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# ENS MP-MPI :xens:
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<div class="exercice" id="org4c9ba67"nil>
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<p>
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Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f$ une application de $S$ dans $T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. Montrer que $|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left(\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org09b0cd2"nil>
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<p>
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Pour le terme de gauche, il s'agit de montrer que $\sum_{y} n_y^2 \geq \frac{\big(\sum_{y} n_y\big)^2}{\sum_y 1}$, c'est Cauchy-Schwarz.
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</p>
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<p>
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Pour le terme de droite, c'est un principe des tiroirs, puis compter pour $1$ les éléments qui ne sont pas dans le tiroir.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org447090b"nil>
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<p>
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Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org5711d86"nil>
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<p>
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$S$ sera un sous-ensemble d'entiers consécutifs : considérer les sommes partielles $S_0,\dots, S_n$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice sup" id="orge5b5c6b" class="sup"nil>
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<p>
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Pour tout $n\in\N^*$, on note $E(n)$ la valuation $5$-adique de $\prod_{k=1}^n k^k$. Donner un équivalent de $E(n)$, quand $n\ra +\i$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org61842b5"nil>
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<p>
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Soit $n$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo $n$ si et seulement si $n$ est somme de deux carrés d'entiers.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orgbda0ae2"nil>
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<p>
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Si $p$ est somme de deux carrés d'entiers, $p\equiv 1[4]$, et $a$ est un carré si et seulement si $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$.
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</p>
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<p>
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Réciproquement, si $n\mid m^2 + 1$, dur, dur. !!
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb3e9382"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que $\big(\Z/p\Z\big)^\times$ contient $(p-1)/2$ carrés.</li>
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<li>Montrer que tout élément de $\Z/p\Z$ s'écrit comme la somme de deux carrés de $\Z/p\Z$.</li>
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<li><p>
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Soit $n$ un entier impair. Montrer que tout élément de $\big(\Z/n\Z\big)^{\times}$ s'écrit comme somme de deux carrés.
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</p>
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<p>
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<b>Indication</b> : Commencer par le cas où $n$ est sans facteur carré.
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</p></li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdd18dd8"nil>
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<p>
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Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre premier et si $r\in\Q^*$ s'écrit $\frac{a}{b}$ de manière irréductible, on définit la $p$-valuation $v_p(r)$ comme $v_p(a) - v_p(b)$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que si $p\geq 3$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 1$.</li>
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<li>Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 2$.</li>
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<li>Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{(p-1)}p)\geq 1$.</li>
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<li>Pour $n\in\N^*$, calculer $v_2(~H_~)$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb1ea800"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.</li>
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<li>Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$.</li>
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<li>Montrer que $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org4c5e60d"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>$\sum_{d \mid n} \phi(d) = n$</li>
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<li>$\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0$, ou $1$ pour $n = 1$.</li>
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<li>Par inversion de Möbius, on a $\phi(d) = \sum\limits_{d'\mid d} \mu\big(\frac{d}{d'}\big) d'$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgaf6d8ec"nil>
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<p>
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Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la valuation $p$-adique d'un entier $n$. On pose, pour $m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout $m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org158b7a3"nil>
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<p>
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Relier à 423 (LTE).
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</p>
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<p>
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On a $v_p(a^n - b^n) = v_p(a-b) + v_p(n)$ (pour $p\neq 2$).
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</p>
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<p>
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Donc $v_p(N(m)) = \sum_{k=1}^m v_p(1 - q) + v_p(m!)$, plus formule de Legendre.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgaa04440"nil>
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<p>
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Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la concaténation et $\l\colon X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis et $\phi\colon A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous $a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l'injectivité des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur $A^*$ par $\phi\colon A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi\colon A \ra B^*$ telle que $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$.</li>
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<li>Montrer que, si $\phi$ est injective, alors $\sum_{a \in A}|B|^{-\l(\phi(a))} \leq 1$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="orga63e6a8"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li><p>
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La première est non injective : $0100110$ peut être lu de deux façons.
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</p>
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<p>
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La seconde l'est.
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</p></li>
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<li><p>
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On note $C_N$ le nombre de choix possibles, de mots, dont la longueur totale $N$.
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</p>
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<p>
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On doit avoir $C_N\leq |B|^N$. Mais $C_N$ vérifie une relation de récurrence :
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$C_N = \sum_{a\in A} C_{N-\l(a}$.
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</p>
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<p>
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Donc les racines de cette récurrence doivent être $\leq |B|$, ce qui implique qu'en $|B|$ la valeur est négative, d'où le résultat.
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</p></li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgef3017c"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition $(1\, 2)$ et le cycle $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$.</li>
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<li>La transposition $(1\, 3)$ et le cycle $(1\, 2\, 3\, 4)$ engendrent-ils $\mc{S}_4$ ?</li>
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<li>Soient $n \in \N^*$ et $1 \leq a\lt b \leq n$ tels que $\tau=(a b)$ et $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent $\mc{S}_n$. Montrer que $b-a$ et $n$ sont premiers entre eux.</li>
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<li>Montrer la réciproque de la propriété précédente.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org464c4b7"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li></li>
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<li>Non.</li>
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<li>Si $p\mid b-a \wedge n$, alors $\sigma(a) - \sigma(b)\equiv a-b[p]$.</li>
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<li>Facile de se ramener à un cycle $(u\, u+1)$</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbefd239"nil>
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<p>
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Soit $G$ un groupe fini. Si $X$ et $Y$ sont des parties non vides de $G$, on pose $X^{-1}=\left\{x^{-1}, x \in X\right\}$ et $X Y=\{x y,(x, y) \in X \times Y\}$.
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Dans la suite, $X$ désigne une partie non vide de $G$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>On suppose que $|X X|\lt 2|X|$. Montrer que $X X^{-1}=X^{-1} X$.</li>
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<li>On suppose que $\left|X X^{-1}\right|\lt \frac{3}{2}|X|$. Montrer que $X^{-1} X$ est un sous-groupe de $G$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org5c102e6"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Si $X$ a un seul élément, ok. Sinon, alors pour tous $a, b\in X$, les ensembles $aX$ et $bX$ ne sont pas disjoints, donc il existe $u,v$ tels que $au = bv \ssi a^{-1} b = u v^{-1}$. D'où le résultat.</li>
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<li><p>
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$X^{-1}X$ contient l'élément neutre, et stable par inverse.
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</p>
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<p>
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Si ce n'est pas un sous-groupe, c'est qu'il existe $u^{-1} v a^{-1} b$ qui ne s'écrit pas de cette forme.
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</p>
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<p>
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!!
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</p>
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<p>
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Quitte à translater, on peut supposer que $e\in X$. Alors $X X^{-1}$ contient tous les éléments de $X$, et leurs inverses. Au moins la moitié des éléments de $X$ ont leurs inverses dans $X$ !
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</p></li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbdbe3de"nil>
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<p>
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Soient $A$ un anneau et $B\subset A$ finie non vide. On note $E(B) = \big|\{(a,b,c,d)\in B^4 \mid ab = cd\}\big|$. Montrer que $E(B)\geq \frac{|B|^4}{|BB|}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc4ef889"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ engendrent $SL_2(\Z)$.</li>
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<li>Soit $m\geq 2$. Montrer que le morphisme $\pi\colon SL_2(\Z)\ra SL_2(\Z/m\Z)$ est surjectif.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0244c68"nil>
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<p>
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Soit $p$ un nombre premier. On admet qu'il existe un anneau commutatif $A$ dans lequel $p^2.1_A=0_A$ et il existe un élément inversible $x$ tel que :
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>tout élément de $A$ s'écrive $P(x) x^{-k}$ pour un $P \in \Z[X]$ et un $k \in \N$;</li>
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<li>pour deux polynômes $P, Q$ dans $\Z[X]$ et deux entiers naturels $k, l$, l'égalité $P(x) x^{-k}=$ $Q(x) x^{-\l}$ équivaut à ce que $X^k Q$ et $X^\l P$ aient même réduit modulo $p^2$ (autrement dit, tous les coefficients de $X^k Q-X^\l P$ sont des multiples de $p^2$).</li>
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</ul>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soient $P \in \Z[X]$ et $k \in \N$. Caractériser l'inversibilité de $P(x) x^{-k}$ dans $A$.</li>
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<li>Montrer que le groupe multiplicatif $A^{\times}$ ne possède pas de partie génératrice finie.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org56c8ec1"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org861e968"nil>
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<p>
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Soit $f \in \Z[X]$. On pose $S_q=\sum\limits_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum\limits_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$ pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors $S_{q q'}=S_q S_{q'}$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org282c9ab"nil>
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<p>
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Les $a\in\db{1,qq'}$ premiers avec $q$ et $q'$ sont les $bq + aq'$, avec $a$ premier avec $q$ et $b$ premier avec $q'$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1d5f02b"nil>
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<p>
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On dit qu'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : $\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un même cercle.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org7f25fee"nil>
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<p>
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On veut que les $\sin (\frac{\theta_i - \theta_j}{2})$ soient rationnels, c'est-à-dire les $\sin \frac{\theta_i}{2} \cos \frac{\theta_j}{2} - \sin \frac{\theta_j}{2} \cos \frac{\theta_i}{2}$.
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</p>
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<p>
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Il suffit donc de prendre les doubles d'une infinité de points rationnels sur le cercle.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org30496fe"nil>
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<p>
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Soit $z\in\C$ annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. Soit $Q\in\Z[X]$. Montrer que $Q(z)$ est annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4d6bc37"nil>
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<p>
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Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré $2 m$ tel que $\forall x \in \R \setminus \Z, \sin (n x)=(\sin x)^n P_m(\op{cotan} x)$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \op{cotan}^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)$.</li>
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<li>Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \frac{1}{\sin ^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)}$.</li>
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<li>En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="orge3d86f9"nil>
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<p>
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Easy.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice sup" id="org36330f3" class="sup"nil>
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<p>
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Pour $n\in\N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $\C$.</li>
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<li>Montrer que si $n$ est impair, alors $P_n$ possède exactement une racine réelle, et qu'elle appartient à $[-n, - 1]$.</li>
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<li>On suppose $n$ pair. Le polynôme $P_n$ a-t-il une racine réelle ?</li>
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<li>Déterminer les variations et la convexité de $x\mapsto P_n(x)$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4d2fa9d"nil>
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<p>
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Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que $\forall x \in \R, n P(x) P''(x) \leq(n-1) P'(x)^2$.</li>
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<li>Donner un polynôme ne vérifiant pas le résultat de la question précédente, puis un polynôme non scindé le vérifiant.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org35e852f"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li></li>
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<li>Ajouter à un précédent.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga18e077"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N^*$, $P = X^n + \sum_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\C[X]$. On factorise $P$ sous la forme $P = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$. Pour $k\in\N$, on note $S_k = \sum_{i=1}^n z_i^k$. Montrer que, si $k\gt n$, $S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_0 S_{k-n} = 0$ et que, si $k\leq n$, $S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_1 = - k a_{n-k}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org73bd77f"nil>
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<p>
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Une suite d'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme si pour tous $n,m\in\N^*$, $m-n\mid a_m - a_n$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soit $P\in\Z[X]$. Montrer que $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme.</li>
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<li>Montrer que $\big(\lfloor n! e\rfloor\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme.</li>
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<li>Trouver un polynôme $P\in\Q[X]\setminus \Z[X]$ tel que $P(\Z)\subset \Z$ et que la suite $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ ne soit pas un pseudo-polynôme.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc866c8e"nil>
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<p>
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Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que, pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org7e6600e"nil>
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<p>
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Easy, à relier.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgaf32b00"nil>
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<p>
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Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>$-P$ et $Q$ sont scindés à racines simples sur $\R$,</li>
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<li>$P$ et $Q$ n'ont aucune racine réelle commune,</li>
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<li>entre deux racines consécutives de $P$ (respectivement $Q$) il y a une unique racine de $Q$ (respectivement $P$).</li>
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</ul>
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<p>
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Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout $\lambda, \mu \in \R^*, \lambda P+\mu Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, alors $P$ et $Q$ sont entrelacés.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org45141b1"nil>
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<p>
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À relier.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org32f4b23"nil>
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<p>
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Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org2ee5370"nil>
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<p>
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$X + X^2Q(X) - z_i = 0$ avec $|z_i|\lt \frac{1}{n}$ admet toujours une racine, $\lt 1$.
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</p>
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<p>
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Vient des relations coefficients-racines.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd329484"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>CNS sur $n$ pour que $\Z/n\Z$ soit un corps.</li>
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<li>On suppose cette condition satisfaite. Combien y a-t-il de polynômes de degré $d\in\N$ fixé dans $\Z/n\Z$ ?</li>
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<li>Soit $p$ premier. Montrer qu'il existe des polynômes irréductibles de degré $2$ et $3$ dans $\Z/p\Z$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga7db03b"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N^*$, $\K$ un corps, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\K)$ dont tous les éléments sont de rang $\leq 1$. Montrer que $V$ est de dimension $\leq n$. Étudier le cas d'égalité.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc523238"nil>
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<p>
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Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel $V$ de $\M_n(\R)$ tel que pour tout $(X,Y)\in V^2$, on ait $\op{Tr} (XY) = 0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2fd9b20"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in\M_n(\R)$ de même rang telles que $A^2 B = A$. Montrer que $B^2 A = B$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org4c4b60b"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org61c4abd"nil>
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<p>
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Soient $n\geq 1$ et $E$ une partie de $\mc P(\db{1,n})$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>On suppose que $E$ est stable par différence symétrique. Que dire de $C = \{m 1_A\}$ comme partie de l'espace vectoriel $\big(\Z/2\Z\big)^n$ ?</li>
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<li>On ne fait plus l'hypothèse précédente, mais on suppose que $A\cap B$ est de cardinal pair pour tous $A,B\in E$. Montrer que $|E|\leq 2^{\lfloor n/2\rfloor}$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org00f0870"nil>
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<p>
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Soient $(a_1,\dots, a_n)\in\R^n$ telle que $|a_i|\geq 2$, pour tout $i\in\db{1,n}$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall i,\, a_{ii} = a_i$, $a_{ij} = 1$ si $|i-j| = 1$ et $a_{ij} = 0$ sinon. Montrer que $A$ est inversible et que son déterminant a le même signe que $\prod a_k$.</li>
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<li>Montrer que la conclusion tient encore si l'on suppose $|a_{ij}|\leq 1$ si $|i-j| = 1$ au lieu de $a_{ij} = 1$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org371597a"nil>
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<p>
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On considère $\phi:\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut $\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0$ ?</li>
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<li>Que dire de la réciproque?</li>
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<li>Montrer que $A$ s'écrit comme $\phi(u, v)$ avec $(u, v)$ libre si et seulement si $A \in \mc{A}_4(\R)$, $\op{det}(A)=0$ et $A \neq 0$.</li>
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<li>Décrire l'image et le noyau d'une telle matrice.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org562c2a3"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga99a9b5"nil>
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<p>
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Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$.
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On pose $A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$. Montrer qu'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$ où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org14731c9"nil>
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<p>
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On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Donc diagonalisable ?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4b9a54d"nil>
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<p>
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Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit $f_g:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes :
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d'éléments de $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$ de $\R^2, f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$,</li>
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<li>il existe une droite vectorielle $L$ telle que $\left|\left\{i, L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="proof" id="orgf79a2c2"nil>
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<p>
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Si il existe une droite $L$, en prenant $g_k = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k^{-1}\end{pmatrix}$ selon $L$ et n'importe quel supplémentaire, ça devrait être bon.
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</p>
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<p>
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Réciproquement, !!
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcc0dfe6"nil>
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<p>
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Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org59fbe1b"nil>
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<p>
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Facile ? Attention : faux pour 2.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7f2c4f3"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C_A\colon X\in\M_n(\C)\mapsto AX -XA$. Montrer que si la matrice $A$ est diagonalisable, alors $C_A$ l'est aussi.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcce26ed"nil>
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<p>
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Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que $A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org1dc0753"nil>
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<p>
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$\Leftarrow$ Ok.
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</p>
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<p>
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Si $ABA^{-1}B^{-1}$ commute avec un $\vect$ de dimension $2$. Si $AB = \la BA$, c'est bon. Sinon, alors le commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$ est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, puis faire de la réduction.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7df48b2"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_r$ les valeurs propres distinctes de $A$ et $\a_1,\dots, \a_r$ leurs multiplicités. On note $P_k = (X-\la_k)^{\a_k}$ et $F_k = \Ker P_k(A)$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que $\C^n = \bigoplus_{i=1}^r F_i$.</li>
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<li>Montrer que $P_k$ est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par $A$ sur $F_k$.</li>
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<li>Montrer que $A$ se décompose en $D + N$, avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente et $ND = DN$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd354b5f"nil>
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<p>
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Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$. Montrer l'équivalence entre
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>$\Ker A = \Ker A^2$.</li>
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<li>il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^m = A$.</li>
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<li>pour tout $k\geq 1$, il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^k = A$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc985cc3"nil>
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<p>
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Soit $M\in GL_n(\Z)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\leq 1$. Montrer qu'il existe $k\geq 1$ tel que $M^k - I_n$ soit nilpotente.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8352527"nil>
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<p>
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Soit $n\geq 1$. Pour $\sigma\in\mc S_n$, on note $P_{\sigma} = \big(\delta_{i+1,j}\big)_{i,j}$ la matrice de permutation associée. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \M_n(\C)\ra\C$ telles que $\forall A,P\in \M_n(\C)\tmes GL_n(\C),\quad f(PAP^{-1}) = f(A)$. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \mc D_n(\C)\ra \C$ telles que $f(P_{\sigma} D P_{\sigma}^{-1}) = f(D)$. Expliciter un isomorphisme d'algèbres de $\mc A$ sur $\mc B$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2e6c30a"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d'indice $m, x \in E$ tel que $f^{m-1}(x) \neq 0$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille.</li>
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<li>Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi(f^{m-1}(x)) \neq 0, W$ le sous-espace de $E^*$ engendré par $(\phi \circ f^i)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\bot}$ l'ensemble des $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\bot}, \psi(y)=0$. Montrer que $W^{\bot}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$.</li>
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<li>Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ soit diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme $J_k$ avec $k \in \N^*$, où $J_k \in \M_k(\mathbb{K})$ est une matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la sur-diagonale qui sont égaux à $1$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="orgfcdfc57"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org14c45ae"nil>
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<p>
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Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 1$. Un élément $u\in\mc L(E)$ est dit cyclique s'il existe $x\in E$ tel que $(u^k(x))_{0\leq k\leq n-1}$ soit une base de $E$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Quels sont les endomorphismes de $E$ diagonalisables et cycliques ?</li>
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<li>Montrer que si $u$ est cyclique, le commutant de $u$ est égale à $\K[u]$.</li>
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<li>Montrer que si $u\in\mc L(E)$, il existe $r\in\N^*$ et des sous-espaces $E_1,\dots, E_r$ de $E$ stables par $u$ tels que $E = \bigoplus_{i=1}^r E_i$ et que, pour tout $i$, $u_{E_i}$ soit cyclique.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd3792d8"nil>
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<p>
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Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $d_1\left|d_2\right| \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orgde7fdd3"nil>
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<p>
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$n = r$ convient. Réciproquement, si $G$ contient un tel groupe, on peut codiagonaliser.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc3f4a0f"nil>
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<p>
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Le groupe $GL_2(\Q)$ contient-il un élément d'ordre $5$ ?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2f21fa0"nil>
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<p>
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On note $H$ l'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que $\forall M\in H,\, e^M\in SL_2(\R)$.</li>
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<li>Montrer que $\forall M\in H,\, \tr e^M\geq -2$.</li>
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<li>A-t-on $\exp(H) = SL_2(\R)$ ?</li>
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<li>Montrer que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit d'une matrice de $SO_2(\R)$ et d'une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux $\gt 0$.</li>
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<li>En déduire que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit de deux exponentielles de matrices de $H$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbd3fb2a"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une norme sur $E$ pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que $\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$ commute avec $h_1$ et $h_2$. Montrer que l'espace des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et $h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orgff72066"nil>
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<p>
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On peut supposer que l'ensemble $F$ des points fixes est de dimension $1$. Donc est le noyau d'une forme linéaire $\phi$. !!
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</p>
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<p>
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Notons $C$ le commutateur. On a $Ch_2 = h_1h_2 h_1^{-1}$.
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</p>
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<p>
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Si $h_1$ et $h_2$ commutent.
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</p>
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<p>
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Si $h_1 = h_2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org40575f6"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_n$ ses valeurs propres.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que $\sum |\la_i|^2 \leq \sum_{i,j} |a_{ij}|^2$.</li>
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<li>Montrer que $|\det A|\leq n^{n/2}\sup |a_{ij}|$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6bb9200"nil>
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<p>
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Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien, $m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \llbracket 1, m \rrbracket^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org3f968e3"nil>
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<p>
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Easy, on a $\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x\rangle$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org540c7d4"nil>
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<p>
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On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire $(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$. On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection orthogonale de $1$ sur $F$.
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</p>
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<p>
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On ecrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et $P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour $k\in[\![1,n]\!]$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in[\![1,n]\!]$.</li>
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<li>Calculer $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\,dx$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgea1bfb6"nil>
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<p>
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Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u, u_1, \ldots, u_m$ des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $\left\{x \in E ; \forall i \in \llbracket 1, m \rrbracket,\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E ;\langle u, x\rangle \leq 0\}$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org179a0f6"nil>
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<p>
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$\Rightarrow$ : Easy.
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</p>
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<p>
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$\Leftarrow$ : Si les vecteurs $u_i$ sont libres, on peut prendre un élément $x$ orthogonal à tous sauf $1$.
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</p>
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<p>
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Sinon, si $u_m$ est combinaison linéaire des précédents, avec un coefficient $\lt 0$.
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!!
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc3fd59a"nil>
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<p>
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Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'ecrit d'une unique facon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire superieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc4e0d65"nil>
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<p>
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[Rennes sur dossier] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice antisymetrique et inversible.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Que peut-on dire de l'entier $n$?</li>
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<li>En considerant $M^2$, montrer que $M$ admet un plan stable puis qu'il existe une matrice orthogonale $O\in{\cal O}_n({\R})$ telle que $O^TMO$ soit une matrice diagonale par blocs de la forme $\mathrm{diag}(R_{a_1},…,R_{a_k})$, avec $R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$.</li>
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<li>Qu'en est-il si $M$ n'est plus supposee inversible?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org84eb9c0"nil>
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<p>
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Soit $n\geq 1$. Determiner les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org27d23b4"nil>
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<p>
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Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$ $M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer $\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orga92d109"nil>
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<p>
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$\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix})$. !!
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2a4280d"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit $v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n'ont pas de valeur propre commune. Sous reserve d'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$ pour $x$ reel.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que les zeros de $F$ sont les valeurs propres de $A+vv^T$.</li>
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<li>On note $\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ les valeurs propres de $A$. Montrer que chaque intervalle $]\lambda_1,\lambda_2[$,…, $]\lambda_{n-1},\lambda_n[,]\lambda_n,+\i[$ contient exactement une valeur propre de $A+vv^T$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6cb8adc"nil>
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<p>
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Soient $n\in{\N}$ impair, $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que, pour toute $A\in{\cal A}_n({\R})$, $A+M$ soit nonversible. Montrer que $M\in{\cal A}_n({\R})$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdf96285"nil>
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<p>
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Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n'ont pas -1 pour valeur propre et telles que $A B$ n'ait pas 1 pour valeur propre. Montrer que $\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est antisymétrique.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orgdb4abdd"nil>
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<p>
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Classique
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7571d63"nil>
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<p>
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Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner les valeurs propres de $J$ et leur multiplicite.</li>
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<li>Soit $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$. Montrer qu'il existe une matrice $B\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telle que $B^2=A$.</li>
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<li>Que peut-on dire de la matrice $BJB$?</li>
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<li>Lorsque $A$ est diagonale, calculer les valeurs propres de $JA$.</li>
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<li>Montrer plus generalement que toute valeur propre d'une matrice antisymetrique reelle est imaginaire pure.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgee58ca6"nil>
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<p>
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Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non nécessairement distinctes. Montrer que $\forall k \in\left[1, n \rrbracket, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org44acf5c"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org23ff33c"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B \in \mc{S}_n^+(\R)$
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Montrer que $A B$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles.</li>
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<li>Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose $f_{A, B}: X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$.
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|
Montrer que $f_{A, B}$ admet un minimum $\mu_{A, B}$ atteint en une unique matrice $M_{A, B}$. Expliciter $\mu_{A, B}$ et $M_{A, B}$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org6bd0dce"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf609982"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On definit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On definit de meme $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $p(A)+q(A)=\mbox{rg}\,A$.</li>
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<li>Montrer que, si $A$ est inversible, alors $p$ et $q$ sont constantes sur un voisinage de $A$ dans ${\cal S}_n({\R})$.</li>
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<li>Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f:t\mapsto\det(A+tB)$ n'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org719b5f5"nil>
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<p>
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On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonne d'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, que dire du signe de $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$?[MISSING<sub>PAGE</sub><sub>FAIL</sub>:1]# 80</li>
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</ul>
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<p>
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Soient $a\leq b$ deux reels, et $(O - {i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ verifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org66308a1"nil>
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<p>
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Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ le spectre ordonné de $M$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>On considère $A, B \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A+B \in \mc{S}_n^{–}(\R)$. Montrer que, si $i+j\lt n+2$ alors $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0$.</li>
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<li>Généraliser à $A_1, \ldots, A_d \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A_1+\cdots+A_d \in \mc{S}_n^{–}(\R)$. telle que $B=P^T A P$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="orgd0d4be1"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org23168d3"nil>
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<p>
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On note $\lN\cdot \rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\R)$ associée à la norme euclidienne. Soit $S\in\mc S_n$. On suppose que $E = \{M\in\M_n(\R)\mid S = M^T M - M M^T\}$ est non vide. On note $\gamma(S) = \inf_{M\in E}\lN M\rN^2$. Montrer que $\lN S\rN\leq \gamma(S)\leq 2\lN S\rN$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbcf5beb"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soient $A,B\in\mc S_n^{++}$. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ telle que $B = P^T A P$.</li>
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<li>Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une définition naturelle de $f(A)$ si $A \in$ $\mc{S}_n^{++}(\R)$.</li>
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|
<li>Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose $d(A, B)=\left\|\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\right\|$. Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance $\op{sur} \mc{S}_n^{++}(\R)$.</li>
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|
<li>Soient $P \in \mathrm{GL}_n(\R), A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $d\left(P^T A P, P^T B P\right)=d(A, B)$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org6ac265c"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb2a454e"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N^*$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que $(X,Y)\mapsto \op{Tr} X^T Y$ est un produit scalaire sur $\M_n(\R)$. On note $\lN \cdot\rN$ la norme associée.</li>
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<li>Si $M\in\M_n(\R)$, soit $L(M)\colon X\in \M_n(\R)\mapsto MX$. Montrer que $L$ est un morphisme d'algèbre injectif.</li>
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<li>Soit $\lN|\cdot|\rN_2$ la norme sur $\M_n(\R)$ subordonnée à la norme euclidienne de $\R^n$, et $\lN |\cdot|\rN$ la norme sur $\mc L(\M_n(\R))$ subordonnée à $\lN\cdot\rN$. Si $M\in\M_n(\R)$, montrer que $\lN |L(M)|\rN\leq \lN|M|\rN_2$.</li>
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<li>Montrer que $\lN |M^T|\rN_2 = \lN |M|\rN_2$ pour tout $M\in\M_n(\R)$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbe09d91"nil>
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<p>
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On note $\lN \cdot\rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à la norme $X \mapsto \sqrt{\bar{X}^T X}$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left\|e^{i A}-e^{i B}\right\| \leq\|A-B\|$.</li>
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<li>Démontrer le même résultat sous l'hypothèse que $A$ et $B$ sont deux matrices de $\M_n(\C)$ telles que $\bar{A}^T=A$ et $\bar{B}^T=B$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org0bd67fe"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org03ea023"nil>
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<p>
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Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$, $\lN x\rNp = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer qu'il s'agit bien d'une norme.</li>
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<li>Montrer l'inégalité de Hölder.</li>
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<li>Dans $\R^2$, dessiner la boule unité de la norme $p$ pour plusieurs valeurs de $p$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org23a0358"nil>
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<p>
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Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset \bigcup_i O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in [a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ telle que $[a,x]\subset \bigcup_{j\in J} O_j$. Montrer que $X = [a,b]$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1b80f9b"nil>
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<p>
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Soient $K$ un compact convexe non vide d'un espace norme $E$, $f$ un endomorphism continu de $E$ tel que $f(K)\subset K$. Montrer que $f$ admet un point fixe dans $K$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5ecc007"nil>
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<p>
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Peut-on écrire $\interval]{0, 1}[$ comme réunion dénombrable disjointe de segments d'intérieurs non vides?
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org4d94c8d"nil>
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<p>
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Non. Par l'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont la distance tend vers $0$, alors la limite n'appartient à aucun segment.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org901271b"nil>
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<p>
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Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose, pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel que $0\lt a\lt 9$. On définit $P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et $P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide, d'intérieur vide et sans point isolé.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org2f95941"nil>
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<p>
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$P$ est borné et fermé, car $S_n$ est continue inférieurement. Clairement non vide et d'intérieur vide. Si $x\in P$, en retirant $1$ a un chiffre de $x$ arbitrairement grand, on reste dans $P$. Possible sauf si $x$ est décimal, auquel cas on peut ajouter $1$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga1a923d"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermee si et seulement si $A$ est diagonalisable sur $\C$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org94cddc0"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que :
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<ul class="org-ul">
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<li>pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ dont les cotes sont paralleles aux axes ;</li>
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<li>les $C_i$ soient d'interieurs deux a deux disjoints ;</li>
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<li>$\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$.</li>
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</ul></li>
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<li>On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que :
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<ul class="org-ul">
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|
<li>pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de $\R^2$ ;</li>
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|
<li>les $D_i$ soient d'interieurs deux a deux disjoints ;</li>
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<li>$\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7eb60ce"nil>
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<p>
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Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $d$ de $\R[X]$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>On pose $A=\{(P, x) \in \mc{P} \times \R ; P(x)=0\} \et P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $A$ dans $\R_d[X] \times \R$.</li>
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<li>On pose $B=\{P \in \mc{P} ; \forall x \in \R, P(x) \neq 0 \ou P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $B$ dans $\R_d[X]$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org27d26e1"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Par translation, on peut passer de $(P, x)$ à $(\tilde{P}, 0)$. Alors $P = X^n + Q + \a X$, avec $\a\neq 0$. On peut ramener $Q$ à $0$, et $\a$ à $\pm 1$. Deux composantes connexes, selon le signe de $\a = P'(x)$.</li>
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<li>$B$ est l'ensemble des polynômes unitaires à racines simples. Le nombre de racines simples est un invariant, et réciproquement, ces morceaux sont clairement connexes par arcs.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga70c668"nil>
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<p>
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Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblables les unes aux autres, $\lN\cdot\rN$ une norme sur $\M_n(\C)$. On suppose que $\lN M_k\rN \ra+\i$. Montrer qu'il existe une matrice $N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi\colon \N \ra \N$ telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} \ra N$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org851e990"nil>
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<p>
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On peut extraire $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN}$ convergent, vers $\Pi$.
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</p>
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<p>
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Si $\Pi$ a une valeur propre complexe $X$, comme $\lN \frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} - \Pi\rN\leq \eps$, on a une valeur propre complexe proche de $\la$, donc $M_{\phi(k)}$ a une valeur propre qui tend vers $+\i$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org72b9c9c"nil>
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<p>
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Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\lt 1$. Montrer qu'il existe une norme \|\| sur $\C^n$ telle que, pour la norme d'opérateur associée, on ait $\|A\|\lt 1$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org51520ca"nil>
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<p>
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Trigonaliser, puis conjuguer par une matrice diagonale pour n'avoir que des petits coefficients hors de la diagonale.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2e24caf"nil>
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<p>
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Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et $\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$, pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$.
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Montrer que $A$ est inversible et que $\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x \in \R^n,\|x\|_1=1\right\} \leq \frac{1}{\eps}$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orgf3149bf"nil>
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<p>
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$A$ est inversible car aucune ligne n'est combinaison linéaire des autres.
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</p>
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<p>
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Si $x = E_i$, on considère les colonnes de $A^{-1}$, notées $C_i$. On $\langle C_i, L_i\rangle = 1$ et $C_i$ orthogonal aux autres lignes, ce qui donne $\lN C_i\rN_{2}\leq \frac{1}{\eps}$, peut-être.
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</p>
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<p>
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Ensuite, utiliser une convexité ?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgba2a526"nil>
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<p>
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On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornees de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ decrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des reels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga8c93dc"nil>
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<p>
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Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive telle que, pour tout $n, u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org61e6db4"nil>
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<p>
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Soit $m$. On peut écrire $u_{a+n} = G_n u_a + G_{n+1} u_{a-1}\et u_{a+n+1} = G_{n+1} u_a + G_{n2} u_{a-1}$, où $G_n\tend{a\ra +\i} F_n$, ce qui devrait implique ce que l'on veut.
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</p>
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<p>
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$w_n$ s'obtient à partir de $v_n$ par Cesàro.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcd2e1e6"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Si $n \geq 2$ est un entier, montrer que $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor=\sum_{j=2}^n\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor$.</li>
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<li>Donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\i$ de $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor$, puis un développement asymptotique à deux termes.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="orgfbbd3c4"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li><p>
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Le premier compte les puissances de $k$ inférieures à $n$, dont $k^1$.
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</p>
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<p>
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Le second compte les puissances $j$-èmes inférieures à $n$.
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</p></li>
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<li><p>
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En coupant la somme en $k = \sqrt{n}$, on a du $\sqrt{n} \ln n + (n-\sqrt{n})n$, d'où un équivalent à $n$.
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</p>
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<p>
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En suite, on prend l'autre expression, on retire $n$. Le premier terme est $\sqrt{n}$. Les termes non nuls correspondent à $\sqrt[j]{n}\geq 2\ssi n\geq 2^j$, donc les autres termes sont au plus en $\sqrt[3]{n} \ln n$, d'où le DSA $n + \sqrt{n} + o_{+\i}(\sqrt{n})$.
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</p></li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org37894f5"nil>
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<p>
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Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement decroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite definie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un reel strictement positif.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf2a9eda"nil>
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<p>
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Soit $(u_n)$ une suite definie par $:\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adherence de $(u_n)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour tous $x$ et $y\in{\R}$, $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$.</li>
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<li>Montrer que $u_{n+1}-u_n\to 0$.</li>
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<li>Montrer que $V$ est un intervalle inclus dans $[-1,1]$, puis que $V=[-1,1]$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6a8864c"nil>
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<p>
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Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densite si la suite $\left(\frac{|A\cap\llbracket 1,n\rrbracket|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite. Cette limite est alors notee $d(A)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Si $m\in{\N}^*$, quelle est la densite de l'ensemble des multiples de $m$ dans ${\N}^*$?</li>
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<li>Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densite que l'on precisera.</li>
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<li>Donner un exemple de partie de ${\N}^*$ n'admettant pas de densite.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge52efa5"nil>
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<p>
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On considere une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ieme occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ieme occurrence de $2$ soit egal a $a_n$.
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</p>
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<p>
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Etudier la convergence de la suite de terme general $\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\,a_k=3\}\big{|}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3220ee8"nil>
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<p>
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On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n \geq 1$, le nombre de 3 apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de 2 soit égal à $a_n$. Montrer qu'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org45faddf"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb1ae779"nil>
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<p>
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Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si elle vérifie, pour tout entier $k \in \Z^*, \lim_{N \ra+\i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 i k \pi x_n}=0$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que la suite $(n \alpha)$ est équirépartie modulo 1.</li>
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<li>Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N^*}$. On suppose que pour tout $h \in \N^*$, la suite $\left(x_{n+h}-x_n\right)_{n \in \N^*}$ est équirépartie; on veut montrer que $(x_n)$ est équirépartie modulo 1.
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<ol class="org-ol">
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<li>Soit $\left(a_n\right)$ une suite de complexes de module $\leq 1$.
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Montrer, pour tous $N, H \in \N^*:\left|\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right|+\frac{2 H}{N}$.</li>
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<li>Montrer que $\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right| \leq \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|\sum_{h=0}^{H-1} \frac{a_{n+h}}{H}\right|^2}$.</li>
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<li>Conclure.</li>
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</ol></li>
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<li>Soit $P \in \R[X]$ non constant et de coefficient dominant irrationnel. Montrer que $(P(n))_{n \geq 1}$ est équirépartie modulo 1.</li>
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<li>Soit $\left(x_n\right)_{n \geq 1}$ une suite réelle équirépartie modulo 1, et $f\colon \R \ra \C$ une fonction continue 1-périodique. Montrer que $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right) \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} \int_0^1 f$.</li>
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<li>On reprend les hypothèses de la question 3. Montrer que la distance de $P(\Z)$ à $\Z$ est nulle.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="orgae15d09"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li></li>
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<li></li>
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<li></li>
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<li></li>
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<li>??</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3215ad0"nil>
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<p>
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Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, on note $A_n$ la matrice $\left(\begin{matrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{matrix}\right)$ ou, pour tout $k\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, $a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$.
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</p>
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<p>
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Soit $q\in\N^*$. Determiner la limite de $(\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org10e0015"nil>
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<p>
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Montrer la convergence et calculer $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\ln (k)}{\ln (2)}\right\rfloor$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org4713573"nil>
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<p>
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Écrit quelque part…
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org31bf774"nil>
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<p>
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On note $\ell^2(\R)$ l'ensemble des suites réelles de carré sommable indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$ ainsi qu'une suite $\left(u_k\right)_k$ d'éléments de $\ell^2(\R)$ (l'élément $u_k$ est donc noté $\left.\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}\right)$. On suppose que, pour tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général $w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers $\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$.
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Montrer que $\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sigma(n)}-v_n\right)^2 \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orgf991e48"nil>
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<p>
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Écrit quelque part…
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</p>
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<p>
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On peut supposer que les $(v_n)$ sont décroissants, par réordonnement.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org401407d"nil>
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<p>
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Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et $q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de continuité de $f$ ?
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orgc26c2a6"nil>
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<p>
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Facile.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga45fd5b"nil>
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<p>
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Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et $[a, b] \subset I$ avec $a\lt b$. On suppose que $f'(a)=f'(b)$. Montrer qu'il existe $c\in \interval]{a, b}[$ tel que la tangente au graphe de $f$ en $c$ passe par le point $(a, f(a))$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org7237563"nil>
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<p>
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On peut supposer $f'(a) = f'(b) = 0$. À relier.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6beb6c4"nil>
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<p>
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Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit derivable en aucun point.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcae4b5d"nil>
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<p>
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Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org4ffae48"nil>
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<p>
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$f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle, $f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7cba0e7"nil>
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<p>
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Soit $p\gt 1$ un reel. Montrer qu'il existe une constante $k_p\gt 0$ telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait $(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org60ef82c"nil>
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<p>
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Soit $f\colon\R\ra\R$. On note $f^*(s)=\sup_{x\in\R}\,(sx-f(x))$ et $f^*(x)=\sup_{s\in\R}\,(sx-f^*(s))$.
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</p>
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<p>
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Montrer que $f^*(x)=\sup_{a\text{ affine }\leq f}a(x)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org16809c0"nil>
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<p>
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Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynomes reels stable par derivation. On definit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$.
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</p>
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<p>
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Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient $A_{\eps}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et
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</p>
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<p>
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$B_{\epsilon}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $A_{\eps}$ est soit vide, soit reduit a un point, soit un intervalle ouvert.</li>
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<li>Si $A_{\eps}$ est non vide, montrer que $B_{\eps}$ est l'adherence de $A_{\eps}$. Si $A_{\eps}$ est vide, montrer que $B_{\eps}$ est soit vide suit un singleton.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1eb8346"nil>
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<p>
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Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li><p>
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Soient $x_0,\ldots,x_n$ des points de $I$. On note $V(x_0,\ldots,x_n)$ le determinant de Vandermonde associe a $(x_0,\ldots,x_n)$. Montrer qu'il existe $\tau\in I$ tel que
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</p>
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<p>
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$\begin{vmatrix}1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^{n-1}&f(x_0)\\ 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}&f(x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}&f(x_n)\\ \end{vmatrix}=\dfrac{f^{(n)}(\tau)}{n!}\,V(x_0,x_1,\ldots,x_n)$
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</p></li>
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<li>On suppose que $n=2$, que $I$ est un segment et que $f$ est strictement convexe. On note $\Gamma_f=\{(x,f(x));x\in I\}\subset\R^2$ le graphe de $f$. Montrer qu'il existe une constante $C$, dependant uniquement de $I$ et $f$, telle que le nombre de points de $\Gamma_f\cap\frac{1}{N}\,\Z^2$ soit majore par $C\,N^{2/3}$ pour tout entier $N\geq 1$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org121ea94"nil>
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<p>
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Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $(w - {n\geq 0}$ est decroissante.</li>
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<li>Etablir une relation de recurrence entre $w_{n+2}$ et $w_n$.</li>
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<li>Sans utiliser la formule de Stirling, determiner un equivalent simple de $w_n$.</li>
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<li>Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum w_nx^n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc294575"nil>
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<p>
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Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement inférieur à 1 comptées avec multiplicité n'est autre que $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$.</li>
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<li>Soit $Q \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1 comptées avec multiplicité.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org93d2dc2"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfdc13f2"nil>
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<p>
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Pour $n\in\N$, on note $A_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\,dx$ et $B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}(x)\,dx$. On admet que, pour $n\in\N^*$, $2nA_n=(2n-1)A_{n-1}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{2B_0}{A_0}-\frac{2B_n}{A_n}$ pour tout $n\in\N^*$.</li>
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<li>En deduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ puis que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac{1}{n}\right)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org47fba01"nil>
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<p>
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Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique c'est-à-dire telle que, pour tout $\epsilon\gt 0$, il existe $T\gt 0$ tel que : $\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \epsilon$.
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Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R^+$.</li>
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<li>Montrer que $t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t f$ possède une limite quand $t \ra+\i$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org45d50bc"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Easy.</li>
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<li>!!</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7dcc0da"nil>
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<p>
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Soit $f$ une fonction continue par morceaux et croissante de $[0,1]$ dans $\R$. Montrer que $\int_0^1f(x)e^{i\lambda x}dx\underset{\lambda\to+\i}{=}O \left(\frac{1}{\lambda}\right)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbaa83d3"nil>
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<p>
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Soient $f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n$ des fonctions de $\mc C^0([0,1],\R)$. Soit $A$ la matrice de terme general $A_{i,j}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\,dx$.
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</p>
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<p>
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On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}f_i(x_j)\big{)}$ et $C(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}g_i(x_j)\big{)}$.Montrer que $\int_{[0,1]^n}B(x_1,\ldots,x_n)\,C(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n=n!\det(A)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcc58ca8"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\R^+$ dans $\R$ admettant une limite en $+\i$ et telle que $f'$ est uniformement continue. Est-ce que $f'$ a une limite en $+\i$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org918206b"nil>
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<p>
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[Rennes sur dossier] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P - {n\in\N}$ une suite de polynomes a coefficients reels de degre au plus $d$ et $x_1,…,x_N$ des reels distincts. On suppose que pour tout $j\in\{1,…,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornee. Montrer que l'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui converge uniformement sur $[0,1]$ vers un polynome de degre au plus $d$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7d055f9"nil>
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<p>
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Montrer que la suite de fonctions de terme general $f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformement sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga187aff"nil>
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<p>
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On note $I$ (resp. $S$) l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to[0,1]$ telles que, pour tout $a\in\R$, l'ensemble $\{x\in[0,1],f(x)\leq a\}$ est ferme (resp. de meme avec l'inegalite dans l'autre sens).
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $S\cap I$ est l'ensemble $C$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$.</li>
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<li>Soit $f:[0,1]\to[0,1]$. On pose $f_n:x\mapsto\inf(\{1\}\cup\{f(y)+n|x-y|,y\in[0,1]\})$ pour $n\in\N$. Montrer que $f_n$ est continue pour tout $n$, que la suite $(f_n)$ est croissante et que $f\in I$ si et seulement si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4c74a71"nil>
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<p>
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Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que, pour tout $n \in \N^*, \sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$.</li>
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<li>Montrer que, pour tout $s\gt 1,\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{\Lambda(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{1}{n^s}\right)=\sum_{n \in \N^*} \frac{\ln (n)}{n^s}$.</li>
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|
<li>Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{\ln (p)}{p^s} \underset{s \ra 1+}{=} \frac{1}{s-1}+O(1)$.</li>
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|
<li>Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{1}{p^s} \underset{s \ra 1^+}{=} \ln \left(\frac{1}{s-1}\right)+O(1)$. Qu'en déduire?</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org257f34f"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7b5dc49"nil>
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<p>
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Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractere non trivial $\chi$ sur le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c'est-a-dire un morphisme de groupes non constant $\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n'est pas premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou $\overline{m}$ designe la classe de $m$ modulo $q$).
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que la serie $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si et seulement si $s\gt 0$. - Montrrer que la fonction $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2d60d81"nil>
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<p>
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Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$. Quelle est la limite de $g$ en $0^+$?
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org68190ba"nil>
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<p>
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C'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. Cela tend vers $\frac{1}{2}f(0)$, en découpant sur un segment, et en utilisant l'uniforme continuité de $f'$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfcb3e93"nil>
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<p>
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Pour tout polynome trigonometrique $P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$.
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</p>
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<p>
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On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynomes trigonometriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-periodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On definit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrrer qu'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que, pour tous $f$, $g\in{\cal T}$,</li>
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</ul>
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<p>
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$\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner tous les reels $d$ verifiant la condition de la question precedente.</li>
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<li>Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose, pour $k\in{\Z}$, $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$ et, pour tout $d\in{\R}$, $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Determiner les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$.</li>
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|
<li>Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodiques et $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9276df0"nil>
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<p>
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Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose $f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Ecrire $f(z)$ sous la forme $\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que $c_n=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org80e47fe"nil>
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<p>
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Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $]-R, R[$ telles que $\forall x \in]-R, R\left[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $]-R, R[$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orga45c5e8"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf5cb75c"nil>
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<p>
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Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner les rayons de convergence de $f$ et $g$.</li>
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<li>Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge.</li>
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<li>Montrrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur ${\C}\setminus\{1\}$, developpable en serie entiere en tout point de ${\C}\setminus\{1\}$.</li>
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<li>Montrrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$. - Montrrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$.</li>
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|
<li>Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrrer que $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$.</li>
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|
<li>Soit $h:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrrer que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$.</li>
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|
<li>Montrrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas developpable en serie entiere en $z_0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbb188d8"nil>
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<p>
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Soit $\alpha=(\alpha - {i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d'un certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la serie entiere $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$.</li>
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</ul>
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<p>
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Dans la suite, on note $f$ la somme de cette serie entiere.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Expliciter $f$ si $\alpha=(-\delta_{i,1})_{i\geq 1}$.</li>
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<li>Pour une somme $g$ de serie entiere sur un intervalle $]-a,a[$ non trivial, on pose $\Delta(g):z\mapsto zg'(z)$. Expliciter $P(\Delta)(g)$ lorsque $g:z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et $P\in\R[X]$.</li>
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|
<li>Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a un rayon de convergence non nul et donner une methode simple pour trouver une equation differentielle lineaire non triviale a coefficients polynomiaux dont sa somme est solution.</li>
|
|
<li>Resoudre le meme probleme qu'en (d) lorsqu'il existe $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$.</li>
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|
<li>Justifier que le cadre de la question - s'applique bien a la suite $(u - {n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc2f2d94"nil>
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<p>
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Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{n!\,(30n)!}{(15n)!\,(10n)!\,(6n)!}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier.</li>
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|
<li>Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum u_nx^n$.</li>
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|
<li>Trouver une equation differentielle verifiee par la somme de la serie entiere precedente.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge892a0e"nil>
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<p>
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Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que $\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$ ?
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orge62badf"nil>
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<p>
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Cf un précédent
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2de49b0"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une serie entiere de rayon $R\gt 0$. Montrrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere de rayon de convergence egal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuite sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$.</li>
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|
<li>On admet que le rayon de convergence du developpement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du developpement en serie entiere en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer $M$ en fonction de $f$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6e720ea"nil>
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<p>
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Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\sin x}{x}\,dx$ a l'aide de la transformation de Laplace.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcd42c15"nil>
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<p>
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Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Si $a \in \R^+$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$.</li>
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|
<li>Si $a \in \R^{-*}$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org6996432"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org76884a9"nil>
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<p>
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Soit, pour $x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$.
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Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+, f(x) \leq (a x+b) e^{-x}$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org2349a10"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org50376a6"nil>
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<p>
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Pour $x$ reel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $J(0)$.</li>
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<li>Montrer que $J$ est de classe $\mc C^{\i}$.</li>
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<li>En estimant $\int_{\frac{\pi}{2}-\eps}^{\frac{\pi}{2}+\eps}\cos(x\sin t)\, dt$ pour un $\eps$ a choisir convenablement en fonction de $x$, etablir que $J(x)=O(x^{-1/2})$ quand $x\to+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4d0c3f6"nil>
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<p>
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Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g:x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. Montrer que $f\star g$ est derivable et donner une expression de sa derivee.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org87dbca2"nil>
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<p>
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Soit $f:]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$, on pose
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</p>
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<p>
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$a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,du$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$.</li>
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<li>On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_n(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$ et tout $n\in\N^*$.</li>
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<li>Reciproquement, on suppose $f$ de classe $\mc C^2$ et $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. Montrer que $f$ est strictement convexe.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdec2e05"nil>
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<p>
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Soit $\mc{S}$ l'ensemble des solutions de l'equation differentielle sur $\R:\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$.
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</p>
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<p>
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A quelle condition sur $n$ tout element de $\mc{S}$ possede-t-il une limite en $+\i$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org95a8c8b"nil>
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<p>
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Soit $I$ un (vrai) intervalle de $\R$.
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Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}\right)$. Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soit $g \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. Montrer que $W_r\left(g f_1, \ldots, g f_r\right)=g^r W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$.</li>
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<li>On suppose que, pour tout $k \in \llbracket 1, r \rrbracket, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$ ne s'annule pas. Montrer que, pour tout $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$.</li>
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<li>On suppose que $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est identiquement nul sur $I$ et que $W_{r-1}\left(f_1, \ldots, f_{r-1}\right)$ ne s'annule pas. Montrer que $\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est liée.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org8e8770a"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6f54863"nil>
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<p>
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On considere l'equation differentielle $(D_{\lambda}):y^{''}+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$, $r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On considere $E_{\lambda}$ l'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$ telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Quelles sont les dimensions possibles de $E_{\lambda}$?</li>
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<li>Caracteriser le cas $\dim(E_{\lambda})=1$. (On souhaite une condition portant sur $y_{\lambda}$, solution du probleme de Cauchy $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$.)</li>
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<li>Montrer que, a $r$ fixe, les $E_{\lambda}$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1fg$.</li>
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<li>On note $N_{\lambda}$ le nombre de zeros de $y_{\lambda}$ sur $[0,1]$. Pourquoi est-il fini?</li>
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<li>Calculer $N_{\lambda}$ dans le cas $r=0$, $\lambda\gt 0$.</li>
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<li>Dans le cas general, etudier le comportement de $N_{\lambda}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2d738b6"nil>
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<p>
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Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. On considere l'equation differentielle $(E):x^{''}+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $x$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que les zeros de $x$ sont isoles.</li>
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<li>On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu'il existe $z$ de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ definisse une bijection de l'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de $y^{''}+q(t)\,y=0$.</li>
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<li>Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considere l'equation differentielle $(E_i)$ : $y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$.</li>
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<li>Soient $q:I\to\R$ continue, et $m,M$ deux reels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle de $y^{''}+q(t)y=0$. Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq\beta-\alpha\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$.# 141</li>
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</ul>
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<p>
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Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application derivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9d60ec8"nil>
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<p>
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Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-periodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'equation $u^{''}+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc332173"nil>
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<p>
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Soit $A_0\in\M_n(\R)$ telle que $\text{Sp}(A_0+A_0^T)\subset\R^-$.
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</p>
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<p>
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On admet l'existence d'une unique fonction $A:\R^+\to\M_n(\R)$ telle que $A(0)=A_0$ et $\forall t\geq 0,\ A'(t)=\left(A(t)\right)^2-\left(A(t)^T\right)^2$. Montrer que la fonction $A$ a une limite en $+\i$ et expliciter cette limite.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org90055e0"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_3(\R)$. Decrire le comportement asymptotique en $+\i$ des solutions de l'equation differentielle $X'(t)=AX(t)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga99e7da"nil>
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<p>
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On considere l'equation differentielle $(1)$: $X'(t)=P(t)X(t)$ ou $P$ est une application continue et periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Resoudre $(1)$ si $∀ t∈\R,\ P(t)=\left(\begin{array}{cc}1&cos(t)\\ 0&-1\end{array}\right).$</li>
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<li>On revient au cas general. Soit $T\in\R^{+*}$ une periode de $P$. On note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l'espace des solutions de $(1)$ et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer qu'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$.</li>
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<li>Avec les notations de la question precedente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-periodique.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf829623"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f:(x,y)\ \mapsto\ \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$. Donner le domaine de definition $\Omega$ de $f$. Etudier la continuite et la differentiabilite de $f$.
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<ul class="org-ul">
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<li>On identifie naturellement $\R^2$ a $\C$. Montrer que, si $(x,y)\in\Omega$, $df_{(x,y)}$ est $\C$-lineaire.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org577b016"nil>
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<p>
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Calculer $\sup_{a,b,c\gt 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b+\left(1-\frac{1}{2b}\right)^c+ \left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgff73c11"nil>
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<p>
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Trouver $\sup_{a,b,c\geq 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\left(1-\frac{1}{2b} \right)^c\left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4d40cc2"nil>
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<p>
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[Rennes sur dossier] Soient $q\in\R^+$, $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Determiner $\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgee9da4e"nil>
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<p>
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Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$.
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</p>
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<p>
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Determiner les extrema de $x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga383784"nil>
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<p>
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Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans $\R, L \in \R^{+*}$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$.</li>
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<li>On suppose que l'application $\nabla f$ est $L$-lipschitzienne.</li>
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</ol>
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<p>
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Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd6f7281"nil>
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<p>
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Soit $p\gt 1$. Montrer qu'il existe $K_p\in\R$ tel que, pour tous $x$, $y\in\R$ tels que $|x|^p+|y|^p=2$, on a $(x-y)^2\leq K_p(4-(x+y)^2)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8575ae9"nil>
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<p>
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Soient $f$ une application de classe $C^1$ de $\R^n$ dans $\R^m$, $x\in\R^n$ telle que $df_x$ soit injective. Montrer qu'il existe un voisinage de $x$ dans $\R^n$ sur lequel $f$ est injective.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org96fc4e3"nil>
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<p>
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On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, de classe $C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org17f4357"nil>
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<p>
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On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org56242b8"nil>
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</p>
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</div>
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## Géométrie
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<div class="exercice" id="org48ef210"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$ tel que</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degre de $T_n\,?$ En deduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$.</li>
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<li>Determiner les triangles du plan euclidien dont les cotes ont des longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels de $\pi$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org613d8cb"nil>
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<p>
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Soit $G$ un groupe d'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ contient une translation autre que l'identité de $\R^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org1102d6a"nil>
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<p>
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Faux pour $G = O_2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbff75ec"nil>
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<p>
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Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z \mapsto a z+b$ avec $a \in \mathbb{U}$ et $b \in \C$. Soit $G$ un sous-groupe de $S$ vérifiant les conditions suivantes :
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>si $g \in G, g(0)$ est nul ou de module supérieur ou égal à 1 ;</li>
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<li>l'ensemble des $b \in \C$ tels que $z \mapsto z+b$ appartienne à $G$ contient deux éléments $\R$ linéairement indépendants.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que l'ensemble $\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \}$ est fini.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org46b5ef7"nil>
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<p>
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Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s'accumule. On peut supposer qu'elle s'accumule sur $1$, puis on peut borner les $(b_n)$, puis extraire une suite convergence, donc elle est constante à partir d'un certain rang. Donc on a une infinité de $z\mapsto a_n z$, ce qui est impossible.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2a846e1"nil>
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<p>
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Soit $L$ la courbe du plan complexe d'equation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Trouver une equation cartesienne reelle definissant $L$.</li>
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<li>En deduire une parametrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - Montrrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'ecrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$.</li>
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<li>Montrre que $A$ definit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$.</li>
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<li>On definit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ verifie une equation differentielle du second ordre.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org558dd02"nil>
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<p>
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Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2$ et on note $\mathrm{Vol}(L)=|\mathrm{det}(e_1,e_2)|$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d'aire strictement superieure a $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu'il existe deux elements distincts $x$ et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$.</li>
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<li>Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un element $\ell$ tel que $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\mathrm{Vol}(L)}$.</li>
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<li>Soit $p$ un nombre premier congru a $1$ modulo $4$.</li>
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<li>Montrrer qu'il existe $\omega\in\Z$ tel que $p$ divise $1+\omega^2$.</li>
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<li>Montrrer qu'il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $p=a^2+b^2$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org81c589a"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que :
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<ul class="org-ul">
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<li>pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ dont les cotes sont paralleles aux axes ;</li>
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<li>les $C_i$ soient d'interieurs disjoints ;</li>
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<li>$\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$.</li>
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<li>On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que :</li>
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<li>pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de $\R^2$ ;</li>
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<li>les $D_i$ soient d'interieurs disjoints ;</li>
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<li>$\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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## Probabilités
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<div class="exercice" id="org73f51e1"nil>
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<p>
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On note $\mc{A}$ l'ensemble des parties de $A$ de $\N$ telles que $\lim_{n\to+\i}\frac{|A\cap[\![1,n]\!]|}{n}$ existe. Est-ce que $\mc{A}$ est une tribu?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org023f46d"nil>
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<p>
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On pose, pour toute permutation $\sigma\in S_n$, $d(\sigma)=\sum_{k=1}^n|\sigma(k)-k|$ et on note, pour $p\in\N$, $q_{n,p}=|\{\sigma\in S_n,\ d(\sigma)=p\}|$. Montrer que, si $p\geq 2n$, alors $q_{n,p}$ est pair.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb319394"nil>
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<p>
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Un derangement est une permutation $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. On note $D_n$ le sous-ensemble de $\mc{S}_n$ forme des derangements.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $D_n$. Calculer la probabilite que $X$ soit une permutation paire.</li>
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</ul>
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<p>
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Indications.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On donne la formule d'inversion de Pascal : si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites telles que$\forall n\in\N$, $a_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_k$, alors $\forall n\in\N$, $b_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}a_k$.</li>
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<li>On pourra calculer la difference du nombre d'elements pairs et impairs de $D_n$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $Y$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Calculer la probabilite de $(Y\in D_n)$ sachant que $Y$ est paire.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc3bdcf5"nil>
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<p>
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Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l'ensemble des morphismes de groupes de $(\Z / m \Z)^r$ dans $\Z / m \Z$ de la loi uniforme. Donner une expression simple de la probabilité de l'événement «le morphisme $\phi$ est surjectif».
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orge7846f6"nil>
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<p>
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Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6c309fb"nil>
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<p>
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Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une piecee truquee donnant pile avec une probabilite egale a $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aleatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$).*
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Trouver un equivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de $\mathbf{P}\left(A<sub>n</sub>=B<sub>n\right</sub>).$</li>
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<li>Montrer que $\mathbf{P}\left(A_n\geq B_n\right)\geq\frac{1}{2}$.</li>
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<li>Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)?$</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org86c1d89"nil>
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<p>
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On joue a pile ou face avec une piecee pipee : la probabilite de tomber sur pile est $p\lt 1/2$. On effectue plusieurs lancers a la suite. Le score est le nombre de fois ou l'on est tombe sur pile. On gagne le jeu si, au bout de $2n$ lancers, le score est superieur a $n+1$. Trouver $n$ qui maximise la probabilite de gagner le jeu au bout de $2n$ lancers.*
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga4dd502"nil>
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<p>
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Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ?
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org1d18066"nil>
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<p>
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!!
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</p>
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<p>
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On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En fait, mieux, $E(X) E(X^2)\geq (\)$
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</p>
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<p>
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On a $(\sum p_i x_i^2) (\sum p_i)\geq (\sum p_i x_i)^2$, donc $2 \sum p_i \geq 1$, donc $\sum p_i \geq \frac{1}{2}$ : $p_0\leq \frac{1}{2}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfef7bc5"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X - {m\geq 0}$ une suite de variables aleatoires a valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour $m\in\N$, $\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$. Montrer que $(X - {m\geq 1}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $\Z/n\Z$.*
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org171f751"nil>
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<p>
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Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$ c'est-a-dire le nombre de couples $(i,j)$ avec $i\lt j$ et $\sigma(i)\gt \sigma(j)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $P_n=\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}X^{I(\sigma)}=\prod_{k=1}^{n-1}(1+X+ \cdots+X^k)$.</li>
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<li>On pose $f(n)=|\{\sigma\in\mc{S}_n,\,(n+1)$ divise $I(\sigma)\}|$. Exprimer $f(n)$ a l'aide de $P_n$.</li>
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<li>Montrer qu'il existe une infinite de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\lt \frac{(p-1)!}{p}$ et de meme une infinite de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\gt \frac{(p-1)!}{p}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdd8288b"nil>
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<p>
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Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynomes unitaires de degre $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicites). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org74d00f3"nil>
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<p>
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Dans tout l'exercice, les variables aléatoires considérées sont supposées réelles, discrètes et à loi de support fini. Pour deux telles variables $X$ et $Y$, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe $f\colon \R \ra \R$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Soient $X$ une variable aléatoire vérifiant les conditions de l'exercice et $f\colon \R \ra \R$ convexe. Montrer que $f(\mathbf{E}(X)) \leq \mathbf{E}(f(X))$.</li>
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<li>Donner un exemple de couple $(X, Y)$ pour lequel $X \leq_c Y$ mais $X \neq Y$.</li>
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<li>Montrer que si $X \leq_c Y$ alors $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(X) \leq \mathbf{V}(Y)$.</li>
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<li>Montrer que $X \leq_c Y$ si et seulement si $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et</li>
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</ol>
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<p>
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$$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mathbf{P}(Y \geq x)\dx.$$
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org736767f"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb7ad2f9"nil>
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<p>
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On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \llbracket 1, N \rrbracket$, puis $u_2 \in \llbracket 1, u_1-1 \rrbracket$, et ainsi de suite jusqu'à arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note $E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$.</li>
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<li>Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \not\in E_N\right)$.</li>
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<li>Calculer $\mathbf{E}\left(\left|E_N\right|\right)$ et $\mathbf{V}\left(\left|E_N\right|\right)$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="orgdced632"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>$P(k\in E_{k+1}) = \frac{1}{k}$, puis $P(k\in E_n) = \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\big(P(k\in E_{N-1}) + \dots + P(k\in E_{k+1})\big)$. On trouve $P(k\in E_N) = \frac{1}{k}$.</li>
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<li>On a $P(2\in E_N \mid 3\in E_N) = \frac{1}{2}$.</li>
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<li>Semble facile.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3d057a5"nil>
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<p>
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Dans tout l'enonce, on fixe un entier $p\geq 1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Developpper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ de nombres reels.</li>
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<li>Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq p^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.</li>
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</ul>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(a - {k\geq 1}$ une suite reelle telle que $\sum_{k=1}^{+\i}a_k^2=1$. Soient $x\in\R$ et $Y_x=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx)\,X_i$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au moins une valeur inferieure ou egal a $2\pi p^p$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdbc2911"nil>
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<p>
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suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et $a_1,\ldots,a_n$ des reels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$.</li>
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<li>Montrer que si $\sum_{k=1}^na_k^2=1$ alors $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute generalite.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0e5a505"nil>
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<p>
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Une variable aleatoire discrete reelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aleatoires discretes reelles non presque surement constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aleatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aleatoire binomiale est-elle decomposable?
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$. En deduire une variable aleatoire reelle discrete decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable.</li>
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<li>Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme que $[\![0,n-1]\!]$. Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0c685dc"nil>
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<p>
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Soit $p\in\left]0,1/2\right[$. Soit $(X - {k\geq 1}$ une suite de variables de Bernoulli i.i.d. de parametre $p$. On pose $ S<sub>n</sub>=∑<sub>k=1</sub><sup>nX</sup><sub>k</sub>$ pour $n\in\N^*$. Determiner la plus grande valeur prise par la suite $(\mathbf{P}(S_{2n}\gt n))_{n\geq 1}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd53a748"nil>
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<p>
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On fixe $n\in\N^*$ et on pose $ X=[\![1,n]\!]$. Soient $A$ et $B$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la loi, l'esperance et la variance de la variable aleatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$).</li>
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<li>Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$.</li>
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<li>Pour $i\in[\![1,n]\!]$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Determiner la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$.</li>
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<li>Calculer $\mathbf{P}(A\subset B)$. Commenter.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge779890"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considere un echiquier $n\times n$. On calorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilite $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilite pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constite uniquement de cases rouges (il est entendu que les deplacements ne se font pas en diagonale). Que dire de la fonction $Q$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8a9b319"nil>
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<p>
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Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes de loi de Rademacher. On pose $ S<sub>n</sub>=X<sub>1</sub>+⋯+X<sub>n</sub>$ pour $n\geq 1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer l'esperance du nombre $R$ de retour en zero de la suite $(S - {n\geq 1}$.</li>
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<li>Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la probabilite qu'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est egale a $1$.</li>
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<li>Montrer que l'evenement $(R=+\i)$ est presque sdr.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org907fcae"nil>
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<p>
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Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et $(m - {k\in\N}$ une suite de reels positifs de somme 1. On considere un arbre aleatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aleatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aleatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement independantes. On note $X_1$ la variable aleatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caracteriser le fait que la longueur de l'arbre soit presque surement finie.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcacb7dd"nil>
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<p>
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On construit iterativement et aleatoirement un arbre aleatoire sur l'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aleatoirementun point dans $\llbracket 1,k\rrbracket$ (avec probabilite uniforme) et on rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere independante les uns des autres.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On note $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre d'aretes partant du point $1$. Determiner l'esperance et la variance de $X_n$.</li>
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<li>On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aleatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Determiner la loi de $S_n$.</li>
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<li>Calculer l'esperance du nombre de feuilles de l'arbre.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge165bb4"nil>
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<p>
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Soient $E$ un ensemble fini, $V: E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point $a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout $b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient $b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que $f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, pour tout $n \geq 0$ :
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$;</li>
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<li>sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins $1 / 2$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orga274cc0"nil>
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<p>
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La donnée est celle d'un graphe. Étant donné l'algorithme, on peut retirer des arêtes, de sorte que les voisins de $a$ vérifient $f(b)\lt f(a)$. Auquel cas il n'y a plus de cycles.
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</p>
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<p>
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Alors on choisit $\sqrt{n}$ sommets du graphe, puis le minimum. On veut montrer la plus longue chaîne décroissante à partir de celui-ci est de longueur $\leq \sqrt{n}$ avec probabilité $\frac{1}{2}$.
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</p>
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<p>
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On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer que c'est injectif.
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</p>
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<p>
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Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à un graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8ee77d7"nil>
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<p>
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Une variable aleatoire reelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ i.i.d. et admettant des moment d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0764c42"nil>
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<p>
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On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aleatoires independantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Quelle relation doivent verifier $a_i$ et $p_i$ pour que $\mathbf{V}(X_i)=1$? Dans toute la suite, on suppose cette relation verifiee et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$.</li>
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<li>Calculer la variance de $n^{-1/2}S_n$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))=\prod_{i=1}^n\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tX_i)$.</li>
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<li>En deduire que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc3473fc"nil>
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<p>
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On fixe un entier $n\geq 1$. On considere la relation d'ordre partielle $\preccurlyeq$ sur $\R^n$ definie par $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ x_i \leq y_i$. Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque $f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que $x\preccurlyeq y$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner un exemple de fonction croissante non constante de $\{0,1\}^n$ dans $\R$.</li>
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<li>Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables aleatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$. Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big{(}\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_ {n-1},0)+\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_{n-1},1))\Big{)}$. - Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ et $g:\{0,1\}^n\to\R$ croissantes.
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</p>
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<p>
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Montrer que $\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \,\mathbf{E}(g(X_1,\ldots,X_n))$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb42377a"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilite. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $I\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer $\mathbf{P}\left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)$.</li>
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<li>Exprimer $N$ avec des indicatrices. Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$.</li>
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<li>Soient $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ et $F\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer $\sum\limits_{I\subset\llbracket 1,n\rrbracket,\ |I|=k}\prod\limits_{i\in I} \mathbf{1}_F(i)$.</li>
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<li>Soit $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer $\mathbf{E}(N(N-1)\cdots(N-k+1))$.</li>
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<li>Soient $X\sim\mc{P}(1)$ et $k\in\N$. Calculer $\mathbf{E}(X(X-1)\cdots(X-k+1))$.</li>
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<li>Calculer $\mathbf{P}(N=0)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdd1f854"nil>
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<p>
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On considere une suite i.i.d. $(X - {n\geq 1}$ de variables aleatoires suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On definit $(S - {n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$.
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</p>
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<p>
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<span class="underline">a) i)</span> Determiner l'esperance et la variance de $S_n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$.</li>
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<li>Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n^{2/3})$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$.</li>
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<li>On considere la variable aleatoire $T_n:\omega\mapsto\min\{k\in\N,\ S_k(\omega)\geq n\}$. Determiner l'ensemble des valeurs prises par $T_n$.</li>
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<li>Soit $k\geq 2$. Montrer que $\mathbf{P}(T_n=k)=\frac{1}{2}\mathbf{P}(T_{n-1}=k-1)+\frac{1}{2} \mathbf{P}(T_{n-2}=k-1)$.</li>
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<li>Calculer l'esperance de $T_n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4dadbe2"nil>
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<p>
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Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et $S = \left\{ \pm e_i, 1 \leq i \leq d\right\}$, où $e_i$ désigne l'élément de $G$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la $i$-ème, égale à $\overline{1}$. Soient enfin $f\colon G \ra \R$ une fonction quelconque et $X$ une variable aléatoire uniformément distribuée sur $G$.
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</p>
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<p>
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Montrer que $\mathbf{E}(|f(X)-\mathbf{E}(f(X))|) \leq \frac{n d}{2} \max_{s \in S} \mathbf{E}(|f(X)-f(X+s)|)$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org8d3221a"nil>
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<p>
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C'est simple : On peut passer d'un somme à un autre en au plus $\frac{n d}{2}$ pas.
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</p>
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## ENS PSI :autre:
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### Algebre
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<div class="exercice" id="org4f177c1"nil>
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<p>
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Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in\mc{L}(E)$, annule par un polynome $Q$ tel que $Q(0)=0$ et $Q'(0)\neq 0$. Montrer que $\op{Ker}u$ et $\op{Im}u$ sont supplementaires.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org15fee37"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $A\in\M_n(\R)$ dont tous les coefficients diagonaux sont nuls et les autres valent $1$ ou $-1$. Montrer que si $n$ est pair alors $A$ est inversible.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $B=(x_1,\ldots,x_{2n+1})\in\R^{2n+1}$. On suppose que, pour toute partie $P$ de $B$ de cardinal $2n$, on peut trouver $Q_1$ et $Q_2$ contenues dans $P$, chacune de cardinal $n$, telles que $\sum_{x\in Q_1}x=\sum_{x\in Q_2}x$. Montrer que tous les $x_i$ sont eaux.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbfb5c2b"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\C$ espace vectoriel de dimension finie $n$, $f\in\mc{L}(E)$. On pose $\forall g\in\mc{L}(E)$, $\phi_f(g)=f\circ g-g\circ f$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\phi_f^n(g)$ pour $g\in\mc{L}(E)$.</li>
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<li>Montrer que $f^{n+1}\circ g-g\circ f^{n+1}=\sum_{k=0}^nf^k(f\circ g-g\circ f)f^{n-k}$.</li>
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<li>On suppose $f$ non inversible. Montrer que $f$ est nilpotente si et seulement si $\phi_f$ l'est.</li>
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<li>Montrer que, si $f$ possede une unique valeur propre, alors $\phi_f$ est nilpotente. Etudier la reciproque.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbdf9738"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N^*$, $c_0,c_1,\cdots,c_{2n-1}\in\R$ tels que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\cdots=c_{2n-1}=0$. Soit $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On definit les matrices $A,B,P$ de $\M_n(\R)$ par
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</p>
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<p>
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$a_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+1=j\\ -c_{i-1}\ \ \text{si }j=n\end{cases}$, $b_{i,j}=c_{i+j-1}$ et $p_{i,j}=\begin{cases}1\ \ \text{si }i+j-1=n\\ 0\ \ \text{sinon}\end{cases}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $Q(A)=0$ en calculant $A^ke_1$ ou $e_1=(1,0,\ldots,0)^T$.</li>
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<li>Soit $R(A)=\{M\in\M_n(\R)\ ;\ \exists P\in\R[X],\ P(A)=M\}$. Montrer que $R(A)$ est de dimension $n$.</li>
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<li>Montrer que $PB$ est triangulaire puis en deduire que $B$ est inversible.</li>
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<li>Montrer que $AB=BA^T$.</li>
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<li>Montrer que $A^T$ est semblable a $A$.</li>
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<li>Montrer que $A$ s'ecrit comme le produit de deux matrices symetriques.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org35e8c12"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $A\in\M_n(\C)$ diagonalisable. Montrer que, pour tout polynome $P$ a coefficients complexes, la matrice $P(A)$ est diagonalisable. - Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$ diagonalisable. Decrire l'ensemble des matrices inversibles $P$ telles que $P^{-1}AP$ soit diagonale.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $A$ et $B$ deux matrices codiagonalisables. On suppose que $B$ a des valeurs propres deux a deux distinctes. Montrer qu'il existe un polynome $P\in{\C}[X]$ tel que $A=P(B)$.</li>
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<li>On suppose toujours $A$ et $B$ codiagonalisables mais on ne suppose plus $B$ a valeurs propres distinctes. Montrer qu'il existe une matrice $C$ et deux polynomes $P$ et $Q$ tels que $A=P(C)$ et $B=Q(C)$.</li>
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<li>La matrice $\left(\begin{array}{cc}-1&0\\ 0&-4\end{array}\right)$ est-elle le carre d'une matrice reelle?</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf7cb2ff"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer qu'il existe $P\in{\R}[X]$ tel que $P(A)={\rm Com}(A)^T$.
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</p>
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<p>
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<span class="underline">Ind.</span> Commencera par $A$ inversible.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org780159a"nil>
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<p>
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Soient $E$ un ${\R}$-espace vectoriel de dimension $d\in{\N}^*$ et $f\in{\cal L}(E)$ telle que $fˆ f=-$id.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner un exemple d'application $f$ verifiant les hypotheses en dimension 2.</li>
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<li>Montrer que $f$ n'a pas de valeur propre reelle. Montrer que $E$ est de dimension paire.</li>
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<li>Montrer qu'il existe $(e_1,\ldots,e_p)$ telle que $(e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))$ soit une base de $E$ avec $d=2p$. Donner la matrice de $f$ dans cette base.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb7645d7"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $AB-BA=A$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $A^kB-BA^k=kA^k$ pour $k\in{\N}$.</li>
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<li>On definit l'application $\phi_B:M\mapsto MB-BM$.</li>
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<li>Verifier que $\phi_B$ est un endomorphisme et caracteriser son noyau.</li>
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<li>Montrer que, si $A^p\neq 0$, alors $p$ est une valeur propre de $\phi_B$.</li>
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<li>La matrice $A$ est-elle nilpotente? Justifier.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfcbb81f"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que ${\rm Sp}(A)\subset\bigcup_{i=1}^n\Bigg{\{}z\in{\C},|z-a_{i,i}| \leq\sum_{1\leq j\leq n\atop j\neq i}|a_{i,j}|\Bigg{\}}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb198a83"nil>
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<p>
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On note ${\cal S}\subset{\cal M}_n({\R})$ l'ensemble des matrices stochastiques : $M=(m_{i,j})\in{\cal S}$ si $\forall(i,j)\in[\![1,n]\!]^2$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nm_{i,k}=1$. Pour tout $A\in{\cal M}_n({\R})$, on note ${\rm Sp}(A)$ l'ensemble de ses valeurs propres.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que les elements de ${\cal S}$ ont tous une valeur propre commune.</li>
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<li>Montrer que ${\cal S}$ est convexe, ferme, borne dans ${\cal M}_n({\R})$, et qu'il est stable pour le produit.</li>
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</ul>
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<p>
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<span class="underline">c) i)</span> Montrer que, pour tout $A\in{\cal S}$, on a ${\rm Sp}(A)\subset\{z\in{\C},|z|\leq 1\}$.
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</p>
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<p>
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<span class="underline">Ind.</span> Si $X=(x_1,\cdots,x_n)\in{\C}^n$ est un vecteur propre, considerer $|x_i|=\max_{1\leq j\leq n}|x_j|$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $\lambda\in{\rm Sp}\,A$ telle que $|\lambda|=1$. Montrer que $\lambda$ est une racine $\ell$-ieme de l'unite avec $\ell\leq n$.</li>
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<li>On suppose que $A=(a_{i,j})\in{\cal S}$ est telle que $a_{i,j}\gt 0$ pour tout $(i,j)\in[\![1,n]\!]^2$.</li>
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<li>Montrer que 1 est une valeur propre de $A$ et que $\dim\ker\,(A-I_n)=1$.</li>
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<li>Montrer que si $\lambda\in{\rm Sp}(A)\setminus\{1\}$ alors $|\lambda|\lt 1$. - On dit que $B\in\M_n(\R)$ verifie $(\mc{P})$ si : $\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2$, $b_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{k=1}^nb_{i,k}\leq 1$.</li>
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<li>Montrer que si $B=(b_{ij})\in\M_n(\R)$ verifie $(\mc{P})$ alors $|\det B|\leq 1$.</li>
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<li>Determiner l'ensemble des matrices $B\in\M_n(\R)$ qui verifient $(\mc{P})$ ainsi que $|\det B|=1$.</li>
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<li>Determiner l'ensemble des matrices stochastiques dont la valeur absolue du determinant vaut 1.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd9cb0a6"nil>
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<p>
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Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un plan euclidien, $\mc{V}=(v_1,\ldots,v_n)$ une famille de vecteurs de $E$ de norme 1 telle que $\langle v_1,v_2\rangle=\langle v_2,v_3\rangle=\ldots=\langle v_n,v_ {1}\rangle$. Soit $\mathbb{D}_{2n}$ l'ensemble des isometries vectorielles de $E$ qui laissent invariantes la famille $\mc{V}$, c'est-a-dire :
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</p>
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<p>
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$\mathbb{D}_{2n}=\{\sigma\in\mc{O}(E)\ ;\ \forall i\in\llbracket 1,n \rrbracket\,\sigma(v_i)\in\mc{V}\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Trouver, pour $1\leq i\lt j\leq n$, la valeur de l'angle $\langle v_i,v_j\rangle$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbb{D}_{2n}$ est un sous-ensemble finie de $\mc{O}(E)$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbb{D}_{2n}$ est stable par composition et passage a l'inverse.</li>
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<li>Exprimer $\mathbb{D}_6$ et $\mathbb{D}_8$.</li>
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<li>Si $\sigma\in\mathbb{D}_{2n}$ verifie $\sigma(v_1)=v_i$, montrer que $\sigma(v_2)=v_{i-1}$ ou $\sigma(v_2)=v_{i+1}$.</li>
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<li>En deduire que le cardinal de $\mathbb{D}_{2n}$ est $2n$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbb{D}_{2n}=\{\mathrm{id},r,sr,r^2,sr^2,r^3,sr^3,\ldots\}$ ou $s$ est une reflexion et $r$ une rotation d'angle $\mathrm{Arccos}\ (\langle v_1,v_2\rangle)$.</li>
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<li>On note $D=\bigcup_{n\geq 3}D_{2n}$. Montrer que pour tout $\sigma\in\mc{O}(E)$, il existe une suite $(\sigma - {k\geq 0}\in D^{\N}$ telle que $\sigma=\lim_{k\ra+\i}\sigma_k$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd3596b3"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>On note $\phi$ l'application $M\mapsto M^T$ de $\M_n(\R)$ dans $\M_n(\R)$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\phi$ est un automorphisme.</li>
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<li>Determiner les valeurs propres de $\phi$.</li>
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<li>L'application $\phi$ est-elle diagonalisable? Justifier.</li>
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<li>On fixe un reel $\mu\gt 0$. Soit $f$ l'application $t\mapsto(4\mu t^2,2\mu t)$ de $\R$ dans $\R^2$. On suppose que $t_0$ et $t_1$ sont deux reels tels que les tangentes au support de la courbe parametree definies par $f$ sont orthogonales.</li>
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<li>Montrer que $4t_0t_1+1=0$.</li>
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<li>Montrer que le point d'intersection des tangentes en $f(t_0)$ et $f(t_1)$ appartient a une droite fixe.</li>
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<li>Soient $Q\in\mc{O}_n(\R)$ et $X,Y\in\M_{n,1}(\R)$.</li>
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<li>Montrer que $(QX)^T(QY)=X^TY$.</li>
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<li>Determiner les valeurs propres reelles de $Q$ puis montrer que deux vecteurs propres associés a des valeurs propres reelles distinctes sont orthogonaux.</li>
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<li>Soit $M\in\mc{O}_2(\R)$ diagonalisable sur $\R$. Montrer, qu'a similitude pres, $M$ peut prendre exactement trois formes distinctes. Pour chacune d'entre elles donner la transformation geometrique du plan correspondante.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd1fe729"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $A\in S^+_n(\R)$ de rang $k$. Montrer qu'il existe des vecteurs $U_1,\ldots,U_k$ lineairement independants dans $\R^n$ tels que $A=\sum_{j=1}^kU_jU_j^T$.Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$. Leur produit d'Hadamard $A\circ B\in{\cal M}_n(\R)$ est la matrice de terme general $a_{ij}b_{ij}$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver que, si $A$ et $B$ sont des matrices symetriques de rang $1$, alors $A\circ B$ est symetrique de rang au plus $1$.</li>
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<li>Montrver que, si $A$ et $B$ sont symetriques positives, alors $A\circ B$ est symetrique.</li>
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<li>Si $A$ et $B$ sont symetriques positives, montrer que $A\circ B$ est symetrique positive.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0e0a156"nil>
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<p>
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On note $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\cal M}_{n,1}(\R)$. Soit $(c_0,\ldots,c_{2n-1})\in\R^{2n}$ tel que $c_n=1$ et $c_{n+1}=\ldots=c_{2n-1}=0$. On pose $Q=\sum_{k=0}^nc_kX^k$. On considere enfin les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ suivantes : $A=(a_{i,j})$, ou $a_{i,j}=1$ si $j=i-1$, $a_{i,j}=-c_{i-1}$ si $j=n$ et $a_{i,j}=0$ sinon ; $B=(c_{i+j-1})$ et $C=(\delta_{i+j,n+1})$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver que $Q(A)=0$. Ind. Calculer $A^ke_1$ pour tout $k\in\{0,\ldots,n\}$.</li>
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<li>On pose $\R[A]=\{M\in{\cal M}_n(\R)\,;\,\exists P\in\R[X],\ M=P(A)\}$. Montrer : $\dim\R[A]=n$.</li>
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<li>Montrver que $CB$ est triangulaire. En deduire que $B$ est inversible.</li>
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<li>Montrver que $AB=BA^T$.</li>
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<li>Montrver que $A$ est semblable a sa transposee.</li>
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<li>Montrver que $A$ s'ecrit comme le produit de deux matrices symetriques.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb292e4d"nil>
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<p>
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<span class="underline">a) i)</span> Soit $m$ un entier $\geq 2$. Montrer que $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}\leq\sum_{k=1}^{m-1}\frac{1} {\sqrt{k(m-k)}}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\int_1^{m-1}\frac{{\rm d}x}{\sqrt{x(m-x)}}$ l'aide du changement de variables $x=\frac{m}{1+t^2}$.</li>
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<li>Soit $A_n\in{\cal M}_n(\R)$ la matrice de terme general $\frac{1}{i+j-1}$.</li>
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<li>Montrver que $A_n\in S_n^{++}(\R)$.</li>
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<li>Soit $\lambda_n$ la plus petite des valeurs propres de $A_n$. Montrer qu'il existe $a,b\gt 0$ tels que $\forall n\geq 1,\,0\leq\lambda_n\leq\frac{1}{n}\big{(}a+b \ln(n)\big{)}$.</li>
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<li>Soient $\mu_n$ la plus grande valeur propre de $A_n$ et $X=(1/\sqrt{1},1/\sqrt{2},\ldots,1/\sqrt{n})^T\in\R^n$. Montrer que $\langle A_nX,X\rangle\geq 2\sum_{i=1}^n\frac{1}{i}\arctan(\sqrt{i-1})$ ou $\langle\,\ \rangle$ designe le produit scalaire canonique sur $\R^n$.</li>
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<li>Montrer que, pour tout $P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,{\rm d}t=-i\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})e^{i\theta}\,{\rm d}\theta$. En deduire que, pour tout $Q=\sum_{k=0}^da_kX^k\in\R[X]$, $\int_0^1Q^2(t)\,{\rm d}t\leq\int_{-1}^1Q^2(t)\,{\rm d}t \leq\pi\sum_{k=0}^da_k^2$.</li>
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<li>En deduire que $\lim_{n\to+\i}\mu_n=\pi$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5137335"nil>
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<p>
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. On considere des reels $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tels que : $0\lt \lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$, et, pour tout entier $i$ tel que $1\leq i\leq n$, on pose $M_i=(\lambda_i,\lambda_i^{-1})$.On considere $y=(y_1,\ldots,y_n)\in\R^n$ tel que $\|y\|_2=1$ et on note $M$ le barycentre des $M_i$ pondere par les coefficients $y_i^2$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver que $M=(a,b)$ ou $a=\langle Dy,y\rangle$ et $b=\langle D^{-1}y,y\rangle$ ou $D=\text{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$.</li>
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<li>Montrver que $a^{-1}\leq b\leq-\dfrac{a}{\lambda_1\lambda_n}+\lambda_1^{-1}+ \lambda_n^{-1}$.</li>
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<li>En deduire que $1\leq ab\leq\dfrac{1}{4}\left(\sqrt{\dfrac{\lambda_1}{ \lambda_n}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}}\right)^2$.</li>
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<li>On considere $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $x\in\R^n$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $\|x\|_2^4\leq\langle Ay,y\rangle\langle A^{-1}y,y\rangle\leq \dfrac{1}{4}\left(\sqrt{\dfrac{\lambda_1}{\lambda_n}}+\sqrt{\dfrac{\lambda_n}{\lambda_1}}\right)^2\|x\|_2^4$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $b\in\R^n$ et $c\in\R$. Soit $f:x\mapsto\dfrac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle+c$. Montrver que $f$ admet un minimum atteint en un unique point, et determiner sa valeur.</li>
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</ul>
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</div>
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### Analyse
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<div class="exercice" id="org19ce1e5"nil>
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<p>
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On pose $A_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\sin(t)dt$, $B_n=\int_0^{+\i}t^ne^{-t}\cos(t)dt$ et $X_n=\begin{pmatrix}A_n\\ B_n\end{pmatrix}$ pour tout $n\in\N$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver que $A_n$ et $B_n$ existent et que $|A_n|^2+|B_n|^2\leq(2n)!$.</li>
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<li>Trouver $A_0$ et $B_0$.</li>
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<li>Montrver qu'il existe une matrice de rotation $R(\theta_0)$ telle que $(n+1)X_n=\sqrt{2}R(\theta_0)X_{n+1}$.</li>
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<li>Exprimer $A_n$ et $B_n$ en fonction de $n$.</li>
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<li>Trouver une condition pour que $A_n=B_n$.</li>
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<li>Montrver qu'il existe $g_1,g_2\in\mc C^0(\R^+,\R^+)$ distinctes telle que</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall n\in\N,\int_0^{+\i}t^ng_1(t)dt=\int_0^{+ \i}t^ng_2(t)dt$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org81af7b7"nil>
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<p>
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Soient $E=\mc C^0([0,1],\C)$ et $F=\mc{D}^1([0,1],\C)$. On definit $T$ comme l'operateur qui, a tout $f\in E$ associe : On note $E_{\lambda}$ le sous-espace propre de $T$ pour une valeur propre $\lambda$.
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</p>
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<p>
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<span class="underline">a) i)</span>: Montrver que $T$ est un endomorphisme.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f\in E$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $T^n(f)$ a l'aide d'une somme.</li>
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<li>Montrver que $(T^n(f))_{n\geq 1}$ converge simplement vers une fonction $\ell$.</li>
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</ul>
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<p>
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<span class="underline">b) i)</span>: Montrver que $E_1$ est l'ensemble des fonctions constantes.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver que $E_{\lambda}=\{0\}$ si $|\lambda|\geq 1$ et $\lambda\neq 1$.</li>
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<li>Soit $\lambda$ tel que $|\lambda|\lt 1$.</li>
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<li>Montrver que $f_{\lambda}:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}\lambda^k\cos(2^k\pi x)$ est definie et continue sur $[0,1]$.</li>
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<li>Montrver que $f_{\lambda}\in E_{\lambda}$.</li>
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<li>On note $D_{\lambda}=E_{\lambda}\cap F$.</li>
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</ul>
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</div>
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- Montrver que, si $|\\lambda|\\lt \\dfrac{1}{2}$, $D\_{\\lambda}\\neq\\{0\\}$. - Comparer $T(f')$ et $(Tf)'$ pour $f\\in F$.
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**iii)**: Montrrer que, si $|\\lambda|\\geq\\frac{1}{2}$ et $\\lambda\\neq\\frac{1}{2}$, $D\_{\\lambda}=\\{0\\}$.
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<div class="exercice" id="org8ab37a6"nil>
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<p>
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Soit $(u - {n\geq 0}$ la suite de fonctions definie par :
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</p>
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<p>
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$\forall x\in\R\,\ u_0(x)=0$ et $\forall n\in\N^*$, $\forall x\in\R$, $u_n(x)=\frac{x}{n(1+nx^2)}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Etudier la convergence de $\sum u_n$.</li>
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<li>Sur quel domaine a-t-on $\left(\sum u_n\right)'=\sum u_n'\,?$</li>
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<li>La fonction $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ est-elle derivable en $0\,?$</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5291783"nil>
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<p>
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On fixe $p\gt 1$. On note $q$ l'unique reel tel que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.
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</p>
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<p>
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Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ continue et non identiquement nulle tel que $\int_0^{+\i}f(t)^pe^t\,dt$ converge.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $t\in]0,1[$ et $(u,v)\in(\R^+)^2$. Montr re que $u^tv^{1-t}\leq tu+(1-t)v$.</li>
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</ul>
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<p>
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<span class="underline">Ind.</span> Utiliser un argument de convexite ou une etude de fonction.
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</p>
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<p>
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<span class="underline">b) i)</span>: Soit $A\gt 0$, et soient $g$ et $h$ deux fonctions continues de $[0,A]$ dans $\R$.
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</p>
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<p>
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Montr re que la suite $(u_n)$ est bien definie et qu'il existe $K\in\R^{+*}$ telle que
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</p>
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<p>
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$\forall n\in\N\,,\ |u_n|\leq K\left(\frac{p}{q}\right)^n(I( nq))^{1/q}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>En deduire que $\sum|u_n|^{-1/n}$ diverge.</li>
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<li>On suppose que $p=1$. Montr re que $\sum|u_n|^{-1/n}$ diverge.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5f3d174"nil>
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<p>
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Soit $\alpha\in\R$. On pose $g_{\alpha}:t\in\,]0,+\i[\mapsto e^{-t}t^{\alpha}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner les valeurs de $\alpha$ tels que $\int_0^{+\i}g_{\alpha}(t)dt$ converge.</li>
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<li>Calculer $I(p)=\int_0^{+\i}e^{-pt}\,dt$, avec $p\in]0,+\i[$.</li>
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<li>Justifier l'existence de $\frac{d^kI}{dp^k}$ pour tout $k\in\N$.</li>
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|
<li>En deduire $\int_0^{+\i}g_n(t)dt$ pour tout $n\in\N$.</li>
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<li>Retrouver ce resultat en integrant par parties $\int_{\eps}^xg_n(t)dt$ pour $0\lt \eps\lt x$.# 212</li>
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</ul>
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<p>
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Soit $a\gt 0$. On pose $I(a)=\int_0^{+\i}e^{-t^2-a^2/t^2}\,dt$ et $J(a)=a\int_0^{+\i}\frac{e^{-t^2-a^2/t^2}}{t^2}dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrrer que ces integrales convergent.</li>
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<li>Montrver que $I(a)=J(a)$,</li>
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<li>En deduire que $I(a)=\frac{e^{-2a}}{2}\int_0^{+\i}\left(1+\frac{a}{t^2}\right)e^{-(t-a /t)^2}dt$</li>
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<li>Montrver que $I(a)=\frac{\sqrt{\pi}}{2}e^{-2a}$. La valeur de l'integrale de Gauss etait donnee.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgeb1cc92"nil>
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<p>
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Soient $a\gt 0$ et $q\in\mc C^2([a,+\i[,\R^{+*})$ telle que $\int_a^{+\i}\sqrt{q(t)}\,dt=+\i$. Soit $(E)$ l'equation differentielle $y^{''}+qy=0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $y_1$ et $y_2$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ qui n'ont pas de zeros en commun. On pose $\Phi=y_1+iy_2$ et $\Phi(a)=r_0e^{i\theta_0}$. Montrver que $\forall x\geq a$, $\Phi(x)=e^{\Psi(x)}$ ou $\Psi(x)=\int_a^x\frac{\Phi'(t)}{\Phi(t)}\,dt+\ln(r_0) +i\theta_0$.</li>
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<li>Montrver que l'on peut ecrire $y_1(x)=r(x)\cos(\theta(x))$ et $y_2(x)=r(x)\sin(\theta(x))$ ou $r(x)=\sqrt{y_1^2(x)+y_2^2(x)}$ et $\theta(x)=\theta_0+\int_a^x\frac{y_1y_2'-y_2y_1^{ '}}{y_1^2+y_2^2}$.</li>
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<li>On pose $x\mapsto f(x)=\int_a^x\sqrt{q(t)}\,dt$. Montrver que $f$ realise une bijection de $[a,+\i[$ sur $\R^+$.</li>
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<li>Soit $y$ une solution de $(E)$, non identiquement nulle. On pose $Y=y\circ f^{-1}$. Montrver que $Y^{''}+vY'+Y=0$ ou $v:t\mapsto\frac{q'(f^{-1}(t))}{2(q(f^{-1}(t)))^{3/2}}$.</li>
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<li>Montrver que $Y$ et $Y'$ n'ont pas de zero en commun et que l'on peut ecrire $Y=r\cos(\theta)$ et $Y'=r\sin(\theta)$ ou $r,\theta$ sont des fonctions de classe $\mc C^1$.</li>
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<li>Montrver que $(r^2)'=-2vr^2\sin^2(\theta)$. En deduire que $y$ et $y'$ sont bornees.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6ba2aad"nil>
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<p>
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On considere une solution $u$ de l'equation de transport :
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</p>
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<p>
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$\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)=f(x,t)$ ou $u(x,0)=u_0(x)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver alors que si $u$ est solution de l'equation homogene, alors $u$ est constante le long de la droite $x=x_0+ct$. En deduire qu'il existe une unique solution de l'equation homogene, et que celle-ci est : $u(x,t)=u_0(x-ct)$.</li>
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<li>On suppose $f$ non nulle. Montrver que pour une solution $u$, on a :</li>
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</ul>
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<p>
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$u(x,t)=u_0(x_0)+\int_0^tf(x_0+c\theta,\theta)\,d\theta$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>En deduire que : $u(x,t)=u_0(x-ct)+\int_0^tf(x-c(t-\theta),\theta)\,d\theta$. On considere maintenant une solution $u$ de l'equation des ondes :</li>
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</ul>
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<p>
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$\frac{\partial^2u}{\partial^2t}(x,t)-c^2\frac{\partial^2u}{\partial^2 x}(x,t)=0$ ou $u(x,0)=g(x)$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(x,0)=h(x)$.
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</p>
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<p>
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<span class="underline">b) i)</span>: On suppose $u$ de classe $\mc C^2$. Montrver que :$\left(\frac{\partial}{\partial t}+c\frac{\partial}{\partial x}\right)\left( \frac{\partial u}{\partial t}-c\frac{\partial u}{\partial x}\right)=\frac{ \partial^2u}{\partial^2t}-c<sup>2\frac</sup>{∂<sup>2u</sup>}{∂<sup>2x</sup>}.$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>En deduire qu'une solution $u$ de l'equation s'ecrit : $u(x,t)=u_1(x+ct)+u_2(x-ct)$.</li>
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<li>On pose $v(x,t)=\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+c\frac{\partial u}{ \partial x}(x,t)$. Montrer que $v$ est solution d'une equation de transport dont on precisera le parametre $c$ ainsi que les conditions initiales.</li>
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<li>Experimer $u$ en fonction de $v$ et deduire :</li>
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</ul>
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<p>
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$u(x,t)=\frac{1}{2}(g(x-ct)+g(x+ct))+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}h(\tau)\,{\rm d}\tau$.
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</p>
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<p>
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<span class="underline">c) i)</span> Trouver toutes les solutions ${\cal C}^2$ de l'equation d'onde a variables separees, de la forme : $u(x,t)=\phi(t)\psi(x)$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $n\in\N$. On pose : $g:x\mapsto\sum_{k=1}^na_k\sin(k\pi x)$ et $h=0$. Determiner $u(x,t)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0d49840"nil>
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<p>
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On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. On dit que $f$ est differentiable sur l'ouvert $\Omega$ si $\nabla f$ existe et est continu.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $C$ ouvert convexe non vide de $\R^d$, $f:C\to\R$ differentiable. On suppose que $\nabla f$ est $L$-lipschitzien. Soient $w,v\in C$ et $g:t\mapsto f(v+t(w-v))$.</li>
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<li>Experimer $g'(t)$.</li>
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<li>Montrer que $f(w)-f(v)=\int_0^1\left\langle\nabla f(v+t(w-v)),w-v\right\rangle{\rm d}t$.</li>
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<li>Montrer que $f(w)\leq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle+\frac{L}{2}\left\| w-v\right\|$.</li>
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<li>Soit $f\colon\R^d\to\R$ differentiable. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall w,v\in\R^d$, $f(w)\geq f(v)+\left\langle\nabla f(v),w-v\right\rangle$. Ind. Commencer par $d=1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f\colon\R^d\to\R$ differentiable. On pose $v_0=0$ et $v_{n+1}=v_n-\frac{1}{2L}\|\nabla f(v_n)\|^2$ pour $n\in\N$. Montrer que $f(v_{n+1})\leq f(v_n)-\frac{1}{2L}\|\nabla f(v_n)\|^2$ pour $n\in\N$.</li>
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<li>On suppose de plus $f$ convexe.</li>
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<li>Montrer que $\forall w\in\R^d$, $f(v_{n+1})\leq f(w)+\left\langle\nabla f(v_n),v_n-w\right\rangle- \frac{1}{2L}\|\nabla f(v_n)\|^2$.</li>
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<li>Montrer que $f(v_n)-f(w)\leq\frac{L}{2}(\|v_n-w\|^2-\|v_{n+1}-w\|^2)$.</li>
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<li>Montrer que $f(v_n)-f(w)\leq\frac{L}{2n}\|w\|^2$.</li>
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<li>Soit $v_*$ un point critique de $f$. Montrer que $v_*$ est un minimum local de $f$ et que la suite $(v_n)$ converge vers $v_*$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
### Probabilites
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<div class="exercice" id="org8a66e92"nil>
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<p>
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Soit $n\geq 2$. On note $n=p_1^{s_1}\dots p_r^{s_r}$ sa decomposition en facteurs premiers. On munit $\Omega=\{1,\dots,n\}$ de la loi uniforme. Pour tout diviseur $d$ de $n$, on note $A_d$ l'ensemble des multiples de $d$ contenus dans $Ω:A<sub>d</sub>=\left\{kd\,,\ k≤\frac{n}{d}\right\}.$
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</p>
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<p>
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<span class="underline">a) i)</span> Montrer que si $d$ et $d'$ sont deux entiers premiers entre eux alors $A_d\cap A_{d'}=A_{dd'}$, et en deduire que $A_d$ et $A_{d'}$ sont independants. - On note $B=\{k\in\Omega,\ k\wedge n=1\}$. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_i}$ et en deduire une expression de $\mathbf{P}(B)$ puis de $|B|$. Cette valeur sera notee $\phi(n)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $n$ et $m$ deux entiers premiers entre eux. Montrer que $\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)$.</li>
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<li>On note $\mc{U}=\bigcup_{n\in\N}\mathbb{U}_n$ ou $\mathbb{U}_n$ designe l'ensemble des racines $n$-iemes de l'unite. Pour $z$ dans $\mc{U}$, on note $n_z=\inf\{n\in\N\,\ z\in\mathbb{U}_n\}$.</li>
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<li>Pour $z\in\C$ tel que $|z|=1$, montrer qu'il existe une suite $(z - {k\in\N}$ a valeurs dans $\mc{U}$ telle que $\lim_{k\to+\i}z_k=z$.</li>
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<li>Pour tout entier naturel $n$ on note $P_m=\{z\in\mc{U},\ n_z=m\}$. Montrer que $P_m$ est fini et de cardinal $\phi(m)$, et que si $n$ et $m$ sont distincts $P_m\cap P_n=\emptyset$.</li>
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<li>Montrer que $\mc{U}=\bigcup_{m\in\N}P_m$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9d3027c"nil>
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<p>
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Soit $X$ une variable aleatoire definie sur $(\N,\mc{P}(\N))$. Soient $\mathbf{P_1}$ et $\mathbf{P_2}$ deux probabilites sur $(\N,\mc{P}(\N))$. On suppose que, pour tout $n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_2}(\{n\})\gt 0$, $\mathbf{P_1}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P_2}(X=n)\gt 0$. Soit $A=\{n\in\N$, $\mathbf{P_1}(\{n\})\leq\mathbf{P_2}(\{n\})\}$.
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</p>
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<p>
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On pose, pour $n\in\N$, $u_n(X)=\mathbf{P_2}(X=n)\ln\left(\frac{\mathbf{P_2}(X=n)}{\mathbf{P_1} (X=n)}\right)$.
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</p>
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<p>
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Enfin, on pose $\ell(X)=\sum_{n=0}^{+\i}u_n(X)$ si cette serie converge, $\ell(X)=+\i$ sinon.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $C\in\mc{P}(\N)$ avec $C\neq\N$ et $C\neq\emptyset$. Montrer que $0\lt \mathbf{P_1}(C)\lt 1$ pour $i=1,2$.</li>
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<li>On suppose que $X$ suit la loi de Poisson de parametre $\lambda_1$ pour $\mathbf{P_1}$ et de parametre $\lambda_2$ pour $\mathbf{P_2}$.</li>
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<li>Calculer $u_n(X)$ en fonction de $n,\lambda_1,\lambda_2$.</li>
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<li>Montrer que $\sum u_n(X)$ converge et exprimer sa somme $\ell(X)$ en fonction de $\lambda_1,\lambda_2$.</li>
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<li>Montrer que $\ell(X)\geq 0$.</li>
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<li>Montrer que $\{n\in\N,n\geq\max(\lambda_1,\lambda_2)\}\subset A\subset\{n \in\N,n\leq\min(\lambda_1,\lambda_2)\}$.</li>
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<li>On revient au cas general. Montrer que $\sum u_n(X)$ converge et que $\ell(X)\geq 0$.</li>
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<li>Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}|\mathbf{P_2}(X=n)-\mathbf{P_1}(X=n)|=2( \mathbf{P_2}(X\in A)-\mathbf{P_1}(X\in A))$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org19ab920"nil>
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<p>
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Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires a valeurs reelles, identiquement distribuees, centres, de variance finie $\sigma^2$ et independantes. On suppose de plus $\mathbf{P}(|X_1|\gt 1)=0$. On note $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $Y_1,\ldots,Y_n$ des variables aleatoires independantes suivant la loi binomiale $\mc{B}(m,p)$ avec $m\in\N^*$ et $p\in\,]0,1[$. Pour $a\neq 0$ et $b\in\R$, on note $X_i=aY_i+b$. A quelle condition sur $a$ et $b$ les $X_i$ verifient-elles les conditions precedentes?</li>
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<li>Montrer $\forall u\in\,]-\i,2],\ e^u\leq 1+u+\frac{u^2}{2}(1+\max(0,u))$.</li>
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<li>Dans le cas general, montrer $\forall t\in[0,2],\ \mathbf{E}(e^{tX_1})\leq 1+\frac{\sigma^2t^2}{2}(1+t) \leq e^{\sigma^2t^2(1+t)/2}$. - En deduire que $\forall t\in[0,2],\,\mathbf{E}(e^{tS_n})\leq e^{n\sigma^2t^2(1+t)/2}$,</li>
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<li>Soit $\alpha$ tel que $0\lt \alpha\lt 6\sigma^2$. Montrer $\mathbf{P}(S_n/n\geq\alpha)\leq e^{-n\alpha^2/6\sigma^2}$.</li>
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</ul>
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</div>
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## ENS PC :autre:
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### Algebre
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<div class="exercice" id="orga08d631"nil>
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<p>
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${}^{\bigstar}$ Soit $A$ une partie de cardinal $n$ de $\R$. On pose $B=A+A=\{a+a',\ a,a'\in A\}$. Montrer que $2n-1\leq\mathrm{card}(B)\leq\dfrac{n(n+1)}{2}$. Generaliser a $B=kA=A+A+\cdots+A$ ($k$ fois).
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org66fb6c1"nil>
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<p>
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Soient $a,b\in\Z$ deux entiers distincts. Trouver tous les polynomes $P\in\Z[X]$ tels que $P(a)=b$ et $P(b)=a$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgff53470"nil>
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<p>
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${}^{\bigstar}$ Soient $P_1,P_2,P_3,P_4\in\R[X]$. Montrer qu'il n'existe aucun voisinage ouvert de $0$ sur lequel on ait simultanement i) $\forall x\lt 0,\ P_1(x)\lt P_2(x)\lt P_3(x)\lt P_4(x)$
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</p>
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<p>
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ii) $\forall x\gt 0,\ P_2(x)\lt P_4(x)\lt P_1(x)\lt P_3(x)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3bbde9d"nil>
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<p>
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[PL] Soit $E=\M_n(\R)$. Calculer le determinant de l'application $\Phi\colon M\in E\mapsto M^T\in E$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4ea301c"nil>
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<p>
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Considerons des reels $0\leq x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n\leq 1$. Montrer qu'il existe des reels $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ tels que $\forall P\in\R_n[X]$, $\int_0^1P(t)\,dt=\sum_{k=0}^n\alpha_kP(x_k)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb893c8e"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in\M_n(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Si $A+iB\in\mathrm{GL}_n(\C)$, montrer qu'il existe $t\in\R$ tel que $A+tB\in\mathrm{GL}_n(\R)$.</li>
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<li>Si $A$ et $B$ sont semblables dans $\M_n(\C)$, montrer qu'elles sont semblables dans $\M_n(\R)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbeeabe9"nil>
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<p>
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Soit $M\in\M_2(\Z)$. On suppose qu'il existe $k\in\N^*$ tel que $M^k=I_2$. Montrer que $M^{12}=I_2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org27ec411"nil>
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<p>
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Soient $\eps\in\bigg{]}\,0\,;\dfrac{1}{4}\,\bigg{[}$ et $M$ la matrice $M=\left(\begin{smallmatrix}1-2\eps&\eps&0&\cdots&0&\eps \\ \eps&1-2\eps&\eps&\ddots&\vdots&0\\ 0&\eps&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\eps&0\\ 0&\cdots&0&\eps&1-2\eps&\eps\\ \eps&0&\cdots&0&\eps&1-2\eps\\ \end{smallmatrix}\right)\in\M_k(\R)$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Quel est le spectre de $M$?</li>
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<li>Determiner la limite de la suite $(M^n)_{n\in\N}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org918454a"nil>
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<p>
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Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ qui preserve le produit scalaire canonique :
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</p>
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<p>
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$\forall(x,y)\in(\R^n)^2,\ \langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle$. Montrer que $f$ est une isometrie lineaire.# 228
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Soit $A\in S_3(\R)$ telle que $\op{tr}(A)=3,\op{tr}(A^2)=5$, $\op{tr}(A^3)=9$. Determiner la borne inferieure de $\op{tr}(M^2)$ lorsque $M$ decrit $\big{\{}M\in\mc{S}_3(\R)\;;\;\op{tr}(AM)=1$ et $\op{tr}(A^2M)=1\big{\}}$,
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4300f20"nil>
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<p>
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Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mc{S}_2^+\left(\R\right)$ telles que, pour tout $s\in\R^{+*}$,
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</p>
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<p>
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$\op{tr}\left(\left(sI_2+A\right)^{-1}\right)=\op{tr} \left(\left(sI_2+B\right)^{-1}\right)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables. Est-ce toujours vrai en dimension $n$?
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</p>
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</div>
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### Analyse
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<div class="exercice" id="org1165b31"nil>
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<p>
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On note $\parallel\;\;\parallel_1$ la norme sur $\R^n$ definie par :
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</p>
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<p>
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$\forall x=(x_1,\ldots,x_n)\in\R^n,\;\|x\|_1=\sum_{k=1}^n|x_{ k}|$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(x,y)\in\left(\R^n\right)^2$. Montrer que $\|x+y\|_1+\|x-y\|_1=2(\|x\|_1+\|y\|_1)$ si et seulement si $\forall k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\;x_ky_k=0$.</li>
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<li>Soit $f\in\mc{L}(\R^n)$ qui preserve la norme $\parallel\;\;\|_1:\forall x\in\R^n,\;\|f(x)\|_1=\|x\|_1$. Montrer que la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de $f$ sur la base canonique est une matrice de permutation signee, c'est-a-dire qu'il existe une permutation $\sigma$ de $\llbracket 1,n\rrbracket$ et $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ verifiant $\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,\,a_{i,j}=\eps_j \delta_{i,\sigma(j)}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5219aa0"nil>
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<p>
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Soient $d\in\N^*$ avec $d\geq 2$ et $p\in[1,+\i[$. On definit la norme $\parallel\;\;\parallel_p$ sur $\R^d$ par $\forall X\in\R^d,\,\|X\|_p=\left(\sum_{k=1}^d|x_k|^p \right)^{1/p}$. Pour tous $X,Y\in\R^d$ et $t\in\R$, on pose
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</p>
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<p>
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$\rho(X,Y,t)=\frac{1}{2}(\|X+tY\|_p+\|X-tY\|_p)-1$ et $\overline{\rho}(t)=\sup_{\|X\|_p=\|Y\|_p=1}\rho(X,Y,t)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose que $p\in[1,2]$ et qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall t\in\R,\;\overline{\rho}(t)\leq Ct^2$. Montrer que $p=2$.</li>
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<li>On suppose que $p=2$. Montrer qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall t\in\R,\,\overline{\rho}(t)\leq Ct^2$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3c4b812"nil>
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<p>
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Soit $E$ l'espace des fonctions $f\colon\left[\,0\,;1\,\right]\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $f(0)=0$. Pour $f\in E$, on pose $\|f\|=\left\|f+f'\right\|_{\i}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\parallel\;\;\parallel$ est une norme sur $E$.</li>
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<li>Montrer qu'il existe $a\gt 0$ tel que, pour tout $f\in E$, on ait $\left\|f\right\|_{\i}\leq a\left\|f\right\|$.</li>
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<li>Les normes $\parallel\;\;\parallel$ et $\parallel\;\parallel_{\i}$ sont-elles equivalentes sur $E$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgda04150"nil>
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<p>
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Soient $(E,\left\|\cdot\right\|)$ un espace vectoriel norme de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|\leq\|x\|$. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nf^k$. Etudier le comportement de $s_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4cbec2f"nil>
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<p>
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Soient $E=\R^{\N}$ et $D:E\to E$ defini par
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</p>
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<p>
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$\forall u\in E,\,D(u)=u'$ avec $\forall n\in\N,\;u'_n=u_{n+1}-u_n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>L'endomorphisme $D$ est-il injectif? surjectif? Quels sont ses valeurs propres et ses vecteurs propres? - On pose $F=\left\{u\in E\;,\;\sum u_n^2\text{ converge}\right\}$. Pour $u,v\in F$, on pose $\left\langle u,v\right\rangle=\sum_{n=0}^{+\i}u_nv_n$ et $\left\|u\right\|=\sqrt{\left\langle u,u\right\rangle}$. Montrter que $F$ est stable par $D$ puis determiner l'ensemble</li>
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</ul>
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<p>
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$H=\left\{\dfrac{\left\langle u,D(u)\right\rangle}{\left\|u\right\|^2}\;;\;u ∈ F∖\left\{0\right\}\right\}.$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9fb1a33"nil>
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<p>
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On considere la suite $\left(F_n\right)_{n\geq 0}$ definie par $F_0=0$, $F_1=1$ puis $F_{n+2}=F_n+F_{n+1}$ pour tout $n\in\N$.
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</p>
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<p>
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Montrere que tout entier $N\in\N^*$ s'ecrit de maniere unique $N=F_{p_1}+F_{p_2}+\cdots+F_{p_m}$ avec des entiers $p_i$ tels que $p_{i+1}-p_i\geq 2$ pour tout $i\in\llbracket 1\,;\,m-1\rrbracket$ et $p_1\geq 2$. Prouver l'unicite de cette ecriture.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org68a9038"nil>
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<p>
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Pour $n\in\N^*$, on pose $u_n=\left(\prod_{k=n}^{2n}k^k\right)^{1/n}$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner un equivalent de $\ln(u_n)$ lorsque $n$ tend vers l'infini.</li>
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<li>Determiner un equivalent de $u_n$ lorsque $n$ tend vers l'infini.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org869714a"nil>
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<p>
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Quelle est la nature de la serie $\sum\sin(2\pi\,n!\,e)\,?$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge49569a"nil>
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<p>
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Quelle est la nature de la serie $\sum\tan(2\pi\,n!\,e)\,?$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc7cdbef"nil>
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<p>
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Nature, suivant la valeur de $\alpha\in\R$, de $\sum|\sin\left(2\pi\mathrm{e}n!\right)|^{\alpha}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4be5466"nil>
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<p>
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Quelle est la nature de la serie de terme general $\dfrac{\sin^2(n)}{n}\,?$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga010c53"nil>
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<p>
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Soit $\sum a_n$ une serie convergente de reels positifs. Montrere que la serie $\sum\dfrac{a_n^x}{n}$ converge pour tout $x\gt 0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc90d005"nil>
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<p>
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Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $\sum\exp(a_n)$ converge.
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</p>
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<p>
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Determiner $\lim_{k\to+\i}\sum_{n=0}^{+\i}\exp(ka_n)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge2015d4"nil>
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<p>
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Soient $f\colon\R\to\R$ une fonction derivable et $\ell$ un reel.
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</p>
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<p>
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On suppose que $f(x)+f'(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Etudier la limite de $f$ et de $f'$ en $+\i$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgeec350a"nil>
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<p>
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Soient $g:[0,1]\to\R$ continue et $F:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $:F(0)=1$ et $\forall x\in[0,1]$, $|F'(x)|=F(x)g(x)$. Determiner les valeurs possibles de $F(1)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org410770c"nil>
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<p>
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Soient $f\in\mc C^1\left(\R,\R\right)$ et $(a,b,c,d)\in\R^4$ tels que les fonctions $af'+bf$ et $cf'+df$ soient bornees. A quelle condition sur $(a,b,c,d)$ la fonction $f$ est-elle bornee?[MISSING<sub>PAGE</sub><sub>FAIL</sub>:1]# 256
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[PL] Soit $g\in{\cal C}^0([0,1],{\R}_+^*)$. On definit $\Phi\colon x\in{\R}\mapsto\ln\left(\int_0^1e^{xt}g(t)\;{\rm d}t\right)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\Phi$ est convexe.</li>
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<li>On suppose maintenant que $g$ est de classe ${\cal C}^1$. Trouver un equivalent et un developpement asymptotique de $\Phi$ en $+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org19a0b3a"nil>
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<p>
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Soit $f\in C^k({\R}^+,{\R})$ telle que $f^{(k)}$ est bornee sur ${\R}^+$.
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</p>
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<p>
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Soit $F:\lambda\in{\R}^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}e^{-\lambda t}f(t)\,{\rm d }t$. Determiner un developpement asymptotique de $F(\lambda)$ lorsque $\lambda\to+\i$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfcf1665"nil>
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<p>
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Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere au voisinage de $0$ avec un rayon $\gt 1$. Soient $\phi\in C^0([0,1],{\R})$ et $g:x\mapsto\int_0^1\phi(y)f(x-y)\,{\rm d}y$. Montrer que $g$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga97adcd"nil>
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<p>
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Soit $P\in{\R}_n[X]$. On cherche les applications $f:{\R}^2\mapsto{\R}$ de classe $C^2$ verifiant $(*)$ : $\forall(t,x)\in{\R}^2,\,\frac{\partial f}{\partial t}(t,x)=\frac{ \partial^2f}{\partial x^2}(t,x)$ et $f(0,x)=P(x)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer qu'il existe une solution de $(*)$ polynomiale en $x$.</li>
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<li>On suppose $P$ scinde a racines simples sur ${\R}$. Soit $f$ une solution de $(*)$ polynomiale en $x$. Montrer qu'il existe $\eps\gt 0$ tel que, pour tout $t\in[0,\eps[$, $x\mapsto f(t,x)$ est aussi scinde a racines simples.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbd07772"nil>
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<p>
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Soient $u,v:{\R}^2\to{\R}$ de classe ${\cal C}^1$ telles que $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$ et $\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner un exemple de telles fonctions $u$ et $v$.</li>
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<li>On suppose que $u$ et $v$ sont de classe ${\cal C}^2$. Montrer que $\Delta u=\Delta v=0$.</li>
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<li>Montrer que, pour tout $r\gt 0$, $u(0,0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}u(r\cos(\theta),r\sin(\theta))\,{\rm d}\theta$.</li>
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<li>Soit $V$ un ouvert contenant $(0,0)$. Soit $u$ de classe ${\cal C}^2$ sur $V$ telle que $\Delta u=0$ sur $V$. On admet que sous ces conditions, l'egalite de - est encore valable pour $r\gt 0$ suffisamment petit.</li>
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</ul>
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<p>
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On note $D$ le disque unite ouvert et $C$ le cercle unite. Soit $g$ une fonction continue sur $D$ et $f$ une fonction continue sur $C$. Montrer qu'il existe au plus une fonction $u$ de classe ${\cal C}^2$ sur le disque unite ferme, de classe ${\cal C}^2$ sur $D$ et telle que $\Delta u=g$ sur $D$ et $u=f$ sur $C$.
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</p>
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</div>
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### Geometrie
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<div class="exercice" id="org62a552c"nil>
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<p>
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Montrer qu'un polygone convexe a $n$ sommets inscrit dans le cercle unite est d'aire maximale si et seulement si le polygone est regulier.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb369227"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Sur le cercle trigonometrique ${\cal C}$, on place $A$ de coordonnees $(-1,0)$ et $P\neq A$ de coordonnees $(x,y)$. Soit $Q$ le point d'intersection de la droite $(AP)$ avec l'axe des ordonnees. On note $t$ l'ordonnee de $Q$. Exprimer $t$ en fonction de $x$ et $y$. - Exprimer $x$ et $y$ en fonction de $t$. Que reconnait-on? Expliquer cela geometriquement. Peu-on parametrer les points de $\mc C\setminus\{A\}$ a l'aide de fractions rationnelles?
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<ul class="org-ul">
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<li>Peut-on parametrer un arc $\Gamma$ (non reduit a un point) du cercle $\mc C$ a l'aide de polynomes a coefficients reels c'est-a-dire existe-t-il un intervalle $I$ et deux polynomes $P,Q\in\R[X]$ tels que le point de coordonnees $(x,y)$ appartienne a $\Gamma$ si et seulement s'il existe $t\in I$ tel que $x=P(t)$ et $y=Q(t)$? Et a l'aide de polynomes a coefficients complexes?</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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### Probabilites
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<div class="exercice" id="orgf4b7435"nil>
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<p>
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On retourne une par une les cartes d'un jeu de 52 cartes. Trouver l'esperance du nombre de cartes retournees avant d'obtenir le premier as (on demande un raisonnement intuitif sans calcul de la loi).
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga0a392e"nil>
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<p>
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On considere deux capteurs independants, qui detectent chacun en moyenne 5000 evenements par an. Quelle est la probabilite que les deux detecteurs detectent un evenement pendant la meme seconde?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgad7a17d"nil>
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<p>
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Soient $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur le groupe symetrique $\mc{S}_n$ et $A\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. On pose $k=|A|$. Calculer $\mathbf{P}(A=\{\sigma(1),\ldots,\sigma(k)\})$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org103295f"nil>
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<p>
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Soient $X,Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\{1,2,3\}$ telles que $Y$ suive la loi uniforme sur $\{1,2,3\}$ et $\mathbf{P}(X=1)=\frac{1}{2}$, $\mathbf{P}(X=2)=\mathbf{P}(X=3)=\frac{1}{4}$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{E}((X-Y)^2)$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga68bbbe"nil>
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<p>
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Existe-t-il des variables aleatoires $X,Y$ telles que $X\sim\mc{B}(p)$, $Y\sim\mc{P}(p)$ et telles que l'on ait $\mathbf{P}(X=Y)=1-p+pe^{-p}$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9a59f8a"nil>
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<p>
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On considere $X$ de loi $\mc{B}(p)$ et $Y$ de loi $\mc{P}(p)$ avec $p\in[0,1]$. Majorer $\mathbf{P}(X=Y)$ et trouver des variables $X$ et $Y$ pour lesquelles cette majoration est atteinte.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5786ca7"nil>
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<p>
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Soient $X,Y$ deux variables aleatoires entieres independantes qui suivent la meme loi.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose que $X$ suit une loi geometrique commencant a zero, c'est-a-dire qu'il existe $p\in\,]\,0\,;1\,[$ tel que $\forall k\in\N,\,\mathbf{P}(X=k)=(1-p)^kp$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $\forall n\in\N,\,\forall k\in\llbracket 0\,;\,n\rrbracket$, $\mathbf{P}(X=k\,|\,X+Y=n)=\frac{1}{n+1}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Prouver la reciproque.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8a15426"nil>
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<p>
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On considere $M=\left(\begin{array}{cc}X&Y\\ Y&X\end{array}\right)$, ou $X$ et $Y$ independantes avec $X$ de loi $\mc{P}(\lambda)$ et $Y$ de loi $\mc{G}(p)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la probabilite que $M$ soit inversible.</li>
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<li>Determiner la probabilite que $M$ soit diagonalisable. Dans ce cas, preciser spectre et espaces propres.</li>
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<li>Determiner la probabilite que $M^8=I_2$.</li>
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<li>Determiner la probabilite qu'il existe une fonction $f\colon\R^2\to\R^2$ admettant un minimum local strict en $(0,0)$ et dont la matrice Hessienne en $(0,0)$ est $M$.# 271</li>
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</ul>
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<p>
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${}^{\bigstar}$ Soit $\left(X_n\right)_{n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires a valeurs dans $\N$. On suppose que $\mathbb{P}(X_1=0)\mathbb{P}(X_1=1)\neq 0$. On pose, pour $n\in\N$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Montrer que $\mathbf{P}(4\text{ divise }S_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\frac{1}{4}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb5ed3f2"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N^*$ et $p\in]0,1[$. On considere dans le plan un graphe non oriente aleatoire de $n$ sommets. On note $X_{i,j}=1$ si les points d'indices $i$ et $j$ sont relies, et $0$ sinon. On suppose les $X_{i,j}$ independantes et de meme loi $\mc{B}(p)$. On note $T_n$ le nombre de triangles formes par ces $n$ points. On pose $a_n=\binom{n}{3}p^3$.
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</p>
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<p>
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Calculer $\mathbf{E}(T_n)$ et montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_n}{a_n}-1\right|\gt \eps\right)=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9b651e0"nil>
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<p>
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On considere une matrice aleatoire $M=(m_{i,j})$ de taille $n\times n$ qui est symetrique, ou chaque variable aleatoire $m_{i,j}$ suit la loi uniforme sur $\{-1,1\}$ et ou les variables aleatoires $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ sont independantes.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M))$, $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^2))$ et $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^3))$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbf{E}(\mathrm{Tr}(M^4))=\mc{O}(n^3)$.</li>
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<li>On note $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$.</li>
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</ul>
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<p>
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Pour tout $\eps\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}(\lambda_1\geq n\eps)\underset{n\to\i}{ \longrightarrow}0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgeee0cbf"nil>
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<p>
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On note $\langle\,\ \rangle$ le produit scalaire canonique dans $\R^n$ et $\|\ \|$ la norme euclidienne associee.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $x\in\R^n\setminus\{0\}$ et $a\in\R$. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $A$. Si $\langle Ax,x\rangle\geq a\left\|x\right\|^2$, montrer que $\lambda_1\geq a$.</li>
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<li>Soit $M=(m_{i,j})$ une variable aleatoire a valeurs dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que les $m_{i,j}$ suivent une loi de Bernoulli de parametre $1/2$ et telle que les $(m_{i,j})_{1\leq i\leq j\leq n}$ soient independantes. Soit $\lambda_1$ la plus grande valeur propre de $M$.</li>
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</ul>
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<p>
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Pour tout reel $\eps\gt 0$, montrer que $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\Big{(}\lambda_1\geq\frac{n}{2}(1- \eps)\Big{)}\underset{n\to\i}{\longrightarrow}1$.
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</p>
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</div>
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# X :xens:
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<div class="exercice" id="orgaef2b14"nil>
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<p>
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On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter que $p(n)\leq 2^{n-1}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3b80619"nil>
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<p>
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Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ et $X=\{s\in\N;\ 2^s\,|\,n!\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\max X=n-r$.</li>
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<li>Montrer que le nombre d'entiers $k$ tels que $\binom{n}{k}$ est impair est $2^r$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge4c7b2c"nil>
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<p>
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${}^{\bigstar}$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que l'equation $a^2-2b^2=1$ admet une infinite de solutions $(a,b)\in\N^2$.</li>
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</ul>
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<p>
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Determiner l'ensemble des solutions.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Que dire de l'ensemble des solutions de $a^2-2b^2=-1$?# 278</li>
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</ul>
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<p>
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Si $G$ est un groupe, les elements d'ordre fini forment-il un sous-groupe?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcb408ca"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Trouver deux groupes $G_1$ et $G_2$ non isomorphes de cardinal $2023=7.17^2$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $p$ premier. Montrer qu'un groupe de cardinal $p^2$ est isomorphe a $\Z/p^2\Z$ ou $\hat{\text{a}}\,(\Z/p\Z)^2$.</li>
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<li>Soient $G,H$ deux groupes finis et $\psi:G\to H$ un morphisme surjectif.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $|G|=|H|\times|\op{Ker}\psi|$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose que $G$ est un groupe de cardinal $2023$, que $H=\Z/7\Z$ et que $\phi:G\to H$ est un morphisme surjectif. Montrer que $G$ est isomorphe a $\Z/7\Z\times\op{Ker}\phi$.</li>
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<li>Montrer que tout groupe de cardinal $2023$ est isomorphe a $G_1$ ou $G_2$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3fe247a"nil>
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<p>
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Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans point fixe c'est-a-dire tel que : $\forall x\in G$, $\phi(x)=x\Rightarrow x=1$. On note $n$ l'ordre de $\phi$ ; c'est le plus petit entier $n\in\N^*$ tel que $\phi^n=\op{id}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\forall x\in G$, $x\,\phi(x)\,\phi^2(x)\,\cdots\,\phi^{n-1}(x)=1$.</li>
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<li>Si $n=2$, que peut-on dire du groupe $G$? Donner un exemple.</li>
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<li>Si $n=3$, montrer que, pour tout $x\in G$, $x$ et $\phi(x)$ commutent.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org44ad499"nil>
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<p>
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Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des elements de $G$ d'ordre fini.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>En general, $T$ est-il un sous-groupe de $G$?</li>
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<li>Soit $S$ une partie finie de $G$ stable par conjugaison munie d'une relation d'ordre totale $\leq$. Montrer que, pour tous $s_1$,…, $s_r\in S$, il existe $s'_1$,…, $s'_r\in S$ tels que $s'_1\leq s'_2\cdots\leq s'_r$ et $s_1s_2\cdots s_r=s'_1s'_2\cdots s'_r$.</li>
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<li>Avec la question precedente, montrer que, si $T$ est fini, alors $T$ est un sous-groupe de $G$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org000f776"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $s:\R^*\to\R^*,t\mapsto t^{-1}$. Determiner le groupe engendre par $s$.
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<ul class="org-ul">
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<li>On definit les applications $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et</li>
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</ul></li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe a $\mc{S}_3$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Retrouver le resultat de la question precedente en considerant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$.</li>
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<li>Soit $n\geq 3$. Determiner le groupe engendre par les bijections $(s - {1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ definies par $s_i(t_1,…,t_n)=(t_1,…,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},…,t_n)$ si $1\lt i\lt n$, $s_1(t_1,…,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,…,t_n)$ et $s_n(t_1,…,t_n)=(t_1,…,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$.</li>
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</ul>
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<p>
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Ind. Considerer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ definie par $f(t_1,…,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},…,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9435d2e"nil>
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<p>
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Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On note, pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d'elements de $G$ d'ordre $d$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $n=\sum_{d\mid n}n_d(G)$.</li>
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<li>Calculer les $n_d(G)$ lorsque $G$ est cyclique.</li>
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<li>Montrer que, si pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $|\{x\in G,\ x^d=1\}|\leq d$, alors $G$ est cyclique. - Soient $\mathbb{K}$ un corps et $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$. Montrer que $G$ est cyclique.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5f9ea86"nil>
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<p>
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On pose $\Q[i]=\{a+ib\;;\ a,b\in\Q\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver que $\Q[i]$ est un sous-corps de $\C$.</li>
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<li>Determiner les elements de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d'ordre fini.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc0ba8a0"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$. On considere la $\mathbb{K}$-algebre $A$ admettant une base sur $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. A quelle condition cette algebre est-elle un corps?
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p$ ou $p$ est un nombre premier. Combien de $\mathbb{F}_p$-algebres non isomorphes peut-on obtenir ainsi?</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge0735f5"nil>
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<p>
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Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait $\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ?
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orgfac3fc5"nil>
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<p>
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Pour tout isomorphisme $\tau\colon A\ra \A$, $u_A$ commute avec $\tau$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfd774f0"nil>
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<p>
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Soit, pour $n\in\N^*$, $P_n=1+X+\cdots+X^{n-1}$.
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</p>
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<p>
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Montrer que $\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}P_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}{2}\right)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2ded3cb"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_{n-1}$.</li>
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<li>Pour $n\geq 1$, donner une relation entre $S_n^{''}$ et $S_{n-1}'$.</li>
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<li>En deduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_n$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge4cfc1a"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N^*$. Soit $q\in\C$ tel que $0\lt |q|\lt 1$.
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</p>
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<p>
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On pose $F:z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver qu'il existe une unique list $(c_0,\ldots,c_n)\in\C^{n+1}$ telle que</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall z\in\C^*,\ F(z)=\sum_{k=0}^nc_k(z^k+z^{-k})$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en deduire une expression de $c_k$ a l'aide d'un produit. Ind. Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgba4bb75"nil>
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<p>
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Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que $(X+Y)^n$ soit congru a $X^n+Y^n$ modulo $p$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org00ce63a"nil>
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<p>
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Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrver qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$.# 292
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Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une definition similaire pour les polynomes a une indeterminee.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$.</li>
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<li>Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$.</li>
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<li>Determiner tous les polynomes $P\in\Z[T]$ tels que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1a2837c"nil>
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<p>
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Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux a deux distincts. Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. Montrer qu'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise $H-H_i$ pour tout $i\in[\![1,n]\!]$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8bd9a6d"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu'il existe un entier $F$ tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in[\![1,r]\!]$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $N_1,\ldots,N_r$ des elements de $\C[X]$ premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des elements de $\C[X]$. Montrer qu'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$ pour tout $i\in[\![1,r]\!]$.</li>
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<li>Soient $f,g$ deux elements de $\C[X]$ premiers entre eux, et $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $h\in\C[X]$ tel que $g$ divise $h^n-f$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge836e10"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irreductible dans $\Z[X]$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2034aa3"nil>
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<p>
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Soit $P\in\Z[X]$ un polynome unitaire dont les racines complexes ont un module inferieur ou egal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unite.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org00c8e96"nil>
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<p>
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Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n$. On ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$.</li>
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<li>En deduire qu'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4c17ee2"nil>
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<p>
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On se propose de donner une preuve du theoreme de d'Alembert-Gauss.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer qu'il suffit de montrer le theoreme pour les polynomes a coefficients reels. Dans la suite, on ecrira le degre d'un polynome non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$.</li>
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<li>Montrer le theoreme dans le cas ou $n=0$.</li>
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</ul>
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<p>
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Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $P\in\R[X]$ de degre $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet l'existence d'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ est scinde, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixe $c\in\R$, on pose $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$.</li>
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<li>Montrer que le polynome $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients reels. - Montrrer que l'un des $y_{ij}(c)$ est element de $\C$.</li>
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<li>Montrer finalement que l'un des $x_i$ est element de $\C$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org50b7b0f"nil>
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<p>
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Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose que $q$ n'est pas une racine de l'unite. Montrer qu'il existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s'il y en a deux alors elles sont opposees l'une de l'autre.</li>
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<li>Montrer que le resultat precedent peut tomber en defaut si l'on ne suppose plus que $q$ n'est pas une racine de l'unite.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8f68f74"nil>
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<p>
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Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$. Montrer que $\M$ est une partie libre du $\C$-espace vectoriel $\C^G$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6f3a399"nil>
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<p>
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On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien definie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique a partir d'un certain rang.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org64c5ef6"nil>
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<p>
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Soit $R\in\M_n(\Z)$ non nulle et $M=I_n+3R$. Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, $M^k\neq I_n$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc53b237"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que $p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orge3eef42"nil>
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<p>
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On a $u(\Ker p)\subset \Im p$ et $u(\Im p) \subset \Ker p$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org05056f7"nil>
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<p>
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Pour $(A,B)\in\M_n(\R)^2$, on pose $\phi_{A,B}:M\in\M_n(\R)\mapsto AMB$.
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</p>
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<p>
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Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>L'ensemble $T$ est-il un $\R$-espace vectoriel?</li>
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<li>Montrer que l'espace vectoriel engendre par $T$ est $\mc{L}\left(\M_n(\R)\right)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org728281f"nil>
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<p>
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Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $R_P=\det(I_n+(X-1)P)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Calculer $R_P$ en fonction de $P$.</li>
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|
<li>Soient $P,Q$ des matrices de projecteur dans $\M_n(\mathbb{K})$ telles que $PQ=QP=0$. Montrer que $R_PR_Q=R_{P+Q}$.</li>
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<li>Soit $\phi$ un automorphisme de la $\mathbb{K}$-algebre $\M_n(\mathbb{K})$.</li>
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<li>Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$.</li>
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|
<li>Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans $\llbracket 1,n\rrbracket$?</li>
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|
<li>Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Im}\,\phi(E_{i,1})$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8743b9e"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une application $q:V\to\C$ telle que $u^2=q(u)\,\mathrm{id}$ pour tout $u\in V$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Monter que, pour tous $u,v\in V$, il existe $B(u,v)\in\C$ tel que $uv+vu=2B(u,v)\,\mathrm{id}_E$.</li>
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|
<li>Montrer que $B$ est une forme bilineaire. - Soient $d\geq 1$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que $(u_1,\ldots,u_d)$ est libre.</li>
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|
<li>Soient $d\geq 2$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que les $u_i$ sont de trace nulle, et que $\dim E$ est paire.</li>
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|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5e087f4"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On suppose que $\phi(I_n)$ est inversible et que $\forall A,B\in\M_n(\C)$, $\phi(AB)=\phi(A)\,\phi(B)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que : $\forall A\in\M_n(\C)$, $\phi(A)=PAP^{-1}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5bf155e"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ verifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$.
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner les automorphismes de $\C(X)$ verifiant $(*)$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2851d9b"nil>
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<p>
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Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$.
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|
</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de $M$ est de module $\leq 1$.</li>
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<li>On note $\mu=\min_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$.</li>
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|
<li>On suppose que $\mu\gt 0$ et que 1 est valeur propre de multiplicite 1 dans $\chi_M$. Montrer que $(M^p)_{p\geq 1}$ converge vers une matrice de rang $1$ dont toutes les lignes sont egales.</li>
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|
<li>On se donne trois reels strictement positifs $p,q,r$ tels que $p+q+r=1$. On considere la matrice $B\in\M_n(\R)$ definie par $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7659aae"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $f\in\mc{L}(E)$ cyclique, $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$. Montrer que l'induit par $f$ sur $F$ est cyclique.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb4d8530"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$ telles que $ab-ba=fv$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Que peut-on dire de $\det(ab-ba)$?</li>
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<li>Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables.</li>
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<li>A quelle condition sur $u\in\mc{L}(E)$ existe-t-il $w\in\mc{L}(E)$ tel que $uw-wv$ soit de rang 1?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6800329"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout vecteur $x\in E$, l'ensemble $\{f^n(x),\ n\in\N\}$ est fini.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, si $f\in\mathrm{GL}(E)$, il existe $k\in\N^*$ tel que $f^k=\mathrm{id}$.</li>
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<li>On revient au cas general. Montrer l'existence de $k\in\N^*$ et $p\in\N$ tels que $f^{p+k}=f^p$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org967daac"nil>
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<p>
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Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associee a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguees dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org290f0d7"nil>
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<p>
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Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable.</li>
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<li>Montrer que $E=\op{Im} p+\op{Ker} q+(\op{Im} q \cap \op{Ker} p)$.</li>
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|
<li>Montrer que $p \circ q$ est diagonalisable.</li>
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|
<li>Montrer que le spectre de $p \circ q$ est inclus dans $[0,1]$.</li>
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|
</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="orgdf20197"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3033b82"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynomes.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner le degre de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. - Montrer que $L_n$ est scinde a racines reelles simples $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$. - Montrer qu'il existe des reels $a_1,\ldots,a_n$ tels que</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgab7a7a7"nil>
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<p>
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Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $\lN\cdot \rN$ désigne la norme euclidienne canonique. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>$\alpha=2$.</li>
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<li>$\forall n \geq 1, \forall\left(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_n\right) \in\left(S^2\right)^{3 n}, \exists p \in S^2$ tel que</li>
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</ul>
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<p>
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$$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-b_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^\alpha$$
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orgebd9829"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org83b016d"nil>
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<p>
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Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ verifiant $B^2=A$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org15d1b54"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi:\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un extremum.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org899f689"nil>
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<p>
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On considere dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $K\in\M_{2n}(\R)$ tel que $K^2=-I$. Montrer que $K^TJ\in\mc{S}_{2n}(\R)$ si et seulement si $J=K^TJK$.</li>
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<li>On note $\mc C$ l'ensemble des $K\in\M_{2n}(\R)$ telles que $K^2=-I$ et $K^TJ\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Soit $K\in\mc C$. Montrer que $K+J$ est inversible et que $(K+J)^{-1}(K-J)$ est symetrique.</li>
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<li>Soit $K\in\mc C$. On pose $S=(K+J)^{-1}(K-J)$. Montrer que $SJ+JS=0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga51b517"nil>
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<p>
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Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3d7b7c4"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\op{tr}\left(e^Ae^B\right)\gt 0$.</li>
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<li>Montrer que $\op{tr}\left(e^{A+B}\right)\leq\op{tr}\left(e^Ae^ {B}\right)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org61c0486"nil>
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<p>
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Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que la matrice $A=\left(t_i t_j\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.</li>
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<li>On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n$. Montrer que la matrice $B=\left(\min \left(t_i, t_j\right)\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.</li>
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<li>On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq 1$. Montrer que $M=B-A \in \mc{S}_n^+(\R)$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org7a9fcb3"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>$X^T AX = (\sum t_i x_i)^2$</li>
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<li>$\int \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2$</li>
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<li>Il s'agit de montrer que $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$, c'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l'intégrale est sur $[0,1]$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0df8c87"nil>
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<p>
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On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note $\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver que $\|\!|\!|\!|\!|\!|$ definit une norme sur $\M_n(\R)$.</li>
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<li>Montrver que $\|\!|\!|A|\!|\!|=\sup_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$.</li>
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<li>On prend $A=\Big{(}\dfrac{1}{i+j+1}\Big{)}_{0\leq i,j\leq n}$ dans $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X=(x_0\cdots x_n)^T$ et $Y=(y_0\cdots y_n)^T$ dans $\R^{n+1}$, donner une interpretation de $\left\langle AX,Y\right\rangle$ a l'aide d'une integrale faisant intervenir $P:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et $Q:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^ny_ke^{ikt}$.</li>
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<li>En deduire que $\|\!|\!|A|\!|\leq 2\pi$.</li>
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<li>Montrver que l'on a meme $\|\!|A|\!|\!|\leq\pi$.</li>
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</ul>
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</div>
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## Analyse
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<div class="exercice" id="orgbb89458"nil>
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<p>
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Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par $(0,0)$ est continue.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org153c493"nil>
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<p>
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Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s'écrit comme intersection de carrés fermés.</li>
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<li>On suppose $K$ non borné et $K \neq \R^2$. Donner des exemples de tels convexes. Montrer que si $K$ contient deux droites, celles-ci sont parallèles.</li>
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<li>On suppose toujours $K$ non borné. Montrer que $K$ contient une demi-droite.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org9cc34da"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Si $x\not\in K$, on peut trouver une droite séparant $x$ de $K$, donc un carré contenant $K$ et non $x$.</li>
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<li>Si $K$ contient deux droites non parallèles, $K = \R^2$. La partie au dessus du graphe de $x\mapsto e^x$.</li>
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<li>Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et prendre une valeur d'adhérence des segments $[y, x_n]$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org261ae13"nil>
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<p>
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Determiner les endomorphismes continus du groupe $\C^*$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org782468f"nil>
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<p>
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Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On definit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, $\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrver que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$.</li>
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<li>Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite reelle. On suppose que la serie de terme general $|u_n-1|$ converge.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que la suite de terme general $\prod_{k=0}^nu_k$ converge.
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</p>
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<p>
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Soit $(M - {n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose que la serie de terme general $\|M_n-I_d\|$ converge. On pose, pour $n\in\N$, $B_n=M_0\times M_1\times\cdots\times M_n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver que la suite $(B - {n\geq 0}$ converge.</li>
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<li>Soit $\sigma$ une permutation de $\N$. Que peut-on dire de la suite de terme general $M_{\sigma(0)}\times\cdots\times M_{\sigma(n)}$?</li>
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<li>Soit $E=\left\{\prod_{k=0}^{+\i}M_{\sigma(k)},\ \sigma\in\mc{S}( \N)\right\}$. Existe-t-il une suite de matrices pour laquelle $E$ n'est pas ferme?</li>
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|
<li>Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M - {n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1cdfd1e"nil>
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<p>
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On definit la longueur d'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$?
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$.</li>
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<li>Soit $(I - {n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org43e0500"nil>
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<p>
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Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite ferme pour la norme infinie, $C$ la sphere unite pour la norme infinie. On cherche a montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to C$ telle que la restriction de $r$ a $C$ soit l'identite.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On considere une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetric (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice reelle telle que : $\forall i,j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$,</li>
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</ul>
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<p>
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$f(a_{i,j},a_{i+1,j})+f(a_{i+1,j},a_{i+1,j+1})+f(a_{i+1,j+1},a_{i,j+1})+f(a_{i,j+1},a_{i,j})=0$.
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</p>
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<p>
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Montrer que :
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</p>
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<p>
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$\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i,1},a_{i+1,1})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{n,j},a_{n,j+1})+\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i+1,n},a_{i,n})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{1,j+1},a_{1,j})=0$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $M\in\M_{n+2}(\R)$ une matrice de la forme $\begin{pmatrix}1&1&\cdots&\cdots&1\\ 1&&&&3\\ \vdots&&M'&&\vdots\\ 1&&&&3\\ 1&2&\cdots&\cdots&2\end{pmatrix}$ ou $M'\in\M_n(\R)$</li>
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</ul>
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<p>
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est a coefficients dans $\{1,2,3\}$. Montrer qu'au moins un des petits carres de $M$ comporte trois valeurs differentes.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer qu'on dispose d'un $\eta\gt 0$ tel que, pour tous $x$, $y\in D$ verifiant $\|x-y\|_{\i}\leq\eta$, on a $\|r(x)-r(y)\|\leq\frac{1}{10}$.</li>
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<li>Soit alors $n\in\N$ tel que $\frac{2}{n-1}\leq\eta$. Pour tous $i$, $j\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on pose</li>
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</ul>
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<p>
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$v_{i,j}=\left(1-2\frac{i-1}{n-1},1-2\frac{j-1}{n-1}\right)$.
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</p>
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<p>
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Montrer que, pour tous $i$, $j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, $v_{i,j},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1},v_{i,j+1}$ sont contenus dans une boule de rayon $1/10$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>En utilisant une fonction bien choisie de $C$ dans $\{1,2,3\}$, aboutir a une contradiction et conclure.</li>
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<li>Utiliser ce resultat pour montrer que toute fonction continue de $D$ dans $D$ admet un point fixe.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orged3e400"nil>
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<p>
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On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>pour tous $s, t \in \R^+$ distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres distincts,</li>
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<li>pour tous $s, t \in \R^+$ tels que $s\lt t, D_s \subset D_t$.</li>
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</ul>
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<ol class="org-ol">
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<li>Existe-t-il une telle famille?</li>
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<li>Soit $A\colon \R^+ \ra \R^2$ une fonction $C^1$ et injective. Existe-t-il une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ vérifiant $(\mc{P})$ telle que, pour tout $t \in \R^+, A(t)$ soit le centre de $D_t$ ?</li>
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<li>Le résultat subsiste-t-il si $A$ est seulement supposée continue?</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org60c6bba"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>Cercles de centre $(x,0)$, de rayon $x$.</li>
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<li>Prendre $D_t$ de rayon la longueur de la courbe de $A(0)$ à $A(t)$.</li>
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<li>Prendre une fonction non réglée.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org50c2ff9"nil>
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<p>
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Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algebre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algebre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. Jusqu'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$.</li>
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<li>On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$.</li>
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<li>En deduire que $\|a-1\|=2$.</li>
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|
<li>En deduire que $A=\C$.</li>
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<li>Retrouver le resultat de la question precedente en utilisant des polynomes annulateurs.</li>
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</ul>
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<p>
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Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Est-ce que $A$ est necessairement egale a $\R$?</li>
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<li>On admet qu'il existe une $\R$-algebre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considere la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallelement a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considere la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien definie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative.</li>
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|
<li>Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algebre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org92ae966"nil>
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<p>
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Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu'il existe un $n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orge067150"nil>
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<p>
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Dérivée discrète.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7f85a29"nil>
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<p>
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Pour $n\geq 2$, on note $\ell_n=\min\left\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\ell_n=o(n)$.</li>
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<li>Donner un equivalent de $\ell_n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb1ed7f4"nil>
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<p>
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Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives telles que la série de terme général $b_n$ converge, que la série de terme général $n a_n$ diverge et que $\sum_{n=0}^{+\i} a_n=1$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer qu'il existe une unique suite $\left(u_n\right)$ telle que, $\forall n \in \N, u_n=b_n+\sum_{k=0}^n u_k a_{n-k}$.</li>
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<li>Montrer que $\left(u_n\right)$ est bornée.</li>
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<li>Montrer que, $\mathrm{si}\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite est 0.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="orgd31c0ce"nil>
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<p>
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Cf une année précédente.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4d530ea"nil>
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<p>
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On considere la suite reelle definie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un reel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$.# 336
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|
Soit $(a - {n\geq 0}$ la suite reelle definie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un equivalent de $a_n$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7196d22"nil>
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<p>
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Soit $(a - {n\geq 0}$ definie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la serie de terme general $a<sub>n</sub>$2?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb3c62c9"nil>
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<p>
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Soit $\sum u_n$ une serie convergente de reels positifs. Existe-t-il une suite $(v - {n\geq 0}$ de reels positifs tendant vers $+\i$ telle que la serie $\sum u_nv_n$ converge?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0431808"nil>
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<p>
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Soit $(x_n)$ une suite reelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable pour toute suite reelle $(y_n)$ de carre sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carre sommable.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1f3023f"nil>
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<p>
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Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Determiner la nature de la serie $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9fc39fc"nil>
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<p>
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Etudier la convergence de la serie de terme general $\frac{\sin(\ln n)}{n}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5ff32bd"nil>
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<p>
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On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $u$ converge vers une limite $\ell$.</li>
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<li>Montrer que $\ell=-(\sqrt{2}+1)\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$.</li>
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<li>Montrer que $u_n=\ell+\frac{1}{2n^{1/2}}+O\Big{(}\frac{1}{n^{3/2}}\Big{)}$.</li>
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<li>Montrer que $\ell=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})^2}$.</li>
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<li>Etudier les variations de $u$.</li>
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<li>Determiner un developpement asymptotique semblable a celui de la question - pour la suite de terme general $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$.</li>
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<li>Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un developpement asymptotique a trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga25742d"nil>
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<p>
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Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et $\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org843328f"nil>
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<p>
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La série $\sum \frac{1}{f(n)}$ a la même nature que $\int \frac{1}{f}$. On peut raccorder $f$ de manière $\mc C^1$, puis on pose $u = f(t)$ :
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$$\int_0^{+\i} \frac{1}{f(t)}\dt = \int_0^{+\i} \frac{1}{u f'(f^{-1}(u))} \du,$$
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puis IPP.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org110536a"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li><p>
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Soit $m\in\N^*$. Montrer que $\sum\limits_{n=1}^{+\i} \frac{\sqrt{m}}{(m+n)\sqrt{n}}\leq \pi$.
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</p>
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<p>
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Ind. : Dans $\R^2$, considérer les points $x_n= (\sqrt{m}, \sqrt{n})$ et l'intersection $r_n$ du cercle $C(0,\sqrt{m})$ avec le segment $[0,x_n]$.
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</p></li>
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<li>Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carre sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf8e5878"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que
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|
$\forall(x,y)\in\R^2$, $f(xy)=f(x)\,f(y)$.</li>
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|
<li>Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que
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|
$\forall x\neq y\in\R$, $f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgcb60734"nil>
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<p>
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Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique?
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org458bc67"nil>
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<p>
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Easy.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9e5ee4a"nil>
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<p>
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Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $|f'|+|f+1|\leq 1$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4820f5c"nil>
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|
<p>
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Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum_{p\in\mc{P},\ p\leq x}\ln(p)$. Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgbe4be03"nil>
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<p>
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Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgb994e85"nil>
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<p>
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Soit $(x - {n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t - {n\geq 0}$ d'elements de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org772a1d1"nil>
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<p>
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Calculer $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org5421484"nil>
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|
<p>
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Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivee $n$-ieme de $(X^2-1)^n$.
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|
</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $n\in\N^*$. Montrer que $:\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $\int_{-1}^1PL_n=0$.</li>
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|
<li>Montrer que $L_n$ possede $n$ racines distinctes $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n$ dans $]-1,1[$.</li>
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|
<li>Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que $:\forall P\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org4533320"nil>
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<p>
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Pour $n\in\N$, on pose $ I<sub>n</sub>=∑<sub>k=0</sub><sup>n</sup>(-1)<sup>k\binom</sup>{n}{k}<sup>3</sup>$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$.</li>
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|
<li>On suppose $n$ multiple de $4$. Montrer que $I_n\gt 0$.</li>
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|
<li>Montrer, pour tout $n\in\N$, l'egalite</li>
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|
</ul>
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<p>
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$ I<sub>2n</sub>=(-1)<sup>n\frac</sup>{4<sup>3n-1</sup>}{π<sup>2</sup>}∫<sub>0</sub><sup>2π</sup>∫<sub>0</sub><sup>2π</sup> sin<sup>2n</sup>(x)\,sin<sup>2n</sup>(y)\,sin<sup>2n</sup>(x+y)\,dx\,dy$.
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</p>
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</div>
|
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|
<div class="exercice" id="org076fced"nil>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$.
|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Determiner la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org064a438"nil>
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<p>
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|
Justifier l'existence et calculer $\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org38cc518"nil>
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|
<p>
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Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$.
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</p>
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|
<ol class="org-ol">
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|
<li>Montrer que $f(x)\lt \frac{1}{x}$ pour tout $x\gt 0$.</li>
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|
<li>Montrer que $f(x)\gt \frac{\sqrt{x^2+4}-x}{2}$ pour tout $x\gt 0$.</li>
|
|
<li>Donner un développement limité à quatre termes de $f(x)$ quand $x \ra+\i$.</li>
|
|
</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="orgd5bb496"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3b9b7d9"nil>
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<p>
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|
Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v)=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(u-r e^{i \theta}\right)\left(v-r e^{i \theta}\right)}$.
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|
</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orge0a4ffe"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga3c7a16"nil>
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<p>
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|
Soit $f\colon\R\to\R^+$ integrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$.
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|
</p>
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|
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu'il existe un unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$.</li>
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|
<li>Montrer que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)=\ell$.</li>
|
|
<li>Supposons que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. Montrer que $m\gt M$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
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<div class="exercice" id="org996f5ca"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $a$ et $b$ deux suites reelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f - {m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformement vers une fonction constante.
|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>On note $H$ l'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition des fonctions.</li>
|
|
<li>Soit $f\in H$. Montrer que $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$.</li>
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</ul></li>
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|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org79e193e"nil>
|
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<p>
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On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi $I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est ferme$\}$ et $S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est ferme$\}$.
|
|
</p>
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|
|
|
<p>
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|
Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$.
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|
</p>
|
|
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $C=I\cap S$. - Montrrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est une suite croissante d'applications continues.</li>
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|
<li>Soit $f\in F$. Montrrer que $f\in I$ si et seulement s'il existe une suite $(f - {n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$.</li>
|
|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb692fa0"nil>
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|
<p>
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|
Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$.
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|
</p>
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|
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Rappeler le theoreme d'integration des relations de comparaison.</li>
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|
<li>Donner un equivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$.</li>
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|
<li>Determiner le domaine de definition de la fonction $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$.</li>
|
|
<li>Determiner les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de definition.</li>
|
|
<li>Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ telle que $f(x)\sim\dfrac{C}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$.</li>
|
|
</ul>
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</div>
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|
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|
<div class="exercice" id="org49aeb39"nil>
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|
<p>
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Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et
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</p>
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<p>
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|
$\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n$.
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|
</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que le rayon de convergence de la serie entiere $\sum a_nx^n$ est strictement positif.</li>
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<li>Determiner la valeur de ce rayon de convergence.</li>
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</ul>
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</div>
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|
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<div class="exercice" id="org365636c"nil>
|
|
<p>
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Pour $x$ reel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve de convergence.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le domaine de definition de $f$.</li>
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|
<li>Etudier la continuite puis la derivabilite de $f$.</li>
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|
<li>Donner un equivalent simple de $f$ en $1^-$.</li>
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<li>Montrre que $f$ est developpable en serie entiere, et preciser le developpement associe.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org30dbe8a"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d'une serie entiere. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre reel.
|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Soient $A$ et $B$ deux polynomes a coefficients reels dont toute combinaison lineaire a coefficients reels est scindee ou nulle. Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrre que $[x,y]$ contient au moins une racine de $B$.</li>
|
|
</ul></li>
|
|
</ul>
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|
|
|
</div>
|
|
|
|
<div class="exercice" id="org8a05438"nil>
|
|
<p>
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|
Soit $\sum a_nz^n$ une serie entiere de rayon de convergence egal a $1$ et de somme $f$.
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</p>
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|
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<p>
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|
On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$.
|
|
</p>
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|
|
|
<p>
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|
Montrre que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$.
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|
</p>
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</div>
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|
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|
<div class="exercice" id="org2c32c5a"nil>
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|
<p>
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Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair.
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|
</p>
|
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|
<ol class="org-ol">
|
|
<li>Montrer l'existence d'une suite réelle $\left(b_k\right)_{k \geq 0}$ telle que : $\forall x \in \R, \exp (P(x))=\sum_{k=0}^{+\i} b_k x^k$.</li>
|
|
<li>Montrer que les $b_k$ sont tous non nuls.</li>
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|
</ol>
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|
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</div>
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|
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|
<div class="proof" id="org3eeb269"nil>
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|
<ol class="org-ol">
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|
<li></li>
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|
<li>Quand on dérive successivement $e^P$, on trouve une quantité qui vaut toujours $1$ modulo $2$.</li>
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|
</ol>
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</div>
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|
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|
<div class="exercice" id="org9feee85"nil>
|
|
<p>
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Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$.
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|
</p>
|
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrrer que la suite de terme general $(x,q)_n$ converge vers un reel $(x,q)_{\i}\gt 0$.</li>
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|
<li>Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert de convergence.</li>
|
|
<li>Etablir l'identife $f_{x,q}(z)-f_{x,q}(qz)=(1-x)zf_{x,q,q}(z)$ pour tout $z\in D$.</li>
|
|
<li>Etablir l'identife $f_{x,q}(z)=\frac{1-xz}{1-z}f_{x,q}(qz)$ pour tout $z\in D$.</li>
|
|
<li>Demontrer que $f_{x,q}(z)=\frac{(zx,q)_{\i}}{(z,q)_{\i}}$ pour tout $z\in D$.</li>
|
|
<li>Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Determiner, pour tout $z\in D$, la limite de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$.</li>
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|
</ul>
|
|
|
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</div>
|
|
|
|
<div class="exercice" id="org60182f2"nil>
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big{\{}(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big{\}}$. Trouver un equivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$.
|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Trouver un equivalent de $g$ en $1^-$ en utilisant $g^2$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgd9aa694"nil>
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<p>
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|
Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\deg F}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrre que la famille $\big{(}|F|^{-s}\big{)}$, indexee par les polynomes $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme, qu'on notera $z(s)$.</li>
|
|
<li>On note $A$ l'ensemble des polynomes unitaires de $F\in\mathbb{F}_p[X]$ sans facteur carre, c'est-a-dire tels que : $\forall D\in\mathbb{F}_p[X]$, $D^2|F\Rightarrow\deg D=0$. Montrre que $\sum_{F\in A}|F|^{-s}=\frac{z(s)}{z(2s)}$.</li>
|
|
<li>En deduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynomes sans facteur carre parmi les polynomes unitaires de degre $d$ de $\mathbb{F}_p[X]$.</li>
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|
</ul>
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|
</div>
|
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|
<div class="exercice" id="org2df963b"nil>
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<p>
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Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner un equivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$.</li>
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<li>On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'ecart avec l'equivalent trouve.</li>
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<li>Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1df3416"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner le domaine de definition de $f:x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrre, pour tout reel $x\gt 0$, l'egalite $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org51f3b57"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout reel $x$. - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner une expression simplifiee de $F$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org60301e9"nil>
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<p>
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Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre integrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Justifier la bonne definition de $S_f$.</li>
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<li>Montrer que $S_f$ est de carre integrable.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2ff141d"nil>
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<p>
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Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la limite et un equivalent de $I$ en $+\i$.</li>
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<li>Donner un developpement asymptotique de $I$ a tout ordre.</li>
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<li>Donner une condition necessaire et suffisante pour que ce developpement soit la somme partielle d'une serie convergente pour tout $x\gt 0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfcb5809"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $K$ un segment et $f:K\to K$ une fonction continue croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.
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<ul class="org-ul">
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<li>On considere l'equation differentielle non lineaire $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ verifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ reels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possede une solution $2\pi$-periodique.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgda55cc9"nil>
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<p>
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Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$. Soit $a\in[0,1]$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Justifier qu'il existe une unique fonction $x_a:\R^+\to\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\forall t\in\R^+,\ x'(t)=f(t)-(f(t)+g(t))\,x(t)$ et $x(0)=a$.</li>
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<li>On suppose que $f$ et $g$ ont une limite finie strictement positive en $+\i$. Montrer que $x_a$ tend vers $0$ en $+\i$.</li>
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<li>Montrer que $f$ et $g$ peuvent etre choisies de telle sorte que $x_a$ n'ait pas de limite en $+\i$.</li>
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<li>On suppose que l'une des fonctions $f$ et $g$ n'est pas integrable sur $\R^+$. Montrer que $x_1-x_0$ tend vers $0$ en $+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7d6b55f"nil>
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<p>
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Soient $v:\R\to\R$ une fonction continue a support compact et $\omega\in\R^{+*}$. On considere l'equation differentielle $y<sup>''</sup>+ω<sup>2y</sup>=v(t),$ dont on note $\mc{S}_E$ l'ensemble des solutions.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour tout $(a,b)\in\R^2$, il existe une unique solution $f^+_{a,b}$ (resp. $f^-_{a,b}$) de $(E)$ telle que $f^+_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $+\i$, (resp. $f^-_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $-\i$.</li>
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<li>Montrer que $\mc{S}_E=\{f^+_{a,b},(a,b)\in\R^2\}=\{f^-_{a,b},(a,b)\in \R^2\}$.</li>
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<li>On pose $c(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\cos(\omega t)\,dt$ et $s(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\sin(\omega t)\,dt$, et on definit l'application $S_{\omega}:\R^2\to\R^2$ par : $f^-_{a,b}=f^+_{S_{\omega}(a,b)}$ pour tout $(a,b)\in\R^2$. Expliciter l'application $S_{\omega}$ en fonction de $c(\omega)$ et $s(\omega)$.</li>
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<li>On suppose que $S_{\omega}=\mathrm{id}_{\R^2}$ pour tout $\omega\gt 0$. Montrer que $v$ est identiquement nulle.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga84dde1"nil>
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<p>
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Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considere l'equation differentielle $(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$.</li>
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<li>Soient $q:\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux reels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle $x$ de $y^{''}+q(t)\,y=0$.</li>
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<li>Montrer que les zeros de $x$ fortner une suite strictement croissante $(t - {n\in\N}$.</li>
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<li>Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tout $n\in\N$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfc85053"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie, et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $pu+up=u$. Montrer que $\mathrm{tr}(u)=0$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit $r\in\llbracket 0,n\rrbracket$. On note $G$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$. Determiner l'espace vectoriel tangent a $G$ en $p$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org21532d7"nil>
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<p>
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On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considere le carre de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ sur ce carre.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer qu'il existe une disposition des points $A$, $B$ et $C$ maximisant l'aire du triangle $ABC$.</li>
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<li>Caracteriser une telle disposition.</li>
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</ul>
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</div>
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## Geometrie
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<div class="exercice" id="org7342690"nil>
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<p>
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Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimetre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $P_n$ et etudier la convergence de la suite $(P - {n\geq 2}$.</li>
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<li>Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$.</li>
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<li>Estimer l'erreur $2\pi-P_n$.</li>
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<li>Proposer une methode d'approximation de $\pi$ par exces.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org68c3d4b"nil>
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<p>
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On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l'unique point tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L'objectif est de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On note $f,g,h$ les rotations de centres respectifs $A,B,C$ et d'angles de mesures respectives $\frac{2a}{3}$, $\frac{2b}{3}$ et $\frac{2c}{3}$. Montrer que $P$ est l'unique point fixe de $g\circ h$.</li>
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<li>Montrer que $(f^3\circ g^3\circ h^3)(z)=z$ pour tout nombre complexe $z$.</li>
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<li>On note $f:z\mapsto a_1z+b_1$, $g:z\mapsto a_2z+b_2$ et $h:z\mapsto a_3z+b_3$. Experimer $P,Q,R$ en fonction des $a_i$ et des $b_i$.</li>
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<li>Conclure.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgab47bbb"nil>
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<p>
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Determiner le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $[\![1,n]\!]$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc9b54b2"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste decroissante $(\lambda - {1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On fixe $n\geq 1$ et on considere une variable aleatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in[\![1,n]\!]:X_i=k\}|$.</li>
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</ul>
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<p>
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Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ a preciser.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7e27da1"nil>
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<p>
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On considere la suite $(a_n)$ definie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$.</li>
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<li>On lance une piece non truquee. Determiner la loi de la variable aleatoire $X$ qui donne l'instant de premiere apparition du motif Face-Face.</li>
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<li>Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$.</li>
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<li>Donner un equivalent de ${\bf P}(X=n)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd3aed29"nil>
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<p>
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Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aleatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer ${\bf P}(N=1)$ et ${\bf P}(N=n)$.</li>
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<li>Donner une formule simple pour la fonction generatrice de $N$.</li>
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<li>Donner un equivalent de ${\bf E}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.</li>
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<li>Donner un equivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6e9e555"nil>
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<p>
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Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aleatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$.</li>
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<li>Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicite de $z$ comme valeur propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6746af5"nil>
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<p>
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Soient $b,n\in{\N}^*$. On considere $(B - {1\leq i\leq n}$ des variables aleatoires independantes suivant la loi uniforme sur $[\![0,b-1]\!]$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in[\![1,n]\!],\ B_i\gt B_{i+1}\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Pour $i\in[\![1,n-1]\!]$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$.</li>
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<li>Soit $j\in[\![1,n-j-1]\!]$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$. - Pour $I\subset\llbracket 1,n\rrbracket$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ elements a valeurs dans $\llbracket 0,b-1\rrbracket$ qui verifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3627ab6"nil>
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<p>
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Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note $s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points $e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note $b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment (ou on dit que deux segments se croisent s'ils ont un point d'intersection qui n'est pas une extremite).
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</p>
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<p>
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Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Determiner $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en donner un equivalent.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org37d84b9"nil>
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<p>
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Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : $\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et enfin que $p \leq \frac{1}{4}$.</li>
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<li>Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $\Phi_X\colon \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$. Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$.</li>
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<li>En déduire que $p \leq \frac{1}{4}$ est une condition suffisante.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org406eb0f"nil>
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<ol class="org-ol">
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<li>On regarde les probabilités, jusqu'à $n = 3$.</li>
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<li>$\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy.</li>
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<li></li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org26d9689"nil>
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<p>
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Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $\llbracket 0,d\rrbracket$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>La variable aleatoire $S_n$ est-elle uniformement distribuee sur $\Z/n\Z$?</li>
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<li>Calculer la loi de $S_n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb6e0e12"nil>
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<p>
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Soient $d\in\N^*$, $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,d\rrbracket$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $Y$ une variable aleatoire a valeurs dans $\Z$, $r\in\llbracket 0,d-1\rrbracket$, $\omega=e^{2i\pi/n}$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $\mathbf{P}(Y≡ r\left[d\right])=\frac{1}{n}∑<sub>k=0</sub><sup>n-1</sup> \frac{1}{ω<sup>kr</sup>}\mathbf{E}\left(ω<sup>kY</sup>\right).$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $r\in\llbracket 0,d-1\rrbracket$. Donner une expression de $\mathbf{P}(S_n\equiv r\left[d\right])$.</li>
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<li>Determiner la limite de la suite de terme general $\mathbf{P}(S_n\equiv 0\left[d\right])$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6b09118"nil>
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<p>
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Soit $n\geq 1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On se donne deux variables aleatoires independantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket^2$. Soit $r\in\Q$. Determiner la probabilite $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit egal a $r$. Donner un equivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$.</li>
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<li>On se donne quatre variables aleatoires independantes $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket^2$. On note $p_n$ la probabilite pour que $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ soient paralleles. Montrer que $p_n=O\Big{(}\frac{\ln n}{n^2}\Big{)}$ quand $n\to+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org44c79a0"nil>
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<p>
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Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$.*a)*: Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $X$ une variable aleatoire reelle centree et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$.</li>
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|
<li>Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires centrees admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc328789"nil>
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<p>
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Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. A chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle titee dans l'urne. Soit $X_n$ la variable aleatoire du nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages. Soit $T_n$ l'evenement «tirer une boule jaune au $n^{\text{ieme}}$ tirage».
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\mathbf{P}_{T_2}(T_1)$.</li>
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<li>Determiner la loi de $X_n$.</li>
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<li>Calculer $\mathbf{P}(T_n)$.</li>
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<li>Pour $n_1,…,n_p,m_1,…,m_q$ tous distincts, calculer $\mathbf{P}(T_{n_1}\cap…\cap T_{n_p}\cap\overline{T_{m_1}}\cap…\cap \overline{T_{m_q}})$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org179eed8"nil>
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<p>
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Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un triangle équilatéral.</li>
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<li>Déterminer un équivalent de $p_n$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="proof" id="org6da9804"nil>
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<p>
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Relier à un précédent.
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li><p>
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On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes $1$, et autant de différences entre les deux.
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</p>
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<p>
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On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et $B\oplus C$.
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</p>
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<p>
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Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints.
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</p></li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5e7dfc6"nil>
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<p>
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On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilite uniforme. Soit $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation aleatoire $\sigma\in\mc{S}_n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\mathbf{P}(X_n=0)$.</li>
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<li>Determiner la loi de $X_n$.</li>
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<li>Etudier la convergence en loi de la suite $(X - {n\in\N^*}$.</li>
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<li>Calculer les esperance et variance de la variable aleatoire $X_n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgace5e79"nil>
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<p>
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Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aleatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible.</li>
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<li>Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible et diagonalisable dans $\R$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org539aab8"nil>
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<p>
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Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\N$ verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in[\![0,n]\!]$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, si $(i,j)\in\N^2$, $\mathbf{P}P(X=i,Y=j)=\mathbf{P}(X=i,X-Y=j)$, puis que $X-Y\sim Y$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbf{P}(Y=0)\gt 0$.</li>
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<li>On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont independantes. Determiner la loi de $Y$, puis celle de $X$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbab8498"nil>
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<p>
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Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aleatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilite que $F$ soit bijective.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcf1777d"nil>
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<p>
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On cherche a collectionner $N$ jouets. A chaque achat, chaque jouet a une probabilite uniforme d'etre obtenu. Pour $i\in\llbracket 1,N\rrbracket$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer l'esperance de $T_N$.</li>
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<li>Calculer la variance de $T_N$.</li>
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<li>Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge97520a"nil>
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<p>
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Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles centrees.
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</p>
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<p>
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On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\mathbf{E}\left(\left(X_1+\cdots+X_n\right)^4\right)=O(n^2)$.</li>
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<li>Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la serie de terme general $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+…+X_n}{n}\gt \eps\right)$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5945c9a"nil>
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<p>
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Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient $S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)dx=\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n\frac{1}{n!}$.</li>
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<li>On admet que, pour tout $x\in\R$, $\mathbf{P}(T_n\geq x)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\i}e^{-t^2/2}dt$. Retrouver la formule de Stirling.</li>
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</ul>
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</div>
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## X PSI :autre:
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### Algebre
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<div class="exercice" id="org5f205ff"nil>
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<p>
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Pour $n\geq 2$ on pose $P_n=(X+1)^n+X^n+1$ et $Q(X)=(X^2+X+1)^2$.
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</p>
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<p>
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Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $Q$ divise $P$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org387755e"nil>
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<p>
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Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu'il existe une base de $\mc{L}(E)$ formee de projecteurs.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org622e258"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$, $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. Montrer que $f$ possede $n$ valeurs propres distinctes si et seulement s'il existe $v\in E$ tel que $(v,f(v)\cdots,f^{n-1}(v))$ soit libre.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1e04ed7"nil>
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<p>
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Trouver $\text{Vect}(\mc{O}_n(\R))$.# 408
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</p>
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</div>
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- Soit $(A,B)\\in\\mc{S}\_n^+(\\R)^2$. Montrer que $\\det(A+B)\\geq\\max(\\det(A),\\det(B))$. - Trouver une condition necessaire d'egalite lorsque $A\\in\\mc{S}\_n^{++}(\\R)$.
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<div class="exercice" id="orgd0d3327"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\R)$ tel que $A^2\in\mc{S}_n(\R)$. - A-t-on necessairement $A\in\mc{S}_n(\R)$? - Trouver une condition necessaire supplementaire pour avoir $A\in\mc{S}_n(\R)$.
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</p>
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</div>
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### Analyse
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<div class="exercice" id="org7146dd5"nil>
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<p>
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Soit $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$. Montrer qu'il existe $(n,m)\in\N^2$ tel que $\sqrt{n}-\sqrt{m}\in]a,b[$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org31c660b"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $P\in\R_n[X]$ unitaire, avec $n\geq 2$. Montrer que $P$ est scinde dans $\R_n[X]$ si et seulement si $\forall z\in\C$, $|P(z)|\geq|\op{Im}z|^{\deg\ P}$.</li>
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<li>Montrer que l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ trigonalisables dans $\R$ est un ferme.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6e635d9"nil>
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<p>
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Soit $\alpha\gt 0$. Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites reelles telles que, pour tout $n\in\N$, $a_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(b_n+c_n)$, $b_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+c_n)$, $c_{n+1}=\dfrac{1}{\alpha}(a_n+b_n)$. Etudier leur comportement asymptotique.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgac82769"nil>
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<p>
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Étudier la serie $\sum(-1)^n\dfrac{\sin(\ln(n))}{n}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org47aa3c6"nil>
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<p>
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Soit $f:[0,+\i[\to[0,+\i[$ de classe $C^1$, strictement croissante avec $\lim_{x\to+\i}f(x)=+\i$. Montrer que $\sum\dfrac{1}{f(n)}$ converge si et seulement si $\sum\dfrac{f^{-1}(n)}{n^2}$ converge.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org4c67422"nil>
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<p>
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écrit quelque part…
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</p>
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<p>
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Comparaison série intégrale, puis changement de variable.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf32d7a7"nil>
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<p>
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Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall(x,y)\in\R^2,f(xy)=f(x)f(y)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc93f3f8"nil>
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<p>
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Pour $a\in]0,1[$ et $n\in\N$, on pose $I_n(a)=\int_0^1\dfrac{1}{1+(at)+\cdots+(at)^n}dt$.
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</p>
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<p>
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Determiner $\lim_{n\to+\i}\left(\lim_{a\to 1}I_n(a)\right)$ et $\lim_{a\to 1}\left(\lim_{n\to+\i}I_n(a)\right)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga6902fc"nil>
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<p>
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Soient $a,b,c$ trois reels strictement positifs.
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</p>
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<p>
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On pose $E=\left\{(x,y,z)\in\R^3\ ;\ \left(\dfrac{x}{a}\right)^2+\left( \dfrac{y}{b}\right)^2+\left(\dfrac{z}{c}\right)^2=1\right\}$. On suppose que $A,B,C$ sont trois points distincts de $E$ tels que le plan tangent a $E$ en $A$ est parallele a $(BC)$, le plan tangent a $E$ en $B$ est parallele a $(CA)$, le plan tangent a $E$ en $C$ est parallele a $(AB)$.
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</p>
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<p>
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Calculer le volume du parallelepipede engendre par les vecteurs $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$.
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</p>
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</div>
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### Geometrie
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<div class="exercice" id="org5b243fa"nil>
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<p>
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Soient $abc$ un vrai triangle du plan complexe, $\alpha$ (resp. $\beta$, resp. $\gamma$) a rotation de centre $a$ (resp. $b$, resp. $c$) et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrere que le centre de $\alpha\circ\beta$ appartient a l'intersection des trisectrices du triangles.</li>
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<li>Montrere que $\alpha^3\circ\beta^3\circ\gamma^3$ est l'identite du plan.</li>
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<li>Montrere que les points d'intersection des trisectrices forment un triangle equlateral.</li>
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</ul>
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</div>
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### Probabilites
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<div class="exercice" id="org25c9b1c"nil>
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<p>
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Determiner la loi d'une variable aleatoire $X$ a valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall(k,\ell)\in(\N^*)^2$, $\mathbf{P}(X\gt k+\ell\,|\,X\gt k)=\mathbf{P}(X\gt \ell)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcc7f180"nil>
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<p>
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Une entreprise qui commercialise des eeufs en chocolat met dans chaque ceuf un jouet. Au total il y a $N$ jouets differents. On suppose qu'a chaque achat d'ceuf la probabilite de tomber sur un jouet donne est identique pour chaque jouet. On note $T_N$ le nombre d'eufs achetes jusqu'a obtenir la collection complete.
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</p>
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<p>
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Montrer que $\mathbf{E}(T_N)=N\times H_N$ avec $H_N=\sum_{n=1}^N\dfrac{1}{n}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6c8b413"nil>
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<p>
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On pose$M=\left(\begin{array}{cccc}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{array}\right)$ avec $a,b,c,d$ des variables aleatoires a valeurs dans $\Z$ telles que $a+1,b+1,c+1,d+1$ suivent des lois de Poisson de parametres respectifs $\lambda_a,\lambda_b,\lambda_c,\lambda_d$. Calculer la probabilite de l'evenement $*M$ est inversible $\Rightarrow$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org43f196f"nil>
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<p>
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On considere deux variables aleatoires $X$ et $Y$ independantes a valeurs dans $[\![0,n]\!]$ qui suivent la meme loi. Trouver les lois de $X$ possibles pour que $X+Y$ suive la loi uniforme sur $[\![0,n]\!]$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf996409"nil>
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<p>
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On dispose de $n$ objets differents. On effectue des tirages aleatoires independants avec remise. On note $N_n$ le nombre de tirages qu'il a fallu pour avoir les $n$ objets differents.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\mathbf{E}(N_n)$ et $\mathbf{V}(N_n)$.</li>
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<li>Montrere que $\forall\eps\gt0$, $\lim_{n\to\i}\mathbf{P}\left(\left|\dfrac{N_n}{n\ln(n)}-1\right|\gt \eps\right)=0$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
## X PC :autre:
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### Algebre
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<div class="exercice" id="orge44073b"nil>
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<p>
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Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $m\in\N^*$ et $\eps_1,\ldots,\eps_m\in\{-1,1\}$ tels que $n=\sum_{k=1}^m\eps_kk^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga1eb90a"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$ une matrice qui n'est pas une homothetie. On suppose que $M$ est une matrice qui commute avec $PAP^{-1}$ pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $M$ est une homothetie. Meme question pour $A$ et $M$ matrices reelles.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgffb5758"nil>
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<p>
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Soit $n\geq 2$. Si $A\in\M_n(\C)$ est nilpotente, determiner les valeurs possibles du cardinal de l'ensemble $\{B\in\M_n(\C),\ A=B^2\}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org227477c"nil>
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<p>
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Trouver les matrices $A$ de $\M_2\left(\C\right)$ telles que $A^p=A$, ou $p$ est un entier $\geq 2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcaacd70"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in\M_n(\C)$. Montrer $A$ et $B$ ont une valeur propre commune si et seulement s'il existe $P\in\M_n(\C)\setminus\{0\}$ telle que $AP=PB$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge4f56f2"nil>
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<p>
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Caracteriser les matrices $A\in\M_n(\C)$ telles que l'ensemble des matrices semblables a $A$ engendre l'espace $\M_n(\C)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgaf13022"nil>
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<p>
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Soit $G$ une partie de $\mathrm{GL}_2(\R)$ qui contient $I_2$ et qui est stable par produit et passage a l'inverse. On note $\mathrm{Vect}(G)$ l'ensemble des combinaisons lineaires d'elements de $G$. Montrer que $\mathrm{Vect}(G)\neq\M_2(\R)$ si et seulement si une des conditions suivantes est verifiee :
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</p>
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<p>
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(i) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est triangulaire superieure,
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</p>
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<p>
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(ii) il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\R)$ telle que, pour toute $M\in G$, la matrice $P^{-1}MP$ est de la forme $\begin{pmatrix}a&-b\\ b&a\end{pmatrix}$ avec $a$ et $b$ dans $\R$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org494102d"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n\left(\C\right)$. On note $\mathrm{Sp}\left(A\right)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_r\}$ ou les $\lambda_i$ sont distincts et ou $\lambda_i$ est de multiplicite $m_i\in\N^*$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n\left(\C\right)$ telle que $A=PTP^{-1}$ avec</li>
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</ul>
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<p>
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$$T=\!\!\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1I_{m_1}+N_1&*&\cdots&*\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&*\\ 0&\cdots&0&\lambda_rI_{m_r}+N_r\end{array}\right)\text{$$, ou les $N_i$ sont des matrices triangulaires superieures a diagonale nulle.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose que $A$ est inversible et qu'il existe $C\geq 0$ tel que $\forall k\in\Z$, $\forall\left(i,j\right)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2$, $\left\lvert\left[A^k\right]_{i,j}\right\rvert\leq C$. Montrer que $A=QDQ^{-1}$ avec $Q\in\mathrm{GL}_n(\C)$, $D=\mathrm{Diag}\ (d_1,\ldots,d_n)$ ou, pour $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $\left\lvert d_i\right\rvert=1$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc2e89ed"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AB^2-B^2A=B$. Montrer qu'il existe $p\in\N$ tel que $B^{2p}\neq 0$ et $B^{2p+1}=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org000c30d"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N$ impair, $A$ et $B$ dans $\M_n\left(\C\right)$ telles que : $AB+BA=A$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $A$ et $B$ ont un vecteur propre commun.</li>
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<li>Que dire si $n$ est impair.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6aadbcc"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres non nulles distinctes $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$. - Montrrer qu'il existe des nombres complexes $c_{i,j}$, avec $1\leq i\leq n$, $0\leq j\leq n-1$, tels que $\forall k\in\N$, $A^k=\sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}c_{i,j}\lambda_i^kA^j$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer l'unicite des $c_{i,j}$.</li>
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<li>On suppose de plus $A$ inversible. Montrer que la formule reste vraie si $k\in\Z$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6ac1fdd"nil>
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<p>
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Caracteriser les matrices $M\in\M_n(\C)$ qui sont somme de deux matrices diagonalisables de rang 1.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2eaf40c"nil>
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<p>
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Determiner les entier $n$ tels qu'il existe $A\in\M_n(\Z)$ verifiant $A^2-A+I_n=0$.
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</p>
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<p>
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Ind. Commencer par $n\leq 3$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org731d805"nil>
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<p>
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Soit $G=\{M\in\M_2(\Z),\ \det{(M)}=1\}$. On note $\mathrm{ord}(A)=\inf\{n\gt 0,\ A^n=I\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que si $\mathrm{ord}(A)\lt +\i$ alors $\mathrm{ord}(A)$ divise $12$.</li>
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<li>Soient $A,B\in G$. On suppose que $\mathrm{ord}(A)=\mathrm{ord}(B)\lt +\i$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_2(\Q)$ tel que $PAP^{-1}=B$. Peut-on toujours prendre $P$ dans $G$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgedc9c6c"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que si $\lambda$ est un reel strictement negatif qui est valeur propre de la matrice $A\overline{A}$, alors la dimension du sous-espace propre associe est paire.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org37b8e47"nil>
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<p>
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Soit $\alpha\in\R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x\in\R^3,\ \|x\|=1\right\}$ ou $\|\ \|$ designe la norme euclidienne canonique. Montrer l'equivalence entre les propositions suivantes.
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</p>
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<p>
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(i) $\alpha=2$.
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</p>
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<p>
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(ii) $\forall n\geq 1$, $\forall\left(a_1,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n,c_1,\ldots,c_n\right) \in(S^2)^{3n}$, $\exists p\in S^2$ tel que
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</p>
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<p>
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$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^{\alpha}=\sum_{i=1}^n \left\|p-b_i\right\|^{\alpha}=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^{\alpha}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf155b45"nil>
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<p>
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Soit $n$ un entier $\geq 2$. Pour quelles valeurs du reel $\alpha$ existe-t-il $n+1$ vecteurs unitaires $u_0,u_1,\ldots,u_n$ de $\R^n$ verifiant $\forall(i,j)\in\{0,1,\ldots,n\}^2$, $i\neq j\Rightarrow\left\langle u_i,u_j\right\rangle=\alpha$?
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</p>
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<p>
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Ind. Considerer la matrice $A=\left(\left\langle u_i,u_j\right\rangle\right)_{1\leq i,j\leq n}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org44b943a"nil>
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<p>
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $n\geq 2$. Montrer que tout endomorphisme de $\R^n$ est somme d'un nombre fini d'isometries.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgeb64779"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Est-il vrai que pour tout $n$ et tous $A,B\in\M_n(\R)$, les matrices $AB$ et $BA$ sont semblables?
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont semblables.</li>
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<li>Soient $F,G$ des sous-espaces de dimension $m$ de $\R^n$, $p_F$ et $p_G$ les projections orthogonales respectivement sur $F$ et $G$. Montrer que $\text{sp}(p_F\circ p_G)=\text{sp}(p_G\circ p_F)\subset[0,1]$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3eb2535"nil>
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<p>
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Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symetrique positive non nulle. Montrer qu'il existe $r\in\N^*$ et des reels $b_{i,k}$, avec $1\leq i\leq n$ et $1\leq k\leq r$, tels que $\forall(i,j)\in\{1,\ldots,n\}^2$, $a_{i,j}=\sum_{k=1}^rb_{i,k}b_{j,k}$. Quel est la plus petite valeur possible de $r$?# 454
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Soit $A=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre est inferieure ou egale a $\frac{1}{2n+1}$.
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</p>
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<p>
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On pourra montrer que $\forall P\in\R[X]$, $\int_{-1}^1P(t)\,dt+\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\, d\theta=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc9c88e9"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ et $A^T$ commutent si et seulement si $AA^TA=A^2A^T$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgaa4283b"nil>
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<p>
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Soient $A\in\M_{m,n}(\R)$ non nulle, $X\in\R^n$ et $Y\in\R^m$. On munit $\R^n$ et $\R^m$ de leurs normes euclidiennes canoniques. Considerons les assertions :
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</p>
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<p>
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(i) $\forall Z\in\R^n$, $\|AX-Y\|\leq\|AZ-Y\|$;
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</p>
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<p>
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(i)' $A^TAX=A^TY$;
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</p>
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<p>
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(ii) $X$ est de norme minimale pour la propriete (i);
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</p>
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<p>
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(ii)' $X\perp\mathrm{Ker}\,A^TA$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que (i) $\Longleftrightarrow$ (i)'.</li>
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<li>On suppose (i) verifie. Montrer qu'alors (ii) $\Longleftrightarrow$ (ii)'.</li>
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<li>Montrer l'unicite de $X$ verifiant (i) et (ii). Notons $BY$ ce vecteur.</li>
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<li>Montrer que $B$ est lineaire. Montrer que, pour tout $Y\in\R^m$, $\|BY\|\leq\frac{\|Y\|}{\sqrt{\lambda_1}}$ ou $\lambda_1$ est la plus petite valeur propre non nulle de $A^TA$, et qu'il y a des cas d'egalite non triviaux.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge829f70"nil>
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<p>
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Donner une condition sur $A=\left(a_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{S}_n\left( \R\right)$ pour que l'application qui a $U=\left(u_{i,j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{O}_n\left( \R\right)$ associe $\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}u_{i,j}$ atteigne son maximum en un unique $U$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc102ccc"nil>
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<p>
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Soit $\alpha\in\,]0,1[$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que l'existence de $c_{\alpha}\in\R$ tel que $\forall\lambda\gt 0$, $c_{\alpha}\!\int_0^{+\i}\frac{t^{-\alpha}}{\lambda+t}dt= \lambda^{-\alpha}$.</li>
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<li>Soit $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$. On definit : $A^{-\alpha}=c_{\alpha}\!\int_0^{+\i}t^{-\alpha}(A+tI_n)^{-1}dt$. Expliquer le sens de cette expression, montrer que l'integrale converge et que $\left(A^{-1/2}\right)^2=A^{-1}$.</li>
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<li>Montrer que si $B-A$ est positive alors $A^{-1/2}-B^{-1/2}$ l'est aussi.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7651fa3"nil>
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<p>
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Soit $f\colon\mc{S}_n(\R)\to\R$ une forme lineaire. Montrer l'equivalence des trois assertions suivantes :
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>$\forall A\in\M_n(\R),\ f\big{(}AA^T\big{)}\geq 0$;</li>
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</ol>
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<p>
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ii) $\exists B\in\mc{S}_n^+(\R),\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)= \mathrm{Tr}(AB)$;
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</p>
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<p>
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iii) $\exists m\in\N,\ \exists(X - {i\in\llbracket 1\,:\,m\rrbracket}\in \M_{n,1}(\R)^m,\ \forall A\in\M_n(\R),\ f(A)=\sum_{i=1}^m \mathrm{Tr}\,\big{(}X_i^TAX_i\big{)}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org158c7b1"nil>
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<p>
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Sont $A\in\mc{S}_n^{++}\left(\R\right)$ et $B\in\mc{A}_n\left(\R\right)$. Montrer que $AB$ est diagonalisable sur $\C$.
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</p>
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</div>
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### Analyse
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<div class="exercice" id="org67de46f"nil>
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<p>
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Si $I$ est un intervalle de $\R$, on note $|I|$ sa longueur. Montrer qu'il existe une famille $(I - {j\in A}$ d'intervalles de $\R$, non reduits a un point, deux a deux disjoints et tels que
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</p>
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<p>
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$\Q\subset\bigcup_{j\in A}I_j$ et $\sum_{j\in A}|I_j|=42$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb0ca966"nil>
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<p>
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On pose : $E=\M_n(\R)$ et $F=\big{\{}P\in E,\ P=P^T=P^2\big{\}}$. Soit $(P,Q)\in F^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $f:[0,1]\to F$ continue telle que $f(0)=P$ et $f(1)=Q$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgacb8949"nil>
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<p>
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Soit $A:\R\to\M_n(\C)$ continue telle que $A(0)=A(1)=I_n$ et $A(s+t)=A(s)A(t)$ pour tous $s,t$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner des exemples non triviaux de telles applications.</li>
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<li>Montrer qu'il existe $P$ inversible et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\Z$ tels que :</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall t\in\R$, $A(t)=P\mathrm{diag}(e^{i2\pi\lambda_1t},\ldots,e^{i2\pi\lambda_nt})P^{-1}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga6b4dbf"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\R)$. On definit une suite de matrices par $M_0=A$ et, pour tout $k\in\N$, $M_{k+1}=M_k-M_k^2$. On etudie la convergence eventuelle de $(M - {k\geq 0}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Etudier le cas ou $A$ admet une valeur propre reelle $\lambda\lt 0$ ou $\lambda\gt 1$.</li>
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<li>Etudier le cas ou $A$ est nilpotente.</li>
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<li>Etudier le cas ou $A=\lambda I+N$ avec $N\neq 0$, $N^2=0$ et $0\lt \lambda\lt 1$.</li>
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<li>Etudier le cas ou $A=\lambda I+N$ avec $N^2\neq 0$, $N^3=0$ et $0\lt \lambda\lt 1$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdf677bb"nil>
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<p>
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Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie inclus dans $C^1(\R,\R)$. On suppose que $E$ est stable par translation, c'est-a-dire que $\forall f\in E,\forall a\in\R,(x\mapsto f(x+a))\in E$. Montrer que $\forall f\in E,f'\in E$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6d3a2ad"nil>
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<p>
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Soit $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie. Soient $p,q\in\mc{L}(E)$ tels que $p^2=p$ et $q^2=q$. On suppose que $\forall x\neq 0$, $\|(p-q)(x)\|\lt \|x\|$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $p$ et $q$ ont le meme rang.</li>
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<li>Montrer que $u=pq+(\mathrm{id}-p)(\mathrm{id}-q)$ est inversible et que $p=uqu^{-1}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6d18e05"nil>
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<p>
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Soit $x\geq 0$. Donner un equivalent de la suite de terme general $u_n=\prod_{i=1}^n(x+i)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfb7c91b"nil>
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<p>
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Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $\sum_{k=0}^{n-1}|\cos(k)|\geq\frac{4n}{10}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org969c33d"nil>
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<p>
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Soit $c_n$ le nombre de listes $(a_1,\ldots,a_n)$ d'entiers telles que $\{a_1,\ldots,a_n\}=\{1,\ldots,n\}$ et $\forall i\in\{1,\ldots n-1\}$, $a_{i+1}\neq a_i+1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour $n\in\N$ avec $n\geq 3$, on a $c_n=(n-1)c_{n-1}+(n-2)c_{n-2}$.</li>
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<li>Montrer que la suite $\Big{(}\frac{c_n}{n!}\Big{)}$ converge vers une limite non nulle.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org747cd9d"nil>
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<p>
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Soit $C=0,1234567891011121314\ldots$ (on ecrit les ecritures decimales de tous les entiers naturels a la suite). Montrer que $C$ est irrationnel.# 471
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Soit $a\in\R$. On suppose que $\left(n\left\{an!\right\}\right)_{n\in\N}$ converge ou on note $\left\{x\right\}=x-\left\lfloor x\right\rfloor$ pour $x\in\R$. Montr er que $a\in\Q+\mathsf{e}\N$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org47ef28f"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>On fixe $x\geq 0$. Determiner un equivalent simple de $u_n=(x+1)\cdots(x+n)$ de la forme $C(x)v_n(x)$ ou $C(x)$ est une constante qu'on ne cherchera pas a calculer et $v_n(x)$ est explicite.
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $C(k)$ pour $k\in\N$, et la limite de $C(x)$ quand $x\to+\i$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7b1e0b8"nil>
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<p>
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Soit $u_n$ le maximum de la fonction $x\mapsto(n-x)\ln(x)$ sur $[0,n]$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Trouver un equivalent de $u_n$.</li>
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<li>Soit $\lambda\in\R$. On pose, pour $n\geq 3$, $v_n=u_n-n\ln(n)+n+n\ln(\ln(n))+\lambda n$. Montr er que $v_n\to+\i$ si $\lambda\geq 0$ et $v_n\to-\i$ sinon.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org43327d8"nil>
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<p>
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Soit $(u_n)$ une suite telle que $u_0\gt 0$ et $\forall n\geq 0$, $u_{n+1}=u_n-e^{-1/u_n}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la limite de $(u_n)$.</li>
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<li>Montr er que, pour tout $\alpha\gt 0$ on a $n^{\alpha}u_n\to+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7085119"nil>
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<p>
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Determiner $\lim_{n\to+\i}\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$.
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</p>
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<p>
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Ind. Etudier si $n\geq m$, $a_{m,n}=\sqrt{1+m\sqrt{1+(m+1)\sqrt{1+\cdots+(n-1)\sqrt{1+n}}}}$, et considerer $a_{m,n}^2-(m+1)^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgff0ca1d"nil>
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<p>
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Soit $(u_n)$ une suite bornee. Montr er qu'il y a equivalence entre :
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</p>
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<p>
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(i) $\frac{1}{n}\sum_{k\lt n}|u_k|\to 0$,
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</p>
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<p>
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(ii) il existe $A\subset\N$ tel que $\frac{1}{n}\left|A\cap[0,n-1]\right|\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$ et $\lim_{n\notin A}u_n=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgccdb2cb"nil>
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<p>
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Etudier la convergence de la serie de terme general $\left|\sin(2\pi n!e)\right|^{\alpha}$ selon les valeurs du reel $\alpha\gt 0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga4c7df3"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$ une suite bornee telle que $\lim_{n\to+\i}\sum_{p=0}^{+\i}\frac{u_{n2^p}}{2^p}=1$.</li>
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</ul>
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<p>
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Que peut-on en dedaire sur la suite $\left(u_n\right)_{n\geq 0}$?
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(v - {n\in\N}$ une suite reelle bornee. On suppose $\lim_{n\to+\i}\left(v_n-\frac{1}{2}v_{2n}\right)=\frac{1}{2}$. Que dire $\left(v_n\right)_{n\in\N}$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1c3a7c9"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li><p>
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Soient $a\in\N^*$ et $n\in\N$. Montr er qu'il existe des entiers $c_j$, avec $0\leq j\leq a-1$, tels que $\sum_{k=0}^{+\i}\frac{k^n}{k!^a}=\sum_{k=0}^{+\i}\frac{\sum_{j=0}^ {a-1}c_jk^j}{k!^a}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montr er que les $c_j$ sont uniquees (on traitera d'abord le cas $a=2$).# 480</li>
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</ul>
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<p>
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Soient $a\in]0,1[$ et $n\in\N^*$. Notons $S_n=\sum_{k=0}^{+\i}\big{(}1-(1-a^k)^n\big{)}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que la somme est bien definie.</li>
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<li>Donner un equivalent de $S_n$ lorsque $n\to\i$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org116bbb3"nil>
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<p>
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Soient $f$ et $g:\R\to\R$ continues et croissantes. Soit $\lambda\gt 0$. Montrer qu'il existe un unique couple $(u,v)\in\R^2$ tel que $\lambda u+f(u-v)=\lambda v+g(v-u)=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgeb2f966"nil>
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<p>
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Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc6ee315"nil>
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<p>
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Soit $f:[0,1]\mapsto\R$ de classe $C^1$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que, pour tout $a\in\R$, $f'+af$ s'annule sur $]0,1[$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge4d2764"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ une fonction $C^{\i}$. Montrer que pour tout $n\gt 0$ et pour tout $x\gt 0$ il existe $c\in]x,x+n[$ tel que $\sum_{k=0}^n\binom{k}{n}(-1)^{n-k}f(x+k)=f^{(n)}(c)$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $\lambda\gt 0$ tel que $n^{\lambda}\in\N$ pour tout $n$. Montrer que $\lambda\in\N$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd3d28c4"nil>
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<p>
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On appelle polynome trigonometrique reel toute fonction $f\colon\R\to\R$ donnee par une formule $\forall x\in\R,\ f(x)=\sum_{k=-n}^na_ke^{ikx}$ avec $n\in\N$ et des constantes $a_k\in\C$. Trouver tous les couples $(f,g)$ de polynomes trigonometriques reels tels que $f^2+g^2=1$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd5e1035"nil>
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<p>
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Soient $a,b$ deux reels strictement positifs. Pour $x\gt 0$, on pose $f(x)=\left(\dfrac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner les limites de $f$ en $0^+$ et en $+\i$.</li>
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<li>On prolonge $f$ en $0$ en posant $f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$. La fonction $f$ est-elle continue? de classe $\mc C^1$? de classe $\mc C^2$? de classe $\mc C^{\i}$?</li>
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|
<li>Soit $g:x\mapsto f(1/x)$. Trouver une fonction $x\mapsto h(x)$ telle que, pour tout $n\in\N$, $g(x)-h(x)\underset{x\to 0^+}{=}o(x^n)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org594fcc1"nil>
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<p>
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Soit $f\colon\R\to\R$ continue. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes :
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>$f$ est croissante,</li>
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<li>pour tout intervalle $I\subset\R$ ouvert, pour toute $\phi\in\mc C^{\i}\left(I,\R\right)$, pour tout $x_0\in I$, si $f-\phi$ admet un minimum local en $x_0$, alors $\phi'\left(x_0\right)\geq 0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2ec3303"nil>
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|
<p>
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Soit $g\in\mc C^3([0,2],\R)$ telle que $g(0)=g(1)=g(2)=0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer : $\forall x\in[0,2]$, $\exists c\in[0,2]$, $g(x)=\dfrac{1}{6}x(x-1)(x-2)g^{(3)}(c)$.</li>
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<li>Montrer que $\int_0^2|g(x)|\ dx\leq\dfrac{1}{12}\|g^{(3)}\|_{\i}$.</li>
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|
<li>Montrer que $\left|\int_0^2g(x)\ dx\right|\leq\dfrac{1}{24}\left[\sup \left(g^{(3)}\right)-\inf\left(g^{(3)}\right)\right]$.# 489</li>
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</ul>
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<p>
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|
Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$, et $f,g\in\mc C^0([a,b],\R^{+*})$.
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</p>
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<p>
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On pose $ m=inf\limits<sub>[a,b]</sub>\dfrac{f}{g}$ et $ M=⊃\limits<sub>[a,b]</sub>\dfrac{f}{g}⋅$ Montrer que $\int_a^bf^2\int_a^bg^2\leq\dfrac{\left(M+m\right)^2}{4 Mm}\left(\int_a^bfg\right)^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org975f13d"nil>
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<p>
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Soient $ K:\left[0,1\right]<sup>2→\R</sup>$ et $f,g:\left[0,1\right]\to\R$ continues telles que :
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</p>
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<p>
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$\forall x\in\left[0,1\right]$, $ f\left(x\right)=∫<sub>0</sub><sup>1K</sup>(x,z)g(z)\,dz$ et $ g\left(x\right)=∫<sub>0</sub><sup>1K</sup>(x,z)f(z)\,dz$. Montrer que $ f=g$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga5a5ad6"nil>
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<p>
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Soit $E$ l'espace des fonctions $ f∈\mc C<sup>2</sup>(\R,\R)$ telles que
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</p>
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<p>
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$\sup\limits_{x\in\R}\left(1+x^2\right)\bigl{(}\left|f(x)\right|+ \left|f'(x)\right|+\left|f^{''}(x)\right|\bigr{)}\lt +\i$.
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</p>
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<p>
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|
Pour $(t,x)\in\R^2$, on definit $ A<sub>t</sub>(f)(x)=txf(x)+f'(x)$ et $ A<sub>t</sub><sup>*</sup>(f)(x)=txf(x)-f'(x)$.
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</p>
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<p>
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Montrer que $\forall t\in\R$, $\forall f\in E$, $\int_{-\i}^{+\i}A_t^*(A_t(f))(x)\,f(x)\,dx\geq 0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc3647cc"nil>
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<p>
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Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $ f<sub>1,…,f</sub><sub>n∈\R</sub><sup>[a,b]</sup>$. Montrer que $(f_1,\dots,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $ x<sub>1,…,x</sub><sub>n∈</sub>[a,b]$ tels que la matrice $(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}$ soit inversible.</li>
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|
<li>Soit $ E=\text{Vect}(f<sub>1,…,f</sub><sub>n</sub>)$. Montrer que toute limite simple de fonctions de $E$ est encore dans $E$.</li>
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<li>La convergence est-elle uniforme?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc73dce3"nil>
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<p>
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Posons $ A=\Q∩\left[\,0\,;\,1\,\right]$. Existe-t-il une suite $(f_n)$ de fonctions de $A$ dans $A$, continues sur $A$ et qui converge simplement sur $A$ vers une fonction $f$ qui n'est continue en aucun point de $A$? La convergence peut-elle etre uniforme?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org10e0f57"nil>
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<p>
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On considere l'ensemble $E$ des applications continues $ f:\R\mapsto\R$ telles qu'il existe $ M> 0$ verifiant $\forall x,y\in\R,\left|f(x+y)-f(x)-f(y)\right|\leq M$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $E$ est un espace vectoriel contenant le sous-espace des applications lineaires et celui des applications bornees.</li>
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<li>Soit $ f∈ E$. Pour $n\in\N$, on pose $ g<sub>n</sub>:x∈\R\mapsto 2<sup>-n</sup>f(2<sup>nx</sup>)$. Montrer que la suite $(g_n)$ converge uniformement vers une application lineaire $g$. En deduire que $f$ s'ecrit, de facon unique, comme somme d'une application lineaire et d'une application bornee.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8af979a"nil>
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<p>
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On considere une suite $(f - {n\geq 0}$ d'applications de $[0,1]$ dans $\R$ qui converge simplement sur $[0,1]$ vers une application continue $f$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose les $f_n$ de classe $C^1$ et de derivees uniformement bornees, c'est-a-dire qu'il existe $ C≥ 0$ tel que $\forall n,\ \ \|f_n'\|_{\i}\leq C$. Montrer que la convergence de $(f_n)$ vers $f$ est uniforme sur $[0,1]$.</li>
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|
<li>On suppose maintenant les $f_n$ de classe $C^k$ pour un entier $ k∈\N<sup>*</sup>$ et de derivees $k$-iemes uniformement bornees. La convergence de la suite $(f_n)$ est-elle toujours uniforme sur $[0,1]$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org16b38d9"nil>
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<p>
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Pour $ n∈\N<sup>*</sup>$ et $ x∈\R^+$, on pose $ f<sub>n</sub>(x)=cos\biggl{(}\dfrac{x}{\sqrt{n}}\biggr{)}\,\mathbf{1}_{\left[1,\frac{ π\sqrt{n}}{2}\right]}(x)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $(f_n)$ converge simplement vers une fonction $ f$ que l'on precisera. - Montrer qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall x\in\R^+,\ \forall n\in\N^*,\ |f_n(x)-f(x)|\leq\frac{C}{\sqrt{n}}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4255934"nil>
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<p>
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Soit $(f - {n\in\N}$ une suite de fonctions appartenant a $\mc C^3(\R,\R)$ et $C$ une constante reelle positive. On suppose : (i) $\sup_{n\in\N}\|f_n^{(3)}\|_{\i}\leq C$, (ii) $\lim_{n\to+\i}\|f_n\|_{\i}=0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\lim\|f_n'\|_{\i}=\lim\|f_n^{''}\|_{\i}=0$.</li>
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<li>Les resultats precedents restent-ils vrais si on ne fait plus l'hypothese (i)?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org14505b7"nil>
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<p>
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On note $E=\mc C^0([0,1],\R)$. Si $f\in E$, on definit la fonction $T(f)$ par $T(f)(0)=f(0)$ et $ T(f)(x)=\frac{1}{x}∫<sub>0</sub><sup>xf</sup>(t)dt$ pour $x\in\,]0,1]$.
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</p>
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<p>
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On definit par recurrence sur $n\in\N$, $T^{n+1}(f)=T(T^n(f))$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $T$ est bien definie comme fonction de $E$ dans lui-meme.</li>
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<li>Soit $f\in E$. On suppose qu'il existe $\eps\gt 0$ tel que $f(x)=0$ si $x\in[0,\eps]$. Montrer que $T^nf$ converge uniformement vers la fonction nulle quand $n\to+\i$.</li>
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|
<li>Etudier le comportement de $(T^n(f))_{n\geq 0}$ quand $n\to+\i$ pour tout $f$ continue.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgabe2722"nil>
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<p>
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Soit $ F:x\mapsto∑<sub>k=0</sub><sup>+\i</sup>\left(-1\right)<sup>kx</sup><sup>2<sup>k</sup></sup>$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le domaine de definition de $F$.</li>
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<li>Trouver une relation entre $F\left(x\right)$ et $F\left(x^2\right)$.</li>
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</ul>
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<p>
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On pose $ G:x\mapsto∑<sub>k=0</sub><sup>+\i</sup>x<sup>4<sup>k</sup></sup>\left(1-x<sup>4<sup>k</sup></sup>\right)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $ G\left(x\right)$ converge pour tout $x\in\,]0,1[$.</li>
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<li>Trouver une relation entre $F$ et $G$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf2c2c94"nil>
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<p>
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Soient $\alpha\gt 0$ et, pour $n\in\N^*$, $ f<sub>n</sub>:x\mapsto\frac{\sin nx}{n<sup>α</sup>}$. La serie $\sum f_n$ converge-t-elle simplement sur $\R$? Pour quels $\alpha$ a-t-on convergence uniforme?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgaf15bbf"nil>
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<p>
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On pose $ g:x\mapsto\frac{1}{x}-∑<sub>n=1</sub><sup>+\i</sup>\frac{2x}{n^2-x^2}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $g$ est definie et continue sur $\R\setminus\Z$.</li>
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<li>Montrer que $g$ est 1-periodique.</li>
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<li>Etablir une relation entre $ g\left(\frac{x}{2}\right)$, $ g\left(\frac{x+1}{2}\right)$ et $ g(x)$ des que les termes font sens.</li>
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<li>En deduire que $\pi\,\mathrm{cotan}(\pi x)=g(x)$ pour tout $x\in\R\setminus\Z$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org86b2962"nil>
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<p>
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Soit $(a_n)$ une suite de reels positifs tels que $\sum a_n$ diverge.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour tout intervalle de longueur non nulle $I$, il existe $x\in I$ tel que la serie $\sum a_n\cos(nx)$ ne converge pas absolument. On pourra d'abord montrer que, pour tout $ a< b$ et tout $N$ il existe $M\in\N$ et $ x∈[a,b]$ tel que $\sum_{n=0}^Ma_n\cos^2(nx)\gt N$. - Existe-t-il des exemples ou la serie converge sur un intervalle non trivial?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org249941e"nil>
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<p>
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Soit une suite $\left(a_n\right)_{n\in\N}$ telle que $\forall n\in\N$, $a_{n+2}=\frac{n+3}{n+2}a_{n+1}+\frac{3n+7}{n+1}a_n$. Montrer que le rayon de convergence de $\sum a_nz^n$ est strictement positif et trouver un minorant de ce rayon.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7119f0d"nil>
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<p>
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Soit $\left(a_n\right)_{n\geq 0}$ une suite de nombres reels. Pour $n\in\N$, on pose $s_n=a_0+\cdots+a_n$ et $\sigma_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^ns_k$. On considere les assertions :
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</p>
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<p>
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(i) la suite $(\sigma_n)$ converge,
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</p>
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<p>
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(ii) $f(x)=\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$, et $\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)$ existe (et est finie).
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</p>
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<p>
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A-t-on (i) $\Longrightarrow$ (ii)? A-t-on (ii) $\Longrightarrow$ (i)?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4dad060"nil>
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<p>
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Etudier la limite de $f(x)=\sum_{k=0}^{+\i}(-1)^kx^{k!}$ lorsque $x$ tend vers $1^-$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1c14d80"nil>
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<p>
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On pose, pour $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $\zeta(k)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^k}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour tout $x\in]-1,1[$, on a $\int_0^1\frac{1-t^x}{1-t}\,dt=\sum_{k=1}^{+\i}(-1)^{k+1} \zeta(k+1)x^k$.</li>
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<li>En deduire la valeur de $S=\sum_{k=1}^{+\i}(\zeta(2k)-\zeta(2k+1))$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd39945a"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $\lambda\in\R$. Determiner s'il existe $y:\R\to\R$ developpable en serie entiere telle que $xy^{''}+(1-x)y'-\lambda y=0$.
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose $\lambda=2$. Expliciter les solutions sur $\R^{+*}$ et $\R^{-*}$ (on admet que sur chacun des deux intervalles l'ensemble des solutions est un espace vectoriel de dimension 2).</li>
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<li>Determiner les solutions sur $\R$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4063333"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $I$ un intervalle de $\R$ et $f_1,\ldots,f_n\in\mc C^{n-1}(I,\R)$.
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</p>
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<p>
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On note $W_n(f_1,\ldots,f_n)=\begin{vmatrix}f_1&f_2&\cdots&f_n\\ f_1'&f_2'&\cdots&f_n'\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ f_1^{(n-1)}&f_2^{(n-1)}&\cdots&f_n^{(n-1)}\end{vmatrix}$.Ind. On admettra que, si $a_0,\ldots,a_{n-2}$ sont des fonctions continues sur $I$, alors l'ensemble des solutions de l'equation differentielle $y^{(n-1)}+a_{n-2}(t)y^{(n-2)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=0$ est un espace vectoriel de dimension $n-1$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7d38b02"nil>
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<p>
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Soient $\lambda\gt 0$ et $x,y:\R^+\to\R$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ telles que $x(0)\gt 0$, $y(0)\gt 0$, $x'=-xy$ et $y'=xy-\lambda y$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $x$ et $y$ admettent des limites en $+\i$. Ces limites sont-elles nulles?</li>
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<li>Montrer qu'il existe $K\gt 0$ et $\mu\gt 0$ tels que $y(t)\sim Ke^{-\mu t}$ quand $t\to+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1136ecc"nil>
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<p>
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Determiner les extrema de $f:(x,y)\mapsto 3x^2+2xy+2y^2-x^4$ sur le disque unite ferme et les points en lesquels ils sont atteints.
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</p>
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</div>
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### Probabilites
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<div class="exercice" id="org8c25151"nil>
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<p>
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On a un de equilibre a $N$ faces numerotees de 1 a $N$, et on effectue une suite de lancers independants. Le jeu s'arrete lorsque le resultat du lancer $n+1$ est strictement inferieur a celui du lancer $n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer la probabilite $\pi_k$ que le jeu s'arrete apres le rang $k$.</li>
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<li>Montrer que $\pi_k$ tend vers 0 pour $k\to+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org360107c"nil>
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<p>
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Soient $a\in\R$, $q\geq 3$ et $(X_n)$ une suite de variables aleatoires mutuellement independantes et uniformes sur $\left\{\frac{k}{q},\ k=0,\ldots,q-1\right\}$. On definit la suite $(T_n)$ par : $T_0=0$ et $\forall n,T_{n+1}=T_n+a+\sin(2\pi(T_n-X_n))$. Determiner l'esperance de $T_n$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2cd5101"nil>
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<p>
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On dispose de $N$ pieces equilibrees. On lance les $N$ pieces de maniere independante. On note $X_1$ le nombre de < < pile > > obtenus. On relance ces $X_1$ pieces et on note $X_2$ le nombre de < < pile > > obtenus…
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer la fonction generatrice de $X_2$.</li>
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<li>Calculer la fonction generatrice de $X_k$, pour $k\geq 3$.</li>
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<li>Soit $T$ l'instant ou l'on n'a plus de piece. Calculer $\mathbf{E}\left(T\right)$ dans le cas ou $N=4$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb3a7c68"nil>
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<p>
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Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires discretes independantes telles que $Y$ prenne un nombre fini de valeurs, et $\mathbf{E}(Y)=0$. On suppose que $|X|$ admet une esperance. Montrer que $\mathbf{E}(|X-Y|)\geq\mathbf{E}(|X|)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb44da75"nil>
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<p>
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On tire une piece $n$ fois independamment avec probabilite de faire pile $1/n$. Soit $p_n$ la probabilite d'obtenir un nombre impair de fois pile. Etudier le comportement de $p_n$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6e2702e"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\forall x\in\R$, $\mathrm{ch}(x)\leq e^{x^2/2}$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Soit $\lambda\in\R^{+*}$. Montrer que $\mathbf{P}(S_n\geq\lambda)\leq e^{-\lambda^2/2n}$.<sub>Algebre</sub>_</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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# Mines
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<div class="exercice" id="org46caf04"nil>
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<p>
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Determiner les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc1437d3"nil>
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<p>
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Soient $p$ un nombre premier et $C_p$ l'ensemble des $z\in\C$ tels qu'il existe $n\in\N$ verifiant $z^{p^n}=1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $C_p$ est un sous-groupe infini de $\C^*$.</li>
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<li>Determiner les sous-groupes de $C_p$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfe0b3e2"nil>
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<p>
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Determiner tous les couples $(m,n)\in\N^2$ verifiant : $3^m=8+n^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="org2134437"nil>
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<p>
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Nécessairement, $m$ pair, donc cela s'écrit $3^{2m} - n^2 = 8$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org10efa73"nil>
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<p>
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Soient $p,q$ deux entiers superieurs ou egaux a $2$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que si $q^p-1$ est premier, alors $q=2$ et $p$ est premier.</li>
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<li>On suppose que $p$ est premier et l'on note $k\in\N^*$ un diviseur de $2^p-1$. Montrer que : $k\equiv 1\,[2p]$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5226ff4"nil>
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<p>
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Soit $A=\{n\in\N,\ 2^n+1\equiv 0\ [n]\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $3$ est l'unique nombre premier appartenant a $A$.</li>
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<li>Montrer que $A$ contient toutes les puissances entieres de $3$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga619dd7"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $n\gt 6$ un entier. Montrer qu'il existe un couple $(a,b)\in(\N\setminus\{0,1\})^2$ tel que $a+b=n$ et $a\wedge b=1$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(p_n)$ la suite croissante des nombres premiers. Montrer que, pour tout $k\geq 3$, $p_1\cdots p_k\geq p_{k+1}+p_{k+2}$. Ind. Utiliser la premiere question avec $n=p_1\cdots p_k$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org16832c7"nil>
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<p>
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On ecrit $n\in\N$ en base $p\in\mc{P}:n=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_kp^k$ et l'on pose $S_p(n)=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_k$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $k\in[\![0,n]\!]$. Montrer que : $v_p{n\choose k}=\frac{S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n)}{p-1}$.</li>
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<li>Exprimer $v_p{n\choose k}$ en fonction des retenues dans l'addition de $n-k$ et $k$ en base $p$.</li>
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<li>Est-ce que $7$ divise ${1000\choose 500}$?</li>
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<li>Montrer que $2$ divise ${2n\choose n}$. Etudier la divisibilite par $4$ pour $n\geq 2$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge5d94b1"nil>
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<p>
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Soient $G$ un groupe et $k\in\N$.
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</p>
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<p>
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On suppose que : $\forall i\in[\![k,k+2]\!],\forall(a,b)\in G^2,(ab)^i=a^ib^i$. Montrer que $G$ est abelien.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgba51bce"nil>
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<p>
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Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique. Trouver un contre-exemple dans le cas ou $G$ n'est pas commutatif.# 526
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Montrer que $H$ est cyclique d'ordre divisant $n$. Soit $d$ un diviseur de $n$. Montrer qu'il existe un unique sous-groupe de $G$ d'ordre $d$.</li>
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<li>On note $\phi$ l'indicatrice d'Euler. Soient $n\in\N^*$ et $D(n)$ l'ensemble des diviseurs positifs de $n$. Montrer l'egalite $n=\sum_{d\in\mc{D}(n)}\phi(d)$.</li>
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|
<li>Montrer que si $p$, $q\in\N^*$ sont premiers entre eux, alors $\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $\phi(n)$ en fonction de la decomposition en facteurs premiers de $n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7cc31e0"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $a\in\R$. Montrer que $a\Z=\{ax,\,x\in\Z\}$ est un sous-groupe de $(\R,+)$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $G$ un sous-groupe de $(\R,+)$ non reduit a $\{0\}$.</li>
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<li>Montrer que $a=\inf\left(G\cap\R^{+*}\right)$ existe.</li>
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<li>On suppose $a\neq 0$. Montrer que $G=a\Z$.</li>
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<li>On suppose $a=0$. Montrer que $G$ est dense dans $\R$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5fd1aa3"nil>
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<p>
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Soit $p$ un nombre premier impair.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>D enombrer les carres de $\mathbb{F}_p$.</li>
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<li>Montrer que $-1$ est un carre de $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p\equiv 1$[4].</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3260aed"nil>
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<p>
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Soient $A$ un anneau commutatif integre et $(a_0,\ldots,a_n)$ une famille non nulle d'elements de $A$. Montrer que l'equation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ admet au plus $n$ solutions dans $A$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6e890c7"nil>
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<p>
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On pose $\Z[i]=\{a+ib,\ (a,b)\in\Z^2\}$.
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</p>
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<p>
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Montrer que $\Z[i]$ est un anneau integre et determiner ses inversibles.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcbc4d8a"nil>
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<p>
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en Soit $A$ un anneau commutatif.
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</p>
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<p>
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Si $I$ est un ideal de $A$, on note $R(I)=\{x\in A\ ;\ \exists n\in\N,\ x^n\in I\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $R(I)$ est un ideal de $A$ contenant $I$.</li>
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<li>Soient $I$ et $J$ deux ideaux de $A$. Montrer :</li>
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</ul>
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<p>
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$R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ ; $R(I)+R(J)\subset R(I+J)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Pour cette question, $A=\Z$. Montrer que l'ensemble des entiers naturels non nuls tels que $R(n\Z)=n\Z$ est l'ensemble des entiers naturels non nuls dont la decomposition primaire ne comporte aucun facteur premier d'exposant au moins egal a 2.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5a4e5b2"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de meme module tels que, pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $\left|\sum_{k=1}^nz_k\right|=\left|\sum_{k=1}^nz_k-z_i\right|$. Calculer $\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge8d8bad"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer qu'il existe une unique suite $(P_n)$ de polynomes a coefficients dans $\Z$ verifiant : $\forall n\in\N,\forall x\in\R^*,P_n\left(x+\frac{1}{x} \right)=x^n+\frac{1}{x^n}$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $a\in\Q$ tel que $\cos(a\pi)\in\Q$. Montrer que : $2\cos(a\pi)\in\Z$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga0d939c"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n\in\R[X]$ tel que$∀θ∈\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[},\ \frac{\sin((2n+1)\theta)}{sin<sup>2n+1</sup>( θ)}=P<sub>n</sub>(\text{cotan}<sup>2θ</sup>).$
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner les racines de $P_n$ et calculer leur somme.</li>
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<li>Montrer que, pour $\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$, $\text{cotan}<sup>2θ<</sup> \frac{1}{\theta^2}< \text{cotan}<sup>2θ</sup>+1.$</li>
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|
<li>Deduire de ce qui precede la valeur de $∑<sub>n=1</sub><sup>+\i</sup>\frac{1}{n^2}.$</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga9e2919"nil>
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<p>
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Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n$. Montrer qu'il existe $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$ tel que $|P(k)|\geq\frac{n!}{2^n}$.
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</p>
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</div>
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<div class="proof" id="orgbbd2487"nil>
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<p>
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Interpolation de Lagrange.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga59654f"nil>
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<p>
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Soit $P\in\C[X]$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\C$ sur $\C\,?$</li>
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<li>A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\R$ sur $\R\,?$</li>
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<li>A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\Q$ sur $\Q\,?$</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org58588f2"nil>
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<p>
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On pose $B_0=1$ et pour tout $k\in\N^*$, $B_k=\frac{1}{k!}X(X-1)…(X-k+1)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que pour tout $N\in\N$, la famille $(B_0,…,B_N)$ est une base de $\R_N[X]$.</li>
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<li>Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $P(\N)\subset\Z$ alors $P(\Z)\subset\Z$.</li>
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<li>Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $\exp(2i\pi P(n))\xrightarrow[n\to+\i]{}1$ alors $P(\Z)\subset\Z$.</li>
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|
<li>Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $P(n)-\lfloor P(n)\rfloor\xrightarrow[n\to+\i]{}1$ alors $P(\Z)\subset\Z$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc7a9904"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N^*$ et $k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$. Soit $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in\C[X]$ polynome de degre $n$ tel que $(X-1)^k|P$. On note $\mu(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. On veut montrer que $\mu(P)\geq k+1$. On raisonne par l'absurde et on pose $A=\{i\in\llbracket 0,n\rrbracket,\ a_i\neq 0\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>On pose $P_0=1$ et $P_s=\prod_{j=0}^{s-1}(X-j)$ pour $s\in\N^*$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $\forall s\in\llbracket 0,k-1\rrbracket,\ P^{(s)}(1)=\sum_{i\in A}a_iP_s(i)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>En deduire que $\forall i\in A$, $a_i=0$, et conclure.</li>
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<li>L'inegalite demontree est-elle optimale?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6fc8b5e"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $P\in\R[X]$ simplement scinde sur $\R$ et non constant. Montrer que, si $\lambda\in\R$, $P'-\lambda P$ est simplement scinde sur $\R$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Le resultat de la question precedente s'etend-il a $P^{''}-\lambda P\,?$ Comment le generaliser?</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4c1edeb"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li><p>
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Soit $P$ un polynome irreductible dans $\Q[X]$. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $k\in\N^*$, $P\in\Q[X]$ non constant avec $\deg(P)\leq 2k-1$, $\alpha\in\C$ une racine de $P$ de multiplicite $k$. Montrer que $\alpha$ est rationnel.# 541</li>
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</ul>
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<p>
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Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ avec : $a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n\gt 0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que les racines complexes de $P$ sont de module superieur ou egal a $1$.</li>
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<li>Soit $z\in\C$ tel que $P(z)=0$. Montrer $\min_{k\in[0,n-1]}\frac{a_k}{a_{k+1}}\leq|z|\leq\max_{k\in[0,n-1] }\frac{a_k}{a_{k+1}}$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1cc735a"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $P\in\R[X]$ de degre $n\geq 1$. Soit $x\in\R$. On considere la suite $\left(P^{(k)}(x)\right)_{k\in[0,n]}$.</li>
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</ul>
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<p>
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On note $v(x)$ le nombre de changements de signe stricts :
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</p>
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<p>
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Soit $a\lt b$ tel que $P(a)P(b)\neq 0$. Montrer que si l'on note $\mu(a,b)$ le nombre de racines comptees avec multiplicite sur $[a,b]$ de $P$ comptees avec multiplicite, alors :
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</p>
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<p>
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$\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $μ(a,b)≡ v(a)-v(b)$$[2]$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $P=a_0+\cdots+a_nX^n\in\R[X]$ non constant. On pose $V(P)$ le nombre de changements de signe stricts de la suite $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ et $\mu(P)$ le nombre de racines strictement positives comptees avec multiplicite. Montrer que $\mu(P)\leq V(P)$ et $μ(P)≡ V(P)$$[2]$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbeaa6be"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $P\in\C[X]\setminus\{0\}$. Decomposer $P'/P$ en elements simples.
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<ul class="org-ul">
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<li>On note $a_1,…,a_n$ les racines de $P$. Soit $a$ une racine de $P'$. Montrer qu'il existe des reels positifs $t_1,…,t_n$ tels que $t_1+\cdots+t_n=1$ et $t_1a_1+\cdots+t_na_n=a$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org196ac27"nil>
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<p>
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Soit $P\in\R[X]$ un polynome de degre $n\geq 2$, ayant $n$ racines reelles distinctes et non nulles $a_1\lt …\lt a_n$. Calculer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(a_i)}$ et $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_iP'(a_i)}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1483a5d"nil>
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<p>
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Soit $P\in\C[X]$ un polynome unitaire de degre $n$. On note $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ses racines comptees avec multiplicite. On suppose que $P$ est a coefficients entiers.
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</p>
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<p>
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Montrer que, pour tout $q\in\N^*$, $P_q=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^q)$ est a coefficients entiers.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf197706"nil>
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<p>
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Soit $\mathbb{K}=\Q+\sqrt{2}\Q+\sqrt{3}\Q+\sqrt{6}\Q$. Montrer que $\mathbb{K}$ est un $\Q$-sous-espace vectoriel de $\R$ et que $(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ est une base de $\mathbb{K}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org14b7481"nil>
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<p>
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Quelle est la dimension du $\Q$-sous-espace de $\R$ engendre par $\mathbb{U}_5$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org41564ed"nil>
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<p>
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Soient $x,y,z$ des rationnels non nuls. Montrer que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}x&y&z\\ 2y&z&2x\\ z&x&2y\end{array}\right)$ est inversible.# 549
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Soient $x,y\in\R$ et $D=\begin{vmatrix}1&0&1&0&0\\ x&1&y&1&0\\ x^2&2x&y^2&2y&2\\ x^3&3x^2&y^3&3y^2&6y\\ x^4&4x^3&y^4&4y^3&12y^2\end{vmatrix}$. Montrer que $D=0$ si et seulement si $x=y$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4748bfe"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ dont on note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes. Soit $B$ la matrice dont les colonnes sont $C'_1,\ldots,C'_n$ avec : $C'_j=\sum_{i\neq j}C_i$. Determiner $\det B$ en fonction de $\det A$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbb03e69"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $p\in\N^*$, $a_1,\ldots,a_p\in\R$ non tous nuls et $b_1,\ldots,b_p\in\R$ avec $b_1\lt \cdots\lt b_p$. Montrer que $f_p:x\in\R\mapsto\sum_{i=1}^pa_ie^{b_ix}$ s'annule au plus $p-1$ fois sur $\R$.
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $n\in\N^*$. Soient $\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_n$ et $\beta_1\lt \cdots\lt \beta_n$ des reels. Montrer que : $\det\big{(}e^{\alpha_i\beta_j}\big{)}_{1\leq i,j\leq n}\gt 0$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org61bc717"nil>
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<p>
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Soit $f\in\mc{L}(E)$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que $\op{rg}f=\op{rg}f^2$ si et seulement si $E=\op{Ker}f\oplus\op{Im}f$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2fa2cb0"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer l'equivalence entre les trois proprietes suivantes :
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<ul class="org-ul">
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<li>$\op{Im}(u)=\op{Im}(u^2)$</li>
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<li>$\op{Ker}(u)=\op{Ker}(u^2)$</li>
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<li>$E=\op{Im}(u)\oplus\op{Ker}(u)$.</li>
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</ul></li>
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<li>Donner des exemples d'endomorphismes verifiant ces proprietes.</li>
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<li>L'equivalence est-elle vraie en dimension infinie? Montrer que $(i)$ et $(ii)$ equivaut a $(iii)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge98a480"nil>
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<p>
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Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que $h\in\mc{L}(E)$ est une transvection s'il existe $\phi\in\mc{L}(E,\mathbb{K})$ non nulle et $a\in E$ non nul tels que : $\forall x\in E$, $h(x)=x+\phi(x)a$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que $\op{rg}(u-\op{id})=1$ et $(u-\op{id})^2=0$. Montrer que $u$ est une transvection. La reciproque est-elle vraie?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org568ac4d"nil>
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<p>
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Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semblables a $A$ appartiennent au commutant de $M$. Determiner $M$. Meme question dans $\M_n(\C)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc775436"nil>
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<p>
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Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non necessairement distinctes) du polynome $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$.
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</p>
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<p>
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Calculer, pour $n\in\N^*$, le determinant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org730073b"nil>
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<p>
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${}^{\bigstar}$ Soit $n\in\N^*$. Calculer $\det((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n})$.
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</p>
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<p>
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Ind. On rappelle que, pour $N\in\N^*$, $N=\sum_{d|N}\phi(d)$ ou $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf92c13f"nil>
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<p>
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Soient $K_1$,…, $K_n$ des segments non triviaux disjoints.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, si $P\in\R_{n-1}[X]$ verifie $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,…,n\}$, alors $P=0$. - Montrer qu'il existe $P\in\R_n[X]$ non nul tel que $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,…,n\}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org92fbdb8"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner le rang de $\,\text{Com}(A)$ en fonction du rang de $A$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\,\text{Com}\,\left(\text{Com}(A)\right)$ lorsque $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$.</li>
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<li>Montrer que si $X$ est un vecteur propre de $A$ associe a une valeur propre non nulle, alors $X$ est un vecteur propre de $\,(\,\text{Com}(A))^T$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2968a26"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N^*$. Soit $D$ l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\mathbb{K})$ telles que $m_{i,j}=0$ si $i$ et $j$ sont de parites differentes.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $D$ est une sous-algebre de $\M_n(\mathbb{K})$.</li>
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<li>Soit $M\in D\cap\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $\,\text{Com}(M)\in D$.</li>
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<li>Traiter le cas ou $M$ n'est pas inversible.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org40d0f4f"nil>
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<p>
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Trouver les solutions dans $\M_2(\R)$ de $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8ea2560"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AB=0$.
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</p>
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<p>
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Montrer $\forall k\geq 1$, $\mathrm{tr}(A^k)+\mathrm{tr}(B^k)=\mathrm{tr}\left((A+B)^k\right)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdb7a872"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f\in\mc{L}\left(\M_n(\mathbb{K}),\mathbb{K}\right)$ verifiant : $\forall(A,B)\in\M_n(\mathbb{K})^2,f(AB)=f(BA)$. Montrer que $f$ est proportionnelle a la trace.
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $g\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ un endomorphisme d'algebre. Montrer que $\mathrm{tr}\circ g=\mathrm{tr}$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf997041"nil>
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<p>
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Soit $f\colon\M_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ non constante telle que : $\forall A,B\in\M_n(\mathbb{K})$, $f(AB)=f(A)f(B)$. Montrer que $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\Longleftrightarrow f(A)\neq 0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org16a0c8a"nil>
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<p>
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Soient $A,B$ dans $\M_n(\R)$. Montrer que $\mathrm{Ker}\,A=\mathrm{Ker}\,B$ si et seulement s'il existe $P$ inversible telle que $B=PA$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgae02033"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer l'equivalence entre : i) $u^2=0$ et $\exists v\in\mc{L}(E),\,u\circ v+v\circ u=\mathrm{id}$, ii) $\mathrm{Im}\,u=\mathrm{Ker}\,u$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8544bdb"nil>
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<p>
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Soient $A=\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $N=A-I_n$.
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</p>
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<p>
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Soit $(E)$ l'equation matricielle $X^2=A$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Quelles sont les matrices qui commutent avec $N$? - Montrer que les solutions de $(E)$ sont de la forme $X=\pm\begin{pmatrix}1&a_1&\cdots&a_{n-1}\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a_1\\ 0&\cdots&0&1\end{pmatrix}$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer qu'il y a au plus deux solutions.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler le developpement limite a l'ordre $n$ de $x\mapsto\sqrt{1+x}$. Resoudre $(E)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org18b07be"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\det(A+I_n)$.</li>
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<li>Soit $M\in\M_n(\C)$ telle que $AM=MA$. Calculer $\det(A+M)$. On commencera par le cas ou $M\in\mathrm{GL}_n(\C)$.</li>
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<li>Le resultat est-il toujours vrai si $AM\neq MA$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9b8c682"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(u,v)\in\mc{L}(E)^2$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $|\op{rg}(u)-\op{rg}(v)|\leq\op{rg}(u+v) \leq\op{rg}(u)+\op{rg}(v)$.</li>
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<li>Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $G$ et $H$ deux supplementaires de $F$. On note $p$ (resp. $q$) la projection sur $F$ (sur $H$) parallelement a $G$ (a $F$).</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $\op{rg}(p+q)=\op{rg}p+\op{rg}q$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org924ec4b"nil>
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<p>
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Determiner les parties $G$ de $\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ soit un groupe multiplicatif et $G$ ne soit pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge63b7b8"nil>
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<p>
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Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $\sum_{M\in G}\text{Tr}(M)$ est un entier divisible par le cardinal de $G$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf1e0c2d"nil>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ tel que $\sum_{g\in G}\op{tr}g=0$. Montrer que $\sum_{g\in G}g=0$.
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>Soient $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$ stable par tous les elements de $G$. Montrer que $V$ admet un supplementaire stable par tous les elements de $G$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge9137cc"nil>
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<p>
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Determiner les ideaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes additifs stables par multiplication a gauche et a droite par n'importe quel element de $\M_n(\R)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org495e35f"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $f$ et $g$ deux elements de $\mc{L}(E)$ tels que $fg-gf=\text{id}_E$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $E$ est de dimension infinie ou nulle.</li>
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|
<li>Montrer que $f$ n'est pas nilpotent.</li>
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|
<li>Donner un exemple de triplet $(E,f,g)$ verifiant les conditions precedentes.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orga493cf2"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\R)$.
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|
</p>
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $|\det A|\leq\prod_{i=1}^n\Big{(}\sum_{j=1}^n|A_{i,j}|\Big{)}$.</li>
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|
<li>Lorsque $\det A\neq 0$, etudier le cas d'egalite.# 576</li>
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</ul>
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<p>
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Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une partie $S$ de $\mc{L}(E)$ est dite dense si, pour tout $n\geq 1$, toute famille $(b_1,\ldots,b_n)$ de vecteurs de $E$ et toute famille libre $(a_1,\ldots,a_n)$ de vecteurs de $E$, il existe $f\in S$ tel que $f(a_i)=b_i$ pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Quelles sont les parties denses de $\mc{L}(E)$ si $E$ est de dimension finie?</li>
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<li>Dans cette question, on suppose que $E$ n'est pas de dimension finie.</li>
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<li>Montrer que $\{f\in\mc{L}(E),\ \mathrm{rg}\,f\lt +\i\}$ est dense dans $\mc{L}(E)$.</li>
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<li>Meme question avec $\{f\in\mc{L}(E);\ \mathrm{rg}\,f$ est fini et pair$\}$.</li>
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<li>Si $S$ est dense dans $\mc{L}(E)$, determiner $\{g\in\mc{L}(E)\ ;\forall f\in S,\ fg=gf\}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org52541c8"nil>
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<p>
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Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ verifiant : $\forall(i,j,k,\ell)\in\llbracket 1,n\rrbracket^4,M_{i,j}M_{k,\ell}= \delta_{j,k}M_{i,\ell}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\mathrm{Im}\,M_{i,j}$ est independante de $j$. On la notera $F_i$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^nF_i$.</li>
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<li>En deduire $\dim F_i$.</li>
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<li>Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que : $\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,M_{i,j}=PE_{i,j}P^{-1}$.</li>
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<li>Expliciter les automorphismes de l'algebre $\M_n(\mathbb{K})$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org63a846c"nil>
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<p>
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Soit $U$ une partie de $\M_n(\C)$ non vide, finie et stable par produit. Montrer qu'il existe $M\in U$ tel que $\mathrm{tr}\,M\in\{0,\ldots,n\}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb4e1a03"nil>
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<p>
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Pour tout $x\in\R$, on pose $A_x=\begin{pmatrix}0&x\\ x&0\end{pmatrix}$. Determiner la structure de l'ensemble : $\{\exp(A_x),\ x\in\R\}$ et expliciter $\exp(A_x)$ pour tout $x\in\R$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4765399"nil>
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<p>
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Soit $M\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec $M$ est $\text{Vect}(I_n,M,\ldots,M^{n-1})$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org70a1809"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $u^n=\mathrm{id}$. Pour $b\in E$ et $\lambda\in\R$, resoudre $x+\lambda u(x)=b$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge5c2e72"nil>
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<p>
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Soit $Z=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\ \vdots&&\vdots\\ 1&\cdots&1\end{pmatrix}\in\M_n(\C)$. Calculer $\chi_{Z^2}$. La matrice $Z$ est-elle diagonalisable?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org86a4952"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N^*$, $U=(u_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},\ V=(v_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}\in\M_n(\R)$ ou $u_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i\leq n-1$, les autres coefficients etant nuls, $v_{i,j}=1$ si $j\gt i$, les autres coefficients etant nuls.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer le polynome minimal de $U$.</li>
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<li>Montrer que $U$ et $V$ sont semblables.# 584</li>
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</ul>
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<p>
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Soient $a_1\lt …\lt a_n$ des reels et $M=\begin{pmatrix}a_1+1&1&\dots&1\\ 1&a_2+1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\dots&1&a_n+1\end{pmatrix}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner le polynome caracteristique de $M$.</li>
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<li>Montrer que $M$ est diagonalisable et que ses espaces propres sont des droites.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgad13990"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$, $a,b\in\R$ et $P=X^2+aX+b$. On suppose que $P$ est irreductible sur $\R$ et annulateur de $u$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Montrer que $F_x=\op{Vect}(x,u(x))$ est un plan stable par $u$.</li>
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<li>Soient $F$ un sous-espace vectoriel stable par $u$ et $x\in E\setminus F$. Montrer que $F\cap F_x=\{0\}$.</li>
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<li>Montrer que $u$ est diagonalisable par blocs identiques de taille $2\times 2$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org13facfb"nil>
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<p>
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Ecrire l'ensemble des matrices symetriques de $\M_2(\C)$ non diagonalisables comme reunion de deux plans vectoriels prives de leur droite d'intersection.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc1c21af"nil>
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<p>
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Soient $a,b$ dans $\R^*$ et $A$ la matrice de taille $2n$ dont la diagonale contient des $a$, l'anti-diagonale des $b$ et les autres coefficients sont nuls.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Determiner ses elements propres.</li>
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<li>A quelle condition $A$ est-elle inversible?</li>
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<li>Calculer $A^k$ pour $k\in\N$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6cbf0c2"nil>
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<p>
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Soient $A=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 1&0&0&&\vdots\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&0&1\\ 1&\ddots&&&0\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$ dans $\M_n(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles et preciser le sous-groupe $G$ de $\op{GL}_n(\R)$ engendre par ces matrices.</li>
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<li>Dans le cas $n=3$, preciser les matrices de $G$ qui sont diagonalisables.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org54dbb56"nil>
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<p>
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Soit $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $\R[X]$ defini par
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</p>
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<p>
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$\forall P\in\R[X],\ u(P)=(X^2-1)P^{''}+4XP'$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que le spectre reel de $u$ est l'ensemble $\{n(n+3),\ n\in\N\}$, et que les espaces propres associes sont des droites vectorielles.</li>
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<li>Pour $n\in\N$, on note $P_n$ l'unique polynome unitaire generateur de la droite propre associee a $n(n+3)$. Trouver une relation entre $P_n$, $P_{n-1}$ et $P_{n-2}$ pour $n\geq 2$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcfdc9cc"nil>
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<p>
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Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Caracteriser les matrices $A$ telles que $u_A$ soit un automorphisme de $E$.</li>
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<li>Calculer determinant et trace de l'endomorphisme $u_A$.</li>
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<li>Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7df3947"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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Soient $A,B\\in\\M\_n(\\R)$ non nulles et $f:M\\in\\M\_n(\\R)\\mapsto M+\\op{tr}(AM)B$. - Determiner un polynome de degre $2$ annulateur de $f$. - Etudier la diagonalisabilite de $f$.
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<div class="exercice" id="org75a9232"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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Soient $(M,N)\\in\\M\_{2n+1}(\\C)$. On suppose que $MN=0$ et que $M+M^T$ est inversible. - Montrer que $M$ et $N$ ont un vecteur propre commun. - Montrer que $N+N^T$ n'est pas inversible.
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<div class="exercice" id="org5309141"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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Soient $P\\in\\M\_n(\\R)$ une matrice de projection et $f:M\\in\\M\_n(\\R)\\mapsto PM-MP$. - L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? - Calculer la trace de $f$.
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<div class="exercice" id="org26aceae"nil>
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<p>
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</p>
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</div>
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Soient $A,B\\in\\M\_n(\\mathbb{K})$ diagonalisables. Soit $\\Delta$ l'endomorphisme de $\\M\_n(\\mathbb{K})$ defini par $\\forall M\\in\\M\_n(\\mathbb{K})$, $\\Delta(M)=AM+MB$. Montrer que $\\Delta$ est diagonalisable et preciser ses valeurs propres.
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<div class="exercice" id="org16ff3a2"nil>
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<p>
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Soit $\sigma$ une permutation de $[\![1,n]\!]$. Pour $M\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $p(M)=M'$ avec : $\forall(i,j)\in[\![1,n]\!]^2,\,m'_{i,j}=m_{i,j}$ si $i=\sigma(j)$ et $m'_{i,j}=0$ sinon.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $p$ est un projecteur. Determiner son noyau et son image.</li>
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</ul>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle. On definit deux applications $\phi$ et $u_A$ par :
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</p>
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<p>
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$\forall M\in\M_n(\mathbb{K}),\phi(M)=\sum_{k=1}^nm_{\sigma(k),k}$ et $u_A(M)=\phi(M)A+\phi(A)M$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $\phi(A)\neq 0$.</li>
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</ul>
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</div>
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- L'endomorphisme $u\_A$ peut-il etre un projecteur?
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<div class="exercice" id="org37e01b8"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\R$-espace de dimension $n$, $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que $f\circ g-g\circ f=f$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $f$ est nilpotent.</li>
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<li>On suppose que $g$ est diagonalisable et que $\dim(\op{Ker}f)=1$. Determiner $g$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd0d0775"nil>
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<p>
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Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour $m\in\N^*$, $AB^m-B^mA=mB^m$.</li>
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<li>En deduire que $B$ est nilpotente.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga2eab7b"nil>
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<p>
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Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ qui commutent ont un vecteur propre en commun.</li>
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<li>Montrer qu'une famille finie $F$ d'endomorphismes de $E$ qui commutent admet une base de trigonalisation commune a ses elements.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga0617f5"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ annulateur de $f$ tel que $0$ soit racine simple de $P$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que : $E=\op{Im}f\oplus\op{Ker}f$.
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</p>
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<p>
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On suppose dans la suite que $\mathbb{K}=\C$ et que $E$ est de dimension $n\in\N^*$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $g\in\mc{L}(E)$ tel que $fg=0$. Montrer que $f$ et $g$ sont cotrigonalisables.</li>
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<li>Soit $f_1,\dots,f_p\in\mc{L}(E)$ qui commutent. Montrer que $f_1,\dots,f_p$ sont cotrigonalisables.</li>
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<li>Soient $f_1,\dots,f_n\in\mc{L}(E)$ nilpotents qui commutent. Calculer $f_1\circ\dots\circ f_n$.# 600</li>
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</ul>
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<p>
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Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si
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</p>
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<p>
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$\forall P\in{\C}[X],\ P(A)$ nilpotent $\Rightarrow P(A)=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org879804b"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ avec $B$ diagonalisable. On suppose que $AB^3=B^3A$. Montrer que $A$ et $B$ commutent. Generaliser.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd2b25f2"nil>
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<p>
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Quels sont les $n\in{\N}$ tels qu'existe $A\in{\cal M}_n({\R})$ verifiant $A^3-A^2=I_n$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org163da0d"nil>
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<p>
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Determiner les entiers $n\geq 1$ tels qu'il existe $f\in{\cal L}({\R}^n)$ verifiant $f^3+f^2-{\rm id}=0$ et ${\rm tr}\,f\in{\Q}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1bfd321"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On pose $f_A:M\in{\cal M}_n({\C})\mapsto AMA^T\in{\cal M}_n({\C})$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n)\in({\C}^n)^{2n}$. Montrer que $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(Y_1,\ldots,Y_n)$ sont des bases de ${\C}^n$ si et seulement si $\big{(}X_iY_j^T\big{)}_{1\leq i,j\leq n}$ est une base de ${\cal M}_n({\C})$.</li>
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|
<li>Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f_A$ est inversible.</li>
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|
<li>On suppose $A$ diagonalisable. Montrer que $f_A$ est diagonalisable.</li>
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<li>Soit $\lambda\in{\C}^*$ une valeur propre de $A$ et $Y$ un vecteur propre associe. Montrer que le sous-espace vectoriel $F=\big{\{}XY^T,\ X\in{\C}^n\big{\}}$ est stable par $f_A$.</li>
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<li>Montrer que si $f_A$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org55eb11e"nil>
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<p>
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Soit $p$ une permutation de $[\![1,n]\!]^2$. On considere l'application $u:{\cal M}_n({\C})\to{\cal M}_n({\C})$ definie par $:u(A)=(A_{p(i,j)})_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2}$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n({\C})$. Est-il diagonalisable?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2a8b2a6"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $A,B,C,D\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $CD=DC$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $\det\left(\begin{array}{cc}A&B\\ C&D\end{array}\right)=\det(AD-BC)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $A\in{\rm GL}_n({\C})$, $B,C\in{\cal M}_n({\C})$ et $\lambda\in{\C}$. Montrer l'equivalence des enonces suivants :</li>
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</ul>
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<ol class="org-ol">
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<li>$\lambda$ est valeur propre de la matrice $\left(\begin{array}{cc}0&A^{-1}C\\ I_n&A^{-1}B\end{array}\right)$,</li>
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</ol>
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<p>
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ii) il existe $x\in{\C}^n\setminus\{0\}$ tel que la fonction $t\mapsto e^{\lambda t}x$ soit solution de $Ay^{''}-By'-Cy=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga8a734b"nil>
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<p>
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Donner une base de ${\cal M}_n({\R})$ constituee de matrices diagonalisables.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org984ae5f"nil>
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<p>
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Soient $E$ un ${\C}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in{\cal L}(E)$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable et ${\rm Ker}(f)={\rm Ker}(f^2)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc1947aa"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$.
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</p>
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<p>
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Montrer que $A^2=A$ si et seulement si ${\rm rg}\,A\leq{\rm tr}\,A$ et ${\rm rg}(I_n-A)\leq{\rm tr}(I_n-A)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org359b6fc"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal M}_2({\R})$ telle qu'il existe $n\in{\N}^*$ tel que $A^{2^n}=I_2$.
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</p>
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<p>
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Montrer que $A^2=I_2$ ou qu'il existe $k\in{\N}^*$ tel que $A^{2^k}=-I_2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfb34011"nil>
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<p>
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Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de ${\C}^n$. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes :[MISSING<sub>PAGE</sub><sub>FAIL</sub>:1]# 621
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Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit diagonalisable?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org987dfb1"nil>
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<p>
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Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit trigonalisable?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org70bc276"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\cal M}_n(\C)$ defini par
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</p>
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<p>
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$\forall T\in{\cal M}_n(\C),\ u(T)=AT-TB$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $\alpha\in\C$ (resp. $\beta\in\C$) une valeur propre de $A$ (resp. $B$). Montrer que $\alpha-\beta$ est valeur propre de $u$.</li>
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<li>Soient $\lambda\in\C$ une valeur propre de $u$, et $T\in{\cal M}_n(\C)$ un vecteur propre associe.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer qu'il existe $\alpha\in\mbox{Sp}(A)$ et $\beta\in\mbox{Sp}(B)$ telles que $\lambda=\alpha-\beta$.</li>
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<li>En deduire une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $T\in{\cal M}_n(\C)$ non nulle telle que $AT=TB$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org175574b"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Pour quels $\lambda\in\C$ existe-t-il $(A,B)\in\mbox{GL}_n(\C)^2$ tel que $AB=\lambda BA$?
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<ul class="org-ul">
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<li>Pour quels $\lambda\in\C$ est-il vrai que, pour tout $(A,B)\in\mbox{GL}_n(\C)^2$ tel que $AB=\lambda BA$, les matrices $A$ et $B$ sont diagonalisables?</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2ff5d9d"nil>
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<p>
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On note $\mathbb{B}$ l'ensemble des suites bornees de $(\C)^{\Z}$.
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</p>
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<p>
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On s'interesse a l'endomorphisme $T\in{\cal L}(\mathbb{B})$ qui a $(u_n)$ associe $(u_{n+1})$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner les valeurs et les vecteurs propres de $T$.</li>
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<li>Soit $S\subset\mathbb{B}$ un sous-espace de dimension finie de $\mathbb{B}$ stable par $T$. On note $\widetilde{T}$ l'endomorphisme induit par $T$ sur $S$. Montrer que l'on dispose de $(\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\in\C^r$ distincts tels que</li>
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</ul>
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<p>
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$$S=\bigoplus_{i=1}^r\mbox{Ker}\left(\widetilde{T}-\lambda_i\mbox{id}\right)$$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd18c9d3"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $e^A$ est diagonalisable. Que se passe-t-il sur $\R$?
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Resoudre l'equation $e^M=A$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf6fc962"nil>
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<p>
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Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$, $v_1,\ldots,v_{n+2}$ des vecteurs de $E$. Montrer qu'on ne peut avoir : $\forall i\neq j,\ \langle v_i,v_j\rangle\lt 0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org634a989"nil>
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<p>
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Soient $(E,\langle\,\rangle)$ un espace euclidien, $c_1,c_2\in E$, $r_1,r_2\in\R^{+*}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>A quelle condition les boules fermees $B_f(c_1,r_1)$ et $B_f(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles?</li>
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<li>A quelle condition les spheres $S(c_1,r_1)$ et $S(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org35f2770"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace prehilbertien reel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\forall x\in E,\ \|x\|^2=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormalee de $E$. Le resultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus la famille libre, mais seulement constituee de vecteurs non nuls?# 630
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Soient $E$ un espace euclidien, $A$ une partie de $E$ et $B=\left\{\left\langle x,y\right\rangle;\;(x,y)\in A^2\right\}$. Montrer que $A$ est fini si et seulement si $B$ est fini.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3d38488"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace euclidien, $A$ et $B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux. Montrer que les symetries orthogonales par rapport a $A$ et par rapport a $B$ commutent et que leur composee est la symetrie orthogonale par rapport a $(A+B)^{\perp}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfe6b40a"nil>
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<p>
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Soient $(E,\left\langle\;,\;\right\rangle)$ un espace euclidien et $a\in E\setminus\{0\}$.
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</p>
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<p>
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Pour $\lambda\in\R$, soit $\Phi_{\lambda}:x\mapsto x-\lambda\left\langle a,x\right\rangle a$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner les $\lambda$ pour lesquels $\Phi_{\lambda}$ est inversible.</li>
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<li>Si $\lambda,\mu\in\R$, calculer $\Phi_{\lambda}\circ\Phi_{\mu}$.</li>
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<li>Soit $\lambda\in\R$. Determiner les elements propres de $\Phi_{\lambda}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc995e48"nil>
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<p>
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Soit $E$ un espace euclidien.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Trouver les endomorphismes $f$ de $E$ tels que :</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f(y)\right\rangle=0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Pour un tel $f$, discuter de la nature de la suite de terme general $ u<sub>n</sub>=\frac{1}{n}∑<sub>k=0</sub><sup>n-1</sup>f<sup>k</sup>$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org45c5182"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Enoncer le theoreme de reduction pour une matrice de $\text{SO}_3(\R)$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ qui ont meme axe commutent.</li>
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<li>Montrer que deux demi-tours de $\text{SO}_3(\R)$ d'axes orthogonaux commutent.</li>
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<li>Montrer que si deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ commutent, alors on est dans l'un des deux cas precedents.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb6681ee"nil>
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<p>
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Soient $a,b,c\in\R$ et $A(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $A(a,b,c)$ est dans $\text{SO}_3(\R)$ si et seulement si $a,b,c$ sont les racines d'un polynome $X^3-X^2+t$ ou $t$ appartient a un intervalle $I$ que l'on determinera.</li>
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<li>Soit $a,b,c\in\R$. Determiner une droite et un plan stables par $A(a,b,c)$.</li>
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<li>Si $A(a,b,c)\in\text{SO}_3(\R)$, caracteriser l'endomorphisme canoniquement associe.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd80931c"nil>
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<p>
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On travaille dans l'espace $E=\R[X]$. Pour $P$ et $Q$ dans $E$, on pose
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</p>
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<p>
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$\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\Phi$ est correctement definie et munit l'espace $E$ d'un produit scalaire.</li>
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<li>Calculer $\Phi(X^p,X^q)$ pour $p,q\in\N$.</li>
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<li>Calculer l'orthonormalisee de Gram-Schmidt de la famille $(1,X,X^2)$.</li>
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<li>Calculer la distance de $X^3$ a $\R_2[X]$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga4c9067"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left(P(x)+x^n\right)^ {2}\,dx\geq(n!)^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9ba0b89"nil>
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<p>
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Soit $E=\R_3[X]$. - Montrer que l'application $\phi:(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$ d$\!$efinit un produit scalaire sur $E$, - Determiner $\inf_{(a,b,c)\in\R^3}\int_{-1}^1(t^3-at^2-bt-c)^2 dt$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4d01195"nil>
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<p>
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Calculer le minimum de la fonction $f:(x,y)\in\R^2\mapsto\int_0^1(t\ln(t)-xt-y)^2dt$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc4b226e"nil>
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<p>
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On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\llbracket 0,n\rrbracket$. On munit egalement $\R_n[X]$ du produit scalaire d$\!$efini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $(Q_0,\ldots,Q_n)$ est une base orthogonale de $\R_n[X]$.</li>
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<li>On fixe $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des elements de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est egal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$.</li>
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<li>Trouver $R_k\in\mc{F}_{k,n}\cap\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}^{\perp}$, et calculer $\int_0^1R_k(t)^2\,dt$. Interpreter le resultat.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1ee2d56"nil>
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<p>
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Soient $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites reelles et $D:u\in E\longmapsto(u_{n+1}-u - {n\in\N}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Verifier que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? Surjectif?</li>
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<li>Donner les elements propres de l'endomorphisme $D$.</li>
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<li>Soit $F$ l'espace des suites reelles de carre sommable.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $F$ est stable par l'endomorphisme $D$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On munit $F$ de son produit scalaire $\langle\,\ \rangle$ usuel.</li>
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</ul>
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<p>
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Decrire l'ensemble $H=\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2},\ u∈ F∖\{(0)<sub>n∈ \N</sub>\}\right\}.$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org430989d"nil>
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<p>
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Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$, $p,q\in\mc{L}(E)$ des projecteurs orthogonaux.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Verifier que $\op{Im}p$ est stable par $pq$ et que l'endomorphisme induit est symetrique.</li>
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<li>Montrer que $\op{Ker}(pq)=\op{Ker}q\oplus(\op{Im}(q)\cap \op{Ker}(p))$.</li>
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<li>Montrer que $E$ est somme directe orthogonale de $(\op{Im}p+\op{Ker}q)$ et de $(\op{Ker}p\cap\op{Im}q)$.</li>
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<li>En deduire que $pq$ est diagonalisable.</li>
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<li>Montrer que le spectre de $pq$ est inclus dans $[0,1]$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1f60ebf"nil>
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<p>
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Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$. Montrer que $q\circ p$ est un projecteur si et seulement si $p$ et $q$ commutent.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org26bb3a5"nil>
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<p>
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On munit $E=\R^n$ munit du produit scalaire usuel. Soit $A\in\M_n(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $A$. Montrer que $F^{\perp}$ est stable par $A^T$.</li>
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<li>On suppose $A\in\M_3(\R)$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que $A$ est diagonalisable ou $A$ est semblable a une matrice de la forme $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&\alpha&-\beta\\ 0&\beta&\alpha\end{pmatrix}$ avec $\beta\neq 0$.# 645</li>
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<li>Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\cal O}_n(\R)$?</li>
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<li>Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\rm SO}_n(\R)$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6a251ca"nil>
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<p>
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Soit $E$ un espace euclidien de dimension $4$. Trouver les endomorphismes $f\neq 0$ de $E$ tels que ${\rm tr}(f)=0,\ f+f^4=0$ et $f^*=-f^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdce5899"nil>
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<p>
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Soit $M\in{\cal O}_n(\R)$. Pour $k\in\N^*$, on pose $C_k=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^kM^j$. Etudier la convergence de la suite $(C - {k\in\N}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9741c72"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice definie par blocs : $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $B$ est inversible de taille $p$. Montrer que $p$ est pair.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc595bcc"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux antisymetriques de taille au plus $2\times 2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbad57d4"nil>
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<p>
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Soient $A,M,N\in{\cal M}_n(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont diagonalisables.</li>
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<li>Montrer que $MN$ et $NM$ ont les memes valeurs propres et que, pour toute valeur propre non nulle, les sous-espaces propres associes sont de meme dimension.</li>
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<li>Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont les memes valeurs propres avec les memes multiplicites.</li>
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|
<li>Montrer qu'il existe $U\in{\cal O}_n(\R)$ telle que : $A^TA=UAA^TU^{-1}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9bf3187"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$ telles que $A^TA=B^TB$. Montrer qu'il existe $Q\in{\cal O}_n(\R)$ telle que $B=QA$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org88b4e78"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $A^2=AA^T$. Montrer que $A\in{\cal S}_n(\R)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org77a88f6"nil>
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<p>
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Soit $M\in{\cal M}_n(\R)$ nilpotente telle que : $M^TM=MM^T$. Determiner $M^TM$ puis $M$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga5ab186"nil>
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<p>
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Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal S}_n^+(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\det(A)\geq 0$.</li>
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<li>Pour $p\in[\![1,n]\!]$, on pose $A_p=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq p}$. Montrer que $\det(A_p)\geq 0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org28de4b4"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal S}_n(\R)$. On suppose que la suite $(A^k)_{k\geq 1}$ converge vers $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|b_{i,j}|\leq n\sqrt{{\rm rg}\,B}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2dac295"nil>
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<p>
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Soit $A=(a_{i,j})\in{\cal O}_n(\R)$. Montrer que $\left|\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\right|\leq n\leq\sum_{1 \leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$.# 657
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|
Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left(\sum_{i=1}^na_{i,i}\right)^2\leq\text{rg}(A)\sum_{i=1}^n\sum_{ j=1}^na_{i,j}^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0452d30"nil>
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<p>
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Soit $S\in\mc{S}_n^+(\R)$. Calculer $\max\{\text{tr}(OS)\;;\;O\in\mc{O}_n(\R)\}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org93507a2"nil>
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<p>
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Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E)$) l'ensemble des endomorphismes antisymetriques (resp. symetriques, orthogonaux) de $E$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $u\in\mc{L}(E)$. Montrer que l'ensemble $T=\{\op{tr}(uv)\,;\,v\in\mc{O}(E)\}$ est majore.</li>
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<li>Montrer que si $u\in\mc{A}(E)$ alors pour tout $t\in\R$, $\exp(tu)\in\mc{O}(E)$.</li>
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<li>On suppose que $\sup T$ est atteint en $v=\op{id}$. Montrer que $u\in\mc{S}^+(E)$.</li>
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<li>Etudier la reciproque.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5ef7192"nil>
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<p>
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Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$prises avec multiplicite. Montrer que $A$ est diagonale.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org34c47c8"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $x\in\R^n$ tel que $\sum_{i=1}^nx_i=0$. Montrer que $|x_j|\leq\left(\frac{n-1}{n}\right)^{1/2}\|x\|_2$ pour tout $j\in\llbracket 1,n\rrbracket$.
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $\lambda$ une valeur propre de $A$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $\left|λ-\frac{\op{tr}A}{n}\right|≤\left(\frac{n-1}{n} \right)<sup>1/2</sup>\left(\sqrt{\|A\|<sub>2</sub><sup>2</sup>-\frac{(\op{tr}A)<sup>2</sup>}{n}} \right).$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga7388fd"nil>
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<p>
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Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $(a,b)\in\R^2$ tels que $:\forall X\in\R^n,a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b \|X\|^2$. Soit $P\in\R[X]$ tel que $:\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. Montrer que $P(A)\in\mc{S}_n^{++}(\R)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3d7190b"nil>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice antisymetrique reelle. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures.
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $(I_n+A)(I_n-A)^{-1}\in\mc{O}_n(\R)$.</li>
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|
<li>Soit $Q\in\op{SO}_2(\R)$. Resoudre l'equation $(I_2+A)(I_2-A)^{-1}=Q$, d'inconnue une matrice antisymetrique $A\in\M_2(\R)$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org340a255"nil>
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<p>
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Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mc{S}_n^+(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer qu'il existe $C\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ telle que $C^2=A^{-1}$.</li>
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<li>On pose $D=CBC$. Montrer que $\det(I_n+D)^{1/n}\geq 1+\det(D)^{1/n}$.</li>
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|
<li>En deduire que $\det(A+B)^{1/n}\geq\det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}$.</li>
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|
<li>Est-ce encore vrai si $A,B\in\mc{S}_n^+(\R)$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf09bbef"nil>
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|
<p>
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Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $A$ appartient a $\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si, pour toute matrice $B\in\mc{S}_n^+(\R)$, on a $\op{tr}(AB)\geq 0$.
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|
</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd067ef3"nil>
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<p>
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On considere la forme quadratique $q:(x,y,z)\in\R^3\mapsto(x+z)^2+2xy+4yz$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner $a,b,c$ tels que $q(x,y,z)=a(x+y+z)^2+b(y-z)^2+cz^2$.</li>
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<li>La forme quadratique $q$ est-elle definie positive?</li>
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<li>Trouver les plans de $\R^3$ sur lesquels la restriction de $q$ est definie positive.<sub>Analyse</sub>_</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org64f797d"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie de $E$. On considere l'ensemble des parties que l'on peut obtenir en appliquant successivement des passages a l'interieur ou a l'adherence a partir de $A$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer qu'il y en a au plus $7$.</li>
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<li>Donner une partie $A$ telle qu'il y en ait exactement $7$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbe9e9a8"nil>
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<p>
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Soient $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie non vide de $E$.
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</p>
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<p>
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Soit $f:x\in E\mapsto d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $f$ est 1-lipschitzienne.</li>
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<li>Montrer que $A$ est ferme si et seulement si $A=f^{-1}(\{0\})$.</li>
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|
<li>Montrer que tout ferme de $E$ est intersection decroissante d'ouverts.</li>
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|
<li>Montrer que tout ouvert est union croissante de fermes.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb54346f"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace vectoriel norme et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que : $\forall x\in E,\exists y\in F,d(x,F)=\|y-x\|$.</li>
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<li>On suppose que $F\neq E$. Montrer qu'il existe $u\in E$ tel que $d(u,F)=\|u\|=1$.</li>
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|
<li>En deduire que $B_f(0,1)$ est compact si et seulement si $E$ est de dimension finie.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org51577c9"nil>
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<p>
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Determiner les sous-groupes compacts de $\C^*$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6ddac9e"nil>
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<p>
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Soit $f\in\mc{L}(\R^n,\R^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si l'image de tout ouvert par $f$ est un ouvert.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8b91ca6"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R$ et $N$ une norme sur $\R^n$. Montrer l'equivalence entre :</li>
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</ul>
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<p>
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(i) $|f(x)|\ra+\i$ lorsque $N(x)\ra+\i$ ;
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</p>
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<p>
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(ii) l'image reciproque de tout compact par $f$ est un compact.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R^n$. On suppose que l'image reciproque de tout compact par $f$ est un compact. Montrer que l'image directe de tout ferme par $f$ est un ferme.</li>
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<li>La reciproque du resultat precedent est-elle vraie?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2f1ac0e"nil>
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<p>
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On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$.
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</p>
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<p>
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|
Si $f\in E$, on pose $u(f)=\sum_{k=1}^{+\i}\left(-\frac{1}{2}\right)^kf\left( \frac{1}{k}\right).\in\R$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $u$ est bien definie sur $E$.</li>
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|
<li>Montrer que $u$ est continue sur $E$ et determiner sa norme subordonnee.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org6d04696"nil>
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<p>
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|
Soient $L^1(\R)$ l'espace vectoriel des suites sommables et $N:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\lvert x_n\rvert$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $N$ est une norme.</li>
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<li>Soit $A$ l'ensemble des suites de $L^1(\R)$ nulle a partir d'un certain rang. Donner l'adherence et l'interieur de $A$. Ind. Remarquer que $A$ est dense dans $L^1(\R)$.# 675</li>
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|
</ul>
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<p>
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|
On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.
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</p>
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<p>
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Soit $D=\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^+)^n\,;\,\sum x_i^2\lt 1,\, \sum x_i\gt 1\right\}$. Soit $f:D\to\R$ telle que $\forall x,y\in D,|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$. Que dire de $f\,?$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfc2da91"nil>
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<p>
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Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme reel, $p\in\N^*$, $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$,.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre si et seulement si</li>
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</ul>
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<p>
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$\inf\left\{\left\|\sum_{i=1}^p\lambda_ix_i\right\|\ ;\ (\lambda_1, \ldots\lambda_p)\in\R^p\right\}\gt 0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>En deduire que l'ensemble des $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$ tels que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre est un ouvert de $E^p$. Retrouver ce resultat plus simplement si $E$ est de dimension finie.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org39dadea"nil>
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<p>
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Soient $n\geq 2$, $K$ un compact de $\R^n$ et $\eps\gt 0$. Une partie $A\subset K$ est $\eps$-separee si, pour tous $x$, $y\in A$ tel que $\|x-y\|\lt \eps$, on a $x=y$.
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</p>
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|
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer qu'il existe un entier $M(\eps)$ tel que toute partie $\eps$-separee de $K$ est de cardinal inferieur a $M(\eps)$ et il existe une partie $\eps$-separee de $K$ de cardinal $M(\eps)$.</li>
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|
<li>Soit $f:K\to K$. On suppose que, pour tous $x$, $y\in K$, $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$. Montrer que $f$ est surjective.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1da491a"nil>
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|
<p>
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|
Soient $n\geq 2$ et $f\colon\R^n\to\R$ continue telle que, pour tout $a\in\R$, $f^{-1}(\{a\})$ est compact. Montrer que $f$ admet un extremum global. Que se passe-t-il si $n=1\,?$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd59eeca"nil>
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<p>
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|
Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme reel de dimension finie, $k\in]0,1[$, $f$ une application $k$-lipschitzienne de $E$ dans $E$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8e6772f"nil>
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<p>
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|
Soit $E=\mc C^0([-1,1],\R)$ muni de la norme de la convergence uniforme. Pour $f\in E$ on pose $\phi(f)=\int_0^1f(t)\,dt-\int_{-1}^0f(t)\,dt$.
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|
</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $\phi$ est une forme lineaire continue sur $E$ et calculer $\|\phi\|$.</li>
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<li>Existe-t-il $f$ unitaire telle que $|\phi(f)|=\|f\|\,?$</li>
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|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbf82d4a"nil>
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|
<p>
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On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $[-1,1]$ vers $\R$ continues par morceaux, muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg$ et de la norme euclidienne associee $\|\ \|$.
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</p>
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<p>
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|
On dit qu'une suite $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement (resp. faiblement) vers $f\in E$ si $\|f_n-f\|\to 0$ (resp. $\langle f_n,\phi\rangle\to\langle f,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in C^1([-1,1],\R)$).
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que la convergence uniforme implique la convergence forte. La reciproque estelle vraie?</li>
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|
<li>Montrer que la convergence forte implique la convergence faible.</li>
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<li>Soit $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ convergent faiblement vers $f\in C^1([-1,1],\R)$ et verifiant de plus $\|f_n\|\to\|f\|$. Montrer qu'alors $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement vers $f$.</li>
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|
<li>Soit $(\phi - {n\geq 0}\in C^1([-1,1],\R)^{\N}$ convergeant uniformement vers $\phi$ et telle que $(\phi_n')_{n\geq 0}$ converge uniformement. Soit par ailleurs $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ bornee et convergeant faiblement vers $f$. Montrer qu'alors $\langle f_n,\phi_n\rangle\to\langle f,\phi\rangle$.</li>
|
|
<li>On pose $f_n(x)=\sin(nx)$ pour $n\geq 0$ et $x\in[-1,1]$. - Montrrer que $(f - {n\geq 0}$ converge faiblement vers la fonction nulle. - La suite $(f - {n\geq 0}$ converge-t-elle fortement?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org661f19a"nil>
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<p>
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Soient $a_1\lt \cdots\lt a_p$ des reels et $P=\prod_{i=1}^p(X-a_i)$.
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</p>
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<p>
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|
On pose : $E=\Big{\{}M\in\M_n(\R),\ P(M)=0\Big{\}}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $M\in E$. Determiner les valeurs possibles de $\op{tr}M$.</li>
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|
<li>Determiner les matrices $M\in E$ verifiant $\op{tr}M=na_1$.</li>
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|
<li>Montrer que la matrice $a_1I_n$ est isolee dans $E$.</li>
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|
<li>La matrice $\op{Diag}(a_2,a_1,\ldots,a_1)$ est-elle isolee?</li>
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|
<li>Generaliser.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org78054e5"nil>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n\in\N^*$. Montrer que $P$ est scinde sur $\R$ si et seulement si : $\forall z\in\C$, $|P(z)|\geq|\text{Im}(z)|^n$.
|
|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ trigonalisables est ferme.</li>
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|
<li>Quelle est l'adherence de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$?</li>
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</ul></li>
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|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd0d7dbc"nil>
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<p>
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|
Soient $n\geq 2$ et $r\in[1,n-1]$. L'ensemble $\mc{E}$ des matrices carrees de taille $n$ et de rang $r$ est-il ouvert? ferme? Determiner l'interieur et l'adherence de $\mc{E}$.
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|
</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgef43a28"nil>
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<p>
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On munit l'espace $E=\mc C^0([0,1],\R)$ du produit scalaire usuel defini par
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</p>
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<p>
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|
$\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)\,dt$ et de la norme associee $\|\quad\|_2$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ tel qu'il existe une constante $C\in\R$ telle que $\forall f\in F,\|f\|_{\i}\leq C\|f\|_2$.
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</p>
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $F\neq E$.</li>
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|
<li>Soit $(f_1,\ldots,f_n)$ une famille orthonormale de $F$.</li>
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</ul>
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<p>
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|
Montrer que $\forall a_1,\ldots,a_n\in\R$, $\left|\sum_{i=1}^na_if_i\right|\leq C\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>En deduire que $F$ est de dimension finie majoree par $C^2$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7260a8f"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si l'ensemble $\{PAP^{-1},\ P\in\op{GL}_n(\C)\}$ est ferme.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1ea2eb4"nil>
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<p>
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Soit $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$. Montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes de $\M_n(\mathbb{K})$ est connexe par arcs.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org64eac35"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>L'ensemble $\mc{D}$ est-il un sous-espace vectoriel?</li>
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<li>Quel est le sous-espace vectoriel engendre par $\mc{D}$? par $\M_n(\R)\setminus\mc{D}$?</li>
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<li>L'ensemble $\mc{D}$ est il ouvert? ferme?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1073cf6"nil>
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<p>
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On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algebre.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $A\in E$. Etudier la convergence de la serie $\sum A^k$ si $\|A\|\lt 1$.</li>
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</ul>
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<p>
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|
Cette condition est-elle necessaire pour que la serie soit convergente?
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Pour tout $k\in\N^*$, on pose $U_k=\left(I_n+\frac{A}{k}\right)^k$. Etudier la convergence et la limite de la suite $(U_k)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6b13d32"nil>
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<p>
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Lorsque $J$ est un intervalle de $\R$, on pose $S_n(J)=\{M\in\mc{S}_n(\R)\,\ \ \mathrm{Sp}(M)\subset J\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $I$ un intervalle de $\R$. Montrer que $S_n(I)$ est convexe.</li>
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<li>Montrer que $S_n(\overline{I})=\overline{S_n(I)}$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgfa899a2"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\mathrm{SL}_n(\R)$ est un ferme non compact de $\M_n(\R)$.
|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $\mathrm{SO}_n(\R)$ est connexe par arcs.</li>
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|
<li>Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(O,S)\in\mc{O}_n(\R)\times S_n^{++}(\R)$ tel que $M=OS$.</li>
|
|
<li>En deduire que $\mathrm{SL}_n(\R)$ et $\mathrm{GL}_n^+(\R)$ sont connexes par arcs.</li>
|
|
</ul></li>
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|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org94428bb"nil>
|
|
<p>
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|
Determiner la limite de la suite de terme general $ u<sub>n</sub>=∑<sub>k=0</sub><sup>n-1</sup>\left(\frac{n-k}{n}\right)<sup>n</sup>$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5080fda"nil>
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<p>
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|
On pose $ u<sub>n</sub>=∑<sub>k=1</sub><sup>n\frac</sup>{1}{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)<sup>k</sup>$ pour tout $n\geq 1$.
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|
</p>
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que la suite $(u - {n\geq 1}$ est divergente.</li>
|
|
<li>Donner un equivalent de $u_n$ quand $n\to+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org471367a"nil>
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<p>
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Soit $ f:[0,2]→\R$ une fonction $C^1$. On pose $ u<sub>n</sub>=\frac{1}{n}∑<sub>k=1</sub><sup>nf\left</sup>(\frac{k}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$ pour $n\geq 1$.
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|
</p>
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<p>
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|
Etudier la convergence de la suite $(u - {n\geq 1}$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgf0990b2"nil>
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|
<p>
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|
Pour $n\in\N^*$, on pose $ u<sub>n</sub>=∑<sub>k=1</sub><sup>nsin\left</sup>(\frac{\sqrt{k}}{n}\right)$. Determiner un equivalent de $u_n$.
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|
</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgdb8ae07"nil>
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<p>
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Soit $\mc{B}$ le sous-espace de $\C^{\Z}$ forme des suites $(u - {n\in\Z}$ bornees. Soit $T$ l'endomorphisme de $\mc{B}$ qui a $(u - {n\in\Z}$ associe $(u_{n+1})_{n\in\Z}$.
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|
</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $T$ est lineaire. Determiner ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.</li>
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<li>Determiner les sous-espaces de dimension finie de $\mc{B}$ stables par $T$.</li>
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|
</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgd3203d5"nil>
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|
<p>
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|
Etudier les suites definies par $u_1,v_1$ reels et
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</p>
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<p>
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|
$\forall n\in\N^*$, $ u<sub>n+1</sub>=u<sub>n</sub>+v<sub>narctan\left</sub>(\frac{1}{n^2}\right)$ et $ v<sub>n+1</sub>=v<sub>n</sub>-u<sub>narctan\left</sub>(\frac{1}{n^2}\right)$.
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|
</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org15ef4d5"nil>
|
|
<p>
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|
$\ \ - La suite $(d - {n\geq 1}$ est-elle convergente? - La suite $(d - {n\geq 1}$ est-elle bornee?
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|
</p>
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</div>
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|
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|
<div class="exercice" id="orgc3fd82a"nil>
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|
<p>
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|
Soit $(b - {n\in\N}$ une suite strictement positive, croissante et non majoree.
|
|
</p>
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrrer que, si $(a - {n\in\N}$ est une suite reelle convergente de limite $\ell$, alors</li>
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|
</ul>
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|
<p>
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|
$$\frac{1}{b_n}\sum_{k=0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)a_k\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}\ell.$$
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</p>
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle. Montrer que, si la suite $\left(\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\right)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\in\R$, alors $\frac{a_n}{b_n}\to\ell$ quand $n\to+\i$.</li>
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|
<li>La reciproque de la propriete precedente est-elle vraie?</li>
|
|
</ul>
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</div>
|
|
|
|
<div class="exercice" id="orgf2a3733"nil>
|
|
<p>
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Soit $(a - {n\geq 0}$ une suite reelle decroissante de reels strictement positifs, telle que $a_0=1$. On pose $b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{a_k}$ pour tout $n\geq 1$.
|
|
</p>
|
|
|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrrer que $b_n\in[0,1]$ pour tout $n\geq 1$.</li>
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|
<li>On fixe $\ell\in[0,1]$. Montrer que l'on peut choisir la suite $(a - {n\geq 0}$ de telle sorte que $b_n\to\ell$.</li>
|
|
</ul>
|
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</div>
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|
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|
<div class="exercice" id="org3d857df"nil>
|
|
<p>
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|
Soit $a\in]0,1[$. On definit $(u_n)$ par $u_0=a$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n+u_n^2\ln(u_n)$.
|
|
</p>
|
|
|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $(u_n)$ est definie et etudier sa convergence.</li>
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|
<li>On pose $F:x\mapsto\int_a^x\frac{dt}{t^2\ln t}$. Montrer que $F(u_{n+1})-F(u_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}1$.</li>
|
|
<li>En deduire un equivalent de $F(u_n)$. Qu'en deduire sur $u_n$?</li>
|
|
</ul>
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</div>
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|
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|
<div class="exercice" id="org5412be2"nil>
|
|
<p>
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|
Soit $(u - {n\in\N}$ definie par $u_0\in]0,\pi/2]$ et $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=\sin(u_n)$. Etudier la convergence de $(u_n)$. Determiner un equivalent de $u_n$.
|
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</p>
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</div>
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|
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|
<div class="exercice" id="org7f560e2"nil>
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|
<p>
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|
Pour tout $n\geq 2$, on pose $f_n(x)=x^n-nx+1$.
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|
</p>
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que l'equation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$.</li>
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|
<li>Etudier la monotonie de la suite $(x_n)$. Montrer sa convergence.</li>
|
|
<li>Determiner la limite de la suite $(x_n)$ et un equivalent simple de $x_n$.</li>
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|
</ul>
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</div>
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|
|
|
<div class="exercice" id="orgf7d175e"nil>
|
|
<p>
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|
Determine un developpement asymptotique a deux termes de $x_n$.
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</p>
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</div>
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|
|
<div class="exercice" id="org964c51d"nil>
|
|
<p>
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|
Soit $(u_n)$ une suite reelle definie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+1}$.
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</p>
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Si $(u_n)$ converge, quelle est sa limite?</li>
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|
<li>On suppose que, pour tout $n\in\N$, $u_n\leq 1$. Montrer que $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite?</li>
|
|
<li>Etudier la convergence de $(u_n)$ dans le cas general.</li>
|
|
</ul>
|
|
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|
</div>
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|
|
|
<div class="exercice" id="org93f45f7"nil>
|
|
<p>
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|
Pour $n\geq 2$, on considere l'equation $\sin(x)=\frac{x}{n}$.
|
|
</p>
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que cette equation admet une unique solution sur $]0,\pi[$ qu'on notera $x_n$.</li>
|
|
<li>Montrer que la suite $(x - {n\geq 2}$ converge. Quelle est sa limite? - Donner un developpement asymptotique de $x_n$ a la precision $o\left(\frac{1}{n^3}\right).$</li>
|
|
</ul>
|
|
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|
</div>
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|
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|
<div class="exercice" id="org282b8a2"nil>
|
|
<p>
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|
Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=0}^n(X-i)$.
|
|
</p>
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|
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que : $\forall n\in\N^*,\exists!r_n\in\big{]}0,1[\,,P'_n(r_n)=0$.</li>
|
|
<li>Determiner un equivalent simple de $r_n$.</li>
|
|
</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org69a2b70"nil>
|
|
<p>
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|
Soit $(u_n)$ la suite definie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{n+u_n}$
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|
</p>
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $u_n\to+\i$.</li>
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|
<li>Donner un developpement asymptotique a trois termes de $u_n$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
|
|
<div class="exercice" id="orgddb5dca"nil>
|
|
<p>
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|
Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=⊃<sub>t∈[0,1]</sub>|P(t)|.$ Pour tout $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynomes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf_{P\in E_n}N(P)$.
|
|
</p>
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$.</li>
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|
<li>Montrer que $(a - {n\in\N}$ est decroissante et de limite nulle.</li>
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|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgeda0904"nil>
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|
<p>
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Limite et developpement asymptotique en $o(1/n)$ de $u_n=\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{\sqrt{k(n-k)}}{n^{3/2}}\right)$.
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|
</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org2362eab"nil>
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<p>
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Soit $(u_n)$ une suite reelle verifiant : $∀(m,n)∈\N<sup>2,u</sup><sub>n+m</sub>≤ u<sub>m</sub>+u<sub>n</sub>.$ Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big{\{}\frac{u_n} {n}\text{ pour }n\in\N^*\Big{\}}$.
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|
</p>
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|
|
</div>
|
|
|
|
<div class="exercice" id="orgfb5f1b6"nil>
|
|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que tout sous-groupe de $(\R,+)$ est de la forme $a\Z$ ($a\in\R$) ou dense dans $\R$. Soit $\theta\in\R^*$ tel que $\frac{\pi}{\theta}\notin\Q$.
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $A=\big{\{}p\theta+2\pi q,\ (p,q)\in\Z^2\big{\}}$ est dense dans $\R$.</li>
|
|
<li>Expliciter les valeurs d'adherence de la suite $\left(\cos(n\theta)\right)_{n\in\N}$.</li>
|
|
<li>Expliciter les valeurs d'adherence de la suite $\left(\cos(\sqrt{n}\theta)\right)_{n\in\N}$.</li>
|
|
</ul></li>
|
|
</ul>
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|
|
|
</div>
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<div class="exercice" id="orgae7eca4"nil>
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|
<p>
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|
Soit $x\in\Big{[}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$. Convergence et somme de $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^n}\tan\Big{(}\frac{x}{2^n}\Big{)}$.
|
|
</p>
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|
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<p>
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|
<span class="underline">Ind.</span> Montrer que $\tan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$.
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|
</p>
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|
</div>
|
|
|
|
<div class="exercice" id="orgfb2d2bf"nil>
|
|
<p>
|
|
Soit $(u_n)$ une suite reelle telle que $n(u_{n+1}-u_n)\to 1$. Quelle est la nature de la serie $\sum u_n$?
|
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</p>
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</div>
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|
|
|
<div class="exercice" id="org9c5502f"nil>
|
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<p>
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|
Determiner la convergence et la somme de la serie de terme general $u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$.
|
|
</p>
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</div>
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|
|
<div class="exercice" id="org81c7283"nil>
|
|
<p>
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|
Determiner la nature de $\sum\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$.# 716
|
|
Si $n\in\N^*$, soit $u_n=\sum_{k=1}^n(\ln(k))^2$. Determiner la nature de $\sum\dfrac{1}{u_n}$.
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|
</p>
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</div>
|
|
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|
<div class="exercice" id="org1a0aef8"nil>
|
|
<p>
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|
Nature de la serie de terme general $\dfrac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}-(-1)^n}$?
|
|
</p>
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</div>
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|
|
|
<div class="exercice" id="orgf9e9c5b"nil>
|
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<p>
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|
Soit $\alpha\gt 0$ fixe. Nature de la serie de terme general $\sum\dfrac{\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor-\lfloor\sqrt{n}\rfloor}{n^{\alpha}}$?
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org0d583b0"nil>
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<p>
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|
Soient $\alpha\gt 0$ et $\beta\in]0,1[$. Nature de la serie $\sum\dfrac{(-1)^{\lfloor n^{\beta}\rfloor}}{n^{\alpha}}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd41a3d2"nil>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrrer que $\dfrac{\pi}{4}=\sum_{k=0}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$.
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Nature de la serie de terme general $u_n=\ln\left(\tan\left(\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\right)\right)$?</li>
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</ul></li>
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|
</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org92a671a"nil>
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<p>
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Soient $a,b$ deux reels tels que $0\lt a\lt b$.
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</p>
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<p>
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On pose $u_0\gt 0$ et : $\forall n\in\N,u_{n+1}=\dfrac{n+a}{n+b}u_n$.
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|
</p>
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner une condition necessaire et suffisante pour que la serie $\sum u_n$ soit convergente.</li>
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|
<li>Dans ce cas, calculer la somme $\sum_{n=0}^{+\i}n(u_{n+1}-u_n)$.</li>
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|
<li>En deduire la somme $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$.</li>
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|
</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org65eb22c"nil>
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<p>
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|
Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite decroissante de reels positifs. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\dfrac{1}{1+n^2u_n}$. Montrrer que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ diverge.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org158ceff"nil>
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<p>
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|
On pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)\,dx$. Quel est le signe de $u_n$? Montrrer que la serie $\sum u_n$ est semi-convergente.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org52296fc"nil>
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<p>
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|
Etudier $\lim_{n\to+\i}\sum_{k=n+1}^{+\i}\dfrac{n}{k\sqrt{k^2-n^2}}$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org9d09fc4"nil>
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<p>
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|
Pour tout $n\in\N^*$, on pose $u_n=\int_n^{n+1}\dfrac{\cos\left(\ln(t)\right)}{t}\,dt$ et $v_n=\dfrac{\cos\ln(n)}{n}$.
|
|
</p>
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|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Determiner la nature de la serie $\sum u_n$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $u_n-v_n=\int_n^{n+1}(t-n-1)\frac{\cos\ln(t)+\sin\ln(t)}{t^2}\,dt$.</li>
|
|
<li>En deduire la nature de la serie $\sum v_n$.</li>
|
|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org09bc382"nil>
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<p>
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Soit $f\in C^1(\R,\R^{+*})$ telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}-\i$. Montrer que $\sum f(n)$ converge.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org526f9a2"nil>
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<p>
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On dit que la serie de terme general $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, pour tout $n\in\N$, $\left|a-\sum_{k=0}^nu_k\right|\leq|u_{n+1}|$. On dit qu'elle enveloppe strictement $a\in\R^{+*}$ lorsqu'il existe une suite $(\theta_n)\in]0,1[^{\N}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $a-\sum_{k=0}^nu_k=\theta_{n+1}u_{n+1}$.
|
|
</p>
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|
|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Soit $a\gt 0$. Donner un exemple de serie divergente qui enveloppe $a$.</li>
|
|
<li>Donner un exemple de serie convergente qui enveloppe un reel $a\in\R^{+*}$.</li>
|
|
<li>Donner un exemple de serie convergente qui n'enveloppe aucun reel $a\in\R^{+*}$.</li>
|
|
<li>Montrer que, si une serie enveloppe strictement un reel $a\gt 0$, alors elle est alternee.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgd82b947"nil>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $\sum u_n$ une serie a termes positifs. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. Montrer que si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum\frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi.
|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Soit $\sum y_n$ une serie a termes complexes telle que, pour toute suite $(x_n)$ qui tend vers $0$, la serie $\sum x_ny_n$ converge. Montrer que $\sum|y_n|$ converge.</li>
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|
</ul></li>
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|
</ul>
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</div>
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|
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|
<div class="exercice" id="orgd89156c"nil>
|
|
<p>
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|
Soit $(u_n)\in(\R^+)^{\N}$. On suppose que $\sum u_n$ converge. Construire $(v_n)\in(\R^+)^{\N}$, croissante et de limite $+\i$, telle que $\sum u_nv_n$ converge.
|
|
</p>
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</div>
|
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|
|
<div class="exercice" id="orgcc68881"nil>
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<p>
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|
Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes :
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</p>
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<ol class="org-ol">
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|
<li>pour toute serie $\sum u_n$ convergente de terme general positif, la serie $\sum f(u_n)$ est convergente ;</li>
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</ol>
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<p>
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ii) l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornee au voisinage de $0^+$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdcddb23"nil>
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<p>
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Soit $\sum u_n$ une serie convergente a termes strictement positifs.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\sum_{k=1}^nku_k=o(n)$.</li>
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<li>Montrer que $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nku_k$ est le terme general d'une serie convergente.</li>
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<li>Montrer que la serie de terme general $\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}$ est convergente et que :$$\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}\leq \sum_{k=1}^{+\i}u_k.$$</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdd888d0"nil>
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<p>
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Pour toute permutation $f$ de $\N^*$, on note $E<sub>f</sub>=\left\{α∈\R,\;∑\frac{f(n)}{n<sup>α</sup>}< +\i\right\}.$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer qu'il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=\varnothing$.</li>
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<li>Soit $f\in S(\N^*)$. Montrer que si $E_f\neq\varnothing$, alors c'est un intervalle minore par $2$ et non majore.</li>
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<li>Montrer que, si $\beta\gt 2$, alors il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=]\beta,+\i[$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7bf14a0"nil>
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<p>
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Soit $f_n=x\mapsto\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour $n$ pair, $f_n$ ne s'annule pas et que, pour $n$ impair, $f_n$ s'annule en un unique point $r_n$.</li>
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<li>Montrer que, pour $n$ impair, $-2n-3\lt r_n\lt 0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8325651"nil>
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<p>
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Soit $\alpha$ un reel non nul. On pose, pour $x\in[-1,1]$, $g_{\alpha}(x)=\cos(\alpha\arcsin x)$. A quelle condition sur $\alpha$ la fonction $g_{\alpha}$ est-elle polynomiale?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd9b8cb3"nil>
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<p>
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Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^2$, telle que $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c\in\,]0,1[$ tel que $|f^{''}(c)|\geq 4$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8fbd00c"nil>
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<p>
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Soient $I$ un intervalle non vide de $\R$ et $f:I\to\R$ de classe $C^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si : $\forall(x,y)\in I^2,\;\exists t\in\,]0,1[,\;f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbf654a0"nil>
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<p>
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Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que $f(0)=1$ et, pour tout $x\in\R$, $f(2x)=f(x)\cos(x)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org45ed340"nil>
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<p>
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Soient $A,B\in\R^+$, $f\colon\R\to$ de classe $\mc C^2$ telle que, pour tout $x\in\R$, $|f(x)|\leq A$ et $|f^{''}(x)|\leq B$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour tout $h\in\R^{+*}$, $|f'(x)|\lt \frac{A}{h}+\frac{Bh}{2}$.</li>
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<li>Trouver la meilleure majoration de $|f'(x)|$ pour tout $x\in\R$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org991755b"nil>
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<p>
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Soit $f:x\in\,]-1,+\i[\,\mapsto x-\ln(1+x)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $f$ definit une bijection $f_1$ de $]-1,0]$ sur $\R^+$ et une bijection $f_2$ de $\R^+$ sur $\R^+$.</li>
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<li>Determiner un equivalent de $f$ en $0$. En deduire un equivalent de $f_1^{-1}$ et $f_2^{-1}$ en $0$.</li>
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<li>Determiner le developpement asymptotique a l'ordre $2$ de $f_2^{-1}$ en $0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc9c8355"nil>
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<p>
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Soit $E=\mc C^0([-1,1],\C)$. Soit $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ strictement croissante et surjective. Soit $\Phi\in\mc{L}(E)$ l'application qui a $f\in E$ associe $f\circ g$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie stable par $\Phi$. On note $\Phi_F$ l'endomorphisme de $F$ induit par $\Phi$ sur $F$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\Phi_F$ est un automorphisme de $F$.</li>
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<li>Montrer que la seule valeur propre de $\Phi_F$ est 1.</li>
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<li>Soit $\Psi=\Phi_F-\mathrm{id}_F$. Montrer que $\Psi$ est nilpotent.# 741</li>
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</ul>
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<p>
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Soit $f\colon\R\to\M_n(\R)$ derivable. Montrer l'equivalence entre les assertions suivantes : i) $f(0)=I_n$ et $\forall x\in\R,f'(x)=f'(0)f(x)$,
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</p>
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<p>
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ii) $\forall(x,y)\in\R^2,f(x+y)=f(x)f(y)$ et $\forall x\in\R,\det(f(x))\neq 0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org053af8b"nil>
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<p>
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Soient $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $D:f\in E\mapsto f'$. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et determiner ses elements propres.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga627a78"nil>
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<p>
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Soient $f\colon\R^+\to\R^+$ de classe $\mc C^1$, $\ell\in\R^{+*}$ et $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ avec $n\in\N^*$ et $a_n\neq 0$. On suppose que $f'(x)\,P\,(f(x))\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Determiner un equivalent de $f$ en $+\i$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org904bd23"nil>
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<p>
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Soient $h:\R\to\R^+$ continue, $\ell\in\R^{+*}$, $n\in\N^*$. On suppose : $h(x)\int_0^xh^n\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Determiner un equivalent de $h$ en $+\i$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcf9b726"nil>
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<p>
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Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$ et $E=\mc C^0([a,b],\R)$.
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</p>
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<p>
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On pose $F=\big{\{}g\in\mc C^2([a,b],\R)\;;\;g(a)=g(b)=g'(a)=g^{ '}(b)=0\big{\}}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On fixe $f\in E$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer qu'il existe $g\in F$ tel que $f=g^{''}$ si et seulement si $\int_a^bf(t)dt=\int_a^btf(t)dt=0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $h\in E$ tel que $\forall f\in F$, $\int_a^bhg^{''}=0$. Montrer que $h$ est affine.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc5fb340"nil>
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<p>
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Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application definie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Verifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Determiner ses elements propres.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8d2bd1e"nil>
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<p>
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Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle $F\in\R(X)$ telle que :
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</p>
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<p>
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$\forall x\in\R,\int_0^xe^{t^2}\,dt=F(x)\,e^{x^2}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdca38f9"nil>
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<p>
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Etudier la fonction $f:x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{t\sqrt{1-t}}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3c4abf9"nil>
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<p>
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Calculer $I=\int_{-1}^1\frac{\cos x}{e^{\frac{1}{x}}+1}\,dx$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0f67a45"nil>
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<p>
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Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $f\in\mc C^0([a,b],R)$, $\epsilon\gt 0$. Montrer qu'il existe $P,Q\in\R[X]$ tels que $\forall x\in[a,b]$, $P(x)\leq f(x)\leq Q(x)$ et $\int_a^b(Q-P)\leq\epsilon$. Est-ce toujours vrai si $f$ est uniquement continue par morceaux?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org85fa189"nil>
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<p>
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Soit $f:[0,1]\to\R$ continue. - Soit $n\in\N$. On suppose que, pour tout $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose que, pour tout $k\in\N$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ est nulle.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4e1ab18"nil>
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<p>
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Soit $f\in C^0([a,b],\R)$ telle que $:\forall(\alpha,\beta)\in[a,b]^2,\int_{\alpha}^{\beta}f=0$. Montrer que $f=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org004ea76"nil>
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<p>
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Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Determiner les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ verifiant $:\forall g\in F,\int_a^bfg=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge3751b6"nil>
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<p>
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Soit $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$.
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</p>
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<p>
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Montrer $:120\Big{(}\int_0^1f\Big{)}^2\leq\int_0^1(f^{''})^2$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org833f0b2"nil>
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<p>
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Soient $E=\mc C^0([a,b],\R)$ muni de $\parallel\parallel_{\i}$ et $B$ la boule unite fermee de $E$. Soit $f\in E$. Montrer que $\sup_{g\in B}\int_a^bfg=\int_a^b|f|$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4904d1e"nil>
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<p>
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Etudier la convergence et calculer $\int_{-\i}^{+\i}\frac{dx}{x^6+1}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfc21cc5"nil>
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<p>
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Etudier la convergence de l'integrale $\int_0^{+\i}t|\cos t|^{t^5}\,dt$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org155ccb9"nil>
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<p>
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Nature de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^x\,dx$ puis de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^{x^{\alpha}}\,dx$ avec $\alpha\in]1,+\i[$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2d537a9"nil>
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<p>
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Soit $\alpha\gt 0$. Etudier la convergence de l'integrale $:\int_0^{+\i}\left(\exp\left(\frac{\sin^2x}{x^{\alpha}}\right)-1 \right)\,dx$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7191855"nil>
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<p>
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Nature suivant $a\in\R$ de $I(a)=\int_0^{+\i}\frac{x-\ln(1+x)}{x^a}\,dx\,?$ Calculer $I(5/2)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdce92ec"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $\sum u_n$ une serie convergente a termes positifs. Nature de $\sum u_n^2$?
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f$ une fonction continue, positive et integrable sur $\R^+$. Nature de $\int_0^{\i}f^2$?</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2007e7f"nil>
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<p>
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Soient $I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}\,dt$ et $J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{t}\,dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $I_n$ et $J_n$ sont bien definies. Montrer que $(I_n)$ est constante.</li>
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|
<li>Montrer que $I_n-J_n\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - Montrrer la convergence de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}dt$ et la calculer.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org89273f4"nil>
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<p>
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Soit $a\gt 0$. Montrer que l'integrale : $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(ax)+\arctan(x/a)}{1+x^2}\,dx$ converge et calculer sa valeur.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd3053f2"nil>
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<p>
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Soit $f\in C^1([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $I_1=\int_0^1(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))f(t)^2\,dt$ et $I_2=\int_0^1f'(t)f(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)\,dt$. Montrer la convergence de $I_1$ et $I_2$. Trouver une relation entre $I_1$ et $I_2$.</li>
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|
<li>Montrer que $\int_0^1f'(t)^2\,dt\geq\pi^2\int_0^1f(t)^2 \,dt$ et etudier le cas d'egalite.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga29512f"nil>
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<p>
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Soit $f$ continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\R$. Montrer l'existence et l'unicite de $\lambda$ tel que $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,dt$ converge.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3e56d17"nil>
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<p>
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Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ une fonction continue decroissante.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose que $f$ est integrable sur $[0,+\i[$. Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$.</li>
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<li>Etudier la reciproque.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga2cf065"nil>
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<p>
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Soit $f\in\mc C^1(\R,\R^+)$ telle que $f'$ est bornee et $\int_{\R}f$ converge.
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</p>
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<p>
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Montrer que $\underset{+\i}{\lim}f=\underset{-\i}{\lim}f=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org244a031"nil>
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<p>
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Etudier la convergence $\int_0^{+\i}t|\cos(t)|^{t^5}\,dt$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org230748d"nil>
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<p>
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Etudier la convergence et la convergence absolue de $\int_2^{+\i}\frac{\cos(x)}{\ln(x)}dx$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3d04909"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[a,b]$ dans $\R$. On suppose $f$ de signe constant. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $\int_a^bf(t)g(t)dt=g(c)\int_a^bf(t)dt$.
|
|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ continue telle que $f$ admet la limite $\lambda\in\R$ en $0$ et il existe $\mu\in\R$ telle que la fonction $t\mapsto\frac{f(t)-\mu}{t}$ est d'integrable convergente sur $[1,+\i[$. Montrer que, pour tout $a\lt b$, l'integrale $\int_0^{+\i}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt$ existe et la calculer.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org16f7176"nil>
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<p>
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Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carre integrable de $\R^+$ dans $\R$. Pour $x\in\R^{+*}$, soit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^xf$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la limite de $g$ en $0$. - Determiner la limite de $g$ en $+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgad03ffc"nil>
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<p>
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Donner un equivalent, quand $x\to+\i$, de $∫<sub>1</sub><sup>x</sup>\!t<sup>tdt</sup>\,$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb455883"nil>
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<p>
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Soit $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $f$ est definie sur $\R^{+*}$ et seulement sur cet ensemble.</li>
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|
<li>Etudier l'integrabilite de $f$ sur $\R^{+*}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga04b77c"nil>
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<p>
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Si $a\gt 0$ et $b\gt 0$, calculer $\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\ dt$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0d41ba7"nil>
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<p>
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Soit $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ une fonction de classe $C^1$. On suppose que $f'/f$ tend vers une limite $a\in\R^{-*}$ en $+\i$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $f$ et $f'$ sont integrables sur $\R^+$.</li>
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<li>Donner un equivalent de $\int_x^{+\i}f$ lorsque $x$ tend vers $+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge15255b"nil>
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<p>
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Trouver une valeur approchee rationnelle a $10^{-3}$ pres de $\int_0^1e^{-t}\ln(t)\,dt$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc263315"nil>
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<p>
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Quelles sont les fonctions de $\R^+$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $\R^+$ d'une suite d'applications polynomiales reelles?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org391a8aa"nil>
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<p>
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Soient $S$ un segment de $\R$ non reduit a un point, $n\in\N^*$, $m\in\R^{+*}$, $\eps\in\R^{+*}$, $f$ une fonction de classe $C^n$ de $S$ dans $\R$ telle que $\|f^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$. Montrer qu'il existe $p\in\R[X]$ tel que $\|f-p\|_{\i,S}\lt \eps$ et $\|p^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3f58e1d"nil>
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<p>
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Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une suite $(p - {n\geq 0}$ d'applications polynomiales reelles telle que $(p - {n\geq 0}$ converge uniformement vers $f$ sur tout segment de $\R$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd828f7c"nil>
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<p>
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Soient $a$ et $b$ deux nombres reels tels que $a\lt b$ et $S=[a,b]$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose que $S\cap\Z\neq\emptyset$. Expliciter une fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ qui n'est pas limite uniforme sur $S$ d'une suite d'elements de $\Z[X]$.</li>
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|
<li>On suppose $S\subset]0,1[$. On definit une suite $(P - {n\geq 0}$ de polynomes par $P_0=X$ et, pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=2P_n(1-P_n)$. Montrer que $(P - {n\geq 0}$ converge uniformement sur $S$ vers la fonction constante egale a $\frac{1}{2}$.</li>
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|
<li>On suppose que $S\cap\Z=\emptyset$. Montrer que toute fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ est limite uniforme sur $S$ d'une suite d'elements de $\Z[X]$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgac11508"nil>
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<p>
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Soit, pour $n\in\N$, $f_n:x\in\R^+\mapsto x^n(1-\sqrt{x})$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le domaine de convergence $D$ de la serie de fonctions $\sum f_n$.</li>
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<li>Y a-t-il convergence normale sur $D$? - Calculer $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{1}{(n+1)(2n+3)}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdf3f8c4"nil>
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<p>
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Soit $\alpha\gt 0$. Etudier les modes de convergence de la serie de fonctions $\sum u_n$ definie par $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf1a922a"nil>
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<p>
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Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nx}}{x+n}$. Domaine de definition, continuite de $f$, equivalent de $f$ aux extremites de son domaine de definition.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3960bbb"nil>
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<p>
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Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de definition, continuite, etude de la derivabilite, equivalents en $0$ et $+\i$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org9f9d845"nil>
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que la serie de fonctions $\sum\frac{x\,e^{-nx}}{\ln(n)}$ converge simplement sur $\R^+$ mais non normalement.
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer la convergence uniforme sur $\R^+$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3785ae0"nil>
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<p>
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Pour tout $n\in\N^*$ et $x\in\R^+$, on pose $f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{n}(n+x)}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer la convergence simple de $\sum f_n$ sur $\R^+$. On note $f=\sum_{n=1}^{+\i}f_n$.</li>
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|
<li>Montrer que la serie $\sum f_n$ converge normalement sur les segments de la forme $[0,M]$ avec $M\gt 0$. Y a-t-il convergence normale sur $\R^+$?</li>
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|
<li>Etudier la continuite de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\i[$.</li>
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|
<li>Soient $n\geq 1$ et $x_0\geq n$. Montrer $:f(x_0)\geq\sum_{k=1}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}$. En deduire $:f(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}+\i$.</li>
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|
<li>Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o(x)$.</li>
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|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org366dbe5"nil>
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<p>
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Soit $f\in\mc C([a,b],\R)$.
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</p>
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<p>
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On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N^*$ et $x\in[a,b]$, $f_n(x)=\int_a^xf_{n-1}(t)dt$.
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</p>
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<p>
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Etudier la convergence simple de la serie $\sum f_n$ et calculer sa somme.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orged914ae"nil>
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<p>
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Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(\sin(nx))^2}{n^2}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que la fonction $f$ est definie et continue sur $\R$.</li>
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<li>La fonction $f$ est-elle derivable en $0$?# 789</li>
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</ul>
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<p>
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Soient $a\gt 0$ et $f:x\mapsto∑<sub>n=1</sub><sup>+\i</sup>ln\left(1+\frac{a}{n^2x^2}\right).$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner l'ensemble de definition de $f$.</li>
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|
<li>Determiner un equivalent de $f$ en $0$, et en $+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org16407d0"nil>
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|
<ul class="org-ul">
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<li>Justifier la convergence pour $x\in[0,1[$ de$:f(x)=∏<sub>n=0</sub><sup>+\i</sup>\left(\frac{1+x^n}{1+x<sup>n+1</sup>}\right)<sup>x<sup>n</sup></sup>.$
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que, pour tout $x\in\,]0,1[$, on a $:ln f(x)=\frac{x-1}{x}∑<sub>n=1</sub><sup>+\i</sup>x<sup>nln</sup>(1+x<sup>n</sup>)+ln 2.$</li>
|
|
<li>En deduire $:\forall x\in[0,1[\,,\ln f(x)=\ln 2+\sum_{m=1}^{+\i}\frac{(-1)^m}{m} \frac{x^m}{1+x+\cdots+x^m}$.</li>
|
|
<li>Montrer que $f$ possede une limite finie en $1^-$ et l'expliciter.</li>
|
|
</ul></li>
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|
</ul>
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</div>
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|
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|
<div class="exercice" id="org4f4dd50"nil>
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|
<p>
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Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, on pose $u_n(x)=e^{-x\sqrt{n}}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner les domaines de definition des fonctions $ f=∑<sub>n=0</sub><sup>+\i</sup>u<sub>n</sub>$ et $g=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^nu_n$.</li>
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|
<li>Trouver une equation fonctionnelle reliant $f$ et $g$.</li>
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|
<li>Montrer que $f$ est analytique. Qu'en est-il de $g$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org269015e"nil>
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<p>
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Rayon de convergence et somme de $ f:x\mapsto∑<sub>n=1</sub><sup>+\i</sup>\frac{x<sup>2n+2</sup>}{n(n+1)(2n+1)}$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgcc99d4f"nil>
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<p>
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Rayon de convergence et somme de $ f:x\mapsto∑<sub>n=1</sub><sup>+\i</sup>\frac{x^n}{4n^2-5n+1}$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orga8be912"nil>
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<p>
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Determiner le rayon de convergence et la somme de la serie entiere $\sum z^{n+(-1)^n}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge8d0db8"nil>
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<p>
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Soit $u$ qui a $ P∈\C[X]$ associe $ u(P):z\mapsto e<sup>-z</sup>∑<sub>n=0</sub><sup>+\i</sup>\frac{P(n)}{n!}z<sup>n</sup>$. Montrer que $u$ est bien definie, et que c'est un automorphisme de $\C[X]$. Determiner ses elements propres.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org05b57c6"nil>
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<p>
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Soient $ q∈]-1,1[$ et $ f:x\mapsto∑<sub>n=0</sub><sup>+\i</sup>sin(q<sup>nx</sup>)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $f$ est definie sur $\R$ et de classe $\mc C^{\i}$.</li>
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|
<li>Montrer que $f$ est developpable en serie entiere.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org74c8ee1"nil>
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<p>
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Soient $\alpha$ et $\beta$ deux reels strictement positifs.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que la serie $\sum\frac{(-1)^n}{\alpha n+\beta}$ est convergente. - On note $S$ la somme de la serie ci-dessus et pour tout $n\in\N$, $r_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{\alpha k+\beta}$.</li>
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</ul>
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<p>
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Exprimer $S$ et $r_n$ sous forme integrale.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum r_nx^n$. Etudier son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6e2fdab"nil>
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<p>
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Montrer qu'au voisinage de $0$, la fonction $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$ est developpable en serie entiere et en donner les coefficients.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgebfd6f2"nil>
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<p>
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Expliciter le developpement en serie entiere de $\ln(x^2-x\sqrt{2}+1)$ au voisinage de $0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga229c5f"nil>
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<p>
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Soient $\tau\in\R$ et $f:x\mapsto\arctan\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere en $0$ et preciser le domaine exact de validite.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org64d24cd"nil>
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|
<p>
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Rayon de convergence, ensemble de definition et somme de $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\mathrm{ch}(n)}{n}x^{2n}$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgab11d6a"nil>
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<p>
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|
Determiner le developpement en serie entiere en $0$ de $f:x\mapsto\sin\left(\frac{1}{3}\text{arcsin}(x)\right)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfc7840a"nil>
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<p>
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|
On pose : $\forall n\geq 2,u_n=\sum_{\begin{subarray}{c}(i,j)\in(\N^*)^2 \end{subarray}}\frac{1}{(ij)^2}$ et $S:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}u_nx^n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner un equivalent simple de $u_n$.</li>
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<li>Determiner le rayon de convergence $R$ de $S$ et simplifier $S(x)$ sur $]-R,R[$.</li>
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|
<li>Etudier la bonne definition et la continuite de $S$ en $R$ et en $-R$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgaa4aee8"nil>
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<p>
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Soit $P\in\R[X]$ de degre $p\in\N^*$.
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|
</p>
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le rayon de la serie entiere $\sum_{n=0}^{+\i}P(n)x^n$ et montrer que la somme de cette serie s'ecrit sous la forme $\frac{Q(x)}{R(x)}$ avec $Q,R\in\R[X]$.</li>
|
|
<li>Soit $M=(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p+1}$. Montrer que $\det(M)=0$.</li>
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|
<li>Montrer que $\det(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org85a88f0"nil>
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<p>
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Soit $f:x\mapsto(\arcsin(x))^2$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $f$ est solution d'une equation differentielle lineaire d'ordre $2$, sur un intervalle que l'on precisera.</li>
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|
<li>Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$. Experimer les coefficients de ce developpement en serie entiere et donner son rayon de convergence.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9310e16"nil>
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<p>
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On definit la suite $(a_n)$ par : $a_0=a_1=1$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1}a_{n-1}$. - Montrer que : $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$ et en deduire le rayon de convergence $R$ de la serie entiere $\sum a_nx^n$.
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</p>
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<p>
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|
On pose $f:x\in\,]-R,R[\,\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $f$ est solution de $(1-x)y'-(1+2x)y=0$.</li>
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|
<li>Expliciter $f$ a l'aide des fonctions suuelles.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgb8892dc"nil>
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|
<p>
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On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^2x}$.
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|
</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $f$ est bien definie et de classe $\mc C^{\i}$.</li>
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|
<li>Est-elle developpable en serie entiere?</li>
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|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org37d14d9"nil>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Rappeler la formule de Stirling.
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Calculer le rayon de convergence de la serie entiere $\sum\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)x^n$.</li>
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|
<li>Calculer la somme de cette serie entiere en $-1$ apres s'etre assure de son existence.</li>
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|
<li>Calculer $\int_0^1\frac{(-1)^{\lfloor 1/x\rfloor}}{x}{\rm d}x$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org09d0fb9"nil>
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le rayon de convergence de $f:z\mapsto\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,z^k$.
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Soit $z\in\C$ avec $|z|\lt 1$. Calculer $\exp\left(f(z)\right)$. Ind. Considerer $t\in[0,1]\mapsto\exp\left(f(tz)\right)$.</li>
|
|
<li>Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ tel que :</li>
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</ul></li>
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</ul>
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<p>
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|
$∀ z∈\C,\ |z|≤α⇒det(I<sub>n</sub>+zA)=exp \left(∑<sub>k=1</sub><sup>+\i</sup>\frac{(-1)^k}{k}\,\op{tr}(A<sup>k</sup>)\,z<sup>k </sup>\right).$
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|
</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org1f700c1"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$. - Determiner le rayon de convergence de la serie $f(z)=\sum_{p\in\N}\op{tr}(A^p)z^p$ - Calculer $f(z)$ en fonction du polynome caracteristique de $A$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd0b2451"nil>
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<p>
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Soit $(a - {n\geq 0}\in\C^{\N}$. On suppose que la serie $\sum n|a_n|$ converge.
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|
</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que le rayon de $\sum a_nz^n$ est superieur ou egal a 1.</li>
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|
<li>On suppose $|a_1|\geq\sum_{n=2}^{+\i}n|a_n|$ avec $a_1\neq 0$. Montrer que $f:z\in\mathbb{D}\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ est injective.</li>
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|
</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orge04fcbc"nil>
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Developpere en serie entiere $\phi:z\mapsto\frac{z}{(1-z)^2}$. Montrer que $\phi$ est injective sur $D_o(0,1)$.</li>
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</ul>
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<p>
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|
On pose $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ avec $(a_n)$ une suite reelle. On suppose que $f$ est definie et injective sur $D_o(0,1)$. - Montrrer que $f(z)\in\R\Longleftrightarrow z\in\R$.
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|
</p>
|
|
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>En deduire que $\op{Im}z\geq 0\Longleftrightarrow\op{Im}f(z)\geq 0$.</li>
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|
<li>Soit $R\in\left]0,1\right[$. Calculer $\int_0^{\pi}\op{Im}f(Re^{it})\sin(nt)\op{d}t$.</li>
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<li>Montrrer que : $\forall n\geq 2,|a_n|\leq n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb81ecff"nil>
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<p>
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Soit, pour $n\in\N$, $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan(t)^n\op{d}t$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Trouver une relation de recurrence sur $(I_n)$.</li>
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<li>Montrrer que, pour $n\in\N$, $I_{2n}=(-1)^n\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{2k+1}$. Donner une expression similaire pour $I_{2n+1}$.</li>
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|
<li>Donner un equivalent de $I_n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfd14154"nil>
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<p>
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Soit, pour $n\geq 2$, $I_n=\int_1^{+\i}\frac{\op{d}t}{1+t+\cdots+t^n}$. Determiner de trois facons differentes la nature de $\sum I_n$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge591845"nil>
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<p>
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On pose, pour tout $n\in\N^*$, $u_n=\int_1^{+\i}\exp(-x^n)\op{d}x$. Justifier l'existence de $(u_n)$. Etudier la convergence de la suite $(u_n)$ et de la serie $\sum u_n$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org56f2e07"nil>
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<p>
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Developpement asymptotique a deux termes de $I_n=\int_0^{+\i}e^{-nx}\ln(n+x)dx$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org814702c"nil>
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<p>
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Pour $n\in\N^*$ et $\alpha\in\R^+$, on pose $u_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-\alpha x}\op{d}x$. Determiner un equivalent simple de $u_n$ dans les cas $\alpha=0$, $\alpha\gt 1$, $\alpha=1$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgef68d0a"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrrer que $\int_0^{+\i}\cos\left(u^2\right)\op{d}u$ converge.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(a,b)\in\left(\R^{+*}\right)^2$. Trouver un equivalent de $I_n=\int_0^1\cos\left(n\left(au^2+bu^3\right)\right) \op{d}u$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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<p>
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<span class="underline">Ind.</span> Poser $t=\sqrt{na}u$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf61cf73"nil>
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<p>
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Soit $\alpha\gt 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n(\alpha)=\int_0^{+\i}\frac{\op{d}t}{(1+t^{\alpha})^n}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Justifier la convergence de $I_n(\alpha)$.</li>
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<li>Etablir une relation entre $I_{n+1}(\alpha)$ et $I_n(\alpha)$. En deduire une expression de $I_n(\alpha)$ en fonction de $I_1(\alpha)$ et de $\alpha$.</li>
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|
<li>Determiner la limite de la suite $(I_n(\alpha))_{n\in\N}$.</li>
|
|
<li>Montrrer l'existence d'un reel $K(\alpha)$ tel que $I_n(\alpha)\sim\frac{K(\alpha)}{n^{1/\alpha}}$ quand $n\to+\i$.# 820</li>
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</ul>
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<p>
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On pose, pour tout $x\in\,]0,1[$, $f(x)=\frac{x^2\ln x}{x-1}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $f$ est prolongeable en une fonction de classe $C^1$ sur $[0,1]$, qu'on appellera toujours $f$ par la suite.</li>
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|
<li>Donner un equivalent de $\int_0^1x^nf(x)\,dx$.</li>
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|
<li>Montrer que $\lim_{n\to+\i}n\int_0^1x^nf(x^n)\,dx=\sum_{k=3}^{+\i} \frac{1}{k^2}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2ec0592"nil>
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<p>
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Soit $g:\R^+\to\R$, continue par morceaux, integrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornee.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7295c66"nil>
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<p>
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Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que, pour tout $u\in\R$, $|e^{iu}-1|\leq|u|$.</li>
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<li>En deduire que $f$ est derivable sur $\R$ puis simplifier l'expression de $f$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgacb3be1"nil>
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<p>
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On admet que $\int_0^{+\i}e^{-x^2}dx=\frac{\pi}{2}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $I=\int_0^{+\i}\cos(t^2)dt$ converge.</li>
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</ul>
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<p>
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On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-(t^2+i)x^2}}{t^2+i}dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $F$ est definie et de classe $\mc C^1$ sur $\R^+$.</li>
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|
<li>En deduire que $\int_0^{+\i}e^{-ix^2}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i }\frac{dt}{t^2+i}$.</li>
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|
<li>En deduire la valeur de $I$.</li>
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|
</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org20f287f"nil>
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<p>
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On pose, pour tout $t\in\R$, $h(t)=\int_{\R}e^{-\pi(x^2+2itx)}\,dx$. Montrer que l'integrale $h(t)$ est bien definie pour tout $t\in\R$ puis la calculer explicitement.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge51b3ca"nil>
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<p>
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On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{\ln t}{t+x}\,dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le domaine de definition de $f$.</li>
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|
<li>Montrer que $f$ est derivable sur $\R^{+*}$ et expliciter $f'$.</li>
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|
<li>On pose $g:x\mapsto f(x)+f(1/x)$. Simplifier $g(x)$ pour $x\gt 0$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org68ccc22"nil>
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<p>
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Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t(1+t^2)}\,dt$.
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|
</p>
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $F$ est definie sur $\R$ et de classe $\mc C^2$.</li>
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|
<li>Exprimer $F$ a l'aide de fonctions usuelles.# 827</li>
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</ul>
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<p>
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On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-t^2-\frac{x^2}{t^2}}\,dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $F$ est definie sur $\R$.</li>
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|
<li>Montrer que $F$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^*$.</li>
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|
<li>Trouver une equation differentielle d'ordre $1$ verifiee par $F$.</li>
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|
<li>En deduire $F$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgd84093d"nil>
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<p>
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|
Soit $f:x\mapsto\int_{\R}e^{tx-t^2}\,dt$.
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|
</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $f$ est definie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. Quelle equation differentielle verifie $f$?</li>
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|
<li>Trouver les solutions du probleme de Cauchy $-2y^{''}+xy'+y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=\sqrt{\pi}$ et $y'(0)=0$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgffe220e"nil>
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|
<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le domaine de definition de $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$.
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|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer que $f$ est continue sur $\R^+$.</li>
|
|
<li>Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$.</li>
|
|
<li>Donner une expression de $f'$ puis de $f$.</li>
|
|
<li>En deduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\,dt$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6b60626"nil>
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<p>
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On pose $f(x)=\int_0^{+\i}|\sin(t)|e^{-xt}dt$. Determiner le domaine de definition de la fonction $f$ et montrer qu'elle y est de classe $\mc C^{\i}$. Expliciter la valeur de $f(x)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org42fae8f"nil>
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<p>
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Soient $f\in\mc C^0(\R,\R)$ et $g:x\mapsto\frac{1}{x}\int_0^x\cos(x-y)f(y)\,dy$. Montrer que $g$ est bien definie sur $\R^{+*}$ et trouver sa limite en $0$. On suppose que $f$ tend vers $\ell$ en $+\i$. Etudier la limite de $g$ en $+\i$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org6422d1e"nil>
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<p>
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Soient $C\gt 0$, $d\gt 0$ et $\alpha\in\R$. Montrer que $\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^{\alpha}dx\underset{t\to+\i}{ \sim}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^{\alpha}}{\sqrt{t}}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3350fcf"nil>
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<p>
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Soit $f:x\mapsto\int_0^{\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)\,dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le domaine de definition de $f$, etudier la continuite et les symetries.</li>
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<li>Expliciter $f(x)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb75aec9"nil>
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<p>
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On pose $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le domaine de definition de $f$.</li>
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|
<li>Determiner le developpement de $f$ en serie entiere sur un intervalle $I$ centre en $0$ que l'on precisera.# 835</li>
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</ul>
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<p>
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|
On pose, pour $x\in\R$, $f(x)=\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de 0 et expliciter son developpement.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3db4e5c"nil>
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<p>
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Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$. On considere la fonction $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-xt}f(t)\,dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>On suppose $f$ bornee. Montrer que $F$ est definie et de classe $C^{\i}$ sur $\R^{+*}$.</li>
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|
<li>On suppose que $f$ admet une limite finie non nulle $\ell$ en $+\i$. Donner un equivalent de $F$ en $0^+$.</li>
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|
<li>On suppose $f$ developpable en serie entiere sur $\R^+:f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$, et que la serie $\sum n!a_n$ converge. Etudier le comportement de $F(1/x)$ au voisinage de 0 et de $+\i$.</li>
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|
<li>Donner des exemples de fonctions $f$ telles que le domaine de definition de $F$ soit $]0,+\i[$, $]1,+\i[$ ou $\emptyset$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org740e1b6"nil>
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<p>
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On note $\mc{L}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues et integrables, et $\mc{E}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues telles que, pour tout $s\gt 0$, la fonction $u\mapsto\dfrac{f(u)}{u+s}$ est integrable. Si $f\in\mc{E}$, on pose $\widehat{f}(s)=\int_0^{+\i}\dfrac{f(u)}{u+s}\,du$ pour tout $s\gt 0$.
|
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Quelles inclusions existent entre $\mc{L}$ et $\mc{E}$?</li>
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<li>Dans cette question, on suppose que $f(u)=u^{\alpha-1}$, ou $\alpha\in]0,1[$. Montrer que $\widehat{f_{\alpha}}$ est proportionnelle a $f_{\alpha}$.</li>
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<li>Soit $f\in\mc{E}$. Montrer que $\widehat{f}$ est continue, et determiner $\lim_{s\to+\i}\widehat{f}(s)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org42ac79c"nil>
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<p>
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Montrer que $\int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{\ln(t)}{1-t}\,dt=\int_0^{ \frac{1}{2}}\dfrac{\ln(1-t)}{t}dt$ et en deduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{2^nn^2}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc62f915"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(a - {n\geq 0}\in\C^{\N}$ sommable. Montrer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sum_{n=0}^{+\i}a_n\dfrac{t^n}{n!} \,dt=\sum_{n=0}^{+\i}a_n$.
|
|
<ul class="org-ul">
|
|
<li>Montrer le meme resultat en ne supposant que la convergence de la serie $\sum a_n$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0ef92bd"nil>
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<p>
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Soient $\alpha\in\Big{]}0,\dfrac{\pi}{2}\Big{[}$ et $f:t\mapsto\dfrac{1}{1-\sin\alpha\cos t}$:
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Expliciter une suite $(a_n)$ telle que $:\forall t\in\R$, $f(t)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n\cos(nt)$.</li>
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|
<li>En deduire, pour $n\in\N$, la valeur de $:\int_0^{\pi}\dfrac{\cos(nt)}{1-\sin\alpha\cos t}\,dt$.</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgabe61ae"nil>
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<p>
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Soit $(\lambda - {n\in\N}$ une suite croissante de reels strictement positifs.
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</p>
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<p>
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On pose : $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n\exp(-\lambda_nx)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Determiner le domaine de definition de $f$.On suppose dans la suite que $(\lambda_n)$ tend vers $+\i$.</li>
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<li>Montr per que l'integrale $\int_0^{+\i}f$ converge et la calculer.</li>
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<li>Traiter le cas particulier ou $\lambda_n=n+1$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org631c076"nil>
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<p>
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Soient $a$ et $b$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R^+$ et $S$ l'ensemble des solutions de $y'=ay+b$. Montr per l'equivalence entre :
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>tous les elements de $S$ sont bornes, ii) $a$ et $b$ sont integrables.</li>
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</ol>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="org7aca37f"nil>
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<p>
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Determiner les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$ derivables et telles que $y'(x)=y(\pi-x)$.
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</p>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgd400f9d"nil>
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<p>
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Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que $f(0)=0$ et que $\forall x\in\R^*,f(x)=e^{-1/x^2}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montr per que $f$ est de classe $C^{\i}$ sur $\R$.</li>
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|
<li>La fonction $f$ est-elle solution d'une equation differentielle lineaire homogene?</li>
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</ul>
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</div>
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|
<div class="exercice" id="orgc13143b"nil>
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<p>
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Resoudre l'equation differentielle $y'+|y|=1$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgab112c5"nil>
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<p>
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|
Soient $n\in\N^*$ et $\omega\in\C$ tel que $\omega^n=1$. Trouver les fonctions $y\in C^n(\R,\C)$ solutions de $\sum_{k=0}^ny^{(k)}\omega^{n-k}=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org46c257e"nil>
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<p>
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On considere la fonction $f\colon\R\to\R$ definie par : $f(x)=\exp(-x^{-2})$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montr per que $f$ n'est solution d'aucune equation differentielle lineaire homogene a coefficients constants (d'ordre quelconque).
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4763985"nil>
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<p>
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|
Resoudre le systeme differentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te<sup>t</sup>\\ y'=3x+2y+3z+e<sup>t</sup>\\ z'=3x+3y+2z+t<sup>2e</sup><sup>t\end</sup>{array}.$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8791e0d"nil>
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<p>
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Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On note $(S)$ le systeme differentiel : $\forall p\in[1,n],x_p^{(m)}=\sum_{q=1}^na_{p,q}x_q(t)$.
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</p>
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<p>
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Montr per que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7453094"nil>
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<p>
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Resoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'<code>x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t\\ z'</code>-x+2y+z+t<sup>2e</sup><sup>t.\end</sup>{array}.$, $\left\{\begin{array}{c}x'=x+8y+te<sup>t</sup>\\ y'=2x+y+e<sup>-t</sup>.\end{array}.$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge0c7172"nil>
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<p>
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Determiner les solutions developpables en serie entiere au voisinage de 0 de l'equation :
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</p>
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<p>
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$2xy^{''}-y'+2y=0$. Les exprimer a l'aide des fonctions usuelles.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb747580"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li><p>
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Resoudre l'equation : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=0$ sur $\R$ en cherchant des solutions developpables en serie entiere.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Resoudre : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=\frac{1}{1+t^2}$.# 853</li>
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</ul>
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<p>
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On considere l'equation differentielle : $y^{''}-y=|\cos x|$. Existe-t-il des solutions positives? Bornees? Positives et bornees?
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</p></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf959ba5"nil>
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<p>
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Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. Soit $(E)$ l'equation differentielle $y'+a(x)y+b(x)=0$. Soit $A:x\mapsto\int_0^xa(t)\,dt$ et $I=A(2\pi)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Trouver une condition sur $I$ pour que $A$ soit $2\pi$-periodique.</li>
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<li>Montrer que si $y$ est solution de $(E)$, alors $x\mapsto y(x+2\pi)$ est aussi solution de $(E)$.</li>
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<li>Supposons $I\neq 0$. Montrer que $(E)$ admet une unique solution $2\pi$-periodique.</li>
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<li>Que dire si $I=0$?</li>
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<li>Donner un exemple pour illustrer chacune de ces situations.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgabb5be3"nil>
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<p>
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Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}e^{x\sin(t)}dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $f$ est solution de $(*):xy^{''}+y'=xy$.</li>
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<li>Quelles sont les solutions developpables en serie entiere sur $\R$ de $(*)$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6931d05"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $A\in\R^+$, $f,g:\R^+\to\R^+$ continues. On suppose que</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A+\int_0^xf(t)\,g(t)dt$. Montrer que $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A\exp\left(\int_0^xg(t)dt\right)$.
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</p>
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<p>
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Soit $(*)$ l'equation differentielle $x^{''}(t)+a(t)x(t)=b(t)$ avec $a$ et $b$ continues sur $\R^+$, $b$ et $t\mapsto t\,a(t)$ integrables sur $\R^+$. Soit $x$ solution de $(*)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall t\geq 1$, $x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)du+\int_{1 }^t(t-u)\,b(u)du$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On pose, pour $t\geq 1$, $y(t)=\dfrac{|x(t)|}{t}$. Montrer l'existence de $K$ tel que :</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall t\geq 1$, $y(t)≤ Kexp\left(∫<sub>1</sub><sup>tu</sup>\,|a(u)|du\right)≤ K exp\left(∫<sub>1</sub><sup>+\i</sup>u\,|a(u)|du\right).$
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1932519"nil>
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<p>
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Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une application $X$ de classe $C^1$ de $\R$ dans $\C^n$ et $\lambda\in\C^*$ tels que $\forall t\in\R,\ X(t+T)=\lambda X(t)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc1531c8"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n;$ Expliciter les solutions de $X'(t)=AX(t)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org28b0d86"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$. A quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme differentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornees sur $\R$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org842d3e7"nil>
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<p>
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Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x,y)=y(1-x)$ sinon. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $D$ et les determiner.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb682e0a"nil>
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<p>
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Etudier la differentiabilite de la fonction $f$ definie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$.# 862
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On note $T$ le triangle plein defini par les points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Determiner le minimum sur $T$ de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2+\frac{1}{2}(1-x-y)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7f953a8"nil>
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<p>
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Soit $f\colon\R^2\to\R$ telle que $f(0,0)=1$ et $f(x,y)=(x^2+y^2)^x$ si $(x,y)\neq(0,0)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $f$ est continue sur $\R^2$.</li>
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<li>Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$.</li>
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<li>La fonction $f$ admet-elle des derivees partielles en $(0,0)$?</li>
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<li>Etudier les variations de $g:x\mapsto f(x,0)$.</li>
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<li>Determiner les extrema de $f$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org613b765"nil>
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<p>
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Soit $f:(\R^+)^2\to\R$ definie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=\frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}$ sinon.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $f$ est continue.</li>
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<li>Etudier les extrema de $f$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org220a508"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie, $f$ une forme lineaire sur $E$.
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</p>
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<p>
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Montrer que l'application $g:x\in E\mapsto f(x)\,e^{-\|x\|^2}$ admet un minimum et un maximum, puis determiner ce maximum et ce minimum.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb431376"nil>
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<p>
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Determiner les fonctions de classe $\mc C^2$ sur $(\R^{+*})^2$ verifiant $x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-y^2\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=0$. On pourra faire le changement de variables $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org96ae33f"nil>
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<p>
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Soit $K\in\R$. Determiner toutes les fonctions $f:]0,+\i[\times\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ solutions de l'equation $x\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)-y\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=K\,f(x,y)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcbc2cec"nil>
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<p>
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Soient $\alpha\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R^3,\R)$. On dit que $f$ est homogene de degre $\alpha$ si :
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</p>
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<p>
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$\forall(x,y,z)\in\R^3$, $\forall t\in\R^{+*}$, $f(tx,ty,tz)=t^{\alpha}f(x,y,z)$. Montrer que $f$ est homogene de degre $\alpha$ si et seulement si $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{ \partial f}{\partial z}=\alpha f$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org728d6ca"nil>
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<p>
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Resoudre $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-3\,\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}+2\,\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$.
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</p>
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<p>
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Ind. Utiliser le changement de variable $(u,v)=(x+y,\,2x+y)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org262e09a"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f\in C^1(\R^n,\R)$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que : $\forall x\in\R^n,f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^nx_i\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)\,dt$.
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</p>
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<p>
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On pose $E=C^{\i}(\R^n,\R)$ et
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</p>
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<p>
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$D=\Big{\{}\phi\in\mc{L}(E,\R)\ ;\ \forall(f,g)\in E^2,\phi(fg)=f(0) \phi(g)+g(0)\phi(f)\Big{\}}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que la famille $(\phi - {1\leq i\leq n}$ est libre, avec : $\phi_i:f\mapsto\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)$.</li>
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<li>Montrer que $D$ est de dimension finie.# 871</li>
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</ul>
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<p>
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Soient $f\in C^2(\R^2,\R)$, $k\in[0,1[$ tells que$:\forall a\in\R^2,\left|\frac{\partial f}{\partial x}(a)\right|+ \left|\frac{\partial f}{\partial y}(a)\right|\leq k$. Soit $(u_n)$ definie par $(u_0,u_1)\in\R^2$ et $:\forall n\in\N,u_{n+2}=f(u_n,u_{n+1})$.
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</p>
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<p>
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Pour tout $n\in\N$, on pose $:a<sub>n</sub>=max\left(|u<sub>n+1</sub>-u<sub>n</sub>|,|u<sub>n+2</sub>-u<sub>n+1</sub>|\right).$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer $:\forall(a,b)\in(\R^2)^2$, $\exists c\in\R^2$, $f(b)-f(a)=(b-a|\nabla f(c))$.</li>
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<li>Montrer que $:∀(x,y,x',y')∈\R<sup>4,\left</sup>|f(x,y)-f(x<sup>' </sup>,y')\right|≤ kmax\left(|x-x'|,|y-y'|\right).$</li>
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<li>Montrer que $:\forall n\in\N,a_{n+2}\leq ka_n$, puis qu'il existe deux constantes $q$ et $C$ telles que $:\forall n\in\N,a_n\leq Cq^n$.</li>
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<li>Montrer que $(u_n)$ est une suite convergente et donner une propriete verifiee par sa limite.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgea7dc40"nil>
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<p>
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Soient $\Omega$ un ouvert de $\R$, $K$ une partie compacte non vide de $\Omega$, $f$ une fonction de classe $C^2$ de $\Omega$ dans $\R$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose que $\Delta f\gt 0$. Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum local.</li>
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<li>On suppose que $\Delta f\geq 0$. Montrer que $\max_Kf=\max_{\mbox{\footnotesize{\bf FT}}(K)}f$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2f2c780"nil>
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<p>
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Soient $R\in\R^{+*}$, $D_R=\{(x,y)\in\R^2\ ;\ x^2+y^2\lt R^2\}$, $(a - {n\geq 0}$ une suite complex telle que $\sum a_nz^n$ ait pour rayon de convergence $R$. Pour $(x,y)\in D_R$, on pose $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n(x+iy)^n$. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ et harmonique sur $D_R$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2eb8c83"nil>
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<p>
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Soient $A\in S^{++}_n(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose $:f:X\in\R^n\mapsto X^TAX-2B^TX$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\nabla f(X)$.</li>
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<li>Montrer que $f$ admet un minimum global et le determiner.</li>
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<li>Soit $(X_k)$ une suite de vecteurs non nuls verifiant</li>
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</ul>
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<p>
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$\forall k\in\N,X_{k+1}=X_k-\frac{\|\nabla f(X_k)\|}{X_k^TAX_{ k}}\nabla f(X_k)$. On suppose que la suite $(X_k)$ est convergente.
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</p>
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<p>
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Determiner sa limite.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3cd31fc"nil>
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<p>
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Pour $x=(x_0,\ldots,x_n)$ et $y=(y_0,\ldots,y_n)$ dans $\R^{n+1}$, on pose
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</p>
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<p>
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$f(x,y)=\left(\sum_{0\leq i,j\leq n\atop i+j=k}x_iy_j\right)_{k \in[0,2n]}\in\R^{2n+1}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $x,y\in(\R^{n+1}$ non nuls. Montrer que $f(x,y)$ est non nul.</li>
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<li>Soient $u$ et $v$ les applications de $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ dans $\R^{2n+1}$ definies par $u:x\mapsto f(x,x)$ et $v:x\mapsto\frac{f(x,x)}{\|f(x,x)\|}$ ou $\|\ \|$ est la norme euclidienne canonique sur $\R^{2n+1}$. Calculer les differentielles de $u$ et $v$.</li>
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<li>Soit $x\in\R^{n+1}$ non nul. Calculer $\op{rg}\left(\op{d}\!v(x)\right)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org79d47cd"nil>
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<p>
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${}^{\bigstar}$ Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ differentiable telle que : i) pour tout $x\in\R^n$, $\op{d}\!f(x)$ est injective ; ii) $\|f(x)\|\underset{\|x\|\to+\i}{\longrightarrow}+\i$.
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</p>
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<p>
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Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\op{d}\!g$. - Montrrer que $g$ admet un minimum.</li>
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<li>En deduire que $f$ est surjective.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge25c6ed"nil>
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<p>
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Soient $U$ un ouvert convexe de $\R^n$ et $f:U\to\R$ une fonction de classe $C^1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrre que $f$ est convexe si et seulement si $f(y)-f(x)\geq df_x(y-x)$ pour tous $x,y\in U$. Que donne cette caracterisation dans le cas ou $n=1$?</li>
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<li>Soient $\alpha$ et $\beta$ des reels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrre que $\Phi$ atteint sa borne inferieure en un unique element de $E$, que l'on precisera.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc01596d"nil>
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<p>
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Soit $E=\M_n(\R)$ muni de la norme euclidienne canonique.
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</p>
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<p>
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On pose $f:M\in E\mapsto\|M\|^2=\mathrm{tr}(M^TM)$ et $g:M\in E\mapsto\det M-1$. On note $h$ la restriction de $f$ a $\mathrm{SL}_n(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Justifier que $f$ et $g$ sont de classe $\mc C^1$ et calculer leur gradient en une matrice $M\in\mathrm{SL}_n(\R)$.</li>
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<li>Montrre que $f$ admet un minimum sur $\mathrm{SL}_n(\R)$. Soit $M_0$ une matrice ou il est ateint.</li>
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<li>Soit $H\in\M_n(\R)$ orthogonale au gradient de $g$ en $M_0$. Montrre qu'il existe un chemin $\gamma$ de classe $\mc C^1$ defini sur un voisinage de $0$ dans $\R$, a valeurs dans $\mathrm{SL}_n(\R)$ tel que $\gamma(0)=M_0$ et $\gamma'(0)=H$.</li>
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<li>Montrre que $(\nabla f_{M_0})^{\perp}=(\nabla g_{M_0})^{\perp}$.</li>
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<li>Calculer le minimum de $h$ sur $\mathrm{SL}_n(\R)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org517197e"nil>
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<p>
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Si $n\in\N^*$, determiner $T_{I_n}\mathrm{SO}_n(\R)$, puis, si $M\in\mathrm{SO}_n({}_R)$,$T_M\mathrm{SO}_n(\R)$.
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</p>
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<p>
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<span class="underline">Probabilities</span>
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfc61d13"nil>
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<p>
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On tire au hasard un element $A$ de $P([\![1,n]\!])$. Calculer la probabilite que $\mathrm{card}\,A$ soit un entier pair.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org192f718"nil>
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<p>
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Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux unres contenant chacune des boules numerotees de $1$ a $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd41e769"nil>
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<p>
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Un couple met au monde quatre enfants. Chaque enfant a la probabilite $p\in]0,1[$ d'etre une fille, et les naissances sont independantes. On considere les evenements $A:≪$e dernier est une fille $\Rightarrow$, $B:≪$e couple a autant de filles que de garcons $\Rightarrow$, $C:≪$es garcons naissent toujours apres une fille $\Rightarrow$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Les evenements $A$ et $B$ (resp. $A$ et $C$) sont-ils independants?</li>
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<li>Les evenements $A,B,C$ sont-ils mutuellement independants?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9fef714"nil>
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<p>
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Soit $p\in]0,1[$. Dans un sac contenant $n$ jetons numerotes de $1$ a $n$, on tire $S$ jetons ou $S$ est une variable aleatoire suivant la loi binomiale de parametre $n$ et $p$. Quelle est la probabilite d'obtenir des jetons de numeros consecutifs?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc574f98"nil>
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<p>
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On lance une piece jusqu'a obtenir deux piles de plus que de faces ou deux faces de plus que de piles. On note $p\in]0,1[$ la probabilite que la piece donne pile. On note $X$ la variablealeatoire associee au nombre de lancers. Determiner la loi de $X$ et montrer que $X$ est presque surement finie. La variable aleatoire $X$ est-elle d'esperance finie?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1985f9c"nil>
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<p>
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Une urne contient $n\in\N^*$ boules noires et $b\in\N^*$ boules blanches. On tire successivement et sans remise les boules. On note $X$ la variable aleatoire qui donne le rang de la derniere boule blanche titee. Calculer la loi, l'esperance et la variance de $X$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4fa2d4d"nil>
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<p>
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On considere une urne qui contient une proportion $p\in\,]0,1[$ de boules blanches. On effectue un tirage avec remise des boules. Soit $X_n$ la variable donnant le nombre de tirages successifs necessaires pour obtenir $n$ boules blanches. Donner la loi de $X_1$ ainsi que sa fonction generatrice $\mc{G}_{X_1}$. En deduire $\mc{G}_{X_n}$. Loi et esperance de $X_n$?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbbebdd9"nil>
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<p>
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On considere une urne remplie avec des boules numerotees de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer la probabilite que les boules impaires soient tires exactement dans l'ordre $1,3,\ldots,2n-1$.</li>
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<li>Soit $X$ la variable correspondant au nombre de tirages necessaires pour obtenir toutes les boules impaires. Determiner la loi et l'esperance de $X$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd72c2e7"nil>
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<p>
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Soit $n\geq 2$. On place $n$ boules numerotees de $1$ a $n$ dans une urne et l'on realise des tirages successifs avec remise. On note $X$ le rang du tirage donnant pour la premiere fois un numero superieur ou egal aux precedents.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la loi de $X$.</li>
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<li>Calculer l'esperance et la variance de $X$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdb788d6"nil>
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<p>
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Une urne contient $n+1$ boules numerotees de 0 a $n$. On y effectue des tirages avec remise. On pose $X_1=1$. Pour $i\geq 2$, $X_i$ est la variable de Bernoulli egale a 1 si le numero de la boule titee au $i$-eme tirage n'avait jamais ete obtenu avant. On pose, pour $i\in\N^*$, $Y_i=X_1+\cdots+X_i$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la loi des $X_i$.</li>
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<li>Calculer l'esperance et la variance de $Y_i$. Donner un equivalent de $\mathbf{E}(Y_n)$.</li>
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<li>Pour $(i,j)\in(\N^*)^2$, calculer $\mathbf{P}(X_i=1,X_j=1)$.</li>
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<li>Etudier l'independance des $X_i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfc22c47"nil>
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<p>
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Soit $(J - {n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilite $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un meme joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'evenement < < le $n$-ieme match est joue > > . Determiner la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5fabdf7"nil>
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<p>
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On suppose que lorsqu'un enfant natt, il a une chance sur deux d'etre un garcon. Dans une famille donnee, le nombre d'enfants est la variable aleatoire $Z$ et le nombre de filles est $X$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que : $∀ t∈[0,1],G<sub>X</sub>(t)=G<sub>Z\left</sub>(\frac{1+t}{2}\right).$</li>
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<li>Expliciter la loi de $X$ si $Z$ suit une loi de Poisson de parametre $\lambda$.# 892</li>
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</ul>
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<p>
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Une puce se trouve sur l'origine de $\Z^2$. A chaque etape, elle saute aleatoirement dans l'une des quatre directions. On note $X_n$ l'abscisse de la puce a l'etape $n$. Calculer $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{E}(X_n^2)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8a6d3a5"nil>
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<p>
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On munit $\mc{S}_n$ de la probabilite uniforme. Calculer la probabilite $\pi_n$ que $\sigma\in\mc{S}_n$ ait un cycle de longueur strictement superieure a $\dfrac{n}{2}$ dans sa decomposition en produit de cycles a supports disjoints. Determiner un equivalent de $\pi_n$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org70ee491"nil>
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<p>
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Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi geometrique de parametre $p\in\,]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\mathbf{P}(Y=0)$.</li>
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<li>Determiner la loi de $Y$.</li>
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<li>Montrer que $Y$ est d'esperance finie et calculer $\mathbf{E}(Y)$.</li>
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<li>Montrer que $Y$ possede un moment d'ordre 2 et calculer $\mathbf{V}(Y)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga0b235f"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la loi de la somme de $n$ variables geometriques de parametre $p\in]0,1[$, independantes et identiquement distribuees.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $p\in]0,1[$. On lance des des tels que la probabilite de tomber sur $6$ en jetant un de est $p$. Soit $X$ la variable aleatoire egale au rang du $n$-ieme $6$. Determiner la loi et l'esperance de $X$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcb5544b"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N^*$, $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Pour $m\in[\![1,n]\!]$, on note $X_m=\min\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$ et $Y_m=\max\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$. Calculer la loi de $X_m$ et $Y_m$, et leur esperance.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5637c02"nil>
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<p>
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Soient $\lambda\gt 0$ et $X$ une variable aleatoire qui suit la loi de Poisson de parametre $\lambda$. Soient $b\in\N^*$ et $Y$ le reste de la division euclidienne de $X$ par $b$. Determiner la loi de $Y$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb6dda7f"nil>
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<p>
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Soit $p\in\,]0,1[$. Soit $(X - {k\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. verifiant :
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</p>
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<p>
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$\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_k=-1)=1-p$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que $p=\dfrac{1}{2}$ si et seulement si : $\forall n\in\N^*,\max_{k\in\Z}\mathbf{P}(S_{2n}=k)=\mathbf{P}( S_{2n}=0)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org23f2741"nil>
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<p>
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Soient $A,B,C$ des variables aleatoires independantes telles que $A$ suive la loi de Rademacher, et $B$ et $C$ la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette deux racines reelles distinctes.</li>
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<li>Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette une unique racine reelle.</li>
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<li>Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ n'admette aucune racine reelle.</li>
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<li>Cette derniere probabilite peut-etre egale a $\dfrac{1}{2}$? Dans ce cas, donner une valeur approchee de $p$ a $10^{-1}$ pres.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3ca8458"nil>
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<p>
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On considere une variable aleatoire $X$ suivant la loi de poisson de parametre $\lambda$ et on pose $Y=X^2+1$. - Calculer l'esperance de $Y$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer la probabilite de l'evenement $(2X\lt Y)$.</li>
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<li>Comparer les probabilites des evenements $(X\in 2\N)$ et $(X\in 2\N+1)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge8ff0a3"nil>
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<p>
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Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $[a,b]$, d'esperance $\mathbf{E}(X)=m$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrere que $\mathbf{V}(X)\leq(m-a)(b-m)$.</li>
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<li>Montrere que cette inegalite est optimale.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6d9de5d"nil>
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<p>
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Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $b\in\M_{n,1}(\R)$. On pose $M=\begin{pmatrix}A&b\\ b^T&c\end{pmatrix}$ et on suppose que les racines du polynome caracteristique de $M$ ne sont pas toutes simples.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrere que $M$ admet un vecteur propre de la forme $V=(v_1,…,v_n,0)^T$.</li>
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<li>Montrere que $(v_1,…,v_n)^T$ est vecteur propre de $A$ et orthogonal a $b$.</li>
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<li>Soient $X_1,…,X_5$ variables de Bernoulli independantes de parametre $p\in]0,1[$.</li>
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</ul>
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<p>
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On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$. Montrere que la probabilite que le polynome caracte-ristique de la matrice $N$ n'ait que des racines simples est superieure ou egale a $3p^3-2p^4$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3cd45ad"nil>
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<p>
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Soit $p\geq 3$ premier. Soit $K=\big{\{}x^2,\ x\in\Z/p\Z\big{\}}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Denombrer le cardinal de $K$.</li>
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<li>Soient $A$, $B$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\Z/p\Z$. Soit $N$ variable aleatoire comptant le nombre de solutions de $(E):\ X^2+AX+B=0$. Determiner l'esperance et la variance de $N$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9dc7679"nil>
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<p>
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Caracteriser les couples $(X,a)$ avec $X$ variable aleatoire discrete complexe et $a\in\C$ tels que $X\sim aX$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org26e7c02"nil>
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<p>
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Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilite $\mathbf{P}_{\alpha}$ definie par $\mathbf{P}_{\alpha}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(\alpha)n^{\alpha}}$ pour $n\geq 1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\mathbf{P}_{\alpha}(m\N^*)$ pour $m\geq 1$.</li>
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<li>On note $(p - {k\geq 1}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrere que les $p_k\N^*$ sont mutuellement independants.</li>
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<li>En deduire la formule d'Euler $ζ(α)=∏<sub>k=1</sub><sup>+\i</sup>\left(1-\dfrac{1}{p<sub>k</sub><sup>α</sup>} \right)<sup>-1</sup>.$</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb2c5c36"nil>
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<p>
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Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires discretes strictement positives, de meme loi et d'esperance finie. Montrere que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas ou $X$ et $Y$ sont independantes.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org57e4cc8"nil>
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<p>
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Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. suivant la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$.
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</p>
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<p>
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On pose $:Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n),\beta_n=\mathbf{E}(Z_n)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Etudier la monotonie des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$. - Exprimer $\alpha_n$ en fonction de $n$.</li>
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<li>Determiner la limite de $(\beta_n)$ puis un equivalent simple.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5e2c8de"nil>
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<p>
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Soient $p,q\in]0,1[$. On considere deux variables aleatoires $X$ et $Y$, independantes, suivant les lois geometriques de parametres respectifs $p$ et $q$. Soit $M=\begin{pmatrix}X&1\\ 0&Y\end{pmatrix}$. Quelle est la probabilite que $M$ soit diagonalisable?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge0e3136"nil>
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<p>
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Soient $p\in]0,1[$, $X$ une variable aleatoire suivant la loi geometrique de parametre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que la variable $Y$ suit une loi geometrique.</li>
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<li>Montrer que les variables $Y$ et $2Y-X$ sont independantes.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfe3cf54"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. suivant la loi uniforme sur $[\![1,d]\!]$. Pour $j\in\{1,\ldots,n\}$, on pose $Y_j=|\{i\in[\![1,n]\!],\;X_i=j\}|$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la loi de $Y_j$.</li>
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<li>Soient $i,j\in[\![1,n]\!]$ avec $i\neq j$ et $k,\ell\in[\![1,n]\!]$. Calculer $\mathbf{P}(Y_i=k,Y_j=\ell)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcfc2843"nil>
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<p>
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Soit $X$ une variable aleatoire discrete a valeurs dans $\R^{+*}$ telle que $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X}\right)\lt +\i$.
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</p>
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<p>
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Pour tout $t\in\R^+$, on pose : $F_X(t)=\mathbf{E}(e^{-tX})$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que $F_X$ est bien definie (a valeurs reelles) et continue.</li>
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<li>Montrer la convergence et calculer $\int_0^{+\i}F_X(t)\,dt$.</li>
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<li>Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires independantes suivant la loi geometrique de parametre $p\in\!]0,1[$. Calculer $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X+Y}\right)$.</li>
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|
<li>Generaliser a $m$ variables i.i.d. suivant la loi geometrique de parametre $p$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1bedfda"nil>
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<p>
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Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,2\}$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
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</p>
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<p>
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Pour $n\in\Z$, soit $A_n=(\exists k\geq 0,\;S_k=-n)$ et $p_n=\mathbf{P}(A_n)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Exprimer $\mathbf{P}(\exists k\gt 0,\;S_k=0)$ en fonction de $p_{-1}$ et de $p_2$.</li>
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<li>Trouver une relation entre $p_{n+2}$, $p_n$ et $p_{n-1}$.</li>
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<li>En deduire la valeur de $p_n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3b9adcb"nil>
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<p>
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Soient $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute partie finie $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(S_n\in A)\lt +\i$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge66c7e4"nil>
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<p>
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Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de parametre $1/2$. - Donner la loi de $Z_n=\sum_{k=0}^n2^{n-k}X_k$. - Determiner $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 3^n)$ et $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 2^n)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2da222d"nil>
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<p>
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Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $\R^+$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}0$. - On suppose que ${\bf E}(X)\lt +\i$. Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$. - Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires.</li>
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</ul>
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<p>
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On pose, pour $n\in\N^*$, $R_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner un equivalent de ${\bf E}(R_n)$ lorsque les $X_i$ suivent la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$.</li>
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<li>Dans le cas general, montrer que ${\bf E}(R_n)=o(n)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1168bb7"nil>
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<p>
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Soit $(X - {i\geq 1}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. On suppose que chaque variable aleatoire $X_i+1$ suit la loi geometrique de parametre $p\in\,]0,1[$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la loi de $S_n$.</li>
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<li>Determiner $M_n=\max\left\{{\bf P}(S_n=k),\ k\in\N\right\}$ puis un equivalent simple de $M_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org953ba63"nil>
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<p>
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Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on determinera tel que :
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</p>
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<p>
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$\forall\epsilon\gt 0$, ${\bf P}\left(\left|\frac{1}{\ln(n)}\max_{1\leq k\leq n}X_k-\alpha \right|\geq\epsilon\right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org68a69b2"nil>
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<p>
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Soit $g:t\mapsto\frac{e^t}{(1+e)-t}$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $g$ est la fonction generatrice d'une variable aleatoire $X$ a valeurs dans $\N$.</li>
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<li>Soit $(X_{i,j})_{1\leq i\lt j\leq n}$ une famille i.i.d. de variables aleatoires de meme loi que $X$. Determiner la probabilite que $M=\left(\begin{array}{cccc}0&X_{1,2}&\ldots&X_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&X_{n-1,n}\\ 0&\ldots&\ldots&0\end{array}\right)$ ait un nombre fini de de sous-espaces stables.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org373e16d"nil>
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<p>
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Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de parametre $p$. On pose $U=(X_1\ \cdots\ X_n)$ et $M=U^TU$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la loi des variables aleatoires $\op{tr}(M)$ et $\op{rg}(M)$.</li>
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<li>Calculer la probabilite que $M$ soit une matrice de projection.# 920</li>
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</ul>
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<p>
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Soit $(X_n)$ une suite de variables aleatoires independantes, strictement positives, $L^2$ et telles que : $\forall n\in\N$, $\mathbf{E}(X_n)=1$. On dit que $(X_n)$ converge en probabilites vers $0$ si : $\forall\alpha\gt 0,\mathbf{P}(X_n\geq\alpha)\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=1}^nX_i$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $\lambda\in[0,1]$ et $X\in L^2$ telle que $\mathbf{E}(X^2)\gt 0$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\mathbf{E}(\sqrt{P_n})\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$ si et seulement si $(X_n)$ converge vers $0$ en probabilites.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8bbd1f4"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ une famille i.i.d. de variables aleatoires de Rademmacher, $S=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que, si $t\in\R^+$, $\mathbf{E}(e^{tS})\leq\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2}\right)$. En deduire que, si $a\in\R^{+*}$, $\mathbb{P}(|S|\geq a)\leq 2e^{-\frac{a^2}{2n}}$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Generaliser au cas ou les $X_k$ sont des variables aleatoires discretes i.i.d, a valeurs dans $[-1,1]$ et centres.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfe53a52"nil>
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<p>
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Soit $(X - {i\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. possedant un moment d'ordre $4$. On pose : $m=\mathbf{E}(X_i)$ et $V_4=\mathbf{E}((X_i-m)^4)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Justifier la bonne definition (dans $\R$) de $m$ et $V_4$.</li>
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</ul>
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<p>
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Pour $\epsilon\gt 0$, on pose : $ A<sub>n</sub><sup>ε</sup>=\left(\left|\dfrac{1}{n}∑<sub>i=1</sub><sup>n</sup>(X<sub>i</sub>-m) \right|≥ε\right).$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\mathbf{P}(A_n^{\epsilon})\leq\dfrac{3V_4}{n^2\epsilon^4}$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{n=1}^{+\i}\bigcup_{p=n}^{+\i}A_p^{ \epsilon}\right)=0$.</li>
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<li>Montrer que $\mathbf{P}\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\underset{n\to+ \i}{\longrightarrow}m\right)=1$.</li>
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</ul>
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</div>
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## Mines PSI
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### Algebre
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<div class="exercice" id="org66c451e"nil>
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<p>
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Soit $P\in\Z[X]$ tel que $\forall k\in\Z$, $P(k)$ est premier. Montrer que $P$ est constant.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org519d475"nil>
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<p>
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Montrer qu'il existe $(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\R^n$ tel que
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</p>
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<p>
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$\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $ P(X+n)+∑<sub>k=0</sub><sup>n-1</sup>a<sub>kP</sub>(X+k)=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc4bea5c"nil>
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<p>
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Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'equation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallelement a $u$. - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D):\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgc656833"nil>
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<p>
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Soit $E=\R_n[X]$. On considere les polynomes $E_k=\binom{n}{k}X^k(1-X)^{n-k}$, $0\leq k\leq n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrrer que $(E - {0\leq k\leq n}$ est une base de $E$.</li>
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<li>Calculer $\sum_{k=0}^nkE_k$ et $\sum_{k=0}^nk^2E_k$.</li>
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<li>Comment aurait-on pu prevoir les resultats obtenus?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf6f13b6"nil>
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<p>
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Resoudre dans $\M_n(\R)$ l'equation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgdac6090"nil>
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<p>
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Soit $M=\left(\begin{array}{c|c}A&A\\ \hline A&B\end{array}\right)$ avec $A,B\in\M_n(\R)$. Trouver une condition necessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit inversible. Calculer alors $M^{-1}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0ce9f9f"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente d'indice $n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Justifier l'existence d'un vecteur $X_0\in\M_{n,1}(\R)$ tel que $A^{n-1}X_0\neq 0$. En deduire que la famille $(X_0,AX_0,\ldots,A^{n-1}X_0)$ est libre.</li>
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<li>Montrrer que $A$ est semblable a $J_n=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\ 1&\ddots&&&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$.</li>
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</ul>
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<p>
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<span class="underline">c) i)</span>: Soit $\lambda\in\C^*$. Montrrer que $\lambda(e^{J_n}-I_n)$ est nilpotente. Preciser son indice de nilpotence.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrrer qu'il existe $P\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=\lambda P^{-1}e^{J_n}P$.</li>
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<li>En deduire qu'il existe $B\in\M_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=e^B$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd824e94"nil>
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<p>
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${}^{\bigstar}$ Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$ nilpotent, $F$ est sous-espace vectoriel de $E$ tel que $u(F)\subset F$. On suppose que $E=F+\text{Im}(u)$. Montrer que $E=F$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd40e7c9"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $P\in\text{GL}_n(\C)$, que l'on decompose en $P=Q+iR$ avec $P$ et $Q\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$, tel que $Q+\lambda R\in\text{GL}_n(\R)$.
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<ul class="org-ul">
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<li>En deduire que deux matrices $A$ et $B$ reelles, semblables sur $\C$, sont semblables sur $\R$.</li>
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<li>Soient $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $A^3=B^3=I_n$ et $\text{tr}(A)=$tr$(B)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3c995ec"nil>
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<p>
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Diagonaliser $A=$$\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ 1&\cdots&1&1\end{pmatrix}$$∈\M<sub>n</sub>(\R)$.# 1201
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On considere un de equilibre a $n$ faces. Les lancers se modelisent par une suite $(X - {i\geq 1}$ i.i.d de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket$.
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</p>
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<p>
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Pour $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la loi de $T_k$.</li>
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<li>Donner un equivalent, quand $n\to+\i$, du nombre moyen $M_n$ de lancers necessaires pour obtenir toutes les faces.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcff3a79"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi uniforme sur $\llbracket 1\,;\,N\rrbracket$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que les evenements $(p_k|X_1):\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont independants pour $k\in\llbracket 1\,;\,m\rrbracket$.</li>
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<li>Pour $k\in\llbracket 1\,;\,m\rrbracket$, calculer $\mathbf{P}(p_k|X_1$ et $p_k|X_2)$.</li>
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<li>Calculer la probabilite de l'evenement $\triangleleft X_1$ et $X_2$ sont premiers entre eux $\mathchar 13334\relax$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org40d9fe5"nil>
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<p>
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Soit $n\in\N^*$. On munit $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$ de la probabilite uniforme.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $a$ un diviseur de $n$, on note $D(a)$ l'ensemble des multiples de $a$ qui se trouvent dans $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$. Calculer $\mathbf{P}(D(a))$.</li>
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|
<li>On note $p_1,\ldots,p_k$ les diviseurs premiers (distincts) de $n$. Montrer que $D(p_1),\ldots,D(p_k)$ sont mutuellement independants.</li>
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<li>Soit $B$ l'ensemble des entiers dans $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$ qui sont premiers avec $n$. Calculer $\mathbf{P}(B)$ a l'aide de $p_1,\ldots,p_k$.</li>
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|
<li>On note $\phi(n)$ le nombre d'entiers dans $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$ qui sont premiers avec $n$. Montrer que $\phi(n)=n\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\text{ premier}\\ \text{p divise }n\end{subarray}}\frac{p-1}{p}$</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgaf7a408"nil>
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<p>
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Soit $X$ une variable aleatoire discrete a valeurs reelles. Soient $b\gt 0$ et $I$ un intervalle de $\R$. Soit $g:\R\to\R^+$ une fonction telle que $g(x)\geq b$ pour tout $x\in I$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\mathbf{P}(X\in I)\leq\frac{\mathbf{E}(g(X))}{b}$.</li>
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<li>On suppose que $X$ a un ecart-type $\sigma$ et que $\mathbf{E}(X)=0$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer $:\forall t\gt 0,\,\mathbf{P}(X\gt t)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}$.
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</p>
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<p>
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Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un reel $c\gt 0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org80a1276"nil>
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<p>
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Soient $X,Y$ deux variables aleatoires discretes a valeurs dans $\R^{+*}$, independantes et identiquement distribuees. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. A quelle condition a-t-on egalite?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org05634dd"nil>
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<p>
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Les variables aleatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\llbracket 1\,;\,n\rrbracket)$ et elles sont independantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org232c8ea"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(A - {n\in\N^*}$ une suite d'evenements. Montrer que $B:\triangleleft$ II existe un rang a partir duquel $A_n$ est vraie $\mathchar 13334\relax$ est un evenement et que $B=\bigcup\limits_{n\in\N^*}\left(\bigcap\limits_{k\geq n}A_{k }\right)$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles de meme loi que $X$.On suppose $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^4)\lt +\i$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.</li>
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<li>Calculer $\mathbf{E}({S_n}^4)$ en fonction de $n$, $\mathbf{E}(X^2)$ et $\mathbf{E}(X^4)$.</li>
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<li>En deduire que pour tout $\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\bigcap_{k\geq n}\left(\left|\frac{S_{ k}}{k}\right|\leq\eps\right)\right)=1$ et que, presque surement, $\lim_{n\to+\i}\frac{S_n}{n}=0$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org87ef8f8"nil>
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<p>
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Soit $\alpha\gt 0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer l'existence d'une variable aleatoire $X$ valeurs dans $\N$ de fonction generatrice $ G<sub>X\left</sub>(t\right)=\frac{1}{\left(2-t\right)<sup>α</sup>}$.</li>
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<li>Donner un equivalent de $\mathbf{P}\left(X=n\right)$ quand $n\to+\i$.</li>
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<li>Pour $\lambda\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}\left(X\geq\lambda+\alpha\right)\leq\frac{2\alpha}{\lambda ^2}$.</li>
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</ul>
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</div>
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# Centrale
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## Algebre
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<div class="exercice" id="org0d47373"nil>
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<p>
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On considere, pour $n\in\N$, $ C<sub>n</sub>=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour tout $n\in\N$, $ C<sub>n∈\N</sub><sup>*</sup>$.</li>
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<li>Calculer $\sum_{k=0}^nC_kC_{n-k}$.</li>
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<li>Donner tous les entiers tels que $ C<sub>n</sub>$ soit pair. En deduire tous les entiers tels que $ C<sub>n</sub>$ soit impair.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgad9d136"nil>
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<p>
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Pour $n\in\N^*$, on note $\mc{P}(n)$ l'ensemble des nombres premiers inferieurs ou egaux a $n$ et $ P<sub>n</sub>=∏<sub>p∈\mc{P}(n)</sub>p$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\forall n\geq 2$, $\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\lt \binom{2n}{n}\lt 4^n$.</li>
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<li>Montrer que $\forall n\geq 1$, $\binom{2n+1}{n}\lt 4^n$.</li>
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<li>Montrer que $\forall n\in\N$, $ P<sub>2n+1</sub>< 4<sup>nP</sup><sub>n+1</sub>$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9dacadc"nil>
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<p>
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Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini commutatif tel que le nombre d'automorphismes de $G$ est $3$.
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</p>
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<p>
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<span class="underline">a) i)</span>: Donner la definition d'un automorphisme. Montrer que $\phi:x\mapsto x^{-1}$ est un automorphisme de $G$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour tout $x\in G$, $x^2=e$.</li>
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<li>Montrer que $G$ possede un sous-groupe $V$ d'ordre $4$ et preciser les automorphismes de $V$.# 1212</li>
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</ul>
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<p>
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Soient $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 3$[4] et $C=\{x\in\Z/p\Z,\ \exists y\in\Z/p\Z,\ x=y^2\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler l'enonce du petit theoreme de Fermat. Montrer que $-1\notin C$.</li>
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</ul>
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<p>
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On pose $\pi_x=\prod_{y\in C\setminus\{x\}}(x+y)$ pour $x\in C\setminus\{0\}$ et $\pi=\prod_{x\neq y\in C}(x+y)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner le cardinal de $C$.</li>
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<li>Montrer que $\forall x\in C\setminus\{0\}$, $\pi_x=\pi_1$.</li>
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<li>Calculer $\pi$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org30f3d70"nil>
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<p>
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On pose $u=2+\sqrt{3}$, $v=2-\sqrt{3}$.
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</p>
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<p>
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Pour $n\in\N$, on note $M_n=2^n-1$ et $s_n=u^{2^n}+v^{2^n}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, si $M_n$ est premier, alors $n$ est premier.</li>
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<li>Montrer que, pour $n\in\N$, $s_{n+1}=s_n^2-2$. Qu'en deduire sur le suite $(s - {n\in\N}$?</li>
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<li>Soit $q$ un nombre premier. On munit l'ensemble $B=(\Z/q\Z)^2$ des deux lois de composition interne definies par :</li>
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</ul>
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<p>
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$(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et $(x,y)\cdot(x',y')=(xx'+3yy',xy'+x^{ '}y)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que les deux lois precedentes muinssent $B$ d'une structure d'anneau commutatif fini.</li>
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<li>Montrer que, si $3$ n'est pas un carre modulo $q$, alors l'anneau precedent est un corps.</li>
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<li>On note $A=\Z+\sqrt{3}\Z$. Montrer que l'application $\pi$ definie par $\pi(a+b\sqrt{3})=(\overline{a},\overline{b})$ est bien definie et est un morphisme surjectif d'anneaux de $A$ dans $B$.</li>
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<li>On suppose $n$ premier. Montrer que, si $M_n$ divise $s_{n-2}$ alors $M_n$ est premier.</li>
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</ul>
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<p>
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Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considerant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et determiner l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des elements inversibles de l'anneau $B$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6786cb0"nil>
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<p>
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Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est noetherien lorsque tous ses ideaux sont engendres par une partie finie de $A$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Les anneaux $\Z$ et $\R[X]$ sont-ils noetheriens?</li>
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<li>Montrer que $A$ est noetherien si et seulement si toute suite croissante d'ideaux est stationnaire.</li>
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<li>Soit $A$ un anneau non commutatif. On dit que $\mc{I}$ est un ideal a gauche de $A$ lorsque $\mc{I}A\subset\mc{I}$ (definition similaire pour un ideal a droite). Soit $A$ noetherien, c'est-a-dire que tous les ideaux, a droite ou a gauche, de $A$ sont de type fini. Montrer que l'inversibilite a gauche equivaut a l'inversibilite a droite, i.e. $\forall a\in A,\Big{(}\exists b\in A,\ ab=1\Longleftrightarrow\exists b\in A,\ ba=1 \Big{)}$.</li>
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</ul>
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<p>
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Ind. Considerer $\phi:x\mapsto ax$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orge3ffd19"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $G$ un groupe commutatif fini. Si $a$ et $b$ sont deux elements de $G$ d'ordre premiers entre eux, quel est l'ordre de $ab$?
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $G$ un groupe commutatif fini. Montrer qu'il existe un element de $G$ dont l'ordre est le ppcm des ordres des elements de $G$.</li>
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<li>Soit $p$ un nombre premier. Montrer que le groupe $\mathbb{F}_p^*$ est cyclique.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcf21635"nil>
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<p>
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Soit $(T - {n\in\N}$ la suite de polynomes reels definie par $T_0(X)=1,\ T_1(X)=X$ et pour $n\in\N,\,T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour $n\in\N$, $\forall\theta\in\R$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. - Montrrer que $T_n\circ T_m=T_m\circ T_n$ pour $(m,n)\in\N^2$.</li>
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<li>Montrre que, pour $n\geq m$, $2T_nT_m=T_{n+m}+T_{n-m}$.</li>
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</ul>
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<p>
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On considere l'equation differentielle $(E):(1-x^2)P^{' 2}=n^2(1-P^2)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrre que, pour $n\in\N$, $T_n$ et $-T_n$ sont solutions de $(E)$ sur $\R$.</li>
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<li>Montrre que tout polynome solution de $(E)$ est de degre $n$, puis determiner les polynomes solution de $(E)$ sur $\R$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org74e59d2"nil>
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<p>
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Soient $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$ et $b_1\lt b_2\cdots\lt b_p$ des reels et $M=(e^{a_ib_j})_{1\leq i,j\leq p}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $\det M$ lorsque $b_k=k-1$ pour tout $k$.</li>
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<li>Montrre que $M$ est inversible, puis que $\det M\gt 0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5ab9c77"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler la definition de l'indicatrice d'Euler, exprimer $\phi(n)$ en fonction de sa decomposition en facteurs premiers.
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<ul class="org-ul">
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<li>Pour $n\geq 2$, calculer $\sum_{d|n}\phi(d)$ (la somme etant restreinte aux diviseurs positifs).</li>
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<li>En deduire le determinant de $A$, ou $A_{i,j}=i\wedge j$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org954750b"nil>
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<p>
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Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, l'on ait $\left(f(a_{ij})\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{ R})$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>A l'aide des matrices $U_{x,y}=\left(\begin{array}{cc}x&1\\ y&1\end{array}\right)$, montrer que $f$ est injective.</li>
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<li>En utilisant l'ensemble $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x\lt y\}$, en deduire que $f$ est strictement monotone.</li>
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<li>On suppose que $f(\R)=\R^{+*}$. Montrre qu'il existe $a\in\R$ tel que, pour tous $x,y\in\R$, il existe $z_{x,y}\in\R$ tel que $f(x)f(y)=f(a)f(z_{x,y})$, et conclure a une absurdite.</li>
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<li>Traiter de meme le cas $f(\R)=\R^{-*}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org43734f7"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler la formule de developpement d'un determinant par rapport a une ligne ou une colonne. En deduire, pour $A\in\M_n(\R)$, une relation entre $\mathrm{Com}\,A$, $A$ et $\det A$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de $\M_n(\R)$ definie par : $a_{i,i}=2$, $a_{i,j}=-1$ si $|i-j|=1$ et $a_{i,j}=0$ dans tout autre cas. Calculer le determinant de $A$.</li>
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<li>Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs, dont les autres coefficients sont negatifs et telle que $\sum_{j=1}^na_{i,j}\gt 0$ pour tout $i$. Montrre que $A$ est inversible.</li>
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<li>Montrre que les coefficients de $A^{-1}$ sont positifs.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org662079e"nil>
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<p>
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Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrre que, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.</li>
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<li>Trouver les endomorphismes $h$ de $\M_n(\R)$ qui verifient, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $f(F(A),B)=f(A,h(B))$.</li>
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|
<li>Dans cette question, on suppose que $n=2$.Soit $h:\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}∈{\cal M}<sub>2</sub>(\R)\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}a+c &b+d-a-c\\ c&d-c\end{array}\right).$ Determiner les endomorphismes $k$ de ${\cal M}_n(\R)$ tels que $f(h(A),B)=f(A,k(B))$ pour tout $(A,B)∈{\cal M}<sub>n</sub>(\R)<sup>2</sup>.$ Parmi eux, preciser ceux qui sont trigonalisables, diagonalisables.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3e15cd8"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Enoncer et demontrer la caracterisation du rang par les matrices extraites.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $\Omega_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices $M=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de ${\cal M}_n(_K)$ telles que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, la matrice $M_k:=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq k}$ soit inversible. Si $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, montrer que $\Omega_n$ est un ouvert de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$.</li>
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<li>Montrer qu'une matrice $M$ de ${\cal M}_n(_K)$ appartient a $\Omega_n(\mathbb{K})$ si et seulement si $M$ s'ecrit $TT'$ ou $T$ (resp. $T'$) est une matrice de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ triangulaire inferieure (resp. superieure) inversible.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org681c70e"nil>
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<p>
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Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdots&\iddots&&\vdots\\ a_n&0&\ldots&0\end{array}\right)\in{\cal M}_n(\R)$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner la definition du polynome minimal $\pi_A$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.</li>
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<li>Calculer $\det(A)$ et $A^2$.</li>
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<li>Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si ${\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^2)$. Donner une condition sur les $a_1,\ldots,a_n$ pour que $A$ soit diagonalisable.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfbd9a78"nil>
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<p>
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On se place dans ${\cal M}_n(\C)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que toute matrice est trigonalisable sur $\C$.</li>
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<li>Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ et $D={\rm Diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Montrer qu'il existe un polynome $f$ tel que pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $f(\alpha_i)^2=\alpha_i$. En deduire que $f(D)^2=D$.</li>
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</ul>
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<p>
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On considere la suite $(c - {k}$ definie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_{k+1}=\sum_{i=0}^kc_ic_{k-i}$ et le polynome $\phi=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner le reste de la division euclidienne de $\phi^2$ par $X^n$.</li>
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<li>Trouver un polynome $g$ tel que, pour toute matrice nilpotente $N\in{\cal M}_n(\C)$, on ait $g(N)^2=I_n+N$.</li>
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<li>Soit $A$ une matrice inversible. Montrer qu'il existe $R\in\C[A]$ telle que $R^2=A$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org305a071"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. On note $E_i$ ses sous-espaces propres et $n_i=\dim E_i$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^rE_i$.</li>
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<li>Soit $g$ un endomorphisme de $E$. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes :</li>
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<li>$g$ commute avec $f$, - pour tout $i\in\llbracket 1,r\rrbracket$, $g(E_i)\subset E_i$.En deduire que la dimension du commutant de $f$ est $\sum_{i=1}^r{n_i}^2$.</li>
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<li>Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$, montrer que la dimension du commutant de $A$ est superieure ou egale a $n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org187b017"nil>
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<p>
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Soit $A\in{\cal M}_d({\C})$. On note $\rho(A)=\max_{\lambda\in{\rm Sp}(A)}|\lambda|$. On pose, pour $n\in{\N}$, $u_n=\sqrt[n]{|{\rm tr}\,(A^n)|}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Si ${\rm Sp}(A)$ est un singleton, montrer que $(u_n)$ converge vers $\rho(A)$.</li>
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<li>Donner un exemple de matrice dans ${\cal M}_2({\C})$ telle que $(u_n)$ ne converge pas.</li>
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</ul>
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<p>
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On suppose maintenant que $A$ a au moins deux valeurs propres distinctes.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $z\in{\C}$ tel que $|z|=1$. Montrer que $1$ est valeur d'adherence de $(z^n)$. Montrer que $\rho(A)$ est valeur d'adherence de $u_n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org96128b9"nil>
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<p>
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Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Pour toute partie $A\subset{\cal L}(E)$, on note ${\cal C}(A)=\{u\in{\cal L}(E)\;;\;\forall v\in A,\;u\circ v=v\circ u\}$. L'objectif de l'exercice est d'etudier ${\cal B}(f)={\cal C}({\cal C}(\{f\}))$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que ${\cal B}(f)$ est une ${\mathbb{K}}$-algebre contenant ${\mathbb{K}}[f]$.</li>
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<li>On suppose $f$ nilpotente d'indice $n$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$.</li>
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<li>Soient $G_1,G_2$ deux sous-espaces vectoriels supplementaires stables par un $f\in{\cal L}(E)$. On pose $f_i=f_{|G_i}$. On suppose que $\pi_{f_1}\wedge\pi_{f_2}=1$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9d67db3"nil>
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<p>
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Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\in{\N}$, $a\in E$ un vecteur unitaire, et $H$ l'hyperplan orthogonal a la droite vectorielle dirigee par $a$. On note $\sigma$ la symetrie orthogonale par rapport a l'hyperplan $H$, et $p$ la projection orthogonale sur $H$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, $F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}F^{\perp}=E$.</li>
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<li>Montrer que, pour $x\in E$, $p(x)=x-\langle a,x\rangle a$.</li>
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<li>Soit $\Omega=\{x\in E,\;\langle a,x\rangle\geq 0\;\;\mbox{et}\;\;\langle x,\sigma(x) \rangle\leq 0\}$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer les equivalences suivantes, pour $x\in E$ :
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>$x\in\Omega$ si et seulement si $\langle a,x\rangle\leq\|p(x)\|$,</li>
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<li>$x\in\Omega$ si et seulement si $\forall y\in\Omega$, $\langle x,y\rangle\leq 0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org76fc50f"nil>
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<p>
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Soit $E$ un espace euclidien. Soit $s\in{\cal L}(E)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler l'identite du parallelogramme et les identites de polarisation.</li>
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<li>Montrer l'equivalence suivante :</li>
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</ul>
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<ol class="org-ol">
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<li>$∃ c∈{\R},\;∀(x,y)∈ E<sup>2</sup>,\;⟨ s(x),s(y)⟩=c ⟨ x,y⟩,$</li>
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</ol>
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<p>
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ii) $\forall(x,y)\in E^2,\,\langle x,y\rangle=0\;\Rightarrow\;\langle s(x),s(y) \rangle=0$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2293a43"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_0^1PQ$ definit un produit scalaire sur ${\R}_{n-1}[X]$. En deduire qu'il existe un unique $P\in{\R}_{n-1}[X]$ tel que $\int_0^1x^kP(x)\,{\rm d}x=1$ pour 0 $\leq k\leq n-1$. On pose $P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}$. - Soit $f:[0,1]\to\R$ continue telle que $\int_0^1x^kf(x)\,dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$. Montrer que $\int_0^1f^2\geq\sum_{i=0}^{n-1}a_i$, puis que $\int_0^1f^2\geq n^2$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org719eec5"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que l'application $(P,Q)\mapsto\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(E,\phi)$ un espace euclidien et $B=(e_1,…,e_n)$ une base de $E$. Montrer que la matrice $(\phi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est symetrique definie positive.</li>
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<li>Pour tout $p\in\N$, on pose $L_p=\frac{d^p}{dX^p}\,[X^p(1-X)^p]\in\R[X]$. Montrer que la famille $(L_p)$ est orthogonale pour le produit scalaire de la question $a$. Est-elle orthonormale?</li>
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<li>Soit $M=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n+1}$. Montrer que la matrice $M$ est symetrique definie positive et calculer $\det M$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6a31855"nil>
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<p>
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Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler la definition d'une matrice definie positive. Donner des proprietes d'une telle matrice.</li>
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<li>Pour $x\in\R^n$, on pose $J(x)=\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. Montrer que $J$ est strictement convexe, c'est-a-dire que : $\forall x\neq y$, $\forall\lambda\in]0,1[$, $J(\lambda x+(1-\lambda)y)\lt \lambda J(x)+(1-\lambda)J(y)$.</li>
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<li>Montrer que $J$ atteint un minimum en un unique point de $\R^n$ et que ce vecteur est solution de l'equation $Ax=b$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgbcefab8"nil>
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<p>
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Soient $n\in\N$ et $\alpha\gt 0$. On note $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det M\geq\alpha\}$. Le but de cet exercice est de s'interesser, pour $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, a la quantite $m_{\alpha}(A)=\inf_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que les valeurs propres d'une matrice symetrique reelle sont reelles. Rappeler le theoreme spectral. Justifier l'existence de $m_{\alpha}(I_n)$ puis la calculer.</li>
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<li>Soit $A\in\mc{S}_n^+(\R)$. Justifier l'existence de $R\in\mc{S}_n^+(\R)$ telle que $A=R^2$. Prouver l'unicite puis calculer $m_{\alpha}(A)$.</li>
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<li>Que se passe-t-il lorsque $\alpha=0$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org43f6113"nil>
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<p>
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Soient $d\in\N^*$, $A\in\mc{S}_n(\R)$ a coefficients dans $\{0,1\}$ et de trace nulle. On suppose que $A^2+A-(d-1)I_n=J_n$ ou $J_n$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que chaque ligne de $A$ contient $d$ coefficients egaux a $1$.</li>
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<li>Montrer que $AU=dU$ ou $U=(1\,\cdots\,1)^T$. En deduire que $n=d^2+1$.</li>
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<li>Montrer que la multiplicite de $d$ est egale a $1$.</li>
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<li>Montrer que les autres valeurs propres de $M$ sont racines de $X^2+X-d+1=0$.</li>
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<li>Montrer que'il existe deux entiers naturels $m_1$ et $m_2$ tels que $m_1+m_2=n-1$ et $d+m_1r_1+m_2r_2=0$ ou $r_1$ et $r_2$ sont les solutions de l'equation precedente.</li>
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<li>Montrer que si $m_1=m_2$ alors $d=2$. On suppose $d\gt 2$ dans la suite.</li>
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<li>Montrer que'il existe un entier $k$ tel que $4d-3=(2k+1)^2$ puis que $k^4\equiv 1\ [2k+1]$.</li>
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<li>Montrer que, pour tout entier $k\in\N$, on a $16k^4\equiv 1\ [2k+1]$. En deduire qu'on a forcement $d\in\{2,3,7,57\}$.# 1235</li>
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</ul>
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<p>
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Soit $A=\begin{pmatrix}A_1&B\\ B^T&A_2\end{pmatrix}$ une matrice symetrique definie positive avec $A_1\in\mc{S}_p(\R)$ et $A_2\in\mc{S}_q(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrrer que $A_1$ et $A_2$ sont definies positives.</li>
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<li>Montrer qu'il existe $R_1$ et $R_2$ symetriques definies positives telles que $R_1^2=A_1$ et $R_2^2=A_2$.</li>
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<li>Montrer que $\det(A)\leq\det(A_1)\det(A_2)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org091fac0"nil>
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<p>
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On considere la relation binaire pour $(A,B)\in(\mc{S}_n(\R))^2A\preceq B\Leftrightarrow B-A\in \mc{S}_n^+(\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que l'on definit ainsi une relation d'ordre sur $\mc{S}_n(\R)$.</li>
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<li>Montrer qu'une partie de $\mc{S}_n(\R)$ est bornee si et seulement si elle est majoree et minoree pour $\preceq$.</li>
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<li>Montrer que toute suite croissante majoree pour $\preceq$ converge.</li>
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<li>Soient $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $A\preceq B\implies B^{-1}\preceq A^{-1}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org30d6c9b"nil>
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<p>
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Si $S\in\mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(S)\leq\cdots\leq\lambda_n(S)$ le spectre ordonne de $S$. On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique note $\langle\,\ \rangle$ et on note $S^{n-1}$ la spere unite.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, si $S\in\mc{S}_n(\R)$, $\lambda_1(S)=\min\{\langle Sx,x\rangle\ ;\ x\in S^{n-1}\}$.</li>
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<li>Si $d\in\llbracket 1,n\rrbracket$, soit $\mc{V}_d$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $d$ de $\R^n$. Montrer que, si $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ et $S\in\mc{S}_n(\R)$,</li>
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</ul>
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<p>
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$\lambda_k(S)=\min\limits_{V\in\mc{V}_k}\max\{\langle Sx,x\rangle\ ;\ x\in V \cap S^{n-1}\}=\max\limits_{V\in\mc{V}_{n-k+1}}\min\{\langle Sx,x\rangle \ ;\ x\in V\cap S^{n-1}\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Si $(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2$, $i+j\leq n+1$ et $(S,S')\in\mc{S}_n(\R)^2$, montrer que</li>
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</ul>
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<p>
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$\lambda_{i+j-1}(S+S')\leq\lambda_i(S)+\lambda_j(S')$.
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</p>
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</div>
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## Analyse
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<div class="exercice" id="orgc27d647"nil>
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<p>
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Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme, $F$ un sous-espace vectoriel ferme strict de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe un vecteur unitaire $u$ de $E$ tel que $d(u,F)\geq\delta$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org6e6cb9d"nil>
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<p>
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Soient $(E,N)$ et $(E',N')$ deux espaces vectoriels normes.
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</p>
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<p>
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Soit $d\in\N$. Pour $P(X)=p_0+p_1X+\cdots+p_dX^d\in\R_d[X]$ on pose $\|P\|=\max(|p_0|,…,|p_d|)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Verifier que l'application $\|\ \|$ est une norme sur $\R_d[X]$.</li>
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</ul>
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<p>
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<span class="underline">b) i)</span> Soit $(y - {n\in\N}$ une suite d'elements de $E$, convergeant vers $\ell\in E$.
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</p>
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<p>
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Montrer que l'ensemble $Y=\{y_n,\ n\in\N\}\cup\{\ell\}$ est compact.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f:E\to E'$ continue telle que, pour tout compact $K$ de $E'$, $f^{-1}(K)$ est un compact de $E$. Montrer que, si $F$ est un ferme de $E$, alors $f(F)$ est un ferme de $E'$.</li>
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<li>Soit $P\in\R_d[X]$ un polynome unitaire. Montrer que, si $x\in\R$ est une racine de $P$ telle que $|x|\gt 1$, alors $|x|\leq\|P\|+1$. En deduire que l'ensemble des polynomes unitaires et scindes de $\R_d[X]$ est ferme dans $\R_d[X]$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org991bdfc"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Resoudre dans $\C$ l'equation $e^z=-1$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f\colon\mathbb{U}\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $z\in\mathbb{U}$ tel que $f(-z)=f(z)$. En deduire que, si $A$ et $B$ sont deux parties fermees de reunion $\mathbb{U}$, il existe deux points de $\mathbb{U}$ diametralement opposes tous deux dans $A$ ou tous deux dans $B$. - Soient $D$ le disque unite ferme du plan complexe et $g:D\to\C^*$ continue telle que, pour tout $z\in\mathbb{U}$, $g(-z)=-g(z)$. On admet qu'il existe $h$ continue telle que $g=\exp\circ h$. Montrer qu'il existe $z\in D$ tel que $h(-z)=h(z)$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf02aff1"nil>
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<p>
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Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme. Pour $A\subset E$ non vide et $x\in E$, on note $d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose $A$ ferme. Soit $x\in E$. Montrer que $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in A$.</li>
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<li>Soient $F$ un sous-espace vectoriel ferme de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe $x\in E$ unitaire verifiant $d(x,F)\geq\delta$.</li>
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<li>On suppose $E$ de dimension infinie et on admet que les sous-espaces vectoriels de dimension finie sont fermes. Montrer que la sphere unite n'est pas un compact de $E$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org31f2764"nil>
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<p>
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Soit $\phi$ la fonction definie sur $[0,1]$ par $\phi(0)=0$ et $\phi(t)=-t\ln(t)$ pour $t\in]0,1]$. Soit $n\in\N^*$. On pose $S_n$ l'ensemble des vecteurs $p=(p_1,…,p_n)\in\R^n$ tels que $p_1+…+p_n=1$ et $p_i\geq 0$ pour tout $1\leq i\leq n$. On pose enfin $H_n(p)=\sum_{i=1}^n\phi(p_i)$ pour $p\in S_n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>- Donner la definition d'une partie compacte d'un espace vectoriel norme, et en donner une caracterisation en dimension finie.</li>
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<li>Montrer que $S_n$ est une partie compacte et convexe de $\R^n$.</li>
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<li>- Montrer que $H_n$ est continue.</li>
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<li>Montrer que $H_n$ atteint sur $S_n$ un maximum en un unique point $p_0$, et expliciter $p_0$.</li>
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</ul>
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<p>
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Soit $v=(v_1,…,v_n)\in\R^n$. On pose $f_v(p)=H_n(p)+\sum_{i=1}^np_iv_i$ pour $p\in S_n$.
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</p>
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<p>
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On pose $f_v^*=\sup_{p\in S_n}f_v(p)$ et $E_v=\{p\in S_n,\ f_v(p)=f_v^*\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $E_v$ est non vide. Determiner $f_v^*$ et $E_v$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8c055c4"nil>
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<p>
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Soient $(E,\|\ \|)$, $(E',\|\ \|)$ deva espaces vectoriels normes de dimension finie, $A$ un ferme non vide de $E$, $B$ une partie non vide de $E'$. Soit $f:A\to B$ continue bijective telle que l'image reciproque par $f$ de toute partie bornee de $B$ est bornee. Montrer que $f^{-1}$ est continue.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgfc27a08"nil>
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<p>
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Un espace norme reel est dit separable lorsqu'il contient une partie denombrable dense.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>L'espace $\R$ est-il separable?</li>
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<li>Montrer qu'un espace norme de dimension finie est separable.</li>
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<li>Soit $E$ un espace prehilbertien reel de dimension infinie. Montrer que $E$ est separable si et seulement s'il existe une suite orthonormalee $(e - {n\geq 0}$ telle que $\op{Vect}{(e - {n\geq 0}}$ soit dense dans $E$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4725781"nil>
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<p>
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Soit $E$ l'espace des fonctions polynomiales de $\R$ dans $\R$. Pour tout $f\in E$, on note $\phi(f)$ la primitive de $f$ d'integrale nulle sur l'intervalle $[0,1]$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Justifier la definition de $\phi$ puis etablir qu'il s'agit d'une application lineaire sur $E$.</li>
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</ul>
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<p>
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On munit $E$ de la norme $\|\ \|_{\i}$ sur $[0,1]$.
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</p>
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<p>
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On note $\|φ\|<sub>\mathrm{op}</sub>=⊃\left\{\frac{\|φ(f)\|<sub>\i,[0,1]</sub>}{\|f \|<sub>\i,[0,1]</sub>},\ f∈ E∖\{0<sub>E</sub>\}\right\}.$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$ est correctement definie et en trouver un majorant. - Soient $f\in E$ et $G$ la primitive de $F=\phi(f)$ nulle en $0$. Etablir que, pour tout $x\gt 0$,</li>
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</ul>
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<p>
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$$G(x)=xF(x)-\int_0^xtf(t)dt=(x-1)F(x)-\int_x^1(1-t)f(t)\mathrm{d }t.$$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la norme $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org875127f"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_n(\R)$, on pose $f_A(x)=(A+xI_n)^{-1}A$ pour $x$ reel convenable.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que la fonction $f_A$ est definie au voisinage epointe de $0$.</li>
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<li>Etudier le comportement de la fonction $f_A$ en $0$ dans le cas ou $A$ est inversible, puis dans le cas ou $A$ est nilpotente.</li>
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<li>Soit $u\in\mc{L}(\R^n)$. Montrer l'existence de $p\in\N^*$ tel que $\mathrm{Im}(u^p)\oplus\mathrm{Ker}(u^p)=\R^n$.</li>
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</ul>
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<p>
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En deduire l'existence de deux supplementaires $F$ et $G$ dans $\R^n$, stables par $u$, tels que $u$ induit sur $F$ un automorphisme et induit sur $G$ un endomorphisme nilpotent.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Caracteriser les matrices $A$ pour lesquelles $f_A$ a une limite en $0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org2ace372"nil>
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<p>
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Soient $(a_n)$ une suite a termes reels positifs et $(b_n)$ une suite a termes complexes. On suppose que la serie $\sum a_n$ diverge et que $b_n\sim a_n$. On note $S_n=\sum_{k=0}^na_k$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que la serie $\sum b_n$ diverge et que les sommes partielles des deux series sont equivalentes.</li>
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<li>On suppose qu'il existe $\lambda\in\R^{+*}$ tel que $\frac{S_n}{na_n}\xrightarrow[n\to+\i]{}\lambda$. Determiner la limite de $\frac{1}{n^2a_n}\sum_{k=0}^nka_k$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcd23653"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler la regle de d'Alembert pour une serie numerique a termes positifs.
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<ul class="org-ul">
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<li>On considere une suite croissante $(q - {n\geq 1}$ d'entiers $\geq 2$.</li>
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<li>Quel est le rayon de convergence de la serie entiere $\sum\frac{z^n}{q_1…q_n}$?</li>
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<li>Montrer que si la suite $(q_n)$ est stationnaire alors le reel $ x=∑<sub>n=1</sub><sup>+\i</sup>\frac{1}{q_1…q_n}$ appartient a $\Q\cap]0,1]$.</li>
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<li>On admet reciproquement que si $(q_n)$ tend vers $+\i$ alors $x\notin\Q$. Montrer que les reels $e$, $\mathrm{ch}(\sqrt{2})$ et $e^{\sqrt{2}}$ sont irrationnels.</li>
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<li>Montrrer la reciproque admise ci-dessus.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8e8819c"nil>
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<p>
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Soit $I=]-1,+\i[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ verifie $(*)$ si et seulement si :
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</p>
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<p>
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$\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$.
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</p>
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<p>
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On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit $f\in\mc C^0(I,\R)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Simplifier $x_n+y_n+x_ny_n$. Montrer que la serie de terme general $ f(x<sub>n</sub>)$ converge et exprimer $\sum_{n=0}^{+\i}f(x_n)$ en fonction de $f(1)$.</li>
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<li>Montrer que $f$ est derivable. - Trouver toutes les fonctions continues verifiant $(*)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3151e95"nil>
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<p>
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Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois derivable telle que $ff^{(3)}=0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrrer que, si $f'$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ prend une meme valeur au plus deux fois sur $I$.</li>
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<li>On pose $\Gamma=\{x\in I,{f'}'(x)=0\}$. Montrer que, si $\Gamma$ est non vide, alors $\Gamma$ n'est ni majore, ni minore.</li>
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<li>Montrer que $\Gamma$ est un intervalle et en deduire $f$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org3ab0c6a"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $g:[a,b]\to\R$ continue et injective. Montrer que $g$ est strictement monotone.</li>
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</ul>
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<p>
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On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, $g^2(x)=2g(x)-x$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer qu'une telle fonction est bijective et strictement croissante.</li>
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<li>Exprimer $g^n$ pour tout $n\in\N$ puis conclure.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgda29f55"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler la definition d'une fonction lipschitzienne. Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue. Soient $\alpha\in]0,1]$ et</li>
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</ul>
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<p>
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$H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha}\big{\}}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer $H_{\alpha}$ est un $\R$-espace vectoriel, que si $0\lt \alpha\leq\beta\leq 1$, alors $H_{\beta}\subset H_{\alpha}$. Verifier que $x\mapsto x^{\alpha}\in H_{\alpha}$.</li>
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<li>Montrer que, pour $0\lt \alpha\lt \beta\leq 1$, $H_{\beta}$ est strictement inclus dans $H_{\alpha}$.</li>
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<li>Montrer que $\mc C^1([0,1],\R)\subset H_{\alpha}\subset\mc C^0([0,1 ],\R)$ et que ces inclusions sont strictes.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org87c4cf2"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $a,b$ dans $\R$ avec $a\lt b$ et $f:]a,b[\to\R$ derivable. On suppose que $f$ admet la meme limite finie $\ell$ en $a$ et en $b$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto e^{\frac{1}{x^2-1}}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $]-1,1[$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynome $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(x^2-1)^{2n}}f(x)$. Quel est le degre de $P_n$?</li>
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<li>Combien $f^{(n)}$ a-t-elle de zeros?</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org7c29661"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner la definition de la multiplicite d'une racine d'un polynome puis sa caracterisation a l'aide des derivees successives du polynome.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $P\in\C[X]$ non nul. Exprimer $P'/P$ a l'aide des racines de $P$.</li>
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<li>Soit $r\gt 0$. On suppose que $P$ ne s'annule pas sur le cercle $C(0,r)$ du plan complexe. On pose $N_r(P)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{P'(re^{it})}{P(re^{it})}re ^{it}\,dt$. Montrer que $N_r(P)$ est egal au nombre de racines de $P$ (comptees avec multiplicite) dans le disque $D(0,r)$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org8db49b5"nil>
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<p>
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Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0(\R^+,\R)$ telles que $\int_0^{+\i}f^2\lt \i$. Soit $f\in E$.
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</p>
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<p>
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On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on definit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$.<sub>a</sub>) i)_: Rappeler le theoreme concernant la derivabilite des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrver que $Tf$ est continue. - Montrver que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $A\gt 0$. Montrver que $\int_0^ATf(x)^2\,dx\leq 2\int_0^A\frac{f(x)}{x} \left(\int_0^xf\right)dx$. En deduire que $Tf\in E$ et que $\|Tf\|\leq 2\|f\|$</li>
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<li>Montrver que la constante 2 est optimale dans l'inegalite $(*)$. On pourra considerer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1ceb68c"nil>
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<p>
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Soient $(a_n)$ une suite reelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornee, $(b_n)$ une suite reelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver qu'une serie absolument convergente est convergente.</li>
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<li>Montrver que la serie de terme general $a_nb_n$ converge.</li>
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<li>Montrver que la serie de fonctions de terme general $b_nf_n$ converge.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgce8bc0f"nil>
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<p>
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Soit $f\in C^1(\R^+,\R^{+*})$ croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\sim}\frac{a}{x}$ ou $a\gt 0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Citer le theoreme d'integration des relations de comparaison, puis trouver un equivalent de $\ln(f(x))$ quand $x\to+\i$.</li>
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<li>Donner le domaine de definition de $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)\,e^{-nx}$. Determiner les limites de $u$ aux bornes de son domaine de definition.</li>
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<li>Montrver qu'il existe $C\in\R$ tel que $u(x)\sim\frac{C}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)$ lorsque $x\to 0^+$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org86f5041"nil>
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<p>
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Soient $\alpha\in\N$ avec $\alpha\geq 2$ et $\beta\in]1,+\i[$. Soit $f:t\mapsto\sum_{n\geq 0}\frac{\cos(2\pi\alpha^nt)}{\beta^n}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver que $f$ est definie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est derivable sur $\R$.</li>
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<li>On suppose $\alpha\geq\beta$. Montrver que $f$ n'est pas derivable en $0$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga9becc2"nil>
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<p>
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Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0$. Montrver que $f$ est $\mc C^{\i}$ puis developpable en serie entiere au voisinage de l'origine.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4a511e2"nil>
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<p>
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On considere la serie entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrver que le rayon de convergence $R$ est $\geq 1$.</li>
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<li>Calculer $S(x)$ pour $|x|\lt 1$ puis montrer que $R=1$.</li>
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<li>Determiner un equivalent de $a_n$.# 1261</li>
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</ul>
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<p>
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On pose, pour $n\in\N$, $c_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Donner le developpement en serie entiere de $x\mapsto(1+x)^{\alpha}$. Exprimer le developpement en serie entiere de $f:x\mapsto\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (avec $f(0)=1$) a l'aide des $c_n$.</li>
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|
<li>Soit $r$ un rationnel que l'on peut ecrire $r=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ avec $b\wedge d=1$. Montrer que $r$ est entier. Montrer que, pour tout $n∈\N<sup>*</sup>,$$c<sub>n∈\N</sub>$.</li>
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|
<li>Donner la valeur de $\sum_{k=0}^nc_kc_{n-k}$ en fonction de $c_{n+1}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5db63ba"nil>
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<p>
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Pour $n\geq 1$, on note $t_n$ le nombre de $\sigma\in\mc{S}_n$ telles que $\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}$. On convient que $t_0=1$,
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que la serie entiere $\sum\frac{t_n}{n!}\,x^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$.</li>
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|
<li>Calculer $t_1,t_2,t_3$. Montrer que, si $n\geq 2$, $t_n=t_{n-1}+(n-1)t_{n-2}$.</li>
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<li>Determiner $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{t_n}{n!}x^n$ pour $x\in]-1,1[$. En deduire une expression de $t_n$ sous forme de somme. Calculer $\lim_{n\to+\i}\frac{t_n}{n!}$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org406960b"nil>
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<p>
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Pour $n\in\N$, on note $\mc{P}_n$ l'ensemble des polynomes $P$ a coefficients dans $\{0,1,2\}$ tels que $P(2)=n$, et $a_n=|\mc{P}_n|$. On note $s_n$ la somme des chiffres de l'ecriture binaire de l'entier $n$, et pour $k\in[\![0,7]\!]$, on pose $b_{n,k}=|\{i\in[\![0,n]\!],\ s_i-s_{n-i}\equiv k\ [8]\}|$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $a_0$, $a_1$, $a_2$ et $a_3$.</li>
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<li>Montrer que $\mc{P}_n$ est fini.</li>
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<li>Montrer que, pour $n\in\N$, $a_{2n+1}=a_n$ et que, pour $n\in\N^*$, $a_{2n}=a_n+a_{n-1}$.</li>
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</ul>
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<p>
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Ind. Pour la premiere egalite, on pourra exhiber une bijection entre $\mc{P}_n$ et $\mc{P}_{2n+1}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que la serie entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence egal a $1$.</li>
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</ul>
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<p>
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On note $A(x)$ la somme de cette serie.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que, pour $x\in]-1,1[$, $A(x)=(1+x+x^2)A(x^2)$.</li>
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</ul>
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<p>
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En deduire que $\forall x\in]-1,1[$, $A(x)=\lim_{n\to+\i}\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$. Etablir que, pour $n\in\N$ et $x\in]-1,1[$,</li>
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</ul>
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<p>
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$$\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})=\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-j)^{n-s_k}x^k\right)\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-\overline{j})^{n-s_k}x^k \right).$$
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Que peut-on en deduire sur $(a_n)$?</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga8ddbde"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>- Rappeler la definition de partie dense dans $\R$ et en donner une caracterisation sequentielle.
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<ul class="org-ul">
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<li>Trouver toutes les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que</li>
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</ul></li>
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</ul>
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<p>
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$\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y)$.
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</p>
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<p>
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On dit qu'une suite reelle $(a - {n\in\N}$ verifie la propriete $(P)$ si :1. La serie entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$,
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</p>
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<ol class="org-ol">
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<li>La somme $S_a$ de cette serie entiere admet une limite reelle en $1^-$.</li>
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<li>- Montrer que, si la serie $\sum a_n$ converge absolument, alors la suite $(a - {n\in\N}$ verifie $(P)$,</li>
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|
<li>Etudier la reciproque.</li>
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<li>Trouver toutes les suites $(a - {n\in\N}$ periodiques qui verifient $(P)$.</li>
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</ol>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0c51a75"nil>
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<p>
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Soient $(a - {n\geq 1}$ une suite de carre sommable et $ f:t\mapsto∑<sub>n=1</sub><sup>+\i</sup>\frac{a_n}{n-t}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Preciser le domaine de definition de $f$.</li>
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<li>Montrer que $f$ est developpable en serie entiere autour de $0$.</li>
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<li>Montrer que si $f$ est identiquement nulle sur $[-1/2,1/2]$ alors la suite $(a_n)$ est nulle.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orga298d64"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler la definition d'une fonction $f$ developpable en serie entiere en $0$ et preciser une expression de $f^{(k)}(0)$ en fonction des coefficients pour $k\in\N$.
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ au voisinage de $0$ pour laquelle il existe $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $f$ est developpable en serie entiere en $0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere en $0$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcdbe973"nil>
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<p>
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On admet le theoreme suivant :<sub>Pour</sub> $S$ une serie entiere de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une serie entiere $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z\in\C,\exp(L(z))=\ S(z)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>- Rappeler tous les modes de convergence d'une serie entiere sur son disque ouvert de convergence.</li>
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<li>Soient $ F(z)=∑<sub>n=0</sub><sup>+\i</sup>a<sub>nz</sub><sup>n</sup>$ de rayon de convergence infini et $ G(z)=\text{Re}(F(z))$.</li>
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</ul>
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<p>
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Pour $n\in\N^*$, montrer que $\int_0^{2\pi}F(re^{it})dt=2\pi a_nR^n$, puis que
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</p>
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<p>
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$\int_0^{2\pi}G(Re^{it})e^{-int}dt=\pi a_nR^n$ et $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})dt=2\pi\text{Re}(a_0)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>Montrer que, s'il existe $p$ et $q$ reels strictement positifs tels que $\forall z\in\C,\ |G(z)|\leq p|z|+q$, alors $F$ est un polynome de degre au plus $1$.</li>
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|
<li>Montrer que l'application $z\mapsto z\exp(z)$ est une surjection de $\C$ sur lui-meme.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org648dd9f"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe $r\gt 0$ tel que, pour tout $t\in]-r,r[,\ \det(\mathrm{id}-tu)=\exp\Big{(}-\sum_{k=1}^{+\i}\frac{t^k\, \mathrm{tr}(u^k)}{k}\Big{)}$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org22f5248"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>- Rappeler la definition de fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\R$. - _Pour $n\in\N^*$, on definit une fonction $f_n$ sur $\R^+$ par $f_n(x)=\frac{1}{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)$ si $x\in[0,n]$ et $f_n(x)=0$ sinon.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que la suite $(f - {n\in\N^*}$ converge simplement sur $\R^+$ vers une fonction $f$ a preciser et que $\int_{\R^+}f_n\not\longrightarrow\int_{\R_+}f$ quand $n\ra+\i$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler le theoreme de convergence dominee.</li>
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</ul>
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<p>
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Le demontrer sous l'hypothese supplementaire d'une convergence uniforme sur tout segment.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(f - {n\in\N}\in\left(\R^{\N}\right)^{\N}$ une suite de fonctions qui converge simplement sur $\N$ vers une suite $f\in\R^{\N}$. On suppose l'existence d'une suite sommable positive $\phi\in\R^{\N}$ telle que $\forall n\in\N,\;\forall t\in\N,\;|f_n(t)|\leq\phi(t)$.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que les suites $f_n$ et $f$ sont sommables et que $\lim_{n\ra+\i}\sum_{k=0}^{+\i}f_n(k)=\sum_{k=0}^{+\i}f (k)$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb10d5b4"nil>
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<p>
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Pour tout reel $a$, on pose $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On fixe un entier $n\geq 1$. Montrer que la fonction $f_n:x\in\R^{+*}\mapsto\left\{\frac{1}{x}\right\}^n$ est continue par morceaux sur $\R^{+*}$ et que l'integrale $I_n=\int_0^1f_n(x)\,dx$ est convergente.</li>
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|
<li>Montrer que la famille $\mc{F}=\left(\frac{(-1)^ii}{(i+1)k^{i+1}}\right)_{i\geq 1\atop k \geq 2}$ est sommable et exprimer sa somme $S$ sous la forme d'une serie faisant intervenir la fonction $\zeta$.</li>
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<li>Exprimer $I_1$ en fonction de $S$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0436a52"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer le theoreme d'integration des series uniformement convergentes sur un segment.
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<ul class="org-ul">
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<li>Pour $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $\gamma:[a,b]\ra\C$ de classe $C^1$ et $f\colon\C\ra\C$ continue, on pose $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$. Meme definition lorsque $f$ est a valeurs dans $\M_n(\C)$.</li>
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</ul></li>
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</ul>
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<p>
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On note, pour $r\gt 0$, $\gamma_r:t\in[0,2\pi]\mapsto re^{it}$.
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</p>
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<p>
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Soit $F:\C\ra\C$ la somme d'une serie entiere de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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|
<li>En deduire, pour toute matrice $M\in\M_n(\C)$ et pour $r$ assez grand (a preciser), l'egalite $\exp(M)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\, dz$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgf37eb74"nil>
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<p>
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Soient $E=\mc C^{\i}([0,\pi],\R)$ et $F=\{f\in E,\;f(0)=f(\pi)=0\}$. Soient $\phi,q\in E$, la fonction $q$ etant positive. On note $\alpha$ une primitive de $\phi$. On pose $D(y)=y^{''}+\phi y'-qy$ et $L(y)=-e^{\alpha}D(y)$ pour tout $y\in E$, et $\langle y,z\rangle=\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,dx$ pour tous $y,z\in F$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler le theoreme de Cauchy-Lipschitz.</li>
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<li>Montrer que $\langle\;,\;\rangle$ est un produit scalaire sur $F$.</li>
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<li>Soit $h\in E$. Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\in F$ telle que $D(f_0)=h$.# 1273</li>
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<li>Soient $E$ un espace euclidien, $U$ un ouvert de $E$, et $f:U\to\R$ une application de classe $\mc C^1$. Rappeler la definition de la differentielle $df(a)$ de $f$ en $a\in U$ et du gradient $\nabla f(a)$, ainsi que l'expression de $\nabla f(a)$ en base orthonormale.</li>
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<li>On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique.</li>
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</ul>
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<p>
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Montrer que $\nabla(\mathrm{det})(A)=\mathrm{Com}(A)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Quel est le coefficient de $X$ dans $\chi_A$?</li>
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<li>Determiner l'espace tangent a $\mathrm{SL}_n(\R)$ en $I_n$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org0c7898e"nil>
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<p>
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Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $b\in\R^n$ et $J:x\mapsto\frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $J$ est strictement convexe.</li>
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<li>Montrer que $J(x)\to+\i$ quand $\|x\|\to+\i$.</li>
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<li>En deduire que $J$ admet un minimum.</li>
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<li>Calculer $\nabla J$ et conclure quant au minimum de $J$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org766a469"nil>
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<p>
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Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace prehilbertien reel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Pour tout $x\in E$, exprimer la projection orthogonale de $x$ sur $F$ a l'aide d'une base orthonormale de $F$. Justifier la formule.</li>
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<li>On definit la fonction $d_F:E\setminus F\to\R,x\mapsto d(x,F)$. Montrer que $d_F$ est differentiable, et calculer sa differentielle.</li>
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</ul>
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</div>
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## Probabilites
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<div class="exercice" id="org4e0ca6c"nil>
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<p>
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On note $d_n$ le nombre de derangements de $n$ objets, c'est-a-dire le nombre de permutations $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe.
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</p>
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_a) i)<sub>Soit</sub> $n\in\N$. Montrer $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}d_{n-k}=n!$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que la serie entiere $\sum\frac{d_n}{n!}\,t^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$.</li>
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</ul>
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<p>
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On note $D(t)$ la somme de cette serie.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $e^tD(t)$.</li>
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<li>En deduire que $d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$.</li>
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<li>Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\i$ de la probabilite $p_n$ qu'un element de $\mc{S}_n$ soit un derangement.</li>
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</ul>
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<p>
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_c) i)<sub>Pour</sub> $n$ et $p$ entiers naturels, on note $s_n(p)$ le nombre de surjections de $[\![1,n]$ sur $[1,p]$.
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</p>
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<p>
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Montrer que $p^n=\sum_{k=0}^n\binom{p}{k}s_n(k)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soit $(x,y)\in\R^2$. Montrer que la famille $\left(s_n(p)\frac{x^p}{p!}\,\frac{y^n}{n!}\right)_{(n,p)\in \N^2}$ est sommable.</li>
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</ul>
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<p>
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Sa somme est notee $S(x,y)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Calculer $e^xS(x,y)$. - En deduire la valeur de $s_n(p)$ dans le cas $n=p$, puis dans le cas general $(n,p)\in\N^2$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org5f8b203"nil>
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<p>
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On melange les cartes d'un jeu de $2n$ cartes.
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</p>
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<p>
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Avec quelle probabilite les cartes de numero impair sont-elles correctement ordonnees?
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org1af1362"nil>
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<p>
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Pour $A_1,…,A_n$ parties finies d'un ensemble $E$, on admet que
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</p>
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<p>
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$\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1\lt i_2\lt …\lt i_k\leq n}|A_{i_1}\cap…\cap A_{i_k}|$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Expliciter la formule precedente pour $n=2$ et $n=3$.</li>
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</ul>
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<p>
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La demontrer pour $n=2$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On definit une fonction $\mu$ sur $\N^*$ par $\mu(1)=1$, $\mu(n)=(-1)^k$ si l'entier $n\geq 2$ s'ecrit $n=p_1…p_k$ ou $p_1$,…, $p_k$ sont $k$ nombres premiers distincts et $\mu(n)=0$ sinon.</li>
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</ul>
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<p>
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Calculer la probabilite que deux entiers choisis aleatoirement dans l'ensemble $\{1,2,…,n\}$ soient premiers entre eux a l'aide de la fonction $\mu$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgd1e76a5"nil>
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<p>
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Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de parametre 1. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et $T_n=\dfrac{S_n-n}{\sqrt{n}}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner la loi de $S_n$. Qu'en deduire sur $T_n$?</li>
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<li>Montrer que $\sum_{k\geq 0}\dfrac{k(n^k-1)}{(n+k)!}$ converge et calculer la somme.</li>
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<li>Calculer $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)\,dx$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4ca36c3"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Rappeler les formules des probabilites totales et composees.</li>
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</ul>
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<p>
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On fixe $d\in\N^*$ et $(U - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $[\![1,d]\!]$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Quelles sont les valeurs prises par $N_d$?</li>
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<li>Montrer que $\mathbf{P}(N_d\gt k)=\dfrac{d!}{d^k(d-k)!}$ pour tout $k\in[\![0,d]\!]$.</li>
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<li>Pour tout reel $x\gt 0$, calculer $\lim_{d\to+\i}\mathbf{P}\left(\dfrac{N_d}{\sqrt{d}}\gt x\right)$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org35ef522"nil>
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<ul class="org-ul">
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<li>Soient $x\gt 0$ et $X_x$ une variable de Poisson de parametre $x$. Calculer l'esperance de $X_x$. Montrer que $\mathbf{P}(|X_x-\mathbf{E}(X_x)|\geq\eps x)=O\left(\dfrac{1}{x }\right)$ quand $x\to+\i$.</li>
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</ul>
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<p>
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Soient $\alpha\in\R$ et $u_{\alpha}:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{n^{\alpha}}{n!}x^n$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner le domaine de definition de $u_{\alpha}$.</li>
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<li>Determiner $u_1$ et $u_2$.</li>
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<li>Montrer que, pour tout $\alpha\lt 0$, $u_{\alpha}(x)=o\left(\mathrm{e}^x\right)$ quand $x\to+\i$.</li>
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<li>Montrer que, si $\alpha\in]-1,0[$, $u_{\alpha}(x)\sim x^{\alpha}e^x$ quand $x\to+\i$.</li>
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</ul>
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</div>
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## Centrale - PSI
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### Algebre
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<div class="exercice" id="org0ede4db"nil>
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<p>
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Soit $A=\begin{pmatrix}0&c&b\\ -c&0&a\\ -b&-a&0\end{pmatrix}\in\M_3(\R)$. Trouver $\alpha$ pour que $A^3=\alpha A$. Calculer $A^n$ en fonction de $\alpha$.
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</p>
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</div>
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<div class="exercice" id="org9d51f68"nil>
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<p>
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Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $a,b\in\R$ avec $a\neq b$ tels que $:(f-a\op{id})\circ(f-b\op{id})=0$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Determiner $\lambda,\mu\in\R$ tels que $\lambda(f-a\op{id})$ et $\mu(f-b\op{id})$ soient des projecteurs.</li>
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<li>Montrer que $\text{Ker}(f-a\op{id})=\text{Im}(f-b\op{id})$.</li>
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<li>Determiner $f^n$ pour $n\in\N$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb5c7d17"nil>
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<p>
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Soit $A\in\M_2(\Z)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>On suppose $A$ inversible. Montrer que $A^{-1}\in\M_2(\Z)$ si et seulement si $\text{det}(A)\in\{-1,1\}$.</li>
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<li>On suppose qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $A^p=I_2$. Montrer que $A$ est inversible, et que $A^{-1}$ est a coefficients entiers. Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de polynomes caracteristiques possibles pour $A$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="org4d7267a"nil>
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<p>
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Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&2\\ 2&0&1\\ 1&-1&2\end{array}\right)$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $A$ a une valeur propre double $a\gt 0$ et une simple $b\gt 0$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable?</li>
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<li>Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$ de classe $\mc C^2$. Montrer qu'il existe un unique polynome $P_f\in\R_2[X]$ tel que $:P_f(a)=f(a),P_f(b)=f(b),P'_f(a)=f'(a)$.</li>
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<li>Pour toute fonction $f\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$, on pose $f(A)=P_f(A)$. Calculer $f(A)$ dans les cas ou $f:x\mapsto x^2$, puis $f:x\mapsto x^3$.</li>
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<li>Desormais on prend $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$. Conjecturer la valeur de $Af(A)$ et prouver cette conjecture.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgb39b6de"nil>
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<p>
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Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales.
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</p>
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<p>
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Si $P\in E$, on pose $L(P):x\mapsto e^{-x}\int_{-\i}^xP(t)\,e^t \dt$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Montrer que $L$ est un endomorphisme de $E$.</li>
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<li>Trouver les elements propres de $L$.</li>
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</ul>
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</div>
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<div class="exercice" id="orgcb851ec"nil>
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<p>
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On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $u=\left(a,b,c\right)^T$ un vecteur unitaire de $\R^3$. On note $D$=$\text{Vect}(u)$ et $p$ la projection orthogonale sur $D$.
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</p>
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<ul class="org-ul">
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<li>Experimer $p(v)$ pour tout vecteur $v=\left(x,y,z\right)^T\in\R^3$</li>
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</ul>
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</div>
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