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Exercices 2025.org

@@ -2,7 +2,7 @@
 #+title:  Exercices 2025
 #+author: Sébastien Miquel
 #+date:   22-07-2025
-# Time-stamp: <30-06-26 11:54>
+# Time-stamp: <03-08-26 22:02>
 #+OPTIONS: toc:t
 
 * Meta                                                             :noexport:
@@ -14,7 +14,7 @@
 
 #+RESULTS:
 | ? | ! | todo | unexed | unexed xens |
-| 1 | 2 |    5 |   1323 |           5 |
+| 0 | 0 |    0 |   1318 |           0 |
 
 ** Options
 
@@ -1963,7 +1963,8 @@ limites. Sinon, on converge vers $F(ax + b)$, avec $a\neq 0$.
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [ENS L 2025 # 111]                                            :todo:
+# ID:9056
+#+begin_exercice [ENS L 2025 # 111]
 Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions de $[0,1]$ dans $]0,1]$,
 convergeant simplement vers une fonction $f$.
  1. Pour $n \ge 2$, on pose $t_n = \frac{1}{\ln n} \sum_{i=1}^n
@@ -1982,7 +1983,7 @@ convergeant simplement vers une fonction $f$.
     + $\forall x \lt  x_0, \ \exists C_x \gt  0, \ \exists n_0 \in \N^*, \ \forall n \ge n_0, \ f_n(x) \le e^{-C_x n};$
     + $\forall x \gt  x_0, \ f(x) \ge x - x_0$.
 #+end_exercice
-#+BEGIN_proof                                                          :todo:
+#+BEGIN_proof
  1. Sans difficultés.
  2. Soit $x \in [0, 1/2[$.
 
@@ -1999,7 +2000,13 @@ convergeant simplement vers une fonction $f$.
 
     Le même raisonnement, en intégrant de $x$ à $y$, donne $f_n(x) \le e^{-C_x n}$ avec $C_x = \frac{y - x}{M} \gt 0$.
 
-    Soit $x \gt x_0$.
+    Soit $x \gt x_0$. On a $\sigma_n(x)\tend{n\ra + \i} \i$ et
+    $\sigma_n'(x) \geq \sum_{k=1}^{n-1} \frac{k f_k(x)}{\sigma_k(x)}\geq \sum_{k=1}^{n-1} f_k(x)\geq \sigma_n(x) - 1$.
+
+    Donc, pour $x_0\lt y\lt x$, on a $\sigma_n(x)\geq (\sigma_n(y) - 1) e^{x-y}  +1$, donc $f(x)\geq f(y) e^{x-y}$, donc $f$ ne s'annule pas.
+
+
+
 
 #+END_proof
 
@@ -2494,8 +2501,6 @@ $1$ aurait plusieurs antécédents par un même $\sigma_k$).
 
 Naturellement, sous la condition $N_1$, la probabilité que ces éléments soient tous distincts est $\frac{(n-1)!}{(n-1)^{n-1}}$ qui tend vers $0$.
 
-Formellement : !!
-
 Enfin, l'énoncé demande $\P(G \mid \bigcup_{i=1}^n N_i) = \frac{\P\big(G \cap \bigcup_{i=1}^n N_i\big)}{\P\big(\bigcup_{i=1}^n N_i\big)} = \frac{\P\big(\bigcup (N_i \cap G)\big)}{\P\big(\bigcup_{i=1}^n N_i\big)}$. Comme les évènements $N_i$ sont disjoints, et que les $\P(N_i)$ et les $\P(G\cap N_i)$ sont égaux, on obtient que $\P(G\mid N) = \P(G\mid N_1)$.
 #+END_proof
 
@@ -2652,32 +2657,58 @@ Soient $(X_k)_{k \in \N^*}$ une suite de variables de Rademacher indépendantes
  1. Déterminer le temps moyen d'arrêt (en $0$ ou $N$ cette fois) en partant de $k$.
 #+end_exercice
 
-#+begin_exercice Inégalité de Khintchine [ENS P 2025 # 154]                              :todo:
+#+call: get_exa(9058)
+#+BEGIN_exercice Inégalité de Khintchine [ENS P 2025]
 On considère $n$ variables aléatoires de Rademacher indépendantes
-$(\eps_i)_{1\leq i\leq n}$. Montrer que, pour tout réel $p \gt 0$, il
+$(\eps_i)_{1\leq i\leq n}$. On veut montrer que, pour tout réel $p \gt 0$, il
 existe $(c_p, C_p) \in (\R_+^*)^2$ indépendant de $n \in \N^*$ tel
 que, pour tout $(z_1, \ldots z_n) \in \C^n$,
 $$c_p \left(\sum_{i=1}^n |z_i|^2\right)^{\frac{1}{2}} \leq \left(\mathbf{E} \left|\sum_{i=1}^n \eps_i z_i\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq C_p \left(\sum_{i=1}^n |z_i|^2\right)^{\frac{1}{2}}.$$
-#+end_exercice
+ 1. Établir l'inégalité pour $p = 4$.
+ 2. Établir l'inégalité pour tout $p \geq 2$.
+ 3. Établir l'inégalité pour $p = 1$.
+ 4. Établir l'inégalité pour tout $p\gt 0$.
+#+END_exercice
 #+BEGIN_proof
-On prend $p = 2$. C'est vide.
+Notons $S = \sum_{i=1}^n \eps_i z_i$ et $\Sigma = \left(\sum_{i=1}^n |z_i|^2\right)^{\frac{1}{2}}$.
+Puisque les $\eps_i$ sont indépendantes, centrées et de variance $1$, on a $\mathbf{E}[|S|^2] = \sum_{i,j} z_i \overline{z_j} \mathbf{E}[\eps_i \eps_j] = \sum_{i=1}^n |z_i|^2 = \Sigma^2$.
+Ainsi, $\|S\|_2 = \Sigma$.
+ 1. L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne $\mathbf{E}[|S|^2] \leq \sqrt{\mathbf{E}[|S|^4]}$. On a donc $\Sigma \leq \|S\|_4$, ce qui donne $c_4 = 1$.
+    Pour la majoration, on développe le moment d'ordre 4 :
+    $$\mathbf{E}[|S|^4] = \sum_{i,j,k,l} z_i \overline{z_j} z_k \overline{z_l} \mathbf{E}[\eps_i \eps_j \eps_k \eps_l]$$
+    Par indépendance des $\eps_i$, l'espérance vaut $1$ si les indices forment des paires, et $0$ sinon. Les cas possibles non nuls se regroupent en :
 
-On prend $p = 1$. On sait que $(\E \big|\sum \eps_i z_i\big|)^2\leq \E\big( |z_i|^2\big)$ par Cauchy-Schwarz.
+    + $i=j=k=l$ : donne $\sum_i |z_i|^4$
+    + $i=j \neq k=l$, $i=l \neq j=k$ ou $i=k \neq j=l$.
+    En utilisant $|z_i^2 \overline{z_j}^2| \leq |z_i|^2 |z_j|^2$ et en majorant le tout, on obtient :
+    $$\mathbf{E}[|S|^4] \leq 3 \sum_{i,j} |z_i|^2 |z_j|^2 = 3 \Sigma^4$$
+    Ainsi, $\|S\|_4 \leq 3^{1/4} \Sigma$, d'où l'on peut choisir $C_4 = 3^{1/4}$.
+ 2. Pour $p \geq 2$, la croissance des normes assure que $\|S\|_p \geq \|S\|_2 = \Sigma$, donc $c_p = 1$ convient.
+    De plus, en développant $\mathbf{E}[|S|^{2^k}]$ de façon analogue, on peut majorer ce moment par un multiple de $\Sigma^{2^k}$, assurant l'existence d'une constante $C_{2^k}$.
+    Puisque $p \mapsto \|S\|_p$ est croissante (car $\phi\colon x \mapsto x^{q/p}$ est convexe), pour $p \geq 2$ quelconque, il suffit de choisir un entier $k$ tel que $2^k \geq p$ pour obtenir $\|S\|_p \leq \|S\|_{2^k} \leq C_{2^k}\Sigma$, ce qui prouve l'existence de $C_p$.
+ 3. La croissance des normes donne $\|S\|_1 \leq \|S\|_2 = \Sigma$, d'où $C_1 = 1$.
 
-On a, pour un nombre complexe, $|z+u| + |z-u|\geq 2\max (|z|, |u|)$ par IT. On en déduit que $\E(|X_1 + X_2|)\geq \max \E(|X_1|), \E(|X_2|)$, ce qui est insuffisant.
+    Pour la minoration, on applique Cauchy-Schwarz à $|S|^{1/2}$ et $|S|^2$ : (En fait, on se débrouille pour avoir $l^c \leq (l^1)(l^d)$, avec $c,d\geq 2$).
 
-Assume not. Pour que $\E(|U|)\lt\lt \sqrt{\E(|U|^2)}$, il faut que $|U|$ prennent des valeurs très grandes, avec une petite probabilité : $\E(|U|) = G\eps$, et $\sqrt{\E(|U|^2)} = \sqrt{\eps} G$.
+    $$\mathbf{E}[|S|^{5/2}] = \mathbf{E}[|S|^{1/2} |S|^2] \leq \sqrt{\mathbf{E}[|S|] \mathbf{E}[|S|^4]}$$
+    Comme $\frac{5}{2} \geq 2$, la croissance des normes $L^q$ assure que $\|S\|_2 \leq \|S\|_{5/2}$, c'est-à-dire $\mathbf{E}[|S|^2]^{5/4} \leq \mathbf{E}[|S|^{5/2}]$. En élevant au carré, il vient :
+    $$\Sigma^5 = \mathbf{E}[|S|^2]^{5/2} \leq \mathbf{E}[|S|] \mathbf{E}[|S|^4]$$
+    Or $\mathbf{E}[|S|^4] \leq C_4^4 \Sigma^4 = 3\Sigma^4$. En simplifiant par $\Sigma^4$, on en déduit $\Sigma \leq 3 \mathbf{E}[|S|]$, d'où $c_1 = \frac{1}{3}$.
 
-Si on prend $n = 1$, c'est trivial. Si on prend $n = 2$. En préservant la norme deux, on peut mettre un $\sin \theta,\cos \theta$.
+    Une alternative plus classique consiste à appliquer Hölder : $L^2
-
+    \le (L^1)^{1/3} (L^4)^{2/3}$.
- $\E|\eps_1 z_1 h_1(t) + \eps_2 z_2 h_2(t)|$ on veut minimiser l'espérance.
+ 4. Le cas $p \geq 2$ a été traité à la question 2. Pour $p \in ]0, 2[$, on a trivialement $\|S\|_p \leq \|S\|_2 = \Sigma$, donc $C_p = 1$.
- $= |z_1h_1(t) + z_2 h_2(t)| + |z_1 h_1(t) - z_2 h_2(t)|$
+    Pour la minoration, on généralise l'astuce de la question 3 en appliquant Cauchy-Schwarz à $|S|^{p/2}$ et $|S|^2$ :
-
+    $$\mathbf{E}[|S|^{\frac{p+4}{2}}] = \mathbf{E}[|S|^{p/2} |S|^2] \leq \sqrt{\mathbf{E}[|S|^p] \mathbf{E}[|S|^4]}$$
-Relier à 7489, et une version avec du $p$ entier, où on développe : le 7348.
+    Puisque $p \gt 0$, on a $c = \frac{p+4}{2} \gt 2$. La croissance des normes $L^q$ garantit $\mathbf{E}[|S|^2]^{c/2} \leq \mathbf{E}[|S|^c]$, ce qui donne en élevant au carré :
-
+    $$\Sigma^{p+4} = \mathbf{E}[|S|^2]^{\frac{p+4}{2}} \leq \mathbf{E}[|S|^p] \mathbf{E}[|S|^4]$$
-À réfléchir.
+    En injectant $\mathbf{E}[|S|^4] \leq C_4^4 \Sigma^4$, on obtient $\Sigma^{p+4} \leq \mathbf{E}[|S|^p] C_4^4 \Sigma^4$, soit en simplifiant :
+    $\Sigma^p \leq C_4^4 \mathbf{E}[|S|^p]$
+    On obtient $\Sigma \leq C_4^{4/p} \|S\|_p$, ce qui permet de choisir $c_p = C_4^{-4/p}$.
 #+END_proof
+#+BEGIN_indication
 
+#+END_indication
 
 # ID:8866
 #+begin_exercice [ENS L 2025 # 155]
@@ -4349,7 +4380,8 @@ Soit $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie. Montrer que tout convexe n
 #+end_exercice
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2025 # 297]                                             :todo:
+# ID:nil
+#+begin_exercice [X MP 2025 # 297]
 Pour $k \in \N^*$, soit $R_k$ la borne inférieure de l'ensemble $E_k$
 des $r \in \R_+^*$ tels qu'il existe une boule fermée de $\R^2$
 euclidien de rayon $r$ contenant au moins $k$ points de $\Z^2$.
@@ -4390,7 +4422,7 @@ euclidien de rayon $r$ contenant au moins $k$ points de $\Z^2$.
 
     Cette fonction vérifie une propriété de symétrie.
 
-    Super dur !!
+    Super dur.
  4. Simple.
 #+END_proof
 
@@ -4686,7 +4718,8 @@ Soit $s\colon \R \ra \R$ telle que $(*): \forall x \in \R, s(x+1) = s(x) + \frac
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2025 # 316]                                             :todo:
+# ID:9053
+#+begin_exercice [X MP 2025 # 316]
  1. Soit $f \in \mc C^0(\R, \R)$. Montrer que $f$ est affine si et seulement si, pour tout réel $x$, on a $\frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2} \underset{h \ra 0^+}{\longrightarrow} 0$.
  2. Et si $f$ n'est pas continue ?
 #+end_exercice
@@ -4699,7 +4732,14 @@ Soit $s\colon \R \ra \R$ telle que $(*): \forall x \in \R, s(x+1) = s(x) + \frac
     Si $f$ est $\mc C^2$, cela donne bien que $f''$ s'annule sur un
     ensemble dense.
 
+    Si $f$ admet un minimum en un point, on peut montrer que sa dérivée s'annule.
 
+    Soient $a,b$. On suppose $f(a) = f(b) = 0$. S'il existe un point
+    $x_0$ en lequel $f\gt 0$. Alors, c'est encore vrai en retirant à
+    $f$ une expression quadratique $g(x) = f(x) - \eps (x-a) (b-x)$.
+    Celle-ci admet donc un maximum.
+
+    En ce point, on obtient $\frac{g(x+h) + g(x-h) - 2g(x)}{h^2}\leq 0$, or c'est $\eps + \frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2}$, contradiction.
  2. Il suffit de prendre $f(x) = \a$ si $x\gt 0$ et $-\a$ sinon.
 #+END_proof
 
@@ -4913,13 +4953,20 @@ Quand tu intègres,…
 #+END_proof
 
 
-#+begin_exercice [X MP 2025 # 333]                                             :todo:
+# ID:9057
+#+begin_exercice [X MP 2025 # 333]
  2. Soit $(a_n)_n \in (\N^*)^{\N}$ telle que $I \in \mc{P}_f(\N) \mapsto \sum_{n \in I} a_n$ soit injective, $\mc{P}_f(\N)$ désignant l'ensemble des parties finies de $\N$. Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{1}{a_n} \leq 2$.
  3. Soit $(a_n)_n \in (\N^*)^{\N}$ telle qu'il n'existe pas d'entier $n$ ni de partie finie $I$ de $\N \setminus \{n\}$ telle que $a_n = \sum_{k \in I} a_k$. Montrer que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{a_n} \le 50$.
 #+end_exercice
 #+BEGIN_proof
- 2.
+ 1. On a $s_n = \sum_{i=0}^{n-1} a_i \geq 2^n - 1$, peut-être que cela suffit ?
- 3.
+
+    Si $(a_i)$ vérifie cela, et a une somme d'inverse $\sum_{i=0}^{n_0} \frac{1}{a_i}\gt 2$, il existe $a_0,\dots, a_{n_0}$ qui vérifie les $\sum_{i=0}^{n-1} a_i \geq 2^n - 1$ et pour laquelle la somme d'inverse est maximale, mais alors, toute les inégalités doivent être des égalités.
+ 2. Si on avait une contradiction, on aurait une contradiction finie,
+    et on pourrait minimiser $a_n$. On se ramène donc au cas où chaque
+    $a_i$ est le premier élément qui ne soit pas une somme des
+    précédents : NON, faux, en diminuant $a_n$, un autre entier
+    pourrait devenir somme de $a_n$ et d'un autre.
 #+END_proof
 
 
@@ -11813,7 +11860,7 @@ b) Montrer que $\sum_{k=1}^{n} \ln(k) = n \ln(n) n + O(\ln(n))$.
 c) Soient $(a_k)_{k\geq 2}$ une suite réelle et $b:[2,+\infty[\to\mathbb{R} \text{ de classe } \mathcal{C}^1. \text{ On pose } A(t)=\sum_{k=1}^{\lfloor t\rfloor}a_k$
 pour $t\geq 2$. Montrer que $\sum_{k=2}^n a_k b(k)=A(n)b(n)-\int_2^n b'(t)A(t)\,\mathrm{d}t$ pour tout entier $n\geq 2$.
 d) On note $\mathcal{P}$ l'ensemble des nombres premiers. On pose $R: t>1 \mapsto \sum_{p\in\mathcal{P},\ p\leqslant t} \frac{\ln p}{p} \ln(t)$.
-Montrer que $\sum_{p \in \mathcal{P}, p \leqslant n} \frac{1}{p} = 1 + \ln(\ln n) \ln(\ln 2) + \frac{R(n)}{\ln n} + \int_2^n \frac{R(t)}{t(\ln t)^2} \, \mathrm{d}t \text{ pour tout entier } t = 1 + \ln(\ln n) \ln(\ln 2) + \frac{R(n)}{\ln n} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{??}$
+Montrer que $\sum_{p \in \mathcal{P}, p \leqslant n} \frac{1}{p} = 1 + \ln(\ln n) \ln(\ln 2) + \frac{R(n)}{\ln n} + \int_2^n \frac{R(t)}{t(\ln t)^2} \, \mathrm{d}t \text{ pour tout entier } t = 1 + \ln(\ln n) \ln(\ln 2) + \frac{R(n)}{\ln n} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{t(\ln t)^2} + \frac{R(n)}{?}$
 e) Montrer qu'il existe une constante $C$ telle que $\sum_{p \in \mathcal{P}, n \leq p} \frac{1}{p} = \ln(\ln n) + C + O\left(\frac{1}{\ln n}\right)$ quand $n \to +\infty$.
 #+end_exercice