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#+title:  Exercices 2026
#+author: Sébastien Miquel
#+date:   22-07-2026
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* ENS MP/MPI                                                             :xens:

** Algèbre

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 1]
Soit $F$ un sous-ensemble fini de $R$. On note
$F+F = \{e+f \mid (e,f)\in F^2\}$. Majorer le cardinal de $F+F$ ; montrer
qu'il est minoré par $2|F|-1$. Cela reste-t-il vrai dans $R^d$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 2]
Soit $f : \{-1,1\}^n\to\R$. Montrer l'existence et l'unicité d'une fonction
$c : \mathcal P(\db{1,n})\to\R$ telle que, pour tout
$x=(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$,
$$f(x)=\sum_{S\subset\{1,2,\ldots,n\}} c(S)\prod_{i\in S}x_i.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 3]
Soient $E$ un ensemble et $n\in\N$. On note $C(E,n)$ l'ensemble des parties
de $E$ de cardinal $n$. Déterminer toutes les parties
$\{a_1,\ldots,a_n\}\in C(\Z,n)$, avec $a_1<\cdots<a_n$, telles que
l'application qui, à une paire $\{i,j\}$, associe $|a_i-a_j|$, réalise une
bijection de $C(\db{1,n},2)$ sur un intervalle d'entiers $\db{1,m}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 4]
Pour tout réel $x\geq 1$, on note $\pi(x)=\operatorname{card}\{p\in\mathbb{P}\mid
p\leq x\}$. Trouver une minoration la plus précise possible de $\pi(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 5]
Pour $K$ un corps et $a\in K$, on note
$C(K,a)=\{(x,y)\in K^2\mid x^2+y^2=a\}$.
1. Soient $p$ un nombre premier et $a\in\mathbb{F}_p^*$. Dénombrer
   l'ensemble $C(\mathbb{F}_p,a)$. Indication : on pourra décrire $C(\Q,1)$ et
   $C(\C,1)$.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $p$ pour que $2$ soit un
   carré modulo $p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 6]
Pour $n\in\N^*$, on se propose d'établir la propriété $P_n$ : pour toute
famille de $2n-1$ entiers relatifs, il existe une sous-famille de $n$ entiers
dont la somme est divisible par $n$.
1. Traiter les cas $n=1$ et $n=2$.
2. On suppose que $n\geq 2$. Montrer qu'il existe une famille de $2n-2$
   entiers relatifs dont aucune sous-famille de $n$ entiers n'a une somme
   divisible par $n$.
3. Soient $m,n\in\N^*$. Montrer que, si $P_m$ et $P_n$ sont vraies, il en est
   de même de $P_{mn}$.
4. Soit $p$ un nombre premier. Déterminer la classe modulo $p$ de
   $\binom{2p-1}{p}$ et, si $s\in\db{1,p}$, de
   $\binom{2p-1-s}{p-s}$.
5. Soient $p$ un nombre premier, $I$ un ensemble de cardinal $2p-1$,
   $(a_i)_{i\in I}\in\Z^I$. On suppose que, pour toute partie $J$ de $I$ de
   cardinal $p$, $\sum_{i\in J}a_i$ n'est pas divisible par $p$. Obtenir une
   contradiction en considérant
   $$\sum_{\substack{J\subset I\\|J|=p}}\left(\sum_{i\in J}a_i\right)^{p-1}.$$
   Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 7]
Soit $G$ un groupe. Une fonction $f:G\to\R$ est un quasi-morphisme quand il
existe $C\geq0$ tel que, pour tous $a,b\in G$,
$|f(ab)-f(a)-f(b)|\leq C$. Un quasi-morphisme $f$ est dit homogène quand,
pour tout $n\in\Z$ et tout $a\in G$, $f(a^n)=nf(a)$.
1. Soit $f$ un quasi-morphisme. Montrer que, pour tout $a\in G$, la suite
   $\left(f(a^{2^k})/2^k\right)$ converge.
2. On suppose $G$ abélien. Montrer que tout quasi-morphisme $f$ se décompose
   de façon unique sous la forme $f=f'+h$, où $f'$ est un quasi-morphisme
   homogène et $h$ une fonction bornée.
3. Montrer que, si $f$ est un quasi-morphisme homogène, alors, pour tous
   $a,b\in G$, $f(aba^{-1})=f(b)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 8]
Soit $\phi$ un morphisme de $\Q$-algèbres de $\Q[X]$ dans $\C$. On suppose
que le noyau de $\phi$ contient un polynôme de $\Z[X]$ unitaire et
irréductible sur $\Q$. On note $K$ le sous-$\R$-espace vectoriel de $\C$
engendré par l'image de $\phi$, et $G$ le sous-groupe de $(\C,+)$ engendré
par la famille $(\phi(X^n))_{n\in\N}$. Donner une condition nécessaire et
suffisante pour que $G$ soit dense dans $K$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 9]
1. Soit $p\geq2$ un entier. On suppose que le groupe
   $((\Z/p\Z)^\times,\cdot)$ des inversibles de $\Z/p\Z$ est isomorphe à
   $(\Z/(p-1)\Z,+)$. Montrer que $p$ est premier. On admet que, si $p$ est
   premier, le groupe multiplicatif $(\Z/p\Z)^\times$ est cyclique.
2. Soit $N\geq2$. Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
   a. $N$ est non premier et $\forall x\in\Z,\ x^N\equiv x\pmod N$.
   b. $N$ possède au moins trois facteurs premiers distincts et, pour tout
      premier $p$ divisant $N$, $p^2\nmid N$ et $p-1\mid N-1$.

   Dans ce cas, on dit que $N$ vérifie $(C)$.
3. a. Montrer qu'il existe $k\in\N$ tel que $6k+1$, $12k+1$ et $18k+1$
   soient premiers.
   b. Soit $k$ un tel entier. Montrer que
   $(6k+1)(12k+1)(18k+1)$ vérifie $(C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 10]
1. Déterminer les morphismes continus de $(\R,+)$ dans $(\mathbb{U},\times)$.
2. Soit $\mathbb{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Montrer que, pour
   $(m,n)\in\Z\times\N^*$ premiers entre eux, il existe $a\in\Z$ et une
   famille d'entiers $(b_p)_{p\in\mathbb{P}}$ tels que
   $$\frac mn=a+\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{b_p}{p^{v_p(n)}},\qquad
   0\leq b_p<p^{v_p(n)}.$$
3. En déduire que tout morphisme de $(\Q,+)$ dans $(\mathbb{U},\times)$ est
   déterminé par ses valeurs sur les $1/p^k$, pour tout premier $p$ et tout
   $k\in\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 11]
Soit $R$ un anneau commutatif. On note
$$\mathrm{SL}_2(R)=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in
\mathcal{M}_2(R)\mid ad-bc=1_R\right\}.$$
Soit $p$ un nombre premier et $k\in\N^*$ ; on admet que
$\mathrm{SL}_2(\Z/p^k\Z)$ est un groupe pour le produit matriciel.
1. Soit $\Pi:\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)\to\mathrm{SL}_2(\Z/p\Z)$ la réduction
   modulo $p$. Montrer qu'il s'agit d'un morphisme de groupes surjectif.
2. Soit $X\in\mathcal{M}_2(\Z)$ nilpotente. On suppose à présent $p>3$.
   Montrer que si $A\equiv I_2+X\pmod p$, alors
   $A^p\equiv I_2+pX\pmod{p^2}$.
3. Soit $H$ un sous-groupe de $\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$ tel que
   $\Pi(H)=\mathrm{SL}_2(\Z/p\Z)$. Montrer que
   $H=\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$.
4. Montrer le même résultat avec $\mathrm{SL}_2(\Z/p^k\Z)$ à la place de
   $\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 12]
1. Montrer que $\Z[X]$ est un sous-anneau de $\R[X]$.
2. Soient $A,B\in\Z[X]$ avec $B$ unitaire. Montrer qu'il existe
   $Q,R\in\Z[X]$ tels que $A=BQ+R$ avec $\deg(R)<\deg(B)$.
3. Soient $n\in\N^*$ et $y\in\Z$. Montrer que l'application
   $\phi:P\in\Z[X]\mapsto P(y)\in\Z/n\Z$ est un morphisme surjectif
   d'anneaux, de noyau
   $$\{(X-y)A+nB\mid(A,B)\in\Z[X]^2\}.$$
4. Soient $Q\in\Z[X]$ unitaire de degré strictement positif et $R$ un
   anneau. On suppose qu'il existe un morphisme d'anneaux de $\Z[X]$ dans
   $R$ de noyau $\{QA+nB\mid(A,B)\in\Z[X]^2\}$. Montrer que $R$ est fini
   et déterminer son cardinal.
5. On suppose désormais que $Q(X)=X^2+bX+c$. Déterminer une condition
   nécessaire et suffisante sur $n,b,c$ pour que l'anneau $R$ soit intègre.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 13]
Un idéal $I$ d'un anneau commutatif est dit premier si $A\setminus I$ est
stable par multiplication ; il est dit maximal si les seuls idéaux qui le
contiennent sont $I$ et $A$.
1. Montrer que tout idéal premier non nul de $\Z[\sqrt{5}]$ est maximal.
2. Montrer que tout idéal maximal de $\Z[\sqrt{5}]$ est premier.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 14]
Soit $A$ une $\R$-algèbre commutative unitaire de dimension finie. On note
$\mathrm{Nil}(A)=\{x\in A\mid x\text{ est nilpotent}\}$.
1. Rappeler la définition d'un idéal et montrer que $\mathrm{Nil}(A)$ est un
   idéal.
2. Montrer que si $x\in\mathrm{Nil}(A)$, alors $1-x$ est inversible.
3. Montrer qu'il existe $M\in\N$ tel que, pour tous
   $x_1,\ldots,x_M\in\mathrm{Nil}(A)$, $x_1\cdots x_M=0$.
4. Montrer que $M=\dim A$ convient.
5. Soit $L_x:y\in A\mapsto xy\in A$. Montrer que $x\in\mathrm{Nil}(A)$ si
   et seulement si $\chi_{L_x}=X^{\dim A}$.
6. Montrer que, pour tout $x\in A$, $\chi_{L_x}(x)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 15]
1. Soit $P\in\R[X]$. Montrer que, pour tout $x\in\R$, $P(x)\geq0$ si et
   seulement s'il existe $A,B\in\R[X]$ tels que $P=A^2+B^2$.
   Indication : montrer que l'ensemble
   $\{A^2+B^2\mid(A,B)\in\R[X]^2\}$ est stable par produit.
2. Montrer que, pour tout $x\in\R^+$, $P(x)\geq0$ si et seulement s'il
   existe $(A,B)\in\R[X]^2$ tels que $P=A^2+XB^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 16]
Soit $P\in\R[X]$ de degré au moins $2$. Le polynôme $P$ est dit sympathique
s'il est le produit de deux polynômes non constants à coefficients positifs.
On suppose qu'il existe $n\geq2$ tel que $P(X^n)$ soit sympathique. Démontrer
que $P$ est également sympathique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 17]
Soient $K$ un corps de caractéristique nulle et $a\in K$. Soit
$(P,Q)\in K[X]^2$ non tous deux nuls en $a$. Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il
existe $(\lambda,\mu)\in K^2$ tels que $\lambda P+\mu Q$ soit un polynôme
non nul admettant $a$ comme racine de multiplicité $n$ si et seulement si
$a$ est racine de $P'Q-PQ'$ de multiplicité $n-1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 18]
1. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $U_n,V_n\in\Z[X]$ tels que,
   pour tout $z\in\C$, $(1+iz)^n=U_n(z)+iV_n(z)$. Donner le degré de $V_n$,
   puis ses racines.
2. Soit $p$ un nombre premier tel que $p\equiv3\pmod4$. Montrer que, pour
   tout $k\in\Z$, $p$ divise $V_{p+1}(k)$.
3. Soient $p$ un nombre premier impair, $m,n\in\N^*$ et $d=m\wedge n$.
   Soit $k\in\Z$. On suppose que $p\mid V_m(k)$ et $p\mid V_n(k)$. Montrer
   que $p\mid V_d(k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 19]
On pose $P=\sum_{i=0}^N a_iX^i\in\C[X]$, avec $a_0\neq0$ et $a_N=1$, et
$$H(P)=\sup_{|z|=1}\frac{|P(z)|}{\sqrt{|a_0|}}.$$
1. Montrer que
   $$\frac{1}{|a_0|}\sum_{i=0}^N|a_i|^2\leq H(P)^2\leq
   \frac{N+1}{|a_0|}\sum_{i=0}^N|a_i|^2$$
   et étudier les cas d'égalité.
2. On pose $\ln^+(x)=\max(0,\ln x)$. Montrer que
   $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}
   \ln^+\left(\frac{|P(e^{i\theta})|}{\sqrt{|a_0|}}\right)\,d\theta
   \leq \ln H(P).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 20]
Soit $(u,v)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On appelle cristal
engendré par $(u,v)$ l'ensemble $C=\{au+bv\mid(a,b)\in\Z^2\}$.
1. Trouver les $\Phi\in\mathcal L(\R^2)$ tels que $\Phi(C)=C$, pour $C$ le
   cristal engendré par la base canonique.
2. Trouver les rotations $\Phi$ de $\R^2$ telles que $\Phi(C)=C$, pour $C$
   le cristal engendré par la base canonique.
3. Trouver les rotations $\Phi$ de $\R^2$ telles que $\Phi(C)=C$, pour $C$
   un cristal quelconque.
4. Soit $C$ une partie de $\R^2$ stable par $+$ et $-$. Montrer que $C$ est
   un cristal si et seulement si $\operatorname{Vect}(C)=\R^2$ et $C$ est
   discret.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 21]
Soient $A,B\in\mathcal M_{m,n}(\R)$. On dit que $A$ est équivalente à $B$
par rapport aux lignes si, pour tous $k$ et tous
$1\leq i_1<\cdots<i_k\leq m$, la famille
$(L_{i_1}(A),\ldots,L_{i_k}(A))$ est libre si et seulement si
$(L_{i_1}(B),\ldots,L_{i_k}(B))$ est libre, où $L_i(A)$ est la $i$-ème
ligne de $A$. On définit de même l'équivalence par rapport aux colonnes.
Montrer que $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)$ si et seulement
s'il existe $C\in\mathcal M_{m,n}(\R)$ équivalente à $A$ par rapport aux
lignes et équivalente à $B$ par rapport aux colonnes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 22]
Pour $\sigma\in\mathfrak S_n$, on note $n_k(\sigma)$ le nombre de $k$-cycles
de $\sigma$, et $m(\sigma)$ le nombre total de cycles.
1. Soit $c$ un $k$-cycle de $\mathfrak S_n$ et $i\in\N^*$. Déterminer
   l'ordre de $c^i$.
2. Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjugués si et seulement si, pour
   tout $k\in\db{1,n}$, $n_k(\sigma)=n_k(\tau)$.
3. Trouver le nombre total de cycles dans $c^i$ pour $c$ un $k$-cycle et
   $i\in\N^*$.
4. Calculer $\det\big((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n}\big)$.
5. Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjugués si et seulement si, pour
   tout $i\in\N^*$, $m(\sigma^i)=m(\tau^i)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 23]
Soit $n\in\N^*$. Soient $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal M_n(\C)$ et, pour
$i\in\db{1,n}$, soit $S_i$ un sous-ensemble de $\C$ de cardinal au moins
$n+1$. On suppose que, pour tout
$(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in S_1\times\cdots\times S_n$, la matrice
$\lambda_1A_1+\cdots+\lambda_nA_n$ est nilpotente. Montrer que, pour tout
$i$, $A_i$ est nilpotente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 24]
Soient $x_1,\ldots,x_n\in\Z$ et $k_1,\ldots,k_n\in\N^*$. Montrer que
$\prod_{i=1}^n i!$ divise le déterminant de la matrice
$$\left(\binom{x_i}{k_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 25]
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}\in\mathcal M_{m,n}(\R)$.
Soient $X=(x_1\ \cdots\ x_n)$ une combinaison convexe des lignes de $A$ et
$Y=(y_1\ \cdots\ y_m)^T$ une combinaison convexe des colonnes de $A$.
1. Soient $I$ un intervalle de $\R$ contenant tous les $x_j$ et $J$ un
   intervalle de $\R$ contenant tous les $y_i$. Montrer que $I\cap J\neq\varnothing$.
2. On suppose que $X=(\alpha\ \cdots\ \alpha)$ et
   $Y=(\beta\ \cdots\ \beta)^T$. Montrer que $\alpha=\beta$.
3. On note
   $$\alpha=\min_{(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)\in\Delta_m}
   \max_{1\leq j\leq n}\sum_{k=1}^m\lambda_k a_{k,j},\qquad
   \beta=\max_{(\mu_1,\ldots,\mu_n)\in\Delta_n}
   \min_{1\leq i\leq m}\sum_{j=1}^n a_{i,j}\mu_j,$$
   où $\Delta_k=\{(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)\in(\R_+)^k\mid
   \lambda_1+\cdots+\lambda_k=1\}$. Montrer que $\alpha\geq\beta$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 26]
Soient $p$ un nombre premier et $n$ un entier strictement positif.
1. Dénombrer les bases de l'espace vectoriel $(\mathbb F_p)^n$.
2. Soit $E$ un $\mathbb F_p$-espace vectoriel de dimension finie et
   $u\in\mathcal L(E)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(V,W)$ de
   sous-espaces de $E$ tels que $E=V\oplus W$, $V$ et $W$ soient stables par
   $u$, l'endomorphisme induit par $u$ sur $V$ soit inversible, et celui
   induit sur $W$ soit nilpotent.
3. En déduire le nombre de matrices nilpotentes de $\mathcal M_n(\mathbb F_p)$.
4. Peut-on mener le même calcul dans $\mathcal M_d(\Z/d\Z)$ pour un entier
   $d$ quelconque ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 27]
Soient $n\geq2$ et $E_n$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\R^n$.
Soit $\phi:E_n\to\R$ telle que $\phi(\{0\})=0$ et, pour tous
$(V,W)\in E_n^2$,
$$\phi(V\cap W)+\phi(V+W)\leq\phi(V)+\phi(W).$$
Montrer qu'il existe un unique sous-espace vectoriel $V_0\in E_n$ de
dimension maximale tel que
$$\min_{V\in E_n\setminus\{0\}}\frac{\phi(V)}{\dim V}
=\frac{\phi(V_0)}{\dim V_0}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 28]
Soit $n\in\N^*$. Une matrice $Q\in\mathcal M_n(\R)$ est bistochastique si
ses coefficients sont positifs et de somme égale à $1$ le long de chaque
ligne et de chaque colonne. Montrer que si $Q$ est une matrice
bistochastique qui n'est pas une matrice de permutation, il existe
$M\in\mathcal M_n(\R)$ non nulle telle que, pour tout
$(i,j)\in\db{1,n}^2$ :
1. si $Q_{i,j}=0$, alors $M_{i,j}=0$ ;
2. $\sum_{k=1}^n M_{i,k}=\sum_{k=1}^n M_{k,j}=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 29]
1. Montrer que tout endomorphisme de l'anneau $\mathcal M_n(K)$ est injectif.
2. Montrer que les endomorphismes de la $K$-algèbre $\mathcal M_n(K)$ sont
   les applications $M\mapsto PMP^{-1}$ pour $P\in\mathrm{GL}_n(K)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 30]
Soit $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension $n\in\N^*$. Soient
$A,B\in\mathcal L(V)$ nilpotents et commutants. On note $\C[A,B]$ la
sous-algèbre de $\mathcal L(V)$ engendrée par $A$ et $B$, et on pose
$V_1=\operatorname{Im}(A)+\operatorname{Im}(B)$. Soit $W$ un supplémentaire
de $V_1$ dans $V$.
1. Montrer que $\dim(\C[A])\leq n$.
2. Montrer que $V=\sum_{i,j\in\N}A^iB^jW$.
3. Montrer que l'application de restriction à $W$ définit une injection
   linéaire de $\C[A,B]$ dans $\mathcal L(W,V)$ et en déduire que
   $\dim(\C[A,B])\leq n\dim(W)$.
4. On note $A_1$ (resp. $B_1$) l'endomorphisme induit par $A$ (resp. $B$)
   sur $V_1$. Montrer que
   $\dim(A\C[A,B])\leq\dim(\C[A_1,B_1])$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 31]
Soit $n\in\N^*$. On pose
$$J_n=\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}\in\mathcal M_{2n}(\Z).$$
1. Montrer que $J_n$ est inversible et donner son inverse.
2. Soit $G_n=\{M\in\mathcal M_{2n}(\Z)\mid M^TJ_nM=J_n\}$. Montrer que
   $(G_n,\times)$ est un groupe, stable par transposition.
3. Soit $M\in G_n$ dont la première ligne est $(1,0,\ldots,0)$. On
   suppose $n>1$ et on écrit par blocs
   $$M=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ *&A&X&B\\ *&*&y&*\\ *&C&Z&D\end{pmatrix},$$
   avec $A,B,C,D\in\mathcal M_{n-1}(\Z)$, $y\in\Z$ et
   $X,Z\in\mathcal M_{n-1,1}(\Z)$. Montrer que $y=1$, $X=Z=0$ et
   $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in G_{n-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 32]
On souhaite déterminer les ordres possibles des éléments $A$ de
$\mathrm{GL}_2(\Z)$. Pour cela, on écrit
$\chi_A=X^2-tX+d$. Préciser les valeurs de $t$ et $d$, puis discuter les
ordres possibles. Fournir des exemples explicites pour les différents
ordres possibles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 33]
Soient $A$ et $B$ des matrices de $\mathcal M_n(\C)$ telles que
$A^2+B^2=2AB$. Montrer que $\chi_A=\chi_B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 34]
Soit $G$ un sous-groupe d'ordre $6$ de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Étudier les
propriétés de réduction simultanée des éléments de $G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 35]
Soient $K$ un corps et $A\in\mathcal M_2(K)$. On suppose que le polynôme
caractéristique $\chi_A$ est irréductible sur $K$. Soit
$B\in\mathrm{GL}_2(K)$ telle que $B$ ne commute pas avec $A$. Montrer que
$B^2$ est une matrice scalaire.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 36]
Soit $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.
1. On suppose que $G$ est fini. Montrer que les éléments de $G$ sont
   diagonalisables. Que peut-on dire de leurs spectres ?
2. On suppose que $G$ est compact. Soit $M\in G$.
   a. Montrer que $\operatorname{Sp}(M)\subset\mathbb U$.
   b. Soit $\lambda\in\operatorname{Sp}(M)$. Montrer que
      $\ker(M-\lambda I_n)=\ker((M-\lambda I_n)^2)$ et en déduire que
      $M$ est diagonalisable.
3. Caractériser les sous-groupes abéliens finis et les sous-groupes abéliens
   compacts de $\mathrm{GL}_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 37]
Soit $K$ un corps. Une matrice $M\in\mathrm{GL}_2(K)$ est dite
super-puissante si, pour tout $n\in\N^*$, il existe
$A_n\in\mathcal M_2(K)$ tel que $M=A_n^n$.
1. Déterminer les matrices super-puissantes dans le cas où $K=\C$.
2. On suppose $K=\R$. Montrer que $M\in\mathrm{GL}_2(\R)$ est
   super-puissante si et seulement s'il existe $R\in\mathcal M_2(\R)$ tel
   que $M=R^2$.
3. Sur $\Q$, montrer que les matrices super-puissantes sont de déterminant $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 38]
1. Soit $A\in\mathcal M_2(\C)$ tel que $\det A=1$. Exprimer $\chi_A$ en
   fonction d'une forme linéaire usuelle de $A$.
2. Soient $A,B\in\mathcal M_2(\C)$ telles que $\det A=\det B=1$. Montrer
   que $\operatorname{Tr}(AB^2)=\operatorname{Tr}(B)\operatorname{Tr}(AB)
   -\operatorname{Tr}(A)$.
3. Soit
   $S=\{(x,y,z)\in\Z^3\mid x^2+y^2+z^2=xyz\}$. Soient
   $A,B\in\mathcal M_2(\Z)$ de déterminant $1$. Montrer que
   $(\operatorname{Tr}(A),\operatorname{Tr}(B),\operatorname{Tr}(AB))\in S$
   si et seulement si $\operatorname{Tr}(ABA^{-1}B^{-1})=-2$.
4. Montrer que, pour tout $(x,y,z)\in S\setminus\{(0,0,0)\}$, il existe
   $A,B\in\mathcal M_2(\Z)$ de déterminant $1$ tels que
   $x=\operatorname{Tr}(A)$, $y=\operatorname{Tr}(B)$ et
   $z=\operatorname{Tr}(AB)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 39]
Soit $K$ un sous-corps de $\C$.
1. Montrer que, si $M\in\mathcal M_n(K)$, alors $M$ est nilpotente si et
   seulement si $\chi_M=X^n$.
2. Pour $M\in\mathcal M_n(K)$, on pose
   $\sin(M)=\frac{1}{2i}(e^{iM}-e^{-iM})$. On note $\mathcal N$ l'ensemble
   des matrices nilpotentes de $\mathcal M_n(K)$. Montrer que $\sin$ induit
   une bijection de $\mathcal N$ sur elle-même.
3. Soit $G=\{P\in\R_n[X]\mid P(0)=0,\ P'(0)\neq0\}$. Pour $P,Q\in G$,
   on note $P*Q=P(Q(X))\pmod{X^{n+1}}$. Montrer que $(G,*)$ est un groupe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 40]
Pour $X,Y\in\mathcal M_n(\C)$, on pose $[X,Y]=XY-YX$.
1. On pose $A=\{X\in\mathcal M_2(\C)\mid\operatorname{Tr}X=0\}$. Montrer
   que $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_2(\C)$ stable par
   crochet.
2. On pose
   $$X=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad
   Y=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\quad
   H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$
   Calculer les différents crochets.
3. Soit $\rho:A\to\mathcal M_n(\C)$ telle que
   $\rho([A,B])=[\rho(A),\rho(B)]$ pour tous $A,B\in\mathcal M_2(\C)$.
   On note $E_\lambda=\ker(\rho(H)-\lambda I_n)$. Soit $\alpha$ une valeur
   propre de $\rho(H)$.
   a. Montrer que $\rho(X)(E_\alpha)\subset E_{\alpha+2}$ et
      $\rho(Y)(E_\alpha)\subset E_{\alpha-2}$.
   b. Soit $V\in E_\alpha$. Montrer que la suite
      $(\rho(X)^kV)_{k\in\N}$ est nulle à partir d'un certain rang.
4. On dit que $\rho$ est irréductible si, pour tout sous-espace vectoriel
   $V$ de $\C^n$ et tout $A\in A$, la condition $\rho(A)(V)\subset V$
   implique $V=\{0\}$ ou $V=\C^n$. Si $\rho$ est irréductible, montrer que
   $\rho(H)$ est diagonalisable.
5. Montrer que $\operatorname{Sp}(\rho(H))=\{-m,-m+2,\ldots,m-2,m\}$ avec
   $m\in\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 41]
Soient $V$ un $\R$-espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $V$. Dans les
deux premières questions, on suppose $V$ de dimension finie.
1. Montrer que $\lambda\in\R$ est valeur propre de $u$ si et seulement si
   elle est racine du polynôme caractéristique de $u$.
2. On dit que $\lambda\in\C\setminus\R$ est valeur propre imaginaire de
   $u$ s'il existe $P\in\R[X]$ unitaire de degré $2$ tel que $P(\lambda)=0$
   et $P(u)$ n'est pas injectif. Une valeur propre complexe de $u$ est une
   valeur propre réelle ou imaginaire. Montrer que les racines complexes de
   $\chi_u$ sont exactement les valeurs propres complexes de $u$.
3. On suppose maintenant que $V$ est de dimension quelconque et muni d'une
   norme, et que $u$ est un homéomorphisme linéaire de $V$ sur lui-même. On
   munit $\mathcal L_c(V)$ des endomorphismes continus de la norme d'opérateur
   associée. Montrer que si la suite $(u^n)_{n\in\Z}$ est bornée, alors,
   pour tout $x\in V\setminus\{0\}$, $0$ n'est pas valeur d'adhérence de la
   suite $G(x)=(u^n(x))_{n\in\Z}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 42]
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien. Soit
$(x_1,\ldots,x_n)$ une base orthogonale de $E$. Déterminer, en fonction de
$\|x_1\|,\ldots,\|x_n\|$, quels sont les entiers $m\in\N$ avec $0<m<n$
tels qu'il existe un sous-espace vectoriel $F\subset E$ de dimension $m$
pour lequel les projetés orthogonaux $y_1,\ldots,y_n$ des $x_i$ sur $F$
ont tous la même norme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 43]
Soit $M\in\mathrm O_n(\R)$. Montrer qu'il existe deux symétries
orthogonales $A,B$ telles que $M=AB$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 44]
Soient $n\in\N^*$, $1\leq k,\ell\leq n$, et $M\in\mathcal M_n(\R)$ une
matrice dont les $k$ premières lignes et les $\ell$ premières colonnes
sont orthonormées. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale ayant les
mêmes $k$ premières lignes et $\ell$ premières colonnes que $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 45]
1. Pour $a\in\C$, montrer que $|a|<1$ si et seulement si, pour tout $v\in\C$
   non nul, il existe un unique $\rho>0$ tel que $|a+\rho v|=1$.
2. On identifie $\C$ au $\R$-espace vectoriel $\R^2$ muni de sa structure
   euclidienne canonique. Soient $T$ un automorphisme de $\C$ et $a\in\C$.
   On définit
   $$T_a:z\in\mathbb U\longmapsto
   \frac{a+T(z)}{|a+T(z)|}\in\mathbb U.$$
   Montrer que $T_a$ est bien définie, continue et bijective si et seulement
   si $|T^{-1}(a)|<1$.
3. On suppose la condition précédente vérifiée. Montrer que $T_a$ est une
   involution si et seulement si $T$ est autoadjoint, $a$ est un vecteur
   propre de $T$ associé à une valeur propre $\lambda<0$, et l'autre valeur
   propre $\mu$ vérifie $\lambda^2=|a|^2+\mu^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 46]
Soit $S\in\mathcal S_n(\R)$ à valeurs propres simples et $V\in\R^n$
unitaire. Pour $t\in\R$, on pose $G(t)=S+tVV^T$.
1. À quelle condition $G(t)$ et $S$ n'ont-elles pas de valeurs propres
   communes ?
2. Étudier les valeurs propres de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 47]
Soient les matrices de $\mathcal M_2(\C)$ suivantes :
$$E=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad
I=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix},\quad
J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad K=IJ.$$
Soit $H$ le $\R$-espace vectoriel engendré par $\{E,I,J,K\}$.
1. Montrer que $H$ est une $\R$-algèbre de dimension $4$.
2. On pose $A^*=A^T$ pour $A\in\mathcal M_2(\C)$. Vérifier que
   $A\mapsto A^*$ est un endomorphisme de $H$. Montrer que
   $(AB)^*=B^*A^*$ et $A^{**}=A$, puis donner la matrice de $A\mapsto A^*$
   dans la base $(E,I,J,K)$.
3. Soit $H_1=\{X\in H\mid XX^*=E\}$. Montrer que $H_1$ est un groupe.
   En identifiant $H_1$ à $\R^4$, donner une description géométrique de
   $H_1$.
4. Soit $H_2$ le sous-espace de $H$ engendré par $\{I,J,K\}$. Pour
   $X\in H_1$, on définit $\alpha(X):Y\in H_2\mapsto XYX^*\in H_2$.
   En identifiant $\alpha(X)$ à sa matrice dans la base $(I,J,K)$, montrer
   que $\alpha$ définit un morphisme surjectif de $H_1$ dans
   $\mathrm{SO}_3(\R)$ dont le noyau est $\{E,-E\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 48]
Une matrice $M=(m_{i,j})\in\mathcal M_n(\R)$ est dite centro-symétrique
lorsque $m_{n+1-i,n+1-j}=m_{i,j}$ pour tous $(i,j)\in\db{1,n}^2$, et elle
est dite bisymétrique lorsqu'elle est à la fois symétrique et
centro-symétrique. Un vecteur $X=(x_i)_{i}\in\R^n$ est dit symétrique si
$x_{n+1-i}=x_i$ pour tout $i$, et antisymétrique si $x_{n+1-i}=-x_i$.
1. On suppose $n=2k$ pour $k\in\N^*$, et on note
   $J_k=(\delta_{i+j,k+1})_{1\leq i,j\leq k}$. Montrer qu'une matrice
   $M\in\mathcal M_n(\R)$ est centro-symétrique si et seulement s'il
   existe deux matrices symétriques $A,E\in\mathcal M_k(\R)$ telles que
   $$M=\begin{pmatrix}A&EJ_k\\J_kE&J_kAJ_k\end{pmatrix}.$$
2. Soit $M\in\mathcal M_n(\R)$ bisymétrique. Montrer qu'il existe une
   base orthonormée de $\R^n$ formée de vecteurs propres de $M$, chacun
   symétrique ou antisymétrique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 49]
Soit $n\geq2$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et
$\mathcal M_n(\R)$ de la norme d'opérateur associée. On rappelle que toute
matrice $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ a une unique racine carrée dans
$\mathcal S_n^{++}(\R)$, notée $\sqrt A$. Pour $A,B\in\mathcal S_n(\R)$,
on note $A\leq B$ si $B-A\in\mathcal S_n^+(\R)$, et $A<B$ si
$B-A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
1. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$. Montrer que
   $\|A\|^2=\max(\operatorname{Sp}(A^TA))$. En déduire que, pour
   $A\in\mathcal S_n^+(\R)$,
   $$\|A\|=\max_{X\in\R^n\setminus\{0\}}
   \frac{\langle AX,X\rangle}{\|X\|^2}=\max(\operatorname{Sp}(A)).$$
2. Soient $C,D\in\mathcal M_n(\R)$ telles que $CD\in\mathcal S_n^+(\R)$.
   Montrer que $\|CD\|\leq\|DC\|$.
3. Montrer que $\sqrt{\cdot}$ est croissante sur $\mathcal S_n^{++}(\R)$.
4. Soit $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe
   $B\in\mathcal M_n(\R)$ tel que $e^B=A$.
5. Montrer que ce $B$ est unique si on impose $B\in\mathcal S_n(\R)$ ;
   on le note alors $\ln(A)$.
6. Montrer que $\ln$ est croissante sur $\mathcal S_n^{++}(\R)$.
   Indication : utiliser la question 3.
7. Est-ce que $A\mapsto A^2$ est croissante sur $\mathcal S_n(\R)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 50]
Soient $n\in\N^*$ et $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n$. Pour
$k\in\db{1,n}$, on note $s_k(x)$ la somme des $k$ plus grandes composantes
de $x$. Pour $\sigma\in\mathfrak S_n$, on pose
$\sigma(x)=(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})$.
1. Montrer que $s_k$ est convexe.

   On pose
   $$K(x)=\left\{\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\lambda_\sigma\sigma(x)
   \;\middle|\; (\lambda_\sigma)\in[0,1]^{\mathfrak S_n},\quad
   \sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\lambda_\sigma=1\right\}$$
   et
   $$L(x)=\{y\in\R^n\mid \forall k\in\db{1,n-1},
   s_k(y)\leq s_k(x)\text{ et }s_n(y)=s_n(x)\}.$$
2. Montrer que $K(x)\subset L(x)$.
3. On note $D(x)$ l'ensemble des vecteurs dont les composantes sont les
   coefficients diagonaux d'une matrice $M\in\mathcal S_n(\R)$ dont les
   valeurs propres sont les composantes de $x$. Montrer que $K(x)\subset D(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 51]
On note $A_+$ l'ensemble des matrices diagonales de la forme
$\operatorname{Diag}(a_1,\ldots,a_n)$ avec $a_1\geq\cdots\geq a_n>0$.
1. Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm O_n(\R)$
   et un unique $\sigma(M)\in A_+$ tels que
   $M^TM=P\sigma(M)P^T$. Discuter l'unicité de $P$.
2. On note $\sigma(M)=\operatorname{Diag}(\sigma_1(M),\ldots,\sigma_n(M))$.
   On munit $\R^n$ de sa norme euclidienne canonique et $\mathcal M_n(\R)$
   de la norme d'opérateur associée. Montrer que
   $\|M\|_{\mathrm{op}}^2=\sigma_1(M)$.
3. On munit $\mathcal A_n(\R)$ du produit scalaire défini par
   $\langle X,Y\rangle=-\operatorname{Tr}(XY)$. Trouver une base
   orthonormée $B$ de $\mathcal A_n(\R)$.
4. Soit $\phi_M$ définie par $\phi_M(X)=MXM^T$ pour $X\in\mathcal A_n(\R)$,
   et soit $F_M$ la matrice de $\phi_M$ dans la base $B$. Montrer que
   $\sigma_1(F_M)=\sigma_1(M)\sigma_2(M)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 52]
On munit $\R^n$ et $\mathcal S_n(\R)$ de leur structure euclidienne
canonique. Pour toute matrice $A\in\mathcal S_n(\R)$, on note
$\lambda_{\max}(A)$ sa plus grande valeur propre.
1. Montrer que
   $\lambda_{\max}(A)=\max_{x\in\R^n,\,\|x\|=1}x^TAx$.
2. Montrer que la fonction $\lambda_{\max}:\mathcal S_n(\R)\to\R$ est
   convexe.
3. Soient $X$ un espace euclidien et $f:X\to\R$ une fonction convexe.
   Pour tout $x\in X$, on pose
   $$\partial f(x)=\{d\in X\mid\forall y\in X,\ f(y)\geq
   f(x)+\langle d,y-x\rangle\}.$$
   Déterminer $\partial f$ pour une fonction convexe $f\in C^1(\R,\R)$ et
   pour $f:x\in\R\mapsto|x|$.
4. Soit $A\in\mathcal S_n(\R)$ telle que $\lambda_{\max}(A)$ soit une
   valeur propre simple. Soit $v$ un vecteur propre unitaire associé à
   $\lambda_{\max}(A)$. Montrer que $\partial\lambda_{\max}(A)=\{vv^T\}$.
   Indication : montrer, pour $H\in\mathcal S_n(\R)$ et $t\in\R$,
   $$\lambda_{\max}(A)+v^T(tH)v\leq\lambda_{\max}(A+tH)
   \leq\lambda_{\max}(A)+v^T(tH)v+
   \frac{2t^2\|H\|^2}{\lambda_{\max}(A)-\lambda_2},$$
   où $\lambda_2$ est la deuxième plus grande valeur propre de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 53]
Soit $E$ un espace euclidien. Pour $f\in\mathcal S(E)$, on pose
$\operatorname{Sp}_a(f)=\{|\lambda|\mid\lambda\in\operatorname{Sp}(f)\}$.
Soit $j\in\mathcal S(E)$ tel que $j^2=\operatorname{id}$. Un vecteur $x$
est dit $j$-symétrique (resp. $j$-antisymétrique) lorsque $j(x)=x$
(resp. $j(x)=-x$).
1. Dans cette question, $E=\R^2$. Déterminer $\operatorname{Sp}_a(j)$ et
   les vecteurs $j$-symétriques et $j$-antisymétriques possibles pour $j$.
2. Donner un exemple d'un couple $(j,f)\in\mathcal S(E)^2$ tel que
   $j^2=\operatorname{id}$ et que $j\circ f$ ne soit pas diagonalisable.
3. Soient $f\in\mathcal S(E)$ et $v$ un vecteur propre de $f$ associé à
   une valeur propre $\mu$ telle que
   $|\mu|=\max\operatorname{Sp}_a(f)=\max\operatorname{Sp}_a(j\circ f)$.
   Montrer qu'il existe un unique couple $(e,h)$ de vecteurs propres de
   $f$ tel que $v=e+h$, avec $e$ $j$-symétrique et $h$ $j$-antisymétrique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 54]
Soient $S=(s_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal S_n^{++}(\R)$,
$T=S^{-1}=(t_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ et
$\Phi(S)=(s_{i,j}t_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\Phi(S)$ est
dans $\mathcal S_n^{++}(\R)$ et que sa plus petite valeur propre est $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 55]
Soit $E$ un espace euclidien orienté et soit $b$ une application bilinéaire
de $E\times E$ dans $E$ telle que, pour tout $f\in\mathrm{SO}(E)$,
$f(b(u,v))=b(f(u),f(v))$. Que dire de $b$ ?
#+end_exercice



#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 56]
On munit $\R^2$ d'une norme $\|\cdot\|$, on note $B$ la boule unité
fermée et l'on pose
$$\Delta=\sup_{(x,y,z)\in B^3}
\min(\|x-y\|,\|y-z\|,\|z-x\|).$$
1. Montrer que $\Delta$ est atteint.
2. Montrer que $\Delta\leq2$.
3. Calculer $\Delta$ pour la norme euclidienne canonique.
4. Calculer $\Delta$ pour la norme infinie.
5. Montrer que $\Delta\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 57]
Soit $D=\{z\in\C\mid |z|\leq1\}$.
1. Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $[0,1]$. Montrer que $f$
   admet un point fixe.
2. On admet que, pour toute fonction continue $g:D\to\mathbb U$, il existe
   une fonction continue $\theta:D\to\R$ telle que $g=\exp(i\theta)$.
   Montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to\mathbb U$ dont
   la restriction à $\mathbb U$ soit l'identité de $\mathbb U$.
3. Déduire de la question précédente que toute fonction continue de $D$
   dans $D$ admet un point fixe.
4. Soit $C$ un convexe fermé de $\R^2$. Est-il vrai que toute fonction
   continue de $C$ dans $C$ admet un point fixe ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 58]
Soit $A$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]^2\to[0,1]$ telles que
$$\forall(u,v)\in[0,1]^2,\quad f(0,v)=f(u,0)=0\text{ et }f(u,1)=u,$$
et, pour tous $0\leq u_1\leq u_2\leq1$ et $0\leq v_1\leq v_2\leq1$,
$$f(u_1,v_2)-f(u_1,v_1)\leq f(u_2,v_2)-f(u_2,v_1).$$
Déterminer $h_0,h_1\in A$ tels que, pour tout $f\in A$ et tout
$(u,v)\in[0,1]^2$, $h_0(u,v)\leq f(u,v)\leq h_1(u,v)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 59]
On appelle groupe réel tout ensemble $G$ qui est un sous-groupe de
$\mathrm{GL}_n(\R)$ pour un certain $n\in\N^*$. Un groupe réel $G$ est
discret si, pour tout $x\in G$, il existe $\varepsilon>0$ tel que
$B(x,\varepsilon)\cap G=\{x\}$.
1. Soit $G$ un groupe réel connexe par arcs. Montrer que, si $H$ est un
   sous-groupe de $G$ d'intérieur relatif non vide, alors $H=G$.
2. Montrer qu'un groupe réel discret est fermé dans $\mathrm{GL}_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 60]
Soient $d,p\in\N^*$. Soit $f:\R^d\to\R^p$. On munit $\R^d$ et $\R^p$
de leur structure euclidienne canonique. On suppose que, pour tout
$x\in\R^d$ et tout $\delta>0$, il existe $\varepsilon>0$ tel que, pour
tous $y,z\in B(x,\varepsilon)$,
$$\left|\|f(y)-f(z)\|-\|y-z\|\right|\leq\delta\|y-z\|.$$
1. Montrer que $f$ est continue.
2. Montrer que, pour tous $x,y\in\R^d$,
   $\|f(x)-f(y)\|\leq\|x-y\|$.
3. On suppose $d=p=1$. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$,
   $|f(x)-f(y)|=|x-y|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 61]
Soit $E=C^0([0,1],\R)$. Une forme linéaire $\phi\in E^*$ est dite positive
si, pour tout $f\in E$ à valeurs dans $\R_+$, $\phi(f)\in\R_+$.
1. Montrer que toute forme linéaire positive sur $E$ est continue pour
   $\|\cdot\|_\infty$.
2. Soit $\phi$ une forme linéaire sur $E$ continue pour $\|\cdot\|_\infty$.
   Montrer que $\phi$ est différence de deux formes linéaires positives
   sur $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 62]
Soient $n\geq2$ et $\|\cdot\|$ une norme sur $\mathcal M_n(\C)$. Pour
$\varepsilon>0$, on pose
$S_\varepsilon=\{g\in\mathrm{GL}_n(\C)\mid\|g-I_n\|\leq\varepsilon\}$.
1. Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que $S_\varepsilon$ soit compact
   et, si l'on note $U$ son intérieur, que le groupe engendré par $U$ soit
   à la fois ouvert et fermé dans $\mathrm{GL}_n(\C)$.
2. On note $S=S_\varepsilon$ pour le $\varepsilon>0$ trouvé en 1 et
   $\langle S\rangle$ le sous-groupe engendré par $S$. Pour
   $g\in\langle S\rangle$, on note
   $$\ell_S(g)=\min\{k\in\N\mid g=g_1^{s_1}\cdots g_k^{s_k},\quad
   g_i\in S,\ s_i=\pm1\}.$$
   Trouver tous les $g\in\langle S\rangle$ tels que
   $(\ell_S(g^n))_{n\in\N}$ soit bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 63]
Soit $n\in\N^*$. On munit $\mathcal M_{n,1}(\R)$ d'une norme $N$. Soit
$A\in\mathcal M_n(\R)$. On dit que $A$ est stable si la suite $(A^k)_{k\in\N}$
converge vers la matrice nulle, et contractante pour $N$ s'il existe
$c\in]0,1[$ tel que $N(Ax)\leq cN(x)$ pour tout
$x\in\mathcal M_{n,1}(\R)$.
1. Montrer que si $A$ est contractante pour $N$, alors elle est stable.
2. On suppose $A$ stable. Montrer que la série
   $\sum_{k=0}^{+\infty}(A^k)^TA^k$ converge et que sa somme est dans
   $\mathcal S_n^{++}(\R)$.
3. Montrer que si $A$ est stable, alors $A$ est contractante pour une norme
   euclidienne bien choisie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 64]
Soit $d$ un entier supérieur ou égal à $2$.
1. Existe-t-il $M\in\mathcal M_d(\R)$ telle que
   $\operatorname{Sp}_{\C}(M)\subset\R$ et que
   $\{\operatorname{tr}(M^n)\mid n\in\N\}$ soit dense dans $\R$ ?
2. Même question lorsque $M$ a exactement deux valeurs propres non réelles.
   Indication : considérer une énumération des rationnels.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 65]
Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. On note $d$ la
distance associée à la norme. Soit $f:E\to E$ une application s'annulant
en $0$.
1. On suppose que $f$ est continue et que, pour tous $(x,y)\in E^2$,
   $$f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}.$$
   Que dire de $f$ ?
2. On suppose dans la suite que $f$ préserve la distance $d$ et est
   surjective. Montrer que $f$ est linéaire dans les deux cas suivants :
   a. $E=\R^n$ muni de la norme euclidienne canonique ;
   b. $E=\R^2$ muni de la norme infinie.
3. On revient au cas général. Soient $p,q\in E$ avec $q=-p$. Soit
   $(X_n)_{n\in\N}$ la suite de parties de $E$ définie par
   $$X_0=\{e\in E\mid d(e,p)=d(e,q)=d(p,q)/2\},$$
   $$X_n=\{e\in X_{n-1}\mid\forall x\in X_{n-1},\ d(e,x)
   \leq\operatorname{diam}(X_{n-1})/2\},\quad n\in\N^*.$$
   Montrer que $0\in X_n$ pour tout $n\in\N$, puis caractériser
   $\bigcap_{n\in\N}X_n$. Conclure que $f$ est linéaire.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 66]
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq2$.
1. Montrer que $B(0,1)\setminus\{0\}$ est connexe par arcs.
2. Soient $U$ un ouvert connexe par arcs de $E$ et $V$ une partie finie de
   $E$. Montrer que $U\setminus V$ est connexe par arcs.
3. Soient $U$ un ouvert connexe par arcs de $E$ et $V$ une union dénombrable
   de sous-espaces affines de $E$ de dimension au plus $n-2$. Montrer que
   $U\setminus V$ est connexe par arcs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 67]
On considère l'espace vectoriel normé des suites réelles sommables, noté
$E$, muni de la norme $\|u\|=\sum_{k=0}^{+\infty}|u_k|$.
1. Rappeler la définition d'une partie compacte de $E$.
2. Montrer que la boule unité fermée
   $B(0,1)=\{u\in E\mid\|u\|\leq1\}$ n'est pas compacte dans $E$.

   Une partie $K\subset E$ est dite équisommable si, pour tout
   $\varepsilon>0$, il existe $n_0\in\N$ tel que, pour tout $u\in K$,
   $$\sum_{k=n_0}^{+\infty}|u_k|<\varepsilon.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 68]
Montrer qu'il existe un unique couple $(\alpha,\theta)\in(\R_+^*)^2$ tel
que
$$\sin\left(\frac{\theta}{n^\alpha}\right)
=\frac{\theta}{(n+1)^\alpha}+O\left(\frac{1}{n^{\alpha+2}}\right)
\qquad(n\to+\infty).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 69]
Soient $(c_n)_{n\in\N^*}$ une suite de réels strictement positifs et
$p\in\N\setminus\{0,1\}$. Pour $n\in\N^*$, on pose
$$x_n=\sqrt[p]{c_1+\sqrt[p]{c_2+\sqrt[p]{\cdots+\sqrt[p]{c_n}}}}.$$
Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\N^*}$ converge si et seulement si la
suite $\left(\frac{\ln(c_n)}{p^n}\right)_{n\in\N^*}$ est majorée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 70]
Soient $N$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $\alpha$ un réel strictement
positif. On pose
$$S_N=\sum_{m\in\N^*}\frac{1}{m^\alpha}
\sin^2\left(\frac{m\pi}{N}\right).$$
1. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la série définissant $S_N$ est-elle
   convergente ?
2. Déterminer la limite de $S_N$ lorsque $N\to+\infty$.
3. Déterminer un équivalent de $S_N$ lorsque $N\to+\infty$ dans le cas où
   $1<\alpha\leq2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 71]
1. Soient $\alpha\geq0$ et $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive. On suppose
   que $\sum d_n$ converge. Montrer que
   $\sum\frac{d_n}{1+n^\alpha d_n}$ converge.
2. Soient $\alpha>1$ et $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive. Montrer que
   $\sum\frac{d_n}{1+n^\alpha d_n}$ converge.
3. Soit $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive telle que $\sum d_n$ diverge.
   Montrer que $\sum\frac{d_n}{1+d_n}$ diverge.
4. Soit $\alpha\in]0,1]$. Montrer l'existence de deux suites positives
   $(e_n)_{n\geq0}$ et $(f_n)_{n\geq0}$ telles que :
   a. $\sum e_n$ diverge et $\sum\frac{e_n}{1+n^\alpha e_n}$ diverge ;
   b. $\sum f_n$ diverge et $\sum\frac{f_n}{1+n^\alpha f_n}$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 72]
Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$.
1. Montrer que
   $$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(\ln n)^{\sigma(n)}}<+\infty$$
   et expliciter un majorant de la somme.
2. Soit $\alpha\leq2$. Montrer que
   $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sigma(n)}{n^\alpha}=+\infty.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 73]
1. Déterminer le nombre de solutions de $ye^y=x$ selon la valeur de $x$.
2. Soit $f$ qui à $x\in[-1/e,+\infty[$ renvoie l'unique solution $y\geq-1$
   de $ye^y=x$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]-1/e,+\infty[$.
3. Montrer que $f'(x)=\frac{1}{x+e^{f(x)}}$ et en déduire que $f$ est
   solution de $x(1+y)y'=y$.
4. Trouver un développement asymptotique de $f$ en $+\infty$, à deux
   termes, et montrer que le troisième terme est un $o(1)$.
5. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$,
   et trouver son rayon de convergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 74]
Soit $\beta\geq1$. On considère l'équation
$y^\beta=\frac13e^y$. Montrer qu'il existe une unique solution sur
$[1,+\infty[$, que l'on note $y(\beta)$, puis déterminer un développement
asymptotique de $y(\beta)$ lorsque $\beta$ tend vers $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 75]
Soit $f:x\in\R\mapsto x^3$. Soit $T_x$ la fonction polynomiale de degré
inférieur ou égal à $2$ définie sur $\R$ telle que
$T_x(x)=f(x)$, $T_x'(x)=f'(x)$ et $T_x''(x)=f''(x)$. Que dire de l'ensemble
$$\{(y,T_x(y))\mid(x,y)\in\R^2\}?$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 76]
1. Montrer que, pour tout $k\in\N$, il existe une fonction $f$ non nulle,
   de classe $C^k$, à support compact et telle que $f(\Q)\subset\Q$.
2. Montrer qu'il existe une fonction $f$ non nulle, de classe $C^\infty$ et
   à support compact.
3. Montrer qu'il existe une fonction $f$ non nulle, de classe $C^\infty$,
   à support compact et telle que $f(\Q)\subset\Q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 77]
Soient $a,b\in\R_+^*$. Soit
$$E=\{f\in C^2([0,1],\R)\mid f(0)=f(1)=0,\quad
\|f'\|_\infty\leq a,\quad\|f''\|_\infty\leq b\}.$$
Calculer $\sup_{f\in E}\|f\|_\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 78]
Soit $f$ une fonction de classe $C^\infty$ de $\R$ dans $\R$.
1. Soit $S$ un segment non trivial de $\R$ sur lequel $f$ n'est pas
   polynomiale. Montrer qu'il existe un sous-segment non trivial $S'$ de
   $S$ sur lequel $f$ n'est pas polynomiale et ne s'annule pas.
2. On suppose que, pour tout $x\in\R$, il existe $n\in\N$ tel que
   $f^{(n)}(x)=0$. Montrer que $f$ est polynomiale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 79]
1. Soit $f\in C^0([0,\pi],\R)$. Montrer que
   $$\int_0^\pi f(t)\cos(nt)\,dt\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.$$
2. Déterminer $(a,b)\in\R^2$ tel que, pour tout $n\in\N^*$,
   $$\int_0^\pi(at^2+bt)\cos(nt)\,dt=\frac{1}{n^2}.$$
3. Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}$ et
   $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(2n-1)^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 80]
Soient $a,b\in\R_+^*$ et $k\in\Z$. Calculer
$$\int_0^{+\infty}x^{k+\frac12}e^{-ax-\frac bx}\,dx.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 81]
Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f$ et $f''$ soient de carré intégrable.
1. Montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty}(f')^2$ converge.
2. Montrer que $f$ et $f'$ tendent vers $0$ en $\pm\infty$.
3. Montrer que
   $$\int_{-\infty}^{+\infty}(f')^2\leq
   \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}f^2\int_{-\infty}^{+\infty}(f'')^2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 82]
Soit $\alpha>0$. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f$ de classe $C^2$
de $\R_+$ dans $\R$ telles que
$$J(f)=\int_0^{+\infty}\big((f')^2+\alpha f^2\big)<+\infty.$$
1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\R_+,\R)$.
2. Montrer que, pour tout $v\in\R$, il existe $x\in E$ tel que $x(0)=v$.
3. On fixe $v\in\R$. Déterminer la borne inférieure de $J$ sur l'ensemble
   des $x\in E$ tels que $x(0)=v$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 83]
Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f:\R_+\to[0,1]$ continues par morceaux
et telles que $\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\leq1$. Pour $f\in E$, on pose
$$F(f)=-\int_0^{+\infty}f(x)\ln(x)\,dx.$$
1. Montrer que $F(E)=[-\infty,1]$.
2. Soit $\varepsilon\in]0,1[$. Caractériser
   $$G_\varepsilon=\sup\left\{\int_1^{+\infty}f(x)\,dx\mid
   f\in E\text{ et }F(f)\geq1-\varepsilon\right\}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 84]
Trouver une constante $C>0$ telle que, pour toute fonction $f$ continue à
support compact de $\R$ dans $\R$, on ait, pour tout $x\in\R$,
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|f(y)|}{\sqrt{|y-x|}}\,dy
\leq C\sqrt{\|f\|_\infty\|f\|_1}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 85]
1. Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions croissantes de $\R$ dans
   $[0,1]$, tendant toutes vers $0$ en $-\infty$ et vers $1$ en $+\infty$.
   Montrer que cette suite admet une suite extraite qui converge simplement
   sur $\R$.
2. Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires réelles
   discrètes. Montrer qu'il existe une extraction $\phi$ telle que
   $(\E(g(X_{\phi(n)})))_{n\in\N}$ converge pour toute fonction
   $g:\R\to\R$ continue et nulle en dehors d'un segment.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 86]
On note $f$ la fonction indicatrice de l'ensemble $\Q$ des rationnels.
1. La fonction $f$ est-elle limite simple sur $\R$ d'une suite de fonctions
   continues ?
2. Existe-t-il une famille $(f_{n,m})_{(n,m)\in\N^2}$ de fonctions
   continues de $\R$ dans $\R$ telle que, pour tout $x\in\R$,
   $f(x)=\lim_{n\to+\infty}\lim_{m\to+\infty}f_{n,m}(x)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 87]
Soient $q,n\in\N^*$ et $x_1,\ldots,x_n\in\R$.
1. Montrer qu'il existe $p\in\{1,\ldots,q^n\}$ tel que, pour tout
   $i\in\{1,\ldots,n\}$, $d(px_i,\Z)\leq\frac1q$.
2. Soit $(a_n)_{n\geq1}$ une suite de réels positifs. On suppose qu'il
   existe $x_0\in\R$ tel que la série $\sum a_n/n^x$ converge si et
   seulement si $x>x_0$. Soit $T>0$. Pour $z\in\C$ vérifiant
   $\operatorname{Re}(z)>x_0$, on pose
   $$f(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n^z}.$$
   On considère $F=\{z\in\C\mid\operatorname{Re}(z)>x_0,
   \operatorname{Im}(z)\geq T\}$. Montrer que $f$ est bien définie sur
   $F$ et qu'elle n'y est pas bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 88]
Soient $(a_n)_{n\geq0}\in\C^\N$ et
$f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. On pose
$$E_c(f)=\left\{z\in\C\mid |z|=1\text{ et }
\sum a_nz^n\text{ converge}\right\}.$$
1. Montrer que $E_c(f)$ peut être vide, le cercle unité $\mathbb U$ tout
   entier, ou $\mathbb U\setminus S$ avec $S$ une partie finie. Montrer en
   revanche que $E_c(f)$ ne peut pas être n'importe quel sous-ensemble de
   $\mathbb U$.
2. On suppose que $a_n\to0$. Montrer qu'il est possible que $E_c(f)=\varnothing$
   ou que $E_c(f)=\{1\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 89]
Si $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, un élément $\sigma$ de
$\mathfrak S_n$ est dit en zigzags si, pour tout $i\in\{2,\ldots,n-1\}$,
$\sigma(i)$ n'est pas compris entre $\sigma(i-1)$ et $\sigma(i+1)$. Une
permutation en zigzags est dite ascendante si $\sigma(2)>\sigma(1)$,
descendante dans le cas contraire.
1. Montrer que, si $n\geq2$, il y a autant de permutations en zigzags
   ascendantes que descendantes.
2. Pour $n\geq2$, soit $A_n$ le nombre de permutations de
   $\{1,\ldots,n\}$ en zigzags et ascendantes. On convient que $A_0=A_1=1$.
   Pour $n\geq1$, vérifier que
   $$2A_{n+1}=\sum_{k=0}^n\binom nk A_kA_{n-k}.$$
   Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A_n}{n!}x^n$.
3. Montrer que le rayon de convergence de $f$ est supérieur ou égal à $1$.
4. En utilisant une équation différentielle, déterminer une expression de
   $f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 90]
Soit $E=C^2([0,1],\R)$. Soit $\phi:E\to E$ l'application qui à $f\in E$
associe
$$\phi(f):x\in[0,1]\longmapsto\int_0^x sf(s)\,ds
+x\int_x^1f(s)\,ds.$$
1. Déterminer $\ker(\phi)$ et l'ensemble des valeurs propres de $\phi$,
   ainsi que les espaces propres associés.
2. On pose $P_0=1$ et, pour $n\in\N$, $P_{n+1}=\phi(P_n)$. Déterminer,
   pour tout $x\in[0,1]$, le rayon de convergence de la série entière
   $\sum P_n(x)z^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 91]
1. Déterminer le domaine de définition de
   $f:x\mapsto\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}$.
2. Déterminer la limite en $+\infty$ et un développement asymptotique à
   deux termes de $f$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 92]
Soient $r>0$ et $G=\{z\in\C\mid |z|=r\}$. Pour $f:G\to\C$ continue, on
note
$$I(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})re^{i\theta}\,d\theta.$$
1. Calculer $I(z\mapsto z^k)$ et $I\left(z\mapsto\frac1{z-a}\right)$ si
   $k\in\N$ et $a\in\C\setminus G$.
2. Soit $f:\C\to\C$ la somme d'une série entière de rayon de convergence
   infini. Soit $a\in\C$ avec $|a|<r$. Montrer que
   $$I\left(z\mapsto\frac{f(z)}{z-a}\right)=f(a).$$
3. Soit $M\in\mathcal M_n(\C)$. Montrer que, si $r$ est assez grand,
   $$e^M=I\left(z\mapsto e^z(zI_n-M)^{-1}\right),$$
   où la fonction $I$ est appliquée coefficient par coefficient.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 93]
Déterminer un équivalent, quand $\delta\to0$, de
$$\exp\left(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n
\int_\delta^{+\infty}\frac{e^{-n^2t}}{t}\,dt\right).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 94]
Pour $u:\R\to\R$, on note $(E_u)$ l'équation différentielle
$y''+u(t)y=0$.
1. Soient $b>a>0$ réels. Montrer qu'il existe une fonction continue
   $u:\R\to[a,b]$ telle que $(E_u)$ possède une solution non bornée sur $\R$.
2. Montrer qu'il existe une fonction continue $u:\R\to\R$, tendant vers
   $1$ en $+\infty$, telle que $(E_u)$ possède une solution non bornée sur
   $\R_+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 95]
Soit $f\in C^0([0,1],\R)$. On considère une solution
$y\in C^2([0,1],\R)$ du problème aux limites
$$y''-y=f,\qquad y(0)=y(1)=0.$$
1. Montrer que la solution $y$ est unique.
2. Montrer que
   $$\int_0^1y^2\leq\frac{1}{(1+\pi^2)^2}\int_0^1f^2.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 96]
Soient $n\in\N^*$ et $S\in\mathcal S_{2n}^{++}(\R)$. On pose
$$J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\I_n&0\end{pmatrix}.$$
1. Montrer que les solutions sur $\R$ du système différentiel
   $X'=JSX$ sont bornées.
2. Montrer qu'il existe des réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que
   $JS$ soit semblable sur $\C$ à la matrice diagonale de coefficients
   diagonaux $i\lambda_1,-i\lambda_1,\ldots,i\lambda_n,-i\lambda_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Magistère de Rennes 2026 # 97]
Soient $N:\R_+\to\R_+$ continue et strictement croissante, et $a>0$.
1. Montrer que l'application
   $$L:v\in\R_+^*\longmapsto\int_v^a\frac{dw}{N(w)}$$
   est bien définie, de classe $C^1$, injective et possède une limite
   (finie ou infinie) en $0$. On note cette limite $L(0)$.
2. Soient $T>0$, $u\in C^1([0,T[,\R_+)$, $A\in\R_+$ et
   $B:[0,T[\to\R_+$ continue et intégrable tels que, pour tout $t\in[0,T[$,
   $$u(t)\leq A+\int_0^tB(s)N(u(s))\,ds.$$
   a. On suppose $A>0$. Montrer que, pour tout $t\in[0,T[$,
      $$-L(u(t))\leq-L(A)+\int_0^tB(s)\,ds.$$
   b. Expliciter l'inégalité précédente quand $B$ est constante et $N$ est
      l'identité.
   c. On suppose $A=0$ et $L(0)=+\infty$. Montrer que $u(t)=0$ pour tout
      $t\in[0,T[$.
3. Étendre ce qui précède au cas où $u$ est seulement continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 98]
Soient $x,y\in C^1(\R_+,\R)$ telles que
$$\begin{cases}
x'(t)=-y(t)(1+x(t)y(t))-x^3(t),\\
y'(t)=x(t)(1-x(t)y(t))-y^3(t).
\end{cases}$$
1. Étudier le comportement asymptotique de $x$ et $y$.
2. En posant $X(t)=(x(t),y(t))$, décrire le mouvement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 99]
Soient $m,n\in\N^*$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne
canonique. Soient $A\in\mathcal M_{n,m}(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose
$S=\{X\in\R^m\mid AX=B\}$ et on suppose $S$ non vide.
1. Montrer que $S$ admet un élément de norme minimale et le caractériser
   géométriquement.
2. Soient $t>0$, $q>1$ et
   $$f_t:X\in\R^m\longmapsto\frac12\|X\|^2+
   \frac tq\|AX-B\|^q.$$
   a. Montrer que $f_t$ atteint son minimum en un unique point $X_0$.
   b. Soit $(u_k)_{k\geq1}$ une suite d'éléments de $\R^m$ telle que
      $f_t(u_k)\to\min f_t$. Que dire de la suite $(u_k)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 100]
On se place dans un $\C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Soit
$f\in\mathcal L(E)$. On pose $\rho=\max\{|\lambda|\mid\lambda\in
\operatorname{Sp}(f)\}$.
1. Montrer que $f$ est trigonalisable puis que, pour tout $\varepsilon>0$,
   il existe une base $B_\varepsilon$ de $E$ telle que la matrice
   $M=\operatorname{Mat}_{B_\varepsilon}(f)$ vérifie $M_{i,j}=0$ si $j<i$
   et $|M_{i,j}|<\varepsilon$ si $j>i$.
2. En déduire qu'il existe une norme $N_\varepsilon$ sur $E$ telle que
   $N_\varepsilon(f(x))\leq(\rho+\varepsilon)N_\varepsilon(x)$ pour tout
   $x\in E$.
3. Montrer que le résultat persiste sur $\R$.
4. Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien et
   $f\in\mathrm{GL}(E)$. Montrer que
   $\phi:x\in E\setminus\{0\}\mapsto f(x)/\|f(x)\|$ est de classe $C^1$
   et calculer sa différentielle.
5. Quels sont les points fixes de $\phi$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 101]
Soient $f:\R^2\to\R$ de classe $C^1$ et $(x_0,y_0)\in\R^2$. On définit,
pour $(x,y)\in\R^2$,
$$A(x,y)=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial x}
(x_0+t(x-x_0),y)\,dt,$$
$$B(x,y)=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial y}
(x_0,y_0+t(y-y_0))\,dt.$$
1. Après avoir rappelé les hypothèses de continuité sous le signe intégral,
   montrer que $A$ et $B$ sont continues.
2. Montrer que, pour tout $(x,y)\in\R^2$,
   $$f(x,y)=f(x_0,y_0)+(x-x_0)A(x,y)+(y-y_0)B(x,y).$$
3. Montrer que si $\phi:\R\to\R$ vérifie les hypothèses suivantes :
   a. $\phi$ est continue ;
   b. $f(x,\phi(x))=0$ pour tout $x\in\R$ ;
   c. $\frac{\partial f}{\partial y}(x,\phi(x))\neq0$ pour tout $x\in\R$ ;
   alors $\phi$ est de classe $C^1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 102]
Soit $\|\cdot\|$ une norme sur $\R^n$. On note $\|\cdot\|_{\mathrm{op}}$
la norme subordonnée sur $\mathcal L(\R^n)$.
1. Soient $f:\R^n\to\R^n$ de classe $C^1$ et $U$ un ouvert convexe tels
   que $\|df(x)\|_{\mathrm{op}}\leq M$ pour tout $x\in U$. Montrer que,
   pour tous $(x,y)\in U^2$,
   $\|f(x)-f(y)\|\leq M\|x-y\|$.
2. Dans la suite, $f$ est de classe $C^2$ et $U$ n'est plus supposé convexe.
   On suppose qu'il existe $a\in U$ tel que $f(a)=0$ et $df(a)$ soit
   inversible. Montrer qu'il existe un ouvert $V\subset U$ contenant $a$
   tel que, pour tout $x\in V$, $df(x)$ soit inversible.
3. On définit $F:V\to\R^n$ par
   $F(x)=x-(df(x))^{-1}(f(x))$. Montrer qu'il existe un ouvert non vide
   $W\subset V$ tel que $F(W)\subset W$ et que, pour toute suite définie
   par $x_0\in W$ et $x_{k+1}=F(x_k)$, la suite $(x_k)$ converge vers $a$.
4. Soit $P\in\R[X]$. On suppose qu'il existe une matrice $A$ telle que
   $P(A)=0$ et $P'(A)$ soit inversible. On définit au voisinage de $A$
   l'application $F:M\mapsto M-(P'(M))^{-1}P(M)$. Montrer qu'il existe un
   ouvert non vide $W$ tel que, pour toute suite définie par $M_0=M\in W$
   avec $AM=MA$ et $M_{k+1}=F(M_k)$, la suite $(M_k)$ converge vers $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 103]
On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne orientée canonique. On note $S$
la sphère unité, $B$ la boule unité fermée et $r$ la rotation d'angle $\pi/2$.
Soient $u:\R^2\to\R^2$ de classe $C^1$ et $x:\R_+\to\R^2$ de classe $C^1$
telles que :
1. $x'(t)=u(x(t))$ pour tout $t\in\R_+$ ;
2. $\langle u(y),y\rangle<0$ pour tout $y\in\R^2\setminus B$ ;
3. $\langle u(y),r(y)\rangle=\|y\|^2$ pour tout $y\in S$ ;
4. il existe $e\in S$ tel que $\langle u(e),e\rangle<0$.

Montrer qu'il existe $T\in\R_+$ tel que, pour tout $t\in[T,+\infty[$,
$\|x(t)\|<1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 104]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit
$f\in C^1(\R^n,\R)$ une fonction minorée. On note
$f^*=\inf_{\R^n}f$, $S=\{x\in\R^n\mid\nabla f(x)=0\}$ et
$E=\{x\in\R^n\mid f(x)=f^*\}$. On note $(PL)$ la propriété
$$\exists\mu>0,\ \forall x\in\R^n,\quad
f(x)-f^*\leq\frac{1}{2\mu}\|\nabla f(x)\|^2.$$
1. Quel lien y a-t-il entre $S$ et $E$ lorsque $f$ vérifie $(PL)$ ?
2. Soit $E'\subset\R^n$ un sous-espace affine. Existe-t-il une fonction
   $f$ vérifiant $(PL)$ pour laquelle $E=E'$ ? Même question lorsque $E'$
   est la sphère unité de $\R^n$.
3. On suppose que $f$ vérifie $(PL)$. Montrer que $E$ est connexe par arcs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 105]
Soient $d\in\N^*$, $u:\R^d\to\R^d$ et $\phi:\R\times\R^d\to\R^d$
telles que, pour tout $(t,x)\in\R\times\R^d$,
$$\frac{\partial\phi}{\partial t}(t,x)=u(\phi(t,x)),\qquad
\phi(0,x)=x.$$
Pour $t\in\R$, on note $\phi_t=\phi(t,\cdot)$. On suppose que
$\operatorname{tr}(du(x))=0$ pour tout $x\in\R^d$. Montrer que, pour tout
$(t,x)\in\R\times\R^d$, $\det d\phi_t(x)=1$.
#+end_exercice

** Géométrie

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 106]
On appelle similitude directe de $\C$ une application de $\C$ dans $\C$ de
la forme $z\mapsto az+b$ avec $(a,b)\in\C^*\times\C$.
1. Montrer que l'ensemble des similitudes directes est un groupe pour la
   composition.
2. Rappeler l'écriture complexe d'une rotation.
3. Soient $A_1,A_2,A_3$ des points du plan d'affixes $z_1,z_2,z_3$.
   Montrer que $A_1A_2A_3$ est un triangle équilatéral direct si et
   seulement si $z_1+jz_2+j^2z_3=0$.
4. Peut-on généraliser pour caractériser un polygone régulier à $n$ côtés ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 107]
On munit $\R^2$ de sa structure affine euclidienne canonique. Pour
$v\in\R^2$, soit $t_v$ la translation de vecteur $v$.
1. Soit $G$ l'ensemble des bijections de $\R^2$ dans lui-même de la forme
   $t_v\circ u$ où $u\in\mathrm{GL}_2(\R)$ et $v\in\R^2$. Montrer que $G$
   est un sous-groupe du groupe des bijections de $\R^2$ sur lui-même et
   que, si $(a_1,b_1,c_1)$ et $(a_2,b_2,c_2)$ sont deux triplets de points
   non alignés de $\R^2$, il existe un unique $g\in G$ tel que
   $g(a_1)=a_2$, $g(b_1)=b_2$, $g(c_1)=c_2$.
2. On appelle ellipse toute image d'un cercle de rayon strictement positif
   de $\R^2$ par un élément de $G$. Montrer que, pour tout triangle non
   aplati $T=(a,b,c)$ de $\R^2$, il existe une ellipse tangente aux côtés
   de $T$ en leurs milieux.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 108]
Soit $M\subset\R^2$ une partie du plan contenant au moins deux points. On
dit que $M$ vérifie la propriété $(P)$ si, pour tous $P,Q\in M$ avec
$P\neq Q$, la droite $(PQ)$ n'intersecte $M$ qu'en $P$ et $Q$. On dit que
$M$ est maximale si, pour tout $X\notin M$, $M\cup\{X\}$ ne vérifie plus
$(P)$.
1. Trouver tous les sous-groupes additifs de $\R^2$ vérifiant $(P)$.
2. Montrer qu'il existe une partie dense de $\R^2$ vérifiant $(P)$.
3. Montrer que le cercle unité est maximal.
4. Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\R^2$ tel que la frontière de $\Omega$
   vérifie $(P)$. Que dire de $\Omega$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 109]
On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne standard. Une ellipse est
définie comme l'image directe du disque unité fermé par un certain
endomorphisme $f$ de $\R^2$, et l'on définit son aire comme $\pi|\det(f)|$.
Soit $K$ une partie compacte non vide de $\R^2$.
1. Montrer que, parmi les disques fermés contenant $K$, il en existe un et
   un seul de rayon minimal (éventuellement nul).
2. Montrer que, parmi les ellipses contenant $K$, il en existe une d'aire
   minimale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 110]
Soit $C\subset\R^2$ une partie convexe compacte dont la frontière est une
courbe de classe $C^1$. On définit un billard commençant par un point $M$ de
la frontière et un vecteur $\vec v$ comme le chemin obtenu en faisant des
rebonds chaque fois que la trajectoire touche la frontière, de sorte que
les rebonds soient symétriques par rapport à la normale au point de
réflexion. Montrer qu'il existe une trajectoire triangulaire périodique.
Indication : prendre un triangle dont la somme des longueurs des côtés est
maximale.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 111]
1. On considère trois dés équilibrés dont les faces sont numérotées
   respectivement par les ensembles $\{18,9,8,7,6,5\}$,
   $\{17,16,15,4,3,2\}$ et $\{14,13,12,11,10,1\}$, et l'on note $A,B,C$
   les résultats de chaque lancer. Calculer $\mathbb P(A>B)$,
   $\mathbb P(B>C)$ et $\mathbb P(C>A)$. Commenter le résultat.
2. On numérote les faces de trois dés à $n$ faces avec les entiers de $1$
   à $3n$ et l'on note $A,B,C$ les résultats de chaque lancer. Montrer que
   l'une des trois probabilités $\mathbb P(A>B)$, $\mathbb P(B>C)$ ou
   $\mathbb P(C>A)$ est inférieure ou égale à $2/3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 112]
On considère un tableau de taille $n\times n$, dont on révèle les cases
une par une aléatoirement.
1. Soient $m\in\N^*$ et $i\in\db{1,n}$. Calculer la probabilité qu'après
   $m$ étapes, la ligne $i$ n'ait aucune case révélée. La majorer par
   $(1-1/n)^m$.
2. On note $H_n$ le nombre d'étapes nécessaires pour que toute ligne et
   toute colonne contienne au moins une case révélée. Soit $\varepsilon>0$.
   Montrer que
   $\mathbb P(H_n>\lfloor(1+\varepsilon)n\ln n\rfloor)\to0$ lorsque
   $n\to+\infty$. Déterminer la vitesse de convergence.
3. Soit $\varepsilon\in]0,1[$. On note $X_n$ le nombre de lignes ne
   contenant pas de case révélée à l'instant
   $\tau=\lfloor(1-\varepsilon)n\ln n\rfloor$. Montrer que
   $\mathbb E(X_n)\to+\infty$ lorsque $n\to+\infty$.
4. Montrer que $\mathbb P(X_n=0)\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 113]
Que dire de deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes $X$
et $Y$ telles que $X+Y$ et $Y$ soient indépendantes ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 114]
Soit, pour $n\in\N^*$, $M_n$ une matrice aléatoire dont les coefficients
sont des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de
paramètre $1/2$. Montrer qu'il existe une constante absolue $c>0$ telle que,
pour tout $n\in\N^*$,
$$\mathbb P(M_n\in\mathrm{GL}_n(\R))\geq c.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 115]
Soit $R>0$. On choisit aléatoirement un polynôme $P_n\in\C_n[X]$ unitaire
de degré $n$, à coefficients indépendants suivant la loi uniforme sur
$B(0,R)\cap\Z[i]$. Où se situent les racines de $P_n$ quand $n$ tend vers
$+\infty$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 116]
On définit, pour une suite de réels $u=(u_i)_{i\geq0}$, la suite de
matrices $H(u)$ telle que
$H_n(u)=(u_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$.
1. On suppose que, pour tout $n\in\N$, $u_n=\E(X^n)$, avec $X$ une variable
   aléatoire réelle discrète admettant un moment de tout ordre. Montrer que
   toutes les matrices $H_n(u)$ sont symétriques positives. Quel est leur
   rang ?
2. On suppose que $u_0,\ldots,u_{2M-2}$ vérifient
   $H_M(u)\in\mathcal S_M^{++}(\R)$. Montrer que la suite $u$ peut être
   prolongée à partir du rang $2M-1$ en une suite infinie telle que, pour
   tout $n\geq M$, $\operatorname{rg}(H_n(u))=M$.
3. On suppose que $H_n(u)\in\mathcal S_n^+(\R)$ pour tout $n\in\N$. Montrer
   que les seules natures possibles pour la suite
   $(\operatorname{rg}(H_n(u)))_{n\geq0}$ sont : soit
   $\operatorname{rg}(H_n(u))=n$ pour tout $n\in\N$ ; soit il existe $M$
   tel que $\operatorname{rg}(H_n(u))=n$ pour $n\leq M$, puis cette suite
   est stationnaire égale à $M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 117]
Soit $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur
$\mathfrak S_m$. Quelle est la loi de la longueur du cycle de $\sigma$
contenant $1$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 118]
Soit $p\geq5$ un nombre premier. On admet que le polynôme $X^3-1$ a pour
unique racine $1$ dans $\mathbb F_p$ si et seulement si $p\equiv2\pmod3$.
On tire une matrice $M$ dans $\mathrm{GL}_3(\mathbb F_p)$ avec la
probabilité uniforme. Calculer $\mathbb P(M^3=I_3)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 119]
Soit $n\in\N^*$. On dit que la matrice $A\in\mathcal M_2(\Z)$ est
inversible modulo $n$ s'il existe $B\in\mathcal M_2(\Z)$ telle que, pour
tous $(i,j)\in\db{1,2}^2$, $(AB)_{i,j}\equiv\delta_{i,j}\pmod n$.
1. Montrer que $A$ est inversible modulo $n$ si et seulement si
   $\det(A)\wedge n=1$.
2. Soient $a,b,c,d$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme
   sur $\db{0,n-1}$, et
   $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. Calculer la probabilité que
   $M$ soit inversible modulo $n$ pour $n=p^k$, avec $p$ premier et
   $k\in\N^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 120]
Soient $n\in\N^*$ et $(a_1,b_1),\ldots,(a_k,b_k),\ldots$ une suite i.i.d.
de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Pour
$m\in\N^*$, soit $\sigma_m$ la permutation aléatoire
$\sigma_m=(a_1\ b_1)\circ\cdots\circ(a_m\ b_m)$, et soit $\mu_m$ la loi
de $\sigma_m$.
1. Pour $m\in\N^*$, exprimer $\mu_{m+1}$ en fonction de $\mu_m$.
2. À quelle condition sur $m$ a-t-on $\mu_m(\{\sigma\})>0$ pour tout
   $\sigma\in\mathfrak S_n$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 121]
Soient $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la
loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Pour $N\in\N^*$, on pose
$$S_N=\sum_{i=1}^N\frac{X_i}{i^\alpha},\qquad
F_N:x\in\R\longmapsto\mathbb P(S_N\leq x).$$
Montrer que la suite $(F_N)$ converge ; on note $F$ sa limite. Pour quelles
valeurs de $\alpha>0$, $\lambda>0$ et $x\geq0$ a-t-on $F(x)>0$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 122]
1. Soient $a\in]0,1[$ et $b\in\R_+^*$. Montrer qu'il existe
   $c_{a,b}>0$ tel que, pour toute variable aléatoire $Z$ à valeurs dans
   $\R_+$ vérifiant $\E(Z)=1$ et $\E(Z^2)\leq b$, on ait
   $\mathbb P(Z\geq a)\geq c_{a,b}$.
2. Soient $(X_k)_{k\geq1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant
   la loi de Rademacher et, pour $n\in\N^*$,
   $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
   a. Montrer que, pour tout $a>0$, il existe $\phi(a)>0$ tel que, pour
      tout $n$ assez grand,
      $\mathbb P(S_n/\sqrt n\geq a)\geq\phi(a)$.
   b. Montrer que
      $$\mathbb P\left(\left(\frac{S_n}{\sqrt n}\right)_{n\geq1}
      \text{ est bornée}\right)=0.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 123]
1. Montrer que la fonction $\tau$ qui associe à un entier naturel non nul
   son nombre de diviseurs positifs vérifie
   $\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)$ pour tous $m,n\in\N^*$ premiers entre eux.
2. Trouver un équivalent de $\E(\tau(T_N))$ quand $N\to+\infty$, où
   $T_N\sim\mathcal U(\db{1,N})$.
3. Montrer que
   $\mathbb P(\tau(T_N)>\ln^3(N))=O(1/\ln^3(N))$ quand $N\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 124]
Soient $p\in\N^*$, $N\in\N$ avec $N\geq2$, et $X_0,X_1,\ldots,X_N$ des
variables aléatoires complexes telles que, pour tous $i,j\in\{0,\ldots,N\}$,
$$\E(|X_i-X_j|^p)\leq\left(\frac{|i-j|}{N}\right)^2.$$
1. Soit $\eta>0$. Donner une majoration de
   $\mathbb P\left(\max_{1\leq i\leq N}|X_i-X_0|\geq\eta\right)$.
2. À partir de quel $p$ cette majoration est-elle pertinente ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 125]
Soit $(p_n)_{n\in\N}\in[0,1]^\N$. Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de
variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $n\in\N$,
$X_n\sim\mathcal B(p_n)$. Montrer l'équivalence entre :
1. pour toute distribution de probabilités $(q_i)_{i\geq0}$ sur $\N$,
   il existe une suite $(g_n)$ de fonctions de $\{0,1\}^{n+1}$ dans $\N$
   telle que $(g_n(X_0,\ldots,X_n))$ converge presque sûrement vers une
   variable aléatoire suivant la loi associée à $(q_i)$ ;
2. $\sum_{n=1}^{+\infty}p_n(1-p_n)=+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 126]
1. Soit $p\in]0,1[$. Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables
   aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p$. Pour
   $n\in\N^*$, on note $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. Donner un équivalent
   simple de $\E(M_n)$ quand $n\to+\infty$.
2. Soit $(Y_i)_{i\in\N}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant
   la loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Pour $n\in\N^*$, on note
   $P_n=\max(Y_1,\ldots,Y_n)$. Montrer que $\E(P_n)=o(\E(M_n))$, puis
   trouver un équivalent de $\E(P_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 127]
Soient $\beta\in]2,+\infty[$ et $(X_k)_{k\geq1}$ une suite i.i.d. de
variables aléatoires telles que, pour tout $m\in\N^*$,
$$\mathbb P(X_1=m)=\frac{1}{\zeta(\beta)}\frac{1}{m^\beta}.$$
Pour $n\in\N^*$, soit $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. Déterminer un
équivalent simple de $\E(M_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 128]
Soient $(p_k)_{k\geq0}\in]0,1[^{\N}$ et $(X_k)_{k\geq0}$ une suite de
variables de Bernoulli indépendantes telle que $p_k=\mathbb P(X_k=1)$ pour
tout $k\in\N$. Soit $(a_k)_{k\geq0}$ une suite de réels positifs.
1. On suppose que $\sum_{k\in\N}a_kp_k<+\infty$. Montrer que, pour tout
   $A\in\R_+^*$,
   $$\lim_{n\to+\infty}\mathbb P\left(\sum_{k=0}^na_kX_k\leq A\right)>0.$$
2. On suppose que $\sum_{k\in\N}a_kp_k=+\infty$ et que $(a_k)$ est
   bornée. Montrer que, pour tout $A\in\R_+^*$,
   $$\lim_{n\to+\infty}\mathbb P\left(\sum_{k=0}^na_kX_k\leq A\right)=0.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 129]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discrètes réelles
indépendantes. On suppose que, pour tout $k\in\db{1,n}$,
$\E(|X_k|)<+\infty$ et $\E(X_k)\geq0$. On note
$S_k=\sum_{i=1}^kX_i$.
1. Montrer que, pour tout $C>0$,
   $$\mathbb P\left(\max(S_1,\ldots,S_n)\geq C\right)
   \leq\frac{\E(\max(S_n,0))}{C}.$$
2. On suppose de plus que, pour tout $k\in\db{1,n}$,
   $\E(X_k)=0$ et $\E(X_k^2)<+\infty$. Montrer que, pour tout $C>0$,
   $$\mathbb P\left(\max(|S_1|,\ldots,|S_n|)\geq C\right)
   \leq\frac{\E(S_n^2)}{C^2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 130]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N$. On note
$X\leq_{\mathrm{st}}Y$ la condition
$\forall m\in\N,\ \mathbb P(X\geq m)\leq\mathbb P(Y\geq m)$. Soient
$0<p<q<1$ et $n\in\N^*$.
1. On suppose que $X\sim\mathcal B(n,p)$ et $Y\sim\mathcal B(n,q)$.
   Montrer que $X\leq_{\mathrm{st}}Y$.
2. Montrer que si $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\N$ et que
   $k\mapsto\frac{\mathbb P(X=k)}{\mathbb P(Y=k)}$ est décroissante, alors
   $X\leq_{\mathrm{st}}Y$.
3. Soient $X',Y'$ deux variables aléatoires telles que
   $X'\sim\mathcal B(n,p)$ et $Y'\sim\mathcal B(n,q)$. Soient $X,Y$ des
   variables aléatoires telles que, pour $k\in\db{1,n}$,
   $$\mathbb P(X=k)=\frac{\mathbb P(X'=k)}{1-\mathbb P(X'=0)},\qquad
   \mathbb P(Y=k)=\frac{\mathbb P(Y'=k)}{1-\mathbb P(Y'=0)}.$$
   Justifier que de telles variables aléatoires existent. Montrer que
   $X\leq_{\mathrm{st}}Y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 131]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, et $(X_k)_{k\geq1}$
une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de $X$. Pour
$n\in\N$ et $x\in\R_+$, soient
$$S_n=\sum_{k=1}^nX_k,\qquad u_n(x)=\mathbb P(S_n\leq nx).$$
1. On admet que, si $(a_n)_{n\geq1}$ est une suite réelle sous-additive,
   alors $(a_n/n)_{n\geq1}$ converge dans $\R\cup\{-\infty\}$. Montrer
   que, pour tout $x\in\R_+$, la suite $(\sqrt[n]{u_n(x)})_{n\geq1}$
   converge vers un élément $v(x)$ de $[0,1]$.
2. À quelle condition sur $X$ la fonction $v$ est-elle constante égale à $1$ ?
3. On suppose qu'il existe $t\in\R_+^*$ tel que $\E(e^{tX})<+\infty$.
   Résoudre l'équation $v(x)=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 132]
1. Soit $h:u\in\R_+\mapsto(1+u)\ln(1+u)-u$. Montrer que $h$ est
   positive, convexe et en donner un équivalent en $0$.
2. Soit $X$ une variable de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Montrer que,
   pour tout $u>0$,
   $$\mathbb P(X\geq\lambda(1+u))\leq e^{-\lambda h(u)}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 133]
Soit $d\in\N^*$. Pour $x=(x_1,\ldots,x_d)$, $y=(y_1,\ldots,y_d)\in\Z^d$,
on note $x\preceq y$ si $x_i\leq y_i$ pour tout $1\leq i\leq d$. On dit que
$f:\Z^d\to\R$ est croissante si $x\preceq y$ implique $f(x)\leq f(y)$.
Soient $f,g$ deux fonctions croissantes et bornées de $\Z^d$ dans $\R$.
Montrer que
$$\E(f(X_1,\ldots,X_d)g(X_1,\ldots,X_d))
\geq\E(f(X_1,\ldots,X_d))\E(g(X_1,\ldots,X_d))$$
dans chacun des cas suivants :
1. $X_1,\ldots,X_d$ sont des variables de Bernoulli indépendantes ;
2. $X_1,\ldots,X_d$ sont des variables de Poisson indépendantes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS SR 2026 # 134]
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On note
$F_X:t\in\R\mapsto\mathbb P(X\leq t)$. Pour $q\in]0,1[$, on pose
$$C_X(q)=\inf\{t\in\R\mid F_X(t)\geq q\}.$$
1. Soit $q\in]0,1[$. Montrer que $C_X(q)$ est bien défini. Calculer
   $C_X(q)$ pour $X\sim\mathcal B(p)$ avec $p\in]0,1[$.
2. Soient $x\in\R$ et $q\in]0,1[$. Montrer que
   $C_X(q)\leq x$ si et seulement si $q\leq F_X(x)$. En déduire que
   $$\int_0^1\mathbf 1_{C_X(q)\leq x}\,dq=\mathbb P(X\leq x).$$
   En déduire une expression de $\E(X)$ lorsque $X$ est à valeurs dans $\N$.
3. Soit $\widetilde C_X(q)=\sup\{t\in\R\mid\mathbb P(X<t)\leq q\}$.
   Montrer que $C_{-X}(q)=-\widetilde C_X(1-q)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 135]
On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\Z$ est symétrique si
$X\sim-X$. Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables aléatoires
symétriques i.i.d. à valeurs dans $\Z$. Pour $n\geq1$, on pose
$S_n=\sum_{i=1}^nX_i$ et, pour $x\in\Z$, $p_n(x)=\mathbb P(S_n=x)$.
1. Pour $n,k\geq1$, montrer que
   $$p_{n+k}(x)=\sum_{y\in\Z}p_n(y)p_k(x-y).$$
2. Montrer que l'application $x\mapsto p_{2n}(x)$ atteint un maximum
   sur $\Z$ en un unique point.
3. On suppose maintenant que $X_1\sim\mathcal U(\{-1,1\})$. Montrer que,
   pour tout $n\geq1$ et tout $x\in\Z$,
   $$p_n(x)\leq\frac{2}{\sqrt{\pi n}}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 136]
Soient $(a_n)_{n\in\N}$ et $(b_n)_{n\in\N}$ des suites telles que, pour
tout $n\in\N$, $a_n,b_n\in\db{0,n}$ et $a_n+b_n=n-c$, avec $c\in\N$
fixé. Pour $n\in\N$, soit $V_n$ (resp. $W_n$) un sous-espace vectoriel
aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des sous-espaces de
$(\Z/p\Z)^n$ de dimension $a_n$ (resp. $b_n$). On suppose que $V_n$ et
$W_n$ sont indépendants. Donner une condition nécessaire et suffisante pour
que la suite
$$\left(\mathbb P(\dim(V_n+W_n)=a_n+b_n)\right)_{n\in\N}$$
converge et déterminer sa limite le cas échéant.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS ULSR 2026 # 137]
Soient $m,n\in\N^*$, $x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n\in\R$ avec
$x_1<\cdots<x_m$ et $y_1<\cdots<y_n$. Soient
$a_1,\ldots,a_m,b_1,\ldots,b_n\in\R_+^*$ tels que
$\sum_{i=1}^m a_i=\sum_{j=1}^n b_j=1$. Soient $X,Y$ deux variables
aléatoires de lois données par $\mathbb P(X=x_i)=a_i$ et
$\mathbb P(Y=y_j)=b_j$. Une matrice de couplage de $X,Y$ est une matrice
$P=(p_{i,j})\in\mathcal M_{m,n}(\R)$ telle que
$p_{i,j}=\mathbb P(X=x_i,Y=y_j)$ ; on pose
$C(P)=\E((X-Y)^2)$ et le couplage est optimal si $P$ minimise $C(P)$.
1. Justifier que $C(P)$ ne dépend que de la matrice $P$ et montrer
   l'existence d'un couplage optimal.
2. Justifier que minimiser $\E((X-Y)^2)$ revient à maximiser $\E(XY)$.
3. Posons $A_0=B_0=0$, $A_i=a_1+\cdots+a_i$ et $B_j=b_1+\cdots+b_j$.
   Définissons $I_i=]A_{i-1},A_i]$ et $J_j=]B_{j-1},B_j]$, puis
   $p^*_{i,j}=|I_i\cap J_j|$. Montrer que la matrice $(p^*_{i,j})$ est
   l'unique matrice de couplage optimal.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 138]
Soient $n\geq2$ et $N\geq2$ deux entiers, et $X_1,\ldots,X_n$ des
variables aléatoires réelles indépendantes telles que
$X_1+\cdots+X_n$ suive la loi uniforme sur $\db{0,N-1}$. Est-il vrai que
les $X_i$ suivent des lois uniformes ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS U 2026 # 139]
Soit $p\in[0,1]$, $(X_n)_{n\geq0}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires
de Bernoulli de paramètre $p$, et $(Y_n)_{n\geq0}$ la suite définie par
$Y_0=1$ et, pour $n\in\N$,
$$Y_{n+1}=\frac15(Y_n^2+4X_n+2).$$
Pour $n\in\N$, on pose
$$F_n:x\in\R\mapsto\mathbb P(\min(Y_1,\ldots,Y_n)\leq x),\qquad
G_n:x\in\R\mapsto\mathbb P(\max(Y_1,\ldots,Y_n)\leq x).$$
Montrer que les suites de fonctions $(F_n)$ et $(G_n)$ convergent
simplement vers des fonctions de $\R$ dans $\R$ que l'on déterminera.
#+end_exercice


* ENS PSI                                                                :autre:

** Algèbre

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 140]
1. Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N$ et $\alpha>0$. Quel est le
   nombre de multiples de $p^\alpha$ entre $1$ et $n$ ?
2. Montrer que la plus grande puissance de $p$ qui divise $n!$ est
   $$\sum_{\alpha=1}^{+\infty}\left\lfloor\frac{n}{p^\alpha}\right\rfloor.$$
3. Montrer que, lorsque $x\to+\infty$,
   $$\sum_{\substack{p\leq x\\p\text{ premier}}}\frac{\ln(p)}p
   \geq\ln(x)+O(1).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 141]
Soient $a_1<a_2<\cdots<a_n$ des réels. On pose par convention
$a_{n+1}=+\infty$. Soit $(n_k)_{1\leq k\leq n}\in(\N^*)^n$. Soit
$$f:x\in\R\setminus\{a_1,\ldots,a_n\}\longmapsto
\sum_{k=1}^n\frac{n_k}{x-a_k},\qquad d=\sum_{k=1}^n n_k.$$
Soit $t>0$, et posons $R_t:x\in\R\mapsto\frac1{t-f(x)}$.
1. Donner un développement asymptotique à deux termes en $+\infty$ de $f$
   puis de $R_t$.
2. Soit $i\in\db{1,n}$. Justifier que $f$ réalise une bijection de
   $]a_i,a_{i+1}[$ sur un intervalle $I_i$ que l'on précisera. On note
   $g_i$ sa réciproque.
3. Montrer que, pour tout $t>0$,
   $$g_i(t)-a_i=\int_t^{+\infty}\frac{ds}{|f'(g_i(s))|}.$$
4. Soient $x\in\R$ et $t>0$. Montrer que
   $$R_t(x)=\frac1t\frac{\prod_{i=1}^n(x-a_i)}
   {\prod_{i=1}^n(x-g_i(t))}
   =\frac1t+\sum_{i=1}^n\frac{1}{x-g_i(t)}
   \frac{1}{|f'(g_i(t))|}.$$
5. Montrer que, pour tout $t>0$,
   $$\sum_{i=1}^n\frac{1}{|f'(g_i(t))|}=\frac{d}{t^2}.$$
6. Soit $P$ un polynôme réel scindé. Soit $t>0$, et posons
   $$E_t=\left\{x\in\R\mid\frac{P'}P(x)>t\right\}.$$
   Montrer que $E_t$ est une réunion finie d'intervalles ouverts et que la
   somme de leurs longueurs vaut $d/t$, où $d$ est le degré de $P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 142]
1. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$ n'ayant pas de valeur propre réelle.
   Montrer que $\det A>0$.

   Soient $A,B\in\mathcal M_n(\C)$ et
   $$M=\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}.$$
2. On suppose que $\operatorname{Sp}_{\R}(M)=\varnothing$. Montrer que
   $\det M>0$.
3. On suppose que $M$ est diagonalisable. Montrer que $\det M\geq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 143]
Soit $K=\R$ ou $\C$ et soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension
$n\geq1$. Soit $f\in\mathcal L(E)$.
1. Montrer que $\ker f=\ker(f^2)$ si et seulement si
   $E=\ker f\oplus\operatorname{Im}f$.
2. Trouver un exemple d'espace $E$ et d'application $f\in\mathcal L(E)$
   telle que $\operatorname{Im}f=\ker f$.
3. Si $K=\C$, montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si, pour
   tout $\lambda\in\operatorname{Sp}(f)$,
   $\ker(f-\lambda\operatorname{id})=\ker((f-\lambda\operatorname{id})^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 144]
Soit $n\geq2$.
1. Résoudre l'équation $AA^TA=I_n$ d'inconnue $A\in\mathcal M_n(\R)$.
2. a. Le résultat de la question précédente reste-t-il vrai si
   $A\in\mathcal M_n(\C)$ ?
   b. Trouver une solution non diagonale dans $\mathcal M_n(\C)$. Plus
   généralement, donner une infinité de solutions non diagonales dans
   $\mathcal M_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 145]
Soient $A,B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
1. Montrer qu'il existe $Q\in\mathrm{GL}_n(\R)$ et une matrice diagonale
   $D\in\mathcal M_n(\R)$ telles que $A=QQ^T$ et $B=QDQ^T$. Montrer que
   les coefficients diagonaux de $D$ sont strictement positifs.
2. Montrer que $\det(A+B)\geq\det A+\det B$.
3. Montrer que $\mathcal S_n^{++}(\R)$ est dense dans $\mathcal S_n^+(\R)$.
   En déduire une inégalité générale valable sur $\mathcal S_n^+(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 146]
Soit $n\in\N^*$. Soit $A\in\mathcal S_n(\R)$ à coefficients dans
$\{0,1\}$ et de trace nulle. Soient $J\in\mathcal M_n(\R)$ et
$U\in\R^n$ dont tous les coefficients sont égaux à $1$. On note
$A^2=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. On suppose qu'il existe
$d\in\N^*$ tel que
$$A^2+A-(d-1)I_n=J.$$
1. a. Déterminer $\operatorname{Sp}(J)$ et les dimensions des sous-espaces
   propres de $J$.
   b. Montrer que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $b_{i,i}$ est égal au nombre
   de coefficients égaux à $1$ dans la colonne (ou la ligne) numéro $i$ de
   $A$.
   c. Montrer que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $a_{i,i}=0$, puis que
   $b_{i,i}-(d-1)=1$.
2. Posons $P(X)=X^2+X-(d-1)$.
   a. Montrer que si $\lambda$ est une valeur propre associée à $A$, alors
      $P(\lambda)$ est une valeur propre associée à $J$.
   b. Montrer que $n=d^2+1$.
   c. Montrer que $E_J(n)=E_A(d)$.
3. Soient $a>b$ les racines de $P$, $\Delta$ le discriminant de $P$,
   $F_a=\{X\in\R^n\mid AX=aX\}$, $F_b=\{X\in\R^n\mid AX=bX\}$,
   $\alpha=\dim(F_a)$ et $\beta=\dim(F_b)$.
   a. Expliciter $a$ et $b$. Peut-on avoir $\alpha\beta=0$ ?
   b. Montrer que $1+\alpha+\beta=n$, $d+\alpha a+\beta b=0$ et
      $\sqrt\Delta(\alpha-\beta)=d^2-2d$.
   c. Montrer que $d$ appartient à un ensemble fini que l'on déterminera.
      On pourra raisonner sur la condition $\sqrt\Delta\in\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 147]
1. Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer que, pour tout
   $k\in\db{1,n}$,
   $\det((a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})>0$.
2. On cherche désormais à démontrer la réciproque. Soit
   $M\in\mathcal S_n(\R)$, que l'on écrit par blocs
   $$M=\begin{pmatrix}M_{n-1}&V\\V^T&\alpha\end{pmatrix},$$
   avec $M_{n-1}\in\mathcal S_{n-1}(\R)$. On suppose que tous les mineurs
   principaux dominants vérifient
   $\det((a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})>0$.
   a. Montrer qu'il existe $Q\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telle que
      $$Q^TMQ=\begin{pmatrix}M_{n-1}&0\\0&\beta\end{pmatrix}$$
      avec $\beta>0$.
   b. Conclure.
3. Pour quelles valeurs de $n\in\N^*$ la matrice tridiagonale
   $$A_n=\begin{pmatrix}
   2&1&0&\cdots&0\\1&2&1&\ddots&\vdots\\0&1&2&\ddots&0\\
   \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\0&\cdots&0&1&2
   \end{pmatrix}$$
   appartient-elle à $\mathcal S_n^{++}(\R)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 148]
Soient $A\in\mathcal S_n(\R)$ et $B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
1. Montrer qu'il existe $C\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telle que $C^2=B$.
2. En déduire que $AB$ est diagonalisable.
3. On suppose de plus que $A$ est positive. Montrer que
   $\operatorname{Sp}(AB)\subset\R_+$.
4. Soit $\lambda\in\operatorname{Sp}(AB)$. Montrer que
   $$\min_{\substack{\alpha\in\operatorname{Sp}(A)\\
   \beta\in\operatorname{Sp}(B)}}\alpha\beta\leq\lambda\leq
   \max_{\substack{\alpha\in\operatorname{Sp}(A)\\
   \beta\in\operatorname{Sp}(B)}}\alpha\beta.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 149]
Soit $n\geq2$. Pour $A,B\in\mathcal M_n(\R)$, on pose
$\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}(A^TB)$.
1. Montrer que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire.
2. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$. Montrer que $AA^T$ a $n$ valeurs propres
   positives notées $\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n$. Déterminer
   $$\sup_{\substack{x\in\R^n\\\|x\|_2=1}}\|A^Tx\|_2.$$
3. On note $E_r$ l'ensemble des matrices de $\mathcal M_n(\R)$ de rang au
   plus $r$. Montrer que tout élément de $E_1$ peut s'écrire sous la forme
   $xy^T$, où $x,y\in\R^n$.
4. Montrer que, pour tout $A\in\mathcal M_n(\R)$ et tout $M\in E_1$,
   $$\|A-M\|_2\geq\left(\sum_{i=2}^n\lambda_i\right)^{1/2}.$$
   Cette minoration est-elle optimale ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 150]
1. Montrer que $(A,B)\mapsto\operatorname{Tr}(A^TB)$ définit un produit
   scalaire sur $\mathcal M_n(\R)$.
2. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$ telle que
   $\operatorname{Tr}(A^TA)=\operatorname{Tr}(A^2)$. Montrer que
   $A\in\mathcal S_n(\R)$.
3. Soit $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer que $A$ est inversible et
   que $A^{-1}\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Justifier les inégalités
   $$\operatorname{Tr}(A)\operatorname{Tr}(A^{-1})\geq n^2,\qquad
   \operatorname{Tr}(A)+\operatorname{Tr}(A^{-1})\geq2n.$$
   Discuter les cas d'égalité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 151]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et on note
$S=\{x\in\R^n\mid\|x\|=1\}$. Soient $u,v\in\mathcal S(\R^n)$ tels que
$$\forall x\in\R^n,\quad\langle u(x),x\rangle\leq\langle v(x),x\rangle.$$
1. Soit $f:S\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $x_0\in S$ en lequel
   la borne inférieure de $f$ est atteinte.
2. Justifier que $u$ et $v$ possèdent $n$ valeurs propres
   $\lambda_1\geq\cdots\geq\lambda_n$ et
   $\mu_1\geq\cdots\geq\mu_n$. On note $G_k$ l'ensemble des sous-espaces
   vectoriels de dimension $k$. Soit $(f_1,\ldots,f_n)$ une base
   orthonormée de vecteurs propres de $u$, avec $u(f_k)=\lambda_kf_k$.
   On veut montrer que
   $$\lambda_k=\sup_{V\in G_k}\min_{\substack{x\in V\\\|x\|=1}}
   \langle u(x),x\rangle.$$
   a. Soient $k\in\db{1,n}$ et $V\in G_k$. Montrer que
      $V\cap\operatorname{Vect}(f_k,\ldots,f_n)\neq\{0\}$.
   b. Montrer que le supremum précédent est inférieur ou égal à $\lambda_k$.
   c. En déduire l'égalité.
3. Montrer que $\lambda_i\leq\mu_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$.
#+end_exercice

** Analyse



#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 152]
1. Montrer que $\mathrm{GL}_n(\R)$ est un ouvert dense dans
   $\mathcal M_n(\R)$.
2. Soit $r\in\{1,\ldots,n\}$. Montrer que l'ensemble $A_r$ des matrices
   de rang supérieur ou égal à $r$ est un ouvert de $\mathcal M_n(\R)$.
   Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A_r$ soit dense
   dans $\mathcal M_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 153]
Soient $(E,\|\cdot\|)$ un espace vectoriel normé et $f\in\mathcal L(E)$.
Lorsque cette définition a un sens, on pose
$$\|f\|_L=\sup_{\substack{x\in E\\\|x\|=1}}\|f(x)\|.$$
1. Si $E$ est de dimension finie, montrer que, pour tout $f\in\mathcal L(E)$,
   $f$ est continue et $\|f\|_L$ existe.
2. Si $E$ est de dimension infinie, montrer que la continuité de $f$
   équivaut à l'existence de $\|f\|_L$.
3. Montrer que, pour $f,g\in\mathcal L(E)$ continues,
   $$\|f+g\|_L\leq\|f\|_L+\|g\|_L,\qquad
   \|fg\|_L\leq\|f\|_L\|g\|_L.$$
4. Soient $f,g\in\mathcal L(E)$ continues telles que $fg-gf=\operatorname{id}$.
   Donner, pour $n\in\N^*$, une expression de $fg^n-g^nf$. Montrer qu'un
   tel couple n'existe pas.
5. On prend $E=\R[X]$. Donner une condition nécessaire pour que
   $D:P\mapsto P'$ soit continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 154]
1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum z^n/n!$.
2. a. Soit $D\in\mathcal M_n(\R)$ diagonale. Montrer que la suite
   $$\left(\sum_{k=0}^n\frac{D^k}{k!}\right)_{n\in\N}$$
   converge. On note sa limite $\exp(D)$.
   b. Même question pour $A\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisable.
3. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisables. Montrer que $A$ et
   $B$ commutent si et seulement si $\exp(A)$ et $\exp(B)$ commutent.
4. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisables. Montrer que
   $\exp(A)=\exp(B)$ si et seulement si $A=B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 155]
1. Soit $z\in\C$. Étudier la convergence de $(z^n)_{n\in\N}$ si
   $|z|\neq1$.
2. Soit $\theta\in2\pi\Q$. Étudier la convergence de $(z^n)_{n\in\N}$
   où $z=e^{i\theta}$.
3. Soient $N\in\N$ et $x_0,\ldots,x_N\in[0,1]$. Montrer qu'il existe
   $i,j\in\db{0,N}$ tels que $i\neq j$ et $|x_i-x_j|\leq1/N$.
4. Soient $\alpha\in\R\setminus\Q$ et $\beta\in\R$. On pose
   $\delta(\alpha)=\min_{n\in\Z}|\alpha-n|$. Justifier l'existence de
   $\delta$. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, il existe
   $k\in\N^*$ tel que $\delta(k\alpha-\beta)<\varepsilon$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 156]
Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite de réels positifs.
1. Déterminer un équivalent simple de
   $\frac1{\ln(n+1)}-\frac1{\ln n}$.
2. A-t-on
   $(u_n+u_{n+1})\sim_{n\to+\infty}2/n\Rightarrow
   u_n\sim_{n\to+\infty}1/n$ ?
3. A-t-on
   $(u_n+u_{n+2})\sim_{n\to+\infty}2/n\Rightarrow
   u_n\sim_{n\to+\infty}1/n$ ?
4. A-t-on
   $(u_n+u_{2n})\sim_{n\to+\infty}3/(2n)\Rightarrow
   u_n\sim_{n\to+\infty}1/n$ ?
5. Reprendre les questions précédentes en supposant $(u_n)$ décroissante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 157]
Soient $(a,b)\in(\R_+^*)^2$. On considère les suites
$(u_n)_{n\geq0}\in\R^\N$ vérifiant
$$\forall n\in\N,\qquad\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+a}{n+b}.$$
1. a. Démontrer qu'il existe une constante $K>0$ telle que
   $u_n\sim K/n^{b-a}$.
   b. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que
   $\sum u_n$ converge.

   On suppose désormais cette condition vérifiée.
2. a. Montrer que $(nu_n)$ converge et déterminer sa limite.
   b. En déduire la valeur de $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 158]
1. Montrer qu'une série numérique complexe absolument convergente est
   convergente.
2. On définit la suite $(u_n)_{n\in\N^*}$ par $u_1=1$ et, pour tout
   $n\in\N^*$,
   $$u_{n+1}=u_n+\frac{1}{n^\alpha u_n}.$$
   a. On suppose $\alpha>1$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$,
      $0\leq u_{n+1}-u_n\leq1/n^\alpha$. En déduire que $(u_n)$ converge.
   b. On suppose $\alpha\leq1$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$,
      $$\frac{2}{n^\alpha}\leq u_{n+1}^2-u_n^2
      \leq\frac{2}{n^\alpha}+\frac{1}{n^{2\alpha}}.$$
      En déduire que $(u_n)$ diverge et en donner un équivalent.
3. On suppose $\alpha>1$. On note $f$ la fonction qui à $\alpha$
   associe la limite de la suite $(u_n)$ correspondante. Montrer que $f$
   est de classe $C^1$ sur $]1,+\infty[$ et ne se prolonge pas par
   continuité en $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 159]
1. Soit $\alpha\in\Q$. La fonction
   $F_1:x\mapsto\cos(x)+\cos(\alpha x)$ est-elle périodique ?
2. Soit $\alpha\in\R\setminus\Q$. La fonction
   $F_1:x\mapsto\cos(x)+\cos(\alpha x)$ est-elle périodique ?
3. Soit $\alpha\in\R\setminus\Q$. La fonction
   $F_2:x\mapsto\sin(x)+\sin(\alpha x)$ est-elle périodique ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 160]
1. Soit $\psi:\R\to\R$ une fonction de classe $C^1$ et convexe.
   a. Soit $t_0\in\R$. Montrer qu'il existe une fonction affine $a$ telle
      que $\psi\geq a$ et $\psi(t_0)=a(t_0)$.
   b. Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ positive et telle que
      $\int_0^1f(t)\,dt=1$. Montrer que
      $$\psi\left(\int_0^1tf(t)\,dt\right)
      \leq\int_0^1f(t)\psi(t)\,dt.$$
2. Soient $I$ un intervalle contenant $0$ et $g\in C^2(I,\R)$ telle que
   $g''$ soit convexe. On pose
   $$G:x\longmapsto2\int_0^1(1-t)g''(tx)\,dt.$$
   a. Montrer que, pour tout $x\in I$,
      $\frac{x^2}{2}G(x)=g(x)-g(0)-xg'(0)$.
   b. Montrer que, pour tout $x\in I$, $G(x)\geq g''(x/3)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 161]
Soit $g:x\in\R_+^*\longmapsto\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$.
1. Montrer que $g$ est bien définie et étudier sa continuité.
2. Soit $x>0$. On pose
   $$\phi_x:t\in[1,+\infty[\longmapsto
   \frac1{(2t-1)^x}-\frac1{(2t)^x},\qquad
   u:t\in[1,+\infty[\longmapsto\lfloor t\rfloor+1-t.$$
   Montrer que
   $$g(x)=\int_1^{+\infty}\phi_x(t)\,dt-
   \int_1^{+\infty}u(t)\phi_x'(t)\,dt.$$
3. La fonction $g$ admet-elle une limite en $0^+$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 162]
Soit
$$J:\lambda\longmapsto\int_0^1\frac{t^\lambda}{\sqrt{1-t^2}}\,dt.$$
1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $J$.
2. Montrer que $J$ est dérivable en $0$.
3. Calculer $J'(0)$, puis en déduire un développement limité à l'ordre $1$
   en $0$ de la fonction $J$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 163]
1. Soit $f\in C^1(\R_+,\R)$ vérifiant $f(0)=1$ et
   $f'(x)\leq e^{-x}f(x)$ pour tout $x\geq0$. Montrer que $f(x)\leq e$
   pour tout $x\geq0$. Indication : considérer
   $g(x)=f'(x)-e^{-x}f(x)$.
2. Justifier l'existence et l'unicité de la solution du problème
   $$y''(x)=(1+e^{-x})y(x),\qquad y(0)=1,\quad y'(0)=1.$$
   Montrer que, pour tout $x\geq0$,
   $$y(x)=e^x+\frac{e^x}{2}\int_0^xe^{-2t}y(t)\,dt
   -\frac{e^{-x}}2\int_0^xy(t)\,dt.$$
3. On pose $z(x)=e^{-x}|y(x)|$. Montrer que
   $$z(x)\leq1+\int_0^xz(t)e^{-t}\,dt\quad(x\geq0).$$
   En déduire que $y(x)=O(e^x)$ lorsque $x\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 164]
Soient $N,\alpha,\beta\in\R_+^*$ et $\varepsilon>0$ petit devant $N$.
Soit $(x,y,z)\in C^1(\R_+,(\R_+^*)^3)$ solution de
$$x'=-\alpha\frac{xy}{N},\qquad
y'=\alpha\frac{xy}{N}-\beta y,\qquad z'=\beta y,$$
avec $(x,y,z)(0)=(N-\varepsilon,\varepsilon,0)$.
1. Montrer que $(x,y,z)$ possède une limite en $+\infty$, notée
   $(x^*,y^*,z^*)$.
2. Trouver une relation entre $x^*$ et $y^*$.
3. Montrer que
   $$x^*=(N-\varepsilon)\exp\left(\frac{\alpha(x^*-N)}{N\beta}\right).$$
   On pose $\rho=\alpha/\beta$.
4. Que dire de $x^*$ quand $\rho<1$ ?
5. Lorsque $\rho>1$, montrer que l'équation
   $$x=N\exp\left(\frac{\rho(x-N)}N\right)$$
   possède une unique solution $x(\rho)$ dans $]0,N[$ et que celle-ci est
   décroissante en $\rho$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 165]
Soit $f:\R^2\to\R^2$ de classe $C^2$ telle que, pour tous $x,y,t\in\R$,
$f(tx,ty)=t^kf(x,y)$, où $k$ est un entier positif. On suppose également
que
$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)+
\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)=0.$$
1. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$,
   $$x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+
   y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=kf(x,y),$$
   puis que
   $$x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}(x,y)+
   y^2\frac{\partial^2f}{\partial y^2}(x,y)+
   2xy\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(x,y)=k(k-1)f(x,y).$$
2. Soit $h:\theta\in\R\mapsto f(\cos\theta,\sin\theta)$. Montrer que
   $h''(\theta)+k^2h(\theta)=0$.
3. Montrer que $f$ est un polynôme à coefficients réels, c'est-à-dire
   qu'il existe $p,q\in\N$ et des réels $a_{i,j}$ tels que
   $$f(x,y)=\sum_{i=0}^p\sum_{j=0}^qa_{i,j}x^iy^j.$$
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 166]
On dit qu'une famille $(A_i)_{1\leq i\leq p}$ de parties d'un ensemble est
une $p$-antichaîne lorsque, pour tous $i\neq j$, $A_i\not\subset A_j$.
1. a. Donner les variations de $k\in\{1,\ldots,n\}\mapsto\binom nk$.
   b. Soit $k\in\{1,\ldots,n\}$, et soit $E_k$ l'ensemble des parties de
      $\{1,\ldots,n\}$ à $k$ éléments. Montrer que $E_k$ est une
      $p$-antichaîne, pour un entier $p$ à préciser.
   c. Déterminer $\max_{1\leq k\leq n}\operatorname{Card}(E_k)$.

   On note $\mathfrak S_n$ l'ensemble des permutations de
   $\{1,\ldots,n\}$, muni de la loi uniforme. On considère une
   $p$-antichaîne $(A_i)_{1\leq i\leq p}$ formée de parties de
   $\{1,\ldots,n\}$. Pour tout $i$, on note $a_i=\operatorname{Card}(A_i)$ et
   $E_i=\{\sigma\in\mathfrak S_n\mid
   \sigma(\{1,\ldots,a_i\})=A_i\}$.
2. a. Montrer que les événements $E_i$ sont incompatibles et déterminer
      leur probabilité.
   b. Donner une majoration de $p$.
3. On note $(x_1,\ldots,x_n)$ une famille de réels supérieurs ou égaux à
   $1$. On munit $\Omega_n=\{-1,1\}^n$ de la loi uniforme. On note $X$ la
   variable aléatoire définie par
   $X((\omega_i)_{1\leq i\leq n})=\sum_{k=1}^n\omega_kx_k$.
   Trouver une majoration de $\mathbb P(0<X<2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 167]
Soient $\alpha,\beta\in]0,1[$. Soit
$f:x\mapsto(1-\alpha)e^{-\beta x}+\alpha e^{(1-\beta)x}$.
1. Montrer que $f$ admet un minimum sur $\R$ et donner la valeur de ce
   minimum.
2. Soit $X\sim\mathcal B(n,p)$ avec $p\in]0,1[$. Montrer que, pour tout
   $t>0$,
   $$\mathbb P(X\geq n(p+\varepsilon))\leq
   \left(\frac{1-p+pe^t}{e^{t(p+\varepsilon)}}\right)^n.$$
3. On suppose $0<\varepsilon<1-p$. En utilisant $f$, montrer que
   $$\mathbb P(X\geq n(p+\varepsilon))\leq
   \left[\left(\frac{p+\varepsilon}{p}\right)^{p+\varepsilon}
   \left(\frac{1-p-\varepsilon}{1-p}\right)^{1-p-\varepsilon}\right]^{-n}.$$
4. Soit
   $$H:\theta\in[0,1-p[\longmapsto(p+\theta)\ln\left(\frac{p+\theta}{p}\right)
   +(1-p-\theta)\ln\left(\frac{1-p-\theta}{1-p}\right).$$
   Montrer que $H(\theta)\geq2\theta^2$. En déduire que
   $\mathbb P(X\geq n(p+\varepsilon))\leq e^{-2n\varepsilon^2}$.
   Donner une majoration de cette probabilité par l'inégalité de
   Bienaymé-Tchebychev et comparer les deux majorations.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 168]
1. Soient $n\in\N^*$, $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$ et
   $(b_1,\ldots,b_n)\in(\R_+^*)^n$. Montrer que
   $$\frac{a_1^2}{b_1}+\cdots+\frac{a_n^2}{b_n}
   \geq\frac{(a_1+\cdots+a_n)^2}{b_1+\cdots+b_n}.$$
2. Soit $\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$ muni d'une probabilité
   $\mathbb P$. Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires défini sur
   $\Omega$ avec $Y>0$. Montrer que
   $$\E\left(\frac{X^2}{Y}\right)
   \geq\frac{\E(|X|)^2}{\E(Y)}\geq\frac{\E(X)^2}{\E(Y)}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PSI # 169]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, de série génératrice
$G$. On suppose que le rayon de convergence $R$ de $G$ est supérieur à $1$.
On suppose qu'il existe $H\in C^1(\R_+,\R)$ telle que
$$G(x)G(y)=H(x^2+y^2)$$
pour tous $x,y\in\R$ tels que $\max(|x|,|y|)<R$.
1. Montrer que, pour tout $k\in\N$, $\mathbb P(X=2k+1)=0$.
2. Trouver une équation différentielle vérifiée par $G$, dont on exprimera
   les coefficients en fonction de $\alpha=\E(X)$.
3. En déduire une expression de $G$ et de la variance de $X$.
#+end_exercice

* ENS PC                                                                :autre:

** Algèbre

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 170]
Pour $N\in\N^*$, on pose
$$P_N=\sum_{k=0}^N\frac{X^k}{k!}.$$
1. Montrer que $P_N$ admet $N$ racines complexes distinctes.
2. Montrer que, si $N$ est pair, $P_N$ n'a pas de racine réelle. Montrer
   que, si $N$ est impair et supérieur ou égal à $3$, $P_N$ admet une
   unique racine réelle $\alpha_N$ et que $-N<\alpha_N<-1$.
3. Tracer le graphe de $P_N$ selon la parité de $N$. Donner la monotonie
   de la suite $(\alpha_{2n+1})_{n\in\N}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 171]
Soit $P=\sum_{i=0}^na_iX^i$ un polynôme de degré $n\geq1$, avec
$a_i\in\db{0,9}$ pour tout $i\in\db{0,n}$. On suppose que $P$ a une racine
$\lambda$ vérifiant $\operatorname{Re}(\lambda)>1$.
1. Montrer que
   $$|\lambda|^n\leq|\lambda^na_n+\lambda^{n-1}a_{n-1}|
   \leq9\frac{|\lambda|^{n-1}-1}{|\lambda|-1}.$$
2. Montrer que $\operatorname{Re}(\lambda)<4$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 172]
On dit qu'un nombre $\alpha\in\C$ est algébrique lorsqu'il existe
$P\in\Z[X]\setminus\{0\}$ tel que $P(\alpha)=0$.
1. Si $k\in\N^*$, montrer que $\sqrt{k}$ est algébrique.
2. Soit $(u_n)$ une suite d'entiers positifs. On définit $(v_n)$ par
   $v_0=u_0$ et, pour tout $n\in\N^*$,
   $$v_{n+1}=u_{n+1}+\sqrt{v_n}.$$
   Montrer que les termes de la suite $(v_n)$ sont tous algébriques.
3. Montrer que l'ensemble des nombres algébriques est dense dans $\C$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 173]
Soient $x_0<\cdots<x_n$ des réels et, pour $k\in\db{0,n}$, posons
$$L_k(X)=\prod_{\substack{0\leq j\leq n\\j\neq k}}
\frac{X-x_j}{x_k-x_j}.$$
1. Montrer que, pour tout $P\in\R_n[X]$,
   $$P(X)=\sum_{k=0}^nP(x_k)L_k(X).$$
2. Soit $n\in\N$. Expliciter une constante $C_n$ telle que, pour tout
   $[a,b]\subset]0,1[$ et tout $P\in\R_n[X]$,
   $$\sup_{x\in[0,1]}|P(x)|\leq\frac{C_n}{(b-a)^n}
   \sup_{x\in[a,b]}|P(x)|.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 174]
On considère $\phi:M\in\mathcal M_n(\R)\mapsto AMB$, avec
$A,B\in\mathcal M_n(\R)$. Déterminer $\det\phi$ et $\operatorname{Tr}\phi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 175]
Soient $A\in\mathcal M_{n,p}(\R)$ et $B\in\mathcal M_{p,n}(\R)$. Montrer
que $I_n+AB$ est inversible si et seulement si $I_p+BA$ l'est.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 176]
Pour $A\in\mathcal M_{n,m}(\R_+)$, on note $\operatorname{rg}_+(A)$ le
plus petit entier $p\in\N$ pour lequel il existe
$B\in\mathcal M_{n,p}(\R_+)$ et $C\in\mathcal M_{p,m}(\R_+)$ tels que
$A=BC$.
1. Montrer que $\operatorname{rg}_+(A)$ existe et que
   $\operatorname{rg}(A)\leq\operatorname{rg}_+(A)\leq\min(n,m)$.
2. On suppose $\operatorname{rg}(A)=1$. Montrer que
   $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}_+(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 177]
1. Donner un exemple de sous-espace vectoriel non nul de $\mathcal M_n(\C)$
   ne contenant que des matrices non inversibles.

   On souhaite montrer par récurrence que $n(n-1)$ est la dimension
   maximale d'un tel sous-espace vectoriel $F$.
2. Démontrer le résultat pour $n=1$ et $n=2$.
3. On suppose $\dim F>n(n-1)$. Montrer qu'il existe
   $A\in F\setminus\{0\}$ dont les colonnes numérotées de $2$ à $n$ sont
   nulles, puis qu'il existe $(P,Q)\in\mathrm{GL}_n(\C)^2$ tel que
   $PAQ=E_{1,1}$.
4. Montrer que $F'=\{PMQ\mid M\in F\}$ ne contient pas de matrice
   inversible.
5. On pose
   $$g:F'\to\mathcal M_{n-1}(\C),\quad
   M=(m_{i,j})\mapsto(m_{i+1,j+1})_{1\leq i,j\leq n-1}.$$
   Montrer que $g(F')$ ne contient pas de matrice inversible. Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 178]
Soient $n,p\in\N^*$. Déterminer la dimension de l'espace vectoriel
$$\left\{M=(m_{i,j})\in\mathcal M_{n,p}(\R)\ \middle|\
\exists a\in\R,\ \forall k\in\db{1,n},\quad
\sum_{j=1}^pm_{k,j}=a=\sum_{i=1}^nm_{i,k}\right\}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 179]
Soient $A=\operatorname{diag}(1,2,\ldots,n)$ et
$B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ où $b_{1,n}=1$, $b_{i,i-1}=1$ pour
$2\leq i\leq n$, les autres coefficients étant nuls. Montrer que
$$\operatorname{Vect}\{B^kA^\ell\mid k,\ell\in\N\}=\mathcal M_n(\R).$$
Indication : commencer par déterminer $\operatorname{Vect}(A^k\mid k\in\N)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 180]
Caractériser les matrices $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telles que $M$ et
$M^{-1}$ soient à coefficients positifs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 181]
On pose $E=C^\infty(\R,\R)$,
$X:f\in E\mapsto(t\mapsto tf(t))$ et $P:f\in E\mapsto f'$.
1. Montrer que $X$ et $P$ sont des endomorphismes de $E$. Déterminer leur
   noyau et leur image.
2. On pose $a=\frac1{\sqrt2}(X+P)$ et
   $a^*=\frac1{\sqrt2}(X-P)$. Déterminer leur noyau et leur image.
3. Pour $n\in\N^*$, soit
   $$F_n=\{t\mapsto Q(t)e^{-t^2/2}\mid Q\in\R_n[X]\}.$$
   Montrer que $a$ et $N=aa^*$ induisent des endomorphismes de $F_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 182]
Soit $N\in\mathcal M_n(\C)$ une matrice nilpotente d'indice de nilpotence
$d\in\N^*$.
1. Déterminer $\dim\C[N]$, où $\C[N]=\{P(N)\mid P\in\C[X]\}$.
2. Soit $Q\in\C[X]$ tel que $Q(0)\neq0$. Montrer qu'il existe
   $P\in\C[X]$ tel que $P(NQ(N))=N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 183]
Soit
$$A=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\&\ddots&0\\&&\ddots\\1&\cdots&1\end{pmatrix}.$$
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 184]
1. Montrer qu'une matrice de rang $1$ de $\mathcal M_n(\C)$ s'écrit sous
   la forme $XY^T$, avec $X,Y\in\C^n\setminus\{0\}$.
2. Déterminer $\operatorname{Sp}(XY^T)$ pour
   $(X,Y)\in(\C^n\setminus\{0\})^2$. Donner une condition nécessaire et
   suffisante pour que $XY^T$ soit diagonalisable.
3. Calculer $\det(I_n+XY^T)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 185]
1. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\C)$. On suppose que $A$ et $B$ sont
   diagonalisables et commutent. Montrer que $A+\lambda B$ est
   diagonalisable pour tout $\lambda\in\C$.
2. On suppose $n=2$. Montrer que si, pour tous $\lambda,\mu\in\C$,
   $\lambda A+\mu B$ est diagonalisable, alors $A$ et $B$ sont
   codiagonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 186]
Déterminer la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel de
$\mathcal M_n(\R)$ ne contenant que des matrices diagonalisables sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 187]
Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$ telle que $A^3-A-I_n=0$. Montrer que
$\det(A)>0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 188]
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\C)$.
1. Étudier les implications entre les deux propositions : (i) $A$ est
   semblable à $B$ ; (ii) $A$ et $B$ ont même spectre.
2. On suppose qu'il existe $M\in\mathcal M_n(\C)$ non nulle telle que
   $MA=BM$. Montrer que, pour tout $P\in\C[X]$, $MP(A)=P(B)M$. En déduire
   que $A$ et $B$ ont une valeur propre commune.
3. Étudier la réciproque de la question 2.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 189]
1. Soit $n\in\N^*$, $P\in\R[X]$ scindé à racines simples et de degré $n$,
   et $Q\in\R_{n-1}[X]$. Montrer que, pour tout $\varepsilon$ assez
   petit, $P+\varepsilon Q$ est scindé à racines simples.
2. Soit $D\in\mathcal M_n(\R)$ diagonalisable, à valeurs propres toutes
   distinctes. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$. Montrer qu'il existe
   $\varepsilon_0>0$ tel que, pour tout réel $\varepsilon$ avec
   $|\varepsilon|<\varepsilon_0$, $D+\varepsilon A$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 190]
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$.
Un drapeau de $E$ est une famille $(E_0,\ldots,E_k)$ de sous-espaces
vectoriels telle que $\{0\}=E_0\subsetneq E_1\subsetneq\cdots\subsetneq E_k$.
Le drapeau est total si $k=n$.
1. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$. Exhiber un drapeau total de
   $E$. Réciproque ?
2. Soit $(E_0,\ldots,E_n)$ un drapeau total de $E$. Montrer qu'il existe
   une base orthonormée $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$ de $E$ telle
   que $E_i=\operatorname{Vect}(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_i)$ pour
   tout $i\in\db{0,n}$.
3. Soit $u\in\mathcal L(E)$. On dit que le drapeau $(E_0,\ldots,E_k)$ est
   stable par $u$ si $u(E_i)\subset E_i$ pour tout $i\in\db{1,k}$. Montrer
   que si $u$ est diagonalisable, il existe un drapeau total stable par $u$.
   A-t-on unicité d'un tel drapeau ?
4. Montrer que $u$ est trigonalisable si et seulement s'il existe un
   drapeau total stable par $u$.
5. On suppose $u$ nilpotent d'indice $n$. Exhiber un drapeau total stable
   par $u$. A-t-on unicité d'un tel drapeau ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 191]
Caractériser les matrices qui s'écrivent comme somme de projecteurs
orthogonaux.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 192]
Déterminer les matrices $M\in\mathcal M_n(\R)$ vérifiant
$M^T=M^2-I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 193]
Déterminer les matrices $A\in\mathcal M_n(\R)$ vérifiant chacune des
équations suivantes :
1. $A^TAA^TA^2=I_n$ ;
2. $A^TAA^TA=I_n$ ;
3. $A^TA^TAA=I_n$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 194]
On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique.
1. Soient $C$ une partie convexe, fermée et non vide de $\R^n$, et
   $x\in\R^n$. Montrer qu'il existe un unique $y\in C$ tel que
   $d(x,C)=\|x-y\|$.
2. Déterminer les parties convexes fermées de $\R^n$ dont le complémentaire
   est également convexe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 195]
Soit $(u_n)_{n\geq0}$ définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\in\N$,
$u_{n+1}=1-e^{-u_n}$. Montrer que $u_n\to0$. Déterminer un équivalent
de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS L 2026 # 196]
Soit $a\in]0,1[$. Soit $(x_n)_{n\in\N}$ telle que $x_0=1$ et, pour tout
$n\in\N$,
$$x_{n+1}=\frac23\left(x_n+\frac{a}{2x_n^2}\right).$$
Montrer que $(x_n)$ converge vers un réel $\ell\in[0,1]$, puis déterminer
un équivalent de $x_n-\ell$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 197]
Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f(0)=0$, $f'(0)\neq0$ et $f''(0)\neq0$.
On définit la suite $(a_n)_{n\geq0}$ par $a_0,a_1\in\R$ et, pour tout
$n\geq1$,
$$a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{\Delta_n},\qquad
\Delta_n=\frac{f(a_n)-f(a_{n-1})}{a_n-a_{n-1}}.$$
Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que, si
$a_0,a_1\in]0,\varepsilon[$, alors $a_n\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 198]
Soit $(a_n)_{n\in\N^*}$ telle que $a_n>0$ pour tout $n\in\N^*$. Pour
$n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^na_k$. Donner une condition
nécessaire et suffisante sur $(a_n)$ pour que, pour toute suite réelle
$(u_n)_{n\geq1}$ convergeant vers $\ell$, on ait
$$\lim_{n\to+\infty}\frac1{S_n}\sum_{k=1}^na_ku_k=\ell.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 199]
1. Montrer que $e$ est irrationnel.
2. Pour tout $x\in[0,1]$, montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n\geq2}$
   telle que
   $$x=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{x_n}{n!},\qquad
   x_n\in\db{0,n-1}\text{ pour tout }n\geq2.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 200]
Soit $(u_n)$ une suite à valeurs strictement positives telle que
$\sum u_n$ diverge. Montrer qu'il existe une suite $(w_n)$ à valeurs
strictement positives telle que $w_n=o(u_n)$ et $\sum w_n$ diverge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 201]
Déterminer un équivalent de
$$\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^\alpha},\qquad\alpha>1.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 202]
Soit $f\in C^\infty(\R_+,\R)$ telle que
$\lim_{x\to+\infty}f(x)=f(0)=0$. Montrer que, pour tout $k\in\N$, il
existe $y\in\R_+$ tel que $f^{(k)}(y)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 203]
Déterminer les fonctions dérivables $f:\R\to\R$ telles que
$$\forall x\in\R,\ \forall n\in\N^*,\qquad
f'(x)=\frac{f(x+n)-f(x)}{n}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 204]
Soit $f:\R\to\R$ dérivable. Pour $a<b$, on pose
$$T_{[a,b]}(f)=\{c\in[a,b]\mid
f(b)=f(a)+(b-a)f'(c)\}.$$
1. Montrer que $T_{[a,b]}(f)$ n'est pas vide.
2. Caractériser les fonctions telles que $T_{[a,b]}(f)$ soit un singleton
   pour tous $a<b$.

   On suppose désormais que $f$ est de classe $C^2$ et vérifie la
   propriété de la question 2. Soit $x\in\R$ tel que $f''(x)\neq0$.
   Pour $h>0$, on note $\theta_h$ l'unique réel de $[0,h]$ tel que
   $$f(x+h)=f(x)+hf'(x+\theta_h).$$
3. Trouver un équivalent de $\theta_h$ lorsque $h\to0^+$.
4. Proposer un contre-exemple si $f''(x)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 205]
Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ et d'intégrale nulle. Montrer que,
pour tout $x\in[0,1]$,
$$\left|\int_0^xf(s)\,ds\right|
\leq\frac18\sup_{t\in[0,1]}|f'(t)|.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 206]
Soient $f\in C^0([a,b],\R)$ et $n\in\N^*$. On suppose que, pour tout
$k\in\db{0,n-1}$,
$$\int_a^b t^kf(t)\,dt=0.$$
Montrer que $f$ s'annule au moins $n$ fois sur $]a,b[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 207]
Soient $(a_1,\ldots,a_N)\in\R^N$ et
$$f(x)=\int_0^x\frac{\prod_{k=1}^N\cos(a_kr)}{1+r}\,dr.$$
Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ possède une
limite finie en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 208]
1. Soient $r>0$ et $N\in\N^*$. Montrer que
   $$r^N-1=\prod_{k=0}^{N-1}(r-e^{2ik\pi/N}).$$
2. Soit $\alpha\in\C\setminus\mathbb{U}$. Montrer que
   $$\int_0^1\ln|e^{2\pi it}-\alpha|\,dt=\ln(\max(1,|\alpha|)).$$
3. Soit $P(X)=\lambda\prod_{k=0}^{N-1}(X-z_k)=\sum_{k=0}^{N-1}a_kX^k$
   avec $\lambda\in\C^*$ et $|z_k|\neq1$. Exprimer
   $$m(P)=\int_0^1\ln|P(e^{2\pi it})|\,dt$$
   en fonction des $z_k$ et de $\lambda$.
4. On pose $M(P)=\exp(m(P))$ et $L(P)=\sum_{k=0}^{N-1}|a_k|$.
   Montrer qu'il existe des constantes $C_1,C_2>0$, indépendantes de $P$
   mais éventuellement dépendantes de $N$, telles que, pour tout polynôme
   $P\in\C[X]$ de degré $N$,
   $$C_2M(P)\leq L(P)\leq C_1M(P).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 209]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ des points distincts du plan euclidien. Pour $t>0$,
on considère
$$L_X(t)=\sup_{A\in\R^2}\operatorname{Card}
  (\{X_1,\ldots,X_n\}\cap B_f(A,t)).$$
1. Montrer que $L_X(t)$ est définie et que la borne supérieure est atteinte.
2. Montrer que $L_X$ est croissante et déterminer ses limites en $0$ et en
   $+\infty$.
3. La fonction $L_X$ prend-elle nécessairement toutes les valeurs de
   $\{1,\ldots,n\}$ ?
4. Pour d'autres points distincts $Y_1,\ldots,Y_n\in\R^2$, montrer que
   $$\int_0^{+\infty}|L_X(t)-L_Y(t)|\,dt<+\infty.$$
5. On suppose qu'il existe $\delta\geq0$ tel que
   $\|X_k-Y_k\|\leq\delta$ pour tout $k$. Montrer qu'il existe $K$,
   dépendant de $n$ mais pas du choix des points, tel que, pour $\delta$
   assez petit,
   $$\int_0^{+\infty}|L_X(t)-L_Y(t)|\,dt\leq K\delta.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 210]
Soient $T>0$, $K\in\N^*$ et $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions
continues de $\R$ dans $\R$ convergeant uniformément vers $f$.
1. On suppose les $f_n$ périodiques de période $T$. Montrer que $f$ est
   $T$-périodique.
2. On suppose que, pour tout $n$, $f_n$ est périodique de période $k(n)T$,
   où $k(n)\in\{1,\ldots,K\}$. Montrer que $f$ est périodique.
3. Donner un exemple où les $f_n$ sont périodiques et $f$ ne l'est pas.
   Indication : considérer
   $$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}2^{-n}\cos\left(\frac{2\pi x}{2^n}\right).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 211]
On pose
$$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{4^n}\cos(32^n\pi x).$$
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$.
2. Montrer que $f$ n'est dérivable en aucun point.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 212]
Soient $\varepsilon>0$, $\alpha\in[0,1[$ et $\beta>0$. Déterminer un
équivalent, lorsque $\varepsilon\to0^+$, de
$$\int_0^1\frac{dx}{x^\alpha(x+\varepsilon)^\beta}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 213]
Soit
$$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}{1+t^2}\,dt.$$
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$.
2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
3. L'application $f$ est-elle dérivable en $0$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 214]
Soient $r\in\R_+$ et $f:\C_r\to\C$, où
$\C_r=\{z\in\C\mid |z|=r\}$. On pose
$$\int_{\C_r}f(z)\,dz=\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})ire^{i\theta}\,d\theta.$$
1. Calculer $\displaystyle\int_{\C_r}\frac{dz}{z-a}$ pour
   $a\in\C\setminus\C_r$.
2. On suppose $f$ développable en série entière de rayon de convergence
   infini. Montrer que, pour tout $r>|a|$,
   $$f(a)=\frac1{2\pi i}\int_{\C_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz.$$
3. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$. Justifier que
   $\exp(M)=\sum_{k=0}^{+\infty}M^k/k!$ a un sens, puis montrer que, pour
   $r$ assez grand,
   $$\exp(M)=\frac1{2\pi i}\int_{\C_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\,dz.$$
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 215]
Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive et $k\in\N^*$. A-t-on
équivalence entre $\E(X^k)<+\infty$ et
$$\P(X\geq n)=o(n^{-k})?$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 216]
Soit $M=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice aléatoire dont les
coefficients sont i.i.d. et suivent la loi uniforme sur $\{-1,1\}$.
1. Déterminer $\E(\operatorname{tr}(M^2))$.
2. Soit $t\in\R$. Déterminer $\E(\chi_M(t))$.
3. Quelle est la loi de $\operatorname{tr}(M^2)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS 2026 PC # 217]
Soient $L>0$, $f:[-L,L]\to\R$ une fonction convexe, et $X$ une variable
aléatoire à valeurs dans $[-L,L]$ telle que $\E(X)=0$. Montrer que
$$\E(f(X))\leq\frac{f(L)+f(-L)}2.$$
#+end_exercice

* X MP/MPI                                           :xens:

** Probabilités

#+begin_exercice [X 2026 # 218]
Soit $(A_n)_{n\geq1}$ une suite d'événements indépendants telle que
$\sum_{n=1}^{+\infty}\P(A_n)=+\infty$. Montrer que, pour tout
$\varepsilon>0$,
$$\lim_{n\to+\infty}\P\left(\left|
\frac{\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{A_i}}{\sum_{j=1}^n\P(A_j)}-1
\right|>\varepsilon\right)=0.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 219]
1. Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre $2$. Exprimer
   $\E((X-a)^2)$ en fonction de $\V(X)$, $\E(X)$ et de $a$.
2. Soit $Y$ une variable aléatoire réelle telle que $\E(Y)=1$ et qui admet
   un moment d'ordre $2$. Pour $\theta\in[0,1]$, montrer que
   $$\P(Y>\theta)\geq\frac{(1-\theta)^2}{\V(Y)+(1-\theta)^2}.$$
3. Caractériser le cas d'égalité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 220]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. Pour $k\in\N$, on
pose $p_k=\P(X=k)$. On définit, pour $\beta\in\R_+$,
$$z(\beta)=\sum_{k=0}^{+\infty}p_ke^{-\beta k},\qquad
u_k=\frac{p_ke^{-\beta k}}{z(\beta)}.$$
1. Calculer les $u_k$ lorsque $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$.
2. Montrer que $\beta\mapsto\ln(z(\beta))$ est convexe.
3. Soit $X_\beta$ une variable aléatoire de loi $(u_k)$. Montrer que
   $\beta\mapsto\E(X_\beta)$ est décroissante.
4. Pour $\beta\in\R$, on note $m_\beta$ la médiane définie par
   $$m_\beta=\min\{k\in\N\mid\P(X_\beta>k)\leq1/2\}.$$
   Montrer que $\beta\mapsto m_\beta$ est décroissante sur $\R_+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 221]
Pour $n\in\N^*$, soit $M_n=((M_n)_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice
symétrique aléatoire dont les coefficients $(M_n)_{i,j}$, pour $i\leq j$,
sont i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre $1/2$. On note
$\lambda_1(M_n)$ sa plus grande valeur propre.
1. Montrer que, pour tout $u\in\R^n$,
   $$\langle u,M_nu\rangle\leq\lambda_1(M_n)\|u\|^2.$$
2. Déterminer le spectre et les vecteurs propres de la matrice
   $(\E((M_n)_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n}$.
3. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$,
   $$\lim_{n\to+\infty}\P\left(\lambda_1(M_n)\geq
   (\tfrac12-\varepsilon)n\right)=1.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 222]
1. Caractériser les projecteurs orthogonaux de rang $1$.
2. Soient $p_1,\ldots,p_k$ des projecteurs orthogonaux de $\R^n$.
   Soit $(N_r)_{r\geq0}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la
   loi uniforme sur $\db{1,k}$. Soit $X_0\in\R^n$ et, pour tout $r\in\N$,
   $$X_{r+1}=p_{N_r}(X_r).$$
   Étudier la limite éventuelle de $(\E(\|X_n\|))_{n\geq1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 223]
Soient $N\geq2$ et $k\in\N^*$. On considère une grille $N\times N$
formée de petits carrés $1\times1$. Chaque carré est blanc ou noir,
indépendamment, avec probabilité $1/2$.
1. Soit $A_N$ l'événement « il existe au moins un carré blanc de taille
   $k\times k$ ». Montrer que
   $$\P(A_N)\leq 2^{-k^2}N^2.$$
2. Déterminer $\E(Y_{k,N})$, où $Y_{k,N}$ est le nombre de carrés blancs
   de taille $k\times k$.
3. Montrer que
   $$\lim_{N\to+\infty}\frac{\V(Y_{k,N})}{\E(Y_{k,N})^2}=0.$$
   On pourra traiter séparément les cas $k=1$ et $k=2$.
#+end_exercice

** Algèbre

#+begin_exercice [X 2026 # 224]
Soit $n\geq3$. Montrer que
$$\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom ni(n-i)^{n-2}=n^{n-2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 225]
1. Pour $n\geq1$, on note $\pi(n)$ le nombre de nombres premiers
   inférieurs ou égaux à $n$. Montrer que si $n\geq8$, alors $\pi(n)\leq n/2$.
2. Soient $p$ premier et $n,k,\alpha\in\N^*$ tels que $k\leq n$ et
   $p^\alpha$ divise $\binom nk$. Montrer que $p^\alpha\leq n$.
3. Montrer que, pour tout entier $n\geq8$, il existe un nombre premier
   entre $\lfloor\sqrt n\rfloor+1$ et $n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 226]
Résoudre l'équation $x^2+x-2=0$ dans $\Z/7\Z$, puis déterminer les entiers
$n\geq2$ tels que cette équation admette exactement une solution dans
$\Z/n\Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 227]
Soit $n\geq2$.
1. Soit $\sigma$ une permutation de $\Z/n\Z$. On suppose que
   $\sigma-\operatorname{id}$ est une bijection. Montrer que $n$ est
   impair. Que peut-on dire si $\sigma+\operatorname{id}$ est aussi une
   bijection ?
2. On suppose $n$ impair et on note $D_n$ le groupe des isométries linéaires
   du plan $\C$ qui laissent invariant $\mathbb{U}_n$. Montrer qu'il
   n'existe pas de permutation $f$ de $D_n$ telle que $g\mapsto gf(g)$ soit
   aussi une permutation de $D_n$.
3. Montrer que $g\mapsto\det g$ est l'unique morphisme non trivial de
   $D_n$ dans $\{\pm1\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 228]
Déterminer le cardinal de l'ensemble
$$\left\{(x_k)_{k\geq0}\in\db{0,9}^{\N}\ \middle|\
\forall n\geq0,\ a_n^2\equiv a_n\pmod{10^n},\quad
a_n=\sum_{k=0}^{n-1}x_k10^k\right\}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 229]
Soient $A$ un anneau fini et $a,b\in A$ tels que $ab^2=b$. Montrer que
$bab=b$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 230]
Soit $A$ un anneau tel que, pour tout $x\in A$, il existe $n\in\N^*$ tel
que
$$x=\sum_{k=2}^{n}x^k.$$
1. Déterminer la caractéristique de $A$.
2. Montrer que, pour tout $x\in A$, $x^2=x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 231]
Soit $G$ un groupe fini. On suppose que, pour tout automorphisme $f$ de
$G$, il existe $m\in\N^*$ tel que $f(x)=x^m$ pour tout $x\in G$.
1. Soient $a,b\in G$ tels que l'ordre de $a$ divise celui de $b$. Montrer
   que $ab=ba$.
2. Écrire $|G|=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ et poser
   $$G_i=\{x\in G\mid x^{p_i^{\alpha_i}}=e\}.$$
   Montrer que $G_i$ est un sous-groupe commutatif de $G$.
3. Pour $i\neq j$, montrer que $xy=yx$ pour tout $(x,y)\in G_i\times G_j$.
4. Montrer que $G$ est commutatif.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 232]
Soit $G$ un groupe fini.
1. Soient $g,h$ deux éléments d'ordres finis $a,b$ qui commutent, avec
   $a$ et $b$ premiers entre eux. Montrer que $gh$ est d'ordre fini et
   déterminer cet ordre.
2. Montrer que, dans un groupe quelconque, le produit de deux éléments
   d'ordre fini n'est pas nécessairement d'ordre fini.
3. Soit $g\in G$ d'ordre fini $n$, et soit $n=ab$ avec $a,b$ premiers
   entre eux. Montrer que $g=hh'$ où $h,h'$ commutent et sont d'ordres
   respectifs $a,b$.
4. Y a-t-il unicité du couple $(h,h')$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 233]
Soit $p$ un nombre premier et $G$ un sous-groupe de $S_p$ transitif sur
$\db{1,p}$. On admet que tout groupe fini dont l'ordre est divisible par
$p$ contient un élément d'ordre $p$. On note $\operatorname{Aff}(\F_p)$ le
groupe des permutations de $\F_p$ de la forme $x\mapsto ax+b$, avec
$a\in\F_p^*$ et $b\in\F_p$. Montrer l'équivalence des conditions :
1. Il existe deux éléments distincts $x,y\in\db{1,p}$ tels que le seul
   élément de $G$ fixant $x$ et $y$ soit l'identité.
2. $|G|<p^2$.
3. $G$ possède un unique sous-groupe d'ordre $p$.
4. Il existe une bijection $\theta:\db{1,p}\to\F_p$ et un sous-groupe
   $H$ de $\operatorname{Aff}(\F_p)$ tels que
   $\{\theta\circ g\circ\theta^{-1}\mid g\in G\}=H$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 234]
Soit $G$ un groupe fini. On suppose qu'il existe $a\in G\setminus\{e\}$
et un nombre premier $p$ tels que, pour tout $x\in G$,
$$a^{-1}xa=x^{p+1}.$$
1. Montrer que $(xy)^p=y^px^p$ pour tous $x,y\in G$, puis en déduire
   que $ay^p=y^pa$ pour tout $y\in G$.
2. On admet que si un nombre premier $q$ divise $|G|$, alors $G$ possède
   un élément d'ordre $q$. Montrer que $|G|$ est une puissance de $p$.
3. Soient $f:x\mapsto x^p$ et $H=\{x\in G\mid x^p=e\}$. Montrer que
   $|f(G)|=|G|/|H|$.
4. Montrer que $|G|<|H|^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 235]
Soit $P\in\C[X]$. On écrit $P=A+iB$, avec $A,B\in\R[X]$. On suppose
que les racines de $P$ sont dans le demi-plan $\operatorname{Im}(z)>0$.
Montrer que $A$ et $B$ sont scindés sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 236]
Soit $n\in\N^*$.
1. Montrer qu'il existe un polynôme $P\in\R[X]$ de degré $2n-1$ tel que,
   pour tout $\theta\in]0,\pi[$,
   $$\frac{\sin(4n\theta)}{\cos\theta\sin\theta}=P(\cos^2\theta).$$
2. Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{2n-1}\cos\left(\frac{k\pi}{4n}\right)$.
3. Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{4n}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 237]
Pour $\sigma\in S_n$, on note
$$\operatorname{Inv}(\sigma)=\operatorname{Card}\{(i,j)\in\db{1,n}^2\mid
i<j\text{ et }\sigma(i)>\sigma(j)\}.$$
Pour $k\in\N$, on pose $P_k=\sum_{i=0}^kX^i$.
1. Montrer que
   $$\sum_{\sigma\in S_n}X^{\operatorname{Inv}(\sigma)}
   =\prod_{k=1}^{n-1}P_k.$$
2. Soient $p$ premier et $k\in\db{1,p-1}$. Simplifier
   $P_{p-1}(e^{2ik\pi/p})$.
3. Exprimer le cardinal de $\{\sigma\in S_n\mid (n+1)\mid
   \operatorname{Inv}(\sigma)\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 238]
Soit $L\geq3$ et $f\in\Z[X]$ de degré $d>0$, de coefficient constant
$-1$ et de coefficient dominant $a_d>0$. Montrer que l'ensemble
$$\{p\in\mathbb{P}\mid p\not\equiv1\ [L],\ \exists m\in\Z,\ f(m)\equiv0\ [p]\}$$
est infini.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 239]
Soient $a\geq3$ et $P=X^2+X+a$. On suppose que, pour tout
$n\in\db{0,a-2}$, $P(n)$ est premier. Soit $k\in\db{0,a-2}$.
1. Montrer que si $k+1$ est un carré, alors $P(a+k)$ n'est pas premier.
2. Réciproquement, on suppose que $P(a+k)$ n'est pas premier.
   a. Montrer que son plus petit facteur premier $p$ vérifie $p\geq a$.
   b. Montrer que $P(a+k-p)=p$.
   c. Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 240]
Soit $(x_n)_{n\in\N}\in\R^\N$ telle que $x_0,x_1>0$ et
$$x_{n+1}x_{n-1}=1+x_n^2\qquad(n\geq1).$$
1. Montrer que $(x_n)$ ne peut pas être périodique.
2. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ et $\beta>1$ tels que
   $x_n\sim\alpha\beta^n$.
3. On pose $Q_0=i$, $Q_1=iX$ et, pour tout $n\geq1$,
   $Q_{n+1}Q_{n-1}=1+Q_n^2$. Montrer que, pour tout $n$, $Q_n\in i\Z[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 241]
1. Montrer l'existence et l'unicité d'une famille de polynômes de $\Q[q]$,
   notés $\binom nk_q$, vérifiant
   $$\binom n0_q=\binom nn_q=1,\qquad
   \binom nk_q=\binom{n-1}k_q+q^{n-k}\binom{n-1}{k-1}_q
   =q^k\binom{n-1}k_q+\binom{n-1}{k-1}_q.$$
   On pourra les exprimer en fonction des $\binom n1_q$, notés $[n]_q$.
2. Montrer que
   $$(X+Y)(X+qY)\cdots(X+q^{n-1}Y)
   =\sum_{k=0}^n q^{k(k-1)/2}\binom nk_qX^{n-k}Y^k.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 242] [MPI]
Soit $P\in\Z[X]$ unitaire de degré $d\geq1$, de racines complexes
$\lambda_1,\ldots,\lambda_d$, toutes de module au plus $1$. On pose
$f_n=\lambda_1^n+\cdots+\lambda_d^n$ pour $n\in\N$.
1. Montrer que $f_n\in\Z$ pour tout $n$, puis qu'il existe $p\geq1$ et
   $n_0\in\N$ tels que $f_{n+p}=f_n$ pour tout $n\geq n_0$.
2. En déduire que, pour tout $k\in\db{1,d}$, $\lambda_k=0$ ou
   $|\lambda_k|=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 243]
Soit $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ telle que
$$\det(M^{2024}-I_2)=\det(M^{2024}+I_2),\qquad
\det(M^{2026}-I_2)=\det(M^{2026}+I_2).$$
Montrer que, pour tout $n\geq1$,
$$\det(M^n-I_2)=\det(M^n+I_2).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 244]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_2(\R)$ tels que $(A-B)^2=0$.
1. Montrer que $\det(A^2-B^2)=(\det A-\det B)^2$.
2. Montrer que $\det(AB-BA)=0$ si et seulement si $\det A=\det B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 245]
Soit $A\in\operatorname{GL}_2(\R)$ telle que
$$\det(A+A^{-1})+\det(A-A^{-1})=4.$$
Montrer que $\det(A+A^{-1})=(\operatorname{Tr}A)^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 246]
Soient $A\in\operatorname{GL}_4(\R)$ et $B\in\mathcal{M}_4(\R)$ tels
que $AB=BA$ et $\det(A^2-AB+B^2)=0$. Montrer que
$$\det(A+B)+3\det(A-B)=6(\det A+\det B).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 247]
Soient $n\geq2$, $A,B\in\mathcal{M}_n(\Z)$ et $p$ un nombre premier.
Montrer que
$$\operatorname{Tr}((A+B)^p)\equiv\operatorname{Tr}(A^p)+
\operatorname{Tr}(B^p)\pmod p.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 248]
Pour $A\in\mathcal{M}_n(\Z)$, on note $\varphi(A)$ le pgcd de ses
coefficients.
1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\Z)$. Trouver une relation entre
   $\varphi(AB)$ et $\varphi(A)\varphi(B)$.
2. Montrer que $\varphi(AB)$ divise $\det(A)\varphi(B)$.
3. Soit $\alpha\in\Z$ et $A^2-\alpha A+I_n=0$. Donner une condition
   nécessaire et suffisante pour que $\varphi(A^k-I_n)\to_{k\to+\infty}+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 249]
1. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\Q)$ ne peut pas être engendré par un
   nombre fini d'éléments.
2. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\Q)$ est dense dans
   $\operatorname{SL}_n(\R)$.
3. Montrer que $(S,T)$ engendre $\operatorname{SL}_2(\Z)$, où
   $$S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad
   T=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 250]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $A^2+B^2=2AB$.
1. Montrer que $AB-BA$ n'est pas inversible.
2. On suppose $\operatorname{rg}(A-B)=1$. Montrer que $AB=BA$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 251]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que
$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)$ si et seulement s'il existe
$P,Q,R\in\operatorname{GL}_n(\R)$ tels que $AP+QB=ARB$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 252]
1. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$ telle que
   $\operatorname{rg}(M^2)\neq\operatorname{rg}(M)$. Montrer qu'il existe
   $A\in\mathcal{M}_n(\C)\setminus\{0\}$ telle que
   $AM=MA=A^2=0$ :
   a. dans le cas $n=2$ ;
   b. dans le cas où $M$ est nilpotente ;
   c. dans le cas général.
2. Le résultat subsiste-t-il pour $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que
   $\operatorname{rg}(M)\neq\operatorname{rg}(M^2)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 253]
Pour $A,B\in\mathcal{M}_2(\C)$, on pose $[A,B]=AB-BA$.
1. Soient $X,Y,Z\in\mathcal{M}_2(\C)$. Montrer que
   $[X,[Y,Z]^2]=0$.
2. A-t-on nécessairement $[X,[Y,Z]]=0$ ?
3. Expliciter le sous-espace vectoriel engendré par
   $\{[X,[Y,Z]]\mid X,Y,Z\in\mathcal{M}_2(\C)\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 254]
Soient $n,p\in\N\setminus\{0,1\}$ et
$E=\{A_1,\ldots,A_p\}\subset\mathcal{M}_{2n}(\C)$ tel que $AB\in E$
pour tous $A,B\in E$. Montrer qu'il existe
$(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_p)\in\{0,1,-1\}^p\setminus\{0\}$
tel que $\operatorname{rg}(\sum_{i=1}^p\varepsilon_iA_i)\leq n$.
On suppose le contraire.
1. Pour $A\in E$, montrer que $M\mapsto AM$ est injective sur $E$.
2. Pour $A\in E$, montrer que $\operatorname{rg}(A-I_{2n})\leq n$.
   Indication : considérer $S=\sum_{i=1}^pA_i$.
3. Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 255]
Soit $n\geq1$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et
on pose
$$J=\begin{pmatrix}I_n&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad
G=\{M\in\mathcal{M}_{n+1}(\R)\mid M^TJM=J\}.$$
1. Montrer que $G$ est un sous-groupe de $\operatorname{GL}_{n+1}(\R)$,
   stable par transposition.
2. Posons $H=\{(X,z)\in\R^n\times\R\mid z^2-\|X\|^2=1\}$ et
   $a_0=(0_{\R^n},1)$. Montrer que, pour tout $a\in H$, il existe
   $g\in G$ tel que $ga_0=a$.
3. Soit $g\in G$, écrit par blocs
   $g=\begin{pmatrix}M&X\\Y^T&z\end{pmatrix}$. Montrer que $z\geq1$.
   On note $L(g)$ l'unique réel positif tel que $\cosh(L(g))=z$.
   Caractériser les $g$ tels que $L(g)=0$.
4. Montrer que, pour tous $g,h\in G$, $L(g)=L(g^{-1})$ et
   $L(gh)\leq L(g)+L(h)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 256] [MPI]
Soit $p$ un nombre premier impair.
1. Soient $n\in\N$, $P\in\C[X]$ dont les racines sont de module $1$ et
   $Q\in\Z[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que si
   $$P(X)=p^nQ\left(\frac{X-1}{p}\right),$$
   alors $P(X)=(X-1)^n$.
2. Montrer que $\operatorname{GL}_n(\Z)$ est un groupe et que
   $$\operatorname{GL}_n(\Z)=\{M\in\mathcal{M}_n(\Z)\mid\det M=\pm1\}.$$
3. Soient $A,B\in\operatorname{GL}_n(\Z)$ congruentes coefficient par
   coefficient modulo $p$. Montrer qu'il existe $M\in\mathcal{M}_n(\Z)$
   telle que $AB^{-1}=I_n+pM$.
4. Montrer que si $A$ et $B$ appartiennent à un même sous-groupe fini de
   $\operatorname{GL}_n(\Z)$, alors $A=B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 257]
Soit $M\in\operatorname{GL}_n(\C)$. Montrer qu'il existe
$A\in\operatorname{GL}_n(\C)$ tel que $M=A^2$. Est-ce encore vrai dans
$\operatorname{GL}_n(\R)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 258]
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $d$ et
$u\in\mathcal{L}(E)$. Montrer que si la suite
$(\operatorname{Tr}(u^n))_{n\in\N}$ est bornée, alors elle est bornée par $d$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 259]
Soient $n\geq2$, $a,b\in\C$ avec $a\neq0$ et $b^k\neq1$ pour tout
$k\in\db{1,n}$.
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB=aI_n+bBA$.
1. Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles.
2. Que peut-on dire du spectre de $AB$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 260]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. On pose
$$\sin(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^kA^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$
1. Quelles sont les matrices réelles diagonalisables qui s'écrivent
   $\sin(A)$ avec $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ ?
2. Quelles sont les matrices de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui s'écrivent
   $\sin(A)$ avec $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 261]
Soient $n\geq3$ et $(a,b)\in\C^2$ avec $b\neq0$. Pour
$k\in\db{1,n-1}$, on pose
$$A_k=\operatorname{diag}(I_{k-1},H,I_{n-k-1}),\qquad
H=\begin{pmatrix}a&b\\(1-a^2)/b&-a\end{pmatrix}.$$
1. Pour $|k-k'|\neq1$, déterminer le cardinal du sous-groupe de
   $\operatorname{GL}_n(\C)$ engendré par $A_k,A_{k'}$.
2. Trouver un vecteur propre commun à tous les $A_k$.
3. Montrer que ce vecteur n'est inclus dans aucun plan de $\C^n$ stable
   par tous les $A_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 262]
Soit $n\geq2$.
1. Déterminer les couples $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\C)^2$ tels que
   $AB=BA^2$, $\operatorname{Sp}(A)\subset\R$, et $A^2,B$ n'ont pas de
   vecteur propre commun.
2. Que se passe-t-il si l'on enlève la condition $\operatorname{Sp}(A)\subset\R$ ?
3. Déterminer les couples $(A,B)$ tels que $AB=BA^2$, $B$ inversible et
   $A$ nilpotente.
4. Soit $A$ telle que $\operatorname{Sp}(A)=\{1\}$. Existe-t-il $B$
   inversible telle que $AB=BA^2$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 263]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ diagonalisable. On pose
$$C(A)=\{M\in\mathcal{M}_n(\C)\mid AM=MA\},$$
et
$$C(C(A))=\{N\in\mathcal{M}_n(\C)\mid MN=NM\text{ pour tout }M\in C(A)\}.$$
1. Montrer que $C(C(A))=\C[A]$.
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $C(C(A))=C(A)$.
3. Montrer que
   $$2n-\dim C(A)\leq\dim C(C(A))\leq n\leq\dim C(A).$$
4. On ne suppose plus $A$ diagonalisable, mais nilpotente non nulle avec
   $n=2$. Montrer que $C(A)=\C[A]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 264]
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension
$n\geq2$. Déterminer les fonctions continues $f:E\to\R$ telles que
$$\langle x,y\rangle=0\Longrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 265]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $a,b>0$ et
$x,y\in\R^n$.
1. On suppose $\langle by-x,x-ay\rangle\geq0$. Montrer que
   $$\|x\|\|y\|\leq\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}|\langle x,y\rangle|.$$
2. On suppose qu'il existe $m_1,m_2,M_1,M_2>0$ tels que
   $x_i\in[m_1,M_1]$ et $y_i\in[m_2,M_2]$ pour tout $i$. Montrer que
   $$\langle x,y\rangle\geq
   \frac{2\sqrt{m_1m_2M_1M_2}}{\sqrt{M_1M_2} + \sqrt{m_1m_2}}\|x\|\|y\|.$$
3. Montrer que $\langle by-x,ay-x\rangle\leq0$ si et seulement si
   $$\left\|x-\frac{a+b}{2}y\right\|
   \leq\frac{|b-a|}{2}\|y\|.$$
4. Montrer que si $\langle by-x,x-ay\rangle\geq0$, alors
   $$\|x\|^2\|y\|^2-\langle x,y\rangle^2
   \leq\frac{(b-a)^2}{4}\|y\|^4.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 266]
On se place dans $\R^d$ muni de sa structure euclidienne canonique.
Soient $E,F$ deux sous-espaces vectoriels de $\R^d$, et $A,B$ les matrices
des projections orthogonales sur $E,F$. Montrer qu'il existe
$Q\in\mathcal{M}_d(\R)$ et $\alpha\in]0,1[$ tels que, pour tout
$v\in\R^d$ vérifiant $\|v\|\leq1$ et tout $n\in\N$,
$$\|(AB)^nv-Qv\|\leq\alpha^n.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 267] [MPI]
1. Soient $E$ un espace vectoriel réel, $n\geq1$ et
   $f_1,\ldots,f_n\in\mathcal{L}(E,\R)$. Pour $f\in\mathcal{L}(E,\R)$,
   montrer que $f\in\operatorname{Vect}(f_1,\ldots,f_n)$ si et seulement
   si $\ker f_1\cap\cdots\cap\ker f_n\subset\ker f$.
2. Pour $n\geq1$, on note $L_n(X)$ la dérivée $n$-ième de $(X^2-1)^n$.
   Montrer que, pour tout $Q\in\R_{n-1}[X]$,
   $$\int_{-1}^1L_n(x)Q(x)\,dx=0,$$
   puis que $L_n$ est simplement scindé à racines dans $]-1,1[$.
3. Notons $-1<x_1<\cdots<x_n<1$ les racines de $L_n$. Montrer qu'il
   existe $a_1,\ldots,a_n\in\R$ tels que, pour tout $Q\in\R_{2n-1}[X]$,
   $$\int_{-1}^1Q(x)\,dx=\sum_{i=1}^na_iQ(x_i).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 268]
1. Soient $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et
   $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix}$. Existe-t-il
   $P\in\operatorname{GL}_2(\Q)$ telle que $B=P^TAP$ ?
2. Même question avec $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&6\end{pmatrix}$.
3. Même question avec $A=\begin{pmatrix}5&0\\0&11\end{pmatrix}$ et
   $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&55\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 269]
Soit $P=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\R)$,
où $A\in\mathcal{M}_r(\R)$, $D\in\mathcal{M}_{n-r}(\R)$, et supposons
$P=P^2=P^T$.
1. Montrer que $A$ est symétrique positive.
2. Montrer que $\operatorname{Im}B\subset\operatorname{Im}A$.
3. Montrer qu'il existe une unique matrice $A^+$ telle que $A,A^+$
   commutent, $A^+A$ soit la matrice du projecteur orthogonal sur
   $\operatorname{Im}A$, et $A^+AA^+=A^+$.
4. Montrer que $Q=I_{n-r}-D+B^TA^+B$ est la matrice du projecteur
   orthogonal sur $\operatorname{Im}(I_{n-r}-D)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 270] [MPI]
Soit $n\in\N$. Déterminer les formes linéaires $\ell$ sur
$\mathcal{M}_n(\R)$ telles que, pour tout $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ et
$P\in O_n(\R)$, $\ell(PMP^{-1})=\ell(M)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 271]
1. Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ trigonalisable sur $\R$. Montrer que
   $\operatorname{Sp}(A)\subset\R_{-}^{*}$ si et seulement s'il existe
   un produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ sur $\R^n$ et $c<0$
   tels que $\langle Ax,x\rangle\leq c\langle x,x\rangle$ pour tout $x$.
2. Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que
   $\operatorname{Re}(\lambda)<0$ pour tout $\lambda\in\operatorname{Sp}_{\C}(A)$
   si et seulement s'il existe un produit scalaire et $c<0$ tels que la
   même inégalité soit vérifiée pour tout $x\in\R^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 272]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que $AA^T=A^TA$ si et seulement si
$A^2A^T=AA^TA$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [X 2026 # 273]
Soit $B\subset\R_+$ non majorée. Montrer que
$$\left\{\frac{n}{x}\mid n\geq1,\ x\in B\right\}$$
est dense dans $\R_+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 274]
Soient $X$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé et $f:X\to X$
continue. Pour $x\in X$, on pose
$$\omega(f,x)=\bigcap_{n\in\N}\{f^k(x)\mid k\geq n\}.$$
1. On suppose qu'il existe $x$ tel que $\omega(f,x)=X$. Montrer que $f$
   est transitive : pour tous ouverts non vides $U,V$ de $X$, il existe
   $n\in\N$ tel que $f^n(U)\cap V\neq\varnothing$.
2. On suppose que $\omega(f,x)$ est fini et non vide. Montrer que $f$
   induit sur $\omega(f,x)$ une permutation cyclique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 275]
Soit $A\in\mathcal{M}_2(\R)$ et
$S(A)=\{PAP^{-1}\mid P\in\operatorname{GL}_2(\R)\}$.
1. Si $A$ est diagonalisable, montrer que $S(A)$ est connexe par arcs.
2. Si $\operatorname{Sp}_{\C}(A)\subset\R$ et $A$ n'est pas
   diagonalisable, montrer que $S(A)$ n'est pas connexe par arcs.
3. Si $\operatorname{Sp}_{\C}(A)\subset\C\setminus\R$, montrer que
   $S(A)$ n'est pas connexe par arcs.
4. Qu'en est-il dans $\mathcal{M}_3(\R)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 276]
Soient $n\geq2$ et $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. On pose
$d(A)=\dim(\C[A])$.
1. Quelles valeurs peut prendre $d(A)$ ?
2. Soit $P\in\C[X]$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour
   que $d(P(A))=d(A)$.
3. Étudier les propriétés topologiques de l'ensemble $E_k=d^{-1}(k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 277]
Soit $(u_n)\in(\R_+^*)^\N$ telle que $u_{n+1}=|u_n-n|$ pour tout
$n\in\N^*$. Trouver un équivalent de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 278]
Soit $(x_n)_{n\geq1}$ une suite réelle telle que $x_1,x_2\in]0,1[$ et
$$x_{n+2}=\frac{x_n^2}{x_{n+1}-x_n^2+1}.$$
1. Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite.
2. Montrer que $(x_1\cdots x_n)$ converge et déterminer sa limite.
3. Montrer que $(\sqrt n\,x_1\cdots x_n)$ converge et déterminer sa limite.
4. Si $1-x_n\sim\alpha/n$, la suite $(\sqrt n\,x_1\cdots x_n)$
   converge-t-elle nécessairement ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 279] [MPI]
Soit $f\in C^0([0,1],[0,1])$. On définit $u_0\in[0,1]$ et
$u_{n+1}=f(u_n)$. On suppose que $u_{n+1}-u_n\to0$. Montrer que $(u_n)$
converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 280] [MPI]
Soit $f:[-1,1]\to[-1,1]$, $f(x)=2x^2-1$.
1. Montrer qu'il existe $x\in[-1,1]$ tel que l'ensemble des valeurs
   d'adhérence de la suite définie par $x_0=x$ et $x_{n+1}=f(x_n)$ soit
   égal à $[-1,1]$.
2. Montrer que l'ensemble des $x$ vérifiant cette propriété est dense dans
   $[-1,1]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 281]
Pour $x,y>0$, on définit $d(x,y)=|x-y|$ et
$h(x,y)=|\ln x-\ln y|$.
1. Pour $x>0$ et $(x_n)\in(\R_+^*)^\N$, montrer que
   $d(x_n,x)\to0$ si et seulement si $h(x_n,x)\to0$.
2. Soient $a,b,c,d>0$ et $T(x)=(c+dx)/(a+bx)$. Montrer que
   $T(\R_+^*)$ est inclus dans un compact de $\R_+^*$.
3. Pour $x\neq x'$ positifs, poser $\lambda=h(a/c,b/d)$,
   $y=T(x)$ et $y'=T(x')$. Montrer que
   $$\frac{h(y,y')}{h(x,x')}\leq\tanh(\lambda/4).$$
4. Pour $x>0$, poser $x_0=x$ et $x_{n+1}=T(x_n)$. Montrer que $(x_n)$
   converge vers l'unique point fixe de $T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 282]
1. Soit $u_{n+1}=e^{u_n}/(n+1)$, avec $u_0\in\R$. Quelle est la nature
   de la série de terme général $u_n$ ?
2. Soit $u_{n+1}=e^{u_n}/(n+1)^2$, avec $u_0\leq0$. Quelle est la nature
   de la série de terme général $u_n$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 283]
On pose
$$\alpha=4\sum_{k=0}^{499999}\frac{(-1)^k}{2k+1}.$$
Montrer qu'exactement une des 16 premières décimales de $\alpha$ diffère
de la décimale correspondante de $\pi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 284]
Résoudre dans $\R$ l'équation
$$\frac{\ln(6^x+1)}{\ln7}=\frac{\ln(7^x-1)}{\ln6}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 285]
Soient $f,g:[0,1]\to[0,1]$. On suppose que $g$ est monotone et surjective
et que $|f(x)-f(y)|\leq|g(x)-g(y)|$ pour tous $x,y\in[0,1]$.
1. Montrer qu'il existe $x_0\in[0,1]$ tel que $f(x_0)=g(x_0)$.
2. Montrer que $\{x\in[0,1]\mid f(x)=g(x)\}$ est un segment.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 286]
Soit $T\geq2$ et $f:\Z\to\R$ une fonction $T$-périodique telle que,
pour tout $n\geq1$ et $k\in\Z$,
$$\sum_{i=-n}^{n-1}f(i+k)\leq\sum_{i=-n}^{n-1}f(i).$$
1. Si $T$ est impair, montrer que $f$ est constante.
2. Donner un exemple non constant lorsque $T$ est pair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 287]
Soit $f:\R\to\R$ sous-additive : $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$.
1. On suppose qu'il existe $\delta>0$ et
   $\varphi:] -\delta,\delta[\to\R$ telle que $\varphi(0)=0$,
   $\varphi$ dérivable en $0$ et $f\leq\varphi$. Montrer qu'il existe
   $a\in\R$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x$.
2. On suppose qu'il existe $x_0,y_0>0$ tels que $f(x_0),f(-y_0)\leq0$
   et $x_0/y_0\in\Q$. Montrer que $f$ est périodique.
3. Construire une fonction avec $f(x_0),f(-y_0)\leq0$ pour certains
   $x_0,y_0>0$, mais qui n'est pas périodique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 288]
Soit $f\in C^2(\R,\R_+)$ telle que $ff''-(f')^2\geq0$. Montrer que si
$f$ s'annule en un point, alors $f=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 289]
Soit $I$ un intervalle de $\R$. On dit que $f:I\to I$ vérifie $P$ si,
pour tous $x,y\in I$, $f_n(x)-f_n(y)\to0$, où $f_n$ est la $n$-ième
itérée de $f$. Pour $f(x)=x+1/x$ sur $\R_+^*$, $f$ admet-elle un point
fixe ? Vérifie-t-elle $P$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 290] [MPI]
Déterminer tous les couples $(f,g)$ de polynômes trigonométriques réels
tels que $f^2+g^2=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 291]
Soit $f:\R\to\R$ et $g(x)=2f(x)+f(-x)$.
1. On suppose $g$ continue en $0$ et $f$ bornée au voisinage de $0$.
   Montrer que $f$ est continue en $0$.
2. Trouver une fonction $f$ discontinue en $0$ telle que $g$ soit continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 292]
Soit
$$F=\{f\in C^0(\R,\R)\mid e^{f(x)}+f(x)\geq x+1\text{ pour tout }x\in\R\}.$$
Calculer $\displaystyle\inf_{f\in F}\int_0^e f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 293] [MPI]
On appelle polynôme trigonométrique complexe toute combinaison linéaire
complexe des fonctions $e_k:x\mapsto e^{ikx}$, $k\in\Z$. Déterminer les
polynômes $H$ tels que $H(\R)\subset\R$ et $\cos\circ H$ soit un
polynôme trigonométrique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 294] [MPI]
1. Déterminer les endomorphismes $T$ de $\R[X]$ qui commutent avec la
   dérivation et avec la multiplication par $X$.
2. Posons
   $$S=\{f\in C^\infty(\R,\R)\mid
   \sup_{x\in\R}|x^kf^{(n)}(x)|<+\infty\text{ pour tous }k,n\in\N\}.$$
   Montrer que $S$ est un espace vectoriel stable par dérivation et par
   multiplication par l'identité de $\R$. Déterminer les endomorphismes
   de $S$ qui commutent avec ces deux opérateurs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 295]
Posons $E=C^0([-1,1],\C)$. Soit $g:[-1,1]\to[-1,1]$ continue,
croissante et surjective, et $\Phi:f\mapsto f\circ g$. Montrer que $1$
est la seule valeur propre possible de $\Phi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 296]
Soit $P\in\R[X]$ tel que $P(1)=P(-1)=0$ et $P(x)>0$ pour $x\in]-1,1[$.
1. Calculer l'aire $T$ du triangle formé par l'axe des abscisses et les
   tangentes à $P$ en $-1$ et $1$.
2. Posons $A=\int_{-1}^1P(x)\,dx$. On suppose
   $P=(X^2-1)\prod_{i\in I}(X-\lambda_i)$, avec $\lambda_i$ réels,
   distincts et différents de $\pm1$. Montrer que
   $$A\geq\frac43\prod_{i\in I}(\lambda_i^2-1).$$
3. En déduire que $A\geq2T/3$.
4. Ce résultat reste-t-il vrai si $P$ possède des racines non réelles ?
5. On suppose de plus $P$ concave sur $[-1,1]$. Soit $R$ l'aire du
   rectangle formé par l'axe des abscisses, $x=\pm1$ et la tangente
   horizontale de $P$ sur l'intervalle. Montrer que $A\leq cR$ pour une
   constante $c<1$ indépendante de $P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 297]
Soient $a<b$ et $E=C^0([a,b],\R)$. Posons
$$G=\{g\in C^2([a,b],\R)\mid g(a)=g(b)=g'(a)=g'(b)=0\}.$$
1. Pour $f\in E$ et $n\geq1$, montrer que
   $$h(x)=\int_a^x\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f(t)\,dt$$
   est de classe $C^n$ et $h^{(n)}=f$.
2. Montrer qu'il existe $g\in G$ telle que $f=g''$ si et seulement si
   $\int_a^bf(t)\,dt=\int_a^btf(t)\,dt=0$.
3. Montrer que, pour $f\in E$, $\int_a^bfg''=0$ pour tout $g\in G$ si
   et seulement si $f$ est affine.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 298]
Soit $f:\R_+\to\R_+$ continue telle que $\int_0^{+\infty}f=1$. Posons
$g(x)=\int_x^{+\infty}f$.
1. Montrer que $\int_0^{+\infty}xf(x)\,dx=\int_0^{+\infty}g(x)\,dx$.
2. Si $f$ est décroissante, montrer qu'il existe un unique $M>0$ tel que
   $\int_0^M f=1/2$.
3. Montrer que $\int_0^{+\infty}xf(x)\,dx\geq M$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 299]
On définit $f_1(x)=\sin x$ sur $]0,\pi[$, puis
$f_{n+1}(x)=\sin(f_n(x))$. Montrer que $(\sqrt n f_n)_{n\geq1}$ converge
simplement vers la fonction constante $\sqrt3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 300]
Soit $f:\R_+\to\R_+$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=0$ et
$$|f'(x)-k|\leq\mu x^\lambda,$$
avec $k\in]0,1[$ et $\lambda,\mu>0$. Posons $f_0=\operatorname{id}$,
$f_{n+1}=f\circ f_n$ et $x_n=f_n(x)$.
1. Montrer qu'il existe $a>0$ et $b\in]0,1[$ tels que, pour $x\in[0,a]$,
   $x_n\leq b^nx$.
2. Posons $g_n=f_n/k^n$. Montrer que, pour $x\in[0,a]$,
   $$\left|\frac{g_n'(x)}{g_{n+1}'(x)}-1\right|
   \leq\frac{\mu}{k}x^\lambda b^{\lambda n}.$$
3. Montrer qu'on peut choisir $a>0$ tel que $f_n'(x)>0$ sur $[0,a]$.
4. Montrer que $(g_n)$ et $(g_n')$ convergent uniformément sur $[0,a]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 301]
Soit
$$f(x)=\sum_{n\in\Z}\frac1{(x-n)^2+1}.$$
Montrer que $f$ n'est pas polynomiale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 302]
Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ une série entière à coefficients
réels, avec $a_0=1$ et rayon de convergence $R>0$. On suppose qu'il existe
$g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n$, de rayon de convergence positif, telle
que $f(x)(1-g(x))=1$ au voisinage de $0$.
1. Montrer que si tous les $b_n$ sont positifs, alors tous les $a_n le sont.
2. Trouver un exemple où tous les $a_n$ sont positifs et où au moins un
   $b_n$ est strictement négatif.
3. On suppose $a_{n+1}a_{n-1}\geq a_n^2$ pour tout $n\geq1$. Montrer que
   $b_n\geq0$ pour tout $n\geq1$.
4. On suppose, pour $x\in]-R,R[$,
   $$f(x)=1+\frac12\ln\left(\frac1{1-x}\right).$$
   Montrer que $b_n\geq0$ pour tout $n\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 303]
Soit $P=a_1X+\cdots+a_dX^d\in\R[X]$, avec $a_d\neq0$, et
$f(z)=e^{P(z)}$. On suppose que son développement en série entière
$f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_nz^n$ vérifie $c_n>0$ pour tout $n\geq0$.
1. Montrer que $a_d>0$ et $a_v>0$, où $v=\min\{i\mid a_i\neq0\}$.
2. Si $P=a_vX^v+a_mX^m+a_dX^d$ avec $v<m<d$, montrer que $a_m\geq0$.
   Indication : poser $\rho=e^{2i\pi/d}$ et considérer $f(\rho z)/f(z)$.
3. Pour le cas général, soit $m$ tel que $v<m<d$. On suppose $a_m<0$
   et que le pgcd des $i\geq m+1$ tels que $a_i\neq0$ ne divise pas
   $m$. Montrer qu'il existe $n\geq0$ tel que $c_n\leq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 304]
Posons
$$J(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(tx)}{1+t^2}\,dt.$$
1. Montrer que $J$ est de classe $C^1$ sur un domaine à préciser et
   exprimer $J'$.
2. Montrer que $\zeta(2)=\int_0^1\frac{\ln t}{t-1}\,dt$.
3. Montrer que $\zeta(2)=\pi^2/6$. Indication : considérer $J(1)-J(0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 305] [MPI]
Soit $k\in C^0([0,1]^2,\C)$ et $E=C^0([0,1],\C)$. Pour $f\in E$, on pose
$$v(f)(x)=\int_0^x k(x,y)f(y)\,dy.$$
1. Montrer que $v$ est un endomorphisme de $E$ dont l'unique valeur propre
   possible est $0$.
2. Si $k$ est à valeurs dans $\R_+^*$, montrer que les éléments non nuls
   du noyau de $v$ ne sont pas développables en série entière en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 306] [MPI]
Soit
$$E=\left\{f\in C^2(\R,\R)\mid
\sup_{x\in\R}(1+x^2)(|f(x)|+|f'(x)|+|f''(x)|)<+\infty\right\}.$$
1. Pour $t,x\in\R$ et $f\in C^1(\R,\R)$, poser
   $A_t(f)(x)=f'(x)+txf(x)$ et $A_t^*(f)(x)=-f'(x)+txf(x)$.
   Montrer que, pour tout $t\in\R$ et $f\in E$,
   $$\int_\R A_t^*(A_t(f))(x)f(x)\,dx\geq0.$$
2. Si $\int_\R f^2=1$, montrer que
   $$\left(\int_\R x^2f(x)^2\,dx\right)
   \left(\int_\R f'(x)^2\,dx\right)\geq\frac14.$$
3. Étudier les cas d'égalité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 307] [MPI]
1. Montrer que, pour tout $t\in[0,1[$,
   $$\int_0^{2\pi}\frac{e^{i\theta}}{1-te^{i\theta}}\,d\theta=0.$$
2. Montrer que, pour tout $z\in\C$,
   $$\int_0^{2\pi}\ln|e^{i\theta}-z|\,d\theta
   =2\pi\max(0,\ln|z|).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 308]
Soient $f,g\in C^2(\R,\R)$ et $S,T>0$. On suppose
$(f-g)(t)=o(e^{t/2})$ lorsque $t\to+\infty$, et que
$F=f''-f'+f$ est $T$-périodique et $G=g''-g'+g$ est $S$-périodique.
On suppose aussi que $F(t)-G(t)\to0$. Montrer que $f=g$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 309]
On considère l'équation fonctionnelle $u'(x)=u(x-x^2)$, où
$u:[0,1]\to\R$ est dérivable.
1. Montrer que si deux solutions coïncident sur $[0,\varepsilon]$ pour
   un $\varepsilon>0$, elles coïncident sur $[0,1]$.
2. Montrer qu'il existe une solution non nulle. Indication : considérer
   $u_0(x)=1$ et
   $$u_n(x)=1+\int_0^x u_{n-1}(t-t^2)\,dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 310]
Soient $\lambda\in]-1,1[$ et $F$ l'espace des fonctions dérivables
$f:\R\to\R$ vérifiant $f'(t)=e^tf(\lambda t)$ pour tout $t\in\R$.
1. Montrer que $F$ est de dimension $1$.
2. Majorer asymptotiquement aussi bien que possible les éléments de $F$
   lorsque $t\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 311]
Soit $M_0\in O_2(\R)$. Pour quels couples
$(A,B)\in\mathcal{M}_2(\R)^2$ la solution du problème de Cauchy
$M(0)=M_0$, $M'(t)=AM(t)B$ est-elle à valeurs dans $O_2(\R)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 312]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Pour l'équation différentielle
$M'(t)=AM(t)B$, donner une condition nécessaire et suffisante pour que
toutes les solutions soient bornées.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 313] [MPI]
Soient $A\in\mathcal{M}_n(\R)$, $B\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ et $T>0$.
On note $A_T$ l'ensemble des $v\in\R^n$ pour lesquels il existe
$u\in C^0([0,T],\R^p)$ et une solution de $X'=AX+Bu(t)$ telle que
$X(0)=0$ et $X(T)=v$. Montrer que $A_T=\R^n$ si et seulement si
$$M=(B\mid AB\mid A^2B\mid\cdots\mid A^{n-1}B)$$
est de rang $n$.
#+end_exercice

** Géométrie

#+begin_exercice [X 2026 # 314]
Quel est le périmètre maximal d'un triangle dont les sommets sont sur le
cercle unité ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 315] [MPI]
Soit $A_0A_1A_2$ un triangle du plan. On définit $A'_2$ comme le sommet
extérieur au triangle $A_0A_1A_2$ du triangle $A_0A_1A'_2$ isocèle en
$A'_2$, d'angle au sommet $2\pi/3$. On définit de même $A'_0,A'_1$ par
permutation circulaire. Montrer que $A'_0A'_1A'_2$ est équilatéral.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 316]
Soit $K$ un quadrilatère convexe de sommets $O,u,v,w$ dans le sens
trigonométrique, avec $v>0$. On note $A$ son aire.
1. Montrer que
   $$A^2=\frac{v^2}{4}\left(|w-u|^2-(\operatorname{Re}(w)-\operatorname{Re}(u))^2\right).$$
2. Montrer que
   $$A^2=\frac14\left(p^2q^2-\frac14(a^2-b^2+c^2-d^2)^2\right),$$
   où $a,b,c,d$ sont les longueurs des côtés dans le sens direct et
   $p,q$ celles des diagonales.
3. Si $K$ est inscriptible dans un cercle, montrer que $pq=ac+bd$.
   En notant $S=(a+b+c+d)/2$, montrer ensuite
   $$A^2=(S-a)(S-b)(S-c)(S-d).$$
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [X 2026 # 317]
1. Montrer qu'il existe deux multiensembles distincts de six entiers
   strictement positifs issus de $\{1,2,3,4,5,6\}$ tels que deux dés
   équilibrés construits avec leurs éléments donnent la même loi pour la
   somme que deux dés classiques.
2. Montrer que, pour $N$ assez grand, il existe deux dés pipés à $N$ faces,
   portant les entiers de $1$ à $N$, dont la somme suit la loi de la somme
   de deux dés équilibrés à $N$ faces.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 318]
Soit $\sigma$ uniforme sur $S_n$.
1. Pour $k,i\in\db{1,n}$, calculer la probabilité que $i$ appartienne à
   un cycle de longueur $k$ dans la décomposition de $\sigma$.
2. Si $X_k$ est le nombre de cycles de longueur $k$, montrer que
   $\E(X_k)=1/k$.
3. Soit $\alpha\in]0,1[$ et $p_n$ la probabilité que tous les cycles de
   $\sigma$ aient longueur au plus $\alpha n$. Montrer qu'il existe
   $C_\alpha>0$ tel que $p_n\geq C_\alpha$ pour $n$ assez grand.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 319]
On fixe $N\geq1$. Soit $U_1$ uniforme sur $\db{1,N}$ et, pour $n\geq1$,
$U_{n+1}$ uniforme sur $\db{1,U_n}$. Posons $E_N=\{U_j\mid j\geq1\}$.
1. Montrer que $\P(1\in E_N)=1$.
2. Calculer $\P(k\in E_N)$ pour $1\leq k\leq N$.
3. Montrer que les événements $(k\in E_N)$ sont indépendants.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 320]
Soient $p\in]0,1[$ et $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. de loi de Bernoulli
$B(p)$. Posons $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et
$$T_n=\inf\{m\in\N\mid|\{i\in\db{1,m}:X_i=0\}|\geq n\}.$$
1. Montrer que $(S_n\geq k)=(T_{n-k+1}\geq n+1)$.
2. En déduire
   $$\P(S_n\geq k)=\binom n{n-k}(1-p)^{n-k+1}p^k
   \sum_{\ell\geq0}\frac{(n+1)\cdots(n+\ell)}{(k+1)\cdots(k+\ell)}p^\ell.$$
3. En déduire que, si $p=1/2$ et $j\geq3$,
   $$\P(S_{nj}\leq n)\sim2^{-nj}\binom{nj}{n}\frac{j-1}{j-2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 321]
Soit $X=(X_1,\ldots,X_n)^T$ un vecteur aléatoire à composantes i.i.d.
dans $L^4$, à valeurs dans $\R$, avec $\E(X_1)=0$ et
$\V(X_1^2)=\V(X_1)=1$. Soient $F\subset\R^n$ de dimension $k$ et $P$
la matrice de la projection orthogonale sur $F^\perp$.
1. Justifier que $d(X,F)^2=X^TPX$ et montrer que
   $\E(d(X,F)^2)=n-k$.
2. Montrer que $\V(d(X,F)^2)\leq n-k$.
3. Si $\lambda\geq1$, montrer que
   $$\P\left(|d(X,F)-\sqrt{n-k}|\geq\lambda\right)\leq\frac2{\lambda^2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 322]
Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe des
variables aléatoires $X,X_1,X_2$ telles que $X=aX_1+bX_2$, avec
$X\sim\mathcal{P}(\nu)$, $X_1\sim\mathcal{P}(\lambda)$,
$X_2\sim\mathcal{P}(\mu)$, et $X_1,X_2$ indépendantes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X 2026 # 323]
Pour $k,n\geq1$, on note
$$B_{k,n}=\{p\in\mathbb{P}\mid p\leq n^{1/10},\ p\mid k\},$$
et $X_n$ uniforme sur $\db{1,n}$.
1. Montrer que
   $$\E(|B_{X_n,n}|)=\sum_{p\in\mathbb{P},p\leq n^{1/10}}\frac1p+O(n^{-9/10}).$$
2. Montrer que
   $$\V(|B_{X_n,n}|)=\sum_{p\in\mathbb{P},p\leq n^{1/10}}
   \left(\frac1p-\frac1{p^2}\right)+O(n^{-8/10}).$$
3. Si $\nu(x)=|\{p\in\mathbb{P}\mid p\mid x\}|$ et $a_n\to+\infty$,
   montrer que
   $$\P\left(|\nu(X_n)-\ln\ln n|\geq a_n\sqrt{\ln\ln n}\right)\to0.$$
   On pourra utiliser $\sum_{p\leq n,\ p\in\mathbb{P}}1/p=\ln\ln n+O(1)$.
#+end_exercice

* X PSI                                                               :autre:

** Algèbre

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 324]
Soit $n\in\N^*$. Résoudre dans $\R$ l'équation
$$\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom n{2k}(-1)^kx^{2k}=0.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 325]
Soit $P\in\C[X]$. Montrer que $P(X)-X$ divise $P(P(X))-X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 326]
Soit $P\in\R[X]$ sans racine réelle multiple. Quel est le nombre maximal
de racines réelles multiples de $Q=P(X^3-X)$ ? Donner un polynôme $Q$
réalisant ce maximum.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 327]
Soit $P_n(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0$, avec $a_0\neq0$, et
$$Q_n(X)=X^n-|a_{n-1}|X^{n-1}-\cdots-|a_0|.$$
1. Montrer qu'il existe un unique $\rho>0$ tel que $Q_n(\rho)=0$.
2. Si $P_n(z)=0$, montrer que $|z|\leq\rho$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 328]
Soit $E$ de dimension $n$ et $F_1,F_2$ deux sous-espaces vectoriels de
$E$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $F_1,F_2$ pour
qu'ils admettent un supplémentaire commun.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 329]
Déterminer les fonctions $\varphi:\mathcal{M}_n(\R)\to\R_+$ telles que
$$\varphi(AB)=\varphi(A)\varphi(B)$$
pour toutes matrices $A,B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 330]
1. Soient $p\geq1$ et $\lambda,\mu\in\C$ distincts. Montrer qu'il existe
   $a,b_1,\ldots,b_p\in\C$ tels que
   $$1=a(X-\mu)^p+\sum_{k=1}^pb_k(X-\lambda)^k.$$
2. Si $A\in\mathcal{M}_d(\C)$ vérifie $(A-I_d)^2A=0$, calculer $A^n$.
3. Si $\C^d=\ker((A-I_d)^2)\oplus\ker((A-2I_d)^2)$, expliciter la
   matrice du projecteur sur $\ker((A-I_d)^2)$ parallèlement à
   $\ker((A-2I_d)^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 331]
Soit $\Phi:\R_n[X]\to\R_n[X]$, $\Phi(P)=X^nP(1/X)$.
1. $\Phi$ est-il diagonalisable ?
2. Trouver une base de vecteurs propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 332]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ et $T:M\mapsto AM$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$.
1. Si $A$ est diagonalisable, montrer que $T$ l'est aussi et expliciter
   une base de diagonalisation à partir de celle de $A$.
2. Étudier la réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 333]
Soit $P=X^7+2X^6+4X^5+4X^4+4X^3+2X^2+X$. Déterminer
$$\{M\in\mathcal{M}_n(\R)\mid M\text{ est diagonalisable sur }\R, P(M)=0\}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 334]
Soit $d\geq1$ et $T:\C^d\to\C^d$ défini par
$$T((z_k)_{0\leq k<d})=
\left(\sum_{k=0}^{d-1}z_ke^{2ikn\pi/d}\right)_{0\leq n<d}.$$
Déterminer les valeurs propres de $T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 335]
Soient $H_1,\ldots,H_k$ des hyperplans d'un espace euclidien $E$ et
$H_i=\ker\varphi_i$, où $(\varphi_i)$ est une famille libre. Soit $s_i$
la symétrie orthogonale par rapport à $H_i$ et
$S=s_k\circ\cdots\circ s_1$. Montrer que
$$H_1\cap\cdots\cap H_k=\{x\in E\mid S(x)=x\}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 336]
Soient $A\in\mathcal{S}_n(\R)$, $U\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ et
$B=UU^T$. Comparer les valeurs propres de $A$ et $A+B$.
Indication : montrer que $\det(I_n+UV^T)=1+V^TU$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 337]
Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ et $\varphi:X\mapsto AXA$ sur
$\mathcal{M}_n(\R)$. Exprimer $\det\varphi$ en fonction de $\det A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 338]
Soient $X,Y\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$. Étudier l'existence et
l'éventuelle unicité de $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ tel que $AXA=Y$.
Indication : commencer par le cas $Y=I_n$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 339]
Soient $\psi,\chi\in C^\infty(\R_+,\R_+)$ vérifiant
$\psi=1$ sur $[0,1]$, $\psi=0$ sur $[2,+\infty[$, $\chi=0$ sur
$[0,1]\cup[4,+\infty[$, et
$$1=\psi(x)+\sum_{n=0}^{+\infty}\chi(x/2^n).$$
1. Dessiner $\psi,\chi$ et $x\mapsto\chi(x/2^n)$.
2. Exprimer $\chi$ en fonction de $\psi$.
3. Pour $E$ l'ensemble des fonctions continues de carré intégrable sur
   $\R_+$, montrer l'équivalence des normes
   $$\|f\|^2=\int_0^\infty|f(x)|^2\psi(x)^2dx+
   \sum_{n=0}^\infty\int_0^\infty|f(x)|^2\chi(x/2^n)^2dx,
   \quad \|f\|_{L^2}^2=\int_0^\infty|f(x)|^2dx.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 340]
Déterminer l'adhérence de
$$\left\{\frac1n+\frac1m\mid n,m\in\N^*\right\}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 341]
On admet que $\pi$ est irrationnel. Déterminer l'adhérence de
$A=\{\sin(n)\mid n\in\N\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 342]
1. Soit $(x_n)\in\R^\N$ telle que $x_{n+1}-x_n\to0$. Si $a<b$ sont
   deux valeurs d'adhérence, montrer que tout élément de $[a,b]$ est une
   valeur d'adhérence.
2. Soient $f\in C^0(\R,\R)$ et $x_{n+1}=f(x_n)$ avec
   $x_{n+1}-x_n\to0$. Montrer que $(x_n)$ a au plus une valeur d'adhérence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 343]
Soit $E$ un espace vectoriel réel. Montrer que deux normes $N_1,N_2$ sur
$E$ sont égales si et seulement si elles ont la même boule unité ouverte.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 344]
Soit $f\in C^0(\R,\R)$ $1$-périodique. Que vaut l'adhérence de
$\{f(\sqrt n)\mid n\in\N\}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 345]
Soient $d\geq1$ et $(A_k)_{k\in\N}\in(\mathcal{S}_d^+(\R))^\N$.
On pose $\|A_k\|_2=\operatorname{Tr}(A_kA_k^T)$.
1. Comparer la nature des séries $\sum\|A_k\|$ et
   $\sum\operatorname{Tr}(A_k)$.
2. Montrer que $I_d+A_k$ est inversible pour tout $k$.
3. Montrer que $\sum\operatorname{Tr}(I_d-(I_d+A_k)^{-1})$ converge si
   et seulement si $\sum\|A_k\|$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 346]
Soit $(u_n)$ telle que $(e^{iu_n})$ et $(e^{\sqrt2iu_n})$ convergent.
Montrer que $(u_n)$ admet au plus une valeur d'adhérence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 347]
Donner une fonction de $[0,1]$ dans $\R$ continue en les irrationnels et
discontinue en les rationnels.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 348]
Pour $n\geq1$, poser
$$I_n=\int_0^{+\infty}e^{-nx^2}\cos(nx)\,dx.$$
Montrer que $I_n=o(n^{-\alpha})$ pour tout $\alpha>0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 349]
1. Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\int_0^n\cos^n(x/n)\,dx$.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha\in\R$ pour
   que la suite $\left(\int_0^n\cos^n(x^\alpha/n)\,dx\right)$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 350]
Soient $k\in\R$ et $f_k(x,y)=x^2+(x-k)y-y^3$. Déterminer les extrema
de $f_k$ selon les valeurs de $k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 351]
Soit $f(x,y)=(xy-y^2)|y^2-x|$. Déterminer les extrema locaux de $f$.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 352]
Un promeneur se déplace entre trois sites $A,B,C$. À l'instant initial,
il est en $A$ ; à chaque instant, il reste sur place avec probabilité
$2/3$, ou rejoint chacun des deux autres sites avec probabilité $1/6$.
1. Déterminer les probabilités qu'il soit en $A,B,C$ à l'instant $n$.
2. La suite de ces probabilités possède-t-elle une limite ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 353]
Soit $K>0$ et $f:[0,1]\to\R$ $K$-lipschitzienne. Pour $x\in[0,1]$,
soit $X_n^x\sim B(n,x)$ et posons $f_n(x)=\E(f(X_n^x/n))$.
1. Comment $f_n$ dépend-elle de $x$ ?
2. Montrer que $|f_n(x)-f(x)|\to0$ pour tout $x\in[0,1]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 354]
1. Soit $(u_n)$ une suite positive sous-additive :
   $u_{n+m}\leq u_n+u_m$. Montrer que $u_n/n$ converge vers
   $\inf_{k\geq1}u_k/k$.
2. On considère une marche aléatoire simple sur $\Z^3$ et note $p_n$ la
   probabilité que le chemin de longueur $n$ soit auto-évitant. Montrer que
   $p_{n+m}\leq p_np_m$. Que peut-on en déduire sur $(p_n^{1/n})$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [X PSI 2026 # 355]
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans un ensemble fini
$A\subset\Z$. Posons $f_X(t)=\E(e^{-2i\pi tX})$.
1. Exprimer $\P(X=k)$ à l'aide d'une intégrale faisant intervenir $f_X$.
2. Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. de loi de Rademacher et
   $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner un équivalent de $\P(S_{2n}=0)$ sans
   utiliser la formule de Stirling.
#+end_exercice

* X – ESPCI – PC                                                      :autre:

** Algèbre

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 356]
Montrer qu'il existe une infinité de points à coordonnées décimales sur
le cercle unité de $\R^2$. Indication : commencer par montrer qu'il y a
une infinité de points à coordonnées rationnelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 357]
Soient $z_1,\ldots,z_n\in\C$ distincts et
$(u_1,\ldots,u_n),(w_1,\ldots,w_n)\in\C^n$. Montrer qu'il existe un
unique $P\in\C[X]$ de degré strictement inférieur à $2n$ tel que
$P(z_k)=u_k$ et $P'(z_k)=w_k$ pour tout $k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 358]
Déterminer les polynômes $P\in\C[X]$ tels que $P(X^2)=P(X)P(X-1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 359]
Soit $N\in\N$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_N\in\R[X]$
tel que, pour tout $n\in\N$,
$$P_N(n)=\sum_{k=1}^nk^N.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 360]
Déterminer les $P\in\C[X]$ vérifiant
$$P(P''(X))=(P(X+1)-P(X)-P'(X))^2.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 361]
Soit $\mathbb{U}=\{z\in\C\mid|z|=1\}$. Déterminer les $P\in\C[X]$
tels que $P(\mathbb{U})\subset\mathbb{U}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 362]
Soit $P\in\Z[X]$ unitaire dont les racines sont non nulles et de module
au plus $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 363]
On définit $D:\R[X]\to\R[X]$ par $D(P)=P(X+1)-P(X)$.
1. Déterminer l'image et le noyau de $D$.
2. Montrer qu'il existe une unique base $(H_n)$ de $\R[X]$ telle que
   $H_0=1$ et, pour $n\geq1$, $H_n(0)=0$ et $D(H_n)=H_{n-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 364]
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$.
Montrer l'équivalence entre $f^2=0$ et l'existence d'un projecteur
$p\in\mathcal{L}(E)$ tel que $f=p\circ f-f\circ p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 365]
Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$.
Déterminer un équivalent de $\operatorname{Tr}(A^n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 366]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_2(\Z)$ telles que $A+kB$ soit inversible à
inverse entière pour tout $k\in\{0,1,2,3,4\}$. Montrer que $A+5B$ est
inversible à inverse entière. Généraliser à $\mathcal{M}_n(\Z)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 367]
Soient $n>m$ et $M\in\mathcal{M}_{n,m}(\Z)$. Montrer qu'il existe
$X\in\Z^n\setminus\{0\}$ tel que $MX=0$ et
$$\|X\|_\infty\leq(n\|M\|_\infty)^{m/(n-m)}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 368]
Soient $n\geq2$ et $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$.
1. Montrer que $e^A=\sum_{k=0}^{+\infty}A^k/k!$ est bien définie.
2. Si $A$ est diagonalisable, que dire de $e^A$ ?
3. Pour $A=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ et
   $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, calculer $e^A,e^B,e^{A+B}$.
4. Même question avec
   $A=\begin{pmatrix}-1&0\\-2&0\end{pmatrix}$ et
   $B=\begin{pmatrix}-2&0\\-2&-1\end{pmatrix}$.
5. Si $AB=BA$, montrer que $e^{A+B}=e^Ae^B$. La réciproque est-elle vraie ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 369]
Pour $A\in\mathcal{M}_n(\C)$, on pose $\exp(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}A^k/k!$.
1. Montrer que $\exp(A)$ est bien définie.
2. Si $A=I_n+M$ avec $M$ nilpotente, montrer qu'il existe $P\in\C[X]$
   tel que $M=\exp(P(M))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 370]
Soit $A=(a_{i,j})\in\operatorname{GL}_n(\C)$ et
$d_k=\det((a_{i,j})_{1\leq i,j\leq k})$. Montrer l'équivalence entre :
1. $d_k\neq0$ pour tout $k\in\db{1,n}$ ;
2. il existe une matrice triangulaire inférieure $L$ à diagonale unité et
   une matrice triangulaire supérieure $U$ telles que $A=LU$.
Montrer aussi l'unicité de cette décomposition.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 371]
Soient $m,n\geq1$, $m\leq n$, $I$ non vide et $(V_i)_{i\in I}$ une
famille de sous-espaces de $\R^n$ tels que $\dim V_i=m$ et
$\dim(V_i\cap V_j)=m-1$ si $i\neq j$. Montrer qu'il existe soit un
sous-espace de dimension $m-1$ contenu dans tous les $V_i$, soit un
sous-espace de dimension $m+1$ contenant tous les $V_i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 372]
Soient $A,B,C,D\in\mathcal{M}_n(\C)$.
1. Les matrices
   $$\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix},\quad
   \begin{pmatrix}D&C\\B&A\end{pmatrix},\quad
   \begin{pmatrix}A&-B\\-C&D\end{pmatrix}$$
   sont-elles semblables ?
2. Montrer que le polynôme caractéristique de
   $\begin{pmatrix}A&B\\-B&A\end{pmatrix}$ est à coefficients réels.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 373]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer qu'il existe
$P,Q\in\operatorname{GL}_n(\C)$ tels que $PAQ$ et $PBQ$ soient
triangulaires supérieures.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 374]
Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&1&1\end{pmatrix}$.
Déterminer la limite puis un équivalent de $(\operatorname{tr}(A^n))_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 375]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ et $u:M\mapsto AM-MB$.
1. Si $\lambda\in\operatorname{Sp}(A)$ et $\mu\in\operatorname{Sp}(B)$,
   montrer que $\lambda-\mu\in\operatorname{Sp}(u)$.
2. Si $P\in\C[X]$, $\alpha\in\operatorname{Sp}(u)$ et $M$ est un
   vecteur propre associé, montrer que $P(A)M=MP(B+\alpha I_n)$.
3. Si $\alpha\in\operatorname{Sp}(u)$, montrer qu'il existe
   $\lambda\in\operatorname{Sp}(A)$ et $\mu\in\operatorname{Sp}(B)$
   tels que $\alpha=\lambda-\mu$. Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 376]
1. Montrer que toute $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ est limite d'une suite de
   matrices diagonalisables. En déduire une démonstration du théorème de
   Cayley-Hamilton.
2. Toute matrice réelle est-elle limite d'une suite de matrices réelles
   diagonalisables ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 377]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que
$\operatorname{rg}(AB-BA)\leq1$. Montrer que $A$ et $B$ sont
cotrigonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 378]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$, $\mu=(X-\alpha)^2(X-\beta)$, avec
$\mu(A)=0$ et le degré minimal d'un polynôme complexe non nul annulant
$A$ égal à $3$.
1. Montrer qu'il existe un unique $(a,b,c)\in\R^3$ tel que
   $$(aA+bI_n)(A-\beta I_n)+c(A-\alpha I_n)^2=I_n.$$
2. Poser $P_\alpha=(aA+bI_n)(A-\beta I_n)$ et
   $P_\beta=c(A-\alpha I_n)^2$. Montrer que $P_\alpha P_\beta=0$ et que
   ces matrices sont des projecteurs. Déterminer leurs espaces propres.
3. Montrer que $\alpha P_\alpha+\beta P_\beta$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 379]
Soit $n\geq1$. Quels $\alpha\in\R$ existent tels qu'on puisse trouver
des vecteurs unitaires $x_1,\ldots,x_{n+1}\in\R^n$ vérifiant
$\langle x_i,x_j\rangle=\alpha$ pour tous $i<j$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 380]
Soit $P\in\mathcal{M}_{n,m}(\R)$ telle que $P^TP=I_m$. Que peut-on dire
de $m,n$ ? Interpréter géométriquement $P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 381]
Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthogonale de $\R^n$. Pour un sous-espace
$W$, on note $p_W$ la projection orthogonale sur $W$. Soit $m\in\db{1,n}$.
Montrer l'équivalence entre :
1. Il existe $W$ de dimension $m$ tel que $\|p_W(e_i)\|=\|p_W(e_1)\|$
   pour tout $i$.
2. Pour tout $i$,
   $$\|e_i\|^2\sum_{j=1}^n\|e_j\|^{-2}\geq m.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 382]
Soit $n\geq2$. Pour $w\in\R^n$, soit $H_w$ la symétrie orthogonale par
rapport à $(\operatorname{Vect}(w))^\perp$. Montrer que, si $v\neq0$ et
$e$ est unitaire, alors $H_{v-\|v\|e}(v)=\|v\|e$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 383]
Soit $E$ un espace euclidien, $v_1,\ldots,v_p$ des vecteurs unitaires et
$\alpha_1,\ldots,\alpha_p>0$ tels que $\sum_i\alpha_iv_i=0$. Montrer que
$$\left\|\sum_{i=1}^pv_i\right\|\leq p-2,$$
et que cette inégalité ne peut pas être améliorée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 384]
Soit $E$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$ et $B\in\R^n$.
1. Montrer que $\inf_{X\in E}\|X-B\|$ est un minimum, atteint en un
   unique point à expliciter.
2. Soient $A\in\mathcal{M}_{n,q}(\R)$ et $F\subset\R^q$ un sous-espace.
   Montrer que $\inf_{X\in F}\|AX-B\|$ est atteint. Si le minimum est
   atteint en $X_0$, montrer que l'ensemble des minimiseurs est
   $X_0+\ker A$.
3. Montrer que $A^TAX=A^TB$ admet une solution et que son ensemble de
   solutions est l'ensemble des minimiseurs de $X\mapsto\|AX-B\|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 385]
Soient $E,F$ euclidiens et $L\in\mathcal{L}(E,F)$. La restriction de $L$
à $(\ker L)^\perp$ est un isomorphisme sur $\operatorname{Im}L$.
Notons $M$ cette restriction, $\pi$ le projecteur orthogonal sur
$\operatorname{Im}L$ et $L^+=M^{-1}\circ\pi$.
1. Montrer que $L^+L$ est le projecteur orthogonal sur $(\ker L)^\perp$.
2. Montrer que $LL^+=\pi$.
3. Pour $b\in F$, montrer que $\inf_{x\in E}\|L(x)-b\|$ est atteint
   en $L^+(b)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 386]
1. Soit $A\in\mathcal{A}_n(\R)$. Montrer que ses valeurs propres sont
   imaginaires pures.
2. Montrer que $x\mapsto(1-ix)/(1+ix)$ est une bijection de $\R$ sur
   $\mathbb{U}\setminus\{-1\}$.
3. Pour $A\in\mathcal{A}_n(\R)$, poser
   $g(A)=(I_n-A)(I_n+A)^{-1}$. Déterminer l'image de $g$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 387]
Posons $E_n=\{M\in\mathcal{S}_n^+(\R)\mid\operatorname{Tr}M=1\}$.
1. Montrer que $E_n$ est convexe.
2. Montrer que tout projecteur orthogonal de rang $1$ appartient à $E_n$.
3. Montrer que ces projecteurs sont exactement les matrices de rang $1$
   de $E_n$.
4. Pour $M\in E_n$, montrer l'équivalence entre l'existence d'un
   unitaire $U$ tel que $\langle U,MU\rangle=1$ et le fait que $M$ soit
   un projecteur orthogonal de rang $1$.
5. Montrer que les points extrémaux de $E_n$ sont exactement ces projecteurs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 388]
Soit $M=(m_{i,j})\in\mathcal{S}_n^+(\R)$ dont les coefficients sont non
nuls. On suppose que $N=(1/m_{i,j})$ appartient aussi à $\mathcal{S}_n^+(\R)$.
Montrer que $M$ est de rang $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 389]
1. Pour $V\in\R^n\setminus\{0\}$, poser
   $H(V)=I_n-2VV^T/\|V\|^2$. Caractériser géométriquement $H(V)$.
2. Si $e$ est unitaire, montrer que $H(V-\|V\|e)V=\|V\|e$.
3. En déduire un algorithme de décomposition QR de toute matrice
   inversible $A$, avec $Q$ orthogonale et $R$ triangulaire supérieure
   à diagonale positive.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 390]
Soit $\rho\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ telle que $\operatorname{tr}(\rho)=1$.
Posons $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(\rho A^TB)$ sur
$\mathcal{M}_n(\R)$.
1. Montrer que cela définit un produit scalaire.
2. Déterminer une base orthonormée contenant $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 391]
Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ de valeurs propres
$\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. Pour un sous-espace $M$, posons
$$\mu(M)=\inf\{\langle Au,u\rangle\mid u\in M,\ \|u\|=1\}.$$
1. Montrer que la borne inférieure est atteinte.
2. Si $G_k$ est l'ensemble des sous-espaces de dimension $k$, montrer que
   $$\lambda_k=\max\{\mu(M)\mid M\in G_{n+1-k}\}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 392]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que, pour tout $X\in\C^n$,
les égalités $X^TAX=0$ et $X^TBX=0$ impliquent $X=0$. Montrer qu'il
existe $P\in\operatorname{GL}_n(\C)$ tel que $P^TAP$ et $P^TBP$ soient
triangulaires supérieures.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 393]
Soit $E$ un espace vectoriel normé réel et posons
$$\eta=\sup_{(u,v)\neq(0,0)}
\frac{\|u+v\|^2+\|u-v\|^2}{2(\|u\|^2+\|v\|^2)}.$$
Montrer que $\eta=1$ si et seulement si la norme est associée à un
produit scalaire.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 394]
On munit $\ell_1(\R)=\{u=(u_n)\mid\sum|u_n|<+\infty\}$ de sa norme
naturelle. Montrer que toute suite de Cauchy de $\ell_1(\R)$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 395]
On note $\ell'_1$ le dual continu de $\ell_1(\R)$, muni de sa norme
d'opérateur, et $\ell_\infty(\R)$ l'espace des suites bornées. Pour
$v\in\ell_\infty$, poser $F(v)(u)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n$.
Montrer que $F$ est une isométrie bijective de $\ell_\infty$ sur $\ell'_1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 396]
Soit $V$ un espace vectoriel réel et $T:V\to V$ additive. On suppose $T$
bornée sur la boule unité. Montrer que $T$ est un endomorphisme continu
de $V$. Que peut-on dire de $T$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 397]
Soit $E$ un espace vectoriel normé et $\mathcal{L}_c(E)$ l'espace des
endomorphismes continus.
1. Pour $f\in\mathcal{L}_c(E)$, poser
   $N(f)=\sup_{x\neq0}\|f(x)\|/\|x\|$. Montrer que $N(f)$ est définie.
2. Montrer que $N$ est une norme et que $N(f\circ g)\leq N(f)N(g)$.
3. Si $f\circ g-g\circ f=\lambda\operatorname{id}$, montrer que
   $\lambda=0$ lorsque $E$ est de dimension finie, puis lorsque $f,g$
   sont continus.
4. Pour $E=\R[X]$, $f(P)=P'$ et $g(P)=XP$, montrer qu'il n'existe pas
   de norme rendant $f$ et $g$ continus.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 398]
Soit $F_0=F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.
1. Montrer que tout entier naturel s'écrit comme somme de termes $F_i$
   distincts.
2. Montrer que tout entier naturel s'écrit comme somme de puissances de
   $2$ distinctes.
3. Généraliser à d'autres suites d'entiers.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 399]
Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}n^2\sum_{k=0}^{n^2}\frac1{k^2+n^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 400]
Déterminer les réels $x$ qui s'écrivent
$$x=\sum_{i=1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_i}{i},\qquad
\varepsilon_i\in\{0,1\}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 401]
Déterminer les réels qui s'écrivent
$$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\varepsilon_n}{n^2},\qquad
\varepsilon_n\in\{0,1\}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 402]
Soient $(c_n)$ une suite bornée d'entiers naturels non nuls et $(t_n)$
une suite strictement croissante d'entiers, avec $t_0\geq2$. On pose
$$S=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{c_n}{\prod_{k=0}^nt_k}.$$
1. Montrer que $S$ est bien définie et irrationnelle.
2. Que dire si les $c_n$ sont des entiers relatifs non nuls ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 403]
Soit $f\in C^0(\R,\R)$ telle que
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)\leq\frac{f(x)+f(y)}2.$$
Montrer que $f$ est convexe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 404]
Montrer qu'il n'existe pas de fonction $f:\R\to\R$ telle que
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right)+|x-y|\leq\frac{f(x)+f(y)}2$$
pour tous $x,y\in\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 405]
Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^2$, avec $f(0)=0$ et $f''(x)>0$ sur
$]0,1[$.
1. Montrer qu'il existe $\alpha\in]0,1[$ tel que $f'(\alpha)<f(1)$.
2. Montrer qu'il existe un unique $\beta\in]\alpha,1[$ tel que
   $f'(\alpha)=f(\beta)/\beta$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 406]
Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f\geq0$ et $f''$ bornée. Montrer que
$$|f'(x)|\leq\sqrt{2\|f''\|_\infty f(x)}$$
pour tout $x\in\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 407]
Montrer que
$$\sqrt{\frac3\pi+\frac{10\sqrt{10}}{3\cdot6^3\cdot\pi}}\leq1.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 408]
1. Soient $\varphi\in C^\infty([a,b],\R)$ et $\lambda>0$. On suppose
   $|\varphi'|\geq1$ et $\varphi'$ monotone. Montrer qu'il existe une
   constante universelle $C$ telle que
   $$\left|\int_a^be^{i\lambda\varphi(x)}dx\right|\leq C/\lambda.$$
2. Pour $k\geq2$, montrer qu'il existe $C_k$ tel que, si
   $|\varphi^{(k)}|\geq1$,
   $$\left|\int_a^be^{i\lambda\varphi(x)}dx\right|\leq C_k\lambda^{-1/k}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 409]
Déterminer un équivalent de $\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,dt$
lorsque $x\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 410]
Soient $\alpha,\beta,\gamma\in\R$ avec $\alpha>0$. Étudier la
convergence et calculer
$$\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-\alpha t^2+\beta t+\gamma}\,dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 411]
Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f^2$ et $(f'')^2$ soient intégrables.
Montrer que $(f')^2$ est intégrable et que
$$\left(\int_\R(f')^2\right)^2\leq
\left(\int_\R f^2\right)\left(\int_\R(f'')^2\right).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 412]
Soient $f:\C\to\C$ continue et $\gamma:[a,b]\to\C$ continue, $C^1$ par
morceaux. On définit $\int_\gamma f(z)\,dz$ par paramétrisation.
1. Si $f$ est développable en série entière et $\gamma(a)=\gamma(b)$,
   montrer que $\int_\gamma f(z)\,dz=0$.
2. Pour $f(z)=\exp((i-1)z^2)$ et $\gamma_R(t)=Re^{it}$ sur
   $[0,\pi/8]$, montrer que $\int_{\gamma_R}f(z)\,dz\to0$.
3. Calculer $\int_0^\infty e^{-t^2}\cos(t^2)dt$ et
   $\int_0^\infty e^{-t^2}\sin(t^2)dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 413]
1. Si $f:[a,b]\to\R$ est $C^1$, montrer que les intégrales de
   $f(t)\cos(nt)$ et $f(t)\sin(nt)$ tendent vers $0$.
2. Pour $x\in]0,2\pi[$, montrer que
   $$\sum_{n=1}^N\frac{\sin(nx)}n\longrightarrow\frac{\pi-x}{2}.$$
3. Montrer que
   $$\sum_{n=1}^N\frac{\sin(nx)}n=
   \int_0^{(N+1/2)x}\frac{\sin y}{y}dy-\frac{x}{2}+o(x)\quad(x\to0).$$
4. Montrer que le supremum de l'erreur entre la somme et $(\pi-x)/2$
   sur $x\in]0,2\pi[$ et $N\geq1$ est au moins $0,27$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 414]
1. Calculer $A_n=\int_0^\infty t^ne^{-t}\cos t\,dt$ et
   $B_n=\int_0^\infty t^ne^{-t}\sin t\,dt$.
2. Montrer qu'il existe $f\in C^0(\R_+,\R)$ non nulle telle que
   $\int_0^\infty t^nf(t)dt=0$ pour tout $n\in\N$.
3. Montrer qu'il n'existe pas de telle fonction non nulle continue sur
   $[0,1]$ avec les intégrales prises sur $[0,1]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 415]
Soit $f\in C^0(\R,\C)$ limite uniforme d'une suite de fonctions
polynomiales. Montrer que $f$ est polynomiale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 416]
Soit $f:\R\to\C$ continue telle qu'il existe $M\geq0$ vérifiant
$|f(x+y)-f(x)-f(y)|\leq M$ pour tous $x,y\in\R$.
1. Poser $g_n(x)=f(2^nx)/2^n$. Montrer que $(g_n)$ converge uniformément
   vers une fonction continue $g$.
2. Montrer que $f$ est somme d'une fonction affine et d'une fonction
   bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 417]
On donne $\sum_{n=1}^\infty1/n^4=\pi^4/90$.
1. Calculer $\int_{-\pi}^{\pi}\cos(nx)\cos(mx)dx$.
2. Pour $x\in\R$, poser
   $$g(x)=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2}\cos(nx).$$
   Calculer $\int_{-\pi}^{\pi}g(x)^2dx$.
3. Calculer $\int_{-\pi}^{\pi}(x^2-g(x))^2dx$ et conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 418]
Quel est le rayon de convergence maximal de $\sum a_nz^n$ lorsque $(a_n)$
est une suite entière non presque nulle ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 419]
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite complexe telle que $\sum a_n$ converge.
Posons $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. Déterminer
$\lim_{x\to1^-}f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 420]
L'abscisse de convergence de $f$ est
$\inf\{\alpha\in\R\mid e^{-\alpha t}f(t)\text{ est bornée}\}$.
Soient $\alpha\in\R$ et $f$ d'abscisse strictement inférieure à $\alpha$.
Pour $s>\alpha$, poser $L(f)(s)=\int_0^\infty f(t)e^{-st}dt$.
1. Calculer $L(f)$ pour $f(t)=t^n$, $e^t$, $te^t$.
2. Si $f\in C^n(\R_+)$ et les $f^{(k)}$ ont abscisse de convergence
   strictement inférieure à $\alpha$, calculer $L(f^{(n)})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 421]
Soient
$$f(x)=\left(\int_0^xe^{-t^2}dt\right)^2,\qquad
g(x)=\int_0^1\frac{e^{-(1+t^2)x^2}}{1+t^2}dt.$$
1. Montrer que $f$ et $g$ sont $C^1$ et calculer leurs dérivées.
2. Montrer que $g'=-f'$.
3. En déduire $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 422]
Soit $f:\R\to\R$ continue et bornée. Pour $t>0$, poser
$$P_t(f)(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)\frac1{\sqrt{2\pi t}}
e^{-(x-y)^2/(2t)}dy.$$
1. Montrer que $P_t(f)$ est bien définie.
2. Montrer que $P_t(f)(x)\to f(x)$ lorsque $t\to0^+$.
3. Si $f\in C^3$ et ses dérivées jusqu'à l'ordre $3$ sont bornées,
   montrer que $(P_t(f)(x)-f(x))/t\to f''(x)/2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 423]
1. Soit $P\in\C[X]$ sans racine de module $r$. Montrer que
   $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
   \frac{P'(re^{i\theta})}{P(re^{i\theta})}re^{i\theta}d\theta$$
   est le nombre de racines de $P$ de module inférieur à $r$, comptées
   avec multiplicité.
2. Si $|Q(z)|<|P(z)|$ sur le cercle de rayon $r$, montrer que $P$ et
   $P+Q$ ont le même nombre de racines dans le disque de rayon $r$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 424]
Pour $f\in L^1(\R,\C)$, poser
$$\widehat f(y)=\int_\R f(x)e^{-iyx}\,dx.$$
On admet Plancherel : si $f\in L^1\cap L^2$, alors
$\widehat f\in L^2$ et $\int|\widehat f|^2=2\pi\int|f|^2$.
Soit $f\in C^1(\R,\C)$ telle que $xf(x),xf'(x)\in L^2$. Poser
$$\Delta_f=\int_\R|xf(x)|^2dx,\qquad c=\int_\R|f(x)|^2dx.$$
1. Montrer que $f\in L^2$ et $x\mapsto x(f(x))^2\in L^1$.
2. Montrer que $f,f'\in L^1$.
3. Montrer que $f(x),f'(x)\to0$ lorsque $x\to\pm\infty$.
4. Montrer que $x(f(x))^2\to0$ lorsque $x\to\pm\infty$.
5. Montrer que $\widehat{f'}(y)=iy\widehat f(y)$.
6. Montrer que
   $$\sqrt{\Delta_f\Delta_{\widehat f}}\geq
   \sqrt{2\pi}\left|\int_\R xf(x)f'(x)dx\right|.$$
7. Montrer que $\sqrt{\Delta_f\Delta_{\widehat f}}\geq\sqrt{\pi/2}\,c$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 425]
Pour $x\in\R$, noter $x_+=\max(x,0)$ et poser
$$\widehat f(\xi)=\int_{-\infty}^{+\infty}
\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2e^{i\xi x}dx.$$
1. Montrer que $\widehat f$ est définie et continue.
2. Pour $N\in\N$, établir
   $$\frac1{N+1}\sum_{k=0}^N\sum_{j=-k}^ke^{ijx}
   =\sum_{j=-N}^N\left(1-\frac{|j|}{N+1}\right)e^{ijx}
   =\frac1{N+1}\left(\frac{\sin((N+1)x/2)}{\sin(x/2)}\right)^2.$$
3. En déduire la formule des coefficients de Fourier de ce noyau de Fejér.
4. En comparant les noyaux correspondants, montrer que, pour tout $\xi\in\R$,
   $$\widehat f(\xi)=\pi\left(1-\frac{|\xi|}{2}\right)_+.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 426]
Soient
$$I(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t\sqrt t}\cos(tx)dt,\qquad
J(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t\sqrt t}\sin(tx)dt.$$
1. Montrer que $I,J$ sont définies et de classe $C^1$ sur $\R$.
2. Calculer $I$ et $J$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 427]
Soient $f,g\in C^2(\R,\R)$ et
$$W_{f,g}(t)=\det\begin{pmatrix}f(t)&g(t)\\f'(t)&g'(t)\end{pmatrix}.$$
Dans les deux premières questions, $f,g$ sont solutions de
$y''+a(t)y'+b(t)y=0$, où $a,b$ sont continues.
1. Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que
   $$W_{f,g}(t)=C\exp\left(-\int_0^ta(s)ds\right).$$
2. Montrer que $(f,g)$ est une base de l'espace des solutions si et
   seulement si $W_{f,g}$ ne s'annule pas.
3. Dans le cas général, si $W_{f,g}$ ne s'annule pas, montrer qu'il
   existe des fonctions continues $a,b$ telles que $f,g$ forment une base
   de solutions de cette équation différentielle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 428]
1. Soient $t_0\in\R$ et $a,y\in C^0([t_0,+\infty[)$ avec $a\geq0$ et
   $$y(t)\leq C+\int_{t_0}^ta(s)y(s)ds.$$
   Montrer que $y(t)\leq C\exp(\int_{t_0}^ta(s)ds)$.
2. Soit $f:\R\to\R$ lipschitzienne et $y'=f\circ y$. Pour deux
   solutions $y_1,y_2$, montrer qu'il existe $M$ tel que
   $$|y_2(t)-y_1(t)|\leq|y_2(0)-y_1(0)|e^{Mt}\quad(t\geq0).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 429]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne. Soient
$A\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\R^n$. Posons
$$J(X)=\frac12\langle AX,X\rangle-B^TX.$$
1. Montrer que $J$ est strictement convexe.
2. Montrer que $J(X)\to+\infty$ lorsque $\|X\|\to+\infty$.
3. Montrer que $J$ admet un unique minimum en la solution $X_0$ de $AX=B$.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 430]
Soit $d_n$ le nombre de dérangements de $\db{1,n}$ et
$A(x)=\sum_{n\geq0}d_nx^n/n!$.
1. Montrer que $n!=\sum_{k=0}^n\binom nkd_{n-k}$.
2. Minorer le rayon de convergence de $A$.
3. Calculer $e^xA(x)$, puis en déduire une expression de $d_n$.
4. Quelle est la probabilité qu'une permutation soit un dérangement et
   quelle est sa limite lorsque $n\to\infty$ ?
5. On répète $n$ fois une expérience de réussite $1/n$. Quelle est la
   probabilité d'au moins une réussite ? Que devient-elle lorsque $n$ croît ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 431]
Soit $X=(X_1,\ldots,X_n)$ un vecteur aléatoire et
$A=(\operatorname{Cov}(X_i,X_j))_{i,j}$.
1. Montrer que $A$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles.
2. Si $\lambda$ est sa plus grande valeur propre, montrer que
   $$\lambda=\sup_{\|V\|=1}\V(V^TX),$$
   et donner un cas d'égalité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ESPCI PC 2026 # 432]
1. Soient $H,K\in\mathcal{S}_n(\R)$ commutant et
   $R\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe des variables
   aléatoires réelles $X,Y$ telles que, pour tous $s,t\in\R$,
   $$\E(e^{i(sX+tY)})=\operatorname{Tr}(R e^{i(sH+tK)}).$$
2. Pour $H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$,
   $K=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ et $R=I_2/2$,
   montrer que la propriété précédente est fausse.
#+end_exercice

* Mines-Ponts MP/MPI                                                :autre:

** Algèbre

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 433]
On note $\Q_1=\Q\cap[1,+\infty[$. Pour $r=p/q$ irréductible, on pose
$$f(r)=\frac{p(p-1)}2+q.$$
1. Montrer que $f$ prend ses valeurs dans $\N^*$ et que $3$ n'a pas
   d'antécédent. Que peut-on en déduire ?
2. Si $f(p/q)=f(p'/q')$, établir
   $(p'-p)(p+p'-1)=2(q-q')$, puis montrer que $f$ est injective.
3. Montrer que $\Q_1$ et $\Q$ sont dénombrables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 434]
Majorer asymptotiquement aussi bien que possible l'ordre maximal d'un
élément de $S_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 435]
Soit $F_0=0,F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$.
1. Exprimer $F_n$ en fonction de $n$.
2. Montrer que $F_n\wedge F_{n+1}=1$ pour $n\geq1$.
3. Montrer que $F_{n+m}=F_nF_{m+1}+F_{n-1}F_m$ pour $n,m\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 436]
Fermat conjecturait que $26$ est le seul entier naturel qui s'écrit à la
fois comme un carré augmenté de $1$ et comme un cube diminué de $1$. On
se propose de le démontrer en étudiant l'équation $y^3=x^2+2$ dans $\Z$.
1. Montrer que $A=\{a+ib\sqrt2\mid(a,b)\in\Z^2\}$ est un sous-anneau
   de $\C$ et que cette écriture est unique.
2. Montrer que $A$ est euclidien, puis principal.
3. Déterminer les inversibles de $A$.
4. Si $(x,y)$ est solution, montrer que $x+i\sqrt2$ et $x-i\sqrt2$ sont
   premiers entre eux dans $A$, puis en déduire que $x+i\sqrt2$ possède
   une racine cubique dans $A$.
5. Déterminer les couples $(x,z)\in\Z\times A$ tels que
   $z^3=x+i\sqrt2$, puis conclure pour l'équation initiale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 437]
1. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers.
2. Poser $F_n=2^{2^n}+1$. Montrer que
   $\prod_{k=0}^{n-1}F_k=F_n-2$, que les $F_n$ sont deux à deux premiers
   entre eux, et conclure.
3. On suppose les nombres premiers en nombre fini et $p$ maximum. Soit
   $q$ premier divisant $2^p-1$. Montrer que $2$ est d'ordre $p$ modulo
   $q$, puis obtenir une contradiction.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 438]
Le groupe des inversibles de $\Z/n\Z$ est-il cyclique ? On pourra traiter
le cas où $n$ est premier puis une puissance d'un nombre premier.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 439]
Soit $p$ un nombre premier impair.
1. Montrer que chaque $k\in\db{1,p-1}$ admet un unique inverse $k'$ modulo $p$.
2. Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1}k'\equiv0\pmod p$.
3. Si $p-1$ divise $m$, montrer que $\sum_{k=1}^{p-1}k^m=-1$ dans $\Z/p\Z$.
4. Sinon, trouver $a$ tel que $a^m\not\equiv1\pmod p$ et en déduire
   $\sum_{k=1}^{p-1}k^m\equiv0\pmod p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 440]
Soit $G$ un groupe fini dont tous les éléments non neutres sont d'ordre $2$.
1. Montrer que $G$ est abélien.
2. Soient $H$ un sous-groupe et $y\in G\setminus H$. Montrer que
   $H\cup yH$ est un sous-groupe et que cette union est disjointe.
3. En déduire que $|G|$ est une puissance de $2$.
4. Calculer le produit de tous les éléments de $G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 441]
Soient $A$ un anneau commutatif et $I$ un idéal. Posons
$$R(I)=\{x\in A\mid\exists n\geq1,\ x^n\in I\}.$$
1. Montrer que $R(I)$ est un idéal contenant $I$.
2. Pour des idéaux $I,J$, montrer que $R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ et
   $R(I)+R(J)\subset R(I+J)$.
3. Montrer que $R(n\Z)=n\Z$ si et seulement si $n$ est sans facteur carré.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 442]
Déterminer les $z\in\C$ tels que les points d'affixes $z,z^2,z^5$ soient
alignés.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 443]
Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$, avec
$a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n>0$. Montrer que toute racine complexe
$z$ de $P$ vérifie $|z|\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 444]
Soient $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\Z[X]$ et
$M=\max_{0\leq k\leq n}|a_k|/|a_n|$.
1. Montrer que toute racine $z$ de $P$ vérifie $|z|\leq1+M$.
2. Si $m\in\N$, $m>M+2$ et $P(m)$ est premier, montrer que $P$ est
   irréductible dans $\Z[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 445]
1. Soient $0<a_0<\cdots<a_n$ et $P=a_0X^n+a_1X^{n-1}+\cdots+a_n$.
   Montrer que toute racine $z$ vérifie $|z|>1$.
2. Si $Q=\sum_{k=0}^nb_kX^k$ a des coefficients strictement positifs,
   montrer que toute racine $z$ vérifie
   $$\min_{0\leq k<n}\frac{b_k}{b_{k+1}}\leq|z|\leq
   \max_{0\leq k<n}\frac{b_k}{b_{k+1}}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 446]
Soient $a<b$, une subdivision $a=x_0<\cdots<x_n=b$, des réels
$y_0,\ldots,y_n,z$. Existe-t-il $P\in\R[X]$ tel que
$P(x_k)=y_k$ pour tout $k$ et $\int_a^bP(t)dt=z$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 447]
Soient $A,B\in\R[X]$, non tous deux constants. Posons $P=A+iB$ et
$\overline P=A-iB$. On suppose que les racines de $P$ ont une partie
imaginaire strictement négative.
1. Montrer que $|P(z)|=|\overline P(z)|$ si et seulement si $z\in\R$.
2. En déduire que, pour $(a,b)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$,
   $aA+bB$ n'a que des racines réelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 448]
Soit $n\geq1$.
1. Montrer que
   $$X^{2n}-1=(X-1)(X+1)\prod_{k=1}^{n-1}
   \left(X^2-2X\cos\frac{k\pi}{n}+1\right).$$
2. Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^n\sin\frac{k\pi}{2n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 449]
Soient $n\geq1$ et $(a_k)_{0\leq k\leq n}\in K^{n+1}$. Montrer que
$a_0\neq0$ si et seulement si, pour tout $Q\in K[X]$, il existe un
unique $P\in K[X]$ tel que
$$\sum_{k=0}^na_kP^{(k)}=Q.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 450]
Soit $P\in\R[X]$ de degré $n>0$, scindé à racines simples sur $\R$.
1. Déterminer la décomposition en éléments simples de $P'/P$.
2. Montrer que $(P')^2(x)-P(x)P''(x)>0$ pour tout $x\in\R$.
3. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples sur $\R$.
4. Montrer que $(P^{(k+1)}(0))^2>P^{(k+2)}(0)P^{(k)}(0)$ pour
   $0\leq k<n$.
5. Si $P=\sum a_kX^k$, montrer que $a_{k+1}^2>a_ka_{k+2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 451]
Soit $K$ un corps. On appelle pgcd de $P_1,P_2\in K[X]$ un diviseur
commun de degré maximal.
1. Montrer qu'un pgcd existe et qu'il existe un unique pgcd unitaire.
2. Rappeler la division euclidienne et énoncer puis démontrer Bézout.
3. Montrer que l'algorithme d'Euclide s'applique dans $K[X]$ et calculer
   le pgcd de $X^3-3X^2+1$ et $2X^2-1$.
4. Soient $A,B\in K[X]$, $A$ non constant, $d=\deg A$, et $R_n$ le
   reste de $X^nB$ modulo $A$. Montrer qu'il existe $U_n,V_n$ tels que
   $R_n=U_nA+V_nB$, $\deg R_n<\deg A$, et que $(R_n)$ vérifie une
   récurrence linéaire d'ordre au plus $d$. Si $\gcd(A,B)=1$, montrer
   que $(R_n)$ engendre $K_{d-1}[X]$ et que $(R_0,\ldots,R_{d-1})$ en
   est une base.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 452]
Un complexe est un entier algébrique s'il annule un polynôme unitaire
de $\Z[X]$. Soient $a,b$ deux entiers algébriques.
1. Montrer que $\operatorname{Vect}_{\Q}\{a^kb^\ell\mid k,\ell\in\N\}$
   est de dimension finie.
2. Si $P,Q$ sont les polynômes minimaux unitaires entiers de $a,b$, la
   famille $(a^kb^\ell)_{0\leq k<\deg P,\ 0\leq\ell<\deg Q}$ est-elle
   toujours libre ?
3. Si elle est libre, montrer que $a+b$ et $ab$ sont des entiers
   algébriques.
4. Établir le même résultat dans le cas général.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 453]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ nilpotente de rang $n-1$. Montrer qu'elle
est semblable à la matrice ayant des $1$ sur la surdiagonale et des $0$
ailleurs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 454]
Trouver les $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ telles que
$$M^3+2M=\begin{pmatrix}3&5\\0&-12\end{pmatrix}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 455]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer qu'il existe une matrice diagonale
$D$ à coefficients diagonaux dans $\{-1,1\}$ telle que $A+D$ soit
inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 456]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB=0$. Montrer que
$$\operatorname{tr}((A+B)^k)=\operatorname{tr}(A^k)+\operatorname{tr}(B^k)$$
pour tout $k\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 457]
Soient $z\in\C^*$ et $M=(z^{|p-q|})_{1\leq p,q\leq n}$. Donner une
condition sur $z$ pour que $M$ soit inversible et déterminer alors $M^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 458]
Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie.
1. Montrer que deux sous-espaces de même dimension ont un supplémentaire
   commun.
2. Soit $K$ un sous-groupe fini de $\operatorname{GL}(E)$ et $F$ stable
   par tous ses éléments. Montrer que $F$ possède un supplémentaire
   stable par $K$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 459]
1. Soit $J_n$ la matrice nulle sur la diagonale et égale à $1$ ailleurs.
   Pour $n\geq2$, poser $A_n=\operatorname{diag}(J_2,J_{n-2})$.
   Calculer $\det J_n$ et $\det A_n$.
2. Soit $M\in\mathcal{S}_n$ telle que $m_{ii}=0$ et $m_{ij}>0$ si
   $i\neq j$. $M$ est-elle nécessairement inversible ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 460]
1. Soit $P=X^2+aX+b\in\C[X]$ de racines $x_1,x_2$. Poser
   $N_1=x_1+x_2$, $N_2=x_1^2+x_2^2$. Calculer
   $\det\begin{pmatrix}2&N_1\\N_1&N_2\end{pmatrix}$.
2. Pour $P=X^3+pX+q$ de racines $x_1,x_2,x_3$, poser
   $N_k=\sum_i x_i^k$. Calculer $\det(N_{i+j})_{1\leq i,j\leq3}$.
3. Pour un polynôme unitaire $P$ de degré $n$ et ses racines
   $x_1,\ldots,x_n$, poser $N_0=n$, $N_k=\sum_ix_i^k$. Relier
   $\det(N_{i+j})_{0\leq i,j<n}$ au déterminant de Vandermonde des racines.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 461]
Soient $E$ de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$ tels que
$\ker(u^3)=\operatorname{Im}(u^2)$. Montrer que
$\operatorname{Im}(u)=\ker(u^4)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 462]
Soient $E$ de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$. Déterminer une
condition nécessaire et suffisante sur $u$ pour qu'il existe
$v\in\mathcal{L}(E)$ tel que $u\circ v=0$ et $u+v$ soit inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 463]
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel et $u\in\mathcal{L}(E)$.
1. Si $E$ est de dimension finie, montrer l'équivalence entre
   $\ker u=\ker u^2$, $\operatorname{Im}u=\operatorname{Im}u^2$ et
   $E=\ker u\oplus\operatorname{Im}u$.
2. Donner un contre-exemple en dimension infinie.
3. Montrer que $E=\ker u\oplus\operatorname{Im}u$ équivaut à
   $\ker u=\ker u^2$ et $\operatorname{Im}u=\operatorname{Im}u^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 464]
Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $u\in\mathcal{L}(E)$
tel que $u^m=\operatorname{id}$. Montrer que
$$\frac1m\sum_{k=0}^{m-1}u^k$$
est un projecteur et que
$$\frac1m\sum_{k=0}^{m-1}\operatorname{tr}(u^k)
=\dim\ker(u-\operatorname{id}).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 465]
Soient $E$ de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$. Soit $G$ l'ensemble
des $u$ tels que $uf=fu$, $u^2f=u$ et $f^{p+1}u=f$ pour un certain $p\in\N$.
1. Montrer que, pour tout $u\in G$, la suite $(u^{k+1}f^k)_{k\in\N}$ est
   constante.
2. Pour $a,b\in G$, considérer $afb$ et montrer que $a=b$.
3. À quelle condition $G$ est-il non vide ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 466]
Soient $n\in\N$, $(a_k)_{1\leq k\leq n+1}\in\R^{n+1}$ et
$P\in\R_n[X]$. Déterminer le rang de la matrice
$(P^{(i-1)}(a_j))_{1\leq i,j\leq n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 467]
Soient $n\geq1$, $a_1,\ldots,a_n\in K$ et
$P_1,\ldots,P_n\in K_{n-1}[X]$. Posons
$M=(P_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}$. Déterminer $\operatorname{rg}(M)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 468]
Soient $A,B\in K[X]$ avec $\deg A=m$, $\deg B\leq n$. On pose
$$\varphi:(U,V)\in K_{n-1}[X]\times K_{m-1}[X]\mapsto AU+BV
\in K_{m+n-1}[X].$$
1. Montrer que $\varphi$ est bien définie et linéaire.
2. Décrire son noyau et son image en fonction de $D=\gcd(A,B)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 469]
Soient $A,B\in K[X]$, $D=\gcd(A,B)$, $E$ de dimension finie et
$f\in\mathcal{L}(E)$.
1. Montrer que $\ker A(f)\cap\ker B(f)=\ker D(f)$ et
   $\operatorname{Im}A(f)+\operatorname{Im}B(f)=\operatorname{Im}D(f)$.
2. Existe-t-il des relations analogues avec le ppcm ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 470]
Soit $E=\{M\in\mathcal{M}_3(\C)\mid\operatorname{rg}M<3\}$.
1. Pour $M_1,M_2\in\operatorname{GL}_3(\C)$, montrer que
   $[M_1,M_2]\cap E$ est fini et de cardinal au plus $3$.
2. Pour chaque $m\in\{0,1,2,3\}$, donner $M_1,M_2$ tels que
   $|[M_1,M_2]\cap E|=m$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 471]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\R)$ commutant.
1. Montrer que $\det(A^2+B^2)\geq0$, puis que
   $\det(A^{2k}+B^{2k})\geq0$ pour tout $k\geq1$.
2. Si $\det(A+B)\geq0$, montrer que
   $\det(A^{2k+1}+B^{2k+1})\geq0$ pour tout $k\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 472]
Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_n(\R)$ tel que
$F\setminus\{0\}\subset\operatorname{GL}_n(\R)$.
1. Montrer que $\dim F\leq n$.
2. Si $n$ est impair, montrer que $\dim F\leq1$.
3. Donner un cas d'égalité dans la première question pour $n=2$ ou $4$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 473]
Soit
$$E=\{M\in\mathcal{M}_n(\C)\mid\exists P\in\operatorname{GL}_n(\C),+\forall z\in\C,\ P-zM\in\operatorname{GL}_n(\C)\}.$$
1. Montrer que $E$ ne contient aucune matrice inversible.
2. Décrire $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 474]
Soit $A$ une partie finie non vide de $\operatorname{GL}_n(\Z)$ stable
par produit. Posons $S=\sum_{M\in A}M$. Montrer que $|A|$ divise
$\operatorname{Tr}(S)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 475]
Soit $f\in C^\infty(\R,\R)$. Pour $a\in\R$, poser $f_a(x)=f(x+a)$,
et $F_f=\operatorname{Vect}(f_a)_{a\in\R}$.
1. Donner un exemple non nul où $F_f$ est de dimension finie et préciser
   cette dimension.
2. Montrer que si $F_f$ est de dimension finie, alors $F_{f'}$ l'est aussi.
3. Déterminer les fonctions $f$ telles que $\dim F_f=1$, puis $2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 476]
Caractériser les matrices $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telles que, pour toute
matrice nilpotente $N$, $AN$ soit nilpotente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 477]
1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $A,B,A+B$ soient
   nilpotentes. Montrer que $\operatorname{tr}(AB)=0$.
2. Pour un sous-espace $F\subset\mathcal{M}_n(K)$ de base
   $(A_1,\ldots,A_p)$, poser
   $F^\perp=\{B\mid\operatorname{Tr}(AB)=0\ \forall A\in F\}$.
   Montrer que l'application $B\mapsto(\operatorname{Tr}(A_iB))_i$
   est surjective et que $\dim F^\perp=n^2-\dim F$.
3. Si $G$ ne contient que des matrices nilpotentes, donner un exemple
   de dimension $n(n-1)/2$ et montrer que, en général,
   $\dim G\leq n(n-1)/2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 478]
On considère une norme sur $\mathcal{M}_n(\R)$ telle que
$\|AB\|\leq\|A\|\|B\|$.
1. Montrer qu'une telle norme existe et que $\|B^k\|\leq\|B\|^k$.
   Que dire pour $k=0$ ?
2. Si $AB-BA=B$, montrer que $AB^m-B^mA=mB^m$ pour $m\geq1$,
   puis en déduire que $B$ est nilpotente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 479]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que leurs polynômes
caractéristiques sont égaux si et seulement si
$\operatorname{Tr}(A^k)=\operatorname{Tr}(B^k)$ pour
$0\leq k\leq2n-1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 480]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer qu'il existe $P,Q$ inversibles
tels que $Q^{-1}AP$ et $Q^{-1}BP$ soient triangulaires supérieures.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 481]
Soient $a,b,c\in\R$ et
$$A=\begin{pmatrix}0&-b&a\\b&0&-c\\-a&c&0\end{pmatrix}.$$
Montrer qu'il existe $d\in\R$ tel que $A^3+dA=0$, déterminer $d$ et
calculer $A^{2n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 482]
1. Montrer que $A\in\mathcal{M}_n(K)$ est de rang $r$ si et seulement si
   elle est équivalente à $J_r=\operatorname{diag}(I_r,0)$.
2. En déduire que, pour $A,B\in\mathcal{M}_n(K)$,
   $\chi_{AB}=\chi_{BA}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 483]
Soit $T:P\in\R_n[X]\mapsto(1-X)^nP(X/(X-1))$. Montrer que $T$ est un
endomorphisme. Est-il diagonalisable ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 484]
Soit $n\geq1$. Pour $P\in\R_n[X]$, définissons $T(P)$ par
$$T(P)(x)=\frac1x\int_0^xP(t)dt\quad(x>0).$$
1. Montrer que $T$ définit un endomorphisme de $\R_n[X]$.
2. Déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 485]
Soient $E=\C^\N$ et $F$ le sous-espace des suites convergentes. Pour
$u\in E$, poser $\varphi(u)_n=2^{-n}\sum_{k=0}^n\binom nk u_k$.
1. Déterminer les éléments propres de $\varphi$.
2. Montrer que $F$ est stable et déterminer les valeurs propres de
   l'endomorphisme induit.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 486]
Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\R)$ définie par
$a_{i,j}=(n-1)i+j$.
1. Calculer $\operatorname{rg}(A)$.
2. $A$ est-elle diagonalisable ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 487]
1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ tels que $AB-BA=B$. Montrer que
   $B$ est nilpotente.
2. Si $AB-BA=\lambda A+\mu B$, montrer que $A,B$ possèdent un vecteur
   propre commun, puis sont cotrigonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 488]
Soit $n\geq3$ et $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que
$a_{i,1}=a_{i,n}=1$ pour tout $i$, les autres coefficients étant nuls.
Montrer que $A$ est diagonalisable et la diagonaliser.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 489]
Posons $A=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}$ et
$$B=\begin{pmatrix}0&0&A\\A&0&0\\0&A&0\end{pmatrix}.$$
Déterminer les éléments propres complexes de $B$. Est-elle diagonalisable ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 490]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ telle que $\operatorname{tr}(A^i)=0$ pour
$1\leq i<n$ et $\operatorname{tr}(A^n)\neq0$. Montrer que $A$ est
diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 491]
Pour $a\in\Z$, poser
$$S_a=\begin{pmatrix}1&a\\0&-1\end{pmatrix},\qquad
T_a=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}.$$
1. Rappeler le lien entre inverse et comatrice.
2. Montrer que $\operatorname{GL}_2(\Z)$ est un groupe et que
   $S_a,T_a\in\operatorname{GL}_2(\Z)$.
3. Calculer $T_bS_aT_b^{-1}$.
4. Si $M\in\mathcal{M}_2(\Z)$ a pour polynôme caractéristique $X^2-1$,
   montrer qu'il existe $P\in\operatorname{GL}_2(\Z)$ tel que
   $M=PS_0P^{-1}$ ou $M=PS_1P^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 492]
Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$ telle que $M^2+M^T=I_n$.
1. Montrer que $0\in\operatorname{Sp}(M)$ si et seulement si
   $1\in\operatorname{Sp}(M)$.
2. Montrer que $M$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 493]
Soit $(e_i)$ la base canonique de $\R^n$ et $S_n$ le groupe des
permutations. Pour $\sigma\in S_n$, soit $P_\sigma e_i=e_{\sigma(i)}$.
1. Montrer que $\sigma\mapsto P_\sigma$ est un morphisme injectif.
2. Pour le cycle $(1\cdots n)$, expliciter $P_\sigma$ et calculer son
   polynôme caractéristique.
3. Pour une matrice diagonale par blocs $M=\operatorname{diag}(A,B)$,
   établir la multilinéarité et l'alternance du déterminant par rapport
   aux colonnes de $A$, puis en déduire $\det M=\det A\det B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 494]
Soient $E$ un espace vectoriel complexe de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$.
1. Si $\chi_f=\prod_{k=1}^r(X-\lambda_k)^{n_k}$ avec $\lambda_k$
   distincts et $F_k=\ker(f-\lambda_k\operatorname{id})^{n_k}$,
   montrer que $E=\bigoplus_kF_k$.
2. Si $u$ est nilpotent sur un espace $V$ de dimension $p$ avec
   $u^{p-1}\neq0$, montrer qu'il existe une base où sa matrice est un
   bloc de Jordan et en déduire que le nombre de sous-espaces stables
   par $u$ est fini.
3. Si tous les $F_k$ sont de dimension $1$, montrer que $f$ n'a qu'un
   nombre fini de sous-espaces stables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 495]
Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$
tel que $f^2=-\operatorname{id}$.
1. Montrer que $\dim E$ est paire.
2. Déterminer les polynômes minimal et caractéristique de $f$.
3. Pour $a\neq0$, montrer que $(a,f(a))$ est libre et poser
   $F(a)=\operatorname{Vect}(a,f(a))$.
4. Montrer que $E$ est somme directe de tels plans.
5. En déduire qu'il existe une base où la matrice de $f$ est diagonale
   par blocs égaux à $\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 496]
Soient $E$ un espace vectoriel complexe de dimension $n$ et $f\in\mathcal{L}(E)$.
S'il existe $k\geq2$ tel que $f^k$ soit un projecteur, montrer que $f$ est
diagonalisable si et seulement si $\operatorname{rg}(f)=\operatorname{rg}(f^k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 497]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $A^3-A=I_n$. On suppose
$\operatorname{tr}(A)\in\Q$. Montrer que $n$ est divisible par $3$ et
déterminer $\det A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 498]
Soit $u$ un endomorphisme d'un espace vectoriel complexe de dimension finie.
Montrer que les éléments nilpotents de $\C[u]$ forment un sous-espace
vectoriel et déterminer sa dimension en fonction du degré du polynôme
minimal de $u$ et du nombre de valeurs propres de $u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 499]
Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ unitaire de degré $n\geq1$, de
racines $r_1,\ldots,r_n$ avec multiplicités. Poser
$S_k=\sum_{i=1}^nr_i^k$ et $C$ la matrice compagnon de $P$.
1. Déterminer $\chi_C$ et le polynôme minimal de $C$.
2. Pour $\ell\geq0$, calculer $\sum_{k=0}^na_kS_{k+\ell}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 500]
Soient $E$ réel de dimension $n\geq2$ et $u\in\mathcal{L}(E)$.
1. Exprimer les coefficients de $X^{n-1}$ et $X^{n-2}$ dans $\chi_u$
   avec $\operatorname{Tr}(u)$ et $\operatorname{Tr}(u^2)$.
2. Si $u$ est de rang $2$, montrer que $\chi_u=X^{n-2}P(X)$ pour un
   polynôme $P$ de degré $2$, dont on déterminera les coefficients.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $u$ soit
   trigonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 501]
Soit $E$ complexe de dimension $n\geq2$ et $f,g\in\mathcal{L}(E)$ tels
que $fg-gf=f$.
1. Montrer que $f$ est nilpotent.
2. Si $\dim\ker f=1$, déterminer l'indice de nilpotence de $f$ et
   montrer qu'il existe une base où $f$ est un bloc de Jordan et
   $g=\operatorname{diag}(\lambda,\lambda+1,\ldots,\lambda+n-1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 502]
On considère l'équation matricielle $M^3-2M^2+M=0$.
Quelles sont les traces possibles des solutions $M\in\mathcal{M}_n(\C)$ ?
Déterminer le nombre de classes de similitude dans l'ensemble des solutions.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 503]
Soient $n\geq2$ et $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ tels que
$\pi_A(X^2)=\pi_A(X)\pi_A(X-1)$.
1. Montrer que $n$ est pair.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit
   semblable à une matrice diagonale par blocs de tailles $1$ ou $2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 504]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ et
$F=\{M\in\mathcal{M}_n(\R)\mid AMA=0\}$. Calculer $\dim F$ lorsque
$A$ est diagonalisable, puis dans le cas général.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 505]
Soit $P\in\R[X]\setminus\{0\}$ de degré au moins $2$ et
$f:M\mapsto P(M)$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$.
1. Si $\deg P$ est pair, $f$ est-elle surjective ?
2. Même question si $\deg P=3$, puis si $\deg P$ est impair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 506]
Trouver les matrices $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $PA$ soit
diagonalisable pour toute matrice $P\in\operatorname{GL}_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 507]
Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $a_{i,j}\geq0$ et
$\sum_{j=1}^na_{i,j}=1$ pour tout $i$.
1. Montrer que les valeurs propres complexes de $A$ sont de module au
   plus $1$.
2. Si $|\lambda|=1$ est une valeur propre, montrer que
   $\ker(A-\lambda I_n)=\ker((A-\lambda I_n)^2)$.
3. Si tous les coefficients sont strictement positifs, montrer que la
   seule valeur propre de module $1$ est $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 508]
1. Si $n\geq2$ et $N\in\mathcal{M}_n(\C)$ est nilpotente, montrer qu'il
   existe $B$ telle que $B^2=I_n+N$.
2. En déduire que toute matrice inversible complexe admet une racine
   carrée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 509]
1. Déterminer l'inverse de $\begin{pmatrix}I_n&M\\0&I_n\end{pmatrix}$.
2. Soient $A,B,C\in\mathcal{M}_n(\C)$, $A,B$ diagonalisables et
   $\operatorname{Sp}(A)\cap\operatorname{Sp}(B)=\varnothing$. Montrer
   que $\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}$ est semblable à
   $\operatorname{diag}(A,B)$.
3. Que devient le résultat sans diagonalisation de $A,B$ ?
4. Que devient-il si les spectres ont une intersection non vide ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 510]
Soient $n\geq2$ et $G$ un sous-groupe de $\operatorname{GL}_n(\C)$ tel
qu'il existe $N\geq1$ avec $A^N=I_n$ pour tout $A\in G$.
1. Montrer que tous les éléments de $G$ sont diagonalisables.
2. Soit $(M_i)$ une base de $\operatorname{Vect}(G)$ formée d'éléments
   de $G$ et $f(A)=(\operatorname{tr}(AM_i))_i$. Si $f(A)=f(B)$,
   poser $C=AB^{-1}$ et montrer que $\operatorname{tr}(C^k)=n$ pour
   tout $k$, puis que $C-I_n$ est nilpotente.
3. Montrer que $G$ est fini.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 511]
Soient $K$ un corps, $E$ un $K$-espace vectoriel et $f\in\mathcal{L}(E)$
annulé par un polynôme dont $0$ est racine simple.
1. Montrer que $E=\ker f+\operatorname{Im}f$.
On suppose ensuite $K=\C$ et $\dim E=n<+\infty$.
2. Si $g\circ f=0$, montrer que $f,g$ sont cotrigonalisables.
3. Montrer que toute famille finie d'endomorphismes commutants est
   cotrigonalisable.
4. Si $f_1,\ldots,f_n$ sont nilpotents et commutent, calculer
   $f_1\circ\cdots\circ f_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 512]
Soient $n\geq2$ et $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que
$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^2)$ si et seulement si
$a\mapsto a(A+aI_n)^{-1}$ admet une limite finie lorsque $a\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 513]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ et $\Phi_A:M\mapsto AM-MA$. À quelle
condition $\Phi_A$ est-il diagonalisable ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 514]
Soient $A\in\mathcal{M}_n(\R)\setminus\{0\}$ et
$B\in\operatorname{GL}_n(\R)$. Étudier les éléments propres et la
diagonalisabilité des endomorphismes
$$f(M)=\operatorname{tr}(A)M-\operatorname{tr}(M)A,\qquad
g(M)=\operatorname{tr}(A)BM-\operatorname{tr}(BM)A.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 515]
Soient $n\geq1$ et $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Posons
$\Phi_A(M)=AM$ et $\Psi_B(M)=MB$.
1. Déterminer leurs polynômes minimaux et la condition de
   diagonalisabilité.
2. Lorsque cette condition est satisfaite, montrer qu'il existe une base
   de matrices de rang $1$ dans laquelle les deux endomorphismes sont
   diagonaux.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 516]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $A^2+B^2=2AB$. Poser
$X=A-B$.
1. Montrer que $X^kB-BX^k=kX^{k+1}$ pour tout $k\geq1$.
2. En déduire que $X$ est nilpotente.
3. $A$ et $B$ sont-elles cotrigonalisables ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 517]
Soit $n\geq2$. Déterminer, selon la parité de $n$, les $P\in\R[X]$ tels
que, pour toute $M\in\mathcal{M}_n(\R)$, $P(M)=0$ implique $\det M=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 518]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $A^k\to B$.
1. Montrer que $B$ est un projecteur commutant avec $A$ et expliciter
   son noyau et son image.
2. Montrer que $\operatorname{Sp}_\C(A)\subset\{|z|<1\}\cup\{1\}$.
3. Si $1\notin\operatorname{Sp}_\C(A)$, montrer que $B=0$.
4. Montrer que la multiplicité de $1$ dans $\chi_A$ vaut
   $\dim\ker(A-I_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 519]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et
seulement si $\exp(A)$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 520]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ et $P=\prod_{i=1}^q(X-\lambda_i)$ où les
$\lambda_i$ sont ses valeurs propres distinctes.
1. Montrer qu'il existe $R,S\in\C[X]$ tels que $RP+SP'=1$.
2. Poser $A_0=A$ et $A_{k+1}=A_k-P(A_k)S(A_k)$. Montrer qu'il existe
   $C_k\in\C[A]$ tel que $A_k=P(A)^{2^k}C_k$, puis qu'un certain $A_p$
   est diagonalisable.
3. En déduire que $A=D+N$ avec $D$ diagonalisable et $N$ nilpotente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 521]
Soient $K$ un corps, $E$ de dimension finie et $f\in\mathcal{L}(E)$.
Pour $x\in E$, poser $I_x=\{P\in K[X]\mid P(f)(x)=0\}$.
1. Montrer que $I_x$ est un idéal principal.
2. Si le polynôme minimal est $P^\alpha$ avec $P$ unitaire irréductible,
   montrer qu'il existe $x$ tel que $I_x=(\pi_f)$.
3. Montrer que $\deg\pi_f=n$ si et seulement s'il existe $x$ tel que
   $(x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))$ soit libre.
4. Étudier le cas général.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 522]
Soit $M=(m_{i,j})\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que
$$|\det M|\leq\prod_{j=1}^n\left(\sum_{i=1}^nm_{i,j}^2\right)^{1/2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 523]
Soit $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ nilpotente non nulle. Déterminer l'image
de $\varphi:X\in\R^n\mapsto X^TMX$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 524]
1. Montrer que
   $$\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1\frac{P(t)Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$$
   définit un produit scalaire sur $\R[X]$.
2. Montrer qu'il existe une unique suite $(T_n)$ telle que
   $T_n(\cos x)=\cos(nx)$, puis déterminer degré et coefficient dominant.
3. Pour $U_n[X]$ les polynômes unitaires de degré $n$, calculer
   $\min_{P\in U_n[X]}\int_{-1}^1P(t)^2/\sqrt{1-t^2}\,dt$.
4. Que dire de la factorisation réelle de $T_n$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 525]
Soient $E=\R_n[X]$ et $a_0,\ldots,a_n\in\R$. Montrer que
$$\varphi(P,Q)=\sum_{k=0}^nP^{(k)}(a_k)Q^{(k)}(a_k)$$
est un produit scalaire sur $E$. Montrer qu'il existe une unique base
orthonormée échelonnée en degré et à coefficients dominants positifs.
La déterminer lorsque tous les $a_k$ sont égaux.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 526]
Soit $E=\R_n[X]$ muni du produit scalaire
$\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$. Calculer
$$\inf_{a,b,c\in\R}\int_{-1}^1(t^3-(at^2+bt+c))^2dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 527]
Soit $E=\R[X]$ muni de $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)dt$.
Pour $n\geq1$, calculer la distance $\pi_n$ de $X^n/\|X^n\|$ au
sous-espace $\R_{n-1}[X]$, puis un équivalent de $\pi_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 528]
Soit $n\geq2$ et $f_{i,j}(x)=x_ix_j$ sur $\R^n$.
1. Montrer que $\dim\operatorname{Vect}(f_{i,j})=n(n+1)/2$.
2. Soient $m\geq2$, $\alpha\in[0,1[$, $\varepsilon>0$ et des unitaires
   $u_1,\ldots,u_m\in\R^n$ tels que
   $|\langle u_i,u_j\rangle^2-\alpha^2|<\varepsilon^2$ pour $i\neq j$.
   Poser $G(x,y)=\langle x,y\rangle^2-\alpha^2\|x\|^2\|y\|^2$.
   Montrer que, pour $\varepsilon$ assez petit, $(G(u_i,u_j))$ est
   inversible et $m\leq n(n+1)/2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 529]
Soient $v_1,\ldots,v_n$ des vecteurs unitaires d'un espace préhilbertien
réel. Montrer qu'il existe $\varepsilon_i\in\{-1,1\}$ tels que
$$\left\|\sum_{i=1}^n\varepsilon_iv_i\right\|\leq\sqrt n.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 530]
Soit $E$ euclidien. Déterminer les $u\in\mathcal{L}(E)$ tels que
$u(V^\perp)=u(V)^\perp$ pour tout sous-espace vectoriel $V$ de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 531]
Soit $E$ euclidien et $f:E\to E$ telle que $f(0)=0$ et
$\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$.
1. Que peut-on dire de $f$ ?
2. Étudier la convergence de $u_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f^k$.
3. Que se passe-t-il si $f$ est linéaire et $\|f(x)\|\leq\|x\|$ ?
4. Que devient l'exercice dans un espace préhilbertien ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 532]
Soient $E$ euclidien et $f\in\mathcal{L}(E)$ telle que
$\|f(x)\|\leq\|x\|$.
1. Montrer que $f(x)=x$ implique $f^*(x)=x$.
2. Montrer que $\operatorname{Im}(f-\operatorname{id})\oplus
   \ker(f-\operatorname{id})=E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 533]
Soient $E$ euclidien non nul et $u\in\mathcal{L}(E)$. Caractériser les
$v\in\mathcal{L}(E)$ tels que $\|v(x)\|=\|u(x)\|$ pour tout $x\in E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 534]
Soit $E=\mathcal{M}_n(\R)$ muni de $\langle U,V\rangle=\operatorname{Tr}(UV^T)$.
Pour $A\in E$, poser $T_A(M)=AM-MA$.
1. Montrer que $\operatorname{Im}(T_A)^\perp=\{M\mid A^TM=MA^T\}$.
2. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si $A\in\operatorname{Im}(T_A)$.
3. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si elle est semblable à $2A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 535]
Soient $E$ euclidien, $V$ l'ensemble de ses sous-espaces et $x\in E$.
Pour $W\in V$, soit $\pi_W$ la projection orthogonale sur $W$.
Déterminer $\{\pi_W(x)\mid W\in V\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 536]
Déterminer les $P\in\R[X]$ tels que, pour tout $n\geq1$,
$P(\mathcal{A}_n(\R))\subset\mathcal{A}_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 537]
Déterminer les matrices $M\in\mathcal{A}_n(\R)$ telles que
$\operatorname{Sp}_\C(M)\subset\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 538]
Soient $n\geq2$ et $A\in\mathcal{A}_n(\R)\setminus\{0\}$. Montrer
que $A$ est semblable à une matrice diagonale par blocs dont les blocs
diagonaux non nuls sont de taille $2\times2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 539]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre $A$ antisymétrique
et $P^{-1}AP$ à diagonale nulle pour toute $P\in O_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 540]
Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$. Discuter le nombre de matrices
$B\in\mathcal{M}_n(\R)$ telles que $B^2=A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 541]
Déterminer les $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ telles que $M^2=M^T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 542]
1. Soient $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ et $p\geq1$ tels que
   $(M+M^T)^p=0$. Montrer que $M$ est antisymétrique.
2. Trouver $M\in\mathcal{M}_2(\C)$ telle que $(M+M^T)^2=0$ mais
   $M+M^T\neq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 543]
Déterminer toutes les matrices $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ telles que
$A+A^T=A^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 544]
Soient $A,B\in\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ non colinéaires et
$M=AB^T+BA^T$.
1. Justifier que $M$ est diagonalisable.
2. Calculer $\operatorname{rg}M$.
3. Expliciter ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 545]
Soient $A,B\in\mathcal{S}_n(\Q)$ telles que
$\operatorname{rg}(A+tB)<n$ pour tout $t\in\R$. Montrer qu'il existe
$X\in\Q^n\setminus\{0\}$ tel que $X^TAX=X^TBX=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 546]
Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal{S}_n^+(\R)$ sans coefficient nul. Posons
$B=(1/a_{i,j})$. À quelle condition $B\in\mathcal{S}_n^+(\R)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 547]
Soit $n$ impair, $A,B\in\mathcal{S}_n(\R)$ et
$C(A)=\{M\mid AM=MA\}$. Montrer que
$C(A)\cap C(B)=\operatorname{Vect}(I_n)$ si et seulement s'il n'existe
pas de sous-espaces non nuls $F,G$ stables par $A,B$ tels que
$F\oplus G=\R^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 548]
On munit $\R^n$ de son produit scalaire canonique.
1. Si $AA^T=A^TA$ et $F$ est stable par $A$, montrer que $F^\perp$ est
   stable par $A$.
2. Si $A\in\mathcal{M}_3(\R)$ vérifie $AA^T=A^TA$, montrer que $A$ est
   diagonalisable ou orthosemblable à
   $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\0&\alpha&-\beta\\0&\beta&\alpha\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 549]
Posons $C_n=\{A\in\mathcal{M}_n(\R)\mid A^TA=\lambda I_n\text{ pour un }\lambda\in\R\}$.
Soit $d_n$ la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel inclus dans $C_n$.
Déterminer $d_1,d_2,d_3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 550]
Soit $n\geq2$, $V_n=\operatorname{Vect}(\operatorname{SO}_n(\R))$ et
munissons $\mathcal{M}_n(\R)$ de son produit scalaire canonique.
1. Déterminer $V_2$.
2. Montrer que $e^A\in\operatorname{SO}_n(\R)$ pour toute matrice
   antisymétrique $A$.
3. En déduire que $V_n^\perp\subset\mathcal{A}_n(\R)^\perp$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 551]
Soit $f:\mathcal{M}_n(\R)\to\R_+^*$ continue. Pour
$A\in\mathcal{A}_n(\R)$, montrer que $\inf_{x\in\R}f(\exp(xA))>0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 552]
Soit $n\geq2$ et
$U_n=\{M\in\mathcal{M}_n(\C)\mid M^T=M\}$.
1. Montrer que si $M\in U_n$, ses valeurs propres sont réelles.
2. Pour $M=(m_{k,j})$ définie par $m_{k,j}=i$ si $k<j$,
   $m_{k,j}=-i$ si $k>j$ et diagonale nulle, montrer que $M$ est
   diagonalisable et déterminer valeurs propres et vecteurs propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 553]
Posons $\Omega=\{M\in\mathcal{M}_n(\R)\mid I_n+M\text{ est inversible}\}$.
1. Montrer que $O_n(\R)$ est un groupe.
2. Montrer que $\mathcal{A}_n(\R)\subset\Omega$ et
   $\mathcal{A}_n(\R)\neq\Omega$.
3. Pour $M\in\Omega$, poser $f(M)=(I_n-M)(I_n+M)^{-1}$. Si
   $M\in O_n(\R)\cap\Omega$, montrer que $f(M)$ est antisymétrique et
   $f(f(M))=M$.
4. Pour $M\in O_n(\R)$, montrer qu'il existe une diagonale $J$ à
   coefficients dans $[-1,1]$ telle que $\det(M+J)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 554]
Soient $p\geq2$, $A\in\mathcal{S}_p^{++}(\R)$, $b\in\R^p$ et $\alpha>0$.
Posons $a=A^{-1}b$ et $x_{n+1}=x_n+\alpha(b-Ax_n)$. Pour quelles
valeurs de $\alpha$ la suite converge pour tout $x_0$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 555]
Soient $A\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mathcal{S}_n(\R)$.
1. Montrer qu'il existe $P\in\operatorname{GL}_n(\R)$ et diagonale $D$
   telles que $A=P^TP$ et $B=P^TDP$.
2. Si $B$ est définie positive et $\alpha,\beta\geq0$ avec
   $\alpha+\beta=1$, montrer que
   $$\det(\alpha A+\beta B)\geq\det(A)^\alpha\det(B)^\beta.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 556]
Soit $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$.
1. Montrer que $\ker(A^TA)=\ker A$, donc $A$ et $A^TA$ ont même rang $r$.
2. Montrer qu'il existe une famille orthonormée $(y_1,\ldots,y_r)$ de
   $\R^p$ telle que la matrice de restriction de $A^TA$ soit diagonale
   à coefficients strictement positifs.
3. Montrer qu'il existe $U\in O_n(\R)$, $V\in O_p(\R)$ et
   $\Lambda\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ diagonale rectangulaire positive
   telle que $A=U\Lambda V$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 557]
1. Donner deux définitions de $\mathcal{S}_n^+(\R)$ et établir leur
   équivalence.
2. Si $A\in\mathcal{S}_n(\R)$, montrer que $A\in\mathcal{S}_n^+(\R)$
   si et seulement si $\operatorname{tr}(AB)\geq0$ pour toute
   $B\in\mathcal{S}_n^+(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 558]
Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ telle que
$a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b\|X\|^2$ pour tout $X$.
Si $P\in\R[X]$ vérifie $P(x)>0$ sur $[a,b]$, montrer que
$P(A)\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 559]
Soient $S\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $S'\in\mathcal{S}_n(\R)$.
Montrer que $SS'$ est diagonalisable sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 560]
1. Soit $A\in\mathcal{S}_n^+(\R)$. Montrer que
   $\det A\leq\prod_{i=1}^na_{i,i}$.
2. Soient $E$ euclidien de dimension $n$ et $f\in\mathcal{S}^+(E)$ de
   spectre $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. Montrer que
   $$\prod_i\lambda_i=\inf_{(e_i)\text{ base orthonormée}}
   \prod_i\langle f(e_i),e_i\rangle.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 561]
Soit $A\in\mathcal{S}_n(\R)$ et $A_i$ sa sous-matrice principale d'ordre $i$.
1. Si $A$ est définie positive, montrer que chaque $A_i$ l'est et
   $\det A_i>0$.
2. Réciproquement, si $\det A_i>0$ pour tout $i$, montrer que $A$ est
   définie positive (traiter d'abord $n=1,2$).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 562]
Soit $S\in\mathcal{S}_n(\R)$. Montrer que
$\{X\in\R^n\mid X^TSX=1\}$ est compact non vide si et seulement si
$S\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 563]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre :
1. $A$ est symétrique et la somme de deux valeurs propres de $A$ n'est
   jamais nulle.
2. Pour toute matrice symétrique $B$, il existe une unique matrice
   symétrique $M$ telle que $B=MA+AM$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 564]
1. Soit $A\in\mathcal{S}_n^+(\R)$. Montrer que $\operatorname{rg}A\leq r$
   si et seulement si $A=\sum_{i=1}^rX_iX_i^T$ pour des $X_i\in\R^n$.
2. Cette propriété reste-t-elle vraie pour $A$ symétrique quelconque ?
3. Pour $A\in\mathcal{S}_n(\C)$ de rang $1$, montrer qu'il existe $X$
   tel que $A=XX^T$.
4. Généraliser aux matrices complexes symétriques de rang $r$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 565]
Soit $E$ euclidien et $N$ la norme d'opérateur.
1. Pour $f\in\mathcal{S}^+(E)$, montrer qu'il existe un unique
   $r\in\mathcal{S}^+(E)$ tel que $f=r^2$.
2. Pour $u\in\mathcal{S}(E)$, exprimer $N(u)$ à l'aide de son spectre.
3. Pour $f,g\in\mathcal{S}^+(E)$, montrer que
   $$N(R(f)-R(g))\leq\sqrt{N(f-g)}.$$
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 566]
Soit $C$ une partie d'un espace normé telle que, pour tous $u\neq v$ de
$C$, $]u,v[\cap C=\varnothing$. Montrer que si $C$ est fermée, alors
$C$ est convexe. Est-ce vrai sans l'hypothèse de fermeture ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 567]
Pour $M\in\mathcal{M}_n(\R)$, poser
$N(M)=\sup_{P\in O_n(\R)}|\operatorname{Tr}(PM)|$. Montrer que $N$ est
une norme sur $\mathcal{M}_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 568]
Soit $E=C^1([0,1],\R)$ et $N(f)=(f(0)^2+\int_0^1(f')^2)^{1/2}$.
1. Montrer que $N$ est une norme.
2. La comparer à $\|\cdot\|_\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 569]
Pour $P\in\R[X]$, poser $\|P\|_1=\int_0^1|P(t)|dt$,
$\|P\|_\infty=\sup_{[0,1]}|P|$ et
$N(P)=\sup_{n\in\N}|\int_0^1P(t)t^n dt|$.
1. Montrer que $N$ est une norme.
2. $N$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont-elles équivalentes ?
3. $N$ et $\|\cdot\|_1$ sont-elles équivalentes ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 570]
Pour $a\in\R$ et $P\in\R[X]$, poser
$N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1|P'(t)|dt$.
1. Montrer que $N_a$ est une norme.
2. Comparer $N_a$ et $N_b$ et étudier la continuité de $P\mapsto P(b)$
   pour la norme $N_a$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 571]
Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $F=\{f\in E\mid f(0)=0\}$.
1. Montrer que $F$ est fermé pour $\|\cdot\|_\infty$.
2. Est-ce encore vrai pour $N(f)=\int_0^1|f|$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 572]
Soit $E=\{f\in C^2([0,1],\R)\mid f(0)=f'(0)=0\}$ et
$N(f)=\|f+2f'+f''\|_\infty$.
1. Montrer que $N$ est une norme.
2. Si $g=f+2f'+f''$, exprimer $f$ en fonction de $g$.
3. Montrer qu'il existe $a>0$ tel que $\|f\|_\infty\leq aN(f)$.
4. Les normes $N$ et $\|\cdot\|_\infty$ sont-elles équivalentes ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 573]
Soient $K$ un compact d'un espace normé et $\varepsilon>0$. Une partie
$A\subset K$ est $\varepsilon$-séparée si deux points distincts sont à
distance au moins $\varepsilon$. Montrer qu'il existe $M(\varepsilon)$
tel que toute partie $\varepsilon$-séparée de $K$ ait cardinal au plus
$M(\varepsilon)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 574]
Soit $f:\R^2\to\R$ telle que $|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$ pour tous
$x,y$. Montrer que $f$ est constante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 575]
Soit $f:\R^n\to\R$ telle que, pour tout $\alpha\in\R$, les ensembles
$\{x\mid f(x)>\alpha\}$ et $\{x\mid f(x)<\alpha\}$ soient ouverts.
Montrer que $f$ est continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 576]
1. Si $P\in\C[X]$ est de degré $n$, montrer que
   $$\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|P(a+re^{i\theta})|^2d\theta
   =\sum_{k=0}^n\frac{|P^{(k)}(a)|^2}{(k!)^2}r^{2k}.$$
2. Si $K$ est un compact et $\partial K=K\setminus\mathring K$,
   montrer que $|P(z)|\leq\max_{w\in\partial K}|P(w)|$ pour $z\in K$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 577]
Soit $K$ un compact non vide d'un espace normé et $f:K\to K$ une
isométrie. Montrer que $f$ est surjective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 578]
Décrire les sous-groupes compacts de $(\C^*,\times)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 579]
Soit $f:\R^2\to\R$ continue.
1. S'il existe $c$ tel que $f^{-1}(\{c\})$ soit un singleton, que peut-on
   dire de $c$ ?
2. S'il existe $c$ tel que cette fibre soit compacte non vide, montrer
   que $f$ possède un extremum.
3. Si toutes les fibres sont compactes, montrer que $f(x)$ admet une
   limite, éventuellement infinie, lorsque $\|x\|\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 580]
Soit $E$ un espace normé.
1. Si $f:E\to E$ est additive et bornée sur la boule unité, montrer que
   $f$ est linéaire.
2. Si $E$ est de dimension finie, $f$ linéaire et $\|f(x)\|\leq\|x\|$,
   poser $u_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}f^k$. Étudier la convergence si
   $\|f\|_{op}<1$, puis si $\|f\|_{op}=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 581]
Soit $u$ une contraction d'un espace normé $E$. Posons
$v_n=\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nu^k$.
1. Simplifier $v_n\circ(u-\operatorname{id})$.
2. Montrer que $\operatorname{Im}(u-\operatorname{id})\cap
   \ker(u-\operatorname{id})=\{0\}$.
3. Si $E$ est de dimension finie, montrer que leur somme est $E$.
4. Si $E=\operatorname{Im}(u-\operatorname{id})\oplus\ker(u-\operatorname{id})$,
   montrer que $v_n$ converge simplement et que l'image est fermée.
5. Réciproquement, si $v_n$ converge simplement et l'image est fermée,
   montrer que cette somme directe vaut $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 582]
Soit $f:E\to\R$ une forme linéaire continue non nulle sur un espace
normé, et $a\in E$ tel que $f(a)\neq0$.
1. Montrer que $\|f\|_{op}=|f(a)|/d(a,\ker f)$.
2. Montrer que la distance est atteinte si et seulement s'il existe
   $b\neq0$ tel que $\|f\|_{op}=|f(b)|/\|b\|$.
3. Pour $E=C^0([-1,1],\R)$ muni de $\|\cdot\|_\infty$, poser
   $F(g)=\int_0^1g-\int_{-1}^0g$. Montrer que $F$ est continue et
   calculer sa norme d'opérateur. Est-elle atteinte ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 583]
Soit $E$ l'espace des fonctions réelles continues bornées sur $\R$.
Pour $p\in\N$, poser $N_p(f)=\sup_{t\in\R}|t^pe^{-|t|}f(t)|$.
1. Montrer que $N_p$ est une norme.
2. Pour $c\in\R$, la forme $f\mapsto f(c)$ est-elle continue pour $N_p$ ?
3. Si $p\neq q$, les normes $N_p,N_q$ sont-elles équivalentes ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 584]
1. Énoncer et démontrer le théorème des bornes atteintes.
2. Soit $C$ un convexe compact non vide d'un espace euclidien. Pour $x$,
   montrer qu'il existe un unique projeté $p(x)\in C$ réalisant la
   distance à $C$, et caractériser $y=p(x)$ par
   $\langle x-y,c-y\rangle\leq0$ pour tout $c\in C$.
3. Montrer que $x\mapsto p(x)$ est continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 585]
Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et
seulement si sa classe de similitude est fermée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 586]
1. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\R)$ est un fermé non compact.
2. Montrer que $\operatorname{SO}_n(\R)$ est connexe par arcs.
3. Pour $M\in\operatorname{GL}_n(\R)$, montrer qu'il existe $O\in O_n(\R)$
   et $S\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ tels que $M=OS$.
4. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\R)$ est connexe par arcs et
   déterminer les composantes connexes par arcs de $\operatorname{GL}_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 587]
Soit $u_1>0$ et $u_{n+1}=u_n+1/(nu_n)$. Étudier $(u_n)$ et donner un
équivalent de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 588]
1. Soit $u_0\geq0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$. Étudier la suite.
2. Soit $v_0\geq0$ et $v_{n+1}=\sqrt{v_n}+1/(n+1)$. Étudier la suite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 589]
Soient $p,q>0$, $p+q=1$ et $p<q$. Montrer la convergence et calculer la
limite de
$$u_n=\sum_{k=\lfloor n/2\rfloor+1}^n\binom nkp^kq^{n-k}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 590]
Soit $c_n$ le nombre d'éléments $a\in S_n$ tels que
$a_{i+1}\neq a_i+1$ pour tout $i<n$.
1. Montrer que $c_n=(n-1)c_{n-1}+(n-2)c_{n-2}$ pour $n\geq3$.
2. Montrer que $c_n/n!$ converge et calculer sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 591]
Soit $u_0>0$ et $u_{n+1}=u_n+n/u_n$.
1. Étudier la monotonie de $(u_n)$ et le cas $u_0=1$.
2. Montrer que $(u_n-n)_{n\geq1}$ converge.
3. Poser $y_n=n(u_n-n)$. Si $u_n>n$, montrer que
   $y_{n+1}/y_n=1+O(n^{-2})$, puis qu'il existe $\alpha\neq0$ tel que
   $u_n=n+\alpha/n+O(n^{-2})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 592]
1. Montrer que, pour $n\geq2$, $P_n=X^n-nX+1$ possède une unique racine
   $u_n\in]0,1[$.
2. Montrer que $(u_n)$ converge.
3. Déterminer un développement asymptotique à deux termes de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 593]
Soit $x_0>0$ et $x_{n+1}=x_n+1/S_n$, où $S_n=x_0+\cdots+x_n$.
1. Montrer que $x_n\to+\infty$ et $x_{n+1}\sim x_n$.
2. En étudiant $S_{n+1}/x_{n+1}-S_n/x_n$, montrer que $S_n\sim nx_n$.
3. Déterminer un équivalent de $x_{n+1}^2-x_n^2$, puis de $x_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 594]
Pour $m\in\N$, poser
$$F_m(x)=\int_0^x\frac{u^me^u}{m!}\,du.$$
1. Montrer qu'il existe un unique $x_m>0$ tel que $F_m(x_m)=1$.
2. Pour $v>0$, déterminer la limite et un équivalent de $F_m(vm)$.
3. Donner un équivalent de $x_m$ lorsque $m\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 595]
Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=1+u_0u_1\cdots u_n$. Posons $v_n=u_n-1/2$.
1. Exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
2. Montrer que $v_n\geq2^{n-2}$ pour $n\geq1$.
3. Montrer qu'il existe $r>0$ tel que
   $v_n=r^{2^n}(1+O(4^{-n}))$.
4. Montrer qu'il existe $(x_n)$ tendant vers $0$ tel que
   $u_n=r^{2^n}+1/2+x_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 596]
1. Pour $n\geq3$, montrer qu'il existe $k<n$ tel que
   $\prod_{i=1}^k(1-i/n)<1/2$.
2. Si $K_n$ est le plus petit tel $k$, montrer que $K_n\to+\infty$.
3. A-t-on $K_n=o(n)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 597]
Soit $(u_n)$ positive bornée et telle que $u_{n+1}-u_n^2\to0$.
1. Montrer que la suite admet une valeur d'adhérence.
2. Pour l'ensemble $E$ de ses valeurs d'adhérence, montrer que
   $\lambda\in E$ entraîne $\lambda^{2^k}\in E$ pour tout $k$, puis
   que $E\subset[0,1]$.
3. Montrer que $E\subset\{0,1\}$.
4. Montrer que la suite a une unique valeur d'adhérence et converge vers
   $0$ ou $1$.
5. La question 4 reste-t-elle vraie sans positivité, ou sans bornitude ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 598]
Montrer que la série $\sum_{k\geq1}\sin(k)/k$ converge.
Indication : poser $S_n=\sum_{k=0}^n\sin(k)$ et utiliser
$\sin(n)=S_n-S_{n-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 599]
Soit $\alpha\in\R$. Déterminer la nature de
$$\sum_{n\geq1}\frac{(-1)^n\sin(\arctan(n^\alpha))}{n}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 600]
Pour $n\geq1$, poser $a_n=n!e^n/n^{n+1/2}$.
Étudier la convergence de la série
$$\sum_{n\geq1}(\ln a_{n+1}-\ln a_n).$$
Donner un équivalent du reste de $\sum_{k\geq1}1/k^2$, puis en déduire
l'existence de $C>0$ tel que
$$n!=C\sqrt n\left(\frac ne\right)^n
\left(1+\frac1{12n}+o(1/n)\right).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 601]
Posons $u_n=\ln(n)/n$,
$$s_{2n}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^k\frac{\ln k}{k},\qquad
R_n=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{\ln(1+k/n)}{1+k/n}.$$
1. Étudier la décroissance de $u_n$ et la convergence de $(s_{2n})$.
2. Établir $s_{2n}=H_n\ln2-T_n$, où
   $H_n=\sum_{k=1}^n1/k$ et $T_n=\sum_{k=n+1}^{2n}\ln(k)/k$.
3. À l'aide des développements de $H_n$ et $\sum_{k=1}^n\ln(k)/k$,
   déterminer l'asymptotique de $T_n$.
4. Montrer que $R_n$ est une somme de Riemann, calculer sa limite et
   établir $T_n=\ln(n)(H_{2n}-H_n)+R_n$.
5. En déduire la somme $\sum_{k\geq1}(-1)^k\ln(k)/k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 602]
Pour $n\geq1$, poser $v_n=\sum_{k=1}^n1/\sqrt{k}$ et
$u_n=(-1)^n(v_n-(-1)^n)$. Déterminer la nature de $\sum u_n$ et donner
un équivalent du reste en cas de convergence, ou de la somme partielle
en cas de divergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 603]
Soit $(u_k)$ positive.
1. Si $\sum_{k=n+1}^{2n}u_k\leq\frac1n\sum_{k=1}^nu_k$ pour tout $n$,
   déterminer la nature de $\sum u_n$.
2. Même question si la borne de la somme de gauche est $2n+p$ et son
   départ $n+p+1$, pour un $p\geq1$ fixé.
3. Même question si la somme est de $pn+1$ à $(p+1)n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 604]
Soit $u_0>0$ et $u_{n+1}=e^{-u_n}/(n+1)$.
1. Déterminer les limites de $u_n$ et $nu_n$.
2. Donner un développement asymptotique à trois termes de $u_n$.
3. Étudier $\sum u_n$ et $\sum(-1)^nu_n$.
4. Donner un équivalent du reste des séries convergentes et des sommes
   partielles des séries divergentes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 605]
Soit $(u_n)_{n\geq1}$ réelle, $u_n\neq-1$, et
$$v_n=\frac{u_n}{(1+u_1)\cdots(1+u_n)}.$$
1. Si $u_n\geq0$, montrer que $\sum v_n$ converge. Si $\sum u_n$
   diverge, calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}v_n$.
2. Étudier $\sum v_n$ pour $u_n=(-1)^n/(n+1)$ puis
   $u_n=(-1)^n/\sqrt{n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 606]
Soit $f\in C^1([1,+\infty[,\R)$ strictement croissante telle que
$f(x)\to+\infty$ et $f'(x)\to0$.
1. En utilisant $|e^{if(b)}-e^{if(a)}|\leq(b-a)\sup_{[a,b]}|f'|$,
   montrer que $\{e^{if(n)}\mid n\in\N\}$ est dense dans le cercle unité.
2. Pour $f\in C^1([a,+\infty[)$, montrer que
   $$\left|f(n)-\int_n^{n+1}f(t)dt\right|
   \leq\frac12\max_{[n,n+1]}|f'(x)|.$$
3. En déduire la nature de $\sum\sin(\ln n)/n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 607]
Comparer $\pi^3$ et $3^\pi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 608]
Soit $f(x)=\arctan(1/(1+x^2))$. Montrer que $f$ est $C^\infty$ et
calculer $f^{(n)}(0)$ pour tout $n\in\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 609]
Déterminer les fonctions dérivables $f:\R_+^*\to\R$ telles que
$f'(x)=f(1/x)$ pour tout $x>0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 610]
Déterminer les fonctions continues $f:\R\to\R$ telles que
$$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$$
pour tous $x,y\in\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 611]
Déterminer les fonctions deux fois dérivables $f:\R\to\R$ telles que
$$f''(x)\cos(f(x))\geq f'(x)^2\sin(f(x))$$
pour tout $x\in\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 612]
Soit $E$ l'espace des fonctions de $\R$ dans $\R$ et
$D(f)(x)=f(x+1)-f(x)$. Pour $n\in\N$, soit
$$F_n=\{x\mapsto x^{n-1}w_{n-1}(x)+\cdots+xw_1(x)+w_0(x)
\mid w_0,\ldots,w_{n-1}\in\ker D\}.$$
1. Montrer que $F_n=D(F_{n+1})$.
2. Montrer par récurrence que $\ker(D^n)=F_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 613]
Soit $f:[0,1]\to\R$.
1. Montrer que $f$ est dérivable en $0$ si et seulement si elle admet un
   développement limité d'ordre $1$ en $0$.
2. Si $f(0)=0$ et $f$ est dérivable en $0$, montrer que
   $u_n=\sum_{k=1}^nf(k/n^2)$ converge et calculer sa limite.
3. Si $f$ est continue en $0$ et $\lambda\in]0,1[$, montrer que $f$ est
   dérivable en $0$ si et seulement s'il existe $\ell$ tel que
   $(f(x)-f(\lambda x))/x\to\ell$, et préciser le lien avec $f'(0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 614]
Soit $f(x)=x-\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$.
1. Montrer que les restrictions de $f$ à $]-1,0]$ et $[0,+\infty[$
   sont des bijections sur $\R_+$.
2. Déterminer un équivalent de $f$ en $0$, puis ceux des fonctions
   réciproques en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 615]
Soit $f:\R_+\to\R$ continue, bornée et intégrable. Posons
$\alpha=\sup_{\R_+}|f|$ et $u_n=\int_0^{+\infty}f(t)^n dt$.
1. Montrer que les $u_n$ sont bien définis.
2. Si $\alpha<1$, montrer que $\sum u_n$ converge.
3. Si $\alpha>1$, montrer que $\sum u_n$ diverge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 616]
Soient $a<b$, $E=C^0([a,b],\R)$ muni de la norme uniforme et
$A=\{f\in E\mid f(x)>0\ \forall x\}$. Pour $f\in A$, poser
$$\Phi(f)=\left(\int_a^bf(x)dx\right)
\left(\int_a^b\frac{dx}{f(x)}\right).$$
1. Montrer que $\Phi$ admet un minimum et le déterminer.
2. $A$ est-elle ouverte ? Fermée ?
3. Déterminer $\Phi(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 617]
Soit $F(x)=\int_x^{\sqrt{x}}e^t/t\,dt$. Déterminer la limite et un
équivalent de $F$ en $0^+$ et en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 618]
Soit $n\in\N$ et
$$F=\{f\in C^\infty(\R,\R)\mid f(x)=x^{n+1}g(x)\text{ pour un }g\in C^\infty\}.$$
Pour $f\in C^\infty$, poser
$$\varphi(f)(x)=\int_0^x\frac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$
Montrer que $\varphi$ est le projecteur sur $F$ parallèlement aux
polynômes de degré au plus $n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 619]
Étudier la nature des intégrales impropres
$$\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{\sqrt{x}}dx,\quad
\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{\sin x+\sqrt{x}}dx,\quad
\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}{x+\sqrt{x}}dx.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 620]
Posons $I=\int_0^{\pi/2}\ln(\sin t)dt$.
1. Justifier la convergence et montrer que $I=\int_0^{\pi/2}\ln(\cos t)dt$
   et $I=\frac12\int_0^\pi\ln(\sin t)dt$.
2. Calculer $I$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 621]
1. Pour $\alpha>1$, montrer que $x^\alpha=\sin x$ a une unique solution
   $a>0$.
2. Déterminer la nature de
   $$\int_a^{+\infty}\frac{\cos t}{\sqrt{|t^\alpha-\sin t|}}dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 622]
1. Pour $a>-1$, calculer $\int_0^{\pi/2}(1+a\sin^2t)^{-1}dt$ en posant
   $x=\tan t$.
2. Déterminer la nature des séries et intégrales :
   $$\sum_n\int_0^\pi\frac{dt}{1+(n\pi)^\alpha\sin^2t},\quad
   \sum_n\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\frac{dt}{1+t^\alpha\sin^2t},\quad
   \int_0^\infty\frac{dt}{1+t^\alpha\sin^2t}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 623]
Soit $a>0$. Étudier la convergence et calculer éventuellement
$$\int_0^{+\infty}\frac{\ln t}{(1+t^a)^2}dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 624]
Soit $f(x)=\int_x^{+\infty}e^{-t^2}dt$. Donner un équivalent de $f(x)$
en $+\infty$, puis un équivalent de $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty}e^{-k^2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 625]
1. Soient $a<b$ et $f,g\in C^0([a,b],\R)$ avec $f$ de signe constant.
   Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que
   $$\int_a^bf(t)g(t)dt=g(c)\int_a^bf(t)dt.$$
2. Soient $\lambda,\mu\in\R$ et $f\in C^0(\R_+^*)$ telle que
   $f(x)\to\lambda$ en $0$ et $(f(t)-\mu)/t$ soit intégrable sur
   $[1,+\infty[$. Pour $0<a<b$, montrer la convergence et calculer
   $$\int_0^{+\infty}\frac{f(at)-f(bt)}t dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 626]
Soit $P\in\C[X]\setminus\{0\}$. Étudier la convergence puis calculer
$$\int_0^{2\pi}\ln|P(e^{it})|dt$$
en fonction des racines de $P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 627]
1. Pour $a<b$ et $f\in C^0([a,b],\R_+)$, montrer que
   $$\left(\int_a^bf(t)^xdt\right)^{1/x}\to\sup_{[a,b]}f$$
   lorsque $x\to+\infty$.
2. Calculer
   $$\lim_{x\to+\infty}\left(\ln x-\frac{\ln\Gamma(x+1)}x\right),$$
   où $\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}t^{s-1}e^{-t}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 628]
Soit $E=L^2(\R_+)$ muni de sa norme usuelle. Pour $f\in E$, montrer
que $x\mapsto x^{-1}\int_0^xf$ se prolonge de manière unique en une
fonction continue sur $\R_+$, notée $T(f)$. Montrer que $T(f)\in E$ et
que $T$ est un endomorphisme continu de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 629]
Soit $E$ l'espace des fonctions $[0,1]\to\R$.
1. Montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe
   $(x_1,\ldots,x_n)$ tel que $\det(f_i(x_j))\neq0$.
2. Si $F\subset E$ est de dimension finie et $(f_k)\subset F$ converge
   simplement vers $f$ sur $[0,1]$, montrer que la convergence est uniforme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 630]
Soit $(f_n)\subset C^2([0,1],\R)$.
1. Si $(f_n(0))$ converge et $(f_n'-f_n)$ converge uniformément, montrer
   que $(f_n)$ converge uniformément.
2. Si $(f_n(0))$ et $(f_n(1))$ convergent et $(f_n''-f_n)$ converge
   uniformément, montrer que $(f_n)$ converge uniformément.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 631]
Soit $E=\{u\in C^0(\R,\R)\mid |u(x)|<|x|\text{ pour }x\neq0\}$.
1. Les fonctions $\sin x$ et $x\cos x$ appartiennent-elles à $E$ ?
2. Pour $f\in E$, poser $f_n=f\circ\cdots\circ f$. Montrer que $(f_n)$
   converge simplement et déterminer sa limite.
3. Montrer que la convergence est uniforme sur tout segment mais pas
   nécessairement sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 632]
Soit $f\in C^2([a,b],\R)$. Montrer l'équivalence entre $f$ convexe et
l'existence d'une suite de polynômes convexes convergeant uniformément
vers $f$ sur $[a,b]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 633]
Soit $(\varphi_n)\subset C^0(\R,\R_+)$ telle que $\int_\R\varphi_n\to1$
et $\int_{|t|>\alpha}\varphi_n(t)dt\to0$ pour tout $\alpha>0$.
Pour $f$ continue bornée, poser $f_n(x)=\int_\R\varphi_n(t)f(x-t)dt$.
Montrer que $f_n\to f$ uniformément sur tout segment.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 634]
1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Montrer que
   $$e^A-e^B=\int_0^1e^{xA}(A-B)e^{(1-x)B}dx.$$
2. Montrer que $f_p:A\mapsto(I_n+A/p)^p$ converge vers l'exponentielle
   uniformément sur les compacts de $\mathcal{M}_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 635]
Posons $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-\sqrt n x}$. Déterminer son domaine,
montrer que $S$ est continue, puis déterminer sa limite en $+\infty$ et
un équivalent en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 636]
Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}e^{-nx}/(n+x)$.
1. Déterminer le domaine $D$ et étudier la continuité sur $D$.
2. La série converge-t-elle uniformément sur $D$ ?
3. Déterminer limites et équivalents aux bornes de $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 637]
Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\sin(2^nx)/2^n$.
1. Montrer que $f$ est continue sur $\R$.
2. $f$ est-elle dérivable en $0$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 638]
Déterminer le rayon de convergence de
$$\sum_{n\geq1}\frac{z^n}{(\sqrt n)^{\sqrt n}}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 639]
Soit $\alpha>1$ et
$$a_n=\left(\sin(n)^\alpha+\alpha\sin(1/n)\right)^n.$$
Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$. On admet que $\pi$
est irrationnel.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 640]
Pour $m\in\N$, poser $W_m=\int_0^{\pi/2}\cos^m(t)dt$ et
$f(x)=\sum_{m=0}^{+\infty}W_mx^m$.
1. Montrer que $mW_m=(m-1)W_{m-2}$ pour $m\geq2$.
2. Montrer que $1/(m+1)\leq W_m\leq\pi/2$.
3. Calculer le rayon de convergence de $f$.
4. Exprimer $f(x)$ à l'aide du résultat de la question 1, puis à l'aide
   de $\int_0^{\pi/2}(1-x\cos t)^{-1}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 641]
Pour $n\in\N$, poser $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et
$u_n(x)=a_nx^n/n^\alpha$.
1. Déterminer la limite de $(a_n)$.
2. Trouver une relation simple entre $a_{n+2}$ et $a_n$.
3. Étudier la série de terme général $u_n(x)$ selon $x,\alpha$.
4. Pour $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$, exprimer $f$ avec des
   fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 642]
Pour $n\in\N$, poser $u_n=\int_0^1(1-t^2)^ndt$ et
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$.
1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
2. Expliciter $f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 643]
Soient $a_n=n!/(1\cdot3\cdots(2n+1))$ et
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^{2n+1}$.
1. Déterminer le rayon de convergence, une équation différentielle
   vérifiée par $f$ et une expression simplifiée de $f$.
2. Étudier la convergence de la série aux bornes du disque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 644]
Soient $a,b,c\in\C\setminus(-\N)$. Pour $n\geq1$, poser
$$u_n=\frac1{n!}\prod_{k=0}^{n-1}\frac{(a+k)(b+k)}{c+k}.$$
1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b,c$ pour que la
   série converge sur le bord de son disque de convergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 645]
Pour $n\in\N$, poser $I_n=\int_0^{\ln2}(e^t-1)^ndt$ et
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}I_nx^n$.
1. Trouver une récurrence vérifiée par $(I_n)$.
2. Donner un équivalent de $I_n$.
3. Déterminer le rayon de convergence de $f$ et exprimer $f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 646]
Soit $t\in\R\setminus\pi\Z$ et
$f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sin(nt)}n x^n$.
1. Déterminer le rayon de convergence.
2. Étudier la convergence de la série en $\pm R$.
3. Exprimer $f(x)$ pour $x\in]-R,R[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 647]
Soit $(a_n)_{n\in\N}$ réelle telle que $\sum a_n$ converge et
$F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n/n!$.
1. Montrer que $F$ est définie et $C^\infty$ sur $\R$.
2. Montrer que $\sum_pF^{(p)}$ converge simplement sur $\R$, d'abord
   si $\sum a_n$ converge absolument, puis dans le cas général.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 648]
Soit $a_0=a_1=1$ et $a_{n+1}=a_n+2a_{n-1}/(n+1)$ pour $n\geq1$.
Posons $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.
1. Montrer que $1\leq a_n\leq n^2$ pour $n\geq1$.
2. Déterminer le rayon de convergence.
3. Montrer que $(1-x)y'-(2x+1)y=0$ est vérifiée par $f$.
4. Exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 649]
Soit $f:\R\to\R$ dérivable et bornée telle que $f'(x)=f(x+1)$.
1. Montrer que $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}(0)x^n/n!$.
2. Montrer que, pour tout $k\in\N$,
   $$f^{(k)}(0)=-\sum_{n=k+2}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{(n-k)!}.$$
3. Conclure que $f=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 650]
Pour $p\geq2$, poser
$$I_p=\int_0^1\frac{t^p\ln t}{t^2-1}dt.$$
1. Justifier la bonne définition de $I_p$.
2. Calculer $I_2$ (on admet la valeur de $\zeta(2)$).
3. Déterminer un équivalent simple de $I_p$ lorsque $p\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 651]
1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}\sin(u^2)du$ converge.
2. Pour $a,b>0$, donner un équivalent simple de
   $I_n=\int_0^{+\infty}\sin(n(au^2+bu^3))du$ en fonction de $I$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 652]
Pour $n\geq1$, poser
$$I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(nt)}{1+n^5t^3}dt.$$
1. Montrer que $I_n$ est bien définie.
2. Déterminer sa limite et un équivalent simple.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 653]
1. Déterminer l'ensemble $\Delta$ des $z\in\C$ tels que
   $u_z(t)=e^{-t}t^{z-1}$ soit intégrable sur $\R_+^*$.
2. Pour $z\in\Delta$, montrer que
   $$\int_0^n(1-t/n)^nt^{z-1}dt\to\Gamma(z).$$
3. Montrer que $\Gamma$ ne s'annule pas sur $\Delta$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 654]
Soit $(a_n)$ positive, $0<a_n\leq1$ et $a_n\to1$. Posons
$$b_n=\int_0^1\prod_{k=1}^n(1-a_kx)dx,\qquad
\sigma_n=\sum_{k=1}^na_k.$$
1. Montrer que $b_n\geq1/(n+1)$.
2. Montrer que $b_n\leq(1-e^{-\sigma_n})/\sigma_n$.
3. Déterminer un équivalent de $b_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 655]
Poser $f(x)=\int_0^{+\infty}(1+t^x)^{-1}dt$.
1. Déterminer le domaine $D$ de définition.
2. Montrer que $f(x)>1$ sur $D$.
3. Pour $y\in\R$, déterminer le nombre de solutions de $f(x)=y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 656]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t^x}{e^t-1}dt$.
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]0,+\infty[$.
2. Donner un équivalent de $f$ en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 657]
Pour $x\geq0$ et $0<t\leq1$, poser $f(x,t)=t^{-t}t^x$.
1. Montrer que
   $$f(x,t)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nt^{x+n}\ln^n t}{n!}.$$
2. Pour $y\geq0$ et $q\in\N$, poser $I(y,q)=\int_0^1t^y\ln^q(t)dt$.
   Établir une récurrence et calculer $I(y,q)$.
3. Poser $F(x)=\int_0^1f(x,t)dt$. Montrer que $F\in C^1(\R_+)$ et
   exprimer $F$ comme une somme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 658]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}dt$.
Déterminer son domaine, étudier continuité et dérivabilité, puis trouver
des équivalents aux bornes de son domaine.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 659]
Pour $x>0$, poser
$$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{(1+t^2)(x^2+t^2)}}.$$
Justifier l'existence, montrer que $f\in C^1(\R_+^*)$ et donner des
équivalents lorsque $x\to+\infty$ puis $x\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 660]
Soit $f\in C^0(\R_+^*)$ telle que $f(x)\to0$ lorsque $x\to+\infty$.
Pour $0<a<b$ :
1. Montrer que $\int_0^{+\infty}(f(at)-f(bt))/t\,dt$ converge et calculer
   sa valeur. En déduire $\int_0^{+\infty}(e^{-at}-e^{-bt})/t\,dt$.
2. Retrouver ce résultat en étudiant la fonction de $a$ définie par
   cette dernière intégrale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 661]
Soit $f(x)=\int_0^1\frac{\ln t}{t+x}dt$.
1. Déterminer le domaine de définition.
2. Montrer que $f\in C^1(\R_+^*)$ et expliciter $f'(x)$.
3. Pour $x>0$, calculer $f(x)+f(1/x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 662]
Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-2t}}{x+t}dt$.
1. Déterminer le domaine et étudier la continuité.
2. Donner un équivalent de $F$ en $+\infty$ et en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 663]
Posons $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{e^{xt}-1}dt$.
1. Montrer que $F$ est définie sur $\R_+^*$.
2. Montrer que
   $$F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{1+n^2x^2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 664]
Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(tx)}{t(1+t^2)}dt$.
1. Déterminer le domaine $D$ et montrer que $F\in C^1(D)$.
2. Exprimer $F$ sur $D$ (on pourra calculer d'abord $F'$ sur $\R_+$).
3. Calculer $\int_0^{+\infty}(\arctan t)^2/t\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 665]
Soit $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$.
1. Déterminer le domaine de définition.
2. Montrer que $f$ est développable en série entière et préciser un
   intervalle de validité.
3. Expliciter les coefficients de ce développement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 666]
Soit $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{x-1}dt$.
1. Montrer que $\Gamma$ est définie sur $\R_+^*$.
2. Établir une relation entre $\Gamma(x)$ et $\Gamma(x+1)$.
3. Montrer que $\ln\circ\Gamma$ est convexe.
4. Pour $x>1$, en utilisant les différences de $\ln\Gamma$, montrer que
   $$\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}=\ln x+o(1)\quad(x\to+\infty).$$
5. Montrer que $\sum_{k=1}^n1/k-\ln n$ converge vers une constante $\gamma$.
6. En déduire $\int_0^{+\infty}\ln(t)e^{-t}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 667]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}\arctan(t)dt$.
1. Déterminer son domaine et montrer que $f\in C^\infty$.
2. Donner un développement asymptotique de $f$ à tout ordre en $+\infty$.
3. Terminer l'étude de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 668]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}(\sin t/t)e^{-xt}dt$.
1. Déterminer le domaine de définition $D$.
2. Montrer que $f$ est continue sur $D$ et $C^1$ sur $\R_+^*$.
3. Calculer $\int_0^{+\infty}\sin(t)/t\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 669]
Soit $f(x)=\int_0^{\pi/2}(x-\cos t)^{-1/2}dt$. Déterminer le domaine
de définition et tracer le graphe aussi précisément que possible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 670]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}(\cosh^2t-x)^{-1/2}dt$.
1. Déterminer le domaine de définition.
2. Montrer que $f$ est développable en série entière autour de $0$ et
   expliciter ce développement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 671]
Soit $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$ sur $\R_+^*$.
1. Montrer que $\ln\circ\Gamma$ est convexe.
2. Soit $f:\R_+^*\to\R$ telle que $f(1)=1$, $f(x+1)=xf(x)$ et
   $\ln\circ f$ convexe. Montrer que $f=\Gamma$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 672]
Soit $f:\R_+\to\R$ continue et intégrable, avec $f(0)\neq0$. On admet
$\int_0^{+\infty}e^{-y^2}dy=\sqrt\pi/2$.
1. Pour $t>0$, montrer que $x\mapsto e^{-tx^2}f(x)$ est continue et
   intégrable.
2. Pour $a>0$, montrer que $\sqrt t\int_a^{+\infty}e^{-tx^2}f(x)dx\to0$.
3. Déterminer $A$ tel que
   $$\int_0^{+\infty}e^{-tx^2}f(x)dx\sim A/\sqrt t.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 673]
On admet $\int_{-\infty}^{+\infty}\cos(t^2)dt=
\int_{-\infty}^{+\infty}\sin(t^2)dt=\sqrt{\pi/2}$.
Posons $K(x)=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}e^{ix\cos t}dt$ et
$J(x)=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(x\cos t)dt$.
1. Montrer que
   $$K(x)=2e^{ix}\int_{-\sqrt2/2}^{\sqrt2/2}
   e^{-2ixy^2}(1-y^2)^{-1/2}dy.$$
2. Développer $(1-y^2)^{-1/2}$ en série entière.
3. Montrer que $\int_{\sqrt x}^{+\infty}e^{-iy^2}dy=-ie^{-ix}/\sqrt x+O(1/x)$.
4. En déduire une constante explicite $C$ telle que
   $J(x)=C/\sqrt x+O(1/x)$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 674]
Soit
$$f(x,y)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{itx}}{(t-y)^2+x^2}dt.$$
Déterminer son domaine de définition et calculer $f(x,y)$ sur ce domaine.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 675]
Pour $n\geq1$ et $\alpha\in\R$, poser
$$U_n(\alpha)=\int_0^{\pi/2}\sin(t)^\alpha\cos(t)^n dt.$$
Préciser la nature de $\sum U_n(1)$, puis de $\sum U_n(\alpha)$ selon
$\alpha$. Calculer $U_2(3)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 676]
Soit $f:[0,1]\to\R_+$ continue et $u_n=\int_0^1t^nf(t)dt$.
1. Montrer que $\sum(-1)^nu_n$ converge vers
   $S=\int_0^1f(t)/(1+t)dt$.
2. Montrer que $2S=\sum_{n=0}^{+\infty}\int_0^1(1-t^2)^nf(t)dt$ et en
   déduire une expression de $\ln2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 677]
Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$.
1. Pour $r>0$ assez grand, montrer que $re^{it}I_n-A$ est inversible et
   développer son inverse en série géométrique.
2. Montrer que, pour tout $P\in\C[X]$,
   $$P(A)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
   P(re^{it})re^{it}(re^{it}I_n-A)^{-1}dt.$$
3. En déduire Cayley-Hamilton.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 678]
Déterminer les fonctions $f\in C^1(\R_+,\R)$ telles que
$$f'(x)=\int_0^x\frac{f(r)}rdr+f(x)+2.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 679]
Soit $k\geq1$ et $f\in C^0(\R,\R)$ $2\pi$-périodique. Donner une
condition nécessaire et suffisante simple sur $f$ pour que l'équation
$y''+k^2y=f$ admette des solutions $2\pi$-périodiques.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 680]
Soit $y$ une solution bornée sur $\R_+$ de $y''+\varphi(x)y=0$, où
$\varphi$ est intégrable sur $\R_+$. Montrer que $y'(x)\to0$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 681]
Soit l'équation différentielle $x^2y'+y=x$.
1. Admet-elle une solution développable en série entière en $0$ ?
2. Admet-elle une solution définie sur $\R$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 682]
Soit $y$ solution sur $\R_+^*$ de $xy''+y'+xy=0$, et posons
$u(x)=\sqrt{x}\,y(x)$.
1. Donner une équation différentielle vérifiée par $u$.
2. Pour $v''+v=0$ et $0<a<b$, montrer que
   $$\int_a^b\frac{u(x)v(x)}{4x^2}dx
   =(uv'-u'v)(b)-(uv'-u'v)(a).$$
3. Montrer que, pour tout $a>0$, il existe $x_a\in[a,a+\pi[$ tel que
   $y(x_a)=0$.
4. En déduire que $J_0(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}(-1)^k(x^2/4)^k/(k!)^2$
   s'annule une infinité de fois sur $\R_+^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 683]
Soient $f\in C^1(\R_+,\R)$ et $g=f+f'$, avec $\int_0^\infty|g(t)|^2dt<\infty$.
1. Montrer que
   $$f(x)=e^{-x}f(0)+e^{-x}\int_0^xe^tg(t)dt.$$
2. Montrer que $f$ est bornée.
3. Montrer que $\int_A^\infty g(t)^2dt\to0$ puis $f(x)\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 684]
On considère l'équation différentielle $ty''(t)+ty'(t)-y(t)=0$ sur $\R_+^*$.
1. Pour quels $a\in\R$, $h_a(t)=t^a$ est-elle solution ?
2. Justifier que $g(t)=e^{-t}/t^2$ admet une primitive sur $\R_+^*$.
3. Étudier les variations et limites de $G(x)=\int_1^xg(t)dt$.
4. Pour $f\in C^2(\R_+^*)$, poser $s(t)=tf(t)$. Montrer que $f$ est
   solution de l'équation
   $$E':\quad z'(t)+\left(1+\frac2t\right)z(t)=0$$
   si et seulement si $s'$ est solution de $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 685]
Résoudre les systèmes différentiels
$$\begin{cases}x'=x+2y+te^t\\y'=8x+y+e^{-t}\end{cases}\qquad\text{et}\qquad
\begin{cases}x_1'=(1+t)x_1-tx_2-e^t\\x_2'=tx_1+(1-t)x_2+e^t.\end{cases}$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 686]
Posons $E=\{(x,y)\in\R^2\mid x>y\}\cup\{(0,0)\}$. Pour $\alpha\in\R$,
définissons $f(0,0)=\alpha$ et, ailleurs sur $E$,
$$f(x,y)=\frac1{\sqrt{x^2-y^2}}\exp\left(-\frac1{x^2+y^2}\right).$$
Montrer qu'aucune valeur de $\alpha$ ne rend $f$ continue en $(0,0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 687]
Montrer que la fonction
$$f(x_1,\ldots,x_n)=-\left(\prod_{k=1}^nx_k\right)^{1/n}$$
est convexe sur $(\R_+^*)^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 688]
Soit $E=\{(x,y)\in\R^2\mid |x|\leq\pi/2,\ |y|\leq\cos x\}$ et
$f(x,y)=y^2+y\cos x-\sin x-2$. Déterminer les extrema de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 689]
Soit $f(x,y)=\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}-xy/\sqrt2$. Déterminer les
extrema locaux, s'ils existent, et les caractériser.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 690]
On munit $\R^n$ de sa norme euclidienne, $S=\{x\mid\|x\|=1\}$ et
$f(x)=\prod_{i=1}^nx_i^2$.
1. Déterminer le maximum de $f$ sur $S$.
2. En déduire que
   $$\left|\prod_{i=1}^nx_i\right|\leq\left(\frac{\|x\|}{\sqrt n}\right)^n.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 691]
Soient $A\in\mathcal{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$. Déterminer le
minimum de $g(x)=\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 692]
Étudier les extrema locaux de $f(x,y)=x\sin(xy)+y^2/2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 693]
Soit $f(x,y)=x^y-xy$ sur $\R_+^*\times\R$. Déterminer les extrema de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 694]
Posons $D=\{(x,y)\in\R^2\mid xy>-1\}$ et $\Delta=\{(x,y)\mid xy=0\}$.
1. Représenter $D,\Delta$ et dire s'ils sont ouverts ou fermés.
2. Pour $f(x,y)=\ln(1+xy)/(xy)$, montrer qu'on peut prolonger $f$ en
   une fonction $C^\infty$ sur $D$.
3. Calculer $df(0,0)$. La fonction atteint-elle un extremum local en $(0,0)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 695]
Soit $f:M\mapsto MM^T$ de $\mathcal{M}_n(\R)$ dans $\mathcal{S}_n(\R)$.
1. Montrer que $df(M)$ est surjective si $M$ est inversible.
2. Pour la restriction $g=f|_{\mathcal{S}_n(\R)}$, si $M$ est symétrique
   inversible, $dg(M)$ est-elle surjective ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 696]
Déterminer l'espace tangent à $\operatorname{SL}_n(\R)$ en $I_n$, puis
en un point quelconque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 697]
1. Calculer la différentielle de $\det:\mathcal{M}_n(\R)\to\R$ en $I_n$.
2. Montrer de deux façons que $\det$ n'atteint pas d'extremum local en $I_n$.
3. Que peut-on dire d'un éventuel extremum local de $\det$ ?
4. Pour $1\leq r<n$, expliciter une matrice simple de rang $r$.
   La fonction $\det$ y atteint-elle un extremum local ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 698]
Soit
$$D=\left\{x\in(\R_+^*)^n\mid\sum_{i=1}^nx_i^4<16,\quad
\sum_{i=1}^nx_i>1\right\}.$$
Si $f:D\to\R$ vérifie $|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$ pour tous $x,y\in D$,
que peut-on dire de $f$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 699]
Soit $f:\R^n\to\R$ de classe $C^1$.
1. Si $f(x)\to+\infty$ lorsque $\|x\|\to+\infty$, montrer que $f$
   atteint un minimum.
2. Si $f(x)/\|x\|\to+\infty$, montrer que $\nabla f$ est surjective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 700]
Soit $U$ un ouvert non vide de $\R^n$ et $f:U\to\R$. On suppose que,
pour chaque $x\in U$, il existe $\alpha_x\in\mathcal{L}(\R^n,\R)$ tel que
$$|f(y)-f(x)-\alpha_x(y-x)|\leq\|y-x\|^2\quad(y\in U).$$
1. Montrer que $f$ est différentiable et préciser $df$.
2. Si $U=\R^n$, montrer qu'il existe $C>0$ tel que
   $$|df(x)h-df(y)h|\leq C(\|h\|^2+\|h\|\|x-y\|+\|x-y\|^2),$$
   puis en déduire que $df$ est lipschitzienne.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 701]
Soit $f:\R^n\to\R$ différentiable et minorée. Montrer que, pour tout
$\varepsilon>0$, il existe $x_\varepsilon$ tel que
$$|d_{x_\varepsilon}f(h)|\leq\varepsilon\|h\|\quad(h\in\R^n).$$
Indication : considérer $x\mapsto f(x)+\varepsilon\|x\|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 702]
Soit $f:\R^n\to\R$ de classe $C^2$.
1. Pour $x\in\R^n$, exprimer $t\mapsto f(tx)$ avec le gradient et la
   hessienne de $f$.
2. Si, en tout point, les valeurs propres de la hessienne sont dans
   $[1,+\infty[$, montrer que
   $$f(x)\geq f(0)+\langle\nabla f(0),x\rangle+\frac12x^Tx,$$
   que $f$ admet un minimum et que $\nabla f$ est bijective de $\R^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 703]
Soit $m\geq1$ et $S^m=\{x\in\R^{m+1}\mid\|x\|=1\}$.
1. Pour $a\in S^m$, montrer que $T_aS^m=\operatorname{Vect}(a)^\perp$.
2. Si $f:\R^{m+1}\to\R$ est $C^1$ et $f(a)=\max_{x\in S^m}f(x)$,
   montrer que $\nabla f(a)\in\R a$.
3. En déduire qu'un endomorphisme symétrique réel possède un vecteur
   propre, puis établir le théorème spectral.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 704]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne. Soient $a\in\R^n$, $r>0$,
et $f$ continue sur la boule fermée $B(a,r)$, de classe $C^2$ dans son
intérieur. Posons $\Delta f=\sum_i\partial_{x_i}^2f$.
1. Montrer que $f$ atteint un maximum sur la boule et sur la sphère.
2. Si $\Delta f>0$, montrer que les maxima sur la boule et la sphère
   sont égaux.
3. Étendre au cas $\Delta f\geq0$ en considérant
   $f_\varepsilon(x)=f(x)+\varepsilon\|x-a\|^2$.
#+end_exercice

** Géométrie

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 705]
Sur un cercle de centre $O$, on place trois arcs $\widehat{AB}$,
$\widehat{CD}$ et $\widehat{EF}$ d'angle au centre $\pi/3$. Soient
$M,N,P$ les milieux de $[BC],[DE],[AF]$. Montrer que $MNP$ est équilatéral.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 706]
Un immeuble a $n$ étages. Au rez-de-chaussée, $p$ personnes montent dans
un ascenseur et choisissent indépendamment et uniformément un étage parmi
les $n$. Calculer l'espérance et la variance du nombre d'arrêts.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 707]
Deux sacs contiennent chacun les boules numérotées de $1$ à $n$. À chaque
étape, on tire simultanément une boule de chaque sac, sans remise. Soit
$X_n$ le premier tirage après lequel un numéro a été tiré deux fois depuis
le début.
1. Déterminer $\P(X_n\geq k)$.
2. Pour $k$ fixé, donner un équivalent de $\P(X_n=k)$ lorsque $n\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 708]
Une urne contient $a$ boules rouges, $b$ blanches, $c$ noires. On tire
avec remise jusqu'au premier tirage blanc. Soit $X$ le nombre de boules
rouges tirées. Déterminer la loi de $X$ et son espérance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 709]
On lance une pièce infiniment souvent, avec probabilité $p\in]0,1[$ de
Pile à chaque lancer. Pour $n\geq2$, soit $A_n$ l'événement que les
lancers $n-1,n$ soient Pile et qu'aucune paire consécutive de Pile ne soit
apparue auparavant. Posons $a_n=\P(A_n)$.
1. Calculer $a_2,a_3,a_4$.
2. Pour $n\geq4$, trouver une relation entre $a_n,a_{n-1},a_{n-2}$.
3. Déterminer $\P(\bigcup_{n\geq2}A_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 710]
Soit $E=A\sqcup B$, avec $|A|=a$, $|B|=b$.
1. Construire une bijection entre les parties à $n$ éléments de $E$ et
   $\bigcup_{k=0}^n\mathcal{P}_k(A)\times\mathcal{P}_{n-k}(B)$.
2. En déduire l'identité de Vandermonde
   $$\binom{a+b}{n}=\sum_{k=0}^n\binom ak\binom b{n-k}.$$
3. Deux joueurs lancent chacun $n$ fois une pièce équilibrée.
   Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la valeur absolue de
   la différence de leurs nombres de Pile.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 711]
Une urne contient les boules numérotées de $1$ à $n$. On effectue $n$
tirages sans remise. Il y a rencontre à l'instant $k$ si la boule tirée
porte le numéro $k$. Soit $p_n$ la probabilité de n'avoir aucune rencontre,
avec $p_0=1$.
1. Montrer que $\sum_{k=0}^n\binom n{n-k}p_k=1$.
2. En déduire une expression simplifiée de $p_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 712]
1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$
   telle que $\P(X=k)=(k-1)/2^k$.
2. Calculer son espérance et sa variance, sous réserve d'existence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 713]
Soit $\theta\in]0,\pi/2[$.
1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$
   telle que
   $$\P(X=n)=\frac{\cos\theta}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}
   (\sin\theta\sin t)^n dt.$$
2. Calculer son espérance et sa variance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 714]
Soit $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et
$\theta_n=\P(T=n\mid T\geq n)$, avec $\P(T\geq n)>0$ pour tout $n$.
1. Montrer que $\theta_n\in[0,1[$.
2. Exprimer $\P(T\geq n)$ avec les $\theta_n$ et montrer que $\sum\theta_n$
   diverge.
3. Réciproquement, pour toute suite $\theta_n\in[0,1[$ de somme
   divergente, peut-on construire une telle variable $T$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 715]
Une expression bien parenthésée de longueur $2n$ est une suite de $n$
parenthèses ouvrantes et $n$ fermantes telle que tout préfixe contient
au moins autant d'ouvrantes que de fermantes. Notons $C_n$ leur nombre,
avec $C_0=1$.
1. Montrer que $C_{n+1}=\sum_{k=0}^nC_kC_{n-k}$.
2. Pour $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}C_nx^n$, montrer que son rayon $R>0$
   et établir une relation entre $f$ et $f^2$ sur $]-R,R[$.
3. Donner une expression de $C_n$.
4. Pour $n$ fixé, quelle est l'espérance du nombre d'expressions bien
   parenthésées parmi 1400 tirages uniformes indépendants ?
5. Sans limiter le nombre de tirages, calculer le temps moyen d'attente
   de la première expression bien parenthésée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 716]
Soient $a\in]0,1[$ et $b>0$. On considère un couple $(X,Y)$ à valeurs dans
$\N^2$, de loi jointe
$$\P(X=n,Y=k)=e^{-b}\frac{b^n}{k!(n-k)!}a^k(1-a)^{n-k}$$
pour $0\leq k\leq n$, et nulle sinon.
1. Déterminer la loi de $X$, puis son espérance et sa variance.
2. Montrer que $Y\sim\mathcal P(ab)$. Les variables $X$ et $Y$ sont-elles
   indépendantes ?
3. Déterminer la loi de $X-Y$ et vérifier que $Y$ et $X-Y$ sont
   indépendantes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 717]
Soit $G$ un groupe fini. On munit $\Omega=G^2$ de la probabilité uniforme,
et l'on pose $C=\{(x,y)\in G^2\mid xy=yx\}$ et $p=\P(C)$.
1. Montrer que $p>0$. Que dire si $p=1$ ?
2. Calculer $p$ pour $G=S_3$ et $G=S_4$.
3. On définit $x\sim y$ si et seulement s'il existe $g\in G$ tel que
   $x=gyg^{-1}$. Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence et que
   le nombre $s$ de ses classes vérifie $s=p|G|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 718]
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique
de paramètre $p\in]0,1[$. Calculer $\P(X^Y\leq Y^X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 719]
Soit $X$ une variable aléatoire discrète réelle à valeurs dans $[a,b]$.
1. Montrer que $X\in L^2$ et que $V(X)\leq\left(\frac{b-a}{2}\right)^2$.
2. Caractériser le cas d'égalité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 720]
Soient $p\in]0,1[$ et $X$ une variable aléatoire de loi géométrique de
paramètre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\frac{X+1}{2}\right\rfloor$.
1. Montrer que $Y$ suit une loi géométrique.
2. Montrer que $Y$ et $2Y-X$ sont indépendantes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 721]
Soit $(X_k)_{k\geq1}$ une suite i.i.d. de variables de Rademacher. Pour
$n\geq1$, on pose $Y_n=\frac1{\sqrt n}\sum_{k=1}^nX_k$ et
$f_n(t)=\E(e^{itY_n})$ pour $t\in\R$. Montrer que $(f_n)$ converge vers
une limite à préciser.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 722]
Soit $(A_\lambda)_{\lambda>0}$ une famille de variables aléatoires telle
que $A_\lambda\sim\mathcal P(\lambda)$ pour tout $\lambda>0$. Montrer qu'il
existe un automorphisme $u$ de $\R[X]$ tel que, pour tous $\lambda>0$ et
$P\in\R[X]$,
$$\E(P(A_\lambda))=u(P)(\lambda).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 723]
Soient $1\leq i\leq p\leq n$. Une urne contient $n$ jetons numérotés de
1 à $n$. On tire uniformément une poignée de $p$ jetons et l'on note $X_i$
le numéro du $i$-ième jeton dans l'ordre croissant.
1. Déterminer la loi de $X_i$.
2. Calculer $\E(X_i)$ puis $V(X_i)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 724]
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de
même espérance et de même variance. On pose
$M_n=\frac1n(X_1+\cdots+X_n)$. Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que,
pour tout $\varepsilon>0$,
$$\P(|M_n-\ell|\geq\varepsilon)\longrightarrow0.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 725]
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On suppose qu'il existe
$\alpha,\beta\in\R^*$ tels que $\alpha/\beta\notin\Q$ et
$$\left|\E(e^{i\alpha X})\right|=\left|\E(e^{i\beta X})\right|=1.$$
Montrer que $X$ est presque sûrement constante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 726]
Soit $f:\R_+\to\R$ continue et bornée. Pour $h>0$, on pose $u_0^h=f$ et,
pour $n\in\N$ et $x\in\R_+$,
$$u_{n+1}^h(x)=\frac{u_n^h(x+h)-u_n^h(x)}h.$$
1. Donner une expression de $u_n^h(x)$ à l'aide des valeurs de $f$. On pose
   $a_n^h=u_n^h(0)$. Montrer que
   $S(h,x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n^h\frac{x^n}{n!}$ est bien définie et
   exprimer cette somme à l'aide d'une variable de loi de Poisson de
   paramètre $x/h$.
2. Montrer que, pour tout $x\in\R_+$, $S(h,x)\to f(x)$ quand $h\to0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 727]
Soit $(X_i)_{i\geq1}$ une suite i.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et
$S_k=X_1+\cdots+X_k$.
1. Montrer que, pour $k\geq1$ et $s,t>0$,
   $\P(e^{tS_k}\geq e^{ts})\leq e^{-ts}\operatorname{ch}^k(t)$.
2. En déduire que, pour tous $s>0$ et $k\geq1$,
   $\P(|S_k|>s)\leq2e^{-s^2/(2k)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 728]
Soient $n\geq2$, $p,q\in]0,1[$ et $(X,Y)$ deux variables indépendantes
de lois géométriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Calculer
$\P(X\equiv Y\ [n])$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 729]
Soit $f:[0,1]\to\R$ continue.
1. Montrer que
   $$\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac1n f\left(\frac kn\right)\right)
   \longrightarrow\int_0^1f.$$
2. Soit $(X_k)_{k\geq1}$ une suite de variables indépendantes telles que
   $\P(X_k=0)=1-1/k$ et $\P(X_k=k)=1/k$. On pose
   $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Pour $a>0$, calculer la limite de
   $\E(e^{aS_n/n})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 730]
Soient $X$ et $Y$ deux variables indépendantes de loi géométrique de
paramètre $p\in]0,1[$ et $M=\begin{pmatrix}X&Y\\Y&X\end{pmatrix}$.
1. Déterminer la probabilité que $M$ soit inversible.
2. Justifier que $M$ admet deux valeurs propres réelles $v_1\leq v_2$ et
   calculer leur covariance. Ces variables sont-elles indépendantes ?
3. Déterminer la loi de $X+Y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 731]
Soient $p\in]0,1[$ et $X_1,\ldots,X_n$ des variables indépendantes de
Bernoulli de paramètre $p$. On pose $U=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=UU^T$.
1. Déterminer les lois de $\operatorname{tr}(M)$ et de $\operatorname{rg}(M)$.
2. Quelle est la probabilité que $M$ soit une matrice de projection ?
3. Pour $n=2$, on pose $V=(1,1)^T$ et $S=V^TMV$. Calculer $\E(S)$ et
   $V(S)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 732]
Soit $n\geq1$ et $J=(J_{i,j})\in M_n(\C)$ définie par
$J_{i+1,i}=1$, $J_{1,n}=1$ et $J_{i,j}=0$ sinon.
1. Calculer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de $J$.
Soient ensuite $X_0,\ldots,X_{n-1}$ i.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$,
et $M$ la matrice circulante dont la première ligne est
$(X_0,X_{n-1},\ldots,X_1)$.
2. Exprimer $M$ en fonction de $J$.
3. Pour $n=2$, calculer $\P(M\in GL_2(\C))$.
4. Déterminer le spectre de $M$.
5. On suppose $n$ premier et on admet que $1+X+\cdots+X^{n-1}$ est
   irréductible sur $\Q$. Déterminer $\P(M\in GL_n(\C))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 733]
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. à valeurs dans $\N$. Pour $n\geq1$,
on pose $C_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$. Montrer que $\E(C_n)=o(n)$ quand
$n\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 734]
Soit $a\in]1/2,1[$ et, pour $n\in\N$,
$$I_n=\left\{k\in\{0,\ldots,n\}:\left|k-\frac n2\right|
\leq\frac{n^a}{2}\right\}.$$
1. Montrer que $|I_n|=o(n)$ et déterminer la limite de
   $2^{-n}\sum_{k\in I_n}\binom nk$.
2. Pour une suite quelconque de parties $I_n\subset\{0,\ldots,n\}$,
   a-t-on équivalence entre $|I_n|=o(n)$ et
   $\sum_{k\in I_n}\binom nk=o(2^n)$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 735]
Une suite $(Z_i)_{i\in\N}$ de variables aléatoires à valeurs dans $\Z$
est dite transiente si, pour toute partie bornée $A$ de $\Z$,
$\sum_{i=0}^{+\infty}\P(Z_i\in A)<+\infty$.
1. Soit $\alpha>0$ et $(X_i)_{i\geq1}$ indépendantes, avec
   $X_i\sim\mathcal P(\alpha/i)$. Déterminer la loi de
   $Y_n=X_1+\cdots+X_n$ et dire si $(Y_n)$ est transiente.
2. Soit $p\in]0,1[$ et $(Z_i)_{i\in\N}$ i.i.d. avec
   $\P(Z_1=1)=1-\P(Z_1=-1)=p$. La suite
   $T_n=Z_0+\cdots+Z_n$ est-elle transiente ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 736]
On considère $n\geq1$ sièges numérotés en rangée. Des personnes entrent
successivement et s'assoient sur un siège libre n'ayant pas de voisin,
jusqu'à ce que cela ne soit plus possible. Soit $X_n$ le nombre de sièges
occupés à la fin, et posons $X_0=X_{-1}=0$. On suppose les $X_n$ indépendantes.
1. Soit $Y$ le numéro du siège choisi par la première personne.
   a) Expliquer que, pour $1\leq j,k\leq n$,
   $\P(X_n=k\mid Y=j)=\P(X_{j-2}+X_{n-j-1}=k-1)$.
   b) Montrer que $\E(X_n)=1+\frac2n\sum_{j=0}^{n-2}\E(X_j)$.
2. On pose $u_i=\sum_{j=0}^i\E(X_j)$ et
   $f(x)=\sum_{i=0}^{+\infty}u_i\frac{x^i}{i!}$.
   a) Établir une relation entre $u_n,u_{n+1},u_{n+2}$.
   b) Montrer que la série entière définissant $f$ a un rayon non nul.
   c) Trouver une équation différentielle linéaire d'ordre 1 vérifiée par $f$.
   d) Déterminer $(u_n)$ puis un équivalent de $\E(X_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 737]
Soit $\alpha\in\R$.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe une
   variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que
   $G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$.
2. Si cette condition est vérifiée, calculer $\E(X)$ et $V(X)$, puis
   montrer que $\P(X=n)=O\left(\frac{n^{\lfloor\alpha\rfloor}}{2^n}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts 2026 # 738]
Soit $a>0$ et $X$ à valeurs dans $\N^*$ telle que
$\P(X=n)=\frac{a}{n(n+1)}$ pour $n\geq1$.
1. Déterminer $a$.
2. $X$ admet-elle une espérance finie ? une variance ?
3. Expliciter sa fonction génératrice.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 739]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{\sqrt{e^t-x}}$ pour $x\in]-1,1[$.
Soient $\lambda>0$ et $X\sim\mathcal P(\lambda)$.
1. Montrer que $f$ est développable en série entière sur $]-1,1[$, puis
   déterminer la loi de $Y=f^{(X)}(0)$.
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\E(Y)$ soit
   finie et, dans ce cas, montrer que
   $\E(Y)=\frac{2e^{-\lambda}\arcsin(\sqrt\lambda)}{\sqrt\lambda}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 740]
On pose $f(x)=\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}t\,dt$ et, pour $n\in\N$,
$p_n=\int_n^{n+1}f$.
1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et montrer que $p_n$ est
   définie pour tout $n\in\N$.
2. Existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que
   $\P(X=n)=p_n$ ?
3. Si oui, $X$ est-elle d'espérance finie ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 741]
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. à valeurs dans $\N$ et d'espérance
finie. Soit $T$ une variable à valeurs dans $\N$, indépendante des $X_n$
et d'espérance finie. On pose $Y=\sum_{i=1}^T X_i$. Montrer que $Y$ est
d'espérance finie et calculer $\E(Y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 742]
Soit $(X_i)_{i\in\N}$ une suite de variables de Poisson indépendantes,
avec $X_i\sim\mathcal P(\lambda_i)$ et $\lambda_i>0$.
1. Déterminer la loi de $X_1+X_2$.
2. On suppose $\sum_i\lambda_i$ convergente. Montrer que
   $\P(\bigcap_{n\geq0}\bigcup_{i\geq n}(X_i\neq0))=0$, puis que
   $\sum_iX_i$ converge presque sûrement.
3. Soit $Y$ indépendante des $X_i$, de loi de Poisson de paramètre
   $\lambda=\sum_{i=0}^{+\infty}\lambda_i$. Montrer que, pour $n\in\N$
   et $t\in[0,1]$,
   $$|G_{X_0+\cdots+X_n}(t)-G_Y(t)|\leq\sum_{i=n+1}^{+\infty}\lambda_i,$$
   puis que $\sum_{i=0}^{+\infty}X_i\sim\mathcal P(\lambda)$.
#+end_exercice

* Mines-Ponts PSI 2026
** Algèbre

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 743]
Soit $P\in\R[X]$. Montrer qu'il existe un unique $Q\in\R[X]$ tel que
$Q(0)=0$ et $Q(X+1)-Q(X)=P(X)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 744]
Soit $P\in\R[X]$ scindé à racines simples. Montrer que, pour tout $x\in\R$,
$$P'(x)^2-P''(x)P(x)>0.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 745]
Pour $n\geq1$, soit $h(n)$ le plus petit entier $k$, s'il existe, tel que
pour tout $g\in\C[X]$, il existe $f_1,\ldots,f_k\in\C[X]$ vérifiant
$g=f_1^n+\cdots+f_k^n$.
1. Peut-on se contenter de vérifier la propriété pour un polynôme $g$
   particulier pour établir l'existence de $h(n)$ ?
2. Déterminer $h(2)$.
3. Montrer que $h(n)\geq3$ si $n\geq3$.
4. Montrer que $h(n)\leq n$ pour tout $n\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 746]
Soient $A\in M_{3,2}(\R)$ et $B\in M_{2,3}(\R)$ telles que
$AB=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$. Que vaut $BA$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 747]
Résoudre dans $M_2(\R)$ l'équation
$$X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 748]
Soient $A,B\in M_n(\R)$ telles que $A$ et $B$ commutent et $B$ est
nilpotente. Montrer que $\det(A+B)=\det(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 749]
Soient $A,B\in M_n(\C)$. On suppose qu'il existe $n+1$ complexes distincts
$\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $A+\alpha_iB$ soit nilpotente pour
chaque $i$.
1. Montrer que si $N\in M_n(\C)$ est nilpotente, alors $N^n=0$.
2. Montrer que $(A+\alpha B)^n=0$ pour tout $\alpha\in\C$.
3. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 750]
Soit $n\geq1$.
1. Montrer que $M_n(\R)=\Vect(I_n)\oplus\Ker(\operatorname{Tr})$.
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour qu'il existe
   $A,B\in M_n(\R)$ tels que $(AB-BA)^2=I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 751]
Soient $m\geq1$ et $A\in M_m(\R)$ tels que $A^{m-1}\neq0$ et $A^m=0$.
On pose $L=\{M\in M_m(\R):AM=MA\}$.
1. Montrer qu'il existe $x_0\in\R^m$ tel que
   $(x_0,Ax_0,\ldots,A^{m-1}x_0)$ soit une base de $\R^m$.
2. En déduire que $(I_m,A,\ldots,A^{m-1})$ est une base de $L$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 752]
Soit $p\geq1$ et $E_p$ l'ensemble des suites complexes $p$-périodiques.
1. Montrer que $E_p$ est un $\C$-espace vectoriel et donner sa dimension.
2. Donner une base de $E_p$ constituée de suites géométriques.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 753]
Une fonction $f\in C^0([0,1],\R)$ est dite affine par morceaux s'il existe
une subdivision $0=a_0<a_1<\cdots<a_n=1$ telle que $f$ soit affine sur
chaque $[a_i,a_{i+1}]$. On note $A$ l'ensemble de ces fonctions.
1. Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $C^0([0,1],\R)$.
2. Pour $a\in[0,1]$, poser $f_a(x)=|x-a|$. Montrer que la famille
   $(f_a)_{a\in[0,1]}$ est libre.
3. Déterminer une base de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 754]
Dans $M_n(\Z)$, on note $GL_n(\Z)$ les matrices inversibles dont l'inverse
est aussi à coefficients entiers. Soient $A,B\in M_2(\Z)$ tels que
$A+kB\in GL_2(\Z)$ pour $1\leq k\leq5$.
1. Montrer que $A\in GL_2(\Z)$.
2. Est-ce que $B$ est inversible ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 755]
Soit $P\in GL_n(\R)$ et $\varphi_P:M_n(\R)\to M_n(\R)$ définie par
$\varphi_P(M)=P^{-1}MP$. Calculer le déterminant et la trace de
l'endomorphisme $\varphi_P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 756]
On considère $E=M_n(\C)$ et $E^*=\mathcal L(E,\C)$.
1. Pour $A\in M_n(\C)$, poser $L_A(M)=\operatorname{Tr}(AM)$.
   a) Montrer que $L_A$ est une forme linéaire.
   b) Montrer que $L:A\mapsto L_A$ est un isomorphisme de $E$ sur $E^*$.
   c) En déduire une caractérisation des hyperplans de $E$.
2. Soit $T$ triangulaire supérieure et $H=\Ker(L_T)$. On note $T_n^+$
   et $T_n^-$ les sous-espaces des matrices triangulaires strictement
   supérieure et inférieure.
   a) Déterminer $H\cap T_n^+$.
   b) Déterminer la dimension de $H\cap T_n^-$.
   c) Montrer que les matrices de $T_n^+\cup T_n^-$ sont nilpotentes.
3. Montrer que tout hyperplan de $E$ contient au moins $n^2-n-1$
   matrices nilpotentes linéairement indépendantes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 757]
1. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$
   nilpotent. Montrer que son indice de nilpotence est inférieur ou égal à
   $\dim E$.
2. Soient $E=\R[X]$ et $D:P\mapsto P'$. On suppose qu'il existe
   $f\in\mathcal L(E)$ tel que $f^2=D$.
   a) Montrer que $\R_n[X]$ est stable par $D$ et par $f$.
   b) Montrer que les restrictions de $f$ et $D$ à $\R_n[X]$ sont
   nilpotentes. Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 758]
Soit $P\in GL_n(\C)$, écrit $P=Q+iR$ avec $Q,R\in M_n(\R)$.
1. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$ tel que $Q+\lambda R\in GL_n(\R)$.
2. En déduire que deux matrices réelles semblables dans $M_n(\C)$ le sont
   aussi dans $M_n(\R)$.
3. Soient $A,B\in M_n(\R)$ tels que $A^3=B^3=I_n$ et
   $\operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}(B)$. Montrer que $A$ et $B$
   sont semblables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 759]
Soit $a\in\R$ et
$$M(a)=\begin{pmatrix}1&-1&a\\-1&1&-a\\a&-a&2-a\end{pmatrix}.$$
Déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme de $\R^3$ associé.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 760]
Soit
$$M=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&a_1\\1&\ddots&&\vdots\\
0&\ddots&0&a_n\\b_1&\cdots&b_n&0\end{pmatrix}\in M_{n+1}(\C).$$
Étudier la diagonalisabilité de $M$ en fonction de
$a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\in\C$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 761]
Soient $n\geq3$ et $A=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ telle que $a_{i,j}=1$ si
$i=j$ ou $j=n$, et $a_{i,j}=0$ sinon.
1. Déterminer $A^k$.
2. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
3. Trouver un polynôme annulateur de degré 3 de $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 762]
Soit $n\geq3$. Diagonaliser la matrice $A=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ définie
par $a_{n,i}=a_{i,n}=1$ pour $1\leq i\leq n$, les autres coefficients
étant nuls.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 763]
Soit $A=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ définie par $a_{i,j}=\sin(i+j)$.
1. Quel est le rang de $A$ ?
2. Déterminer ses valeurs propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 764]
Trouver les éléments propres de la matrice
$M=(i+j)_{1\leq i,j\leq n}\in M_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 765]
Soient $n\geq2$ et $A=(a_{i,j})\in M_n(\C)$ définie par
$a_{i,j}=\delta_{i+1,j}$ si $i<n$ et $a_{n,j}=\delta_{1,j}$.
1. Montrer que $A$ est diagonalisable.
2. Soit $p\geq2$ et $B=\sum_{k=0}^{p-1}A^k$. Trouver une condition
   nécessaire et suffisante sur $n,p$ pour que $B$ soit inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 766]
Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB-BA=B$.
1. Montrer que $\operatorname{Tr}(XY)=\operatorname{Tr}(YX)$ pour tous
   $X,Y\in M_n(\C)$.
2. Montrer que, pour tout $k\in\N$, $AB^k-B^kA=kB^k$.
3. En déduire que $B$ est nilpotente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 767]
Soit $M=(m_{i,j})\in M_n(\R)$ définie par $m_{i,j}=-2$ si $i=j$,
$m_{i,j}=1$ si $|i-j|=1$, et $m_{i,j}=0$ sinon. On pose $T=M+2I_n$.
1. Montrer que $M$ est diagonalisable.
2. Exprimer le spectre de $T$ en fonction de celui de $M$ et comparer
   leurs sous-espaces propres.
3. Soit $\mu\in\operatorname{Sp}(T)$.
   a) Montrer qu'il existe $i\in\{1,\ldots,n\}$ tel que
      $|t_{i,i}-\mu|\leq\sum_{j\neq i}|t_{i,j}|$.
   b) Montrer qu'il existe $\alpha\in[0,\pi]$ tel que $\mu=2\cos\alpha$.
   c) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que
      $X=(x_1,\ldots,x_n)^T$ soit un vecteur propre de $T$ associé à $\mu$.
   d) Qu'en déduire pour $\alpha$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 768]
1. Soient $B\in M_n(\R)$ et $P\in\C[X]$ non constant. Montrer que si
   $B$ est diagonalisable alors l'équation $P(X)=B$ admet au moins une
   solution dans $M_n(\C)$.
2. Soient $n\geq3$ et $B=(b_{i,j})$ définie par $b_{i,i+1}=1$ pour
   $1\leq i<n$, les autres coefficients étant nuls. Que dire de
   l'équation $X^2=B$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 769]
Soit $(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_0,\beta_1,\beta_0)\in\R^5$ tel que
$k\alpha_2+\beta_1\neq0$ pour tout $k\in\N$. On pose $E_n=\R_n[X]$ et
$$f_n(P)=(\alpha_2X^2+\alpha_1X+\alpha_0)P''
+(\beta_1X+\beta_0)P'.$$
1. Montrer que $f_n\in\mathcal L(E_n)$. Est-ce un automorphisme ?
2. Exprimer la matrice de $f_n$ dans la base canonique
   $(1,X,\ldots,X^n)$.
3. L'application $f_n$ est-elle diagonalisable ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 770]
Soit $A\in M_n(\R)$ admettant $n$ valeurs propres réelles distinctes.
Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ et
$M_1,\ldots,M_n\in\Vect(I_n,A,\ldots,A^{n-1})$ tels que, pour tout
$p\in\N$, $A^p=\sum_{k=1}^n\alpha_k^pM_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 771]
Soient $A\in M_n(\C)$ et $M=\begin{pmatrix}0&I_n\\A&0\end{pmatrix}$.
1. Montrer que $\lambda$ est valeur propre de $M$ si et seulement si
   $\lambda^2$ est valeur propre de $A$.
2. À quelle condition $M$ est-elle diagonalisable ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 772]
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\geq2$ et
$f_1,\ldots,f_n\in\mathcal L(E)$ tels que $\sum_{i=1}^nf_i=\operatorname{id}$
et $f_i\circ f_j=0$ si $i\neq j$. Pour
$(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n$, montrer que
$g=\sum_{i=1}^n\lambda_if_i$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 773]
Soient $A,B\in M_n(\C)$ et $T_{A,B}:M\mapsto AM-MB$.
1. Montrer que $T_{A,B}$ est linéaire et donner $T_{A,B}(E_{i,j})$.
   On pose $\Phi:(A,B)\mapsto T_{A,B}$.
2. Déterminer $\Ker\Phi$. L'application $\Phi$ est-elle injective ?
3. Est-elle surjective ?
4. Donner $\operatorname{Tr}(T_{A,B})$ en fonction de $A,B$.
5. Déterminer $\det(T_{A,B})$. On pourra commencer par supposer $A,B$
   diagonalisables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 774]
Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $\det(A)=32$ et
$A^2-6A+8I_n=0$. On considère $\varphi_A:B\mapsto AB$.
1. Quelles sont les valeurs possibles de $n$ ? Déterminer $\operatorname{Tr}(A)$
   selon ces valeurs de $n$.
2. $\varphi_A$ est-il diagonalisable ?
3. Déterminer $\operatorname{Sp}(\varphi_A)$ et la dimension de chacun
   de ses espaces propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 775]
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in GL(E)$.
On suppose que, pour tout $x\in E$, l'ensemble $\{u^k(x):k\in\N\}$ est
fini. Montrer qu'il existe $n\geq1$ tel que $u^n=\operatorname{id}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 776]
Soient $n\geq1$, $A,B\in M_n(\C)$ et $r\in\{0,\ldots,n\}$. Montrer
l'équivalence entre l'existence d'une solution de rang $r$ à $AX=XB$ et
l'existence de valeurs propres distinctes communes
$\lambda_1,\ldots,\lambda_s$ de $A$ et $B$ telles que
$$\dim E_{\lambda_k}(A)=\dim E_{\lambda_k}(B)\quad(1\leq k\leq s),
\qquad\sum_{k=1}^s\dim E_{\lambda_k}(A)=r.$$
Indication : étudier les éléments propres de $B^T$ pour le sens direct ;
pour la réciproque, utiliser qu'une matrice $M$ est de rang $r$ si et
seulement si $M=PJ_rQ$ pour des $P,Q$ inversibles, avec
$J_r=\operatorname{diag}(I_r,0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 777]
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien.
1. Pour $a\in E$, on définit $\varphi_a(x)=\langle a,x\rangle$.
   Montrer que $a\mapsto\varphi_a$ est un isomorphisme entre $E$ et
   $\mathcal L(E,\R)$.
2. Montrer qu'il existe un unique $A\in\R_2[X]$ tel que, pour tout
   $P\in\R_2[X]$, $P(1/2)=\int_{-1}^1A(t)P(t)dt$. Déterminer $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 778]
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension
$n\geq2$, et $H_1,H_2$ deux hyperplans distincts. Choisir des vecteurs
unitaires $e_k\in H_k^\perp$ et poser
$f_k(x)=x-2\langle e_k,x\rangle e_k$.
1. Décrire géométriquement $f_1,f_2$ et montrer que
   $H_1\cap H_2=\{x:f_1(f_2(x))=x\}$.
2. Poser $F=H_1^\perp+H_2^\perp$. Montrer que cette somme est directe,
   que $(f_1\circ f_2)(F)\subset F$, et justifier qu'il existe $e$ tel
   que $(e_1,e)$ soit une base orthonormale de $F$.
3. Montrer qu'il existe une unique rotation $r$ de $F$ telle que
   $r(e_1)=e_2$. Donner la matrice dans la base $(e_1,e)$ de l'endomorphisme
   de $F$ induit par $f_2\circ f_1$, à l'aide de $r$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 779]
Soient $n\geq2$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$. On pose
$$V^\circ=\{M\in M_n(\R):\forall A\in V,\ \operatorname{Tr}(AM)=0\}.$$
1. Montrer que $V^\circ$ est un sous-espace vectoriel.
2. Exprimer $\dim V^\circ$ en fonction de $\dim V$.
3. Si $V$ est le sous-espace des matrices triangulaires supérieures,
   déterminer $V^\circ$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 780]
Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace préhilbertien réel,
$n\geq1$ et $(x_1,\ldots,x_n)\in E^n$. Poser
$M=(\langle x_i,x_j\rangle)_{i,j}$ et $G(x_1,\ldots,x_n)=\det M$.
1. Montrer que $G(x_1,\ldots,x_n)\neq0$ si et seulement si
   $(x_1,\ldots,x_n)$ est libre.
2. Soit $F=\Vect(x_1,\ldots,x_n)$ et $x\in E$. Montrer que
   $G(x_1,\ldots,x_n,x)=d(F,x)^2G(x_1,\ldots,x_n)$.
3. En déduire $\inf_{a,b\in\R}\int_0^1(x^2+ax+b)^2dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 781]
On note $E=\R^\N$, l'espace vectoriel des suites réelles, et on définit
$D:E\to E$ par $D((u_n)_{n\in\N})=(u_{n+1}-u_n)_{n\in\N}$.
1. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$. Étudier son injectivité
   et sa surjectivité.
2. Déterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
3. On pose $F=\{(u_n)\in E:\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2<+\infty\}$ et,
   pour $u,v\in F$, $\varphi(u,v)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n$.
   Montrer que $F$ est stable par $D$ et que $\varphi$ est un produit
   scalaire sur $F$.
4. Montrer que
   $$\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2}:u\in F\setminus\{0\}\right\}=]-2,0[.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 782]
Un tournoi réunit les joueurs $A_1,\ldots,A_m$. Les parties
$P_1,\ldots,P_N$ opposent chacune deux joueurs. On définit
$A=(a_{i,k})\in M_{m,N}(\R)$ par $a_{i,k}=1$ si $A_i$ gagne $P_k$,
$a_{i,k}=-1$ s'il perd et $a_{i,k}=0$ s'il n'y participe pas. On pose
$M=AA^T$.
1. Calculer et interpréter les coefficients de $M$.
2. Justifier que $M$ est diagonalisable et préciser le signe de ses valeurs
   propres.
3. Si $m=N$, relier $\det(M)$ et $\det(A)$, puis en déduire
   $\det(M)\geq0$.
4. Dans le cas général, soit $A'$ une sous-matrice carrée extraite de $A$
   en conservant certaines lignes et colonnes. Montrer que
   $\det(A')\in\{-1,0,1\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 783]
Pour $n\geq3$, on considère $A_n=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ définie par
$a_{i,j}=\max(i,j)$.
1. Montrer que $A_n$ est inversible.
2. Montrer que tous ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 784]
Soient $n\geq2$ et $A\in M_n(\R)$. On définit
$f_A:M\in\mathcal A_n(\R)\mapsto A^TM-M^TA$.
1. Montrer que $f_A$ est un endomorphisme de $\mathcal A_n(\R)$.
2. Déterminer sa trace.
3. On suppose désormais $A\in\mathcal S_n(\R)$. Montrer que $f_A$ est
   diagonalisable.
4. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f_A$ soit
   bijectif.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 785]
Soit $n\geq1$ et $A\in M_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in O_n(\R)$
tel que les coefficients diagonaux de $PAP^T$ soient tous égaux.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 786]
Soient $p,q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$.
1. Montrer que $u=p-q$ est diagonalisable et que son spectre est inclus
   dans $[-1,1]$.
2. Déterminer $\Ker(u+\operatorname{id})$ et $\Ker(u-\operatorname{id})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 787]
Soient $p,q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien et posons
$u=p+q$.
1. Montrer que le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $\R$.
2. Montrer que toutes les valeurs propres de $u$ appartiennent à $[0,2]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 788]
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension
$n\geq1$. On considère un endomorphisme antisymétrique $u$, c'est-à-dire
$\langle u(x),x\rangle=0$ pour tout $x\in E$.
1. Montrer que $u^2$ est diagonalisable. Quel est le signe de ses valeurs
   propres ?
2. Montrer que le spectre de $u$ est vide ou égal à $\{0\}$. En déduire
   une condition nécessaire et suffisante pour que $u$ soit diagonalisable.
3. Montrer que $\operatorname{Im}(u)=(\Ker u)^\perp$.
4. Montrer que le rang de $u$ est pair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 789]
Soit
$$A=\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\-1&-1&0\end{pmatrix}.$$
Déterminer toutes les matrices $M\in M_3(\R)$ telles que $M^TAM=A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 790]
Soit $M\in M_n(\R)$ telle que $M^2-M+M^T=I_n$. Montrer que
$M\in\mathcal S_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 791]
Soit $M\in M_n(\C)$ vérifiant $M^2+M^T=I_n$.
1. Montrer que $M$ est diagonalisable.
2. La matrice $M$ est-elle nécessairement symétrique ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 792]
Soit $M\in M_2(\R)$ telle que $M^2+4I_2=0$ et $MM^T=M^TM$.
1. Montrer que $\frac12M\in O_2(\R)$.
2. En déduire toutes les matrices $M$ vérifiant ces hypothèses.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 793]
Soit $E=\{M\in M_n(\R):\det(M)\in[0,1]\}$.
1. $E$ est-il un sous-espace vectoriel ? Est-il stable par produit ?
2. $E$ est-il ouvert, fermé, borné ou convexe ? Déterminer son adhérence.
3. Déterminer les matrices $S\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telles que
   $\frac12(S+S^{-1})\in E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 794]
Soit $S\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
1. Montrer que $(X,Y)\mapsto Y^TSX$ est un produit scalaire sur
   $M_{n,1}(\R)$.
2. En déduire qu'il existe une matrice triangulaire supérieure $T$ telle
   que $S=T^TT$. Montrer que $T$ est unique si l'on impose que les
   coefficients diagonaux de $T$ soient positifs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 795]
Soit $A\in\mathcal S_n(\R)$.
1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe
   $B\in\mathcal S_n(\R)$ telle que $A=B^2$. Dans ce cas, déterminer le
   nombre de matrices $B$ possibles.
2. Soient $A,C\in\mathcal S_n(\R)$ de spectres inclus dans $\R_+$. Montrer
   que $\operatorname{Tr}(AC)\geq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 796]
1. Soit $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe
   $B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telle que $B^2=A$.
2. Soient $M,N\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe
   $P\in GL_n(\R)$ et une matrice diagonale $D$ à coefficients strictement
   positifs telles que $M=P^TDP$ et $N=P^TP$.
3. Soient $M,N\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer que
   $\det(M+N)\geq\det(M)+\det(N)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 797]
Montrer que $M\in M_n(\R)$ est diagonalisable si et seulement s'il existe
$S\in\mathcal S_n(\R)$ et $H\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ tels que $M=SH$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 798]
1. Soit $A\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer qu'il existe une unique
   $C\in\mathcal S_n^+(\R)$ telle que $A=C^2$.
2. Soit $A\in GL_n(\R)$. Montrer qu'il existe un unique couple
   $(O,S)\in O_n(\R)\times\mathcal S_n^{++}(\R)$ tel que $A=OS$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 799]
Montrer que $N:\R^2\to\R$, définie par
$N(x,y)=\max(|x|,|y|,|x-y|)$, est une norme, puis représenter sa sphère unité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 800]
Soit $F=\R[X]$. Pour $P=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kX^k$, on pose
$\|P\|_\infty=\sup_{k\in\N}|a_k|$. On note $D(P)=P'$.
1. Montrer que $D$ n'est pas continue pour cette norme.
2. Soit $(c_k)_{k\geq0}\in(\R_+^*)^\N$ et
   $N(P)=\sum_{k=0}^{+\infty}c_k|a_k|$.
   a) Montrer que $N$ est une norme sur $F$.
   b) Donner une suite $(c_k)$ telle que $D$ soit continue pour $N$.
3. Montrer que, quelle que soit la norme sur $E=C^\infty(\R,\R)$,
   l'application de dérivation n'est pas continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 801]
On munit $E=C^0([0,1],\R)$ de la norme uniforme. Une forme linéaire $\varphi$
sur $E$ est dite positive si $f\geq0$ entraîne $\varphi(f)\geq0$.
1. Donner deux exemples de formes linéaires positives.
2. Montrer que toute forme linéaire positive est continue.
3. La réciproque est-elle vraie ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 802]
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et soit $N$ une norme.
On pose
$$N^*(x)=\sup_{y\neq0}\frac{\langle x,y\rangle}{N(y)}.$$
1. Montrer que $N$ est continue.
2. Montrer que $N^*(x)=\sup\{\langle x,z\rangle:N(z)=1\}\in\R_+$.
3. Montrer que $N^*$ est une norme.
4. Montrer que $\langle x,y\rangle\leq N(x)N^*(y)$ pour tous $x,y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 803]
1. Montrer que $O_n(\R)$ est fermé et borné.
2. Montrer que les applications $A\mapsto\operatorname{Tr}(A)$ et
   $A\mapsto\sum_{i,j=1}^na_{i,j}$ atteignent un maximum et un minimum
   sur $O_n(\R)$, puis les calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 804]
On munit $E=M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique et, pour
$p\geq1$, on pose $L_p(A)=\sum_{k=1}^p\frac{A^k}{k}$.
1. Montrer que $\|AB\|\leq\|A\|\|B\|$ pour tous $A,B\in E$.
2. En déduire que si $\|A\|<1$, la suite $(L_p(A))_{p\geq1}$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 805]
1. Soient $\varphi,\psi$ continues entre deux espaces vectoriels normés
   et égales sur une partie dense. Montrer qu'elles sont égales.
2. Montrer que $GL_n(\R)$ est dense dans $M_n(\R)$.
3. Soient $A,B\in M_n(\R)$. Montrer que $\chi_{AB}=\chi_{BA}$.
   Indication : commencer par le cas $A\in GL_n(\R)$.
4. Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ sont semblables pour tout $A\in M_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 806]
1. Montrer qu'un espace vectoriel normé ne possède pas de partie à la fois
   ouverte et fermée, non vide et distincte de l'espace. On pourra relier
   deux points par un segment et considérer les paramètres dont l'image
   appartient à la partie.
2. Soit $g:E\to\Z$ continue et non constante. Choisir $x_0,x_1$ tels que
   $g(x_0)=k$ et $g(x_1)\neq k$, puis poser $A=\{x:g(x)=k\}$.
   Montrer que $A$ est non vide, distinct de $E$, fermé et ouvert, et
   conclure que $g$ est constante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 807]
Soit $A=(a_0,\ldots,a_n)\in\R^{n+1}$ avec $a_0<a_1<\cdots<a_n$.
Pour $P\in\R_n[X]$, poser $\|P\|_A=\max_{0\leq k\leq n}|P(a_k)|$.
1. Pour $A=(0,1)$, calculer $\|X\|_A$.
2. Montrer que $\|\cdot\|_A$ est une norme sur $\R_n[X]$.
3. Pour $P\in\R_{n-1}[X]$, montrer qu'il existe un unique
   $(b_0,\ldots,b_n)\in\R^{n+1}$ tel que
   $$X^n+P(X)=\sum_{j=0}^nb_j\prod_{\substack{0\leq k\leq n\\k\neq j}}(X-a_k).$$
4. Calculer $\sum_{k=0}^nb_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 808]
Soit $\alpha>0$ et $E_\alpha$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0([0,1],\R)$
pour lesquelles il existe $M\in\R$ tel que
$|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\alpha$ pour tous $x,y\in[0,1]$. On pose
$$\|f\|_\alpha=\sup_{x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.$$
1. Montrer que $E_\alpha$ est un espace vectoriel.
2. L'application $f\mapsto\|f\|_\alpha$ est-elle une norme ?
3. Soient $0<\beta<\alpha\leq1$. Montrer que $E_\alpha\subset E_\beta$
   et donner une inégalité entre les deux quantités. L'inclusion est-elle
   stricte ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 809]
1. Soit $f(x)=(1+x)^{1/x}$. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction
   de classe $C^1$ sur $]-1,+\infty[$ et la représenter graphiquement.
2. Montrer que $u_n=(1+1/n)^n$ et $v_n=(1-1/n)^{-n}$ sont adjacentes.
3. Montrer que $(1+1/n)^n\leq e\leq(1+1/n)^{n+1}$ et commenter cet
   encadrement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 810]
Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite strictement positive. Montrer que les séries
$$\sum u_n,\qquad \sum\ln(1+u_n),\qquad
\sum\frac{u_n}{1+u_n},\qquad
\sum\int_0^{u_n}\frac{dx}{1+x^2}$$
sont de même nature.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 811]
Pour $x\geq0$, on pose $f_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$.
1. Montrer que, pour tout $n\geq1$, il existe un unique $x_n\geq0$ tel que
   $f_n(x_n)=2$.
2. Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$.
3. Étudier la convergence de $\sum(x_n-\ell)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 812]
Pour $n\in\N$, on pose $a_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{k+1}\sqrt{k}$.
1. La suite $(a_n)$ converge-t-elle ?
2. Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que
   $a_n+(-1)^n\sqrt{n}/2\to\ell$, puis montrer que $\ell>0$.
3. Étudier la nature de $\sum 1/a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 813]
Pour $n\geq2$, on pose $v_n=\frac{\cos n}{n}$ et
$u_n=\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$.
1. Pour deux suites réelles $(a_n),(b_n)$, poser
   $A_n=\sum_{k=2}^na_k$. Montrer que
   $$\sum_{m=2}^Na_mb_m=\sum_{m=2}^{N-1}A_m(b_m-b_{m+1})+A_Nb_N,$$
   puis en déduire la nature de $\sum v_n$.
2. Déterminer la nature de $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 814]
Soit $(u_n)_{n\geq0}$ strictement positive et supposons qu'il existe
$\lambda\in\R$ tel que
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\lambda}{n}+v_n,$$
où $(v_n)$ est le terme général d'une série convergente.
1. Montrer que la série de terme général
   $\frac{\lambda}{n}+\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ est absolument
   convergente.
2. En déduire que $(u_nn^\lambda)$ converge dans $\R_+^*$.
3. En déduire la nature de la série de terme général
   $v_n=\frac{n^n}{n!e^n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 815]
Calculer la limite et un équivalent de
$$u_n=\prod_{k=2}^n\left(1+\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\right).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 816]
Soit $(u_n)\in\R^\N$ définie par $u_0\in]0,1[$ et
$u_{n+1}=u_n-u_n^2$.
1. Déterminer la nature des séries $\sum u_n^2$ et $\sum u_n$.
2. Poser $A_n=\frac1{u_{n+1}}-\frac1{u_n}$ et
   $B_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}A_k$. Trouver un équivalent de $u_n$.
3. Trouver un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^nu_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 817]
1. Soient $(u_n),(v_n)$ strictement positives telles que $u_n\sim v_n$
   et $\sum v_n$ diverge. Montrer que
   $\sum_{k=0}^nu_k\sim\sum_{k=0}^nv_k$.
2. Pour $n\geq1$, poser $S_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}}$.
   a) Montrer que $S_n\sim\frac{(-1)^{n+1}}{2\sqrt n}$.
   b) Montrer que $S_n+S_{n+1}$ tend vers une limite réelle positive.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 818]
Soit $(z_n)_{n\in\N}$ une suite complexe telle que
$|z_n-z_m|>\sqrt2$ si $n\neq m$.
1. Pour $A>0$, poser $C_A=\{n:|\operatorname{Re}(z_n)|\leq A,
   |\operatorname{Im}(z_n)|\leq A\}$. Montrer que $C_A$ est fini.
2. Montrer que $|z_n|\to+\infty$.
3. Si les $z_n$ sont non nuls, montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty}|z_n|^{-3}$
   converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 819]
On définit $f:\R\to\R$ par $f(0)=0$ et, pour $x\neq0$,
$f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x}$.
1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\R$.
2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\R$ sur $\R$.
3. Déterminer le développement limité à l'ordre 5 en 0 de $f^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 820]
Soit $E=C^0([0,1],\R)$. Pour $f\in E$, on pose
$$\varphi(f)(x)=\int_0^xf(t)dt-\int_x^1f(t)dt.$$
1. $\varphi$ est-elle un endomorphisme ?
2. Est-elle injective ou surjective ? Déterminer $\operatorname{Im}(\varphi)$.
3. Déterminer ses valeurs propres.
4. Montrer que $\|\varphi(f)\|_\infty\leq\|f\|_2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 821]
Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f$ et $f''$ soient bornées sur $\R$.
Montrer que $f'$ est bornée et que
$\|f'\|_\infty\leq2\|f\|_\infty\|f''\|_\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 822]
Soit $f:[a,b]\to\R_+^*$ continue.
1. Montrer qu'il existe une unique subdivision $(x_0,\ldots,x_n)$ de
   $[a,b]$ telle que, pour $1\leq k\leq n$,
   $$\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(t)dt=\frac1n\int_a^bf(t)dt.$$
2. Déterminer la limite quand $n\to+\infty$ de
   $\frac1n\sum_{k=0}^nf(x_k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 823]
Soient $f,g\in C^\infty(\R,\R)$, avec $g$ 1-périodique.
1. Écrire $\int_0^1f(x)g(nx)dx$ comme une somme d'intégrales, puis en
   déterminer la limite quand $n\to+\infty$.
2. Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ telle que $\int_0^1f(t)dt=1/2$. Montrer
   qu'il existe $x\in[0,1]$ tel que $f(x)=x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 824]
On pose $E=\{f\in C^1(\R_+,\R):f(0)=0\}$. Pour $f\in E$, définir
$\Lambda(f)(x)=\int_0^x\frac{f(t)}t\,dt$.
1. Montrer que $\Lambda(f)$ est bien définie.
2. Montrer que $\Lambda$ est un endomorphisme de $E$.
3. Déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 825]
Soient $(x,y)\in\R^2$, $z=x+iy\in\C\setminus\R$ et $n\in\N$.
Déterminer la nature de
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{(t-z)^n}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 826]
Soit $f\in C^0(\R_+,\R_+^*)$ telle que
$\frac{f(x+1)}{f(x)}\to\ell\in]0,1[$ quand $x\to+\infty$.
1. Montrer qu'il existe $q\in]0,1[$ et $x_0\geq0$ tels que, pour tout
   $x\geq x_0$ et $k\in\N$, $f(x+k)\leq q^kf(x)$.
2. En déduire la nature de $\int_0^{+\infty}f(x)dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 827]
Soit $f\in C^0(\R_+,\R)$ et $s_0\in\R$. On suppose que
$\int_0^{+\infty}f(t)e^{-s_0t}dt$ converge. Montrer que, pour tout
$s>s_0$, $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ converge.
Indication : effectuer une intégration par parties.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 828]
Soit $f:[0,1]\to\R$ définie par
$$f(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac1{n-x}-\frac1{n+x}\right).$$
1. Montrer que $f$ est définie sur $[0,1]$.
2. Montrer que $f$ est continue et intégrable sur $[0,1]$.
3. Calculer $\int_0^1f(x)dx$.
4. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. Est-elle de classe $C^k$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 829]
Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\ln\left(\frac{n+1+x}{n+x}\right)$.
1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\R_+^*$.
2. Déterminer sa limite en $+\infty$.
3. Déterminer un équivalent de $f$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 830]
Soit $S(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac1k-\frac1{k+x}\right)$.
1. Montrer que $S$ est définie, continue et croissante sur $\R_+$.
2. Calculer $S(0),S(1)$ et $S(1/2)$.
3. Montrer que $u_n=-\ln(n+1)+\sum_{k=1}^n\frac1k$ converge ; noter
   $\gamma$ sa limite.
4. Montrer que $\int_0^1S(x)dx=\gamma$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 831]
Soit $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^x}$.
Déterminer son domaine de définition et montrer sa continuité et sa classe
$C^\infty$. Déterminer sa limite en $+\infty$ et un équivalent en $1^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 832]
Soit $F(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac1{\ln(n)n^x}$.
1. Déterminer le domaine de définition de $F$.
2. Montrer que $F$ est de classe $C^\infty$ sur ce domaine.
3. Étudier le comportement de $F$ au bord de son domaine de définition.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 833]
On considère la suite définie par $u_0=1$, $u_1=0$ et
$u_{n+2}=u_{n+1}+\frac{u_n}{n+2}$ pour $n\in\N$.
1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$.
2. Montrer que sa somme vérifie $(1-x)y'+(1+x)y=-1$.
3. En déduire une expression de cette somme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 834]
Pour $n\in\N$, on pose $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.
1. Déterminer le rayon de convergence de $f$.
2. Étudier la convergence aux extrémités de l'intervalle de convergence.
3. Montrer que $f$ est continue en $-1$.
4. Déterminer explicitement $f$ sur $[-1,1[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 835]
1. Montrer que l'équation différentielle $f'(x)=xf(x)^2$ admet une
   solution $S$ développable en série entière et vérifiant $S(0)=1$.
2. Donner une expression analytique de $S$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 836]
Soit $P\in\C[X]$.
1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière
   $f(z)=\sum_{n\geq0}P(n)z^n$.
2. Montrer que $f$ coïncide avec une fraction rationnelle sur son disque
   ouvert de convergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 837]
On pose $f(x)=e^{-2x^2}\int_0^xe^{2t^2}dt$.
1. Montrer que $f$ est développable en série entière en 0.
2. Déterminer ce développement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 838]
Soit $\alpha\in\R\setminus\pi\Z$ et
$$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+2x\cotan(\alpha)-1}.$$
Poser
$$g(x)=\frac{(\cos\alpha+1)/\sin\alpha}{x+(\cos\alpha+1)/\sin\alpha}
+\frac{(\cos\alpha-1)/\sin\alpha}{x+(\cos\alpha-1)/\sin\alpha}.$$
1. Montrer que $f(x)$ peut s'exprimer à l'aide de $g(x)$.
2. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0
   et donner le domaine de validité de ce développement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 839]
Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ln(n)x^n$.
1. Déterminer son intervalle de convergence et étudier sa continuité.
2. Poser $a_1=1$ et, pour $n\geq2$,
   $a_n=-\ln(1-1/n)-1/n$. Déterminer le domaine de définition de
   $g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n$.
3. Trouver une relation entre $f$ et $g$.
4. Calculer $g(1)$ et $g(-1)$, puis trouver un équivalent de $f$ en $1^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 840]
Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite $p$-périodique non nulle et
$S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$.
1. Déterminer le rayon de convergence de $S$.
2. Donner un équivalent de $S(x)$ quand $x\to1^-$.
3. Même question si $(u_n)$ est ultimement périodique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 841]
Pour $n\in\N$, poser $u_n=\int_0^1\frac{t^n\ln t}{1+t}dt$.
1. Montrer que $u_n$ est bien défini, étudier les variations de $(u_n)$ et
   déterminer sa limite.
2. Calculer $u_{n+1}+u_n$, puis donner un équivalent de $u_n$.
3. Poser $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$. Déterminer son rayon et son
   domaine de définition.
4. Pour $x\in[-1,1]$, poser $T(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^n/n^2$.
   Exprimer $T(x)$ puis $S(x)$ à l'aide d'intégrales.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 842]
Soit $a\in]0,1[$ et $f:\R\to\R$ dérivable telle que $f'(x)=f(ax)$.
1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ et exprimer $f^{(n)}$ en
   fonction de $f$.
2. Montrer que $f$ est égale en tout point à sa série de Taylor en 0.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 843]
Pour $n\in\N$, noter $T_n$ le coefficient de $X^n$ dans $(1+X+X^2)^n$.
1. Pour $R>0$, montrer que
   $$T_n=\frac1{2\pi R^n}\int_{-\pi}^{\pi}
   (1+Re^{i\theta}+R^2e^{2i\theta})^ne^{-in\theta}d\theta.$$
2. En déduire que $T_n\leq3^n$.
3. Établir la représentation intégrale gaussienne du coefficient obtenue
   par le changement d'échelle $t=\theta\sqrt{2n/3}$.
4. Montrer que l'intégrale transformée admet une limite et la calculer.
   En déduire un équivalent de $T_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 844]
1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ converge et que
   $$I=\lim_{n\to+\infty}\int_0^{\sqrt n}\left(1-\frac{t^2}{n}\right)^ndt.$$
2. En déduire que $I=\lim_{n\to+\infty}\sqrt n\,I_{2n}/2$, où
   $I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)dt$.
3. Montrer que $nI_nI_{n-1}=\pi/2$ et en déduire
   $I_n\sim\sqrt{\pi/(2n)}$.
4. Montrer que $I=\sqrt\pi/2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 845]
Soit $p\geq1$. Pour $n\in\N$, on pose
$$S_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac1{1+pk}.$$
1. Montrer que $S_n=\int_0^1(1-t^p)^ndt$, puis que
   $$S_n=\frac1p\int_0^1(1-u)^nu^{1/p-1}du.$$
2. Montrer que, pour $n\geq1$,
   $$S_n=\prod_{k=1}^n\frac1{1+1/(pk)}.$$
3. Déterminer un équivalent de $S_n$ quand $n\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 846]
Soit $f(x)=\int_0^1|\ln(t)|^xdt$.
1. Déterminer son domaine de définition $D$.
2. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $D$.
3. Calculer $f^{(n)}$ pour tout $n\in\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 847]
Soit $f(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(x+1)}$.
1. Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$.
2. Montrer que $f$ est continue sur $D$.
3. Déterminer un équivalent de $f(\alpha)$ quand $\alpha\to0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 848]
Soit $I(x)=\frac1\pi\int_0^{\sqrt\pi}e^{x\cos t}dt$. Montrer que
$$I(x)\sim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}.$$
Indication : poser $u=\sqrt{x}\,t$ et utiliser
$\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 849]
Soit $\alpha\in]0,1[$ et
$$f(\theta)=e^{i\alpha\theta}\int_0^{+\infty}
\frac{u^{\alpha-1}}{1+ue^{i\theta}}du.$$
1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.
2. Poser $g(u)=\frac{u^\alpha}{1+ue^{i\theta}}$. Montrer que $f$ est
   de classe $C^1$ sur $D$ et que
   $f'(\theta)=ie^{i\alpha\theta}\int_0^{+\infty}g'(u)du$.
   En déduire que $f$ est constante sur chaque intervalle de $D$.
3. Pour $\theta\in]-\pi,\pi[$, établir la relation trigonométrique
   donnée par l'intégrale et en déduire
   $$\sin(\alpha\theta)f(\theta)=\int_0^{+\infty}
   \frac{(u\sin\theta-\cos\theta)^\alpha}{1+u^2}du.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 850]
Soient
$$F(x)=\int_0^1\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt,\qquad
G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt.$$
1. Montrer que $F,G$ sont définies et de classe $C^1$ sur $\R$.
2. Montrer que $x\mapsto F(x)+G(x)$ est constante et déterminer sa valeur.
3. En déduire la convergence et la valeur de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 851]
1. Montrer que, pour tout $x>0$,
   $$\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(x/t)}{1+t^2}dt
   =\int_0^x\frac{\ln t}{t^2-1}dt.$$
2. En déduire la valeur de $\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 852]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$.
1. Montrer que $|\arctan u|\leq|u|$ pour tout $u\in\R$.
2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.
3. Pour $x^2\neq1$, déterminer $A(x),B(x)$ tels que
   $$\frac1{(1+t^2)(1+x^2t^2)}=\frac{A(x)}{1+t^2}
   +\frac{B(x)}{1+x^2t^2}.$$
4. Montrer que $f'(x)=\frac{\pi}{2(1+x)}$ pour $x>0$, puis exprimer $f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 853]
Soit $f(x)=\int_0^{2\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)dt$.
1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et montrer que $f$ y est
   continue.
2. Exprimer $f(x)$ sans signe intégral.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 854]
Soit $E=C^0([0,1],\R)$ et
$$k(x,t)=\begin{cases}t^2/x&0\leq t<x\leq1,\\
x^2/t&0\leq x<t\leq1,\\1&x=t.\end{cases}$$
Pour $f\in E$, poser $T(f)(x)=\int_0^1k(x,t)f(t)dt$.
1. Pour $x>0$, établir
   $$T(f)(x)=\frac1x\int_0^xt^2f(t)dt+x^2\int_x^1\frac{f(t)}t dt.$$
   Montrer que $T(f)$ est continue sur $[0,1]$, calculer $T(f)(0)$ et
   montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$.
2. Montrer que $T(f)$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$, calculer $T(f)'(0)$,
   puis montrer qu'elle est de classe $C^2$ sur $]0,1]$.
3. Résoudre sur $]0,1]$ l'équation différentielle
   $y''-\frac2{x^2}y=-3f$. Indication : chercher les solutions homogènes
   sous la forme $x\mapsto x^n$, avec $n\in\Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 855]
1. Soient $a,c>0$. Montrer que
   $$\int_0^1\frac{t^{a-1}}{1+t^c}dt=
   \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{a+nc}.$$
2. En déduire la valeur de cette somme pour $a=1,c=3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 856]
Donner une expression de l'intégrale
$$I=\int_0^{+\infty}\frac{\ln^2(x)}{1+x^2}dx.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 857]
Pour $n\geq1$, on pose $f_n(x)=e^{-nx}-2e^{-2nx}$ pour $x>0$.
1. Montrer que $f_n$ est intégrable sur $\R_+^*$ et calculer son intégrale.
   En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(x)dx$.
2. Poser $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$. Exprimer $S(x)$, montrer
   qu'elle est intégrable sur $\R_+^*$ et calculer son intégrale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 858]
Soient $f\in C^0(\R,\C)$ et $\theta\in\C$. Donner l'unique solution de
$z'+\theta z=f$ telle que $z(0)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 859]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}\ln(t)dt$.
1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\R_+^*$.
2. Montrer que $f$ est solution de $x^2y'+xy+1=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 860]
Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ telle que, pour $x\in]0,1[$,
$$f(x)=\int_1^{1-x}\frac{f(t)}t dt.$$
1. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $]0,1[$.
2. Donner une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 vérifiée
   par $f$ sur $]0,1[$.
3. Résoudre cette équation en posant $g(x)=f(x)/x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 861]
Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}
\frac{n!}{1\cdot3\cdots(2n+1)}x^{2n+1}$.
1. Déterminer le rayon de convergence de $f$.
2. Montrer que $f$ vérifie $(x^2-2)y'+xy+2=0$. En déduire une expression
   de $f$ et déterminer son intervalle de définition.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 862]
On considère l'équation différentielle $2xy''+y'-y=0$.
1. Déterminer une solution développable en série entière, solution de
   l'équation et telle que $f(0)=1$.
2. Exprimer cette fonction à l'aide des fonctions usuelles.
3. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 863]
On considère $x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=2(1+x)$.
1. Trouver les solutions homogènes de la forme $x^\alpha$ sur
   $]0,+\infty[$ et donner une base de l'espace des solutions.
2. Trouver une solution particulière sous la forme
   $\alpha(x)x+\beta(x)x^2$ sur chacun des intervalles
   $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$, avec
   $\alpha'(x)x+\beta'(x)x^2=0$.
3. Existe-t-il des solutions sur $\R$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 864]
On considère $y''+(1-2/x^2)y=0$ sur $]0,+\infty[$.
1. Montrer que ses solutions sont de classe $C^2$.
2. Poser $f(x)=\sin(x)/x-\cos(x)$. Montrer que $f$ est solution, se
   prolonge en une fonction développable en série entière en 0, et possède
   une infinité de zéros sur $]0,+\infty[$.
3. Poser $g_\omega(x)=\cos(x)/x+\omega\sin(x)$. Déterminer les $\omega$
   pour lesquels $g_\omega$ est solution et montrer qu'elle a une infinité
   de zéros.
4. Montrer que toute solution possède une infinité de zéros.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 865]
On considère $(t^2+1)y''-2y=0$.
1. Déterminer une solution polynomiale non nulle $\varphi$.
2. Résoudre l'équation en posant $y=\varphi z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 866]
Soit $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{1+y^{2n}}$.
1. Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition de $f$.
2. Étudier l'existence de ses dérivées partielles d'ordre 1.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 867]
Étudier les extrema de
$g:(x,y)\in(\R_+^*)^2\mapsto x\ln(y)-y\ln(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 868]
Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien,
$f\in\mathcal S_{++}(E)$ et $v\in E$.
1. Montrer que $\langle f(x),x\rangle>0$ pour tout $x\neq0$.
2. Montrer que $g(x)=\frac12\langle f(x),x\rangle-\langle v,x\rangle$
   est de classe $C^1$.
3. Montrer que $g$ possède un unique point critique $c$.
4. Montrer que $g$ atteint en $c$ un minimum global.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 869]
Soit $X\sim\mathcal P(\lambda)$ avec $\lambda>0$.
1. Déterminer $\P(X\in2\N)$ et $\P(X\in2\N+1)$, puis les comparer.
2. Poser $Y=(-1)^X$. Déterminer la loi et l'espérance de $Y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 870]
Une urne contient $n$ boules dont $p$ blanches et $n-p$ noires. On effectue
des tirages successifs sans remise. Déterminer la loi et l'espérance du
rang de la dernière boule blanche tirée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 871]
Soit $N\geq2$. On tire sans remise les $N$ boules numérotées de 1 à $N$.
On note $B_i$ le résultat du $i$-ième tirage. Pour $1\leq p\leq N$, soit
$X_p$ le nombre de $p$-croissances, c'est-à-dire de $i$ tels que
$B_i<B_{i+1}<\cdots<B_{i+p}$. Déterminer $\E(X_p)$ et calculer $V(X_1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 872]
Soit $Z=X+Y$, où $X,Y$ sont les résultats de deux dés.
1. Pour des dés équilibrés, déterminer la loi de $Z$, son espérance et sa
   variance.
2. Peut-on truquer les dés pour que $Z$ suive la loi uniforme sur
   $\{2,\ldots,12\}$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 873]
1. Soit $P\in\R[X]$ et $\alpha$ une racine complexe non réelle. Montrer
   que $\overline\alpha$ est aussi racine de $P$, avec la même multiplicité.
2. Soient $X,Y$ indépendantes et uniformes sur $\{1,\ldots,6\}$. Montrer
   que si $X',Y'$ sont indépendantes, à valeurs dans $\{1,\ldots,6\}$,
   et $X'+Y'$ a la même loi que $X+Y$, alors $X'$ et $Y'$ sont uniformes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 874]
Soit $(a_n)_{n\geq1}$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et
$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq3$.
1. Montrer que $\sum_{n\geq2}a_n/2^n$ converge et calculer sa somme.
2. On lance une pièce équilibrée et $X$ est le rang d'apparition du premier
   motif face-face. Déterminer la loi de $X$.
3. Calculer $\E(X)$ et $V(X)$.
4. Donner un équivalent de $\P(X=n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 875]
On joue à pile ou face, avec probabilité de pile $p\in]0,1[$. On s'arrête
quand on a obtenu deux piles, pas nécessairement consécutifs. Soit $X$ le
nombre de faces obtenues. Montrer que $X$ est d'espérance finie et la calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 876]
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. de Bernoulli de paramètre $1/2$,
représentant les lancers d'une pièce équilibrée. Pour $n\geq2$, $(Y=n)$ est
l'événement où les deux premiers piles consécutifs apparaissent aux rangs
$n,n+1$ ; $(Y=0)$ signifie qu'ils n'apparaissent jamais. Soit $C_n$ l'événement
qu'il n'y ait pas deux piles consécutifs parmi $(X_1,\ldots,X_n)$, avec
$\P(C_0)=1$.
1. Montrer que $\P(Y=n)=\frac18\P(C_{n-2})$.
2. Montrer que $\P(C_n)=\frac14\P(C_{n-2})+\frac12\P(C_{n-1})$.
3. En déduire $\P(Y=n)$ et $\P(Y=0)$, et interpréter.
4. Montrer que $Y$ admet une espérance finie et calculer $\E(Y)$ de deux
   manières.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 877]
Soit $n\geq2$. On tire indépendamment et uniformément dans un ensemble de
$n$ jetons distincts jusqu'à les avoir tous obtenus. On note $T_n$ le nombre
de tirages nécessaires et $X_{n,k}$ le nombre de tirages entre l'obtention
du $(k-1)$-ième et du $k$-ième jeton distinct. Ainsi
$T_n=\sum_{k=1}^nX_{n,k}$.
1. Déterminer $\E(T_n)$ et $V(T_n)$ en fonction de
   $H_n=\sum_{k=1}^n1/k$ et $S_n=\sum_{k=1}^n1/k^2$.
2. Donner des équivalents de ces quantités quand $n\to+\infty$.
3. Montrer que, pour $t\in[-1,1]$,
   $$G_n(t)=\frac{n!}{n^n}t^n\prod_{k=1}^{n-1}\frac1{1-(k/n)t}.$$
4. À l'aide de la décomposition en éléments simples de $G_n(t)/t$,
   établir sa décomposition en fractions simples.
5. En déduire une expression de $\P(T_n=m)$ pour $m\geq n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 878]
Soit $X$ une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre
$p\in]0,1[$. On définit $f_X(t)=t^X\sin(X/t)$.
1. Déterminer la probabilité que $f_X$ soit prolongeable en une fonction
   de classe $C^1$ sur $\R$.
2. Quelle est cette probabilité pour la classe $C^p$, avec $p\geq2$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 879]
Soit $X\sim\mathcal G(p)$, avec $p\in]0,1[$, et
$Y=\int_0^{2\pi}\sin^X(t)dt$. Montrer que $Y$ est une variable aléatoire
qui admet une espérance, puis calculer celle-ci.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 880]
Un immeuble compte 7 étages et une personne recherchée s'y trouve avec
probabilité $p\in]0,1[$. Si elle est présente, chaque étage est
équiprobable. On a vainement cherché dans les six premiers étages.
Quelle est la probabilité qu'elle soit au dernier étage ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 881]
On considère $n$ équipes de division 1 et $n$ équipes de division 2,
réparties en $n$ matchs, chaque appariement étant équiprobable. On note
$p_n$ la probabilité que chaque match oppose des équipes de divisions
différentes et $q_n$ celle que chaque match oppose des équipes de même
division.
1. Déterminer $p_n$ et $q_n$.
2. Étudier les suites $(p_n)$ et $(q_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 882]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre
$p\in]0,1[$, $U=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=UU^T$.
1. Donner les lois de $\operatorname{rg}(M)$ et $\operatorname{Tr}(M)$.
2. Quelle est la probabilité que $M$ soit la matrice d'un projecteur ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 883]
Soit $A=\begin{pmatrix}X&1\\0&Y\end{pmatrix}$, où $X,Y$ sont
indépendantes de lois géométriques de paramètres respectifs $p,q$.
1. Quelle est la probabilité que $A$ soit diagonalisable ?
2. Quelle est la probabilité que $A$ soit inversible ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 884]
Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique de paramètre
$p\in]0,1[$ et $M=\begin{pmatrix}X&Y\\Y&X\end{pmatrix}$.
1. Déterminer la probabilité que $M$ soit inversible.
2. Noter $U,V$ les plus grandes et plus petites valeurs propres de $M$.
   Calculer $\operatorname{Cov}(U,V)$ et étudier leur indépendance.
3. Poser $Z=\max(X,Y)$. Calculer $\E(Z)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 885]
Fixer $a\in]0,1[$ et $b>0$. Soit $(X,Y)$ à valeurs dans $\N^2$ tel que
$$\P(X=i,Y=j)=\begin{cases}0&i<j,\\
e^{-b}\dfrac{b^ja^j(1-a)^{i-j}}{j!(i-j)!}&i\geq j.\end{cases}$$
1. Déterminer les lois de $X,Y$, leurs espérances et variances.
2. Ces variables sont-elles indépendantes ?
3. Déterminer la loi de $Z=X-Y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 886]
Soient $X,Y$ indépendantes avec $X\sim\mathcal G(p)$,
$Y\sim\mathcal G(q)$, où $p,q\in]0,1[$. On pose $U=X/Y$.
1. Déterminer la loi de $U$.
2. Calculer $\E(U)$.
3. Pour $p=q$, montrer que $\E(U)>1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 887]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$ et
$S_n=X_1+\cdots+X_n$. Fixer $r>0$.
1. Montrer que $\operatorname{ch}(t)\leq e^{t^2/2}$ pour $t>0$.
2. Montrer que, pour $t>0$,
   $$\P(S_n/n\geq r)\leq\E(e^{t(S_n/n-r)}).$$
3. En déduire que $\P(S_n/n\geq r)\leq e^{-nr^2/2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 888]
Soit $\alpha>0$.
1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$
   de fonction génératrice $G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$.
2. Si $\alpha\in\N^*$, donner un équivalent de $\P(X=n)$.
3. Pour $\lambda>0$, montrer que
   $\P(X\geq\lambda+\alpha)\leq2\alpha/\lambda^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PSI 2026 # 889]
Soient $(\lambda_n)_{n\geq0}$ des réels positifs et $(X_n)_{n\geq0}$ des
variables indépendantes avec $X_n\sim\mathcal P(\lambda_n)$. Déterminer
la loi de $S=\sum_{n=0}^{+\infty}X_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 890]
On considère une marche aléatoire sur $\Z^2$ issue de l'origine, avec
déplacements indépendants et équiprobables vers l'est, l'ouest, le nord
ou le sud. On note $A_n=(X_n,Y_n)$ sa position après $n$ pas.
1. Déterminer $\E(X_n),V(X_n)$ puis $\E(Y_n),V(Y_n)$.
2. Poser $Z_n=\|A_n\|_2=\sqrt{X_n^2+Y_n^2}$. Montrer que
   $\E(Z_n)\leq\sqrt n$.
3. Montrer que $\sum_{i=0}^n\binom ni^2=\binom{2n}n$, puis déterminer
   $\P(Z_n=0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 891]
Soit $p\in]0,1[$ et $X_n\sim\mathcal B(n,p)$.
1. Rappeler la formule de Stirling.
2. Montrer que, pour tout $t\in\R$,
   $$\E\left(\exp\left(t\frac{X_n-\E(X_n)}{\sqrt{V(X_n)}}\right)\right)
   \longrightarrow e^{t^2/2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 892]
Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$,
$x\geq0$.
1. Montrer que $f_n(x)=1/2$ admet une unique solution $a_n\geq0$ et que
   $(a_n)$ est croissante.
2. Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi de Poisson de paramètre $\lambda$ et
   $S_n=\sum_{k=0}^nX_k$. Donner la loi, l'espérance et la variance de
   $S_n$. Par Bienaymé-Tchebychev, montrer que $\P(S_n\geq n)\to0$ si
   $\lambda<1$ et tend vers 1 si $\lambda>1$.
3. Utiliser $\P(S_n\geq n)=f_n(n\lambda)$ pour montrer que $a_n\sim n$.
#+end_exercice

* Mines-Ponts PC 2026
** Algèbre

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 893]
On pose $a=(5\sqrt2+7)^{1/3}$ et $b=(5\sqrt2-7)^{1/3}$. Calculer
$a^3-b^3$, $ab$ et $a-b$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 894]
Soit $z=\frac12(1+i\sqrt7)$. Montrer que, pour tout $n\geq1$,
$2\operatorname{Re}(z^n)$ est un entier impair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 895]
Calculer
$$\sum_{0\leq3k\leq n}\binom n{3k}\quad\text{et}\quad
\sum_{0\leq3k\leq n}(-1)^k\binom n{3k}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 896]
Soit $(a_0,\ldots,a_n)\in K^{n+1}$. Montrer que tout $Q\in K_n[X]$
peut s'écrire sous la forme $\sum_{k=0}^na_kP^{(k)}$ si et seulement si
$a_0\neq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 897]
Soit $n\in\N$.
1. Montrer que $x\mapsto\frac{(x+1)^n-1}{x}$ est polynomiale ; noter $P$
   le polynôme associé.
2. Pour $n\geq2$, montrer que les affixes des racines de $P$ sont sur un
   cercle à déterminer.
3. Calculer $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 898]
Pour $P\in\R[X]$ non constant, soit $\Omega_P$ l'ensemble des $r\in\R$
tels que $P+r$ soit scindé à racines simples sur $\R$.
1. Donner un exemple tel que $\Omega_P=\varnothing$.
2. Montrer que $\Omega_P$ est un intervalle ouvert.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 899]
Déterminer les polynômes $P\in\R[X]$ tels que
$P(X)P(X-1)=P(X^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 900]
Soient $n\geq2$ et $P=X^n-3X+7$, de racines complexes
$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ comptées avec multiplicité.
1. Déterminer le nombre de racines réelles distinctes de $P$.
2. Déterminer le nombre de racines complexes distinctes de $P$.
3. Expliciter $Q=\prod_{i=1}^n\left(X-\frac{\lambda_i}{1+\lambda_i}\right)$.
4. Expliciter $R=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 901]
Soient $n\geq1$, $P\in\R_n[X]$ tel que $P(0)=1$, $P(1)=0$,
$U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité et $U$ le cercle unité.
1. Calculer $\sum_{\omega\in U_n}|P(\omega)|^2$ en fonction des
   coefficients de $P$.
2. En déduire que $\sup_{z\in U}|P(z)|\geq\sqrt{1+1/n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 902]
1. Pour $\theta\not\equiv0\ [\pi]$ et $n\in\N$, montrer qu'il existe
   $P\in\R_n[X]$ tel que
   $$\sin((2n+1)\theta)=\sin^{2n+1}(\theta)
   P\left(\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\right),$$
   où $P(X)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n+1}{2k+1}X^{n-k}$.
2. En déduire
   $$\sum_{k=1}^n\frac1{\cos^2(k\pi/(2n+1))\sin^2(k\pi/(2n+1))}
   =\frac{n(2n-1)}3,$$
   puis $\sum_{k=1}^{+\infty}k^{-2}=\pi^2/6$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 903]
On pose $E=\{Q^2+XR^2:(Q,R)\in\R[X]^2\}$.
1. Montrer que $E$ est stable par produit.
2. Comparer par inclusion $E$ et
   $G=\{P\in\R[X]:\forall x\in\R_+,\ P(x)\geq0\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 904]
Soient $a_0,\ldots,a_{n-1}\in\C$ et
$P(X)=X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k=\prod_{j=1}^n(X-\lambda_j)$.
Poser $\rho=\max_j|\lambda_j|$.
1. Déterminer le nombre de racines réelles strictement positives de
   $X^n-\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|X^k$.
2. Si $r\geq0$ et $r^n\geq\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|r^k$, montrer que $\rho\leq r$.
3. Montrer que $\rho\leq\max(1,\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|)$.
4. En utilisant $Q(X)=(X-1)P(X)$, montrer que
   $\rho\leq|a_0|+\sum_{k=0}^{n-1}|a_{k+1}-a_k|$, où $a_n=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 905]
1. Montrer qu'il existe une unique famille $(L_k)_{0\leq k\leq n}$ de
   polynômes de $\R_n[X]$ telle que $L_i(j)=\delta_{i,j}$.
2. Préciser le coefficient dominant de $L_k$.
3. Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que
   $\max_{0\leq k\leq n}|P(k)|\geq n!/2^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 906]
Soit $\Delta:P\mapsto P(X+1)-P(X)$.
1. Montrer que, pour $P\in\R[X]$ et $n\in\N$,
   $$\Delta^n(P)=\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}P(X+k).$$
2. En déduire que, pour $P\in\R_{n-1}[X]$,
   $\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}P(k)=0$.
3. Déterminer $\inf_{P\in\R_{n-1}[X]}\sum_{k=0}^n(k^n-P(k))^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 907]
Soit $P\in\R[X]$ non constant sans racine réelle, de racines complexes
$z_1,\ldots,z_n$ comptées avec multiplicité.
1. Pour $z\notin\{z_1,\ldots,z_n\}$, montrer que
   $$\left|\frac{P'(z)}{P(z)}\right|^2\leq n\sum_{k=1}^n\frac1{|z-z_k|^2}.$$
2. Montrer qu'il existe une constante $\alpha$ telle que, pour $n\geq2$
   et tout tel $P\in\R_n[X]$,
   $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P'(x)^2}{P(x)^2+P'(x)^2}dx
   \leq\alpha n^{3/2}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 908]
Soit $n\geq1$. Déterminer le plus petit sous-espace de $\mathcal L(\R^n)$
contenant toutes les symétries vectorielles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 909]
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel, $(v_1,\ldots,v_n)\in E^n$ et
$(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n$. Poser
$w=\sum_{k=1}^n\lambda_kv_k$. Montrer que
$$\operatorname{rg}(v_1+w,\ldots,v_n+w)=n$$
si et seulement si $\operatorname{rg}(v_1,\ldots,v_n)=n$ et
$\lambda_1+\cdots+\lambda_n\neq-1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 910]
Soit $D=\operatorname{Diag}(-1,4)$. Trouver les matrices
$M\in M_2(\R)$ telles que $M^3-2M=D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 911]
Soit
$$A=\begin{pmatrix}-1&2&0&8\\-1&2&4&-4\\0&0&2&-6\end{pmatrix}.$$
1. Donner une base de $\operatorname{Im}(A)$.
2. Donner une base de $\Ker(A)$.
3. Trouver $P\in GL_3(\R)$ et $Q\in GL_4(\R)$ tels que
   $PAQ=J_2=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$.
4. Pour $n\geq2$, montrer que $\{M\in M_{n,3}(\R):MA=0\}$ est un
   sous-espace vectoriel de dimension à déterminer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 912]
Soient $A\in GL_n(\R)$ et $X\in\R^n$. Montrer que
$$X^TA^{-1}X=\frac{\det(A+XX^T)}{\det A}-1.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 913]
1. Soit $a\in\R$. Montrer que $A=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$
   est semblable à son inverse.
2. Soit $M=\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}$,
   avec $a,b,c\in\R$. Expliciter $M^{-1}$ et montrer que $M-I_3$ et
   $M^{-1}-I_3$ sont semblables.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 914]
1. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $F$ un sous-espace
   de dimension $r<n$. Montrer qu'il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$
   de $E$ telle que $e_k\notin F$ pour tout $k$.
2. Quelles sont les matrices $A\in M_d(K)$ telles que toute matrice
   semblable à $A$ possède au moins une colonne nulle ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 915]
Soit $A\in M_n(\C)$ telle que $A^2=A$ et $r=\operatorname{rg}(A)$. Poser
$E=\{M\in M_n(\C):AM+MA=0\}$.
1. Déterminer le nombre de sous-espaces vectoriels de $\C^n$ stables par $A$.
2. Déterminer $\dim E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 916]
Soit $B\in M_n(\C)$ dont les coefficients diagonaux sont nuls. Pour
$z\in\C^*$, poser $A(z)=(z+z^{-1})I_n+B$.
1. Montrer qu'il existe $R>0$ tel que $A(z)$ soit inversible si
   $0<|z|<R$.
2. Trouver $N\geq1$ tel que $z\mapsto z^N\det(A(z))$ admette une limite
   finie non nulle en 0 et préciser cette limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 917]
Soit $A\in M_n(K)$ de rang $r$. Poser
$E_A=\{M\in M_n(K):AMA=0\}$. Calculer $\dim E_A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 918]
Soient $A,B\in M_n(\R)$ et $M=\begin{pmatrix}A&-B\\B&A\end{pmatrix}$.
Montrer que $\det(M)\geq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 919]
Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^n=0$ et $A^{n-1}\neq0$.
1. Montrer qu'il existe $x_0\in\R^n$ tel que
   $(x_0,Ax_0,\ldots,A^{n-1}x_0)$ soit une base de $\R^n$.
2. Poser $C(A)=\{M\in M_n(\R):AM=MA\}$. Montrer que $C(A)$ est un
   espace vectoriel et que $(I_n,A,\ldots,A^{n-1})$ en est une base.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 920]
Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $\operatorname{rg}(AB-BA)=1$.
Montrer que $\operatorname{Im}(B)$ ou $\Ker(B)$ est stable par $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 921]
Soit $S_n$ l'ensemble des permutations de $\{1,\ldots,n\}$.
1. Pour $\sigma\in S_n$, montrer que $\varphi_\sigma:s\mapsto s\circ\sigma$
   est une permutation de $S_n$.
2. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $f_\sigma\in\mathcal L(E)$
   définie par $f_\sigma(e_i)=e_{\sigma(i)}$. Montrer que
   $p_n=\frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}f_\sigma$ est un projecteur et
   déterminer son noyau et son image.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 922]
Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\geq1$ et
$(e_1,\ldots,e_n)$ une base.
1. Caractériser les hyperplans de $E$ par une équation linéaire en les
   coordonnées dans cette base.
2. Soient $(f_1,\ldots,f_n)$ une famille libre de $\mathcal L(E,K)$ et
   $\Phi:x\mapsto(f_1(x),\ldots,f_n(x))$.
   a) Montrer que $\Phi$ est un isomorphisme.
   b) En déduire qu'il existe une base $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$
      telle que $f_i(\varepsilon_j)=\delta_{i,j}$.
3. Soient $f\in\mathcal L(E,K)$ et $(f_1,\ldots,f_p)$ libre. Montrer
   l'équivalence entre $f\in\Vect(f_1,\ldots,f_p)$ et
   $\bigcap_{i=1}^p\Ker(f_i)\subset\Ker(f)$.
4. Que dire si $(f_1,\ldots,f_p)$ est liée ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 923]
Soient $A,B\in M_n(K)$ tels que $ABAB=0$. A-t-on nécessairement
$BABA=0$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 924]
1. Définir $u_0\in\R^*$ et
   $u_{n+1}=\frac12(u_n+1/u_n)$. Étudier la suite.
2. Dans $M_p(\R)$, soit $N$ nilpotente.
   a) Montrer que $A=I_p+N$ est inversible.
   b) Justifier l'existence de $(B_n)$ définie par $B_0=A$ et
      $B_{n+1}=\frac12(B_n+B_n^{-1})$. Étudier cette suite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 925]
Soit $P\in\C_n[X]$. Déterminer le rang de
$M=(P(i+j))_{1\leq i,j\leq n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 926]
Soient $f_1,\ldots,f_n$ des fonctions de $\R$ dans $\R$. Montrer que
$(f_1,\ldots,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe
$(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n$ tel que $M=(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}$
soit inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 927]
Soient $K=\R$ ou $\C$, $n\geq1$ et $a_0,\ldots,a_n\in K$ distincts.
1. Soit $P\in K[X]$ de degré $n$ et $P_j(X)=P(X+a_j)$. Montrer que
   $(P_0,\ldots,P_n)$ est une base de $K_n[X]$.
2. Soit $Q\in K_n[X]$ et $M=(Q(a_i+a_j))_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer
   que $M$ est inversible si et seulement si $\deg Q=n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 928]
Soit $\Delta:P\mapsto P(X+1)-P(X)$.
1. Montrer que $\Delta$ stabilise $\R_n[X]$ et noter $\Delta_n$ sa
   restriction.
2. Déterminer $\Ker(\Delta_n)$ et $\operatorname{Im}(\Delta_n)$.
3. Trouver une base de $\R_n[X]$ telle que la matrice de $\Delta_n$ ne
   comporte que des 0 et des 1.
4. Soit $d\in\N$.
   a) Montrer qu'il existe $Q\in\R[X]$ tel que
      $Q(k)=\sum_{i=0}^ki^d$ pour tout $k\in\N$.
   b) Trouver de deux manières un équivalent de $Q(k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 929]
Soit $d\in\N$. Poser $P_0=1$ et, pour $k\geq1$,
$P_k=X(X-1)\cdots(X-k+1)$.
1. Montrer que $(P_0,\ldots,P_d)$ est une base de $\R_d[X]$.
2. Donner la matrice de passage depuis la base canonique et montrer que
   son inverse est à coefficients entiers.
3. Étudier la convergence et calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}P_d(n)/n!$.
4. Montrer qu'il existe $N_d\in\N$ tel que
   $\sum_{n=0}^{+\infty}n^d/n!=N_de$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 930]
Soient $E$ un espace vectoriel et $f,g\in\mathcal L(E)$. On suppose que
$\operatorname{Im}(f)$ et $\operatorname{Im}(g)$ sont en somme directe.
Montrer que $\operatorname{Im}(f)+\operatorname{Im}(g)=\operatorname{Im}(f+g)$
si et seulement si $E=\Ker(f)+\Ker(g)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 931]
Soient $\alpha_1<\cdots<\alpha_n$ et $a_1,\ldots,a_n\in\R^*$. On pose
$f(x)=\sum_{i=1}^na_ix^{\alpha_i}$ pour $x>0$.
1. Montrer que $f$ s'annule au plus $n-1$ fois sur $\R_+^*$.
2. Soient $t_1<\cdots<t_n$ et $A=(t_i^{\alpha_j})_{1\leq i,j\leq n}$.
   Montrer que $\det(A)\geq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 932]
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et
$u\in\mathcal L(E)\setminus\{0\}$. Montrer que $u$ est une homothétie si
et seulement si, pour tous $v,w\in\mathcal L(E)$, $u=v\circ w$ entraîne
$u=w\circ v$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 933]
Soient $n\geq2$ et $A\in M_n(\R)$ de rang 1 et de trace nulle. Montrer
que $A$ est semblable à $E_{1,n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 934]
Soit $E$ de dimension $N\geq1$, $n=\lfloor N/3\rfloor$ et $u\in\mathcal L(E)$
tels que $u^3=0$ et $\operatorname{rg}(u)\geq N-n$.
1. Calculer $\operatorname{rg}(u^2)$ et montrer que $N=3n$.
2. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ est
   $\begin{pmatrix}0&I_n&0\\0&0&I_n\\0&0&0\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 935]
Résoudre dans $M_3(\R)$ l'équation
$$A^3=\begin{pmatrix}1&-2&1\\1&-2&1\\1&-2&1\end{pmatrix}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 936]
Soit $A\in M_3(\C)$. Montrer que $A$ et $-A$ sont semblables si et
seulement si $\operatorname{tr}(A)=0$ et $\det(A)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 937]
Soit $k\in\C$ et
$$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&k&1&1\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}\in M_4(\C).$$
1. À quelle condition sur $k$ la matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
2. Si elle l'est, déterminer la dimension de
   $\{M\in M_4(\C):AM=MA\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 938]
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que
$$\begin{pmatrix}0&0&0&a\\0&0&0&a\\0&0&0&a\\a&a&a&b\end{pmatrix}$$
soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 939]
Soit $E=\R^\N$ et $T:E\to E$ défini par
$T((u_n))=(\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nu_k)_{n\in\N}$.
Déterminer les valeurs propres de $T$ et les dimensions de ses
sous-espaces propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 940]
Soit $\varphi_n:\R_n[X]\to\R_n[X]$ définie par
$$\varphi_n(P)(x)=\int_0^{\pi/2}P(1-x\cos t)dt.$$
$\varphi_n$ est-il diagonalisable ? Déterminer
$\lim_{n\to+\infty}\operatorname{Tr}(\varphi_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 941]
Pour $t\in\R$, poser
$$M(t)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&t\end{pmatrix}.$$
Montrer que $M(t)$ admet trois valeurs propres
$\alpha(t)<0<\beta(t)<2<\gamma(t)$. Déterminer les limites de
$\alpha(t),\beta(t)$ quand $t\to+\infty$ et un développement asymptotique
de $\gamma(t)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 942]
Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$.
1. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $M_3(\C)$ et possède une unique
   valeur propre réelle $a$, avec $a>1$.
2. Montrer que $\sum_{\lambda\in\operatorname{Sp}_\C(A)}\lambda^n\in\N$
   pour tout $n\geq1$.
3. Déterminer la nature de $\sum\sin(\pi a^n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 943]
Soit $u\in\mathcal L(\R_n[X])$ dont la matrice dans la base canonique a
pour coefficients $a_{i,i+1}=i$, $a_{i+1,i}=n-i+1$, les autres étant nuls.
1. Montrer que $u(P)=(1-X^2)P'+nXP$.
2. Si $\lambda$ est valeur propre et $P$ un vecteur propre, montrer que
   $\deg P=n$ et que ses racines complexes appartiennent à $\{-1,1\}$.
3. En étudiant les multiplicités de $1$ et $-1$, déterminer tous les
   vecteurs propres de $u$.
4. Montrer que $u$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 944]
Soit $E=M_n(\C)$ et $\rho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda\in\operatorname{Sp}(A)\}$.
1. $\rho$ est-elle une norme sur $E$ ?
2. Si $A^p\to0$, montrer que $\rho(A)<1$.
3. Pour $0\leq k<n$ et $|\lambda|<1$, déterminer la limite de
   $\binom pk\lambda^{p-k}$ quand $p\to+\infty$.
   On admet qu'on peut écrire $A=D+N$ avec $DN=ND$, $D$ diagonalisable
   et $N$ nilpotente. Montrer que $\rho(A)<1$ entraîne $A^p\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 945]
Soient $a_1,\ldots,a_n\in\C$ et $M=(m_{i,j})\in M_n(\C)$ telle que
$m_{i+1,i}=a_i$ pour $1\leq i<n$, $m_{1,n}=a_n$, les autres coefficients
étant nuls. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$
soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 946]
Soit
$$A=\begin{pmatrix}1&j&j^2\\j&j^2&1\\j^2&1&j\end{pmatrix}.$$
1. Calculer $A^2$ et expliciter le noyau et l'image de $A$.
2. $A$ est-elle diagonalisable ?
3. Déterminer les sous-espaces stables par $A$.
4. Déterminer la dimension de $\{C\in M_3(\C):AC=CA\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 947]
On dit que $B\in M_2(\R)$ admet une racine carrée s'il existe
$A\in M_2(\R)$ tel que $A^2=B$.
1. Montrer que cette propriété est invariante par similitude.
2. Les matrices $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}c&-s\\s&c\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-1&2\\0&-1\end{pmatrix}$ admettent-elles une racine carrée, avec $c=\cos(2\pi/3)$ et $s=\sin(2\pi/3)$ ?
3. Déterminer l'image de $A\in GL_2(\R)\mapsto A^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 948]
Soient $0<a_0<\cdots<a_n$ et la matrice
$$A=\begin{pmatrix}0&a_1&a_2&\cdots&a_n\\
a_0&a_2&a_1&\cdots&0\\a_n&a_0&a_1&\cdots&0\\\vdots&&&&\vdots\end{pmatrix}.$$
1. Pour $\lambda\in\R$, montrer que $\lambda$ est valeur propre de $A$
   si et seulement si $\lambda\notin\{-a_1,\ldots,-a_n\}$ et
   $\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{\lambda+a_k}=1$.
2. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 949]
Soient $A,B\in M_n(\R)$ tels que $AB-BA=A$. On pose
$\psi:M\mapsto MB-BM$.
1. Montrer que $\psi$ est un endomorphisme.
2. Montrer que $\psi(A^k)=kA^k$ pour tout $k\in\N$ et préciser
   $\operatorname{tr}(A)$.
3. Montrer que si $A$ n'est pas nilpotente alors $\psi$ admet une infinité
   de valeurs propres. Conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 950]
1. Soit $A=(a_{i,j})\in M_n(\C)$ telle que
   $|a_{i,i}|>\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|$ pour tout $i$. Montrer que $A$ est
   inversible.
2. Montrer que toutes les valeurs propres de $A$ appartiennent à
   $\bigcup_{i=1}^n\{z\in\C:|z-a_{i,i}|\leq\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|\}$.
3. Soit $B=(b_{i,j})$ définie par $b_{i,j}=1$ si $|i-j|=1$ et 0 sinon.
   Déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 951]
Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $u\in\mathcal L(E)$
ayant $n$ valeurs propres distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$.
1. Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^nE_{\lambda_i}(u)$.
2. Pour chaque $i$, donner $P_i\in K_{n-1}[X]$ tel que
   $P_i(\lambda_j)=\delta_{i,j}$.
   Caractériser $P_i(u)$.
3. Si $F$ est stable par $u$, montrer que
   $F=\bigoplus_{i=1}^n(F\cap E_{\lambda_i}(u))$.
4. Combien $E$ possède-t-il de sous-espaces stables par $u$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 952]
Soient $M\in M_n(\C)$,
$N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}$, $m\in\C$ et
$T=\begin{pmatrix}m&m^2\\0&m\end{pmatrix}$.
1. La matrice $T$ est-elle diagonalisable ?
2. Pour $Q\in\C[X]$, exprimer $Q(N)$ à l'aide de $Q,M,M^2$.
3. Montrer que $N$ est diagonalisable si et seulement si $M=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 953]
Soient $A\in M_n(\R)$ et $T:M\mapsto AM$ sur $M_n(\R)$.
1. Donner le spectre de $T$ en fonction de celui de $A$.
2. Exprimer $\chi_T$ en fonction de $\chi_A$.
3. Montrer que $T$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 954]
Soient $A\in M_n(\C)$ et
$M=\begin{pmatrix}0&I_n\\A&0\end{pmatrix}\in M_{2n}(\C)$.
1. Montrer que $\dim\Ker(M-\lambda I_{2n})=\dim\Ker(A-\lambda^2I_n)$.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit
   diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 955]
Soient $A\in M_n(\R)$ et
$B=\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}\in M_{2n}(\R)$.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $B$ soit
diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 956]
1. Montrer que $M=(1_{i-j\equiv1\ (\mathrm{mod}\ n)})_{1\leq i,j\leq n}$
   est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.
2. Exprimer $A=(a_{i-j\ (\mathrm{mod}\ n)})_{1\leq i,j\leq n}$ en
   fonction de $M$ et $(a_0,\ldots,a_{n-1})$.
3. En déduire $\det(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 957]
1. Soient $U,V\in M_n(\R)$. Montrer que si elles sont semblables sur
   $\C$, elles le sont sur $\R$.
2. Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n$.
   a) Montrer que $n$ est pair.
   b) Avec $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, montrer que $A$ est
      semblable à la matrice diagonale par blocs ayant $n/2$ blocs $J$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 958]
1. Soient $E$ de dimension finie et $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables
   et commutant. Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres
   communs.
2. Soit $A\in M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que
   $M\mapsto AM-MA$ sur $M_n(\C)$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 959]
Soient $P\in GL_n(\C)$ et $\varphi_P:M\mapsto PMP^{-1}$.
1. Si $M$ est vecteur propre de $\varphi_P$ associé à $\lambda$, montrer
   que $\lambda\neq0$ et que soit $M$ est nilpotente, soit $\lambda$ est
   une racine $q$-ième de l'unité pour un $1\leq q\leq n$.
2. Pour une racine $q$-ième de l'unité $\lambda$, exhiber $P$ tel que
   $\lambda$ soit valeur propre de $\varphi_P$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 960]
Soit $A\in M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une matrice diagonale $D$ à
coefficients dans $\{-1,1\}$ telle que $A+D$ soit inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 961]
Déterminer les matrices $A\in M_n(\R)$ telles que $A^{2026}=A^{10}$ et
$\operatorname{Tr}(A)=n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 962]
Soient $A,B\in M_n(\C)$ tels que $A(AB-BA)=0$.
1. Montrer que $(AB)^k=A^kB^k$ pour tout $k\in\N$.
2. Soit $C\in M_n(\C)$ tel que $\operatorname{tr}(C^k)=0$ pour tout
   $k\geq1$. Montrer que $C$ est nilpotente.
3. Montrer que $AB-BA$ est nilpotente.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 963]
Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB=BA^2$. On suppose que toutes les
valeurs propres de $A$ ont un module différent de 1. Montrer que $A$ et
$B$ ont un vecteur propre commun.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 964]
Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB=0$. Montrer que $A$ et $B$ ont un
vecteur propre commun.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 965]
Soit $f\in\mathcal L(E)$, où $E$ est de dimension $n$. Montrer que $f$ est
diagonalisable si et seulement s'il existe $n$ hyperplans $H_1,\ldots,H_n$
stables par $f$ tels que $H_1\cap\cdots\cap H_n=\{0\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 966]
Soit $n\geq2$, $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormée de $\R^n$ et
$f_1,\ldots,f_n\in\R^n$ tels que $\|e_k-f_k\|<1/\sqrt n$ pour tout $k$.
Montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est une base de $\R^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 967]
Poser
$$I=\inf_{(a,b)\in\R^2}\int_{-1}^1(e^t-a-bt)^2dt.$$
Justifier l'existence de $I$ et le calculer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 968]
Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension
$n$, $(u_1,\ldots,u_n)\in E^n$ et
$f(x)=\sum_{i=1}^n\langle x,u_i\rangle u_i$.
1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$.
2. Montrer que $f=\operatorname{id}$ si et seulement si
   $(u_1,\ldots,u_n)$ est une base orthonormée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 969]
1. Soit $P$ un polynôme scindé de $\R[X]$. À l'aide de
   $x\mapsto e^{-x^2}P(x)$, montrer que $P'-2XP$ est scindé.
2. Pour $\varphi(x)=e^{-x^2}$, montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe
   $H_n\in\R[X]$ tel que $\varphi^{(n)}(x)=H_n(x)\varphi(x)$. Préciser
   son degré et son coefficient dominant.
3. Que dire de la position relative des racines de $H_n$ et $H_{n+1}$ ?
4. Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t^2}dt$
   est un produit scalaire sur $\R[X]$.
5. Montrer que $(((-1/2)^nH_n))_{n\geq0}$ est une famille orthogonale
   de polynômes unitaires pour ce produit scalaire.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 970]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}(1+x_1t+\cdots+x_nt^n)^2dt$,
pour $x=(x_1,\ldots,x_n)^T\in\R^n$.
1. Montrer que $f$ est bien définie et de classe $C^1$ sur $\R^n$.
2. Poser $u=(1,x_1,\ldots,x_n)^T$ et
   $M=((i+j)!)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que $u^TMu=f(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 971]
Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel. Une forme bilinéaire
$B:E^2\to\R$ est dite positive si $B(u,u)\geq0$ pour tout $u$, négative
si $B(u,u)\leq0$, et symétrique si $B(x,y)=B(y,x)$. On pose
$C_B=\{u:B(u,u)=0\}$ et $K_B=\{u:\forall x,\ B(u,x)=0\}$.
1. Sur $\R^3$, pour $B((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2))=x_1y_2+x_2y_1$,
   déterminer $C_B,K_B$.
2. Pour $B$ symétrique, montrer l'équivalence entre $K_B=C_B$,
   $C_B$ sous-espace vectoriel, et $B$ positive ou négative.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 972]
Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie. Montrer que deux
produits scalaires sur $E$ ayant le même groupe orthogonal sont
proportionnels.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 973]
Pour $A\subset\N$, noter $1_A$ sa fonction indicatrice. Soient $a\geq1$,
$n,m\geq1$ et $U_1,\ldots,U_m$ des parties distinctes non vides de
$\{1,\ldots,n\}$ telles que $|U_i\cap U_j|=a$ pour $i\neq j$. Poser
$M=(1_{U_j}(i))_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$.
1. Calculer $M^TM$.
2. Montrer que $\{j:[M^TM]_{j,j}=a\}$ a au plus un élément.
3. Pour $X\in M_{m,1}(\R)$, calculer $X^TM^TMX$.
4. Donner $\dim\Ker(M)$.
5. Montrer que $m\leq n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 974]
Soit $E$ un espace euclidien.
1. Pour $F,G$ sous-espaces, montrer que $(F+G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp$.
2. Soient $p,q$ des projecteurs orthogonaux. Montrer que $pqp$ est
   autoadjoint.
3. Montrer que $x\mapsto pq(x)$ est diagonalisable sur $\operatorname{Im}(p)$.
4. Montrer que $pq$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 975]
Soit $p$ un projecteur d'un espace euclidien $E$.
1. Montrer que $p$ est orthogonal si et seulement si $p$ est
   autoadjoint.
2. Montrer que $p$ est orthogonal si et seulement si
   $\|p(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x\in E$.
3. Si $p,q$ sont orthogonaux, montrer que $p\circ q$ est un projecteur
   si et seulement si $p$ et $q$ commutent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 976]
Soient $A\in M_n(\R)$ et $k\geq2$ tels que $A^k=A^T$. Montrer que
$\Ker(A)$ et $\operatorname{Im}(A)$ sont supplémentaires orthogonaux et
que $A^{k+1}$ est la matrice d'un projecteur orthogonal.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 977]
Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^2=A^3$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que
$A^2=A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 978]
Soit $A\in M_2(\R)$ telle que $A^2=A^T$ et poser $M=A^TA$.
1. La matrice $M$ est-elle diagonalisable ?
2. On dit que $M,N$ sont orthosemblables s'il existe $P\in O_2(\R)$ tel
   que $P^{-1}MP=N$. Montrer que $A$ est orthosemblable à l'une des
   matrices $0$, $I_2$, $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$,
   $\dfrac12\begin{pmatrix}-1&-\sqrt3\\\sqrt3&-1\end{pmatrix}$,
   $\dfrac12\begin{pmatrix}-1&\sqrt3\\-\sqrt3&-1\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 979]
Soient $A,B\in\mathcal S_n(\R)$ telles que $A^2=B^2$. Montrer qu'il
existe $P\in O_n(\R)$ telle que $PA=B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 980]
Soient $n$ impair et $A,B\in M_n(\R)$ tels que $AB=0$. Montrer qu'au
moins l'une des matrices $A+A^T$ et $B+B^T$ n'est pas inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 981]
Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $p\in\mathcal L(E)$ un
projecteur. Montrer que $\operatorname{Im}(p)\perp\Ker(p)$ si et seulement
si $\langle p(x),x\rangle\geq0$ pour tout $x\in E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 982]
Soit $E$ euclidien et $u\in O(E)$. Si $\lambda$ est une valeur propre de
$u$, montrer que $\dim E_\lambda(u)$ est égale à sa multiplicité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 983]
Soit $E=\R_n[X]$, muni du produit scalaire
$\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)dt$. Pour $P\in E$, poser
$u(P)(x)=\int_0^1(x+t)^nP(t)dt$.
1. Montrer que $u\in\mathcal L(E)$.
2. Montrer qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle $u$ est
   diagonale.
3. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$,
   $$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n\lambda_iP_i(x)P_i(y),$$
   où $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $u$ et $(P_i)$ une base
   orthonormée de vecteurs propres associée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 984]
Soit $H_n=(1/(i+j+1))_{0\leq i,j\leq n-1}$ et
$X=(x_0,\ldots,x_{n-1})^T$. Poser
$P_X(t)=x_0+x_1t+\cdots+x_{n-1}t^{n-1}$.
1. Montrer que $X^TH_nX=\int_0^1P_X(t)^2dt$. En déduire que $H_n$ est
   diagonalisable et que son spectre est inclus dans $\R_+^*$.
2. Soit $\beta_n$ sa plus grande valeur propre. Montrer que
   $X^TH_nX\leq\beta_n\|X\|^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 985]
1. Soit $f:I\to\R$ convexe, $n\geq1$ et $x_1,\ldots,x_n\in I$.
   Montrer que
   $$f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)\leq
   \frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k).$$
2. Soit $S\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer que
   $(\operatorname{Tr}(S)/n)^n\geq\det(S)$ et préciser le cas d'égalité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 986]
On munit $M_n(\R)$ du produit scalaire $\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}(A^TB)$.
1. Comparer $\operatorname{Tr}(A^2)$ et $\operatorname{Tr}(A^TA)$.
2. Montrer que $A^TA$ est diagonalisable à valeurs propres positives.
3. Comparer $\Ker(A)$ et $\Ker(A^TA)$, puis leurs rangs.
4. Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont mêmes valeurs propres avec mêmes
   multiplicités.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 987]
1. Rappeler les définitions de $\mathcal S_n^+(\R)$ et $\mathcal S_n^{++}(\R)$.
2. Soit $H=(1/(i+j-1))_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que
   $H\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
3. Soit $B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe une unique
   $R\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telle que $B=R^2$. Si
   $A\in\mathcal S_n(\R)$, montrer que $AB$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 988]
On munit $M_n(\R)$ du produit scalaire
$\langle M,N\rangle=\operatorname{Tr}(M^TN)$. Soit $A\in GL_n(\R)$.
1. Montrer que, pour tout $S\in\mathcal S_n^+(\R)$, il existe
   $B\in\mathcal S_n^+(\R)$ telle que $S=B^2$.
2. Montrer qu'il existe $(U,S)\in O_n(\R)\times\mathcal S_n^+(\R)$ tel
   que $A=US$.
3. Pour $V\in O_n(\R)$, établir $\|A-V\|^2=\|D-W\|^2$, où $W\in O_n(\R)$ et $D$ est une matrice diagonale semblable à $A$.
4. Montrer que la distance de $A$ à $O_n(\R)$ est atteinte.
5. Montrer que $A\mapsto d(A,O_n(\R))$ est lipschitzienne.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 989]
Soit $E=\{(u_n)\in\R^\N:\sum|u_n|\text{ converge}\}$ et
$\alpha=(\alpha_n)_{n\geq0}\in\R^\N$. Pour $u\in E$, poser
$N(u)=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_n|u_n|$. Donner une condition
nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $N$ soit une norme sur $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 990]
Soient $p,q>1$ tels que $1/p+1/q=1$.
1. Pour $u,v\geq0$, montrer que $uv\leq u^p/p+v^q/q$.
2. En déduire l'inégalité de Hölder pour deux suites finies positives.
3. Que reconnaît-on pour $p=2$ ?
4. Montrer l'inégalité triangulaire pour la norme $\ell^p$ sur les
   vecteurs à coordonnées positives.
5. Montrer que l'ensemble $\ell^p$ des suites réelles telles que
   $\sum|u_n|^p$ converge est un espace vectoriel et que
   $u\mapsto(\sum_{n=0}^{+\infty}|u_n|^p)^{1/p}$ est une norme.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 991]
Pour $A\subset\N$, poser $x_A=\sum_{k\in A}(9/10)^k$.
1. Justifier la définition de $x_A$.
2. Soit $E=\{x_A:A\subset\N\}$. Montrer que $E$ admet une symétrie.
3. Montrer que $E$ est fermé.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 992]
1. Soit $z=re^{i\theta}=x+iy\in\C\setminus\R_-$ avec $\theta\in]-\pi,\pi[$.
   Montrer que $\theta=2\arctan\left(\frac{y}{x+|z|}\right)$.
2. En déduire qu'il existe une fonction continue
   $L_0:\C\setminus\R_-\to\C$ telle que $z=\exp(L_0(z))$.
3. Déterminer toutes les fonctions continues $L$ sur ce domaine telles
   que $z=\exp(L(z))$.
4. Montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $L:\C\to\C$ telle
   que $z=\exp(L(z))$ pour tout $z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 993]
Soit $\|\cdot\|$ une norme sur $M_n(\C)$.
1. Montrer qu'il existe $c>0$ tel que $\|AB\|\leq c\|A\|\|B\|$.
2. Pour $A\in M_n(\C)$, montrer que $(\|A^k\|^{1/k})_{k\geq1}$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 994]
Soit $\mathcal N$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $M_n(\C)$.
1. Soit $A$ de rang 1 et de trace nulle. Montrer que $A\in\mathcal N$.
2. $\mathcal N$ est-il ouvert ou fermé ?
3. Soient $A\in GL_n(\C)$ et $B\in\mathcal N$ commutant. Montrer que
   $\det(A+B)=\det(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 995]
1. Soit $A\in M_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre
   $\Ker(A)=\Ker(A^2)$, $\operatorname{Im}(A)=\operatorname{Im}(A^2)$,
   et $\Ker(A)\oplus\operatorname{Im}(A)=\R^n$.
2. L'ensemble des matrices vérifiant la première propriété est-il convexe,
   fermé ou ouvert ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 996]
Soit $a\in\C$ tel que $\operatorname{Re}(a)>0$ et $\operatorname{Im}(a)>0$.
On définit $z_0=a$ et $z_{n+1}=\frac12(z_n+|z_n|)$. Déterminer la limite
de $(z_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 997]
Soit $(u_n)_{n\geq0}$ définie par $u_1>0$ et
$u_{n+1}=u_n+\frac1{n u_n}$ pour $n\geq1$.
1. Étudier la convergence de $(u_n)$.
2. Déterminer un équivalent de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 998]
Étudier la nature et déterminer la limite éventuelle de
$$u_n=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{\sqrt{k(n-k)}}n\right).$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 999]
Soit $\ell\in\C$. On veut montrer que
$\left(1+\frac\ell n\right)^n\to e^\ell$.
1. Traiter le cas $\ell\in\R$.
2. Pour $\ell\in\C$, montrer que
   $$\left|e^\ell-\left(1+\frac\ell n\right)^n\right|
   \leq e^{|\ell|}-\left(1+\frac{|\ell|}n\right)^n$$
   et conclure.
3. Soit $(u_n)$ complexe de limite $\ell$. Montrer que
   $(1+u_n/n)^n\to e^\ell$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1000]
Pour $n\geq1$, poser $P_n=-1+\sum_{k=1}^nX^k$.
1. Montrer que $P_n$ admet une unique racine $u_n$ dans $\R_+$.
2. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$.
3. Déterminer un équivalent de $u_n-\ell$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1001]
Pour $x\geq0$ et $n\geq1$, poser $f_n(x)=\sum_{k=1}^n x^k/k-1$.
1. Montrer qu'il existe un unique $x_n>0$ tel que $f_n(x_n)=0$.
2. Montrer que $(x_n)$ est strictement décroissante et converge.
3. Expliciter $f(x)=\lim_{n\to+\infty}f_n(x)$.
4. Déterminer $\ell=\lim x_n$.
5. Justifier qu'il existe $c_n\in]\ell,x_n[$ tel que
   $-f_n(\ell)=f_n'(c_n)(x_n-\ell)$ et en déduire un équivalent de
   $x_n-\ell$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1002]
Soit $k\geq1$. Étudier la convergence et calculer la somme de
$\sum_{i\geq1}\frac1{i(i+k)}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1003]
Pour $n\geq2$, on pose
$$u_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{2k+1}.$$
1. La série $\sum u_n$ est-elle convergente ?
2. Déterminer un équivalent de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1004]
Étudier la nature de la série de terme général
$$u_n=\frac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n1/\sqrt{k}}.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1005]
Étudier la nature de $\sum\frac{\sin(\sqrt n)}n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1006]
Soit $a>0$. Pour $n$ assez grand, poser
$$u_n=\arccos\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{(-1)^n}{n^a}\right)-\frac\pi6.$$
Déterminer la nature de la série de terme général $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1007]
Pour $n\geq1$, poser $a_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\sqrt{k}$. Montrer que
$$a_n+\frac{(-1)^n\sqrt n}{2}$$
admet une limite $\ell>0$, puis étudier $\sum1/a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1008]
1. Pour $n\in\N$, montrer qu'il existe un unique $a_n\geq0$ tel que
   $e^{a_n}+na_n=2$.
2. Étudier la nature des séries $\sum a_n$ et $\sum(-1)^na_n$.
3. Déterminer $\lim_{n\to+\infty}n(1-na_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1009]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=\pi/2$ et
$u_{n+1}=(-1)^n\arctan(u_n)$.
1. Montrer que $(u_n)$ converge.
2. Montrer que $\sum u_n$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1010]
Soit $(u_n)_{n\geq1}$ réelle et
$v_n=\frac1n(u_1+\cdots+u_n)$.
1. Si $\sum u_n$ ne diverge pas grossièrement, montrer que $\sum v_n$
   ne diverge pas grossièrement.
2. Si $\sum u_n$ converge, peut-on conclure pour $\sum v_n$ ?
3. On suppose $\sum u_n^2$ convergente. Montrer que
   $$v_n^2-2u_nv_n\leq(n-1)v_{n-1}^2-nv_n^2,$$
   puis que $\sum v_n^2$ converge et
   $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n^2\leq4\sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1011]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0>0$ et $u_{n+1}=1/(2+u_n)$. Montrer que
$(u_n)$ converge vers une limite $\ell$ à préciser, et déterminer la
nature de $\sum(u_n-\ell)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1012]
Soit $f:\R^*\to\R$ définie par $f(x)=1+\frac12\sin(1/x)$.
1. Montrer que $f(f(x))\geq1$ pour tout $x\neq0$.
2. Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\ell$.
3. Pour $u_0\neq0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, montrer que $(u_n)$ est bien
   définie et converge vers $\ell$.
4. Déterminer la nature de $\sum(\ell-u_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1013]
Soit $f\in C^1(\R_+,\R_+^*)$.
1. Si $f'(x)/f(x)\to-\infty$, montrer que $f(x+1)/f(x)\to0$ et en
   déduire que $\sum f(n)$ converge.
2. Si $f'(x)/f(x)\to\alpha<0$, déterminer la limite de $f(x+1)/f(x)$ et,
   selon $\beta\in\R$, la nature de $\sum n^\beta f(n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1014]
Soit $(u_n)_{n\in\N}\in\C^\N$ telle que $\sum|u_n|$ converge et
$\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^k=0$ pour tout $k\geq1$. Montrer que $(u_n)$
est la suite nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1015]
Soit $(q_n)_{n\in\N}$ une suite croissante d'entiers au moins égaux à 2.
1. Si $(q_n)$ est stationnaire, montrer que
   $\sum_{n=0}^{+\infty}(q_1q_2\cdots q_n)^{-1}\in\Q$.
2. En admettant la réciproque, montrer que $e$ et $\operatorname{ch}(1)$
   sont irrationnels.
3. Montrer la réciproque de la première question.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1016]
Soit $(u_n)_{n\geq0}$ strictement positive et $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$.
1. Si $S_n\to+\infty$, montrer que $\sum u_n/S_n^\alpha$ converge si
   et seulement si $\alpha>1$.
2. Si $S_n\to S>0$, poser $R_n=S-S_n$. Montrer que
   $\sum u_n/R_{n-1}^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha<1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1017]
Étudier la fonction
$f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}\arctan(x)$ : domaine, graphe, limites et asymptotes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1018]
1. Résoudre $\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x+5-6\sqrt{x-4}}=1$.
2. Soient $x_1<\cdots<x_n$. Montrer que
   $x\mapsto\sum_{k=1}^n|x-x_k|$ est continue et admet un minimum.
3. Pour $f_k(x)=|x-x_k|$, montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1019]
Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in[0,1]$. Comparer
$\sum_{k=1}^n\arccos(\alpha_k)$ et
$\arccos(\prod_{k=1}^n\alpha_k)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1020]
Pour $x>0$, poser $f(x)=x^{x^{1/x}}$. Déterminer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$,
$\lim_{x\to+\infty}f(x+1)/f(x)$ et un équivalent de $f(x)$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1021]
Soit $\lambda\in\R$. Déterminer les $f\in C^1(\R,\R)$ telles que
$f'(x)=f(\lambda x)$ pour $\lambda=1$, $\lambda=-1$, puis $|\lambda|<1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1022]
Soit $f:\R_+\to\R$ continue et surjective. Pour $y\in\R$, montrer que
$y$ admet une infinité d'antécédents. Une fonction polynomiale de
$\R_+$ dans $\R$ peut-elle être surjective ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1023]
Soit $f:\R\to\R$ continue en 0 et telle que
$$\frac{f(4x)-f(x)}x\longrightarrow\ell\quad(x\to0).$$
Montrer que $f$ est dérivable en 0 et déterminer $f'(0)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1024]
Soit $f:[0,1]\to\R$ dérivable, non identiquement nulle, et telle qu'il
existe $M>0$ vérifiant $|f'(x)|\leq M|f(x)|$ pour tout $x\in[0,1]$.
Montrer que $f$ ne s'annule pas.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1025]
Soit $f:[0,1]\to\R$ continue et strictement positive.
1. Pour $n\geq1$, montrer qu'il existe un unique
   $(a_{n,0},\ldots,a_{n,n})\in[0,1]^{n+1}$ avec
   $0=a_{n,0}<\cdots<a_{n,n}=1$ et
   $$\int_{a_{n,k-1}}^{a_{n,k}}f(t)dt=\frac1n\int_0^1f(t)dt.$$
2. Déterminer la limite de $\frac1n\sum_{k=0}^na_{n,k}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1026]
Soit $a\in\R\setminus\{-1,1\}$ et
$I(a)=\int_0^{\pi/2}\ln(1-2a\cos\theta+a^2)d\theta$.
1. Montrer que $I(a)$ est bien définie.
2. Calculer $I(a)$ à l'aide de sommes de Riemann.
   Indication : factoriser $X^{2n}-1$ dans $\R[X]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1027]
Pour $x\neq\pm1$, calculer
$$\int_0^{2\pi}\frac{dt}{x-e^{it}}$$
à l'aide de la décomposition en éléments simples de
$x\mapsto\frac{nx^{n-1}}{x^n-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1028]
Soient $f(t)=\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1]$ et
$g(t)=1/\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1[$. Pour $n\geq1$, poser
$$I_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n),\qquad
T_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}g(k/n).$$
1. Montrer que $(I_n)$ converge et déterminer sa limite.
2. Montrer que $(T_n)$ converge.
3. Poser $\Delta_n=I_n-\ell$. Pour $\alpha<1$, montrer que
   $n^\alpha\Delta_n\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1029]
Montrer qu'il existe $A,B\in\R$ tels que, pour toute fonction
$2\pi$-périodique $f\in C^1(\R,\R)$,
$$\sup_\R|f|\leq A\int_0^{2\pi}|f(t)|dt+B\int_0^{2\pi}|f'(t)|dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1030]
Soit $f\in C^0(\R_+,\R)$ telle que $f^2$ soit intégrable sur $\R_+$ et
$$g(x)=\frac1x\int_0^xf(t)dt\quad(x>0).$$
Déterminer $\lim_{x\to0}g(x)$ et $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}g(x)$, puis
montrer que $g^2$ est intégrable sur $\R_+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1031]
1. Pour quels $z\in\C$ l'intégrale $\int_1^{+\infty}t^{-z}dt$ converge ?
   On rappelle $t^z=\exp(z\ln t)$.
2. Montrer que $\sum(1/n^z-\int_n^{n+1}t^{-z}dt)$ converge pour
   $\operatorname{Re}(z)>0$.
3. Étudier la convergence de $\sum1/n^z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1032]
Pour $n\geq1$ et $x\geq0$, poser $f_n(x)=(1+x/n)^{-n}$.
1. Montrer que $(f_n)$ converge simplement sur $\R_+$ vers une fonction $g$.
2. Montrer que $f_n\geq g$.
3. Montrer qu'il existe $\alpha_n>0$ tel que
   $\|f_n-g\|_\infty=(f_n-g)(\alpha_n)$.
4. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $g$ sur $\R_+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1033]
Pour $N\in\N$ et $x\in\R\setminus\Z$, poser
$S_N(x)=\sum_{k=-N}^N\frac1{x+k}$.
1. Montrer la convergence simple de $(S_N)$ vers $S$ et que $S$ est
   impaire et 1-périodique.
2. Montrer que $S$ est continue.
3. On admet $S(x/2)+S((x+1)/2)=2S(x)$. Poser
   $f(x)=\pi\cot(\pi x)-S(x)$. Montrer que $f$ est continue, impaire et
   1-périodique.
4. Montrer que $f$ se prolonge continûment en 0 puis sur $\R$.
5. Montrer que $f$ est majorée et atteint un maximum $M$ en $a\in\R$.
6. Montrer que $f(a/2)=M$ et en déduire que $f=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1034]
Soit $(a_n)$ décroissante et positive, et $f_n(x)=a_nx^n(1-x)$ sur $[0,1]$.
1. Montrer que $\sum f_n$ converge simplement.
2. Montrer que $\sum f_n$ converge normalement si et seulement si
   $\sum a_n/n$ converge.
3. Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément si et seulement si
   $a_n\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1035]
Soit $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\sqrt{x+n}$.
1. Étudier la continuité et la dérivabilité de $S$.
2. Déterminer les limites de $S$ en 0 et en $+\infty$.
3. Montrer que, pour $x>0$,
   $$S(x)=\frac1{\sqrt\pi}\int_0^{+\infty}
   \frac{e^{-tx}}{\sqrt{t}(1+e^{-t})}dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1036]
Pour $n\geq1$, poser $u_n(x)=\arctan(nx)/n^2$.
1. Déterminer le domaine de définition de $S=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$
   et étudier sa continuité.
2. Donner un équivalent de $S(x)$ quand $x\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1037]
Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{1-x^n}$.
1. Préciser son domaine de définition $D$.
2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $D$.
3. Pour $\psi(u)=e^{-u}/(1-e^{-u})$, trouver un équivalent de
   $\sum_{n\geq1}\psi(nu)$ quand $u\to0^+$.
4. En déduire un équivalent de $f$ en $1^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1038]
Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=x/(x^2+n^2)$ et
$F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$.
1. Déterminer le domaine de définition de $F$. Est-elle de classe $C^1$ ?
2. Déterminer la limite de $F$ en $+\infty$.
3. La série $\sum f_n$ converge-t-elle uniformément sur son domaine ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1039]
Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=\frac{nx}{n^4+x^2}$ pour $x\geq0$ et
$S=\sum_{n\geq1}f_n$.
1. Montrer que la série converge simplement.
2. Montrer que $S$ est continue.
3. Montrer que $n^4+x^2\geq\frac12(n^2+x)^2$ et en déduire
   $S(x)\leq\sum_{n\geq1}\frac{\sqrt{x}}{n^2+x}$.
4. Montrer que $S$ est bornée.
5. Montrer que $S(x)$ ne tend pas vers 0 quand $x\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1040]
Soit $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-x}$.
1. Montrer que $\zeta$ est de classe $C^\infty$ sur $]1,+\infty[$.
2. Déterminer ses variations (sans les limites) et étudier sa convexité.
3. Déterminer sa limite en $+\infty$.
4. Déterminer un équivalent de $\zeta$ en $1$.
5. $\ln(\zeta)$ est-elle convexe ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1041]
Soit $f\in C^\infty(\R,\R)$ telle que
$\sum_{n\in\N}f^{(n)}/n!$ converge uniformément sur tout segment de $\R$.
Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}/n!$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1042]
Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ln(n)x^n$.
1. Donner son domaine de définition.
2. Poser $g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(\ln(1+1/n)-1/n)x^n$.
   Déterminer le domaine de définition de $g$.
3. Donner la limite et un équivalent de $f(x)$ quand $x\to1^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1043]
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=u_1=1$ et
$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n/(n+2)$.
1. Déterminer la limite de $(u_n)$.
2. Poser $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$. Montrer que son rayon de
   convergence est strictement positif, calculer $S$ sur son domaine,
   puis déterminer explicitement $u_n$ et un équivalent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1044]
Soit $(F_n)$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et
$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. Calculer $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n$
et déterminer son rayon de convergence.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1045]
Pour $n\in\N$, poser $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et
$h(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.
1. Si $R$ est le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$, donner celui de
   $\sum a_n^3x^n$.
2. Étudier $(a_n)$.
3. Que peut-on dire de $R$ ?
4. Calculer $h(x)$.
5. Établir une relation entre $a_{n+2}$ et $a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1046]
Soit $P\in\R[X]$ de degré 2.
1. Montrer que $e^{P(x)}$ est développable en série entière
   $\sum a_nx^n$ et préciser son rayon de convergence.
2. Montrer qu'il n'existe pas d'indice $n$ tel que $a_{n+1}=a_n=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1047]
Pour $n\geq1$, poser $a_n=(-1)^n\ln(n)$ et
$S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.
1. Déterminer le rayon de convergence et le domaine de définition de $S$.
2. Montrer, en utilisant $(1+x)S(x)$, que la série converge en $x=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1048]
Soit $f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\ln(1+1/k)x^k$ et $R$ son rayon.
1. Calculer $f(-R)$.
2. Déterminer la limite et un équivalent de $f(x)$ quand $x\to R^-$.
3. Calculer $\int_0^1(-1)^{\lfloor1/x\rfloor}x\,dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1049]
Soit $(a_n)$ une suite réelle non nulle telle que
$a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ pour $n\geq2$. Déterminer une fonction de
classe $C^\infty$ définie au voisinage de 0 telle que $f^{(n)}(0)=a_n$
pour tout $n\in\N$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1050]
Soit $(a_n)$ positive telle que $\sum a_n$ converge et
$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$, de rayon de convergence 1.
Montrer que $f(x)\to\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ quand $x\to1^-$.
Que dire si $\sum a_n$ diverge ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1051]
Soit $(a_n)$ sommable dans $\C$ et
$g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n/n!$.
1. Montrer que $g$ est définie et continue.
2. Montrer que $\int_0^{+\infty}e^{-t}g(t)dt=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$.
3. Supposons seulement que $\sum a_n$ converge. Poser
   $A_n=\sum_{k=0}^na_k$, $A_{-1}=0$ et
   $F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_{n-1}x^n/n!$. Montrer que $F$ est définie,
   de classe $C^1$, que $\int_0^xe^{-t}g(t)dt=e^{-x}F(x)$, et que
   l'égalité précédente reste vraie.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1052]
Soit $f(x)=e^{-1/x}$ si $x>0$ et $f(x)=0$ si $x\leq0$.
1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\R$.
2. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de tout
   $a\in\R^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1053]
Soient $r>0$ et $E_r$ l'ensemble des fonctions développables en série
entière sur $]-r,r[$. Pour $f\in E_r$, poser
$\Phi(f)(x)=\int_0^x\frac{f(t)}{t+x}dt$.
1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E_r$.
2. Déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1054]
Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(2^nx)}{n!}$.
1. Justifier la définition de $f$ et préciser sa régularité.
2. La fonction $f$ est-elle développable en série entière ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1055]
Pour $n\in\N$, poser
$I_n=\int_0^1\frac{t^{n+1}\ln(t)}{1-t^2}dt$.
1. Montrer que $I_n$ existe.
2. Exprimer $I_n$ à l'aide d'une série.
3. Donner un équivalent de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1056]
Pour $n\geq1$, poser
$$I_n=\int_0^1\frac{dt}{(1+t^4)^n},\qquad
J_n=\frac1{4\sqrt n}\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^4}.$$
1. Montrer que $I_n,J_n$ sont définies.
2. Montrer que $(I_n)$ est monotone, puis déterminer sa limite.
3. Montrer que $0\leq I_n\leq J_n$.
4. Montrer que $\ln(1+\alpha)\geq\alpha/(1+\alpha)$ pour $\alpha\geq0$.
5. Poser $K_n=\int_0^nt^{-3/4}(1+t/n)^{-n}dt$. Montrer que $(K_n)$
   converge et calculer sa limite.
6. En déduire un équivalent de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1057]
Pour $n\geq1$, poser $I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(nt)}{1+n^5t^3}dt$.
1. Montrer que $I_n$ est bien définie.
2. Déterminer sa limite puis un équivalent de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1058]
Pour $n\geq1$, poser $u_n=\int_0^1\frac{dt}{1+t+\cdots+t^{n-1}}$.
1. Montrer que $u_n$ est bien définie et que $\sum1/k^2$ converge.
2. Déterminer la limite de $(u_n)$.
   Poser $S(n)=\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(nk+1)(nk+2)}$.
3. Montrer que $u_n=\ell+S(n)/n^2$ pour un réel $\ell$.
4. Montrer que $(S(n))$ admet une limite finie et en déduire un équivalent
   de $u_n-\ell$.
5. Déterminer un développement asymptotique de $u_n-\ell$ à $o(1/n^3)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1059]
Pour $x>-1$, poser
$$f(x)=\int_0^{\pi/2}(\cos t)^xdt,\qquad
g(x)=(x+1)f(x)f(x+1).$$
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]-1,+\infty[$.
2. Établir des relations entre $f(x+2),f(x)$ puis entre $g(x+1),g(x)$.
3. Montrer que $f(x+1)\sim f(x)$ quand $x\to+\infty$.
4. Étudier les variations de $x\mapsto g(x)/(x+1)$.
5. Calculer $g(n)$ pour $n\in\N$.
6. Montrer que $g$ est constante et donner un équivalent de $f(x)$ en
   $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1060]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}\ln(2+t)}{x+t}dt$.
1. Déterminer son intervalle de définition $I$.
2. Étudier la continuité de $f$ sur $I$.
3. Donner ses limites aux bornes de $I$.
4. Donner un équivalent de $f$ aux bornes de $I$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1061]
Soient
$$F(a)=\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{sh}(at)}{e^t-1}dt,
\qquad G(a)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2-a^2}.$$
1. Montrer que $F$ est continue sur un domaine $D$ à déterminer.
2. $F$ est-elle de classe $C^\infty$ sur $D$ ?
3. Montrer que $G$ est continue sur son domaine de définition.
4. Montrer que $F(a)=aG(a)$ pour $a\in D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1062]
1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ converge.
2. Pour $x\geq0$, poser
   $$F(x)=\int_0^1\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt,
   \qquad G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt.$$
   Montrer que $(F+G)/2$ est constante, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$,
   puis en déduire $I$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1063]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t}{1+t^2}e^{-xt}dt$.
1. Déterminer le domaine de définition.
2. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$.
3. Donner ses limites aux deux bornes.
4. Donner un équivalent aux deux bornes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1064]
Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, poser
$I_n(x)=\int_0^1(1-t^2)^n\cos(tx)dt$.
1. Montrer que $I_n$ est de classe $C^\infty$ et exprimer $I_n'$ en
   fonction de $I_{n+1}$.
2. Déterminer une relation de récurrence entre $I_{n+1}(0)$ et $I_n(0)$.
3. En déduire la valeur de
   $\sum_{k=0}^n(-1)^k/((2k+1)(n-k)!)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1065]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$.
1. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.
2. Montrer que $f'(x)=\frac{\pi}{2(x+1)}$ pour $x>0$ et en déduire $f(x)$.
3. Étudier la convergence et calculer
   $\int_0^{+\infty}(\arctan(x)/x)^2dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1066]
Soit $E$ l'espace des fonctions continues et bornées de $\R$ dans $\R$.
Pour $f\in E$, poser
$$\Phi(f)(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(tx)f(t)}{1+t^2}dt,$$
et $N(f)=\sup_{t\in\R}|f(t)|$.
1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E$.
2. Montrer que $\Phi(f)$ est de classe $C^1$.
3. Pour $f_0(x)=1$ et $g=\Phi(f_0)$, calculer $g'$ et $g(1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1067]
Soient $a,b>0$ et
$$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t\cos(xt)dt.$$
1. Montrer que $F$ est bien définie.
2. Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que
   $$F(x)=C+\frac12\ln\left(\frac{a^2+x^2}{b^2+x^2}\right).$$
3. Poser $\psi(t)=(e^{-at}-e^{-bt})/t$. Montrer que $\psi$ se prolonge
   en une fonction $C^1$ sur $\R_+$ et que $\psi'$ est intégrable.
   Calculer $C$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1068]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}{e^t-1}dt$.
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$.
2. Montrer que $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{x^2+n^2}$.
3. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x\to+\infty$.
4. La série de fonctions $\sum x/(x^2+n^2)$ converge-t-elle uniformément ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1069]
Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}\ln(x+t)}{x+t}dt$.
1. Déterminer son domaine $D$.
2. Montrer que $f$ est continue sur $D$.
3. Déterminer ses limites aux bornes de $D$.
4. Donner des équivalents simples aux bornes de $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1070]
Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+xt^2)}{t(1+t^2)}dt$.
1. Déterminer son domaine de définition.
2. Montrer que
   $$F(x)=\frac12\int_0^x\frac{\ln t}{t-1}dt.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1071]
Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos(xt)dt$.
1. Déterminer son domaine de définition.
2. Montrer que $F$ est de classe $C^\infty$ sur son domaine.
3. Montrer que $F$ est développable en série entière en 0 et préciser
   son développement.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1072]
Pour $x\in\R$, poser $G(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2-x^2/t^2}dt$.
1. Montrer que $G$ est définie et continue sur $\R$.
2. Montrer que $G$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
3. Déterminer $G$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1073]
Pour $\alpha\in\R$, lorsque cela a un sens, poser
$I_\alpha=\int_1^{+\infty}|\sin(t)/t^\alpha|dt$.
1. Déterminer l'ensemble $D$ des $\alpha$ pour lesquels $I_\alpha$ converge.
2. Montrer que $F:\alpha\mapsto I_\alpha$ est continue sur $D$.
3. Déterminer la limite et un équivalent de $F(\alpha)$ au bord inférieur
   de $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1074]
On sait que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt\pi$. Soit
$\varphi:\R\to\R$ continue et bornée et, pour $n\geq1$,
$$\psi_n(x)=\sqrt{\frac n\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}
\varphi(y)e^{-n(x-y)^2}dy.$$
1. Montrer que $\psi_n$ est bien définie et de classe $C^1$.
2. Montrer que $(\psi_n)$ converge simplement sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1075]
Soit $f\in C^{n+1}(\R,\R)$ telle que $f(0)=0$. Pour $x\neq0$, poser
$g(x)=f(x)/x$.
1. Montrer que $g(x)=\int_0^1f'(xt)dt$.
2. Pour $0\leq k\leq n$, déterminer $\lim_{x\to0^+}g^{(k)}(x)$ et
   montrer que $g$ est de classe $C^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1076]
Soient $a<b$, $c<d$ et $f:[a,b]\times[c,d]\to\R$ continue.
1. Justifier l'existence de
   $g(t)=\int_a^b(\int_c^tf(x,y)dy)dx$ et montrer que $g$ est $C^1$.
2. Justifier l'existence des intégrales et montrer
   $$\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)dy\right)dx
   =\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)dx\right)dy.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1077]
Pour $x>0$, poser $f(x)=\int_0^1\ln(t)\ln(1-t^x)dt$.
Montrer que $f$ est définie et l'exprimer comme somme d'une série.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1078]
Soit $F(x)=\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}dt$ pour $x\in]0,1[$.
Montrer que $F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+x}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1079]
Soit $f:\R\to\R$ continue et intégrable. Montrer que
$y'-y=f(x)$ admet une unique solution bornée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1080]
On considère $2xy'(x)+y(x)=\frac1{1-x}$.
1. Résoudre l'équation sur les intervalles pertinents.
2. Montrer que sur $]-\infty,1[$ elle possède une unique solution
   de classe $C^\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1081]
Soit $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{\binom{2n}{n}}$.
1. Déterminer le rayon $R$ et montrer que $S$ vérifie
   $x(x-4)y'+(x+2)y=2$ sur $]-R,R[$.
2. En déduire une expression de $S(x)$ pour $x\in]0,4[$, puis calculer
   $\sum_{n=0}^{+\infty}1/\binom{2n}{n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1082]
On considère $(1-x)y'-xy=0$, avec $y(0)=1$.
1. Déterminer la solution sur $]-\infty,1[$.
2. Montrer que $y$ est développable en série entière et donner une
   récurrence pour ses coefficients.
3. Pour $n\in\N$, soit $D_n$ le nombre de permutations de $\{1,\ldots,n\}$
   sans point fixe. Montrer que $D_{n+1}=n(D_n+D_{n-1})$.
4. À l'aide des deux premières questions, donner une expression de $D_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1083]
On considère $4xf''(x)+2f'(x)+f(x)=0$. Déterminer les solutions
développables en série entière en 0. Avec le changement de variable
$t=\sqrt{x}$, déterminer toutes les solutions sur $\R_+^*$ et $\R_-^*$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1084]
On considère $t^2y''+ty'-(t^2+t+1)y=0$.
1. Déterminer les solutions développables en série entière au voisinage
   de 0.
2. Trouver des solutions de la forme $t\mapsto t^re^{\alpha t}$.
3. Donner toutes les solutions.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1085]
Déterminer les fonctions $f:\R^2\to\R$ de classe $C^1$ telles que
$\frac{\partial f}{\partial x}-xy\frac{\partial f}{\partial y}=0$.
On pourra poser $(u,v)=(x,ye^{x^2/2})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1086]
Soit $f:\R^2\to\R$ de classe $C^2$ telle que $\Delta f=f_{xx}+f_{yy}=0$.
Pour $(r,\theta)\in\R^2$, poser $g(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)$.
1. Montrer que $g$ est de classe $C^2$ et établir l'équation polaire
   vérifiée par $g$ sur $\R^*\times\R$.
2. Montrer que $F(r)=\int_0^{2\pi}g(r,\theta)d\theta$ est constante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1087]
Soit $f:(x,y)\in(\R_+^*)^2\mapsto\frac1{xy}+x+y$.
Déterminer ses extrema.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1088]
Soit $A=\{(x,y)\in\R^2:x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}$ et
$f(x,y)=3x^2+2y^2+4xy-2x+3y$. Déterminer $\sup f$ et $\inf f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1089]
Soit
$U=\{(x,y)\in]-\pi/2,\pi/2[^2:x<0,\ y-x>\pi/2\}$ et
$f(x,y)=\tan(y)-\tan(x)+\tan(x-y)$.
1. Montrer que $f$ admet un minimum sur $U$ et le déterminer.
2. Pour un cercle $C$ du plan affine euclidien, déterminer les triangles
   pleins contenant $C$ d'aire minimale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1090]
Soit $T=\{(x,y):x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}$ et
$f(x,y)=3x^2+2y^2+4xy-4x-3y+1$. Déterminer les extrema de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1091]
Soient
$$A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\1&2&3\end{pmatrix},\qquad
f(X)=(1+X^TAX)e^{-\|X\|^2},\quad X\in\R^3.$$
Déterminer les extrema globaux de $f$ sur $\R^3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1092]
Soit $f:\R^n\to\R$ de classe $C^2$ telle que
$\operatorname{Sp}(H_f(x))\subset[1,+\infty[$ pour tout $x$.
1. Pour $x\in\R^n$, poser $\varphi(t)=f(tx)$. Montrer que $\varphi$ est
   $C^2$ et expliciter $\varphi',\varphi''$.
2. Pour $x,h\in\R^n$, comparer $h^TH_f(x)h$ et $\|h\|^2$.
3. Poser $\psi(t)=f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-t^2\|x\|^2/2$.
   Montrer que $\psi$ est convexe.
4. Montrer que $f$ admet un minimum global.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1093]
On considère $N$ personnes se présentant à un examen qu'elles peuvent
repasser. Chaque tentative réussit avec probabilité $p\in]0,1[$, et
chacun s'arrête au premier succès. Soit $X_k$ le nombre de tentatives de
la personne $k$, $X$ le nombre total de candidatures et $Y$ le nombre de
sessions. Les $X_k$ sont indépendantes. Déterminer les lois, espérances et
variances de $X_k$, $X$ et $Y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1094]
Deux groupes $D_1,D_2$ ont chacun $n$ équipes. On forme aléatoirement des
matchs par paires parmi les $2n$ équipes. Soit $A_n$ l'événement que chaque
match oppose une équipe de chaque groupe.
1. Calculer $\P(A_n)$ et donner un équivalent quand $n\to+\infty$.
2. Soit $X_n$ le nombre de matchs intergroupes. Calculer $\E(X_n)$.
3. Pour $n$ pair, calculer $\P(X_n=0)$ et déterminer la loi de $X_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1095]
On répartit au hasard $n$ boules dans $n$ boîtes, chaque boule choisissant
uniformément une boîte. Soit $X_n$ le nombre de boîtes vides.
1. Calculer $\E(X_n)$ et $V(X_n)$.
2. Déterminer les limites de $\E(X_n/n)$ et $V(X_n/n)$.
3. Pour $\varepsilon>0$, montrer que
   $\P(|X_n/n-e^{-1}|\geq\varepsilon)\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1096]
Soient $r\geq2$ et $(X_n)$ i.i.d. uniformes sur $\{1,\ldots,r\}$.
Soit $A_n$ l'événement que, parmi $X_1,\ldots,X_{nr}$, chaque valeur
$k\in\{1,\ldots,r\}$ apparaisse exactement $n$ fois. Calculer $\P(A_n)$,
puis $\P(\bigcap_{n\geq1}\bigcup_{p\geq n}A_p)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1097]
On lance une pièce jusqu'à obtenir deux piles. Soit $X$ le nombre de faces.
1. Déterminer la loi de $X$.
2. $X$ est-elle d'espérance finie ? La calculer si oui.
On tire ensuite une boule parmi $X+1$ boules numérotées de 0 à $X$ et on
note $Y$ son numéro.
3. Déterminer la loi de $Y$.
4. $Y$ est-elle d'espérance finie ? La calculer si oui.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1098]
Soit $N\sim\mathcal G(p)$. On réalise $N$ lancers d'une pièce équilibrée
et note $X$ le nombre de faces.
1. Montrer que $X$ est une variable aléatoire discrète.
2. Déterminer la loi de $X$ sachant $N=n$.
3. Pour $k\in\N$, donner le rayon et la somme de
   $\sum_{n\geq k}\binom nkx^n$.
4. Déterminer la loi de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1099]
Soient $r\in\N$ et $Z_1,\ldots,Z_r$ indépendantes telles que $Z_1=1$ et
$Z_i\sim\mathcal G((r-i+1)/r)$ pour $2\leq i\leq r$. Poser
$C_r=Z_1+\cdots+Z_r$. Déterminer son espérance et sa variance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1100]
Pour $s>1$, poser $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-s}$ et définir une
probabilité sur $(\N^*,\mathcal P(\N^*))$ par
$\P(\{n\})=1/(\zeta(s)n^s)$.
1. Pour $k\geq1$, poser $M_k=k\N^*$. Montrer que $\P(M_k)=k^{-s}$.
2. Montrer que les événements $M_{p_1},\ldots,M_{p_k}$ sont indépendants
   si $p_i$ sont des nombres premiers distincts.
3. Montrer que $\P(\bigcap_iM_{p_i}^c)=\prod_i(1-p_i^{-s})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1101]
Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique $\mathcal G(p)$,
$p\in]0,1[$. Déterminer la loi de $X+Y$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1102]
Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$. Soient $X,Y$ indépendantes et
uniformes sur l'ensemble des parties de $E$. Déterminer la loi de
$Z=|X\cap Y|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1103]
Soit $Z$ uniforme sur l'ensemble $U_n$ des racines $n$-ièmes de l'unité.
Poser $X=\operatorname{Re}(Z)$ et $Y=\operatorname{Im}(Z)$. Calculer
$\operatorname{Cov}(X,Y)$. $X,Y$ sont-elles indépendantes ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1104]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$,
$Z=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=ZZ^T$.
1. Déterminer les lois de $\operatorname{rg}(M)$ et $\operatorname{Tr}(M)$.
2. Déterminer la probabilité que $M$ soit une projection.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1105]
Soient $(\varepsilon_k)_{k\geq1}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$.
Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que, pour tout $\varepsilon>0$,
$$\P\left(\left|\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac kn+\varepsilon_k\right)
-\ell\right|\geq\varepsilon\right)\longrightarrow0.$$
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1106]
Soit $f(t)=\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1]$ et $(\varepsilon_n)$ i.i.d.
uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser
$$I_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n),\qquad
X_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n)(1-\varepsilon_k).$$
1. Montrer que $(I_n)$ converge et calculer sa limite $\ell$.
2. Pour $\varepsilon>0$, déterminer la limite de $\P(|X_n-\ell|\geq\varepsilon)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1107]
Soit $n\geq2$. On tire sans remise les boules numérotées de 1 à $n$ et
$X_k$ est le résultat du $k$-ième tirage. Soit $T_k$ l'indicatrice de
$X_k>\max(X_1,\ldots,X_{k-1})$ et $S_n=\sum_{k=1}^nT_k$.
1. Calculer $\P(S_n=1)$ et $\P(S_n=n)$.
2. Donner la loi de $T_k$ et l'espérance de $S_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1108]
1. Calculer $I_{p,q}=\int_0^1t^p(1-t)^qdt$ pour $p,q\in\N$.
2. On choisit uniformément une urne $U_i$ parmi $p$ urnes, l'urne $U_i$
   contenant $i$ boules blanches et $p-i$ noires. On tire avec remise
   $2n$ boules et $A_{n,p}$ est l'événement d'obtenir $n$ blanches et
   $n$ noires. Écrire $\P(A_{n,p})$ comme somme, puis calculer ses limites
   quand $n\to+\infty$ et quand $p\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1109]
Soit $(X,Y)$ à valeurs dans $\N^2$ avec $X\leq Y$, $\P(X=n)>0$ et la
loi conditionnelle de $Y$ sachant $X=n$ uniforme sur $\{0,\ldots,n\}$.
1. Exprimer la loi de $Y$ en fonction de celle de $X$ et montrer que
   $Y$ et $X-Y$ suivent la même loi.
2. Si $Y+1$ suit une loi géométrique de paramètre $p$, déterminer la loi
   de $X$ et montrer que $Y$ et $X-Y$ sont indépendantes.
3. Réciproquement, montrer que leur indépendance entraîne que $Y+1$ est
   géométrique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1110]
Pour $k=1,\ldots,n$, l'urne $k$ contient une boule noire et $k$ boules
blanches. On tire une boule de chaque urne indépendamment. Soit $X_n$ le
nombre de boules noires tirées et $A_k$ l'événement que le tirage de l'urne
$k$ donne une boule noire.
1. Montrer que $X_n=\sum_{k=1}^n1_{A_k}$ et calculer $\E(X_n)$.
2. Calculer $V(X_n)$ et montrer $V(X_n)\leq\E(X_n)$.
3. Pour $\varepsilon>0$, montrer que
   $\P(|X_n-\E(X_n)|>\varepsilon\E(X_n))\leq1/(\varepsilon^2\E(X_n))$.
4. Montrer $\ln(n+2)-1\leq\E(X_n)\leq\ln(n+1)$.
5. En déduire que $X_n/\E(X_n)\to1$ en probabilité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1111]
Une puce se déplace sur $\{0,\ldots,n-1\}$, modulo $n$, depuis $k$ vers
$k+1$ ou $k-1$ avec probabilité $1/2$. On note $X_k$ sa position à
l'instant $k$ et $U_k=(\P(X_k=0),\ldots,\P(X_k=n-1))^T$.
1. Donner $A\in M_n(\R)$ telle que $U_{k+1}=AU_k$.
2. $A$ est-elle diagonalisable ? Déterminer ses sous-espaces propres.
3. Pour chaque $i$, déterminer $\lim_{k\to\infty}\P(X_k=i)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1112]
Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(1/2)$,
$S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et
$u_n=\sum_{k=1}^n\binom nk\ln(k)$. Poser $f(0)=0$ et $f(x)=\ln x$ pour
$x\in]0,1]$.
1. Montrer que $\P(S_n/n\leq1/4)=O(1/n)$.
2. Exprimer $\E(f(S_n/n))$ en fonction de $u_n$.
3. Montrer que $|f(S_n/n)-f(1/2)|\leq\ln n+\ln2$.
4. Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $[1/4,1]$.
5. En déduire un équivalent de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1113]
Soit $T$ à valeurs dans $\N$, avec $\P(T\geq n)>0$ pour tout $n\in\N$, et $t_n=\P(T=n\mid T\geq n)$.
1. Exprimer $\P(T\geq n+1\mid T\geq n)$ à l'aide des $t_k$.
2. Exprimer $\P(T\geq n)$ et $\P(T=n)$ à l'aide des $t_k$.
3. Montrer que $t_n\in[0,1[$ et que $\sum t_n$ diverge.
4. Réciproquement, pour $(t_n)\in[0,1[^\N$ telle que $\sum t_n$ diverge, construire $T$ telle que $\P(T=n\mid T\geq n)=t_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1114]
On dit que $X$ est presque sûrement bornée s'il existe $c\geq0$ avec $\P(|X|\leq c)=1$ ; $X$ admet un moment d'ordre $k$ si $\E(|X|^k)<+\infty$.
1. Existe-t-il des variables ayant des moments à tout ordre sans être presque sûrement bornées ?
2. Soient $X,Y$ ayant des moments à tout ordre, $Y$ presque sûrement bornée et $\E(X^k)=\E(Y^k)$ pour tout $k\in\N$. Montrer que $X$ est presque sûrement bornée et que $X,Y$ ont même loi.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1115]
Soit $(p_n)_{n\in\N}\subset]0,1[$ telle que $\sum p_n$ converge. Soient $(X_n)$ indépendantes avec $X_n\sim\mathcal B(p_n)$. Poser $S_n=\sum_{k=0}^nX_k$ et $S=\lim S_n$.
1. Exprimer $(S\geq m)$ en fonction des événements $(S_n\geq m)$ et en déduire que $S$ est une variable aléatoire.
2. Montrer que $S$ est finie presque sûrement.
3. Montrer que $S$ est d'espérance finie et la calculer.
4. Donner la loi de $S$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1116]
Soient $X,Y$ réelles et $(X_n),(Y_n)$ définies sur le même espace probabilisé, avec $X_n\to X$ et $Y_n\to Y$ en probabilité.
1. Si $|x+y|\geq\varepsilon$, montrer que $|x|\geq\varepsilon/2$ ou $|y|\geq\varepsilon/2$.
2. Montrer que $X_n+Y_n\to X+Y$ en probabilité.
3. Pour $(U_n)$ i.i.d. de Bernoulli($p$), poser $V_k=U_k+U_{k+1}$. Montrer que $n^{-1}\sum_{i=1}^nV_i\to2p$ en probabilité.
4. Montrer que $\P(|X|>M)\to0$ quand $M\to+\infty$.
5. Montrer que $X_nY_n\to XY$ en probabilité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1117]
Soit $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$, $p\in]0,1[$. Poser $P_k=\prod_{i=1}^kX_i$, $R_n=\sum_{k=1}^nP_k$ et $R=\sum_{k\geq1}P_k$.
1. Donner loi, espérance et variance de $P_k$.
2. Montrer que $R$ est discrète et donner sa loi.
3. Montrer que $R_n,R$ sont d'espérance finie et que $\E(|R_n-R|)\to0$.
4. Montrer que $(R_n\to R)$ est un événement.
5. Montrer que $\P(R_n\to R)=1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1118]
Soient $X,Y$ indépendantes et $A=\begin{pmatrix}X&0\\2&Y\end{pmatrix}$.
1. Pour $n\geq2$, avec $X\sim\mathcal B(n,1/4)$ et $Y\sim\mathcal B(n,3/4)$, calculer les probabilités que $A$ soit inversible, diagonalisable.
2. Même question avec $X\sim\mathcal G(p_1)$, $Y\sim\mathcal G(p_2)$, $p_1,p_2\in]0,1[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1119]
Soient $p\in]0,1[$ et $(\varepsilon_k)_{k\in\N}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$. Soit $r(n)$ le reste modulo $3$ et $X_{n+1}=r(X_n+2-\varepsilon_n)$, avec $X_0\in\{0,1,2\}$. Poser $V_n=(a_n,b_n,c_n)^T=(\P(X_n=0),\P(X_n=1),\P(X_n=2))$.
1. Justifier $a_n+b_n+c_n=1$.
2. Pour $Q=\begin{pmatrix}0&p&1-p\\1-p&0&p\\p&1-p&0\end{pmatrix}$, montrer $V_{n+1}=QV_n$.
3. Montrer que $Q$ est diagonalisable. La suite $(V_n)$ converge-t-elle ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1120]
Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. et $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$.
1. Si $X_1$ est uniforme sur $\{1,\ldots,N\}$, calculer $\P(M_n<N)$ et montrer $\E(|M_n-N|^p)\to0$ pour tout $p\geq1$.
2. Si $X_1$ prend ses valeurs dans $0<x_1<\cdots<x_N$ et $\P(X_1=x_N)>0$, montrer $\E(|M_n-x_N|^p)\to0$ pour tout $p\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1121]
Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. uniformes sur $\{1,\ldots,N\}$. Poser $S_n=\sum X_k$, $m=\E(X_1)$, $V_n=(S_n-nm)/(\sqrt n\,\sigma(X_1))$ et $M_n(t)=\E(e^{tV_n})$. Montrer $M_n(t)\to e^{t^2/2}$ pour tout $t\in\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1122]
Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser $S_0=0$, $S_n=S_{n-1}+X_n$ et $A_n=|S_n|$.
1. Déterminer la loi de $(S_n+n)/2$, puis $\E(S_n)$ et $\V(S_n)$.
2. Déterminer $A_n(\Omega)$.
3. Montrer $\E(A_{n+1})=\E(A_n)+\P(S_n=0)$. Indication : $|x+y|=|x|+\operatorname{sgn}(x)y$ pour $x\in\Z$, $y\in\{-1,1\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1123]
Soient $(\varepsilon_n)_{n\geq2}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser $X_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k+\varepsilon_k}$ et $I_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k}$.
1. Montrer qu'il existe $M\geq0$ tel que $|X_n-I_n|\leq M$.
2. Donner un équivalent simple de $I_n$.
3. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, $\P(|2X_n/\ln^2 n-1|\geq\varepsilon)\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1124]
Pour $n\geq1$, soient $X_n,Y_n$ indépendantes uniformes sur $\{1,\ldots,n\}$ et $Z_n=|X_n-Y_n|$.
1. Calculer $\E(Z_n)$ et $\V(Z_n)$.
2. Déterminer le comportement asymptotique de ces suites.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1125]
Pour $X$ réelle à image finie, poser $L_X(t)=\E(e^{tX})$. Montrer que $L_X$ caractérise la loi de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1126]
Soient $(X_n)_{n\in\N}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(2/3)$. Pour $k\geq1$, poser $A_k=(X_{2k-1}X_{2k}=0)$ et $T=\min\{k\geq1:X_{k-1}=X_k=0\}$.
1. Montrer $\P(\bigcap_{k\geq1}A_k)=1$ et en déduire $\P(T\in\N^*)=1$.
2. Donner une récurrence d'ordre 2 sur $\P(T=n)$.
3. Déterminer $\E(T)$, éventuellement à l'aide d'une fonction génératrice.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1127]
On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec probabilité $p\in]0,1[$. Soit $X$ le rang du premier pile. Sachant que le premier pile est au $k$-ième lancer, choisir $Z$ uniformément entre $1$ et $k$.
1. Donner la loi de $X$.
2. Poser $Y=1/(X(X+1))$. Montrer que $Y$ est d'espérance finie et la calculer.
3. Donner la loi de $Z$.
4. Calculer $\E(Z)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1128]
1. Soit $\alpha>0$. Montrer qu'il existe une variable $X$ à valeurs dans $\N$ telle que $G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$ pour tout $t\in[-1,1]$.
2. Donner un équivalent de $\P(X=n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1129]
Poser $g(t)=\frac{e^t}{1+e-t}$.
1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ telle que $g=G_X$ sur $[-1,1]$.
2. La variance de $X$ est-elle définie ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1130]
Soient $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$ et $Y$ à valeurs dans $\N^*$, indépendant des $X_n$. Poser $W=\sum_{i=1}^Y X_i$.
1. Relation entre les fonctions génératrices de $X_1$ et $X_1+\cdots+X_n$.
2. Pour $s\geq0$, calculer $\E(s^W\mathbf1_{Y=n})$ et en déduire $G_W=G_Y\circ G_{X_1}$.
3. Calculer $\E(W)$ en fonction de $\E(X_1),\E(Y)$.
4. Si $X_1,Y$ admettent des variances, calculer $\V(W)$.
5. Si $X_1\sim\mathcal B(p)$, donner la loi de $W$ pour $Y\sim\mathcal G(q)$, puis pour $Y\sim\mathcal P(\lambda)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Mines-Ponts PC 2026 # 1131]
Soient $N\geq2$, $b\in\{0,\ldots,N\}$. Une urne contient initialement $b$ boules bleues et $N-b$ rouges. À chaque tour, tirer une boule et la remplacer par une boule de l'autre couleur. Soit $X_n$ le nombre de boules bleues après $n$ tours.
1. Exprimer $\P(X_{n+1}=i)$ en fonction de la loi de $X_n$.
2. Calculer $\E(X_n)$ et sa limite.
3. Pour $G_n(s)=\E(s^{X_n})$, trouver une relation entre $G_{n+1},G_n,G_n'$.
4. En déduire une récurrence sur $\V(X_n)$.
#+end_exercice

* Centrale MP-MPI 2026
** Algèbre

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1132]
Soient $a=2^{1/3}$ et $L=\Q[a]$.
1. Définir un polynôme irréductible dans $K[X]$ et énoncer Bézout. Montrer que $X^3-2$ est irréductible sur $\Q$.
2. Montrer que $L$ est un $\Q$-espace vectoriel et un corps. En donner la dimension et une base.
3. Poser $B=1+a+a^2$. Montrer que $f:x\mapsto Bx$ est un automorphisme de $L$. Donner ses polynômes caractéristique et minimal.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1133]
1. Montrer que tout idéal non nul de $K[X]$, pour $K\subset\C$ un sous-corps, possède un unique générateur unitaire.
2. Pour un nombre algébrique $\alpha$, montrer qu'il existe un unique polynôme minimal unitaire $\mu_\alpha\in\Q[X]$ tel que $P(\alpha)=0\iff\mu_\alpha\mid P$ pour tout $P\in\Q[X]$.
3. Quels rationnels sont algébriques ? Donner leur polynôme minimal.
4. $\sqrt2$ est-il algébrique ? Donner son polynôme minimal.
5. Soient $\alpha,\beta$ algébriques de degrés $m,n$. Ordonner les $(\alpha^i\beta^j)_{0\leq i<m,0\leq j<n}$ en un vecteur $V$ et montrer qu'il existe $A,B\in M_{mn}(\Q)$ tels que $AV=\alpha V$, $BV=\beta V$. En déduire que $\alpha-\beta$ et $\alpha\beta$ sont algébriques.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1134]
1. Soient $G$ un groupe et $x\in G$ d'ordre fini. Rappeler $o(x)$ et montrer $x^k=1_G\iff o(x)\mid k$ pour $k\in\Z$.
2. Si $n\geq3$ et $a$ impair, montrer $a^{2^{n-2}}\equiv1\pmod{2^n}$. Le groupe $(\Z/2^n\Z)^\times$ est-il cyclique ?
3. En admettant que $(\Z/p\Z)^\times$ est cyclique pour $p$ impair premier, montrer que $(\Z/p^n\Z)^\times$ est cyclique pour $n\geq2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1135]
Soit $P\in\R[X]$ scindé à racines simples, de degré $n\geq2$.
1. Énoncer et démontrer Rolle dans $\R$.
2. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples.
3. Montrer que $P$ n'a pas deux coefficients successifs nuls.
4. Montrer qu'aucun coefficient nul de $P$ n'est encadré par deux coefficients de même signe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1136]
Déterminer les racines de $X^2+X-6$ dans $\R$, de $X^2+X+1$ dans $\Z/7\Z$, puis dans $\Z/21\Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1137]
1. Si $A\in M_n(\C)$ est non inversible, montrer qu'il existe $B\neq0$ telle que $AB=BA=0$.
2. Montrer que $A\in M_n(\C)$ n'est pas inversible ssi il existe $B\neq0$ telle que $(A+B)^k=A^k+B^k$ pour tout entier $k\neq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1138]
1. Énoncer et démontrer le petit théorème de Fermat.
2. Soit $\Omega$ l'ensemble des premiers $p$ tels qu'il existe $A\in M_2(\Z)$, $A\neq I_2$, vérifiant $\sum_{k=1}^pA^k=pI_2$. Montrer $\{2,3\}\subset\Omega$.
3. Si $p\in\Omega\setminus\{2,3\}$, montrer que $\det(A)\equiv0$ ou $1\pmod p$.
4. Déterminer $\Omega$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1139]
On note $T_n^+(\C),T_n^-(\C)$ les matrices triangulaires supérieures, inférieures inversibles. Les mineurs principaux de $A$ sont les déterminants des sous-matrices extraites sur les $k$ premières lignes et colonnes. Poser (P1) : $A=LU$ avec $L\in T_n^-(\C),U\in T_n^+(\C)$ ; (P2) : tous les mineurs principaux sont non nuls.
1. Rappeler la caractérisation du rang par les matrices carrées extraites.
2. Montrer que toute matrice vérifiant (P1) ou (P2) est inversible.
3. Montrer que l'ensemble des matrices vérifiant (P2) est ouvert dans $M_n(\C)$.
4. Montrer que (P1) et (P2) sont équivalentes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1140]
Soit $V$ complexe de dimension $n\geq2$ et $A\subset\mathcal L(V)$ un sous-espace stable par composition, transitif : $V=\{a(x):a\in A\}$ pour tout $x\neq0$.
1. Énoncer et démontrer le théorème du rang.
2. Montrer $\dim A\geq2$.
3. Pour $b\in A\setminus\{0\}$, poser $W=b(V)$ et $B=\{(b\circ u)|_W:u\in A\}$. Montrer que $B$ est stable par composition et transitif sur $W$.
4. Montrer que $A$ contient un élément non nul non inversible.
5. Montrer que $A$ contient un élément de rang $1$.
6. Montrer $A=\mathcal L(V)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1141]
Soit $E$ réel de dimension finie $n\geq2$, $\varphi\in\mathcal L(E,\R)$ non nulle, $a\neq0$, $f(x)=x+\varphi(x)a$.
1. Montrer que $f$ est un endomorphisme.
2. Déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1142]
Soit $f\in\mathcal L(\C^n)$ tel que $f^2$ soit diagonalisable avec $p$ valeurs propres distinctes.
1. Si $\det(f^2)\neq0$, trouver un polynôme annulateur de $f$ et montrer que $f$ est diagonalisable.
2. Si $\det(f^2)=0$ et $\Ker(f^2)=\Ker f$, montrer que $f$ est diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1143]
Pour $M\in M_n(\C)$, poser $\rho(M)=\max_{\lambda\in\Sp(M)}|\lambda|$.
1. Montrer que $\rho(M)$ est bien défini.
2. Soit $A\in GL_n(\R)$ et $X_{k+1}=2X_k-X_kAX_k$. Pour une norme sous-multiplicative, montrer $\|X_{k+1}-A^{-1}\|\leq\|A\|\|X_k-A^{-1}\|^2$.
3. Montrer que si $X_k\to A^{-1}$, alors $\rho(AX_0-I_n)<1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1144]
1. Montrer qu'une matrice est diagonalisable ssi elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.
Soit $D=\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}$.
2. Si $D$ est diagonalisable, montrer que $A,B$ le sont.
3. Montrer qu'il existe $P=\begin{pmatrix}P_1&P_2\\0&P_3\end{pmatrix}$ inversible tel que $P^{-1}DP$ soit diagonale. En déduire qu'il existe $M$ telle que $C=MB-AM$.
4. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A,B,C$ pour que $D$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1145]
Soit $N\in M_n(K)$ nilpotente.
1. Que dire de $\Sp(N)$ et $\chi_N$ ?
2. Si $P(0)=0$, montrer $P(N)$ nilpotente.
3. Si $P(0)\neq0$, montrer $P(N)$ inversible.
4. Si $P(0)=0$ et $P'(0)\neq0$, montrer que pour tout $k\geq2$, il existe $U_k,V_k\in K^{k-2}[X]$ vérifiant $U_k(0)=V_k(0)=0$ et $X^k\mid U_k\circ P(X)-X$, $X^k\mid P\circ V_k(X)-X$. En déduire qu'il existe une unique matrice nilpotente $A$ telle que $P(A)=N$.
5. Pour $P_k=(1+X/k)^k-1$, soit $N_k$ l'unique matrice nilpotente telle que $P_k(N_k)=N$. La suite $(N_k)$ converge-t-elle ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1146]
1. Rappeler le lemme de décomposition des noyaux et en déduire $\C^n=\bigoplus_{\lambda\in\Sp(M)}\Ker(M-\lambda I_n)^{m(\lambda)}$, en précisant $m(\lambda)$.
2. Si $M\in M_3(\R)$ est diagonalisable, montrer qu'il existe $B\in M_3(\R)$ tel que $M=B^3$.
3. Faire de même si $M$ possède une valeur propre non réelle.
4. Décrire les matrices réelles $3\times3$ qui sont des cubes de matrices réelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1147]
Soit $E$ de dimension $n$, $f\in\mathcal L(E)$. On dit que $f$ est un $p$-cycle pour $a$ si $(f^i(a))_{0\leq i<p}$ est génératrice.
1. Montrer que les valeurs propres de $f$ sont les racines de $\pi_f$.
2. Si $f$ est un $p$-cycle, montrer $p\geq n$ et $\operatorname{rg}(f)\geq n-1$.
3. Montrer $\pi_f=\chi_f$.
4. Montrer que $f$ est cyclique ssi $\pi_f=\chi_f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1148]
Soient $E$ complexe de dimension $n$ et $u\in\mathcal L(E)$.
1. Montrer que les racines de $\pi_u$ sont ses valeurs propres.
2. Si $f$ est circulaire d'ordre $p$, montrer $p\geq n$, $\operatorname{rg}(f)=n$ et $\chi_f=\pi_f$.
3. Pour $f\in GL(E)$, montrer que $f$ est circulaire ssi $\chi_f$ divise $X^p-1$ pour un certain $p\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1149]
Montrer que le produit de deux fonctions de carré intégrable sur $\R$ est intégrable et que ces fonctions forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions intégrables.
On munit $E$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_\R P(x)Q(x)e^{-x^2}\,dx$. Poser $\psi_0(x)=e^{-x^2/2}$ et $L(\psi)=-\psi'+x\psi$ pour $\psi\in C^\infty(\R,\R)$.
1. Montrer que $L$ est un endomorphisme de $C^\infty(\R,\R)$.
2. Pour tout $n$, montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n$ de degré $n$ tel que $L^n(\psi_0)=P_n\psi_0$, puis un réel $\lambda_n$ tel que $-(L^n(\psi_0))''+x^2L^n(\psi_0)=\lambda_nL^n(\psi_0)$.
3. Montrer que $(P_n)$ est orthogonale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1150]
Pour $u=(u_n)_{n\geq0}$, poser $D(u)=(u_{n+1}-u_n)_{n\geq0}$ et $F=\{u\in\R^\N:\sum_{n\geq0}u_n^2<+\infty\}$. Pour $u,v\in F$, poser $\langle u,v\rangle=\sum_{n\geq0}u_nv_n$.
1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel et que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire.
2. $D$ est-elle injective ? surjective ? Déterminer ses valeurs propres et espaces propres.
3. Déterminer $\{\langle D(u),u\rangle/\langle u,u\rangle:u\in F\setminus\{0\}\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1151]
1. Définir la somme directe et démontrer la caractérisation pour deux sous-espaces.
Soient $E$ de dimension $m$, $B:E\times E\to\R$ bilinéaire symétrique et une base $(e_i)$ telle que $B(e_i,e_i)=1$. Poser $b_{ij}=B(e_i,e_j)$, $\sigma_i(v)=v-2B(v,e_i)e_i$, $\varepsilon_1=e_1$ et $\varepsilon_i=\sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_{i-1}(e_i)$.
2. Montrer que $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$ est une base.
3. En déduire la matrice de $\tau=\sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_m$ dans la base $(e_i)$ (indication : utiliser la matrice $C$ définie par $c_{ij}=2b_{ij}$ si $i<j$, $0$ sinon).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1152]
1. Rappeler la définition d'un produit scalaire euclidien.
Soient $a<b$, $\omega\in C^0(]a,b[,\R_{+}^{*})$ et $L^2(]a,b[)=\{f\in C^0(]a,b[,\R):\int_a^b f(x)^2\omega(x)\,dx<+\infty\}$, avec $\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\omega(x)\,dx$.
2. Montrer que c'est un produit scalaire.
3. Montrer que pour tout $n$, il existe un unique polynôme unitaire $p_n$ de degré $n$ orthogonal à $\R_{n-1}[X]$.
4. Montrer que $p_n$ est scindé à racines simples dans $]a,b[$.
5. Montrer l'existence et l'unicité d'une formule de quadrature à $n+1$ points exacte pour les polynômes de degré au plus $2n+1$ mais pas pour tous ceux de degré $2n+2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1153]
Soit $E$ euclidien.
1. Si $p$ est un projecteur, montrer $E=\operatorname{Im}(p)\oplus\Ker(p)$ et donner $\operatorname{tr}(p)$.
2. Pour des projecteurs orthogonaux $p_1,\ldots,p_k$, poser $m=(p_1+\cdots+p_k)/k$. Montrer que $m$ est projecteur ssi tous les $p_i$ sont égaux.
3. Si $H=\{A_1,\ldots,A_k\}\subset GL_n(\R)$ est finie et stable par produit, montrer que $\operatorname{tr}(A_1+\cdots+A_k)$ est un multiple entier de $k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1154]
Soient $a\in\R$, $n\geq1$ et $A_n=\begin{pmatrix}1&-a/n\\a/n&1\end{pmatrix}$.
1. Trouver $r_n,\theta_n$ tels que $A_n=r_nR(\theta_n)$.
2. Calculer $\lim_{n\to+\infty}A_n^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1155]
Soit $A\in\mathcal A_n(\R)$ et $\Phi(M)=\operatorname{tr}(M)A-M^T$ sur $M_n(\R)$.
1. Montrer que $\Phi$ est un automorphisme.
2. Montrer que $\Phi$ est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres et sous-espaces propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1156]
1. Si $M\in\mathcal A_n(\R)$ et $n$ est impair, montrer que $0$ est la seule valeur propre réelle de $M$.
2. Montrer que $\chi_M$ et $n$ ont même parité.
3. Déterminer $\mathcal A_n(\R)\cap O_n(\R)$ pour $n=2$ puis $n=3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1157]
Poser $\widetilde O_n(\R)=\{M\in O_n(\R):-1\notin\Sp(M)\}$ et $\varphi(M)=(I_n-M)(I_n+M)^{-1}$.
1. Rappeler la réduction des isométries.
2. Déterminer l'adhérence de $\widetilde O_n(\R)$.
3. Montrer que $\varphi$ est une bijection de $\widetilde O_n(\R)$ sur $\mathcal A_n(\R)$ et déterminer sa réciproque.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1158]
1. Pour $E$ euclidien, montrer l'équivalence entre $f$ isométrie, $\langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$ pour tous $x,y$, et l'image d'une base orthonormée par $f$ est une base orthonormée.
2. Si $A\in S_n^+(\R)$, montrer $\operatorname{tr}(\Omega A)\leq\operatorname{tr}(A)$ pour tout $\Omega\in O_n(\R)$.
3. Réciproquement, sous cette inégalité, poser $\varphi(t)=\operatorname{tr}(Ae^{tV})$ avec $V\in\mathcal A_n(\R)$ et montrer que $\varphi$ a un extremum local en $0$.
4. En déduire $A\in S_n^+(\R)$.
5. Si $G$ est un sous-groupe compact de $GL_n(\R)$ contenant $O_n(\R)$, montrer $G=O_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1159]
1. Montrer $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$.
2. Soit $q:M_n(\R)\to\R$ invariante par similitude et associée à une forme bilinéaire symétrique $\beta$, avec $q(M)=\beta(M,M)$. Vérifier que $\operatorname{tr}(M^2)$ et $\operatorname{tr}(M)^2$ vérifient ces hypothèses et montrer l'unicité de $\beta$.
3. Pour $A=A_1+iA_2$ avec parties réelles $A_1,A_2$, prolonger $q$ par $\widetilde q(A)=q(A_1)-q(A_2)+2i\beta(A_1,A_2)$. Montrer qu'elle est associée à une forme bilinéaire symétrique complexe et invariante par similitude.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1160]
1. Rappeler la définition de la densité et montrer $GL_n(\R)$ dense dans $M_n(\R)$.
2. Soit $N:M_n(\R)\to\R$ telle que $N(A)\geq0$, $N(\lambda A)\leq|\lambda|N(A)$, $N(A+B)\leq N(A)+N(B)$. Montrer que $N$ est lipschitzienne.
3. Déterminer les $N$ vérifiant ces propriétés et invariantes par similitude.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1161]
Soit $H$ l'ensemble des parties $X\subset\R$ telles que toute fonction continue $X\to\R$ soit uniformément continue. $X$ est espacée s'il existe $\delta>0$ tel que $(x-\delta,x+\delta)\cap X=\{x\}$ pour tout $x\in X$.
1. Démontrer Heine.
2. Donner un exemple explicite montrant $]0,1]\notin H$.
3. Montrer que toute partie espacée appartient à $H$.
4. Construire $X\in H$ et $f:X\to\R$ continue telle que $f(X)\notin H$.
5. Montrer que tout élément de $H$ est fermé dans $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1162]
Soit $(E,\|\cdot\|)$ normé.
1. Rappeler les définitions de segment, ensemble convexe, frontière, et montrer que $\operatorname{conv}(A)$ (intersection des convexes contenant $A$) est convexe et contient $A$.
2. Si $K\subset E$ est convexe compact et $x\in K\setminus\partial K$, $x\neq0$, poser $D=\operatorname{Vect}(x)$. Montrer $D\cap K=[y,z]$ pour $y,z\in\partial K$.
3. Si $K$ est compact convexe d'intérieur non vide, montrer $K=\operatorname{conv}(\partial K)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1163]
1. Définir la convexité d'une fonction et la caractériser par $f'$ lorsqu'elle est dérivable.
2. Pour $\ell^p=\{x\in\R^\N:\sum|x_n|^p<+\infty\}$, montrer que c'est un espace vectoriel normé pour $\|x\|_p=(\sum_{n\geq0}|x_n|^p)^{1/p}$.
3. Trouver une suite $(x_k)$ dont le sous-espace engendré est dense dans $\ell^p$, puis une partie dénombrable dense.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1164]
Soient $E$ normé, $X$ compact et $f:E\to E$ continue. Que peut-on dire de $f(X)$ ? On suppose ensuite $f(X)\subset X$ et $\|f(x)-f(y)\|\geq\|x-y\|$ sur $X$.
1. Pour $a\in X$, poser $u_0=a$, $u_{n+1}=f(u_n)$. Montrer qu'une sous-suite converge vers $a$.
2. Montrer $\|f(a)-f(b)\|=\|a-b\|$ pour tous $a,b\in X$, puis que $f$ est bijective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1165]
Pour $K=\R$ ou $\C$, munir $K^n$ de la norme euclidienne et noter $\|\!|\!|M\|\!|\!|_K=\sup_{\|x\|_K=1}\|Mx\|_K$.
1. Montrer que c'est une norme sur $M_n(K)$.
2. Pour $x\in\C^n$, montrer $\|x\|_\C^2=\|\Re x\|_\R^2+\|\Im x\|_\R^2$, puis que les normes subordonnées réelle et complexe coïncident pour $M\in M_n(\R)$.
3. Si $\|\!|\!|N-I_n\|\!|\!|_\R<1$, montrer que les valeurs propres $\lambda$ vérifient $|\lambda-1|<1$, puis que $N$ est inversible.
4. Montrer $\sum_{k\geq0}(I_n-N)^k=N^{-1}$ et la borne correspondante. Montrer ensuite $\Re(\lambda)>0$, donc $\det N>0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1166]
Munir $\C^n$ d'une norme et considérer sa norme subordonnée sur $M_n(\C)$.
1. La définir, montrer que c'est une norme sous-multiplicative.
2. Pour $A$ inversible, $A+\widetilde A$ inversible, $Ax_0=b$ et $(A+\widetilde A)x_p=b$, établir
$$\frac{\|x_0-x_p\|}{\|x_p\|}\leq\kappa(A)\frac{\|\!|\!|\widetilde A\|\!|\!|}{\|\!|\!|A\|\!|\!|},\qquad \kappa(A)=\|\!|\!|A\|\!|\!|\|\!|\!|A^{-1}\|\!|\!|.$$
3. Si $\|\!|\!|\widetilde A\|\!|\!|<1/\|\!|\!|A^{-1}\|\!|\!|$, $b\neq0$ et $(A+\widetilde A)x_p=b+\widetilde b$, établir la borne d'erreur avec $\widetilde A,\widetilde b$. Montrer qu'il peut y avoir égalité pour des choix optimaux.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1167]
1. Définir un polynôme simplement scindé, en donner et démontrer une caractérisation. Dans la suite $P=X^3+aX+b\in\C[X]$.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b$ pour que $P$ soit simplement scindé.
3. Si $a,b\in\R$, donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\{(x,y)\in\R^2:y^2=P(x)\}$ soit connexe par arcs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1168]
1. Énoncer et démontrer l'égalité des accroissements finis.
2. Pour $f(x)=\sin(x)/x$ sur $\R^*$, montrer que son prolongement en $0$ est $C^\infty$ et que toutes ses dérivées sont bornées.
3. Soient $T>0$, $N\geq1$, $h=T/N$, $(\varepsilon_k)_{0\leq k<N}\subset\R$, $y_0=z_0$ et $y_{k+1}=y_k+hf(y_k)$, $z_{k+1}=z_k+hf(z_k)+\varepsilon_k$. Montrer $|z_k-y_k|\leq e^{Tk}\sum_{i=0}^{k-1}|\varepsilon_i|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1169]
Montrer l'existence et calculer $\int_0^1\frac{\ln(1-x^2)}{x^2}\,dx$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1170]
1. Définir les convergences simple et uniforme, puis montrer que la limite uniforme de fonctions continues sur $[0,1]$ est continue.
2. Si $f_n\in C([0,1])$ converge simplement vers une fonction continue et si $(f_n(x))_n$ est croissante pour tout $x$, montrer que la convergence est uniforme.
3. Poser $P_0=0$ et $P_{n+1}(x)=P_n(x)+(x-P_n(x))^2/2$. Montrer que $(P_n)$ converge uniformément vers $\sqrt{x}$ sur $[0,1]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1171]
Pour $n\geq1$, poser $u_n(x)=\frac{\ln(1+n^2x^2)}{n^2\ln(1+n)}$ et $S=\sum_{n\geq1}u_n$.
1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $S$.
2. Montrer que $S$ est continue sur $D$.
3. Montrer que $\sum u_n'$ converge sur $D$.
4. Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1172]
Pour $n\geq1$, soit $\varphi_n$ nulle hors de $[1/(n+1),1/n]$, affine sur chaque moitié de cet intervalle et de valeur $1/n$ au milieu. Fixer une bijection $f:\N\to\Q$.
1. Montrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue.
2. Montrer que $u_n(t)=\sum_{k\in\N}\varphi_n(t-f(k))2^{-k}$ est continue.
3. Pour $m_n(t)=\min\{k\in\N:f(k)+1/(n+1)\leq t\leq f(k)+1/n\}$, montrer $\sum_{n\geq1}2^{-m_n(t)}\leq2$.
4. Montrer que $\sum u_n$ converge uniformément sur $\R$.
5. Montrer que cette série ne converge pas normalement sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1173]
Soit $(a_n)$ telle que $a_n>-1$ et $\sum a_n^2$ converge. Poser $p_n=\prod_{k=1}^n(1+a_k)$.
1. Rappeler le théorème de convergence radiale d'Abel.
2. Montrer que $(p_n)$ converge vers une limite strictement positive si et seulement si $\sum a_n$ converge.
3. Construire $(b_n)$ avec $b_n=O(a_n^2)$ telle que, pour $x\in[0,1]$,
$$\left|\ln(1+a_nx^n)-\ln(1+a_n)+\frac{a_n}{1+a_n}(1-x^n)\right|\leq b_n(1-x^n).$$
4. Si $\sum a_n$ converge, montrer $\prod_{n\geq0}(1+a_nx^n)\to\prod_{n\geq0}(1+a_n)$ quand $x\to1^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1174]
Pour $k\in\N$, poser $f_k(x)=\sin((k!)^2x)/k!$ et $W=\sum_{k\geq0}f_k$.
1. Montrer que $W$ est définie sur $\R$ et continue. Poser $W_n=\sum_{k=0}^nf_k$ et $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}f_k$ ; montrer $|R_n(t)|\leq2/(n+1)!$.
2. Pour $x\in\R$, poser $I_n=]x+\pi/(n!)^2,x+3\pi/(n!)^2[$. Montrer que, pour $y\in I_n$, $|W_{n-1}(x)-W_{n-1}(y)|\leq4\pi/(n\,n!)$.
3. Montrer qu'il existe $x_n\in I_n$ tel que $|f_n(x)-f_n(x_n)|=1/n!$.
4. En déduire que $W$ n'est dérivable en aucun point.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1175]
Déterminer le rayon de convergence et la somme de $\sum_{n\geq0}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1176]
1. Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière.
2. Pour $r\in\N$, déterminer le rayon de convergence de $\sum_{k\geq0}\frac{k^r}{k!}x^k$.
3. Si $\alpha_n$ est le nombre de partitions de $\{1,\ldots,n\}$ et $\alpha_0=1$, calculer $\alpha_1,\ldots,\alpha_4$.
4. Montrer $\alpha_{n+1}=\sum_{i=0}^n\binom ni\alpha_i$.
5. Calculer le rayon de convergence de $\sum\alpha_i x^i$.
6. Calculer le rayon de convergence et la somme de $\sum_{i\geq0}\frac{\alpha_i}{i!}x^i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1177]
1. Soient $f,g:\R\to\R$ continues par morceaux avec $f=o(g)$ à $+\infty$. Donner et démontrer des conditions suffisantes pour que $\int_x^{+\infty}f(t)\,dt=o(\int_x^{+\infty}g(t)\,dt)$.
2. Pour $H(x)=e^{x^2}\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,dt$, montrer que $H$ est développable en série entière sur $\R$ et donner son développement.
3. Étudier les variations, la convexité et les limites de $H$ en $\pm\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1178]
1. Montrer qu'une série entière de rayon $R$ converge normalement sur tout disque fermé de rayon $r<R$.
On suppose ensuite $a_n=O(1/n)$ et $F(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n\to0$ quand $x\to1^-$, et on pose $g=\mathbf1_{[1/2,1]}$, $N(x)=\lfloor-\ln2/\ln x\rfloor$.
2. Montrer $\sum_{n\geq0}a_ng(x^n)=\sum_{n=0}^{N(x)}a_n$ pour $x\in[0,1[$.
3. Si $P\in\R[X]$, $P(0)=0$, montrer que $\sum a_nP(x^n)$ converge et tend vers $0$ quand $x\to1^-$.
4. Pour $P_1\leq g\leq P_2$ sur $[0,1]$, avec $P_1(0)=P_2(0)=0$, établir l'inégalité de comparaison donnée par $\sum|a_n|(P_2(x^n)-P_1(x^n))$ et vérifier que le majorant est fini.
5. Montrer qu'on peut choisir $P_i=X+X(1-X)Q_i$ avec $\int_0^1(Q_2-Q_1)\leq\varepsilon$.
6. En déduire que $\sum a_n$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1179]
1. Énoncer le théorème du produit de Cauchy pour les séries entières.
2. Si $A,B$ partitionnent $\N$, poser $A(x)=\sum_{a\in A}x^a$, $B(x)=\sum_{b\in B}x^b$. Montrer qu'elles sont définies sur $]-1,1[$ et calculer $A(x)+B(x)$.
3. Poser $r_A(n)=\operatorname{card}\{(p,q)\in A^2:p+q=n,\ p\neq q\}$. Montrer $\sum r_A(n)x^n=A(x)^2-A(x^2)$.
4. Si $r_A(n)=r_B(n)$ pour tout $n$, montrer $A(x)-B(x)=(1-x)(A(x^2)-B(x^2))$.
5. Poser $D=A-B$ et supposer $0\in A$. Montrer $D(x)=D(x^{2^N})\prod_{k=0}^{N-1}(1-x^{2^k})$.
6. En déduire que $A$ est l'ensemble des entiers dont l'écriture binaire comporte un nombre pair de $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1180]
Soit $d_n$ le nombre de dérangements de $\{1,\ldots,n\}$.
1. Montrer $|\mathfrak S_n|=n!$.
2. Pour $D(z)=\sum_{n\geq0}d_nz^n/n!$, montrer $n!=\sum_{k=0}^n\binom nkd_{n-k}$.
3. Montrer que son rayon de convergence est au moins $1$, puis calculer $D(t)e^t$.
4. En déduire $d_n=n!\sum_{k=0}^n(-1)^k/k!$.
Pour $S_p(n)$ le nombre de surjections de $\{1,\ldots,n\}$ sur $\{1,\ldots,p\}$, poser $S(x,y)=\sum_{n,p\geq0}S_p(n)x^ny^p/(n!p!)$.
5. Montrer que, pour $y\in]-1,1[$, cette série en $x$ a un rayon strictement supérieur à $1/e$.
6. Montrer $p^n=\sum_{k=0}^p\binom pkS_k(n)$.
7. Montrer $S(x,y)=\exp(y(e^x-1))$ pour $(x,y)\in]-1/e,1/e[\times]-1,1[$.
8. En déduire $S_p(n)=\sum_{k=0}^p(-1)^{p-k}\binom pk k^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1181]
Soient $(a_n)\in\C^\N$, $(b_n)\in(\R_+^*)^\N$, avec $a_n/b_n\to\ell\in\C$. Poser $f(z)=\sum a_nz^n$, $g(z)=\sum b_nz^n$ et noter $R,R'$ leurs rayons de convergence.
1. Rappeler la définition du rayon de convergence.
2. On suppose $R'=1$ et $\sum b_n$ diverge. Montrer $R\geq R'$, donner une condition suffisante sur $\ell$ pour $R=R'$, puis montrer $g(x)\to+\infty$ et $f(x)/g(x)\to\ell$ lorsque $x\to1^-$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1182]
1. Démontrer l'interversion limite-intégrale dans le cas de convergence uniforme.
2. Soit $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n$ de rayon infini. Pour $r>0$, calculer $\int_0^{2\pi}f(re^{it})e^{-ipt}\,dt$. En déduire que si $f$ est bornée sur $\C$, elle est constante.
3. S'il existe une suite $(z_k)\to0$ avec $f(z_k)=0$ pour tout $k$, montrer que $f$ est nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1183]
Soit $I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t/n)}{t(1+t^2)}\,dt$ pour $n\geq1$.
1. Montrer que $I_n$ est bien définie.
2. Donner un équivalent simple quand $n\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1184]
1. Rappeler le développement en série entière de $\arctan$ et son rayon de convergence.
2. Poser $I=\int_0^1\frac{\arctan(t)}{\sqrt t}\,dt$. Exprimer $I$ sous forme de somme.
3. Calculer $J=\sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{4k+3}$ et en déduire $I$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1185]
Considérer $(E):y''+y=c$, où $c\in C^0(\R,\R)$ est $2\pi$-périodique.
1. Énoncer Cauchy-Lipschitz linéaire et exprimer une solution particulière sous forme intégrale.
2. Si $f\in C^2(\R,\R)$ vérifie $f''+f\geq0$, montrer $f(t)+f(t+\pi)\geq0$.
3. Sur les fonctions continues $2\pi$-périodiques, utiliser $\langle f,g\rangle=\int_0^{2\pi}f(t)g(t)\,dt$ pour montrer l'équivalence : $c\in\operatorname{Vect}(\cos,\sin)^\perp$ ; toute solution est $2\pi$-périodique ; $(E)$ admet une solution $2\pi$-périodique.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1186]
1. Énoncer Cauchy linéaire.
2. Étudier son application à $(E):xy''+y'+y=0$, après mise sous forme normalisée, notamment en $x=0$.
3. Chercher une solution développable en série entière et déterminer son rayon de convergence. Préciser son domaine et vérifier l'équation.
4. Justifier que les solutions sur $]0,+\infty[$ forment un espace vectoriel de dimension $2$. Cauchy s'applique-t-il en $x_0=0$ ?
5. Existe-t-il une seconde solution non proportionnelle à $f$ ? On pourra chercher $g=f\ln x+h$ avec $h$ en série entière et comparer les comportements en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1187]
Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie.
1. Rappeler la formule d'intégration le long d'un arc.
2. Soit $A\neq\varnothing$, $f:A\to A$ $k$-lipschitzienne avec $k\in[0,1[$. Pour $x_0=x$, $x_{n+1}=f(x_n)$, montrer la convergence vers l'unique point fixe.
3. Soit $\Omega$ ouvert contenant $0$ et $f:\Omega\to E$ de classe $C^1$, avec $f(0)=0$, $df(0)=\operatorname{id}$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour $r\in]0,\alpha]$, $(f-\operatorname{id})(B_r)\subset B_{r/2}$ et $f-\operatorname{id}$ est $1/2$-lipschitzienne sur $B_r$.
4. En déduire $B_{r/2}\subset f(B_r)$.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1188]
Soient $n,p,k\in\N$ tels que $0<k\leq p\leq nk$.
1. Expliciter la fonction génératrice de la loi uniforme sur $\{1,\ldots,n\}$.
2. Montrer $\frac1{(1-x)^k}=\sum_{r\geq0}\binom{r+k-1}{k-1}x^r$ pour $x\in]-1,1[$.
3. On lance $k$ fois un dé équilibré à $n$ faces numérotées de $1$ à $n$. Calculer la probabilité d'obtenir une somme égale à $p$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1189]
$n$ personnes passent sous un échafaudage ; chacune est touchée par une goutte avec probabilité $p\in]0,1[$. Soient $X$ et $Y$ les nombres de personnes touchées et non touchées.
1. Donner leurs lois et dire si elles sont indépendantes.
2. Si le nombre $N$ de personnes suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$, donner les lois de $X,Y$, puis $\E(X)$ et $\V(X)$.
3. Montrer que $X,Y$ sont indépendantes.
4. Calculer $\operatorname{Cov}(X,N)$. $X,N$ sont-elles indépendantes ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1190]
Soit $\mathfrak S_n$ l'ensemble des bijections de $\{1,\ldots,n\}$ et $T$ l'ensemble des transpositions.
1. Montrer que $\mathfrak S_n$ est engendré par $T$.
Pour $p\geq1$, choisir uniformément $2p$ entiers dans $\{1,\ldots,n\}$, notés $X_1,Y_1,\ldots,X_p,Y_p$, et poser $S=(X_1Y_1)\circ\cdots\circ(X_pY_p)$.
2. Décrire l'espace probabilisé.
3. La variable aléatoire $S$ peut-elle suivre une loi uniforme sur $\mathfrak S_n$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1191]
Une plateforme mobile part de $0$ sur $\Z$ et à chaque étape avance de $+1$ avec probabilité $p$, de $-1$ avec $q=1-p$. Soit $X_n$ sa position à l'étape $n$.
1. Calculer $\P(X_n=0)$.
2. Déterminer la loi de $X_n$.
3. Calculer $\operatorname{Cov}(X_n,X_k)$ pour $k\leq n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1192]
1. Énoncer et démontrer la loi faible des grands nombres.
2. Soit $A=\Z[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2:(a,b)\in\Z^2\}$. Montrer que $A$ est un anneau et déterminer ses inversibles, puis montrer que $A$ est dense dans $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1193]
1. Rappeler la définition d'une distribution de probabilités sur $\N$.
2. Soit $(u_n)$ réelle avec $u_0=1$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(u_n-u_{n+1})$ soit une distribution. Soit alors $X$ de loi $\P(X=n)=u_n-u_{n+1}$.
3. Étudier les liens logiques entre $\E(X)<+\infty$ et l'existence de $\rho\in]0,1[$ tel que $u_n=O(\rho^n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1194]
1. Rappeler la loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ et donner son espérance et sa variance.
2. Si $X_1,\ldots,X_n$ sont indépendantes de loi $\mathcal P(1)$, donner la loi de leur somme $S_n$.
3. Pour $a<b$, poser $x_{n,k}=(k-n)/\sqrt n$ et $I_n=\{k\in\N:x_{n,k}\in[a,b]\}$.
   a. Montrer que $\min I_n=i_n$ et $\max I_n=j_n$ existent pour $n$ assez grand et que $[a,b]\subset\bigcup_{k=i_n-1}^{j_n}[x_{n,k},x_{n,k+1}[$.
   b. On admet que les fonctions en escalier construites à partir de $\sqrt n\,\P(S_n=k)$ convergent uniformément sur $[a,b]$ vers $\eta(t)=e^{-t^2/2}/\sqrt{2\pi}$. En déduire $\P((S_n-n)/\sqrt n\in[a,b])\to\int_a^b\eta(t)\,dt$.
   c. Démontrer le résultat admis en utilisant Stirling.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1195]
Soit $X\sim\mathcal P(\lambda)$, $\lambda>0$.
1. Montrer que $X$ est intégrable et calculer son espérance.
2. Calculer $\varphi_X(t)=\E(e^{itX})$.
3. Pour $k\in\N$, montrer $\int_{-\pi}^{\pi}\exp(k(e^{it}-1-it))\,dt=2\pi k^k e^{-k}/k!$.
4. En admettant $\int_\R e^{-u^2/2}\,du=\sqrt{2\pi}$, retrouver Stirling.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1196]
1. Rappeler l'inégalité triangulaire dans $\C$ et son cas d'égalité.
2. Si $X\geq0$ est d'espérance nulle, que peut-on dire de $X$ ? Le démontrer.
3. Si $X$ est de variance finie et $\V(X)=0$, que peut-on dire ? Le démontrer.
Soit $X$ à valeurs dans $\Z$ et à support fini, $(X_i)$ i.i.d. de même loi, $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$, $g_n(t)=\E(e^{itS_n})$ et $f(t)=\E(e^{itX})$.
4. Montrer que $f,g_n$ sont bien définies et continues, et préciser le lien entre elles.
5. Montrer $\P(S_n=k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)^ne^{-ikt}\,dt$.
6. Si $\P(X=0),\P(X=1)>0$, montrer $|f(t)|<1$ pour $t\in[-\pi,\pi]\setminus\{0\}$, donner un DL à l'ordre 2 de $|f(t)|^2$ en 0 et établir $\sup_{k\in\Z}\P(S_n=k)\leq c/\sqrt n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1197]
Soit $\sigma_n$ uniforme sur le groupe $\mathfrak S_n$. Les orbites de $x$ sont $O(x,\sigma)=\{\sigma^k(x):k\in\Z\}$.
1. Rappeler la définition d'une partition et montrer que les orbites partitionnent $\{1,\ldots,n\}$.
2. Noter $C_n$ le nombre d'orbites, $N_{k,n}$ le nombre d'orbites de taille $k$ et $L_i$ la taille de l'orbite de $i$. Déterminer la loi de $L_1$, calculer $\E(C_n)$ et en donner un équivalent.
3. Calculer $\V(C_n)$ et son équivalent, montrer $C_n/\ln n\to1$ en probabilité, puis montrer $N_{k,n}$ converge en loi vers $\mathcal P(1/k)$ pour tout $k\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale MP-MPI 2026 # 1198]
Soit $A\in S_n^{++}(\R)$, de valeurs propres ordonnées $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$, et une base orthonormée de vecteurs propres $(e_i)$. Soit $X=\sum x_ie_i$ de norme $1$.
1. Énoncer et démontrer Cauchy-Schwarz dans un espace préhilbertien.
2. Pour $\lambda_i>0$, montrer $(\sum x_i^2)^2\leq(\sum\lambda_ix_i^2)(\sum x_i^2/\lambda_i)$.
3. Construire $U$ telle que $\P(U=\lambda_i)=x_i^2$.
4. Montrer $\E(1/U)\leq(\lambda_1+\lambda_n-\E(U))/(\lambda_1\lambda_n)$.
5. En déduire $1\leq(X^TAX)(X^TA^{-1}X)\leq(\lambda_1+\lambda_n)^2/(4\lambda_1\lambda_n)$.
#+end_exercice

* Centrale PSI 2026
** Algèbre

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1199]
Soient $n\geq2$ et $E=M_n(\R)$.
1. Calculer $E_{i,j}E_{p,\ell}$.
2. Pour $K,L\in E$, poser $u_{K,L}(M)=KM-ML$. Calculer $\operatorname{tr}(u_{K,L})$.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $u_{K,L}=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1200]
1. Pour $M_0=(m_{ij})$ et $M_x=(m_{ij}+x)$, montrer qu'il existe $\alpha\in\R$ tel que $\det(M_x)=\alpha x+\det(M_0)$.
2. Pour $A_{a,b,c}=(a_{ij})$ définie par $a_{ii}=a$, $a_{ij}=b$ si $i<j$ et $a_{ij}=c$ si $i>j$, calculer son déterminant si $b\neq c$, puis si $b=c$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1201]
Soit $A\in M_n(\R)$ triangulaire supérieure de diagonale $(1,2,\ldots,n)$. Étudier les solutions de $M^2=A$.
1. Résoudre pour $n=2$ et $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$.
2. Pour $n=2$ et $A$ quelconque satisfaisant les hypothèses, donner le nombre de solutions.
3. Pour $n$ quelconque, donner le nombre de solutions et dire si elles sont toutes triangulaires supérieures.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1202]
1. Dans la base canonique $(e_1,e_2)$ de $\R^2$, soit $p$ le projecteur sur $\operatorname{Vect}(e_1)$ parallèlement à $\operatorname{Vect}(e_1+e_2)$. Donner sa matrice $A$ et déterminer les $B$ telles que $AB-BA=B$.
2. Pour $f\in\mathcal L(E)$, poser $\psi_f(g)=f\circ g-g\circ f$. Si $\psi_f(g)=g$ pour un $g\neq0$, montrer $\psi_f(g^k)=kg^k$ pour $k\geq1$, puis en déduire qu'une puissance de $g$ est nulle.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1203]
Dans la base canonique $\varepsilon$ de $\R^3$, poser $e_1=\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $e_2=-\varepsilon_1/4+\varepsilon_2/4$, $e_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2$, et soit $f$ représenté par $\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}$.
1. Montrer que $e=(e_1,e_2,e_3)$ est une base et déterminer la matrice de $f$ dans cette base.
2. $f$ est-il diagonalisable ? Montrer $\R^3=\Ker(f^2)\oplus\Ker(f-2\operatorname{id})$ et donner des bases de ces noyaux.
3. Si $g^2=f$, que dire de la matrice de $g$ dans la base $e$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1204]
Soit $S=\begin{pmatrix}5&-3\\3&-5\end{pmatrix}$.
1. Montrer que $S$ est semblable à une matrice diagonale et la préciser.
2. Montrer qu'elle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
3. À l'aide de $\Phi(M)=\operatorname{diag}(1,2)M-M\operatorname{diag}(1,2)$, trouver $A,B$ telles que $S=AB-BA$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1205]
Soit $M\in M_n(\R)$ nilpotente.
1. Montrer $M^n=0$.
2. Soient $\lambda_1\neq\lambda_2$ et $n=m_1+m_2$, avec $m_i\geq1$. Poser $A=\operatorname{diag}(\lambda_1I_{m_1}+N_1,\lambda_2I_{m_2}+N_2)$, où $N_1,N_2$ sont nilpotentes. Exprimer $\chi_A$ avec $\chi_{N_1},\chi_{N_2}$ et donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1206]
Soit $A\in GL_n(\C)$.
1. Définir le polynôme minimal $\pi_A$ et exprimer $\pi_{A^{-1}}$ en fonction de $\pi_A$.
2. Pour $P=\sum_{k=0}^da_kX^k$, poser $P^*=\sum_{k=0}^da_{d-k}X^k$. Pour $n=2$, donner une condition nécessaire et suffisante sur $\pi_A,\pi_A^*$ pour que $A$ soit semblable à $A^{-1}$.
3. Pour $n\geq3$ et $A$ diagonalisable, montrer que cette condition n'est plus suffisante, puis donner une condition nécessaire et suffisante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1207]
Munir $\R_n[X]$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$.
1. Vérifier que c'est un produit scalaire.
2. Montrer que la distance de $X^n$ à $\R_{n-1}[X]$ est atteinte en un unique $P_n\in\R_{n-1}[X]$. Écrire $P_n=\sum_{j=0}^{n-1}a_jX^j$ et $f(t)=1/(t+n+1)-\sum_{j=0}^{n-1}a_j/(t+j+1)$.
3. Calculer $f(k)$ pour $k=0,\ldots,n-1$.
4. Montrer qu'il existe $Q\in\R_n[X]$ tel que $Q(t)=\prod_{j=0}^n(t+j+1)f(t)$ sur $\R_+$.
5. En déduire la distance cherchée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1208]
Soient $E,F$ euclidiens et $f\in\mathcal L(E,F)$.
1. Pour $y\in F$, montrer qu'il existe un unique $(x,z)\in(\Ker f)^\perp\times(\operatorname{Im}f)^\perp$ tel que $y=f(x)+z$.
2. Associer à $y$ le $x$ de cette décomposition. Montrer que l'application obtenue est linéaire et déterminer son noyau et son image.
3. Montrer que $g\circ f$ et $f\circ g$ sont des projecteurs et les caractériser.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1209]
1. Montrer que $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^TB)$ est un produit scalaire sur $M_3(\R)$.
2. Soit $F$ l'espace des matrices dont la troisième ligne est nulle. Calculer $d(M,F)$.
3. Si $A\in SO_3(\R)$, calculer $d(A,F)$ puis $d(SO_3(\R),F)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1210]
1. Décrire $O_2(\R)$ et $SO_2(\R)$ et montrer que tout élément de $SO_2$ est produit de deux éléments de $O_2\setminus SO_2$.
2. Soit $E$ euclidien de dimension $4$ et $u$ une isométrie sans vecteur propre. En étudiant $M+M^T$, montrer qu'il existe un plan stable par $u$, puis une base orthonormée où $u$ a une forme bloc-diagonale $\operatorname{diag}(R_1,R_2)$ avec des rotations planes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1211]
Soient $E$ euclidien et $p,q$ des projecteurs orthogonaux.
1. Montrer que $p$ est autoadjoint et $1$-lipschitzien.
2. Montrer que $\chi_{p+q}$ est scindé dans $\R[X]$ et $\Sp(p+q)\subset[0,2]$.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $p+q$ soit un projecteur.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1212]
Sur $\R_n[X]$, poser $\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}P(t)Q(t)\,dt$ et $\varphi(P)=(1-X^2)P''+(2X-1)P'$.
1. Montrer que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire.
2. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme autoadjoint et en déduire une unique base propre $(P_0,\ldots,P_n)$ avec $P_k$ unitaire de degré $k$.
3. Expliciter les $P_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1213]
Soient $E$ euclidien, $e$ une base orthonormée et $u$ un endomorphisme dont la matrice $M$ commute avec $M^T$.
1. Montrer que la matrice $N$ de $u$ dans toute autre base orthonormée vérifie $N^TN=NN^T$.
2. Montrer que si $F$ est stable par $u$, alors $F^\perp$ l'est aussi.
3. Si $u$ est trigonalisable, montrer qu'il est diagonalisable et autoadjoint.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1214]
1. Si $u$ est autoadjoint sur un espace euclidien et $\lambda_1$ sa plus petite valeur propre, montrer $\lambda_1=\min_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.
2. Soient $D=\operatorname{diag}(0,1,\ldots,p-1)$, $J$ la matrice de tous les $1$ et $M=D+\frac1nJ$. Montrer pour $x=(x_1,\ldots,x_p)^T$ que $\langle u(x),x\rangle=s^2/n+\sum_{k=1}^{p-1}kx_{k+1}^2$, où $s=\sum x_i$, puis encadrer $\lambda_1$ dans $[0,p-1]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1215]
Soient $E$ euclidien de dimension $n$ et $f\in\mathcal L(E)$.
1. Justifier l'existence d'une base orthonormée.
2. Montrer l'équivalence entre $\langle f(x),y\rangle=-\langle x,f(y)\rangle$ pour tous $x,y$ et l'existence d'une base orthonormée dans laquelle la matrice de $f$ est antisymétrique.
3. Montrer que le rang de $f$ est pair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1216]
1. Si $A=P DQ$ avec $P,Q$ orthogonales et $D$ diagonale à coefficients positifs, montrer que les valeurs propres de $A^TA$ sont les coefficients diagonaux de $D^2$.
2. Pour toute matrice réelle $A$, montrer $\Sp(A^TA)\subset\R_+$.
3. Montrer que $\operatorname{rg}(A)$ est le nombre de valeurs propres non nulles de $A^TA$, comptées avec multiplicité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1217]
Une contraction d'un espace euclidien est un endomorphisme $f$ tel que $\|f(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x$.
1. Si $f$ est autoadjoint, montrer l'équivalence entre être une contraction et $|\lambda|\leq1$ pour tout $\lambda\in\Sp(f)$.
2. Pour $P\in\R[X]$, montrer $\|P(f)(x)\|\leq\sup_{\lambda\in\Sp(f)}|P(\lambda)|\,\|x\|$.
3. Si $f$ est un automorphisme de matrice $M$, montrer qu'il existe $S$ symétrique définie positive telle que $M^TM=S^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1218]
Poser $B_n(\R)=\{A\in M_n(\R):\chi_A=\prod_{i=1}^n(X-a_{ii})\}$.
1. Montrer que $B_n(\R)$ est non vide.
2. Si $A$ est symétrique de valeurs propres $\alpha_i$, montrer $\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_i\alpha_i^2$ et déterminer $B_n(\R)\cap S_n(\R)$.
3. Déterminer $B_n(\R)\cap\mathcal A_n(\R)$.
4. Si $V$ est un sous-espace de matrices inclus dans $B_n(\R)$, déterminer sa dimension maximale.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1219]
Pour $A=(a_{ij})\in M_n(\R)$, poser $N(A)=\sum_{i,j}|a_{ij}|$ et $\|x\|_1=\sum_i|x_i|$.
1. Montrer que $N$ est une norme et que $\|Ax\|_1\leq N(A)\|x\|_1$.
2. Pour $0<\alpha<1$, poser $K_\alpha=\{A:N(A-I_n)\leq\alpha\}$ et $\psi(A)=\det(A^{-1})$. Vérifier que $\psi$ est bien définie, bornée sur $K_\alpha$ et y atteint ses bornes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1220]
Soit $n\geq2$.
1. Pour $M\in M_n(\C)$, rappeler la formule du déterminant et montrer que $GL_n(\C)$ est ouvert.
2. Montrer dense l'ensemble $D=\{M:|\Sp(M)|=n\}$.
3. Pour $M$, poser $C(M)=\{Q:QM=MQ\}$. Déterminer $\dim C(D)$ pour $D\in D$.
4. Pour $a=(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\C^n$, soit $F(a)\in M_n(\C)$ la matrice dont la dernière colonne est $(a_0,\ldots,a_{n-1})^T$, la sous-diagonale est formée de $1$ et les autres coefficients sont nuls. Montrer que $F=\{PF(a)P^{-1}:a\in\C^n,\ P\in GL_n(\C)\}$ est un ouvert dense de $M_n(\C)$ contenant $D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1221]
1. Pour la norme euclidienne canonique sur $\R^n$, montrer que la norme d'opérateur associée est une norme matricielle.
2. Pour $x\in\C^n$, montrer $\|x\|_\C^2=\|\Re x\|_\R^2+\|\Im x\|_\R^2$.
3. En déduire que les normes d'opérateur réelle et complexe coïncident sur $M_n(\R)$.
4. Si $B=\{M:\|M-I_n\|_R<1\}$, montrer que $|\lambda-1|<1$ pour toute valeur propre de $M\in B$.
5. Si $G$ est un sous-groupe de $GL_n(\R)$ inclus dans $B$, montrer $\Sp(A)=\{1\}$ pour tout $A\in G$, puis que $G=\{I_n\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1222]
1. Rappeler les définitions d'un segment, d'une partie convexe et de la frontière.
2. Pour $A\subset E$, poser $\operatorname{Conv}(A)$ égal à l'intersection des convexes contenant $A$. Montrer que $\operatorname{Conv}(A)$ est convexe et contient $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1223]
Pour $n\geq2$, poser $u_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k}$.
1. Par comparaison série-intégrale, donner un équivalent de $u_n$.
2. Montrer que $v_n=u_n-\frac12\ln^2n$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1224]
Soient $u_n\geq0$, $u_0>0$, $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$, et supposons $\sum u_n$ divergente.
1. Si $\alpha\leq1$, étudier $\sum\ln(1-u_n/S_n)$, puis en déduire la nature de $\sum u_n/S_n$ et de $\sum u_n/S_n^\alpha$.
2. Si $\alpha>1$, en utilisant $u_n=S_n-S_{n-1}$, montrer que $\sum u_n/S_n^\alpha$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1225]
1. Définir la sommabilité d'une famille $(a_{i,j})_{(i,j)\in\N^2}$.
2. Étudier la sommabilité pour $a_{i,j}=1/(i^2+j^2+1)$.
3. Pour $x,y>0$, poser $F(x,y)=\sum a_{i,j}x^iy^j$, et $D=\{(x,y):F(x,y)<+\infty\}$, $L=\{(\ln x,\ln y):(x,y)\in D\}$. Représenter $D,L$ pour les cas $a_{i,j}=1$, $a_{i,j}=2^i\delta_{i,j}$ et $a_{i,j}=\binom{i+j}{i}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1226]
Soit $f\in C^1(\R,\R)$ et $S=\{\varphi\in C^2(\R,\R):\varphi''=|\varphi+f|\}$.
1. Montrer $e^t\geq1+t$.
2. Pour $f=\exp$, montrer qu'il existe une unique solution $\varphi\in S$ telle que $\varphi(0)=\varphi'(0)=-1$.
3. Si $f$ n'est pas constante, existe-t-il une solution périodique ? bornée ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1227]
Soit $f\in C^2(\R)$ telle que $f''>0$.
1. Montrer que $f$ n'est pas majorée. Peut-elle être minorée ?
2. Montrer que $f$ admet un minimum ssi $f'(a)=0$ pour un certain $a$.
3. Si $f(x)/|x|\to+\infty$ quand $x\to\pm\infty$, montrer que $f'$ est une bijection de $\R$ sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1228]
Soit $F=C^\infty([0,+\infty[,\R)$ et $E=\{f\in F:f(0)=0,\ \lim_{x\to+\infty}f^{(m)}(x)\in\R\ \forall m\in\N\}$.
1. Montrer que $E$ est un espace vectoriel.
2. Poser $\Phi(f)(x)=f'(x)-f'(0)$. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme injectif.
3. Pour $g(x)=(x+1)\sin(\pi\sqrt{x+1})-\pi x/2$, montrer que, pour $m\geq2$, $g^{(m)}(x)=P_m(1/\sqrt{x+1})\sin(\pi\sqrt{x+1})+Q_m(1/\sqrt{x+1})\cos(\pi\sqrt{x+1})$ avec $P_m,Q_m\in\R[X]$. Résoudre $\Phi(f)=g'$ dans $E$ et déterminer si $\Phi$ est surjectif.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1229]
Soit $f\in C^1(\R)$ $T$-périodique et $\int_0^T f(t)\,dt=0$.
1. Poser $g(x)=\int_x^{+\infty}f(t)/t^2\,dt$ pour $x>0$. Montrer que $g$ est bien définie, $C^1$, et calculer $g'$.
2. Montrer que toute primitive de $f$ est bornée sur $\R_+$.
3. Trouver $a$ tel que $g(x)=a/x+O(\ln x)$ quand $x\to0^+$.
4. $g$ est-elle intégrable sur $\R_+$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1230]
Soit $A=\{f\in C^1([0,1]): f'(x)=x^2+f(x)^2,\ f(0)=0\}$.
1. Montrer qu'un $f\in C^0([0,1])$ appartient à $A$ ssi $f(x)=x^3/3+\int_0^xf(t)^2dt$. Poser $f_0(x)=x^3/3$ et itérer cette relation pour définir $f_n$.
2. Montrer $f_n(x)\leq(2/5)x^3$ et $0\leq f_{n+1}(x)-f_n(x)\leq f_{n+1}(1)-f_n(1)$.
3. Étudier $(f_n)$ et en déduire que $A$ est non vide.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1231]
Poser $u_0(x)=x$ et $u_{n+1}(x)=2\sqrt{u_n(x)/(1+u_n(x))}$ pour $x>0$.
1. Montrer que $(u_n)$ converge simplement sur $]0,+\infty[$.
2. Poser $U_n(x)=(1+u_n(x))/(2\sqrt{u_n(x)})$. Montrer $|U_{n+1}(x)-1|\leq\frac12|U_n(x)-1|$.
3. Montrer la convergence uniforme sur tout segment inclus dans $]0,+\infty[$.
4. Est-elle uniforme sur tout $]0,+\infty[$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1232]
Soit $\varphi(x)=\sum_{n\geq1}1/(n(n+x))$ pour $x\geq0$.
1. Montrer que $\varphi$ est bien définie, continue et décroissante.
2. Calculer sa limite en $+\infty$.
3. Montrer $\varphi(x)=O(1/\sqrt{x})$.
4. Avec $H_n=\sum_{k=1}^n1/k=\ln n+\gamma+o(1)$, exprimer $\varphi(n)$ et en déduire un équivalent.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1233]
Soit $E$ l'espace des fonctions lipschitziennes $\R\to\R$ et $F=\{f\in E:f(0)=0\}$. Pour $t\in[0,1[$, poser $\Phi(f)(x)=f(x)-f(tx)$.
1. Montrer que $E$ est un sous-espace de $C^0(\R,\R)$, que $F$ en est un sous-espace et donner un supplémentaire.
2. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme injectif de $F$.
3. Si $g=\Phi(f)$, montrer $f(x)=\sum_{k\geq0}g(t^kx)$. Qu'en déduire sur $\Phi$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1234]
Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=1/(n^2+n^4x^2)$ et $S=\sum_{n\geq1}f_n$.
1. Montrer que $S$ est définie et $C^\infty$ sur $\R^*$.
2. $S$ est-elle $C^1$ sur $\R$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1235]
Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}1/(x^{\sqrt n}n^{3/2})$.
1. Déterminer son domaine de définition.
2. Montrer que $f$ est continue sur $[1,+\infty[$ et dérivable sur $]1,+\infty[$.
3. Donner un équivalent de $f$ en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1236]
Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\ln(1+1/(n^2x^2))$.
1. Déterminer son domaine et ses variations.
2. Étudier sa continuité.
3. Donner un équivalent lorsque $x$ tend vers la borne supérieure du domaine.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1237]
Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}(-1)^n/(1+n^2x^2)$.
1. Déterminer son domaine de définition.
2. Montrer que $f$ est continue sur son domaine.
3. Montrer qu'il existe $a\in\R$ tel que $f(x)\sim a/x^2$ quand $x\to+\infty$.
4. Montrer que $f$ est intégrable sur $\R_+$ et calculer son intégrale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1238]
Poser $f_k(x)=\sin((k!)^2x)/k!$, $W_n=\sum_{k=0}^nf_k$, $R_n=\sum_{k=n+1}^\infty f_k$ et $W=\sum_{k=0}^\infty f_k$.
1. Énoncer et démontrer le théorème de continuité des séries de fonctions.
2. Montrer que $W,R_n$ sont définies et continues sur $\R$, puis que $|R_n|\leq2/(n+1)!$.
3. Montrer $|W_n'(x)|\leq2n!$.
4. À l'aide d'une suite convenable, montrer que $W$ n'est dérivable en aucun point.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1239]
Sur $]-\pi/2,\pi/2[$, poser $f(x)=(1+\sin x)/\cos x$.
1. Montrer que $f$ satisfait une équation différentielle d'ordre 1.
2. Poser $P_0=1+X$. Montrer qu'il existe des polynômes unitaires $P_n\in\Z[X]$ de degré $n$ tels que $f^{(n)}(x)=P_n(\sin x)/\cos^{n+1}x$.
3. Pour $a_n=P_n(0)$, relier $a_1$ à $a_0$ puis exprimer $a_{n+1}$ à l'aide de $\sum_{k=0}^n\binom nk a_ka_{n-k}$.
4. Pour $A(t)=\sum_{n\geq0}a_nt^n/n!$, trouver une équation différentielle et en déduire les $a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1240]
Soient $a_n>0$ et $S_n=\sum_{k=1}^na_k$.
1. Si $(a_n)$ est majorée, poser $f(x)=\sum_{n\geq1}S_nx^n$, $g(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n$. Déterminer leurs rayons de convergence, établir une relation entre $f,g$, puis expliciter $f$ si $a_n=1/n$.
2. Si $a_1=1$ et $a_{n+1}=a_n+1/S_n$, calculer le rayon de convergence de $\sum S_nx^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1241]
Soient $\alpha,\lambda\in\R$, $|\lambda|<1$, et $F=\{f\in C^1(\R): f'=\alpha f+f(\lambda x)\}$.
1. Montrer $F\subset C^\infty(\R)$.
2. Déterminer les fonctions non nulles de $F$ développables en série entière.
3. Si $f\in F$ et $f(0)=0$, montrer $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n$, puis en déduire une propriété de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1242]
Pour $a>-1/2$, poser $I_a(x)=\int_0^1(1-t^2)^{a-1/2}\cos(xt)\,dt$.
1. Montrer que l'intégrande pondérateur est intégrable.
2. Montrer que $I_a$ est $C^2$ et relier $I_a'',I_a,I_{a+1}$.
3. Montrer que $I_a$ est développable en série entière sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1243]
Soient $u_0=a>0$ et $u_{n+1}=\ln(1+u_n)$.
1. Étudier la limite de $(u_n)$.
2. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$.
3. Poser $v_n=1/u_{n+1}-1/u_n$. La série converge-t-elle en $x=1$ et $x=-1$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1244]
Pour $n,k\in\N$, poser $u_{n,k}=k^n/k!$ et noter $A_n=\sum_{k\geq0}u_{n,k}$.
1. Montrer la convergence et exprimer $A_{n+1}$ en fonction des $A_i$.
2. Montrer $0\leq A_n/n!\leq e$.
3. Trouver une équation différentielle satisfaite par $f(x)=\sum_{n\geq0}A_nx^n/n!$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1245]
Soit $\varphi:[n_0,+\infty[\to\R_+^*$ continue décroissante telle que $\sum_{n\geq n_0}\varphi(n)$ diverge.
1. Pour $\alpha\geq0$, déterminer la nature de $\sum_{n\geq2}1/(n(\ln n)^{1-\alpha})$.
2. Déterminer le rayon de convergence de $\sum_{n\geq n_0}\varphi(n)x^n$.
3. Montrer que cette somme tend vers $+\infty$ quand $x\to1^-$ et qu'elle est équivalente à $\int_{n_0}^{+\infty}\varphi(t)x^t\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1246]
Poser $N_0=1$, $N_k=\frac1{k!}\prod_{i=0}^{k-1}(X-i)$, $F_P(x)=\sum_{k\geq0}P(k)x^k/k!$ et $P_j=j!N_j$.
1. Pour $P_j$, déterminer le rayon de convergence de $F_{P_j}$ et sa somme.
2. Pour $P\neq0$, déterminer le rayon de convergence de $F_P$ et montrer qu'il existe un unique $Q_P$, de même degré que $P$, tel que $F_P(x)=Q_P(x)e^x$.
3. Poser $I_k=\int_0^1N_k(t)\,dt$. Pour $k\geq2$, montrer $1/(6k^2)\leq|I_k|\leq1/(6k)$ et déterminer le rayon de convergence de $\sum I_kx^k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1247]
Poser $I_n=\int_0^n(1-t/n)^n\ln(t)\,dt$ et $J_n=\int_0^1u^n\ln(1-u)\,du$.
1. Montrer que $I_n$ converge et tend vers $\int_0^\infty e^{-t}\ln(t)\,dt$.
2. Montrer que $J_n$ converge et vaut $-\frac1{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}1/k$.
3. En déduire $\int_0^\infty e^{-t}\ln(t)\,dt=-\gamma$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1248]
Poser $I_n=\int_0^\infty(1+t^3)^{-n}\,dt$, $u_n=\sum_{k=1}^n1/k-\ln n$, $v_n=\sum_{k=1}^n1/k-\ln(n+1)$.
1. Montrer que $u_n,v_n$ convergent vers une même limite $\gamma$.
2. Montrer $I_{n+1}/I_n=1-1/(3n)$.
3. Montrer qu'il existe $C>0$ tel que $I_n\sim C/n^{1/3}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1249]
Soit $f(x)=\int_0^{\pi/2}\sin^x(t)\,dt$.
1. Déterminer son domaine, de la forme $]a,+\infty[$.
2. Sur $J=]a+1,+\infty[$, poser $\varphi(x)=xf(x)f(x-1)$. Montrer $\varphi(x+1)=\varphi(x)$ et que $\varphi(x)/x$ est décroissante.
3. Calculer $\varphi(n)$ et montrer que $\varphi$ est constante.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1250]
Définir $f(x)=\sin(x^2)/x^2$ pour $x>0$ et $f(0)=1$. Poser $S(x)=\int_0^\infty f(\lfloor t/x\rfloor x)\,dt$.
1. Montrer que $S(x)$ converge pour tout $x>0$.
2. Si $x_n\to0^+$, montrer $S(x_n)\to\int_0^\infty f(t)\,dt$.
3. Pour $G(x)=\sum_{n\geq1}\sin(n^2x)/n^2$, exprimer $G(x)$ à l'aide de $S(\sqrt{x})$ et déterminer un équivalent en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1251]
Poser $f(x)=\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$.
1. Montrer que $f$ est définie sur $\R_+$ et que $|f(x)|\leq1/x$ pour $x>0$.
2. Montrer que $f$ est $C^1$ sur $]0,+\infty[$, puis calculer $f'$ et $f$.
3. Montrer la continuité en $0$ et en déduire $\int_0^\infty\sin(t)/t\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1252]
Poser $f(x)=\int_0^\infty\arctan(tx)e^{-t}\,dt$.
1. Montrer que $f\in C^3(\R)$.
2. Montrer que $f(x)$ a le signe de $x$ et $|f(x)|\leq|x|$.
3. Pour $x_{n+1}=f(x_n)$, montrer $x_n\to0$. Trouver $\alpha$ tel que $x_{n+1}^\alpha-x_n^\alpha$ ait une limite non nulle pour $x_0>0$, puis en déduire un équivalent de $x_n$ si $x_0\neq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1253]
Soit $f(x)=\int_0^1\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$.
1. Montrer que $f$ est définie et continue, calculer $f(0)$.
2. Montrer $f(x)=\int_0^{\pi/2}\cos(x\sin u)\,du$ et que $f\in C^2(\R)$.
3. Montrer que $f$ admet un développement en série entière en $0$ et l'expliciter.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1254]
Pour $p\in\N$, poser $I_p(x)=\int_0^\infty e^{-(2p+1)t}\cos(xt)\,dt$.
1. Montrer que $\int_0^\infty\cos(xt)/\cosh(t)\,dt$ est définie et poser $G(x)=\int_0^\infty\cos(xt)/\sinh(t)\,dt$.
2. Calculer $I_p$.
3. Exprimer $G(x)$ à l'aide des $I_p(x)$.
4. Montrer que $G$ est développable en série entière en zéro.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1255]
Soient $\varphi(x)=\int_x^\infty\sin(t)/t\,dt$ et $\psi(x)=\int_x^\infty\cos(t)/t\,dt$ pour $x>0$, avec $\psi'(x)=-\cos(x)/x$ admis.
1. Montrer $\varphi$ est $C^1$ et $\varphi'(x)=-\sin(x)/x$.
2. Montrer que $f(x)=\varphi(x)\cos x-\psi(x)\sin x$ résout $y''+y=1/x$.
3. Montrer que $g(x)=\int_0^\infty e^{-tx}/(1+t^2)\,dt$ résout aussi cette équation.
4. En déduire $\int_0^\infty\sin(t)/t\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1256]
Pour $\alpha>0$, poser $I(\alpha)=\int_0^1\ln(t)\ln(1-t^\alpha)\,dt$.
1. Rappeler que la limite uniforme de fonctions continues est continue.
2. Montrer que $I(\alpha)$ est bien définie.
3. Écrire $I(\alpha)$ comme somme d'une série.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1257]
Soit $f:[0,1]\to\R$ continue et $u_n=\int_0^1f(x)^n\,dx$.
1. Si $f(1)>1$, montrer qu'il existe $c>1$ et $a<1$ tels que $f(t)\geq c$ pour $t\in[a,1]$.
2. Montrer que si $\sum u_n$ converge, alors $f(1)=0$.
3. Si $f\in C^1([0,1])$, montrer que $\sum u_n$ converge ssi $f(1)=0$, puis calculer $\sum_{n\geq0}u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1258]
Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues $f:\R_+^*\to\R$ pour lesquelles $x^\alpha f(x)\to0$ pour un certain $\alpha\geq0$.
1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $C^0(\R_+^*,\R)$.
2. Pour $f\in E$, poser $\varphi_f(x)=e^x\int_x^\infty e^{-t}f(t)\,dt$. Montrer que c'est l'unique solution dans $E$ de $y'-y+f=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1259]
Soit $f(x,y)=(x-xy)\sqrt y-yx^2$, $K=[-1,1]\times[0,1]$, $O=]-1,1[\times]0,1[$.
1. Montrer que $f$ atteint un maximum et un minimum sur $K$.
2. Déterminer ses extrema locaux sur $O$.
3. Déterminer maximum et minimum sur $K$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1260]
Soit $F(x,y)=\sin(x)\cosh(y)-\sin(y)\cosh(x)$ et $\Delta=\{(x,x):x>0\}$.
1. Montrer $F\in C^2(\R^2)$.
2. Montrer que le gradient s'annule sur $\Delta$ en des points $(x_n,x_n)$ avec $x_n\in[n\pi+\pi/4,n\pi+\pi/2]$.
3. $F$ possède-t-elle des extrema sur $\Delta$ ? sur $\R^2$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1261]
Soit $f(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2-xy$.
1. Déterminer le plan tangent au graphe en $(0,0,f(0,0))$ et préciser sa position locale.
2. Montrer que $f$ admet un minimum global sur $\R^2$, et déterminer sa valeur et ses points d'atteinte.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1262]
Soit $(\Omega,\P)$ fini et $F$ l'espace des fonctions $\Omega\to\R$. Poser $\Phi(X,Y)=\E(XY)$. Montrer que $\Phi$ est un produit scalaire ssi $\P(\{\omega\})>0$ pour tout $\omega\in\Omega$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1263]
Deux joueurs $A,B$ jouent à tour de rôle. À son tour, $A$ gagne avec probabilité $p$, $B$ avec probabilité $q$ ; en cas de victoire, l'autre joue au tour suivant, en cas de défaite le même joueur rejoue. Soit $X_n$ l'identité du joueur au tour $n$, et $U_1=(1/3,2/3)^T$.
1. Déterminer $A$ telle que $U_{n+1}=AU_n$.
2. Diagonaliser $A$ et en déduire la loi de $X_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1264]
Soient $A,B,C$ indépendantes de loi $\mathcal B(n,p)$ et $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A&B&C\\A&B&C\end{pmatrix}$.
1. Calculer les probabilités que $M$ soit inversible, nilpotente ou matrice d'un projecteur.
2. Déterminer la loi, l'espérance et la variance du nombre de valeurs propres de $M$, puis la probabilité que $M$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1265]
Soient $(X_n)_{n\in\N}$ i.i.d. géométriques de paramètre $p\in]0,1[$. Poser $I_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$ et $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$.
1. Montrer que $I_n$ est géométrique.
2. Calculer $\E(I_n)$ et $\V(I_n)$.
3. Montrer que l'événement où $(I_n)$ est constante à partir d'un certain rang est de probabilité $1$.
4. Montrer que $M_n$ admet une espérance.
5. Déterminer la limite de $\E(M_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PSI 2026 # 1266]
1. Résoudre $U_0=U_1=1$, $U_{n+2}=U_{n+1}+\frac12U_n$.
2. Soient $(X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal B(1/2)$ et $U_0=U_1=1$, $U_{n+2}=U_{n+1}+X_nU_n$.
   a. Montrer que, pour tout $\omega$, $(U_n(\omega))$ admet une limite dans $\R_+\cup\{+\infty\}$.
   b. Pour $A=\{\omega:(U_n(\omega))\text{ admet une limite finie}\}$, montrer $\P(A)=0$.
   c. Donner un équivalent de $\E(U_n)$.
#+end_exercice

* Centrale PC 2026
** Algèbre

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1267]
1. Montrer $2^nn!\leq(2n)!$ et $\cosh(t)\leq e^{t^2/2}$.
2. Pour $X$ uniforme sur $\{-1,1\}$, montrer $\E(e^{tX})\leq e^{t^2/2}$.
3. Pour $x\in[-1,1]$, montrer $e^{tx}\leq\frac{1+x}{2}e^t+\frac{1-x}{2}e^{-t}$.
4. Si $X\in[-1,1]$ et $\E(X)=0$, montrer $\E(e^{tX})\leq e^{t^2/2}$, puis $\P(|X|\geq\lambda)\leq2e^{-\lambda^2/2}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1268]
1. Montrer que $E=\{(a_n):\sum a_n^2<+\infty\}$ est un espace préhilbertien pour $\langle a,b\rangle=\sum a_nb_n$.
2. Pour $X\in\N$ de loi $(u_k)$, dire que $(\star)$ signifie $u_k>0$, $\E(X^2)<+\infty$ et $\sum_{k\geq0}(u_k-u_{k-1})^2/u_k<+\infty$, avec $u_{-1}=0$.
   a. Si $X\sim\mathcal P(\lambda)$, montrer $(\star)$ et calculer $S(X)\V(X)$, où $S(X)$ est la série ci-dessus.
   b. Pour $X$ vérifiant $(\star)$, montrer que $\sum_n(u_n-u_{n-1})(n-\E(X))$ converge et que $S(X)\V(X)\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1269]
Soient $A\in S_n^{++}(\R)$ de valeurs propres $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$.
1. Énoncer et démontrer Cauchy-Schwarz.
2. Pour $x\in\R^n$, montrer $(\sum x_k^2)^2\leq(\sum\lambda_kx_k^2)(\sum x_k^2/\lambda_k)$.
3. Si $\sum x_i^2=1$, construire $I$ à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$ avec $\P(I=i)=x_i^2$ et poser $U=\lambda_I$. Montrer $\E(1/U)\leq(\lambda_1+\lambda_n-\E(U))/(\lambda_1\lambda_n)$.
4. En déduire $\|X\|^4\leq\langle AX,X\rangle\langle A^{-1}X,X\rangle\leq\frac{(\lambda_1+\lambda_n)^2}{4\lambda_1\lambda_n}\|X\|^4$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1270]
Trouver tous les polynômes $P\in\R[X]$ tels que $P(X)P(X+1)=P(X^2+X+1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1271]
Poser $P_n=(X+1)^n-(X-1)^n$.
1. Résoudre $z^n=1$, puis $z^n=\omega^n$.
2. Trouver degré et coefficient dominant de $P_n$.
3. Calculer $\sum_{k=1}^n\cot(k\pi/n)$.
4. Calculer $\prod_{k=1}^n\cot(k\pi/(2n+1))$ à l'aide de $P_{2n+1}$, puis en déduire $\sum_{k=1}^n\cot^2(k\pi/n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1272]
Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n$ et $Q=\sum_{k=0}^na_{n-k}X^k$ son symétrique.
1. Quel est le degré de $Q$ ?
2. Déterminer les $P$ tels que $P(\mathbb U)\subset\mathbb U$. Indication : considérer $f(z)=Q(1/z)z^q$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1273]
Pour $n\geq2$, montrer $(H_n)$ : pour tous $P,Q\in\C[X]$ de degrés $n,n-1$, il existe $a\in\C$ tel que $P-aQ$ ait une racine multiple.
1. Vérifier $(H_2)$ et supposer les résultats établis jusqu'à $n$.
2. Si $P,Q$ ont une racine commune, montrer $(H_{n+1})$.
3. Sinon, poser $R=P'Q-PQ'$. Si $\alpha$ est racine de multiplicité $m$ de $P-aQ$, montrer que sa multiplicité dans $R$ vaut $m-1$, puis conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1274]
Soit $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\R^n$. Calculer $\det(\cos((j-1)\alpha_i))_{1\leq i,j\leq n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1275]
1. Pour $n\geq2$, déterminer le sous-espace de $M_n(\C)$ engendré par les matrices nilpotentes.
2. En déduire que tout hyperplan de $M_n(\C)$ contient une matrice inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1276]
Soit $\mathcal N=\{M\in M_n(\C):M^p=0\text{ pour un }p\}$ et $(E_{i,j})$ la base canonique.
1. Montrer que si $M\in\mathcal N$, alors $M^n=0$.
2. Calculer $E_{i,j}E_{k,\ell}$.
3. Si $i\neq j$, montrer que $I_n-E_{i,j}$ est inversible et calculer son inverse.
4. Déterminer une base de $\Ker\operatorname{tr}$.
5. Montrer $\Ker\operatorname{tr}=\operatorname{Vect}(\mathcal N)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1277]
Soient $E$ réel et $p_1,\ldots,p_n\in\mathcal L(E)$ vérifiant $p_i\circ p_j=\delta_{i,j}p_i$. Poser $F_i=\operatorname{Im}p_i$ et supposer les $F_i$ de dimension finie.
1. Montrer que les $F_i$ sont en somme directe ssi $\dim(\sum_iF_i)=\sum_i\dim F_i$.
2. Pour $a\in\R^n$, poser $u_a=\sum_i a_ip_i$. Calculer $u_a^k$ et caractériser quand $u_a$ est un projecteur.
3. Si $\sum_i p_i=\operatorname{id}$, montrer $E=\bigoplus_iF_i$.
4. Exprimer $\Ker p_i$ à l'aide des $F_j$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1278]
1. Montrer que, pour $A\in M_n(\R)$ et $\lambda\geq0$, $\det(A^2+\lambda I_n)\geq0$.
2. Si $n$ est impair et $B$ inversible, montrer $A^2+B^2\neq-I_n$.
3. Si $n$ est pair, donner $A,B$ telles que $A^2+B^2=-I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1279]
Pour $n\geq2$ et $M\in M_n(\C)$, montrer que $M$ n'est pas inversible ssi il existe $P\in GL_n(\C)$ tel que $P+zM$ soit inversible pour tout $z\in\C$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1280]
Soient $A,B\in M_n(\R)$ avec $\operatorname{rg}(B)=1$ et $A^3=B$.
1. Donner une relation entre $\operatorname{tr}(A)$ et $\operatorname{tr}(B)$.
2. Si $\operatorname{tr}(B)=0$, montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1281]
Soient $E$ complexe de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$. Poser $\C[u]=\{P(u):P\in\C[X]\}$ et $S_u=\{f\in\C[u]:f\text{ est une symétrie}\}$. Si $u$ est diagonalisable avec $p$ valeurs propres distinctes, calculer $\dim\C[u]$ et $\operatorname{card}(S_u)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1282]
Soit $A\in M_n(\C)$ et $\varphi_A(B)=AB$.
1. Si $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$, montrer $\varphi_A$ diagonalisable et $\chi_{\varphi_A}=\chi_A^2$.
2. Si $D$ est diagonale, montrer $\varphi_D$ diagonalisable et $\chi_{\varphi_D}=\chi_D^n$.
3. Étendre à $A$ diagonalisable, puis à toute matrice $A\in M_n(\C)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1283]
Soient $n\geq1$, $A\in M_n(\R)$ et $B=\begin{pmatrix}4A&2A\\-3A&-A\end{pmatrix}$. Montrer que $B$ est diagonalisable sur $\R$ ssi $A$ l'est sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1284]
Soit $A=(a_{ij})$ une matrice stochastique : $a_{ij}\geq0$ et chaque ligne somme à $1$.
1. Montrer que $1$ est valeur propre et que toute valeur propre $\lambda$ vérifie $|\lambda|\leq1$.
2. Montrer que $A^p$ est stochastique et étudier la convergence de $(A^p)$.
3. Pour $\lambda\in]-1,1]$ et $N$ nilpotente, montrer que $((\lambda I_n+N)^p)_p$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1285]
Soient $U=\begin{pmatrix}A&A\\0&A\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}A&0\\0&A\end{pmatrix}$. On suppose $A$ diagonalisable et $U,V$ semblables.
1. Montrer qu'il existe un polynôme $\pi$ scindé à racines simples tel que $A\pi'(A)=0$.
2. Montrer $A=0$.
3. Le résultat subsiste-t-il sans l'hypothèse de diagonalisabilité de $A$ ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1286]
Soient $E$ complexe de dimension $n$ et $\mathcal A\subset GL(E)$ tel que, pour $u\neq v$ dans $\mathcal A$, $u\circ v=-v\circ u$.
1. Si $n$ est impair, montrer que $\mathcal A$ a au plus un élément.
2. Si $\mathcal A$ a au moins deux éléments, montrer que pour $u\in\mathcal A$, toute valeur propre $\lambda$ entraîne la valeur propre $-\lambda$ de même multiplicité.
3. Si $n=2$, trouver une base où la matrice de $u$ est $\operatorname{diag}(\lambda,-\lambda)$.
4. Montrer que $\mathcal A$ a au plus trois éléments.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1287]
1. Montrer que $\langle f,g\rangle=\int_0^1fg$ est un produit scalaire sur $E=\{f\in C^0(]0,1],\R):f^2\text{ est intégrable}\}$.
2. Pour $F(x,y)=\int_0^1(\ln t-tx-y)^2dt$, calculer $\inf_{(x,y)\in\R^2}F(x,y)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1288]
Soient $E$ euclidien de dimension $3$, $H$ un plan, $u\neq0$ normal à $H$, $f$ une isométrie et $s$ la réflexion orthogonale par rapport à $H$. Poser $h=f\circ s\circ f^{-1}$. Montrer que $h$ est une réflexion et préciser ses éléments caractéristiques.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1289]
1. Pour $A,B\in M_n(\R)$, montrer que si $0$ est valeur propre de $AB$, alors c'est une valeur propre de $BA$.
2. Même question pour une valeur propre non nulle.
3. Comparer les spectres et dimensions des espaces propres de $AA^T$ et $A^TA$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1290]
Soient $A\in S_n^{++}(\R)$ et $U\in M_n(\R)$ tels que $AU=U^TA$. Poser $\langle X,Y\rangle=X^TAY$.
1. Montrer que c'est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ et $D$ diagonale telles que $P^TAP=I_n$ et $P^{-1}UP=D$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1291]
Soient $x_0,\ldots,x_{n-1}>0$, $A=\frac1n\sum x_k$ et $G=(\prod x_k)^{1/n}$.
1. Montrer $\exp(t/A-1)\geq t/A$ pour $t>0$, puis $A\geq G$. L'inégalité vaut-elle pour des $x_k\geq0$ ?
2. Si $S\in S_n^+(\R)$, montrer $\det(S)^{1/n}\leq\operatorname{tr}(S)/n$.
3. Pour $A\in M_n(\R)$, montrer $\det(A)^2\leq(\frac1n\sum_{i,j}a_{ij}^2)^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1292]
Soit $F=\{A\in S_n^+(\R):a_{ij}<0\text{ si }i\neq j\}$.
1. Pour $a_{ii}=a$ et $a_{ij}=-b$ hors diagonale, caractériser l'appartenance à $F$.
2. Si $A\in F$ et $X^TAX=0$, montrer $X\in\Ker(A)$.
3. En déduire $a_{ii}>0$ pour tout $i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1293]
Dire que $A\in M_n(\R)$ est de type $m$ si $A^m=A^T$.
1. Déterminer les matrices de type $m$ pour $m=0,1$.
2. Si $A$ est de type $m$, poser $B=A^{m+1}$. Montrer $B^m=B$ et $B$ symétrique, puis que $B$ est un projecteur orthogonal.
3. Si $A$ est inversible et de type $m$, montrer $A\in O_n(\R)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1294]
1. Pour $\omega\in M_{n,1}(\R)$, montrer $\omega\omega^T\in S_n^+(\R)$ et est de rang $0$ ou $1$.
2. Pour $B\in S_n(\R)$ de spectre $(x_1,\ldots,x_n)$, construire une base $(f_k)$ telle que $Bf_k=x_kf_k$, $\sum f_kf_k^T=I_n$ et $B=\sum x_kf_kf_k^T$.
3. Si $B\in S_n^+(\R)$, montrer qu'il existe $\Omega$ telle que $B=\Omega\Omega^T$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1295]
1. Montrer que $S\in M_n(\R)$ est symétrique définie positive ssi $S=P^TP$ pour un $P$ inversible.
2. Montrer que $A$ est diagonalisable ssi il existe $S$ symétrique définie positive tel que $A^T=S^{-1}AS$.
3. L'assertion reste-t-elle vraie si l'on remplace $S$ par un $P$ inversible quelconque ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1296]
Poser $\|M\|=\sqrt{\operatorname{tr}(M^TM)}$.
1. Montrer que c'est une norme et qu'elle est invariante par multiplication à gauche et à droite par des matrices orthogonales.
Soient $A,B$ symétriques, de valeurs propres ordonnées $\lambda_i(A),\lambda_i(B)$, et $D_A,D_B$ les diagonales correspondantes.
2. Montrer qu'il existe $P\in O_n(\R)$ tel que $\|A-B\|=\|D_AP-PD_B\|$, puis que $\|A-B\|^2=\sum_{i,j}p_{ij}^2(\lambda_i(A)-\lambda_j(B))^2$.
3. Pour $f_{A,B}(M)=\sum_{i,j}m_{ij}(\lambda_i(A)-\lambda_j(B))^2$, montrer qu'elle est bornée sur les matrices bistochastiques.
4. Par une transformation élémentaire, montrer que $f(M)\geq f(I_n)$ pour toute matrice bistochastique.
5. En déduire $\sum_i(\lambda_i(A)-\lambda_i(B))^2\leq\|A-B\|^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1297]
Soit $u$ autoadjoint sur un espace euclidien, de spectre ordonné $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$.
1. Montrer que $\lambda_1=\min_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$ et $\lambda_n=\max_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.
2. Si $v$ est autoadjoint de spectre $\mu_1\leq\cdots\leq\mu_n$, montrer $\Sp(u+v)\subset[\lambda_1+\mu_1,\lambda_n+\mu_n]$.
3. Montrer $|\lambda_1-\mu_1|\leq\sup_{\|x\|=1}\|u(x)-v(x)\|$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1298]
1. Si $\mu_1<\cdots<\mu_n$, $x_i\neq0$, $D=\operatorname{diag}(\mu_i)$ et $M=\begin{pmatrix}D&X\\X^T&\alpha\end{pmatrix}$, montrer l'entrelacement strict des valeurs propres de $M$ et $D$.
2. Pour $S$ symétrique de valeurs propres $\mu_i$ et $N=\begin{pmatrix}S&X\\X^T&\alpha\end{pmatrix}$, montrer l'entrelacement large.
3. Pour des variables $R_i$ à moment d'ordre $2$, avec matrice de covariance $\Sigma_n$ et $U=(u_i)^T$, montrer $\V(\sum_i u_iR_i)=U^T\Sigma_nU$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1299]
Pour $C$ convexe fermé d'un espace vectoriel réel de dimension finie, $x$ est extrémal si $x=(y+z)/2$ avec $y,z\in C$ entraîne $x=y=z$.
1. Déterminer les points extrémaux de $\{x\in\R^n:\sum|x_k|\leq1\}$.
2. Déterminer ceux de la boule unité d'un espace euclidien.
3. Montrer que tout convexe fermé borné non vide en dimension finie possède un point extrémal.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1300]
Soit $E$ l'espace des fonctions continues bornées $\R\to\R$, muni de la norme uniforme. Pour $|a|<1$, poser $T(f)(x)=f(x)-af(\ell x)$.
Montrer que $T$ est un automorphisme continu de $E$ et que $T^{-1}$ est continue.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1301]
Soit $E=C^1([0,1],\R)$ et $T(f)(x)=\int_0^xf(t)\,dt$, muni de la norme uniforme.
1. Montrer que $T$ est un endomorphisme continu.
2. Calculer $\|T\|$.
3. Montrer $|T^n(f)(x)|\leq x^n\|f\|_\infty/n!$.
4. En déduire une borne pour $\|T^n\|$ et la déterminer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1302]
Poser $A_n=\min\{p\geq1:\sum_{k=1}^p1/k\geq n\}$. Montrer que $A_n$ est bien défini et donner la limite et un équivalent de $(A_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1303]
Soit $u_0=1$, $u_{n+1}e^{u_{n+1}}=u_n/2$.
1. Montrer que $(u_n)$ est bien définie et déterminer sa limite.
2. Montrer que $\sum u_n$ converge.
3. Montrer qu'il existe $c>0$ tel que $u_n\sim c/2^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1304]
Pour $n\geq1$, considérer $x=1+\ln(n+x)$.
1. Montrer qu'il existe une unique solution $x_n\geq0$.
2. Montrer $x_n\to+\infty$ et donner un équivalent.
3. Déterminer la limite de $x_n-\ln n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1305]
Soient $u_0=\alpha>0$ et $u_{n+1}=u_n^2+u_n$.
1. Montrer $u_n\to+\infty$.
2. Poser $v_n=2^{-n}\ln u_n$. Montrer que $(v_n)$ converge vers $\beta$.
3. Montrer $|v_n-\beta|=o(2^{-n})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1306]
Soit $\theta\in]0,\pi/2[$, $x_0=\cos\theta$, $y_0=\sin\theta$, et
$$x_{n+1}=\frac{2+2y_n+x_n}{3+2x_n+2y_n},\qquad y_{n+1}=\frac{2+2x_n+y_n}{3+2x_n+y_n}.$$
1. Montrer que $(x_n,y_n)$ est bien définie et reste sur le quart de cercle unité.
2. Montrer sa convergence et déterminer sa limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1307]
Étudier la convergence de $\sum\sin\left(\frac{\pi n!}{\sum_{k=0}^nk!}\right)$ et de $\sum\sin(\pi n!e)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1308]
Soient $\ell\in\N$ et $f\in C^1([\ell,+\infty[,\R)$.
1. Montrer $\sum_{k=\ell+1}^nf(k)=\int_\ell^nf(t)\,dt+\int_\ell^n(t-\lfloor t\rfloor)f'(t)\,dt$.
2. Si $f'$ est intégrable sur $[\ell,+\infty[$, comparer la nature de $\sum_{k\geq\ell}f(k)$ et de $\int_\ell^\infty f$.
3. Déterminer la nature de $\sum\cos(\ln n)/n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1309]
Soit $\mathcal C$ l'ensemble des suites croissantes à valeurs dans $\N\setminus\{0,1\}$. Pour $u\in\mathcal C$, poser $v_n=\sum_{k=0}^n1/(u_0\cdots u_k)$.
1. Étudier la limite de $v_n$ si $u$ est constante, $u_n=n+2$, puis $u_n=2n+2$.
2. Montrer pour tout $u$ que $v_n$ converge avec limite dans $]0,1]$.
3. Montrer que $u\mapsto\lim v_n$ est injective.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1310]
Soient $\alpha,\beta\in\R$, $a_1=1$ et, pour $n\geq2$, $a_n\sum_{k=1}^{n-1}a_k^\alpha=n^{-\beta}$.
1. Montrer $a_n>0$.
2. Si $\sum a_n^\alpha$ diverge, montrer $a_n^\alpha=o(n^{-\alpha\beta})$.
3. En déduire que si $\alpha\beta>1$, cette série converge.
4. Montrer que si $\alpha\beta\leq1$, alors $a_n=o(n^{-\beta})$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1311]
1. Pour $\lambda\geq0$, montrer $\int_0^\pi\frac{dx}{1+\lambda\sin^2x}=2\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\lambda\sin^2x}$.
2. Calculer cette intégrale.
3. Pour $\alpha\geq0$, étudier $\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^\alpha\sin^2x}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1312]
Soit $f\in C^0(\R_+,\R_+)$ décroissante vers $0$ et $g(u)=f(u)\sin u$.
1. Montrer que $\int_0^\infty g(u)\,du$ converge.
2. Montrer que $f$ est intégrable sur $\R_+$ ssi $g$ l'est.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1313]
Soient $f,g$ continues et de carré intégrable sur $\R$. Montrer que $fg$ est intégrable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1314]
Étudier et représenter le graphe de $f(x)=\sum_{n\geq1}\frac{\cos^n(x)\sin(nx)}n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1315]
1. Donner un équivalent simple de $u_n=\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln n)$.
2. Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=x(1-x)^n/\ln(n+1)$. Déterminer le domaine de $F=\sum f_n$ et étudier la convergence uniforme et normale.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1316]
Soient $a>0$ et $f\in C^1(\R_+,\R_+^*)$ décroissante avec $f(x)\sim a\ln x$. Déterminer le domaine de $u(x)=\sum_{n\geq0}f(n)e^{-nx}$ et les limites aux bornes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1317]
Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\ln(n)x^n$.
1. Donner le rayon de convergence.
2. Pour $0<x<1$, montrer $-x\ln(1-x)-1\leq(1-x)f(x)\leq-x\ln(1-x)$ et trouver un équivalent en $1^-$.
3. Montrer que $f$ admet une limite en $-1^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1318]
Soit $(a_n)\subset\C$ telle que $na_n\to0$.
1. Si $u_n\to0$, montrer $\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}u_k\to0$.
2. Montrer que $\sum a_nz^n$ converge pour $|z|<1$.
3. Si $f(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n$ et $f(x)\to\ell$ quand $x\to1^-$, montrer que $\sum a_n$ converge et vaut $\ell$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1319]
Poser $I_0=1$, et $I_n$ le nombre d'involutions de $\{1,\ldots,n\}$.
1. Montrer $I_n=I_{n-1}+(n-1)I_{n-2}$.
2. Montrer que $\sum I_nx^n/n!$ converge pour $|x|<1$.
3. Pour $F(x)=\sum I_nx^n/n!$, trouver une équation différentielle et en déduire une expression de $I_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1320]
Soit $f(x)=\sum_{n\geq0}\binom{2n}{n}x^n$.
1. Donner son rayon et son domaine de définition.
2. Trouver une équation différentielle vérifiée par $f$ et calculer $f(-1/4)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1321]
Soient $n\geq1$, $1\leq k\leq n$ et $S_{n,k}$ le nombre de partitions d'un ensemble de cardinal $n$ en $k$ parties.
1. Montrer $S_{n,k}=S_{n-1,k-1}+kS_{n-1,k}$.
2. Pour $k\geq1$, déterminer le rayon de convergence de $A_k(x)=\sum_{n\geq k}S_{n,k}x^n/n!$.
3. Exprimer $A'_{k+1}$ à l'aide de $k,A_k,A_{k+1}$.
4. Montrer $A_k(x)=(e^x-1)^k/k!$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1322]
Soit $f(x)=e^{-x^2}$ et $I=\int_0^\infty f(x)\,dx$.
1. Justifier la convergence de $I$ et, pour $|x|<1$, celle de $\sum x^{n^2}$. Poser $g(x)=\sum_{n\geq0}x^{n^2}$.
2. Donner un équivalent de $g(x)$ en $1$ faisant intervenir $I$.
3. Soit $h\in C^0(\R_+,\R)$ décroissante avec convergente non nulle intégrale sur $\R_+$. Pour $\theta\geq0$, étudier $\sum_{n\geq1}h(n\theta)$, puis donner son équivalent quand $\theta\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1323]
Soit $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n$ de rayon $R>0$, et $S_n(z)=\sum_{k=0}^na_kz^k$.
1. Calculer $\int_0^{2\pi}e^{ik\theta}\,d\theta$ pour $k\in\Z$.
2. Pour $0<r<R$, calculer $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|S_n(re^{i\theta})|^2\,d\theta$.
3. Étudier la convergence de $\sum|a_k|^2r^{2k}$ et calculer sa somme si elle converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1324]
1. Pour $A\in M_n(\C)$, poser $Q(X)=X^n\chi_A(1/X)$ et $R=\sup_{\lambda\in\Sp(A)}1/|\lambda|$. Montrer, pour $|z|<R$, $\frac{Q'(z)}{Q(z)}=-\sum_{k\geq0}\operatorname{tr}(A^{k+1})z^k$.
2. Déterminer les matrices $A$ telles que $\operatorname{tr}(A^k)=0$ pour tout $k\geq1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1325]
Pour $n\geq1$, poser $I_n=\frac1{n!}\int_0^nt^ne^{-t}\,dt$. Montrer que $(I_n)$ possède une limite $\ell$ et que $\ell\in[0,1/2]$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1326]
Pour $n\geq1$, $\alpha>1$, poser $I_n(\alpha)=\int_0^\infty(1+t^\alpha)^{-n}\,dt$.
1. Montrer que $I_n(\alpha)$ est définie.
2. Relier $I_{n+1}(\alpha)$ à $I_n(\alpha)$ et en déduire une expression.
3. Déterminer la limite de $I_n(\alpha)$.
4. Montrer qu'il existe $K(\alpha)>0$ tel que $I_n(\alpha)\sim K(\alpha)n^{-1/\alpha}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1327]
Pour $n\geq1$, poser $u_n=\int_0^\infty\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(t+n)}\,dt$.
1. Montrer l'existence et établir $u_n=\ln(1+1/n)+\sum_{k=1}^{\infty}\bigl((n+k)\ln(1+1/(n+k))-k\ln(1+1/k)\bigr)$.
2. Montrer $1-\frac1{2n}\leq n\ln(1+1/n)\leq1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}$.
3. Montrer $\sum_{k\geq1}(1/k-1/(k+n))\sim\ln n$.
4. Déterminer un équivalent de $u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1328]
Soient $F=\{f\in C^1([0,1]):f(0)=0,f(1)=1\}$, $g\in F$ croissante, $g'(1)=0$. Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=g(nx)e^{1-x}$ si $x\in[0,1/n]$, et $0$ sinon.
1. Montrer $f_n\in F$.
2. Poser $I_n=\int_0^1|f_n-f'_n|$. Calculer $\ell=\lim I_n$ et donner un équivalent de $I_n-\ell$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1329]
Poser $F(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{\arctan(x\tan\theta)}{\tan\theta}\,d\theta$.
1. Montrer que $F$ est définie sur $\R$ et de classe $C^1$.
2. Calculer $F(x)$.
3. Après justification de convergence, calculer $\int_0^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,d\theta$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1330]
Poser $f(x)=\int_0^\infty\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(t+x)}\,dt$.
1. Déterminer son domaine, ses variations et ses limites aux bornes.
2. Calculer $f(1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1331]
Poser $f(x)=\int_1^\infty\frac{dt}{t^x(1+t)}$.
1. Déterminer son domaine.
2. Montrer que $f$ est $C^\infty$ et donner $f^{(n)}$.
3. Donner des équivalents en $0$ et en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1332]
Pour $x\in[0,\pi/2]$, poser $f(x)=\int_0^1\frac{\ln(1+2t\cos x+t^2)}t\,dt$.
1. Montrer que $f$ est de classe $C^1$.
2. Donner une expression simple de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1333]
Étudier $f(x)=\int_0^1\frac{\ln(1-x\cos t+t^2)}t\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1334]
Poser $f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{xe^{it}}{x^2+t^2}\,dt$.
1. Montrer que $f$ est définie pour $x>0$.
2. Montrer $f(x)=\int_\R\frac{e^{ixu}}{u^2+1}\,du$ et en déduire sa limite en $0$.
3. Calculer le laplacien de $G(x,t)=x/(x^2+t^2)$.
4. Montrer que $f\in C^2(\R_+^*)$ et résout une équation différentielle linéaire d'ordre 2.
5. Donner une expression simple de $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1335]
Soit $f\in C^1([0,1],\R_+^*)$. Pour $x>0$, poser $F(x)=\int_0^1f(t)^x\,dt$ et $G(x)=F(x)^{1/x}$.
1. Montrer $G\in C^1(\R_+^*)$.
2. Déterminer les limites de $G$ en $0^+$ et $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1336]
Soit $f(x,y)=x^2y^2+\frac12(x+y)^2+xy+\frac34$.
1. Déterminer les points critiques et leur nature.
2. $f$ admet-elle des extrema globaux ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1337]
1. Soient $P,Q\in\R[X]$, $Q$ de degré $2$ à racines distinctes $r_1,r_2$. Montrer que $P/Q$ est développable en série entière et préciser le rayon.
2. Sur $U=(\R\setminus\{-1\})\times]0,\pi/2[$, poser $f(x,t)=\arctan\left(\frac{1-x}{1+x}\tan t\right)$. Étudier ses extrema.
3. Pour $t$ fixé, montrer que $x\mapsto f(x,t)$ est développable en série entière en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1338]
Sur $\R^2\setminus\Delta$, avec $\Delta=\{(x,x)\}$, poser $f(x,y)=(h(x)-h(y))/(x-y)$.
1. Si $h\in C^1$, montrer que $f$ se prolonge continûment à $\R^2$.
2. Si $h\in C^2$, montrer que ce prolongement est $C^1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1339]
Soit $n\geq1$, $f\in C^1(\R^2,\R)$. Dire que $f$ vérifie $H_n$ si $f(tx,ty)=t^nf(x,y)$ pour tous $x,y$ et $t\geq0$.
1. Montrer que $H_n$ équivaut à $x\partial_xf+y\partial_yf=nf$.
2. Si $n\geq2$, montrer $\partial_xf(0,0)=\partial_yf(0,0)=0$.
3. Montrer que $f$ ne s'annule qu'en $(0,0)$ ssi $|f(x,y)|\to+\infty$ lorsque $\|(x,y)\|\to+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1340]
Soit $f\in C^2(\R^n,\R)$ radiale : $f(x)=\varphi(\|x\|)$ pour $x\neq0$.
1. Montrer $\Delta f(x)=\varphi''(\|x\|)+\frac{n-1}{\|x\|}\varphi'(\|x\|)$.
2. Déterminer les fonctions radiales harmoniques de classe $C^2$ sur $\R^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1341]
Soit $f\in C^2(\R^n,\R)$ telle que le spectre de sa hessienne soit inclus dans $[1,+\infty[$ en tout point.
1. Montrer $y^TH_f(x)y\geq\|y\|^2$.
2. En déduire $f(x)\geq f(0)+\nabla f(0)^Tx+\|x\|^2/2$.
3. Montrer que $f$ admet un minimum, puis qu'il est unique.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1342]
Soit $n\geq3$. Placer successivement $n$ billes, uniformément et indépendamment, dans trois boîtes initialement vides. Soit $N$ le nombre de boîtes vides.
1. Calculer $\E(N)$.
2. Donner la loi de $N$.
3. En déduire le nombre de surjections de $\{1,\ldots,n\}$ dans $\{1,2,3\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1343]
Une urne contient une boule blanche et une noire. À chaque tirage, remettre la boule tirée en ajoutant deux boules : une de sa couleur et une noire. Soit $T_n$ le nombre de boules blanches après $n$ tirages.
Préciser $X_n=T_n-T_{n-1}$ et sa loi, calculer $\E(T_n)$ et donner un équivalent en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1344]
Soient $n=2q+1$, $A_k$ les racines $n$-ièmes de l'unité d'arguments $2k\pi/n$, et $B_k$ l'intersection de $(A_0A_k)$ avec la droite $x=-1$. Si $W_n$ est uniforme sur $\{1,\ldots,n-1\}$, poser $Z_n=2\cot(\pi W_n/n)$.
1. Montrer que l'ordonnée de $B_k$ vaut $2\cot(k\pi/n)$.
2. Calculer $\E(Z_n)$.
3. Donner un équivalent de $\E(|Z_n|)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1345]
Soit $n\geq2$ et $\mathcal P_n$ l'ensemble des parties de $\{1,\ldots,n\}$.
1. Si $A$ est uniforme sur $\mathcal P_n$, donner la loi de $|A|$.
2. Pour $A,B$ uniformes indépendantes, calculer $\P(A\cap B=\varnothing)$.
3. Pour $n$ parties uniformes indépendantes $A_1,\ldots,A_n$, poser $Z=|\bigcap_iA_i|$. Donner $\E(Z)$ et la loi de $Z$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1346]
On lance indéfiniment une pièce équilibrée et numérote les séries de lancers identiques consécutifs. Soit $N_n$ le numéro de la série contenant le lancer $n$.
1. Donner $N_n(\Omega)$, $\P(N_n=1)$ et $\P(N_n=n)$.
2. Relier $\P(N_n=k)$ aux probabilités $\P(N_{n-1}=i)$.
3. Donner la fonction génératrice de $N_n$ et son espérance.
4. Calculer $\V(N_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1347]
Soit $X\geq0$ à support fini et $k\geq1$. Montrer $\E(X^k)=\int_0^\infty kt^{k-1}\P(X>t)\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1348]
Soit $\mathfrak S_n$ uniforme, $n\geq2$, et $X_i(\sigma)=1$ si $\sigma(i)=i$, $0$ sinon.
1. Donner la loi de $X_i$. Les $X_i$ sont-elles indépendantes ?
2. Pour $Y$ le nombre de points fixes, calculer espérance et variance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1349]
Soit $f\in C^1([0,1])$ et $B_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkf(k/n)x^k(1-x)^{n-k}$.
1. Montrer que $f$ est lipschitzienne.
2. Réécrire $B_n(x)-f(x)$ comme somme pondérée des écarts.
3. Pour $X_i$ i.i.d. Bernoulli($x$), poser $X_n=(\sum X_i)/n$. Donner loi, espérance, variance et montrer $\V(X_n)\leq1/(4n)$.
4. Montrer $\E(f(X_n))=B_n(x)$.
5. Pour $\varepsilon>0$, majorer la contribution des indices avec $|x-k/n|\geq\varepsilon/M$ par $2\|f\|_\infty\P(|X_n-x|\geq\varepsilon/M)$.
6. En déduire $B_n\to f$ uniformément.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1350]
Soit $X$ à valeurs dans $\N$ et $(X_n)$ i.i.d. de même loi. Pour $n\geq2$, poser $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$. Dire que $X$ est implosive si $\E(X)=+\infty$ et $\E(Y_n)<+\infty$ pour un certain $n$.
1. Si $\P(X=k)=1/\sqrt{k+1}-1/\sqrt{k+2}$, montrer que $X$ est implosive et donner son indice d'implosion.
2. Poser $u_n=a/(n\ln^2n)$ pour $n\geq2$. Choisir $a$ pour que $(u_n)$ soit une loi et montrer que la variable associée n'est pas implosive.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1351]
Soient $(X_n)$ i.i.d. avec $\P(X_n=1)=p$, $\P(X_n=-1)=q=1-p$, et $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
1. Étudier $\sum\P(S_n=0)$.
2. Pour $t>0$, montrer $\P(S_n>a)\leq e^{-ta}(qe^{-t}+pe^t)^n$.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $p$ pour que $\sum\P(S_n\in A)$ converge pour toute partie bornée $A\subset\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1352]
Soit $M_n=(X_{ij})$ avec coefficients i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$ et $\Delta_n=\det M_n$.
1. Calculer $\E(\Delta_n)$.
2. Montrer $\V(\Delta_n)=n!$.
3. Donner une condition suffisante sur $(a_n)\subset\R_+$ pour que $\P(\Delta_n\geq a_n)\to0$.
4. Calculer $\E(\operatorname{tr}(M_n^k))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1353]
1. Pour des variables bornées $(X_1,\ldots,X_n)$, montrer que leur matrice de covariance est dans $S_n^+(\R)$.
2. Réciproquement, toute matrice de $S_n^+(\R)$ est-elle matrice de covariance d'un n-uplet de variables réelles bornées ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1354]
Soient $(X_n)$ indépendantes, de même espérance $m$ et variance $\sigma^2$, et $\overline X_n=n^{-1}\sum_{k=1}^nX_k$. Soit $f:\R\to\R$ continue bornée.
1. Montrer $\P(|f(\overline X_n)-f(m)|>\varepsilon)\to0$.
2. Montrer $\E(f(\overline X_n))\to f(m)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1355]
Soit $Y_n\sim\mathcal G(1/n)$.
1. Pour $x>0$, déterminer si elle existe la limite de $\P(Y_n/n\leq x)$.
2. Pour $f$ continue bornée sur $\R_+$, déterminer si elle existe la limite de $\E(f(Y_n/n))$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1356]
Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$, $E_k=\bigcup_{i=1}^n(X_i=k)$ et $Y_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$.
1. Montrer $Y_n=\sum_{k\geq0}\mathbf1_{E_k}$.
2. Pour $m\in\N$, poser $R_m=\sum_{k=m+1}^\infty\mathbf1_{E_k}$. Montrer $\E(R_m)\leq n\P(X_1\geq m+1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1357]
1. Pour $n\geq2$, montrer qu'une matrice $A\in M_n(\C)$ est de rang $1$ ssi elle s'écrit $A=UV^T$ avec $U,V\in\C^n\setminus\{0\}$.
2. Pour $(X,Y)$ à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}^2$, poser $A=(\P(X=i,Y=j))$.
   a. Montrer que $\operatorname{rg}(A)=1$ ssi $X,Y$ sont indépendantes.
   b. Montrer que l'indépendance équivaut à $\E(e^{sX+tY})=\E(e^{sX})\E(e^{tY})$ pour tous $s,t\in\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Centrale PC 2026 # 1358]
Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$ et $T\in\N$ indépendante de chaque famille finie $(X_1,\ldots,X_n)$; poser $S_T=\sum_{i=1}^T X_i$. Supposer $X_1,T$ intégrables.
1. Exprimer $G_{X_1+\cdots+X_n}$ en fonction de $G_{X_1}$.
2. Montrer $G_{S_T}(s)=G_T(G_{X_1}(s))$ pour $s\in[0,1]$.
3. Montrer $\E(S_T)=\E(X_1)\E(T)$.
4. Application : des poules pondent un nombre d'œufs de loi de Poisson ; chaque œuf éclot avec probabilité $p$.
#+end_exercice

* Autres Écoles MP-MPI 2026
** Algèbre

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1359]
[IMT] $f:\N\to\N$, $f(m+1)>f(f(m))$. Montrer par récurrence $m\geq p\Rightarrow f(m)\geq p$, puis $f(m)\geq m$, que $f$ est croissante et conclure $f=\operatorname{id}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1360]
[IMT] Factoriser $X^n-1$ et $1+X+\cdots+X^{n-1}$ dans $\C[X]$, puis calculer $\sum_{k=1}^{n-1}\sin(2k\pi/n)$ et $\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1361]
[IMT] Pour $A,B\in M_n(\R)$, calculer la trace de $\varphi:M\mapsto AMB$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1362]
[IMT] Montrer que $A^2=A$ ssi $\operatorname{rg}(A)\leq\operatorname{tr}(A)$ et $\operatorname{rg}(I_n-A)\leq\operatorname{tr}(I_n-A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1363]
[IMT] Soient $P_1,P_2$ deux plans distincts de $\R^3$ et $S$ l'espace des endomorphismes les laissant stables. Montrer que $S$ est un sous-espace, étudier si les plans sont supplémentaires et montrer qu'ils ont un vecteur propre commun à tout $u\in S$. Trouver une base où les matrices de $S$ sont de la forme $\begin{pmatrix}a&0&0\\b&c&d\\0&0&e\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1364]
Diagonaliser la matrice $A$ de taille $4$ dont tous les coefficients valent $1$, ainsi que $B$ à diagonale $16$ et hors-diagonale $1$. Déterminer $\pi_B$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1365]
[CCINP] Pour $a,b,c,d\in\C$, $M=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{pmatrix}$. Calculer $MM^T$, en déduire $\det M$, son rang selon $a^2+b^2+c^2+d^2$, puis son spectre et discuter la diagonalisabilité si $b^2+c^2+d^2=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1366]
[CCINP] Soient $a,b\in\R$, $A$ la matrice de taille $n$ à diagonale $b$ et hors-diagonale $a$, et $J$ la matrice de tous les $1$. Montrer que $A,J$ sont diagonalisables, déterminer les éléments propres de $J$, donner une condition d'inversibilité de $A$ et exprimer $A^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1367]
[IMT] Soient $A\in M_{3,2}(\R)$, $B\in M_{2,3}(\R)$. Montrer $\operatorname{rg}(AB)\leq2$, discuter l'inversibilité. Si $AB=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$, déterminer les $x$ possibles et discuter la diagonalisabilité de $BA$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1368]
[CCINP] Pour $n\geq2$, $f(P)=(X^2+X)P(1)+(X^2-X)P'(1)$ sur $\R_n[X]$. Déterminer noyau, image, valeurs propres, espaces propres et diagonalisabilité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1369]
[IMT] Pour des endomorphismes $u,v$ d'un espace de dimension finie, montrer que toute valeur propre de $u\circ v$ est valeur propre de $v\circ u$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1370]
[IMT] Si $A^2+A+I_n=0$ pour $A\in M_n(\R)$, montrer $n$ pair et calculer $\det A,\operatorname{tr}A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1371]
[IMT] Soit $A\in M_n(\R)$ avec $n$ valeurs propres distinctes. Si $A$ est diagonale, montrer $\R[A]$ égale les matrices diagonales. En général, construire $M_i$ tels que $A^p=\sum_i\lambda_i^pM_i$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1372]
[IMT] Soit $M$ à diagonale nulle et coefficients hors diagonale égaux à $1$. Déterminer son spectre puis montrer qu'aucune forme linéaire $\varphi$ ne donne une valeur propre de $A$ pour toute matrice $A$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1373]
[IMT] Pour $f\in\mathcal L(E)$, $\dim E=n$, déterminer $\dim\{g:f\circ g=g\circ f=0\}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1374]
[IMT] Si $\operatorname{tr}(A)\neq0$, montrer que $M\mapsto\operatorname{tr}(M)A-\operatorname{tr}(A)M$ est diagonalisable et déterminer ses espaces propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1375]
[IMT] Soit $M\in M_2(\R)$, $\det M=0$, $M^T=M^2$. Montrer $M^4=M$, que $M$ est semblable à $\begin{pmatrix}0&a\\0&b\end{pmatrix}$, $b\in\{0,1\}$, puis discuter $b=0$, l'idempotence, diagonalisabilité et trigonalisabilité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1376]
[CCINP] Pour $E$ réel de dimension $4$ et $\pi_f=(X^2+1)(X^2+4)$, décomposer les noyaux, trouver $x,y$ tels que $f^2(x)=-x$, $f^2(y)=-4y$, montrer $(x,f(x),y,f(y))$ base et écrire la matrice.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1377]
[CCINP] Soit $A$ stochastique. Montrer $1\in\Sp(A)$ et $|\lambda|\leq1$. Si la diagonale est strictement positive, montrer $|\lambda-w|\leq1-w$ pour un $w\in]0,1]$, puis situer le spectre dans un disque fermé de rayon $<1$ tangent au cercle unité en $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1378]
[IMT] Sur $C^1([0,1])$, $\langle f,g\rangle=\int_0^1xfg$. Montrer que c'est un produit scalaire et calculer le projeté de $1$ sur $\operatorname{Vect}(x,x^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1379]
[CCINP] Sur $\R_n[X]$, $\langle P,Q\rangle=\sum_{i=0}^nP(a_i)Q(a_i)$ pour $a_i$ distincts. Montrer que c'est un produit scalaire. Pour $H=\{P:\sum\alpha_iP(a_i)=0\}$, $\alpha\neq0$, donner $\dim H$ et calculer $d(Q,H)$ pour le générateur unitaire $Q$ de $H^\perp$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1380]
[CCINP] Soient $u$ isométrique et $v=\operatorname{id}-u$. Montrer $\operatorname{Im}v\perp\Ker v$. Pour $f_n(x)=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}u^k(x)$, établir la décomposition puis la convergence simple vers le projecteur orthogonal sur $\Ker v$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1381]
[CCINP] Montrer successivement que toute matrice positive admet une racine carrée positive, que $M^TM$ est positive, que toute matrice positive est de la forme $M^TM$, et que $A$ est diagonalisable réelle ssi $A^T=SAS^{-1}$ pour un $S$ symétrique définie positive.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1382]
[IMT] Si $f$ est autoadjoint sur un espace euclidien, montrer que $\langle f(x),x\rangle=0$ pour tout $x$ entraîne $f=0$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour $\|f(x)\|^2=\langle x,f(x)\rangle$ pour tout $x$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1383]
[IMT] Si $f\in\mathcal L(E,F)$ est continue entre espaces normés, montrer $\Ker f$ fermé. La réciproque est-elle vraie ? Montrer qu'elle l'est pour $F=\R$ ou $\C$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1384]
[IMT] Sur $C^1([0,1])$ muni de $\|\cdot\|_\infty$, poser $A=\{f:f(0)=0,\int_0^1f\geq1\}$. Montrer que $A$ est fermé non vide, que $\|f\|_\infty>1$ sur $A$, et calculer $d(0,A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1385]
[IMT] Pour $n\notin\{0,1\}$, montrer qu'il existe un unique $x_n>0$ tel que $x_n+e^{x_n}=n$, avec $\frac12\ln n<x_n<\ln n$. Donner un équivalent et un développement à deux termes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1386]
[IMT] Étudier les séries de termes généraux $1/(n\ln n)^2$, $(\ln n/n)^2$, et la queue alternée $\sum_{k>n}(-1)^k/(k\ln k)^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1387]
[CCINP] Soit $u_0>0$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$. Étudier $(u_n)$ et les séries $\sum(-1)^nu_n,\sum u_n^2,\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1388]
[IMT] Pour $x>0$, poser $I(x)=\int_x^{7x}(1-e^{-t})/t^2\,dt$. Déterminer les limites en $0^+$ et $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1389]
[IMT] Pour $f(t)=\ln(t)/(1-t)$, montrer que $\int_0^1f$ et $\int_0^11/f$ convergent puis que leur produit est au moins $1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1390]
[IMT] Montrer que $\int_0^\infty\cos(t^2)\,dt$ existe et est strictement positive.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1391]
[CCINP] Poser $f(x)=\int_x^1e^t/t\,dt$.
1. Montrer $f(x)\geq-\ln x$ et sa limite en $0^+$.
2. Pour tout $n\geq1$, montrer qu'il existe un unique $u_n\in]0,1]$ tel que $f(u_n)=n$ et déterminer sa limite.
3. Montrer $I=\int_0^1(e^t-1)/t\,dt$ converge et $u_n\sim e^{I-n}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1392]
[CCINP] Pour $|x|<1$, $f_x(\theta)=\sum_{n\geq1}x^n\cos(n\theta)/n$. Étudier convergence et régularité, calculer $f_x(0),f_x(\pi)$, montrer $f'_x=-x\sin\theta/(1-2x\cos\theta+x^2)$, en déduire $f_x$ et calculer $\int_0^\pi\ln(1-2x\cos\theta+x^2)d\theta$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1393]
[CCINP] Poser $f_n(x)=\cos^n(x)\sin(nx)/n$. Montrer $\sum f_n$ converge simplement, que sa somme est $C^1$ sur $\R\setminus\pi\Z$ et de dérivée $-1$, puis l'expliciter.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1394]
[IMT] Pour $f(x)=\sum_{n\geq0}n^3x^n/n!$, déterminer le rayon et exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1395]
Soit $a_1=a_0>0$, $a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}/n$.
1. Montrer que $(a_n)$ croît, que $a_n=a_1+2\sum_{k=2}^na_{k-2}/k$, et qu'elle diverge; établir $a_n\leq n^2a_1$.
2. Pour $f(x)=\sum a_nx^n$, trouver le rayon et vérifier $(1-x)y'=(1+2x)y$.
3. Résoudre l'équation et en déduire $a_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1396]
[IMT] Poser $a_n=\int_0^\infty(\cosh t)^{-n}dt$. Montrer l'existence, étudier $(a_n)$, la série alternée $\sum(-1)^na_n$ et le rayon de $\sum a_nx^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1397]
[IMT] Poser $a_n=\int_0^1t^n/\sqrt{1-t^3}\,dt$. Montrer l'existence, calculer la limite et le rayon de $\sum a_nx^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1398]
[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty(1+x^3)^{-n}dx$. Montrer l'existence et la limite, puis calculer la somme de $\sum_{k\geq1}(-1)^kI_k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1399]
[IMT] Poser $\psi(x)=\int_0^\infty\sin(xt)e^{-t}/t\,dt$. Montrer $\int_0^\infty\cos(xt)e^{-t}dt=1/(1+x^2)$, puis que $\psi$ est $C^1$ et calculer $\psi',\psi$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1400]
[CCINP] Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-t}e^{ixt}/\sqrt t\,dt$, déterminer son domaine, montrer $C^1$, calculer $f(0)$, établir une équation différentielle et en déduire une expression.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1401]
[IMT] Poser $f(x)=e^{-x^2/2}\int_0^xe^{-t^2/2}dt$. Montrer $C^\infty$, trouver une équation différentielle et le développement en série entière.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1402]
[IMT] Soit $f$ continue et $f(x)=1-\int_0^x(x+t)f(x-t)dt$. Poser $F(x)=\int_0^xf(t)dt$. Montrer $f\in C^1$, $F''+xF'+2F=0$, $F(0)=0,F'(0)=1$, puis expliciter $f$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1403]
[IMT] Soient $q\leq0$ continue et $y''+qy=0$. Montrer $y^2$ convexe, qu'une solution ayant deux zéros distincts est nulle, que toute solution bornée est nulle et, si $y(0)=y_0>0,y'(0)=0$, que $y\geq y_0$ et est convexe.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1404]
[IMT] Résoudre sur $\R_+^*$ $x^2y''+y=0$, d'abord avec $y=x^\alpha$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1405]
[CCINP] Soit $y\in C^3(\R)$ vérifiant $(E):y^{(3)}-5y''+7y'-3y=0$.
1. Montrer que $y$ vérifie $(E)$ si et seulement si $Y'=AY$, où $Y=(y,y',y'')^T$ et $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\3&-7&5\end{pmatrix}$.
2. Pour $M=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\3&-7&5\end{pmatrix}$, trouver $P\in GL_3(\R)$ tel que $P^{-1}MP=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}$.
3. Poser $Z=P^{-1}Y$, établir l'équation vérifiée par $Z$, la résoudre puis en déduire les solutions de $(E)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1406]
[CCINP] Pour $A(-1,1),B(0,1),C(0,-1),D(-1,-1)$ et $f(x,y)=-2x^3+x^2-y^2+5$, montrer que $f$ est bornée sur le rectangle et déterminer ses extrema.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1407]
[IMT] Un lion chasse un jour sur deux : après avoir mangé, il ne chasse pas le lendemain ; sinon il chasse et mange avec probabilité $1/2$. La veille du jour 1 il n'a pas mangé.
1. Probabilité qu'il ne mange pas durant les $n$ premiers jours.
2. Probabilité de son premier repas le jour $n$.
3. Si $p_i$ est la probabilité qu'il mange le jour $i$, établir une récurrence et l'expliciter.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1408]
[CCINP] Marche aléatoire sur $\Z$ depuis $0$, vers la gauche avec probabilité $p$, vers la droite avec $q=1-p$. Noter $r_n$ la probabilité d'être en $0$ au temps $n$, et $s_n$ celle du premier retour à $0$ au temps $n$.
1. Calculer $r_n$.
2. Pour $F(x)=\sum_{n\geq0}r_nx^n$, $G(x)=\sum_{n\geq1}s_nx^n$, étudier les domaines et continuité.
3. Montrer $F(t)G(t)=F(t)-1$ sur $[0,1[$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1409]
[CCINP] Deux urnes contiennent respectivement $(2\,blanches,3\,noires)$ et $(4\,blanches,3\,noires)$. À chaque tirage, choisir une urne au hasard, tirer avec remise, puis tirer au tour suivant dans $U_1$ si la boule était blanche, $U_2$ sinon. Pour $p_n=\P(B_n)$, calculer $p_1$, établir $p_{n+1}=-6p_n/35+4/7$ et résoudre.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1410]
[IMT] Soient $X\sim\mathcal P(\lambda)$ et $Y$ indépendantes avec $\P(Y=n)=p(1-p)^n$.
1. Calculer $\E(Y),\V(Y),\P(X\neq0,Y\neq0)$.
2. Pour $M_{a,b}=\begin{pmatrix}-a&a&0\\2a&0&0\\0&0&b\end{pmatrix}$, déterminer le spectre.
3. Calculer $\P(M_{X,Y}$ inversible).
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles MP-MPI 2026 # 1411]
[IMT] Soient $X,Y\sim\mathcal G(p)$ et $Z\sim\mathcal P(\lambda)$ indépendantes. Soit $M_n\in M_n(\R)$ la matrice symétrique dont les coefficients $(1,1)$ et $(n,n)$ valent $X$, les coefficients $(1,n)$ et $(n,1)$ valent $Y$, les autres coefficients diagonaux valent $Z$, et les autres coefficients sont nuls. Calculer $\P(M_n\in S_n^{++}(\R))$ puis $\E(M_n)$.
#+end_exercice

* Autres Écoles PSI 2026
** Algèbre

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1412]
[Navale] Pour $n\geq2$, montrer qu'un hyperplan de $M_n(\C)$ ne contenant aucune matrice inversible contient toutes les nilpotentes, puis en déduire que tout hyperplan contient une matrice inversible.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1413]
[CCINP] Soient $p,q\in\mathcal L(E)$ avec $p+q=\operatorname{id}$ et $\operatorname{rg}(p)+\operatorname{rg}(q)\leq\dim E$. Rappeler la définition d'un projecteur et montrer que $p,q$ sont des projecteurs.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1414]
[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $\varphi(X)=X+\operatorname{tr}(X)A$. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme, bijectif si $\operatorname{tr}(A)\neq-1$, puis déterminer rang et image lorsque $\operatorname{tr}(A)=-1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1415]
[ENSEA] Pour $T=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&0&1&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}$, déterminer rang, valeurs propres sans calculer $\chi_T$, et diagonalisabilité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1416]
[IMT] Sur $E=\C^3$, définir $f_a(e_1)=f_a(e_3)=ae_1+e_2-ae_3$, $f_a(e_2)=0$.
1. Déterminer image et noyau, puis sa matrice.
2. Calculer $A^2$ et en déduire des propriétés de $f_a$.
3. $A$ est-elle inversible ou diagonalisable ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1417]
[ENSEA] Pour $a\neq b$, décomposer $\frac{nx+\lambda}{(x-a)(x-b)}$ en éléments simples. Montrer ensuite que $\Phi(P)=(X-a)(X-b)P'-nXP$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$ et déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1418]
[ENSEA] Poser $\Phi(P)=P(X+1)$ sur $\R_n[X]$. Vérifier que c'est un endomorphisme, étudier sa diagonalisabilité et ses éléments propres, donner sa matrice, calculer ses puissances et discuter son inversibilité.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1419]
[CCINP] Soit $u\in\mathcal L(\R^3)$ avec $u^3+u=0$.
1. Montrer $\operatorname{Im}(u^2+\operatorname{id})\subset\Ker u$ et que $\Ker(u^2+\operatorname{id})$ et $\Ker u$ sont en somme directe.
2. Montrer que $0$ est sa seule valeur propre réelle.
3. En déduire que les deux noyaux sont non nuls et qu'il existe une base où $u$ a la matrice $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1420]
[IMT] Si $A\in M_n(\R)$ est diagonalisable, montrer $(\operatorname{tr}A)^2\leq\operatorname{rg}(A)\operatorname{tr}(A^2)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1421]
[CCINP] Si $f^3+f=0$, montrer $\Ker f$ et $\operatorname{Im}f$ supplémentaires et, en dimension finie, que $\operatorname{rg}f$ est pair.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1422]
[IMT] Soient $\lambda_0,\ldots,\lambda_n$ distincts.
1. Construire les polynômes de Lagrange $L_i$ avec $L_i(\lambda_j)=\delta_{ij}$.
2. Pour $A\in\C[X]$, $B=\prod_{k=0}^n(X-\lambda_k)$, montrer que $\Phi(P)$ égale le reste de $AP$ modulo $B$ définit un endomorphisme de $\C_n[X]$.
3. Montrer que les $L_i$ forment une base propre et donner les valeurs propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1423]
[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $B=\begin{pmatrix}0&A\\A&I_n\end{pmatrix}$.
1. Exprimer $\det B$ en fonction de $\det A$.
2. Déterminer $\chi_B$ et relier les spectres.
3. Rappeler deux critères de diagonalisabilité et montrer $B$ diagonalisable ssi $A$ l'est.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1424]
[IMT] Pour $u,v\in\mathcal L(E)$, montrer qu'une valeur propre non nulle de $u\circ v$ est valeur propre de $v\circ u$. En dimension finie, montrer l'égalité des spectres. Donner un contre-exemple sur $\R[X]$ avec $u(P)=XP$, $v(P)=P'$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1425]
[IMT] Déterminer les matrices $M\in M_3(\R)$ telles que $\operatorname{tr}(M)=3$ et $M^5=M^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1426]
[CCINP] Soit $u$ en dimension $n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes, et $Z(u)=\{v:uv=vu\}$.
1. Montrer que $Z(u)$ est un espace vectoriel et que les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v\in Z(u)$.
2. Déterminer leurs dimensions et montrer qu'une base propre de $u$ existe.
3. Montrer que $v\in Z(u)$ ssi sa matrice dans cette base est diagonale, déterminer $\dim Z(u)$ et en donner une base parmi $\operatorname{id},u,\ldots,u^{n-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1427]
[CCINP] Pour $A=B^2$.
1. Combien $I_n$ a-t-elle de racines carrées diagonales réelles ?
2. Montrer que $-I_{2n+1}$ a des racines carrées complexes mais aucune réelle.
3. La matrice nulle a-t-elle des racines carrées non nulles ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1428]
[CCINP] Déterminer les $M\in M_n(\R)$ vérifiant $M^3=4M$ et $\operatorname{tr}(M)=0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1429]
[IMT] Dans une base orthonormée directe d'un espace euclidien de dimension $3$, déterminer la matrice de la rotation d'angle $2\pi/3$ autour de l'axe dirigé par $(e_1-e_2+e_3)/\sqrt3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1430]
[CCINP] Soient $(e_1,\ldots,e_n)$ unitaires dans un espace préhilbertien réel, avec $\|x\|^2=\sum_i\langle x,e_i\rangle^2$ pour tout $x$.
1. Montrer que la famille est orthonormale.
2. Montrer que l'espace est de dimension $n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1431]
[CCINP] Si $u$ est orthogonal sur un espace euclidien et $v=\operatorname{id}-u$, montrer $\Ker v=(\operatorname{Im}v)^\perp$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1432]
[IMT] Pour $M\in GL_n(\R)$, poser $A=M^TM$.
1. Montrer $A\in S_n^{++}(\R)$ et qu'il existe $S\in S_n^{++}$ tel que $A=S^2$.
2. En déduire une décomposition $M=OS$ avec $O$ orthogonale et $S$ symétrique définie positive.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1433]
[IMT] Soit $F_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$. Montrer $\inf_{P\in F_n}\int_0^1|P(t)|dt>0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1434]
[IMT] Pour $n\geq1$, $u_n=\frac{1\cdot3\cdots(2n+1)}{2\cdot4\cdots2n}$. Montrer $u_n\to0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1435]
[IMT] Pour $n\geq2$, $f_n(x)=nx^3+n^2x-2$.
1. Montrer qu'il existe un unique $u_n\in(0,1)$ tel que $f_n(u_n)=0$.
2. Étudier la monotonie et la limite de $u_n$.
3. Donner un équivalent de $u_n-\ell$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1436]
[IMT] Soit $u_0\in]0,1[$ et $u_{n+1}=(u_n+u_n^2)/2$. Étudier $(u_n)$ et la série $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1437]
[IMT] Pour $u_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\sin(nt)\,dt$.
1. Établir la convergence de $(u_n)$.
2. Montrer $u_{n+1}-u_n=1/(n+1)-u_{n+1}$.
3. Déterminer la nature de $\sum u_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1438]
[ENSEA] Déterminer les fonctions continues $f:\R\to\R$ telles que $f(x)-\int_0^1f(t)dt=1$ pour tout $x$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1439]
[CCINP] Sur $E=C^0([0,1])$, poser $\Phi(f)(0)=f(0)$ et $\Phi(f)(x)=x^{-1}\int_0^xf(t)dt$ si $x>0$.
1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme.
2. Montrer que $0$ n'est pas valeur propre et déterminer l'espace propre associé à $1$.
3. Déterminer toutes les valeurs propres et leurs espaces propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1440]
[CCINP] Poser $f_n(x)=x^2/(x^2+n^2+\sin x)$.
1. Montrer la convergence simple sur $\R$ et donner la limite.
2. Étudier la convergence uniforme sur $[-a,a]$, puis sur $\R$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1441]
[CCINP] Poser $f(t)=\sum_{n\geq1}\frac{t^n}{1+t^n}$. Déterminer son domaine, sa continuité et un équivalent lorsque $t\to1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1442]
[Navale] Poser $u_n(x)=e^{-xn}$.
1. Étudier la convergence de la série en fonction de $x$.
2. Montrer que sa somme est continue sur $\R_+^*$.
3. Déterminer sa limite à $+\infty$ et un équivalent en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1443]
[CCINP] Si $\varphi\in C^0(\R)$ et $|\varphi(x)|\leq C/(1+x^2)$, poser $f(x)=\varphi(x)+\sum_{n\geq1}(\varphi(x+n)+\varphi(x-n))$.
1. Montrer que $f$ est définie, continue et $1$-périodique.
2. Pour $g$ continue $1$-périodique, montrer $\varphi g$ intégrable et $\int_\R\varphi g=\int_0^1fg$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1444]
[IMT]
1. Montrer que la convergence uniforme de $\sum g_n$ implique $g_n\to0$ uniformément.
2. Pour $f_n(x)=nx^2e^{-\sqrt{nx}}$ sur $\R_+$, déterminer la limite simple et étudier la convergence uniforme de $(f_n)$, puis de $\sum f_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1445]
[CCINP]
1. Décomposer $\frac1{1+x^3}=\frac a{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}$ et en déduire une primitive sur $]-1,1[$.
2. Déterminer le rayon de $\sum_{n\geq0}(-1)^nx^{3n+1}/(3n+1)$, sa somme, puis $\sum_{n\geq0}(-1)^n/(3n+1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1446]
[ENSEA] Poser $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(x)\,dx$.
1. Déterminer rayon et somme de $\sum_{n\geq0}x^{n+1}/(n+1)$.
2. Montrer $0\leq I_n\leq\pi/4$ et en déduire une minoration du rayon de $\sum I_nx^n$.
3. Montrer $I_n+I_{n+2}=1/(n+1)$ et en déduire le rayon.
4. Montrer $\sum I_n$ diverge et $\sum(-1)^nI_n$ converge.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1447]
[CCINP] Poser $I_{k,n}=\int_0^\infty t^ke^{-nt}dt$ et $a_n=n!/n^{n+1}$.
1. Calculer $\lim(1-1/n)^n$ et $I_{k,n}$.
2. Déterminer le rayon de $\sum a_nx^n$ et étudier $\sum a_ne^n,\sum a_n(-e)^n$.
3. Pour $x$ dans l'intervalle de convergence, montrer $\sum_{n\geq1}a_nx^n=\int_0^\infty\frac{xt}{e^t-xt}\,dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1448]
[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty\frac{e^{nx}}{(1+2e^x)^{n+1}}dx$.
1. Justifier la convergence.
2. Montrer pour $n\geq2$ que $I_n=\dfrac{1}{2n3^n}+\dfrac{n-1}{2n}I_{n-1}$.
3. Étudier la convergence et la limite de $(I_n)$.
4. Exprimer $n2^nI_n$, puis déterminer rayon et somme de $\sum I_nx^n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1449]
[CCINP] Poser $u_n=\int_0^1\frac{t^n}{1+t^2}dt$, $S(x)=\sum_{n\geq0}u_nx^n$.
1. Rappeler le rayon de convergence et le déterminer.
2. Trouver $a,b,c$ tels que $\frac1{(1+t^2)(1-xt)}=\frac{ax+b}{1+t^2}+\frac c{1-xt}$.
3. Calculer $S(x)$ pour $|x|<R$, puis montrer la continuité en $-1$ et calculer $S(-1)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1450]
[ENSEA] Pour $F(x)=\int_0^\infty \frac{\sin(xt)}t e^{-t}dt$, montrer que $F$ est définie et $C^1$, calculer $F'$ et en déduire $F$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1451]
[IMT] Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\sinh(t)/t\,dt$, déterminer son domaine, montrer $C^1$, calculer $f'$ et sa limite en $+\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1452]
[IMT] Pour $f(x)=\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}dt$, déterminer son domaine, montrer la continuité et, en considérant $xf(x)$, donner des équivalents aux bords.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1453]
[CCINP] Poser $f(x)=\int_0^\infty t^xe^{-t}dt$.
1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R_+$ et $f(x)=xf(x-1)$ pour $x\geq1$.
2. Poser $V_n=\int_n^{n+1}\ln(f(u))du$, $\Phi(x)=\int_x^{x+1}\ln(f(u))du$. Montrer $\Phi'(x)=\ln x$, déterminer sa limite et conclure sur la série $\sum(-1)^nV_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1454]
[CCINP] Pour $g(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\sin^2(t)/t\,dt$, $x>0$ :
1. Montrer l'existence et calculer la limite en $+\infty$.
2. Montrer $g\in C^1$, calculer $g'$ puis $g$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1455]
[IMT] Justifier l'existence puis calculer $\int_0^\infty\frac{t}{e^t-1}dt$. Indication : $\sum_{n\geq1}1/n^2=\pi^2/6$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1456]
[CCINP] Soit $I=\int_0^\infty\sin(t)/\sinh(t)\,dt$.
1. Établir la convergence et développer $\sin t/\sinh t$ en série exponentielle.
2. En déduire $I=\sum_{n\geq0}2/((2n+1)^2+1)$ et montrer $\pi/4\leq I\leq\pi/4+1$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1457]
[CCINP] Justifier l'existence de $I=\int_0^\infty x^2/(e^x-1)\,dx$ et montrer $I=\sum_{n\geq1}2/n^3$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1458]
[CCINP] Pour $I=\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$, montrer que l'intégrale converge puis que $I=\sum_{n\geq0}1/(2n+1)^2$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1459]
[IMT]
1. Selon $\lambda\in\R$, déterminer le nombre de solutions de $xe^{-x}=\lambda$.
2. Pour $K=\{(x,y)\in\R_+^2:x+y\leq1\}$ et $f(x,y)=xy(1-x-y)$, montrer sans calcul que $f$ atteint un maximum et le déterminer.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1460]
[IMT] Soient $n\geq3$, $h=1/n$, $D_1=(d_{ij})$ définie par $d_{11}=1$, $d_{k,k} = 1$ et $d_{k,k-1}=-1$ pour $2\leq k\leq n$, les autres coefficients étant nuls, et $D_2$ la matrice symétrique tridiagonale de diagonale $(2,\ldots,2,1)$ et de coefficients sous- et sur-diagonaux $-1$. Sur $\R^n$, poser $\langle X,Y\rangle_h=h\sum_{k=1}^n x_ky_k$ et $f(X)=\|D_1X\|_h^2-\langle X,V\rangle_h$.
1. Calculer $D_1^TD_1$.
2. Montrer $f\in C^1$ et calculer son gradient.
3. Montrer $D_2$ inversible, déterminer l'unique point critique $X_c$ en fonction de $D_2,V$, puis exprimer $f(X_c)$ en fonction de $\langle X_c,V\rangle_h$.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1461]
[CCINP] Tirages indépendants avec remise, probabilité $p$ d'obtenir une verte.
1. Pour $X_1$ rang de la première verte, donner loi et espérance.
2. Pour $X_2$ rang de la deuxième verte, donner loi et espérance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1462]
[CCINP] Deux dés donnent $X_1,X_2$, fonctions génératrices $G_1,G_2$. Poser $P(X)=\sum_{k=0}^{10}X^k$.
1. Expliciter $G_1$.
2. Montrer que si $X_1+X_2$ était uniforme sur $\{2,\ldots,12\}$, alors $G_1(t)G_2(t)=t^2P(t)/12$.
3. Trouver les racines de $P$ et conclure.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1463]
[CCINP] La probabilité qu'une famille ait $n\geq1$ enfants vaut $\alpha\lambda^n$, avec $0<\lambda<1$, $(1+\alpha)\lambda<1$. Chaque enfant est garçon avec probabilité $q=1-p$.
1. Calculer la probabilité qu'une famille n'ait aucun enfant.
2. Montrer $\sum_{n\geq k}\binom nkx^n=x^k/(1-x)^{k+1}$.
3. Calculer la probabilité d'avoir exactement $k$ garçons puis celle d'en avoir au moins deux sachant qu'il y en a au moins un.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1464]
[CCINP] Pour $(X,Y)\in\N^2$, $\P(X=k,Y=n)=\binom nkp(1-p)^{n/2-n}$ si $k\leq n$, et $0$ sinon.
1. Déterminer la loi de $Y$.
2. Montrer $\sum_{n\geq k}\binom nkx^{n-k}=(1-x)^{-k-1}$.
3. Déterminer la loi de $X$ et étudier l'indépendance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1465]
[IMT] Si $X_\lambda\sim\mathcal P(\lambda)$ :
1. Pour $\lambda$ fixé, déterminer le $n$ maximisant $\P(X=n)$.
2. Pour $n$ fixé, déterminer le $\lambda$ maximisant $\P(X=n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1466]
[ENSEA] Pour $p\in]0,1[$, $\P(X=n)=p^2n(1-p)^{n-1}$ pour $n\geq1$.
1. Vérifier qu'il s'agit d'une loi.
2. Calculer $\E(X-1)$ et $\E((X-2)(X-1))$.
3. En déduire espérance et variance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1467]
[CCINP] Soient $X_1,X_2$ indépendantes de loi $\mathcal B(n,1/2)$.
1. En développant $(1+X)^{2n}$ de deux façons, montrer $\sum_{k=0}^n\binom nk^2=\binom{2n}n$.
2. En déduire la probabilité que $\begin{pmatrix}X_1&1\\0&X_2\end{pmatrix}$ soit diagonalisable.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PSI 2026 # 1468]
[CCINP] Pour $M=\begin{pmatrix}0&-a\\a&2b\end{pmatrix}$, montrer $\chi_M=(X-b)^2+a^2-b^2$ et caractériser sa diagonalisabilité réelle.
Pour $X\sim\mathcal G(p)$, calculer $\P(X\geq n)$. Si $X,Y$ géométriques indépendantes de paramètres $p_1,p_2$, déterminer la probabilité que $\begin{pmatrix}0&-X\\X&2Y\end{pmatrix}$ soit diagonalisable, puis calculer $\P(X=Y)$.
#+end_exercice

* Autres Écoles PC 2026
** Algèbre

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1469]
[CCINP] Si $E$ est réel et $f,g\in\mathcal L(E)$ avec $E=\Ker f+\operatorname{Im}g$, montrer $\operatorname{Im}f=\operatorname{Im}(f\circ g)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1470]
[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $E_A=\{M:AMA=0\}$. Montrer que $E_A$ est un espace vectoriel et préciser sa dimension.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1471]
[CCINP] Soit $A\in M_3(\R)$ non nulle telle que $A^3+9A=0$.
1. Montrer $A$ diagonalisable sur $\C$ et $\Sp(A)\subset\{0,\pm3i\}$, puis que $\det A=0$.
2. Par conjugaison, établir $\Sp(A)=\{0,\pm3i\}$.
3. Construire une base réelle où $A=P\begin{pmatrix}0&3&0\\-3&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}P^{-1}$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1472]
[IMT] Pour $A$ à diagonale $3$ et coefficients hors diagonale $1$, déterminer les éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1473]
[IMT] Pour $A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}$, discuter la diagonalisabilité et déterminer ses éléments propres.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1474]
[CCINP] Poser $M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{pmatrix}$.
1. Écrire $M(a,b,c)$ avec $J=M(0,1,0)$ et $J^2$; montrer que ces matrices forment une algèbre stable par produit.
2. Diagonaliser $J$ sur $\C$ et en déduire les valeurs propres de $M(a,b,c)$.
3. Montrer que $M$ est diagonalisable sur $\R$ ssi $b=c$.
4. Déterminer les triplets donnant un projecteur autre que $0,I_3$ et préciser noyau et image.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1475]
[IMT] Soient $f,g\in\mathcal L(E)$ complexes et $fg-gf=\beta f$.
1. Montrer $fg^n-g^nf=n\beta g^n$.
2. En déduire que $g^n=0$ à partir d'un certain rang.
3. Montrer que $f,g$ ont un vecteur propre commun.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1476]
[CCINP] Soient $\varphi:E\to\C$ non nulle, $a\in\Ker\varphi\setminus\{0\}$ et $t(x)=x-\varphi(x)a$.
1. Rappeler qu'une symétrie est diagonalisable, avec quelles valeurs propres.
2. Montrer qu'une forme linéaire non nulle est surjective; construire $b\neq0$ avec $t(b)=b$.
3. Déterminer $\operatorname{Im}(t-\operatorname{id})$, $\Ker(t-\operatorname{id})$, le spectre et la diagonalisabilité de $t$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1477]
[CCINP] Soit $M=(m_{jk})\in M_n(\C)$ définie par $m_{jj}=0$, $m_{jk}=i$ si $j<k$ et $m_{jk}=-i$ si $j>k$, et soit $B$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. Pour $\lambda\in\C$, poser $A(\lambda)=\lambda I_n-M$ et $P(z)=\det(A(\lambda)+zB)$.
1. Pour $\alpha=e^{i\pi/n}$, calculer $\alpha^n$ et résoudre $z^n=-1$.
2. Montrer $(X-i,X+i)$ est une base de $\C_1[X]$.
3. Trouver $a,b$ dépendant de $\lambda$ tels que $P(z)=a(z-i)+b(z+i)$.
4. $M$ est-elle diagonalisable ?
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1478]
[CCINP] Sur $E=C^0(\R)$, poser $\varphi(f)(x)=x^{-1}\int_0^xf(t)dt$ si $x\neq0$ et $\varphi(f)(0)=f(0)$.
1. Montrer que $\varphi$ est linéaire et envoie $E$ dans $E$.
2. Étudier la stabilité de $\R[X]$ et $\R_n[X]$, l'injectivité et la surjectivité des applications induites.
3. Résoudre $\lambda xy'+(1-\lambda)y=0$ avec continuité en $0$, selon $\lambda\neq0$.
4. Déterminer les valeurs propres de $\varphi$ et des restrictions.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1479]
[CCINP] Si $f$ est de rang $1$ sur un espace complexe de dimension $n\geq2$, montrer $\chi_f(X)=X^{n-1}(X-\operatorname{tr}f)$ et que $f$ est diagonalisable ssi $\operatorname{tr}f\neq0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1480]
[CCINP] Soit $E$ réel de dimension impaire et $f+f^3=0$. Préciser le spectre, discuter l'automorphisme, et montrer $\operatorname{Im}f$ et $\Ker f$ supplémentaires.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1481]
[CCINP] Soient $A\in M_{20,5}(\R)$ et $B=A^TA$. Montrer $B$ diagonalisable sur $\R$, que $0$ est valeur propre, et donner une borne sur la dimension du noyau.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1482]
[CCINP]
1. Pour $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$, montrer que l'endomorphisme associé est autoadjoint, trouver ses valeurs propres et une base propre orthonormée.
2. Pour $u$ autoadjoint de spectre ordonné $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$, montrer $\langle u(x),x\rangle=\sum\lambda_kx_k^2$ dans une base propre orthonormée et $\lambda_n=\max_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.
#+end_exercice

** Analyse

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1483]
[CCINP] Une suite $(u_n)$ est adaptée à $f$ si $u_nf(nx)=\sum_{j=0}^{n-1}f(x+j/n)$.
1. Montrer que les fonctions $1$ et $x-1/2$ appartiennent à $E$ avec suites adaptées respectives $u_n=n$ et $u_n=1$.
2. Si $f\neq0$ admet une suite adaptée, montrer son unicité. Si $f\in C^p$ et $f^{(p)}\neq0$, montrer que les dérivées $f^{(k)}$ sont dans $E$ et relier les suites adaptées.
3. Définir les polynômes $B_0=1$, $B'_p=pB_{p-1}$, $\int_0^1B_p=0$. Calculer $B_1,B_2$, leurs degrés et montrer $B_p\in E$ avec sa suite adaptée.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1484]
[IMT] Soit $E=\{f\in C^0(\R): f(2x)=1+\int_0^x(x-t)f(2t)dt\}$.
1. Montrer que $f\in E$ implique $f$ dérivable et exprimer $f'$.
2. En déduire une équation différentielle linéaire d'ordre 2.
3. Déterminer $E$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1485]
[CCINP] Poser $f(x)=\sum_{n\geq1}(-1)^n/(x+n)$.
1. Déterminer son domaine et montrer la continuité sur $\R_+$.
2. Montrer $\sum_{n\geq0}(-1)^n/(x+n)\sim1/x$ quand $x\to0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1486]
[CCINP] Pour $f_n(x)=x/[n(1+n^2x^2)]$ :
1. Dresser son tableau de variations.
2. Pour $f=\sum_{n\geq1}f_n$, déterminer le domaine et étudier la continuité.
3. Étudier $\sum f_n'$ et la régularité de $f$ sur $\R^*$.
4. Pour $x>0$, montrer $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\geq\displaystyle\int_x^{+\infty}\dfrac{du}{2u(1+u^2)}$ et étudier la dérivabilité en $0^+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1487]
[IMT] Développer en série entière $x\mapsto\int_0^1\arctan(xt)\,dt$ et préciser le rayon.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1488]
[CCINP] Pour $f(x)=\ln(1+x)/x$, préciser le domaine, prolonger en $0$, puis montrer par série entière que $f\in C^\infty$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1489]
[IMT] Soit $u_0=1$, $u_{n+1}=\sum_{k=0}^nu_ku_{n-k}$. Trouver $u_n$ en étudiant $f(x)=\sum_{n\geq0}u_nx^n$ et $xf(x)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1490]
[CCINP] Poser $I_n=\int_0^1x^n/(1+x)\,dx$.
1. Étudier la convergence de $(I_n)$ et calculer la limite.
2. Calculer $I_n+I_{n+1}$.
3. Déterminer $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}/k$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1491]
[IMT] Soit $f\in C^1([0,1],\R_+)$ et $I_n=\int_0^1\sin(f(t)/n)dt$.
1. Déterminer la limite de $I_n$.
2. Donner un équivalent puis un développement à deux termes.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1492]
[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^2+t^n}$. Justifier l'existence et déterminer la limite.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1493]
[Actuariat] Poser $f(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt$.
1. Montrer que $f$ est définie pour $x>0$.
2. Montrer sa convexité directement par définition, puis par la dérivée seconde.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1494]
[CCINP] Rappeler $\arctan t\leq t$ pour $t\geq0$. Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\arctan(t)dt$, déterminer le domaine et la limite en $+\infty$, puis établir $xf(x)=\int_0^\infty e^{-xt}/(1+t^2)dt$ et calculer la limite de $xf(x)$ en $0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1495]
[CCINP] Pour $F(x)=\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}e^{-tx}dt$, montrer $|\sin t|\leq|t|$, justifier l'existence et étudier la continuité sur $\R_+$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1496]
[CCINP] Montrer la convergence et calculer $\int_0^\infty\frac{\ln t}{1+t^2}dt$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1497]
[CCINP] Pour $f(x,y)=x^2+y^2$, étudier les points critiques et extrema, déterminer les équipotentielles et représenter $z=f(x,y)$.
#+end_exercice

** Probabilités

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1498]
[IMT]
1. Déterminer $a>0$ pour que $(a/(i!j!))_{(i,j)\in\N^2}$ soit une loi.
2. Pour $\P(X=i,Y=j)=a/(i!j!)$, déterminer les lois marginales et l'indépendance.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1499]
[IMT] Soit $X$ intégrable avec $\E(X)\neq0$. Pour $A$, poser $\P_X(A)=\E(\mathbf1_AX)/\E(X)$.
1. Calculer $\E(\mathbf1_A)$.
2. Si $X\sim\mathcal P(\lambda)$ et $A=2\N$, calculer $\P(A)$ et $\P_X(A)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1500]
[IMT] Deux urnes contiennent respectivement $(2\,blanches,3\,noires)$ et $(4\,blanches,3\,noires)$. Choisir une urne, tirer avec remise, puis tirer au tour suivant dans $U_1$ après une blanche et $U_2$ après une noire. Pour $p_n=\P(B_n)$, calculer $p_1$, établir une récurrence et expliciter $p_n$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1501]
[CCINP] Soit $U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité, $X$ uniforme sur $U_n$.
1. Montrer $\sum_{k=0}^{n-1}z_k=0$.
2. Calculer $\E(X),\E(\overline X),\E(|X|^2)$.
3. Pour $(X_i)$ i.i.d. de même loi, calculer $\E(|S_p|^2)$ où $S_p=\sum_{k=1}^pX_k$, puis illustrer Markov.
4. Pour $T_p=\prod_{k=1}^pX_k$, montrer que $T_p$ a la loi de $X$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1502]
[CCINP] Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire une boule de numéro $k$ ; si $k=1$, on s'arrête, sinon on retire les boules numérotées de $k$ à $n$ et on recommence. Soient $I_n$ le premier numéro tiré et $X_n$ le nombre de tirages jusqu'à obtenir la boule $1$.
1. Donner la loi et l'espérance de $I_n$.
2. Déterminer les valeurs prises par $X_n$.
3. Donner la loi et l'espérance de $X_2$.
4. Calculer $\P(X_n=1)$ et montrer $\P(X_n=n)=1/n!$.
5. Pour $2\leq j\leq n$, montrer $\P(X_n=j)=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\P(X_k=j-1)$.
6. Montrer $\E(X_n)=\E(X_{n-1})+1/n$ et en déduire $\E(X_n)$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [Autres écoles PC 2026 # 1503]
Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. Déterminer la loi de $U=\min(X,Y)$.
#+end_exercice

* De Christophe                                                        :xens:

# ID:9071
#+begin_exercice [ENS SR 2026]
On munit $\R^2$ d'une norme $\|\cdot\|$. On note $B = \{x \in \R^2, \|x\| \le 1\}$ et
$$\Delta_3(B) = \sup_{x,y,z \in B} \min(\|x - y\|, \|y - z\|, \|x - z\|)$$
 1. Montrer que $\Delta_3(B)$ est atteint.
 2. Montrer que $\Delta_3(B) \le 2$.
 3. Calculer $\Delta_3(B)$ pour chacune des normes $\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_2$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 - Trivial.
 - Trivial.
 - Pour $\lN \cdot \rN_2$, se placer en un minimum.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS SR 2026]
Soit $a > 0$. On considère l'équation différentielle
$$y_a''(t) = \frac{1}{2y_a(t)^{1+a}}, y_a(0) = 1, y_a'(0) = 0$$
On suppose qu'il existe $T_a$ et $y_a \in C^2([0, T_a[, \R^+)$ solution telle que $T_a = +\infty$ ou $y_a(t) + \frac{1}{y_a(t)} \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$.
 1. Trouver une relation entre $(y_a')^2$ et $y_a$.
 2. Montrer que le cas $\frac{1}{y_a(t)} \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$ est impossible pour $T_a$ fini.
 3. Montrer que le cas $y_a(t) \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$ est impossible pour $T_a$ fini.
 4. Montrer que $y_a$ est strictement croissante sur $\R^+$ et de limite $+\infty$ en $+\infty$.
 5. Donner un équivalent de $y_a$ en $+\infty$.
 6. Question bonus : lemme de Gronwall
#+end_exercice

# ID:9075
#+begin_exercice [ENS U 2026]                                                  :todo:
 1. On considère un sous-groupe $G$ de $\Z/n\Z$. Soit $\varphi \colon G \to \Z/n\Z$ un morphisme de groupe. Montrer qu'il existe un morphisme $\psi \colon \Z/n\Z \to \Z/n\Z$ tel que $\forall x \in G, \psi(x) = \varphi(x)$.
 2. Soit $(G, +)$ un groupe fini, commutatif. Montrer qu'il existe $n \in \N^*$ tel que $\forall x \in G, n.x = 0$ et $n$ minimal pour la division. Montrer qu'il existe un sous-groupe $H$ de $G$ tel que $G = \Z/n\Z \oplus H$.
 3. Montrer que tout groupe fini commutatif est isomorphe à un unique groupe de la forme $\prod \Z/d_i\Z$, où $\forall i,\, d_i \mid d_{i+1}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Écrire $G = \langle x\rangle$, et $\phi(x)$ doit vérifier…
 2. On veut construire un morphisme $G\ra \Z/n\Z$ qui étend celui de $\langle x\rangle$.

    On procède petit à petit. Si $y\not\in \langle x\rangle$, on a déjà un morphisme de $\langle y\rangle \cap \langle x\rangle\ra \Z/n\Z$, que l'on peut étendre à $\langle y\rangle$, donc à $\langle x, y\rangle$.
#+END_proof


# ID:9076
#+begin_exercice [ENS PSLR 2026]
 1. Soit $(c_n) \in [0, 1]^\N$. Montrer que
    $$\prod_{i=0}^{n-1} (1 - c_i) \le e^{-\sum_{i=0}^{n-1} c_i}$$
 2. Soit $f \in C^2(\R^2, \R)$ telle qu'il existe $\alpha > 0$ et $m \ge \alpha$ vérifiant
    $$\forall x \in \R^2, H_f(x) - \alpha I_n \in S_n^{++}(\R) \text{ et } m I_n - H_f(x) \in S_n^{++}(\R)$$
    Montrer que $\exists! x^* \in \R^2, \nabla f(x^*) = 0$.
 3. Soient $x_0 \in \R^2$ et $s > 0$. On définit
    $\forall n \ge 0, x_{n+1} = x_n - s\nabla f(x_n)$
    Montrer que
    $$\|x_{n+1} - x^*\| \le \max((1 - \alpha s)^2, (1 - ms)^2)\|x_n - x^*\|^2$$
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. trivial.
 2. Unicité claire, existence aussi via un élément dont la valeur de $f$ est minimale. En partant de $\nabla f(0)$, on est convexe dans chaque direction (avec un contrôle explicite), donc on sait que sur une boule éloignée, on est grand.
 3. $x_{n+1} - x^* = (I_2 - s \nabla f(x_n)) (x_n - x^*)$, et appliquer taylor lagrange pour $\nabla f(x_n)$.
#+END_proof


# ID:9077
#+begin_exercice [ENS 2026 L]
Soit $(p_k)_{k\in\N^*}$ une suite à valeurs dans $[0, 1]$, et soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p_k$.

Montrer que, pour toute distribution de probabilité $(q_i)_{i\in\N}$, il existe une suite de fonctions $f_n \colon \{0, 1\}^n \longrightarrow \N$ telle que la suite de variables aléatoires $(f_n(X_1, \dots, X_n))_{n\in\N^*}$ converge presque sûrement vers une variable aléatoire $X$ de loi $(q_i)$ si et seulement si la série $\sum_{k=1}^{+\infty} p_k(1 - p_k)$ diverge.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
Si les $p_k$ valent $\frac{1}{2}$ (alors $\sum p_k(1-p_k)$ diverge),
étant donné une loi $(q_i)$, on découpe $[0,1]$ suivant les $q_i$, et
suivant $\frac{1}{2^n}$, on choisit aussi une bijection de
$\{0,1\}^n\ra \db{0, 2^n-1}$, et cela définit $f_n$ qui marche, pour
une convergence en loi. Pour une convergence presque sûr, hm, oui ça
marche aussi (du moment que $X_n$ est le bit faible).

On peut supposer que les $p_k\leq \frac{1}{2}$, auquel cas l'hypothèse
est la divergence, ou convergence de $\sum p_k$.

Si $\sum p_k$ diverge, alors $\prod (1-p_k)$ tend vers $0$, donc quand
on découpe naturellement $[0,1]$ en morceau (obtenus en écrivant $1 =
(p_0 + (1-p_0)) (p_1 + (1-p_1)),\dots$, chaque morceau tend vers $0$,
ce qui suffit.

Réciproquement, si $\sum p_k$ converge, $\prod (1-p_k)$ converge, donc
l'évènement tous les $X_i$ donnent $1$ a une grosse probabilité, donc
si on converge vers une loi, au moins un des $q_i$ a une grosse probabilité.
#+END_proof


# ID:9072
#+begin_exercice [ENS U 2026]
Soient $m$ et $N$ dans $\N^*$. On considère $X_1, \dots, X_m$ variables aléatoires mutuellement indépendantes, respectivement à valeurs dans $E_1, \dots, E_m$ qui sont des parties de $\R$.
On suppose que $X_1 + \dots + X_m$ suit une loi uniforme sur $\db{0, N - 1}$. Les $X_i$ suivent-ils une loi uniforme ?
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 + On se ramène au cas où les $X_i$ sont à valeurs entières.
 + Quitte à translater $\db{0, N - 1}$, on peut supposer les $X_i$ positifs.
 + On est ramené à écrire $X^n \frac{X^m - 1}{X-1}$ comme un produit.
 + Ensuite, on prend le produit de deux polynômes $1 + \dots + X^{p-1}$ avec $p-1$ premier.
#+END_proof


#+begin_exercice [X 2026]
Soit $(A, +, \times)$ un anneau qui n'est pas un corps et vérifiant
$$\forall x \in A \setminus A^\times, \exists n_x \in \N^*, x = \sum_{k=2}^{2^{n_x}} x^k$$
 1. Montrer que $\forall x \in A \setminus A^\times, x + x = 0_A$. On pourra considérer $y_x = \sum_{k=1}^{2^{n_x}-1} x^k$.
 2. Montrer que $1_A + 1_A = 0_A$.
 3. Montrer que $\forall x \in A \setminus A^\times, x = x^2$. On pourra d'abord montrer que $x = x^{2^{n_x}+1}$.
#+end_exercice


#+begin_exercice [X 2026]
On pose $E = \C[X] \oplus \C[X]$. Soient $\varphi_1, \varphi_2 \in \mathcal{L}(E)$ tels que pour tous $r, s$ de $\N$,
$$\varphi_1(X^r, X^s) = (-X^{r+2}, X^s + X^{r+1}) \text{ et } \varphi_2(X^r, X^s) = (X^{s+1} + X^r, -X^{s+2})$$
 1. Déterminer les spectres de $\varphi_1$ et $\varphi_2$.
 2. $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont-ils des automorphismes de $E$ ?
 3. Mêmes questions avec $E = \C(X) \oplus \C(X)$.
 4. On pose $B_n = \{\varphi_{i_1} \circ \dots \circ \varphi_{i_n}, i_1, \dots, i_n \in \{1, 2\}\}$ pour $n \in \N^*$. Trouver le cardinal de $B_1, B_2, B_3$.
#+end_exercice

# ID:9073
#+begin_exercice [X 2026]
Soit $M \in \mathcal{M}_2(\R)$ vérifiant
$$\det(M^{2024} + I_2) = \det(M^{2024} - I_2) \text{ et } \det(M^{2026} + I_2) = \det(M^{2026} - I_2)$$
Montrer que $\quad\forall n \ge 1, \det(M^n + I_2) = \det(M^n - I_2)$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 $M$ est tri sup.
#+END_proof

# ID:9074
#+begin_exercice [ENS SR 2026]
On note $\mathbb{H}$ l'algèbre des quaternions sur $\R$. C'est un $\R$-espace vectoriel de dimension 4 muni d'une base canonique $(1, i, j, k)$ dont la multiplication est régie par :
$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$
Pour tout quaternion $z = a + bi + cj + dk \in \mathbb{H}$, on définit son conjugué par $\bar{z} = a - bi - cj - dk$. On admet que $\overline{wz} = \bar{z}\bar{w}$.
 1. Inversibilité dans $\mathbb{H}$. Montrer que tout élément non nul $z \in \mathbb{H}$ admet un inverse pour la loi de multiplication, et exprimer explicitement $z^{-1}$ en fonction de $\bar{z}$ et $N(z)$. En déduire que $\mathbb{H}$ est un corps non commutatif.
 2. Anneaux de Lipschitz et de Hurwitz. On note $\mathbb{H}(\Z) = \{a + bi + cj + dk \in \mathbb{H} \mid a, b, c, d \in \Z\}$. On pose $\delta = \frac{1+i+j+k}{2}$ et on définit $A = \mathbb{H}(\Z) + \Z\delta$. Montrer que $\mathbb{H}(\Z)$ et $A$ sont des sous-anneaux de $\mathbb{H}$.
 3. Lien avec la somme de quatre carrés. Soit $n \in \N$. Démontrer que $n$ s'écrit comme la somme de quatre carrés d'entiers si et seulement s'il existe un quaternion de Hurwitz $z \in A$ tel que $n = N(z)$.
 4. Structure euclidienne et application au théorème de Lagrange.
    1. Démontrer que l'anneau $A$ est euclidien (à droite) pour la norme $N$.
    2. Soit $p$ un nombre premier impair. On admet qu'il existe $x, y \in \Z$ tels que $x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod p$. Montrer que $p$ n'est pas irréductible dans $A$, puis qu'il existe $z \in A$ tel que $p = N(z)$.
    3. En déduire le théorème des quatre carrés de Lagrange.
    4. Démontrer la propriété admise.
#+end_exercice

# ID:9078
#+begin_exercice [X 2026]
Soit $(u_n)_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires telle que $u_1$ suit la loi uniforme sur $\db{1, N}$ ($N \in \N^*$ fixé) et pour $n \ge 1$, $u_{n+1}$ suit la loi uniforme sur $\db{1, u_n}$. On pose $E_N = \{u_i, i \ge 1\}$.
 1. Montrer que $\mathbb{P}(1 \in E_N) = 1$.
 2. Pour $k \in \db{1, N}$, on pose $p_{N,k} = \mathbb{P}(k \in E_N)$. Calculer $p_{N,k}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. L'évènement complémentaire est exactement la réunion, d'évènements $u_k = i$ et $\forall j\geq k,\, u_j = i$, chacun étant de probabilité nulle.
 2. Pour $N = 1$, trivial.

    Pour $N = 2$, on a $\P(2\in E_2) = \frac{1}{2}$.

    Par récurrence, on a ce qu'on veut.
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS SR 2026]
Soit $T > 0$ et $[a, b]$ un intervalle de $\R$. On considère une fonction $u : [a, b] \times [0, T] \to \R$ de classe $C^4$ solution de :
$$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}(x, t) - \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t) = 0 & \text{pour } (x, t) \in ]a, b[ \times ]0, T[ \\ u(a, t) = 0 \text{ et } u(b, t) = 0 & \text{pour tout } t \in [0, T] \end{cases}$$
où $\nu > 0$. On définit un maillage régulier : $\Delta x = \frac{b-a}{M+1}$ et $\Delta t = \frac{T}{N}$.
On note $u_j^n$ l'approximation de $u(x_j, t_n)$ par le schéma :
$$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - \nu \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{(\Delta x)^2} = 0$$
 1. En définissant $U^n = (u_1^n, \dots, u_M^n)^\top \in \R^M$, montrer que $U^{n+1} = AU^n$.
 2. On définit l'erreur de troncature $\varepsilon_j^n$. Montrer qu'il existe $C > 0$ telle que $\max |\varepsilon_j^n| \le C(\Delta t + (\Delta x)^2)$.
#+end_exercice

# ID:9079
#+begin_exercice [X 2026]
Soient $a, b \in \C$ avec $|a| > \sqrt{3}$ et $b \neq 0$ et $n \ge 3$ un entier. On note $B = \begin{pmatrix} a & b \\ \frac{1-a^2}{b} & -a \end{pmatrix}$ et pour $k \in \db{1, n - 1}$, $A_k = \text{diag}(I_{k-1}, B, I_{n-k-1}) \in \mathcal{M}_n(\C)$.
 1. Soient $k, k' \in \db{1, n - 1}$. Donner l'ordre du sous-groupe de $GL_n(\C)$ engendré par $A_k$ et $A_{k'}$.
 2. Trouver un vecteur propre commun à tous les $A_k$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On a $B^2 = I_2$.

    Si $|k-k'| = 1$, alors $A_k A_{k+11}$ a comme polynôme caractéristique $(X - 1)(X^2 + (a^2+1)X + 1)$, qui est d'ordre infini.
 2. On peut trouver un vecteur propre de valeur propre $1$ commun à tous les $A_k$
#+END_proof


#+begin_exercice [ENS PLSR 2026]
Soit $n \ge 1$ un entier. On considère $G_n = \{ \frac{j}{2^n} \mid j \in \{0, 1, \dots, 2^n - 1\} \}$. Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un échantillon de variables indépendantes uniformes sur $G_1, \dots, G_n$. Pour $\varphi : [0, 1] \to \R$, on définit $\hat{\varphi}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varphi(X_i)$. Soit $\mathcal{L}_1$ l'ensemble des fonctions 1-lipschitziennes de $[0, 1]$ dans $\R$.
 1. Montrer que $\sup_{\varphi \in \mathcal{L}_1} |\hat{\varphi}_n - \int_0^1 \varphi(x) \dx| \ge \frac{1}{2^{n+2}}$.
 2. Soit $M \ge 1$. Montrer que $\sup_{\varphi \in \mathcal{L}_1} |\hat{\varphi}_n - \int_0^1 \varphi(x) \dx| \le \frac{2}{M} + \sum_{m=1}^M |\frac{1}{n} \text{Card}\{i \mid X_i \in B_m\} - \frac{1}{M}|$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Pas d'aléa.
#+END_proof


# ID:9080
#+begin_exercice [X 2026]
Soient $f, g \colon \R \to \R$ telles que $\forall x \in \R, g(x) = 2f(x) + f(x^2)$.
 1. On suppose $g$ continue en $0$ et $f$ bornée au voisinage de $0$. Montrer que $f$ est continue en $0$.
 2. Donner un exemple où $g$ est continue en $0$ et $f$ discontinue en $0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. On a $f(x) = \frac{g(x)}{2} - \frac{g(x^2)}{4} + \frac{g(x^4)}{8}\dots$.
 2. Il faut donc que $f$ soit non bornée.

    On prend $g = 0$, et on peut poser $x = e^{-t}$ pour obtenir $h(2t) = - 2h(t)$.
#+END_proof


#+begin_exercice [X 2026]
Soit $P \in \C[X]$ tel que $\forall z \in \C, P(z) = 0 \implies \text{Im}(z) > 0$. On écrit $P = A + iB$ avec $A, B \in \R[X]$. Montrer que $A$ et $B$ sont scindés sur $\R$.
#+end_exercice

# ID:9082
#+begin_exercice [ENS L 2026]                                                  :todo:
Soit $f \colon x \mapsto x(1 + \ln |1 - |x||)$.
 1. Étudier $f$.
 2. Soit $(x_n)$ définie par $x_0 \in \R \setminus \{-1; 1\}$ et $x_{n+1} = f(x_n)$. Trouver les $x_0$ tels que $(x_n)$ soit 3-périodique.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. $f$ est impaire, asymptotes verticales en $\pm 1$, s'annule en $1 \pm e^{-1}$.

    Sur $[1,+\i[$, $f$ est croissante. Sur $\interval]{0,1, b}[$, $f$ est concave.
 2. On considère les intervalles $\interval]{1-e^{-1}, 1}[$, $\interval]{1, 1+e^{-1}}[$ et $\interval]{1+e^{-1}, +\i}[$.

    Sur l'intervalle $\interval]{0, 1-e^{-1}}[$, il est stable et $f(r)\lt r$ dessus.

    Sur les autres intervalles, on a $T'\gt 1$, donc $T^3 - \op{id}$ est strictement monotone.

    Chaque cycle doit passer par $\interval]{1+e^{-1}, +\i}[$. On énumère les cycles en énumérant les «trajectoires» possibles dans les trois intervalles précédents. On trouve $4$ cycles possibles, auquel il faut ajouter les points fixes $0$ et $2$.
#+END_proof


# ID:9081
#+begin_exercice [ENS PLSR 2026]
Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension $n$.
 1. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\forall x \in E, \exists \lambda \in \C, f(x) = \lambda x$. Que dire de $f$ ?
 2. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f$ n'est pas une homothétie. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice $M$ de $f$ vérifie $\forall i, M_{i,i+1} \neq 0$.
#+end_exercice

#+begin_exercice [ENS PLSR 2026]                                               :todo:
Soit $V$ un espace euclidien. Pour $B = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $V$, on note $L = \text{vect}_\Z(e_1, \dots, e_n)$.
 1. Montrer que $L = \{ \sum_{i=1}^n m_i e_i, m_i \in \Z \}$.
 2. Soit $B'$ une autre base. Montrer qu'elle engendre $L$ ssi la matrice de passage est dans $GL_n(\Z)$ avec un déterminant $\pm 1$.
 3. Justifier que $\lambda_1(L) = \min \{ \|x\|, x \in L \setminus \{0\} \}$ est bien défini.
 4. Montrer qu'il existe une base $(b_1, b_2)$ de $\R^2$ qui engendre $L$ avec $\|b_1\| = \lambda_1(L)$ et $\frac{|(b_1|b_2)|}{\|b_1\|^2} \le \frac{1}{2}$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1.
 2.
 3. C'est l'équivalence des normes. De manière élémentaire ?
#+END_proof


#+begin_exercice [X 2026]                                                      :todo:
Pour $n \in \Z$ et $x \in \R$, on pose $J_n(x) = \frac{1}{2\pi i^n} \int_0^{2\pi} e^{i(n\theta + x\cos\theta)} \dt\theta$.
 1. Montrer que $J_n(x) \in \R$ et relier $J_n$ et $J_{-n}$.
 2. DSE et équation différentielle vérifiée par $J_0$.
#+end_exercice
#+BEGIN_proof
 1. Pour le premier, développer $e^{i\theta}$ et poser $u = \pi + \theta$.

    Pour le second, $J_{-n}(-x) = J_n(x)$.
#+END_proof


#+begin_exercice [X 2026]                                                      :todo:
Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même lois telle que $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ avec $p \in ]0, 1[$. On pose $q = 1-p$, $S_n = X_1 + \dots + X_n$ et $T_n$ le nombre minimal d'expériences pour avoir $n$ échecs.
 1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que $\forall k \in \db{0, n}, (S_n \ge
    k) = (T_{n+1-k} \ge n + 1)$.
 2. Montrer que $\mathbb{P}(S_n \ge k) = {n \choose n - k} p^k
    q^{n-k+1} \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(n + 1)\dots(n + \ell)}{(k +
    1)\dots(k + \ell)} p^\ell$.
 3. Soit $j \ge 3$. On suppose $p = 1/2$. Montrer que
    $\mathbb{P}(S_{nj} \le n) \sim 2^{-jn} {jn \choose n}
    \frac{j-1}{j-2}$.
#+end_exercice


* Todoes                                                        :todo:ignore:
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