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Exercices 2023.org

@@ -2,7 +2,7 @@
 #+title:  Exercices 2023
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   02-12-2023
-# Time-stamp: <30-11-24 16:51>
+# Time-stamp: <08-05-25 12:50>
 #+OPTIONS:
 
 
@@ -1320,7 +1320,7 @@ Soit $q\in\N^*$. Déterminer la limite de $(\frac{1}{n}\op{tr}\left(A_n^q\right)
 #+BEGIN_proof
 Pour $q$ impair la trace est nulle.
 
-Pour $q$ pair, en interprétant comme un graphe, on obtient quelque chose proche de somme de Riemann, et on tend vers ${q \choose q/2}\int_0^1 f(x)^q \dx$.
+Pour $q$ pair, en interprétant comme un graphe, on obtient quelque chose proche de sommes de Riemann, et on tend vers ${q \choose q/2}\int_0^1 f(x)^q \dx$.
 #+END_proof
 
 

Exercices 2024.org

@@ -2,7 +2,7 @@
 #+title:  Exercices 2024
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   20-11-2024
-# Time-stamp: <04-05-25 20:47>
+# Time-stamp: <27-05-25 19:42>
 
 * Meta                                                             :noexport:
 
@@ -14,7 +14,7 @@
 
 #+RESULTS:
 | ? | ! | todo | unexed | unexed xens |
-| 1 | 5 |   12 |    957 |          15 |
+| 1 | 2 |    2 |    947 |           5 |
 
 ** Options
 
@@ -26,6 +26,7 @@
 
 # #+OPTIONS: toc:t
 # #+export_file_name: Exercices 2024
+# #+exclude_types: proof
 
 *** XENS
 
@@ -1976,12 +1977,12 @@ On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique.
  - On note $S=\M_n(\R)\setminus\op{GL}_n(\R)$. Montrer que, pour tout $A\in\op{GL}_n(\R)$, il existe $M_0\in S$ telle que $d(A,S)=\lN À - M_0\rN$.
  - Rappeler le résultat sur les extrema sous contrainte. Que peut-on en déduire sur la matrice $M_0$ définie ci-dessus?
 #+end_exercice
-#+BEGIN_remarque
+#+BEGIN_proof
  - 
  - $0$
  - $S$ est fermé.
  - On travaille sous $\det M = 0$, est la différentielle du déterminant est $H\mapsto \op{Tr}(\op{Com} M_0^T H)$, donc $\op{Com} M_0^T$ est colinéaire à $A-M_0$.
-#+END_remarque
+#+END_proof
 
 
 ** Géométrie
@@ -2116,7 +2117,8 @@ On note ${\rm AA}=\{xy,\ (x,y)\in A^2\}$.
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 146]                                           :todo:
+# ID:8091
+#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 146]
 Soient $\lambda\gt 0$ et $N_{\lambda}$ une variable de Poisson de paramètre $\lambda$.
 
 Pour $f\colon\N\ra\R$ bornée, on pose $Tf:n\in\N\mapsto\lambda f(n+1)-nf(n)$.
@@ -2125,6 +2127,14 @@ Pour $f\colon\N\ra\R$ bornée, on pose $Tf:n\in\N\mapsto\lambda f(n+1)-nf(n)$.
 
    Montrer l'existence de $C_{\lambda}\gt 0$ tel que, pour toute variable aléatoire à valeurs dans $\N$, $d(N,N_{\lambda})\leq C_{\lambda}\sup_{\|f\|_{\i}\leq 1}{\bf E}(Tf(N))$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - $d(X,Y) = \sum |P(X = n) - P(Y = n)|$, donc $d(N, N_{\la}) = \sum \big|\frac{\la^n}{n!}e^{-\la} - P(N = n)\big|$, et $\E(Tf(N)) = \sum \big|\la P(N=n-1) - n P(N=n)\big|$.
+
+   Essentiellement, la première somme est $\sum |v_1 \dots v_n - u_n|$, et on peut majorer $|v_1 \dots v_n - u_n| = v_n |v_1 \dots v_{n-1} - \frac{u_n}{v_n}| \leq v_n \big|u_{n-1} - \frac{u_n}{v_n}\big| + v_n |u_{n-1} - v_1 \dots v_{n-1}|$.
+
+   En appliquant ça plein de fois, le terme $|u_{n-1} - \frac{u_n}{v_n}|$ apparaît en facteur de $v_n + v_n v_{n+1} + v_n v_{n+1}v_{n+2} + \dots$, ce qui est $\frac{P(N \geq n)}{P(N = n-1)}$, c'est-à-dire une constante.
+#+END_proof
 
 
 # ID:8026
@@ -2158,21 +2168,30 @@ Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien. Soient $v_1,\ldots,v_n\in E$
 #+end_exercice
 
 
-#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 149]                                           :todo:
+# ID:8092
+#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 149]
 Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d sur $\Z$ à support fini suivant la loi $\mu$. On pose $\nu(k)=\frac{e^{\lambda k}\mu(k)}{{\bf E}(e^{\lambda X_1})}$ et on considére une suite $(Y_n)_{n\geq 1}$ i.i.d suivant la loi $\nu$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et $T_n=\sum_{k=1}^nY_k$. On prend $\lambda\geq 0,a\in\R,\eps\gt 0,n\geq 1$.
  - Montrer que ${\bf P}(na\leq T_n\leq(a+\eps)n)\leq\frac{e^{ \lambda n(a+\eps)}}{({\bf E}(e^{\lambda X}))^n}{\bf P}(S_n\geq na)$.
  - On suppose $X\sim-X$ et $\exists k\gt a,\ (a\gt 0),\ \mu(k)\gt 0$.
 
    Démontrer que $\frac{1}{n}\ln{\bf P}(S_n\geq na)\xrightarrow[n\ra+\i]{}\inf_{s \geq 0}(-sa+\log{\bf E}(e^{sX}))$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  - Écrire explicitement la loi de $T_n$, comme une somme sur les
    configurations des $X_i$ possibles.
  - D'après la question précédente $\frac{1}{n}\ln \P(S_n\geq a)\geq -\la (a+\eps) + \ln \E(e^{s X}) + \frac{1}{n}\ln \left(\P(na \leq T_n \leq (a+\eps) n)\right)$. Par
    Par ailleurs, en l'appliquant à $a+\eps$, c'est aussi
    $\geq -\la (a + 2\eps) + \ln \E(e^{\la X}) + \frac{1}{n}\ln \left(\P(na \leq T_n \leq (a+\eps) n)\right)$.
 
-   Si on écrit plutôt $\P(na \leq S_n \leq (a+\eps)n)\leq \frac{e^{-\la n (a+\eps)}}{\E(e^{-\la X})^n} \P(T_n \geq na)$, le $-\la X$ au dénominateur est.
+   Faire l'opération inverse, c'est-à-dire passer de $\nu$ à $\mu$, consiste à poser $\mu = \frac{e^{-\la k}\nu(k)}{\E (e^{-\la \nu})} = e^{-\la k \nu(k)} \E (e^{\la \mu})$, donc on obtiendrait
+
+   Si on écrit plutôt $\P(na \leq S_n \leq (a+\eps)n)\leq e^{-\la n (a+\eps)} \E(e^{\la X})^n \P(T_n \geq na)$.
+
+   Donc $\P(S_n \geq na) \leq \sum_{k\geq n} e^{-\la n (a+k\eps)} \E\big(e^{\la X}\big)^n \P(T_n \geq n (a+ k\eps ))$, ce qui donne une somme géométrique que l'on veut. On obtient que $\P(S_n \geq na)\leq \inf_{\la} \dots$.
+
+   En fait, c'est direct par l'inégalité de Markov exponentielle.
+
+   Dans l'autre sens, on dérive l'expression, et on peut vérifier que pour le $s$ réalisant l'inf, on a $\E(T_n) = a$. Comme le support est fini, on a un contrôle sur la variance, et Bienaymé-Tchebychev permet de minorer $\P(n a \leq t_n \leq (a+\eps)n)$ par une constante.
 #+END_proof
 
 
@@ -2262,11 +2281,18 @@ Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 157]                                           :todo:
+# ID:8120
+#+begin_exercice [ENS MP 2024 # 157]
 Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ telle que, pour tous $n,k\in\N$, $\mathbf{P}\left(X_n=k\right)\gt 0$. Soit $N\in L^2$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, indépendante de $(X_k)_{k\in\N}$. On pose $X=X_N$.
  - Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\colon\N\ra\R$, que l'on déterminera, telle que $\mathbf{E}\left((f_0(X)-N)^2\right)=\min\limits_{g\colon\N\ra\R} \mathbf{E}\left((g(X)-N)^2\right)$.
- - On pose, pour tout $n\in\N$ et tout $g\colon\N\ra\R$, $R(g,n)=\mathbf{E}\left((g(X_n)-n)^2\right)$. Montrer que, si la suite $(R(f_0,n))_{n\in\N}$ est constante egale à un certain $R_0$, alors $R_0=\min\limits_{g\colon\N\ra\R}\sup\limits_{n\in\N}R(g,n)$ et $f_0$ est l'unique fonction vérifiant cette condition.
+ - On pose, pour tout $n\in\N$ et tout $g\colon\N\ra\R$, $R(g,n)=\mathbf{E}\left((g(X_n)-n)^2\right)$. Montrer que, si la suite $(R(f_0,n))_{n\in\N}$ est constante égale à un certain $R_0$, alors $R_0=\min\limits_{g\colon\N\ra\R}\sup\limits_{n\in\N}R(g,n)$ et $f_0$ est l'unique fonction vérifiant cette condition.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - L'espérance de droite est $\sum_{i\in\N} P(N = i) \E((g(X_i)-i)^2)$. En écrivant l'espérance par transfert, et en échangeant les sommes, on obtient
+   $$\sum_k \sum_i \P(N=i)\P(X_i = k) (g(k) - i)^2.$$
+   On peut minimiser chaque sous somme, en prenant $g(k) = \frac{\E(N \mid X = k)}{P(X = k)}$
+ - On a vu que l'espérance de droite est $H(g) = \sum_i \P (N=i) R(g, i)$. On suppose que les $R(f_0, i)$ sont tous égaux. Alors trivialement $R_0$ est le min des sup comme annoncé. Et si une autre fonction le vérifiait, elle aurait la même valeur que $f_0$, et l'optimisation de la question précédente montre que ce n'est pas possible, je pense.
+#+END_proof
 
 
 # ID:7765
@@ -3157,12 +3183,16 @@ On se donne donc $A=\{a_1\dots,a_n\}$ une partie finie non vide de $\R$, avec $a
  - Soit $n\geq 1$, premier avec $10$. Montrer que $n$ possède un multiple dont l'écriture en base $10$ n'a que des $9$.
  - On remarque que $\frac{1}{7}=0,\underline{142857}\underline{142857}\ldots\underline{142857}\ldots$ avec $142+857=999$.
 
-   $\frac{285+714}{7}=0,\underline{285714}\underline{285714}\ldots\underline{285714}\ldots$ $076+923=999$
+$\frac{285+714}{7}=0,\underline{285714}\underline{285714}\ldots\underline{285714}\ldots$ $076+923=999$
 
    $\frac{1}{13}=0,\underline{076923}$ $\underline{076923}\ldots\underline{076923}\ldots$
 
 Expliquer.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - 
+ - La période est l'ordre de $10$ modulo $n$. Le résultat
+#+END_proof
 
 
 # ID:nil
@@ -3282,7 +3312,8 @@ Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*)\colon x^2-dy^2=1$ d'
 #+end_exercice
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 276]                                             :todo:
+# ID:8094
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 276]
  - Soit $\mathbb{F}$ un corps fini. On admet que le groupe multiplicatif $\mathbb{F}^{\times}$ est cyclique.
 
    Soient $n\geq 1$ et $u\in\mathbb{F}$. On note $\widehat{\mathbb{F}^{\times}}$ l'ensemble des morphismes de $\mathbb{F}^{\times}$ dans $\C^*$ prolongés par $0$ en $0$. On note $N(X^n=u)$ le nombre de zéros du polynôme $X^n-u$ dans $\mathbb{F}$. On note $\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[n]$ l'ensemble des $\chi\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}$ tels que $\chi^n=1$.
@@ -3295,7 +3326,7 @@ Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*)\colon x^2-dy^2=1$ d'
 
    Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p-2-a_p$ avec $a_p^2+27b_p^2=4p$ ou $b_p\in\Z$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  - Si $\a^n = u$, alors $\chi(\a)^n = \chi(u) = 1$, et il y a autant de $\chi$ que de racines $n$-ième de $1$. Si $u$ n'a pas de racine $n$-ième, idem, $\chi$ est défini par $\chi(\gamma)$ et $u$ s'écrit $u = \gamma^k$.
  - On écrit $N(X^3 + Y^3 = 1)$ comme $\sum_{a,b \mid a+b = 1} N(X^3 = a) N(Y^3 = b)$.
 
@@ -3304,17 +3335,9 @@ Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*)\colon x^2-dy^2=1$ d'
    Les premières sommes sont nulles. On obtient exactement la somme sur $J$.
 
    Comme $\m F^\times$ est cyclique, les éléments de $\m F^{\times}[3]$ sont $\om$ et $\om^2$. La somme comporte $J(\om, \om) + J(\om, \om^2) + J(\om^2, \om) + J(\om^2, \om^2)$, et on trouve $J(\om, \om^2) = -1$. Les deux autres sont conjugués.
- - On a $J(\om, \om)$ qui est dans $\Z[e^{\frac{2i \pi}{3}}] = \Z[j, j^2] = \Z[j]$. Il s'écrit donc $(c-\frac{d}{2}) + i d \frac{\sqrt{3}}{2}$, et on a $(c- d/2)^2 + 3d^2/4 = p$, donc $c^2 - dc + d^2  = p$.
+ - On a $J(\om, \om)$ qui est dans $\Z[e^{\frac{2i \pi}{3}}] = \Z[j, j^2] = \Z[j]$. Il s'écrit donc $(c-\frac{d}{2}) + i d \frac{\sqrt{3}}{2}$, et on a $(c- d/2)^2 + 3d^2/4 = p$, donc $4p = (2c-d)^2 + 3d^2$, c'est-à-dire $p = c^2 - cd + d^2$, donc $4p = (2d-c)^2 + 3c^2$.
 
-   On prend donc $a_p = d - 2c$. Le résultat voulu revient à montrer
+   Si $d$ est un multiple de trois, ou $c$ est un multiple de $3$, on est bon. Sinon, on peut écrire $4p = (c+d)^2 + 3 (c-d)^2$. Comme $c\not\equiv -d$, on a $3\mid c- d$.
-   que $d$ est un multiple de $3$, donc que $J(\om,\om) = a + 3 d' j$.
-
-   On a $\sum_{x\in \m F} \om(x)\zeta_p^x$.
-
-   C'est donc $\sum_{x=1}^{p-1} (\zeta_p' j)^x = \frac{\zeta_p' j - j}{1 - \zeta_p j}$ (ici, on utilise $p\equiv 1[3]$). On l'élève à la puissance $3$, on obtient $\frac{(\zeta_p' - 1)^3}{(1 - \zeta_p j)^3}$ qui s'écrit on obtient $1 - 3\frac{\zeta_p'^2 - \zeta_p'}{(1-j \zeta_p')^3}$. Donc le quotient appartient à $\Q[j]$ (étant égal à $pJ$).
-
-   On écrit ça comme $(1-j\zeta_p)^3 pJ = (1-j\zeta_p)^3 - 3
-   (\zeta_p^2 - \zeta_p)$ (remarque : $\zeta_p$ ici est un $e^{\frac{2i k\pi}{p}}$, où $k$ est un générateur de $\m F^{\times}$, mais c'est quand même bizarre)
 #+END_proof
 
 
@@ -3543,23 +3566,20 @@ Soit $M\in\M_n(\R)$.
 #+END_proof
 
 
-# See 7791
+# ID:8095
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 292]                                             :todo:
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 292]
 Soient $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, et $a,b\in\mc{L}(V)$. Pour $u,v\in\mc{L}(V)$, on pose $[u,v]=uv-vu$. On suppose que $a$ est nilpotent et que $[a,[a,b]]=0$. Montrer que $[a,b]$ et $ab$ sont nilpotents.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
 On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BA (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule.
 
-Si $ab(x) = \la x$, $ba(x) = \la x - [a, b](x)$
+on note $X = [a,b]$, de sorte que $X$ commute avec $a$ et $ab = ba + X$.
 
-Dans le produit $(ab)^n = ababab\dots ab$, on fait passer les $a$ à droite.
+Le noyau de $a$ est stable par $ba$ et par $X$, donc par $ab$. Sur cette restriction, on a $ab = X$, qui est nilpotent.
- $(ab)^n = ba^2baba\dots ab + [a,b]abab\dots ab$.
 
- Si on les fait tous en même temps, on a $\prod ab = \prod (ba + [a,b]) = b (ab)^{n-1}a$.
+Considérons $F_2 = \Ker a^2$. Il est stable par $X$. Qu'advient-il sous l'action de $ba$ ? On a $aba F_2 \subset ab F_1 \subset F_1$, donc $ba F_2 \subset a^{-1}(F_1) = F_2$, donc $F_2$ est stable par $ba$.
 
-On note $a_0 = a$, et $a_{i+1} = [b, a_i]$. La suite $(a_i)$ commutent avec elle-même, et sont nilpotents.
+Par ailleurs, dans le quotient $F_2/F_1$, on a $ba$ qui est nul, donc $ab$ est nilpotent.
-
-En effet, le résultat précédent montre que si $a_i$ est nilpotent et commute avec $a_{i+1}$, alors $a_{i+1}$ est nilpotent, et commute avec $a_{i+2}$, car $[a_{i+1}, [a_{i+1}, b]]$ vaut $[a_{i+1}, [[a_i, b], b]] = [[a_i, b], [[a_i, b], b]]$ !! Nope
 #+END_proof
 
 
@@ -3630,10 +3650,12 @@ Soient $A,B\in\M_n(\R)$ commutant à $AB-BA$.
  - Calculer $\exp(A+B)$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
- - 
+ - On trouve $B + t[A,B]$
  - On doit trouver $e^A e^B e^{-1/2 [A,B]}$.
 
    On pose $U(t) = e^{tA} e^{tB}$. On a $U'(t) = e^{tA}(A+B)e^{tB} = (A+e^{At}B e^{-At}) U(t) = (A+B + t[A,B]) U(t)$.
+
+   Ensuite poser $V = e^{-t^2/2 [A,B]} U(t)$.
 #+END_proof
 
 
@@ -3671,21 +3693,30 @@ Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. Soient $a,b\in\mc{L}(E)$.
 #+end_exercice
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 302]                                             :todo:
+# ID:8122
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 302]
 Soit $\mc{A}$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$ stable par crochet de Lie : pour $M,N\in\mc{A}$, $[M,N]=MN-NM\in\mc{A}$.
  - On suppose que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme diagonalisable de $\mc{A}$. Montrer que $\forall M,N\in\mc{A}$, $[M,N]=0$.
  - On suppose que $\dim\mc{A}\leq 3$ et que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme nilpotent de $\mc{A}$. On pose $\mc{A}_0=\mc{A}$ et, pour $j\in\N$, $\mc{A}_{j+1}=\{[M,N],\ (M,N)\in\mc{A}_j^2\}$. Montrer que $\mc{A}_3=\{0\}$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
- - Si $[M, N] = \la N$, alors $[M, [M,N]] = [M, \la N] = \la^2 N$, mais
+ - Écrire $[X,Y] = \la Y$, avec $\la\neq 0$, alors $X = \sum \mu_i E_{i, Y}$ (vecteurs propres de $Y$) donc $[X,Y] = \sum \mu_i \la_i E_{i, Y} = \la Y$, et en appliquant à nouveau $\op{ad}_Y$ on devrait trouver $0$.
- - 
+ - Il s'agit de montrer que $\dim [\mc A, \mc A] \lt \dim \mc A$.
+
+   Si $\dim A = 1$ c'est clair.
+
+   Si $\dim \mc A = 2$, avec $\mc A = \vect (U, V)$, tout crochet de Lie est colinéaire à $[U, V]$, donc $\dim [\mc A, \mc A]\leq 1$.
+
+   Si $\dim \mc A = 3$, avec $\mc A = \vect (U, V, W)$. On peut voir $\op{ad}_{U},\dots,\op{ad}_{W}$ comme des matrices $3\times 3$, qui sont par ailleurs nilpotentes.
+
+   On considère $\op{ad}_U$. Sa matrice est de la forme $\begin{pmatrix}0 & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix}$. Le bloc carré du bas doit être nilpotent, donc il existe $V$ tel que $\op{ad}_U(V) = \la U$. Alors $\op{ad}_U(W)\subset \vect(U, V)$, sinon, non nilpotent, et de même pour $\op{ad}_V(W)$, car sinon, non nilpotent ! Alors $[\mc A,\mc A]\subset \vect (U,V)$.
 #+END_proof
 
 
 # ID:7907
 #+begin_exercice [X MP 2024 # 303]
 Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Un drapeau de $E$ est une famille de sous-espaces $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ telle que $F_0\subsetneq F_1\subsetneq\cdots\subsetneq F_n$.
- - Soit $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ un drapeau de $E$. Déterminer $\dim F_k$ pour tout $k\in \db{}0,n}$.
+ - Soit $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ un drapeau de $E$. Déterminer $\dim F_k$ pour tout $k\in \db{0,n}$.
 
  - E On considére dorénavant deux drapeaux $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ et $(G_i)_{i\in\db{0,n}}$.
  - Soient $i\in\db{1,n}$, $j_0\in\db{0,n}$ tels que $F_{i-1}+G_{j_0}=F_i+G_{j_0}$. Montrer que, pour tout $j\geq j_0$, $F_{i-1}+G_j=F_i+G_j$.
@@ -4040,15 +4071,22 @@ Si $\sum \frac{1}{1+n^2u_n}$ converge, alors $n^2 u_n \ra +\i$, donc (équivalen
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 331]                                             :todo:
+# ID:8119
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 331]
  - Soit $(u_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\xrightarrow[n\ra+\i]{}a\gt 0$. Déterminer la nature de $(S_n)$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_n}\sum_{k=0}^nku_k$.
  - Soient $(u_n)_{n\geq 0},(v_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$ et $T_n=v_0+\cdots+v_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\tend{n\ra+\i}a\in\R_+^{*}$ et $\frac{T_n}{nv_n}\tend{n\ra+\i}b\in\R_+^{*}$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_nv_n}\sum_{k=0}^nu_kv_k$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  - $(S_n)$ est croissante. Si elle convergeait, on aurait $u_n \sim \frac{\l}{n}$, contradiction.
 
-   Alors par sommation des équivalents, $\sum ku_k \sim \sum S_k = \sum (n-k) u_k$, et la somme des deux fait $nS_n$. On trouve comme équivalent $\frac{n^2}{2}$ (si $a = 1$)
+   Alors par sommation des équivalents, $\sum ku_k \sim \frac{1}{a}\sum S_k = \frac{1}{a}\sum (n-k) u_k$. En séparant, on obtient $\frac{\sum k u_k}{u_n}\sim \frac{n S_n}{u_n} \frac{1}{a (1+1/a)} \sim \frac{n^2}{a + 1}$.
- - !!
+ - On peut appliquer le même raisonnement à $\sum u_k k^{\b}$ : on fait Abel, et on obtient deux séries équivalentes (à un facteur) + le crochet. Mais cela ne tient que si $\sum u_k k^{\b}$ diverge. On utilise uniquement que $(k+1)^{\b} - k^{\b} \sim \frac{k^{\b}}{k}$.
+
+   On peut montrer que $u_{n+1}\sim u_n$, puis que $u_{n+1} - u_n$.
+
+   Sous l'hypothèse que $\sum u_k v_k$ diverge, on peut remplacer $u_k v_k$ par $U_k = \frac{S_k}{k}$ et $V_k =\frac{T_k}{k}$, et on peut vérifier que $U_{k+1} - U_k \sim \frac{u_k}{k}\sim \frac{U_{k+1}}{U_k}$, ce qui permet de faire la transformation d'Abel précédente, sur les $U_k$.
+
+   Si $\sum u_k v_k$ converge (ce qui est possible), on ne peut rien dire, si ce n'est qu'on est équivalent à la somme divisé par $\frac{1}{u_n v_n}$.
 #+END_proof
 
 
@@ -4104,7 +4142,8 @@ Dériver deux fois, on obtient que $f''$ est une moyenne. Considérer le maximum
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 336]                                             :todo:
+# ID:8121
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 336]
 Soient $N$ et $d$ deux entiers supérieurs ou egaux à 1. On pose $D=\db{-N,N}^d$ et on note $(e_1,\ldots,e_d)$ la base canonique de $\R^d$.
 
 On note $\partial D=\left\{\sum_{i=1}^dx_ie_i\,;\,(x_1,\ldots,x_n)\in D,\; \exists i\in\db{1,d},\;|x_i|=N\right\}$ et $\overset{\circ}{D}=D\setminus\partial D$.
@@ -4118,10 +4157,14 @@ On pose, pour $x\in\overset{\circ}{D}$, $Mu(x)=\prod_{i=1}^d\Delta_iu(x)$.
  - Montrer que $A$ est non vide.
  - Montrer que $u\in A$ et que $Mu=f$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  - Prendre $u = prod (N^2 - x_i^2)$
  - L'ensemble $D$ est fini.
- - L'inf de fonctions concaves est concave, et on a $Mh\geq f$. Si $Mh \gt f$ en un point. !!
+ - L'inf de fonctions concaves est concave, et on a $Mh\geq f$. Si $Mh \gt f$ en un point, alors en ce point on a $\Delta_i h(x)\gt 0$. On peut retirer à $h$ un petit multiple du $u$ de la première question, pour $N = 1$, on préserve la convexité en $x$ et on diminue $Mh$.
+
+   Prenons $f$ nulle partout, sauf en un point $a$. On va prendre une fonction concave, nulle partout, avec une valeur différente $v$ en $a$, de sorte que $(2v)^n = a$. Alors cela contribue le bon $\Delta$ en $a$, et en $a + e_i$ par exemple, les autres $\Delta_j$ sont nuls, donc effacent la contribution.
+
+   Comment diminuer $M(u)$ en un point $a$, où $M(u)(a)\gt 0$ ? On diminue la valeur $u(a)$ : cela diminue $M(u) (a)$, mais cela augmente les $M(u)$ des voisins. Ce n'est pas grave.
 #+END_proof
 
 
@@ -4440,24 +4483,37 @@ Soit $t\gt 0$. Our $p\in\R$, on pose $F_c(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\cos(px^2)\dx$
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 362]                                             :todo:
+# ID:8093
-Soit $f\colon\R^+\ra\R^{+*}$ de classe $\mc C^1$ telle que $\frac{xf'(x)}{f(x)}\ra a\in\R$ quand $x\ra+\i$.
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 362]
- - Soit $m\in\R^{+*}$. Montrer que $x\mapsto\frac{f(mx)}{f(x)}$ admet une limite en $+\i$ ; la calculer.
+Soit $f\colon\R^+\ra\R_+^{*}$ de classe $\mc C^1$ telle que $\frac{xf'(x)}{f(x)}\ra a\in\R$ quand $x\ra+\i$.
+ - Soit $m\in\R_+^{*}$. Montrer que $x\mapsto\frac{f(mx)}{f(x)}$ admet une limite en $+\i$ ; la calculer.
 
- - Soit $I:t\mapsto\int_0^{+\i}e^{-tx}f(x)dx$.
+ - Soit $I\colon t\mapsto\int_0^{+\i}e^{-tx}f(x)\dx$.
-   - Montrer que $I$ est définie sur $\R^{+*}$.
+   - Montrer que $I$ est définie sur $\R_+^*$.
    - Montrer que $I$ admet une limite finie en $+\i$.
    - Supposons $a\lt -1$. Déterminer la limite de $I$ en $0^+$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+ - On a $\frac{f'}{f}\sim \frac{a}{x}$, et on intègre. On obtient $\ln (f(mx)) - \ln f(x) = \ln m + o_{+\i}(1)$, donc $\frac{f(mx)}{f(x)}\ra m^a$
+ - 
+   - La question précédente donne une majoration de $f$, en fonction de sa restriction sur $[1, 2]$ par exemple.
+   - convergence dominée.
+   - Revient exactement à montrer que $f$ est intégrable.
+#+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2024 # 363]                                             :todo:
+# ID:8098
+#+begin_exercice [X MP 2024 # 363]
  - Soient $I$ et $J$ deux segments de $\R$, et $f:I\times J\ra\R$ continue. Montrer l'existence et l'égalité des deux quantites $\int_I\left(\int_Jf(x,y)dy\right)dx$ et $\int_J\left(\int_If(x,y)dx\right)dy$.
  - Pour $\alpha\in\,]0,1[$ et $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $f^2$ et $f^{' 2}$ sont intégrables sur $\R$, on note $\|f\|_{\alpha}^2=\int_{\R}\left(\int_{\R}\frac{|f(x)-f(y)|^ {2}}{|x-y|^{1+2\alpha}}dy\right)dx$. Montrer que $\|\ \|_{\alpha}$ définit une norme sur l'espace vectoriel $\{f\in\mc C^1(\R,\R),\ (f,f')\in L^2( \R,\R)^2\}$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
- - 
+ - Dériver par rapport à une borne.
- - 
+ - Il suffit de vérifier que l'intégrale est bien définie, alors le produit scalaire associé le sera, et c'est une norme.
+
+   Pour ça on peut prendre $y\geq x$, et découper en $y\in [x, x+1]$ et $y\geq x+1$. Pour $y\geq x+1$, on  montrer que $\int_{x+1}^{+\i} \frac{|f(x)-f(y)|^ {2}}{|x-y|^{1+2\alpha}}\dy$ est intégrable par rapport à $x$, en traitant la partie $\frac{|f(x)|^2}{\dots}$ et la partie $\frac{|f(y)|^2}{\dots}$ par Fubini.
+
+   Pour traiter le cas $y\in [x,x+1]$, il faut faire Cauchy-Schwarz et appliquer deux fois Fubini.
 #+END_proof
 
 
@@ -5400,7 +5456,7 @@ Soit $N\geq 1$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ indépendantes de même loi $\mu$ sur $\db{1
 # ID:8007
 #+BEGIN_exercice
 Soit $n \in \N^*$. On considère $v=\left(v_i\right)_{i \in \Z / n \Z} \in \R^{\Z / n \Z}$ et $\left(t_i\right)_{i \in \Z / n \Z} \in \interval]{0, 1}[^{\Z / n \Z}$.
-On définit $\left(v^{(k)}\right)_{k \in \N}=\left(v_i^{(k)}\right)_{i \in \Z / n \Z, k \in \N} \in\left(\R^{\Z / n \Z}\right)^{\N}$ par : $\quad\displaystyle \left\{\begin{array}{l} v_i^{(0)}=v_i \\ v_i^{(k+1)}=\left(1-t_i\right) v_i^{(k)}+t_i v_{i+1}^{(k)} \end{array}$.
+On définit $\left(v^{(k)}\right)_{k \in \N}=\left(v_i^{(k)}\right)_{i \in \Z / n \Z, k \in \N} \in\left(\R^{\Z / n \Z}\right)^{\N}$ par : $\quad\displaystyle \begin{cases} v_i^{(0)}=v_i \\ v_i^{(k+1)}=\left(1-t_i\right) v_i^{(k)}+t_i v_{i+1}^{(k)} \end{cases}$.
 
 Montrer que les $\left(v_i^{(k)}\right)_{k \in \N}$ convergent vers la même limite.
 #+END_exercice
@@ -5652,6 +5708,13 @@ Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Trouver les endomorphismes
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 516]
 Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=0$. Déterminer une condition nécessaire sur $n$ et $A$ pour qu'il existe $B\in\M_n(\R)$ telle que $A=B^2$.
 #+end_exercice
+#+BEGIN_proof
+En Jordan, $A$ est constituée de blocs $J_2$. Si les blocs $J_2$ vont
+par paires, ce sont des carrés de $J_4(0)$. Si il reste un $J_2$ tout
+seul, il faut un $0$ de plus.
+
+On a $\rg A\leq n/2$. Le seul cas qui ne marche pas est le cas où $\rg A = \frac{n}{2}$ et que $\frac{n}{2}$ est impair. On montre à la main que ce n'est pas possible, en prenant des antécédents de machins.
+#+END_proof
 
 
 #+begin_exercice [Mines MP 2024 # 517]