ya plus que 12 todo

Exercices 2022.org

@@ -1,7 +1,7 @@
 #+title:  Exercices 2022
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   25-02-2023
-# Time-stamp: <03-06-24 17:16>
+# Time-stamp: <14-07-24 10:44>
 
 * Meta                                                             :noexport:
 
@@ -3897,7 +3897,7 @@ Soit $p\in \interval]{0, 1}[$. $X_1,\dots,X_n$ variables aléatoires indépendan
 
 # Manque la fin de l'énoncé…
 # 304
-# ID:6809
+# ID:nil
 #+BEGIN_exercice [X 2022]
 Soient $n,b\geq 2$, $X_1,\dots, X_n$ indépendantes de même loi uniforme sur $\db{0, b-1}$.
  1. Déterminer $P(X_{i+1}\lt X_i)$.

Exercices 2023.org

@@ -2,7 +2,7 @@
 #+title:  Exercices 2023
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   02-12-2023
-# Time-stamp: <13-07-24 19:04>
+# Time-stamp: <14-07-24 13:19>
 #+OPTIONS:
 
 
@@ -33,7 +33,7 @@
 #+END_SRC
 
 #+RESULTS:
-| 5 | 11 | 12 | 692 |
+| 5 | 11 | 14 | 673 |
 
 #+BEGIN_SRC emacs-lisp
 (defun find_bad_hash ()
@@ -2287,20 +2287,20 @@ C'est la probabilité d'extinction.
 
 
 # ID:7329
-#+begin_exercice [ENS 2023 # 182]                                              :todo:
+#+begin_exercice [ENS 2023 # 182] 
 On construit itérativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble de sommets $\db{1,n}$ (graphe orienté) selon le procédé suivant : à l'étape $k$, on choisit aléatoirement un point dans $\db{1,k}$ (avec probabilité uniforme) et on rajoute une arete orientée de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere indépendante les uns des autres.
  - On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre d'arêtes partant du point $1$. Déterminer l'espérance et la variance de $X_n$.
  - On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Déterminer la loi de $S_n$.
  - Calculer l'espérance du nombre de feuilles de l'arbre.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  1. $H_n$, c'est simple.
  2. $P(S_n = 0) = \frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{n-2}{n-1} = \frac{1}{n-1}$.
 
     $P(S_n = 1) = \sum_{i=3}^{n} \frac{\frac{1}{2} \dots \frac{n-2}{n-1}}{\frac{i-2}{i-1}} \frac{1}{i-1} \frac{i-1}{n-1}$ $=\sum_{i=3}^{n} \frac{1}{(n-1)^2}\frac{1}{i-2}$ $=\frac{1}{(n-1)^2} H_{n-2}$
 
     $$P(S_n = 2) = \sum_{3\leq i\lt j} \frac{1}{i-1} \frac{1}{j-1} \prod_{2\lt k\lt i} \frac{k-2}{k-1} \prod_{i\lt k\lt j} \frac{k-3}{k-1} \prod_{j\lt k\lt n} \frac{k-3}{k-1}  + \sum_{i\lt j} \frac{1}{i-1} \frac{1}{j-1} \prod_{2\lt k\lt i} \frac{k-2}{k-1} \prod_{i\lt k\lt j} \frac{k-3}{k-1} \prod_{j\lt k\lt n} \frac{k-3}{k-1} = 2 \frac{(n-3)!}{n!}$$
- 3. La probabilité que $k$ soit une feuille est la probabilité qu'il n'ai pas de descendants, donc  $P(S_n^k = 0) = \frac{k-1}{n-1}$.
+ 3. La probabilité que $k$ soit une feuille est la probabilité qu'il n'ait pas de descendants, donc  $P(S_n^k = 0) = \frac{k-1}{n-1}$.
 #+END_proof
 
 
@@ -4337,14 +4337,22 @@ On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considère le carré d
 
 ** Géométrie
 
+# ID:7330
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 381]
-Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimêtre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite.
+Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le périmètre d'un polygone régulier à $2^n$ cotés inscrit dans le cercle unité.
  - Calculer $P_n$ et étudier la convergence de la suite $(P_n)_{n\geq 2}$.
- - Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$.
+ - Établir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$.
  - Estimer l'erreur $2\pi-P_n$.
- - Proposer une méthode d'approximation de $\pi$ par exces.
+ - Proposer une méthode d'approximation de $\pi$ par excès.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ 1. On a une expression avec des $\left|e^{i (k+1)\theta} - e^{i k\theta}\right|$.
+ 2. Angle double.
+ 3. Probablement assez simple.
+ 4. Tu prends un polygone circonscrit : en choisissant les points de tangente, puis Pythagore donne la longueur.
+#+END_proof
 
+# ID:7331
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 382]
 On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l'unique point tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L'objectif est de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral.
  - On note $f,g,h$ les rotations de centres respectifs $A,B,C$ et d'angles de mesures respectives $\frac{2a}{3}$, $\frac{2b}{3}$ et $\frac{2c}{3}$. Montrer que $P$ est l'unique point fixe de $g\circ h$.
@@ -4355,29 +4363,36 @@ On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a
 
 ** Probabilités
 
+# ID:7332
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 383]
 Déterminer le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $\db{1,n}$.
 #+end_exercice
 
-# Relier à l'autre
+# ID:7334
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 384]
- - Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$.
+ - Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste décroissante $(\lambda_k)_{1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes. Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$.
- - Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste décroissante $(\lambda_k)_{1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes.
-
-   Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$.
  - On fixe $n\geq 1$ et on considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in\db{1,n}:X_i=k\}|$.
 
    Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ à préciser.
  - Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
- - Revient à $(\ln u)^2 u \lt (1-u)^2$, pour $u\in \interval]{0, 1}[$. En posant $u = 1-h$ et en développant en série, par CSSA, c'est bon.
  - Par récurrence, bof.
  - L'évènement $(N_k \geq j)$ correspond à «il y a au moins $j$ occurrences de $k$», cela correspond à $\frac{P(n - kj)}{P(n)}$.
  - C'est $n$.
 #+END_proof
 
+# ID:7333
+#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 384]
+Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$.
+#+END_exercice
+#+BEGIN_proof
+Revient à $(\ln u)^2 u \lt (1-u)^2$, pour $u\in \interval]{0, 1}[$. En posant $u = 1-h$ et en développant en série, par CSSA, c'est bon.
+#+END_proof
 
+
+
+# ID:7335
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 385]
 On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$.
  - Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$.
@@ -4385,34 +4400,75 @@ On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{
  - Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$.
  - Donner un équivalent de ${\bf P}(X=n)$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - Pas dur.
+ - 
+ - 
+#+END_proof
 
+
+# ID:7336
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 386]
-Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aléatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites.
+Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aléatoire associant à tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites.
  - Calculer ${\bf P}(N=1)$ et ${\bf P}(N=n)$.
- - Donner une formule simple pour la fonction génératrice de $N$.
+ - s Donner une formule simple pour la fonction génératrice de $N$.
  - Donner un équivalent de ${\bf E}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.
  - Donner un équivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - En notant $\om(\sigma)$ son nombre d'orbites, on cherche $G(X) = \sum_{\sigma} X^{\om(\sigma)}$. On trouve $X(X+1)\dots (X+n-1)$.
+   On peut le montrer par récurrence, via $c_n(k) = c_{n−1}(k − 1) + (n − 1)c_{n−1}(k)$.
+ - Utiliser $G$.
+ - Idem.
+#+END_proof
 
+
+# ID:7338
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 387]
-Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aléatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$.
+Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aléatoire à valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$.
  - Déterminer ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$.
  - Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicité de $z$ comme valeur propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Le rang est le cardinal de $\{X_1,\dots, X_n\}$.
+ - Si $\la$ est valeur propre, non nul, en écrivant $X = \sum x_i e_i$, les $e_i$ sont dans l'image, donc on est une permutation sur les $e_i$ de l'image.
 
+   Les valeurs propres d'une permutation sont les racines de l'unité des longueurs des cycles. Si $\mu_z$ est une racine primitive $k$-ième de l'unité, elle intervient pour chaque cycle de longueur $k$, $2k$, $3k$, etc.
+
+   On connaît l'espérance du nombre de cycles de longueur $k$, etc.
+#+END_proof
+
+
+# ID:7339
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 388]
 Soient $b,n\in{\N}^*$. On considère $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\db{0,b-1}$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in \db{1,n} \mid B_i\gt B_{i+1}\}$.
  - Pour $i\in\db{1,n-1}$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$.
  - Soit $j\in\db{1, n-j-1}$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$.
- - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ éléments à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui vérifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$.
+ - Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites à $n$ éléments à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui vérifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - 
+ - 
+#+END_proof
 
+
+# ID:7340
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 389]
 Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note $s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points $e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note $b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment (ou on dit que deux segments se croisent s'ils ont un point d'intersection qui n'est pas une extrémité).
 
 Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Déterminer $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en donner un équivalent.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+Il suffit de compter le nombre de croisements avec le segment $k = 0 (= 2n)$.
 
+Pour $k\in \db{1, 2n-1}$, $s(\sigma, 0)$ et $s(\sigma, k)$ se croisent avec probabilité $\frac{1}{2n}\left(\sum_{\l = 1}^{k-1} \frac{\l - 1}{2n} + \sum_{\l = k+1}^{2n-1}\frac{2n - \l - 1}{2n}\right)$.
+#+END_proof
+
+
+# ID:7341
 #+BEGIN_exercice [X 2023 # 390]
 Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : $\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$.
  1. Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et enfin que $p \leq \frac{1}{4}$.
@@ -4421,10 +4477,12 @@ Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}
 #+END_exercice
 #+BEGIN_proof
  1. On regarde les probabilités, jusqu'à $n = 3$.
- 2. $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy.
+ 2. $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy, c'est-à-dire
- 3.
+    $P(X = k) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \phi_X(\theta) e^{-i k\theta}\d\theta$
+ 3. Par ailleurs $\phi_X(\theta) = (1 - 2p + 2 p \cos \theta)^n$, donc si $p\leq \frac{1}{4}$, on est toujours positif.
 #+END_proof
 
+# ID:7342
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 391]
 Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\db{0,d}$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$.
  - La variable aléatoire $S_n$ est-elle uniformément distribuée sur $\Z/n\Z$?
@@ -4446,6 +4504,7 @@ Soient $d\in\N^*$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires s
  - Déterminer la limite de la suite de terme général $\mathbf{P}(S_n\equiv 0 [d])$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7343
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 393]
 Soit $n\geq 1$.
  - On se donne deux variables aléatoires indépendantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. Soit $r\in\Q$. Déterminer la probabilité $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit égal a $r$. Donner un équivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$.
@@ -4471,12 +4530,38 @@ Soit $n\geq 1$.
 #+END_proof
 
 
+# ID:7344
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 394]
- - Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$.
+Soit $a\in[1,2]$.
- - Soit $X$ une variable aléatoire réelle centrée et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$.
+ - On pose $f_a\colon x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$.
- - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires centrées admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$.
+ - Soit $X$ une VAR centrée et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$.
+ - Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de VAR centrées admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - Sur $\R_+$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} - 2 x^{a-1} - 1\big)$, qui est négative, car $a\in [1,2]$, donc $a-1 \in [0,1]$ (marche avec $1$ au lieu de $2$).
 
+   Sur $[-1, 0]$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} + 2 |x|^{a-1} - 1\big)$, qui est positive, car $(1+x)^{a-1}\geq 1 + (a-1) x$, et $(a-1)x + 2 |x|^{a-1} \geq 0$, car la partie négative est $ax$ plus petite que $2|x|$ (marche avec $1$ au lieu de $2$).
+
+   Sur $\interval]{-\i, -1}]$, en posant $x = -1 - y$ ($y\geq 0$) on a $y^a - 2 (1+y)^a  + a + ay$.
+   On écrit $(1+y)^a\geq 1 + y^a$, ça donne $a - 1 + ay - (1+y)^a \leq a - 2 \leq 0$.
+ - Écrire $E(|c + X|^a) = |c|^a \left(E(\big|1 + \frac{X}{c}\big|^a)\leq |c|^a E\left(|2^a| \left|\frac{X}{c}\right|^a - a \frac{X}{c}\right) + 1\right)$
+ - La récurrence ne passe pas, l'ami, mais conditionner par rapport aux valeurs de la somme $Y = \sum_{i=2}^n X_i$.
+#+END_proof
+
+# ID:7345
+#+BEGIN_exercice
+Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a\colon x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$.
+#+END_exercice
+#+BEGIN_proof
+Sur $\R_+$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} - 2 x^{a-1} - 1\big)$, qui est négative, car $a\in [1,2]$, donc $a-1 \in [0,1]$ (marche avec $1$ au lieu de $2$).
+
+   Sur $[-1, 0]$, la dérivée est $a\big((1+x)^{a-1} + 2 |x|^{a-1} - 1\big)$, qui est positive, car $(1+x)^{a-1}\geq 1 + (a-1) x$, et $(a-1)x + 2 |x|^{a-1} \geq 0$, car la partie négative est $ax$ plus petite que $2|x|$ (marche avec $1$ au lieu de $2$).
+
+   Sur $\interval]{-\i, -1}]$, en posant $x = -1 - y$ ($y\geq 0$) on a $y^a - 2 (1+y)^a  + a + ay$.
+#+END_proof
+
+
+# ID:7346
 #+begin_exercice Urne de Polya [X MP 2023 # 395]
 Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. À chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle tirée dans l'urne. On note $X_n$ le nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages et $T_n$ l'évènement «tirer une boule jaune au $n$-ième tirage».
  1. s Calculer $P(T_1\mid T_2)$.
@@ -4496,20 +4581,21 @@ Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succes
 #+END_proof
 
 
-#+BEGIN_exercice [X 2023 # 396]
+#+BEGIN_exercice [X 2023 # 396]                                                :todo:
 Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$.
  1. Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un triangle équilatéral.
  2. Déterminer un équivalent de $p_n$.
 #+END_exercice
-#+BEGIN_proof
+#+BEGIN_proof                                                          :todo:
-Relier à un précédent.
  1. On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes $1$, et autant de différences entre les deux.
 
     On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et $B\oplus C$.
 
     Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints.
+ 2. Super dur, fait dans la RMS.
 #+END_proof
 
+# ID:nil
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 397]
 On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilité uniforme. Soit $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation aléatoire $\sigma\in\mc{S}_n$.
  - Calculer $\mathbf{P}(X_n=0)$.
@@ -4518,11 +4604,23 @@ On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilité un
  - Calculer les espérance et variance de la variable aléatoire $X_n$.
 #+end_exercice
 
+# ID:7347
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 398]
-Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aléatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$.
+Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aléatoire où $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$.
  - Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible.
  - Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible et diagonalisable dans $\R$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - $M = a I_n + A$. La matrice $A$ est antisymétrique. Les valeurs propres possibles de $A$ sont $0$ les autres valeurs propres sont imaginaire pures (car leur carré est valeur propre négative de $A A^T$).
+
+   Si $a\neq 0$, on est inversible.
+
+   En fait, on a $M M^T = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2) I_n$ (quaternion).
+ - On ne peut pas être diagonalisable, sauf si on est scalaire, puisque si on était diagonalisable, les valeurs propres seraient $\pm \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}$.
+
+   On peut retirer $a$ (supposer $a = 0$), et alors $M^2 = -(b^2 + c^2 + d^2) I_n$.
+#+END_proof
+
 
 
 # ID:6956
@@ -4533,10 +4631,26 @@ Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$
  - On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont indépendantes. Déterminer la loi de $Y$, puis celle de $X$.
 #+end_exercice
 
-#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 400]
+#+BEGIN_exercice [X MP 2023 # 400]                                             :todo:
- Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aléatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-même telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilité que $F$ soit bijective.
+ Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aléatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-même telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilité que $F$ soit bijective.
 #+END_exercice
+#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+Quand $X_k$ vaut $2$, le prochain ne doit pas valoir $1$, et quand $X_k$ vaut $3$ le prochain ne doit pas valoir $2$, et celui d'après ne doit pas valoir $1$.
 
+On interdit les pattern 21, 32, et 3*1.
+
+Si c'est une bijection, alors en itérant, ou bien on obtient deux $\frac{n}{2}$-cycles, ou bien $3$, $\frac{n}{3}$-cycles, ou bien ?
+ + S'il y a au moins trois cycles, il doivent trois alternés, donc ils sont tous de longueur $3$. Facile de les compter.
+ + S'il y a un unique cycle, on peut compter le nombre de tours qu'il fait. S'il fait un seul tour, c'est que des $+1$.
+
+   S'il fait trois tours, ils doivent $3$-alterner, donc c'est que des $+3$.
+
+   S'il fait deux tours : alors il peut juste jamais faire 1, 1, attention également à la fin du tour (compter aussi le premier pas, et le dernier qui arrive en n-1).
+ + S'il y a deux cycles, ils sont fortement liés, et l'un détermine entièrement le second. Il faut simplement que l'un ne fasse jamais deux sauts de $1$.
+#+END_proof
+
+
+# ID:nil
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 401]
 On cherche à collectionner $N$ jouets. À chaque achat, chaque jouet a une probabilité uniforme d'être obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets différents.
  - Calculer l'espérance de $T_N$.
@@ -4544,6 +4658,7 @@ On cherche à collectionner $N$ jouets. À chaque achat, chaque jouet a une prob
  - Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$.
 #+end_exercice
 
+# ID:310
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 402]
 Soit $(X_n)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles centrées.
 
@@ -4552,11 +4667,17 @@ On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$.
  - Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la série de terme général $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\gt \eps\right)$?
 #+end_exercice
 
+# ID:nil
 #+begin_exercice [X MP 2023 # 403]
 Soient $x\in\R^{+*}$, $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient $S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$.
  - Montrer que $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)dx=\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n\frac{1}{n!}$.
  - On admet que, pour tout $x\in\R$, $\mathbf{P}(T_n\geq x)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\i}e^{-t^2/2}dt$. Retrouver la formule de Stirling.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - C'est $E(T_n)$.
+ - Vide.
+#+END_proof
+
 
 
 ** X PSI                                                              :autre: