Exercices_RMS/Exercices 2023.md

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author: Sébastien Miquel
date: 02-12-2023
title: Exercices 2023
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# ENS MP-MPI [[xens]{.smallcaps}]{.tag tag-name="xens"} {#ens-mp-mpi}

::: exercice
Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f$ une application
de $S$ dans $T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$.
Montrer que
$|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left(\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)$.
:::

::: proof
Pour le terme de gauche, il s\'agit de montrer que
$\sum_{y} n_y^2 \geq \frac{\big(\sum_{y} n_y\big)^2}{\sum_y 1}$, c\'est
Cauchy-Schwarz.

Pour le terme de droite, c\'est un principe des tiroirs, puis compter
pour $1$ les éléments qui ne sont pas dans le tiroir.
:::

::: exercice
Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer
qu\'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de
$\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que
$\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$.
:::

::: proof
$S$ sera un sous-ensemble d\'entiers consécutifs : considérer les sommes
partielles $S_0,\dots, S_n$.
:::

::: exercice
Pour tout $n\in\N^*$, on note $E(n)$ la valuation $5$-adique de
$\prod_{k=1}^n k^k$. Donner un équivalent de $E(n)$, quand $n\ra +\i$.
:::

::: exercice
Soit $n$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo
$n$ si et seulement si $n$ est somme de deux carrés d\'entiers.
:::

::: proof
Si $p$ est somme de deux carrés d\'entiers, $p\equiv 1[4]$, et $a$ est
un carré si et seulement si $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$.

Réciproquement, si $n\mid m^2 + 1$, dur, dur. !!
:::

::: exercice
1.  Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que
    $\big(\Z/p\Z\big)^\times$ contient $(p-1)/2$ carrés.

2.  Montrer que tout élément de $\Z/p\Z$ s\'écrit comme la somme de deux
    carrés de $\Z/p\Z$.

3.  Soit $n$ un entier impair. Montrer que tout élément de
    $\big(\Z/n\Z\big)^{\times}$ s\'écrit comme somme de deux carrés.

    **Indication** : Commencer par le cas où $n$ est sans facteur carré.
:::

::: exercice
Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un
nombre premier et si $r\in\Q^*$ s\'écrit $\frac{a}{b}$ de manière
irréductible, on définit la $p$-valuation $v_p(r)$ comme
$v_p(a) - v_p(b)$.

1.  Montrer que si $p\geq 3$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 1$.
2.  Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 2$.
3.  Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{(p-1)}p)\geq 1$.
4.  Pour $n\in\N^*$, calculer $v_2(~H_~)$.
:::

::: exercice
1.  Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est
    l\'indicatrice d\'Euler.
2.  Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de
    Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$
    pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et
    $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose
    $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$.
3.  Montrer que
    $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$.
:::

::: proof
1.  $\sum_{d \mid n} \phi(d) = n$
2.  $\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0$, ou $1$ pour $n = 1$.
3.  Par inversion de Möbius, on a
    $\phi(d) = \sum\limits_{d'\mid d} \mu\big(\frac{d}{d'}\big) d'$.
:::

::: exercice
Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la
valuation $p$-adique d\'un entier $n$. On pose, pour
$m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$.
Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout
$m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$.
:::

::: proof
Relier à 423 (LTE).

On a $v_p(a^n - b^n) = v_p(a-b) + v_p(n)$ (pour $p\neq 2$).

Donc $v_p(N(m)) = \sum_{k=1}^m v_p(1 - q)  + v_p(m!)$, plus formule de
Legendre.
:::

::: exercice
Si $X$ est un ensemble fini, on note
$X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la
concaténation et $\l\colon X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$
deux ensembles finis et $\phi\colon A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous
$a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$.

1.  On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l\'injectivité
    des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur
    $A^*$ par $\phi\colon A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$,
    $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi\colon A \ra B^*$ telle que
    $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$.
2.  Montrer que, si $\phi$ est injective, alors
    $\sum_{a \in A}|B|^{-\l(\phi(a))} \leq 1$.
:::

::: proof
1.  La première est non injective : $0100110$ peut être lu de deux
    façons.

    La seconde l\'est.

2.  On note $C_N$ le nombre de choix possibles, de mots, dont la
    longueur totale $N$.

    On doit avoir $C_N\leq |B|^N$. Mais $C_N$ vérifie une relation de
    récurrence : $C_N = \sum_{a\in A} C_{N-\l(a}$.

    Donc les racines de cette récurrence doivent être $\leq |B|$, ce qui
    implique qu\'en $|B|$ la valeur est négative, d\'où le résultat.
:::

::: exercice
1.  Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition $(1\, 2)$ et le
    cycle
    $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$
    engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$.
2.  La transposition $(1\, 3)$ et le cycle $(1\, 2\, 3\, 4)$
    engendrent-ils $\mc{S}_4$ ?
3.  Soient $n \in \N^*$ et $1 \leq a\lt b \leq n$ tels que $\tau=(a b)$
    et
    $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$
    engendrent $\mc{S}_n$. Montrer que $b-a$ et $n$ sont premiers entre
    eux.
4.  Montrer la réciproque de la propriété précédente.
:::

::: proof
1.  
2.  Non.
3.  Si $p\mid b-a \wedge n$, alors $\sigma(a) - \sigma(b)\equiv a-b[p]$.
4.  Facile de se ramener à un cycle $(u\, u+1)$
:::

::: exercice
Soit $G$ un groupe fini. Si $X$ et $Y$ sont des parties non vides de
$G$, on pose $X^{-1}=\left\{x^{-1}, x \in X\right\}$ et
$X Y=\{x y,(x, y) \in X \times Y\}$. Dans la suite, $X$ désigne une
partie non vide de $G$.

1.  On suppose que $|X X|\lt 2|X|$. Montrer que $X X^{-1}=X^{-1} X$.
2.  On suppose que $\left|X X^{-1}\right|\lt \frac{3}{2}|X|$. Montrer
    que $X^{-1} X$ est un sous-groupe de $G$.
:::

::: proof
1.  Si $X$ a un seul élément, ok. Sinon, alors pour tous $a, b\in X$,
    les ensembles $aX$ et $bX$ ne sont pas disjoints, donc il existe
    $u,v$ tels que $au = bv \ssi a^{-1} b = u v^{-1}$. D\'où le
    résultat.

2.  $X^{-1}X$ contient l\'élément neutre, et stable par inverse.

    Si ce n\'est pas un sous-groupe, c\'est qu\'il existe
    $u^{-1} v a^{-1} b$ qui ne s\'écrit pas de cette forme.

    !!

    Quitte à translater, on peut supposer que $e\in X$. Alors $X X^{-1}$
    contient tous les éléments de $X$, et leurs inverses. Au moins la
    moitié des éléments de $X$ ont leurs inverses dans $X$ !
:::

::: exercice
Soient $A$ un anneau et $B\subset A$ finie non vide. On note
$E(B) = \big|\{(a,b,c,d)\in B^4 \mid ab = cd\}\big|$. Montrer que
$E(B)\geq \frac{|B|^4}{|BB|}$.
:::

::: exercice
1.  Montrer que $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et
    $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ engendrent
    $SL_2(\Z)$.
2.  Soit $m\geq 2$. Montrer que le morphisme
    $\pi\colon SL_2(\Z)\ra SL_2(\Z/m\Z)$ est surjectif.
:::

::: exercice
Soit $p$ un nombre premier. On admet qu\'il existe un anneau commutatif
$A$ dans lequel $p^2.1_A=0_A$ et il existe un élément inversible $x$ tel
que :

-   tout élément de $A$ s\'écrive $P(x) x^{-k}$ pour un $P \in \Z[X]$ et
    un $k \in \N$;
-   pour deux polynômes $P, Q$ dans $\Z[X]$ et deux entiers naturels
    $k, l$, l\'égalité $P(x) x^{-k}=$ $Q(x) x^{-\l}$ équivaut à ce que
    $X^k Q$ et $X^\l P$ aient même réduit modulo $p^2$ (autrement dit,
    tous les coefficients de $X^k Q-X^\l P$ sont des multiples de
    $p^2$).

1.  Soient $P \in \Z[X]$ et $k \in \N$. Caractériser l\'inversibilité de
    $P(x) x^{-k}$ dans $A$.
2.  Montrer que le groupe multiplicatif $A^{\times}$ ne possède pas de
    partie génératrice finie.
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::: proof
:::

::: exercice
Soit $f \in \Z[X]$. On pose
$S_q=\sum\limits_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum\limits_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$
pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors
$S_{q q'}=S_q S_{q'}$.
:::

::: proof
Les $a\in\db{1,qq'}$ premiers avec $q$ et $q'$ sont les $bq + aq'$, avec
$a$ premier avec $q$ et $b$ premier avec $q'$.
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::: exercice
On dit qu\'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si :
$\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$,
il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un
même cercle.
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::: proof
On veut que les $\sin (\frac{\theta_i - \theta_j}{2})$ soient
rationnels, c\'est-à-dire les
$\sin \frac{\theta_i}{2} \cos \frac{\theta_j}{2} - \sin \frac{\theta_j}{2} \cos \frac{\theta_i}{2}$.

Il suffit donc de prendre les doubles d\'une infinité de points
rationnels sur le cercle.
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::: exercice
Soit $z\in\C$ annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers.
Soit $Q\in\Z[X]$. Montrer que $Q(z)$ est annulé par un polynôme unitaire
à coefficients entiers.
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::: exercice
Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de
degré $2 m$ tel que
$\forall x \in \R \setminus \Z, \sin (n x)=(\sin x)^n P_m(\op{cotan} x)$.

1.  Donner une expression simplifiée de
    $\sum_{k=1}^m \op{cotan}^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)$.
2.  Donner une expression simplifiée de
    $\sum_{k=1}^m \frac{1}{\sin ^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)}$.
3.  En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.
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::: proof
Easy.
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::: exercice
Pour $n\in\N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$.

1.  Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $\C$.
2.  Montrer que si $n$ est impair, alors $P_n$ possède exactement une
    racine réelle, et qu\'elle appartient à $[-n, - 1]$.
3.  On suppose $n$ pair. Le polynôme $P_n$ a-t-il une racine réelle ?
4.  Déterminer les variations et la convexité de $x\mapsto P_n(x)$.
:::

::: exercice
Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$.

1.  On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que
    $\forall x \in \R, n P(x) P''(x) \leq(n-1) P'(x)^2$.
2.  Donner un polynôme ne vérifiant pas le résultat de la question
    précédente, puis un polynôme non scindé le vérifiant.
:::

::: proof
1.  
2.  Ajouter à un précédent.
:::

::: exercice
Soit $n\in\N^*$, $P = X^n + \sum_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\C[X]$. On
factorise $P$ sous la forme $P = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$. Pour $k\in\N$,
on note $S_k = \sum_{i=1}^n z_i^k$. Montrer que, si $k\gt n$,
$S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_0 S_{k-n} = 0$ et que, si
$k\leq n$,
$S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_1 = - k a_{n-k}$.
:::

::: exercice
Une suite d\'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme si pour
tous $n,m\in\N^*$, $m-n\mid a_m - a_n$.

1.  Soit $P\in\Z[X]$. Montrer que $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ est un
    pseudo-polynôme.
2.  Montrer que $\big(\lfloor n! e\rfloor\big)_{n\geq 1}$ est un
    pseudo-polynôme.
3.  Trouver un polynôme $P\in\Q[X]\setminus \Z[X]$ tel que
    $P(\Z)\subset \Z$ et que la suite $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ ne soit
    pas un pseudo-polynôme.
:::

::: exercice
Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe
$\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que,
pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le
polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$.
:::

::: proof
Easy, à relier.
:::

::: exercice
Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si

-   $-P$ et $Q$ sont scindés à racines simples sur $\R$,
-   $P$ et $Q$ n\'ont aucune racine réelle commune,
-   entre deux racines consécutives de $P$ (respectivement $Q$) il y a
    une unique racine de $Q$ (respectivement $P$).

Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout
$\lambda, \mu \in \R^*, \lambda P+\mu Q$ est scindé à racines simples
sur $\R$, alors $P$ et $Q$ sont entrelacés.
:::

::: proof
À relier.
:::

::: exercice
Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On
note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$.
Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$.
:::

::: proof
$X + X^2Q(X) - z_i = 0$ avec $|z_i|\lt \frac{1}{n}$ admet toujours une
racine, $\lt 1$.

Vient des relations coefficients-racines.
:::

::: exercice
-   CNS sur $n$ pour que $\Z/n\Z$ soit un corps.
-   On suppose cette condition satisfaite. Combien y a-t-il de polynômes
    de degré $d\in\N$ fixé dans $\Z/n\Z$ ?
-   Soit $p$ premier. Montrer qu\'il existe des polynômes irréductibles
    de degré $2$ et $3$ dans $\Z/p\Z$.
:::

::: exercice
Soit $n\in\N^*$, $\K$ un corps, et $V$ un sous-espace vectoriel de
$\M_n(\K)$ dont tous les éléments sont de rang $\leq 1$. Montrer que $V$
est de dimension $\leq n$. Étudier le cas d\'égalité.
:::

::: exercice
Quelle est la dimension maximale d\'un sous-espace vectoriel $V$ de
$\M_n(\R)$ tel que pour tout $(X,Y)\in V^2$, on ait $\op{Tr} (XY) = 0$.
:::

::: exercice
Soient $A,B\in\M_n(\R)$ de même rang telles que $A^2 B = A$. Montrer que
$B^2 A = B$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soient $n\geq 1$ et $E$ une partie de $\mc P(\db{1,n})$.

1.  On suppose que $E$ est stable par différence symétrique. Que dire de
    $C = \{m 1_A\}$ comme partie de l\'espace vectoriel
    $\big(\Z/2\Z\big)^n$ ?
2.  On ne fait plus l\'hypothèse précédente, mais on suppose que
    $A\cap B$ est de cardinal pair pour tous $A,B\in E$. Montrer que
    $|E|\leq 2^{\lfloor n/2\rfloor}$.
:::

::: exercice
Soient $(a_1,\dots, a_n)\in\R^n$ telle que $|a_i|\geq 2$, pour tout
$i\in\db{1,n}$.

1.  Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall i,\, a_{ii} = a_i$,
    $a_{ij} = 1$ si $|i-j| = 1$ et $a_{ij} = 0$ sinon. Montrer que $A$
    est inversible et que son déterminant a le même signe que
    $\prod a_k$.
2.  Montrer que la conclusion tient encore si l\'on suppose
    $|a_{ij}|\leq 1$ si $|i-j| = 1$ au lieu de $a_{ij} = 1$.
:::

::: exercice
On considère $\phi:\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$
associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut
$\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$.

1.  Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0$ ?
2.  Que dire de la réciproque?
3.  Montrer que $A$ s\'écrit comme $\phi(u, v)$ avec $(u, v)$ libre si
    et seulement si $A \in \mc{A}_4(\R)$, $\op{det}(A)=0$ et $A \neq 0$.
4.  Décrire l\'image et le noyau d\'une telle matrice.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$. On
pose
$A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$.
Montrer qu\'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$
où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$.
:::

::: proof
On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Donc diagonalisable ?
:::

::: exercice
Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non
nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit
$f_g:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$,
application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l\'équivalence
entre les propositions suivantes :

-   il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d\'éléments de
    $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$
    de
    $\R^2, f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$,
-   il existe une droite vectorielle $L$ telle que
    $\left|\left\{i, L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$.
:::

::: proof
Si il existe une droite $L$, en prenant
$g_k = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k^{-1}\end{pmatrix}$ selon $L$ et
n\'importe quel supplémentaire, ça devrait être bon.

Réciproquement, !!
:::

::: exercice
Soit $G$ l\'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme
$\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où
$a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$
est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices
$\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et
$\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$
:::

::: proof
Facile ? Attention : faux pour 2.
:::

::: exercice
Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C_A\colon X\in\M_n(\C)\mapsto AX -XA$. Montrer
que si la matrice $A$ est diagonalisable, alors $C_A$ l\'est aussi.
:::

::: exercice
Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que
$A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$.
:::

::: proof
$\Leftarrow$ Ok.

Si $ABA^{-1}B^{-1}$ commute avec un $\vect$ de dimension $2$. Si
$AB = \la BA$, c\'est bon. Sinon, alors le commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$
est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, puis faire de la
réduction.
:::

::: exercice
Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_r$ les valeurs propres
distinctes de $A$ et $\a_1,\dots, \a_r$ leurs multiplicités. On note
$P_k = (X-\la_k)^{\a_k}$ et $F_k = \Ker P_k(A)$.

1.  Montrer que $\C^n = \bigoplus_{i=1}^r F_i$.
2.  Montrer que $P_k$ est le polynôme caractéristique de
    l\'endomorphisme induit par $A$ sur $F_k$.
3.  Montrer que $A$ se décompose en $D + N$, avec $D$ diagonalisable,
    $N$ nilpotente et $ND = DN$.
:::

::: exercice
Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$.
Montrer l\'équivalence entre

-   $\Ker A = \Ker A^2$.
-   il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^m = A$.
-   pour tout $k\geq 1$, il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^k = A$.
:::

::: exercice
Soit $M\in GL_n(\Z)$ dont toutes les valeurs propres sont de module
$\leq 1$. Montrer qu\'il existe $k\geq 1$ tel que $M^k - I_n$ soit
nilpotente.
:::

::: exercice
Soit $n\geq 1$. Pour $\sigma\in\mc S_n$, on note
$P_{\sigma} = \big(\delta_{i+1,j}\big)_{i,j}$ la matrice de permutation
associée. On note $\mc A$ l\'ensemble des fonctions polynomiales
$f\colon \M_n(\C)\ra\C$ telles que
$\forall A,P\in \M_n(\C)\tmes GL_n(\C),\quad f(PAP^{-1}) = f(A)$. On
note $\mc A$ l\'ensemble des fonctions polynomiales
$f\colon \mc D_n(\C)\ra \C$ telles que
$f(P_{\sigma} D P_{\sigma}^{-1}) = f(D)$. Expliciter un isomorphisme
d\'algèbres de $\mc A$ sur $\mc B$.
:::

::: exercice
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie,
$f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d\'indice $m, x \in E$ tel que
$f^{m-1}(x) \neq 0$.

1.  Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est
    libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille.
2.  Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi(f^{m-1}(x)) \neq 0, W$ le
    sous-espace de $E^*$ engendré par
    $(\phi \circ f^i)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\bot}$ l\'ensemble des
    $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\bot}, \psi(y)=0$. Montrer
    que $W^{\bot}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$.
3.  Montrer qu\'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de
    $f$ soit diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme
    $J_k$ avec $k \in \N^*$, où $J_k \in \M_k(\mathbb{K})$ est une
    matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la
    sur-diagonale qui sont égaux à $1$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 1$. Un élément $u\in\mc L(E)$
est dit cyclique s\'il existe $x\in E$ tel que
$(u^k(x))_{0\leq k\leq n-1}$ soit une base de $E$.

1.  Quels sont les endomorphismes de $E$ diagonalisables et cycliques ?
2.  Montrer que si $u$ est cyclique, le commutant de $u$ est égale à
    $\K[u]$.
3.  Montrer que si $u\in\mc L(E)$, il existe $r\in\N^*$ et des
    sous-espaces $E_1,\dots, E_r$ de $E$ stables par $u$ tels que
    $E = \bigoplus_{i=1}^r E_i$ et que, pour tout $i$, $u_{E_i}$ soit
    cyclique.
:::

::: exercice
Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à
2 tels que $d_1\left|d_2\right| \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus
petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe
isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$.
:::

::: proof
$n = r$ convient. Réciproquement, si $G$ contient un tel groupe, on peut
codiagonaliser.
:::

::: exercice
Le groupe $GL_2(\Q)$ contient-il un élément d\'ordre $5$ ?
:::

::: exercice
On note $H$ l\'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle.

1.  Montrer que $\forall M\in H,\, e^M\in SL_2(\R)$.
2.  Montrer que $\forall M\in H,\, \tr e^M\geq -2$.
3.  A-t-on $\exp(H) = SL_2(\R)$ ?
4.  Montrer que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit d\'une matrice
    de $SO_2(\R)$ et d\'une matrice triangulaire supérieure à
    coefficients diagonaux $\gt 0$.
5.  En déduire que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit de deux
    exponentielles de matrices de $H$.
:::

::: exercice
Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$
deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu\'il existe une norme sur $E$
pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que
$\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$ commute avec $h_1$ et
$h_2$. Montrer que l\'espace des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et
$h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$.
:::

::: proof
On peut supposer que l\'ensemble $F$ des points fixes est de dimension
$1$. Donc est le noyau d\'une forme linéaire $\phi$. !!

Notons $C$ le commutateur. On a $Ch_2 = h_1h_2 h_1^{-1}$.

Si $h_1$ et $h_2$ commutent.

Si $h_1 = h_2$.
:::

::: exercice
Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_n$ ses valeurs propres.

1.  Montrer que $\sum |\la_i|^2 \leq \sum_{i,j} |a_{ij}|^2$.
2.  Montrer que $|\det A|\leq n^{n/2}\sup |a_{ij}|$.
:::

::: exercice
Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien,
$m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$
tels que, pour tout
$(i, j) \in \llbracket 1, m \rrbracket^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$.
On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur
$\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que
$\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$.
:::

::: proof
Easy, on a
$\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x\rangle$.
:::

::: exercice
On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire
$(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$.
On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection
orthogonale de $1$ sur $F$.

On ecrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et
$P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$.

-   Determiner $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour
    $k\in[\![1,n]\!]$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in[\![1,n]\!]$.
-   Calculer
    $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\,dx$.
:::

::: exercice
Soient
$(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u, u_1, \ldots, u_m$
des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et
seulement si pour tout $x \in E$,
$\left\{x \in E ; \forall i \in \llbracket 1, m \rrbracket,\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E ;\langle u, x\rangle \leq 0\}$.
:::

::: proof
$\Rightarrow$ : Easy.

$\Leftarrow$ : Si les vecteurs $u_i$ sont libres, on peut prendre un
élément $x$ orthogonal à tous sauf $1$.

Sinon, si $u_m$ est combinaison linéaire des précédents, avec un
coefficient $\lt 0$. !!
:::

::: exercice
Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s\'ecrit d\'une unique
facon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$
triangulaire superieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$.
:::

::: exercice
\[Rennes sur dossier\] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice
antisymetrique et inversible.

-   Que peut-on dire de l\'entier $n$?
-   En considerant $M^2$, montrer que $M$ admet un plan stable puis
    qu\'il existe une matrice orthogonale $O\in{\cal O}_n({\R})$ telle
    que $O^TMO$ soit une matrice diagonale par blocs de la forme
    $\mathrm{diag}(R_{a_1},...,R_{a_k})$, avec
    $R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$.
-   Qu\'en est-il si $M$ n\'est plus supposee inversible?
:::

::: exercice
Soit $n\geq 1$. Determiner les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$
telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$.
:::

::: exercice
Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans
$\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$
$M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer
$\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$.
:::

::: proof
$\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix})$.
!!
:::

::: exercice
Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit
$v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n\'ont pas de valeur propre
commune. Sous reserve d\'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$
pour $x$ reel.

-   Montrer que les zeros de $F$ sont les valeurs propres de $A+vv^T$.
-   On note $\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ les valeurs propres de
    $A$. Montrer que chaque intervalle $]\lambda_1,\lambda_2[$,...,
    $]\lambda_{n-1},\lambda_n[,]\lambda_n,+\i[$ contient exactement une
    valeur propre de $A+vv^T$.
:::

::: exercice
Soient $n\in{\N}$ impair, $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que, pour toute
$A\in{\cal A}_n({\R})$, $A+M$ soit nonversible. Montrer que
$M\in{\cal A}_n({\R})$.
:::

::: exercice
Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n\'ont pas -1 pour
valeur propre et telles que $A B$ n\'ait pas 1 pour valeur propre.
Montrer que
$\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est
antisymétrique.
:::

::: proof
Classique
:::

::: exercice
Soit $n\in{\N}^*$. On pose
$J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$.

-   Determiner les valeurs propres de $J$ et leur multiplicite.
-   Soit $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$. Montrer qu\'il existe une matrice
    $B\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telle que $B^2=A$.
-   Que peut-on dire de la matrice $BJB$?
-   Lorsque $A$ est diagonale, calculer les valeurs propres de $JA$.
-   Montrer plus generalement que toute valeur propre d\'une matrice
    antisymetrique reelle est imaginaire pure.
:::

::: exercice
Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note
$\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non
nécessairement distinctes. Montrer que
$\forall k \in\left[1, n \rrbracket, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
1.  Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B \in \mc{S}_n^+(\R)$ Montrer
    que $A B$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles.
2.  Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose
    $f_{A, B}: X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$.
    Montrer que $f_{A, B}$ admet un minimum $\mu_{A, B}$ atteint en une
    unique matrice $M_{A, B}$. Expliciter $\mu_{A, B}$ et $M_{A, B}$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On definit $p(A)$ comme la dimension
maximale d\'un sous-espace $V$ sur lequel
$\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On definit de
meme $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$.

-   Montrer que $p(A)+q(A)=\mbox{rg}\,A$.
-   Montrer que, si $A$ est inversible, alors $p$ et $q$ sont constantes
    sur un voisinage de $A$ dans ${\cal S}_n({\R})$.
-   Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f:t\mapsto\det(A+tB)$
    n\'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au
    moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$.
:::

::: exercice
On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonne
d\'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$.

-   Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que
    $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$,
    que dire du signe de
    $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$?\[MISSING~PAGEFAIL~:1\]# 80

Soient $a\leq b$ deux reels, et $(O - {i\in I}$ une famille d\'ouverts
de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$
l\'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu\'il existe une partie finie
$J\subset I$ verifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que
$X=[a,b]$.
:::

::: exercice
Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note
$\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ le spectre ordonné de $M$.

1.  On considère $A, B \in \mc{S}_n(\R)$ telles que
    $A+B \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. Montrer que, si $i+j\lt n+2$ alors
    $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0$.
2.  Généraliser à $A_1, \ldots, A_d \in \mc{S}_n(\R)$ telles que
    $A_1+\cdots+A_d \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. telle que $B=P^T A P$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
On note $\lN\cdot \rN$ la norme d\'opérateur sur $\M_n(\R)$ associée à
la norme euclidienne. Soit $S\in\mc S_n$. On suppose que
$E = \{M\in\M_n(\R)\mid S = M^T M - M M^T\}$ est non vide. On note
$\gamma(S) = \inf_{M\in E}\lN M\rN^2$. Montrer que
$\lN S\rN\leq \gamma(S)\leq 2\lN S\rN$.
:::

::: exercice
1.  Soient $A,B\in\mc S_n^{++}$. Montrer qu\'il existe $P\in GL_n(\R)$
    telle que $B = P^T A P$.
2.  Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une
    définition naturelle de $f(A)$ si $A \in$ $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
3.  Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose
    $d(A, B)=\left\|\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\right\|$.
    Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance
    $\op{sur} \mc{S}_n^{++}(\R)$.
4.  Soient $P \in \mathrm{GL}_n(\R), A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$.
    Montrer que $d\left(P^T A P, P^T B P\right)=d(A, B)$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soit $n\in\N^*$.

1.  Montrer que $(X,Y)\mapsto \op{Tr} X^T Y$ est un produit scalaire sur
    $\M_n(\R)$. On note $\lN \cdot\rN$ la norme associée.
2.  Si $M\in\M_n(\R)$, soit $L(M)\colon X\in \M_n(\R)\mapsto MX$.
    Montrer que $L$ est un morphisme d\'algèbre injectif.
3.  Soit $\lN|\cdot|\rN_2$ la norme sur $\M_n(\R)$ subordonnée à la
    norme euclidienne de $\R^n$, et $\lN |\cdot|\rN$ la norme sur
    $\mc L(\M_n(\R))$ subordonnée à $\lN\cdot\rN$. Si $M\in\M_n(\R)$,
    montrer que $\lN |L(M)|\rN\leq \lN|M|\rN_2$.
4.  Montrer que $\lN |M^T|\rN_2 = \lN |M|\rN_2$ pour tout
    $M\in\M_n(\R)$.
:::

::: exercice
On note $\lN \cdot\rN$ la norme d\'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à
la norme $X \mapsto \sqrt{\bar{X}^T X}$.

1.  Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que
    $\left\|e^{i A}-e^{i B}\right\| \leq\|A-B\|$.
2.  Démontrer le même résultat sous l\'hypothèse que $A$ et $B$ sont
    deux matrices de $\M_n(\C)$ telles que $\bar{A}^T=A$ et
    $\bar{B}^T=B$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$,
$\lN x\rNp = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$.

1.  Montrer qu\'il s\'agit bien d\'une norme.
2.  Montrer l\'inégalité de Hölder.
3.  Dans $\R^2$, dessiner la boule unité de la norme $p$ pour plusieurs
    valeurs de $p$.
:::

::: exercice
Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d\'ouverts
de $\R$ telle que $[a,b]\subset \bigcup_i O_i$. On note $X$ l\'ensemble
des $x\in [a,b]$ tels qu\'il existe une partie finie $J\subset I$ telle
que $[a,x]\subset \bigcup_{j\in J} O_j$. Montrer que $X = [a,b]$.
:::

::: exercice
Soient $K$ un compact convexe non vide d\'un espace norme $E$, $f$ un
endomorphism continu de $E$ tel que $f(K)\subset K$. Montrer que $f$
admet un point fixe dans $K$.
:::

::: exercice
Peut-on écrire $\interval]{0, 1}[$ comme réunion dénombrable disjointe
de segments d\'intérieurs non vides?
:::

::: proof
Non. Par l\'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont
la distance tend vers $0$, alors la limite n\'appartient à aucun
segment.
:::

::: exercice
Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note
$0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose,
pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel
que $0\lt a\lt 9$. On définit
$P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et
$P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide,
d\'intérieur vide et sans point isolé.
:::

::: proof
$P$ est borné et fermé, car $S_n$ est continue inférieurement.
Clairement non vide et d\'intérieur vide. Si $x\in P$, en retirant $1$ a
un chiffre de $x$ arbitrairement grand, on reste dans $P$. Possible sauf
si $x$ est décimal, auquel cas on peut ajouter $1$.
:::

::: exercice
Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$.
Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermee si et seulement si
$A$ est diagonalisable sur $\C$.
:::

::: exercice
-   On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer
    qu\'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que
    :
    -   pour tout $i\in\N$, l\'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$
        dont les cotes sont paralleles aux axes ;
    -   les $C_i$ soient d\'interieurs deux a deux disjoints ;
    -   $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$.
-   On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu\'il existe une suite
    $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que :
    -   pour tout $i\in\N$, l\'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de
        $\R^2$ ;
    -   les $D_i$ soient d\'interieurs deux a deux disjoints ;
    -   $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$.
:::

::: exercice
Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l\'ensemble des polynômes unitaires de
degré $d$ de $\R[X]$.

1.  On pose
    $A=\{(P, x) \in \mc{P} \times \R ; P(x)=0\} \et P'(x) \neq 0\}$.
    Déterminer les composantes connexes par arcs de $A$ dans
    $\R_d[X] \times \R$.
2.  On pose
    $B=\{P \in \mc{P} ; \forall x \in \R, P(x) \neq 0 \ou P'(x) \neq 0\}$.
    Déterminer les composantes connexes par arcs de $B$ dans $\R_d[X]$.
:::

::: proof
1.  Par translation, on peut passer de $(P, x)$ à $(\tilde{P}, 0)$.
    Alors $P = X^n + Q + \a X$, avec $\a\neq 0$. On peut ramener $Q$ à
    $0$, et $\a$ à $\pm 1$. Deux composantes connexes, selon le signe de
    $\a = P'(x)$.
2.  $B$ est l\'ensemble des polynômes unitaires à racines simples. Le
    nombre de racines simples est un invariant, et réciproquement, ces
    morceaux sont clairement connexes par arcs.
:::

::: exercice
Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$
semblables les unes aux autres, $\lN\cdot\rN$ une norme sur $\M_n(\C)$.
On suppose que $\lN M_k\rN \ra+\i$. Montrer qu\'il existe une matrice
$N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi\colon \N \ra \N$
telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} \ra N$.
:::

::: proof
On peut extraire $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN}$ convergent,
vers $\Pi$.

Si $\Pi$ a une valeur propre complexe $X$, comme
$\lN \frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} - \Pi\rN\leq \eps$, on a une
valeur propre complexe proche de $\la$, donc $M_{\phi(k)}$ a une valeur
propre qui tend vers $+\i$.
:::

::: exercice
Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module
$\lt 1$. Montrer qu\'il existe une norme \\\|\\\| sur $\C^n$ telle que,
pour la norme d\'opérateur associée, on ait $\|A\|\lt 1$.
:::

::: proof
Trigonaliser, puis conjuguer par une matrice diagonale pour n\'avoir que
des petits coefficients hors de la diagonale.
:::

::: exercice
Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et
$\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout
$i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance
euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$,
pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$. Montrer que $A$ est
inversible et que
$\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x \in \R^n,\|x\|_1=1\right\} \leq \frac{1}{\eps}$.
:::

::: proof
$A$ est inversible car aucune ligne n\'est combinaison linéaire des
autres.

Si $x = E_i$, on considère les colonnes de $A^{-1}$, notées $C_i$. On
$\langle C_i, L_i\rangle = 1$ et $C_i$ orthogonal aux autres lignes, ce
qui donne $\lN C_i\rN_{2}\leq \frac{1}{\eps}$, peut-être.

Ensuite, utiliser une convexité ?
:::

::: exercice
On note ${\cal B}({\R})$ l\'espace vectoriel des fonctions bornees de
${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe
$g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$
l\'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$
decrivant ${\Z}$. Montrer que l\'ensemble des reels $t$ lets que
$\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est
un sous-groupe discret de ${\R}$.
:::

::: exercice
Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de
limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive
telle que, pour tout $n, u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose,
pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et
$w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites
$\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent.
:::

::: proof
Soit $m$. On peut écrire
$u_{a+n} = G_n u_a + G_{n+1} u_{a-1}\et u_{a+n+1} = G_{n+1} u_a + G_{n2} u_{a-1}$,
où $G_n\tend{a\ra +\i} F_n$, ce qui devrait implique ce que l\'on veut.

$w_n$ s\'obtient à partir de $v_n$ par Cesàro.
:::

::: exercice
1.  Si $n \geq 2$ est un entier, montrer que
    $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor=\sum_{j=2}^n\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor$.
2.  Donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\i$ de
    $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor$, puis un
    développement asymptotique à deux termes.
:::

::: proof
1.  Le premier compte les puissances de $k$ inférieures à $n$, dont
    $k^1$.

    Le second compte les puissances $j$-èmes inférieures à $n$.

2.  En coupant la somme en $k = \sqrt{n}$, on a du
    $\sqrt{n} \ln n + (n-\sqrt{n})n$, d\'où un équivalent à $n$.

    En suite, on prend l\'autre expression, on retire $n$. Le premier
    terme est $\sqrt{n}$. Les termes non nuls correspondent à
    $\sqrt[j]{n}\geq 2\ssi n\geq 2^j$, donc les autres termes sont au
    plus en $\sqrt[3]{n} \ln n$, d\'où le DSA
    $n + \sqrt{n} + o_{+\i}(\sqrt{n})$.
:::

::: exercice
Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement
decroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite
definie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$,
$u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu\'il existe un unique
$u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un reel
strictement positif.
:::

::: exercice
Soit $(u_n)$ une suite definie par $:\forall n\in{\N}^*$,
$u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l\'ensemble des valeurs d\'adherence de
$(u_n)$.

-   Montrer que, pour tous $x$ et $y\in{\R}$,
    $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$.
-   Montrer que $u_{n+1}-u_n\to 0$.
-   Montrer que $V$ est un intervalle inclus dans $[-1,1]$, puis que
    $V=[-1,1]$.
:::

::: exercice
Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densite si
la suite
$\left(\frac{|A\cap\llbracket 1,n\rrbracket|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet
une limite. Cette limite est alors notee $d(A)$.

-   Si $m\in{\N}^*$, quelle est la densite de l\'ensemble des multiples
    de $m$ dans ${\N}^*$?
-   Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une
    densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densite que l\'on
    precisera.
-   Donner un exemple de partie de ${\N}^*$ n\'admettant pas de densite.
:::

::: exercice
On considere une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour
tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la
$n$-ieme occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ieme occurrence de $2$ soit
egal a $a_n$.

Etudier la convergence de la suite de terme general
$\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\,a_k=3\}\big{|}$.
:::

::: exercice
On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour
tout $n \geq 1$, le nombre de 3 apparaissant dans la suite $a$ entre la
$n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de 2 soit égal à
$a_n$. Montrer qu\'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les
indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la
forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si
elle vérifie, pour tout entier
$k \in \Z^*, \lim_{N \ra+\i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 i k \pi x_n}=0$.

1.  Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que la suite $(n \alpha)$
    est équirépartie modulo 1.
2.  Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N^*}$. On suppose que pour tout
    $h \in \N^*$, la suite $\left(x_{n+h}-x_n\right)_{n \in \N^*}$ est
    équirépartie; on veut montrer que $(x_n)$ est équirépartie
    modulo 1. a) Soit $\left(a_n\right)$ une suite de complexes de
    module $\leq 1$. Montrer, pour tous
    $N, H \in \N^*:\left|\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right|+\frac{2 H}{N}$. b)
    Montrer que
    $\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right| \leq \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|\sum_{h=0}^{H-1} \frac{a_{n+h}}{H}\right|^2}$. c)
    Conclure.
3.  Soit $P \in \R[X]$ non constant et de coefficient dominant
    irrationnel. Montrer que $(P(n))_{n \geq 1}$ est équirépartie modulo
    1.
4.  Soit $\left(x_n\right)_{n \geq 1}$ une suite réelle équirépartie
    modulo 1, et $f\colon \R \ra \C$ une fonction continue 1-périodique.
    Montrer que
    $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right) \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} \int_0^1 f$.
5.  On reprend les hypothèses de la question 3. Montrer que la distance
    de $P(\Z)$ à $\Z$ est nulle.
:::

::: proof
1.  
2.  
3.  
4.  
5.  ??
:::

::: exercice
Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$,
on note $A_n$ la matrice
$\left(\begin{matrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{matrix}\right)$
ou, pour tout $k\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$,
$a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$.

Soit $q\in\N^*$. Determiner la limite de
$(\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$.
:::

::: exercice
Montrer la convergence et calculer
$\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\ln (k)}{\ln (2)}\right\rfloor$.
:::

::: proof
Écrit quelque part...
:::

::: exercice
On note $\ell^2(\R)$ l\'ensemble des suites réelles de carré sommable
indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$
ainsi qu\'une suite $\left(u_k\right)_k$ d\'éléments de $\ell^2(\R)$
(l\'élément $u_k$ est donc noté
$\left.\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}\right)$. On suppose que, pour
tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général
$w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers
$\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$. Montrer que
$\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sigma(n)}-v_n\right)^2 \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$.
:::

::: proof
Écrit quelque part...

On peut supposer que les $(v_n)$ sont décroissants, par réordonnement.
:::

::: exercice
Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et
telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et
$q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de
continuité de $f$ ?
:::

::: proof
Facile.
:::

::: exercice
Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et
$[a, b] \subset I$ avec $a\lt b$. On suppose que $f'(a)=f'(b)$. Montrer
qu\'il existe $c\in \interval]{a, b}[$ tel que la tangente au graphe de
$f$ en $c$ passe par le point $(a, f(a))$.
:::

::: proof
On peut supposer $f'(a) = f'(b) = 0$. À relier.
:::

::: exercice
Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit derivable
en aucun point.
:::

::: exercice
Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout
entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale.
:::

::: proof
$f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle,
$f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$.
:::

::: exercice
Soit $p\gt 1$ un reel. Montrer qu\'il existe une constante $k_p\gt 0$
telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait
$(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$.
:::

::: exercice
Soit $f\colon\R\ra\R$. On note $f^*(s)=\sup_{x\in\R}\,(sx-f(x))$ et
$f^*(x)=\sup_{s\in\R}\,(sx-f^*(s))$.

Montrer que $f^*(x)=\sup_{a\text{ affine }\leq f}a(x)$.
:::

::: exercice
Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynomes
reels stable par derivation. On definit une fonction signe par
$\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$.

Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient
$A_{\eps}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et

$B_{\epsilon}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$.

-   Montrer que $A_{\eps}$ est soit vide, soit reduit a un point, soit
    un intervalle ouvert.
-   Si $A_{\eps}$ est non vide, montrer que $B_{\eps}$ est l\'adherence
    de $A_{\eps}$. Si $A_{\eps}$ est vide, montrer que $B_{\eps}$ est
    soit vide suit un singleton.
:::

::: exercice
Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^n$.

-   Soient $x_0,\ldots,x_n$ des points de $I$. On note
    $V(x_0,\ldots,x_n)$ le determinant de Vandermonde associe a
    $(x_0,\ldots,x_n)$. Montrer qu\'il existe $\tau\in I$ tel que

    $\begin{vmatrix}1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^{n-1}&f(x_0)\\ 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}&f(x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}&f(x_n)\\ \end{vmatrix}=\dfrac{f^{(n)}(\tau)}{n!}\,V(x_0,x_1,\ldots,x_n)$

-   On suppose que $n=2$, que $I$ est un segment et que $f$ est
    strictement convexe. On note
    $\Gamma_f=\{(x,f(x));x\in I\}\subset\R^2$ le graphe de $f$. Montrer
    qu\'il existe une constante $C$, dependant uniquement de $I$ et $f$,
    telle que le nombre de points de $\Gamma_f\cap\frac{1}{N}\,\Z^2$
    soit majore par $C\,N^{2/3}$ pour tout entier $N\geq 1$.
:::

::: exercice
Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$.

-   Montrer que $(w - {n\geq 0}$ est decroissante.
-   Etablir une relation de recurrence entre $w_{n+2}$ et $w_n$.
-   Sans utiliser la formule de Stirling, determiner un equivalent
    simple de $w_n$.
-   Determiner le rayon de convergence de la serie entiere
    $\sum w_nx^n$.
:::

::: exercice
Soit $P \in \C[X]$ ne s\'annulant pas sur $\mathbb{U}$.

1.  Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement
    inférieur à 1 comptées avec multiplicité n\'est autre que
    $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$.
2.  Soit $Q \in \C[X]$ ne s\'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que
    $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et
    $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1
    comptées avec multiplicité.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Pour $n\in\N$, on note $A_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\,dx$ et
$B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}(x)\,dx$. On admet que, pour
$n\in\N^*$, $2nA_n=(2n-1)A_{n-1}$.

-   Montrer que
    $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{2B_0}{A_0}-\frac{2B_n}{A_n}$ pour
    tout $n\in\N^*$.
-   En deduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ puis
    que
    $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac{1}{n}\right)$.
:::

::: exercice
Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique
c\'est-à-dire telle que, pour tout $\epsilon\gt 0$, il existe $T\gt 0$
tel que :
$\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \epsilon$.
Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique.

1.  Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R^+$.
2.  Montrer que $t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t f$ possède une limite
    quand $t \ra+\i$.
:::

::: proof
1.  Easy.
2.  !!
:::

::: exercice
Soit $f$ une fonction continue par morceaux et croissante de $[0,1]$
dans $\R$. Montrer que
$\int_0^1f(x)e^{i\lambda x}dx\underset{\lambda\to+\i}{=}O \left(\frac{1}{\lambda}\right)$.
:::

::: exercice
Soient $f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n$ des fonctions de
$\mc C^0([0,1],\R)$. Soit $A$ la matrice de terme general
$A_{i,j}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\,dx$.

On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}f_i(x_j)\big{)}$ et
$C(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}g_i(x_j)\big{)}$.Montrer que
$\int_{[0,1]^n}B(x_1,\ldots,x_n)\,C(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n=n!\det(A)$.
:::

::: exercice
-   Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\R^+$ dans $\R$ admettant
    une limite en $+\i$ et telle que $f'$ est uniformement continue.
    Est-ce que $f'$ a une limite en $+\i$?
:::

::: exercice
\[Rennes sur dossier\] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient
$(P - {n\in\N}$ une suite de polynomes a coefficients reels de degre au
plus $d$ et $x_1,...,x_N$ des reels distincts. On suppose que pour tout
$j\in\{1,...,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornee. Montrer
que l\'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui
converge uniformement sur $[0,1]$ vers un polynome de degre au plus $d$.
:::

::: exercice
Montrer que la suite de fonctions de terme general
$f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformement sur
$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
:::

::: exercice
On note $I$ (resp. $S$) l\'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to[0,1]$
telles que, pour tout $a\in\R$, l\'ensemble $\{x\in[0,1],f(x)\leq a\}$
est ferme (resp. de meme avec l\'inegalite dans l\'autre sens).

-   Montrer que $S\cap I$ est l\'ensemble $C$ des fonctions continues de
    $[0,1]$ dans $[0,1]$.
-   Soit $f:[0,1]\to[0,1]$. On pose
    $f_n:x\mapsto\inf(\{1\}\cup\{f(y)+n|x-y|,y\in[0,1]\})$ pour
    $n\in\N$. Montrer que $f_n$ est continue pour tout $n$, que la suite
    $(f_n)$ est croissante et que $f\in I$ si et seulement si la suite
    $(f_n)$ converge simplement vers $f$.
:::

::: exercice
Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$
avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note
$\mc{P}$ l\'ensemble des nombres premiers.

1.  Montrer que, pour tout
    $n \in \N^*, \sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$.
2.  Montrer que, pour tout
    $s\gt 1,\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{\Lambda(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{1}{n^s}\right)=\sum_{n \in \N^*} \frac{\ln (n)}{n^s}$.
3.  Montrer que, pour tout
    $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{\ln (p)}{p^s} \underset{s \ra 1+}{=} \frac{1}{s-1}+O(1)$.
4.  Montrer que, pour tout
    $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{1}{p^s} \underset{s \ra 1^+}{=} \ln \left(\frac{1}{s-1}\right)+O(1)$.
    Qu\'en déduire?
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractere non trivial $\chi$ sur
le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c\'est-a-dire un
morphisme de groupes non constant
$\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$.
Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n\'est pas
premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou
$\overline{m}$ designe la classe de $m$ modulo $q$).

-   Montrer que la serie $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si
    et seulement si $s\gt 0$. - Montrrer que la fonction
    $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe
    ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$.
:::

::: exercice
Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite
nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$.
Quelle est la limite de $g$ en $0^+$?
:::

::: proof
C\'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$.
Cela tend vers $\frac{1}{2}f(0)$, en découpant sur un segment, et en
utilisant l\'uniforme continuité de $f'$.
:::

::: exercice
Pour tout polynome trigonometrique
$P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support
fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose
$\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$.

On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l\'espace vectoriel
${\cal T}$ des polynomes trigonometriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$
l\'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-periodiques de
${\R}$ dans ${\C}$. On definit le produit de convolution de deux
fonctions $f,g\in E$ par :
$f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$.
Enfin, on pose, pour $f\in E$,
$\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$.

-   Montrrer qu\'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que,
    pour tous $f$, $g\in{\cal T}$,

$\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$.

-   Determiner tous les reels $d$ verifiant la condition de la question
    precedente.
-   Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose,
    pour $k\in{\Z}$,
    $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$
    et, pour tout $d\in{\R}$,
    $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Determiner
    les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$.
-   Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodiques et
    $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$.
:::

::: exercice
Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour
tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose
$f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Ecrire $f(z)$ sous la forme
$\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que
$c_n=0$.
:::

::: exercice
Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série
entière sur $]-R, R[$ telles que
$\forall x \in]-R, R\left[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que
l\'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle
sur $]-R, R[$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et
$g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$.

-   Determiner les rayons de convergence de $f$ et $g$.
-   Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge.
-   Montrrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur
    ${\C}\setminus\{1\}$, developpable en serie entiere en tout point de
    ${\C}\setminus\{1\}$.
-   Montrrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$. -
    Montrrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$.
-   Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrrer que
    $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$.
-   Soit $h:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrrer
    que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$.
-   Montrrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et
    $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur
    $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction
    $\tilde{h}$ n\'est pas developpable en serie entiere en $z_0$.
:::

::: exercice
Soit $\alpha=(\alpha - {i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d\'un
certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose
$u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$.

-   Determiner, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$
    de la serie entiere $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$.

Dans la suite, on note $f$ la somme de cette serie entiere.

-   Expliciter $f$ si $\alpha=(-\delta_{i,1})_{i\geq 1}$.
-   Pour une somme $g$ de serie entiere sur un intervalle $]-a,a[$ non
    trivial, on pose $\Delta(g):z\mapsto zg'(z)$. Expliciter
    $P(\Delta)(g)$ lorsque $g:z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et
    $P\in\R[X]$.
-   Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine
    dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$,
    $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a
    un rayon de convergence non nul et donner une methode simple pour
    trouver une equation differentielle lineaire non triviale a
    coefficients polynomiaux dont sa somme est solution.
-   Resoudre le meme probleme qu\'en (d) lorsqu\'il existe $P$ et $Q$
    dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que
    $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en
    supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$.
-   Justifier que le cadre de la question - s\'applique bien a la suite
    $(u - {n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$.
:::

::: exercice
Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{n!\,(30n)!}{(15n)!\,(10n)!\,(6n)!}$.

-   Montrrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier.
-   Determiner le rayon de convergence de la serie entiere
    $\sum u_nx^n$.
-   Trouver une equation differentielle verifiee par la somme de la
    serie entiere precedente.
:::

::: exercice
Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que
$\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$
?
:::

::: proof
Cf un précédent
:::

::: exercice
-   Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d\'une serie
    entiere de rayon $R\gt 0$. Montrrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et
    pour tout $n\in\N$,
    $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$.
    -   Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere de rayon de
        convergence egal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par
        continuite sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la
        formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit
        $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$.
        Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage
        de $0$.
    -   On admet que le rayon de convergence du developpement de $f$ en
        $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du developpement en
        serie entiere en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer
        $M$ en fonction de $f$.
:::

::: exercice
Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\sin x}{x}\,dx$ a l\'aide de la
transformation de Laplace.
:::

::: exercice
Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que
$\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$.

1.  Si $a \in \R^+$, montrer que
    $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$.
2.  Si $a \in \R^{-*}$, montrer que
    $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soit, pour
$x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$.
Montrer qu\'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que
$\forall x \in \R^+, f(x) \leq (a x+b) e^{-x}$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Pour $x$ reel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$.

-   Calculer $J(0)$.
-   Montrer que $J$ est de classe $\mc C^{\i}$.
-   En estimant
    $\int_{\frac{\pi}{2}-\eps}^{\frac{\pi}{2}+\eps}\cos(x\sin t)\, dt$
    pour un $\eps$ a choisir convenablement en fonction de $x$, etablir
    que $J(x)=O(x^{-1/2})$ quand $x\to+\i$.
:::

::: exercice
Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans
$\R$. On pose $f\star g:x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$.
Montrer que $f\star g$ est derivable et donner une expression de sa
derivee.
:::

::: exercice
Soit $f:]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$,
on pose

$a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,du$.

-   On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_1(f,s,t)\gt 0$
    pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$.
-   On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_n(f,s,t)\gt 0$
    pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$ et tout $n\in\N^*$.
-   Reciproquement, on suppose $f$ de classe $\mc C^2$ et
    $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. Montrer que $f$
    est strictement convexe.
:::

::: exercice
Soit $\mc{S}$ l\'ensemble des solutions de l\'equation differentielle
sur $\R:\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$.

A quelle condition sur $n$ tout element de $\mc{S}$ possede-t-il une
limite en $+\i$?
:::

::: exercice
Soit $I$ un (vrai) intervalle de $\R$. Si $r \in \N^*$ et
$f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose
$W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}\right)$.
Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$.

1.  Soit $g \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. Montrer que
    $W_r\left(g f_1, \ldots, g f_r\right)=g^r W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$.
2.  On suppose que, pour tout
    $k \in \llbracket 1, r \rrbracket, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$
    ne s\'annule pas. Montrer que, pour tout
    $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction
    $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s\'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$.
3.  On suppose que $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est identiquement
    nul sur $I$ et que $W_{r-1}\left(f_1, \ldots, f_{r-1}\right)$ ne
    s\'annule pas. Montrer que $\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est liée.
:::

::: proof
:::

::: exercice
On considere l\'equation differentielle
$(D_{\lambda}):y^{''}+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$,
$r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On
considere $E_{\lambda}$ l\'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$
telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$.

-   Quelles sont les dimensions possibles de $E_{\lambda}$?
-   Caracteriser le cas $\dim(E_{\lambda})=1$. (On souhaite une
    condition portant sur $y_{\lambda}$, solution du probleme de Cauchy
    $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$.)
-   Montrer que, a $r$ fixe, les $E_{\lambda}$ sont orthogonaux pour le
    produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1fg$.
-   On note $N_{\lambda}$ le nombre de zeros de $y_{\lambda}$ sur
    $[0,1]$. Pourquoi est-il fini?
-   Calculer $N_{\lambda}$ dans le cas $r=0$, $\lambda\gt 0$.
-   Dans le cas general, etudier le comportement de $N_{\lambda}$.
:::

::: exercice
Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions
continues de $I$ dans $\R$. On considere l\'equation differentielle
$(E):x^{''}+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$.

-   Soit $x$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que les zeros de
    $x$ sont isoles.
-   On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu\'il existe $z$ de
    classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que
    $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ definisse une bijection de
    l\'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de
    $y^{''}+q(t)\,y=0$.
-   Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles
    que $q_1\leq q_2$. On considere l\'equation differentielle $(E_i)$ :
    $y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. Soient $y_1,y_2$ des
    solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient
    $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs de $y_1$. Montrer que $y_2$
    s\'annule dans $[\alpha,\beta]$.
-   Soient $q:I\to\R$ continue, et $m,M$ deux reels strictement positifs
    tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros
    consecutifs d\'une solution non nulle de $y^{''}+q(t)y=0$. Montrer
    que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq\beta-\alpha\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$.#
    141

Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$
l\'unique application derivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que
$M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que
$\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$.
:::

::: exercice
Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle,
$\pi$-periodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et
$\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l\'equation
$u^{''}+pu=0$ n\'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle
qu\'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$,
$u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$.
:::

::: exercice
Soit $A_0\in\M_n(\R)$ telle que $\text{Sp}(A_0+A_0^T)\subset\R^-$.

On admet l\'existence d\'une unique fonction $A:\R^+\to\M_n(\R)$ telle
que $A(0)=A_0$ et
$\forall t\geq 0,\ A'(t)=\left(A(t)\right)^2-\left(A(t)^T\right)^2$.
Montrer que la fonction $A$ a une limite en $+\i$ et expliciter cette
limite.
:::

::: exercice
Soit $A\in\M_3(\R)$. Decrire le comportement asymptotique en $+\i$ des
solutions de l\'equation differentielle $X'(t)=AX(t)$.
:::

::: exercice
On considere l\'equation differentielle $(1)$: $X'(t)=P(t)X(t)$ ou $P$
est une application continue et periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$.

-   Resoudre $(1)$ si \$∀ t∈`\R`{=latex},\\
    P(t)=`\left`{=latex}(\\begin{array}{cc}1&cos (t)\\\\
    0&-1\\end{array}`\right`{=latex}).\$
-   On revient au cas general. Soit $T\in\R^{+*}$ une periode de $P$. On
    note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l\'espace des solutions de $(1)$
    et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer
    qu\'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que
    $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$.
-   Avec les notations de la question precedente, montrer qu\'il existe
    $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l\'application
    $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-periodique.
:::

::: exercice
-   Soit
    $f:(x,y)\ \mapsto\ \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$.
    Donner le domaine de definition $\Omega$ de $f$. Etudier la
    continuite et la differentiabilite de $f$.
    -   On identifie naturellement $\R^2$ a $\C$. Montrer que, si
        $(x,y)\in\Omega$, $df_{(x,y)}$ est $\C$-lineaire.
:::

::: exercice
Calculer
$\sup_{a,b,c\gt 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b+\left(1-\frac{1}{2b}\right)^c+ \left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$.
:::

::: exercice
Trouver
$\sup_{a,b,c\geq 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\left(1-\frac{1}{2b} \right)^c\left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$.
:::

::: exercice
\[Rennes sur dossier\] Soient $q\in\R^+$,
$D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Determiner
$\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$.
:::

::: exercice
Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$.

Determiner les extrema de
$x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$.
:::

::: exercice
Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans
$\R, L \in \R^{+*}$.

1.  Montrer que
    $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$.
2.  On suppose que l\'application $\nabla f$ est $L$-lipschitzienne.

Montrer que
$\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$.
:::

::: exercice
Soit $p\gt 1$. Montrer qu\'il existe $K_p\in\R$ tel que, pour tous $x$,
$y\in\R$ tels que $|x|^p+|y|^p=2$, on a $(x-y)^2\leq K_p(4-(x+y)^2)$.
:::

::: exercice
Soient $f$ une application de classe $C^1$ de $\R^n$ dans $\R^m$,
$x\in\R^n$ telle que $df_x$ soit injective. Montrer qu\'il existe un
voisinage de $x$ dans $\R^n$ sur lequel $f$ est injective.
:::

::: exercice
On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$,
de classe $C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que
$f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$.
:::

::: exercice
On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité
fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$
de classe $C^1$ et telle que, pour tout
$(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$.
Montrer que $f$ s\'annule exactement une fois sur $B$.
:::

::: proof
:::

## Géométrie

::: exercice
-   Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$
    tel que

$\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$.

-   Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degre de $T_n\,?$ En
    deduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$.
-   Determiner les triangles du plan euclidien dont les cotes ont des
    longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels
    de $\pi$.
:::

::: exercice
Soit $G$ un groupe d\'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout
point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$
contient une translation autre que l\'identité de $\R^2$.
:::

::: proof
Faux pour $G = O_2$.
:::

::: exercice
Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans
$\C$ de la forme $z \mapsto a z+b$ avec $a \in \mathbb{U}$ et
$b \in \C$. Soit $G$ un sous-groupe de $S$ vérifiant les conditions
suivantes :

-   si $g \in G, g(0)$ est nul ou de module supérieur ou égal à 1 ;
-   l\'ensemble des $b \in \C$ tels que $z \mapsto z+b$ appartienne à
    $G$ contient deux éléments $\R$ linéairement indépendants.

Montrer que l\'ensemble
$\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \}$ est fini.
:::

::: proof
Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s\'accumule. On peut supposer
qu\'elle s\'accumule sur $1$, puis on peut borner les $(b_n)$, puis
extraire une suite convergence, donc elle est constante à partir d\'un
certain rang. Donc on a une infinité de $z\mapsto a_n z$, ce qui est
impossible.
:::

::: exercice
Soit $L$ la courbe du plan complexe d\'equation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$.

-   Trouver une equation cartesienne reelle definissant $L$.
-   En deduire une parametrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme
    $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - Montrrer que la longueur de la
    courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s\'ecrit
    : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$.
-   Montrre que $A$ definit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle
    de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$.
-   On definit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ verifie une equation
    differentielle du second ordre.
:::

::: exercice
Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose
$L=\Ze_1+\Ze_2$ et on note $\mathrm{Vol}(L)=|\mathrm{det}(e_1,e_2)|$.

-   Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d\'aire strictement superieure a
    $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu\'il existe deux elements distincts $x$
    et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$.
-   Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu\'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un
    element $\ell$ tel que
    $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\mathrm{Vol}(L)}$.
-   Soit $p$ un nombre premier congru a $1$ modulo $4$.
-   Montrrer qu\'il existe $\omega\in\Z$ tel que $p$ divise
    $1+\omega^2$.
-   Montrrer qu\'il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $p=a^2+b^2$.
:::

::: exercice
-   On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer
    qu\'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que
    :
    -   pour tout $i\in\N$, l\'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$
        dont les cotes sont paralleles aux axes ;
    -   les $C_i$ soient d\'interieurs disjoints ;
    -   $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$.
    -   On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu\'il existe une suite
        $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que :
    -   pour tout $i\in\N$, l\'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de
        $\R^2$ ;
    -   les $D_i$ soient d\'interieurs disjoints ;
    -   $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$.
:::

## Probabilités

::: exercice
On note $\mc{A}$ l\'ensemble des parties de $A$ de $\N$ telles que
$\lim_{n\to+\i}\frac{|A\cap[\![1,n]\!]|}{n}$ existe. Est-ce que $\mc{A}$
est une tribu?
:::

::: exercice
On pose, pour toute permutation $\sigma\in S_n$,
$d(\sigma)=\sum_{k=1}^n|\sigma(k)-k|$ et on note, pour $p\in\N$,
$q_{n,p}=|\{\sigma\in S_n,\ d(\sigma)=p\}|$. Montrer que, si $p\geq 2n$,
alors $q_{n,p}$ est pair.
:::

::: exercice
Un derangement est une permutation $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe.
On note $D_n$ le sous-ensemble de $\mc{S}_n$ forme des derangements.

-   Soit $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $D_n$.
    Calculer la probabilite que $X$ soit une permutation paire.

Indications.

-   On donne la formule d\'inversion de Pascal : si $(a_n)$ et $(b_n)$
    sont deux suites telles que$\forall n\in\N$,
    $a_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_k$, alors $\forall n\in\N$,
    $b_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}a_k$.

-   On pourra calculer la difference du nombre d\'elements pairs et
    impairs de $D_n$.

    -   Soit $Y$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur
        $\mc{S}_n$. Calculer la probabilite de $(Y\in D_n)$ sachant que
        $Y$ est paire.
:::

::: exercice
Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l\'ensemble des
morphismes de groupes de $(\Z / m \Z)^r$ dans $\Z / m \Z$ de la loi
uniforme. Donner une expression simple de la probabilité de l\'événement
«le morphisme $\phi$ est surjectif».
:::

::: proof
Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois.
:::

::: exercice
Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une piecee truquee donnant pile avec une
probabilite egale a $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile
rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des
joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$)
la variable aleatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$).\*

-   Trouver un equivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de
    \$**P**`\left`{=latex}(A~n~=B~n~`\right`{=latex}).\$
-   Montrer que $\mathbf{P}\left(A_n\geq B_n\right)\geq\frac{1}{2}$.
-   Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)?$
:::

::: exercice
On joue a pile ou face avec une piecee pipee : la probabilite de tomber
sur pile est $p\lt 1/2$. On effectue plusieurs lancers a la suite. Le
score est le nombre de fois ou l\'on est tombe sur pile. On gagne le jeu
si, au bout de $2n$ lancers, le score est superieur a $n+1$. Trouver $n$
qui maximise la probabilite de gagner le jeu au bout de $2n$ lancers.\*
:::

::: exercice
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que
$\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et
$\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de
$\mathbf{P}(X=0)$ ?
:::

::: proof
!!

On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En fait, mieux, $E(X) E(X^2)\geq (\)$

On a $(\sum p_i x_i^2) (\sum p_i)\geq (\sum p_i x_i)^2$, donc
$2 \sum p_i \geq 1$, donc $\sum p_i \geq \frac{1}{2}$ :
$p_0\leq \frac{1}{2}$.
:::

::: exercice
Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X - {m\geq 0}$ une suite de
variables aleatoires a valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour
$m\in\N$,
$\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$.
Montrer que $(X - {m\geq 1}$ converge en loi vers la loi uniforme sur
$\Z/n\Z$.\*
:::

::: exercice
Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d\'inversions de
$\sigma$ c\'est-a-dire le nombre de couples $(i,j)$ avec $i\lt j$ et
$\sigma(i)\gt \sigma(j)$.

-   Montrer que
    $P_n=\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}X^{I(\sigma)}=\prod_{k=1}^{n-1}(1+X+ \cdots+X^k)$.
-   On pose $f(n)=|\{\sigma\in\mc{S}_n,\,(n+1)$ divise $I(\sigma)\}|$.
    Exprimer $f(n)$ a l\'aide de $P_n$.
-   Montrer qu\'il existe une infinite de nombres premiers $p$ tels que
    $f(p-1)\lt \frac{(p-1)!}{p}$ et de meme une infinite de nombres
    premiers $p$ tels que $f(p-1)\gt \frac{(p-1)!}{p}$.
:::

::: exercice
Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aleatoire
suivant la loi uniforme sur l\'ensemble des polynomes unitaires de degre
$n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans
$\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicites). Calculer
$\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$.
:::

::: exercice
Dans tout l\'exercice, les variables aléatoires considérées sont
supposées réelles, discrètes et à loi de support fini. Pour deux telles
variables $X$ et $Y$, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que
$\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe
$f\colon \R \ra \R$.

1.  Soient $X$ une variable aléatoire vérifiant les conditions de
    l\'exercice et $f\colon \R \ra \R$ convexe. Montrer que
    $f(\mathbf{E}(X)) \leq \mathbf{E}(f(X))$.
2.  Donner un exemple de couple $(X, Y)$ pour lequel $X \leq_c Y$ mais
    $X \neq Y$.
3.  Montrer que si $X \leq_c Y$ alors $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et
    $\mathbf{V}(X) \leq \mathbf{V}(Y)$.
4.  Montrer que $X \leq_c Y$ si et seulement si
    $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et

$$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mathbf{P}(Y \geq x)\dx.$$
:::

::: proof
:::

::: exercice
On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable
$u_1 \in \llbracket 1, N \rrbracket$, puis
$u_2 \in \llbracket 1, u_1-1 \rrbracket$, et ainsi de suite jusqu\'à
arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note
$E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$.

1.  Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$.
2.  Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \not\in E_N\right)$.
3.  Calculer $\mathbf{E}\left(\left|E_N\right|\right)$ et
    $\mathbf{V}\left(\left|E_N\right|\right)$.
:::

::: proof
1.  $P(k\in E_{k+1}) = \frac{1}{k}$, puis
    $P(k\in E_n) = \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\big(P(k\in E_{N-1}) + \dots + P(k\in E_{k+1})\big)$.
    On trouve $P(k\in E_N) = \frac{1}{k}$.
2.  On a $P(2\in E_N \mid 3\in E_N) = \frac{1}{2}$.
3.  Semble facile.
:::

::: exercice
Dans tout l\'enonce, on fixe un entier $p\geq 1$.

-   Developpper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$
    de nombres reels.
-   Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la
    loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose
    $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que
    $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.
-   Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq p^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.

```{=html}
<!-- -->
```
-   Soit $(a - {k\geq 1}$ une suite reelle telle que
    $\sum_{k=1}^{+\i}a_k^2=1$. Soient $x\in\R$ et
    $Y_x=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx)\,X_i$.

Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au
moins une valeur inferieure ou egal a $2\pi p^p$.
:::

::: exercice
suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des
variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et
$a_1,\ldots,a_n$ des reels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$.

-   Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$.
-   Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$.
-   Montrer que si $\sum_{k=1}^na_k^2=1$ alors
    $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$.
-   Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute
    generalite.
:::

::: exercice
Une variable aleatoire discrete reelle $X$ est dite decomposable s\'il
existe deux variables aleatoires discretes reelles non presque surement
constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. -
Une variable aleatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable
aleatoire binomiale est-elle decomposable?

-   Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme
    produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$.
    En deduire une variable aleatoire reelle discrete decomposable $X$
    telle que $X^2$ ne soit pas decomposable.
-   Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aleatoire suivant la loi
    uniforme que $[\![0,n-1]\!]$. Donner une condition necessaire et
    suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable.
:::

::: exercice
Soit $p\in\left]0,1/2\right[$. Soit $(X - {k\geq 1}$ une suite de
variables de Bernoulli i.i.d. de parametre $p$. On pose \$
S~n~=∑~k=1~^nX^~k~\$ pour $n\in\N^*$. Determiner la plus grande valeur
prise par la suite $(\mathbf{P}(S_{2n}\gt n))_{n\geq 1}$.
:::

::: exercice
On fixe $n\in\N^*$ et on pose \$ X=\[\\\![1,n\]\\!\]\$. Soient $A$ et
$B$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur
l\'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$.

-   Determiner la loi, l\'esperance et la variance de la variable
    aleatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$).
-   Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$,
    $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$.
-   Pour $i\in[\![1,n]\!]$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction
    indicatrice du singleton $\{i\}$. Determiner la loi de
    $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$.
-   Calculer $\mathbf{P}(A\subset B)$. Commenter.
:::

::: exercice
Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considere un echiquier $n\times n$.
On calorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilite $p$
(resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilite pour qu\'il existe un
chemin joignant le bord gauche au bord droit constite uniquement de
cases rouges (il est entendu que les deplacements ne se font pas en
diagonale). Que dire de la fonction $Q$?
:::

::: exercice
Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes de
loi de Rademacher. On pose \$ S~n~=X~1~+⋯+X~n~\$ pour $n\geq 1$.

-   Calculer l\'esperance du nombre $R$ de retour en zero de la suite
    $(S - {n\geq 1}$.
-   Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la
    probabilite qu\'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est egale
    a $1$.
-   Montrer que l\'evenement $(R=+\i)$ est presque sdr.
:::

::: exercice
Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et
$(m - {k\in\N}$ une suite de reels positifs de somme 1. On considere un
arbre aleatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre
aleatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$,
$\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aleatoires correspondant au nombre
de succcesseurs sont mutuellement independantes. On note $X_1$ la
variable aleatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine.
Caracteriser le fait que la longueur de l\'arbre soit presque surement
finie.
:::

::: exercice
On construit iterativement et aleatoirement un arbre aleatoire sur
l\'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon
le procede suivant : a l\'etape $k$, on choisit aleatoirementun point
dans $\llbracket 1,k\rrbracket$ (avec probabilite uniforme) et on
rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix
s\'effectuent de maniere independante les uns des autres.

-   On note $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre d\'aretes
    partant du point $1$. Determiner l\'esperance et la variance de
    $X_n$.
-   On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aleatoire donnant le
    nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Determiner la
    loi de $S_n$.
-   Calculer l\'esperance du nombre de feuilles de l\'arbre.
:::

::: exercice
Soient $E$ un ensemble fini, $V: E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$
vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point
$a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout
$b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient
$b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et
uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que
$f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit
$\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et,
pour tout $n \geq 0$ :

-   si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$;
-   sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et
    $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$.

Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins
$1 / 2$.
:::

::: proof
La donnée est celle d\'un graphe. Étant donné l\'algorithme, on peut
retirer des arêtes, de sorte que les voisins de $a$ vérifient
$f(b)\lt f(a)$. Auquel cas il n\'y a plus de cycles.

Alors on choisit $\sqrt{n}$ sommets du graphe, puis le minimum. On veut
montrer la plus longue chaîne décroissante à partir de celui-ci est de
longueur $\leq \sqrt{n}$ avec probabilité $\frac{1}{2}$.

On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer
que c\'est injectif.

Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on
peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à un
graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$.
:::

::: exercice
Une variable aleatoire reelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet
un moment d\'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe
$(X_{i,n})_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ i.i.d. et admettant des
moment d\'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si
$X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement
constante.
:::

::: exercice
On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aleatoires
independantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe
$a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs
dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et
$\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$.

-   Quelle relation doivent verifier $a_i$ et $p_i$ pour que
    $\mathbf{V}(X_i)=1$? Dans toute la suite, on suppose cette relation
    verifiee et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$.
-   Calculer la variance de $n^{-1/2}S_n$.
-   Montrer que
    $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))=\prod_{i=1}^n\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tX_i)$.
-   En deduire que
    $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$.
:::

::: exercice
On fixe un entier $n\geq 1$. On considere la relation d\'ordre partielle
$\preccurlyeq$ sur $\R^n$ definie par
$x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ x_i \leq y_i$.
Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque
$f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que
$x\preccurlyeq y$.

-   Donner un exemple de fonction croissante non constante de
    $\{0,1\}^n$ dans $\R$.
-   Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables
    aleatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$. Soit
    $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$.

Montrer que
$\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big{(}\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_ {n-1},0)+\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_{n-1},1))\Big{)}$. -
Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ et $g:\{0,1\}^n\to\R$ croissantes.

Montrer que
$\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \,\mathbf{E}(g(X_1,\ldots,X_n))$.
:::

::: exercice
Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de
probabilite. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la
variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d\'une permutation.

-   Soit $I\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer
    $\mathbf{P}\left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)$.
-   Exprimer $N$ avec des indicatrices. Calculer $\mathbf{E}(N)$ et
    $\mathbf{V}(N)$.
-   Soient $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ et
    $F\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer
    $\sum\limits_{I\subset\llbracket 1,n\rrbracket,\ |I|=k}\prod\limits_{i\in I} \mathbf{1}_F(i)$.
-   Soit $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer
    $\mathbf{E}(N(N-1)\cdots(N-k+1))$.
-   Soient $X\sim\mc{P}(1)$ et $k\in\N$. Calculer
    $\mathbf{E}(X(X-1)\cdots(X-k+1))$.
-   Calculer $\mathbf{P}(N=0)$.
:::

::: exercice
On considere une suite i.i.d. $(X - {n\geq 1}$ de variables aleatoires
suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On definit
$(S - {n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$.

[a) i)]{.underline} Determiner l\'esperance et la variance de $S_n$.

-   Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n)$
    tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$.
-   Soit $\eps\gt 0$. Montrer que
    $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n^{2/3})$ tend vers $0$ quand $n$
    tend vers $+\i$.
-   On considere la variable aleatoire
    $T_n:\omega\mapsto\min\{k\in\N,\ S_k(\omega)\geq n\}$. Determiner
    l\'ensemble des valeurs prises par $T_n$.
-   Soit $k\geq 2$. Montrer que
    $\mathbf{P}(T_n=k)=\frac{1}{2}\mathbf{P}(T_{n-1}=k-1)+\frac{1}{2} \mathbf{P}(T_{n-2}=k-1)$.
-   Calculer l\'esperance de $T_n$.
:::

::: exercice
Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et
$S = \left\{ \pm e_i, 1 \leq i \leq d\right\}$, où $e_i$ désigne
l\'élément de $G$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la
$i$-ème, égale à $\overline{1}$. Soient enfin $f\colon G \ra \R$ une
fonction quelconque et $X$ une variable aléatoire uniformément
distribuée sur $G$.

Montrer que
$\mathbf{E}(|f(X)-\mathbf{E}(f(X))|) \leq \frac{n d}{2} \max_{s \in S} \mathbf{E}(|f(X)-f(X+s)|)$.
:::

::: proof
C\'est simple : On peut passer d\'un somme à un autre en au plus
$\frac{n d}{2}$ pas.
:::

# X [[xens]{.smallcaps}]{.tag tag-name="xens"} {#x}

::: exercice
On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter
que $p(n)\leq 2^{n-1}$.
:::

::: exercice
Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers,
$n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ et $X=\{s\in\N;\ 2^s\,|\,n!\}$.

-   Montrer que $\max X=n-r$.
-   Montrer que le nombre d\'entiers $k$ tels que $\binom{n}{k}$ est
    impair est $2^r$.
:::

::: exercice
${}^{\bigstar}$

-   Montrer que l\'equation $a^2-2b^2=1$ admet une infinite de solutions
    $(a,b)\in\N^2$.

Determiner l\'ensemble des solutions.

-   Que dire de l\'ensemble des solutions de $a^2-2b^2=-1$?# 278

Si $G$ est un groupe, les elements d\'ordre fini forment-il un
sous-groupe?
:::

::: exercice
-   Trouver deux groupes $G_1$ et $G_2$ non isomorphes de cardinal
    $2023=7.17^2$.
    -   Soit $p$ premier. Montrer qu\'un groupe de cardinal $p^2$ est
        isomorphe a $\Z/p^2\Z$ ou $\hat{\text{a}}\,(\Z/p\Z)^2$.
    -   Soient $G,H$ deux groupes finis et $\psi:G\to H$ un morphisme
        surjectif.

Montrer que $|G|=|H|\times|\op{Ker}\psi|$.

-   On suppose que $G$ est un groupe de cardinal $2023$, que $H=\Z/7\Z$
    et que $\phi:G\to H$ est un morphisme surjectif. Montrer que $G$ est
    isomorphe a $\Z/7\Z\times\op{Ker}\phi$.
-   Montrer que tout groupe de cardinal $2023$ est isomorphe a $G_1$ ou
    $G_2$.
:::

::: exercice
Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$
sans point fixe c\'est-a-dire tel que : $\forall x\in G$,
$\phi(x)=x\Rightarrow x=1$. On note $n$ l\'ordre de $\phi$ ; c\'est le
plus petit entier $n\in\N^*$ tel que $\phi^n=\op{id}$.

-   Montrer que $\forall x\in G$,
    $x\,\phi(x)\,\phi^2(x)\,\cdots\,\phi^{n-1}(x)=1$.
-   Si $n=2$, que peut-on dire du groupe $G$? Donner un exemple.
-   Si $n=3$, montrer que, pour tout $x\in G$, $x$ et $\phi(x)$
    commutent.
:::

::: exercice
Soient $G$ un groupe et $T$ l\'ensemble des elements de $G$ d\'ordre
fini.

-   En general, $T$ est-il un sous-groupe de $G$?
-   Soit $S$ une partie finie de $G$ stable par conjugaison munie d\'une
    relation d\'ordre totale $\leq$. Montrer que, pour tous $s_1$,...,
    $s_r\in S$, il existe $s'_1$,..., $s'_r\in S$ tels que
    $s'_1\leq s'_2\cdots\leq s'_r$ et
    $s_1s_2\cdots s_r=s'_1s'_2\cdots s'_r$.
-   Avec la question precedente, montrer que, si $T$ est fini, alors $T$
    est un sous-groupe de $G$.
:::

::: exercice
-   Soit $s:\R^*\to\R^*,t\mapsto t^{-1}$. Determiner le groupe engendre
    par $s$.
    -   On definit les applications
        $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$
        et

Montrer que le sous-groupe qu\'elles engendrent est isomorphe a
$\mc{S}_3$.

-   Retrouver le resultat de la question precedente en considerant le
    quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la
    bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de
    $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les
    permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$
    et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$.
-   Soit $n\geq 3$. Determiner le groupe engendre par les bijections
    $(s - {1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ definies par
    $s_i(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},...,t_n)$
    si $1\lt i\lt n$,
    $s_1(t_1,...,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,...,t_n)$ et
    $s_n(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$.

Ind. Considerer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ definie par
$f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$
et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que
$s_i\circ f=f\circ s'_i$.
:::

::: exercice
Soit $G$ un groupe fini d\'ordre $n$. On note, pour tout diviseur
positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d\'elements de $G$ d\'ordre $d$.

-   Montrer que $n=\sum_{d\mid n}n_d(G)$.
-   Calculer les $n_d(G)$ lorsque $G$ est cyclique.
-   Montrer que, si pour tout diviseur positif $d$ de $n$,
    $|\{x\in G,\ x^d=1\}|\leq d$, alors $G$ est cyclique. - Soient
    $\mathbb{K}$ un corps et $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$.
    Montrer que $G$ est cyclique.
:::

::: exercice
On pose $\Q[i]=\{a+ib\;;\ a,b\in\Q\}$.

-   Montrver que $\Q[i]$ est un sous-corps de $\C$.
-   Determiner les elements de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d\'ordre
    fini.
:::

::: exercice
-   Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$.
    On considere la $\mathbb{K}$-algebre $A$ admettant une base sur
    $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. A quelle condition
    cette algebre est-elle un corps?
    -   On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p$ ou $p$ est un nombre
        premier. Combien de $\mathbb{F}_p$-algebres non isomorphes
        peut-on obtenir ainsi?
:::

::: exercice
Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute
$\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de
sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout
morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait
$\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ?
:::

::: proof
Pour tout isomorphisme $\tau\colon A\ra \A$, $u_A$ commute avec $\tau$.
:::

::: exercice
Soit, pour $n\in\N^*$, $P_n=1+X+\cdots+X^{n-1}$.

Montrer que
$\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}P_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}{2}\right)$.
:::

::: exercice
-   Montrrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome
    $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$.
    Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$.
    -   Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de
        $b_0,\ldots,b_{n-1}$.
    -   Pour $n\geq 1$, donner une relation entre $S_n^{''}$ et
        $S_{n-1}'$.
    -   En deduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en
        fonction de $b_0,\ldots,b_n$.
:::

::: exercice
Soit $n\in\N^*$. Soit $q\in\C$ tel que $0\lt |q|\lt 1$.

On pose $F:z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$.

-   Montrver qu\'il existe une unique list $(c_0,\ldots,c_n)\in\C^{n+1}$
    telle que

$\forall z\in\C^*,\ F(z)=\sum_{k=0}^nc_k(z^k+z^{-k})$.

-   Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en
    deduire une expression de $c_k$ a l\'aide d\'un produit. Ind.
    Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$.
:::

::: exercice
Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que
$(X+Y)^n$ soit congru a $X^n+Y^n$ modulo $p$.
:::

::: exercice
Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrver
qu\'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$.# 292 Soit $p$ un
nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note
$P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients
(devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une definition
similaire pour les polynomes a une indeterminee.

-   Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$,
    $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$.
-   Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$,
    $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et
    $P\not\equiv 0\ [p]$.
-   Determiner tous les polynomes $P\in\Z[T]$ tels que
    $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$.
:::

::: exercice
Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux a deux distincts.
Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$.
Montrer qu\'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise
$H-H_i$ pour tout $i\in[\![1,n]\!]$.
:::

::: exercice
-   Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux a deux,
    et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu\'il existe un entier $F$
    tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in[\![1,r]\!]$.
    -   Soient $N_1,\ldots,N_r$ des elements de $\C[X]$ premiers entre
        eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des elements de $\C[X]$.
        Montrer qu\'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$
        pour tout $i\in[\![1,r]\!]$.
    -   Soient $f,g$ deux elements de $\C[X]$ premiers entre eux, et
        $n\in\N^*$. Montrer qu\'il existe $h\in\C[X]$ tel que $g$ divise
        $h^n-f$.
:::

::: exercice
Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irreductible dans
$\Z[X]$?
:::

::: exercice
Soit $P\in\Z[X]$ un polynome unitaire dont les racines complexes ont un
module inferieur ou egal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des
racines de l\'unite.
:::

::: exercice
Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n$. On
ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose
$R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$.

-   Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$.
-   En deduire qu\'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que
    $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$.
:::

::: exercice
On se propose de donner une preuve du theoreme de d\'Alembert-Gauss.

-   Montrer qu\'il suffit de montrer le theoreme pour les polynomes a
    coefficients reels. Dans la suite, on ecrira le degre d\'un polynome
    non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et
    $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$.
-   Montrer le theoreme dans le cas ou $n=0$.

Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu\'au rang $n$, ou
$n\geq 1$ est fixe.

-   Soit $P\in\R[X]$ de degre $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet
    l\'existence d\'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$
    est scinde, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans
    $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixe $c\in\R$, on pose
    $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$.
-   Montrer que le polynome $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a
    coefficients reels. - Montrrer que l\'un des $y_{ij}(c)$ est element
    de $\C$.
-   Montrer finalement que l\'un des $x_i$ est element de $\C$.
:::

::: exercice
Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$.

-   On suppose que $q$ n\'est pas une racine de l\'unite. Montrer qu\'il
    existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que
    $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s\'il y en a deux alors
    elles sont opposees l\'une de l\'autre.
-   Montrer que le resultat precedent peut tomber en defaut si l\'on ne
    suppose plus que $q$ n\'est pas une racine de l\'unite.
:::

::: exercice
Soit $G$ un groupe, $\M$ l\'ensemble des morphismes de groupes de $G$
dans $\C^*$. Montrer que $\M$ est une partie libre du $\C$-espace
vectoriel $\C^G$.
:::

::: exercice
On note $C$ l\'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les
coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$,
on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit
$\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien
definie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite
$\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique
a partir d\'un certain rang.
:::

::: exercice
Soit $R\in\M_n(\Z)$ non nulle et $M=I_n+3R$. Montrer que, pour tout
$k\in\N^*$, $M^k\neq I_n$.
:::

::: exercice
Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie,
$p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que
$p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$.
:::

::: proof
On a $u(\Ker p)\subset \Im p$ et $u(\Im p) \subset \Ker p$.
:::

::: exercice
Pour $(A,B)\in\M_n(\R)^2$, on pose $\phi_{A,B}:M\in\M_n(\R)\mapsto AMB$.

Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$.

-   L\'ensemble $T$ est-il un $\R$-espace vectoriel?
-   Montrer que l\'espace vectoriel engendre par $T$ est
    $\mc{L}\left(\M_n(\R)\right)$.
:::

::: exercice
Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose
$R_P=\det(I_n+(X-1)P)$.

-   Calculer $R_P$ en fonction de $P$.
-   Soient $P,Q$ des matrices de projecteur dans $\M_n(\mathbb{K})$
    telles que $PQ=QP=0$. Montrer que $R_PR_Q=R_{P+Q}$.
-   Soit $\phi$ un automorphisme de la $\mathbb{K}$-algebre
    $\M_n(\mathbb{K})$.
-   Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout
    $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$.
-   Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans
    $\llbracket 1,n\rrbracket$?
-   Montrer que
    $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Im}\,\phi(E_{i,1})$.
:::

::: exercice
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$
un sous-espace vectoriel de $\mc{L}(E)$. On suppose qu\'il existe une
application $q:V\to\C$ telle que $u^2=q(u)\,\mathrm{id}$ pour tout
$u\in V$.

-   Monter que, pour tous $u,v\in V$, il existe $B(u,v)\in\C$ tel que
    $uv+vu=2B(u,v)\,\mathrm{id}_E$.
-   Montrer que $B$ est une forme bilineaire. - Soient $d\geq 1$ et
    $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous
    $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que $(u_1,\ldots,u_d)$ est
    libre.
-   Soient $d\geq 2$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que
    $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous
    $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que les $u_i$ sont de
    trace nulle, et que $\dim E$ est paire.
:::

::: exercice
Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$.
On suppose que $\phi(I_n)$ est inversible et que
$\forall A,B\in\M_n(\C)$, $\phi(AB)=\phi(A)\,\phi(B)$. Montrer qu\'il
existe $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que : $\forall A\in\M_n(\C)$,
$\phi(A)=PAP^{-1}$.
:::

::: exercice
-   Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ verifiant $(*)$ :
    $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$.
    -   Determiner les automorphismes de $\C(X)$ verifiant $(*)$.
:::

::: exercice
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que :
$\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$.

-   Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de
    $M$ est de module $\leq 1$.
-   On note $\mu=\min_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de
    $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$.
-   On suppose que $\mu\gt 0$ et que 1 est valeur propre de multiplicite
    1 dans $\chi_M$. Montrer que $(M^p)_{p\geq 1}$ converge vers une
    matrice de rang $1$ dont toutes les lignes sont egales.
-   On se donne trois reels strictement positifs $p,q,r$ tels que
    $p+q+r=1$. On considere la matrice $B\in\M_n(\R)$ definie par
    $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$
    si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont
    nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter
    la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$.
:::

::: exercice
Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie,
$f\in\mc{L}(E)$ cyclique, $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$.
Montrer que l\'induit par $f$ sur $F$ est cyclique.
:::

::: exercice
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie,
$a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose qu\'il existe $f\in\mc{L}(\C,E)$ et
$v\in\mc{L}(E,\C)$ telles que $ab-ba=fv$.

-   Que peut-on dire de $\det(ab-ba)$?
-   Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables.
-   A quelle condition sur $u\in\mc{L}(E)$ existe-t-il $w\in\mc{L}(E)$
    tel que $uw-wv$ soit de rang 1?
:::

::: exercice
Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et
$f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout vecteur $x\in E$, l\'ensemble
$\{f^n(x),\ n\in\N\}$ est fini.

-   Montrer que, si $f\in\mathrm{GL}(E)$, il existe $k\in\N^*$ tel que
    $f^k=\mathrm{id}$.
-   On revient au cas general. Montrer l\'existence de $k\in\N^*$ et
    $p\in\N$ tels que $f^{p+k}=f^p$.
:::

::: exercice
Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de
permutation associee a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$
sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguees dans
$\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont
semblables.
:::

::: exercice
Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien
$E$.

1.  Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable.
2.  Montrer que $E=\op{Im} p+\op{Ker} q+(\op{Im} q \cap \op{Ker} p)$.
3.  Montrer que $p \circ q$ est diagonalisable.
4.  Montrer que le spectre de $p \circ q$ est inclus dans $[0,1]$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe
l\'operateur de derivation des polynomes.

-   Determiner le degre de $L_n$. Montrer que
    $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. -
    Montrer que $L_n$ est scinde a racines reelles simples
    $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$. - Montrer
    qu\'il existe des reels $a_1,\ldots,a_n$ tels que

$\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$.
:::

::: exercice
Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note
$S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $\lN\cdot \rN$ désigne la
norme euclidienne canonique. Montrer l\'équivalence entre les
propositions suivantes.

-   $\alpha=2$.
-   $\forall n \geq 1, \forall\left(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_n\right) \in\left(S^2\right)^{3 n}, \exists p \in S^2$
    tel que

$$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-b_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^\alpha$$
:::

::: proof
:::

::: exercice
Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu\'il n\'existe pas
$B\in\text{SO}_2(\Q)$ verifiant $B^2=A$?
:::

::: exercice
Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$,
$\Phi:\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$.
Donner une condition necessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un
extremum.
:::

::: exercice
On considere dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices
$J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et
$I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$.

-   Soit $K\in\M_{2n}(\R)$ tel que $K^2=-I$. Montrer que
    $K^TJ\in\mc{S}_{2n}(\R)$ si et seulement si $J=K^TJK$.
-   On note $\mc C$ l\'ensemble des $K\in\M_{2n}(\R)$ telles que
    $K^2=-I$ et $K^TJ\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Soit $K\in\mc C$. Montrer
    que $K+J$ est inversible et que $(K+J)^{-1}(K-J)$ est symetrique.
-   Soit $K\in\mc C$. On pose $S=(K+J)^{-1}(K-J)$. Montrer que
    $SJ+JS=0$.
:::

::: exercice
Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$,
$\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$.
:::

::: exercice
Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$.

-   Montrer que $\op{tr}\left(e^Ae^B\right)\gt 0$.
-   Montrer que
    $\op{tr}\left(e^{A+B}\right)\leq\op{tr}\left(e^Ae^ {B}\right)$.
:::

::: exercice
Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels.

1.  Montrer que la matrice $A=\left(t_i t_j\right)_{1 \leq i, j \leq n}$
    est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
2.  On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n$. Montrer que la matrice
    $B=\left(\min \left(t_i, t_j\right)\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est
    dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
3.  On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq 1$. Montrer que
    $M=B-A \in \mc{S}_n^+(\R)$.
:::

::: proof
1.  $X^T AX = (\sum t_i x_i)^2$
2.  $\int \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2$
3.  Il s\'agit de montrer que
    $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$,
    c\'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l\'intégrale
    est sur $[0,1]$.
:::

::: exercice
On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note
$\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$.

-   Montrver que $\|\!|\!|\!|\!|\!|$ definit une norme sur $\M_n(\R)$.
-   Montrver que
    $\|\!|\!|A|\!|\!|=\sup_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$.
-   On prend $A=\Big{(}\dfrac{1}{i+j+1}\Big{)}_{0\leq i,j\leq n}$ dans
    $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X=(x_0\cdots x_n)^T$ et $Y=(y_0\cdots y_n)^T$
    dans $\R^{n+1}$, donner une interpretation de
    $\left\langle AX,Y\right\rangle$ a l\'aide d\'une integrale faisant
    intervenir $P:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et
    $Q:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^ny_ke^{ikt}$.
-   En deduire que $\|\!|\!|A|\!|\leq 2\pi$.
-   Montrver que l\'on a meme $\|\!|A|\!|\!|\leq\pi$.
:::

## Analyse

::: exercice
Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$,
discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par
$(0,0)$ est continue.
:::

::: exercice
Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.

1.  On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s\'écrit comme intersection de
    carrés fermés.
2.  On suppose $K$ non borné et $K \neq \R^2$. Donner des exemples de
    tels convexes. Montrer que si $K$ contient deux droites, celles-ci
    sont parallèles.
3.  On suppose toujours $K$ non borné. Montrer que $K$ contient une
    demi-droite.
:::

::: proof
1.  Si $x\not\in K$, on peut trouver une droite séparant $x$ de $K$,
    donc un carré contenant $K$ et non $x$.
2.  Si $K$ contient deux droites non parallèles, $K = \R^2$. La partie
    au dessus du graphe de $x\mapsto e^x$.
3.  Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et
    prendre une valeur d\'adhérence des segments $[y, x_n]$.
:::

::: exercice
Determiner les endomorphismes continus du groupe $\C^*$.
:::

::: exercice
Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique.
On definit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$,
$\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$.

-   Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrver que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$.
-   Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite reelle. On suppose que la serie de
    terme general $|u_n-1|$ converge.

Montrer que la suite de terme general $\prod_{k=0}^nu_k$ converge.

Soit $(M - {n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose
que la serie de terme general $\|M_n-I_d\|$ converge. On pose, pour
$n\in\N$, $B_n=M_0\times M_1\times\cdots\times M_n$.

-   Montrver que la suite $(B - {n\geq 0}$ converge.
-   Soit $\sigma$ une permutation de $\N$. Que peut-on dire de la suite
    de terme general $M_{\sigma(0)}\times\cdots\times M_{\sigma(n)}$?
-   Soit
    $E=\left\{\prod_{k=0}^{+\i}M_{\sigma(k)},\ \sigma\in\mc{S}( \N)\right\}$.
    Existe-t-il une suite de matrices pour laquelle $E$ n\'est pas
    ferme?
-   Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M - {n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle
    que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes?
:::

::: exercice
On definit la longueur d\'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$
par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des
intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$.
Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$?

-   Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu\'il existe $p\in\N^*$,
    $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels
    que, pour tout $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$,
    $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$.
-   Soit $(I - {n\geq 1}$ une suite d\'intervalles bornes de $\R$ telle
    que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de
    $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$?
:::

::: exercice
Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite ferme pour la norme infinie,
$C$ la sphere unite pour la norme infinie. On cherche a montrer qu\'il
n\'existe pas de fonction continue $r:D\to C$ telle que la restriction
de $r$ a $C$ soit l\'identite.

-   On considere une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetric (i.e.
    $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice reelle
    telle que : $\forall i,j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$,

$f(a_{i,j},a_{i+1,j})+f(a_{i+1,j},a_{i+1,j+1})+f(a_{i+1,j+1},a_{i,j+1})+f(a_{i,j+1},a_{i,j})=0$.

Montrer que :

$\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i,1},a_{i+1,1})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{n,j},a_{n,j+1})+\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i+1,n},a_{i,n})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{1,j+1},a_{1,j})=0$

-   Soit $M\in\M_{n+2}(\R)$ une matrice de la forme
    $\begin{pmatrix}1&1&\cdots&\cdots&1\\ 1&&&&3\\ \vdots&&M'&&\vdots\\ 1&&&&3\\ 1&2&\cdots&\cdots&2\end{pmatrix}$
    ou $M'\in\M_n(\R)$

est a coefficients dans $\{1,2,3\}$. Montrer qu\'au moins un des petits
carres de $M$ comporte trois valeurs differentes.

-   Montrer qu\'on dispose d\'un $\eta\gt 0$ tel que, pour tous $x$,
    $y\in D$ verifiant $\|x-y\|_{\i}\leq\eta$, on a
    $\|r(x)-r(y)\|\leq\frac{1}{10}$.
-   Soit alors $n\in\N$ tel que $\frac{2}{n-1}\leq\eta$. Pour tous $i$,
    $j\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on pose

$v_{i,j}=\left(1-2\frac{i-1}{n-1},1-2\frac{j-1}{n-1}\right)$.

Montrer que, pour tous $i$, $j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$,
$v_{i,j},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1},v_{i,j+1}$ sont contenus dans une boule
de rayon $1/10$.

-   En utilisant une fonction bien choisie de $C$ dans $\{1,2,3\}$,
    aboutir a une contradiction et conclure.
-   Utiliser ce resultat pour montrer que toute fonction continue de $D$
    dans $D$ admet un point fixe.
:::

::: exercice
On dit qu\'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés
de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si

-   pour tous $s, t \in \R^+$ distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres
    distincts,
-   pour tous $s, t \in \R^+$ tels que $s\lt t, D_s \subset D_t$.

1.  Existe-t-il une telle famille?
2.  Soit $A\colon \R^+ \ra \R^2$ une fonction $C^1$ et injective.
    Existe-t-il une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ vérifiant
    $(\mc{P})$ telle que, pour tout $t \in \R^+, A(t)$ soit le centre de
    $D_t$ ?
3.  Le résultat subsiste-t-il si $A$ est seulement supposée continue?
:::

::: proof
1.  Cercles de centre $(x,0)$, de rayon $x$.
2.  Prendre $D_t$ de rayon la longueur de la courbe de $A(0)$ à $A(t)$.
3.  Prendre une fonction non réglée.
:::

::: exercice
Dans tout l\'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une
$\mathbb{K}$-algebre $A$ de dimension finie, et on identifie
$\mathbb{K}$ a une sous-algebre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$.
On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement
dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$.
Jusqu\'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$.

-   Soit $x\in A$. Montrer qu\'il existe un $z_0\in\C$ tel que
    $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$.
-   On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que
    $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$.
-   En deduire que $\|a-1\|=2$.
-   En deduire que $A=\C$.
-   Retrouver le resultat de la question precedente en utilisant des
    polynomes annulateurs.

Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$.

-   Est-ce que $A$ est necessairement egale a $\R$?
-   On admet qu\'il existe une $\R$-algebre $\mathbb{H}$ ayant une base
    de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et
    $i^2=j^2=k^2=-1$. On considere la symetrie $x\mapsto\overline{x}$
    par rapport a $\R$ parallelement a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on
    considere la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$
    est bien definie, est effectivement une norme, et qu\'elle est
    multiplicative.
-   Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algebre, a $\R$,
    $\C$ ou $\mathbb{H}$.
:::

::: exercice
Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu\'il existe un
$n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$.
:::

::: proof
Dérivée discrète.
:::

::: exercice
Pour $n\geq 2$, on note
$\ell_n=\min\left\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$.

-   Montrer que $\ell_n=o(n)$.
-   Donner un equivalent de $\ell_n$.
:::

::: exercice
Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles
positives telles que la série de terme général $b_n$ converge, que la
série de terme général $n a_n$ diverge et que $\sum_{n=0}^{+\i} a_n=1$.

1.  Montrer qu\'il existe une unique suite $\left(u_n\right)$ telle que,
    $\forall n \in \N, u_n=b_n+\sum_{k=0}^n u_k a_{n-k}$.
2.  Montrer que $\left(u_n\right)$ est bornée.
3.  Montrer que, $\mathrm{si}\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite
    est 0.
:::

::: proof
Cf une année précédente.
:::

::: exercice
On considere la suite reelle definie par $x_0=2$ et
$x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu\'il
existe un reel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$.#
336 Soit $(a - {n\geq 0}$ la suite reelle definie par $a_0=1,a_1=2$ et
$\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un
equivalent de $a_n$.
:::

::: exercice
Soit $(a - {n\geq 0}$ definie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$,
$a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la serie de terme general \$a~n~\$2?
:::

::: exercice
Soit $\sum u_n$ une serie convergente de reels positifs. Existe-t-il une
suite $(v - {n\geq 0}$ de reels positifs tendant vers $+\i$ telle que la
serie $\sum u_nv_n$ converge?
:::

::: exercice
Soit $(x_n)$ une suite reelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable
pour toute suite reelle $(y_n)$ de carre sommable. Montrer que $(x_n)$
est de carre sommable.
:::

::: exercice
Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Determiner la nature de la
serie $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$.
:::

::: exercice
Etudier la convergence de la serie de terme general
$\frac{\sin(\ln n)}{n}$.
:::

::: exercice
On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout
$n\geq 1$.

-   Montrer que $u$ converge vers une limite $\ell$.
-   Montrer que
    $\ell=-(\sqrt{2}+1)\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$.
-   Montrer que
    $u_n=\ell+\frac{1}{2n^{1/2}}+O\Big{(}\frac{1}{n^{3/2}}\Big{)}$.
-   Montrer que
    $\ell=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})^2}$.
-   Etudier les variations de $u$.
-   Determiner un developpement asymptotique semblable a celui de la
    question - pour la suite de terme general
    $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$.
-   Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un developpement asymptotique a
    trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$.
:::

::: exercice
Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et
bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et
$\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature.
:::

::: proof
La série $\sum \frac{1}{f(n)}$ a la même nature que $\int \frac{1}{f}$.
On peut raccorder $f$ de manière $\mc C^1$, puis on pose $u = f(t)$ :
$$\int_0^{+\i} \frac{1}{f(t)}\dt = \int_0^{+\i} \frac{1}{u f'(f^{-1}(u))} \du,$$
puis IPP.
:::

::: exercice
-   Soit $m\in\N^*$. Montrer que
    $\sum\limits_{n=1}^{+\i} \frac{\sqrt{m}}{(m+n)\sqrt{n}}\leq \pi$.

    Ind. : Dans $\R^2$, considérer les points
    $x_n= (\sqrt{m}, \sqrt{n})$ et l\'intersection $r_n$ du cercle
    $C(0,\sqrt{m})$ avec le segment $[0,x_n]$.

-   Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carre
    sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et
    $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que
    $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$.
:::

::: exercice
-   Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que
    $\forall(x,y)\in\R^2$, $f(xy)=f(x)\,f(y)$.
-   Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que
    $\forall x\neq y\in\R$,
    $f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$.
:::

::: exercice
Que dire d\'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et
$\sqrt{2}$-périodique?
:::

::: proof
Easy.
:::

::: exercice
Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que
$|f'|+|f+1|\leq 1$.
:::

::: exercice
Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum_{p\in\mc{P},\ p\leq x}\ln(p)$.
Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$.
:::

::: exercice
Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu\'il existe une fonction $f$ de
classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$.
:::

::: exercice
Soit $(x - {n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une
condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation
$\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et
une suite strictement croissante $(t - {n\geq 0}$ d\'elements de $[0,1]$
telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$.
:::

::: exercice
Calculer $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt$.
:::

::: exercice
Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivee $n$-ieme de $(X^2-1)^n$.

-   Soit $n\in\N^*$. Montrer que $:\forall P\in\R_{n-1}[X]$,
    $\int_{-1}^1PL_n=0$.
-   Montrer que $L_n$ possede $n$ racines distinctes
    $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n$ dans $]-1,1[$.
-   Montrer qu\'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que
    $:\forall P\in\R_{2n-1}[X]$,
    $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$.
:::

::: exercice
Pour $n\in\N$, on pose \$
I~n~=∑~k=0~^n^(-1)^k^`\binom{n}{k}`{=latex}^3^\$.

-   On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$.
-   On suppose $n$ multiple de $4$. Montrer que $I_n\gt 0$.
-   Montrer, pour tout $n\in\N$, l\'egalite

\$ I~2n~=(-1)^n^`\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}`{=latex}∫~0~^2π^∫~0~^2π^
sin ^2n^(x)\\,sin ^2n^(y)\\,sin ^2n^(x+y)\\,dx\\,dy\$.
:::

::: exercice
-   Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer
    que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$
    admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une
    expression simple de ce point en fonction de $f$.
    -   Determiner la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.
:::

::: exercice
Justifier l\'existence et calculer
$\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}$.
:::

::: exercice
Soit
$f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$.

1.  Montrer que $f(x)\lt \frac{1}{x}$ pour tout $x\gt 0$.
2.  Montrer que $f(x)\gt \frac{\sqrt{x^2+4}-x}{2}$ pour tout $x\gt 0$.
3.  Donner un développement limité à quatre termes de $f(x)$ quand
    $x \ra+\i$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer
$I_r(u, v)=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(u-r e^{i \theta}\right)\left(v-r e^{i \theta}\right)}$.
:::

::: proof
:::

::: exercice
Soit $f\colon\R\to\R^+$ integrable, de classe $\mc C^1$, telle que
$\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s\'annule en un unique
$M\in\R$.

-   Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu\'il existe un
    unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$.
-   Montrer que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$ il existe un unique couple
    $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et
    $f(x_1)=f(x_2)=\ell$.
-   Supposons que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$.
    Montrer que $m\gt M$.
:::

::: exercice
-   Soient $a$ et $b$ deux suites reelles telles que $b-a$ converge vers
    $0$. Soit $(f - {m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$.
    On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel
    que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$
    converge uniformement vers une fonction constante.
    -   On note $H$ l\'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$
        strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout
        $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition
        des fonctions.
    -   Soit $f\in H$. Montrer que
        $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$.
:::

::: exercice
On note $F$ l\'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$
l\'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi
$I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est
ferme$\}$ et
$S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est
ferme$\}$.

Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit
$L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$.

-   Montrer que $C=I\cap S$. - Montrrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est
    une suite croissante d\'applications continues.
-   Soit $f\in F$. Montrrer que $f\in I$ si et seulement s\'il existe
    une suite $(f - {n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout
    $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$.
:::

::: exercice
Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle
que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$.

-   Rappeler le theoreme d\'integration des relations de comparaison.
-   Donner un equivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$.
-   Determiner le domaine de definition de la fonction
    $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$.
-   Determiner les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de
    definition.
-   Montrer qu\'il existe une constante $C\gt 0$ telle que
    $f(x)\sim\dfrac{C}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$.
:::

::: exercice
Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$
et

$\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n$.

-   Montrer que le rayon de convergence de la serie entiere
    $\sum a_nx^n$ est strictement positif.
-   Determiner la valeur de ce rayon de convergence.
:::

::: exercice
Pour $x$ reel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous
reserve de convergence.

-   Determiner le domaine de definition de $f$.
-   Etudier la continuite puis la derivabilite de $f$.
-   Donner un equivalent simple de $f$ en $1^-$.
-   Montrre que $f$ est developpable en serie entiere, et preciser le
    developpement associe.
:::

::: exercice
-   Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d\'une
    serie entiere. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend
    vers $0$. Montrrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins
    $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un
    nombre reel.
    -   Soient $A$ et $B$ deux polynomes a coefficients reels dont toute
        combinaison lineaire a coefficients reels est scindee ou nulle.
        Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrre que $[x,y]$
        contient au moins une racine de $B$.
:::

::: exercice
Soit $\sum a_nz^n$ une serie entiere de rayon de convergence egal a $1$
et de somme $f$.

On suppose qu\'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$,
$\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$.

Montrre que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$.
:::

::: exercice
Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair.

1.  Montrer l\'existence d\'une suite réelle
    $\left(b_k\right)_{k \geq 0}$ telle que :
    $\forall x \in \R, \exp (P(x))=\sum_{k=0}^{+\i} b_k x^k$.
2.  Montrer que les $b_k$ sont tous non nuls.
:::

::: proof
1.  
2.  Quand on dérive successivement $e^P$, on trouve une quantité qui
    vaut toujours $1$ modulo $2$.
:::

::: exercice
Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose
$(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$.

-   Montrrer que la suite de terme general $(x,q)_n$ converge vers un
    reel $(x,q)_{\i}\gt 0$.
-   Determiner le rayon de convergence de la serie entiere
    $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa
    somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert
    de convergence.
-   Etablir l\'identife $f_{x,q}(z)-f_{x,q}(qz)=(1-x)zf_{x,q,q}(z)$ pour
    tout $z\in D$.
-   Etablir l\'identife $f_{x,q}(z)=\frac{1-xz}{1-z}f_{x,q}(qz)$ pour
    tout $z\in D$.
-   Demontrer que $f_{x,q}(z)=\frac{(zx,q)_{\i}}{(z,q)_{\i}}$ pour tout
    $z\in D$.
-   Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Determiner, pour tout $z\in D$, la limite
    de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$.
:::

::: exercice
-   Pour $x\geq 0$ on pose
    $f(x)=\op{card}\big{\{}(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big{\}}$.
    Trouver un equivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$.
    -   On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Trouver un equivalent de
        $g$ en $1^-$ en utilisant $g^2$.
:::

::: exercice
Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose
$|F|=p^{\deg F}$.

-   Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrre que la famille
    $\big{(}|F|^{-s}\big{)}$, indexee par les polynomes
    $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme,
    qu\'on notera $z(s)$.
-   On note $A$ l\'ensemble des polynomes unitaires de
    $F\in\mathbb{F}_p[X]$ sans facteur carre, c\'est-a-dire tels que :
    $\forall D\in\mathbb{F}_p[X]$, $D^2|F\Rightarrow\deg D=0$. Montrre
    que $\sum_{F\in A}|F|^{-s}=\frac{z(s)}{z(2s)}$.
-   En deduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynomes sans
    facteur carre parmi les polynomes unitaires de degre $d$ de
    $\mathbb{F}_p[X]$.
:::

::: exercice
Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$
pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$.

-   Donner un equivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$.
-   On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l\'ecart avec
    l\'equivalent trouve.
-   Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$?
:::

::: exercice
-   Determiner le domaine de definition de
    $f:x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$.
    -   Montrre, pour tout reel $x\gt 0$, l\'egalite
        $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$.
:::

::: exercice
-   Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout reel $x$. - On
    pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$.
    Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que
    $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$
    -   Donner une expression simplifiee de $F$.
:::

::: exercice
Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre integrable. On pose
$S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$.

-   Justifier la bonne definition de $S_f$.
-   Montrer que $S_f$ est de carre integrable.
:::

::: exercice
Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose
$I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$.

-   Determiner la limite et un equivalent de $I$ en $+\i$.
-   Donner un developpement asymptotique de $I$ a tout ordre.
-   Donner une condition necessaire et suffisante pour que ce
    developpement soit la somme partielle d\'une serie convergente pour
    tout $x\gt 0$.
:::

::: exercice
-   Soient $K$ un segment et $f:K\to K$ une fonction continue
    croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.
    -   On considere l\'equation differentielle non lineaire
        $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il
        existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ verifiant
        $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ reels distincts, les
        fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point.
        Montrer que $(E)$ possede une solution $2\pi$-periodique.
:::

::: exercice
Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans
$\R^{+*}$. Soit $a\in[0,1]$.

-   Justifier qu\'il existe une unique fonction $x_a:\R^+\to\R$ de
    classe $\mc C^1$ telle que
    $\forall t\in\R^+,\ x'(t)=f(t)-(f(t)+g(t))\,x(t)$ et $x(0)=a$.
-   On suppose que $f$ et $g$ ont une limite finie strictement positive
    en $+\i$. Montrer que $x_a$ tend vers $0$ en $+\i$.
-   Montrer que $f$ et $g$ peuvent etre choisies de telle sorte que
    $x_a$ n\'ait pas de limite en $+\i$.
-   On suppose que l\'une des fonctions $f$ et $g$ n\'est pas integrable
    sur $\R^+$. Montrer que $x_1-x_0$ tend vers $0$ en $+\i$.
:::

::: exercice
Soient $v:\R\to\R$ une fonction continue a support compact et
$\omega\in\R^{+*}$. On considere l\'equation differentielle
\$y^\'\'^+ω^2y^=v(t),\$ dont on note $\mc{S}_E$ l\'ensemble des
solutions.

-   Montrer que, pour tout $(a,b)\in\R^2$, il existe une unique solution
    $f^+_{a,b}$ (resp. $f^-_{a,b}$) de $(E)$ telle que
    $f^+_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un
    voisinage de $+\i$, (resp.
    $f^-_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un
    voisinage de $-\i$.
-   Montrer que
    $\mc{S}_E=\{f^+_{a,b},(a,b)\in\R^2\}=\{f^-_{a,b},(a,b)\in \R^2\}$.
-   On pose $c(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\cos(\omega t)\,dt$ et
    $s(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\sin(\omega t)\,dt$, et on definit
    l\'application $S_{\omega}:\R^2\to\R^2$ par :
    $f^-_{a,b}=f^+_{S_{\omega}(a,b)}$ pour tout $(a,b)\in\R^2$.
    Expliciter l\'application $S_{\omega}$ en fonction de $c(\omega)$ et
    $s(\omega)$.
-   On suppose que $S_{\omega}=\mathrm{id}_{\R^2}$ pour tout
    $\omega\gt 0$. Montrer que $v$ est identiquement nulle.
:::

::: exercice
Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que
$q_1\leq q_2$. On considere l\'equation differentielle
$(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$.

-   Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur
    $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros de $y_1$. Montrer que $y_2$
    s\'annule dans $[\alpha,\beta]$.
-   Soient $q:\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux reels strictement positifs
    tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros
    consecutifs d\'une solution non nulle $x$ de $y^{''}+q(t)\,y=0$.
-   Montrer que les zeros de $x$ fortner une suite strictement
    croissante $(t - {n\in\N}$.
-   Montrer que
    $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour
    tout $n\in\N$.
:::

::: exercice
-   Soit $p$ un projecteur d\'un espace vectoriel $E$ de dimension
    finie, et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $pu+up=u$. Montrer que
    $\mathrm{tr}(u)=0$.
    -   Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit
        $r\in\llbracket 0,n\rrbracket$. On note $G$ l\'ensemble des
        projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$.
        Determiner l\'espace vectoriel tangent a $G$ en $p$.
:::

::: exercice
On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considere le
carre de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$
et $C$ sur ce carre.

-   Montrer qu\'il existe une disposition des points $A$, $B$ et $C$
    maximisant l\'aire du triangle $ABC$.
-   Caracteriser une telle disposition.
:::

## Geometrie

::: exercice
Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimetre d\'un polygone regulier a
$2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite.

-   Calculer $P_n$ et etudier la convergence de la suite
    $(P - {n\geq 2}$.
-   Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$.
-   Estimer l\'erreur $2\pi-P_n$.
-   Proposer une methode d\'approximation de $\pi$ par exces.
:::

::: exercice
On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note
respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$,
$(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et
$(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l\'unique point
tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de
$(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une
mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l\'unique
point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de
$(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une
mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l\'unique
point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une
mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L\'objectif est
de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral.

-   On note $f,g,h$ les rotations de centres respectifs $A,B,C$ et
    d\'angles de mesures respectives $\frac{2a}{3}$, $\frac{2b}{3}$ et
    $\frac{2c}{3}$. Montrer que $P$ est l\'unique point fixe de
    $g\circ h$.
-   Montrer que $(f^3\circ g^3\circ h^3)(z)=z$ pour tout nombre complexe
    $z$.
-   On note $f:z\mapsto a_1z+b_1$, $g:z\mapsto a_2z+b_2$ et
    $h:z\mapsto a_3z+b_3$. Experimer $P,Q,R$ en fonction des $a_i$ et
    des $b_i$.
-   Conclure.
:::

::: exercice
Determiner le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles,
d\'une permutation de $[\![1,n]\!]$.
:::

::: exercice
-   Montrer que
    $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$.
    -   Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste
        decroissante $(\lambda - {1\leq k\leq n}$ d\'entiers naturels
        non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles
        listes.

Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$.

-   On fixe $n\geq 1$ et on considere une variable aleatoire $X$ suivant
    la loi uniforme sur l\'ensemble des partitions de $n$. On fixe
    $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose
    $N_k=|\{i\in[\![1,n]\!]:X_i=k\}|$.

Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour
des entiers $a$ et $b$ a preciser.

-   Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$.
:::

::: exercice
On considere la suite $(a_n)$ definie par $a_1=0$, $a_2=1$ et
$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$.

-   Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$.
-   On lance une piece non truquee. Determiner la loi de la variable
    aleatoire $X$ qui donne l\'instant de premiere apparition du motif
    Face-Face.
-   Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$.
-   Donner un equivalent de ${\bf P}(X=n)$.
:::

::: exercice
Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note
$N$ la variable aleatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le
nombre de ses orbites.

-   Calculer ${\bf P}(N=1)$ et ${\bf P}(N=n)$.
-   Donner une formule simple pour la fonction generatrice de $N$.
-   Donner un equivalent de ${\bf E}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.
-   Donner un equivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.
:::

::: exercice
Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d.
suivant la loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la
base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable
aleatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$,
$f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$.

-   Determiner
    ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$.
-   Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicite de $z$ comme valeur
    propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$.
:::

::: exercice
Soient $b,n\in{\N}^*$. On considere $(B - {1\leq i\leq n}$ des variables
aleatoires independantes suivant la loi uniforme sur $[\![0,b-1]\!]$. On
note $S$ l\'ensemble des descentes de la suite $B$ c\'est-a-dire
$S=\{i\in[\![1,n]\!],\ B_i\gt B_{i+1}\}$.

-   Pour $i\in[\![1,n-1]\!]$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$.
-   Soit $j\in[\![1,n-j-1]\!]$. Calculer
    ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$. - Pour
    $I\subset\llbracket 1,n\rrbracket$, on pose $\alpha(I)$ (resp.
    $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ elements a valeurs dans
    $\llbracket 0,b-1\rrbracket$ qui verifient $S\subset I$ (resp.
    $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en
    fonction de $\alpha$.
:::

::: exercice
Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note
$s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points
$e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note
$b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment
(ou on dit que deux segments se croisent s\'ils ont un point
d\'intersection qui n\'est pas une extremite).

Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aleatoire suivant la loi
uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Determiner $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en
donner un equivalent.
:::

::: exercice
Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que
$\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et
$\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que :
$\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$.

1.  Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et
    enfin que $p \leq \frac{1}{4}$.
2.  Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose
    $\Phi_X\colon \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$.
    Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$.
3.  En déduire que $p \leq \frac{1}{4}$ est une condition suffisante.
:::

::: proof
1.  On regarde les probabilités, jusqu\'à $n = 3$.
2.  $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy.
3.  
:::

::: exercice
Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et
$X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes uniformement
distribuees sur $\llbracket 0,d\rrbracket$. On note $S_n$ la classe de
$X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$.

-   La variable aleatoire $S_n$ est-elle uniformement distribuee sur
    $\Z/n\Z$?
-   Calculer la loi de $S_n$.
:::

::: exercice
Soient $d\in\N^*$, $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables
aleatoires suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,d\rrbracket$. Pour
$n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$.

-   Soient $Y$ une variable aleatoire a valeurs dans $\Z$,
    $r\in\llbracket 0,d-1\rrbracket$, $\omega=e^{2i\pi/n}$.

Montrer que \$**P**(Y≡ r\[*d*\])=`\frac{1}{n}`{=latex}∑~k=0~^n-1^
`\frac{1}{\omega^{kr}}`{=latex}**E**`\left`{=latex}(ω^kY^`\right`{=latex}).\$

-   Soit $r\in\llbracket 0,d-1\rrbracket$. Donner une expression de
    $\mathbf{P}(S_n\equiv r\left[d\right])$.
-   Determiner la limite de la suite de terme general
    $\mathbf{P}(S_n\equiv 0\left[d\right])$.
:::

::: exercice
Soit $n\geq 1$.

-   On se donne deux variables aleatoires independantes $X_n$ et $Y_n$
    suivant chacune la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket^2$.
    Soit $r\in\Q$. Determiner la probabilite $u_n(r)$ pour que $X_n$ et
    $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la
    droite $(X_nY_n)$ soit egal a $r$. Donner un equivalent de $u_n(r)$
    lorsque $n\to+\i$.
-   On se donne quatre variables aleatoires independantes
    $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur
    $\llbracket 1,n\rrbracket^2$. On note $p_n$ la probabilite pour que
    $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$
    soient paralleles. Montrer que
    $p_n=O\Big{(}\frac{\ln n}{n^2}\Big{)}$ quand $n\to+\i$.
:::

::: exercice
Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$.\*a)\*:
Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$.

-   Soit $X$ une variable aleatoire reelle centree et admettant un
    moment d\'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$,
    $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$.
-   Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires
    centrees admettant un moment d\'ordre 2. Montrer que, pour
    $n\in\N^*$,
    $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$.
:::

::: exercice
Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue
une succession de tirages d\'une boule dans l\'urne avec remise. A
chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle titee dans
l\'urne. Soit $X_n$ la variable aleatoire du nombre de boules jaunes
dans l\'urne apres $n$ tirages. Soit $T_n$ l\'evenement «tirer une boule
jaune au $n^{\text{ieme}}$ tirage».

-   Calculer $\mathbf{P}_{T_2}(T_1)$.
-   Determiner la loi de $X_n$.
-   Calculer $\mathbf{P}(T_n)$.
-   Pour $n_1,...,n_p,m_1,...,m_q$ tous distincts, calculer
    $\mathbf{P}(T_{n_1}\cap...\cap T_{n_p}\cap\overline{T_{m_1}}\cap...\cap \overline{T_{m_q}})$.
:::

::: exercice
Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes
uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$.

1.  Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un
    triangle équilatéral.
2.  Déterminer un équivalent de $p_n$.
:::

::: proof
Relier à un précédent.

1.  On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes
    $1$, et autant de différences entre les deux.

    On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et
    $B\oplus C$.

    Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$
    vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et
    disjoints.
:::

::: exercice
On munit l\'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la
probabilite uniforme. Soit $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre
de points fixes d\'une permutation aleatoire $\sigma\in\mc{S}_n$.

-   Calculer $\mathbf{P}(X_n=0)$.
-   Determiner la loi de $X_n$.
-   Etudier la convergence en loi de la suite $(X - {n\in\N^*}$.
-   Calculer les esperance et variance de la variable aleatoire $X_n$.
:::

::: exercice
Soit
$M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$
une matrice aleatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$,
$(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et
$(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$.

-   Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible.
-   Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible et
    diagonalisable dans $\R$.
:::

::: exercice
Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\N$
verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout
$i\in[\![0,n]\!]$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et
$\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$.

-   Montrer que, si $(i,j)\in\N^2$,
    $\mathbf{P}P(X=i,Y=j)=\mathbf{P}(X=i,X-Y=j)$, puis que $X-Y\sim Y$.
-   Montrer que $\mathbf{P}(Y=0)\gt 0$.
-   On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont independantes. Determiner la loi de
    $Y$, puis celle de $X$.
:::

::: exercice
Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la
reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables
aleatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout
$k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $X_k$ suit la loi uniforme sur
$\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l\'application
aleatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout
$k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$.
Calculer la probabilite que $F$ soit bijective.
:::

::: exercice
On cherche a collectionner $N$ jouets. A chaque achat, chaque jouet a
une probabilite uniforme d\'etre obtenu. Pour
$i\in\llbracket 1,N\rrbracket$, on note $T_i$ le temps d\'attente pour
obtenir $i$ jouets differents.

-   Calculer l\'esperance de $T_N$.
-   Calculer la variance de $T_N$.
-   Montrer que $\forall\eps\gt 0$,
    $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$
    quand $N\ra+\i$.
:::

::: exercice
Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles
centrees.

On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$.

-   Montrer que
    $\mathbf{E}\left(\left(X_1+\cdots+X_n\right)^4\right)=O(n^2)$.
-   Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la serie de terme general
    $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\gt \eps\right)$?
:::

::: exercice
Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables
aleatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient
$S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$.

-   Montrer que
    $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)dx=\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n\frac{1}{n!}$.
-   On admet que, pour tout $x\in\R$,
    $\mathbf{P}(T_n\geq x)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\i}e^{-t^2/2}dt$.
    Retrouver la formule de Stirling.
:::