sebastien
/
Exercices_RMS
1
0
Fork 0
Code Issues Pull Requests Packages Projects Releases Wiki Activity

update

main
Sébastien Miquel 2024-04-10 22:05:25 +02:00
parent a05c7bcd53
commit c36eeef44e
1 changed files with 122 additions and 30 deletions
Show Stats Download Patch File Download Diff File Expand all files Collapse all files

150
Exercices 2023.org
View File

@ -2,7 +2,7 @@
#+title: Exercices 2023 #+title: Exercices 2023
#+author: Sébastien Miquel #+author: Sébastien Miquel
#+date: 02-12-2023 #+date: 02-12-2023
# Time-stamp: <09-04-24 23:00> # Time-stamp: <10-04-24 22:04>
#+OPTIONS: #+OPTIONS:
@ -18,6 +18,7 @@
("montrrer" "montrer") ("montrrer" "montrer")
("montrver" "montrer") ("montrver" "montrer")
("algebre" "algèbre") ("algebre" "algèbre")
("necess" "nécess")
("devel" "dével") ("devel" "dével")
("serie" "série") ("serie" "série")
("integ" "intég")) ("integ" "intég"))
@ -1655,7 +1656,7 @@ suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables al
#+begin_exercice [ENS 2023 # 176] #+begin_exercice [ENS 2023 # 176]
Une variable aléatoire discrète réelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aléatoires discrètes réelles non presque surement constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aléatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aléatoire binomiale est-elle decomposable? Une variable aléatoire discrète réelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aléatoires discrètes réelles non presque surement constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aléatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aléatoire binomiale est-elle decomposable?
- Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$. En déduire une variable aléatoire réelle discrète decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable. - Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$. En déduire une variable aléatoire réelle discrète decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable.
- Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme que $\db{0,n-1}$. Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable. - Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme que $\db{0,n-1}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable.
#+end_exercice #+end_exercice
@ -2758,10 +2759,17 @@ Pour $n = 2$, On peut $P_a(x) + P_a'(y) = P_b(x) + P_b'(y) = \dots$
#+begin_exercice [X MP 2023 # 317] #+begin_exercice [X MP 2023 # 317]
Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ verifiant $B^2=A$? Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ verifiant $B^2=A$?
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
S'il en existe une, son opposé marche aussi. On a $\cos \theta = \sqrt{\frac{1 + \cos (2\theta)}{2}}$, si on pouvait appliquer ça à chaque fois, problème de taille du dénominateur.
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 318] #+begin_exercice [X MP 2023 # 318]
Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi:\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un extremum. Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi:\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un extremum.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si $\la$ est valeurs propres, $\Phi(t v_{\la}) = \la^2 t^2 - \la t^2 = (\la^2 - \la)t^2$. Il est donc nécessaire, ou bien que toutes les valeurs propres sont $\in [0,1]$, ou bien toutes dans le complémentaire.
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 319] #+begin_exercice [X MP 2023 # 319]
On considère dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$. On considère dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$.
@ -2773,7 +2781,11 @@ On considère dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\e
#+begin_exercice [X MP 2023 # 320] #+begin_exercice [X MP 2023 # 320]
Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
Simple ? Écrire $A = PD P^T$ et $B = P P^T$, si $\det B\gt 0$.
#+END_proof
# À relier
#+begin_exercice [X MP 2023 # 321] #+begin_exercice [X MP 2023 # 321]
Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$. Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$.
- Montrer que $\op{tr}\left(e^Ae^B\right)\gt 0$. - Montrer que $\op{tr}\left(e^Ae^B\right)\gt 0$.
@ -2806,6 +2818,10 @@ Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels.
#+begin_exercice [X MP 2023 # 324] #+begin_exercice [X MP 2023 # 324]
Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par $(0,0)$ est continue. Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par $(0,0)$ est continue.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
$f(x,y) = \frac{x^4}{y^2 + x^6}$
#+END_proof
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 325] #+BEGIN_exercice [X 2023 # 325]
Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide. Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.
@ -2819,6 +2835,7 @@ Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.
3. Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et prendre une valeur d'adhérence des segments $[y, x_n]$. 3. Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et prendre une valeur d'adhérence des segments $[y, x_n]$.
#+END_proof #+END_proof
# À relier
#+begin_exercice [X MP 2023 # 326] #+begin_exercice [X MP 2023 # 326]
Déterminer les endomorphismes continus du groupe $\C^*$. Déterminer les endomorphismes continus du groupe $\C^*$.
#+end_exercice #+end_exercice
@ -2836,16 +2853,29 @@ Soit $(M_n)_{n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose que la s
- Soit $E=\left\{\prod_{k=0}^{+\i}M_{\sigma(k)},\ \sigma\in\mc{S}( \N)\right\}$. Existe-t-il une suite de matrices pour laquelle $E$ n'est pas ferme? - Soit $E=\left\{\prod_{k=0}^{+\i}M_{\sigma(k)},\ \sigma\in\mc{S}( \N)\right\}$. Existe-t-il une suite de matrices pour laquelle $E$ n'est pas ferme?
- Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M_n)_{n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes? - Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M_n)_{n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes?
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
!!
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 328] #+begin_exercice [X MP 2023 # 328]
On définit la longueur d'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$? On définit la longueur d'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$?
- Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$. - Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$.
- Soit $(I_n)_{n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$? - Soit $(I_n)_{n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$?
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
-
- Incompréhensible. Quel sens pour $x_1$ ? Il faudrait que $\delta$ soit continue ?
- Si $\sum \ell(I_n)\lt 1$, on montre que ce n'est pas possible. On considère une suite $(\eps_n)$ telle que $\sum \ell(I_n) + \eps_n \lt 1$.
On choisit $x_0 = 0$, puis le plus grand intervalle restant qui contient (n'existe pas …) $x_0$, puis $\l(I_{n_0}) \lt x_1\lt \l(I_{n_0}) + \eps_{n_0}$, puis le plus grand qui le contient etc.
#+END_proof
# À relier à Brouwer
#+begin_exercice [X MP 2023 # 329] #+begin_exercice [X MP 2023 # 329]
Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite ferme pour la norme infinie, $C$ la sphere unite pour la norme infinie. On cherche a montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to C$ telle que la restriction de $r$ a $C$ soit l'identite. Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite ferme pour la norme infinie, $C$ la sphere unite pour la norme infinie. On cherche a montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to C$ telle que la restriction de $r$ a $C$ soit l'identite.
- On considère une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetric (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice réelle telle que : $\forall i,j\in\db{1,n-1}$, - On considère une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetrique (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice réelle telle que : $\forall i,j\in\db{1,n-1}$,
$f(a_{i,j},a_{i+1,j})+f(a_{i+1,j},a_{i+1,j+1})+f(a_{i+1,j+1},a_{i,j+1})+f(a_{i,j+1},a_{i,j})=0$. $f(a_{i,j},a_{i+1,j})+f(a_{i+1,j},a_{i+1,j+1})+f(a_{i+1,j+1},a_{i,j+1})+f(a_{i,j+1},a_{i,j})=0$.
@ -2865,6 +2895,7 @@ Montrer que, pour tous $i$, $j\in\db{1,n-1}$, $v_{i,j},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1},v_{
- Utiliser ce resultat pour montrer que toute fonction continue de $D$ dans $D$ admet un point fixe. - Utiliser ce resultat pour montrer que toute fonction continue de $D$ dans $D$ admet un point fixe.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 330] #+BEGIN_exercice [X 2023 # 330]
On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si
+ pour tous $s, t \in \R^+$ distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres distincts, + pour tous $s, t \in \R^+$ distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres distincts,
@ -2881,7 +2912,7 @@ On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^
#+END_proof #+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 331] #+begin_exercice [X MP 2023 # 331]
Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algèbre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algèbre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. Jusqu'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$. Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algèbre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algèbre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. On suppose $\mathbb{K}=\C$.
- Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$. - Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$.
- On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$. - On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$.
- En déduire que $\|a-1\|=2$. - En déduire que $\|a-1\|=2$.
@ -2889,7 +2920,7 @@ Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{
- Retrouver le resultat de la question précédente en utilisant des polynomes annulateurs. - Retrouver le resultat de la question précédente en utilisant des polynomes annulateurs.
Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$. Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$.
- Est-ce que $A$ est necessairement egale a $\R$? - Est-ce que $A$ est nécessairement egale a $\R$?
- On admet qu'il existe une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considère la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallélément a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considère la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien définie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative. - On admet qu'il existe une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considère la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallélément a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considère la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien définie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative.
- Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algèbre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$. - Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algèbre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$.
#+end_exercice #+end_exercice
@ -2902,10 +2933,14 @@ Dérivée discrète.
#+END_proof #+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 333] #+begin_exercice [X MP 2023 # 333]
Pour $n\geq 2$, on note $\ell_n=\min\left\{k\in\db{1,n},\ \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$. Pour $n\geq 2$, on note $\ell_n=\min\left\{k\in\db{1,n} \mid \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$.
- Montrer que $\ell_n=o(n)$. - Montrer que $\ell_n=o(n)$.
- Donner un équivalent de $\ell_n$. - Donner un équivalent de $\ell_n$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
- C'est montrer que $\forall c,\, \prod_{i=1}^{cn} \big(1 - \frac{i}{n}\big)\leq \frac{1}{2}$ APCR. Ou bien par comparaison $\sum/\int$, ou somme de Riemann un peu technique.
- La comparaison $\sum/\int$ devrait marcher…
#+END_proof
# ID:6961 # ID:6961
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 334] #+BEGIN_exercice [X 2023 # 334]
@ -2921,6 +2956,9 @@ Cf une année précédente.
#+begin_exercice [X MP 2023 # 335] #+begin_exercice [X MP 2023 # 335]
On considère la suite réelle définie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un réel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$. On considère la suite réelle définie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un réel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
!!
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 336] #+begin_exercice [X MP 2023 # 336]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ la suite réelle définie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un équivalent de $a_n$. Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ la suite réelle définie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un équivalent de $a_n$.
@ -2929,7 +2967,12 @@ On considère la suite réelle définie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}
#+begin_exercice [X MP 2023 # 337] #+begin_exercice [X MP 2023 # 337]
Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la série de terme général $a_n^2$ ? Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la série de terme général $a_n^2$ ?
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
On a $a_{n+1} - a_n \sim a_n^3$, donc $\sum a_n^3$ converge. Il faut trouver un équivalent de $a_n$, via la méthode usuelle.
#+END_proof
# À relier
#+begin_exercice [X MP 2023 # 338] #+begin_exercice [X MP 2023 # 338]
Soit $\sum u_n$ une série convergente de réels positifs. Existe-t-il une suite $(v_n)_{n\geq 0}$ de réels positifs tendant vers $+\i$ telle que la série $\sum u_nv_n$ converge? Soit $\sum u_n$ une série convergente de réels positifs. Existe-t-il une suite $(v_n)_{n\geq 0}$ de réels positifs tendant vers $+\i$ telle que la série $\sum u_nv_n$ converge?
#+end_exercice #+end_exercice
@ -2953,8 +2996,8 @@ On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$.
- Montrer que $u_n=\ell+\frac{1}{2n^{1/2}}+O\Big{(}\frac{1}{n^{3/2}}\Big{)}$. - Montrer que $u_n=\ell+\frac{1}{2n^{1/2}}+O\Big{(}\frac{1}{n^{3/2}}\Big{)}$.
- Montrer que $\ell=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})^2}$. - Montrer que $\ell=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})^2}$.
- Étudier les variations de $u$. - Étudier les variations de $u$.
- Déterminer un développement asymptotique semblable a celui de la question - pour la suite de terme général $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$. - Déterminer un développement asymptotique similaire pour la suite de terme général $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$.
- Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un développement asymptotique a trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$. - Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un développement asymptotique à trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 343] #+BEGIN_exercice [X 2023 # 343]
@ -2972,6 +3015,12 @@ puis IPP.
Ind. : Dans $\R^2$, considérer les points $x_n= (\sqrt{m}, \sqrt{n})$ et l'intersection $r_n$ du cercle $C(0,\sqrt{m})$ avec le segment $[0,x_n]$. Ind. : Dans $\R^2$, considérer les points $x_n= (\sqrt{m}, \sqrt{n})$ et l'intersection $r_n$ du cercle $C(0,\sqrt{m})$ avec le segment $[0,x_n]$.
- Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carre sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$. - Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carre sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
- Se fait par comparaison intégrale.
Méthode géométrique : $\frac{1}{m+n}$ est l'inverse de la longueur de l'hypothénuse. IDK
- !! À Relier, Carlemann.
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 345] #+begin_exercice [X MP 2023 # 345]
- Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que - Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que
@ -2979,6 +3028,11 @@ puis IPP.
- Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que - Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que
$\forall x\neq y\in\R$, $f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$. $\forall x\neq y\in\R$, $f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
-
- !!
#+END_proof
#+BEGIN_exercice [X 2023 # 346] #+BEGIN_exercice [X 2023 # 346]
Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique? Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique?
@ -2990,17 +3044,32 @@ Easy.
#+begin_exercice [X MP 2023 # 347] #+begin_exercice [X MP 2023 # 347]
Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $|f'|+|f+1|\leq 1$. Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $|f'|+|f+1|\leq 1$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
?? On obtient $f\leq 0$, $f= 0\rightarrow f' = 0$, la fonction est coincée entre $-2$ et $0$.
#+begin_exercice [X MP 2023 # 348] On peut juste poser $g = f+1$, auquel cas $|g| + |g'|\leq 1$. La fonction $g$ peut osciller tranquillement…
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 348] :sup:
Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum_{p\in\mc{P},\ p\leq x}\ln(p)$. Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$. Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum_{p\in\mc{P},\ p\leq x}\ln(p)$. Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
Utiliser ${2n \choose n}$.
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 349] #+begin_exercice [X MP 2023 # 349]
Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$. Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
$e^{-1/d(x, F)}$
#+END_proof
# Cf année précédente.
#+begin_exercice [X MP 2023 # 350] #+begin_exercice [X MP 2023 # 350]
Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$. Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [X MP 2023 # 351] #+begin_exercice [X MP 2023 # 351]
@ -3015,11 +3084,19 @@ Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivee $n$-ieme de $(X^2-1)^n$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [X MP 2023 # 353] #+begin_exercice [X MP 2023 # 353]
Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^3$. Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}^3$.
- On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$. - On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$.
- On suppose $n$ multiple de $4$. Montrer que $I_n\gt 0$. - On suppose $n$ multiple de $4$. Montrer que $I_n\gt 0$.
- Montrer, pour tout $n\in\N$, l'égalité $I_{2n}=(-1)^n\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^{2n}(x)\,\sin^{2n}(y)\,\sin^{2n}(x+y)\dx\dy$. - Montrer, pour tout $n\in\N$, l'égalité
$$I_{2n}=(-1)^n\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^{2n}(x)\,\sin^{2n}(y)\,\sin^{2n}(x+y)\dx\dy$$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
- Changement de variable, à extraire ?
- Il suffit ${n\choose k}^3 \leq \frac{1}{2}\big({n\choose k-1}^3 + {n\choose k+1}^3\big)$, $\frac{1}{k^3 (n-k)^3}\leq \frac{1}{2}\big(\frac{1}{(n-k)^3(n-k+1)^3} + \frac{1}{k^3 (k+1)^3}\big)$
Par l'AM-GM, il suffit $\frac{1}{k^3 (n-k)^3}\leq \frac{1}{(n-k+1)^3 (k+1)^3}$, ce qui est faux. !!
-
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 354] #+begin_exercice [X MP 2023 # 354]
- Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$. - Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$.
@ -3047,26 +3124,41 @@ Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v
#+BEGIN_proof #+BEGIN_proof
#+END_proof #+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 358] #+begin_exercice [X MP 2023 # 358]
Soit $f\colon\R\to\R^+$ intégrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$. Soit $f\colon\R\to\R^+$ intégrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$.
- Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu'il existe un unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$. - Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu'il existe un unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$.
- Montrer que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)=\ell$. - Montrer que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)=\ell$.
- Supposons que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. Montrer que $m\gt M$. - Supposons que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. Montrer que $m\gt M$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
- $f$ est croissante, puis décroissante, puisque sa limite est nulle en $\pm \i$.
-
- Revient à montrer que $\int_{-\i}^M f(t)\dt \lt \int_{M}^{+\i} f(t)\dt$, via un changement de variable.
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 359] #+begin_exercice [X MP 2023 # 359]
- Soient $a$ et $b$ deux suites réelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f - {m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformement vers une fonction constante. - Soient $a$ et $b$ deux suites réelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f_m)_{m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformement vers une fonction constante.
- On note $H$ l'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition des fonctions. - On note $H$ l'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition des fonctions.
- Soit $f\in H$. Montrer que $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$. - Soit $f\in H$. Montrer que $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
- Suite de Cauchy.
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 360] #+begin_exercice [X MP 2023 # 360]
On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi $I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est ferme$\}$ et $S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est ferme$\}$. On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi $I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est ferme$\}$ et $S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est ferme$\}$.
Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$. Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$.
- Montrer que $C=I\cap S$. - Montrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est une suite croissante d'applications continues. - Montrer que $C=I\cap S$.
- Montrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est une suite croissante d'applications continues.
- Soit $f\in F$. Montrer que $f\in I$ si et seulement s'il existe une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$. - Soit $f\in F$. Montrer que $f\in I$ si et seulement s'il existe une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+BEGIN_proof
!!
#+END_proof
#+begin_exercice [X MP 2023 # 361] #+begin_exercice [X MP 2023 # 361]
Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$. Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$.
@ -3165,7 +3257,7 @@ Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre intégrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\ma
Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$. Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$.
- Déterminer la limite et un équivalent de $I$ en $+\i$. - Déterminer la limite et un équivalent de $I$ en $+\i$.
- Donner un développement asymptotique de $I$ a tout ordre. - Donner un développement asymptotique de $I$ a tout ordre.
- Donner une condition necessaire et suffisante pour que ce développement soit la somme partielle d'une série convergente pour tout $x\gt 0$. - Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ce développement soit la somme partielle d'une série convergente pour tout $x\gt 0$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [X MP 2023 # 375] #+begin_exercice [X MP 2023 # 375]
@ -3436,7 +3528,7 @@ Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires
#+begin_exercice [X PSI 2023 # 404] #+begin_exercice [X PSI 2023 # 404]
Pour $n\geq 2$ on pose $P_n=(X+1)^n+X^n+1$ et $Q(X)=(X^2+X+1)^2$. Pour $n\geq 2$ on pose $P_n=(X+1)^n+X^n+1$ et $Q(X)=(X^2+X+1)^2$.
Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $Q$ divise $P$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour que $Q$ divise $P$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [X PSI 2023 # 405] #+begin_exercice [X PSI 2023 # 405]
@ -3452,12 +3544,12 @@ Trouver $\text{Vect}(\mc{O}_n(\R))$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [X PSI 2023 # 408] #+begin_exercice [X PSI 2023 # 408]
- Soit $(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$. Montrer que $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. - Trouver une condition necessaire d'egalite lorsque $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. - Soit $(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$. Montrer que $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$. - Trouver une condition nécessaire d'egalite lorsque $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [X PSI 2023 # 409] #+begin_exercice [X PSI 2023 # 409]
Soit $A\in\M_n(\R)$ tel que $A^2\in\mc{S}_n(\R)$. - A-t-on necessairement $A\in\mc{S}_n(\R)$? - Trouver une condition necessaire supplementaire pour avoir $A\in\mc{S}_n(\R)$. Soit $A\in\M_n(\R)$ tel que $A^2\in\mc{S}_n(\R)$. - A-t-on nécessairement $A\in\mc{S}_n(\R)$? - Trouver une condition nécessaire supplementaire pour avoir $A\in\mc{S}_n(\R)$.
#+end_exercice #+end_exercice
*** Analyse *** Analyse
@ -3710,7 +3802,7 @@ $\Q\subset\bigcup_{j\in A}I_j$ et $\sum_{j\in A}|I_j|=42$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [X PC 2023 # 462] #+begin_exercice [X PC 2023 # 462]
On pose : $E=\M_n(\R)$ et $F=\big{\{}P\in E,\ P=P^T=P^2\big{\}}$. Soit $(P,Q)\in F^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $f:[0,1]\to F$ continue telle que $f(0)=P$ et $f(1)=Q$. On pose : $E=\M_n(\R)$ et $F=\big{\{}P\in E,\ P=P^T=P^2\big{\}}$. Soit $(P,Q)\in F^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $f:[0,1]\to F$ continue telle que $f(0)=P$ et $f(1)=Q$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [X PC 2023 # 463] #+begin_exercice [X PC 2023 # 463]
@ -4261,7 +4353,7 @@ Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semb
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [Mines 2023 # 556] #+begin_exercice [Mines 2023 # 556]
Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non necessairement distinctes) du polynome $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$. Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non nécessairement distinctes) du polynome $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$.
Calculer, pour $n\in\N^*$, le déterminant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$. Calculer, pour $n\in\N^*$, le déterminant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$.
#+end_exercice #+end_exercice
@ -4607,7 +4699,7 @@ $\forall T\in{\cal M}_n(\C),\ u(T)=AT-TB$.
Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$. Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$.
- Montrer qu'il existe $\alpha\in\mbox{Sp}(A)$ et $\beta\in\mbox{Sp}(B)$ telles que $\lambda=\alpha-\beta$. - Montrer qu'il existe $\alpha\in\mbox{Sp}(A)$ et $\beta\in\mbox{Sp}(B)$ telles que $\lambda=\alpha-\beta$.
- En déduire une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $T\in{\cal M}_n(\C)$ non nulle telle que $AT=TB$. - En déduire une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $T\in{\cal M}_n(\C)$ non nulle telle que $AT=TB$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [Mines 2023 # 624] #+begin_exercice [Mines 2023 # 624]
@ -5033,7 +5125,7 @@ Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables
On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algèbre. On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algèbre.
- Soit $A\in E$. Étudier la convergence de la série $\sum A^k$ si $\|A\|\lt 1$. - Soit $A\in E$. Étudier la convergence de la série $\sum A^k$ si $\|A\|\lt 1$.
Cette condition est-elle necessaire pour que la série soit convergente? Cette condition est-elle nécessaire pour que la série soit convergente?
- Pour tout $k\in\N^*$, on pose $U_k=\left(I_n+\frac{A}{k}\right)^k$. Étudier la convergence et la limite de la suite $(U_k)$. - Pour tout $k\in\N^*$, on pose $U_k=\left(I_n+\frac{A}{k}\right)^k$. Étudier la convergence et la limite de la suite $(U_k)$.
#+end_exercice #+end_exercice
@ -5214,7 +5306,7 @@ Soient $\alpha\gt 0$ et $\beta\in]0,1[$. Nature de la série $\sum\dfrac{(-1)^{\
Soient $a,b$ deux réels tels que $0\lt a\lt b$. Soient $a,b$ deux réels tels que $0\lt a\lt b$.
On pose $u_0\gt 0$ et : $\forall n\in\N,u_{n+1}=\dfrac{n+a}{n+b}u_n$. On pose $u_0\gt 0$ et : $\forall n\in\N,u_{n+1}=\dfrac{n+a}{n+b}u_n$.
- Déterminer une condition necessaire et suffisante pour que la série $\sum u_n$ soit convergente. - Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que la série $\sum u_n$ soit convergente.
- Dans ce cas, calculer la somme $\sum_{n=0}^{+\i}n(u_{n+1}-u_n)$. - Dans ce cas, calculer la somme $\sum_{n=0}^{+\i}n(u_{n+1}-u_n)$.
- En déduire la somme $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$. - En déduire la somme $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$.
#+end_exercice #+end_exercice
@ -6144,7 +6236,7 @@ On considère une urne qui contient une proportion $p\in\,]0,1[$ de boules blanc
#+begin_exercice [Mines 2023 # 887] #+begin_exercice [Mines 2023 # 887]
On considère une urne remplie avec des boules numerotees de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise. On considère une urne remplie avec des boules numerotees de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise.
- Calculer la probabilité que les boules impaires soient tires exactement dans l'ordre $1,3,\ldots,2n-1$. - Calculer la probabilité que les boules impaires soient tires exactement dans l'ordre $1,3,\ldots,2n-1$.
- Soit $X$ la variable correspondant au nombre de tirages necessaires pour obtenir toutes les boules impaires. Déterminer la loi et l'espérance de $X$. - Soit $X$ la variable correspondant au nombre de tirages nécessaires pour obtenir toutes les boules impaires. Déterminer la loi et l'espérance de $X$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [Mines 2023 # 888] #+begin_exercice [Mines 2023 # 888]
@ -6301,7 +6393,7 @@ Pour $n\in\Z$, soit $A_n=(\exists k\geq 0,\;S_k=-n)$ et $p_n=\mathbf{P}(A_n)$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [Mines 2023 # 913] #+begin_exercice [Mines 2023 # 913]
Soient $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute partie finie $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(S_n\in A)\lt +\i$. Soient $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que, pour toute partie finie $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(S_n\in A)\lt +\i$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [Mines 2023 # 914] #+begin_exercice [Mines 2023 # 914]
@ -6397,7 +6489,7 @@ Resoudre dans $\M_n(\R)$ l'équation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 928] #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 928]
Soit $M=\left(\begin{array}{c|c}A&A\\ \hline A&B\end{array}\right)$ avec $A,B\in\M_n(\R)$. Trouver une condition necessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit inversible. Calculer alors $M^{-1}$. Soit $M=\left(\begin{array}{c|c}A&A\\ \hline A&B\end{array}\right)$ avec $A,B\in\M_n(\R)$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit inversible. Calculer alors $M^{-1}$.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 929] #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 929]
@ -6429,7 +6521,7 @@ Diagonaliser $A=$$\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots
Pour $k\in\db{1,n}$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$. Pour $k\in\db{1,n}$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$.
- Déterminer la loi de $T_k$. - Déterminer la loi de $T_k$.
- Donner un équivalent, quand $n\to+\i$, du nombre moyen $M_n$ de lancers necessaires pour obtenir toutes les faces. - Donner un équivalent, quand $n\to+\i$, du nombre moyen $M_n$ de lancers nécessaires pour obtenir toutes les faces.
#+end_exercice #+end_exercice
#+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1202] #+begin_exercice [Mines PSI 2023 # 1202]
@ -6599,7 +6691,7 @@ Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{
#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1223] #+begin_exercice [Centrale 2023 # 1223]
Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdots&\iddots&&\vdots\\ a_n&0&\ldots&0\end{array}\right)\in{\cal M}_n(\R)$ Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdots&\iddots&&\vdots\\ a_n&0&\ldots&0\end{array}\right)\in{\cal M}_n(\R)$
- Donner la définition du polynome minimal $\pi_A$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable. - Donner la définition du polynome minimal $\pi_A$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
- Calculer $\det(A)$ et $A^2$. - Calculer $\det(A)$ et $A^2$.
- Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si ${\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^2)$. Donner une condition sur les $a_1,\ldots,a_n$ pour que $A$ soit diagonalisable. - Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si ${\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^2)$. Donner une condition sur les $a_1,\ldots,a_n$ pour que $A$ soit diagonalisable.
#+end_exercice #+end_exercice