Count unexed exos and miscs
parent
21488edb85
commit
b3be0e6a09
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@ -1,16 +1,26 @@
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#+title: Exercices
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#+author: Sébastien Miquel
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#+date: 25-02-2023
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# Time-stamp: <06-11-23 07:42>
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# Time-stamp: <28-12-23 18:31>
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* Meta :noexport:
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#+BEGIN_SRC emacs-lisp
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`(,(count-matches "\\?\\?") ,(count-matches "!!"))
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(defun nb_unexed ()
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(let ((n 0))
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(save-excursion
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(goto-char (point-min))
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(while (go-find-unexed-exo)
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(setq n (1+ n))
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(forward-line 1))
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n)))
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`(,(count-matches "\\?\\?") ,(count-matches "!!") ,(nb_unexed))
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#+END_SRC
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#+RESULTS:
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| 0 | 5 | 52 |
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Essai.
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#+EXCLUDE_TYPES: indication
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@ -936,7 +946,7 @@ Soit $A\in\M_{n,p}(\R)$.
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Soit $n\geq 1$.
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1. Déterminer les plus petites constantes $C$ et $C'$ telles que
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$$\forall X\in\R^n,\, \lN X\rN_2 \leq C \lN x\rN_{\i} \quad \et \quad \lN X\rN_{+\i} \leq C' \lN X\rN_2.$$
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2. Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall X\in\R^n,\, \lN AX\rN_2 \geq \lN X\rN_{\i}$. Montrer qu'il existe $X\in\R^n$ tel que $\lN AX\rN_2 \geq \lN X\rN_{\i}$.
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2. Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall X\in\R^n,\, \lN AX\rN_2 \geq \lN X\rN_{\i}$. Montrer qu'il existe $X\in\R^n$ tel que $\lN AX\rN_2 \geq \sqrt{n} \lN X\rN_{\i}$.
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3. Pour deux espaces vectoriels normés $E$ et $F$ de dimension finie, et $f\in\mc L(E,F)$, on note $\lN f\rN = \sup_{\lN x\rN_E = 1} \lN f(x)\rN_F$. Lorsque $\dim E = \dim F$, on note
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$$d(E,F) = \inf \{\lN f\rN \lN f^{-1}\rN,\, f\in\mc L(E,F)\text{ bijective}\}.$$
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@ -1066,7 +1076,6 @@ Soit $f\colon M \mapsto 2M - M^2$. On note $\Gamma$ l'ensemble des $N\in\M_n(\C)
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D'autre part, si on se restreint à un espace caractéristique. Sur $F_0, F_2$ on peut être quelconque, mais sur $F_a$, comme $u_n(a)\ra 1$, il faut que l'on soit diagonale. En fait non. On peut être quelconque : l'application est $N\mapsto 2N - N^2 - 2\la N = (2 - 2\la) N - N^2$, donc on tend vers $0$ dans tous les cas.
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#+END_proof
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# Lier à 4225
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# 74
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# ID:6466
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022] Dunford, par la méthode de Newton
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@ -1113,6 +1122,7 @@ Soit $E$ euclidien, et $A$ une partie bornée non vide de $E$.
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#+END_indication
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# 78
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# ID:6608
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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On munit $\R^n$ d'une norme, et $\mc L(\R^n, \R)$ de la norme d'opérateur associée. Montrer qu'il existe une base de vecteurs unitaires de $\R^n$ dans laquelle les formes linéaires coordonnées sont unitaires.
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#+END_exercice
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@ -1290,6 +1300,7 @@ $\frac{p}{q}\mapsto \frac{1}{q}$
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#+END_indication
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# 90
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# ID:6647
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $f\colon\R_+^*\ra\R_+^*$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $f(x)\tend{x\ra 0} 0$ et $f(x)\tend{x\ra +\i} 0$ et dont la dérivée $n$-ième s'annule en un unique $x_n\gt 0$, pour tout $n\geq 1$.
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1. Montrer que $(x_n)_{n\geq 1}$ est strictement croissante.
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@ -1314,12 +1325,12 @@ Soit $f\colon\R_+^*\ra\R_+^*$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $f(x)\tend{x\ra 0
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D'autre part, en un $0$, on a $f'$ du même signe que $f$, donc $f'$ est encore de la bonne monotonie. Impossible !
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On a $g''(x) = \frac{x(f' + xf'' - f') -2 xf' + 2f}{x^3} = \frac{2f - 2x f' + x^2 f''}{x^3}$. En plus l'infini, on a le signe de $g''$.
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L'expression trouvée permet de justifier que $x^{n+1}g^{(n)}(x)\tend{0, +\i} 0$. Par ailleurs, on a $xg = f$, donc $xg^{(n)} + g^{(n-1)} = f^{(n)}$, donc $(xg^{(n)})' = xg^{(n+1)} + g^{(n)} = f^{(n)}$, donc s'annule une seule fois. On en déduit, par Rolle généralisé, que $g^{(n)}$ ne s'annule pas.
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Il faudrait étudier le signe des coefficients… !!
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#+END_proof
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# 92
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#+call: get_exa(6107)
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#+BEGIN_exercice $\bigstar$ $\bigstar$ [ENS 2022]
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@ -1520,6 +1531,7 @@ Soit $f\colon \R^+ \ra \R^+$ continue et intégrable sur $\R^+$ telle que $\int_
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# 105
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# ID:6609
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Pour $N \in \N^*$, on pose $g_N\colon x \in \R \backslash Z \ra \sum_{n=-N^N}^N \frac{1}{x+n}$.
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1. Montrer que $\left(g_N\right)_{N \in \N}$ converge simplement $\op{sur} \R \backslash \Z$. On note $g$ sa limite.
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@ -1541,6 +1553,7 @@ Pour $N \in \N^*$, on pose $g_N\colon x \in \R \backslash Z \ra \sum_{n=-N^N}^N
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# 106
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# ID:6653
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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On considère une suite $\left(\lambda_n\right)_{n \in \N}$ de réels positifs telle $\sum e^{-\lambda / t}$ converge pour tout $t\gt 0$. On suppose en outre que $\sum_{j=0}^{+\i} e^{-\lambda / t} \sim_{t \ra 0+}B t^{-a}$ pour des réels $B\gt 0$ et $a\gt 0$.
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On note $E$ l'espace des fonctions $f\colon \R^+ \ra \R$ continues par morceaux et telles que $t \mapsto f(t) e^t$ soit bornée, et pour $f \in E$ on note $N(f)=\sup_{t \in \R} |f(t)| e^t$. On admet que $(E, N)$ est un espace vectoriel normé.
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@ -1567,6 +1580,7 @@ Pour $f \in E$, on note $L_0(f)=\frac{B}{\Gamma(a)} \int_0^{+\i} f(t) t^{a-1}\dt
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# Exemple de fonctions Höldérienne
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# 107
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# ID:6654
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soient $a,b\in\R$ tels que $a\in\interval]{0, 1}[$, $b\gt 1$ et $ab\gt 1$. On pose
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$$f_{a,b}\colon x\mapsto \sum_{n=1}^{+\i} a^{n} \cos \big(b^n \pi x\big) \quad \et \quad \a = \frac{\ln a}{\ln b}.$$
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@ -1577,7 +1591,7 @@ Soient $a,b\in\R$ tels que $a\in\interval]{0, 1}[$, $b\gt 1$ et $ab\gt 1$. On po
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Trivial.
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2. The fuck ? Trivial.
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2. Trivial.
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3. NB : on a $\a\lt 1$.
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On a $|\cos (b^n \pi x) - \cos (b^n \pi y)|\leq \min (b^n |x-y|, 1)$ = $\leq b^n \min (|x-y|, \frac{1}{b^n})$
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@ -1712,8 +1726,9 @@ On veut $g = \frac{f-Q}{P}$. On choisit $Q$ par interpolation. On note $f_n$ la
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#+END_proof
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# 115
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# ID:6569
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $f\colon\R \setminus \Z \ra \R$ une fonction 1-périodique intégrable sur $] 0,1[$.
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Soit $f\colon\R \setminus \Z \ra \R$ une fonction $1$-périodique intégrable sur $\interval]{0, 1}[$.
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1. Soit $n\geq 1$ et $\theta \in \R$. Montrer qu'il existe une subdivision $(a_0, \ldots, a_N)$ de $[0,1]$ telle que chacune des intégrales $$\int_{a_i}^{a_{i+1}}\left(\sum_{k=0}^{n-1} f(t+k \theta)^2\right)^{1 / 2}\dt$$
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soit bien définie.
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@ -1815,10 +1830,11 @@ Soit $f\colon\R \ra \R$ continue et de limite nulle en $\pm \i$.
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#+END_proof
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# 121
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# ID:6568
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $f\colon\R \ra \R^+$ continue à support compact d'intégrale 1. On note, pour $g$ continue, $T(g)\colon x\mapsto \int_R f(t) g(x-t)\dt$.
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1. Montrer que $T(g^2)\geq g^2$. Cas d'égalité ?
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2. Soit $g\colon \R \ra \R$ continue telle que $T(g) = g$. On pose $h = T(g^2) - g^2$. Montrer que $T(h)\geq h$.
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1. s Montrer que $T(g^2)\geq g^2$. Cas d'égalité ?
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2. s Soit $g\colon \R \ra \R$ continue telle que $T(g) = g$. On pose $h = T(g^2) - g^2$. Montrer que $T(h)\geq h$.
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3. Quelles sont les fonctions $g$ continues et bornées telles que $T(g) = g$ ?
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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@ -1851,6 +1867,7 @@ Donc c'est la projection sur les espaces caractéristiques de valeurs propres $\
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# 123
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# ID:6567
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues et intégrables de $\R$ dans $\C$. Pour $f \in E$, on note $\hat{f}\colon x \mapsto \int_{\R} f(t) e^{-i x t}\dt$. On admet que $\hat{\hat{f}}(x)=2 \pi f(-x)$ pour tout $f \in E$ tel que $\hat{f} \in E$. Déterminer les complexes $\lambda$ tels que l'équation $\hat{f}=\lambda f$ ait une solution non nulle $f \in E \setminus\{0\}$.
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@ -1905,6 +1922,7 @@ L'espace donné $S$ est stable par $\hat{\cdot}$, on a $T^4 = \op{Id}$, donc il
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# 126
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# ID:6610
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $A \in \mc M_2(\R)$ et $(*)$ l'équation différentielle $X'(t)=A X(t)$. En discutant suivant la matrice $A$, donner l'allure des solutions de $(*)$.
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#+END_exercice
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@ -1913,17 +1931,19 @@ Si $2$ racines complexe conjuguées, ou bien un escargot, ou bien un cercle. Si
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#+END_proof
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# 127
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# ID:6611
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $A \in \mc M_n(\C)$. Soit $\lN \cdot\rN$ une norme sur $\C^n$.
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1. Déterminer $E_+=\left\{x \in \C^n ; e^{t A} x \tend{t \ra+\i} 0\right\}$ et $E_-=\left\{x \in \C^n ; e^{t A} x \tend{t \ra-\i} 0\right\}$.
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2. Si $E_+=\C^n$, montrer qu'existe $C, \delta \in \R_+^*$ tels que $\forall x \in \C^n,\, \lN e^{t A} x\rN \leq C e^{-\delta t}\lN x\rN$.
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3. On fait l'hypothèse de $2$. Soit $B$ une application continue de $\R^+$ dans $\mc M_n(C)$ tendant vers 0 en $+\i$.
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2. Si $E_+=\C^n$, montrer qu'existe $C, \delta \in \R_+^*$ tels que
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$$(*)\colon \quad\forall x \in \C^n,\, \lN e^{t A} x\rN \leq C e^{-\delta t}\lN x\rN$$.
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3. Soit $B$ une application continue de $\R^+$ dans $\mc M_n(C)$ tendant vers 0 en $+\i$.
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Montrer que les solutions de l'équation différentielle $x'(t)=(A+B(t)) x(t)$ tendent vers 0 en $+\i$.
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Sous la même hypothèse que la question précédente, montrer que les solutions de l'équation différentielle $x'(t)=(A+B(t)) x(t)$ tendent vers 0 en $+\i$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. C'est la somme des espaces caractéristiques de valeurs propres $\lt 0$, et de l'espace propre pour $0$.
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2. trivial.
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2. Nécessairement les parties réelles des valeurs propres de $A$ sont
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3. Si les valeurs propres de $A$ sont $\lt 0$, utiliser la forme explicite.
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Sinon, c'est faux : prendre $A = O_2$ et $B = \frac{1}{t}$, on a $x = t$.
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@ -1931,6 +1951,7 @@ Soit $A \in \mc M_n(\C)$. Soit $\lN \cdot\rN$ une norme sur $\C^n$.
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# 128
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# ID:6612
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soient $\lambda\gt 0, T\gt 0$ et $a \in \mc C\left(\R^+, \R^+\right)$.
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On suppose l'existence de $\alpha\gt 0$ tel que $\forall T^*\gt T$, $\sup_{t \in \interval]{0, T^*}[} \frac{1}{t} \int_0^t u^2 a(u) \du\lt \alpha$.
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@ -1952,7 +1973,8 @@ Pas très intéressant, énoncé pourri. Mais la méthode intérieure est ok.
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# 129
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#+BEGIN_exercice Stabilité de l'équation de diffusion avec source linéaire
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# ID:6566
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022] Stabilité de l'équation de diffusion avec source linéaire
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Soit $a\lt 2$ un réel, et $u\colon \R_+^* \times \R \ra \R$ une fonction de classe $\mc C^3$. On suppose que $u(t, 0)=u(t,1) = 0$, pour tout $t\gt 0$, et $\partial_1 u(t, x)=\left(\partial_2\right)^2 u(t, x)+a u(t, x)$ pour tout $(t, x) \in \R_+^* \times \R$. Montrer, pour tout $k \in \db{0,3}$, que $\int_0^1\left(\left(\partial_2\right)^k u(t, x)\right)^2\dx \tend{t \ra+\i} 0$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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@ -1973,6 +1995,7 @@ Mais $\int |\partial_2 u| \leq \sqrt{G_1}$, donc $u \leq \sqrt{G_1}$, donc $G_0
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# 130
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# ID:6613
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $n \in \N^*$. On considère des fonctions dérivables $y_1, \ldots, y_n$ et des réels $a_{i, j} \in \R_+^*$ tels que, pour tout 1 $\leq i \leq n, y_i'=\sum_{j=1}^n a_{i, j} y_j$ et $\lim_{t \ra+\i} y_i(t)=0$. Montrer que $\left(y_1, \ldots, y_n\right)$ est liée.
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#+END_exercice
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@ -2935,6 +2958,18 @@ Soit $E$ un $\C$-ev de dimension finie, et $p,q\in\mc L(E)$. On pose $c = pq - q
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3. Est-il possible que $pq - qp = \op{Id}$ en dimension infinie : oui, sur $\R[X]$, prendre $p$ la dérivation, et définir $q$ petit à petit.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice
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- Si $uv - vu = u$,
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- $\Ker u$ est stable par $v$.
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- $u,v$ ont un valeur propre commun.
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- Si $uv - vu \in \vect (u,v)$, alors $u,v$ sont cotrigonalisables.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Si $u$ inversible, contradiction avec la trace, donc il y a du noyau, et le noyau de $u$ est stable par $v$ (d'après la )
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2. Poser $w = uv - vu$, et considérer $uw - wu$, on trouve $b w$, et on applique ce qui précède.
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#+END_proof
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# 233
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# ID:6510
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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@ -3464,6 +3499,7 @@ Oui, considérer une réunion de demi-droites horizontales, aux ordonnées enti
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#+END_proof
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# 270
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# ID:6565
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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1. Montrer qu'il existe une unique fonction dérivable $v\colon\R_+\ra\R_+$ telle que $v(0) = 0$ et $\forall t\geq 0,\,v'(t) = \int_0^1\big(v(tx) + 1 - v(t)\big)\dx$.
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2. On suppose qu'il existe une fonction dérivable $v\colon\R_+\ra\R_+$ tel que $v(0) = 0$ et $\forall t\geq 0,\,v'(t) = \int_0^1 \max\big(0, v(tx) + 1 - v(t)\big)\dx$. On pose $a = \max \{t \geq 0\mid v(t)\leq 1\}$. Justifier l'existence de $a$. Montrer que pour tout $t\geq a$, il existe un unique réel positif $f(t)$ tel que $v(f(t)) + 1 = v(t)$.
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@ -3516,7 +3552,7 @@ Soit $a\gt 0$ et $E$ l'ensemble des fonctions $f\colon \R_+\ra\R$ de classe $\mc
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2. Montrer que pour tout $v\in\R$, il existe $f\in E$ tel que $f(0) = v$.
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3. Soit $v\in\R$. Déterminer
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$$\inf \left\{\int_0^{+\i} \big(f^2 + a(f')^2\big)\, ;\, f\in E \et f(0) = v\right\}.$$
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4. Pour $A,B\ni\mc S_n$, on pose $A\leq B\ssi B-A\in\mc S_n^+$. Soient $A,B\in\mc S_n^+$ telle que $A\leq B$. En utilisant les questions précédentes, montrer que $\sqrt{A}\leq \sqrt{B}$.
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||||
4. Pour $A,B\in\mc S_n$, on pose $A\leq B\ssi B-A\in\mc S_n^+$. Soient $A,B\in\mc S_n^+$ telle que $A\leq B$. En utilisant les questions précédentes, montrer que $\sqrt{A}\leq \sqrt{B}$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Trivial.
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@ -3535,6 +3571,7 @@ Soit $a\gt 0$ et $E$ l'ensemble des fonctions $f\colon \R_+\ra\R$ de classe $\mc
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# À relier…
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# 273
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# ID:6564
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $P\in\C[X]$ tel que $P(0)\neq 0$ et $r\gt 0$. Justifier la convergence de l'intégrale $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \ln \big(\big|P(re^{it})\big|\big)\dt$, puis la calculer en fonction de $P(0)$ et des racines de $P$ de module strictement inférieur à $r$.
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#+END_exercice
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@ -3610,6 +3647,7 @@ Soit $(a_n)$ complexe, $C\gt 0$ et $R$ le rayon de convergence de $\sum \frac{a_
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#+END_proof
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# 280
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# ID:6563
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $(a_n)$ réelle telle que $\sum a_n x^n$ soit de rayon $1$. Pour $x\in \interval]{-1, 1}[$, on pose $f(x) = \sum_{n=0}^{+\i} a_n x^n$.
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1. On suppose que $\sum a_n$ converge. Montrer que $f(x)\tend{x\ra 1^-}\sum_{n=0}^{+\i} a_n$.
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@ -3651,7 +3689,8 @@ Soit $(E)\colon x'(t) = \cos (x(t)) + \cos (t)$. On admet que pour tout $a\in [0
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# 285
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#+BEGIN_exercice
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# ID:6562
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Pour $n\in\N$, on note $(E_n)$ l'équation différentielle $-y'' + x^2 y = (2n+1)y$, dont on cherche les solutions sur $\R$. On considère également, sur $\mc C^{\i}(\R,\R)$ les opérateurs $A\colon f\mapsto (x\mapsto f'(x) + x f(x))$ et $B\colon f\mapsto (x\mapsto -f'(x) + x f(x))$.
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1. Qeu dire de l'espace des solutions de $(E_n)$ sur $\R$ ?
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2. Résoudre $(E_0)$ à l'aide des opérateurs $A,B$.
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@ -3932,6 +3971,7 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ indépendantes de même loi centrée et bornée, et $S_n
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# 306
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# ID:6648
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soient $A_1,\dots, A_n$ des évènements, $x_1,\dots,x_n \in \interval]{0, 1}[$ et $D_1,\dots,D_n$ des parties de $\db{1,n}$. On suppose que pour tout $i$, $\m 1_{A_i}$ est indépendante de la variable conjointe $(\m 1_{A_j})_{j\in\db{1,n}\setminus D_i}$. On suppose aussi que $P(A_i)\leq x_i \prod_{D_i\setminus \{i\}} (1-x_j)$, pour tout $i$.
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@ -3939,24 +3979,29 @@ Soit $E\subset \db{1,n}$ et $i\in\db{1,n} \setminus E$. On pose $B_E = \bigcap_{
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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$P(A_i\mid B_E) = P(A_i \mid \cap_{E} \ol{A_j})$ $=P(A_i \mid \cap_{E \cap D_i} \ol{A_j} \cap_{E \cap \ol{D_i}} \ol{A_j})$
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??
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On a $$P(A_i\mid B_E) = \frac{P(A_i \cap \dots)}{P(\cap_E \ol{A_j})},$$
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Si $D_i = \{i\}$, l'inégalité découle de $P(A_i)\leq x_i (1-x_i)\Rightarrow P(A_i)\leq x_i$.
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Si $D_i = E$, on a $P(A_i \mid B_E) = \frac{P(A_i \cap B_E)}{P(B_E)}$, et attention, les évènements de $B_E$ ne sont pas indépendants.
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Si $D_i = E$, on a $P(A_i \mid B_E) = \frac{P(A_i \cap B_E)}{P(B_E)}$, et attention, les évènements de $B_E$ ne sont pas indépendants.
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D'une part, au numérateur, on peut majorer la probabilité par celle de $P(A_i \cap_{E\cap \ol{D_i}} \ol{A_j})$.
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D'autre part, on montre que le dénominateur est $\geq \prod_E (1-x_j)$. Pour cela, si dans l'intersection, il y a deux évènements indépendants $\l, m$, on les regroupe en un seul $A_L = A_{\l} \cap A_{m}$, associé à $x_{\L} = \min(x_\l, x_m)$. D'une part, ces nouveaux $A$ vérifie l'hypothèse : pour $A_L$, cela vient de $x_L\geq x_\l x_m$. D'autre part pour les $A_j$ : si $A_j$ était dépendant de $A_l$, on avait du $P(A_j)\leq \dots (1-x_\l) \leq (1 - x_L)$, car $x_L\leq x_\l$.
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D'autre part, on obtient comme conclusion que $P(\cap \ol{A_k}) \geq \dots (1 - x_L) \geq \dots (1-x_m) (1- x_\l)$.
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On a besoin d'avoir $P(\cap \ol{A_j})\geq \prod (1 - x_j)$, c'est-à-dire $P(\cup A_i) \leq 1 - \prod (1 - x_j)$ S'ils sont tous non indépendants, cela découle exactement des inégalités données sur les $x_i$.
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#+END_proof
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* Centrale
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#+BEGIN_exercice [Centrale 2022]
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Montrer que pour $M\in\M_n$, $(I_n + \frac{M}{k})^k\ra e^M$.
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#+call: get_exo(6570)
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#+BEGIN_exercice
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Soit $A\in\M_n(\R)$. Étudier la limite de la suite $\left(\left(I_n + \frac{A}{p}\right)^p\right)_{p\in\N}$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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On développe le polynôme. Les coefficients tendent un à un vers ce qu'il faut.
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On peut majorer le reste, avec une norme multiplicative, et comme on connaît la limite pour $x\in\R$, on a une majoration.
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#+END_proof
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# 1081
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#+BEGIN_exercice [Centrale 2022]
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@ -3982,6 +4027,11 @@ Montrer que les fonctions $f\in \mc C^1(\R^2,\R)$ vérifiant $\forall x,y\in\R^2
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On pose $\phi(x,y) = \left(\frac{x}{1+y^2}, y\right)$, qui est de classe $\mc C^1$, d'inverse $\mc C^1$.
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#+END_proof
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# ID:6570
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#+BEGIN_exercice [Mines 2022]
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Soit $A\in\M_n(\R)$. Étudier la limite de la suite $\left(\left(I_n + \frac{A}{p}\right)^p\right)_{p\in\N}$.
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#+END_exercice
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# 647
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#+BEGIN_exercice
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Reference in New Issue