From d0cdf0cd5d74e73a95e3803c7f63577f73b33b82 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?S=C3=A9bastien=20Miquel?= Date: Thu, 20 Nov 2025 21:57:27 +0100 Subject: [PATCH] Not much --- Exercices 2025.org | 157 +++++++++++++++++++++++++++++---------------- 1 file changed, 103 insertions(+), 54 deletions(-) diff --git a/Exercices 2025.org b/Exercices 2025.org index 88c2d6c..dc6ed6e 100644 --- a/Exercices 2025.org +++ b/Exercices 2025.org @@ -399,7 +399,11 @@ Soient $n, m \in \mathbb{N}^*$ avec $m$ < $n$. Soit $\mathcal{P}_{n,m}$ l'ensemb #+BEGIN_proof Si $m = 0$, c'est $0$. -Si $m = 1$, +Si $m = 1$. Pour $n = 3$ : écrire les relations coefficients racines. Les racines $y_1,y_2$ de la dérivée vérifient $y_1 + y_2 = \frac{2}{3}(x_1 + x_2)$ et $y_1 y_2 = \frac{x_1x_2}{3}$. + +Commencer par comprendre pourquoi l'inf n'est pas zéro : si $y_1$ était petite, $y_2$ seraient très grand (en $\frac{x_1x_2}{y_1}$), alors $y_1+y_2$ serait trop grand pour $x_1+x_2$. + +Si on écrit les I.T. ? Ça a un espoir de marcher si le cas d'égalité final est $X (X-1)^2$. #+END_proof @@ -407,30 +411,39 @@ Si $m = 1$, Soit $I=\{P\in\mathbb{C}[X]:\forall n\in\mathbb{Z},\ P(n)\in\mathbb{Z}\}$. On pose $H_0=1$ et, pour $n\in\mathbb{N}^*$, $H_n=\frac{X(X-1)\cdots(X-n+1)}{n!}$. Pour $P\in\mathbb{C}[X]$, on pose $\Delta(P)=P(X+1)-P(X)$ et $D_n(P)=\Delta^n(P)(0)$. 1. Montrer que $(H_n)_{n\geq 0}$ est une base de $\mathbb{C}[X]$. - 1. Montrer que, pour tout $n, H_n \in I$. - 1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\Delta(H_n) = H_{n-1}$. *d*) Montrer que $I \subset \mathbb{Q}[X]$. - 1. Montrer que $I = \left\{ \sum_{i=0}^n a_i H_i \; ; \; n \in \mathbb{N}, \; (a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{Z}^n \right\}$. - - 1. Soient $P_1, P_2 \in I$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $P_1(n)$ soit premier avec $P_2(n)$. Montrer qu'il - -existe $U_1, U_2 \in I$ tels que $U_1P_1 + U_2P_2 = 1$. + 1. Soient $P_1, P_2 \in I$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $P_1(n)$ soit premier avec $P_2(n)$. Montrer qu'il existe $U_1, U_2 \in I$ tels que $U_1P_1 + U_2P_2 = 1$. #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS PLSR 2025 # 23] Soit $H = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. On note $C_H = \{M \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}), \ MH = HM\}$. - 1. Montrer que $C_H$ est un sous-groupe infini de $GL_2(\mathbb{Z})$. 1. Montrer que $C_H = \mathbb{Z}[H] \cap \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$, où $\mathbb{Z}[H] = \{xI + yH, (x,y) \in \mathbb{Z}^2\}$. 1. Montrer que $C_H$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times \mathbb{Z}$ et en donner un système de générateurs. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. Vérifier que le commutateur dans $M_2(\Z)$ est $\R[H]$. + 3. L'élément de $\Z/2\Z$ est $-I_2$. +#+END_proof #+begin_exercice [ENS L 2025 # 24] -Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que AB = BA. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Déterminer le signe de det $(A^k + B^k)$. +Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que $AB = BA$. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Déterminer le signe de $\det (A^k + B^k)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Pour $k = 1$ on ne peut rien dire : cf des matrices diagonales quelconques. Idem pour $k$ impair. + +Pour $k = 2$, si $A$ et $B$ étaient trigonalisables, on trouverait +quelque chose de positif. Si $A, B$ sont des matrices de $O_2$, leurs +carrés sont des matrices de rotation, que l'on somme… On obtient $\begin{pmatrix}1 + \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & 1 + \cos +\theta\end{pmatrix}$ de déterminant $2 + 2 \cos \theta\geq 0$. + +Donc le résultat a l'air vrai. +#+END_proof + #+BEGIN_exercice [ENS SR 2025 # 25] Soient $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{+*})$ et $x_0, \ldots, x_{n-1}$ des réels > 0. On souhaite montrer que : @@ -440,14 +453,11 @@ $$\det\left(\frac{d^j}{dx^j}(f(x)^{x_i})\right)_{0\leqslant i,j< n} = f(x)^{\sum a) Soit $(p_j)_{0 \le j < n}$ une famille de polynômes de $\mathbb{R}[X]$ telle que, pour tout $j, p_j$ est de degré $j$ et de coefficient dominant $d_j$. Montrer que $\det (p_j(x_i))_{0 \leq i,j < n} = d_0 \times \cdots \times d_{n-1} \prod (x_j - x_i)$. - b) Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $j \in \mathbb{N}$, il existe $p_j \in \mathbb{R}[X]$ de degré $j$ et de coefficient dominant $f'(x)^j$ tel que : $\forall z \in \mathbb{R}, \frac{d^j}{dx^j} (f(x)^z) = f(x)^{z-j} p_j(z)$. - c) Démontrer le résultat annoncé. Que dire dans des cas particuliers? - 1. Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence non nul. -Pour tous $i, j \in \mathbb{N}^*$, on note $c_{i,j}$ le coefficient en $x^j$ de $f^i$. Calculer $\det((c_{i,j})_{1 \le i,j \le n})$. + Pour tous $i, j \in \mathbb{N}^*$, on note $c_{i,j}$ le coefficient en $x^j$ de $f^i$. Calculer $\det((c_{i,j})_{1 \le i,j \le n})$. #+END_exercice @@ -1158,18 +1168,18 @@ Soit $f \in \mc C^2(\R, \C)$. On pose $\partial_P f = \sum_{k=0}^{\i} a_k f^{(k)}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $P$ pour que, quelle que soit $f \in \mc C^2(\R, \C)$, $\partial_P f \xrightarrow[+\i]{} 0$ implique $f \xrightarrow[+\i]{} 0$. 1. Soit $a, b, c \in \R$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que -$$\forall (x,y,z) \in \mc C^1(\R,\C)^3, \quad \left\{ \begin{array}{l} x' + ax + by + cz \xrightarrow{+\i} 0 \\ y' + bx + cy + az \xrightarrow{+\i} 0 \\ z' + cx + ay + bz \xrightarrow{+\i} 0 \end{array} . \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \xrightarrow{+\i} 0 \\ y \xrightarrow{+\i} 0 \\ z \xrightarrow{+\i} 0 \end{array}$.$. +$$\forall (x,y,z) \in \mc C^1(\R,\C)^3, \quad \left\{ \begin{array}{l} x' + ax + by + cz \xrightarrow{+\i} 0 \\ y' + bx + cy + az \xrightarrow{+\i} 0 \\ z' + cx + ay + bz \xrightarrow{+\i} 0 \end{array} . \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \xrightarrow{+\i} 0 \\ y \xrightarrow{+\i} 0 \\ z \xrightarrow{+\i} 0 \end{array}.$$ #+end_exercice #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 125] -Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $A:I\ra\M_2(\R)$ continue. On regarde l'équation (1): X'(t) = A(t) X(t). +Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $A:I\ra\M_2(\R)$ continue. On regarde l'équation (1): $X'(t) = A(t) X(t)$. 1. Décrire l'ensemble des solutions de (1). 1. On suppose qu'il existe $P \in GL_2(\R)$ et $D: I \ra \M_2(\R)$ à valeurs dans l'ensemble des matrices diagonales telles que, pour tout $t \in \R$, $A(t) = P^{-1}D(t)P$. Trouver une condition sur $D$ pour que les solutions de (1) aient une limite quand $t \ra +\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 126] -Soit $n \ge 2$. Soit $A : \R^+ \ra \M_n(\R)$ continue. On considère les solutions de l'équation différentielle (): x'(t) = A(t)x(t). +Soit $n \ge 2$. Soit $A : \R^+ \ra \M_n(\R)$ continue. On considère les solutions de l'équation différentielle $(): x'(t) = A(t)x(t)$. 1. On suppose qu'il existe $P \in GL_n(\R)$ et $D : \R^+ \ra \M_n(\R)$ continue et à valeurs dans l'ensemble des matrices diagonales à coefficients dans $]-\i,-1]$ telles que, pour tout $t$, $A(t) = P D(t) P^{-1}$. Les solutions de () ont-elles toutes pour limite 0 en $+\i$ ? 1. On suppose qu'il existe $P: \R^+ \ra \mathrm{GL}_n(\R)$ continue et $D \in \M_n(\R)$ diagonale à coefficients dans $]-\i,-1]$ telles que, pour tout $t$, $A(t)=P(t)DP^{-1}(t)$. Les solutions de () ont-elles toutes pour limite 0 en $+\i$ ? #+end_exercice @@ -1236,8 +1246,8 @@ On dit que $f$ est harmonique si $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\par Montrer qu'il n'existe aucun triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont dans $\N^*$ et dont l'aire est un carré parfait non nul. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS MP 2025 # 137] -$ $ [P] Soient a, $b$, $c$, $d$ dans $\R^{+*}$. Quelle est l'aire maximale d'un quadrilatère dont les côtés successifs ont pour longueurs a, $b$, $c$, d? +#+begin_exercice [ENS P 2025 # 137] +Soient a, $b$, $c$, $d$ dans $\R^{+*}$. Quelle est l'aire maximale d'un quadrilatère dont les côtés successifs ont pour longueurs a, $b$, $c$, d? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 138] @@ -1251,36 +1261,65 @@ brique du polygone $z_1\cdots z_n$ comme $\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(\op{Re}(z_ ** Probabilités +# ID: nil # Sans intérêt #+BEGIN_exercice [ENS PLSR 2025 # 139] 1. Calculer la variance d'une variable de Poisson. 1. Soient $a \in \N^*$ et $p$ un nombre premier. Calculer $\mathbf{E}(X^p \text{ modulo } p)$ où $X \sim \mc{P}(a)$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 2. +#+END_proof + +# ID:8451 #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 140] -Soient $p \in [0,1]$ et $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi -Bernoulli de paramètre $p$. On pose $S_0=1$ et, pour $n\geq 0$, $S_{n+1}=\left\{\begin{array}{cc} 3S_n+1 & \text{ si } X_n=1\\ \frac{S_n}{2} & \text{ si } X_n=0 \end{array}\right$. - 1. Étudier les cas p=0 et p=1. On supposera que 0 dans toute la suite de l'exercice. +Soient $p \in [0,1]$ et $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi Bernoulli de paramètre $p$. On pose $S_0=1$ et, pour $n\geq 0$, $S_{n+1}=\left\{\begin{array}{cc} 3S_n+1 & \text{ si } X_n=1\\ \frac{S_n}{2} & \text{ si } X_n=0 \end{array}\right$. + 1. Étudier les cas $p=0$ et $p=1$. On supposera que $0\lt p \lt 1$ dans toute la suite de l'exercice. 1. Donner une formule de récurrence vérifiée par la suite $(\mathbf{E}(S_n))_{n\geq 0}$, et étudier son comportement quand $n\ra +\i$. 1. Montrer que $\mathbf{P}((S_n)_{n\geq 0} \text{ est bornée}) = 0$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +#+END_proof + + +# ID:nil #+begin_exercice [ENS SR 2025 # 141] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. telles que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. telles que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$. On pose $T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ pour tout $n \ge 1$. Montrer que la suite $(T_n)_{n \ge 0}$ converge presque sûrement vers $\mathbf{E}(X_1)$. #+end_exercice +# ID:8452 #+begin_exercice [ENS L 2025 # 142] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ (resp. $(Y_n)_{n\geq 1}$) une suite de variables aléatoires $i$.i.d à valeurs dans $\N$. On note $T=\inf\{n\geq 2\ ;\ X_n\notin\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}\}$ et $S=\inf\{n\geq 2\ ;\ Y_n\notin\{Y_1,\ldots,Y_{n-1}\}\}$. On suppose que $T\sim S$. Que peut-on dire du lien entre les suites $(X_n)$ et $(Y_n)$ ? +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ (resp. $(Y_n)_{n\geq 1}$) une suite de variables aléatoires i.i.d à valeurs dans $\N$. On note $T=\inf\{n\geq 2\ ;\ X_n\notin\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}\}$ et $S=\inf\{n\geq 2\ ;\ Y_n\notin\{Y_1,\ldots,Y_{n-1}\}\}$. On suppose que $T\sim S$. Que peut-on dire du lien entre les suites $(X_n)$ et $(Y_n)$ ? #+end_exercice +#+BEGIN_proof +La variable $T$ est à valeurs dans $\{n\geq 2\}$. On a $\P(T = 2) = \P(X_1\neq X_2)$. + +Donc $\sum \P(X = x_i)^2 = \sum \P(Y = x_i)^2$. + +Ensuite, $\P(T = 3) = \P(X\not \in \{X_1, X_2\} \mid X_1= X_2) \P (X_1 = X_2)$. + +Avec une FPT, la partie de gauche est $\sum (1-p_i) p_i^2$. On en déduit que $\sum p_i^3 = \sum q_i^3$, etc. + +Conclusion : les lois sont permutations l'une de l'autre. +#+END_proof + #+begin_exercice [ENS P 2025 # 143] -Soit $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers et $\beta \gt 1$. Soit $(Y_p)_{p \in \mc{P}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\N$ vérifiant $\mathbf{P}(Y_p = k) = (1 p^{-\beta})p^{-k\beta}$ pour $k \in \N$ et $p \in \mc{P}$. On pose $Z = \sum_{n \in \mc{P}} Y_p \ln p$ et $X = \exp Z$. +Soit $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers et $\beta \gt 1$. Soit $(Y_p)_{p \in \mc{P}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\N$ vérifiant $\mathbf{P}(Y_p = k) = (1 - p^{-\beta})p^{-k\beta}$ pour $k \in \N$ et $p \in \mc{P}$. On pose $Z = \sum_{n \in \mc{P}} Y_p \ln p$ et $X = \exp Z$. 1. Donner la loi de $X$. 1. En déduire que $\sum_{i=1}^{+\i} \frac{\mu(n)}{n^{\beta}} = \frac{1}{\zeta(\beta)}$ où $\mu$ est la fonction de Möbius. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. $X = \prod p^{Y_p}$. Pour $n\in\N^*$, $\P(X = n) = \prod_{p^{\a}\mid n} (1-p^{-\b}) p^{-\a\b} = \prod_{p} (1-p^{-\b}) \frac{1}{n^{\b}}$. + 2. +#+END_proof + #+begin_exercice [ENS L 2025 # 144] -Montrer qu'il existe $C$ \gt 0 tel que pour tout $n \ge 1$ et tout $(a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \{\pm 1\}^{n^2}$, il existe $(x_i)_{1 \le i \le n}$ et $(y_i)_{1 \le i \le n}$ dans $\{\pm 1\}^n$ tels que $\sum_{1 \le i \le n} a_{i,j} x_i y_j \ge C n^{3/2}$. +Montrer qu'il existe $C \gt0$ tel que pour tout $n \ge 1$ et tout $(a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \{\pm 1\}^{n^2}$, il existe $(x_i)_{1 \le i \le n}$ et $(y_i)_{1 \le i \le n}$ dans $\{\pm 1\}^n$ tels que $\sum_{1 \le i \le n} a_{i,j} x_i y_j \ge C n^{3/2}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS MP 2025 # 145] @@ -1292,20 +1331,20 @@ Soit $n \in \N$ avec $n \ge 2$. Soit $E_n = \{e_1, \dots, e_n\}$ un ensemble de #+end_exercice #+BEGIN_exercice [ENS L 2025 # 147] -Soient $d \in \N^*$ et $(e_1, \ldots, e_d)$ la base canonique de $\Z^d$. Soit $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbf{P}(X_n = e_i) = \mathbf{P}(X_n = -e_i) = \frac{1}{2d}$ +Soient $d \in \N^*$ et $(e_1, \ldots, e_d)$ la base canonique de $\Z^d$. Soit $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbf{P}(X_n = e_i) = \mathbf{P}(X_n = -e_i) = \frac{1}{2d}$ pour $1 \leq i \leq d$. On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_k$ et $S_0 = 0$. -pour $1 \leq i \leq d$. On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_k$ et $S_0 = 0$. Soit $T = \inf\{n \gt 0, S_n = 0\}$ et $p_d = \mathbf{P}(T \lt +\i)$. On admet que $p_d \lt 1$ pour $d \geq 3$. Montrer que $p_d \ra 0$ lorsque $d \ra +\i$. +Soit $T = \inf\{n \gt 0, S_n = 0\}$ et $p_d = \mathbf{P}(T \lt +\i)$. On admet que $p_d \lt 1$ pour $d \geq 3$. Montrer que $p_d \ra 0$ lorsque $d \ra +\i$. #+END_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 148] -Soient $p \in ]0, 1/2[$ et $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires telle que $\mathbf{P}(X_n=1)=1-\mathbf{P}(X_n=-1)=p. \text{ Pour } n\in\N^*, \text{ on note } S_n=X_1+\cdots+X_n. \text{ Montrer } 1\text{'existence de } c,C_1,C_2\gt 0 \text{ tels que } \forall u\geq 0,\ C_1e^{-cu}\leq \mathbf{P}\left(\sup_{n\geq 1}S_n\geq u\right)\leq C_2e^{-cu}$. +Soient $p \in ]0, 1/2[$ et $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires telle que $\mathbf{P}(X_n=1)=1-\mathbf{P}(X_n=-1)=p. \text{ Pour } n\in\N^*, \text{ on note } S_n=X_1+\cdots+X_n. \text{ Montrer } 1\text{'existence de } c,C_1,C_2\gt 0 \text{ tels que } \forall u\geq 0,\ C_1e^{-cu}\leq \mathbf{P}\left(\sup_{n\geq 1}S_n\geq u\right)\leq C_2e^{-cu}$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 149] 1. Soit $X$ une variable aléatoire réelle et $s$ \gt 0 tel que $\mathbf{E}(e^{sX})$ soit finie. Démontrer que $\forall a \gt 0$, $\mathbf{P}(X \ge a) \le e^{-sa} \mathbf{E}(e^{sX})$. - 1. Soit $(X_i)_{i \ge 1}$ une suite de variable aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans [0, 1]. + 1. Soit $(X_i)_{i \ge 1}$ une suite de variable aléatoires i.i.d. à valeurs dans [0, 1]. On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$. Démontrer que $\forall t \gt 0$, $\mathbf{P}(|S_n - \mathbf{E}(S_n)| \ge t) \le 2e^{-t^2/(2n)}$. #+end_exercice @@ -1335,7 +1374,11 @@ Montrer que $H(p,q) \ge 0$. Que dire si H(p,q) = 0? #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 152] -On considère $r_0 = 0$ et $(r_i)_{i \in \N^*} \in [0, 1]^{\N^*}$. Pour $(i, j) \in \N^* \times \N$, on pose $p_{i,j} = r_i$ si $j = i + 1, 1 - r_i$ si $j$ = $i$ - 1 et 0 sinon.On admet l'existence d'une famille de variables aléatoires $(X_k^i)_{(i,k)\in\N^*\times\N}$ telles que +On considère $r_0 = 0$ et $(r_i)_{i \in \N^*} \in [0, 1]^{\N^*}$. Pour +$(i, j) \in \N^* \times \N$, on pose $p_{i,j} = r_i$ si $j = i + 1, +1 - r_i$ si $j = i - 1$ et $0$ sinon.On admet l'existence d'une +famille de variables aléatoires $(X_k^i)_{(i,k)\in\N^*\times\N}$ +telles que + $X_0^{i_0} = i_0$ $p$.s. pour tout $i_0 \in \N^*$, + $\mathbf{P}\left(\bigcap_{i=1}^n (X_k^{i_k} = i_{k-1})\right) = \prod_{i=1}^n p_{i_{k-1}, i_k} \text{ pour tout } (i_0, \dots, i_k) \in \N^{*k+1}$. @@ -1366,7 +1409,7 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires indépendantes à vale #+end_exercice #+begin_exercice [ENS P 2025 # 156] -Soit $(p_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de [0,1]. Pour $n\in\N^*$, on note $G_n$ le graphe aléatoire $G_{n,p_n}$ d'Erdös-Renyi, c'est-à-dire un graphe aléatoire de sommets [1,n] et une famille $(X_{\{i,j\}})_{\{i,j\}\in\mc{P}_2([1,n])}$ de variables de Bernoulli $i$.i.d. de paramètre $p_n$, avec $X_{\{i,j\}}=$ 1 si et seulement s'il existe une arête reliant $i$ et $j$. On note $I_n$ le nombre de sommets isolés $de G_n$. +Soit $(p_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de [0,1]. Pour $n\in\N^*$, on note $G_n$ le graphe aléatoire $G_{n,p_n}$ d'Erdös-Renyi, c'est-à-dire un graphe aléatoire de sommets [1,n] et une famille $(X_{\{i,j\}})_{\{i,j\}\in\mc{P}_2([1,n])}$ de variables de Bernoulli i.i.d. de paramètre $p_n$, avec $X_{\{i,j\}}=$ 1 si et seulement s'il existe une arête reliant $i$ et $j$. On note $I_n$ le nombre de sommets isolés $de G_n$. 1. Soit $\eps \in ]0,1[$. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$, $p_n \geq (1+\eps)\frac{\ln(n)}{n}$. Montrer que $\mathbf{P}(I_n \geq 1) \xrightarrow[n \ra +\i]{} 0$. 1. Soit $\eps \in ]0,1[$. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$, $p_n \leq (1-\eps)\frac{\ln(n)}{n}$. Montrer que $\mathbf{P}(I_n \geq 1) \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 1$. #+end_exercice @@ -1379,7 +1422,7 @@ qu'une $p$-liste $(z_1,\ldots,z_p)$ d'éléments de $\mathbb{U}_n$ telle que $\l #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 158] -Soit $p \in [0,1/2]$. On fixe une suite $(X_n)_{n \ge 1}$ de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans $\{-1,0,1\}$ et telles que $P(X_1 = 1) = P(X_1 = -1) = p$ et $P(X_1 = 0) = p$ +Soit $p \in [0,1/2]$. On fixe une suite $(X_n)_{n \ge 1}$ de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\{-1,0,1\}$ et telles que $P(X_1 = 1) = P(X_1 = -1) = p$ et $P(X_1 = 0) = p$ valeurs dans $$\{-1,0,1\}$$ @@ -1398,11 +1441,17 @@ Soit $n \ge 3$. Une alpiniste dispose de $n$ lieux possibles pour planter sa ten #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 160] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires réelles discrètes. Pour $t\in\R$ et $n \in \N^*$, on considère la variable aléatoire $f_n(t) = \frac{1}{n} \left| \{k \in [1, n], X_k \leq t\} \right|$. Montrer qu'il existe une fonction $f\colon \R \ra \R$ telle que $\mathbf{P}\left(\sup_{t \in \R} |f_n(t) - f(t)| \gt \eps\right) \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 0$ pour tout réel $\eps \gt 0$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles discrètes. Pour $t\in\R$ et $n \in \N^*$, on considère la variable aléatoire $f_n(t) = \frac{1}{n} \left| \{k \in [1, n], X_k \leq t\} \right|$. Montrer qu'il existe une fonction $f\colon \R \ra \R$ telle que $\mathbf{P}\left(\sup_{t \in \R} |f_n(t) - f(t)| \gt \eps\right) \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 0$ pour tout réel $\eps \gt 0$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS L 2025 # 161] -Pour deux variables aléatoires réelles bornées $X$ et Y, sur des espaces probabilisés a *priori* distincts, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe $f\colon \R \ra \R$. On se donne, sur un espace probabilisé, deux suites $(M, X_1, X_2, \dots)$ et $(N, Y_1, Y_2, \dots)$ de variables aléatoires indépendantes bornées vérifiant les conditions suivantes: +Pour deux variables aléatoires réelles bornées $X$ et $Y$, sur des +espaces probabilisés a *priori* distincts, on note $X \leq_c Y$ pour +signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute +fonction convexe $f\colon \R \ra \R$. On se donne, sur un espace +probabilisé, deux suites $(M, X_1, X_2, \dots)$ et $(N, Y_1, Y_2, +\dots)$ de variables aléatoires indépendantes bornées vérifiant les +conditions suivantes: + les $X_n$, où $n \in \N^*$, sont identiquement distribuées et positives; + les $Y_n$, où $n \in \N^*$, sont identiquement distribuées et positives; + $M$ et $N$ sont à valeurs dans $\N$ : @@ -1694,7 +1743,7 @@ On suppose $n$ pair et on note $A$ l'événement « les $\frac{n}{2}$ premiers t $\forall x \in [1/n, 1], f_n(x) = x^{-1/4} \text{ et } f_n \text{ est affine sur } [1/2n, 1/n]$. Comparer $||f_n||_2$ et $||f_n||_4$. Qu'en déduit-on? - 1. Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. + 1. Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $$a=(a_n)_{n\geq 1}\in\R^{\N^*},\, n\geq 1$$ @@ -1779,7 +1828,7 @@ Soit $I$ un intervalle de $\R$. #+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 191] Soient $n \ge 2$ et $p \in \{1, \dots, n\}$. Soit $A \in \M_{n,p}(\R)$ telle que $A^T A$ est inversible. On pose $P = A(A^T A)^{-1}A^T$. -On considère des variables aléatoires $i$.i.d. $(z_k)_{1 \leq k \leq n}$ d'espérance nulle et ayant un moment d'ordre 4. On pose $\sigma = \sqrt{\mathbf{V}(z_1)}$ et $Z = (z_1 \dots z_n)^T$. +On considère des variables aléatoires i.i.d. $(z_k)_{1 \leq k \leq n}$ d'espérance nulle et ayant un moment d'ordre 4. On pose $\sigma = \sqrt{\mathbf{V}(z_1)}$ et $Z = (z_1 \dots z_n)^T$. On considère une matrice colonne $X_0 \in \M_{p,1}(\R)$. On pose $Y = AX_0 + Z$ et $X = (A^TA)^{-1}A^TY$. On pose enfin $T = ||A(X - X_0)||^2$, où || || est la norme euclidienne usuelle sur $\M_{p,1}(\R)$. @@ -1795,9 +1844,9 @@ Exprimer $\mathbf{E}(T_1)$, $\mathbf{E}(T_2)$ et $\mathbf{E}(T_1T_2)$ en fonctio #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 192] -Soit $Y$ une variable aléatoire. On dit que $Y$ est $k$-divisible $(k \in \N^*)$ s'il existe un vecteur aléatoire $(X_1, \ldots, X_k)$ où les $X_i$ sont $i$.i.d. tel que $Y \sim (X_1 + \cdots + X_n)$. On dit que $Y$ est infiniment divisible si elle est $k$-divisible pour tout $k \in \N^*$. +Soit $Y$ une variable aléatoire. On dit que $Y$ est $k$-divisible $(k \in \N^*)$ s'il existe un vecteur aléatoire $(X_1, \ldots, X_k)$ où les $X_i$ sont i.i.d. tel que $Y \sim (X_1 + \cdots + X_n)$. On dit que $Y$ est infiniment divisible si elle est $k$-divisible pour tout $k \in \N^*$. 1. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendante suivant les lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda$ et $\nu$. Donner la loi de X+Y. En déduire que si $Y\sim \mc{P}(\lambda)$ alors $Y$ est infiniment divisible. - 1. Soit $Y$ une variable aléatoire. On suppose qu'il existe A\gt 0 tel que $\mathbf{P}(Y\in[-A,A])=1$ et que $Y$ est $k$-divisible pour un certain $k\in\N^*$. On a donc $Y\sim(X_1+\cdots+X_k)$ où les $X_i$ sont $i$.i.d. + 1. Soit $Y$ une variable aléatoire. On suppose qu'il existe A\gt 0 tel que $\mathbf{P}(Y\in[-A,A])=1$ et que $Y$ est $k$-divisible pour un certain $k\in\N^*$. On a donc $Y\sim(X_1+\cdots+X_k)$ où les $X_i$ sont i.i.d. - Montrer que, pour tout $i$, $P(X_i \in [-A/k, A/k]) = 1$. - Montrer que, pour tout $i \in [1, k]$, $\mathbf{V}(X_i) \leq \left(\frac{A}{k}\right)^2$. En déduire une majoration de $\mathbf{V}(Y)$. - Que peut-on dire si la variable aléatoire $Y$ vérifie $\mathbf{P}(Y \in [-A, A]) = 1$ et qu'elle est infiniment divisible? @@ -1819,7 +1868,7 @@ $$N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\0&1&X_5&X_2\\0&X_5&-1&X_3\\X_1&X_2&X_3&X_4\end{pma #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 194] -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Pour $$n \in \N^*$$ @@ -2211,7 +2260,7 @@ Soient $n$ et $d$ dans $\N^*$. On note $[-n,n]^d$ l'ensemble des vecteurs de $\R #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2025 # 254] -Soient $d \in \N^*$ et $(X_1, \ldots, X_n)$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans [1,d]. On note $p_k = \mathbf{P}(X_1 = k)$. Soit $N_k$ la variable aléatoire égale au nombre de fois que la valeur $k$ est obtenue. Donner la matrice $(Cov(N_i, N_j))_{1 \le i,j \le n}$ et préciser son rang. +Soient $d \in \N^*$ et $(X_1, \ldots, X_n)$ une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans [1,d]. On note $p_k = \mathbf{P}(X_1 = k)$. Soit $N_k$ la variable aléatoire égale au nombre de fois que la valeur $k$ est obtenue. Donner la matrice $(Cov(N_i, N_j))_{1 \le i,j \le n}$ et préciser son rang. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PC 2025 # 255] @@ -2219,7 +2268,7 @@ Soient $d \in \N^*$ et $(X_1, \ldots, X_n)$ une suite de variables aléatoires $ Montrer que, pour tout $\gamma \in \R$, $\mathbf{E}\left(e^{\gamma X}\right) \leq e^{\gamma^2/2}$. -Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soient $(c_n)_{n\geq 1}\in\R^{\N^*}$. Pour $N\in\N^*$, on pose $Y_N=c_1X_1+\cdots+c_NX_N$. +Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soient $(c_n)_{n\geq 1}\in\R^{\N^*}$. Pour $N\in\N^*$, on pose $Y_N=c_1X_1+\cdots+c_NX_N$. 1. Montrer que, pour tout $t$ \gt 0, $\mathbf{E}(e^{tY_N}) \leq e^{t^2(c_1^2 + \dots + c_N^2)/2}$. $\begin{array}{l} \textbf{\textit{c})} \ \ \text{Soit} \ \lambda \gt 0. \ \text{Montrer que} \ \mathbf{P}(|Y_N| \gt \lambda) \leq 2e^{-\frac{\lambda^2}{2(c_1^2+\cdots+c_N^2)}}. \\ \textbf{\textit{d})} \ \ \text{Montrer que} \ N^{10} \ \mathbf{P}(|X_1+\cdots+X_N| \gt N^{3/4}) \underset{N \ra +\i}{\longrightarrow} 0. \end{array}$ @@ -2932,12 +2981,11 @@ Soit (u, v) une base de $\R^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante s ** Probabilités +# ID:8450 #+begin_exercice [X MP 2025 # 347] -Un tiroir contient 2n chaussettes, constituant $n$ paires. On tire successivement et aléatoirement les chaussettes du tiroir les unes après les autres jusqu'à avoir tiré une paire. Quelle est l'espérance du nombre total de chaussettes tirées? *Ind.* Pour simplifier le résultat, +Un tiroir contient 2n chaussettes, constituant $n$ paires. On tire successivement et aléatoirement les chaussettes du tiroir les unes après les autres jusqu'à avoir tiré une paire. Quelle est l'espérance du nombre total de chaussettes tirées? -on pourra utiliser un raisonnement probabiliste pour établir que -$$\sum_{k=n}^{2n} \binom{k}{n} 2^{-k} = 1$$ -. +Indication : Pour simplifier le résultat, on pourra utiliser un raisonnement probabiliste pour établir que $\quad\displaystyle\sum_{k=n}^{2n} \binom{k}{n} 2^{-k} = 1$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 348] @@ -2970,7 +3018,7 @@ Calculer $f_n$ où $f_n: x \mapsto \sum_{k=1}^n C_k x^k$. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 351] -Soient $p \in ]0,1[$ et t\gt 0. Soient $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. vérifiant $\mathbf{P}(X_n=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_n=-1)=1-p$ et $N\sim\mc{P}(t)$ indépendante des $X_n$. On pose : +Soient $p \in ]0,1[$ et t\gt 0. Soient $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. vérifiant $\mathbf{P}(X_n=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_n=-1)=1-p$ et $N\sim\mc{P}(t)$ indépendante des $X_n$. On pose : $$S_n = \sum_{i=0}^n X_i$$. @@ -2988,7 +3036,7 @@ Soient $p \in [0, 1[, m \ge 2 \text{ et } \xi = e^{2i\pi/m}]$. $$\forall a,b \in \C, \quad \sum_{k \in \db{0,n }} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} (b + \xi^j a)^n$$. - 1. Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On pose : $A_n=(m\mid X_1+\cdots+X_n)$ et $u_n=\mathbf{P}(A_n)$. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. + 1. Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On pose : $A_n=(m\mid X_1+\cdots+X_n)$ et $u_n=\mathbf{P}(A_n)$. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite. 1. Montrer que : $\forall n \in \N^*, \left| u_n \frac{1}{m} \right| \leq e^{-8pqn/m^2}$ où $q$ = 1 $p$. #+end_exercice @@ -3027,12 +3075,12 @@ On cherche à prouver l'existence d'un réel $C$ \gt 0 tel que, pour toutes var #+begin_exercice [X MP 2025 # 357] 1. Soient $n \in \N^*$ et $p \in ]0,1[$. Existe-t-il deux variables aléatoires indépendantes $Y_1$ et $Y_2$ de même loi telles que $Y_1 + Y_2 \sim \mc{B}(n,p)$ ? - 1. On dit qu'une variable aléatoire $Z$ est infiniment divisible si, pour tout $k \in \N^*$, il existe des variables aléatoires $i$.i.d. $Y_1, \ldots, Y_k$ telles que $Y_1 + \cdots + Y_k \sim Z$, avec a priori $(Y_1, \ldots, Y_k)$ défini sur un espace probabilisé différent de celui de $Z$. + 1. On dit qu'une variable aléatoire $Z$ est infiniment divisible si, pour tout $k \in \N^*$, il existe des variables aléatoires i.i.d. $Y_1, \ldots, Y_k$ telles que $Y_1 + \cdots + Y_k \sim Z$, avec a priori $(Y_1, \ldots, Y_k)$ défini sur un espace probabilisé différent de celui de $Z$. Donner un exemple d'une telle variable aléatoire. 1. Que dire d'une variable aléatoire $Z$ infiniment divisible de support inclus dans [0,1]? - 1. Soient $(X_i)_{i\in\N}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. et $N\sim\mc{P}(\lambda)$ indépendante des $X_i$ (avec $\lambda\gt 0$). Montrer que $Z=X_1+\cdots+X_N$ est une variable aléatoire infiniment divisible. + 1. Soient $(X_i)_{i\in\N}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. et $N\sim\mc{P}(\lambda)$ indépendante des $X_i$ (avec $\lambda\gt 0$). Montrer que $Z=X_1+\cdots+X_N$ est une variable aléatoire infiniment divisible. #+end_exercice #+begin_exercice [X MP 2025 # 358] @@ -3059,7 +3107,7 @@ Montrer qu'il existe une unique fonction $f$ qui respecte ces conditions, qu'ell #+begin_exercice [X MP 2025 # 360] Soient $X$ une variable aléatoire à support fini à valeurs dans $\Z^2$ et telle que $-X \sim$ -$X, (X_k)_{k \geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. +$X, (X_k)_{k \geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. 1. Montrer que, si $n \in \N^*$, $\mathbf{E}(\|S_n\|^2) = n \, \mathbf{E}(\|X\|^2)$ et $\mathbf{P}(S_{2n} = 0) = \sum_{x \in \Z^2} \mathbf{P}(S_n = x)^2$. 1. Montrer qu'il existe $c \in \R^{+*}$ tel que $\forall n \in \N^*, \mathbf{P}(S_{2n} = 0) \geq \frac{c}{n}$. 1. Démontrer que $P(\exists n \ge 1, S_n = 0) = 1$. @@ -3205,7 +3253,7 @@ On effectue $n \leq N$ tirages sans remise dans un sac de $N$ jetons numérotés #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2025 # 384] -On pose $(X_k)$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de para- +On pose $(X_k)$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de para- mètre $p \in [0,1]$. Pour $n \in \N$, on pose $Y_n = \sum_{k=1}^n \frac{X_k}{k+n}$ 1. Calculer l'espérance de $Y_n$ 1. Déterminer la limite de $(\mathbf{E}(Y_n))$ @@ -3757,13 +3805,13 @@ Une suite $(Y_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ est dite *transi #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2025 # 454] -Une suite $(S_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ est dite *transiente* si, pour toute partie bornée $A$ de $\N$, on a $\sum_{n \in \N} \mathbf{P}(S_n \in A) \lt +\i$. Soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables +Une suite $(S_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ est dite *transiente* si, pour toute partie bornée $A$ de $\N$, on a $\sum_{n \in \N} \mathbf{P}(S_n \in A) \lt +\i$. Soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires telle que $\mathbf{P}(X_1 = 1) = p$ et $\mathbf{P}(X_1 = -1) = 1 - p$, avec $p \in ]0,1[$. On pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. Montrer que $(S_n)$ est transiente si et seulement si $p \neq 1/2$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2025 # 455] -Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. telle que $\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et +Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. telle que $\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et $$P(X_k = -1) = 1 - p$$ . On pose $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$, $T = \inf\{n \in \N^*, S_n = 1\}$ et $f_n = P(T = n)$. @@ -3795,6 +3843,7 @@ Soit $X = (X_1, \dots, X_n)^T$ un vecteur aléatoire à valeurs dans $\R^n$. On 1. On suppose que $m$ = $n$ + 1. Montrer que $X$ est centrée-réduite si et seulement si, pour tous $i \neq i$ $\langle V_i, V_j \rangle = -1$ et pour tout $i$ n = 1 tous $i \neq j$, $\langle V_i, V_j \rangle = -1$ et, pour tout $i$, $p_i = \frac{1}{\|V_i\|^2 + 1}$. #+end_exercice + * De Christophe :xens: #+call: get_exo(1545)