Plus que 5…
This commit is contained in:
+84
-20
@@ -2,7 +2,7 @@
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#+title: Exercices 2025
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#+author: Sébastien Miquel
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#+date: 22-07-2025
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# Time-stamp: <30-06-26 09:07>
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# Time-stamp: <30-06-26 11:54>
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#+OPTIONS: toc:t
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* Meta :noexport:
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@@ -14,7 +14,7 @@
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#+RESULTS:
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| ? | ! | todo | unexed | unexed xens |
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| 2 | 3 | 14 | 1333 | 15 |
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| 1 | 2 | 5 | 1323 | 5 |
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** Options
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@@ -1982,9 +1982,25 @@ convergeant simplement vers une fonction $f$.
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+ $\forall x \lt x_0, \ \exists C_x \gt 0, \ \exists n_0 \in \N^*, \ \forall n \ge n_0, \ f_n(x) \le e^{-C_x n};$
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+ $\forall x \gt x_0, \ f(x) \ge x - x_0$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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#+BEGIN_proof :todo:
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1. Sans difficultés.
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2. La condition sur $\sigma_n(1/2)$ assure $f(1/2) = 0$.
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2. Soit $x \in [0, 1/2[$.
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Comme les $f_i$ sont positives et croissantes, pour tout $t \in [x, 1/2]$, $\sigma_n(t) \le \sigma_n(1/2) \le M$.
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De l'hypothèse $f_n' \ge \frac{nf_n}{\sigma_n}$, on tire $\frac{f_n'(t)}{f_n(t)} \ge \frac{n}{M}$.
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En intégrant cette inégalité de $x$ à $1/2$ : $\ln f_n(1/2) - \ln f_n(x) \ge \frac{n}{M} (1/2 - x)$
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Puisque $f_n \le 1$, on a $\ln f_n(1/2) \le 0$, ce qui donne $f_n(x) \le e^{-C_x n}$ avec $C_x = \frac{1/2 - x}{M} \gt 0$.
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3. Posons $x_0 = \sup \{ x \in [0,1] \mid \sup_n \sigma_n(x) \lt +\i \}$.
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Pour $x \lt x_0$, il existe $y \in \interval]{x, x_0}[$ tel que $M = \sup_n \sigma_n(y) \lt +\i$.
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Le même raisonnement, en intégrant de $x$ à $y$, donne $f_n(x) \le e^{-C_x n}$ avec $C_x = \frac{y - x}{M} \gt 0$.
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Soit $x \gt x_0$.
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#+END_proof
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@@ -2578,7 +2594,8 @@ Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace proba
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Montrer que $H(p,q) \ge 0$. Que dire si $H(p,q) = 0$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 152] :todo:
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# ID:9028
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 152]
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On considère $r_0 = 0$ et $(r_i)_{i \in \N^*} \in [0, 1]^{\N^*}$. Pour
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$(i, j) \in \N^* \times \N$, on pose $p_{i,j} = r_i$ si $j = i + 1,
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1 - r_i$ si $j = i - 1$ et $0$ sinon. On admet l'existence d'une
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@@ -2596,6 +2613,30 @@ Soit $b \in \N$. Calculer, pour $i \in \db{0,b}$, $\hat{p_i} =
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\mathbf{P}(\tau_0^i \lt \tau_b^i)$ en fonction des $\gamma_k =
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\prod_{i=1}^k \frac{1 - r_i}{r_i}$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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C'est une forme de ruine du joueur. Chercher une récurrence sur $\tilde{p}_i$.
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Pour $i \in \db{1,b-1}$, en appliquant la formule des probabilités totales selon le premier pas de la marche, on obtient :
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$$\hat{p}_i = r_i \hat{p}_{i+1} + (1 - r_i) \hat{p}_{i-1}$$
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Puisque $r_i + (1 - r_i) = 1$, on peut réécrire cette relation sous la forme :
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$$r_i(\hat{p}_{i+1} - \hat{p}_i) = (1 - r_i)(\hat{p}_i - \hat{p}_{i-1})$$
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soit $\hat{p}_{i+1} - \hat{p}_i = \frac{1 - r_i}{r_i} (\hat{p}_i - \hat{p}_{i-1})$.
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Par une récurrence immédiate, on en déduit pour tout $k \in \db{0,b-1}$ :
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$$\hat{p}_{k+1} - \hat{p}_k = \gamma_k (\hat{p}_1 - \hat{p}_0)$$
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en adoptant la convention $\gamma_0 = 1$ (produit vide).
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En sommant ces relations de $k=0$ à $i-1$, on obtient un télescopage :
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$$\hat{p}_i - \hat{p}_0 = (\hat{p}_1 - \hat{p}_0) \sum_{k=0}^{i-1} \gamma_k$$
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Pour $i = b$, comme $\hat{p}_b = 0$ et $\hat{p}_0 = 1$, on trouve :
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$$-1 = (\hat{p}_1 - \hat{p}_0) \sum_{k=0}^{b-1} \gamma_k \implies \hat{p}_1 - \hat{p}_0 = \frac{-1}{\sum_{k=0}^{b-1} \gamma_k}$$
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En remplaçant cette valeur dans l'expression de $\hat{p}_i$, on conclut que :
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$$\hat{p}_i = 1 - \frac{\sum_{k=0}^{i-1} \gamma_k}{\sum_{k=0}^{b-1} \gamma_k} = \frac{\sum_{k=i}^{b-1} \gamma_k}{\sum_{k=0}^{b-1} \gamma_k}$$
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#+END_proof
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# ID:8954
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 153]
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@@ -3742,19 +3783,28 @@ On pose $\alpha = \frac{12 + 5i}{13}$.
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#+END_proof
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 266] :todo:
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# ID:9030
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 266]
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On admet le résultat suivant. Soient $c \in \C$, $U$ un voisinage de $c$
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dans $\C$, $f\colon U \ra \C$ développable en série entière au
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voisinage de $c$ et telle que $f(z) = O((z-c)^k)$. Alors il existe $r
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\gt 0$ et $z_1, \ldots, z_{2k} \in U$ distincts tels que : $\forall i
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\in [1, 2k], f(z_i) \in \R$ et $|c-z_i| = r$.
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\in \db{1,2k},\, f(z_i) \in \R$ et $|c-z_i| = r$.
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1. Soient $A, B \in \R[X] \setminus \{0\}$. On suppose que les polynômes non nuls
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de $\mathrm{Vect}(A, B)$ sont scindés dans $\R[X]$. Montrer qu'entre deux
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racines de $A$ (au sens large) se trouve au moins une racine de $B$.
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1. Démontrer le résultat admis.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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1. Sion, la fraction $F = \frac{A}{B}$ admet deux zéros consécutifs (en
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restant définie entre les deux) (éventuellement on a pris deux
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fois la même racine de $A$ ? pas clair).
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Entre les deux, on a $F'(c) = 0$. On considère $f(z) = F(z) -
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F(c)$. On applique le résultat admis : il existe $4$ points
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distincts sur un cercle tel que $f(z_i)\in \R$, mais ce sont des
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racines de polynômes de la forme $A - \la_i B$, donc des réels,
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contradiction.
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2. On peut supposer que le coefficient en $(z-c)^k$ est non nul.
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#+END_proof
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@@ -3886,17 +3936,27 @@ Soient $n \in \N^*$. On note $A_n = \{0, 1\}^n$ et $B_n = \{-1, 1\}^n$. On consi
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Soient $X, Y \in \M_2(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\C$. Montrer que la matrice $A = XY + YX - \op{tr}(X)Y - \op{tr}(Y)X + (\op{tr}(X)\op{tr}(Y) - \op{tr}(XY))I_2$ est nulle.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 273] :todo:
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# ID:9027
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 273]
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Soient $n \in \N^*$, $P$ et $Q$ dans $\C[X]$ tels que $P$ soit scindé à racines simples, $\deg P = n$ et $\deg Q \leq n$. On admet qu'il existe une matrice $B=(b_{i,j})_{0\leq i,j\leq n-1}$ telle que, pour tout $(x,y) \in \C^2$ avec $x \neq y$, on ait
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$$\frac{P(x) Q(y) - P(y) Q(x)}{x - y} = \sum_{0 \le i, j \le n - 1} b_{i,j} x^i y^j$$.
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Montrer que dim Ker $B = |\{z \in \C, \ P(z) = Q(z) = 0\}|$.
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Montrer que $\dim \Ker B = |\{z \in \C, \ P(z) = Q(z) = 0\}|$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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On a donc $\frac{P(x) Q(y) - P(y) Q(x)}{x - y} = Y^T B X$.
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Si $\a$ est une racine commune à $P$ et $Q$, on veut factoriser par
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$(X-\a)(Y-\a)$, ce qui donne des relations sur les coefficients
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$b_{ij}$ en fonction de coefficients $c_{ij}$, qui permettent de
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vérifier que $(\a^i)_{0\leq i\leq n-1}$ est dans le noyau de $B$.
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Si $z$ est un zéro commun.
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On en déduit que $\dim \Ker B \geq \dots$.
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On a $\frac{P(x) Q(y) - P(y) Q(x)}{x - y} = X(y)^T B X(x)$
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En général, on peut calculer $X(\a_i)^T B X(\a_j) = 0$, et $V(\a_i)^T
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B V(\a_i)$ vaut $0$ si et seulement si c'est une racine de $Q$ (passer
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à la limite ce qui précède, en faisant intervenir une dérivée).
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#+END_proof
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@@ -4118,7 +4178,7 @@ Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie.
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4. Montrer que $G$ contient les applications de la forme $\op{id} +\lambda \phi(a,\cdot) a$ avec $\lambda \in \R$ et $a \in E$.
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5. Montrer que $G$ est engendré par les transvections précédentes.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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#+BEGIN_proof
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1.
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2.
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3. Les transvections précédentes sont exactement celles qui préservent la forme : il faut $\phi(x, \l(y) a) + \phi(\l(x) a, y) = 0$
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@@ -5136,17 +5196,22 @@ Soient $p \in [0, 1[, m \ge 2 \text{ et } \xi = e^{2i\pi/m}]$.
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1. Montrer que : $\forall n \in \N^*, \left| u_n- \frac{1}{m} \right| \leq e^{-8pqn/m^2}$ où $q = 1 -p$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 353] :todo:
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Soit $X$ une variable aléatoire discrète positive ayant un moment d'ordre 2 et telle que $\mathbf{E}(X^2) \gt 0$. Montrer que, pour $t \gt 0$, $\mathbf{P}(X -\mathbf{E}(X) \leq -t) \leq \exp\left(-\frac{t^2}{\mathbf{E}(X^2)}\right)$.
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# ID:9029
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 353]
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Soit $X$ une variable aléatoire discrète positive ayant un moment d'ordre 2 et telle que $\mathbf{E}(X^2) \gt 0$. Montrer que, pour $t \gt 0$, $\mathbf{P}(X -\mathbf{E}(X) \leq -t) \leq \exp\left(-\frac{t^2}{2\mathbf{E}(X^2)}\right)$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof :todo:
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#+BEGIN_proof
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Pour tout $\lambda > 0$, par Markov exponentielle :
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$$\P(X - \mu \leq -t) = \P(e^{-\lambda X} \geq e^{-\lambda(\mu-t)}) \leq e^{\lambda(\mu-t)} \E(e^{-\lambda X}).$$
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Puis $e^{-\la X}\leq 1 - \la X + \frac{\la^2 X^2}{2}$, donc $\E(e^{-\la X})\leq 1 - \la \E (X) + \frac{\la^2}{2}\E(X^2)\leq e^{ -\la \E(X) + \frac{\la^2}{2}\E(X^2)}$.
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Puis on optimise en $\la$.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 354] :todo:
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# ID:9031
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 354]
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Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans
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$\N^*$. On suppose de plus que $\mathbf{E}(X_1^2) \lt +\i$, et on pose
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$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et $T_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{S_i}$ pour $n
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@@ -5155,16 +5220,14 @@ $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et $T_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{S_i}$ pour $n
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1. Montrer que, pour tout $\omega$, $(T_n(\omega))_{n\geq 1}$ a une limite dans $[0,+\i]$.
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1. Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ et une suite strictement croissante $(n_k)_{k \ge 1}$ d'entiers $\geq 1$ vérifiant $n_{k+1} \geq 2n_k$ et $\mathbf{P}(S_{n_k} \geq 2n_k \mathbf{E}(X_1)) \leq \frac{C}{2^k}$ pour tout $k \geq 1$.
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1. En déduire que $(T_n)_{n\geq 1}$ tend presque sûrement vers $+\i$.
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1. Montrer que $\mathbf{V}(T_n) \leq \sum_{i=1}^n \mathbf{E}\left(\frac{1}{S_i^2}\right)$ pour tout $n \geq 1$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof :todo:
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#+BEGIN_proof
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1. Trivial.
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2. On a $\P(S_{n_k}\geq 2 n_k \E(X_1))\leq \frac{n_k \V(X_1)}{n_k^2}$, donc pas dur…
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3. BC, presque sûrement le précédent n'arrive qu'un nombre fini de
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fois. Les autres fois, $\frac{1}{S_i}\geq \frac{1}{n_i}$, ce qui
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n'est pas suffisant, mais en fait si, parce que les $S_n$ sont
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croissantes.
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4. ??
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#+END_proof
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@@ -6066,6 +6129,7 @@ Soit $E$ un espace préhilbertien de dimension infinie. Soit $K$ une partie de $
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Question supplémentaire : et si on remplace l'hypothèse "préhilbertien" par "normé" ?
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#+END_exercice
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# ID:nil
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#+BEGIN_exercice [ENS 2025, MPI]
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Dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on définit la relation d'ordre strict $\gt : A\gt B \Longleftrightarrow A-B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$.
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Montrer que l'application $A \mapsto A^{-1}$ est décroissante sur $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
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Reference in New Issue
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