Sous algèbre transitive

Exercices 2024.org

@@ -2,7 +2,7 @@
 #+title:  Exercices 2024
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   20-11-2024
-# Time-stamp: <30-11-24 16:25>
+# Time-stamp: <02-12-24 19:14>
 
 * Meta                                                             :noexport:
 
@@ -14,7 +14,7 @@
 
 #+RESULTS:
 | ? | ! | todo | unexed |
-| 2 | 0 |    4 |   1209 |
+| 1 | 0 |    3 |   1198 |
 
 ** Options
 
@@ -520,8 +520,6 @@ Réciproquement, c'est clair.
 Soient $n\in\N^*$, $A\in\op{GL}_n(\R)$ et $u,v\in\R^n\setminus\{0\}$. Exprimer $\det(A+uv^T)$. Dans le cas ou celui-ci est non-nul, exprimer $(A+uv^T)^{-1}$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
-Pour $u,v = \vec e_1$, le déterminant vaut $\det A + \det A_{11}$, et l'inverse ??
-
 Plutôt : si $A$ inversible vaut l'identité, c'est $\det (I_n + uv^T) = 1 - \langle u, v\rangle$, qui admet un inverse de la forme $I_n + c uv^T$.
 #+END_proof
 
@@ -562,59 +560,112 @@ Surjectivité : Dans $SL_n(\Z/m\Z)$, on est produit de transvections : le pgcd d
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice Sous-algèbre transitive [ENS MP 2024 # 33]                    :todo:
+# ID:7702
-Soient $n\in\N^*$, $A$ une sous-algèbre de $\M_n(\C)$. On suppose que, pour tout $v\in\C^n$ non nul, on a $\{Mv\ ;\ M\in A\}=\C^n$. Montrer que $A=\M_n(\C)$.
+#+begin_exercice Sous-algèbre transitive [ENS MP 2024 # 33]
+Soient $n\in\N^*$, $\mc M$ une sous-algèbre de $\M_n(\C)$. On suppose que, pour tout $v\in\C^n$ non nul, on a $\{Mv\ ;\ M\in \mc M\}=\C^n$. Montrer que $A=\M_n(\C)$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
-Si $\dim A\leq n$, chaque matrice est entièrement déterminée par sa première colonne, donc il existe $A_i$ tel que $\forall M\in A,\, M_i = A_i M_1$. En utilisant que $A$ est une algèbre, on obtient que $M$ doit commuter avec les $A_i$, donc $M$ est diagonale par blocs, ce qui est contradictoire.
+Si chaque matrice est entièrement déterminée par sa première colonne, alors il existe $A_i$ tel que $\forall M\in A,\, M_i = A_i M_1$. En utilisant que $A$ est une algèbre, on obtient que $M$ doit commuter avec les $A_i$, donc $M$ est diagonale par blocs, ce qui est contradictoire.
 
-Donc $\dim A\gt n$, donc il existe dans $A$ une matrice $B$ dont la première colonne est nulle, en prenant l'image de $M\mapsto MB$ on en obtient d'autres, dont la projection sur chaque colonne non nulle de $B$ est $\R^n$.
+Sinon, donc il existe dans $A$ une matrice $B$ dont la première colonne est nulle, en prenant l'image de $M\mapsto MB$ on en obtient d'autres, dont la projection sur chaque colonne non nulle de $B$ est $\R^n$. Cela forme une algèbre $\mc M_0$, et pour tout $v$, à moins que $Bv = \vec 0$, on a $\mc M_0 v = \R^n$. En général, $\mc M_0 v = \{\vec 0\} \ou \R^n$.
+
+Notons $K$ le noyau commun à toutes les matrices de $\mc M_0$. Si $K = \vect E_1$, alors par récurrence, on conclut.
+
+Sinon, notons $w\in K$ non colinéaire à $\vec E_1$. Alors, dans $\mc M$, $M w$ est entièrement déterminé par $ME_1$. Donc il existe $A$ tel que $\forall M\in\mc M$, $Mw = AM E_1$.
+
+On a alors, pour tout $N\in\mc M$, $NM w = ANM E_1 = N AM E_1$, donc $A$ commute avec tous les $N$. Si $A$ est une homothétie, on obtient une contradiction avec $Mw = AM E_1$. Sinon, $A$ admet un espace stable, qui est stable par toutes les matrices de $\mc M$.
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 34]
+#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 34]                                            :todo:
 Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ telles que $A^2+B^2=AB$ et $AB-BA\in{\rm GL}_n({\R})$. Montrer que $n$ est divisible par $3$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+La condition sur $AB-BA$ les empêche d'avoir un vecteur propre commun.
+
+Si $\la$ est valeur propre de $B$, alors $A^2 X + \la^2 X = \la AX$, donc $\vect (X, AX)$ est stable par $A$, de dimension $2$, avec un polynôme annulateur de racines $\la e^{\pm \frac{i\pi}{3}}$, (le cas $\la = 0$ est exclu, avec les deux hypothèses) donc $A$ est diagonalisable, et a ces deux valeurs propres (car $X$ n'est pas vecteur propre).
+
+En prenant la transposée, on a de même que si $\la$ est valeur propre de $A$, $\la e^{\pm \frac{i\pi}{3}}$ est valeur propre de $B$. Donc si $\la$ valeur propre de $A/B$ les $e^{\pm 2i\frac{\pi}{3}}\la$ le sont aussi.
+
+On a $(A-B)^2 = - BA$, et $A^3 + B^2 A = ABA \ssi A^3 = (A-B) BA = - (A-B)^3$. Les matrices $A$ et $U = B-A$ vérifient $A^3 = U^3$. En particulier, si $\la$ est une valeur propre de $A^3$, l'espace caractéristique $F_{\la}$ associé est stable par $A$ et $U$, donc par $A$ et $B$. Sur cet espace, $A$ a comme valeurs propres des racines $3$-èmes de $\la$, idem pour $U-A$. D'après ce qui précède, les seuls valeurs propres de $B$ possibles sur cet espaces sont les $e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$ fois celles de $A$. De plus, $A$ et $B$ ont chacun le même nombre de racines complexes conjuguées.
+
+tragnagna, ça marche pas.
+#+END_proof
 
 
+# ID:nil # Chiant
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 35]
-Soient $\chi:({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes non constant. Soit ${\cal A}$ l'ensemble des matrices de la forme $(a+b\chi(r)+c\overline{\chi(s)}+d\chi(r)\overline{\chi(s)})_{r,s\in({\mathbb{ Z}}/n{\Z})^{\times}}$ avec $a$, $b$, $c$ et $d\in{\R}$.  - Montr er que ${\cal A}$ est un ${\R}$-espace vectoriel.  - Pour $\xi:({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes, calculer $\sum_{r\in({\Z}/n{\Z})^{\times}}\xi(r)$.
+Soient $\chi\colon ({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes non constant. Soit ${\cal A}$ l'ensemble des matrices de la forme $(a+b\chi(r)+c\overline{\chi(s)}+d\chi(r)\overline{\chi(s)})_{r,s\in({\mathbb{ Z}}/n{\Z})^{\times}}$ avec $a$, $b$, $c$ et $d\in{\R}$.
- - Montr er que ${\cal A}$ est stable par produit matriciel et que la ${\R}$-algèbre $({\cal A},+,\times,.)$ est isomorphe à ${\cal M}_2({\R})$ (on exhibera un isomorphisme).
+ - Montrer que ${\cal A}$ est un ${\R}$-espace vectoriel.
+ - Pour $\xi:({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes, calculer $\sum_{r\in({\Z}/n{\Z})^{\times}}\xi(r)$.
+ - Montrer que ${\cal A}$ est stable par produit matriciel et que la $\R$-algèbre $({\cal A},+,\times,.)$ est isomorphe à ${\cal M}_2({\R})$ (on exhibera un isomorphisme).
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+
+#+END_proof
 
 
+# ID:7697
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 36]
-On s'interesse aux parties de ${\cal M}_n({\R})$ qui sont des groupes pour le produit matriciel.  - Donner des exemples de tels groupes, dont certains ne soient pas des sous-groupes de ${\rm GL}_n({\R})$.
+On s'intéresse aux parties de ${\cal M}_n({\R})$ qui sont des groupes pour le produit matriciel.
- - Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montr er que $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&N\end{pmatrix}$, ou $B$ est inversible et $N$ nilpotente.
+ - Donner des exemples de tels groupes, dont certains ne soient pas des sous-groupes de ${\rm GL}_n({\R})$.
+ - Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&N\end{pmatrix}$, où $B$ est inversible et $N$ nilpotente.
  - Caractériser ces groupes.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Matrices avec un bloc inversible, et le reste nul.
+ - Noyaux itérés.
+ - La matrice $A\in G$ ne peut pas perdre de rang, donc la partie nilpotente est nulle.
+
+   Si deux matrices $A,B$ n'ont pas la même image, $BA$ a au plus l'image de $B$, donc son image est celle de $B$, et elle doit être stabilisée par $BA$, donc par $A$, impossible.
+#+END_proof
 
 
+# ID:7700
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 37]
 Pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, soit ${\rm Pf}(A)=a_{1,2}a_{3,4}-a_{1,3}a_{2,4}+a_{1,4}a_{2,3}$.
  - Montrer que, pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, ${\rm Pf}(A)^2=\det(A)$.
  - On admet que ${\rm GL}_n^+({\R})$ est connexe par arcs. Montrer que, pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$ et tout $B\in{\cal M}_4({\R})$, ${\rm Pf}(BAB^T)=\det(B){\rm Pf}(A)$.
-
-_Ind._ Pour le cas $\det B\lt 0$, considérer la matrice $J={\rm diag}(-1,1,1,1)$.
  - Soit $R\in{\rm SO}_4({\R})$. On pose $A=R-R^T$. Montrer l'équivalence entre :
-
+   + $R$ n'a pas de valeur propre réelle,
-(i) $R$ n'a pas de valeur propre réelle, (ii) ${\rm Pf}(A)\neq 0$, (iii) $A$ est inversible.
+   + ${\rm Pf}(A)\neq 0$,
+   + $A$ est inversible.
  - Soient $R_1,R_2\in{\rm SO}_4({\R})$, $A_1=R_1^T-R_1$ et $A_2=R_2^T-R_2$. On suppose $\chi_{R_1}=\chi_{R_2}$ et ${\rm Pf}(A_1)={\rm Pf}(A_2)\neq 0$. Montrer qu'il existe $P\in{\rm SO}_4({\R})$ telle que $R_1=PR_2P^T$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - Si $B$ non inversible, c'est bon. On a $\det (BÀ B^T) = (\det B)^2 \det A$, donc le pfaffien de $BAB^T$ est $\pm \Pf À \det B$, plus continuité et connexité par arcs.
+ - Si $A$ est si et seulement si $\op{Pf} A\neq 0$. Si $R$ a une valeur propre réelle, elle vaut $\pm 1$, et $A$ est non inversible.
+
+   Réciproquement, si $A$ est non inversible, on trouve $RX = R^{-1}X$, donc $R^2 X = X$, mais $R$ est diagonalisable sur $\C$ et les valeurs propres de $R$ sont des $e^{i\theta}$.
+ - Comme $R_1$ et $R_2$ ont les mêmes polynômes caractéristiques, ils sont conjugués dans $O_4(\R)$, donc c'est le cas de $A_1,A_2$. Comme elles ont le même Pfaffien, elles sont en fait conjuguées dans $SO_4$.
+#+END_proof
 
 
+# ID:7698
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 38]
 Déterminer l'image de $\phi:M\in{\cal M}_2({\C})\mapsto\sum_{n\in{\N}}\frac{(- 1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+C'est $\sin M$. Sur $\C$, la fonction $\sin$ est surjective, car $\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2i} = u \ssi Z + Z^{-1} = 2iu\ssi Z^2 - 2iu Z + 1 = 0$.
+
+Reste l'étude de matrices $M = \begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, avec $M^2 = 2a$, donc $\sin(M) = \begin{pmatrix}\sin 1 & a \cos 1 \\ \sin 1 & \cos a\end{pmatrix}$, donc surjective.
+#+END_proof
 
 
+# ID:7699
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 39]
-A quelle condition sur la matrice $A$, la comatrice de $A$ est-elle diagonalisable?
+À quelle condition sur la matrice $A$, la comatrice de $A$ est-elle diagonalisable?
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Si $A$ inversible, $\op{Com} A = A^{-1}$. Si $\rg A\leq n-2$. Si $\rg A = n-1$, $\rg \op{Com} A = 1$, elle est diagonalisable si et seulement si son image n'est pas dans son noyau, mais son image est le noyau de $A$, et son noyau est l'image de $A$.
+#+END_proof
 
 
+
+# ID:nil # Classique, drôle de façon de le présenter…
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 40]
-Pour $i\in{\N}$ et $A\in{\cal M}_n({\C})$, on note $c_i(A)$ le coefficient numero $i$ du polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ de la matrice $A$.
+Pour $i\in{\N}$ et $A\in{\cal M}_n({\C})$, on note $c_i(A)$ le coefficient numéro $i$ du polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ de la matrice $A$.
  - Montrer que $c_i(AB)=c_i(BA)$ pour toutes matrices $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ et $i\in{\N}$.
  - Le résultat reste-t-il valable pour des matrices à coefficients dans un corps ${\mathbb{K}}$ quelconque?
 #+end_exercice
@@ -842,7 +893,8 @@ Si $G$ est un groupe, on note $Z(G)$ son centre.
 
 On pose $U_n(\C)=\left\{A\in\M_n(\C)\,,\,A^*A=I_n\right\}$ ou $A^*=\overline{A}^T$, l'ensemble des matrices unitaires.
  - Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$ et que $\mc{U}_n(\C)$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.
- - Soit $A\in\M_n(\C)$ hermitienne, c'est-a-dire telle que $A^*=A$. Démontrer qu'il existe $P\in\mc{U}_n(\C)$ telle que $P^*AP$ soit diagonale. - Démontrer que toute matrice $M\in\M_n(\C)$ s'écrit comme combinaison lineaire d'au plus quatre matrices unitaires.
+ - Soit $A\in\M_n(\C)$ hermitienne, c'est-a-dire telle que $A^*=A$. Démontrer qu'il existe $P\in\mc{U}_n(\C)$ telle que $P^*AP$ soit diagonale.
+ - Démontrer que toute matrice $M\in\M_n(\C)$ s'écrit comme combinaison lineaire d'au plus quatre matrices unitaires.
  - Déterminer $Z\left(\mc{U}_n(\C)\right)$.
 #+end_exercice
 
@@ -2979,7 +3031,7 @@ Montr per que la série de terme general $v_n=\frac{1}{1+n^2u_n}$ diverge.
 
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 332]
-Déterminer les fonctions d rivables $f\colon\R\ra\R$ telles que
+Déterminer les fonctions dérivables $f\colon\R\ra\R$ telles que
 
  $\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x)f(y)=f(x+yf(x))$.
 #+end_exercice
@@ -3076,12 +3128,15 @@ Pour $f\in E$, soit $T(f):t\in[0,1]\mapsto\sup_{[0,t]}(f)-f(t)$. Soit $f\in E$.
 #+end_exercice
 
 
+# ID:nil # Classique
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 342]
 Soit $f:[0,1]\ra[-a,b]$ continue, ou $a$ et $b$ sont dans $\R^+$. On suppose que $\int_0^1f(t)dt=0$.
 
 Montrer que $\int_0^1f(t)^2dt\leq ab$.
 #+end_exercice
-
+#+BEGIN_proof
+Intégrer $(b-f)(f + a)$.
+#+END_proof
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 343]
 Pour $r\in\R$ et $n\in\N$, soit $D_n(r)=\int_{-1}^1(1-x^2)^n\cos(rx)dx$.
@@ -3100,9 +3155,17 @@ Nature de $\int_0^{+\i}\frac{e^x}{e^{-x}+e^{2x}|\sin x|}dx$?
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7696
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 346]
 Soit $f\colon\R\ra\R$ intégrable et lipschitzienne. Peut-il exister un réel $x$ non nul tel que la série de terme general $f(nx)$ diverge?
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Si $f$ est lipschitzienne, $f^2$ est intégrable, et on peut majorer $|f(nx)|$ par l'intégrale d'un triangle de pente $1$ autour de $f(nx)$.
+
+Si $f$ est $1$-lip, $\int_{nx - |f(nx)|}^{nx + |f(nx)|} \geq f(nx)^2$. Si $\sum f(nx)^2$ converge, il en va de même de $\sum f(nx)$ (car $f$ est lip) : $f(nx)\leq 1$ APCR.
+
+Et pour la même raison, les intégrales précédentes sont disjointes, APCR.
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 347]
@@ -3177,9 +3240,13 @@ Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=n\int_0^{+\i}\sin(t^n)\d
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7694
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 358]
-Soit $r\in$]0, $\pi[$. Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=\int_{-r}^r\frac{\sin(nt)}{\sin t}\dt$.
+Soit $r\in \interval]{0, \pi}[$. Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=\int_{-r}^r\frac{\sin(nt)}{\sin t}\dt$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Comparer à $u_n = \int_{-r}^r \frac{\sin (nt)}{t}\dt$.
+#+END_proof
 
 
 # ID:7454
@@ -3188,9 +3255,13 @@ Déterminer un équivalent en $1^-$ de $x\mapsto\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1
 #+end_exercice
 
 
+# ID:nil
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 360]
 Calculer $f(x)=\int_{\R}\frac{e^{ixt}}{1+t^2}dt$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Changer $u = xt$, dériver deux fois, faire deux ipps, on trouve $f(x) = f''(x)$.
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 361]
@@ -3220,9 +3291,13 @@ Soit $I:t\mapsto\int_0^{+\i}e^{-tx}f(x)dx$.
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7693
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 364]
 Soient $n\in\N^*$, $(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ des éléments de $\R^{+*}$, $f_1,\ldots,f_n$ des fonctions dérivables de $\R^+$ dans $\R$ tendant vers $0$ en $+\i$ telles que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $f'_i=\sum_{j=1}^na_{i,j}f_j$. Montrer que la famille $(f_1,\ldots,f_n)$ est liée.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+On a $F' = AF$. Le Wronkien vérifie $W' = \op{Tr} À W$, donc $W$ est une exponentielle positive, mais les fonctions tendent vers $0$, ainsi que leurs dérivées, donc il est nul.
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 365]
@@ -3242,7 +3317,7 @@ Pour $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$, on pose $H(f):x\mapsto x^2f(x)-f''(x)$, $A_-(f):x\
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 367]
  - Soit $f$ une fonction croissante de $[a,b]$ dans $[a,b]$. Montrter que $f$ possede un point fixe.
- - On s'interesse à l'équation différentielle $(E)$ $x'(t)=\cos(x(t))+\cos(t)$. On admet que, pour tout $a\in[0,\pi]$, il existe une unique solution $\phi_a$ définie sur $\R$ telle que $\phi_a(0)=a$, et de plus que s'il existe $t$ tel que $\phi_a(t)=\phi_b(t)$ alors $a=b$.
+ - On s'intéresse à l'équation différentielle $(E)$ $x'(t)=\cos(x(t))+\cos(t)$. On admet que, pour tout $a\in[0,\pi]$, il existe une unique solution $\phi_a$ définie sur $\R$ telle que $\phi_a(0)=a$, et de plus que s'il existe $t$ tel que $\phi_a(t)=\phi_b(t)$ alors $a=b$.
 
 Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-periodique.
 
@@ -3320,16 +3395,18 @@ On pose $\mu_0=(0,0)$. Pour $k\in\N^*$, $\mu_k$ est l'intersection de $D_k$ et d
 
 ** Probabilités
 
+# ID:nil # Méthode probabiliste, classique
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 375]
 Soient $v_1,\ldots,v_n$ des vecteurs unitaires d'un espace euclidien. Montrer qu'il existe $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ tel que $\left\|\sum_{i=1}^n\eps_iv_i\right\|\leq\sqrt{n}$.
 #+end_exercice
 
-
+# ID:nil # Trivial
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 376]
 Soit $E$ un ensemble fini. Dénombrer les triplets $(A,B,C)$ de parties de $E$ telles que $A\subset B\subset C$.
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7695
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 377]
 Soit $r\in\N^*$. Combien y a-t-il de facon d'apparier les entiers de $1$ à $2r$?
 #+end_exercice
@@ -3358,6 +3435,7 @@ On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$, et on note $N\colon\omega\mapsto\op{card}\{n\in\N
 #+end_exercice
 
 
+# ID:nil
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 381]
 Soit $n\in\N^*$. Déterminer esperance et variance du nombre de points fixes d'une permutation de $\db{1,n}$.
 #+end_exercice
@@ -3378,6 +3456,7 @@ On munit $\mc{S}_n$ de la loi uniforme et on considére $X_n$ la variable aléat
 #+end_exercice
 
 
+# ID:nil # Loi zeta
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 384]
 Soit $s$ un $\op{\mathsf{r}\acute{e}el}\gt 1$. On munit $\N^*$ de la probabilité $\mathbf{P}_s$ définie par $\mathbf{P}_s(\{n\})=\frac{1}{n^s\zeta(s)}$ pour tout $n\geq 1$. On note par ailleurs $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Pour tout $p\in\mc{P}$ on note $X_p$ la variable aléatoire définie sur $\N^*$ telle que $X_p(n)=1$ si $p$ divise $n$, et 0 sinon.
  - Montrer que les variables aléatoires $X_p$ sont mutuellement indépendantes.
@@ -3785,9 +3864,7 @@ Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positifs telle que $\sum a_n$ conve
 #+begin_exercice [X PC 2024 # 453]
 Soit $f\in[\,0\,;+\i\,[\,\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\int_0^{+\i}|f'(t)|\,\dt$ converge. Montrer que
 
-$$\int_0^{+\i}f(t)\dt$$ converge si et seulement si
+$$\int_0^{+\i}f(t)\dt$$ converge si et seulement si $$\sum f(n)$$
-
-$$\sum f(n)$$
 #+end_exercice
 
 
@@ -3822,7 +3899,7 @@ Montrer que $\lim_{k\ra+\i}\sum_{n=0}^{+\i}|u_{k,n}|=0$.
 #+end_exercice
 
 
-#+begin_exercice [X PC 2024 # 460]                                        :todo:
+#+begin_exercice [X PC 2024 # 460]
 Soient $f,g\in\mc C^0([0,1], \R)$ telles que $\int_0^1 fg = 0$.
  - Montrer que $$\int_0^1 f^2 \left(\int_0^1 g\right)^2 + \int_0^1 g^2 \left(\int_0^1 f\right)^2 \geq 4 \left(\int_0^1 f \int_0^1 g\right)^2.$$
  - Montrer que $$\int_0^1 f^2 \int_0^1 g^2 \geq 4\left(\int_0^1 f \int_0^1 g\right)^2.$$
@@ -4302,7 +4379,7 @@ Soient $n\geq 2$ et $A\in\M_n(\C)$ non nulle et non inversible.
  - Montrer qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $\C^n=\text{Im}(A^p)\oplus\text{Ker}(A^p)$.
  - Montrer qu'il existe $r\in\db{1,n-1}$, $A_0\in\text{GL}_r(\C)$ et $N\in\M_{n-r}(\C)$ nilpotente tels que $A$ est semblable à $\left(\begin{array}{c|c}A_0&0\\ \hline 0&N\end{array}\right)$
  - On suppose qu'il existe $m\geq 2$ et $B\in\M_n(\C)$ tels que $A^mB=A$.
-   Montrer que $A^m B= A^{m-1} BA = \dots = BA^m$.
+   Montrer que $A^m B= A^{m-1} BÀ = \dots = BA^m$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -4357,9 +4434,15 @@ Soient $A,B\in\M_n(\C)$. On suppose qu'il existe $c\in\C$ tel que $AB-BA=cA$.
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7701
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 544]
-Pour $M\in\M_n(\R)$, on dit que $M$ est_stochastique_ si : $\forall(i,j)\in\db{1,n]\!]^2,m_{i,j}\geq 0$ et $\forall i\in[\![1,n},\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$. Soit $A\in\M_n(\R)$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\exp(tA)$ soit stochastique pour tout $t\in\R^+$.
+Pour $M\in\M_n(\R)$, on dit que $M$ est stochastique si : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,m_{i,j}\geq 0$ et $\forall i\in \db{1,n},\sum_{j=1}^n m_{i,j}=1$. Soit $A\in\M_n(\R)$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\exp(tA)$ soit stochastique pour tout $t\in\R^+$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+En dérivant, on trouve que $AJ = 0$ (ce qui assure le caractère $\sum = 1$). Ensuite, localement, il est nécessaire que les coefficients diagonaux de $A$ soit $\leq 0$ et que les non diagonaux soient $\geq 0$ (la seconde + $AJ = 0$ implique l'autre).
+
+Réciproquement, ces conditions suffisent, car $e^{tA} = \left(e^{\frac{tA}{n}}\right)^n$.
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 545]
@@ -6107,7 +6190,7 @@ Déterminer les espaces tangents en $I_n$ aux parties $\text{SL}_n(\R)$ et $\mc{
 ** Probabilités
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 808]
-On considére $n$ ampoules eteintes numerotées de 1 à $n$. L'ampoule $i$ à une probabilité $p_i$ de s'allumer à un instant donne. On note $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d'ampoules s'allumant.
+On considére $n$ ampoules eteintes numérotées de 1 à $n$. L'ampoule $i$ à une probabilité $p_i$ de s'allumer à un instant donne. On note $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d'ampoules s'allumant.
  - Exprimer $\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(Y)$.
  - On fixe à present $m$ et on considére des $p_i$ tels que $\mathbf{E}(Y)=m$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les $p_i$ pour que $\mathbf{V}(Y)$ soit maximal. Donner la loi de $Y$ dans ce cas.
 #+end_exercice
@@ -6137,7 +6220,7 @@ Un peage comporte $3$ voies et $n$ voitures se presentent en choisissant aléato
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 812]
-Une urne contient des boules numerotées de 0 à $n$. On en prend une poignée au hasard et on note les numeros obtenus. On effectue deux tirages indépendants. Soit $X$ la variables aléatoire correspondant au nombre de numeros communs entre les deux poignées. Déterminer la loi de $X$.
+Une urne contient des boules numérotées de 0 à $n$. On en prend une poignée au hasard et on note les numéros obtenus. On effectue deux tirages indépendants. Soit $X$ la variables aléatoire correspondant au nombre de numéros communs entre les deux poignées. Déterminer la loi de $X$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -6152,7 +6235,7 @@ Une urne contient $a\geq 1$ boules blanches et $b\geq 1$ boules rouges. à chaqu
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 815]
-On dispose de deux urnes $A$ et $B$, et de $2N$ boules numerotées de 1 à $2N$ reparties aléatoirement dans ces urnes. à chaque iteration, on pioche une boule au hasard et on la change d'urne. On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules dans l'urne $B$ à la $n^{\text{e}}$ iteration. On pose, pour $n\in\N$, $U_n=\left(\mathbf{P}(X_n=0)\ \mathbf{P}(X_n=1)\ \cdots\ \mathbf{P}(X_n=2N) \right)^T$.
+On dispose de deux urnes $A$ et $B$, et de $2N$ boules numérotées de 1 à $2N$ reparties aléatoirement dans ces urnes. à chaque iteration, on pioche une boule au hasard et on la change d'urne. On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules dans l'urne $B$ à la $n^{\text{e}}$ iteration. On pose, pour $n\in\N$, $U_n=\left(\mathbf{P}(X_n=0)\ \mathbf{P}(X_n=1)\ \cdots\ \mathbf{P}(X_n=2N) \right)^T$.
  - Déterminer $M\in\M_{2N+1}(\R)$ telle que, pour tout $n$, $U_{n+1}=MU_n$.
  - Soient $v_0,\ldots,v_{2N}$ des réels et $P=\sum_{k=0}^{2N}v_kX^k$. En notant $V$ le vecteur colonne défini par les coefficients $v_k$, montrer que $V\in\op{Ker}(M-\lambda I_{2N+1})\Leftrightarrow\lambda P=XP-\frac{1- X^2}{2N}P'$.
  - Montrer les $X_n$ suivent la même loi si et seulement si $X_0$ suit une certaine loi à déterminer.
@@ -6193,7 +6276,7 @@ Soient $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi ge
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 821]
-A quelle condition sur $\alpha$ existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$ telle que $\mathbf{P}(X=n)=\int_1^{+\i}\frac{dt}{(1+t^{\alpha})^n}$ pour tout $n\in\N^*$. Lorsque cela est realise montrer que $X$ admet une variance et la calculer.
+À quelle condition sur $\alpha$ existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$ telle que $\mathbf{P}(X=n)=\int_1^{+\i}\frac{dt}{(1+t^{\alpha})^n}$ pour tout $n\in\N^*$. Lorsque cela est realise montrer que $X$ admet une variance et la calculer.
 #+end_exercice
 
 
@@ -6419,7 +6502,7 @@ Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrete.
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 853]
-Soient $k\leq n\in\N$. Un parking dispose de $n$ places consécutives numerotées de $1$ à $n$. On y dispose des vehicules nécessit chacun $k$ places consécutives pour être gares. Chaque vehicule est successivement place aléatoirement sur les emplacements disponibles jusqu'a ce qu'on ne puisse plus en garer aucun.
+Soient $k\leq n\in\N$. Un parking dispose de $n$ places consécutives numérotées de $1$ à $n$. On y dispose des vehicules nécessit chacun $k$ places consécutives pour être gares. Chaque vehicule est successivement place aléatoirement sur les emplacements disponibles jusqu'a ce qu'on ne puisse plus en garer aucun.
 
 Pour $j\in\db{1,n-k+1}$, $B_j$ designe l'evenement $\llcorner$ la première voiture est garée entre les emplacements $j$ et $j+k-1$, $\neq$ et $X_n$ est le nombre d'emplacements residuels libres à la fin du processus.
  - Montrer que, pour $i,j$ convenables, $\mathbf{P}_{B_j}(X_n=i)=\mathbf{P}(X_{j-1}+X_{n-(j+k)+1}=i-k)$.
@@ -6891,7 +6974,7 @@ Soit $(x_n)_{n\in\N^*}$ une suite de réels positifs et, pour $n\geq 1$, $y_n=\s
 
 
 #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 914]
-Pour $n\geq 2$, on s'interesse à l'équation $e^x-x^n=0$.
+Pour $n\geq 2$, on s'intéresse à l'équation $e^x-x^n=0$.
  - Montrer que cette équation admet exactement deux solutions positives $u_n$ et $v_n$, avec $u_n\lt v_n$.
  -  Montrer que $(u_n)$ tend vers une limite $\ell$.
  - Trouver un équivalent de $u_n-\ell$.
@@ -7264,7 +7347,7 @@ Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-t}e^{-x/t}}{\sqrt{t}}{\rm d}t$.
 
 
 #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 961]
-On s'interesse aux solutions $f:x\mapsto\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ de l'équation différentielle
+On s'intéresse aux solutions $f:x\mapsto\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ de l'équation différentielle
 
  $(E):x^2y''+4xy'+(2-x^2)y=1$.
  - Montrer que $a_0=1/2,\,a_1=0$ et $\forall n\geq 2,\,a_n=\frac{a_{n-2}}{(n+1)(n+2)}$. - En déduire l'unicité de $f$.
@@ -7400,7 +7483,7 @@ Déterminer la loi de $v_p(X)$ puis son esperance.
 On effectue des lancers avec une piece dont la probabilité de donner pile est $p\in]0,1[$. On lance la piece jusqu'a obtenir pile pour la deuxieme fois. On note $X$ le nombre de faces obtenues au cours de l'experience.
  - Donner la loi de $X$.
  - Montrer que $\mathbf{E}(X)\lt +\i$ et la calculer.
- - On prend une urne et, si $X=n$, on pose $n+1$ boules numerotées de $0$ à $n$ dans l'une. Donner la loi de $Y$ ou $Y$ est le numero de la boule tirée dans l'urne. Calculer ensuite l'esprance de $Y$ ainsi que sa variance.
+ - On prend une urne et, si $X=n$, on pose $n+1$ boules numérotées de $0$ à $n$ dans l'une. Donner la loi de $Y$ ou $Y$ est le numéro de la boule tirée dans l'urne. Calculer ensuite l'esprance de $Y$ ainsi que sa variance.
 #+end_exercice
 
 
@@ -8395,7 +8478,7 @@ Soit $f:x\in\,]-1,1[\,\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{(-1)^n}{x+n}$.
 
 
 #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1125]
-On s'interesse à la série entiere suivante $:f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}u_nx^n$ avec $u_n=\int_1^{+\i}e^{-t^n}\dt$.
+On s'intéresse à la série entiere suivante $:f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}u_nx^n$ avec $u_n=\int_1^{+\i}e^{-t^n}\dt$.
  - Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  - Déterminer le domaine de convergence de la série entiere.
  - Déterminer la limite de $f$ à la borne de droite du domaine de convergence.
@@ -8622,7 +8705,7 @@ Trouver les extrema de $f:(x,y)\mapsto x^4+y^4-2(x-y)^2$.
 ** Probabilités
 
 #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1156]
-Une poite contient $n$ boules numerotées de $1$ à $n$. On tire des boules, une à une, avec remise, tant que le numero de la boule tirée est supérieur au précédent. On note $Z$ le nombre de boules tires. Déterminer la loi de $Z$.
+Une poite contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire des boules, une à une, avec remise, tant que le numéro de la boule tirée est supérieur au précédent. On note $Z$ le nombre de boules tires. Déterminer la loi de $Z$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -8632,7 +8715,7 @@ Une urne contient deux boules. L'une est blanche et l'autre est soit blanche soi
 
 
 #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1158]
-Soient $a\in\N^*$, $n\in\N^*$ et $N=an$. On dispose de $N$ boules indiscernables et $n$ unres numerotées de $1$ à $n$. On depose les $N$ boules dans les unres. On note $T_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si l'urne $i$ est vide, et $0$ sinon. On note $Y_n$ le nombre d'urnes vides et $S_n=\dfrac{1}{n}Y_n$.
+Soient $a\in\N^*$, $n\in\N^*$ et $N=an$. On dispose de $N$ boules indiscernables et $n$ unres numérotées de $1$ à $n$. On depose les $N$ boules dans les unres. On note $T_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si l'urne $i$ est vide, et $0$ sinon. On note $Y_n$ le nombre d'urnes vides et $S_n=\dfrac{1}{n}Y_n$.
  - Donner la loi de $T_i$. Calculer l'esperance et la variance de $T_i$.
  - Calculer l'esperance et la variance de $S_n$. Étudier les limites de $(\mathbf{E}(S_n))$ et $(\mathbf{V}(S_n))$.
 #+end_exercice
@@ -8665,7 +8748,7 @@ On considére deux des et, pour $i\in\db{1,6}$, on note $p_i$ (respectivement $q
 
 
 #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1163]
-Dans un magasin, on a $n$ caisses et $np$ clients. Chaque client choisit une caisse de facon indépendante et avec la même probabilité pour chacune des caisses. On note $X_i$ le nombre de clients à la caisse numero $i$.
+Dans un magasin, on a $n$ caisses et $np$ clients. Chaque client choisit une caisse de facon indépendante et avec la même probabilité pour chacune des caisses. On note $X_i$ le nombre de clients à la caisse numéro $i$.
  - En écrivant $X_i$ comme une somme de variables aléatoires indépendantes, déterminer la loi, l'esperance et la variance de $X_i$.
  - Pour $(i,j)\in\db{1\,;\,n}^2$, calculer $\op{Cov}(X_i,X_j)$.
 #+end_exercice
@@ -9450,7 +9533,7 @@ Soit $f:t\in[0,\pi/2[\mapsto-\ln(\cos(t))$.
 
 
 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1256]
-On munit $\M_n(\R)$ de la norme euclidienne canonique. Soient $A\in\mc{S}_n^+(\R)$ et $B\in\M_n(\R)$. On s'interesse à l'équation différentielle $(E):X'=-AX+B$. On suppose que l'ensemble $S=\big{\{}U\in\M_n(\R)\,;\;AU=B\big{\}}$ est non vide.
+On munit $\M_n(\R)$ de la norme euclidienne canonique. Soient $A\in\mc{S}_n^+(\R)$ et $B\in\M_n(\R)$. On s'intéresse à l'équation différentielle $(E):X'=-AX+B$. On suppose que l'ensemble $S=\big{\{}U\in\M_n(\R)\,;\;AU=B\big{\}}$ est non vide.
  - Montrer que les valeurs propres de $A$ sont positives.
  - Quelles sont les solutions constantes de $(E)$?
  - Soient $X$ et $Y$ deux solutions de $(E)$. Montrer que $t\mapsto\|X(t)-Y(t)\|$ est decroissante. En déduire que toute solution est bornée sur $\R^+$.