From de851259467afa4e2043b8d7ed2c833746dd5102 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?S=C3=A9bastien=20Miquel?= Date: Mon, 24 Feb 2025 19:45:48 +0100 Subject: [PATCH] Premier passage. --- Exercices 2024.org | 1084 +++++++++++++++++++++++++++++++------------- 1 file changed, 761 insertions(+), 323 deletions(-) diff --git a/Exercices 2024.org b/Exercices 2024.org index 93a24d3..9b81773 100644 --- a/Exercices 2024.org +++ b/Exercices 2024.org @@ -1,8 +1,8 @@ -# -*- org-export-switch: "mines centrale"; -*- +# -*- org-export-switch: "xens mp"; -*- #+title: Exercices 2024 #+author: Sébastien Miquel #+date: 20-11-2024 -# Time-stamp: <31-12-24 23:08> +# Time-stamp: <24-02-25 19:45> * Meta :noexport: @@ -13,8 +13,8 @@ #+END_SRC #+RESULTS: -| ? | ! | todo | unexed | -| 3 | 3 | 8 | 1098 | +| ? | ! | todo | unexed | +| 2 | 16 | 11 | 1033 | ** Options @@ -34,10 +34,10 @@ *** XENS MP -# #+select_tags: xens -# #+exclude_tags: autre -# #+exclude_types: proof -# #+export_file_name: Exercices XENS MP 2024 +#+select_tags: xens +#+exclude_tags: autre +#+exclude_types: proof +#+export_file_name: Exercices XENS MP 2024 *** Centrale @@ -51,10 +51,10 @@ *** Mines Centrale -#+select_tags: mines cent -#+exclude_tags: autre -#+options: toc:2 -#+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2024 +# #+select_tags: mines cent +# #+exclude_tags: autre +# #+options: toc:2 +# #+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2024 *** todoes @@ -568,17 +568,20 @@ Soient $n\in\N^*$, $\mc M$ une sous-algèbre de $\M_n(\C)$. On suppose que, pour #+BEGIN_proof Si chaque matrice est entièrement déterminée par sa première colonne, alors il existe $A_i$ tel que $\forall M\in A,\, M_i = A_i M_1$. En utilisant que $A$ est une algèbre, on obtient que $M$ doit commuter avec les $A_i$, donc $M$ est diagonale par blocs, ce qui est contradictoire. -Sinon, donc il existe dans $A$ une matrice $B$ dont la première colonne est nulle, en prenant l'image de $M\mapsto MB$ on en obtient d'autres, dont la projection sur chaque colonne non nulle de $B$ est $\R^n$. Cela forme une algèbre $\mc M_0$, et pour tout $v$, à moins que $Bv = \vec 0$, on a $\mc M_0 v = \R^n$. En général, $\mc M_0 v = \{\vec 0\} \ou \R^n$. +Sinon, donc il existe dans $A$ une matrice $B$ dont la première colonne est nulle, en prenant l'image de $M\mapsto MB$ on en obtient d'autres, dont la projection sur chaque colonne non nulle de $B$ est $\C^n$. On note $\mc M_0$ l'ensemble de ces matrices. Pour tout $v$, à moins que $Bv = \vec 0$, on a $\mc M_0 v = \C^{n}$. -Notons $K$ le noyau commun à toutes les matrices de $\mc M_0$. Si $K = \vect E_1$, alors par récurrence, on conclut. +On note $\mc M_0'$ la projection de $\mc M_0$ sur $\M_{n-1}(\C)$. C'est une sous-algèbre. -Sinon, notons $w\in K$ non colinéaire à $\vec E_1$. Alors, dans $\mc M$, $M w$ est entièrement déterminé par $ME_1$. Donc il existe $A$ tel que $\forall M\in\mc M$, $Mw = AM E_1$. +Notons $K$ le noyau commun à toutes les matrices de $\mc M_0$. Si $K = \vect E_1$, alors $\mc M_0' = \M_{n-1}(\C)$. Alors, on peut conclure, laborieusement (la dimension est $\gt n^2 - n$, donc on intersecte chaque colonne). + +Sinon, notons $w\in K$ non colinéaire à $E_1$. Alors, dans $\mc M$, $M w$ est entièrement déterminé par $ME_1$. Donc il existe $A$ tel que $\forall M\in\mc M$, $Mw = AM E_1$. On a alors, pour tout $N\in\mc M$, $NM w = ANM E_1 = N AM E_1$, donc $A$ commute avec tous les $N$. Si $A$ est une homothétie, on obtient une contradiction avec $Mw = AM E_1$. Sinon, $A$ admet un espace stable, qui est stable par toutes les matrices de $\mc M$. #+END_proof -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 34] :todo: +# ID:7925 +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 34] Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ telles que $A^2+B^2=AB$ et $AB-BA\in{\rm GL}_n({\R})$. Montrer que $n$ est divisible par $3$. #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -588,9 +591,11 @@ Si $\la$ est valeur propre de $B$, alors $A^2 X + \la^2 X = \la AX$, donc $\vect En prenant la transposée, on a de même que si $\la$ est valeur propre de $A$, $\la e^{\pm \frac{i\pi}{3}}$ est valeur propre de $B$. Donc si $\la$ valeur propre de $A/B$ les $e^{\pm 2i\frac{\pi}{3}}\la$ le sont aussi. -On a $(A-B)^2 = - BA$, et $A^3 + B^2 À = ABÀ \ssi A^3 = (A-B) BÀ = - (A-B)^3$. Les matrices $A$ et $U = B-A$ vérifient $A^3 = U^3$. En particulier, si $\la$ est une valeur propre de $A^3$, l'espace caractéristique $F_{\la}$ associé est stable par $A$ et $U$, donc par $A$ et $B$. Sur cet espace, $A$ a comme valeurs propres des racines $3$-èmes de $\la$, idem pour $U-A$. D'après ce qui précède, les seuls valeurs propres de $B$ possibles sur cet espaces sont les $e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$ fois celles de $A$. De plus, $A$ et $B$ ont chacun le même nombre de racines complexes conjuguées. +On a $(A-B)^2 = - BA$, et $A^3 + B^2 A = ABA \ssi A^3 = (A-B) BA = - (A-B)^3$. Les matrices $A$ et $U = B-A$ vérifient $A^3 = U^3$. On a de même, $(B^T)^3 = (A^T-B^T)^3$, donc $B^3 = - A^3$. -ragnagna, ça marche pas. +Pour $3$. On se place sur un espace propre de $A^3$, stable par $A,B$, sur lequel $A,B$ sont diagonalisables. Si un espace propre de $B$, $E_B$ est de dimension maximale, alors, $E_B + AE_B$ est stable par $A$ (comme somme d'espaces stables par $A$) et $E_B$ et $AE_B$ sont en somme directe : si $X\in E_B$ et $A^{-1} X \in E_U$, alors on trouve deuxs vecteurs propres de $A$ dans $E_B$, contradiction. + +On trouve alors que les dims de $E_{\la e^{\pm i\pi/3}}(A)$ sont grandes. Autrement dit, si $\la$ est valeur propre de $B$ de dimension $m$, les dimensions de celles de $A$ sont au moins égales. On en déduit que toutes les dims sont égales, donc sur l'espace propre de $A^3$, la dimension est multiple de trois. On peut conclure par récurrence. #+END_proof @@ -719,7 +724,7 @@ Soit $A,B$ dans $\M_n(\C)$. #+BEGIN_proof - - Quand on développe $(AB-BA)^k$, dans la trace, chaque produit a autant de $A$ que de $B$. En utilisant la propriété $A^2 B = ABA$ (et la trace), on a la même trace que n'importe quel produit alterné. - - On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BA (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule. + - On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BÀ (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule. #+END_proof @@ -762,6 +767,10 @@ Combien y-a-t-il de classes de similitude de $\M_{3n}(\R)$ constituées de matri #+end_exercice #+BEGIN_proof C'est du Jordan. + +On doit avoir $\dim \Ker M\geq n$, $\dim \Ker M^2 \geq 2n$, et $3n - \dim \Ker M^2 \leq \dim \Ker M^2 - \dim \Ker M$, c'est-à-dire $2 \dim \Ker M^2 \geq 3n + \dim \Ker M$. + +Choisissons $\Im M^2 \subset \Ker M$, on élargit $\Im M^2$ en $\Im M$. #+END_proof @@ -838,7 +847,7 @@ Soient $n\in\N$ et $w$ une fonction continue positive non identiquement nulle de # ID:7739 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 56] -Soient $e_1,\ldots,e_n$ des vecteurs d'un espace euclidien $E$ tels que $\langle e_i,e_j\rangle\leq 0$ pour tous $i,j$ distincts dans $\db{1,n}$. Montrer que $(e_1,\ldots,e_n)$ est libre si et seulement s'il existe une forme lineaire $f$ sur $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\;f(e_i)\gt 0$. +Soient $e_1,\ldots,e_n$ des vecteurs d'un espace euclidien $E$ tels que $\langle e_i,e_j\rangle\leq 0$ pour tous $i,j$ distincts dans $\db{1,n}$. Montrer que $(e_1,\ldots,e_n)$ est libre si et seulement s'il existe une forme linéaire $f$ sur $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\;f(e_i)\gt 0$. #+end_exercice #+BEGIN_proof Si elle est libre, la base duale marche (prendre la somme des $e_i^*$). @@ -847,6 +856,7 @@ Si elle est liée, $\sum \la_i e_i = 0$, alors les $\la_i$ doivent tous avoir le #+END_proof +# ID:7919 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 57] Soient $n,m\geq 1$ des entiers. On note $\langle\;,\;\rangle$ le produit scalaire canonique sur $\R^n$. Montrer qu'il existe un espace préhilbertien $(E,\langle\;,\;\rangle_E)$ et une application $f\colon\R^n\ra E$ (non linéaire) tels que, pour tous $x,x'\in\R^n$, $\langle x,x'\rangle^m=\langle f(x),f(x')\rangle_E$. #+end_exercice @@ -854,9 +864,25 @@ Soient $n,m\geq 1$ des entiers. On note $\langle\;,\;\rangle$ le produit scalair Prendre $E = \vect_{x\in\R^n} e_x$, et $\langle e_x, e_y\rangle = \langle x,y\rangle^m$, c'est une forme bilinéaire. Il faut vérifier le caractère def pos, on est ramené à un nombre fini de $x,y$, et $$\lN \sum \la_x e_x\rN^2 = \sum \la_x^2 \lN x\rN^{2m} + \sum \la_x \la_y \langle x,y\rangle^{m}$$ -Autrement dit, si $A$ est pos (non def pos si les $x_i$ sont liés), la matrice dont les coefficients sont ses carrés est def pos. ?? +Autrement dit, si $A$ est pos (non def pos si les $x_i$ sont liés), la matrice dont les coefficients sont ses carrés est def pos. C'est un cas particulier du théorème du produit de Schur : si $A,B$ sont positive, $(a_{ij} b_{ij})$ est positive, on obtient $m\in\N$ par récurrence. #+END_proof +# ID:7918 +#+BEGIN_exercice Produit de Schur +Pour $A,B\in\M_n(\R)$, on note $A\star B$ la matrice $(a_{ij} b_{ij})_{i,j\leq n}$. Soient $A,B$ symétriques positives. + - sAV2 Montrer qu'il existe au plus $n$ vecteurs $v_1,\dots, v_p\in\R^n$ tels que $A\in \vect v_i v_i^T$. + - sAV2 On note $A\otimes B\in\M_{n^2}(\R)$ la matrice définie par blocs $A\otimes B = \begin{pmatrix}a_{11}B & \dots & a_{1n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} B & \dots & a_{nn}B \end{pmatrix}$. Montrer que $A\otimes B$ est symétrie positive. + - Montrer que $A\star B$ est symétrique positive. +#+END_exercice +#+BEGIN_proof + - Prendre les vecteurs propres non nuls. + - + - Ou bien, utiliser $A = \sum \la_i v_i v_i^T$, alors $A\star B= \sum \la_i (v_i v_i^T)\star B$, et $(v_i v_i^T)\star B = \diag(v_i) B \diag(v_i)$. + + Ou bien voir $A\star B$ comme une matrice extraite de la matrice de taille $n^2$ dont les coefficients d'indices $(i,j), (k,\l)$ les $a_{ij}b_{k\l}$. (Mettre, par blocs, $a_{11}B, a_{12}B,\dots$). Celle-ci est clairement symétrique positive, et on extrait les coefficients où $i=k$ et $j=\l$, donc on reste positive. +#+END_proof + + # ID:7789 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 58] @@ -983,7 +1009,7 @@ On munit $\M_n(\R)$ du produit scalaire défini par $\left\langle A,B\right\rang Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\colon\inf\limits_{\|G\|=1}\|AG-GB\|=\min\limits_{(\lambda_1,\lambda_2)\in\text {Sp}(A)\times\text{Sp}(B)}|\lambda_1-\lambda_2|$. #+end_exercice #+BEGIN_proof -Si on prend $G = X_A X_{B^T}^T$, on a $AG = GA = (\la_1 - \la_2) G$, donc $\inf \leq \min$. +Si on prend $G = X_À X_{B^T}^T$, on a $AG = GÀ = (\la_1 - \la_2) G$, donc $\inf \leq \min$. Réciproquement, l'inf est atteint, en un point où on a $H\mapsto \langle AG - GB, AH - HB\rangle$, donc le gradient est $(A^2G - AGB) - (AGB - GB^2) = A^2 G - 2AGB + GB^2$, qui doit être colinéaire à $G$. !! @@ -1014,7 +1040,7 @@ Soient $p\geq 1$ et $A,B\in\mc{S}_p^{++}(\R)$. Montrer que $\sum_{m=1}^n\left\langle u_m,B_m^{-1}u_m\right\rangle \leq\sum_{i=1}^p\ln\left(1+\frac{\lambda_i}{\lambda}\right)$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - - Écrire $A = PP^T$ et $B = PD P^T$, on trouve que la trace vaut $\sum 1 - d_i$, avec $\prod d_i = \det B/\det A$. + - Écrire $À = PP^T$ et $B = PD P^T$, on trouve que la trace vaut $\sum 1 - d_i$, avec $\prod d_i = \det B/\det A$. - Trivial. - Si $n=1$, $A_m$ a une unique valeur propre non nulle, qui vaut $\lN u_1\rN^2$, et $\ln (1 + \frac{\la_i}{\la}) = \ln \frac{\la + \la_i}{\la} = \ln \frac{\det (B_1)}{\det \la I_n}\geq \op{Tr}\big(I_p - \la B^{-1}\big)$ @@ -1028,7 +1054,7 @@ Soient $p\geq 1$ et $A,B\in\mc{S}_p^{++}(\R)$. Si $G$ est un groupe, on note $Z(G)$ son centre. On pose $U_n(\C)=\left\{A\in\M_n(\C)\,,\,A^*A=I_n\right\}$ ou $A^*=\overline{A}^T$, l'ensemble des matrices unitaires. - Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$ et que $\mc{U}_n(\C)$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$. - Soit $A\in\M_n(\C)$ hermitienne, c'est-a-dire telle que $A^*=A$. Démontrer qu'il existe $P\in\mc{U}_n(\C)$ telle que $P^*AP$ soit diagonale. - - Démontrer que toute matrice $M\in\M_n(\C)$ s'écrit comme combinaison lineaire d'au plus quatre matrices unitaires. + - Démontrer que toute matrice $M\in\M_n(\C)$ s'écrit comme combinaison linéaire d'au plus quatre matrices unitaires. - Déterminer $Z\left(\mc{U}_n(\C)\right)$. #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -1172,7 +1198,7 @@ Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Soit $f\colon E\ra F$ telle q #+END_proof -# ID:nil : See 4272 +# ID:nil : Sée 4272 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 82] - Soit $X\subset\R^n$ un fermé non vide. Soit $f:X\ra X$. On suppose qu'il existe $\theta\in[0,1[$ tel que $\forall x,y\in X$, $\|f(x)-f(y)\|\leq\theta\|x-y\|$. Montrer que $f$ possède un unique point fixe $c$ et que, pour tout $x\in X$, $f^m(x)\underset{m\ra+\i}{\longrightarrow}c$. - Soit $X\subset\R^n$ un compact non vide. Soit $f\colon X\ra X$. On suppose que $\forall x,y\in X$, $x\neq y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|$. @@ -1242,7 +1268,7 @@ Sur $\C$, $M$ a des valeurs propres $\lt 1$, sauf $1$, de multiplicité $1$. et $f_v$ est la coordonnée de $v$ dans $E_1$, parallèlement aux autres espaces caractéristiques. Par ailleurs, $E_1 = \vect e_1$. -La projection sur $E_1$ est simplement $P(M)B(M)$, où $P$ est l'autre facteur de $\chi_m$, et $B$ est un couple de Bézout $A (X-1) + BP = 1$. La partie $P(M)$ est continue. L'application $P\mapsto B$ est aussi continue, puisque $B$ est en fait une constante, égale à $P(1)^{-1}$. +La projection sur $E_1$ est simplement $P(M)B(M)$, où $P$ est l'autre facteur de $\chi_m$, et $B$ est un couple de Bézout $À (X-1) + BP = 1$. La partie $P(M)$ est continue. L'application $P\mapsto B$ est aussi continue, puisque $B$ est en fait une constante, égale à $P(1)^{-1}$. #+END_proof @@ -1283,13 +1309,13 @@ Montrer que $F^{|I}$ est $1$-lipschitzienne pour $\left\|\ \right\|_{\i}$. # ID:7749 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 88] On munit l'espace $\ell^{\i}$ des suites réelles bornées de la norme $\|\ \|_{\i}$. - - Soit $(a_n)$ une suite réelle sommable. Montrer que l'application $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx_n$ définit une forme lineaire continue sur l'espace $\ell^{\i}$. + - Soit $(a_n)$ une suite réelle sommable. Montrer que l'application $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx_n$ définit une forme linéaire continue sur l'espace $\ell^{\i}$. - On suppose l'existence d'une partie $F\subset\mc{P}(\N)$ telle que : (i) pour tous $A,B\in F$, $A\cap B\in F$, (ii) pour $A\in F$, $F$ contient toute partie $B$ de $\N$ qui contient $A$, (iii) $F$ ne contient que des ensembles infinis, (iv) si $A\in\mc{P}(\N)$, alors $A\in F$ ou $\N\setminus A\in F$. - Soit $x\in\ell^{\i}$. Montrer qu'il existe un unique réel $x^{\i}$ tel que $\forall\eps\gt 0$, $\exists A\in F$, $\forall n\in A$, $|x_n-x^{\i}|\leq\eps$. - - En déduire l'existence d'une forme lineaire continue sur $\ell^{\i}$ qui n'est pas de la forme donnée en question -. - - On note $c_0$ le sous-espace de $\ell^{\i}$ des suites réelles de limite nulle. Montrer que toute forme lineaire continue sur $c_0$ est de la forme donnée en question -. + - En déduire l'existence d'une forme linéaire continue sur $\ell^{\i}$ qui n'est pas de la forme donnée en question -. + - On note $c_0$ le sous-espace de $\ell^{\i}$ des suites réelles de limite nulle. Montrer que toute forme linéaire continue sur $c_0$ est de la forme donnée en question -. #+end_exercice #+BEGIN_proof - $|f(x)|\leq \sum |a_n| \lN x \rN_{\i}$ @@ -1399,8 +1425,8 @@ Soient $n\geq 2$ et $I_n(\R)=\{A\in\M_n(\R)\,;\,\exists\lambda\in \op{Sp}(A),\,\ #+end_exercice #+BEGIN_proof - - - La condition donne que $A$ n'a qu'une seule valeur propre non nulle et $(A-\la)A = O_n$, ou alors que $A^2 = O_n$ ($A$ a une seule valeur propre). - - Pour $I_n$ on peut passer par $O_n$. Sinon, on est ramené au cas diagonale, via la connexité de $GL_n$. Le problème est le rang. Les fonctions vérifient $\tr A = \la \rg A$ et $\tr A^2 = \la^2 \rg A$. Sion ne passe pas $\la = 0$, le rang est donc continue, mais la seule matrice pour $A^2 = O_n$ soit n'existe pas, soit si $n$ est pair a un rang $\frac{n}{2}$, donc ne peut pas être approché par des matrices de rang petit. Pour $n=2$ cependant, ça marche. + - La condition donne que $A$ n'a qu'une seule valeur propre non nulle et $(A-\la)À = O_n$, ou alors que $A^2 = O_n$ ($A$ a une seule valeur propre). + - Pour $I_n$ on peut passer par $O_n$. Sinon, on est ramené au cas diagonale, via la connexité de $GL_n$. Le problème est le rang. Les fonctions vérifient $\tr À = \la \rg A$ et $\tr A^2 = \la^2 \rg A$. Sion ne passe pas $\la = 0$, le rang est donc continue, mais la seule matrice pour $A^2 = O_n$ soit n'existe pas, soit si $n$ est pair a un rang $\frac{n}{2}$, donc ne peut pas être approché par des matrices de rang petit. Pour $n=2$ cependant, ça marche. #+END_proof @@ -1414,7 +1440,7 @@ Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$. #+BEGIN_proof - Prendre $\sup_{g\in G} \lN gx\rN$ - Prendre un élément de $K$ de norme minimale. - - On veut une matrice symétrique $A$ def pos telle que $g A g^T = A$. $G$ agit sur $\M_n(\R)$. Prendre l'enveloppe convexe de l'orbite de $I_n$. + - On veut une matrice symétrique $A$ def pos telle que $g À g^T = A$. $G$ agit sur $\M_n(\R)$. Prendre l'enveloppe convexe de l'orbite de $I_n$. #+END_proof @@ -1450,7 +1476,7 @@ Elle converge vers sa borne inférieure. # ID:7805 -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 99] :todo: +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 99] Soit $(z_n)_{n\geq 0}$ une suite complexe telle que $\forall n\in\N,z_{n+1}=z_ne^{-i\op{Im}(z_n)}$. Pour quelles valeurs de $z_0$ cette suite est-elle convergente? #+end_exercice #+BEGIN_proof @@ -1462,17 +1488,24 @@ Si $r\gt 2$, cela ne converge vers $0$ que si elle est stationnaire en $0$. #+END_proof +# ID:7822 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 100] Trouver un équivalent de $S_n=\sum\limits_{k=1}^{+\i}\dfrac{k^n}{2^k}$ quand $n\ra+\i$. #+end_exercice #+BEGIN_proof -C'est maximum quand $t = \frac{n}{\ln 2}$. Essayer de comparer à l'intégrale. +C'est maximum quand $t = \frac{n}{\ln 2}$. Essayer de comparer à l'intégrale. Dans l'intégrale, on pose $u = \frac{t}{n}$, puis on a $\int e^{n f(u)}$, où $f$ admet un maximum en $1$, on factorise le maximum, pour que $\max f = 0$, puis on est ramené à une situation classique. + +La comparaison $\sum/\int$ est justifiée, car, au pire des cas, on est monotone d'un côté et de l'autre, du point où $f' = 0$, et comme les termes individuels sont négligeables, ça passe. #+END_proof +# ID:7823 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 101] On fixe un entiers $n\geq 2$ et $(t_i)_{i\in\Z/n\Z}$ une famille d'éléments de $]0,1[$. Soit pour $i\in\Z/n\Z$, $(x_k^i)_{k\geq 0}$ une suite réelle. On suppose que, pour tout $i\in\Z/n\Z$ et tout $k\in\N$, $x_{k+1}^i=(1-t_i)x_k^i+t_ix_k^{i+1}$. Montrer que les $n$ suites $(x_k^i)_{k\geq 0}$ pour $i\in\Z/n\Z$ convergent vers une même limite. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Le maximum des suites est strictement décroissant, etc. +#+END_proof # ID:nil @@ -1484,6 +1517,9 @@ Soient $m\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_m\in\mathbb{U}$ distincts et $a_1,\ldots,a_m\in #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 103] :todo: Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ bornée telle que $\forall h\in\N^*$, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_ka_{k+h} \underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Montrer que $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\underset{n\ra+\i}{ \longrightarrow}0$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +!! +#+END_proof # ID:7657 @@ -1508,6 +1544,7 @@ On a $\sum_{n=0} \ln \left( 1 + \frac{1}{a^{2^n}}\right) = \ln \prod \left(1 + #+END_proof +# ID:7824 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 106] Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle positive. @@ -1515,14 +1552,27 @@ On note, pour $\alpha\geq 0$, $\mc{R}_{\alpha}=\left\{(u_n)_{n\in\N}\in[0,1]^{\N Soit $(b_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle positive sommable. Pour tout $\alpha\gt 0$, construire une suite $(v_n)_{n\in\N}\in\mc{R}_{\alpha}$ telle que $\sum_{n\in\N}v_nb_n=\max_{(u_n)\in\mc{R}_{\alpha}} \left\{\sum_{n\in\N}u_nb_n\right\}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Pourquoi cette quantité est bornée : plus petite que $\sum b_n$. On est manifestement ramené au cas où la suite est finie. Dans ce cas, on peut appliquer des extrema liés : en le point où le maximum est atteint, $u_n$ vaut $1$ là où $\frac{b_n}{a_n}$ est maximal. + +On rempli les $u_n$ pour lesquels $\frac{b_n}{a_n}$ est maximal en premier. En pratique, on regarde si $\sum_{n \mid \frac{b_n}{a_n}\gt \frac{b_{n_0}}{a_{n_0}}} a_n \lt \a$, et si oui, on met du poids sur $u_{n_0}$, en faisant attention, à ce que d'autre $n_i$ peuvent avoir le même quotient, on a qu'à les remplir simultanément. +#+END_proof #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 107] Soient $p\in]1,+\i[$ et $q\in\R$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$. - Soient $(a_n)_{n\geq 0}$ et $(b_n)_{n\geq 0}$ des suites d'éléments de $\R^+$ telles que $\sum{a_n}^p$ et $\sum{b_n}^q$ convergent. Montrer que $\sum a_nb_n$ converge. - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs telle que $\sum a_n$ converge et $\alpha\in\R^{+*}$. Pour $n\in\N$, soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\i}a_k$. Déterminer la nature de $\sum{\frac{a_n}{{R_n}^{\alpha}}}$. - - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite d'éléments de $\R^+$. On suppose que, pour toute suite $(b_n)_{n\geq 0}$ d'ellements de $\R^+$ telle que $\sum{b_n}^q$ converge, $\sum a_nb_n$ converge. Montrer que $\sum{a_n}^p$ converge. + - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite d'éléments de $\R^+$. On suppose que, pour toute suite $(b_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $\R^+$ telle que $\sum{b_n}^q$ converge, $\sum a_nb_n$ converge. Montrer que $\sum{a_n}^p$ converge. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $a_n b_n \leq \frac{a_n^p}{p} + \frac{b_n^q}{q}$ + - Intégrer $\frac{1}{t^{\a+1}}$ entre $R_n$ et $R_{n+1}$ : + $$\int_{R_{n+1}}^{R_n} \frac{1}{t^{\a + 1}}\leq \frac{a_n}{R_{n+1}^{\a}},$$ + donc $\sum \frac{a_n}{R_{n+1}^{a}}$ diverge, et $\frac{1}{R_{n+1}^\a} - \frac{1}{R_n^{\a}} = \frac{1}{R_{n}^{a}} \left(\frac{1}{\left(1 - \frac{a_n}{R_n}\right)} - 1\right)$ + !! Sée 1426 + - +#+END_proof # ID:nil @@ -1533,12 +1583,11 @@ On admet l'irrationalite de $\pi$. Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{(-1)^n}{n^{ #+end_exercice -# Relier à 85 # ID:7790 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 109] Soit $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de $\R_+^*$. - sAV2 Montrer que, pour $n\in\N^*$ et $c_1,\dots,c_n\gt 0$, on a $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\leq\frac{1}{n\sqrt[n]{c_1\dots c_n}}\sum_{i=1}^na_i c_i$. - - sA Montrer que, pour $n\in\N^*$, on a $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i$. + - sÀ Montrer que, pour $n\in\N^*$, on a $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i$. - Montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\lt e\sum_{n=1}^{+ \i}a_n$. - Montrer que la constante $e$ est optimale. #+end_exercice @@ -1551,96 +1600,146 @@ Soit $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de $\R_+^*$. #+END_proof +# ID:7825 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 110] Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$. On pose, pour $n\in\N$, $H_{0,n}=a_0+\cdots+a_n$ et, pour $\alpha\in\N^*$, $H_{\alpha,n}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nH_{\alpha-1,k}$. Si $(H_{\alpha,n})_{n\geq 0}$ converge, on dit que $(a_n)$ est $H_{\alpha}$-sommable. - Soit $\alpha\in\N$. Si $(a_n)_{n\geq 0}$ est $H_{\alpha}$-sommable, montrer qu'elle est $H_{\alpha+1}$ sommable. - - On suppose $(H_{0,n})_{n\geq 0}$ periodique. Montrer que $(a_n)_{n\geq 0}$ est $H_{\alpha}$-sommable pour tout $\alpha\in\N^*$. + - On suppose $(H_{0,n})_{n\geq 0}$ périodique. Montrer que $(a_n)_{n\geq 0}$ est $H_{\alpha}$-sommable pour tout $\alpha\in\N^*$. - Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs. On suppose que $\sum a_n$ diverge. Montrer que, pour tout $\alpha\in\N$, $(a_n)_{n\geq 0}$ n'est pas $H_{\alpha}$-sommable. - Soit $\alpha\in\N$. Si $(a_n)_{n\geq 0}$ est $H_{\alpha}$-sommable, montrer que $a_n=o(n^{\alpha})$. - Donner un exemple de suite $(a_n)_{n\geq 0}$ qui n'est pas $H_{\alpha}$-sommable mais qui est $H_{\alpha+1}$-sommable. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Trivial. + - Trivial. + - Si $\sum a_n$ diverge, tous les $H_{\a,n}$ tende vers l'infini. + - Si $H_{\a, n}$ converge, alors $H_{\a-1,n} = o(n)$, et alors $H_{\a-2, n} = o(n^2)$, etc. + - $n^{\a}$ +#+END_proof +# ID:nil # Classique… #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 111] - - Montrer que : $\cos(k\theta),\frac{\sin((k+1)\theta)}{\sin\theta},\frac{\cos((k+1/2)\theta)}{ \cos(\theta/2)}$ et $\frac{\sin((k+1/2)\theta)}{\sin(\theta/2)}$ - -sont des polynômes en $\cos\theta$. + - Montrer que : $\cos(k\theta),\frac{\sin((k+1)\theta)}{\sin\theta},\frac{\cos((k+1/2)\theta)}{ \cos(\theta/2)}$ et $\frac{\sin((k+1/2)\theta)}{\sin(\theta/2)}$ sont des polynômes en $\cos\theta$. - Soient $a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n$ des réels. On suppose que : $\forall\theta\in\R,\,g(\theta)=a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(k\theta) +b_k\sin(k\theta))\geq 0$. Montrer qu'il existe un polynôme complexe $P$ tel que : $\forall\theta\in\R,\,g(\theta)=|P(e^{i\theta})|^2$. #+end_exercice - +# Classique… #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 112] - Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\forall n,p,u_{n+p}\leq u_n+u_p+C$, ou $C$ est une constante réelle. Montrer que $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ converge ou tend vers $-\i$. - Soit $f\in\mc C(\R,\R)$ continue et croissante, telle que $\forall x\in\R,\,f(x+1)=f(x)+1$. On note $f^n$ la composée iterée de $f$ ( $n$ fois). -Montrer que, pour tout $x\in\R$, $\left(\frac{f^n(x)-x}{n}\right)_{n\geq 1}$ converge vers une limite qui ne depend pas de $x$. + Montrer que, pour tout $x\in\R$, $\left(\frac{f^n(x)-x}{n}\right)_{n\geq 1}$ converge vers une limite qui ne depend pas de $x$. #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 113] -Soient $(a_1,\ldots,a_n)$ et $(b_1,\ldots,b_n)$ dans $(\R^{+*})^n$. +#+begin_exercice Inégalité de Muirhead [ENS MP 2024 # 113] +Soient $(a_1\geq \dots \geq a_n)$ et $(b_1\geq \dots \geq b_n)$ dans $(\R^{+*})^n$. On note $a\geq b$ si : $\forall k\in\db{1,n-1}$, $\sum_{i=1}^ka_i\geq\sum_{i=1}^kb_i$ et $\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^nb_i$. Montrer que $a\geq b$ si -et seulement si, pour tout $(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^{+*})^n$, $\sum_{i=1}^nx_i^{a_{\sigma(i)}}\geq\sum_{\sigma\in\mc{S}_n} \prod_{i=1}^nx_i^{b_{\sigma(i)}}$. +et seulement si, pour tout $(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^{+*})^n$, $\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}\prod_{i=1}^nx_i^{a_{\sigma(i)}}\geq\sum_{\sigma\in\mc{S}_n} \prod_{i=1}^nx_i^{b_{\sigma(i)}}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Réciproque : Si on prend les $x_i$ égaux, on obtient $\sum a_i = \sum b_i$ selon $x_i\gt \or \lt 1$. + +Si on prend $x_1$, et les autres valant $1$, on obtient $\sum_{\sigma} x_1^{a_{\sigma_1}}\geq \dots$,donc $\sum x^{a_i}\geq \sum x^{b_i}$. Quand $x\ra +\i$, on obtient que $a_1\geq b_1$. De même, $\sum x^{a_i + a_j}\geq \sum x^{b_i + b_j}$, donc $a_1 + a_2 \geq b_1 + b_2$. + +Sens direct : on peut supposer que $\sum x_i = 1$, par homogénéité. En un extremum, toutes les dérivées partielles doivent être égales. Par rapport à $x_1$, on a $\frac{1}{x_1}\sum a_{\sigma(1)}\dots$ !! +#+END_proof +# ID:7826 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 114] - - Soit $f:[0,2\pi]\ra\R$ une fonction continue. Montrer qu'il existe $x\in[0,2\pi]$ tel que $f(x)\geq\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)dt$. + - Soit $f\colon [0,2\pi]\ra\R$ une fonction continue. Montrer qu'il existe $x\in[0,2\pi]$ tel que $f(x)\geq\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)dt$. - Soient $z_1,\ldots,z_n\in\C$. -Montrer qu'il existe une partie $I$ de $\db{1,n}$ telle que $\left|\sum_{j\in I}z_j\right|\geq\dfrac{1}{\pi}\sum_{j=1}^n|z_j|$. + Montrer qu'il existe une partie $I$ de $\db{1,n}$ telle que $\left|\sum_{j\in I}z_j\right|\geq\dfrac{1}{\pi}\sum_{j=1}^n|z_j|$. #+end_exercice +# ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 115] -Soient $a\lt b$. Une dissection du segment $[a,b]$ est une suite finie $(t - {0\leq k\leq n}$ strictement croissante telle que $t_0=a$ et $t_n=b$. Pour $f:[a,b]\ra\R$, on définit la variation de $f$ sur $[a,b]$ par $V(f,[a,b])=\sup_{t\,\text{\tiny{\rm dissection}}\atop\text{\tiny{\rm def}}\,[a,b ]}\sum_{i=0}^{n-1}|f(t_{i+1})-f(t_i)|$. +Soient $a\lt b$. Une dissection du segment $[a,b]$ est une suite finie $(t_k)_{0\leq k\leq n}$ strictement croissante telle que $t_0=a$ et $t_n=b$. Pour $f:[a,b]\ra\R$, on définit la variation de $f$ sur $[a,b]$ par $V(f,[a,b])=\sup_{t\,\text{\tiny{\rm dissection}}\atop\text{\tiny{\rm def}}\,[a,b ]}\sum_{i=0}^{n-1}|f(t_{i+1})-f(t_i)|$. - Calculer $V(f,[a,b])$ dans le cas ou $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $[a,b]$. - Soit $f:[0,1]\ra\R$. Montrer que $V(f,[0,1])\lt +\i$ si et seulement s'il existe $g$ et $h$ croissantes telles que $f=g-h$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + +#+END_proof +# ID:7827 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 116] Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction dérivable. On pose $S_-=\{x\in\R,\ f'(x)\lt 0\}$. - L'ensemble $S_-$ peut-il être fini non vide? - On suppose que, pour tout $\eps\gt 0$, il existe une suite $(I_n)_{n\in\N}$ d'intervalles ouverts tels que $S_-\subset\bigcup_{n\in\N}I_n$ et $\sum_{n=0}^{+\i}\ell(I_n)\leq\eps$ (ou $\ell(I_n)$ designe la longueur de $I_n$). Montrer que $f$ est croissante (donc $S_-=\emptyset$). #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Non, $f'$ vérifie le TVI. + - Supposons $f(1)\lt f(0)$. On considère le min de $f$ sur $[0,1]$, puis son max. On suppose qu'ils sont atteints en $1$ et $0$. + + Alors, on peut considérer la plus grand fonction décroissante $g$, qui reste en dessous de $f$. Cette fonction vérifie $g'\neq 0 \Rightarrow g'(x) = f'(x)$, et elle est à variations bornées. +#+END_proof +# ID:7828 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 117] -Soient $E$ un espace vectoriel, $C\subset E$ un ensemble convexe non vide, $a\lt b$ deux réels, et $F$ l'ensemble des fonctions $f:C\ra[a,b]$ convexes. Soit $x,y\in C$ fixes. Déterminer $\sup_{f\in F}\left(f(y)-f(x)\right)$. Déterminer les cas ou la borne supérieure est atteinte. +Soient $E$ un espace vectoriel, $C\subset E$ un ensemble convexe non vide, $a\lt b$ deux réels, et $F$ l'ensemble des fonctions $f\colon C\ra[a,b]$ convexes. Soit $x,y\in C$ fixes. Déterminer $\sup_{f\in F}\left(f(y)-f(x)\right)$. Déterminer les cas ou la borne supérieure est atteinte. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +C'est majoré par $b-a$. Si $C = [c,d]$ est un segment, on prend une fonction constante égale à $a$ jusqu'à $x$, puis qui monte de manière affine. + +Dans le meilleurs cas : $\frac{|y-x|}{d-x}(b-a)$. (si $x\lt y$). + +En général, on fait la même chose, ce qui intervient est l'intersection de $[x,y)$ avec $C$. C'est simple de vérifier que ça majore et que l'on peut prendre une fonction convexe comme ça, en définissant $f$ constante dans les directions orthogonales. Euh, non, ça ne marche pas. Plutôt, en le point d'intersection, on a un hyperplan tangent, et on utilise cette direction. +#+END_proof + +# ID:7829 +#+BEGIN_exercice +Soit $C = [c,d]$ et $F$ l'ensemble des fonctions $f\colon C\ra [a,b]$ convexes. Soient $x\lt y\in C$ fixés. Déterminer $\sup_{f\in F}\left(f(y)-f(x)\right)$. +#+END_exercice + +# ID:7830 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 118] -Pour toute fonction $f\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$, on note $\mathrm{dom}(f)=\{x\in\R,\ f(x)\neq+\i\}$. Si $\mathrm{dom}(f)\neq\emptyset$, on définit $f^*\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$ par $f^*(y)=\sup_{x\in\R}\left\{xy-f(x)\right\},$ pour tout $y\in\R$. +Pour toute fonction $f\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$, on note $\mathrm{dom}(f)=\{x\in\R,\ f(x)\neq+\i\}$. Si $\mathrm{dom}(f)\neq\emptyset$, on définit $f^*\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$ par $f^*(y)=\sup_{x\in\R}\left\{xy-f(x)\right\}$, pour tout $y\in\R$. - Soit $f\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$ telle que $\mathrm{dom}(f)\neq\emptyset$. Montrer que $\mathrm{dom}(f^*)$ est un ensemble convexe et que $f^*$ est convexe sur $\mathrm{dom}(f^*)$. - Soit $g\colon\R\ra\R$ une fonction convexe dérivable. -On pose $E=\left\{(y,a)\in\R^2\,;\ \forall x\in\R,\ xy-a\leq g(x) \right\}$. + On pose $E=\left\{(y,a)\in\R^2\,;\ \forall x\in\R,\ xy-a\leq g(x) \right\}$. - Montrer que, pour tout $x\in\R$, $g(x)=\sup_{(y,a)\in E}\left(xy-a\right)$. - En déduire que $(g^*)^*=g$. - - Etendre au cas ou $g$ n'est pas dérivable. + - Étendre au cas ou $g$ n'est pas dérivable. #+end_exercice +# ID:7831 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 119] -Soient $I$ un intervalle réel contenant $0$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^1$. +Soient $I$ un intervalle réel contenant $0$ et $f\colon I\ra\R$ de classe $\mc C^1$. On suppose qu'il existe $A,C\gt 0$ telles que $\forall x\in I,\ |f'(x)|\leq C|f(x)|+A$. Montrer que $\forall x\in I,\ |f(x)|\leq|f(0)|e^{C|x|}+\dfrac{A}{C}\left(e^{C|x|}-1 \right)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On peut supposer $x\geq 0$. On a $|f(x)|e^{-Cx}$, dont la dérivée (là où $f$ est non nulle) est $e^{-Cx}\big(f'(x) - C |f(x)|\big)\leq À e^{C x}$. D'où le résultat. +#+END_proof -#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 120] +#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 120] :todo: Soit $f\colon\R^+\ra\R$ uniformément continue et dont une primitive est bornée. On suppose que, pour tout $x\gt 0$, $|f(x)|\leq\dfrac{2}{x^2}\int_0^x(x-y)\,|f(y)|dy$. Montrer que $f(x)\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Quelles généralisations peut-on étudier? #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Assume not, disons que $f(x_n)\geq 1$. D'après les hypothèses, $f$ est bornée. Comme $f(x)$ est une moyenne, on a toujours $|f(x)|\leq \sup_{[0,x]} |f(t)|$. + +Si on pose $g(x) = \frac{2}{x^2}\int_0^x(x-y)\,|f(y)|dy$, on a $g'(x) = -\frac{4}{x^4}\int_0^x(x-y)\,|f(y)|dy + \frac{2}{x^2}\int_0^x |f(y)|$. La décroissance de $g$ n'est pas claire. +#+END_proof #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 121] @@ -1746,7 +1845,7 @@ C'est homogène, on peut supposer que $x+y+z = 1$, et montrer que $1 + 9 xyz \ge #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 132] Soit $F\colon\R^2\ra\R,\ (t,x)\mapsto F(t,x)$ continue et decroissante par rapport à $x$. -Soient $u$ et $v$ appartenant à $\mc C^2(\R^+\times\R)$ 1-periodiques par rapport à $x$. +Soient $u$ et $v$ appartenant à $\mc C^2(\R^+\times\R)$ 1-périodiques par rapport à $x$. - On suppose que $\frac{\partial u}{\partial t}+F\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{ \partial^2u}{\partial x^2}\right)\leq 0\leq\frac{\partial v}{ \partial t}+F\left(\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial^2v}{\partial x ^2}\right)$. Démontrer que $\sup_{\R^+\times\R}(u-v)=\sup_{\{0\}\times\R}(u-v)$. @@ -1784,7 +1883,7 @@ Soit $f\colon\R\ra\R^+$ une fonction continue croissante telle que $f(x)\underse On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. - Montrer que $\op{GL}_n(\R)$ est ouvert. - Pour $A\in\M_n(\R)$, que vaut $d(A,\op{GL}_n(\R))$? - - On note $S=\M_n(\R)\setminus\op{GL}_n(\R)$. Montrer que, pour tout $A\in\op{GL}_n(\R)$, il existe $M_0\in S$ telle que $d(A,S)=\lN A - M_0\rN$. + - On note $S=\M_n(\R)\setminus\op{GL}_n(\R)$. Montrer que, pour tout $A\in\op{GL}_n(\R)$, il existe $M_0\in S$ telle que $d(A,S)=\lN À - M_0\rN$. - Rappeler le résultat sur les extrema sous contrainte. Que peut-on en déduire sur la matrice $M_0$ définie ci-dessus? #+end_exercice #+BEGIN_remarque @@ -1797,6 +1896,7 @@ On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. ** Géométrie +# ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 136] - Montrer que, si $n\geq 2$, le groupe des isométries vectorielles de $\R^2$ préservant les points dont les affixes sont les racines $n$-iemes de l'unite est un groupe d'ordre $2n$ que l'on note $\mc{D}_{2n}$. - Soient $p$ un nombre premier, $G$ un groupe fini d'ordre $2p$. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/2p\Z$ ou à $\mc{D}_{2p}$. @@ -1828,7 +1928,7 @@ On considére une pièce equilibrée et $\eps_n$ la valeur du $n$-ieme lancer qu # ID:nil #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 140] -Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X$ suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda\gt 0$, et $Y$ la loi geometrique de paramêtre $p\in]0,1]$. +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X$ suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda\gt 0$, et $Y$ la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1]$. - Montrer que $\mathbf{P}(X=Y)=\sum_{k=0}^{+\i}\mathbf{P}(X=k)\mathbf{P}(Y=k)$. On pose $A=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ 0&Y\end{pmatrix}$. - Calculer $\mathbf{E}(\op{rg}(A))$. - Calculer $\mathbf{P}(A\in\op{GL}_2(\R))$ puis $\mathbf{P}(A\in\op{GL}_2(\Z))$. @@ -1844,7 +1944,6 @@ On note $E=\db{1,n}$ et $\Delta$ la différence symétrique. Soit $p\in[0,1]$ et - On note $D(n)$ le cardinal maximal d'une partie ${\cal A}$ de ${\cal P}(E)$ telle que, pour toutes parties $A$ et $B$ distinctes de ${\cal A}$, $|A\Delta B|\geq n/3$. Calculer $D(n)$. #+end_exercice - # ID:7787 #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 142] Soient $(X_n)_{n\in\Z}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Si $N$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $X_{N+n}(\omega)=X_{N(\omega)+n}(\omega)$. @@ -1895,7 +1994,7 @@ On note ${\rm AA}=\{xy,\ (x,y)\in A^2\}$. Soient $\lambda\gt 0$ et $N_{\lambda}$ une variable de Poisson de paramètre $\lambda$. Pour $f\colon\N\ra\R$ bornée, on pose $Tf:n\in\N\mapsto\lambda f(n+1)-nf(n)$. - - Montrer que $Tf(N_{\lambda})$ est d'esperance finie, nulle. + - Montrer que $Tf(N_{\lambda})$ est d'espérance finie, nulle. - Pour $\mu$ et $\nu$ deux distributions de probabilités sur $\N$, et $X$ et $Y$ variables aléatoires à valeurs dans $\N$ de lois respectivement données par $\mu$ et $\nu$, on note $d(\mu,\nu)=d(X,Y)=\frac{1}{2}\sup_{\|g\|_{\i}\leq 1}{\bf E}(g(X)-g(Y))$. Montrer l'existence de $C_{\lambda}\gt 0$ tel que, pour toute variable aléatoire à valeurs dans $\N$, $d(N,N_{\lambda})\leq C_{\lambda}\sup_{\|f\|_{\i}\leq 1}{\bf E}(Tf(N))$. @@ -1904,10 +2003,10 @@ Pour $f\colon\N\ra\R$ bornée, on pose $Tf:n\in\N\mapsto\lambda f(n+1)-nf(n)$. #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 147] Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}$. L'entropie de $X$ est définie par ${\cal H}(X)=-\sum_{k=1}^np_i\ln(p_i)$ avec $p_i={\bf P}(X=x_i)$. - - Montrer que ${\cal H}(X)\geq 0$ avec egalite si et seulement si $X$ est constante. + - Montrer que ${\cal H}(X)\geq 0$ avec égalité si et seulement si $X$ est constante. - Soit $(p_i)_{1\leq i\leq n}$ une suite positive telle que $p_1+\cdots+p_n=1$ et $(q_i)$ une autre suite positive de somme $1$. - Montrer que $\sum_{i=1}^np_i\ln(p_i)\geq\sum_{i=1}^np_i\ln(q_i)$. Expliciter le cas d'égalité. - - Montrer que ${\cal H}(X)\leq\ln(n)$ avec egalite si et seulement si $X$ suit une loi uniforme. + - Montrer que ${\cal H}(X)\leq\ln(n)$ avec égalité si et seulement si $X$ suit une loi uniforme. - Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}^2$. @@ -1938,7 +2037,7 @@ Soient $\sigma\gt 0$, $n\geq 1$ un entier et $X_1,\ldots,X_n$ des variables alé #+begin_exercice [ENS MP 2024 # 151] -Soient $n\geq 1$, $a\gt 0$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discretes, indépendantes, d'esperance nulle, et à valeurs dans $[-a,a]$. +Soient $n\geq 1$, $a\gt 0$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discretes, indépendantes, d'espérance nulle, et à valeurs dans $[-a,a]$. - Montrer que, pour tout $1\leq i\leq n$ et $s\gt 0$, ${\bf E}\left[e^{sX_i}\right]\leq\exp\left(\frac{{\bf V}(X_i)}{a^2} \left(e^{as}-1-as\right)\right)$. - On note $\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{V}(X_i)$. Montrer que, pour tout $t\geq 0$, $$\mathbf{P}\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right|\geq t\right) \leq 2\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2\sigma^2+2at/3}\right).$$ @@ -2057,20 +2156,20 @@ Soit $f$ de classe $\mc C^2$ sur $[x_0,x_N]$. - Montrter qu'il existe une unique #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 162] Soit $E=\R^{\N}$. On définit $F\,\colon\,E\ra E$ par : $\forall u\in E,\;\forall n\in\N,\;(F(u))_n=u_{n+1}$. - - Montrter que $F$ est lineaire. Est-elle injective? Surjective? + - Montrter que $F$ est linéaire. Est-elle injective? Surjective? - Trouver $G\in\mc{L}(E)$ telle que $F\circ G=\mathrm{id}_E$. Que vaut $G\circ F$? Dans la suite de l'exercice, on pose $E=\R^{\Z}$ et on définit $F\,\colon\,E\ra E$ par : $\forall u\in E,\;\forall n\in\Z,\;(F(u))_n=u_{n+1}+u_{n-1}$. - - Montrter que $F$ est lineaire. Est-elle injective? + - Montrter que $F$ est linéaire. Est-elle injective? - Soit $\lambda\in\R$. Montrter qu'il existe une matrice $M_{\lambda}\in\M_2(\R)$ dependante de $\lambda$ telle que : $\forall u\in E$, $u\in\text{Ker}(F-\lambda\text{id})\Leftrightarrow\forall k\in\Z$, $\left(\begin{array}{c}u_k\\ u_{k+1}\end{array}\right)=M_{\lambda}^k\left(\begin{array}{c}u_0\\ u_1\end{array}\right)$. En déduire la dimension de $\text{Ker}(F-\lambda\text{id})$. - Montrter que si $|\lambda|\neq 2$ alors $M_{\lambda}$ est diagonalisable dans $\C$. Donner ses valeurs propres et une base de vecteurs propres. - - Si $|\lambda|\neq 2$, l'espace $\text{Ker}(F-\lambda\text{id})$ contient-il des suites periodiques non nulles? + - Si $|\lambda|\neq 2$, l'espace $\text{Ker}(F-\lambda\text{id})$ contient-il des suites périodiques non nulles? - Traiter le cas $|\lambda|=2$. #+end_exercice @@ -2151,7 +2250,7 @@ Soit $d\in{\N}^*$. On se place dans ${\cal M}_d({\R})$ muni du produit scalaire - Montrer que ${\mathbb{P}}_d({\R})$ est fermé. On admet le_theoreme de Birkhoff_ : La matrice $P$ appartient à ${\mathbb{B}}_d({\R})$ si et seulement s'il existe un entier naturel $m\leq{(d-1)}^2+1$, des matrices $P_1,\ldots,P_m$ dans ${\mathbb{P}}_d({\R})$ et des réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ positifs de somme $1$ tels que $P=\sum_{i=1}^m\lambda_iP_i$. - - Soit $\phi$ une forme lineaire sur ${\cal M}_d({\R})$. Montrer que $\phi$ admet un minimum sur ${\mathbb{B}}_d({\R})$, et que celui-ci est atteint sur ${\mathbb{P}}_d({\R})$. + - Soit $\phi$ une forme linéaire sur ${\cal M}_d({\R})$. Montrer que $\phi$ admet un minimum sur ${\mathbb{B}}_d({\R})$, et que celui-ci est atteint sur ${\mathbb{P}}_d({\R})$. - Soient $M\in{\cal M}_d({\R})$ et $P,Q\in{\cal O}_d({\R})$. Montrer que $\|QMP\|=\|M\|$. - Soient $A,B\in{\cal S}_d({\R})$ orthosemblables aux matrices diagonales $D_A$ et $D_B$. Montrer l'existence de $P\in{\cal O}_d({\R})$ telle que $\|A-B\|=\|D_AP-PD_B\|$. @@ -2176,7 +2275,7 @@ Montrer qu'une suite à valeurs dans $\ell^2({\C})$ est de Cauchy (au sens de $\ #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 171] Pour $n\in{\N}^*$, on pose $\omega_n=e^{2i\pi/n}$.On définit une application $\mc{F}$ sur $\M_{n,1}(\C)$ en posant, pour $v=\left(v_1\,\cdots\,v_n\right)^T$, $\mc{F}(v)=\left(\zeta_1\,\cdots\zeta_n\right)^T$ ou, pour $k\in\db{1,n}$, $\zeta_k=\sum_{j=1}^nv_j\omega_n^{(k-1)(j-1)}$. - - Montrter que $\mc{F}$ est lineaire et donner sa matrice $A$ dans la base canonique. + - Montrter que $\mc{F}$ est linéaire et donner sa matrice $A$ dans la base canonique. - Calculer $\overline{A}^TA$ et déterminer $\mc{F}^{-1}$. - Pour $v=\left(v_1\,\cdots\,v_n\right)^T\in\M_{n,1}(\C)$, on pose $\|v\|_2=\left(\sum_{k=1}^n\left|v_k\right|^2\right)^{1/2}$. @@ -2236,7 +2335,7 @@ _Ind._ Considérer l'application $t\mapsto f(t)-P(t)-(f(x)-P(x))\frac{(t+2/3)t(t Soit $f\in\mc C^0(\R^+,\R)$ carre intégrable. Pour $x\in\R^{+*}$, on pose $g(x)=\frac{1}{x}\int_0^xf(t)\dt$. - Montr per que $g$ est prolongeable en une fonction continue sur $\R^+$. - Montr per que $g^2$ est intégrable et que $\int_0^{+\i}g^2(t)\dt\leq 4\int_0^{+\i}f^2(t) \dt$ - - Rappeler l'inegalite de Cauchy-Schwarz et la condition nécessaire et suffisante d'egalite. Discuter de l'optimalite de la constante $4$. + - Rappeler l'inégalité de Cauchy-Schwarz et la condition nécessaire et suffisante d'égalité. Discuter de l'optimalite de la constante $4$. #+end_exercice @@ -2300,7 +2399,7 @@ Soit $(Z_k)_{k\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant - On définit $V=\min\{k\in\N\setminus\{0,1\},\ Z_{k-1}=Z_k=1\}\in\N\cup\{+ \i\}$. - Déterminer $\mathbf{P}(V=k)$ pour $k=1,2,3,4$. - Montrer que $\mathbf{P}(V\gt n)\leq\mathbf{P}(V\gt n-2)p(2-p)$. - - En déduire $\mathbf{P}(V=+\i)$. - Trouver une relation de récurrence lineaire vérifiée par la suite $(\mathbf{P}(V=k))$. - Montrer que $V$ est d'esperance finie et calculer $\mathbf{E}(V)$. + - En déduire $\mathbf{P}(V=+\i)$. - Trouver une relation de récurrence linéaire vérifiée par la suite $(\mathbf{P}(V=k))$. - Montrer que $V$ est d'espérance finie et calculer $\mathbf{E}(V)$. #+end_exercice @@ -2332,19 +2431,19 @@ $$\sum_{k=1}^m\mathbf{P}(Z=\alpha_k)\beta_k=0\text{ et }\sum_{k=1}^m \mathbf{P}( #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 184] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires réelles discretes telles que $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)=0$ et $\mathbf{V}(X)=\mathbf{V}(Y)=1$. On pose $\rho=\mathbf{E}(XY)$. - - Enoncer les inegalites de Markov et de Bienayme-Tchebychev. + - Enoncer les inégalités de Markov et de Bienayme-Tchebychev. - Montrer que $\forall t\in[-1,1]$, $\forall(x,y)\in\R^2$, $x^2+y^2-2txy\geq(1-t^2)\max(x^2,y^2)$. - Soit $\lambda\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|X|\geq\lambda$ ou $|Y|\geq\lambda)\leq\frac{2}{\lambda^2}$. - Montrer que $2(1-t\rho)\geq(1-t^2)\lambda^2\,\mathbf{P}(|X|\geq \lambda$ ou $|Y|\geq\lambda)$. - Montrer que $\mathbf{P}(|X|\geq\lambda$ ou $|Y|\geq\lambda)\leq\frac{1+\sqrt{1-\rho^2}}{\lambda^2}$. - - Montrer que l'inegalite de Bienayme-Tchebychev en est une consequence. + - Montrer que l'inégalité de Bienayme-Tchebychev en est une consequence. - Pour $(\alpha,\beta)\in(\R^+)^2$, donner une majoration de $\mathbf{P}(|X|\geq\alpha$ ou $|Y|\geq\beta)$. #+end_exercice #+begin_exercice [ENS PSI 2024 # 185] Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi de Rademacher. - - On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Déterminer la loi, l'esperance et la variance de $S_n$. + - On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Déterminer la loi, l'espérance et la variance de $S_n$. - Montrer que, pour tout $a\in\R$, on a $\mathbf{P}(S_n\geq na)\leq\frac{1}{na^2}$. - Montrer que, pour toute variable aléatoire à valeurs réelles $X$, pour tout $a\in\R$ et pour tout $s\in\R^{+*}\colon\mathbf{P}(X\geq a)\leq\frac{\mathbf{E}\left(e^ {sX}\right)}{e^{sa}}$. - Montrer que $\forall s\in\R^{+*}$, $\mathbf{P}(S_n\geq na)\leq\left(\frac{\mathrm{ch}(s)}{e^{sa}} \right)^n$. - Montrer que: $\forall s\in\R$, $\mathrm{ch}(s)\leq e^{s^2/2}$_._ @@ -2872,9 +2971,10 @@ Dans toute la suite, on suppose que $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$. ** Algèbre -#+begin_exercice [X MP 2024 # 265] :todo: +# ID:7884 +#+begin_exercice [X MP 2024 # 265] Pour toute partie finie non vide $X$ de $\R$ dont on note $x_1\lt x_2\lt \dots\lt x_n$ les éléments, on pose : -$$a^+(X)=\prod_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_i+1) \quad \et \quad a^-(X)=\prod_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_i-1).$$ L'objectif est d'etablir que : $\sum\substack_{B\subset A\\ B\neq\emptyset}a^-(B)=a^+(A)$ pour n'importe quelle partie finie non vide $A$ de $\R$. +$$a^+(X)=\prod_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_i+1) \quad \et \quad a^-(X)=\prod_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_i-1).$$ L'objectif est d'etablir que : $\sum\limits_{\substack{B\subset A\\ B\neq\emptyset}}a^-(B)=a^+(A)$ pour n'importe quelle partie finie non vide $A$ de $\R$. On se donne donc $A=\{a_1\dots,a_n\}$ une partie finie non vide de $\R$, avec $a_1\lt \dots\lt a_n$. - On suppose le résultat acquis. Trouver une expression de : $\alpha(A)=\sum\limits_{\substack{B\subset A\\ a_n\in B}}a^-(B)$. @@ -2882,19 +2982,30 @@ On se donne donc $A=\{a_1\dots,a_n\}$ une partie finie non vide de $\R$, avec $a - On suppose $A=\db{1,n}$. Calculer : $\sum\limits_{\substack{B\subset A\\ B\neq\emptyset\\ B\cap(B+1)=\emptyset}}a^-(B)$. #+end_exercice #+BEGIN_proof - - - - - - + - On trouve $a^+(A) - a^+(A\setminus \{a_n\}) = (a_n - a_{n-1}) a^+(A\setminus \{a_n\})$ + - Par récurrence sur le cardinal de $A$. + + On écrit + $$\begin{aligned}\sum_{B\subset A} & = \sum_{B\subset A, a_n \in B} + \sum_{B\subset A, a_n \not\in B} \\ + &= \sum_{B\subset A, a_n, a_{n-1} \in B} + \sum_{B\subset A, a_n \in B, a_{n-1}\not\in B} + a^+(A\setminus \{a_n\})\\ + & = (a_n - a_{n-1}-1) \sum_{B\subset A\setminus \{a_n\}, a_{n-1}\in B} + (a_n - a_{n-2}) a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}) + a^+(A\setminus \{a_n\})\\ + & = (a_n - a_{n-1}-1) (a_{n-1} - a_{n-2})a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}) + (a_n - a_{n-2}) a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}) + a^+(A\setminus \{a_n\})\end{aligned}$$ + + On obtient $a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}))$, en facteur de + $$(a_n - a_{n-1} - 1)(a_{n-1} - a_{n-2}) + (a_n - a_{n-2}) + (a_{n-1} -a_{n-2}+1)$$ + Cela fait bien $(a_n - a_{n-1} + 1)(a_{n-1} - a_{n-2} + 1)$. + - C'est la même somme, car les autres termes sont nuls. #+END_proof +# ID:nil #+begin_exercice [X MP 2024 # 266] - - Soit $n$ un entier supérieur à l et premier avec 10. Montrer que $n$ possède un multiple dont l'écriture en base 10 n'a que des 9. + - Soit $n\geq 1$, premier avec $10$. Montrer que $n$ possède un multiple dont l'écriture en base $10$ n'a que des $9$. - On remarque que $\frac{1}{7}=0,\underline{142857}\underline{142857}\ldots\underline{142857}\ldots$ avec $142+857=999$. - $\frac{285+714}{7}=0,\underline{285714}\underline{285714}\ldots\underline{285714}\ldots$ $076+923=999$ + $\frac{285+714}{7}=0,\underline{285714}\underline{285714}\ldots\underline{285714}\ldots$ $076+923=999$ - $\frac{1}{13}=0,\underline{076923}$ $\underline{076923}\ldots\underline{076923}\ldots$ + $\frac{1}{13}=0,\underline{076923}$ $\underline{076923}\ldots\underline{076923}\ldots$ Expliquer. #+end_exercice @@ -2904,7 +3015,7 @@ Expliquer. #+begin_exercice [X MP 2024 # 267] Pour $r$ un rationnel non nul s'écrivant $r=2^ka/b$ avec $k\in\Z$ et $a,b$ deux entiers impairs, on définit la valuation dyadique de $r$ par $v_2(r)=k$. -On admet que : $\forall x,y\in\Q^*$, $v_2(xy)=v_2(x)+v_2(y)$ et si $x+y\neq 0$, $v_2(x+y)\geq\min(v_2(x),v_2(y))$, avec egalite si $v_2(x)\neq v_2(y)$. +On admet que : $\forall x,y\in\Q^*$, $v_2(xy)=v_2(x)+v_2(y)$ et si $x+y\neq 0$, $v_2(x+y)\geq\min(v_2(x),v_2(y))$, avec égalité si $v_2(x)\neq v_2(y)$. On note enfin, pour tout $n\in\N^*$, $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$. - Montrer que pour tout $n\gt 1$, $H_n\notin\Z$. @@ -2923,46 +3034,63 @@ C'est simple : marche pour n'importe quel $m$, d'après le lemme Chinois. #+END_proof -# ID:nil # Cf année précédente +# ID:7885 #+begin_exercice [X MP 2024 # 269] Montrer que tout $n\in\Z$ s'écrit sous la forme $\sum_{k=0}^N\eps_k(-2)^k$ avec $N\geq 0$ et les $\eps_k$ dans $\{0,1\}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Par récurrence, puis si $4\mid n$ on est bon, si $n\equiv 1 [4]$, on met un $1$, si $n\equiv 2 [4]$, on met un $-2$, si $n\equiv 3[4]$, on met $-2 + 1$. +#+END_proof +# ID:7886 #+begin_exercice [X MP 2024 # 270] Soit $n\in\N^*$. On note $\mc{F}$ l'ensemble des entiers naturels qui ne sont pas divisibles par le carré d'un entier supérieur ou egal à $2$, et $q(n)=|\mc{F}\cap\db{1,n}|$. On note $\mc{E}(n,k)=\R^{+*}\cap\left\{\sum_{i=1}^k\sqrt{a_i}-\sum_{i= 1}^k\sqrt{b_i},\ (a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_k)\in\db{0,n}^{2k}\right\}$ et $\Delta(n,k)=\min\mc{E}(n,k)$. - On admet que $(\sqrt{n})_{n\in\mc{F}}$ est libre dans le $\Q$-espace vectoriel $\R$. - Montrer que $\Delta(n,k)\leq\frac{k(\sqrt{n}-1)}{\left(q(n)+k-1\right)-1}$. - - On démontre dans cette question le résultat admis dans la précédente. + Montrer que $\Delta(n,k)\leq\frac{k(\sqrt{n}-1)}{{q(n) + k - 1 \choose k}-1}$. + - E On démontre à présent le résultat admis précédemment. - Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\R$, et $x$ un élément de $\mathbb{K}\cap\R^{+*}$. Montrer que $\mathbb{K}[\sqrt{x}]=\mathbb{K}+\mathbb{K}\sqrt{x}$ est un sous-corps de $\R$, et que si $\sqrt{x}\not\in\mathbb{K}$ alors il existe un unique automorphisme $\sigma$ de l'anneau $\mathbb{K}[\sqrt{x}]$ différent de l'identite et fixant tous les éléments de $\mathbb{K}$. -Dans la suite, on fixe un entier $n\geq 1$ on suppose acquire, pour tout ensemble fini $A$ constitue de $n$ nombres premiers, la libert $\acute{\text{e}}$ de la famille des $\sqrt{m}$, ou $m$ parcourt l'ensemble des éléments de $\mc{F}$ ayant tous leurs diviseurs premiers dans $A$. Soit $A$ un ensemble forme de $n+1$ nombres premiers $p_1,\ldots,p_{n+1}$. - - On construit par récurrence une suite $(\mathbb{K}_0,\ldots,\mathbb{K}_n)$ de corps : $\mathbb{K}_0=\Q$ et $\mathbb{K}_i=\mathbb{K}_{i-1}[\sqrt{p_i}]$ pour tout $i\in\db{1,n}$. Montrer que $\mathbb{K}_n$ est de dimension $2^n$ comme $\mathbb{K}_0$-espace vectoriel, et en preciser une base. Montrer qu'il existe un automorphisme $\sigma$ du corps $\mathbb{K}_n$ qui fixe $\sqrt{p_1},\ldots,\sqrt{p_{n-1}}$ et envoie $\sqrt{p_n}$ sur $-\sqrt{p_n}$. Dans la suite, on raisonne par l'absurde en supposant que $\sqrt{p_{n+1}}\in\mathbb{K}_n$. + - E Dans la suite, on fixe un entier $n\geq 1$ on suppose acquise, pour tout ensemble fini $A$ constitue de $n$ nombres premiers, la libert $\acute{\text{e}}$ de la famille des $\sqrt{m}$, ou $m$ parcourt l'ensemble des éléments de $\mc{F}$ ayant tous leurs diviseurs premiers dans $A$. Soit $A$ un ensemble forme de $n+1$ nombres premiers $p_1,\ldots,p_{n+1}$. + - E On construit par récurrence une suite $(\mathbb{K}_0,\ldots,\mathbb{K}_n)$ de corps : $\mathbb{K}_0=\Q$ et $\mathbb{K}_i=\mathbb{K}_{i-1}[\sqrt{p_i}]$ pour tout $i\in\db{1,n}$. + - Montrer que $\mathbb{K}_n$ est de dimension $2^n$ comme $\mathbb{K}_0$-espace vectoriel, et en preciser une base. Montrer qu'il existe un automorphisme $\sigma$ du corps $\mathbb{K}_n$ qui fixe $\sqrt{p_1},\ldots,\sqrt{p_{n-1}}$ et envoie $\sqrt{p_n}$ sur $-\sqrt{p_n}$. Dans la suite, on raisonne par l'absurde en supposant que $\sqrt{p_{n+1}}\in\mathbb{K}_n$. - Montrer que $\sqrt{p_{n+1}}=\alpha+\beta\sqrt{p_n}$ pour un $\alpha\in\mathbb{K}_{n-1}$ et un $\beta\in\mathbb{K}_{n-1}$, puis montrer qu'en fait $\sqrt{p_{n+1}}=\beta\sqrt{p_n}$. - Montrer que $\sqrt{p_{n+1}}=\lambda\prod_{k=1}^n\sqrt{p_k}$ pour un $\lambda\in\Q$, et conclure à une contradiction. - Conclure. #+end_exercice #+BEGIN_proof - + - le dénominateur est le nombre de valeurs possibles de $\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i}$ (on choisit un $k$-uplet croissant). Le $\sqrt{n}-1$ car la valeur minimale prise est $k$ (tous égaux à $1$). Le $-1$ au numérateur, vient du raisonnement des tiroirs. #+END_proof -# ID:nil +# ID:7887 #+begin_exercice [X MP 2024 # 271] Soit $p$ un nombre premier congru à $3$ modulo $4$. On note $L$ l'ensemble des carres de $\mathbb{F}_p^*$. - Montrer que $|L|=\frac{p-1}{2}$. - Montrer que si $x\in L$, alors $-x\notin L$. - On fixe $x\in\mathbb{F}_p^*$ et l'on pose $A=\big{\{}(\ell_1,\ell_2)\in L^2\ ;\ x=\ell_1-\ell_2\big{\}}$. Calculer $\op{card}A$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - + - Le cardinal est le même pour $x$ que pour $-x$, et également pour $x$ et $c^2 x$. +#+END_proof + +# ID:7888 #+begin_exercice [X MP 2024 # 272] Soit $p$ un nombre premier impair. - Dénombrer les $(x,y)\in(\mathbb{F}_p)^2$ tels que $x^2+y^2=1$. - Soit $z\in\mathbb{F}_p\setminus\{0\}$. Dénombrer $\{\,(x,y)\in\mathbb{F}_p^2,\ x^2+y^2=z\}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Par paramétrisation. + - C'est la même quantité pour les carrés, puis la même pour les non carrés. +#+END_proof +# ID:6230 #+begin_exercice [X MP 2024 # 273] Soit $p$ un nombre premier impair. On pose $q=2p+1$ et l'on suppose $q$ premier. On considére l'équation : $(E):x^p+y^p+z^p=0$ d'inconnue $(x,y,z)\in\Z^3$. Soit $(x,y,z)\in\Z^3$ une solution de $(E)$ telle que $p$ ne divise aucun des entiers $x,y$ et $z$ et telle que $x,y,z$ soient premiers entre eux deux à deux. - Montrer que $q$ divise $x,y$ ou $z$. @@ -2984,35 +3112,40 @@ Soient $p$ un nombre premier congru à $1$ modulo $4$ et $S$ l'ensemble $S=\{x,y Montrer que $f$ définit une involution de $S$. En déduire que $p$ s'écrit $u^2+v^2$ avec $(u,v)\in\N^2$. #+end_exercice +# ID:7889 #+begin_exercice [X MP 2024 # 275] -Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*):x^2-dy^2=1$ d'inconnue $(x,y)\in\Z^2$. +Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*)\colon x^2-dy^2=1$ d'inconnue $(x,y)\in\Z^2$. - Traiter les cas $d\lt 0$ et $d=k^2$ avec $k\in\N$. - - Dans la suite, on suppose $d\gt 0$ et $\sqrt{d}\not\in\N$. Soit $(x_0,y_0)\in\N^2\setminus\{(\pm 1,0)\}$ solution de $(*)$. - -On pose $z=x_0+\sqrt{d}\,y_0$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe un unique $(x_n,y_n)\in\N^2$ tel que $z^{n+1}=x_n+\sqrt{d}\,y_n$. - En déduire que, si l'ensemble des solutions de $(*)$ est non trivial, i.e. n'est pas reduit à $\{(\pm 1,0)\}$, il en existe une infinite. + - E Dans la suite, on suppose $d\gt 0$ et $\sqrt{d}\not\in\N$. Soit $(x_0,y_0)\in\N^2\setminus\{(\pm 1,0)\}$ solution de $(*)$. + - On pose $z=x_0+\sqrt{d}\,y_0$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe un unique $(x_n,y_n)\in\N^2$ tel que $z^{n+1}=x_n+\sqrt{d}\,y_n$. + - En déduire que, si l'ensemble des solutions de $(*)$ est non trivial, i.e. n'est pas reduit à $\{(\pm 1,0)\}$, il en existe une infinité. - Soit $x\in\R$. Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $(p,q)\in\Z^2$ tel que $|p-qx|\lt \dfrac{1}{n}$. - - Montrer qu'il existe une infinite de couples $(p,q)\in\Z\times\N^*$ tels que $|p-qx|\lt \dfrac{1}{q}$. - - Montrer qu'il existe $K\in\R$ pour lequel il existe une infinite de couples d'entiers $(p,q)$ tels que $|p^2-dq^2|\lt K$. + - Montrer qu'il existe une infinité de couples $(p,q)\in\Z\times\N^*$ tels que $|p-qx|\lt \dfrac{1}{q}$. + - Montrer qu'il existe $K\in\R$ pour lequel il existe une infinité de couples d'entiers $(p,q)$ tels que $|p^2-dq^2|\lt K$. - Conclure que $(*)$ possède des solutions non triviales. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP 2024 # 276] +#+begin_exercice [X MP 2024 # 276] :todo: - Soit $\mathbb{F}$ un corps fini. On admet que le groupe multiplicatif $\mathbb{F}^{\times}$ est cyclique. -Soient $n\geq 1$ et $u\in\mathbb{F}$. On note $\widehat{\mathbb{F}^{\times}}$ l'ensemble des morphismes de $\mathbb{F}^{\times}$ dans $\C^*$ prolonges par 0 en 0. On note $N(X^n=u)$ le nombre de zeros du polynôme $X^n-u$ dans $\mathbb{F}$. On note $\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[n]$ l'ensemble des $\chi\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}$ tels que $\chi^n=1$. Montrer que $N(X^n=u)=1+\sum_{\chi\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[n],\chi\neq 1}\chi(u)$. + Soient $n\geq 1$ et $u\in\mathbb{F}$. On note $\widehat{\mathbb{F}^{\times}}$ l'ensemble des morphismes de $\mathbb{F}^{\times}$ dans $\C^*$ prolongés par $0$ en $0$. On note $N(X^n=u)$ le nombre de zéros du polynôme $X^n-u$ dans $\mathbb{F}$. On note $\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[n]$ l'ensemble des $\chi\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}$ tels que $\chi^n=1$. + + Montrer que $N(X^n=u)=1+\sum_{\chi\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[n],\chi\neq 1}\chi(u)$. - On suppose $\mathbb{F}=\Z/p\Z$ avec $p\equiv 1\pmod{3}$ et $p$ impair. -Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p+\sum_{\chi_1,\chi_2\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[3] \setminus\{1\}}J(\chi_1,\chi_2)=p-2+2\Re\mathfrak{e}\,J(\omega,\omega)$ si - - $\omega\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[3]\setminus\{1\}$, ou $J(\chi_1,\chi_2)=\sum_{a+b=1}\chi_1(a)\chi_2(b)$. + Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p+\sum_{\chi_1,\chi_2\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[3] \setminus\{1\}}J(\chi_1,\chi_2)=p-2+2\Re \big(J(\omega,\omega)\big)$ si $\omega\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[3]\setminus\{1\}$, où $J(\chi_1,\chi_2)=\sum_{a+b=1}\chi_1(a)\chi_2(b)$. - On admet que $|J(\omega,\omega)|=\sqrt{p}$ et $pJ(\omega,\omega)=g_{\omega}^3$ ou $g_{\omega}=\sum_{x\in\mathbb{F}}\omega(x)\zeta_p^x$ avec $\zeta_p=e^{\frac{2i\pi}{p}}$. Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p-2-a_p$ avec $a_p^2+27b_p^2=4p$ ou $b_p\in\Z$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Si $\a^n = u$, alors $\chi(\a)^n = \chi(u) = 1$, et il y a autant de $\chi$ que de racines $n$-ième de $1$. Si $u$ n'a pas de racine $n$-ième, idem, $\chi$ est défini par $\chi(\gamma)$ et $u$ s'écrit $u = \gamma^k$. + - On écrit $N(X^3 + Y^3 = 1)$ comme $\sum_{a,b \mid a+b = 1} N(X^3 = a) N(Y^3 = b)$. +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 277] +#+begin_exercice [X MP 2024 # 277] :todo: Pour $p$ premier impair, on note $\chi\colon\mathbb{F}_p\ra\{1,-1,0\}$ la fonction définie par $\chi(0)=0$, $\chi(x)=1$ pour tout élément $x$ de $\mathbb{F}_p^{\times}$ qui est un carre, et $\chi(x)=-1$ dans toute autre situation. Pour $x\in\mathbb{F}_p$, on note $e^{\frac{2i\pi x}{p}}$ la quantite $e^{\frac{2i\pi k}{p}}$, ou $k\in\Z$ est un representant quelconque de $x$. @@ -3023,16 +3156,22 @@ Pour $t\in\N$, on pose $g_p(t)=\sum_{x\in\mathbb{F}_p}\chi(tx)e^{\frac{2i\pi x}{ #+end_exercice +# ID:7891 #+begin_exercice [X MP 2024 # 278] Soit $G$ un groupe fini de cardinal $2n$ ou $n$ est impair. - Montrer que $G$ possède un élément d'ordre 2. - Montrer que $G$ possède un sous-groupe d'ordre $n$. -_Ind._ Considérer l'application $\Phi$ qui à $g\in G$ associe $\Phi(g):G\ra G$ telle que, pour tout $x\in G$, $\Phi(g)(x)=gx$. - - Trouver un contre-exemple si $n$ est pair. + Ind : Considérer l'application $\Phi$ qui à $g\in G$ associe $\Phi(g)\colon G\ra G$ telle que, pour tout $x\in G$, $\Phi(g)(x)=gx$. + - s Trouver un contre-exemple si $n$ est pair. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Sinon, pour tout $x$, $x\neq x^{-1}$. + - Considérer le noyau de $\eps \circ \Phi$. +#+END_proof +# ID:nil # Cf un précédent #+begin_exercice [X MP 2024 # 279] Soit $p$ un nombre premier. On dit qu'un groupe $G$ est un $p$-groupe si, pour tout $g\in G$, l'ordre de $g$ est une puissance de $p$. Si $k\in\N^*$, on dit que $G$ est $k$-divisible si, pour tout $g\in G$, il existe $x\in G$ tel que $x^k=g$. - Montrer qu'un $p$-groupe non trivial et $p$-divisible est infini. @@ -3041,20 +3180,42 @@ Soit $p$ un nombre premier. On dit qu'un groupe $G$ est un $p$-groupe si, pour t #+end_exercice +# ID:7894 #+begin_exercice [X MP 2024 # 280] Soit $G$ un groupe d'ordre $n\geq 1$. Pour $g_1$,..., $g_k\in G$, on note $E(g_1,\ldots,g_k)=\{g_{i_1}\cdots g_{i_s}\;;\;s\in\N,\;\;1 \leq i_1\lt \cdots\lt i_s\leq k\}$ (avec la convention que l'élément neutre est le produit vide donc appartient à cet ensemble). - Soient $g_1$,..., $g_k\in G$ tel que $G=E(g_1,\ldots,g_k)$. Montrer que $k\geq\lfloor\log_2(n)\rfloor$. - Soit $A\subset G$. Montrer que $\sum\nolimits_{x\in G}\lvert A\cap Ax\rvert=\lvert A\rvert^2$. - Montrer qu'il existe $g_1,\ldots,g_k\in G$ tels que $G=E(g_1,\ldots,g_k)$ avec $k\leq\lfloor\log_2(2n\ln n)\rfloor$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Trivial. + - Revient à $\exists x,\, |A \cap A_x|\leq \frac{|A|^2}{|G|}$. + - À chaque étape, on incrémente $|A|\ra 2|A| - \frac{|A|^2}{|G|}$, qui est une fonction croissante de $|A|$. + $u_0 = 1$, puis $u_{n+1} = 2u_n - \frac{u_n^2}{N}$, donne $N - u_{n+1} = N - u_n + \frac{u_n^2}{N} - u_n = N-u_n + \frac{u_n}{N} (u_n - N) = (N-u_n) \left(1 - \frac{u_n}{N}\right) = \frac{(N-u_n)^2}{N}$. + + On en déduit que $\frac{N-u_{n+1}}{N} = \left(\frac{N-u_n}{N}\right)^2$, + + donc $\frac{N-u_{n}}{N} = \left(1 - \frac{1}{N}\right)^{2^n}$. + + On veut $2^n \ln \left(1 - \frac{1}{N}\right)\leq \ln \frac{1}{N}$. + + Le $2$ du $2n\ln n$ revient à un $+1$. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 281] On note $\mc{S}(\C)$ le groupe des permutations de $\C$. Soit $G$ un sous-groupe cyclique de $\mc{S}(\C)$ d'ordre $2^n$, ou $n\geq 2$, contenant la conjugaison complexe. - Montrer que, pour tout $z\in\C\setminus\R$, il existe $\tau\in G$ tel que $\tau(z)\neq\pm z$. - - Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $2^{n-1}$. Montrer que $H$ contient au moins deux applications $\R$-lineaires. - - Montrer que $G$ contient exactement deux applications $\R$-lineaires. + - Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $2^{n-1}$. Montrer que $H$ contient au moins deux applications $\R$-linéaires. + - sA On regarde $\C$ comme $\R$-espace vectoriel. Est-il possible que $G$ ne soit composé que d'applications linéaires? + - sA Montrer que $G$ contient exactement deux applications $\R$-linéaires. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. Utiliser le caractère cyclique, pour $z\not\in i\R$, une puissance est égale à $\ol{z}$. + 2. C'est forcément $\langle g^2\rangle$. Les conditions de l'énoncé sont très souples, on peut construire plein d'exemple du moment qu'on choisit des orbites de tailles $2^n$ qui passent par $\ol{z}$. !! + 3. Non, car la conjugaison n'est pas un carré, d'après le déterminant. + 4. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 282] @@ -3063,6 +3224,20 @@ Soit $\mc{A}$ une $\C$-algèbre. On suppose que $\mc{A}$ est munie d'une norme $ - On suppose que $N(a)=2$. Montrer que $\forall n\in\N^*,\,\forall z\in\mathbb{U}_n,N(a-z)\geq 2$. Montrer ensuite que $N(a-1)=2$ puis $N(a-5)=2$. - Montrer que $\mc{A}$ est isomorphe à $\C$, i.e. $\dim\mc{A}=1$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Projection. + - Par définition, $N(a-z)\geq N(a)$. + + $N((a-1)(a+1)) = N(a^2 - 1)$. + + En général $N(\prod (a-\om^k)) \geq N(a-1) 2^{n-1}$ et $= N(a^n - 1)\leq 2^n +1$. Donc par limite, $N(a-1) = 2$. + + On obtient de même, pour tout $z\in\m U_n$, $N(a-z) = 2$, et par continuité, sur $\m U$, et par I.T., sur $\mc D$. + + On a obtenu aussi que $N(a^n - u) = 2^n$ !! + + - $N(a-5) = 2$ contredit l'I.T. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 283] @@ -3071,42 +3246,61 @@ Soit $\mc{A}$ une $\C$-algèbre. On suppose que $\mc{A}$ est munie d'une norme $ #+end_exercice +# ID:7895 #+begin_exercice [X MP 2024 # 284] -On appelle nombre de coefficients positifs du polynôme $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ de degre $n\geq 1$ le cardinal de l'ensemble $\{i\in\db{0,n},\;a_i\geq 0\}$. - - Soit $P\in\R[X]$ de degre $n\geq 2$. Montrer que $P^2$ à au moins trois coefficients positifs. - - Montrer que, pour tout entier $n\geq 2$, il existe $P\in\R[X]$ de degre $n$ tel que $P^2$ ait exactement trois coefficients positifs. +On appelle nombre de coefficients positifs du polynôme $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ de degré $n\geq 1$ le cardinal de l'ensemble $\{i\in\db{0,n},\;a_i\geq 0\}$. + - Soit $P\in\R[X]$ de degré $n\geq 2$. Montrer que $P^2$ à au moins trois coefficients positifs. + - Montrer que, pour tout entier $n\geq 2$, il existe $P\in\R[X]$ de degré $n$ tel que $P^2$ ait exactement trois coefficients positifs. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Les coefficients extrêmes sont positifs. On suppose $P$ unitaire. Si c'était les seuls, on obtient $a_{n-1}\lt 0$ en regardant $X^{2n-1}$, puis $a_{n-2}\lt 0$ en regardant $X^{2n-2}$, puis $a_{n-3}\lt 0$ en regardant $X^{2n-3}$ jusqu'à $a_0\lt 0$ en regardant $X^n$. Mais alors le coefficient en $X^{n-1}$ est $\gt 0$. + - On se débrouille pour que les seuls coefficients $\geq 0$ soient $X^{2n}$, $X^0$ et $X^n$ : prendre $a_{n-1}\lt 0$, $a_{n-2}$ assez négatif, puis $a_{n-3}$ assez négatif, etc, jusqu'à $a_0$, qu'on prend immense positif, et qui suffit à garantir que les autres coefficients sont $\lt 0$. +#+END_proof +# ID:7896 #+begin_exercice [X MP 2024 # 285] -Soient $n\in\N$, $P\in\Z[X]$ de degre majore par $n$, $\Delta$ le pgcd de $P(0),P(1),\ldots,P(n)$. Montrer que, pour tout $k\in\Z$, $\Delta$ divise $P(k)$. +Soient $n\in\N$, $P\in\Z[X]$ de degré majore par $n$, $\Delta$ le pgcd de $P(0),P(1),\ldots,P(n)$. Montrer que, pour tout $k\in\Z$, $\Delta$ divise $P(k)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Revient à montrer que les polynômes de Lagrange sont à valeurs entières, car ce sont des coefficients binomiaux. +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 286] -Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degre $n\geq 2$ dont on note $z_0,\ldots,z_{n-1}$ les racines. On note $t_1,\ldots,t_{n-1}$ les racines complexes de $P'$ et l'on suppose que : $\forall k\in\db{0,n-1},|z_k|\leq 1$. +#+begin_exercice [X MP 2024 # 286] :todo: +Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n\geq 2$ dont on note $z_0,\ldots,z_{n-1}$ les racines. On note $t_1,\ldots,t_{n-1}$ les racines complexes de $P'$ et l'on suppose que : $\forall k\in\db{0,n-1},|z_k|\leq 1$. - Montrer que : $\forall k\in\db{1,n-1},|t_k|\leq 1$. - - On suppose que $z_0$ est racine simple de $P$. Calculer $\dfrac{P''(z_0)}{P'(z_0)}$ deux facons : - -(i) en fonction de $z_0$ et des $t_k$ ; (ii) en fonction de $z_0$ et des $z_k$. + - On suppose que $z_0$ est racine simple de $P$. Calculer $\dfrac{P''(z_0)}{P'(z_0)}$ deux façons : + + en fonction de $z_0$ et des $t_k$ ; + + en fonction de $z_0$ et des $z_k$. - Soit $z\in\C\setminus\{-1\}$ tel que $|z|\leq 1$. Montrer que $\mathfrak{Re}\left(\dfrac{1}{1+z}\right)\geq\dfrac{1}{2}$. - On suppose que $z_0=1$ et que $z_0$ est racine simple. Montrer qu'il existe $k\in\db{1,n-1}$ tel que $|1-t_k|\leq 1$. - On suppose que $|z_0|=1$. Montrer qu'il existe $i\in\db{1,n-1}$ tel que $|z_0-t_i|\leq 1$. - Soient $Q\in\R[X]$ non constant et $\alpha\in\R^*$. On pose $P=Q^2+\alpha^2$. Montrer qu'il existe une racine $z$ de $P$ et une racine $t$ de $P'$ telles que $|z-t|\leq|z|$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Classique. + - D'une part c'est $\sum \frac{1}{z_0 - t_k}$, d'autre part, on part de $\frac{P'}{P} = \sum \frac{1}{X - z_k}$, on dérive en $\frac{P''}{P} - \frac{P'^2}{P^2}$ !! +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 287] +#+begin_exercice [X MP 2024 # 287] :todo: Pour $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\in\C[X]$, on pose $\lN P\rN = \left(\sum_{i=0}^n |a_i|^2\right)^{1/2}$. - - Montrer que $n\geq 2$, $a_0\gt 0$, et $\theta$ est racine simple de $P$. - - On pose $Q=X^nP(1/X)$ et $f:z\mapsto\frac{P(z)}{Q(z)}$. Montrer que si $\theta^{-1}$ est un pole de $f$ alors $a_0=1$ et $n$ est pair. - - Montrer qu'il existe un réel $r\gt 0$ et une suite $(b_n)_{n\in\N}$ d'entiers telle que, pour tout $z\in D_o(0,r)$, on ait $f$ définie en $z$ et $f(z)=\sum_{n=0}^{+\i}b_nz^n$. + - Montrer que pour tout $P\in\C[X]$ et $z\in\C$, $\lN (X-z)P\rN = \lN(1-\ol{z} X) P\rN$. + - On suppose $P$ unitaire, et on note $M_P$ le produit des modules des racines de $P$ de module $\geq 1$. Montrer que $M_P\leq \lN P\rN$. + - Montrer, pour $1\leq k\leq n-1$, que $|a_k|\leq {n-1\choose k} M_P + {n-1 \choose k-1}$. #+end_exercice +# ID:7897 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 288] - Soient $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_nX^n\in\C[X]$ de degré $n\geq 1$. On pose $r = \min \{|z|,\, z\in\C,\, P(z) = 0\}$, et on suppose $r\gt 0$. Si $a_k\neq 0$, montrer que $r^k\leq {~n~\choose k}\frac{|a_0|}{|a_k|}$. - - Soit $An = \{P\in\C[X]\mid \deg P = n,\, P(-1) = P(1) = 0\}$. Montrer que $\sup_{P\in A_n}\{\min \{|z|,\, P'(z) = 0\}\}\lt +\i$. + - Soit $A_n = \{P\in\C[X]\mid \deg P = n,\, P(-1) = P(1) = 0\}$. Montrer que $\sup_{P\in A_n}\{\min \{|z|,\, P'(z) = 0\}\}\lt +\i$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + - Clair. + - Il s'agit de montrer qu'au moins un des coefficients de $P'$ n'est pas minus par rapport à $a_1$. +#+END_proof + #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 289] Soient $\om,q\in\C^*$ tels que $\om^2$ n'est pas une puissance entière de $q$. On considère l'équation $(*)\colon \om f(z) g(qz) = \om^2 f(qz) g(z) + P(z)$, d'inconnues $(P,f,g)\in\C[X]^3$, avec $g,P$ unitaires. @@ -3115,6 +3309,7 @@ Soient $\om,q\in\C^*$ tels que $\om^2$ n'est pas une puissance entière de $q$. - On fixe $(P,f)$. Y a-t-il unicité de $g$ tel que $(P,f,g)$ vérifie $(*)$ ? #+END_exercice +# ID:7898 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 290] Soit $\theta\in\C$ un nombre algébrique. - Montrer que l'ensemble des polynômes annulateurs de $\theta$ est l'ensemble des multiples d'un certain polynôme $P\in\Q[X]$ unitaire, déterminé de manière unique. On écrit $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$, avec $a_n = 1$, et on suppose $P$ à coefficients entiers, $\theta$ irrationnel et $a_0\geq 0$. @@ -3122,25 +3317,43 @@ Soit $\theta\in\C$ un nombre algébrique. - On pose $Q = X^n P(1/X)$ et $f\colon z\mapsto \frac{P(z)}{Q(z)}$. Montrer que si $\theta^{-1}$ est un pôle de $f$, alors $a_0 = 1$ et $n$ est pair. - Montrer qu'il existe $r\gt 0$ et une suite $(b_n)$ d'entiers telle que pour tout $z\in D(0, r)$, on ait $f$ définie en $z$ et $f(z) = \sum_{n=0}^{+\i} b_n z^n$. #+END_exercice +#+BEGIN_proof + - + - + - + - +#+END_proof +# ID:7899 #+begin_exercice [X MP 2024 # 291] Soit $M\in\M_n(\R)$. - Si $M$ est inversible, combien de coefficients de $M$ faut-il modifier au minimum pour la rendre non-inversible? - Si $M$ n'est pas inversible, combien de coefficients de $M$ faut-il modifier au minimum pour la rendre inversible? #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Un coefficient suffit toujours (sur n'importe quelle ligne/colonne), car un des mineurs doit être non nul. + - $n$ suffit toujours : les $n$ diagonaux. +#+END_proof +# See 7791 #+begin_exercice [X MP 2024 # 292] Soient $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, et $a,b\in\mc{L}(V)$. Pour $u,v\in\mc{L}(V)$, on pose $[u,v]=uv-vu$. On suppose que $a$ est nilpotent et que $[a,[a,b]]=0$. Montrer que $[a,b]$ et $ab$ sont nilpotents. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BA (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule. + +Si $ab(x) = \la x$, $ba(x) = \la x - [a, b](x)$ !! +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 293] +#+begin_exercice [X MP 2024 # 293] :todo: Soit $V_0,\ldots,V_n$ des espaces vectoriels, $(v_0^+,\ldots,v_{n-1}^+)\in\mc{L}(V_0,V_1)\times\cdots\times \mc{L}(V_{n-1},V_n)$ et $(v_1^-,\ldots,v_n^-)\in\mc{L}(V_1,V_0)\times\cdots\times \mc{L}(V_n,V_{n-1})$. On suppose que $v_{i-1}^+\circ v_i^-=-v_{i+1}^-\circ v_i^+$ pour tout $i\in\db{1,n-1}$, et que $v_{n-1}^+\circ v_n^-=0$. Montrer que l'endomorphisme $v_1^-\circ v_0^+$ de $V_0$ est nilpotent. Déterminer l'indice de nilpotence maximal possible de $v_1^-\circ v_0^+$. #+end_exercice +# ID:nil # Classique #+begin_exercice [X MP 2024 # 294] Pour tout $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\R)$ la matrice de permutation associée et, pour tout $k$, $n_k(\sigma)$ le nombre de cycles de longueur $k$ dans la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints. - Soit $\sigma\in S_n$. Calculer, pour tout $k$, $\op{tr}(P_{\sigma}^k)$ en fonction des $n_r(\sigma)$. @@ -3148,14 +3361,21 @@ Pour tout $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\R)$ la matrice de per #+end_exercice +# ID:7900 #+begin_exercice [X MP 2024 # 295] Soient $V=\C^n$ et $T=(\C^*)^n$. Pour tout $v\in V$ et toute partie $H\subset V$, on note $H\cdot v=\{(h_1v_1,\ldots,h_nv_n),\ h\in H\}$. - Soit $v\in V$. Déterminer la nature topologique de $T\cdot v$. Preciser notamment son adherence. - Quels sont les sous-espaces $W\subset V$ tels que, pour tout $v\in T$, $W\cdot v=W$? - - Dénombrer les familles $(W - {i\in\db{0,n}}$ de sous-espaces vectoriels satisfaisant la condition de la question précédente et les inclusions strictes $W_0\subsetneq W_1\subsetneq\cdots\subsetneq W_n$. + - Dénombrer les familles $(W_i)_{i\in\db{0,n}}$ de sous-espaces vectoriels satisfaisant la condition de la question précédente et les inclusions strictes $W_0\subsetneq W_1\subsetneq\cdots\subsetneq W_n$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - L'adhérence est l'ensemble des $n$-uplets qui sont nuls là où $v$ est nulle. C'est un sous-espace vectoriel. + - Autrement dit, $v \cdot W = W$, pour tout $v\in T$. En particulier, stable par multiplication d'une coordonnée par $2$, donc si $W$ contient un vecteur avec une coordonnée non nulle en $e_i$, elle contient $e_i$. Donc $W$ est engendré par certains vecteurs de la base canonique. + - On trouve $n!$. +#+END_proof +# ID: nil # Manque la fin. #+begin_exercice [X MP 2024 # 296] Soient $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie non nulle et $\phi$ un morphisme de groupes de $\mathbb{U}$ dans $\op{GL}(V)$ tel que $\{0\}$ et $V$ soient les seuls sous-espaces vectoriels de $V$ stables par tous les $\phi(g)$ pour $g\in\mathbb{U}$. - Montrer que $\dim V=1$. @@ -3163,39 +3383,66 @@ Soient $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie non nulle et $\phi$ un mo #+end_exercice +# ID:7901 #+begin_exercice [X MP 2024 # 297] -Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\C)$. On dit que $(V,A,B)$ est une realisation de $M$ si :- $V$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension $d$, - - - $A=(a_1,\ldots,a_n)$ est une famille libre de formes lineaires sur $V$, - - - $B=(b_1,\ldots,b_n)$ est une famille libre de vecteurs de $V$, - - - pour tous $i,j$, $a_i(b_j)=m_{i,j}$. - -On dit que $d$ est la dimension de la realisation. +Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\C)$. On dit que $(V,A,B)$ est une realisation de $M$ si : + + $V$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension $d$, + + $A=(a_1,\ldots,a_n)$ est une famille libre de formes linéaires sur $V$, + + $B=(b_1,\ldots,b_n)$ est une famille libre de vecteurs de $V$, + + pour tous $i,j$, $a_i(b_j)=m_{i,j}$. +On dit que $d$ est la dimension de la réalisation. - Montrer que si $M$ est realisée par un espace de dimension $d$, elle l'est aussi par un espace de dimension $d'\gt d$. - Trouver une realisation de la matrice $M_0=\left(\begin{matrix}1&-1\\ -1&1\end{matrix}\right)$ - Trouver la dimension minimale d'une realisation de $M_0$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Trivial. + - Prendre comme vecteurs $\vvv{1}{-1}{0}$ et $\vvv{-1}{1}{2}$ dans $\R^3$. + - Il s'agit de montrer que $M_0$ n'est pas réalisable dans $\R^2$. Si c'était le cas, on aurait une bijection entre l'espace et $\R^2$ via la donnée des deux formes linéaires. +#+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2024 # 298] -Soient $A,B\in\M_n(\R)$ commutant à $AB-BA$. Calculer $\exp(A+B)$. +# ID:7902 +#+begin_exercice Formule de Glauber [X MP 2024 # 298] +Soient $A,B\in\M_n(\R)$ commutant à $AB-BA$. + - sV2 Simplifier $e^{At}B e^{-At}$. + - Calculer $\exp(A+B)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - On doit trouver $e^A e^B e^{-1/2 [A,B]}$. + + On pose $U(t) = e^{tA} e^{tB}$. On a $U'(t) = e^{tA}(A+B)e^{tB} = (A+e^{At}B e^{-At}) U(t) = (A+B + t[A,B]) U(t)$. +#+END_proof +# ID:7903 #+begin_exercice [X MP 2024 # 299] Soient $A,B,M\in\M_n(\R)$ telles que $\chi_A=\chi_B$ et $AM=MB$. - Montrer que, pour tous $r\in\N$ et $X\in\M_n(\R)$, on a $\op{tr}((A-MX)^r)=\op{tr}((B-XM)^r)$. - En déduire que, pour tout $X\in\M_n(\R)$, on a $\det(A-MX)=\det(B-XM)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Pour $r = 1$, ok. + + Pour $r = 2$, $(A-MX)^2 = A^2 - AMX - MXA - (XM)^2$, et $BXM + XMB = AMX + XAM$. + + En général, on peut écrire le produit (sous la trace) comme $A^k MX A^q MX \dots$, et faire passer les $A^k$ à droite des $M$, en des $MB^k$, d'où l'égalité. + - Conséquence directe de la question précédente. +#+END_proof +# ID:7904 #+begin_exercice [X MP 2024 # 300] La matrice $\left(\begin{array}{cc}1&2024\\ 0&1\end{array}\right)$ peut-elle s'écrire $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1}$ avec $A\in\M_2(\R)$? #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Sur $\C$ on est co-trigonalisable. Sur la diagonale, on a $u,v$ tel que $\sin (u) = \sin (v) = 1$. Si $u\neq v$, on est diagonalisable, impossible. +Par ailleurs, $P(\begin{pmatrix}\la & u \\ 0 & \la\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}P(\la) & u P'(\la) \\ 0 & P(\la)\end{pmatrix}$, et si $\sin (u) = 1$, alors $\cos u = 0$, donc impossible. +#+END_proof +# ID: 7270 #+begin_exercice [X MP 2024 # 301] Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. Soient $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose que : $ab-ba=f\circ v$ avec $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$. - Calculer $\det(ab-ba)$. @@ -3208,19 +3455,30 @@ Soit $\mc{A}$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$ stable par crochet de Lie : - On suppose que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme diagonalisable de $\mc{A}$. Montrer que $\forall M,N\in\mc{A}$, $[M,N]=0$. - On suppose que $\dim\mc{A}\leq 3$ et que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme nilpotent de $\mc{A}$. On pose $\mc{A}_0=\mc{A}$ et, pour $j\in\N$, $\mc{A}_{j+1}=\{[M,N],\ (M,N)\in\mc{A}_j^2\}$. Montrer que $\mc{A}_3=\{0\}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Si $[M, N] = \la N$, alors !! +#+END_proof +# ID:7907 #+begin_exercice [X MP 2024 # 303] -Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Un drapeau de $E$ est une famille de sous-espaces $(F - {i\in\db{0,n}}$ telle que $F_0\subsetneq F_1\subsetneq\cdots\subsetneq F_n$. - - Soit $(F - {i\in\db{0,n]\!]}$ un drapeau de $E$. Déterminer $\dim F_k$ pour tout $k\in[\![0,n}$. +Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Un drapeau de $E$ est une famille de sous-espaces $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ telle que $F_0\subsetneq F_1\subsetneq\cdots\subsetneq F_n$. + - Soit $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ un drapeau de $E$. Déterminer $\dim F_k$ pour tout $k\in \db{}0,n}$. -On considére dorenavant deux drapeaux $(F - {i\in\db{0,n]\!]}$ et $(G - {i\in[\![0,n}}$. - - Soient $i\in\db{1,n]\!]$, $j_0\in[\![0,n}$ tels que $F_{i-1}+G_{j_0}=F_i+G_{j_0}$. Montrer que, pour tout $j\geq j_0$, $F_{i-1}+G_j=F_i+G_j$. - - Soit $i\in\db{1,n]\!]$. Montrer qu'il existe $j\in[\![1,n}$ tel que $F_{i-1}+G_j=F_i+G_j$. - - Montrer que l'application $\sigma$ qui à $i$ associe $\min\{j\in\db{1,n]\!],\ F_{i-1}+G_j=F_i+G_j\}$ est une permutation de $[\![1,n}$. + - E On considére dorénavant deux drapeaux $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ et $(G_i)_{i\in\db{0,n}}$. + - Soient $i\in\db{1,n}$, $j_0\in\db{0,n}$ tels que $F_{i-1}+G_{j_0}=F_i+G_{j_0}$. Montrer que, pour tout $j\geq j_0$, $F_{i-1}+G_j=F_i+G_j$. + - Soit $i\in\db{1,n}$. Montrer qu'il existe $j\in\db{1,n}$ tel que $F_{i-1}+G_j=F_i+G_j$. + - Montrer que l'application $\sigma$ qui à $i$ associe $\min\{j\in\db{1,n},\ F_{i-1}+G_j=F_i+G_j\}$ est une permutation de $\db{1,n}$. - Montrer qu'il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\ e_i\in F_i\cap G_{\sigma(i)}$. - - Soit $A\in\op{GL}_n(\mathbb{K})$. Montrer qu'il existe une unique permutation $\tau\in\mc{S}_n$ pour laquelle il existe deux matrices $U$ et $V$ triangulaires supérieures dans $\M_n(\mathbb{K})$ vérifiant $A=UP_{\tau}V$ou $P_{\tau}=(\delta_{i,\tau(j)})_{1\leq i,j\leq n}$, et montrer qu'on peut en outre imposer que $1$ soit la seule valeur propre de $U$. + - s Soit $A\in\op{GL}_n(\mathbb{K})$. Montrer qu'il existe une unique permutation $\tau\in\mc{S}_n$ pour laquelle il existe deux matrices $U$ et $V$ triangulaires supérieures dans $\M_n(\mathbb{K})$ vérifiant $A=UP_{\tau}V$ ou $P_{\tau}=(\delta_{i,\tau(j)})_{1\leq i,j\leq n}$, et montrer qu'on peut en outre imposer que $1$ soit la seule valeur propre de $U$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Trivial. + - Trivial. + - nice + - + - +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 304] @@ -3228,30 +3486,65 @@ On considére un groupe fini $G$ et un $\C$-espace vectoriel $V$ de dimension fi - Calculer $\mathrm{tr}(\rho(e))$ ou $e$ est le neutre de $G$. - Montrer que, pour tout $g\in G$, $\rho(g)$ est diagonalisable. - Montrer que, si $\mathrm{tr}(\rho(g))=\mathrm{tr}(\rho(e))$, alors $\rho(g)=\rho(e)$. - - Soit $f:G\ra\C$. Pour $m\in\N$, on note $a_m=\sum_{g\in G}f(g)\left(\mathrm{tr}(\rho(g))\right)^m$. Démontrer qu'il existe $m\in\N$ tel que $a_m\neq 0$ lorsque $f(e)\neq 0$. - - Montrer que $\Phi:z\mapsto\sum_{m=0}^{+\i}a_mz^m$ est une fonction rationnelle. + - Soit $f\colon G\ra\C$. Pour $m\in\N$, on note $a_m=\sum_{g\in G}f(g)\left(\mathrm{tr}(\rho(g))\right)^m$. Démontrer qu'il existe $m\in\N$ tel que $a_m\neq 0$ lorsque $f(e)\neq 0$. + - Montrer que $\Phi\colon z\mapsto\sum_{m=0}^{+\i}a_mz^m$ est une fonction rationnelle. - On prend $G=\mathfrak{S}_3$ et $\rho\colon\mathfrak{S}_3\ra\mathrm{GL}(V)$. -Montrer qu'il existe une décomposition de $V$ sous la forme $\bigoplus_iE_i$ telle que : + Montrer qu'il existe une décomposition de $V$ sous la forme $\bigoplus_iE_i$ telle que : -(i) $\forall i,\ \forall g\in G,\ E_i$ est stable par $\rho(g)$, (ii) $\forall i,\ \dim E_i\in\{1,2\}$. + + $\forall i,\ \forall g\in G,\ E_i$ est stable par $\rho(g)$ + + $\forall i,\ \dim E_i\in\{1,2\}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - $G$ est fini. + - Les valeurs propres sont des racines $n$-ièmes de l'unité. Elles valent $1$ et $g$ est diagonalisable. + - Les autres termes sont négligeables. + - C'est clair. Le faire pour un élément $g\in G$ fixé. + - Les valeurs propres sont $\pm 1$, ou $j,\ol{j}$. !! +#+END_proof +# ID:7908 #+begin_exercice [X MP 2024 # 305] -Soit $d\geq 2$. On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $\delta_1,\delta_2\gt 0$ avec $\delta_1\neq\delta_2$. Soient $x_1,\ldots,x_n\in\R^d$. On suppose que $\forall i\neq j$, $\|x_i-x_j\|\in\{\delta_1,\delta_2\}$. Montrer que $n\leq\dfrac{(d+1)(d+5)}{2}$. +Soit $d\geq 2$. On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $\delta_1,\delta_2\gt 0$ avec $\delta_1\neq\delta_2$. Soient $x_1,\ldots,x_n\in\R^d$. On suppose que $\forall i\neq j$, $\|x_i-x_j\|\in\{\delta_1,\delta_2\}$. Montrer que $n\leq\dfrac{(d+1)(d+4)}{2}$. -Ind. Montrer que les $f_i:y\mapsto\left(\left\|y-x_i\right\|^2-\delta_1^2\right)\left(\left\| y-x_i\right\|^2-\delta_2^2\right)$ sont lineairement indépendantes. +Ind. Montrer que les $f_i\colon y\mapsto\left(\left\|y-x_i\right\|^2-\delta_1^2\right)\left(\left\| y-x_i\right\|^2-\delta_2^2\right)$ sont linéairement indépendantes. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Si on écrit une relation de liaison sur les $f_i$, en évaluant en $x_i$, on obtient que le coefficient en $f_i$ est nul. + +Les $f_i$ appartiennent à un espace, de dimension : les constantes, les $\lN y\rN^4$, les $\lN y\rN^2$, les $y\mapsto \langle y, x_i\rangle \lN y\rN^2$, puis $y\mapsto C\langle y, x_i\rangle$, puis $y\mapsto \langle y, x_i\rangle^2$. Cette dernière partie engendre un espace de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$, auquel on peut ajouter les $\lN y\rN^2$. + +On trouve comme dimension $1 + 1 + n + n + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+4)(n+1)}{2}$. +#+END_proof +# Relier à 3092 +# ID:7909 #+begin_exercice [X MP 2024 # 306] -Pour $n\in\N^*$, soit $H_n=\big{\{}M\in\M_n(\{-1,1\})\;;\;M^TM=nI_n\big{\}}$. +Pour $n\in\N^*$, soit $H_n=\big{\{}M\in\M_n(\{-1,1\}) \, \mid \, M^TM=nI_n\big{\}}$. - Déterminer $H_1$, $H_2$ et $H_3$. - Soit $n\geq 4$ tel que $H_n\neq\emptyset$. Montrer que $4$ divise $n$. - - à l'aide de $A\in H_n$, construire une matrice $B\in H_{2n}$. + - À l'aide de $A\in H_n$, construire une matrice $B\in H_{2n}$. - Soit $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 3\,[4]$. Montrer que $H_{p+1}$ n'est pas vide. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - En multipliant une ligne de la matrice par $-1$, on préserve l'orthogonalité des colonnes. On peut donc se ramener au cas où tous les coefficients de la première colonne valent $1$. + + Comme la première colonne est orthogonale à la seconde, la seconde doit avoir autant de coefficients $-1$ que de coefficients $1$, donc $n$ doit être pair. + Comme $n\geq 3$, $H$ admet au moins trois colonnes. Quitte à permuter les lignes, on peut supposer que la seconde colonne contient $n/2$ coefficients $1$ sur sa première moitié, et $n/2$ coefficients $-1$ sur la seconde moitié. + La troisième colonne $C_3$ a également autant de $1$ que de $-1$. Supposons que dans la première moitié de ses coefficients, elle ait strictement plus de $1$ que de $-1$. Alors le produit scalaire des premières moitiés des colonnes $2$ et $3$ est $\gt 0$. Mais la seconde moitié de $C_3$ doit alors avoir strictement plus de $-1$ que de $1$, donc les secondes moitiés ont également un produit scalaire $\gt 0$, ce qui contredit l'orthogonalité de $C_2$ et $C_3$. Il en va de même dans le cas inverse, ce qui démontre que la première moitié de $C_3$ doit avoir autant de coefficients $1$ que de $-1$, donc que $n$ doit être divisible par $4$. + - Prendre $\begin{pmatrix}A & A \\ A & -A\end{pmatrix}$. + - Si $p\equiv 3 [4]$, $-1$ n'est pas un carré ? + + On met des $1$ sur la première colonne, des $-1$ sur le reste de la première ligne, des $1$ sur la diagonale, et $\chi (i-j)$ sinon ($1$ ou $-1$ selon si c'est un carré). + + Le $-1$ de la première ligne compense le $1$ de la diagonale, donc toutes les colonnes sont orthogonales à la première. + + Plus généralement, si on prend deux colonnes $i,j$, on obtient, à deux termes près, $\sum_{a\in\Z/p\Z} \chi (a)\chi(a + (j-i))$. On a $\chi(a) = a^{\frac{p-1}{2}}$, et on peut développer $(a+k)^{\frac{p-1}{2}}$ avec le binôme, sachant que $\sum_{a\in\Z/p\Z} a^k = 0$, pour tout $k$. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 307] @@ -3260,43 +3553,57 @@ On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u\in\R^3$ unitaire. Soient $\sigma_u:x\mapsto x-2\left\langle x,u\right\rangle u$ et $\Omega_u=\big{\{}x\in\R^3\;;\;\left\langle x,u\right\rangle \geq 0\text{ et }\left\langle x,\sigma_u(x)\right\rangle\leq 0 \big{\}}$. - Décrire et representer $\Omega_u$. - Montrer que $\Omega_u$ est auto-dual, c'est-a-dire que $\Omega_u=\big{\{}y\in\R^3\;;\;\forall x\in\Omega_u,\;\left\langle x,y\right\rangle\geq 0\big{\}}$. - - On dit que $x\in\Omega_u$ est extremal si $\colon\forall x_1,x_2\in\Omega_u$, $x=x_1+x_2\Rightarrow x,x_1,x_2$ colineaires. + - On dit que $x\in\Omega_u$ est extremal si $\colon\forall x_1,x_2\in\Omega_u$, $x=x_1+x_2\Rightarrow x,x_1,x_2$ colinéaires. -Quels sont les points extremaux de $\Omega_u$? - - Si $f\in\mc{L}(\R^3)$, on dit que $f$ est extremal si $f(\Omega_u)\subset\Omega_u$ et, pour tous $g,h\in\mc{L}(\R^3)$ tels que $f=g+h$, $g(\Omega_u)\subset\Omega_u$, $h(\Omega_u)\subset\Omega_u$, on a $f,g,h$ colineaires. + Quels sont les points extremaux de $\Omega_u$? + - Si $f\in\mc{L}(\R^3)$, on dit que $f$ est extremal si $f(\Omega_u)\subset\Omega_u$ et, pour tous $g,h\in\mc{L}(\R^3)$ tels que $f=g+h$, $g(\Omega_u)\subset\Omega_u$, $h(\Omega_u)\subset\Omega_u$, on a $f,g,h$ colinéaires. -Déterminer les endomorphismes extremaux de rang 1. + Déterminer les endomorphismes extremaux de rang 1. #+end_exercice +# ID:nil # bof #+begin_exercice [X MP 2024 # 308] On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $(v_1,\ldots,v_n)\in\R^n\setminus\{0\}$ et $r=\mathrm{rg}(v_1,\ldots,v_n)$. On cherche à quelle condition il existe une base orthonormée $(f_1,\ldots,f_n)$ de $\R^n$ et un projecteur orthogonal $p$ tels que $\colon\forall i\in\db{1,n}$, $p(f_i)=v_i$. - - Traiter le cas $r=n$. - On suppose dans cette question que $n=2$ et $r=1$. Donner une condition nécessaire et suffisante dans ce cas. + - Traiter le cas $r=n$. + - On suppose dans cette question que $n=2$ et $r=1$. Donner une condition nécessaire et suffisante dans ce cas. #+end_exercice +# ID:7910 #+begin_exercice [X MP 2024 # 309] Combien y a-t-il de matrices orthogonales de taille $n\in\N^*$ à coefficients dans $\Z$? #+end_exercice +#+BEGIN_proof +De norme $1$, donc $n!$. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 310] -Un produit scalaire hermitien $\Phi$ sur le $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\Phi:E\times E\ra\C$ telle que : $\forall y\in E$, $x\mapsto\Phi(x,y)$ est lineaire ; $\forall(x,y)\in E^2$, $\Phi(y,x)=\overline{\Phi(x,y)}$ ; $\forall x\in E\setminus\{0\}$, $\Phi(x,x)\gt 0$. On note alors $\|x\|=\sqrt{\Phi(x,x)}$ pour $x\in E$. +Un produit scalaire hermitien $\Phi$ sur le $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\Phi:E\times E\ra\C$ telle que : $\forall y\in E$, $x\mapsto\Phi(x,y)$ est linéaire ; $\forall(x,y)\in E^2$, $\Phi(y,x)=\overline{\Phi(x,y)}$ ; $\forall x\in E\setminus\{0\}$, $\Phi(x,x)\gt 0$. On note alors $\|x\|=\sqrt{\Phi(x,x)}$ pour $x\in E$. - On munit $\C^2$ du produit scalaire hermitien tel que $\langle(x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=x_1\overline{y_1}+x_2\overline {y_2}$. Soit $T$ l'endomorphisme de $\C^2$ dont la matrice dans la base canonique est $\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$. Déterminer $\left\{\langle Tx,x\rangle\ ;\ x\in\C^2,\ \|x\|^2=1\right\}$. - - On munit l'espace $\ell^2(\N,\C)$ des suites complexes $(u_n)_{n\geq 0}$ de carre sommable du produit scalaire défini par : $\langle u,v\rangle=\sum_{n=0}^{+\i}u_n\overline{v_n}$. Soit $T$ l'endomorphisme de $\ell^2(\N,\C)$ qui à $(u_n)_{n\geq 0}$ associe la suite $(u_{n+1})_{n\geq 0}$. Déterminer $\left\{\langle Tu,u\rangle\ ;\ u\in\ell^2(\N,\C),\ \|u\|^2=1\right\}$. + - On munit l'espace $\ell^2(\N,\C)$ des suites complexes $(u_n)_{n\geq 0}$ de carré sommable du produit scalaire défini par : $\langle u,v\rangle=\sum_{n=0}^{+\i}u_n\overline{v_n}$. Soit $T$ l'endomorphisme de $\ell^2(\N,\C)$ qui à $(u_n)_{n\geq 0}$ associe la suite $(u_{n+1})_{n\geq 0}$. Déterminer $\left\{\langle Tu,u\rangle\ ;\ u\in\ell^2(\N,\C),\ \|u\|^2=1\right\}$. #+end_exercice +# ID:7911 #+begin_exercice [X MP 2024 # 311] Soient $n\in\N^*$, $a_1\leq\cdots\leq a_n$ et $b_1\leq\cdots\leq b_n$ des nombres réels, $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n(\R)$ telles que $\chi_A=\prod_{k=1}^n(X-a_k)$ et $\chi_B=\prod_{k=1}^n(X-b_k)$. Montrer que $\op{tr}(AB)\leq\sum_{k=1}^na_kb_k$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Ajouter $I_n$ à l'une et l'autre des matrices, puis codiagonaliser. +#+END_proof +# ID:7912 #+begin_exercice [X MP 2024 # 312] On munit l'espace $E=\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint de $E$. On note $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$ les valeurs propres de $u$. Soit $(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\ \langle u(e_i),e_i\rangle=\lambda_i$. Montrer que $(e_1,...,e_n)$ est une base de vecteurs propres de $u$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On a une matrice symétrique dont la diagonale est égale aux valeurs propres. En regardant la plus grand v.p, qui vaut $\langle A E_i, E_i\rangle$, on obtient que la $i$-ème colonne doit être $E_i$, etc. +#+END_proof ** Analyse @@ -3363,13 +3670,16 @@ Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ muni de la norme infinie. #+END_proof -# Déjà vu… -#+begin_exercice [X MP 2024 # 319] :todo: -Existe-t-il une fonction continue $f\colon\C\ra\C$ telle que $f\circ f=\exp$? +# ID:7905 +#+begin_exercice [X MP 2024 # 319] +Existe-t-il une fonction continue $f\colon\C\ra\C$ telle que $f\circ f=\exp$ ? #+end_exercice #+BEGIN_proof - + $f$ est surjective sur $\C^*$, non surjective. - + $f(f(x + 2ik\pi)) = f(f(x))$ +On a $\Im f = \C^*$. On peut écrire $f = \exp \circ h$, avec $h\circ \exp\circ h = \op{Id} + 2ik\pi$. + +Donc $\exp$ doit être bijective… Impossible. + +La difficulté est le relèvement : localement il existe un relèvement, et si on prend un chemin sur $\C$, il existe une unique façon de relever $f$ le long de ce chemin. #+END_proof @@ -3413,9 +3723,15 @@ On définit la suite $(z_n)$ par $z_0\in\C^*$ et, pour tout $n\in\N$, $z_{n+1} = - Montrer que $(a_n)_{n\geq 1}$ converge vers une limite $\l$ à déterminer. Donner un équivalent de $a_n - \l$. #+END_exercice +# ID:7920 #+BEGIN_exercice [X MP 2024 # 324] Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite strictement décroissante à termes dans $\interval]{0, 1}[$. Soient $\a\gt 0$ et $(u_n)$ définie par $u_0\geq 0$ et $\forall n\in\N,\, u_{n+1} = u_n (u_n^{\a} + a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\geq 0$ tel que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\gt 0$. Déterminer alors cette limite. #+END_exercice +#+BEGIN_proof +Si $u_0$ est assez petit, $u_n^{\a} + a_n \lt 1$. Si $u_0\gt 1$, on tend vers $+\i$. L'unicité est claire. Pour l'existence : les ensembles où $u_n \ra +\i$ et $u_n \ra 0$ sont ouverts. + +Pour la valeur critique, on aura $u_n^\a \ra \lim a_n$. +#+END_proof @@ -3426,18 +3742,21 @@ Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite strictement décroissante à termes dans $\inte Montrer que $\frac{s_{n+1}}{s_n}\ra 1$ si et seulement s'il existe $p,q\in\N^*$ tels que $\frac{\ln(s_p)}{\ln(s_q)}\not\in\Q$. #+end_exercice #+BEGIN_proof + - + - Si tous les quotients sont rationnels, chaque $s_i$ s'écrit $s_0^{r}$. Il suffit de vérifier que l'ensemble $s_0^{\Q}\cap \N$ a des trous. C'est clair. + Réciproquement, on peut supposer deux éléments $s_1,s_2$ dont le quotient ne soit pas rationnel, et on traite le cas où $S = \{s_1^n s_2^m\}$. #+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 326] -Soit $f\colon\R\ra\R$ 1-periodique. +Soit $f\colon\R\ra\R$ 1-périodique. On définit $\colon\forall S\in\R^{\N^*},\ \forall n\in\N^*,\ M_n(f,S)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(S_k)$. - Montrer que la suite $(M_n(f,S))$ converge pour toute suite $S$ si et seulement si $f$ est constante. - On dit qu'une suite réelle $(u_n)$ est équirépartie modulo 1 lorsque - $\forall f\in\mc C(\R,\R)$ 1-periodique, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(u_k)\xrightarrow[n\ra+\i]{}\int_0^1f(x) dx$. + $\forall f\in\mc C(\R,\R)$ 1-périodique, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(u_k)\xrightarrow[n\ra+\i]{}\int_0^1f(x) dx$. Montrer que la suite $(\sqrt{n})$ est equiperpartie modulo 1. #+end_exercice @@ -3448,40 +3767,62 @@ Montrer que la suite $(\sqrt{n})$ est equiperpartie modulo 1. Calculer la somme de la série de terme general $n^2 2^{-(n+1)}$. #+end_exercice - +# ID:nil # Classique #+begin_exercice [X MP 2024 # 328] Soit $\phi\colon\N^*\ra\N^*$ injective. Nature de $\sum\frac{\phi(n)}{n^2}$ ? #+end_exercice +# ID:7922 #+begin_exercice [X MP 2024 # 329] Déterminer la nature de la série $\sum\frac{\sin(\pi\sqrt{n})}{n^{\alpha}}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On regroupe, suivant la périodicité de $\sin$, sur des intervalles de longueur $O(\sqrt{n})$. Pour que la somme sur un morceau tende vers $0$, il faut que $\a\gt 1/2$. + +Réciproquement, sous cette condition, la somme de deux paquets consécutifs est en $O(\frac{1}{n^{\a}})$, ce qui donne $O(\frac{1}{n^{2\a}})$, donc on converge. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 330] Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que la série $\sum u_n$ converge. -Montr per que la série de terme general $v_n=\frac{1}{1+n^2u_n}$ diverge. +Montrer que la série de terme general $v_n=\frac{1}{1+n^2u_n}$ diverge. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +!! +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 331] - Soit $(u_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\xrightarrow[n\ra+\i]{}a\gt 0$. Déterminer la nature de $(S_n)$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_n}\sum_{k=0}^nku_k$. - Soient $(u_n)_{n\geq 0},(v_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$ et $T_n=v_0+\cdots+v_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\xrightarrow[n\ra+\i]{}a\in\R^{+*}$ et $\frac{T_n}{nv_n}\xrightarrow[n\ra+\i]{}b\in\R^{+*}$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_nv_n}\sum_{k=0}^nu_kv_k$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - $(S_n)$ est croissante. Si elle convergeait, on aurait $u_n \sim \frac{\l}{n}$, contradiction. + - !! +#+END_proof +# ID:7923 #+begin_exercice [X MP 2024 # 332] -Déterminer les fonctions dérivables $f\colon\R\ra\R$ telles que - - $\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x)f(y)=f(x+yf(x))$. +Déterminer les fonctions dérivables $f\colon\R\ra\R$ telles que $\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x)f(y)=f(x+yf(x))$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +On trouve $f(0) = 1$ (sauf fonction nulle). Par ailleurs, si $f(y) = 0$, on obtient $\forall x,\, f(x + y f(x)) = 0$. + +En dérivant, on a $f(x) f'(y) = f(x) f'(x + y f(x))$ et $f'(x) f(y) = (1+y f'(x)) f'(x+y f(x))$. + +Si $f(x)\neq 0$, on obtient $f'(x) f(y) = f'(y) (1+y f'(x))$, donc $\frac{f'(y}{f(y)} = \frac{f'(x)}{1 + y f'(x)}$, donc $\ln (f(y)) = \ln (1 + y f'(x)) + C$ (au vois de $0$), donc $f(y) = C (1 + y C')$ (sur un voisinage de $0$). + +Par ailleurs, ceci étant vrai pour tout $x$, on obtient que $f'$ est constant là où $f$ est non nulle. D'après essentiellement le théorème de limite de la dérivée, $f'$ est constante partout, donc $f$ est affine. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 333] Soit $f\colon\N^*\ra\R$ telle que $f(mn)=f(m)+f(n)$ pour tous $m,n\geq 1$. - - On suppose $f$ croissante. Montr per qu'il existe $c\in\R$ tel que $\colon\forall n\in\N^*$, $f(n)=c\ln n$. - On suppose que $f(n+1)-f(n)\ra 0$ quand $n\ra+\i$. Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que : $\forall n\in\N^*$, $f(n)=c\ln n$. + - On suppose $f$ croissante. Montr per qu'il existe $c\in\R$ tel que $\colon\forall n\in\N^*$, $f(n)=c\ln n$. + - On suppose que $f(n+1)-f(n)\ra 0$ quand $n\ra+\i$. Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que : $\forall n\in\N^*$, $f(n)=c\ln n$. #+end_exercice @@ -3490,7 +3831,7 @@ Soit $f\colon\N^*\ra\R$ telle que $f(mn)=f(m)+f(n)$ pour tous $m,n\geq 1$. Soit $E$ l'ensemble des $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ telles que $f\underset{+\i}{\longrightarrow}0$. Si $f\in E$, on pose $\Delta(f):x\mapsto f(x+1)-f(x)$. - - Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $E$. Est-ce un automorphisme? + - Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $E$. Est-ce un automorphisme ? !! (surjectivité ? Sous la forme d'une série ?) - Soient $f\in E$, $x\in\R$ et $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $x_n\in\left]x,x+n\right[$ tel que $\Delta^n(f)(x)=f^{(n)}(x_n)$. @@ -3499,7 +3840,7 @@ Ind. Étudier $y\mapsto f(x+y)$ et $y\mapsto\sum_{k=0}^n\dfrac{y(y-1)\cdots(y-k+ #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP 2024 # 335] +#+begin_exercice [X MP 2024 # 335] :todo: Déterminer les $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telles que $\forall x\in[0,1]$, $f(x)=2(f(x/2)+f(1-x/2))$. #+end_exercice @@ -3520,28 +3861,46 @@ Pour $f\colon\overset{\circ}{D}\ra\R^+$ fixée, on note $A$ l'ensemble des $h:D\ #+end_exercice +# ID:218 #+begin_exercice [X MP 2024 # 337] Si $f$ est une fonction de $[0,1]$ dans $\R$, on note $V(f)$ la borne supérieure, dans $[0,+\i]$, de l'ensemble $\left\{\sum_{k=0}^{n-1}|f(a_{k+1}-f(a_k)|\;;\;n\in\N^*,0\leq a_0\leq a_1\cdots\leq a_n\leq 1\right\}$. On note $VB$ l'ensemble des fonctions $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ telles que $V(f)\lt +\i$. - Montrer que $VB$ est un sous-espace de l'espace vectoriel des fonctions $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ contenant les fonctions monotones et les fonctions lipschitziennes. - Donner un exemple de fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$ n'appartenant pas à $VB$. - Montrer qu'une fonction $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ est dans $VB$ si et seulement si elle est différence deux fonctions croissantes de $[0,1]$ dans $\R$. - Soit $f\in\R^{[0,1]}$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes : - -(i) $\forall g\in[0,1]^{[0,1]},V(g)\lt +\i\implies V(f\circ g)\lt +\i$; - -(ii) $f$ est lipschitzienne. + + $\forall g\in[0,1]^{[0,1]},V(g)\lt +\i\implies V(f\circ g)\lt +\i$; + + $f$ est lipschitzienne. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - + - + - + - $\leftarrow$ est claire. Pour la réciproque, si $f$ n'est pas lipschitzienne, il existe des $x_n,y_n$ pour lesquels $\frac{|f(x_n) - f(y_n)|}{x_n - y_n}\ra +\i$. On peut les prendre arbitrairement proche, et $x_n \ra a$. On prend alors une fonction qui oscille si nécessaire plusieurs fois entre $x_n$ et $y_n$, puis passe à un suivant (assez proche de $a$). + +#+END_proof +# ID:7883 #+begin_exercice [X MP 2024 # 338] - - Soit $f\colon\R^{+*}\ra\R$ une fonction convexe. - Montrer qu'il existe $\ell\in\overline{\R}$ tel que $\frac{f(x)}{x}\xrightarrow[x\ra+\i]{}\ell$; déterminer les valeurs possibles de $\ell$. - Si $\ell\in\R$, montrer que $f(x)-\ell x$ possède une limite dans $\overline{\R}$ quand $x$ tend vers $+\i$ et déterminer les limites possibles. - - Soient $f,g$ convexes et continues sur $[0,1]$ vérifiant $\max(f,g)\geq 0$. + 1. Soit $f\colon\R^{+*}\ra\R$ une fonction convexe. + - Montrer qu'il existe $\ell\in\overline{\R}$ tel que $\frac{f(x)}{x}\tend{x\ra+\i}\ell$; déterminer les valeurs possibles de $\ell$. + - Si $\ell\in\R$, montrer que $f(x)-\ell x$ possède une limite dans $\overline{\R}$ quand $x$ tend vers $+\i$ et déterminer les limites possibles. + 2. Soient $f,g$ convexes et continues sur $[0,1]$ vérifiant $\max(f,g)\geq 0$. -Montrer qu'il existe $\alpha,\beta$ positifs et non tous nuls tels que $\alpha f+\beta g\geq 0$. - - Soient $f_1,\ldots,f_n:[0,1]\ra\R$ convexes et continues vérifiant $\max(f_1,\ldots,f_n)\geq 0$. + Montrer qu'il existe $\alpha,\beta$ positifs et non tous nuls tels que $\alpha f+\beta g\geq 0$. + 3. Soient $f_1,\ldots,f_n:[0,1]\ra\R$ convexes et continues vérifiant $\max(f_1,\ldots,f_n)\geq 0$. -Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ positifs et non tous nuls vérifiant $\sum_{k=1}^n\alpha_kf_k\geq 0$. + Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ positifs et non tous nuls vérifiant $\sum_{k=1}^n\alpha_kf_k\geq 0$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + 1. + 1. + 2. + 2. Les points où $f/g$ sont $\lt 0$ forment deux intervalles disjoints. Entre les deux, les fonctions s'intersectent en un point. En ce point, tu as des tangentes, et il suffit de prendre un barycentre des tangentes qui fait une droite verticale. + 3. Récurrence triviale. +#+END_proof + #+begin_exercice [X MP 2024 # 339] @@ -3558,6 +3917,10 @@ Soient $F$ un fermé de $\R$, $O=\R\setminus F$. - Montrer que $O$ est reunion dénombrable d'intervalles ouverts bornes. - Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $\mc C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Prendre $e^{-1/d(x, F)^2}$ +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 341] @@ -3583,7 +3946,7 @@ Intégrer $(b-f)(f + a)$. #+begin_exercice [X MP 2024 # 343] Pour $r\in\R$ et $n\in\N$, soit $D_n(r)=\int_{-1}^1(1-x^2)^n\cos(rx)dx$. - - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n$ et $Q_n$ des polynômes à coefficients entiers de degre au plus $n$ tels que, pour tout $r\in\R$, $D_n(r)=\frac{n!}{r^{2n+1}}(P_n(r)\cos(r)+Q_n(r)\sin(r))$. + - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n$ et $Q_n$ des polynômes à coefficients entiers de degré au plus $n$ tels que, pour tout $r\in\R$, $D_n(r)=\frac{n!}{r^{2n+1}}(P_n(r)\cos(r)+Q_n(r)\sin(r))$. - En déduire que $\pi$ est irrationnel. #+end_exercice @@ -3616,11 +3979,20 @@ Si $f$ est $1$-lip, $\int_{nx - |f(nx)|}^{nx + |f(nx)|} \geq f(nx)^2$. Si $\sum Et pour la même raison, les intégrales précédentes sont disjointes, APCR. #+END_proof +# ID:7924 +#+begin_exercice [X MP 2024 # 347] +Soit $(f_n)$ une suite de $\mc C^1([0,1],\R)$ convergeant uniformément vers une fonction $f$ sur $[0,1]$. On suppose que, pour toute fonction $g\in\mc C^1([0,1],\R)$, $\int_0^1f'_ng\longrightarrow 0$ quand $n\ra+\i$. Que dire de $f$? +#+end_exercice +#+BEGIN_proof +On obtient, que pour toute fonction continuen $g'$ vérifiant $\int g' = 0$, $\int f g' = 0$, donc $f$ est constante. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 347] - - Soit $(f_n)$ une suite de $\mc C^1([0,1],\R)$ convergeant uniformément vers une fonction $f$ sur $[0,1]$. On suppose que, pour toute fonction $g\in\mc C^1([0,1],\R)$, $\int_0^1f'_ng\longrightarrow 0$ quand $n\ra+\i$. Que dire de $f$? - - Soit $x\in\R$. Calculer $\sum_{n\in\N^*}\frac{\cos(nx)}{n^2}$. +Soit $x\in\R$. Calculer $\sum_{n\in\N^*}\frac{\cos(nx)}{n^2}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 348] @@ -3735,7 +4107,7 @@ Soit $I:t\mapsto\int_0^{+\i}e^{-tx}f(x)dx$. #+begin_exercice [X MP 2024 # 363] - - Soient $I$ et $J$ deux segments de $\R$, et $f:I\times J\ra\R$ continue. Montrer l'existence et l'egalite des deux quantites $\int_I\left(\int_Jf(x,y)dy\right)dx$ et $\int_J\left(\int_If(x,y)dx\right)dy$. + - Soient $I$ et $J$ deux segments de $\R$, et $f:I\times J\ra\R$ continue. Montrer l'existence et l'égalité des deux quantites $\int_I\left(\int_Jf(x,y)dy\right)dx$ et $\int_J\left(\int_If(x,y)dx\right)dy$. - Pour $\alpha\in\,]0,1[$ et $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $f^2$ et $f^{' 2}$ sont intégrables sur $\R$, on note $\|f\|_{\alpha}^2=\int_{\R}\left(\int_{\R}\frac{|f(x)-f(y)|^ {2}}{|x-y|^{1+2\alpha}}dy\right)dx$. Montrer que $\|\ \|_{\alpha}$ définit une norme sur l'espace vectoriel $\{f\in\mc C^1(\R,\R),\ (f,f')\in L^2( \R,\R)^2\}$. #+end_exercice @@ -3758,7 +4130,7 @@ On a $F' = AF$. Le Wronkien vérifie $W' = \op{Tr} À W$, donc $W$ est une expon #+begin_exercice [X MP 2024 # 366] Pour $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$, on pose $H(f):x\mapsto x^2f(x)-f''(x)$, $A_-(f):x\mapsto-f'(x)+xf(x)$ et $A_+(f):x\mapsto f'(x)+xf(x)$. - Déterminer $A_-\circ A_+$ et $A_+\circ A_-$. - - Montrer qu'il existe une unique $\phi_0\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ de carre intégrable, telle que $H(\phi_0)=\phi_0$ et $\phi_0(0)=1$.On pose, pour $n\in\N^*$, $\phi_n=A_-^n(\phi_0)$. + - Montrer qu'il existe une unique $\phi_0\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ de carré intégrable, telle que $H(\phi_0)=\phi_0$ et $\phi_0(0)=1$.On pose, pour $n\in\N^*$, $\phi_n=A_-^n(\phi_0)$. - Montrter que, pour tout $n\in\N$, $H(\phi_n)=(2n+1)\phi_n$. - Montrter que $\phi_n$ s'écrit sous la forme $P_n\times\phi_0$ avec $P_n$ polynomiale. #+end_exercice @@ -3768,7 +4140,7 @@ Pour $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$, on pose $H(f):x\mapsto x^2f(x)-f''(x)$, $A_-(f):x\ - Soit $f$ une fonction croissante de $[a,b]$ dans $[a,b]$. Montrter que $f$ possède un point fixe. - On s'intéresse à l'équation différentielle $(E)$ $x'(t)=\cos(x(t))+\cos(t)$. On admet que, pour tout $a\in[0,\pi]$, il existe une unique solution $\phi_a$ définie sur $\R$ telle que $\phi_a(0)=a$, et de plus que s'il existe $t$ tel que $\phi_a(t)=\phi_b(t)$ alors $a=b$. -Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-periodique. +Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-périodique. _Ind._ Montrter que toute solution $\phi_a$ est à valeurs dans $[0,\pi]$. #+end_exercice @@ -3798,15 +4170,24 @@ Montrer que, pour tout $t\in[0,T]$, $\|M(t)-N(t)\|\leq e^{Kt}\left(e^{\eta t}-1\ #+end_exercice +# ID:7931 #+begin_exercice [X MP 2024 # 370] On munit $\R^2$ de la norme euclidienne canonique. Soit $P\colon\R^2\ra\R$ une fonction polynomiale à valeurs positives. - La fonction polynomiale $P$ atteint-elle nécessairement un minimum? - On suppose que $P(x,y)\underset{\|(x,y)\|\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. La fonction polynomiale $P$ atteint-elle nécessairement un minimum? - On garde l'hypothese précédente. On note $S(0,1)$ le cercle unite. -Montrer que $\colon\forall(x,y)\in S(0,1),\exists C(x,y)\in\R^{+*}\cup\{+\i\}, \lim_{t\ra+\i}\frac{P(tx,ty)}{t^2}=C(x,y)$. + Montrer que $\colon\forall(x,y)\in S(0,1),\exists C(x,y)\in\R^{+*}\cup\{+\i\}, \lim_{t\ra+\i}\frac{P(tx,ty)}{t^2}=C(x,y)$. - Montrer que $C$ est à valeurs dans $\R^{+*}$ ou qu'il n'existe qu'un nombre fini de couples $(x,y)$ tels que $C(x,y)\lt +\i$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Non, prendre $(X^2 - Y^2 +1)^2 + (X-Y)^2$ Quand $x = \sqrt{y^2 - 1}$, on a $x = y (1 - \frac{1}{y^2})$, donc $(x-y)^2 \ra 0$. + - Trivial + - trivial. + - Si $P$ est de degré $2$, $C$ est à valeurs dans $\R_+$, et si la valeur $0$ est prises, en prenant $-x,-y$ dans cette direction, on contredit $P(x,y)\ra +\i$. + + Si $P$ est de degré $\gt 2$, on prend juste les coefficients de degré maximaux. Les $x,y$ pour lesquels $P(tx,ty)$ n'est pas équivalent au degré est un polynôme en $\frac{x}{y}$. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 371] @@ -3819,15 +4200,22 @@ Ind. On utilisera la fonction $U=f\circ u$ avec $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ convenab #+begin_exercice [X MP 2024 # 372] Soient $n\in\N^*$ et $r\in\db{0,n}$, $\mc{P}$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $\R^n$ sur un sous-espace de dimension $r$ et $p\in\mc{P}$. Déterminer l'ensemble des vecteurs tangents à $\mc{P}$ en $p$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +Relier à une année précédente : $(p+tv)^2 = p+tv$ et $\tr v = 0$. +#+END_proof ** Géométrie #+begin_exercice [X MP 2024 # 373] -Soit $P$ un polynôme réel de degre $6$. Une droite $D$ est tangente à la courbe $C_P$ en trois points $A,B,C$ d'abscisses $a\lt b\lt c$. +Soit $P$ un polynôme réel de degré $6$. Une droite $D$ est tangente à la courbe $C_P$ en trois points $A,B,C$ d'abscisses $a\lt b\lt c$. - On suppose que $AB=BC$. Montrer que les aires delimitées par $[BC]$ et $C_P$ d'une part, et par $[AB]$ et $C_P$ d'autre part, sont egales. - On pose : $q=\frac{BC}{AB}$ et $Q=\frac{A_1}{A_2}$ avec $A_1$ et $A_2$ les aires susmentionnées. Montrerque : $\frac{2}{7}q^5\leq Q\leq\frac{7}{2}q^5$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - On peut supposer que $c = 1$, $b = 0$, $c=-1$, et en retirant la fonction affine, le polynôme est $c X^2 (X-1)^2 (X+1)^2$. + - On peut supposer que le polynôme est $X^2 (X-1)^2 (X+a)^2$. +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 374] @@ -3876,6 +4264,7 @@ Soit $N\in\N^*$. Dénombrer les fonctions $f\colon\db{0,2N}\ra \db{0,2N}$ telles #+end_exercice +# ID:7928 #+begin_exercice [X MP 2024 # 380] Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$. @@ -3884,11 +4273,18 @@ On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$, et on note $N\colon\omega\mapsto\op{Card}\{n\in\N - Exprimer $\mathbf{P}(N\geq 2)$ en fonction de $\mathbf{P}(N\geq 1)$. - Montrer que $\mathbf{P}(N=+\i)=1$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Simple, on connaît la probabilité d'être en $0$ : $\frac{{2k\choose k}}{4^k}$. + - On $P(N\geq 2) = \sum_{k=2}^{+\i} P(Premier retour = k) P(N\geq 1) = P(retour en 0) P(N\geq 1)$. + + $P(retour en 0) = 0$ n'est pas possible, et si cette probabilité était $\lt 1$, on aurait $\sum P(N\geq k)$ qui converge, contradiction. Donc elle vaut $1$. + - Pas trop dur. +#+END_proof # ID:nil #+begin_exercice [X MP 2024 # 381] -Soit $n\in\N^*$. Déterminer esperance et variance du nombre de points fixes d'une permutation de $\db{1,n}$. +Soit $n\in\N^*$. Déterminer espérance et variance du nombre de points fixes d'une permutation de $\db{1,n}$. #+end_exercice @@ -3899,11 +4295,16 @@ On munit $\mc{S}_n$ de la loi uniforme et on considére $X_n$ la variable aléat - En déduire des équivalent de $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{V}(X_n)$ quand $n\ra+\i$. - Comment peut-on déterminer la loi de $X_n$? #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - $E(t^{X_n})$ +#+END_proof +# ID:7929 #+begin_exercice [X MP 2024 # 383] - Déterminer le nombre de listes de $k$ entiers non consécutifs dans l'intervalle d'entiers $\db{1,n}$. - - On place aléatoirement des couples $(A_i,B_i)$, ou $i\in\{1,\ldots,n\}$, autour d'une table ronde à $2n$ places, de sorte qu'aucun des $A_i$ ne soit assis à cote d'un autre $A_j$. On cherche la probabilité $p_n$ que $A_i$ et $B_i$ ne soient pas à cote. Montrer que, si la configuration des $A_i$ est fixée, la probabilité que $A_i$ et $B_i$ ne soient pas à cote est inchangée. En déduire une expression sommatoire de $p_n$. + - On place aléatoirement des couples $(A_i,B_i)$, ou $i\in\{1,\ldots,n\}$, autour d'une table ronde à $2n$ places, de sorte qu'aucun des $A_i$ ne soit assis à côté d'un autre $A_j$. On cherche la probabilité $p_n$ que $A_i$ et $B_i$ ne soient pas à côté. Montrer que, si la configuration des $A_i$ est fixée, la probabilité que $A_i$ et $B_i$ ne soient pas à cote est inchangée. En déduire une expression sommatoire de $p_n$. #+end_exercice @@ -3916,15 +4317,21 @@ Soit $s$ un $\op{\mathsf{r}\acute{e}el}\gt 1$. On munit $\N^*$ de la probabilit #+end_exercice +# ID:7930 #+begin_exercice [X MP 2024 # 385] -On joue à pile ou face avec probabilité $p\in]0,1[$ d'obtenir pile. On decoupe la succession des lancers en sequences maximales de résultats identiques. Déterminer l'esperance de la longueur de la deuxieme sequence. +On joue à pile ou face avec probabilité $p\in]0,1[$ d'obtenir pile. On découpe la succession des lancers en sequences maximales de résultats identiques. Déterminer l'espérance de la longueur de la deuxième séquence. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + $\sum_{n\geq 1} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ +C'est $\sum_{k,\l\geq 1} \l \big(p^k (1-p)^{\l}p + (1-p)^{k} p^{\l} (1-p)\big) = \frac{p^2}{1-p} \frac{1-p}{(1- (1-p))^2} + \frac{(1-p)^2}{p} \frac{p}{(1-p)^2} = 2$. +#+END_proof +# ID:7882 #+begin_exercice [X MP 2024 # 386] -Une grille $\{1,2,3\}\times\{1,2,...,n\}$ modelise un tuyau vertical. On depose à l'instant $t=0$ une goutte d'eau au point $(2,n)$. à chaque instant, si elle se trouve au milieu (i.e. en un point $(2,k)$), la goutte descend d'un niveau avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou se deplace à droite (resp. gauche) avec probabilité $\frac{1}{4}$; si elle se trouve sur un bord, elle descend avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou va au milieu avec probabilité $\frac{1}{2}$. +Une grille $\{1,2,3\}\times\{1,2,...,n\}$ modélise un tuyau vertical. On dépose à l'instant $t=0$ une goutte d'eau au point $(2,n)$. à chaque instant, si elle se trouve au milieu (i.e. en un point $(2,k)$), la goutte descend d'un niveau avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou se deplace à droite (resp. gauche) avec probabilité $\frac{1}{4}$; si elle se trouve sur un bord, elle descend avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou va au milieu avec probabilité $\frac{1}{2}$. - Calculer la probabilité pour que la goutte sorte du tuyau à un instant $t$. - - Calculer l'esperance du temps d'attente pour que l'eau sorte du tuyau. + - s Calculer l'espérance du temps d'attente pour que l'eau sorte du tuyau. #+end_exercice @@ -3932,26 +4339,34 @@ Une grille $\{1,2,3\}\times\{1,2,...,n\}$ modelise un tuyau vertical. On depose - Soient $n\in\N^*$ et $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur les entiers pairs entre $2$ et $2n$. Déterminer $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 1)$ et $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 2)$. - Soient $n\in\N^*$ et $X_1,...,X_n$ des variables aléatoires à valeurs dans $\Z$, indépendantes et identiquement distribuées. Pour $m\in\N$, on pose : - $S_m(n)=\big{|}\{(i,j)\in\db{1,n}^2\,;\;|X_i-X_j| \leq m\}\big{|}$. + $S_m(n)=\big{|}\{(i,j)\in\db{1,n}^2\,;\;|X_i-X_j| \leq m\}\big{|}$. -Montrer que $\mathbf{E}(S_m(n))=n+n(n-1)\mathbf{P}(|X_1-X_2|\leq m)$. - - Soit $(x_n)\in\Z^{\N^*}$. + Montrer que $\mathbf{E}(S_m(n))=n+n(n-1)\mathbf{P}(|X_1-X_2|\leq m)$. + - Soit $(x_n)\in\Z^{\N^*}$. Pour $n\in\N^*$ et $m\in\N$, on pose : $s_m(n)=\big|\{(i,j)\in\db{1,n}^2\,;\;|x_i-x_j| \leq m\}\big|$. -Pour $n\in\N^*$ et $m\in\N$, on pose : $s_m(n)=\big{|}\{(i,j)\in\db{1,n}^2\,;\;|x_i-x_j| \leq m\}\big{|}$. - -Montrer que pour tout $n\in\N^*$, $s_2(n)\leq 3s_1(n)$. + Montrer que pour tout $n\in\N^*$, $s_2(n)\leq 3s_1(n)$. - En déduire que, si $X,Y$ sont deux variables aléatoires à valeurs dans $\Z$, indépendantes et de même loi, alors $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 2)\leq 3\,\mathbf{P}(|X-Y|\leq 1)$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - Fonctions indicatrices : $E(S_{m}(n))$. + - Il y a toujours les paires $(i, i)$. Ensuite, si l'on suppose qu'il y a au moins $2n$ autres paires $(i,j)$ telles que $|x_i - x_j|\leq 2$, il faut que les paires supplémentaires contribuent. !! + - Trivial : On prend des variables finies. Marche aussi sinon. +#+END_proof +# ID:7932 #+begin_exercice [X MP 2024 # 388] -Soit, pour $n\in\N^*$, $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $\db{1,n}$. On pose : $A_n=\big(\sqrt{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre apres la virgule $\big)$ et - - $B_n=\big(\sqrt{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre $\big)$, $C_n=\big(2^{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre $\big)$. - - Étudier l'existence et, le cas echeant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(A_n))$. - - Étudier l'existence et, le cas echeant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(B_n))$. - - Étudier l'existence et, le cas echeant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(C_n))$. +Soit, pour $n\in\N^*$, $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $\db{1,n}$. On considère les évènements : $A_n$ : «$\sqrt{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre apres la virgule», $B_n$ : «$\big(\sqrt{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre», et $C_n$ : «$2^{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre». + - Étudier l'existence et, le cas échéant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(A_n))$. + - Étudier l'existence et, le cas échéant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(B_n))$. + - Étudier l'existence et, le cas échéant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(C_n))$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - C'est $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\sqrt{n}} (k+0,2)^2 - (k+0,1)^2\pm 1$, les $\pm 1$ ne changent pas la limite. On trouve $\frac{1}{10}$. + - Ça diverge : Pour $n = 10^{2k}$ c'est au plus …, alors que pour $n = 4 10^{2k}$ c'est au moins …. + - $\log_{10}(2)$ +#+END_proof #+begin_exercice [X MP 2024 # 389] @@ -3969,15 +4384,23 @@ Soient $\alpha\gt 0$ et $(B_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires in #+end_exercice +# ID:7933 #+begin_exercice [X MP 2024 # 391] Soient $N\geq 1$, $\mu$ une distribution de probabilité sur $\db{1,N}$ telle que $\mu(1)\gt 0$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mu$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Soit $E=\{S_m,\ m\in\N\}$. - Pour $n\in\N^*$, montrer que $\mathbf{P}(n\in E)=\sum_{k=1}^N\mu(k)\,\mathbf{P}(n-k\in E)$. -On pose $F:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\mathbf{P}(n\in E)z^n$ et $G:z\mapsto\sum_{k=1}^N\mu(k)z^k$. + On pose $F\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\mathbf{P}(n\in E)z^n$ et $G\colon z\mapsto\sum_{k=1}^N\mu(k)z^k$. - On pose $\mathbb{D}=\{z\in\C,\ |z|\lt 1\}$. Montrer que $\colon\forall z\in\mathbb{D}$, $F(z)=\frac{1}{1-G(z)}$. - Montrer que $1$ est un pole simple de $F$ et tous les autres poles de $F$ ont un module strictement supérieur à 1. - Montrer que $\mathbf{P}(n\in E)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}\frac{1}{\mathbf{E}( X_1)}$. + - Et si $\mu$ n'est pas à support fini ? #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - Trivial. + - Trivial. + - On a $|G(z)|\lt 1$ sur $\mu U \setminus \{1\}$, et $G(z) - G(1) = \sum \mu(k) (z^k-1)$. Comme $\mu$ est fini, on trouve un équivalent de $G(z) - G(1)$ en $(z-1) E(\mu)$, donc $1$ est un pole simple de $F$. + - Décomposition en éléments simples. +#+END_proof * X - PSI :autre: @@ -4050,10 +4473,10 @@ Soit $(E):y''+\frac{t}{1+t^3}y=0$. Montrer que $(E)$ admet une solution non born #+begin_exercice [X PSI 2024 # 403] -On considére l'équation différentielle $(E):y''(t)+\phi(t)y(t)=0$, avec $\phi$ continue $2\pi$-periodique et on note $Sol$ l'ensemble des solutions de $(E)$ de classe ${\cal C}^2$ à valeurs complexes. +On considére l'équation différentielle $(E):y''(t)+\phi(t)y(t)=0$, avec $\phi$ continue $2\pi$-périodique et on note $Sol$ l'ensemble des solutions de $(E)$ de classe ${\cal C}^2$ à valeurs complexes. - Montrer qu'il existe $y_1\in Sol$ telle que $y_1(0)=1$, $y'_1(0)=0$, et $y_2\in Sol$ telle que $y_2(0)=0,y'_2(0)=1$. -Montrer que toute solution de $(E)$ est combinaison lineaire de $y_1$ et $y_2$. +Montrer que toute solution de $(E)$ est combinaison linéaire de $y_1$ et $y_2$. - Pour $y\in Sol$, on note $\Psi(y)$ la fonction $t\mapsto y(t+2\pi)$. Montrer que $\Psi(y)\in Sol$. Déterminer la nature de l'application $\Psi$. @@ -4090,12 +4513,12 @@ Soit $X$ une variable aléatoire de loi $\mc{G}(1/2)$. Pour tout $k\in\N^*$, on #+begin_exercice [X PSI 2024 # 407] -Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. On suppose que $X$ suit la loi geometrique de paramêtre $p$ et que, pour tout $N\in\N^*$, la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=N)$ est la loi binomiale $\mc{B}(N,p)$. Déterminer $\mathbf{E}(Y)$. +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. On suppose que $X$ suit la loi géométrique de paramêtre $p$ et que, pour tout $N\in\N^*$, la loi conditionnelle de $Y$ sachant $(X=N)$ est la loi binomiale $\mc{B}(N,p)$. Déterminer $\mathbf{E}(Y)$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PSI 2024 # 408] -Soit $M\,=\,\begin{pmatrix}X_1&1&0\\ 0&X_2&1\\ 0&0&X_3\end{pmatrix}$ ou $X_1$, $X_2$, $X_3$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi geometrique de paramêtre $p$. Calculer la probabilité que $M$ soit diagonalisable. +Soit $M\,=\,\begin{pmatrix}X_1&1&0\\ 0&X_2&1\\ 0&0&X_3\end{pmatrix}$ ou $X_1$, $X_2$, $X_3$ sont des variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramêtre $p$. Calculer la probabilité que $M$ soit diagonalisable. #+end_exercice @@ -4135,12 +4558,12 @@ Soit $P=X^2+c_1X+c_0$ à coefficients dans $\N$. Déterminer les suites d'entier #+begin_exercice [X PC 2024 # 414] -Soit $k\in\N$. Déterminer les suites $(a_n)_{n\in\N}$ à valeurs dans $\N$ pour lesquelles il existe un polynôme $P$ à coefficients dans $\N$, unitaire et de degre $k$ tel que $\forall n\in\N$, $P(a_n)=\prod_{j=1}^ka_{n+j}$. +Soit $k\in\N$. Déterminer les suites $(a_n)_{n\in\N}$ à valeurs dans $\N$ pour lesquelles il existe un polynôme $P$ à coefficients dans $\N$, unitaire et de degré $k$ tel que $\forall n\in\N$, $P(a_n)=\prod_{j=1}^ka_{n+j}$. #+end_exercice #+begin_exercice [X PC 2024 # 415] -Soient $A$ et $B$ deux éléments de $\R[X]$ dont toute combinaison lineaire réelle est scindée ou nulle, $x$ et $y$ deux racines de $A$ telles que $x\lt y$. Montrer que $B$ à une racine dans $[x,y]$. +Soient $A$ et $B$ deux éléments de $\R[X]$ dont toute combinaison linéaire réelle est scindée ou nulle, $x$ et $y$ deux racines de $A$ telles que $x\lt y$. Montrer que $B$ à une racine dans $[x,y]$. #+end_exercice @@ -4185,7 +4608,7 @@ Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe une matrice $M\in\M_n(\R)$ telle qu #+begin_exercice [X PC 2024 # 424] -Soient $E$ et $F$ deux $\C$-espaces vectoriels. Une application $f:E\mapsto F$ est dite antilineaire si $\forall x,y\in E,\forall\lambda\in\C,f(x+\lambda y)=f(x)+\overline{ \lambda}f(y)$ Pour quels entiers $n$ existe-t-il $f\colon\C^n\mapsto\C^n$ antilineaire telle que $f\circ f=-\op{id}$? +Soient $E$ et $F$ deux $\C$-espaces vectoriels. Une application $f:E\mapsto F$ est dite antilinéaire si $\forall x,y\in E,\forall\lambda\in\C,f(x+\lambda y)=f(x)+\overline{ \lambda}f(y)$ Pour quels entiers $n$ existe-t-il $f\colon\C^n\mapsto\C^n$ antilinéaire telle que $f\circ f=-\op{id}$? #+end_exercice @@ -4259,7 +4682,7 @@ Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $k\in\N^*$. Pour $H\in\mc{S}_n(\R)$, on pose $\phi_ #+begin_exercice [X PC 2024 # 436] -Soit $f\in\mc{L}\left(S_n(\R),\R\right)$ telle que $\forall M\in\mc{S}_n^+(\R),\ f(M)\geq 0$. Montrer que $f$ est une combinaison lineaire des formes lineaires $\phi_X:M\mapsto X^TMX$ avec $X\in\M_{n,1}(\R)$. +Soit $f\in\mc{L}\left(S_n(\R),\R\right)$ telle que $\forall M\in\mc{S}_n^+(\R),\ f(M)\geq 0$. Montrer que $f$ est une combinaison linéaire des formes linéaires $\phi_X:M\mapsto X^TMX$ avec $X\in\M_{n,1}(\R)$. #+end_exercice @@ -4320,7 +4743,7 @@ $$\int_0^{+\i}f(t)\dt$$ converge si et seulement si $$\sum f(n)$$ #+begin_exercice [X PC 2024 # 454] -Soient $k\in\N^*$ et $x_1,\ldots,x_k\in\R^{+*}$. Montrer l'inegalite $\prod_{i=1}^k(1+x_i^k)\geq\left(1+\prod_{i=1}^kx_i \right)^k$. +Soient $k\in\N^*$ et $x_1,\ldots,x_k\in\R^{+*}$. Montrer l'inégalité $\prod_{i=1}^k(1+x_i^k)\geq\left(1+\prod_{i=1}^kx_i \right)^k$. #+end_exercice @@ -4475,7 +4898,7 @@ On étudie un groupe de cellules. à l'instant initial, $n=0$, il y en à une. #+begin_exercice [X PC 2024 # 482] Soient $p\in\left]0,1\right[$, $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires définie par $X_0=0$ et, pour $n\in\N$, $X_{n+1}=X_n+1$ avec une probabilité $p$ et $X_{n+1}=0$ avec probabilité $1-p$. -Déterminer la loi de $X_n$, son esperance et sa variance. +Déterminer la loi de $X_n$, son espérance et sa variance. #+end_exercice @@ -4643,7 +5066,7 @@ Soit $f\in\mc{L}(\R^3)$ tel que $f^2=0$. Montr per que, si $F$ est un plan vecto #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 506] -Soit $\phi$ une forme lineaire sur $\M_n(\mathbb{K})$. Montr per qu'il existe $A\in\M_n(\mathbb{K})$ telle que $\phi=M\mapsto\op{tr}(AM)$. En déduire que tout hyperplan de $\M_n(\mathbb{K})$ contient une matrice inversible. +Soit $\phi$ une forme linéaire sur $\M_n(\mathbb{K})$. Montr per qu'il existe $A\in\M_n(\mathbb{K})$ telle que $\phi=M\mapsto\op{tr}(AM)$. En déduire que tout hyperplan de $\M_n(\mathbb{K})$ contient une matrice inversible. #+end_exercice @@ -4751,7 +5174,7 @@ Montrer que la famille $(f_1,...,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $(x #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 524] -Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel et $f_1,...,f_p$ des formes lineaires sur $E$. +Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel et $f_1,...,f_p$ des formes linéaires sur $E$. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes : - $(f_1,...,f_p)$ est libre, @@ -4835,7 +5258,7 @@ Soient $n\geq 2$ et $A\in\M_n(\C)$ non nulle et non inversible. #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 536] -Soient $n\in\N$, $P\in\mathbb{K}[X]$ de degre $n$, $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ des éléments distincts de $\mathbb{K}$. +Soient $n\in\N$, $P\in\mathbb{K}[X]$ de degré $n$, $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ des éléments distincts de $\mathbb{K}$. - Calculer le déterminant de la matrice $(P^{(i)}(\alpha_j))_{0\leq i,j\leq n}$. - Montrer que $(P(X+\alpha_j))_{0\leq j\leq n}$ est une base de $\mathbb{K}_n[X]$. #+end_exercice @@ -4974,7 +5397,7 @@ Soit $\Phi:u\in\mc{L}(E)\mapsto\dfrac{su+us}{2}$. Déterminer les éléments pro #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 555] Soient $A,B\in\M_n(\R)$ des matrices non nulles. Soit $f$ l'endomorphisme de $\M_n(\R)$ défini par $f(M)=M+\op{tr}(AM)B$ pour tout $M\in\M_n(\R)$. - - Déterminer un polynôme annulateur de degre $2$ de $f$. + - Déterminer un polynôme annulateur de degré $2$ de $f$. - Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit diagonalisable. - Déterminer les éléments propres de $f$. #+end_exercice @@ -5070,7 +5493,7 @@ Soient $A$ et $B$ deux matrices non cotrigonalisables de $\M_2(\C)$. Montrer qu' #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 570] Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$. - - Soit $F$ un plan stable par $f$. Montrer qu'il existe $P\in\mathbb{K}[X]$ non nul de degre au plus $2$ tel que : $F\subset\mathrm{Ker}\,P(f)$. - Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ non nul de degre $2$ divisant le polynôme minimal de $f$. Montrer qu'il existe un plan $F$ stable par $f$ tel que $F\subset\op{Ker}P(f)$. + - Soit $F$ un plan stable par $f$. Montrer qu'il existe $P\in\mathbb{K}[X]$ non nul de degré au plus $2$ tel que : $F\subset\mathrm{Ker}\,P(f)$. - Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ non nul de degré $2$ divisant le polynôme minimal de $f$. Montrer qu'il existe un plan $F$ stable par $f$ tel que $F\subset\op{Ker}P(f)$. #+end_exercice @@ -5106,7 +5529,7 @@ Soient $A,B\in\M_n(\C)$. #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 576] Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$. - On suppose que $A$ et $B$ admettent une valeur propre commune $\lambda$. Montrer qu'il existe $C\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle telle que $AC=CB=\lambda C$. - - On suppose qu'il existe $C\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle telle que $AC=CB$, et on note $r$ le rang de $C$. Montrer que $\chi_A$ et $\chi_B$ admettent un diviseur commun de degre $r$. + - On suppose qu'il existe $C\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle telle que $AC=CB$, et on note $r$ le rang de $C$. Montrer que $\chi_A$ et $\chi_B$ admettent un diviseur commun de degré $r$. - Étudier la réciproque. #+end_exercice @@ -5148,8 +5571,8 @@ On munit $\R^n$ de son produit scalaire canonique. Soient $\delta\gt 0$ et $A$ u #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 582] - Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1\frac{P(t)\,Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$. - - Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynôme $T_n$ tel que $\forall x\in\R,\ T_n(\cos(x))=\cos(nx)$. - - Donner, pour $n\in\N^*$, degre et coefficient dominant de $T_n$. - - Soit $n\in\N^*$. On note $U_n$ l'ensemble des polynômes réels unitaires de degre $n$. + - Donner, pour $n\in\N^*$, degré et coefficient dominant de $T_n$. + - Soit $n\in\N^*$. On note $U_n$ l'ensemble des polynômes réels unitaires de degré $n$. Calculer $\min_{P\in U_n}\int_{-1}^1\frac{P^2(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$. #+end_exercice @@ -5206,7 +5629,7 @@ Pour ${\mathbb{K}}={\R}$ ou ${\mathbb{K}}={\C}$, on appelle $d_n({\mathbb{K}})$ #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 592] -Soit $n\geq 3$. Soient $A,B\in{\R}^n$ non colineaires. On pose : $M=AB^T+BA^T$. +Soit $n\geq 3$. Soient $A,B\in{\R}^n$ non colinéaires. On pose : $M=AB^T+BA^T$. - Montrer que $M$ est diagonalisable. - Déterminer ${\rm rg}\,M$. - Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $M$. @@ -5258,7 +5681,7 @@ Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal O}_n({\R})$. Montrer que On munit ${\R}^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $e_1,e_2\in{\R}^3$ et $f:x\mapsto\langle x,e_1\rangle\,e_2+\langle x,e_1\rangle\,e_1$. - - Si $e_1$ et $e_2$ sont lineairement indépendants, montrer qu'il existe une base orthonormée de ${\R}^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est ${\rm Diag}(\lambda_1,\lambda_2,0)$ avec $\lambda_1,\lambda_2\in{\R}^*$. + - Si $e_1$ et $e_2$ sont linéairement indépendants, montrer qu'il existe une base orthonormée de ${\R}^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est ${\rm Diag}(\lambda_1,\lambda_2,0)$ avec $\lambda_1,\lambda_2\in{\R}^*$. - Étudier la réciproque. #+end_exercice @@ -5329,7 +5752,7 @@ Soient $E$ un espace euclidien, $u\in\mc{S}(E)$, $a$ et $b$ deux réels tels que #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 609] -Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer que $M$ est combinaison lineaire de quatre matrices orthogonales. +Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer que $M$ est combinaison linéaire de quatre matrices orthogonales. #+end_exercice @@ -5489,7 +5912,7 @@ Soient $C$ une partie convexe d'un espace norme $E$, $X$ une partie de $E$ telle #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 633] - - Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n$. Montrer que $P$ est scindé sur $\R$ si et seulement si, pour tout $z\in\C$, $|\op{Im}(z)|^n\leq|P(z)|$. + - Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que $P$ est scindé sur $\R$ si et seulement si, pour tout $z\in\C$, $|\op{Im}(z)|^n\leq|P(z)|$. - On note $\mc{T}$ l'ensemble des matrices trigonalisables sur $\R$ et $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables. Montrer que $\mc{T}$ est un fermé de $\M_n(\R)$ et que l'adherence de $\mc{D}$ est $\mc{T}$. #+end_exercice @@ -5750,7 +6173,7 @@ Soit $I$ un intervalle non trivial de $\R$. Montrer que toute fonction de classe #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 678] -Soit $f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$. Montrer que la derivée $n$-ieme de $f$ s'écrit sous la forme $\dfrac{P_n(t)}{(1+t^2)^{n+\frac{3}{2}}}$ ou $P_n\in\R[X]$. Trouver une relation lineaire entre $P_{n+2},P_{n+1}$ et $P_n$. +Soit $f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$. Montrer que la derivée $n$-ieme de $f$ s'écrit sous la forme $\dfrac{P_n(t)}{(1+t^2)^{n+\frac{3}{2}}}$ ou $P_n\in\R[X]$. Trouver une relation linéaire entre $P_{n+2},P_{n+1}$ et $P_n$. #+end_exercice @@ -5789,8 +6212,8 @@ Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $f'(t)+f(t)\ra 0$ quand $t #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 685] Posons $f:x\neq 0\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}$ prolongée par continuité en $0$. - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$. - - Montrer que $f$ n'est solution d'aucune équation différentielle lineaire homogène. - - Pour $n\in\N$, soit $P_n\in\R[X]$ tel que $\forall x\neq 0$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$. Déterminer degre et coefficient dominant de $P_n$. + - Montrer que $f$ n'est solution d'aucune équation différentielle linéaire homogène. + - Pour $n\in\N$, soit $P_n\in\R[X]$ tel que $\forall x\neq 0$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$. Déterminer degré et coefficient dominant de $P_n$. - Montrer que les polynômes $P_n$ sont scindés dans $\R$. #+end_exercice @@ -5829,7 +6252,7 @@ Montrer que $\forall x\gt 0,\ \int_0^xf(t)dt+\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=xf(x)$. - - Soit $x\gt 0$. Pour $n\in\N^*$ et $i\in\db{0,n}$, on note $x_{i,n}=\frac{ix}{n}$. Montrer que $\sum_{i=0}^{n-1}x_{i,n}(f(x_{i+1,n})-f(x_{i,n}))\longrightarrow \int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt$ quand $n\ra+\i$. - - Montrer l'egalite vue en -. + - Montrer l'égalité vue en -. - Soient $a\in\R^+$ et $b\in f\colon\R^+\ra\R^+$ continue et bijective. Montrer que $\int_0^af(t)dt+\int_0^bf^{-1}(t)dt\geq ab$. @@ -5879,7 +6302,7 @@ Soit $a\gt 0$. Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\ln t}{a^2+t^2}\dt$. Que dire de $\in #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 697] Soit $E$ l'ensemble des $f\in\mc C^1([0,1],\R)$ telles que $f(0)=f(1)=0$. - Pour $f\in E$, montrer la convergence de $I_1=\int_0^1f(t)f'(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)dt$ et de $I_2=\int_0^1f^2(t)\;(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))dt$. Comparer $I_1$ et $I_2$. - - Montrer que, si $f\in E$, $\int_0^1(f')^2\geq\pi^2\int_0^1f^2$. Pour quelles $f$ y-a-t-il egalite? + - Montrer que, si $f\in E$, $\int_0^1(f')^2\geq\pi^2\int_0^1f^2$. Pour quelles $f$ y-a-t-il égalité? #+end_exercice @@ -5943,7 +6366,7 @@ Trouver un équivalent simple de $\int_0^x\frac{|\sin t|}{t}\dt$ quand $x$ tend #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 707] -Soit $f\colon\R\ra\C$ une fonction continue et $T$-periodique. - à quelle condition $f$ admet-elle une primitive $T$-periodique? +Soit $f\colon\R\ra\C$ une fonction continue et $T$-périodique. - à quelle condition $f$ admet-elle une primitive $T$-périodique? - On suppose à present que $\int_0^Tf(x)\dx\neq 0$, et on fixe un réel $a\in]0,1]$. Donner un équivalent de $\int_1^x\frac{f(t)}{t^a}\dt$ quand $x\ra+\i$. #+end_exercice @@ -6222,7 +6645,7 @@ Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R\gt 0$ et de so #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 743] -Soient $P\in\R[X]$ de degre $2$ et $f:x\mapsto e^{P(x)}$. Montrer que $f$ est développable en série entière en $0$ et que deux coefficients consécutifs de ce développement ne sont jamais simultanement nuls. +Soient $P\in\R[X]$ de degré $2$ et $f:x\mapsto e^{P(x)}$. Montrer que $f$ est développable en série entière en $0$ et que deux coefficients consécutifs de ce développement ne sont jamais simultanement nuls. #+end_exercice @@ -6351,7 +6774,7 @@ Pour $x\in\R$, calculer $f(x)=\int_{-\i}^{+\i}e^{-t^2/2}e^{-ixt}dt$ par deux met - en déterminant le développement en série entière de $f(x)$; - - en montrant que $f$ est de classe $\mc C^1$ et vérifie une équation différentielle lineaire d'ordre $1$. + - en montrant que $f$ est de classe $\mc C^1$ et vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre $1$. #+end_exercice @@ -6480,7 +6903,7 @@ On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique. Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 784] -Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $\C^*$ et une application $X$ de classe $\mc C^1$ non identiquement nulle de $\R$ dans $\C^n$ telle que, pour tout $t\in\R$, $X'(t)=A(t)X(t)$ et $X(t+T)=\lambda X(t)$. +Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-périodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $\C^*$ et une application $X$ de classe $\mc C^1$ non identiquement nulle de $\R$ dans $\C^n$ telle que, pour tout $t\in\R$, $X'(t)=A(t)X(t)$ et $X(t+T)=\lambda X(t)$. #+end_exercice @@ -6541,7 +6964,7 @@ _Ind._ Considérer $\psi:t\mapsto f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-\frac{1}{2} #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 794] -On munit $E=\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Pour $x\in E\setminus\{0\}$, on note $f(x)$ l'unique vecteur $y$ positivement colineaire à $x$ vérifiant : $\|x\|\times\|y\|=1$. +On munit $E=\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Pour $x\in E\setminus\{0\}$, on note $f(x)$ l'unique vecteur $y$ positivement colinéaire à $x$ vérifiant : $\|x\|\times\|y\|=1$. - Montrer que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle en tout point. - Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Interpréter $df(x)$ en faisant intervenir la reflexion d'axe $\{x\}^{\perp}$. - En déduire que $df(x)$ conserve les angles. @@ -6603,7 +7026,7 @@ Extrema de $f:(x,y)\in\R^2\mapsto xe^y+ye^x$. #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 802] -Soient $E$ un espace euclidien, $\phi\in E^*$ une forme lineaire et $f:x\mapsto\phi(x)e^{-\|x\|^2}$. Étudier les extrema de $f$. +Soient $E$ un espace euclidien, $\phi\in E^*$ une forme linéaire et $f:x\mapsto\phi(x)e^{-\|x\|^2}$. Étudier les extrema de $f$. #+end_exercice @@ -6640,9 +7063,9 @@ Déterminer les espaces tangents en $I_n$ aux parties $\text{SL}_n(\R)$ et $\mc{ #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 807] - - Soient $A$ la $\R$-algèbre des fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^n$ dans $\R$ et $I$ l'ensemble des $f\in A$ telles que $f(0)=0$. Montrer que $I$ est un idéal de $A$ et que tout élément de $I$ s'écrit $\sum\limits_{i=1}^nf_i\theta_i$ ou les $f_i$ sont dans $A$ et les $\theta_i$ sont les formes lineaires coordonnées canoniques sur $\R^n$. + - Soient $A$ la $\R$-algèbre des fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^n$ dans $\R$ et $I$ l'ensemble des $f\in A$ telles que $f(0)=0$. Montrer que $I$ est un idéal de $A$ et que tout élément de $I$ s'écrit $\sum\limits_{i=1}^nf_i\theta_i$ ou les $f_i$ sont dans $A$ et les $\theta_i$ sont les formes linéaires coordonnées canoniques sur $\R^n$. - Déterminer les $\phi$ de $A^*$ vérifiant, pour tout $(f,g)\in A^2$, $\phi(fg)=f(0)\phi(g)+g(0)\phi(f)$. - - Montrer que l'ensemble des formes lineaires de la question précédente est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $A^*$. Quelle est sa dimension? + - Montrer que l'ensemble des formes linéaires de la question précédente est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $A^*$. Quelle est sa dimension? #+end_exercice @@ -6666,7 +7089,7 @@ On lance $N$ des. à chaque tour, on relance ceux qui n'ont pas donne $6$ lors d - Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcup_{n=1}^{+\i}(S_n=N)\right)=1$. - On pose $T_N=\inf\{n\in\N^*,\ S_n=N\}\in\N^*\cup\{+\i\}$. - Donner la loi de $T_N$. - - Montrer que $T_N$ admet une esperance et la calculer. + - Montrer que $T_N$ admet une espérance et la calculer. #+end_exercice @@ -6678,18 +7101,20 @@ Un peage comporte $3$ voies et $n$ voitures se presentent en choisissant aléato #+end_exercice +# ID:7880 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 812] Une urne contient des boules numérotées de 0 à $n$. On en prend une poignée au hasard et on note les numéros obtenus. On effectue deux tirages indépendants. Soit $X$ la variables aléatoire correspondant au nombre de numéros communs entre les deux poignées. Déterminer la loi de $X$. #+end_exercice +# ID:7881 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 813] Soient $m,n,p$ des entiers $\geq 1$ tels que $p\leq\min(m,n)$. Une urne contient $m$ boules mauves et $n$ boules noires. On tire simultanement $p$ boules dans l'ume et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules mauves tires. Quelle est la valeur la plus probable de $X$? #+end_exercice #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 814] -Une urne contient $a\geq 1$ boules blanches et $b\geq 1$ boules rouges. à chaque tirage, on remet la boule tirée et on ajoute $c\geq 1$ boules de la même couleur. Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le rang de la première boule blanche tirée. Donner sa loi. Admet-elle une esperance? Un moment d'ordre $p\geq 2$? +Une urne contient $a\geq 1$ boules blanches et $b\geq 1$ boules rouges. à chaque tirage, on remet la boule tirée et on ajoute $c\geq 1$ boules de la même couleur. Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le rang de la première boule blanche tirée. Donner sa loi. Admet-elle une espérance? Un moment d'ordre $p\geq 2$? #+end_exercice @@ -6716,12 +7141,13 @@ Soient $A$ et $B$ deux évènements. Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants s #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 818] -Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et d'esperance finie. +Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et d'espérance finie. -Montr per que $\sum_{n\in\N^*}\mathbf{P}(X\geq n)$ converge et donner sa somme. +Montrer que $\sum_{n\in\N^*}\mathbf{P}(X\geq n)$ converge et donner sa somme. #+end_exercice +# ID:7845 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 819] Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$. @@ -6730,7 +7156,7 @@ Calculer $\mathbf{E}\left(\frac{1}{X+1}\right)$ et $\mathbf{E}\left(\frac{1}{(X+ #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 820] -Soient $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi geometrique de paramêtre $1/2$. On pose : $U=\max(X,Y)$ et $V=\min(X,Y)$. Déterminer la loi de $(X,Y)$. +Soient $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi géométrique de paramêtre $1/2$. On pose : $U=\max(X,Y)$ et $V=\min(X,Y)$. Déterminer la loi de $(X,Y)$. #+end_exercice @@ -6773,12 +7199,18 @@ Soient $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lam On suppose que la probabilité de tirer un entier $n\in\N^*$ est $\frac{1}{2^n}$. - Calculer $\mathbf{P}(A_p)$ ou $A_p$ est l'évènement $\lnot n$ est multiple de $p$. - Calculer $\mathbf{P}(A_2\cup A_3)$. - - On note $B$ l'évènement $\lnot n$ est premier $\lnot n$. Montr per que $\frac{13}{32}\lt \mathbf{P}(B)\lt \frac{209}{504}$. En déduire $\mathbf{P}(B)$ à $10^{-2}$ pres. + - On note $B$ l'évènement $\lnot n$ est premier $\lnot n$. Montrer que $\frac{13}{32}\lt \mathbf{P}(B)\lt \frac{209}{504}$. En déduire $\mathbf{P}(B)$ à $10^{-2}$ pres. #+end_exercice +#+BEGIN_proof + - + - + - +#+END_proof +# ID:7843 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 828] -Soit $A,B$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi geometrique de paramêtre $p\in]0,1[$. Calculer ${\bf P}(A^B\leq B^A)$. +Soit $A,B$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. Calculer ${\bf P}(A^B\leq B^A)$. #+end_exercice @@ -6793,14 +7225,14 @@ Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables i.i.d. de loi de Bernoulli ${\cal #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 831] -Soit $(E_n)_{n\geq 0}$ une suite d'évènements de $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ et $Z=\sum_{n=0}^{+\i}{\bf 1}_{E_n}$. Montrer que si $\sum{\bf P}(E_n)$ converge alors $Z$ est d'esperance finie. +Soit $(E_n)_{n\geq 0}$ une suite d'évènements de $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ et $Z=\sum_{n=0}^{+\i}{\bf 1}_{E_n}$. Montrer que si $\sum{\bf P}(E_n)$ converge alors $Z$ est d'espérance finie. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 832] - Soit $n\in\N^*$. Donner le développement en série entière de $f:t\mapsto\frac{1}{(1-t)^n}$. - En déduire que $|\{(k_1,\ldots,k_n)\in\N^n,\ k_1+\cdots+k_n=s\}|=\binom{s+n- 1}{n}$. - - Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ i.i.d. suivant la loi geometrique de paramêtre $p\in\,]0,1[$. + - Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ i.i.d. suivant la loi géométrique de paramêtre $p\in\,]0,1[$. Déterminer ${\bf P}\left(\bigcup_{n\geq 1}\left(X_1+\cdots+X_n=s\right)\right)$. #+end_exercice @@ -6821,13 +7253,13 @@ Soient $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $a_0,\ldots,a_{k-1}\in\,]0,1[^k$ tels que $a_0+\ #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 835] -Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi geometrique de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $Y=\int_0^{2\pi}\sin(t)^Xdt$. Montrer que $Y$ possède une esperance et la calculer. +Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $Y=\int_0^{2\pi}\sin(t)^Xdt$. Montrer que $Y$ possède une espérance et la calculer. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 836] -Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi geometrique de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$. - - Calculer ${\bf P}(Y=0)$ puis ${\bf P}(Y=n)$ pour $n\in\N^*$. Montrer que $Y$ admet une esperance et la calculer. +Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$. + - Calculer ${\bf P}(Y=0)$ puis ${\bf P}(Y=n)$ pour $n\in\N^*$. Montrer que $Y$ admet une espérance et la calculer. - Montrer que ${\bf E}(X_1-X_2)^2=2\,{\bf V}(X_1)$. En déduire que $Y$ admet une variance et la calculer. #+end_exercice @@ -6844,13 +7276,13 @@ Soient un espace probabilise $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ et une variable aléato #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 838] - Rappeler le développement en série entière au voisinage de $0$ de $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$, ainsi que sa validite. - Donner une condition nécessaire et suffisante sur le réel $r$ pour qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que ${\bf P}(X=n)=\frac{(2n)!}{2^{3n}(n!)^2}r$ pour tout $n\in\N$. - - Calculer alors l'esperance et la variance de $X$. + - Calculer alors l'espérance et la variance de $X$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 839] Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall k\in\N^*,\ {\bf P}(X=k)=\frac{1}{2^k}$. - - Justifier la bonne définition d'une telle loi et calculer l'esperance de $X$. + - Justifier la bonne définition d'une telle loi et calculer l'espérance de $X$. - Pour $n\in\N^*$, on note $A_n$ l'évènement $(n|X)$. Les évènements $A_p$ et $A_q$ sont-ils indépendants si $p$ et $q$ sont deux entiers pairs? - Étudier l'indépendance de $A_p$ et $A_q$ pour $p$ et $q$ entiers quelconques. #+end_exercice @@ -6864,9 +7296,10 @@ Soit $p\in\,]0,1[$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d #+end_exercice +# ID:7844 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 841] -Soient $\lambda\gt 0$ et $n\in\N$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$. On pose $Y=(X+n)!$ - - Trouver une condition sur $\lambda$ pour que $Y$ admette une esperance finie. +Soient $\lambda\gt 0$ et $n\in\N$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On pose $Y=(X+n)!$ + - Trouver une condition sur $\lambda$ pour que $Y$ admette une espérance finie. - On suppose que $Y\in L^1$. Montrer que : $\forall m\in\N^*,{\bf P}(Y\geq m)\leq\frac{n!}{m(1-\lambda)^{ n+1}}$. #+end_exercice @@ -6879,7 +7312,7 @@ Soient $\lambda\gt 0$ et $n\in\N$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 843] Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\R^{+*}$ telle que : ${\bf E}\left(1/X\right)\lt +\i$. On définit $F_X$ sur $\R^+$ par : $\forall t\in\R^+,F_X(t)={\bf E}(e^{-tX})$. - - Montrer que $F_X$ est bien définie, continue, intégrable sur $\R^+$ et calculer $\int_0^{+\i}F_X$. - Soient $Y,Z$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent chacune la loi geometrique de paramêtre $p\in\,]0,1[$. Calculer ${\bf E}\Big(\frac{1}{X+Y}\Big)$. + - Montrer que $F_X$ est bien définie, continue, intégrable sur $\R^+$ et calculer $\int_0^{+\i}F_X$. - Soient $Y,Z$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent chacune la loi géométrique de paramêtre $p\in\,]0,1[$. Calculer ${\bf E}\Big(\frac{1}{X+Y}\Big)$. #+end_exercice @@ -6889,10 +7322,11 @@ Soient $X_1$,..., $X_n$ des variables aléatoires indépendantes. Notons, pour t On note $X=\max(X_1,\ldots,X_n)$ et $Y=\min(X_1,\ldots,X_n)$. - Montrer que $F_X=\prod_{k=1}^nF_k$ et $F_Y=1-\prod_{k=1}^n(1-F_k)$. - Soient $x,y\in\R$ avec $y\lt x$. Montrer que ${\bf P}(y\lt Y\leq X\leq x)=\prod_{k=1}^n(F_k(x)-F_k(y))$. - - Supposons que les $X_k$ suivent des lois geometrique de paramêtre $p_k\in]0,1[$. Déterminer la loi de $Y$. + - Supposons que les $X_k$ suivent des lois géométrique de paramêtre $p_k\in]0,1[$. Déterminer la loi de $Y$. #+end_exercice +# ID:7846 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 845] Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et admettant une variance. - Montrer que la fonction generatrice de $X$ est convexe sur $[0,1]$. @@ -6911,14 +7345,14 @@ Soient $m,n\in\N$ tels que $n\gt m+2$. On définit une suite $(u_k)_{k\in\N}$ en #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 847] -Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi geometrique ${\cal G}(p)$, avec $p\in]0,1[$. +Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique ${\cal G}(p)$, avec $p\in]0,1[$. - Soit $n\in\N^*$. Donner la loi de $S_n=X_1+\cdots+X_n$. - Déterminer un équivalent de $\max\{{\bf P}(S_n=k),k\in\N\}$ lorsque $n\ra+\i$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 848] -Soient $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi ${\cal G}(p)$ et $N$ une variable indépendante des $X_i$ qui suit la loi ${\cal G}(q)$. Soit $S=\sum_{k=1}^NX_k$. Montrer que $S$ est une variable aléatoire et déterminer son esperance et sa variance. +Soient $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi ${\cal G}(p)$ et $N$ une variable indépendante des $X_i$ qui suit la loi ${\cal G}(q)$. Soit $S=\sum_{k=1}^NX_k$. Montrer que $S$ est une variable aléatoire et déterminer son espérance et sa variance. #+end_exercice @@ -6937,7 +7371,7 @@ Pour $\lambda\in\R$, montrer que $V\in\mathrm{Ker}(M-\lambda I_{2N+1})$ si et se #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 850] -Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi geometrique $\mc{G}(p)$, avec $p\in]0,1[$. Pour $n\in\N^*$, soient $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$, $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$, $a_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $b_n=\mathbf{E}(Z_n)$. +Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique $\mc{G}(p)$, avec $p\in]0,1[$. Pour $n\in\N^*$, soient $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$, $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$, $a_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $b_n=\mathbf{E}(Z_n)$. - Étudier la monotonie de $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$. - Pour $n\in\N^*$, déterminer $a_n$. - Déterminer la limite et un équivalent simple de $(b_n)_{n\geq 1}$. @@ -6969,7 +7403,7 @@ Pour $j\in\db{1,n-k+1}$, $B_j$ designe l'évènement $\llcorner$ la première vo En déduire que $\mathbf{E}(X_n)=k+\frac{2}{n-k+1}\sum_{\ell=0}^{n-k}\mathbf{E}(X_{\ell})$. - Pour $n\in\N$, on pose $S_n=\mathbf{E}(X_0)+\cdots+\mathbf{E}(X_n)$. -Montrer que la somme $f$ de la série entière $\sum S_nt^n$ est au moins définie sur $]0,1[$ et vérifie une équation différentielle lineaire d'ordre $1$. +Montrer que la somme $f$ de la série entière $\sum S_nt^n$ est au moins définie sur $]0,1[$ et vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre $1$. - Expliciter $f$ et en déduire une expression de $\mathbf{E}(X_n)$ pour $n\in\N$. #+end_exercice @@ -6980,7 +7414,7 @@ Montrer que la somme $f$ de la série entière $\sum S_nt^n$ est au moins défin #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 854] Soit $A=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}7&-4&0\\ 6&-7&0\\ 0&0&-5\end{pmatrix}$. - - Interpréter geometriquement $A$. + - Interpréter géométriquement $A$. - Donner l'image du plan $P$ d'équation $x-y-z=0$ par $A$. #+end_exercice @@ -7017,7 +7451,7 @@ Soit $r\geq 2$. #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 860] Soient $a_1,\dots,a_n$ des nombres complexes distincts. Soit $A\in\M_n(\C)$ la matrice de terme general $a_{i,j}=\left\{\begin{array}{c}0\text{ si }i=j\\ a_j\text{ si }i\neq j\end{array}.$. Soit $P\::x\mapsto\det(A+xI_n)$. - - Montrer que $P$ est un polynôme unitaire de degre $n$. + - Montrer que $P$ est un polynôme unitaire de degré $n$. - Calculer $P(a_i)$. - Trouver l'expression de $P$. - Décomposer $\frac{P(X)}{(X-a_1)\cdots(X-a_n)}$ en éléments simples. @@ -7054,7 +7488,7 @@ Soient $n\geq 2$ et $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $\forall M\in{\cal M}_n(\R)$, #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 865] - - Soit $n\in\N$. Montrer qu'il existe un polynôme $P_n$ de degre $\leq n$ tel que $X+1-P_n^2(X)$ soit divisible par $X^{n+1}$._Ind._ Penser aux développements limites. + - Soit $n\in\N$. Montrer qu'il existe un polynôme $P_n$ de degré $\leq n$ tel que $X+1-P_n^2(X)$ soit divisible par $X^{n+1}$._Ind._ Penser aux développements limites. - Soit $N\in{\cal M}_n(\C)$ une matrice nilpotente. Montrer qu'il existe une matrice $B\in\op{GL}_n(\C)$ tel que $B^2=I_n+N$. #+end_exercice @@ -7119,7 +7553,7 @@ Soient $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimensio #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 875] Soient $a\in\C$ et $u:P\in\C[X]\mapsto(X-a)P'$. - - Montrer que $u$ est lineaire. + - Montrer que $u$ est linéaire. - Trouver les valeurs propres de $u$. - Trouver les $P$ dans $\C[X]$ tels que $P'$ divise $P$. #+end_exercice @@ -7200,7 +7634,7 @@ En considérant une division euclidienne, montrer que : $\forall k\in\N,\ A^k\in #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 886] - Soit $P\in\C[X]$ un polynôme non constant. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $P(M)=0$. - - Soit $Q\in\R[X]$ un polynôme de degre $2$. Montrer qu'il existe $M\in\M_2(\R)$ telle que $Q(M)=0$. + - Soit $Q\in\R[X]$ un polynôme de degré $2$. Montrer qu'il existe $M\in\M_2(\R)$ telle que $Q(M)=0$. #+end_exercice @@ -7223,7 +7657,7 @@ Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$. Soit $f_A\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ définie par #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 889] -Soit $E_N$ l'ensemble des suites à valeurs complexes $N$-periodiques. +Soit $E_N$ l'ensemble des suites à valeurs complexes $N$-périodiques. - Montrer que $E_N$ est un espace vectoriel de dimension finie et en déterminer sa dimension. Soit $T\,:E_N\ra E_N$ définie par $\forall u\in E_N,\,(T(u))_n=u_{n+1}$. - Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E_N$. - Déterminer les éléments propres de $T$ de deux facons différentes, en revenant à la définition et matriciellement. @@ -7543,7 +7977,7 @@ On définit $f$ sur $\R^+$ par $f(x)=2x^7+x$. - L'intégrale $\int_0^{+\i}F(x)\,{\rm d}x$ est-elle convergente? #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 929] -Soit $f\,\colon\,\R\,\ra\R$ continue et $T$-periodique. On se propose de prouver l'existence d'un unique $\lambda\in\R$ tel que l'intégrale $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,{\rm d}t$ converge. +Soit $f\,\colon\,\R\,\ra\R$ continue et $T$-périodique. On se propose de prouver l'existence d'un unique $\lambda\in\R$ tel que l'intégrale $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,{\rm d}t$ converge. - Étudier le cas particulier ou $f=\sin$. #+end_exercice @@ -7865,7 +8299,7 @@ Soit $J:x\mapsto\int_0^{\pi}\cos(x\sin(\theta))\,d\theta$. #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 967] On pose $f(x,y)=\frac{1}{1-y^2}\ln\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$. On note $\Omega$ l'ensemble de définition de $f$. - Representer $\Omega$ et montrer que c'est un ouvert. - - Monter que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\Omega$. - Comparer $f(1/x,y)$ et $f(x,y)$. Donner une interprétation geometrique pour $x\gt 0$ et $y\in]0,1[$. + - Monter que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\Omega$. - Comparer $f(1/x,y)$ et $f(x,y)$. Donner une interprétation géométrique pour $x\gt 0$ et $y\in]0,1[$. - Montrer que $f$ vérifie $:2yf+(1-x^2)\frac{\partial f}{\partial x}-(1-y^2)\frac{\partial f}{ \partial y}=0$. #+end_exercice @@ -7934,7 +8368,7 @@ Soient $s\gt 1$ et $\zeta(s)=\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{k^s}$. Soit $X$ une variab - Soit $n\in\N^*$. Calculer $\mathbf{P}(n$ divise $X)$. - Soit $p$ un nombre premier et $v_p(k)=\max\{i\in\N,p^i$ divise $k\}$ pour tout $k\in\N^*$. -Déterminer la loi de $v_p(X)$ puis son esperance. +Déterminer la loi de $v_p(X)$ puis son espérance. #+end_exercice @@ -7965,15 +8399,15 @@ Soit $(X_k)$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoul Soit $T=\min\{k\geq 2,X_{k-1}=X_k=1\}\in\N\cup\{+\i\}$. - Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{k=0}^{+\i}A_k\right)=1$ et en déduire que $\mathbf{P}(T\in\N)=1$. - - Établir une relation de récurrence lineaire d'ordre deux vérifiée par $(\mathbf{P}(T=n))$. - - Calculer l'esperance de $T$. + - Établir une relation de récurrence linéaire d'ordre deux vérifiée par $(\mathbf{P}(T=n))$. + - Calculer l'espérance de $T$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PSI 2024 # 980] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de lois respectives $\mc{G}(p)$ et $\mc{G}(q)$, ou $p$ et $q$ sont éléments de $]0,1[$. On pose $U=\dfrac{X}{Y}$. - Donner la loi de $U$. - - Calculer l'esperance de $U$. + - Calculer l'espérance de $U$. - Si $p=q$, montrer que $\mathbf{E}(U)\gt 1$. #+end_exercice @@ -7984,7 +8418,7 @@ Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. de loi $\mc{B}(p)$. On - Déterminer la probabilité que $M$ soit une matrice de projecteur. - Dans cette question, on prend $n=2$. On note $V$ la matrice ligne $\begin{pmatrix}1&1\end{pmatrix}$ et $X=VMV^T$. -Déterminer l'esperance et la variance de $X$. +Déterminer l'espérance et la variance de $X$. #+end_exercice @@ -8031,19 +8465,19 @@ Déterminer les polynômes réels $P$ vérifiant $P(X)P(X+1)=P(X^2)$. #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 987] - Soit $P\in\Z[X]$ unitaire. Montrer que ses racines rationnelles sont dans $\Z$. - - Pour $n\in\N^*$, montrer qu'il existe un polynôme unitaire $P_n\in\Z[X]$ de degre $n$ tel que, pour tout $\theta\in\R$, on ait $P_n(2\cos\theta)=2\cos(n\theta)$. + - Pour $n\in\N^*$, montrer qu'il existe un polynôme unitaire $P_n\in\Z[X]$ de degré $n$ tel que, pour tout $\theta\in\R$, on ait $P_n(2\cos\theta)=2\cos(n\theta)$. - Montrer que $\cos(\pi\Q)\cap\Q=\biggl{\{}-1,-\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{2},1 \biggr{\}}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 988] -Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n$. Calculer $\sum_{k=0}^n\dfrac{P(k)}{\prod_{i\neq k}(k-i)}$. +Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Calculer $\sum_{k=0}^n\dfrac{P(k)}{\prod_{i\neq k}(k-i)}$. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 989] Soit $n\in\N$, $n\geq 2$. On note $(*)\;(1+iX)^{2n+1}-(1-iX)^{2n+1}=2iXQ_n\,(X)$. - - Montrer qu'il existe un unique $Q_n\in\R\,[X]$ vérifiant $(*)$. Donner le degre et le coefficient dominant de $Q_n$. + - Montrer qu'il existe un unique $Q_n\in\R\,[X]$ vérifiant $(*)$. Donner le degré et le coefficient dominant de $Q_n$. - Déterminer les racines de $Q_n$. - Calculer $\prod_{k=0}^{n-1}\bigg(4+\tan^2\bigg(\dfrac{k\pi}{2n+1}\bigg) \bigg)$. #+end_exercice @@ -8123,7 +8557,7 @@ Vérifier que $\left(AB\right)^2=AB$. Déterminer $\op{rg}\left(A\right)$, $\op{ #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1002] -Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $\phi$ une forme lineaire sur $E$ et $f\in\mc{L}\left(E\right)$. +Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $\phi$ une forme linéaire sur $E$ et $f\in\mc{L}\left(E\right)$. - Montrer que $\op{Ker}\left(\phi\right)$ est stable par $f$ si et seulement s'il existe $\lambda\in\R$ tel que $\phi\circ f=\lambda\phi$. - Soit $\mc{B}$ une base de $E$. On pose $L=\op{Mat}_{\mc{B}}\left(\phi\right)$ et $A=\op{Mat}_{\mc{B}}\left(f\right)$. Montrer que $\op{Ker}\left(\phi\right)$ est stable par $f$ si et seulement s'il existe $\lambda\in\R$ tel que $A^TL^T=\lambda L^T$. - Trouver toutes les droites stables par l'endomorphisme dont la matrice dans la base canonique de $\R^3$ est $\left(\begin{array}{rrr}1&1&0\\ 0&1&0\\ 0&0&2\end{array}\right)$. @@ -8209,7 +8643,7 @@ Montrer que $A(\op{Ker}(B))\subset\op{Ker}(B))$ ou $A(\op{Im}(B))\subset\op{Im}( #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1016] -Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $p$ et $f_1,\ldots,f_p$ des formes lineaires sur $E$. Prouver l'équivalence des trois assertions suivantes : +Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $p$ et $f_1,\ldots,f_p$ des formes linéaires sur $E$. Prouver l'équivalence des trois assertions suivantes : - $(f_1,\ldots,f_p)$ est libre, - $u:x\in E\mapsto(f_1(x),\ldots,f_p(x))\in\mathbb{K}^p$ est surjective, - il existe $x_1,\ldots,x_p\in E$ tels que $\det(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0$. @@ -8253,7 +8687,7 @@ Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1023] Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 2$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ de spectre vide. - - Montrer qu'il existe $P\in\R[X]$ de degre $2$ tel que $\op{Ker}P(u)\neq\{0\}$. + - Montrer qu'il existe $P\in\R[X]$ de degré $2$ tel que $\op{Ker}P(u)\neq\{0\}$. - Montrer qu'il existe un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension 2 et stable par $u$. - En déduire que tout endomorphisme de $E$ admet un sous-espace vectoriel stable de dimension 1 ou 2. #+end_exercice @@ -8367,7 +8801,7 @@ Soit $A\in\M_3(\R)$. On cherche le nombre de solutions de l'équation $B^3=A$ da On note $D:P\mapsto P'$ l'endomorphisme derivation de $\R[X]$. - Montrer que, pour tout $n\in\N$, $\R_n[X]$ est stable par $D$ et déterminer la matrice de l'endomorphisme induit par $D$ dans la base canonique de $\R_n[X]$. - Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\R[X]$ de dimension finie non nulle stable par $D$. - - Montrer qu'il existe un entier $n$ et un polynôme $R$ de degre $n$ tel que $R\in F$ et $F\subset\R_n[X]$. + - Montrer qu'il existe un entier $n$ et un polynôme $R$ de degré $n$ tel que $R\in F$ et $F\subset\R_n[X]$. - Montrer que la famille $(D^j(R))_{0\leq j\leq n}$ est libre. - En déduire que $F=\R_n[X]$. - Expliciter tous les sous-espaces vectoriels de $\R[X]$ stables par $D$. @@ -8678,7 +9112,7 @@ Déterminer les applications $f\colon\R\ra\R$ telles que l'image de tout segment #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1084] -Soit $f\colon\R^p\ra\R^n$ telle que $\forall(x,y)\in(\R^p)^2$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Montrer que $f$ est continue si et seulement si $f$ est lineaire. +Soit $f\colon\R^p\ra\R^n$ telle que $\forall(x,y)\in(\R^p)^2$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Montrer que $f$ est continue si et seulement si $f$ est linéaire. #+end_exercice @@ -8781,7 +9215,7 @@ Montrer que $\forall x\in\R^+$, $u\left(x\right)\leq c\exp\left(\int_0^xv\left(t #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1102] -Montrer qu'il existe $(A,B)\in\R^2$ tel que, pour tout $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ $2\pi$-periodique, on ait $\sup_{\R}|f|\leq A{\int_0^{2\pi}|f|+B{\int_0^{2\pi}|f'|.}}$ L'inegalite subsiste-elle si on enleve une hypothese. +Montrer qu'il existe $(A,B)\in\R^2$ tel que, pour tout $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ $2\pi$-périodique, on ait $\sup_{\R}|f|\leq A{\int_0^{2\pi}|f|+B{\int_0^{2\pi}|f'|.}}$ L'inégalité subsiste-elle si on enleve une hypothese. #+end_exercice @@ -8833,7 +9267,7 @@ On considére ${E=\{f\in\mc C^2([0,1],\R),\ f(0)=f(1)=0\}}$. Soit $f\in E$. - En considérant ${\int_0^1\left(\pi\frac{\cos(\pi t)}{\sin(\pi t)}f(t)-f'(t) \right)^2\dt}$, montrer que ${\int_0^1f'(t)^2\dt}\geq\pi^2\int_0^1f(t)^ {2}\dt$. - - Déterminer les fonctions $f$ pour lesquelles il y a egalite dans -. + - Déterminer les fonctions $f$ pour lesquelles il y a égalité dans -. #+end_exercice @@ -8896,9 +9330,9 @@ Soit $F:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\mathrm{e}^{-n^2x^2}$. Déterminer les limites e Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{x^2}{\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{\left(n-x \right)^2}}+{\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{\left(n+x\right)^2}}$. On note $(*)$ la propriété $\colon\forall x\in\R\setminus\Z$, $g\left(\dfrac{x}{2}\right)+g\left(\dfrac{x+1}{2}\right)=4g\left(x\right)$. - - Montrer que $f$ est continue sur $\R\setminus\Z$ et 1-periodique. + - Montrer que $f$ est continue sur $\R\setminus\Z$ et 1-périodique. - Montrer que $f$ vérifie $(*)$. - - Montrer que, si $g$ est continue sur $\R$, 1-periodique et vérifie $(*)$ alors $g$ est nulle. + - Montrer que, si $g$ est continue sur $\R$, 1-périodique et vérifie $(*)$ alors $g$ est nulle. - Montrer que, pour tout $x\in\R\setminus\Z$, $f\left(x\right)=\dfrac{\pi^2}{\sin^2\left(\pi x\right)}$. #+end_exercice @@ -8945,7 +9379,7 @@ On s'intéresse à la série entière suivante $:f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}u_nx^n$ av #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1126] -Soit $N$ un entier qui n'est pas un carre parfait. On pose $a=\sqrt{N}$. +Soit $N$ un entier qui n'est pas un carré parfait. On pose $a=\sqrt{N}$. - Montrer qu'il existe une suite d'entiers $(p_n)_{n\in\N}$ telle que $na-p_n\in\left[-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right]$. - Montrer qu'il existe une constante $c\gt 0$ tels que $\forall n\in\N^*$, $\sin(na\pi)\gt cn^{-1}$. - En déduire le rayon de convergence de $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{x^n}{\sin(n\pi\sqrt{2})}$. #+end_exercice @@ -9132,7 +9566,7 @@ Soit $(E):x^2y''+4xy'+2y=\ln\left(1+x\right)$. #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1151] Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\mathrm{Tr}(A)\gt 0$. Soit $x\colon\R\ra\R^n$ une fonction de classe $\mc C^1$ telle que : (i) pour tout $t\in\R$, on a $x'(t)=Ax(t)$, (ii) pour tout $i\in\db{1,n}$, on a $\lim_{t\ra+\i}x_i(t)=0$. -Montrer qu'il existe une forme lineaire $\ell\colon\R^n\ra\R$ non nulle telle que $\forall t\in\R,\,\ell(x(t))=0$. +Montrer qu'il existe une forme linéaire $\ell\colon\R^n\ra\R$ non nulle telle que $\forall t\in\R,\,\ell(x(t))=0$. #+end_exercice @@ -9174,9 +9608,9 @@ Une urne contient deux boules. L'une est blanche et l'autre est soit blanche soi #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1158] -Soient $a\in\N^*$, $n\in\N^*$ et $N=an$. On dispose de $N$ boules indiscernables et $n$ unres numérotées de $1$ à $n$. On depose les $N$ boules dans les unres. On note $T_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si l'urne $i$ est vide, et $0$ sinon. On note $Y_n$ le nombre d'urnes vides et $S_n=\dfrac{1}{n}Y_n$. - - Donner la loi de $T_i$. Calculer l'esperance et la variance de $T_i$. - - Calculer l'esperance et la variance de $S_n$. Étudier les limites de $(\mathbf{E}(S_n))$ et $(\mathbf{V}(S_n))$. +Soient $a\in\N^*$, $n\in\N^*$ et $N=an$. On dispose de $N$ boules indiscernables et $n$ unres numérotées de $1$ à $n$. On dépose les $N$ boules dans les unres. On note $T_i$ la variable aléatoire qui vaut $1$ si l'urne $i$ est vide, et $0$ sinon. On note $Y_n$ le nombre d'urnes vides et $S_n=\dfrac{1}{n}Y_n$. + - Donner la loi de $T_i$. Calculer l'espérance et la variance de $T_i$. + - Calculer l'espérance et la variance de $S_n$. Étudier les limites de $(\mathbf{E}(S_n))$ et $(\mathbf{V}(S_n))$. #+end_exercice @@ -9191,7 +9625,7 @@ On repartit $N$ objets dans $N-1$ boites. Probabilité pour qu'aucune boite ne s #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1161] -La durée de vie (en jours) d'une ampoule suit la loi geometrique de paramêtre $\dfrac{1}{2}$. +La durée de vie (en jours) d'une ampoule suit la loi géométrique de paramêtre $\dfrac{1}{2}$. - Quelle est la durée de vie moyenne de cette ampoule? - L'ampoule à deja vecu $n$ jours. Quelle est la durée de vie moyenne de cette ampoule à partir du $n$-eme jour? #+end_exercice @@ -9208,7 +9642,7 @@ On considére deux des et, pour $i\in\db{1,6}$, on note $p_i$ (respectivement $q #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1163] Dans un magasin, on a $n$ caisses et $np$ clients. Chaque client choisit une caisse de facon indépendante et avec la même probabilité pour chacune des caisses. On note $X_i$ le nombre de clients à la caisse numéro $i$. - - En écrivant $X_i$ comme une somme de variables aléatoires indépendantes, déterminer la loi, l'esperance et la variance de $X_i$. + - En écrivant $X_i$ comme une somme de variables aléatoires indépendantes, déterminer la loi, l'espérance et la variance de $X_i$. - Pour $(i,j)\in\db{1\,;\,n}^2$, calculer $\op{Cov}(X_i,X_j)$. #+end_exercice @@ -9221,7 +9655,7 @@ Soient $A$ et $B$ deux évènements. Montrer que $|\mathbf{P}(A)\mathbf{P}(B)-\m #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1165] Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N^*$ telles que, pour tout $n\in\N^*$, la loi de $X$ sachant $(Y=n)$ est la loi uniforme sur $\db{1,n}$. - Montrer que $Y+1-X$ et $X$ ont même loi. - - On suppose $X$ suit la loi geometrique $\mc{G}(p)$. Montrer que $X$ et $Y+1-X$ sont indépendantes. + - On suppose $X$ suit la loi géométrique $\mc{G}(p)$. Montrer que $X$ et $Y+1-X$ sont indépendantes. #+end_exercice @@ -9246,7 +9680,7 @@ Soit $Z$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$ telle que $|Z|+1\sim\mc{G} #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1169] -Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois geometriques de paramêtres $p$ et $q$ respectivement. En notant $M=\left(\begin{array}{cc}X&1\\ 0&Y\end{array}\right)$, donner la probabilité pour $M$ soit diagonalisable. +Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramêtres $p$ et $q$ respectivement. En notant $M=\left(\begin{array}{cc}X&1\\ 0&Y\end{array}\right)$, donner la probabilité pour $M$ soit diagonalisable. #+end_exercice @@ -9325,12 +9759,12 @@ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discretes à valeurs strictement po Soit $(p_n)_{n\in\N}$ une suite d'éléments de $]0,1[$ tel que la série $\sum p_n$ converge. Pour tout $n\in\N$, soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramêtre $p_n$. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nX_k$ et $S=\sum_{k=0}^{+\i}X_k$. - Soit $k\in\N$. Exprimer l'évènement $(S\geq k)$ à l'aide des évènements $(S_n\geq k)$. En déduire que $S$ est une variable aléatoire. - Montrer que $S$ est presque-surement finie. - - Montrer que $S$ admet une esperance et la calculer. + - Montrer que $S$ admet une espérance et la calculer. #+end_exercice #+begin_exercice [Mines PC 2024 # 1181] -Soient $p\in]0,1[$ et $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant la loi geometrique de paramêtre $p$. +Soient $p\in]0,1[$ et $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées suivant la loi géométrique de paramêtre $p$. Pour $n\in\N^*$, on pose $M_n=\max\{X_1,\ldots,X_n\}$. - Montrer que $\mathbf{E}(M_n)=\sum_{k=0}^{+\i}1-(1-q^k)^n$ ou $q=1-p$. @@ -9370,9 +9804,9 @@ On note $\mathbb{U}$ le groupe des nombres complexes de module $1$. Soit $q$ un #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1185] - - Rappeler, pour tous $P,Q\in\C[X]$, la définition de $P\circ Q$ et preciser le degre de de ce polynôme. - - Montrer que seuls les polynômes de degre 1 possèdent un inverse pour la loi $\circ$. - - On pose $P=X^2+\alpha$ avec $\alpha\in\C$. Montrer qu'il existe au plus un polynôme de degre $n$ qui commute avec $P$. + - Rappeler, pour tous $P,Q\in\C[X]$, la définition de $P\circ Q$ et preciser le degré de de ce polynôme. + - Montrer que seuls les polynômes de degré 1 possèdent un inverse pour la loi $\circ$. + - On pose $P=X^2+\alpha$ avec $\alpha\in\C$. Montrer qu'il existe au plus un polynôme de degré $n$ qui commute avec $P$. #+end_exercice @@ -9415,7 +9849,7 @@ Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $G$ un sous-groupe fini Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$ et $u\in\mc{L}(E)$. - Calculer, en fonction de $\op{tr}u$ et de $\op{tr}(u^2)$, les coefficients de $X^{n-1}$ et de $X^{n-2}$ du polynôme caractéristique de $u$. - On suppose $u$ de rang $2$. - - Montrer que l'on peut écrire $\chi_u=X^{n-2}P(X)$, ou $P$ est un polynôme de degre $2$ dont on precisera les coefficients en fonction de $\op{tr}u$ et $\op{tr}(u^2)$. + - Montrer que l'on peut écrire $\chi_u=X^{n-2}P(X)$, ou $P$ est un polynôme de degré $2$ dont on precisera les coefficients en fonction de $\op{tr}u$ et $\op{tr}(u^2)$. - à quelle condition l'endomorphisme $u$ est-il trigonalisable? #+end_exercice @@ -9477,7 +9911,7 @@ $$\sum_{i=0}^ja_iS_{j-i}=(n-j)a_j.$$ #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1196] -Soient $n\in{\N}^*$ et $S_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degre $n$ à coefficients dans ${\Z}$ dont toutes les racines complexes ont un module majore par $1$. +Soient $n\in{\N}^*$ et $S_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ à coefficients dans ${\Z}$ dont toutes les racines complexes ont un module majore par $1$. Soit $P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0\in S_n$. @@ -9520,10 +9954,10 @@ Soient $n\in{\N}^*$ et $p$ un entier premier impair. On note ${\rm GL}_n({\Z})$ #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1200] - Rappeler les définitions de morphisme de groupes et d'ordre d'un élément. -On appelle representation de degre $n$ un morphisme de groupes de $\mc{S}_3$ dans $\text{GL}_n(\C)$. +On appelle representation de degré $n$ un morphisme de groupes de $\mc{S}_3$ dans $\text{GL}_n(\C)$. - Soit $f$ une representation de $\mc{S}_3$. Soit $\sigma$ un élément de $\mc{S}_3$. Montrer que $f(\sigma)$ est diagonalisable. Montrer que l'image de $f$ est entièrement déterminée par l'image de la transposition $(1\ 2)$ et du cycle $(1\ 2\ 3)$. - - Donner les representations de degre $1$. - - Donner un exemple de representation de degre $3$. + - Donner les representations de degré $1$. + - Donner un exemple de representation de degré $3$. #+end_exercice @@ -9592,7 +10026,7 @@ Soit $\overline{\mathbb{D}}=\{z\in\C,\ |z|\leq 1\}$. Trouver le maximum et les p #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1209] -On note $E$ l'ensemble des fonctions réelles, continues et de carre intégrable sur $\R^+$. - - Définir la notion de fonction intégrable sur $[0,+\i[$. +On note $E$ l'ensemble des fonctions réelles, continues et de carré intégrable sur $\R^+$. - - Définir la notion de fonction intégrable sur $[0,+\i[$. - Montrer que, pour $f,g\in E$, $fg$ est intégrable et en déduire que $E$ est un $\R$-espace vectoriel. - Pour $(f,g)\in E^2$, on pose $\langle f,g\rangle=\int_0^{+\i}fg$. - Montrer que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $E$. @@ -9600,7 +10034,7 @@ On note $E$ l'ensemble des fonctions réelles, continues et de carre intégrable - Exprimer $\langle f',f'\rangle+\langle f,f''\rangle$, $\langle f,f'\rangle$, $\langle f',f''\rangle$ en fonction de $f(0)$ et $f'(0)$. - On pose $A=\left(\begin{array}{ccc}\langle f,f\rangle&\langle f',f\rangle& \langle f'',f\rangle\\ \langle f,f'\rangle&\langle f',f'\rangle&\langle f^{ ''},f'\rangle\\ \langle f,f''\rangle&\langle f',f''\rangle& \langle f'',f''\rangle\end{array}\right)$. -Montrer que $\mathrm{det}(A)\geq 0$ et étudier le cas d'egalite. +Montrer que $\mathrm{det}(A)\geq 0$ et étudier le cas d'égalité. #+end_exercice @@ -9616,7 +10050,7 @@ Pour tout $t\in\left]-1,1\right[$, on note $\omega(t)=\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$. P - Montrer que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $\R_n[X]$. - On pose $\phi:P\in\R_n[X]\mapsto(X^2-1)P''+(2X+1)P'$. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme autoadjoint de $\R_n[X]$. - Déterminer ses valeurs propres. - - Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres de degres echelonnes. + - Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres de degrés echelonnes. #+end_exercice @@ -9670,7 +10104,7 @@ Ind. On pourra commencer par le sous-espace propre associe à la valeur propre n - Montrter son unicité. On la note $\sqrt{A}$. Ind. Considérer les sous-espaces propres de l'endomorphisme canoniquement associe à $A$. - - Soient $A$ et $B\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrter que l'équation $XA^{-1}X=B$ admet une unique solution dans $\mc{S}_n^+(\R)$ qui est : $A\#B=\sqrt{A}\sqrt{\sqrt{A^{-1}}B\sqrt{A^{-1}}}\sqrt{A}$ (moyenne geometrique de $A$ et $B$). + - Soient $A$ et $B\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrter que l'équation $XA^{-1}X=B$ admet une unique solution dans $\mc{S}_n^+(\R)$ qui est : $A\#B=\sqrt{A}\sqrt{\sqrt{A^{-1}}B\sqrt{A^{-1}}}\sqrt{A}$ (moyenne géométrique de $A$ et $B$). - Montrter les relations : $A\#A=A$, $A\#B=B\#A$, $(A\#B)^{-1}=A^{-1}\#B^{-1}$. #+end_exercice @@ -9722,7 +10156,7 @@ Pour $M,N\in\M_d\left(\R\right)$, on note $M\geq N$ si et seulement si $M-N$ est ** Analyse #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1222] - - Formuler et démontrer le cas d'egalite du theoreme des accroissements finis. On note $\mc{E}$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\left\{-1,0,1\right\}$ et $A$ l'ensemble des racines réelles des polynômes de $\mc{E}$. + - Formuler et démontrer le cas d'égalité du theoreme des accroissements finis. On note $\mc{E}$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\left\{-1,0,1\right\}$ et $A$ l'ensemble des racines réelles des polynômes de $\mc{E}$. - Montrer que $A\setminus\left\{0\right\}$ est stable par $x\mapsto-x$ et $x\mapsto\dfrac{1}{x}$. - Montrer que $A\cap\left]2,+\i\right[=\emptyset$. #+end_exercice @@ -9763,7 +10197,7 @@ Montrer que $u$ est continue sur $E$ si et seulement si elle est continue en $0$ On considére desormais l'espace $E=\mc C^1([-1,1],\R)$ muni de la norme infinie. -Pour $\phi$ forme lineaire sur $E$, on pose $N(\phi)=\sup\{|\phi(f)|,\ f\in S_{\|\ \|_{\i}}(0,1)\}\in[0,+\i]$. +Pour $\phi$ forme linéaire sur $E$, on pose $N(\phi)=\sup\{|\phi(f)|,\ f\in S_{\|\ \|_{\i}}(0,1)\}\in[0,+\i]$. - Calculer $N(\phi)$ avec $\phi:f\mapsto\int_{-1}^0f-\int_0^1f$. #+end_exercice @@ -9831,7 +10265,7 @@ On note $\mc{A}$ l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ à coefficients dans $[-1 - Montrer la continuité du déterminant sur $\M_n(\R)$. - Montrer que le déterminant admet un maximum $\alpha$ sur $\mc{A}$. - Montrer que le maximum est atteint en une matrice inversible $A$ de déterminant strictement positif et à coefficients dans $\{-1,1\}$. - - Montrer que $\alpha\leq n^{n/2}$ avec egalite si et seulement si les colonnes de $A$ sont deux à deux orthogonales pour le produit scalaire euclidien canonique de $\R^n$. + - Montrer que $\alpha\leq n^{n/2}$ avec égalité si et seulement si les colonnes de $A$ sont deux à deux orthogonales pour le produit scalaire euclidien canonique de $\R^n$. #+end_exercice @@ -9845,7 +10279,7 @@ Montrer que $\det(C_n)=[-a_n,a_n]$. #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1236] -Soient $d\in\N^*$ et $(\omega_n)\in\C^{\N^*}$ une suite $d$-periodique. +Soient $d\in\N^*$ et $(\omega_n)\in\C^{\N^*}$ une suite $d$-périodique. Pour $n\in\N^*$ et $\lambda\in\C$, on pose $S_n(\lambda)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{\lambda+\omega_k}{k}$. - Soit $(u_n)\in\C^{\N}$. Montrer que, si $\sum u_n$ converge, alors $u_n\longrightarrow 0$ quand $n\ra+\i$. @@ -9881,8 +10315,8 @@ Pour $x\in\R^+$, on définit $f(x)=\sum_{1\leq k\leq x}d_k$. -_Soient $a,b\in\R\cup\{\pm\i\}$ tels que $a\lt b$. Montrer que le theoreme reste vrai pour $f\colon\,]a,b[\ra\R$ dérivable et admettant en $a$ et $b$ une même limite finie._ -_On définit la fonction $f:]-1,1[\ra\R,x\mapsto\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)$._ -_Montrer que $f$ est $\mc C^{\i}$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynôme $P_n\in\R[X]$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(1-x^2)^{2n}}f(x)$ pour tout $x\in]-1,1[$._ - -_Quel est le degre de $P_n$?_ - -_Que dire du nombre de zeros de $f^{(n)}$?_ + -_Quel est le degré de $P_n$?_ + -_Que dire du nombre de zéros de $f^{(n)}$?_ #+end_exercice @@ -9891,7 +10325,7 @@ Pour $x\in\R^+$, on définit $f(x)=\sum_{1\leq k\leq x}d_k$. Soit $A\subset\R^n$. On note $\mc C(A,\R)$ l'ensemble des fonctions continues de $A$ dans $\R$ et $\mc{UC}(A,\R)$ l'ensemble des fonctions uniformément continues de $A$ dans $\R$. - Pour $n=1$ et $A$ un segment, montrer que $f\in\mc C(A,\R)$ si et seulement si $f\in\mc{UC}(A,\R)$. - Montrer que $\mc{UC}(A,\R)$ est stable par composition. Est-il stable par produit? - - Soit $T\in\R^{+*}$ et $f$ une fonction continue et $T$-periodique. Montrer que $f\in\mc{UC}(A,\R)$. + - Soit $T\in\R^{+*}$ et $f$ une fonction continue et $T$-périodique. Montrer que $f\in\mc{UC}(A,\R)$. #+end_exercice @@ -9939,7 +10373,7 @@ Pour $n\in\N^*$, soient $\Omega(n)$ le nombre de facteurs premiers de $n$ compte #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1246] - Pour $x\in\R\setminus\Z$, montrer que la suite $\left(\sum_{k=-n}^n\dfrac{1}{x-k}\right)_{n\geq 1}$ converge. On note $f(x)$ sa limite. - - Montrer que $f$ est continue et $1$-periodique sur $\R\setminus\Z$. + - Montrer que $f$ est continue et $1$-périodique sur $\R\setminus\Z$. - Pour $x\in\R\setminus\Z$, exprimer $f\left(\dfrac{x}{2}\right)+f\left(\dfrac{x+1}{2}\right)$ en fonction de $f(x)$. - Montrer que, pour tout $x\in\R\setminus\Z$, $f(x)=\pi\op{cotan}(\pi x)$. #+end_exercice @@ -10044,11 +10478,14 @@ Soient $A\in{\cal S}^{++}_n({\R})$, $b\in{\R}^n$ et $f$ la fonction de ${\R}^n$ ** Géométrie #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1261] - - Soit $f:{\R}^2\ra{\R}$ différentiable. On suppose que $f$ admet un extremum en $a\in{\R}^n$. Rappeler la valeur de $\nabla f(a)$ (avec demonstration). + - Soit $f\colon \R^2\ra{\R}$ différentiable. On suppose que $f$ admet un extremum en $a\in{\R}^n$. Rappeler la valeur de $\nabla f(a)$ (avec demonstration). - Soit $\theta\in[0,\pi]$. Soient $A$ et $B$ du cercle unite de ${\R}^2$ tels que $\widehat{(OA,OB)}(=\theta$. Exprimer l'aire de la_lunule_ constituée des points exterieurs au disque unite et intérieurs au disque de diamêtre $[AB]$. - Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du cercle unite tels que les trois angles $(\oa{OA}, \oa{OB})$, $(\oa{OB}, \oa{OC})$ et $(\oa{OC}, \oa{OA})$ soient dans $[0,\pi]$. Maximiser la somme des aires des trois lunules qu'ils définissent. #+end_exercice +** Probabilités + +# ID:7841 #+BEGIN_exercice [Centrale MP 2024 # 1262] Soient $X,Y$ des variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre $p\in \interval]{0, 1}[$. - Déterminer la loi de $\min (X,Y)$. @@ -10058,7 +10495,7 @@ Soient $X,Y$ des variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique #+BEGIN_exercice [Centrale MP 2024 # 1263] - Soit $u$ un endomorphisme de $\C^n$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $u$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples. - - Soient $A=\begin{pmatrix}1&-2\\ -2&1\end{pmatrix}$, $\eps_1$, $\eps_2$ deux variables aléatoires indépendantes de loi geometrique de paramêtre $p\in]0,1[$ et $Q=\eps_1X+\eps_2$. Déterminer la probabilité que $Q(A)$ soit inversible. + - Soient $A=\begin{pmatrix}1&-2\\ -2&1\end{pmatrix}$, $\eps_1$, $\eps_2$ deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$ et $Q=\eps_1X+\eps_2$. Déterminer la probabilité que $Q(A)$ soit inversible. - Soit $u$ un endomorphisme de $\C^n$ et $Q\in\C[X]$ tel que $Q(u)$ soit diagonalisable et $Q'(u)$ inversible. Montrer que $u$ est diagonalisable. #+END_exercice @@ -10084,9 +10521,10 @@ Ind. Pour $\eps\gt 0$ fixe, considérer une partie finie $I\subset E$ telle que #+end_exercice +# ID:7842 #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1266] - - En utilisant une comparaison série-intégrale, dont on rappellera le principe, donner un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$. - - On dit que $n\in\N^*$ est sans facteur carre s'il n'existe pas de $k\geq 2$ tel que $k^2$ divise $n$. Montrer que pour tout $i\geq 1$, $i$ s'écrit d'une unique maniere sous la forme $i=ma^2$, ou $a\in\N^*$ et $m\in\N^*$ est sans facteur carre. + - s En utilisant une comparaison série-intégrale, dont on rappellera le principe, donner un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$. + - On dit que $n\in\N^*$ est sans facteur carré s'il n'existe pas de $k\geq 2$ tel que $k^2$ divise $n$. Montrer que pour tout $i\geq 1$, $i$ s'écrit d'une unique maniere sous la forme $i=ma^2$, ou $a\in\N^*$ et $m\in\N^*$ est sans facteur carré. - Soient $X,Y,Z$ trois variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. On pose $M=\begin{pmatrix}X&Y\\ Z&X\end{pmatrix}$. Soit $p_n$ la probabilité que $M$ ne soit pas inversible. Montrer que $p_n=O\left(\dfrac{\ln n}{n^2}\right)$. #+end_exercice @@ -10098,6 +10536,6 @@ Une suite $(Z_n)_{n\geq 1}$ de variables aléatoires entières est dite transien #+begin_exercice [Centrale MP 2024 # 1268] Soient $p\in]0,1[$ et $q=1-p$. On suppose que $\mu=\frac{\ln 2}{|\ln q|}$ n'est pas un entier. - - Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi geometrique de paramêtre $p$. Montrer qu'il existe un unique entier $m$ tel que $\mathbf{P}(X\geq m)\geq\frac{1}{2}$ et $\mathbf{P}(X\leq m)\geq\frac{1}{2}$. - - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi geometrique de paramêtre $p$. On pose $Y_n=\mathbf{1}_{X_n\geq m}$ et $S_n=Y_1+\cdots+Y_{2n-1}$ pour $n\geq 1$. Montrer que $\mathbf{P}(S_n\geq n)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}1$. + - Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p$. Montrer qu'il existe un unique entier $m$ tel que $\mathbf{P}(X\geq m)\geq\frac{1}{2}$ et $\mathbf{P}(X\leq m)\geq\frac{1}{2}$. + - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramêtre $p$. On pose $Y_n=\mathbf{1}_{X_n\geq m}$ et $S_n=Y_1+\cdots+Y_{2n-1}$ pour $n\geq 1$. Montrer que $\mathbf{P}(S_n\geq n)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}1$. #+end_exercice