From b888692244876ef2c0e38c3f72e01d363465b1e6 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?S=C3=A9bastien=20Miquel?= Date: Sat, 17 Feb 2024 17:24:35 +0100 Subject: [PATCH] Uniformisation --- Exercices 2023.org | 2404 ++++++++++++++++++++++++-------------------- 1 file changed, 1301 insertions(+), 1103 deletions(-) diff --git a/Exercices 2023.org b/Exercices 2023.org index 149f24a..1be80f8 100644 --- a/Exercices 2023.org +++ b/Exercices 2023.org @@ -2,14 +2,12 @@ #+title: Exercices 2023 #+author: Sébastien Miquel #+date: 02-12-2023 -# Time-stamp: <12-02-24 17:11> +# Time-stamp: <17-02-24 11:23> #+OPTIONS: * Meta :noexport: -[[file:Étoilés 2023.pdf]] - #+BEGIN_SRC emacs-lisp (defun nb_unexed () (let ((n 0)) @@ -27,7 +25,6 @@ | 1 | 8 | 937 | - ** Trying to make nougat work L'équivalent de CUDA pour AMD : @@ -127,7 +124,9 @@ python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name( * ENS MP-MPI :xens: -#+BEGIN_exercice [# 1] +** Algèbre + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 1] Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f$ une application de $S$ dans $T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. Montrer que $|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left(\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -137,28 +136,32 @@ Pour le terme de droite, c'est un principe des tiroirs, puis compter pour $1$ le #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 2] -Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$. +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 2] +Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de $\db{1, n }$ tels que $\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$. #+END_exercice #+BEGIN_proof $S$ sera un sous-ensemble d'entiers consécutifs : considérer les sommes partielles $S_0,\dots, S_n$. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 3] :sup: +# Relier à Legendre +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 3] :sup: Pour tout $n\in\N^*$, on note $E(n)$ la valuation $5$-adique de $\prod_{k=1}^n k^k$. Donner un équivalent de $E(n)$, quand $n\ra +\i$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +C'est $\sum_{q = 1}^{\lfloor n/5\rfloor} 5q + \sum_{q = 1}^{\lfloor n/5^2\rfloor} 25q + \dots$. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 5] -Soit $n$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo $n$ si et seulement si $n$ est somme de deux carrés d'entiers. +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 5] +Soit $p$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est somme de deux carrés d'entiers. #+END_exercice #+BEGIN_proof Si $p$ est somme de deux carrés d'entiers, $p\equiv 1[4]$, et $a$ est un carré si et seulement si $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$. -Réciproquement, si $n\mid m^2 + 1$, dur, dur. !! +Réciproquement, si $p\mid m^2 + 1$. On peut trouver $0\lt x,y\lt \sqrt{p}$ tels que $p \mid m^2 x^2 - y^2$. On obtient alors $p\mid x^2 + y^2$. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 6] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 6] 1. Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que $\big(\Z/p\Z\big)^\times$ contient $(p-1)/2$ carrés. 2. Montrer que tout élément de $\Z/p\Z$ s'écrit comme la somme de deux carrés de $\Z/p\Z$. 3. Soit $n$ un entier impair. Montrer que tout élément de $\big(\Z/n\Z\big)^{\times}$ s'écrit comme somme de deux carrés. @@ -166,17 +169,18 @@ Réciproquement, si $n\mid m^2 + 1$, dur, dur. !! *Indication* : Commencer par le cas où $n$ est sans facteur carré. #+END_exercice -#+BEGIN_exercice [# 7] +# À Relier +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 7] Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre premier et si $r\in\Q^*$ s'écrit $\frac{a}{b}$ de manière irréductible, on définit la $p$-valuation $v_p(r)$ comme $v_p(a) - v_p(b)$. 1. Montrer que si $p\geq 3$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 1$. 2. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 2$. - 3. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{(p-1)}p)\geq 1$. - 4. Pour $n\in\N^*$, calculer $v_2(~H_~)$. + 3. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{(p-1)p})\geq 1$. + 4. Pour $n\in\N^*$, calculer $v_2(H_n)$. #+END_exercice # See 2795 -#+BEGIN_exercice [# 9] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 9] 1. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler. 2. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$. 3. Montrer que $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$. @@ -187,7 +191,7 @@ Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre pr 3. Par inversion de Möbius, on a $\phi(d) = \sum\limits_{d'\mid d} \mu\big(\frac{d}{d'}\big) d'$. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 10] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 10] Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la valuation $p$-adique d'un entier $n$. On pose, pour $m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout $m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -199,7 +203,7 @@ Donc $v_p(N(m)) = \sum_{k=1}^m v_p(1 - q) + v_p(m!)$, plus formule de Legendre. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 11] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 11] :sup: Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la concaténation et $\l\colon X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis et $\phi\colon A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous $a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$. 1. On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l'injectivité des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur $A^*$ par $\phi\colon A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi\colon A \ra B^*$ telle que $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$. 2. Montrer que, si $\phi$ est injective, alors $\sum_{a \in A}|B|^{-\l(\phi(a))} \leq 1$. @@ -217,7 +221,7 @@ Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \lef #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 12] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 12] :sup: 1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition $(1\, 2)$ et le cycle $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$. 2. La transposition $(1\, 3)$ et le cycle $(1\, 2\, 3\, 4)$ engendrent-ils $\mc{S}_4$ ? 3. Soient $n \in \N^*$ et $1 \leq a\lt b \leq n$ tels que $\tau=(a b)$ et $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent $\mc{S}_n$. Montrer que $b-a$ et $n$ sont premiers entre eux. @@ -231,7 +235,7 @@ Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \lef #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 14] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 14] :sup: Soit $G$ un groupe fini. Si $X$ et $Y$ sont des parties non vides de $G$, on pose $X^{-1}=\left\{x^{-1}, x \in X\right\}$ et $X Y=\{x y,(x, y) \in X \times Y\}$. Dans la suite, $X$ désigne une partie non vide de $G$. 1. On suppose que $|X X|\lt 2|X|$. Montrer que $X X^{-1}=X^{-1} X$. @@ -248,17 +252,24 @@ Dans la suite, $X$ désigne une partie non vide de $G$. Quitte à translater, on peut supposer que $e\in X$. Alors $X X^{-1}$ contient tous les éléments de $X$, et leurs inverses. Au moins la moitié des éléments de $X$ ont leurs inverses dans $X$ ! #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 15] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 15] :sup: Soient $A$ un anneau et $B\subset A$ finie non vide. On note $E(B) = \big|\{(a,b,c,d)\in B^4 \mid ab = cd\}\big|$. Montrer que $E(B)\geq \frac{|B|^4}{|BB|}$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +On note $x_i$ le nombre de couples qui donnent une valeur $i\in A$. Alors $E(B) = \sum x_i^2$, et $|BB| = \sum_i 1$. Cauchy-Schwarz permet de minorer par $(\sup x_i)^2$, d'où le résultat. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 16] + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 16] :sup: 1. Montrer que $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ engendrent $SL_2(\Z)$. 2. Soit $m\geq 2$. Montrer que le morphisme $\pi\colon SL_2(\Z)\ra SL_2(\Z/m\Z)$ est surjectif. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +Easy +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 17] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 17] Soit $p$ un nombre premier. On admet qu'il existe un anneau commutatif $A$ dans lequel $p^2.1_A=0_A$ et il existe un élément inversible $x$ tel que : + tout élément de $A$ s'écrive $P(x) x^{-k}$ pour un $P \in \Z[X]$ et un $k \in \N$; + pour deux polynômes $P, Q$ dans $\Z[X]$ et deux entiers naturels $k, l$, l'égalité $P(x) x^{-k}=$ $Q(x) x^{-\l}$ équivaut à ce que $X^k Q$ et $X^\l P$ aient même réduit modulo $p^2$ (autrement dit, tous les coefficients de $X^k Q-X^\l P$ sont des multiples de $p^2$). @@ -267,11 +278,11 @@ Soit $p$ un nombre premier. On admet qu'il existe un anneau commutatif $A$ dans 2. Montrer que le groupe multiplicatif $A^{\times}$ ne possède pas de partie génératrice finie. #+END_exercice #+BEGIN_proof - +!! #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 18] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 18] Soit $f \in \Z[X]$. On pose $S_q=\sum\limits_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum\limits_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$ pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors $S_{q q'}=S_q S_{q'}$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -279,7 +290,7 @@ Les $a\in\db{1,qq'}$ premiers avec $q$ et $q'$ sont les $bq + aq'$, avec $a$ pre #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 19] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 19] :sup: On dit qu'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : $\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un même cercle. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -288,12 +299,15 @@ On veut que les $\sin (\frac{\theta_i - \theta_j}{2})$ soient rationnels, c'est- Il suffit donc de prendre les doubles d'une infinité de points rationnels sur le cercle. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 20] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 20] :sup: Soit $z\in\C$ annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. Soit $Q\in\Z[X]$. Montrer que $Q(z)$ est annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +!! +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 21] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 21] Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré $2 m$ tel que $\forall x \in \R \setminus \Z, \sin (n x)=(\sin x)^n P_m(\op{cotan} x)$. 2. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \op{cotan}^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)$. 3. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \frac{1}{\sin ^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)}$. @@ -303,16 +317,19 @@ Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré Easy. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 22] :sup: +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 22] :sup: Pour $n\in\N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$. 1. Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $\C$. 2. Montrer que si $n$ est impair, alors $P_n$ possède exactement une racine réelle, et qu'elle appartient à $[-n, - 1]$. 3. On suppose $n$ pair. Le polynôme $P_n$ a-t-il une racine réelle ? 4. Déterminer les variations et la convexité de $x\mapsto P_n(x)$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +Easy. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 23] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 23] Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$. 1. On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que $\forall x \in \R, n P(x) P''(x) \leq(n-1) P'(x)^2$. 2. Donner un polynôme ne vérifiant pas le résultat de la question précédente, puis un polynôme non scindé le vérifiant. @@ -322,20 +339,25 @@ Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$. 2. Ajouter à un précédent. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 24] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 24] :sup: Soit $n\in\N^*$, $P = X^n + \sum_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\C[X]$. On factorise $P$ sous la forme $P = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$. Pour $k\in\N$, on note $S_k = \sum_{i=1}^n z_i^k$. Montrer que, si $k\gt n$, $S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_0 S_{k-n} = 0$ et que, si $k\leq n$, $S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_1 = - k a_{n-k}$. #+END_exercice -#+BEGIN_exercice [# 25] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 25] :sup: Une suite d'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme si pour tous $n,m\in\N^*$, $m-n\mid a_m - a_n$. 1. Soit $P\in\Z[X]$. Montrer que $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme. 2. Montrer que $\big(\lfloor n! e\rfloor\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme. 3. Trouver un polynôme $P\in\Q[X]\setminus \Z[X]$ tel que $P(\Z)\subset \Z$ et que la suite $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ ne soit pas un pseudo-polynôme. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. + 3. $\frac{n(n+1)}{2}$ +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 26] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 26] Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que, pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -343,7 +365,7 @@ Easy, à relier. #+END_proof # Relier à 6130 -#+BEGIN_exercice [# 27] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 27] Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si + $-P$ et $Q$ sont scindés à racines simples sur $\R$, + $P$ et $Q$ n'ont aucune racine réelle commune, @@ -354,8 +376,7 @@ Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout $\lambda, \mu \in \R^*, \lamb À relier. #+END_proof - -#+BEGIN_exercice [# 28] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 28] :sup: Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -364,40 +385,80 @@ Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_ Vient des relations coefficients-racines. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 31] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 29] :sup: +Pour $P\in\R[X]$, on note $\mc C_Q = \{Q\in\R[X]\mid P\circ Q = Q\circ P\}$. + +On appelle suite commutante toute famille $(P_n)_{n\in\N}$ telle que $\forall n,\, \deg P_n = n$ et $\forall n,m\in\N,\, P_n\circ P_m = P_m \circ P_n$. + 1. Soient $\a\in\R$ et $n\in\N$. Montrer que $\mc C(X^2 + \a)$ contient au plus un polynôme. + 2. Expliciter une famille commutante telle que $P_2 = X^2$. + 3. Montrer que, pour $n\in\N$, il existe $T_n\in\R[X]$ tel que $\forall x\in\R,\,\cosh(nx) = T_n(\cosh x)$. + 4. Montrer que $(T_n)_{n\in\N}$ est une suite commutante. + 5. Montrer que les polynômes de degré $1$ sont inversibles pour $\circ$. + 6. Montrer que, pour $P$ de degré $2$, il existe $\a\in\R$ et $U\in\R[X]$ de degré $1$ unitaire tel que $P = U\circ (X^2 + \a)\circ U^{-1}$. + 7. Soit $(P_n)_{n\in\N}$ une famille commutante. Montrer que, ou bien il existe $U$ de degré $1$ tel que $P_n = U\circ X^n \circ U^{-1}$, ou bien il existe $U\in\R[X]$ de degré $1$ tel que $P_n = U\circ T_n \circ U^{-1}$. +#+END_exercice + + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 31] - CNS sur $n$ pour que $\Z/n\Z$ soit un corps. - On suppose cette condition satisfaite. Combien y a-t-il de polynômes de degré $d\in\N$ fixé dans $\Z/n\Z$ ? - Soit $p$ premier. Montrer qu'il existe des polynômes irréductibles de degré $2$ et $3$ dans $\Z/p\Z$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + - + - + - Compter les multiples. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 32] +# À relier +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 32] Soit $n\in\N^*$, $\K$ un corps, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\K)$ dont tous les éléments sont de rang $\leq 1$. Montrer que $V$ est de dimension $\leq n$. Étudier le cas d'égalité. #+END_exercice -#+BEGIN_exercice [# 33] + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 33] Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel $V$ de $\M_n(\R)$ tel que pour tout $(X,Y)\in V^2$, on ait $\op{Tr} (XY) = 0$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +!! +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 35] + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 35] :sup: Soient $A,B\in\M_n(\R)$ de même rang telles que $A^2 B = A$. Montrer que $B^2 A = B$. #+END_exercice #+BEGIN_proof +En passant à la transposée, on veut montrer que $(B'A' - I_n)A' = O_n \Rightarrow (A'B'-I_n)B' = O_n$. +Mais la première relation donne que si $X\in \Im A'$, alors $B' A' X = X$. Donc $\Im B' = \Im A'$, et leurs induits sont inverses l'un de l'autre. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 38] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 38] :sup: Soient $n\geq 1$ et $E$ une partie de $\mc P(\db{1,n})$. - 1. On suppose que $E$ est stable par différence symétrique. Que dire de $C = \{m 1_A\}$ comme partie de l'espace vectoriel $\big(\Z/2\Z\big)^n$ ? + 1. On suppose que $E$ est stable par différence symétrique. Que dire de $C = \{\m 1_A\}$ comme partie de l'espace vectoriel $\big(\Z/2\Z\big)^n$ ? 2. On ne fait plus l'hypothèse précédente, mais on suppose que $A\cap B$ est de cardinal pair pour tous $A,B\in E$. Montrer que $|E|\leq 2^{\lfloor n/2\rfloor}$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + 1. C'est un sous-espace vectoriel. + 2. D'une part les cardinaux des éléments sont pairs. D'autre part les cardinaux des réunions aussi. -#+BEGIN_exercice [# 39] + On vérifie que si $A,B, C\in E$, alors $(A\Delta B)\cap C$ est pair. Donc on peut supposer que $E$ est stable par $\Delta$. + + Chaque $A\in E$ donne un élément du dual $\tilde{A}\colon B\mapsto A\cap B$, ce qui limite la dimension de $E$. +#+END_proof + + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 39] Soient $(a_1,\dots, a_n)\in\R^n$ telle que $|a_i|\geq 2$, pour tout $i\in\db{1,n}$. 1. Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall i,\, a_{ii} = a_i$, $a_{ij} = 1$ si $|i-j| = 1$ et $a_{ij} = 0$ sinon. Montrer que $A$ est inversible et que son déterminant a le même signe que $\prod a_k$. 2. Montrer que la conclusion tient encore si l'on suppose $|a_{ij}|\leq 1$ si $|i-j| = 1$ au lieu de $a_{ij} = 1$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +!! +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 40] + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 40] :sup: On considère $\phi:\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut $\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$. 1. Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0$ ? 2. Que dire de la réciproque? @@ -409,16 +470,16 @@ On considère $\phi:\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ associe la #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 41] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 41] Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$. Montrer qu'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$ où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$. #+END_exercice #+BEGIN_proof -On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Donc diagonalisable ? +On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Donc diagonalisable ? !! #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 42] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 42] Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit $f_g:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes : + il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d'éléments de $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$ de $\R^2, f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$, + il existe une droite vectorielle $L$ telle que $\left|\left\{i, L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$. @@ -429,19 +490,22 @@ Si il existe une droite $L$, en prenant $g_k = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k^{-1 Réciproquement, !! #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 43] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 43] Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$ #+END_exercice #+BEGIN_proof Facile ? Attention : faux pour 2. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 45] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 45] Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C_A\colon X\in\M_n(\C)\mapsto AX -XA$. Montrer que si la matrice $A$ est diagonalisable, alors $C_A$ l'est aussi. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +Calculer les puissances de $C_A$. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 46] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 46] Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que $A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -450,29 +514,56 @@ Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que $A B A^{- Si $ABA^{-1}B^{-1}$ commute avec un $\vect$ de dimension $2$. Si $AB = \la BA$, c'est bon. Sinon, alors le commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$ est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, puis faire de la réduction. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 47] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 47] Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_r$ les valeurs propres distinctes de $A$ et $\a_1,\dots, \a_r$ leurs multiplicités. On note $P_k = (X-\la_k)^{\a_k}$ et $F_k = \Ker P_k(A)$. 1. Montrer que $\C^n = \bigoplus_{i=1}^r F_i$. 2. Montrer que $P_k$ est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par $A$ sur $F_k$. 3. Montrer que $A$ se décompose en $D + N$, avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente et $ND = DN$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +Easy. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice -Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$. Montrer l'équivalence entre +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 48] +Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$. On suppose que $m\geq 1$. Montrer l'équivalence entre + $\Ker A = \Ker A^2$. + il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^m = A$. + pour tout $k\geq 1$, il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^k = A$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + $(iii)\Rightarrow (ii)$ -#+BEGIN_exercice [# 49] + $(iii)\Rightarrow (i)$ est simple, via les noyaux itérés. + + $(i)\Rightarrow (iii)$ : Décomposition des noyaux, on est ramené au cas $A$ inversible. !! +#+END_proof + + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 49] Soit $M\in GL_n(\Z)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\leq 1$. Montrer qu'il existe $k\geq 1$ tel que $M^k - I_n$ soit nilpotente. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +Il s'agit exactement de montrer que les valeurs propres de $M$ sont des racines de l'unité. -#+BEGIN_exercice [# 51] -Soit $n\geq 1$. Pour $\sigma\in\mc S_n$, on note $P_{\sigma} = \big(\delta_{i+1,j}\big)_{i,j}$ la matrice de permutation associée. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \M_n(\C)\ra\C$ telles que $\forall A,P\in \M_n(\C)\tmes GL_n(\C),\quad f(PAP^{-1}) = f(A)$. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \mc D_n(\C)\ra \C$ telles que $f(P_{\sigma} D P_{\sigma}^{-1}) = f(D)$. Expliciter un isomorphisme d'algèbres de $\mc A$ sur $\mc B$. +Les $\op{Tr} M^k$ prennent un nombre fini de valeurs, et par co-approximations, on peut tendre vers $1$, donc c'est gagné. +#+END_proof + + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 51] +Soit $n\geq 1$. Pour $\sigma\in\mc S_n$, on note $P_{\sigma} = \big(\delta_{i,\sigma(j)}\big)_{i,j}$ la matrice de permutation associée. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \M_n(\C)\ra\C$ telles que $\forall A,P\in \M_n(\C)\times GL_n(\C),\quad f(PAP^{-1}) = f(A)$. On note $\mc B$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \mc D_n(\C)\ra \C$ telles que $f(P_{\sigma} D P_{\sigma}^{-1}) = f(D)$. Expliciter un isomorphisme d'algèbres de $\mc A$ sur $\mc B$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + $\mc B$ est l'ensemble des polynômes symétriques. On a une application $\mc A\ra\mc B$. -#+BEGIN_exercice Décomposition de Jordan [# 52] +Elle est injective : si l'on coïncide sur les matrices diagonales, on coïncide sur les diagonalisables, donc par densité, sur $\M_n(\R)$. + +Elle est surjective : Si $f$ est donné sur les $\mc D_n$, on montre que $f$ est entièrement déterminée par $\sigma_1,\dots,\sigma_n$. Par ailleurs, $f$ est polynomiale en les $\sigma_i$ (il faut travailler…). + +Puis on peut définir $f$ sur $\M_n(\C)$, en prenant l'image des coefficients du polynôme caractéristique. +#+END_proof + + +#+BEGIN_exercice Décomposition de Jordan [ENS 2023 # 52] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d'indice $m, x \in E$ tel que $f^{m-1}(x) \neq 0$. 1. Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille. 2. Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi(f^{m-1}(x)) \neq 0, W$ le sous-espace de $E^*$ engendré par $(\phi \circ f^i)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\bot}$ l'ensemble des $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\bot}, \psi(y)=0$. Montrer que $W^{\bot}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$. @@ -482,26 +573,33 @@ Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \ #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 53] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 53] Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 1$. Un élément $u\in\mc L(E)$ est dit cyclique s'il existe $x\in E$ tel que $(u^k(x))_{0\leq k\leq n-1}$ soit une base de $E$. 1. Quels sont les endomorphismes de $E$ diagonalisables et cycliques ? 2. Montrer que si $u$ est cyclique, le commutant de $u$ est égale à $\K[u]$. 3. Montrer que si $u\in\mc L(E)$, il existe $r\in\N^*$ et des sous-espaces $E_1,\dots, E_r$ de $E$ stables par $u$ tels que $E = \bigoplus_{i=1}^r E_i$ et que, pour tout $i$, $u_{E_i}$ soit cyclique. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +Ok. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 54] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 54] Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $d_1\left|d_2\right| \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$. #+END_exercice #+BEGIN_proof $n = r$ convient. Réciproquement, si $G$ contient un tel groupe, on peut codiagonaliser. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 55] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 55] Le groupe $GL_2(\Q)$ contient-il un élément d'ordre $5$ ? #+END_exercice +#+BEGIN_proof +Montrer qu'une racine $5$-ème de l'unité n'a pas de polynôme annulateur sur $\Q$ de degré $2$, c'est-à-dire que $1 + \dots + X^4$ est irréductible. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 56] + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 56] On note $H$ l'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle. 1. Montrer que $\forall M\in H,\, e^M\in SL_2(\R)$. 2. Montrer que $\forall M\in H,\, \tr e^M\geq -2$. @@ -509,46 +607,60 @@ On note $H$ l'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle. 4. Montrer que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit d'une matrice de $SO_2(\R)$ et d'une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux $\gt 0$. 5. En déduire que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit de deux exponentielles de matrices de $H$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. C'est $\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$ + 3. Non, cf question précédente. + 4. Partir d'une matrice de $SL_2$, et faire le produit. + 5. Antisymétrique + triangulaire. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 57] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 57] Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une norme sur $E$ pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que $\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$ commute avec $h_1$ et $h_2$. Montrer que l'espace des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et $h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$. #+END_exercice #+BEGIN_proof -On peut supposer que l'ensemble $F$ des points fixes est de dimension $1$. Donc est le noyau d'une forme linéaire $\phi$. !! +On peut supposer que l'ensemble $F$ des points fixes est de dimension $1$. Donc est le noyau d'une forme linéaire $\phi$. Notons $C$ le commutateur. On a $Ch_2 = h_1h_2 h_1^{-1}$. Si $h_1$ et $h_2$ commutent. -Si $h_1 = h_2$. +Si $h_1 = h_2$. !! #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 58] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 58] Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_n$ ses valeurs propres. 1. Montrer que $\sum |\la_i|^2 \leq \sum_{i,j} |a_{ij}|^2$. 2. Montrer que $|\det A|\leq n^{n/2}\sup |a_{ij}|$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + 1. !! + 2. IAG probablement. +#+END_proof - -#+BEGIN_exercice [# 59] -Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien, $m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \llbracket 1, m \rrbracket^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$. +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 59] +Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien, $m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \db{1, m }^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$. #+END_exercice #+BEGIN_proof Easy, on a $\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x\rangle$. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 60] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 60] On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire $(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$. On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection orthogonale de $1$ sur $F$. On ecrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et $P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$. - - Determiner $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour $k\in[\![1,n]\!]$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in[\![1,n]\!]$. + - Determiner $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour $k\in\db{1,n]\!]$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in[\![1,n}$. - Calculer $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\,dx$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Cela vaut $0$. Découle des relations intégrales. + 2. Cela vaut $\langle 1-Q, 1-Q\rangle = \langle 1-Q, 1\rangle = \int (1 + \sum a_i x^i)e^{-x}\dx$. C'est une fonction des $a_i$, et la question 1 permet de conclure, peut-être. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 61] -Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u, u_1, \ldots, u_m$ des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $\left\{x \in E ; \forall i \in \llbracket 1, m \rrbracket,\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E ;\langle u, x\rangle \leq 0\}$. +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 61] +Soient $(E,\langle\rangle)$ un espace euclidien, $m \in \N^* \et u, u_1, \ldots, u_m$ des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $\left\{x \in E ; \forall i \in \db{1, m },\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E ;\langle u, x\rangle \leq 0\}$. #+END_exercice #+BEGIN_proof $\Rightarrow$ : Easy. @@ -560,47 +672,67 @@ Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u, u_1, \ldots, u #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 62] -Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'ecrit d'une unique facon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire superieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 62] +Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'ecrit d'une unique façon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire superieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +C'est GS. +#+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 63] + +#+begin_exercice [ENS 2023 # 63] [Rennes sur dossier] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice antisymetrique et inversible. - Que peut-on dire de l'entier $n$? - En considerant $M^2$, montrer que $M$ admet un plan stable puis qu'il existe une matrice orthogonale $O\in{\cal O}_n({\R})$ telle que $O^TMO$ soit une matrice diagonale par blocs de la forme $\mathrm{diag}(R_{a_1},...,R_{a_k})$, avec $R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$. - Qu'en est-il si $M$ n'est plus supposee inversible? #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. pair. + 2. $M^2$ est symétrique donc diagonalisable. Alors si $X$ est valeur propre, $X, MX$ est stable. + 3. On rajoute le noyau. +#+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 64] + +#+begin_exercice [ENS 2023 # 64] Soit $n\geq 1$. Determiner les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On a $A$ et $A^T$ cotrigonalisable, donc $\la\mapsto \la + \la^k$ est une bijection sur les valeurs propres. La seule possibilité est que $A$ soit nilpotente, donc symétrique. +#+END_proof - -#+BEGIN_exercice [# 65] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 65] Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$ $M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer $\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$. #+END_exercice #+BEGIN_proof $\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix})$. !! #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 66] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 66] Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit $v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n'ont pas de valeur propre commune. Sous reserve d'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$ pour $x$ reel. - Montrer que les zeros de $F$ sont les valeurs propres de $A+vv^T$. - On note $\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ les valeurs propres de $A$. Montrer que chaque intervalle $]\lambda_1,\lambda_2[$,..., $]\lambda_{n-1},\lambda_n[,]\lambda_n,+\i[$ contient exactement une valeur propre de $A+vv^T$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +!! +#+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 67] -Soient $n\in{\N}$ impair, $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que, pour toute $A\in{\cal A}_n({\R})$, $A+M$ soit nonversible. Montrer que $M\in{\cal A}_n({\R})$. + +#+begin_exercice [ENS 2023 # 67] +Soient $n\in{\N}$ impair, $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que, pour toute $A\in\mc A_n({\R})$, $A+M$ soit non inversible. Montrer que $M\in\mc A_n({\R})$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Par récurrence. On considère une matrice $A = \begin{pmatrix}0 & h & 0 \\ -h & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A' \end{pmatrix}$, avec $h$ petit et $A'$ fixé. Le terme en $h^2$ est $h^2\det (M' + A')$. +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 68] + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 68] Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n'ont pas -1 pour valeur propre et telles que $A B$ n'ait pas 1 pour valeur propre. Montrer que $\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est antisymétrique. #+END_exercice #+BEGIN_proof Classique #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 69] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 69] Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$. - Determiner les valeurs propres de $J$ et leur multiplicite. - Soit $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$. Montrer qu'il existe une matrice $B\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telle que $B^2=A$. @@ -609,14 +741,14 @@ Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$. - Montrer plus generalement que toute valeur propre d'une matrice antisymetrique reelle est imaginaire pure. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 70] -Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non nécessairement distinctes. Montrer que $\forall k \in\left[1, n \rrbracket, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$. +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 70] +Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non nécessairement distinctes. Montrer que $\forall k \in \db{1,n}, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$. #+END_exercice #+BEGIN_proof - +!! #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 71] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 71] 1. Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B \in \mc{S}_n^+(\R)$ Montrer que $A B$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles. 2. Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose $f_{A, B}: X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$. @@ -626,20 +758,20 @@ Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les va #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 72] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 72] Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On definit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On definit de meme $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$. - Montrer que $p(A)+q(A)=\mbox{rg}\,A$. - Montrer que, si $A$ est inversible, alors $p$ et $q$ sont constantes sur un voisinage de $A$ dans ${\cal S}_n({\R})$. - Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f:t\mapsto\det(A+tB)$ n'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 73] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 73] On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonne d'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$. - - Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, que dire du signe de $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$?[MISSING_PAGE_FAIL:1]# 80 + - Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, que dire du signe de $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$ Soient $a\leq b$ deux reels, et $(O - {i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ verifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 74] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 74] Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ le spectre ordonné de $M$. 1. On considère $A, B \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A+B \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. Montrer que, si $i+j\lt n+2$ alors $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0$. 2. Généraliser à $A_1, \ldots, A_d \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A_1+\cdots+A_d \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. telle que $B=P^T A P$. @@ -649,12 +781,12 @@ Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 75] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 75] On note $\lN\cdot \rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\R)$ associée à la norme euclidienne. Soit $S\in\mc S_n$. On suppose que $E = \{M\in\M_n(\R)\mid S = M^T M - M M^T\}$ est non vide. On note $\gamma(S) = \inf_{M\in E}\lN M\rN^2$. Montrer que $\lN S\rN\leq \gamma(S)\leq 2\lN S\rN$. #+END_exercice -#+BEGIN_exercice [# 76] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 76] 1. Soient $A,B\in\mc S_n^{++}$. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ telle que $B = P^T A P$. 2. Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une définition naturelle de $f(A)$ si $A \in$ $\mc{S}_n^{++}(\R)$. 3. Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose $d(A, B)=\left\|\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\right\|$. Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance $\op{sur} \mc{S}_n^{++}(\R)$. @@ -664,7 +796,7 @@ On note $\lN\cdot \rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\R)$ associée à la norm #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 77] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 77] Soit $n\in\N^*$. 1. Montrer que $(X,Y)\mapsto \op{Tr} X^T Y$ est un produit scalaire sur $\M_n(\R)$. On note $\lN \cdot\rN$ la norme associée. 2. Si $M\in\M_n(\R)$, soit $L(M)\colon X\in \M_n(\R)\mapsto MX$. Montrer que $L$ est un morphisme d'algèbre injectif. @@ -673,7 +805,7 @@ Soit $n\in\N^*$. #+END_exercice -#+BEGIN_exercice [# 78] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 78] On note $\lN \cdot\rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à la norme $X \mapsto \sqrt{\bar{X}^T X}$. 1. Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left\|e^{i A}-e^{i B}\right\| \leq\|A-B\|$. 2. Démontrer le même résultat sous l'hypothèse que $A$ et $B$ sont deux matrices de $\M_n(\C)$ telles que $\bar{A}^T=A$ et $\bar{B}^T=B$. @@ -682,22 +814,24 @@ On note $\lN \cdot\rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à la norm #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 79] +** Analyse + +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 79] Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$, $\lN x\rNp = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$. 1. Montrer qu'il s'agit bien d'une norme. 2. Montrer l'inégalité de Hölder. 3. Dans $\R^2$, dessiner la boule unité de la norme $p$ pour plusieurs valeurs de $p$. #+END_exercice -#+BEGIN_exercice [# 80] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 80] Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset \bigcup_i O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in [a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ telle que $[a,x]\subset \bigcup_{j\in J} O_j$. Montrer que $X = [a,b]$. #+END_exercice -#+begin_exercice [ENS # 81] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 81] Soient $K$ un compact convexe non vide d'un espace norme $E$, $f$ un endomorphism continu de $E$ tel que $f(K)\subset K$. Montrer que $f$ admet un point fixe dans $K$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 82] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 82] Peut-on écrire $\interval]{0, 1}[$ comme réunion dénombrable disjointe de segments d'intérieurs non vides? #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -705,17 +839,17 @@ Non. Par l'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont la distan #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 83] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 83] Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose, pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel que $0\lt a\lt 9$. On définit $P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et $P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide, d'intérieur vide et sans point isolé. #+END_exercice #+BEGIN_proof $P$ est borné et fermé, car $S_n$ est continue inférieurement. Clairement non vide et d'intérieur vide. Si $x\in P$, en retirant $1$ a un chiffre de $x$ arbitrairement grand, on reste dans $P$. Possible sauf si $x$ est décimal, auquel cas on peut ajouter $1$. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 84] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 84] Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermee si et seulement si $A$ est diagonalisable sur $\C$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 85] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 85] - On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que : + pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ dont les cotes sont paralleles aux axes ; + les $C_i$ soient d'interieurs deux a deux disjoints ; @@ -727,7 +861,7 @@ Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. Montrer que #+end_exercice # ID:6732 -#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 86] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 2023 # 86] Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $d$ de $\R[X]$. 1. On pose $A=\{(P, x) \in \mc{P} \times \R ; P(x)=0\} \et P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $A$ dans $\R_d[X] \times \R$. 2. On pose $B=\{P \in \mc{P} ; \forall x \in \R, P(x) \neq 0 \ou P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $B$ dans $\R_d[X]$. @@ -738,7 +872,7 @@ Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 87] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 87] Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblables les unes aux autres, $\lN\cdot\rN$ une norme sur $\M_n(\C)$. On suppose que $\lN M_k\rN \ra+\i$. Montrer qu'il existe une matrice $N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi\colon \N \ra \N$ telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} \ra N$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -748,7 +882,7 @@ Si $\Pi$ a une valeur propre complexe $X$, comme $\lN \frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{ #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 88] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 88] Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\lt 1$. Montrer qu'il existe une norme \|\| sur $\C^n$ telle que, pour la norme d'opérateur associée, on ait $\|A\|\lt 1$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -756,8 +890,8 @@ Trigonaliser, puis conjuguer par une matrice diagonale pour n'avoir que des peti #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 89] -Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et $\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$, pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$. +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 89] +Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et $\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout $i \in \db{1, n },\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$, pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$. Montrer que $A$ est inversible et que $\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x \in \R^n,\|x\|_1=1\right\} \leq \frac{1}{\eps}$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -768,11 +902,11 @@ Si $x = E_i$, on considère les colonnes de $A^{-1}$, notées $C_i$. On $\langle Ensuite, utiliser une convexité ? #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 90] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 90] On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornees de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ decrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des reels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 91] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 91] Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive telle que, pour tout $n, u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -783,7 +917,7 @@ Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 # ID:6700 -#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 92] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 2023 # 92] 1. Si $n \geq 2$ est un entier, montrer que $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor=\sum_{j=2}^n\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor$. 2. Donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\i$ de $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor$, puis un développement asymptotique à deux termes. #+END_exercice @@ -797,32 +931,32 @@ Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 93] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 93] Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement decroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite definie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un reel strictement positif. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 94] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 94] Soit $(u_n)$ une suite definie par $:\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adherence de $(u_n)$. - Montrer que, pour tous $x$ et $y\in{\R}$, $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$. - Montrer que $u_{n+1}-u_n\to 0$. - Montrer que $V$ est un intervalle inclus dans $[-1,1]$, puis que $V=[-1,1]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 95] -Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densite si la suite $\left(\frac{|A\cap\llbracket 1,n\rrbracket|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite. Cette limite est alors notee $d(A)$. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 95] +Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densite si la suite $\left(\frac{|A\cap\db{1,n}|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite. Cette limite est alors notee $d(A)$. - Si $m\in{\N}^*$, quelle est la densite de l'ensemble des multiples de $m$ dans ${\N}^*$? - Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densite que l'on precisera. - Donner un exemple de partie de ${\N}^*$ n'admettant pas de densite. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 96] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 96] On considere une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ieme occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ieme occurrence de $2$ soit egal a $a_n$. -Etudier la convergence de la suite de terme general $\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\,a_k=3\}\big{|}$. +Etudier la convergence de la suite de terme general $\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\db{1,n},\,a_k=3\}\big{|}$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 97] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 97] On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n \geq 1$, le nombre de 3 apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de 2 soit égal à $a_n$. Montrer qu'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -830,7 +964,7 @@ On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 98] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 98] Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si elle vérifie, pour tout entier $k \in \Z^*, \lim_{N \ra+\i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 i k \pi x_n}=0$. 1. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que la suite $(n \alpha)$ est équirépartie modulo 1. 2. Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N^*}$. On suppose que pour tout $h \in \N^*$, la suite $\left(x_{n+h}-x_n\right)_{n \in \N^*}$ est équirépartie; on veut montrer que $(x_n)$ est équirépartie modulo 1. @@ -850,14 +984,14 @@ Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si elle v 5. ?? #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 99] -Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, on note $A_n$ la matrice $\left(\begin{matrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{matrix}\right)$ ou, pour tout $k\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, $a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 99] +Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, on note $A_n$ la matrice $\left(\begin{matrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{matrix}\right)$ ou, pour tout $k\in\db{1,n-1}$, $a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$. Soit $q\in\N^*$. Determiner la limite de $(\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 100] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 100] Montrer la convergence et calculer $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\ln (k)}{\ln (2)}\right\rfloor$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -865,7 +999,7 @@ Montrer la convergence et calculer $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloo #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 101] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 101] On note $\ell^2(\R)$ l'ensemble des suites réelles de carré sommable indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$ ainsi qu'une suite $\left(u_k\right)_k$ d'éléments de $\ell^2(\R)$ (l'élément $u_k$ est donc noté $\left.\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}\right)$. On suppose que, pour tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général $w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers $\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$. Montrer que $\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sigma(n)}-v_n\right)^2 \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$. #+END_exercice @@ -876,7 +1010,7 @@ On peut supposer que les $(v_n)$ sont décroissants, par réordonnement. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 102] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 102] Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et $q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de continuité de $f$ ? #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -885,34 +1019,34 @@ Facile. # ID:6727 -#+BEGIN_exercice [# 103] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 103] Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et $[a, b] \subset I$ avec $a\lt b$. On suppose que $f'(a)=f'(b)$. Montrer qu'il existe $c\in \interval]{a, b}[$ tel que la tangente au graphe de $f$ en $c$ passe par le point $(a, f(a))$. #+END_exercice #+BEGIN_proof On peut supposer $f'(a) = f'(b) = 0$. À relier. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 104] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 104] Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit derivable en aucun point. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 105] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 105] Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale. #+END_exercice #+BEGIN_proof $f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle, $f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 106] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 106] Soit $p\gt 1$ un reel. Montrer qu'il existe une constante $k_p\gt 0$ telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait $(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 107] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 107] Soit $f\colon\R\ra\R$. On note $f^*(s)=\sup_{x\in\R}\,(sx-f(x))$ et $f^*(x)=\sup_{s\in\R}\,(sx-f^*(s))$. Montrer que $f^*(x)=\sup_{a\text{ affine }\leq f}a(x)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 108] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 108] Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynomes reels stable par derivation. On definit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$. Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient $A_{\eps}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et @@ -922,7 +1056,7 @@ $B_{\epsilon}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$. - Si $A_{\eps}$ est non vide, montrer que $B_{\eps}$ est l'adherence de $A_{\eps}$. Si $A_{\eps}$ est vide, montrer que $B_{\eps}$ est soit vide suit un singleton. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 109] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 109] Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^n$. - Soient $x_0,\ldots,x_n$ des points de $I$. On note $V(x_0,\ldots,x_n)$ le determinant de Vandermonde associe a $(x_0,\ldots,x_n)$. Montrer qu'il existe $\tau\in I$ tel que @@ -930,7 +1064,7 @@ Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^n$. - On suppose que $n=2$, que $I$ est un segment et que $f$ est strictement convexe. On note $\Gamma_f=\{(x,f(x));x\in I\}\subset\R^2$ le graphe de $f$. Montrer qu'il existe une constante $C$, dependant uniquement de $I$ et $f$, telle que le nombre de points de $\Gamma_f\cap\frac{1}{N}\,\Z^2$ soit majore par $C\,N^{2/3}$ pour tout entier $N\geq 1$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 110] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 110] Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$. - Montrer que $(w - {n\geq 0}$ est decroissante. - Etablir une relation de recurrence entre $w_{n+2}$ et $w_n$. @@ -939,7 +1073,7 @@ Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice Théorème de Rouché [# 111] +#+BEGIN_exercice Théorème de Rouché [ENS 2023 # 111] Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$. 1. Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement inférieur à 1 comptées avec multiplicité n'est autre que $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$. 2. Soit $Q \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1 comptées avec multiplicité. @@ -948,13 +1082,13 @@ Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 112] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 112] Pour $n\in\N$, on note $A_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\,dx$ et $B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}(x)\,dx$. On admet que, pour $n\in\N^*$, $2nA_n=(2n-1)A_{n-1}$. - Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{2B_0}{A_0}-\frac{2B_n}{A_n}$ pour tout $n\in\N^*$. - En deduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ puis que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac{1}{n}\right)$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 113] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 113] Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique c'est-à-dire telle que, pour tout $\epsilon\gt 0$, il existe $T\gt 0$ tel que : $\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \epsilon$. Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique. 1. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R^+$. @@ -965,36 +1099,36 @@ Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique. 2. !! #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 114] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 114] Soit $f$ une fonction continue par morceaux et croissante de $[0,1]$ dans $\R$. Montrer que $\int_0^1f(x)e^{i\lambda x}dx\underset{\lambda\to+\i}{=}O \left(\frac{1}{\lambda}\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 115] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 115] Soient $f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n$ des fonctions de $\mc C^0([0,1],\R)$. Soit $A$ la matrice de terme general $A_{i,j}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\,dx$. On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}f_i(x_j)\big{)}$ et $C(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}g_i(x_j)\big{)}$.Montrer que $\int_{[0,1]^n}B(x_1,\ldots,x_n)\,C(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n=n!\det(A)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 116 - La fonction $f:x\in[1,+\i[\,\mapsto\frac{\sin(x^2)}{x}$ est-elle uniformement continue?] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 116 - La fonction $f:x\in[1,+\i[\,\mapsto\frac{\sin(x^2)}{x}$ est-elle uniformement continue?] - Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\R^+$ dans $\R$ admettant une limite en $+\i$ et telle que $f'$ est uniformement continue. Est-ce que $f'$ a une limite en $+\i$? #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 117] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 117] [Rennes sur dossier] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P - {n\in\N}$ une suite de polynomes a coefficients reels de degre au plus $d$ et $x_1,...,x_N$ des reels distincts. On suppose que pour tout $j\in\{1,...,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornee. Montrer que l'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui converge uniformement sur $[0,1]$ vers un polynome de degre au plus $d$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 118] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 118] Montrer que la suite de fonctions de terme general $f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformement sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 119] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 119] On note $I$ (resp. $S$) l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to[0,1]$ telles que, pour tout $a\in\R$, l'ensemble $\{x\in[0,1],f(x)\leq a\}$ est ferme (resp. de meme avec l'inegalite dans l'autre sens). - Montrer que $S\cap I$ est l'ensemble $C$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$. - Soit $f:[0,1]\to[0,1]$. On pose $f_n:x\mapsto\inf(\{1\}\cup\{f(y)+n|x-y|,y\in[0,1]\})$ pour $n\in\N$. Montrer que $f_n$ est continue pour tout $n$, que la suite $(f_n)$ est croissante et que $f\in I$ si et seulement si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 120] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 120] Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers. 1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*, \sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$. 2. Montrer que, pour tout $s\gt 1,\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{\Lambda(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{1}{n^s}\right)=\sum_{n \in \N^*} \frac{\ln (n)}{n^s}$. @@ -1005,19 +1139,19 @@ Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 121] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 121] Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractere non trivial $\chi$ sur le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c'est-a-dire un morphisme de groupes non constant $\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n'est pas premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou $\overline{m}$ designe la classe de $m$ modulo $q$). - Montrer que la serie $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si et seulement si $s\gt 0$. - Montrrer que la fonction $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 122] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 122] Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$. Quelle est la limite de $g$ en $0^+$? #+END_exercice #+BEGIN_proof C'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. Cela tend vers $\frac{1}{2}f(0)$, en découpant sur un segment, et en utilisant l'uniforme continuité de $f'$. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 123] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 123] Pour tout polynome trigonometrique $P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$. On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynomes trigonometriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-periodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On definit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$. @@ -1029,19 +1163,19 @@ $\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$. - Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodiques et $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 124] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 124] Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose $f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Ecrire $f(z)$ sous la forme $\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que $c_n=0$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 125] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 125] Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $]-R, R[$ telles que $\forall x \in]-R, R\left[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $]-R, R[$. #+END_exercice #+BEGIN_proof #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 126] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 126] Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$. - Determiner les rayons de convergence de $f$ et $g$. - Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge. @@ -1052,7 +1186,7 @@ Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$. - Montrrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas developpable en serie entiere en $z_0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 127] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 127] Soit $\alpha=(\alpha - {i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d'un certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$. - Determiner, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la serie entiere $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$. @@ -1064,31 +1198,31 @@ Dans la suite, on note $f$ la somme de cette serie entiere. - Justifier que le cadre de la question - s'applique bien a la suite $(u - {n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 128] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 128] Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{n!\,(30n)!}{(15n)!\,(10n)!\,(6n)!}$. - Montrrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier. - Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum u_nx^n$. - Trouver une equation differentielle verifiee par la somme de la serie entiere precedente. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 129] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 129] Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que $\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$ ? #+END_exercice #+BEGIN_proof Cf un précédent #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 130] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 130] - Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une serie entiere de rayon $R\gt 0$. Montrrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$. - Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere de rayon de convergence egal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuite sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$. - On admet que le rayon de convergence du developpement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du developpement en serie entiere en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer $M$ en fonction de $f$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 131] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 131] Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\sin x}{x}\,dx$ a l'aide de la transformation de Laplace. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 132] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 132] Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$. 1. Si $a \in \R^+$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. 2. Si $a \in \R^{-*}$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$. @@ -1098,7 +1232,7 @@ Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0 #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 133] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 133] Soit, pour $x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$. Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+, f(x) \leq (a x+b) e^{-x}$. #+END_exercice @@ -1106,18 +1240,18 @@ Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+ #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 134] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 134] Pour $x$ reel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$. - Calculer $J(0)$. - Montrer que $J$ est de classe $\mc C^{\i}$. - En estimant $\int_{\frac{\pi}{2}-\eps}^{\frac{\pi}{2}+\eps}\cos(x\sin t)\, dt$ pour un $\eps$ a choisir convenablement en fonction de $x$, etablir que $J(x)=O(x^{-1/2})$ quand $x\to+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 135] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 135] Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g:x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. Montrer que $f\star g$ est derivable et donner une expression de sa derivee. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 136] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 136] Soit $f:]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$, on pose $a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,du$. @@ -1127,25 +1261,25 @@ $a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,d #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 137] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 137] Soit $\mc{S}$ l'ensemble des solutions de l'equation differentielle sur $\R:\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$. A quelle condition sur $n$ tout element de $\mc{S}$ possede-t-il une limite en $+\i$? #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 138] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 138] Soit $I$ un (vrai) intervalle de $\R$. Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}\right)$. Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. 1. Soit $g \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. Montrer que $W_r\left(g f_1, \ldots, g f_r\right)=g^r W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$. - 2. On suppose que, pour tout $k \in \llbracket 1, r \rrbracket, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$ ne s'annule pas. Montrer que, pour tout $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$. + 2. On suppose que, pour tout $k \in \db{1, r }, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$ ne s'annule pas. Montrer que, pour tout $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$. 3. On suppose que $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est identiquement nul sur $I$ et que $W_{r-1}\left(f_1, \ldots, f_{r-1}\right)$ ne s'annule pas. Montrer que $\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est liée. #+END_exercice #+BEGIN_proof #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 139] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 139] On considere l'equation differentielle $(D_{\lambda}):y^{''}+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$, $r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On considere $E_{\lambda}$ l'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$ telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$. - Quelles sont les dimensions possibles de $E_{\lambda}$? - Caracteriser le cas $\dim(E_{\lambda})=1$. (On souhaite une condition portant sur $y_{\lambda}$, solution du probleme de Cauchy $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$.) @@ -1155,7 +1289,7 @@ On considere l'equation differentielle $(D_{\lambda}):y^{''}+(\lambda-r)y=0$ ave - Dans le cas general, etudier le comportement de $N_{\lambda}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 140] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 140] Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. On considere l'equation differentielle $(E):x^{''}+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$. - Soit $x$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que les zeros de $x$ sont isoles. - On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu'il existe $z$ de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ definisse une bijection de l'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de $y^{''}+q(t)\,y=0$. @@ -1164,71 +1298,71 @@ Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application derivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 142] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 142] Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-periodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'equation $u^{''}+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 143] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 143] Soit $A_0\in\M_n(\R)$ telle que $\text{Sp}(A_0+A_0^T)\subset\R^-$. On admet l'existence d'une unique fonction $A:\R^+\to\M_n(\R)$ telle que $A(0)=A_0$ et $\forall t\geq 0,\ A'(t)=\left(A(t)\right)^2-\left(A(t)^T\right)^2$. Montrer que la fonction $A$ a une limite en $+\i$ et expliciter cette limite. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 144] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 144] Soit $A\in\M_3(\R)$. Decrire le comportement asymptotique en $+\i$ des solutions de l'equation differentielle $X'(t)=AX(t)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 145] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 145] On considere l'equation differentielle $(1)$: $X'(t)=P(t)X(t)$ ou $P$ est une application continue et periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. - Resoudre $(1)$ si $\forall t\in\R,\ P(t)=\left(\begin{array}{cc}1&\cos(t)\\ 0&-1\end{array}\right).$ - On revient au cas general. Soit $T\in\R^{+*}$ une periode de $P$. On note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l'espace des solutions de $(1)$ et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer qu'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$. - Avec les notations de la question precedente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-periodique. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 146] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 146] - Soit $f:(x,y)\ \mapsto\ \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$. Donner le domaine de definition $\Omega$ de $f$. Etudier la continuite et la differentiabilite de $f$. - On identifie naturellement $\R^2$ a $\C$. Montrer que, si $(x,y)\in\Omega$, $df_{(x,y)}$ est $\C$-lineaire. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 147] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 147] Calculer $\sup_{a,b,c\gt 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b+\left(1-\frac{1}{2b}\right)^c+ \left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 148] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 148] Trouver $\sup_{a,b,c\geq 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\left(1-\frac{1}{2b} \right)^c\left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 149] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 149] [Rennes sur dossier] Soient $q\in\R^+$, $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Determiner $\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 150] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 150] Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. Determiner les extrema de $x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 151] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 151] Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans $\R, L \in \R^{+*}$. 1. Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$. 2. On suppose que l'application $\nabla f$ est $L$-lipschitzienne. Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$. #+END_exercice -#+begin_exercice [ENS # 152] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 152] Soit $p\gt 1$. Montrer qu'il existe $K_p\in\R$ tel que, pour tous $x$, $y\in\R$ tels que $|x|^p+|y|^p=2$, on a $(x-y)^2\leq K_p(4-(x+y)^2)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 153] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 153] Soient $f$ une application de classe $C^1$ de $\R^n$ dans $\R^m$, $x\in\R^n$ telle que $df_x$ soit injective. Montrer qu'il existe un voisinage de $x$ dans $\R^n$ sur lequel $f$ est injective. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 154] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 154] On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, de classe $C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 155] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 155] On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -1237,7 +1371,7 @@ On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée d ** Géométrie -#+begin_exercice [ENS # 156] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 156] - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$ tel que $\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$. @@ -1246,7 +1380,7 @@ $\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 157] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 157] Soit $G$ un groupe d'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ contient une translation autre que l'identité de $\R^2$. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -1254,7 +1388,7 @@ Faux pour $G = O_2$. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 158] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 158] Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z \mapsto a z+b$ avec $a \in \mathbb{U}$ et $b \in \C$. Soit $G$ un sous-groupe de $S$ vérifiant les conditions suivantes : + si $g \in G, g(0)$ est nul ou de module supérieur ou égal à 1 ; + l'ensemble des $b \in \C$ tels que $z \mapsto z+b$ appartienne à $G$ contient deux éléments $\R$ linéairement indépendants. @@ -1264,7 +1398,7 @@ Montrer que l'ensemble $\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \ Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s'accumule. On peut supposer qu'elle s'accumule sur $1$, puis on peut borner les $(b_n)$, puis extraire une suite convergence, donc elle est constante à partir d'un certain rang. Donc on a une infinité de $z\mapsto a_n z$, ce qui est impossible. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 159] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 159] Soit $L$ la courbe du plan complexe d'equation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$. - Trouver une equation cartesienne reelle definissant $L$. - En deduire une parametrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - Montrrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'ecrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$. @@ -1272,7 +1406,7 @@ Soit $L$ la courbe du plan complexe d'equation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$. - On definit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ verifie une equation differentielle du second ordre. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 160] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 160] Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2$ et on note $\mathrm{Vol}(L)=|\mathrm{det}(e_1,e_2)|$. - Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d'aire strictement superieure a $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu'il existe deux elements distincts $x$ et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$. - Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un element $\ell$ tel que $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\mathrm{Vol}(L)}$. @@ -1281,7 +1415,7 @@ Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2 - Montrrer qu'il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $p=a^2+b^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 161] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 161] - On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que : - pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ dont les cotes sont paralleles aux axes ; - les $C_i$ soient d'interieurs disjoints ; @@ -1294,73 +1428,111 @@ Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2 ** Probabilités -#+begin_exercice [ENS # 162] -On note $\mc{A}$ l'ensemble des parties de $A$ de $\N$ telles que $\lim_{n\to+\i}\frac{|A\cap[\![1,n]\!]|}{n}$ existe. Est-ce que $\mc{A}$ est une tribu? +# ID:6832 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 162] +On note $\mc{A}$ l'ensemble des parties de $A$ de $\N$ telles que $\lim\limits_{n\to+\i}\frac{|A\cap \db{1,n}|}{n}$ existe. Est-ce que $\mc{A}$ est une tribu? #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Non vide, stable par complémentaire, et stable par union dénombrable. On n'est pas stable par union dénombrable : toute partie est réunion dénombrable de singleton. +#+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 163] +# ID:6833 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 163] On pose, pour toute permutation $\sigma\in S_n$, $d(\sigma)=\sum_{k=1}^n|\sigma(k)-k|$ et on note, pour $p\in\N$, $q_{n,p}=|\{\sigma\in S_n,\ d(\sigma)=p\}|$. Montrer que, si $p\geq 2n$, alors $q_{n,p}$ est pair. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On procède par récurrence. Si $\sigma\neq \sigma^{-1}$, ils vont par paires. De même, par hypothèse de récurrence, si $\sigma$ a au moins un point fixe, le cardinal est pair. -#+begin_exercice [ENS # 164] -Un derangement est une permutation $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. On note $D_n$ le sous-ensemble de $\mc{S}_n$ forme des derangements. - - Soit $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $D_n$. Calculer la probabilite que $X$ soit une permutation paire. +Reste les éléments vérifiant $\sigma = \sigma^{-1}$, sans point fixes, qui sont produits de transpositions. Par ailleurs, la condition $p\geq 2n$, implique que les transpositions ont des croisements. -Indications. +On peut alors transformer $(i_1 i_2) (j_1 j_2)$ en $(i_1 j_2) (j_1 i_2)$, qui préserve la quantité donnée (faire le dessin), et faire la transformation réciproque. +#+END_proof -- On donne la formule d'inversion de Pascal : si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites telles que$\forall n\in\N$, $a_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_k$, alors $\forall n\in\N$, $b_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}a_k$. -- On pourra calculer la difference du nombre d'elements pairs et impairs de $D_n$. +# ID:6834 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 164] +Un derangement est une permutation $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. On note $D_n$ le sous-ensemble de $\mc{S}_n$ formé des derangements. + - Soit $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $D_n$. Calculer la probabilite que $X$ soit une permutation paire. + + Indications. + + + On donne la formule d'inversion de Pascal : si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites telles que$\forall n\in\N$, $a_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_k$, alors $\forall n\in\N$, $b_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}a_k$. + + On pourra calculer la difference du nombre d'éléments pairs et impairs de $D_n$. - Soit $Y$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Calculer la probabilite de $(Y\in D_n)$ sachant que $Y$ est paire. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - La différence du nombre d'éléments pairs et impairs est le déterminant de la matrice avec des $1$ et des $0$ sur la diagonale. + - +#+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 165] +# ID:6835 +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 165] Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l'ensemble des morphismes de groupes de $(\Z / m \Z)^r$ dans $\Z / m \Z$ de la loi uniforme. Donner une expression simple de la probabilité de l'événement «le morphisme $\phi$ est surjectif». #+END_exercice #+BEGIN_proof Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 166] -Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une piecee truquee donnant pile avec une probabilite egale a $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aleatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$).* - - Trouver un equivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right).$ +# ID:6836 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 166] +Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une pièce truquée donnant pile avec une probabilité égale à $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aleatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$). + - Trouver un equivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right)$. - Montrer que $\mathbf{P}\left(A_n\geq B_n\right)\geq\frac{1}{2}$. - - Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)?$ + - Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)$ ? #+end_exercice - -#+begin_exercice [ENS # 167] -On joue a pile ou face avec une piecee pipee : la probabilite de tomber sur pile est $p\lt 1/2$. On effectue plusieurs lancers a la suite. Le score est le nombre de fois ou l'on est tombe sur pile. On gagne le jeu si, au bout de $2n$ lancers, le score est superieur a $n+1$. Trouver $n$ qui maximise la probabilite de gagner le jeu au bout de $2n$ lancers.* -#+end_exercice - -#+BEGIN_exercice [# 168] -Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ? -#+END_exercice #+BEGIN_proof -!! + - On a $P(A_n = B_n) = P(A_n = 9n - B_n) = P(A_n + B_n = 9n)$, et la somme est une loi binomiale. + - C'est clair. + - Découle des questions précédentes. +#+END_proof -On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En fait, mieux, $E(X) E(X^2)\geq (\)$ - -On a $(\sum p_i x_i^2) (\sum p_i)\geq (\sum p_i x_i)^2$, donc $2 \sum p_i \geq 1$, donc $\sum p_i \geq \frac{1}{2}$ : $p_0\leq \frac{1}{2}$. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 167, 177] +On joue a pile ou face avec une pièce pipée qui donne pile avec probabilité $p\lt \frac{1}{2}$. On lance la pièce $2n$ fois et on compte le nombre de «Piles». Déterminer l'entier $n$ qui maximise la probabilité d'avoir compté au moins $n+1$ «Piles». +#+end_exercice +#+BEGIN_proof +On a $P(S_{2n} = n+k)\lelq P(S_{2n} = n-k)$, puis on montre que $P(S_{2n}\geq n+1) + \frac{1}{2}P(S_{2n} = n)$ est décroissante. Mais on connaît $P(S_{2n} = n)$, et il suffit de voir quand elle devient plus petite que les premières valeurs de $P(S_{2n} \geq n+1)$. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 169] -Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X - {m\geq 0}$ une suite de variables aleatoires a valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour $m\in\N$, $\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$. Montrer que $(X - {m\geq 1}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $\Z/n\Z$.* -#+end_exercice +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 168] +Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ? +#+END_exercice +#+BEGIN_proof +On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En notant $e = P(X=1)$, on a $E(X 1_{X\gt 1}) E(X^3 1_{X\gt 1})\geq E(X^2 1_{X\gt 1})^2$, donc $(1-e)(5-e) (2-e)^2$, qui donne $e\leq \frac{1}{2}$. -#+begin_exercice [ENS # 170] +Comme $E(X) = 1$, on doit avoir $P(X=0)\geq \frac{1}{4}$, mais le cas d'égalité ne donne pas les bonnes valeurs : mais $E(X) = 1$, $E(X^2) = \frac{3}{2}$ et $E(X^3) = \frac{5}{2}$. + +Si on suppose que $e = \frac{1}{2}$, on peut prendre $Y$ qui vaut $3$ avec probabilité $\frac{1}{6}$ et $0$ avec probabilité $\frac{1}{3}$. + +!! Manque : on ne peut pas faire mieux… +#+END_proof + + +# ID:6838 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 169] +Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X_m)_{m\geq 0}$ une suite de variables aleatoires à valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour $m\in\N$, $\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$. Montrer que $(X_m)_{m\geq 0}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $\Z/n\Z$. +#+end_exercice +#+BEGIN_proof +On regarde la loi de $X_m + m$, dont la série génératrice est $G_m = \left(\frac{1+X^2}{2}\right)^m$. Puis on regarde $P(S_m = 0 [n])$, c'est $\sum_{\om \in\m U_n} G_m(\om) = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1 + e^{\frac{4ik\pi}{n}}}{2}\right)^m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \cos^{2m} \frac{2k\pi}{n}$ + +Pour les autres valeurs que $0$ modulo $n$, il faut prendre $X^k G_m(X)$, cela marche pareil. +#+END_proof + + +# À Relier. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 170] Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$ c'est-a-dire le nombre de couples $(i,j)$ avec $i\lt j$ et $\sigma(i)\gt \sigma(j)$. - Montrer que $P_n=\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}X^{I(\sigma)}=\prod_{k=1}^{n-1}(1+X+ \cdots+X^k)$. - On pose $f(n)=|\{\sigma\in\mc{S}_n,\,(n+1)$ divise $I(\sigma)\}|$. Exprimer $f(n)$ a l'aide de $P_n$. - Montrer qu'il existe une infinite de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\lt \frac{(p-1)!}{p}$ et de meme une infinite de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\gt \frac{(p-1)!}{p}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 171] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 171] Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynomes unitaires de degre $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicites). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 172] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 172] Dans tout l'exercice, les variables aléatoires considérées sont supposées réelles, discrètes et à loi de support fini. Pour deux telles variables $X$ et $Y$, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe $f\colon \R \ra \R$. 1. Soient $X$ une variable aléatoire vérifiant les conditions de l'exercice et $f\colon \R \ra \R$ convexe. Montrer que $f(\mathbf{E}(X)) \leq \mathbf{E}(f(X))$. 2. Donner un exemple de couple $(X, Y)$ pour lequel $X \leq_c Y$ mais $X \neq Y$. @@ -1373,8 +1545,8 @@ $$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mat #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 173] -On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \llbracket 1, N \rrbracket$, puis $u_2 \in \llbracket 1, u_1-1 \rrbracket$, et ainsi de suite jusqu'à arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note $E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$. +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 173] +On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \db{1, N}$, puis $u_2 \in \db{1, u_1-1}$, et ainsi de suite jusqu'à arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note $E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$. 1. Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$. 2. Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \not\in E_N\right)$. 3. Calculer $\mathbf{E}\left(\left|E_N\right|\right)$ et $\mathbf{V}\left(\left|E_N\right|\right)$. @@ -1385,7 +1557,7 @@ On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \llbracket 1, 3. Semble facile. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 174] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 174] Dans tout l'enonce, on fixe un entier $p\geq 1$. - Developpper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ de nombres reels. - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$. @@ -1396,7 +1568,7 @@ Dans tout l'enonce, on fixe un entier $p\geq 1$. Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au moins une valeur inferieure ou egal a $2\pi p^p$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 175] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 175] suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et $a_1,\ldots,a_n$ des reels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$. - Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$. - Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$. @@ -1404,48 +1576,50 @@ suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables al - Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute generalite. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 176] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 176] Une variable aleatoire discrete reelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aleatoires discretes reelles non presque surement constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aleatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aleatoire binomiale est-elle decomposable? - Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$. En deduire une variable aleatoire reelle discrete decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable. - - Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme que $[\![0,n-1]\!]$. Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable. + - Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme que $\db{0,n-1}$. Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 177] -Soit $p\in\left]0,1/2\right[$. Soit $(X - {k\geq 1}$ une suite de variables de Bernoulli i.i.d. de parametre $p$. On pose $ S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ pour $n\in\N^*$. Determiner la plus grande valeur prise par la suite $(\mathbf{P}(S_{2n}\gt n))_{n\geq 1}$. -#+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 178] -On fixe $n\in\N^*$ et on pose $ X=[\![1,n]\!]$. Soient $A$ et $B$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 178] +On fixe $n\in\N^*$ et on pose $X=\db{1,n}$. Soient $A$ et $B$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$. - Determiner la loi, l'esperance et la variance de la variable aleatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$). - Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - - Pour $i\in[\![1,n]\!]$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Determiner la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$. + - Pour $i\in\db{1,n}$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Determiner la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$. - Calculer $\mathbf{P}(A\subset B)$. Commenter. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 179] -Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considere un echiquier $n\times n$. On calorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilite $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilite pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constite uniquement de cases rouges (il est entendu que les deplacements ne se font pas en diagonale). Que dire de la fonction $Q$? +# ID:6839 +#+begin_exercice [ENS 2023 # 179] +Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considere un échiquier $n\times n$. On colorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilite $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilite pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constitué uniquement de cases rouges (les deplacements ne se font pas en diagonale) ? Que dire de la fonction $Q$? #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 180] -Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes de loi de Rademacher. On pose $ S_n=X_1+\cdots+X_n$ pour $n\geq 1$. - - Calculer l'esperance du nombre $R$ de retour en zero de la suite $(S - {n\geq 1}$. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 180] +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes de loi de Rademacher. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ pour $n\geq 1$. + - Calculer l'esperance du nombre $R$ de retour en zero de la suite $(S_n)_{n\geq 1}$. - Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la probabilite qu'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est egale a $1$. - - Montrer que l'evenement $(R=+\i)$ est presque sdr. + - Montrer que l'evenement $(R=+\i)$ est presque sûr. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Passer par la probabilité de premier retour en $0$, il faut tout refaire… +#+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 181] + +#+begin_exercice [ENS 2023 # 181] Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et $(m - {k\in\N}$ une suite de reels positifs de somme 1. On considere un arbre aleatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aleatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aleatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement independantes. On note $X_1$ la variable aleatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caracteriser le fait que la longueur de l'arbre soit presque surement finie. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 182] -On construit iterativement et aleatoirement un arbre aleatoire sur l'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aleatoirementun point dans $\llbracket 1,k\rrbracket$ (avec probabilite uniforme) et on rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere independante les uns des autres. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 182] +On construit iterativement et aleatoirement un arbre aleatoire sur l'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aleatoirementun point dans $\db{1,k}$ (avec probabilite uniforme) et on rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere independante les uns des autres. - On note $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre d'aretes partant du point $1$. Determiner l'esperance et la variance de $X_n$. - On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aleatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Determiner la loi de $S_n$. - Calculer l'esperance du nombre de feuilles de l'arbre. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 183] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 183] Soient $E$ un ensemble fini, $V: E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point $a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout $b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient $b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que $f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, pour tout $n \geq 0$ : + si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$; + sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$. @@ -1461,11 +1635,11 @@ On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer que c' Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à un graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS # 184] -Une variable aleatoire reelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ i.i.d. et admettant des moment d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 184] +Une variable aleatoire reelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\db{1,n}}$ i.i.d. et admettant des moment d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 185] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 185] On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aleatoires independantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$. - Quelle relation doivent verifier $a_i$ et $p_i$ pour que $\mathbf{V}(X_i)=1$? Dans toute la suite, on suppose cette relation verifiee et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. - Calculer la variance de $n^{-1/2}S_n$. @@ -1473,8 +1647,8 @@ On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aleatoires independantes. On - En deduire que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 186] -On fixe un entier $n\geq 1$. On considere la relation d'ordre partielle $\preccurlyeq$ sur $\R^n$ definie par $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ x_i \leq y_i$. Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque $f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que $x\preccurlyeq y$. +#+begin_exercice [ENS 2023 # 186] +On fixe un entier $n\geq 1$. On considere la relation d'ordre partielle $\preccurlyeq$ sur $\R^n$ definie par $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\db{1,n},\ x_i \leq y_i$. Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque $f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que $x\preccurlyeq y$. - Donner un exemple de fonction croissante non constante de $\{0,1\}^n$ dans $\R$. - Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables aleatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$. Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$. @@ -1483,17 +1657,17 @@ Montrer que $\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big{(}\mathbf{E}(f(X_1,\l Montrer que $\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \,\mathbf{E}(g(X_1,\ldots,X_n))$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 187] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 187] Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilite. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation. - - Soit $I\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer $\mathbf{P}\left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)$. + - Soit $I\subset\db{1,n}$. Calculer $\mathbf{P}\left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)$. - Exprimer $N$ avec des indicatrices. Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$. - - Soient $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ et $F\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer $\sum\limits_{I\subset\llbracket 1,n\rrbracket,\ |I|=k}\prod\limits_{i\in I} \mathbf{1}_F(i)$. - - Soit $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer $\mathbf{E}(N(N-1)\cdots(N-k+1))$. + - Soient $k\in\db{1,n}$ et $F\subset\db{1,n}$. Calculer $\sum\limits_{I\subset\db{1,n},\ |I|=k}\prod\limits_{i\in I} \mathbf{1}_F(i)$. + - Soit $k\in\db{1,n}$. Calculer $\mathbf{E}(N(N-1)\cdots(N-k+1))$. - Soient $X\sim\mc{P}(1)$ et $k\in\N$. Calculer $\mathbf{E}(X(X-1)\cdots(X-k+1))$. - Calculer $\mathbf{P}(N=0)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS # 188] +#+begin_exercice [ENS 2023 # 188] On considere une suite i.i.d. $(X - {n\geq 1}$ de variables aleatoires suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On definit $(S - {n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$. _a) i)_ Determiner l'esperance et la variance de $S_n$. @@ -1506,7 +1680,7 @@ _a) i)_ Determiner l'esperance et la variance de $S_n$. -#+BEGIN_exercice [# 189] +#+BEGIN_exercice [ENS 2023 # 189] Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et $S = \left\{ \pm e_i, 1 \leq i \leq d\right\}$, où $e_i$ désigne l'élément de $G$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la $i$-ème, égale à $\overline{1}$. Soient enfin $f\colon G \ra \R$ une fonction quelconque et $X$ une variable aléatoire uniformément distribuée sur $G$. Montrer que $\mathbf{E}(|f(X)-\mathbf{E}(f(X))|) \leq \frac{n d}{2} \max_{s \in S} \mathbf{E}(|f(X)-f(X+s)|)$. @@ -1518,16 +1692,16 @@ C'est simple : On peut passer d'un somme à un autre en au plus $\frac{n d}{2}$ ** ENS PSI :autre: *** Algebre -#+begin_exercice [ENS PSI # 191] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 191] Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in\mc{L}(E)$, annule par un polynome $Q$ tel que $Q(0)=0$ et $Q'(0)\neq 0$. Montrer que $\op{Ker}u$ et $\op{Im}u$ sont supplementaires. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 192] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 192] - Soit $A\in\M_n(\R)$ dont tous les coefficients diagonaux sont nuls et les autres valent $1$ ou $-1$. Montrer que si $n$ est pair alors $A$ est inversible. - Soit $B=(x_1,\ldots,x_{2n+1})\in\R^{2n+1}$. On suppose que, pour toute partie $P$ de $B$ de cardinal $2n$, on peut trouver $Q_1$ et $Q_2$ contenues dans $P$, chacune de cardinal $n$, telles que $\sum_{x\in Q_1}x=\sum_{x\in Q_2}x$. Montrer que tous les $x_i$ sont eaux. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 193] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 193] Soient $E$ un $\C$ espace vectoriel de dimension finie $n$, $f\in\mc{L}(E)$. On pose $\forall g\in\mc{L}(E)$, $\phi_f(g)=f\circ g-g\circ f$. - Calculer $\phi_f^n(g)$ pour $g\in\mc{L}(E)$. - Montrer que $f^{n+1}\circ g-g\circ f^{n+1}=\sum_{k=0}^nf^k(f\circ g-g\circ f)f^{n-k}$. @@ -1535,7 +1709,7 @@ Soient $E$ un $\C$ espace vectoriel de dimension finie $n$, $f\in\mc{L}(E)$. On - Montrer que, si $f$ possede une unique valeur propre, alors $\phi_f$ est nilpotente. Etudier la reciproque. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 194] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 194] Soient $n\in\N^*$, $c_0,c_1,\cdots,c_{2n-1}\in\R$ tels que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\cdots=c_{2n-1}=0$. Soit $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On definit les matrices $A,B,P$ de $\M_n(\R)$ par $a_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+1=j\\ -c_{i-1}\ \ \text{si }j=n\end{cases}$, $b_{i,j}=c_{i+j-1}$ et $p_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+j-1=n\\ 0\ \ \text{sinon}\end{cases}$. @@ -1547,27 +1721,27 @@ $a_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+1=j\\ -c_{i-1}\ \ \text{si }j=n\end{cases - Montrer que $A$ s'ecrit comme le produit de deux matrices symetriques. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 195] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 195] - Soit $A\in\M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que, pour tout polynome $P$ a coefficients complexes, la matrice $P(A)$ est diagonalisable. - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$ diagonalisable. Decrire l'ensemble des matrices inversibles $P$ telles que $P^{-1}AP$ soit diagonale. - Soient $A$ et $B$ deux matrices codiagonalisables. On suppose que $B$ a des valeurs propres deux a deux distinctes. Montrer qu'il existe un polynome $P\in{\C}[X]$ tel que $A=P(B)$. - On suppose toujours $A$ et $B$ codiagonalisables mais on ne suppose plus $B$ a valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une matrice $C$ et deux polynomes $P$ et $Q$ tels que $A=P(C)$ et $B=Q(C)$. - La matrice $\left(\begin{array}{cc}-1&0\\ 0&-4\end{array}\right)$ est-elle le carre d'une matrice reelle? #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 196] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 196] Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer qu'il existe $P\in{\R}[X]$ tel que $P(A)={\rm Com}(A)^T$. _Ind._ Commencera par $A$ inversible. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 197] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 197] Soient $E$ un ${\R}$-espace vectoriel de dimension $d\in{\N}^*$ et $f\in{\cal L}(E)$ telle que $f\circ f=-$id. - Donner un exemple d'application $f$ verifiant les hypotheses en dimension 2. - Montrer que $f$ n'a pas de valeur propre reelle. Montrer que $E$ est de dimension paire. - Montrer qu'il existe $(e_1,\ldots,e_p)$ telle que $(e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))$ soit une base de $E$ avec $d=2p$. Donner la matrice de $f$ dans cette base. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 198] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 198] Soient $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $AB-BA=A$. - Montrer que $A^kB-BA^k=kA^k$ pour $k\in{\N}$. - On definit l'application $\phi_B:M\mapsto MB-BM$. @@ -1576,12 +1750,12 @@ Soient $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $AB-BA=A$. - La matrice $A$ est-elle nilpotente? Justifier. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 199] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 199] Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que ${\rm Sp}(A)\subset\bigcup_{i=1}^n\Bigg{\{}z\in{\C},|z-a_{i,i}| \leq\sum_{1\leq j\leq n\atop j\neq i}|a_{i,j}|\Bigg{\}}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 200] -On note ${\cal S}\subset{\cal M}_n({\R})$ l'ensemble des matrices stochastiques : $M=(m_{i,j})\in{\cal S}$ si $\forall(i,j)\in[\![1,n]\!]^2$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nm_{i,k}=1$. Pour tout $A\in{\cal M}_n({\R})$, on note ${\rm Sp}(A)$ l'ensemble de ses valeurs propres. +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 200] +On note ${\cal S}\subset{\cal M}_n({\R})$ l'ensemble des matrices stochastiques : $M=(m_{i,j})\in{\cal S}$ si $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nm_{i,k}=1$. Pour tout $A\in{\cal M}_n({\R})$, on note ${\rm Sp}(A)$ l'ensemble de ses valeurs propres. - Montrer que les elements de ${\cal S}$ ont tous une valeur propre commune. - Montrer que ${\cal S}$ est convexe, ferme, borne dans ${\cal M}_n({\R})$, et qu'il est stable pour le produit. @@ -1589,18 +1763,18 @@ _c) i)_ Montrer que, pour tout $A\in{\cal S}$, on a ${\rm Sp}(A)\subset\{z\in{\C _Ind._ Si $X=(x_1,\cdots,x_n)\in{\C}^n$ est un vecteur propre, considerer $|x_i|=\max_{1\leq j\leq n}|x_j|$. - Soient $\lambda\in{\rm Sp}\,A$ telle que $|\lambda|=1$. Montrer que $\lambda$ est une racine $\ell$-ieme de l'unite avec $\ell\leq n$. - - On suppose que $A=(a_{i,j})\in{\cal S}$ est telle que $a_{i,j}\gt 0$ pour tout $(i,j)\in[\![1,n]\!]^2$. + - On suppose que $A=(a_{i,j})\in{\cal S}$ est telle que $a_{i,j}\gt 0$ pour tout $(i,j)\in\db{1,n}^2$. - Montrer que 1 est une valeur propre de $A$ et que $\dim\ker\,(A-I_n)=1$. - - Montrer que si $\lambda\in{\rm Sp}(A)\setminus\{1\}$ alors $|\lambda|\lt 1$. - On dit que $B\in\M_n(\R)$ verifie $(\mc{P})$ si : $\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2$, $b_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nb_{i,k}\leq 1$. + - Montrer que si $\lambda\in{\rm Sp}(A)\setminus\{1\}$ alors $|\lambda|\lt 1$. - On dit que $B\in\M_n(\R)$ verifie $(\mc{P})$ si : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2$, $b_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nb_{i,k}\leq 1$. - Montrer que si $B=(b_{ij})\in\M_n(\R)$ verifie $(\mc{P})$ alors $|\det B|\leq 1$. - Determiner l'ensemble des matrices $B\in\M_n(\R)$ qui verifient $(\mc{P})$ ainsi que $|\det B|=1$. - Determiner l'ensemble des matrices stochastiques dont la valeur absolue du determinant vaut 1. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 201] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 201] Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un plan euclidien, $\mc{V}=(v_1,\ldots,v_n)$ une famille de vecteurs de $E$ de norme 1 telle que $\langle v_1,v_2\rangle=\langle v_2,v_3\rangle=\ldots=\langle v_n,v_ {1}\rangle$. Soit $\mathbb{D}_{2n}$ l'ensemble des isometries vectorielles de $E$ qui laissent invariantes la famille $\mc{V}$, c'est-a-dire : -$\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\llbracket 1,n \rrbracket\,\sigma(v_i)\in\mc{V}\}$. +$\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\db{1,n }\,\sigma(v_i)\in\mc{V}\}$. - Trouver, pour $1\leq i\lt j\leq n$, la valeur de l'angle $\langle v_i,v_j\rangle$. - Montrer que $\mathbb{D}_{2n}$ est un sous-ensemble finie de $\mc{O}(E)$. - Montrer que $\mathbb{D}_{2n}$ est stable par composition et passage a l'inverse. @@ -1611,7 +1785,7 @@ $\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\llbracket 1,n \rrbracket\ - On note $D=\bigcup_{n\geq 3}D_{2n}$. Montrer que pour tout $\sigma\in\mc{O}(E)$, il existe une suite $(\sigma - {k\geq 0}\in D^{\N}$ telle que $\sigma=\lim_{k\ra+\i}\sigma_k$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 202] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 202] - On note $\phi$ l'application $M\mapsto M^T$ de $\M_n(\R)$ dans $\M_n(\R)$. - Montrer que $\phi$ est un automorphisme. - Determiner les valeurs propres de $\phi$. @@ -1625,14 +1799,14 @@ $\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\llbracket 1,n \rrbracket\ - Soit $M\in\mc{O}_2(\R)$ diagonalisable sur $\R$. Montrer, qu'a similitude pres, $M$ peut prendre exactement trois formes distinctes. Pour chacune d'entre elles donner la transformation geometrique du plan correspondante. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 203] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 203] - Soit $A\in S^+_n(\R)$ de rang $k$. Montrer qu'il existe des vecteurs $U_1,\ldots,U_k$ lineairement independants dans $\R^n$ tels que $A=\sum_{j=1}^kU_jU_j^T$.Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$. Leur produit d'Hadamard $A\circ B\in{\cal M}_n(\R)$ est la matrice de terme general $a_{ij}b_{ij}$. - Montrver que, si $A$ et $B$ sont des matrices symetriques de rang $1$, alors $A\circ B$ est symetrique de rang au plus $1$. - Montrver que, si $A$ et $B$ sont symetriques positives, alors $A\circ B$ est symetrique. - Si $A$ et $B$ sont symetriques positives, montrer que $A\circ B$ est symetrique positive. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 204] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 204] On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0,\ldots,c_{2n-1})\in\R^{2n}$ tel que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\ldots=c_{2n-1}=0$. On pose $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On considere enfin les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ suivantes : $A=(a_{i,j})$, ou $a_{i,j}=1$ si $j=i-1$, $a_{i,j}=-c_{i-1}$ si $j=n$ et $a_{i,j}=0$ sinon ; $B=(c_{i+j-1})$ et $C=(\delta_{i+j,n+1})$. - Montrver que $Q(A)=0$. Ind. Calculer $A^ke_1$ pour tout $k\in\{0,\ldots,n\}$. - On pose $\R[A]=\{M\in{\cal M}_n(\R)\,;\,\exists P\in\R[X],\ M=P(A)\}$. Montrer : $\dim\R[A]=n$. @@ -1642,7 +1816,7 @@ On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0 - Montrver que $A$ s'ecrit comme le produit de deux matrices symetriques. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 205] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 205] _a) i)_ Soit $m$ un entier $\geq 2$. Montrer que $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}\leq\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1} {\sqrt{k(m-k)}}$. - Calculer $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}$ l'aide du changement de variables $x=\frac{m}{1+t^2}$. - Soit $A_n\in{\cal M}_n(\R)$ la matrice de terme general $\frac{1}{i+j-1}$. @@ -1653,7 +1827,7 @@ _a) i)_ Soit $m$ un entier $\geq 2$. Montrer que $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\s - En deduire que $\lim_{n\to+\i}\mu_n=\pi$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 206] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 206] On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. On considere des reels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, et, pour tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq n$, on pose $M_i=(\lambda_i,\lambda_i^{-1})$.On considere $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\R^n$ tel que $\|y\|_2=1$ et on note $M$ le barycentre des $M_i$ pondere par les coefficients $y_i^2$. - Montrver que $M=(a,b)$ ou $a=\langle Dy,y\rangle$ et $b=\langle D^{-1}y,y\rangle$ ou $D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. - Montrver que $a^{-1}\leq b\leq-\dfrac{a}{\lambda_1\lambda_n}+\lambda_1^{-1}+ \lambda_n^{-1}$. @@ -1666,7 +1840,7 @@ Montrer que $\|x\|_2^4\leq\langle Ay,y\rangle\langle A^{-1}y,y\rangle\leq \dfrac *** Analyse -#+begin_exercice [ENS PSI # 207] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 207] On pose $A_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\sin(t)dt$, $B_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\cos(t)dt$ et $X_n=\begin{pmatrix}A_n\\ B_n\end{pmatrix}$ pour tout $n\in\N$. - Montrver que $A_n$ et $B_n$ existent et que $|A_n|^2+|B_n|^2\leq(2n)!$. - Trouver $A_0$ et $B_0$. @@ -1678,7 +1852,7 @@ On pose $A_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\sin(t)dt$, $B_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\cos(t)d $\forall n\in\N,\int_0^{+\i}t^ng_1(t)dt=\int_0^{+ \i}t^ng_2(t)dt$ #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 208] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 208] Soient $E=\mc C^0([0,1],\C)$ et $F=\mc{D}^1([0,1],\C)$. On definit $T$ comme l'operateur qui, a tout $f\in E$ associe : On note $E_{\lambda}$ le sous-espace propre de $T$ pour une valeur propre $\lambda$. _a) i)_: Montrver que $T$ est un endomorphisme. @@ -1696,7 +1870,7 @@ _b) i)_: Montrver que $E_1$ est l'ensemble des fonctions constantes. - Montrver que, si $|\lambda|\lt \dfrac{1}{2}$, $D_{\lambda}\neq\{0\}$. - Comparer $T(f')$ et $(Tf)'$ pour $f\in F$. *iii)*: Montrrer que, si $|\lambda|\geq\frac{1}{2}$ et $\lambda\neq\frac{1}{2}$, $D_{\lambda}=\{0\}$. -#+begin_exercice [ENS PSI # 209] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 209] Soit $(u - {n\geq 0}$ la suite de fonctions definie par : $\forall x\in\R\,\ u_0(x)=0$ et $\forall n\in\N^*$, $\forall x\in\R$, $u_n(x)=\frac{x}{n(1+nx^2)}$. @@ -1705,7 +1879,7 @@ $\forall x\in\R\,\ u_0(x)=0$ et $\forall n\in\N^*$, $\forall x\in\R$, $u_n(x)=\f - La fonction $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ est-elle derivable en $0\,?$ #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 210] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 210] On fixe $p\gt 1$. On note $q$ l'unique reel tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ continue et non identiquement nulle tel que $\int_0^{+\i}f(t)^pe^t\,dt$ converge. @@ -1722,7 +1896,7 @@ $\forall n\in\N\,,\ |u_n|\leq K\left(\frac{p}{q}\right)^n(I( nq))^{1/q}$. - On suppose que $p=1$. Montr re que $\sum|u_n|^{-1/n}$ diverge. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 211] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 211] Soit $\alpha\in\R$. On pose $g_{\alpha}:t\in\,]0,+\i[\mapsto e^{-t}t^{\alpha}$. - Donner les valeurs de $\alpha$ tels que $\int_0^{+\i}g_{\alpha}(t)dt$ converge. - Calculer $I(p)=\int_0^{+\i}e^{-pt}\,dt$, avec $p\in]0,+\i[$. @@ -1736,7 +1910,7 @@ Soit $\alpha\in\R$. On pose $g_{\alpha}:t\in\,]0,+\i[\mapsto e^{-t}t^{\alpha}$. - Montrver que $I(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2a}$. La valeur de l'integrale de Gauss etait donnee. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 213] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 213] Soient $a\gt 0$ et $q\in\mc C^2([a,+\i[,\R^{+*})$ telle que $\int_a^{+\i}\sqrt{q(t)}\,dt=+\i$. Soit $(E)$ l'equation differentielle $y^{''}+qy=0$. - Soient $y_1$ et $y_2$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ qui n'ont pas de zeros en commun. On pose $\Phi=y_1+iy_2$ et $\Phi(a)=r_0e^{i\theta_0}$. Montrver que $\forall x\geq a$, $\Phi(x)=e^{\Psi(x)}$ ou $\Psi(x)=\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)}\,dt+\ln(r_0) +i\theta_0$. - Montrver que l'on peut ecrire $y_1(x)=r(x)\cos(\theta(x))$ et $y_2(x)=r(x)\sin(\theta(x))$ ou $r(x)=\sqrt{y_1^2(x)+y_2^2(x)}$ et $\theta(x)=\theta_0+\int_a^x\frac{y_1y_2'-y_2y_1^{ '}}{y_1^2+y_2^2}$. @@ -1746,7 +1920,7 @@ Soient $a\gt 0$ et $q\in\mc C^2([a,+\i[,\R^{+*})$ telle que $\int_a^{+\i}\sqrt{q - Montrver que $(r^2)'=-2vr^2\sin^2(\theta)$. En deduire que $y$ et $y'$ sont bornees. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 214] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 214] On considere une solution $u$ de l'equation de transport : $\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=f(x,t)$ ou $u(x,0)=u_0(x)$. @@ -1769,7 +1943,7 @@ _c) i)_ Trouver toutes les solutions ${\cal C}^2$ de l'equation d'onde a variabl - Soit $n\in\N$. On pose : $g:x\mapsto\sum_{k=1}^na_k\sin(k\pi x)$ et $h=0$. Determiner $u(x,t)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 215] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 215] On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. On dit que $f$ est differentiable sur l'ouvert $\Omega$ si $\nabla f$ existe et est continu. - Soient $C$ ouvert convexe non vide de $\R^d$, $f:C\to\R$ differentiable. On suppose que $\nabla f$ est $L$-lipschitzien. Soient $w,v\in C$ et $g:t\mapsto f(v+t(w-v))$. - Experimer $g'(t)$. @@ -1788,7 +1962,7 @@ $\forall w,v\in\R^d$, $f(w)\geq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle$. *** Probabilites -#+begin_exercice [ENS PSI # 216] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 216] Soit $n\geq 2$. On note $n=p_1^{s_1}\dots p_r^{s_r}$ sa decomposition en facteurs premiers. On munit $\Omega=\{1,\dots,n\}$ de la loi uniforme. Pour tout diviseur $d$ de $n$, on note $A_d$ l'ensemble des multiples de $d$ contenus dans $\Omega:A_d=\left\{kd\,,\ k\leq\frac{n}{d}\right\}.$ _a) i)_ Montrer que si $d$ et $d'$ sont deux entiers premiers entre eux alors $A_d\cap A_{d'}=A_{dd'}$, et en deduire que $A_d$ et $A_{d'}$ sont independants. - On note $B=\{k\in\Omega,\ k\wedge n=1\}$. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_i}$ et en deduire une expression de $\mathbf{P}(B)$ puis de $|B|$. Cette valeur sera notee $\phi(n)$. @@ -1799,7 +1973,7 @@ _a) i)_ Montrer que si $d$ et $d'$ sont deux entiers premiers entre eux alors $A - Montrer que $\mc{U}=\bigcup_{m\in\N}P_m$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 217] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 217] Soit $X$ une variable aleatoire definie sur $(\N,\mc{P}(\N))$. Soient $\mathbf{P_1}$ et $\mathbf{P_2}$ deux probabilites sur $(\N,\mc{P}(\N))$. On suppose que, pour tout $n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_2}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_1}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P_2}(X=n)\gt 0$. Soit $A=\{n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\leq\mathbf{P_2}(\{n\})\}$. On pose, pour $n\in\N$, $u_n(X)=\mathbf{P_2}(X=n)\ln\left(\frac{\mathbf{P_2}(X=n)}{\mathbf{P_1} (X=n)}\right)$. @@ -1815,7 +1989,7 @@ Enfin, on pose $\ell(X)=\sum_{n=0}^{+\i}u_n(X)$ si cette serie converge, $\ell(X - Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}|\mathbf{P_2}(X=n)-\mathbf{P_1}(X=n)|=2( \mathbf{P_2}(X\in A)-\mathbf{P_1}(X\in A))$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PSI # 218] +#+begin_exercice [ENS PSI 2023 # 218] Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires a valeurs reelles, identiquement distribuees, centres, de variance finie $\sigma^2$ et independantes. On suppose de plus $\mathbf{P}(|X_1|\gt 1)=0$. On note $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. - Soient $Y_1,\ldots,Y_n$ des variables aleatoires independantes suivant la loi binomiale $\mc{B}(m,p)$ avec $m\in\N^*$ et $p\in\,]0,1[$. Pour $a\neq 0$ et $b\in\R$, on note $X_i=aY_i+b$. A quelle condition sur $a$ et $b$ les $X_i$ verifient-elles les conditions precedentes? - Montrer $\forall u\in\,]-\i,2],\ e^u\leq 1+u+\frac{u^2}{2}(1+\max(0,u))$. @@ -1827,52 +2001,52 @@ Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires a valeurs reelles, identiquemen ** ENS PC :autre: *** Algebre -#+begin_exercice [ENS PC # 219] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 219] ${}^{\bigstar}$ Soit $A$ une partie de cardinal $n$ de $\R$. On pose $B=A+A=\{a+a',\ a,a'\in A\}$. Montrer que $2n-1\leq\mathrm{card}(B)\leq\dfrac{n(n+1)}{2}$. Generaliser a $B=kA=A+A+\cdots+A$ ($k$ fois). #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 220] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 220] Soient $a,b\in\Z$ deux entiers distincts. Trouver tous les polynomes $P\in\Z[X]$ tels que $P(a)=b$ et $P(b)=a$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 221] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 221] ${}^{\bigstar}$ Soient $P_1,P_2,P_3,P_4\in\R[X]$. Montrer qu'il n'existe aucun voisinage ouvert de $0$ sur lequel on ait simultanement i) $\forall x\lt 0,\ P_1(x)\lt P_2(x)\lt P_3(x)\lt P_4(x)$ ii) $\forall x\gt 0,\ P_2(x)\lt P_4(x)\lt P_1(x)\lt P_3(x)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 222] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 222] [PL] Soit $E=\M_n(\R)$. Calculer le determinant de l'application $\Phi\colon M\in E\mapsto M^T\in E$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 223] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 223] Considerons des reels $0\leq x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n\leq 1$. Montrer qu'il existe des reels $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $\forall P\in\R_n[X]$, $\int_0^1P(t)\,dt=\sum_{k=0}^n\alpha_kP(x_k)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 224] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 224] Soient $A,B\in\M_n(\R)$. - Si $A+iB\in\mathrm{GL}_n(\C)$, montrer qu'il existe $t\in\R$ tel que $A+tB\in\mathrm{GL}_n(\R)$. - Si $A$ et $B$ sont semblables dans $\M_n(\C)$, montrer qu'elles sont semblables dans $\M_n(\R)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 225] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 225] Soit $M\in\M_2(\Z)$. On suppose qu'il existe $k\in\N^*$ tel que $M^k=I_2$. Montrer que $M^{12}=I_2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 226] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 226] Soient $\eps\in\bigg{]}\,0\,;\dfrac{1}{4}\,\bigg{[}$ et $M$ la matrice $M=\left(\begin{smallmatrix}1-2\eps&\eps&0&\cdots&0&\eps \\ \eps&1-2\eps&\eps&\ddots&\vdots&0\\ 0&\eps&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\eps&0\\ 0&\cdots&0&\eps&1-2\eps&\eps\\ \eps&0&\cdots&0&\eps&1-2\eps\\ \end{smallmatrix}\right)\in\M_k(\R)$ - Quel est le spectre de $M$? - Determiner la limite de la suite $(M^n)_{n\in\N}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 227] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 227] Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ qui preserve le produit scalaire canonique : $\forall(x,y)\in(\R^n)^2,\ \langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$. Montrer que $f$ est une isometrie lineaire.# 228 Soit $A\in S_3(\R)$ telle que $\op{tr}(A)=3,\op{tr}(A^2)=5$, $\op{tr}(A^3)=9$. Determiner la borne inferieure de $\op{tr}(M^2)$ lorsque $M$ decrit $\big{\{}M\in\mc{S}_3(\R)\;;\;\op{tr}(AM)=1$ et $\op{tr}(A^2M)=1\big{\}}$, #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 229] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 229] Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mc{S}_2^+\left(\R\right)$ telles que, pour tout $s\in\R^{+*}$, $\op{tr}\left(\left(sI_2+A\right)^{-1}\right)=\op{tr} \left(\left(sI_2+B\right)^{-1}\right)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. Est-ce toujours vrai en dimension $n$? @@ -1880,15 +2054,15 @@ $\op{tr}\left(\left(sI_2+A\right)^{-1}\right)=\op{tr} \left(\left(sI_2+B\right)^ *** Analyse -#+begin_exercice [ENS PC # 230] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 230] On note $\parallel\;\;\parallel_1$ la norme sur $\R^n$ definie par : $\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\;\|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_{ k}|$. - - Soit $(x,y)\in\left(\R^n\right)^2$. Montrer que $\|x+y\|_1+\|x-y\|_1=2(\|x\|_1+\|y\|_1)$ si et seulement si $\forall k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\;x_ky_k=0$. - - Soit $f\in\mc{L}(\R^n)$ qui preserve la norme $\parallel\;\;\|_1:\forall x\in\R^n,\;\|f(x)\|_1=\|x\|_1$. Montrer que la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de $f$ sur la base canonique est une matrice de permutation signee, c'est-a-dire qu'il existe une permutation $\sigma$ de $\llbracket 1,n\rrbracket$ et $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ verifiant $\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,\,a_{i,j}=\eps_j \delta_{i,\sigma(j)}$. + - Soit $(x,y)\in\left(\R^n\right)^2$. Montrer que $\|x+y\|_1+\|x-y\|_1=2(\|x\|_1+\|y\|_1)$ si et seulement si $\forall k\in\db{1,n},\;x_ky_k=0$. + - Soit $f\in\mc{L}(\R^n)$ qui preserve la norme $\parallel\;\;\|_1:\forall x\in\R^n,\;\|f(x)\|_1=\|x\|_1$. Montrer que la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de $f$ sur la base canonique est une matrice de permutation signee, c'est-a-dire qu'il existe une permutation $\sigma$ de $\db{1,n}$ et $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ verifiant $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,a_{i,j}=\eps_j \delta_{i,\sigma(j)}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 231] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 231] Soient $d\in\N^*$ avec $d\geq 2$ et $p\in[1,+\i[$. On definit la norme $\parallel\;\;\parallel_p$ sur $\R^d$ par $\forall X\in\R^d,\,\|X\|_p=\left(\sum_{k=1}^d|x_k|^p \right)^{1/p}$. Pour tous $X,Y\in\R^d$ et $t\in\R$, on pose $\rho(X,Y,t)=\frac{1}{2}(\|X+tY\|_p+\|X-tY\|_p)-1$ et $\overline{\rho}(t)=\sup_{\|X\|_p=\|Y\|_p=1}\rho(X,Y,t)$. @@ -1896,18 +2070,18 @@ $\rho(X,Y,t)=\frac{1}{2}(\|X+tY\|_p+\|X-tY\|_p)-1$ et $\overline{\rho}(t)=\sup_{ - On suppose que $p=2$. Montrer qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall t\in\R,\,\overline{\rho}(t)\leq Ct^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 232] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 232] Soit $E$ l'espace des fonctions $f\colon\left[\,0\,;1\,\right]\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $f(0)=0$. Pour $f\in E$, on pose $\|f\|=\left\|f+f'\right\|_{\i}$. - Montrer que $\parallel\;\;\parallel$ est une norme sur $E$. - Montrer qu'il existe $a\gt 0$ tel que, pour tout $f\in E$, on ait $\left\|f\right\|_{\i}\leq a\left\|f\right\|$. - Les normes $\parallel\;\;\parallel$ et $\parallel\;\parallel_{\i}$ sont-elles equivalentes sur $E$? #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 233] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 233] Soient $(E,\left\|\cdot\right\|)$ un espace vectoriel norme de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|\leq\|x\|$. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nf^k$. Etudier le comportement de $s_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 234] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 234] Soient $E=\R^{\N}$ et $D:E\to E$ defini par $\forall u\in E,\,D(u)=u'$ avec $\forall n\in\N,\;u'_n=u_{n+1}-u_n$. @@ -1916,78 +2090,78 @@ $\forall u\in E,\,D(u)=u'$ avec $\forall n\in\N,\;u'_n=u_{n+1}-u_n$. $H=\left\{\dfrac{\left\langle u,D(u)\right\rangle}{\left\|u\right\|^2}\;;\;u \in F\setminus\left\{0\right\}\right\}.$ #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 235] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 235] On considere la suite $\left(F_n\right)_{n\geq 0}$ definie par $F_0=0$, $F_1=1$ puis $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$ pour tout $n\in\N$. -Montrere que tout entier $N\in\N^*$ s'ecrit de maniere unique $N=F_{p_1}+F_{p_2}+\cdots+F_{p_m}$ avec des entiers $p_i$ tels que $p_{i+1}-p_i\geq 2$ pour tout $i\in\llbracket 1\,;\,m-1\rrbracket$ et $p_1\geq 2$. Prouver l'unicite de cette ecriture. +Montrere que tout entier $N\in\N^*$ s'ecrit de maniere unique $N=F_{p_1}+F_{p_2}+\cdots+F_{p_m}$ avec des entiers $p_i$ tels que $p_{i+1}-p_i\geq 2$ pour tout $i\in\db{1\,;\,m-1}$ et $p_1\geq 2$. Prouver l'unicite de cette ecriture. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 236] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 236] Pour $n\in\N^*$, on pose $u_n=\left(\prod_{k=n}^{2n}k^k\right)^{1/n}$ - Determiner un equivalent de $\ln(u_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini. - Determiner un equivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 237] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 237] Quelle est la nature de la serie $\sum\sin(2\pi\,n!\,e)\,?$ #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 238] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 238] Quelle est la nature de la serie $\sum\tan(2\pi\,n!\,e)\,?$ #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 239] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 239] Nature, suivant la valeur de $\alpha\in\R$, de $\sum|\sin\left(2\pi\mathrm{e}n!\right)|^{\alpha}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 240] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 240] Quelle est la nature de la serie de terme general $\dfrac{\sin^2(n)}{n}\,?$ #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 241] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 241] Soit $\sum a_n$ une serie convergente de reels positifs. Montrere que la serie $\sum\dfrac{a_n^x}{n}$ converge pour tout $x\gt 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 242] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 242] Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $\sum\exp(a_n)$ converge. Determiner $\lim_{k\to+\i}\sum_{n=0}^{+\i}\exp(ka_n)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 243] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 243] Soient $f\colon\R\to\R$ une fonction derivable et $\ell$ un reel. On suppose que $f(x)+f'(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Etudier la limite de $f$ et de $f'$ en $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 244] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 244] Soient $g:[0,1]\to\R$ continue et $F:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $:F(0)=1$ et $\forall x\in[0,1]$, $|F'(x)|=F(x)g(x)$. Determiner les valeurs possibles de $F(1)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 245] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 245] Soient $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ et $(a,b,c,d)\in\R^4$ tels que les fonctions $af'+bf$ et $cf'+df$ soient bornees. A quelle condition sur $(a,b,c,d)$ la fonction $f$ est-elle bornee?[MISSING_PAGE_FAIL:1]# 256 [PL] Soit $g\in{\cal C}^0([0,1],{\R}_+^*)$. On definit $\Phi\colon x\in{\R}\mapsto\ln\left(\int_0^1e^{xt}g(t)\;{\rm d}t\right)$. - Montrer que $\Phi$ est convexe. - On suppose maintenant que $g$ est de classe ${\cal C}^1$. Trouver un equivalent et un developpement asymptotique de $\Phi$ en $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 257] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 257] Soit $f\in C^k({\R}^+,{\R})$ telle que $f^{(k)}$ est bornee sur ${\R}^+$. Soit $F:\lambda\in{\R}^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}e^{-\lambda t}f(t)\,{\rm d }t$. Determiner un developpement asymptotique de $F(\lambda)$ lorsque $\lambda\to+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 258] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 258] Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere au voisinage de $0$ avec un rayon $\gt 1$. Soient $\phi\in C^0([0,1],{\R})$ et $g:x\mapsto\int_0^1\phi(y)f(x-y)\,{\rm d}y$. Montrer que $g$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 259] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 259] Soit $P\in{\R}_n[X]$. On cherche les applications $f:{\R}^2\mapsto{\R}$ de classe $C^2$ verifiant $(*)$ : $\forall(t,x)\in{\R}^2,\,\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)=\frac{ \partial^2f}{\partial x^2}(t,x)$ et $f(0,x)=P(x)$. - Montrer qu'il existe une solution de $(*)$ polynomiale en $x$. - On suppose $P$ scinde a racines simples sur ${\R}$. Soit $f$ une solution de $(*)$ polynomiale en $x$. Montrer qu'il existe $\eps\gt 0$ tel que, pour tout $t\in[0,\eps[$, $x\mapsto f(t,x)$ est aussi scinde a racines simples. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 260] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 260] Soient $u,v:{\R}^2\to{\R}$ de classe ${\cal C}^1$ telles que $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$. - Donner un exemple de telles fonctions $u$ et $v$. - On suppose que $u$ et $v$ sont de classe ${\cal C}^2$. Montrer que $\Delta u=\Delta v=0$. @@ -1999,50 +2173,50 @@ On note $D$ le disque unite ouvert et $C$ le cercle unite. Soit $g$ une fonction *** Geometrie -#+begin_exercice [ENS PC # 261] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 261] Montrer qu'un polygone convexe a $n$ sommets inscrit dans le cercle unite est d'aire maximale si et seulement si le polygone est regulier. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 262] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 262] - Sur le cercle trigonometrique ${\cal C}$, on place $A$ de coordonnees $(-1,0)$ et $P\neq A$ de coordonnees $(x,y)$. Soit $Q$ le point d'intersection de la droite $(AP)$ avec l'axe des ordonnees. On note $t$ l'ordonnee de $Q$. Exprimer $t$ en fonction de $x$ et $y$. - Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$. Que reconnait-on? Expliquer cela geometriquement. Peu-on parametrer les points de $\mc C\setminus\{A\}$ a l'aide de fractions rationnelles? - Peut-on parametrer un arc $\Gamma$ (non reduit a un point) du cercle $\mc C$ a l'aide de polynomes a coefficients reels c'est-a-dire existe-t-il un intervalle $I$ et deux polynomes $P,Q\in\R[X]$ tels que le point de coordonnees $(x,y)$ appartienne a $\Gamma$ si et seulement s'il existe $t\in I$ tel que $x=P(t)$ et $y=Q(t)$? Et a l'aide de polynomes a coefficients complexes? #+end_exercice *** Probabilites -#+begin_exercice [ENS PC # 263] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 263] On retourne une par une les cartes d'un jeu de 52 cartes. Trouver l'esperance du nombre de cartes retournees avant d'obtenir le premier as (on demande un raisonnement intuitif sans calcul de la loi). #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 264] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 264] On considere deux capteurs independants, qui detectent chacun en moyenne 5000 evenements par an. Quelle est la probabilite que les deux detecteurs detectent un evenement pendant la meme seconde? #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 265] -Soient $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur le groupe symetrique $\mc{S}_n$ et $A\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. On pose $k=|A|$. Calculer $\mathbf{P}(A=\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})$. +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 265] +Soient $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur le groupe symetrique $\mc{S}_n$ et $A\subset\db{1,n}$. On pose $k=|A|$. Calculer $\mathbf{P}(A=\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 266] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 266] Soient $X,Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\{1,2,3\}$ telles que $Y$ suive la loi uniforme sur $\{1,2,3\}$ et $\mathbf{P}(X=1)=\frac{1}{2}$, $\mathbf{P}(X=2)=\mathbf{P}(X=3)=\frac{1}{4}$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{E}((X-Y)^2)$? #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 267] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 267] Existe-t-il des variables aleatoires $X,Y$ telles que $X\sim\mc{B}(p)$, $Y\sim\mc{P}(p)$ et telles que l'on ait $\mathbf{P}(X=Y)=1-p+pe^{-p}$? #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 268] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 268] On considere $X$ de loi $\mc{B}(p)$ et $Y$ de loi $\mc{P}(p)$ avec $p\in[0,1]$. Majorer $\mathbf{P}(X=Y)$ et trouver des variables $X$ et $Y$ pour lesquelles cette majoration est atteinte. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 269] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 269] Soient $X,Y$ deux variables aleatoires entieres independantes qui suivent la meme loi. - On suppose que $X$ suit une loi geometrique commencant a zero, c'est-a-dire qu'il existe $p\in\,]\,0\,;1\,[$ tel que $\forall k\in\N,\,\mathbf{P}(X=k)=(1-p)^kp$. -Montrer que $\forall n\in\N,\,\forall k\in\llbracket 0\,;\,n\rrbracket$, $\mathbf{P}(X=k\,|\,X+Y=n)=\frac{1}{n+1}$. +Montrer que $\forall n\in\N,\,\forall k\in\db{0\,;\,n}$, $\mathbf{P}(X=k\,|\,X+Y=n)=\frac{1}{n+1}$. - Prouver la reciproque. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 270] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 270] On considere $M=\left(\begin{array}{cc}X&Y\\ Y&X\end{array}\right)$, ou $X$ et $Y$ independantes avec $X$ de loi $\mc{P}(\lambda)$ et $Y$ de loi $\mc{G}(p)$. - Determiner la probabilite que $M$ soit inversible. - Determiner la probabilite que $M$ soit diagonalisable. Dans ce cas, preciser spectre et espaces propres. @@ -2051,13 +2225,13 @@ On considere $M=\left(\begin{array}{cc}X&Y\\ Y&X\end{array}\right)$, ou $X$ et $ ${}^{\bigstar}$ Soit $\left(X_n\right)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires a valeurs dans $\N$. On suppose que $\mathbb{P}(X_1=0)\mathbb{P}(X_1=1)\neq 0$. On pose, pour $n\in\N$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Montrer que $\mathbf{P}(4\text{ divise }S_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\frac{1}{4}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 272] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 272] Soient $n\in\N^*$ et $p\in]0,1[$. On considere dans le plan un graphe non oriente aleatoire de $n$ sommets. On note $X_{i,j}=1$ si les points d'indices $i$ et $j$ sont relies, et $0$ sinon. On suppose les $X_{i,j}$ independantes et de meme loi $\mc{B}(p)$. On note $T_n$ le nombre de triangles formes par ces $n$ points. On pose $a_n=\binom{n}{3}p^3$. Calculer $\mathbf{E}(T_n)$ et montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_n}{a_n}-1\right|\gt \eps\right)=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 273] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 273] On considere une matrice aleatoire $M=(m_{i,j})$ de taille $n\times n$ qui est symetrique, ou chaque variable aleatoire $m_{i,j}$ suit la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et ou les variables aleatoires $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont independantes. - Calculer $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M))$, $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^2))$ et $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^3))$. - Montrer que $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^4))=\mc{O}(n^3)$. @@ -2066,7 +2240,7 @@ On considere une matrice aleatoire $M=(m_{i,j})$ de taille $n\times n$ qui est s Pour tout $\eps\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}(\lambda_1\geq n\eps)\underset{n\to\i}{ \longrightarrow}0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS PC # 274] +#+begin_exercice [ENS PC 2023 # 274] On note $\langle\,\ \rangle$ le produit scalaire canonique dans $\R^n$ et $\|\ \|$ la norme euclidienne associee. - Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $x\in\R^n\setminus\{0\}$ et $a\in\R$. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $A$. Si $\langle Ax,x\rangle\geq a\left\|x\right\|^2$, montrer que $\lambda_1\geq a$. - Soit $M=(m_{i,j})$ une variable aleatoire a valeurs dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que les $m_{i,j}$ suivent une loi de Bernoulli de parametre $1/2$ et telle que les $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ soient independantes. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$. @@ -2076,17 +2250,19 @@ Pour tout reel $\eps\gt 0$, montrer que $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\Big{(}\lambda_ * X :xens: -#+begin_exercice [X MP # 275] +** Algèbre + +#+begin_exercice [X MP 2023 # 275] On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter que $p(n)\leq 2^{n-1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 276] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 276] Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ et $X=\{s\in\N;\ 2^s\,|\,n!\}$. - Montrer que $\max X=n-r$. - Montrer que le nombre d'entiers $k$ tels que $\binom{n}{k}$ est impair est $2^r$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 277] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 277] ${}^{\bigstar}$ - Montrer que l'equation $a^2-2b^2=1$ admet une infinite de solutions $(a,b)\in\N^2$. @@ -2095,7 +2271,7 @@ Determiner l'ensemble des solutions. Si $G$ est un groupe, les elements d'ordre fini forment-il un sous-groupe? #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 279] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 279] - Trouver deux groupes $G_1$ et $G_2$ non isomorphes de cardinal $2023=7.17^2$. - Soit $p$ premier. Montrer qu'un groupe de cardinal $p^2$ est isomorphe a $\Z/p^2\Z$ ou $\hat{\text{a}}\,(\Z/p\Z)^2$. - Soient $G,H$ deux groupes finis et $\psi:G\to H$ un morphisme surjectif. @@ -2105,21 +2281,21 @@ Montrer que $|G|=|H|\times|\op{Ker}\psi|$. - Montrer que tout groupe de cardinal $2023$ est isomorphe a $G_1$ ou $G_2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 280] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 280] Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans point fixe c'est-a-dire tel que : $\forall x\in G$, $\phi(x)=x\Rightarrow x=1$. On note $n$ l'ordre de $\phi$ ; c'est le plus petit entier $n\in\N^*$ tel que $\phi^n=\op{id}$. - Montrer que $\forall x\in G$, $x\,\phi(x)\,\phi^2(x)\,\cdots\,\phi^{n-1}(x)=1$. - Si $n=2$, que peut-on dire du groupe $G$? Donner un exemple. - Si $n=3$, montrer que, pour tout $x\in G$, $x$ et $\phi(x)$ commutent. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 281] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 281] Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des elements de $G$ d'ordre fini. - En general, $T$ est-il un sous-groupe de $G$? - Soit $S$ une partie finie de $G$ stable par conjugaison munie d'une relation d'ordre totale $\leq$. Montrer que, pour tous $s_1$,..., $s_r\in S$, il existe $s'_1$,..., $s'_r\in S$ tels que $s'_1\leq s'_2\cdots\leq s'_r$ et $s_1s_2\cdots s_r=s'_1s'_2\cdots s'_r$. - Avec la question precedente, montrer que, si $T$ est fini, alors $T$ est un sous-groupe de $G$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 282] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 282] - Soit $s:\R^*\to\R^*,t\mapsto t^{-1}$. Determiner le groupe engendre par $s$. - On definit les applications $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et @@ -2130,45 +2306,45 @@ Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe a $\mc{S}_3$. Ind. Considerer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ definie par $f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 283] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 283] Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On note, pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d'elements de $G$ d'ordre $d$. - Montrer que $n=\sum_{d\mid n}n_d(G)$. - Calculer les $n_d(G)$ lorsque $G$ est cyclique. - Montrer que, si pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $|\{x\in G,\ x^d=1\}|\leq d$, alors $G$ est cyclique. - Soient $\mathbb{K}$ un corps et $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$. Montrer que $G$ est cyclique. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 284] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 284] On pose $\Q[i]=\{a+ib\;;\ a,b\in\Q\}$. - Montrver que $\Q[i]$ est un sous-corps de $\C$. - Determiner les elements de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d'ordre fini. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 285] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 285] - Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$. On considere la $\mathbb{K}$-algebre $A$ admettant une base sur $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. A quelle condition cette algebre est-elle un corps? - On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p$ ou $p$ est un nombre premier. Combien de $\mathbb{F}_p$-algebres non isomorphes peut-on obtenir ainsi? #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [X MP # 286] +#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 286] Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait $\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ? #+END_exercice #+BEGIN_proof Pour tout isomorphisme $\tau\colon A\ra \A$, $u_A$ commute avec $\tau$. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 287] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 287] Soit, pour $n\in\N^*$, $P_n=1+X+\cdots+X^{n-1}$. Montrer que $\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}P_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}{2}\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 288] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 288] - Montrrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$. - Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_{n-1}$. - Pour $n\geq 1$, donner une relation entre $S_n^{''}$ et $S_{n-1}'$. - En deduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 289] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 289] Soit $n\in\N^*$. Soit $q\in\C$ tel que $0\lt |q|\lt 1$. On pose $F:z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$. @@ -2178,11 +2354,11 @@ $\forall z\in\C^*,\ F(z)=\sum_{k=0}^nc_k(z^k+z^{-k})$. - Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en deduire une expression de $c_k$ a l'aide d'un produit. Ind. Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 290] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 290] Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que $(X+Y)^n$ soit congru a $X^n+Y^n$ modulo $p$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 291] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 291] Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrver qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$.# 292 Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une definition similaire pour les polynomes a une indeterminee. - Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$. @@ -2190,31 +2366,31 @@ Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrver qu'il e - Determiner tous les polynomes $P\in\Z[T]$ tels que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 293] -Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux a deux distincts. Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. Montrer qu'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise $H-H_i$ pour tout $i\in[\![1,n]\!]$. +#+begin_exercice [X MP 2023 # 293] +Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux a deux distincts. Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. Montrer qu'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise $H-H_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 294] -- Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu'il existe un entier $F$ tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in[\![1,r]\!]$. - - Soient $N_1,\ldots,N_r$ des elements de $\C[X]$ premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des elements de $\C[X]$. Montrer qu'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$ pour tout $i\in[\![1,r]\!]$. +#+begin_exercice [X MP 2023 # 294] +- Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu'il existe un entier $F$ tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in\db{1,r}$. + - Soient $N_1,\ldots,N_r$ des elements de $\C[X]$ premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des elements de $\C[X]$. Montrer qu'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$ pour tout $i\in\db{1,r}$. - Soient $f,g$ deux elements de $\C[X]$ premiers entre eux, et $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $h\in\C[X]$ tel que $g$ divise $h^n-f$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 295] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 295] Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irreductible dans $\Z[X]$? #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 296] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 296] Soit $P\in\Z[X]$ un polynome unitaire dont les racines complexes ont un module inferieur ou egal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unite. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 297] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 297] Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n$. On ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$. - Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$. - En deduire qu'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 298] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 298] On se propose de donner une preuve du theoreme de d'Alembert-Gauss. - Montrer qu'il suffit de montrer le theoreme pour les polynomes a coefficients reels. Dans la suite, on ecrira le degre d'un polynome non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$. - Montrer le theoreme dans le cas ou $n=0$. @@ -2225,32 +2401,32 @@ Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est f - Montrer finalement que l'un des $x_i$ est element de $\C$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 299] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 299] Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$. - On suppose que $q$ n'est pas une racine de l'unite. Montrer qu'il existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s'il y en a deux alors elles sont opposees l'une de l'autre. - Montrer que le resultat precedent peut tomber en defaut si l'on ne suppose plus que $q$ n'est pas une racine de l'unite. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 300] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 300] Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$. Montrer que $\M$ est une partie libre du $\C$-espace vectoriel $\C^G$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 301] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 301] On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien definie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique a partir d'un certain rang. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 302] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 302] Soit $R\in\M_n(\Z)$ non nulle et $M=I_n+3R$. Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, $M^k\neq I_n$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 303] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 303] Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que $p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$. #+END_exercice #+BEGIN_proof On a $u(\Ker p)\subset \Im p$ et $u(\Im p) \subset \Ker p$. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 304] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 304] Pour $(A,B)\in\M_n(\R)^2$, on pose $\phi_{A,B}:M\in\M_n(\R)\mapsto AMB$. Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$. @@ -2258,33 +2434,33 @@ Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$. - Montrer que l'espace vectoriel engendre par $T$ est $\mc{L}\left(\M_n(\R)\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 305] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 305] Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $R_P=\det(I_n+(X-1)P)$. - Calculer $R_P$ en fonction de $P$. - Soient $P,Q$ des matrices de projecteur dans $\M_n(\mathbb{K})$ telles que $PQ=QP=0$. Montrer que $R_PR_Q=R_{P+Q}$. - Soit $\phi$ un automorphisme de la $\mathbb{K}$-algebre $\M_n(\mathbb{K})$. - - Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$. - - Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans $\llbracket 1,n\rrbracket$? + - Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout $i\in\db{1,n}$. + - Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans $\db{1,n}$? - Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Im}\,\phi(E_{i,1})$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 306] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 306] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une application $q:V\to\C$ telle que $u^2=q(u)\,\mathrm{id}$ pour tout $u\in V$. - Monter que, pour tous $u,v\in V$, il existe $B(u,v)\in\C$ tel que $uv+vu=2B(u,v)\,\mathrm{id}_E$. - - Montrer que $B$ est une forme bilineaire. - Soient $d\geq 1$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que $(u_1,\ldots,u_d)$ est libre. - - Soient $d\geq 2$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que les $u_i$ sont de trace nulle, et que $\dim E$ est paire. + - Montrer que $B$ est une forme bilineaire. - Soient $d\geq 1$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\db{1,n}$. Montrer que $(u_1,\ldots,u_d)$ est libre. + - Soient $d\geq 2$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\db{1,n}$. Montrer que les $u_i$ sont de trace nulle, et que $\dim E$ est paire. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 307] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 307] Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On suppose que $\phi(I_n)$ est inversible et que $\forall A,B\in\M_n(\C)$, $\phi(AB)=\phi(A)\,\phi(B)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que : $\forall A\in\M_n(\C)$, $\phi(A)=PAP^{-1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 308] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 308] - Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ verifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$. - Determiner les automorphismes de $\C(X)$ verifiant $(*)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 309] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 309] Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$. - Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de $M$ est de module $\leq 1$. - On note $\mu=\min_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$. @@ -2292,28 +2468,28 @@ Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i - On se donne trois reels strictement positifs $p,q,r$ tels que $p+q+r=1$. On considere la matrice $B\in\M_n(\R)$ definie par $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 310] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 310] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $f\in\mc{L}(E)$ cyclique, $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$. Montrer que l'induit par $f$ sur $F$ est cyclique. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 311] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 311] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$ telles que $ab-ba=fv$. - Que peut-on dire de $\det(ab-ba)$? - Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables. - A quelle condition sur $u\in\mc{L}(E)$ existe-t-il $w\in\mc{L}(E)$ tel que $uw-wv$ soit de rang 1? #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 312] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 312] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout vecteur $x\in E$, l'ensemble $\{f^n(x),\ n\in\N\}$ est fini. - Montrer que, si $f\in\mathrm{GL}(E)$, il existe $k\in\N^*$ tel que $f^k=\mathrm{id}$. - On revient au cas general. Montrer l'existence de $k\in\N^*$ et $p\in\N$ tels que $f^{p+k}=f^p$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 313] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 313] Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associee a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguees dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 314] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 314] Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$. 1. Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable. 2. Montrer que $E=\op{Im} p+\op{Ker} q+(\op{Im} q \cap \op{Ker} p)$. @@ -2324,14 +2500,14 @@ Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 315] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 315] Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynomes. - Determiner le degre de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. - Montrer que $L_n$ est scinde a racines reelles simples $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$. - Montrer qu'il existe des reels $a_1,\ldots,a_n$ tels que $\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 316] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 316] Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $\lN\cdot \rN$ désigne la norme euclidienne canonique. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes. + $\alpha=2$. + $\forall n \geq 1, \forall\left(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_n\right) \in\left(S^2\right)^{3 n}, \exists p \in S^2$ tel que @@ -2341,32 +2517,32 @@ $$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-b_i\right\|^\alph #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 317] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 317] Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ verifiant $B^2=A$? #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 318] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 318] Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi:\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un extremum. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 319] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 319] On considere dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$. - Soit $K\in\M_{2n}(\R)$ tel que $K^2=-I$. Montrer que $K^TJ\in\mc{S}_{2n}(\R)$ si et seulement si $J=K^TJK$. - On note $\mc C$ l'ensemble des $K\in\M_{2n}(\R)$ telles que $K^2=-I$ et $K^TJ\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Soit $K\in\mc C$. Montrer que $K+J$ est inversible et que $(K+J)^{-1}(K-J)$ est symetrique. - Soit $K\in\mc C$. On pose $S=(K+J)^{-1}(K-J)$. Montrer que $SJ+JS=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 320] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 320] Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 321] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 321] Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$. - Montrer que $\op{tr}\left(e^Ae^B\right)\gt 0$. - Montrer que $\op{tr}\left(e^{A+B}\right)\leq\op{tr}\left(e^Ae^ {B}\right)$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 322] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 322] Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels. 1. Montrer que la matrice $A=\left(t_i t_j\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$. 2. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n$. Montrer que la matrice $B=\left(\min \left(t_i, t_j\right)\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$. @@ -2378,7 +2554,7 @@ Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels. 3. Il s'agit de montrer que $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$, c'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l'intégrale est sur $[0,1]$. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 323] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 323] On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note $\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$. - Montrver que $\|\!|\!|\!|\!|\!|$ definit une norme sur $\M_n(\R)$. - Montrver que $\|\!|\!|A|\!|\!|=\sup_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$. @@ -2389,11 +2565,11 @@ Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels. ** Analyse -#+begin_exercice [X MP # 324] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 324] Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par $(0,0)$ est continue. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 325] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 325] Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide. 1. On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s'écrit comme intersection de carrés fermés. 2. On suppose $K$ non borné et $K \neq \R^2$. Donner des exemples de tels convexes. Montrer que si $K$ contient deux droites, celles-ci sont parallèles. @@ -2405,11 +2581,11 @@ Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide. 3. Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et prendre une valeur d'adhérence des segments $[y, x_n]$. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 326] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 326] Determiner les endomorphismes continus du groupe $\C^*$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 327] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 327] Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On definit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, $\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$. - Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrver que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$. - Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite reelle. On suppose que la serie de terme general $|u_n-1|$ converge. @@ -2423,15 +2599,15 @@ Soit $(M - {n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose que la ser - Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M - {n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes? #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 328] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 328] On definit la longueur d'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$? - - Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$. + - Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$. - Soit $(I - {n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$? #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 329] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 329] Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite ferme pour la norme infinie, $C$ la sphere unite pour la norme infinie. On cherche a montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to C$ telle que la restriction de $r$ a $C$ soit l'identite. - - On considere une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetric (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice reelle telle que : $\forall i,j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, + - On considere une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetric (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice reelle telle que : $\forall i,j\in\db{1,n-1}$, $f(a_{i,j},a_{i+1,j})+f(a_{i+1,j},a_{i+1,j+1})+f(a_{i+1,j+1},a_{i,j+1})+f(a_{i,j+1},a_{i,j})=0$. @@ -2442,16 +2618,16 @@ $\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i,1},a_{i+1,1})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{n,j},a_{n,j+1})+\sum_ est a coefficients dans $\{1,2,3\}$. Montrer qu'au moins un des petits carres de $M$ comporte trois valeurs differentes. - Montrer qu'on dispose d'un $\eta\gt 0$ tel que, pour tous $x$, $y\in D$ verifiant $\|x-y\|_{\i}\leq\eta$, on a $\|r(x)-r(y)\|\leq\frac{1}{10}$. - - Soit alors $n\in\N$ tel que $\frac{2}{n-1}\leq\eta$. Pour tous $i$, $j\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on pose + - Soit alors $n\in\N$ tel que $\frac{2}{n-1}\leq\eta$. Pour tous $i$, $j\in\db{1,n}$, on pose $v_{i,j}=\left(1-2\frac{i-1}{n-1},1-2\frac{j-1}{n-1}\right)$. -Montrer que, pour tous $i$, $j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, $v_{i,j},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1},v_{i,j+1}$ sont contenus dans une boule de rayon $1/10$. +Montrer que, pour tous $i$, $j\in\db{1,n-1}$, $v_{i,j},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1},v_{i,j+1}$ sont contenus dans une boule de rayon $1/10$. - En utilisant une fonction bien choisie de $C$ dans $\{1,2,3\}$, aboutir a une contradiction et conclure. - Utiliser ce resultat pour montrer que toute fonction continue de $D$ dans $D$ admet un point fixe. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 330] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 330] On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si + pour tous $s, t \in \R^+$ distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres distincts, + pour tous $s, t \in \R^+$ tels que $s\lt t, D_s \subset D_t$. @@ -2466,7 +2642,7 @@ On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^ 3. Prendre une fonction non réglée. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 331] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 331] Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algebre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algebre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. Jusqu'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$. - Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$. - On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$. @@ -2480,20 +2656,20 @@ Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$. - Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algebre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 332] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 332] Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu'il existe un $n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$. #+END_exercice #+BEGIN_proof Dérivée discrète. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 333] -Pour $n\geq 2$, on note $\ell_n=\min\left\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$. +#+begin_exercice [X MP 2023 # 333] +Pour $n\geq 2$, on note $\ell_n=\min\left\{k\in\db{1,n},\ \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$. - Montrer que $\ell_n=o(n)$. - Donner un equivalent de $\ell_n$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 334] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 334] Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives telles que la série de terme général $b_n$ converge, que la série de terme général $n a_n$ diverge et que $\sum_{n=0}^{+\i} a_n=1$. 1. Montrer qu'il existe une unique suite $\left(u_n\right)$ telle que, $\forall n \in \N, u_n=b_n+\sum_{k=0}^n u_k a_{n-k}$. 2. Montrer que $\left(u_n\right)$ est bornée. @@ -2503,32 +2679,32 @@ Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives Cf une année précédente. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 335] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 335] On considere la suite reelle definie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un reel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$.# 336 Soit $(a - {n\geq 0}$ la suite reelle definie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un equivalent de $a_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 337] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 337] Soit $(a - {n\geq 0}$ definie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la serie de terme general $a_n$2? #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 338] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 338] Soit $\sum u_n$ une serie convergente de reels positifs. Existe-t-il une suite $(v - {n\geq 0}$ de reels positifs tendant vers $+\i$ telle que la serie $\sum u_nv_n$ converge? #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 339] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 339] Soit $(x_n)$ une suite reelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable pour toute suite reelle $(y_n)$ de carre sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carre sommable. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 340] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 340] Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Determiner la nature de la serie $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 341] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 341] Etudier la convergence de la serie de terme general $\frac{\sin(\ln n)}{n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 342] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 342] On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$. - Montrer que $u$ converge vers une limite $\ell$. - Montrer que $\ell=-(\sqrt{2}+1)\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$. @@ -2539,7 +2715,7 @@ On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$. - Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un developpement asymptotique a trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 343] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 343] Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et $\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature. #+END_exercice #+BEGIN_proof @@ -2548,55 +2724,55 @@ $$\int_0^{+\i} \frac{1}{f(t)}\dt = \int_0^{+\i} \frac{1}{u f'(f^{-1}(u))} \du,$$ puis IPP. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 344] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 344] - Soit $m\in\N^*$. Montrer que $\sum\limits_{n=1}^{+\i} \frac{\sqrt{m}}{(m+n)\sqrt{n}}\leq \pi$. Ind. : Dans $\R^2$, considérer les points $x_n= (\sqrt{m}, \sqrt{n})$ et l'intersection $r_n$ du cercle $C(0,\sqrt{m})$ avec le segment $[0,x_n]$. - Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carre sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 345] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 345] - Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall(x,y)\in\R^2$, $f(xy)=f(x)\,f(y)$. - Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall x\neq y\in\R$, $f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 346] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 346] Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique? #+END_exercice #+BEGIN_proof Easy. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 347] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 347] Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $|f'|+|f+1|\leq 1$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 348] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 348] Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum_{p\in\mc{P},\ p\leq x}\ln(p)$. Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 349] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 349] Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 350] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 350] Soit $(x - {n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t - {n\geq 0}$ d'elements de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 351] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 351] Calculer $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 352] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 352] Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivee $n$-ieme de $(X^2-1)^n$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $:\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $\int_{-1}^1PL_n=0$. - Montrer que $L_n$ possede $n$ racines distinctes $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n$ dans $]-1,1[$. - Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que $:\forall P\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 353] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 353] Pour $n\in\N$, on pose $ I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^3$. - On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$. - On suppose $n$ multiple de $4$. Montrer que $I_n\gt 0$. @@ -2605,16 +2781,16 @@ Pour $n\in\N$, on pose $ I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^3$. $ I_{2n}=(-1)^n\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^{2n}(x)\,\sin^{2n}(y)\,\sin^{2n}(x+y)\,dx\,dy$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 354] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 354] - Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$. - Determiner la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 355] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 355] Justifier l'existence et calculer $\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 356] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 356] Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$. 1. Montrer que $f(x)\lt \frac{1}{x}$ pour tout $x\gt 0$. 1. Montrer que $f(x)\gt \frac{\sqrt{x^2+4}-x}{2}$ pour tout $x\gt 0$. @@ -2625,26 +2801,26 @@ Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}} #+END_proof -#+BEGIN_exercice [# 357] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 357] Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v)=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(u-r e^{i \theta}\right)\left(v-r e^{i \theta}\right)}$. #+END_exercice #+BEGIN_proof #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 358] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 358] Soit $f\colon\R\to\R^+$ integrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$. - Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu'il existe un unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$. - Montrer que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)=\ell$. - Supposons que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. Montrer que $m\gt M$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 359] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 359] - Soient $a$ et $b$ deux suites reelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f - {m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformement vers une fonction constante. - On note $H$ l'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition des fonctions. - Soit $f\in H$. Montrer que $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 360] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 360] On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi $I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est ferme$\}$ et $S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est ferme$\}$. Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$. @@ -2652,7 +2828,7 @@ Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f( - Soit $f\in F$. Montrrer que $f\in I$ si et seulement s'il existe une suite $(f - {n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 361] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 361] Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$. - Rappeler le theoreme d'integration des relations de comparaison. - Donner un equivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$. @@ -2661,7 +2837,7 @@ Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfra - Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ telle que $f(x)\sim\dfrac{C}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 362] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 362] Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et $\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n$. @@ -2669,7 +2845,7 @@ $\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n$. - Determiner la valeur de ce rayon de convergence. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 363] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 363] Pour $x$ reel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve de convergence. - Determiner le domaine de definition de $f$. - Etudier la continuite puis la derivabilite de $f$. @@ -2677,12 +2853,12 @@ Pour $x$ reel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve de - Montrre que $f$ est developpable en serie entiere, et preciser le developpement associe. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 364] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 364] - Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d'une serie entiere. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre reel. - Soient $A$ et $B$ deux polynomes a coefficients reels dont toute combinaison lineaire a coefficients reels est scindee ou nulle. Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrre que $[x,y]$ contient au moins une racine de $B$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 365] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 365] Soit $\sum a_nz^n$ une serie entiere de rayon de convergence egal a $1$ et de somme $f$. On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$. @@ -2690,7 +2866,7 @@ On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'( Montrre que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 366] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 366] Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair. 1. Montrer l'existence d'une suite réelle $\left(b_k\right)_{k \geq 0}$ telle que : $\forall x \in \R, \exp (P(x))=\sum_{k=0}^{+\i} b_k x^k$. 2. Montrer que les $b_k$ sont tous non nuls. @@ -2700,7 +2876,7 @@ Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair. 2. Quand on dérive successivement $e^P$, on trouve une quantité qui vaut toujours $1$ modulo $2$. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 367] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 367] Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$. - Montrrer que la suite de terme general $(x,q)_n$ converge vers un reel $(x,q)_{\i}\gt 0$. - Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert de convergence. @@ -2710,54 +2886,54 @@ Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$. - Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Determiner, pour tout $z\in D$, la limite de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 368] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 368] - Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big{\{}(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big{\}}$. Trouver un equivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$. - On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Trouver un equivalent de $g$ en $1^-$ en utilisant $g^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 369] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 369] Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\deg F}$. - Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrre que la famille $\big{(}|F|^{-s}\big{)}$, indexee par les polynomes $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme, qu'on notera $z(s)$. - On note $A$ l'ensemble des polynomes unitaires de $F\in\mathbb{F}_p[X]$ sans facteur carre, c'est-a-dire tels que : $\forall D\in\mathbb{F}_p[X]$, $D^2|F\Rightarrow\deg D=0$. Montrre que $\sum_{F\in A}|F|^{-s}=\frac{z(s)}{z(2s)}$. - En deduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynomes sans facteur carre parmi les polynomes unitaires de degre $d$ de $\mathbb{F}_p[X]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 370] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 370] Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$. - Donner un equivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$. - On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'ecart avec l'equivalent trouve. - Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$? #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 371] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 371] - Determiner le domaine de definition de $f:x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$. - Montrre, pour tout reel $x\gt 0$, l'egalite $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 372] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 372] - Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout reel $x$. - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$ - Donner une expression simplifiee de $F$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 373] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 373] Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre integrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$. - Justifier la bonne definition de $S_f$. - Montrer que $S_f$ est de carre integrable. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 374] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 374] Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$. - Determiner la limite et un equivalent de $I$ en $+\i$. - Donner un developpement asymptotique de $I$ a tout ordre. - Donner une condition necessaire et suffisante pour que ce developpement soit la somme partielle d'une serie convergente pour tout $x\gt 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 375] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 375] - Soient $K$ un segment et $f:K\to K$ une fonction continue croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe. - On considere l'equation differentielle non lineaire $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ verifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ reels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possede une solution $2\pi$-periodique. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 376] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 376] Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$. Soit $a\in[0,1]$. - Justifier qu'il existe une unique fonction $x_a:\R^+\to\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\forall t\in\R^+,\ x'(t)=f(t)-(f(t)+g(t))\,x(t)$ et $x(0)=a$. - On suppose que $f$ et $g$ ont une limite finie strictement positive en $+\i$. Montrer que $x_a$ tend vers $0$ en $+\i$. @@ -2765,7 +2941,7 @@ Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$. S - On suppose que l'une des fonctions $f$ et $g$ n'est pas integrable sur $\R^+$. Montrer que $x_1-x_0$ tend vers $0$ en $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 377] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 377] Soient $v:\R\to\R$ une fonction continue a support compact et $\omega\in\R^{+*}$. On considere l'equation differentielle $y^{''}+\omega^2y=v(t),$ dont on note $\mc{S}_E$ l'ensemble des solutions. - Montrer que, pour tout $(a,b)\in\R^2$, il existe une unique solution $f^+_{a,b}$ (resp. $f^-_{a,b}$) de $(E)$ telle que $f^+_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $+\i$, (resp. $f^-_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $-\i$. - Montrer que $\mc{S}_E=\{f^+_{a,b},(a,b)\in\R^2\}=\{f^-_{a,b},(a,b)\in \R^2\}$. @@ -2773,7 +2949,7 @@ Soient $v:\R\to\R$ une fonction continue a support compact et $\omega\in\R^{+*}$ - On suppose que $S_{\omega}=\mathrm{id}_{\R^2}$ pour tout $\omega\gt 0$. Montrer que $v$ est identiquement nulle. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 378] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 378] Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considere l'equation differentielle $(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. - Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$. - Soient $q:\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux reels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle $x$ de $y^{''}+q(t)\,y=0$. @@ -2781,12 +2957,12 @@ Soient $v:\R\to\R$ une fonction continue a support compact et $\omega\in\R^{+*}$ - Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tout $n\in\N$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 379] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 379] - Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie, et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $pu+up=u$. Montrer que $\mathrm{tr}(u)=0$. - - Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit $r\in\llbracket 0,n\rrbracket$. On note $G$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$. Determiner l'espace vectoriel tangent a $G$ en $p$. + - Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit $r\in\db{0,n}$. On note $G$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$. Determiner l'espace vectoriel tangent a $G$ en $p$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 380] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 380] On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considere le carre de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ sur ce carre. - Montrer qu'il existe une disposition des points $A$, $B$ et $C$ maximisant l'aire du triangle $ABC$. - Caracteriser une telle disposition. @@ -2794,7 +2970,7 @@ On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considere le carre de ** Geometrie -#+begin_exercice [X MP # 381] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 381] Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimetre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite. - Calculer $P_n$ et etudier la convergence de la suite $(P - {n\geq 2}$. - Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$. @@ -2802,31 +2978,32 @@ Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimetre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes - Proposer une methode d'approximation de $\pi$ par exces. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 382] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 382] On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l'unique point tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L'objectif est de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral. - On note $f,g,h$ les rotations de centres respectifs $A,B,C$ et d'angles de mesures respectives $\frac{2a}{3}$, $\frac{2b}{3}$ et $\frac{2c}{3}$. Montrer que $P$ est l'unique point fixe de $g\circ h$. - Montrer que $(f^3\circ g^3\circ h^3)(z)=z$ pour tout nombre complexe $z$. - On note $f:z\mapsto a_1z+b_1$, $g:z\mapsto a_2z+b_2$ et $h:z\mapsto a_3z+b_3$. Experimer $P,Q,R$ en fonction des $a_i$ et des $b_i$. - Conclure. - #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 383] -Determiner le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $[\![1,n]\!]$. +** Probabilités + +#+begin_exercice [X MP 2023 # 383] +Determiner le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $\db{1,n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 384] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 384] - Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$. - Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste decroissante $(\lambda - {1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes. Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$. - - On fixe $n\geq 1$ et on considere une variable aleatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in[\![1,n]\!]:X_i=k\}|$. + - On fixe $n\geq 1$ et on considere une variable aleatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in\db{1,n}:X_i=k\}|$. Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ a preciser. - Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 385] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 385] On considere la suite $(a_n)$ definie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$. - Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$. - On lance une piece non truquee. Determiner la loi de la variable aleatoire $X$ qui donne l'instant de premiere apparition du motif Face-Face. @@ -2834,7 +3011,7 @@ On considere la suite $(a_n)$ definie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n- - Donner un equivalent de ${\bf P}(X=n)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 386] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 386] Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aleatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites. - Calculer ${\bf P}(N=1)$ et ${\bf P}(N=n)$. - Donner une formule simple pour la fonction generatrice de $N$. @@ -2842,25 +3019,26 @@ Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la v - Donner un equivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 387] -Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aleatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$. +#+begin_exercice [X MP 2023 # 387] +Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aleatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$. - Determiner ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$. - Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicite de $z$ comme valeur propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 388] -Soient $b,n\in{\N}^*$. On considere $(B - {1\leq i\leq n}$ des variables aleatoires independantes suivant la loi uniforme sur $[\![0,b-1]\!]$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in[\![1,n]\!],\ B_i\gt B_{i+1}\}$. - - Pour $i\in[\![1,n-1]\!]$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$. - - Soit $j\in[\![1,n-j-1]\!]$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$. - Pour $I\subset\llbracket 1,n\rrbracket$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ elements a valeurs dans $\llbracket 0,b-1\rrbracket$ qui verifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$. +#+begin_exercice [X MP 2023 # 388] +Soient $b,n\in{\N}^*$. On considere $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aleatoires independantes suivant la loi uniforme sur $\db{0,b-1}$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in \db{1,n} \mid B_i\gt B_{i+1}\}$. + - Pour $i\in \db{1,n-1}$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$. + - Soit $j\in\db{1, n-j-1}$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$. + - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ elements à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui verifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 389] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 389] Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note $s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points $e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note $b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment (ou on dit que deux segments se croisent s'ils ont un point d'intersection qui n'est pas une extremite). Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Determiner $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en donner un equivalent. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [# 390] +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 390] Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : $\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$. 1. Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et enfin que $p \leq \frac{1}{4}$. 2. Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $\Phi_X\colon \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$. Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$. @@ -2872,42 +3050,62 @@ Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P} 3. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 391] -Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $\llbracket 0,d\rrbracket$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$. - - La variable aleatoire $S_n$ est-elle uniformement distribuee sur $\Z/n\Z$? +#+begin_exercice [X MP 2023 # 391] +Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $\db{0,d}$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$. + - La variable aleatoire $S_n$ est-elle uniformement distribuée sur $\Z/n\Z$? - Calculer la loi de $S_n$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Non, cf $d = 1$, c'est une loi binomiale. + - Fonction génératrice. +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 392] -Soient $d\in\N^*$, $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,d\rrbracket$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. - - Soient $Y$ une variable aleatoire a valeurs dans $\Z$, $r\in\llbracket 0,d-1\rrbracket$, $\omega=e^{2i\pi/n}$. -Montrer que $\mathbf{P}(Y\equiv r\left[d\right])=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\omega^{kr}}\mathbf{E}\left(\omega^{kY}\right).$ - - Soit $r\in\llbracket 0,d-1\rrbracket$. Donner une expression de $\mathbf{P}(S_n\equiv r\left[d\right])$. - - Determiner la limite de la suite de terme general $\mathbf{P}(S_n\equiv 0\left[d\right])$. +#+begin_exercice [X MP 2023 # 392] +Soient $d\in\N^*$, $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,d}$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. + - Soient $Y$ une variable aleatoire a valeurs dans $\Z$, $r\in\db{0,d-1}$, $\omega=e^{2i\pi/n}$. + + Montrer que $\mathbf{P}(Y\equiv r\left[d\right])=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\omega^{kr}}\mathbf{E}\left(\omega^{kY}\right)$. + - Soit $\db{0,d-1}$. Donner une expression de $\mathbf{P}(S_n\equiv r\left[d\right])$. + - Determiner la limite de la suite de terme general $\mathbf{P}(S_n\equiv 0 [d])$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 393] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 393] Soit $n\geq 1$. - - On se donne deux variables aleatoires independantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket^2$. Soit $r\in\Q$. Determiner la probabilite $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit egal a $r$. Donner un equivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$. - - On se donne quatre variables aleatoires independantes $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket^2$. On note $p_n$ la probabilite pour que $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ soient paralleles. Montrer que $p_n=O\Big{(}\frac{\ln n}{n^2}\Big{)}$ quand $n\to+\i$. + - On se donne deux variables aleatoires independantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. Soit $r\in\Q$. Determiner la probabilite $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit egal a $r$. Donner un equivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$. + - On se donne quatre variables aleatoires independantes $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. On note $p_n$ la probabilite pour que $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ soient parallèles. Montrer que $p_n=O\big(\frac{\ln n}{n^2}\big)$ quand $n\ra+\i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +!! +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 394] -Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$.*a)*: Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$. + +#+begin_exercice [X MP 2023 # 394] + - Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$. - Soit $X$ une variable aleatoire reelle centree et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$. - - Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires centrees admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$. + - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires centrees admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 395] -Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. A chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle titee dans l'urne. Soit $X_n$ la variable aleatoire du nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages. Soit $T_n$ l'evenement «tirer une boule jaune au $n^{\text{ieme}}$ tirage». - - Calculer $\mathbf{P}_{T_2}(T_1)$. - - Determiner la loi de $X_n$. - - Calculer $\mathbf{P}(T_n)$. - - Pour $n_1,...,n_p,m_1,...,m_q$ tous distincts, calculer $\mathbf{P}(T_{n_1}\cap...\cap T_{n_p}\cap\overline{T_{m_1}}\cap...\cap \overline{T_{m_q}})$. +#+begin_exercice Urne de Polya [X MP 2023 # 395] +Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. A chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle tirée dans l'urne. On note $X_n$ le nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages et $T_n$ l'evenement «tirer une boule jaune au $n$-ième tirage». + 1. s Calculer $P(T_1\mid T_2)$. + 2. Determiner la loi de $X_n$. + 3. Calculer $P(T_n)$. + 4. Pour $n_1,...,n_p,m_1,...,m_q$ tous distincts, calculer $P(T_{n_1}\cap\dots\cap T_{n_p}\cap\overline{T_{m_1}}\cap \dots\cap \overline{T_{m_q}})$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. $P(X_n = a) = \frac{b}{a+b} \frac{b+1}{a+b+1} \dots \frac{b+n-1}{a+b+(n-1)}$ -#+BEGIN_exercice [# 396] + $P(X_n = a+1) = n \frac{b}{a+b} \frac{b+1}{a+b+1} \dots \frac{b+n-2}{a+b+(n-2)} \frac{a}{a+b+(n-1)}$. + + En général, $P(X_n = a + k) = {n\choose k} \frac{(a+b-1)!}{(a+b+n-1)!} \frac{(b+n-k-1)}{(b-1)!} \frac{a+k-1!}{(a-1)!}$. + 3. dur dur, $E(X_n)$ + 4. +#+END_proof + + +#+BEGIN_exercice [X 2023 # 396] Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$. 1. Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un triangle équilatéral. 2. Déterminer un équivalent de $p_n$. @@ -2921,7 +3119,7 @@ Relier à un précédent. Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP # 397] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 397] On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilite uniforme. Soit $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation aleatoire $\sigma\in\mc{S}_n$. - Calculer $\mathbf{P}(X_n=0)$. - Determiner la loi de $X_n$. @@ -2929,32 +3127,32 @@ On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilite uni - Calculer les esperance et variance de la variable aleatoire $X_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 398] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 398] Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aleatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$. - Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible. - Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible et diagonalisable dans $\R$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 399] - Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\N$ verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in[\![0,n]\!]$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$. +#+begin_exercice [X MP 2023 # 399] + Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\N$ verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in \db{0,n}$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$. - Montrer que, si $(i,j)\in\N^2$, $\mathbf{P}P(X=i,Y=j)=\mathbf{P}(X=i,X-Y=j)$, puis que $X-Y\sim Y$. - Montrer que $\mathbf{P}(Y=0)\gt 0$. - On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont independantes. Determiner la loi de $Y$, puis celle de $X$. #+end_exercice -#+BEGIN_exercice [X MP # 400] - Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aleatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilite que $F$ soit bijective. +#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 400] + Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aleatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilite que $F$ soit bijective. #+END_exercice -#+begin_exercice [X MP # 401] -On cherche a collectionner $N$ jouets. A chaque achat, chaque jouet a une probabilite uniforme d'etre obtenu. Pour $i\in\llbracket 1,N\rrbracket$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents. +#+begin_exercice [X MP 2023 # 401] +On cherche a collectionner $N$ jouets. A chaque achat, chaque jouet a une probabilite uniforme d'etre obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents. - Calculer l'esperance de $T_N$. - Calculer la variance de $T_N$. - Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 402] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 402] Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles centrees. On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$. @@ -2962,7 +3160,7 @@ On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$. - Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la serie de terme general $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\gt \eps\right)$? #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP # 403] +#+begin_exercice [X MP 2023 # 403] Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient $S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$. - Montrer que $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)dx=\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n\frac{1}{n!}$. - On admet que, pour tout $x\in\R$, $\mathbf{P}(T_n\geq x)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\i}e^{-t^2/2}dt$. Retrouver la formule de Stirling. @@ -2972,50 +3170,50 @@ Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires ** X PSI :autre: *** Algebre -#+begin_exercice [X PSI # 404] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 404] Pour $n\geq 2$ on pose $P_n=(X+1)^n+X^n+1$ et $Q(X)=(X^2+X+1)^2$. Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $Q$ divise $P$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 405] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 405] Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu'il existe une base de $\mc{L}(E)$ formee de projecteurs. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 406] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 406] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. Montrer que $f$ possede $n$ valeurs propres distinctes si et seulement s'il existe $v\in E$ tel que $(v,f(v)\cdots,f^{n-1}(v))$ soit libre. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 407] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 407] Trouver $\text{Vect}(\mc{O}_n(\R))$.# 408 #+end_exercice - Soit $(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$. Montrer que $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. - Trouver une condition necessaire d'egalite lorsque $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. -#+begin_exercice [X PSI # 409] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 409] Soit $A\in\M_n(\R)$ tel que $A^2\in\mc{S}_n(\R)$. - A-t-on necessairement $A\in\mc{S}_n(\R)$? - Trouver une condition necessaire supplementaire pour avoir $A\in\mc{S}_n(\R)$. #+end_exercice *** Analyse -#+begin_exercice [X PSI # 410] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 410] Soit $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$. Montrer qu'il existe $(n,m)\in\N^2$ tel que $\sqrt{n}-\sqrt{m}\in]a,b[$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 411] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 411] - Soit $P\in\R_n[X]$ unitaire, avec $n\geq 2$. Montrer que $P$ est scinde dans $\R_n[X]$ si et seulement si $\forall z\in\C$, $|P(z)|\geq|\op{Im}z|^{\deg\ P}$. - Montrer que l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ trigonalisables dans $\R$ est un ferme. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 412] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 412] Soit $\alpha\gt 0$. Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites reelles telles que, pour tout $n\in\N$, $a_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(b_n+c_n)$, $b_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+c_n)$, $c_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+b_n)$. Etudier leur comportement asymptotique. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 413] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 413] Étudier la serie $\sum(-1)^n\dfrac{\sin(\ln(n))}{n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 414] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 414] Soit $f:[0,+\i[\to[0,+\i[$ de classe $C^1$, strictement croissante avec $\lim_{x\to+\i}f(x)=+\i$. Montrer que $\sum\dfrac{1}{f(n)}$ converge si et seulement si $\sum\dfrac{f^{-1}(n)}{n^2}$ converge. #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -3024,17 +3222,17 @@ Soit $f:[0,+\i[\to[0,+\i[$ de classe $C^1$, strictement croissante avec $\lim_{x Comparaison série intégrale, puis changement de variable. #+END_proof -#+begin_exercice [X PSI # 415] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 415] Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall(x,y)\in\R^2,f(xy)=f(x)f(y)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 416] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 416] Pour $a\in]0,1[$ et $n\in\N$, on pose $I_n(a)=\int_0^1\dfrac{1}{1+(at)+\cdots+(at)^n}dt$. Determiner $\lim_{n\to+\i}\left(\lim_{a\to 1}I_n(a)\right)$ et $\lim_{a\to 1}\left(\lim_{n\to+\i}I_n(a)\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 417] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 417] Soient $a,b,c$ trois reels strictement positifs. On pose $E=\left\{(x,y,z)\in\R^3\ ;\ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left( \dfrac{y}{b}\right)^2+\left(\dfrac{z}{c}\right)^2=1\right\}$. On suppose que $A,B,C$ sont trois points distincts de $E$ tels que le plan tangent a $E$ en $A$ est parallele a $(BC)$, le plan tangent a $E$ en $B$ est parallele a $(CA)$, le plan tangent a $E$ en $C$ est parallele a $(AB)$. @@ -3043,7 +3241,7 @@ Calculer le volume du parallelepipede engendre par les vecteurs $\overrightarrow #+end_exercice *** Geometrie -#+begin_exercice [X PSI # 418] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 418] Soient $abc$ un vrai triangle du plan complexe, $\alpha$ (resp. $\beta$, resp. $\gamma$) a rotation de centre $a$ (resp. $b$, resp. $c$) et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$. - Montrere que le centre de $\alpha\circ\beta$ appartient a l'intersection des trisectrices du triangles. - Montrere que $\alpha^3\circ\beta^3\circ\gamma^3$ est l'identite du plan. @@ -3052,25 +3250,25 @@ Soient $abc$ un vrai triangle du plan complexe, $\alpha$ (resp. $\beta$, resp. $ *** Probabilites -#+begin_exercice [X PSI # 419] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 419] Determiner la loi d'une variable aleatoire $X$ a valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall(k,\ell)\in(\N^*)^2$, $\mathbf{P}(X\gt k+\ell\,|\,X\gt k)=\mathbf{P}(X\gt \ell)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 420] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 420] Une entreprise qui commercialise des eeufs en chocolat met dans chaque ceuf un jouet. Au total il y a $N$ jouets differents. On suppose qu'a chaque achat d'ceuf la probabilite de tomber sur un jouet donne est identique pour chaque jouet. On note $T_N$ le nombre d'eufs achetes jusqu'a obtenir la collection complete. Montrer que $\mathbf{E}(T_N)=N\times H_N$ avec $H_N=\sum_{n=1}^N\dfrac{1}{n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 421] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 421] On pose$M=\left(\begin{array}{cccc}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{array}\right)$ avec $a,b,c,d$ des variables aleatoires a valeurs dans $\Z$ telles que $a+1,b+1,c+1,d+1$ suivent des lois de Poisson de parametres respectifs $\lambda_a,\lambda_b,\lambda_c,\lambda_d$. Calculer la probabilite de l'evenement $*M$ est inversible $\Rightarrow$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 422] -On considere deux variables aleatoires $X$ et $Y$ independantes a valeurs dans $[\![0,n]\!]$ qui suivent la meme loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $[\![0,n]\!]$. +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 422] +On considere deux variables aleatoires $X$ et $Y$ independantes a valeurs dans $\db{0,n]\!]$ qui suivent la meme loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $[\![0,n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PSI # 423] +#+begin_exercice [X PSI 2023 # 423] On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aleatoires independants avec remise. On note $N_n$ le nombre de tirages qu'il a fallu pour avoir les $n$ objets differents. - Calculer $\mathbf{E}(N_n)$ et $\mathbf{V}(N_n)$. - Montrere que $\forall\eps\gt0$, $\lim_{n\to\i}\mathbf{P}\left(\left|\dfrac{N_n}{n\ln(n)}-1\right|\gt \eps\right)=0$. @@ -3079,31 +3277,31 @@ On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aleatoires independ ** X PC :autre: *** Algebre -#+begin_exercice [X PC # 424] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 424] Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $m\in\N^*$ et $\eps_1,\ldots,\eps_m\in\{-1,1\}$ tels que $n=\sum_{k=1}^m\eps_kk^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 435] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 435] Soit $A\in\M_n(\C)$ une matrice qui n'est pas une homothetie. On suppose que $M$ est une matrice qui commute avec $PAP^{-1}$ pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $M$ est une homothetie. Meme question pour $A$ et $M$ matrices reelles. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 436] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 436] Soit $n\geq 2$. Si $A\in\M_n(\C)$ est nilpotente, determiner les valeurs possibles du cardinal de l'ensemble $\{B\in\M_n(\C),\ A=B^2\}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 437] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 437] Trouver les matrices $A$ de $\M_2\left(\C\right)$ telles que $A^p=A$, ou $p$ est un entier $\geq 2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 438] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 438] Soient $A,B\in\M_n(\C)$. Montrer $A$ et $B$ ont une valeur propre commune si et seulement s'il existe $P\in\M_n(\C)\setminus\{0\}$ telle que $AP=PB$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 439] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 439] Caracteriser les matrices $A\in\M_n(\C)$ telles que l'ensemble des matrices semblables a $A$ engendre l'espace $\M_n(\C)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 440] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 440] Soit $G$ une partie de $\mathrm{GL}_2(\R)$ qui contient $I_2$ et qui est stable par produit et passage a l'inverse. On note $\mathrm{Vect}(G)$ l'ensemble des combinaisons lineaires d'elements de $G$. Montrer que $\mathrm{Vect}(G)\neq\M_2(\R)$ si et seulement si une des conditions suivantes est verifiee : (i) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est triangulaire superieure, @@ -3111,51 +3309,51 @@ Soit $G$ une partie de $\mathrm{GL}_2(\R)$ qui contient $I_2$ et qui est stable (ii) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est de la forme $\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}$ avec $a$ et $b$ dans $\R$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 441] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 441] Soit $A\in\M_n\left(\C\right)$. On note $\mathrm{Sp}\left(A\right)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_r\}$ ou les $\lambda_i$ sont distincts et ou $\lambda_i$ est de multiplicite $m_i\in\N^*$. - Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n\left(\C\right)$ telle que $A=PTP^{-1}$ avec $$T=\!\!\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1I_{m_1}+N_1&*&\cdots&*\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&*\\ 0&\cdots&0&\lambda_rI_{m_r}+N_r\end{array}\right)\text{$$, ou les $N_i$ sont des matrices triangulaires superieures a diagonale nulle. - - On suppose que $A$ est inversible et qu'il existe $C\geq 0$ tel que $\forall k\in\Z$, $\forall\left(i,j\right)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2$, $\left\lvert\left[A^k\right]_{i,j}\right\rvert\leq C$. Montrer que $A=QDQ^{-1}$ avec $Q\in\mathrm{GL}_n(\C)$, $D=\mathrm{Diag}\ (d_1,\ldots,d_n)$ ou, pour $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $\left\lvert d_i\right\rvert=1$. + - On suppose que $A$ est inversible et qu'il existe $C\geq 0$ tel que $\forall k\in\Z$, $\forall\left(i,j\right)\in\db{1,n}^2$, $\left\lvert\left[A^k\right]_{i,j}\right\rvert\leq C$. Montrer que $A=QDQ^{-1}$ avec $Q\in\mathrm{GL}_n(\C)$, $D=\mathrm{Diag}\ (d_1,\ldots,d_n)$ ou, pour $i\in\db{1,n}$, $\left\lvert d_i\right\rvert=1$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 442] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 442] Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AB^2-B^2A=B$. Montrer qu'il existe $p\in\N$ tel que $B^{2p}\neq 0$ et $B^{2p+1}=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 443] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 443] Soient $n\in\N$ impair, $A$ et $B$ dans $\M_n\left(\C\right)$ telles que : $AB+BA=A$. - Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre commun. - Que dire si $n$ est impair. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 444] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 444] Soit $A\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres non nulles distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. - Montrrer qu'il existe des nombres complexes $c_{i,j}$, avec $1\leq i\leq n$, $0\leq j\leq n-1$, tels que $\forall k\in\N$, $A^k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}c_{i,j}\lambda_i^kA^j$. - Montrer l'unicite des $c_{i,j}$. - On suppose de plus $A$ inversible. Montrer que la formule reste vraie si $k\in\Z$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 445] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 445] Caracteriser les matrices $M\in\M_n(\C)$ qui sont somme de deux matrices diagonalisables de rang 1. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 446] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 446] Determiner les entier $n$ tels qu'il existe $A\in\M_n(\Z)$ verifiant $A^2-A+I_n=0$. Ind. Commencer par $n\leq 3$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 447] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 447] Soit $G=\{M\in\M_2(\Z),\ \det{(M)}=1\}$. On note $\mathrm{ord}(A)=\inf\{n\gt 0,\ A^n=I\}$. - Montrer que si $\mathrm{ord}(A)\lt +\i$ alors $\mathrm{ord}(A)$ divise $12$. - Soient $A,B\in G$. On suppose que $\mathrm{ord}(A)=\mathrm{ord}(B)\lt +\i$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\Q)$ tel que $PAP^{-1}=B$. Peut-on toujours prendre $P$ dans $G$? #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 448] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 448] Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que si $\lambda$ est un reel strictement negatif qui est valeur propre de la matrice $A\overline{A}$, alors la dimension du sous-espace propre associe est paire. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 449] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 449] Soit $\alpha\in\R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x\in\R^3,\ \|x\|=1\right\}$ ou $\|\ \|$ designe la norme euclidienne canonique. Montrer l'equivalence entre les propositions suivantes. (i) $\alpha=2$. @@ -3165,34 +3363,34 @@ Soit $\alpha\in\R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x\in\R^3,\ \|x\|=1\right\}$ ou $\|\ $\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^{\alpha}=\sum_{i=1}^n \left\|p-b_i\right\|^{\alpha}=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^{\alpha}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 450] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 450] Soit $n$ un entier $\geq 2$. Pour quelles valeurs du reel $\alpha$ existe-t-il $n+1$ vecteurs unitaires $u_0,u_1,\ldots,u_n$ de $\R^n$ verifiant $\forall(i,j)\in\{0,1,\ldots,n\}^2$, $i\neq j\Rightarrow\left\langle u_i,u_j\right\rangle=\alpha$? Ind. Considerer la matrice $A=\left(\left\langle u_i,u_j\right\rangle\right)_{1\leq i,j\leq n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 451] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 451] On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $n\geq 2$. Montrer que tout endomorphisme de $\R^n$ est somme d'un nombre fini d'isometries. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 452] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 452] - Est-il vrai que pour tout $n$ et tous $A,B\in\M_n(\R)$, les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables? - Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont semblables. - Soient $F,G$ des sous-espaces de dimension $m$ de $\R^n$, $p_F$ et $p_G$ les projections orthogonales respectivement sur $F$ et $G$. Montrer que $\text{sp}(p_F\circ p_G)=\text{sp}(p_G\circ p_F)\subset[0,1]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 453] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 453] Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symetrique positive non nulle. Montrer qu'il existe $r\in\N^*$ et des reels $b_{i,k}$, avec $1\leq i\leq n$ et $1\leq k\leq r$, tels que $\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$, $a_{i,j}=\sum_{k=1}^rb_{i,k}b_{j,k}$. Quel est la plus petite valeur possible de $r$?# 454 Soit $A=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre est inferieure ou egale a $\frac{1}{2n+1}$. On pourra montrer que $\forall P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,dt+\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\, d\theta=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 455] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 455] Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ et $A^T$ commutent si et seulement si $AA^TA=A^2A^T$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 456] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 456] Soient $A\in\M_{m,n}(\R)$ non nulle, $X\in\R^n$ et $Y\in\R^m$. On munit $\R^n$ et $\R^m$ de leurs normes euclidiennes canoniques. Considerons les assertions : (i) $\forall Z\in\R^n$, $\|AX-Y\|\leq\|AZ-Y\|$; @@ -3208,44 +3406,44 @@ Soient $A\in\M_{m,n}(\R)$ non nulle, $X\in\R^n$ et $Y\in\R^m$. On munit $\R^n$ e - Montrer que $B$ est lineaire. Montrer que, pour tout $Y\in\R^m$, $\|BY\|\leq\frac{\|Y\|}{\sqrt{\lambda_1}}$ ou $\lambda_1$ est la plus petite valeur propre non nulle de $A^TA$, et qu'il y a des cas d'egalite non triviaux. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 457] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 457] Donner une condition sur $A=\left(a_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{S}_n\left( \R\right)$ pour que l'application qui a $U=\left(u_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{O}_n\left( \R\right)$ associe $\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}u_{i,j}$ atteigne son maximum en un unique $U$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 458] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 458] Soit $\alpha\in\,]0,1[$. - Montrer que l'existence de $c_{\alpha}\in\R$ tel que $\forall\lambda\gt 0$, $c_{\alpha}\!\int_0^{+\i}\frac{t^{-\alpha}}{\lambda+t}dt= \lambda^{-\alpha}$. - Soit $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$. On definit : $A^{-\alpha}=c_{\alpha}\!\int_0^{+\i}t^{-\alpha}(A+tI_n)^{-1}dt$. Expliquer le sens de cette expression, montrer que l'integrale converge et que $\left(A^{-1/2}\right)^2=A^{-1}$. - Montrer que si $B-A$ est positive alors $A^{-1/2}-B^{-1/2}$ l'est aussi. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 459] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 459] Soit $f\colon\mc{S}_n(\R)\to\R$ une forme lineaire. Montrer l'equivalence des trois assertions suivantes : i) $\forall A\in\M_n(\R),\ f\big{(}AA^T\big{)}\geq 0$; ii) $\exists B\in\mc{S}_n^+(\R),\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)= \mathrm{Tr}(AB)$; -iii) $\exists m\in\N,\ \exists(X - {i\in\llbracket 1\,:\,m\rrbracket}\in \M_{n,1}(\R)^m,\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)=\sum_{i=1}^m \mathrm{Tr}\,\big{(}X_i^TAX_i\big{)}$. +iii) $\exists m\in\N,\ \exists(X - {i\in\db{1\,:\,m}}\in \M_{n,1}(\R)^m,\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)=\sum_{i=1}^m \mathrm{Tr}\,\big{(}X_i^TAX_i\big{)}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 460] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 460] Sont $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$ et $B\in\mc{A}_n\left(\R\right)$. Montrer que $AB$ est diagonalisable sur $\C$. #+end_exercice *** Analyse -#+begin_exercice [X PC # 461] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 461] Si $I$ est un intervalle de $\R$, on note $|I|$ sa longueur. Montrer qu'il existe une famille $(I - {j\in A}$ d'intervalles de $\R$, non reduits a un point, deux a deux disjoints et tels que $\Q\subset\bigcup_{j\in A}I_j$ et $\sum_{j\in A}|I_j|=42$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 462] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 462] On pose : $E=\M_n(\R)$ et $F=\big{\{}P\in E,\ P=P^T=P^2\big{\}}$. Soit $(P,Q)\in F^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $f:[0,1]\to F$ continue telle que $f(0)=P$ et $f(1)=Q$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 463] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 463] Soit $A:\R\to\M_n(\C)$ continue telle que $A(0)=A(1)=I_n$ et $A(s+t)=A(s)A(t)$ pour tous $s,t$. - Donner des exemples non triviaux de telles applications. - Montrer qu'il existe $P$ inversible et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\Z$ tels que : @@ -3253,7 +3451,7 @@ Soit $A:\R\to\M_n(\C)$ continue telle que $A(0)=A(1)=I_n$ et $A(s+t)=A(s)A(t)$ p $\forall t\in\R$, $A(t)=P\mathrm{diag}(e^{i2\pi\lambda_1t},\ldots,e^{i2\pi\lambda_nt})P^{-1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 464] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 464] Soit $A\in\M_n(\R)$. On definit une suite de matrices par $M_0=A$ et, pour tout $k\in\N$, $M_{k+1}=M_k-M_k^2$. On etudie la convergence eventuelle de $(M - {k\geq 0}$. - Etudier le cas ou $A$ admet une valeur propre reelle $\lambda\lt 0$ ou $\lambda\gt 1$. - Etudier le cas ou $A$ est nilpotente. @@ -3261,59 +3459,59 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$. On definit une suite de matrices par $M_0=A$ et, pour tout - Etudier le cas ou $A=\lambda I+N$ avec $N^2\neq 0$, $N^3=0$ et $0\lt \lambda\lt 1$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 465] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 465] Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie inclus dans $C^1(\R,\R)$. On suppose que $E$ est stable par translation, c'est-a-dire que $\forall f\in E,\forall a\in\R,(x\mapsto f(x+a))\in E$. Montrer que $\forall f\in E,f'\in E$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 466] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 466] Soit $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie. Soient $p,q\in\mc{L}(E)$ tels que $p^2=p$ et $q^2=q$. On suppose que $\forall x\neq 0$, $\|(p-q)(x)\|\lt \|x\|$. - Montrer que $p$ et $q$ ont le meme rang. - Montrer que $u=pq+(\mathrm{id}-p)(\mathrm{id}-q)$ est inversible et que $p=uqu^{-1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 467] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 467] Soit $x\geq 0$. Donner un equivalent de la suite de terme general $u_n=\prod_{i=1}^n(x+i)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 468] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 468] Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $\sum_{k=0}^{n-1}|\cos(k)|\geq\frac{4n}{10}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 469] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 469] Soit $c_n$ le nombre de listes $(a_1,\ldots,a_n)$ d'entiers telles que $\{a_1,\ldots,a_n\}=\{1,\ldots,n\}$ et $\forall i\in\{1,\ldots n-1\}$, $a_{i+1}\neq a_i+1$. - Montrer que, pour $n\in\N$ avec $n\geq 3$, on a $c_n=(n-1)c_{n-1}+(n-2)c_{n-2}$. - Montrer que la suite $\Big{(}\frac{c_n}{n!}\Big{)}$ converge vers une limite non nulle. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 470] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 470] Soit $C=0,1234567891011121314\ldots$ (on ecrit les ecritures decimales de tous les entiers naturels a la suite). Montrer que $C$ est irrationnel.# 471 Soit $a\in\R$. On suppose que $\left(n\left\{an!\right\}\right)_{n\in\N}$ converge ou on note $\left\{x\right\}=x-\left\lfloor x\right\rfloor$ pour $x\in\R$. Montr er que $a\in\Q+\mathsf{e}\N$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 472] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 472] - On fixe $x\geq 0$. Determiner un equivalent simple de $u_n=(x+1)\cdots(x+n)$ de la forme $C(x)v_n(x)$ ou $C(x)$ est une constante qu'on ne cherchera pas a calculer et $v_n(x)$ est explicite. - Calculer $C(k)$ pour $k\in\N$, et la limite de $C(x)$ quand $x\to+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 473] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 473] Soit $u_n$ le maximum de la fonction $x\mapsto(n-x)\ln(x)$ sur $[0,n]$. - Trouver un equivalent de $u_n$. - Soit $\lambda\in\R$. On pose, pour $n\geq 3$, $v_n=u_n-n\ln(n)+n+n\ln(\ln(n))+\lambda n$. Montr er que $v_n\to+\i$ si $\lambda\geq 0$ et $v_n\to-\i$ sinon. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 474] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 474] Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_0\gt 0$ et $\forall n\geq 0$, $u_{n+1}=u_n-e^{-1/u_n}$. - Determiner la limite de $(u_n)$. - Montr er que, pour tout $\alpha\gt 0$ on a $n^{\alpha}u_n\to+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 475] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 475] Determiner $\lim_{n\to+\i}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$. Ind. Etudier si $n\geq m$, $a_{m,n}=\sqrt{1+m\sqrt{1+(m+1)\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$, et considerer $a_{m,n}^2-(m+1)^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 476] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 476] Soit $(u_n)$ une suite bornee. Montr er qu'il y a equivalence entre : (i) $\frac{1}{n}\sum_{k\lt n}|u_k|\to 0$, @@ -3321,18 +3519,18 @@ Soit $(u_n)$ une suite bornee. Montr er qu'il y a equivalence entre : (ii) il existe $A\subset\N$ tel que $\frac{1}{n}\left|A\cap[0,n-1]\right|\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$ et $\lim_{n\notin A}u_n=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 477] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 477] Etudier la convergence de la serie de terme general $\left|\sin(2\pi n!e)\right|^{\alpha}$ selon les valeurs du reel $\alpha\gt 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 478] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 478] - Soit $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$ une suite bornee telle que $\lim_{n\to+\i}\sum_{p=0}^{+\i}\frac{u_{n2^p}}{2^p}=1$. Que peut-on en dedaire sur la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$? - Soit $(v - {n\in\N}$ une suite reelle bornee. On suppose $\lim_{n\to+\i}\left(v_n-\frac{1}{2}v_{2n}\right)=\frac{1}{2}$. Que dire $\left(v_n\right)_{n\in\N}$? #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 479] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 479] - Soient $a\in\N^*$ et $n\in\N$. Montr er qu'il existe des entiers $c_j$, avec $0\leq j\leq a-1$, tels que $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{k^n}{k!^a}=\sum_{k=0}^{+\i}\frac{\sum_{j=0}^ {a-1}c_jk^j}{k!^a}$. - Montr er que les $c_j$ sont uniquees (on traitera d'abord le cas $a=2$).# 480 Soient $a\in]0,1[$ et $n\in\N^*$. Notons $S_n=\sum_{k=0}^{+\i}\big{(}1-(1-a^k)^n\big{)}$. @@ -3340,41 +3538,41 @@ Que peut-on en dedaire sur la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$? - Donner un equivalent de $S_n$ lorsque $n\to\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 481] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 481] Soient $f$ et $g:\R\to\R$ continues et croissantes. Soit $\lambda\gt 0$. Montrer qu'il existe un unique couple $(u,v)\in\R^2$ tel que $\lambda u+f(u-v)=\lambda v+g(v-u)=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 482] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 482] Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 483] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 483] Soit $f:[0,1]\mapsto\R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que, pour tout $a\in\R$, $f'+af$ s'annule sur $]0,1[$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 484] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 484] - Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ une fonction $C^{\i}$. Montrer que pour tout $n\gt 0$ et pour tout $x\gt 0$ il existe $c\in]x,x+n[$ tel que $\sum_{k=0}^n\binom{k}{n}(-1)^{n-k}f(x+k)=f^{(n)}(c)$. - Soit $\lambda\gt 0$ tel que $n^{\lambda}\in\N$ pour tout $n$. Montrer que $\lambda\in\N$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 485] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 485] On appelle polynome trigonometrique reel toute fonction $f\colon\R\to\R$ donnee par une formule $\forall x\in\R,\ f(x)=\sum_{k=-n}^na_ke^{ikx}$ avec $n\in\N$ et des constantes $a_k\in\C$. Trouver tous les couples $(f,g)$ de polynomes trigonometriques reels tels que $f^2+g^2=1$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 486] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 486] Soient $a,b$ deux reels strictement positifs. Pour $x\gt 0$, on pose $f(x)=\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$. - Determiner les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\i$. - On prolonge $f$ en $0$ en posant $f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$. La fonction $f$ est-elle continue? de classe $\mc C^1$? de classe $\mc C^2$? de classe $\mc C^{\i}$? - Soit $g:x\mapsto f(1/x)$. Trouver une fonction $x\mapsto h(x)$ telle que, pour tout $n\in\N$, $g(x)-h(x)\underset{x\to 0^+}{=}o(x^n)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 487] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 487] Soit $f\colon\R\to\R$ continue. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes : - $f$ est croissante, - pour tout intervalle $I\subset\R$ ouvert, pour toute $\phi\in\mc C^{\i}\left(I,\R\right)$, pour tout $x_0\in I$, si $f-\phi$ admet un minimum local en $x_0$, alors $\phi'\left(x_0\right)\geq 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 488] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 488] Soit $g\in\mc C^3([0,2],\R)$ telle que $g(0)=g(1)=g(2)=0$. - Montrer : $\forall x\in[0,2]$, $\exists c\in[0,2]$, $g(x)=\dfrac{1}{6}x(x-1)(x-2)g^{(3)}(c)$. - Montrer que $\int_0^2|g(x)|\ dx\leq\dfrac{1}{12}\|g^{(3)}\|_{\i}$. @@ -3384,13 +3582,13 @@ Soit $g\in\mc C^3([0,2],\R)$ telle que $g(0)=g(1)=g(2)=0$. On pose $ m=\inf\limits_{[a,b]}\dfrac{f}{g}$ et $ M=\sup\limits_{[a,b]}\dfrac{f}{g}\cdot$ Montrer que $\int_a^bf^2\int_a^bg^2\leq\dfrac{\left(M+m\right)^2}{4 Mm}\left(\int_a^bfg\right)^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 490] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 490] Soient $ K:\left[0,1\right]^2\to\R$ et $f,g:\left[0,1\right]\to\R$ continues telles que : $\forall x\in\left[0,1\right]$, $ f\left(x\right)=\int_0^1K(x,z)g(z)\,dz$ et $ g\left(x\right)=\int_0^1K(x,z)f(z)\,dz$. Montrer que $ f=g$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 491] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 491] Soit $E$ l'espace des fonctions $ f\in\mc C^2(\R,\R)$ telles que $\sup\limits_{x\in\R}\left(1+x^2\right)\bigl{(}\left|f(x)\right|+ \left|f'(x)\right|+\left|f^{''}(x)\right|\bigr{)}\lt +\i$. @@ -3400,41 +3598,41 @@ Pour $(t,x)\in\R^2$, on definit $ A_t(f)(x)=txf(x)+f'(x)$ et $ A_t^*(f)(x)=txf(x Montrer que $\forall t\in\R$, $\forall f\in E$, $\int_{-\i}^{+\i}A_t^*(A_t(f))(x)\,f(x)\,dx\geq 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 492] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 492] Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$. - Soient $ f_1,\dots,f_n\in\R^{[a,b]}$. Montrer que $(f_1,\dots,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $ x_1,\dots,x_n\in[a,b]$ tels que la matrice $(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}$ soit inversible. - Soit $ E=\text{Vect}(f_1,\dots,f_n)$. Montrer que toute limite simple de fonctions de $E$ est encore dans $E$. - La convergence est-elle uniforme? #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 493] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 493] Posons $ A=\Q\cap\left[\,0\,;\,1\,\right]$. Existe-t-il une suite $(f_n)$ de fonctions de $A$ dans $A$, continues sur $A$ et qui converge simplement sur $A$ vers une fonction $f$ qui n'est continue en aucun point de $A$? La convergence peut-elle etre uniforme? #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 494] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 494] On considere l'ensemble $E$ des applications continues $ f\colon\R\mapsto\R$ telles qu'il existe $ M\gt 0$ verifiant $\forall x,y\in\R,\left|f(x+y)-f(x)-f(y)\right|\leq M$. - Montrer que $E$ est un espace vectoriel contenant le sous-espace des applications lineaires et celui des applications bornees. - Soit $ f\in E$. Pour $n\in\N$, on pose $ g_n:x\in\R\mapsto 2^{-n}f(2^nx)$. Montrer que la suite $(g_n)$ converge uniformement vers une application lineaire $g$. En deduire que $f$ s'ecrit, de facon unique, comme somme d'une application lineaire et d'une application bornee. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 495] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 495] On considere une suite $(f - {n\geq 0}$ d'applications de $[0,1]$ dans $\R$ qui converge simplement sur $[0,1]$ vers une application continue $f$. - On suppose les $f_n$ de classe $C^1$ et de derivees uniformement bornees, c'est-a-dire qu'il existe $ C\geq 0$ tel que $\forall n,\ \ \|f_n'\|_{\i}\leq C$. Montrer que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ est uniforme sur $[0,1]$. - On suppose maintenant les $f_n$ de classe $C^k$ pour un entier $ k\in\N^*$ et de derivees $k$-iemes uniformement bornees. La convergence de la suite $(f_n)$ est-elle toujours uniforme sur $[0,1]$? #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 496] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 496] Pour $ n\in\N^*$ et $ x\in\R^+$, on pose $ f_n(x)=\cos\biggl{(}\dfrac{x}{\sqrt{n}}\biggr{)}\,\mathbf{1}_{\left[1,\frac{ \pi\sqrt{n}}{2}\right]}(x)$. - Montrer que $(f_n)$ converge simplement vers une fonction $ f$ que l'on precisera. - Montrer qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall x\in\R^+,\ \forall n\in\N^*,\ |f_n(x)-f(x)|\leq\frac{C}{\sqrt{n}}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 497] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 497] Soit $(f - {n\in\N}$ une suite de fonctions appartenant a $\mc C^3(\R,\R)$ et $C$ une constante reelle positive. On suppose : (i) $\sup_{n\in\N}\|f_n^{(3)}\|_{\i}\leq C$, (ii) $\lim_{n\to+\i}\|f_n\|_{\i}=0$. - Montrer que $\lim\|f_n'\|_{\i}=\lim\|f_n^{''}\|_{\i}=0$. - Les resultats precedents restent-ils vrais si on ne fait plus l'hypothese (i)? #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 498] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 498] On note $E=\mc C^0([0,1],\R)$. Si $f\in E$, on definit la fonction $T(f)$ par $T(f)(0)=f(0)$ et $ T(f)(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)dt$ pour $x\in\,]0,1]$. On definit par recurrence sur $n\in\N$, $T^{n+1}(f)=T(T^n(f))$. @@ -3443,7 +3641,7 @@ On definit par recurrence sur $n\in\N$, $T^{n+1}(f)=T(T^n(f))$. - Etudier le comportement de $(T^n(f))_{n\geq 0}$ quand $n\to+\i$ pour tout $f$ continue. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 499] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 499] Soit $ F:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\left(-1\right)^kx^{2^k}$. - Determiner le domaine de definition de $F$. - Trouver une relation entre $F\left(x\right)$ et $F\left(x^2\right)$. @@ -3453,11 +3651,11 @@ On pose $ G:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}x^{4^k}\left(1-x^{4^k}\right)$. - Trouver une relation entre $F$ et $G$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 500] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 500] Soient $\alpha\gt 0$ et, pour $n\in\N^*$, $ f_n:x\mapsto\frac{\sin nx}{n^{\alpha}}$. La serie $\sum f_n$ converge-t-elle simplement sur $\R$? Pour quels $\alpha$ a-t-on convergence uniforme? #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 501] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 501] On pose $ g:x\mapsto\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{2x}{n^2-x^2}$. - Montrer que $g$ est definie et continue sur $\R\setminus\Z$. - Montrer que $g$ est 1-periodique. @@ -3465,16 +3663,16 @@ On pose $ g:x\mapsto\frac{1}{x}-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{2x}{n^2-x^2}$. - En deduire que $\pi\,\mathrm{cotan}(\pi x)=g(x)$ pour tout $x\in\R\setminus\Z$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 502] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 502] Soit $(a_n)$ une suite de reels positifs tels que $\sum a_n$ diverge. - Montrer que, pour tout intervalle de longueur non nulle $I$, il existe $x\in I$ tel que la serie $\sum a_n\cos(nx)$ ne converge pas absolument. On pourra d'abord montrer que, pour tout $ a\lt b$ et tout $N$ il existe $M\in\N$ et $ x\in[a,b]$ tel que $\sum_{n=0}^Ma_n\cos^2(nx)\gt N$. - Existe-t-il des exemples ou la serie converge sur un intervalle non trivial? #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 503] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 503] Soit une suite $\left(a_n\right)_{n\in\N}$ telle que $\forall n\in\N$, $a_{n+2}=\frac{n+3}{n+2}a_{n+1}+\frac{3n+7}{n+1}a_n$. Montrer que le rayon de convergence de $\sum a_nz^n$ est strictement positif et trouver un minorant de ce rayon. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 504] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 504] Soit $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ une suite de nombres reels. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=a_0+\cdots+a_n$ et $\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^ns_k$. On considere les assertions : (i) la suite $(\sigma_n)$ converge, @@ -3484,66 +3682,66 @@ Soit $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ une suite de nombres reels. Pour $n\in\N$, on A-t-on (i) $\Longrightarrow$ (ii)? A-t-on (ii) $\Longrightarrow$ (i)? #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 505] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 505] Etudier la limite de $f(x)=\sum_{k=0}^{+\i}(-1)^kx^{k!}$ lorsque $x$ tend vers $1^-$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 506] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 506] On pose, pour $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $\zeta(k)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^k}$. - Montrer que, pour tout $x\in]-1,1[$, on a $\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,dt=\sum_{k=1}^{+\i}(-1)^{k+1} \zeta(k+1)x^k$. - En deduire la valeur de $S=\sum_{k=1}^{+\i}(\zeta(2k)-\zeta(2k+1))$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 507] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 507] - Soit $\lambda\in\R$. Determiner s'il existe $y:\R\to\R$ developpable en serie entiere telle que $xy^{''}+(1-x)y'-\lambda y=0$. - On suppose $\lambda=2$. Expliciter les solutions sur $\R^{+*}$ et $\R^{-*}$ (on admet que sur chacun des deux intervalles l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2). - Determiner les solutions sur $\R$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 508] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 508] Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $I$ un intervalle de $\R$ et $f_1,\ldots,f_n\in\mc C^{n-1}(I,\R)$. On note $W_n(f_1,\ldots,f_n)=\begin{vmatrix}f_1&f_2&\cdots&f_n\\ f_1'&f_2'&\cdots&f_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ f_1^{(n-1)}&f_2^{(n-1)}&\cdots&f_n^{(n-1)}\end{vmatrix}$.Ind. On admettra que, si $a_0,\ldots,a_{n-2}$ sont des fonctions continues sur $I$, alors l'ensemble des solutions de l'equation differentielle $y^{(n-1)}+a_{n-2}(t)y^{(n-2)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$ est un espace vectoriel de dimension $n-1$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 509] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 509] Soient $\lambda\gt 0$ et $x,y:\R^+\to\R$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ telles que $x(0)\gt 0$, $y(0)\gt 0$, $x'=-xy$ et $y'=xy-\lambda y$. - Montrer que $x$ et $y$ admettent des limites en $+\i$. Ces limites sont-elles nulles? - Montrer qu'il existe $K\gt 0$ et $\mu\gt 0$ tels que $y(t)\sim Ke^{-\mu t}$ quand $t\to+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 510] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 510] Determiner les extrema de $f:(x,y)\mapsto 3x^2+2xy+2y^2-x^4$ sur le disque unite ferme et les points en lesquels ils sont atteints. #+end_exercice *** Probabilites -#+begin_exercice [X PC # 511] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 511] On a un de equilibre a $N$ faces numerotees de 1 a $N$, et on effectue une suite de lancers independants. Le jeu s'arrete lorsque le resultat du lancer $n+1$ est strictement inferieur a celui du lancer $n$. - Calculer la probabilite $\pi_k$ que le jeu s'arrete apres le rang $k$. - Montrer que $\pi_k$ tend vers 0 pour $k\to+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 512] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 512] Soient $a\in\R$, $q\geq 3$ et $(X_n)$ une suite de variables aleatoires mutuellement independantes et uniformes sur $\left\{\frac{k}{q},\ k=0,\ldots,q-1\right\}$. On definit la suite $(T_n)$ par : $T_0=0$ et $\forall n,T_{n+1}=T_n+a+\sin(2\pi(T_n-X_n))$. Determiner l'esperance de $T_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 513] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 513] On dispose de $N$ pieces equilibrees. On lance les $N$ pieces de maniere independante. On note $X_1$ le nombre de \lt \lt pile \gt \gt obtenus. On relance ces $X_1$ pieces et on note $X_2$ le nombre de \lt \lt pile \gt \gt obtenus... - Calculer la fonction generatrice de $X_2$. - Calculer la fonction generatrice de $X_k$, pour $k\geq 3$. - Soit $T$ l'instant ou l'on n'a plus de piece. Calculer $\mathbf{E}\left(T\right)$ dans le cas ou $N=4$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 514] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 514] Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires discretes independantes telles que $Y$ prenne un nombre fini de valeurs, et $\mathbf{E}(Y)=0$. On suppose que $|X|$ admet une esperance. Montrer que $\mathbf{E}(|X-Y|)\geq\mathbf{E}(|X|)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 515] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 515] On tire une piece $n$ fois independamment avec probabilite de faire pile $1/n$. Soit $p_n$ la probabilite d'obtenir un nombre impair de fois pile. Etudier le comportement de $p_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X PC # 516] +#+begin_exercice [X PC 2023 # 516] - Montrer que $\forall x\in\R$, $\mathrm{ch}(x)\leq e^{x^2/2}$. - Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Soit $\lambda\in\R^{+*}$. Montrer que $\mathbf{P}(S_n\geq\lambda)\leq e^{-\lambda^2/2n}$._Algebre_ #+end_exercice @@ -3552,62 +3750,62 @@ On tire une piece $n$ fois independamment avec probabilite de faire pile $1/n$. * Mines -#+begin_exercice [Mines # 517] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 517] Determiner les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 518] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 518] Soient $p$ un nombre premier et $C_p$ l'ensemble des $z\in\C$ tels qu'il existe $n\in\N$ verifiant $z^{p^n}=1$. - Montrer que $C_p$ est un sous-groupe infini de $\C^*$. - Determiner les sous-groupes de $C_p$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 519] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 519] Determiner tous les couples $(m,n)\in\N^2$ verifiant : $3^m=8+n^2$. #+end_exercice #+BEGIN_proof Nécessairement, $m$ pair, donc cela s'écrit $3^{2m} - n^2 = 8$. #+END_proof -#+begin_exercice [Mines # 520] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 520] Soient $p,q$ deux entiers superieurs ou egaux a $2$. - Montrer que si $q^p-1$ est premier, alors $q=2$ et $p$ est premier. - On suppose que $p$ est premier et l'on note $k\in\N^*$ un diviseur de $2^p-1$. Montrer que : $k\equiv 1\,[2p]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 521] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 521] Soit $A=\{n\in\N,\ 2^n+1\equiv 0\ [n]\}$. - Montrer que $3$ est l'unique nombre premier appartenant a $A$. - Montrer que $A$ contient toutes les puissances entieres de $3$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 522] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 522] - Soit $n\gt 6$ un entier. Montrer qu'il existe un couple $(a,b)\in(\N\setminus\{0,1\})^2$ tel que $a+b=n$ et $a\wedge b=1$. - Soit $(p_n)$ la suite croissante des nombres premiers. Montrer que, pour tout $k\geq 3$, $p_1\cdots p_k\geq p_{k+1}+p_{k+2}$. Ind. Utiliser la premiere question avec $n=p_1\cdots p_k$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 523] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 523] On ecrit $n\in\N$ en base $p\in\mc{P}:n=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_kp^k$ et l'on pose $S_p(n)=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_k$. - - Soit $k\in[\![0,n]\!]$. Montrer que : $v_p{n\choose k}=\frac{S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n)}{p-1}$. + - Soit $k\in\db{0,n}$. Montrer que : $v_p{n\choose k}=\frac{S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n)}{p-1}$. - Exprimer $v_p{n\choose k}$ en fonction des retenues dans l'addition de $n-k$ et $k$ en base $p$. - Est-ce que $7$ divise ${1000\choose 500}$? - Montrer que $2$ divise ${2n\choose n}$. Etudier la divisibilite par $4$ pour $n\geq 2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 524] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 524] Soient $G$ un groupe et $k\in\N$. -On suppose que : $\forall i\in[\![k,k+2]\!],\forall(a,b)\in G^2,(ab)^i=a^ib^i$. Montrer que $G$ est abelien. +On suppose que : $\forall i\in\db{k,k+2},\forall(a,b)\in G^2,(ab)^i=a^ib^i$. Montrer que $G$ est abelien. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 525] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 525] Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique. Trouver un contre-exemple dans le cas ou $G$ n'est pas commutatif.# 526 - Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Montrer que $H$ est cyclique d'ordre divisant $n$. Soit $d$ un diviseur de $n$. Montrer qu'il existe un unique sous-groupe de $G$ d'ordre $d$. - On note $\phi$ l'indicatrice d'Euler. Soient $n\in\N^*$ et $D(n)$ l'ensemble des diviseurs positifs de $n$. Montrer l'egalite $n=\sum_{d\in\mc{D}(n)}\phi(d)$. - Montrer que si $p$, $q\in\N^*$ sont premiers entre eux, alors $\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $\phi(n)$ en fonction de la decomposition en facteurs premiers de $n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 527] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 527] - Soit $a\in\R$. Montrer que $a\Z=\{ax,\,x\in\Z\}$ est un sous-groupe de $(\R,+)$. - Soit $G$ un sous-groupe de $(\R,+)$ non reduit a $\{0\}$. - Montrer que $a=\inf\left(G\cap\R^{+*}\right)$ existe. @@ -3615,23 +3813,23 @@ Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers - On suppose $a=0$. Montrer que $G$ est dense dans $\R$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 528] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 528] Soit $p$ un nombre premier impair. - D enombrer les carres de $\mathbb{F}_p$. - Montrer que $-1$ est un carre de $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p\equiv 1$[4]. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 529] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 529] Soient $A$ un anneau commutatif integre et $(a_0,\ldots,a_n)$ une famille non nulle d'elements de $A$. Montrer que l'equation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ admet au plus $n$ solutions dans $A$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 530] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 530] On pose $\Z[i]=\{a+ib,\ (a,b)\in\Z^2\}$. Montrer que $\Z[i]$ est un anneau integre et determiner ses inversibles. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 531] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 531] en Soit $A$ un anneau commutatif. Si $I$ est un ideal de $A$, on note $R(I)=\{x\in A\ ;\ \exists n\in\N,\ x^n\in I\}$. @@ -3642,37 +3840,37 @@ $R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ ; $R(I)+R(J)\subset R(I+J)$. - Pour cette question, $A=\Z$. Montrer que l'ensemble des entiers naturels non nuls tels que $R(n\Z)=n\Z$ est l'ensemble des entiers naturels non nuls dont la decomposition primaire ne comporte aucun facteur premier d'exposant au moins egal a 2. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 532] -Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de meme module tels que, pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $\left|\sum_{k=1}^nz_k\right|=\left|\sum_{k=1}^nz_k-z_i\right|$. Calculer $\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)$. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 532] +Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de meme module tels que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $\left|\sum_{k=1}^nz_k\right|=\left|\sum_{k=1}^nz_k-z_i\right|$. Calculer $\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 533] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 533] - Montrer qu'il existe une unique suite $(P_n)$ de polynomes a coefficients dans $\Z$ verifiant : $\forall n\in\N,\forall x\in\R^*,P_n\left(x+\frac{1}{x} \right)=x^n+\frac{1}{x^n}$. - Soit $a\in\Q$ tel que $\cos(a\pi)\in\Q$. Montrer que : $2\cos(a\pi)\in\Z$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 534] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 534] - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n\in\R[X]$ tel que$\forall\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[},\ \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin^{2n+1}( \theta)}=P_n(\text{cotan}^2\theta).$ - Determiner les racines de $P_n$ et calculer leur somme. - Montrer que, pour $\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$, $\text{cotan}^2\theta\lt \frac{1}{\theta^2}\lt \text{cotan}^2\theta+1.$ - Deduire de ce qui precede la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}.$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 535] -Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n$. Montrer qu'il existe $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$ tel que $|P(k)|\geq\frac{n!}{2^n}$. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 535] +Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n$. Montrer qu'il existe $k\in\db{0,n}$ tel que $|P(k)|\geq\frac{n!}{2^n}$. #+end_exercice #+BEGIN_proof Interpolation de Lagrange. #+END_proof -#+begin_exercice [Mines # 536] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 536] Soit $P\in\C[X]$. - A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\C$ sur $\C\,?$ - A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\R$ sur $\R\,?$ - A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\Q$ sur $\Q\,?$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 537] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 537] On pose $B_0=1$ et pour tout $k\in\N^*$, $B_k=\frac{1}{k!}X(X-1)...(X-k+1)$. - Montrer que pour tout $N\in\N$, la famille $(B_0,...,B_N)$ est une base de $\R_N[X]$. - Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $P(\N)\subset\Z$ alors $P(\Z)\subset\Z$. @@ -3680,21 +3878,21 @@ On pose $B_0=1$ et pour tout $k\in\N^*$, $B_k=\frac{1}{k!}X(X-1)...(X-k+1)$. - Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $P(n)-\lfloor P(n)\rfloor\xrightarrow[n\to+\i]{}1$ alors $P(\Z)\subset\Z$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 538] -Soient $n\in\N^*$ et $k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$. Soit $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in\C[X]$ polynome de degre $n$ tel que $(X-1)^k|P$. On note $\mu(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. On veut montrer que $\mu(P)\geq k+1$. On raisonne par l'absurde et on pose $A=\{i\in\llbracket 0,n\rrbracket,\ a_i\neq 0\}$. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 538] +Soient $n\in\N^*$ et $k\in\db{0,n-1}$. Soit $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in\C[X]$ polynome de degre $n$ tel que $(X-1)^k|P$. On note $\mu(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. On veut montrer que $\mu(P)\geq k+1$. On raisonne par l'absurde et on pose $A=\{i\in\db{0,n},\ a_i\neq 0\}$. - On pose $P_0=1$ et $P_s=\prod_{j=0}^{s-1}(X-j)$ pour $s\in\N^*$. -Montrer que $\forall s\in\llbracket 0,k-1\rrbracket,\ P^{(s)}(1)=\sum_{i\in A}a_iP_s(i)$. +Montrer que $\forall s\in\db{0,k-1},\ P^{(s)}(1)=\sum_{i\in A}a_iP_s(i)$. - En deduire que $\forall i\in A$, $a_i=0$, et conclure. - L'inegalite demontree est-elle optimale? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 539] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 539] - Soit $P\in\R[X]$ simplement scinde sur $\R$ et non constant. Montrer que, si $\lambda\in\R$, $P'-\lambda P$ est simplement scinde sur $\R$. - Le resultat de la question precedente s'etend-il a $P^{''}-\lambda P\,?$ Comment le generaliser? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 540] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 540] - Soit $P$ un polynome irreductible dans $\Q[X]$. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples. - Soient $k\in\N^*$, $P\in\Q[X]$ non constant avec $\deg(P)\leq 2k-1$, $\alpha\in\C$ une racine de $P$ de multiplicite $k$. Montrer que $\alpha$ est rationnel.# 541 Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ avec : $a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n\gt 0$. @@ -3702,7 +3900,7 @@ Montrer que $\forall s\in\llbracket 0,k-1\rrbracket,\ P^{(s)}(1)=\sum_{i\in A}a_ - Soit $z\in\C$ tel que $P(z)=0$. Montrer $\min_{k\in[0,n-1]}\frac{a_k}{a_{k+1}}\leq|z|\leq\max_{k\in[0,n-1] }\frac{a_k}{a_{k+1}}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 542] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 542] - Soit $P\in\R[X]$ de degre $n\geq 1$. Soit $x\in\R$. On considere la suite $\left(P^{(k)}(x)\right)_{k\in[0,n]}$. On note $v(x)$ le nombre de changements de signe stricts : @@ -3713,48 +3911,48 @@ $\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $\mu(a,b)\equiv v(a)-v(b)$$[2]$. - Soit $P=a_0+\cdots+a_nX^n\in\R[X]$ non constant. On pose $V(P)$ le nombre de changements de signe stricts de la suite $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ et $\mu(P)$ le nombre de racines strictement positives comptees avec multiplicite. Montrer que $\mu(P)\leq V(P)$ et $\mu(P)\equiv V(P)$$[2]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 543] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 543] - Soit $P\in\C[X]\setminus\{0\}$. Decomposer $P'/P$ en elements simples. - On note $a_1,...,a_n$ les racines de $P$. Soit $a$ une racine de $P'$. Montrer qu'il existe des reels positifs $t_1,...,t_n$ tels que $t_1+\cdots+t_n=1$ et $t_1a_1+\cdots+t_na_n=a$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 544] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 544] Soit $P\in\R[X]$ un polynome de degre $n\geq 2$, ayant $n$ racines reelles distinctes et non nulles $a_1\lt ...\lt a_n$. Calculer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(a_i)}$ et $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_iP'(a_i)}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 545] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 545] Soit $P\in\C[X]$ un polynome unitaire de degre $n$. On note $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ses racines comptees avec multiplicite. On suppose que $P$ est a coefficients entiers. Montrer que, pour tout $q\in\N^*$, $P_q=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^q)$ est a coefficients entiers. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 546] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 546] Soit $\mathbb{K}=\Q+\sqrt{2}\Q+\sqrt{3}\Q+\sqrt{6}\Q$. Montrer que $\mathbb{K}$ est un $\Q$-sous-espace vectoriel de $\R$ et que $(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ est une base de $\mathbb{K}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 547] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 547] Quelle est la dimension du $\Q$-sous-espace de $\R$ engendre par $\mathbb{U}_5$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 548] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 548] Soient $x,y,z$ des rationnels non nuls. Montrer que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}x&y&z\\ 2y&z&2x\\ z&x&2y\end{array}\right)$ est inversible.# 549 Soient $x,y\in\R$ et $D=\begin{vmatrix}1&0&1&0&0\\ x&1&y&1&0\\ x^2&2x&y^2&2y&2\\ x^3&3x^2&y^3&3y^2&6y\\ x^4&4x^3&y^4&4y^3&12y^2\end{vmatrix}$. Montrer que $D=0$ si et seulement si $x=y$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 550] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 550] Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ dont on note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes. Soit $B$ la matrice dont les colonnes sont $C'_1,\ldots,C'_n$ avec : $C'_j=\sum_{i\neq j}C_i$. Determiner $\det B$ en fonction de $\det A$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 551] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 551] - Soient $p\in\N^*$, $a_1,\ldots,a_p\in\R$ non tous nuls et $b_1,\ldots,b_p\in\R$ avec $b_1\lt \cdots\lt b_p$. Montrer que $f_p:x\in\R\mapsto\sum_{i=1}^pa_ie^{b_ix}$ s'annule au plus $p-1$ fois sur $\R$. - Soit $n\in\N^*$. Soient $\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_n$ et $\beta_1\lt \cdots\lt \beta_n$ des reels. Montrer que : $\det\big{(}e^{\alpha_i\beta_j}\big{)}_{1\leq i,j\leq n}\gt 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 552] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 552] Soit $f\in\mc{L}(E)$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que $\op{rg}f=\op{rg}f^2$ si et seulement si $E=\op{Ker}f\oplus\op{Im}f$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 553] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 553] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. - Montrer l'equivalence entre les trois proprietes suivantes : + $\op{Im}(u)=\op{Im}(u^2)$ @@ -3764,72 +3962,72 @@ Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. - L'equivalence est-elle vraie en dimension infinie? Montrer que $(i)$ et $(ii)$ equivaut a $(iii)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 554] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 554] Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que $h\in\mc{L}(E)$ est une transvection s'il existe $\phi\in\mc{L}(E,\mathbb{K})$ non nulle et $a\in E$ non nul tels que : $\forall x\in E$, $h(x)=x+\phi(x)a$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que $\op{rg}(u-\op{id})=1$ et $(u-\op{id})^2=0$. Montrer que $u$ est une transvection. La reciproque est-elle vraie? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 555] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 555] Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semblables a $A$ appartiennent au commutant de $M$. Determiner $M$. Meme question dans $\M_n(\C)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 556] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 556] Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non necessairement distinctes) du polynome $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$. Calculer, pour $n\in\N^*$, le determinant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 557] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 557] ${}^{\bigstar}$ Soit $n\in\N^*$. Calculer $\det((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n})$. Ind. On rappelle que, pour $N\in\N^*$, $N=\sum_{d|N}\phi(d)$ ou $\phi$ est l'indicatrice d'Euler. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 558] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 558] Soient $K_1$,..., $K_n$ des segments non triviaux disjoints. - Montrer que, si $P\in\R_{n-1}[X]$ verifie $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$, alors $P=0$. - Montrer qu'il existe $P\in\R_n[X]$ non nul tel que $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 559] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 559] - Determiner le rang de $\,\text{Com}(A)$ en fonction du rang de $A$. - Calculer $\,\text{Com}\,\left(\text{Com}(A)\right)$ lorsque $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$. - Montrer que si $X$ est un vecteur propre de $A$ associe a une valeur propre non nulle, alors $X$ est un vecteur propre de $\,(\,\text{Com}(A))^T$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 560] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 560] Soit $n\in\N^*$. Soit $D$ l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\mathbb{K})$ telles que $m_{i,j}=0$ si $i$ et $j$ sont de parites differentes. - Montrer que $D$ est une sous-algebre de $\M_n(\mathbb{K})$. - Soit $M\in D\cap\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $\,\text{Com}(M)\in D$. - Traiter le cas ou $M$ n'est pas inversible. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 561] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 561] Trouver les solutions dans $\M_2(\R)$ de $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 562] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 562] Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AB=0$. Montrer $\forall k\geq 1$, $\mathrm{tr}(A^k)+\mathrm{tr}(B^k)=\mathrm{tr}\left((A+B)^k\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 563] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 563] - Soit $f\in\mc{L}\left(\M_n(\mathbb{K}),\mathbb{K}\right)$ verifiant : $\forall(A,B)\in\M_n(\mathbb{K})^2,f(AB)=f(BA)$. Montrer que $f$ est proportionnelle a la trace. - Soit $g\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ un endomorphisme d'algebre. Montrer que $\mathrm{tr}\circ g=\mathrm{tr}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 564] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 564] Soit $f\colon\M_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ non constante telle que : $\forall A,B\in\M_n(\mathbb{K})$, $f(AB)=f(A)f(B)$. Montrer que $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\Longleftrightarrow f(A)\neq 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 565] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 565] Soient $A,B$ dans $\M_n(\R)$. Montrer que $\mathrm{Ker}\,A=\mathrm{Ker}\,B$ si et seulement s'il existe $P$ inversible telle que $B=PA$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 566] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 566] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer l'equivalence entre : i) $u^2=0$ et $\exists v\in\mc{L}(E),\,u\circ v+v\circ u=\mathrm{id}$, ii) $\mathrm{Im}\,u=\mathrm{Ker}\,u$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 567] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 567] Soient $A=\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $N=A-I_n$. Soit $(E)$ l'equation matricielle $X^2=A$. @@ -3839,14 +4037,14 @@ Montrer qu'il y a au plus deux solutions. - Rappeler le developpement limite a l'ordre $n$ de $x\mapsto\sqrt{1+x}$. Resoudre $(E)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 568] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 568] Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente. - Calculer $\det(A+I_n)$. - Soit $M\in\M_n(\C)$ telle que $AM=MA$. Calculer $\det(A+M)$. On commencera par le cas ou $M\in\mathrm{GL}_n(\C)$. - Le resultat est-il toujours vrai si $AM\neq MA$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 569] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 569] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(u,v)\in\mc{L}(E)^2$. - Montrer que $|\op{rg}(u)-\op{rg}(v)|\leq\op{rg}(u+v) \leq\op{rg}(u)+\op{rg}(v)$. - Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $G$ et $H$ deux supplementaires de $F$. On note $p$ (resp. $q$) la projection sur $F$ (sur $H$) parallelement a $G$ (a $F$). @@ -3854,35 +4052,35 @@ Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(u,v)\in\mc{L}(E)^2$. Montrer que $\op{rg}(p+q)=\op{rg}p+\op{rg}q$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 570] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 570] Determiner les parties $G$ de $\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ soit un groupe multiplicatif et $G$ ne soit pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 571] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 571] Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $\sum_{M\in G}\text{Tr}(M)$ est un entier divisible par le cardinal de $G$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 572] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 572] - Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ tel que $\sum_{g\in G}\op{tr}g=0$. Montrer que $\sum_{g\in G}g=0$. - Soient $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$ stable par tous les elements de $G$. Montrer que $V$ admet un supplementaire stable par tous les elements de $G$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 573] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 573] Determiner les ideaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes additifs stables par multiplication a gauche et a droite par n'importe quel element de $\M_n(\R)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 574] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 574] Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $f$ et $g$ deux elements de $\mc{L}(E)$ tels que $fg-gf=\text{id}_E$. - Montrer que $E$ est de dimension infinie ou nulle. - Montrer que $f$ n'est pas nilpotent. - Donner un exemple de triplet $(E,f,g)$ verifiant les conditions precedentes. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 575] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 575] Soit $A\in\M_n(\R)$. - Montrer que $|\det A|\leq\prod_{i=1}^n\Big{(}\sum_{j=1}^n|A_{i,j}|\Big{)}$. - Lorsque $\det A\neq 0$, etudier le cas d'egalite.# 576 - Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une partie $S$ de $\mc{L}(E)$ est dite dense si, pour tout $n\geq 1$, toute famille $(b_1,\ldots,b_n)$ de vecteurs de $E$ et toute famille libre $(a_1,\ldots,a_n)$ de vecteurs de $E$, il existe $f\in S$ tel que $f(a_i)=b_i$ pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$. + Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une partie $S$ de $\mc{L}(E)$ est dite dense si, pour tout $n\geq 1$, toute famille $(b_1,\ldots,b_n)$ de vecteurs de $E$ et toute famille libre $(a_1,\ldots,a_n)$ de vecteurs de $E$, il existe $f\in S$ tel que $f(a_i)=b_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$. - Quelles sont les parties denses de $\mc{L}(E)$ si $E$ est de dimension finie? - Dans cette question, on suppose que $E$ n'est pas de dimension finie. - Montrer que $\{f\in\mc{L}(E),\ \mathrm{rg}\,f\lt +\i\}$ est dense dans $\mc{L}(E)$. @@ -3890,36 +4088,36 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$. - Si $S$ est dense dans $\mc{L}(E)$, determiner $\{g\in\mc{L}(E)\ ;\forall f\in S,\ fg=gf\}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 577] -Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ verifiant : $\forall(i,j,k,\ell)\in\llbracket 1,n\rrbracket^4,M_{i,j}M_{k,\ell}= \delta_{j,k}M_{i,\ell}$. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 577] +Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ verifiant : $\forall(i,j,k,\ell)\in\db{1,n}^4,M_{i,j}M_{k,\ell}= \delta_{j,k}M_{i,\ell}$. - Montrer que $\mathrm{Im}\,M_{i,j}$ est independante de $j$. On la notera $F_i$. - Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^nF_i$. - En deduire $\dim F_i$. - - Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que : $\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,M_{i,j}=PE_{i,j}P^{-1}$. + - Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,M_{i,j}=PE_{i,j}P^{-1}$. - Expliciter les automorphismes de l'algebre $\M_n(\mathbb{K})$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 578] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 578] Soit $U$ une partie de $\M_n(\C)$ non vide, finie et stable par produit. Montrer qu'il existe $M\in U$ tel que $\mathrm{tr}\,M\in\{0,\ldots,n\}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 579] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 579] Pour tout $x\in\R$, on pose $A_x=\begin{pmatrix}0&x\\ x&0\end{pmatrix}$. Determiner la structure de l'ensemble : $\{\exp(A_x),\ x\in\R\}$ et expliciter $\exp(A_x)$ pour tout $x\in\R$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 580] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 580] Soit $M\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec $M$ est $\text{Vect}(I_n,M,\ldots,M^{n-1})$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 581] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 581] Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $u^n=\mathrm{id}$. Pour $b\in E$ et $\lambda\in\R$, resoudre $x+\lambda u(x)=b$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 582] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 582] Soit $Z=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\ \vdots&&\vdots\\ 1&\cdots&1\end{pmatrix}\in\M_n(\C)$. Calculer $\chi_{Z^2}$. La matrice $Z$ est-elle diagonalisable? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 583] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 583] Soient $n\in\N^*$, $U=(u_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},\ V=(v_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}\in\M_n(\R)$ ou $u_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i\leq n-1$, les autres coefficients etant nuls, $v_{i,j}=1$ si $j\gt i$, les autres coefficients etant nuls. - Calculer le polynome minimal de $U$. - Montrer que $U$ et $V$ sont semblables.# 584 @@ -3928,31 +4126,31 @@ Soient $n\in\N^*$, $U=(u_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},\ V=(v_{i,j})_{1\leq i,j \leq - Montrer que $M$ est diagonalisable et que ses espaces propres sont des droites. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 585] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 585] Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$, $a,b\in\R$ et $P=X^2+aX+b$. On suppose que $P$ est irreductible sur $\R$ et annulateur de $u$. - Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Montrer que $F_x=\op{Vect}(x,u(x))$ est un plan stable par $u$. - Soient $F$ un sous-espace vectoriel stable par $u$ et $x\in E\setminus F$. Montrer que $F\cap F_x=\{0\}$. - Montrer que $u$ est diagonalisable par blocs identiques de taille $2\times 2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 586] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 586] Ecrire l'ensemble des matrices symetriques de $\M_2(\C)$ non diagonalisables comme reunion de deux plans vectoriels prives de leur droite d'intersection. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 587] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 587] Soient $a,b$ dans $\R^*$ et $A$ la matrice de taille $2n$ dont la diagonale contient des $a$, l'anti-diagonale des $b$ et les autres coefficients sont nuls. - La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Determiner ses elements propres. - A quelle condition $A$ est-elle inversible? - Calculer $A^k$ pour $k\in\N$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 588] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 588] Soient $A=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 1&0&0&&\vdots\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&0&1\\ 1&\ddots&&&0\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$ dans $\M_n(\R)$. - Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles et preciser le sous-groupe $G$ de $\op{GL}_n(\R)$ engendre par ces matrices. - Dans le cas $n=3$, preciser les matrices de $G$ qui sont diagonalisables. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 589] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 589] Soit $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $\R[X]$ defini par $\forall P\in\R[X],\ u(P)=(X^2-1)P^{''}+4XP'$. @@ -3960,35 +4158,35 @@ $\forall P\in\R[X],\ u(P)=(X^2-1)P^{''}+4XP'$. - Pour $n\in\N$, on note $P_n$ l'unique polynome unitaire generateur de la droite propre associee a $n(n+3)$. Trouver une relation entre $P_n$, $P_{n-1}$ et $P_{n-2}$ pour $n\geq 2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 590] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 590] Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$. - Caracteriser les matrices $A$ telles que $u_A$ soit un automorphisme de $E$. - Calculer determinant et trace de l'endomorphisme $u_A$. - Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 591] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 591] #+end_exercice Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$. - Determiner un polynome de degre $2$ annulateur de $f$. - Etudier la diagonalisabilite de $f$. -#+begin_exercice [Mines # 592] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 592] #+end_exercice Soient $(M,N)\in\M_{2n+1}(\C)$. On suppose que $MN=0$ et que $M+M^T$ est inversible. - Montrer que $M$ et $N$ ont un vecteur propre commun. - Montrer que $N+N^T$ n'est pas inversible. -#+begin_exercice [Mines # 593] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 593] #+end_exercice Soient $P\in\M_n(\R)$ une matrice de projection et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto PM-MP$. - L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? - Calculer la trace de $f$. -#+begin_exercice [Mines # 594] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 594] #+end_exercice Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$ diagonalisables. Soit $\Delta$ l'endomorphisme de $\M_n(\mathbb{K})$ defini par $\forall M\in\M_n(\mathbb{K})$, $\Delta(M)=AM+MB$. Montrer que $\Delta$ est diagonalisable et preciser ses valeurs propres. -#+begin_exercice [Mines # 595] -Soit $\sigma$ une permutation de $[\![1,n]\!]$. Pour $M\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $p(M)=M'$ avec : $\forall(i,j)\in[\![1,n]\!]^2,\,m'_{i,j}=m_{i,j}$ si $i=\sigma(j)$ et $m'_{i,j}=0$ sinon. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 595] +Soit $\sigma$ une permutation de $\db{1,n]\!]$. Pour $M\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $p(M)=M'$ avec : $\forall(i,j)\in[\![1,n}^2,\,m'_{i,j}=m_{i,j}$ si $i=\sigma(j)$ et $m'_{i,j}=0$ sinon. - Montrer que $p$ est un projecteur. Determiner son noyau et son image. Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle. On definit deux applications $\phi$ et $u_A$ par : @@ -3998,25 +4196,25 @@ $\forall M\in\M_n(\mathbb{K}),\phi(M)=\sum_{k=1}^nm_{\sigma(k),k}$ et $u_A(M)=\p #+end_exercice - L'endomorphisme $u_A$ peut-il etre un projecteur? -#+begin_exercice [Mines # 596] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 596] Soient $E$ un $\R$-espace de dimension $n$, $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que $f\circ g-g\circ f=f$. - Montrer que $f$ est nilpotent. - On suppose que $g$ est diagonalisable et que $\dim(\op{Ker}f)=1$. Determiner $g$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 597] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 597] Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$. - Montrer que, pour $m\in\N^*$, $AB^m-B^mA=mB^m$. - En deduire que $B$ est nilpotente. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 598] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 598] Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. - Montrer que deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ qui commutent ont un vecteur propre en commun. - Montrer qu'une famille finie $F$ d'endomorphismes de $E$ qui commutent admet une base de trigonalisation commune a ses elements. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 599] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 599] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. - Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ annulateur de $f$ tel que $0$ soit racine simple de $P$. @@ -4031,19 +4229,19 @@ On suppose dans la suite que $\mathbb{K}=\C$ et que $E$ est de dimension $n\in\N $\forall P\in{\C}[X],\ P(A)$ nilpotent $\Rightarrow P(A)=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 601] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 601] Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ avec $B$ diagonalisable. On suppose que $AB^3=B^3A$. Montrer que $A$ et $B$ commutent. Generaliser. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 602] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 602] Quels sont les $n\in{\N}$ tels qu'existe $A\in{\cal M}_n({\R})$ verifiant $A^3-A^2=I_n$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 603] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 603] Determiner les entiers $n\geq 1$ tels qu'il existe $f\in{\cal L}({\R}^n)$ verifiant $f^3+f^2-{\rm id}=0$ et ${\rm tr}\,f\in{\Q}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 604] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 604] Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On pose $f_A:M\in{\cal M}_n({\C})\mapsto AMA^T\in{\cal M}_n({\C})$. - Soit $(X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n)\in({\C}^n)^{2n}$. Montrer que $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(Y_1,\ldots,Y_n)$ sont des bases de ${\C}^n$ si et seulement si $\big{(}X_iY_j^T\big{)}_{1\leq i,j\leq n}$ est une base de ${\cal M}_n({\C})$. - Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f_A$ est inversible. @@ -4052,11 +4250,11 @@ Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On pose $f_A:M\in{\cal M}_n({\C})\mapsto AMA^T\in{\ - Montrer que si $f_A$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 605] -Soit $p$ une permutation de $[\![1,n]\!]^2$. On considere l'application $u:{\cal M}_n({\C})\to{\cal M}_n({\C})$ definie par $:u(A)=(A_{p(i,j)})_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2}$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n({\C})$. Est-il diagonalisable? +#+begin_exercice [Mines 2023 # 605] +Soit $p$ une permutation de $\db{1,n]\!]^2$. On considere l'application $u:{\cal M}_n({\C})\to{\cal M}_n({\C})$ definie par $:u(A)=(A_{p(i,j)})_{(i,j)\in[\![1,n}^2}$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n({\C})$. Est-il diagonalisable? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 606] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 606] - Soient $A,B,C,D\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $CD=DC$. Montrer que $\det\left(\begin{array}{cc}A&B\\ C&D\end{array}\right)=\det(AD-BC)$. @@ -4067,36 +4265,36 @@ i) $\lambda$ est valeur propre de la matrice $\left(\begin{array}{cc}0&A^{-1}C\\ ii) il existe $x\in{\C}^n\setminus\{0\}$ tel que la fonction $t\mapsto e^{\lambda t}x$ soit solution de $Ay^{''}-By'-Cy=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 607] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 607] Donner une base de ${\cal M}_n({\R})$ constituee de matrices diagonalisables. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 608] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 608] Soient $E$ un ${\C}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in{\cal L}(E)$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable et ${\rm Ker}(f)={\rm Ker}(f^2)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 609] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 609] Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer que $A^2=A$ si et seulement si ${\rm rg}\,A\leq{\rm tr}\,A$ et ${\rm rg}(I_n-A)\leq{\rm tr}(I_n-A)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 610] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 610] Soit $A\in{\cal M}_2({\R})$ telle qu'il existe $n\in{\N}^*$ tel que $A^{2^n}=I_2$. Montrer que $A^2=I_2$ ou qu'il existe $k\in{\N}^*$ tel que $A^{2^k}=-I_2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 611] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 611] Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de ${\C}^n$. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes :[MISSING_PAGE_FAIL:1]# 621 Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit diagonalisable? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 622] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 622] Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit trigonalisable? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 623] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 623] Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\cal M}_n(\C)$ defini par $\forall T\in{\cal M}_n(\C),\ u(T)=AT-TB$. @@ -4108,12 +4306,12 @@ Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$. - En deduire une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $T\in{\cal M}_n(\C)$ non nulle telle que $AT=TB$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 624] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 624] - Pour quels $\lambda\in\C$ existe-t-il $(A,B)\in\mbox{GL}_n(\C)^2$ tel que $AB=\lambda BA$? - Pour quels $\lambda\in\C$ est-il vrai que, pour tout $(A,B)\in\mbox{GL}_n(\C)^2$ tel que $AB=\lambda BA$, les matrices $A$ et $B$ sont diagonalisables? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 625] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 625] On note $\mathbb{B}$ l'ensemble des suites bornees de $(\C)^{\Z}$. On s'interesse a l'endomorphisme $T\in{\cal L}(\mathbb{B})$ qui a $(u_n)$ associe $(u_{n+1})$. @@ -4123,31 +4321,31 @@ On s'interesse a l'endomorphisme $T\in{\cal L}(\mathbb{B})$ qui a $(u_n)$ associ $$S=\bigoplus_{i=1}^r\mbox{Ker}\left(\widetilde{T}-\lambda_i\mbox{id}\right)$$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 626] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 626] - Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $e^A$ est diagonalisable. Que se passe-t-il sur $\R$? - Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Resoudre l'equation $e^M=A$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 627] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 627] Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$, $v_1,\ldots,v_{n+2}$ des vecteurs de $E$. Montrer qu'on ne peut avoir : $\forall i\neq j,\ \langle v_i,v_j\rangle\lt 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 628] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 628] Soient $(E,\langle\,\rangle)$ un espace euclidien, $c_1,c_2\in E$, $r_1,r_2\in\R^{+*}$. - A quelle condition les boules fermees $B_f(c_1,r_1)$ et $B_f(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles? - A quelle condition les spheres $S(c_1,r_1)$ et $S(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 629] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 629] Soient $E$ un espace prehilbertien reel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\forall x\in E,\ \|x\|^2=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormalee de $E$. Le resultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus la famille libre, mais seulement constituee de vecteurs non nuls?# 630 Soient $E$ un espace euclidien, $A$ une partie de $E$ et $B=\left\{\left\langle x,y\right\rangle;\;(x,y)\in A^2\right\}$. Montrer que $A$ est fini si et seulement si $B$ est fini. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 631] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 631] Soient $E$ un espace euclidien, $A$ et $B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux. Montrer que les symetries orthogonales par rapport a $A$ et par rapport a $B$ commutent et que leur composee est la symetrie orthogonale par rapport a $(A+B)^{\perp}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 632] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 632] Soient $(E,\left\langle\;,\;\right\rangle)$ un espace euclidien et $a\in E\setminus\{0\}$. Pour $\lambda\in\R$, soit $\Phi_{\lambda}:x\mapsto x-\lambda\left\langle a,x\right\rangle a$. @@ -4156,7 +4354,7 @@ Pour $\lambda\in\R$, soit $\Phi_{\lambda}:x\mapsto x-\lambda\left\langle a,x\rig - Soit $\lambda\in\R$. Determiner les elements propres de $\Phi_{\lambda}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 633] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 633] Soit $E$ un espace euclidien. - Trouver les endomorphismes $f$ de $E$ tels que : @@ -4164,21 +4362,21 @@ $\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f( - Pour un tel $f$, discuter de la nature de la suite de terme general $ u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f^k$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 634] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 634] - Enoncer le theoreme de reduction pour une matrice de $\text{SO}_3(\R)$. - Montrer que deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ qui ont meme axe commutent. - Montrer que deux demi-tours de $\text{SO}_3(\R)$ d'axes orthogonaux commutent. - Montrer que si deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ commutent, alors on est dans l'un des deux cas precedents. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 635] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 635] Soient $a,b,c\in\R$ et $A(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix}$. - Montrer que $A(a,b,c)$ est dans $\text{SO}_3(\R)$ si et seulement si $a,b,c$ sont les racines d'un polynome $X^3-X^2+t$ ou $t$ appartient a un intervalle $I$ que l'on determinera. - Soit $a,b,c\in\R$. Determiner une droite et un plan stables par $A(a,b,c)$. - Si $A(a,b,c)\in\text{SO}_3(\R)$, caracteriser l'endomorphisme canoniquement associe. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 636] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 636] On travaille dans l'espace $E=\R[X]$. Pour $P$ et $Q$ dans $E$, on pose $\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$. @@ -4188,26 +4386,26 @@ $\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$. - Calculer la distance de $X^3$ a $\R_2[X]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 637] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 637] Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left(P(x)+x^n\right)^ {2}\,dx\geq(n!)^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 638] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 638] Soit $E=\R_3[X]$. - Montrer que l'application $\phi:(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$ d$\!$efinit un produit scalaire sur $E$, - Determiner $\inf_{(a,b,c)\in\R^3}\int_{-1}^1(t^3-at^2-bt-c)^2 dt$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 639] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 639] Calculer le minimum de la fonction $f:(x,y)\in\R^2\mapsto\int_0^1(t\ln(t)-xt-y)^2dt$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 640] -On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\llbracket 0,n\rrbracket$. On munit egalement $\R_n[X]$ du produit scalaire d$\!$efini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 640] +On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\db{0,n}$. On munit egalement $\R_n[X]$ du produit scalaire d$\!$efini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$. - Montrer que $(Q_0,\ldots,Q_n)$ est une base orthogonale de $\R_n[X]$. - - On fixe $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des elements de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est egal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$. + - On fixe $k\in\db{0,n}$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des elements de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est egal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$. - Trouver $R_k\in\mc{F}_{k,n}\cap\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}^{\perp}$, et calculer $\int_0^1R_k(t)^2\,dt$. Interpreter le resultat. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 641] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 641] Soient $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites reelles et $D:u\in E\longmapsto(u_{n+1}-u - {n\in\N}$. - Verifier que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? Surjectif? - Donner les elements propres de l'endomorphisme $D$. @@ -4219,7 +4417,7 @@ Montrer que $F$ est stable par l'endomorphisme $D$. Decrire l'ensemble $H=\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2},\ u\in F\setminus\{(0)_{n\in \N}\}\right\}.$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 642] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 642] Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$, $p,q\in\mc{L}(E)$ des projecteurs orthogonaux. - Verifier que $\op{Im}p$ est stable par $pq$ et que l'endomorphisme induit est symetrique. - Montrer que $\op{Ker}(pq)=\op{Ker}q\oplus(\op{Im}(q)\cap \op{Ker}(p))$. @@ -4228,11 +4426,11 @@ Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$, $p,q\in\mc{L}(E)$ des projecteurs orthogonaux. - Montrer que le spectre de $pq$ est inclus dans $[0,1]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 643] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 643] Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$. Montrer que $q\circ p$ est un projecteur si et seulement si $p$ et $q$ commutent. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 644] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 644] On munit $E=\R^n$ munit du produit scalaire usuel. Soit $A\in\M_n(\R)$. - Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $A$. Montrer que $F^{\perp}$ est stable par $A^T$. - On suppose $A\in\M_3(\R)$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que $A$ est diagonalisable ou $A$ est semblable a une matrice de la forme $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&\alpha&-\beta\\ 0&\beta&\alpha\end{pmatrix}$ avec $\beta\neq 0$.# 645 @@ -4240,23 +4438,23 @@ On munit $E=\R^n$ munit du produit scalaire usuel. Soit $A\in\M_n(\R)$. - Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\rm SO}_n(\R)$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 646] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 646] Soit $E$ un espace euclidien de dimension $4$. Trouver les endomorphismes $f\neq 0$ de $E$ tels que ${\rm tr}(f)=0,\ f+f^4=0$ et $f^*=-f^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 647] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 647] Soit $M\in{\cal O}_n(\R)$. Pour $k\in\N^*$, on pose $C_k=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^kM^j$. Etudier la convergence de la suite $(C - {k\in\N}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 648] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 648] Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice definie par blocs : $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $B$ est inversible de taille $p$. Montrer que $p$ est pair. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 649] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 649] Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux antisymetriques de taille au plus $2\times 2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 650] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 650] Soient $A,M,N\in{\cal M}_n(\R)$. - Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont diagonalisables. - Montrer que $MN$ et $NM$ ont les memes valeurs propres et que, pour toute valeur propre non nulle, les sous-espaces propres associes sont de meme dimension. @@ -4264,38 +4462,38 @@ Soient $A,M,N\in{\cal M}_n(\R)$. - Montrer qu'il existe $U\in{\cal O}_n(\R)$ telle que : $A^TA=UAA^TU^{-1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 651] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 651] Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$ telles que $A^TA=B^TB$. Montrer qu'il existe $Q\in{\cal O}_n(\R)$ telle que $B=QA$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 652] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 652] Soit $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $A^2=AA^T$. Montrer que $A\in{\cal S}_n(\R)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 653] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 653] Soit $M\in{\cal M}_n(\R)$ nilpotente telle que : $M^TM=MM^T$. Determiner $M^TM$ puis $M$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 654] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 654] Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal S}_n^+(\R)$. - Montrer que $\det(A)\geq 0$. - - Pour $p\in[\![1,n]\!]$, on pose $A_p=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq p}$. Montrer que $\det(A_p)\geq 0$. + - Pour $p\in\db{1,n}$, on pose $A_p=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq p}$. Montrer que $\det(A_p)\geq 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 655] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 655] Soit $A\in{\cal S}_n(\R)$. On suppose que la suite $(A^k)_{k\geq 1}$ converge vers $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|b_{i,j}|\leq n\sqrt{{\rm rg}\,B}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 656] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 656] Soit $A=(a_{i,j})\in{\cal O}_n(\R)$. Montrer que $\left|\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\right|\leq n\leq\sum_{1 \leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$.# 657 Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left(\sum_{i=1}^na_{i,i}\right)^2\leq\text{rg}(A)\sum_{i=1}^n\sum_{ j=1}^na_{i,j}^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 658] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 658] Soit $S\in\mc{S}_n^+(\R)$. Calculer $\max\{\text{tr}(OS)\;;\;O\in\mc{O}_n(\R)\}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 659] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 659] Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E)$) l'ensemble des endomorphismes antisymetriques (resp. symetriques, orthogonaux) de $E$. - Soit $u\in\mc{L}(E)$. Montrer que l'ensemble $T=\{\op{tr}(uv)\,;\,v\in\mc{O}(E)\}$ est majore. - Montrer que si $u\in\mc{A}(E)$ alors pour tout $t\in\R$, $\exp(tu)\in\mc{O}(E)$. @@ -4303,28 +4501,28 @@ Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E) - Etudier la reciproque. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 660] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 660] Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$prises avec multiplicite. Montrer que $A$ est diagonale. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 661] -- Soit $x\in\R^n$ tel que $\sum_{i=1}^nx_i=0$. Montrer que $|x_j|\leq\left(\frac{n-1}{n}\right)^{1/2}\|x\|_2$ pour tout $j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 661] +- Soit $x\in\R^n$ tel que $\sum_{i=1}^nx_i=0$. Montrer que $|x_j|\leq\left(\frac{n-1}{n}\right)^{1/2}\|x\|_2$ pour tout $j\in\db{1,n}$. - Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $\lambda$ une valeur propre de $A$. Montrer que $\left|\lambda-\frac{\op{tr}A}{n}\right|\leq\left(\frac{n-1}{n} \right)^{1/2}\left(\sqrt{\|A\|_2^2-\frac{(\op{tr}A)^2}{n}} \right).$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 662] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 662] Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $(a,b)\in\R^2$ tels que $:\forall X\in\R^n,a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b \|X\|^2$. Soit $P\in\R[X]$ tel que $:\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. Montrer que $P(A)\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 663] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 663] - Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice antisymetrique reelle. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures. - Montrer que $(I_n+A)(I_n-A)^{-1}\in\mc{O}_n(\R)$. - Soit $Q\in\op{SO}_2(\R)$. Resoudre l'equation $(I_2+A)(I_2-A)^{-1}=Q$, d'inconnue une matrice antisymetrique $A\in\M_2(\R)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 664] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 664] Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mc{S}_n^+(\R)$. - Montrer qu'il existe $C\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ telle que $C^2=A^{-1}$. - On pose $D=CBC$. Montrer que $\det(I_n+D)^{1/n}\geq 1+\det(D)^{1/n}$. @@ -4332,24 +4530,24 @@ Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mc{S}_n^+(\R)$. - Est-ce encore vrai si $A,B\in\mc{S}_n^+(\R)$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 665] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 665] Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $A$ appartient a $\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si, pour toute matrice $B\in\mc{S}_n^+(\R)$, on a $\op{tr}(AB)\geq 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 666] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 666] On considere la forme quadratique $q:(x,y,z)\in\R^3\mapsto(x+z)^2+2xy+4yz$. - Determiner $a,b,c$ tels que $q(x,y,z)=a(x+y+z)^2+b(y-z)^2+cz^2$. - La forme quadratique $q$ est-elle definie positive? - Trouver les plans de $\R^3$ sur lesquels la restriction de $q$ est definie positive._Analyse_ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 667] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 667] Soient $E$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie de $E$. On considere l'ensemble des parties que l'on peut obtenir en appliquant successivement des passages a l'interieur ou a l'adherence a partir de $A$. - Montrer qu'il y en a au plus $7$. - Donner une partie $A$ telle qu'il y en ait exactement $7$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 668] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 668] Soient $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie non vide de $E$. Soit $f:x\in E\mapsto d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$. @@ -4359,22 +4557,22 @@ Soit $f:x\in E\mapsto d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$. - Montrer que tout ouvert est union croissante de fermes. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 669] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 669] Soient $E$ un espace vectoriel norme et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie. - Montrer que : $\forall x\in E,\exists y\in F,d(x,F)=\|y-x\|$. - On suppose que $F\neq E$. Montrer qu'il existe $u\in E$ tel que $d(u,F)=\|u\|=1$. - En deduire que $B_f(0,1)$ est compact si et seulement si $E$ est de dimension finie. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 670] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 670] Determiner les sous-groupes compacts de $\C^*$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 671] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 671] Soit $f\in\mc{L}(\R^n,\R^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si l'image de tout ouvert par $f$ est un ouvert. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 672] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 672] - Soient $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R$ et $N$ une norme sur $\R^n$. Montrer l'equivalence entre : (i) $|f(x)|\ra+\i$ lorsque $N(x)\ra+\i$ ; @@ -4384,7 +4582,7 @@ Soit $f\in\mc{L}(\R^n,\R^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si - La reciproque du resultat precedent est-elle vraie? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 673] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 673] On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$. Si $f\in E$, on pose $u(f)=\sum_{k=1}^{+\i}\left(-\frac{1}{2}\right)^kf\left( \frac{1}{k}\right).\in\R$. @@ -4392,7 +4590,7 @@ Si $f\in E$, on pose $u(f)=\sum_{k=1}^{+\i}\left(-\frac{1}{2}\right)^kf\left( \f - Montrer que $u$ est continue sur $E$ et determiner sa norme subordonnee. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 674] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 674] Soient $L^1(\R)$ l'espace vectoriel des suites sommables et $N:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\lvert x_n\rvert$. - Montrer que $N$ est une norme. - Soit $A$ l'ensemble des suites de $L^1(\R)$ nulle a partir d'un certain rang. Donner l'adherence et l'interieur de $A$. Ind. Remarquer que $A$ est dense dans $L^1(\R)$.# 675 @@ -4401,7 +4599,7 @@ Soient $L^1(\R)$ l'espace vectoriel des suites sommables et $N:x\mapsto\sum_{n=0 Soit $D=\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^+)^n\,;\,\sum x_i^2\lt 1,\, \sum x_i\gt 1\right\}$. Soit $f:D\to\R$ telle que $\forall x,y\in D,|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$. Que dire de $f\,?$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 676] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 676] Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme reel, $p\in\N^*$, $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$,. - Montrer que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre si et seulement si @@ -4409,27 +4607,27 @@ $\inf\left\{\left\|\sum_{i=1}^p\lambda_ix_i\right\|\ ;\ (\lambda_1, \ldots\lambd - En deduire que l'ensemble des $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$ tels que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre est un ouvert de $E^p$. Retrouver ce resultat plus simplement si $E$ est de dimension finie. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 677] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 677] Soient $n\geq 2$, $K$ un compact de $\R^n$ et $\eps\gt 0$. Une partie $A\subset K$ est $\eps$-separee si, pour tous $x$, $y\in A$ tel que $\|x-y\|\lt \eps$, on a $x=y$. - Montrer qu'il existe un entier $M(\eps)$ tel que toute partie $\eps$-separee de $K$ est de cardinal inferieur a $M(\eps)$ et il existe une partie $\eps$-separee de $K$ de cardinal $M(\eps)$. - Soit $f:K\to K$. On suppose que, pour tous $x$, $y\in K$, $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$. Montrer que $f$ est surjective. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 678] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 678] Soient $n\geq 2$ et $f\colon\R^n\to\R$ continue telle que, pour tout $a\in\R$, $f^{-1}(\{a\})$ est compact. Montrer que $f$ admet un extremum global. Que se passe-t-il si $n=1\,?$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 679] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 679] Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme reel de dimension finie, $k\in]0,1[$, $f$ une application $k$-lipschitzienne de $E$ dans $E$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 680] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 680] Soit $E=\mc C^0([-1,1],\R)$ muni de la norme de la convergence uniforme. Pour $f\in E$ on pose $\phi(f)=\int_0^1f(t)\,dt-\int_{-1}^0f(t)\,dt$. - Montrer que $\phi$ est une forme lineaire continue sur $E$ et calculer $\|\phi\|$. - Existe-t-il $f$ unitaire telle que $|\phi(f)|=\|f\|\,?$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 681] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 681] On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $[-1,1]$ vers $\R$ continues par morceaux, muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg$ et de la norme euclidienne associee $\|\ \|$. On dit qu'une suite $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement (resp. faiblement) vers $f\in E$ si $\|f_n-f\|\to 0$ (resp. $\langle f_n,\phi\rangle\to\langle f,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in C^1([-1,1],\R)$). @@ -4440,7 +4638,7 @@ On dit qu'une suite $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement (resp. faiblem - On pose $f_n(x)=\sin(nx)$ pour $n\geq 0$ et $x\in[-1,1]$. - Montrrer que $(f - {n\geq 0}$ converge faiblement vers la fonction nulle. - La suite $(f - {n\geq 0}$ converge-t-elle fortement? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 682] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 682] Soient $a_1\lt \cdots\lt a_p$ des reels et $P=\prod_{i=1}^p(X-a_i)$. On pose : $E=\Big{\{}M\in\M_n(\R),\ P(M)=0\Big{\}}$. @@ -4451,17 +4649,17 @@ On pose : $E=\Big{\{}M\in\M_n(\R),\ P(M)=0\Big{\}}$. - Generaliser. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 683] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 683] - Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n\in\N^*$. Montrer que $P$ est scinde sur $\R$ si et seulement si : $\forall z\in\C$, $|P(z)|\geq|\text{Im}(z)|^n$. - Montrer que l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ trigonalisables est ferme. - Quelle est l'adherence de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 684] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 684] Soient $n\geq 2$ et $r\in[1,n-1]$. L'ensemble $\mc{E}$ des matrices carrees de taille $n$ et de rang $r$ est-il ouvert? ferme? Determiner l'interieur et l'adherence de $\mc{E}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 685] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 685] On munit l'espace $E=\mc C^0([0,1],\R)$ du produit scalaire usuel defini par $\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)\,dt$ et de la norme associee $\|\quad\|_2$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ tel qu'il existe une constante $C\in\R$ telle que $\forall f\in F,\|f\|_{\i}\leq C\|f\|_2$. @@ -4472,22 +4670,22 @@ Montrer que $\forall a_1,\ldots,a_n\in\R$, $\left|\sum_{i=1}^na_if_i\right|\leq - En deduire que $F$ est de dimension finie majoree par $C^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 686] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 686] Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si l'ensemble $\{PAP^{-1},\ P\in\op{GL}_n(\C)\}$ est ferme. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 687] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 687] Soit $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$. Montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes de $\M_n(\mathbb{K})$ est connexe par arcs. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 688] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 688] Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$. - L'ensemble $\mc{D}$ est-il un sous-espace vectoriel? - Quel est le sous-espace vectoriel engendre par $\mc{D}$? par $\M_n(\R)\setminus\mc{D}$? - L'ensemble $\mc{D}$ est il ouvert? ferme? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 689] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 689] On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algebre. - Soit $A\in E$. Etudier la convergence de la serie $\sum A^k$ si $\|A\|\lt 1$. @@ -4495,56 +4693,56 @@ Cette condition est-elle necessaire pour que la serie soit convergente? - Pour tout $k\in\N^*$, on pose $U_k=\left(I_n+\frac{A}{k}\right)^k$. Etudier la convergence et la limite de la suite $(U_k)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 690] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 690] Lorsque $J$ est un intervalle de $\R$, on pose $S_n(J)=\{M\in\mc{S}_n(\R)\,\ \ \mathrm{Sp}(M)\subset J\}$. - Soit $I$ un intervalle de $\R$. Montrer que $S_n(I)$ est convexe. - Montrer que $S_n(\overline{I})=\overline{S_n(I)}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 691] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 691] - Montrer que $\mathrm{SL}_n(\R)$ est un ferme non compact de $\M_n(\R)$. - Montrer que $\mathrm{SO}_n(\R)$ est connexe par arcs. - Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(O,S)\in\mc{O}_n(\R)\times S_n^{++}(\R)$ tel que $M=OS$. - En deduire que $\mathrm{SL}_n(\R)$ et $\mathrm{GL}_n^+(\R)$ sont connexes par arcs. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 692] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 692] Determiner la limite de la suite de terme general $ u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{n-k}{n}\right)^n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 693] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 693] On pose $ u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)^k$ pour tout $n\geq 1$. - Montrer que la suite $(u - {n\geq 1}$ est divergente. - Donner un equivalent de $u_n$ quand $n\to+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 694] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 694] Soit $ f:[0,2]\to\R$ une fonction $C^1$. On pose $ u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$ pour $n\geq 1$. Etudier la convergence de la suite $(u - {n\geq 1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 695] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 695] Pour $n\in\N^*$, on pose $ u_n=\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{\sqrt{k}}{n}\right)$. Determiner un equivalent de $u_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 696] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 696] Soit $\mc{B}$ le sous-espace de $\C^{\Z}$ forme des suites $(u - {n\in\Z}$ bornees. Soit $T$ l'endomorphisme de $\mc{B}$ qui a $(u - {n\in\Z}$ associe $(u_{n+1})_{n\in\Z}$. - Montrer que $T$ est lineaire. Determiner ses valeurs propres et ses sous-espaces propres. - Determiner les sous-espaces de dimension finie de $\mc{B}$ stables par $T$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 697] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 697] Etudier les suites definies par $u_1,v_1$ reels et $\forall n\in\N^*$, $ u_{n+1}=u_n+v_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et $ v_{n+1}=v_n-u_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 698] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 698] $\ \ - La suite $(d - {n\geq 1}$ est-elle convergente? - La suite $(d - {n\geq 1}$ est-elle bornee? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 699] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 699] Soit $(b - {n\in\N}$ une suite strictement positive, croissante et non majoree. - Montrrer que, si $(a - {n\in\N}$ est une suite reelle convergente de limite $\ell$, alors @@ -4553,117 +4751,117 @@ $$\frac{1}{b_n}\sum_{k=0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)a_k\underset{n\to+\i}{ \longrightarr - La reciproque de la propriete precedente est-elle vraie? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 700] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 700] Soit $(a - {n\geq 0}$ une suite reelle decroissante de reels strictement positifs, telle que $a_0=1$. On pose $b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{a_k}$ pour tout $n\geq 1$. - Montrrer que $b_n\in[0,1]$ pour tout $n\geq 1$. - On fixe $\ell\in[0,1]$. Montrer que l'on peut choisir la suite $(a - {n\geq 0}$ de telle sorte que $b_n\to\ell$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 701] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 701] Soit $a\in]0,1[$. On definit $(u_n)$ par $u_0=a$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n+u_n^2\ln(u_n)$. - Montrer que $(u_n)$ est definie et etudier sa convergence. - On pose $F:x\mapsto\int_a^x\frac{dt}{t^2\ln t}$. Montrer que $F(u_{n+1})-F(u_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}1$. - En deduire un equivalent de $F(u_n)$. Qu'en deduire sur $u_n$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 702] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 702] Soit $(u - {n\in\N}$ definie par $u_0\in]0,\pi/2]$ et $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=\sin(u_n)$. Etudier la convergence de $(u_n)$. Determiner un equivalent de $u_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 703] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 703] Pour tout $n\geq 2$, on pose $f_n(x)=x^n-nx+1$. - Montrer que l'equation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$. - Etudier la monotonie de la suite $(x_n)$. Montrer sa convergence. - Determiner la limite de la suite $(x_n)$ et un equivalent simple de $x_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 704] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 704] Determine un developpement asymptotique a deux termes de $x_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 705] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 705] Soit $(u_n)$ une suite reelle definie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+1}$. - Si $(u_n)$ converge, quelle est sa limite? - On suppose que, pour tout $n\in\N$, $u_n\leq 1$. Montrer que $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite? - Etudier la convergence de $(u_n)$ dans le cas general. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 705] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 705] Pour $n\geq 2$, on considere l'equation $\sin(x)=\frac{x}{n}$. - Montrer que cette equation admet une unique solution sur $]0,\pi[$ qu'on notera $x_n$. - Montrer que la suite $(x - {n\geq 2}$ converge. Quelle est sa limite? - Donner un developpement asymptotique de $x_n$ a la precision $o\left(\frac{1}{n^3}\right).$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 706] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 706] Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=0}^n(X-i)$. - Montrer que : $\forall n\in\N^*,\exists!r_n\in\big{]}0,1[\,,P'_n(r_n)=0$. - Determiner un equivalent simple de $r_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 707] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 707] Soit $(u_n)$ la suite definie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{n+u_n}$ - Montrer que $u_n\to+\i$. - Donner un developpement asymptotique a trois termes de $u_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 708] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 708] Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup_{t\in[0,1]}|P(t)|.$ Pour tout $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynomes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf_{P\in E_n}N(P)$. - Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$. - Montrer que $(a - {n\in\N}$ est decroissante et de limite nulle. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 709] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 709] Limite et developpement asymptotique en $o(1/n)$ de $u_n=\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{\sqrt{k(n-k)}}{n^{3/2}}\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 710] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 710] Soit $(u_n)$ une suite reelle verifiant : $\forall(m,n)\in\N^2,u_{n+m}\leq u_m+u_n.$ Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big{\{}\frac{u_n} {n}\text{ pour }n\in\N^*\Big{\}}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 711] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 711] - Montrer que tout sous-groupe de $(\R,+)$ est de la forme $a\Z$ ($a\in\R$) ou dense dans $\R$. Soit $\theta\in\R^*$ tel que $\frac{\pi}{\theta}\notin\Q$. - Montrer que $A=\big{\{}p\theta+2\pi q,\ (p,q)\in\Z^2\big{\}}$ est dense dans $\R$. - Expliciter les valeurs d'adherence de la suite $\left(\cos(n\theta)\right)_{n\in\N}$. - Expliciter les valeurs d'adherence de la suite $\left(\cos(\sqrt{n}\theta)\right)_{n\in\N}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 712] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 712] Soit $x\in\Big{[}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$. Convergence et somme de $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^n}\tan\Big{(}\frac{x}{2^n}\Big{)}$. _Ind._ Montrer que $\tan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 713] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 713] Soit $(u_n)$ une suite reelle telle que $n(u_{n+1}-u_n)\to 1$. Quelle est la nature de la serie $\sum u_n$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 714] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 714] Determiner la convergence et la somme de la serie de terme general $u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 715] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 715] Determiner la nature de $\sum\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$.# 716 Si $n\in\N^*$, soit $u_n=\sum_{k=1}^n(\ln(k))^2$. Determiner la nature de $\sum\dfrac{1}{u_n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 717] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 717] Nature de la serie de terme general $\dfrac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}-(-1)^n}$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 718] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 718] Soit $\alpha\gt 0$ fixe. Nature de la serie de terme general $\sum\dfrac{\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor-\lfloor\sqrt{n}\rfloor}{n^{\alpha}}$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 719] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 719] Soient $\alpha\gt 0$ et $\beta\in]0,1[$. Nature de la serie $\sum\dfrac{(-1)^{\lfloor n^{\beta}\rfloor}}{n^{\alpha}}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 720] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 720] - Montrrer que $\dfrac{\pi}{4}=\sum_{k=0}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$. - Nature de la serie de terme general $u_n=\ln\left(\tan\left(\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\right)\right)$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 721] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 721] Soient $a,b$ deux reels tels que $0\lt a\lt b$. On pose $u_0\gt 0$ et : $\forall n\in\N,u_{n+1}=\dfrac{n+a}{n+b}u_n$. @@ -4672,29 +4870,29 @@ On pose $u_0\gt 0$ et : $\forall n\in\N,u_{n+1}=\dfrac{n+a}{n+b}u_n$. - En deduire la somme $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 722] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 722] Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite decroissante de reels positifs. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\dfrac{1}{1+n^2u_n}$. Montrrer que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ diverge. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 723] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 723] On pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)\,dx$. Quel est le signe de $u_n$? Montrrer que la serie $\sum u_n$ est semi-convergente. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 724] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 724] Etudier $\lim_{n\to+\i}\sum_{k=n+1}^{+\i}\dfrac{n}{k\sqrt{k^2-n^2}}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 725] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 725] Pour tout $n\in\N^*$, on pose $u_n=\int_n^{n+1}\dfrac{\cos\left(\ln(t)\right)}{t}\,dt$ et $v_n=\dfrac{\cos\ln(n)}{n}$. - Determiner la nature de la serie $\sum u_n$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $u_n-v_n=\int_n^{n+1}(t-n-1)\frac{\cos\ln(t)+\sin\ln(t)}{t^2}\,dt$. - En deduire la nature de la serie $\sum v_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 726] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 726] Soit $f\in C^1(\R,\R^{+*})$ telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}-\i$. Montrer que $\sum f(n)$ converge. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 727] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 727] On dit que la serie de terme general $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, pour tout $n\in\N$, $\left|a-\sum_{k=0}^nu_k\right|\leq|u_{n+1}|$. On dit qu'elle enveloppe strictement $a\in\R^{+*}$ lorsqu'il existe une suite $(\theta_n)\in]0,1[^{\N}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $a-\sum_{k=0}^nu_k=\theta_{n+1}u_{n+1}$. - Soit $a\gt 0$. Donner un exemple de serie divergente qui enveloppe $a$. - Donner un exemple de serie convergente qui enveloppe un reel $a\in\R^{+*}$. @@ -4702,16 +4900,16 @@ On dit que la serie de terme general $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, pour - Montrer que, si une serie enveloppe strictement un reel $a\gt 0$, alors elle est alternee. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 728] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 728] - Soit $\sum u_n$ une serie a termes positifs. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. Montrer que si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum\frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi. - Soit $\sum y_n$ une serie a termes complexes telle que, pour toute suite $(x_n)$ qui tend vers $0$, la serie $\sum x_ny_n$ converge. Montrer que $\sum|y_n|$ converge. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 729] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 729] Soit $(u_n)\in(\R^+)^{\N}$. On suppose que $\sum u_n$ converge. Construire $(v_n)\in(\R^+)^{\N}$, croissante et de limite $+\i$, telle que $\sum u_nv_n$ converge. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 730] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 730] Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes : i) pour toute serie $\sum u_n$ convergente de terme general positif, la serie $\sum f(u_n)$ est convergente ; @@ -4719,56 +4917,56 @@ i) pour toute serie $\sum u_n$ convergente de terme general positif, la serie $\ ii) l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornee au voisinage de $0^+$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 731] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 731] Soit $\sum u_n$ une serie convergente a termes strictement positifs. - Montrer que $\sum_{k=1}^nku_k=o(n)$. - Montrer que $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nku_k$ est le terme general d'une serie convergente. - Montrer que la serie de terme general $\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}$ est convergente et que :$$\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}\leq \sum_{k=1}^{+\i}u_k.$$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 732] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 732] Pour toute permutation $f$ de $\N^*$, on note $E_f=\left\{\alpha\in\R,\;\sum\frac{f(n)}{n^{\alpha}}\lt +\i\right\}.$ - Montrer qu'il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=\varnothing$. - Soit $f\in S(\N^*)$. Montrer que si $E_f\neq\varnothing$, alors c'est un intervalle minore par $2$ et non majore. - Montrer que, si $\beta\gt 2$, alors il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=]\beta,+\i[$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 733] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 733] Soit $f_n=x\mapsto\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$. - Montrer que, pour $n$ pair, $f_n$ ne s'annule pas et que, pour $n$ impair, $f_n$ s'annule en un unique point $r_n$. - Montrer que, pour $n$ impair, $-2n-3\lt r_n\lt 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 734] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 734] Soit $\alpha$ un reel non nul. On pose, pour $x\in[-1,1]$, $g_{\alpha}(x)=\cos(\alpha\arcsin x)$. A quelle condition sur $\alpha$ la fonction $g_{\alpha}$ est-elle polynomiale? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 735] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 735] Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^2$, telle que $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c\in\,]0,1[$ tel que $|f^{''}(c)|\geq 4$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 736] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 736] Soient $I$ un intervalle non vide de $\R$ et $f:I\to\R$ de classe $C^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si : $\forall(x,y)\in I^2,\;\exists t\in\,]0,1[,\;f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 737] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 737] Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que $f(0)=1$ et, pour tout $x\in\R$, $f(2x)=f(x)\cos(x)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 738] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 738] Soient $A,B\in\R^+$, $f\colon\R\to$ de classe $\mc C^2$ telle que, pour tout $x\in\R$, $|f(x)|\leq A$ et $|f^{''}(x)|\leq B$. - Montrer que, pour tout $h\in\R^{+*}$, $|f'(x)|\lt \frac{A}{h}+\frac{Bh}{2}$. - Trouver la meilleure majoration de $|f'(x)|$ pour tout $x\in\R$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 739] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 739] Soit $f:x\in\,]-1,+\i[\,\mapsto x-\ln(1+x)$. - Montrer que $f$ definit une bijection $f_1$ de $]-1,0]$ sur $\R^+$ et une bijection $f_2$ de $\R^+$ sur $\R^+$. - Determiner un equivalent de $f$ en $0$. En deduire un equivalent de $f_1^{-1}$ et $f_2^{-1}$ en $0$. - Determiner le developpement asymptotique a l'ordre $2$ de $f_2^{-1}$ en $0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 740] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 740] Soit $E=\mc C^0([-1,1],\C)$. Soit $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ strictement croissante et surjective. Soit $\Phi\in\mc{L}(E)$ l'application qui a $f\in E$ associe $f\circ g$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie stable par $\Phi$. On note $\Phi_F$ l'endomorphisme de $F$ induit par $\Phi$ sur $F$. - Montrer que $\Phi_F$ est un automorphisme de $F$. - Montrer que la seule valeur propre de $\Phi_F$ est 1. @@ -4778,19 +4976,19 @@ Soit $E=\mc C^0([-1,1],\C)$. Soit $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ strictement crois ii) $\forall(x,y)\in\R^2,f(x+y)=f(x)f(y)$ et $\forall x\in\R,\det(f(x))\neq 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 742] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 742] Soient $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $D:f\in E\mapsto f'$. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et determiner ses elements propres. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 743] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 743] Soient $f\colon\R^+\to\R^+$ de classe $\mc C^1$, $\ell\in\R^{+*}$ et $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ avec $n\in\N^*$ et $a_n\neq 0$. On suppose que $f'(x)\,P\,(f(x))\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Determiner un equivalent de $f$ en $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 744] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 744] Soient $h:\R\to\R^+$ continue, $\ell\in\R^{+*}$, $n\in\N^*$. On suppose : $h(x)\int_0^xh^n\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Determiner un equivalent de $h$ en $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 745] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 745] Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$ et $E=\mc C^0([a,b],\R)$. On pose $F=\big{\{}g\in\mc C^2([a,b],\R)\;;\;g(a)=g(b)=g'(a)=g^{ '}(b)=0\big{\}}$. @@ -4800,193 +4998,193 @@ Montrer qu'il existe $g\in F$ tel que $f=g^{''}$ si et seulement si $\int_a^bf(t - Soit $h\in E$ tel que $\forall f\in F$, $\int_a^bhg^{''}=0$. Montrer que $h$ est affine. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 746] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 746] Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application definie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Verifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Determiner ses elements propres. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 747] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 747] Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle $F\in\R(X)$ telle que : $\forall x\in\R,\int_0^xe^{t^2}\,dt=F(x)\,e^{x^2}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 748] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 748] Etudier la fonction $f:x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{t\sqrt{1-t}}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 749] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 749] Calculer $I=\int_{-1}^1\frac{\cos x}{e^{\frac{1}{x}}+1}\,dx$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 750] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 750] Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $f\in\mc C^0([a,b],R)$, $\epsilon\gt 0$. Montrer qu'il existe $P,Q\in\R[X]$ tels que $\forall x\in[a,b]$, $P(x)\leq f(x)\leq Q(x)$ et $\int_a^b(Q-P)\leq\epsilon$. Est-ce toujours vrai si $f$ est uniquement continue par morceaux? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 751] -Soit $f:[0,1]\to\R$ continue. - Soit $n\in\N$. On suppose que, pour tout $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 751] +Soit $f:[0,1]\to\R$ continue. - Soit $n\in\N$. On suppose que, pour tout $k\in\db{0,n}$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois. - On suppose que, pour tout $k\in\N$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ est nulle. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 752] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 752] Soit $f\in C^0([a,b],\R)$ telle que $:\forall(\alpha,\beta)\in[a,b]^2,\int_{\alpha}^{\beta}f=0$. Montrer que $f=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 753] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 753] Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Determiner les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ verifiant $:\forall g\in F,\int_a^bfg=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 754] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 754] Soit $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer $:120\Big{(}\int_0^1f\Big{)}^2\leq\int_0^1(f^{''})^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 755] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 755] Soient $E=\mc C^0([a,b],\R)$ muni de $\parallel\parallel_{\i}$ et $B$ la boule unite fermee de $E$. Soit $f\in E$. Montrer que $\sup_{g\in B}\int_a^bfg=\int_a^b|f|$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 756] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 756] Etudier la convergence et calculer $\int_{-\i}^{+\i}\frac{dx}{x^6+1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 757] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 757] Etudier la convergence de l'integrale $\int_0^{+\i}t|\cos t|^{t^5}\,dt$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 758] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 758] Nature de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^x\,dx$ puis de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^{x^{\alpha}}\,dx$ avec $\alpha\in]1,+\i[$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 759] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 759] Soit $\alpha\gt 0$. Etudier la convergence de l'integrale $:\int_0^{+\i}\left(\exp\left(\frac{\sin^2x}{x^{\alpha}}\right)-1 \right)\,dx$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 760] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 760] Nature suivant $a\in\R$ de $I(a)=\int_0^{+\i}\frac{x-\ln(1+x)}{x^a}\,dx\,?$ Calculer $I(5/2)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 761] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 761] - Soit $\sum u_n$ une serie convergente a termes positifs. Nature de $\sum u_n^2$? - Soit $f$ une fonction continue, positive et integrable sur $\R^+$. Nature de $\int_0^{\i}f^2$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 762] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 762] Soient $I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}\,dt$ et $J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{t}\,dt$. - Montrer que $I_n$ et $J_n$ sont bien definies. Montrer que $(I_n)$ est constante. - Montrer que $I_n-J_n\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - Montrrer la convergence de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}dt$ et la calculer. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 763] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 763] Soit $a\gt 0$. Montrer que l'integrale : $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(ax)+\arctan(x/a)}{1+x^2}\,dx$ converge et calculer sa valeur. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 764] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 764] Soit $f\in C^1([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$. - Soient $I_1=\int_0^1(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))f(t)^2\,dt$ et $I_2=\int_0^1f'(t)f(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)\,dt$. Montrer la convergence de $I_1$ et $I_2$. Trouver une relation entre $I_1$ et $I_2$. - Montrer que $\int_0^1f'(t)^2\,dt\geq\pi^2\int_0^1f(t)^2 \,dt$ et etudier le cas d'egalite. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 765] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 765] Soit $f$ continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\R$. Montrer l'existence et l'unicite de $\lambda$ tel que $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,dt$ converge. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 766] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 766] Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ une fonction continue decroissante. - On suppose que $f$ est integrable sur $[0,+\i[$. Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$. - Etudier la reciproque. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 767] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 767] Soit $f\in\mc C^1(\R,\R^+)$ telle que $f'$ est bornee et $\int_{\R}f$ converge. Montrer que $\underset{+\i}{\lim}f=\underset{-\i}{\lim}f=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 768] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 768] Etudier la convergence $\int_0^{+\i}t|\cos(t)|^{t^5}\,dt$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 769] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 769] Etudier la convergence et la convergence absolue de $\int_2^{+\i}\frac{\cos(x)}{\ln(x)}dx$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 770] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 770] - Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[a,b]$ dans $\R$. On suppose $f$ de signe constant. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $\int_a^bf(t)g(t)dt=g(c)\int_a^bf(t)dt$. - Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ continue telle que $f$ admet la limite $\lambda\in\R$ en $0$ et il existe $\mu\in\R$ telle que la fonction $t\mapsto\frac{f(t)-\mu}{t}$ est d'integrable convergente sur $[1,+\i[$. Montrer que, pour tout $a\lt b$, l'integrale $\int_0^{+\i}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt$ existe et la calculer. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 771] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 771] Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carre integrable de $\R^+$ dans $\R$. Pour $x\in\R^{+*}$, soit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^xf$. - Determiner la limite de $g$ en $0$. - Determiner la limite de $g$ en $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 772] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 772] Donner un equivalent, quand $x\to+\i$, de $\int_1^x\!t^tdt\,$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 773] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 773] Soit $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}dt$. - Montrer que $f$ est definie sur $\R^{+*}$ et seulement sur cet ensemble. - Etudier l'integrabilite de $f$ sur $\R^{+*}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 774] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 774] Si $a\gt 0$ et $b\gt 0$, calculer $\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\ dt$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 775] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 775] Soit $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ une fonction de classe $C^1$. On suppose que $f'/f$ tend vers une limite $a\in\R^{-*}$ en $+\i$. - Montrer que $f$ et $f'$ sont integrables sur $\R^+$. - Donner un equivalent de $\int_x^{+\i}f$ lorsque $x$ tend vers $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 776] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 776] Trouver une valeur approchee rationnelle a $10^{-3}$ pres de $\int_0^1e^{-t}\ln(t)\,dt$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 777] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 777] Quelles sont les fonctions de $\R^+$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $\R^+$ d'une suite d'applications polynomiales reelles? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 778] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 778] Soient $S$ un segment de $\R$ non reduit a un point, $n\in\N^*$, $m\in\R^{+*}$, $\eps\in\R^{+*}$, $f$ une fonction de classe $C^n$ de $S$ dans $\R$ telle que $\|f^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$. Montrer qu'il existe $p\in\R[X]$ tel que $\|f-p\|_{\i,S}\lt \eps$ et $\|p^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 779] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 779] Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une suite $(p - {n\geq 0}$ d'applications polynomiales reelles telle que $(p - {n\geq 0}$ converge uniformement vers $f$ sur tout segment de $\R$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 780] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 780] Soient $a$ et $b$ deux nombres reels tels que $a\lt b$ et $S=[a,b]$. - On suppose que $S\cap\Z\neq\emptyset$. Expliciter une fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ qui n'est pas limite uniforme sur $S$ d'une suite d'elements de $\Z[X]$. - On suppose $S\subset]0,1[$. On definit une suite $(P - {n\geq 0}$ de polynomes par $P_0=X$ et, pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=2P_n(1-P_n)$. Montrer que $(P - {n\geq 0}$ converge uniformement sur $S$ vers la fonction constante egale a $\frac{1}{2}$. - On suppose que $S\cap\Z=\emptyset$. Montrer que toute fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ est limite uniforme sur $S$ d'une suite d'elements de $\Z[X]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 781] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 781] Soit, pour $n\in\N$, $f_n:x\in\R^+\mapsto x^n(1-\sqrt{x})$. - Determiner le domaine de convergence $D$ de la serie de fonctions $\sum f_n$. - Y a-t-il convergence normale sur $D$? - Calculer $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{1}{(n+1)(2n+3)}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 782] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 782] Soit $\alpha\gt 0$. Etudier les modes de convergence de la serie de fonctions $\sum u_n$ definie par $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 783] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 783] Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nx}}{x+n}$. Domaine de definition, continuite de $f$, equivalent de $f$ aux extremites de son domaine de definition. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 784] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 784] Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de definition, continuite, etude de la derivabilite, equivalents en $0$ et $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 785] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 785] - Montrer que la serie de fonctions $\sum\frac{x\,e^{-nx}}{\ln(n)}$ converge simplement sur $\R^+$ mais non normalement. - Montrer la convergence uniforme sur $\R^+$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 786] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 786] Pour tout $n\in\N^*$ et $x\in\R^+$, on pose $f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{n}(n+x)}$. - Montrer la convergence simple de $\sum f_n$ sur $\R^+$. On note $f=\sum_{n=1}^{+\i}f_n$. - Montrer que la serie $\sum f_n$ converge normalement sur les segments de la forme $[0,M]$ avec $M\gt 0$. Y a-t-il convergence normale sur $\R^+$? @@ -4995,7 +5193,7 @@ Pour tout $n\in\N^*$ et $x\in\R^+$, on pose $f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{n}(n+x)}$. - Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o(x)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 787] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 787] Soit $f\in\mc C([a,b],\R)$. On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N^*$ et $x\in[a,b]$, $f_n(x)=\int_a^xf_{n-1}(t)dt$. @@ -5003,7 +5201,7 @@ On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N^*$ et $x\in[a,b]$, $f_n(x)=\int_a^xf_{n-1}(t)dt Etudier la convergence simple de la serie $\sum f_n$ et calculer sa somme. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 788] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 788] Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(\sin(nx))^2}{n^2}$. - Montrer que la fonction $f$ est definie et continue sur $\R$. - La fonction $f$ est-elle derivable en $0$?# 789 @@ -5012,43 +5210,43 @@ Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(\sin(nx))^2}{n^2}$. - Determiner un equivalent de $f$ en $0$, et en $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 790] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 790] - Justifier la convergence pour $x\in[0,1[$ de$:f(x)=\prod_{n=0}^{+\i}\left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}.$ - Montrer que, pour tout $x\in\,]0,1[$, on a $:\ln f(x)=\frac{x-1}{x}\sum_{n=1}^{+\i}x^n\ln(1+x^n)+\ln 2.$ - En deduire $:\forall x\in[0,1[\,,\ln f(x)=\ln 2+\sum_{m=1}^{+\i}\frac{(-1)^m}{m} \frac{x^m}{1+x+\cdots+x^m}$. - Montrer que $f$ possede une limite finie en $1^-$ et l'expliciter. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 791] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 791] Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, on pose $u_n(x)=e^{-x\sqrt{n}}$. - Determiner les domaines de definition des fonctions $ f=\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ et $g=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^nu_n$. - Trouver une equation fonctionnelle reliant $f$ et $g$. - Montrer que $f$ est analytique. Qu'en est-il de $g$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 792] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 792] Rayon de convergence et somme de $ f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^{2n+2}}{n(n+1)(2n+1)}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 793] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 793] Rayon de convergence et somme de $ f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{4n^2-5n+1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 794] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 794] Determiner le rayon de convergence et la somme de la serie entiere $\sum z^{n+(-1)^n}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 795] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 795] Soit $u$ qui a $ P\in\C[X]$ associe $ u(P):z\mapsto e^{-z}\sum_{n=0}^{+\i}\frac{P(n)}{n!}z^n$. Montrer que $u$ est bien definie, et que c'est un automorphisme de $\C[X]$. Determiner ses elements propres. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 796] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 796] Soient $ q\in]-1,1[$ et $ f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\sin(q^nx)$. - Montrer que $f$ est definie sur $\R$ et de classe $\mc C^{\i}$. - Montrer que $f$ est developpable en serie entiere. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 797] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 797] Soient $\alpha$ et $\beta$ deux reels strictement positifs. - Montrer que la serie $\sum\frac{(-1)^n}{\alpha n+\beta}$ est convergente. - On note $S$ la somme de la serie ci-dessus et pour tout $n\in\N$, $r_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{\alpha k+\beta}$. @@ -5056,47 +5254,47 @@ Exprimer $S$ et $r_n$ sous forme integrale. - Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum r_nx^n$. Etudier son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 798] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 798] Montrer qu'au voisinage de $0$, la fonction $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$ est developpable en serie entiere et en donner les coefficients. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 799] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 799] Expliciter le developpement en serie entiere de $\ln(x^2-x\sqrt{2}+1)$ au voisinage de $0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 800] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 800] Soient $\tau\in\R$ et $f:x\mapsto\arctan\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere en $0$ et preciser le domaine exact de validite. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 801] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 801] Rayon de convergence, ensemble de definition et somme de $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\mathrm{ch}(n)}{n}x^{2n}$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 802] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 802] Determiner le developpement en serie entiere en $0$ de $f:x\mapsto\sin\left(\frac{1}{3}\text{arcsin}(x)\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 803] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 803] On pose : $\forall n\geq 2,u_n=\sum_{\begin{subarray}{c}(i,j)\in(\N^*)^2 \end{subarray}}\frac{1}{(ij)^2}$ et $S:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}u_nx^n$. - Determiner un equivalent simple de $u_n$. - Determiner le rayon de convergence $R$ de $S$ et simplifier $S(x)$ sur $]-R,R[$. - Etudier la bonne definition et la continuite de $S$ en $R$ et en $-R$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 804] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 804] Soit $P\in\R[X]$ de degre $p\in\N^*$. - Determiner le rayon de la serie entiere $\sum_{n=0}^{+\i}P(n)x^n$ et montrer que la somme de cette serie s'ecrit sous la forme $\frac{Q(x)}{R(x)}$ avec $Q,R\in\R[X]$. - Soit $M=(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p+1}$. Montrer que $\det(M)=0$. - Montrer que $\det(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 805] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 805] Soit $f:x\mapsto(\arcsin(x))^2$. - Montrer que $f$ est solution d'une equation differentielle lineaire d'ordre $2$, sur un intervalle que l'on precisera. - Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$. Experimer les coefficients de ce developpement en serie entiere et donner son rayon de convergence. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 806] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 806] On definit la suite $(a_n)$ par : $a_0=a_1=1$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1}a_{n-1}$. - Montrer que : $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$ et en deduire le rayon de convergence $R$ de la serie entiere $\sum a_nx^n$. On pose $f:x\in\,]-R,R[\,\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$. @@ -5104,20 +5302,20 @@ On pose $f:x\in\,]-R,R[\,\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$. - Expliciter $f$ a l'aide des fonctions suuelles. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 807] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 807] On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^2x}$. - Montrer que $f$ est bien definie et de classe $\mc C^{\i}$. - Est-elle developpable en serie entiere? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 808] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 808] - Rappeler la formule de Stirling. - Calculer le rayon de convergence de la serie entiere $\sum\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)x^n$. - Calculer la somme de cette serie entiere en $-1$ apres s'etre assure de son existence. - Calculer $\int_0^1\frac{(-1)^{\lfloor 1/x\rfloor}}{x}{\rm d}x$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 809] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 809] - Determiner le rayon de convergence de $f:z\mapsto\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,z^k$. - Soit $z\in\C$ avec $|z|\lt 1$. Calculer $\exp\left(f(z)\right)$. Ind. Considerer $t\in[0,1]\mapsto\exp\left(f(tz)\right)$. - Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ tel que : @@ -5125,17 +5323,17 @@ On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^2x}$. $\forall z\in\C,\ |z|\leq\alpha\Rightarrow\det(I_n+zA)=\exp \left(\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,\op{tr}(A^k)\,z^{k }\right).$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 810] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 810] Soit $A\in\M_n(\C)$. - Determiner le rayon de convergence de la serie $f(z)=\sum_{p\in\N}\op{tr}(A^p)z^p$ - Calculer $f(z)$ en fonction du polynome caracteristique de $A$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 811] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 811] Soit $(a - {n\geq 0}\in\C^{\N}$. On suppose que la serie $\sum n|a_n|$ converge. - Montrer que le rayon de $\sum a_nz^n$ est superieur ou egal a 1. - On suppose $|a_1|\geq\sum_{n=2}^{+\i}n|a_n|$ avec $a_1\neq 0$. Montrer que $f:z\in\mathbb{D}\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ est injective. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 812] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 812] - Developpere en serie entiere $\phi:z\mapsto\frac{z}{(1-z)^2}$. Montrer que $\phi$ est injective sur $D_o(0,1)$. On pose $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ avec $(a_n)$ une suite reelle. On suppose que $f$ est definie et injective sur $D_o(0,1)$. - Montrrer que $f(z)\in\R\Longleftrightarrow z\in\R$. @@ -5144,37 +5342,37 @@ On pose $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ avec $(a_n)$ une suite reelle. On - Montrrer que : $\forall n\geq 2,|a_n|\leq n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 813] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 813] Soit, pour $n\in\N$, $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan(t)^n\op{d}t$. - Trouver une relation de recurrence sur $(I_n)$. - Montrrer que, pour $n\in\N$, $I_{2n}=(-1)^n\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{2k+1}$. Donner une expression similaire pour $I_{2n+1}$. - Donner un equivalent de $I_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 814] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 814] Soit, pour $n\geq 2$, $I_n=\int_1^{+\i}\frac{\op{d}t}{1+t+\cdots+t^n}$. Determiner de trois facons differentes la nature de $\sum I_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 815] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 815] On pose, pour tout $n\in\N^*$, $u_n=\int_1^{+\i}\exp(-x^n)\op{d}x$. Justifier l'existence de $(u_n)$. Etudier la convergence de la suite $(u_n)$ et de la serie $\sum u_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 816] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 816] Developpement asymptotique a deux termes de $I_n=\int_0^{+\i}e^{-nx}\ln(n+x)dx$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 817] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 817] Pour $n\in\N^*$ et $\alpha\in\R^+$, on pose $u_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-\alpha x}\op{d}x$. Determiner un equivalent simple de $u_n$ dans les cas $\alpha=0$, $\alpha\gt 1$, $\alpha=1$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 818] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 818] - Montrrer que $\int_0^{+\i}\cos\left(u^2\right)\op{d}u$ converge. - Soit $(a,b)\in\left(\R^{+*}\right)^2$. Trouver un equivalent de $I_n=\int_0^1\cos\left(n\left(au^2+bu^3\right)\right) \op{d}u$. _Ind._ Poser $t=\sqrt{na}u$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 819] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 819] Soit $\alpha\gt 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n(\alpha)=\int_0^{+\i}\frac{\op{d}t}{(1+t^{\alpha})^n}$. - Justifier la convergence de $I_n(\alpha)$. - Etablir une relation entre $I_{n+1}(\alpha)$ et $I_n(\alpha)$. En deduire une expression de $I_n(\alpha)$ en fonction de $I_1(\alpha)$ et de $\alpha$. @@ -5186,17 +5384,17 @@ Soit $\alpha\gt 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n(\alpha)=\int_0^{+\i}\frac{\op{ - Montrer que $\lim_{n\to+\i}n\int_0^1x^nf(x^n)\,dx=\sum_{k=3}^{+\i} \frac{1}{k^2}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 821] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 821] Soit $g:\R^+\to\R$, continue par morceaux, integrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornee. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 822] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 822] Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$. - Montrer que, pour tout $u\in\R$, $|e^{iu}-1|\leq|u|$. - En deduire que $f$ est derivable sur $\R$ puis simplifier l'expression de $f$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 823] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 823] On admet que $\int_0^{+\i}e^{-x^2}dx=\frac{\pi}{2}$. - Montrer que $I=\int_0^{+\i}\cos(t^2)dt$ converge. @@ -5206,18 +5404,18 @@ On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-(t^2+i)x^2}}{t^2+i}dt$. - En deduire la valeur de $I$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 824] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 824] On pose, pour tout $t\in\R$, $h(t)=\int_{\R}e^{-\pi(x^2+2itx)}\,dx$. Montrer que l'integrale $h(t)$ est bien definie pour tout $t\in\R$ puis la calculer explicitement. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 825] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 825] On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{\ln t}{t+x}\,dt$. - Determiner le domaine de definition de $f$. - Montrer que $f$ est derivable sur $\R^{+*}$ et expliciter $f'$. - On pose $g:x\mapsto f(x)+f(1/x)$. Simplifier $g(x)$ pour $x\gt 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 826] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 826] Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t(1+t^2)}\,dt$. - Montrer que $F$ est definie sur $\R$ et de classe $\mc C^2$. - Exprimer $F$ a l'aide de fonctions usuelles.# 827 @@ -5228,13 +5426,13 @@ Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t(1+t^2)}\,dt$. - En deduire $F$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 828] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 828] Soit $f:x\mapsto\int_{\R}e^{tx-t^2}\,dt$. - Montrer que $f$ est definie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. Quelle equation differentielle verifie $f$? - Trouver les solutions du probleme de Cauchy $-2y^{''}+xy'+y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=\sqrt{\pi}$ et $y'(0)=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 829] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 829] - Determiner le domaine de definition de $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$. - Montrer que $f$ est continue sur $\R^+$. - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$. @@ -5242,32 +5440,32 @@ Soit $f:x\mapsto\int_{\R}e^{tx-t^2}\,dt$. - En deduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\,dt$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 830] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 830] On pose $f(x)=\int_0^{+\i}|\sin(t)|e^{-xt}dt$. Determiner le domaine de definition de la fonction $f$ et montrer qu'elle y est de classe $\mc C^{\i}$. Expliciter la valeur de $f(x)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 831] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 831] Soient $f\in\mc C^0(\R,\R)$ et $g:x\mapsto\frac{1}{x}\int_0^x\cos(x-y)f(y)\,dy$. Montrer que $g$ est bien definie sur $\R^{+*}$ et trouver sa limite en $0$. On suppose que $f$ tend vers $\ell$ en $+\i$. Etudier la limite de $g$ en $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 832] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 832] Soient $C\gt 0$, $d\gt 0$ et $\alpha\in\R$. Montrer que $\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^{\alpha}dx\underset{t\to+\i}{ \sim}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^{\alpha}}{\sqrt{t}}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 833] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 833] Soit $f:x\mapsto\int_0^{\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)\,dt$. - Determiner le domaine de definition de $f$, etudier la continuite et les symetries. - Expliciter $f(x)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 834] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 834] On pose $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$. - Determiner le domaine de definition de $f$. - Determiner le developpement de $f$ en serie entiere sur un intervalle $I$ centre en $0$ que l'on precisera.# 835 On pose, pour $x\in\R$, $f(x)=\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de 0 et expliciter son developpement. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 836] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 836] Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$. On considere la fonction $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-xt}f(t)\,dt$. - On suppose $f$ bornee. Montrer que $F$ est definie et de classe $C^{\i}$ sur $\R^{+*}$. - On suppose que $f$ admet une limite finie non nulle $\ell$ en $+\i$. Donner un equivalent de $F$ en $0^+$. @@ -5275,29 +5473,29 @@ Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$. On considere la fonction $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-xt - Donner des exemples de fonctions $f$ telles que le domaine de definition de $F$ soit $]0,+\i[$, $]1,+\i[$ ou $\emptyset$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 837] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 837] On note $\mc{L}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues et integrables, et $\mc{E}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues telles que, pour tout $s\gt 0$, la fonction $u\mapsto\dfrac{f(u)}{u+s}$ est integrable. Si $f\in\mc{E}$, on pose $\widehat{f}(s)=\int_0^{+\i}\dfrac{f(u)}{u+s}\,du$ pour tout $s\gt 0$. - Quelles inclusions existent entre $\mc{L}$ et $\mc{E}$? - Dans cette question, on suppose que $f(u)=u^{\alpha-1}$, ou $\alpha\in]0,1[$. Montrer que $\widehat{f_{\alpha}}$ est proportionnelle a $f_{\alpha}$. - Soit $f\in\mc{E}$. Montrer que $\widehat{f}$ est continue, et determiner $\lim_{s\to+\i}\widehat{f}(s)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 838] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 838] Montrer que $\int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{\ln(t)}{1-t}\,dt=\int_0^{ \frac{1}{2}}\dfrac{\ln(1-t)}{t}dt$ et en deduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{2^nn^2}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 839] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 839] - Soit $(a - {n\geq 0}\in\C^{\N}$ sommable. Montrer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sum_{n=0}^{+\i}a_n\dfrac{t^n}{n!} \,dt=\sum_{n=0}^{+\i}a_n$. - Montrer le meme resultat en ne supposant que la convergence de la serie $\sum a_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 840] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 840] Soient $\alpha\in\Big{]}0,\dfrac{\pi}{2}\Big{[}$ et $f:t\mapsto\dfrac{1}{1-\sin\alpha\cos t}$: - Expliciter une suite $(a_n)$ telle que $:\forall t\in\R$, $f(t)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n\cos(nt)$. - En deduire, pour $n\in\N$, la valeur de $:\int_0^{\pi}\dfrac{\cos(nt)}{1-\sin\alpha\cos t}\,dt$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 841] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 841] Soit $(\lambda - {n\in\N}$ une suite croissante de reels strictement positifs. On pose : $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n\exp(-\lambda_nx)$. @@ -5306,61 +5504,61 @@ On pose : $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n\exp(-\lambda_nx)$. - Traiter le cas particulier ou $\lambda_n=n+1$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 842] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 842] Soient $a$ et $b$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R^+$ et $S$ l'ensemble des solutions de $y'=ay+b$. Montr per l'equivalence entre : i) tous les elements de $S$ sont bornes, ii) $a$ et $b$ sont integrables. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 843] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 843] Determiner les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$ derivables et telles que $y'(x)=y(\pi-x)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 844] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 844] Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que $f(0)=0$ et que $\forall x\in\R^*,f(x)=e^{-1/x^2}$. - Montr per que $f$ est de classe $C^{\i}$ sur $\R$. - La fonction $f$ est-elle solution d'une equation differentielle lineaire homogene? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 845] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 845] Resoudre l'equation differentielle $y'+|y|=1$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 846] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 846] Soient $n\in\N^*$ et $\omega\in\C$ tel que $\omega^n=1$. Trouver les fonctions $y\in C^n(\R,\C)$ solutions de $\sum_{k=0}^ny^{(k)}\omega^{n-k}=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 847] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 847] On considere la fonction $f\colon\R\to\R$ definie par : $f(x)=\exp(-x^{-2})$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montr per que $f$ n'est solution d'aucune equation differentielle lineaire homogene a coefficients constants (d'ordre quelconque). #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 848] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 848] Resoudre le systeme differentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te^t\\ y'=3x+2y+3z+e^t\\ z'=3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 849] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 849] Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On note $(S)$ le systeme differentiel : $\forall p\in[1,n],x_p^{(m)}=\sum_{q=1}^na_{p,q}x_q(t)$. Montr per que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 850] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 850] Resoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'=x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t\\ z'=-x+2y+z+t^2e^t.\end{array}.$, $\left\{\begin{array}{c}x'=x+8y+te^t\\ y'=2x+y+e^{-t}.\end{array}.$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 851] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 851] Determiner les solutions developpables en serie entiere au voisinage de 0 de l'equation : $2xy^{''}-y'+2y=0$. Les exprimer a l'aide des fonctions usuelles. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 852] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 852] - Resoudre l'equation : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=0$ sur $\R$ en cherchant des solutions developpables en serie entiere. - Resoudre : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=\frac{1}{1+t^2}$.# 853 On considere l'equation differentielle : $y^{''}-y=|\cos x|$. Existe-t-il des solutions positives? Bornees? Positives et bornees? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 854] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 854] Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. Soit $(E)$ l'equation differentielle $y'+a(x)y+b(x)=0$. Soit $A:x\mapsto\int_0^xa(t)\,dt$ et $I=A(2\pi)$. - Trouver une condition sur $I$ pour que $A$ soit $2\pi$-periodique. - Montrer que si $y$ est solution de $(E)$, alors $x\mapsto y(x+2\pi)$ est aussi solution de $(E)$. @@ -5369,13 +5567,13 @@ Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. - Donner un exemple pour illustrer chacune de ces situations. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 855] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 855] Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}e^{x\sin(t)}dt$. - Montrer que $f$ est solution de $(*):xy^{''}+y'=xy$. - Quelles sont les solutions developpables en serie entiere sur $\R$ de $(*)$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 856] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 856] - Soient $A\in\R^+$, $f,g:\R^+\to\R^+$ continues. On suppose que $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A+\int_0^xf(t)\,g(t)dt$. Montrer que $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A\exp\left(\int_0^xg(t)dt\right)$. @@ -5389,28 +5587,28 @@ $\forall t\geq 1$, $x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)du+\int_{1 }^t $\forall t\geq 1$, $y(t)\leq K\exp\left(\int_1^tu\,|a(u)|du\right)\leq K \exp\left(\int_1^{+\i}u\,|a(u)|du\right).$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 857] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 857] Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une application $X$ de classe $C^1$ de $\R$ dans $\C^n$ et $\lambda\in\C^*$ tels que $\forall t\in\R,\ X(t+T)=\lambda X(t)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 858] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 858] Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n;$ Expliciter les solutions de $X'(t)=AX(t)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 859] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 859] Soit $A\in\M_n(\C)$. A quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme differentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornees sur $\R$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 860] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 860] Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x,y)=y(1-x)$ sinon. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $D$ et les determiner. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 861] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 861] Etudier la differentiabilite de la fonction $f$ definie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$.# 862 On note $T$ le triangle plein defini par les points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Determiner le minimum sur $T$ de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2+\frac{1}{2}(1-x-y)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 863] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 863] Soit $f\colon\R^2\to\R$ telle que $f(0,0)=1$ et $f(x,y)=(x^2+y^2)^x$ si $(x,y)\neq(0,0)$. - Montrer que $f$ est continue sur $\R^2$. - Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$. @@ -5419,39 +5617,39 @@ Soit $f\colon\R^2\to\R$ telle que $f(0,0)=1$ et $f(x,y)=(x^2+y^2)^x$ si $(x,y)\n - Determiner les extrema de $f$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 864] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 864] Soit $f:(\R^+)^2\to\R$ definie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=\frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}$ sinon. - Montrer que $f$ est continue. - Etudier les extrema de $f$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 865] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 865] Soient $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie, $f$ une forme lineaire sur $E$. Montrer que l'application $g:x\in E\mapsto f(x)\,e^{-\|x\|^2}$ admet un minimum et un maximum, puis determiner ce maximum et ce minimum. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 866] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 866] Determiner les fonctions de classe $\mc C^2$ sur $(\R^{+*})^2$ verifiant $x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-y^2\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=0$. On pourra faire le changement de variables $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 867] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 867] Soit $K\in\R$. Determiner toutes les fonctions $f:]0,+\i[\times\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ solutions de l'equation $x\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)-y\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=K\,f(x,y)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 868] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 868] Soient $\alpha\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R^3,\R)$. On dit que $f$ est homogene de degre $\alpha$ si : $\forall(x,y,z)\in\R^3$, $\forall t\in\R^{+*}$, $f(tx,ty,tz)=t^{\alpha}f(x,y,z)$. Montrer que $f$ est homogene de degre $\alpha$ si et seulement si $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{ \partial f}{\partial z}=\alpha f$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 869] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 869] Resoudre $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-3\,\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}+2\,\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$. Ind. Utiliser le changement de variable $(u,v)=(x+y,\,2x+y)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 870] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 870] - Soit $f\in C^1(\R^n,\R)$. Montrer que : $\forall x\in\R^n,f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^nx_i\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)\,dt$. @@ -5470,17 +5668,17 @@ Pour tout $n\in\N$, on pose $:a_n=\max\left(|u_{n+1}-u_n|,|u_{n+2}-u_{n+1}|\righ - Montrer que $(u_n)$ est une suite convergente et donner une propriete verifiee par sa limite. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 872] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 872] Soient $\Omega$ un ouvert de $\R$, $K$ une partie compacte non vide de $\Omega$, $f$ une fonction de classe $C^2$ de $\Omega$ dans $\R$. - On suppose que $\Delta f\gt 0$. Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum local. - On suppose que $\Delta f\geq 0$. Montrer que $\max_Kf=\max_{\mbox{\footnotesize{\bf FT}}(K)}f$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 873] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 873] Soient $R\in\R^{+*}$, $D_R=\{(x,y)\in\R^2\ ;\ x^2+y^2\lt R^2\}$, $(a - {n\geq 0}$ une suite complex telle que $\sum a_nz^n$ ait pour rayon de convergence $R$. Pour $(x,y)\in D_R$, on pose $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n(x+iy)^n$. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ et harmonique sur $D_R$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 874] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 874] Soient $A\in S^{++}_n(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose $:f:X\in\R^n\mapsto X^TAX-2B^TX$. - Calculer $\nabla f(X)$. - Montrer que $f$ admet un minimum global et le determiner. @@ -5491,7 +5689,7 @@ $\forall k\in\N,X_{k+1}=X_k-\frac{\|\nabla f(X_k)\|}{X_k^TAX_{ k}}\nabla f(X_k)$ Determiner sa limite. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 875] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 875] Pour $x=(x_0,\ldots,x_n)$ et $y=(y_0,\ldots,y_n)$ dans $\R^{n+1}$, on pose $f(x,y)=\left(\sum_{0\leq i,j\leq n\atop i+j=k}x_iy_j\right)_{k \in[0,2n]}\in\R^{2n+1}$. @@ -5500,7 +5698,7 @@ $f(x,y)=\left(\sum_{0\leq i,j\leq n\atop i+j=k}x_iy_j\right)_{k \in[0,2n]}\in\R^ - Soit $x\in\R^{n+1}$ non nul. Calculer $\op{rg}\left(\op{d}\!v(x)\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 876] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 876] ${}^{\bigstar}$ Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ differentiable telle que : i) pour tout $x\in\R^n$, $\op{d}\!f(x)$ est injective ; ii) $\|f(x)\|\underset{\|x\|\to+\i}{\longrightarrow}+\i$. Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$. @@ -5508,13 +5706,13 @@ Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$. - En deduire que $f$ est surjective. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 877] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 877] Soient $U$ un ouvert convexe de $\R^n$ et $f:U\to\R$ une fonction de classe $C^1$. - Montrre que $f$ est convexe si et seulement si $f(y)-f(x)\geq df_x(y-x)$ pour tous $x,y\in U$. Que donne cette caracterisation dans le cas ou $n=1$? - Soient $\alpha$ et $\beta$ des reels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrre que $\Phi$ atteint sa borne inferieure en un unique element de $E$, que l'on precisera. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 878] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 878] Soit $E=\M_n(\R)$ muni de la norme euclidienne canonique. On pose $f:M\in E\mapsto\|M\|^2=\mathrm{tr}(M^TM)$ et $g:M\in E\mapsto\det M-1$. On note $h$ la restriction de $f$ a $\mathrm{SL}_n(\R)$. @@ -5525,55 +5723,55 @@ On pose $f:M\in E\mapsto\|M\|^2=\mathrm{tr}(M^TM)$ et $g:M\in E\mapsto\det M-1$. - Calculer le minimum de $h$ sur $\mathrm{SL}_n(\R)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 879] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 879] Si $n\in\N^*$, determiner $T_{I_n}\mathrm{SO}_n(\R)$, puis, si $M\in\mathrm{SO}_n({}_R)$,$T_M\mathrm{SO}_n(\R)$. _Probabilities_ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 880] -On tire au hasard un element $A$ de $P([\![1,n]\!])$. Calculer la probabilite que $\mathrm{card}\,A$ soit un entier pair. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 880] +On tire au hasard un element $A$ de $P(\db{1,n})$. Calculer la probabilite que $\mathrm{card}\,A$ soit un entier pair. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 881] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 881] Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux unres contenant chacune des boules numerotees de $1$ a $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 882] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 882] Un couple met au monde quatre enfants. Chaque enfant a la probabilite $p\in]0,1[$ d'etre une fille, et les naissances sont independantes. On considere les evenements $A:\ll$e dernier est une fille $\Rightarrow$, $B:\ll$e couple a autant de filles que de garcons $\Rightarrow$, $C:\ll$es garcons naissent toujours apres une fille $\Rightarrow$. - Les evenements $A$ et $B$ (resp. $A$ et $C$) sont-ils independants? - Les evenements $A,B,C$ sont-ils mutuellement independants? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 883] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 883] Soit $p\in]0,1[$. Dans un sac contenant $n$ jetons numerotes de $1$ a $n$, on tire $S$ jetons ou $S$ est une variable aleatoire suivant la loi binomiale de parametre $n$ et $p$. Quelle est la probabilite d'obtenir des jetons de numeros consecutifs? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 884] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 884] On lance une piece jusqu'a obtenir deux piles de plus que de faces ou deux faces de plus que de piles. On note $p\in]0,1[$ la probabilite que la piece donne pile. On note $X$ la variablealeatoire associee au nombre de lancers. Determiner la loi de $X$ et montrer que $X$ est presque surement finie. La variable aleatoire $X$ est-elle d'esperance finie? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 885] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 885] Une urne contient $n\in\N^*$ boules noires et $b\in\N^*$ boules blanches. On tire successivement et sans remise les boules. On note $X$ la variable aleatoire qui donne le rang de la derniere boule blanche titee. Calculer la loi, l'esperance et la variance de $X$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 886] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 886] On considere une urne qui contient une proportion $p\in\,]0,1[$ de boules blanches. On effectue un tirage avec remise des boules. Soit $X_n$ la variable donnant le nombre de tirages successifs necessaires pour obtenir $n$ boules blanches. Donner la loi de $X_1$ ainsi que sa fonction generatrice $\mc{G}_{X_1}$. En deduire $\mc{G}_{X_n}$. Loi et esperance de $X_n$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 887] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 887] On considere une urne remplie avec des boules numerotees de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise. - Calculer la probabilite que les boules impaires soient tires exactement dans l'ordre $1,3,\ldots,2n-1$. - Soit $X$ la variable correspondant au nombre de tirages necessaires pour obtenir toutes les boules impaires. Determiner la loi et l'esperance de $X$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 888] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 888] Soit $n\geq 2$. On place $n$ boules numerotees de $1$ a $n$ dans une urne et l'on realise des tirages successifs avec remise. On note $X$ le rang du tirage donnant pour la premiere fois un numero superieur ou egal aux precedents. - Determiner la loi de $X$. - Calculer l'esperance et la variance de $X$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 889] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 889] Une urne contient $n+1$ boules numerotees de 0 a $n$. On y effectue des tirages avec remise. On pose $X_1=1$. Pour $i\geq 2$, $X_i$ est la variable de Bernoulli egale a 1 si le numero de la boule titee au $i$-eme tirage n'avait jamais ete obtenu avant. On pose, pour $i\in\N^*$, $Y_i=X_1+\cdots+X_i$. - Determiner la loi des $X_i$. - Calculer l'esperance et la variance de $Y_i$. Donner un equivalent de $\mathbf{E}(Y_n)$. @@ -5581,22 +5779,22 @@ Une urne contient $n+1$ boules numerotees de 0 a $n$. On y effectue des tirages - Etudier l'independance des $X_i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 890] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 890] Soit $(J - {n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilite $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un meme joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'evenement \lt \lt le $n$-ieme match est joue \gt \gt . Determiner la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 891] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 891] On suppose que lorsqu'un enfant natt, il a une chance sur deux d'etre un garcon. Dans une famille donnee, le nombre d'enfants est la variable aleatoire $Z$ et le nombre de filles est $X$. - Montrer que : $\forall t\in[0,1],G_X(t)=G_Z\left(\frac{1+t}{2}\right).$ - Expliciter la loi de $X$ si $Z$ suit une loi de Poisson de parametre $\lambda$.# 892 Une puce se trouve sur l'origine de $\Z^2$. A chaque etape, elle saute aleatoirement dans l'une des quatre directions. On note $X_n$ l'abscisse de la puce a l'etape $n$. Calculer $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{E}(X_n^2)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 893] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 893] On munit $\mc{S}_n$ de la probabilite uniforme. Calculer la probabilite $\pi_n$ que $\sigma\in\mc{S}_n$ ait un cycle de longueur strictement superieure a $\dfrac{n}{2}$ dans sa decomposition en produit de cycles a supports disjoints. Determiner un equivalent de $\pi_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 894] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 894] Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi geometrique de parametre $p\in\,]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$. - Calculer $\mathbf{P}(Y=0)$. - Determiner la loi de $Y$. @@ -5604,26 +5802,26 @@ Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi geom - Montrer que $Y$ possede un moment d'ordre 2 et calculer $\mathbf{V}(Y)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 895] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 895] - Determiner la loi de la somme de $n$ variables geometriques de parametre $p\in]0,1[$, independantes et identiquement distribuees. - Soit $p\in]0,1[$. On lance des des tels que la probabilite de tomber sur $6$ en jetant un de est $p$. Soit $X$ la variable aleatoire egale au rang du $n$-ieme $6$. Determiner la loi et l'esperance de $X$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 896] -Soient $n\in\N^*$, $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Pour $m\in[\![1,n]\!]$, on note $X_m=\min\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$ et $Y_m=\max\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$. Calculer la loi de $X_m$ et $Y_m$, et leur esperance. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 896] +Soient $n\in\N^*$, $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Pour $m\in\db{1,n]\!]$, on note $X_m=\min\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$ et $Y_m=\max\left\{k\in[\![1,n},\ \sigma(k)\geq m\right\}$. Calculer la loi de $X_m$ et $Y_m$, et leur esperance. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 897] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 897] Soient $\lambda\gt 0$ et $X$ une variable aleatoire qui suit la loi de Poisson de parametre $\lambda$. Soient $b\in\N^*$ et $Y$ le reste de la division euclidienne de $X$ par $b$. Determiner la loi de $Y$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 898] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 898] Soit $p\in\,]0,1[$. Soit $(X - {k\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. verifiant : $\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_k=-1)=1-p$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que $p=\dfrac{1}{2}$ si et seulement si : $\forall n\in\N^*,\max_{k\in\Z}\mathbf{P}(S_{2n}=k)=\mathbf{P}( S_{2n}=0)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 899] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 899] Soient $A,B,C$ des variables aleatoires independantes telles que $A$ suive la loi de Rademacher, et $B$ et $C$ la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. - Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette deux racines reelles distinctes. - Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette une unique racine reelle. @@ -5631,19 +5829,19 @@ Soient $A,B,C$ des variables aleatoires independantes telles que $A$ suive la lo - Cette derniere probabilite peut-etre egale a $\dfrac{1}{2}$? Dans ce cas, donner une valeur approchee de $p$ a $10^{-1}$ pres. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 900] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 900] On considere une variable aleatoire $X$ suivant la loi de poisson de parametre $\lambda$ et on pose $Y=X^2+1$. - Calculer l'esperance de $Y$. - Calculer la probabilite de l'evenement $(2X\lt Y)$. - Comparer les probabilites des evenements $(X\in 2\N)$ et $(X\in 2\N+1)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 901] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 901] Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $[a,b]$, d'esperance $\mathbf{E}(X)=m$. - Montrere que $\mathbf{V}(X)\leq(m-a)(b-m)$. - Montrere que cette inegalite est optimale. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 902] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 902] Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $b\in\M_{n,1}(\R)$. On pose $M=\begin{pmatrix}A&b\\ b^T&c\end{pmatrix}$ et on suppose que les racines du polynome caracteristique de $M$ ne sont pas toutes simples. - Montrere que $M$ admet un vecteur propre de la forme $V=(v_1,...,v_n,0)^T$. - Montrere que $(v_1,...,v_n)^T$ est vecteur propre de $A$ et orthogonal a $b$. @@ -5652,28 +5850,28 @@ Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $b\in\M_{n,1}(\R)$. On pose $M=\begin{pmatrix}A&b\\ On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$. Montrere que la probabilite que le polynome caracte-ristique de la matrice $N$ n'ait que des racines simples est superieure ou egale a $3p^3-2p^4$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 903] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 903] Soit $p\geq 3$ premier. Soit $K=\big{\{}x^2,\ x\in\Z/p\Z\big{\}}$. - Denombrer le cardinal de $K$. - Soient $A$, $B$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\Z/p\Z$. Soit $N$ variable aleatoire comptant le nombre de solutions de $(E):\ X^2+AX+B=0$. Determiner l'esperance et la variance de $N$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 904] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 904] Caracteriser les couples $(X,a)$ avec $X$ variable aleatoire discrete complexe et $a\in\C$ tels que $X\sim aX$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 905] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 905] Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilite $\mathbf{P}_{\alpha}$ definie par $\mathbf{P}_{\alpha}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(\alpha)n^{\alpha}}$ pour $n\geq 1$. - Calculer $\mathbf{P}_{\alpha}(m\N^*)$ pour $m\geq 1$. - On note $(p - {k\geq 1}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrere que les $p_k\N^*$ sont mutuellement independants. - En deduire la formule d'Euler $\zeta(\alpha)=\prod_{k=1}^{+\i}\left(1-\dfrac{1}{p_k^{\alpha}} \right)^{-1}.$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 906] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 906] Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires discretes strictement positives, de meme loi et d'esperance finie. Montrere que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas ou $X$ et $Y$ sont independantes. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 907] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 907] Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. suivant la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. On pose $:Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n),\beta_n=\mathbf{E}(Z_n)$. @@ -5681,23 +5879,23 @@ On pose $:Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\l - Determiner la limite de $(\beta_n)$ puis un equivalent simple. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 908] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 908] Soient $p,q\in]0,1[$. On considere deux variables aleatoires $X$ et $Y$, independantes, suivant les lois geometriques de parametres respectifs $p$ et $q$. Soit $M=\begin{pmatrix}X&1\\ 0&Y\end{pmatrix}$. Quelle est la probabilite que $M$ soit diagonalisable? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 909] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 909] Soient $p\in]0,1[$, $X$ une variable aleatoire suivant la loi geometrique de parametre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$. - Montrer que la variable $Y$ suit une loi geometrique. - Montrer que les variables $Y$ et $2Y-X$ sont independantes. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 910] -Soient $n\in\N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. suivant la loi uniforme sur $[\![1,d]\!]$. Pour $j\in\{1,\ldots,n\}$, on pose $Y_j=|\{i\in[\![1,n]\!],\;X_i=j\}|$. +#+begin_exercice [Mines 2023 # 910] +Soient $n\in\N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,d]\!]$. Pour $j\in\{1,\ldots,n\}$, on pose $Y_j=|\{i\in[\![1,n},\;X_i=j\}|$. - Determiner la loi de $Y_j$. - - Soient $i,j\in[\![1,n]\!]$ avec $i\neq j$ et $k,\ell\in[\![1,n]\!]$. Calculer $\mathbf{P}(Y_i=k,Y_j=\ell)$. + - Soient $i,j\in\db{1,n]\!]$ avec $i\neq j$ et $k,\ell\in[\![1,n}$. Calculer $\mathbf{P}(Y_i=k,Y_j=\ell)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 911] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 911] Soit $X$ une variable aleatoire discrete a valeurs dans $\R^{+*}$ telle que $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X}\right)\lt +\i$. Pour tout $t\in\R^+$, on pose : $F_X(t)=\mathbf{E}(e^{-tX})$. @@ -5707,7 +5905,7 @@ Pour tout $t\in\R^+$, on pose : $F_X(t)=\mathbf{E}(e^{-tX})$. - Generaliser a $m$ variables i.i.d. suivant la loi geometrique de parametre $p$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 912] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 912] Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,2\}$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Pour $n\in\Z$, soit $A_n=(\exists k\geq 0,\;S_k=-n)$ et $p_n=\mathbf{P}(A_n)$. @@ -5716,15 +5914,15 @@ Pour $n\in\Z$, soit $A_n=(\exists k\geq 0,\;S_k=-n)$ et $p_n=\mathbf{P}(A_n)$. - En deduire la valeur de $p_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 913] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 913] Soient $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute partie finie $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(S_n\in A)\lt +\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 914] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 914] Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de parametre $1/2$. - Donner la loi de $Z_n=\sum_{k=0}^n2^{n-k}X_k$. - Determiner $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 3^n)$ et $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 2^n)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 915] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 915] Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $\R^+$. - Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}0$. - On suppose que ${\bf E}(X)\lt +\i$. Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$. - Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires. @@ -5733,25 +5931,25 @@ On pose, pour $n\in\N^*$, $R_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$. - Dans le cas general, montrer que ${\bf E}(R_n)=o(n)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 916] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 916] Soit $(X - {i\geq 1}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. On suppose que chaque variable aleatoire $X_i+1$ suit la loi geometrique de parametre $p\in\,]0,1[$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. - Determiner la loi de $S_n$. - Determiner $M_n=\max\left\{{\bf P}(S_n=k),\ k\in\N\right\}$ puis un equivalent simple de $M_n$ quand $n$ tend vers $+\i$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 917] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 917] Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on determinera tel que : $\forall\epsilon\gt 0$, ${\bf P}\left(\left|\frac{1}{\ln(n)}\max_{1\leq k\leq n}X_k-\alpha \right|\geq\epsilon\right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 918] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 918] Soit $g:t\mapsto\frac{e^t}{(1+e)-t}$ - Montrer que $g$ est la fonction generatrice d'une variable aleatoire $X$ a valeurs dans $\N$. - Soit $(X_{i,j})_{1\leq i\lt j\leq n}$ une famille i.i.d. de variables aleatoires de meme loi que $X$. Determiner la probabilite que $M=\left(\begin{array}{cccc}0&X_{1,2}&\ldots&X_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&X_{n-1,n}\\ 0&\ldots&\ldots&0\end{array}\right)$ ait un nombre fini de de sous-espaces stables. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 919] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 919] Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de parametre $p$. On pose $U=(X_1\ \cdots\ X_n)$ et $M=U^TU$. - Determiner la loi des variables aleatoires $\op{tr}(M)$ et $\op{rg}(M)$. - Calculer la probabilite que $M$ soit une matrice de projection.# 920 @@ -5762,12 +5960,12 @@ Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \ma - Montrer que $\mathbf{E}(\sqrt{P_n})\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$ si et seulement si $(X_n)$ converge vers $0$ en probabilites. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 921] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 921] - Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ une famille i.i.d. de variables aleatoires de Rademmacher, $S=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que, si $t\in\R^+$, $\mathbf{E}(e^{tS})\leq\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2}\right)$. En deduire que, si $a\in\R^{+*}$, $\mathbb{P}(|S|\geq a)\leq 2e^{-\frac{a^2}{2n}}$. - Generaliser au cas ou les $X_k$ sont des variables aleatoires discretes i.i.d, a valeurs dans $[-1,1]$ et centres. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines # 922] +#+begin_exercice [Mines 2023 # 922] Soit $(X - {i\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. possedant un moment d'ordre $4$. On pose : $m=\mathbf{E}(X_i)$ et $V_4=\mathbf{E}((X_i-m)^4)$. - Justifier la bonne definition (dans $\R$) de $m$ et $V_4$. @@ -5780,37 +5978,37 @@ Pour $\epsilon\gt 0$, on pose : $ A_n^{\epsilon}=\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i ** Mines PSI *** Algebre -#+begin_exercice [Mines PSI # 923] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 923] Soit $P\in\Z[X]$ tel que $\forall k\in\Z$, $P(k)$ est premier. Montrer que $P$ est constant. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 924] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 924] Montrer qu'il existe $(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\R^n$ tel que $\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $ P(X+n)+\sum_{k=0}^{n-1}a_kP(X+k)=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 925] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 925] Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'equation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$. - Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallelement a $u$. - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D):\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 926] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 926] Soit $E=\R_n[X]$. On considere les polynomes $E_k=\binom{n}{k}X^k(1-X)^{n-k}$, $0\leq k\leq n$. - Montrrer que $(E - {0\leq k\leq n}$ est une base de $E$. - Calculer $\sum_{k=0}^nkE_k$ et $\sum_{k=0}^nk^2E_k$. - Comment aurait-on pu prevoir les resultats obtenus? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 927] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 927] Resoudre dans $\M_n(\R)$ l'equation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 928] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 928] Soit $M=\left(\begin{array}{c|c}A&A\\ \hline A&B\end{array}\right)$ avec $A,B\in\M_n(\R)$. Trouver une condition necessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit inversible. Calculer alors $M^{-1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 929] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 929] Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente d'indice $n$. - Justifier l'existence d'un vecteur $X_0\in\M_{n,1}(\R)$ tel que $A^{n-1}X_0\neq 0$. En deduire que la famille $(X_0,AX_0,\ldots,A^{n-1}X_0)$ est libre. - Montrrer que $A$ est semblable a $J_n=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\ 1&\ddots&&&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$. @@ -5820,41 +6018,41 @@ _c) i)_: Soit $\lambda\in\C^*$. Montrrer que $\lambda(e^{J_n}-I_n)$ est nilpoten - En deduire qu'il existe $B\in\M_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=e^B$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 930] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 930] ${}^{\bigstar}$ Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$ nilpotent, $F$ est sous-espace vectoriel de $E$ tel que $u(F)\subset F$. On suppose que $E=F+\text{Im}(u)$. Montrer que $E=F$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 931] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 931] - Soit $P\in\text{GL}_n(\C)$, que l'on decompose en $P=Q+iR$ avec $P$ et $Q\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$, tel que $Q+\lambda R\in\text{GL}_n(\R)$. - En deduire que deux matrices $A$ et $B$ reelles, semblables sur $\C$, sont semblables sur $\R$. - Soient $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $A^3=B^3=I_n$ et $\text{tr}(A)=$tr$(B)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 932] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 932] Diagonaliser $A=$$\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ 1&\cdots&1&1\end{pmatrix}$$\in\M_n(\R)$.# 1201 - On considere un de equilibre a $n$ faces. Les lancers se modelisent par une suite $(X - {i\geq 1}$ i.i.d de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket$. + On considere un de equilibre a $n$ faces. Les lancers se modelisent par une suite $(X - {i\geq 1}$ i.i.d de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. -Pour $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$. +Pour $k\in\db{1,n}$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$. - Determiner la loi de $T_k$. - Donner un equivalent, quand $n\to+\i$, du nombre moyen $M_n$ de lancers necessaires pour obtenir toutes les faces. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 1202] -Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi uniforme sur $\llbracket 1\,;\,N\rrbracket$. - - Montrer que les evenements $(p_k|X_1):\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont independants pour $k\in\llbracket 1\,;\,m\rrbracket$. - - Pour $k\in\llbracket 1\,;\,m\rrbracket$, calculer $\mathbf{P}(p_k|X_1$ et $p_k|X_2)$. +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1202] +Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi uniforme sur $\db{1\,;\,N}$. + - Montrer que les evenements $(p_k|X_1):\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont independants pour $k\in\db{1\,;\,m}$. + - Pour $k\in\db{1\,;\,m}$, calculer $\mathbf{P}(p_k|X_1$ et $p_k|X_2)$. - Calculer la probabilite de l'evenement $\triangleleft X_1$ et $X_2$ sont premiers entre eux $\mathchar 13334\relax$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 1203] -Soit $n\in\N^*$. On munit $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$ de la probabilite uniforme. - - Soit $a$ un diviseur de $n$, on note $D(a)$ l'ensemble des multiples de $a$ qui se trouvent dans $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$. Calculer $\mathbf{P}(D(a))$. +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1203] +Soit $n\in\N^*$. On munit $\db{1\,;\,n}$ de la probabilite uniforme. + - Soit $a$ un diviseur de $n$, on note $D(a)$ l'ensemble des multiples de $a$ qui se trouvent dans $\db{1\,;\,n}$. Calculer $\mathbf{P}(D(a))$. - On note $p_1,\ldots,p_k$ les diviseurs premiers (distincts) de $n$. Montrer que $D(p_1),\ldots,D(p_k)$ sont mutuellement independants. - - Soit $B$ l'ensemble des entiers dans $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$ qui sont premiers avec $n$. Calculer $\mathbf{P}(B)$ a l'aide de $p_1,\ldots,p_k$. - - On note $\phi(n)$ le nombre d'entiers dans $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$ qui sont premiers avec $n$. Montrer que $\phi(n)=n\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\text{ premier}\\ \text{p divise }n\end{subarray}}\frac{p-1}{p}$ + - Soit $B$ l'ensemble des entiers dans $\db{1\,;\,n}$ qui sont premiers avec $n$. Calculer $\mathbf{P}(B)$ a l'aide de $p_1,\ldots,p_k$. + - On note $\phi(n)$ le nombre d'entiers dans $\db{1\,;\,n}$ qui sont premiers avec $n$. Montrer que $\phi(n)=n\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\text{ premier}\\ \text{p divise }n\end{subarray}}\frac{p-1}{p}$ #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 1204] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1204] Soit $X$ une variable aleatoire discrete a valeurs reelles. Soient $b\gt 0$ et $I$ un intervalle de $\R$. Soit $g:\R\to\R^+$ une fonction telle que $g(x)\geq b$ pour tout $x\in I$. - Montrer que $\mathbf{P}(X\in I)\leq\frac{\mathbf{E}(g(X))}{b}$. - On suppose que $X$ a un ecart-type $\sigma$ et que $\mathbf{E}(X)=0$. @@ -5864,22 +6062,22 @@ Montrer $:\forall t\gt 0,\,\mathbf{P}(X\gt t)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}$. Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un reel $c\gt 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 1205] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1205] Soient $X,Y$ deux variables aleatoires discretes a valeurs dans $\R^{+*}$, independantes et identiquement distribuees. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. A quelle condition a-t-on egalite? #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 1206] -Les variables aleatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\llbracket 1\,;\,n\rrbracket)$ et elles sont independantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$. +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1206] +Les variables aleatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\db{1\,;\,n})$ et elles sont independantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 1207] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1207] - Soit $(A - {n\in\N^*}$ une suite d'evenements. Montrer que $B:\triangleleft$ II existe un rang a partir duquel $A_n$ est vraie $\mathchar 13334\relax$ est un evenement et que $B=\bigcup\limits_{n\in\N^*}\left(\bigcap\limits_{k\geq n}A_{k }\right)$. - Soient $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles de meme loi que $X$.On suppose $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^4)\lt +\i$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. - Calculer $\mathbf{E}({S_n}^4)$ en fonction de $n$, $\mathbf{E}(X^2)$ et $\mathbf{E}(X^4)$. - En deduire que pour tout $\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\bigcap_{k\geq n}\left(\left|\frac{S_{ k}}{k}\right|\leq\eps\right)\right)=1$ et que, presque surement, $\lim_{n\to+\i}\frac{S_n}{n}=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Mines PSI # 1208] +#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1208] Soit $\alpha\gt 0$. - Montrer l'existence d'une variable aleatoire $X$ valeurs dans $\N$ de fonction generatrice $ G_X\left(t\right)=\frac{1}{\left(2-t\right)^{\alpha}}$. - Donner un equivalent de $\mathbf{P}\left(X=n\right)$ quand $n\to+\i$. @@ -5890,21 +6088,21 @@ Soit $\alpha\gt 0$. * Centrale ** Algebre -#+begin_exercice [Centrale # 1209] -On considere, pour $n\in\N$, $ C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. - - Montrer que, pour tout $n\in\N$, $ C_n\in\N^*$. +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1209] +On considere, pour $n\in\N$, $C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$. + - Montrer que, pour tout $n\in\N$, $C_n\in\N^*$. - Calculer $\sum_{k=0}^nC_kC_{n-k}$. - - Donner tous les entiers tels que $ C_n$ soit pair. En deduire tous les entiers tels que $ C_n$ soit impair. + - Donner tous les entiers tels que $C_n$ soit pair. En deduire tous les entiers tels que $C_n$ soit impair. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1210] -Pour $n\in\N^*$, on note $\mc{P}(n)$ l'ensemble des nombres premiers inferieurs ou egaux a $n$ et $ P_n=\prod_{p\in\mc{P}(n)}p$. +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1210] +Pour $n\in\N^*$, on note $\mc{P}(n)$ l'ensemble des nombres premiers inferieurs ou egaux a $n$ et $P_n=\prod_{p\in\mc{P}(n)}p$. - Montrer que $\forall n\geq 2$, $\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\lt \binom{2n}{n}\lt 4^n$. - Montrer que $\forall n\geq 1$, $\binom{2n+1}{n}\lt 4^n$. - - Montrer que $\forall n\in\N$, $ P_{2n+1}\lt 4^nP_{n+1}$. + - Montrer que $\forall n\in\N$, $P_{2n+1}\lt 4^nP_{n+1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1211] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1211] Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini commutatif tel que le nombre d'automorphismes de $G$ est $3$. _a) i)_: Donner la definition d'un automorphisme. Montrer que $\phi:x\mapsto x^{-1}$ est un automorphisme de $G$. @@ -5919,7 +6117,7 @@ On pose $\pi_x=\prod_{y\in C\setminus\{x\}}(x+y)$ pour $x\in C\setminus\{0\}$ et - Calculer $\pi$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1213] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1213] On pose $u=2+\sqrt{3}$, $v=2-\sqrt{3}$. Pour $n\in\N$, on note $M_n=2^n-1$ et $s_n=u^{2^n}+v^{2^n}$. @@ -5936,7 +6134,7 @@ $(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et $(x,y)\cdot(x',y')=(xx'+3yy',xy'+x^{ '}y)$. Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considerant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et determiner l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des elements inversibles de l'anneau $B$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1214] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1214] Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est noetherien lorsque tous ses ideaux sont engendres par une partie finie de $A$. - Les anneaux $\Z$ et $\R[X]$ sont-ils noetheriens? - Montrer que $A$ est noetherien si et seulement si toute suite croissante d'ideaux est stationnaire. @@ -5945,13 +6143,13 @@ Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est noetherien lorsque tous ses id Ind. Considerer $\phi:x\mapsto ax$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1215] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1215] - Soit $G$ un groupe commutatif fini. Si $a$ et $b$ sont deux elements de $G$ d'ordre premiers entre eux, quel est l'ordre de $ab$? - Soit $G$ un groupe commutatif fini. Montrer qu'il existe un element de $G$ dont l'ordre est le ppcm des ordres des elements de $G$. - Soit $p$ un nombre premier. Montrer que le groupe $\mathbb{F}_p^*$ est cyclique. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1216] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1216] Soit $(T - {n\in\N}$ la suite de polynomes reels definie par $T_0(X)=1,\ T_1(X)=X$ et pour $n\in\N,\,T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)$. - Montrer que, pour $n\in\N$, $\forall\theta\in\R$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. - Montrrer que $T_n\circ T_m=T_m\circ T_n$ pour $(m,n)\in\N^2$. - Montrre que, pour $n\geq m$, $2T_nT_m=T_{n+m}+T_{n-m}$. @@ -5961,19 +6159,19 @@ On considere l'equation differentielle $(E):(1-x^2)P^{' 2}=n^2(1-P^2)$. - Montrre que tout polynome solution de $(E)$ est de degre $n$, puis determiner les polynomes solution de $(E)$ sur $\R$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1217] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1217] Soient $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$ et $b_1\lt b_2\cdots\lt b_p$ des reels et $M=(e^{a_ib_j})_{1\leq i,j\leq p}$. - Calculer $\det M$ lorsque $b_k=k-1$ pour tout $k$. - Montrre que $M$ est inversible, puis que $\det M\gt 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1218] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1218] - Rappeler la definition de l'indicatrice d'Euler, exprimer $\phi(n)$ en fonction de sa decomposition en facteurs premiers. - Pour $n\geq 2$, calculer $\sum_{d|n}\phi(d)$ (la somme etant restreinte aux diviseurs positifs). - En deduire le determinant de $A$, ou $A_{i,j}=i\wedge j$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1219] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1219] Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, l'on ait $\left(f(a_{ij})\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{ R})$. - A l'aide des matrices $U_{x,y}=\left(\begin{array}{cc}x&1\\ y&1\end{array}\right)$, montrer que $f$ est injective. - En utilisant l'ensemble $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x\lt y\}$, en deduire que $f$ est strictement monotone. @@ -5981,37 +6179,37 @@ Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\ - Traiter de meme le cas $f(\R)=\R^{-*}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1220] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1220] - Rappeler la formule de developpement d'un determinant par rapport a une ligne ou une colonne. En deduire, pour $A\in\M_n(\R)$, une relation entre $\mathrm{Com}\,A$, $A$ et $\det A$. - Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de $\M_n(\R)$ definie par : $a_{i,i}=2$, $a_{i,j}=-1$ si $|i-j|=1$ et $a_{i,j}=0$ dans tout autre cas. Calculer le determinant de $A$. - Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs, dont les autres coefficients sont negatifs et telle que $\sum_{j=1}^na_{i,j}\gt 0$ pour tout $i$. Montrre que $A$ est inversible. - Montrre que les coefficients de $A^{-1}$ sont positifs. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1221] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1221] Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)$. - Montrre que, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$. - Trouver les endomorphismes $h$ de $\M_n(\R)$ qui verifient, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $f(F(A),B)=f(A,h(B))$. - Dans cette question, on suppose que $n=2$.Soit $h:\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\in{\cal M}_2(\R)\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}a+c &b+d-a-c\\ c&d-c\end{array}\right).$ Determiner les endomorphismes $k$ de ${\cal M}_n(\R)$ tels que $f(h(A),B)=f(A,k(B))$ pour tout $(A,B)\in{\cal M}_n(\R)^2.$ Parmi eux, preciser ceux qui sont trigonalisables, diagonalisables. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1222] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1222] - Enoncer et demontrer la caracterisation du rang par les matrices extraites. - - Soit $\Omega_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices $M=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de ${\cal M}_n(_K)$ telles que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, la matrice $M_k:=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq k}$ soit inversible. Si $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, montrer que $\Omega_n$ est un ouvert de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$. + - Soit $\Omega_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices $M=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de ${\cal M}_n(_K)$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, la matrice $M_k:=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq k}$ soit inversible. Si $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, montrer que $\Omega_n$ est un ouvert de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$. - Montrer qu'une matrice $M$ de ${\cal M}_n(_K)$ appartient a $\Omega_n(\mathbb{K})$ si et seulement si $M$ s'ecrit $TT'$ ou $T$ (resp. $T'$) est une matrice de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ triangulaire inferieure (resp. superieure) inversible. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1223] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1223] Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdots&\iddots&&\vdots\\ a_n&0&\ldots&0\end{array}\right)\in{\cal M}_n(\R)$ - Donner la definition du polynome minimal $\pi_A$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. - Calculer $\det(A)$ et $A^2$. - Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si ${\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^2)$. Donner une condition sur les $a_1,\ldots,a_n$ pour que $A$ soit diagonalisable. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1224] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1224] On se place dans ${\cal M}_n(\C)$. - Montrer que toute matrice est trigonalisable sur $\C$. - - Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ et $D={\rm Diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Montrer qu'il existe un polynome $f$ tel que pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $f(\alpha_i)^2=\alpha_i$. En deduire que $f(D)^2=D$. + - Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ et $D={\rm Diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Montrer qu'il existe un polynome $f$ tel que pour tout $i\in\db{1,n}$, $f(\alpha_i)^2=\alpha_i$. En deduire que $f(D)^2=D$. On considere la suite $(c - {k}$ definie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_{k+1}=\sum_{i=0}^kc_ic_{k-i}$ et le polynome $\phi=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}$. - Determiner le reste de la division euclidienne de $\phi^2$ par $X^n$. @@ -6019,15 +6217,15 @@ On considere la suite $(c - {k}$ definie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_ - Soit $A$ une matrice inversible. Montrer qu'il existe $R\in\C[A]$ telle que $R^2=A$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1225] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1225] Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. On note $E_i$ ses sous-espaces propres et $n_i=\dim E_i$. - Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^rE_i$. - Soit $g$ un endomorphisme de $E$. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes : - - $g$ commute avec $f$, - pour tout $i\in\llbracket 1,r\rrbracket$, $g(E_i)\subset E_i$.En deduire que la dimension du commutant de $f$ est $\sum_{i=1}^r{n_i}^2$. + - $g$ commute avec $f$, - pour tout $i\in\db{1,r}$, $g(E_i)\subset E_i$.En deduire que la dimension du commutant de $f$ est $\sum_{i=1}^r{n_i}^2$. - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$, montrer que la dimension du commutant de $A$ est superieure ou egale a $n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1226] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1226] Soit $A\in{\cal M}_d({\C})$. On note $\rho(A)=\max_{\lambda\in{\rm Sp}(A)}|\lambda|$. On pose, pour $n\in{\N}$, $u_n=\sqrt[n]{|{\rm tr}\,(A^n)|}$. - Si ${\rm Sp}(A)$ est un singleton, montrer que $(u_n)$ converge vers $\rho(A)$. - Donner un exemple de matrice dans ${\cal M}_2({\C})$ telle que $(u_n)$ ne converge pas. @@ -6036,14 +6234,14 @@ On suppose maintenant que $A$ a au moins deux valeurs propres distinctes. - Soit $z\in{\C}$ tel que $|z|=1$. Montrer que $1$ est valeur d'adherence de $(z^n)$. Montrer que $\rho(A)$ est valeur d'adherence de $u_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1227] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1227] Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Pour toute partie $A\subset{\cal L}(E)$, on note ${\cal C}(A)=\{u\in{\cal L}(E)\;;\;\forall v\in A,\;u\circ v=v\circ u\}$. L'objectif de l'exercice est d'etudier ${\cal B}(f)={\cal C}({\cal C}(\{f\}))$. - Montrer que ${\cal B}(f)$ est une ${\mathbb{K}}$-algebre contenant ${\mathbb{K}}[f]$. - On suppose $f$ nilpotente d'indice $n$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$. - Soient $G_1,G_2$ deux sous-espaces vectoriels supplementaires stables par un $f\in{\cal L}(E)$. On pose $f_i=f_{|G_i}$. On suppose que $\pi_{f_1}\wedge\pi_{f_2}=1$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1228] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1228] Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\in{\N}$, $a\in E$ un vecteur unitaire, et $H$ l'hyperplan orthogonal a la droite vectorielle dirigee par $a$. On note $\sigma$ la symetrie orthogonale par rapport a l'hyperplan $H$, et $p$ la projection orthogonale sur $H$. - Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, $F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}F^{\perp}=E$. - Montrer que, pour $x\in E$, $p(x)=x-\langle a,x\rangle a$. @@ -6054,7 +6252,7 @@ Montrer les equivalences suivantes, pour $x\in E$ : - $x\in\Omega$ si et seulement si $\forall y\in\Omega$, $\langle x,y\rangle\leq 0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1229] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1229] Soit $E$ un espace euclidien. Soit $s\in{\cal L}(E)$. - Rappeler l'identite du parallelogramme et les identites de polarisation. - Montrer l'equivalence suivante : @@ -6064,32 +6262,32 @@ i) $\exists c\in{\R},\;\forall(x,y)\in E^2,\;\langle s(x),s(y)\rangle=c \langle ii) $\forall(x,y)\in E^2,\,\langle x,y\rangle=0\;\Rightarrow\;\langle s(x),s(y) \rangle=0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1230] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1230] - Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_0^1PQ$ definit un produit scalaire sur ${\R}_{n-1}[X]$. En deduire qu'il existe un unique $P\in{\R}_{n-1}[X]$ tel que $\int_0^1x^kP(x)\,{\rm d}x=1$ pour 0 $\leq k\leq n-1$. On pose $P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}$. - Soit $f:[0,1]\to\R$ continue telle que $\int_0^1x^kf(x)\,dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$. Montrer que $\int_0^1f^2\geq\sum_{i=0}^{n-1}a_i$, puis que $\int_0^1f^2\geq n^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1231] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1231] - Montrer que l'application $(P,Q)\mapsto\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$. - Soit $(E,\phi)$ un espace euclidien et $B=(e_1,...,e_n)$ une base de $E$. Montrer que la matrice $(\phi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est symetrique definie positive. - Pour tout $p\in\N$, on pose $L_p=\frac{d^p}{dX^p}\,[X^p(1-X)^p]\in\R[X]$. Montrer que la famille $(L_p)$ est orthogonale pour le produit scalaire de la question $a$. Est-elle orthonormale? - Soit $M=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n+1}$. Montrer que la matrice $M$ est symetrique definie positive et calculer $\det M$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1232] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1232] Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. - Rappeler la definition d'une matrice definie positive. Donner des proprietes d'une telle matrice. - Pour $x\in\R^n$, on pose $J(x)=\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. Montrer que $J$ est strictement convexe, c'est-a-dire que : $\forall x\neq y$, $\forall\lambda\in]0,1[$, $J(\lambda x+(1-\lambda)y)\lt \lambda J(x)+(1-\lambda)J(y)$. - Montrer que $J$ atteint un minimum en un unique point de $\R^n$ et que ce vecteur est solution de l'equation $Ax=b$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1233] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1233] Soient $n\in\N$ et $\alpha\gt 0$. On note $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det M\geq\alpha\}$. Le but de cet exercice est de s'interesser, pour $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, a la quantite $m_{\alpha}(A)=\inf_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)$. - Montrer que les valeurs propres d'une matrice symetrique reelle sont reelles. Rappeler le theoreme spectral. Justifier l'existence de $m_{\alpha}(I_n)$ puis la calculer. - Soit $A\in\mc{S}_n^+(\R)$. Justifier l'existence de $R\in\mc{S}_n^+(\R)$ telle que $A=R^2$. Prouver l'unicite puis calculer $m_{\alpha}(A)$. - Que se passe-t-il lorsque $\alpha=0$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1234] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1234] Soient $d\in\N^*$, $A\in\mc{S}_n(\R)$ a coefficients dans $\{0,1\}$ et de trace nulle. On suppose que $A^2+A-(d-1)I_n=J_n$ ou $J_n$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$. - Montrer que chaque ligne de $A$ contient $d$ coefficients egaux a $1$. - Montrer que $AU=dU$ ou $U=(1\,\cdots\,1)^T$. En deduire que $n=d^2+1$. @@ -6105,7 +6303,7 @@ Soient $d\in\N^*$, $A\in\mc{S}_n(\R)$ a coefficients dans $\{0,1\}$ et de trace - Montrer que $\det(A)\leq\det(A_1)\det(A_2)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1236] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1236] On considere la relation binaire pour $(A,B)\in(\mc{S}_n(\R))^2A\preceq B\Leftrightarrow B-A\in \mc{S}_n^+(\R)$. - Montrer que l'on definit ainsi une relation d'ordre sur $\mc{S}_n(\R)$. - Montrer qu'une partie de $\mc{S}_n(\R)$ est bornee si et seulement si elle est majoree et minoree pour $\preceq$. @@ -6113,24 +6311,24 @@ On considere la relation binaire pour $(A,B)\in(\mc{S}_n(\R))^2A\preceq B\Leftri - Soient $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $A\preceq B\implies B^{-1}\preceq A^{-1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1237] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1237] Si $S\in\mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(S)\leq\cdots\leq\lambda_n(S)$ le spectre ordonne de $S$. On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique note $\langle\,\ \rangle$ et on note $S^{n-1}$ la spere unite. - Montrer que, si $S\in\mc{S}_n(\R)$, $\lambda_1(S)=\min\{\langle Sx,x\rangle\ ;\ x\in S^{n-1}\}$. - - Si $d\in\llbracket 1,n\rrbracket$, soit $\mc{V}_d$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $d$ de $\R^n$. Montrer que, si $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ et $S\in\mc{S}_n(\R)$, + - Si $d\in\db{1,n}$, soit $\mc{V}_d$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $d$ de $\R^n$. Montrer que, si $k\in\db{1,n}$ et $S\in\mc{S}_n(\R)$, $\lambda_k(S)=\min\limits_{V\in\mc{V}_k}\max\{\langle Sx,x\rangle\ ;\ x\in V \cap S^{n-1}\}=\max\limits_{V\in\mc{V}_{n-k+1}}\min\{\langle Sx,x\rangle \ ;\ x\in V\cap S^{n-1}\}$. - - Si $(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2$, $i+j\leq n+1$ et $(S,S')\in\mc{S}_n(\R)^2$, montrer que + - Si $(i,j)\in\db{1,n}^2$, $i+j\leq n+1$ et $(S,S')\in\mc{S}_n(\R)^2$, montrer que $\lambda_{i+j-1}(S+S')\leq\lambda_i(S)+\lambda_j(S')$. #+end_exercice ** Analyse -#+begin_exercice [Centrale # 1238] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1238] Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme, $F$ un sous-espace vectoriel ferme strict de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe un vecteur unitaire $u$ de $E$ tel que $d(u,F)\geq\delta$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1239] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1239] Soient $(E,N)$ et $(E',N')$ deux espaces vectoriels normes. Soit $d\in\N$. Pour $P(X)=p_0+p_1X+\cdots+p_dX^d\in\R_d[X]$ on pose $\|P\|=\max(|p_0|,...,|p_d|)$. @@ -6143,19 +6341,19 @@ Montrer que l'ensemble $Y=\{y_n,\ n\in\N\}\cup\{\ell\}$ est compact. - Soit $P\in\R_d[X]$ un polynome unitaire. Montrer que, si $x\in\R$ est une racine de $P$ telle que $|x|\gt 1$, alors $|x|\leq\|P\|+1$. En deduire que l'ensemble des polynomes unitaires et scindes de $\R_d[X]$ est ferme dans $\R_d[X]$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1240] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1240] - Resoudre dans $\C$ l'equation $e^z=-1$. - Soit $f\colon\mathbb{U}\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $z\in\mathbb{U}$ tel que $f(-z)=f(z)$. En deduire que, si $A$ et $B$ sont deux parties fermees de reunion $\mathbb{U}$, il existe deux points de $\mathbb{U}$ diametralement opposes tous deux dans $A$ ou tous deux dans $B$. - Soient $D$ le disque unite ferme du plan complexe et $g:D\to\C^*$ continue telle que, pour tout $z\in\mathbb{U}$, $g(-z)=-g(z)$. On admet qu'il existe $h$ continue telle que $g=\exp\circ h$. Montrer qu'il existe $z\in D$ tel que $h(-z)=h(z)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1241] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1241] Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme. Pour $A\subset E$ non vide et $x\in E$, on note $d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$. - On suppose $A$ ferme. Soit $x\in E$. Montrer que $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in A$. - Soient $F$ un sous-espace vectoriel ferme de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe $x\in E$ unitaire verifiant $d(x,F)\geq\delta$. - On suppose $E$ de dimension infinie et on admet que les sous-espaces vectoriels de dimension finie sont fermes. Montrer que la sphere unite n'est pas un compact de $E$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1242] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1242] Soit $\phi$ la fonction definie sur $[0,1]$ par $\phi(0)=0$ et $\phi(t)=-t\ln(t)$ pour $t\in]0,1]$. Soit $n\in\N^*$. On pose $S_n$ l'ensemble des vecteurs $p=(p_1,...,p_n)\in\R^n$ tels que $p_1+...+p_n=1$ et $p_i\geq 0$ pour tout $1\leq i\leq n$. On pose enfin $H_n(p)=\sum_{i=1}^n\phi(p_i)$ pour $p\in S_n$. - - Donner la definition d'une partie compacte d'un espace vectoriel norme, et en donner une caracterisation en dimension finie. - Montrer que $S_n$ est une partie compacte et convexe de $\R^n$. @@ -6168,18 +6366,18 @@ On pose $f_v^*=\sup_{p\in S_n}f_v(p)$ et $E_v=\{p\in S_n,\ f_v(p)=f_v^*\}$. - Montrer que $E_v$ est non vide. Determiner $f_v^*$ et $E_v$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1243] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1243] Soient $(E,\|\ \|)$, $(E',\|\ \|)$ deva espaces vectoriels normes de dimension finie, $A$ un ferme non vide de $E$, $B$ une partie non vide de $E'$. Soit $f:A\to B$ continue bijective telle que l'image reciproque par $f$ de toute partie bornee de $B$ est bornee. Montrer que $f^{-1}$ est continue. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1244] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1244] Un espace norme reel est dit separable lorsqu'il contient une partie denombrable dense. - L'espace $\R$ est-il separable? - Montrer qu'un espace norme de dimension finie est separable. - Soit $E$ un espace prehilbertien reel de dimension infinie. Montrer que $E$ est separable si et seulement s'il existe une suite orthonormalee $(e - {n\geq 0}$ telle que $\op{Vect}{(e - {n\geq 0}}$ soit dense dans $E$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1245] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1245] Soit $E$ l'espace des fonctions polynomiales de $\R$ dans $\R$. Pour tout $f\in E$, on note $\phi(f)$ la primitive de $f$ d'integrale nulle sur l'intervalle $[0,1]$. - Justifier la definition de $\phi$ puis etablir qu'il s'agit d'une application lineaire sur $E$. @@ -6192,7 +6390,7 @@ $$G(x)=xF(x)-\int_0^xtf(t)dt=(x-1)F(x)-\int_x^1(1-t)f(t)\mathrm{d }t.$$ - Determiner la norme $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1246] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1246] Soit $A\in\M_n(\R)$, on pose $f_A(x)=(A+xI_n)^{-1}A$ pour $x$ reel convenable. - Montrer que la fonction $f_A$ est definie au voisinage epointe de $0$. - Etudier le comportement de la fonction $f_A$ en $0$ dans le cas ou $A$ est inversible, puis dans le cas ou $A$ est nilpotente. @@ -6202,13 +6400,13 @@ En deduire l'existence de deux supplementaires $F$ et $G$ dans $\R^n$, stables p - Caracteriser les matrices $A$ pour lesquelles $f_A$ a une limite en $0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1247] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1247] Soient $(a_n)$ une suite a termes reels positifs et $(b_n)$ une suite a termes complexes. On suppose que la serie $\sum a_n$ diverge et que $b_n\sim a_n$. On note $S_n=\sum_{k=0}^na_k$. - Montrer que la serie $\sum b_n$ diverge et que les sommes partielles des deux series sont equivalentes. - On suppose qu'il existe $\lambda\in\R^{+*}$ tel que $\frac{S_n}{na_n}\xrightarrow[n\to+\i]{}\lambda$. Determiner la limite de $\frac{1}{n^2a_n}\sum_{k=0}^nka_k$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1248] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1248] - Rappeler la regle de d'Alembert pour une serie numerique a termes positifs. - On considere une suite croissante $(q - {n\geq 1}$ d'entiers $\geq 2$. - Quel est le rayon de convergence de la serie entiere $\sum\frac{z^n}{q_1...q_n}$? @@ -6217,7 +6415,7 @@ Soient $(a_n)$ une suite a termes reels positifs et $(b_n)$ une suite a termes c - Montrrer la reciproque admise ci-dessus. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1249] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1249] Soit $I=]-1,+\i[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ verifie $(*)$ si et seulement si : $\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$. @@ -6227,14 +6425,14 @@ On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit - Montrer que $f$ est derivable. - Trouver toutes les fonctions continues verifiant $(*)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1250] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1250] Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois derivable telle que $ff^{(3)}=0$. - Montrrer que, si $f'$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ prend une meme valeur au plus deux fois sur $I$. - On pose $\Gamma=\{x\in I,{f'}'(x)=0\}$. Montrer que, si $\Gamma$ est non vide, alors $\Gamma$ n'est ni majore, ni minore. - Montrer que $\Gamma$ est un intervalle et en deduire $f$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1251] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1251] - Soit $g:[a,b]\to\R$ continue et injective. Montrer que $g$ est strictement monotone. On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, $g^2(x)=2g(x)-x$. @@ -6242,7 +6440,7 @@ On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, - Exprimer $g^n$ pour tout $n\in\N$ puis conclure. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1252] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1252] - Rappeler la definition d'une fonction lipschitzienne. Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue. Soient $\alpha\in]0,1]$ et $H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha}\big{\}}$. @@ -6251,19 +6449,19 @@ $H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f - Montrer que $\mc C^1([0,1],\R)\subset H_{\alpha}\subset\mc C^0([0,1 ],\R)$ et que ces inclusions sont strictes. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1253] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1253] - Soient $a,b$ dans $\R$ avec $a\lt b$ et $f:]a,b[\to\R$ derivable. On suppose que $f$ admet la meme limite finie $\ell$ en $a$ et en $b$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto e^{\frac{1}{x^2-1}}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $]-1,1[$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynome $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(x^2-1)^{2n}}f(x)$. Quel est le degre de $P_n$? - Combien $f^{(n)}$ a-t-elle de zeros? #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1254] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1254] - Donner la definition de la multiplicite d'une racine d'un polynome puis sa caracterisation a l'aide des derivees successives du polynome. - Soit $P\in\C[X]$ non nul. Exprimer $P'/P$ a l'aide des racines de $P$. - Soit $r\gt 0$. On suppose que $P$ ne s'annule pas sur le cercle $C(0,r)$ du plan complexe. On pose $N_r(P)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{P'(re^{it})}{P(re^{it})}re ^{it}\,dt$. Montrer que $N_r(P)$ est egal au nombre de racines de $P$ (comptees avec multiplicite) dans le disque $D(0,r)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1255] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1255] Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0(\R^+,\R)$ telles que $\int_0^{+\i}f^2\lt \i$. Soit $f\in E$. On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on definit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$._a) i)_: Rappeler le theoreme concernant la derivabilite des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrver que $Tf$ est continue. - Montrver que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$. @@ -6271,31 +6469,31 @@ On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on definit l'application $ - Montrver que la constante 2 est optimale dans l'inegalite $(*)$. On pourra considerer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1256] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1256] Soient $(a_n)$ une suite reelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornee, $(b_n)$ une suite reelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$. - Montrver qu'une serie absolument convergente est convergente. - Montrver que la serie de terme general $a_nb_n$ converge. - Montrver que la serie de fonctions de terme general $b_nf_n$ converge. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1257] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1257] Soit $f\in C^1(\R^+,\R^{+*})$ croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\sim}\frac{a}{x}$ ou $a\gt 0$. - Citer le theoreme d'integration des relations de comparaison, puis trouver un equivalent de $\ln(f(x))$ quand $x\to+\i$. - Donner le domaine de definition de $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)\,e^{-nx}$. Determiner les limites de $u$ aux bornes de son domaine de definition. - Montrver qu'il existe $C\in\R$ tel que $u(x)\sim\frac{C}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)$ lorsque $x\to 0^+$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1258] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1258] Soient $\alpha\in\N$ avec $\alpha\geq 2$ et $\beta\in]1,+\i[$. Soit $f:t\mapsto\sum_{n\geq 0}\frac{\cos(2\pi\alpha^nt)}{\beta^n}$. - Montrver que $f$ est definie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est derivable sur $\R$. - On suppose $\alpha\geq\beta$. Montrver que $f$ n'est pas derivable en $0$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1259] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1259] Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0$. Montrver que $f$ est $\mc C^{\i}$ puis developpable en serie entiere au voisinage de l'origine. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1260] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1260] On considere la serie entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$. - Montrver que le rayon de convergence $R$ est $\geq 1$. - Calculer $S(x)$ pour $|x|\lt 1$ puis montrer que $R=1$. @@ -6306,15 +6504,15 @@ On considere la serie entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!} - Donner la valeur de $\sum_{k=0}^nc_kc_{n-k}$ en fonction de $c_{n+1}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1262] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1262] Pour $n\geq 1$, on note $t_n$ le nombre de $\sigma\in\mc{S}_n$ telles que $\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}$. On convient que $t_0=1$, - Montrer que la serie entiere $\sum\frac{t_n}{n!}\,x^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$. - Calculer $t_1,t_2,t_3$. Montrer que, si $n\geq 2$, $t_n=t_{n-1}+(n-1)t_{n-2}$. - Determiner $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{t_n}{n!}x^n$ pour $x\in]-1,1[$. En deduire une expression de $t_n$ sous forme de somme. Calculer $\lim_{n\to+\i}\frac{t_n}{n!}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1263] -Pour $n\in\N$, on note $\mc{P}_n$ l'ensemble des polynomes $P$ a coefficients dans $\{0,1,2\}$ tels que $P(2)=n$, et $a_n=|\mc{P}_n|$. On note $s_n$ la somme des chiffres de l'ecriture binaire de l'entier $n$, et pour $k\in[\![0,7]\!]$, on pose $b_{n,k}=|\{i\in[\![0,n]\!],\ s_i-s_{n-i}\equiv k\ [8]\}|$. +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1263] +Pour $n\in\N$, on note $\mc{P}_n$ l'ensemble des polynomes $P$ a coefficients dans $\{0,1,2\}$ tels que $P(2)=n$, et $a_n=|\mc{P}_n|$. On note $s_n$ la somme des chiffres de l'ecriture binaire de l'entier $n$, et pour $k\in\db{0,7]\!]$, on pose $b_{n,k}=|\{i\in[\![0,n},\ s_i-s_{n-i}\equiv k\ [8]\}|$. - Calculer $a_0$, $a_1$, $a_2$ et $a_3$. - Montrer que $\mc{P}_n$ est fini. - Montrer que, pour $n\in\N$, $a_{2n+1}=a_n$ et que, pour $n\in\N^*$, $a_{2n}=a_n+a_{n-1}$. @@ -6332,7 +6530,7 @@ $$\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})=\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-j)^{n-s_k}x - Que peut-on en deduire sur $(a_n)$? #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1264] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1264] - - Rappeler la definition de partie dense dans $\R$ et en donner une caracterisation sequentielle. - Trouver toutes les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que @@ -6345,14 +6543,14 @@ On dit qu'une suite reelle $(a - {n\in\N}$ verifie la propriete $(P)$ si :1. La 5. Trouver toutes les suites $(a - {n\in\N}$ periodiques qui verifient $(P)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1265] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1265] Soient $(a - {n\geq 1}$ une suite de carre sommable et $ f:t\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{a_n}{n-t}$. - Preciser le domaine de definition de $f$. - Montrer que $f$ est developpable en serie entiere autour de $0$. - Montrer que si $f$ est identiquement nulle sur $[-1/2,1/2]$ alors la suite $(a_n)$ est nulle. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1266] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1266] - Rappeler la definition d'une fonction $f$ developpable en serie entiere en $0$ et preciser une expression de $f^{(k)}(0)$ en fonction des coefficients pour $k\in\N$. - Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ au voisinage de $0$ pour laquelle il existe $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$. @@ -6360,7 +6558,7 @@ Montrer que $f$ est developpable en serie entiere en $0$. - Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere en $0$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1267] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1267] On admet le theoreme suivant :_Pour $S$ une serie entiere de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une serie entiere $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z\in\C,\exp(L(z))=\ S(z)$. - - Rappeler tous les modes de convergence d'une serie entiere sur son disque ouvert de convergence. - Soient $ F(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ de rayon de convergence infini et $ G(z)=\text{Re}(F(z))$. @@ -6372,11 +6570,11 @@ $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})e^{-int}dt=\pi a_nR^n$ et $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})dt=2\p - Montrer que l'application $z\mapsto z\exp(z)$ est une surjection de $\C$ sur lui-meme. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1268] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1268] Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe $r\gt 0$ tel que, pour tout $t\in]-r,r[,\ \det(\mathrm{id}-tu)=\exp\Big{(}-\sum_{k=1}^{+\i}\frac{t^k\, \mathrm{tr}(u^k)}{k}\Big{)}$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1269.] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1269.] - - Rappeler la definition de fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\R$. - _Pour $n\in\N^*$, on definit une fonction $f_n$ sur $\R^+$ par $f_n(x)=\frac{1}{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)$ si $x\in[0,n]$ et $f_n(x)=0$ sinon. Montrer que la suite $(f - {n\in\N^*}$ converge simplement sur $\R^+$ vers une fonction $f$ a preciser et que $\int_{\R^+}f_n\not\longrightarrow\int_{\R_+}f$ quand $n\ra+\i$. @@ -6388,14 +6586,14 @@ Le demontrer sous l'hypothese supplementaire d'une convergence uniforme sur tout Montrer que les suites $f_n$ et $f$ sont sommables et que $\lim_{n\ra+\i}\sum_{k=0}^{+\i}f_n(k)=\sum_{k=0}^{+\i}f (k)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1270] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1270] Pour tout reel $a$, on pose $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$. - On fixe un entier $n\geq 1$. Montrer que la fonction $f_n:x\in\R^{+*}\mapsto\left\{\frac{1}{x}\right\}^n$ est continue par morceaux sur $\R^{+*}$ et que l'integrale $I_n=\int_0^1f_n(x)\,dx$ est convergente. - Montrer que la famille $\mc{F}=\left(\frac{(-1)^ii}{(i+1)k^{i+1}}\right)_{i\geq 1\atop k \geq 2}$ est sommable et exprimer sa somme $S$ sous la forme d'une serie faisant intervenir la fonction $\zeta$. - Exprimer $I_1$ en fonction de $S$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1271] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1271] - Montrer le theoreme d'integration des series uniformement convergentes sur un segment. - Pour $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $\gamma:[a,b]\ra\C$ de classe $C^1$ et $f\colon\C\ra\C$ continue, on pose $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$. Meme definition lorsque $f$ est a valeurs dans $\M_n(\C)$. @@ -6405,7 +6603,7 @@ Soit $F:\C\ra\C$ la somme d'une serie entiere de rayon de convergence infini. So - En deduire, pour toute matrice $M\in\M_n(\C)$ et pour $r$ assez grand (a preciser), l'egalite $\exp(M)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\, dz$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1272] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1272] Soient $E=\mc C^{\i}([0,\pi],\R)$ et $F=\{f\in E,\;f(0)=f(\pi)=0\}$. Soient $\phi,q\in E$, la fonction $q$ etant positive. On note $\alpha$ une primitive de $\phi$. On pose $D(y)=y^{''}+\phi y'-qy$ et $L(y)=-e^{\alpha}D(y)$ pour tout $y\in E$, et $\langle y,z\rangle=\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,dx$ pour tous $y,z\in F$. - Rappeler le theoreme de Cauchy-Lipschitz. - Montrer que $\langle\;,\;\rangle$ est un produit scalaire sur $F$. @@ -6418,7 +6616,7 @@ Montrer que $\nabla(\mathrm{det})(A)=\mathrm{Com}(A)$. - Determiner l'espace tangent a $\mathrm{SL}_n(\R)$ en $I_n$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1274] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1274] Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $b\in\R^n$ et $J:x\mapsto\frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. - Montrer que $J$ est strictement convexe. - Montrer que $J(x)\to+\i$ quand $\|x\|\to+\i$. @@ -6426,7 +6624,7 @@ Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $b\in\R^n$ et $J:x\mapsto\frac{1}{2}\langle Ax,x - Calculer $\nabla J$ et conclure quant au minimum de $J$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1275] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1275] Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace prehilbertien reel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$. - Pour tout $x\in E$, exprimer la projection orthogonale de $x$ sur $F$ a l'aide d'une base orthonormale de $F$. Justifier la formule. - On definit la fonction $d_F:E\setminus F\to\R,x\mapsto d(x,F)$. Montrer que $d_F$ est differentiable, et calculer sa differentielle. @@ -6434,7 +6632,7 @@ Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace prehilbertien reel et $F$ un sous-espa ** Probabilites -#+begin_exercice [Centrale # 1276] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1276] On note $d_n$ le nombre de derangements de $n$ objets, c'est-a-dire le nombre de permutations $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. _a) i)_Soit $n\in\N$. Montrer $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}d_{n-k}=n!$. @@ -6454,13 +6652,13 @@ Sa somme est notee $S(x,y)$. - Calculer $e^xS(x,y)$. - En deduire la valeur de $s_n(p)$ dans le cas $n=p$, puis dans le cas general $(n,p)\in\N^2$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1277] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1277] On melange les cartes d'un jeu de $2n$ cartes. Avec quelle probabilite les cartes de numero impair sont-elles correctement ordonnees? #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1278] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1278] Pour $A_1,...,A_n$ parties finies d'un ensemble $E$, on admet que $\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1\lt i_2\lt ...\lt i_k\leq n}|A_{i_1}\cap...\cap A_{i_k}|$. @@ -6472,23 +6670,23 @@ La demontrer pour $n=2$. Calculer la probabilite que deux entiers choisis aleatoirement dans l'ensemble $\{1,2,...,n\}$ soient premiers entre eux a l'aide de la fonction $\mu$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1279] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1279] Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de parametre 1. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et $T_n=\dfrac{S_n-n}{\sqrt{n}}$. - Determiner la loi de $S_n$. Qu'en deduire sur $T_n$? - Montrer que $\sum_{k\geq 0}\dfrac{k(n^k-1)}{(n+k)!}$ converge et calculer la somme. - Calculer $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)\,dx$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1280.] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1280.] - Rappeler les formules des probabilites totales et composees. -On fixe $d\in\N^*$ et $(U - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $[\![1,d]\!]$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$. +On fixe $d\in\N^*$ et $(U - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $\db{1,d}$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$. - Quelles sont les valeurs prises par $N_d$? - - Montrer que $\mathbf{P}(N_d\gt k)=\dfrac{d!}{d^k(d-k)!}$ pour tout $k\in[\![0,d]\!]$. + - Montrer que $\mathbf{P}(N_d\gt k)=\dfrac{d!}{d^k(d-k)!}$ pour tout $k\in\db{0,d}$. - Pour tout reel $x\gt 0$, calculer $\lim_{d\to+\i}\mathbf{P}\left(\dfrac{N_d}{\sqrt{d}}\gt x\right)$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale # 1281.] +#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1281.] - Soient $x\gt 0$ et $X_x$ une variable de Poisson de parametre $x$. Calculer l'esperance de $X_x$. Montrer que $\mathbf{P}(|X_x-\mathbf{E}(X_x)|\geq\eps x)=O\left(\dfrac{1}{x }\right)$ quand $x\to+\i$. Soient $\alpha\in\R$ et $u_{\alpha}:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{n^{\alpha}}{n!}x^n$. @@ -6501,24 +6699,24 @@ Soient $\alpha\in\R$ et $u_{\alpha}:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{n^{\alpha}}{n ** Centrale - PSI *** Algebre -#+begin_exercice [Centrale - PSI # 1282] +#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1282] Soit $A=\begin{pmatrix}0&c&b\\ -c&0&a\\ -b&-a&0\end{pmatrix}\in\M_3(\R)$. Trouver $\alpha$ pour que $A^3=\alpha A$. Calculer $A^n$ en fonction de $\alpha$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale - PSI # 1283] +#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1283] Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $a,b\in\R$ avec $a\neq b$ tels que $:(f-a\op{id})\circ(f-b\op{id})=0$. - Determiner $\lambda,\mu\in\R$ tels que $\lambda(f-a\op{id})$ et $\mu(f-b\op{id})$ soient des projecteurs. - Montrer que $\text{Ker}(f-a\op{id})=\text{Im}(f-b\op{id})$. - Determiner $f^n$ pour $n\in\N$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale - PSI # 1284] +#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1284] Soit $A\in\M_2(\Z)$. - On suppose $A$ inversible. Montrer que $A^{-1}\in\M_2(\Z)$ si et seulement si $\text{det}(A)\in\{-1,1\}$. - On suppose qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $A^p=I_2$. Montrer que $A$ est inversible, et que $A^{-1}$ est a coefficients entiers. Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de polynomes caracteristiques possibles pour $A$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale - PSI # 1285] +#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1285] Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&2\\ 2&0&1\\ 1&-1&2\end{array}\right)$. - Montrer que $A$ a une valeur propre double $a\gt 0$ et une simple $b\gt 0$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable? - Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$ de classe $\mc C^2$. Montrer qu'il existe un unique polynome $P_f\in\R_2[X]$ tel que $:P_f(a)=f(a),P_f(b)=f(b),P'_f(a)=f'(a)$. @@ -6526,7 +6724,7 @@ Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&2\\ 2&0&1\\ 1&-1&2\end{array}\right)$. - Desormais on prend $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$. Conjecturer la valeur de $Af(A)$ et prouver cette conjecture. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale - PSI # 1286] +#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1286] Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales. Si $P\in E$, on pose $L(P):x\mapsto e^{-x}\int_{-\i}^xP(t)\,e^t \dt$. @@ -6534,7 +6732,7 @@ Si $P\in E$, on pose $L(P):x\mapsto e^{-x}\int_{-\i}^xP(t)\,e^t \dt$. - Trouver les elements propres de $L$. #+end_exercice -#+begin_exercice [Centrale - PSI # 1287] +#+begin_exercice [Centrale - PSI 2023 # 1287] On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $u=\left(a,b,c\right)^T$ un vecteur unitaire de $\R^3$. On note $D$=$\text{Vect}(u)$ et $p$ la projection orthogonale sur $D$. - Experimer $p(v)$ pour tout vecteur $v=\left(x,y,z\right)^T\in\R^3$ #+end_exercice