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Algèbre

Soit $F$ un sous-ensemble fini de $R$. On note $F+F = \{e+f \mid (e,f)\in F^2\}$. Majorer le cardinal de $F+F$ ; montrer qu'il est minoré par $2|F|-1$. Cela reste-t-il vrai dans $R^d$ ?

Soit $f : \{-1,1\}^n\to\R$. Montrer l'existence et l'unicité d'une fonction $c : \mathcal P(\db{1,n})\to\R$ telle que, pour tout $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\{-1,1\}^n$, $$f(x)=\sum_{S\subset\{1,2,\ldots,n\}} c(S)\prod_{i\in S}x_i.$$

Soient $E$ un ensemble et $n\in\N$. On note $C(E,n)$ l'ensemble des parties de $E$ de cardinal $n$. Déterminer toutes les parties $\{a_1,\ldots,a_n\}\in C(\Z,n)$, avec $a_1<\cdots<a_n$, telles que l'application qui, à une paire $\{i,j\}$, associe $|a_i-a_j|$, réalise une bijection de $C(\db{1,n},2)$ sur un intervalle d'entiers $\db{1,m}$.

Pour tout réel $x\geq 1$, on note $\pi(x)=\operatorname{card}\{p\in\mathbb{P}\mid p\leq x\}$. Trouver une minoration la plus précise possible de $\pi(x)$.

Pour $K$ un corps et $a\in K$, on note $C(K,a)=\{(x,y)\in K^2\mid x^2+y^2=a\}$.

1. Soient $p$ un nombre premier et $a\in\mathbb{F}_p^*$. Dénombrer l'ensemble $C(\mathbb{F}_p,a)$. Indication : on pourra décrire $C(\Q,1)$ et $C(\C,1)$.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $p$ pour que $2$ soit un carré modulo $p$.

Pour $n\in\N^*$, on se propose d'établir la propriété $P_n$ : pour toute famille de $2n-1$ entiers relatifs, il existe une sous-famille de $n$ entiers dont la somme est divisible par $n$.

1. Traiter les cas $n=1$ et $n=2$.
2. On suppose que $n\geq 2$. Montrer qu'il existe une famille de $2n-2$ entiers relatifs dont aucune sous-famille de $n$ entiers n'a une somme divisible par $n$.
3. Soient $m,n\in\N^*$. Montrer que, si $P_m$ et $P_n$ sont vraies, il en est de même de $P_{mn}$.
4. Soit $p$ un nombre premier. Déterminer la classe modulo $p$ de $\binom{2p-1}{p}$ et, si $s\in\db{1,p}$, de $\binom{2p-1-s}{p-s}$.
5. Soient $p$ un nombre premier, $I$ un ensemble de cardinal $2p-1$, $(a_i)_{i\in I}\in\Z^I$. On suppose que, pour toute partie $J$ de $I$ de cardinal $p$, $\sum_{i\in J}a_i$ n'est pas divisible par $p$. Obtenir une contradiction en considérant $$\sum_{\substack{J\subset I\\|J|=p}}\left(\sum_{i\in J}a_i\right)^{p-1}.$$ Conclure.

Soit $G$ un groupe. Une fonction $f:G\to\R$ est un quasi-morphisme quand il existe $C\geq0$ tel que, pour tous $a,b\in G$, $|f(ab)-f(a)-f(b)|\leq C$. Un quasi-morphisme $f$ est dit homogène quand, pour tout $n\in\Z$ et tout $a\in G$, $f(a^n)=nf(a)$.

1. Soit $f$ un quasi-morphisme. Montrer que, pour tout $a\in G$, la suite $\left(f(a^{2^k})/2^k\right)$ converge.
2. On suppose $G$ abélien. Montrer que tout quasi-morphisme $f$ se décompose de façon unique sous la forme $f=f'+h$, où $f'$ est un quasi-morphisme homogène et $h$ une fonction bornée.
3. Montrer que, si $f$ est un quasi-morphisme homogène, alors, pour tous $a,b\in G$, $f(aba^{-1})=f(b)$.

Soit $\phi$ un morphisme de $\Q$-algèbres de $\Q[X]$ dans $\C$. On suppose que le noyau de $\phi$ contient un polynôme de $\Z[X]$ unitaire et irréductible sur $\Q$. On note $K$ le sous-$\R$-espace vectoriel de $\C$ engendré par l'image de $\phi$, et $G$ le sous-groupe de $(\C,+)$ engendré par la famille $(\phi(X^n))_{n\in\N}$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $G$ soit dense dans $K$.

1. Soit $p\geq2$ un entier. On suppose que le groupe $((\Z/p\Z)^\times,\cdot)$ des inversibles de $\Z/p\Z$ est isomorphe à $(\Z/(p-1)\Z,+)$. Montrer que $p$ est premier. On admet que, si $p$ est premier, le groupe multiplicatif $(\Z/p\Z)^\times$ est cyclique.

2. Soit $N\geq2$. Démontrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

   1. $N$ est non premier et $\forall x\in\Z,\ x^N\equiv x\pmod N$.
   2. $N$ possède au moins trois facteurs premiers distincts et, pour tout premier $p$ divisant $N$, $p^2\nmid N$ et $p-1\mid N-1$.

   Dans ce cas, on dit que $N$ vérifie $(C)$.

3. 1. Montrer qu'il existe $k\in\N$ tel que $6k+1$, $12k+1$ et $18k+1$

   soient premiers.

   1. Soit $k$ un tel entier. Montrer que

   $(6k+1)(12k+1)(18k+1)$ vérifie $(C)$.

1. Déterminer les morphismes continus de $(\R,+)$ dans $(\mathbb{U},\times)$.
2. Soit $\mathbb{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Montrer que, pour $(m,n)\in\Z\times\N^*$ premiers entre eux, il existe $a\in\Z$ et une famille d'entiers $(b_p)_{p\in\mathbb{P}}$ tels que $$\frac mn=a+\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{b_p}{p^{v_p(n)}},\qquad 0\leq b_p<p^{v_p(n)}.$$
3. En déduire que tout morphisme de $(\Q,+)$ dans $(\mathbb{U},\times)$ est déterminé par ses valeurs sur les $1/p^k$, pour tout premier $p$ et tout $k\in\N$.

Soit $R$ un anneau commutatif. On note $$\mathrm{SL}_2(R)=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in \mathcal{M}_2(R)\mid ad-bc=1_R\right\}.$$ Soit $p$ un nombre premier et $k\in\N^*$ ; on admet que $\mathrm{SL}_2(\Z/p^k\Z)$ est un groupe pour le produit matriciel.

1. Soit $\Pi:\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)\to\mathrm{SL}_2(\Z/p\Z)$ la réduction modulo $p$. Montrer qu'il s'agit d'un morphisme de groupes surjectif.
2. Soit $X\in\mathcal{M}_2(\Z)$ nilpotente. On suppose à présent $p>3$. Montrer que si $A\equiv I_2+X\pmod p$, alors $A^p\equiv I_2+pX\pmod{p^2}$.
3. Soit $H$ un sous-groupe de $\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$ tel que $\Pi(H)=\mathrm{SL}_2(\Z/p\Z)$. Montrer que $H=\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$.
4. Montrer le même résultat avec $\mathrm{SL}_2(\Z/p^k\Z)$ à la place de $\mathrm{SL}_2(\Z/p^2\Z)$.

1. Montrer que $\Z[X]$ est un sous-anneau de $\R[X]$.
2. Soient $A,B\in\Z[X]$ avec $B$ unitaire. Montrer qu'il existe $Q,R\in\Z[X]$ tels que $A=BQ+R$ avec $\deg(R)<\deg(B)$.
3. Soient $n\in\N^*$ et $y\in\Z$. Montrer que l'application $\phi:P\in\Z[X]\mapsto P(y)\in\Z/n\Z$ est un morphisme surjectif d'anneaux, de noyau $$\{(X-y)A+nB\mid(A,B)\in\Z[X]^2\}.$$
4. Soient $Q\in\Z[X]$ unitaire de degré strictement positif et $R$ un anneau. On suppose qu'il existe un morphisme d'anneaux de $\Z[X]$ dans $R$ de noyau $\{QA+nB\mid(A,B)\in\Z[X]^2\}$. Montrer que $R$ est fini et déterminer son cardinal.
5. On suppose désormais que $Q(X)=X^2+bX+c$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $n,b,c$ pour que l'anneau $R$ soit intègre.

Un idéal $I$ d'un anneau commutatif est dit premier si $A\setminus I$ est stable par multiplication ; il est dit maximal si les seuls idéaux qui le contiennent sont $I$ et $A$.

1. Montrer que tout idéal premier non nul de $\Z[\sqrt{5}]$ est maximal.
2. Montrer que tout idéal maximal de $\Z[\sqrt{5}]$ est premier.

Soit $A$ une $\R$-algèbre commutative unitaire de dimension finie. On note $\mathrm{Nil}(A)=\{x\in A\mid x\text{ est nilpotent}\}$.

1. Rappeler la définition d'un idéal et montrer que $\mathrm{Nil}(A)$ est un idéal.
2. Montrer que si $x\in\mathrm{Nil}(A)$, alors $1-x$ est inversible.
3. Montrer qu'il existe $M\in\N$ tel que, pour tous $x_1,\ldots,x_M\in\mathrm{Nil}(A)$, $x_1\cdots x_M=0$.
4. Montrer que $M=\dim A$ convient.
5. Soit $L_x:y\in A\mapsto xy\in A$. Montrer que $x\in\mathrm{Nil}(A)$ si et seulement si $\chi_{L_x}=X^{\dim A}$.
6. Montrer que, pour tout $x\in A$, $\chi_{L_x}(x)=0$.

1. Soit $P\in\R[X]$. Montrer que, pour tout $x\in\R$, $P(x)\geq0$ si et seulement s'il existe $A,B\in\R[X]$ tels que $P=A^2+B^2$. Indication : montrer que l'ensemble $\{A^2+B^2\mid(A,B)\in\R[X]^2\}$ est stable par produit.
2. Montrer que, pour tout $x\in\R^+$, $P(x)\geq0$ si et seulement s'il existe $(A,B)\in\R[X]^2$ tels que $P=A^2+XB^2$.

Soit $P\in\R[X]$ de degré au moins $2$. Le polynôme $P$ est dit sympathique s'il est le produit de deux polynômes non constants à coefficients positifs. On suppose qu'il existe $n\geq2$ tel que $P(X^n)$ soit sympathique. Démontrer que $P$ est également sympathique.

Soient $K$ un corps de caractéristique nulle et $a\in K$. Soit $(P,Q)\in K[X]^2$ non tous deux nuls en $a$. Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $(\lambda,\mu)\in K^2$ tels que $\lambda P+\mu Q$ soit un polynôme non nul admettant $a$ comme racine de multiplicité $n$ si et seulement si $a$ est racine de $P'Q-PQ'$ de multiplicité $n-1$.

1. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $U_n,V_n\in\Z[X]$ tels que, pour tout $z\in\C$, $(1+iz)^n=U_n(z)+iV_n(z)$. Donner le degré de $V_n$, puis ses racines.
2. Soit $p$ un nombre premier tel que $p\equiv3\pmod4$. Montrer que, pour tout $k\in\Z$, $p$ divise $V_{p+1}(k)$.
3. Soient $p$ un nombre premier impair, $m,n\in\N^*$ et $d=m\wedge n$. Soit $k\in\Z$. On suppose que $p\mid V_m(k)$ et $p\mid V_n(k)$. Montrer que $p\mid V_d(k)$.

On pose $P=\sum_{i=0}^N a_iX^i\in\C[X]$, avec $a_0\neq0$ et $a_N=1$, et $$H(P)=\sup_{|z|=1}\frac{|P(z)|}{\sqrt{|a_0|}}.$$

1. Montrer que $$\frac{1}{|a_0|}\sum_{i=0}^N|a_i|^2\leq H(P)^2\leq \frac{N+1}{|a_0|}\sum_{i=0}^N|a_i|^2$$ et étudier les cas d'égalité.
2. On pose $\ln^+(x)=\max(0,\ln x)$. Montrer que $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \ln^+\left(\frac{|P(e^{i\theta})|}{\sqrt{|a_0|}}\right)\,d\theta \leq \ln H(P).$$

Soit $(u,v)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On appelle cristal engendré par $(u,v)$ l'ensemble $C=\{au+bv\mid(a,b)\in\Z^2\}$.

1. Trouver les $\Phi\in\mathcal L(\R^2)$ tels que $\Phi(C)=C$, pour $C$ le cristal engendré par la base canonique.
2. Trouver les rotations $\Phi$ de $\R^2$ telles que $\Phi(C)=C$, pour $C$ le cristal engendré par la base canonique.
3. Trouver les rotations $\Phi$ de $\R^2$ telles que $\Phi(C)=C$, pour $C$ un cristal quelconque.
4. Soit $C$ une partie de $\R^2$ stable par $+$ et $-$. Montrer que $C$ est un cristal si et seulement si $\operatorname{Vect}(C)=\R^2$ et $C$ est discret.

Soient $A,B\in\mathcal M_{m,n}(\R)$. On dit que $A$ est équivalente à $B$ par rapport aux lignes si, pour tous $k$ et tous $1\leq i_1<\cdots<i_k\leq m$, la famille $(L_{i_1}(A),\ldots,L_{i_k}(A))$ est libre si et seulement si $(L_{i_1}(B),\ldots,L_{i_k}(B))$ est libre, où $L_i(A)$ est la $i$-ème ligne de $A$. On définit de même l'équivalence par rapport aux colonnes. Montrer que $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)$ si et seulement s'il existe $C\in\mathcal M_{m,n}(\R)$ équivalente à $A$ par rapport aux lignes et équivalente à $B$ par rapport aux colonnes.

Pour $\sigma\in\mathfrak S_n$, on note $n_k(\sigma)$ le nombre de $k$-cycles de $\sigma$, et $m(\sigma)$ le nombre total de cycles.

1. Soit $c$ un $k$-cycle de $\mathfrak S_n$ et $i\in\N^*$. Déterminer l'ordre de $c^i$.
2. Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjugués si et seulement si, pour tout $k\in\db{1,n}$, $n_k(\sigma)=n_k(\tau)$.
3. Trouver le nombre total de cycles dans $c^i$ pour $c$ un $k$-cycle et $i\in\N^*$.
4. Calculer $\det\big((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n}\big)$.
5. Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjugués si et seulement si, pour tout $i\in\N^*$, $m(\sigma^i)=m(\tau^i)$.

Soit $n\in\N^*$. Soient $A_1,\ldots,A_n\in\mathcal M_n(\C)$ et, pour $i\in\db{1,n}$, soit $S_i$ un sous-ensemble de $\C$ de cardinal au moins $n+1$. On suppose que, pour tout $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in S_1\times\cdots\times S_n$, la matrice $\lambda_1A_1+\cdots+\lambda_nA_n$ est nilpotente. Montrer que, pour tout $i$, $A_i$ est nilpotente.

Soient $x_1,\ldots,x_n\in\Z$ et $k_1,\ldots,k_n\in\N^*$. Montrer que $\prod_{i=1}^n i!$ divise le déterminant de la matrice $$\left(\binom{x_i}{k_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}.$$

Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}\in\mathcal M_{m,n}(\R)$. Soient $X=(x_1\ \cdots\ x_n)$ une combinaison convexe des lignes de $A$ et $Y=(y_1\ \cdots\ y_m)^T$ une combinaison convexe des colonnes de $A$.

1. Soient $I$ un intervalle de $\R$ contenant tous les $x_j$ et $J$ un intervalle de $\R$ contenant tous les $y_i$. Montrer que $I\cap J\neq\varnothing$.
2. On suppose que $X=(\alpha\ \cdots\ \alpha)$ et $Y=(\beta\ \cdots\ \beta)^T$. Montrer que $\alpha=\beta$.
3. On note $$\alpha=\min_{(\lambda_1,\ldots,\lambda_m)\in\Delta_m} \max_{1\leq j\leq n}\sum_{k=1}^m\lambda_k a_{k,j},\qquad \beta=\max_{(\mu_1,\ldots,\mu_n)\in\Delta_n} \min_{1\leq i\leq m}\sum_{j=1}^n a_{i,j}\mu_j,$$ où $\Delta_k=\{(\lambda_1,\ldots,\lambda_k)\in(\R_+)^k\mid \lambda_1+\cdots+\lambda_k=1\}$. Montrer que $\alpha\geq\beta$.

Soient $p$ un nombre premier et $n$ un entier strictement positif.

1. Dénombrer les bases de l'espace vectoriel $(\mathbb F_p)^n$.
2. Soit $E$ un $\mathbb F_p$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(V,W)$ de sous-espaces de $E$ tels que $E=V\oplus W$, $V$ et $W$ soient stables par $u$, l'endomorphisme induit par $u$ sur $V$ soit inversible, et celui induit sur $W$ soit nilpotent.
3. En déduire le nombre de matrices nilpotentes de $\mathcal M_n(\mathbb F_p)$.
4. Peut-on mener le même calcul dans $\mathcal M_d(\Z/d\Z)$ pour un entier $d$ quelconque ?

Soient $n\geq2$ et $E_n$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\R^n$. Soit $\phi:E_n\to\R$ telle que $\phi(\{0\})=0$ et, pour tous $(V,W)\in E_n^2$, $$\phi(V\cap W)+\phi(V+W)\leq\phi(V)+\phi(W).$$ Montrer qu'il existe un unique sous-espace vectoriel $V_0\in E_n$ de dimension maximale tel que $$\min_{V\in E_n\setminus\{0\}}\frac{\phi(V)}{\dim V} =\frac{\phi(V_0)}{\dim V_0}.$$

Soit $n\in\N^*$. Une matrice $Q\in\mathcal M_n(\R)$ est bistochastique si ses coefficients sont positifs et de somme égale à $1$ le long de chaque ligne et de chaque colonne. Montrer que si $Q$ est une matrice bistochastique qui n'est pas une matrice de permutation, il existe $M\in\mathcal M_n(\R)$ non nulle telle que, pour tout $(i,j)\in\db{1,n}^2$ :

1. si $Q_{i,j}=0$, alors $M_{i,j}=0$ ;
2. $\sum_{k=1}^n M_{i,k}=\sum_{k=1}^n M_{k,j}=0$.

1. Montrer que tout endomorphisme de l'anneau $\mathcal M_n(K)$ est injectif.
2. Montrer que les endomorphismes de la $K$-algèbre $\mathcal M_n(K)$ sont les applications $M\mapsto PMP^{-1}$ pour $P\in\mathrm{GL}_n(K)$.

Soit $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension $n\in\N^*$. Soient $A,B\in\mathcal L(V)$ nilpotents et commutants. On note $\C[A,B]$ la sous-algèbre de $\mathcal L(V)$ engendrée par $A$ et $B$, et on pose $V_1=\operatorname{Im}(A)+\operatorname{Im}(B)$. Soit $W$ un supplémentaire de $V_1$ dans $V$.

1. Montrer que $\dim(\C[A])\leq n$.
2. Montrer que $V=\sum_{i,j\in\N}A^iB^jW$.
3. Montrer que l'application de restriction à $W$ définit une injection linéaire de $\C[A,B]$ dans $\mathcal L(W,V)$ et en déduire que $\dim(\C[A,B])\leq n\dim(W)$.
4. On note $A_1$ (resp. $B_1$) l'endomorphisme induit par $A$ (resp. $B$) sur $V_1$. Montrer que $\dim(A\C[A,B])\leq\dim(\C[A_1,B_1])$.

Soit $n\in\N^*$. On pose $$J_n=\begin{pmatrix}0&I_n\\-I_n&0\end{pmatrix}\in\mathcal M_{2n}(\Z).$$

1. Montrer que $J_n$ est inversible et donner son inverse.
2. Soit $G_n=\{M\in\mathcal M_{2n}(\Z)\mid M^TJ_nM=J_n\}$. Montrer que $(G_n,\times)$ est un groupe, stable par transposition.
3. Soit $M\in G_n$ dont la première ligne est $(1,0,\ldots,0)$. On suppose $n>1$ et on écrit par blocs $$M=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\ *&A&X&B\\ *&*&y&*\\ *&C&Z&D\end{pmatrix},$$ avec $A,B,C,D\in\mathcal M_{n-1}(\Z)$, $y\in\Z$ et $X,Z\in\mathcal M_{n-1,1}(\Z)$. Montrer que $y=1$, $X=Z=0$ et $\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in G_{n-1}$.

On souhaite déterminer les ordres possibles des éléments $A$ de $\mathrm{GL}_2(\Z)$. Pour cela, on écrit $\chi_A=X^2-tX+d$. Préciser les valeurs de $t$ et $d$, puis discuter les ordres possibles. Fournir des exemples explicites pour les différents ordres possibles.

Soient $A$ et $B$ des matrices de $\mathcal M_n(\C)$ telles que $A^2+B^2=2AB$. Montrer que $\chi_A=\chi_B$.

Soit $G$ un sous-groupe d'ordre $6$ de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Étudier les propriétés de réduction simultanée des éléments de $G$.

Soient $K$ un corps et $A\in\mathcal M_2(K)$. On suppose que le polynôme caractéristique $\chi_A$ est irréductible sur $K$. Soit $B\in\mathrm{GL}_2(K)$ telle que $B$ ne commute pas avec $A$. Montrer que $B^2$ est une matrice scalaire.

Soit $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.

1. On suppose que $G$ est fini. Montrer que les éléments de $G$ sont diagonalisables. Que peut-on dire de leurs spectres ?

2. On suppose que $G$ est compact. Soit $M\in G$.

   1. Montrer que $\operatorname{Sp}(M)\subset\mathbb U$.
   2. Soit $\lambda\in\operatorname{Sp}(M)$. Montrer que $\ker(M-\lambda I_n)=\ker((M-\lambda I_n)^2)$ et en déduire que $M$ est diagonalisable.
3. Caractériser les sous-groupes abéliens finis et les sous-groupes abéliens compacts de $\mathrm{GL}_n(\C)$.

Soit $K$ un corps. Une matrice $M\in\mathrm{GL}_2(K)$ est dite super-puissante si, pour tout $n\in\N^*$, il existe $A_n\in\mathcal M_2(K)$ tel que $M=A_n^n$.

1. Déterminer les matrices super-puissantes dans le cas où $K=\C$.
2. On suppose $K=\R$. Montrer que $M\in\mathrm{GL}_2(\R)$ est super-puissante si et seulement s'il existe $R\in\mathcal M_2(\R)$ tel que $M=R^2$.
3. Sur $\Q$, montrer que les matrices super-puissantes sont de déterminant $1$.

1. Soit $A\in\mathcal M_2(\C)$ tel que $\det A=1$. Exprimer $\chi_A$ en fonction d'une forme linéaire usuelle de $A$.
2. Soient $A,B\in\mathcal M_2(\C)$ telles que $\det A=\det B=1$. Montrer que $\operatorname{Tr}(AB^2)=\operatorname{Tr}(B)\operatorname{Tr}(AB) -\operatorname{Tr}(A)$.
3. Soit $S=\{(x,y,z)\in\Z^3\mid x^2+y^2+z^2=xyz\}$. Soient $A,B\in\mathcal M_2(\Z)$ de déterminant $1$. Montrer que $(\operatorname{Tr}(A),\operatorname{Tr}(B),\operatorname{Tr}(AB))\in S$ si et seulement si $\operatorname{Tr}(ABA^{-1}B^{-1})=-2$.
4. Montrer que, pour tout $(x,y,z)\in S\setminus\{(0,0,0)\}$, il existe $A,B\in\mathcal M_2(\Z)$ de déterminant $1$ tels que $x=\operatorname{Tr}(A)$, $y=\operatorname{Tr}(B)$ et $z=\operatorname{Tr}(AB)$.

Soit $K$ un sous-corps de $\C$.

1. Montrer que, si $M\in\mathcal M_n(K)$, alors $M$ est nilpotente si et seulement si $\chi_M=X^n$.
2. Pour $M\in\mathcal M_n(K)$, on pose $\sin(M)=\frac{1}{2i}(e^{iM}-e^{-iM})$. On note $\mathcal N$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $\mathcal M_n(K)$. Montrer que $\sin$ induit une bijection de $\mathcal N$ sur elle-même.
3. Soit $G=\{P\in\R_n[X]\mid P(0)=0,\ P'(0)\neq0\}$. Pour $P,Q\in G$, on note $P*Q=P(Q(X))\pmod{X^{n+1}}$. Montrer que $(G,*)$ est un groupe.

Pour $X,Y\in\mathcal M_n(\C)$, on pose $[X,Y]=XY-YX$.

1. On pose $A=\{X\in\mathcal M_2(\C)\mid\operatorname{Tr}X=0\}$. Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal M_2(\C)$ stable par crochet.
2. On pose $$X=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\quad Y=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\quad H=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$$ Calculer les différents crochets.

3. Soit $\rho:A\to\mathcal M_n(\C)$ telle que $\rho([A,B])=[\rho(A),\rho(B)]$ pour tous $A,B\in\mathcal M_2(\C)$. On note $E_\lambda=\ker(\rho(H)-\lambda I_n)$. Soit $\alpha$ une valeur propre de $\rho(H)$.

   1. Montrer que $\rho(X)(E_\alpha)\subset E_{\alpha+2}$ et $\rho(Y)(E_\alpha)\subset E_{\alpha-2}$.
   2. Soit $V\in E_\alpha$. Montrer que la suite $(\rho(X)^kV)_{k\in\N}$ est nulle à partir d'un certain rang.
4. On dit que $\rho$ est irréductible si, pour tout sous-espace vectoriel $V$ de $\C^n$ et tout $A\in A$, la condition $\rho(A)(V)\subset V$ implique $V=\{0\}$ ou $V=\C^n$. Si $\rho$ est irréductible, montrer que $\rho(H)$ est diagonalisable.
5. Montrer que $\operatorname{Sp}(\rho(H))=\{-m,-m+2,\ldots,m-2,m\}$ avec $m\in\N$.

Soient $V$ un $\R$-espace vectoriel et $u$ un endomorphisme de $V$. Dans les deux premières questions, on suppose $V$ de dimension finie.

1. Montrer que $\lambda\in\R$ est valeur propre de $u$ si et seulement si elle est racine du polynôme caractéristique de $u$.
2. On dit que $\lambda\in\C\setminus\R$ est valeur propre imaginaire de $u$ s'il existe $P\in\R[X]$ unitaire de degré $2$ tel que $P(\lambda)=0$ et $P(u)$ n'est pas injectif. Une valeur propre complexe de $u$ est une valeur propre réelle ou imaginaire. Montrer que les racines complexes de $\chi_u$ sont exactement les valeurs propres complexes de $u$.
3. On suppose maintenant que $V$ est de dimension quelconque et muni d'une norme, et que $u$ est un homéomorphisme linéaire de $V$ sur lui-même. On munit $\mathcal L_c(V)$ des endomorphismes continus de la norme d'opérateur associée. Montrer que si la suite $(u^n)_{n\in\Z}$ est bornée, alors, pour tout $x\in V\setminus\{0\}$, $0$ n'est pas valeur d'adhérence de la suite $G(x)=(u^n(x))_{n\in\Z}$.

Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien. Soit $(x_1,\ldots,x_n)$ une base orthogonale de $E$. Déterminer, en fonction de $\|x_1\|,\ldots,\|x_n\|$, quels sont les entiers $m\in\N$ avec $0<m<n$ tels qu'il existe un sous-espace vectoriel $F\subset E$ de dimension $m$ pour lequel les projetés orthogonaux $y_1,\ldots,y_n$ des $x_i$ sur $F$ ont tous la même norme.

Soit $M\in\mathrm O_n(\R)$. Montrer qu'il existe deux symétries orthogonales $A,B$ telles que $M=AB$.

Soient $n\in\N^*$, $1\leq k,\ell\leq n$, et $M\in\mathcal M_n(\R)$ une matrice dont les $k$ premières lignes et les $\ell$ premières colonnes sont orthonormées. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale ayant les mêmes $k$ premières lignes et $\ell$ premières colonnes que $M$.

1. Pour $a\in\C$, montrer que $|a|<1$ si et seulement si, pour tout $v\in\C$ non nul, il existe un unique $\rho>0$ tel que $|a+\rho v|=1$.
2. On identifie $\C$ au $\R$-espace vectoriel $\R^2$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soient $T$ un automorphisme de $\C$ et $a\in\C$. On définit $$T_a:z\in\mathbb U\longmapsto \frac{a+T(z)}{|a+T(z)|}\in\mathbb U.$$ Montrer que $T_a$ est bien définie, continue et bijective si et seulement si $|T^{-1}(a)|<1$.
3. On suppose la condition précédente vérifiée. Montrer que $T_a$ est une involution si et seulement si $T$ est autoadjoint, $a$ est un vecteur propre de $T$ associé à une valeur propre $\lambda<0$, et l'autre valeur propre $\mu$ vérifie $\lambda^2=|a|^2+\mu^2$.

Soit $S\in\mathcal S_n(\R)$ à valeurs propres simples et $V\in\R^n$ unitaire. Pour $t\in\R$, on pose $G(t)=S+tVV^T$.

1. À quelle condition $G(t)$ et $S$ n'ont-elles pas de valeurs propres communes ?
2. Étudier les valeurs propres de $G(t)$ lorsque $t$ tend vers $+\infty$.

Soient les matrices de $\mathcal M_2(\C)$ suivantes : $$E=I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\quad I=\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix},\quad J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix},\quad K=IJ.$$ Soit $H$ le $\R$-espace vectoriel engendré par $\{E,I,J,K\}$.

1. Montrer que $H$ est une $\R$-algèbre de dimension $4$.
2. On pose $A^*=A^T$ pour $A\in\mathcal M_2(\C)$. Vérifier que $A\mapsto A^*$ est un endomorphisme de $H$. Montrer que $(AB)^*=B^*A^*$ et $A^{**}=A$, puis donner la matrice de $A\mapsto A^*$ dans la base $(E,I,J,K)$.
3. Soit $H_1=\{X\in H\mid XX^*=E\}$. Montrer que $H_1$ est un groupe. En identifiant $H_1$ à $\R^4$, donner une description géométrique de $H_1$.
4. Soit $H_2$ le sous-espace de $H$ engendré par $\{I,J,K\}$. Pour $X\in H_1$, on définit $\alpha(X):Y\in H_2\mapsto XYX^*\in H_2$. En identifiant $\alpha(X)$ à sa matrice dans la base $(I,J,K)$, montrer que $\alpha$ définit un morphisme surjectif de $H_1$ dans $\mathrm{SO}_3(\R)$ dont le noyau est $\{E,-E\}$.

Une matrice $M=(m_{i,j})\in\mathcal M_n(\R)$ est dite centro-symétrique lorsque $m_{n+1-i,n+1-j}=m_{i,j}$ pour tous $(i,j)\in\db{1,n}^2$, et elle est dite bisymétrique lorsqu'elle est à la fois symétrique et centro-symétrique. Un vecteur $X=(x_i)_{i}\in\R^n$ est dit symétrique si $x_{n+1-i}=x_i$ pour tout $i$, et antisymétrique si $x_{n+1-i}=-x_i$.

1. On suppose $n=2k$ pour $k\in\N^*$, et on note $J_k=(\delta_{i+j,k+1})_{1\leq i,j\leq k}$. Montrer qu'une matrice $M\in\mathcal M_n(\R)$ est centro-symétrique si et seulement s'il existe deux matrices symétriques $A,E\in\mathcal M_k(\R)$ telles que $$M=\begin{pmatrix}A&EJ_k\\J_kE&J_kAJ_k\end{pmatrix}.$$
2. Soit $M\in\mathcal M_n(\R)$ bisymétrique. Montrer qu'il existe une base orthonormée de $\R^n$ formée de vecteurs propres de $M$, chacun symétrique ou antisymétrique.

Soit $n\geq2$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et $\mathcal M_n(\R)$ de la norme d'opérateur associée. On rappelle que toute matrice $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ a une unique racine carrée dans $\mathcal S_n^{++}(\R)$, notée $\sqrt A$. Pour $A,B\in\mathcal S_n(\R)$, on note $A\leq B$ si $B-A\in\mathcal S_n^+(\R)$, et $A<B$ si $B-A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.

1. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$. Montrer que $\|A\|^2=\max(\operatorname{Sp}(A^TA))$. En déduire que, pour $A\in\mathcal S_n^+(\R)$, $$\|A\|=\max_{X\in\R^n\setminus\{0\}} \frac{\langle AX,X\rangle}{\|X\|^2}=\max(\operatorname{Sp}(A)).$$
2. Soient $C,D\in\mathcal M_n(\R)$ telles que $CD\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer que $\|CD\|\leq\|DC\|$.
3. Montrer que $\sqrt{\cdot}$ est croissante sur $\mathcal S_n^{++}(\R)$.
4. Soit $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe $B\in\mathcal M_n(\R)$ tel que $e^B=A$.
5. Montrer que ce $B$ est unique si on impose $B\in\mathcal S_n(\R)$ ; on le note alors $\ln(A)$.
6. Montrer que $\ln$ est croissante sur $\mathcal S_n^{++}(\R)$. Indication : utiliser la question 3.
7. Est-ce que $A\mapsto A^2$ est croissante sur $\mathcal S_n(\R)$ ?

Soient $n\in\N^*$ et $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n$. Pour $k\in\db{1,n}$, on note $s_k(x)$ la somme des $k$ plus grandes composantes de $x$. Pour $\sigma\in\mathfrak S_n$, on pose $\sigma(x)=(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})$.

1. Montrer que $s_k$ est convexe. On pose $$K(x)=\left\{\sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\lambda_\sigma\sigma(x) \;\middle|\; (\lambda_\sigma)\in[0,1]^{\mathfrak S_n},\quad \sum_{\sigma\in\mathfrak S_n}\lambda_\sigma=1\right\}$$ et $$L(x)=\{y\in\R^n\mid \forall k\in\db{1,n-1}, s_k(y)\leq s_k(x)\text{ et }s_n(y)=s_n(x)\}.$$
2. Montrer que $K(x)\subset L(x)$.
3. On note $D(x)$ l'ensemble des vecteurs dont les composantes sont les coefficients diagonaux d'une matrice $M\in\mathcal S_n(\R)$ dont les valeurs propres sont les composantes de $x$. Montrer que $K(x)\subset D(x)$.

On note $A_+$ l'ensemble des matrices diagonales de la forme $\operatorname{Diag}(a_1,\ldots,a_n)$ avec $a_1\geq\cdots\geq a_n>0$.

1. Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm O_n(\R)$ et un unique $\sigma(M)\in A_+$ tels que $M^TM=P\sigma(M)P^T$. Discuter l'unicité de $P$.
2. On note $\sigma(M)=\operatorname{Diag}(\sigma_1(M),\ldots,\sigma_n(M))$. On munit $\R^n$ de sa norme euclidienne canonique et $\mathcal M_n(\R)$ de la norme d'opérateur associée. Montrer que $\|M\|_{\mathrm{op}}^2=\sigma_1(M)$.
3. On munit $\mathcal A_n(\R)$ du produit scalaire défini par $\langle X,Y\rangle=-\operatorname{Tr}(XY)$. Trouver une base orthonormée $B$ de $\mathcal A_n(\R)$.
4. Soit $\phi_M$ définie par $\phi_M(X)=MXM^T$ pour $X\in\mathcal A_n(\R)$, et soit $F_M$ la matrice de $\phi_M$ dans la base $B$. Montrer que $\sigma_1(F_M)=\sigma_1(M)\sigma_2(M)$.

On munit $\R^n$ et $\mathcal S_n(\R)$ de leur structure euclidienne canonique. Pour toute matrice $A\in\mathcal S_n(\R)$, on note $\lambda_{\max}(A)$ sa plus grande valeur propre.

1. Montrer que $\lambda_{\max}(A)=\max_{x\in\R^n,\,\|x\|=1}x^TAx$.
2. Montrer que la fonction $\lambda_{\max}:\mathcal S_n(\R)\to\R$ est convexe.
3. Soient $X$ un espace euclidien et $f:X\to\R$ une fonction convexe. Pour tout $x\in X$, on pose $$\partial f(x)=\{d\in X\mid\forall y\in X,\ f(y)\geq f(x)+\langle d,y-x\rangle\}.$$ Déterminer $\partial f$ pour une fonction convexe $f\in C^1(\R,\R)$ et pour $f:x\in\R\mapsto|x|$.
4. Soit $A\in\mathcal S_n(\R)$ telle que $\lambda_{\max}(A)$ soit une valeur propre simple. Soit $v$ un vecteur propre unitaire associé à $\lambda_{\max}(A)$. Montrer que $\partial\lambda_{\max}(A)=\{vv^T\}$. Indication : montrer, pour $H\in\mathcal S_n(\R)$ et $t\in\R$, $$\lambda_{\max}(A)+v^T(tH)v\leq\lambda_{\max}(A+tH) \leq\lambda_{\max}(A)+v^T(tH)v+ \frac{2t^2\|H\|^2}{\lambda_{\max}(A)-\lambda_2},$$ où $\lambda_2$ est la deuxième plus grande valeur propre de $A$.

Soit $E$ un espace euclidien. Pour $f\in\mathcal S(E)$, on pose $\operatorname{Sp}_a(f)=\{|\lambda|\mid\lambda\in\operatorname{Sp}(f)\}$. Soit $j\in\mathcal S(E)$ tel que $j^2=\operatorname{id}$. Un vecteur $x$ est dit $j$-symétrique (resp. $j$-antisymétrique) lorsque $j(x)=x$ (resp. $j(x)=-x$).

1. Dans cette question, $E=\R^2$. Déterminer $\operatorname{Sp}_a(j)$ et les vecteurs $j$-symétriques et $j$-antisymétriques possibles pour $j$.
2. Donner un exemple d'un couple $(j,f)\in\mathcal S(E)^2$ tel que $j^2=\operatorname{id}$ et que $j\circ f$ ne soit pas diagonalisable.
3. Soient $f\in\mathcal S(E)$ et $v$ un vecteur propre de $f$ associé à une valeur propre $\mu$ telle que $|\mu|=\max\operatorname{Sp}_a(f)=\max\operatorname{Sp}_a(j\circ f)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(e,h)$ de vecteurs propres de $f$ tel que $v=e+h$, avec $e$ $j$-symétrique et $h$ $j$-antisymétrique.

Soient $S=(s_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal S_n^{++}(\R)$, $T=S^{-1}=(t_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ et $\Phi(S)=(s_{i,j}t_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\Phi(S)$ est dans $\mathcal S_n^{++}(\R)$ et que sa plus petite valeur propre est $1$.

Soit $E$ un espace euclidien orienté et soit $b$ une application bilinéaire de $E\times E$ dans $E$ telle que, pour tout $f\in\mathrm{SO}(E)$, $f(b(u,v))=b(f(u),f(v))$. Que dire de $b$ ?

On munit $\R^2$ d'une norme $\|\cdot\|$, on note $B$ la boule unité fermée et l'on pose $$\Delta=\sup_{(x,y,z)\in B^3} \min(\|x-y\|,\|y-z\|,\|z-x\|).$$

1. Montrer que $\Delta$ est atteint.
2. Montrer que $\Delta\leq2$.
3. Calculer $\Delta$ pour la norme euclidienne canonique.
4. Calculer $\Delta$ pour la norme infinie.
5. Montrer que $\Delta\geq1$.

Soit $D=\{z\in\C\mid |z|\leq1\}$.

1. Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $[0,1]$. Montrer que $f$ admet un point fixe.
2. On admet que, pour toute fonction continue $g:D\to\mathbb U$, il existe une fonction continue $\theta:D\to\R$ telle que $g=\exp(i\theta)$. Montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to\mathbb U$ dont la restriction à $\mathbb U$ soit l'identité de $\mathbb U$.
3. Déduire de la question précédente que toute fonction continue de $D$ dans $D$ admet un point fixe.
4. Soit $C$ un convexe fermé de $\R^2$. Est-il vrai que toute fonction continue de $C$ dans $C$ admet un point fixe ?

Soit $A$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]^2\to[0,1]$ telles que $$\forall(u,v)\in[0,1]^2,\quad f(0,v)=f(u,0)=0\text{ et }f(u,1)=u,$$ et, pour tous $0\leq u_1\leq u_2\leq1$ et $0\leq v_1\leq v_2\leq1$, $$f(u_1,v_2)-f(u_1,v_1)\leq f(u_2,v_2)-f(u_2,v_1).$$ Déterminer $h_0,h_1\in A$ tels que, pour tout $f\in A$ et tout $(u,v)\in[0,1]^2$, $h_0(u,v)\leq f(u,v)\leq h_1(u,v)$.

On appelle groupe réel tout ensemble $G$ qui est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\R)$ pour un certain $n\in\N^*$. Un groupe réel $G$ est discret si, pour tout $x\in G$, il existe $\varepsilon>0$ tel que $B(x,\varepsilon)\cap G=\{x\}$.

1. Soit $G$ un groupe réel connexe par arcs. Montrer que, si $H$ est un sous-groupe de $G$ d'intérieur relatif non vide, alors $H=G$.
2. Montrer qu'un groupe réel discret est fermé dans $\mathrm{GL}_n(\R)$.

Soient $d,p\in\N^*$. Soit $f:\R^d\to\R^p$. On munit $\R^d$ et $\R^p$ de leur structure euclidienne canonique. On suppose que, pour tout $x\in\R^d$ et tout $\delta>0$, il existe $\varepsilon>0$ tel que, pour tous $y,z\in B(x,\varepsilon)$, $$\left|\|f(y)-f(z)\|-\|y-z\|\right|\leq\delta\|y-z\|.$$

1. Montrer que $f$ est continue.
2. Montrer que, pour tous $x,y\in\R^d$, $\|f(x)-f(y)\|\leq\|x-y\|$.
3. On suppose $d=p=1$. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$, $|f(x)-f(y)|=|x-y|$.

Soit $E=C^0([0,1],\R)$. Une forme linéaire $\phi\in E^*$ est dite positive si, pour tout $f\in E$ à valeurs dans $\R_+$, $\phi(f)\in\R_+$.

1. Montrer que toute forme linéaire positive sur $E$ est continue pour $\|\cdot\|_\infty$.
2. Soit $\phi$ une forme linéaire sur $E$ continue pour $\|\cdot\|_\infty$. Montrer que $\phi$ est différence de deux formes linéaires positives sur $E$.

Soient $n\geq2$ et $\|\cdot\|$ une norme sur $\mathcal M_n(\C)$. Pour $\varepsilon>0$, on pose $S_\varepsilon=\{g\in\mathrm{GL}_n(\C)\mid\|g-I_n\|\leq\varepsilon\}$.

1. Montrer qu'il existe $\varepsilon>0$ tel que $S_\varepsilon$ soit compact et, si l'on note $U$ son intérieur, que le groupe engendré par $U$ soit à la fois ouvert et fermé dans $\mathrm{GL}_n(\C)$.
2. On note $S=S_\varepsilon$ pour le $\varepsilon>0$ trouvé en 1 et $\langle S\rangle$ le sous-groupe engendré par $S$. Pour $g\in\langle S\rangle$, on note $$\ell_S(g)=\min\{k\in\N\mid g=g_1^{s_1}\cdots g_k^{s_k},\quad g_i\in S,\ s_i=\pm1\}.$$ Trouver tous les $g\in\langle S\rangle$ tels que $(\ell_S(g^n))_{n\in\N}$ soit bornée.

Soit $n\in\N^*$. On munit $\mathcal M_{n,1}(\R)$ d'une norme $N$. Soit $A\in\mathcal M_n(\R)$. On dit que $A$ est stable si la suite $(A^k)_{k\in\N}$ converge vers la matrice nulle, et contractante pour $N$ s'il existe $c\in]0,1[$ tel que $N(Ax)\leq cN(x)$ pour tout $x\in\mathcal M_{n,1}(\R)$.

1. Montrer que si $A$ est contractante pour $N$, alors elle est stable.
2. On suppose $A$ stable. Montrer que la série $\sum_{k=0}^{+\infty}(A^k)^TA^k$ converge et que sa somme est dans $\mathcal S_n^{++}(\R)$.
3. Montrer que si $A$ est stable, alors $A$ est contractante pour une norme euclidienne bien choisie.

Soit $d$ un entier supérieur ou égal à $2$.

1. Existe-t-il $M\in\mathcal M_d(\R)$ telle que $\operatorname{Sp}_{\C}(M)\subset\R$ et que $\{\operatorname{tr}(M^n)\mid n\in\N\}$ soit dense dans $\R$ ?
2. Même question lorsque $M$ a exactement deux valeurs propres non réelles. Indication : considérer une énumération des rationnels.

Soit $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie. On note $d$ la distance associée à la norme. Soit $f:E\to E$ une application s'annulant en $0$.

1. On suppose que $f$ est continue et que, pour tous $(x,y)\in E^2$, $$f\left(\frac{x+y}{2}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{2}.$$ Que dire de $f$ ?

2. On suppose dans la suite que $f$ préserve la distance $d$ et est surjective. Montrer que $f$ est linéaire dans les deux cas suivants :

   1. $E=\R^n$ muni de la norme euclidienne canonique ;
   2. $E=\R^2$ muni de la norme infinie.
3. On revient au cas général. Soient $p,q\in E$ avec $q=-p$. Soit $(X_n)_{n\in\N}$ la suite de parties de $E$ définie par $$X_0=\{e\in E\mid d(e,p)=d(e,q)=d(p,q)/2\},$$ $$X_n=\{e\in X_{n-1}\mid\forall x\in X_{n-1},\ d(e,x) \leq\operatorname{diam}(X_{n-1})/2\},\quad n\in\N^*.$$ Montrer que $0\in X_n$ pour tout $n\in\N$, puis caractériser $\bigcap_{n\in\N}X_n$. Conclure que $f$ est linéaire.

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq2$.

1. Montrer que $B(0,1)\setminus\{0\}$ est connexe par arcs.
2. Soient $U$ un ouvert connexe par arcs de $E$ et $V$ une partie finie de $E$. Montrer que $U\setminus V$ est connexe par arcs.
3. Soient $U$ un ouvert connexe par arcs de $E$ et $V$ une union dénombrable de sous-espaces affines de $E$ de dimension au plus $n-2$. Montrer que $U\setminus V$ est connexe par arcs.

On considère l'espace vectoriel normé des suites réelles sommables, noté $E$, muni de la norme $\|u\|=\sum_{k=0}^{+\infty}|u_k|$.

1. Rappeler la définition d'une partie compacte de $E$.
2. Montrer que la boule unité fermée $B(0,1)=\{u\in E\mid\|u\|\leq1\}$ n'est pas compacte dans $E$. Une partie $K\subset E$ est dite équisommable si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $n_0\in\N$ tel que, pour tout $u\in K$, $$\sum_{k=n_0}^{+\infty}|u_k|<\varepsilon.$$

Montrer qu'il existe un unique couple $(\alpha,\theta)\in(\R_+^*)^2$ tel que $$\sin\left(\frac{\theta}{n^\alpha}\right) =\frac{\theta}{(n+1)^\alpha}+O\left(\frac{1}{n^{\alpha+2}}\right) \qquad(n\to+\infty).$$

Soient $(c_n)_{n\in\N^*}$ une suite de réels strictement positifs et $p\in\N\setminus\{0,1\}$. Pour $n\in\N^*$, on pose $$x_n=\sqrt[p]{c_1+\sqrt[p]{c_2+\sqrt[p]{\cdots+\sqrt[p]{c_n}}}}.$$ Montrer que la suite $(x_n)_{n\in\N^*}$ converge si et seulement si la suite $\left(\frac{\ln(c_n)}{p^n}\right)_{n\in\N^*}$ est majorée.

Soient $N$ un entier supérieur ou égal à $2$ et $\alpha$ un réel strictement positif. On pose $$S_N=\sum_{m\in\N^*}\frac{1}{m^\alpha} \sin^2\left(\frac{m\pi}{N}\right).$$

1. Pour quelles valeurs de $\alpha$ la série définissant $S_N$ est-elle convergente ?
2. Déterminer la limite de $S_N$ lorsque $N\to+\infty$.
3. Déterminer un équivalent de $S_N$ lorsque $N\to+\infty$ dans le cas où $1<\alpha\leq2$.

1. Soient $\alpha\geq0$ et $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive. On suppose que $\sum d_n$ converge. Montrer que $\sum\frac{d_n}{1+n^\alpha d_n}$ converge.
2. Soient $\alpha>1$ et $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive. Montrer que $\sum\frac{d_n}{1+n^\alpha d_n}$ converge.
3. Soit $(d_n)_{n\geq0}$ une suite positive telle que $\sum d_n$ diverge. Montrer que $\sum\frac{d_n}{1+d_n}$ diverge.

4. Soit $\alpha\in]0,1]$. Montrer l'existence de deux suites positives $(e_n)_{n\geq0}$ et $(f_n)_{n\geq0}$ telles que :

   1. $\sum e_n$ diverge et $\sum\frac{e_n}{1+n^\alpha e_n}$ diverge ;
   2. $\sum f_n$ diverge et $\sum\frac{f_n}{1+n^\alpha f_n}$ converge.

Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$.

1. Montrer que $$\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}(\ln n)^{\sigma(n)}}<+\infty$$ et expliciter un majorant de la somme.
2. Soit $\alpha\leq2$. Montrer que $$\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\sigma(n)}{n^\alpha}=+\infty.$$

1. Déterminer le nombre de solutions de $ye^y=x$ selon la valeur de $x$.
2. Soit $f$ qui à $x\in[-1/e,+\infty[$ renvoie l'unique solution $y\geq-1$ de $ye^y=x$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]-1/e,+\infty[$.
3. Montrer que $f'(x)=\frac{1}{x+e^{f(x)}}$ et en déduire que $f$ est solution de $x(1+y)y'=y$.
4. Trouver un développement asymptotique de $f$ en $+\infty$, à deux termes, et montrer que le troisième terme est un $o(1)$.
5. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$, et trouver son rayon de convergence.

Soit $\beta\geq1$. On considère l'équation $y^\beta=\frac13e^y$. Montrer qu'il existe une unique solution sur $[1,+\infty[$, que l'on note $y(\beta)$, puis déterminer un développement asymptotique de $y(\beta)$ lorsque $\beta$ tend vers $+\infty$.

Soit $f:x\in\R\mapsto x^3$. Soit $T_x$ la fonction polynomiale de degré inférieur ou égal à $2$ définie sur $\R$ telle que $T_x(x)=f(x)$, $T_x'(x)=f'(x)$ et $T_x''(x)=f''(x)$. Que dire de l'ensemble $$\{(y,T_x(y))\mid(x,y)\in\R^2\}?$$

1. Montrer que, pour tout $k\in\N$, il existe une fonction $f$ non nulle, de classe $C^k$, à support compact et telle que $f(\Q)\subset\Q$.
2. Montrer qu'il existe une fonction $f$ non nulle, de classe $C^\infty$ et à support compact.
3. Montrer qu'il existe une fonction $f$ non nulle, de classe $C^\infty$, à support compact et telle que $f(\Q)\subset\Q$.

Soient $a,b\in\R_+^*$. Soit $$E=\{f\in C^2([0,1],\R)\mid f(0)=f(1)=0,\quad \|f'\|_\infty\leq a,\quad\|f''\|_\infty\leq b\}.$$ Calculer $\sup_{f\in E}\|f\|_\infty$.

Soit $f$ une fonction de classe $C^\infty$ de $\R$ dans $\R$.

1. Soit $S$ un segment non trivial de $\R$ sur lequel $f$ n'est pas polynomiale. Montrer qu'il existe un sous-segment non trivial $S'$ de $S$ sur lequel $f$ n'est pas polynomiale et ne s'annule pas.
2. On suppose que, pour tout $x\in\R$, il existe $n\in\N$ tel que $f^{(n)}(x)=0$. Montrer que $f$ est polynomiale.

1. Soit $f\in C^0([0,\pi],\R)$. Montrer que $$\int_0^\pi f(t)\cos(nt)\,dt\xrightarrow[n\to+\infty]{}0.$$
2. Déterminer $(a,b)\in\R^2$ tel que, pour tout $n\in\N^*$, $$\int_0^\pi(at^2+bt)\cos(nt)\,dt=\frac{1}{n^2}.$$
3. Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2}$ et $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{(2n-1)^2}$.

Soient $a,b\in\R_+^*$ et $k\in\Z$. Calculer $$\int_0^{+\infty}x^{k+\frac12}e^{-ax-\frac bx}\,dx.$$

Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f$ et $f''$ soient de carré intégrable.

1. Montrer que $\int_{-\infty}^{+\infty}(f')^2$ converge.
2. Montrer que $f$ et $f'$ tendent vers $0$ en $\pm\infty$.
3. Montrer que $$\int_{-\infty}^{+\infty}(f')^2\leq \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}f^2\int_{-\infty}^{+\infty}(f'')^2}.$$

Soit $\alpha>0$. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f$ de classe $C^2$ de $\R_+$ dans $\R$ telles que $$J(f)=\int_0^{+\infty}\big((f')^2+\alpha f^2\big)<+\infty.$$

1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal F(\R_+,\R)$.
2. Montrer que, pour tout $v\in\R$, il existe $x\in E$ tel que $x(0)=v$.
3. On fixe $v\in\R$. Déterminer la borne inférieure de $J$ sur l'ensemble des $x\in E$ tels que $x(0)=v$.

Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f:\R_+\to[0,1]$ continues par morceaux et telles que $\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\leq1$. Pour $f\in E$, on pose $$F(f)=-\int_0^{+\infty}f(x)\ln(x)\,dx.$$

1. Montrer que $F(E)=[-\infty,1]$.
2. Soit $\varepsilon\in]0,1[$. Caractériser $$G_\varepsilon=\sup\left\{\int_1^{+\infty}f(x)\,dx\mid f\in E\text{ et }F(f)\geq1-\varepsilon\right\}.$$

Trouver une constante $C>0$ telle que, pour toute fonction $f$ continue à support compact de $\R$ dans $\R$, on ait, pour tout $x\in\R$, $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{|f(y)|}{\sqrt{|y-x|}}\,dy \leq C\sqrt{\|f\|_\infty\|f\|_1}.$$

1. Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions croissantes de $\R$ dans $[0,1]$, tendant toutes vers $0$ en $-\infty$ et vers $1$ en $+\infty$. Montrer que cette suite admet une suite extraite qui converge simplement sur $\R$.
2. Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires réelles discrètes. Montrer qu'il existe une extraction $\phi$ telle que $(\E(g(X_{\phi(n)})))_{n\in\N}$ converge pour toute fonction $g:\R\to\R$ continue et nulle en dehors d'un segment.

On note $f$ la fonction indicatrice de l'ensemble $\Q$ des rationnels.

1. La fonction $f$ est-elle limite simple sur $\R$ d'une suite de fonctions continues ?
2. Existe-t-il une famille $(f_{n,m})_{(n,m)\in\N^2}$ de fonctions continues de $\R$ dans $\R$ telle que, pour tout $x\in\R$, $f(x)=\lim_{n\to+\infty}\lim_{m\to+\infty}f_{n,m}(x)$ ?

Soient $q,n\in\N^*$ et $x_1,\ldots,x_n\in\R$.

1. Montrer qu'il existe $p\in\{1,\ldots,q^n\}$ tel que, pour tout $i\in\{1,\ldots,n\}$, $d(px_i,\Z)\leq\frac1q$.
2. Soit $(a_n)_{n\geq1}$ une suite de réels positifs. On suppose qu'il existe $x_0\in\R$ tel que la série $\sum a_n/n^x$ converge si et seulement si $x>x_0$. Soit $T>0$. Pour $z\in\C$ vérifiant $\operatorname{Re}(z)>x_0$, on pose $$f(z)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{n^z}.$$ On considère $F=\{z\in\C\mid\operatorname{Re}(z)>x_0, \operatorname{Im}(z)\geq T\}$. Montrer que $f$ est bien définie sur $F$ et qu'elle n'y est pas bornée.

Soient $(a_n)_{n\geq0}\in\C^\N$ et $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$. On pose $$E_c(f)=\left\{z\in\C\mid |z|=1\text{ et } \sum a_nz^n\text{ converge}\right\}.$$

1. Montrer que $E_c(f)$ peut être vide, le cercle unité $\mathbb U$ tout entier, ou $\mathbb U\setminus S$ avec $S$ une partie finie. Montrer en revanche que $E_c(f)$ ne peut pas être n'importe quel sous-ensemble de $\mathbb U$.
2. On suppose que $a_n\to0$. Montrer qu'il est possible que $E_c(f)=\varnothing$ ou que $E_c(f)=\{1\}$.

Si $n$ est un entier supérieur ou égal à $2$, un élément $\sigma$ de $\mathfrak S_n$ est dit en zigzags si, pour tout $i\in\{2,\ldots,n-1\}$, $\sigma(i)$ n'est pas compris entre $\sigma(i-1)$ et $\sigma(i+1)$. Une permutation en zigzags est dite ascendante si $\sigma(2)>\sigma(1)$, descendante dans le cas contraire.

1. Montrer que, si $n\geq2$, il y a autant de permutations en zigzags ascendantes que descendantes.
2. Pour $n\geq2$, soit $A_n$ le nombre de permutations de $\{1,\ldots,n\}$ en zigzags et ascendantes. On convient que $A_0=A_1=1$. Pour $n\geq1$, vérifier que $$2A_{n+1}=\sum_{k=0}^n\binom nk A_kA_{n-k}.$$ Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{A_n}{n!}x^n$.
3. Montrer que le rayon de convergence de $f$ est supérieur ou égal à $1$.
4. En utilisant une équation différentielle, déterminer une expression de $f(x)$.

Soit $E=C^2([0,1],\R)$. Soit $\phi:E\to E$ l'application qui à $f\in E$ associe $$\phi(f):x\in[0,1]\longmapsto\int_0^x sf(s)\,ds +x\int_x^1f(s)\,ds.$$

1. Déterminer $\ker(\phi)$ et l'ensemble des valeurs propres de $\phi$, ainsi que les espaces propres associés.
2. On pose $P_0=1$ et, pour $n\in\N$, $P_{n+1}=\phi(P_n)$. Déterminer, pour tout $x\in[0,1]$, le rayon de convergence de la série entière $\sum P_n(x)z^n$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f:x\mapsto\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}$.
2. Déterminer la limite en $+\infty$ et un développement asymptotique à deux termes de $f$ en $+\infty$.

Soient $r>0$ et $G=\{z\in\C\mid |z|=r\}$. Pour $f:G\to\C$ continue, on note $$I(f)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})re^{i\theta}\,d\theta.$$

1. Calculer $I(z\mapsto z^k)$ et $I\left(z\mapsto\frac1{z-a}\right)$ si $k\in\N$ et $a\in\C\setminus G$.
2. Soit $f:\C\to\C$ la somme d'une série entière de rayon de convergence infini. Soit $a\in\C$ avec $|a|<r$. Montrer que $$I\left(z\mapsto\frac{f(z)}{z-a}\right)=f(a).$$
3. Soit $M\in\mathcal M_n(\C)$. Montrer que, si $r$ est assez grand, $$e^M=I\left(z\mapsto e^z(zI_n-M)^{-1}\right),$$ où la fonction $I$ est appliquée coefficient par coefficient.

Déterminer un équivalent, quand $\delta\to0$, de $$\exp\left(\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n \int_\delta^{+\infty}\frac{e^{-n^2t}}{t}\,dt\right).$$

Pour $u:\R\to\R$, on note $(E_u)$ l'équation différentielle $y''+u(t)y=0$.

1. Soient $b>a>0$ réels. Montrer qu'il existe une fonction continue $u:\R\to[a,b]$ telle que $(E_u)$ possède une solution non bornée sur $\R$.
2. Montrer qu'il existe une fonction continue $u:\R\to\R$, tendant vers $1$ en $+\infty$, telle que $(E_u)$ possède une solution non bornée sur $\R_+$.

Soit $f\in C^0([0,1],\R)$. On considère une solution $y\in C^2([0,1],\R)$ du problème aux limites $$y''-y=f,\qquad y(0)=y(1)=0.$$

1. Montrer que la solution $y$ est unique.
2. Montrer que $$\int_0^1y^2\leq\frac{1}{(1+\pi^2)^2}\int_0^1f^2.$$

Soient $n\in\N^*$ et $S\in\mathcal S_{2n}^{++}(\R)$. On pose $$J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\I_n&0\end{pmatrix}.$$

1. Montrer que les solutions sur $\R$ du système différentiel $X'=JSX$ sont bornées.
2. Montrer qu'il existe des réels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que $JS$ soit semblable sur $\C$ à la matrice diagonale de coefficients diagonaux $i\lambda_1,-i\lambda_1,\ldots,i\lambda_n,-i\lambda_n$.

Soient $N:\R_+\to\R_+$ continue et strictement croissante, et $a>0$.

1. Montrer que l'application $$L:v\in\R_+^*\longmapsto\int_v^a\frac{dw}{N(w)}$$ est bien définie, de classe $C^1$, injective et possède une limite (finie ou infinie) en $0$. On note cette limite $L(0)$.

2. Soient $T>0$, $u\in C^1([0,T[,\R_+)$, $A\in\R_+$ et $B:[0,T[\to\R_+$ continue et intégrable tels que, pour tout $t\in[0,T[$, $$u(t)\leq A+\int_0^tB(s)N(u(s))\,ds.$$

   1. On suppose $A>0$. Montrer que, pour tout $t\in[0,T[$, $$-L(u(t))\leq-L(A)+\int_0^tB(s)\,ds.$$
   2. Expliciter l'inégalité précédente quand $B$ est constante et $N$ est l'identité.
   3. On suppose $A=0$ et $L(0)=+\infty$. Montrer que $u(t)=0$ pour tout $t\in[0,T[$.
3. Étendre ce qui précède au cas où $u$ est seulement continue.

Soient $x,y\in C^1(\R_+,\R)$ telles que $$\begin{cases} x'(t)=-y(t)(1+x(t)y(t))-x^3(t),\\ y'(t)=x(t)(1-x(t)y(t))-y^3(t). \end{cases}$$

1. Étudier le comportement asymptotique de $x$ et $y$.
2. En posant $X(t)=(x(t),y(t))$, décrire le mouvement.

Soient $m,n\in\N^*$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $A\in\mathcal M_{n,m}(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose $S=\{X\in\R^m\mid AX=B\}$ et on suppose $S$ non vide.

1. Montrer que $S$ admet un élément de norme minimale et le caractériser géométriquement.

2. Soient $t>0$, $q>1$ et $$f_t:X\in\R^m\longmapsto\frac12\|X\|^2+ \frac tq\|AX-B\|^q.$$

   1. Montrer que $f_t$ atteint son minimum en un unique point $X_0$.
   2. Soit $(u_k)_{k\geq1}$ une suite d'éléments de $\R^m$ telle que $f_t(u_k)\to\min f_t$. Que dire de la suite $(u_k)$ ?

On se place dans un $\C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Soit $f\in\mathcal L(E)$. On pose $\rho=\max\{|\lambda|\mid\lambda\in \operatorname{Sp}(f)\}$.

1. Montrer que $f$ est trigonalisable puis que, pour tout $\varepsilon>0$, il existe une base $B_\varepsilon$ de $E$ telle que la matrice $M=\operatorname{Mat}_{B_\varepsilon}(f)$ vérifie $M_{i,j}=0$ si $j<i$ et $|M_{i,j}|<\varepsilon$ si $j>i$.
2. En déduire qu'il existe une norme $N_\varepsilon$ sur $E$ telle que $N_\varepsilon(f(x))\leq(\rho+\varepsilon)N_\varepsilon(x)$ pour tout $x\in E$.
3. Montrer que le résultat persiste sur $\R$.
4. Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien et $f\in\mathrm{GL}(E)$. Montrer que $\phi:x\in E\setminus\{0\}\mapsto f(x)/\|f(x)\|$ est de classe $C^1$ et calculer sa différentielle.
5. Quels sont les points fixes de $\phi$ ?

Soient $f:\R^2\to\R$ de classe $C^1$ et $(x_0,y_0)\in\R^2$. On définit, pour $(x,y)\in\R^2$, $$A(x,y)=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial x} (x_0+t(x-x_0),y)\,dt,$$ $$B(x,y)=\int_0^1\frac{\partial f}{\partial y} (x_0,y_0+t(y-y_0))\,dt.$$

1. Après avoir rappelé les hypothèses de continuité sous le signe intégral, montrer que $A$ et $B$ sont continues.
2. Montrer que, pour tout $(x,y)\in\R^2$, $$f(x,y)=f(x_0,y_0)+(x-x_0)A(x,y)+(y-y_0)B(x,y).$$

3. Montrer que si $\phi:\R\to\R$ vérifie les hypothèses suivantes :

   1. $\phi$ est continue ;
   2. $f(x,\phi(x))=0$ pour tout $x\in\R$ ;
   3. $\frac{\partial f}{\partial y}(x,\phi(x))\neq0$ pour tout $x\in\R$ ;

   alors $\phi$ est de classe $C^1$.

Soit $\|\cdot\|$ une norme sur $\R^n$. On note $\|\cdot\|_{\mathrm{op}}$ la norme subordonnée sur $\mathcal L(\R^n)$.

1. Soient $f:\R^n\to\R^n$ de classe $C^1$ et $U$ un ouvert convexe tels que $\|df(x)\|_{\mathrm{op}}\leq M$ pour tout $x\in U$. Montrer que, pour tous $(x,y)\in U^2$, $\|f(x)-f(y)\|\leq M\|x-y\|$.
2. Dans la suite, $f$ est de classe $C^2$ et $U$ n'est plus supposé convexe. On suppose qu'il existe $a\in U$ tel que $f(a)=0$ et $df(a)$ soit inversible. Montrer qu'il existe un ouvert $V\subset U$ contenant $a$ tel que, pour tout $x\in V$, $df(x)$ soit inversible.
3. On définit $F:V\to\R^n$ par $F(x)=x-(df(x))^{-1}(f(x))$. Montrer qu'il existe un ouvert non vide $W\subset V$ tel que $F(W)\subset W$ et que, pour toute suite définie par $x_0\in W$ et $x_{k+1}=F(x_k)$, la suite $(x_k)$ converge vers $a$.
4. Soit $P\in\R[X]$. On suppose qu'il existe une matrice $A$ telle que $P(A)=0$ et $P'(A)$ soit inversible. On définit au voisinage de $A$ l'application $F:M\mapsto M-(P'(M))^{-1}P(M)$. Montrer qu'il existe un ouvert non vide $W$ tel que, pour toute suite définie par $M_0=M\in W$ avec $AM=MA$ et $M_{k+1}=F(M_k)$, la suite $(M_k)$ converge vers $A$.

On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne orientée canonique. On note $S$ la sphère unité, $B$ la boule unité fermée et $r$ la rotation d'angle $\pi/2$. Soient $u:\R^2\to\R^2$ de classe $C^1$ et $x:\R_+\to\R^2$ de classe $C^1$ telles que :

1. $x'(t)=u(x(t))$ pour tout $t\in\R_+$ ;
2. $\langle u(y),y\rangle<0$ pour tout $y\in\R^2\setminus B$ ;
3. $\langle u(y),r(y)\rangle=\|y\|^2$ pour tout $y\in S$ ;
4. il existe $e\in S$ tel que $\langle u(e),e\rangle<0$.

Montrer qu'il existe $T\in\R_+$ tel que, pour tout $t\in[T,+\infty[$, $\|x(t)\|<1$.

On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $f\in C^1(\R^n,\R)$ une fonction minorée. On note $f^*=\inf_{\R^n}f$, $S=\{x\in\R^n\mid\nabla f(x)=0\}$ et $E=\{x\in\R^n\mid f(x)=f^*\}$. On note $(PL)$ la propriété $$\exists\mu>0,\ \forall x\in\R^n,\quad f(x)-f^*\leq\frac{1}{2\mu}\|\nabla f(x)\|^2.$$

1. Quel lien y a-t-il entre $S$ et $E$ lorsque $f$ vérifie $(PL)$ ?
2. Soit $E'\subset\R^n$ un sous-espace affine. Existe-t-il une fonction $f$ vérifiant $(PL)$ pour laquelle $E=E'$ ? Même question lorsque $E'$ est la sphère unité de $\R^n$.
3. On suppose que $f$ vérifie $(PL)$. Montrer que $E$ est connexe par arcs.

Soient $d\in\N^*$, $u:\R^d\to\R^d$ et $\phi:\R\times\R^d\to\R^d$ telles que, pour tout $(t,x)\in\R\times\R^d$, $$\frac{\partial\phi}{\partial t}(t,x)=u(\phi(t,x)),\qquad \phi(0,x)=x.$$ Pour $t\in\R$, on note $\phi_t=\phi(t,\cdot)$. On suppose que $\operatorname{tr}(du(x))=0$ pour tout $x\in\R^d$. Montrer que, pour tout $(t,x)\in\R\times\R^d$, $\det d\phi_t(x)=1$.

Géométrie

On appelle similitude directe de $\C$ une application de $\C$ dans $\C$ de la forme $z\mapsto az+b$ avec $(a,b)\in\C^*\times\C$.

1. Montrer que l'ensemble des similitudes directes est un groupe pour la composition.
2. Rappeler l'écriture complexe d'une rotation.
3. Soient $A_1,A_2,A_3$ des points du plan d'affixes $z_1,z_2,z_3$. Montrer que $A_1A_2A_3$ est un triangle équilatéral direct si et seulement si $z_1+jz_2+j^2z_3=0$.
4. Peut-on généraliser pour caractériser un polygone régulier à $n$ côtés ?

On munit $\R^2$ de sa structure affine euclidienne canonique. Pour $v\in\R^2$, soit $t_v$ la translation de vecteur $v$.

1. Soit $G$ l'ensemble des bijections de $\R^2$ dans lui-même de la forme $t_v\circ u$ où $u\in\mathrm{GL}_2(\R)$ et $v\in\R^2$. Montrer que $G$ est un sous-groupe du groupe des bijections de $\R^2$ sur lui-même et que, si $(a_1,b_1,c_1)$ et $(a_2,b_2,c_2)$ sont deux triplets de points non alignés de $\R^2$, il existe un unique $g\in G$ tel que $g(a_1)=a_2$, $g(b_1)=b_2$, $g(c_1)=c_2$.
2. On appelle ellipse toute image d'un cercle de rayon strictement positif de $\R^2$ par un élément de $G$. Montrer que, pour tout triangle non aplati $T=(a,b,c)$ de $\R^2$, il existe une ellipse tangente aux côtés de $T$ en leurs milieux.

Soit $M\subset\R^2$ une partie du plan contenant au moins deux points. On dit que $M$ vérifie la propriété $(P)$ si, pour tous $P,Q\in M$ avec $P\neq Q$, la droite $(PQ)$ n'intersecte $M$ qu'en $P$ et $Q$. On dit que $M$ est maximale si, pour tout $X\notin M$, $M\cup\{X\}$ ne vérifie plus $(P)$.

1. Trouver tous les sous-groupes additifs de $\R^2$ vérifiant $(P)$.
2. Montrer qu'il existe une partie dense de $\R^2$ vérifiant $(P)$.
3. Montrer que le cercle unité est maximal.
4. Soit $\Omega$ un ouvert borné de $\R^2$ tel que la frontière de $\Omega$ vérifie $(P)$. Que dire de $\Omega$ ?

On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne standard. Une ellipse est définie comme l'image directe du disque unité fermé par un certain endomorphisme $f$ de $\R^2$, et l'on définit son aire comme $\pi|\det(f)|$. Soit $K$ une partie compacte non vide de $\R^2$.

1. Montrer que, parmi les disques fermés contenant $K$, il en existe un et un seul de rayon minimal (éventuellement nul).
2. Montrer que, parmi les ellipses contenant $K$, il en existe une d'aire minimale.

Soit $C\subset\R^2$ une partie convexe compacte dont la frontière est une courbe de classe $C^1$. On définit un billard commençant par un point $M$ de la frontière et un vecteur $\vec v$ comme le chemin obtenu en faisant des rebonds chaque fois que la trajectoire touche la frontière, de sorte que les rebonds soient symétriques par rapport à la normale au point de réflexion. Montrer qu'il existe une trajectoire triangulaire périodique. Indication : prendre un triangle dont la somme des longueurs des côtés est maximale.

Probabilités

1. On considère trois dés équilibrés dont les faces sont numérotées respectivement par les ensembles $\{18,9,8,7,6,5\}$, $\{17,16,15,4,3,2\}$ et $\{14,13,12,11,10,1\}$, et l'on note $A,B,C$ les résultats de chaque lancer. Calculer $\mathbb P(A>B)$, $\mathbb P(B>C)$ et $\mathbb P(C>A)$. Commenter le résultat.
2. On numérote les faces de trois dés à $n$ faces avec les entiers de $1$ à $3n$ et l'on note $A,B,C$ les résultats de chaque lancer. Montrer que l'une des trois probabilités $\mathbb P(A>B)$, $\mathbb P(B>C)$ ou $\mathbb P(C>A)$ est inférieure ou égale à $2/3$.

On considère un tableau de taille $n\times n$, dont on révèle les cases une par une aléatoirement.

1. Soient $m\in\N^*$ et $i\in\db{1,n}$. Calculer la probabilité qu'après $m$ étapes, la ligne $i$ n'ait aucune case révélée. La majorer par $(1-1/n)^m$.
2. On note $H_n$ le nombre d'étapes nécessaires pour que toute ligne et toute colonne contienne au moins une case révélée. Soit $\varepsilon>0$. Montrer que $\mathbb P(H_n>\lfloor(1+\varepsilon)n\ln n\rfloor)\to0$ lorsque $n\to+\infty$. Déterminer la vitesse de convergence.
3. Soit $\varepsilon\in]0,1[$. On note $X_n$ le nombre de lignes ne contenant pas de case révélée à l'instant $\tau=\lfloor(1-\varepsilon)n\ln n\rfloor$. Montrer que $\mathbb E(X_n)\to+\infty$ lorsque $n\to+\infty$.
4. Montrer que $\mathbb P(X_n=0)\to0$.

Que dire de deux variables aléatoires réelles discrètes indépendantes $X$ et $Y$ telles que $X+Y$ et $Y$ soient indépendantes ?

Soit, pour $n\in\N^*$, $M_n$ une matrice aléatoire dont les coefficients sont des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $1/2$. Montrer qu'il existe une constante absolue $c>0$ telle que, pour tout $n\in\N^*$, $$\mathbb P(M_n\in\mathrm{GL}_n(\R))\geq c.$$

Soit $R>0$. On choisit aléatoirement un polynôme $P_n\in\C_n[X]$ unitaire de degré $n$, à coefficients indépendants suivant la loi uniforme sur $B(0,R)\cap\Z[i]$. Où se situent les racines de $P_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

On définit, pour une suite de réels $u=(u_i)_{i\geq0}$, la suite de matrices $H(u)$ telle que $H_n(u)=(u_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$.

1. On suppose que, pour tout $n\in\N$, $u_n=\E(X^n)$, avec $X$ une variable aléatoire réelle discrète admettant un moment de tout ordre. Montrer que toutes les matrices $H_n(u)$ sont symétriques positives. Quel est leur rang ?
2. On suppose que $u_0,\ldots,u_{2M-2}$ vérifient $H_M(u)\in\mathcal S_M^{++}(\R)$. Montrer que la suite $u$ peut être prolongée à partir du rang $2M-1$ en une suite infinie telle que, pour tout $n\geq M$, $\operatorname{rg}(H_n(u))=M$.
3. On suppose que $H_n(u)\in\mathcal S_n^+(\R)$ pour tout $n\in\N$. Montrer que les seules natures possibles pour la suite $(\operatorname{rg}(H_n(u)))_{n\geq0}$ sont : soit $\operatorname{rg}(H_n(u))=n$ pour tout $n\in\N$ ; soit il existe $M$ tel que $\operatorname{rg}(H_n(u))=n$ pour $n\leq M$, puis cette suite est stationnaire égale à $M$.

Soit $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mathfrak S_m$. Quelle est la loi de la longueur du cycle de $\sigma$ contenant $1$ ?

Soit $p\geq5$ un nombre premier. On admet que le polynôme $X^3-1$ a pour unique racine $1$ dans $\mathbb F_p$ si et seulement si $p\equiv2\pmod3$. On tire une matrice $M$ dans $\mathrm{GL}_3(\mathbb F_p)$ avec la probabilité uniforme. Calculer $\mathbb P(M^3=I_3)$.

Soit $n\in\N^*$. On dit que la matrice $A\in\mathcal M_2(\Z)$ est inversible modulo $n$ s'il existe $B\in\mathcal M_2(\Z)$ telle que, pour tous $(i,j)\in\db{1,2}^2$, $(AB)_{i,j}\equiv\delta_{i,j}\pmod n$.

1. Montrer que $A$ est inversible modulo $n$ si et seulement si $\det(A)\wedge n=1$.
2. Soient $a,b,c,d$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{0,n-1}$, et $M=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$. Calculer la probabilité que $M$ soit inversible modulo $n$ pour $n=p^k$, avec $p$ premier et $k\in\N^*$.

Soient $n\in\N^*$ et $(a_1,b_1),\ldots,(a_k,b_k),\ldots$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Pour $m\in\N^*$, soit $\sigma_m$ la permutation aléatoire $\sigma_m=(a_1\ b_1)\circ\cdots\circ(a_m\ b_m)$, et soit $\mu_m$ la loi de $\sigma_m$.

1. Pour $m\in\N^*$, exprimer $\mu_{m+1}$ en fonction de $\mu_m$.
2. À quelle condition sur $m$ a-t-on $\mu_m(\{\sigma\})>0$ pour tout $\sigma\in\mathfrak S_n$ ?

Soient $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Pour $N\in\N^*$, on pose $$S_N=\sum_{i=1}^N\frac{X_i}{i^\alpha},\qquad F_N:x\in\R\longmapsto\mathbb P(S_N\leq x).$$ Montrer que la suite $(F_N)$ converge ; on note $F$ sa limite. Pour quelles valeurs de $\alpha>0$, $\lambda>0$ et $x\geq0$ a-t-on $F(x)>0$ ?

1. Soient $a\in]0,1[$ et $b\in\R_+^*$. Montrer qu'il existe $c_{a,b}>0$ tel que, pour toute variable aléatoire $Z$ à valeurs dans $\R_+$ vérifiant $\E(Z)=1$ et $\E(Z^2)\leq b$, on ait $\mathbb P(Z\geq a)\geq c_{a,b}$.

2. Soient $(X_k)_{k\geq1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$.

   1. Montrer que, pour tout $a>0$, il existe $\phi(a)>0$ tel que, pour tout $n$ assez grand, $\mathbb P(S_n/\sqrt n\geq a)\geq\phi(a)$.
   2. Montrer que $$\mathbb P\left(\left(\frac{S_n}{\sqrt n}\right)_{n\geq1} \text{ est bornée}\right)=0.$$

1. Montrer que la fonction $\tau$ qui associe à un entier naturel non nul son nombre de diviseurs positifs vérifie $\tau(mn)=\tau(m)\tau(n)$ pour tous $m,n\in\N^*$ premiers entre eux.
2. Trouver un équivalent de $\E(\tau(T_N))$ quand $N\to+\infty$, où $T_N\sim\mathcal U(\db{1,N})$.
3. Montrer que $\mathbb P(\tau(T_N)>\ln^3(N))=O(1/\ln^3(N))$ quand $N\to+\infty$.

Soient $p\in\N^*$, $N\in\N$ avec $N\geq2$, et $X_0,X_1,\ldots,X_N$ des variables aléatoires complexes telles que, pour tous $i,j\in\{0,\ldots,N\}$, $$\E(|X_i-X_j|^p)\leq\left(\frac{|i-j|}{N}\right)^2.$$

1. Soit $\eta>0$. Donner une majoration de $\mathbb P\left(\max_{1\leq i\leq N}|X_i-X_0|\geq\eta\right)$.
2. À partir de quel $p$ cette majoration est-elle pertinente ?

Soit $(p_n)_{n\in\N}\in[0,1]^\N$. Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $n\in\N$, $X_n\sim\mathcal B(p_n)$. Montrer l'équivalence entre :

1. pour toute distribution de probabilités $(q_i)_{i\geq0}$ sur $\N$, il existe une suite $(g_n)$ de fonctions de $\{0,1\}^{n+1}$ dans $\N$ telle que $(g_n(X_0,\ldots,X_n))$ converge presque sûrement vers une variable aléatoire suivant la loi associée à $(q_i)$ ;
2. $\sum_{n=1}^{+\infty}p_n(1-p_n)=+\infty$.

1. Soit $p\in]0,1[$. Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique de paramètre $p$. Pour $n\in\N^*$, on note $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. Donner un équivalent simple de $\E(M_n)$ quand $n\to+\infty$.
2. Soit $(Y_i)_{i\in\N}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Pour $n\in\N^*$, on note $P_n=\max(Y_1,\ldots,Y_n)$. Montrer que $\E(P_n)=o(\E(M_n))$, puis trouver un équivalent de $\E(P_n)$.

Soient $\beta\in]2,+\infty[$ et $(X_k)_{k\geq1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires telles que, pour tout $m\in\N^*$, $$\mathbb P(X_1=m)=\frac{1}{\zeta(\beta)}\frac{1}{m^\beta}.$$ Pour $n\in\N^*$, soit $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$. Déterminer un équivalent simple de $\E(M_n)$.

Soient $(p_k)_{k\geq0}\in]0,1[^{\N}$ et $(X_k)_{k\geq0}$ une suite de variables de Bernoulli indépendantes telle que $p_k=\mathbb P(X_k=1)$ pour tout $k\in\N$. Soit $(a_k)_{k\geq0}$ une suite de réels positifs.

1. On suppose que $\sum_{k\in\N}a_kp_k<+\infty$. Montrer que, pour tout $A\in\R_+^*$, $$\lim_{n\to+\infty}\mathbb P\left(\sum_{k=0}^na_kX_k\leq A\right)>0.$$
2. On suppose que $\sum_{k\in\N}a_kp_k=+\infty$ et que $(a_k)$ est bornée. Montrer que, pour tout $A\in\R_+^*$, $$\lim_{n\to+\infty}\mathbb P\left(\sum_{k=0}^na_kX_k\leq A\right)=0.$$

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discrètes réelles indépendantes. On suppose que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $\E(|X_k|)<+\infty$ et $\E(X_k)\geq0$. On note $S_k=\sum_{i=1}^kX_i$.

1. Montrer que, pour tout $C>0$, $$\mathbb P\left(\max(S_1,\ldots,S_n)\geq C\right) \leq\frac{\E(\max(S_n,0))}{C}.$$
2. On suppose de plus que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $\E(X_k)=0$ et $\E(X_k^2)<+\infty$. Montrer que, pour tout $C>0$, $$\mathbb P\left(\max(|S_1|,\ldots,|S_n|)\geq C\right) \leq\frac{\E(S_n^2)}{C^2}.$$

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\N$. On note $X\leq_{\mathrm{st}}Y$ la condition $\forall m\in\N,\ \mathbb P(X\geq m)\leq\mathbb P(Y\geq m)$. Soient $0<p<q<1$ et $n\in\N^*$.

1. On suppose que $X\sim\mathcal B(n,p)$ et $Y\sim\mathcal B(n,q)$. Montrer que $X\leq_{\mathrm{st}}Y$.
2. Montrer que si $X$ et $Y$ sont à valeurs dans $\N$ et que $k\mapsto\frac{\mathbb P(X=k)}{\mathbb P(Y=k)}$ est décroissante, alors $X\leq_{\mathrm{st}}Y$.
3. Soient $X',Y'$ deux variables aléatoires telles que $X'\sim\mathcal B(n,p)$ et $Y'\sim\mathcal B(n,q)$. Soient $X,Y$ des variables aléatoires telles que, pour $k\in\db{1,n}$, $$\mathbb P(X=k)=\frac{\mathbb P(X'=k)}{1-\mathbb P(X'=0)},\qquad \mathbb P(Y=k)=\frac{\mathbb P(Y'=k)}{1-\mathbb P(Y'=0)}.$$ Justifier que de telles variables aléatoires existent. Montrer que $X\leq_{\mathrm{st}}Y$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, et $(X_k)_{k\geq1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N$ et $x\in\R_+$, soient $$S_n=\sum_{k=1}^nX_k,\qquad u_n(x)=\mathbb P(S_n\leq nx).$$

1. On admet que, si $(a_n)_{n\geq1}$ est une suite réelle sous-additive, alors $(a_n/n)_{n\geq1}$ converge dans $\R\cup\{-\infty\}$. Montrer que, pour tout $x\in\R_+$, la suite $(\sqrt[n]{u_n(x)})_{n\geq1}$ converge vers un élément $v(x)$ de $[0,1]$.
2. À quelle condition sur $X$ la fonction $v$ est-elle constante égale à $1$ ?
3. On suppose qu'il existe $t\in\R_+^*$ tel que $\E(e^{tX})<+\infty$. Résoudre l'équation $v(x)=1$.

1. Soit $h:u\in\R_+\mapsto(1+u)\ln(1+u)-u$. Montrer que $h$ est positive, convexe et en donner un équivalent en $0$.
2. Soit $X$ une variable de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Montrer que, pour tout $u>0$, $$\mathbb P(X\geq\lambda(1+u))\leq e^{-\lambda h(u)}.$$

Soit $d\in\N^*$. Pour $x=(x_1,\ldots,x_d)$, $y=(y_1,\ldots,y_d)\in\Z^d$, on note $x\preceq y$ si $x_i\leq y_i$ pour tout $1\leq i\leq d$. On dit que $f:\Z^d\to\R$ est croissante si $x\preceq y$ implique $f(x)\leq f(y)$. Soient $f,g$ deux fonctions croissantes et bornées de $\Z^d$ dans $\R$. Montrer que $$\E(f(X_1,\ldots,X_d)g(X_1,\ldots,X_d)) \geq\E(f(X_1,\ldots,X_d))\E(g(X_1,\ldots,X_d))$$ dans chacun des cas suivants :

1. $X_1,\ldots,X_d$ sont des variables de Bernoulli indépendantes ;
2. $X_1,\ldots,X_d$ sont des variables de Poisson indépendantes.

Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On note $F_X:t\in\R\mapsto\mathbb P(X\leq t)$. Pour $q\in]0,1[$, on pose $$C_X(q)=\inf\{t\in\R\mid F_X(t)\geq q\}.$$

1. Soit $q\in]0,1[$. Montrer que $C_X(q)$ est bien défini. Calculer $C_X(q)$ pour $X\sim\mathcal B(p)$ avec $p\in]0,1[$.
2. Soient $x\in\R$ et $q\in]0,1[$. Montrer que $C_X(q)\leq x$ si et seulement si $q\leq F_X(x)$. En déduire que $$\int_0^1\mathbf 1_{C_X(q)\leq x}\,dq=\mathbb P(X\leq x).$$ En déduire une expression de $\E(X)$ lorsque $X$ est à valeurs dans $\N$.
3. Soit $\widetilde C_X(q)=\sup\{t\in\R\mid\mathbb P(X<t)\leq q\}$. Montrer que $C_{-X}(q)=-\widetilde C_X(1-q)$.

On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\Z$ est symétrique si $X\sim-X$. Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite de variables aléatoires symétriques i.i.d. à valeurs dans $\Z$. Pour $n\geq1$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$ et, pour $x\in\Z$, $p_n(x)=\mathbb P(S_n=x)$.

1. Pour $n,k\geq1$, montrer que $$p_{n+k}(x)=\sum_{y\in\Z}p_n(y)p_k(x-y).$$
2. Montrer que l'application $x\mapsto p_{2n}(x)$ atteint un maximum sur $\Z$ en un unique point.
3. On suppose maintenant que $X_1\sim\mathcal U(\{-1,1\})$. Montrer que, pour tout $n\geq1$ et tout $x\in\Z$, $$p_n(x)\leq\frac{2}{\sqrt{\pi n}}.$$

Soient $(a_n)_{n\in\N}$ et $(b_n)_{n\in\N}$ des suites telles que, pour tout $n\in\N$, $a_n,b_n\in\db{0,n}$ et $a_n+b_n=n-c$, avec $c\in\N$ fixé. Pour $n\in\N$, soit $V_n$ (resp. $W_n$) un sous-espace vectoriel aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des sous-espaces de $(\Z/p\Z)^n$ de dimension $a_n$ (resp. $b_n$). On suppose que $V_n$ et $W_n$ sont indépendants. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la suite $$\left(\mathbb P(\dim(V_n+W_n)=a_n+b_n)\right)_{n\in\N}$$ converge et déterminer sa limite le cas échéant.

Soient $m,n\in\N^*$, $x_1,\ldots,x_m,y_1,\ldots,y_n\in\R$ avec $x_1<\cdots<x_m$ et $y_1<\cdots<y_n$. Soient $a_1,\ldots,a_m,b_1,\ldots,b_n\in\R_+^*$ tels que $\sum_{i=1}^m a_i=\sum_{j=1}^n b_j=1$. Soient $X,Y$ deux variables aléatoires de lois données par $\mathbb P(X=x_i)=a_i$ et $\mathbb P(Y=y_j)=b_j$. Une matrice de couplage de $X,Y$ est une matrice $P=(p_{i,j})\in\mathcal M_{m,n}(\R)$ telle que $p_{i,j}=\mathbb P(X=x_i,Y=y_j)$ ; on pose $C(P)=\E((X-Y)^2)$ et le couplage est optimal si $P$ minimise $C(P)$.

1. Justifier que $C(P)$ ne dépend que de la matrice $P$ et montrer l'existence d'un couplage optimal.
2. Justifier que minimiser $\E((X-Y)^2)$ revient à maximiser $\E(XY)$.
3. Posons $A_0=B_0=0$, $A_i=a_1+\cdots+a_i$ et $B_j=b_1+\cdots+b_j$. Définissons $I_i=]A_{i-1},A_i]$ et $J_j=]B_{j-1},B_j]$, puis $p^*_{i,j}=|I_i\cap J_j|$. Montrer que la matrice $(p^*_{i,j})$ est l'unique matrice de couplage optimal.

Soient $n\geq2$ et $N\geq2$ deux entiers, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles indépendantes telles que $X_1+\cdots+X_n$ suive la loi uniforme sur $\db{0,N-1}$. Est-il vrai que les $X_i$ suivent des lois uniformes ?

Soit $p\in[0,1]$, $(X_n)_{n\geq0}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires de Bernoulli de paramètre $p$, et $(Y_n)_{n\geq0}$ la suite définie par $Y_0=1$ et, pour $n\in\N$, $$Y_{n+1}=\frac15(Y_n^2+4X_n+2).$$ Pour $n\in\N$, on pose $$F_n:x\in\R\mapsto\mathbb P(\min(Y_1,\ldots,Y_n)\leq x),\qquad G_n:x\in\R\mapsto\mathbb P(\max(Y_1,\ldots,Y_n)\leq x).$$ Montrer que les suites de fonctions $(F_n)$ et $(G_n)$ convergent simplement vers des fonctions de $\R$ dans $\R$ que l'on déterminera.

X MP/MPI   xens

Probabilités

Soit $(A_n)_{n\geq1}$ une suite d'événements indépendants telle que $\sum_{n=1}^{+\infty}\P(A_n)=+\infty$. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, $$\lim_{n\to+\infty}\P\left(\left| \frac{\sum_{i=1}^n\mathbf{1}_{A_i}}{\sum_{j=1}^n\P(A_j)}-1 \right|>\varepsilon\right)=0.$$

1. Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre $2$. Exprimer $\E((X-a)^2)$ en fonction de $\V(X)$, $\E(X)$ et de $a$.
2. Soit $Y$ une variable aléatoire réelle telle que $\E(Y)=1$ et qui admet un moment d'ordre $2$. Pour $\theta\in[0,1]$, montrer que $$\P(Y>\theta)\geq\frac{(1-\theta)^2}{\V(Y)+(1-\theta)^2}.$$
3. Caractériser le cas d'égalité.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$. Pour $k\in\N$, on pose $p_k=\P(X=k)$. On définit, pour $\beta\in\R_+$, $$z(\beta)=\sum_{k=0}^{+\infty}p_ke^{-\beta k},\qquad u_k=\frac{p_ke^{-\beta k}}{z(\beta)}.$$

1. Calculer les $u_k$ lorsque $X\sim\mathcal{P}(\lambda)$.
2. Montrer que $\beta\mapsto\ln(z(\beta))$ est convexe.
3. Soit $X_\beta$ une variable aléatoire de loi $(u_k)$. Montrer que $\beta\mapsto\E(X_\beta)$ est décroissante.
4. Pour $\beta\in\R$, on note $m_\beta$ la médiane définie par $$m_\beta=\min\{k\in\N\mid\P(X_\beta>k)\leq1/2\}.$$ Montrer que $\beta\mapsto m_\beta$ est décroissante sur $\R_+$.

Pour $n\in\N^*$, soit $M_n=((M_n)_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symétrique aléatoire dont les coefficients $(M_n)_{i,j}$, pour $i\leq j$, sont i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre $1/2$. On note $\lambda_1(M_n)$ sa plus grande valeur propre.

1. Montrer que, pour tout $u\in\R^n$, $$\langle u,M_nu\rangle\leq\lambda_1(M_n)\|u\|^2.$$
2. Déterminer le spectre et les vecteurs propres de la matrice $(\E((M_n)_{i,j}))_{1\leq i,j\leq n}$.
3. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, $$\lim_{n\to+\infty}\P\left(\lambda_1(M_n)\geq (\tfrac12-\varepsilon)n\right)=1.$$

1. Caractériser les projecteurs orthogonaux de rang $1$.
2. Soient $p_1,\ldots,p_k$ des projecteurs orthogonaux de $\R^n$. Soit $(N_r)_{r\geq0}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,k}$. Soit $X_0\in\R^n$ et, pour tout $r\in\N$, $$X_{r+1}=p_{N_r}(X_r).$$ Étudier la limite éventuelle de $(\E(\|X_n\|))_{n\geq1}$.

Soient $N\geq2$ et $k\in\N^*$. On considère une grille $N\times N$ formée de petits carrés $1\times1$. Chaque carré est blanc ou noir, indépendamment, avec probabilité $1/2$.

1. Soit $A_N$ l'événement « il existe au moins un carré blanc de taille $k\times k$ ». Montrer que $$\P(A_N)\leq 2^{-k^2}N^2.$$
2. Déterminer $\E(Y_{k,N})$, où $Y_{k,N}$ est le nombre de carrés blancs de taille $k\times k$.
3. Montrer que $$\lim_{N\to+\infty}\frac{\V(Y_{k,N})}{\E(Y_{k,N})^2}=0.$$ On pourra traiter séparément les cas $k=1$ et $k=2$.

Algèbre

Soit $n\geq3$. Montrer que $$\sum_{i=1}^{n-1}(-1)^{i-1}\binom ni(n-i)^{n-2}=n^{n-2}.$$

1. Pour $n\geq1$, on note $\pi(n)$ le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$. Montrer que si $n\geq8$, alors $\pi(n)\leq n/2$.
2. Soient $p$ premier et $n,k,\alpha\in\N^*$ tels que $k\leq n$ et $p^\alpha$ divise $\binom nk$. Montrer que $p^\alpha\leq n$.
3. Montrer que, pour tout entier $n\geq8$, il existe un nombre premier entre $\lfloor\sqrt n\rfloor+1$ et $n$.

Résoudre l'équation $x^2+x-2=0$ dans $\Z/7\Z$, puis déterminer les entiers $n\geq2$ tels que cette équation admette exactement une solution dans $\Z/n\Z$.

Soit $n\geq2$.

1. Soit $\sigma$ une permutation de $\Z/n\Z$. On suppose que $\sigma-\operatorname{id}$ est une bijection. Montrer que $n$ est impair. Que peut-on dire si $\sigma+\operatorname{id}$ est aussi une bijection ?
2. On suppose $n$ impair et on note $D_n$ le groupe des isométries linéaires du plan $\C$ qui laissent invariant $\mathbb{U}_n$. Montrer qu'il n'existe pas de permutation $f$ de $D_n$ telle que $g\mapsto gf(g)$ soit aussi une permutation de $D_n$.
3. Montrer que $g\mapsto\det g$ est l'unique morphisme non trivial de $D_n$ dans $\{\pm1\}$.

Déterminer le cardinal de l'ensemble $$\left\{(x_k)_{k\geq0}\in\db{0,9}^{\N}\ \middle|\ \forall n\geq0,\ a_n^2\equiv a_n\pmod{10^n},\quad a_n=\sum_{k=0}^{n-1}x_k10^k\right\}.$$

Soient $A$ un anneau fini et $a,b\in A$ tels que $ab^2=b$. Montrer que $bab=b$.

Soit $A$ un anneau tel que, pour tout $x\in A$, il existe $n\in\N^*$ tel que $$x=\sum_{k=2}^{n}x^k.$$

1. Déterminer la caractéristique de $A$.
2. Montrer que, pour tout $x\in A$, $x^2=x$.

Soit $G$ un groupe fini. On suppose que, pour tout automorphisme $f$ de $G$, il existe $m\in\N^*$ tel que $f(x)=x^m$ pour tout $x\in G$.

1. Soient $a,b\in G$ tels que l'ordre de $a$ divise celui de $b$. Montrer que $ab=ba$.
2. Écrire $|G|=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ et poser $$G_i=\{x\in G\mid x^{p_i^{\alpha_i}}=e\}.$$ Montrer que $G_i$ est un sous-groupe commutatif de $G$.
3. Pour $i\neq j$, montrer que $xy=yx$ pour tout $(x,y)\in G_i\times G_j$.
4. Montrer que $G$ est commutatif.

Soit $G$ un groupe fini.

1. Soient $g,h$ deux éléments d'ordres finis $a,b$ qui commutent, avec $a$ et $b$ premiers entre eux. Montrer que $gh$ est d'ordre fini et déterminer cet ordre.
2. Montrer que, dans un groupe quelconque, le produit de deux éléments d'ordre fini n'est pas nécessairement d'ordre fini.
3. Soit $g\in G$ d'ordre fini $n$, et soit $n=ab$ avec $a,b$ premiers entre eux. Montrer que $g=hh'$ où $h,h'$ commutent et sont d'ordres respectifs $a,b$.
4. Y a-t-il unicité du couple $(h,h')$ ?

Soit $p$ un nombre premier et $G$ un sous-groupe de $S_p$ transitif sur $\db{1,p}$. On admet que tout groupe fini dont l'ordre est divisible par $p$ contient un élément d'ordre $p$. On note $\operatorname{Aff}(\F_p)$ le groupe des permutations de $\F_p$ de la forme $x\mapsto ax+b$, avec $a\in\F_p^*$ et $b\in\F_p$. Montrer l'équivalence des conditions :

1. Il existe deux éléments distincts $x,y\in\db{1,p}$ tels que le seul élément de $G$ fixant $x$ et $y$ soit l'identité.
2. $|G|<p^2$.
3. $G$ possède un unique sous-groupe d'ordre $p$.
4. Il existe une bijection $\theta:\db{1,p}\to\F_p$ et un sous-groupe $H$ de $\operatorname{Aff}(\F_p)$ tels que $\{\theta\circ g\circ\theta^{-1}\mid g\in G\}=H$.

Soit $G$ un groupe fini. On suppose qu'il existe $a\in G\setminus\{e\}$ et un nombre premier $p$ tels que, pour tout $x\in G$, $$a^{-1}xa=x^{p+1}.$$

1. Montrer que $(xy)^p=y^px^p$ pour tous $x,y\in G$, puis en déduire que $ay^p=y^pa$ pour tout $y\in G$.
2. On admet que si un nombre premier $q$ divise $|G|$, alors $G$ possède un élément d'ordre $q$. Montrer que $|G|$ est une puissance de $p$.
3. Soient $f:x\mapsto x^p$ et $H=\{x\in G\mid x^p=e\}$. Montrer que $|f(G)|=|G|/|H|$.
4. Montrer que $|G|<|H|^2$.

Soit $P\in\C[X]$. On écrit $P=A+iB$, avec $A,B\in\R[X]$. On suppose que les racines de $P$ sont dans le demi-plan $\operatorname{Im}(z)>0$. Montrer que $A$ et $B$ sont scindés sur $\R$.

Soit $n\in\N^*$.

1. Montrer qu'il existe un polynôme $P\in\R[X]$ de degré $2n-1$ tel que, pour tout $\theta\in]0,\pi[$, $$\frac{\sin(4n\theta)}{\cos\theta\sin\theta}=P(\cos^2\theta).$$
2. Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{2n-1}\cos\left(\frac{k\pi}{4n}\right)$.
3. Calculer $\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{4n}\right)$.

Pour $\sigma\in S_n$, on note $$\operatorname{Inv}(\sigma)=\operatorname{Card}\{(i,j)\in\db{1,n}^2\mid i<j\text{ et }\sigma(i)>\sigma(j)\}.$$ Pour $k\in\N$, on pose $P_k=\sum_{i=0}^kX^i$.

1. Montrer que $$\sum_{\sigma\in S_n}X^{\operatorname{Inv}(\sigma)} =\prod_{k=1}^{n-1}P_k.$$
2. Soient $p$ premier et $k\in\db{1,p-1}$. Simplifier $P_{p-1}(e^{2ik\pi/p})$.
3. Exprimer le cardinal de $\{\sigma\in S_n\mid (n+1)\mid \operatorname{Inv}(\sigma)\}$.

Soit $L\geq3$ et $f\in\Z[X]$ de degré $d>0$, de coefficient constant $-1$ et de coefficient dominant $a_d>0$. Montrer que l'ensemble $$\{p\in\mathbb{P}\mid p\not\equiv1\ [L],\ \exists m\in\Z,\ f(m)\equiv0\ [p]\}$$ est infini.

Soient $a\geq3$ et $P=X^2+X+a$. On suppose que, pour tout $n\in\db{0,a-2}$, $P(n)$ est premier. Soit $k\in\db{0,a-2}$.

1. Montrer que si $k+1$ est un carré, alors $P(a+k)$ n'est pas premier.

2. Réciproquement, on suppose que $P(a+k)$ n'est pas premier.

   1. Montrer que son plus petit facteur premier $p$ vérifie $p\geq a$.
   2. Montrer que $P(a+k-p)=p$.
   3. Conclure.

Soit $(x_n)_{n\in\N}\in\R^\N$ telle que $x_0,x_1>0$ et $$x_{n+1}x_{n-1}=1+x_n^2\qquad(n\geq1).$$

1. Montrer que $(x_n)$ ne peut pas être périodique.
2. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ et $\beta>1$ tels que $x_n\sim\alpha\beta^n$.
3. On pose $Q_0=i$, $Q_1=iX$ et, pour tout $n\geq1$, $Q_{n+1}Q_{n-1}=1+Q_n^2$. Montrer que, pour tout $n$, $Q_n\in i\Z[X]$.

1. Montrer l'existence et l'unicité d'une famille de polynômes de $\Q[q]$, notés $\binom nk_q$, vérifiant $$\binom n0_q=\binom nn_q=1,\qquad \binom nk_q=\binom{n-1}k_q+q^{n-k}\binom{n-1}{k-1}_q =q^k\binom{n-1}k_q+\binom{n-1}{k-1}_q.$$ On pourra les exprimer en fonction des $\binom n1_q$, notés $[n]_q$.
2. Montrer que $$(X+Y)(X+qY)\cdots(X+q^{n-1}Y) =\sum_{k=0}^n q^{k(k-1)/2}\binom nk_qX^{n-k}Y^k.$$

Soit $P\in\Z[X]$ unitaire de degré $d\geq1$, de racines complexes $\lambda_1,\ldots,\lambda_d$, toutes de module au plus $1$. On pose $f_n=\lambda_1^n+\cdots+\lambda_d^n$ pour $n\in\N$.

1. Montrer que $f_n\in\Z$ pour tout $n$, puis qu'il existe $p\geq1$ et $n_0\in\N$ tels que $f_{n+p}=f_n$ pour tout $n\geq n_0$.
2. En déduire que, pour tout $k\in\db{1,d}$, $\lambda_k=0$ ou $|\lambda_k|=1$.

Soit $M\in\mathcal{M}_2(\R)$ telle que $$\det(M^{2024}-I_2)=\det(M^{2024}+I_2),\qquad \det(M^{2026}-I_2)=\det(M^{2026}+I_2).$$ Montrer que, pour tout $n\geq1$, $$\det(M^n-I_2)=\det(M^n+I_2).$$

Soient $A,B\in\mathcal{M}_2(\R)$ tels que $(A-B)^2=0$.

1. Montrer que $\det(A^2-B^2)=(\det A-\det B)^2$.
2. Montrer que $\det(AB-BA)=0$ si et seulement si $\det A=\det B$.

Soit $A\in\operatorname{GL}_2(\R)$ telle que $$\det(A+A^{-1})+\det(A-A^{-1})=4.$$ Montrer que $\det(A+A^{-1})=(\operatorname{Tr}A)^2$.

Soient $A\in\operatorname{GL}_4(\R)$ et $B\in\mathcal{M}_4(\R)$ tels que $AB=BA$ et $\det(A^2-AB+B^2)=0$. Montrer que $$\det(A+B)+3\det(A-B)=6(\det A+\det B).$$

Soient $n\geq2$, $A,B\in\mathcal{M}_n(\Z)$ et $p$ un nombre premier. Montrer que $$\operatorname{Tr}((A+B)^p)\equiv\operatorname{Tr}(A^p)+ \operatorname{Tr}(B^p)\pmod p.$$

Pour $A\in\mathcal{M}_n(\Z)$, on note $\varphi(A)$ le pgcd de ses coefficients.

1. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\Z)$. Trouver une relation entre $\varphi(AB)$ et $\varphi(A)\varphi(B)$.
2. Montrer que $\varphi(AB)$ divise $\det(A)\varphi(B)$.
3. Soit $\alpha\in\Z$ et $A^2-\alpha A+I_n=0$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\varphi(A^k-I_n)\to_{k\to+\infty}+\infty$.

1. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\Q)$ ne peut pas être engendré par un nombre fini d'éléments.
2. Montrer que $\operatorname{SL}_n(\Q)$ est dense dans $\operatorname{SL}_n(\R)$.
3. Montrer que $(S,T)$ engendre $\operatorname{SL}_2(\Z)$, où $$S=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad T=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.$$

Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $A^2+B^2=2AB$.

1. Montrer que $AB-BA$ n'est pas inversible.
2. On suppose $\operatorname{rg}(A-B)=1$. Montrer que $AB=BA$.

Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que $\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(B)$ si et seulement s'il existe $P,Q,R\in\operatorname{GL}_n(\R)$ tels que $AP+QB=ARB$.

1. Soit $M\in\mathcal{M}_n(\C)$ telle que $\operatorname{rg}(M^2)\neq\operatorname{rg}(M)$. Montrer qu'il existe $A\in\mathcal{M}_n(\C)\setminus\{0\}$ telle que $AM=MA=A^2=0$ :

   1. dans le cas $n=2$ ;
   2. dans le cas où $M$ est nilpotente ;
   3. dans le cas général.
2. Le résultat subsiste-t-il pour $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ telle que $\operatorname{rg}(M)\neq\operatorname{rg}(M^2)$ ?

Pour $A,B\in\mathcal{M}_2(\C)$, on pose $[A,B]=AB-BA$.

1. Soient $X,Y,Z\in\mathcal{M}_2(\C)$. Montrer que $[X,[Y,Z]^2]=0$.
2. A-t-on nécessairement $[X,[Y,Z]]=0$ ?
3. Expliciter le sous-espace vectoriel engendré par $\{[X,[Y,Z]]\mid X,Y,Z\in\mathcal{M}_2(\C)\}$.

Soient $n,p\in\N\setminus\{0,1\}$ et $E=\{A_1,\ldots,A_p\}\subset\mathcal{M}_{2n}(\C)$ tel que $AB\in E$ pour tous $A,B\in E$. Montrer qu'il existe $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_p)\in\{0,1,-1\}^p\setminus\{0\}$ tel que $\operatorname{rg}(\sum_{i=1}^p\varepsilon_iA_i)\leq n$. On suppose le contraire.

1. Pour $A\in E$, montrer que $M\mapsto AM$ est injective sur $E$.
2. Pour $A\in E$, montrer que $\operatorname{rg}(A-I_{2n})\leq n$. Indication : considérer $S=\sum_{i=1}^pA_i$.
3. Conclure.

Soit $n\geq1$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et on pose $$J=\begin{pmatrix}I_n&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad G=\{M\in\mathcal{M}_{n+1}(\R)\mid M^TJM=J\}.$$

1. Montrer que $G$ est un sous-groupe de $\operatorname{GL}_{n+1}(\R)$, stable par transposition.
2. Posons $H=\{(X,z)\in\R^n\times\R\mid z^2-\|X\|^2=1\}$ et $a_0=(0_{\R^n},1)$. Montrer que, pour tout $a\in H$, il existe $g\in G$ tel que $ga_0=a$.
3. Soit $g\in G$, écrit par blocs $g=\begin{pmatrix}M&X\\Y^T&z\end{pmatrix}$. Montrer que $z\geq1$. On note $L(g)$ l'unique réel positif tel que $\cosh(L(g))=z$. Caractériser les $g$ tels que $L(g)=0$.
4. Montrer que, pour tous $g,h\in G$, $L(g)=L(g^{-1})$ et $L(gh)\leq L(g)+L(h)$.

Soit $p$ un nombre premier impair.

1. Soient $n\in\N$, $P\in\C[X]$ dont les racines sont de module $1$ et $Q\in\Z[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que si $$P(X)=p^nQ\left(\frac{X-1}{p}\right),$$ alors $P(X)=(X-1)^n$.
2. Montrer que $\operatorname{GL}_n(\Z)$ est un groupe et que $$\operatorname{GL}_n(\Z)=\{M\in\mathcal{M}_n(\Z)\mid\det M=\pm1\}.$$
3. Soient $A,B\in\operatorname{GL}_n(\Z)$ congruentes coefficient par coefficient modulo $p$. Montrer qu'il existe $M\in\mathcal{M}_n(\Z)$ telle que $AB^{-1}=I_n+pM$.
4. Montrer que si $A$ et $B$ appartiennent à un même sous-groupe fini de $\operatorname{GL}_n(\Z)$, alors $A=B$.

Soit $M\in\operatorname{GL}_n(\C)$. Montrer qu'il existe $A\in\operatorname{GL}_n(\C)$ tel que $M=A^2$. Est-ce encore vrai dans $\operatorname{GL}_n(\R)$ ?

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $d$ et $u\in\mathcal{L}(E)$. Montrer que si la suite $(\operatorname{Tr}(u^n))_{n\in\N}$ est bornée, alors elle est bornée par $d$.

Soient $n\geq2$, $a,b\in\C$ avec $a\neq0$ et $b^k\neq1$ pour tout $k\in\db{1,n}$. Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$ telles que $AB=aI_n+bBA$.

1. Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles.
2. Que peut-on dire du spectre de $AB$ ?

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. On pose $$\sin(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^kA^{2k+1}}{(2k+1)!}.$$

1. Quelles sont les matrices réelles diagonalisables qui s'écrivent $\sin(A)$ avec $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ ?
2. Quelles sont les matrices de $\mathcal{M}_n(\C)$ qui s'écrivent $\sin(A)$ avec $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ ?

Soient $n\geq3$ et $(a,b)\in\C^2$ avec $b\neq0$. Pour $k\in\db{1,n-1}$, on pose $$A_k=\operatorname{diag}(I_{k-1},H,I_{n-k-1}),\qquad H=\begin{pmatrix}a&b\\(1-a^2)/b&-a\end{pmatrix}.$$

1. Pour $|k-k'|\neq1$, déterminer le cardinal du sous-groupe de $\operatorname{GL}_n(\C)$ engendré par $A_k,A_{k'}$.
2. Trouver un vecteur propre commun à tous les $A_k$.
3. Montrer que ce vecteur n'est inclus dans aucun plan de $\C^n$ stable par tous les $A_k$.

Soit $n\geq2$.

1. Déterminer les couples $(A,B)\in\mathcal{M}_n(\C)^2$ tels que $AB=BA^2$, $\operatorname{Sp}(A)\subset\R$, et $A^2,B$ n'ont pas de vecteur propre commun.
2. Que se passe-t-il si l'on enlève la condition $\operatorname{Sp}(A)\subset\R$ ?
3. Déterminer les couples $(A,B)$ tels que $AB=BA^2$, $B$ inversible et $A$ nilpotente.
4. Soit $A$ telle que $\operatorname{Sp}(A)=\{1\}$. Existe-t-il $B$ inversible telle que $AB=BA^2$ ?

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\C)$ diagonalisable. On pose $$C(A)=\{M\in\mathcal{M}_n(\C)\mid AM=MA\},$$ et $$C(C(A))=\{N\in\mathcal{M}_n(\C)\mid MN=NM\text{ pour tout }M\in C(A)\}.$$

1. Montrer que $C(C(A))=\C[A]$.
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $C(C(A))=C(A)$.
3. Montrer que $$2n-\dim C(A)\leq\dim C(C(A))\leq n\leq\dim C(A).$$
4. On ne suppose plus $A$ diagonalisable, mais nilpotente non nulle avec $n=2$. Montrer que $C(A)=\C[A]$.

Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension $n\geq2$. Déterminer les fonctions continues $f:E\to\R$ telles que $$\langle x,y\rangle=0\Longrightarrow f(x+y)=f(x)+f(y).$$

On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $a,b>0$ et $x,y\in\R^n$.

1. On suppose $\langle by-x,x-ay\rangle\geq0$. Montrer que $$\|x\|\|y\|\leq\frac{a+b}{2\sqrt{ab}}|\langle x,y\rangle|.$$
2. On suppose qu'il existe $m_1,m_2,M_1,M_2>0$ tels que $x_i\in[m_1,M_1]$ et $y_i\in[m_2,M_2]$ pour tout $i$. Montrer que $$\langle x,y\rangle\geq \frac{2\sqrt{m_1m_2M_1M_2}}{\sqrt{M_1M_2} + \sqrt{m_1m_2}}\|x\|\|y\|.$$
3. Montrer que $\langle by-x,ay-x\rangle\leq0$ si et seulement si $$\left\|x-\frac{a+b}{2}y\right\| \leq\frac{|b-a|}{2}\|y\|.$$
4. Montrer que si $\langle by-x,x-ay\rangle\geq0$, alors $$\|x\|^2\|y\|^2-\langle x,y\rangle^2 \leq\frac{(b-a)^2}{4}\|y\|^4.$$

On se place dans $\R^d$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soient $E,F$ deux sous-espaces vectoriels de $\R^d$, et $A,B$ les matrices des projections orthogonales sur $E,F$. Montrer qu'il existe $Q\in\mathcal{M}_d(\R)$ et $\alpha\in]0,1[$ tels que, pour tout $v\in\R^d$ vérifiant $\|v\|\leq1$ et tout $n\in\N$, $$\|(AB)^nv-Qv\|\leq\alpha^n.$$

1. Soient $E$ un espace vectoriel réel, $n\geq1$ et $f_1,\ldots,f_n\in\mathcal{L}(E,\R)$. Pour $f\in\mathcal{L}(E,\R)$, montrer que $f\in\operatorname{Vect}(f_1,\ldots,f_n)$ si et seulement si $\ker f_1\cap\cdots\cap\ker f_n\subset\ker f$.
2. Pour $n\geq1$, on note $L_n(X)$ la dérivée $n$-ième de $(X^2-1)^n$. Montrer que, pour tout $Q\in\R_{n-1}[X]$, $$\int_{-1}^1L_n(x)Q(x)\,dx=0,$$ puis que $L_n$ est simplement scindé à racines dans $]-1,1[$.
3. Notons $-1<x_1<\cdots<x_n<1$ les racines de $L_n$. Montrer qu'il existe $a_1,\ldots,a_n\in\R$ tels que, pour tout $Q\in\R_{2n-1}[X]$, $$\int_{-1}^1Q(x)\,dx=\sum_{i=1}^na_iQ(x_i).$$

1. Soient $A=\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix}$. Existe-t-il $P\in\operatorname{GL}_2(\Q)$ telle que $B=P^TAP$ ?
2. Même question avec $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&6\end{pmatrix}$.
3. Même question avec $A=\begin{pmatrix}5&0\\0&11\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}1&0\\0&55\end{pmatrix}$.

Soit $P=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_n(\R)$, où $A\in\mathcal{M}_r(\R)$, $D\in\mathcal{M}_{n-r}(\R)$, et supposons $P=P^2=P^T$.

1. Montrer que $A$ est symétrique positive.
2. Montrer que $\operatorname{Im}B\subset\operatorname{Im}A$.
3. Montrer qu'il existe une unique matrice $A^+$ telle que $A,A^+$ commutent, $A^+A$ soit la matrice du projecteur orthogonal sur $\operatorname{Im}A$, et $A^+AA^+=A^+$.
4. Montrer que $Q=I_{n-r}-D+B^TA^+B$ est la matrice du projecteur orthogonal sur $\operatorname{Im}(I_{n-r}-D)$.

Soit $n\in\N$. Déterminer les formes linéaires $\ell$ sur $\mathcal{M}_n(\R)$ telles que, pour tout $M\in\mathcal{M}_n(\R)$ et $P\in O_n(\R)$, $\ell(PMP^{-1})=\ell(M)$.

1. Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$ trigonalisable sur $\R$. Montrer que $\operatorname{Sp}(A)\subset\R_{-}^{*}$ si et seulement s'il existe un produit scalaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ sur $\R^n$ et $c<0$ tels que $\langle Ax,x\rangle\leq c\langle x,x\rangle$ pour tout $x$.
2. Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que $\operatorname{Re}(\lambda)<0$ pour tout $\lambda\in\operatorname{Sp}_{\C}(A)$ si et seulement s'il existe un produit scalaire et $c<0$ tels que la même inégalité soit vérifiée pour tout $x\in\R^n$.

Soit $A\in\mathcal{M}_n(\R)$. Montrer que $AA^T=A^TA$ si et seulement si $A^2A^T=AA^TA$.

Analyse

Soit $B\subset\R_+$ non majorée. Montrer que $$\left\{\frac{n}{x}\mid n\geq1,\ x\in B\right\}$$ est dense dans $\R_+$.

Soient $X$ une partie compacte d'un espace vectoriel normé et $f:X\to X$ continue. Pour $x\in X$, on pose $$\omega(f,x)=\bigcap_{n\in\N}\{f^k(x)\mid k\geq n\}.$$

1. On suppose qu'il existe $x$ tel que $\omega(f,x)=X$. Montrer que $f$ est transitive : pour tous ouverts non vides $U,V$ de $X$, il existe $n\in\N$ tel que $f^n(U)\cap V\neq\varnothing$.
2. On suppose que $\omega(f,x)$ est fini et non vide. Montrer que $f$ induit sur $\omega(f,x)$ une permutation cyclique.

Soit $A\in\mathcal{M}_2(\R)$ et $S(A)=\{PAP^{-1}\mid P\in\operatorname{GL}_2(\R)\}$.

1. Si $A$ est diagonalisable, montrer que $S(A)$ est connexe par arcs.
2. Si $\operatorname{Sp}_{\C}(A)\subset\R$ et $A$ n'est pas diagonalisable, montrer que $S(A)$ n'est pas connexe par arcs.
3. Si $\operatorname{Sp}_{\C}(A)\subset\C\setminus\R$, montrer que $S(A)$ n'est pas connexe par arcs.
4. Qu'en est-il dans $\mathcal{M}_3(\R)$ ?

Soient $n\geq2$ et $A\in\mathcal{M}_n(\C)$. On pose $d(A)=\dim(\C[A])$.

1. Quelles valeurs peut prendre $d(A)$ ?
2. Soit $P\in\C[X]$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $d(P(A))=d(A)$.
3. Étudier les propriétés topologiques de l'ensemble $E_k=d^{-1}(k)$.

Soit $(u_n)\in(\R_+^*)^\N$ telle que $u_{n+1}=|u_n-n|$ pour tout $n\in\N^*$. Trouver un équivalent de $u_n$.

Soit $(x_n)_{n\geq1}$ une suite réelle telle que $x_1,x_2\in]0,1[$ et $$x_{n+2}=\frac{x_n^2}{x_{n+1}-x_n^2+1}.$$

1. Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite.
2. Montrer que $(x_1\cdots x_n)$ converge et déterminer sa limite.
3. Montrer que $(\sqrt n\,x_1\cdots x_n)$ converge et déterminer sa limite.
4. Si $1-x_n\sim\alpha/n$, la suite $(\sqrt n\,x_1\cdots x_n)$ converge-t-elle nécessairement ?

Soit $f\in C^0([0,1],[0,1])$. On définit $u_0\in[0,1]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. On suppose que $u_{n+1}-u_n\to0$. Montrer que $(u_n)$ converge.

Soit $f:[-1,1]\to[-1,1]$, $f(x)=2x^2-1$.

1. Montrer qu'il existe $x\in[-1,1]$ tel que l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite définie par $x_0=x$ et $x_{n+1}=f(x_n)$ soit égal à $[-1,1]$.
2. Montrer que l'ensemble des $x$ vérifiant cette propriété est dense dans $[-1,1]$.

Pour $x,y>0$, on définit $d(x,y)=|x-y|$ et $h(x,y)=|\ln x-\ln y|$.

1. Pour $x>0$ et $(x_n)\in(\R_+^*)^\N$, montrer que $d(x_n,x)\to0$ si et seulement si $h(x_n,x)\to0$.
2. Soient $a,b,c,d>0$ et $T(x)=(c+dx)/(a+bx)$. Montrer que $T(\R_+^*)$ est inclus dans un compact de $\R_+^*$.
3. Pour $x\neq x'$ positifs, poser $\lambda=h(a/c,b/d)$, $y=T(x)$ et $y'=T(x')$. Montrer que $$\frac{h(y,y')}{h(x,x')}\leq\tanh(\lambda/4).$$
4. Pour $x>0$, poser $x_0=x$ et $x_{n+1}=T(x_n)$. Montrer que $(x_n)$ converge vers l'unique point fixe de $T$.

1. Soit $u_{n+1}=e^{u_n}/(n+1)$, avec $u_0\in\R$. Quelle est la nature de la série de terme général $u_n$ ?
2. Soit $u_{n+1}=e^{u_n}/(n+1)^2$, avec $u_0\leq0$. Quelle est la nature de la série de terme général $u_n$ ?

On pose $$\alpha=4\sum_{k=0}^{499999}\frac{(-1)^k}{2k+1}.$$ Montrer qu'exactement une des 16 premières décimales de $\alpha$ diffère de la décimale correspondante de $\pi$.

Résoudre dans $\R$ l'équation $$\frac{\ln(6^x+1)}{\ln7}=\frac{\ln(7^x-1)}{\ln6}.$$

Soient $f,g:[0,1]\to[0,1]$. On suppose que $g$ est monotone et surjective et que $|f(x)-f(y)|\leq|g(x)-g(y)|$ pour tous $x,y\in[0,1]$.

1. Montrer qu'il existe $x_0\in[0,1]$ tel que $f(x_0)=g(x_0)$.
2. Montrer que $\{x\in[0,1]\mid f(x)=g(x)\}$ est un segment.

Soit $T\geq2$ et $f:\Z\to\R$ une fonction $T$-périodique telle que, pour tout $n\geq1$ et $k\in\Z$, $$\sum_{i=-n}^{n-1}f(i+k)\leq\sum_{i=-n}^{n-1}f(i).$$

1. Si $T$ est impair, montrer que $f$ est constante.
2. Donner un exemple non constant lorsque $T$ est pair.

Soit $f:\R\to\R$ sous-additive : $f(x+y)\leq f(x)+f(y)$.

1. On suppose qu'il existe $\delta>0$ et $\varphi:] -\delta,\delta[\to\R$ telle que $\varphi(0)=0$, $\varphi$ dérivable en $0$ et $f\leq\varphi$. Montrer qu'il existe $a\in\R$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x$.
2. On suppose qu'il existe $x_0,y_0>0$ tels que $f(x_0),f(-y_0)\leq0$ et $x_0/y_0\in\Q$. Montrer que $f$ est périodique.
3. Construire une fonction avec $f(x_0),f(-y_0)\leq0$ pour certains $x_0,y_0>0$, mais qui n'est pas périodique.

Soit $f\in C^2(\R,\R_+)$ telle que $ff''-(f')^2\geq0$. Montrer que si $f$ s'annule en un point, alors $f=0$.

Soit $I$ un intervalle de $\R$. On dit que $f:I\to I$ vérifie $P$ si, pour tous $x,y\in I$, $f_n(x)-f_n(y)\to0$, où $f_n$ est la $n$-ième itérée de $f$. Pour $f(x)=x+1/x$ sur $\R_+^*$, $f$ admet-elle un point fixe ? Vérifie-t-elle $P$ ?

Déterminer tous les couples $(f,g)$ de polynômes trigonométriques réels tels que $f^2+g^2=1$.

Soit $f:\R\to\R$ et $g(x)=2f(x)+f(-x)$.

1. On suppose $g$ continue en $0$ et $f$ bornée au voisinage de $0$. Montrer que $f$ est continue en $0$.
2. Trouver une fonction $f$ discontinue en $0$ telle que $g$ soit continue.

Soit $$F=\{f\in C^0(\R,\R)\mid e^{f(x)}+f(x)\geq x+1\text{ pour tout }x\in\R\}.$$ Calculer $\displaystyle\inf_{f\in F}\int_0^e f$.

On appelle polynôme trigonométrique complexe toute combinaison linéaire complexe des fonctions $e_k:x\mapsto e^{ikx}$, $k\in\Z$. Déterminer les polynômes $H$ tels que $H(\R)\subset\R$ et $\cos\circ H$ soit un polynôme trigonométrique.

1. Déterminer les endomorphismes $T$ de $\R[X]$ qui commutent avec la dérivation et avec la multiplication par $X$.
2. Posons $$S=\{f\in C^\infty(\R,\R)\mid \sup_{x\in\R}|x^kf^{(n)}(x)|<+\infty\text{ pour tous }k,n\in\N\}.$$ Montrer que $S$ est un espace vectoriel stable par dérivation et par multiplication par l'identité de $\R$. Déterminer les endomorphismes de $S$ qui commutent avec ces deux opérateurs.

Posons $E=C^0([-1,1],\C)$. Soit $g:[-1,1]\to[-1,1]$ continue, croissante et surjective, et $\Phi:f\mapsto f\circ g$. Montrer que $1$ est la seule valeur propre possible de $\Phi$.

Soit $P\in\R[X]$ tel que $P(1)=P(-1)=0$ et $P(x)>0$ pour $x\in]-1,1[$.

1. Calculer l'aire $T$ du triangle formé par l'axe des abscisses et les tangentes à $P$ en $-1$ et $1$.
2. Posons $A=\int_{-1}^1P(x)\,dx$. On suppose $P=(X^2-1)\prod_{i\in I}(X-\lambda_i)$, avec $\lambda_i$ réels, distincts et différents de $\pm1$. Montrer que $$A\geq\frac43\prod_{i\in I}(\lambda_i^2-1).$$
3. En déduire que $A\geq2T/3$.
4. Ce résultat reste-t-il vrai si $P$ possède des racines non réelles ?
5. On suppose de plus $P$ concave sur $[-1,1]$. Soit $R$ l'aire du rectangle formé par l'axe des abscisses, $x=\pm1$ et la tangente horizontale de $P$ sur l'intervalle. Montrer que $A\leq cR$ pour une constante $c<1$ indépendante de $P$.

Soient $a<b$ et $E=C^0([a,b],\R)$. Posons $$G=\{g\in C^2([a,b],\R)\mid g(a)=g(b)=g'(a)=g'(b)=0\}.$$

1. Pour $f\in E$ et $n\geq1$, montrer que $$h(x)=\int_a^x\frac{(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}f(t)\,dt$$ est de classe $C^n$ et $h^{(n)}=f$.
2. Montrer qu'il existe $g\in G$ telle que $f=g''$ si et seulement si $\int_a^bf(t)\,dt=\int_a^btf(t)\,dt=0$.
3. Montrer que, pour $f\in E$, $\int_a^bfg''=0$ pour tout $g\in G$ si et seulement si $f$ est affine.

Soit $f:\R_+\to\R_+$ continue telle que $\int_0^{+\infty}f=1$. Posons $g(x)=\int_x^{+\infty}f$.

1. Montrer que $\int_0^{+\infty}xf(x)\,dx=\int_0^{+\infty}g(x)\,dx$.
2. Si $f$ est décroissante, montrer qu'il existe un unique $M>0$ tel que $\int_0^M f=1/2$.
3. Montrer que $\int_0^{+\infty}xf(x)\,dx\geq M$.

On définit $f_1(x)=\sin x$ sur $]0,\pi[$, puis $f_{n+1}(x)=\sin(f_n(x))$. Montrer que $(\sqrt n f_n)_{n\geq1}$ converge simplement vers la fonction constante $\sqrt3$.

Soit $f:\R_+\to\R_+$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=0$ et $$|f'(x)-k|\leq\mu x^\lambda,$$ avec $k\in]0,1[$ et $\lambda,\mu>0$. Posons $f_0=\operatorname{id}$, $f_{n+1}=f\circ f_n$ et $x_n=f_n(x)$.

1. Montrer qu'il existe $a>0$ et $b\in]0,1[$ tels que, pour $x\in[0,a]$, $x_n\leq b^nx$.
2. Posons $g_n=f_n/k^n$. Montrer que, pour $x\in[0,a]$, $$\left|\frac{g_n'(x)}{g_{n+1}'(x)}-1\right| \leq\frac{\mu}{k}x^\lambda b^{\lambda n}.$$
3. Montrer qu'on peut choisir $a>0$ tel que $f_n'(x)>0$ sur $[0,a]$.
4. Montrer que $(g_n)$ et $(g_n')$ convergent uniformément sur $[0,a]$.

Soit $$f(x)=\sum_{n\in\Z}\frac1{(x-n)^2+1}.$$ Montrer que $f$ n'est pas polynomiale.

Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$ une série entière à coefficients réels, avec $a_0=1$ et rayon de convergence $R>0$. On suppose qu'il existe $g(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}b_nx^n$, de rayon de convergence positif, telle que $f(x)(1-g(x))=1$ au voisinage de $0$.

1. Montrer que si tous les $b_n$ sont positifs, alors tous les $a_n le sont.
2. Trouver un exemple où tous les $a_n$ sont positifs et où au moins un $b_n$ est strictement négatif.
3. On suppose $a_{n+1}a_{n-1}\geq a_n^2$ pour tout $n\geq1$. Montrer que $b_n\geq0$ pour tout $n\geq1$.
4. On suppose, pour $x\in]-R,R[$, $$f(x)=1+\frac12\ln\left(\frac1{1-x}\right).$$ Montrer que $b_n\geq0$ pour tout $n\geq1$.

Soit $P=a_1X+\cdots+a_dX^d\in\R[X]$, avec $a_d\neq0$, et $f(z)=e^{P(z)}$. On suppose que son développement en série entière $f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}c_nz^n$ vérifie $c_n>0$ pour tout $n\geq0$.

1. Montrer que $a_d>0$ et $a_v>0$, où $v=\min\{i\mid a_i\neq0\}$.
2. Si $P=a_vX^v+a_mX^m+a_dX^d$ avec $v<m<d$, montrer que $a_m\geq0$. Indication : poser $\rho=e^{2i\pi/d}$ et considérer $f(\rho z)/f(z)$.
3. Pour le cas général, soit $m$ tel que $v<m<d$. On suppose $a_m<0$ et que le pgcd des $i\geq m+1$ tels que $a_i\neq0$ ne divise pas $m$. Montrer qu'il existe $n\geq0$ tel que $c_n\leq0$.

Posons $$J(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(tx)}{1+t^2}\,dt.$$

1. Montrer que $J$ est de classe $C^1$ sur un domaine à préciser et exprimer $J'$.
2. Montrer que $\zeta(2)=\int_0^1\frac{\ln t}{t-1}\,dt$.
3. Montrer que $\zeta(2)=\pi^2/6$. Indication : considérer $J(1)-J(0)$.

Soit $k\in C^0([0,1]^2,\C)$ et $E=C^0([0,1],\C)$. Pour $f\in E$, on pose $$v(f)(x)=\int_0^x k(x,y)f(y)\,dy.$$

1. Montrer que $v$ est un endomorphisme de $E$ dont l'unique valeur propre possible est $0$.
2. Si $k$ est à valeurs dans $\R_+^*$, montrer que les éléments non nuls du noyau de $v$ ne sont pas développables en série entière en $0$.

Soit $$E=\left\{f\in C^2(\R,\R)\mid \sup_{x\in\R}(1+x^2)(|f(x)|+|f'(x)|+|f''(x)|)<+\infty\right\}.$$

1. Pour $t,x\in\R$ et $f\in C^1(\R,\R)$, poser $A_t(f)(x)=f'(x)+txf(x)$ et $A_t^*(f)(x)=-f'(x)+txf(x)$. Montrer que, pour tout $t\in\R$ et $f\in E$, $$\int_\R A_t^*(A_t(f))(x)f(x)\,dx\geq0.$$
2. Si $\int_\R f^2=1$, montrer que $$\left(\int_\R x^2f(x)^2\,dx\right) \left(\int_\R f'(x)^2\,dx\right)\geq\frac14.$$
3. Étudier les cas d'égalité.

1. Montrer que, pour tout $t\in[0,1[$, $$\int_0^{2\pi}\frac{e^{i\theta}}{1-te^{i\theta}}\,d\theta=0.$$
2. Montrer que, pour tout $z\in\C$, $$\int_0^{2\pi}\ln|e^{i\theta}-z|\,d\theta =2\pi\max(0,\ln|z|).$$

Soient $f,g\in C^2(\R,\R)$ et $S,T>0$. On suppose $(f-g)(t)=o(e^{t/2})$ lorsque $t\to+\infty$, et que $F=f''-f'+f$ est $T$-périodique et $G=g''-g'+g$ est $S$-périodique. On suppose aussi que $F(t)-G(t)\to0$. Montrer que $f=g$.

On considère l'équation fonctionnelle $u'(x)=u(x-x^2)$, où $u:[0,1]\to\R$ est dérivable.

1. Montrer que si deux solutions coïncident sur $[0,\varepsilon]$ pour un $\varepsilon>0$, elles coïncident sur $[0,1]$.
2. Montrer qu'il existe une solution non nulle. Indication : considérer $u_0(x)=1$ et $$u_n(x)=1+\int_0^x u_{n-1}(t-t^2)\,dt.$$

Soient $\lambda\in]-1,1[$ et $F$ l'espace des fonctions dérivables $f:\R\to\R$ vérifiant $f'(t)=e^tf(\lambda t)$ pour tout $t\in\R$.

1. Montrer que $F$ est de dimension $1$.
2. Majorer asymptotiquement aussi bien que possible les éléments de $F$ lorsque $t\to+\infty$.

Soit $M_0\in O_2(\R)$. Pour quels couples $(A,B)\in\mathcal{M}_2(\R)^2$ la solution du problème de Cauchy $M(0)=M_0$, $M'(t)=AM(t)B$ est-elle à valeurs dans $O_2(\R)$ ?

Soient $A,B\in\mathcal{M}_n(\C)$. Pour l'équation différentielle $M'(t)=AM(t)B$, donner une condition nécessaire et suffisante pour que toutes les solutions soient bornées.

Soient $A\in\mathcal{M}_n(\R)$, $B\in\mathcal{M}_{n,p}(\R)$ et $T>0$. On note $A_T$ l'ensemble des $v\in\R^n$ pour lesquels il existe $u\in C^0([0,T],\R^p)$ et une solution de $X'=AX+Bu(t)$ telle que $X(0)=0$ et $X(T)=v$. Montrer que $A_T=\R^n$ si et seulement si $$M=(B\mid AB\mid A^2B\mid\cdots\mid A^{n-1}B)$$ est de rang $n$.

Géométrie

Quel est le périmètre maximal d'un triangle dont les sommets sont sur le cercle unité ?

Soit $A_0A_1A_2$ un triangle du plan. On définit $A'_2$ comme le sommet extérieur au triangle $A_0A_1A_2$ du triangle $A_0A_1A'_2$ isocèle en $A'_2$, d'angle au sommet $2\pi/3$. On définit de même $A'_0,A'_1$ par permutation circulaire. Montrer que $A'_0A'_1A'_2$ est équilatéral.

Soit $K$ un quadrilatère convexe de sommets $O,u,v,w$ dans le sens trigonométrique, avec $v>0$. On note $A$ son aire.

1. Montrer que $$A^2=\frac{v^2}{4}\left(|w-u|^2-(\operatorname{Re}(w)-\operatorname{Re}(u))^2\right).$$
2. Montrer que $$A^2=\frac14\left(p^2q^2-\frac14(a^2-b^2+c^2-d^2)^2\right),$$ où $a,b,c,d$ sont les longueurs des côtés dans le sens direct et $p,q$ celles des diagonales.
3. Si $K$ est inscriptible dans un cercle, montrer que $pq=ac+bd$. En notant $S=(a+b+c+d)/2$, montrer ensuite $$A^2=(S-a)(S-b)(S-c)(S-d).$$

Probabilités

1. Montrer qu'il existe deux multiensembles distincts de six entiers strictement positifs issus de $\{1,2,3,4,5,6\}$ tels que deux dés équilibrés construits avec leurs éléments donnent la même loi pour la somme que deux dés classiques.
2. Montrer que, pour $N$ assez grand, il existe deux dés pipés à $N$ faces, portant les entiers de $1$ à $N$, dont la somme suit la loi de la somme de deux dés équilibrés à $N$ faces.

Soit $\sigma$ uniforme sur $S_n$.

1. Pour $k,i\in\db{1,n}$, calculer la probabilité que $i$ appartienne à un cycle de longueur $k$ dans la décomposition de $\sigma$.
2. Si $X_k$ est le nombre de cycles de longueur $k$, montrer que $\E(X_k)=1/k$.
3. Soit $\alpha\in]0,1[$ et $p_n$ la probabilité que tous les cycles de $\sigma$ aient longueur au plus $\alpha n$. Montrer qu'il existe $C_\alpha>0$ tel que $p_n\geq C_\alpha$ pour $n$ assez grand.

On fixe $N\geq1$. Soit $U_1$ uniforme sur $\db{1,N}$ et, pour $n\geq1$, $U_{n+1}$ uniforme sur $\db{1,U_n}$. Posons $E_N=\{U_j\mid j\geq1\}$.

1. Montrer que $\P(1\in E_N)=1$.
2. Calculer $\P(k\in E_N)$ pour $1\leq k\leq N$.
3. Montrer que les événements $(k\in E_N)$ sont indépendants.

Soient $p\in]0,1[$ et $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. de loi de Bernoulli $B(p)$. Posons $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et $$T_n=\inf\{m\in\N\mid|\{i\in\db{1,m}:X_i=0\}|\geq n\}.$$

1. Montrer que $(S_n\geq k)=(T_{n-k+1}\geq n+1)$.
2. En déduire $$\P(S_n\geq k)=\binom n{n-k}(1-p)^{n-k+1}p^k \sum_{\ell\geq0}\frac{(n+1)\cdots(n+\ell)}{(k+1)\cdots(k+\ell)}p^\ell.$$
3. En déduire que, si $p=1/2$ et $j\geq3$, $$\P(S_{nj}\leq n)\sim2^{-nj}\binom{nj}{n}\frac{j-1}{j-2}.$$

Soit $X=(X_1,\ldots,X_n)^T$ un vecteur aléatoire à composantes i.i.d. dans $L^4$, à valeurs dans $\R$, avec $\E(X_1)=0$ et $\V(X_1^2)=\V(X_1)=1$. Soient $F\subset\R^n$ de dimension $k$ et $P$ la matrice de la projection orthogonale sur $F^\perp$.

1. Justifier que $d(X,F)^2=X^TPX$ et montrer que $\E(d(X,F)^2)=n-k$.
2. Montrer que $\V(d(X,F)^2)\leq n-k$.
3. Si $\lambda\geq1$, montrer que $$\P\left(|d(X,F)-\sqrt{n-k}|\geq\lambda\right)\leq\frac2{\lambda^2}.$$

Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe des variables aléatoires $X,X_1,X_2$ telles que $X=aX_1+bX_2$, avec $X\sim\mathcal{P}(\nu)$, $X_1\sim\mathcal{P}(\lambda)$, $X_2\sim\mathcal{P}(\mu)$, et $X_1,X_2$ indépendantes.

Pour $k,n\geq1$, on note $$B_{k,n}=\{p\in\mathbb{P}\mid p\leq n^{1/10},\ p\mid k\},$$ et $X_n$ uniforme sur $\db{1,n}$.

1. Montrer que $$\E(|B_{X_n,n}|)=\sum_{p\in\mathbb{P},p\leq n^{1/10}}\frac1p+O(n^{-9/10}).$$
2. Montrer que $$\V(|B_{X_n,n}|)=\sum_{p\in\mathbb{P},p\leq n^{1/10}} \left(\frac1p-\frac1{p^2}\right)+O(n^{-8/10}).$$
3. Si $\nu(x)=|\{p\in\mathbb{P}\mid p\mid x\}|$ et $a_n\to+\infty$, montrer que $$\P\left(|\nu(X_n)-\ln\ln n|\geq a_n\sqrt{\ln\ln n}\right)\to0.$$ On pourra utiliser $\sum_{p\leq n,\ p\in\mathbb{P}}1/p=\ln\ln n+O(1)$.

Mines-Ponts PSI 2026

Algèbre

Soit $P\in\R[X]$. Montrer qu'il existe un unique $Q\in\R[X]$ tel que $Q(0)=0$ et $Q(X+1)-Q(X)=P(X)$.

Soit $P\in\R[X]$ scindé à racines simples. Montrer que, pour tout $x\in\R$, $$P'(x)^2-P''(x)P(x)>0.$$

Pour $n\geq1$, soit $h(n)$ le plus petit entier $k$, s'il existe, tel que pour tout $g\in\C[X]$, il existe $f_1,\ldots,f_k\in\C[X]$ vérifiant $g=f_1^n+\cdots+f_k^n$.

1. Peut-on se contenter de vérifier la propriété pour un polynôme $g$ particulier pour établir l'existence de $h(n)$ ?
2. Déterminer $h(2)$.
3. Montrer que $h(n)\geq3$ si $n\geq3$.
4. Montrer que $h(n)\leq n$ pour tout $n\geq1$.

Soient $A\in M_{3,2}(\R)$ et $B\in M_{2,3}(\R)$ telles que $AB=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$. Que vaut $BA$ ?

Résoudre dans $M_2(\R)$ l'équation $$X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.$$

Soient $A,B\in M_n(\R)$ telles que $A$ et $B$ commutent et $B$ est nilpotente. Montrer que $\det(A+B)=\det(A)$.

Soient $A,B\in M_n(\C)$. On suppose qu'il existe $n+1$ complexes distincts $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $A+\alpha_iB$ soit nilpotente pour chaque $i$.

1. Montrer que si $N\in M_n(\C)$ est nilpotente, alors $N^n=0$.
2. Montrer que $(A+\alpha B)^n=0$ pour tout $\alpha\in\C$.
3. Montrer que $A$ et $B$ sont nilpotentes.

Soit $n\geq1$.

1. Montrer que $M_n(\R)=\Vect(I_n)\oplus\Ker(\operatorname{Tr})$.
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $n$ pour qu'il existe $A,B\in M_n(\R)$ tels que $(AB-BA)^2=I_n$.

Soient $m\geq1$ et $A\in M_m(\R)$ tels que $A^{m-1}\neq0$ et $A^m=0$. On pose $L=\{M\in M_m(\R):AM=MA\}$.

1. Montrer qu'il existe $x_0\in\R^m$ tel que $(x_0,Ax_0,\ldots,A^{m-1}x_0)$ soit une base de $\R^m$.
2. En déduire que $(I_m,A,\ldots,A^{m-1})$ est une base de $L$.

Soit $p\geq1$ et $E_p$ l'ensemble des suites complexes $p$-périodiques.

1. Montrer que $E_p$ est un $\C$-espace vectoriel et donner sa dimension.
2. Donner une base de $E_p$ constituée de suites géométriques.

Une fonction $f\in C^0([0,1],\R)$ est dite affine par morceaux s'il existe une subdivision $0=a_0<a_1<\cdots<a_n=1$ telle que $f$ soit affine sur chaque $[a_i,a_{i+1}]$. On note $A$ l'ensemble de ces fonctions.

1. Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $C^0([0,1],\R)$.
2. Pour $a\in[0,1]$, poser $f_a(x)=|x-a|$. Montrer que la famille $(f_a)_{a\in[0,1]}$ est libre.
3. Déterminer une base de $A$.

Dans $M_n(\Z)$, on note $GL_n(\Z)$ les matrices inversibles dont l'inverse est aussi à coefficients entiers. Soient $A,B\in M_2(\Z)$ tels que $A+kB\in GL_2(\Z)$ pour $1\leq k\leq5$.

1. Montrer que $A\in GL_2(\Z)$.
2. Est-ce que $B$ est inversible ?

Soit $P\in GL_n(\R)$ et $\varphi_P:M_n(\R)\to M_n(\R)$ définie par $\varphi_P(M)=P^{-1}MP$. Calculer le déterminant et la trace de l'endomorphisme $\varphi_P$.

On considère $E=M_n(\C)$ et $E^*=\mathcal L(E,\C)$.

1. Pour $A\in M_n(\C)$, poser $L_A(M)=\operatorname{Tr}(AM)$.

   1. Montrer que $L_A$ est une forme linéaire.
   2. Montrer que $L:A\mapsto L_A$ est un isomorphisme de $E$ sur $E^*$.
   3. En déduire une caractérisation des hyperplans de $E$.

2. Soit $T$ triangulaire supérieure et $H=\Ker(L_T)$. On note $T_n^+$ et $T_n^-$ les sous-espaces des matrices triangulaires strictement supérieure et inférieure.

   1. Déterminer $H\cap T_n^+$.
   2. Déterminer la dimension de $H\cap T_n^-$.
   3. Montrer que les matrices de $T_n^+\cup T_n^-$ sont nilpotentes.
3. Montrer que tout hyperplan de $E$ contient au moins $n^2-n-1$ matrices nilpotentes linéairement indépendantes.

1. Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$ nilpotent. Montrer que son indice de nilpotence est inférieur ou égal à $\dim E$.

2. Soient $E=\R[X]$ et $D:P\mapsto P'$. On suppose qu'il existe $f\in\mathcal L(E)$ tel que $f^2=D$.

   1. Montrer que $\R_n[X]$ est stable par $D$ et par $f$.
   2. Montrer que les restrictions de $f$ et $D$ à $\R_n[X]$ sont

   nilpotentes. Conclure.

Soit $P\in GL_n(\C)$, écrit $P=Q+iR$ avec $Q,R\in M_n(\R)$.

1. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$ tel que $Q+\lambda R\in GL_n(\R)$.
2. En déduire que deux matrices réelles semblables dans $M_n(\C)$ le sont aussi dans $M_n(\R)$.
3. Soient $A,B\in M_n(\R)$ tels que $A^3=B^3=I_n$ et $\operatorname{Tr}(A)=\operatorname{Tr}(B)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.

Soit $a\in\R$ et $$M(a)=\begin{pmatrix}1&-1&a\\-1&1&-a\\a&-a&2-a\end{pmatrix}.$$ Déterminer les sous-espaces stables par l'endomorphisme de $\R^3$ associé.

Soit $$M=\begin{pmatrix}0&\cdots&0&a_1\\1&\ddots&&\vdots\\ 0&\ddots&0&a_n\\b_1&\cdots&b_n&0\end{pmatrix}\in M_{n+1}(\C).$$ Étudier la diagonalisabilité de $M$ en fonction de $a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n\in\C$.

Soient $n\geq3$ et $A=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ telle que $a_{i,j}=1$ si $i=j$ ou $j=n$, et $a_{i,j}=0$ sinon.

1. Déterminer $A^k$.
2. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
3. Trouver un polynôme annulateur de degré 3 de $A$.

Soit $n\geq3$. Diagonaliser la matrice $A=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ définie par $a_{n,i}=a_{i,n}=1$ pour $1\leq i\leq n$, les autres coefficients étant nuls.

Soit $A=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ définie par $a_{i,j}=\sin(i+j)$.

1. Quel est le rang de $A$ ?
2. Déterminer ses valeurs propres.

Trouver les éléments propres de la matrice $M=(i+j)_{1\leq i,j\leq n}\in M_n(\R)$.

Soient $n\geq2$ et $A=(a_{i,j})\in M_n(\C)$ définie par $a_{i,j}=\delta_{i+1,j}$ si $i<n$ et $a_{n,j}=\delta_{1,j}$.

1. Montrer que $A$ est diagonalisable.
2. Soit $p\geq2$ et $B=\sum_{k=0}^{p-1}A^k$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $n,p$ pour que $B$ soit inversible.

Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB-BA=B$.

1. Montrer que $\operatorname{Tr}(XY)=\operatorname{Tr}(YX)$ pour tous $X,Y\in M_n(\C)$.
2. Montrer que, pour tout $k\in\N$, $AB^k-B^kA=kB^k$.
3. En déduire que $B$ est nilpotente.

Soit $M=(m_{i,j})\in M_n(\R)$ définie par $m_{i,j}=-2$ si $i=j$, $m_{i,j}=1$ si $|i-j|=1$, et $m_{i,j}=0$ sinon. On pose $T=M+2I_n$.

1. Montrer que $M$ est diagonalisable.
2. Exprimer le spectre de $T$ en fonction de celui de $M$ et comparer leurs sous-espaces propres.

3. Soit $\mu\in\operatorname{Sp}(T)$.

   1. Montrer qu'il existe $i\in\{1,\ldots,n\}$ tel que $|t_{i,i}-\mu|\leq\sum_{j\neq i}|t_{i,j}|$.
   2. Montrer qu'il existe $\alpha\in[0,\pi]$ tel que $\mu=2\cos\alpha$.
   3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $X=(x_1,\ldots,x_n)^T$ soit un vecteur propre de $T$ associé à $\mu$.
   4. Qu'en déduire pour $\alpha$ ?

1. Soient $B\in M_n(\R)$ et $P\in\C[X]$ non constant. Montrer que si $B$ est diagonalisable alors l'équation $P(X)=B$ admet au moins une solution dans $M_n(\C)$.
2. Soient $n\geq3$ et $B=(b_{i,j})$ définie par $b_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i<n$, les autres coefficients étant nuls. Que dire de l'équation $X^2=B$ ?

Soit $(\alpha_2,\alpha_1,\alpha_0,\beta_1,\beta_0)\in\R^5$ tel que $k\alpha_2+\beta_1\neq0$ pour tout $k\in\N$. On pose $E_n=\R_n[X]$ et $$f_n(P)=(\alpha_2X^2+\alpha_1X+\alpha_0)P'' +(\beta_1X+\beta_0)P'.$$

1. Montrer que $f_n\in\mathcal L(E_n)$. Est-ce un automorphisme ?
2. Exprimer la matrice de $f_n$ dans la base canonique $(1,X,\ldots,X^n)$.
3. L'application $f_n$ est-elle diagonalisable ?

Soit $A\in M_n(\R)$ admettant $n$ valeurs propres réelles distinctes. Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ et $M_1,\ldots,M_n\in\Vect(I_n,A,\ldots,A^{n-1})$ tels que, pour tout $p\in\N$, $A^p=\sum_{k=1}^n\alpha_k^pM_k$.

Soient $A\in M_n(\C)$ et $M=\begin{pmatrix}0&I_n\\A&0\end{pmatrix}$.

1. Montrer que $\lambda$ est valeur propre de $M$ si et seulement si $\lambda^2$ est valeur propre de $A$.
2. À quelle condition $M$ est-elle diagonalisable ?

Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\geq2$ et $f_1,\ldots,f_n\in\mathcal L(E)$ tels que $\sum_{i=1}^nf_i=\operatorname{id}$ et $f_i\circ f_j=0$ si $i\neq j$. Pour $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n$, montrer que $g=\sum_{i=1}^n\lambda_if_i$ est diagonalisable.

Soient $A,B\in M_n(\C)$ et $T_{A,B}:M\mapsto AM-MB$.

1. Montrer que $T_{A,B}$ est linéaire et donner $T_{A,B}(E_{i,j})$. On pose $\Phi:(A,B)\mapsto T_{A,B}$.
2. Déterminer $\Ker\Phi$. L'application $\Phi$ est-elle injective ?
3. Est-elle surjective ?
4. Donner $\operatorname{Tr}(T_{A,B})$ en fonction de $A,B$.
5. Déterminer $\det(T_{A,B})$. On pourra commencer par supposer $A,B$ diagonalisables.

Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $\det(A)=32$ et $A^2-6A+8I_n=0$. On considère $\varphi_A:B\mapsto AB$.

1. Quelles sont les valeurs possibles de $n$ ? Déterminer $\operatorname{Tr}(A)$ selon ces valeurs de $n$.
2. $\varphi_A$ est-il diagonalisable ?
3. Déterminer $\operatorname{Sp}(\varphi_A)$ et la dimension de chacun de ses espaces propres.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in GL(E)$. On suppose que, pour tout $x\in E$, l'ensemble $\{u^k(x):k\in\N\}$ est fini. Montrer qu'il existe $n\geq1$ tel que $u^n=\operatorname{id}$.

Soient $n\geq1$, $A,B\in M_n(\C)$ et $r\in\{0,\ldots,n\}$. Montrer l'équivalence entre l'existence d'une solution de rang $r$ à $AX=XB$ et l'existence de valeurs propres distinctes communes $\lambda_1,\ldots,\lambda_s$ de $A$ et $B$ telles que $$\dim E_{\lambda_k}(A)=\dim E_{\lambda_k}(B)\quad(1\leq k\leq s), \qquad\sum_{k=1}^s\dim E_{\lambda_k}(A)=r.$$ Indication : étudier les éléments propres de $B^T$ pour le sens direct ; pour la réciproque, utiliser qu'une matrice $M$ est de rang $r$ si et seulement si $M=PJ_rQ$ pour des $P,Q$ inversibles, avec $J_r=\operatorname{diag}(I_r,0)$.

Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien.

1. Pour $a\in E$, on définit $\varphi_a(x)=\langle a,x\rangle$. Montrer que $a\mapsto\varphi_a$ est un isomorphisme entre $E$ et $\mathcal L(E,\R)$.
2. Montrer qu'il existe un unique $A\in\R_2[X]$ tel que, pour tout $P\in\R_2[X]$, $P(1/2)=\int_{-1}^1A(t)P(t)dt$. Déterminer $A$.

Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension $n\geq2$, et $H_1,H_2$ deux hyperplans distincts. Choisir des vecteurs unitaires $e_k\in H_k^\perp$ et poser $f_k(x)=x-2\langle e_k,x\rangle e_k$.

1. Décrire géométriquement $f_1,f_2$ et montrer que $H_1\cap H_2=\{x:f_1(f_2(x))=x\}$.
2. Poser $F=H_1^\perp+H_2^\perp$. Montrer que cette somme est directe, que $(f_1\circ f_2)(F)\subset F$, et justifier qu'il existe $e$ tel que $(e_1,e)$ soit une base orthonormale de $F$.
3. Montrer qu'il existe une unique rotation $r$ de $F$ telle que $r(e_1)=e_2$. Donner la matrice dans la base $(e_1,e)$ de l'endomorphisme de $F$ induit par $f_2\circ f_1$, à l'aide de $r$.

Soient $n\geq2$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $M_n(\R)$. On pose $$V^\circ=\{M\in M_n(\R):\forall A\in V,\ \operatorname{Tr}(AM)=0\}.$$

1. Montrer que $V^\circ$ est un sous-espace vectoriel.
2. Exprimer $\dim V^\circ$ en fonction de $\dim V$.
3. Si $V$ est le sous-espace des matrices triangulaires supérieures, déterminer $V^\circ$.

Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace préhilbertien réel, $n\geq1$ et $(x_1,\ldots,x_n)\in E^n$. Poser $M=(\langle x_i,x_j\rangle)_{i,j}$ et $G(x_1,\ldots,x_n)=\det M$.

1. Montrer que $G(x_1,\ldots,x_n)\neq0$ si et seulement si $(x_1,\ldots,x_n)$ est libre.
2. Soit $F=\Vect(x_1,\ldots,x_n)$ et $x\in E$. Montrer que $G(x_1,\ldots,x_n,x)=d(F,x)^2G(x_1,\ldots,x_n)$.
3. En déduire $\inf_{a,b\in\R}\int_0^1(x^2+ax+b)^2dx$.

On note $E=\R^\N$, l'espace vectoriel des suites réelles, et on définit $D:E\to E$ par $D((u_n)_{n\in\N})=(u_{n+1}-u_n)_{n\in\N}$.

1. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$. Étudier son injectivité et sa surjectivité.
2. Déterminer ses valeurs propres et ses vecteurs propres.
3. On pose $F=\{(u_n)\in E:\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^2<+\infty\}$ et, pour $u,v\in F$, $\varphi(u,v)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nv_n$. Montrer que $F$ est stable par $D$ et que $\varphi$ est un produit scalaire sur $F$.
4. Montrer que $$\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2}:u\in F\setminus\{0\}\right\}=]-2,0[.$$

Un tournoi réunit les joueurs $A_1,\ldots,A_m$. Les parties $P_1,\ldots,P_N$ opposent chacune deux joueurs. On définit $A=(a_{i,k})\in M_{m,N}(\R)$ par $a_{i,k}=1$ si $A_i$ gagne $P_k$, $a_{i,k}=-1$ s'il perd et $a_{i,k}=0$ s'il n'y participe pas. On pose $M=AA^T$.

1. Calculer et interpréter les coefficients de $M$.
2. Justifier que $M$ est diagonalisable et préciser le signe de ses valeurs propres.
3. Si $m=N$, relier $\det(M)$ et $\det(A)$, puis en déduire $\det(M)\geq0$.
4. Dans le cas général, soit $A'$ une sous-matrice carrée extraite de $A$ en conservant certaines lignes et colonnes. Montrer que $\det(A')\in\{-1,0,1\}$.

Pour $n\geq3$, on considère $A_n=(a_{i,j})\in M_n(\R)$ définie par $a_{i,j}=\max(i,j)$.

1. Montrer que $A_n$ est inversible.
2. Montrer que tous ses sous-espaces propres sont des droites vectorielles.

Soient $n\geq2$ et $A\in M_n(\R)$. On définit $f_A:M\in\mathcal A_n(\R)\mapsto A^TM-M^TA$.

1. Montrer que $f_A$ est un endomorphisme de $\mathcal A_n(\R)$.
2. Déterminer sa trace.
3. On suppose désormais $A\in\mathcal S_n(\R)$. Montrer que $f_A$ est diagonalisable.
4. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f_A$ soit bijectif.

Soit $n\geq1$ et $A\in M_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in O_n(\R)$ tel que les coefficients diagonaux de $PAP^T$ soient tous égaux.

Soient $p,q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$.

1. Montrer que $u=p-q$ est diagonalisable et que son spectre est inclus dans $[-1,1]$.
2. Déterminer $\Ker(u+\operatorname{id})$ et $\Ker(u-\operatorname{id})$.

Soient $p,q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien et posons $u=p+q$.

1. Montrer que le polynôme caractéristique $\chi_u$ est scindé sur $\R$.
2. Montrer que toutes les valeurs propres de $u$ appartiennent à $[0,2]$.

Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension $n\geq1$. On considère un endomorphisme antisymétrique $u$, c'est-à-dire $\langle u(x),x\rangle=0$ pour tout $x\in E$.

1. Montrer que $u^2$ est diagonalisable. Quel est le signe de ses valeurs propres ?
2. Montrer que le spectre de $u$ est vide ou égal à $\{0\}$. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que $u$ soit diagonalisable.
3. Montrer que $\operatorname{Im}(u)=(\Ker u)^\perp$.
4. Montrer que le rang de $u$ est pair.

Soit $$A=\begin{pmatrix}0&-1&-1\\-1&0&-1\\-1&-1&0\end{pmatrix}.$$ Déterminer toutes les matrices $M\in M_3(\R)$ telles que $M^TAM=A$.

Soit $M\in M_n(\R)$ telle que $M^2-M+M^T=I_n$. Montrer que $M\in\mathcal S_n(\R)$.

Soit $M\in M_n(\C)$ vérifiant $M^2+M^T=I_n$.

1. Montrer que $M$ est diagonalisable.
2. La matrice $M$ est-elle nécessairement symétrique ?

Soit $M\in M_2(\R)$ telle que $M^2+4I_2=0$ et $MM^T=M^TM$.

1. Montrer que $\frac12M\in O_2(\R)$.
2. En déduire toutes les matrices $M$ vérifiant ces hypothèses.

Soit $E=\{M\in M_n(\R):\det(M)\in[0,1]\}$.

1. $E$ est-il un sous-espace vectoriel ? Est-il stable par produit ?
2. $E$ est-il ouvert, fermé, borné ou convexe ? Déterminer son adhérence.
3. Déterminer les matrices $S\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telles que $\frac12(S+S^{-1})\in E$.

Soit $S\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.

1. Montrer que $(X,Y)\mapsto Y^TSX$ est un produit scalaire sur $M_{n,1}(\R)$.
2. En déduire qu'il existe une matrice triangulaire supérieure $T$ telle que $S=T^TT$. Montrer que $T$ est unique si l'on impose que les coefficients diagonaux de $T$ soient positifs.

Soit $A\in\mathcal S_n(\R)$.

1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $B\in\mathcal S_n(\R)$ telle que $A=B^2$. Dans ce cas, déterminer le nombre de matrices $B$ possibles.
2. Soient $A,C\in\mathcal S_n(\R)$ de spectres inclus dans $\R_+$. Montrer que $\operatorname{Tr}(AC)\geq0$.

1. Soit $A\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe $B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telle que $B^2=A$.
2. Soient $M,N\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ et une matrice diagonale $D$ à coefficients strictement positifs telles que $M=P^TDP$ et $N=P^TP$.
3. Soient $M,N\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer que $\det(M+N)\geq\det(M)+\det(N)$.

Montrer que $M\in M_n(\R)$ est diagonalisable si et seulement s'il existe $S\in\mathcal S_n(\R)$ et $H\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ tels que $M=SH$.

1. Soit $A\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer qu'il existe une unique $C\in\mathcal S_n^+(\R)$ telle que $A=C^2$.
2. Soit $A\in GL_n(\R)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(O,S)\in O_n(\R)\times\mathcal S_n^{++}(\R)$ tel que $A=OS$.

Analyse

Montrer que $N:\R^2\to\R$, définie par $N(x,y)=\max(|x|,|y|,|x-y|)$, est une norme, puis représenter sa sphère unité.

Soit $F=\R[X]$. Pour $P=\sum_{k=0}^{+\infty}a_kX^k$, on pose $\|P\|_\infty=\sup_{k\in\N}|a_k|$. On note $D(P)=P'$.

1. Montrer que $D$ n'est pas continue pour cette norme.

2. Soit $(c_k)_{k\geq0}\in(\R_+^*)^\N$ et $N(P)=\sum_{k=0}^{+\infty}c_k|a_k|$.

   1. Montrer que $N$ est une norme sur $F$.
   2. Donner une suite $(c_k)$ telle que $D$ soit continue pour $N$.
3. Montrer que, quelle que soit la norme sur $E=C^\infty(\R,\R)$, l'application de dérivation n'est pas continue.

On munit $E=C^0([0,1],\R)$ de la norme uniforme. Une forme linéaire $\varphi$ sur $E$ est dite positive si $f\geq0$ entraîne $\varphi(f)\geq0$.

1. Donner deux exemples de formes linéaires positives.
2. Montrer que toute forme linéaire positive est continue.
3. La réciproque est-elle vraie ?

On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique et soit $N$ une norme. On pose $$N^*(x)=\sup_{y\neq0}\frac{\langle x,y\rangle}{N(y)}.$$

1. Montrer que $N$ est continue.
2. Montrer que $N^*(x)=\sup\{\langle x,z\rangle:N(z)=1\}\in\R_+$.
3. Montrer que $N^*$ est une norme.
4. Montrer que $\langle x,y\rangle\leq N(x)N^*(y)$ pour tous $x,y$.

1. Montrer que $O_n(\R)$ est fermé et borné.
2. Montrer que les applications $A\mapsto\operatorname{Tr}(A)$ et $A\mapsto\sum_{i,j=1}^na_{i,j}$ atteignent un maximum et un minimum sur $O_n(\R)$, puis les calculer.

On munit $E=M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique et, pour $p\geq1$, on pose $L_p(A)=\sum_{k=1}^p\frac{A^k}{k}$.

1. Montrer que $\|AB\|\leq\|A\|\|B\|$ pour tous $A,B\in E$.
2. En déduire que si $\|A\|<1$, la suite $(L_p(A))_{p\geq1}$ converge.

1. Soient $\varphi,\psi$ continues entre deux espaces vectoriels normés et égales sur une partie dense. Montrer qu'elles sont égales.
2. Montrer que $GL_n(\R)$ est dense dans $M_n(\R)$.
3. Soient $A,B\in M_n(\R)$. Montrer que $\chi_{AB}=\chi_{BA}$. Indication : commencer par le cas $A\in GL_n(\R)$.
4. Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ sont semblables pour tout $A\in M_n(\R)$.

1. Montrer qu'un espace vectoriel normé ne possède pas de partie à la fois ouverte et fermée, non vide et distincte de l'espace. On pourra relier deux points par un segment et considérer les paramètres dont l'image appartient à la partie.
2. Soit $g:E\to\Z$ continue et non constante. Choisir $x_0,x_1$ tels que $g(x_0)=k$ et $g(x_1)\neq k$, puis poser $A=\{x:g(x)=k\}$. Montrer que $A$ est non vide, distinct de $E$, fermé et ouvert, et conclure que $g$ est constante.

Soit $A=(a_0,\ldots,a_n)\in\R^{n+1}$ avec $a_0<a_1<\cdots<a_n$. Pour $P\in\R_n[X]$, poser $\|P\|_A=\max_{0\leq k\leq n}|P(a_k)|$.

1. Pour $A=(0,1)$, calculer $\|X\|_A$.
2. Montrer que $\|\cdot\|_A$ est une norme sur $\R_n[X]$.
3. Pour $P\in\R_{n-1}[X]$, montrer qu'il existe un unique $(b_0,\ldots,b_n)\in\R^{n+1}$ tel que $$X^n+P(X)=\sum_{j=0}^nb_j\prod_{\substack{0\leq k\leq n\\k\neq j}}(X-a_k).$$
4. Calculer $\sum_{k=0}^nb_k$.

Soit $\alpha>0$ et $E_\alpha$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0([0,1],\R)$ pour lesquelles il existe $M\in\R$ tel que $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|^\alpha$ pour tous $x,y\in[0,1]$. On pose $$\|f\|_\alpha=\sup_{x\neq y}\frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^\alpha}.$$

1. Montrer que $E_\alpha$ est un espace vectoriel.
2. L'application $f\mapsto\|f\|_\alpha$ est-elle une norme ?
3. Soient $0<\beta<\alpha\leq1$. Montrer que $E_\alpha\subset E_\beta$ et donner une inégalité entre les deux quantités. L'inclusion est-elle stricte ?

1. Soit $f(x)=(1+x)^{1/x}$. Montrer que $f$ se prolonge en une fonction de classe $C^1$ sur $]-1,+\infty[$ et la représenter graphiquement.
2. Montrer que $u_n=(1+1/n)^n$ et $v_n=(1-1/n)^{-n}$ sont adjacentes.
3. Montrer que $(1+1/n)^n\leq e\leq(1+1/n)^{n+1}$ et commenter cet encadrement.

Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite strictement positive. Montrer que les séries $$\sum u_n,\qquad \sum\ln(1+u_n),\qquad \sum\frac{u_n}{1+u_n},\qquad \sum\int_0^{u_n}\frac{dx}{1+x^2}$$ sont de même nature.

Pour $x\geq0$, on pose $f_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$.

1. Montrer que, pour tout $n\geq1$, il existe un unique $x_n\geq0$ tel que $f_n(x_n)=2$.
2. Montrer que $(x_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$.
3. Étudier la convergence de $\sum(x_n-\ell)$.

Pour $n\in\N$, on pose $a_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{k+1}\sqrt{k}$.

1. La suite $(a_n)$ converge-t-elle ?
2. Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que $a_n+(-1)^n\sqrt{n}/2\to\ell$, puis montrer que $\ell>0$.
3. Étudier la nature de $\sum 1/a_n$.

Pour $n\geq2$, on pose $v_n=\frac{\cos n}{n}$ et $u_n=\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$.

1. Pour deux suites réelles $(a_n),(b_n)$, poser $A_n=\sum_{k=2}^na_k$. Montrer que $$\sum_{m=2}^Na_mb_m=\sum_{m=2}^{N-1}A_m(b_m-b_{m+1})+A_Nb_N,$$ puis en déduire la nature de $\sum v_n$.
2. Déterminer la nature de $\sum u_n$.

Soit $(u_n)_{n\geq0}$ strictement positive et supposons qu'il existe $\lambda\in\R$ tel que $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\lambda}{n}+v_n,$$ où $(v_n)$ est le terme général d'une série convergente.

1. Montrer que la série de terme général $\frac{\lambda}{n}+\ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ est absolument convergente.
2. En déduire que $(u_nn^\lambda)$ converge dans $\R_+^*$.
3. En déduire la nature de la série de terme général $v_n=\frac{n^n}{n!e^n}$.

Calculer la limite et un équivalent de $$u_n=\prod_{k=2}^n\left(1+\frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}\right).$$

Soit $(u_n)\in\R^\N$ définie par $u_0\in]0,1[$ et $u_{n+1}=u_n-u_n^2$.

1. Déterminer la nature des séries $\sum u_n^2$ et $\sum u_n$.
2. Poser $A_n=\frac1{u_{n+1}}-\frac1{u_n}$ et $B_n=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}A_k$. Trouver un équivalent de $u_n$.
3. Trouver un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^nu_k$.

1. Soient $(u_n),(v_n)$ strictement positives telles que $u_n\sim v_n$ et $\sum v_n$ diverge. Montrer que $\sum_{k=0}^nu_k\sim\sum_{k=0}^nv_k$.

2. Pour $n\geq1$, poser $S_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k}}$.

   1. Montrer que $S_n\sim\frac{(-1)^{n+1}}{2\sqrt n}$.
   2. Montrer que $S_n+S_{n+1}$ tend vers une limite réelle positive.

Soit $(z_n)_{n\in\N}$ une suite complexe telle que $|z_n-z_m|>\sqrt2$ si $n\neq m$.

1. Pour $A>0$, poser $C_A=\{n:|\operatorname{Re}(z_n)|≤ A,

   \operatorname{Im}(z_n)

   ≤ A\}$. Montrer que $C_A$ est fini.

2. Montrer que $|z_n|\to+\infty$.
3. Si les $z_n$ sont non nuls, montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty}|z_n|^{-3}$ converge.

On définit $f:\R\to\R$ par $f(0)=0$ et, pour $x\neq0$, $f(x)=\frac{e^{x^2}-1}{x}$.

1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\R$.
2. Montrer que $f$ réalise une bijection de $\R$ sur $\R$.
3. Déterminer le développement limité à l'ordre 5 en 0 de $f^{-1}$.

Soit $E=C^0([0,1],\R)$. Pour $f\in E$, on pose $$\varphi(f)(x)=\int_0^xf(t)dt-\int_x^1f(t)dt.$$

1. $\varphi$ est-elle un endomorphisme ?
2. Est-elle injective ou surjective ? Déterminer $\operatorname{Im}(\varphi)$.
3. Déterminer ses valeurs propres.
4. Montrer que $\|\varphi(f)\|_\infty\leq\|f\|_2$.

Soit $f\in C^2(\R,\R)$ telle que $f$ et $f''$ soient bornées sur $\R$. Montrer que $f'$ est bornée et que $\|f'\|_\infty\leq2\|f\|_\infty\|f''\|_\infty$.

Soit $f:[a,b]\to\R_+^*$ continue.

1. Montrer qu'il existe une unique subdivision $(x_0,\ldots,x_n)$ de $[a,b]$ telle que, pour $1\leq k\leq n$, $$\int_{x_{k-1}}^{x_k}f(t)dt=\frac1n\int_a^bf(t)dt.$$
2. Déterminer la limite quand $n\to+\infty$ de $\frac1n\sum_{k=0}^nf(x_k)$.

Soient $f,g\in C^\infty(\R,\R)$, avec $g$ 1-périodique.

1. Écrire $\int_0^1f(x)g(nx)dx$ comme une somme d'intégrales, puis en déterminer la limite quand $n\to+\infty$.
2. Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ telle que $\int_0^1f(t)dt=1/2$. Montrer qu'il existe $x\in[0,1]$ tel que $f(x)=x$.

On pose $E=\{f\in C^1(\R_+,\R):f(0)=0\}$. Pour $f\in E$, définir $\Lambda(f)(x)=\int_0^x\frac{f(t)}t\,dt$.

1. Montrer que $\Lambda(f)$ est bien définie.
2. Montrer que $\Lambda$ est un endomorphisme de $E$.
3. Déterminer ses éléments propres.

Soient $(x,y)\in\R^2$, $z=x+iy\in\C\setminus\R$ et $n\in\N$. Déterminer la nature de $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dt}{(t-z)^n}.$$

Soit $f\in C^0(\R_+,\R_+^*)$ telle que $\frac{f(x+1)}{f(x)}\to\ell\in]0,1[$ quand $x\to+\infty$.

1. Montrer qu'il existe $q\in]0,1[$ et $x_0\geq0$ tels que, pour tout $x\geq x_0$ et $k\in\N$, $f(x+k)\leq q^kf(x)$.
2. En déduire la nature de $\int_0^{+\infty}f(x)dx$.

Soit $f\in C^0(\R_+,\R)$ et $s_0\in\R$. On suppose que $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-s_0t}dt$ converge. Montrer que, pour tout $s>s_0$, $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$ converge. Indication : effectuer une intégration par parties.

Soit $f:[0,1]\to\R$ définie par $$f(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\left(\frac1{n-x}-\frac1{n+x}\right).$$

1. Montrer que $f$ est définie sur $[0,1]$.
2. Montrer que $f$ est continue et intégrable sur $[0,1]$.
3. Calculer $\int_0^1f(x)dx$.
4. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. Est-elle de classe $C^k$ ?

Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\ln\left(\frac{n+1+x}{n+x}\right)$.

1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\R_+^*$.
2. Déterminer sa limite en $+\infty$.
3. Déterminer un équivalent de $f$ en $+\infty$.

Soit $S(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\left(\frac1k-\frac1{k+x}\right)$.

1. Montrer que $S$ est définie, continue et croissante sur $\R_+$.
2. Calculer $S(0),S(1)$ et $S(1/2)$.
3. Montrer que $u_n=-\ln(n+1)+\sum_{k=1}^n\frac1k$ converge ; noter $\gamma$ sa limite.
4. Montrer que $\int_0^1S(x)dx=\gamma$.

Soit $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^x}$. Déterminer son domaine de définition et montrer sa continuité et sa classe $C^\infty$. Déterminer sa limite en $+\infty$ et un équivalent en $1^+$.

Soit $F(x)=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac1{\ln(n)n^x}$.

1. Déterminer le domaine de définition de $F$.
2. Montrer que $F$ est de classe $C^\infty$ sur ce domaine.
3. Étudier le comportement de $F$ au bord de son domaine de définition.

On considère la suite définie par $u_0=1$, $u_1=0$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+\frac{u_n}{n+2}$ pour $n\in\N$.

1. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$.
2. Montrer que sa somme vérifie $(1-x)y'+(1+x)y=-1$.
3. En déduire une expression de cette somme.

Pour $n\in\N$, on pose $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.

1. Déterminer le rayon de convergence de $f$.
2. Étudier la convergence aux extrémités de l'intervalle de convergence.
3. Montrer que $f$ est continue en $-1$.
4. Déterminer explicitement $f$ sur $[-1,1[$.

1. Montrer que l'équation différentielle $f'(x)=xf(x)^2$ admet une solution $S$ développable en série entière et vérifiant $S(0)=1$.
2. Donner une expression analytique de $S$.

Soit $P\in\C[X]$.

1. Déterminer le rayon de convergence de la série entière $f(z)=\sum_{n\geq0}P(n)z^n$.
2. Montrer que $f$ coïncide avec une fraction rationnelle sur son disque ouvert de convergence.

On pose $f(x)=e^{-2x^2}\int_0^xe^{2t^2}dt$.

1. Montrer que $f$ est développable en série entière en 0.
2. Déterminer ce développement.

Soit $\alpha\in\R\setminus\pi\Z$ et $$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+2x\cotan(\alpha)-1}.$$ Poser $$g(x)=\frac{(\cos\alpha+1)/\sin\alpha}{x+(\cos\alpha+1)/\sin\alpha} +\frac{(\cos\alpha-1)/\sin\alpha}{x+(\cos\alpha-1)/\sin\alpha}.$$

1. Montrer que $f(x)$ peut s'exprimer à l'aide de $g(x)$.
2. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0 et donner le domaine de validité de ce développement.

Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ln(n)x^n$.

1. Déterminer son intervalle de convergence et étudier sa continuité.
2. Poser $a_1=1$ et, pour $n\geq2$, $a_n=-\ln(1-1/n)-1/n$. Déterminer le domaine de définition de $g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}a_nx^n$.
3. Trouver une relation entre $f$ et $g$.
4. Calculer $g(1)$ et $g(-1)$, puis trouver un équivalent de $f$ en $1^-$.

Soit $(u_n)_{n\geq0}$ une suite $p$-périodique non nulle et $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$.

1. Déterminer le rayon de convergence de $S$.
2. Donner un équivalent de $S(x)$ quand $x\to1^-$.
3. Même question si $(u_n)$ est ultimement périodique.

Pour $n\in\N$, poser $u_n=\int_0^1\frac{t^n\ln t}{1+t}dt$.

1. Montrer que $u_n$ est bien défini, étudier les variations de $(u_n)$ et déterminer sa limite.
2. Calculer $u_{n+1}+u_n$, puis donner un équivalent de $u_n$.
3. Poser $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$. Déterminer son rayon et son domaine de définition.
4. Pour $x\in[-1,1]$, poser $T(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}x^n/n^2$. Exprimer $T(x)$ puis $S(x)$ à l'aide d'intégrales.

Soit $a\in]0,1[$ et $f:\R\to\R$ dérivable telle que $f'(x)=f(ax)$.

1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ et exprimer $f^{(n)}$ en fonction de $f$.
2. Montrer que $f$ est égale en tout point à sa série de Taylor en 0.

Pour $n\in\N$, noter $T_n$ le coefficient de $X^n$ dans $(1+X+X^2)^n$.

1. Pour $R>0$, montrer que $$T_n=\frac1{2\pi R^n}\int_{-\pi}^{\pi} (1+Re^{i\theta}+R^2e^{2i\theta})^ne^{-in\theta}d\theta.$$
2. En déduire que $T_n\leq3^n$.
3. Établir la représentation intégrale gaussienne du coefficient obtenue par le changement d'échelle $t=\theta\sqrt{2n/3}$.
4. Montrer que l'intégrale transformée admet une limite et la calculer. En déduire un équivalent de $T_n$.

1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ converge et que $$I=\lim_{n\to+\infty}\int_0^{\sqrt n}\left(1-\frac{t^2}{n}\right)^ndt.$$
2. En déduire que $I=\lim_{n\to+\infty}\sqrt n\,I_{2n}/2$, où $I_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)dt$.
3. Montrer que $nI_nI_{n-1}=\pi/2$ et en déduire $I_n\sim\sqrt{\pi/(2n)}$.
4. Montrer que $I=\sqrt\pi/2$.

Soit $p\geq1$. Pour $n\in\N$, on pose $$S_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom nk\frac1{1+pk}.$$

1. Montrer que $S_n=\int_0^1(1-t^p)^ndt$, puis que $$S_n=\frac1p\int_0^1(1-u)^nu^{1/p-1}du.$$
2. Montrer que, pour $n\geq1$, $$S_n=\prod_{k=1}^n\frac1{1+1/(pk)}.$$
3. Déterminer un équivalent de $S_n$ quand $n\to+\infty$.

Soit $f(x)=\int_0^1|\ln(t)|^xdt$.

1. Déterminer son domaine de définition $D$.
2. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $D$.
3. Calculer $f^{(n)}$ pour tout $n\in\N$.

Soit $f(\alpha)=\int_0^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(x+1)}$.

1. Déterminer l'ensemble de définition $D$ de $f$.
2. Montrer que $f$ est continue sur $D$.
3. Déterminer un équivalent de $f(\alpha)$ quand $\alpha\to0^+$.

Soit $I(x)=\frac1\pi\int_0^{\sqrt\pi}e^{x\cos t}dt$. Montrer que $$I(x)\sim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{\sqrt{2\pi x}}.$$ Indication : poser $u=\sqrt{x}\,t$ et utiliser $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$.

Soit $\alpha\in]0,1[$ et $$f(\theta)=e^{i\alpha\theta}\int_0^{+\infty} \frac{u^{\alpha-1}}{1+ue^{i\theta}}du.$$

1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.
2. Poser $g(u)=\frac{u^\alpha}{1+ue^{i\theta}}$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $D$ et que $f'(\theta)=ie^{i\alpha\theta}\int_0^{+\infty}g'(u)du$. En déduire que $f$ est constante sur chaque intervalle de $D$.
3. Pour $\theta\in]-\pi,\pi[$, établir la relation trigonométrique donnée par l'intégrale et en déduire $$\sin(\alpha\theta)f(\theta)=\int_0^{+\infty} \frac{(u\sin\theta-\cos\theta)^\alpha}{1+u^2}du.$$

Soient $$F(x)=\int_0^1\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt,\qquad G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt.$$

1. Montrer que $F,G$ sont définies et de classe $C^1$ sur $\R$.
2. Montrer que $x\mapsto F(x)+G(x)$ est constante et déterminer sa valeur.
3. En déduire la convergence et la valeur de $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$.

1. Montrer que, pour tout $x>0$, $$\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(x/t)}{1+t^2}dt =\int_0^x\frac{\ln t}{t^2-1}dt.$$
2. En déduire la valeur de $\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$.

Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$.

1. Montrer que $|\arctan u|\leq|u|$ pour tout $u\in\R$.
2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.
3. Pour $x^2\neq1$, déterminer $A(x),B(x)$ tels que $$\frac1{(1+t^2)(1+x^2t^2)}=\frac{A(x)}{1+t^2} +\frac{B(x)}{1+x^2t^2}.$$
4. Montrer que $f'(x)=\frac{\pi}{2(1+x)}$ pour $x>0$, puis exprimer $f(x)$.

Soit $f(x)=\int_0^{2\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)dt$.

1. Déterminer le domaine de définition de $f$ et montrer que $f$ y est continue.
2. Exprimer $f(x)$ sans signe intégral.

Soit $E=C^0([0,1],\R)$ et $$k(x,t)=\begin{cases}t^2/x&0\leq t<x\leq1,\\ x^2/t&0\leq x<t\leq1,\\1&x=t.\end{cases}$$ Pour $f\in E$, poser $T(f)(x)=\int_0^1k(x,t)f(t)dt$.

1. Pour $x>0$, établir $$T(f)(x)=\frac1x\int_0^xt^2f(t)dt+x^2\int_x^1\frac{f(t)}t dt.$$ Montrer que $T(f)$ est continue sur $[0,1]$, calculer $T(f)(0)$ et montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$.
2. Montrer que $T(f)$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$, calculer $T(f)'(0)$, puis montrer qu'elle est de classe $C^2$ sur $]0,1]$.
3. Résoudre sur $]0,1]$ l'équation différentielle $y''-\frac2{x^2}y=-3f$. Indication : chercher les solutions homogènes sous la forme $x\mapsto x^n$, avec $n\in\Z$.

1. Soient $a,c>0$. Montrer que $$\int_0^1\frac{t^{a-1}}{1+t^c}dt= \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{a+nc}.$$
2. En déduire la valeur de cette somme pour $a=1,c=3$.

Donner une expression de l'intégrale $$I=\int_0^{+\infty}\frac{\ln^2(x)}{1+x^2}dx.$$

Pour $n\geq1$, on pose $f_n(x)=e^{-nx}-2e^{-2nx}$ pour $x>0$.

1. Montrer que $f_n$ est intégrable sur $\R_+^*$ et calculer son intégrale. En déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(x)dx$.
2. Poser $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$. Exprimer $S(x)$, montrer qu'elle est intégrable sur $\R_+^*$ et calculer son intégrale.

Soient $f\in C^0(\R,\C)$ et $\theta\in\C$. Donner l'unique solution de $z'+\theta z=f$ telle que $z(0)=0$.

Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-xt}\ln(t)dt$.

1. Montrer que $f$ est bien définie sur $\R_+^*$.
2. Montrer que $f$ est solution de $x^2y'+xy+1=0$.

Soit $f\in C^0([0,1],\R)$ telle que, pour $x\in]0,1[$, $$f(x)=\int_1^{1-x}\frac{f(t)}t dt.$$

1. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $]0,1[$.
2. Donner une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 vérifiée par $f$ sur $]0,1[$.
3. Résoudre cette équation en posant $g(x)=f(x)/x$.

Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n!}{1\cdot3\cdots(2n+1)}x^{2n+1}$.

1. Déterminer le rayon de convergence de $f$.
2. Montrer que $f$ vérifie $(x^2-2)y'+xy+2=0$. En déduire une expression de $f$ et déterminer son intervalle de définition.

On considère l'équation différentielle $2xy''+y'-y=0$.

1. Déterminer une solution développable en série entière, solution de l'équation et telle que $f(0)=1$.
2. Exprimer cette fonction à l'aide des fonctions usuelles.
3. Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation.

On considère $x^2y''(x)-2xy'(x)+2y(x)=2(1+x)$.

1. Trouver les solutions homogènes de la forme $x^\alpha$ sur $]0,+\infty[$ et donner une base de l'espace des solutions.
2. Trouver une solution particulière sous la forme $\alpha(x)x+\beta(x)x^2$ sur chacun des intervalles $]-\infty,0[$ et $]0,+\infty[$, avec $\alpha'(x)x+\beta'(x)x^2=0$.
3. Existe-t-il des solutions sur $\R$ ?

On considère $y''+(1-2/x^2)y=0$ sur $]0,+\infty[$.

1. Montrer que ses solutions sont de classe $C^2$.
2. Poser $f(x)=\sin(x)/x-\cos(x)$. Montrer que $f$ est solution, se prolonge en une fonction développable en série entière en 0, et possède une infinité de zéros sur $]0,+\infty[$.
3. Poser $g_\omega(x)=\cos(x)/x+\omega\sin(x)$. Déterminer les $\omega$ pour lesquels $g_\omega$ est solution et montrer qu'elle a une infinité de zéros.
4. Montrer que toute solution possède une infinité de zéros.

On considère $(t^2+1)y''-2y=0$.

1. Déterminer une solution polynomiale non nulle $\varphi$.
2. Résoudre l'équation en posant $y=\varphi z$.

Soit $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{1+y^{2n}}$.

1. Déterminer et représenter graphiquement le domaine de définition de $f$.
2. Étudier l'existence de ses dérivées partielles d'ordre 1.

Étudier les extrema de $g:(x,y)\in(\R_+^*)^2\mapsto x\ln(y)-y\ln(x)$.

Soient $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien, $f\in\mathcal S_{++}(E)$ et $v\in E$.

1. Montrer que $\langle f(x),x\rangle>0$ pour tout $x\neq0$.
2. Montrer que $g(x)=\frac12\langle f(x),x\rangle-\langle v,x\rangle$ est de classe $C^1$.
3. Montrer que $g$ possède un unique point critique $c$.
4. Montrer que $g$ atteint en $c$ un minimum global.

Probabilités

Soit $X\sim\mathcal P(\lambda)$ avec $\lambda>0$.

1. Déterminer $\P(X\in2\N)$ et $\P(X\in2\N+1)$, puis les comparer.
2. Poser $Y=(-1)^X$. Déterminer la loi et l'espérance de $Y$.

Une urne contient $n$ boules dont $p$ blanches et $n-p$ noires. On effectue des tirages successifs sans remise. Déterminer la loi et l'espérance du rang de la dernière boule blanche tirée.

Soit $N\geq2$. On tire sans remise les $N$ boules numérotées de 1 à $N$. On note $B_i$ le résultat du $i$-ième tirage. Pour $1\leq p\leq N$, soit $X_p$ le nombre de $p$-croissances, c'est-à-dire de $i$ tels que $B_i<B_{i+1}<\cdots<B_{i+p}$. Déterminer $\E(X_p)$ et calculer $V(X_1)$.

Soit $Z=X+Y$, où $X,Y$ sont les résultats de deux dés.

1. Pour des dés équilibrés, déterminer la loi de $Z$, son espérance et sa variance.
2. Peut-on truquer les dés pour que $Z$ suive la loi uniforme sur $\{2,\ldots,12\}$ ?

1. Soit $P\in\R[X]$ et $\alpha$ une racine complexe non réelle. Montrer que $\overline\alpha$ est aussi racine de $P$, avec la même multiplicité.
2. Soient $X,Y$ indépendantes et uniformes sur $\{1,\ldots,6\}$. Montrer que si $X',Y'$ sont indépendantes, à valeurs dans $\{1,\ldots,6\}$, et $X'+Y'$ a la même loi que $X+Y$, alors $X'$ et $Y'$ sont uniformes.

Soit $(a_n)_{n\geq1}$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq3$.

1. Montrer que $\sum_{n\geq2}a_n/2^n$ converge et calculer sa somme.
2. On lance une pièce équilibrée et $X$ est le rang d'apparition du premier motif face-face. Déterminer la loi de $X$.
3. Calculer $\E(X)$ et $V(X)$.
4. Donner un équivalent de $\P(X=n)$.

On joue à pile ou face, avec probabilité de pile $p\in]0,1[$. On s'arrête quand on a obtenu deux piles, pas nécessairement consécutifs. Soit $X$ le nombre de faces obtenues. Montrer que $X$ est d'espérance finie et la calculer.

Soit $(X_n)_{n\geq1}$ une suite i.i.d. de Bernoulli de paramètre $1/2$, représentant les lancers d'une pièce équilibrée. Pour $n\geq2$, $(Y=n)$ est l'événement où les deux premiers piles consécutifs apparaissent aux rangs $n,n+1$ ; $(Y=0)$ signifie qu'ils n'apparaissent jamais. Soit $C_n$ l'événement qu'il n'y ait pas deux piles consécutifs parmi $(X_1,\ldots,X_n)$, avec $\P(C_0)=1$.

1. Montrer que $\P(Y=n)=\frac18\P(C_{n-2})$.
2. Montrer que $\P(C_n)=\frac14\P(C_{n-2})+\frac12\P(C_{n-1})$.
3. En déduire $\P(Y=n)$ et $\P(Y=0)$, et interpréter.
4. Montrer que $Y$ admet une espérance finie et calculer $\E(Y)$ de deux manières.

Soit $n\geq2$. On tire indépendamment et uniformément dans un ensemble de $n$ jetons distincts jusqu'à les avoir tous obtenus. On note $T_n$ le nombre de tirages nécessaires et $X_{n,k}$ le nombre de tirages entre l'obtention du $(k-1)$-ième et du $k$-ième jeton distinct. Ainsi $T_n=\sum_{k=1}^nX_{n,k}$.

1. Déterminer $\E(T_n)$ et $V(T_n)$ en fonction de $H_n=\sum_{k=1}^n1/k$ et $S_n=\sum_{k=1}^n1/k^2$.
2. Donner des équivalents de ces quantités quand $n\to+\infty$.
3. Montrer que, pour $t\in[-1,1]$, $$G_n(t)=\frac{n!}{n^n}t^n\prod_{k=1}^{n-1}\frac1{1-(k/n)t}.$$
4. À l'aide de la décomposition en éléments simples de $G_n(t)/t$, établir sa décomposition en fractions simples.
5. En déduire une expression de $\P(T_n=m)$ pour $m\geq n$.

Soit $X$ une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. On définit $f_X(t)=t^X\sin(X/t)$.

1. Déterminer la probabilité que $f_X$ soit prolongeable en une fonction de classe $C^1$ sur $\R$.
2. Quelle est cette probabilité pour la classe $C^p$, avec $p\geq2$ ?

Soit $X\sim\mathcal G(p)$, avec $p\in]0,1[$, et $Y=\int_0^{2\pi}\sin^X(t)dt$. Montrer que $Y$ est une variable aléatoire qui admet une espérance, puis calculer celle-ci.

Un immeuble compte 7 étages et une personne recherchée s'y trouve avec probabilité $p\in]0,1[$. Si elle est présente, chaque étage est équiprobable. On a vainement cherché dans les six premiers étages. Quelle est la probabilité qu'elle soit au dernier étage ?

On considère $n$ équipes de division 1 et $n$ équipes de division 2, réparties en $n$ matchs, chaque appariement étant équiprobable. On note $p_n$ la probabilité que chaque match oppose des équipes de divisions différentes et $q_n$ celle que chaque match oppose des équipes de même division.

1. Déterminer $p_n$ et $q_n$.
2. Étudier les suites $(p_n)$ et $(q_n)$.

Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. de loi de Bernoulli de paramètre $p\in]0,1[$, $U=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=UU^T$.

1. Donner les lois de $\operatorname{rg}(M)$ et $\operatorname{Tr}(M)$.
2. Quelle est la probabilité que $M$ soit la matrice d'un projecteur ?

Soit $A=\begin{pmatrix}X&1\\0&Y\end{pmatrix}$, où $X,Y$ sont indépendantes de lois géométriques de paramètres respectifs $p,q$.

1. Quelle est la probabilité que $A$ soit diagonalisable ?
2. Quelle est la probabilité que $A$ soit inversible ?

Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$ et $M=\begin{pmatrix}X&Y\\Y&X\end{pmatrix}$.

1. Déterminer la probabilité que $M$ soit inversible.
2. Noter $U,V$ les plus grandes et plus petites valeurs propres de $M$. Calculer $\operatorname{Cov}(U,V)$ et étudier leur indépendance.
3. Poser $Z=\max(X,Y)$. Calculer $\E(Z)$.

Fixer $a\in]0,1[$ et $b>0$. Soit $(X,Y)$ à valeurs dans $\N^2$ tel que $$\P(X=i,Y=j)=\begin{cases}0&i<j,\\ e^{-b}\dfrac{b^ja^j(1-a)^{i-j}}{j!(i-j)!}&i\geq j.\end{cases}$$

1. Déterminer les lois de $X,Y$, leurs espérances et variances.
2. Ces variables sont-elles indépendantes ?
3. Déterminer la loi de $Z=X-Y$.

Soient $X,Y$ indépendantes avec $X\sim\mathcal G(p)$, $Y\sim\mathcal G(q)$, où $p,q\in]0,1[$. On pose $U=X/Y$.

1. Déterminer la loi de $U$.
2. Calculer $\E(U)$.
3. Pour $p=q$, montrer que $\E(U)>1$.

Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$ et $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Fixer $r>0$.

1. Montrer que $\operatorname{ch}(t)\leq e^{t^2/2}$ pour $t>0$.
2. Montrer que, pour $t>0$, $$\P(S_n/n\geq r)\leq\E(e^{t(S_n/n-r)}).$$
3. En déduire que $\P(S_n/n\geq r)\leq e^{-nr^2/2}$.

Soit $\alpha>0$.

1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ de fonction génératrice $G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$.
2. Si $\alpha\in\N^*$, donner un équivalent de $\P(X=n)$.
3. Pour $\lambda>0$, montrer que $\P(X\geq\lambda+\alpha)\leq2\alpha/\lambda^2$.

Soient $(\lambda_n)_{n\geq0}$ des réels positifs et $(X_n)_{n\geq0}$ des variables indépendantes avec $X_n\sim\mathcal P(\lambda_n)$. Déterminer la loi de $S=\sum_{n=0}^{+\infty}X_n$.

On considère une marche aléatoire sur $\Z^2$ issue de l'origine, avec déplacements indépendants et équiprobables vers l'est, l'ouest, le nord ou le sud. On note $A_n=(X_n,Y_n)$ sa position après $n$ pas.

1. Déterminer $\E(X_n),V(X_n)$ puis $\E(Y_n),V(Y_n)$.
2. Poser $Z_n=\|A_n\|_2=\sqrt{X_n^2+Y_n^2}$. Montrer que $\E(Z_n)\leq\sqrt n$.
3. Montrer que $\sum_{i=0}^n\binom ni^2=\binom{2n}n$, puis déterminer $\P(Z_n=0)$.

Soit $p\in]0,1[$ et $X_n\sim\mathcal B(n,p)$.

1. Rappeler la formule de Stirling.
2. Montrer que, pour tout $t\in\R$, $$\E\left(\exp\left(t\frac{X_n-\E(X_n)}{\sqrt{V(X_n)}}\right)\right) \longrightarrow e^{t^2/2}.$$

Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=e^{-x}\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$, $x\geq0$.

1. Montrer que $f_n(x)=1/2$ admet une unique solution $a_n\geq0$ et que $(a_n)$ est croissante.
2. Soit $(X_i)$ i.i.d. de loi de Poisson de paramètre $\lambda$ et $S_n=\sum_{k=0}^nX_k$. Donner la loi, l'espérance et la variance de $S_n$. Par Bienaymé-Tchebychev, montrer que $\P(S_n\geq n)\to0$ si $\lambda<1$ et tend vers 1 si $\lambda>1$.
3. Utiliser $\P(S_n\geq n)=f_n(n\lambda)$ pour montrer que $a_n\sim n$.

Mines-Ponts PC 2026

Algèbre

On pose $a=(5\sqrt2+7)^{1/3}$ et $b=(5\sqrt2-7)^{1/3}$. Calculer $a^3-b^3$, $ab$ et $a-b$.

Soit $z=\frac12(1+i\sqrt7)$. Montrer que, pour tout $n\geq1$, $2\operatorname{Re}(z^n)$ est un entier impair.

Calculer $$\sum_{0\leq3k\leq n}\binom n{3k}\quad\text{et}\quad \sum_{0\leq3k\leq n}(-1)^k\binom n{3k}.$$

Soit $(a_0,\ldots,a_n)\in K^{n+1}$. Montrer que tout $Q\in K_n[X]$ peut s'écrire sous la forme $\sum_{k=0}^na_kP^{(k)}$ si et seulement si $a_0\neq0$.

Soit $n\in\N$.

1. Montrer que $x\mapsto\frac{(x+1)^n-1}{x}$ est polynomiale ; noter $P$ le polynôme associé.
2. Pour $n\geq2$, montrer que les affixes des racines de $P$ sont sur un cercle à déterminer.
3. Calculer $\prod_{k=1}^{n-1}\sin\left(\frac{k\pi}{n}\right)$.

Pour $P\in\R[X]$ non constant, soit $\Omega_P$ l'ensemble des $r\in\R$ tels que $P+r$ soit scindé à racines simples sur $\R$.

1. Donner un exemple tel que $\Omega_P=\varnothing$.
2. Montrer que $\Omega_P$ est un intervalle ouvert.

Déterminer les polynômes $P\in\R[X]$ tels que $P(X)P(X-1)=P(X^2)$.

Soient $n\geq2$ et $P=X^n-3X+7$, de racines complexes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ comptées avec multiplicité.

1. Déterminer le nombre de racines réelles distinctes de $P$.
2. Déterminer le nombre de racines complexes distinctes de $P$.
3. Expliciter $Q=\prod_{i=1}^n\left(X-\frac{\lambda_i}{1+\lambda_i}\right)$.
4. Expliciter $R=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^2)$.

Soient $n\geq1$, $P\in\R_n[X]$ tel que $P(0)=1$, $P(1)=0$, $U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité et $U$ le cercle unité.

1. Calculer $\sum_{\omega\in U_n}|P(\omega)|^2$ en fonction des coefficients de $P$.
2. En déduire que $\sup_{z\in U}|P(z)|\geq\sqrt{1+1/n}$.

1. Pour $\theta\not\equiv0\ [\pi]$ et $n\in\N$, montrer qu'il existe $P\in\R_n[X]$ tel que $$\sin((2n+1)\theta)=\sin^{2n+1}(\theta) P\left(\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}\right),$$ où $P(X)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{2n+1}{2k+1}X^{n-k}$.
2. En déduire $$\sum_{k=1}^n\frac1{\cos^2(k\pi/(2n+1))\sin^2(k\pi/(2n+1))} =\frac{n(2n-1)}3,$$ puis $\sum_{k=1}^{+\infty}k^{-2}=\pi^2/6$.

On pose $E=\{Q^2+XR^2:(Q,R)\in\R[X]^2\}$.

1. Montrer que $E$ est stable par produit.
2. Comparer par inclusion $E$ et $G=\{P\in\R[X]:\forall x\in\R_+,\ P(x)\geq0\}$.

Soient $a_0,\ldots,a_{n-1}\in\C$ et $P(X)=X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k=\prod_{j=1}^n(X-\lambda_j)$. Poser $\rho=\max_j|\lambda_j|$.

1. Déterminer le nombre de racines réelles strictement positives de $X^n-\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|X^k$.
2. Si $r\geq0$ et $r^n\geq\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|r^k$, montrer que $\rho\leq r$.
3. Montrer que $\rho\leq\max(1,\sum_{k=0}^{n-1}|a_k|)$.
4. En utilisant $Q(X)=(X-1)P(X)$, montrer que $\rho\leq|a_0|+\sum_{k=0}^{n-1}|a_{k+1}-a_k|$, où $a_n=1$.

1. Montrer qu'il existe une unique famille $(L_k)_{0\leq k\leq n}$ de polynômes de $\R_n[X]$ telle que $L_i(j)=\delta_{i,j}$.
2. Préciser le coefficient dominant de $L_k$.
3. Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que $\max_{0\leq k\leq n}|P(k)|\geq n!/2^n$.

Soit $\Delta:P\mapsto P(X+1)-P(X)$.

1. Montrer que, pour $P\in\R[X]$ et $n\in\N$, $$\Delta^n(P)=\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}P(X+k).$$
2. En déduire que, pour $P\in\R_{n-1}[X]$, $\sum_{k=0}^n\binom nk(-1)^{n-k}P(k)=0$.
3. Déterminer $\inf_{P\in\R_{n-1}[X]}\sum_{k=0}^n(k^n-P(k))^2$.

Soit $P\in\R[X]$ non constant sans racine réelle, de racines complexes $z_1,\ldots,z_n$ comptées avec multiplicité.

1. Pour $z\notin\{z_1,\ldots,z_n\}$, montrer que $$\left|\frac{P'(z)}{P(z)}\right|^2\leq n\sum_{k=1}^n\frac1{|z-z_k|^2}.$$
2. Montrer qu'il existe une constante $\alpha$ telle que, pour $n\geq2$ et tout tel $P\in\R_n[X]$, $$\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{P'(x)^2}{P(x)^2+P'(x)^2}dx \leq\alpha n^{3/2}.$$

Soit $n\geq1$. Déterminer le plus petit sous-espace de $\mathcal L(\R^n)$ contenant toutes les symétries vectorielles.

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel, $(v_1,\ldots,v_n)\in E^n$ et $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in K^n$. Poser $w=\sum_{k=1}^n\lambda_kv_k$. Montrer que $$\operatorname{rg}(v_1+w,\ldots,v_n+w)=n$$ si et seulement si $\operatorname{rg}(v_1,\ldots,v_n)=n$ et $\lambda_1+\cdots+\lambda_n\neq-1$.

Soit $D=\operatorname{Diag}(-1,4)$. Trouver les matrices $M\in M_2(\R)$ telles que $M^3-2M=D$.

Soit $$A=\begin{pmatrix}-1&2&0&8\\-1&2&4&-4\\0&0&2&-6\end{pmatrix}.$$

1. Donner une base de $\operatorname{Im}(A)$.
2. Donner une base de $\Ker(A)$.
3. Trouver $P\in GL_3(\R)$ et $Q\in GL_4(\R)$ tels que $PAQ=J_2=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}$.
4. Pour $n\geq2$, montrer que $\{M\in M_{n,3}(\R):MA=0\}$ est un sous-espace vectoriel de dimension à déterminer.

Soient $A\in GL_n(\R)$ et $X\in\R^n$. Montrer que $$X^TA^{-1}X=\frac{\det(A+XX^T)}{\det A}-1.$$

1. Soit $a\in\R$. Montrer que $A=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}$ est semblable à son inverse.
2. Soit $M=\begin{pmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{pmatrix}$, avec $a,b,c\in\R$. Expliciter $M^{-1}$ et montrer que $M-I_3$ et $M^{-1}-I_3$ sont semblables.

1. Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $F$ un sous-espace de dimension $r<n$. Montrer qu'il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ telle que $e_k\notin F$ pour tout $k$.
2. Quelles sont les matrices $A\in M_d(K)$ telles que toute matrice semblable à $A$ possède au moins une colonne nulle ?

Soit $A\in M_n(\C)$ telle que $A^2=A$ et $r=\operatorname{rg}(A)$. Poser $E=\{M\in M_n(\C):AM+MA=0\}$.

1. Déterminer le nombre de sous-espaces vectoriels de $\C^n$ stables par $A$.
2. Déterminer $\dim E$.

Soit $B\in M_n(\C)$ dont les coefficients diagonaux sont nuls. Pour $z\in\C^*$, poser $A(z)=(z+z^{-1})I_n+B$.

1. Montrer qu'il existe $R>0$ tel que $A(z)$ soit inversible si $0<|z|<R$.
2. Trouver $N\geq1$ tel que $z\mapsto z^N\det(A(z))$ admette une limite finie non nulle en 0 et préciser cette limite.

Soit $A\in M_n(K)$ de rang $r$. Poser $E_A=\{M\in M_n(K):AMA=0\}$. Calculer $\dim E_A$.

Soient $A,B\in M_n(\R)$ et $M=\begin{pmatrix}A&-B\\B&A\end{pmatrix}$. Montrer que $\det(M)\geq0$.

Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^n=0$ et $A^{n-1}\neq0$.

1. Montrer qu'il existe $x_0\in\R^n$ tel que $(x_0,Ax_0,\ldots,A^{n-1}x_0)$ soit une base de $\R^n$.
2. Poser $C(A)=\{M\in M_n(\R):AM=MA\}$. Montrer que $C(A)$ est un espace vectoriel et que $(I_n,A,\ldots,A^{n-1})$ en est une base.

Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $\operatorname{rg}(AB-BA)=1$. Montrer que $\operatorname{Im}(B)$ ou $\Ker(B)$ est stable par $A$.

Soit $S_n$ l'ensemble des permutations de $\{1,\ldots,n\}$.

1. Pour $\sigma\in S_n$, montrer que $\varphi_\sigma:s\mapsto s\circ\sigma$ est une permutation de $S_n$.
2. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$ et $f_\sigma\in\mathcal L(E)$ définie par $f_\sigma(e_i)=e_{\sigma(i)}$. Montrer que $p_n=\frac1{n!}\sum_{\sigma\in S_n}f_\sigma$ est un projecteur et déterminer son noyau et son image.

Soient $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n\geq1$ et $(e_1,\ldots,e_n)$ une base.

1. Caractériser les hyperplans de $E$ par une équation linéaire en les coordonnées dans cette base.

2. Soient $(f_1,\ldots,f_n)$ une famille libre de $\mathcal L(E,K)$ et $\Phi:x\mapsto(f_1(x),\ldots,f_n(x))$.

   1. Montrer que $\Phi$ est un isomorphisme.
   2. En déduire qu'il existe une base $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n)$ telle que $f_i(\varepsilon_j)=\delta_{i,j}$.
3. Soient $f\in\mathcal L(E,K)$ et $(f_1,\ldots,f_p)$ libre. Montrer l'équivalence entre $f\in\Vect(f_1,\ldots,f_p)$ et $\bigcap_{i=1}^p\Ker(f_i)\subset\Ker(f)$.
4. Que dire si $(f_1,\ldots,f_p)$ est liée ?

Soient $A,B\in M_n(K)$ tels que $ABAB=0$. A-t-on nécessairement $BABA=0$ ?

1. Définir $u_0\in\R^*$ et $u_{n+1}=\frac12(u_n+1/u_n)$. Étudier la suite.

2. Dans $M_p(\R)$, soit $N$ nilpotente.

   1. Montrer que $A=I_p+N$ est inversible.
   2. Justifier l'existence de $(B_n)$ définie par $B_0=A$ et $B_{n+1}=\frac12(B_n+B_n^{-1})$. Étudier cette suite.

Soit $P\in\C_n[X]$. Déterminer le rang de $M=(P(i+j))_{1\leq i,j\leq n+1}$.

Soient $f_1,\ldots,f_n$ des fonctions de $\R$ dans $\R$. Montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n$ tel que $M=(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}$ soit inversible.

Soient $K=\R$ ou $\C$, $n\geq1$ et $a_0,\ldots,a_n\in K$ distincts.

1. Soit $P\in K[X]$ de degré $n$ et $P_j(X)=P(X+a_j)$. Montrer que $(P_0,\ldots,P_n)$ est une base de $K_n[X]$.
2. Soit $Q\in K_n[X]$ et $M=(Q(a_i+a_j))_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que $M$ est inversible si et seulement si $\deg Q=n$.

Soit $\Delta:P\mapsto P(X+1)-P(X)$.

1. Montrer que $\Delta$ stabilise $\R_n[X]$ et noter $\Delta_n$ sa restriction.
2. Déterminer $\Ker(\Delta_n)$ et $\operatorname{Im}(\Delta_n)$.
3. Trouver une base de $\R_n[X]$ telle que la matrice de $\Delta_n$ ne comporte que des 0 et des 1.

4. Soit $d\in\N$.

   1. Montrer qu'il existe $Q\in\R[X]$ tel que $Q(k)=\sum_{i=0}^ki^d$ pour tout $k\in\N$.
   2. Trouver de deux manières un équivalent de $Q(k)$.

Soit $d\in\N$. Poser $P_0=1$ et, pour $k\geq1$, $P_k=X(X-1)\cdots(X-k+1)$.

1. Montrer que $(P_0,\ldots,P_d)$ est une base de $\R_d[X]$.
2. Donner la matrice de passage depuis la base canonique et montrer que son inverse est à coefficients entiers.
3. Étudier la convergence et calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}P_d(n)/n!$.
4. Montrer qu'il existe $N_d\in\N$ tel que $\sum_{n=0}^{+\infty}n^d/n!=N_de$.

Soient $E$ un espace vectoriel et $f,g\in\mathcal L(E)$. On suppose que $\operatorname{Im}(f)$ et $\operatorname{Im}(g)$ sont en somme directe. Montrer que $\operatorname{Im}(f)+\operatorname{Im}(g)=\operatorname{Im}(f+g)$ si et seulement si $E=\Ker(f)+\Ker(g)$.

Soient $\alpha_1<\cdots<\alpha_n$ et $a_1,\ldots,a_n\in\R^*$. On pose $f(x)=\sum_{i=1}^na_ix^{\alpha_i}$ pour $x>0$.

1. Montrer que $f$ s'annule au plus $n-1$ fois sur $\R_+^*$.
2. Soient $t_1<\cdots<t_n$ et $A=(t_i^{\alpha_j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\det(A)\geq0$.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)\setminus\{0\}$. Montrer que $u$ est une homothétie si et seulement si, pour tous $v,w\in\mathcal L(E)$, $u=v\circ w$ entraîne $u=w\circ v$.

Soient $n\geq2$ et $A\in M_n(\R)$ de rang 1 et de trace nulle. Montrer que $A$ est semblable à $E_{1,n}$.

Soit $E$ de dimension $N\geq1$, $n=\lfloor N/3\rfloor$ et $u\in\mathcal L(E)$ tels que $u^3=0$ et $\operatorname{rg}(u)\geq N-n$.

1. Calculer $\operatorname{rg}(u^2)$ et montrer que $N=3n$.
2. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ est $\begin{pmatrix}0&I_n&0\\0&0&I_n\\0&0&0\end{pmatrix}$.

Résoudre dans $M_3(\R)$ l'équation $$A^3=\begin{pmatrix}1&-2&1\\1&-2&1\\1&-2&1\end{pmatrix}.$$

Soit $A\in M_3(\C)$. Montrer que $A$ et $-A$ sont semblables si et seulement si $\operatorname{tr}(A)=0$ et $\det(A)=0$.

Soit $k\in\C$ et $$A=\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&k&1&1\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}\in M_4(\C).$$

1. À quelle condition sur $k$ la matrice $A$ est-elle diagonalisable ?
2. Si elle l'est, déterminer la dimension de $\{M\in M_4(\C):AM=MA\}$.

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $$\begin{pmatrix}0&0&0&a\\0&0&0&a\\0&0&0&a\\a&a&a&b\end{pmatrix}$$ soit diagonalisable.

Soit $E=\R^\N$ et $T:E\to E$ défini par $T((u_n))=(\frac1{n+1}\sum_{k=0}^nu_k)_{n\in\N}$. Déterminer les valeurs propres de $T$ et les dimensions de ses sous-espaces propres.

Soit $\varphi_n:\R_n[X]\to\R_n[X]$ définie par $$\varphi_n(P)(x)=\int_0^{\pi/2}P(1-x\cos t)dt.$$ $\varphi_n$ est-il diagonalisable ? Déterminer $\lim_{n\to+\infty}\operatorname{Tr}(\varphi_n)$.

Pour $t\in\R$, poser $$M(t)=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&0\\1&0&t\end{pmatrix}.$$ Montrer que $M(t)$ admet trois valeurs propres $\alpha(t)<0<\beta(t)<2<\gamma(t)$. Déterminer les limites de $\alpha(t),\beta(t)$ quand $t\to+\infty$ et un développement asymptotique de $\gamma(t)$.

Soit $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$.

1. Montrer que $A$ est diagonalisable dans $M_3(\C)$ et possède une unique valeur propre réelle $a$, avec $a>1$.
2. Montrer que $\sum_{\lambda\in\operatorname{Sp}_\C(A)}\lambda^n\in\N$ pour tout $n\geq1$.
3. Déterminer la nature de $\sum\sin(\pi a^n)$.

Soit $u\in\mathcal L(\R_n[X])$ dont la matrice dans la base canonique a pour coefficients $a_{i,i+1}=i$, $a_{i+1,i}=n-i+1$, les autres étant nuls.

1. Montrer que $u(P)=(1-X^2)P'+nXP$.
2. Si $\lambda$ est valeur propre et $P$ un vecteur propre, montrer que $\deg P=n$ et que ses racines complexes appartiennent à $\{-1,1\}$.
3. En étudiant les multiplicités de $1$ et $-1$, déterminer tous les vecteurs propres de $u$.
4. Montrer que $u$ est diagonalisable.

Soit $E=M_n(\C)$ et $\rho(A)=\max\{|\lambda|:\lambda\in\operatorname{Sp}(A)\}$.

1. $\rho$ est-elle une norme sur $E$ ?
2. Si $A^p\to0$, montrer que $\rho(A)<1$.
3. Pour $0\leq k<n$ et $|\lambda|<1$, déterminer la limite de $\binom pk\lambda^{p-k}$ quand $p\to+\infty$. On admet qu'on peut écrire $A=D+N$ avec $DN=ND$, $D$ diagonalisable et $N$ nilpotente. Montrer que $\rho(A)<1$ entraîne $A^p\to0$.

Soient $a_1,\ldots,a_n\in\C$ et $M=(m_{i,j})\in M_n(\C)$ telle que $m_{i+1,i}=a_i$ pour $1\leq i<n$, $m_{1,n}=a_n$, les autres coefficients étant nuls. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit diagonalisable.

Soit $$A=\begin{pmatrix}1&j&j^2\\j&j^2&1\\j^2&1&j\end{pmatrix}.$$

1. Calculer $A^2$ et expliciter le noyau et l'image de $A$.
2. $A$ est-elle diagonalisable ?
3. Déterminer les sous-espaces stables par $A$.
4. Déterminer la dimension de $\{C\in M_3(\C):AC=CA\}$.

On dit que $B\in M_2(\R)$ admet une racine carrée s'il existe $A\in M_2(\R)$ tel que $A^2=B$.

1. Montrer que cette propriété est invariante par similitude.
2. Les matrices $\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}c&-s\\s&c\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2&0\\0&-2\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}-1&2\\0&-1\end{pmatrix}$ admettent-elles une racine carrée, avec $c=\cos(2\pi/3)$ et $s=\sin(2\pi/3)$ ?
3. Déterminer l'image de $A\in GL_2(\R)\mapsto A^2$.

Soient $0<a_0<\cdots<a_n$ et la matrice $$A=\begin{pmatrix}0&a_1&a_2&\cdots&a_n\\ a_0&a_2&a_1&\cdots&0\\a_n&a_0&a_1&\cdots&0\\\vdots&&&&\vdots\end{pmatrix}.$$

1. Pour $\lambda\in\R$, montrer que $\lambda$ est valeur propre de $A$ si et seulement si $\lambda\notin\{-a_1,\ldots,-a_n\}$ et $\sum_{k=0}^n\frac{a_k}{\lambda+a_k}=1$.
2. La matrice $A$ est-elle diagonalisable ?

Soient $A,B\in M_n(\R)$ tels que $AB-BA=A$. On pose $\psi:M\mapsto MB-BM$.

1. Montrer que $\psi$ est un endomorphisme.
2. Montrer que $\psi(A^k)=kA^k$ pour tout $k\in\N$ et préciser $\operatorname{tr}(A)$.
3. Montrer que si $A$ n'est pas nilpotente alors $\psi$ admet une infinité de valeurs propres. Conclure.

1. Soit $A=(a_{i,j})\in M_n(\C)$ telle que $|a_{i,i}|>\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|$ pour tout $i$. Montrer que $A$ est inversible.
2. Montrer que toutes les valeurs propres de $A$ appartiennent à $\bigcup_{i=1}^n\{z\in\C:|z-a_{i,i}|\leq\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|\}$.
3. Soit $B=(b_{i,j})$ définie par $b_{i,j}=1$ si $|i-j|=1$ et 0 sinon. Déterminer ses valeurs propres et vecteurs propres.

Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n$ et $u\in\mathcal L(E)$ ayant $n$ valeurs propres distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$.

1. Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^nE_{\lambda_i}(u)$.
2. Pour chaque $i$, donner $P_i\in K_{n-1}[X]$ tel que $P_i(\lambda_j)=\delta_{i,j}$. Caractériser $P_i(u)$.
3. Si $F$ est stable par $u$, montrer que $F=\bigoplus_{i=1}^n(F\cap E_{\lambda_i}(u))$.
4. Combien $E$ possède-t-il de sous-espaces stables par $u$ ?

Soient $M\in M_n(\C)$, $N=\begin{pmatrix}M&M^2\\0&M\end{pmatrix}$, $m\in\C$ et $T=\begin{pmatrix}m&m^2\\0&m\end{pmatrix}$.

1. La matrice $T$ est-elle diagonalisable ?
2. Pour $Q\in\C[X]$, exprimer $Q(N)$ à l'aide de $Q,M,M^2$.
3. Montrer que $N$ est diagonalisable si et seulement si $M=0$.

Soient $A\in M_n(\R)$ et $T:M\mapsto AM$ sur $M_n(\R)$.

1. Donner le spectre de $T$ en fonction de celui de $A$.
2. Exprimer $\chi_T$ en fonction de $\chi_A$.
3. Montrer que $T$ est diagonalisable si et seulement si $A$ l'est.

Soient $A\in M_n(\C)$ et $M=\begin{pmatrix}0&I_n\\A&0\end{pmatrix}\in M_{2n}(\C)$.

1. Montrer que $\dim\Ker(M-\lambda I_{2n})=\dim\Ker(A-\lambda^2I_n)$.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit diagonalisable.

Soient $A\in M_n(\R)$ et $B=\begin{pmatrix}A&2A\\0&3A\end{pmatrix}\in M_{2n}(\R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour que $B$ soit diagonalisable.

1. Montrer que $M=(1_{i-j\equiv1\ (\mathrm{mod}\ n)})_{1\leq i,j\leq n}$ est diagonalisable et déterminer ses éléments propres.
2. Exprimer $A=(a_{i-j\ (\mathrm{mod}\ n)})_{1\leq i,j\leq n}$ en fonction de $M$ et $(a_0,\ldots,a_{n-1})$.
3. En déduire $\det(A)$.

1. Soient $U,V\in M_n(\R)$. Montrer que si elles sont semblables sur $\C$, elles le sont sur $\R$.

2. Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n$.

   1. Montrer que $n$ est pair.
   2. Avec $J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$, montrer que $A$ est semblable à la matrice diagonale par blocs ayant $n/2$ blocs $J$.

1. Soient $E$ de dimension finie et $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables et commutant. Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres communs.
2. Soit $A\in M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que $M\mapsto AM-MA$ sur $M_n(\C)$ est diagonalisable.

Soient $P\in GL_n(\C)$ et $\varphi_P:M\mapsto PMP^{-1}$.

1. Si $M$ est vecteur propre de $\varphi_P$ associé à $\lambda$, montrer que $\lambda\neq0$ et que soit $M$ est nilpotente, soit $\lambda$ est une racine $q$-ième de l'unité pour un $1\leq q\leq n$.
2. Pour une racine $q$-ième de l'unité $\lambda$, exhiber $P$ tel que $\lambda$ soit valeur propre de $\varphi_P$.

Soit $A\in M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une matrice diagonale $D$ à coefficients dans $\{-1,1\}$ telle que $A+D$ soit inversible.

Déterminer les matrices $A\in M_n(\R)$ telles que $A^{2026}=A^{10}$ et $\operatorname{Tr}(A)=n$.

Soient $A,B\in M_n(\C)$ tels que $A(AB-BA)=0$.

1. Montrer que $(AB)^k=A^kB^k$ pour tout $k\in\N$.
2. Soit $C\in M_n(\C)$ tel que $\operatorname{tr}(C^k)=0$ pour tout $k\geq1$. Montrer que $C$ est nilpotente.
3. Montrer que $AB-BA$ est nilpotente.

Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB=BA^2$. On suppose que toutes les valeurs propres de $A$ ont un module différent de 1. Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre commun.

Soient $A,B\in M_n(\C)$ telles que $AB=0$. Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre commun.

Soit $f\in\mathcal L(E)$, où $E$ est de dimension $n$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement s'il existe $n$ hyperplans $H_1,\ldots,H_n$ stables par $f$ tels que $H_1\cap\cdots\cap H_n=\{0\}$.

Soit $n\geq2$, $(e_1,\ldots,e_n)$ une base orthonormée de $\R^n$ et $f_1,\ldots,f_n\in\R^n$ tels que $\|e_k-f_k\|<1/\sqrt n$ pour tout $k$. Montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est une base de $\R^n$.

Poser $$I=\inf_{(a,b)\in\R^2}\int_{-1}^1(e^t-a-bt)^2dt.$$ Justifier l'existence de $I$ et le calculer.

Soit $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$, $(u_1,\ldots,u_n)\in E^n$ et $f(x)=\sum_{i=1}^n\langle x,u_i\rangle u_i$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$.
2. Montrer que $f=\operatorname{id}$ si et seulement si $(u_1,\ldots,u_n)$ est une base orthonormée.

1. Soit $P$ un polynôme scindé de $\R[X]$. À l'aide de $x\mapsto e^{-x^2}P(x)$, montrer que $P'-2XP$ est scindé.
2. Pour $\varphi(x)=e^{-x^2}$, montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $H_n\in\R[X]$ tel que $\varphi^{(n)}(x)=H_n(x)\varphi(x)$. Préciser son degré et son coefficient dominant.
3. Que dire de la position relative des racines de $H_n$ et $H_{n+1}$ ?
4. Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}P(t)Q(t)e^{-t^2}dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$.
5. Montrer que $(((-1/2)^nH_n))_{n\geq0}$ est une famille orthogonale de polynômes unitaires pour ce produit scalaire.

Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t}(1+x_1t+\cdots+x_nt^n)^2dt$, pour $x=(x_1,\ldots,x_n)^T\in\R^n$.

1. Montrer que $f$ est bien définie et de classe $C^1$ sur $\R^n$.
2. Poser $u=(1,x_1,\ldots,x_n)^T$ et $M=((i+j)!)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que $u^TMu=f(x)$.

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel. Une forme bilinéaire $B:E^2\to\R$ est dite positive si $B(u,u)\geq0$ pour tout $u$, négative si $B(u,u)\leq0$, et symétrique si $B(x,y)=B(y,x)$. On pose $C_B=\{u:B(u,u)=0\}$ et $K_B=\{u:\forall x,\ B(u,x)=0\}$.

1. Sur $\R^3$, pour $B((x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2))=x_1y_2+x_2y_1$, déterminer $C_B,K_B$.
2. Pour $B$ symétrique, montrer l'équivalence entre $K_B=C_B$, $C_B$ sous-espace vectoriel, et $B$ positive ou négative.

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie. Montrer que deux produits scalaires sur $E$ ayant le même groupe orthogonal sont proportionnels.

Pour $A\subset\N$, noter $1_A$ sa fonction indicatrice. Soient $a\geq1$, $n,m\geq1$ et $U_1,\ldots,U_m$ des parties distinctes non vides de $\{1,\ldots,n\}$ telles que $|U_i\cap U_j|=a$ pour $i\neq j$. Poser $M=(1_{U_j}(i))_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq m}$.

1. Calculer $M^TM$.
2. Montrer que $\{j:[M^TM]_{j,j}=a\}$ a au plus un élément.
3. Pour $X\in M_{m,1}(\R)$, calculer $X^TM^TMX$.
4. Donner $\dim\Ker(M)$.
5. Montrer que $m\leq n$.

Soit $E$ un espace euclidien.

1. Pour $F,G$ sous-espaces, montrer que $(F+G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp$.
2. Soient $p,q$ des projecteurs orthogonaux. Montrer que $pqp$ est autoadjoint.
3. Montrer que $x\mapsto pq(x)$ est diagonalisable sur $\operatorname{Im}(p)$.
4. Montrer que $pq$ est diagonalisable.

Soit $p$ un projecteur d'un espace euclidien $E$.

1. Montrer que $p$ est orthogonal si et seulement si $p$ est autoadjoint.
2. Montrer que $p$ est orthogonal si et seulement si $\|p(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x\in E$.
3. Si $p,q$ sont orthogonaux, montrer que $p\circ q$ est un projecteur si et seulement si $p$ et $q$ commutent.

Soient $A\in M_n(\R)$ et $k\geq2$ tels que $A^k=A^T$. Montrer que $\Ker(A)$ et $\operatorname{Im}(A)$ sont supplémentaires orthogonaux et que $A^{k+1}$ est la matrice d'un projecteur orthogonal.

Soit $A\in M_n(\R)$ telle que $A^2=A^3$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que $A^2=A$.

Soit $A\in M_2(\R)$ telle que $A^2=A^T$ et poser $M=A^TA$.

1. La matrice $M$ est-elle diagonalisable ?
2. On dit que $M,N$ sont orthosemblables s'il existe $P\in O_2(\R)$ tel que $P^{-1}MP=N$. Montrer que $A$ est orthosemblable à l'une des matrices $0$, $I_2$, $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$, $\dfrac12\begin{pmatrix}-1&-\sqrt3\\\sqrt3&-1\end{pmatrix}$, $\dfrac12\begin{pmatrix}-1&\sqrt3\\-\sqrt3&-1\end{pmatrix}$.

Soient $A,B\in\mathcal S_n(\R)$ telles que $A^2=B^2$. Montrer qu'il existe $P\in O_n(\R)$ telle que $PA=B$.

Soient $n$ impair et $A,B\in M_n(\R)$ tels que $AB=0$. Montrer qu'au moins l'une des matrices $A+A^T$ et $B+B^T$ n'est pas inversible.

Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $p\in\mathcal L(E)$ un projecteur. Montrer que $\operatorname{Im}(p)\perp\Ker(p)$ si et seulement si $\langle p(x),x\rangle\geq0$ pour tout $x\in E$.

Soit $E$ euclidien et $u\in O(E)$. Si $\lambda$ est une valeur propre de $u$, montrer que $\dim E_\lambda(u)$ est égale à sa multiplicité.

Soit $E=\R_n[X]$, muni du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)dt$. Pour $P\in E$, poser $u(P)(x)=\int_0^1(x+t)^nP(t)dt$.

1. Montrer que $u\in\mathcal L(E)$.
2. Montrer qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle $u$ est diagonale.
3. Montrer que, pour tous $x,y\in\R$, $$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n\lambda_iP_i(x)P_i(y),$$ où $\lambda_i$ sont les valeurs propres de $u$ et $(P_i)$ une base orthonormée de vecteurs propres associée.

Soit $H_n=(1/(i+j+1))_{0\leq i,j\leq n-1}$ et $X=(x_0,\ldots,x_{n-1})^T$. Poser $P_X(t)=x_0+x_1t+\cdots+x_{n-1}t^{n-1}$.

1. Montrer que $X^TH_nX=\int_0^1P_X(t)^2dt$. En déduire que $H_n$ est diagonalisable et que son spectre est inclus dans $\R_+^*$.
2. Soit $\beta_n$ sa plus grande valeur propre. Montrer que $X^TH_nX\leq\beta_n\|X\|^2$.

1. Soit $f:I\to\R$ convexe, $n\geq1$ et $x_1,\ldots,x_n\in I$. Montrer que $$f\left(\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}\right)\leq \frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k).$$
2. Soit $S\in\mathcal S_n^+(\R)$. Montrer que $(\operatorname{Tr}(S)/n)^n\geq\det(S)$ et préciser le cas d'égalité.

On munit $M_n(\R)$ du produit scalaire $\langle A,B\rangle=\operatorname{Tr}(A^TB)$.

1. Comparer $\operatorname{Tr}(A^2)$ et $\operatorname{Tr}(A^TA)$.
2. Montrer que $A^TA$ est diagonalisable à valeurs propres positives.
3. Comparer $\Ker(A)$ et $\Ker(A^TA)$, puis leurs rangs.
4. Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont mêmes valeurs propres avec mêmes multiplicités.

1. Rappeler les définitions de $\mathcal S_n^+(\R)$ et $\mathcal S_n^{++}(\R)$.
2. Soit $H=(1/(i+j-1))_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $H\in\mathcal S_n^{++}(\R)$.
3. Soit $B\in\mathcal S_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe une unique $R\in\mathcal S_n^{++}(\R)$ telle que $B=R^2$. Si $A\in\mathcal S_n(\R)$, montrer que $AB$ est diagonalisable.

On munit $M_n(\R)$ du produit scalaire $\langle M,N\rangle=\operatorname{Tr}(M^TN)$. Soit $A\in GL_n(\R)$.

1. Montrer que, pour tout $S\in\mathcal S_n^+(\R)$, il existe $B\in\mathcal S_n^+(\R)$ telle que $S=B^2$.
2. Montrer qu'il existe $(U,S)\in O_n(\R)\times\mathcal S_n^+(\R)$ tel que $A=US$.
3. Pour $V\in O_n(\R)$, établir $\|A-V\|^2=\|D-W\|^2$, où $W\in O_n(\R)$ et $D$ est une matrice diagonale semblable à $A$.
4. Montrer que la distance de $A$ à $O_n(\R)$ est atteinte.
5. Montrer que $A\mapsto d(A,O_n(\R))$ est lipschitzienne.

Analyse

Soit $E=\{(u_n)\in\R^\N:\sum|u_n|\text{ converge}\}$ et $\alpha=(\alpha_n)_{n\geq0}\in\R^\N$. Pour $u\in E$, poser $N(u)=\sum_{n=0}^{+\infty}\alpha_n|u_n|$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $N$ soit une norme sur $E$.

Soient $p,q>1$ tels que $1/p+1/q=1$.

1. Pour $u,v\geq0$, montrer que $uv\leq u^p/p+v^q/q$.
2. En déduire l'inégalité de Hölder pour deux suites finies positives.
3. Que reconnaît-on pour $p=2$ ?
4. Montrer l'inégalité triangulaire pour la norme $\ell^p$ sur les vecteurs à coordonnées positives.
5. Montrer que l'ensemble $\ell^p$ des suites réelles telles que $\sum|u_n|^p$ converge est un espace vectoriel et que $u\mapsto(\sum_{n=0}^{+\infty}|u_n|^p)^{1/p}$ est une norme.

Pour $A\subset\N$, poser $x_A=\sum_{k\in A}(9/10)^k$.

1. Justifier la définition de $x_A$.
2. Soit $E=\{x_A:A\subset\N\}$. Montrer que $E$ admet une symétrie.
3. Montrer que $E$ est fermé.

1. Soit $z=re^{i\theta}=x+iy\in\C\setminus\R_-$ avec $\theta\in]-\pi,\pi[$. Montrer que $\theta=2\arctan\left(\frac{y}{x+|z|}\right)$.
2. En déduire qu'il existe une fonction continue $L_0:\C\setminus\R_-\to\C$ telle que $z=\exp(L_0(z))$.
3. Déterminer toutes les fonctions continues $L$ sur ce domaine telles que $z=\exp(L(z))$.
4. Montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $L:\C\to\C$ telle que $z=\exp(L(z))$ pour tout $z$.

Soit $\|\cdot\|$ une norme sur $M_n(\C)$.

1. Montrer qu'il existe $c>0$ tel que $\|AB\|\leq c\|A\|\|B\|$.
2. Pour $A\in M_n(\C)$, montrer que $(\|A^k\|^{1/k})_{k\geq1}$ converge.

Soit $\mathcal N$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $M_n(\C)$.

1. Soit $A$ de rang 1 et de trace nulle. Montrer que $A\in\mathcal N$.
2. $\mathcal N$ est-il ouvert ou fermé ?
3. Soient $A\in GL_n(\C)$ et $B\in\mathcal N$ commutant. Montrer que $\det(A+B)=\det(A)$.

1. Soit $A\in M_n(\R)$. Montrer l'équivalence entre $\Ker(A)=\Ker(A^2)$, $\operatorname{Im}(A)=\operatorname{Im}(A^2)$, et $\Ker(A)\oplus\operatorname{Im}(A)=\R^n$.
2. L'ensemble des matrices vérifiant la première propriété est-il convexe, fermé ou ouvert ?

Soit $a\in\C$ tel que $\operatorname{Re}(a)>0$ et $\operatorname{Im}(a)>0$. On définit $z_0=a$ et $z_{n+1}=\frac12(z_n+|z_n|)$. Déterminer la limite de $(z_n)$.

Soit $(u_n)_{n\geq0}$ définie par $u_1>0$ et $u_{n+1}=u_n+\frac1{n u_n}$ pour $n\geq1$.

1. Étudier la convergence de $(u_n)$.
2. Déterminer un équivalent de $u_n$.

Étudier la nature et déterminer la limite éventuelle de $$u_n=\prod_{k=1}^n\left(1+\frac{\sqrt{k(n-k)}}n\right).$$

Soit $\ell\in\C$. On veut montrer que $\left(1+\frac\ell n\right)^n\to e^\ell$.

1. Traiter le cas $\ell\in\R$.
2. Pour $\ell\in\C$, montrer que $$\left|e^\ell-\left(1+\frac\ell n\right)^n\right| \leq e^{|\ell|}-\left(1+\frac{|\ell|}n\right)^n$$ et conclure.
3. Soit $(u_n)$ complexe de limite $\ell$. Montrer que $(1+u_n/n)^n\to e^\ell$.

Pour $n\geq1$, poser $P_n=-1+\sum_{k=1}^nX^k$.

1. Montrer que $P_n$ admet une unique racine $u_n$ dans $\R_+$.
2. Montrer que $(u_n)$ converge et déterminer sa limite $\ell$.
3. Déterminer un équivalent de $u_n-\ell$.

Pour $x\geq0$ et $n\geq1$, poser $f_n(x)=\sum_{k=1}^n x^k/k-1$.

1. Montrer qu'il existe un unique $x_n>0$ tel que $f_n(x_n)=0$.
2. Montrer que $(x_n)$ est strictement décroissante et converge.
3. Expliciter $f(x)=\lim_{n\to+\infty}f_n(x)$.
4. Déterminer $\ell=\lim x_n$.
5. Justifier qu'il existe $c_n\in]\ell,x_n[$ tel que $-f_n(\ell)=f_n'(c_n)(x_n-\ell)$ et en déduire un équivalent de $x_n-\ell$.

Soit $k\geq1$. Étudier la convergence et calculer la somme de $\sum_{i\geq1}\frac1{i(i+k)}$.

Pour $n\geq2$, on pose $$u_n=\frac{(-1)^n}{2n+1}\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{2k+1}.$$

1. La série $\sum u_n$ est-elle convergente ?
2. Déterminer un équivalent de $u_n$.

Étudier la nature de la série de terme général $$u_n=\frac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n1/\sqrt{k}}.$$

Étudier la nature de $\sum\frac{\sin(\sqrt n)}n$.

Soit $a>0$. Pour $n$ assez grand, poser $$u_n=\arccos\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{(-1)^n}{n^a}\right)-\frac\pi6.$$ Déterminer la nature de la série de terme général $u_n$.

Pour $n\geq1$, poser $a_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\sqrt{k}$. Montrer que $$a_n+\frac{(-1)^n\sqrt n}{2}$$ admet une limite $\ell>0$, puis étudier $\sum1/a_n$.

1. Pour $n\in\N$, montrer qu'il existe un unique $a_n\geq0$ tel que $e^{a_n}+na_n=2$.
2. Étudier la nature des séries $\sum a_n$ et $\sum(-1)^na_n$.
3. Déterminer $\lim_{n\to+\infty}n(1-na_n)$.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=\pi/2$ et $u_{n+1}=(-1)^n\arctan(u_n)$.

1. Montrer que $(u_n)$ converge.
2. Montrer que $\sum u_n$ converge.

Soit $(u_n)_{n\geq1}$ réelle et $v_n=\frac1n(u_1+\cdots+u_n)$.

1. Si $\sum u_n$ ne diverge pas grossièrement, montrer que $\sum v_n$ ne diverge pas grossièrement.
2. Si $\sum u_n$ converge, peut-on conclure pour $\sum v_n$ ?
3. On suppose $\sum u_n^2$ convergente. Montrer que $$v_n^2-2u_nv_n\leq(n-1)v_{n-1}^2-nv_n^2,$$ puis que $\sum v_n^2$ converge et $\sum_{n=1}^{+\infty}v_n^2\leq4\sum_{n=1}^{+\infty}u_n^2$.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0>0$ et $u_{n+1}=1/(2+u_n)$. Montrer que $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$ à préciser, et déterminer la nature de $\sum(u_n-\ell)$.

Soit $f:\R^*\to\R$ définie par $f(x)=1+\frac12\sin(1/x)$.

1. Montrer que $f(f(x))\geq1$ pour tout $x\neq0$.
2. Montrer que $f$ admet un unique point fixe $\ell$.
3. Pour $u_0\neq0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$, montrer que $(u_n)$ est bien définie et converge vers $\ell$.
4. Déterminer la nature de $\sum(\ell-u_n)$.

Soit $f\in C^1(\R_+,\R_+^*)$.

1. Si $f'(x)/f(x)\to-\infty$, montrer que $f(x+1)/f(x)\to0$ et en déduire que $\sum f(n)$ converge.
2. Si $f'(x)/f(x)\to\alpha<0$, déterminer la limite de $f(x+1)/f(x)$ et, selon $\beta\in\R$, la nature de $\sum n^\beta f(n)$.

Soit $(u_n)_{n\in\N}\in\C^\N$ telle que $\sum|u_n|$ converge et $\sum_{n=0}^{+\infty}u_n^k=0$ pour tout $k\geq1$. Montrer que $(u_n)$ est la suite nulle.

Soit $(q_n)_{n\in\N}$ une suite croissante d'entiers au moins égaux à 2.

1. Si $(q_n)$ est stationnaire, montrer que $\sum_{n=0}^{+\infty}(q_1q_2\cdots q_n)^{-1}\in\Q$.
2. En admettant la réciproque, montrer que $e$ et $\operatorname{ch}(1)$ sont irrationnels.
3. Montrer la réciproque de la première question.

Soit $(u_n)_{n\geq0}$ strictement positive et $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$.

1. Si $S_n\to+\infty$, montrer que $\sum u_n/S_n^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha>1$.
2. Si $S_n\to S>0$, poser $R_n=S-S_n$. Montrer que $\sum u_n/R_{n-1}^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha<1$.

Étudier la fonction $f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}\arctan(x)$ : domaine, graphe, limites et asymptotes.

1. Résoudre $\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x+5-6\sqrt{x-4}}=1$.
2. Soient $x_1<\cdots<x_n$. Montrer que $x\mapsto\sum_{k=1}^n|x-x_k|$ est continue et admet un minimum.
3. Pour $f_k(x)=|x-x_k|$, montrer que $(f_1,\ldots,f_n)$ est libre.

Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in[0,1]$. Comparer $\sum_{k=1}^n\arccos(\alpha_k)$ et $\arccos(\prod_{k=1}^n\alpha_k)$.

Pour $x>0$, poser $f(x)=x^{x^{1/x}}$. Déterminer $\lim_{x\to+\infty}f(x)$, $\lim_{x\to+\infty}f(x+1)/f(x)$ et un équivalent de $f(x)$ en $+\infty$.

Soit $\lambda\in\R$. Déterminer les $f\in C^1(\R,\R)$ telles que $f'(x)=f(\lambda x)$ pour $\lambda=1$, $\lambda=-1$, puis $|\lambda|<1$.

Soit $f:\R_+\to\R$ continue et surjective. Pour $y\in\R$, montrer que $y$ admet une infinité d'antécédents. Une fonction polynomiale de $\R_+$ dans $\R$ peut-elle être surjective ?

Soit $f:\R\to\R$ continue en 0 et telle que $$\frac{f(4x)-f(x)}x\longrightarrow\ell\quad(x\to0).$$ Montrer que $f$ est dérivable en 0 et déterminer $f'(0)$.

Soit $f:[0,1]\to\R$ dérivable, non identiquement nulle, et telle qu'il existe $M>0$ vérifiant $|f'(x)|\leq M|f(x)|$ pour tout $x\in[0,1]$. Montrer que $f$ ne s'annule pas.

Soit $f:[0,1]\to\R$ continue et strictement positive.

1. Pour $n\geq1$, montrer qu'il existe un unique $(a_{n,0},\ldots,a_{n,n})\in[0,1]^{n+1}$ avec $0=a_{n,0}<\cdots<a_{n,n}=1$ et $$\int_{a_{n,k-1}}^{a_{n,k}}f(t)dt=\frac1n\int_0^1f(t)dt.$$
2. Déterminer la limite de $\frac1n\sum_{k=0}^na_{n,k}$.

Soit $a\in\R\setminus\{-1,1\}$ et $I(a)=\int_0^{\pi/2}\ln(1-2a\cos\theta+a^2)d\theta$.

1. Montrer que $I(a)$ est bien définie.
2. Calculer $I(a)$ à l'aide de sommes de Riemann. Indication : factoriser $X^{2n}-1$ dans $\R[X]$.

Pour $x\neq\pm1$, calculer $$\int_0^{2\pi}\frac{dt}{x-e^{it}}$$ à l'aide de la décomposition en éléments simples de $x\mapsto\frac{nx^{n-1}}{x^n-1}$.

Soient $f(t)=\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1]$ et $g(t)=1/\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1[$. Pour $n\geq1$, poser $$I_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n),\qquad T_n=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}g(k/n).$$

1. Montrer que $(I_n)$ converge et déterminer sa limite.
2. Montrer que $(T_n)$ converge.
3. Poser $\Delta_n=I_n-\ell$. Pour $\alpha<1$, montrer que $n^\alpha\Delta_n\to0$.

Montrer qu'il existe $A,B\in\R$ tels que, pour toute fonction $2\pi$-périodique $f\in C^1(\R,\R)$, $$\sup_\R|f|\leq A\int_0^{2\pi}|f(t)|dt+B\int_0^{2\pi}|f'(t)|dt.$$

Soit $f\in C^0(\R_+,\R)$ telle que $f^2$ soit intégrable sur $\R_+$ et $$g(x)=\frac1x\int_0^xf(t)dt\quad(x>0).$$ Déterminer $\lim_{x\to0}g(x)$ et $\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x}g(x)$, puis montrer que $g^2$ est intégrable sur $\R_+$.

1. Pour quels $z\in\C$ l'intégrale $\int_1^{+\infty}t^{-z}dt$ converge ? On rappelle $t^z=\exp(z\ln t)$.
2. Montrer que $\sum(1/n^z-\int_n^{n+1}t^{-z}dt)$ converge pour $\operatorname{Re}(z)>0$.
3. Étudier la convergence de $\sum1/n^z$.

Pour $n\geq1$ et $x\geq0$, poser $f_n(x)=(1+x/n)^{-n}$.

1. Montrer que $(f_n)$ converge simplement sur $\R_+$ vers une fonction $g$.
2. Montrer que $f_n\geq g$.
3. Montrer qu'il existe $\alpha_n>0$ tel que $\|f_n-g\|_\infty=(f_n-g)(\alpha_n)$.
4. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $g$ sur $\R_+$.

Pour $N\in\N$ et $x\in\R\setminus\Z$, poser $S_N(x)=\sum_{k=-N}^N\frac1{x+k}$.

1. Montrer la convergence simple de $(S_N)$ vers $S$ et que $S$ est impaire et 1-périodique.
2. Montrer que $S$ est continue.
3. On admet $S(x/2)+S((x+1)/2)=2S(x)$. Poser $f(x)=\pi\cot(\pi x)-S(x)$. Montrer que $f$ est continue, impaire et 1-périodique.
4. Montrer que $f$ se prolonge continûment en 0 puis sur $\R$.
5. Montrer que $f$ est majorée et atteint un maximum $M$ en $a\in\R$.
6. Montrer que $f(a/2)=M$ et en déduire que $f=0$.

Soit $(a_n)$ décroissante et positive, et $f_n(x)=a_nx^n(1-x)$ sur $[0,1]$.

1. Montrer que $\sum f_n$ converge simplement.
2. Montrer que $\sum f_n$ converge normalement si et seulement si $\sum a_n/n$ converge.
3. Montrer que $\sum f_n$ converge uniformément si et seulement si $a_n\to0$.

Soit $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n\sqrt{x+n}$.

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de $S$.
2. Déterminer les limites de $S$ en 0 et en $+\infty$.
3. Montrer que, pour $x>0$, $$S(x)=\frac1{\sqrt\pi}\int_0^{+\infty} \frac{e^{-tx}}{\sqrt{t}(1+e^{-t})}dt.$$

Pour $n\geq1$, poser $u_n(x)=\arctan(nx)/n^2$.

1. Déterminer le domaine de définition de $S=\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ et étudier sa continuité.
2. Donner un équivalent de $S(x)$ quand $x\to0$.

Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\frac{x^n}{1-x^n}$.

1. Préciser son domaine de définition $D$.
2. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $D$.
3. Pour $\psi(u)=e^{-u}/(1-e^{-u})$, trouver un équivalent de $\sum_{n\geq1}\psi(nu)$ quand $u\to0^+$.
4. En déduire un équivalent de $f$ en $1^-$.

Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=x/(x^2+n^2)$ et $F(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n(x)$.

1. Déterminer le domaine de définition de $F$. Est-elle de classe $C^1$ ?
2. Déterminer la limite de $F$ en $+\infty$.
3. La série $\sum f_n$ converge-t-elle uniformément sur son domaine ?

Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=\frac{nx}{n^4+x^2}$ pour $x\geq0$ et $S=\sum_{n\geq1}f_n$.

1. Montrer que la série converge simplement.
2. Montrer que $S$ est continue.
3. Montrer que $n^4+x^2\geq\frac12(n^2+x)^2$ et en déduire $S(x)\leq\sum_{n\geq1}\frac{\sqrt{x}}{n^2+x}$.
4. Montrer que $S$ est bornée.
5. Montrer que $S(x)$ ne tend pas vers 0 quand $x\to+\infty$.

Soit $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-x}$.

1. Montrer que $\zeta$ est de classe $C^\infty$ sur $]1,+\infty[$.
2. Déterminer ses variations (sans les limites) et étudier sa convexité.
3. Déterminer sa limite en $+\infty$.
4. Déterminer un équivalent de $\zeta$ en $1$.
5. $\ln(\zeta)$ est-elle convexe ?

Soit $f\in C^\infty(\R,\R)$ telle que $\sum_{n\in\N}f^{(n)}/n!$ converge uniformément sur tout segment de $\R$. Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}f^{(n)}/n!$.

Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\ln(n)x^n$.

1. Donner son domaine de définition.
2. Poser $g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}(\ln(1+1/n)-1/n)x^n$. Déterminer le domaine de définition de $g$.
3. Donner la limite et un équivalent de $f(x)$ quand $x\to1^-$.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=u_1=1$ et $u_{n+2}=u_{n+1}+u_n/(n+2)$.

1. Déterminer la limite de $(u_n)$.
2. Poser $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_nx^n$. Montrer que son rayon de convergence est strictement positif, calculer $S$ sur son domaine, puis déterminer explicitement $u_n$ et un équivalent.

Soit $(F_n)$ définie par $F_0=0$, $F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$. Calculer $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}F_nx^n$ et déterminer son rayon de convergence.

Pour $n\in\N$, poser $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(t)dt$ et $h(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.

1. Si $R$ est le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$, donner celui de $\sum a_n^3x^n$.
2. Étudier $(a_n)$.
3. Que peut-on dire de $R$ ?
4. Calculer $h(x)$.
5. Établir une relation entre $a_{n+2}$ et $a_n$.

Soit $P\in\R[X]$ de degré 2.

1. Montrer que $e^{P(x)}$ est développable en série entière $\sum a_nx^n$ et préciser son rayon de convergence.
2. Montrer qu'il n'existe pas d'indice $n$ tel que $a_{n+1}=a_n=0$.

Pour $n\geq1$, poser $a_n=(-1)^n\ln(n)$ et $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$.

1. Déterminer le rayon de convergence et le domaine de définition de $S$.
2. Montrer, en utilisant $(1+x)S(x)$, que la série converge en $x=1$.

Soit $f(x)=\sum_{k=1}^{+\infty}\ln(1+1/k)x^k$ et $R$ son rayon.

1. Calculer $f(-R)$.
2. Déterminer la limite et un équivalent de $f(x)$ quand $x\to R^-$.
3. Calculer $\int_0^1(-1)^{\lfloor1/x\rfloor}x\,dx$.

Soit $(a_n)$ une suite réelle non nulle telle que $a_n=a_{n-1}+(n-1)a_{n-2}$ pour $n\geq2$. Déterminer une fonction de classe $C^\infty$ définie au voisinage de 0 telle que $f^{(n)}(0)=a_n$ pour tout $n\in\N$.

Soit $(a_n)$ positive telle que $\sum a_n$ converge et $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nx^n$, de rayon de convergence 1. Montrer que $f(x)\to\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$ quand $x\to1^-$. Que dire si $\sum a_n$ diverge ?

Soit $(a_n)$ sommable dans $\C$ et $g(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n/n!$.

1. Montrer que $g$ est définie et continue.
2. Montrer que $\int_0^{+\infty}e^{-t}g(t)dt=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n$.
3. Supposons seulement que $\sum a_n$ converge. Poser $A_n=\sum_{k=0}^na_k$, $A_{-1}=0$ et $F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}A_{n-1}x^n/n!$. Montrer que $F$ est définie, de classe $C^1$, que $\int_0^xe^{-t}g(t)dt=e^{-x}F(x)$, et que l'égalité précédente reste vraie.

Soit $f(x)=e^{-1/x}$ si $x>0$ et $f(x)=0$ si $x\leq0$.

1. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $\R$.
2. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de tout $a\in\R^*$.

Soient $r>0$ et $E_r$ l'ensemble des fonctions développables en série entière sur $]-r,r[$. Pour $f\in E_r$, poser $\Phi(f)(x)=\int_0^x\frac{f(t)}{t+x}dt$.

1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E_r$.
2. Déterminer ses éléments propres.

Soit $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{\cos(2^nx)}{n!}$.

1. Justifier la définition de $f$ et préciser sa régularité.
2. La fonction $f$ est-elle développable en série entière ?

Pour $n\in\N$, poser $I_n=\int_0^1\frac{t^{n+1}\ln(t)}{1-t^2}dt$.

1. Montrer que $I_n$ existe.
2. Exprimer $I_n$ à l'aide d'une série.
3. Donner un équivalent de $I_n$.

Pour $n\geq1$, poser $$I_n=\int_0^1\frac{dt}{(1+t^4)^n},\qquad J_n=\frac1{4\sqrt n}\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^4}.$$

1. Montrer que $I_n,J_n$ sont définies.
2. Montrer que $(I_n)$ est monotone, puis déterminer sa limite.
3. Montrer que $0\leq I_n\leq J_n$.
4. Montrer que $\ln(1+\alpha)\geq\alpha/(1+\alpha)$ pour $\alpha\geq0$.
5. Poser $K_n=\int_0^nt^{-3/4}(1+t/n)^{-n}dt$. Montrer que $(K_n)$ converge et calculer sa limite.
6. En déduire un équivalent de $I_n$.

Pour $n\geq1$, poser $I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(nt)}{1+n^5t^3}dt$.

1. Montrer que $I_n$ est bien définie.
2. Déterminer sa limite puis un équivalent de $I_n$.

Pour $n\geq1$, poser $u_n=\int_0^1\frac{dt}{1+t+\cdots+t^{n-1}}$.

1. Montrer que $u_n$ est bien définie et que $\sum1/k^2$ converge.
2. Déterminer la limite de $(u_n)$. Poser $S(n)=\sum_{k=1}^n\frac{n^2}{(nk+1)(nk+2)}$.
3. Montrer que $u_n=\ell+S(n)/n^2$ pour un réel $\ell$.
4. Montrer que $(S(n))$ admet une limite finie et en déduire un équivalent de $u_n-\ell$.
5. Déterminer un développement asymptotique de $u_n-\ell$ à $o(1/n^3)$.

Pour $x>-1$, poser $$f(x)=\int_0^{\pi/2}(\cos t)^xdt,\qquad g(x)=(x+1)f(x)f(x+1).$$

1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $]-1,+\infty[$.
2. Établir des relations entre $f(x+2),f(x)$ puis entre $g(x+1),g(x)$.
3. Montrer que $f(x+1)\sim f(x)$ quand $x\to+\infty$.
4. Étudier les variations de $x\mapsto g(x)/(x+1)$.
5. Calculer $g(n)$ pour $n\in\N$.
6. Montrer que $g$ est constante et donner un équivalent de $f(x)$ en $+\infty$.

Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}\ln(2+t)}{x+t}dt$.

1. Déterminer son intervalle de définition $I$.
2. Étudier la continuité de $f$ sur $I$.
3. Donner ses limites aux bornes de $I$.
4. Donner un équivalent de $f$ aux bornes de $I$.

Soient $$F(a)=\int_0^{+\infty}\frac{\operatorname{sh}(at)}{e^t-1}dt, \qquad G(a)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^2-a^2}.$$

1. Montrer que $F$ est continue sur un domaine $D$ à déterminer.
2. $F$ est-elle de classe $C^\infty$ sur $D$ ?
3. Montrer que $G$ est continue sur son domaine de définition.
4. Montrer que $F(a)=aG(a)$ pour $a\in D$.

1. Montrer que $I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt$ converge.
2. Pour $x\geq0$, poser $$F(x)=\int_0^1\frac{e^{-x^2(1+t^2)}}{1+t^2}dt, \qquad G(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt.$$ Montrer que $(F+G)/2$ est constante, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$, puis en déduire $I$.

Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{t}{1+t^2}e^{-xt}dt$.

1. Déterminer le domaine de définition.
2. Montrer que $f$ est de classe $C^\infty$.
3. Donner ses limites aux deux bornes.
4. Donner un équivalent aux deux bornes.

Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, poser $I_n(x)=\int_0^1(1-t^2)^n\cos(tx)dt$.

1. Montrer que $I_n$ est de classe $C^\infty$ et exprimer $I_n'$ en fonction de $I_{n+1}$.
2. Déterminer une relation de récurrence entre $I_{n+1}(0)$ et $I_n(0)$.
3. En déduire la valeur de $\sum_{k=0}^n(-1)^k/((2k+1)(n-k)!)$.

Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(xt)}{t(1+t^2)}dt$.

1. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R$.
2. Montrer que $f'(x)=\frac{\pi}{2(x+1)}$ pour $x>0$ et en déduire $f(x)$.
3. Étudier la convergence et calculer $\int_0^{+\infty}(\arctan(x)/x)^2dx$.

Soit $E$ l'espace des fonctions continues et bornées de $\R$ dans $\R$. Pour $f\in E$, poser $$\Phi(f)(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\arctan(tx)f(t)}{1+t^2}dt,$$ et $N(f)=\sup_{t\in\R}|f(t)|$.

1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme de $E$.
2. Montrer que $\Phi(f)$ est de classe $C^1$.
3. Pour $f_0(x)=1$ et $g=\Phi(f_0)$, calculer $g'$ et $g(1)$.

Soient $a,b>0$ et $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t\cos(xt)dt.$$

1. Montrer que $F$ est bien définie.
2. Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que $$F(x)=C+\frac12\ln\left(\frac{a^2+x^2}{b^2+x^2}\right).$$
3. Poser $\psi(t)=(e^{-at}-e^{-bt})/t$. Montrer que $\psi$ se prolonge en une fonction $C^1$ sur $\R_+$ et que $\psi'$ est intégrable. Calculer $C$.

Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}{e^t-1}dt$.

1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R$.
2. Montrer que $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{x}{x^2+n^2}$.
3. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x\to+\infty$.
4. La série de fonctions $\sum x/(x^2+n^2)$ converge-t-elle uniformément ?

Soit $f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}\ln(x+t)}{x+t}dt$.

1. Déterminer son domaine $D$.
2. Montrer que $f$ est continue sur $D$.
3. Déterminer ses limites aux bornes de $D$.
4. Donner des équivalents simples aux bornes de $D$.

Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\ln(1+xt^2)}{t(1+t^2)}dt$.

1. Déterminer son domaine de définition.
2. Montrer que $$F(x)=\frac12\int_0^x\frac{\ln t}{t-1}dt.$$

Soit $F(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\cos(xt)dt$.

1. Déterminer son domaine de définition.
2. Montrer que $F$ est de classe $C^\infty$ sur son domaine.
3. Montrer que $F$ est développable en série entière en 0 et préciser son développement.

Pour $x\in\R$, poser $G(x)=\int_0^{+\infty}e^{-t^2-x^2/t^2}dt$.

1. Montrer que $G$ est définie et continue sur $\R$.
2. Montrer que $G$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$.
3. Déterminer $G$.

Pour $\alpha\in\R$, lorsque cela a un sens, poser $I_\alpha=\int_1^{+\infty}|\sin(t)/t^\alpha|dt$.

1. Déterminer l'ensemble $D$ des $\alpha$ pour lesquels $I_\alpha$ converge.
2. Montrer que $F:\alpha\mapsto I_\alpha$ est continue sur $D$.
3. Déterminer la limite et un équivalent de $F(\alpha)$ au bord inférieur de $D$.

On sait que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}dt=\sqrt\pi$. Soit $\varphi:\R\to\R$ continue et bornée et, pour $n\geq1$, $$\psi_n(x)=\sqrt{\frac n\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(y)e^{-n(x-y)^2}dy.$$

1. Montrer que $\psi_n$ est bien définie et de classe $C^1$.
2. Montrer que $(\psi_n)$ converge simplement sur $\R$.

Soit $f\in C^{n+1}(\R,\R)$ telle que $f(0)=0$. Pour $x\neq0$, poser $g(x)=f(x)/x$.

1. Montrer que $g(x)=\int_0^1f'(xt)dt$.
2. Pour $0\leq k\leq n$, déterminer $\lim_{x\to0^+}g^{(k)}(x)$ et montrer que $g$ est de classe $C^n$.

Soient $a<b$, $c<d$ et $f:[a,b]\times[c,d]\to\R$ continue.

1. Justifier l'existence de $g(t)=\int_a^b(\int_c^tf(x,y)dy)dx$ et montrer que $g$ est $C^1$.
2. Justifier l'existence des intégrales et montrer $$\int_a^b\left(\int_c^df(x,y)dy\right)dx =\int_c^d\left(\int_a^bf(x,y)dx\right)dy.$$

Pour $x>0$, poser $f(x)=\int_0^1\ln(t)\ln(1-t^x)dt$. Montrer que $f$ est définie et l'exprimer comme somme d'une série.

Soit $F(x)=\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}dt$ pour $x\in]0,1[$. Montrer que $F(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n+x}$.

Soit $f:\R\to\R$ continue et intégrable. Montrer que $y'-y=f(x)$ admet une unique solution bornée.

On considère $2xy'(x)+y(x)=\frac1{1-x}$.

1. Résoudre l'équation sur les intervalles pertinents.
2. Montrer que sur $]-\infty,1[$ elle possède une unique solution de classe $C^\infty$.

Soit $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{x^n}{\binom{2n}{n}}$.

1. Déterminer le rayon $R$ et montrer que $S$ vérifie $x(x-4)y'+(x+2)y=2$ sur $]-R,R[$.
2. En déduire une expression de $S(x)$ pour $x\in]0,4[$, puis calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}1/\binom{2n}{n}$.

On considère $(1-x)y'-xy=0$, avec $y(0)=1$.

1. Déterminer la solution sur $]-\infty,1[$.
2. Montrer que $y$ est développable en série entière et donner une récurrence pour ses coefficients.
3. Pour $n\in\N$, soit $D_n$ le nombre de permutations de $\{1,\ldots,n\}$ sans point fixe. Montrer que $D_{n+1}=n(D_n+D_{n-1})$.
4. À l'aide des deux premières questions, donner une expression de $D_n$.

On considère $4xf''(x)+2f'(x)+f(x)=0$. Déterminer les solutions développables en série entière en 0. Avec le changement de variable $t=\sqrt{x}$, déterminer toutes les solutions sur $\R_+^*$ et $\R_-^*$.

On considère $t^2y''+ty'-(t^2+t+1)y=0$.

1. Déterminer les solutions développables en série entière au voisinage de 0.
2. Trouver des solutions de la forme $t\mapsto t^re^{\alpha t}$.
3. Donner toutes les solutions.

Déterminer les fonctions $f:\R^2\to\R$ de classe $C^1$ telles que $\frac{\partial f}{\partial x}-xy\frac{\partial f}{\partial y}=0$. On pourra poser $(u,v)=(x,ye^{x^2/2})$.

Soit $f:\R^2\to\R$ de classe $C^2$ telle que $\Delta f=f_{xx}+f_{yy}=0$. Pour $(r,\theta)\in\R^2$, poser $g(r,\theta)=f(r\cos\theta,r\sin\theta)$.

1. Montrer que $g$ est de classe $C^2$ et établir l'équation polaire vérifiée par $g$ sur $\R^*\times\R$.
2. Montrer que $F(r)=\int_0^{2\pi}g(r,\theta)d\theta$ est constante.

Soit $f:(x,y)\in(\R_+^*)^2\mapsto\frac1{xy}+x+y$. Déterminer ses extrema.

Soit $A=\{(x,y)\in\R^2:x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}$ et $f(x,y)=3x^2+2y^2+4xy-2x+3y$. Déterminer $\sup f$ et $\inf f$.

Soit $U=\{(x,y)\in]-\pi/2,\pi/2[^2:x<0,\ y-x>\pi/2\}$ et $f(x,y)=\tan(y)-\tan(x)+\tan(x-y)$.

1. Montrer que $f$ admet un minimum sur $U$ et le déterminer.
2. Pour un cercle $C$ du plan affine euclidien, déterminer les triangles pleins contenant $C$ d'aire minimale.

Soit $T=\{(x,y):x\geq0,y\geq0,x+y\leq1\}$ et $f(x,y)=3x^2+2y^2+4xy-4x-3y+1$. Déterminer les extrema de $f$.

Soient $$A=\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&2\\1&2&3\end{pmatrix},\qquad f(X)=(1+X^TAX)e^{-\|X\|^2},\quad X\in\R^3.$$ Déterminer les extrema globaux de $f$ sur $\R^3$.

Soit $f:\R^n\to\R$ de classe $C^2$ telle que $\operatorname{Sp}(H_f(x))\subset[1,+\infty[$ pour tout $x$.

1. Pour $x\in\R^n$, poser $\varphi(t)=f(tx)$. Montrer que $\varphi$ est $C^2$ et expliciter $\varphi',\varphi''$.
2. Pour $x,h\in\R^n$, comparer $h^TH_f(x)h$ et $\|h\|^2$.
3. Poser $\psi(t)=f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-t^2\|x\|^2/2$. Montrer que $\psi$ est convexe.
4. Montrer que $f$ admet un minimum global.

Probabilités

On considère $N$ personnes se présentant à un examen qu'elles peuvent repasser. Chaque tentative réussit avec probabilité $p\in]0,1[$, et chacun s'arrête au premier succès. Soit $X_k$ le nombre de tentatives de la personne $k$, $X$ le nombre total de candidatures et $Y$ le nombre de sessions. Les $X_k$ sont indépendantes. Déterminer les lois, espérances et variances de $X_k$, $X$ et $Y$.

Deux groupes $D_1,D_2$ ont chacun $n$ équipes. On forme aléatoirement des matchs par paires parmi les $2n$ équipes. Soit $A_n$ l'événement que chaque match oppose une équipe de chaque groupe.

1. Calculer $\P(A_n)$ et donner un équivalent quand $n\to+\infty$.
2. Soit $X_n$ le nombre de matchs intergroupes. Calculer $\E(X_n)$.
3. Pour $n$ pair, calculer $\P(X_n=0)$ et déterminer la loi de $X_n$.

On répartit au hasard $n$ boules dans $n$ boîtes, chaque boule choisissant uniformément une boîte. Soit $X_n$ le nombre de boîtes vides.

1. Calculer $\E(X_n)$ et $V(X_n)$.
2. Déterminer les limites de $\E(X_n/n)$ et $V(X_n/n)$.
3. Pour $\varepsilon>0$, montrer que $\P(|X_n/n-e^{-1}|\geq\varepsilon)\to0$.

Soient $r\geq2$ et $(X_n)$ i.i.d. uniformes sur $\{1,\ldots,r\}$. Soit $A_n$ l'événement que, parmi $X_1,\ldots,X_{nr}$, chaque valeur $k\in\{1,\ldots,r\}$ apparaisse exactement $n$ fois. Calculer $\P(A_n)$, puis $\P(\bigcap_{n\geq1}\bigcup_{p\geq n}A_p)$.

On lance une pièce jusqu'à obtenir deux piles. Soit $X$ le nombre de faces.

1. Déterminer la loi de $X$.
2. $X$ est-elle d'espérance finie ? La calculer si oui.

On tire ensuite une boule parmi $X+1$ boules numérotées de 0 à $X$ et on note $Y$ son numéro.

1. Déterminer la loi de $Y$.
2. $Y$ est-elle d'espérance finie ? La calculer si oui.

Soit $N\sim\mathcal G(p)$. On réalise $N$ lancers d'une pièce équilibrée et note $X$ le nombre de faces.

1. Montrer que $X$ est une variable aléatoire discrète.
2. Déterminer la loi de $X$ sachant $N=n$.
3. Pour $k\in\N$, donner le rayon et la somme de $\sum_{n\geq k}\binom nkx^n$.
4. Déterminer la loi de $X$.

Soient $r\in\N$ et $Z_1,\ldots,Z_r$ indépendantes telles que $Z_1=1$ et $Z_i\sim\mathcal G((r-i+1)/r)$ pour $2\leq i\leq r$. Poser $C_r=Z_1+\cdots+Z_r$. Déterminer son espérance et sa variance.

Pour $s>1$, poser $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}n^{-s}$ et définir une probabilité sur $(\N^*,\mathcal P(\N^*))$ par $\P(\{n\})=1/(\zeta(s)n^s)$.

1. Pour $k\geq1$, poser $M_k=k\N^*$. Montrer que $\P(M_k)=k^{-s}$.
2. Montrer que les événements $M_{p_1},\ldots,M_{p_k}$ sont indépendants si $p_i$ sont des nombres premiers distincts.
3. Montrer que $\P(\bigcap_iM_{p_i}^c)=\prod_i(1-p_i^{-s})$.

Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique $\mathcal G(p)$, $p\in]0,1[$. Déterminer la loi de $X+Y$.

Soit $E$ un ensemble de cardinal $n$. Soient $X,Y$ indépendantes et uniformes sur l'ensemble des parties de $E$. Déterminer la loi de $Z=|X\cap Y|$.

Soit $Z$ uniforme sur l'ensemble $U_n$ des racines $n$-ièmes de l'unité. Poser $X=\operatorname{Re}(Z)$ et $Y=\operatorname{Im}(Z)$. Calculer $\operatorname{Cov}(X,Y)$. $X,Y$ sont-elles indépendantes ?

Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$, $Z=(X_1,\ldots,X_n)^T$ et $M=ZZ^T$.

1. Déterminer les lois de $\operatorname{rg}(M)$ et $\operatorname{Tr}(M)$.
2. Déterminer la probabilité que $M$ soit une projection.

Soient $(\varepsilon_k)_{k\geq1}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. Montrer qu'il existe $\ell\in\R$ tel que, pour tout $\varepsilon>0$, $$\P\left(\left|\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac kn+\varepsilon_k\right) -\ell\right|\geq\varepsilon\right)\longrightarrow0.$$

Soit $f(t)=\sqrt{1-t^2}$ sur $[0,1]$ et $(\varepsilon_n)$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser $$I_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n),\qquad X_n=\frac1n\sum_{k=1}^nf(k/n)(1-\varepsilon_k).$$

1. Montrer que $(I_n)$ converge et calculer sa limite $\ell$.
2. Pour $\varepsilon>0$, déterminer la limite de $\P(|X_n-\ell|\geq\varepsilon)$.

Soit $n\geq2$. On tire sans remise les boules numérotées de 1 à $n$ et $X_k$ est le résultat du $k$-ième tirage. Soit $T_k$ l'indicatrice de $X_k>\max(X_1,\ldots,X_{k-1})$ et $S_n=\sum_{k=1}^nT_k$.

1. Calculer $\P(S_n=1)$ et $\P(S_n=n)$.
2. Donner la loi de $T_k$ et l'espérance de $S_n$.

1. Calculer $I_{p,q}=\int_0^1t^p(1-t)^qdt$ pour $p,q\in\N$.
2. On choisit uniformément une urne $U_i$ parmi $p$ urnes, l'urne $U_i$ contenant $i$ boules blanches et $p-i$ noires. On tire avec remise $2n$ boules et $A_{n,p}$ est l'événement d'obtenir $n$ blanches et $n$ noires. Écrire $\P(A_{n,p})$ comme somme, puis calculer ses limites quand $n\to+\infty$ et quand $p\to+\infty$.

Soit $(X,Y)$ à valeurs dans $\N^2$ avec $X\leq Y$, $\P(X=n)>0$ et la loi conditionnelle de $Y$ sachant $X=n$ uniforme sur $\{0,\ldots,n\}$.

1. Exprimer la loi de $Y$ en fonction de celle de $X$ et montrer que $Y$ et $X-Y$ suivent la même loi.
2. Si $Y+1$ suit une loi géométrique de paramètre $p$, déterminer la loi de $X$ et montrer que $Y$ et $X-Y$ sont indépendantes.
3. Réciproquement, montrer que leur indépendance entraîne que $Y+1$ est géométrique.

Pour $k=1,\ldots,n$, l'urne $k$ contient une boule noire et $k$ boules blanches. On tire une boule de chaque urne indépendamment. Soit $X_n$ le nombre de boules noires tirées et $A_k$ l'événement que le tirage de l'urne $k$ donne une boule noire.

1. Montrer que $X_n=\sum_{k=1}^n1_{A_k}$ et calculer $\E(X_n)$.
2. Calculer $V(X_n)$ et montrer $V(X_n)\leq\E(X_n)$.
3. Pour $\varepsilon>0$, montrer que $\P(|X_n-\E(X_n)|>\varepsilon\E(X_n))\leq1/(\varepsilon^2\E(X_n))$.
4. Montrer $\ln(n+2)-1\leq\E(X_n)\leq\ln(n+1)$.
5. En déduire que $X_n/\E(X_n)\to1$ en probabilité.

Une puce se déplace sur $\{0,\ldots,n-1\}$, modulo $n$, depuis $k$ vers $k+1$ ou $k-1$ avec probabilité $1/2$. On note $X_k$ sa position à l'instant $k$ et $U_k=(\P(X_k=0),\ldots,\P(X_k=n-1))^T$.

1. Donner $A\in M_n(\R)$ telle que $U_{k+1}=AU_k$.
2. $A$ est-elle diagonalisable ? Déterminer ses sous-espaces propres.
3. Pour chaque $i$, déterminer $\lim_{k\to\infty}\P(X_k=i)$.

Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(1/2)$, $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et $u_n=\sum_{k=1}^n\binom nk\ln(k)$. Poser $f(0)=0$ et $f(x)=\ln x$ pour $x\in]0,1]$.

1. Montrer que $\P(S_n/n\leq1/4)=O(1/n)$.
2. Exprimer $\E(f(S_n/n))$ en fonction de $u_n$.
3. Montrer que $|f(S_n/n)-f(1/2)|\leq\ln n+\ln2$.
4. Montrer que $f$ est lipschitzienne sur $[1/4,1]$.
5. En déduire un équivalent de $u_n$.

Soit $T$ à valeurs dans $\N$, avec $\P(T\geq n)>0$ pour tout $n\in\N$, et $t_n=\P(T=n\mid T\geq n)$.

1. Exprimer $\P(T\geq n+1\mid T\geq n)$ à l'aide des $t_k$.
2. Exprimer $\P(T\geq n)$ et $\P(T=n)$ à l'aide des $t_k$.
3. Montrer que $t_n\in[0,1[$ et que $\sum t_n$ diverge.
4. Réciproquement, pour $(t_n)\in[0,1[^\N$ telle que $\sum t_n$ diverge, construire $T$ telle que $\P(T=n\mid T\geq n)=t_n$.

On dit que $X$ est presque sûrement bornée s'il existe $c\geq0$ avec $\P(|X|\leq c)=1$ ; $X$ admet un moment d'ordre $k$ si $\E(|X|^k)<+\infty$.

1. Existe-t-il des variables ayant des moments à tout ordre sans être presque sûrement bornées ?
2. Soient $X,Y$ ayant des moments à tout ordre, $Y$ presque sûrement bornée et $\E(X^k)=\E(Y^k)$ pour tout $k\in\N$. Montrer que $X$ est presque sûrement bornée et que $X,Y$ ont même loi.

Soit $(p_n)_{n\in\N}\subset]0,1[$ telle que $\sum p_n$ converge. Soient $(X_n)$ indépendantes avec $X_n\sim\mathcal B(p_n)$. Poser $S_n=\sum_{k=0}^nX_k$ et $S=\lim S_n$.

1. Exprimer $(S\geq m)$ en fonction des événements $(S_n\geq m)$ et en déduire que $S$ est une variable aléatoire.
2. Montrer que $S$ est finie presque sûrement.
3. Montrer que $S$ est d'espérance finie et la calculer.
4. Donner la loi de $S$.

Soient $X,Y$ réelles et $(X_n),(Y_n)$ définies sur le même espace probabilisé, avec $X_n\to X$ et $Y_n\to Y$ en probabilité.

1. Si $|x+y|\geq\varepsilon$, montrer que $|x|\geq\varepsilon/2$ ou $|y|\geq\varepsilon/2$.
2. Montrer que $X_n+Y_n\to X+Y$ en probabilité.
3. Pour $(U_n)$ i.i.d. de Bernoulli($p$), poser $V_k=U_k+U_{k+1}$. Montrer que $n^{-1}\sum_{i=1}^nV_i\to2p$ en probabilité.
4. Montrer que $\P(|X|>M)\to0$ quand $M\to+\infty$.
5. Montrer que $X_nY_n\to XY$ en probabilité.

Soit $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$, $p\in]0,1[$. Poser $P_k=\prod_{i=1}^kX_i$, $R_n=\sum_{k=1}^nP_k$ et $R=\sum_{k\geq1}P_k$.

1. Donner loi, espérance et variance de $P_k$.
2. Montrer que $R$ est discrète et donner sa loi.
3. Montrer que $R_n,R$ sont d'espérance finie et que $\E(|R_n-R|)\to0$.
4. Montrer que $(R_n\to R)$ est un événement.
5. Montrer que $\P(R_n\to R)=1$.

Soient $X,Y$ indépendantes et $A=\begin{pmatrix}X&0\\2&Y\end{pmatrix}$.

1. Pour $n\geq2$, avec $X\sim\mathcal B(n,1/4)$ et $Y\sim\mathcal B(n,3/4)$, calculer les probabilités que $A$ soit inversible, diagonalisable.
2. Même question avec $X\sim\mathcal G(p_1)$, $Y\sim\mathcal G(p_2)$, $p_1,p_2\in]0,1[$.

Soient $p\in]0,1[$ et $(\varepsilon_k)_{k\in\N}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(p)$. Soit $r(n)$ le reste modulo $3$ et $X_{n+1}=r(X_n+2-\varepsilon_n)$, avec $X_0\in\{0,1,2\}$. Poser $V_n=(a_n,b_n,c_n)^T=(\P(X_n=0),\P(X_n=1),\P(X_n=2))$.

1. Justifier $a_n+b_n+c_n=1$.
2. Pour $Q=\begin{pmatrix}0&p&1-p\\1-p&0&p\\p&1-p&0\end{pmatrix}$, montrer $V_{n+1}=QV_n$.
3. Montrer que $Q$ est diagonalisable. La suite $(V_n)$ converge-t-elle ?

Soient $(X_k)_{k\geq1}$ i.i.d. et $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$.

1. Si $X_1$ est uniforme sur $\{1,\ldots,N\}$, calculer $\P(M_n<N)$ et montrer $\E(|M_n-N|^p)\to0$ pour tout $p\geq1$.
2. Si $X_1$ prend ses valeurs dans $0<x_1<\cdots<x_N$ et $\P(X_1=x_N)>0$, montrer $\E(|M_n-x_N|^p)\to0$ pour tout $p\geq1$.

Soient $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. uniformes sur $\{1,\ldots,N\}$. Poser $S_n=\sum X_k$, $m=\E(X_1)$, $V_n=(S_n-nm)/(\sqrt n\,\sigma(X_1))$ et $M_n(t)=\E(e^{tV_n})$. Montrer $M_n(t)\to e^{t^2/2}$ pour tout $t\in\R$.

Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser $S_0=0$, $S_n=S_{n-1}+X_n$ et $A_n=|S_n|$.

1. Déterminer la loi de $(S_n+n)/2$, puis $\E(S_n)$ et $\V(S_n)$.
2. Déterminer $A_n(\Omega)$.
3. Montrer $\E(A_{n+1})=\E(A_n)+\P(S_n=0)$. Indication : $|x+y|=|x|+\operatorname{sgn}(x)y$ pour $x\in\Z$, $y\in\{-1,1\}$.

Soient $(\varepsilon_n)_{n\geq2}$ i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$. Poser $X_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k+\varepsilon_k}$ et $I_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k}$.

1. Montrer qu'il existe $M\geq0$ tel que $|X_n-I_n|\leq M$.
2. Donner un équivalent simple de $I_n$.
3. Montrer que, pour tout $\varepsilon>0$, $\P(|2X_n/\ln^2 n-1|\geq\varepsilon)\to0$.

Pour $n\geq1$, soient $X_n,Y_n$ indépendantes uniformes sur $\{1,\ldots,n\}$ et $Z_n=|X_n-Y_n|$.

1. Calculer $\E(Z_n)$ et $\V(Z_n)$.
2. Déterminer le comportement asymptotique de ces suites.

Pour $X$ réelle à image finie, poser $L_X(t)=\E(e^{tX})$. Montrer que $L_X$ caractérise la loi de $X$.

Soient $(X_n)_{n\in\N}$ i.i.d. de loi $\mathcal B(2/3)$. Pour $k\geq1$, poser $A_k=(X_{2k-1}X_{2k}=0)$ et $T=\min\{k\geq1:X_{k-1}=X_k=0\}$.

1. Montrer $\P(\bigcap_{k\geq1}A_k)=1$ et en déduire $\P(T\in\N^*)=1$.
2. Donner une récurrence d'ordre 2 sur $\P(T=n)$.
3. Déterminer $\E(T)$, éventuellement à l'aide d'une fonction génératrice.

On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec probabilité $p\in]0,1[$. Soit $X$ le rang du premier pile. Sachant que le premier pile est au $k$-ième lancer, choisir $Z$ uniformément entre $1$ et $k$.

1. Donner la loi de $X$.
2. Poser $Y=1/(X(X+1))$. Montrer que $Y$ est d'espérance finie et la calculer.
3. Donner la loi de $Z$.
4. Calculer $\E(Z)$.

1. Soit $\alpha>0$. Montrer qu'il existe une variable $X$ à valeurs dans $\N$ telle que $G_X(t)=(2-t)^{-\alpha}$ pour tout $t\in[-1,1]$.
2. Donner un équivalent de $\P(X=n)$.

Poser $g(t)=\frac{e^t}{1+e-t}$.

1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ telle que $g=G_X$ sur $[-1,1]$.
2. La variance de $X$ est-elle définie ?

Soient $(X_n)_{n\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$ et $Y$ à valeurs dans $\N^*$, indépendant des $X_n$. Poser $W=\sum_{i=1}^Y X_i$.

1. Relation entre les fonctions génératrices de $X_1$ et $X_1+\cdots+X_n$.
2. Pour $s\geq0$, calculer $\E(s^W\mathbf1_{Y=n})$ et en déduire $G_W=G_Y\circ G_{X_1}$.
3. Calculer $\E(W)$ en fonction de $\E(X_1),\E(Y)$.
4. Si $X_1,Y$ admettent des variances, calculer $\V(W)$.
5. Si $X_1\sim\mathcal B(p)$, donner la loi de $W$ pour $Y\sim\mathcal G(q)$, puis pour $Y\sim\mathcal P(\lambda)$.

Soient $N\geq2$, $b\in\{0,\ldots,N\}$. Une urne contient initialement $b$ boules bleues et $N-b$ rouges. À chaque tour, tirer une boule et la remplacer par une boule de l'autre couleur. Soit $X_n$ le nombre de boules bleues après $n$ tours.

1. Exprimer $\P(X_{n+1}=i)$ en fonction de la loi de $X_n$.
2. Calculer $\E(X_n)$ et sa limite.
3. Pour $G_n(s)=\E(s^{X_n})$, trouver une relation entre $G_{n+1},G_n,G_n'$.
4. En déduire une récurrence sur $\V(X_n)$.

Centrale MP-MPI 2026

Algèbre

Soient $a=2^{1/3}$ et $L=\Q[a]$.

1. Définir un polynôme irréductible dans $K[X]$ et énoncer Bézout. Montrer que $X^3-2$ est irréductible sur $\Q$.
2. Montrer que $L$ est un $\Q$-espace vectoriel et un corps. En donner la dimension et une base.
3. Poser $B=1+a+a^2$. Montrer que $f:x\mapsto Bx$ est un automorphisme de $L$. Donner ses polynômes caractéristique et minimal.

1. Montrer que tout idéal non nul de $K[X]$, pour $K\subset\C$ un sous-corps, possède un unique générateur unitaire.
2. Pour un nombre algébrique $\alpha$, montrer qu'il existe un unique polynôme minimal unitaire $\mu_\alpha\in\Q[X]$ tel que $P(\alpha)=0\iff\mu_\alpha\mid P$ pour tout $P\in\Q[X]$.
3. Quels rationnels sont algébriques ? Donner leur polynôme minimal.
4. $\sqrt2$ est-il algébrique ? Donner son polynôme minimal.
5. Soient $\alpha,\beta$ algébriques de degrés $m,n$. Ordonner les $(\alpha^i\beta^j)_{0\leq i<m,0\leq j<n}$ en un vecteur $V$ et montrer qu'il existe $A,B\in M_{mn}(\Q)$ tels que $AV=\alpha V$, $BV=\beta V$. En déduire que $\alpha-\beta$ et $\alpha\beta$ sont algébriques.

1. Soient $G$ un groupe et $x\in G$ d'ordre fini. Rappeler $o(x)$ et montrer $x^k=1_G\iff o(x)\mid k$ pour $k\in\Z$.
2. Si $n\geq3$ et $a$ impair, montrer $a^{2^{n-2}}\equiv1\pmod{2^n}$. Le groupe $(\Z/2^n\Z)^\times$ est-il cyclique ?
3. En admettant que $(\Z/p\Z)^\times$ est cyclique pour $p$ impair premier, montrer que $(\Z/p^n\Z)^\times$ est cyclique pour $n\geq2$.

Soit $P\in\R[X]$ scindé à racines simples, de degré $n\geq2$.

1. Énoncer et démontrer Rolle dans $\R$.
2. Montrer que $P'$ est scindé à racines simples.
3. Montrer que $P$ n'a pas deux coefficients successifs nuls.
4. Montrer qu'aucun coefficient nul de $P$ n'est encadré par deux coefficients de même signe.

Déterminer les racines de $X^2+X-6$ dans $\R$, de $X^2+X+1$ dans $\Z/7\Z$, puis dans $\Z/21\Z$.

1. Si $A\in M_n(\C)$ est non inversible, montrer qu'il existe $B\neq0$ telle que $AB=BA=0$.
2. Montrer que $A\in M_n(\C)$ n'est pas inversible ssi il existe $B\neq0$ telle que $(A+B)^k=A^k+B^k$ pour tout entier $k\neq0$.

1. Énoncer et démontrer le petit théorème de Fermat.
2. Soit $\Omega$ l'ensemble des premiers $p$ tels qu'il existe $A\in M_2(\Z)$, $A\neq I_2$, vérifiant $\sum_{k=1}^pA^k=pI_2$. Montrer $\{2,3\}\subset\Omega$.
3. Si $p\in\Omega\setminus\{2,3\}$, montrer que $\det(A)\equiv0$ ou $1\pmod p$.
4. Déterminer $\Omega$.

On note $T_n^+(\C),T_n^-(\C)$ les matrices triangulaires supérieures, inférieures inversibles. Les mineurs principaux de $A$ sont les déterminants des sous-matrices extraites sur les $k$ premières lignes et colonnes. Poser (P1) : $A=LU$ avec $L\in T_n^-(\C),U\in T_n^+(\C)$ ; (P2) : tous les mineurs principaux sont non nuls.

1. Rappeler la caractérisation du rang par les matrices carrées extraites.
2. Montrer que toute matrice vérifiant (P1) ou (P2) est inversible.
3. Montrer que l'ensemble des matrices vérifiant (P2) est ouvert dans $M_n(\C)$.
4. Montrer que (P1) et (P2) sont équivalentes.

Soit $V$ complexe de dimension $n\geq2$ et $A\subset\mathcal L(V)$ un sous-espace stable par composition, transitif : $V=\{a(x):a\in A\}$ pour tout $x\neq0$.

1. Énoncer et démontrer le théorème du rang.
2. Montrer $\dim A\geq2$.
3. Pour $b\in A\setminus\{0\}$, poser $W=b(V)$ et $B=\{(b\circ u)|_W:u\in A\}$. Montrer que $B$ est stable par composition et transitif sur $W$.
4. Montrer que $A$ contient un élément non nul non inversible.
5. Montrer que $A$ contient un élément de rang $1$.
6. Montrer $A=\mathcal L(V)$.

Soit $E$ réel de dimension finie $n\geq2$, $\varphi\in\mathcal L(E,\R)$ non nulle, $a\neq0$, $f(x)=x+\varphi(x)a$.

1. Montrer que $f$ est un endomorphisme.
2. Déterminer ses éléments propres.

Soit $f\in\mathcal L(\C^n)$ tel que $f^2$ soit diagonalisable avec $p$ valeurs propres distinctes.

1. Si $\det(f^2)\neq0$, trouver un polynôme annulateur de $f$ et montrer que $f$ est diagonalisable.
2. Si $\det(f^2)=0$ et $\Ker(f^2)=\Ker f$, montrer que $f$ est diagonalisable.

Pour $M\in M_n(\C)$, poser $\rho(M)=\max_{\lambda\in\Sp(M)}|\lambda|$.

1. Montrer que $\rho(M)$ est bien défini.
2. Soit $A\in GL_n(\R)$ et $X_{k+1}=2X_k-X_kAX_k$. Pour une norme sous-multiplicative, montrer $\|X_{k+1}-A^{-1}\|\leq\|A\|\|X_k-A^{-1}\|^2$.
3. Montrer que si $X_k\to A^{-1}$, alors $\rho(AX_0-I_n)<1$.

1. Montrer qu'une matrice est diagonalisable ssi elle admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.

Soit $D=\begin{pmatrix}A&C\\0&B\end{pmatrix}$.

1. Si $D$ est diagonalisable, montrer que $A,B$ le sont.
2. Montrer qu'il existe $P=\begin{pmatrix}P_1&P_2\\0&P_3\end{pmatrix}$ inversible tel que $P^{-1}DP$ soit diagonale. En déduire qu'il existe $M$ telle que $C=MB-AM$.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A,B,C$ pour que $D$ soit diagonalisable.

Soit $N\in M_n(K)$ nilpotente.

1. Que dire de $\Sp(N)$ et $\chi_N$ ?
2. Si $P(0)=0$, montrer $P(N)$ nilpotente.
3. Si $P(0)\neq0$, montrer $P(N)$ inversible.
4. Si $P(0)=0$ et $P'(0)\neq0$, montrer que pour tout $k\geq2$, il existe $U_k,V_k\in K^{k-2}[X]$ vérifiant $U_k(0)=V_k(0)=0$ et $X^k\mid U_k\circ P(X)-X$, $X^k\mid P\circ V_k(X)-X$. En déduire qu'il existe une unique matrice nilpotente $A$ telle que $P(A)=N$.
5. Pour $P_k=(1+X/k)^k-1$, soit $N_k$ l'unique matrice nilpotente telle que $P_k(N_k)=N$. La suite $(N_k)$ converge-t-elle ?

1. Rappeler le lemme de décomposition des noyaux et en déduire $\C^n=\bigoplus_{\lambda\in\Sp(M)}\Ker(M-\lambda I_n)^{m(\lambda)}$, en précisant $m(\lambda)$.
2. Si $M\in M_3(\R)$ est diagonalisable, montrer qu'il existe $B\in M_3(\R)$ tel que $M=B^3$.
3. Faire de même si $M$ possède une valeur propre non réelle.
4. Décrire les matrices réelles $3\times3$ qui sont des cubes de matrices réelles.

Soit $E$ de dimension $n$, $f\in\mathcal L(E)$. On dit que $f$ est un $p$-cycle pour $a$ si $(f^i(a))_{0\leq i<p}$ est génératrice.

1. Montrer que les valeurs propres de $f$ sont les racines de $\pi_f$.
2. Si $f$ est un $p$-cycle, montrer $p\geq n$ et $\operatorname{rg}(f)\geq n-1$.
3. Montrer $\pi_f=\chi_f$.
4. Montrer que $f$ est cyclique ssi $\pi_f=\chi_f$.

Soient $E$ complexe de dimension $n$ et $u\in\mathcal L(E)$.

1. Montrer que les racines de $\pi_u$ sont ses valeurs propres.
2. Si $f$ est circulaire d'ordre $p$, montrer $p\geq n$, $\operatorname{rg}(f)=n$ et $\chi_f=\pi_f$.
3. Pour $f\in GL(E)$, montrer que $f$ est circulaire ssi $\chi_f$ divise $X^p-1$ pour un certain $p\geq1$.

Montrer que le produit de deux fonctions de carré intégrable sur $\R$ est intégrable et que ces fonctions forment un sous-espace vectoriel de l'espace des fonctions intégrables. On munit $E$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_\R P(x)Q(x)e^{-x^2}\,dx$. Poser $\psi_0(x)=e^{-x^2/2}$ et $L(\psi)=-\psi'+x\psi$ pour $\psi\in C^\infty(\R,\R)$.

1. Montrer que $L$ est un endomorphisme de $C^\infty(\R,\R)$.
2. Pour tout $n$, montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n$ de degré $n$ tel que $L^n(\psi_0)=P_n\psi_0$, puis un réel $\lambda_n$ tel que $-(L^n(\psi_0))''+x^2L^n(\psi_0)=\lambda_nL^n(\psi_0)$.
3. Montrer que $(P_n)$ est orthogonale.

Pour $u=(u_n)_{n\geq0}$, poser $D(u)=(u_{n+1}-u_n)_{n\geq0}$ et $F=\{u\in\R^\N:\sum_{n\geq0}u_n^2<+\infty\}$. Pour $u,v\in F$, poser $\langle u,v\rangle=\sum_{n\geq0}u_nv_n$.

1. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel et que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire.
2. $D$ est-elle injective ? surjective ? Déterminer ses valeurs propres et espaces propres.
3. Déterminer $\{\langle D(u),u\rangle/\langle u,u\rangle:u\in F\setminus\{0\}\}$.

1. Définir la somme directe et démontrer la caractérisation pour deux sous-espaces.

Soient $E$ de dimension $m$, $B:E\times E\to\R$ bilinéaire symétrique et une base $(e_i)$ telle que $B(e_i,e_i)=1$. Poser $b_{ij}=B(e_i,e_j)$, $\sigma_i(v)=v-2B(v,e_i)e_i$, $\varepsilon_1=e_1$ et $\varepsilon_i=\sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_{i-1}(e_i)$.

1. Montrer que $(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_m)$ est une base.
2. En déduire la matrice de $\tau=\sigma_1\circ\cdots\circ\sigma_m$ dans la base $(e_i)$ (indication : utiliser la matrice $C$ définie par $c_{ij}=2b_{ij}$ si $i<j$, $0$ sinon).

1. Rappeler la définition d'un produit scalaire euclidien.

Soient $a<b$, $\omega\in C^0(]a,b[,\R_{+}^{*})$ et $L^2(]a,b[)=\{f\in C^0(]a,b[,\R):\int_a^b f(x)^2\omega(x)\,dx<+\infty\}$, avec $\langle f,g\rangle=\int_a^b f(x)g(x)\omega(x)\,dx$.

1. Montrer que c'est un produit scalaire.
2. Montrer que pour tout $n$, il existe un unique polynôme unitaire $p_n$ de degré $n$ orthogonal à $\R_{n-1}[X]$.
3. Montrer que $p_n$ est scindé à racines simples dans $]a,b[$.
4. Montrer l'existence et l'unicité d'une formule de quadrature à $n+1$ points exacte pour les polynômes de degré au plus $2n+1$ mais pas pour tous ceux de degré $2n+2$.

Soit $E$ euclidien.

1. Si $p$ est un projecteur, montrer $E=\operatorname{Im}(p)\oplus\Ker(p)$ et donner $\operatorname{tr}(p)$.
2. Pour des projecteurs orthogonaux $p_1,\ldots,p_k$, poser $m=(p_1+\cdots+p_k)/k$. Montrer que $m$ est projecteur ssi tous les $p_i$ sont égaux.
3. Si $H=\{A_1,\ldots,A_k\}\subset GL_n(\R)$ est finie et stable par produit, montrer que $\operatorname{tr}(A_1+\cdots+A_k)$ est un multiple entier de $k$.

Soient $a\in\R$, $n\geq1$ et $A_n=\begin{pmatrix}1&-a/n\\a/n&1\end{pmatrix}$.

1. Trouver $r_n,\theta_n$ tels que $A_n=r_nR(\theta_n)$.
2. Calculer $\lim_{n\to+\infty}A_n^n$.

Soit $A\in\mathcal A_n(\R)$ et $\Phi(M)=\operatorname{tr}(M)A-M^T$ sur $M_n(\R)$.

1. Montrer que $\Phi$ est un automorphisme.
2. Montrer que $\Phi$ est diagonalisable et déterminer ses valeurs propres et sous-espaces propres.

1. Si $M\in\mathcal A_n(\R)$ et $n$ est impair, montrer que $0$ est la seule valeur propre réelle de $M$.
2. Montrer que $\chi_M$ et $n$ ont même parité.
3. Déterminer $\mathcal A_n(\R)\cap O_n(\R)$ pour $n=2$ puis $n=3$.

Poser $\widetilde O_n(\R)=\{M\in O_n(\R):-1\notin\Sp(M)\}$ et $\varphi(M)=(I_n-M)(I_n+M)^{-1}$.

1. Rappeler la réduction des isométries.
2. Déterminer l'adhérence de $\widetilde O_n(\R)$.
3. Montrer que $\varphi$ est une bijection de $\widetilde O_n(\R)$ sur $\mathcal A_n(\R)$ et déterminer sa réciproque.

1. Pour $E$ euclidien, montrer l'équivalence entre $f$ isométrie, $\langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$ pour tous $x,y$, et l'image d'une base orthonormée par $f$ est une base orthonormée.
2. Si $A\in S_n^+(\R)$, montrer $\operatorname{tr}(\Omega A)\leq\operatorname{tr}(A)$ pour tout $\Omega\in O_n(\R)$.
3. Réciproquement, sous cette inégalité, poser $\varphi(t)=\operatorname{tr}(Ae^{tV})$ avec $V\in\mathcal A_n(\R)$ et montrer que $\varphi$ a un extremum local en $0$.
4. En déduire $A\in S_n^+(\R)$.
5. Si $G$ est un sous-groupe compact de $GL_n(\R)$ contenant $O_n(\R)$, montrer $G=O_n(\R)$.

1. Montrer $\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)$.
2. Soit $q:M_n(\R)\to\R$ invariante par similitude et associée à une forme bilinéaire symétrique $\beta$, avec $q(M)=\beta(M,M)$. Vérifier que $\operatorname{tr}(M^2)$ et $\operatorname{tr}(M)^2$ vérifient ces hypothèses et montrer l'unicité de $\beta$.
3. Pour $A=A_1+iA_2$ avec parties réelles $A_1,A_2$, prolonger $q$ par $\widetilde q(A)=q(A_1)-q(A_2)+2i\beta(A_1,A_2)$. Montrer qu'elle est associée à une forme bilinéaire symétrique complexe et invariante par similitude.

Analyse

1. Rappeler la définition de la densité et montrer $GL_n(\R)$ dense dans $M_n(\R)$.
2. Soit $N:M_n(\R)\to\R$ telle que $N(A)\geq0$, $N(\lambda A)\leq|\lambda|N(A)$, $N(A+B)\leq N(A)+N(B)$. Montrer que $N$ est lipschitzienne.
3. Déterminer les $N$ vérifiant ces propriétés et invariantes par similitude.

Soit $H$ l'ensemble des parties $X\subset\R$ telles que toute fonction continue $X\to\R$ soit uniformément continue. $X$ est espacée s'il existe $\delta>0$ tel que $(x-\delta,x+\delta)\cap X=\{x\}$ pour tout $x\in X$.

1. Démontrer Heine.
2. Donner un exemple explicite montrant $]0,1]\notin H$.
3. Montrer que toute partie espacée appartient à $H$.
4. Construire $X\in H$ et $f:X\to\R$ continue telle que $f(X)\notin H$.
5. Montrer que tout élément de $H$ est fermé dans $\R$.

Soit $(E,\|\cdot\|)$ normé.

1. Rappeler les définitions de segment, ensemble convexe, frontière, et montrer que $\operatorname{conv}(A)$ (intersection des convexes contenant $A$) est convexe et contient $A$.
2. Si $K\subset E$ est convexe compact et $x\in K\setminus\partial K$, $x\neq0$, poser $D=\operatorname{Vect}(x)$. Montrer $D\cap K=[y,z]$ pour $y,z\in\partial K$.
3. Si $K$ est compact convexe d'intérieur non vide, montrer $K=\operatorname{conv}(\partial K)$.

1. Définir la convexité d'une fonction et la caractériser par $f'$ lorsqu'elle est dérivable.
2. Pour $\ell^p=\{x\in\R^\N:\sum|x_n|^p<+\infty\}$, montrer que c'est un espace vectoriel normé pour $\|x\|_p=(\sum_{n\geq0}|x_n|^p)^{1/p}$.
3. Trouver une suite $(x_k)$ dont le sous-espace engendré est dense dans $\ell^p$, puis une partie dénombrable dense.

Soient $E$ normé, $X$ compact et $f:E\to E$ continue. Que peut-on dire de $f(X)$ ? On suppose ensuite $f(X)\subset X$ et $\|f(x)-f(y)\|\geq\|x-y\|$ sur $X$.

1. Pour $a\in X$, poser $u_0=a$, $u_{n+1}=f(u_n)$. Montrer qu'une sous-suite converge vers $a$.
2. Montrer $\|f(a)-f(b)\|=\|a-b\|$ pour tous $a,b\in X$, puis que $f$ est bijective.

Pour $K=\R$ ou $\C$, munir $K^n$ de la norme euclidienne et noter $\|\!|\!|M\|\!|\!|_K=\sup_{\|x\|_K=1}\|Mx\|_K$.

1. Montrer que c'est une norme sur $M_n(K)$.
2. Pour $x\in\C^n$, montrer $\|x\|_\C^2=\|\Re x\|_\R^2+\|\Im x\|_\R^2$, puis que les normes subordonnées réelle et complexe coïncident pour $M\in M_n(\R)$.
3. Si $\|\!|\!|N-I_n\|\!|\!|_\R<1$, montrer que les valeurs propres $\lambda$ vérifient $|\lambda-1|<1$, puis que $N$ est inversible.
4. Montrer $\sum_{k\geq0}(I_n-N)^k=N^{-1}$ et la borne correspondante. Montrer ensuite $\Re(\lambda)>0$, donc $\det N>0$.

Munir $\C^n$ d'une norme et considérer sa norme subordonnée sur $M_n(\C)$.

1. La définir, montrer que c'est une norme sous-multiplicative.
2. Pour $A$ inversible, $A+\widetilde A$ inversible, $Ax_0=b$ et $(A+\widetilde A)x_p=b$, établir

$$\frac{\|x_0-x_p\|}{\|x_p\|}\leq\kappa(A)\frac{\|\!|\!|\widetilde A\|\!|\!|}{\|\!|\!|A\|\!|\!|},\qquad \kappa(A)=\|\!|\!|A\|\!|\!|\|\!|\!|A^{-1}\|\!|\!|.$$

1. Si $\|\!|\!|\widetilde A\|\!|\!|<1/\|\!|\!|A^{-1}\|\!|\!|$, $b\neq0$ et $(A+\widetilde A)x_p=b+\widetilde b$, établir la borne d'erreur avec $\widetilde A,\widetilde b$. Montrer qu'il peut y avoir égalité pour des choix optimaux.

1. Définir un polynôme simplement scindé, en donner et démontrer une caractérisation. Dans la suite $P=X^3+aX+b\in\C[X]$.
2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b$ pour que $P$ soit simplement scindé.
3. Si $a,b\in\R$, donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\{(x,y)\in\R^2:y^2=P(x)\}$ soit connexe par arcs.

1. Énoncer et démontrer l'égalité des accroissements finis.
2. Pour $f(x)=\sin(x)/x$ sur $\R^*$, montrer que son prolongement en $0$ est $C^\infty$ et que toutes ses dérivées sont bornées.
3. Soient $T>0$, $N\geq1$, $h=T/N$, $(\varepsilon_k)_{0\leq k<N}\subset\R$, $y_0=z_0$ et $y_{k+1}=y_k+hf(y_k)$, $z_{k+1}=z_k+hf(z_k)+\varepsilon_k$. Montrer $|z_k-y_k|\leq e^{Tk}\sum_{i=0}^{k-1}|\varepsilon_i|$.

Montrer l'existence et calculer $\int_0^1\frac{\ln(1-x^2)}{x^2}\,dx$.

1. Définir les convergences simple et uniforme, puis montrer que la limite uniforme de fonctions continues sur $[0,1]$ est continue.
2. Si $f_n\in C([0,1])$ converge simplement vers une fonction continue et si $(f_n(x))_n$ est croissante pour tout $x$, montrer que la convergence est uniforme.
3. Poser $P_0=0$ et $P_{n+1}(x)=P_n(x)+(x-P_n(x))^2/2$. Montrer que $(P_n)$ converge uniformément vers $\sqrt{x}$ sur $[0,1]$.

Pour $n\geq1$, poser $u_n(x)=\frac{\ln(1+n^2x^2)}{n^2\ln(1+n)}$ et $S=\sum_{n\geq1}u_n$.

1. Déterminer le domaine de définition $D$ de $S$.
2. Montrer que $S$ est continue sur $D$.
3. Montrer que $\sum u_n'$ converge sur $D$.
4. Montrer que $S$ est de classe $C^1$ sur $D$.

Pour $n\geq1$, soit $\varphi_n$ nulle hors de $[1/(n+1),1/n]$, affine sur chaque moitié de cet intervalle et de valeur $1/n$ au milieu. Fixer une bijection $f:\N\to\Q$.

1. Montrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions continues est continue.
2. Montrer que $u_n(t)=\sum_{k\in\N}\varphi_n(t-f(k))2^{-k}$ est continue.
3. Pour $m_n(t)=\min\{k\in\N:f(k)+1/(n+1)\leq t\leq f(k)+1/n\}$, montrer $\sum_{n\geq1}2^{-m_n(t)}\leq2$.
4. Montrer que $\sum u_n$ converge uniformément sur $\R$.
5. Montrer que cette série ne converge pas normalement sur $\R$.

Soit $(a_n)$ telle que $a_n>-1$ et $\sum a_n^2$ converge. Poser $p_n=\prod_{k=1}^n(1+a_k)$.

1. Rappeler le théorème de convergence radiale d'Abel.
2. Montrer que $(p_n)$ converge vers une limite strictement positive si et seulement si $\sum a_n$ converge.
3. Construire $(b_n)$ avec $b_n=O(a_n^2)$ telle que, pour $x\in[0,1]$,

$$\left|\ln(1+a_nx^n)-\ln(1+a_n)+\frac{a_n}{1+a_n}(1-x^n)\right|\leq b_n(1-x^n).$$

1. Si $\sum a_n$ converge, montrer $\prod_{n\geq0}(1+a_nx^n)\to\prod_{n\geq0}(1+a_n)$ quand $x\to1^-$.

Pour $k\in\N$, poser $f_k(x)=\sin((k!)^2x)/k!$ et $W=\sum_{k\geq0}f_k$.

1. Montrer que $W$ est définie sur $\R$ et continue. Poser $W_n=\sum_{k=0}^nf_k$ et $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}f_k$ ; montrer $|R_n(t)|\leq2/(n+1)!$.
2. Pour $x\in\R$, poser $I_n=]x+\pi/(n!)^2,x+3\pi/(n!)^2[$. Montrer que, pour $y\in I_n$, $|W_{n-1}(x)-W_{n-1}(y)|\leq4\pi/(n\,n!)$.
3. Montrer qu'il existe $x_n\in I_n$ tel que $|f_n(x)-f_n(x_n)|=1/n!$.
4. En déduire que $W$ n'est dérivable en aucun point.

Déterminer le rayon de convergence et la somme de $\sum_{n\geq0}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}$.

1. Rappeler la définition du rayon de convergence d'une série entière.
2. Pour $r\in\N$, déterminer le rayon de convergence de $\sum_{k\geq0}\frac{k^r}{k!}x^k$.
3. Si $\alpha_n$ est le nombre de partitions de $\{1,\ldots,n\}$ et $\alpha_0=1$, calculer $\alpha_1,\ldots,\alpha_4$.
4. Montrer $\alpha_{n+1}=\sum_{i=0}^n\binom ni\alpha_i$.
5. Calculer le rayon de convergence de $\sum\alpha_i x^i$.
6. Calculer le rayon de convergence et la somme de $\sum_{i\geq0}\frac{\alpha_i}{i!}x^i$.

1. Soient $f,g:\R\to\R$ continues par morceaux avec $f=o(g)$ à $+\infty$. Donner et démontrer des conditions suffisantes pour que $\int_x^{+\infty}f(t)\,dt=o(\int_x^{+\infty}g(t)\,dt)$.
2. Pour $H(x)=e^{x^2}\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,dt$, montrer que $H$ est développable en série entière sur $\R$ et donner son développement.
3. Étudier les variations, la convexité et les limites de $H$ en $\pm\infty$.

1. Montrer qu'une série entière de rayon $R$ converge normalement sur tout disque fermé de rayon $r<R$.

On suppose ensuite $a_n=O(1/n)$ et $F(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n\to0$ quand $x\to1^-$, et on pose $g=\mathbf1_{[1/2,1]}$, $N(x)=\lfloor-\ln2/\ln x\rfloor$.

1. Montrer $\sum_{n\geq0}a_ng(x^n)=\sum_{n=0}^{N(x)}a_n$ pour $x\in[0,1[$.
2. Si $P\in\R[X]$, $P(0)=0$, montrer que $\sum a_nP(x^n)$ converge et tend vers $0$ quand $x\to1^-$.
3. Pour $P_1\leq g\leq P_2$ sur $[0,1]$, avec $P_1(0)=P_2(0)=0$, établir l'inégalité de comparaison donnée par $\sum|a_n|(P_2(x^n)-P_1(x^n))$ et vérifier que le majorant est fini.
4. Montrer qu'on peut choisir $P_i=X+X(1-X)Q_i$ avec $\int_0^1(Q_2-Q_1)\leq\varepsilon$.
5. En déduire que $\sum a_n$ converge.

1. Énoncer le théorème du produit de Cauchy pour les séries entières.
2. Si $A,B$ partitionnent $\N$, poser $A(x)=\sum_{a\in A}x^a$, $B(x)=\sum_{b\in B}x^b$. Montrer qu'elles sont définies sur $]-1,1[$ et calculer $A(x)+B(x)$.
3. Poser $r_A(n)=\operatorname{card}\{(p,q)\in A^2:p+q=n,\ p\neq q\}$. Montrer $\sum r_A(n)x^n=A(x)^2-A(x^2)$.
4. Si $r_A(n)=r_B(n)$ pour tout $n$, montrer $A(x)-B(x)=(1-x)(A(x^2)-B(x^2))$.
5. Poser $D=A-B$ et supposer $0\in A$. Montrer $D(x)=D(x^{2^N})\prod_{k=0}^{N-1}(1-x^{2^k})$.
6. En déduire que $A$ est l'ensemble des entiers dont l'écriture binaire comporte un nombre pair de $1$.

Soit $d_n$ le nombre de dérangements de $\{1,\ldots,n\}$.

1. Montrer $|\mathfrak S_n|=n!$.
2. Pour $D(z)=\sum_{n\geq0}d_nz^n/n!$, montrer $n!=\sum_{k=0}^n\binom nkd_{n-k}$.
3. Montrer que son rayon de convergence est au moins $1$, puis calculer $D(t)e^t$.
4. En déduire $d_n=n!\sum_{k=0}^n(-1)^k/k!$.

Pour $S_p(n)$ le nombre de surjections de $\{1,\ldots,n\}$ sur $\{1,\ldots,p\}$, poser $S(x,y)=\sum_{n,p\geq0}S_p(n)x^ny^p/(n!p!)$.

1. Montrer que, pour $y\in]-1,1[$, cette série en $x$ a un rayon strictement supérieur à $1/e$.
2. Montrer $p^n=\sum_{k=0}^p\binom pkS_k(n)$.
3. Montrer $S(x,y)=\exp(y(e^x-1))$ pour $(x,y)\in]-1/e,1/e[\times]-1,1[$.
4. En déduire $S_p(n)=\sum_{k=0}^p(-1)^{p-k}\binom pk k^n$.

Soient $(a_n)\in\C^\N$, $(b_n)\in(\R_+^*)^\N$, avec $a_n/b_n\to\ell\in\C$. Poser $f(z)=\sum a_nz^n$, $g(z)=\sum b_nz^n$ et noter $R,R'$ leurs rayons de convergence.

1. Rappeler la définition du rayon de convergence.
2. On suppose $R'=1$ et $\sum b_n$ diverge. Montrer $R\geq R'$, donner une condition suffisante sur $\ell$ pour $R=R'$, puis montrer $g(x)\to+\infty$ et $f(x)/g(x)\to\ell$ lorsque $x\to1^-$.

1. Démontrer l'interversion limite-intégrale dans le cas de convergence uniforme.
2. Soit $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n$ de rayon infini. Pour $r>0$, calculer $\int_0^{2\pi}f(re^{it})e^{-ipt}\,dt$. En déduire que si $f$ est bornée sur $\C$, elle est constante.
3. S'il existe une suite $(z_k)\to0$ avec $f(z_k)=0$ pour tout $k$, montrer que $f$ est nulle.

Soit $I_n=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(t/n)}{t(1+t^2)}\,dt$ pour $n\geq1$.

1. Montrer que $I_n$ est bien définie.
2. Donner un équivalent simple quand $n\to+\infty$.

1. Rappeler le développement en série entière de $\arctan$ et son rayon de convergence.
2. Poser $I=\int_0^1\frac{\arctan(t)}{\sqrt t}\,dt$. Exprimer $I$ sous forme de somme.
3. Calculer $J=\sum_{k\geq0}\frac{(-1)^k}{4k+3}$ et en déduire $I$.

Considérer $(E):y''+y=c$, où $c\in C^0(\R,\R)$ est $2\pi$-périodique.

1. Énoncer Cauchy-Lipschitz linéaire et exprimer une solution particulière sous forme intégrale.
2. Si $f\in C^2(\R,\R)$ vérifie $f''+f\geq0$, montrer $f(t)+f(t+\pi)\geq0$.
3. Sur les fonctions continues $2\pi$-périodiques, utiliser $\langle f,g\rangle=\int_0^{2\pi}f(t)g(t)\,dt$ pour montrer l'équivalence : $c\in\operatorname{Vect}(\cos,\sin)^\perp$ ; toute solution est $2\pi$-périodique ; $(E)$ admet une solution $2\pi$-périodique.

1. Énoncer Cauchy linéaire.
2. Étudier son application à $(E):xy''+y'+y=0$, après mise sous forme normalisée, notamment en $x=0$.
3. Chercher une solution développable en série entière et déterminer son rayon de convergence. Préciser son domaine et vérifier l'équation.
4. Justifier que les solutions sur $]0,+\infty[$ forment un espace vectoriel de dimension $2$. Cauchy s'applique-t-il en $x_0=0$ ?
5. Existe-t-il une seconde solution non proportionnelle à $f$ ? On pourra chercher $g=f\ln x+h$ avec $h$ en série entière et comparer les comportements en $0^+$.

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie.

1. Rappeler la formule d'intégration le long d'un arc.
2. Soit $A\neq\varnothing$, $f:A\to A$ $k$-lipschitzienne avec $k\in[0,1[$. Pour $x_0=x$, $x_{n+1}=f(x_n)$, montrer la convergence vers l'unique point fixe.
3. Soit $\Omega$ ouvert contenant $0$ et $f:\Omega\to E$ de classe $C^1$, avec $f(0)=0$, $df(0)=\operatorname{id}$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour $r\in]0,\alpha]$, $(f-\operatorname{id})(B_r)\subset B_{r/2}$ et $f-\operatorname{id}$ est $1/2$-lipschitzienne sur $B_r$.
4. En déduire $B_{r/2}\subset f(B_r)$.

Probabilités

Soient $n,p,k\in\N$ tels que $0<k\leq p\leq nk$.

1. Expliciter la fonction génératrice de la loi uniforme sur $\{1,\ldots,n\}$.
2. Montrer $\frac1{(1-x)^k}=\sum_{r\geq0}\binom{r+k-1}{k-1}x^r$ pour $x\in]-1,1[$.
3. On lance $k$ fois un dé équilibré à $n$ faces numérotées de $1$ à $n$. Calculer la probabilité d'obtenir une somme égale à $p$.

$n$ personnes passent sous un échafaudage ; chacune est touchée par une goutte avec probabilité $p\in]0,1[$. Soient $X$ et $Y$ les nombres de personnes touchées et non touchées.

1. Donner leurs lois et dire si elles sont indépendantes.
2. Si le nombre $N$ de personnes suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$, donner les lois de $X,Y$, puis $\E(X)$ et $\V(X)$.
3. Montrer que $X,Y$ sont indépendantes.
4. Calculer $\operatorname{Cov}(X,N)$. $X,N$ sont-elles indépendantes ?

Soit $\mathfrak S_n$ l'ensemble des bijections de $\{1,\ldots,n\}$ et $T$ l'ensemble des transpositions.

1. Montrer que $\mathfrak S_n$ est engendré par $T$.

Pour $p\geq1$, choisir uniformément $2p$ entiers dans $\{1,\ldots,n\}$, notés $X_1,Y_1,\ldots,X_p,Y_p$, et poser $S=(X_1Y_1)\circ\cdots\circ(X_pY_p)$.

1. Décrire l'espace probabilisé.
2. La variable aléatoire $S$ peut-elle suivre une loi uniforme sur $\mathfrak S_n$ ?

Une plateforme mobile part de $0$ sur $\Z$ et à chaque étape avance de $+1$ avec probabilité $p$, de $-1$ avec $q=1-p$. Soit $X_n$ sa position à l'étape $n$.

1. Calculer $\P(X_n=0)$.
2. Déterminer la loi de $X_n$.
3. Calculer $\operatorname{Cov}(X_n,X_k)$ pour $k\leq n$.

1. Énoncer et démontrer la loi faible des grands nombres.
2. Soit $A=\Z[\sqrt2]=\{a+b\sqrt2:(a,b)\in\Z^2\}$. Montrer que $A$ est un anneau et déterminer ses inversibles, puis montrer que $A$ est dense dans $\R$.

1. Rappeler la définition d'une distribution de probabilités sur $\N$.
2. Soit $(u_n)$ réelle avec $u_0=1$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(u_n-u_{n+1})$ soit une distribution. Soit alors $X$ de loi $\P(X=n)=u_n-u_{n+1}$.
3. Étudier les liens logiques entre $\E(X)<+\infty$ et l'existence de $\rho\in]0,1[$ tel que $u_n=O(\rho^n)$.

1. Rappeler la loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ et donner son espérance et sa variance.
2. Si $X_1,\ldots,X_n$ sont indépendantes de loi $\mathcal P(1)$, donner la loi de leur somme $S_n$.

3. Pour $a<b$, poser $x_{n,k}=(k-n)/\sqrt n$ et $I_n=\{k\in\N:x_{n,k}\in[a,b]\}$.

   1. Montrer que $\min I_n=i_n$ et $\max I_n=j_n$ existent pour $n$ assez grand et que $[a,b]\subset\bigcup_{k=i_n-1}^{j_n}[x_{n,k},x_{n,k+1}[$.
   2. On admet que les fonctions en escalier construites à partir de $\sqrt n\,\P(S_n=k)$ convergent uniformément sur $[a,b]$ vers $\eta(t)=e^{-t^2/2}/\sqrt{2\pi}$. En déduire $\P((S_n-n)/\sqrt n\in[a,b])\to\int_a^b\eta(t)\,dt$.
   3. Démontrer le résultat admis en utilisant Stirling.

Soit $X\sim\mathcal P(\lambda)$, $\lambda>0$.

1. Montrer que $X$ est intégrable et calculer son espérance.
2. Calculer $\varphi_X(t)=\E(e^{itX})$.
3. Pour $k\in\N$, montrer $\int_{-\pi}^{\pi}\exp(k(e^{it}-1-it))\,dt=2\pi k^k e^{-k}/k!$.
4. En admettant $\int_\R e^{-u^2/2}\,du=\sqrt{2\pi}$, retrouver Stirling.

1. Rappeler l'inégalité triangulaire dans $\C$ et son cas d'égalité.
2. Si $X\geq0$ est d'espérance nulle, que peut-on dire de $X$ ? Le démontrer.
3. Si $X$ est de variance finie et $\V(X)=0$, que peut-on dire ? Le démontrer.

Soit $X$ à valeurs dans $\Z$ et à support fini, $(X_i)$ i.i.d. de même loi, $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$, $g_n(t)=\E(e^{itS_n})$ et $f(t)=\E(e^{itX})$.

1. Montrer que $f,g_n$ sont bien définies et continues, et préciser le lien entre elles.
2. Montrer $\P(S_n=k)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)^ne^{-ikt}\,dt$.
3. Si $\P(X=0),\P(X=1)>0$, montrer $|f(t)|<1$ pour $t\in[-\pi,\pi]\setminus\{0\}$, donner un DL à l'ordre 2 de $|f(t)|^2$ en 0 et établir $\sup_{k\in\Z}\P(S_n=k)\leq c/\sqrt n$.

Soit $\sigma_n$ uniforme sur le groupe $\mathfrak S_n$. Les orbites de $x$ sont $O(x,\sigma)=\{\sigma^k(x):k\in\Z\}$.

1. Rappeler la définition d'une partition et montrer que les orbites partitionnent $\{1,\ldots,n\}$.
2. Noter $C_n$ le nombre d'orbites, $N_{k,n}$ le nombre d'orbites de taille $k$ et $L_i$ la taille de l'orbite de $i$. Déterminer la loi de $L_1$, calculer $\E(C_n)$ et en donner un équivalent.
3. Calculer $\V(C_n)$ et son équivalent, montrer $C_n/\ln n\to1$ en probabilité, puis montrer $N_{k,n}$ converge en loi vers $\mathcal P(1/k)$ pour tout $k\geq1$.

Soit $A\in S_n^{++}(\R)$, de valeurs propres ordonnées $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$, et une base orthonormée de vecteurs propres $(e_i)$. Soit $X=\sum x_ie_i$ de norme $1$.

1. Énoncer et démontrer Cauchy-Schwarz dans un espace préhilbertien.
2. Pour $\lambda_i>0$, montrer $(\sum x_i^2)^2\leq(\sum\lambda_ix_i^2)(\sum x_i^2/\lambda_i)$.
3. Construire $U$ telle que $\P(U=\lambda_i)=x_i^2$.
4. Montrer $\E(1/U)\leq(\lambda_1+\lambda_n-\E(U))/(\lambda_1\lambda_n)$.
5. En déduire $1\leq(X^TAX)(X^TA^{-1}X)\leq(\lambda_1+\lambda_n)^2/(4\lambda_1\lambda_n)$.

Centrale PSI 2026

Algèbre

Soient $n\geq2$ et $E=M_n(\R)$.

1. Calculer $E_{i,j}E_{p,\ell}$.
2. Pour $K,L\in E$, poser $u_{K,L}(M)=KM-ML$. Calculer $\operatorname{tr}(u_{K,L})$.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $u_{K,L}=0$.

1. Pour $M_0=(m_{ij})$ et $M_x=(m_{ij}+x)$, montrer qu'il existe $\alpha\in\R$ tel que $\det(M_x)=\alpha x+\det(M_0)$.
2. Pour $A_{a,b,c}=(a_{ij})$ définie par $a_{ii}=a$, $a_{ij}=b$ si $i<j$ et $a_{ij}=c$ si $i>j$, calculer son déterminant si $b\neq c$, puis si $b=c$.

Soit $A\in M_n(\R)$ triangulaire supérieure de diagonale $(1,2,\ldots,n)$. Étudier les solutions de $M^2=A$.

1. Résoudre pour $n=2$ et $A=\begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$.
2. Pour $n=2$ et $A$ quelconque satisfaisant les hypothèses, donner le nombre de solutions.
3. Pour $n$ quelconque, donner le nombre de solutions et dire si elles sont toutes triangulaires supérieures.

1. Dans la base canonique $(e_1,e_2)$ de $\R^2$, soit $p$ le projecteur sur $\operatorname{Vect}(e_1)$ parallèlement à $\operatorname{Vect}(e_1+e_2)$. Donner sa matrice $A$ et déterminer les $B$ telles que $AB-BA=B$.
2. Pour $f\in\mathcal L(E)$, poser $\psi_f(g)=f\circ g-g\circ f$. Si $\psi_f(g)=g$ pour un $g\neq0$, montrer $\psi_f(g^k)=kg^k$ pour $k\geq1$, puis en déduire qu'une puissance de $g$ est nulle.

Dans la base canonique $\varepsilon$ de $\R^3$, poser $e_1=\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $e_2=-\varepsilon_1/4+\varepsilon_2/4$, $e_3=\varepsilon_1+\varepsilon_2$, et soit $f$ représenté par $\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&3&-3\\-2&2&-2\end{pmatrix}$.

1. Montrer que $e=(e_1,e_2,e_3)$ est une base et déterminer la matrice de $f$ dans cette base.
2. $f$ est-il diagonalisable ? Montrer $\R^3=\Ker(f^2)\oplus\Ker(f-2\operatorname{id})$ et donner des bases de ces noyaux.
3. Si $g^2=f$, que dire de la matrice de $g$ dans la base $e$ ?

Soit $S=\begin{pmatrix}5&-3\\3&-5\end{pmatrix}$.

1. Montrer que $S$ est semblable à une matrice diagonale et la préciser.
2. Montrer qu'elle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
3. À l'aide de $\Phi(M)=\operatorname{diag}(1,2)M-M\operatorname{diag}(1,2)$, trouver $A,B$ telles que $S=AB-BA$.

Soit $M\in M_n(\R)$ nilpotente.

1. Montrer $M^n=0$.
2. Soient $\lambda_1\neq\lambda_2$ et $n=m_1+m_2$, avec $m_i\geq1$. Poser $A=\operatorname{diag}(\lambda_1I_{m_1}+N_1,\lambda_2I_{m_2}+N_2)$, où $N_1,N_2$ sont nilpotentes. Exprimer $\chi_A$ avec $\chi_{N_1},\chi_{N_2}$ et donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.

Soit $A\in GL_n(\C)$.

1. Définir le polynôme minimal $\pi_A$ et exprimer $\pi_{A^{-1}}$ en fonction de $\pi_A$.
2. Pour $P=\sum_{k=0}^da_kX^k$, poser $P^*=\sum_{k=0}^da_{d-k}X^k$. Pour $n=2$, donner une condition nécessaire et suffisante sur $\pi_A,\pi_A^*$ pour que $A$ soit semblable à $A^{-1}$.
3. Pour $n\geq3$ et $A$ diagonalisable, montrer que cette condition n'est plus suffisante, puis donner une condition nécessaire et suffisante.

Munir $\R_n[X]$ du produit scalaire $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$.

1. Vérifier que c'est un produit scalaire.
2. Montrer que la distance de $X^n$ à $\R_{n-1}[X]$ est atteinte en un unique $P_n\in\R_{n-1}[X]$. Écrire $P_n=\sum_{j=0}^{n-1}a_jX^j$ et $f(t)=1/(t+n+1)-\sum_{j=0}^{n-1}a_j/(t+j+1)$.
3. Calculer $f(k)$ pour $k=0,\ldots,n-1$.
4. Montrer qu'il existe $Q\in\R_n[X]$ tel que $Q(t)=\prod_{j=0}^n(t+j+1)f(t)$ sur $\R_+$.
5. En déduire la distance cherchée.

Soient $E,F$ euclidiens et $f\in\mathcal L(E,F)$.

1. Pour $y\in F$, montrer qu'il existe un unique $(x,z)\in(\Ker f)^\perp\times(\operatorname{Im}f)^\perp$ tel que $y=f(x)+z$.
2. Associer à $y$ le $x$ de cette décomposition. Montrer que l'application obtenue est linéaire et déterminer son noyau et son image.
3. Montrer que $g\circ f$ et $f\circ g$ sont des projecteurs et les caractériser.

1. Montrer que $\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(A^TB)$ est un produit scalaire sur $M_3(\R)$.
2. Soit $F$ l'espace des matrices dont la troisième ligne est nulle. Calculer $d(M,F)$.
3. Si $A\in SO_3(\R)$, calculer $d(A,F)$ puis $d(SO_3(\R),F)$.

1. Décrire $O_2(\R)$ et $SO_2(\R)$ et montrer que tout élément de $SO_2$ est produit de deux éléments de $O_2\setminus SO_2$.
2. Soit $E$ euclidien de dimension $4$ et $u$ une isométrie sans vecteur propre. En étudiant $M+M^T$, montrer qu'il existe un plan stable par $u$, puis une base orthonormée où $u$ a une forme bloc-diagonale $\operatorname{diag}(R_1,R_2)$ avec des rotations planes.

Soient $E$ euclidien et $p,q$ des projecteurs orthogonaux.

1. Montrer que $p$ est autoadjoint et $1$-lipschitzien.
2. Montrer que $\chi_{p+q}$ est scindé dans $\R[X]$ et $\Sp(p+q)\subset[0,2]$.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $p+q$ soit un projecteur.

Sur $\R_n[X]$, poser $\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}P(t)Q(t)\,dt$ et $\varphi(P)=(1-X^2)P''+(2X-1)P'$.

1. Montrer que $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est un produit scalaire.
2. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme autoadjoint et en déduire une unique base propre $(P_0,\ldots,P_n)$ avec $P_k$ unitaire de degré $k$.
3. Expliciter les $P_k$.

Soient $E$ euclidien, $e$ une base orthonormée et $u$ un endomorphisme dont la matrice $M$ commute avec $M^T$.

1. Montrer que la matrice $N$ de $u$ dans toute autre base orthonormée vérifie $N^TN=NN^T$.
2. Montrer que si $F$ est stable par $u$, alors $F^\perp$ l'est aussi.
3. Si $u$ est trigonalisable, montrer qu'il est diagonalisable et autoadjoint.

1. Si $u$ est autoadjoint sur un espace euclidien et $\lambda_1$ sa plus petite valeur propre, montrer $\lambda_1=\min_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.
2. Soient $D=\operatorname{diag}(0,1,\ldots,p-1)$, $J$ la matrice de tous les $1$ et $M=D+\frac1nJ$. Montrer pour $x=(x_1,\ldots,x_p)^T$ que $\langle u(x),x\rangle=s^2/n+\sum_{k=1}^{p-1}kx_{k+1}^2$, où $s=\sum x_i$, puis encadrer $\lambda_1$ dans $[0,p-1]$.

Soient $E$ euclidien de dimension $n$ et $f\in\mathcal L(E)$.

1. Justifier l'existence d'une base orthonormée.
2. Montrer l'équivalence entre $\langle f(x),y\rangle=-\langle x,f(y)\rangle$ pour tous $x,y$ et l'existence d'une base orthonormée dans laquelle la matrice de $f$ est antisymétrique.
3. Montrer que le rang de $f$ est pair.

1. Si $A=P DQ$ avec $P,Q$ orthogonales et $D$ diagonale à coefficients positifs, montrer que les valeurs propres de $A^TA$ sont les coefficients diagonaux de $D^2$.
2. Pour toute matrice réelle $A$, montrer $\Sp(A^TA)\subset\R_+$.
3. Montrer que $\operatorname{rg}(A)$ est le nombre de valeurs propres non nulles de $A^TA$, comptées avec multiplicité.

Une contraction d'un espace euclidien est un endomorphisme $f$ tel que $\|f(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x$.

1. Si $f$ est autoadjoint, montrer l'équivalence entre être une contraction et $|\lambda|\leq1$ pour tout $\lambda\in\Sp(f)$.
2. Pour $P\in\R[X]$, montrer $\|P(f)(x)\|\leq\sup_{\lambda\in\Sp(f)}|P(\lambda)|\,\|x\|$.
3. Si $f$ est un automorphisme de matrice $M$, montrer qu'il existe $S$ symétrique définie positive telle que $M^TM=S^2$.

Poser $B_n(\R)=\{A\in M_n(\R):\chi_A=\prod_{i=1}^n(X-a_{ii})\}$.

1. Montrer que $B_n(\R)$ est non vide.
2. Si $A$ est symétrique de valeurs propres $\alpha_i$, montrer $\sum_{i,j}a_{ij}^2=\sum_i\alpha_i^2$ et déterminer $B_n(\R)\cap S_n(\R)$.
3. Déterminer $B_n(\R)\cap\mathcal A_n(\R)$.
4. Si $V$ est un sous-espace de matrices inclus dans $B_n(\R)$, déterminer sa dimension maximale.

Analyse

Pour $A=(a_{ij})\in M_n(\R)$, poser $N(A)=\sum_{i,j}|a_{ij}|$ et $\|x\|_1=\sum_i|x_i|$.

1. Montrer que $N$ est une norme et que $\|Ax\|_1\leq N(A)\|x\|_1$.
2. Pour $0<\alpha<1$, poser $K_\alpha=\{A:N(A-I_n)\leq\alpha\}$ et $\psi(A)=\det(A^{-1})$. Vérifier que $\psi$ est bien définie, bornée sur $K_\alpha$ et y atteint ses bornes.

Soit $n\geq2$.

1. Pour $M\in M_n(\C)$, rappeler la formule du déterminant et montrer que $GL_n(\C)$ est ouvert.
2. Montrer dense l'ensemble $D=\{M:|\Sp(M)|=n\}$.
3. Pour $M$, poser $C(M)=\{Q:QM=MQ\}$. Déterminer $\dim C(D)$ pour $D\in D$.
4. Pour $a=(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\C^n$, soit $F(a)\in M_n(\C)$ la matrice dont la dernière colonne est $(a_0,\ldots,a_{n-1})^T$, la sous-diagonale est formée de $1$ et les autres coefficients sont nuls. Montrer que $F=\{PF(a)P^{-1}:a\in\C^n,\ P\in GL_n(\C)\}$ est un ouvert dense de $M_n(\C)$ contenant $D$.

1. Pour la norme euclidienne canonique sur $\R^n$, montrer que la norme d'opérateur associée est une norme matricielle.
2. Pour $x\in\C^n$, montrer $\|x\|_\C^2=\|\Re x\|_\R^2+\|\Im x\|_\R^2$.
3. En déduire que les normes d'opérateur réelle et complexe coïncident sur $M_n(\R)$.
4. Si $B=\{M:\|M-I_n\|_R<1\}$, montrer que $|\lambda-1|<1$ pour toute valeur propre de $M\in B$.
5. Si $G$ est un sous-groupe de $GL_n(\R)$ inclus dans $B$, montrer $\Sp(A)=\{1\}$ pour tout $A\in G$, puis que $G=\{I_n\}$.

1. Rappeler les définitions d'un segment, d'une partie convexe et de la frontière.
2. Pour $A\subset E$, poser $\operatorname{Conv}(A)$ égal à l'intersection des convexes contenant $A$. Montrer que $\operatorname{Conv}(A)$ est convexe et contient $A$.

Pour $n\geq2$, poser $u_n=\sum_{k=2}^n\frac{\ln k}{k}$.

1. Par comparaison série-intégrale, donner un équivalent de $u_n$.
2. Montrer que $v_n=u_n-\frac12\ln^2n$ converge.

Soient $u_n\geq0$, $u_0>0$, $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$, et supposons $\sum u_n$ divergente.

1. Si $\alpha\leq1$, étudier $\sum\ln(1-u_n/S_n)$, puis en déduire la nature de $\sum u_n/S_n$ et de $\sum u_n/S_n^\alpha$.
2. Si $\alpha>1$, en utilisant $u_n=S_n-S_{n-1}$, montrer que $\sum u_n/S_n^\alpha$ converge.

1. Définir la sommabilité d'une famille $(a_{i,j})_{(i,j)\in\N^2}$.
2. Étudier la sommabilité pour $a_{i,j}=1/(i^2+j^2+1)$.
3. Pour $x,y>0$, poser $F(x,y)=\sum a_{i,j}x^iy^j$, et $D=\{(x,y):F(x,y)<+\infty\}$, $L=\{(\ln x,\ln y):(x,y)\in D\}$. Représenter $D,L$ pour les cas $a_{i,j}=1$, $a_{i,j}=2^i\delta_{i,j}$ et $a_{i,j}=\binom{i+j}{i}$.

Soit $f\in C^1(\R,\R)$ et $S=\{\varphi\in C^2(\R,\R):\varphi''=|\varphi+f|\}$.

1. Montrer $e^t\geq1+t$.
2. Pour $f=\exp$, montrer qu'il existe une unique solution $\varphi\in S$ telle que $\varphi(0)=\varphi'(0)=-1$.
3. Si $f$ n'est pas constante, existe-t-il une solution périodique ? bornée ?

Soit $f\in C^2(\R)$ telle que $f''>0$.

1. Montrer que $f$ n'est pas majorée. Peut-elle être minorée ?
2. Montrer que $f$ admet un minimum ssi $f'(a)=0$ pour un certain $a$.
3. Si $f(x)/|x|\to+\infty$ quand $x\to\pm\infty$, montrer que $f'$ est une bijection de $\R$ sur $\R$.

Soit $F=C^\infty([0,+\infty[,\R)$ et $E=\{f\in F:f(0)=0,\ \lim_{x\to+\infty}f^{(m)}(x)\in\R\ \forall m\in\N\}$.

1. Montrer que $E$ est un espace vectoriel.
2. Poser $\Phi(f)(x)=f'(x)-f'(0)$. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme injectif.
3. Pour $g(x)=(x+1)\sin(\pi\sqrt{x+1})-\pi x/2$, montrer que, pour $m\geq2$, $g^{(m)}(x)=P_m(1/\sqrt{x+1})\sin(\pi\sqrt{x+1})+Q_m(1/\sqrt{x+1})\cos(\pi\sqrt{x+1})$ avec $P_m,Q_m\in\R[X]$. Résoudre $\Phi(f)=g'$ dans $E$ et déterminer si $\Phi$ est surjectif.

Soit $f\in C^1(\R)$ $T$-périodique et $\int_0^T f(t)\,dt=0$.

1. Poser $g(x)=\int_x^{+\infty}f(t)/t^2\,dt$ pour $x>0$. Montrer que $g$ est bien définie, $C^1$, et calculer $g'$.
2. Montrer que toute primitive de $f$ est bornée sur $\R_+$.
3. Trouver $a$ tel que $g(x)=a/x+O(\ln x)$ quand $x\to0^+$.
4. $g$ est-elle intégrable sur $\R_+$ ?

Soit $A=\{f\in C^1([0,1]): f'(x)=x^2+f(x)^2,\ f(0)=0\}$.

1. Montrer qu'un $f\in C^0([0,1])$ appartient à $A$ ssi $f(x)=x^3/3+\int_0^xf(t)^2dt$. Poser $f_0(x)=x^3/3$ et itérer cette relation pour définir $f_n$.
2. Montrer $f_n(x)\leq(2/5)x^3$ et $0\leq f_{n+1}(x)-f_n(x)\leq f_{n+1}(1)-f_n(1)$.
3. Étudier $(f_n)$ et en déduire que $A$ est non vide.

Poser $u_0(x)=x$ et $u_{n+1}(x)=2\sqrt{u_n(x)/(1+u_n(x))}$ pour $x>0$.

1. Montrer que $(u_n)$ converge simplement sur $]0,+\infty[$.
2. Poser $U_n(x)=(1+u_n(x))/(2\sqrt{u_n(x)})$. Montrer $|U_{n+1}(x)-1|\leq\frac12|U_n(x)-1|$.
3. Montrer la convergence uniforme sur tout segment inclus dans $]0,+\infty[$.
4. Est-elle uniforme sur tout $]0,+\infty[$ ?

Soit $\varphi(x)=\sum_{n\geq1}1/(n(n+x))$ pour $x\geq0$.

1. Montrer que $\varphi$ est bien définie, continue et décroissante.
2. Calculer sa limite en $+\infty$.
3. Montrer $\varphi(x)=O(1/\sqrt{x})$.
4. Avec $H_n=\sum_{k=1}^n1/k=\ln n+\gamma+o(1)$, exprimer $\varphi(n)$ et en déduire un équivalent.

Soit $E$ l'espace des fonctions lipschitziennes $\R\to\R$ et $F=\{f\in E:f(0)=0\}$. Pour $t\in[0,1[$, poser $\Phi(f)(x)=f(x)-f(tx)$.

1. Montrer que $E$ est un sous-espace de $C^0(\R,\R)$, que $F$ en est un sous-espace et donner un supplémentaire.
2. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme injectif de $F$.
3. Si $g=\Phi(f)$, montrer $f(x)=\sum_{k\geq0}g(t^kx)$. Qu'en déduire sur $\Phi$ ?

Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=1/(n^2+n^4x^2)$ et $S=\sum_{n\geq1}f_n$.

1. Montrer que $S$ est définie et $C^\infty$ sur $\R^*$.
2. $S$ est-elle $C^1$ sur $\R$ ?

Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}1/(x^{\sqrt n}n^{3/2})$.

1. Déterminer son domaine de définition.
2. Montrer que $f$ est continue sur $[1,+\infty[$ et dérivable sur $]1,+\infty[$.
3. Donner un équivalent de $f$ en $+\infty$.

Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\ln(1+1/(n^2x^2))$.

1. Déterminer son domaine et ses variations.
2. Étudier sa continuité.
3. Donner un équivalent lorsque $x$ tend vers la borne supérieure du domaine.

Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}(-1)^n/(1+n^2x^2)$.

1. Déterminer son domaine de définition.
2. Montrer que $f$ est continue sur son domaine.
3. Montrer qu'il existe $a\in\R$ tel que $f(x)\sim a/x^2$ quand $x\to+\infty$.
4. Montrer que $f$ est intégrable sur $\R_+$ et calculer son intégrale.

Poser $f_k(x)=\sin((k!)^2x)/k!$, $W_n=\sum_{k=0}^nf_k$, $R_n=\sum_{k=n+1}^\infty f_k$ et $W=\sum_{k=0}^\infty f_k$.

1. Énoncer et démontrer le théorème de continuité des séries de fonctions.
2. Montrer que $W,R_n$ sont définies et continues sur $\R$, puis que $|R_n|\leq2/(n+1)!$.
3. Montrer $|W_n'(x)|\leq2n!$.
4. À l'aide d'une suite convenable, montrer que $W$ n'est dérivable en aucun point.

Sur $]-\pi/2,\pi/2[$, poser $f(x)=(1+\sin x)/\cos x$.

1. Montrer que $f$ satisfait une équation différentielle d'ordre 1.
2. Poser $P_0=1+X$. Montrer qu'il existe des polynômes unitaires $P_n\in\Z[X]$ de degré $n$ tels que $f^{(n)}(x)=P_n(\sin x)/\cos^{n+1}x$.
3. Pour $a_n=P_n(0)$, relier $a_1$ à $a_0$ puis exprimer $a_{n+1}$ à l'aide de $\sum_{k=0}^n\binom nk a_ka_{n-k}$.
4. Pour $A(t)=\sum_{n\geq0}a_nt^n/n!$, trouver une équation différentielle et en déduire les $a_n$.

Soient $a_n>0$ et $S_n=\sum_{k=1}^na_k$.

1. Si $(a_n)$ est majorée, poser $f(x)=\sum_{n\geq1}S_nx^n$, $g(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n$. Déterminer leurs rayons de convergence, établir une relation entre $f,g$, puis expliciter $f$ si $a_n=1/n$.
2. Si $a_1=1$ et $a_{n+1}=a_n+1/S_n$, calculer le rayon de convergence de $\sum S_nx^n$.

Soient $\alpha,\lambda\in\R$, $|\lambda|<1$, et $F=\{f\in C^1(\R): f'=\alpha f+f(\lambda x)\}$.

1. Montrer $F\subset C^\infty(\R)$.
2. Déterminer les fonctions non nulles de $F$ développables en série entière.
3. Si $f\in F$ et $f(0)=0$, montrer $f^{(n)}(0)=0$ pour tout $n$, puis en déduire une propriété de $f$.

Pour $a>-1/2$, poser $I_a(x)=\int_0^1(1-t^2)^{a-1/2}\cos(xt)\,dt$.

1. Montrer que l'intégrande pondérateur est intégrable.
2. Montrer que $I_a$ est $C^2$ et relier $I_a'',I_a,I_{a+1}$.
3. Montrer que $I_a$ est développable en série entière sur $\R$.

Soient $u_0=a>0$ et $u_{n+1}=\ln(1+u_n)$.

1. Étudier la limite de $(u_n)$.
2. Déterminer le rayon de convergence de $\sum u_nx^n$.
3. Poser $v_n=1/u_{n+1}-1/u_n$. La série converge-t-elle en $x=1$ et $x=-1$ ?

Pour $n,k\in\N$, poser $u_{n,k}=k^n/k!$ et noter $A_n=\sum_{k\geq0}u_{n,k}$.

1. Montrer la convergence et exprimer $A_{n+1}$ en fonction des $A_i$.
2. Montrer $0\leq A_n/n!\leq e$.
3. Trouver une équation différentielle satisfaite par $f(x)=\sum_{n\geq0}A_nx^n/n!$.

Soit $\varphi:[n_0,+\infty[\to\R_+^*$ continue décroissante telle que $\sum_{n\geq n_0}\varphi(n)$ diverge.

1. Pour $\alpha\geq0$, déterminer la nature de $\sum_{n\geq2}1/(n(\ln n)^{1-\alpha})$.
2. Déterminer le rayon de convergence de $\sum_{n\geq n_0}\varphi(n)x^n$.
3. Montrer que cette somme tend vers $+\infty$ quand $x\to1^-$ et qu'elle est équivalente à $\int_{n_0}^{+\infty}\varphi(t)x^t\,dt$.

Poser $N_0=1$, $N_k=\frac1{k!}\prod_{i=0}^{k-1}(X-i)$, $F_P(x)=\sum_{k\geq0}P(k)x^k/k!$ et $P_j=j!N_j$.

1. Pour $P_j$, déterminer le rayon de convergence de $F_{P_j}$ et sa somme.
2. Pour $P\neq0$, déterminer le rayon de convergence de $F_P$ et montrer qu'il existe un unique $Q_P$, de même degré que $P$, tel que $F_P(x)=Q_P(x)e^x$.
3. Poser $I_k=\int_0^1N_k(t)\,dt$. Pour $k\geq2$, montrer $1/(6k^2)\leq|I_k|\leq1/(6k)$ et déterminer le rayon de convergence de $\sum I_kx^k$.

Poser $I_n=\int_0^n(1-t/n)^n\ln(t)\,dt$ et $J_n=\int_0^1u^n\ln(1-u)\,du$.

1. Montrer que $I_n$ converge et tend vers $\int_0^\infty e^{-t}\ln(t)\,dt$.
2. Montrer que $J_n$ converge et vaut $-\frac1{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}1/k$.
3. En déduire $\int_0^\infty e^{-t}\ln(t)\,dt=-\gamma$.

Poser $I_n=\int_0^\infty(1+t^3)^{-n}\,dt$, $u_n=\sum_{k=1}^n1/k-\ln n$, $v_n=\sum_{k=1}^n1/k-\ln(n+1)$.

1. Montrer que $u_n,v_n$ convergent vers une même limite $\gamma$.
2. Montrer $I_{n+1}/I_n=1-1/(3n)$.
3. Montrer qu'il existe $C>0$ tel que $I_n\sim C/n^{1/3}$.

Soit $f(x)=\int_0^{\pi/2}\sin^x(t)\,dt$.

1. Déterminer son domaine, de la forme $]a,+\infty[$.
2. Sur $J=]a+1,+\infty[$, poser $\varphi(x)=xf(x)f(x-1)$. Montrer $\varphi(x+1)=\varphi(x)$ et que $\varphi(x)/x$ est décroissante.
3. Calculer $\varphi(n)$ et montrer que $\varphi$ est constante.

Définir $f(x)=\sin(x^2)/x^2$ pour $x>0$ et $f(0)=1$. Poser $S(x)=\int_0^\infty f(\lfloor t/x\rfloor x)\,dt$.

1. Montrer que $S(x)$ converge pour tout $x>0$.
2. Si $x_n\to0^+$, montrer $S(x_n)\to\int_0^\infty f(t)\,dt$.
3. Pour $G(x)=\sum_{n\geq1}\sin(n^2x)/n^2$, exprimer $G(x)$ à l'aide de $S(\sqrt{x})$ et déterminer un équivalent en $0^+$.

Poser $f(x)=\int_0^\infty\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$.

1. Montrer que $f$ est définie sur $\R_+$ et que $|f(x)|\leq1/x$ pour $x>0$.
2. Montrer que $f$ est $C^1$ sur $]0,+\infty[$, puis calculer $f'$ et $f$.
3. Montrer la continuité en $0$ et en déduire $\int_0^\infty\sin(t)/t\,dt$.

Poser $f(x)=\int_0^\infty\arctan(tx)e^{-t}\,dt$.

1. Montrer que $f\in C^3(\R)$.
2. Montrer que $f(x)$ a le signe de $x$ et $|f(x)|\leq|x|$.
3. Pour $x_{n+1}=f(x_n)$, montrer $x_n\to0$. Trouver $\alpha$ tel que $x_{n+1}^\alpha-x_n^\alpha$ ait une limite non nulle pour $x_0>0$, puis en déduire un équivalent de $x_n$ si $x_0\neq0$.

Soit $f(x)=\int_0^1\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$.

1. Montrer que $f$ est définie et continue, calculer $f(0)$.
2. Montrer $f(x)=\int_0^{\pi/2}\cos(x\sin u)\,du$ et que $f\in C^2(\R)$.
3. Montrer que $f$ admet un développement en série entière en $0$ et l'expliciter.

Pour $p\in\N$, poser $I_p(x)=\int_0^\infty e^{-(2p+1)t}\cos(xt)\,dt$.

1. Montrer que $\int_0^\infty\cos(xt)/\cosh(t)\,dt$ est définie et poser $G(x)=\int_0^\infty\cos(xt)/\sinh(t)\,dt$.
2. Calculer $I_p$.
3. Exprimer $G(x)$ à l'aide des $I_p(x)$.
4. Montrer que $G$ est développable en série entière en zéro.

Soient $\varphi(x)=\int_x^\infty\sin(t)/t\,dt$ et $\psi(x)=\int_x^\infty\cos(t)/t\,dt$ pour $x>0$, avec $\psi'(x)=-\cos(x)/x$ admis.

1. Montrer $\varphi$ est $C^1$ et $\varphi'(x)=-\sin(x)/x$.
2. Montrer que $f(x)=\varphi(x)\cos x-\psi(x)\sin x$ résout $y''+y=1/x$.
3. Montrer que $g(x)=\int_0^\infty e^{-tx}/(1+t^2)\,dt$ résout aussi cette équation.
4. En déduire $\int_0^\infty\sin(t)/t\,dt$.

Pour $\alpha>0$, poser $I(\alpha)=\int_0^1\ln(t)\ln(1-t^\alpha)\,dt$.

1. Rappeler que la limite uniforme de fonctions continues est continue.
2. Montrer que $I(\alpha)$ est bien définie.
3. Écrire $I(\alpha)$ comme somme d'une série.

Soit $f:[0,1]\to\R$ continue et $u_n=\int_0^1f(x)^n\,dx$.

1. Si $f(1)>1$, montrer qu'il existe $c>1$ et $a<1$ tels que $f(t)\geq c$ pour $t\in[a,1]$.
2. Montrer que si $\sum u_n$ converge, alors $f(1)=0$.
3. Si $f\in C^1([0,1])$, montrer que $\sum u_n$ converge ssi $f(1)=0$, puis calculer $\sum_{n\geq0}u_n$.

Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues $f:\R_+^*\to\R$ pour lesquelles $x^\alpha f(x)\to0$ pour un certain $\alpha\geq0$.

1. Montrer que $E$ est un sous-espace vectoriel de $C^0(\R_+^*,\R)$.
2. Pour $f\in E$, poser $\varphi_f(x)=e^x\int_x^\infty e^{-t}f(t)\,dt$. Montrer que c'est l'unique solution dans $E$ de $y'-y+f=0$.

Soit $f(x,y)=(x-xy)\sqrt y-yx^2$, $K=[-1,1]\times[0,1]$, $O=]-1,1[\times]0,1[$.

1. Montrer que $f$ atteint un maximum et un minimum sur $K$.
2. Déterminer ses extrema locaux sur $O$.
3. Déterminer maximum et minimum sur $K$.

Soit $F(x,y)=\sin(x)\cosh(y)-\sin(y)\cosh(x)$ et $\Delta=\{(x,x):x>0\}$.

1. Montrer $F\in C^2(\R^2)$.
2. Montrer que le gradient s'annule sur $\Delta$ en des points $(x_n,x_n)$ avec $x_n\in[n\pi+\pi/4,n\pi+\pi/2]$.
3. $F$ possède-t-elle des extrema sur $\Delta$ ? sur $\R^2$ ?

Soit $f(x,y)=x^4+y^4-x^2-y^2-xy$.

1. Déterminer le plan tangent au graphe en $(0,0,f(0,0))$ et préciser sa position locale.
2. Montrer que $f$ admet un minimum global sur $\R^2$, et déterminer sa valeur et ses points d'atteinte.

Probabilités

Soit $(\Omega,\P)$ fini et $F$ l'espace des fonctions $\Omega\to\R$. Poser $\Phi(X,Y)=\E(XY)$. Montrer que $\Phi$ est un produit scalaire ssi $\P(\{\omega\})>0$ pour tout $\omega\in\Omega$.

Deux joueurs $A,B$ jouent à tour de rôle. À son tour, $A$ gagne avec probabilité $p$, $B$ avec probabilité $q$ ; en cas de victoire, l'autre joue au tour suivant, en cas de défaite le même joueur rejoue. Soit $X_n$ l'identité du joueur au tour $n$, et $U_1=(1/3,2/3)^T$.

1. Déterminer $A$ telle que $U_{n+1}=AU_n$.
2. Diagonaliser $A$ et en déduire la loi de $X_n$.

Soient $A,B,C$ indépendantes de loi $\mathcal B(n,p)$ et $M=\begin{pmatrix}A&B&C\\A&B&C\\A&B&C\end{pmatrix}$.

1. Calculer les probabilités que $M$ soit inversible, nilpotente ou matrice d'un projecteur.
2. Déterminer la loi, l'espérance et la variance du nombre de valeurs propres de $M$, puis la probabilité que $M$ soit diagonalisable.

Soient $(X_n)_{n\in\N}$ i.i.d. géométriques de paramètre $p\in]0,1[$. Poser $I_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$ et $M_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$.

1. Montrer que $I_n$ est géométrique.
2. Calculer $\E(I_n)$ et $\V(I_n)$.
3. Montrer que l'événement où $(I_n)$ est constante à partir d'un certain rang est de probabilité $1$.
4. Montrer que $M_n$ admet une espérance.
5. Déterminer la limite de $\E(M_n)$.

1. Résoudre $U_0=U_1=1$, $U_{n+2}=U_{n+1}+\frac12U_n$.

2. Soient $(X_n)$ i.i.d. de loi $\mathcal B(1/2)$ et $U_0=U_1=1$, $U_{n+2}=U_{n+1}+X_nU_n$.

   1. Montrer que, pour tout $\omega$, $(U_n(\omega))$ admet une limite dans $\R_+\cup\{+\infty\}$.
   2. Pour $A=\{\omega:(U_n(\omega))\text{ admet une limite finie}\}$, montrer $\P(A)=0$.
   3. Donner un équivalent de $\E(U_n)$.

Centrale PC 2026

Algèbre

1. Montrer $2^nn!\leq(2n)!$ et $\cosh(t)\leq e^{t^2/2}$.
2. Pour $X$ uniforme sur $\{-1,1\}$, montrer $\E(e^{tX})\leq e^{t^2/2}$.
3. Pour $x\in[-1,1]$, montrer $e^{tx}\leq\frac{1+x}{2}e^t+\frac{1-x}{2}e^{-t}$.
4. Si $X\in[-1,1]$ et $\E(X)=0$, montrer $\E(e^{tX})\leq e^{t^2/2}$, puis $\P(|X|\geq\lambda)\leq2e^{-\lambda^2/2}$.

1. Montrer que $E=\{(a_n):\sum a_n^2<+\infty\}$ est un espace préhilbertien pour $\langle a,b\rangle=\sum a_nb_n$.

2. Pour $X\in\N$ de loi $(u_k)$, dire que $(\star)$ signifie $u_k>0$, $\E(X^2)<+\infty$ et $\sum_{k\geq0}(u_k-u_{k-1})^2/u_k<+\infty$, avec $u_{-1}=0$.

   1. Si $X\sim\mathcal P(\lambda)$, montrer $(\star)$ et calculer $S(X)\V(X)$, où $S(X)$ est la série ci-dessus.
   2. Pour $X$ vérifiant $(\star)$, montrer que $\sum_n(u_n-u_{n-1})(n-\E(X))$ converge et que $S(X)\V(X)\geq1$.

Soient $A\in S_n^{++}(\R)$ de valeurs propres $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$.

1. Énoncer et démontrer Cauchy-Schwarz.
2. Pour $x\in\R^n$, montrer $(\sum x_k^2)^2\leq(\sum\lambda_kx_k^2)(\sum x_k^2/\lambda_k)$.
3. Si $\sum x_i^2=1$, construire $I$ à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}$ avec $\P(I=i)=x_i^2$ et poser $U=\lambda_I$. Montrer $\E(1/U)\leq(\lambda_1+\lambda_n-\E(U))/(\lambda_1\lambda_n)$.
4. En déduire $\|X\|^4\leq\langle AX,X\rangle\langle A^{-1}X,X\rangle\leq\frac{(\lambda_1+\lambda_n)^2}{4\lambda_1\lambda_n}\|X\|^4$.

Trouver tous les polynômes $P\in\R[X]$ tels que $P(X)P(X+1)=P(X^2+X+1)$.

Poser $P_n=(X+1)^n-(X-1)^n$.

1. Résoudre $z^n=1$, puis $z^n=\omega^n$.
2. Trouver degré et coefficient dominant de $P_n$.
3. Calculer $\sum_{k=1}^n\cot(k\pi/n)$.
4. Calculer $\prod_{k=1}^n\cot(k\pi/(2n+1))$ à l'aide de $P_{2n+1}$, puis en déduire $\sum_{k=1}^n\cot^2(k\pi/n)$.

Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n$ et $Q=\sum_{k=0}^na_{n-k}X^k$ son symétrique.

1. Quel est le degré de $Q$ ?
2. Déterminer les $P$ tels que $P(\mathbb U)\subset\mathbb U$. Indication : considérer $f(z)=Q(1/z)z^q$.

Pour $n\geq2$, montrer $(H_n)$ : pour tous $P,Q\in\C[X]$ de degrés $n,n-1$, il existe $a\in\C$ tel que $P-aQ$ ait une racine multiple.

1. Vérifier $(H_2)$ et supposer les résultats établis jusqu'à $n$.
2. Si $P,Q$ ont une racine commune, montrer $(H_{n+1})$.
3. Sinon, poser $R=P'Q-PQ'$. Si $\alpha$ est racine de multiplicité $m$ de $P-aQ$, montrer que sa multiplicité dans $R$ vaut $m-1$, puis conclure.

Soit $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\in\R^n$. Calculer $\det(\cos((j-1)\alpha_i))_{1\leq i,j\leq n}$.

1. Pour $n\geq2$, déterminer le sous-espace de $M_n(\C)$ engendré par les matrices nilpotentes.
2. En déduire que tout hyperplan de $M_n(\C)$ contient une matrice inversible.

Soit $\mathcal N=\{M\in M_n(\C):M^p=0\text{ pour un }p\}$ et $(E_{i,j})$ la base canonique.

1. Montrer que si $M\in\mathcal N$, alors $M^n=0$.
2. Calculer $E_{i,j}E_{k,\ell}$.
3. Si $i\neq j$, montrer que $I_n-E_{i,j}$ est inversible et calculer son inverse.
4. Déterminer une base de $\Ker\operatorname{tr}$.
5. Montrer $\Ker\operatorname{tr}=\operatorname{Vect}(\mathcal N)$.

Soient $E$ réel et $p_1,\ldots,p_n\in\mathcal L(E)$ vérifiant $p_i\circ p_j=\delta_{i,j}p_i$. Poser $F_i=\operatorname{Im}p_i$ et supposer les $F_i$ de dimension finie.

1. Montrer que les $F_i$ sont en somme directe ssi $\dim(\sum_iF_i)=\sum_i\dim F_i$.
2. Pour $a\in\R^n$, poser $u_a=\sum_i a_ip_i$. Calculer $u_a^k$ et caractériser quand $u_a$ est un projecteur.
3. Si $\sum_i p_i=\operatorname{id}$, montrer $E=\bigoplus_iF_i$.
4. Exprimer $\Ker p_i$ à l'aide des $F_j$.

1. Montrer que, pour $A\in M_n(\R)$ et $\lambda\geq0$, $\det(A^2+\lambda I_n)\geq0$.
2. Si $n$ est impair et $B$ inversible, montrer $A^2+B^2\neq-I_n$.
3. Si $n$ est pair, donner $A,B$ telles que $A^2+B^2=-I_n$.

Pour $n\geq2$ et $M\in M_n(\C)$, montrer que $M$ n'est pas inversible ssi il existe $P\in GL_n(\C)$ tel que $P+zM$ soit inversible pour tout $z\in\C$.

Soient $A,B\in M_n(\R)$ avec $\operatorname{rg}(B)=1$ et $A^3=B$.

1. Donner une relation entre $\operatorname{tr}(A)$ et $\operatorname{tr}(B)$.
2. Si $\operatorname{tr}(B)=0$, montrer que $A$ n'est pas diagonalisable.

Soient $E$ complexe de dimension finie et $u\in\mathcal L(E)$. Poser $\C[u]=\{P(u):P\in\C[X]\}$ et $S_u=\{f\in\C[u]:f\text{ est une symétrie}\}$. Si $u$ est diagonalisable avec $p$ valeurs propres distinctes, calculer $\dim\C[u]$ et $\operatorname{card}(S_u)$.

Soit $A\in M_n(\C)$ et $\varphi_A(B)=AB$.

1. Si $A=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}$, montrer $\varphi_A$ diagonalisable et $\chi_{\varphi_A}=\chi_A^2$.
2. Si $D$ est diagonale, montrer $\varphi_D$ diagonalisable et $\chi_{\varphi_D}=\chi_D^n$.
3. Étendre à $A$ diagonalisable, puis à toute matrice $A\in M_n(\C)$.

Soient $n\geq1$, $A\in M_n(\R)$ et $B=\begin{pmatrix}4A&2A\\-3A&-A\end{pmatrix}$. Montrer que $B$ est diagonalisable sur $\R$ ssi $A$ l'est sur $\R$.

Soit $A=(a_{ij})$ une matrice stochastique : $a_{ij}\geq0$ et chaque ligne somme à $1$.

1. Montrer que $1$ est valeur propre et que toute valeur propre $\lambda$ vérifie $|\lambda|\leq1$.
2. Montrer que $A^p$ est stochastique et étudier la convergence de $(A^p)$.
3. Pour $\lambda\in]-1,1]$ et $N$ nilpotente, montrer que $((\lambda I_n+N)^p)_p$ converge.

Soient $U=\begin{pmatrix}A&A\\0&A\end{pmatrix}$ et $V=\begin{pmatrix}A&0\\0&A\end{pmatrix}$. On suppose $A$ diagonalisable et $U,V$ semblables.

1. Montrer qu'il existe un polynôme $\pi$ scindé à racines simples tel que $A\pi'(A)=0$.
2. Montrer $A=0$.
3. Le résultat subsiste-t-il sans l'hypothèse de diagonalisabilité de $A$ ?

Soient $E$ complexe de dimension $n$ et $\mathcal A\subset GL(E)$ tel que, pour $u\neq v$ dans $\mathcal A$, $u\circ v=-v\circ u$.

1. Si $n$ est impair, montrer que $\mathcal A$ a au plus un élément.
2. Si $\mathcal A$ a au moins deux éléments, montrer que pour $u\in\mathcal A$, toute valeur propre $\lambda$ entraîne la valeur propre $-\lambda$ de même multiplicité.
3. Si $n=2$, trouver une base où la matrice de $u$ est $\operatorname{diag}(\lambda,-\lambda)$.
4. Montrer que $\mathcal A$ a au plus trois éléments.

1. Montrer que $\langle f,g\rangle=\int_0^1fg$ est un produit scalaire sur $E=\{f\in C^0(]0,1],\R):f^2\text{ est intégrable}\}$.
2. Pour $F(x,y)=\int_0^1(\ln t-tx-y)^2dt$, calculer $\inf_{(x,y)\in\R^2}F(x,y)$.

Soient $E$ euclidien de dimension $3$, $H$ un plan, $u\neq0$ normal à $H$, $f$ une isométrie et $s$ la réflexion orthogonale par rapport à $H$. Poser $h=f\circ s\circ f^{-1}$. Montrer que $h$ est une réflexion et préciser ses éléments caractéristiques.

1. Pour $A,B\in M_n(\R)$, montrer que si $0$ est valeur propre de $AB$, alors c'est une valeur propre de $BA$.
2. Même question pour une valeur propre non nulle.
3. Comparer les spectres et dimensions des espaces propres de $AA^T$ et $A^TA$.

Soient $A\in S_n^{++}(\R)$ et $U\in M_n(\R)$ tels que $AU=U^TA$. Poser $\langle X,Y\rangle=X^TAY$.

1. Montrer que c'est un produit scalaire.
2. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ et $D$ diagonale telles que $P^TAP=I_n$ et $P^{-1}UP=D$.

Soient $x_0,\ldots,x_{n-1}>0$, $A=\frac1n\sum x_k$ et $G=(\prod x_k)^{1/n}$.

1. Montrer $\exp(t/A-1)\geq t/A$ pour $t>0$, puis $A\geq G$. L'inégalité vaut-elle pour des $x_k\geq0$ ?
2. Si $S\in S_n^+(\R)$, montrer $\det(S)^{1/n}\leq\operatorname{tr}(S)/n$.
3. Pour $A\in M_n(\R)$, montrer $\det(A)^2\leq(\frac1n\sum_{i,j}a_{ij}^2)^n$.

Soit $F=\{A\in S_n^+(\R):a_{ij}<0\text{ si }i\neq j\}$.

1. Pour $a_{ii}=a$ et $a_{ij}=-b$ hors diagonale, caractériser l'appartenance à $F$.
2. Si $A\in F$ et $X^TAX=0$, montrer $X\in\Ker(A)$.
3. En déduire $a_{ii}>0$ pour tout $i$.

Dire que $A\in M_n(\R)$ est de type $m$ si $A^m=A^T$.

1. Déterminer les matrices de type $m$ pour $m=0,1$.
2. Si $A$ est de type $m$, poser $B=A^{m+1}$. Montrer $B^m=B$ et $B$ symétrique, puis que $B$ est un projecteur orthogonal.
3. Si $A$ est inversible et de type $m$, montrer $A\in O_n(\R)$.

1. Pour $\omega\in M_{n,1}(\R)$, montrer $\omega\omega^T\in S_n^+(\R)$ et est de rang $0$ ou $1$.
2. Pour $B\in S_n(\R)$ de spectre $(x_1,\ldots,x_n)$, construire une base $(f_k)$ telle que $Bf_k=x_kf_k$, $\sum f_kf_k^T=I_n$ et $B=\sum x_kf_kf_k^T$.
3. Si $B\in S_n^+(\R)$, montrer qu'il existe $\Omega$ telle que $B=\Omega\Omega^T$.

1. Montrer que $S\in M_n(\R)$ est symétrique définie positive ssi $S=P^TP$ pour un $P$ inversible.
2. Montrer que $A$ est diagonalisable ssi il existe $S$ symétrique définie positive tel que $A^T=S^{-1}AS$.
3. L'assertion reste-t-elle vraie si l'on remplace $S$ par un $P$ inversible quelconque ?

Poser $\|M\|=\sqrt{\operatorname{tr}(M^TM)}$.

1. Montrer que c'est une norme et qu'elle est invariante par multiplication à gauche et à droite par des matrices orthogonales.

Soient $A,B$ symétriques, de valeurs propres ordonnées $\lambda_i(A),\lambda_i(B)$, et $D_A,D_B$ les diagonales correspondantes.

1. Montrer qu'il existe $P\in O_n(\R)$ tel que $\|A-B\|=\|D_AP-PD_B\|$, puis que $\|A-B\|^2=\sum_{i,j}p_{ij}^2(\lambda_i(A)-\lambda_j(B))^2$.
2. Pour $f_{A,B}(M)=\sum_{i,j}m_{ij}(\lambda_i(A)-\lambda_j(B))^2$, montrer qu'elle est bornée sur les matrices bistochastiques.
3. Par une transformation élémentaire, montrer que $f(M)\geq f(I_n)$ pour toute matrice bistochastique.
4. En déduire $\sum_i(\lambda_i(A)-\lambda_i(B))^2\leq\|A-B\|^2$.

Soit $u$ autoadjoint sur un espace euclidien, de spectre ordonné $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$.

1. Montrer que $\lambda_1=\min_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$ et $\lambda_n=\max_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.
2. Si $v$ est autoadjoint de spectre $\mu_1\leq\cdots\leq\mu_n$, montrer $\Sp(u+v)\subset[\lambda_1+\mu_1,\lambda_n+\mu_n]$.
3. Montrer $|\lambda_1-\mu_1|\leq\sup_{\|x\|=1}\|u(x)-v(x)\|$.

1. Si $\mu_1<\cdots<\mu_n$, $x_i\neq0$, $D=\operatorname{diag}(\mu_i)$ et $M=\begin{pmatrix}D&X\\X^T&\alpha\end{pmatrix}$, montrer l'entrelacement strict des valeurs propres de $M$ et $D$.
2. Pour $S$ symétrique de valeurs propres $\mu_i$ et $N=\begin{pmatrix}S&X\\X^T&\alpha\end{pmatrix}$, montrer l'entrelacement large.
3. Pour des variables $R_i$ à moment d'ordre $2$, avec matrice de covariance $\Sigma_n$ et $U=(u_i)^T$, montrer $\V(\sum_i u_iR_i)=U^T\Sigma_nU$.

Analyse

Pour $C$ convexe fermé d'un espace vectoriel réel de dimension finie, $x$ est extrémal si $x=(y+z)/2$ avec $y,z\in C$ entraîne $x=y=z$.

1. Déterminer les points extrémaux de $\{x\in\R^n:\sum|x_k|\leq1\}$.
2. Déterminer ceux de la boule unité d'un espace euclidien.
3. Montrer que tout convexe fermé borné non vide en dimension finie possède un point extrémal.

Soit $E$ l'espace des fonctions continues bornées $\R\to\R$, muni de la norme uniforme. Pour $|a|<1$, poser $T(f)(x)=f(x)-af(\ell x)$. Montrer que $T$ est un automorphisme continu de $E$ et que $T^{-1}$ est continue.

Soit $E=C^1([0,1],\R)$ et $T(f)(x)=\int_0^xf(t)\,dt$, muni de la norme uniforme.

1. Montrer que $T$ est un endomorphisme continu.
2. Calculer $\|T\|$.
3. Montrer $|T^n(f)(x)|\leq x^n\|f\|_\infty/n!$.
4. En déduire une borne pour $\|T^n\|$ et la déterminer.

Poser $A_n=\min\{p\geq1:\sum_{k=1}^p1/k\geq n\}$. Montrer que $A_n$ est bien défini et donner la limite et un équivalent de $(A_n)$.

Soit $u_0=1$, $u_{n+1}e^{u_{n+1}}=u_n/2$.

1. Montrer que $(u_n)$ est bien définie et déterminer sa limite.
2. Montrer que $\sum u_n$ converge.
3. Montrer qu'il existe $c>0$ tel que $u_n\sim c/2^n$.

Pour $n\geq1$, considérer $x=1+\ln(n+x)$.

1. Montrer qu'il existe une unique solution $x_n\geq0$.
2. Montrer $x_n\to+\infty$ et donner un équivalent.
3. Déterminer la limite de $x_n-\ln n$.

Soient $u_0=\alpha>0$ et $u_{n+1}=u_n^2+u_n$.

1. Montrer $u_n\to+\infty$.
2. Poser $v_n=2^{-n}\ln u_n$. Montrer que $(v_n)$ converge vers $\beta$.
3. Montrer $|v_n-\beta|=o(2^{-n})$.

Soit $\theta\in]0,\pi/2[$, $x_0=\cos\theta$, $y_0=\sin\theta$, et $$x_{n+1}=\frac{2+2y_n+x_n}{3+2x_n+2y_n},\qquad y_{n+1}=\frac{2+2x_n+y_n}{3+2x_n+y_n}.$$

1. Montrer que $(x_n,y_n)$ est bien définie et reste sur le quart de cercle unité.
2. Montrer sa convergence et déterminer sa limite.

Étudier la convergence de $\sum\sin\left(\frac{\pi n!}{\sum_{k=0}^nk!}\right)$ et de $\sum\sin(\pi n!e)$.

Soient $\ell\in\N$ et $f\in C^1([\ell,+\infty[,\R)$.

1. Montrer $\sum_{k=\ell+1}^nf(k)=\int_\ell^nf(t)\,dt+\int_\ell^n(t-\lfloor t\rfloor)f'(t)\,dt$.
2. Si $f'$ est intégrable sur $[\ell,+\infty[$, comparer la nature de $\sum_{k\geq\ell}f(k)$ et de $\int_\ell^\infty f$.
3. Déterminer la nature de $\sum\cos(\ln n)/n$.

Soit $\mathcal C$ l'ensemble des suites croissantes à valeurs dans $\N\setminus\{0,1\}$. Pour $u\in\mathcal C$, poser $v_n=\sum_{k=0}^n1/(u_0\cdots u_k)$.

1. Étudier la limite de $v_n$ si $u$ est constante, $u_n=n+2$, puis $u_n=2n+2$.
2. Montrer pour tout $u$ que $v_n$ converge avec limite dans $]0,1]$.
3. Montrer que $u\mapsto\lim v_n$ est injective.

Soient $\alpha,\beta\in\R$, $a_1=1$ et, pour $n\geq2$, $a_n\sum_{k=1}^{n-1}a_k^\alpha=n^{-\beta}$.

1. Montrer $a_n>0$.
2. Si $\sum a_n^\alpha$ diverge, montrer $a_n^\alpha=o(n^{-\alpha\beta})$.
3. En déduire que si $\alpha\beta>1$, cette série converge.
4. Montrer que si $\alpha\beta\leq1$, alors $a_n=o(n^{-\beta})$.

1. Pour $\lambda\geq0$, montrer $\int_0^\pi\frac{dx}{1+\lambda\sin^2x}=2\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{1+\lambda\sin^2x}$.
2. Calculer cette intégrale.
3. Pour $\alpha\geq0$, étudier $\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^\alpha\sin^2x}$.

Soit $f\in C^0(\R_+,\R_+)$ décroissante vers $0$ et $g(u)=f(u)\sin u$.

1. Montrer que $\int_0^\infty g(u)\,du$ converge.
2. Montrer que $f$ est intégrable sur $\R_+$ ssi $g$ l'est.

Soient $f,g$ continues et de carré intégrable sur $\R$. Montrer que $fg$ est intégrable.

Étudier et représenter le graphe de $f(x)=\sum_{n\geq1}\frac{\cos^n(x)\sin(nx)}n$.

1. Donner un équivalent simple de $u_n=\ln(\ln(n+1))-\ln(\ln n)$.
2. Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=x(1-x)^n/\ln(n+1)$. Déterminer le domaine de $F=\sum f_n$ et étudier la convergence uniforme et normale.

Soient $a>0$ et $f\in C^1(\R_+,\R_+^*)$ décroissante avec $f(x)\sim a\ln x$. Déterminer le domaine de $u(x)=\sum_{n\geq0}f(n)e^{-nx}$ et les limites aux bornes.

Soit $f(x)=\sum_{n\geq1}\ln(n)x^n$.

1. Donner le rayon de convergence.
2. Pour $0<x<1$, montrer $-x\ln(1-x)-1\leq(1-x)f(x)\leq-x\ln(1-x)$ et trouver un équivalent en $1^-$.
3. Montrer que $f$ admet une limite en $-1^+$.

Soit $(a_n)\subset\C$ telle que $na_n\to0$.

1. Si $u_n\to0$, montrer $\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}u_k\to0$.
2. Montrer que $\sum a_nz^n$ converge pour $|z|<1$.
3. Si $f(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n$ et $f(x)\to\ell$ quand $x\to1^-$, montrer que $\sum a_n$ converge et vaut $\ell$.

Poser $I_0=1$, et $I_n$ le nombre d'involutions de $\{1,\ldots,n\}$.

1. Montrer $I_n=I_{n-1}+(n-1)I_{n-2}$.
2. Montrer que $\sum I_nx^n/n!$ converge pour $|x|<1$.
3. Pour $F(x)=\sum I_nx^n/n!$, trouver une équation différentielle et en déduire une expression de $I_n$.

Soit $f(x)=\sum_{n\geq0}\binom{2n}{n}x^n$.

1. Donner son rayon et son domaine de définition.
2. Trouver une équation différentielle vérifiée par $f$ et calculer $f(-1/4)$.

Soient $n\geq1$, $1\leq k\leq n$ et $S_{n,k}$ le nombre de partitions d'un ensemble de cardinal $n$ en $k$ parties.

1. Montrer $S_{n,k}=S_{n-1,k-1}+kS_{n-1,k}$.
2. Pour $k\geq1$, déterminer le rayon de convergence de $A_k(x)=\sum_{n\geq k}S_{n,k}x^n/n!$.
3. Exprimer $A'_{k+1}$ à l'aide de $k,A_k,A_{k+1}$.
4. Montrer $A_k(x)=(e^x-1)^k/k!$.

Soit $f(x)=e^{-x^2}$ et $I=\int_0^\infty f(x)\,dx$.

1. Justifier la convergence de $I$ et, pour $|x|<1$, celle de $\sum x^{n^2}$. Poser $g(x)=\sum_{n\geq0}x^{n^2}$.
2. Donner un équivalent de $g(x)$ en $1$ faisant intervenir $I$.
3. Soit $h\in C^0(\R_+,\R)$ décroissante avec convergente non nulle intégrale sur $\R_+$. Pour $\theta\geq0$, étudier $\sum_{n\geq1}h(n\theta)$, puis donner son équivalent quand $\theta\to0$.

Soit $f(z)=\sum_{n\geq0}a_nz^n$ de rayon $R>0$, et $S_n(z)=\sum_{k=0}^na_kz^k$.

1. Calculer $\int_0^{2\pi}e^{ik\theta}\,d\theta$ pour $k\in\Z$.
2. Pour $0<r<R$, calculer $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|S_n(re^{i\theta})|^2\,d\theta$.
3. Étudier la convergence de $\sum|a_k|^2r^{2k}$ et calculer sa somme si elle converge.

1. Pour $A\in M_n(\C)$, poser $Q(X)=X^n\chi_A(1/X)$ et $R=\sup_{\lambda\in\Sp(A)}1/|\lambda|$. Montrer, pour $|z|<R$, $\frac{Q'(z)}{Q(z)}=-\sum_{k\geq0}\operatorname{tr}(A^{k+1})z^k$.
2. Déterminer les matrices $A$ telles que $\operatorname{tr}(A^k)=0$ pour tout $k\geq1$.

Pour $n\geq1$, poser $I_n=\frac1{n!}\int_0^nt^ne^{-t}\,dt$. Montrer que $(I_n)$ possède une limite $\ell$ et que $\ell\in[0,1/2]$.

Pour $n\geq1$, $\alpha>1$, poser $I_n(\alpha)=\int_0^\infty(1+t^\alpha)^{-n}\,dt$.

1. Montrer que $I_n(\alpha)$ est définie.
2. Relier $I_{n+1}(\alpha)$ à $I_n(\alpha)$ et en déduire une expression.
3. Déterminer la limite de $I_n(\alpha)$.
4. Montrer qu'il existe $K(\alpha)>0$ tel que $I_n(\alpha)\sim K(\alpha)n^{-1/\alpha}$.

Pour $n\geq1$, poser $u_n=\int_0^\infty\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(t+n)}\,dt$.

1. Montrer l'existence et établir $u_n=\ln(1+1/n)+\sum_{k=1}^{\infty}\bigl((n+k)\ln(1+1/(n+k))-k\ln(1+1/k)\bigr)$.
2. Montrer $1-\frac1{2n}\leq n\ln(1+1/n)\leq1-\frac1{2n}+\frac1{3n^2}$.
3. Montrer $\sum_{k\geq1}(1/k-1/(k+n))\sim\ln n$.
4. Déterminer un équivalent de $u_n$.

Soient $F=\{f\in C^1([0,1]):f(0)=0,f(1)=1\}$, $g\in F$ croissante, $g'(1)=0$. Pour $n\geq1$, poser $f_n(x)=g(nx)e^{1-x}$ si $x\in[0,1/n]$, et $0$ sinon.

1. Montrer $f_n\in F$.
2. Poser $I_n=\int_0^1|f_n-f'_n|$. Calculer $\ell=\lim I_n$ et donner un équivalent de $I_n-\ell$.

Poser $F(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{\arctan(x\tan\theta)}{\tan\theta}\,d\theta$.

1. Montrer que $F$ est définie sur $\R$ et de classe $C^1$.
2. Calculer $F(x)$.
3. Après justification de convergence, calculer $\int_0^{\pi/2}\ln(\sin\theta)\,d\theta$.

Poser $f(x)=\int_0^\infty\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(t+x)}\,dt$.

1. Déterminer son domaine, ses variations et ses limites aux bornes.
2. Calculer $f(1)$.

Poser $f(x)=\int_1^\infty\frac{dt}{t^x(1+t)}$.

1. Déterminer son domaine.
2. Montrer que $f$ est $C^\infty$ et donner $f^{(n)}$.
3. Donner des équivalents en $0$ et en $+\infty$.

Pour $x\in[0,\pi/2]$, poser $f(x)=\int_0^1\frac{\ln(1+2t\cos x+t^2)}t\,dt$.

1. Montrer que $f$ est de classe $C^1$.
2. Donner une expression simple de $f$.

Étudier $f(x)=\int_0^1\frac{\ln(1-x\cos t+t^2)}t\,dt$.

Poser $f(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{xe^{it}}{x^2+t^2}\,dt$.

1. Montrer que $f$ est définie pour $x>0$.
2. Montrer $f(x)=\int_\R\frac{e^{ixu}}{u^2+1}\,du$ et en déduire sa limite en $0$.
3. Calculer le laplacien de $G(x,t)=x/(x^2+t^2)$.
4. Montrer que $f\in C^2(\R_+^*)$ et résout une équation différentielle linéaire d'ordre 2.
5. Donner une expression simple de $f$.

Soit $f\in C^1([0,1],\R_+^*)$. Pour $x>0$, poser $F(x)=\int_0^1f(t)^x\,dt$ et $G(x)=F(x)^{1/x}$.

1. Montrer $G\in C^1(\R_+^*)$.
2. Déterminer les limites de $G$ en $0^+$ et $+\infty$.

Soit $f(x,y)=x^2y^2+\frac12(x+y)^2+xy+\frac34$.

1. Déterminer les points critiques et leur nature.
2. $f$ admet-elle des extrema globaux ?

1. Soient $P,Q\in\R[X]$, $Q$ de degré $2$ à racines distinctes $r_1,r_2$. Montrer que $P/Q$ est développable en série entière et préciser le rayon.
2. Sur $U=(\R\setminus\{-1\})\times]0,\pi/2[$, poser $f(x,t)=\arctan\left(\frac{1-x}{1+x}\tan t\right)$. Étudier ses extrema.
3. Pour $t$ fixé, montrer que $x\mapsto f(x,t)$ est développable en série entière en $0$.

Sur $\R^2\setminus\Delta$, avec $\Delta=\{(x,x)\}$, poser $f(x,y)=(h(x)-h(y))/(x-y)$.

1. Si $h\in C^1$, montrer que $f$ se prolonge continûment à $\R^2$.
2. Si $h\in C^2$, montrer que ce prolongement est $C^1$.

Soit $n\geq1$, $f\in C^1(\R^2,\R)$. Dire que $f$ vérifie $H_n$ si $f(tx,ty)=t^nf(x,y)$ pour tous $x,y$ et $t\geq0$.

1. Montrer que $H_n$ équivaut à $x\partial_xf+y\partial_yf=nf$.
2. Si $n\geq2$, montrer $\partial_xf(0,0)=\partial_yf(0,0)=0$.
3. Montrer que $f$ ne s'annule qu'en $(0,0)$ ssi $|f(x,y)|\to+\infty$ lorsque $\|(x,y)\|\to+\infty$.

Soit $f\in C^2(\R^n,\R)$ radiale : $f(x)=\varphi(\|x\|)$ pour $x\neq0$.

1. Montrer $\Delta f(x)=\varphi''(\|x\|)+\frac{n-1}{\|x\|}\varphi'(\|x\|)$.
2. Déterminer les fonctions radiales harmoniques de classe $C^2$ sur $\R^n$.

Soit $f\in C^2(\R^n,\R)$ telle que le spectre de sa hessienne soit inclus dans $[1,+\infty[$ en tout point.

1. Montrer $y^TH_f(x)y\geq\|y\|^2$.
2. En déduire $f(x)\geq f(0)+\nabla f(0)^Tx+\|x\|^2/2$.
3. Montrer que $f$ admet un minimum, puis qu'il est unique.

Probabilités

Soit $n\geq3$. Placer successivement $n$ billes, uniformément et indépendamment, dans trois boîtes initialement vides. Soit $N$ le nombre de boîtes vides.

1. Calculer $\E(N)$.
2. Donner la loi de $N$.
3. En déduire le nombre de surjections de $\{1,\ldots,n\}$ dans $\{1,2,3\}$.

Une urne contient une boule blanche et une noire. À chaque tirage, remettre la boule tirée en ajoutant deux boules : une de sa couleur et une noire. Soit $T_n$ le nombre de boules blanches après $n$ tirages. Préciser $X_n=T_n-T_{n-1}$ et sa loi, calculer $\E(T_n)$ et donner un équivalent en $+\infty$.

Soient $n=2q+1$, $A_k$ les racines $n$-ièmes de l'unité d'arguments $2k\pi/n$, et $B_k$ l'intersection de $(A_0A_k)$ avec la droite $x=-1$. Si $W_n$ est uniforme sur $\{1,\ldots,n-1\}$, poser $Z_n=2\cot(\pi W_n/n)$.

1. Montrer que l'ordonnée de $B_k$ vaut $2\cot(k\pi/n)$.
2. Calculer $\E(Z_n)$.
3. Donner un équivalent de $\E(|Z_n|)$.

Soit $n\geq2$ et $\mathcal P_n$ l'ensemble des parties de $\{1,\ldots,n\}$.

1. Si $A$ est uniforme sur $\mathcal P_n$, donner la loi de $|A|$.
2. Pour $A,B$ uniformes indépendantes, calculer $\P(A\cap B=\varnothing)$.
3. Pour $n$ parties uniformes indépendantes $A_1,\ldots,A_n$, poser $Z=|\bigcap_iA_i|$. Donner $\E(Z)$ et la loi de $Z$.

On lance indéfiniment une pièce équilibrée et numérote les séries de lancers identiques consécutifs. Soit $N_n$ le numéro de la série contenant le lancer $n$.

1. Donner $N_n(\Omega)$, $\P(N_n=1)$ et $\P(N_n=n)$.
2. Relier $\P(N_n=k)$ aux probabilités $\P(N_{n-1}=i)$.
3. Donner la fonction génératrice de $N_n$ et son espérance.
4. Calculer $\V(N_n)$.

Soit $X\geq0$ à support fini et $k\geq1$. Montrer $\E(X^k)=\int_0^\infty kt^{k-1}\P(X>t)\,dt$.

Soit $\mathfrak S_n$ uniforme, $n\geq2$, et $X_i(\sigma)=1$ si $\sigma(i)=i$, $0$ sinon.

1. Donner la loi de $X_i$. Les $X_i$ sont-elles indépendantes ?
2. Pour $Y$ le nombre de points fixes, calculer espérance et variance.

Soit $f\in C^1([0,1])$ et $B_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nkf(k/n)x^k(1-x)^{n-k}$.

1. Montrer que $f$ est lipschitzienne.
2. Réécrire $B_n(x)-f(x)$ comme somme pondérée des écarts.
3. Pour $X_i$ i.i.d. Bernoulli($x$), poser $X_n=(\sum X_i)/n$. Donner loi, espérance, variance et montrer $\V(X_n)\leq1/(4n)$.
4. Montrer $\E(f(X_n))=B_n(x)$.
5. Pour $\varepsilon>0$, majorer la contribution des indices avec $|x-k/n|\geq\varepsilon/M$ par $2\|f\|_\infty\P(|X_n-x|\geq\varepsilon/M)$.
6. En déduire $B_n\to f$ uniformément.

Soit $X$ à valeurs dans $\N$ et $(X_n)$ i.i.d. de même loi. Pour $n\geq2$, poser $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$. Dire que $X$ est implosive si $\E(X)=+\infty$ et $\E(Y_n)<+\infty$ pour un certain $n$.

1. Si $\P(X=k)=1/\sqrt{k+1}-1/\sqrt{k+2}$, montrer que $X$ est implosive et donner son indice d'implosion.
2. Poser $u_n=a/(n\ln^2n)$ pour $n\geq2$. Choisir $a$ pour que $(u_n)$ soit une loi et montrer que la variable associée n'est pas implosive.

Soient $(X_n)$ i.i.d. avec $\P(X_n=1)=p$, $\P(X_n=-1)=q=1-p$, et $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.

1. Étudier $\sum\P(S_n=0)$.
2. Pour $t>0$, montrer $\P(S_n>a)\leq e^{-ta}(qe^{-t}+pe^t)^n$.
3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $p$ pour que $\sum\P(S_n\in A)$ converge pour toute partie bornée $A\subset\R$.

Soit $M_n=(X_{ij})$ avec coefficients i.i.d. uniformes sur $\{-1,1\}$ et $\Delta_n=\det M_n$.

1. Calculer $\E(\Delta_n)$.
2. Montrer $\V(\Delta_n)=n!$.
3. Donner une condition suffisante sur $(a_n)\subset\R_+$ pour que $\P(\Delta_n\geq a_n)\to0$.
4. Calculer $\E(\operatorname{tr}(M_n^k))$.

1. Pour des variables bornées $(X_1,\ldots,X_n)$, montrer que leur matrice de covariance est dans $S_n^+(\R)$.
2. Réciproquement, toute matrice de $S_n^+(\R)$ est-elle matrice de covariance d'un n-uplet de variables réelles bornées ?

Soient $(X_n)$ indépendantes, de même espérance $m$ et variance $\sigma^2$, et $\overline X_n=n^{-1}\sum_{k=1}^nX_k$. Soit $f:\R\to\R$ continue bornée.

1. Montrer $\P(|f(\overline X_n)-f(m)|>\varepsilon)\to0$.
2. Montrer $\E(f(\overline X_n))\to f(m)$.

Soit $Y_n\sim\mathcal G(1/n)$.

1. Pour $x>0$, déterminer si elle existe la limite de $\P(Y_n/n\leq x)$.
2. Pour $f$ continue bornée sur $\R_+$, déterminer si elle existe la limite de $\E(f(Y_n/n))$.

Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$, $E_k=\bigcup_{i=1}^n(X_i=k)$ et $Y_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$.

1. Montrer $Y_n=\sum_{k\geq0}\mathbf1_{E_k}$.
2. Pour $m\in\N$, poser $R_m=\sum_{k=m+1}^\infty\mathbf1_{E_k}$. Montrer $\E(R_m)\leq n\P(X_1\geq m+1)$.

1. Pour $n\geq2$, montrer qu'une matrice $A\in M_n(\C)$ est de rang $1$ ssi elle s'écrit $A=UV^T$ avec $U,V\in\C^n\setminus\{0\}$.

2. Pour $(X,Y)$ à valeurs dans $\{1,\ldots,n\}^2$, poser $A=(\P(X=i,Y=j))$.

   1. Montrer que $\operatorname{rg}(A)=1$ ssi $X,Y$ sont indépendantes.
   2. Montrer que l'indépendance équivaut à $\E(e^{sX+tY})=\E(e^{sX})\E(e^{tY})$ pour tous $s,t\in\R$.

Soient $(X_i)_{i\geq1}$ i.i.d. à valeurs dans $\N$ et $T\in\N$ indépendante de chaque famille finie $(X_1,\ldots,X_n)$; poser $S_T=\sum_{i=1}^T X_i$. Supposer $X_1,T$ intégrables.

1. Exprimer $G_{X_1+\cdots+X_n}$ en fonction de $G_{X_1}$.
2. Montrer $G_{S_T}(s)=G_T(G_{X_1}(s))$ pour $s\in[0,1]$.
3. Montrer $\E(S_T)=\E(X_1)\E(T)$.
4. Application : des poules pondent un nombre d'œufs de loi de Poisson ; chaque œuf éclot avec probabilité $p$.

Autres Écoles MP-MPI 2026

Algèbre

[IMT] $f:\N\to\N$, $f(m+1)>f(f(m))$. Montrer par récurrence $m\geq p\Rightarrow f(m)\geq p$, puis $f(m)\geq m$, que $f$ est croissante et conclure $f=\operatorname{id}$.

[IMT] Factoriser $X^n-1$ et $1+X+\cdots+X^{n-1}$ dans $\C[X]$, puis calculer $\sum_{k=1}^{n-1}\sin(2k\pi/n)$ et $\prod_{k=1}^{n-1}\sin(k\pi/n)$.

[IMT] Pour $A,B\in M_n(\R)$, calculer la trace de $\varphi:M\mapsto AMB$.

[IMT] Montrer que $A^2=A$ ssi $\operatorname{rg}(A)\leq\operatorname{tr}(A)$ et $\operatorname{rg}(I_n-A)\leq\operatorname{tr}(I_n-A)$.

[IMT] Soient $P_1,P_2$ deux plans distincts de $\R^3$ et $S$ l'espace des endomorphismes les laissant stables. Montrer que $S$ est un sous-espace, étudier si les plans sont supplémentaires et montrer qu'ils ont un vecteur propre commun à tout $u\in S$. Trouver une base où les matrices de $S$ sont de la forme $\begin{pmatrix}a&0&0\\b&c&d\\0&0&e\end{pmatrix}$.

Diagonaliser la matrice $A$ de taille $4$ dont tous les coefficients valent $1$, ainsi que $B$ à diagonale $16$ et hors-diagonale $1$. Déterminer $\pi_B$.

[CCINP] Pour $a,b,c,d\in\C$, $M=\begin{pmatrix}a&b&c&d\\b&a&-d&c\\-c&d&a&-b\\-d&-c&b&a\end{pmatrix}$. Calculer $MM^T$, en déduire $\det M$, son rang selon $a^2+b^2+c^2+d^2$, puis son spectre et discuter la diagonalisabilité si $b^2+c^2+d^2=0$.

[CCINP] Soient $a,b\in\R$, $A$ la matrice de taille $n$ à diagonale $b$ et hors-diagonale $a$, et $J$ la matrice de tous les $1$. Montrer que $A,J$ sont diagonalisables, déterminer les éléments propres de $J$, donner une condition d'inversibilité de $A$ et exprimer $A^{-1}$.

[IMT] Soient $A\in M_{3,2}(\R)$, $B\in M_{2,3}(\R)$. Montrer $\operatorname{rg}(AB)\leq2$, discuter l'inversibilité. Si $AB=\begin{pmatrix}1&0&x\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}$, déterminer les $x$ possibles et discuter la diagonalisabilité de $BA$.

[CCINP] Pour $n\geq2$, $f(P)=(X^2+X)P(1)+(X^2-X)P'(1)$ sur $\R_n[X]$. Déterminer noyau, image, valeurs propres, espaces propres et diagonalisabilité.

[IMT] Pour des endomorphismes $u,v$ d'un espace de dimension finie, montrer que toute valeur propre de $u\circ v$ est valeur propre de $v\circ u$.

[IMT] Si $A^2+A+I_n=0$ pour $A\in M_n(\R)$, montrer $n$ pair et calculer $\det A,\operatorname{tr}A$.

[IMT] Soit $A\in M_n(\R)$ avec $n$ valeurs propres distinctes. Si $A$ est diagonale, montrer $\R[A]$ égale les matrices diagonales. En général, construire $M_i$ tels que $A^p=\sum_i\lambda_i^pM_i$.

[IMT] Soit $M$ à diagonale nulle et coefficients hors diagonale égaux à $1$. Déterminer son spectre puis montrer qu'aucune forme linéaire $\varphi$ ne donne une valeur propre de $A$ pour toute matrice $A$.

[IMT] Pour $f\in\mathcal L(E)$, $\dim E=n$, déterminer $\dim\{g:f\circ g=g\circ f=0\}$.

[IMT] Si $\operatorname{tr}(A)\neq0$, montrer que $M\mapsto\operatorname{tr}(M)A-\operatorname{tr}(A)M$ est diagonalisable et déterminer ses espaces propres.

[IMT] Soit $M\in M_2(\R)$, $\det M=0$, $M^T=M^2$. Montrer $M^4=M$, que $M$ est semblable à $\begin{pmatrix}0&a\\0&b\end{pmatrix}$, $b\in\{0,1\}$, puis discuter $b=0$, l'idempotence, diagonalisabilité et trigonalisabilité.

[CCINP] Pour $E$ réel de dimension $4$ et $\pi_f=(X^2+1)(X^2+4)$, décomposer les noyaux, trouver $x,y$ tels que $f^2(x)=-x$, $f^2(y)=-4y$, montrer $(x,f(x),y,f(y))$ base et écrire la matrice.

[CCINP] Soit $A$ stochastique. Montrer $1\in\Sp(A)$ et $|\lambda|\leq1$. Si la diagonale est strictement positive, montrer $|\lambda-w|\leq1-w$ pour un $w\in]0,1]$, puis situer le spectre dans un disque fermé de rayon $<1$ tangent au cercle unité en $1$.

[IMT] Sur $C^1([0,1])$, $\langle f,g\rangle=\int_0^1xfg$. Montrer que c'est un produit scalaire et calculer le projeté de $1$ sur $\operatorname{Vect}(x,x^2)$.

[CCINP] Sur $\R_n[X]$, $\langle P,Q\rangle=\sum_{i=0}^nP(a_i)Q(a_i)$ pour $a_i$ distincts. Montrer que c'est un produit scalaire. Pour $H=\{P:\sum\alpha_iP(a_i)=0\}$, $\alpha\neq0$, donner $\dim H$ et calculer $d(Q,H)$ pour le générateur unitaire $Q$ de $H^\perp$.

[CCINP] Soient $u$ isométrique et $v=\operatorname{id}-u$. Montrer $\operatorname{Im}v\perp\Ker v$. Pour $f_n(x)=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}u^k(x)$, établir la décomposition puis la convergence simple vers le projecteur orthogonal sur $\Ker v$.

[CCINP] Montrer successivement que toute matrice positive admet une racine carrée positive, que $M^TM$ est positive, que toute matrice positive est de la forme $M^TM$, et que $A$ est diagonalisable réelle ssi $A^T=SAS^{-1}$ pour un $S$ symétrique définie positive.

[IMT] Si $f$ est autoadjoint sur un espace euclidien, montrer que $\langle f(x),x\rangle=0$ pour tout $x$ entraîne $f=0$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour $\|f(x)\|^2=\langle x,f(x)\rangle$ pour tout $x$.

Analyse

[IMT] Si $f\in\mathcal L(E,F)$ est continue entre espaces normés, montrer $\Ker f$ fermé. La réciproque est-elle vraie ? Montrer qu'elle l'est pour $F=\R$ ou $\C$.

[IMT] Sur $C^1([0,1])$ muni de $\|\cdot\|_\infty$, poser $A=\{f:f(0)=0,\int_0^1f\geq1\}$. Montrer que $A$ est fermé non vide, que $\|f\|_\infty>1$ sur $A$, et calculer $d(0,A)$.

[IMT] Pour $n\notin\{0,1\}$, montrer qu'il existe un unique $x_n>0$ tel que $x_n+e^{x_n}=n$, avec $\frac12\ln n<x_n<\ln n$. Donner un équivalent et un développement à deux termes.

[IMT] Étudier les séries de termes généraux $1/(n\ln n)^2$, $(\ln n/n)^2$, et la queue alternée $\sum_{k>n}(-1)^k/(k\ln k)^2$.

[CCINP] Soit $u_0>0$, $u_{n+1}=1-e^{-u_n}$. Étudier $(u_n)$ et les séries $\sum(-1)^nu_n,\sum u_n^2,\sum u_n$.

[IMT] Pour $x>0$, poser $I(x)=\int_x^{7x}(1-e^{-t})/t^2\,dt$. Déterminer les limites en $0^+$ et $+\infty$.

[IMT] Pour $f(t)=\ln(t)/(1-t)$, montrer que $\int_0^1f$ et $\int_0^11/f$ convergent puis que leur produit est au moins $1$.

[IMT] Montrer que $\int_0^\infty\cos(t^2)\,dt$ existe et est strictement positive.

[CCINP] Poser $f(x)=\int_x^1e^t/t\,dt$.

1. Montrer $f(x)\geq-\ln x$ et sa limite en $0^+$.
2. Pour tout $n\geq1$, montrer qu'il existe un unique $u_n\in]0,1]$ tel que $f(u_n)=n$ et déterminer sa limite.
3. Montrer $I=\int_0^1(e^t-1)/t\,dt$ converge et $u_n\sim e^{I-n}$.

[CCINP] Pour $|x|<1$, $f_x(\theta)=\sum_{n\geq1}x^n\cos(n\theta)/n$. Étudier convergence et régularité, calculer $f_x(0),f_x(\pi)$, montrer $f'_x=-x\sin\theta/(1-2x\cos\theta+x^2)$, en déduire $f_x$ et calculer $\int_0^\pi\ln(1-2x\cos\theta+x^2)d\theta$.

[CCINP] Poser $f_n(x)=\cos^n(x)\sin(nx)/n$. Montrer $\sum f_n$ converge simplement, que sa somme est $C^1$ sur $\R\setminus\pi\Z$ et de dérivée $-1$, puis l'expliciter.

[IMT] Pour $f(x)=\sum_{n\geq0}n^3x^n/n!$, déterminer le rayon et exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.

Soit $a_1=a_0>0$, $a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}/n$.

1. Montrer que $(a_n)$ croît, que $a_n=a_1+2\sum_{k=2}^na_{k-2}/k$, et qu'elle diverge; établir $a_n\leq n^2a_1$.
2. Pour $f(x)=\sum a_nx^n$, trouver le rayon et vérifier $(1-x)y'=(1+2x)y$.
3. Résoudre l'équation et en déduire $a_n$.

[IMT] Poser $a_n=\int_0^\infty(\cosh t)^{-n}dt$. Montrer l'existence, étudier $(a_n)$, la série alternée $\sum(-1)^na_n$ et le rayon de $\sum a_nx^n$.

[IMT] Poser $a_n=\int_0^1t^n/\sqrt{1-t^3}\,dt$. Montrer l'existence, calculer la limite et le rayon de $\sum a_nx^n$.

[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty(1+x^3)^{-n}dx$. Montrer l'existence et la limite, puis calculer la somme de $\sum_{k\geq1}(-1)^kI_k$.

[IMT] Poser $\psi(x)=\int_0^\infty\sin(xt)e^{-t}/t\,dt$. Montrer $\int_0^\infty\cos(xt)e^{-t}dt=1/(1+x^2)$, puis que $\psi$ est $C^1$ et calculer $\psi',\psi$.

[CCINP] Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-t}e^{ixt}/\sqrt t\,dt$, déterminer son domaine, montrer $C^1$, calculer $f(0)$, établir une équation différentielle et en déduire une expression.

[IMT] Poser $f(x)=e^{-x^2/2}\int_0^xe^{-t^2/2}dt$. Montrer $C^\infty$, trouver une équation différentielle et le développement en série entière.

[IMT] Soit $f$ continue et $f(x)=1-\int_0^x(x+t)f(x-t)dt$. Poser $F(x)=\int_0^xf(t)dt$. Montrer $f\in C^1$, $F''+xF'+2F=0$, $F(0)=0,F'(0)=1$, puis expliciter $f$.

[IMT] Soient $q\leq0$ continue et $y''+qy=0$. Montrer $y^2$ convexe, qu'une solution ayant deux zéros distincts est nulle, que toute solution bornée est nulle et, si $y(0)=y_0>0,y'(0)=0$, que $y\geq y_0$ et est convexe.

[IMT] Résoudre sur $\R_+^*$ $x^2y''+y=0$, d'abord avec $y=x^\alpha$.

[CCINP] Soit $y\in C^3(\R)$ vérifiant $(E):y^{(3)}-5y''+7y'-3y=0$.

1. Montrer que $y$ vérifie $(E)$ si et seulement si $Y'=AY$, où $Y=(y,y',y'')^T$ et $A=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\3&-7&5\end{pmatrix}$.
2. Pour $M=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\3&-7&5\end{pmatrix}$, trouver $P\in GL_3(\R)$ tel que $P^{-1}MP=\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}$.
3. Poser $Z=P^{-1}Y$, établir l'équation vérifiée par $Z$, la résoudre puis en déduire les solutions de $(E)$.

[CCINP] Pour $A(-1,1),B(0,1),C(0,-1),D(-1,-1)$ et $f(x,y)=-2x^3+x^2-y^2+5$, montrer que $f$ est bornée sur le rectangle et déterminer ses extrema.

Probabilités

[IMT] Un lion chasse un jour sur deux : après avoir mangé, il ne chasse pas le lendemain ; sinon il chasse et mange avec probabilité $1/2$. La veille du jour 1 il n'a pas mangé.

1. Probabilité qu'il ne mange pas durant les $n$ premiers jours.
2. Probabilité de son premier repas le jour $n$.
3. Si $p_i$ est la probabilité qu'il mange le jour $i$, établir une récurrence et l'expliciter.

[CCINP] Marche aléatoire sur $\Z$ depuis $0$, vers la gauche avec probabilité $p$, vers la droite avec $q=1-p$. Noter $r_n$ la probabilité d'être en $0$ au temps $n$, et $s_n$ celle du premier retour à $0$ au temps $n$.

1. Calculer $r_n$.
2. Pour $F(x)=\sum_{n\geq0}r_nx^n$, $G(x)=\sum_{n\geq1}s_nx^n$, étudier les domaines et continuité.
3. Montrer $F(t)G(t)=F(t)-1$ sur $[0,1[$.

[CCINP] Deux urnes contiennent respectivement $(2\,blanches,3\,noires)$ et $(4\,blanches,3\,noires)$. À chaque tirage, choisir une urne au hasard, tirer avec remise, puis tirer au tour suivant dans $U_1$ si la boule était blanche, $U_2$ sinon. Pour $p_n=\P(B_n)$, calculer $p_1$, établir $p_{n+1}=-6p_n/35+4/7$ et résoudre.

[IMT] Soient $X\sim\mathcal P(\lambda)$ et $Y$ indépendantes avec $\P(Y=n)=p(1-p)^n$.

1. Calculer $\E(Y),\V(Y),\P(X\neq0,Y\neq0)$.
2. Pour $M_{a,b}=\begin{pmatrix}-a&a&0\\2a&0&0\\0&0&b\end{pmatrix}$, déterminer le spectre.
3. Calculer $\P(M_{X,Y}$ inversible).

[IMT] Soient $X,Y\sim\mathcal G(p)$ et $Z\sim\mathcal P(\lambda)$ indépendantes. Soit $M_n\in M_n(\R)$ la matrice symétrique dont les coefficients $(1,1)$ et $(n,n)$ valent $X$, les coefficients $(1,n)$ et $(n,1)$ valent $Y$, les autres coefficients diagonaux valent $Z$, et les autres coefficients sont nuls. Calculer $\P(M_n\in S_n^{++}(\R))$ puis $\E(M_n)$.

Autres Écoles PSI 2026

Algèbre

[Navale] Pour $n\geq2$, montrer qu'un hyperplan de $M_n(\C)$ ne contenant aucune matrice inversible contient toutes les nilpotentes, puis en déduire que tout hyperplan contient une matrice inversible.

[CCINP] Soient $p,q\in\mathcal L(E)$ avec $p+q=\operatorname{id}$ et $\operatorname{rg}(p)+\operatorname{rg}(q)\leq\dim E$. Rappeler la définition d'un projecteur et montrer que $p,q$ sont des projecteurs.

[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $\varphi(X)=X+\operatorname{tr}(X)A$. Montrer que $\varphi$ est un endomorphisme, bijectif si $\operatorname{tr}(A)\neq-1$, puis déterminer rang et image lorsque $\operatorname{tr}(A)=-1$.

[ENSEA] Pour $T=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&0&1&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}$, déterminer rang, valeurs propres sans calculer $\chi_T$, et diagonalisabilité.

[IMT] Sur $E=\C^3$, définir $f_a(e_1)=f_a(e_3)=ae_1+e_2-ae_3$, $f_a(e_2)=0$.

1. Déterminer image et noyau, puis sa matrice.
2. Calculer $A^2$ et en déduire des propriétés de $f_a$.
3. $A$ est-elle inversible ou diagonalisable ?

[ENSEA] Pour $a\neq b$, décomposer $\frac{nx+\lambda}{(x-a)(x-b)}$ en éléments simples. Montrer ensuite que $\Phi(P)=(X-a)(X-b)P'-nXP$ est un endomorphisme de $\R_n[X]$ et déterminer ses éléments propres.

[ENSEA] Poser $\Phi(P)=P(X+1)$ sur $\R_n[X]$. Vérifier que c'est un endomorphisme, étudier sa diagonalisabilité et ses éléments propres, donner sa matrice, calculer ses puissances et discuter son inversibilité.

[CCINP] Soit $u\in\mathcal L(\R^3)$ avec $u^3+u=0$.

1. Montrer $\operatorname{Im}(u^2+\operatorname{id})\subset\Ker u$ et que $\Ker(u^2+\operatorname{id})$ et $\Ker u$ sont en somme directe.
2. Montrer que $0$ est sa seule valeur propre réelle.
3. En déduire que les deux noyaux sont non nuls et qu'il existe une base où $u$ a la matrice $\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}$.

[IMT] Si $A\in M_n(\R)$ est diagonalisable, montrer $(\operatorname{tr}A)^2\leq\operatorname{rg}(A)\operatorname{tr}(A^2)$.

[CCINP] Si $f^3+f=0$, montrer $\Ker f$ et $\operatorname{Im}f$ supplémentaires et, en dimension finie, que $\operatorname{rg}f$ est pair.

[IMT] Soient $\lambda_0,\ldots,\lambda_n$ distincts.

1. Construire les polynômes de Lagrange $L_i$ avec $L_i(\lambda_j)=\delta_{ij}$.
2. Pour $A\in\C[X]$, $B=\prod_{k=0}^n(X-\lambda_k)$, montrer que $\Phi(P)$ égale le reste de $AP$ modulo $B$ définit un endomorphisme de $\C_n[X]$.
3. Montrer que les $L_i$ forment une base propre et donner les valeurs propres.

[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $B=\begin{pmatrix}0&A\\A&I_n\end{pmatrix}$.

1. Exprimer $\det B$ en fonction de $\det A$.
2. Déterminer $\chi_B$ et relier les spectres.
3. Rappeler deux critères de diagonalisabilité et montrer $B$ diagonalisable ssi $A$ l'est.

[IMT] Pour $u,v\in\mathcal L(E)$, montrer qu'une valeur propre non nulle de $u\circ v$ est valeur propre de $v\circ u$. En dimension finie, montrer l'égalité des spectres. Donner un contre-exemple sur $\R[X]$ avec $u(P)=XP$, $v(P)=P'$.

[IMT] Déterminer les matrices $M\in M_3(\R)$ telles que $\operatorname{tr}(M)=3$ et $M^5=M^2$.

[CCINP] Soit $u$ en dimension $n$ ayant $n$ valeurs propres distinctes, et $Z(u)=\{v:uv=vu\}$.

1. Montrer que $Z(u)$ est un espace vectoriel et que les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v\in Z(u)$.
2. Déterminer leurs dimensions et montrer qu'une base propre de $u$ existe.
3. Montrer que $v\in Z(u)$ ssi sa matrice dans cette base est diagonale, déterminer $\dim Z(u)$ et en donner une base parmi $\operatorname{id},u,\ldots,u^{n-1}$.

[CCINP] Pour $A=B^2$.

1. Combien $I_n$ a-t-elle de racines carrées diagonales réelles ?
2. Montrer que $-I_{2n+1}$ a des racines carrées complexes mais aucune réelle.
3. La matrice nulle a-t-elle des racines carrées non nulles ?

[CCINP] Déterminer les $M\in M_n(\R)$ vérifiant $M^3=4M$ et $\operatorname{tr}(M)=0$.

[IMT] Dans une base orthonormée directe d'un espace euclidien de dimension $3$, déterminer la matrice de la rotation d'angle $2\pi/3$ autour de l'axe dirigé par $(e_1-e_2+e_3)/\sqrt3$.

[CCINP] Soient $(e_1,\ldots,e_n)$ unitaires dans un espace préhilbertien réel, avec $\|x\|^2=\sum_i\langle x,e_i\rangle^2$ pour tout $x$.

1. Montrer que la famille est orthonormale.
2. Montrer que l'espace est de dimension $n$.

[CCINP] Si $u$ est orthogonal sur un espace euclidien et $v=\operatorname{id}-u$, montrer $\Ker v=(\operatorname{Im}v)^\perp$.

[IMT] Pour $M\in GL_n(\R)$, poser $A=M^TM$.

1. Montrer $A\in S_n^{++}(\R)$ et qu'il existe $S\in S_n^{++}$ tel que $A=S^2$.
2. En déduire une décomposition $M=OS$ avec $O$ orthogonale et $S$ symétrique définie positive.

Analyse

[IMT] Soit $F_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$. Montrer $\inf_{P\in F_n}\int_0^1|P(t)|dt>0$.

[IMT] Pour $n\geq1$, $u_n=\frac{1\cdot3\cdots(2n+1)}{2\cdot4\cdots2n}$. Montrer $u_n\to0$.

[IMT] Pour $n\geq2$, $f_n(x)=nx^3+n^2x-2$.

1. Montrer qu'il existe un unique $u_n\in(0,1)$ tel que $f_n(u_n)=0$.
2. Étudier la monotonie et la limite de $u_n$.
3. Donner un équivalent de $u_n-\ell$.

[IMT] Soit $u_0\in]0,1[$ et $u_{n+1}=(u_n+u_n^2)/2$. Étudier $(u_n)$ et la série $\sum u_n$.

[IMT] Pour $u_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(t)\sin(nt)\,dt$.

1. Établir la convergence de $(u_n)$.
2. Montrer $u_{n+1}-u_n=1/(n+1)-u_{n+1}$.
3. Déterminer la nature de $\sum u_n$.

[ENSEA] Déterminer les fonctions continues $f:\R\to\R$ telles que $f(x)-\int_0^1f(t)dt=1$ pour tout $x$.

[CCINP] Sur $E=C^0([0,1])$, poser $\Phi(f)(0)=f(0)$ et $\Phi(f)(x)=x^{-1}\int_0^xf(t)dt$ si $x>0$.

1. Montrer que $\Phi$ est un endomorphisme.
2. Montrer que $0$ n'est pas valeur propre et déterminer l'espace propre associé à $1$.
3. Déterminer toutes les valeurs propres et leurs espaces propres.

[CCINP] Poser $f_n(x)=x^2/(x^2+n^2+\sin x)$.

1. Montrer la convergence simple sur $\R$ et donner la limite.
2. Étudier la convergence uniforme sur $[-a,a]$, puis sur $\R$.

[CCINP] Poser $f(t)=\sum_{n\geq1}\frac{t^n}{1+t^n}$. Déterminer son domaine, sa continuité et un équivalent lorsque $t\to1$.

[Navale] Poser $u_n(x)=e^{-xn}$.

1. Étudier la convergence de la série en fonction de $x$.
2. Montrer que sa somme est continue sur $\R_+^*$.
3. Déterminer sa limite à $+\infty$ et un équivalent en $0^+$.

[CCINP] Si $\varphi\in C^0(\R)$ et $|\varphi(x)|\leq C/(1+x^2)$, poser $f(x)=\varphi(x)+\sum_{n\geq1}(\varphi(x+n)+\varphi(x-n))$.

1. Montrer que $f$ est définie, continue et $1$-périodique.
2. Pour $g$ continue $1$-périodique, montrer $\varphi g$ intégrable et $\int_\R\varphi g=\int_0^1fg$.

[IMT]

1. Montrer que la convergence uniforme de $\sum g_n$ implique $g_n\to0$ uniformément.
2. Pour $f_n(x)=nx^2e^{-\sqrt{nx}}$ sur $\R_+$, déterminer la limite simple et étudier la convergence uniforme de $(f_n)$, puis de $\sum f_n$.

[CCINP]

1. Décomposer $\frac1{1+x^3}=\frac a{x+1}+\frac{bx+c}{x^2-x+1}$ et en déduire une primitive sur $]-1,1[$.
2. Déterminer le rayon de $\sum_{n\geq0}(-1)^nx^{3n+1}/(3n+1)$, sa somme, puis $\sum_{n\geq0}(-1)^n/(3n+1)$.

[ENSEA] Poser $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(x)\,dx$.

1. Déterminer rayon et somme de $\sum_{n\geq0}x^{n+1}/(n+1)$.
2. Montrer $0\leq I_n\leq\pi/4$ et en déduire une minoration du rayon de $\sum I_nx^n$.
3. Montrer $I_n+I_{n+2}=1/(n+1)$ et en déduire le rayon.
4. Montrer $\sum I_n$ diverge et $\sum(-1)^nI_n$ converge.

[CCINP] Poser $I_{k,n}=\int_0^\infty t^ke^{-nt}dt$ et $a_n=n!/n^{n+1}$.

1. Calculer $\lim(1-1/n)^n$ et $I_{k,n}$.
2. Déterminer le rayon de $\sum a_nx^n$ et étudier $\sum a_ne^n,\sum a_n(-e)^n$.
3. Pour $x$ dans l'intervalle de convergence, montrer $\sum_{n\geq1}a_nx^n=\int_0^\infty\frac{xt}{e^t-xt}\,dt$.

[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty\frac{e^{nx}}{(1+2e^x)^{n+1}}dx$.

1. Justifier la convergence.
2. Montrer pour $n\geq2$ que $I_n=\dfrac{1}{2n3^n}+\dfrac{n-1}{2n}I_{n-1}$.
3. Étudier la convergence et la limite de $(I_n)$.
4. Exprimer $n2^nI_n$, puis déterminer rayon et somme de $\sum I_nx^n$.

[CCINP] Poser $u_n=\int_0^1\frac{t^n}{1+t^2}dt$, $S(x)=\sum_{n\geq0}u_nx^n$.

1. Rappeler le rayon de convergence et le déterminer.
2. Trouver $a,b,c$ tels que $\frac1{(1+t^2)(1-xt)}=\frac{ax+b}{1+t^2}+\frac c{1-xt}$.
3. Calculer $S(x)$ pour $|x|<R$, puis montrer la continuité en $-1$ et calculer $S(-1)$.

[ENSEA] Pour $F(x)=\int_0^\infty \frac{\sin(xt)}t e^{-t}dt$, montrer que $F$ est définie et $C^1$, calculer $F'$ et en déduire $F$.

[IMT] Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\sinh(t)/t\,dt$, déterminer son domaine, montrer $C^1$, calculer $f'$ et sa limite en $+\infty$.

[IMT] Pour $f(x)=\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}dt$, déterminer son domaine, montrer la continuité et, en considérant $xf(x)$, donner des équivalents aux bords.

[CCINP] Poser $f(x)=\int_0^\infty t^xe^{-t}dt$.

1. Montrer que $f$ est définie et continue sur $\R_+$ et $f(x)=xf(x-1)$ pour $x\geq1$.
2. Poser $V_n=\int_n^{n+1}\ln(f(u))du$, $\Phi(x)=\int_x^{x+1}\ln(f(u))du$. Montrer $\Phi'(x)=\ln x$, déterminer sa limite et conclure sur la série $\sum(-1)^nV_n$.

[CCINP] Pour $g(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\sin^2(t)/t\,dt$, $x>0$ :

1. Montrer l'existence et calculer la limite en $+\infty$.
2. Montrer $g\in C^1$, calculer $g'$ puis $g$.

[IMT] Justifier l'existence puis calculer $\int_0^\infty\frac{t}{e^t-1}dt$. Indication : $\sum_{n\geq1}1/n^2=\pi^2/6$.

[CCINP] Soit $I=\int_0^\infty\sin(t)/\sinh(t)\,dt$.

1. Établir la convergence et développer $\sin t/\sinh t$ en série exponentielle.
2. En déduire $I=\sum_{n\geq0}2/((2n+1)^2+1)$ et montrer $\pi/4\leq I\leq\pi/4+1$.

[CCINP] Justifier l'existence de $I=\int_0^\infty x^2/(e^x-1)\,dx$ et montrer $I=\sum_{n\geq1}2/n^3$.

[CCINP] Pour $I=\int_0^1\frac{\ln t}{t^2-1}dt$, montrer que l'intégrale converge puis que $I=\sum_{n\geq0}1/(2n+1)^2$.

[IMT]

1. Selon $\lambda\in\R$, déterminer le nombre de solutions de $xe^{-x}=\lambda$.
2. Pour $K=\{(x,y)\in\R_+^2:x+y\leq1\}$ et $f(x,y)=xy(1-x-y)$, montrer sans calcul que $f$ atteint un maximum et le déterminer.

[IMT] Soient $n\geq3$, $h=1/n$, $D_1=(d_{ij})$ définie par $d_{11}=1$, $d_{k,k} = 1$ et $d_{k,k-1}=-1$ pour $2\leq k\leq n$, les autres coefficients étant nuls, et $D_2$ la matrice symétrique tridiagonale de diagonale $(2,\ldots,2,1)$ et de coefficients sous- et sur-diagonaux $-1$. Sur $\R^n$, poser $\langle X,Y\rangle_h=h\sum_{k=1}^n x_ky_k$ et $f(X)=\|D_1X\|_h^2-\langle X,V\rangle_h$.

1. Calculer $D_1^TD_1$.
2. Montrer $f\in C^1$ et calculer son gradient.
3. Montrer $D_2$ inversible, déterminer l'unique point critique $X_c$ en fonction de $D_2,V$, puis exprimer $f(X_c)$ en fonction de $\langle X_c,V\rangle_h$.

Probabilités

[CCINP] Tirages indépendants avec remise, probabilité $p$ d'obtenir une verte.

1. Pour $X_1$ rang de la première verte, donner loi et espérance.
2. Pour $X_2$ rang de la deuxième verte, donner loi et espérance.

[CCINP] Deux dés donnent $X_1,X_2$, fonctions génératrices $G_1,G_2$. Poser $P(X)=\sum_{k=0}^{10}X^k$.

1. Expliciter $G_1$.
2. Montrer que si $X_1+X_2$ était uniforme sur $\{2,\ldots,12\}$, alors $G_1(t)G_2(t)=t^2P(t)/12$.
3. Trouver les racines de $P$ et conclure.

[CCINP] La probabilité qu'une famille ait $n\geq1$ enfants vaut $\alpha\lambda^n$, avec $0<\lambda<1$, $(1+\alpha)\lambda<1$. Chaque enfant est garçon avec probabilité $q=1-p$.

1. Calculer la probabilité qu'une famille n'ait aucun enfant.
2. Montrer $\sum_{n\geq k}\binom nkx^n=x^k/(1-x)^{k+1}$.
3. Calculer la probabilité d'avoir exactement $k$ garçons puis celle d'en avoir au moins deux sachant qu'il y en a au moins un.

[CCINP] Pour $(X,Y)\in\N^2$, $\P(X=k,Y=n)=\binom nkp(1-p)^{n/2-n}$ si $k\leq n$, et $0$ sinon.

1. Déterminer la loi de $Y$.
2. Montrer $\sum_{n\geq k}\binom nkx^{n-k}=(1-x)^{-k-1}$.
3. Déterminer la loi de $X$ et étudier l'indépendance.

[IMT] Si $X_\lambda\sim\mathcal P(\lambda)$ :

1. Pour $\lambda$ fixé, déterminer le $n$ maximisant $\P(X=n)$.
2. Pour $n$ fixé, déterminer le $\lambda$ maximisant $\P(X=n)$.

[ENSEA] Pour $p\in]0,1[$, $\P(X=n)=p^2n(1-p)^{n-1}$ pour $n\geq1$.

1. Vérifier qu'il s'agit d'une loi.
2. Calculer $\E(X-1)$ et $\E((X-2)(X-1))$.
3. En déduire espérance et variance.

[CCINP] Soient $X_1,X_2$ indépendantes de loi $\mathcal B(n,1/2)$.

1. En développant $(1+X)^{2n}$ de deux façons, montrer $\sum_{k=0}^n\binom nk^2=\binom{2n}n$.
2. En déduire la probabilité que $\begin{pmatrix}X_1&1\\0&X_2\end{pmatrix}$ soit diagonalisable.

[CCINP] Pour $M=\begin{pmatrix}0&-a\\a&2b\end{pmatrix}$, montrer $\chi_M=(X-b)^2+a^2-b^2$ et caractériser sa diagonalisabilité réelle. Pour $X\sim\mathcal G(p)$, calculer $\P(X\geq n)$. Si $X,Y$ géométriques indépendantes de paramètres $p_1,p_2$, déterminer la probabilité que $\begin{pmatrix}0&-X\\X&2Y\end{pmatrix}$ soit diagonalisable, puis calculer $\P(X=Y)$.

Autres Écoles PC 2026

Algèbre

[CCINP] Si $E$ est réel et $f,g\in\mathcal L(E)$ avec $E=\Ker f+\operatorname{Im}g$, montrer $\operatorname{Im}f=\operatorname{Im}(f\circ g)$.

[IMT] Pour $A\in M_n(\R)$, poser $E_A=\{M:AMA=0\}$. Montrer que $E_A$ est un espace vectoriel et préciser sa dimension.

[CCINP] Soit $A\in M_3(\R)$ non nulle telle que $A^3+9A=0$.

1. Montrer $A$ diagonalisable sur $\C$ et $\Sp(A)\subset\{0,\pm3i\}$, puis que $\det A=0$.
2. Par conjugaison, établir $\Sp(A)=\{0,\pm3i\}$.
3. Construire une base réelle où $A=P\begin{pmatrix}0&3&0\\-3&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}P^{-1}$.

[IMT] Pour $A$ à diagonale $3$ et coefficients hors diagonale $1$, déterminer les éléments propres.

[IMT] Pour $A=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{pmatrix}$, discuter la diagonalisabilité et déterminer ses éléments propres.

[CCINP] Poser $M(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{pmatrix}$.

1. Écrire $M(a,b,c)$ avec $J=M(0,1,0)$ et $J^2$; montrer que ces matrices forment une algèbre stable par produit.
2. Diagonaliser $J$ sur $\C$ et en déduire les valeurs propres de $M(a,b,c)$.
3. Montrer que $M$ est diagonalisable sur $\R$ ssi $b=c$.
4. Déterminer les triplets donnant un projecteur autre que $0,I_3$ et préciser noyau et image.

[IMT] Soient $f,g\in\mathcal L(E)$ complexes et $fg-gf=\beta f$.

1. Montrer $fg^n-g^nf=n\beta g^n$.
2. En déduire que $g^n=0$ à partir d'un certain rang.
3. Montrer que $f,g$ ont un vecteur propre commun.

[CCINP] Soient $\varphi:E\to\C$ non nulle, $a\in\Ker\varphi\setminus\{0\}$ et $t(x)=x-\varphi(x)a$.

1. Rappeler qu'une symétrie est diagonalisable, avec quelles valeurs propres.
2. Montrer qu'une forme linéaire non nulle est surjective; construire $b\neq0$ avec $t(b)=b$.
3. Déterminer $\operatorname{Im}(t-\operatorname{id})$, $\Ker(t-\operatorname{id})$, le spectre et la diagonalisabilité de $t$.

[CCINP] Soit $M=(m_{jk})\in M_n(\C)$ définie par $m_{jj}=0$, $m_{jk}=i$ si $j<k$ et $m_{jk}=-i$ si $j>k$, et soit $B$ la matrice dont tous les coefficients valent $1$. Pour $\lambda\in\C$, poser $A(\lambda)=\lambda I_n-M$ et $P(z)=\det(A(\lambda)+zB)$.

1. Pour $\alpha=e^{i\pi/n}$, calculer $\alpha^n$ et résoudre $z^n=-1$.
2. Montrer $(X-i,X+i)$ est une base de $\C_1[X]$.
3. Trouver $a,b$ dépendant de $\lambda$ tels que $P(z)=a(z-i)+b(z+i)$.
4. $M$ est-elle diagonalisable ?

[CCINP] Sur $E=C^0(\R)$, poser $\varphi(f)(x)=x^{-1}\int_0^xf(t)dt$ si $x\neq0$ et $\varphi(f)(0)=f(0)$.

1. Montrer que $\varphi$ est linéaire et envoie $E$ dans $E$.
2. Étudier la stabilité de $\R[X]$ et $\R_n[X]$, l'injectivité et la surjectivité des applications induites.
3. Résoudre $\lambda xy'+(1-\lambda)y=0$ avec continuité en $0$, selon $\lambda\neq0$.
4. Déterminer les valeurs propres de $\varphi$ et des restrictions.

[CCINP] Si $f$ est de rang $1$ sur un espace complexe de dimension $n\geq2$, montrer $\chi_f(X)=X^{n-1}(X-\operatorname{tr}f)$ et que $f$ est diagonalisable ssi $\operatorname{tr}f\neq0$.

[CCINP] Soit $E$ réel de dimension impaire et $f+f^3=0$. Préciser le spectre, discuter l'automorphisme, et montrer $\operatorname{Im}f$ et $\Ker f$ supplémentaires.

[CCINP] Soient $A\in M_{20,5}(\R)$ et $B=A^TA$. Montrer $B$ diagonalisable sur $\R$, que $0$ est valeur propre, et donner une borne sur la dimension du noyau.

[CCINP]

1. Pour $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$, montrer que l'endomorphisme associé est autoadjoint, trouver ses valeurs propres et une base propre orthonormée.
2. Pour $u$ autoadjoint de spectre ordonné $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$, montrer $\langle u(x),x\rangle=\sum\lambda_kx_k^2$ dans une base propre orthonormée et $\lambda_n=\max_{\|x\|=1}\langle u(x),x\rangle$.

Analyse

[CCINP] Une suite $(u_n)$ est adaptée à $f$ si $u_nf(nx)=\sum_{j=0}^{n-1}f(x+j/n)$.

1. Montrer que les fonctions $1$ et $x-1/2$ appartiennent à $E$ avec suites adaptées respectives $u_n=n$ et $u_n=1$.
2. Si $f\neq0$ admet une suite adaptée, montrer son unicité. Si $f\in C^p$ et $f^{(p)}\neq0$, montrer que les dérivées $f^{(k)}$ sont dans $E$ et relier les suites adaptées.
3. Définir les polynômes $B_0=1$, $B'_p=pB_{p-1}$, $\int_0^1B_p=0$. Calculer $B_1,B_2$, leurs degrés et montrer $B_p\in E$ avec sa suite adaptée.

[IMT] Soit $E=\{f\in C^0(\R): f(2x)=1+\int_0^x(x-t)f(2t)dt\}$.

1. Montrer que $f\in E$ implique $f$ dérivable et exprimer $f'$.
2. En déduire une équation différentielle linéaire d'ordre 2.
3. Déterminer $E$.

[CCINP] Poser $f(x)=\sum_{n\geq1}(-1)^n/(x+n)$.

1. Déterminer son domaine et montrer la continuité sur $\R_+$.
2. Montrer $\sum_{n\geq0}(-1)^n/(x+n)\sim1/x$ quand $x\to0^+$.

[CCINP] Pour $f_n(x)=x/[n(1+n^2x^2)]$ :

1. Dresser son tableau de variations.
2. Pour $f=\sum_{n\geq1}f_n$, déterminer le domaine et étudier la continuité.
3. Étudier $\sum f_n'$ et la régularité de $f$ sur $\R^*$.
4. Pour $x>0$, montrer $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}\geq\displaystyle\int_x^{+\infty}\dfrac{du}{2u(1+u^2)}$ et étudier la dérivabilité en $0^+$.

[IMT] Développer en série entière $x\mapsto\int_0^1\arctan(xt)\,dt$ et préciser le rayon.

[CCINP] Pour $f(x)=\ln(1+x)/x$, préciser le domaine, prolonger en $0$, puis montrer par série entière que $f\in C^\infty$.

[IMT] Soit $u_0=1$, $u_{n+1}=\sum_{k=0}^nu_ku_{n-k}$. Trouver $u_n$ en étudiant $f(x)=\sum_{n\geq0}u_nx^n$ et $xf(x)$.

[CCINP] Poser $I_n=\int_0^1x^n/(1+x)\,dx$.

1. Étudier la convergence de $(I_n)$ et calculer la limite.
2. Calculer $I_n+I_{n+1}$.
3. Déterminer $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}/k$.

[IMT] Soit $f\in C^1([0,1],\R_+)$ et $I_n=\int_0^1\sin(f(t)/n)dt$.

1. Déterminer la limite de $I_n$.
2. Donner un équivalent puis un développement à deux termes.

[CCINP] Poser $I_n=\int_0^\infty\frac{dt}{1+t^2+t^n}$. Justifier l'existence et déterminer la limite.

[Actuariat] Poser $f(x)=\int_0^\infty e^{-t}t^{x-1}dt$.

1. Montrer que $f$ est définie pour $x>0$.
2. Montrer sa convexité directement par définition, puis par la dérivée seconde.

[CCINP] Rappeler $\arctan t\leq t$ pour $t\geq0$. Pour $f(x)=\int_0^\infty e^{-xt}\arctan(t)dt$, déterminer le domaine et la limite en $+\infty$, puis établir $xf(x)=\int_0^\infty e^{-xt}/(1+t^2)dt$ et calculer la limite de $xf(x)$ en $0$.

[CCINP] Pour $F(x)=\int_0^\infty \frac{\sin t}{t}e^{-tx}dt$, montrer $|\sin t|\leq|t|$, justifier l'existence et étudier la continuité sur $\R_+$.

[CCINP] Montrer la convergence et calculer $\int_0^\infty\frac{\ln t}{1+t^2}dt$.

[CCINP] Pour $f(x,y)=x^2+y^2$, étudier les points critiques et extrema, déterminer les équipotentielles et représenter $z=f(x,y)$.

Probabilités

[IMT]

1. Déterminer $a>0$ pour que $(a/(i!j!))_{(i,j)\in\N^2}$ soit une loi.
2. Pour $\P(X=i,Y=j)=a/(i!j!)$, déterminer les lois marginales et l'indépendance.

[IMT] Soit $X$ intégrable avec $\E(X)\neq0$. Pour $A$, poser $\P_X(A)=\E(\mathbf1_AX)/\E(X)$.

1. Calculer $\E(\mathbf1_A)$.
2. Si $X\sim\mathcal P(\lambda)$ et $A=2\N$, calculer $\P(A)$ et $\P_X(A)$.

[IMT] Deux urnes contiennent respectivement $(2\,blanches,3\,noires)$ et $(4\,blanches,3\,noires)$. Choisir une urne, tirer avec remise, puis tirer au tour suivant dans $U_1$ après une blanche et $U_2$ après une noire. Pour $p_n=\P(B_n)$, calculer $p_1$, établir une récurrence et expliciter $p_n$.

[CCINP] Soit $U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité, $X$ uniforme sur $U_n$.

1. Montrer $\sum_{k=0}^{n-1}z_k=0$.
2. Calculer $\E(X),\E(\overline X),\E(|X|^2)$.
3. Pour $(X_i)$ i.i.d. de même loi, calculer $\E(|S_p|^2)$ où $S_p=\sum_{k=1}^pX_k$, puis illustrer Markov.
4. Pour $T_p=\prod_{k=1}^pX_k$, montrer que $T_p$ a la loi de $X$.

[CCINP] Une urne contient $n$ boules numérotées de $1$ à $n$. On tire une boule de numéro $k$ ; si $k=1$, on s'arrête, sinon on retire les boules numérotées de $k$ à $n$ et on recommence. Soient $I_n$ le premier numéro tiré et $X_n$ le nombre de tirages jusqu'à obtenir la boule $1$.

1. Donner la loi et l'espérance de $I_n$.
2. Déterminer les valeurs prises par $X_n$.
3. Donner la loi et l'espérance de $X_2$.
4. Calculer $\P(X_n=1)$ et montrer $\P(X_n=n)=1/n!$.
5. Pour $2\leq j\leq n$, montrer $\P(X_n=j)=\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}\P(X_k=j-1)$.
6. Montrer $\E(X_n)=\E(X_{n-1})+1/n$ et en déduire $\E(X_n)$.

Soient $X,Y$ indépendantes de loi géométrique de paramètre $p\in]0,1[$. Déterminer la loi de $U=\min(X,Y)$.

De Christophe   xens

On munit $\R^2$ d'une norme $\|\cdot\|$. On note $B = \{x \in \R^2, \|x\| \le 1\}$ et $$\Delta_3(B) = \sup_{x,y,z \in B} \min(\|x - y\|, \|y - z\|, \|x - z\|)$$

1. Montrer que $\Delta_3(B)$ est atteint.
2. Montrer que $\Delta_3(B) \le 2$.
3. Calculer $\Delta_3(B)$ pour chacune des normes $\|\cdot\|_1, \|\cdot\|_\infty$ et $\|\cdot\|_2$.

• Trivial.
• Trivial.
• Pour $\lN \cdot \rN_2$, se placer en un minimum.

Soit $a > 0$. On considère l'équation différentielle $$y_a''(t) = \frac{1}{2y_a(t)^{1+a}}, y_a(0) = 1, y_a'(0) = 0$$ On suppose qu'il existe $T_a$ et $y_a \in C^2([0, T_a[, \R^+)$ solution telle que $T_a = +\infty$ ou $y_a(t) + \frac{1}{y_a(t)} \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$.

1. Trouver une relation entre $(y_a')^2$ et $y_a$.
2. Montrer que le cas $\frac{1}{y_a(t)} \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$ est impossible pour $T_a$ fini.
3. Montrer que le cas $y_a(t) \xrightarrow[t \to T_a]{} +\infty$ est impossible pour $T_a$ fini.
4. Montrer que $y_a$ est strictement croissante sur $\R^+$ et de limite $+\infty$ en $+\infty$.
5. Donner un équivalent de $y_a$ en $+\infty$.
6. Question bonus : lemme de Gronwall

1. On considère un sous-groupe $G$ de $\Z/n\Z$. Soit $\varphi \colon G \to \Z/n\Z$ un morphisme de groupe. Montrer qu'il existe un morphisme $\psi \colon \Z/n\Z \to \Z/n\Z$ tel que $\forall x \in G, \psi(x) = \varphi(x)$.
2. Soit $(G, +)$ un groupe fini, commutatif. Montrer qu'il existe $n \in \N^*$ tel que $\forall x \in G, n.x = 0$ et $n$ minimal pour la division. Montrer qu'il existe un sous-groupe $H$ de $G$ tel que $G = \Z/n\Z \oplus H$.
3. Montrer que tout groupe fini commutatif est isomorphe à un unique groupe de la forme $\prod \Z/d_i\Z$, où $\forall i,\, d_i \mid d_{i+1}$.

1. Écrire $G = \langle x\rangle$, et $\phi(x)$ doit vérifier…
2. On veut construire un morphisme $G\ra \Z/n\Z$ qui étend celui de $\langle x\rangle$. On procède petit à petit. Si $y\not\in \langle x\rangle$, on a déjà un morphisme de $\langle y\rangle \cap \langle x\rangle\ra \Z/n\Z$, que l'on peut étendre à $\langle y\rangle$, donc à $\langle x, y\rangle$.

1. Soit $(c_n) \in [0, 1]^\N$. Montrer que $$\prod_{i=0}^{n-1} (1 - c_i) \le e^{-\sum_{i=0}^{n-1} c_i}$$
2. Soit $f \in C^2(\R^2, \R)$ telle qu'il existe $\alpha > 0$ et $m \ge \alpha$ vérifiant $$\forall x \in \R^2, H_f(x) - \alpha I_n \in S_n^{++}(\R) \text{ et } m I_n - H_f(x) \in S_n^{++}(\R)$$ Montrer que $\exists! x^* \in \R^2, \nabla f(x^*) = 0$.
3. Soient $x_0 \in \R^2$ et $s > 0$. On définit $\forall n \ge 0, x_{n+1} = x_n - s\nabla f(x_n)$ Montrer que $$\|x_{n+1} - x^*\| \le \max((1 - \alpha s)^2, (1 - ms)^2)\|x_n - x^*\|^2$$

1. trivial.
2. Unicité claire, existence aussi via un élément dont la valeur de $f$ est minimale. En partant de $\nabla f(0)$, on est convexe dans chaque direction (avec un contrôle explicite), donc on sait que sur une boule éloignée, on est grand.
3. $x_{n+1} - x^* = (I_2 - s \nabla f(x_n)) (x_n - x^*)$, et appliquer taylor lagrange pour $\nabla f(x_n)$.

Soit $(p_k)_{k\in\N^*}$ une suite à valeurs dans $[0, 1]$, et soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de Bernoulli de paramètre $p_k$.

Montrer que, pour toute distribution de probabilité $(q_i)_{i\in\N}$, il existe une suite de fonctions $f_n \colon \{0, 1\}^n \longrightarrow \N$ telle que la suite de variables aléatoires $(f_n(X_1, \dots, X_n))_{n\in\N^*}$ converge presque sûrement vers une variable aléatoire $X$ de loi $(q_i)$ si et seulement si la série $\sum_{k=1}^{+\infty} p_k(1 - p_k)$ diverge.

Si les $p_k$ valent $\frac{1}{2}$ (alors $\sum p_k(1-p_k)$ diverge), étant donné une loi $(q_i)$, on découpe $[0,1]$ suivant les $q_i$, et suivant $\frac{1}{2^n}$, on choisit aussi une bijection de $\{0,1\}^n\ra \db{0, 2^n-1}$, et cela définit $f_n$ qui marche, pour une convergence en loi. Pour une convergence presque sûr, hm, oui ça marche aussi (du moment que $X_n$ est le bit faible).

On peut supposer que les $p_k\leq \frac{1}{2}$, auquel cas l'hypothèse est la divergence, ou convergence de $\sum p_k$.

Si $\sum p_k$ diverge, alors $\prod (1-p_k)$ tend vers $0$, donc quand on découpe naturellement $[0,1]$ en morceau (obtenus en écrivant $1 = (p_0 + (1-p_0)) (p_1 + (1-p_1)),\dots$, chaque morceau tend vers $0$, ce qui suffit.

Réciproquement, si $\sum p_k$ converge, $\prod (1-p_k)$ converge, donc l'évènement tous les $X_i$ donnent $1$ a une grosse probabilité, donc si on converge vers une loi, au moins un des $q_i$ a une grosse probabilité.

Soient $m$ et $N$ dans $\N^*$. On considère $X_1, \dots, X_m$ variables aléatoires mutuellement indépendantes, respectivement à valeurs dans $E_1, \dots, E_m$ qui sont des parties de $\R$. On suppose que $X_1 + \dots + X_m$ suit une loi uniforme sur $\db{0, N - 1}$. Les $X_i$ suivent-ils une loi uniforme ?

• On se ramène au cas où les $X_i$ sont à valeurs entières.
• Quitte à translater $\db{0, N - 1}$, on peut supposer les $X_i$ positifs.
• On est ramené à écrire $X^n \frac{X^m - 1}{X-1}$ comme un produit.
• Ensuite, on prend le produit de deux polynômes $1 + \dots + X^{p-1}$ avec $p-1$ premier.

Soit $(A, +, \times)$ un anneau qui n'est pas un corps et vérifiant $$\forall x \in A \setminus A^\times, \exists n_x \in \N^*, x = \sum_{k=2}^{2^{n_x}} x^k$$

1. Montrer que $\forall x \in A \setminus A^\times, x + x = 0_A$. On pourra considérer $y_x = \sum_{k=1}^{2^{n_x}-1} x^k$.
2. Montrer que $1_A + 1_A = 0_A$.
3. Montrer que $\forall x \in A \setminus A^\times, x = x^2$. On pourra d'abord montrer que $x = x^{2^{n_x}+1}$.

On pose $E = \C[X] \oplus \C[X]$. Soient $\varphi_1, \varphi_2 \in \mathcal{L}(E)$ tels que pour tous $r, s$ de $\N$, $$\varphi_1(X^r, X^s) = (-X^{r+2}, X^s + X^{r+1}) \text{ et } \varphi_2(X^r, X^s) = (X^{s+1} + X^r, -X^{s+2})$$

1. Déterminer les spectres de $\varphi_1$ et $\varphi_2$.
2. $\varphi_1$ et $\varphi_2$ sont-ils des automorphismes de $E$ ?
3. Mêmes questions avec $E = \C(X) \oplus \C(X)$.
4. On pose $B_n = \{\varphi_{i_1} \circ \dots \circ \varphi_{i_n}, i_1, \dots, i_n \in \{1, 2\}\}$ pour $n \in \N^*$. Trouver le cardinal de $B_1, B_2, B_3$.

Soit $M \in \mathcal{M}_2(\R)$ vérifiant $$\det(M^{2024} + I_2) = \det(M^{2024} - I_2) \text{ et } \det(M^{2026} + I_2) = \det(M^{2026} - I_2)$$ Montrer que $\quad\forall n \ge 1, \det(M^n + I_2) = \det(M^n - I_2)$.

$M$ est tri sup.

On note $\mathbb{H}$ l'algèbre des quaternions sur $\R$. C'est un $\R$-espace vectoriel de dimension 4 muni d'une base canonique $(1, i, j, k)$ dont la multiplication est régie par : $i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1$ Pour tout quaternion $z = a + bi + cj + dk \in \mathbb{H}$, on définit son conjugué par $\bar{z} = a - bi - cj - dk$. On admet que $\overline{wz} = \bar{z}\bar{w}$.

1. Inversibilité dans $\mathbb{H}$. Montrer que tout élément non nul $z \in \mathbb{H}$ admet un inverse pour la loi de multiplication, et exprimer explicitement $z^{-1}$ en fonction de $\bar{z}$ et $N(z)$. En déduire que $\mathbb{H}$ est un corps non commutatif.
2. Anneaux de Lipschitz et de Hurwitz. On note $\mathbb{H}(\Z) = \{a + bi + cj + dk \in \mathbb{H} \mid a, b, c, d \in \Z\}$. On pose $\delta = \frac{1+i+j+k}{2}$ et on définit $A = \mathbb{H}(\Z) + \Z\delta$. Montrer que $\mathbb{H}(\Z)$ et $A$ sont des sous-anneaux de $\mathbb{H}$.
3. Lien avec la somme de quatre carrés. Soit $n \in \N$. Démontrer que $n$ s'écrit comme la somme de quatre carrés d'entiers si et seulement s'il existe un quaternion de Hurwitz $z \in A$ tel que $n = N(z)$.

4. Structure euclidienne et application au théorème de Lagrange.

   1. Démontrer que l'anneau $A$ est euclidien (à droite) pour la norme $N$.
   2. Soit $p$ un nombre premier impair. On admet qu'il existe $x, y \in \Z$ tels que $x^2 + y^2 + 1 \equiv 0 \pmod p$. Montrer que $p$ n'est pas irréductible dans $A$, puis qu'il existe $z \in A$ tel que $p = N(z)$.
   3. En déduire le théorème des quatre carrés de Lagrange.
   4. Démontrer la propriété admise.

Soit $(u_n)_{n\ge 1}$ une suite de variables aléatoires telle que $u_1$ suit la loi uniforme sur $\db{1, N}$ ($N \in \N^*$ fixé) et pour $n \ge 1$, $u_{n+1}$ suit la loi uniforme sur $\db{1, u_n}$. On pose $E_N = \{u_i, i \ge 1\}$.

1. Montrer que $\mathbb{P}(1 \in E_N) = 1$.
2. Pour $k \in \db{1, N}$, on pose $p_{N,k} = \mathbb{P}(k \in E_N)$. Calculer $p_{N,k}$.

1. L'évènement complémentaire est exactement la réunion, d'évènements $u_k = i$ et $\forall j\geq k,\, u_j = i$, chacun étant de probabilité nulle.
2. Pour $N = 1$, trivial. Pour $N = 2$, on a $\P(2\in E_2) = \frac{1}{2}$. Par récurrence, on a ce qu'on veut.

Soit $T > 0$ et $[a, b]$ un intervalle de $\R$. On considère une fonction $u : [a, b] \times [0, T] \to \R$ de classe $C^4$ solution de : $$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}(x, t) - \nu \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x, t) = 0 & \text{pour } (x, t) \in ]a, b[ \times ]0, T[ \\ u(a, t) = 0 \text{ et } u(b, t) = 0 & \text{pour tout } t \in [0, T] \end{cases}$$ où $\nu > 0$. On définit un maillage régulier : $\Delta x = \frac{b-a}{M+1}$ et $\Delta t = \frac{T}{N}$. On note $u_j^n$ l'approximation de $u(x_j, t_n)$ par le schéma : $$\frac{u_j^{n+1} - u_j^n}{\Delta t} - \nu \frac{u_{j+1}^n - 2u_j^n + u_{j-1}^n}{(\Delta x)^2} = 0$$

1. En définissant $U^n = (u_1^n, \dots, u_M^n)^\top \in \R^M$, montrer que $U^{n+1} = AU^n$.
2. On définit l'erreur de troncature $\varepsilon_j^n$. Montrer qu'il existe $C > 0$ telle que $\max |\varepsilon_j^n| \le C(\Delta t + (\Delta x)^2)$.

Soient $a, b \in \C$ avec $|a| > \sqrt{3}$ et $b \neq 0$ et $n \ge 3$ un entier. On note $B = \begin{pmatrix} a & b \\ \frac{1-a^2}{b} & -a \end{pmatrix}$ et pour $k \in \db{1, n - 1}$, $A_k = \text{diag}(I_{k-1}, B, I_{n-k-1}) \in \mathcal{M}_n(\C)$.

1. Soient $k, k' \in \db{1, n - 1}$. Donner l'ordre du sous-groupe de $GL_n(\C)$ engendré par $A_k$ et $A_{k'}$.
2. Trouver un vecteur propre commun à tous les $A_k$.

1. On a $B^2 = I_2$. Si $|k-k'| = 1$, alors $A_k A_{k+11}$ a comme polynôme caractéristique $(X - 1)(X^2 + (a^2+1)X + 1)$, qui est d'ordre infini.
2. On peut trouver un vecteur propre de valeur propre $1$ commun à tous les $A_k$

Soit $n \ge 1$ un entier. On considère $G_n = \{ \frac{j}{2^n} \mid j \in \{0, 1, \dots, 2^n - 1\} \}$. Soit $(X_1, \dots, X_n)$ un échantillon de variables indépendantes uniformes sur $G_1, \dots, G_n$. Pour $\varphi : [0, 1] \to \R$, on définit $\hat{\varphi}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \varphi(X_i)$. Soit $\mathcal{L}_1$ l'ensemble des fonctions 1-lipschitziennes de $[0, 1]$ dans $\R$.

1. Montrer que $\sup_{\varphi \in \mathcal{L}_1} |\hat{\varphi}_n - \int_0^1 \varphi(x) \dx| \ge \frac{1}{2^{n+2}}$.
2. Soit $M \ge 1$. Montrer que $\sup_{\varphi \in \mathcal{L}_1} |\hat{\varphi}_n - \int_0^1 \varphi(x) \dx| \le \frac{2}{M} + \sum_{m=1}^M |\frac{1}{n} \text{Card}\{i \mid X_i \in B_m\} - \frac{1}{M}|$.

1. Pas d'aléa.

Soient $f, g \colon \R \to \R$ telles que $\forall x \in \R, g(x) = 2f(x) + f(x^2)$.

1. On suppose $g$ continue en $0$ et $f$ bornée au voisinage de $0$. Montrer que $f$ est continue en $0$.
2. Donner un exemple où $g$ est continue en $0$ et $f$ discontinue en $0$.

1. On a $f(x) = \frac{g(x)}{2} - \frac{g(x^2)}{4} + \frac{g(x^4)}{8}\dots$.
2. Il faut donc que $f$ soit non bornée. On prend $g = 0$, et on peut poser $x = e^{-t}$ pour obtenir $h(2t) = - 2h(t)$.

Soit $P \in \C[X]$ tel que $\forall z \in \C, P(z) = 0 \implies \text{Im}(z) > 0$. On écrit $P = A + iB$ avec $A, B \in \R[X]$. Montrer que $A$ et $B$ sont scindés sur $\R$.

Soit $f \colon x \mapsto x(1 + \ln |1 - |x||)$.

1. Étudier $f$.
2. Soit $(x_n)$ définie par $x_0 \in \R \setminus \{-1; 1\}$ et $x_{n+1} = f(x_n)$. Trouver les $x_0$ tels que $(x_n)$ soit 3-périodique.

1. $f$ est impaire, asymptotes verticales en $\pm 1$, s'annule en $1 \pm e^{-1}$. Sur $[1,+\i[$, $f$ est croissante. Sur $\interval]{0,1, b}[$, $f$ est concave.
2. On considère les intervalles $\interval]{1-e^{-1}, 1}[$, $\interval]{1, 1+e^{-1}}[$ et $\interval]{1+e^{-1}, +\i}[$. Sur l'intervalle $\interval]{0, 1-e^{-1}}[$, il est stable et $f(r)\lt r$ dessus. Sur les autres intervalles, on a $T'\gt 1$, donc $T^3 - \op{id}$ est strictement monotone. Chaque cycle doit passer par $\interval]{1+e^{-1}, +\i}[$. On énumère les cycles en énumérant les «trajectoires» possibles dans les trois intervalles précédents. On trouve $4$ cycles possibles, auquel il faut ajouter les points fixes $0$ et $2$.

Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension $n$.

1. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $\forall x \in E, \exists \lambda \in \C, f(x) = \lambda x$. Que dire de $f$ ?
2. Soit $f \in \mathcal{L}(E)$ tel que $f$ n'est pas une homothétie. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice $M$ de $f$ vérifie $\forall i, M_{i,i+1} \neq 0$.

Soit $V$ un espace euclidien. Pour $B = (e_1, \dots, e_n)$ une base de $V$, on note $L = \text{vect}_\Z(e_1, \dots, e_n)$.

1. Montrer que $L = \{ \sum_{i=1}^n m_i e_i, m_i \in \Z \}$.
2. Soit $B'$ une autre base. Montrer qu'elle engendre $L$ ssi la matrice de passage est dans $GL_n(\Z)$ avec un déterminant $\pm 1$.
3. Justifier que $\lambda_1(L) = \min \{ \|x\|, x \in L \setminus \{0\} \}$ est bien défini.
4. Montrer qu'il existe une base $(b_1, b_2)$ de $\R^2$ qui engendre $L$ avec $\|b_1\| = \lambda_1(L)$ et $\frac{|(b_1|b_2)|}{\|b_1\|^2} \le \frac{1}{2}$.

3. C'est l'équivalence des normes. De manière élémentaire ?

Pour $n \in \Z$ et $x \in \R$, on pose $J_n(x) = \frac{1}{2\pi i^n} \int_0^{2\pi} e^{i(n\theta + x\cos\theta)} \dt\theta$.

1. Montrer que $J_n(x) \in \R$ et relier $J_n$ et $J_{-n}$.
2. DSE et équation différentielle vérifiée par $J_0$.

1. Pour le premier, développer $e^{i\theta}$ et poser $u = \pi + \theta$. Pour le second, $J_{-n}(-x) = J_n(x)$.

Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de même lois telle que $X_i \sim \mathcal{B}(p)$ avec $p \in ]0, 1[$. On pose $q = 1-p$, $S_n = X_1 + \dots + X_n$ et $T_n$ le nombre minimal d'expériences pour avoir $n$ échecs.

1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que $∀ k ∈ \db{0, n}, (S_n ≥

   1. = (T_n+1-k ≥ n + 1)$.
2. Montrer que $\mathbb{P}(S_n \ge k) = {n \choose n - k} p^k q^{n-k+1} \sum_{\ell=0}^\infty \frac{(n + 1)\dots(n + \ell)}{(k + 1)\dots(k + \ell)} p^\ell$.
3. Soit $j \ge 3$. On suppose $p = 1/2$. Montrer que $\mathbb{P}(S_{nj} \le n) \sim 2^{-jn} {jn \choose n} \frac{j-1}{j-2}$.

Todoes   todo ignore

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