Tous les exercices 2023
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2104d33266
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cfeb1bd2e6
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@ -1,7 +1,7 @@
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#+title: Exercices
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#+title: Exercices 2022
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#+author: Sébastien Miquel
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#+date: 25-02-2023
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# Time-stamp: <28-12-23 18:31>
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# Time-stamp: <12-02-24 12:40>
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* Meta :noexport:
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@ -15,11 +15,11 @@
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(forward-line 1))
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n)))
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`(,(count-matches "\\?\\?") ,(count-matches "!!") ,(nb_unexed))
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`(,(count-matches "\\?\\?") ,(1- (count-matches "!!")) ,(nb_unexed))
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#+END_SRC
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#+RESULTS:
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| 0 | 5 | 52 |
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| 0 | 0 | 5 |
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#+EXCLUDE_TYPES: indication
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@ -1029,36 +1029,6 @@ L'espace des suites qui tendent vers $0$ n'a pas de supplémentaire fermé dans
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D'après ce qui précède, la famille des $\tilde{f}_k$ est non nulle uniquement sur un ensemble dénombrable. Donc il existe $a$ tel que $\forall k,\, \tilde{f}_k(a) = 0$, donc $p(a) = 0$, contradiction.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice
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Dans un espace complet. Soit $F$ fermé et $H$ un supplémentaire. Montrer que la projection sur $F$ est continue si et seulement si $H$ est fermé.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Si continue, $H$ est fermé.
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Réciproquement, dur.
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L'application $(F, H) \ra E$ est surjective, continue. Et $(F,H)$ est un Banach, car $F,H$ sont fermés.
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Donc d'après le théorème de l'application ouverte, une boule ouverte est envoyée sur une boule ouverte. Donc si on est proche de $0$ dans $E$, on est forcément proche de $0$ dans $F$ et $H$.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice
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Montrer que l'ensemble des formes linéaires continues sur $\mc l_1$ est isomorphe à $\mc l_{\i}$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice
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Montrer que $(u^n)$ tend vers $0$ pour $\lN\cdot \rN_1$ si et seulement si pour toute suite bornée, $\sum v_k u^n_k \ra 0$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Par l'absurde. On peut supposer que $\lN u^n\rN_1\geq \eps$. On choisit $N_1$ pour que le poids à partir de l'indice $N_1$ soit $\leq \frac{\eps}{5}$.
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Pour $n$ assez grand, on a $\sum_{i=1}^{N_1} |u^n_i| \leq \frac{\eps}{5}$. On note $n_2$ cet indice. On prend alors $N_2\gt N_1$ tel que la somme pour $n_2$ à partir de $N_2$ soit $\leq \frac{\eps}{5}$. Alors le poids entre $N_1$ et $N_2$ est $\geq \frac{3\eps}{5}$ pour $n_2$. En fixant $v_{N_1},\dots, v_{N_2}$ les bons arguments, on a que le produit scalaire entre $u^{n_2}$ et $(v)$ est $\geq \frac{\eps}{5}$, indépendamment des valeurs de $v$ ailleurs qu'entre $N_1$ et $N_2$. On recommence… On définit ainsi une suite $(v)$ qui contredit les hypothèses.
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#+END_proof
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# 73
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# ID:6465
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@ -1619,6 +1589,7 @@ On sait gérer les produits finis, puis limite.
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# 109
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# ID:6665
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Pour $z\in\C$ de module $\lt 1$, on pose $f(z+1) = \sum_{n=1}^{+\i} \frac{(-1)^n}{n}z^n$.
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1. Soient $u,v\in\C$ tels que $|u|, |v|\lt 1$ et $|u+v+uv|\lt 1$. Montrer que $f\big((1+u)(1+v)\big) = f(1+u) + f(1+v)$.
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@ -1659,6 +1630,7 @@ On fait apparaître des différences :
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#+END_indication
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# 111
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# ID:6750
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soient $C(x)=\sum_{k=0}^{+\i} c_k x^k$ et $D(x)=\sum_{k=0}^{+\i} d_k x^k$ les sommes de deux séries entières à coefficients réels de rayon de convergence infini.
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Soit $a\gt 0$ avec $a \neq 1$. On suppose que, pour tout entier naturel $n \in \N, C\left(a^n\right)=D\left(a^n\right)$.
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@ -1667,36 +1639,10 @@ Soit $a\gt 0$ avec $a \neq 1$. On suppose que, pour tout entier naturel $n \in \
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3. Donner un exemple de séries entières distinctes $C$ et $D$, et de $a\gt 1$ pour lesquels la propriété est vérifiée.
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4. On suppose que $a\gt 1$ et qu'il existe $r \in \interval]{0, 1}[$ tel que $c_k\lt r^{k^2}$ et $d_k\lt r^{k^2}$ pour tout entier $k \in \N$. Montrer que $C=D$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Interpolation polynomiale.
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2. $c_0 = d_0$, puis $\frac{C(x) - c_0}{x} = \frac{D(x) - d_0}{x}$
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3. $\sin (\pi x)$ et $2\sin (\pi x)$.
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4. !! Chercher root of fast decaying coefficients power series.
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La différence s'annule
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On peut supposer $r = \frac{1}{a}$ (non).
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On obtient, en posant $c_k = u_k r^{k^2}$, que pour tout $n$,
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$$\left|\sum_{k=1}^n u_k a^{k(n-k)}\right| \leq C a^{-n}$$.
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Peut-on inverser ce système ?
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Si $n = 2m$ est pair, on a un terme maximal en $u_m^{m^2}$, et les termes à côté sont en $(m+1)(m-1) = m^2 - 1$, et les suivants en $(m+2)(m-2) = m^2 - 4$.
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En fonction de $a$, il existe une longueur $C$ telle que
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$\sum_{m-C}^{m+C} u_k a^{-(k-m)^2} \ra 0$
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On écrit $c_k = u_k r^{k^2}$. Alors, pour tout $n$,
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$$\sum_{k=0}^{+\i} u_k r^{k^2} a^{kn} = 0.$$
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Le facteur de $u_k$ est maximal, pour $r^{2k} a^n = 1$, c'est-à-dire $k = - \frac{n\ln a}{2\ln r} = n C$, auquel cas il vaut
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$u_k a^{n^2C} (r^{2k})^{k/2} = u_k a^{Cn^2} a^{-n^2C/2} = a^{\frac{Cn^2}{2}}$
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Les termes consécutifs sont
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+ un autre du même ordre
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+ puis on perd du $r^{1}$, du $r^{4}$, du $r^{9}$, etc.
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#+END_proof
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# 112
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# ID:6666
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#+BEGIN_exercice Valeurs du dilogarithme [ENS 2022]
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Pour $x \in \interval[{-1, 1}[$, on pose $L(x)=-\int_0^x \frac{\ln (1-t)}{t}\dt$.
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1. Justifier la bonne définition de $L$ sur $\interval[{-1, 1}[$ et montrer que $L$ est prolongeable par continuité en 1.
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@ -1717,6 +1663,7 @@ Pour $x \in \interval[{-1, 1}[$, on pose $L(x)=-\int_0^x \frac{\ln (1-t)}{t}\dt$
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# 113
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# ID:6667
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soient $f(z)=\sum_{n=0}^{+\i} a_n z^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence infini et $P \in \C[X]$ un polynôme de degré $k \in \N^*$.
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Montrer l'existence d'une série entière de rayon de convergence infini et de somme $g$, et d'un polynôme $Q \in \C_{k-1}[X]$ tel que $\forall z \in \mathbf{C}, f(z)=g(z) P(z)+Q(z)$.
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@ -1801,6 +1748,7 @@ $I_t(f)(\phi)=\int_{-\pi}^\phi \frac{f(\theta)}{(1-\cos (\theta-\phi))^{t-\frac{
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# 119
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# ID:6668
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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On pose $P(z, \theta)=\frac{1-|z|^2}{\left|e^{i \theta}-z\right|^2}$ pour $z \in \C \setminus \cup$ et $\theta \in[-\pi, \pi]$.
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1. Calculer $\int_{-\pi}^\pi P(z, \theta) d \theta$ pour $|z|\lt 1$.
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@ -1818,6 +1766,7 @@ On pose $P(z, \theta)=\frac{1-|z|^2}{\left|e^{i \theta}-z\right|^2}$ pour $z \in
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# 120
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# ID:6669
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $f\colon\R \ra \R$ continue et de limite nulle en $\pm \i$.
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1. Justifier qu'est correctement définie la fonction
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@ -1855,6 +1804,7 @@ Comme $T(h) \geq h$, on a $T^2(h)\geq T(h)\geq h$, mais $T^n(h) = T^{n+1}(g^2) -
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# 122
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# ID:6670
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $A \in \mc{M}_n(C)$. Soit $r \in \R_+^*$ tel que $A$ n'ait pas de valeur propre de module $r$.
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Donner une interprétation simple de la matrice $M(r):=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi r e^{i \theta}\left(r e^{i \theta} I_n-A\right)^{-1} d \theta$ en fonction de la matrice $A$ (on montrera en particulier que $M(r)$ est un projecteur).
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@ -2005,6 +1955,7 @@ On écrit le système sous forme matricielle, avec une exponentielle. L'hypothè
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# 131
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# ID:6671
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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On munit $\R$ d'une structure de groupe de loi notée $*$, et de neutre noté $e$.
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On suppose que la fonction $f$ définie sur $\R^2$ par $f(x, y)=x * y$ est de classe $\mc C^1$.
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@ -2030,6 +1981,7 @@ On suppose que la fonction $f$ définie sur $\R^2$ par $f(x, y)=x * y$ est de cl
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# 132
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# ID:6790
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soient $A=\left(A_{i, j}\right)_{i, j \leq n} \in \mc{S}_n^{++}(\R), D=\op{Diag}\left(A_{1,1}, \dots, A_{n, n}\right), b \in \R^n$ et $f$ la fonction de $\R^n$ dans $\R$ telle que $\forall x \in \R^n, f(x)=\frac{1}{2}\langle Ax, x\rangle -\langle b, x\rangle$.
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1. Montrer que $f$ a un unique point critique, qui est un minimum global.
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@ -2055,6 +2007,7 @@ Soit $f\colon\R^n\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$. On suppose que $\sum_{k=1}^n \fr
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#+END_exercice
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# 134
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# ID:6672
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $f\colon \R^n\ra\R$ continue et minorée. On note $\lN\cdot\rN$ la norme euclidienne.
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1. Soit $\la\gt 0$, $\eps\gt 0$ et $x_0\in\R^n$. Montrer que $g\colon x\mapsto f(x) + \frac{\eps}{\l}\lN x-x_0\rN$ admet un minimum sur $\R^n$.
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@ -2072,6 +2025,7 @@ Soit $f\colon \R^n\ra\R$ continue et minorée. On note $\lN\cdot\rN$ la norme eu
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#+END_proof
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# 135
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# ID:6673
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $f\colon \R^n\ra\R$ de classe $\mc C^1$ et $L\gt 0$. Montrer l'équivalence entre
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+ $f$ est convexe et son gradient est $L$-lipschitzien.
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@ -2111,6 +2065,7 @@ Donc $\sum_{k} \frac{\partial V}{\partial x_k} = 0$.
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#+END_indication
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# 137
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# ID:6791
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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1. sV5 Montrer que pour tout BON $(e_1,\dots, e_n)$, et $S$ symétrique, on a $\tr(e^S)\geq \sum_{k=1}^n e^{\langle S e_k, e_k\rangle}$.
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2. Montrer que $S\in\mc S_n(\R)\mapsto \tr (e^S)$ est convexe
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@ -2126,6 +2081,7 @@ Donc $\sum_{k} \frac{\partial V}{\partial x_k} = 0$.
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** Géométrie
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# 138
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# ID:6674
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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1. Soit un polygone régulier à $n$ sommets inscrit dans un cercle de rayon 1. Calculer le produit des longueurs des cordes reliant un sommet fixé à tous les autres.
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2. Pour $\alpha$ et $\beta$ réels, on pose $E=\left\{\alpha \zeta+\beta \zeta^{-1}, \zeta \in \mathbb{U}\right\}$.
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@ -2186,8 +2142,8 @@ Le centre de gravité est préservé, et la distance max diminue, donc on s'accu
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# Théorème de Pick
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# Déjà : 2807
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# 142
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#+call: get_exa(2807)
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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On se place dans $\R^2$. Les éléments de $\Z^2$ sont les points entiers. On appelle polygone entier un polygone dont les sommets sont des points entiers. Montrer que l'aire d'un polygone entier est égale à $i+\frac{k}{2}-1$ où $i$ est le nombre de points entiers à l'intérieur (strict) du polygone et $k$ le nombre de points entiers sur le bord du polygone.
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#+END_exercice
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@ -2207,6 +2163,7 @@ On peut supposer $A$ fini, + méthode probabiliste.
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# 144
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# ID:6675
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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1. Soit $(a, b, c, d, e, f) \in \R^6$ tel que $(a, b, c) \neq 0$. On considère la partie $\mc C$ de $\R^2$ définie par l'équation $a x^2+$ $b x y+c y^2+d x+e y+f=0$. On suppose que $\mc C$ contient trois points non alignés et n'est pas incluse dans la réunion de deux droites. Montrer que, dans un repère orthonormal approprié, $\mc C$ possède une équation de l'une des trois formes suivantes: $\frac{X^2}{\alpha^2}+\frac{Y^2}{\beta^2}=1$ (ellipse), $\frac{X^2}{\alpha^2}-\frac{Y^2}{\beta^2}=1$ (hyperbole) ou $2 p X-Y^2=0$ (parabole).
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2. On considère un (vrai) triangle $A B C$ de $\R^2$. On note $A'$ (respectivement, $B', C'$) le milieu de $[B, C]$ (respectivement, de $[C, A]$, de $[A, B])$. Montrer qu'une et une seule ellipse contient $A', B', C'$ et est tangente à la droite $(B C)$ (respectivement à $(C A)$, à $(A B)$) en $A'$ (respectivement en $B'$, en $C'$).
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@ -2215,6 +2172,7 @@ On peut supposer $A$ fini, + méthode probabiliste.
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** Probabilités
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# 145
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# ID:6754
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#+BEGIN_exercice
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Une urne comporte $n$ bulletins. On effectue des tirages avec remise de loi uniforme. Déterminer l'espérance $M_n$ du nombre de tirages nécessaires pour avoir vu tous les bulletins. Donner un équivalent de $M_n$.
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#+END_exercice
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@ -2239,7 +2197,8 @@ On développe le déterminant. En prenant l'espérance, ne restent que les $\sig
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# 147
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#+BEGIN_exercice
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# ID:6755
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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On note $C_{n,k}$ le nombre de permutations de $\mc S_n$ qui ont $k$ cycles à supports disjoints dans leur décomposition (en comptant les points fixes).
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1. Calculer $C_{n,n}$ et $C_{n,1}$.
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2. Montrer que $C_{n+1,k} = nC_{n,k} + C_{n,k-1}$.
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@ -2257,6 +2216,7 @@ On note $C_{n,k}$ le nombre de permutations de $\mc S_n$ qui ont $k$ cycles à s
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# 148
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# ID:6756
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#+BEGIN_exercice
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On définit la fonction de Moebius $\mu\colon\N^*\ra \{0,1,-1\}$ par $\mu(1) = 1$, $\mu(n) = 0$ pour $n\geq 1$ divisible par le carré d'un nombre premier, et $\mu(n) = (-1)^{d_n}$ sinon, où $d_n$ est le nombre de diviseurs premiers de $n$.
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1. Montrer que pour $n\geq 2$, $\sum_{d\mid n} \mu(d) = 0$.
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@ -2265,7 +2225,8 @@ On définit la fonction de Moebius $\mu\colon\N^*\ra \{0,1,-1\}$ par $\mu(1) = 1
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#+END_exercice
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# 149
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#+BEGIN_exercice
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# ID:6792
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $\a\in \interval]{-1, 1}[$. On pose $f_{\a}\colon x\mapsto \frac{x+\a}{1+\a x}$. Soit $u$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = f_{\a}(u_n)$.
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1. Variations et points fixes de $f_{\a}$. Que dire de la limite éventuelle de la suite $u$ selon la valeur de $\a$ ?
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2. Exprimer $u_n$ en fonction de $\a$. Étudier la limite.
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@ -2283,7 +2244,8 @@ Soit $\a\in \interval]{-1, 1}[$. On pose $f_{\a}\colon x\mapsto \frac{x+\a}{1+\a
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# 150
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#+BEGIN_exercice
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# ID:6793
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $\a\in [0,1]$. Pour $z\in [0,1]$, on pose $\phi_a(z) = 1 - (1-z)^\a$.
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1. Montrer l'existence d'un variable aléatoire $X_a$ à valeurs dans $\N^*$ telle que $\phi_a(z) = E(z^{X_a})$, pour $z\in [0,1]$.
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2. Soit $(A_n)_{n\geq 1}$ une famille d'évènements indépendants telle que $P(A_k) = \frac{a}{k}$. Montrer que $X_a$ suit la même loi que la variable $I(\om) = \inf \{n\in\N^*\mid \om\in A_n\}$.
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@ -2302,6 +2264,7 @@ Soit $\a\in [0,1]$. Pour $z\in [0,1]$, on pose $\phi_a(z) = 1 - (1-z)^\a$.
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#+END_proof
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# 151
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# ID:6794
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#+BEGIN_exercice
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1. Soit $n\geq 1$, $\sigma\gt 0$ et $X_1,\dots, X_n$ des variables aléatoires réelles telles que $\forall t,\, \forall i\in\db{1,n},\, E(e^{tX_i})\leq e^{t^2 \sigma^2/2}$. Montrer qu'il existe un réel $C\gt 0$ indépendant de $n$ et $\sigma$ tel que $E(\max_{i\leq n} |X_i|) \leq C\sigma \sqrt{\ln (2n)}$.
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2. Soit $X$ à valeurs dans $\Z$. On suppose que $\forall k\in\Z,\, P(X=k) = \a e^{-k^2/2}$. Montrer que $\forall t\in\R,\, E(e^{tX})\leq e^{t^2/2}$.
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@ -2373,7 +2336,8 @@ On trouve $P(X = \sigma)$, par récurrence sur la dimension.
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# 156
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#+BEGIN_exercice
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# ID:6773
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#+BEGIN_exercice [ENS 2022]
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Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi d'espérance finie strictement positive. On note $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$. Montrer que $P(\forall n\geq 1,\, S_n \gt 0) \gt 0$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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@ -2383,7 +2347,7 @@ Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même
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+ Ça contredit la loi forte des grands nombres, avec hypothèses intégrables…
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+ On peut supposer $X_n$ majorée, en tronquant, alors elle a un moment exponentiel, et on peut faire comme dans l'exercice suivant. Non, c'est dans le mauvais sens : il faudrait l'existence d'un moment exponentiel négatif ? !!
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+ On peut supposer $X_n$ majorée, en tronquant, alors elle a un moment exponentiel, et on peut faire comme dans l'exercice suivant. Non, c'est dans le mauvais sens : il faudrait l'existence d'un moment exponentiel négatif ?
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+ $P(S_n \leq 0) = P(e^{-S_n} \geq 1) \leq E(e^{-S_n}) = \prod E(e^{- t X_i})$.
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Si $X_i$ est bornée, il existe $t_0$ tel que $E(e^{-t X_i})\lt 1$, et on a une majoration exponentielle.
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@ -2398,14 +2362,6 @@ Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même
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+ $P(|S_n - E(S_n)|\gt E(S_n)) \leq \frac{V(S_n)}{E(S_n)^2} = \frac{V(S_n)}{n^2 E(X_1)^2}$
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice
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Dualité d'une marche aléatoire.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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+ On note $T$ l'instant de la première arrivée en une valeur $\gt 0$.
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On a $P(T\gt n) = P(n \text{ est un record minimal})$, en inversant la marche entre $0$ et $n$. Donc $E(T)$ est l'espérance du nombre de records minimaux.
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+ On note $T$ l'instant de la première arrivée en une valeur $\lt 0$. Par l'absurde, $T$ est bien définie. On a $P(T\gt n) = P(n \text{ est un record maximal})$. Admettons que le nombre de records maximal est nécessairement infini. Alors $E(T)$ est infinie.
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#+END_proof
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# ID:6499
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@ -2958,17 +2914,6 @@ Soit $E$ un $\C$-ev de dimension finie, et $p,q\in\mc L(E)$. On pose $c = pq - q
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3. Est-il possible que $pq - qp = \op{Id}$ en dimension infinie : oui, sur $\R[X]$, prendre $p$ la dérivation, et définir $q$ petit à petit.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice
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- Si $uv - vu = u$,
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- $\Ker u$ est stable par $v$.
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- $u,v$ ont un valeur propre commun.
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- Si $uv - vu \in \vect (u,v)$, alors $u,v$ sont cotrigonalisables.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Si $u$ inversible, contradiction avec la trace, donc il y a du noyau, et le noyau de $u$ est stable par $v$ (d'après la )
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2. Poser $w = uv - vu$, et considérer $uw - wu$, on trouve $b w$, et on applique ce qui précède.
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#+END_proof
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# 233
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# ID:6510
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@ -3052,6 +2997,7 @@ Réciproquement, on a pour tout $K$, et tout $M$, $\op{Tr} (AM + B)^k = \op{Tr}
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# cf Majoration de Schur.
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# 238
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# ID:6795
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $S\in\mc S_n(\R)$ dont les valeurs propres sont $\la_1\geq \dots\geq \la_n$. Soit $k\in\db{1,n}$, montrer que $\sum_{i=1}^k s_{i,i}\leq \sum_{i=1}^k \la_i$.
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#+END_exercice
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@ -3063,6 +3009,7 @@ $\lambda_1 = \sup_{\lN x\rN = 1} ( u(x) \vert x) \ge (u(e_1) \vert e_1)$ puis p
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#+END_proof
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# 239
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# ID:6796
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#+BEGIN_exercice [X 2022] Simplicité de $SO(E)$
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Soit $E$ un espace euclidien de dimension $3$, et $H$ un sous-groupe de $SO(E)$. On suppose que $\forall g\in SO(E),\forall h\in H,\, ghg^{-1}\in H$.
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1. On suppose que $H$ contient une symétrie orthogonale par rapport à une droite. Montrer que $H = SO(E)$.
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@ -3078,6 +3025,7 @@ Soit $E$ un espace euclidien de dimension $3$, et $H$ un sous-groupe de $SO(E)$.
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#+END_proof
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# 240
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# ID:6797
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $M\in SL_n(\R)$.
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1. Montrer qu'il existe $X\in\R^n$ tel que $\lN MX\rN_2 = \lN X\rN_2 = 1$.
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@ -3119,17 +3067,18 @@ Soit $\K = \R,\C$ et $E$ un espace vectoriel de dimension finie. On note $\mc A_
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Pour $H,K\in\M_n(\C)$, on pose $f_{H,K}\colon Z\in\C^n\mapsto HZ + K \ol{Z}$.
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1. Montrer qu'il y a équivalence entre
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+ $\forall Z,\, f_{H,K}\circ F_{H,K}(Z) = - Z$
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+ $H^2 + K \ol{K}= - I_n$ et $HK + \ol{KH} = 0$
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+ $H^2 + K \ol{K}= - I_n$ et $HK + K\ol{H} = 0$
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2. Montrer qu'il existe un voisinage de $(iI_n, O_n)$ tel que pour tout couple $(H,K)$ la condition précédente soit équivalente à l'existence d'une unique matrice $B$ telle que
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$$f_{H,K} = f_{B,K}\circ f_{iI_n, O_n}\circ f^{-1}_{B,K}.$$
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. C'est du calcul.
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2. Si on est conjugué, c'est clair. Réciproquement,
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2. Si on est conjugué, c'est clair. Réciproquement, c'est faux : comme on peut le voir pour $(H,K) = (iI_n, O_n)$, puisque les $f_{A,O_n}$ commutent avec $f_{i I_n, O_n}$.
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On peut les voir comme des applications de $\R^{2n}$ dans $\R^{2n}$. Auquel cas on obtient le résultat, mais avec $B,K'$.
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En manipulant les équations, on peut montrer que l'unicité nécessite que $H - i I_n$ et $\ol{K}$ n'aient pas de noyau en commun. Mais $\Ker \ol{K}\subset \Ker (H-iI_n)(H + iI_n)$. Si ce produit est inversible, on a bien l'unicité.
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Puis on peut changer l'application qui conjugue, exactement en multipliant par du centre de $f_{iI_n, O_n}$, qui sont les $U, O_n$. On vérifie aisé !!
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On peut les voir comme des applications de $\R^{2n}$ dans $\R^{2n}$. Auquel cas on obtient le résultat, mais avec $B,K'$. Puis on peut changer l'application qui conjugue, exactement en multipliant par du centre de $f_{iI_n, O_n}$, qui sont les $U, O_n$. On peut annuler $K'$ si on sait que $K$ est inversible…
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#+END_proof
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@ -3236,6 +3185,7 @@ On considère la suite de Fibonacci, de premiers termes $F_0 = F_1 = 1$.
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#+END_indication
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# 250
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# ID:6798
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Pour $n\in\N^*$, on note $i(n)$ et $p(n)$ le nombre de diviseurs positifs impairs et pairs de $n$. Déterminer la limite, un équivalent, puis un développement asymptotique de la suite $u_n = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \big(i(k) - p(k)\big)$
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#+END_exercice
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@ -3289,6 +3239,7 @@ Soit $A\subset \N^*$ telle qu'il existe $d\gt 0$ tel que $F(n) = \big|A\cap \db
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#+END_indication
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# 254
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# ID:6799
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $A\subset\N^*$ et $f,g$ définies pour $n\geq 2$ par
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$$f(n) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \m 1_{k\in A}\quad \et \quad g(n) = \frac{1}{\ln n} \sum_{k=1}^n \frac{\m 1_{k\in A}}{k}.$$
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@ -3327,6 +3278,7 @@ Soit $n\geq 2$. On note $P(k,n) = \prod_{i=0}^k \left(1 - \frac{i}{n}\right)$, p
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#+END_indication
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# 257
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# ID:6800
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Pour $\a\geq 0$ on dit que $f\colon [0,1]\ra\R$ est $\a$-Höldérienne si elle vérifie $|f(s) - f(t)|\leq C |s-t|^{\a}$.
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1. Que dire de $f$ dans les cas $\a = 0$ et $\a\gt 1$ ?
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@ -3342,8 +3294,6 @@ Pour $\a\geq 0$ on dit que $f\colon [0,1]\ra\R$ est $\a$-Höldérienne si elle v
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On commence par montrer que cette suite est bornée.
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On regroupe les termes par paquets de taille $T$ telle que $\frac{T}{2^n}^{\a} \frac{2^n}{T} = 1$, c'est-à-dire $T = $
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Considérer $I_n - I_{n+1} = \big(f(\frac{k}{2^n}) - f(\frac{2k+1}{2^{n+1}})\big) \big(g(\frac{k+1}{2^n}) - g(\frac{2k+2}{2^{n+1}})\big)$, $\leq \frac{1}{2^{2n\a}}$, dont la série converge.
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#+END_proof
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@ -3468,7 +3418,6 @@ Soit $a\lt b$ et $f\colon [a,b]\ra\R$ continue telle que $f(a) = f(b)$.
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#+END_indication
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# !! Manque la fin de l'énoncé.
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# 267
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soient $\xi_n\gt \xi_{n-1}\gt \dots \gt \xi_1\gt 0$ et $a,\dots,a_n$ des réels non nuls. On pose $f\colon t\mapsto \sum_{k=1}^n a_k \sin (\xi_k t)$. On suppose que la suite $\left(\lN f^{(N)}\rN_{\i}\right)$ est bornée, que $f'(0) = 1$ et que $\lN f\rN_{\i}\leq 1$. L'objectif est de montrer que $f = \sin$.
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@ -3546,6 +3495,7 @@ Soit $f\colon\R_+\ra\R$ uniformément continue. On suppose qu'il existe $m\gt 0$
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#+END_proof
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# 272
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# ID:6801
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $a\gt 0$ et $E$ l'ensemble des fonctions $f\colon \R_+\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telles que $f^2 + a (f')^2$ soit intégrale sur $\R_+$.
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1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel.
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@ -3580,6 +3530,7 @@ On sépare les racines, puis c'est du DSE, séparer selon la position par rappor
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#+END_proof
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# 274
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# ID:6751
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soient $U$ un ouvert de $\C$ contenant $0$, $f$ développable en série entière sur $D(0,R)$, avec $R\gt 0$, $p\geq 1$. On suppose que $f(z) = O_0(z^p)$. Montrer que pour $r\gt 0$ assez petit, on peut trouver $2p$ nombres complexes $z$ vérifiant $|z| = r$ et $f(z)\in\R$.
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#+END_exercice
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@ -3588,6 +3539,7 @@ On a $f(z) = a_p z^p(1+\dots)$, $\arg(f(re^{i\theta}))\tend{r\ra 0} g(\theta)$.
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#+END_proof
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# 275
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# ID:6752
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle, et $f\colon x\mapsto \sum_{n=0}^{+\i} a_n x^n$. On suppose que $\sum_{n=0}^{+\i} |a_n|2^n = M\lt +\i$.
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1. Montrer que pour tout $n\in\N$ et tout $x\in [-1,1]$, $\frac{|f^{(n)}(x)|}{n!}\leq M$.
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@ -3607,6 +3559,7 @@ Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle, et $f\colon x\mapsto \sum_{n=0}^{+\i}
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# 276
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# ID:6753
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soient $\a_1,\dots,\a_n\in \interval]{-1, 1}[$ distincts non nuls et $\b_1,\dots,\b_n\in\R$. Montrer qu'il existe une suite bornée $(c_k)$ d'entiers relatifs telle que $f\colon t\mapsto \sum_{k=0}^{+\i} c_k t^k$ vérifie $\forall i,\,f(\a_i) =\b_i$.
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#+END_exercice
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@ -3635,15 +3588,19 @@ Soit $f(x) = \sum_{n=0}^{+\i} x^{2^n}$.
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#+END_indication
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# 279
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# ID:6802
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $(a_n)$ complexe, $C\gt 0$ et $R$ le rayon de convergence de $\sum \frac{a_n}{n!}z^n$. Montrer l'équivalence entre
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+ $\forall \eps\gt 0, \exists n_0\in\N, \forall n\geq n_0,\, |a_n|\elq (C+\eps)^n$.
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+ $\forall \eps\gt 0, \exists n_0\in\N, \forall n\geq n_0,\, |a_n|\leq (C+\eps)^n$.
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+ $R = +\i$ et $\forall \eps\gt 0, \exists R_0\gt 0, \forall |z|\geq R_0,\, |f(z)|\leq \op{exp}\big((C+\eps) |z|\big)$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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$\Rightarrow$ : pas de difficulté.
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$\Leftarrow$ : Formule de Cauchy ?
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$\Leftarrow$ : Formule de Cauchy : $|a_n|\leq \frac{e^{(C+\eps)R} R}{R^n}$
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La fonction $x\mapsto \frac{e^{K x}}{x^{n-1}}$ a pour dérivée $\frac{e^{Kx}}{x^{n-1}}(K - \frac{(n-1)}{x})$, elle s'annule en $x = \frac{(n-1)}{K}$, qui est $\gt R_0$ pour $n$ assez grand. Et elle vaut alors $e^{(n-1)} \frac{K^{n-1}}{(n-1)^n}$ $\simeq K^{n-1}$.
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En prenant un peut de marge sur $\eps$, on s'en sort.
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#+END_proof
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# 280
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@ -3663,6 +3620,7 @@ Soit $(a_n)$ réelle telle que $\sum a_n x^n$ soit de rayon $1$. Pour $x\in \int
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#+END_proof
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# 282
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# ID:6803
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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On pose $g\colon x\mapsto \frac{1}{\pi (1+x^2)}$.Pour $y\gt 0$, on pose $g_y\colon x\mapsto \frac{1}{y}g(x/y)$. Soit $f\colon \R\ra\C$ continue, nulle en dehors d'un segment.
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1. Montrer que pour tout $x$, $y\mapsto \int_{\R} f(x-t) g_y(t)\dt$ tend vers $f(x)$ en $0^+$.
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@ -3672,6 +3630,7 @@ On pose $g\colon x\mapsto \frac{1}{\pi (1+x^2)}$.Pour $y\gt 0$, on pose $g_y\col
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# 283
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# ID:6804
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $n\geq 1$ et $J = \begin{pmatrix}O_n & I_n \\ -I_n & O_n\end{pmatrix}$. Soit $S\in \mc S_{2n}$ définie positive.
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1. Montrer que toute solution du système différentiel $X' = JS X$ est bornée.
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@ -3683,9 +3642,13 @@ Soit $n\geq 1$ et $J = \begin{pmatrix}O_n & I_n \\ -I_n & O_n\end{pmatrix}$. Soi
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#+END_proof
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# 284
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# ID:6805
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $(E)\colon x'(t) = \cos (x(t)) + \cos (t)$. On admet que pour tout $a\in [0,\pi]$, il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ telle que $\phi_a(0) = a$. On admet également que s'il existe $a,b\in [0,\pi]$, $t_0\in\R$ tels que $\phi_a(t_0) = \phi_b(t_0)$, alors $a = b$. Montrer qu'il existe une unique solution de $(E)$ à valeurs dans $[0,\pi]$ et $2\pi$-périodique.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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#+END_proof
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# 285
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@ -3771,13 +3734,14 @@ Une urne contient des boules bleues rouges, noires. À chaque étape on retire d
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#+END_indication
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# 291
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# ID:6806
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Pour $\la\gt 0$, on note $X_{\la}$ une variable suivant une loi $\mc P(\la)$. Étudier le comportement de $P(X_{\la}\gt E(X_{\la}))$, quand $\la \ra +\i$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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C'est $e^{-\la}\sum_{n\geq \la} \frac{\la^n}{n!} \simeq \frac{e^{-\la} \la^n}{n!}\sum_{k\geq 0} \frac{\la^k n!}{(n+k)!}$.
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# Reste à trouver un équivalent du reste, $\sum_{k\geq 0} \frac{1}{(1 + \frac{1}{\la}) \dots (1 + \frac{k}{\la})}$. Par l'inégalité harmonique $\geq \left(\frac{\sum \frac{\la}{\la + k}}{n}\right)^k$, plutôt.
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||||
Reste à trouver un équivalent du reste, $\sum_{k\geq 0} \frac{1}{(1 + \frac{1}{\la}) \dots (1 + \frac{k}{\la})}$. Par l'inégalité harmonique $\geq \left(\frac{\sum \frac{\la}{\la + k}}{n}\right)^k$, plutôt.
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On a $P(X\gt \la a) = P(e^{tX} \gt e^{t \la a}) \leq \frac{E(e^{t X})}{e^{t \la a}} = \frac{e^{\la (e^t - 1)}}{e^{t\la a}} = e^{\la (e^t - 1 - t a)} = e^{\la (1 - a) t + o_0(t)}$.
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En particulier, si on prend $a = 1 + \frac{K}{\la}$, on a $P(X \gt \la + K)\leq e^{-K}$.
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@ -3897,6 +3861,7 @@ C'est le coefficient en $\lfloor (d-1)/2\rfloor + 2$ de $(X+1)^{\lfloor (d-1)/2\
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#+END_indication
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# 299
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# ID:6807
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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1. Soit $n\geq 3$ un entier. Montrer que l'équation $x = n \ln x$ admet deux solutions $\gt 0$, que l'on note $a_n \lt b_n$.
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2. Trouver une suite strictement croissante $(p_k)_{k\geq 2}$ d'entiers telle que $p_2 \geq 2$, que $\sum 2^{-(p_{k+1} - p_k)}$ diverge et qu'il existe $C\gt 2$ tel que pour $k\geq 2$, $\sum_{j= p_k}^{p_{k+1}} \frac{1}{\ln j}\geq C$.
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@ -3933,6 +3898,7 @@ Mais, conditionné à la valeur de $\sigma$, elles le sont. Alors
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#+END_indication
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# 302
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# ID:6808
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soit $p\in \interval]{0, 1}[$. $X_1,\dots,X_n$ variables aléatoires indépendantes de même loi de même loi $\mc G(p)$. On note $M_n = \max(X_1,\dots, X_n)$ et $N_n \colon \om \mapsto \op{Card} \{k\mid X_k(\om) = M_n(\om)\}$.
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1. Pour $k\in\N$ et $a\geq 1$, exprimer $P(M_n = k, N_n = a)$.
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@ -3945,10 +3911,11 @@ Soit $p\in \interval]{0, 1}[$. $X_1,\dots,X_n$ variables aléatoires indépendan
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# Manque la fin de l'énoncé…
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# 304
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# ID:6809
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#+BEGIN_exercice [X 2022]
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Soient $n,b\geq 2$, $X_1,\dots, X_n$ indépendantes de même loi uniforme sur $\db{0, b-1}$.
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1. Déterminer $P(X_{i+1}\lt X_i)$.
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||||
2. $P(X_{i+j} \lt X_{i+j - 1} \lt \dots \lt X_i)$
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||||
2. Déterminer $P(X_{i+j} \lt X_{i+j - 1} \lt \dots \lt X_i)$
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. $\frac{1 - \frac{1}{b}}{2}$
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@ -4004,6 +3971,7 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$. Étudier la limite de la suite $\left(\left(I_n + \frac{A}{
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#+END_exercice
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# 1081
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# ID:6810
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#+BEGIN_exercice [Centrale 2022]
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$Y_{n+1} = \sum_{i=0}^Y_n X_{i,n+1}$ ; $P(X\gt 1)\gt 0$ et d'espérance finie. $G$ la fonction génératrice de $X$ ; $G_n$ celle de $Y_n$.
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1. Montrer que $G$ et $G'$ sont strictement croissantes sur $[0,1]$.
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@ -4017,8 +3985,45 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$. Étudier la limite de la suite $\left(\left(I_n + \frac{A}{
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3. $(Z \lt +\i) = \bigcup (Y_n = 0)$ ; $P(Y_n = 0) = G_n(0)$
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#+END_proof
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# ID:6684
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#+BEGIN_exercice [Centrale 2022]
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Soit $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$. Montrer l'équivalence entre
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+ $f$ est développable en série entière sur un voisinage de $0$.
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+ il existe $\a\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall n\in\N,\,\forall x\in [-\a,\a],\, |f^{(n)}(x)|\leq M a^n n!$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Si $f$ est DSE, ok.
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Si on a la majoration, écrire Taylor avec reste intégral.
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#+END_proof
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# ID:6811
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#+BEGIN_exercice [Centrale 2022]
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Soient $à,b,c\in\C$ non entiers. Pour $n\in\N^*$, on pose $u_n = \frac{1}{n!}\prod_{k=0}^{n-1} \frac{(a+k) (b+k)}{c+k}$.
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1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de $\sum u_n z^n$.
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2. Donner une CNS pour que la série entière converge absolument sur le cercle de centre $0$ et de rayon $R$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. On peut encadrer $|a+k|\leq |a| + k$ et $|a+k|\geq k - |a|$, donc le comportement est le même que des factorielles décalées, donc le rayon est $1$.
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2. C'est-à-dire pour que la série $\sum |u_n|$ converge. On a
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$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = \left|\frac{(a + n) (b+n)}{(n+1)(c+n)}\right|= \left|\frac{(1 + \frac{a}{n})(1 + \frac{b}{n})}{(1 + \frac{1}{n})(1 + \frac{c}{n})}\right| = \left|1 + \frac{a+b-1-c}{n} + O(\frac{1}{n^2})\right|.$$
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Donne $1 + \op{Re}\big(\frac{a+b-1-c}{n}\big) + O(\frac{1}{n})$.
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Si on a pas de chance, $\op{Re}c = \op{Re}(a+b)$, auquel cas, c'est la merde…
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#+END_proof
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* Mines
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# 575
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#+call: get_exo(nil) # Il est quelque part
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#+BEGIN_exercice [Mines 2022]
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Soit $\a \in \interval]{1, +\i}[$. Pour $n\in\N^*$, on pose $a_n = \left(\frac{\sin n}{\a} + \a \sin \big(\frac{1}{n}\big)\right)^n$.
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1. Nature de la série $\sum a_n$ ?
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2. Racon de convergence de la série entière $\sum a_n x^n$ ?
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#+END_exercice
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# 630
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#+BEGIN_exercice
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Montrer que les fonctions $f\in \mc C^1(\R^2,\R)$ vérifiant $\forall x,y\in\R^2,\, 2xy \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) + (1+y^2)\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 0$ sont les applications de la forme $f(x,y) = g\big(\frac{x}{1+y^2}\big)$, où $g$ est $\mc C^1$.
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@ -4034,7 +4039,8 @@ Soit $A\in\M_n(\R)$. Étudier la limite de la suite $\left(\left(I_n + \frac{A}{
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# 647
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#+BEGIN_exercice
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# ID:6812
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#+BEGIN_exercice [Mines 2022]
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Soit $m\geq 1$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ indépendantes de même loi $\mc B(p)$, avec $p\in \interval]{0, 1}[$. On pose $M = \inf\{n \mid S_n \geq m\}$.
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1. Montrer que $M$ est une variable aléatoire et évaluer $P(M = +\i)$.
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2. Montrer que $P(M\geq n) = \sum_{k=0}^{m-1} {n-1 \choose k} p^k q^{n-1-k}$.
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@ -4050,13 +4056,26 @@ Soit $m\geq 1$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ indépendantes de même loi $\mc B(p)$, avec
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#+END_proof
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# 657. : à lier à 503
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# 667
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On est non inversible si et seulement si le polynôme aléatoire $P$
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# ID:6813
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#+BEGIN_exercice [Mines 2022]
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Soit $n\geq 2$. On pose $J = \big(J_{i,j}\big)$, où $\forall i,\,J_{i+1, i} = J_{1,n} = 1$, et les autres coefficients sont nuls.
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1. Déterminer le polynôme caractéristique, le polynôme minimal et les vecteurs propres de $J$.
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2. E Soient $X_0,\dots, X_{n-1}$ des variables aléatoires indépendantes de même loi uniforme sur $\{-1,1\}$. On considère la matrice $M = \big(X_{i-j [n]}\big)_{i,j\leq n}$.
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3. Exprimer $M$ en fonction de $J$.
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4. Pour $n = 2$, calculer $P(M\in GL_n(\R))$.
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5. Déterminer le spectre complexe de $M$.
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6. On suppose $n$ premier, et on admet que le polynôme $\sum_{k=0}^{n-1}X^k$ est irréductible sur $\Q$. Calculer $P(M\in GL_n(\R))$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2.
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3.
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4.
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5. On est non inversible si et seulement si le polynôme aléatoire $P$
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annule l'une des racines $n$-ième de l'unité. On sait trouver la
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probabilité qu'il annule $1$ : il faut que $n$ soit pair, et que $P$
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ait autant de coefficients $1$ que $-1$. S'il annule une autre racine
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$\om$, alors d'après la propriété de l'énoncé, c'est que c'est $\pm Q
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= 1+X+\dots +X^{n-1}$.
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#+END_proof
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