From df9ad1ae321b0e5f1a2ca74a16886b66bde14556 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?UTF-8?q?S=C3=A9bastien=20Miquel?= Date: Tue, 30 Jun 2026 11:54:59 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Plus=20que=205=E2=80=A6?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- Exercices 2025.org | 104 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------- 1 file changed, 84 insertions(+), 20 deletions(-) diff --git a/Exercices 2025.org b/Exercices 2025.org index 7756ccf..c8e01e7 100644 --- a/Exercices 2025.org +++ b/Exercices 2025.org @@ -2,7 +2,7 @@ #+title: Exercices 2025 #+author: Sébastien Miquel #+date: 22-07-2025 -# Time-stamp: <30-06-26 09:07> +# Time-stamp: <30-06-26 11:54> #+OPTIONS: toc:t * Meta :noexport: @@ -14,7 +14,7 @@ #+RESULTS: | ? | ! | todo | unexed | unexed xens | -| 2 | 3 | 14 | 1333 | 15 | +| 1 | 2 | 5 | 1323 | 5 | ** Options @@ -1982,9 +1982,25 @@ convergeant simplement vers une fonction $f$. + $\forall x \lt x_0, \ \exists C_x \gt 0, \ \exists n_0 \in \N^*, \ \forall n \ge n_0, \ f_n(x) \le e^{-C_x n};$ + $\forall x \gt x_0, \ f(x) \ge x - x_0$. #+end_exercice -#+BEGIN_proof +#+BEGIN_proof :todo: 1. Sans difficultés. - 2. La condition sur $\sigma_n(1/2)$ assure $f(1/2) = 0$. + 2. Soit $x \in [0, 1/2[$. + + Comme les $f_i$ sont positives et croissantes, pour tout $t \in [x, 1/2]$, $\sigma_n(t) \le \sigma_n(1/2) \le M$. + + De l'hypothèse $f_n' \ge \frac{nf_n}{\sigma_n}$, on tire $\frac{f_n'(t)}{f_n(t)} \ge \frac{n}{M}$. + + En intégrant cette inégalité de $x$ à $1/2$ : $\ln f_n(1/2) - \ln f_n(x) \ge \frac{n}{M} (1/2 - x)$ + + Puisque $f_n \le 1$, on a $\ln f_n(1/2) \le 0$, ce qui donne $f_n(x) \le e^{-C_x n}$ avec $C_x = \frac{1/2 - x}{M} \gt 0$. + 3. Posons $x_0 = \sup \{ x \in [0,1] \mid \sup_n \sigma_n(x) \lt +\i \}$. + + Pour $x \lt x_0$, il existe $y \in \interval]{x, x_0}[$ tel que $M = \sup_n \sigma_n(y) \lt +\i$. + + Le même raisonnement, en intégrant de $x$ à $y$, donne $f_n(x) \le e^{-C_x n}$ avec $C_x = \frac{y - x}{M} \gt 0$. + + Soit $x \gt x_0$. + #+END_proof @@ -2578,7 +2594,8 @@ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace proba Montrer que $H(p,q) \ge 0$. Que dire si $H(p,q) = 0$ ? #+end_exercice -#+begin_exercice [ENS L 2025 # 152] :todo: +# ID:9028 +#+begin_exercice [ENS L 2025 # 152] On considère $r_0 = 0$ et $(r_i)_{i \in \N^*} \in [0, 1]^{\N^*}$. Pour $(i, j) \in \N^* \times \N$, on pose $p_{i,j} = r_i$ si $j = i + 1, 1 - r_i$ si $j = i - 1$ et $0$ sinon. On admet l'existence d'une @@ -2596,6 +2613,30 @@ Soit $b \in \N$. Calculer, pour $i \in \db{0,b}$, $\hat{p_i} = \mathbf{P}(\tau_0^i \lt \tau_b^i)$ en fonction des $\gamma_k = \prod_{i=1}^k \frac{1 - r_i}{r_i}$. #+end_exercice +#+BEGIN_proof +C'est une forme de ruine du joueur. Chercher une récurrence sur $\tilde{p}_i$. + +Pour $i \in \db{1,b-1}$, en appliquant la formule des probabilités totales selon le premier pas de la marche, on obtient : +$$\hat{p}_i = r_i \hat{p}_{i+1} + (1 - r_i) \hat{p}_{i-1}$$ + +Puisque $r_i + (1 - r_i) = 1$, on peut réécrire cette relation sous la forme : +$$r_i(\hat{p}_{i+1} - \hat{p}_i) = (1 - r_i)(\hat{p}_i - \hat{p}_{i-1})$$ +soit $\hat{p}_{i+1} - \hat{p}_i = \frac{1 - r_i}{r_i} (\hat{p}_i - \hat{p}_{i-1})$. + +Par une récurrence immédiate, on en déduit pour tout $k \in \db{0,b-1}$ : +$$\hat{p}_{k+1} - \hat{p}_k = \gamma_k (\hat{p}_1 - \hat{p}_0)$$ +en adoptant la convention $\gamma_0 = 1$ (produit vide). + +En sommant ces relations de $k=0$ à $i-1$, on obtient un télescopage : +$$\hat{p}_i - \hat{p}_0 = (\hat{p}_1 - \hat{p}_0) \sum_{k=0}^{i-1} \gamma_k$$ + +Pour $i = b$, comme $\hat{p}_b = 0$ et $\hat{p}_0 = 1$, on trouve : +$$-1 = (\hat{p}_1 - \hat{p}_0) \sum_{k=0}^{b-1} \gamma_k \implies \hat{p}_1 - \hat{p}_0 = \frac{-1}{\sum_{k=0}^{b-1} \gamma_k}$$ + +En remplaçant cette valeur dans l'expression de $\hat{p}_i$, on conclut que : +$$\hat{p}_i = 1 - \frac{\sum_{k=0}^{i-1} \gamma_k}{\sum_{k=0}^{b-1} \gamma_k} = \frac{\sum_{k=i}^{b-1} \gamma_k}{\sum_{k=0}^{b-1} \gamma_k}$$ +#+END_proof + # ID:8954 #+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 153] @@ -3742,19 +3783,28 @@ On pose $\alpha = \frac{12 + 5i}{13}$. #+END_proof -#+begin_exercice [X MP 2025 # 266] :todo: +# ID:9030 +#+begin_exercice [X MP 2025 # 266] On admet le résultat suivant. Soient $c \in \C$, $U$ un voisinage de $c$ dans $\C$, $f\colon U \ra \C$ développable en série entière au voisinage de $c$ et telle que $f(z) = O((z-c)^k)$. Alors il existe $r \gt 0$ et $z_1, \ldots, z_{2k} \in U$ distincts tels que : $\forall i -\in [1, 2k], f(z_i) \in \R$ et $|c-z_i| = r$. +\in \db{1,2k},\, f(z_i) \in \R$ et $|c-z_i| = r$. 1. Soient $A, B \in \R[X] \setminus \{0\}$. On suppose que les polynômes non nuls de $\mathrm{Vect}(A, B)$ sont scindés dans $\R[X]$. Montrer qu'entre deux racines de $A$ (au sens large) se trouve au moins une racine de $B$. 1. Démontrer le résultat admis. #+end_exercice #+BEGIN_proof - 1. + 1. Sion, la fraction $F = \frac{A}{B}$ admet deux zéros consécutifs (en + restant définie entre les deux) (éventuellement on a pris deux + fois la même racine de $A$ ? pas clair). + + Entre les deux, on a $F'(c) = 0$. On considère $f(z) = F(z) - + F(c)$. On applique le résultat admis : il existe $4$ points + distincts sur un cercle tel que $f(z_i)\in \R$, mais ce sont des + racines de polynômes de la forme $A - \la_i B$, donc des réels, + contradiction. 2. On peut supposer que le coefficient en $(z-c)^k$ est non nul. #+END_proof @@ -3886,17 +3936,27 @@ Soient $n \in \N^*$. On note $A_n = \{0, 1\}^n$ et $B_n = \{-1, 1\}^n$. On consi Soient $X, Y \in \M_2(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\C$. Montrer que la matrice $A = XY + YX - \op{tr}(X)Y - \op{tr}(Y)X + (\op{tr}(X)\op{tr}(Y) - \op{tr}(XY))I_2$ est nulle. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP 2025 # 273] :todo: +# ID:9027 +#+begin_exercice [X MP 2025 # 273] Soient $n \in \N^*$, $P$ et $Q$ dans $\C[X]$ tels que $P$ soit scindé à racines simples, $\deg P = n$ et $\deg Q \leq n$. On admet qu'il existe une matrice $B=(b_{i,j})_{0\leq i,j\leq n-1}$ telle que, pour tout $(x,y) \in \C^2$ avec $x \neq y$, on ait $$\frac{P(x) Q(y) - P(y) Q(x)}{x - y} = \sum_{0 \le i, j \le n - 1} b_{i,j} x^i y^j$$. -Montrer que dim Ker $B = |\{z \in \C, \ P(z) = Q(z) = 0\}|$. +Montrer que $\dim \Ker B = |\{z \in \C, \ P(z) = Q(z) = 0\}|$. #+end_exercice #+BEGIN_proof -On a donc $\frac{P(x) Q(y) - P(y) Q(x)}{x - y} = Y^T B X$. +Si $\a$ est une racine commune à $P$ et $Q$, on veut factoriser par +$(X-\a)(Y-\a)$, ce qui donne des relations sur les coefficients +$b_{ij}$ en fonction de coefficients $c_{ij}$, qui permettent de +vérifier que $(\a^i)_{0\leq i\leq n-1}$ est dans le noyau de $B$. -Si $z$ est un zéro commun. +On en déduit que $\dim \Ker B \geq \dots$. + +On a $\frac{P(x) Q(y) - P(y) Q(x)}{x - y} = X(y)^T B X(x)$ + +En général, on peut calculer $X(\a_i)^T B X(\a_j) = 0$, et $V(\a_i)^T +B V(\a_i)$ vaut $0$ si et seulement si c'est une racine de $Q$ (passer +à la limite ce qui précède, en faisant intervenir une dérivée). #+END_proof @@ -4118,7 +4178,7 @@ Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. 4. Montrer que $G$ contient les applications de la forme $\op{id} +\lambda \phi(a,\cdot) a$ avec $\lambda \in \R$ et $a \in E$. 5. Montrer que $G$ est engendré par les transvections précédentes. #+end_exercice -#+BEGIN_proof +#+BEGIN_proof 1. 2. 3. Les transvections précédentes sont exactement celles qui préservent la forme : il faut $\phi(x, \l(y) a) + \phi(\l(x) a, y) = 0$ @@ -5136,17 +5196,22 @@ Soient $p \in [0, 1[, m \ge 2 \text{ et } \xi = e^{2i\pi/m}]$. 1. Montrer que : $\forall n \in \N^*, \left| u_n- \frac{1}{m} \right| \leq e^{-8pqn/m^2}$ où $q = 1 -p$. #+end_exercice -#+begin_exercice [X MP 2025 # 353] :todo: -Soit $X$ une variable aléatoire discrète positive ayant un moment d'ordre 2 et telle que $\mathbf{E}(X^2) \gt 0$. Montrer que, pour $t \gt 0$, $\mathbf{P}(X -\mathbf{E}(X) \leq -t) \leq \exp\left(-\frac{t^2}{\mathbf{E}(X^2)}\right)$. +# ID:9029 +#+begin_exercice [X MP 2025 # 353] +Soit $X$ une variable aléatoire discrète positive ayant un moment d'ordre 2 et telle que $\mathbf{E}(X^2) \gt 0$. Montrer que, pour $t \gt 0$, $\mathbf{P}(X -\mathbf{E}(X) \leq -t) \leq \exp\left(-\frac{t^2}{2\mathbf{E}(X^2)}\right)$. #+end_exercice -#+BEGIN_proof :todo: +#+BEGIN_proof Pour tout $\lambda > 0$, par Markov exponentielle : $$\P(X - \mu \leq -t) = \P(e^{-\lambda X} \geq e^{-\lambda(\mu-t)}) \leq e^{\lambda(\mu-t)} \E(e^{-\lambda X}).$$ +Puis $e^{-\la X}\leq 1 - \la X + \frac{\la^2 X^2}{2}$, donc $\E(e^{-\la X})\leq 1 - \la \E (X) + \frac{\la^2}{2}\E(X^2)\leq e^{ -\la \E(X) + \frac{\la^2}{2}\E(X^2)}$. + +Puis on optimise en $\la$. #+END_proof -#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 354] :todo: +# ID:9031 +#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 354] Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\N^*$. On suppose de plus que $\mathbf{E}(X_1^2) \lt +\i$, et on pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et $T_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{S_i}$ pour $n @@ -5155,16 +5220,14 @@ $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et $T_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{S_i}$ pour $n 1. Montrer que, pour tout $\omega$, $(T_n(\omega))_{n\geq 1}$ a une limite dans $[0,+\i]$. 1. Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ et une suite strictement croissante $(n_k)_{k \ge 1}$ d'entiers $\geq 1$ vérifiant $n_{k+1} \geq 2n_k$ et $\mathbf{P}(S_{n_k} \geq 2n_k \mathbf{E}(X_1)) \leq \frac{C}{2^k}$ pour tout $k \geq 1$. 1. En déduire que $(T_n)_{n\geq 1}$ tend presque sûrement vers $+\i$. - 1. Montrer que $\mathbf{V}(T_n) \leq \sum_{i=1}^n \mathbf{E}\left(\frac{1}{S_i^2}\right)$ pour tout $n \geq 1$. #+END_exercice -#+BEGIN_proof :todo: +#+BEGIN_proof 1. Trivial. 2. On a $\P(S_{n_k}\geq 2 n_k \E(X_1))\leq \frac{n_k \V(X_1)}{n_k^2}$, donc pas dur… 3. BC, presque sûrement le précédent n'arrive qu'un nombre fini de fois. Les autres fois, $\frac{1}{S_i}\geq \frac{1}{n_i}$, ce qui n'est pas suffisant, mais en fait si, parce que les $S_n$ sont croissantes. - 4. ?? #+END_proof @@ -6066,6 +6129,7 @@ Soit $E$ un espace préhilbertien de dimension infinie. Soit $K$ une partie de $ Question supplémentaire : et si on remplace l'hypothèse "préhilbertien" par "normé" ? #+END_exercice +# ID:nil #+BEGIN_exercice [ENS 2025, MPI] Dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on définit la relation d'ordre strict $\gt : A\gt B \Longleftrightarrow A-B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que l'application $A \mapsto A^{-1}$ est décroissante sur $\mc{S}_n^{++}(\R)$.