Sous algèbre transitive

Exercices 2024.org

@@ -2,7 +2,7 @@
 #+title:  Exercices 2024
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   20-11-2024
-# Time-stamp: <30-11-24 16:25>
+# Time-stamp: <02-12-24 19:14>
 
 * Meta                                                             :noexport:
 
@@ -14,7 +14,7 @@
 
 #+RESULTS:
 | ? | ! | todo | unexed |
-| 2 | 0 |    4 |   1209 |
+| 1 | 0 |    3 |   1198 |
 
 ** Options
 
@@ -520,8 +520,6 @@ Réciproquement, c'est clair.
 Soient $n\in\N^*$, $A\in\op{GL}_n(\R)$ et $u,v\in\R^n\setminus\{0\}$. Exprimer $\det(A+uv^T)$. Dans le cas ou celui-ci est non-nul, exprimer $(A+uv^T)^{-1}$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
-Pour $u,v = \vec e_1$, le déterminant vaut $\det A + \det A_{11}$, et l'inverse ??
-
 Plutôt : si $A$ inversible vaut l'identité, c'est $\det (I_n + uv^T) = 1 - \langle u, v\rangle$, qui admet un inverse de la forme $I_n + c uv^T$.
 #+END_proof
 
@@ -562,60 +560,113 @@ Surjectivité : Dans $SL_n(\Z/m\Z)$, on est produit de transvections : le pgcd d
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice Sous-algèbre transitive [ENS MP 2024 # 33]                    :todo:
+# ID:7702
-Soient $n\in\N^*$, $A$ une sous-algèbre de $\M_n(\C)$. On suppose que, pour tout $v\in\C^n$ non nul, on a $\{Mv\ ;\ M\in A\}=\C^n$. Montrer que $A=\M_n(\C)$.
+#+begin_exercice Sous-algèbre transitive [ENS MP 2024 # 33]
+Soient $n\in\N^*$, $\mc M$ une sous-algèbre de $\M_n(\C)$. On suppose que, pour tout $v\in\C^n$ non nul, on a $\{Mv\ ;\ M\in \mc M\}=\C^n$. Montrer que $A=\M_n(\C)$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
-Si $\dim A\leq n$, chaque matrice est entièrement déterminée par sa première colonne, donc il existe $A_i$ tel que $\forall M\in A,\, M_i = A_i M_1$. En utilisant que $A$ est une algèbre, on obtient que $M$ doit commuter avec les $A_i$, donc $M$ est diagonale par blocs, ce qui est contradictoire.
+Si chaque matrice est entièrement déterminée par sa première colonne, alors il existe $A_i$ tel que $\forall M\in A,\, M_i = A_i M_1$. En utilisant que $A$ est une algèbre, on obtient que $M$ doit commuter avec les $A_i$, donc $M$ est diagonale par blocs, ce qui est contradictoire.
 
-Donc $\dim A\gt n$, donc il existe dans $A$ une matrice $B$ dont la première colonne est nulle, en prenant l'image de $M\mapsto MB$ on en obtient d'autres, dont la projection sur chaque colonne non nulle de $B$ est $\R^n$.
+Sinon, donc il existe dans $A$ une matrice $B$ dont la première colonne est nulle, en prenant l'image de $M\mapsto MB$ on en obtient d'autres, dont la projection sur chaque colonne non nulle de $B$ est $\R^n$. Cela forme une algèbre $\mc M_0$, et pour tout $v$, à moins que $Bv = \vec 0$, on a $\mc M_0 v = \R^n$. En général, $\mc M_0 v = \{\vec 0\} \ou \R^n$.
+
+Notons $K$ le noyau commun à toutes les matrices de $\mc M_0$. Si $K = \vect E_1$, alors par récurrence, on conclut.
+
+Sinon, notons $w\in K$ non colinéaire à $\vec E_1$. Alors, dans $\mc M$, $M w$ est entièrement déterminé par $ME_1$. Donc il existe $A$ tel que $\forall M\in\mc M$, $Mw = AM E_1$.
+
+On a alors, pour tout $N\in\mc M$, $NM w = ANM E_1 = N AM E_1$, donc $A$ commute avec tous les $N$. Si $A$ est une homothétie, on obtient une contradiction avec $Mw = AM E_1$. Sinon, $A$ admet un espace stable, qui est stable par toutes les matrices de $\mc M$.
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 34]
+#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 34]                                            :todo:
-Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ telles que $A^2+B^2=AB$ et $AB-BA\in{\rm GL}_n({\R})$. Montr er que $n$ est divisible par $3$.
+Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ telles que $A^2+B^2=AB$ et $AB-BA\in{\rm GL}_n({\R})$. Montrer que $n$ est divisible par $3$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+La condition sur $AB-BA$ les empêche d'avoir un vecteur propre commun.
+
+Si $\la$ est valeur propre de $B$, alors $A^2 X + \la^2 X = \la AX$, donc $\vect (X, AX)$ est stable par $A$, de dimension $2$, avec un polynôme annulateur de racines $\la e^{\pm \frac{i\pi}{3}}$, (le cas $\la = 0$ est exclu, avec les deux hypothèses) donc $A$ est diagonalisable, et a ces deux valeurs propres (car $X$ n'est pas vecteur propre).
+
+En prenant la transposée, on a de même que si $\la$ est valeur propre de $A$, $\la e^{\pm \frac{i\pi}{3}}$ est valeur propre de $B$. Donc si $\la$ valeur propre de $A/B$ les $e^{\pm 2i\frac{\pi}{3}}\la$ le sont aussi.
+
+On a $(A-B)^2 = - BA$, et $A^3 + B^2 A = ABA \ssi A^3 = (A-B) BA = - (A-B)^3$. Les matrices $A$ et $U = B-A$ vérifient $A^3 = U^3$. En particulier, si $\la$ est une valeur propre de $A^3$, l'espace caractéristique $F_{\la}$ associé est stable par $A$ et $U$, donc par $A$ et $B$. Sur cet espace, $A$ a comme valeurs propres des racines $3$-èmes de $\la$, idem pour $U-A$. D'après ce qui précède, les seuls valeurs propres de $B$ possibles sur cet espaces sont les $e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$ fois celles de $A$. De plus, $A$ et $B$ ont chacun le même nombre de racines complexes conjuguées.
+
+tragnagna, ça marche pas.
+#+END_proof
 
 
+# ID:nil # Chiant
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 35]
-Soient $\chi:({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes non constant. Soit ${\cal A}$ l'ensemble des matrices de la forme $(a+b\chi(r)+c\overline{\chi(s)}+d\chi(r)\overline{\chi(s)})_{r,s\in({\mathbb{ Z}}/n{\Z})^{\times}}$ avec $a$, $b$, $c$ et $d\in{\R}$.  - Montr er que ${\cal A}$ est un ${\R}$-espace vectoriel.  - Pour $\xi:({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes, calculer $\sum_{r\in({\Z}/n{\Z})^{\times}}\xi(r)$.
+Soient $\chi\colon ({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes non constant. Soit ${\cal A}$ l'ensemble des matrices de la forme $(a+b\chi(r)+c\overline{\chi(s)}+d\chi(r)\overline{\chi(s)})_{r,s\in({\mathbb{ Z}}/n{\Z})^{\times}}$ avec $a$, $b$, $c$ et $d\in{\R}$.
- - Montr er que ${\cal A}$ est stable par produit matriciel et que la ${\R}$-algèbre $({\cal A},+,\times,.)$ est isomorphe à ${\cal M}_2({\R})$ (on exhibera un isomorphisme).
+ - Montrer que ${\cal A}$ est un ${\R}$-espace vectoriel.
+ - Pour $\xi:({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes, calculer $\sum_{r\in({\Z}/n{\Z})^{\times}}\xi(r)$.
+ - Montrer que ${\cal A}$ est stable par produit matriciel et que la $\R$-algèbre $({\cal A},+,\times,.)$ est isomorphe à ${\cal M}_2({\R})$ (on exhibera un isomorphisme).
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+
+#+END_proof
 
 
+# ID:7697
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 36]
-On s'interesse aux parties de ${\cal M}_n({\R})$ qui sont des groupes pour le produit matriciel.  - Donner des exemples de tels groupes, dont certains ne soient pas des sous-groupes de ${\rm GL}_n({\R})$.
+On s'intéresse aux parties de ${\cal M}_n({\R})$ qui sont des groupes pour le produit matriciel.
- - Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montr er que $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&N\end{pmatrix}$, ou $B$ est inversible et $N$ nilpotente.
+ - Donner des exemples de tels groupes, dont certains ne soient pas des sous-groupes de ${\rm GL}_n({\R})$.
+ - Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&N\end{pmatrix}$, où $B$ est inversible et $N$ nilpotente.
  - Caractériser ces groupes.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Matrices avec un bloc inversible, et le reste nul.
+ - Noyaux itérés.
+ - La matrice $A\in G$ ne peut pas perdre de rang, donc la partie nilpotente est nulle.
+
+   Si deux matrices $A,B$ n'ont pas la même image, $BA$ a au plus l'image de $B$, donc son image est celle de $B$, et elle doit être stabilisée par $BA$, donc par $A$, impossible.
+#+END_proof
 
 
+# ID:7700
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 37]
 Pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, soit ${\rm Pf}(A)=a_{1,2}a_{3,4}-a_{1,3}a_{2,4}+a_{1,4}a_{2,3}$.
- - Montr er que, pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, ${\rm Pf}(A)^2=\det(A)$.
+ - Montrer que, pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, ${\rm Pf}(A)^2=\det(A)$.
- - On admet que ${\rm GL}_n^+({\R})$ est connexe par arcs. Montr er que, pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$ et tout $B\in{\cal M}_4({\R})$, ${\rm Pf}(BAB^T)=\det(B){\rm Pf}(A)$.
+ - On admet que ${\rm GL}_n^+({\R})$ est connexe par arcs. Montrer que, pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$ et tout $B\in{\cal M}_4({\R})$, ${\rm Pf}(BAB^T)=\det(B){\rm Pf}(A)$.
-
+ - Soit $R\in{\rm SO}_4({\R})$. On pose $A=R-R^T$. Montrer l'équivalence entre :
-_Ind._ Pour le cas $\det B\lt 0$, considérer la matrice $J={\rm diag}(-1,1,1,1)$.
+   + $R$ n'a pas de valeur propre réelle,
- - Soit $R\in{\rm SO}_4({\R})$. On pose $A=R-R^T$. Montr er l'équivalence entre :
+   + ${\rm Pf}(A)\neq 0$,
-
+   + $A$ est inversible.
-(i) $R$ n'a pas de valeur propre réelle, (ii) ${\rm Pf}(A)\neq 0$, (iii) $A$ est inversible.
+ - Soient $R_1,R_2\in{\rm SO}_4({\R})$, $A_1=R_1^T-R_1$ et $A_2=R_2^T-R_2$. On suppose $\chi_{R_1}=\chi_{R_2}$ et ${\rm Pf}(A_1)={\rm Pf}(A_2)\neq 0$. Montrer qu'il existe $P\in{\rm SO}_4({\R})$ telle que $R_1=PR_2P^T$.
- - Soient $R_1,R_2\in{\rm SO}_4({\R})$, $A_1=R_1^T-R_1$ et $A_2=R_2^T-R_2$. On suppose $\chi_{R_1}=\chi_{R_2}$ et ${\rm Pf}(A_1)={\rm Pf}(A_2)\neq 0$. Montr er qu'il existe $P\in{\rm SO}_4({\R})$ telle que $R_1=PR_2P^T$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - Si $B$ non inversible, c'est bon. On a $\det (BÀ B^T) = (\det B)^2 \det A$, donc le pfaffien de $BAB^T$ est $\pm \Pf À \det B$, plus continuité et connexité par arcs.
+ - Si $A$ est si et seulement si $\op{Pf} A\neq 0$. Si $R$ a une valeur propre réelle, elle vaut $\pm 1$, et $A$ est non inversible.
+
+   Réciproquement, si $A$ est non inversible, on trouve $RX = R^{-1}X$, donc $R^2 X = X$, mais $R$ est diagonalisable sur $\C$ et les valeurs propres de $R$ sont des $e^{i\theta}$.
+ - Comme $R_1$ et $R_2$ ont les mêmes polynômes caractéristiques, ils sont conjugués dans $O_4(\R)$, donc c'est le cas de $A_1,A_2$. Comme elles ont le même Pfaffien, elles sont en fait conjuguées dans $SO_4$.
+#+END_proof
 
 
+# ID:7698
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 38]
 Déterminer l'image de $\phi:M\in{\cal M}_2({\C})\mapsto\sum_{n\in{\N}}\frac{(- 1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+C'est $\sin M$. Sur $\C$, la fonction $\sin$ est surjective, car $\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2i} = u \ssi Z + Z^{-1} = 2iu\ssi Z^2 - 2iu Z + 1 = 0$.
+
+Reste l'étude de matrices $M = \begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, avec $M^2 = 2a$, donc $\sin(M) = \begin{pmatrix}\sin 1 & a \cos 1 \\ \sin 1 & \cos a\end{pmatrix}$, donc surjective.
+#+END_proof
 
 
+# ID:7699
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 39]
-A quelle condition sur la matrice $A$, la comatrice de $A$ est-elle diagonalisable?
+À quelle condition sur la matrice $A$, la comatrice de $A$ est-elle diagonalisable?
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Si $A$ inversible, $\op{Com} A = A^{-1}$. Si $\rg A\leq n-2$. Si $\rg A = n-1$, $\rg \op{Com} A = 1$, elle est diagonalisable si et seulement si son image n'est pas dans son noyau, mais son image est le noyau de $A$, et son noyau est l'image de $A$.
+#+END_proof
 
 
+
+# ID:nil # Classique, drôle de façon de le présenter…
 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 40]
-Pour $i\in{\N}$ et $A\in{\cal M}_n({\C})$, on note $c_i(A)$ le coefficient numero $i$ du polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ de la matrice $A$.
+Pour $i\in{\N}$ et $A\in{\cal M}_n({\C})$, on note $c_i(A)$ le coefficient numéro $i$ du polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ de la matrice $A$.
- - Montr er que $c_i(AB)=c_i(BA)$ pour toutes matrices $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ et $i\in{\N}$.
+ - Montrer que $c_i(AB)=c_i(BA)$ pour toutes matrices $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ et $i\in{\N}$.
  - Le résultat reste-t-il valable pour des matrices à coefficients dans un corps ${\mathbb{K}}$ quelconque?
 #+end_exercice
 
@@ -842,7 +893,8 @@ Si $G$ est un groupe, on note $Z(G)$ son centre.
 
 On pose $U_n(\C)=\left\{A\in\M_n(\C)\,,\,A^*A=I_n\right\}$ ou $A^*=\overline{A}^T$, l'ensemble des matrices unitaires.
  - Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$ et que $\mc{U}_n(\C)$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.
- - Soit $A\in\M_n(\C)$ hermitienne, c'est-a-dire telle que $A^*=A$. Démontrer qu'il existe $P\in\mc{U}_n(\C)$ telle que $P^*AP$ soit diagonale. - Démontrer que toute matrice $M\in\M_n(\C)$ s'écrit comme combinaison lineaire d'au plus quatre matrices unitaires.
+ - Soit $A\in\M_n(\C)$ hermitienne, c'est-a-dire telle que $A^*=A$. Démontrer qu'il existe $P\in\mc{U}_n(\C)$ telle que $P^*AP$ soit diagonale.
+ - Démontrer que toute matrice $M\in\M_n(\C)$ s'écrit comme combinaison lineaire d'au plus quatre matrices unitaires.
  - Déterminer $Z\left(\mc{U}_n(\C)\right)$.
 #+end_exercice
 
@@ -2628,10 +2680,10 @@ Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degre $n\geq 2$ dont on note $z_0,\ldots,
  - On suppose que $z_0$ est racine simple de $P$. Calculer $\dfrac{P''(z_0)}{P'(z_0)}$ deux facons :
 
 (i) en fonction de $z_0$ et des $t_k$ ; (ii) en fonction de $z_0$ et des $z_k$.
- - Soit $z\in\C\setminus\{-1\}$ tel que $|z|\leq 1$. Montr er que $\mathfrak{Re}\left(\dfrac{1}{1+z}\right)\geq\dfrac{1}{2}$.
+ - Soit $z\in\C\setminus\{-1\}$ tel que $|z|\leq 1$. Montrer que $\mathfrak{Re}\left(\dfrac{1}{1+z}\right)\geq\dfrac{1}{2}$.
- - On suppose que $z_0=1$ et que $z_0$ est racine simple. Montr er qu'il existe $k\in\db{1,n-1}$ tel que $|1-t_k|\leq 1$.
+ - On suppose que $z_0=1$ et que $z_0$ est racine simple. Montrer qu'il existe $k\in\db{1,n-1}$ tel que $|1-t_k|\leq 1$.
- - On suppose que $|z_0|=1$. Montr er qu'il existe $i\in\db{1,n-1}$ tel que $|z_0-t_i|\leq 1$.
+ - On suppose que $|z_0|=1$. Montrer qu'il existe $i\in\db{1,n-1}$ tel que $|z_0-t_i|\leq 1$.
- - Soient $Q\in\R[X]$ non constant et $\alpha\in\R^*$. On pose $P=Q^2+\alpha^2$. Montr er qu'il existe une racine $z$ de $P$ et une racine $t$ de $P'$ telles que $|z-t|\leq|z|$.
+ - Soient $Q\in\R[X]$ non constant et $\alpha\in\R^*$. On pose $P=Q^2+\alpha^2$. Montrer qu'il existe une racine $z$ de $P$ et une racine $t$ de $P'$ telles que $|z-t|\leq|z|$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -2979,7 +3031,7 @@ Montr per que la série de terme general $v_n=\frac{1}{1+n^2u_n}$ diverge.
 
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 332]
-Déterminer les fonctions d rivables $f\colon\R\ra\R$ telles que
+Déterminer les fonctions dérivables $f\colon\R\ra\R$ telles que
 
  $\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x)f(y)=f(x+yf(x))$.
 #+end_exercice
@@ -3076,12 +3128,15 @@ Pour $f\in E$, soit $T(f):t\in[0,1]\mapsto\sup_{[0,t]}(f)-f(t)$. Soit $f\in E$.
 #+end_exercice
 
 
+# ID:nil # Classique
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 342]
 Soit $f:[0,1]\ra[-a,b]$ continue, ou $a$ et $b$ sont dans $\R^+$. On suppose que $\int_0^1f(t)dt=0$.
 
 Montrer que $\int_0^1f(t)^2dt\leq ab$.
 #+end_exercice
-
+#+BEGIN_proof
+Intégrer $(b-f)(f + a)$.
+#+END_proof
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 343]
 Pour $r\in\R$ et $n\in\N$, soit $D_n(r)=\int_{-1}^1(1-x^2)^n\cos(rx)dx$.
@@ -3100,9 +3155,17 @@ Nature de $\int_0^{+\i}\frac{e^x}{e^{-x}+e^{2x}|\sin x|}dx$?
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7696
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 346]
 Soit $f\colon\R\ra\R$ intégrable et lipschitzienne. Peut-il exister un réel $x$ non nul tel que la série de terme general $f(nx)$ diverge?
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Si $f$ est lipschitzienne, $f^2$ est intégrable, et on peut majorer $|f(nx)|$ par l'intégrale d'un triangle de pente $1$ autour de $f(nx)$.
+
+Si $f$ est $1$-lip, $\int_{nx - |f(nx)|}^{nx + |f(nx)|} \geq f(nx)^2$. Si $\sum f(nx)^2$ converge, il en va de même de $\sum f(nx)$ (car $f$ est lip) : $f(nx)\leq 1$ APCR.
+
+Et pour la même raison, les intégrales précédentes sont disjointes, APCR.
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 347]
@@ -3177,9 +3240,13 @@ Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=n\int_0^{+\i}\sin(t^n)\d
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7694
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 358]
-Soit $r\in$]0, $\pi[$. Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=\int_{-r}^r\frac{\sin(nt)}{\sin t}\dt$.
+Soit $r\in \interval]{0, \pi}[$. Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=\int_{-r}^r\frac{\sin(nt)}{\sin t}\dt$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Comparer à $u_n = \int_{-r}^r \frac{\sin (nt)}{t}\dt$.
+#+END_proof
 
 
 # ID:7454
@@ -3188,9 +3255,13 @@ Déterminer un équivalent en $1^-$ de $x\mapsto\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1
 #+end_exercice
 
 
+# ID:nil
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 360]
 Calculer $f(x)=\int_{\R}\frac{e^{ixt}}{1+t^2}dt$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Changer $u = xt$, dériver deux fois, faire deux ipps, on trouve $f(x) = f''(x)$.
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 361]
@@ -3220,9 +3291,13 @@ Soit $I:t\mapsto\int_0^{+\i}e^{-tx}f(x)dx$.
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7693
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 364]
 Soient $n\in\N^*$, $(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ des éléments de $\R^{+*}$, $f_1,\ldots,f_n$ des fonctions dérivables de $\R^+$ dans $\R$ tendant vers $0$ en $+\i$ telles que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $f'_i=\sum_{j=1}^na_{i,j}f_j$. Montrer que la famille $(f_1,\ldots,f_n)$ est liée.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+On a $F' = AF$. Le Wronkien vérifie $W' = \op{Tr} À W$, donc $W$ est une exponentielle positive, mais les fonctions tendent vers $0$, ainsi que leurs dérivées, donc il est nul.
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 365]
@@ -3242,7 +3317,7 @@ Pour $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$, on pose $H(f):x\mapsto x^2f(x)-f''(x)$, $A_-(f):x\
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 367]
  - Soit $f$ une fonction croissante de $[a,b]$ dans $[a,b]$. Montrter que $f$ possede un point fixe.
- - On s'interesse à l'équation différentielle $(E)$ $x'(t)=\cos(x(t))+\cos(t)$. On admet que, pour tout $a\in[0,\pi]$, il existe une unique solution $\phi_a$ définie sur $\R$ telle que $\phi_a(0)=a$, et de plus que s'il existe $t$ tel que $\phi_a(t)=\phi_b(t)$ alors $a=b$.
+ - On s'intéresse à l'équation différentielle $(E)$ $x'(t)=\cos(x(t))+\cos(t)$. On admet que, pour tout $a\in[0,\pi]$, il existe une unique solution $\phi_a$ définie sur $\R$ telle que $\phi_a(0)=a$, et de plus que s'il existe $t$ tel que $\phi_a(t)=\phi_b(t)$ alors $a=b$.
 
 Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-periodique.
 
@@ -3301,8 +3376,8 @@ Soient $n\in\N^*$ et $r\in\db{0,n}$, $\mc{P}$ l'ensemble des projecteurs orthogo
 
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 373]
 Soit $P$ un polynôme réel de degre $6$. Une droite $D$ est tangente à la courbe $C_P$ en trois points $A,B,C$ d'abscisses $a\lt b\lt c$.
- - On suppose que $AB=BC$. Montr er que les aires delimitées par $[BC]$ et $C_P$ d'une part, et par $[AB]$ et $C_P$ d'autre part, sont egales.
+ - On suppose que $AB=BC$. Montrer que les aires delimitées par $[BC]$ et $C_P$ d'une part, et par $[AB]$ et $C_P$ d'autre part, sont egales.
- - On pose : $q=\frac{BC}{AB}$ et $Q=\frac{A_1}{A_2}$ avec $A_1$ et $A_2$ les aires susmentionnées. Montr erque : $\frac{2}{7}q^5\leq Q\leq\frac{7}{2}q^5$.
+ - On pose : $q=\frac{BC}{AB}$ et $Q=\frac{A_1}{A_2}$ avec $A_1$ et $A_2$ les aires susmentionnées. Montrerque : $\frac{2}{7}q^5\leq Q\leq\frac{7}{2}q^5$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -3320,16 +3395,18 @@ On pose $\mu_0=(0,0)$. Pour $k\in\N^*$, $\mu_k$ est l'intersection de $D_k$ et d
 
 ** Probabilités
 
+# ID:nil # Méthode probabiliste, classique
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 375]
 Soient $v_1,\ldots,v_n$ des vecteurs unitaires d'un espace euclidien. Montrer qu'il existe $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ tel que $\left\|\sum_{i=1}^n\eps_iv_i\right\|\leq\sqrt{n}$.
 #+end_exercice
 
-
+# ID:nil # Trivial
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 376]
 Soit $E$ un ensemble fini. Dénombrer les triplets $(A,B,C)$ de parties de $E$ telles que $A\subset B\subset C$.
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7695
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 377]
 Soit $r\in\N^*$. Combien y a-t-il de facon d'apparier les entiers de $1$ à $2r$?
 #+end_exercice
@@ -3358,6 +3435,7 @@ On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$, et on note $N\colon\omega\mapsto\op{card}\{n\in\N
 #+end_exercice
 
 
+# ID:nil
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 381]
 Soit $n\in\N^*$. Déterminer esperance et variance du nombre de points fixes d'une permutation de $\db{1,n}$.
 #+end_exercice
@@ -3378,6 +3456,7 @@ On munit $\mc{S}_n$ de la loi uniforme et on considére $X_n$ la variable aléat
 #+end_exercice
 
 
+# ID:nil # Loi zeta
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 384]
 Soit $s$ un $\op{\mathsf{r}\acute{e}el}\gt 1$. On munit $\N^*$ de la probabilité $\mathbf{P}_s$ définie par $\mathbf{P}_s(\{n\})=\frac{1}{n^s\zeta(s)}$ pour tout $n\geq 1$. On note par ailleurs $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Pour tout $p\in\mc{P}$ on note $X_p$ la variable aléatoire définie sur $\N^*$ telle que $X_p(n)=1$ si $p$ divise $n$, et 0 sinon.
  - Montrer que les variables aléatoires $X_p$ sont mutuellement indépendantes.
@@ -3496,7 +3575,7 @@ On note ${\cal S}({\R})=\{\phi\in{\cal C}^{\i}({\R},{\R}) \;;\;\forall k\in{\N},
 
 
 #+begin_exercice [X PSI 2024 # 399]
-On munit ${\R}^n$ de son produit scalaire canonique. Soient $U$ et $W$ deux sous-espaces vectoriels de même dimension $m$. On suppose qu'il existe un vecteur $u\in U$ tel que $u\in W^{\perp}$, $u\neq 0$. Montr er qu'il existe $v\neq 0\in W$ tel que $v\in U^{\perp}$.
+On munit ${\R}^n$ de son produit scalaire canonique. Soient $U$ et $W$ deux sous-espaces vectoriels de même dimension $m$. On suppose qu'il existe un vecteur $u\in U$ tel que $u\in W^{\perp}$, $u\neq 0$. Montrer qu'il existe $v\neq 0\in W$ tel que $v\in U^{\perp}$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -3510,27 +3589,27 @@ Ind. Utiliser $J_n=(n+1)\int_0^{\pi/2}\sin(x)\cos(x)^ndx$.
 
 
 #+begin_exercice [X PSI 2024 # 401]
-Soient $f\in{\cal L}^1({\R})$ et $F:x\in{\R}\mapsto\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,e^{it^2x}{\rm d}t$. Montr er que $F$ est définie et qu'elle tend vers 0 en $+\i$._Ind._ Traiter le cas ou $f$ est ${\cal C}^1$, le cas ou $f$ est nulle sur ${\R}$ prive de $[-a,a]$.
+Soient $f\in{\cal L}^1({\R})$ et $F:x\in{\R}\mapsto\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,e^{it^2x}{\rm d}t$. Montrer que $F$ est définie et qu'elle tend vers 0 en $+\i$._Ind._ Traiter le cas ou $f$ est ${\cal C}^1$, le cas ou $f$ est nulle sur ${\R}$ prive de $[-a,a]$.
 #+end_exercice
 
 
 #+begin_exercice [X PSI 2024 # 402]
-Soit $(E):y''+\frac{t}{1+t^3}y=0$. Montr er que $(E)$ admet une solution non bornée.
+Soit $(E):y''+\frac{t}{1+t^3}y=0$. Montrer que $(E)$ admet une solution non bornée.
 #+end_exercice
 
 
 #+begin_exercice [X PSI 2024 # 403]
 On considére l'équation différentielle $(E):y''(t)+\phi(t)y(t)=0$, avec $\phi$ continue $2\pi$-periodique et on note $Sol$ l'ensemble des solutions de $(E)$ de classe ${\cal C}^2$ à valeurs complexes.
- - Montr er qu'il existe $y_1\in Sol$ telle que $y_1(0)=1$, $y'_1(0)=0$, et $y_2\in Sol$ telle que $y_2(0)=0,y'_2(0)=1$.
+ - Montrer qu'il existe $y_1\in Sol$ telle que $y_1(0)=1$, $y'_1(0)=0$, et $y_2\in Sol$ telle que $y_2(0)=0,y'_2(0)=1$.
 
-Montr er que toute solution de $(E)$ est combinaison lineaire de $y_1$ et $y_2$.
+Montrer que toute solution de $(E)$ est combinaison lineaire de $y_1$ et $y_2$.
- - Pour $y\in Sol$, on note $\Psi(y)$ la fonction $t\mapsto y(t+2\pi)$. Montr er que $\Psi(y)\in Sol$.
+ - Pour $y\in Sol$, on note $\Psi(y)$ la fonction $t\mapsto y(t+2\pi)$. Montrer que $\Psi(y)\in Sol$.
 
 Déterminer la nature de l'application $\Psi$.
- - Montr er que, si $z\in Sol$ avec $z\neq 0$ est telle que $\forall t\in{\R},z(t+2\pi)=\lambda z(t)$ avec $\lambda\in{\C}$, alors $\lambda$ est racine du polynôme $X^2-(y_1(2\pi)+y'_2(2\pi))X-y'_1(2\pi)y_2(2\pi)+y_ {1}(2\pi)y'_2(2\pi)$.
+ - Montrer que, si $z\in Sol$ avec $z\neq 0$ est telle que $\forall t\in{\R},z(t+2\pi)=\lambda z(t)$ avec $\lambda\in{\C}$, alors $\lambda$ est racine du polynôme $X^2-(y_1(2\pi)+y'_2(2\pi))X-y'_1(2\pi)y_2(2\pi)+y_ {1}(2\pi)y'_2(2\pi)$.
 
 Étudier la réciproque.
- - Montr er que $\lambda$ ne peut être nul puis que $\det(\phi)=1$.
+ - Montrer que $\lambda$ ne peut être nul puis que $\det(\phi)=1$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -3538,7 +3617,7 @@ Déterminer la nature de l'application $\Psi$.
 Soient $E_{n,d}=\{(i_1,...,i_d)\in{\N}^d,\;i_1+\cdots+i_d=n\}$ et
 
  $V_{n,d}=\{f:(x_1,...,x_d)\in{\R}^d\mapsto x_1^{i_1}\ldots x_d^{i_d},\;(i_1,\ldots,i_d)\in E_{n,d}\}$.
- - Montr er que $V_{n,d}$ forme une famille libre et déterminer son cardinal.
+ - Montrer que $V_{n,d}$ forme une famille libre et déterminer son cardinal.
  - Soit $\Delta:f\in{\rm Vect}(V_{n,d})\mapsto\Delta(f)=\frac{\partial^2f}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2f}{\partial x_d^2}$. Déterminer ${\rm Ker}\,\Delta$.
 #+end_exercice
 
@@ -3785,9 +3864,7 @@ Soit $(a_n)$ une suite de réels strictement positifs telle que $\sum a_n$ conve
 #+begin_exercice [X PC 2024 # 453]
 Soit $f\in[\,0\,;+\i\,[\,\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\int_0^{+\i}|f'(t)|\,\dt$ converge. Montrer que
 
-$$\int_0^{+\i}f(t)\dt$$ converge si et seulement si
+$$\int_0^{+\i}f(t)\dt$$ converge si et seulement si $$\sum f(n)$$
-
-$$\sum f(n)$$
 #+end_exercice
 
 
@@ -3822,7 +3899,7 @@ Montrer que $\lim_{k\ra+\i}\sum_{n=0}^{+\i}|u_{k,n}|=0$.
 #+end_exercice
 
 
-#+begin_exercice [X PC 2024 # 460]                                        :todo:
+#+begin_exercice [X PC 2024 # 460]
 Soient $f,g\in\mc C^0([0,1], \R)$ telles que $\int_0^1 fg = 0$.
  - Montrer que $$\int_0^1 f^2 \left(\int_0^1 g\right)^2 + \int_0^1 g^2 \left(\int_0^1 f\right)^2 \geq 4 \left(\int_0^1 f \int_0^1 g\right)^2.$$
  - Montrer que $$\int_0^1 f^2 \int_0^1 g^2 \geq 4\left(\int_0^1 f \int_0^1 g\right)^2.$$
@@ -4302,7 +4379,7 @@ Soient $n\geq 2$ et $A\in\M_n(\C)$ non nulle et non inversible.
  - Montrer qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $\C^n=\text{Im}(A^p)\oplus\text{Ker}(A^p)$.
  - Montrer qu'il existe $r\in\db{1,n-1}$, $A_0\in\text{GL}_r(\C)$ et $N\in\M_{n-r}(\C)$ nilpotente tels que $A$ est semblable à $\left(\begin{array}{c|c}A_0&0\\ \hline 0&N\end{array}\right)$
  - On suppose qu'il existe $m\geq 2$ et $B\in\M_n(\C)$ tels que $A^mB=A$.
-   Montrer que $A^m B= A^{m-1} BA = \dots = BA^m$.
+   Montrer que $A^m B= A^{m-1} BÀ = \dots = BA^m$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -4357,9 +4434,15 @@ Soient $A,B\in\M_n(\C)$. On suppose qu'il existe $c\in\C$ tel que $AB-BA=cA$.
 #+end_exercice
 
 
+# ID:7701
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 544]
-Pour $M\in\M_n(\R)$, on dit que $M$ est_stochastique_ si : $\forall(i,j)\in\db{1,n]\!]^2,m_{i,j}\geq 0$ et $\forall i\in[\![1,n},\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$. Soit $A\in\M_n(\R)$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\exp(tA)$ soit stochastique pour tout $t\in\R^+$.
+Pour $M\in\M_n(\R)$, on dit que $M$ est stochastique si : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,m_{i,j}\geq 0$ et $\forall i\in \db{1,n},\sum_{j=1}^n m_{i,j}=1$. Soit $A\in\M_n(\R)$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\exp(tA)$ soit stochastique pour tout $t\in\R^+$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+En dérivant, on trouve que $AJ = 0$ (ce qui assure le caractère $\sum = 1$). Ensuite, localement, il est nécessaire que les coefficients diagonaux de $A$ soit $\leq 0$ et que les non diagonaux soient $\geq 0$ (la seconde + $AJ = 0$ implique l'autre).
+
+Réciproquement, ces conditions suffisent, car $e^{tA} = \left(e^{\frac{tA}{n}}\right)^n$.
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 545]
@@ -5916,7 +5999,7 @@ Soit $f\colon\R^+\ra\R$ une fonction monotone de classe $\mc C^1$ admettant une
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 780]
-Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^2$ de $\R$ dans $\R$ telle que $f''+f\geq 0$. Montr er que, pour $t\in\R$, $f(t)+f(t+\pi)\geq 0$.
+Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^2$ de $\R$ dans $\R$ telle que $f''+f\geq 0$. Montrer que, pour $t\in\R$, $f(t)+f(t+\pi)\geq 0$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -5928,27 +6011,27 @@ $$\left\{\begin{array}{rcl}x'&=&2x+3y+3z+te^t\\ y'&=&3x+2y+3z+e^t\\ z'&=&3x+3y+2
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 782]
-Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On considére le systeme différentiel $(S):Y^{(m)}=AY$ d'inconnue $Y\in\mc C^m(\R,\R^n)$. Montr er que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales.
+Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On considére le systeme différentiel $(S):Y^{(m)}=AY$ d'inconnue $Y\in\mc C^m(\R,\R^n)$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales.
 #+end_exercice
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 783]
-On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique. Soit $A\in\M_n(\R)$. Montr er que $A$ est antisymétrique si et seulement si les solutions de $Y'=AY$ sont de norme constante.
+On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique. Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ est antisymétrique si et seulement si les solutions de $Y'=AY$ sont de norme constante.
 #+end_exercice
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 784]
-Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montr er qu'il existe $\lambda$ dans $\C^*$ et une application $X$ de classe $\mc C^1$ non identiquement nulle de $\R$ dans $\C^n$ telle que, pour tout $t\in\R$, $X'(t)=A(t)X(t)$ et $X(t+T)=\lambda X(t)$.
+Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $\C^*$ et une application $X$ de classe $\mc C^1$ non identiquement nulle de $\R$ dans $\C^n$ telle que, pour tout $t\in\R$, $X'(t)=A(t)X(t)$ et $X(t+T)=\lambda X(t)$.
 #+end_exercice
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 785]
-Soit $S\in\mc{S}_n(\R)$. Montr er qu'il existe une unique fonction $M$ de $\R$ dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $M'(t)=SM(t)S$ pour tout $t\in\R$. à quelle condition sur $S$ la fonction $M$ est-elle bornée?
+Soit $S\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer qu'il existe une unique fonction $M$ de $\R$ dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $M'(t)=SM(t)S$ pour tout $t\in\R$. à quelle condition sur $S$ la fonction $M$ est-elle bornée?
 #+end_exercice
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 786]
-Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien, $u\colon\R\ra$ SO $(E)$ dérivable. Montr er l'équivalence entre : (i) $\forall s,t\in\R$, $u(s+t)=u(s)\,u(t)$, (ii) $\exists a\in\mc{A}(E)$, $\forall t\in\R$, $u(t)=e^{at}$.
+Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien, $u\colon\R\ra$ SO $(E)$ dérivable. Montrer l'équivalence entre : (i) $\forall s,t\in\R$, $u(s+t)=u(s)\,u(t)$, (ii) $\exists a\in\mc{A}(E)$, $\forall t\in\R$, $u(t)=e^{at}$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -5972,7 +6055,7 @@ On munit $\R^2$ de sa norme euclidienne canonique.
 
 On définit $f$ sur $\R^2$ par $\colon\forall(x,y)\in\R^2$, $f(x,y)=\Big(\frac{1}{2}\sin(x+y),\frac{1}{2}\cos(x-y)\Big)$.
  - Calculer la différentielle de $f$ en tout point.
- - Montr er que $\colon\forall(x,y)\in\R^2,\|df(x,y)\|_{\mathrm{op}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
+ - Montrer que $\colon\forall(x,y)\in\R^2,\|df(x,y)\|_{\mathrm{op}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
  - En déduire que $f$ possede au plus un point fixe.
 #+end_exercice
 
@@ -6107,7 +6190,7 @@ Déterminer les espaces tangents en $I_n$ aux parties $\text{SL}_n(\R)$ et $\mc{
 ** Probabilités
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 808]
-On considére $n$ ampoules eteintes numerotées de 1 à $n$. L'ampoule $i$ à une probabilité $p_i$ de s'allumer à un instant donne. On note $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d'ampoules s'allumant.
+On considére $n$ ampoules eteintes numérotées de 1 à $n$. L'ampoule $i$ à une probabilité $p_i$ de s'allumer à un instant donne. On note $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d'ampoules s'allumant.
  - Exprimer $\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(Y)$.
  - On fixe à present $m$ et on considére des $p_i$ tels que $\mathbf{E}(Y)=m$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les $p_i$ pour que $\mathbf{V}(Y)$ soit maximal. Donner la loi de $Y$ dans ce cas.
 #+end_exercice
@@ -6137,7 +6220,7 @@ Un peage comporte $3$ voies et $n$ voitures se presentent en choisissant aléato
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 812]
-Une urne contient des boules numerotées de 0 à $n$. On en prend une poignée au hasard et on note les numeros obtenus. On effectue deux tirages indépendants. Soit $X$ la variables aléatoire correspondant au nombre de numeros communs entre les deux poignées. Déterminer la loi de $X$.
+Une urne contient des boules numérotées de 0 à $n$. On en prend une poignée au hasard et on note les numéros obtenus. On effectue deux tirages indépendants. Soit $X$ la variables aléatoire correspondant au nombre de numéros communs entre les deux poignées. Déterminer la loi de $X$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -6152,7 +6235,7 @@ Une urne contient $a\geq 1$ boules blanches et $b\geq 1$ boules rouges. à chaqu
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 815]
-On dispose de deux urnes $A$ et $B$, et de $2N$ boules numerotées de 1 à $2N$ reparties aléatoirement dans ces urnes. à chaque iteration, on pioche une boule au hasard et on la change d'urne. On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules dans l'urne $B$ à la $n^{\text{e}}$ iteration. On pose, pour $n\in\N$, $U_n=\left(\mathbf{P}(X_n=0)\ \mathbf{P}(X_n=1)\ \cdots\ \mathbf{P}(X_n=2N) \right)^T$.
+On dispose de deux urnes $A$ et $B$, et de $2N$ boules numérotées de 1 à $2N$ reparties aléatoirement dans ces urnes. à chaque iteration, on pioche une boule au hasard et on la change d'urne. On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules dans l'urne $B$ à la $n^{\text{e}}$ iteration. On pose, pour $n\in\N$, $U_n=\left(\mathbf{P}(X_n=0)\ \mathbf{P}(X_n=1)\ \cdots\ \mathbf{P}(X_n=2N) \right)^T$.
  - Déterminer $M\in\M_{2N+1}(\R)$ telle que, pour tout $n$, $U_{n+1}=MU_n$.
  - Soient $v_0,\ldots,v_{2N}$ des réels et $P=\sum_{k=0}^{2N}v_kX^k$. En notant $V$ le vecteur colonne défini par les coefficients $v_k$, montrer que $V\in\op{Ker}(M-\lambda I_{2N+1})\Leftrightarrow\lambda P=XP-\frac{1- X^2}{2N}P'$.
  - Montrer les $X_n$ suivent la même loi si et seulement si $X_0$ suit une certaine loi à déterminer.
@@ -6193,7 +6276,7 @@ Soient $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi ge
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 821]
-A quelle condition sur $\alpha$ existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$ telle que $\mathbf{P}(X=n)=\int_1^{+\i}\frac{dt}{(1+t^{\alpha})^n}$ pour tout $n\in\N^*$. Lorsque cela est realise montrer que $X$ admet une variance et la calculer.
+À quelle condition sur $\alpha$ existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$ telle que $\mathbf{P}(X=n)=\int_1^{+\i}\frac{dt}{(1+t^{\alpha})^n}$ pour tout $n\in\N^*$. Lorsque cela est realise montrer que $X$ admet une variance et la calculer.
 #+end_exercice
 
 
@@ -6345,15 +6428,15 @@ Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\R^{+*}$ telle que : ${\bf E}\
 Soient $X_1$,..., $X_n$ des variables aléatoires indépendantes. Notons, pour tout $k$ $F_k$ la fonction de repartition associée à $X_k$.
 
 On note $X=\max(X_1,\ldots,X_n)$ et $Y=\min(X_1,\ldots,X_n)$.
- - Montr er que $F_X=\prod_{k=1}^nF_k$ et $F_Y=1-\prod_{k=1}^n(1-F_k)$.
+ - Montrer que $F_X=\prod_{k=1}^nF_k$ et $F_Y=1-\prod_{k=1}^n(1-F_k)$.
- - Soient $x,y\in\R$ avec $y\lt x$. Montr er que ${\bf P}(y\lt Y\leq X\leq x)=\prod_{k=1}^n(F_k(x)-F_k(y))$.
+ - Soient $x,y\in\R$ avec $y\lt x$. Montrer que ${\bf P}(y\lt Y\leq X\leq x)=\prod_{k=1}^n(F_k(x)-F_k(y))$.
  - Supposons que les $X_k$ suivent des lois geometrique de paramêtre $p_k\in]0,1[$. Déterminer la loi de $Y$.
 #+end_exercice
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 845]
 Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et admettant une variance.
- - Montr er que la fonction generatrice de $X$ est convexe sur $[0,1]$.
+ - Montrer que la fonction generatrice de $X$ est convexe sur $[0,1]$.
  - Prouver que ${\bf E}\left(\frac{1}{X+1}\right)\leq 1-\frac{2}{3}{\bf E}(X)+\frac{1}{6}{ \bf E}(X^2)$.
 #+end_exercice
 
@@ -6361,10 +6444,10 @@ Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et admettant une variance.
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 846]
 Soient $m,n\in\N$ tels que $n\gt m+2$. On définit une suite $(u_k)_{k\in\N}$ en fixant $u_0\in\R$ et en posant, pour tout $k\in\N$, $u_{k+1}=\frac{k+m}{k+n}u_k$.
  - étudier la série $\sum\ln\left(\left(\frac{k+1}{k}\right)^{n-m}\frac{u_{k+1}}{u_k}\right)$. En déduire l'existence d'une constante $C\gt 0$ telle que $u_k\underset{k\ra+\i}{\sim}Ck^{m-n}$.
- - Montr er l'existence d'une variable aléatoire réelle $X$ telle que :
+ - Montrer l'existence d'une variable aléatoire réelle $X$ telle que :
 
  $\forall k\in\N,\,(k+n){\bf P}(X=k+1)=(k+m){\bf P}(X=k)$
- - Montr er que $X\in L^1$ et calculer ${\bf E}(X)$.
+ - Montrer que $X\in L^1$ et calculer ${\bf E}(X)$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -6376,7 +6459,7 @@ Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 848]
-Soient $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi ${\cal G}(p)$ et $N$ une variable indépendante des $X_i$ qui suit la loi ${\cal G}(q)$. Soit $S=\sum_{k=1}^NX_k$. Montr er que $S$ est une variable aléatoire et déterminer son esperance et sa variance.
+Soient $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi ${\cal G}(p)$ et $N$ une variable indépendante des $X_i$ qui suit la loi ${\cal G}(q)$. Soit $S=\sum_{k=1}^NX_k$. Montrer que $S$ est une variable aléatoire et déterminer son esperance et sa variance.
 #+end_exercice
 
 
@@ -6419,7 +6502,7 @@ Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrete.
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 853]
-Soient $k\leq n\in\N$. Un parking dispose de $n$ places consécutives numerotées de $1$ à $n$. On y dispose des vehicules nécessit chacun $k$ places consécutives pour être gares. Chaque vehicule est successivement place aléatoirement sur les emplacements disponibles jusqu'a ce qu'on ne puisse plus en garer aucun.
+Soient $k\leq n\in\N$. Un parking dispose de $n$ places consécutives numérotées de $1$ à $n$. On y dispose des vehicules nécessit chacun $k$ places consécutives pour être gares. Chaque vehicule est successivement place aléatoirement sur les emplacements disponibles jusqu'a ce qu'on ne puisse plus en garer aucun.
 
 Pour $j\in\db{1,n-k+1}$, $B_j$ designe l'evenement $\llcorner$ la première voiture est garée entre les emplacements $j$ et $j+k-1$, $\neq$ et $X_n$ est le nombre d'emplacements residuels libres à la fin du processus.
  - Montrer que, pour $i,j$ convenables, $\mathbf{P}_{B_j}(X_n=i)=\mathbf{P}(X_{j-1}+X_{n-(j+k)+1}=i-k)$.
@@ -6891,7 +6974,7 @@ Soit $(x_n)_{n\in\N^*}$ une suite de réels positifs et, pour $n\geq 1$, $y_n=\s
 
 
 #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 914]
-Pour $n\geq 2$, on s'interesse à l'équation $e^x-x^n=0$.
+Pour $n\geq 2$, on s'intéresse à l'équation $e^x-x^n=0$.
  - Montrer que cette équation admet exactement deux solutions positives $u_n$ et $v_n$, avec $u_n\lt v_n$.
  -  Montrer que $(u_n)$ tend vers une limite $\ell$.
  - Trouver un équivalent de $u_n-\ell$.
@@ -6938,20 +7021,20 @@ Déterminer la nature de la série $\sum u_n$.
 
 
 #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 919]
-Soit $f\colon\R^+\ra\R$ continue et surjective. Montr er que tout $y\in\R$ admet une infinite d'antecedents par $f$.
+Soit $f\colon\R^+\ra\R$ continue et surjective. Montrer que tout $y\in\R$ admet une infinite d'antecedents par $f$.
 #+end_exercice
 
 
 #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 920]
 Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$ telle que $f\circ f=2f-\mathrm{id}$.
- - Montr er que $f$ est une bijection strictement croissante de $\R$ dans $\R$.
+ - Montrer que $f$ est une bijection strictement croissante de $\R$ dans $\R$.
- - On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N$, $f_{n+1}=f\circ f_n$. Montr er que $\left(\frac{1}{n}f_n\right)$ admet une limite, que l'on precisera.
+ - On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N$, $f_{n+1}=f\circ f_n$. Montrer que $\left(\frac{1}{n}f_n\right)$ admet une limite, que l'on precisera.
  - Déterminer $f$.
 #+end_exercice
 
 
 #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 921]
-Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ ou $g$ est à valeurs dans $[0,1]$ et $f$ decroissante. On pose $c=\int_a^bg$. Montr er que $\int_{b-c}^bf\leq\int_a^bfg\leq\int_a^{a+c}f$.
+Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ ou $g$ est à valeurs dans $[0,1]$ et $f$ decroissante. On pose $c=\int_a^bg$. Montrer que $\int_{b-c}^bf\leq\int_a^bfg\leq\int_a^{a+c}f$.
 
 Ind. On pourra introduire une fonction d'une variable bien choisie.
 #+end_exercice
@@ -6964,7 +7047,7 @@ Trouver les fonctions $f\in\mc C^1(\R,\R)$ telles que $\forall x\in\R,\,f(x)+\in
 
 #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 923]
 Soit $\theta\in\R\setminus 2\pi\Z$.
- - Soit $n\in\N^*$. Montr er que $\sum_{k=1}^n\frac{e^{ik\theta}}{k}=\int_0^1e^{i\theta}\frac{1-( te^{i\theta})^n}{1-te^{i\theta}}\,d\theta$.
+ - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{e^{ik\theta}}{k}=\int_0^1e^{i\theta}\frac{1-( te^{i\theta})^n}{1-te^{i\theta}}\,d\theta$.
  - En déduire que $\sum\frac{e^{ik\theta}}{k}$ converge et que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{e^{ik\theta}}{k}=\int_0^1\frac{e^{i\theta}}{1- te^{i\theta}}\,d\theta$.
  - En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{\sin(k\theta)}{k}=\frac{\pi-\theta}{2}$.
  - Déterminer de même $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{\cos(k\theta)}{k}$.
@@ -6978,7 +7061,7 @@ Calculer $\int_0^{+\i}\lfloor x\rfloor e^{-x}dx$.
 
 #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 925]
 Soit, pour $n\in\N$ et $x\in\R$, $I_n(x)=\int_0^{\pi}\frac{\cos(nt)-\cos(nx)}{\cos(t)-\cos(x)}dt$.
- - Montr er que $I_n(x)$ est bien définie.
+ - Montrer que $I_n(x)$ est bien définie.
  - Calculer $I_{n+1}(x)+I_{n-1}(x)$ et trouver une relation de récurrence.
 #+end_exercice
 
@@ -7264,7 +7347,7 @@ Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-t}e^{-x/t}}{\sqrt{t}}{\rm d}t$.
 
 
 #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 961]
-On s'interesse aux solutions $f:x\mapsto\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ de l'équation différentielle
+On s'intéresse aux solutions $f:x\mapsto\sum_{n\geq 0}a_nx^n$ de l'équation différentielle
 
  $(E):x^2y''+4xy'+(2-x^2)y=1$.
  - Montrer que $a_0=1/2,\,a_1=0$ et $\forall n\geq 2,\,a_n=\frac{a_{n-2}}{(n+1)(n+2)}$. - En déduire l'unicité de $f$.
@@ -7400,7 +7483,7 @@ Déterminer la loi de $v_p(X)$ puis son esperance.
 On effectue des lancers avec une piece dont la probabilité de donner pile est $p\in]0,1[$. On lance la piece jusqu'a obtenir pile pour la deuxieme fois. On note $X$ le nombre de faces obtenues au cours de l'experience.
  - Donner la loi de $X$.
  - Montrer que $\mathbf{E}(X)\lt +\i$ et la calculer.
- - On prend une urne et, si $X=n$, on pose $n+1$ boules numerotées de $0$ à $n$ dans l'une. Donner la loi de $Y$ ou $Y$ est le numero de la boule tirée dans l'urne. Calculer ensuite l'esprance de $Y$ ainsi que sa variance.
+ - On prend une urne et, si $X=n$, on pose $n+1$ boules numérotées de $0$ à $n$ dans l'une. Donner la loi de $Y$ ou $Y$ est le numéro de la boule tirée dans l'urne. Calculer ensuite l'esprance de $Y$ ainsi que sa variance.
 #+end_exercice
 
 
@@ -7594,7 +7677,7 @@ Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$. On suppose $ABAB=0$. A-t-on $BABA=0$
 
 
 #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1004]
-Soit $f\in\mc{L}\left(E\right)$ telle que $f^2=-4\op{id}$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$. - Déterminer le noyau et l'image de $f$. L'endomorphisme $f$ est-il inversible? Si c'est le cas, déterminer $f^{-1}$.  - Montr er que $n$ est nécessairement pair.  - Pour $x\neq 0$, montrer que $\left(x,f\left(x\right)\right)$ est une famille libre.  - On suppose maintenant que $n=4$. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la
+Soit $f\in\mc{L}\left(E\right)$ telle que $f^2=-4\op{id}$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension $n$. - Déterminer le noyau et l'image de $f$. L'endomorphisme $f$ est-il inversible? Si c'est le cas, déterminer $f^{-1}$.  - Montrer que $n$ est nécessairement pair.  - Pour $x\neq 0$, montrer que $\left(x,f\left(x\right)\right)$ est une famille libre.  - On suppose maintenant que $n=4$. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la
 
 $$\text{matrice de }f\text{ est }\left(\begin{array}{cccc}0&-4&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&-4\\ 0&0&1&0\end{array}\right)\text{.}$$
 #+end_exercice
@@ -8395,7 +8478,7 @@ Soit $f:x\in\,]-1,1[\,\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{(-1)^n}{x+n}$.
 
 
 #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1125]
-On s'interesse à la série entiere suivante $:f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}u_nx^n$ avec $u_n=\int_1^{+\i}e^{-t^n}\dt$.
+On s'intéresse à la série entiere suivante $:f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}u_nx^n$ avec $u_n=\int_1^{+\i}e^{-t^n}\dt$.
  - Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.
  - Déterminer le domaine de convergence de la série entiere.
  - Déterminer la limite de $f$ à la borne de droite du domaine de convergence.
@@ -8622,7 +8705,7 @@ Trouver les extrema de $f:(x,y)\mapsto x^4+y^4-2(x-y)^2$.
 ** Probabilités
 
 #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1156]
-Une poite contient $n$ boules numerotées de $1$ à $n$. On tire des boules, une à une, avec remise, tant que le numero de la boule tirée est supérieur au précédent. On note $Z$ le nombre de boules tires. Déterminer la loi de $Z$.
+Une poite contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire des boules, une à une, avec remise, tant que le numéro de la boule tirée est supérieur au précédent. On note $Z$ le nombre de boules tires. Déterminer la loi de $Z$.
 #+end_exercice
 
 
@@ -8632,7 +8715,7 @@ Une urne contient deux boules. L'une est blanche et l'autre est soit blanche soi
 
 
 #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1158]
-Soient $a\in\N^*$, $n\in\N^*$ et $N=an$. On dispose de $N$ boules indiscernables et $n$ unres numerotées de $1$ à $n$. On depose les $N$ boules dans les unres. On note $T_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si l'urne $i$ est vide, et $0$ sinon. On note $Y_n$ le nombre d'urnes vides et $S_n=\dfrac{1}{n}Y_n$.
+Soient $a\in\N^*$, $n\in\N^*$ et $N=an$. On dispose de $N$ boules indiscernables et $n$ unres numérotées de $1$ à $n$. On depose les $N$ boules dans les unres. On note $T_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si l'urne $i$ est vide, et $0$ sinon. On note $Y_n$ le nombre d'urnes vides et $S_n=\dfrac{1}{n}Y_n$.
  - Donner la loi de $T_i$. Calculer l'esperance et la variance de $T_i$.
  - Calculer l'esperance et la variance de $S_n$. Étudier les limites de $(\mathbf{E}(S_n))$ et $(\mathbf{V}(S_n))$.
 #+end_exercice
@@ -8665,7 +8748,7 @@ On considére deux des et, pour $i\in\db{1,6}$, on note $p_i$ (respectivement $q
 
 
 #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1163]
-Dans un magasin, on a $n$ caisses et $np$ clients. Chaque client choisit une caisse de facon indépendante et avec la même probabilité pour chacune des caisses. On note $X_i$ le nombre de clients à la caisse numero $i$.
+Dans un magasin, on a $n$ caisses et $np$ clients. Chaque client choisit une caisse de facon indépendante et avec la même probabilité pour chacune des caisses. On note $X_i$ le nombre de clients à la caisse numéro $i$.
  - En écrivant $X_i$ comme une somme de variables aléatoires indépendantes, déterminer la loi, l'esperance et la variance de $X_i$.
  - Pour $(i,j)\in\db{1\,;\,n}^2$, calculer $\op{Cov}(X_i,X_j)$.
 #+end_exercice
@@ -9450,7 +9533,7 @@ Soit $f:t\in[0,\pi/2[\mapsto-\ln(\cos(t))$.
 
 
 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1256]
-On munit $\M_n(\R)$ de la norme euclidienne canonique. Soient $A\in\mc{S}_n^+(\R)$ et $B\in\M_n(\R)$. On s'interesse à l'équation différentielle $(E):X'=-AX+B$. On suppose que l'ensemble $S=\big{\{}U\in\M_n(\R)\,;\;AU=B\big{\}}$ est non vide.
+On munit $\M_n(\R)$ de la norme euclidienne canonique. Soient $A\in\mc{S}_n^+(\R)$ et $B\in\M_n(\R)$. On s'intéresse à l'équation différentielle $(E):X'=-AX+B$. On suppose que l'ensemble $S=\big{\{}U\in\M_n(\R)\,;\;AU=B\big{\}}$ est non vide.
  - Montrer que les valeurs propres de $A$ sont positives.
  - Quelles sont les solutions constantes de $(E)$?
  - Soient $X$ et $Y$ deux solutions de $(E)$. Montrer que $t\mapsto\|X(t)-Y(t)\|$ est decroissante. En déduire que toute solution est bornée sur $\R^+$.