieure ou egale a $\frac{1}{2n+1}$. +Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symetrique positive non nulle. Montrer qu'il existe $r\in\N^*$ et des réels $b_{i,k}$, avec $1\leq i\leq n$ et $1\leq k\leq r$, tels que $\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$, $a_{i,j}=\sum_{k=1}^rb_{i,k}b_{j,k}$. Quel est la plus petite valeur possible de $r$? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PC 2023 # 454] +Soit $A=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre est inferieure ou egale a $\frac{1}{2n+1}$. On pourra montrer que $\forall P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,dt+\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\, d\theta=0$. #+end_exercice @@ -3413,7 +3553,7 @@ Donner une condition sur $A=\left(a_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{S}_n\le #+begin_exercice [X PC 2023 # 458] Soit $\alpha\in\,]0,1[$. - Montrer que l'existence de $c_{\alpha}\in\R$ tel que $\forall\lambda\gt 0$, $c_{\alpha}\!\int_0^{+\i}\frac{t^{-\alpha}}{\lambda+t}dt= \lambda^{-\alpha}$. - - Soit $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$. On definit : $A^{-\alpha}=c_{\alpha}\!\int_0^{+\i}t^{-\alpha}(A+tI_n)^{-1}dt$. Expliquer le sens de cette expression, montrer que l'integrale converge et que $\left(A^{-1/2}\right)^2=A^{-1}$. + - Soit $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$. On définit : $A^{-\alpha}=c_{\alpha}\!\int_0^{+\i}t^{-\alpha}(A+tI_n)^{-1}dt$. Expliquer le sens de cette expression, montrer que l'intégrale converge et que $\left(A^{-1/2}\right)^2=A^{-1}$. - Montrer que si $B-A$ est positive alors $A^{-1/2}-B^{-1/2}$ l'est aussi. #+end_exercice @@ -3452,11 +3592,11 @@ $\forall t\in\R$, $A(t)=P\mathrm{diag}(e^{i2\pi\lambda_1t},\ldots,e^{i2\pi\lambd #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 464] -Soit $A\in\M_n(\R)$. On definit une suite de matrices par $M_0=A$ et, pour tout $k\in\N$, $M_{k+1}=M_k-M_k^2$. On etudie la convergence eventuelle de $(M - {k\geq 0}$. - - Etudier le cas ou $A$ admet une valeur propre reelle $\lambda\lt 0$ ou $\lambda\gt 1$. - - Etudier le cas ou $A$ est nilpotente. - - Etudier le cas ou $A=\lambda I+N$ avec $N\neq 0$, $N^2=0$ et $0\lt \lambda\lt 1$. - - Etudier le cas ou $A=\lambda I+N$ avec $N^2\neq 0$, $N^3=0$ et $0\lt \lambda\lt 1$. +Soit $A\in\M_n(\R)$. On définit une suite de matrices par $M_0=A$ et, pour tout $k\in\N$, $M_{k+1}=M_k-M_k^2$. On etudie la convergence eventuelle de $(M - {k\geq 0}$. + - Étudier le cas ou $A$ admet une valeur propre réelle $\lambda\lt 0$ ou $\lambda\gt 1$. + - Étudier le cas ou $A$ est nilpotente. + - Étudier le cas ou $A=\lambda I+N$ avec $N\neq 0$, $N^2=0$ et $0\lt \lambda\lt 1$. + - Étudier le cas ou $A=\lambda I+N$ avec $N^2\neq 0$, $N^3=0$ et $0\lt \lambda\lt 1$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 465] @@ -3470,7 +3610,7 @@ Soit $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie. Soient $p,q\in\mc{L}(E)$ #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 467] -Soit $x\geq 0$. Donner un equivalent de la suite de terme general $u_n=\prod_{i=1}^n(x+i)$. +Soit $x\geq 0$. Donner un équivalent de la suite de terme général $u_n=\prod_{i=1}^n(x+i)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 468] @@ -3480,35 +3620,38 @@ Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $\sum_{k=0}^{n-1}|\cos(k)|\geq\frac{4n}{10}$. #+begin_exercice [X PC 2023 # 469] Soit $c_n$ le nombre de listes $(a_1,\ldots,a_n)$ d'entiers telles que $\{a_1,\ldots,a_n\}=\{1,\ldots,n\}$ et $\forall i\in\{1,\ldots n-1\}$, $a_{i+1}\neq a_i+1$. - Montrer que, pour $n\in\N$ avec $n\geq 3$, on a $c_n=(n-1)c_{n-1}+(n-2)c_{n-2}$. - - Montrer que la suite $\Big{(}\frac{c_n}{n!}\Big{)}$ converge vers une limite non nulle. + - Montrer que la suite $\left(\frac{c_n}{n!}\right)$ converge vers une limite non nulle. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 470] -Soit $C=0,1234567891011121314\ldots$ (on ecrit les ecritures decimales de tous les entiers naturels a la suite). Montrer que $C$ est irrationnel.# 471 +Soit $C=0,1234567891011121314\ldots$ (on ecrit les ecritures decimales de tous les entiers naturels a la suite). Montrer que $C$ est irrationnel. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PC 2023 # 471] Soit $a\in\R$. On suppose que $\left(n\left\{an!\right\}\right)_{n\in\N}$ converge ou on note $\left\{x\right\}=x-\left\lfloor x\right\rfloor$ pour $x\in\R$. Montr er que $a\in\Q+\mathsf{e}\N$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 472] -- On fixe $x\geq 0$. Determiner un equivalent simple de $u_n=(x+1)\cdots(x+n)$ de la forme $C(x)v_n(x)$ ou $C(x)$ est une constante qu'on ne cherchera pas a calculer et $v_n(x)$ est explicite. +- On fixe $x\geq 0$. Déterminer un équivalent simple de $u_n=(x+1)\cdots(x+n)$ de la forme $C(x)v_n(x)$ ou $C(x)$ est une constante qu'on ne cherchera pas a calculer et $v_n(x)$ est explicite. - Calculer $C(k)$ pour $k\in\N$, et la limite de $C(x)$ quand $x\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 473] Soit $u_n$ le maximum de la fonction $x\mapsto(n-x)\ln(x)$ sur $[0,n]$. - - Trouver un equivalent de $u_n$. + - Trouver un équivalent de $u_n$. - Soit $\lambda\in\R$. On pose, pour $n\geq 3$, $v_n=u_n-n\ln(n)+n+n\ln(\ln(n))+\lambda n$. Montr er que $v_n\to+\i$ si $\lambda\geq 0$ et $v_n\to-\i$ sinon. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 474] Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_0\gt 0$ et $\forall n\geq 0$, $u_{n+1}=u_n-e^{-1/u_n}$. - - Determiner la limite de $(u_n)$. + - Déterminer la limite de $(u_n)$. - Montr er que, pour tout $\alpha\gt 0$ on a $n^{\alpha}u_n\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 475] -Determiner $\lim_{n\to+\i}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$. +Déterminer $\lim_{n\to+\i}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$. -Ind. Etudier si $n\geq m$, $a_{m,n}=\sqrt{1+m\sqrt{1+(m+1)\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$, et considerer $a_{m,n}^2-(m+1)^2$. +Ind. Étudier si $n\geq m$, $a_{m,n}=\sqrt{1+m\sqrt{1+(m+1)\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$, et considèrer $a_{m,n}^2-(m+1)^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 476] @@ -3520,22 +3663,25 @@ Soit $(u_n)$ une suite bornee. Montr er qu'il y a equivalence entre : #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 477] -Etudier la convergence de la serie de terme general $\left|\sin(2\pi n!e)\right|^{\alpha}$ selon les valeurs du reel $\alpha\gt 0$. +Étudier la convergence de la série de terme général $\left|\sin(2\pi n!e)\right|^{\alpha}$ selon les valeurs du réel $\alpha\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 478] - Soit $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$ une suite bornee telle que $\lim_{n\to+\i}\sum_{p=0}^{+\i}\frac{u_{n2^p}}{2^p}=1$. Que peut-on en dedaire sur la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$? - - Soit $(v - {n\in\N}$ une suite reelle bornee. On suppose $\lim_{n\to+\i}\left(v_n-\frac{1}{2}v_{2n}\right)=\frac{1}{2}$. Que dire $\left(v_n\right)_{n\in\N}$? + - Soit $(v - {n\in\N}$ une suite réelle bornee. On suppose $\lim_{n\to+\i}\left(v_n-\frac{1}{2}v_{2n}\right)=\frac{1}{2}$. Que dire $\left(v_n\right)_{n\in\N}$? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 479] - Soient $a\in\N^*$ et $n\in\N$. Montr er qu'il existe des entiers $c_j$, avec $0\leq j\leq a-1$, tels que $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{k^n}{k!^a}=\sum_{k=0}^{+\i}\frac{\sum_{j=0}^ {a-1}c_jk^j}{k!^a}$. - - Montr er que les $c_j$ sont uniquees (on traitera d'abord le cas $a=2$).# 480 + - Montr er que les $c_j$ sont uniquees (on traitera d'abord le cas $a=2$). +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PC 2023 # 480] Soient $a\in]0,1[$ et $n\in\N^*$. Notons $S_n=\sum_{k=0}^{+\i}\big{(}1-(1-a^k)^n\big{)}$. - - Montrer que la somme est bien definie. - - Donner un equivalent de $S_n$ lorsque $n\to\i$. + - Montrer que la somme est bien définie. + - Donner un équivalent de $S_n$ lorsque $n\to\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 481] @@ -3556,18 +3702,18 @@ Soit $f:[0,1]\mapsto\R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que, po #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 485] -On appelle polynome trigonometrique reel toute fonction $f\colon\R\to\R$ donnee par une formule $\forall x\in\R,\ f(x)=\sum_{k=-n}^na_ke^{ikx}$ avec $n\in\N$ et des constantes $a_k\in\C$. Trouver tous les couples $(f,g)$ de polynomes trigonometriques reels tels que $f^2+g^2=1$. +On appelle polynome trigonometrique réel toute fonction $f\colon\R\to\R$ donnee par une formule $\forall x\in\R,\ f(x)=\sum_{k=-n}^na_ke^{ikx}$ avec $n\in\N$ et des constantes $a_k\in\C$. Trouver tous les couples $(f,g)$ de polynomes trigonometriques réels tels que $f^2+g^2=1$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 486] -Soient $a,b$ deux reels strictement positifs. Pour $x\gt 0$, on pose $f(x)=\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$. - - Determiner les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\i$. +Soient $a,b$ deux réels strictement positifs. Pour $x\gt 0$, on pose $f(x)=\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$. + - Déterminer les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\i$. - On prolonge $f$ en $0$ en posant $f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$. La fonction $f$ est-elle continue? de classe $\mc C^1$? de classe $\mc C^2$? de classe $\mc C^{\i}$? - Soit $g:x\mapsto f(1/x)$. Trouver une fonction $x\mapsto h(x)$ telle que, pour tout $n\in\N$, $g(x)-h(x)\underset{x\to 0^+}{=}o(x^n)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 487] -Soit $f\colon\R\to\R$ continue. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes : +Soit $f\colon\R\to\R$ continue. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : - $f$ est croissante, - pour tout intervalle $I\subset\R$ ouvert, pour toute $\phi\in\mc C^{\i}\left(I,\R\right)$, pour tout $x_0\in I$, si $f-\phi$ admet un minimum local en $x_0$, alors $\phi'\left(x_0\right)\geq 0$. #+end_exercice @@ -3576,10 +3722,13 @@ Soit $f\colon\R\to\R$ continue. Montrer que les propositions suivantes sont equi Soit $g\in\mc C^3([0,2],\R)$ telle que $g(0)=g(1)=g(2)=0$. - Montrer : $\forall x\in[0,2]$, $\exists c\in[0,2]$, $g(x)=\dfrac{1}{6}x(x-1)(x-2)g^{(3)}(c)$. - Montrer que $\int_0^2|g(x)|\ dx\leq\dfrac{1}{12}\|g^{(3)}\|_{\i}$. - - Montrer que $\left|\int_0^2g(x)\ dx\right|\leq\dfrac{1}{24}\left[\sup \left(g^{(3)}\right)-\inf\left(g^{(3)}\right)\right]$.# 489 + - Montrer que $\left|\int_0^2g(x)\ dx\right|\leq\dfrac{1}{24}\left[\sup \left(g^{(3)}\right)-\inf\left(g^{(3)}\right)\right]$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [X PC 2023 # 489] Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$, et $f,g\in\mc C^0([a,b],\R^{+*})$. -On pose $ m=\inf\limits_{[a,b]}\dfrac{f}{g}$ et $ M=\sup\limits_{[a,b]}\dfrac{f}{g}\cdot$ Montrer que $\int_a^bf^2\int_a^bg^2\leq\dfrac{\left(M+m\right)^2}{4 Mm}\left(\int_a^bfg\right)^2$. +On pose $m=\inf\limits_{[a,b]}\dfrac{f}{g}$ et $M=\sup\limits_{[a,b]}\dfrac{f}{g}\cdot$ Montrer que $\int_a^bf^2\int_a^bg^2\leq\dfrac{\left(M+m\right)^2}{4 Mm}\left(\int_a^bfg\right)^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 490] @@ -3593,7 +3742,7 @@ Soit $E$ l'espace des fonctions $ f\in\mc C^2(\R,\R)$ telles que $\sup\limits_{x\in\R}\left(1+x^2\right)\bigl{(}\left|f(x)\right|+ \left|f'(x)\right|+\left|f^{''}(x)\right|\bigr{)}\lt +\i$. -Pour $(t,x)\in\R^2$, on definit $ A_t(f)(x)=txf(x)+f'(x)$ et $ A_t^*(f)(x)=txf(x)-f'(x)$. +Pour $(t,x)\in\R^2$, on définit $ A_t(f)(x)=txf(x)+f'(x)$ et $ A_t^*(f)(x)=txf(x)-f'(x)$. Montrer que $\forall t\in\R$, $\forall f\in E$, $\int_{-\i}^{+\i}A_t^*(A_t(f))(x)\,f(x)\,dx\geq 0$. #+end_exercice @@ -3601,22 +3750,22 @@ Montrer que $\forall t\in\R$, $\forall f\in E$, $\int_{-\i}^{+\i}A_t^*(A_t(f))(x #+begin_exercice [X PC 2023 # 492] Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$. - Soient $ f_1,\dots,f_n\in\R^{[a,b]}$. Montrer que $(f_1,\dots,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $ x_1,\dots,x_n\in[a,b]$ tels que la matrice $(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}$ soit inversible. - - Soit $ E=\text{Vect}(f_1,\dots,f_n)$. Montrer que toute limite simple de fonctions de $E$ est encore dans $E$. + - Soit $E=\text{Vect}(f_1,\dots,f_n)$. Montrer que toute limite simple de fonctions de $E$ est encore dans $E$. - La convergence est-elle uniforme? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 493] -Posons $ A=\Q\cap\left[\,0\,;\,1\,\right]$. Existe-t-il une suite $(f_n)$ de fonctions de $A$ dans $A$, continues sur $A$ et qui converge simplement sur $A$ vers une fonction $f$ qui n'est continue en aucun point de $A$? La convergence peut-elle etre uniforme? +Posons $ A=\Q\cap\left[\,0\,;\,1\,\right]$. Existe-t-il une suite $(f_n)$ de fonctions de $A$ dans $A$, continues sur $A$ et qui converge simplement sur $A$ vers une fonction $f$ qui n'est continue en aucun point de $A$? La convergence peut-elle être uniforme? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 494] -On considere l'ensemble $E$ des applications continues $ f\colon\R\mapsto\R$ telles qu'il existe $ M\gt 0$ verifiant $\forall x,y\in\R,\left|f(x+y)-f(x)-f(y)\right|\leq M$. +On considère l'ensemble $E$ des applications continues $ f\colon\R\mapsto\R$ telles qu'il existe $ M\gt 0$ verifiant $\forall x,y\in\R,\left|f(x+y)-f(x)-f(y)\right|\leq M$. - Montrer que $E$ est un espace vectoriel contenant le sous-espace des applications lineaires et celui des applications bornees. - - Soit $ f\in E$. Pour $n\in\N$, on pose $ g_n:x\in\R\mapsto 2^{-n}f(2^nx)$. Montrer que la suite $(g_n)$ converge uniformement vers une application lineaire $g$. En deduire que $f$ s'ecrit, de facon unique, comme somme d'une application lineaire et d'une application bornee. + - Soit $ f\in E$. Pour $n\in\N$, on pose $ g_n:x\in\R\mapsto 2^{-n}f(2^nx)$. Montrer que la suite $(g_n)$ converge uniformement vers une application lineaire $g$. En déduire que $f$ s'ecrit, de facon unique, comme somme d'une application lineaire et d'une application bornee. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 495] -On considere une suite $(f - {n\geq 0}$ d'applications de $[0,1]$ dans $\R$ qui converge simplement sur $[0,1]$ vers une application continue $f$. +On considère une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ d'applications de $[0,1]$ dans $\R$ qui converge simplement sur $[0,1]$ vers une application continue $f$. - On suppose les $f_n$ de classe $C^1$ et de derivees uniformement bornees, c'est-a-dire qu'il existe $ C\geq 0$ tel que $\forall n,\ \ \|f_n'\|_{\i}\leq C$. Montrer que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ est uniforme sur $[0,1]$. - On suppose maintenant les $f_n$ de classe $C^k$ pour un entier $ k\in\N^*$ et de derivees $k$-iemes uniformement bornees. La convergence de la suite $(f_n)$ est-elle toujours uniforme sur $[0,1]$? #+end_exercice @@ -3627,23 +3776,23 @@ Pour $ n\in\N^*$ et $ x\in\R^+$, on pose $ f_n(x)=\cos\biggl{(}\dfrac{x}{\sqrt{n #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 497] -Soit $(f - {n\in\N}$ une suite de fonctions appartenant a $\mc C^3(\R,\R)$ et $C$ une constante reelle positive. On suppose : (i) $\sup_{n\in\N}\|f_n^{(3)}\|_{\i}\leq C$, (ii) $\lim_{n\to+\i}\|f_n\|_{\i}=0$. +Soit $(f - {n\in\N}$ une suite de fonctions appartenant a $\mc C^3(\R,\R)$ et $C$ une constante réelle positive. On suppose : (i) $\sup_{n\in\N}\|f_n^{(3)}\|_{\i}\leq C$, (ii) $\lim_{n\to+\i}\|f_n\|_{\i}=0$. - Montrer que $\lim\|f_n'\|_{\i}=\lim\|f_n^{''}\|_{\i}=0$. - Les resultats precedents restent-ils vrais si on ne fait plus l'hypothese (i)? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 498] -On note $E=\mc C^0([0,1],\R)$. Si $f\in E$, on definit la fonction $T(f)$ par $T(f)(0)=f(0)$ et $ T(f)(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt$ pour $x\in\,]0,1]$. +On note $E=\mc C^0([0,1],\R)$. Si $f\in E$, on définit la fonction $T(f)$ par $T(f)(0)=f(0)$ et $ T(f)(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt$ pour $x\in\,]0,1]$. -On definit par recurrence sur $n\in\N$, $T^{n+1}(f)=T(T^n(f))$. - - Montrer que $T$ est bien definie comme fonction de $E$ dans lui-meme. +On définit par recurrence sur $n\in\N$, $T^{n+1}(f)=T(T^n(f))$. + - Montrer que $T$ est bien définie comme fonction de $E$ dans lui-meme. - Soit $f\in E$. On suppose qu'il existe $\eps\gt 0$ tel que $f(x)=0$ si $x\in[0,\eps]$. Montrer que $T^nf$ converge uniformement vers la fonction nulle quand $n\to+\i$. - - Etudier le comportement de $(T^n(f))_{n\geq 0}$ quand $n\to+\i$ pour tout $f$ continue. + - Étudier le comportement de $(T^n(f))_{n\geq 0}$ quand $n\to+\i$ pour tout $f$ continue. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 499] Soit $ F:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\left(-1\right)^kx^{2^k}$. - - Determiner le domaine de definition de $F$. + - Déterminer le domaine de définition de $F$. - Trouver une relation entre $F\left(x\right)$ et $F\left(x^2\right)$. On pose $ G:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}x^{4^k}\left(1-x^{4^k}\right)$. @@ -3652,20 +3801,20 @@ On pose $ G:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}x^{4^k}\left(1-x^{4^k}\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 500] -Soient $\alpha\gt 0$ et, pour $n\in\N^*$, $ f_n:x\mapsto\frac{\sin nx}{n^{\alpha}}$. La serie $\sum f_n$ converge-t-elle simplement sur $\R$? Pour quels $\alpha$ a-t-on convergence uniforme? +Soient $\alpha\gt 0$ et, pour $n\in\N^*$, $ f_n:x\mapsto\frac{\sin nx}{n^{\alpha}}$. La série $\sum f_n$ converge-t-elle simplement sur $\R$? Pour quels $\alpha$ a-t-on convergence uniforme? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 501] On pose $ g:x\mapsto\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{2x}{n^2-x^2}$. - - Montrer que $g$ est definie et continue sur $\R\setminus\Z$. + - Montrer que $g$ est définie et continue sur $\R\setminus\Z$. - Montrer que $g$ est 1-periodique. - Etablir une relation entre $ g\left(\frac{x}{2}\right)$, $ g\left(\frac{x+1}{2}\right)$ et $ g(x)$ des que les termes font sens. - - En deduire que $\pi\,\mathrm{cotan}(\pi x)=g(x)$ pour tout $x\in\R\setminus\Z$. + - En déduire que $\pi\,\mathrm{cotan}(\pi x)=g(x)$ pour tout $x\in\R\setminus\Z$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 502] -Soit $(a_n)$ une suite de reels positifs tels que $\sum a_n$ diverge. - - Montrer que, pour tout intervalle de longueur non nulle $I$, il existe $x\in I$ tel que la serie $\sum a_n\cos(nx)$ ne converge pas absolument. On pourra d'abord montrer que, pour tout $ a\lt b$ et tout $N$ il existe $M\in\N$ et $ x\in[a,b]$ tel que $\sum_{n=0}^Ma_n\cos^2(nx)\gt N$. - Existe-t-il des exemples ou la serie converge sur un intervalle non trivial? +Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs tels que $\sum a_n$ diverge. + - Montrer que, pour tout intervalle de longueur non nulle $I$, il existe $x\in I$ tel que la série $\sum a_n\cos(nx)$ ne converge pas absolument. On pourra d'abord montrer que, pour tout $ a\lt b$ et tout $N$ il existe $M\in\N$ et $ x\in[a,b]$ tel que $\sum_{n=0}^Ma_n\cos^2(nx)\gt N$. - Existe-t-il des exemples ou la série converge sur un intervalle non trivial? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 503] @@ -3673,7 +3822,7 @@ Soit une suite $\left(a_n\right)_{n\in\N}$ telle que $\forall n\in\N$, $a_{n+2}= #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 504] -Soit $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ une suite de nombres reels. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=a_0+\cdots+a_n$ et $\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^ns_k$. On considere les assertions : +Soit $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ une suite de nombres réels. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=a_0+\cdots+a_n$ et $\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^ns_k$. On considère les assertions : (i) la suite $(\sigma_n)$ converge, @@ -3683,25 +3832,25 @@ A-t-on (i) $\Longrightarrow$ (ii)? A-t-on (ii) $\Longrightarrow$ (i)? #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 505] -Etudier la limite de $f(x)=\sum_{k=0}^{+\i}(-1)^kx^{k!}$ lorsque $x$ tend vers $1^-$. +Étudier la limite de $f(x)=\sum_{k=0}^{+\i}(-1)^kx^{k!}$ lorsque $x$ tend vers $1^-$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 506] On pose, pour $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $\zeta(k)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^k}$. - Montrer que, pour tout $x\in]-1,1[$, on a $\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,dt=\sum_{k=1}^{+\i}(-1)^{k+1} \zeta(k+1)x^k$. - - En deduire la valeur de $S=\sum_{k=1}^{+\i}(\zeta(2k)-\zeta(2k+1))$. + - En déduire la valeur de $S=\sum_{k=1}^{+\i}(\zeta(2k)-\zeta(2k+1))$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 507] -- Soit $\lambda\in\R$. Determiner s'il existe $y:\R\to\R$ developpable en serie entiere telle que $xy^{''}+(1-x)y'-\lambda y=0$. +- Soit $\lambda\in\R$. Déterminer s'il existe $y:\R\to\R$ développable en série entiere telle que $xy^{''}+(1-x)y'-\lambda y=0$. - On suppose $\lambda=2$. Expliciter les solutions sur $\R^{+*}$ et $\R^{-*}$ (on admet que sur chacun des deux intervalles l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2). - - Determiner les solutions sur $\R$. + - Déterminer les solutions sur $\R$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 508] Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $I$ un intervalle de $\R$ et $f_1,\ldots,f_n\in\mc C^{n-1}(I,\R)$. -On note $W_n(f_1,\ldots,f_n)=\begin{vmatrix}f_1&f_2&\cdots&f_n\\ f_1'&f_2'&\cdots&f_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ f_1^{(n-1)}&f_2^{(n-1)}&\cdots&f_n^{(n-1)}\end{vmatrix}$.Ind. On admettra que, si $a_0,\ldots,a_{n-2}$ sont des fonctions continues sur $I$, alors l'ensemble des solutions de l'equation differentielle $y^{(n-1)}+a_{n-2}(t)y^{(n-2)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$ est un espace vectoriel de dimension $n-1$. +On note $W_n(f_1,\ldots,f_n)=\begin{vmatrix}f_1&f_2&\cdots&f_n\\ f_1'&f_2'&\cdots&f_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ f_1^{(n-1)}&f_2^{(n-1)}&\cdots&f_n^{(n-1)}\end{vmatrix}$.Ind. On admettra que, si $a_0,\ldots,a_{n-2}$ sont des fonctions continues sur $I$, alors l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $y^{(n-1)}+a_{n-2}(t)y^{(n-2)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$ est un espace vectoriel de dimension $n-1$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 509] @@ -3711,34 +3860,34 @@ Soient $\lambda\gt 0$ et $x,y:\R^+\to\R$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ tell #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 510] -Determiner les extrema de $f:(x,y)\mapsto 3x^2+2xy+2y^2-x^4$ sur le disque unite ferme et les points en lesquels ils sont atteints. +Déterminer les extrema de $f\colon (x,y)\mapsto 3x^2+2xy+2y^2-x^4$ sur le disque unité fermé et les points en lesquels ils sont atteints. #+end_exercice -*** Probabilites +*** Probabilités #+begin_exercice [X PC 2023 # 511] On a un de equilibre a $N$ faces numerotees de 1 a $N$, et on effectue une suite de lancers independants. Le jeu s'arrete lorsque le resultat du lancer $n+1$ est strictement inferieur a celui du lancer $n$. - - Calculer la probabilite $\pi_k$ que le jeu s'arrete apres le rang $k$. + - Calculer la probabilité $\pi_k$ que le jeu s'arrete apres le rang $k$. - Montrer que $\pi_k$ tend vers 0 pour $k\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 512] -Soient $a\in\R$, $q\geq 3$ et $(X_n)$ une suite de variables aleatoires mutuellement independantes et uniformes sur $\left\{\frac{k}{q},\ k=0,\ldots,q-1\right\}$. On definit la suite $(T_n)$ par : $T_0=0$ et $\forall n,T_{n+1}=T_n+a+\sin(2\pi(T_n-X_n))$. Determiner l'esperance de $T_n$. +Soient $a\in\R$, $q\geq 3$ et $(X_n)$ une suite de variables aléatoires mutuellement independantes et uniformes sur $\left\{\frac{k}{q},\ k=0,\ldots,q-1\right\}$. On définit la suite $(T_n)$ par : $T_0=0$ et $\forall n,T_{n+1}=T_n+a+\sin(2\pi(T_n-X_n))$. Déterminer l'espérance de $T_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 513] On dispose de $N$ pieces equilibrees. On lance les $N$ pieces de maniere independante. On note $X_1$ le nombre de \lt \lt pile \gt \gt obtenus. On relance ces $X_1$ pieces et on note $X_2$ le nombre de \lt \lt pile \gt \gt obtenus... - - Calculer la fonction generatrice de $X_2$. - - Calculer la fonction generatrice de $X_k$, pour $k\geq 3$. + - Calculer la fonction génératrice de $X_2$. + - Calculer la fonction génératrice de $X_k$, pour $k\geq 3$. - Soit $T$ l'instant ou l'on n'a plus de piece. Calculer $\mathbf{E}\left(T\right)$ dans le cas ou $N=4$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 514] -Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires discretes independantes telles que $Y$ prenne un nombre fini de valeurs, et $\mathbf{E}(Y)=0$. On suppose que $|X|$ admet une esperance. Montrer que $\mathbf{E}(|X-Y|)\geq\mathbf{E}(|X|)$. +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes independantes telles que $Y$ prenne un nombre fini de valeurs, et $\mathbf{E}(Y)=0$. On suppose que $|X|$ admet une espérance. Montrer que $\mathbf{E}(|X-Y|)\geq\mathbf{E}(|X|)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 515] -On tire une piece $n$ fois independamment avec probabilite de faire pile $1/n$. Soit $p_n$ la probabilite d'obtenir un nombre impair de fois pile. Etudier le comportement de $p_n$. +On tire une piece $n$ fois independamment avec probabilité de faire pile $1/n$. Soit $p_n$ la probabilité d'obtenir un nombre impair de fois pile. Étudier le comportement de $p_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2023 # 516] @@ -3750,18 +3899,20 @@ On tire une piece $n$ fois independamment avec probabilite de faire pile $1/n$. * Mines +** Algèbre + #+begin_exercice [Mines 2023 # 517] -Determiner les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$. +Déterminer les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 518] Soient $p$ un nombre premier et $C_p$ l'ensemble des $z\in\C$ tels qu'il existe $n\in\N$ verifiant $z^{p^n}=1$. - Montrer que $C_p$ est un sous-groupe infini de $\C^*$. - - Determiner les sous-groupes de $C_p$. + - Déterminer les sous-groupes de $C_p$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 519] -Determiner tous les couples $(m,n)\in\N^2$ verifiant : $3^m=8+n^2$. +Déterminer tous les couples $(m,n)\in\N^2$ verifiant : $3^m=8+n^2$. #+end_exercice #+BEGIN_proof Nécessairement, $m$ pair, donc cela s'écrit $3^{2m} - n^2 = 8$. @@ -3789,7 +3940,7 @@ On ecrit $n\in\N$ en base $p\in\mc{P}:n=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_kp^k$ et l'on pos - Soit $k\in\db{0,n}$. Montrer que : $v_p{n\choose k}=\frac{S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n)}{p-1}$. - Exprimer $v_p{n\choose k}$ en fonction des retenues dans l'addition de $n-k$ et $k$ en base $p$. - Est-ce que $7$ divise ${1000\choose 500}$? - - Montrer que $2$ divise ${2n\choose n}$. Etudier la divisibilite par $4$ pour $n\geq 2$. + - Montrer que $2$ divise ${2n\choose n}$. Étudier la divisibilite par $4$ pour $n\geq 2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 524] @@ -3799,7 +3950,10 @@ On suppose que : $\forall i\in\db{k,k+2},\forall(a,b)\in G^2,(ab)^i=a^ib^i$. Mon #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 525] -Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique. Trouver un contre-exemple dans le cas ou $G$ n'est pas commutatif.# 526 +Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique. Trouver un contre-exemple dans le cas ou $G$ n'est pas commutatif. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 526] - Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Montrer que $H$ est cyclique d'ordre divisant $n$. Soit $d$ un diviseur de $n$. Montrer qu'il existe un unique sous-groupe de $G$ d'ordre $d$. - On note $\phi$ l'indicatrice d'Euler. Soient $n\in\N^*$ et $D(n)$ l'ensemble des diviseurs positifs de $n$. Montrer l'egalite $n=\sum_{d\in\mc{D}(n)}\phi(d)$. - Montrer que si $p$, $q\in\N^*$ sont premiers entre eux, alors $\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $\phi(n)$ en fonction de la decomposition en facteurs premiers de $n$. @@ -3820,13 +3974,13 @@ Soit $p$ un nombre premier impair. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 529] -Soient $A$ un anneau commutatif integre et $(a_0,\ldots,a_n)$ une famille non nulle d'elements de $A$. Montrer que l'equation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ admet au plus $n$ solutions dans $A$. +Soient $A$ un anneau commutatif integre et $(a_0,\ldots,a_n)$ une famille non nulle d'elements de $A$. Montrer que l'équation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ admet au plus $n$ solutions dans $A$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 530] On pose $\Z[i]=\{a+ib,\ (a,b)\in\Z^2\}$. -Montrer que $\Z[i]$ est un anneau integre et determiner ses inversibles. +Montrer que $\Z[i]$ est un anneau integre et déterminer ses inversibles. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 531] @@ -3851,9 +4005,9 @@ Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de meme modul #+begin_exercice [Mines 2023 # 534] - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n\in\R[X]$ tel que$\forall\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[},\ \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin^{2n+1}( \theta)}=P_n(\text{cotan}^2\theta).$ - - Determiner les racines de $P_n$ et calculer leur somme. + - Déterminer les racines de $P_n$ et calculer leur somme. - Montrer que, pour $\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$, $\text{cotan}^2\theta\lt \frac{1}{\theta^2}\lt \text{cotan}^2\theta+1.$ - - Deduire de ce qui precede la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}.$ + - Déduire de ce qui precede la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}.$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 535] @@ -3883,41 +4037,44 @@ Soient $n\in\N^*$ et $k\in\db{0,n-1}$. Soit $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in\C[X]$ p - On pose $P_0=1$ et $P_s=\prod_{j=0}^{s-1}(X-j)$ pour $s\in\N^*$. Montrer que $\forall s\in\db{0,k-1},\ P^{(s)}(1)=\sum_{i\in A}a_iP_s(i)$. - - En deduire que $\forall i\in A$, $a_i=0$, et conclure. + - En déduire que $\forall i\in A$, $a_i=0$, et conclure. - L'inegalite demontree est-elle optimale? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 539] - Soit $P\in\R[X]$ simplement scinde sur $\R$ et non constant. Montrer que, si $\lambda\in\R$, $P'-\lambda P$ est simplement scinde sur $\R$. - - Le resultat de la question precedente s'etend-il a $P^{''}-\lambda P\,?$ Comment le generaliser? + - Le resultat de la question précédente s'etend-il a $P^{''}-\lambda P\,?$ Comment le généraliser? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 540] - Soit $P$ un polynome irreductible dans $\Q[X]$. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples. - - Soient $k\in\N^*$, $P\in\Q[X]$ non constant avec $\deg(P)\leq 2k-1$, $\alpha\in\C$ une racine de $P$ de multiplicite $k$. Montrer que $\alpha$ est rationnel.# 541 + - Soient $k\in\N^*$, $P\in\Q[X]$ non constant avec $\deg(P)\leq 2k-1$, $\alpha\in\C$ une racine de $P$ de multiplicite $k$. Montrer que $\alpha$ est rationnel. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 541] Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ avec : $a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n\gt 0$. - Montrer que les racines complexes de $P$ sont de module superieur ou egal a $1$. - Soit $z\in\C$ tel que $P(z)=0$. Montrer $\min_{k\in[0,n-1]}\frac{a_k}{a_{k+1}}\leq|z|\leq\max_{k\in[0,n-1] }\frac{a_k}{a_{k+1}}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 542] -- Soit $P\in\R[X]$ de degre $n\geq 1$. Soit $x\in\R$. On considere la suite $\left(P^{(k)}(x)\right)_{k\in[0,n]}$. +- Soit $P\in\R[X]$ de degre $n\geq 1$. Soit $x\in\R$. On considère la suite $\left(P^{(k)}(x)\right)_{k\in[0,n]}$. On note $v(x)$ le nombre de changements de signe stricts : Soit $a\lt b$ tel que $P(a)P(b)\neq 0$. Montrer que si l'on note $\mu(a,b)$ le nombre de racines comptees avec multiplicite sur $[a,b]$ de $P$ comptees avec multiplicite, alors : -$\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $\mu(a,b)\equiv v(a)-v(b)$$[2]$. - - Soit $P=a_0+\cdots+a_nX^n\in\R[X]$ non constant. On pose $V(P)$ le nombre de changements de signe stricts de la suite $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ et $\mu(P)$ le nombre de racines strictement positives comptees avec multiplicite. Montrer que $\mu(P)\leq V(P)$ et $\mu(P)\equiv V(P)$$[2]$. +$\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $\mu(a,b)\equiv v(a)-v(b) [2]$. + - Soit $P=a_0+\cdots+a_nX^n\in\R[X]$ non constant. On pose $V(P)$ le nombre de changements de signe stricts de la suite $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ et $\mu(P)$ le nombre de racines strictement positives comptees avec multiplicite. Montrer que $\mu(P)\leq V(P)$ et $\mu(P)\equiv V(P)[2]$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 543] - Soit $P\in\C[X]\setminus\{0\}$. Decomposer $P'/P$ en elements simples. - - On note $a_1,...,a_n$ les racines de $P$. Soit $a$ une racine de $P'$. Montrer qu'il existe des reels positifs $t_1,...,t_n$ tels que $t_1+\cdots+t_n=1$ et $t_1a_1+\cdots+t_na_n=a$. + - On note $a_1,...,a_n$ les racines de $P$. Soit $a$ une racine de $P'$. Montrer qu'il existe des réels positifs $t_1,...,t_n$ tels que $t_1+\cdots+t_n=1$ et $t_1a_1+\cdots+t_na_n=a$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 544] -Soit $P\in\R[X]$ un polynome de degre $n\geq 2$, ayant $n$ racines reelles distinctes et non nulles $a_1\lt ...\lt a_n$. Calculer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(a_i)}$ et $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_iP'(a_i)}$. +Soit $P\in\R[X]$ un polynome de degre $n\geq 2$, ayant $n$ racines réelles distinctes et non nulles $a_1\lt ...\lt a_n$. Calculer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(a_i)}$ et $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_iP'(a_i)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 545] @@ -3935,17 +4092,20 @@ Quelle est la dimension du $\Q$-sous-espace de $\R$ engendre par $\mathbb{U}_5$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 548] -Soient $x,y,z$ des rationnels non nuls. Montrer que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}x&y&z\\ 2y&z&2x\\ z&x&2y\end{array}\right)$ est inversible.# 549 +Soient $x,y,z$ des rationnels non nuls. Montrer que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}x&y&z\\ 2y&z&2x\\ z&x&2y\end{array}\right)$ est inversible. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 549] Soient $x,y\in\R$ et $D=\begin{vmatrix}1&0&1&0&0\\ x&1&y&1&0\\ x^2&2x&y^2&2y&2\\ x^3&3x^2&y^3&3y^2&6y\\ x^4&4x^3&y^4&4y^3&12y^2\end{vmatrix}$. Montrer que $D=0$ si et seulement si $x=y$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 550] -Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ dont on note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes. Soit $B$ la matrice dont les colonnes sont $C'_1,\ldots,C'_n$ avec : $C'_j=\sum_{i\neq j}C_i$. Determiner $\det B$ en fonction de $\det A$. +Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ dont on note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes. Soit $B$ la matrice dont les colonnes sont $C'_1,\ldots,C'_n$ avec : $C'_j=\sum_{i\neq j}C_i$. Déterminer $\det B$ en fonction de $\det A$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 551] - Soient $p\in\N^*$, $a_1,\ldots,a_p\in\R$ non tous nuls et $b_1,\ldots,b_p\in\R$ avec $b_1\lt \cdots\lt b_p$. Montrer que $f_p:x\in\R\mapsto\sum_{i=1}^pa_ie^{b_ix}$ s'annule au plus $p-1$ fois sur $\R$. - - Soit $n\in\N^*$. Soient $\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_n$ et $\beta_1\lt \cdots\lt \beta_n$ des reels. Montrer que : $\det\big{(}e^{\alpha_i\beta_j}\big{)}_{1\leq i,j\leq n}\gt 0$. + - Soit $n\in\N^*$. Soient $\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_n$ et $\beta_1\lt \cdots\lt \beta_n$ des réels. Montrer que : $\det\big{(}e^{\alpha_i\beta_j}\big{)}_{1\leq i,j\leq n}\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 552] @@ -3967,13 +4127,13 @@ Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que $h\in\m #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 555] -Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semblables a $A$ appartiennent au commutant de $M$. Determiner $M$. Meme question dans $\M_n(\C)$. +Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semblables a $A$ appartiennent au commutant de $M$. Déterminer $M$. Meme question dans $\M_n(\C)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 556] Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non necessairement distinctes) du polynome $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$. -Calculer, pour $n\in\N^*$, le determinant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$. +Calculer, pour $n\in\N^*$, le déterminant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 557] @@ -3988,7 +4148,7 @@ Soient $K_1$,..., $K_n$ des segments non triviaux disjoints. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 559] -- Determiner le rang de $\,\text{Com}(A)$ en fonction du rang de $A$. +- Déterminer le rang de $\,\text{Com}(A)$ en fonction du rang de $A$. - Calculer $\,\text{Com}\,\left(\text{Com}(A)\right)$ lorsque $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$. - Montrer que si $X$ est un vecteur propre de $A$ associe a une valeur propre non nulle, alors $X$ est un vecteur propre de $\,(\,\text{Com}(A))^T$. #+end_exercice @@ -4030,11 +4190,11 @@ Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E) #+begin_exercice [Mines 2023 # 567] Soient $A=\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $N=A-I_n$. -Soit $(E)$ l'equation matricielle $X^2=A$. +Soit $(E)$ l'équation matricielle $X^2=A$. - Quelles sont les matrices qui commutent avec $N$? - Montrer que les solutions de $(E)$ sont de la forme $X=\pm\begin{pmatrix}1&a_1&\cdots&a_{n-1}\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a_1\\ 0&\cdots&0&1\end{pmatrix}$. Montrer qu'il y a au plus deux solutions. - - Rappeler le developpement limite a l'ordre $n$ de $x\mapsto\sqrt{1+x}$. Resoudre $(E)$. + - Rappeler le développement limite a l'ordre $n$ de $x\mapsto\sqrt{1+x}$. Resoudre $(E)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 568] @@ -4053,7 +4213,7 @@ Montrer que $\op{rg}(p+q)=\op{rg}p+\op{rg}q$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 570] -Determiner les parties $G$ de $\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ soit un groupe multiplicatif et $G$ ne soit pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$. +Déterminer les parties $G$ de $\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ soit un groupe multiplicatif et $G$ ne soit pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 571] @@ -4066,33 +4226,36 @@ Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $\sum_{M\in G}\ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 573] -Determiner les ideaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes additifs stables par multiplication a gauche et a droite par n'importe quel element de $\M_n(\R)$. +Déterminer les ideaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes additifs stables par multiplication a gauche et a droite par n'importe quel element de $\M_n(\R)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 574] Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $f$ et $g$ deux elements de $\mc{L}(E)$ tels que $fg-gf=\text{id}_E$. - Montrer que $E$ est de dimension infinie ou nulle. - Montrer que $f$ n'est pas nilpotent. - - Donner un exemple de triplet $(E,f,g)$ verifiant les conditions precedentes. + - Donner un exemple de triplet $(E,f,g)$ verifiant les conditions précédentes. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 575] Soit $A\in\M_n(\R)$. - Montrer que $|\det A|\leq\prod_{i=1}^n\Big{(}\sum_{j=1}^n|A_{i,j}|\Big{)}$. - - Lorsque $\det A\neq 0$, etudier le cas d'egalite.# 576 + - Lorsque $\det A\neq 0$, étudier le cas d'egalite. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 576] Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une partie $S$ de $\mc{L}(E)$ est dite dense si, pour tout $n\geq 1$, toute famille $(b_1,\ldots,b_n)$ de vecteurs de $E$ et toute famille libre $(a_1,\ldots,a_n)$ de vecteurs de $E$, il existe $f\in S$ tel que $f(a_i)=b_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$. - Quelles sont les parties denses de $\mc{L}(E)$ si $E$ est de dimension finie? - Dans cette question, on suppose que $E$ n'est pas de dimension finie. - Montrer que $\{f\in\mc{L}(E),\ \mathrm{rg}\,f\lt +\i\}$ est dense dans $\mc{L}(E)$. - Meme question avec $\{f\in\mc{L}(E);\ \mathrm{rg}\,f$ est fini et pair$\}$. - - Si $S$ est dense dans $\mc{L}(E)$, determiner $\{g\in\mc{L}(E)\ ;\forall f\in S,\ fg=gf\}$. + - Si $S$ est dense dans $\mc{L}(E)$, déterminer $\{g\in\mc{L}(E)\ ;\forall f\in S,\ fg=gf\}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 577] Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ verifiant : $\forall(i,j,k,\ell)\in\db{1,n}^4,M_{i,j}M_{k,\ell}= \delta_{j,k}M_{i,\ell}$. - Montrer que $\mathrm{Im}\,M_{i,j}$ est independante de $j$. On la notera $F_i$. - Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^nF_i$. - - En deduire $\dim F_i$. + - En déduire $\dim F_i$. - Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,M_{i,j}=PE_{i,j}P^{-1}$. - Expliciter les automorphismes de l'algebre $\M_n(\mathbb{K})$. #+end_exercice @@ -4102,7 +4265,7 @@ Soit $U$ une partie de $\M_n(\C)$ non vide, finie et stable par produit. Montrer #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 579] -Pour tout $x\in\R$, on pose $A_x=\begin{pmatrix}0&x\\ x&0\end{pmatrix}$. Determiner la structure de l'ensemble : $\{\exp(A_x),\ x\in\R\}$ et expliciter $\exp(A_x)$ pour tout $x\in\R$. +Pour tout $x\in\R$, on pose $A_x=\begin{pmatrix}0&x\\ x&0\end{pmatrix}$. Déterminer la structure de l'ensemble : $\{\exp(A_x),\ x\in\R\}$ et expliciter $\exp(A_x)$ pour tout $x\in\R$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 580] @@ -4120,9 +4283,12 @@ Soit $Z=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\ \vdots&&\vdots\\ 1&\cdots&1\end{pmatrix}\in\ #+begin_exercice [Mines 2023 # 583] Soient $n\in\N^*$, $U=(u_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},\ V=(v_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}\in\M_n(\R)$ ou $u_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i\leq n-1$, les autres coefficients etant nuls, $v_{i,j}=1$ si $j\gt i$, les autres coefficients etant nuls. - Calculer le polynome minimal de $U$. - - Montrer que $U$ et $V$ sont semblables.# 584 - Soient $a_1\lt ...\lt a_n$ des reels et $M=\begin{pmatrix}a_1+1&1&\dots&1\\ 1&a_2+1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\dots&1&a_n+1\end{pmatrix}$. - - Determiner le polynome caracteristique de $M$. + - Montrer que $U$ et $V$ sont semblables. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 584] + Soient $a_1\lt ...\lt a_n$ des réels et $M=\begin{pmatrix}a_1+1&1&\dots&1\\ 1&a_2+1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\dots&1&a_n+1\end{pmatrix}$. + - Déterminer le polynome caracteristique de $M$. - Montrer que $M$ est diagonalisable et que ses espaces propres sont des droites. #+end_exercice @@ -4139,7 +4305,7 @@ Ecrire l'ensemble des matrices symetriques de $\M_2(\C)$ non diagonalisables com #+begin_exercice [Mines 2023 # 587] Soient $a,b$ dans $\R^*$ et $A$ la matrice de taille $2n$ dont la diagonale contient des $a$, l'anti-diagonale des $b$ et les autres coefficients sont nuls. - - La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Determiner ses elements propres. + - La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Déterminer ses elements propres. - A quelle condition $A$ est-elle inversible? - Calculer $A^k$ pour $k\in\N$. #+end_exercice @@ -4151,17 +4317,17 @@ Soient $A=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 1&0&0&&\vdots\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 589] -Soit $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $\R[X]$ defini par +Soit $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $\R[X]$ défini par $\forall P\in\R[X],\ u(P)=(X^2-1)P^{''}+4XP'$. - - Montrer que le spectre reel de $u$ est l'ensemble $\{n(n+3),\ n\in\N\}$, et que les espaces propres associes sont des droites vectorielles. - - Pour $n\in\N$, on note $P_n$ l'unique polynome unitaire generateur de la droite propre associee a $n(n+3)$. Trouver une relation entre $P_n$, $P_{n-1}$ et $P_{n-2}$ pour $n\geq 2$. + - Montrer que le spectre réel de $u$ est l'ensemble $\{n(n+3),\ n\in\N\}$, et que les espaces propres associes sont des droites vectorielles. + - Pour $n\in\N$, on note $P_n$ l'unique polynome unitaire générateur de la droite propre associee a $n(n+3)$. Trouver une relation entre $P_n$, $P_{n-1}$ et $P_{n-2}$ pour $n\geq 2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 590] Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$. - Caracteriser les matrices $A$ telles que $u_A$ soit un automorphisme de $E$. - - Calculer determinant et trace de l'endomorphisme $u_A$. + - Calculer déterminant et trace de l'endomorphisme $u_A$. - Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable. #+end_exercice @@ -4169,7 +4335,7 @@ Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$. #+end_exercice - Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$. - Determiner un polynome de degre $2$ annulateur de $f$. - Etudier la diagonalisabilite de $f$. + Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$. - Déterminer un polynome de degre $2$ annulateur de $f$. - Étudier la diagonalisabilite de $f$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 592] #+end_exercice @@ -4184,28 +4350,28 @@ Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$. #+end_exercice - Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$ diagonalisables. Soit $\Delta$ l'endomorphisme de $\M_n(\mathbb{K})$ defini par $\forall M\in\M_n(\mathbb{K})$, $\Delta(M)=AM+MB$. Montrer que $\Delta$ est diagonalisable et preciser ses valeurs propres. + Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$ diagonalisables. Soit $\Delta$ l'endomorphisme de $\M_n(\mathbb{K})$ défini par $\forall M\in\M_n(\mathbb{K})$, $\Delta(M)=AM+MB$. Montrer que $\Delta$ est diagonalisable et preciser ses valeurs propres. #+begin_exercice [Mines 2023 # 595] Soit $\sigma$ une permutation de $\db{1,n]\!]$. Pour $M\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $p(M)=M'$ avec : $\forall(i,j)\in[\![1,n}^2,\,m'_{i,j}=m_{i,j}$ si $i=\sigma(j)$ et $m'_{i,j}=0$ sinon. - - Montrer que $p$ est un projecteur. Determiner son noyau et son image. + - Montrer que $p$ est un projecteur. Déterminer son noyau et son image. -Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle. On definit deux applications $\phi$ et $u_A$ par : +Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle. On définit deux applications $\phi$ et $u_A$ par : $\forall M\in\M_n(\mathbb{K}),\phi(M)=\sum_{k=1}^nm_{\sigma(k),k}$ et $u_A(M)=\phi(M)A+\phi(A)M$. - Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $\phi(A)\neq 0$. #+end_exercice - - L'endomorphisme $u_A$ peut-il etre un projecteur? + - L'endomorphisme $u_A$ peut-il être un projecteur? #+begin_exercice [Mines 2023 # 596] Soient $E$ un $\R$-espace de dimension $n$, $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que $f\circ g-g\circ f=f$. - Montrer que $f$ est nilpotent. - - On suppose que $g$ est diagonalisable et que $\dim(\op{Ker}f)=1$. Determiner $g$. + - On suppose que $g$ est diagonalisable et que $\dim(\op{Ker}f)=1$. Déterminer $g$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 597] Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$. - Montrer que, pour $m\in\N^*$, $AB^m-B^mA=mB^m$. - - En deduire que $B$ est nilpotente. + - En déduire que $B$ est nilpotente. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 598] @@ -4223,14 +4389,17 @@ Montrer que : $E=\op{Im}f\oplus\op{Ker}f$. On suppose dans la suite que $\mathbb{K}=\C$ et que $E$ est de dimension $n\in\N^*$. - Soit $g\in\mc{L}(E)$ tel que $fg=0$. Montrer que $f$ et $g$ sont cotrigonalisables. - Soit $f_1,\dots,f_p\in\mc{L}(E)$ qui commutent. Montrer que $f_1,\dots,f_p$ sont cotrigonalisables. - - Soient $f_1,\dots,f_n\in\mc{L}(E)$ nilpotents qui commutent. Calculer $f_1\circ\dots\circ f_n$.# 600 + - Soient $f_1,\dots,f_n\in\mc{L}(E)$ nilpotents qui commutent. Calculer $f_1\circ\dots\circ f_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 600] Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $\forall P\in{\C}[X],\ P(A)$ nilpotent $\Rightarrow P(A)=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 601] -Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ avec $B$ diagonalisable. On suppose que $AB^3=B^3A$. Montrer que $A$ et $B$ commutent. Generaliser. +Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ avec $B$ diagonalisable. On suppose que $AB^3=B^3A$. Montrer que $A$ et $B$ commutent. Généraliser. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 602] @@ -4238,7 +4407,7 @@ Quels sont les $n\in{\N}$ tels qu'existe $A\in{\cal M}_n({\R})$ verifiant $A^3-A #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 603] -Determiner les entiers $n\geq 1$ tels qu'il existe $f\in{\cal L}({\R}^n)$ verifiant $f^3+f^2-{\rm id}=0$ et ${\rm tr}\,f\in{\Q}$. +Déterminer les entiers $n\geq 1$ tels qu'il existe $f\in{\cal L}({\R}^n)$ verifiant $f^3+f^2-{\rm id}=0$ et ${\rm tr}\,f\in{\Q}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 604] @@ -4251,7 +4420,7 @@ Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On pose $f_A:M\in{\cal M}_n({\C})\mapsto AMA^T\in{\ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 605] -Soit $p$ une permutation de $\db{1,n]\!]^2$. On considere l'application $u:{\cal M}_n({\C})\to{\cal M}_n({\C})$ definie par $:u(A)=(A_{p(i,j)})_{(i,j)\in[\![1,n}^2}$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n({\C})$. Est-il diagonalisable? +Soit $p$ une permutation de $\db{1,n]\!]^2$. On considère l'application $u:{\cal M}_n({\C})\to{\cal M}_n({\C})$ définie par $:u(A)=(A_{p(i,j)})_{(i,j)\in[\![1,n}^2}$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n({\C})$. Est-il diagonalisable? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 606] @@ -4286,7 +4455,12 @@ Montrer que $A^2=I_2$ ou qu'il existe $k\in{\N}^*$ tel que $A^{2^k}=-I_2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 611] -Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de ${\C}^n$. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes :[MISSING_PAGE_FAIL:1]# 621 +Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de ${\C}^n$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : +#+end_exercice + +!! Page manquante + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 621] Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit diagonalisable? #+end_exercice @@ -4295,7 +4469,7 @@ Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 623] -Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\cal M}_n(\C)$ defini par +Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\cal M}_n(\C)$ défini par $\forall T\in{\cal M}_n(\C),\ u(T)=AT-TB$. - Soit $\alpha\in\C$ (resp. $\beta\in\C$) une valeur propre de $A$ (resp. $B$). Montrer que $\alpha-\beta$ est valeur propre de $u$. @@ -4303,7 +4477,7 @@ $\forall T\in{\cal M}_n(\C),\ u(T)=AT-TB$. Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$. - Montrer qu'il existe $\alpha\in\mbox{Sp}(A)$ et $\beta\in\mbox{Sp}(B)$ telles que $\lambda=\alpha-\beta$. - - En deduire une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $T\in{\cal M}_n(\C)$ non nulle telle que $AT=TB$. + - En déduire une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $T\in{\cal M}_n(\C)$ non nulle telle que $AT=TB$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 624] @@ -4315,7 +4489,7 @@ Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$. On note $\mathbb{B}$ l'ensemble des suites bornees de $(\C)^{\Z}$. On s'interesse a l'endomorphisme $T\in{\cal L}(\mathbb{B})$ qui a $(u_n)$ associe $(u_{n+1})$. - - Determiner les valeurs et les vecteurs propres de $T$. + - Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de $T$. - Soit $S\subset\mathbb{B}$ un sous-espace de dimension finie de $\mathbb{B}$ stable par $T$. On note $\widetilde{T}$ l'endomorphisme induit par $T$ sur $S$. Montrer que l'on dispose de $(\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\in\C^r$ distincts tels que $$S=\bigoplus_{i=1}^r\mbox{Ker}\left(\widetilde{T}-\lambda_i\mbox{id}\right)$$ @@ -4323,7 +4497,7 @@ $$S=\bigoplus_{i=1}^r\mbox{Ker}\left(\widetilde{T}-\lambda_i\mbox{id}\right)$$ #+begin_exercice [Mines 2023 # 626] - Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $e^A$ est diagonalisable. Que se passe-t-il sur $\R$? - - Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Resoudre l'equation $e^M=A$. + - Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Resoudre l'équation $e^M=A$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 627] @@ -4337,10 +4511,18 @@ Soient $(E,\langle\,\rangle)$ un espace euclidien, $c_1,c_2\in E$, $r_1,r_2\in\R #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 629] -Soient $E$ un espace prehilbertien reel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\forall x\in E,\ \|x\|^2=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormalee de $E$. Le resultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus la famille libre, mais seulement constituee de vecteurs non nuls?# 630 - Soient $E$ un espace euclidien, $A$ une partie de $E$ et $B=\left\{\left\langle x,y\right\rangle;\;(x,y)\in A^2\right\}$. Montrer que $A$ est fini si et seulement si $B$ est fini. +Soient $E$ un espace prehilbertien réel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\forall x\in E,\ \|x\|^2=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormalee de $E$. Le resultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus la famille libre, mais seulement constituee de vecteurs non nuls? #+end_exercice +# ID:6897 +#+begin_exercice [Mines 2023 # 630] +Soient $E$ un espace euclidien, $A$ une partie de $E$ et $B=\left\{\left\langle x,y\right\rangle;\;(x,y)\in A^2\right\}$. Montrer que $A$ est fini si et seulement si $B$ est fini. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof +Si $B$ est fini, on prend une famille génératrice de $\vect A$. +#+END_proof + + #+begin_exercice [Mines 2023 # 631] Soient $E$ un espace euclidien, $A$ et $B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux. Montrer que les symetries orthogonales par rapport a $A$ et par rapport a $B$ commutent et que leur composee est la symetrie orthogonale par rapport a $(A+B)^{\perp}$. #+end_exercice @@ -4349,9 +4531,9 @@ Soient $E$ un espace euclidien, $A$ et $B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ o Soient $(E,\left\langle\;,\;\right\rangle)$ un espace euclidien et $a\in E\setminus\{0\}$. Pour $\lambda\in\R$, soit $\Phi_{\lambda}:x\mapsto x-\lambda\left\langle a,x\right\rangle a$. - - Determiner les $\lambda$ pour lesquels $\Phi_{\lambda}$ est inversible. + - Déterminer les $\lambda$ pour lesquels $\Phi_{\lambda}$ est inversible. - Si $\lambda,\mu\in\R$, calculer $\Phi_{\lambda}\circ\Phi_{\mu}$. - - Soit $\lambda\in\R$. Determiner les elements propres de $\Phi_{\lambda}$. + - Soit $\lambda\in\R$. Déterminer les elements propres de $\Phi_{\lambda}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 633] @@ -4359,7 +4541,7 @@ Soit $E$ un espace euclidien. - Trouver les endomorphismes $f$ de $E$ tels que : $\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f(y)\right\rangle=0$. - - Pour un tel $f$, discuter de la nature de la suite de terme general $ u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f^k$. + - Pour un tel $f$, discuter de la nature de la suite de terme général $u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f^k$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 634] @@ -4371,8 +4553,8 @@ $\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f( #+begin_exercice [Mines 2023 # 635] Soient $a,b,c\in\R$ et $A(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix}$. - - Montrer que $A(a,b,c)$ est dans $\text{SO}_3(\R)$ si et seulement si $a,b,c$ sont les racines d'un polynome $X^3-X^2+t$ ou $t$ appartient a un intervalle $I$ que l'on determinera. - - Soit $a,b,c\in\R$. Determiner une droite et un plan stables par $A(a,b,c)$. + - Montrer que $A(a,b,c)$ est dans $\text{SO}_3(\R)$ si et seulement si $a,b,c$ sont les racines d'un polynome $X^3-X^2+t$ ou $t$ appartient a un intervalle $I$ que l'on déterminera. + - Soit $a,b,c\in\R$. Déterminer une droite et un plan stables par $A(a,b,c)$. - Si $A(a,b,c)\in\text{SO}_3(\R)$, caracteriser l'endomorphisme canoniquement associe. #+end_exercice @@ -4380,7 +4562,7 @@ Soient $a,b,c\in\R$ et $A(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatri On travaille dans l'espace $E=\R[X]$. Pour $P$ et $Q$ dans $E$, on pose $\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$. - - Montrer que $\Phi$ est correctement definie et munit l'espace $E$ d'un produit scalaire. + - Montrer que $\Phi$ est correctement définie et munit l'espace $E$ d'un produit scalaire. - Calculer $\Phi(X^p,X^q)$ pour $p,q\in\N$. - Calculer l'orthonormalisee de Gram-Schmidt de la famille $(1,X,X^2)$. - Calculer la distance de $X^3$ a $\R_2[X]$. @@ -4391,30 +4573,43 @@ Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left( #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 638] -Soit $E=\R_3[X]$. - Montrer que l'application $\phi:(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$ d$\!$efinit un produit scalaire sur $E$, - Determiner $\inf_{(a,b,c)\in\R^3}\int_{-1}^1(t^3-at^2-bt-c)^2 dt$. +Soit $E=\R_3[X]$. + - Montrer que l'application $\phi:(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$ définit un produit scalaire sur $E$, + - Déterminer $\inf_{(a,b,c)\in\R^3}\int_{-1}^1(t^3-at^2-bt-c)^2 dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 639] Calculer le minimum de la fonction $f:(x,y)\in\R^2\mapsto\int_0^1(t\ln(t)-xt-y)^2dt$. #+end_exercice +# ID:6898 #+begin_exercice [Mines 2023 # 640] -On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\db{0,n}$. On munit egalement $\R_n[X]$ du produit scalaire d$\!$efini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$. +On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\db{0,n}$. On munit également $\R_n[X]$ du produit scalaire défini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$. - Montrer que $(Q_0,\ldots,Q_n)$ est une base orthogonale de $\R_n[X]$. - On fixe $k\in\db{0,n}$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des elements de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est egal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$. - - Trouver $R_k\in\mc{F}_{k,n}\cap\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}^{\perp}$, et calculer $\int_0^1R_k(t)^2\,dt$. Interpreter le resultat. + - Trouver $R_k\in\mc{F}_{k,n}\cap\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}^{\perp}$, et calculer $\int_0^1R_k(t)^2\,dt$. Interpréter le resultat. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - On a $\lN Q_n\rN^2 = \frac{(n!)^2}{2n+1}$ + - La direction est $\vect (X^i)_{i\neq k}$. + - $Q_i$ est de degré $i$, de coefficient dominant $(-1)^i\frac{(2i)!}{i!}$, de coefficient de degré $k$ : ${i \choose k}(-1)^k \frac{(k+i)!}{k!}$. + + Une base de $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$ est $Q_0,\dots,Q_{k-1}$ auquel on rajoute, pour $i\gt k$, les $Q_i - Q_k (-1)^k \frac{k!}{(2k)!} {i\choose k}(-1)^k \frac{(k+i)!}{k!}$. $=Q_i - Q_k {i\choose k} \frac{(k+i)!}{(2k)!}$. + + Plutôt : partir de $P_i = Q_k - (-1)^k \frac{(2k)!}{(k+i)!} \frac{1}{{i\choose k}}$, alors $\langle P_i, P_j\rangle = \lN Q_k\rN^2$. Cela permet de trouver un polynôme $L = \sum \la_i P_i$ tel que $\langle L, P_i\rangle$ soit une constante. Retirer alors un multiple de $Q_k$ à ce polynôme. +#+END_proof + #+begin_exercice [Mines 2023 # 641] -Soient $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites reelles et $D:u\in E\longmapsto(u_{n+1}-u - {n\in\N}$. +Soient $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites réelles et $D:u\in E\longmapsto (u_{n+1}-u_n)_{n\in\N}$. - Verifier que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? Surjectif? - Donner les elements propres de l'endomorphisme $D$. - - Soit $F$ l'espace des suites reelles de carre sommable. + - Soit $F$ l'espace des suites réelles de carre sommable. Montrer que $F$ est stable par l'endomorphisme $D$. - On munit $F$ de son produit scalaire $\langle\,\ \rangle$ usuel. -Decrire l'ensemble $H=\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2},\ u\in F\setminus\{(0)_{n\in \N}\}\right\}.$ +Décrire l'ensemble $H=\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2},\ u\in F\setminus\{(0)_{n\in \N}\}\right\}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 642] @@ -4422,7 +4617,7 @@ Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$, $p,q\in\mc{L}(E)$ des projecteurs orthogonaux. - Verifier que $\op{Im}p$ est stable par $pq$ et que l'endomorphisme induit est symetrique. - Montrer que $\op{Ker}(pq)=\op{Ker}q\oplus(\op{Im}(q)\cap \op{Ker}(p))$. - Montrer que $E$ est somme directe orthogonale de $(\op{Im}p+\op{Ker}q)$ et de $(\op{Ker}p\cap\op{Im}q)$. - - En deduire que $pq$ est diagonalisable. + - En déduire que $pq$ est diagonalisable. - Montrer que le spectre de $pq$ est inclus dans $[0,1]$. #+end_exercice @@ -4433,7 +4628,10 @@ Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$. Montre #+begin_exercice [Mines 2023 # 644] On munit $E=\R^n$ munit du produit scalaire usuel. Soit $A\in\M_n(\R)$. - Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $A$. Montrer que $F^{\perp}$ est stable par $A^T$. - - On suppose $A\in\M_3(\R)$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que $A$ est diagonalisable ou $A$ est semblable a une matrice de la forme $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&\alpha&-\beta\\ 0&\beta&\alpha\end{pmatrix}$ avec $\beta\neq 0$.# 645 + - On suppose $A\in\M_3(\R)$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que $A$ est diagonalisable ou $A$ est semblable a une matrice de la forme $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&\alpha&-\beta\\ 0&\beta&\alpha\end{pmatrix}$ avec $\beta\neq 0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 645] - Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\cal O}_n(\R)$? - Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\rm SO}_n(\R)$? #+end_exercice @@ -4443,11 +4641,11 @@ Soit $E$ un espace euclidien de dimension $4$. Trouver les endomorphismes $f\neq #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 647] -Soit $M\in{\cal O}_n(\R)$. Pour $k\in\N^*$, on pose $C_k=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^kM^j$. Etudier la convergence de la suite $(C - {k\in\N}$. +Soit $M\in{\cal O}_n(\R)$. Pour $k\in\N^*$, on pose $C_k=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^kM^j$. Étudier la convergence de la suite $(C - {k\in\N}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 648] -Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice definie par blocs : $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $B$ est inversible de taille $p$. Montrer que $p$ est pair. +Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice définie par blocs : $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $B$ est inversible de taille $p$. Montrer que $p$ est pair. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 649] @@ -4471,7 +4669,7 @@ Soit $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $A^2=AA^T$. Montrer que $A\in{\cal S}_n(\R)$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 653] -Soit $M\in{\cal M}_n(\R)$ nilpotente telle que : $M^TM=MM^T$. Determiner $M^TM$ puis $M$. +Soit $M\in{\cal M}_n(\R)$ nilpotente telle que : $M^TM=MM^T$. Déterminer $M^TM$ puis $M$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 654] @@ -4485,8 +4683,11 @@ Soit $A\in{\cal S}_n(\R)$. On suppose que la suite $(A^k)_{k\geq 1}$ converge ve #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 656] -Soit $A=(a_{i,j})\in{\cal O}_n(\R)$. Montrer que $\left|\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\right|\leq n\leq\sum_{1 \leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$.# 657 - Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left(\sum_{i=1}^na_{i,i}\right)^2\leq\text{rg}(A)\sum_{i=1}^n\sum_{ j=1}^na_{i,j}^2$. +Soit $A=(a_{i,j})\in{\cal O}_n(\R)$. Montrer que $\left|\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\right|\leq n\leq\sum_{1 \leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 657] +Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left(\sum_{i=1}^na_{i,i}\right)^2\leq\text{rg}(A)\sum_{i=1}^n\sum_{ j=1}^na_{i,j}^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 658] @@ -4498,35 +4699,43 @@ Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E) - Soit $u\in\mc{L}(E)$. Montrer que l'ensemble $T=\{\op{tr}(uv)\,;\,v\in\mc{O}(E)\}$ est majore. - Montrer que si $u\in\mc{A}(E)$ alors pour tout $t\in\R$, $\exp(tu)\in\mc{O}(E)$. - On suppose que $\sup T$ est atteint en $v=\op{id}$. Montrer que $u\in\mc{S}^+(E)$. - - Etudier la reciproque. + - Étudier la reciproque. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 660] Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$prises avec multiplicite. Montrer que $A$ est diagonale. #+end_exercice +# ID:6899 #+begin_exercice [Mines 2023 # 661] -- Soit $x\in\R^n$ tel que $\sum_{i=1}^nx_i=0$. Montrer que $|x_j|\leq\left(\frac{n-1}{n}\right)^{1/2}\|x\|_2$ pour tout $j\in\db{1,n}$. + - Soit $x\in\R^n$ tel que $\sum_{i=1}^nx_i=0$. Montrer que $|x_j|\leq\left(\frac{n-1}{n}\right)^{1/2} \lN x\rN_2$ pour tout $j\in\db{1,n}$. - Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $\lambda$ une valeur propre de $A$. -Montrer que $\left|\lambda-\frac{\op{tr}A}{n}\right|\leq\left(\frac{n-1}{n} \right)^{1/2}\left(\sqrt{\|A\|_2^2-\frac{(\op{tr}A)^2}{n}} \right).$ + Montrer que $\left|\lambda-\frac{\op{tr}A}{n}\right|\leq\left(\frac{n-1}{n} \right)^{1/2}\left(\sqrt{\|A\|_2^2-\frac{(\op{tr}A)^2}{n}} \right)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - On a $|x_j| = \left|\sum_{i\neq j} x_i\right| \leq \sqrt{n-1} \sqrt{\sum_{i\neq j} x_i^2}$. + + Donc $|x_j|^2 \leq (n-1) (\lN x\rN_2^2 - |x_j|^2)$, d'où le résultat. + - On peut supposer que la trace de $A$ est nulle, et on obtient le résultat. +#+END_proof + #+begin_exercice [Mines 2023 # 662] Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $(a,b)\in\R^2$ tels que $:\forall X\in\R^n,a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b \|X\|^2$. Soit $P\in\R[X]$ tel que $:\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. Montrer que $P(A)\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 663] -- Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice antisymetrique reelle. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures. + - Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice antisymetrique réelle. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures. - Montrer que $(I_n+A)(I_n-A)^{-1}\in\mc{O}_n(\R)$. - - Soit $Q\in\op{SO}_2(\R)$. Resoudre l'equation $(I_2+A)(I_2-A)^{-1}=Q$, d'inconnue une matrice antisymetrique $A\in\M_2(\R)$. + - Soit $Q\in\op{SO}_2(\R)$. Resoudre l'équation $(I_2+A)(I_2-A)^{-1}=Q$, d'inconnue une matrice antisymetrique $A\in\M_2(\R)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 664] Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mc{S}_n^+(\R)$. - Montrer qu'il existe $C\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ telle que $C^2=A^{-1}$. - On pose $D=CBC$. Montrer que $\det(I_n+D)^{1/n}\geq 1+\det(D)^{1/n}$. - - En deduire que $\det(A+B)^{1/n}\geq\det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}$. + - En déduire que $\det(A+B)^{1/n}\geq\det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}$. - Est-ce encore vrai si $A,B\in\mc{S}_n^+(\R)$? #+end_exercice @@ -4535,14 +4744,16 @@ Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $A$ appartient a $\mc{S}_n^+(\R)$ si et seu #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 666] -On considere la forme quadratique $q:(x,y,z)\in\R^3\mapsto(x+z)^2+2xy+4yz$. - - Determiner $a,b,c$ tels que $q(x,y,z)=a(x+y+z)^2+b(y-z)^2+cz^2$. - - La forme quadratique $q$ est-elle definie positive? - - Trouver les plans de $\R^3$ sur lesquels la restriction de $q$ est definie positive._Analyse_ +On considère la forme quadratique $q\colon (x,y,z)\in\R^3\mapsto(x+z)^2+2xy+4yz$. + - Déterminer $a,b,c$ tels que $q(x,y,z)=a(x+y+z)^2+b(y-z)^2+cz^2$. + - La forme quadratique $q$ est-elle définie positive? + - Trouver les plans de $\R^3$ sur lesquels la restriction de $q$ est définie positive. #+end_exercice +** Analyse + #+begin_exercice [Mines 2023 # 667] -Soient $E$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie de $E$. On considere l'ensemble des parties que l'on peut obtenir en appliquant successivement des passages a l'interieur ou a l'adherence a partir de $A$. +Soient $E$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie de $E$. On considère l'ensemble des parties que l'on peut obtenir en appliquant successivement des passages a l'interieur ou a l'adherence a partir de $A$. - Montrer qu'il y en a au plus $7$. - Donner une partie $A$ telle qu'il y en ait exactement $7$. #+end_exercice @@ -4561,11 +4772,11 @@ Soit $f:x\in E\mapsto d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$. Soient $E$ un espace vectoriel norme et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie. - Montrer que : $\forall x\in E,\exists y\in F,d(x,F)=\|y-x\|$. - On suppose que $F\neq E$. Montrer qu'il existe $u\in E$ tel que $d(u,F)=\|u\|=1$. - - En deduire que $B_f(0,1)$ est compact si et seulement si $E$ est de dimension finie. + - En déduire que $B_f(0,1)$ est compact si et seulement si $E$ est de dimension finie. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 670] -Determiner les sous-groupes compacts de $\C^*$. +Déterminer les sous-groupes compacts de $\C^*$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 671] @@ -4586,25 +4797,28 @@ Soit $f\in\mc{L}(\R^n,\R^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$. Si $f\in E$, on pose $u(f)=\sum_{k=1}^{+\i}\left(-\frac{1}{2}\right)^kf\left( \frac{1}{k}\right).\in\R$. - - Montrer que $u$ est bien definie sur $E$. - - Montrer que $u$ est continue sur $E$ et determiner sa norme subordonnee. + - Montrer que $u$ est bien définie sur $E$. + - Montrer que $u$ est continue sur $E$ et déterminer sa norme subordonnee. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 674] Soient $L^1(\R)$ l'espace vectoriel des suites sommables et $N:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\lvert x_n\rvert$. - Montrer que $N$ est une norme. - - Soit $A$ l'ensemble des suites de $L^1(\R)$ nulle a partir d'un certain rang. Donner l'adherence et l'interieur de $A$. Ind. Remarquer que $A$ est dense dans $L^1(\R)$.# 675 + - Soit $A$ l'ensemble des suites de $L^1(\R)$ nulle a partir d'un certain rang. Donner l'adherence et l'interieur de $A$. Ind. Remarquer que $A$ est dense dans $L^1(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 675] On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $D=\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^+)^n\,;\,\sum x_i^2\lt 1,\, \sum x_i\gt 1\right\}$. Soit $f:D\to\R$ telle que $\forall x,y\in D,|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$. Que dire de $f\,?$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 676] -Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme reel, $p\in\N^*$, $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$,. +Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme réel, $p\in\N^*$, $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$,. - Montrer que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre si et seulement si $\inf\left\{\left\|\sum_{i=1}^p\lambda_ix_i\right\|\ ;\ (\lambda_1, \ldots\lambda_p)\in\R^p\right\}\gt 0$. - - En deduire que l'ensemble des $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$ tels que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre est un ouvert de $E^p$. Retrouver ce resultat plus simplement si $E$ est de dimension finie. + - En déduire que l'ensemble des $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$ tels que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre est un ouvert de $E^p$. Retrouver ce resultat plus simplement si $E$ est de dimension finie. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 677] @@ -4618,7 +4832,7 @@ Soient $n\geq 2$ et $f\colon\R^n\to\R$ continue telle que, pour tout $a\in\R$, $ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 679] -Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme reel de dimension finie, $k\in]0,1[$, $f$ une application $k$-lipschitzienne de $E$ dans $E$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe. +Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme réel de dimension finie, $k\in]0,1[$, $f$ une application $k$-lipschitzienne de $E$ dans $E$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 680] @@ -4630,23 +4844,23 @@ Soit $E=\mc C^0([-1,1],\R)$ muni de la norme de la convergence uniforme. Pour $f #+begin_exercice [Mines 2023 # 681] On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $[-1,1]$ vers $\R$ continues par morceaux, muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg$ et de la norme euclidienne associee $\|\ \|$. -On dit qu'une suite $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement (resp. faiblement) vers $f\in E$ si $\|f_n-f\|\to 0$ (resp. $\langle f_n,\phi\rangle\to\langle f,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in C^1([-1,1],\R)$). +On dit qu'une suite $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement (resp. faiblement) vers $f\in E$ si $\|f_n-f\|\to 0$ (resp. $\langle f_n,\phi\rangle\to\langle f,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in C^1([-1,1],\R)$). - Montrer que la convergence uniforme implique la convergence forte. La reciproque estelle vraie? - Montrer que la convergence forte implique la convergence faible. - - Soit $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ convergent faiblement vers $f\in C^1([-1,1],\R)$ et verifiant de plus $\|f_n\|\to\|f\|$. Montrer qu'alors $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement vers $f$. - - Soit $(\phi - {n\geq 0}\in C^1([-1,1],\R)^{\N}$ convergeant uniformement vers $\phi$ et telle que $(\phi_n')_{n\geq 0}$ converge uniformement. Soit par ailleurs $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ bornee et convergeant faiblement vers $f$. Montrer qu'alors $\langle f_n,\phi_n\rangle\to\langle f,\phi\rangle$. - - On pose $f_n(x)=\sin(nx)$ pour $n\geq 0$ et $x\in[-1,1]$. - Montrrer que $(f - {n\geq 0}$ converge faiblement vers la fonction nulle. - La suite $(f - {n\geq 0}$ converge-t-elle fortement? + - Soit $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ convergent faiblement vers $f\in C^1([-1,1],\R)$ et verifiant de plus $\|f_n\|\to\|f\|$. Montrer qu'alors $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement vers $f$. + - Soit $(\phi_n)_{n\geq 0}\in C^1([-1,1],\R)^{\N}$ convergeant uniformement vers $\phi$ et telle que $(\phi_n')_{n\geq 0}$ converge uniformement. Soit par ailleurs $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ bornee et convergeant faiblement vers $f$. Montrer qu'alors $\langle f_n,\phi_n\rangle\to\langle f,\phi\rangle$. + - On pose $f_n(x)=\sin(nx)$ pour $n\geq 0$ et $x\in[-1,1]$. - Montrer que $(f_n)_{n\geq 0}$ converge faiblement vers la fonction nulle. - La suite $(f_n)_{n\geq 0}$ converge-t-elle fortement? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 682] -Soient $a_1\lt \cdots\lt a_p$ des reels et $P=\prod_{i=1}^p(X-a_i)$. +Soient $a_1\lt \cdots\lt a_p$ des réels et $P=\prod_{i=1}^p(X-a_i)$. On pose : $E=\Big{\{}M\in\M_n(\R),\ P(M)=0\Big{\}}$. - - Soit $M\in E$. Determiner les valeurs possibles de $\op{tr}M$. - - Determiner les matrices $M\in E$ verifiant $\op{tr}M=na_1$. + - Soit $M\in E$. Déterminer les valeurs possibles de $\op{tr}M$. + - Déterminer les matrices $M\in E$ verifiant $\op{tr}M=na_1$. - Montrer que la matrice $a_1I_n$ est isolee dans $E$. - La matrice $\op{Diag}(a_2,a_1,\ldots,a_1)$ est-elle isolee? - - Generaliser. + - Généraliser. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 683] @@ -4656,18 +4870,18 @@ On pose : $E=\Big{\{}M\in\M_n(\R),\ P(M)=0\Big{\}}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 684] -Soient $n\geq 2$ et $r\in[1,n-1]$. L'ensemble $\mc{E}$ des matrices carrees de taille $n$ et de rang $r$ est-il ouvert? ferme? Determiner l'interieur et l'adherence de $\mc{E}$. +Soient $n\geq 2$ et $r\in[1,n-1]$. L'ensemble $\mc{E}$ des matrices carrees de taille $n$ et de rang $r$ est-il ouvert? ferme? Déterminer l'interieur et l'adherence de $\mc{E}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 685] -On munit l'espace $E=\mc C^0([0,1],\R)$ du produit scalaire usuel defini par +On munit l'espace $E=\mc C^0([0,1],\R)$ du produit scalaire usuel défini par $\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)\,dt$ et de la norme associee $\|\quad\|_2$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ tel qu'il existe une constante $C\in\R$ telle que $\forall f\in F,\|f\|_{\i}\leq C\|f\|_2$. - Montrer que $F\neq E$. - Soit $(f_1,\ldots,f_n)$ une famille orthonormale de $F$. Montrer que $\forall a_1,\ldots,a_n\in\R$, $\left|\sum_{i=1}^na_if_i\right|\leq C\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}$. - - En deduire que $F$ est de dimension finie majoree par $C^2$. + - En déduire que $F$ est de dimension finie majoree par $C^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 686] @@ -4687,10 +4901,10 @@ Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables #+begin_exercice [Mines 2023 # 689] On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algebre. - - Soit $A\in E$. Etudier la convergence de la serie $\sum A^k$ si $\|A\|\lt 1$. + - Soit $A\in E$. Étudier la convergence de la série $\sum A^k$ si $\|A\|\lt 1$. -Cette condition est-elle necessaire pour que la serie soit convergente? - - Pour tout $k\in\N^*$, on pose $U_k=\left(I_n+\frac{A}{k}\right)^k$. Etudier la convergence et la limite de la suite $(U_k)$. +Cette condition est-elle necessaire pour que la série soit convergente? + - Pour tout $k\in\N^*$, on pose $U_k=\left(I_n+\frac{A}{k}\right)^k$. Étudier la convergence et la limite de la suite $(U_k)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 690] @@ -4703,105 +4917,105 @@ Lorsque $J$ est un intervalle de $\R$, on pose $S_n(J)=\{M\in\mc{S}_n(\R)\,\ \ \ - Montrer que $\mathrm{SL}_n(\R)$ est un ferme non compact de $\M_n(\R)$. - Montrer que $\mathrm{SO}_n(\R)$ est connexe par arcs. - Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(O,S)\in\mc{O}_n(\R)\times S_n^{++}(\R)$ tel que $M=OS$. - - En deduire que $\mathrm{SL}_n(\R)$ et $\mathrm{GL}_n^+(\R)$ sont connexes par arcs. + - En déduire que $\mathrm{SL}_n(\R)$ et $\mathrm{GL}_n^+(\R)$ sont connexes par arcs. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 692] -Determiner la limite de la suite de terme general $ u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{n-k}{n}\right)^n$. +Déterminer la limite de la suite de terme général $u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{n-k}{n}\right)^n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 693] -On pose $ u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)^k$ pour tout $n\geq 1$. - - Montrer que la suite $(u - {n\geq 1}$ est divergente. - - Donner un equivalent de $u_n$ quand $n\to+\i$. +On pose $u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)^k$ pour tout $n\geq 1$. + - Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est divergente. + - Donner un équivalent de $u_n$ quand $n\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 694] Soit $ f:[0,2]\to\R$ une fonction $C^1$. On pose $ u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$ pour $n\geq 1$. -Etudier la convergence de la suite $(u - {n\geq 1}$. +Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 695] -Pour $n\in\N^*$, on pose $ u_n=\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{\sqrt{k}}{n}\right)$. Determiner un equivalent de $u_n$. +Pour $n\in\N^*$, on pose $ u_n=\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{\sqrt{k}}{n}\right)$. Déterminer un équivalent de $u_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 696] Soit $\mc{B}$ le sous-espace de $\C^{\Z}$ forme des suites $(u - {n\in\Z}$ bornees. Soit $T$ l'endomorphisme de $\mc{B}$ qui a $(u - {n\in\Z}$ associe $(u_{n+1})_{n\in\Z}$. - - Montrer que $T$ est lineaire. Determiner ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. - - Determiner les sous-espaces de dimension finie de $\mc{B}$ stables par $T$. + - Montrer que $T$ est lineaire. Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. + - Déterminer les sous-espaces de dimension finie de $\mc{B}$ stables par $T$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 697] -Etudier les suites definies par $u_1,v_1$ reels et +Étudier les suites définies par $u_1,v_1$ réels et $\forall n\in\N^*$, $ u_{n+1}=u_n+v_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et $ v_{n+1}=v_n-u_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 698] -$\ \ - La suite $(d - {n\geq 1}$ est-elle convergente? - La suite $(d - {n\geq 1}$ est-elle bornee? +$\ \ - La suite $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle convergente? - La suite $(d_n)_{n\geq 1}$ est-elle bornee? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 699] Soit $(b - {n\in\N}$ une suite strictement positive, croissante et non majoree. - - Montrrer que, si $(a - {n\in\N}$ est une suite reelle convergente de limite $\ell$, alors + - Montrer que, si $(a - {n\in\N}$ est une suite réelle convergente de limite $\ell$, alors $$\frac{1}{b_n}\sum_{k=0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)a_k\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}\ell.$$ - - Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle. Montrer que, si la suite $\left(\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\right)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\in\R$, alors $\frac{a_n}{b_n}\to\ell$ quand $n\to+\i$. - - La reciproque de la propriete precedente est-elle vraie? + - Soit $(a - {n\in\N}$ une suite réelle. Montrer que, si la suite $\left(\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\right)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\in\R$, alors $\frac{a_n}{b_n}\to\ell$ quand $n\to+\i$. + - La reciproque de la propriete précédente est-elle vraie? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 700] -Soit $(a - {n\geq 0}$ une suite reelle decroissante de reels strictement positifs, telle que $a_0=1$. On pose $b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{a_k}$ pour tout $n\geq 1$. - - Montrrer que $b_n\in[0,1]$ pour tout $n\geq 1$. - - On fixe $\ell\in[0,1]$. Montrer que l'on peut choisir la suite $(a - {n\geq 0}$ de telle sorte que $b_n\to\ell$. +Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle decroissante de réels strictement positifs, telle que $a_0=1$. On pose $b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{a_k}$ pour tout $n\geq 1$. + - Montrer que $b_n\in[0,1]$ pour tout $n\geq 1$. + - On fixe $\ell\in[0,1]$. Montrer que l'on peut choisir la suite $(a_n)_{n\geq 0}$ de telle sorte que $b_n\to\ell$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 701] -Soit $a\in]0,1[$. On definit $(u_n)$ par $u_0=a$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n+u_n^2\ln(u_n)$. - - Montrer que $(u_n)$ est definie et etudier sa convergence. +Soit $a\in]0,1[$. On définit $(u_n)$ par $u_0=a$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n+u_n^2\ln(u_n)$. + - Montrer que $(u_n)$ est définie et étudier sa convergence. - On pose $F:x\mapsto\int_a^x\frac{dt}{t^2\ln t}$. Montrer que $F(u_{n+1})-F(u_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}1$. - - En deduire un equivalent de $F(u_n)$. Qu'en deduire sur $u_n$? + - En déduire un équivalent de $F(u_n)$. Qu'en déduire sur $u_n$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 702] -Soit $(u - {n\in\N}$ definie par $u_0\in]0,\pi/2]$ et $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=\sin(u_n)$. Etudier la convergence de $(u_n)$. Determiner un equivalent de $u_n$. +Soit $(u - {n\in\N}$ définie par $u_0\in]0,\pi/2]$ et $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=\sin(u_n)$. Étudier la convergence de $(u_n)$. Déterminer un équivalent de $u_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 703] Pour tout $n\geq 2$, on pose $f_n(x)=x^n-nx+1$. - - Montrer que l'equation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$. - - Etudier la monotonie de la suite $(x_n)$. Montrer sa convergence. - - Determiner la limite de la suite $(x_n)$ et un equivalent simple de $x_n$. + - Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$. + - Étudier la monotonie de la suite $(x_n)$. Montrer sa convergence. + - Déterminer la limite de la suite $(x_n)$ et un équivalent simple de $x_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 704] -Determine un developpement asymptotique a deux termes de $x_n$. +Détermine un développement asymptotique a deux termes de $x_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 705] -Soit $(u_n)$ une suite reelle definie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+1}$. +Soit $(u_n)$ une suite réelle définie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+1}$. - Si $(u_n)$ converge, quelle est sa limite? - On suppose que, pour tout $n\in\N$, $u_n\leq 1$. Montrer que $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite? - - Etudier la convergence de $(u_n)$ dans le cas general. + - Étudier la convergence de $(u_n)$ dans le cas général. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 705] -Pour $n\geq 2$, on considere l'equation $\sin(x)=\frac{x}{n}$. - - Montrer que cette equation admet une unique solution sur $]0,\pi[$ qu'on notera $x_n$. - - Montrer que la suite $(x - {n\geq 2}$ converge. Quelle est sa limite? - Donner un developpement asymptotique de $x_n$ a la precision $o\left(\frac{1}{n^3}\right).$ +Pour $n\geq 2$, on considère l'équation $\sin(x)=\frac{x}{n}$. + - Montrer que cette équation admet une unique solution sur $]0,\pi[$ qu'on notera $x_n$. + - Montrer que la suite $(x - {n\geq 2}$ converge. Quelle est sa limite? - Donner un développement asymptotique de $x_n$ a la precision $o\left(\frac{1}{n^3}\right).$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 706] Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=0}^n(X-i)$. - Montrer que : $\forall n\in\N^*,\exists!r_n\in\big{]}0,1[\,,P'_n(r_n)=0$. - - Determiner un equivalent simple de $r_n$. + - Déterminer un équivalent simple de $r_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 707] -Soit $(u_n)$ la suite definie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{n+u_n}$ +Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{n+u_n}$ - Montrer que $u_n\to+\i$. - - Donner un developpement asymptotique a trois termes de $u_n$. + - Donner un développement asymptotique a trois termes de $u_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 708] @@ -4811,11 +5025,11 @@ Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup_{t\in[0,1]}|P(t)|.$ Pour tout $n\in\N$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 709] -Limite et developpement asymptotique en $o(1/n)$ de $u_n=\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{\sqrt{k(n-k)}}{n^{3/2}}\right)$. +Limite et développement asymptotique en $o(1/n)$ de $u_n=\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{\sqrt{k(n-k)}}{n^{3/2}}\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 710] -Soit $(u_n)$ une suite reelle verifiant : $\forall(m,n)\in\N^2,u_{n+m}\leq u_m+u_n.$ Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big{\{}\frac{u_n} {n}\text{ pour }n\in\N^*\Big{\}}$. +Soit $(u_n)$ une suite réelle verifiant : $\forall(m,n)\in\N^2,u_{n+m}\leq u_m+u_n.$ Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big{\{}\frac{u_n} {n}\text{ pour }n\in\N^*\Big{\}}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 711] @@ -4831,61 +5045,67 @@ Soit $x\in\Big{[}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$. Convergence et somme de $\sum_{n\geq 0 _Ind._ Montrer que $\tan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$. #+end_exercice +# ID:6951 #+begin_exercice [Mines 2023 # 713] -Soit $(u_n)$ une suite reelle telle que $n(u_{n+1}-u_n)\to 1$. Quelle est la nature de la serie $\sum u_n$? +Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $n(u_{n+1}-u_n)\to 1$. Quelle est la nature de la série $\sum u_n$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 714] -Determiner la convergence et la somme de la serie de terme general $u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$. +Déterminer la convergence et la somme de la série de terme général $u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 715] -Determiner la nature de $\sum\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$.# 716 - Si $n\in\N^*$, soit $u_n=\sum_{k=1}^n(\ln(k))^2$. Determiner la nature de $\sum\dfrac{1}{u_n}$. +Déterminer la nature de $\sum\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 716] + Si $n\in\N^*$, soit $u_n=\sum_{k=1}^n(\ln(k))^2$. Déterminer la nature de $\sum\dfrac{1}{u_n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 717] -Nature de la serie de terme general $\dfrac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}-(-1)^n}$? +Nature de la série de terme général $\dfrac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}-(-1)^n}$? #+end_exercice +# ID:6952 #+begin_exercice [Mines 2023 # 718] -Soit $\alpha\gt 0$ fixe. Nature de la serie de terme general $\sum\dfrac{\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor-\lfloor\sqrt{n}\rfloor}{n^{\alpha}}$? +Soit $\alpha\gt 0$ fixe. Nature de la série de terme général $\sum\dfrac{\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor-\lfloor\sqrt{n}\rfloor}{n^{\alpha}}$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 719] -Soient $\alpha\gt 0$ et $\beta\in]0,1[$. Nature de la serie $\sum\dfrac{(-1)^{\lfloor n^{\beta}\rfloor}}{n^{\alpha}}$. +Soient $\alpha\gt 0$ et $\beta\in]0,1[$. Nature de la série $\sum\dfrac{(-1)^{\lfloor n^{\beta}\rfloor}}{n^{\alpha}}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 720] -- Montrrer que $\dfrac{\pi}{4}=\sum_{k=0}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$. - - Nature de la serie de terme general $u_n=\ln\left(\tan\left(\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\right)\right)$? +- Montrer que $\dfrac{\pi}{4}=\sum_{k=0}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$. + - Nature de la série de terme général $u_n=\ln\left(\tan\left(\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\right)\right)$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 721] -Soient $a,b$ deux reels tels que $0\lt a\lt b$. +Soient $a,b$ deux réels tels que $0\lt a\lt b$. On pose $u_0\gt 0$ et : $\forall n\in\N,u_{n+1}=\dfrac{n+a}{n+b}u_n$. - - Determiner une condition necessaire et suffisante pour que la serie $\sum u_n$ soit convergente. + - Déterminer une condition necessaire et suffisante pour que la série $\sum u_n$ soit convergente. - Dans ce cas, calculer la somme $\sum_{n=0}^{+\i}n(u_{n+1}-u_n)$. - - En deduire la somme $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$. + - En déduire la somme $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 722] -Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite decroissante de reels positifs. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\dfrac{1}{1+n^2u_n}$. Montrrer que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ diverge. +Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite decroissante de réels positifs. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\dfrac{1}{1+n^2u_n}$. Montrer que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ diverge. #+end_exercice +# ID:6953 #+begin_exercice [Mines 2023 # 723] -On pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)\,dx$. Quel est le signe de $u_n$? Montrrer que la serie $\sum u_n$ est semi-convergente. +On pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)\,dx$. Quel est le signe de $u_n$? Montrer que la série $\sum u_n$ est semi-convergente. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 724] -Etudier $\lim_{n\to+\i}\sum_{k=n+1}^{+\i}\dfrac{n}{k\sqrt{k^2-n^2}}$. +Étudier $\lim_{n\to+\i}\sum_{k=n+1}^{+\i}\dfrac{n}{k\sqrt{k^2-n^2}}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 725] Pour tout $n\in\N^*$, on pose $u_n=\int_n^{n+1}\dfrac{\cos\left(\ln(t)\right)}{t}\,dt$ et $v_n=\dfrac{\cos\ln(n)}{n}$. - - Determiner la nature de la serie $\sum u_n$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $u_n-v_n=\int_n^{n+1}(t-n-1)\frac{\cos\ln(t)+\sin\ln(t)}{t^2}\,dt$. - - En deduire la nature de la serie $\sum v_n$. + - Déterminer la nature de la série $\sum u_n$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $u_n-v_n=\int_n^{n+1}(t-n-1)\frac{\cos\ln(t)+\sin\ln(t)}{t^2}\,dt$. + - En déduire la nature de la série $\sum v_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 726] @@ -4893,16 +5113,16 @@ Soit $f\in C^1(\R,\R^{+*})$ telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\lon #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 727] -On dit que la serie de terme general $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, pour tout $n\in\N$, $\left|a-\sum_{k=0}^nu_k\right|\leq|u_{n+1}|$. On dit qu'elle enveloppe strictement $a\in\R^{+*}$ lorsqu'il existe une suite $(\theta_n)\in]0,1[^{\N}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $a-\sum_{k=0}^nu_k=\theta_{n+1}u_{n+1}$. - - Soit $a\gt 0$. Donner un exemple de serie divergente qui enveloppe $a$. - - Donner un exemple de serie convergente qui enveloppe un reel $a\in\R^{+*}$. - - Donner un exemple de serie convergente qui n'enveloppe aucun reel $a\in\R^{+*}$. - - Montrer que, si une serie enveloppe strictement un reel $a\gt 0$, alors elle est alternee. +On dit que la série de terme général $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, pour tout $n\in\N$, $\left|a-\sum_{k=0}^nu_k\right|\leq|u_{n+1}|$. On dit qu'elle enveloppe strictement $a\in\R^{+*}$ lorsqu'il existe une suite $(\theta_n)\in]0,1[^{\N}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $a-\sum_{k=0}^nu_k=\theta_{n+1}u_{n+1}$. + - Soit $a\gt 0$. Donner un exemple de série divergente qui enveloppe $a$. + - Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel $a\in\R^{+*}$. + - Donner un exemple de série convergente qui n'enveloppe aucun réel $a\in\R^{+*}$. + - Montrer que, si une série enveloppe strictement un réel $a\gt 0$, alors elle est alternee. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 728] -- Soit $\sum u_n$ une serie a termes positifs. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. Montrer que si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum\frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi. - - Soit $\sum y_n$ une serie a termes complexes telle que, pour toute suite $(x_n)$ qui tend vers $0$, la serie $\sum x_ny_n$ converge. Montrer que $\sum|y_n|$ converge. +- Soit $\sum u_n$ une série a termes positifs. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. Montrer que si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum\frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi. + - Soit $\sum y_n$ une série a termes complexes telle que, pour toute suite $(x_n)$ qui tend vers $0$, la série $\sum x_ny_n$ converge. Montrer que $\sum|y_n|$ converge. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 729] @@ -4910,24 +5130,24 @@ Soit $(u_n)\in(\R^+)^{\N}$. On suppose que $\sum u_n$ converge. Construire $(v_n #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 730] -Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes : +Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les proprietes suivantes sont équivalentes : -i) pour toute serie $\sum u_n$ convergente de terme general positif, la serie $\sum f(u_n)$ est convergente ; +i) pour toute série $\sum u_n$ convergente de terme général positif, la série $\sum f(u_n)$ est convergente ; ii) l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornee au voisinage de $0^+$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 731] -Soit $\sum u_n$ une serie convergente a termes strictement positifs. +Soit $\sum u_n$ une série convergente a termes strictement positifs. - Montrer que $\sum_{k=1}^nku_k=o(n)$. - - Montrer que $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nku_k$ est le terme general d'une serie convergente. - - Montrer que la serie de terme general $\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}$ est convergente et que :$$\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}\leq \sum_{k=1}^{+\i}u_k.$$ + - Montrer que $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nku_k$ est le terme général d'une série convergente. + - Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}$ est convergente et que :$$\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}\leq \sum_{k=1}^{+\i}u_k.$$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 732] -Pour toute permutation $f$ de $\N^*$, on note $E_f=\left\{\alpha\in\R,\;\sum\frac{f(n)}{n^{\alpha}}\lt +\i\right\}.$ - - Montrer qu'il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=\varnothing$. - - Soit $f\in S(\N^*)$. Montrer que si $E_f\neq\varnothing$, alors c'est un intervalle minore par $2$ et non majore. +Pour toute permutation $f$ de $\N^*$, on note $E_f=\left\{\alpha\in\R,\;\sum\frac{f(n)}{n^{\alpha}}\lt +\i\right\}$. + - Montrer qu'il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=\emptyset$. + - Soit $f\in S(\N^*)$. Montrer que si $E_f\neq\emptyset$, alors c'est un intervalle minore par $2$ et non majore. - Montrer que, si $\beta\gt 2$, alors il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=]\beta,+\i[$. #+end_exercice @@ -4938,7 +5158,7 @@ Soit $f_n=x\mapsto\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 734] -Soit $\alpha$ un reel non nul. On pose, pour $x\in[-1,1]$, $g_{\alpha}(x)=\cos(\alpha\arcsin x)$. A quelle condition sur $\alpha$ la fonction $g_{\alpha}$ est-elle polynomiale? +Soit $\alpha$ un réel non nul. On pose, pour $x\in[-1,1]$, $g_{\alpha}(x)=\cos(\alpha\arcsin x)$. A quelle condition sur $\alpha$ la fonction $g_{\alpha}$ est-elle polynomiale? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 735] @@ -4961,31 +5181,34 @@ Soient $A,B\in\R^+$, $f\colon\R\to$ de classe $\mc C^2$ telle que, pour tout $x\ #+begin_exercice [Mines 2023 # 739] Soit $f:x\in\,]-1,+\i[\,\mapsto x-\ln(1+x)$. - - Montrer que $f$ definit une bijection $f_1$ de $]-1,0]$ sur $\R^+$ et une bijection $f_2$ de $\R^+$ sur $\R^+$. - - Determiner un equivalent de $f$ en $0$. En deduire un equivalent de $f_1^{-1}$ et $f_2^{-1}$ en $0$. - - Determiner le developpement asymptotique a l'ordre $2$ de $f_2^{-1}$ en $0$. + - Montrer que $f$ définit une bijection $f_1$ de $]-1,0]$ sur $\R^+$ et une bijection $f_2$ de $\R^+$ sur $\R^+$. + - Déterminer un équivalent de $f$ en $0$. En déduire un équivalent de $f_1^{-1}$ et $f_2^{-1}$ en $0$. + - Déterminer le développement asymptotique a l'ordre $2$ de $f_2^{-1}$ en $0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 740] Soit $E=\mc C^0([-1,1],\C)$. Soit $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ strictement croissante et surjective. Soit $\Phi\in\mc{L}(E)$ l'application qui a $f\in E$ associe $f\circ g$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie stable par $\Phi$. On note $\Phi_F$ l'endomorphisme de $F$ induit par $\Phi$ sur $F$. - Montrer que $\Phi_F$ est un automorphisme de $F$. - Montrer que la seule valeur propre de $\Phi_F$ est 1. - - Soit $\Psi=\Phi_F-\mathrm{id}_F$. Montrer que $\Psi$ est nilpotent.# 741 + - Soit $\Psi=\Phi_F-\mathrm{id}_F$. Montrer que $\Psi$ est nilpotent. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 741] Soit $f\colon\R\to\M_n(\R)$ derivable. Montrer l'equivalence entre les assertions suivantes : i) $f(0)=I_n$ et $\forall x\in\R,f'(x)=f'(0)f(x)$, ii) $\forall(x,y)\in\R^2,f(x+y)=f(x)f(y)$ et $\forall x\in\R,\det(f(x))\neq 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 742] -Soient $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $D:f\in E\mapsto f'$. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et determiner ses elements propres. +Soient $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $D:f\in E\mapsto f'$. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et déterminer ses elements propres. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 743] -Soient $f\colon\R^+\to\R^+$ de classe $\mc C^1$, $\ell\in\R^{+*}$ et $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ avec $n\in\N^*$ et $a_n\neq 0$. On suppose que $f'(x)\,P\,(f(x))\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Determiner un equivalent de $f$ en $+\i$. +Soient $f\colon\R^+\to\R^+$ de classe $\mc C^1$, $\ell\in\R^{+*}$ et $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ avec $n\in\N^*$ et $a_n\neq 0$. On suppose que $f'(x)\,P\,(f(x))\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Déterminer un équivalent de $f$ en $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 744] -Soient $h:\R\to\R^+$ continue, $\ell\in\R^{+*}$, $n\in\N^*$. On suppose : $h(x)\int_0^xh^n\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Determiner un equivalent de $h$ en $+\i$. +Soient $h:\R\to\R^+$ continue, $\ell\in\R^{+*}$, $n\in\N^*$. On suppose : $h(x)\int_0^xh^n\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Déterminer un équivalent de $h$ en $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 745] @@ -4999,7 +5222,7 @@ Montrer qu'il existe $g\in F$ tel que $f=g^{''}$ si et seulement si $\int_a^bf(t #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 746] -Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application definie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Verifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Determiner ses elements propres. +Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application définie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Verifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Déterminer ses elements propres. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 747] @@ -5009,7 +5232,7 @@ $\forall x\in\R,\int_0^xe^{t^2}\,dt=F(x)\,e^{x^2}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 748] -Etudier la fonction $f:x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{t\sqrt{1-t}}$. +Étudier la fonction $f:x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{t\sqrt{1-t}}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 749] @@ -5030,7 +5253,7 @@ Soit $f\in C^0([a,b],\R)$ telle que $:\forall(\alpha,\beta)\in[a,b]^2,\int_{\alp #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 753] -Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Determiner les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ verifiant $:\forall g\in F,\int_a^bfg=0$. +Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Déterminer les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ verifiant $:\forall g\in F,\int_a^bfg=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 754] @@ -5044,11 +5267,11 @@ Soient $E=\mc C^0([a,b],\R)$ muni de $\parallel\parallel_{\i}$ et $B$ la boule u #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 756] -Etudier la convergence et calculer $\int_{-\i}^{+\i}\frac{dx}{x^6+1}$. +Étudier la convergence et calculer $\int_{-\i}^{+\i}\frac{dx}{x^6+1}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 757] -Etudier la convergence de l'integrale $\int_0^{+\i}t|\cos t|^{t^5}\,dt$. +Étudier la convergence de l'intégrale $\int_0^{+\i}t|\cos t|^{t^5}\,dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 758] @@ -5056,7 +5279,7 @@ Nature de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^x\,dx$ puis de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^{x^{\alph #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 759] -Soit $\alpha\gt 0$. Etudier la convergence de l'integrale $:\int_0^{+\i}\left(\exp\left(\frac{\sin^2x}{x^{\alpha}}\right)-1 \right)\,dx$. +Soit $\alpha\gt 0$. Étudier la convergence de l'intégrale $:\int_0^{+\i}\left(\exp\left(\frac{\sin^2x}{x^{\alpha}}\right)-1 \right)\,dx$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 760] @@ -5064,24 +5287,24 @@ Nature suivant $a\in\R$ de $I(a)=\int_0^{+\i}\frac{x-\ln(1+x)}{x^a}\,dx\,?$ Calc #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 761] -- Soit $\sum u_n$ une serie convergente a termes positifs. Nature de $\sum u_n^2$? - - Soit $f$ une fonction continue, positive et integrable sur $\R^+$. Nature de $\int_0^{\i}f^2$? +- Soit $\sum u_n$ une série convergente a termes positifs. Nature de $\sum u_n^2$? + - Soit $f$ une fonction continue, positive et intégrable sur $\R^+$. Nature de $\int_0^{\i}f^2$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 762] Soient $I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}\,dt$ et $J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{t}\,dt$. - - Montrer que $I_n$ et $J_n$ sont bien definies. Montrer que $(I_n)$ est constante. - - Montrer que $I_n-J_n\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - Montrrer la convergence de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}dt$ et la calculer. + - Montrer que $I_n$ et $J_n$ sont bien définies. Montrer que $(I_n)$ est constante. + - Montrer que $I_n-J_n\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - Montrer la convergence de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}dt$ et la calculer. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 763] -Soit $a\gt 0$. Montrer que l'integrale : $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(ax)+\arctan(x/a)}{1+x^2}\,dx$ converge et calculer sa valeur. +Soit $a\gt 0$. Montrer que l'intégrale : $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(ax)+\arctan(x/a)}{1+x^2}\,dx$ converge et calculer sa valeur. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 764] Soit $f\in C^1([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$. - Soient $I_1=\int_0^1(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))f(t)^2\,dt$ et $I_2=\int_0^1f'(t)f(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)\,dt$. Montrer la convergence de $I_1$ et $I_2$. Trouver une relation entre $I_1$ et $I_2$. - - Montrer que $\int_0^1f'(t)^2\,dt\geq\pi^2\int_0^1f(t)^2 \,dt$ et etudier le cas d'egalite. + - Montrer que $\int_0^1f'(t)^2\,dt\geq\pi^2\int_0^1f(t)^2 \,dt$ et étudier le cas d'egalite. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 765] @@ -5090,8 +5313,8 @@ Soit $f$ continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\R$. Montrer l'existence et l' #+begin_exercice [Mines 2023 # 766] Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ une fonction continue decroissante. - - On suppose que $f$ est integrable sur $[0,+\i[$. Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$. - - Etudier la reciproque. + - On suppose que $f$ est intégrable sur $[0,+\i[$. Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$. + - Étudier la reciproque. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 767] @@ -5101,31 +5324,31 @@ Montrer que $\underset{+\i}{\lim}f=\underset{-\i}{\lim}f=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 768] -Etudier la convergence $\int_0^{+\i}t|\cos(t)|^{t^5}\,dt$. +Étudier la convergence $\int_0^{+\i}t|\cos(t)|^{t^5}\,dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 769] -Etudier la convergence et la convergence absolue de $\int_2^{+\i}\frac{\cos(x)}{\ln(x)}dx$. +Étudier la convergence et la convergence absolue de $\int_2^{+\i}\frac{\cos(x)}{\ln(x)}dx$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 770] - Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[a,b]$ dans $\R$. On suppose $f$ de signe constant. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $\int_a^bf(t)g(t)dt=g(c)\int_a^bf(t)dt$. - - Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ continue telle que $f$ admet la limite $\lambda\in\R$ en $0$ et il existe $\mu\in\R$ telle que la fonction $t\mapsto\frac{f(t)-\mu}{t}$ est d'integrable convergente sur $[1,+\i[$. Montrer que, pour tout $a\lt b$, l'integrale $\int_0^{+\i}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt$ existe et la calculer. + - Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ continue telle que $f$ admet la limite $\lambda\in\R$ en $0$ et il existe $\mu\in\R$ telle que la fonction $t\mapsto\frac{f(t)-\mu}{t}$ est d'intégrable convergente sur $[1,+\i[$. Montrer que, pour tout $a\lt b$, l'intégrale $\int_0^{+\i}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt$ existe et la calculer. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 771] -Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carre integrable de $\R^+$ dans $\R$. Pour $x\in\R^{+*}$, soit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^xf$. - - Determiner la limite de $g$ en $0$. - Determiner la limite de $g$ en $+\i$. +Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carre intégrable de $\R^+$ dans $\R$. Pour $x\in\R^{+*}$, soit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^xf$. + - Déterminer la limite de $g$ en $0$. - Déterminer la limite de $g$ en $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 772] -Donner un equivalent, quand $x\to+\i$, de $\int_1^x\!t^tdt\,$? +Donner un équivalent, quand $x\to+\i$, de $\int_1^x\!t^tdt\,$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 773] Soit $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}dt$. - - Montrer que $f$ est definie sur $\R^{+*}$ et seulement sur cet ensemble. - - Etudier l'integrabilite de $f$ sur $\R^{+*}$. + - Montrer que $f$ est définie sur $\R^{+*}$ et seulement sur cet ensemble. + - Étudier l'integrabilite de $f$ sur $\R^{+*}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 774] @@ -5134,8 +5357,8 @@ Si $a\gt 0$ et $b\gt 0$, calculer $\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\ dt$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 775] Soit $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ une fonction de classe $C^1$. On suppose que $f'/f$ tend vers une limite $a\in\R^{-*}$ en $+\i$. - - Montrer que $f$ et $f'$ sont integrables sur $\R^+$. - - Donner un equivalent de $\int_x^{+\i}f$ lorsque $x$ tend vers $+\i$. + - Montrer que $f$ et $f'$ sont intégrables sur $\R^+$. + - Donner un équivalent de $\int_x^{+\i}f$ lorsque $x$ tend vers $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 776] @@ -5143,7 +5366,7 @@ Trouver une valeur approchee rationnelle a $10^{-3}$ pres de $\int_0^1e^{-t}\ln( #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 777] -Quelles sont les fonctions de $\R^+$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $\R^+$ d'une suite d'applications polynomiales reelles? +Quelles sont les fonctions de $\R^+$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $\R^+$ d'une suite d'applications polynomiales réelles? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 778] @@ -5151,45 +5374,45 @@ Soient $S$ un segment de $\R$ non reduit a un point, $n\in\N^*$, $m\in\R^{+*}$, #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 779] -Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une suite $(p - {n\geq 0}$ d'applications polynomiales reelles telle que $(p - {n\geq 0}$ converge uniformement vers $f$ sur tout segment de $\R$. +Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une suite $(p_n)_{n\geq 0}$ d'applications polynomiales réelles telle que $(p_n)_{n\geq 0}$ converge uniformement vers $f$ sur tout segment de $\R$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 780] -Soient $a$ et $b$ deux nombres reels tels que $a\lt b$ et $S=[a,b]$. +Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a\lt b$ et $S=[a,b]$. - On suppose que $S\cap\Z\neq\emptyset$. Expliciter une fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ qui n'est pas limite uniforme sur $S$ d'une suite d'elements de $\Z[X]$. - - On suppose $S\subset]0,1[$. On definit une suite $(P - {n\geq 0}$ de polynomes par $P_0=X$ et, pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=2P_n(1-P_n)$. Montrer que $(P - {n\geq 0}$ converge uniformement sur $S$ vers la fonction constante egale a $\frac{1}{2}$. + - On suppose $S\subset]0,1[$. On définit une suite $(P_n)_{n\geq 0}$ de polynomes par $P_0=X$ et, pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=2P_n(1-P_n)$. Montrer que $(P_n)_{n\geq 0}$ converge uniformement sur $S$ vers la fonction constante egale a $\frac{1}{2}$. - On suppose que $S\cap\Z=\emptyset$. Montrer que toute fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ est limite uniforme sur $S$ d'une suite d'elements de $\Z[X]$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 781] Soit, pour $n\in\N$, $f_n:x\in\R^+\mapsto x^n(1-\sqrt{x})$. - - Determiner le domaine de convergence $D$ de la serie de fonctions $\sum f_n$. + - Déterminer le domaine de convergence $D$ de la série de fonctions $\sum f_n$. - Y a-t-il convergence normale sur $D$? - Calculer $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{1}{(n+1)(2n+3)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 782] -Soit $\alpha\gt 0$. Etudier les modes de convergence de la serie de fonctions $\sum u_n$ definie par $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$. +Soit $\alpha\gt 0$. Étudier les modes de convergence de la série de fonctions $\sum u_n$ définie par $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 783] -Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nx}}{x+n}$. Domaine de definition, continuite de $f$, equivalent de $f$ aux extremites de son domaine de definition. +Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nx}}{x+n}$. Domaine de définition, continuite de $f$, équivalent de $f$ aux extremites de son domaine de définition. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 784] -Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de definition, continuite, etude de la derivabilite, equivalents en $0$ et $+\i$. +Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de définition, continuite, etude de la derivabilite, équivalents en $0$ et $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 785] -- Montrer que la serie de fonctions $\sum\frac{x\,e^{-nx}}{\ln(n)}$ converge simplement sur $\R^+$ mais non normalement. +- Montrer que la série de fonctions $\sum\frac{x\,e^{-nx}}{\ln(n)}$ converge simplement sur $\R^+$ mais non normalement. - Montrer la convergence uniforme sur $\R^+$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 786] Pour tout $n\in\N^*$ et $x\in\R^+$, on pose $f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{n}(n+x)}$. - Montrer la convergence simple de $\sum f_n$ sur $\R^+$. On note $f=\sum_{n=1}^{+\i}f_n$. - - Montrer que la serie $\sum f_n$ converge normalement sur les segments de la forme $[0,M]$ avec $M\gt 0$. Y a-t-il convergence normale sur $\R^+$? - - Etudier la continuite de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\i[$. - - Soient $n\geq 1$ et $x_0\geq n$. Montrer $:f(x_0)\geq\sum_{k=1}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}$. En deduire $:f(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}+\i$. + - Montrer que la série $\sum f_n$ converge normalement sur les segments de la forme $[0,M]$ avec $M\gt 0$. Y a-t-il convergence normale sur $\R^+$? + - Étudier la continuite de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\i[$. + - Soient $n\geq 1$ et $x_0\geq n$. Montrer $:f(x_0)\geq\sum_{k=1}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}$. En déduire $:f(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}+\i$. - Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o(x)$. #+end_exercice @@ -5198,176 +5421,183 @@ Soit $f\in\mc C([a,b],\R)$. On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N^*$ et $x\in[a,b]$, $f_n(x)=\int_a^xf_{n-1}(t)dt$. -Etudier la convergence simple de la serie $\sum f_n$ et calculer sa somme. +Étudier la convergence simple de la série $\sum f_n$ et calculer sa somme. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 788] Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(\sin(nx))^2}{n^2}$. - - Montrer que la fonction $f$ est definie et continue sur $\R$. - - La fonction $f$ est-elle derivable en $0$?# 789 - Soient $a\gt 0$ et $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\ln\left(1+\frac{a}{n^2x^2}\right).$ - - Determiner l'ensemble de definition de $f$. - - Determiner un equivalent de $f$ en $0$, et en $+\i$. + - Montrer que la fonction $f$ est définie et continue sur $\R$. + - La fonction $f$ est-elle derivable en $0$? +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 789] + Soient $a\gt 0$ et $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\ln\left(1+\frac{a}{n^2x^2}\right)$. + - Déterminer l'ensemble de définition de $f$. + - Déterminer un équivalent de $f$ en $0$, et en $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 790] -- Justifier la convergence pour $x\in[0,1[$ de$:f(x)=\prod_{n=0}^{+\i}\left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}.$ - - Montrer que, pour tout $x\in\,]0,1[$, on a $:\ln f(x)=\frac{x-1}{x}\sum_{n=1}^{+\i}x^n\ln(1+x^n)+\ln 2.$ - - En deduire $:\forall x\in[0,1[\,,\ln f(x)=\ln 2+\sum_{m=1}^{+\i}\frac{(-1)^m}{m} \frac{x^m}{1+x+\cdots+x^m}$. +- Justifier la convergence pour $x\in[0,1[$ de $f(x)=\prod_{n=0}^{+\i}\left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}$. + - Montrer que, pour tout $x\in\,]0,1[$, on a $\ln f(x)=\frac{x-1}{x}\sum_{n=1}^{+\i}x^n\ln(1+x^n)+\ln 2$. + - En déduire $\forall x\in[0,1[\,,\ln f(x)=\ln 2+\sum_{m=1}^{+\i}\frac{(-1)^m}{m} \frac{x^m}{1+x+\cdots+x^m}$. - Montrer que $f$ possede une limite finie en $1^-$ et l'expliciter. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 791] Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, on pose $u_n(x)=e^{-x\sqrt{n}}$. - - Determiner les domaines de definition des fonctions $ f=\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ et $g=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^nu_n$. - - Trouver une equation fonctionnelle reliant $f$ et $g$. + - Déterminer les domaines de définition des fonctions $f=\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ et $g=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^nu_n$. + - Trouver une équation fonctionnelle reliant $f$ et $g$. - Montrer que $f$ est analytique. Qu'en est-il de $g$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 792] -Rayon de convergence et somme de $ f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^{2n+2}}{n(n+1)(2n+1)}$. +Rayon de convergence et somme de $f\colon x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^{2n+2}}{n(n+1)(2n+1)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 793] -Rayon de convergence et somme de $ f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{4n^2-5n+1}$. +Rayon de convergence et somme de $f\colon x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{4n^2-5n+1}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 794] -Determiner le rayon de convergence et la somme de la serie entiere $\sum z^{n+(-1)^n}$. +Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entiere $\sum z^{n+(-1)^n}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 795] -Soit $u$ qui a $ P\in\C[X]$ associe $ u(P):z\mapsto e^{-z}\sum_{n=0}^{+\i}\frac{P(n)}{n!}z^n$. Montrer que $u$ est bien definie, et que c'est un automorphisme de $\C[X]$. Determiner ses elements propres. +Soit $u$ qui a $P\in\C[X]$ associe $u(P):z\mapsto e^{-z}\sum_{n=0}^{+\i}\frac{P(n)}{n!}z^n$. Montrer que $u$ est bien définie, et que c'est un automorphisme de $\C[X]$. Déterminer ses elements propres. #+end_exercice +# ID:6919 #+begin_exercice [Mines 2023 # 796] -Soient $ q\in]-1,1[$ et $ f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\sin(q^nx)$. - - Montrer que $f$ est definie sur $\R$ et de classe $\mc C^{\i}$. - - Montrer que $f$ est developpable en serie entiere. +Soient $q\in \interval]{-1, 1}[$ et $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\sin(q^nx)$. + - Montrer que $f$ est définie sur $\R$ et de classe $\mc C^{\i}$. + - Montrer que $f$ est développable en série entière. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 797] -Soient $\alpha$ et $\beta$ deux reels strictement positifs. - - Montrer que la serie $\sum\frac{(-1)^n}{\alpha n+\beta}$ est convergente. - On note $S$ la somme de la serie ci-dessus et pour tout $n\in\N$, $r_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{\alpha k+\beta}$. +Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs. + - Montrer que la série $\sum\frac{(-1)^n}{\alpha n+\beta}$ est convergente. + - On note $S$ la somme de la série ci-dessus et pour tout $n\in\N$, $r_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{\alpha k+\beta}$. -Exprimer $S$ et $r_n$ sous forme integrale. - - Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum r_nx^n$. Etudier son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence. + Exprimer $S$ et $r_n$ sous forme intégrale. + - Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum r_nx^n$. Étudier son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence. #+end_exercice +# ID:6920 #+begin_exercice [Mines 2023 # 798] -Montrer qu'au voisinage de $0$, la fonction $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$ est developpable en serie entiere et en donner les coefficients. +Montrer qu'au voisinage de $0$, la fonction $f\colon x\mapsto\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$ est développable en série entiere et en donner les coefficients. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 799] -Expliciter le developpement en serie entiere de $\ln(x^2-x\sqrt{2}+1)$ au voisinage de $0$. +Expliciter le développement en série entiere de $\ln(x^2-x\sqrt{2}+1)$ au voisinage de $0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 800] -Soient $\tau\in\R$ et $f:x\mapsto\arctan\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere en $0$ et preciser le domaine exact de validite. +Soient $\tau\in\R$ et $f:x\mapsto\arctan\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)$. Montrer que $f$ est développable en série entiere en $0$ et preciser le domaine exact de validite. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 801] -Rayon de convergence, ensemble de definition et somme de $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\mathrm{ch}(n)}{n}x^{2n}$? +Rayon de convergence, ensemble de définition et somme de $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\mathrm{ch}(n)}{n}x^{2n}$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 802] -Determiner le developpement en serie entiere en $0$ de $f:x\mapsto\sin\left(\frac{1}{3}\text{arcsin}(x)\right)$. +Déterminer le développement en série entiere en $0$ de $f:x\mapsto\sin\left(\frac{1}{3}\text{arcsin}(x)\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 803] On pose : $\forall n\geq 2,u_n=\sum_{\begin{subarray}{c}(i,j)\in(\N^*)^2 \end{subarray}}\frac{1}{(ij)^2}$ et $S:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}u_nx^n$. - - Determiner un equivalent simple de $u_n$. - - Determiner le rayon de convergence $R$ de $S$ et simplifier $S(x)$ sur $]-R,R[$. - - Etudier la bonne definition et la continuite de $S$ en $R$ et en $-R$. + - Déterminer un équivalent simple de $u_n$. + - Déterminer le rayon de convergence $R$ de $S$ et simplifier $S(x)$ sur $]-R,R[$. + - Étudier la bonne définition et la continuite de $S$ en $R$ et en $-R$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 804] Soit $P\in\R[X]$ de degre $p\in\N^*$. - - Determiner le rayon de la serie entiere $\sum_{n=0}^{+\i}P(n)x^n$ et montrer que la somme de cette serie s'ecrit sous la forme $\frac{Q(x)}{R(x)}$ avec $Q,R\in\R[X]$. + - Déterminer le rayon de la série entiere $\sum_{n=0}^{+\i}P(n)x^n$ et montrer que la somme de cette série s'ecrit sous la forme $\frac{Q(x)}{R(x)}$ avec $Q,R\in\R[X]$. - Soit $M=(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p+1}$. Montrer que $\det(M)=0$. - Montrer que $\det(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 805] Soit $f:x\mapsto(\arcsin(x))^2$. - - Montrer que $f$ est solution d'une equation differentielle lineaire d'ordre $2$, sur un intervalle que l'on precisera. - - Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$. Experimer les coefficients de ce developpement en serie entiere et donner son rayon de convergence. + - Montrer que $f$ est solution d'une équation différentielle lineaire d'ordre $2$, sur un intervalle que l'on precisera. + - Montrer que $f$ est développable en série entiere au voisinage de $0$. Experimer les coefficients de ce développement en série entiere et donner son rayon de convergence. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 806] -On definit la suite $(a_n)$ par : $a_0=a_1=1$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1}a_{n-1}$. - Montrer que : $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$ et en deduire le rayon de convergence $R$ de la serie entiere $\sum a_nx^n$. +On définit la suite $(a_n)$ par : $a_0=a_1=1$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1}a_{n-1}$. + - Montrer que : $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$ et en déduire le rayon de convergence $R$ de la série entiere $\sum a_nx^n$. -On pose $f:x\in\,]-R,R[\,\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$. + On pose $f:x\in\,]-R,R[\,\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$. - Montrer que $f$ est solution de $(1-x)y'-(1+2x)y=0$. - - Expliciter $f$ a l'aide des fonctions suuelles. + - Expliciter $f$ a l'aide des fonctions usuelles. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 807] On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^2x}$. - - Montrer que $f$ est bien definie et de classe $\mc C^{\i}$. - - Est-elle developpable en serie entiere? + - Montrer que $f$ est bien définie et de classe $\mc C^{\i}$. + - Est-elle développable en série entiere? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 808] - Rappeler la formule de Stirling. - - Calculer le rayon de convergence de la serie entiere $\sum\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)x^n$. - - Calculer la somme de cette serie entiere en $-1$ apres s'etre assure de son existence. + - Calculer le rayon de convergence de la série entiere $\sum\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)x^n$. + - Calculer la somme de cette série entiere en $-1$ apres s'être assure de son existence. - Calculer $\int_0^1\frac{(-1)^{\lfloor 1/x\rfloor}}{x}{\rm d}x$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 809] -- Determiner le rayon de convergence de $f:z\mapsto\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,z^k$. - - Soit $z\in\C$ avec $|z|\lt 1$. Calculer $\exp\left(f(z)\right)$. Ind. Considerer $t\in[0,1]\mapsto\exp\left(f(tz)\right)$. +- Déterminer le rayon de convergence de $f:z\mapsto\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,z^k$. + - Soit $z\in\C$ avec $|z|\lt 1$. Calculer $\exp\left(f(z)\right)$. Ind. Considèrer $t\in[0,1]\mapsto\exp\left(f(tz)\right)$. - Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ tel que : $\forall z\in\C,\ |z|\leq\alpha\Rightarrow\det(I_n+zA)=\exp \left(\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,\op{tr}(A^k)\,z^{k }\right).$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 810] -Soit $A\in\M_n(\C)$. - Determiner le rayon de convergence de la serie $f(z)=\sum_{p\in\N}\op{tr}(A^p)z^p$ - Calculer $f(z)$ en fonction du polynome caracteristique de $A$. +Soit $A\in\M_n(\C)$. - Déterminer le rayon de convergence de la série $f(z)=\sum_{p\in\N}\op{tr}(A^p)z^p$ - Calculer $f(z)$ en fonction du polynome caracteristique de $A$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 811] -Soit $(a - {n\geq 0}\in\C^{\N}$. On suppose que la serie $\sum n|a_n|$ converge. +Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$. On suppose que la série $\sum n|a_n|$ converge. - Montrer que le rayon de $\sum a_nz^n$ est superieur ou egal a 1. - On suppose $|a_1|\geq\sum_{n=2}^{+\i}n|a_n|$ avec $a_1\neq 0$. Montrer que $f:z\in\mathbb{D}\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ est injective. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 812] -- Developpere en serie entiere $\phi:z\mapsto\frac{z}{(1-z)^2}$. Montrer que $\phi$ est injective sur $D_o(0,1)$. +- Développere en série entiere $\phi:z\mapsto\frac{z}{(1-z)^2}$. Montrer que $\phi$ est injective sur $D_o(0,1)$. -On pose $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ avec $(a_n)$ une suite reelle. On suppose que $f$ est definie et injective sur $D_o(0,1)$. - Montrrer que $f(z)\in\R\Longleftrightarrow z\in\R$. - - En deduire que $\op{Im}z\geq 0\Longleftrightarrow\op{Im}f(z)\geq 0$. +On pose $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ avec $(a_n)$ une suite réelle. On suppose que $f$ est définie et injective sur $D_o(0,1)$. - Montrer que $f(z)\in\R\Longleftrightarrow z\in\R$. + - En déduire que $\op{Im}z\geq 0\Longleftrightarrow\op{Im}f(z)\geq 0$. - Soit $R\in\left]0,1\right[$. Calculer $\int_0^{\pi}\op{Im}f(Re^{it})\sin(nt)\op{d}t$. - - Montrrer que : $\forall n\geq 2,|a_n|\leq n$. + - Montrer que : $\forall n\geq 2,|a_n|\leq n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 813] Soit, pour $n\in\N$, $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan(t)^n\op{d}t$. - Trouver une relation de recurrence sur $(I_n)$. - - Montrrer que, pour $n\in\N$, $I_{2n}=(-1)^n\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{2k+1}$. Donner une expression similaire pour $I_{2n+1}$. - - Donner un equivalent de $I_n$. + - Montrer que, pour $n\in\N$, $I_{2n}=(-1)^n\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{2k+1}$. Donner une expression similaire pour $I_{2n+1}$. + - Donner un équivalent de $I_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 814] -Soit, pour $n\geq 2$, $I_n=\int_1^{+\i}\frac{\op{d}t}{1+t+\cdots+t^n}$. Determiner de trois facons differentes la nature de $\sum I_n$. +Soit, pour $n\geq 2$, $I_n=\int_1^{+\i}\frac{\op{d}t}{1+t+\cdots+t^n}$. Déterminer de trois facons differentes la nature de $\sum I_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 815] -On pose, pour tout $n\in\N^*$, $u_n=\int_1^{+\i}\exp(-x^n)\op{d}x$. Justifier l'existence de $(u_n)$. Etudier la convergence de la suite $(u_n)$ et de la serie $\sum u_n$. +On pose, pour tout $n\in\N^*$, $u_n=\int_1^{+\i}\exp(-x^n)\op{d}x$. Justifier l'existence de $(u_n)$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ et de la série $\sum u_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 816] -Developpement asymptotique a deux termes de $I_n=\int_0^{+\i}e^{-nx}\ln(n+x)dx$? +Développement asymptotique a deux termes de $I_n=\int_0^{+\i}e^{-nx}\ln(n+x)dx$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 817] -Pour $n\in\N^*$ et $\alpha\in\R^+$, on pose $u_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-\alpha x}\op{d}x$. Determiner un equivalent simple de $u_n$ dans les cas $\alpha=0$, $\alpha\gt 1$, $\alpha=1$. +Pour $n\in\N^*$ et $\alpha\in\R^+$, on pose $u_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-\alpha x}\op{d}x$. Déterminer un équivalent simple de $u_n$ dans les cas $\alpha=0$, $\alpha\gt 1$, $\alpha=1$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 818] -- Montrrer que $\int_0^{+\i}\cos\left(u^2\right)\op{d}u$ converge. - - Soit $(a,b)\in\left(\R^{+*}\right)^2$. Trouver un equivalent de $I_n=\int_0^1\cos\left(n\left(au^2+bu^3\right)\right) \op{d}u$. + - Montrer que $\int_0^{+\i}\cos\left(u^2\right)\op{d}u$ converge. + - Soit $(a,b)\in\left(\R^{+*}\right)^2$. Trouver un équivalent de $I_n=\int_0^1\cos\left(n\left(au^2+bu^3\right)\right) \op{d}u$. _Ind._ Poser $t=\sqrt{na}u$. #+end_exercice @@ -5375,23 +5605,26 @@ _Ind._ Poser $t=\sqrt{na}u$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 819] Soit $\alpha\gt 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n(\alpha)=\int_0^{+\i}\frac{\op{d}t}{(1+t^{\alpha})^n}$. - Justifier la convergence de $I_n(\alpha)$. - - Etablir une relation entre $I_{n+1}(\alpha)$ et $I_n(\alpha)$. En deduire une expression de $I_n(\alpha)$ en fonction de $I_1(\alpha)$ et de $\alpha$. - - Determiner la limite de la suite $(I_n(\alpha))_{n\in\N}$. - - Montrrer l'existence d'un reel $K(\alpha)$ tel que $I_n(\alpha)\sim\frac{K(\alpha)}{n^{1/\alpha}}$ quand $n\to+\i$.# 820 + - Etablir une relation entre $I_{n+1}(\alpha)$ et $I_n(\alpha)$. En déduire une expression de $I_n(\alpha)$ en fonction de $I_1(\alpha)$ et de $\alpha$. + - Déterminer la limite de la suite $(I_n(\alpha))_{n\in\N}$. + - Montrer l'existence d'un réel $K(\alpha)$ tel que $I_n(\alpha)\sim\frac{K(\alpha)}{n^{1/\alpha}}$ quand $n\to+\i$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 820] On pose, pour tout $x\in\,]0,1[$, $f(x)=\frac{x^2\ln x}{x-1}$. - Montrer que $f$ est prolongeable en une fonction de classe $C^1$ sur $[0,1]$, qu'on appellera toujours $f$ par la suite. - - Donner un equivalent de $\int_0^1x^nf(x)\,dx$. + - Donner un équivalent de $\int_0^1x^nf(x)\,dx$. - Montrer que $\lim_{n\to+\i}n\int_0^1x^nf(x^n)\,dx=\sum_{k=3}^{+\i} \frac{1}{k^2}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 821] -Soit $g:\R^+\to\R$, continue par morceaux, integrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornee. +Soit $g:\R^+\to\R$, continue par morceaux, intégrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornee. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 822] Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$. - Montrer que, pour tout $u\in\R$, $|e^{iu}-1|\leq|u|$. - - En deduire que $f$ est derivable sur $\R$ puis simplifier l'expression de $f$. + - En déduire que $f$ est derivable sur $\R$ puis simplifier l'expression de $f$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 823] @@ -5399,53 +5632,56 @@ On admet que $\int_0^{+\i}e^{-x^2}dx=\frac{\pi}{2}$. - Montrer que $I=\int_0^{+\i}\cos(t^2)dt$ converge. On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-(t^2+i)x^2}}{t^2+i}dt$. - - Montrer que $F$ est definie et de classe $\mc C^1$ sur $\R^+$. - - En deduire que $\int_0^{+\i}e^{-ix^2}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i }\frac{dt}{t^2+i}$. - - En deduire la valeur de $I$. + - Montrer que $F$ est définie et de classe $\mc C^1$ sur $\R^+$. + - En déduire que $\int_0^{+\i}e^{-ix^2}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i }\frac{dt}{t^2+i}$. + - En déduire la valeur de $I$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 824] -On pose, pour tout $t\in\R$, $h(t)=\int_{\R}e^{-\pi(x^2+2itx)}\,dx$. Montrer que l'integrale $h(t)$ est bien definie pour tout $t\in\R$ puis la calculer explicitement. +On pose, pour tout $t\in\R$, $h(t)=\int_{\R}e^{-\pi(x^2+2itx)}\,dx$. Montrer que l'intégrale $h(t)$ est bien définie pour tout $t\in\R$ puis la calculer explicitement. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 825] On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{\ln t}{t+x}\,dt$. - - Determiner le domaine de definition de $f$. + - Déterminer le domaine de définition de $f$. - Montrer que $f$ est derivable sur $\R^{+*}$ et expliciter $f'$. - On pose $g:x\mapsto f(x)+f(1/x)$. Simplifier $g(x)$ pour $x\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 826] Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t(1+t^2)}\,dt$. - - Montrer que $F$ est definie sur $\R$ et de classe $\mc C^2$. - - Exprimer $F$ a l'aide de fonctions usuelles.# 827 + - Montrer que $F$ est définie sur $\R$ et de classe $\mc C^2$. + - Exprimer $F$ a l'aide de fonctions usuelles. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 827] On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-t^2-\frac{x^2}{t^2}}\,dt$. - - Montrer que $F$ est definie sur $\R$. + - Montrer que $F$ est définie sur $\R$. - Montrer que $F$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^*$. - - Trouver une equation differentielle d'ordre $1$ verifiee par $F$. - - En deduire $F$. + - Trouver une équation différentielle d'ordre $1$ verifiee par $F$. + - En déduire $F$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 828] Soit $f:x\mapsto\int_{\R}e^{tx-t^2}\,dt$. - - Montrer que $f$ est definie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. Quelle equation differentielle verifie $f$? + - Montrer que $f$ est définie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. Quelle équation différentielle verifie $f$? - Trouver les solutions du probleme de Cauchy $-2y^{''}+xy'+y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=\sqrt{\pi}$ et $y'(0)=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 829] -- Determiner le domaine de definition de $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$. +- Déterminer le domaine de définition de $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$. - Montrer que $f$ est continue sur $\R^+$. - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$. - Donner une expression de $f'$ puis de $f$. - - En deduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\,dt$. + - En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\,dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 830] -On pose $f(x)=\int_0^{+\i}|\sin(t)|e^{-xt}dt$. Determiner le domaine de definition de la fonction $f$ et montrer qu'elle y est de classe $\mc C^{\i}$. Expliciter la valeur de $f(x)$. +On pose $f(x)=\int_0^{+\i}|\sin(t)|e^{-xt}dt$. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ et montrer qu'elle y est de classe $\mc C^{\i}$. Expliciter la valeur de $f(x)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 831] -Soient $f\in\mc C^0(\R,\R)$ et $g:x\mapsto\frac{1}{x}\int_0^x\cos(x-y)f(y)\,dy$. Montrer que $g$ est bien definie sur $\R^{+*}$ et trouver sa limite en $0$. On suppose que $f$ tend vers $\ell$ en $+\i$. Etudier la limite de $g$ en $+\i$. +Soient $f\in\mc C^0(\R,\R)$ et $g:x\mapsto\frac{1}{x}\int_0^x\cos(x-y)f(y)\,dy$. Montrer que $g$ est bien définie sur $\R^{+*}$ et trouver sa limite en $0$. On suppose que $f$ tend vers $\ell$ en $+\i$. Étudier la limite de $g$ en $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 832] @@ -5454,74 +5690,77 @@ Soient $C\gt 0$, $d\gt 0$ et $\alpha\in\R$. Montrer que $\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2 #+begin_exercice [Mines 2023 # 833] Soit $f:x\mapsto\int_0^{\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)\,dt$. - - Determiner le domaine de definition de $f$, etudier la continuite et les symetries. + - Déterminer le domaine de définition de $f$, étudier la continuite et les symetries. - Expliciter $f(x)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 834] On pose $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$. - - Determiner le domaine de definition de $f$. - - Determiner le developpement de $f$ en serie entiere sur un intervalle $I$ centre en $0$ que l'on precisera.# 835 - On pose, pour $x\in\R$, $f(x)=\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de 0 et expliciter son developpement. + - Déterminer le domaine de définition de $f$. + - Déterminer le développement de $f$ en série entiere sur un intervalle $I$ centre en $0$ que l'on precisera. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 835] + On pose, pour $x\in\R$, $f(x)=\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$. Montrer que $f$ est développable en série entiere au voisinage de 0 et expliciter son développement. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 836] -Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$. On considere la fonction $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-xt}f(t)\,dt$. - - On suppose $f$ bornee. Montrer que $F$ est definie et de classe $C^{\i}$ sur $\R^{+*}$. - - On suppose que $f$ admet une limite finie non nulle $\ell$ en $+\i$. Donner un equivalent de $F$ en $0^+$. - - On suppose $f$ developpable en serie entiere sur $\R^+:f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$, et que la serie $\sum n!a_n$ converge. Etudier le comportement de $F(1/x)$ au voisinage de 0 et de $+\i$. - - Donner des exemples de fonctions $f$ telles que le domaine de definition de $F$ soit $]0,+\i[$, $]1,+\i[$ ou $\emptyset$. +Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$. On considère la fonction $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-xt}f(t)\,dt$. + - On suppose $f$ bornee. Montrer que $F$ est définie et de classe $C^{\i}$ sur $\R^{+*}$. + - On suppose que $f$ admet une limite finie non nulle $\ell$ en $+\i$. Donner un équivalent de $F$ en $0^+$. + - On suppose $f$ développable en série entiere sur $\R^+:f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$, et que la série $\sum n!a_n$ converge. Étudier le comportement de $F(1/x)$ au voisinage de 0 et de $+\i$. + - Donner des exemples de fonctions $f$ telles que le domaine de définition de $F$ soit $]0,+\i[$, $]1,+\i[$ ou $\emptyset$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 837] -On note $\mc{L}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues et integrables, et $\mc{E}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues telles que, pour tout $s\gt 0$, la fonction $u\mapsto\dfrac{f(u)}{u+s}$ est integrable. Si $f\in\mc{E}$, on pose $\widehat{f}(s)=\int_0^{+\i}\dfrac{f(u)}{u+s}\,du$ pour tout $s\gt 0$. +On note $\mc{L}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues et intégrables, et $\mc{E}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues telles que, pour tout $s\gt 0$, la fonction $u\mapsto\dfrac{f(u)}{u+s}$ est intégrable. Si $f\in\mc{E}$, on pose $\widehat{f}(s)=\int_0^{+\i}\dfrac{f(u)}{u+s}\,du$ pour tout $s\gt 0$. - Quelles inclusions existent entre $\mc{L}$ et $\mc{E}$? - Dans cette question, on suppose que $f(u)=u^{\alpha-1}$, ou $\alpha\in]0,1[$. Montrer que $\widehat{f_{\alpha}}$ est proportionnelle a $f_{\alpha}$. - - Soit $f\in\mc{E}$. Montrer que $\widehat{f}$ est continue, et determiner $\lim_{s\to+\i}\widehat{f}(s)$. + - Soit $f\in\mc{E}$. Montrer que $\widehat{f}$ est continue, et déterminer $\lim_{s\to+\i}\widehat{f}(s)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 838] -Montrer que $\int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{\ln(t)}{1-t}\,dt=\int_0^{ \frac{1}{2}}\dfrac{\ln(1-t)}{t}dt$ et en deduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{2^nn^2}$. +Montrer que $\int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{\ln(t)}{1-t}\,dt=\int_0^{ \frac{1}{2}}\dfrac{\ln(1-t)}{t}dt$ et en déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{2^nn^2}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 839] -- Soit $(a - {n\geq 0}\in\C^{\N}$ sommable. Montrer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sum_{n=0}^{+\i}a_n\dfrac{t^n}{n!} \,dt=\sum_{n=0}^{+\i}a_n$. - - Montrer le meme resultat en ne supposant que la convergence de la serie $\sum a_n$. +- Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ sommable. Montrer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sum_{n=0}^{+\i}a_n\dfrac{t^n}{n!} \,dt=\sum_{n=0}^{+\i}a_n$. + - Montrer le meme resultat en ne supposant que la convergence de la série $\sum a_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 840] Soient $\alpha\in\Big{]}0,\dfrac{\pi}{2}\Big{[}$ et $f:t\mapsto\dfrac{1}{1-\sin\alpha\cos t}$: - Expliciter une suite $(a_n)$ telle que $:\forall t\in\R$, $f(t)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n\cos(nt)$. - - En deduire, pour $n\in\N$, la valeur de $:\int_0^{\pi}\dfrac{\cos(nt)}{1-\sin\alpha\cos t}\,dt$. + - En déduire, pour $n\in\N$, la valeur de $:\int_0^{\pi}\dfrac{\cos(nt)}{1-\sin\alpha\cos t}\,dt$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 841] -Soit $(\lambda - {n\in\N}$ une suite croissante de reels strictement positifs. +Soit $(\lambda - {n\in\N}$ une suite croissante de réels strictement positifs. On pose : $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n\exp(-\lambda_nx)$. - - Determiner le domaine de definition de $f$.On suppose dans la suite que $(\lambda_n)$ tend vers $+\i$. - - Montr per que l'integrale $\int_0^{+\i}f$ converge et la calculer. + - Déterminer le domaine de définition de $f$.On suppose dans la suite que $(\lambda_n)$ tend vers $+\i$. + - Montr per que l'intégrale $\int_0^{+\i}f$ converge et la calculer. - Traiter le cas particulier ou $\lambda_n=n+1$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 842] Soient $a$ et $b$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R^+$ et $S$ l'ensemble des solutions de $y'=ay+b$. Montr per l'equivalence entre : -i) tous les elements de $S$ sont bornes, ii) $a$ et $b$ sont integrables. +i) tous les elements de $S$ sont bornes, ii) $a$ et $b$ sont intégrables. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 843] -Determiner les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$ derivables et telles que $y'(x)=y(\pi-x)$. +Déterminer les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$ derivables et telles que $y'(x)=y(\pi-x)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 844] Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que $f(0)=0$ et que $\forall x\in\R^*,f(x)=e^{-1/x^2}$. - Montr per que $f$ est de classe $C^{\i}$ sur $\R$. - - La fonction $f$ est-elle solution d'une equation differentielle lineaire homogene? + - La fonction $f$ est-elle solution d'une équation différentielle lineaire homogéné? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 845] -Resoudre l'equation differentielle $y'+|y|=1$. +Resoudre l'équation différentielle $y'+|y|=1$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 846] @@ -5529,15 +5768,15 @@ Soient $n\in\N^*$ et $\omega\in\C$ tel que $\omega^n=1$. Trouver les fonctions $ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 847] -On considere la fonction $f\colon\R\to\R$ definie par : $f(x)=\exp(-x^{-2})$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montr per que $f$ n'est solution d'aucune equation differentielle lineaire homogene a coefficients constants (d'ordre quelconque). +On considère la fonction $f\colon\R\to\R$ définie par : $f(x)=\exp(-x^{-2})$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montr per que $f$ n'est solution d'aucune équation différentielle lineaire homogéné a coefficients constants (d'ordre quelconque). #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 848] -Resoudre le systeme differentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te^t\\ y'=3x+2y+3z+e^t\\ z'=3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.$ +Resoudre le systeme différentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te^t\\ y'=3x+2y+3z+e^t\\ z'=3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 849] -Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On note $(S)$ le systeme differentiel : $\forall p\in[1,n],x_p^{(m)}=\sum_{q=1}^na_{p,q}x_q(t)$. +Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On note $(S)$ le systeme différentiel : $\forall p\in[1,n],x_p^{(m)}=\sum_{q=1}^na_{p,q}x_q(t)$. Montr per que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales. #+end_exercice @@ -5547,19 +5786,22 @@ Resoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'=x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 851] -Determiner les solutions developpables en serie entiere au voisinage de 0 de l'equation : +Déterminer les solutions développables en série entiere au voisinage de 0 de l'équation : $2xy^{''}-y'+2y=0$. Les exprimer a l'aide des fonctions usuelles. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 852] -- Resoudre l'equation : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=0$ sur $\R$ en cherchant des solutions developpables en serie entiere. - - Resoudre : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=\frac{1}{1+t^2}$.# 853 - On considere l'equation differentielle : $y^{''}-y=|\cos x|$. Existe-t-il des solutions positives? Bornees? Positives et bornees? +- Resoudre l'équation : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=0$ sur $\R$ en cherchant des solutions développables en série entiere. + - Resoudre : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=\frac{1}{1+t^2}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 853] + On considère l'équation différentielle : $y^{''}-y=|\cos x|$. Existe-t-il des solutions positives? Bornees? Positives et bornees? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 854] -Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. Soit $(E)$ l'equation differentielle $y'+a(x)y+b(x)=0$. Soit $A:x\mapsto\int_0^xa(t)\,dt$ et $I=A(2\pi)$. +Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y'+a(x)y+b(x)=0$. Soit $A:x\mapsto\int_0^xa(t)\,dt$ et $I=A(2\pi)$. - Trouver une condition sur $I$ pour que $A$ soit $2\pi$-periodique. - Montrer que si $y$ est solution de $(E)$, alors $x\mapsto y(x+2\pi)$ est aussi solution de $(E)$. - Supposons $I\neq 0$. Montrer que $(E)$ admet une unique solution $2\pi$-periodique. @@ -5570,7 +5812,7 @@ Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. #+begin_exercice [Mines 2023 # 855] Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}e^{x\sin(t)}dt$. - Montrer que $f$ est solution de $(*):xy^{''}+y'=xy$. - - Quelles sont les solutions developpables en serie entiere sur $\R$ de $(*)$? + - Quelles sont les solutions développables en série entiere sur $\R$ de $(*)$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 856] @@ -5578,7 +5820,7 @@ Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}e^{x\sin(t)}dt$. $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A+\int_0^xf(t)\,g(t)dt$. Montrer que $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A\exp\left(\int_0^xg(t)dt\right)$. -Soit $(*)$ l'equation differentielle $x^{''}(t)+a(t)x(t)=b(t)$ avec $a$ et $b$ continues sur $\R^+$, $b$ et $t\mapsto t\,a(t)$ integrables sur $\R^+$. Soit $x$ solution de $(*)$. +Soit $(*)$ l'équation différentielle $x^{''}(t)+a(t)x(t)=b(t)$ avec $a$ et $b$ continues sur $\R^+$, $b$ et $t\mapsto t\,a(t)$ intégrables sur $\R^+$. Soit $x$ solution de $(*)$. - Montrer que $\forall t\geq 1$, $x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)du+\int_{1 }^t(t-u)\,b(u)du$. @@ -5596,16 +5838,19 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n;$ Expliciter les solutions de $X'(t)=AX( #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 859] -Soit $A\in\M_n(\C)$. A quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme differentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornees sur $\R$? +Soit $A\in\M_n(\C)$. A quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme différentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornees sur $\R$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 860] -Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x,y)=y(1-x)$ sinon. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $D$ et les determiner. +Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x,y)=y(1-x)$ sinon. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $D$ et les déterminer. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 861] -Etudier la differentiabilite de la fonction $f$ definie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$.# 862 - On note $T$ le triangle plein defini par les points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Determiner le minimum sur $T$ de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2+\frac{1}{2}(1-x-y)$. +Étudier la differentiabilite de la fonction $f$ définie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 862] + On note $T$ le triangle plein défini par les points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Déterminer le minimum sur $T$ de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2+\frac{1}{2}(1-x-y)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 863] @@ -5613,34 +5858,34 @@ Soit $f\colon\R^2\to\R$ telle que $f(0,0)=1$ et $f(x,y)=(x^2+y^2)^x$ si $(x,y)\n - Montrer que $f$ est continue sur $\R^2$. - Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$. - La fonction $f$ admet-elle des derivees partielles en $(0,0)$? - - Etudier les variations de $g:x\mapsto f(x,0)$. - - Determiner les extrema de $f$. + - Étudier les variations de $g:x\mapsto f(x,0)$. + - Déterminer les extrema de $f$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 864] -Soit $f:(\R^+)^2\to\R$ definie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=\frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}$ sinon. +Soit $f:(\R^+)^2\to\R$ définie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=\frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}$ sinon. - Montrer que $f$ est continue. - - Etudier les extrema de $f$. + - Étudier les extrema de $f$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 865] -Soient $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie, $f$ une forme lineaire sur $E$. +Soient $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $f$ une forme lineaire sur $E$. -Montrer que l'application $g:x\in E\mapsto f(x)\,e^{-\|x\|^2}$ admet un minimum et un maximum, puis determiner ce maximum et ce minimum. +Montrer que l'application $g\colon x\in E\mapsto f(x)\,e^{-\lN x\rN^2}$ admet un minimum et un maximum, puis déterminer ce maximum et ce minimum. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 866] -Determiner les fonctions de classe $\mc C^2$ sur $(\R^{+*})^2$ verifiant $x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-y^2\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=0$. On pourra faire le changement de variables $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$. +Déterminer les fonctions de classe $\mc C^2$ sur $(\R^{+*})^2$ verifiant $x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-y^2\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=0$. On pourra faire le changement de variables $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 867] -Soit $K\in\R$. Determiner toutes les fonctions $f:]0,+\i[\times\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ solutions de l'equation $x\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)-y\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=K\,f(x,y)$. +Soit $K\in\R$. Déterminer toutes les fonctions $f:]0,+\i[\times\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ solutions de l'équation $x\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)-y\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=K\,f(x,y)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 868] -Soient $\alpha\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R^3,\R)$. On dit que $f$ est homogene de degre $\alpha$ si : +Soient $\alpha\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R^3,\R)$. On dit que $f$ est homogéné de degre $\alpha$ si : -$\forall(x,y,z)\in\R^3$, $\forall t\in\R^{+*}$, $f(tx,ty,tz)=t^{\alpha}f(x,y,z)$. Montrer que $f$ est homogene de degre $\alpha$ si et seulement si $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{ \partial f}{\partial z}=\alpha f$. +$\forall(x,y,z)\in\R^3$, $\forall t\in\R^{+*}$, $f(tx,ty,tz)=t^{\alpha}f(x,y,z)$. Montrer que $f$ est homogéné de degre $\alpha$ si et seulement si $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{ \partial f}{\partial z}=\alpha f$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 869] @@ -5658,13 +5903,17 @@ On pose $E=C^{\i}(\R^n,\R)$ et $D=\Big{\{}\phi\in\mc{L}(E,\R)\ ;\ \forall(f,g)\in E^2,\phi(fg)=f(0) \phi(g)+g(0)\phi(f)\Big{\}}$. - Montrer que la famille $(\phi - {1\leq i\leq n}$ est libre, avec : $\phi_i:f\mapsto\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)$. - - Montrer que $D$ est de dimension finie.# 871 - Soient $f\in C^2(\R^2,\R)$, $k\in[0,1[$ tells que$:\forall a\in\R^2,\left|\frac{\partial f}{\partial x}(a)\right|+ \left|\frac{\partial f}{\partial y}(a)\right|\leq k$. Soit $(u_n)$ definie par $(u_0,u_1)\in\R^2$ et $:\forall n\in\N,u_{n+2}=f(u_n,u_{n+1})$. + - Montrer que $D$ est de dimension finie. + +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 871] +Soient $f\in C^2(\R^2,\R)$, $k\in[0,1[$ tels que $\forall a\in\R^2,\left|\frac{\partial f}{\partial x}(a)\right|+ \left|\frac{\partial f}{\partial y}(a)\right|\leq k$. Soit $(u_n)$ définie par $(u_0,u_1)\in\R^2$ et $:\forall n\in\N,u_{n+2}=f(u_n,u_{n+1})$. Pour tout $n\in\N$, on pose $:a_n=\max\left(|u_{n+1}-u_n|,|u_{n+2}-u_{n+1}|\right).$ - - Montrer $:\forall(a,b)\in(\R^2)^2$, $\exists c\in\R^2$, $f(b)-f(a)=(b-a|\nabla f(c))$. - - Montrer que $:\forall(x,y,x',y')\in\R^4,\left|f(x,y)-f(x^{' },y')\right|\leq k\max\left(|x-x'|,|y-y'|\right).$ - - Montrer que $:\forall n\in\N,a_{n+2}\leq ka_n$, puis qu'il existe deux constantes $q$ et $C$ telles que $:\forall n\in\N,a_n\leq Cq^n$. + - Montrer $\forall(a,b)\in(\R^2)^2$, $\exists c\in\R^2$, $f(b)-f(a)=(b-a|\nabla f(c))$. + - Montrer que $\forall(x,y,x',y')\in\R^4,\left|f(x,y)-f(x^{' },y')\right|\leq k\max\left(|x-x'|,|y-y'|\right)$. + - Montrer que $\forall n\in\N,a_{n+2}\leq ka_n$, puis qu'il existe deux constantes $q$ et $C$ telles que $\forall n\in\N,a_n\leq Cq^n$. - Montrer que $(u_n)$ est une suite convergente et donner une propriete verifiee par sa limite. #+end_exercice @@ -5675,18 +5924,18 @@ Soient $\Omega$ un ouvert de $\R$, $K$ une partie compacte non vide de $\Omega$, #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 873] -Soient $R\in\R^{+*}$, $D_R=\{(x,y)\in\R^2\ ;\ x^2+y^2\lt R^2\}$, $(a - {n\geq 0}$ une suite complex telle que $\sum a_nz^n$ ait pour rayon de convergence $R$. Pour $(x,y)\in D_R$, on pose $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n(x+iy)^n$. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ et harmonique sur $D_R$. +Soient $R\in\R^{+*}$, $D_R=\{(x,y)\in\R^2\ ;\ x^2+y^2\lt R^2\}$, $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite complex telle que $\sum a_nz^n$ ait pour rayon de convergence $R$. Pour $(x,y)\in D_R$, on pose $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n(x+iy)^n$. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ et harmonique sur $D_R$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 874] Soient $A\in S^{++}_n(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose $:f:X\in\R^n\mapsto X^TAX-2B^TX$. - Calculer $\nabla f(X)$. - - Montrer que $f$ admet un minimum global et le determiner. + - Montrer que $f$ admet un minimum global et le déterminer. - Soit $(X_k)$ une suite de vecteurs non nuls verifiant $\forall k\in\N,X_{k+1}=X_k-\frac{\|\nabla f(X_k)\|}{X_k^TAX_{ k}}\nabla f(X_k)$. On suppose que la suite $(X_k)$ est convergente. -Determiner sa limite. +Déterminer sa limite. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 875] @@ -5694,7 +5943,7 @@ Pour $x=(x_0,\ldots,x_n)$ et $y=(y_0,\ldots,y_n)$ dans $\R^{n+1}$, on pose $f(x,y)=\left(\sum_{0\leq i,j\leq n\atop i+j=k}x_iy_j\right)_{k \in[0,2n]}\in\R^{2n+1}$. - Soient $x,y\in(\R^{n+1}$ non nuls. Montrer que $f(x,y)$ est non nul. - - Soient $u$ et $v$ les applications de $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ dans $\R^{2n+1}$ definies par $u:x\mapsto f(x,x)$ et $v:x\mapsto\frac{f(x,x)}{\|f(x,x)\|}$ ou $\|\ \|$ est la norme euclidienne canonique sur $\R^{2n+1}$. Calculer les differentielles de $u$ et $v$. + - Soient $u$ et $v$ les applications de $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ dans $\R^{2n+1}$ définies par $u:x\mapsto f(x,x)$ et $v:x\mapsto\frac{f(x,x)}{\|f(x,x)\|}$ ou $\|\ \|$ est la norme euclidienne canonique sur $\R^{2n+1}$. Calculer les différentielles de $u$ et $v$. - Soit $x\in\R^{n+1}$ non nul. Calculer $\op{rg}\left(\op{d}\!v(x)\right)$. #+end_exercice @@ -5702,14 +5951,14 @@ $f(x,y)=\left(\sum_{0\leq i,j\leq n\atop i+j=k}x_iy_j\right)_{k \in[0,2n]}\in\R^ ${}^{\bigstar}$ Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ differentiable telle que : i) pour tout $x\in\R^n$, $\op{d}\!f(x)$ est injective ; ii) $\|f(x)\|\underset{\|x\|\to+\i}{\longrightarrow}+\i$. Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$. - - Calculer $\op{d}\!g$. - Montrrer que $g$ admet un minimum. - - En deduire que $f$ est surjective. + - Calculer $\op{d}\!g$. - Montrer que $g$ admet un minimum. + - En déduire que $f$ est surjective. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 877] Soient $U$ un ouvert convexe de $\R^n$ et $f:U\to\R$ une fonction de classe $C^1$. - Montrre que $f$ est convexe si et seulement si $f(y)-f(x)\geq df_x(y-x)$ pour tous $x,y\in U$. Que donne cette caracterisation dans le cas ou $n=1$? - - Soient $\alpha$ et $\beta$ des reels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrre que $\Phi$ atteint sa borne inferieure en un unique element de $E$, que l'on precisera. + - Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrre que $\Phi$ atteint sa borne inferieure en un unique element de $E$, que l'on precisera. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 878] @@ -5718,125 +5967,132 @@ Soit $E=\M_n(\R)$ muni de la norme euclidienne canonique. On pose $f:M\in E\mapsto\|M\|^2=\mathrm{tr}(M^TM)$ et $g:M\in E\mapsto\det M-1$. On note $h$ la restriction de $f$ a $\mathrm{SL}_n(\R)$. - Justifier que $f$ et $g$ sont de classe $\mc C^1$ et calculer leur gradient en une matrice $M\in\mathrm{SL}_n(\R)$. - Montrre que $f$ admet un minimum sur $\mathrm{SL}_n(\R)$. Soit $M_0$ une matrice ou il est ateint. - - Soit $H\in\M_n(\R)$ orthogonale au gradient de $g$ en $M_0$. Montrre qu'il existe un chemin $\gamma$ de classe $\mc C^1$ defini sur un voisinage de $0$ dans $\R$, a valeurs dans $\mathrm{SL}_n(\R)$ tel que $\gamma(0)=M_0$ et $\gamma'(0)=H$. + - Soit $H\in\M_n(\R)$ orthogonale au gradient de $g$ en $M_0$. Montrre qu'il existe un chemin $\gamma$ de classe $\mc C^1$ défini sur un voisinage de $0$ dans $\R$, a valeurs dans $\mathrm{SL}_n(\R)$ tel que $\gamma(0)=M_0$ et $\gamma'(0)=H$. - Montrre que $(\nabla f_{M_0})^{\perp}=(\nabla g_{M_0})^{\perp}$. - Calculer le minimum de $h$ sur $\mathrm{SL}_n(\R)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 879] -Si $n\in\N^*$, determiner $T_{I_n}\mathrm{SO}_n(\R)$, puis, si $M\in\mathrm{SO}_n({}_R)$,$T_M\mathrm{SO}_n(\R)$. - -_Probabilities_ +Si $n\in\N^*$, déterminer $T_{I_n}\mathrm{SO}_n(\R)$, puis, si $M\in\mathrm{SO}_n({}_R)$,$T_M\mathrm{SO}_n(\R)$. #+end_exercice +** Probabilités + +# ID:6954 #+begin_exercice [Mines 2023 # 880] -On tire au hasard un element $A$ de $P(\db{1,n})$. Calculer la probabilite que $\mathrm{card}\,A$ soit un entier pair. +On tire au hasard un element $A$ de $P(\db{1,n})$. Calculer la probabilité que $\op{Card}A$ soit un entier pair. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 881] -Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux unres contenant chacune des boules numerotees de $1$ a $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance. +Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux urnes contenant chacune des boules numerotees de $1$ a $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 882] -Un couple met au monde quatre enfants. Chaque enfant a la probabilite $p\in]0,1[$ d'etre une fille, et les naissances sont independantes. On considere les evenements $A:\ll$e dernier est une fille $\Rightarrow$, $B:\ll$e couple a autant de filles que de garcons $\Rightarrow$, $C:\ll$es garcons naissent toujours apres une fille $\Rightarrow$. +Un couple met au monde quatre enfants. Chaque enfant a la probabilité $p\in]0,1[$ d'être une fille, et les naissances sont independantes. On considère les evenements $A$ : le dernier est une fille, $B$: le couple a autant de filles que de garcons: $C$ : les garcons naissent toujours apres une fille. - Les evenements $A$ et $B$ (resp. $A$ et $C$) sont-ils independants? - Les evenements $A,B,C$ sont-ils mutuellement independants? #+end_exercice +# ID:6955 #+begin_exercice [Mines 2023 # 883] -Soit $p\in]0,1[$. Dans un sac contenant $n$ jetons numerotes de $1$ a $n$, on tire $S$ jetons ou $S$ est une variable aleatoire suivant la loi binomiale de parametre $n$ et $p$. Quelle est la probabilite d'obtenir des jetons de numeros consecutifs? +Soit $p\in]0,1[$. Dans un sac contenant $n$ jetons numerotes de $1$ a $n$, on tire $S$ jetons ou $S$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètre $n$ et $p$. Quelle est la probabilité d'obtenir $n$ jetons de numéros consécutifs? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 884] -On lance une piece jusqu'a obtenir deux piles de plus que de faces ou deux faces de plus que de piles. On note $p\in]0,1[$ la probabilite que la piece donne pile. On note $X$ la variablealeatoire associee au nombre de lancers. Determiner la loi de $X$ et montrer que $X$ est presque surement finie. La variable aleatoire $X$ est-elle d'esperance finie? +On lance une piece jusqu'a obtenir deux piles de plus que de faces ou deux faces de plus que de piles. On note $p\in]0,1[$ la probabilité que la piece donne pile. On note $X$ la variablealéatoire associee au nombre de lancers. Déterminer la loi de $X$ et montrer que $X$ est presque surement finie. La variable aléatoire $X$ est-elle d'espérance finie? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 885] -Une urne contient $n\in\N^*$ boules noires et $b\in\N^*$ boules blanches. On tire successivement et sans remise les boules. On note $X$ la variable aleatoire qui donne le rang de la derniere boule blanche titee. Calculer la loi, l'esperance et la variance de $X$. +Une urne contient $n\in\N^*$ boules noires et $b\in\N^*$ boules blanches. On tire successivement et sans remise les boules. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le rang de la derniere boule blanche titee. Calculer la loi, l'espérance et la variance de $X$. #+end_exercice +# ID:6886 #+begin_exercice [Mines 2023 # 886] -On considere une urne qui contient une proportion $p\in\,]0,1[$ de boules blanches. On effectue un tirage avec remise des boules. Soit $X_n$ la variable donnant le nombre de tirages successifs necessaires pour obtenir $n$ boules blanches. Donner la loi de $X_1$ ainsi que sa fonction generatrice $\mc{G}_{X_1}$. En deduire $\mc{G}_{X_n}$. Loi et esperance de $X_n$? +On considère une urne qui contient une proportion $p\in\,]0,1[$ de boules blanches. On effectue un tirage avec remise des boules. Soit $X_n$ la variable donnant le nombre de tirages successifs nécessaires pour obtenir $n$ boules blanches. Donner la loi de $X_1$ ainsi que sa fonction génératrice $\mc{G}_{X_1}$. En déduire $\mc{G}_{X_n}$. Loi et espérance de $X_n$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 887] -On considere une urne remplie avec des boules numerotees de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise. - - Calculer la probabilite que les boules impaires soient tires exactement dans l'ordre $1,3,\ldots,2n-1$. - - Soit $X$ la variable correspondant au nombre de tirages necessaires pour obtenir toutes les boules impaires. Determiner la loi et l'esperance de $X$. +On considère une urne remplie avec des boules numerotees de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise. + - Calculer la probabilité que les boules impaires soient tires exactement dans l'ordre $1,3,\ldots,2n-1$. + - Soit $X$ la variable correspondant au nombre de tirages necessaires pour obtenir toutes les boules impaires. Déterminer la loi et l'espérance de $X$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 888] Soit $n\geq 2$. On place $n$ boules numerotees de $1$ a $n$ dans une urne et l'on realise des tirages successifs avec remise. On note $X$ le rang du tirage donnant pour la premiere fois un numero superieur ou egal aux precedents. - - Determiner la loi de $X$. - - Calculer l'esperance et la variance de $X$. + - Déterminer la loi de $X$. + - Calculer l'espérance et la variance de $X$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 889] Une urne contient $n+1$ boules numerotees de 0 a $n$. On y effectue des tirages avec remise. On pose $X_1=1$. Pour $i\geq 2$, $X_i$ est la variable de Bernoulli egale a 1 si le numero de la boule titee au $i$-eme tirage n'avait jamais ete obtenu avant. On pose, pour $i\in\N^*$, $Y_i=X_1+\cdots+X_i$. - - Determiner la loi des $X_i$. - - Calculer l'esperance et la variance de $Y_i$. Donner un equivalent de $\mathbf{E}(Y_n)$. + - Déterminer la loi des $X_i$. + - Calculer l'espérance et la variance de $Y_i$. Donner un équivalent de $\mathbf{E}(Y_n)$. - Pour $(i,j)\in(\N^*)^2$, calculer $\mathbf{P}(X_i=1,X_j=1)$. - - Etudier l'independance des $X_i$. + - Étudier l'independance des $X_i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 890] -Soit $(J - {n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilite $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un meme joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'evenement \lt \lt le $n$-ieme match est joue \gt \gt . Determiner la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$. +Soit $(J - {n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilité $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un meme joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'evenement \lt \lt le $n$-ieme match est joue \gt \gt . Déterminer la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 891] -On suppose que lorsqu'un enfant natt, il a une chance sur deux d'etre un garcon. Dans une famille donnee, le nombre d'enfants est la variable aleatoire $Z$ et le nombre de filles est $X$. - - Montrer que : $\forall t\in[0,1],G_X(t)=G_Z\left(\frac{1+t}{2}\right).$ - - Expliciter la loi de $X$ si $Z$ suit une loi de Poisson de parametre $\lambda$.# 892 - Une puce se trouve sur l'origine de $\Z^2$. A chaque etape, elle saute aleatoirement dans l'une des quatre directions. On note $X_n$ l'abscisse de la puce a l'etape $n$. Calculer $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{E}(X_n^2)$. +On suppose que lorsqu'un enfant natt, il a une chance sur deux d'être un garcon. Dans une famille donnee, le nombre d'enfants est la variable aléatoire $Z$ et le nombre de filles est $X$. + - Montrer que : $\forall t\in[0,1],G_X(t)=G_Z\left(\frac{1+t}{2}\right)$. + - Expliciter la loi de $X$ si $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. #+end_exercice +#+begin_exercice [Mines 2023 # 892] +Une puce se trouve sur l'origine de $\Z^2$. À chaque etape, elle saute aléatoirement dans l'une des quatre directions. On note $X_n$ l'abscisse de la puce a l'etape $n$. Calculer $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{E}(X_n^2)$. +#+end_exercice + +# ID:6855 #+begin_exercice [Mines 2023 # 893] -On munit $\mc{S}_n$ de la probabilite uniforme. Calculer la probabilite $\pi_n$ que $\sigma\in\mc{S}_n$ ait un cycle de longueur strictement superieure a $\dfrac{n}{2}$ dans sa decomposition en produit de cycles a supports disjoints. Determiner un equivalent de $\pi_n$. +On munit $\mc{S}_n$ de la probabilité uniforme. Calculer la probabilité $\pi_n$ que $\sigma\in\mc{S}_n$ ait un cycle de longueur strictement superieure a $\frac{n}{2}$ dans sa decomposition en produit de cycles à supports disjoints. Déterminer un équivalent de $\pi_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 894] -Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi geometrique de parametre $p\in\,]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$. +Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires independantes qui suivent la loi geometrique de paramètre $p\in\,]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$. - Calculer $\mathbf{P}(Y=0)$. - - Determiner la loi de $Y$. - - Montrer que $Y$ est d'esperance finie et calculer $\mathbf{E}(Y)$. + - Déterminer la loi de $Y$. + - Montrer que $Y$ est d'espérance finie et calculer $\mathbf{E}(Y)$. - Montrer que $Y$ possede un moment d'ordre 2 et calculer $\mathbf{V}(Y)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 895] -- Determiner la loi de la somme de $n$ variables geometriques de parametre $p\in]0,1[$, independantes et identiquement distribuees. - - Soit $p\in]0,1[$. On lance des des tels que la probabilite de tomber sur $6$ en jetant un de est $p$. Soit $X$ la variable aleatoire egale au rang du $n$-ieme $6$. Determiner la loi et l'esperance de $X$. +- Déterminer la loi de la somme de $n$ variables geometriques de paramètre $p\in]0,1[$, independantes et identiquement distribuees. + - Soit $p\in]0,1[$. On lance des des tels que la probabilité de tomber sur $6$ en jetant un de est $p$. Soit $X$ la variable aléatoire egale au rang du $n$-ieme $6$. Déterminer la loi et l'espérance de $X$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 896] -Soient $n\in\N^*$, $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Pour $m\in\db{1,n]\!]$, on note $X_m=\min\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$ et $Y_m=\max\left\{k\in[\![1,n},\ \sigma(k)\geq m\right\}$. Calculer la loi de $X_m$ et $Y_m$, et leur esperance. +Soient $n\in\N^*$, $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Pour $m\in\db{1,n]\!]$, on note $X_m=\min\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$ et $Y_m=\max\left\{k\in[\![1,n},\ \sigma(k)\geq m\right\}$. Calculer la loi de $X_m$ et $Y_m$, et leur espérance. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 897] -Soient $\lambda\gt 0$ et $X$ une variable aleatoire qui suit la loi de Poisson de parametre $\lambda$. Soient $b\in\N^*$ et $Y$ le reste de la division euclidienne de $X$ par $b$. Determiner la loi de $Y$. +Soient $\lambda\gt 0$ et $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Soient $b\in\N^*$ et $Y$ le reste de la division euclidienne de $X$ par $b$. Déterminer la loi de $Y$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 898] -Soit $p\in\,]0,1[$. Soit $(X - {k\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. verifiant : +Soit $p\in\,]0,1[$. Soit $(X - {k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. verifiant : $\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_k=-1)=1-p$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que $p=\dfrac{1}{2}$ si et seulement si : $\forall n\in\N^*,\max_{k\in\Z}\mathbf{P}(S_{2n}=k)=\mathbf{P}( S_{2n}=0)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 899] -Soient $A,B,C$ des variables aleatoires independantes telles que $A$ suive la loi de Rademacher, et $B$ et $C$ la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. - - Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette deux racines reelles distinctes. - - Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette une unique racine reelle. - - Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ n'admette aucune racine reelle. - - Cette derniere probabilite peut-etre egale a $\dfrac{1}{2}$? Dans ce cas, donner une valeur approchee de $p$ a $10^{-1}$ pres. +Soient $A,B,C$ des variables aléatoires independantes telles que $A$ suive la loi de Rademacher, et $B$ et $C$ la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$. + - Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette deux racines réelles distinctes. + - Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette une unique racine réelle. + - Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ n'admette aucune racine réelle. + - Cette derniere probabilité peut-être egale a $\dfrac{1}{2}$? Dans ce cas, donner une valeur approchee de $p$ a $10^{-1}$ pres. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 900] -On considere une variable aleatoire $X$ suivant la loi de poisson de parametre $\lambda$ et on pose $Y=X^2+1$. - Calculer l'esperance de $Y$. - - Calculer la probabilite de l'evenement $(2X\lt Y)$. - - Comparer les probabilites des evenements $(X\in 2\N)$ et $(X\in 2\N+1)$. +On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi de poisson de paramètre $\lambda$ et on pose $Y=X^2+1$. - Calculer l'espérance de $Y$. + - Calculer la probabilité de l'evenement $(2X\lt Y)$. + - Comparer les probabilités des evenements $(X\in 2\N)$ et $(X\in 2\N+1)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 901] -Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $[a,b]$, d'esperance $\mathbf{E}(X)=m$. +Soit $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $[a,b]$, d'espérance $\mathbf{E}(X)=m$. - Montrere que $\mathbf{V}(X)\leq(m-a)(b-m)$. - Montrere que cette inegalite est optimale. #+end_exercice @@ -5845,131 +6101,137 @@ Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $[a,b]$, d'esperance $\mathbf{E}( Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $b\in\M_{n,1}(\R)$. On pose $M=\begin{pmatrix}A&b\\ b^T&c\end{pmatrix}$ et on suppose que les racines du polynome caracteristique de $M$ ne sont pas toutes simples. - Montrere que $M$ admet un vecteur propre de la forme $V=(v_1,...,v_n,0)^T$. - Montrere que $(v_1,...,v_n)^T$ est vecteur propre de $A$ et orthogonal a $b$. - - Soient $X_1,...,X_5$ variables de Bernoulli independantes de parametre $p\in]0,1[$. + - Soient $X_1,...,X_5$ variables de Bernoulli independantes de paramètre $p\in]0,1[$. -On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$. Montrere que la probabilite que le polynome caracte-ristique de la matrice $N$ n'ait que des racines simples est superieure ou egale a $3p^3-2p^4$. +On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$. Montrere que la probabilité que le polynome caracte-ristique de la matrice $N$ n'ait que des racines simples est superieure ou egale a $3p^3-2p^4$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 903] Soit $p\geq 3$ premier. Soit $K=\big{\{}x^2,\ x\in\Z/p\Z\big{\}}$. - Denombrer le cardinal de $K$. - - Soient $A$, $B$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\Z/p\Z$. Soit $N$ variable aleatoire comptant le nombre de solutions de $(E):\ X^2+AX+B=0$. Determiner l'esperance et la variance de $N$. + - Soient $A$, $B$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\Z/p\Z$. Soit $N$ variable aléatoire comptant le nombre de solutions de $(E):\ X^2+AX+B=0$. Déterminer l'espérance et la variance de $N$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 904] -Caracteriser les couples $(X,a)$ avec $X$ variable aleatoire discrete complexe et $a\in\C$ tels que $X\sim aX$. +Caracteriser les couples $(X,a)$ avec $X$ variable aléatoire discrète complexe et $a\in\C$ tels que $X\sim aX$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 905] -Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilite $\mathbf{P}_{\alpha}$ definie par $\mathbf{P}_{\alpha}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(\alpha)n^{\alpha}}$ pour $n\geq 1$. +Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilité $\mathbf{P}_{\alpha}$ définie par $\mathbf{P}_{\alpha}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(\alpha)n^{\alpha}}$ pour $n\geq 1$. - Calculer $\mathbf{P}_{\alpha}(m\N^*)$ pour $m\geq 1$. - On note $(p - {k\geq 1}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrere que les $p_k\N^*$ sont mutuellement independants. - - En deduire la formule d'Euler $\zeta(\alpha)=\prod_{k=1}^{+\i}\left(1-\dfrac{1}{p_k^{\alpha}} \right)^{-1}.$ + - En déduire la formule d'Euler $\zeta(\alpha)=\prod_{k=1}^{+\i}\left(1-\dfrac{1}{p_k^{\alpha}} \right)^{-1}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 906] -Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires discretes strictement positives, de meme loi et d'esperance finie. Montrere que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas ou $X$ et $Y$ sont independantes. +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de meme loi et d'espérance finie. Montrere que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas où $X$ et $Y$ sont independantes. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 907] -Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. suivant la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. +Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$. -On pose $:Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n),\beta_n=\mathbf{E}(Z_n)$. - - Etudier la monotonie des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$. - Exprimer $\alpha_n$ en fonction de $n$. - - Determiner la limite de $(\beta_n)$ puis un equivalent simple. +On pose $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n),\beta_n=\mathbf{E}(Z_n)$. + - Étudier la monotonie des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$. - Exprimer $\alpha_n$ en fonction de $n$. + - Déterminer la limite de $(\beta_n)$ puis un équivalent simple. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 908] -Soient $p,q\in]0,1[$. On considere deux variables aleatoires $X$ et $Y$, independantes, suivant les lois geometriques de parametres respectifs $p$ et $q$. Soit $M=\begin{pmatrix}X&1\\ 0&Y\end{pmatrix}$. Quelle est la probabilite que $M$ soit diagonalisable? +Soient $p,q\in]0,1[$. On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$, independantes, suivant les lois geometriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Soit $M=\begin{pmatrix}X&1\\ 0&Y\end{pmatrix}$. Quelle est la probabilité que $M$ soit diagonalisable? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 909] -Soient $p\in]0,1[$, $X$ une variable aleatoire suivant la loi geometrique de parametre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$. +Soient $p\in]0,1[$, $X$ une variable aléatoire suivant la loi geometrique de paramètre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$. - Montrer que la variable $Y$ suit une loi geometrique. - Montrer que les variables $Y$ et $2Y-X$ sont independantes. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 910] Soient $n\in\N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,d]\!]$. Pour $j\in\{1,\ldots,n\}$, on pose $Y_j=|\{i\in[\![1,n},\;X_i=j\}|$. - - Determiner la loi de $Y_j$. + - Déterminer la loi de $Y_j$. - Soient $i,j\in\db{1,n]\!]$ avec $i\neq j$ et $k,\ell\in[\![1,n}$. Calculer $\mathbf{P}(Y_i=k,Y_j=\ell)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 911] -Soit $X$ une variable aleatoire discrete a valeurs dans $\R^{+*}$ telle que $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X}\right)\lt +\i$. +Soit $X$ une variable aléatoire discrète a valeurs dans $\R^{+*}$ telle que $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X}\right)\lt +\i$. Pour tout $t\in\R^+$, on pose : $F_X(t)=\mathbf{E}(e^{-tX})$. - - Montrer que $F_X$ est bien definie (a valeurs reelles) et continue. + - Montrer que $F_X$ est bien définie (a valeurs réelles) et continue. - Montrer la convergence et calculer $\int_0^{+\i}F_X(t)\,dt$. - - Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires independantes suivant la loi geometrique de parametre $p\in\!]0,1[$. Calculer $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X+Y}\right)$. - - Generaliser a $m$ variables i.i.d. suivant la loi geometrique de parametre $p$. + - Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires independantes suivant la loi geometrique de paramètre $p\in\!]0,1[$. Calculer $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X+Y}\right)$. + - Généraliser a $m$ variables i.i.d. suivant la loi geometrique de paramètre $p$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 912] -Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,2\}$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,2\}$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Pour $n\in\Z$, soit $A_n=(\exists k\geq 0,\;S_k=-n)$ et $p_n=\mathbf{P}(A_n)$. - Exprimer $\mathbf{P}(\exists k\gt 0,\;S_k=0)$ en fonction de $p_{-1}$ et de $p_2$. - Trouver une relation entre $p_{n+2}$, $p_n$ et $p_{n-1}$. - - En deduire la valeur de $p_n$. + - En déduire la valeur de $p_n$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 913] -Soient $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute partie finie $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(S_n\in A)\lt +\i$. +Soient $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute partie finie $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(S_n\in A)\lt +\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 914] -Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de parametre $1/2$. - Donner la loi de $Z_n=\sum_{k=0}^n2^{n-k}X_k$. - Determiner $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 3^n)$ et $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 2^n)$. +Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de paramètre $1/2$. - Donner la loi de $Z_n=\sum_{k=0}^n2^{n-k}X_k$. - Déterminer $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 3^n)$ et $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 2^n)$. #+end_exercice +# ID:6888 #+begin_exercice [Mines 2023 # 915] -Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $\R^+$. - - Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}0$. - On suppose que ${\bf E}(X)\lt +\i$. Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$. - Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires. - -On pose, pour $n\in\N^*$, $R_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$. - - Donner un equivalent de ${\bf E}(R_n)$ lorsque les $X_i$ suivent la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. - - Dans le cas general, montrer que ${\bf E}(R_n)=o(n)$. +Soit $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $\R^+$. + - Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}0$. + - On suppose que ${\bf E}(X)\lt +\i$. Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$. + - Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables aléatoires. On pose, pour $n\in\N^*$, $R_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$. + - Donner un équivalent de ${\bf E}(R_n)$ lorsque les $X_i$ suivent la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$. + - Dans le cas général, montrer que ${\bf E}(R_n)=o(n)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 916] -Soit $(X - {i\geq 1}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. On suppose que chaque variable aleatoire $X_i+1$ suit la loi geometrique de parametre $p\in\,]0,1[$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. - - Determiner la loi de $S_n$. - - Determiner $M_n=\max\left\{{\bf P}(S_n=k),\ k\in\N\right\}$ puis un equivalent simple de $M_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. +Soit $(X - {i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. On suppose que chaque variable aléatoire $X_i+1$ suit la loi geometrique de paramètre $p\in\,]0,1[$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. + - Déterminer la loi de $S_n$. + - Déterminer $M_n=\max\left\{{\bf P}(S_n=k),\ k\in\N\right\}$ puis un équivalent simple de $M_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 917] -Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on determinera tel que : +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on déterminera tel que : $\forall\epsilon\gt 0$, ${\bf P}\left(\left|\frac{1}{\ln(n)}\max_{1\leq k\leq n}X_k-\alpha \right|\geq\epsilon\right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. #+end_exercice +# ID:6887 #+begin_exercice [Mines 2023 # 918] -Soit $g:t\mapsto\frac{e^t}{(1+e)-t}$ - - Montrer que $g$ est la fonction generatrice d'une variable aleatoire $X$ a valeurs dans $\N$. - - Soit $(X_{i,j})_{1\leq i\lt j\leq n}$ une famille i.i.d. de variables aleatoires de meme loi que $X$. Determiner la probabilite que $M=\left(\begin{array}{cccc}0&X_{1,2}&\ldots&X_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&X_{n-1,n}\\ 0&\ldots&\ldots&0\end{array}\right)$ ait un nombre fini de de sous-espaces stables. +Soit $g\colon t\mapsto\frac{e^t}{(1+e)-t}$ + - Montrer que $g$ est la fonction génératrice d'une variable aléatoire $X$ a valeurs dans $\N$. + - Soit $(X_{i,j})_{1\leq i\lt j\leq n}$ une famille i.i.d. de variables aléatoires de meme loi que $X$. Déterminer la probabilité que + $$M=\left(\begin{array}{cccc}0&X_{1,2}&\ldots&X_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&X_{n-1,n}\\ 0&\ldots&\ldots&0\end{array}\right)$$ ait un nombre fini de sous-espaces stables. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 919] -Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de parametre $p$. On pose $U=(X_1\ \cdots\ X_n)$ et $M=U^TU$. - - Determiner la loi des variables aleatoires $\op{tr}(M)$ et $\op{rg}(M)$. - - Calculer la probabilite que $M$ soit une matrice de projection.# 920 - Soit $(X_n)$ une suite de variables aleatoires independantes, strictement positives, $L^2$ et telles que : $\forall n\in\N$, $\mathbf{E}(X_n)=1$. On dit que $(X_n)$ converge en probabilites vers $0$ si : $\forall\alpha\gt 0,\mathbf{P}(X_n\geq\alpha)\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=1}^nX_i$. +Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On pose $U=(X_1\ \cdots\ X_n)$ et $M=U^TU$. + - Déterminer la loi des variables aléatoires $\op{tr}(M)$ et $\op{rg}(M)$. + - Calculer la probabilité que $M$ soit une matrice de projection. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines 2023 # 920] + Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires independantes, strictement positives, $L^2$ et telles que : $\forall n\in\N$, $\mathbf{E}(X_n)=1$. On dit que $(X_n)$ converge en probabilités vers $0$ si : $\forall\alpha\gt 0,\mathbf{P}(X_n\geq\alpha)\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=1}^nX_i$. - Soient $\lambda\in[0,1]$ et $X\in L^2$ telle que $\mathbf{E}(X^2)\gt 0$. Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$. - - Montrer que $\mathbf{E}(\sqrt{P_n})\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$ si et seulement si $(X_n)$ converge vers $0$ en probabilites. + - Montrer que $\mathbf{E}(\sqrt{P_n})\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$ si et seulement si $(X_n)$ converge vers $0$ en probabilités. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 921] -- Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ une famille i.i.d. de variables aleatoires de Rademmacher, $S=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que, si $t\in\R^+$, $\mathbf{E}(e^{tS})\leq\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2}\right)$. En deduire que, si $a\in\R^{+*}$, $\mathbb{P}(|S|\geq a)\leq 2e^{-\frac{a^2}{2n}}$. - - Generaliser au cas ou les $X_k$ sont des variables aleatoires discretes i.i.d, a valeurs dans $[-1,1]$ et centres. +- Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ une famille i.i.d. de variables aléatoires de Rademmacher, $S=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que, si $t\in\R^+$, $\mathbf{E}(e^{tS})\leq\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2}\right)$. En déduire que, si $a\in\R^{+*}$, $\mathbb{P}(|S|\geq a)\leq 2e^{-\frac{a^2}{2n}}$. + - Généraliser au cas ou les $X_k$ sont des variables aléatoires discrètes i.i.d, a valeurs dans $[-1,1]$ et centres. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines 2023 # 922] -Soit $(X - {i\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. possedant un moment d'ordre $4$. On pose : $m=\mathbf{E}(X_i)$ et $V_4=\mathbf{E}((X_i-m)^4)$. - - Justifier la bonne definition (dans $\R$) de $m$ et $V_4$. +Soit $(X - {i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. possedant un moment d'ordre $4$. On pose : $m=\mathbf{E}(X_i)$ et $V_4=\mathbf{E}((X_i-m)^4)$. + - Justifier la bonne définition (dans $\R$) de $m$ et $V_4$. -Pour $\epsilon\gt 0$, on pose : $ A_n^{\epsilon}=\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-m) \right|\geq\epsilon\right).$ +Pour $\epsilon\gt 0$, on pose : $A_n^{\epsilon}=\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-m) \right|\geq\epsilon\right)$. - Montrer que $\mathbf{P}(A_n^{\epsilon})\leq\dfrac{3V_4}{n^2\epsilon^4}$. - Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{n=1}^{+\i}\bigcup_{p=n}^{+\i}A_p^{ \epsilon}\right)=0$. - Montrer que $\mathbf{P}\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\underset{n\to+ \i}{\longrightarrow}m\right)=1$. @@ -5989,19 +6251,19 @@ $\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $ P(X+n)+\sum_{k=0}^{n-1}a_kP(X+k)=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 925] -Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'equation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$. +Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'équation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$. - Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallelement a $u$. - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D):\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$ #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 926] -Soit $E=\R_n[X]$. On considere les polynomes $E_k=\binom{n}{k}X^k(1-X)^{n-k}$, $0\leq k\leq n$. - - Montrrer que $(E - {0\leq k\leq n}$ est une base de $E$. +Soit $E=\R_n[X]$. On considère les polynomes $E_k=\binom{n}{k}X^k(1-X)^{n-k}$, $0\leq k\leq n$. + - Montrer que $(E - {0\leq k\leq n}$ est une base de $E$. - Calculer $\sum_{k=0}^nkE_k$ et $\sum_{k=0}^nk^2E_k$. - Comment aurait-on pu prevoir les resultats obtenus? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 927] -Resoudre dans $\M_n(\R)$ l'equation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$. +Resoudre dans $\M_n(\R)$ l'équation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 928] @@ -6010,12 +6272,12 @@ Soit $M=\left(\begin{array}{c|c}A&A\\ \hline A&B\end{array}\right)$ avec $A,B\in #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 929] Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente d'indice $n$. - - Justifier l'existence d'un vecteur $X_0\in\M_{n,1}(\R)$ tel que $A^{n-1}X_0\neq 0$. En deduire que la famille $(X_0,AX_0,\ldots,A^{n-1}X_0)$ est libre. - - Montrrer que $A$ est semblable a $J_n=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\ 1&\ddots&&&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$. + - Justifier l'existence d'un vecteur $X_0\in\M_{n,1}(\R)$ tel que $A^{n-1}X_0\neq 0$. En déduire que la famille $(X_0,AX_0,\ldots,A^{n-1}X_0)$ est libre. + - Montrer que $A$ est semblable a $J_n=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\ 1&\ddots&&&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$. -_c) i)_: Soit $\lambda\in\C^*$. Montrrer que $\lambda(e^{J_n}-I_n)$ est nilpotente. Preciser son indice de nilpotence. - - Montrrer qu'il existe $P\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=\lambda P^{-1}e^{J_n}P$. - - En deduire qu'il existe $B\in\M_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=e^B$. +_c) i)_: Soit $\lambda\in\C^*$. Montrer que $\lambda(e^{J_n}-I_n)$ est nilpotente. Preciser son indice de nilpotence. + - Montrer qu'il existe $P\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=\lambda P^{-1}e^{J_n}P$. + - En déduire qu'il existe $B\in\M_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=e^B$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 930] @@ -6024,28 +6286,31 @@ ${}^{\bigstar}$ Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 931] - Soit $P\in\text{GL}_n(\C)$, que l'on decompose en $P=Q+iR$ avec $P$ et $Q\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$, tel que $Q+\lambda R\in\text{GL}_n(\R)$. - - En deduire que deux matrices $A$ et $B$ reelles, semblables sur $\C$, sont semblables sur $\R$. + - En déduire que deux matrices $A$ et $B$ réelles, semblables sur $\C$, sont semblables sur $\R$. - Soient $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $A^3=B^3=I_n$ et $\text{tr}(A)=$tr$(B)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 932] -Diagonaliser $A=$$\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ 1&\cdots&1&1\end{pmatrix}$$\in\M_n(\R)$.# 1201 - On considere un de equilibre a $n$ faces. Les lancers se modelisent par une suite $(X - {i\geq 1}$ i.i.d de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. +Diagonaliser $A=$$\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ 1&\cdots&1&1\end{pmatrix}$$\in\M_n(\R)$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1201] + On considère un de equilibre a $n$ faces. Les lancers se modelisent par une suite $(X - {i\geq 1}$ i.i.d de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Pour $k\in\db{1,n}$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$. - - Determiner la loi de $T_k$. - - Donner un equivalent, quand $n\to+\i$, du nombre moyen $M_n$ de lancers necessaires pour obtenir toutes les faces. + - Déterminer la loi de $T_k$. + - Donner un équivalent, quand $n\to+\i$, du nombre moyen $M_n$ de lancers necessaires pour obtenir toutes les faces. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1202] -Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi uniforme sur $\db{1\,;\,N}$. +Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires independantes qui suivent la loi uniforme sur $\db{1\,;\,N}$. - Montrer que les evenements $(p_k|X_1):\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont independants pour $k\in\db{1\,;\,m}$. - Pour $k\in\db{1\,;\,m}$, calculer $\mathbf{P}(p_k|X_1$ et $p_k|X_2)$. - - Calculer la probabilite de l'evenement $\triangleleft X_1$ et $X_2$ sont premiers entre eux $\mathchar 13334\relax$. + - Calculer la probabilité de l'evenement $\triangleleft X_1$ et $X_2$ sont premiers entre eux $\mathchar 13334\relax$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1203] -Soit $n\in\N^*$. On munit $\db{1\,;\,n}$ de la probabilite uniforme. +Soit $n\in\N^*$. On munit $\db{1\,;\,n}$ de la probabilité uniforme. - Soit $a$ un diviseur de $n$, on note $D(a)$ l'ensemble des multiples de $a$ qui se trouvent dans $\db{1\,;\,n}$. Calculer $\mathbf{P}(D(a))$. - On note $p_1,\ldots,p_k$ les diviseurs premiers (distincts) de $n$. Montrer que $D(p_1),\ldots,D(p_k)$ sont mutuellement independants. - Soit $B$ l'ensemble des entiers dans $\db{1\,;\,n}$ qui sont premiers avec $n$. Calculer $\mathbf{P}(B)$ a l'aide de $p_1,\ldots,p_k$. @@ -6053,34 +6318,34 @@ Soit $n\in\N^*$. On munit $\db{1\,;\,n}$ de la probabilite uniforme. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1204] -Soit $X$ une variable aleatoire discrete a valeurs reelles. Soient $b\gt 0$ et $I$ un intervalle de $\R$. Soit $g:\R\to\R^+$ une fonction telle que $g(x)\geq b$ pour tout $x\in I$. +Soit $X$ une variable aléatoire discrète a valeurs réelles. Soient $b\gt 0$ et $I$ un intervalle de $\R$. Soit $g:\R\to\R^+$ une fonction telle que $g(x)\geq b$ pour tout $x\in I$. - Montrer que $\mathbf{P}(X\in I)\leq\frac{\mathbf{E}(g(X))}{b}$. - On suppose que $X$ a un ecart-type $\sigma$ et que $\mathbf{E}(X)=0$. Montrer $:\forall t\gt 0,\,\mathbf{P}(X\gt t)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}$. -Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un reel $c\gt 0$. +Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un réel $c\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1205] -Soient $X,Y$ deux variables aleatoires discretes a valeurs dans $\R^{+*}$, independantes et identiquement distribuees. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. A quelle condition a-t-on egalite? +Soient $X,Y$ deux variables aléatoires discrètes a valeurs dans $\R^{+*}$, independantes et identiquement distribuees. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. A quelle condition a-t-on egalite? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1206] -Les variables aleatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\db{1\,;\,n})$ et elles sont independantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$. +Les variables aléatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\db{1\,;\,n})$ et elles sont independantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1207] - Soit $(A - {n\in\N^*}$ une suite d'evenements. Montrer que $B:\triangleleft$ II existe un rang a partir duquel $A_n$ est vraie $\mathchar 13334\relax$ est un evenement et que $B=\bigcup\limits_{n\in\N^*}\left(\bigcap\limits_{k\geq n}A_{k }\right)$. - - Soient $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles de meme loi que $X$.On suppose $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^4)\lt +\i$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. + - Soient $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles de meme loi que $X$.On suppose $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^4)\lt +\i$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. - Calculer $\mathbf{E}({S_n}^4)$ en fonction de $n$, $\mathbf{E}(X^2)$ et $\mathbf{E}(X^4)$. - - En deduire que pour tout $\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\bigcap_{k\geq n}\left(\left|\frac{S_{ k}}{k}\right|\leq\eps\right)\right)=1$ et que, presque surement, $\lim_{n\to+\i}\frac{S_n}{n}=0$. + - En déduire que pour tout $\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\bigcap_{k\geq n}\left(\left|\frac{S_{ k}}{k}\right|\leq\eps\right)\right)=1$ et que, presque surement, $\lim_{n\to+\i}\frac{S_n}{n}=0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1208] Soit $\alpha\gt 0$. - - Montrer l'existence d'une variable aleatoire $X$ valeurs dans $\N$ de fonction generatrice $ G_X\left(t\right)=\frac{1}{\left(2-t\right)^{\alpha}}$. - - Donner un equivalent de $\mathbf{P}\left(X=n\right)$ quand $n\to+\i$. + - Montrer l'existence d'une variable aléatoire $X$ valeurs dans $\N$ de fonction génératrice $ G_X\left(t\right)=\frac{1}{\left(2-t\right)^{\alpha}}$. + - Donner un équivalent de $\mathbf{P}\left(X=n\right)$ quand $n\to+\i$. - Pour $\lambda\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}\left(X\geq\lambda+\alpha\right)\leq\frac{2\alpha}{\lambda ^2}$. #+end_exercice @@ -6089,10 +6354,10 @@ Soit $\alpha\gt 0$. ** Algebre #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1209] -On considere, pour $n\in\N$, $C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. +On considère, pour $n\in\N$, $C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. - Montrer que, pour tout $n\in\N$, $C_n\in\N^*$. - Calculer $\sum_{k=0}^nC_kC_{n-k}$. - - Donner tous les entiers tels que $C_n$ soit pair. En deduire tous les entiers tels que $C_n$ soit impair. + - Donner tous les entiers tels que $C_n$ soit pair. En déduire tous les entiers tels que $C_n$ soit impair. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1210] @@ -6105,14 +6370,17 @@ Pour $n\in\N^*$, on note $\mc{P}(n)$ l'ensemble des nombres premiers inferieurs #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1211] Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini commutatif tel que le nombre d'automorphismes de $G$ est $3$. -_a) i)_: Donner la definition d'un automorphisme. Montrer que $\phi:x\mapsto x^{-1}$ est un automorphisme de $G$. +_a) i)_: Donner la définition d'un automorphisme. Montrer que $\phi:x\mapsto x^{-1}$ est un automorphisme de $G$. - Montrer que, pour tout $x\in G$, $x^2=e$. - - Montrer que $G$ possede un sous-groupe $V$ d'ordre $4$ et preciser les automorphismes de $V$.# 1212 + - Montrer que $G$ possede un sous-groupe $V$ d'ordre $4$ et preciser les automorphismes de $V$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1212] Soient $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 3$[4] et $C=\{x\in\Z/p\Z,\ \exists y\in\Z/p\Z,\ x=y^2\}$. - Rappeler l'enonce du petit theoreme de Fermat. Montrer que $-1\notin C$. On pose $\pi_x=\prod_{y\in C\setminus\{x\}}(x+y)$ pour $x\in C\setminus\{0\}$ et $\pi=\prod_{x\neq y\in C}(x+y)$. - - Determiner le cardinal de $C$. + - Déterminer le cardinal de $C$. - Montrer que $\forall x\in C\setminus\{0\}$, $\pi_x=\pi_1$. - Calculer $\pi$. #+end_exercice @@ -6122,25 +6390,25 @@ On pose $u=2+\sqrt{3}$, $v=2-\sqrt{3}$. Pour $n\in\N$, on note $M_n=2^n-1$ et $s_n=u^{2^n}+v^{2^n}$. - Montrer que, si $M_n$ est premier, alors $n$ est premier. - - Montrer que, pour $n\in\N$, $s_{n+1}=s_n^2-2$. Qu'en deduire sur le suite $(s - {n\in\N}$? - - Soit $q$ un nombre premier. On munit l'ensemble $B=(\Z/q\Z)^2$ des deux lois de composition interne definies par : + - Montrer que, pour $n\in\N$, $s_{n+1}=s_n^2-2$. Qu'en déduire sur le suite $(s - {n\in\N}$? + - Soit $q$ un nombre premier. On munit l'ensemble $B=(\Z/q\Z)^2$ des deux lois de composition interne définies par : $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et $(x,y)\cdot(x',y')=(xx'+3yy',xy'+x^{ '}y)$. - - Montrer que les deux lois precedentes muinssent $B$ d'une structure d'anneau commutatif fini. + - Montrer que les deux lois précédentes muinssent $B$ d'une structure d'anneau commutatif fini. - Montrer que, si $3$ n'est pas un carre modulo $q$, alors l'anneau precedent est un corps. - - On note $A=\Z+\sqrt{3}\Z$. Montrer que l'application $\pi$ definie par $\pi(a+b\sqrt{3})=(\overline{a},\overline{b})$ est bien definie et est un morphisme surjectif d'anneaux de $A$ dans $B$. + - On note $A=\Z+\sqrt{3}\Z$. Montrer que l'application $\pi$ définie par $\pi(a+b\sqrt{3})=(\overline{a},\overline{b})$ est bien définie et est un morphisme surjectif d'anneaux de $A$ dans $B$. - On suppose $n$ premier. Montrer que, si $M_n$ divise $s_{n-2}$ alors $M_n$ est premier. -Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considerant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et determiner l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des elements inversibles de l'anneau $B$. +Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considerant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et déterminer l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des elements inversibles de l'anneau $B$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1214] Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est noetherien lorsque tous ses ideaux sont engendres par une partie finie de $A$. - Les anneaux $\Z$ et $\R[X]$ sont-ils noetheriens? - Montrer que $A$ est noetherien si et seulement si toute suite croissante d'ideaux est stationnaire. - - Soit $A$ un anneau non commutatif. On dit que $\mc{I}$ est un ideal a gauche de $A$ lorsque $\mc{I}A\subset\mc{I}$ (definition similaire pour un ideal a droite). Soit $A$ noetherien, c'est-a-dire que tous les ideaux, a droite ou a gauche, de $A$ sont de type fini. Montrer que l'inversibilite a gauche equivaut a l'inversibilite a droite, i.e. $\forall a\in A,\Big{(}\exists b\in A,\ ab=1\Longleftrightarrow\exists b\in A,\ ba=1 \Big{)}$. + - Soit $A$ un anneau non commutatif. On dit que $\mc{I}$ est un ideal a gauche de $A$ lorsque $\mc{I}A\subset\mc{I}$ (définition similaire pour un ideal a droite). Soit $A$ noetherien, c'est-a-dire que tous les ideaux, a droite ou a gauche, de $A$ sont de type fini. Montrer que l'inversibilite a gauche equivaut a l'inversibilite a droite, i.e. $\forall a\in A,\Big{(}\exists b\in A,\ ab=1\Longleftrightarrow\exists b\in A,\ ba=1 \Big{)}$. -Ind. Considerer $\phi:x\mapsto ax$. +Ind. Considèrer $\phi:x\mapsto ax$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1215] @@ -6150,38 +6418,38 @@ Ind. Considerer $\phi:x\mapsto ax$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1216] -Soit $(T - {n\in\N}$ la suite de polynomes reels definie par $T_0(X)=1,\ T_1(X)=X$ et pour $n\in\N,\,T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)$. - - Montrer que, pour $n\in\N$, $\forall\theta\in\R$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. - Montrrer que $T_n\circ T_m=T_m\circ T_n$ pour $(m,n)\in\N^2$. +Soit $(T - {n\in\N}$ la suite de polynomes réels définie par $T_0(X)=1,\ T_1(X)=X$ et pour $n\in\N,\,T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)$. + - Montrer que, pour $n\in\N$, $\forall\theta\in\R$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. - Montrer que $T_n\circ T_m=T_m\circ T_n$ pour $(m,n)\in\N^2$. - Montrre que, pour $n\geq m$, $2T_nT_m=T_{n+m}+T_{n-m}$. -On considere l'equation differentielle $(E):(1-x^2)P^{' 2}=n^2(1-P^2)$. +On considère l'équation différentielle $(E):(1-x^2)P^{' 2}=n^2(1-P^2)$. - Montrre que, pour $n\in\N$, $T_n$ et $-T_n$ sont solutions de $(E)$ sur $\R$. - - Montrre que tout polynome solution de $(E)$ est de degre $n$, puis determiner les polynomes solution de $(E)$ sur $\R$. + - Montrre que tout polynome solution de $(E)$ est de degre $n$, puis déterminer les polynomes solution de $(E)$ sur $\R$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1217] -Soient $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$ et $b_1\lt b_2\cdots\lt b_p$ des reels et $M=(e^{a_ib_j})_{1\leq i,j\leq p}$. +Soient $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$ et $b_1\lt b_2\cdots\lt b_p$ des réels et $M=(e^{a_ib_j})_{1\leq i,j\leq p}$. - Calculer $\det M$ lorsque $b_k=k-1$ pour tout $k$. - Montrre que $M$ est inversible, puis que $\det M\gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1218] -- Rappeler la definition de l'indicatrice d'Euler, exprimer $\phi(n)$ en fonction de sa decomposition en facteurs premiers. +- Rappeler la définition de l'indicatrice d'Euler, exprimer $\phi(n)$ en fonction de sa decomposition en facteurs premiers. - Pour $n\geq 2$, calculer $\sum_{d|n}\phi(d)$ (la somme etant restreinte aux diviseurs positifs). - - En deduire le determinant de $A$, ou $A_{i,j}=i\wedge j$. + - En déduire le déterminant de $A$, ou $A_{i,j}=i\wedge j$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1219] Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, l'on ait $\left(f(a_{ij})\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{ R})$. - A l'aide des matrices $U_{x,y}=\left(\begin{array}{cc}x&1\\ y&1\end{array}\right)$, montrer que $f$ est injective. - - En utilisant l'ensemble $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x\lt y\}$, en deduire que $f$ est strictement monotone. + - En utilisant l'ensemble $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x\lt y\}$, en déduire que $f$ est strictement monotone. - On suppose que $f(\R)=\R^{+*}$. Montrre qu'il existe $a\in\R$ tel que, pour tous $x,y\in\R$, il existe $z_{x,y}\in\R$ tel que $f(x)f(y)=f(a)f(z_{x,y})$, et conclure a une absurdite. - Traiter de meme le cas $f(\R)=\R^{-*}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1220] -- Rappeler la formule de developpement d'un determinant par rapport a une ligne ou une colonne. En deduire, pour $A\in\M_n(\R)$, une relation entre $\mathrm{Com}\,A$, $A$ et $\det A$. - - Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de $\M_n(\R)$ definie par : $a_{i,i}=2$, $a_{i,j}=-1$ si $|i-j|=1$ et $a_{i,j}=0$ dans tout autre cas. Calculer le determinant de $A$. +- Rappeler la formule de développement d'un déterminant par rapport a une ligne ou une colonne. En déduire, pour $A\in\M_n(\R)$, une relation entre $\mathrm{Com}\,A$, $A$ et $\det A$. + - Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de $\M_n(\R)$ définie par : $a_{i,i}=2$, $a_{i,j}=-1$ si $|i-j|=1$ et $a_{i,j}=0$ dans tout autre cas. Calculer le déterminant de $A$. - Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs, dont les autres coefficients sont negatifs et telle que $\sum_{j=1}^na_{i,j}\gt 0$ pour tout $i$. Montrre que $A$ est inversible. - Montrre que les coefficients de $A^{-1}$ sont positifs. #+end_exercice @@ -6190,7 +6458,7 @@ Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\ Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)$. - Montrre que, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$. - Trouver les endomorphismes $h$ de $\M_n(\R)$ qui verifient, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $f(F(A),B)=f(A,h(B))$. - - Dans cette question, on suppose que $n=2$.Soit $h:\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\in{\cal M}_2(\R)\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}a+c &b+d-a-c\\ c&d-c\end{array}\right).$ Determiner les endomorphismes $k$ de ${\cal M}_n(\R)$ tels que $f(h(A),B)=f(A,k(B))$ pour tout $(A,B)\in{\cal M}_n(\R)^2.$ Parmi eux, preciser ceux qui sont trigonalisables, diagonalisables. + - Dans cette question, on suppose que $n=2$.Soit $h:\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\in{\cal M}_2(\R)\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}a+c &b+d-a-c\\ c&d-c\end{array}\right).$ Déterminer les endomorphismes $k$ de ${\cal M}_n(\R)$ tels que $f(h(A),B)=f(A,k(B))$ pour tout $(A,B)\in{\cal M}_n(\R)^2.$ Parmi eux, preciser ceux qui sont trigonalisables, diagonalisables. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1222] @@ -6201,7 +6469,7 @@ Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{ #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1223] Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdots&\iddots&&\vdots\\ a_n&0&\ldots&0\end{array}\right)\in{\cal M}_n(\R)$ - - Donner la definition du polynome minimal $\pi_A$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. + - Donner la définition du polynome minimal $\pi_A$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. - Calculer $\det(A)$ et $A^2$. - Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si ${\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^2)$. Donner une condition sur les $a_1,\ldots,a_n$ pour que $A$ soit diagonalisable. #+end_exercice @@ -6209,10 +6477,10 @@ Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdot #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1224] On se place dans ${\cal M}_n(\C)$. - Montrer que toute matrice est trigonalisable sur $\C$. - - Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ et $D={\rm Diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Montrer qu'il existe un polynome $f$ tel que pour tout $i\in\db{1,n}$, $f(\alpha_i)^2=\alpha_i$. En deduire que $f(D)^2=D$. + - Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ et $D={\rm Diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Montrer qu'il existe un polynome $f$ tel que pour tout $i\in\db{1,n}$, $f(\alpha_i)^2=\alpha_i$. En déduire que $f(D)^2=D$. -On considere la suite $(c - {k}$ definie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_{k+1}=\sum_{i=0}^kc_ic_{k-i}$ et le polynome $\phi=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}$. - - Determiner le reste de la division euclidienne de $\phi^2$ par $X^n$. +On considère la suite $(c - {k}$ définie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_{k+1}=\sum_{i=0}^kc_ic_{k-i}$ et le polynome $\phi=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}$. + - Déterminer le reste de la division euclidienne de $\phi^2$ par $X^n$. - Trouver un polynome $g$ tel que, pour toute matrice nilpotente $N\in{\cal M}_n(\C)$, on ait $g(N)^2=I_n+N$. - Soit $A$ une matrice inversible. Montrer qu'il existe $R\in\C[A]$ telle que $R^2=A$. #+end_exercice @@ -6220,8 +6488,8 @@ On considere la suite $(c - {k}$ definie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_ #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1225] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. On note $E_i$ ses sous-espaces propres et $n_i=\dim E_i$. - Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^rE_i$. - - Soit $g$ un endomorphisme de $E$. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes : - - $g$ commute avec $f$, - pour tout $i\in\db{1,r}$, $g(E_i)\subset E_i$.En deduire que la dimension du commutant de $f$ est $\sum_{i=1}^r{n_i}^2$. + - Soit $g$ un endomorphisme de $E$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : + - $g$ commute avec $f$, - pour tout $i\in\db{1,r}$, $g(E_i)\subset E_i$.En déduire que la dimension du commutant de $f$ est $\sum_{i=1}^r{n_i}^2$. - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$, montrer que la dimension du commutant de $A$ est superieure ou egale a $n$. #+end_exercice @@ -6235,7 +6503,7 @@ On suppose maintenant que $A$ a au moins deux valeurs propres distinctes. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1227] -Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Pour toute partie $A\subset{\cal L}(E)$, on note ${\cal C}(A)=\{u\in{\cal L}(E)\;;\;\forall v\in A,\;u\circ v=v\circ u\}$. L'objectif de l'exercice est d'etudier ${\cal B}(f)={\cal C}({\cal C}(\{f\}))$. +Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Pour toute partie $A\subset{\cal L}(E)$, on note ${\cal C}(A)=\{u\in{\cal L}(E)\;;\;\forall v\in A,\;u\circ v=v\circ u\}$. L'objectif de l'exercice est d'étudier ${\cal B}(f)={\cal C}({\cal C}(\{f\}))$. - Montrer que ${\cal B}(f)$ est une ${\mathbb{K}}$-algebre contenant ${\mathbb{K}}[f]$. - On suppose $f$ nilpotente d'indice $n$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$. - Soient $G_1,G_2$ deux sous-espaces vectoriels supplementaires stables par un $f\in{\cal L}(E)$. On pose $f_i=f_{|G_i}$. On suppose que $\pi_{f_1}\wedge\pi_{f_2}=1$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$. @@ -6263,26 +6531,26 @@ ii) $\forall(x,y)\in E^2,\,\langle x,y\rangle=0\;\Rightarrow\;\langle s(x),s(y) #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1230] -- Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_0^1PQ$ definit un produit scalaire sur ${\R}_{n-1}[X]$. En deduire qu'il existe un unique $P\in{\R}_{n-1}[X]$ tel que $\int_0^1x^kP(x)\,{\rm d}x=1$ pour 0 $\leq k\leq n-1$. On pose $P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}$. - Soit $f:[0,1]\to\R$ continue telle que $\int_0^1x^kf(x)\,dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$. Montrer que $\int_0^1f^2\geq\sum_{i=0}^{n-1}a_i$, puis que $\int_0^1f^2\geq n^2$. +- Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_0^1PQ$ définit un produit scalaire sur ${\R}_{n-1}[X]$. En déduire qu'il existe un unique $P\in{\R}_{n-1}[X]$ tel que $\int_0^1x^kP(x)\,{\rm d}x=1$ pour 0 $\leq k\leq n-1$. On pose $P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}$. - Soit $f:[0,1]\to\R$ continue telle que $\int_0^1x^kf(x)\,dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$. Montrer que $\int_0^1f^2\geq\sum_{i=0}^{n-1}a_i$, puis que $\int_0^1f^2\geq n^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1231] - Montrer que l'application $(P,Q)\mapsto\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$. - - Soit $(E,\phi)$ un espace euclidien et $B=(e_1,...,e_n)$ une base de $E$. Montrer que la matrice $(\phi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est symetrique definie positive. + - Soit $(E,\phi)$ un espace euclidien et $B=(e_1,...,e_n)$ une base de $E$. Montrer que la matrice $(\phi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est symetrique définie positive. - Pour tout $p\in\N$, on pose $L_p=\frac{d^p}{dX^p}\,[X^p(1-X)^p]\in\R[X]$. Montrer que la famille $(L_p)$ est orthogonale pour le produit scalaire de la question $a$. Est-elle orthonormale? - - Soit $M=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n+1}$. Montrer que la matrice $M$ est symetrique definie positive et calculer $\det M$. + - Soit $M=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n+1}$. Montrer que la matrice $M$ est symetrique définie positive et calculer $\det M$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1232] Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. - - Rappeler la definition d'une matrice definie positive. Donner des proprietes d'une telle matrice. + - Rappeler la définition d'une matrice définie positive. Donner des proprietes d'une telle matrice. - Pour $x\in\R^n$, on pose $J(x)=\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. Montrer que $J$ est strictement convexe, c'est-a-dire que : $\forall x\neq y$, $\forall\lambda\in]0,1[$, $J(\lambda x+(1-\lambda)y)\lt \lambda J(x)+(1-\lambda)J(y)$. - - Montrer que $J$ atteint un minimum en un unique point de $\R^n$ et que ce vecteur est solution de l'equation $Ax=b$. + - Montrer que $J$ atteint un minimum en un unique point de $\R^n$ et que ce vecteur est solution de l'équation $Ax=b$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1233] Soient $n\in\N$ et $\alpha\gt 0$. On note $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det M\geq\alpha\}$. Le but de cet exercice est de s'interesser, pour $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, a la quantite $m_{\alpha}(A)=\inf_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)$. - - Montrer que les valeurs propres d'une matrice symetrique reelle sont reelles. Rappeler le theoreme spectral. Justifier l'existence de $m_{\alpha}(I_n)$ puis la calculer. + - Montrer que les valeurs propres d'une matrice symetrique réelle sont réelles. Rappeler le theoreme spectral. Justifier l'existence de $m_{\alpha}(I_n)$ puis la calculer. - Soit $A\in\mc{S}_n^+(\R)$. Justifier l'existence de $R\in\mc{S}_n^+(\R)$ telle que $A=R^2$. Prouver l'unicite puis calculer $m_{\alpha}(A)$. - Que se passe-t-il lorsque $\alpha=0$? #+end_exercice @@ -6290,22 +6558,25 @@ Soient $n\in\N$ et $\alpha\gt 0$. On note $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \de #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1234] Soient $d\in\N^*$, $A\in\mc{S}_n(\R)$ a coefficients dans $\{0,1\}$ et de trace nulle. On suppose que $A^2+A-(d-1)I_n=J_n$ ou $J_n$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$. - Montrer que chaque ligne de $A$ contient $d$ coefficients egaux a $1$. - - Montrer que $AU=dU$ ou $U=(1\,\cdots\,1)^T$. En deduire que $n=d^2+1$. + - Montrer que $AU=dU$ ou $U=(1\,\cdots\,1)^T$. En déduire que $n=d^2+1$. - Montrer que la multiplicite de $d$ est egale a $1$. - Montrer que les autres valeurs propres de $M$ sont racines de $X^2+X-d+1=0$. - - Montrer que'il existe deux entiers naturels $m_1$ et $m_2$ tels que $m_1+m_2=n-1$ et $d+m_1r_1+m_2r_2=0$ ou $r_1$ et $r_2$ sont les solutions de l'equation precedente. + - Montrer que'il existe deux entiers naturels $m_1$ et $m_2$ tels que $m_1+m_2=n-1$ et $d+m_1r_1+m_2r_2=0$ ou $r_1$ et $r_2$ sont les solutions de l'équation précédente. - Montrer que si $m_1=m_2$ alors $d=2$. On suppose $d\gt 2$ dans la suite. - Montrer que'il existe un entier $k$ tel que $4d-3=(2k+1)^2$ puis que $k^4\equiv 1\ [2k+1]$. - - Montrer que, pour tout entier $k\in\N$, on a $16k^4\equiv 1\ [2k+1]$. En deduire qu'on a forcement $d\in\{2,3,7,57\}$.# 1235 - Soit $A=\begin{pmatrix}A_1&B\\ B^T&A_2\end{pmatrix}$ une matrice symetrique definie positive avec $A_1\in\mc{S}_p(\R)$ et $A_2\in\mc{S}_q(\R)$. - - Montrrer que $A_1$ et $A_2$ sont definies positives. - - Montrer qu'il existe $R_1$ et $R_2$ symetriques definies positives telles que $R_1^2=A_1$ et $R_2^2=A_2$. + - Montrer que, pour tout entier $k\in\N$, on a $16k^4\equiv 1\ [2k+1]$. En déduire qu'on a forcement $d\in\{2,3,7,57\}$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1235] + Soit $A=\begin{pmatrix}A_1&B\\ B^T&A_2\end{pmatrix}$ une matrice symetrique définie positive avec $A_1\in\mc{S}_p(\R)$ et $A_2\in\mc{S}_q(\R)$. + - Montrer que $A_1$ et $A_2$ sont définies positives. + - Montrer qu'il existe $R_1$ et $R_2$ symetriques définies positives telles que $R_1^2=A_1$ et $R_2^2=A_2$. - Montrer que $\det(A)\leq\det(A_1)\det(A_2)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1236] -On considere la relation binaire pour $(A,B)\in(\mc{S}_n(\R))^2A\preceq B\Leftrightarrow B-A\in \mc{S}_n^+(\R)$. - - Montrer que l'on definit ainsi une relation d'ordre sur $\mc{S}_n(\R)$. +On considère la relation binaire pour $(A,B)\in(\mc{S}_n(\R))^2A\preceq B\Leftrightarrow B-A\in \mc{S}_n^+(\R)$. + - Montrer que l'on définit ainsi une relation d'ordre sur $\mc{S}_n(\R)$. - Montrer qu'une partie de $\mc{S}_n(\R)$ est bornee si et seulement si elle est majoree et minoree pour $\preceq$. - Montrer que toute suite croissante majoree pour $\preceq$ converge. - Soient $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $A\preceq B\implies B^{-1}\preceq A^{-1}$. @@ -6338,12 +6609,12 @@ _b) i)_ Soit $(y - {n\in\N}$ une suite d'elements de $E$, convergeant vers $\ell Montrer que l'ensemble $Y=\{y_n,\ n\in\N\}\cup\{\ell\}$ est compact. - Soit $f:E\to E'$ continue telle que, pour tout compact $K$ de $E'$, $f^{-1}(K)$ est un compact de $E$. Montrer que, si $F$ est un ferme de $E$, alors $f(F)$ est un ferme de $E'$. - - Soit $P\in\R_d[X]$ un polynome unitaire. Montrer que, si $x\in\R$ est une racine de $P$ telle que $|x|\gt 1$, alors $|x|\leq\|P\|+1$. En deduire que l'ensemble des polynomes unitaires et scindes de $\R_d[X]$ est ferme dans $\R_d[X]$. + - Soit $P\in\R_d[X]$ un polynome unitaire. Montrer que, si $x\in\R$ est une racine de $P$ telle que $|x|\gt 1$, alors $|x|\leq\|P\|+1$. En déduire que l'ensemble des polynomes unitaires et scindes de $\R_d[X]$ est ferme dans $\R_d[X]$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1240] -- Resoudre dans $\C$ l'equation $e^z=-1$. - - Soit $f\colon\mathbb{U}\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $z\in\mathbb{U}$ tel que $f(-z)=f(z)$. En deduire que, si $A$ et $B$ sont deux parties fermees de reunion $\mathbb{U}$, il existe deux points de $\mathbb{U}$ diametralement opposes tous deux dans $A$ ou tous deux dans $B$. - Soient $D$ le disque unite ferme du plan complexe et $g:D\to\C^*$ continue telle que, pour tout $z\in\mathbb{U}$, $g(-z)=-g(z)$. On admet qu'il existe $h$ continue telle que $g=\exp\circ h$. Montrer qu'il existe $z\in D$ tel que $h(-z)=h(z)$. +- Resoudre dans $\C$ l'équation $e^z=-1$. + - Soit $f\colon\mathbb{U}\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $z\in\mathbb{U}$ tel que $f(-z)=f(z)$. En déduire que, si $A$ et $B$ sont deux parties fermees de reunion $\mathbb{U}$, il existe deux points de $\mathbb{U}$ diametralement opposes tous deux dans $A$ ou tous deux dans $B$. - Soient $D$ le disque unite ferme du plan complexe et $g:D\to\C^*$ continue telle que, pour tout $z\in\mathbb{U}$, $g(-z)=-g(z)$. On admet qu'il existe $h$ continue telle que $g=\exp\circ h$. Montrer qu'il existe $z\in D$ tel que $h(-z)=h(z)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1241] @@ -6354,8 +6625,8 @@ Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme. Pour $A\subset E$ non vide et $x\in #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1242] -Soit $\phi$ la fonction definie sur $[0,1]$ par $\phi(0)=0$ et $\phi(t)=-t\ln(t)$ pour $t\in]0,1]$. Soit $n\in\N^*$. On pose $S_n$ l'ensemble des vecteurs $p=(p_1,...,p_n)\in\R^n$ tels que $p_1+...+p_n=1$ et $p_i\geq 0$ pour tout $1\leq i\leq n$. On pose enfin $H_n(p)=\sum_{i=1}^n\phi(p_i)$ pour $p\in S_n$. - - - Donner la definition d'une partie compacte d'un espace vectoriel norme, et en donner une caracterisation en dimension finie. +Soit $\phi$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $\phi(0)=0$ et $\phi(t)=-t\ln(t)$ pour $t\in]0,1]$. Soit $n\in\N^*$. On pose $S_n$ l'ensemble des vecteurs $p=(p_1,...,p_n)\in\R^n$ tels que $p_1+...+p_n=1$ et $p_i\geq 0$ pour tout $1\leq i\leq n$. On pose enfin $H_n(p)=\sum_{i=1}^n\phi(p_i)$ pour $p\in S_n$. + - - Donner la définition d'une partie compacte d'un espace vectoriel norme, et en donner une caracterisation en dimension finie. - Montrer que $S_n$ est une partie compacte et convexe de $\R^n$. - - Montrer que $H_n$ est continue. - Montrer que $H_n$ atteint sur $S_n$ un maximum en un unique point $p_0$, et expliciter $p_0$. @@ -6363,7 +6634,7 @@ Soit $\phi$ la fonction definie sur $[0,1]$ par $\phi(0)=0$ et $\phi(t)=-t\ln(t) Soit $v=(v_1,...,v_n)\in\R^n$. On pose $f_v(p)=H_n(p)+\sum_{i=1}^np_iv_i$ pour $p\in S_n$. On pose $f_v^*=\sup_{p\in S_n}f_v(p)$ et $E_v=\{p\in S_n,\ f_v(p)=f_v^*\}$. - - Montrer que $E_v$ est non vide. Determiner $f_v^*$ et $E_v$. + - Montrer que $E_v$ est non vide. Déterminer $f_v^*$ et $E_v$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1243] @@ -6371,48 +6642,48 @@ Soient $(E,\|\ \|)$, $(E',\|\ \|)$ deva espaces vectoriels normes de dimension f #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1244] -Un espace norme reel est dit separable lorsqu'il contient une partie denombrable dense. +Un espace norme réel est dit separable lorsqu'il contient une partie denombrable dense. - L'espace $\R$ est-il separable? - Montrer qu'un espace norme de dimension finie est separable. - - Soit $E$ un espace prehilbertien reel de dimension infinie. Montrer que $E$ est separable si et seulement s'il existe une suite orthonormalee $(e - {n\geq 0}$ telle que $\op{Vect}{(e - {n\geq 0}}$ soit dense dans $E$. + - Soit $E$ un espace prehilbertien réel de dimension infinie. Montrer que $E$ est separable si et seulement s'il existe une suite orthonormalee $(e_n)_{n\geq 0}$ telle que $\op{Vect}{(e_n)_{n\geq 0}}$ soit dense dans $E$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1245] -Soit $E$ l'espace des fonctions polynomiales de $\R$ dans $\R$. Pour tout $f\in E$, on note $\phi(f)$ la primitive de $f$ d'integrale nulle sur l'intervalle $[0,1]$. - - Justifier la definition de $\phi$ puis etablir qu'il s'agit d'une application lineaire sur $E$. +Soit $E$ l'espace des fonctions polynomiales de $\R$ dans $\R$. Pour tout $f\in E$, on note $\phi(f)$ la primitive de $f$ d'intégrale nulle sur l'intervalle $[0,1]$. + - Justifier la définition de $\phi$ puis etablir qu'il s'agit d'une application lineaire sur $E$. On munit $E$ de la norme $\|\ \|_{\i}$ sur $[0,1]$. -On note $\|\phi\|_{\mathrm{op}}=\sup\left\{\frac{\|\phi(f)\|_{\i,[0,1]}}{\|f \|_{\i,[0,1]}},\ f\in E\setminus\{0_E\}\right\}.$ - - Montrer que $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$ est correctement definie et en trouver un majorant. - Soient $f\in E$ et $G$ la primitive de $F=\phi(f)$ nulle en $0$. Etablir que, pour tout $x\gt 0$, +On note $\|\phi\|_{\mathrm{op}}=\sup\left\{\frac{\|\phi(f)\|_{\i,[0,1]}}{\|f \|_{\i,[0,1]}},\ f\in E\setminus\{0_E\}\right\}$. + - Montrer que $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$ est correctement définie et en trouver un majorant. - Soient $f\in E$ et $G$ la primitive de $F=\phi(f)$ nulle en $0$. Etablir que, pour tout $x\gt 0$, $$G(x)=xF(x)-\int_0^xtf(t)dt=(x-1)F(x)-\int_x^1(1-t)f(t)\mathrm{d }t.$$ - - Determiner la norme $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$. + - Déterminer la norme $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1246] -Soit $A\in\M_n(\R)$, on pose $f_A(x)=(A+xI_n)^{-1}A$ pour $x$ reel convenable. - - Montrer que la fonction $f_A$ est definie au voisinage epointe de $0$. - - Etudier le comportement de la fonction $f_A$ en $0$ dans le cas ou $A$ est inversible, puis dans le cas ou $A$ est nilpotente. +Soit $A\in\M_n(\R)$, on pose $f_A(x)=(A+xI_n)^{-1}A$ pour $x$ réel convenable. + - Montrer que la fonction $f_A$ est définie au voisinage epointe de $0$. + - Étudier le comportement de la fonction $f_A$ en $0$ dans le cas ou $A$ est inversible, puis dans le cas ou $A$ est nilpotente. - Soit $u\in\mc{L}(\R^n)$. Montrer l'existence de $p\in\N^*$ tel que $\mathrm{Im}(u^p)\oplus\mathrm{Ker}(u^p)=\R^n$. -En deduire l'existence de deux supplementaires $F$ et $G$ dans $\R^n$, stables par $u$, tels que $u$ induit sur $F$ un automorphisme et induit sur $G$ un endomorphisme nilpotent. +En déduire l'existence de deux supplementaires $F$ et $G$ dans $\R^n$, stables par $u$, tels que $u$ induit sur $F$ un automorphisme et induit sur $G$ un endomorphisme nilpotent. - Caracteriser les matrices $A$ pour lesquelles $f_A$ a une limite en $0$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1247] -Soient $(a_n)$ une suite a termes reels positifs et $(b_n)$ une suite a termes complexes. On suppose que la serie $\sum a_n$ diverge et que $b_n\sim a_n$. On note $S_n=\sum_{k=0}^na_k$. - - Montrer que la serie $\sum b_n$ diverge et que les sommes partielles des deux series sont equivalentes. - - On suppose qu'il existe $\lambda\in\R^{+*}$ tel que $\frac{S_n}{na_n}\xrightarrow[n\to+\i]{}\lambda$. Determiner la limite de $\frac{1}{n^2a_n}\sum_{k=0}^nka_k$. +Soient $(a_n)$ une suite a termes réels positifs et $(b_n)$ une suite a termes complexes. On suppose que la série $\sum a_n$ diverge et que $b_n\sim a_n$. On note $S_n=\sum_{k=0}^na_k$. + - Montrer que la série $\sum b_n$ diverge et que les sommes partielles des deux séries sont équivalentes. + - On suppose qu'il existe $\lambda\in\R^{+*}$ tel que $\frac{S_n}{na_n}\xrightarrow[n\to+\i]{}\lambda$. Déterminer la limite de $\frac{1}{n^2a_n}\sum_{k=0}^nka_k$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1248] -- Rappeler la regle de d'Alembert pour une serie numerique a termes positifs. - - On considere une suite croissante $(q - {n\geq 1}$ d'entiers $\geq 2$. - - Quel est le rayon de convergence de la serie entiere $\sum\frac{z^n}{q_1...q_n}$? - - Montrer que si la suite $(q_n)$ est stationnaire alors le reel $ x=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{q_1...q_n}$ appartient a $\Q\cap]0,1]$. - - On admet reciproquement que si $(q_n)$ tend vers $+\i$ alors $x\notin\Q$. Montrer que les reels $e$, $\mathrm{ch}(\sqrt{2})$ et $e^{\sqrt{2}}$ sont irrationnels. - - Montrrer la reciproque admise ci-dessus. +- Rappeler la regle de d'Alembert pour une série numerique a termes positifs. + - On considère une suite croissante $(q_n)_{n\geq 1}$ d'entiers $\geq 2$. + - Quel est le rayon de convergence de la série entiere $\sum\frac{z^n}{q_1...q_n}$? + - Montrer que si la suite $(q_n)$ est stationnaire alors le réel $ x=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{q_1...q_n}$ appartient a $\Q\cap]0,1]$. + - On admet reciproquement que si $(q_n)$ tend vers $+\i$ alors $x\notin\Q$. Montrer que les réels $e$, $\mathrm{ch}(\sqrt{2})$ et $e^{\sqrt{2}}$ sont irrationnels. + - Montrer la reciproque admise ci-dessus. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1249] @@ -6421,15 +6692,15 @@ Soit $I=]-1,+\i[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ verifie $(*)$ si et seulement $\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$. On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit $f\in\mc C^0(I,\R)$. - - Simplifier $x_n+y_n+x_ny_n$. Montrer que la serie de terme general $ f(x_n)$ converge et exprimer $\sum_{n=0}^{+\i}f(x_n)$ en fonction de $f(1)$. + - Simplifier $x_n+y_n+x_ny_n$. Montrer que la série de terme général $ f(x_n)$ converge et exprimer $\sum_{n=0}^{+\i}f(x_n)$ en fonction de $f(1)$. - Montrer que $f$ est derivable. - Trouver toutes les fonctions continues verifiant $(*)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1250] Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois derivable telle que $ff^{(3)}=0$. - - Montrrer que, si $f'$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ prend une meme valeur au plus deux fois sur $I$. + - Montrer que, si $f'$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ prend une meme valeur au plus deux fois sur $I$. - On pose $\Gamma=\{x\in I,{f'}'(x)=0\}$. Montrer que, si $\Gamma$ est non vide, alors $\Gamma$ n'est ni majore, ni minore. - - Montrer que $\Gamma$ est un intervalle et en deduire $f$. + - Montrer que $\Gamma$ est un intervalle et en déduire $f$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1251] @@ -6441,7 +6712,7 @@ On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1252] -- Rappeler la definition d'une fonction lipschitzienne. Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue. Soient $\alpha\in]0,1]$ et +- Rappeler la définition d'une fonction lipschitzienne. Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue. Soient $\alpha\in]0,1]$ et $H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha}\big{\}}$. - Montrer $H_{\alpha}$ est un $\R$-espace vectoriel, que si $0\lt \alpha\leq\beta\leq 1$, alors $H_{\beta}\subset H_{\alpha}$. Verifier que $x\mapsto x^{\alpha}\in H_{\alpha}$. @@ -6456,7 +6727,7 @@ $H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1254] -- Donner la definition de la multiplicite d'une racine d'un polynome puis sa caracterisation a l'aide des derivees successives du polynome. +- Donner la définition de la multiplicite d'une racine d'un polynome puis sa caracterisation a l'aide des derivees successives du polynome. - Soit $P\in\C[X]$ non nul. Exprimer $P'/P$ a l'aide des racines de $P$. - Soit $r\gt 0$. On suppose que $P$ ne s'annule pas sur le cercle $C(0,r)$ du plan complexe. On pose $N_r(P)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{P'(re^{it})}{P(re^{it})}re ^{it}\,dt$. Montrer que $N_r(P)$ est egal au nombre de racines de $P$ (comptees avec multiplicite) dans le disque $D(0,r)$. #+end_exercice @@ -6464,51 +6735,55 @@ $H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1255] Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0(\R^+,\R)$ telles que $\int_0^{+\i}f^2\lt \i$. Soit $f\in E$. -On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on definit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$._a) i)_: Rappeler le theoreme concernant la derivabilite des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrver que $Tf$ est continue. - Montrver que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$. - - Soit $A\gt 0$. Montrver que $\int_0^ATf(x)^2\,dx\leq 2\int_0^A\frac{f(x)}{x} \left(\int_0^xf\right)dx$. En deduire que $Tf\in E$ et que $\|Tf\|\leq 2\|f\|$ - - Montrver que la constante 2 est optimale dans l'inegalite $(*)$. On pourra considerer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$. +On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on définit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$._a) i)_: Rappeler le theoreme concernant la derivabilite des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrver que $Tf$ est continue. - Montrver que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$. + - Soit $A\gt 0$. Montrver que $\int_0^ATf(x)^2\,dx\leq 2\int_0^A\frac{f(x)}{x} \left(\int_0^xf\right)dx$. En déduire que $Tf\in E$ et que $\|Tf\|\leq 2\|f\|$ + - Montrver que la constante 2 est optimale dans l'inegalite $(*)$. On pourra considèrer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1256] -Soient $(a_n)$ une suite reelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornee, $(b_n)$ une suite reelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$. - - Montrver qu'une serie absolument convergente est convergente. - - Montrver que la serie de terme general $a_nb_n$ converge. - - Montrver que la serie de fonctions de terme general $b_nf_n$ converge. +Soient $(a_n)$ une suite réelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornee, $(b_n)$ une suite réelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$. + - Montrver qu'une série absolument convergente est convergente. + - Montrver que la série de terme général $a_nb_n$ converge. + - Montrver que la série de fonctions de terme général $b_nf_n$ converge. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1257] Soit $f\in C^1(\R^+,\R^{+*})$ croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\sim}\frac{a}{x}$ ou $a\gt 0$. - - Citer le theoreme d'integration des relations de comparaison, puis trouver un equivalent de $\ln(f(x))$ quand $x\to+\i$. - - Donner le domaine de definition de $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)\,e^{-nx}$. Determiner les limites de $u$ aux bornes de son domaine de definition. + - Citer le theoreme d'integration des relations de comparaison, puis trouver un équivalent de $\ln(f(x))$ quand $x\to+\i$. + - Donner le domaine de définition de $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)\,e^{-nx}$. Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son domaine de définition. - Montrver qu'il existe $C\in\R$ tel que $u(x)\sim\frac{C}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)$ lorsque $x\to 0^+$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1258] Soient $\alpha\in\N$ avec $\alpha\geq 2$ et $\beta\in]1,+\i[$. Soit $f:t\mapsto\sum_{n\geq 0}\frac{\cos(2\pi\alpha^nt)}{\beta^n}$. - - Montrver que $f$ est definie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est derivable sur $\R$. + - Montrver que $f$ est définie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est derivable sur $\R$. - On suppose $\alpha\geq\beta$. Montrver que $f$ n'est pas derivable en $0$. #+end_exercice +# ID:6921 #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1259] -Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0$. Montrver que $f$ est $\mc C^{\i}$ puis developpable en serie entiere au voisinage de l'origine. +Soit $f\colon x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0$. Montrer que $f$ est $\mc C^{\i}$ puis développable en série entiere au voisinage de l'origine. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1260] -On considere la serie entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$. +On considère la série entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$. - Montrver que le rayon de convergence $R$ est $\geq 1$. - Calculer $S(x)$ pour $|x|\lt 1$ puis montrer que $R=1$. - - Determiner un equivalent de $a_n$.# 1261 + - Déterminer un équivalent de $a_n$. +#+end_exercice + +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1261] On pose, pour $n\in\N$, $c_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. - - Donner le developpement en serie entiere de $x\mapsto(1+x)^{\alpha}$. Exprimer le developpement en serie entiere de $f:x\mapsto\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (avec $f(0)=1$) a l'aide des $c_n$. - - Soit $r$ un rationnel que l'on peut ecrire $r=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ avec $b\wedge d=1$. Montrer que $r$ est entier. Montrer que, pour tout $n\in\N^*,$$c_n\in\N$. + - Donner le développement en série entiere de $x\mapsto(1+x)^{\alpha}$. Exprimer le développement en série entiere de $f:x\mapsto\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (avec $f(0)=1$) a l'aide des $c_n$. + - Soit $r$ un rationnel que l'on peut ecrire $r=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ avec $b\wedge d=1$. Montrer que $r$ est entier. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $c_n\in\N$. - Donner la valeur de $\sum_{k=0}^nc_kc_{n-k}$ en fonction de $c_{n+1}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1262] Pour $n\geq 1$, on note $t_n$ le nombre de $\sigma\in\mc{S}_n$ telles que $\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}$. On convient que $t_0=1$, - - Montrer que la serie entiere $\sum\frac{t_n}{n!}\,x^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$. + - Montrer que la série entiere $\sum\frac{t_n}{n!}\,x^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$. - Calculer $t_1,t_2,t_3$. Montrer que, si $n\geq 2$, $t_n=t_{n-1}+(n-1)t_{n-2}$. - - Determiner $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{t_n}{n!}x^n$ pour $x\in]-1,1[$. En deduire une expression de $t_n$ sous forme de somme. Calculer $\lim_{n\to+\i}\frac{t_n}{n!}$. + - Déterminer $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{t_n}{n!}x^n$ pour $x\in]-1,1[$. En déduire une expression de $t_n$ sous forme de somme. Calculer $\lim_{n\to+\i}\frac{t_n}{n!}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1263] @@ -6518,55 +6793,55 @@ Pour $n\in\N$, on note $\mc{P}_n$ l'ensemble des polynomes $P$ a coefficients da - Montrer que, pour $n\in\N$, $a_{2n+1}=a_n$ et que, pour $n\in\N^*$, $a_{2n}=a_n+a_{n-1}$. Ind. Pour la premiere egalite, on pourra exhiber une bijection entre $\mc{P}_n$ et $\mc{P}_{2n+1}$. - - Montrer que la serie entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence egal a $1$. + - Montrer que la série entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence egal a $1$. -On note $A(x)$ la somme de cette serie. +On note $A(x)$ la somme de cette série. - Montrer que, pour $x\in]-1,1[$, $A(x)=(1+x+x^2)A(x^2)$. -En deduire que $\forall x\in]-1,1[$, $A(x)=\lim_{n\to+\i}\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})$. +En déduire que $\forall x\in]-1,1[$, $A(x)=\lim_{n\to+\i}\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})$. - On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$. Etablir que, pour $n\in\N$ et $x\in]-1,1[$, $$\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})=\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-j)^{n-s_k}x^k\right)\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-\overline{j})^{n-s_k}x^k \right).$$ - - Que peut-on en deduire sur $(a_n)$? + - Que peut-on en déduire sur $(a_n)$? #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1264] -- - Rappeler la definition de partie dense dans $\R$ et en donner une caracterisation sequentielle. + - Rappeler la définition de partie dense dans $\R$ et en donner une caracterisation sequentielle. - Trouver toutes les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que $\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y)$. -On dit qu'une suite reelle $(a - {n\in\N}$ verifie la propriete $(P)$ si :1. La serie entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$, - 2. La somme $S_a$ de cette serie entiere admet une limite reelle en $1^-$. - 3. - Montrer que, si la serie $\sum a_n$ converge absolument, alors la suite $(a - {n\in\N}$ verifie $(P)$, - 4. Etudier la reciproque. +On dit qu'une suite réelle $(a - {n\in\N}$ verifie la propriete $(P)$ si :1. La série entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$, + 2. La somme $S_a$ de cette série entiere admet une limite réelle en $1^-$. + 3. - Montrer que, si la série $\sum a_n$ converge absolument, alors la suite $(a - {n\in\N}$ verifie $(P)$, + 4. Étudier la reciproque. 5. Trouver toutes les suites $(a - {n\in\N}$ periodiques qui verifient $(P)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1265] -Soient $(a - {n\geq 1}$ une suite de carre sommable et $ f:t\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{a_n}{n-t}$. - - Preciser le domaine de definition de $f$. - - Montrer que $f$ est developpable en serie entiere autour de $0$. +Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite de carre sommable et $f:t\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{a_n}{n-t}$. + - Preciser le domaine de définition de $f$. + - Montrer que $f$ est développable en série entiere autour de $0$. - Montrer que si $f$ est identiquement nulle sur $[-1/2,1/2]$ alors la suite $(a_n)$ est nulle. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1266] -- Rappeler la definition d'une fonction $f$ developpable en serie entiere en $0$ et preciser une expression de $f^{(k)}(0)$ en fonction des coefficients pour $k\in\N$. +- Rappeler la définition d'une fonction $f$ développable en série entiere en $0$ et preciser une expression de $f^{(k)}(0)$ en fonction des coefficients pour $k\in\N$. - Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ au voisinage de $0$ pour laquelle il existe $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$. -Montrer que $f$ est developpable en serie entiere en $0$. - - Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere en $0$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$. +Montrer que $f$ est développable en série entiere en $0$. + - Soit $f$ une fonction développable en série entiere en $0$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1267] -On admet le theoreme suivant :_Pour $S$ une serie entiere de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une serie entiere $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z\in\C,\exp(L(z))=\ S(z)$. - - - Rappeler tous les modes de convergence d'une serie entiere sur son disque ouvert de convergence. - - Soient $ F(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ de rayon de convergence infini et $ G(z)=\text{Re}(F(z))$. +On admet le theoreme suivant :_Pour $S$ une série entiere de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une série entiere $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z\in\C,\exp(L(z))=\ S(z)$. + - - Rappeler tous les modes de convergence d'une série entiere sur son disque ouvert de convergence. + - Soient $F(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ de rayon de convergence infini et $ G(z)=\text{Re}(F(z))$. Pour $n\in\N^*$, montrer que $\int_0^{2\pi}F(re^{it})dt=2\pi a_nR^n$, puis que $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})e^{-int}dt=\pi a_nR^n$ et $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})dt=2\pi\text{Re}(a_0)$. - - Montrer que, s'il existe $p$ et $q$ reels strictement positifs tels que $\forall z\in\C,\ |G(z)|\leq p|z|+q$, alors $F$ est un polynome de degre au plus $1$. + - Montrer que, s'il existe $p$ et $q$ réels strictement positifs tels que $\forall z\in\C,\ |G(z)|\leq p|z|+q$, alors $F$ est un polynome de degre au plus $1$. - Montrer que l'application $z\mapsto z\exp(z)$ est une surjection de $\C$ sur lui-meme. #+end_exercice @@ -6575,7 +6850,7 @@ Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montr #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1269.] -- - Rappeler la definition de fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\R$. - _Pour $n\in\N^*$, on definit une fonction $f_n$ sur $\R^+$ par $f_n(x)=\frac{1}{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)$ si $x\in[0,n]$ et $f_n(x)=0$ sinon. +- - Rappeler la définition de fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\R$. - _Pour $n\in\N^*$, on définit une fonction $f_n$ sur $\R^+$ par $f_n(x)=\frac{1}{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)$ si $x\in[0,n]$ et $f_n(x)=0$ sinon. Montrer que la suite $(f - {n\in\N^*}$ converge simplement sur $\R^+$ vers une fonction $f$ a preciser et que $\int_{\R^+}f_n\not\longrightarrow\int_{\R_+}f$ quand $n\ra+\i$. - Rappeler le theoreme de convergence dominee. @@ -6587,61 +6862,65 @@ Montrer que les suites $f_n$ et $f$ sont sommables et que $\lim_{n\ra+\i}\sum_{k #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1270] -Pour tout reel $a$, on pose $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$. - - On fixe un entier $n\geq 1$. Montrer que la fonction $f_n:x\in\R^{+*}\mapsto\left\{\frac{1}{x}\right\}^n$ est continue par morceaux sur $\R^{+*}$ et que l'integrale $I_n=\int_0^1f_n(x)\,dx$ est convergente. - - Montrer que la famille $\mc{F}=\left(\frac{(-1)^ii}{(i+1)k^{i+1}}\right)_{i\geq 1\atop k \geq 2}$ est sommable et exprimer sa somme $S$ sous la forme d'une serie faisant intervenir la fonction $\zeta$. +Pour tout réel $a$, on pose $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$. + - On fixe un entier $n\geq 1$. Montrer que la fonction $f_n:x\in\R^{+*}\mapsto\left\{\frac{1}{x}\right\}^n$ est continue par morceaux sur $\R^{+*}$ et que l'intégrale $I_n=\int_0^1f_n(x)\,dx$ est convergente. + - Montrer que la famille $\mc{F}=\left(\frac{(-1)^ii}{(i+1)k^{i+1}}\right)_{i\geq 1\atop k \geq 2}$ est sommable et exprimer sa somme $S$ sous la forme d'une série faisant intervenir la fonction $\zeta$. - Exprimer $I_1$ en fonction de $S$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1271] -- Montrer le theoreme d'integration des series uniformement convergentes sur un segment. - - Pour $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $\gamma:[a,b]\ra\C$ de classe $C^1$ et $f\colon\C\ra\C$ continue, on pose $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$. Meme definition lorsque $f$ est a valeurs dans $\M_n(\C)$. +- Montrer le theoreme d'integration des séries uniformement convergentes sur un segment. + - Pour $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $\gamma:[a,b]\ra\C$ de classe $C^1$ et $f\colon\C\ra\C$ continue, on pose $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$. Meme définition lorsque $f$ est a valeurs dans $\M_n(\C)$. On note, pour $r\gt 0$, $\gamma_r:t\in[0,2\pi]\mapsto re^{it}$. -Soit $F:\C\ra\C$ la somme d'une serie entiere de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$. - - En deduire, pour toute matrice $M\in\M_n(\C)$ et pour $r$ assez grand (a preciser), l'egalite $\exp(M)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\, dz$. +Soit $F:\C\ra\C$ la somme d'une série entiere de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$. + - En déduire, pour toute matrice $M\in\M_n(\C)$ et pour $r$ assez grand (à preciser), l'égalité $\exp(M)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\, dz$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1272] Soient $E=\mc C^{\i}([0,\pi],\R)$ et $F=\{f\in E,\;f(0)=f(\pi)=0\}$. Soient $\phi,q\in E$, la fonction $q$ etant positive. On note $\alpha$ une primitive de $\phi$. On pose $D(y)=y^{''}+\phi y'-qy$ et $L(y)=-e^{\alpha}D(y)$ pour tout $y\in E$, et $\langle y,z\rangle=\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,dx$ pour tous $y,z\in F$. - Rappeler le theoreme de Cauchy-Lipschitz. - Montrer que $\langle\;,\;\rangle$ est un produit scalaire sur $F$. - - Soit $h\in E$. Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\in F$ telle que $D(f_0)=h$.# 1273 - - Soient $E$ un espace euclidien, $U$ un ouvert de $E$, et $f:U\to\R$ une application de classe $\mc C^1$. Rappeler la definition de la differentielle $df(a)$ de $f$ en $a\in U$ et du gradient $\nabla f(a)$, ainsi que l'expression de $\nabla f(a)$ en base orthonormale. - - On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. - -Montrer que $\nabla(\mathrm{det})(A)=\mathrm{Com}(A)$. - - Quel est le coefficient de $X$ dans $\chi_A$? - - Determiner l'espace tangent a $\mathrm{SL}_n(\R)$ en $I_n$. + - Soit $h\in E$. Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\in F$ telle que $D(f_0)=h$. #+end_exercice +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1273] + - Soient $E$ un espace euclidien, $U$ un ouvert de $E$, et $f:U\to\R$ une application de classe $\mc C^1$. Rappeler la définition de la différentielle $df(a)$ de $f$ en $a\in U$ et du gradient $\nabla f(a)$, ainsi que l'expression de $\nabla f(a)$ en base orthonormale. + - On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. + + Montrer que $\nabla(\mathrm{det})(A)=\mathrm{Com}(A)$. + - Quel est le coefficient de $X$ dans $\chi_A$? + - Déterminer l'espace tangent à $\mathrm{SL}_n(\R)$ en $I_n$. +#+end_exercice + +# ID:6922 #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1274] Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $b\in\R^n$ et $J:x\mapsto\frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. - Montrer que $J$ est strictement convexe. - - Montrer que $J(x)\to+\i$ quand $\|x\|\to+\i$. - - En deduire que $J$ admet un minimum. + - Montrer que $J(x)\to+\i$ quand $\lN x\rN\ra +\i$. + - En déduire que $J$ admet un minimum. - Calculer $\nabla J$ et conclure quant au minimum de $J$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1275] -Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace prehilbertien reel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$. +Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace prehilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$. - Pour tout $x\in E$, exprimer la projection orthogonale de $x$ sur $F$ a l'aide d'une base orthonormale de $F$. Justifier la formule. - - On definit la fonction $d_F:E\setminus F\to\R,x\mapsto d(x,F)$. Montrer que $d_F$ est differentiable, et calculer sa differentielle. + - On définit la fonction $d_F:E\setminus F\to\R,x\mapsto d(x,F)$. Montrer que $d_F$ est differentiable, et calculer sa différentielle. #+end_exercice -** Probabilites +** Probabilités #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1276] On note $d_n$ le nombre de derangements de $n$ objets, c'est-a-dire le nombre de permutations $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. _a) i)_Soit $n\in\N$. Montrer $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}d_{n-k}=n!$. - - Montrer que la serie entiere $\sum\frac{d_n}{n!}\,t^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$. + - Montrer que la série entiere $\sum\frac{d_n}{n!}\,t^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$. -On note $D(t)$ la somme de cette serie. +On note $D(t)$ la somme de cette série. - Calculer $e^tD(t)$. - - En deduire que $d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$. - - Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\i$ de la probabilite $p_n$ qu'un element de $\mc{S}_n$ soit un derangement. + - En déduire que $d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$. + - Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\i$ de la probabilité $p_n$ qu'un element de $\mc{S}_n$ soit un derangement. _c) i)_Pour $n$ et $p$ entiers naturels, on note $s_n(p)$ le nombre de surjections de $[\![1,n]$ sur $[1,p]$. @@ -6649,49 +6928,49 @@ Montrer que $p^n=\sum_{k=0}^n\binom{p}{k}s_n(k)$. - Soit $(x,y)\in\R^2$. Montrer que la famille $\left(s_n(p)\frac{x^p}{p!}\,\frac{y^n}{n!}\right)_{(n,p)\in \N^2}$ est sommable. Sa somme est notee $S(x,y)$. - - Calculer $e^xS(x,y)$. - En deduire la valeur de $s_n(p)$ dans le cas $n=p$, puis dans le cas general $(n,p)\in\N^2$. + - Calculer $e^xS(x,y)$. - En déduire la valeur de $s_n(p)$ dans le cas $n=p$, puis dans le cas général $(n,p)\in\N^2$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1277] On melange les cartes d'un jeu de $2n$ cartes. -Avec quelle probabilite les cartes de numero impair sont-elles correctement ordonnees? +Avec quelle probabilité les cartes de numero impair sont-elles correctement ordonnees? #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1278] Pour $A_1,...,A_n$ parties finies d'un ensemble $E$, on admet que $\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1\lt i_2\lt ...\lt i_k\leq n}|A_{i_1}\cap...\cap A_{i_k}|$. - - Expliciter la formule precedente pour $n=2$ et $n=3$. + - Expliciter la formule précédente pour $n=2$ et $n=3$. La demontrer pour $n=2$. - - On definit une fonction $\mu$ sur $\N^*$ par $\mu(1)=1$, $\mu(n)=(-1)^k$ si l'entier $n\geq 2$ s'ecrit $n=p_1...p_k$ ou $p_1$,..., $p_k$ sont $k$ nombres premiers distincts et $\mu(n)=0$ sinon. + - On définit une fonction $\mu$ sur $\N^*$ par $\mu(1)=1$, $\mu(n)=(-1)^k$ si l'entier $n\geq 2$ s'ecrit $n=p_1...p_k$ ou $p_1$,..., $p_k$ sont $k$ nombres premiers distincts et $\mu(n)=0$ sinon. -Calculer la probabilite que deux entiers choisis aleatoirement dans l'ensemble $\{1,2,...,n\}$ soient premiers entre eux a l'aide de la fonction $\mu$. +Calculer la probabilité que deux entiers choisis aléatoirement dans l'ensemble $\{1,2,...,n\}$ soient premiers entre eux a l'aide de la fonction $\mu$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1279] -Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de parametre 1. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et $T_n=\dfrac{S_n-n}{\sqrt{n}}$. - - Determiner la loi de $S_n$. Qu'en deduire sur $T_n$? +Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de paramètre 1. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et $T_n=\dfrac{S_n-n}{\sqrt{n}}$. + - Déterminer la loi de $S_n$. Qu'en déduire sur $T_n$? - Montrer que $\sum_{k\geq 0}\dfrac{k(n^k-1)}{(n+k)!}$ converge et calculer la somme. - Calculer $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)\,dx$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1280.] -- Rappeler les formules des probabilites totales et composees. +- Rappeler les formules des probabilités totales et composees. -On fixe $d\in\N^*$ et $(U - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $\db{1,d}$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$. +On fixe $d\in\N^*$ et $(U_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires independantes uniformement distribuees sur $\db{1,d}$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$. - Quelles sont les valeurs prises par $N_d$? - Montrer que $\mathbf{P}(N_d\gt k)=\dfrac{d!}{d^k(d-k)!}$ pour tout $k\in\db{0,d}$. - - Pour tout reel $x\gt 0$, calculer $\lim_{d\to+\i}\mathbf{P}\left(\dfrac{N_d}{\sqrt{d}}\gt x\right)$. + - Pour tout réel $x\gt 0$, calculer $\lim_{d\to+\i}\mathbf{P}\left(\dfrac{N_d}{\sqrt{d}}\gt x\right)$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1281.] -- Soient $x\gt 0$ et $X_x$ une variable de Poisson de parametre $x$. Calculer l'esperance de $X_x$. Montrer que $\mathbf{P}(|X_x-\mathbf{E}(X_x)|\geq\eps x)=O\left(\dfrac{1}{x }\right)$ quand $x\to+\i$. +- Soient $x\gt 0$ et $X_x$ une variable de Poisson de paramètre $x$. Calculer l'espérance de $X_x$. Montrer que $\mathbf{P}(|X_x-\mathbf{E}(X_x)|\geq\eps x)=O\left(\dfrac{1}{x }\right)$ quand $x\to+\i$. Soient $\alpha\in\R$ et $u_{\alpha}:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{n^{\alpha}}{n!}x^n$. - - Determiner le domaine de definition de $u_{\alpha}$. - - Determiner $u_1$ et $u_2$. + - Déterminer le domaine de définition de $u_{\alpha}$. + - Déterminer $u_1$ et $u_2$. - Montrer que, pour tout $\alpha\lt 0$, $u_{\alpha}(x)=o\left(\mathrm{e}^x\right)$ quand $x\to+\i$. - Montrer que, si $\alpha\in]-1,0[$, $u_{\alpha}(x)\sim x^{\alpha}e^x$ quand $x\to+\i$. #+end_exercice @@ -6705,9 +6984,9 @@ Soit $A=\begin{pmatrix}0&c&b\\ -c&0&a\\ -b&-a&0\end{pmatrix}\in\M_3(\R)$. Trouve #+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1283] Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $a,b\in\R$ avec $a\neq b$ tels que $:(f-a\op{id})\circ(f-b\op{id})=0$. - - Determiner $\lambda,\mu\in\R$ tels que $\lambda(f-a\op{id})$ et $\mu(f-b\op{id})$ soient des projecteurs. + - Déterminer $\lambda,\mu\in\R$ tels que $\lambda(f-a\op{id})$ et $\mu(f-b\op{id})$ soient des projecteurs. - Montrer que $\text{Ker}(f-a\op{id})=\text{Im}(f-b\op{id})$. - - Determiner $f^n$ pour $n\in\N$. + - Déterminer $f^n$ pour $n\in\N$. #+end_exercice #+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1284] @@ -6736,3 +7015,35 @@ Si $P\in E$, on pose $L(P):x\mapsto e^{-x}\int_{-\i}^xP(t)\,e^t \dt$. On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $u=\left(a,b,c\right)^T$ un vecteur unitaire de $\R^3$. On note $D$=$\text{Vect}(u)$ et $p$ la projection orthogonale sur $D$. - Experimer $p(v)$ pour tout vecteur $v=\left(x,y,z\right)^T\in\R^3$ #+end_exercice + +* Autres écoles + +# ID:6962 +#+BEGIN_exercice +Soit $f\in\mc L(\R^4)$ telle que $f\circ f = \tilde{0}$. Montrer que $\rg f\leq 2$. +#+END_exercice + +#+BEGIN_exercice + 1. Soient $n\in\N^*$ et $u,v$ deux endomorphismes nilpotents non nuls de $\R^n$ qui commutent. Montrer que $\rg (u\circ v )\lt \rg v$. + 2. Montrer que la composée de $n$ endomorphismes nilpotents de $\R^n$ qui commutent deux à deux est nulle. +#+END_exercice + +# ID:6958 +#+BEGIN_exercice +Convergence de $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^{2\a} + (-1)^n}}$. +#+END_exercice + +# ID:6959 +#+BEGIN_exercice +Soit $S\colon x\mapsto \sum_{n=0}^{+\i} \frac{(-1)^n}{n! (x+n)}$. + 1. Montrer que $S$ est définie sur $\interval]{0, +\i}[$. + 2. Calculer $S(1)$ et en déduire que $\forall x\gt 0,\, xS(x) = \frac{1}{e}+S(x+1)$. + 3. Montrer que $S(x)\sim \frac{1}{x}$, quand $x\ra 0$. +#+END_exercice + +# ID:6960 +#+BEGIN_exercice +Soit $A$ une matrice $2\times 2$ dont les quatre coefficients sont des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $\{-1,0,1\}$. Calculer la probabilité que $A$ soit inversible, puis que $A$ soit de rang $1$. + +On rappelle que $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$. +#+END_exercice