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Exercices 2023.org

@@ -2,7 +2,7 @@
 #+title:  Exercices 2023
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   02-12-2023
-# Time-stamp: <11-07-24 12:42>
+# Time-stamp: <13-07-24 19:04>
 #+OPTIONS:
 
 
@@ -33,7 +33,7 @@
 #+END_SRC
 
 #+RESULTS:
-| 4 | 9 | 13 | 736 |
+| 5 | 11 | 12 | 692 |
 
 #+BEGIN_SRC emacs-lisp
 (defun find_bad_hash ()
@@ -41,6 +41,9 @@
   (re-search-forward "[^\n ]#"))
 #+END_SRC
 
+#+RESULTS:
+: find_bad_hash
+
 
 ** Replacements
 
@@ -66,6 +69,10 @@
   ("derivab" "dérivab")
   ("consider" "considér")
   ("réel" "réel")
+  ("{(}" "(")
+  ("{)}" ")")
+  ("\\,dt" "\\dt")
+  ("\\,dx" "\\dx")
   ("montrrer" "montrer")
   (":\\" "\\colon\\")
   ("montrver" "montrer")
@@ -2279,6 +2286,7 @@ C'est la probabilité d'extinction.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7329
 #+begin_exercice [ENS 2023 # 182]                                              :todo:
 On construit itérativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble de sommets $\db{1,n}$ (graphe orienté) selon le procédé suivant : à l'étape $k$, on choisit aléatoirement un point dans $\db{1,k}$ (avec probabilité uniforme) et on rajoute une arete orientée de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere indépendante les uns des autres.
  - On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre d'arêtes partant du point $1$. Déterminer l'espérance et la variance de $X_n$.
@@ -2289,12 +2297,10 @@ On construit itérativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble
  1. $H_n$, c'est simple.
  2. $P(S_n = 0) = \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{n-2}{n-1} = \frac{1}{n-1}$.
 
-    En général, $P(S_n^k = 0) = \frac{k-1}{n-1}$.
-
     $P(S_n = 1) = \sum_{i=3}^{n} \frac{\frac{1}{2} \dots \frac{n-2}{n-1}}{\frac{i-2}{i-1}} \frac{1}{i-1} \frac{i-1}{n-1}$ $=\sum_{i=3}^{n} \frac{1}{(n-1)^2}\frac{1}{i-2}$ $=\frac{1}{(n-1)^2} H_{n-2}$
 
-    En général, $P(S_n^k = 1) = \frac{k-1}{(n-1)^2}(H_{n-2} - H_{k-2})$
+    $$P(S_n = 2) = \sum_{3\leq i\lt j} \frac{1}{i-1} \frac{1}{j-1} \prod_{2\lt k\lt i} \frac{k-2}{k-1} \prod_{i\lt k\lt j} \frac{k-3}{k-1} \prod_{j\lt k\lt n} \frac{k-3}{k-1}  + \sum_{i\lt j} \frac{1}{i-1} \frac{1}{j-1} \prod_{2\lt k\lt i} \frac{k-2}{k-1} \prod_{i\lt k\lt j} \frac{k-3}{k-1} \prod_{j\lt k\lt n} \frac{k-3}{k-1} = 2 \frac{(n-3)!}{n!}$$
-    $P(S_n = 2)$ oops, impossibruh. !!
+ 3. La probabilité que $k$ soit une feuille est la probabilité qu'il n'ai pas de descendants, donc  $P(S_n^k = 0) = \frac{k-1}{n-1}$.
 #+END_proof
 
 
@@ -3620,6 +3626,7 @@ Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels.
 
 ** Analyse
 
+# ID:7292
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 324]
 Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par $(0,0)$ est continue.
 #+end_exercice
@@ -3628,6 +3635,7 @@ Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, discontinue en
 #+END_proof
 
 
+# ID:7293
 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 325]
 Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.
  1. On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s'écrit comme intersection de carrés fermés.
@@ -3640,11 +3648,12 @@ Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.
  3. Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et prendre une valeur d'adhérence des segments $[y, x_n]$.
 #+END_proof
 
-# À relier
+# ID:4370
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 326]
 Déterminer les endomorphismes continus du groupe $\C^*$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7294
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 327]
 Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On définit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, $\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$.
  - Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrer que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$.
@@ -3669,25 +3678,26 @@ Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On défi
 
    On peut fondamentalement remplacer le $0$ par un élément très petit.
 
-   Si on prend comme $\sigma$ un produit de transpositions (de sorte que $P_{\sigma} = P_{\sigma}^{-1}$), et qu'on met quatre fois cette matrice de transposition.
+   Si on prend comme $\sigma$ un produit de transpositions (de sorte que $P_{\sigma} = P_{\sigma}^{-1}$), et qu'on met quatre fois cette matrice de transposition. !!
 #+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 328]
-On définit la longueur d'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$?
+On définit la longueur d'un intervalle borné $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$.
- - Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$.
+ - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$?
+ - Soit $\delta\colon [0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$.
  - Soit $(I_n)_{n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$?
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  - 
- - Incompréhensible. Quel sens pour $x_1$ ? Il faudrait que $\delta$ soit continue ?
+ - Incompréhensible ??. Quel sens pour $x_1$ ? Il faudrait que $\delta$ soit continue ?
  - Si $\sum \ell(I_n)\lt 1$, on montre que ce n'est pas possible. On considère une suite $(\eps_n)$ telle que $\sum \ell(I_n) + \eps_n \lt 1$.
 
    On choisit $x_0 = 0$, puis le plus grand intervalle restant qui contient (n'existe pas …) $x_0$, puis $\l(I_{n_0}) \lt x_1\lt \l(I_{n_0}) + \eps_{n_0}$, puis le plus grand qui le contient etc.
 #+END_proof
 
 
-# À relier à Brouwer
+# ID:7295
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 329]
 Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite fermé pour la norme infinie, $C$ la sphère unité pour la norme infinie. On cherche à montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r\colon D\to C$ telle que la restriction de $r$ a $C$ soit l'identité.
  1. On considère une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymétrique (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice réelle telle que : $\forall i,j\in\db{1,n-1}$,
@@ -3716,6 +3726,7 @@ Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite fermé pour la norme infinie, $C$ la sp
 
 
 
+# ID:7296
 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 330]
 On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si
  + pour tous $s, t \in \R^+$ distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres distincts,
@@ -3731,6 +3742,7 @@ On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^
  3. Prendre une fonction non réglée.
 #+END_proof
 
+# ID:7297
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 331]
 Dans tout l'énonce, $\mathbb{K}$ désigne $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algèbre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algèbre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnée sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme vérifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. On suppose $\mathbb{K}=\C$.
  - Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$.
@@ -3745,6 +3757,7 @@ Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$.
  - Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algèbre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$.
 #+end_exercice
 
+# ID: 6201
 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 332]
 Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu'il existe un $n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$.
 #+END_exercice
@@ -3798,7 +3811,7 @@ Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ la suite réelle définie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n
 On a $(a_n)$ croissante, puis $\frac{a_{n+1}}{a_n}\ra 2$, donc $\ln (a_{n+1}) - \ln (a_n) = \ln 2 + \ln \big(1 + \frac{a_{n-1}}{2n^2 a_n}\big)$, donc $\ln (a_n) = n \ln 2 + C + o(1)$.
 #+END_proof
 
-
+# ID:7298
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 337]
 Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la série de terme général $a_n^2$ ?
 #+end_exercice
@@ -3807,30 +3820,36 @@ On a $a_{n+1} - a_n \sim a_n^3$, donc $\sum a_n^3$ converge. Il faut trouver un
 #+END_proof
 
 
-# À relier
+# ID:3594
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 338]
 Soit $\sum u_n$ une série convergente de réels positifs. Existe-t-il une suite $(v_n)_{n\geq 0}$ de réels positifs tendant vers $+\i$ telle que la série $\sum u_nv_n$ converge?
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
 
-# Relier au précédent
+#+END_proof
+
+# ID:7299
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 339]
-Soit $(x_n)$ une suite réelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable pour toute suite réelle $(y_n)$ de carré sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carré sommable.
+Soit $(x_n)$ une suite réelle. On suppose que $(x_n y_n)$ est sommable pour toute suite réelle $(y_n)$ de carré sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carré sommable.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
 Prendre $y_n = \frac{x_n}{\sum_{k=1}^n x_k^2} = \frac{x_n}{S_n}$ ? On a bien $\sum x_n y_n$ qui diverge, mais il semble pas nécessaire que $\sum y_n^2$ converge.
 
-Mais, en fait on va parfois prendre $y_n = 0$, et parfois l'autre (sur une plage $[N, 2N]$). On prend $y_n \neq 0$, sur une place $[N, 2N]$, où on sait que $S_N\gt 2^N$.
+Mais, en fait on va parfois prendre $y_n = 0$, et parfois l'autre (sur une plage $[N, 2N]$). On prend $y_n \neq 0$, sur une plage $[N, 2N]$, où on sait que $S_N\gt 2^N$.
 #+END_proof
 
 
+# ID: 1144
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 340]
 Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Déterminer la nature de la série $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$.
 #+end_exercice
 
+# ID: 5479
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 341]
 Étudier la convergence de la série de terme général $\frac{\sin(\ln n)}{n}$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7300
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 342]
 On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$.
  - Montrer que $u$ converge vers une limite $\ell$.
@@ -3868,6 +3887,7 @@ puis IPP.
  - Prendre $a_n =b_n = n^{-1/2 - \eps}$.
 #+END_proof
 
+# ID:7301
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 345]
  - Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que
    $\forall(x,y)\in\R^2$, $f(xy)=f(x)\,f(y)$.
@@ -3882,6 +3902,7 @@ puis IPP.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7302
 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 346]
 Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique?
 #+END_exercice
@@ -3901,31 +3922,46 @@ Remplacer par $|f'| + |f+1| = 1$ ?
 #+END_proof
 
 
+# ID:7303
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 348]                                              :sup:
-Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum_{p\in\mc{P},\ p\leq x}\ln(p)$. Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$.
+Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum\limits_{p\in\mc{P} ; p\leq x}\ln(p)$. Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
 Utiliser ${2n \choose n}$.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7304
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 349]
-Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$.
+Soit $F$ un fermé de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  $e^{-1/d(x, F)}$
 #+END_proof
 
 
-# Cf année précédente.
+# ID:7305
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 350]
-Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$.
+Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f\colon [0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Si la suite $(x_n)$ n'a qu'une seule valeur d'adhérence, c'est envisageable.
 
+Sinon, ça contredit l'uniforme continuité.
+#+END_proof
+
+
+# ID:7306
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 351]
 Calculer $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Poser $t = \tan u$, on obtient $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \ln (1 + \tan ^2 u)\du = -2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \ln \cos u \du$, qui est classique.
 
+Elle se calcule en gardant le $\cos^2$, le transformant en $\sin^2$, et une formule de trigonométrie de $\sin (2t)$.
+#+END_proof
+
+# ID: 3719
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 352]
 Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivée $n$-ième de $(X^2-1)^n$.
  - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $\colon\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $\int_{-1}^1PL_n=0$.
@@ -3933,6 +3969,7 @@ Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivée $n$-ième de $(X^2-1)^n$.
  - Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que $\colon\forall P\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7307
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 353]
 Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}^3$.
  - On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$.
@@ -3941,7 +3978,7 @@ Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}^3$.
    $$I_{2n}=(-1)^n\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^{2n}(x)\,\sin^{2n}(y)\,\sin^{2n}(x+y)\dx\dy$$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
- - Changement de variable, à extraire ?
+ - Changement de variable, $k' = -k$.
  - $n$ multiple de $4$ signifie qu'il y a un terme central, et qu'il a un signe positif.
 
    Il suffit de montrer que, pour $k-1 \geq n$,  ${n\choose k}^3 \leq \frac{1}{2}\big({n\choose k-1}^3 + {n\choose k+1}^3\big)$.
@@ -3953,11 +3990,18 @@ Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}^3$.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7308
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 354]
- - Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$.
+ - Soient $n\in\N^*$ et $f\colon [0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que $H_n\colon (a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\big(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\big)^2 \dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$.
  - Déterminer la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - C'est du Fourier. Les $\cos/sin$ sont à peu près une BON, donc $a_k = \int_0^{2\pi} f(t) \cos (kt)$.
+ - Weierstrass.
+#+END_proof
 
+
+# ID:7309
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 355]
 Justifier l'existence et calculer $\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}$.
 #+end_exercice
@@ -3972,10 +4016,15 @@ Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}
  1. Donner un développement limité à quatre termes de $f(x)$ quand $x \ra+\i$.
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
+ 1. On a $xf(x)\lt e^{x^2/2} \int_x^{+\i} t e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$, ou IPP.
+ 2. L'IPP donne $\frac{1}{x} - e^{x^2/2} \int_x^{+\i} \frac{e^{-t^2/2}}{t^2}$. Une autre donnera $\geq \frac{1}{x} - \frac{1}{x^3}$, ce qui ne permet pas de conclure.
 
+    L'inégalité revient à montrer que $f(x)^2 + x f(x) - 1 \geq 0$. !!
+ 3. IPP successives semblent fonctionner.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7310
 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 357]
 Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v)=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(u-r e^{i \theta}\right)\left(v-r e^{i \theta}\right)}$.
 #+END_exercice
@@ -3983,32 +4032,43 @@ Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v
 
 #+END_proof
 
+# ID:7311
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 358]
 Soit $f\colon\R\to\R^+$ intégrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$.
  - Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu'il existe un unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$.
- - Montrer que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)=\ell$.
+ - Montrer que, pour tout $\l\in \interval]{0, f(M)}[$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)=\l$.
- - Supposons que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. Montrer que $m\gt M$.
+ - Supposons que, pour tout $\l\in ]0,f(M)[\interval]{0, f(M)}[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. Montrer que $m\gt M$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  - $f$ est croissante, puis décroissante, puisque sa limite est nulle en $\pm \i$.
  - 
  - Revient à montrer que $\int_{-\i}^M f(t)\dt \lt \int_{M}^{+\i} f(t)\dt$, via un changement de variable.
+
+   On a $\int_{-\i}^M f(t)\dt = \int_0^{f(M)} f(x_1(u)) \frac{\du}{f'(x_1(u))}$
+   et $\int_{M}^{+\i} f(t)\dt = -\int_0^{f(M)} f(x_2(u)) \frac{\du}{f'(x_2(u))}$.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7312
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 359]
  - Soient $a$ et $b$ deux suites réelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f_m)_{m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformément vers une fonction constante.
  - On note $H$ l'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition des fonctions.
  - Soit $f\in H$. Montrer que $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
- - Suite de Cauchy.
+ - La suite $(f_n)$ est de Cauchy (à la main : choisir $n_0$ tel que $|b_n - a_n|\leq \eps$), puis $n\geq N_{n_0}$. (Ce serait bien d'avoir un argument sans Cauchy…)
+
+   Donc $a_m, b_m$ convergent, donc $f_n$ converge vers leurs limites.
+ - 
+ - Trivial.
 #+END_proof
 
+# ID:7313
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 360]
-On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi $I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est ferme$\}$ et $S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est ferme$\}$.
+On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi
+$$I=\big\{f\in F \text{ t.q. } \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1] \mid f(x)\leq a\} \text{ est fermé}\big\} \et S=\big\{f\in F \text{ t.q. } \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1] \mid f(x)\geq a\} \text{ est fermé}\big\}$$
 
-Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f)\colon x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$.
+Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f)\colon x\in[0,1]\mapsto\inf\limits_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$.
  - Montrer que $C=I\cap S$.
  - Montrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est une suite croissante d'applications continues.
  - Soit $f\in F$. Montrer que $f\in I$ si et seulement s'il existe une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$.
@@ -4016,19 +4076,29 @@ Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f)\colon x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\l
 #+BEGIN_proof
  - $\subset$ clair ; $\supset$ : dans l'intersection, on a $f^{-1}([a,b])$ fermé, donc par complémentaire, $f^{-1}\big(\interval]{a, b}[\big)$ ouvert.
  - La croissance est claire, la continuité est classique.
- - À faire, …
+ - Soit $f\in I$. Alors $L_n(f)$ est continue (question précédente), et $f(x) = \sup f_n(x)$, car l'ensemble $y \mid f(y)\leq f(x) - \eps$ est compact.
+
+   Réciproquement, si $f = \sup f_n$. Pour tout $a$, $\{x \mid f(x)\leq a\} = \bigcap_{n} \{f_n(x)\leq a\}$ est une intersection de fermés.
 #+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 361]
 Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$.
- - Rappeler le théorème d'intégration des relations de comparaison.
+ 1. s Rappeler le théorème d'intégration des relations de comparaison.
- - Donner un équivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$.
+ 2. Donner un équivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$.
- - Déterminer le domaine de définition de la fonction $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$.
+ 3. Déterminer le domaine de définition de la fonction $u\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$.
- - Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de définition.
+ 4. Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de définition.
- - Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ telle que $f(x)\sim\dfrac{C}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$.
+ 5. Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ telle que $u(x)\sim\dfrac{C}{x}u\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ 1.
+ 2. $\ln f(x) \sim a \ln x$.
+ 3. Tout $x\gt 0$.
+ 4. L'infini et $0$.
+ 5. !!
+#+END_proof
 
+# ID:7314
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 362]
 Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et
 
@@ -4042,9 +4112,9 @@ $$\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n.$$
 #+END_proof
 
 
-# À relier
+# ID:7315
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 363]
-Pour $x$ réel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve de convergence.
+Pour $x$ réel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous réserve de convergence.
  - Déterminer le domaine de définition de $f$.
  - Étudier la continuité puis la dérivabilité de $f$.
  - Donner un équivalent simple de $f$ en $1^-$.
@@ -4057,25 +4127,27 @@ Pour $x$ réel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve d
 #+END_proof
 
 
-# Relier à un précédent
+# ID:7316
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 364]
- - Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d'une série entière. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel.
+Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f\colon U\to\C$ somme d'une série entière. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel.
- - Soient $A$ et $B$ deux polynômes a coefficients réels dont toute combinaison linéaire a coefficients réels est scindée ou nulle. Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrer que $[x,y]$ contient au moins une racine de $B$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+On a $f(z) \sim a z^{\l}$, avec $\l\geq k$. On considère $g(\theta)  =\frac{f(re^{i\theta})}{r^\l e^{i\l \theta}}$, $g$ est continue, et proche de $1$. Donc l'argument de $f(r^{i\theta})$ est proche de $\l \theta$, donc il s'annule beaucoup.
+#+END_proof
 
 
+# ID:7317
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 365]
-Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence égal a $1$ et de somme $f$.
+Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence égal à $1$ et de somme $f$.
 
-On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$.
+On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$. Montrer que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$.
-
-Montrer que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
 Formule de Cauchy donne $(a_k k)$ bornée, donc $\sum |a_k|/k$ converge.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7318
 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 366]
 Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair.
  1. Montrer l'existence d'une suite réelle $\left(b_k\right)_{k \geq 0}$ telle que : $\forall x \in \R, \exp (P(x))=\sum_{k=0}^{+\i} b_k x^k$.
@@ -4086,23 +4158,25 @@ Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair.
  2. Quand on dérive successivement $e^P$, on trouve une quantité qui vaut toujours $1$ modulo $2$.
 #+END_proof
 
+# ID:7319
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 367]
 Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$.
  - Montrer que la suite de terme général $(x,q)_n$ converge vers un réel $(x,q)_{\i}\gt 0$.
  - Déterminer le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert de convergence.
- - Etablir l'identife $f_{x,q}(z)-f_{x,q}(qz)=(1-x)zf_{x,q,q}(z)$ pour tout $z\in D$.
+ - Etablir l'identité $f_{x,q}(z)-f_{x,q}(qz)=(1-x)zf_{x,q,q}(z)$ pour tout $z\in D$.
- - Etablir l'identife $f_{x,q}(z)=\frac{1-xz}{1-z}f_{x,q}(qz)$ pour tout $z\in D$.
+ - Etablir l'identité $f_{x,q}(z)=\frac{1-xz}{1-z}f_{x,q}(qz)$ pour tout $z\in D$.
  - Démontrer que $f_{x,q}(z)=\frac{(zx,q)_{\i}}{(z,q)_{\i}}$ pour tout $z\in D$.
  - Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Déterminer, pour tout $z\in D$, la limite de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7320
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 368]
-- Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big\{(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big\}$. Trouver un équivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$.
+ - Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big\{(n,m)\in(\N^*)^2 \mid n^2+m^2 \leq x\big\}$. Trouver un équivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$.
- - On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Trouver un équivalent de $g$ en $1^-$ en utilisant $g^2$.
+ - On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Utiliser ce qui précède pour trouver un équivalent de $g$ en $1^-$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  - 
- - Considérer $(\sum t^n) g(t)$.
+ - Considérer $(\sum t^n) g(t)^2 = \sum f(n) t^n$., avec $f(n)\sim Cn$. Puis passer aux $\eps$ pour justifier.
 #+END_proof
 
 
@@ -4122,50 +4196,69 @@ Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\de
 #+END_proof
 
 
+# ID:7321
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 370]
-Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g\colon x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$.
+Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g\colon x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}\dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$.
  - Donner un équivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$.
- - On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'ecart avec l'équivalent trouve.
+ - On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'écart avec l'équivalent trouvé.
  - Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$?
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  - CVD
+ - 
+ - 
 #+END_proof
 
-
+# Manque une fin
+# ID:nil
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 371]
 - Déterminer le domaine de définition de $f\colon x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$.
  - Montrer, pour tout réel $x\gt 0$, l'égalité $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7322
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 372]
  - Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout réel $x$.
  - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$
  - Donner une expression simplifiée de $F$.
 #+end_exercice
 
-#+begin_exercice [X MP 2023 # 373]
+#+begin_exercice [X MP 2023 # 373]                                             :todo:
-Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carré intégrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$.
+Soit $f\in\mc C^0(\R_+^{*},\R)$ de carré intégrable. On pose $S_f\colon x\in\R_+^{*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$.
  - Justifier la bonne définition de $S_f$.
  - Montrer que $S_f$ est de carré intégrable.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof
+#+BEGIN_proof                                                          :todo:
  - CS
- - Relier à des semblables.
+ - !!
 #+END_proof
 
 
+# ID:7324
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 374]
 Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$.
  - Déterminer la limite et un équivalent de $I$ en $+\i$.
- - Donner un développement asymptotique de $I$ a tout ordre.
+ - Donner un développement asymptotique de $I$ à tout ordre.
  - Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ce développement soit la somme partielle d'une série convergente pour tout $x\gt 0$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Tend vers $0$, faire un changement de variable pour l'équivalent : $t = \frac{u}{x^{1/\a}}$ ; On obtient $\frac{1}{x^{\b/\a}} \int_0^{+\i} u^{\b - 1} e^{-u/x^{1/\a}} e^{-u^{\a}}\du$.
+   Quand à la valeur de l'intégrale, : $\int_0^{+\i} u^{\b - 1} e^{-u^{\a}}\du$, poser $x = u^{\a}$, puis IPPs successives.
+ - On peut développer $e^{-u/x}$ en série.
+ - 
+#+END_proof
 
+
+# ID:7325
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 375]
-- Soient $K$ un segment et $f:K\to K$ une fonction continue croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.
+ - Soient $K$ un segment et $f\colon K\to K$ une fonction continue croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.
- - On considère l'équation différentielle non linéaire $(E)\colon\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ vérifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ réels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possède une solution $2\pi$-périoddique.
+ - On considère l'équation différentielle non linéaire $(E)\colon x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ vérifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ réels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possède une solution $2\pi$-périoddique.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - Quand $x = 0$, la fonction est croissante, donc une solution ne peut pas passer sous $0$. Quand $x = \pi$, la fonction est décroissante, donc la fonction ne peut pas passer au dessus de $\pi$. Il existe donc $a\in [0,\pi]$ tel que $\phi_a(2\pi) = \phi_a(0)$.
+#+END_proof
+
 
 # ID:6896
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 376]
@@ -4194,17 +4287,20 @@ Soient $v\colon \R\to\R$ une fonction continue à support compact et $\omega\in\
  1. Appliquer les conditions aux bords du compact.
  2. Pas de difficulté.
  3. Méthode de variation de la constante je pense, à écrire.
+ 4. !!
 #+END_proof
 
 
+# ID:7243
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 378]
- Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$.
+Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i)\colon y''+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$.
  - Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$.
  - Soient $q\colon\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle $x$ de $y''+q(t)\,y=0$.
  - Montrer que les zeros de $x$ fortner une suite strictement croissante $(t_n)_{n\in\N}$.
- -  Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tout $n\in\N$.
+ - Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tout $n\in\N$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7326
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 379]
  - Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie, et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $pu+up=u$. Montrer que $\mathrm{tr}(u)=0$.
  - Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit $r\in\db{0,n}$. On note $G$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$. Déterminer l'espace vectoriel tangent à $G$ en $p$.
@@ -4223,7 +4319,7 @@ Soient $v\colon \R\to\R$ une fonction continue à support compact et $\omega\in\
 
    Étant donné des coefficients $u_{ij}$, et $t\in\R$, on peut considérer $F_t = \vect (e_1 + \sum_{j\geq r+1} u_{1j} e_{j}, \dots, e_r + \sum_{j\geq r+1} u_{rj} e_j)$, et $P_t$ la projection orthogonale sur $F_t$.
 
-   En utilisant l'expression de la matrice de $P_t$ via des produits scalaires, on obtient (?).
+   En utilisant l'expression de la matrice de $P_t$ via des produits scalaires, on obtient peut-être quelque chose.
 #+END_proof
 
 
@@ -6402,16 +6498,17 @@ Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivale
  + l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornée au voisinage de $0^+$.
 #+end_exercice
 
-#+begin_exercice [Mines 2023 # 731]                                            :todo:
+# ID:7327
+#+begin_exercice [Mines 2023 # 731]
 Soit $\sum u_n$ une série convergente a termes strictement positifs.
  - Montrer que $\sum_{k=1}^nku_k=o(n)$.
  - Montrer que $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nku_k$ est le terme général d'une série convergente.
  - Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}$ est convergente et que :$$\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}\leq \sum_{k=1}^{+\i}u_k.$$
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  - C'est la somme $\sum_{k=1}^n R_k - n R(n)$.
  - $\sum_n^N \sum_k \frac{k u_k}{n (n+1)} = \sum_k \sum_{n = k}^N \frac{k u_k}{n} - \frac{ku_k}{n+1} = \sum_k \frac{ku_k}{N} - \frac{k u_k}{k}$.
- - avec $v_n = (\prod ku_k)^{1/n}$, on a $\ln (v_n) = \frac{1}{n}\sum \ln(k u_k) \leq \frac{1}{n}\sum (k u_k - 1) = o(1) - 1$. !!
+ - Le lien avec la question précédente est l'IAG, à $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n k u_k$. De là on obtient directement tout à l'aide de la question précédente.
 #+END_proof
 
 
@@ -8034,7 +8131,7 @@ Soient $(a_n)$ une suite a termes réels positifs et $(b_n)$ une suite a termes
  - Montrer la réciproque admise ci-dessus.
 #+end_exercice
 
-#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1249]                                        :todo:
+#+begin_exercice [Centrale 2023 # 1249]
 Soit $I=\interval]{-1, +\i}[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ vérifie $(*)$ si et seulement si : $\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$.
 
 On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit $f\in\mc C^0(I,\R)$ vérifiant $(*)$.
@@ -8044,8 +8141,8 @@ On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
  1. $\frac{n+1}{n+2}$, donc $y_{n+1}$, donc la série est télescopique.
- 2. Il suffit de montrer la dérivabilité en $0$. On a $f(0) = 0$.
+ 2. Pour $x$ proche de $0$, on calcule $f(x+x+\dots + x) = f(n x)$, où $n = \lfloor \frac{1}{x}\rfloor$, on obtient $f(nx + n \frac{x^2}{2} + n^2 \frac{x^3}{3!} + \dots)\ra f(e)$. Comme $f$ est continue en $e$, on obtient la dérivabilité en $0$, puis ailleurs.
-    !!
+ 3. Ce sont les $\a \ln (1+x)$
 #+END_proof