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Exercices 2023

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/sebastien/Exercices_RMS/src/commit/76b11a926ee0a094173e1a0d674445d1440cd41a/%C3%89toil%C3%A9s%202023.pdf

(defun nb_unexed ()
  (let ((n 0))
    (save-excursion
      (goto-char (point-min))
    (while (go-find-unexed-exo)
      (setq n (1+ n))
      (forward-line 1))
    n)))

`(,(count-matches "\\?\\?") ,(1- (count-matches "!!")) ,(nb_unexed))

1

8

937

Trying to make nougat work

L'équivalent de CUDA pour AMD :

pacman -S rocm-hip-sdk rocm-opencl-sdk

NB : Ces deux machins ont des versions optimisées de disponible également

y -S python-pytorch-rocm
y -S python-tensorflow-rocm (fails to build atm…)

From home :

y -S python-pipx
pipx install nougat-ocr

python3 -c 'import torch' 2> /dev/null && echo 'Success' || echo 'Failure'

Success

~/.local/share/pipx/venvs/nougat-ocr/bin/python3 -c 'import torch' 2> /dev/null && echo 'Success' || echo 'Failure'

Success

python3 -c 'import torch; print(torch.cuda.is_available())'

True

~/.local/share/pipx/venvs/nougat-ocr/bin/python3 -c 'import torch; print(torch.cuda.is_available())'

False

python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name(0))"

device name [0]: AMD Radeon RX 5700 XT

Mathpixing

• I've manually separated the exercice.
• Add `exercice` with a macro
• Run convert mathpix
• Remove the extra info
• Convert lists : a)

(replace-regexp "^a)" " 1.")

(replace-regexp "^b)" " 2.")

(replace-regexp "^c)" " 3.")

(replace-regexp "^d)" " 4.")

Options

All

XENS

XENS MP

ENS MP-MPI   xens

Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f$ une application de $S$ dans $T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. Montrer que $|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left(\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)$.

Pour le terme de gauche, il s'agit de montrer que $\sum_{y} n_y^2 \geq \frac{\big(\sum_{y} n_y\big)^2}{\sum_y 1}$, c'est Cauchy-Schwarz.

Pour le terme de droite, c'est un principe des tiroirs, puis compter pour $1$ les éléments qui ne sont pas dans le tiroir.

Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$.

$S$ sera un sous-ensemble d'entiers consécutifs : considérer les sommes partielles $S_0,\dots, S_n$.

Pour tout $n\in\N^*$, on note $E(n)$ la valuation $5$-adique de $\prod_{k=1}^n k^k$. Donner un équivalent de $E(n)$, quand $n\ra +\i$.

Soit $n$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo $n$ si et seulement si $n$ est somme de deux carrés d'entiers.

Si $p$ est somme de deux carrés d'entiers, $p\equiv 1[4]$, et $a$ est un carré si et seulement si $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$.

Réciproquement, si $n\mid m^2 + 1$, dur, dur. !!

1. Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que $\big(\Z/p\Z\big)^\times$ contient $(p-1)/2$ carrés.
2. Montrer que tout élément de $\Z/p\Z$ s'écrit comme la somme de deux carrés de $\Z/p\Z$.
3. Soit $n$ un entier impair. Montrer que tout élément de $\big(\Z/n\Z\big)^{\times}$ s'écrit comme somme de deux carrés. Indication : Commencer par le cas où $n$ est sans facteur carré.

Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre premier et si $r\in\Q^*$ s'écrit $\frac{a}{b}$ de manière irréductible, on définit la $p$-valuation $v_p(r)$ comme $v_p(a) - v_p(b)$.

1. Montrer que si $p\geq 3$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 1$.
2. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 2$.
3. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{(p-1)}p)\geq 1$.
4. Pour $n\in\N^*$, calculer $v_2(~H_~)$.

1. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.
2. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$.
3. Montrer que $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$.

1. $\sum_{d \mid n} \phi(d) = n$
2. $\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0$, ou $1$ pour $n = 1$.
3. Par inversion de Möbius, on a $\phi(d) = \sum\limits_{d'\mid d} \mu\big(\frac{d}{d'}\big) d'$.

Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la valuation $p$-adique d'un entier $n$. On pose, pour $m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout $m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$.

Relier à 423 (LTE).

On a $v_p(a^n - b^n) = v_p(a-b) + v_p(n)$ (pour $p\neq 2$).

Donc $v_p(N(m)) = \sum_{k=1}^m v_p(1 - q) + v_p(m!)$, plus formule de Legendre.

Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la concaténation et $\l\colon X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis et $\phi\colon A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous $a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$.

1. On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l'injectivité des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur $A^*$ par $\phi\colon A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi\colon A \ra B^*$ telle que $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$.
2. Montrer que, si $\phi$ est injective, alors $\sum_{a \in A}|B|^{-\l(\phi(a))} \leq 1$.

1. La première est non injective : $0100110$ peut être lu de deux façons. La seconde l'est.
2. On note $C_N$ le nombre de choix possibles, de mots, dont la longueur totale $N$. On doit avoir $C_N\leq |B|^N$. Mais $C_N$ vérifie une relation de récurrence : $C_N = \sum_{a\in A} C_{N-\l(a}$. Donc les racines de cette récurrence doivent être $\leq |B|$, ce qui implique qu'en $|B|$ la valeur est négative, d'où le résultat.

1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition $(1\, 2)$ et le cycle $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$.
2. La transposition $(1\, 3)$ et le cycle $(1\, 2\, 3\, 4)$ engendrent-ils $\mc{S}_4$ ?
3. Soient $n \in \N^*$ et $1 \leq a\lt b \leq n$ tels que $\tau=(a b)$ et $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent $\mc{S}_n$. Montrer que $b-a$ et $n$ sont premiers entre eux.
4. Montrer la réciproque de la propriété précédente.

2. Non.
3. Si $p\mid b-a \wedge n$, alors $\sigma(a) - \sigma(b)\equiv a-b[p]$.
4. Facile de se ramener à un cycle $(u\, u+1)$

Soit $G$ un groupe fini. Si $X$ et $Y$ sont des parties non vides de $G$, on pose $X^{-1}=\left\{x^{-1}, x \in X\right\}$ et $X Y=\{x y,(x, y) \in X \times Y\}$. Dans la suite, $X$ désigne une partie non vide de $G$.

1. On suppose que $|X X|\lt 2|X|$. Montrer que $X X^{-1}=X^{-1} X$.
2. On suppose que $\left|X X^{-1}\right|\lt \frac{3}{2}|X|$. Montrer que $X^{-1} X$ est un sous-groupe de $G$.

1. Si $X$ a un seul élément, ok. Sinon, alors pour tous $a, b\in X$, les ensembles $aX$ et $bX$ ne sont pas disjoints, donc il existe $u,v$ tels que $au = bv \ssi a^{-1} b = u v^{-1}$. D'où le résultat.
2. $X^{-1}X$ contient l'élément neutre, et stable par inverse. Si ce n'est pas un sous-groupe, c'est qu'il existe $u^{-1} v a^{-1} b$ qui ne s'écrit pas de cette forme. !! Quitte à translater, on peut supposer que $e\in X$. Alors $X X^{-1}$ contient tous les éléments de $X$, et leurs inverses. Au moins la moitié des éléments de $X$ ont leurs inverses dans $X$ !

Soient $A$ un anneau et $B\subset A$ finie non vide. On note $E(B) = \big|\{(a,b,c,d)\in B^4 \mid ab = cd\}\big|$. Montrer que $E(B)\geq \frac{|B|^4}{|BB|}$.

1. Montrer que $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ engendrent $SL_2(\Z)$.
2. Soit $m\geq 2$. Montrer que le morphisme $\pi\colon SL_2(\Z)\ra SL_2(\Z/m\Z)$ est surjectif.

Soit $p$ un nombre premier. On admet qu'il existe un anneau commutatif $A$ dans lequel $p^2.1_A=0_A$ et il existe un élément inversible $x$ tel que :

• tout élément de $A$ s'écrive $P(x) x^{-k}$ pour un $P \in \Z[X]$ et un $k \in \N$;
• pour deux polynômes $P, Q$ dans $\Z[X]$ et deux entiers naturels $k, l$, l'égalité $P(x) x^{-k}=$ $Q(x) x^{-\l}$ équivaut à ce que $X^k Q$ et $X^\l P$ aient même réduit modulo $p^2$ (autrement dit, tous les coefficients de $X^k Q-X^\l P$ sont des multiples de $p^2$).

1. Soient $P \in \Z[X]$ et $k \in \N$. Caractériser l'inversibilité de $P(x) x^{-k}$ dans $A$.
2. Montrer que le groupe multiplicatif $A^{\times}$ ne possède pas de partie génératrice finie.

Soit $f \in \Z[X]$. On pose $S_q=\sum\limits_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum\limits_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$ pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors $S_{q q'}=S_q S_{q'}$.

Les $a\in\db{1,qq'}$ premiers avec $q$ et $q'$ sont les $bq + aq'$, avec $a$ premier avec $q$ et $b$ premier avec $q'$.

On dit qu'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : $\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un même cercle.

On veut que les $\sin (\frac{\theta_i - \theta_j}{2})$ soient rationnels, c'est-à-dire les $\sin \frac{\theta_i}{2} \cos \frac{\theta_j}{2} - \sin \frac{\theta_j}{2} \cos \frac{\theta_i}{2}$.

Il suffit donc de prendre les doubles d'une infinité de points rationnels sur le cercle.

Soit $z\in\C$ annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. Soit $Q\in\Z[X]$. Montrer que $Q(z)$ est annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers.

Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré $2 m$ tel que $\forall x \in \R \setminus \Z, \sin (n x)=(\sin x)^n P_m(\op{cotan} x)$.

1. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \op{cotan}^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)$.
2. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \frac{1}{\sin ^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)}$.
3. En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

Easy.

Pour $n\in\N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$.

1. Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $\C$.
2. Montrer que si $n$ est impair, alors $P_n$ possède exactement une racine réelle, et qu'elle appartient à $[-n, - 1]$.
3. On suppose $n$ pair. Le polynôme $P_n$ a-t-il une racine réelle ?
4. Déterminer les variations et la convexité de $x\mapsto P_n(x)$.

Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$.

1. On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que $\forall x \in \R, n P(x) P''(x) \leq(n-1) P'(x)^2$.
2. Donner un polynôme ne vérifiant pas le résultat de la question précédente, puis un polynôme non scindé le vérifiant.

2. Ajouter à un précédent.

Soit $n\in\N^*$, $P = X^n + \sum_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\C[X]$. On factorise $P$ sous la forme $P = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$. Pour $k\in\N$, on note $S_k = \sum_{i=1}^n z_i^k$. Montrer que, si $k\gt n$, $S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_0 S_{k-n} = 0$ et que, si $k\leq n$, $S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_1 = - k a_{n-k}$.

Une suite d'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme si pour tous $n,m\in\N^*$, $m-n\mid a_m - a_n$.

1. Soit $P\in\Z[X]$. Montrer que $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme.
2. Montrer que $\big(\lfloor n! e\rfloor\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme.
3. Trouver un polynôme $P\in\Q[X]\setminus \Z[X]$ tel que $P(\Z)\subset \Z$ et que la suite $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ ne soit pas un pseudo-polynôme.

Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que, pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$.

Easy, à relier.

Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si

• $-P$ et $Q$ sont scindés à racines simples sur $\R$,
• $P$ et $Q$ n'ont aucune racine réelle commune,
• entre deux racines consécutives de $P$ (respectivement $Q$) il y a une unique racine de $Q$ (respectivement $P$).

Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout $\lambda, \mu \in \R^*, \lambda P+\mu Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, alors $P$ et $Q$ sont entrelacés.

À relier.

Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$.

$X + X^2Q(X) - z_i = 0$ avec $|z_i|\lt \frac{1}{n}$ admet toujours une racine, $\lt 1$.

Vient des relations coefficients-racines.

• CNS sur $n$ pour que $\Z/n\Z$ soit un corps.
• On suppose cette condition satisfaite. Combien y a-t-il de polynômes de degré $d\in\N$ fixé dans $\Z/n\Z$ ?
• Soit $p$ premier. Montrer qu'il existe des polynômes irréductibles de degré $2$ et $3$ dans $\Z/p\Z$.

Soit $n\in\N^*$, $\K$ un corps, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\K)$ dont tous les éléments sont de rang $\leq 1$. Montrer que $V$ est de dimension $\leq n$. Étudier le cas d'égalité.

Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel $V$ de $\M_n(\R)$ tel que pour tout $(X,Y)\in V^2$, on ait $\op{Tr} (XY) = 0$.

Soient $A,B\in\M_n(\R)$ de même rang telles que $A^2 B = A$. Montrer que $B^2 A = B$.

Soient $n\geq 1$ et $E$ une partie de $\mc P(\db{1,n})$.

1. On suppose que $E$ est stable par différence symétrique. Que dire de $C = \{m 1_A\}$ comme partie de l'espace vectoriel $\big(\Z/2\Z\big)^n$ ?
2. On ne fait plus l'hypothèse précédente, mais on suppose que $A\cap B$ est de cardinal pair pour tous $A,B\in E$. Montrer que $|E|\leq 2^{\lfloor n/2\rfloor}$.

Soient $(a_1,\dots, a_n)\in\R^n$ telle que $|a_i|\geq 2$, pour tout $i\in\db{1,n}$.

1. Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall i,\, a_{ii} = a_i$, $a_{ij} = 1$ si $|i-j| = 1$ et $a_{ij} = 0$ sinon. Montrer que $A$ est inversible et que son déterminant a le même signe que $\prod a_k$.
2. Montrer que la conclusion tient encore si l'on suppose $|a_{ij}|\leq 1$ si $|i-j| = 1$ au lieu de $a_{ij} = 1$.

On considère $\phi:\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut $\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$.

1. Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0$ ?
2. Que dire de la réciproque?
3. Montrer que $A$ s'écrit comme $\phi(u, v)$ avec $(u, v)$ libre si et seulement si $A \in \mc{A}_4(\R)$, $\op{det}(A)=0$ et $A \neq 0$.
4. Décrire l'image et le noyau d'une telle matrice.

Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$. Montrer qu'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$ où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$.

On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Donc diagonalisable ?

Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit $f_g:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes :

• il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d'éléments de $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$ de $\R^2, f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$,
• il existe une droite vectorielle $L$ telle que $\left|\left\{i, L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$.

Si il existe une droite $L$, en prenant $g_k = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k^{-1}\end{pmatrix}$ selon $L$ et n'importe quel supplémentaire, ça devrait être bon.

Réciproquement, !!

Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$

Facile ? Attention : faux pour 2.

Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C_A\colon X\in\M_n(\C)\mapsto AX -XA$. Montrer que si la matrice $A$ est diagonalisable, alors $C_A$ l'est aussi.

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que $A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$.

$\Leftarrow$ Ok.

Si $ABA^{-1}B^{-1}$ commute avec un $\vect$ de dimension $2$. Si $AB = \la BA$, c'est bon. Sinon, alors le commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$ est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, puis faire de la réduction.

Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_r$ les valeurs propres distinctes de $A$ et $\a_1,\dots, \a_r$ leurs multiplicités. On note $P_k = (X-\la_k)^{\a_k}$ et $F_k = \Ker P_k(A)$.

1. Montrer que $\C^n = \bigoplus_{i=1}^r F_i$.
2. Montrer que $P_k$ est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par $A$ sur $F_k$.
3. Montrer que $A$ se décompose en $D + N$, avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente et $ND = DN$.

Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$. Montrer l'équivalence entre

• $\Ker A = \Ker A^2$.
• il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^m = A$.
• pour tout $k\geq 1$, il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^k = A$.

Soit $M\in GL_n(\Z)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\leq 1$. Montrer qu'il existe $k\geq 1$ tel que $M^k - I_n$ soit nilpotente.

Soit $n\geq 1$. Pour $\sigma\in\mc S_n$, on note $P_{\sigma} = \big(\delta_{i+1,j}\big)_{i,j}$ la matrice de permutation associée. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \M_n(\C)\ra\C$ telles que $\forall A,P\in \M_n(\C)\tmes GL_n(\C),\quad f(PAP^{-1}) = f(A)$. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \mc D_n(\C)\ra \C$ telles que $f(P_{\sigma} D P_{\sigma}^{-1}) = f(D)$. Expliciter un isomorphisme d'algèbres de $\mc A$ sur $\mc B$.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d'indice $m, x \in E$ tel que $f^{m-1}(x) \neq 0$.

1. Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille.
2. Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi(f^{m-1}(x)) \neq 0, W$ le sous-espace de $E^*$ engendré par $(\phi \circ f^i)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\bot}$ l'ensemble des $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\bot}, \psi(y)=0$. Montrer que $W^{\bot}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$.
3. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ soit diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme $J_k$ avec $k \in \N^*$, où $J_k \in \M_k(\mathbb{K})$ est une matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la sur-diagonale qui sont égaux à $1$.

Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 1$. Un élément $u\in\mc L(E)$ est dit cyclique s'il existe $x\in E$ tel que $(u^k(x))_{0\leq k\leq n-1}$ soit une base de $E$.

1. Quels sont les endomorphismes de $E$ diagonalisables et cycliques ?
2. Montrer que si $u$ est cyclique, le commutant de $u$ est égale à $\K[u]$.
3. Montrer que si $u\in\mc L(E)$, il existe $r\in\N^*$ et des sous-espaces $E_1,\dots, E_r$ de $E$ stables par $u$ tels que $E = \bigoplus_{i=1}^r E_i$ et que, pour tout $i$, $u_{E_i}$ soit cyclique.

Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $d_1\left|d_2\right| \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$.

$n = r$ convient. Réciproquement, si $G$ contient un tel groupe, on peut codiagonaliser.

Le groupe $GL_2(\Q)$ contient-il un élément d'ordre $5$ ?

On note $H$ l'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle.

1. Montrer que $\forall M\in H,\, e^M\in SL_2(\R)$.
2. Montrer que $\forall M\in H,\, \tr e^M\geq -2$.
3. A-t-on $\exp(H) = SL_2(\R)$ ?
4. Montrer que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit d'une matrice de $SO_2(\R)$ et d'une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux $\gt 0$.
5. En déduire que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit de deux exponentielles de matrices de $H$.

Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une norme sur $E$ pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que $\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$ commute avec $h_1$ et $h_2$. Montrer que l'espace des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et $h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$.

On peut supposer que l'ensemble $F$ des points fixes est de dimension $1$. Donc est le noyau d'une forme linéaire $\phi$. !!

Notons $C$ le commutateur. On a $Ch_2 = h_1h_2 h_1^{-1}$.

Si $h_1$ et $h_2$ commutent.

Si $h_1 = h_2$.

Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_n$ ses valeurs propres.

1. Montrer que $\sum |\la_i|^2 \leq \sum_{i,j} |a_{ij}|^2$.
2. Montrer que $|\det A|\leq n^{n/2}\sup |a_{ij}|$.

Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien, $m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \llbracket 1, m \rrbracket^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$.

Easy, on a $\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x\rangle$.

On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire $(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$. On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection orthogonale de $1$ sur $F$.

On ecrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et $P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$.

• Determiner $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour $k\in[\![1,n]\!]$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in[\![1,n]\!]$.
• Calculer $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\,dx$.

Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u, u_1, \ldots, u_m$ des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $\left\{x \in E ; \forall i \in \llbracket 1, m \rrbracket,\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E ;\langle u, x\rangle \leq 0\}$.

$\Rightarrow$ : Easy.

$\Leftarrow$ : Si les vecteurs $u_i$ sont libres, on peut prendre un élément $x$ orthogonal à tous sauf $1$.

Sinon, si $u_m$ est combinaison linéaire des précédents, avec un coefficient $\lt 0$. !!

Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'ecrit d'une unique facon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire superieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$.

[Rennes sur dossier] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice antisymetrique et inversible.

• Que peut-on dire de l'entier $n$?
• En considerant $M^2$, montrer que $M$ admet un plan stable puis qu'il existe une matrice orthogonale $O\in{\cal O}_n({\R})$ telle que $O^TMO$ soit une matrice diagonale par blocs de la forme $\mathrm{diag}(R_{a_1},...,R_{a_k})$, avec $R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$.
• Qu'en est-il si $M$ n'est plus supposee inversible?

Soit $n\geq 1$. Determiner les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$.

Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$ $M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer $\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$.

$\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix})$. !!

Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit $v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n'ont pas de valeur propre commune. Sous reserve d'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$ pour $x$ reel.

• Montrer que les zeros de $F$ sont les valeurs propres de $A+vv^T$.
• On note $\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ les valeurs propres de $A$. Montrer que chaque intervalle $]\lambda_1,\lambda_2[$,…, $]\lambda_{n-1},\lambda_n[,]\lambda_n,+\i[$ contient exactement une valeur propre de $A+vv^T$.

Soient $n\in{\N}$ impair, $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que, pour toute $A\in{\cal A}_n({\R})$, $A+M$ soit nonversible. Montrer que $M\in{\cal A}_n({\R})$.

Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n'ont pas -1 pour valeur propre et telles que $A B$ n'ait pas 1 pour valeur propre. Montrer que $\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est antisymétrique.

Classique

Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$.

• Determiner les valeurs propres de $J$ et leur multiplicite.
• Soit $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$. Montrer qu'il existe une matrice $B\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telle que $B^2=A$.
• Que peut-on dire de la matrice $BJB$?
• Lorsque $A$ est diagonale, calculer les valeurs propres de $JA$.
• Montrer plus generalement que toute valeur propre d'une matrice antisymetrique reelle est imaginaire pure.

Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non nécessairement distinctes. Montrer que $\forall k \in\left[1, n \rrbracket, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$.

1. Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B \in \mc{S}_n^+(\R)$ Montrer que $A B$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles.
2. Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose $f_{A, B}: X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$. Montrer que $f_{A, B}$ admet un minimum $\mu_{A, B}$ atteint en une unique matrice $M_{A, B}$. Expliciter $\mu_{A, B}$ et $M_{A, B}$.

Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On definit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On definit de meme $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$.

• Montrer que $p(A)+q(A)=\mbox{rg}\,A$.
• Montrer que, si $A$ est inversible, alors $p$ et $q$ sont constantes sur un voisinage de $A$ dans ${\cal S}_n({\R})$.
• Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f:t\mapsto\det(A+tB)$ n'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$.

On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonne d'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$.

• Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, que dire du signe de $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$?[MISSING_PAGE_FAIL:1]# 80

Soient $a\leq b$ deux reels, et $(O - {i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ verifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$.

Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ le spectre ordonné de $M$.

1. On considère $A, B \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A+B \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. Montrer que, si $i+j\lt n+2$ alors $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0$.
2. Généraliser à $A_1, \ldots, A_d \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A_1+\cdots+A_d \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. telle que $B=P^T A P$.

On note $\lN\cdot \rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\R)$ associée à la norme euclidienne. Soit $S\in\mc S_n$. On suppose que $E = \{M\in\M_n(\R)\mid S = M^T M - M M^T\}$ est non vide. On note $\gamma(S) = \inf_{M\in E}\lN M\rN^2$. Montrer que $\lN S\rN\leq \gamma(S)\leq 2\lN S\rN$.

1. Soient $A,B\in\mc S_n^{++}$. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ telle que $B = P^T A P$.
2. Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une définition naturelle de $f(A)$ si $A \in$ $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
3. Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose $d(A, B)=\left\|\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\right\|$. Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance $\op{sur} \mc{S}_n^{++}(\R)$.
4. Soient $P \in \mathrm{GL}_n(\R), A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $d\left(P^T A P, P^T B P\right)=d(A, B)$.

Soit $n\in\N^*$.

1. Montrer que $(X,Y)\mapsto \op{Tr} X^T Y$ est un produit scalaire sur $\M_n(\R)$. On note $\lN \cdot\rN$ la norme associée.
2. Si $M\in\M_n(\R)$, soit $L(M)\colon X\in \M_n(\R)\mapsto MX$. Montrer que $L$ est un morphisme d'algèbre injectif.
3. Soit $\lN|\cdot|\rN_2$ la norme sur $\M_n(\R)$ subordonnée à la norme euclidienne de $\R^n$, et $\lN |\cdot|\rN$ la norme sur $\mc L(\M_n(\R))$ subordonnée à $\lN\cdot\rN$. Si $M\in\M_n(\R)$, montrer que $\lN |L(M)|\rN\leq \lN|M|\rN_2$.
4. Montrer que $\lN |M^T|\rN_2 = \lN |M|\rN_2$ pour tout $M\in\M_n(\R)$.

On note $\lN \cdot\rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à la norme $X \mapsto \sqrt{\bar{X}^T X}$.

1. Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left\|e^{i A}-e^{i B}\right\| \leq\|A-B\|$.
2. Démontrer le même résultat sous l'hypothèse que $A$ et $B$ sont deux matrices de $\M_n(\C)$ telles que $\bar{A}^T=A$ et $\bar{B}^T=B$.

Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$, $\lN x\rNp = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$.

1. Montrer qu'il s'agit bien d'une norme.
2. Montrer l'inégalité de Hölder.
3. Dans $\R^2$, dessiner la boule unité de la norme $p$ pour plusieurs valeurs de $p$.

Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset \bigcup_i O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in [a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ telle que $[a,x]\subset \bigcup_{j\in J} O_j$. Montrer que $X = [a,b]$.

Soient $K$ un compact convexe non vide d'un espace norme $E$, $f$ un endomorphism continu de $E$ tel que $f(K)\subset K$. Montrer que $f$ admet un point fixe dans $K$.

Peut-on écrire $\interval]{0, 1}[$ comme réunion dénombrable disjointe de segments d'intérieurs non vides?

Non. Par l'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont la distance tend vers $0$, alors la limite n'appartient à aucun segment.

Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose, pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel que $0\lt a\lt 9$. On définit $P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et $P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide, d'intérieur vide et sans point isolé.

$P$ est borné et fermé, car $S_n$ est continue inférieurement. Clairement non vide et d'intérieur vide. Si $x\in P$, en retirant $1$ a un chiffre de $x$ arbitrairement grand, on reste dans $P$. Possible sauf si $x$ est décimal, auquel cas on peut ajouter $1$.

Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermee si et seulement si $A$ est diagonalisable sur $\C$.

• On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que :

  • pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ dont les cotes sont paralleles aux axes ;
  • les $C_i$ soient d'interieurs deux a deux disjoints ;
  • $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$.

• On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que :

  • pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de $\R^2$ ;
  • les $D_i$ soient d'interieurs deux a deux disjoints ;
  • $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$.

Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $d$ de $\R[X]$.

1. ose $A=\{(P, x) \in \mc{P} \times \R ; P(x)=0\} \et P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $A$ dans $\R_d[X] \times \R$.
2. On pose $B=\{P \in \mc{P} ; \forall x \in \R, P(x) \neq 0 \ou P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $B$ dans $\R_d[X]$.

1. Par translation, on peut passer de $(P, x)$ à $(\tilde{P}, 0)$. Alors $P = X^n + Q + \a X$, avec $\a\neq 0$. On peut ramener $Q$ à $0$, et $\a$ à $\pm 1$. Deux composantes connexes, selon le signe de $\a = P'(x)$.
2. $B$ est l'ensemble des polynômes unitaires à racines simples. Le nombre de racines simples est un invariant, et réciproquement, ces morceaux sont clairement connexes par arcs.

Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblables les unes aux autres, $\lN\cdot\rN$ une norme sur $\M_n(\C)$. On suppose que $\lN M_k\rN \ra+\i$. Montrer qu'il existe une matrice $N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi\colon \N \ra \N$ telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} \ra N$.

On peut extraire $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN}$ convergent, vers $\Pi$.

Si $\Pi$ a une valeur propre complexe $X$, comme $\lN \frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} - \Pi\rN\leq \eps$, on a une valeur propre complexe proche de $\la$, donc $M_{\phi(k)}$ a une valeur propre qui tend vers $+\i$.

Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\lt 1$. Montrer qu'il existe une norme \|\| sur $\C^n$ telle que, pour la norme d'opérateur associée, on ait $\|A\|\lt 1$.

Trigonaliser, puis conjuguer par une matrice diagonale pour n'avoir que des petits coefficients hors de la diagonale.

Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et $\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$, pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$. Montrer que $A$ est inversible et que $\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x \in \R^n,\|x\|_1=1\right\} \leq \frac{1}{\eps}$.

$A$ est inversible car aucune ligne n'est combinaison linéaire des autres.

Si $x = E_i$, on considère les colonnes de $A^{-1}$, notées $C_i$. On $\langle C_i, L_i\rangle = 1$ et $C_i$ orthogonal aux autres lignes, ce qui donne $\lN C_i\rN_{2}\leq \frac{1}{\eps}$, peut-être.

Ensuite, utiliser une convexité ?

On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornees de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ decrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des reels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$.

Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive telle que, pour tout $n, u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent.

Soit $m$. On peut écrire $u_{a+n} = G_n u_a + G_{n+1} u_{a-1}\et u_{a+n+1} = G_{n+1} u_a + G_{n2} u_{a-1}$, où $G_n\tend{a\ra +\i} F_n$, ce qui devrait implique ce que l'on veut.

$w_n$ s'obtient à partir de $v_n$ par Cesàro.

1. Si $n \geq 2$ est un entier, montrer que $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor=\sum_{j=2}^n\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor$.
2. Donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\i$ de $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor$, puis un développement asymptotique à deux termes.

1. Le premier compte les puissances de $k$ inférieures à $n$, dont $k^1$. Le second compte les puissances $j$-èmes inférieures à $n$.
2. En coupant la somme en $k = \sqrt{n}$, on a du $\sqrt{n} \ln n + (n-\sqrt{n})n$, d'où un équivalent à $n$. En suite, on prend l'autre expression, on retire $n$. Le premier terme est $\sqrt{n}$. Les termes non nuls correspondent à $\sqrt[j]{n}\geq 2\ssi n\geq 2^j$, donc les autres termes sont au plus en $\sqrt[3]{n} \ln n$, d'où le DSA $n + \sqrt{n} + o_{+\i}(\sqrt{n})$.

Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement decroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite definie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un reel strictement positif.

Soit $(u_n)$ une suite definie par $:\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adherence de $(u_n)$.

• Montrer que, pour tous $x$ et $y\in{\R}$, $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$.
• Montrer que $u_{n+1}-u_n\to 0$.
• Montrer que $V$ est un intervalle inclus dans $[-1,1]$, puis que $V=[-1,1]$.

Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densite si la suite $\left(\frac{|A\cap\llbracket 1,n\rrbracket|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite. Cette limite est alors notee $d(A)$.

• Si $m\in{\N}^*$, quelle est la densite de l'ensemble des multiples de $m$ dans ${\N}^*$?
• Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densite que l'on precisera.
• Donner un exemple de partie de ${\N}^*$ n'admettant pas de densite.

On considere une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ieme occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ieme occurrence de $2$ soit egal a $a_n$.

Etudier la convergence de la suite de terme general $\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\,a_k=3\}\big{|}$.

On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n \geq 1$, le nombre de 3 apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de 2 soit égal à $a_n$. Montrer qu'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$.

Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si elle vérifie, pour tout entier $k \in \Z^*, \lim_{N \ra+\i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 i k \pi x_n}=0$.

1. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que la suite $(n \alpha)$ est équirépartie modulo 1.

2. Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N^*}$. On suppose que pour tout $h \in \N^*$, la suite $\left(x_{n+h}-x_n\right)_{n \in \N^*}$ est équirépartie; on veut montrer que $(x_n)$ est équirépartie modulo 1.

   1. Soit $\left(a_n\right)$ une suite de complexes de module $\leq 1$. Montrer, pour tous $N, H \in \N^*:\left|\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right|+\frac{2 H}{N}$.
   2. Montrer que $\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right| \leq \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|\sum_{h=0}^{H-1} \frac{a_{n+h}}{H}\right|^2}$.
   3. Conclure.
3. Soit $P \in \R[X]$ non constant et de coefficient dominant irrationnel. Montrer que $(P(n))_{n \geq 1}$ est équirépartie modulo 1.
4. Soit $\left(x_n\right)_{n \geq 1}$ une suite réelle équirépartie modulo 1, et $f\colon \R \ra \C$ une fonction continue 1-périodique. Montrer que $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right) \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} \int_0^1 f$.
5. On reprend les hypothèses de la question 3. Montrer que la distance de $P(\Z)$ à $\Z$ est nulle.

5. ??

Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, on note $A_n$ la matrice $\left(\begin{matrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{matrix}\right)$ ou, pour tout $k\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, $a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$.

Soit $q\in\N^*$. Determiner la limite de $(\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$.

Montrer la convergence et calculer $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\ln (k)}{\ln (2)}\right\rfloor$.

Écrit quelque part…

On note $\ell^2(\R)$ l'ensemble des suites réelles de carré sommable indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$ ainsi qu'une suite $\left(u_k\right)_k$ d'éléments de $\ell^2(\R)$ (l'élément $u_k$ est donc noté $\left.\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}\right)$. On suppose que, pour tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général $w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers $\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$. Montrer que $\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sigma(n)}-v_n\right)^2 \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$.

Écrit quelque part…

On peut supposer que les $(v_n)$ sont décroissants, par réordonnement.

Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et $q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de continuité de $f$ ?

Facile.

Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et $[a, b] \subset I$ avec $a\lt b$. On suppose que $f'(a)=f'(b)$. Montrer qu'il existe $c\in \interval]{a, b}[$ tel que la tangente au graphe de $f$ en $c$ passe par le point $(a, f(a))$.

On peut supposer $f'(a) = f'(b) = 0$. À relier.

Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit derivable en aucun point.

Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale.

$f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle, $f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$.

Soit $p\gt 1$ un reel. Montrer qu'il existe une constante $k_p\gt 0$ telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait $(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$.

Soit $f\colon\R\ra\R$. On note $f^*(s)=\sup_{x\in\R}\,(sx-f(x))$ et $f^*(x)=\sup_{s\in\R}\,(sx-f^*(s))$.

Montrer que $f^*(x)=\sup_{a\text{ affine }\leq f}a(x)$.

Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynomes reels stable par derivation. On definit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$.

Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient $A_{\eps}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et

$B_{\epsilon}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$.

• Montrer que $A_{\eps}$ est soit vide, soit reduit a un point, soit un intervalle ouvert.
• Si $A_{\eps}$ est non vide, montrer que $B_{\eps}$ est l'adherence de $A_{\eps}$. Si $A_{\eps}$ est vide, montrer que $B_{\eps}$ est soit vide suit un singleton.

Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^n$.

• Soient $x_0,\ldots,x_n$ des points de $I$. On note $V(x_0,\ldots,x_n)$ le determinant de Vandermonde associe a $(x_0,\ldots,x_n)$. Montrer qu'il existe $\tau\in I$ tel que $\begin{vmatrix}1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^{n-1}&f(x_0)\\ 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}&f(x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}&f(x_n)\\ \end{vmatrix}=\dfrac{f^{(n)}(\tau)}{n!}\,V(x_0,x_1,\ldots,x_n)$
• On suppose que $n=2$, que $I$ est un segment et que $f$ est strictement convexe. On note $\Gamma_f=\{(x,f(x));x\in I\}\subset\R^2$ le graphe de $f$. Montrer qu'il existe une constante $C$, dependant uniquement de $I$ et $f$, telle que le nombre de points de $\Gamma_f\cap\frac{1}{N}\,\Z^2$ soit majore par $C\,N^{2/3}$ pour tout entier $N\geq 1$.

Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$.

• Montrer que $(w - {n\geq 0}$ est decroissante.
• Etablir une relation de recurrence entre $w_{n+2}$ et $w_n$.
• Sans utiliser la formule de Stirling, determiner un equivalent simple de $w_n$.
• Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum w_nx^n$.

Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$.

1. Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement inférieur à 1 comptées avec multiplicité n'est autre que $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$.
2. Soit $Q \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1 comptées avec multiplicité.

Pour $n\in\N$, on note $A_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\,dx$ et $B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}(x)\,dx$. On admet que, pour $n\in\N^*$, $2nA_n=(2n-1)A_{n-1}$.

• Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{2B_0}{A_0}-\frac{2B_n}{A_n}$ pour tout $n\in\N^*$.
• En deduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ puis que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac{1}{n}\right)$.

Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique c'est-à-dire telle que, pour tout $\epsilon\gt 0$, il existe $T\gt 0$ tel que : $\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \epsilon$. Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique.

1. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R^+$.
2. Montrer que $t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t f$ possède une limite quand $t \ra+\i$.

1. Easy.
2. !!

Soit $f$ une fonction continue par morceaux et croissante de $[0,1]$ dans $\R$. Montrer que $\int_0^1f(x)e^{i\lambda x}dx\underset{\lambda\to+\i}{=}O \left(\frac{1}{\lambda}\right)$.

Soient $f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n$ des fonctions de $\mc C^0([0,1],\R)$. Soit $A$ la matrice de terme general $A_{i,j}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\,dx$.

On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}f_i(x_j)\big{)}$ et $C(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}g_i(x_j)\big{)}$.Montrer que $\int_{[0,1]^n}B(x_1,\ldots,x_n)\,C(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n=n!\det(A)$.

• Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\R^+$ dans $\R$ admettant une limite en $+\i$ et telle que $f'$ est uniformement continue. Est-ce que $f'$ a une limite en $+\i$?

[Rennes sur dossier] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P - {n\in\N}$ une suite de polynomes a coefficients reels de degre au plus $d$ et $x_1,...,x_N$ des reels distincts. On suppose que pour tout $j\in\{1,...,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornee. Montrer que l'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui converge uniformement sur $[0,1]$ vers un polynome de degre au plus $d$.

Montrer que la suite de fonctions de terme general $f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformement sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

On note $I$ (resp. $S$) l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to[0,1]$ telles que, pour tout $a\in\R$, l'ensemble $\{x\in[0,1],f(x)\leq a\}$ est ferme (resp. de meme avec l'inegalite dans l'autre sens).

• Montrer que $S\cap I$ est l'ensemble $C$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$.
• Soit $f:[0,1]\to[0,1]$. On pose $f_n:x\mapsto\inf(\{1\}\cup\{f(y)+n|x-y|,y\in[0,1]\})$ pour $n\in\N$. Montrer que $f_n$ est continue pour tout $n$, que la suite $(f_n)$ est croissante et que $f\in I$ si et seulement si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$.

Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers.

1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*, \sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$.
2. Montrer que, pour tout $s\gt 1,\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{\Lambda(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{1}{n^s}\right)=\sum_{n \in \N^*} \frac{\ln (n)}{n^s}$.
3. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{\ln (p)}{p^s} \underset{s \ra 1+}{=} \frac{1}{s-1}+O(1)$.
4. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{1}{p^s} \underset{s \ra 1^+}{=} \ln \left(\frac{1}{s-1}\right)+O(1)$. Qu'en déduire?

Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractere non trivial $\chi$ sur le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c'est-a-dire un morphisme de groupes non constant $\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n'est pas premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou $\overline{m}$ designe la classe de $m$ modulo $q$).

• Montrer que la serie $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si et seulement si $s\gt 0$. - Montrrer que la fonction $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$.

Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$. Quelle est la limite de $g$ en $0^+$?

C'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. Cela tend vers $\frac{1}{2}f(0)$, en découpant sur un segment, et en utilisant l'uniforme continuité de $f'$.

Pour tout polynome trigonometrique $P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$.

On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynomes trigonometriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-periodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On definit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$.

• Montrrer qu'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que, pour tous $f$, $g\in{\cal T}$,

$\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$.

• Determiner tous les reels $d$ verifiant la condition de la question precedente.
• Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose, pour $k\in{\Z}$, $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$ et, pour tout $d\in{\R}$, $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Determiner les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$.
• Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodiques et $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$.

Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose $f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Ecrire $f(z)$ sous la forme $\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que $c_n=0$.

Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $]-R, R[$ telles que $\forall x \in]-R, R\left[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $]-R, R[$.

Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$.

• Determiner les rayons de convergence de $f$ et $g$.
• Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge.
• Montrrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur ${\C}\setminus\{1\}$, developpable en serie entiere en tout point de ${\C}\setminus\{1\}$.
• Montrrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$. - Montrrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$.
• Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrrer que $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$.
• Soit $h:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrrer que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$.
• Montrrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas developpable en serie entiere en $z_0$.

Soit $\alpha=(\alpha - {i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d'un certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$.

• Determiner, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la serie entiere $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$.

Dans la suite, on note $f$ la somme de cette serie entiere.

• Expliciter $f$ si $\alpha=(-\delta_{i,1})_{i\geq 1}$.
• Pour une somme $g$ de serie entiere sur un intervalle $]-a,a[$ non trivial, on pose $\Delta(g):z\mapsto zg'(z)$. Expliciter $P(\Delta)(g)$ lorsque $g:z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et $P\in\R[X]$.
• Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a un rayon de convergence non nul et donner une methode simple pour trouver une equation differentielle lineaire non triviale a coefficients polynomiaux dont sa somme est solution.
• Resoudre le meme probleme qu'en (d) lorsqu'il existe $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$.
• Justifier que le cadre de la question - s'applique bien a la suite $(u - {n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$.

Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{n!\,(30n)!}{(15n)!\,(10n)!\,(6n)!}$.

• Montrrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier.
• Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum u_nx^n$.
• Trouver une equation differentielle verifiee par la somme de la serie entiere precedente.

Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que $\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$ ?

Cf un précédent

• Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une serie entiere de rayon $R\gt 0$. Montrrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$.

  • Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere de rayon de convergence egal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuite sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$.
  • On admet que le rayon de convergence du developpement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du developpement en serie entiere en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer $M$ en fonction de $f$.

Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\sin x}{x}\,dx$ a l'aide de la transformation de Laplace.

Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$.

1. Si $a \in \R^+$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$.
2. Si $a \in \R^{-*}$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$.

Soit, pour $x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$. Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+, f(x) \leq (a x+b) e^{-x}$.

Pour $x$ reel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$.

• Calculer $J(0)$.
• Montrer que $J$ est de classe $\mc C^{\i}$.
• En estimant $\int_{\frac{\pi}{2}-\eps}^{\frac{\pi}{2}+\eps}\cos(x\sin t)\, dt$ pour un $\eps$ a choisir convenablement en fonction de $x$, etablir que $J(x)=O(x^{-1/2})$ quand $x\to+\i$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g:x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. Montrer que $f\star g$ est derivable et donner une expression de sa derivee.

Soit $f:]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$, on pose

$a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,du$.

• On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$.
• On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_n(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$ et tout $n\in\N^*$.
• Reciproquement, on suppose $f$ de classe $\mc C^2$ et $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. Montrer que $f$ est strictement convexe.

Soit $\mc{S}$ l'ensemble des solutions de l'equation differentielle sur $\R:\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$.

A quelle condition sur $n$ tout element de $\mc{S}$ possede-t-il une limite en $+\i$?

Soit $I$ un (vrai) intervalle de $\R$. Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}\right)$. Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$.

1. Soit $g \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. Montrer que $W_r\left(g f_1, \ldots, g f_r\right)=g^r W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$.
2. On suppose que, pour tout $k \in \llbracket 1, r \rrbracket, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$ ne s'annule pas. Montrer que, pour tout $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$.
3. On suppose que $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est identiquement nul sur $I$ et que $W_{r-1}\left(f_1, \ldots, f_{r-1}\right)$ ne s'annule pas. Montrer que $\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est liée.

On considere l'equation differentielle $(D_{\lambda}):y^{''}+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$, $r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On considere $E_{\lambda}$ l'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$ telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$.

• Quelles sont les dimensions possibles de $E_{\lambda}$?
• Caracteriser le cas $\dim(E_{\lambda})=1$. (On souhaite une condition portant sur $y_{\lambda}$, solution du probleme de Cauchy $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$.)
• Montrer que, a $r$ fixe, les $E_{\lambda}$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1fg$.
• On note $N_{\lambda}$ le nombre de zeros de $y_{\lambda}$ sur $[0,1]$. Pourquoi est-il fini?
• Calculer $N_{\lambda}$ dans le cas $r=0$, $\lambda\gt 0$.
• Dans le cas general, etudier le comportement de $N_{\lambda}$.

Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. On considere l'equation differentielle $(E):x^{''}+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$.

• Soit $x$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que les zeros de $x$ sont isoles.
• On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu'il existe $z$ de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ definisse une bijection de l'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de $y^{''}+q(t)\,y=0$.
• Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considere l'equation differentielle $(E_i)$ : $y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$.
• Soient $q:I\to\R$ continue, et $m,M$ deux reels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle de $y^{''}+q(t)y=0$. Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq\beta-\alpha\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$.# 141

Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application derivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$.

Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-periodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'equation $u^{''}+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$.

Soit $A_0\in\M_n(\R)$ telle que $\text{Sp}(A_0+A_0^T)\subset\R^-$.

On admet l'existence d'une unique fonction $A:\R^+\to\M_n(\R)$ telle que $A(0)=A_0$ et $\forall t\geq 0,\ A'(t)=\left(A(t)\right)^2-\left(A(t)^T\right)^2$. Montrer que la fonction $A$ a une limite en $+\i$ et expliciter cette limite.

Soit $A\in\M_3(\R)$. Decrire le comportement asymptotique en $+\i$ des solutions de l'equation differentielle $X'(t)=AX(t)$.

On considere l'equation differentielle $(1)$: $X'(t)=P(t)X(t)$ ou $P$ est une application continue et periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$.

• Resoudre $(1)$ si $\forall t\in\R,\ P(t)=\left(\begin{array}{cc}1&\cos(t)\\ 0&-1\end{array}\right).$
• On revient au cas general. Soit $T\in\R^{+*}$ une periode de $P$. On note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l'espace des solutions de $(1)$ et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer qu'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$.
• Avec les notations de la question precedente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-periodique.

• Soit $f:(x,y)\ \mapsto\ \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$. Donner le domaine de definition $\Omega$ de $f$. Etudier la continuite et la differentiabilite de $f$.

  • On identifie naturellement $\R^2$ a $\C$. Montrer que, si $(x,y)\in\Omega$, $df_{(x,y)}$ est $\C$-lineaire.

Calculer $\sup_{a,b,c\gt 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b+\left(1-\frac{1}{2b}\right)^c+ \left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$.

Trouver $\sup_{a,b,c\geq 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\left(1-\frac{1}{2b} \right)^c\left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$.

[Rennes sur dossier] Soient $q\in\R^+$, $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Determiner $\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$.

Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$.

Determiner les extrema de $x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$.

Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans $\R, L \in \R^{+*}$.

1. Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$.
2. On suppose que l'application $\nabla f$ est $L$-lipschitzienne.

Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$.

Soit $p\gt 1$. Montrer qu'il existe $K_p\in\R$ tel que, pour tous $x$, $y\in\R$ tels que $|x|^p+|y|^p=2$, on a $(x-y)^2\leq K_p(4-(x+y)^2)$.

Soient $f$ une application de classe $C^1$ de $\R^n$ dans $\R^m$, $x\in\R^n$ telle que $df_x$ soit injective. Montrer qu'il existe un voisinage de $x$ dans $\R^n$ sur lequel $f$ est injective.

On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, de classe $C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$.

On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$.

Géométrie

• Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$ tel que

$\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$.

• Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degre de $T_n\,?$ En deduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$.
• Determiner les triangles du plan euclidien dont les cotes ont des longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels de $\pi$.

Soit $G$ un groupe d'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ contient une translation autre que l'identité de $\R^2$.

Faux pour $G = O_2$.

Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z \mapsto a z+b$ avec $a \in \mathbb{U}$ et $b \in \C$. Soit $G$ un sous-groupe de $S$ vérifiant les conditions suivantes :

• si $g \in G, g(0)$ est nul ou de module supérieur ou égal à 1 ;
• l'ensemble des $b \in \C$ tels que $z \mapsto z+b$ appartienne à $G$ contient deux éléments $\R$ linéairement indépendants.

Montrer que l'ensemble $\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \}$ est fini.

Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s'accumule. On peut supposer qu'elle s'accumule sur $1$, puis on peut borner les $(b_n)$, puis extraire une suite convergence, donc elle est constante à partir d'un certain rang. Donc on a une infinité de $z\mapsto a_n z$, ce qui est impossible.

Soit $L$ la courbe du plan complexe d'equation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$.

• Trouver une equation cartesienne reelle definissant $L$.
• En deduire une parametrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - Montrrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'ecrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$.
• Montrre que $A$ definit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$.
• On definit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ verifie une equation differentielle du second ordre.

Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2$ et on note $\mathrm{Vol}(L)=|\mathrm{det}(e_1,e_2)|$.

• Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d'aire strictement superieure a $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu'il existe deux elements distincts $x$ et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$.
• Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un element $\ell$ tel que $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\mathrm{Vol}(L)}$.
• Soit $p$ un nombre premier congru a $1$ modulo $4$.
• Montrrer qu'il existe $\omega\in\Z$ tel que $p$ divise $1+\omega^2$.
• Montrrer qu'il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $p=a^2+b^2$.

• On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que :

  • pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ dont les cotes sont paralleles aux axes ;
  • les $C_i$ soient d'interieurs disjoints ;
  • $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$.
  • On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que :
  • pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de $\R^2$ ;
  • les $D_i$ soient d'interieurs disjoints ;
  • $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$.

Probabilités

On note $\mc{A}$ l'ensemble des parties de $A$ de $\N$ telles que $\lim_{n\to+\i}\frac{|A\cap[\![1,n]\!]|}{n}$ existe. Est-ce que $\mc{A}$ est une tribu?

On pose, pour toute permutation $\sigma\in S_n$, $d(\sigma)=\sum_{k=1}^n|\sigma(k)-k|$ et on note, pour $p\in\N$, $q_{n,p}=|\{\sigma\in S_n,\ d(\sigma)=p\}|$. Montrer que, si $p\geq 2n$, alors $q_{n,p}$ est pair.

Un derangement est une permutation $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. On note $D_n$ le sous-ensemble de $\mc{S}_n$ forme des derangements.

• Soit $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $D_n$. Calculer la probabilite que $X$ soit une permutation paire.

Indications.

• On donne la formule d'inversion de Pascal : si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites telles que$\forall n\in\N$, $a_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_k$, alors $\forall n\in\N$, $b_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}a_k$.

• On pourra calculer la difference du nombre d'elements pairs et impairs de $D_n$.

  • Soit $Y$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Calculer la probabilite de $(Y\in D_n)$ sachant que $Y$ est paire.

Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l'ensemble des morphismes de groupes de $(\Z / m \Z)^r$ dans $\Z / m \Z$ de la loi uniforme. Donner une expression simple de la probabilité de l'événement «le morphisme $\phi$ est surjectif».

Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois.

Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une piecee truquee donnant pile avec une probabilite egale a $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aleatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$).*

• Trouver un equivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right).$
• Montrer que $\mathbf{P}\left(A_n\geq B_n\right)\geq\frac{1}{2}$.
• Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)?$

On joue a pile ou face avec une piecee pipee : la probabilite de tomber sur pile est $p\lt 1/2$. On effectue plusieurs lancers a la suite. Le score est le nombre de fois ou l'on est tombe sur pile. On gagne le jeu si, au bout de $2n$ lancers, le score est superieur a $n+1$. Trouver $n$ qui maximise la probabilite de gagner le jeu au bout de $2n$ lancers.*

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ?

!!

On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En fait, mieux, $E(X) E(X^2)\geq (\)$

On a $(\sum p_i x_i^2) (\sum p_i)\geq (\sum p_i x_i)^2$, donc $2 \sum p_i \geq 1$, donc $\sum p_i \geq \frac{1}{2}$ : $p_0\leq \frac{1}{2}$.

Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X - {m\geq 0}$ une suite de variables aleatoires a valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour $m\in\N$, $\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$. Montrer que $(X - {m\geq 1}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $\Z/n\Z$.*

Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$ c'est-a-dire le nombre de couples $(i,j)$ avec $i\lt j$ et $\sigma(i)\gt \sigma(j)$.

• Montrer que $P_n=\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}X^{I(\sigma)}=\prod_{k=1}^{n-1}(1+X+ \cdots+X^k)$.
• On pose $f(n)=|\{\sigma\in\mc{S}_n,\,(n+1)$ divise $I(\sigma)\}|$. Exprimer $f(n)$ a l'aide de $P_n$.
• Montrer qu'il existe une infinite de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\lt \frac{(p-1)!}{p}$ et de meme une infinite de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\gt \frac{(p-1)!}{p}$.

Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynomes unitaires de degre $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicites). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$.

Dans tout l'exercice, les variables aléatoires considérées sont supposées réelles, discrètes et à loi de support fini. Pour deux telles variables $X$ et $Y$, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe $f\colon \R \ra \R$.

1. Soient $X$ une variable aléatoire vérifiant les conditions de l'exercice et $f\colon \R \ra \R$ convexe. Montrer que $f(\mathbf{E}(X)) \leq \mathbf{E}(f(X))$.
2. Donner un exemple de couple $(X, Y)$ pour lequel $X \leq_c Y$ mais $X \neq Y$.
3. Montrer que si $X \leq_c Y$ alors $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(X) \leq \mathbf{V}(Y)$.
4. Montrer que $X \leq_c Y$ si et seulement si $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et

$$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mathbf{P}(Y \geq x)\dx.$$

On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \llbracket 1, N \rrbracket$, puis $u_2 \in \llbracket 1, u_1-1 \rrbracket$, et ainsi de suite jusqu'à arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note $E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$.

1. Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$.
2. Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \not\in E_N\right)$.
3. Calculer $\mathbf{E}\left(\left|E_N\right|\right)$ et $\mathbf{V}\left(\left|E_N\right|\right)$.

1. $P(k\in E_{k+1}) = \frac{1}{k}$, puis $P(k\in E_n) = \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\big(P(k\in E_{N-1}) + \dots + P(k\in E_{k+1})\big)$. On trouve $P(k\in E_N) = \frac{1}{k}$.
2. On a $P(2\in E_N \mid 3\in E_N) = \frac{1}{2}$.
3. Semble facile.

Dans tout l'enonce, on fixe un entier $p\geq 1$.

• Developpper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ de nombres reels.
• Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.
• Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq p^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.

• Soit $(a - {k\geq 1}$ une suite reelle telle que $\sum_{k=1}^{+\i}a_k^2=1$. Soient $x\in\R$ et $Y_x=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx)\,X_i$.

Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au moins une valeur inferieure ou egal a $2\pi p^p$.

suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et $a_1,\ldots,a_n$ des reels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$.

• Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$.
• Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$.
• Montrer que si $\sum_{k=1}^na_k^2=1$ alors $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$.
• Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute generalite.

Une variable aleatoire discrete reelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aleatoires discretes reelles non presque surement constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aleatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aleatoire binomiale est-elle decomposable?

• Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$. En deduire une variable aleatoire reelle discrete decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable.
• Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme que $[\![0,n-1]\!]$. Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable.

Soit $p\in\left]0,1/2\right[$. Soit $(X - {k\geq 1}$ une suite de variables de Bernoulli i.i.d. de parametre $p$. On pose $ S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ pour $n\in\N^*$. Determiner la plus grande valeur prise par la suite $(\mathbf{P}(S_{2n}\gt n))_{n\geq 1}$.

On fixe $n\in\N^*$ et on pose $ X=[\![1,n]\!]$. Soient $A$ et $B$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$.

• Determiner la loi, l'esperance et la variance de la variable aleatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$).
• Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$.
• Pour $i\in[\![1,n]\!]$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Determiner la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$.
• Calculer $\mathbf{P}(A\subset B)$. Commenter.

Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considere un echiquier $n\times n$. On calorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilite $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilite pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constite uniquement de cases rouges (il est entendu que les deplacements ne se font pas en diagonale). Que dire de la fonction $Q$?

Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes de loi de Rademacher. On pose $ S_n=X_1+\cdots+X_n$ pour $n\geq 1$.

• Calculer l'esperance du nombre $R$ de retour en zero de la suite $(S - {n\geq 1}$.
• Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la probabilite qu'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est egale a $1$.
• Montrer que l'evenement $(R=+\i)$ est presque sdr.

Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et $(m - {k\in\N}$ une suite de reels positifs de somme 1. On considere un arbre aleatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aleatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aleatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement independantes. On note $X_1$ la variable aleatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caracteriser le fait que la longueur de l'arbre soit presque surement finie.

On construit iterativement et aleatoirement un arbre aleatoire sur l'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aleatoirementun point dans $\llbracket 1,k\rrbracket$ (avec probabilite uniforme) et on rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere independante les uns des autres.

• On note $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre d'aretes partant du point $1$. Determiner l'esperance et la variance de $X_n$.
• On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aleatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Determiner la loi de $S_n$.
• Calculer l'esperance du nombre de feuilles de l'arbre.

Soient $E$ un ensemble fini, $V: E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point $a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout $b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient $b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que $f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, pour tout $n \geq 0$ :

• si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$;
• sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$.

Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins $1 / 2$.

La donnée est celle d'un graphe. Étant donné l'algorithme, on peut retirer des arêtes, de sorte que les voisins de $a$ vérifient $f(b)\lt f(a)$. Auquel cas il n'y a plus de cycles.

Alors on choisit $\sqrt{n}$ sommets du graphe, puis le minimum. On veut montrer la plus longue chaîne décroissante à partir de celui-ci est de longueur $\leq \sqrt{n}$ avec probabilité $\frac{1}{2}$.

On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer que c'est injectif.

Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à un graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$.

Une variable aleatoire reelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\llbracket 1,n\rrbracket}$ i.i.d. et admettant des moment d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante.

On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aleatoires independantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$.

• Quelle relation doivent verifier $a_i$ et $p_i$ pour que $\mathbf{V}(X_i)=1$? Dans toute la suite, on suppose cette relation verifiee et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$.
• Calculer la variance de $n^{-1/2}S_n$.
• Montrer que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))=\prod_{i=1}^n\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tX_i)$.
• En deduire que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$.

On fixe un entier $n\geq 1$. On considere la relation d'ordre partielle $\preccurlyeq$ sur $\R^n$ definie par $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ x_i \leq y_i$. Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque $f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que $x\preccurlyeq y$.

• Donner un exemple de fonction croissante non constante de $\{0,1\}^n$ dans $\R$.
• Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables aleatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$. Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$.

Montrer que $\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big{(}\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_ {n-1},0)+\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_{n-1},1))\Big{)}$. - Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ et $g:\{0,1\}^n\to\R$ croissantes.

Montrer que $\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \,\mathbf{E}(g(X_1,\ldots,X_n))$.

Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilite. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation.

• Soit $I\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer $\mathbf{P}\left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)$.
• Exprimer $N$ avec des indicatrices. Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$.
• Soient $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ et $F\subset\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer $\sum\limits_{I\subset\llbracket 1,n\rrbracket,\ |I|=k}\prod\limits_{i\in I} \mathbf{1}_F(i)$.
• Soit $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Calculer $\mathbf{E}(N(N-1)\cdots(N-k+1))$.
• Soient $X\sim\mc{P}(1)$ et $k\in\N$. Calculer $\mathbf{E}(X(X-1)\cdots(X-k+1))$.
• Calculer $\mathbf{P}(N=0)$.

On considere une suite i.i.d. $(X - {n\geq 1}$ de variables aleatoires suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On definit $(S - {n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$.

a) i) Determiner l'esperance et la variance de $S_n$.

• Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$.
• Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n^{2/3})$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$.
• On considere la variable aleatoire $T_n:\omega\mapsto\min\{k\in\N,\ S_k(\omega)\geq n\}$. Determiner l'ensemble des valeurs prises par $T_n$.
• Soit $k\geq 2$. Montrer que $\mathbf{P}(T_n=k)=\frac{1}{2}\mathbf{P}(T_{n-1}=k-1)+\frac{1}{2} \mathbf{P}(T_{n-2}=k-1)$.
• Calculer l'esperance de $T_n$.

Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et $S = \left\{ \pm e_i, 1 \leq i \leq d\right\}$, où $e_i$ désigne l'élément de $G$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la $i$-ème, égale à $\overline{1}$. Soient enfin $f\colon G \ra \R$ une fonction quelconque et $X$ une variable aléatoire uniformément distribuée sur $G$.

Montrer que $\mathbf{E}(|f(X)-\mathbf{E}(f(X))|) \leq \frac{n d}{2} \max_{s \in S} \mathbf{E}(|f(X)-f(X+s)|)$.

C'est simple : On peut passer d'un somme à un autre en au plus $\frac{n d}{2}$ pas.

X   xens

On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter que $p(n)\leq 2^{n-1}$.

Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ et $X=\{s\in\N;\ 2^s\,|\,n!\}$.

• Montrer que $\max X=n-r$.
• Montrer que le nombre d'entiers $k$ tels que $\binom{n}{k}$ est impair est $2^r$.

${}^{\bigstar}$

• Montrer que l'equation $a^2-2b^2=1$ admet une infinite de solutions $(a,b)\in\N^2$.

Determiner l'ensemble des solutions.

• Que dire de l'ensemble des solutions de $a^2-2b^2=-1$?# 278

Si $G$ est un groupe, les elements d'ordre fini forment-il un sous-groupe?

• Trouver deux groupes $G_1$ et $G_2$ non isomorphes de cardinal $2023=7.17^2$.

  • Soit $p$ premier. Montrer qu'un groupe de cardinal $p^2$ est isomorphe a $\Z/p^2\Z$ ou $\hat{\text{a}}\,(\Z/p\Z)^2$.
  • Soient $G,H$ deux groupes finis et $\psi:G\to H$ un morphisme surjectif.

Montrer que $|G|=|H|\times|\op{Ker}\psi|$.

• On suppose que $G$ est un groupe de cardinal $2023$, que $H=\Z/7\Z$ et que $\phi:G\to H$ est un morphisme surjectif. Montrer que $G$ est isomorphe a $\Z/7\Z\times\op{Ker}\phi$.
• Montrer que tout groupe de cardinal $2023$ est isomorphe a $G_1$ ou $G_2$.

Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans point fixe c'est-a-dire tel que : $\forall x\in G$, $\phi(x)=x\Rightarrow x=1$. On note $n$ l'ordre de $\phi$ ; c'est le plus petit entier $n\in\N^*$ tel que $\phi^n=\op{id}$.

• Montrer que $\forall x\in G$, $x\,\phi(x)\,\phi^2(x)\,\cdots\,\phi^{n-1}(x)=1$.
• Si $n=2$, que peut-on dire du groupe $G$? Donner un exemple.
• Si $n=3$, montrer que, pour tout $x\in G$, $x$ et $\phi(x)$ commutent.

Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des elements de $G$ d'ordre fini.

• En general, $T$ est-il un sous-groupe de $G$?
• Soit $S$ une partie finie de $G$ stable par conjugaison munie d'une relation d'ordre totale $\leq$. Montrer que, pour tous $s_1$,…, $s_r\in S$, il existe $s'_1$,…, $s'_r\in S$ tels que $s'_1\leq s'_2\cdots\leq s'_r$ et $s_1s_2\cdots s_r=s'_1s'_2\cdots s'_r$.
• Avec la question precedente, montrer que, si $T$ est fini, alors $T$ est un sous-groupe de $G$.

• Soit $s:\R^*\to\R^*,t\mapsto t^{-1}$. Determiner le groupe engendre par $s$.

  • On definit les applications $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et

Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe a $\mc{S}_3$.

• Retrouver le resultat de la question precedente en considerant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$.
• Soit $n\geq 3$. Determiner le groupe engendre par les bijections $(s - {1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ definies par $s_i(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},...,t_n)$ si $1\lt i\lt n$, $s_1(t_1,...,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,...,t_n)$ et $s_n(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$.

Ind. Considerer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ definie par $f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$.

Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On note, pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d'elements de $G$ d'ordre $d$.

• Montrer que $n=\sum_{d\mid n}n_d(G)$.
• Calculer les $n_d(G)$ lorsque $G$ est cyclique.
• Montrer que, si pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $|\{x\in G,\ x^d=1\}|\leq d$, alors $G$ est cyclique. - Soient $\mathbb{K}$ un corps et $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$. Montrer que $G$ est cyclique.

On pose $\Q[i]=\{a+ib\;;\ a,b\in\Q\}$.

• Montrver que $\Q[i]$ est un sous-corps de $\C$.
• Determiner les elements de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d'ordre fini.

• Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$. On considere la $\mathbb{K}$-algebre $A$ admettant une base sur $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. A quelle condition cette algebre est-elle un corps?

  • On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p$ ou $p$ est un nombre premier. Combien de $\mathbb{F}_p$-algebres non isomorphes peut-on obtenir ainsi?

Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait $\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ?

Pour tout isomorphisme $\tau\colon A\ra \A$, $u_A$ commute avec $\tau$.

Soit, pour $n\in\N^*$, $P_n=1+X+\cdots+X^{n-1}$.

Montrer que $\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}P_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}{2}\right)$.

• Montrrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$.

  • Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_{n-1}$.
  • Pour $n\geq 1$, donner une relation entre $S_n^{''}$ et $S_{n-1}'$.
  • En deduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_n$.

Soit $n\in\N^*$. Soit $q\in\C$ tel que $0\lt |q|\lt 1$.

On pose $F:z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$.

• Montrver qu'il existe une unique list $(c_0,\ldots,c_n)\in\C^{n+1}$ telle que

$\forall z\in\C^*,\ F(z)=\sum_{k=0}^nc_k(z^k+z^{-k})$.

• Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en deduire une expression de $c_k$ a l'aide d'un produit. Ind. Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$.

Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que $(X+Y)^n$ soit congru a $X^n+Y^n$ modulo $p$.

Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrver qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$.# 292 Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une definition similaire pour les polynomes a une indeterminee.

• Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$.
• Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$.
• Determiner tous les polynomes $P\in\Z[T]$ tels que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$.

Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux a deux distincts. Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. Montrer qu'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise $H-H_i$ pour tout $i\in[\![1,n]\!]$.

• Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu'il existe un entier $F$ tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in[\![1,r]\!]$.

  • Soient $N_1,\ldots,N_r$ des elements de $\C[X]$ premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des elements de $\C[X]$. Montrer qu'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$ pour tout $i\in[\![1,r]\!]$.
  • Soient $f,g$ deux elements de $\C[X]$ premiers entre eux, et $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $h\in\C[X]$ tel que $g$ divise $h^n-f$.

Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irreductible dans $\Z[X]$?

Soit $P\in\Z[X]$ un polynome unitaire dont les racines complexes ont un module inferieur ou egal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unite.

Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n$. On ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$.

• Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$.
• En deduire qu'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$.

On se propose de donner une preuve du theoreme de d'Alembert-Gauss.

• Montrer qu'il suffit de montrer le theoreme pour les polynomes a coefficients reels. Dans la suite, on ecrira le degre d'un polynome non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$.
• Montrer le theoreme dans le cas ou $n=0$.

Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe.

• Soit $P\in\R[X]$ de degre $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet l'existence d'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ est scinde, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixe $c\in\R$, on pose $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$.
• Montrer que le polynome $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients reels. - Montrrer que l'un des $y_{ij}(c)$ est element de $\C$.
• Montrer finalement que l'un des $x_i$ est element de $\C$.

Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$.

• On suppose que $q$ n'est pas une racine de l'unite. Montrer qu'il existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s'il y en a deux alors elles sont opposees l'une de l'autre.
• Montrer que le resultat precedent peut tomber en defaut si l'on ne suppose plus que $q$ n'est pas une racine de l'unite.

Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$. Montrer que $\M$ est une partie libre du $\C$-espace vectoriel $\C^G$.

On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien definie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique a partir d'un certain rang.

Soit $R\in\M_n(\Z)$ non nulle et $M=I_n+3R$. Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, $M^k\neq I_n$.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que $p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$.

On a $u(\Ker p)\subset \Im p$ et $u(\Im p) \subset \Ker p$.

Pour $(A,B)\in\M_n(\R)^2$, on pose $\phi_{A,B}:M\in\M_n(\R)\mapsto AMB$.

Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$.

• L'ensemble $T$ est-il un $\R$-espace vectoriel?
• Montrer que l'espace vectoriel engendre par $T$ est $\mc{L}\left(\M_n(\R)\right)$.

Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $R_P=\det(I_n+(X-1)P)$.

• Calculer $R_P$ en fonction de $P$.
• Soient $P,Q$ des matrices de projecteur dans $\M_n(\mathbb{K})$ telles que $PQ=QP=0$. Montrer que $R_PR_Q=R_{P+Q}$.
• Soit $\phi$ un automorphisme de la $\mathbb{K}$-algebre $\M_n(\mathbb{K})$.
• Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$.
• Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans $\llbracket 1,n\rrbracket$?
• Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Im}\,\phi(E_{i,1})$.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une application $q:V\to\C$ telle que $u^2=q(u)\,\mathrm{id}$ pour tout $u\in V$.

• Monter que, pour tous $u,v\in V$, il existe $B(u,v)\in\C$ tel que $uv+vu=2B(u,v)\,\mathrm{id}_E$.
• Montrer que $B$ est une forme bilineaire. - Soient $d\geq 1$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que $(u_1,\ldots,u_d)$ est libre.
• Soient $d\geq 2$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\llbracket 1,n\rrbracket$. Montrer que les $u_i$ sont de trace nulle, et que $\dim E$ est paire.

Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On suppose que $\phi(I_n)$ est inversible et que $\forall A,B\in\M_n(\C)$, $\phi(AB)=\phi(A)\,\phi(B)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que : $\forall A\in\M_n(\C)$, $\phi(A)=PAP^{-1}$.

• Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ verifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$.

  • Determiner les automorphismes de $\C(X)$ verifiant $(*)$.

Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$.

• Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de $M$ est de module $\leq 1$.
• On note $\mu=\min_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$.
• On suppose que $\mu\gt 0$ et que 1 est valeur propre de multiplicite 1 dans $\chi_M$. Montrer que $(M^p)_{p\geq 1}$ converge vers une matrice de rang $1$ dont toutes les lignes sont egales.
• On se donne trois reels strictement positifs $p,q,r$ tels que $p+q+r=1$. On considere la matrice $B\in\M_n(\R)$ definie par $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $f\in\mc{L}(E)$ cyclique, $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$. Montrer que l'induit par $f$ sur $F$ est cyclique.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$ telles que $ab-ba=fv$.

• Que peut-on dire de $\det(ab-ba)$?
• Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables.
• A quelle condition sur $u\in\mc{L}(E)$ existe-t-il $w\in\mc{L}(E)$ tel que $uw-wv$ soit de rang 1?

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout vecteur $x\in E$, l'ensemble $\{f^n(x),\ n\in\N\}$ est fini.

• Montrer que, si $f\in\mathrm{GL}(E)$, il existe $k\in\N^*$ tel que $f^k=\mathrm{id}$.
• On revient au cas general. Montrer l'existence de $k\in\N^*$ et $p\in\N$ tels que $f^{p+k}=f^p$.

Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associee a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguees dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables.

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$.

1. Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable.
2. Montrer que $E=\op{Im} p+\op{Ker} q+(\op{Im} q \cap \op{Ker} p)$.
3. Montrer que $p \circ q$ est diagonalisable.
4. Montrer que le spectre de $p \circ q$ est inclus dans $[0,1]$.

Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynomes.

• Determiner le degre de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$. - Montrer que $L_n$ est scinde a racines reelles simples $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$. - Montrer qu'il existe des reels $a_1,\ldots,a_n$ tels que

$\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$.

Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $\lN\cdot \rN$ désigne la norme euclidienne canonique. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes.

• $\alpha=2$.
• $\forall n \geq 1, \forall\left(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_n\right) \in\left(S^2\right)^{3 n}, \exists p \in S^2$ tel que

$$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-b_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^\alpha$$

Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ verifiant $B^2=A$?

Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi:\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un extremum.

On considere dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$.

• Soit $K\in\M_{2n}(\R)$ tel que $K^2=-I$. Montrer que $K^TJ\in\mc{S}_{2n}(\R)$ si et seulement si $J=K^TJK$.
• On note $\mc C$ l'ensemble des $K\in\M_{2n}(\R)$ telles que $K^2=-I$ et $K^TJ\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Soit $K\in\mc C$. Montrer que $K+J$ est inversible et que $(K+J)^{-1}(K-J)$ est symetrique.
• Soit $K\in\mc C$. On pose $S=(K+J)^{-1}(K-J)$. Montrer que $SJ+JS=0$.

Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$.

Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$.

• Montrer que $\op{tr}\left(e^Ae^B\right)\gt 0$.
• Montrer que $\op{tr}\left(e^{A+B}\right)\leq\op{tr}\left(e^Ae^ {B}\right)$.

Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels.

1. Montrer que la matrice $A=\left(t_i t_j\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
2. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n$. Montrer que la matrice $B=\left(\min \left(t_i, t_j\right)\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
3. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq 1$. Montrer que $M=B-A \in \mc{S}_n^+(\R)$.

1. $X^T AX = (\sum t_i x_i)^2$
2. $\int \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2$
3. Il s'agit de montrer que $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$, c'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l'intégrale est sur $[0,1]$.

On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note $\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$.

• Montrver que $\|\!|\!|\!|\!|\!|$ definit une norme sur $\M_n(\R)$.
• Montrver que $\|\!|\!|A|\!|\!|=\sup_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$.
• On prend $A=\Big{(}\dfrac{1}{i+j+1}\Big{)}_{0\leq i,j\leq n}$ dans $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X=(x_0\cdots x_n)^T$ et $Y=(y_0\cdots y_n)^T$ dans $\R^{n+1}$, donner une interpretation de $\left\langle AX,Y\right\rangle$ a l'aide d'une integrale faisant intervenir $P:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et $Q:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^ny_ke^{ikt}$.
• En deduire que $\|\!|\!|A|\!|\leq 2\pi$.
• Montrver que l'on a meme $\|\!|A|\!|\!|\leq\pi$.

Analyse

Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par $(0,0)$ est continue.

Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.

1. On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s'écrit comme intersection de carrés fermés.
2. On suppose $K$ non borné et $K \neq \R^2$. Donner des exemples de tels convexes. Montrer que si $K$ contient deux droites, celles-ci sont parallèles.
3. On suppose toujours $K$ non borné. Montrer que $K$ contient une demi-droite.

1. Si $x\not\in K$, on peut trouver une droite séparant $x$ de $K$, donc un carré contenant $K$ et non $x$.
2. Si $K$ contient deux droites non parallèles, $K = \R^2$. La partie au dessus du graphe de $x\mapsto e^x$.
3. Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et prendre une valeur d'adhérence des segments $[y, x_n]$.

Determiner les endomorphismes continus du groupe $\C^*$.

Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On definit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, $\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$.

• Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrver que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$.
• Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite reelle. On suppose que la serie de terme general $|u_n-1|$ converge.

Montrer que la suite de terme general $\prod_{k=0}^nu_k$ converge.

Soit $(M - {n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose que la serie de terme general $\|M_n-I_d\|$ converge. On pose, pour $n\in\N$, $B_n=M_0\times M_1\times\cdots\times M_n$.

• Montrver que la suite $(B - {n\geq 0}$ converge.
• Soit $\sigma$ une permutation de $\N$. Que peut-on dire de la suite de terme general $M_{\sigma(0)}\times\cdots\times M_{\sigma(n)}$?
• Soit $E=\left\{\prod_{k=0}^{+\i}M_{\sigma(k)},\ \sigma\in\mc{S}( \N)\right\}$. Existe-t-il une suite de matrices pour laquelle $E$ n'est pas ferme?
• Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M - {n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes?

On definit la longueur d'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$?

• Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\llbracket 1,p\rrbracket$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$.
• Soit $(I - {n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$?

Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite ferme pour la norme infinie, $C$ la sphere unite pour la norme infinie. On cherche a montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to C$ telle que la restriction de $r$ a $C$ soit l'identite.

• On considere une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetric (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice reelle telle que : $\forall i,j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$,

$f(a_{i,j},a_{i+1,j})+f(a_{i+1,j},a_{i+1,j+1})+f(a_{i+1,j+1},a_{i,j+1})+f(a_{i,j+1},a_{i,j})=0$.

Montrer que :

$\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i,1},a_{i+1,1})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{n,j},a_{n,j+1})+\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i+1,n},a_{i,n})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{1,j+1},a_{1,j})=0$

• Soit $M\in\M_{n+2}(\R)$ une matrice de la forme $\begin{pmatrix}1&1&\cdots&\cdots&1\\ 1&&&&3\\ \vdots&&M'&&\vdots\\ 1&&&&3\\ 1&2&\cdots&\cdots&2\end{pmatrix}$ ou $M'\in\M_n(\R)$

est a coefficients dans $\{1,2,3\}$. Montrer qu'au moins un des petits carres de $M$ comporte trois valeurs differentes.

• Montrer qu'on dispose d'un $\eta\gt 0$ tel que, pour tous $x$, $y\in D$ verifiant $\|x-y\|_{\i}\leq\eta$, on a $\|r(x)-r(y)\|\leq\frac{1}{10}$.
• Soit alors $n\in\N$ tel que $\frac{2}{n-1}\leq\eta$. Pour tous $i$, $j\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on pose

$v_{i,j}=\left(1-2\frac{i-1}{n-1},1-2\frac{j-1}{n-1}\right)$.

Montrer que, pour tous $i$, $j\in\llbracket 1,n-1\rrbracket$, $v_{i,j},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1},v_{i,j+1}$ sont contenus dans une boule de rayon $1/10$.

• En utilisant une fonction bien choisie de $C$ dans $\{1,2,3\}$, aboutir a une contradiction et conclure.
• Utiliser ce resultat pour montrer que toute fonction continue de $D$ dans $D$ admet un point fixe.

On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si

• pour tous $s, t \in \R^+$ distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres distincts,
• pour tous $s, t \in \R^+$ tels que $s\lt t, D_s \subset D_t$.

1. Existe-t-il une telle famille?
2. Soit $A\colon \R^+ \ra \R^2$ une fonction $C^1$ et injective. Existe-t-il une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ vérifiant $(\mc{P})$ telle que, pour tout $t \in \R^+, A(t)$ soit le centre de $D_t$ ?
3. Le résultat subsiste-t-il si $A$ est seulement supposée continue?

1. Cercles de centre $(x,0)$, de rayon $x$.
2. Prendre $D_t$ de rayon la longueur de la courbe de $A(0)$ à $A(t)$.
3. Prendre une fonction non réglée.

Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algebre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algebre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. Jusqu'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$.

• Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$.
• On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$.
• En deduire que $\|a-1\|=2$.
• En deduire que $A=\C$.
• Retrouver le resultat de la question precedente en utilisant des polynomes annulateurs.

Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$.

• Est-ce que $A$ est necessairement egale a $\R$?
• On admet qu'il existe une $\R$-algebre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considere la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallelement a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considere la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien definie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative.
• Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algebre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$.

Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu'il existe un $n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$.

Dérivée discrète.

Pour $n\geq 2$, on note $\ell_n=\min\left\{k\in\llbracket 1,n\rrbracket,\ \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$.

• Montrer que $\ell_n=o(n)$.
• Donner un equivalent de $\ell_n$.

Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives telles que la série de terme général $b_n$ converge, que la série de terme général $n a_n$ diverge et que $\sum_{n=0}^{+\i} a_n=1$.

1. Montrer qu'il existe une unique suite $\left(u_n\right)$ telle que, $\forall n \in \N, u_n=b_n+\sum_{k=0}^n u_k a_{n-k}$.
2. Montrer que $\left(u_n\right)$ est bornée.
3. Montrer que, $\mathrm{si}\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite est 0.

Cf une année précédente.

On considere la suite reelle definie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un reel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$.# 336 Soit $(a - {n\geq 0}$ la suite reelle definie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un equivalent de $a_n$.

Soit $(a - {n\geq 0}$ definie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la serie de terme general $a_n$2?

Soit $\sum u_n$ une serie convergente de reels positifs. Existe-t-il une suite $(v - {n\geq 0}$ de reels positifs tendant vers $+\i$ telle que la serie $\sum u_nv_n$ converge?

Soit $(x_n)$ une suite reelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable pour toute suite reelle $(y_n)$ de carre sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carre sommable.

Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Determiner la nature de la serie $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$.

Etudier la convergence de la serie de terme general $\frac{\sin(\ln n)}{n}$.

On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$.

• Montrer que $u$ converge vers une limite $\ell$.
• Montrer que $\ell=-(\sqrt{2}+1)\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$.
• Montrer que $u_n=\ell+\frac{1}{2n^{1/2}}+O\Big{(}\frac{1}{n^{3/2}}\Big{)}$.
• Montrer que $\ell=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})^2}$.
• Etudier les variations de $u$.
• Determiner un developpement asymptotique semblable a celui de la question - pour la suite de terme general $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$.
• Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un developpement asymptotique a trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$.

Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et $\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature.

La série $\sum \frac{1}{f(n)}$ a la même nature que $\int \frac{1}{f}$. On peut raccorder $f$ de manière $\mc C^1$, puis on pose $u = f(t)$ : $$\int_0^{+\i} \frac{1}{f(t)}\dt = \int_0^{+\i} \frac{1}{u f'(f^{-1}(u))} \du,$$ puis IPP.

• Soit $m\in\N^*$. Montrer que $\sum\limits_{n=1}^{+\i} \frac{\sqrt{m}}{(m+n)\sqrt{n}}\leq \pi$. Ind. : Dans $\R^2$, considérer les points $x_n= (\sqrt{m}, \sqrt{n})$ et l'intersection $r_n$ du cercle $C(0,\sqrt{m})$ avec le segment $[0,x_n]$.
• Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carre sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$.

• Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall(x,y)\in\R^2$, $f(xy)=f(x)\,f(y)$.
• Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall x\neq y\in\R$, $f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$.

Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique?

Easy.

Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $|f'|+|f+1|\leq 1$.

Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum_{p\in\mc{P},\ p\leq x}\ln(p)$. Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$.

Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$.

Soit $(x - {n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t - {n\geq 0}$ d'elements de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$.

Calculer $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt$.

Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivee $n$-ieme de $(X^2-1)^n$.

• Soit $n\in\N^*$. Montrer que $:\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $\int_{-1}^1PL_n=0$.
• Montrer que $L_n$ possede $n$ racines distinctes $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n$ dans $]-1,1[$.
• Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que $:\forall P\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$.

Pour $n\in\N$, on pose $ I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^3$.

• On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$.
• On suppose $n$ multiple de $4$. Montrer que $I_n\gt 0$.
• Montrer, pour tout $n\in\N$, l'egalite

$ I_{2n}=(-1)^n\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^{2n}(x)\,\sin^{2n}(y)\,\sin^{2n}(x+y)\,dx\,dy$.

• Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$.

  • Determiner la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.

Justifier l'existence et calculer $\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}$.

Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$.

1. Montrer que $f(x)\lt \frac{1}{x}$ pour tout $x\gt 0$.
2. Montrer que $f(x)\gt \frac{\sqrt{x^2+4}-x}{2}$ pour tout $x\gt 0$.
3. Donner un développement limité à quatre termes de $f(x)$ quand $x \ra+\i$.

Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v)=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(u-r e^{i \theta}\right)\left(v-r e^{i \theta}\right)}$.

Soit $f\colon\R\to\R^+$ integrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$.

• Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu'il existe un unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$.
• Montrer que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)=\ell$.
• Supposons que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. Montrer que $m\gt M$.

• Soient $a$ et $b$ deux suites reelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f - {m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformement vers une fonction constante.

  • On note $H$ l'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition des fonctions.
  • Soit $f\in H$. Montrer que $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$.

On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi $I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est ferme$\}$ et $S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est ferme$\}$.

Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$.

• Montrer que $C=I\cap S$. - Montrrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est une suite croissante d'applications continues.
• Soit $f\in F$. Montrrer que $f\in I$ si et seulement s'il existe une suite $(f - {n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$.

Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$.

• Rappeler le theoreme d'integration des relations de comparaison.
• Donner un equivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$.
• Determiner le domaine de definition de la fonction $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$.
• Determiner les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de definition.
• Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ telle que $f(x)\sim\dfrac{C}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$.

Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et

$\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n$.

• Montrer que le rayon de convergence de la serie entiere $\sum a_nx^n$ est strictement positif.
• Determiner la valeur de ce rayon de convergence.

Pour $x$ reel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve de convergence.

• Determiner le domaine de definition de $f$.
• Etudier la continuite puis la derivabilite de $f$.
• Donner un equivalent simple de $f$ en $1^-$.
• Montrre que $f$ est developpable en serie entiere, et preciser le developpement associe.

• Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d'une serie entiere. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre reel.

  • Soient $A$ et $B$ deux polynomes a coefficients reels dont toute combinaison lineaire a coefficients reels est scindee ou nulle. Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrre que $[x,y]$ contient au moins une racine de $B$.

Soit $\sum a_nz^n$ une serie entiere de rayon de convergence egal a $1$ et de somme $f$.

On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$.

Montrre que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$.

Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair.

1. Montrer l'existence d'une suite réelle $\left(b_k\right)_{k \geq 0}$ telle que : $\forall x \in \R, \exp (P(x))=\sum_{k=0}^{+\i} b_k x^k$.
2. Montrer que les $b_k$ sont tous non nuls.

2. Quand on dérive successivement $e^P$, on trouve une quantité qui vaut toujours $1$ modulo $2$.

Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$.

• Montrrer que la suite de terme general $(x,q)_n$ converge vers un reel $(x,q)_{\i}\gt 0$.
• Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert de convergence.
• Etablir l'identife $f_{x,q}(z)-f_{x,q}(qz)=(1-x)zf_{x,q,q}(z)$ pour tout $z\in D$.
• Etablir l'identife $f_{x,q}(z)=\frac{1-xz}{1-z}f_{x,q}(qz)$ pour tout $z\in D$.
• Demontrer que $f_{x,q}(z)=\frac{(zx,q)_{\i}}{(z,q)_{\i}}$ pour tout $z\in D$.
• Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Determiner, pour tout $z\in D$, la limite de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$.

• Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big{\{}(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big{\}}$. Trouver un equivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$.

  • On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Trouver un equivalent de $g$ en $1^-$ en utilisant $g^2$.

Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\deg F}$.

• Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrre que la famille $\big{(}|F|^{-s}\big{)}$, indexee par les polynomes $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme, qu'on notera $z(s)$.
• On note $A$ l'ensemble des polynomes unitaires de $F\in\mathbb{F}_p[X]$ sans facteur carre, c'est-a-dire tels que : $\forall D\in\mathbb{F}_p[X]$, $D^2|F\Rightarrow\deg D=0$. Montrre que $\sum_{F\in A}|F|^{-s}=\frac{z(s)}{z(2s)}$.
• En deduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynomes sans facteur carre parmi les polynomes unitaires de degre $d$ de $\mathbb{F}_p[X]$.

Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$.

• Donner un equivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$.
• On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'ecart avec l'equivalent trouve.
• Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$?

• Determiner le domaine de definition de $f:x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$.

  • Montrre, pour tout reel $x\gt 0$, l'egalite $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$.

• Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout reel $x$. - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$

  • Donner une expression simplifiee de $F$.

Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre integrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$.

• Justifier la bonne definition de $S_f$.
• Montrer que $S_f$ est de carre integrable.

Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$.

• Determiner la limite et un equivalent de $I$ en $+\i$.
• Donner un developpement asymptotique de $I$ a tout ordre.
• Donner une condition necessaire et suffisante pour que ce developpement soit la somme partielle d'une serie convergente pour tout $x\gt 0$.

• Soient $K$ un segment et $f:K\to K$ une fonction continue croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.

  • On considere l'equation differentielle non lineaire $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ verifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ reels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possede une solution $2\pi$-periodique.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$. Soit $a\in[0,1]$.

• Justifier qu'il existe une unique fonction $x_a:\R^+\to\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\forall t\in\R^+,\ x'(t)=f(t)-(f(t)+g(t))\,x(t)$ et $x(0)=a$.
• On suppose que $f$ et $g$ ont une limite finie strictement positive en $+\i$. Montrer que $x_a$ tend vers $0$ en $+\i$.
• Montrer que $f$ et $g$ peuvent etre choisies de telle sorte que $x_a$ n'ait pas de limite en $+\i$.
• On suppose que l'une des fonctions $f$ et $g$ n'est pas integrable sur $\R^+$. Montrer que $x_1-x_0$ tend vers $0$ en $+\i$.

Soient $v:\R\to\R$ une fonction continue a support compact et $\omega\in\R^{+*}$. On considere l'equation differentielle $y^{''}+\omega^2y=v(t),$ dont on note $\mc{S}_E$ l'ensemble des solutions.

• Montrer que, pour tout $(a,b)\in\R^2$, il existe une unique solution $f^+_{a,b}$ (resp. $f^-_{a,b}$) de $(E)$ telle que $f^+_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $+\i$, (resp. $f^-_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $-\i$.
• Montrer que $\mc{S}_E=\{f^+_{a,b},(a,b)\in\R^2\}=\{f^-_{a,b},(a,b)\in \R^2\}$.
• On pose $c(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\cos(\omega t)\,dt$ et $s(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\sin(\omega t)\,dt$, et on definit l'application $S_{\omega}:\R^2\to\R^2$ par : $f^-_{a,b}=f^+_{S_{\omega}(a,b)}$ pour tout $(a,b)\in\R^2$. Expliciter l'application $S_{\omega}$ en fonction de $c(\omega)$ et $s(\omega)$.
• On suppose que $S_{\omega}=\mathrm{id}_{\R^2}$ pour tout $\omega\gt 0$. Montrer que $v$ est identiquement nulle.

Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considere l'equation differentielle $(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$.

• Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$.
• Soient $q:\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux reels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle $x$ de $y^{''}+q(t)\,y=0$.
• Montrer que les zeros de $x$ fortner une suite strictement croissante $(t - {n\in\N}$.
• Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tout $n\in\N$.

• Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie, et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $pu+up=u$. Montrer que $\mathrm{tr}(u)=0$.

  • Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit $r\in\llbracket 0,n\rrbracket$. On note $G$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$. Determiner l'espace vectoriel tangent a $G$ en $p$.

On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considere le carre de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ sur ce carre.

• Montrer qu'il existe une disposition des points $A$, $B$ et $C$ maximisant l'aire du triangle $ABC$.
• Caracteriser une telle disposition.

Geometrie

Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimetre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite.

• Calculer $P_n$ et etudier la convergence de la suite $(P - {n\geq 2}$.
• Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$.
• Estimer l'erreur $2\pi-P_n$.
• Proposer une methode d'approximation de $\pi$ par exces.

On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l'unique point tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L'objectif est de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral.

• On note $f,g,h$ les rotations de centres respectifs $A,B,C$ et d'angles de mesures respectives $\frac{2a}{3}$, $\frac{2b}{3}$ et $\frac{2c}{3}$. Montrer que $P$ est l'unique point fixe de $g\circ h$.
• Montrer que $(f^3\circ g^3\circ h^3)(z)=z$ pour tout nombre complexe $z$.
• On note $f:z\mapsto a_1z+b_1$, $g:z\mapsto a_2z+b_2$ et $h:z\mapsto a_3z+b_3$. Experimer $P,Q,R$ en fonction des $a_i$ et des $b_i$.
• Conclure.

Determiner le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $[\![1,n]\!]$.

• Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$.

  • Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste decroissante $(\lambda - {1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes.

Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$.

• On fixe $n\geq 1$ et on considere une variable aleatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in[\![1,n]\!]:X_i=k\}|$.

Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ a preciser.

• Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$.

On considere la suite $(a_n)$ definie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$.

• Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$.
• On lance une piece non truquee. Determiner la loi de la variable aleatoire $X$ qui donne l'instant de premiere apparition du motif Face-Face.
• Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$.
• Donner un equivalent de ${\bf P}(X=n)$.

Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aleatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites.

• Calculer ${\bf P}(N=1)$ et ${\bf P}(N=n)$.
• Donner une formule simple pour la fonction generatrice de $N$.
• Donner un equivalent de ${\bf E}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.
• Donner un equivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.

Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $[\![1,n]\!]$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aleatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$.

• Determiner ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$.
• Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicite de $z$ comme valeur propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$.

Soient $b,n\in{\N}^*$. On considere $(B - {1\leq i\leq n}$ des variables aleatoires independantes suivant la loi uniforme sur $[\![0,b-1]\!]$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in[\![1,n]\!],\ B_i\gt B_{i+1}\}$.

• Pour $i\in[\![1,n-1]\!]$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$.
• Soit $j\in[\![1,n-j-1]\!]$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$. - Pour $I\subset\llbracket 1,n\rrbracket$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ elements a valeurs dans $\llbracket 0,b-1\rrbracket$ qui verifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$.

Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note $s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points $e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note $b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment (ou on dit que deux segments se croisent s'ils ont un point d'intersection qui n'est pas une extremite).

Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Determiner $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en donner un equivalent.

Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : $\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$.

1. Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et enfin que $p \leq \frac{1}{4}$.
2. Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $\Phi_X\colon \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$. Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$.
3. En déduire que $p \leq \frac{1}{4}$ est une condition suffisante.

1. On regarde les probabilités, jusqu'à $n = 3$.
2. $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy.

Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $\llbracket 0,d\rrbracket$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$.

• La variable aleatoire $S_n$ est-elle uniformement distribuee sur $\Z/n\Z$?
• Calculer la loi de $S_n$.

Soient $d\in\N^*$, $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,d\rrbracket$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$.

• Soient $Y$ une variable aleatoire a valeurs dans $\Z$, $r\in\llbracket 0,d-1\rrbracket$, $\omega=e^{2i\pi/n}$.

Montrer que $\mathbf{P}(Y\equiv r\left[d\right])=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\omega^{kr}}\mathbf{E}\left(\omega^{kY}\right).$

• Soit $r\in\llbracket 0,d-1\rrbracket$. Donner une expression de $\mathbf{P}(S_n\equiv r\left[d\right])$.
• Determiner la limite de la suite de terme general $\mathbf{P}(S_n\equiv 0\left[d\right])$.

Soit $n\geq 1$.

• On se donne deux variables aleatoires independantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket^2$. Soit $r\in\Q$. Determiner la probabilite $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit egal a $r$. Donner un equivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$.
• On se donne quatre variables aleatoires independantes $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket^2$. On note $p_n$ la probabilite pour que $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ soient paralleles. Montrer que $p_n=O\Big{(}\frac{\ln n}{n^2}\Big{)}$ quand $n\to+\i$.

Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$.*a)*: Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$.

• Soit $X$ une variable aleatoire reelle centree et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$.
• Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires centrees admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$.

Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. A chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle titee dans l'urne. Soit $X_n$ la variable aleatoire du nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages. Soit $T_n$ l'evenement «tirer une boule jaune au $n^{\text{ieme}}$ tirage».

• Calculer $\mathbf{P}_{T_2}(T_1)$.
• Determiner la loi de $X_n$.
• Calculer $\mathbf{P}(T_n)$.
• Pour $n_1,...,n_p,m_1,...,m_q$ tous distincts, calculer $\mathbf{P}(T_{n_1}\cap...\cap T_{n_p}\cap\overline{T_{m_1}}\cap...\cap \overline{T_{m_q}})$.

Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$.

1. Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un triangle équilatéral.
2. Déterminer un équivalent de $p_n$.

Relier à un précédent.

1. On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes $1$, et autant de différences entre les deux. On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et $B\oplus C$. Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints.

On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilite uniforme. Soit $X_n$ la variable aleatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation aleatoire $\sigma\in\mc{S}_n$.

• Calculer $\mathbf{P}(X_n=0)$.
• Determiner la loi de $X_n$.
• Etudier la convergence en loi de la suite $(X - {n\in\N^*}$.
• Calculer les esperance et variance de la variable aleatoire $X_n$.

Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aleatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$.

• Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible.
• Calculer la probabilite que la matrice $M$ soit inversible et diagonalisable dans $\R$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\N$ verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in[\![0,n]\!]$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$.

• Montrer que, si $(i,j)\in\N^2$, $\mathbf{P}P(X=i,Y=j)=\mathbf{P}(X=i,X-Y=j)$, puis que $X-Y\sim Y$.
• Montrer que $\mathbf{P}(Y=0)\gt 0$.
• On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont independantes. Determiner la loi de $Y$, puis celle de $X$.

Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aleatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilite que $F$ soit bijective.

On cherche a collectionner $N$ jouets. A chaque achat, chaque jouet a une probabilite uniforme d'etre obtenu. Pour $i\in\llbracket 1,N\rrbracket$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents.

• Calculer l'esperance de $T_N$.
• Calculer la variance de $T_N$.
• Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$.

Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles centrees.

On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$.

• Montrer que $\mathbf{E}\left(\left(X_1+\cdots+X_n\right)^4\right)=O(n^2)$.
• Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la serie de terme general $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\gt \eps\right)$?

Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient $S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$.

• Montrer que $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)dx=\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n\frac{1}{n!}$.
• On admet que, pour tout $x\in\R$, $\mathbf{P}(T_n\geq x)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\i}e^{-t^2/2}dt$. Retrouver la formule de Stirling.

Mines

Determiner les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$.

Soient $p$ un nombre premier et $C_p$ l'ensemble des $z\in\C$ tels qu'il existe $n\in\N$ verifiant $z^{p^n}=1$.

• Montrer que $C_p$ est un sous-groupe infini de $\C^*$.
• Determiner les sous-groupes de $C_p$.

Determiner tous les couples $(m,n)\in\N^2$ verifiant : $3^m=8+n^2$.

Nécessairement, $m$ pair, donc cela s'écrit $3^{2m} - n^2 = 8$.

Soient $p,q$ deux entiers superieurs ou egaux a $2$.

• Montrer que si $q^p-1$ est premier, alors $q=2$ et $p$ est premier.
• On suppose que $p$ est premier et l'on note $k\in\N^*$ un diviseur de $2^p-1$. Montrer que : $k\equiv 1\,[2p]$.

Soit $A=\{n\in\N,\ 2^n+1\equiv 0\ [n]\}$.

• Montrer que $3$ est l'unique nombre premier appartenant a $A$.
• Montrer que $A$ contient toutes les puissances entieres de $3$.

• Soit $n\gt 6$ un entier. Montrer qu'il existe un couple $(a,b)\in(\N\setminus\{0,1\})^2$ tel que $a+b=n$ et $a\wedge b=1$.

  • Soit $(p_n)$ la suite croissante des nombres premiers. Montrer que, pour tout $k\geq 3$, $p_1\cdots p_k\geq p_{k+1}+p_{k+2}$. Ind. Utiliser la premiere question avec $n=p_1\cdots p_k$.

On ecrit $n\in\N$ en base $p\in\mc{P}:n=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_kp^k$ et l'on pose $S_p(n)=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_k$.

• Soit $k\in[\![0,n]\!]$. Montrer que : $v_p{n\choose k}=\frac{S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n)}{p-1}$.
• Exprimer $v_p{n\choose k}$ en fonction des retenues dans l'addition de $n-k$ et $k$ en base $p$.
• Est-ce que $7$ divise ${1000\choose 500}$?
• Montrer que $2$ divise ${2n\choose n}$. Etudier la divisibilite par $4$ pour $n\geq 2$.

Soient $G$ un groupe et $k\in\N$.

On suppose que : $\forall i\in[\![k,k+2]\!],\forall(a,b)\in G^2,(ab)^i=a^ib^i$. Montrer que $G$ est abelien.

Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique. Trouver un contre-exemple dans le cas ou $G$ n'est pas commutatif.# 526

• Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Montrer que $H$ est cyclique d'ordre divisant $n$. Soit $d$ un diviseur de $n$. Montrer qu'il existe un unique sous-groupe de $G$ d'ordre $d$.
• On note $\phi$ l'indicatrice d'Euler. Soient $n\in\N^*$ et $D(n)$ l'ensemble des diviseurs positifs de $n$. Montrer l'egalite $n=\sum_{d\in\mc{D}(n)}\phi(d)$.
• Montrer que si $p$, $q\in\N^*$ sont premiers entre eux, alors $\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $\phi(n)$ en fonction de la decomposition en facteurs premiers de $n$.

• Soit $a\in\R$. Montrer que $a\Z=\{ax,\,x\in\Z\}$ est un sous-groupe de $(\R,+)$.

  • Soit $G$ un sous-groupe de $(\R,+)$ non reduit a $\{0\}$.
  • Montrer que $a=\inf\left(G\cap\R^{+*}\right)$ existe.
  • On suppose $a\neq 0$. Montrer que $G=a\Z$.
  • On suppose $a=0$. Montrer que $G$ est dense dans $\R$.

Soit $p$ un nombre premier impair.

• D enombrer les carres de $\mathbb{F}_p$.
• Montrer que $-1$ est un carre de $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p\equiv 1$[4].

Soient $A$ un anneau commutatif integre et $(a_0,\ldots,a_n)$ une famille non nulle d'elements de $A$. Montrer que l'equation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ admet au plus $n$ solutions dans $A$.

On pose $\Z[i]=\{a+ib,\ (a,b)\in\Z^2\}$.

Montrer que $\Z[i]$ est un anneau integre et determiner ses inversibles.

en Soit $A$ un anneau commutatif.

Si $I$ est un ideal de $A$, on note $R(I)=\{x\in A\ ;\ \exists n\in\N,\ x^n\in I\}$.

• Montrer que $R(I)$ est un ideal de $A$ contenant $I$.
• Soient $I$ et $J$ deux ideaux de $A$. Montrer :

$R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ ; $R(I)+R(J)\subset R(I+J)$.

• Pour cette question, $A=\Z$. Montrer que l'ensemble des entiers naturels non nuls tels que $R(n\Z)=n\Z$ est l'ensemble des entiers naturels non nuls dont la decomposition primaire ne comporte aucun facteur premier d'exposant au moins egal a 2.

Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de meme module tels que, pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $\left|\sum_{k=1}^nz_k\right|=\left|\sum_{k=1}^nz_k-z_i\right|$. Calculer $\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)$.

• Montrer qu'il existe une unique suite $(P_n)$ de polynomes a coefficients dans $\Z$ verifiant : $\forall n\in\N,\forall x\in\R^*,P_n\left(x+\frac{1}{x} \right)=x^n+\frac{1}{x^n}$.

  • Soit $a\in\Q$ tel que $\cos(a\pi)\in\Q$. Montrer que : $2\cos(a\pi)\in\Z$.

• Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n\in\R[X]$ tel que$\forall\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[},\ \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin^{2n+1}( \theta)}=P_n(\text{cotan}^2\theta).$

  • Determiner les racines de $P_n$ et calculer leur somme.
  • Montrer que, pour $\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$, $\text{cotan}^2\theta\lt \frac{1}{\theta^2}\lt \text{cotan}^2\theta+1.$
  • Deduire de ce qui precede la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}.$

Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n$. Montrer qu'il existe $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$ tel que $|P(k)|\geq\frac{n!}{2^n}$.

Interpolation de Lagrange.

Soit $P\in\C[X]$.

• A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\C$ sur $\C\,?$
• A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\R$ sur $\R\,?$
• A quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\Q$ sur $\Q\,?$

On pose $B_0=1$ et pour tout $k\in\N^*$, $B_k=\frac{1}{k!}X(X-1)...(X-k+1)$.

• Montrer que pour tout $N\in\N$, la famille $(B_0,...,B_N)$ est une base de $\R_N[X]$.
• Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $P(\N)\subset\Z$ alors $P(\Z)\subset\Z$.
• Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $\exp(2i\pi P(n))\xrightarrow[n\to+\i]{}1$ alors $P(\Z)\subset\Z$.
• Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $P(n)-\lfloor P(n)\rfloor\xrightarrow[n\to+\i]{}1$ alors $P(\Z)\subset\Z$.

Soient $n\in\N^*$ et $k\in\llbracket 0,n-1\rrbracket$. Soit $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in\C[X]$ polynome de degre $n$ tel que $(X-1)^k|P$. On note $\mu(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. On veut montrer que $\mu(P)\geq k+1$. On raisonne par l'absurde et on pose $A=\{i\in\llbracket 0,n\rrbracket,\ a_i\neq 0\}$.

• On pose $P_0=1$ et $P_s=\prod_{j=0}^{s-1}(X-j)$ pour $s\in\N^*$.

Montrer que $\forall s\in\llbracket 0,k-1\rrbracket,\ P^{(s)}(1)=\sum_{i\in A}a_iP_s(i)$.

• En deduire que $\forall i\in A$, $a_i=0$, et conclure.
• L'inegalite demontree est-elle optimale?

• Soit $P\in\R[X]$ simplement scinde sur $\R$ et non constant. Montrer que, si $\lambda\in\R$, $P'-\lambda P$ est simplement scinde sur $\R$.

  • Le resultat de la question precedente s'etend-il a $P^{''}-\lambda P\,?$ Comment le generaliser?

• Soit $P$ un polynome irreductible dans $\Q[X]$. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples.

  • Soient $k\in\N^*$, $P\in\Q[X]$ non constant avec $\deg(P)\leq 2k-1$, $\alpha\in\C$ une racine de $P$ de multiplicite $k$. Montrer que $\alpha$ est rationnel.# 541

  Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ avec : $a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n\gt 0$.

  • Montrer que les racines complexes de $P$ sont de module superieur ou egal a $1$.
  • Soit $z\in\C$ tel que $P(z)=0$. Montrer $\min_{k\in[0,n-1]}\frac{a_k}{a_{k+1}}\leq|z|\leq\max_{k\in[0,n-1] }\frac{a_k}{a_{k+1}}$.

• Soit $P\in\R[X]$ de degre $n\geq 1$. Soit $x\in\R$. On considere la suite $\left(P^{(k)}(x)\right)_{k\in[0,n]}$.

On note $v(x)$ le nombre de changements de signe stricts :

Soit $a\lt b$ tel que $P(a)P(b)\neq 0$. Montrer que si l'on note $\mu(a,b)$ le nombre de racines comptees avec multiplicite sur $[a,b]$ de $P$ comptees avec multiplicite, alors :

$\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $\mu(a,b)\equiv v(a)-v(b)$$[2]$.

• Soit $P=a_0+\cdots+a_nX^n\in\R[X]$ non constant. On pose $V(P)$ le nombre de changements de signe stricts de la suite $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ et $\mu(P)$ le nombre de racines strictement positives comptees avec multiplicite. Montrer que $\mu(P)\leq V(P)$ et $\mu(P)\equiv V(P)$$[2]$.

• Soit $P\in\C[X]\setminus\{0\}$. Decomposer $P'/P$ en elements simples.

  • On note $a_1,...,a_n$ les racines de $P$. Soit $a$ une racine de $P'$. Montrer qu'il existe des reels positifs $t_1,...,t_n$ tels que $t_1+\cdots+t_n=1$ et $t_1a_1+\cdots+t_na_n=a$.

Soit $P\in\R[X]$ un polynome de degre $n\geq 2$, ayant $n$ racines reelles distinctes et non nulles $a_1\lt ...\lt a_n$. Calculer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(a_i)}$ et $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_iP'(a_i)}$.

Soit $P\in\C[X]$ un polynome unitaire de degre $n$. On note $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ses racines comptees avec multiplicite. On suppose que $P$ est a coefficients entiers.

Montrer que, pour tout $q\in\N^*$, $P_q=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^q)$ est a coefficients entiers.

Soit $\mathbb{K}=\Q+\sqrt{2}\Q+\sqrt{3}\Q+\sqrt{6}\Q$. Montrer que $\mathbb{K}$ est un $\Q$-sous-espace vectoriel de $\R$ et que $(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ est une base de $\mathbb{K}$.

Quelle est la dimension du $\Q$-sous-espace de $\R$ engendre par $\mathbb{U}_5$?

Soient $x,y,z$ des rationnels non nuls. Montrer que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}x&y&z\\ 2y&z&2x\\ z&x&2y\end{array}\right)$ est inversible.# 549 Soient $x,y\in\R$ et $D=\begin{vmatrix}1&0&1&0&0\\ x&1&y&1&0\\ x^2&2x&y^2&2y&2\\ x^3&3x^2&y^3&3y^2&6y\\ x^4&4x^3&y^4&4y^3&12y^2\end{vmatrix}$. Montrer que $D=0$ si et seulement si $x=y$.

Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ dont on note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes. Soit $B$ la matrice dont les colonnes sont $C'_1,\ldots,C'_n$ avec : $C'_j=\sum_{i\neq j}C_i$. Determiner $\det B$ en fonction de $\det A$.

• Soient $p\in\N^*$, $a_1,\ldots,a_p\in\R$ non tous nuls et $b_1,\ldots,b_p\in\R$ avec $b_1\lt \cdots\lt b_p$. Montrer que $f_p:x\in\R\mapsto\sum_{i=1}^pa_ie^{b_ix}$ s'annule au plus $p-1$ fois sur $\R$.

  • Soit $n\in\N^*$. Soient $\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_n$ et $\beta_1\lt \cdots\lt \beta_n$ des reels. Montrer que : $\det\big{(}e^{\alpha_i\beta_j}\big{)}_{1\leq i,j\leq n}\gt 0$.

Soit $f\in\mc{L}(E)$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que $\op{rg}f=\op{rg}f^2$ si et seulement si $E=\op{Ker}f\oplus\op{Im}f$.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$.

• Montrer l'equivalence entre les trois proprietes suivantes :

  • $\op{Im}(u)=\op{Im}(u^2)$
  • $\op{Ker}(u)=\op{Ker}(u^2)$
  • $E=\op{Im}(u)\oplus\op{Ker}(u)$.
• Donner des exemples d'endomorphismes verifiant ces proprietes.
• L'equivalence est-elle vraie en dimension infinie? Montrer que $(i)$ et $(ii)$ equivaut a $(iii)$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que $h\in\mc{L}(E)$ est une transvection s'il existe $\phi\in\mc{L}(E,\mathbb{K})$ non nulle et $a\in E$ non nul tels que : $\forall x\in E$, $h(x)=x+\phi(x)a$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que $\op{rg}(u-\op{id})=1$ et $(u-\op{id})^2=0$. Montrer que $u$ est une transvection. La reciproque est-elle vraie?

Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semblables a $A$ appartiennent au commutant de $M$. Determiner $M$. Meme question dans $\M_n(\C)$.

Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non necessairement distinctes) du polynome $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$.

Calculer, pour $n\in\N^*$, le determinant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$.

${}^{\bigstar}$ Soit $n\in\N^*$. Calculer $\det((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n})$.

Ind. On rappelle que, pour $N\in\N^*$, $N=\sum_{d|N}\phi(d)$ ou $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.

Soient $K_1$,…, $K_n$ des segments non triviaux disjoints.

• Montrer que, si $P\in\R_{n-1}[X]$ verifie $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$, alors $P=0$. - Montrer qu'il existe $P\in\R_n[X]$ non nul tel que $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$.

• Determiner le rang de $\,\text{Com}(A)$ en fonction du rang de $A$.

  • Calculer $\,\text{Com}\,\left(\text{Com}(A)\right)$ lorsque $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$.
  • Montrer que si $X$ est un vecteur propre de $A$ associe a une valeur propre non nulle, alors $X$ est un vecteur propre de $\,(\,\text{Com}(A))^T$.

Soit $n\in\N^*$. Soit $D$ l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\mathbb{K})$ telles que $m_{i,j}=0$ si $i$ et $j$ sont de parites differentes.

• Montrer que $D$ est une sous-algebre de $\M_n(\mathbb{K})$.
• Soit $M\in D\cap\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $\,\text{Com}(M)\in D$.
• Traiter le cas ou $M$ n'est pas inversible.

Trouver les solutions dans $\M_2(\R)$ de $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$.

Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AB=0$.

Montrer $\forall k\geq 1$, $\mathrm{tr}(A^k)+\mathrm{tr}(B^k)=\mathrm{tr}\left((A+B)^k\right)$.

• Soit $f\in\mc{L}\left(\M_n(\mathbb{K}),\mathbb{K}\right)$ verifiant : $\forall(A,B)\in\M_n(\mathbb{K})^2,f(AB)=f(BA)$. Montrer que $f$ est proportionnelle a la trace.

  • Soit $g\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ un endomorphisme d'algebre. Montrer que $\mathrm{tr}\circ g=\mathrm{tr}$.

Soit $f\colon\M_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ non constante telle que : $\forall A,B\in\M_n(\mathbb{K})$, $f(AB)=f(A)f(B)$. Montrer que $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\Longleftrightarrow f(A)\neq 0$.

Soient $A,B$ dans $\M_n(\R)$. Montrer que $\mathrm{Ker}\,A=\mathrm{Ker}\,B$ si et seulement s'il existe $P$ inversible telle que $B=PA$.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer l'equivalence entre : i) $u^2=0$ et $\exists v\in\mc{L}(E),\,u\circ v+v\circ u=\mathrm{id}$, ii) $\mathrm{Im}\,u=\mathrm{Ker}\,u$.

Soient $A=\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $N=A-I_n$.

Soit $(E)$ l'equation matricielle $X^2=A$.

• Quelles sont les matrices qui commutent avec $N$? - Montrer que les solutions de $(E)$ sont de la forme $X=\pm\begin{pmatrix}1&a_1&\cdots&a_{n-1}\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a_1\\ 0&\cdots&0&1\end{pmatrix}$.

Montrer qu'il y a au plus deux solutions.

• Rappeler le developpement limite a l'ordre $n$ de $x\mapsto\sqrt{1+x}$. Resoudre $(E)$.

Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente.

• Calculer $\det(A+I_n)$.
• Soit $M\in\M_n(\C)$ telle que $AM=MA$. Calculer $\det(A+M)$. On commencera par le cas ou $M\in\mathrm{GL}_n(\C)$.
• Le resultat est-il toujours vrai si $AM\neq MA$?

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(u,v)\in\mc{L}(E)^2$.

• Montrer que $|\op{rg}(u)-\op{rg}(v)|\leq\op{rg}(u+v) \leq\op{rg}(u)+\op{rg}(v)$.
• Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $G$ et $H$ deux supplementaires de $F$. On note $p$ (resp. $q$) la projection sur $F$ (sur $H$) parallelement a $G$ (a $F$).

Montrer que $\op{rg}(p+q)=\op{rg}p+\op{rg}q$.

Determiner les parties $G$ de $\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ soit un groupe multiplicatif et $G$ ne soit pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.

Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $\sum_{M\in G}\text{Tr}(M)$ est un entier divisible par le cardinal de $G$.

• Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ tel que $\sum_{g\in G}\op{tr}g=0$. Montrer que $\sum_{g\in G}g=0$.

  • Soient $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$ stable par tous les elements de $G$. Montrer que $V$ admet un supplementaire stable par tous les elements de $G$.

Determiner les ideaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes additifs stables par multiplication a gauche et a droite par n'importe quel element de $\M_n(\R)$.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $f$ et $g$ deux elements de $\mc{L}(E)$ tels que $fg-gf=\text{id}_E$.

• Montrer que $E$ est de dimension infinie ou nulle.
• Montrer que $f$ n'est pas nilpotent.
• Donner un exemple de triplet $(E,f,g)$ verifiant les conditions precedentes.

Soit $A\in\M_n(\R)$.

• Montrer que $|\det A|\leq\prod_{i=1}^n\Big{(}\sum_{j=1}^n|A_{i,j}|\Big{)}$.
• Lorsque $\det A\neq 0$, etudier le cas d'egalite.# 576

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une partie $S$ de $\mc{L}(E)$ est dite dense si, pour tout $n\geq 1$, toute famille $(b_1,\ldots,b_n)$ de vecteurs de $E$ et toute famille libre $(a_1,\ldots,a_n)$ de vecteurs de $E$, il existe $f\in S$ tel que $f(a_i)=b_i$ pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$.

• Quelles sont les parties denses de $\mc{L}(E)$ si $E$ est de dimension finie?
• Dans cette question, on suppose que $E$ n'est pas de dimension finie.
• Montrer que $\{f\in\mc{L}(E),\ \mathrm{rg}\,f\lt +\i\}$ est dense dans $\mc{L}(E)$.
• Meme question avec $\{f\in\mc{L}(E);\ \mathrm{rg}\,f$ est fini et pair$\}$.
• Si $S$ est dense dans $\mc{L}(E)$, determiner $\{g\in\mc{L}(E)\ ;\forall f\in S,\ fg=gf\}$.

Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ verifiant : $\forall(i,j,k,\ell)\in\llbracket 1,n\rrbracket^4,M_{i,j}M_{k,\ell}= \delta_{j,k}M_{i,\ell}$.

• Montrer que $\mathrm{Im}\,M_{i,j}$ est independante de $j$. On la notera $F_i$.
• Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^nF_i$.
• En deduire $\dim F_i$.
• Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que : $\forall(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2,M_{i,j}=PE_{i,j}P^{-1}$.
• Expliciter les automorphismes de l'algebre $\M_n(\mathbb{K})$.

Soit $U$ une partie de $\M_n(\C)$ non vide, finie et stable par produit. Montrer qu'il existe $M\in U$ tel que $\mathrm{tr}\,M\in\{0,\ldots,n\}$.

Pour tout $x\in\R$, on pose $A_x=\begin{pmatrix}0&x\\ x&0\end{pmatrix}$. Determiner la structure de l'ensemble : $\{\exp(A_x),\ x\in\R\}$ et expliciter $\exp(A_x)$ pour tout $x\in\R$.

Soit $M\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec $M$ est $\text{Vect}(I_n,M,\ldots,M^{n-1})$.

Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $u^n=\mathrm{id}$. Pour $b\in E$ et $\lambda\in\R$, resoudre $x+\lambda u(x)=b$.

Soit $Z=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\ \vdots&&\vdots\\ 1&\cdots&1\end{pmatrix}\in\M_n(\C)$. Calculer $\chi_{Z^2}$. La matrice $Z$ est-elle diagonalisable?

Soient $n\in\N^*$, $U=(u_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},\ V=(v_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}\in\M_n(\R)$ ou $u_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i\leq n-1$, les autres coefficients etant nuls, $v_{i,j}=1$ si $j\gt i$, les autres coefficients etant nuls.

• Calculer le polynome minimal de $U$.
• Montrer que $U$ et $V$ sont semblables.# 584

Soient $a_1\lt ...\lt a_n$ des reels et $M=\begin{pmatrix}a_1+1&1&\dots&1\\ 1&a_2+1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\dots&1&a_n+1\end{pmatrix}$.

• Determiner le polynome caracteristique de $M$.
• Montrer que $M$ est diagonalisable et que ses espaces propres sont des droites.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$, $a,b\in\R$ et $P=X^2+aX+b$. On suppose que $P$ est irreductible sur $\R$ et annulateur de $u$.

• Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Montrer que $F_x=\op{Vect}(x,u(x))$ est un plan stable par $u$.
• Soient $F$ un sous-espace vectoriel stable par $u$ et $x\in E\setminus F$. Montrer que $F\cap F_x=\{0\}$.
• Montrer que $u$ est diagonalisable par blocs identiques de taille $2\times 2$.

Ecrire l'ensemble des matrices symetriques de $\M_2(\C)$ non diagonalisables comme reunion de deux plans vectoriels prives de leur droite d'intersection.

Soient $a,b$ dans $\R^*$ et $A$ la matrice de taille $2n$ dont la diagonale contient des $a$, l'anti-diagonale des $b$ et les autres coefficients sont nuls.

• La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Determiner ses elements propres.
• A quelle condition $A$ est-elle inversible?
• Calculer $A^k$ pour $k\in\N$.

Soient $A=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 1&0&0&&\vdots\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&0&1\\ 1&\ddots&&&0\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$ dans $\M_n(\R)$.

• Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles et preciser le sous-groupe $G$ de $\op{GL}_n(\R)$ engendre par ces matrices.
• Dans le cas $n=3$, preciser les matrices de $G$ qui sont diagonalisables.

Soit $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $\R[X]$ defini par

$\forall P\in\R[X],\ u(P)=(X^2-1)P^{''}+4XP'$.

• Montrer que le spectre reel de $u$ est l'ensemble $\{n(n+3),\ n\in\N\}$, et que les espaces propres associes sont des droites vectorielles.
• Pour $n\in\N$, on note $P_n$ l'unique polynome unitaire generateur de la droite propre associee a $n(n+3)$. Trouver une relation entre $P_n$, $P_{n-1}$ et $P_{n-2}$ pour $n\geq 2$.

Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$.

• Caracteriser les matrices $A$ telles que $u_A$ soit un automorphisme de $E$.
• Calculer determinant et trace de l'endomorphisme $u_A$.
• Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.

Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$. - Determiner un polynome de degre $2$ annulateur de $f$. - Etudier la diagonalisabilite de $f$.

Soient $(M,N)\in\M_{2n+1}(\C)$. On suppose que $MN=0$ et que $M+M^T$ est inversible. - Montrer que $M$ et $N$ ont un vecteur propre commun. - Montrer que $N+N^T$ n'est pas inversible.

Soient $P\in\M_n(\R)$ une matrice de projection et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto PM-MP$. - L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? - Calculer la trace de $f$.

Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$ diagonalisables. Soit $\Delta$ l'endomorphisme de $\M_n(\mathbb{K})$ defini par $\forall M\in\M_n(\mathbb{K})$, $\Delta(M)=AM+MB$. Montrer que $\Delta$ est diagonalisable et preciser ses valeurs propres.

Soit $\sigma$ une permutation de $[\![1,n]\!]$. Pour $M\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $p(M)=M'$ avec : $\forall(i,j)\in[\![1,n]\!]^2,\,m'_{i,j}=m_{i,j}$ si $i=\sigma(j)$ et $m'_{i,j}=0$ sinon.

• Montrer que $p$ est un projecteur. Determiner son noyau et son image.

Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle. On definit deux applications $\phi$ et $u_A$ par :

$\forall M\in\M_n(\mathbb{K}),\phi(M)=\sum_{k=1}^nm_{\sigma(k),k}$ et $u_A(M)=\phi(M)A+\phi(A)M$.

• Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $\phi(A)\neq 0$.

• L'endomorphisme $u_A$ peut-il etre un projecteur?

Soient $E$ un $\R$-espace de dimension $n$, $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que $f\circ g-g\circ f=f$.

• Montrer que $f$ est nilpotent.
• On suppose que $g$ est diagonalisable et que $\dim(\op{Ker}f)=1$. Determiner $g$.

Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$.

• Montrer que, pour $m\in\N^*$, $AB^m-B^mA=mB^m$.
• En deduire que $B$ est nilpotente.

Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie.

• Montrer que deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ qui commutent ont un vecteur propre en commun.
• Montrer qu'une famille finie $F$ d'endomorphismes de $E$ qui commutent admet une base de trigonalisation commune a ses elements.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$.

• Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ annulateur de $f$ tel que $0$ soit racine simple de $P$.

Montrer que : $E=\op{Im}f\oplus\op{Ker}f$.

On suppose dans la suite que $\mathbb{K}=\C$ et que $E$ est de dimension $n\in\N^*$.

• Soit $g\in\mc{L}(E)$ tel que $fg=0$. Montrer que $f$ et $g$ sont cotrigonalisables.
• Soit $f_1,\dots,f_p\in\mc{L}(E)$ qui commutent. Montrer que $f_1,\dots,f_p$ sont cotrigonalisables.
• Soient $f_1,\dots,f_n\in\mc{L}(E)$ nilpotents qui commutent. Calculer $f_1\circ\dots\circ f_n$.# 600

Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si

$\forall P\in{\C}[X],\ P(A)$ nilpotent $\Rightarrow P(A)=0$.

Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ avec $B$ diagonalisable. On suppose que $AB^3=B^3A$. Montrer que $A$ et $B$ commutent. Generaliser.

Quels sont les $n\in{\N}$ tels qu'existe $A\in{\cal M}_n({\R})$ verifiant $A^3-A^2=I_n$?

Determiner les entiers $n\geq 1$ tels qu'il existe $f\in{\cal L}({\R}^n)$ verifiant $f^3+f^2-{\rm id}=0$ et ${\rm tr}\,f\in{\Q}$.

Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On pose $f_A:M\in{\cal M}_n({\C})\mapsto AMA^T\in{\cal M}_n({\C})$.

• Soit $(X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n)\in({\C}^n)^{2n}$. Montrer que $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(Y_1,\ldots,Y_n)$ sont des bases de ${\C}^n$ si et seulement si $\big{(}X_iY_j^T\big{)}_{1\leq i,j\leq n}$ est une base de ${\cal M}_n({\C})$.
• Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f_A$ est inversible.
• On suppose $A$ diagonalisable. Montrer que $f_A$ est diagonalisable.
• Soit $\lambda\in{\C}^*$ une valeur propre de $A$ et $Y$ un vecteur propre associe. Montrer que le sous-espace vectoriel $F=\big{\{}XY^T,\ X\in{\C}^n\big{\}}$ est stable par $f_A$.
• Montrer que si $f_A$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.

Soit $p$ une permutation de $[\![1,n]\!]^2$. On considere l'application $u:{\cal M}_n({\C})\to{\cal M}_n({\C})$ definie par $:u(A)=(A_{p(i,j)})_{(i,j)\in[\![1,n]\!]^2}$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n({\C})$. Est-il diagonalisable?

• Soient $A,B,C,D\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $CD=DC$.

Montrer que $\det\left(\begin{array}{cc}A&B\\ C&D\end{array}\right)=\det(AD-BC)$.

• Soient $A\in{\rm GL}_n({\C})$, $B,C\in{\cal M}_n({\C})$ et $\lambda\in{\C}$. Montrer l'equivalence des enonces suivants :

1. $\lambda$ est valeur propre de la matrice $\left(\begin{array}{cc}0&A^{-1}C\\ I_n&A^{-1}B\end{array}\right)$,

ii) il existe $x\in{\C}^n\setminus\{0\}$ tel que la fonction $t\mapsto e^{\lambda t}x$ soit solution de $Ay^{''}-By'-Cy=0$.

Donner une base de ${\cal M}_n({\R})$ constituee de matrices diagonalisables.

Soient $E$ un ${\C}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in{\cal L}(E)$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable et ${\rm Ker}(f)={\rm Ker}(f^2)$.

Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$.

Montrer que $A^2=A$ si et seulement si ${\rm rg}\,A\leq{\rm tr}\,A$ et ${\rm rg}(I_n-A)\leq{\rm tr}(I_n-A)$.

Soit $A\in{\cal M}_2({\R})$ telle qu'il existe $n\in{\N}^*$ tel que $A^{2^n}=I_2$.

Montrer que $A^2=I_2$ ou qu'il existe $k\in{\N}^*$ tel que $A^{2^k}=-I_2$.

Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de ${\C}^n$. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes :[MISSING_PAGE_FAIL:1]# 621 Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit diagonalisable?

Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit trigonalisable?

Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\cal M}_n(\C)$ defini par

$\forall T\in{\cal M}_n(\C),\ u(T)=AT-TB$.

• Soit $\alpha\in\C$ (resp. $\beta\in\C$) une valeur propre de $A$ (resp. $B$). Montrer que $\alpha-\beta$ est valeur propre de $u$.
• Soient $\lambda\in\C$ une valeur propre de $u$, et $T\in{\cal M}_n(\C)$ un vecteur propre associe.

Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$.

• Montrer qu'il existe $\alpha\in\mbox{Sp}(A)$ et $\beta\in\mbox{Sp}(B)$ telles que $\lambda=\alpha-\beta$.
• En deduire une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $T\in{\cal M}_n(\C)$ non nulle telle que $AT=TB$.

• Pour quels $\lambda\in\C$ existe-t-il $(A,B)\in\mbox{GL}_n(\C)^2$ tel que $AB=\lambda BA$?

  • Pour quels $\lambda\in\C$ est-il vrai que, pour tout $(A,B)\in\mbox{GL}_n(\C)^2$ tel que $AB=\lambda BA$, les matrices $A$ et $B$ sont diagonalisables?

On note $\mathbb{B}$ l'ensemble des suites bornees de $(\C)^{\Z}$.

On s'interesse a l'endomorphisme $T\in{\cal L}(\mathbb{B})$ qui a $(u_n)$ associe $(u_{n+1})$.

• Determiner les valeurs et les vecteurs propres de $T$.
• Soit $S\subset\mathbb{B}$ un sous-espace de dimension finie de $\mathbb{B}$ stable par $T$. On note $\widetilde{T}$ l'endomorphisme induit par $T$ sur $S$. Montrer que l'on dispose de $(\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\in\C^r$ distincts tels que

$$S=\bigoplus_{i=1}^r\mbox{Ker}\left(\widetilde{T}-\lambda_i\mbox{id}\right)$$

• Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $e^A$ est diagonalisable. Que se passe-t-il sur $\R$?

  • Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Resoudre l'equation $e^M=A$.

Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$, $v_1,\ldots,v_{n+2}$ des vecteurs de $E$. Montrer qu'on ne peut avoir : $\forall i\neq j,\ \langle v_i,v_j\rangle\lt 0$.

Soient $(E,\langle\,\rangle)$ un espace euclidien, $c_1,c_2\in E$, $r_1,r_2\in\R^{+*}$.

• A quelle condition les boules fermees $B_f(c_1,r_1)$ et $B_f(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles?
• A quelle condition les spheres $S(c_1,r_1)$ et $S(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles?

Soient $E$ un espace prehilbertien reel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\forall x\in E,\ \|x\|^2=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormalee de $E$. Le resultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus la famille libre, mais seulement constituee de vecteurs non nuls?# 630 Soient $E$ un espace euclidien, $A$ une partie de $E$ et $B=\left\{\left\langle x,y\right\rangle;\;(x,y)\in A^2\right\}$. Montrer que $A$ est fini si et seulement si $B$ est fini.

Soient $E$ un espace euclidien, $A$ et $B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux. Montrer que les symetries orthogonales par rapport a $A$ et par rapport a $B$ commutent et que leur composee est la symetrie orthogonale par rapport a $(A+B)^{\perp}$.

Soient $(E,\left\langle\;,\;\right\rangle)$ un espace euclidien et $a\in E\setminus\{0\}$.

Pour $\lambda\in\R$, soit $\Phi_{\lambda}:x\mapsto x-\lambda\left\langle a,x\right\rangle a$.

• Determiner les $\lambda$ pour lesquels $\Phi_{\lambda}$ est inversible.
• Si $\lambda,\mu\in\R$, calculer $\Phi_{\lambda}\circ\Phi_{\mu}$.
• Soit $\lambda\in\R$. Determiner les elements propres de $\Phi_{\lambda}$.

Soit $E$ un espace euclidien.

• Trouver les endomorphismes $f$ de $E$ tels que :

$\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f(y)\right\rangle=0$.

• Pour un tel $f$, discuter de la nature de la suite de terme general $ u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f^k$.

• Enoncer le theoreme de reduction pour une matrice de $\text{SO}_3(\R)$.

  • Montrer que deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ qui ont meme axe commutent.
  • Montrer que deux demi-tours de $\text{SO}_3(\R)$ d'axes orthogonaux commutent.
  • Montrer que si deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ commutent, alors on est dans l'un des deux cas precedents.

Soient $a,b,c\in\R$ et $A(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix}$.

• Montrer que $A(a,b,c)$ est dans $\text{SO}_3(\R)$ si et seulement si $a,b,c$ sont les racines d'un polynome $X^3-X^2+t$ ou $t$ appartient a un intervalle $I$ que l'on determinera.
• Soit $a,b,c\in\R$. Determiner une droite et un plan stables par $A(a,b,c)$.
• Si $A(a,b,c)\in\text{SO}_3(\R)$, caracteriser l'endomorphisme canoniquement associe.

On travaille dans l'espace $E=\R[X]$. Pour $P$ et $Q$ dans $E$, on pose

$\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$.

• Montrer que $\Phi$ est correctement definie et munit l'espace $E$ d'un produit scalaire.
• Calculer $\Phi(X^p,X^q)$ pour $p,q\in\N$.
• Calculer l'orthonormalisee de Gram-Schmidt de la famille $(1,X,X^2)$.
• Calculer la distance de $X^3$ a $\R_2[X]$.

Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left(P(x)+x^n\right)^ {2}\,dx\geq(n!)^2$.

Soit $E=\R_3[X]$. - Montrer que l'application $\phi:(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$ d$\!$efinit un produit scalaire sur $E$, - Determiner $\inf_{(a,b,c)\in\R^3}\int_{-1}^1(t^3-at^2-bt-c)^2 dt$.

Calculer le minimum de la fonction $f:(x,y)\in\R^2\mapsto\int_0^1(t\ln(t)-xt-y)^2dt$.

On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\llbracket 0,n\rrbracket$. On munit egalement $\R_n[X]$ du produit scalaire d$\!$efini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$.

• Montrer que $(Q_0,\ldots,Q_n)$ est une base orthogonale de $\R_n[X]$.
• On fixe $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des elements de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est egal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$.
• Trouver $R_k\in\mc{F}_{k,n}\cap\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}^{\perp}$, et calculer $\int_0^1R_k(t)^2\,dt$. Interpreter le resultat.

Soient $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites reelles et $D:u\in E\longmapsto(u_{n+1}-u - {n\in\N}$.

• Verifier que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? Surjectif?
• Donner les elements propres de l'endomorphisme $D$.
• Soit $F$ l'espace des suites reelles de carre sommable.

Montrer que $F$ est stable par l'endomorphisme $D$.

• On munit $F$ de son produit scalaire $\langle\,\ \rangle$ usuel.

Decrire l'ensemble $H=\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2},\ u\in F\setminus\{(0)_{n\in \N}\}\right\}.$

Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$, $p,q\in\mc{L}(E)$ des projecteurs orthogonaux.

• Verifier que $\op{Im}p$ est stable par $pq$ et que l'endomorphisme induit est symetrique.
• Montrer que $\op{Ker}(pq)=\op{Ker}q\oplus(\op{Im}(q)\cap \op{Ker}(p))$.
• Montrer que $E$ est somme directe orthogonale de $(\op{Im}p+\op{Ker}q)$ et de $(\op{Ker}p\cap\op{Im}q)$.
• En deduire que $pq$ est diagonalisable.
• Montrer que le spectre de $pq$ est inclus dans $[0,1]$.

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$. Montrer que $q\circ p$ est un projecteur si et seulement si $p$ et $q$ commutent.

On munit $E=\R^n$ munit du produit scalaire usuel. Soit $A\in\M_n(\R)$.

• Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $A$. Montrer que $F^{\perp}$ est stable par $A^T$.
• On suppose $A\in\M_3(\R)$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que $A$ est diagonalisable ou $A$ est semblable a une matrice de la forme $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&\alpha&-\beta\\ 0&\beta&\alpha\end{pmatrix}$ avec $\beta\neq 0$.# 645
• Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\cal O}_n(\R)$?
• Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\rm SO}_n(\R)$?

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $4$. Trouver les endomorphismes $f\neq 0$ de $E$ tels que ${\rm tr}(f)=0,\ f+f^4=0$ et $f^*=-f^2$.

Soit $M\in{\cal O}_n(\R)$. Pour $k\in\N^*$, on pose $C_k=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^kM^j$. Etudier la convergence de la suite $(C - {k\in\N}$.

Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice definie par blocs : $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $B$ est inversible de taille $p$. Montrer que $p$ est pair.

Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux antisymetriques de taille au plus $2\times 2$.

Soient $A,M,N\in{\cal M}_n(\R)$.

• Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont diagonalisables.
• Montrer que $MN$ et $NM$ ont les memes valeurs propres et que, pour toute valeur propre non nulle, les sous-espaces propres associes sont de meme dimension.
• Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont les memes valeurs propres avec les memes multiplicites.
• Montrer qu'il existe $U\in{\cal O}_n(\R)$ telle que : $A^TA=UAA^TU^{-1}$.

Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$ telles que $A^TA=B^TB$. Montrer qu'il existe $Q\in{\cal O}_n(\R)$ telle que $B=QA$.

Soit $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $A^2=AA^T$. Montrer que $A\in{\cal S}_n(\R)$.

Soit $M\in{\cal M}_n(\R)$ nilpotente telle que : $M^TM=MM^T$. Determiner $M^TM$ puis $M$.

Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal S}_n^+(\R)$.

• Montrer que $\det(A)\geq 0$.
• Pour $p\in[\![1,n]\!]$, on pose $A_p=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq p}$. Montrer que $\det(A_p)\geq 0$.

Soit $A\in{\cal S}_n(\R)$. On suppose que la suite $(A^k)_{k\geq 1}$ converge vers $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|b_{i,j}|\leq n\sqrt{{\rm rg}\,B}$.

Soit $A=(a_{i,j})\in{\cal O}_n(\R)$. Montrer que $\left|\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\right|\leq n\leq\sum_{1 \leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$.# 657 Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left(\sum_{i=1}^na_{i,i}\right)^2\leq\text{rg}(A)\sum_{i=1}^n\sum_{ j=1}^na_{i,j}^2$.

Soit $S\in\mc{S}_n^+(\R)$. Calculer $\max\{\text{tr}(OS)\;;\;O\in\mc{O}_n(\R)\}$.

Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E)$) l'ensemble des endomorphismes antisymetriques (resp. symetriques, orthogonaux) de $E$.

• Soit $u\in\mc{L}(E)$. Montrer que l'ensemble $T=\{\op{tr}(uv)\,;\,v\in\mc{O}(E)\}$ est majore.
• Montrer que si $u\in\mc{A}(E)$ alors pour tout $t\in\R$, $\exp(tu)\in\mc{O}(E)$.
• On suppose que $\sup T$ est atteint en $v=\op{id}$. Montrer que $u\in\mc{S}^+(E)$.
• Etudier la reciproque.

Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$prises avec multiplicite. Montrer que $A$ est diagonale.

• Soit $x\in\R^n$ tel que $\sum_{i=1}^nx_i=0$. Montrer que $|x_j|\leq\left(\frac{n-1}{n}\right)^{1/2}\|x\|_2$ pour tout $j\in\llbracket 1,n\rrbracket$.

  • Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $\lambda$ une valeur propre de $A$.

Montrer que $\left|\lambda-\frac{\op{tr}A}{n}\right|\leq\left(\frac{n-1}{n} \right)^{1/2}\left(\sqrt{\|A\|_2^2-\frac{(\op{tr}A)^2}{n}} \right).$

Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $(a,b)\in\R^2$ tels que $:\forall X\in\R^n,a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b \|X\|^2$. Soit $P\in\R[X]$ tel que $:\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. Montrer que $P(A)\in\mc{S}_n^{++}(\R)$.

• Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice antisymetrique reelle. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures.

  • Montrer que $(I_n+A)(I_n-A)^{-1}\in\mc{O}_n(\R)$.
  • Soit $Q\in\op{SO}_2(\R)$. Resoudre l'equation $(I_2+A)(I_2-A)^{-1}=Q$, d'inconnue une matrice antisymetrique $A\in\M_2(\R)$.

Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mc{S}_n^+(\R)$.

• Montrer qu'il existe $C\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ telle que $C^2=A^{-1}$.
• On pose $D=CBC$. Montrer que $\det(I_n+D)^{1/n}\geq 1+\det(D)^{1/n}$.
• En deduire que $\det(A+B)^{1/n}\geq\det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}$.
• Est-ce encore vrai si $A,B\in\mc{S}_n^+(\R)$?

Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $A$ appartient a $\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si, pour toute matrice $B\in\mc{S}_n^+(\R)$, on a $\op{tr}(AB)\geq 0$.

On considere la forme quadratique $q:(x,y,z)\in\R^3\mapsto(x+z)^2+2xy+4yz$.

• Determiner $a,b,c$ tels que $q(x,y,z)=a(x+y+z)^2+b(y-z)^2+cz^2$.
• La forme quadratique $q$ est-elle definie positive?
• Trouver les plans de $\R^3$ sur lesquels la restriction de $q$ est definie positive._Analyse_

Soient $E$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie de $E$. On considere l'ensemble des parties que l'on peut obtenir en appliquant successivement des passages a l'interieur ou a l'adherence a partir de $A$.

• Montrer qu'il y en a au plus $7$.
• Donner une partie $A$ telle qu'il y en ait exactement $7$.

Soient $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie non vide de $E$.

Soit $f:x\in E\mapsto d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$.

• Montrer que $f$ est 1-lipschitzienne.
• Montrer que $A$ est ferme si et seulement si $A=f^{-1}(\{0\})$.
• Montrer que tout ferme de $E$ est intersection decroissante d'ouverts.
• Montrer que tout ouvert est union croissante de fermes.

Soient $E$ un espace vectoriel norme et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie.

• Montrer que : $\forall x\in E,\exists y\in F,d(x,F)=\|y-x\|$.
• On suppose que $F\neq E$. Montrer qu'il existe $u\in E$ tel que $d(u,F)=\|u\|=1$.
• En deduire que $B_f(0,1)$ est compact si et seulement si $E$ est de dimension finie.

Determiner les sous-groupes compacts de $\C^*$.

Soit $f\in\mc{L}(\R^n,\R^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si l'image de tout ouvert par $f$ est un ouvert.

• Soient $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R$ et $N$ une norme sur $\R^n$. Montrer l'equivalence entre :

(i) $|f(x)|\ra+\i$ lorsque $N(x)\ra+\i$ ;

(ii) l'image reciproque de tout compact par $f$ est un compact.

• Soit $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R^n$. On suppose que l'image reciproque de tout compact par $f$ est un compact. Montrer que l'image directe de tout ferme par $f$ est un ferme.
• La reciproque du resultat precedent est-elle vraie?

On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$.

Si $f\in E$, on pose $u(f)=\sum_{k=1}^{+\i}\left(-\frac{1}{2}\right)^kf\left( \frac{1}{k}\right).\in\R$.

• Montrer que $u$ est bien definie sur $E$.
• Montrer que $u$ est continue sur $E$ et determiner sa norme subordonnee.

Soient $L^1(\R)$ l'espace vectoriel des suites sommables et $N:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\lvert x_n\rvert$.

• Montrer que $N$ est une norme.
• Soit $A$ l'ensemble des suites de $L^1(\R)$ nulle a partir d'un certain rang. Donner l'adherence et l'interieur de $A$. Ind. Remarquer que $A$ est dense dans $L^1(\R)$.# 675

On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.

Soit $D=\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^+)^n\,;\,\sum x_i^2\lt 1,\, \sum x_i\gt 1\right\}$. Soit $f:D\to\R$ telle que $\forall x,y\in D,|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$. Que dire de $f\,?$

Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme reel, $p\in\N^*$, $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$,.

• Montrer que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre si et seulement si

$\inf\left\{\left\|\sum_{i=1}^p\lambda_ix_i\right\|\ ;\ (\lambda_1, \ldots\lambda_p)\in\R^p\right\}\gt 0$.

• En deduire que l'ensemble des $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$ tels que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre est un ouvert de $E^p$. Retrouver ce resultat plus simplement si $E$ est de dimension finie.

Soient $n\geq 2$, $K$ un compact de $\R^n$ et $\eps\gt 0$. Une partie $A\subset K$ est $\eps$-separee si, pour tous $x$, $y\in A$ tel que $\|x-y\|\lt \eps$, on a $x=y$.

• Montrer qu'il existe un entier $M(\eps)$ tel que toute partie $\eps$-separee de $K$ est de cardinal inferieur a $M(\eps)$ et il existe une partie $\eps$-separee de $K$ de cardinal $M(\eps)$.
• Soit $f:K\to K$. On suppose que, pour tous $x$, $y\in K$, $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$. Montrer que $f$ est surjective.

Soient $n\geq 2$ et $f\colon\R^n\to\R$ continue telle que, pour tout $a\in\R$, $f^{-1}(\{a\})$ est compact. Montrer que $f$ admet un extremum global. Que se passe-t-il si $n=1\,?$

Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme reel de dimension finie, $k\in]0,1[$, $f$ une application $k$-lipschitzienne de $E$ dans $E$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.

Soit $E=\mc C^0([-1,1],\R)$ muni de la norme de la convergence uniforme. Pour $f\in E$ on pose $\phi(f)=\int_0^1f(t)\,dt-\int_{-1}^0f(t)\,dt$.

• Montrer que $\phi$ est une forme lineaire continue sur $E$ et calculer $\|\phi\|$.
• Existe-t-il $f$ unitaire telle que $|\phi(f)|=\|f\|\,?$

On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $[-1,1]$ vers $\R$ continues par morceaux, muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg$ et de la norme euclidienne associee $\|\ \|$.

On dit qu'une suite $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement (resp. faiblement) vers $f\in E$ si $\|f_n-f\|\to 0$ (resp. $\langle f_n,\phi\rangle\to\langle f,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in C^1([-1,1],\R)$).

• Montrer que la convergence uniforme implique la convergence forte. La reciproque estelle vraie?
• Montrer que la convergence forte implique la convergence faible.
• Soit $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ convergent faiblement vers $f\in C^1([-1,1],\R)$ et verifiant de plus $\|f_n\|\to\|f\|$. Montrer qu'alors $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement vers $f$.
• Soit $(\phi - {n\geq 0}\in C^1([-1,1],\R)^{\N}$ convergeant uniformement vers $\phi$ et telle que $(\phi_n')_{n\geq 0}$ converge uniformement. Soit par ailleurs $(f - {n\geq 0}\in E^{\N}$ bornee et convergeant faiblement vers $f$. Montrer qu'alors $\langle f_n,\phi_n\rangle\to\langle f,\phi\rangle$.
• On pose $f_n(x)=\sin(nx)$ pour $n\geq 0$ et $x\in[-1,1]$. - Montrrer que $(f - {n\geq 0}$ converge faiblement vers la fonction nulle. - La suite $(f - {n\geq 0}$ converge-t-elle fortement?

Soient $a_1\lt \cdots\lt a_p$ des reels et $P=\prod_{i=1}^p(X-a_i)$.

On pose : $E=\Big{\{}M\in\M_n(\R),\ P(M)=0\Big{\}}$.

• Soit $M\in E$. Determiner les valeurs possibles de $\op{tr}M$.
• Determiner les matrices $M\in E$ verifiant $\op{tr}M=na_1$.
• Montrer que la matrice $a_1I_n$ est isolee dans $E$.
• La matrice $\op{Diag}(a_2,a_1,\ldots,a_1)$ est-elle isolee?
• Generaliser.

• Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n\in\N^*$. Montrer que $P$ est scinde sur $\R$ si et seulement si : $\forall z\in\C$, $|P(z)|\geq|\text{Im}(z)|^n$.

  • Montrer que l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ trigonalisables est ferme.
  • Quelle est l'adherence de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$?

Soient $n\geq 2$ et $r\in[1,n-1]$. L'ensemble $\mc{E}$ des matrices carrees de taille $n$ et de rang $r$ est-il ouvert? ferme? Determiner l'interieur et l'adherence de $\mc{E}$.

On munit l'espace $E=\mc C^0([0,1],\R)$ du produit scalaire usuel defini par

$\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)\,dt$ et de la norme associee $\|\quad\|_2$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ tel qu'il existe une constante $C\in\R$ telle que $\forall f\in F,\|f\|_{\i}\leq C\|f\|_2$.

• Montrer que $F\neq E$.
• Soit $(f_1,\ldots,f_n)$ une famille orthonormale de $F$.

Montrer que $\forall a_1,\ldots,a_n\in\R$, $\left|\sum_{i=1}^na_if_i\right|\leq C\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}$.

• En deduire que $F$ est de dimension finie majoree par $C^2$.

Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si l'ensemble $\{PAP^{-1},\ P\in\op{GL}_n(\C)\}$ est ferme.

Soit $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$. Montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes de $\M_n(\mathbb{K})$ est connexe par arcs.

Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$.

• L'ensemble $\mc{D}$ est-il un sous-espace vectoriel?
• Quel est le sous-espace vectoriel engendre par $\mc{D}$? par $\M_n(\R)\setminus\mc{D}$?
• L'ensemble $\mc{D}$ est il ouvert? ferme?

On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algebre.

• Soit $A\in E$. Etudier la convergence de la serie $\sum A^k$ si $\|A\|\lt 1$.

Cette condition est-elle necessaire pour que la serie soit convergente?

• Pour tout $k\in\N^*$, on pose $U_k=\left(I_n+\frac{A}{k}\right)^k$. Etudier la convergence et la limite de la suite $(U_k)$.

Lorsque $J$ est un intervalle de $\R$, on pose $S_n(J)=\{M\in\mc{S}_n(\R)\,\ \ \mathrm{Sp}(M)\subset J\}$.

• Soit $I$ un intervalle de $\R$. Montrer que $S_n(I)$ est convexe.
• Montrer que $S_n(\overline{I})=\overline{S_n(I)}$.

• Montrer que $\mathrm{SL}_n(\R)$ est un ferme non compact de $\M_n(\R)$.

  • Montrer que $\mathrm{SO}_n(\R)$ est connexe par arcs.
  • Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(O,S)\in\mc{O}_n(\R)\times S_n^{++}(\R)$ tel que $M=OS$.
  • En deduire que $\mathrm{SL}_n(\R)$ et $\mathrm{GL}_n^+(\R)$ sont connexes par arcs.

Determiner la limite de la suite de terme general $ u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{n-k}{n}\right)^n$.

On pose $ u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)^k$ pour tout $n\geq 1$.

• Montrer que la suite $(u - {n\geq 1}$ est divergente.
• Donner un equivalent de $u_n$ quand $n\to+\i$.

Soit $ f:[0,2]\to\R$ une fonction $C^1$. On pose $ u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$ pour $n\geq 1$.

Etudier la convergence de la suite $(u - {n\geq 1}$.

Pour $n\in\N^*$, on pose $ u_n=\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{\sqrt{k}}{n}\right)$. Determiner un equivalent de $u_n$.

Soit $\mc{B}$ le sous-espace de $\C^{\Z}$ forme des suites $(u - {n\in\Z}$ bornees. Soit $T$ l'endomorphisme de $\mc{B}$ qui a $(u - {n\in\Z}$ associe $(u_{n+1})_{n\in\Z}$.

• Montrer que $T$ est lineaire. Determiner ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
• Determiner les sous-espaces de dimension finie de $\mc{B}$ stables par $T$.

Etudier les suites definies par $u_1,v_1$ reels et

$\forall n\in\N^*$, $ u_{n+1}=u_n+v_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et $ v_{n+1}=v_n-u_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$.

$\ \ - La suite $(d - {n≥ 1}$ est-elle convergente? - La suite $(d - {n≥ 1}$ est-elle bornee?

Soit $(b - {n\in\N}$ une suite strictement positive, croissante et non majoree.

• Montrrer que, si $(a - {n\in\N}$ est une suite reelle convergente de limite $\ell$, alors

$$\frac{1}{b_n}\sum_{k=0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)a_k\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}\ell.$$

• Soit $(a - {n\in\N}$ une suite reelle. Montrer que, si la suite $\left(\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\right)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\in\R$, alors $\frac{a_n}{b_n}\to\ell$ quand $n\to+\i$.
• La reciproque de la propriete precedente est-elle vraie?

Soit $(a - {n\geq 0}$ une suite reelle decroissante de reels strictement positifs, telle que $a_0=1$. On pose $b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{a_k}$ pour tout $n\geq 1$.

• Montrrer que $b_n\in[0,1]$ pour tout $n\geq 1$.
• On fixe $\ell\in[0,1]$. Montrer que l'on peut choisir la suite $(a - {n\geq 0}$ de telle sorte que $b_n\to\ell$.

Soit $a\in]0,1[$. On definit $(u_n)$ par $u_0=a$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n+u_n^2\ln(u_n)$.

• Montrer que $(u_n)$ est definie et etudier sa convergence.
• On pose $F:x\mapsto\int_a^x\frac{dt}{t^2\ln t}$. Montrer que $F(u_{n+1})-F(u_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}1$.
• En deduire un equivalent de $F(u_n)$. Qu'en deduire sur $u_n$?

Soit $(u - {n\in\N}$ definie par $u_0\in]0,\pi/2]$ et $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=\sin(u_n)$. Etudier la convergence de $(u_n)$. Determiner un equivalent de $u_n$.

Pour tout $n\geq 2$, on pose $f_n(x)=x^n-nx+1$.

• Montrer que l'equation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$.
• Etudier la monotonie de la suite $(x_n)$. Montrer sa convergence.
• Determiner la limite de la suite $(x_n)$ et un equivalent simple de $x_n$.

Determine un developpement asymptotique a deux termes de $x_n$.

Soit $(u_n)$ une suite reelle definie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+1}$.

• Si $(u_n)$ converge, quelle est sa limite?
• On suppose que, pour tout $n\in\N$, $u_n\leq 1$. Montrer que $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite?
• Etudier la convergence de $(u_n)$ dans le cas general.

Pour $n\geq 2$, on considere l'equation $\sin(x)=\frac{x}{n}$.

• Montrer que cette equation admet une unique solution sur $]0,\pi[$ qu'on notera $x_n$.
• Montrer que la suite $(x - {n\geq 2}$ converge. Quelle est sa limite? - Donner un developpement asymptotique de $x_n$ a la precision $o\left(\frac{1}{n^3}\right).$

Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=0}^n(X-i)$.

• Montrer que : $\forall n\in\N^*,\exists!r_n\in\big{]}0,1[\,,P'_n(r_n)=0$.
• Determiner un equivalent simple de $r_n$.

Soit $(u_n)$ la suite definie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{n+u_n}$

• Montrer que $u_n\to+\i$.
• Donner un developpement asymptotique a trois termes de $u_n$.

Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup_{t\in[0,1]}|P(t)|.$ Pour tout $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynomes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf_{P\in E_n}N(P)$.

• Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$.
• Montrer que $(a - {n\in\N}$ est decroissante et de limite nulle.

Limite et developpement asymptotique en $o(1/n)$ de $u_n=\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{\sqrt{k(n-k)}}{n^{3/2}}\right)$.

Soit $(u_n)$ une suite reelle verifiant : $\forall(m,n)\in\N^2,u_{n+m}\leq u_m+u_n.$ Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big{\{}\frac{u_n} {n}\text{ pour }n\in\N^*\Big{\}}$.

• Montrer que tout sous-groupe de $(\R,+)$ est de la forme $a\Z$ ($a\in\R$) ou dense dans $\R$. Soit $\theta\in\R^*$ tel que $\frac{\pi}{\theta}\notin\Q$.

  • Montrer que $A=\big{\{}p\theta+2\pi q,\ (p,q)\in\Z^2\big{\}}$ est dense dans $\R$.
  • Expliciter les valeurs d'adherence de la suite $\left(\cos(n\theta)\right)_{n\in\N}$.
  • Expliciter les valeurs d'adherence de la suite $\left(\cos(\sqrt{n}\theta)\right)_{n\in\N}$.

Soit $x\in\Big{[}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$. Convergence et somme de $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^n}\tan\Big{(}\frac{x}{2^n}\Big{)}$.

Ind. Montrer que $\tan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$.

Soit $(u_n)$ une suite reelle telle que $n(u_{n+1}-u_n)\to 1$. Quelle est la nature de la serie $\sum u_n$?

Determiner la convergence et la somme de la serie de terme general $u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$.

Determiner la nature de $\sum\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$.# 716 Si $n\in\N^*$, soit $u_n=\sum_{k=1}^n(\ln(k))^2$. Determiner la nature de $\sum\dfrac{1}{u_n}$.

Nature de la serie de terme general $\dfrac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}-(-1)^n}$?

Soit $\alpha\gt 0$ fixe. Nature de la serie de terme general $\sum\dfrac{\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor-\lfloor\sqrt{n}\rfloor}{n^{\alpha}}$?

Soient $\alpha\gt 0$ et $\beta\in]0,1[$. Nature de la serie $\sum\dfrac{(-1)^{\lfloor n^{\beta}\rfloor}}{n^{\alpha}}$.

• Montrrer que $\dfrac{\pi}{4}=\sum_{k=0}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$.

  • Nature de la serie de terme general $u_n=\ln\left(\tan\left(\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\right)\right)$?

Soient $a,b$ deux reels tels que $0\lt a\lt b$.

On pose $u_0\gt 0$ et : $\forall n\in\N,u_{n+1}=\dfrac{n+a}{n+b}u_n$.

• Determiner une condition necessaire et suffisante pour que la serie $\sum u_n$ soit convergente.
• Dans ce cas, calculer la somme $\sum_{n=0}^{+\i}n(u_{n+1}-u_n)$.
• En deduire la somme $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$.

Soit $(u - {n\geq 0}$ une suite decroissante de reels positifs. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\dfrac{1}{1+n^2u_n}$. Montrrer que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ diverge.

On pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)\,dx$. Quel est le signe de $u_n$? Montrrer que la serie $\sum u_n$ est semi-convergente.

Etudier $\lim_{n\to+\i}\sum_{k=n+1}^{+\i}\dfrac{n}{k\sqrt{k^2-n^2}}$.

Pour tout $n\in\N^*$, on pose $u_n=\int_n^{n+1}\dfrac{\cos\left(\ln(t)\right)}{t}\,dt$ et $v_n=\dfrac{\cos\ln(n)}{n}$.

• Determiner la nature de la serie $\sum u_n$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $u_n-v_n=\int_n^{n+1}(t-n-1)\frac{\cos\ln(t)+\sin\ln(t)}{t^2}\,dt$.
• En deduire la nature de la serie $\sum v_n$.

Soit $f\in C^1(\R,\R^{+*})$ telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}-\i$. Montrer que $\sum f(n)$ converge.

On dit que la serie de terme general $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, pour tout $n\in\N$, $\left|a-\sum_{k=0}^nu_k\right|\leq|u_{n+1}|$. On dit qu'elle enveloppe strictement $a\in\R^{+*}$ lorsqu'il existe une suite $(\theta_n)\in]0,1[^{\N}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $a-\sum_{k=0}^nu_k=\theta_{n+1}u_{n+1}$.

• Soit $a\gt 0$. Donner un exemple de serie divergente qui enveloppe $a$.
• Donner un exemple de serie convergente qui enveloppe un reel $a\in\R^{+*}$.
• Donner un exemple de serie convergente qui n'enveloppe aucun reel $a\in\R^{+*}$.
• Montrer que, si une serie enveloppe strictement un reel $a\gt 0$, alors elle est alternee.

• Soit $\sum u_n$ une serie a termes positifs. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. Montrer que si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum\frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi.

  • Soit $\sum y_n$ une serie a termes complexes telle que, pour toute suite $(x_n)$ qui tend vers $0$, la serie $\sum x_ny_n$ converge. Montrer que $\sum|y_n|$ converge.

Soit $(u_n)\in(\R^+)^{\N}$. On suppose que $\sum u_n$ converge. Construire $(v_n)\in(\R^+)^{\N}$, croissante et de limite $+\i$, telle que $\sum u_nv_n$ converge.

Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les proprietes suivantes sont equivalentes :

1. pour toute serie $\sum u_n$ convergente de terme general positif, la serie $\sum f(u_n)$ est convergente ;

ii) l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornee au voisinage de $0^+$.

Soit $\sum u_n$ une serie convergente a termes strictement positifs.

• Montrer que $\sum_{k=1}^nku_k=o(n)$.
• Montrer que $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nku_k$ est le terme general d'une serie convergente.
• Montrer que la serie de terme general $\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}$ est convergente et que :$$\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}\leq \sum_{k=1}^{+\i}u_k.$$

Pour toute permutation $f$ de $\N^*$, on note $E_f=\left\{\alpha\in\R,\;\sum\frac{f(n)}{n^{\alpha}}\lt +\i\right\}.$

• Montrer qu'il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=\varnothing$.
• Soit $f\in S(\N^*)$. Montrer que si $E_f\neq\varnothing$, alors c'est un intervalle minore par $2$ et non majore.
• Montrer que, si $\beta\gt 2$, alors il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=]\beta,+\i[$.

Soit $f_n=x\mapsto\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$.

• Montrer que, pour $n$ pair, $f_n$ ne s'annule pas et que, pour $n$ impair, $f_n$ s'annule en un unique point $r_n$.
• Montrer que, pour $n$ impair, $-2n-3\lt r_n\lt 0$.

Soit $\alpha$ un reel non nul. On pose, pour $x\in[-1,1]$, $g_{\alpha}(x)=\cos(\alpha\arcsin x)$. A quelle condition sur $\alpha$ la fonction $g_{\alpha}$ est-elle polynomiale?

Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^2$, telle que $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c\in\,]0,1[$ tel que $|f^{''}(c)|\geq 4$.

Soient $I$ un intervalle non vide de $\R$ et $f:I\to\R$ de classe $C^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si : $\forall(x,y)\in I^2,\;\exists t\in\,]0,1[,\;f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y)$.

Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que $f(0)=1$ et, pour tout $x\in\R$, $f(2x)=f(x)\cos(x)$.

Soient $A,B\in\R^+$, $f\colon\R\to$ de classe $\mc C^2$ telle que, pour tout $x\in\R$, $|f(x)|\leq A$ et $|f^{''}(x)|\leq B$.

• Montrer que, pour tout $h\in\R^{+*}$, $|f'(x)|\lt \frac{A}{h}+\frac{Bh}{2}$.
• Trouver la meilleure majoration de $|f'(x)|$ pour tout $x\in\R$.

Soit $f:x\in\,]-1,+\i[\,\mapsto x-\ln(1+x)$.

• Montrer que $f$ definit une bijection $f_1$ de $]-1,0]$ sur $\R^+$ et une bijection $f_2$ de $\R^+$ sur $\R^+$.
• Determiner un equivalent de $f$ en $0$. En deduire un equivalent de $f_1^{-1}$ et $f_2^{-1}$ en $0$.
• Determiner le developpement asymptotique a l'ordre $2$ de $f_2^{-1}$ en $0$.

Soit $E=\mc C^0([-1,1],\C)$. Soit $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ strictement croissante et surjective. Soit $\Phi\in\mc{L}(E)$ l'application qui a $f\in E$ associe $f\circ g$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie stable par $\Phi$. On note $\Phi_F$ l'endomorphisme de $F$ induit par $\Phi$ sur $F$.

• Montrer que $\Phi_F$ est un automorphisme de $F$.
• Montrer que la seule valeur propre de $\Phi_F$ est 1.
• Soit $\Psi=\Phi_F-\mathrm{id}_F$. Montrer que $\Psi$ est nilpotent.# 741

Soit $f\colon\R\to\M_n(\R)$ derivable. Montrer l'equivalence entre les assertions suivantes : i) $f(0)=I_n$ et $\forall x\in\R,f'(x)=f'(0)f(x)$,

ii) $\forall(x,y)\in\R^2,f(x+y)=f(x)f(y)$ et $\forall x\in\R,\det(f(x))\neq 0$.

Soient $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $D:f\in E\mapsto f'$. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et determiner ses elements propres.

Soient $f\colon\R^+\to\R^+$ de classe $\mc C^1$, $\ell\in\R^{+*}$ et $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ avec $n\in\N^*$ et $a_n\neq 0$. On suppose que $f'(x)\,P\,(f(x))\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Determiner un equivalent de $f$ en $+\i$.

Soient $h:\R\to\R^+$ continue, $\ell\in\R^{+*}$, $n\in\N^*$. On suppose : $h(x)\int_0^xh^n\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Determiner un equivalent de $h$ en $+\i$.

Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$ et $E=\mc C^0([a,b],\R)$.

On pose $F=\big{\{}g\in\mc C^2([a,b],\R)\;;\;g(a)=g(b)=g'(a)=g^{ '}(b)=0\big{\}}$.

• On fixe $f\in E$.

Montrer qu'il existe $g\in F$ tel que $f=g^{''}$ si et seulement si $\int_a^bf(t)dt=\int_a^btf(t)dt=0$.

• Soit $h\in E$ tel que $\forall f\in F$, $\int_a^bhg^{''}=0$. Montrer que $h$ est affine.

Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application definie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Verifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Determiner ses elements propres.

Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle $F\in\R(X)$ telle que :

$\forall x\in\R,\int_0^xe^{t^2}\,dt=F(x)\,e^{x^2}$.

Etudier la fonction $f:x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{t\sqrt{1-t}}$.

Calculer $I=\int_{-1}^1\frac{\cos x}{e^{\frac{1}{x}}+1}\,dx$.

Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $f\in\mc C^0([a,b],R)$, $\epsilon\gt 0$. Montrer qu'il existe $P,Q\in\R[X]$ tels que $\forall x\in[a,b]$, $P(x)\leq f(x)\leq Q(x)$ et $\int_a^b(Q-P)\leq\epsilon$. Est-ce toujours vrai si $f$ est uniquement continue par morceaux?

Soit $f:[0,1]\to\R$ continue. - Soit $n\in\N$. On suppose que, pour tout $k\in\llbracket 0,n\rrbracket$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois.

• On suppose que, pour tout $k\in\N$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ est nulle.

Soit $f\in C^0([a,b],\R)$ telle que $:\forall(\alpha,\beta)\in[a,b]^2,\int_{\alpha}^{\beta}f=0$. Montrer que $f=0$.

Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Determiner les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ verifiant $:\forall g\in F,\int_a^bfg=0$.

Soit $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$.

Montrer $:120\Big{(}\int_0^1f\Big{)}^2\leq\int_0^1(f^{''})^2$.

Soient $E=\mc C^0([a,b],\R)$ muni de $\parallel\parallel_{\i}$ et $B$ la boule unite fermee de $E$. Soit $f\in E$. Montrer que $\sup_{g\in B}\int_a^bfg=\int_a^b|f|$.

Etudier la convergence et calculer $\int_{-\i}^{+\i}\frac{dx}{x^6+1}$.

Etudier la convergence de l'integrale $\int_0^{+\i}t|\cos t|^{t^5}\,dt$.

Nature de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^x\,dx$ puis de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^{x^{\alpha}}\,dx$ avec $\alpha\in]1,+\i[$.

Soit $\alpha\gt 0$. Etudier la convergence de l'integrale $:\int_0^{+\i}\left(\exp\left(\frac{\sin^2x}{x^{\alpha}}\right)-1 \right)\,dx$.

Nature suivant $a\in\R$ de $I(a)=\int_0^{+\i}\frac{x-\ln(1+x)}{x^a}\,dx\,?$ Calculer $I(5/2)$.

• Soit $\sum u_n$ une serie convergente a termes positifs. Nature de $\sum u_n^2$?

  • Soit $f$ une fonction continue, positive et integrable sur $\R^+$. Nature de $\int_0^{\i}f^2$?

Soient $I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}\,dt$ et $J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{t}\,dt$.

• Montrer que $I_n$ et $J_n$ sont bien definies. Montrer que $(I_n)$ est constante.
• Montrer que $I_n-J_n\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - Montrrer la convergence de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}dt$ et la calculer.

Soit $a\gt 0$. Montrer que l'integrale : $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(ax)+\arctan(x/a)}{1+x^2}\,dx$ converge et calculer sa valeur.

Soit $f\in C^1([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$.

• Soient $I_1=\int_0^1(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))f(t)^2\,dt$ et $I_2=\int_0^1f'(t)f(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)\,dt$. Montrer la convergence de $I_1$ et $I_2$. Trouver une relation entre $I_1$ et $I_2$.
• Montrer que $\int_0^1f'(t)^2\,dt\geq\pi^2\int_0^1f(t)^2 \,dt$ et etudier le cas d'egalite.

Soit $f$ continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\R$. Montrer l'existence et l'unicite de $\lambda$ tel que $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,dt$ converge.

Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ une fonction continue decroissante.

• On suppose que $f$ est integrable sur $[0,+\i[$. Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$.
• Etudier la reciproque.

Soit $f\in\mc C^1(\R,\R^+)$ telle que $f'$ est bornee et $\int_{\R}f$ converge.

Montrer que $\underset{+\i}{\lim}f=\underset{-\i}{\lim}f=0$.

Etudier la convergence $\int_0^{+\i}t|\cos(t)|^{t^5}\,dt$.

Etudier la convergence et la convergence absolue de $\int_2^{+\i}\frac{\cos(x)}{\ln(x)}dx$.

• Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[a,b]$ dans $\R$. On suppose $f$ de signe constant. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $\int_a^bf(t)g(t)dt=g(c)\int_a^bf(t)dt$.

  • Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ continue telle que $f$ admet la limite $\lambda\in\R$ en $0$ et il existe $\mu\in\R$ telle que la fonction $t\mapsto\frac{f(t)-\mu}{t}$ est d'integrable convergente sur $[1,+\i[$. Montrer que, pour tout $a\lt b$, l'integrale $\int_0^{+\i}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt$ existe et la calculer.

Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carre integrable de $\R^+$ dans $\R$. Pour $x\in\R^{+*}$, soit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^xf$.

• Determiner la limite de $g$ en $0$. - Determiner la limite de $g$ en $+\i$.

Donner un equivalent, quand $x\to+\i$, de $\int_1^x\!t^tdt\,$?

Soit $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}dt$.

• Montrer que $f$ est definie sur $\R^{+*}$ et seulement sur cet ensemble.
• Etudier l'integrabilite de $f$ sur $\R^{+*}$.

Si $a\gt 0$ et $b\gt 0$, calculer $\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\ dt$.

Soit $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ une fonction de classe $C^1$. On suppose que $f'/f$ tend vers une limite $a\in\R^{-*}$ en $+\i$.

• Montrer que $f$ et $f'$ sont integrables sur $\R^+$.
• Donner un equivalent de $\int_x^{+\i}f$ lorsque $x$ tend vers $+\i$.

Trouver une valeur approchee rationnelle a $10^{-3}$ pres de $\int_0^1e^{-t}\ln(t)\,dt$.

Quelles sont les fonctions de $\R^+$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $\R^+$ d'une suite d'applications polynomiales reelles?

Soient $S$ un segment de $\R$ non reduit a un point, $n\in\N^*$, $m\in\R^{+*}$, $\eps\in\R^{+*}$, $f$ une fonction de classe $C^n$ de $S$ dans $\R$ telle que $\|f^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$. Montrer qu'il existe $p\in\R[X]$ tel que $\|f-p\|_{\i,S}\lt \eps$ et $\|p^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$.

Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une suite $(p - {n\geq 0}$ d'applications polynomiales reelles telle que $(p - {n\geq 0}$ converge uniformement vers $f$ sur tout segment de $\R$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres reels tels que $a\lt b$ et $S=[a,b]$.

• On suppose que $S\cap\Z\neq\emptyset$. Expliciter une fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ qui n'est pas limite uniforme sur $S$ d'une suite d'elements de $\Z[X]$.
• On suppose $S\subset]0,1[$. On definit une suite $(P - {n\geq 0}$ de polynomes par $P_0=X$ et, pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=2P_n(1-P_n)$. Montrer que $(P - {n\geq 0}$ converge uniformement sur $S$ vers la fonction constante egale a $\frac{1}{2}$.
• On suppose que $S\cap\Z=\emptyset$. Montrer que toute fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ est limite uniforme sur $S$ d'une suite d'elements de $\Z[X]$.

Soit, pour $n\in\N$, $f_n:x\in\R^+\mapsto x^n(1-\sqrt{x})$.

• Determiner le domaine de convergence $D$ de la serie de fonctions $\sum f_n$.
• Y a-t-il convergence normale sur $D$? - Calculer $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{1}{(n+1)(2n+3)}$.

Soit $\alpha\gt 0$. Etudier les modes de convergence de la serie de fonctions $\sum u_n$ definie par $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$.

Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nx}}{x+n}$. Domaine de definition, continuite de $f$, equivalent de $f$ aux extremites de son domaine de definition.

Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de definition, continuite, etude de la derivabilite, equivalents en $0$ et $+\i$.

• Montrer que la serie de fonctions $\sum\frac{x\,e^{-nx}}{\ln(n)}$ converge simplement sur $\R^+$ mais non normalement.

  • Montrer la convergence uniforme sur $\R^+$.

Pour tout $n\in\N^*$ et $x\in\R^+$, on pose $f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{n}(n+x)}$.

• Montrer la convergence simple de $\sum f_n$ sur $\R^+$. On note $f=\sum_{n=1}^{+\i}f_n$.
• Montrer que la serie $\sum f_n$ converge normalement sur les segments de la forme $[0,M]$ avec $M\gt 0$. Y a-t-il convergence normale sur $\R^+$?
• Etudier la continuite de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\i[$.
• Soient $n\geq 1$ et $x_0\geq n$. Montrer $:f(x_0)\geq\sum_{k=1}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}$. En deduire $:f(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}+\i$.
• Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o(x)$.

Soit $f\in\mc C([a,b],\R)$.

On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N^*$ et $x\in[a,b]$, $f_n(x)=\int_a^xf_{n-1}(t)dt$.

Etudier la convergence simple de la serie $\sum f_n$ et calculer sa somme.

Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(\sin(nx))^2}{n^2}$.

• Montrer que la fonction $f$ est definie et continue sur $\R$.
• La fonction $f$ est-elle derivable en $0$?# 789

Soient $a\gt 0$ et $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\ln\left(1+\frac{a}{n^2x^2}\right).$

• Determiner l'ensemble de definition de $f$.
• Determiner un equivalent de $f$ en $0$, et en $+\i$.

• Justifier la convergence pour $x\in[0,1[$ de$:f(x)=\prod_{n=0}^{+\i}\left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}.$

  • Montrer que, pour tout $x\in\,]0,1[$, on a $:\ln f(x)=\frac{x-1}{x}\sum_{n=1}^{+\i}x^n\ln(1+x^n)+\ln 2.$
  • En deduire $:\forall x\in[0,1[\,,\ln f(x)=\ln 2+\sum_{m=1}^{+\i}\frac{(-1)^m}{m} \frac{x^m}{1+x+\cdots+x^m}$.
  • Montrer que $f$ possede une limite finie en $1^-$ et l'expliciter.

Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, on pose $u_n(x)=e^{-x\sqrt{n}}$.

• Determiner les domaines de definition des fonctions $ f=\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ et $g=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^nu_n$.
• Trouver une equation fonctionnelle reliant $f$ et $g$.
• Montrer que $f$ est analytique. Qu'en est-il de $g$?

Rayon de convergence et somme de $ f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^{2n+2}}{n(n+1)(2n+1)}$.

Rayon de convergence et somme de $ f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{4n^2-5n+1}$.

Determiner le rayon de convergence et la somme de la serie entiere $\sum z^{n+(-1)^n}$.

Soit $u$ qui a $ P\in\C[X]$ associe $ u(P):z\mapsto e^{-z}\sum_{n=0}^{+\i}\frac{P(n)}{n!}z^n$. Montrer que $u$ est bien definie, et que c'est un automorphisme de $\C[X]$. Determiner ses elements propres.

Soient $ q\in]-1,1[$ et $ f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\sin(q^nx)$.

• Montrer que $f$ est definie sur $\R$ et de classe $\mc C^{\i}$.
• Montrer que $f$ est developpable en serie entiere.

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux reels strictement positifs.

• Montrer que la serie $\sum\frac{(-1)^n}{\alpha n+\beta}$ est convergente. - On note $S$ la somme de la serie ci-dessus et pour tout $n\in\N$, $r_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{\alpha k+\beta}$.

Exprimer $S$ et $r_n$ sous forme integrale.

• Determiner le rayon de convergence de la serie entiere $\sum r_nx^n$. Etudier son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence.

Montrer qu'au voisinage de $0$, la fonction $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$ est developpable en serie entiere et en donner les coefficients.

Expliciter le developpement en serie entiere de $\ln(x^2-x\sqrt{2}+1)$ au voisinage de $0$.

Soient $\tau\in\R$ et $f:x\mapsto\arctan\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere en $0$ et preciser le domaine exact de validite.

Rayon de convergence, ensemble de definition et somme de $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\mathrm{ch}(n)}{n}x^{2n}$?

Determiner le developpement en serie entiere en $0$ de $f:x\mapsto\sin\left(\frac{1}{3}\text{arcsin}(x)\right)$.

On pose : $\forall n\geq 2,u_n=\sum_{\begin{subarray}{c}(i,j)\in(\N^*)^2 \end{subarray}}\frac{1}{(ij)^2}$ et $S:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}u_nx^n$.

• Determiner un equivalent simple de $u_n$.
• Determiner le rayon de convergence $R$ de $S$ et simplifier $S(x)$ sur $]-R,R[$.
• Etudier la bonne definition et la continuite de $S$ en $R$ et en $-R$.

Soit $P\in\R[X]$ de degre $p\in\N^*$.

• Determiner le rayon de la serie entiere $\sum_{n=0}^{+\i}P(n)x^n$ et montrer que la somme de cette serie s'ecrit sous la forme $\frac{Q(x)}{R(x)}$ avec $Q,R\in\R[X]$.
• Soit $M=(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p+1}$. Montrer que $\det(M)=0$.
• Montrer que $\det(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0$.

Soit $f:x\mapsto(\arcsin(x))^2$.

• Montrer que $f$ est solution d'une equation differentielle lineaire d'ordre $2$, sur un intervalle que l'on precisera.
• Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de $0$. Experimer les coefficients de ce developpement en serie entiere et donner son rayon de convergence.

On definit la suite $(a_n)$ par : $a_0=a_1=1$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1}a_{n-1}$. - Montrer que : $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$ et en deduire le rayon de convergence $R$ de la serie entiere $\sum a_nx^n$.

On pose $f:x\in\,]-R,R[\,\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$.

• Montrer que $f$ est solution de $(1-x)y'-(1+2x)y=0$.
• Expliciter $f$ a l'aide des fonctions suuelles.

On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^2x}$.

• Montrer que $f$ est bien definie et de classe $\mc C^{\i}$.
• Est-elle developpable en serie entiere?

• Rappeler la formule de Stirling.

  • Calculer le rayon de convergence de la serie entiere $\sum\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)x^n$.
  • Calculer la somme de cette serie entiere en $-1$ apres s'etre assure de son existence.
  • Calculer $\int_0^1\frac{(-1)^{\lfloor 1/x\rfloor}}{x}{\rm d}x$.

• Determiner le rayon de convergence de $f:z\mapsto\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,z^k$.

  • Soit $z\in\C$ avec $|z|\lt 1$. Calculer $\exp\left(f(z)\right)$. Ind. Considerer $t\in[0,1]\mapsto\exp\left(f(tz)\right)$.
  • Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ tel que :

$\forall z\in\C,\ |z|\leq\alpha\Rightarrow\det(I_n+zA)=\exp \left(\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,\op{tr}(A^k)\,z^{k }\right).$

Soit $A\in\M_n(\C)$. - Determiner le rayon de convergence de la serie $f(z)=\sum_{p\in\N}\op{tr}(A^p)z^p$ - Calculer $f(z)$ en fonction du polynome caracteristique de $A$.

Soit $(a - {n\geq 0}\in\C^{\N}$. On suppose que la serie $\sum n|a_n|$ converge.

• Montrer que le rayon de $\sum a_nz^n$ est superieur ou egal a 1.
• On suppose $|a_1|\geq\sum_{n=2}^{+\i}n|a_n|$ avec $a_1\neq 0$. Montrer que $f:z\in\mathbb{D}\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ est injective.

• Developpere en serie entiere $\phi:z\mapsto\frac{z}{(1-z)^2}$. Montrer que $\phi$ est injective sur $D_o(0,1)$.

On pose $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ avec $(a_n)$ une suite reelle. On suppose que $f$ est definie et injective sur $D_o(0,1)$. - Montrrer que $f(z)\in\R\Longleftrightarrow z\in\R$.

• En deduire que $\op{Im}z\geq 0\Longleftrightarrow\op{Im}f(z)\geq 0$.
• Soit $R\in\left]0,1\right[$. Calculer $\int_0^{\pi}\op{Im}f(Re^{it})\sin(nt)\op{d}t$.
• Montrrer que : $\forall n\geq 2,|a_n|\leq n$.

Soit, pour $n\in\N$, $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan(t)^n\op{d}t$.

• Trouver une relation de recurrence sur $(I_n)$.
• Montrrer que, pour $n\in\N$, $I_{2n}=(-1)^n\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{2k+1}$. Donner une expression similaire pour $I_{2n+1}$.
• Donner un equivalent de $I_n$.

Soit, pour $n\geq 2$, $I_n=\int_1^{+\i}\frac{\op{d}t}{1+t+\cdots+t^n}$. Determiner de trois facons differentes la nature de $\sum I_n$.

On pose, pour tout $n\in\N^*$, $u_n=\int_1^{+\i}\exp(-x^n)\op{d}x$. Justifier l'existence de $(u_n)$. Etudier la convergence de la suite $(u_n)$ et de la serie $\sum u_n$.

Developpement asymptotique a deux termes de $I_n=\int_0^{+\i}e^{-nx}\ln(n+x)dx$?

Pour $n\in\N^*$ et $\alpha\in\R^+$, on pose $u_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-\alpha x}\op{d}x$. Determiner un equivalent simple de $u_n$ dans les cas $\alpha=0$, $\alpha\gt 1$, $\alpha=1$.

• Montrrer que $\int_0^{+\i}\cos\left(u^2\right)\op{d}u$ converge.

  • Soit $(a,b)\in\left(\R^{+*}\right)^2$. Trouver un equivalent de $I_n=\int_0^1\cos\left(n\left(au^2+bu^3\right)\right) \op{d}u$.

Ind. Poser $t=\sqrt{na}u$.

Soit $\alpha\gt 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n(\alpha)=\int_0^{+\i}\frac{\op{d}t}{(1+t^{\alpha})^n}$.

• Justifier la convergence de $I_n(\alpha)$.
• Etablir une relation entre $I_{n+1}(\alpha)$ et $I_n(\alpha)$. En deduire une expression de $I_n(\alpha)$ en fonction de $I_1(\alpha)$ et de $\alpha$.
• Determiner la limite de la suite $(I_n(\alpha))_{n\in\N}$.
• Montrrer l'existence d'un reel $K(\alpha)$ tel que $I_n(\alpha)\sim\frac{K(\alpha)}{n^{1/\alpha}}$ quand $n\to+\i$.# 820

On pose, pour tout $x\in\,]0,1[$, $f(x)=\frac{x^2\ln x}{x-1}$.

• Montrer que $f$ est prolongeable en une fonction de classe $C^1$ sur $[0,1]$, qu'on appellera toujours $f$ par la suite.
• Donner un equivalent de $\int_0^1x^nf(x)\,dx$.
• Montrer que $\lim_{n\to+\i}n\int_0^1x^nf(x^n)\,dx=\sum_{k=3}^{+\i} \frac{1}{k^2}$.

Soit $g:\R^+\to\R$, continue par morceaux, integrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornee.

Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$.

• Montrer que, pour tout $u\in\R$, $|e^{iu}-1|\leq|u|$.
• En deduire que $f$ est derivable sur $\R$ puis simplifier l'expression de $f$.

On admet que $\int_0^{+\i}e^{-x^2}dx=\frac{\pi}{2}$.

• Montrer que $I=\int_0^{+\i}\cos(t^2)dt$ converge.

On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-(t^2+i)x^2}}{t^2+i}dt$.

• Montrer que $F$ est definie et de classe $\mc C^1$ sur $\R^+$.
• En deduire que $\int_0^{+\i}e^{-ix^2}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i }\frac{dt}{t^2+i}$.
• En deduire la valeur de $I$.

On pose, pour tout $t\in\R$, $h(t)=\int_{\R}e^{-\pi(x^2+2itx)}\,dx$. Montrer que l'integrale $h(t)$ est bien definie pour tout $t\in\R$ puis la calculer explicitement.

On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{\ln t}{t+x}\,dt$.

• Determiner le domaine de definition de $f$.
• Montrer que $f$ est derivable sur $\R^{+*}$ et expliciter $f'$.
• On pose $g:x\mapsto f(x)+f(1/x)$. Simplifier $g(x)$ pour $x\gt 0$.

Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t(1+t^2)}\,dt$.

• Montrer que $F$ est definie sur $\R$ et de classe $\mc C^2$.
• Exprimer $F$ a l'aide de fonctions usuelles.# 827

On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-t^2-\frac{x^2}{t^2}}\,dt$.

• Montrer que $F$ est definie sur $\R$.
• Montrer que $F$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^*$.
• Trouver une equation differentielle d'ordre $1$ verifiee par $F$.
• En deduire $F$.

Soit $f:x\mapsto\int_{\R}e^{tx-t^2}\,dt$.

• Montrer que $f$ est definie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. Quelle equation differentielle verifie $f$?
• Trouver les solutions du probleme de Cauchy $-2y^{''}+xy'+y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=\sqrt{\pi}$ et $y'(0)=0$.

• Determiner le domaine de definition de $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$.

  • Montrer que $f$ est continue sur $\R^+$.
  • Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$.
  • Donner une expression de $f'$ puis de $f$.
  • En deduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\,dt$.

On pose $f(x)=\int_0^{+\i}|\sin(t)|e^{-xt}dt$. Determiner le domaine de definition de la fonction $f$ et montrer qu'elle y est de classe $\mc C^{\i}$. Expliciter la valeur de $f(x)$.

Soient $f\in\mc C^0(\R,\R)$ et $g:x\mapsto\frac{1}{x}\int_0^x\cos(x-y)f(y)\,dy$. Montrer que $g$ est bien definie sur $\R^{+*}$ et trouver sa limite en $0$. On suppose que $f$ tend vers $\ell$ en $+\i$. Etudier la limite de $g$ en $+\i$.

Soient $C\gt 0$, $d\gt 0$ et $\alpha\in\R$. Montrer que $\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^{\alpha}dx\underset{t\to+\i}{ \sim}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^{\alpha}}{\sqrt{t}}$.

Soit $f:x\mapsto\int_0^{\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)\,dt$.

• Determiner le domaine de definition de $f$, etudier la continuite et les symetries.
• Expliciter $f(x)$.

On pose $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$.

• Determiner le domaine de definition de $f$.
• Determiner le developpement de $f$ en serie entiere sur un intervalle $I$ centre en $0$ que l'on precisera.# 835

On pose, pour $x\in\R$, $f(x)=\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$. Montrer que $f$ est developpable en serie entiere au voisinage de 0 et expliciter son developpement.

Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$. On considere la fonction $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-xt}f(t)\,dt$.

• On suppose $f$ bornee. Montrer que $F$ est definie et de classe $C^{\i}$ sur $\R^{+*}$.
• On suppose que $f$ admet une limite finie non nulle $\ell$ en $+\i$. Donner un equivalent de $F$ en $0^+$.
• On suppose $f$ developpable en serie entiere sur $\R^+:f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$, et que la serie $\sum n!a_n$ converge. Etudier le comportement de $F(1/x)$ au voisinage de 0 et de $+\i$.
• Donner des exemples de fonctions $f$ telles que le domaine de definition de $F$ soit $]0,+\i[$, $]1,+\i[$ ou $\emptyset$.

On note $\mc{L}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues et integrables, et $\mc{E}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues telles que, pour tout $s\gt 0$, la fonction $u\mapsto\dfrac{f(u)}{u+s}$ est integrable. Si $f\in\mc{E}$, on pose $\widehat{f}(s)=\int_0^{+\i}\dfrac{f(u)}{u+s}\,du$ pour tout $s\gt 0$.

• Quelles inclusions existent entre $\mc{L}$ et $\mc{E}$?
• Dans cette question, on suppose que $f(u)=u^{\alpha-1}$, ou $\alpha\in]0,1[$. Montrer que $\widehat{f_{\alpha}}$ est proportionnelle a $f_{\alpha}$.
• Soit $f\in\mc{E}$. Montrer que $\widehat{f}$ est continue, et determiner $\lim_{s\to+\i}\widehat{f}(s)$.

Montrer que $\int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{\ln(t)}{1-t}\,dt=\int_0^{ \frac{1}{2}}\dfrac{\ln(1-t)}{t}dt$ et en deduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{2^nn^2}$.

• Soit $(a - {n\geq 0}\in\C^{\N}$ sommable. Montrer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sum_{n=0}^{+\i}a_n\dfrac{t^n}{n!} \,dt=\sum_{n=0}^{+\i}a_n$.

  • Montrer le meme resultat en ne supposant que la convergence de la serie $\sum a_n$.

Soient $\alpha\in\Big{]}0,\dfrac{\pi}{2}\Big{[}$ et $f:t\mapsto\dfrac{1}{1-\sin\alpha\cos t}$:

• Expliciter une suite $(a_n)$ telle que $:\forall t\in\R$, $f(t)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n\cos(nt)$.
• En deduire, pour $n\in\N$, la valeur de $:\int_0^{\pi}\dfrac{\cos(nt)}{1-\sin\alpha\cos t}\,dt$.

Soit $(\lambda - {n\in\N}$ une suite croissante de reels strictement positifs.

On pose : $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n\exp(-\lambda_nx)$.

• Determiner le domaine de definition de $f$.On suppose dans la suite que $(\lambda_n)$ tend vers $+\i$.
• Montr per que l'integrale $\int_0^{+\i}f$ converge et la calculer.
• Traiter le cas particulier ou $\lambda_n=n+1$.

Soient $a$ et $b$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R^+$ et $S$ l'ensemble des solutions de $y'=ay+b$. Montr per l'equivalence entre :

1. tous les elements de $S$ sont bornes, ii) $a$ et $b$ sont integrables.

Determiner les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$ derivables et telles que $y'(x)=y(\pi-x)$.

Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que $f(0)=0$ et que $\forall x\in\R^*,f(x)=e^{-1/x^2}$.

• Montr per que $f$ est de classe $C^{\i}$ sur $\R$.
• La fonction $f$ est-elle solution d'une equation differentielle lineaire homogene?

Resoudre l'equation differentielle $y'+|y|=1$.

Soient $n\in\N^*$ et $\omega\in\C$ tel que $\omega^n=1$. Trouver les fonctions $y\in C^n(\R,\C)$ solutions de $\sum_{k=0}^ny^{(k)}\omega^{n-k}=0$.

On considere la fonction $f\colon\R\to\R$ definie par : $f(x)=\exp(-x^{-2})$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montr per que $f$ n'est solution d'aucune equation differentielle lineaire homogene a coefficients constants (d'ordre quelconque).

Resoudre le systeme differentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te^t\\ y'=3x+2y+3z+e^t\\ z'=3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.$

Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On note $(S)$ le systeme differentiel : $\forall p\in[1,n],x_p^{(m)}=\sum_{q=1}^na_{p,q}x_q(t)$.

Montr per que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales.

Resoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'=x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t\\ z'=-x+2y+z+t^2e^t.\end{array}.$, $\left\{\begin{array}{c}x'=x+8y+te^t\\ y'=2x+y+e^{-t}.\end{array}.$.

Determiner les solutions developpables en serie entiere au voisinage de 0 de l'equation :

$2xy^{''}-y'+2y=0$. Les exprimer a l'aide des fonctions usuelles.

• Resoudre l'equation : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=0$ sur $\R$ en cherchant des solutions developpables en serie entiere.

  • Resoudre : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=\frac{1}{1+t^2}$.# 853

  On considere l'equation differentielle : $y^{''}-y=|\cos x|$. Existe-t-il des solutions positives? Bornees? Positives et bornees?

Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. Soit $(E)$ l'equation differentielle $y'+a(x)y+b(x)=0$. Soit $A:x\mapsto\int_0^xa(t)\,dt$ et $I=A(2\pi)$.

• Trouver une condition sur $I$ pour que $A$ soit $2\pi$-periodique.
• Montrer que si $y$ est solution de $(E)$, alors $x\mapsto y(x+2\pi)$ est aussi solution de $(E)$.
• Supposons $I\neq 0$. Montrer que $(E)$ admet une unique solution $2\pi$-periodique.
• Que dire si $I=0$?
• Donner un exemple pour illustrer chacune de ces situations.

Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}e^{x\sin(t)}dt$.

• Montrer que $f$ est solution de $(*):xy^{''}+y'=xy$.
• Quelles sont les solutions developpables en serie entiere sur $\R$ de $(*)$?

• Soient $A\in\R^+$, $f,g:\R^+\to\R^+$ continues. On suppose que

$\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A+\int_0^xf(t)\,g(t)dt$. Montrer que $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A\exp\left(\int_0^xg(t)dt\right)$.

Soit $(*)$ l'equation differentielle $x^{''}(t)+a(t)x(t)=b(t)$ avec $a$ et $b$ continues sur $\R^+$, $b$ et $t\mapsto t\,a(t)$ integrables sur $\R^+$. Soit $x$ solution de $(*)$.

• Montrer que

$\forall t\geq 1$, $x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)du+\int_{1 }^t(t-u)\,b(u)du$.

• On pose, pour $t\geq 1$, $y(t)=\dfrac{|x(t)|}{t}$. Montrer l'existence de $K$ tel que :

$\forall t\geq 1$, $y(t)\leq K\exp\left(\int_1^tu\,|a(u)|du\right)\leq K \exp\left(\int_1^{+\i}u\,|a(u)|du\right).$

Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une application $X$ de classe $C^1$ de $\R$ dans $\C^n$ et $\lambda\in\C^*$ tels que $\forall t\in\R,\ X(t+T)=\lambda X(t)$.

Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n;$ Expliciter les solutions de $X'(t)=AX(t)$.

Soit $A\in\M_n(\C)$. A quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme differentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornees sur $\R$?

Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x,y)=y(1-x)$ sinon. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $D$ et les determiner.

Etudier la differentiabilite de la fonction $f$ definie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$.# 862 On note $T$ le triangle plein defini par les points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Determiner le minimum sur $T$ de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2+\frac{1}{2}(1-x-y)$.

Soit $f\colon\R^2\to\R$ telle que $f(0,0)=1$ et $f(x,y)=(x^2+y^2)^x$ si $(x,y)\neq(0,0)$.

• Montrer que $f$ est continue sur $\R^2$.
• Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$.
• La fonction $f$ admet-elle des derivees partielles en $(0,0)$?
• Etudier les variations de $g:x\mapsto f(x,0)$.
• Determiner les extrema de $f$.

Soit $f:(\R^+)^2\to\R$ definie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=\frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}$ sinon.

• Montrer que $f$ est continue.
• Etudier les extrema de $f$.

Soient $E$ un espace vectoriel norme de dimension finie, $f$ une forme lineaire sur $E$.

Montrer que l'application $g:x\in E\mapsto f(x)\,e^{-\|x\|^2}$ admet un minimum et un maximum, puis determiner ce maximum et ce minimum.

Determiner les fonctions de classe $\mc C^2$ sur $(\R^{+*})^2$ verifiant $x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-y^2\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=0$. On pourra faire le changement de variables $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$.

Soit $K\in\R$. Determiner toutes les fonctions $f:]0,+\i[\times\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ solutions de l'equation $x\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)-y\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=K\,f(x,y)$.

Soient $\alpha\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R^3,\R)$. On dit que $f$ est homogene de degre $\alpha$ si :

$\forall(x,y,z)\in\R^3$, $\forall t\in\R^{+*}$, $f(tx,ty,tz)=t^{\alpha}f(x,y,z)$. Montrer que $f$ est homogene de degre $\alpha$ si et seulement si $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{ \partial f}{\partial z}=\alpha f$.

Resoudre $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-3\,\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}+2\,\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$.

Ind. Utiliser le changement de variable $(u,v)=(x+y,\,2x+y)$.

• Soit $f\in C^1(\R^n,\R)$.

Montrer que : $\forall x\in\R^n,f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^nx_i\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)\,dt$.

On pose $E=C^{\i}(\R^n,\R)$ et

$D=\Big{\{}\phi\in\mc{L}(E,\R)\ ;\ \forall(f,g)\in E^2,\phi(fg)=f(0) \phi(g)+g(0)\phi(f)\Big{\}}$.

• Montrer que la famille $(\phi - {1\leq i\leq n}$ est libre, avec : $\phi_i:f\mapsto\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)$.
• Montrer que $D$ est de dimension finie.# 871

Soient $f\in C^2(\R^2,\R)$, $k\in[0,1[$ tells que$:\forall a\in\R^2,\left|\frac{\partial f}{\partial x}(a)\right|+ \left|\frac{\partial f}{\partial y}(a)\right|\leq k$. Soit $(u_n)$ definie par $(u_0,u_1)\in\R^2$ et $:\forall n\in\N,u_{n+2}=f(u_n,u_{n+1})$.

Pour tout $n\in\N$, on pose $:a_n=\max\left(|u_{n+1}-u_n|,|u_{n+2}-u_{n+1}|\right).$

• Montrer $:\forall(a,b)\in(\R^2)^2$, $\exists c\in\R^2$, $f(b)-f(a)=(b-a|\nabla f(c))$.
• Montrer que $:\forall(x,y,x',y')\in\R^4,\left|f(x,y)-f(x^{' },y')\right|\leq k\max\left(|x-x'|,|y-y'|\right).$
• Montrer que $:\forall n\in\N,a_{n+2}\leq ka_n$, puis qu'il existe deux constantes $q$ et $C$ telles que $:\forall n\in\N,a_n\leq Cq^n$.
• Montrer que $(u_n)$ est une suite convergente et donner une propriete verifiee par sa limite.

Soient $\Omega$ un ouvert de $\R$, $K$ une partie compacte non vide de $\Omega$, $f$ une fonction de classe $C^2$ de $\Omega$ dans $\R$.

• On suppose que $\Delta f\gt 0$. Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum local.
• On suppose que $\Delta f\geq 0$. Montrer que $\max_Kf=\max_{\mbox{\footnotesize{\bf FT}}(K)}f$.

Soient $R\in\R^{+*}$, $D_R=\{(x,y)\in\R^2\ ;\ x^2+y^2\lt R^2\}$, $(a - {n\geq 0}$ une suite complex telle que $\sum a_nz^n$ ait pour rayon de convergence $R$. Pour $(x,y)\in D_R$, on pose $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n(x+iy)^n$. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ et harmonique sur $D_R$.

Soient $A\in S^{++}_n(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose $:f:X\in\R^n\mapsto X^TAX-2B^TX$.

• Calculer $\nabla f(X)$.
• Montrer que $f$ admet un minimum global et le determiner.
• Soit $(X_k)$ une suite de vecteurs non nuls verifiant

$\forall k\in\N,X_{k+1}=X_k-\frac{\|\nabla f(X_k)\|}{X_k^TAX_{ k}}\nabla f(X_k)$. On suppose que la suite $(X_k)$ est convergente.

Determiner sa limite.

Pour $x=(x_0,\ldots,x_n)$ et $y=(y_0,\ldots,y_n)$ dans $\R^{n+1}$, on pose

$f(x,y)=\left(\sum_{0\leq i,j\leq n\atop i+j=k}x_iy_j\right)_{k \in[0,2n]}\in\R^{2n+1}$.

• Soient $x,y\in(\R^{n+1}$ non nuls. Montrer que $f(x,y)$ est non nul.
• Soient $u$ et $v$ les applications de $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ dans $\R^{2n+1}$ definies par $u:x\mapsto f(x,x)$ et $v:x\mapsto\frac{f(x,x)}{\|f(x,x)\|}$ ou $\|\ \|$ est la norme euclidienne canonique sur $\R^{2n+1}$. Calculer les differentielles de $u$ et $v$.
• Soit $x\in\R^{n+1}$ non nul. Calculer $\op{rg}\left(\op{d}\!v(x)\right)$.

${}^{\bigstar}$ Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ differentiable telle que : i) pour tout $x\in\R^n$, $\op{d}\!f(x)$ est injective ; ii) $\|f(x)\|\underset{\|x\|\to+\i}{\longrightarrow}+\i$.

Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$.

• Calculer $\op{d}\!g$. - Montrrer que $g$ admet un minimum.
• En deduire que $f$ est surjective.

Soient $U$ un ouvert convexe de $\R^n$ et $f:U\to\R$ une fonction de classe $C^1$.

• Montrre que $f$ est convexe si et seulement si $f(y)-f(x)\geq df_x(y-x)$ pour tous $x,y\in U$. Que donne cette caracterisation dans le cas ou $n=1$?
• Soient $\alpha$ et $\beta$ des reels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrre que $\Phi$ atteint sa borne inferieure en un unique element de $E$, que l'on precisera.

Soit $E=\M_n(\R)$ muni de la norme euclidienne canonique.

On pose $f:M\in E\mapsto\|M\|^2=\mathrm{tr}(M^TM)$ et $g:M\in E\mapsto\det M-1$. On note $h$ la restriction de $f$ a $\mathrm{SL}_n(\R)$.

• Justifier que $f$ et $g$ sont de classe $\mc C^1$ et calculer leur gradient en une matrice $M\in\mathrm{SL}_n(\R)$.
• Montrre que $f$ admet un minimum sur $\mathrm{SL}_n(\R)$. Soit $M_0$ une matrice ou il est ateint.
• Soit $H\in\M_n(\R)$ orthogonale au gradient de $g$ en $M_0$. Montrre qu'il existe un chemin $\gamma$ de classe $\mc C^1$ defini sur un voisinage de $0$ dans $\R$, a valeurs dans $\mathrm{SL}_n(\R)$ tel que $\gamma(0)=M_0$ et $\gamma'(0)=H$.
• Montrre que $(\nabla f_{M_0})^{\perp}=(\nabla g_{M_0})^{\perp}$.
• Calculer le minimum de $h$ sur $\mathrm{SL}_n(\R)$.

Si $n\in\N^*$, determiner $T_{I_n}\mathrm{SO}_n(\R)$, puis, si $M\in\mathrm{SO}_n({}_R)$,$T_M\mathrm{SO}_n(\R)$.

Probabilities

On tire au hasard un element $A$ de $P([\![1,n]\!])$. Calculer la probabilite que $\mathrm{card}\,A$ soit un entier pair.

Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux unres contenant chacune des boules numerotees de $1$ a $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance.

Un couple met au monde quatre enfants. Chaque enfant a la probabilite $p\in]0,1[$ d'etre une fille, et les naissances sont independantes. On considere les evenements $A:\ll$e dernier est une fille $\Rightarrow$, $B:\ll$e couple a autant de filles que de garcons $\Rightarrow$, $C:\ll$es garcons naissent toujours apres une fille $\Rightarrow$.

• Les evenements $A$ et $B$ (resp. $A$ et $C$) sont-ils independants?
• Les evenements $A,B,C$ sont-ils mutuellement independants?

Soit $p\in]0,1[$. Dans un sac contenant $n$ jetons numerotes de $1$ a $n$, on tire $S$ jetons ou $S$ est une variable aleatoire suivant la loi binomiale de parametre $n$ et $p$. Quelle est la probabilite d'obtenir des jetons de numeros consecutifs?

On lance une piece jusqu'a obtenir deux piles de plus que de faces ou deux faces de plus que de piles. On note $p\in]0,1[$ la probabilite que la piece donne pile. On note $X$ la variablealeatoire associee au nombre de lancers. Determiner la loi de $X$ et montrer que $X$ est presque surement finie. La variable aleatoire $X$ est-elle d'esperance finie?

Une urne contient $n\in\N^*$ boules noires et $b\in\N^*$ boules blanches. On tire successivement et sans remise les boules. On note $X$ la variable aleatoire qui donne le rang de la derniere boule blanche titee. Calculer la loi, l'esperance et la variance de $X$.

On considere une urne qui contient une proportion $p\in\,]0,1[$ de boules blanches. On effectue un tirage avec remise des boules. Soit $X_n$ la variable donnant le nombre de tirages successifs necessaires pour obtenir $n$ boules blanches. Donner la loi de $X_1$ ainsi que sa fonction generatrice $\mc{G}_{X_1}$. En deduire $\mc{G}_{X_n}$. Loi et esperance de $X_n$?

On considere une urne remplie avec des boules numerotees de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise.

• Calculer la probabilite que les boules impaires soient tires exactement dans l'ordre $1,3,\ldots,2n-1$.
• Soit $X$ la variable correspondant au nombre de tirages necessaires pour obtenir toutes les boules impaires. Determiner la loi et l'esperance de $X$.

Soit $n\geq 2$. On place $n$ boules numerotees de $1$ a $n$ dans une urne et l'on realise des tirages successifs avec remise. On note $X$ le rang du tirage donnant pour la premiere fois un numero superieur ou egal aux precedents.

• Determiner la loi de $X$.
• Calculer l'esperance et la variance de $X$.

Une urne contient $n+1$ boules numerotees de 0 a $n$. On y effectue des tirages avec remise. On pose $X_1=1$. Pour $i\geq 2$, $X_i$ est la variable de Bernoulli egale a 1 si le numero de la boule titee au $i$-eme tirage n'avait jamais ete obtenu avant. On pose, pour $i\in\N^*$, $Y_i=X_1+\cdots+X_i$.

• Determiner la loi des $X_i$.
• Calculer l'esperance et la variance de $Y_i$. Donner un equivalent de $\mathbf{E}(Y_n)$.
• Pour $(i,j)\in(\N^*)^2$, calculer $\mathbf{P}(X_i=1,X_j=1)$.
• Etudier l'independance des $X_i$.

Soit $(J - {n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilite $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un meme joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'evenement < < le $n$-ieme match est joue > > . Determiner la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$.

On suppose que lorsqu'un enfant natt, il a une chance sur deux d'etre un garcon. Dans une famille donnee, le nombre d'enfants est la variable aleatoire $Z$ et le nombre de filles est $X$.

• Montrer que : $\forall t\in[0,1],G_X(t)=G_Z\left(\frac{1+t}{2}\right).$
• Expliciter la loi de $X$ si $Z$ suit une loi de Poisson de parametre $\lambda$.# 892

Une puce se trouve sur l'origine de $\Z^2$. A chaque etape, elle saute aleatoirement dans l'une des quatre directions. On note $X_n$ l'abscisse de la puce a l'etape $n$. Calculer $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{E}(X_n^2)$.

On munit $\mc{S}_n$ de la probabilite uniforme. Calculer la probabilite $\pi_n$ que $\sigma\in\mc{S}_n$ ait un cycle de longueur strictement superieure a $\dfrac{n}{2}$ dans sa decomposition en produit de cycles a supports disjoints. Determiner un equivalent de $\pi_n$.

Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi geometrique de parametre $p\in\,]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$.

• Calculer $\mathbf{P}(Y=0)$.
• Determiner la loi de $Y$.
• Montrer que $Y$ est d'esperance finie et calculer $\mathbf{E}(Y)$.
• Montrer que $Y$ possede un moment d'ordre 2 et calculer $\mathbf{V}(Y)$.

• Determiner la loi de la somme de $n$ variables geometriques de parametre $p\in]0,1[$, independantes et identiquement distribuees.

  • Soit $p\in]0,1[$. On lance des des tels que la probabilite de tomber sur $6$ en jetant un de est $p$. Soit $X$ la variable aleatoire egale au rang du $n$-ieme $6$. Determiner la loi et l'esperance de $X$.

Soient $n\in\N^*$, $\sigma$ une variable aleatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Pour $m\in[\![1,n]\!]$, on note $X_m=\min\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$ et $Y_m=\max\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$. Calculer la loi de $X_m$ et $Y_m$, et leur esperance.

Soient $\lambda\gt 0$ et $X$ une variable aleatoire qui suit la loi de Poisson de parametre $\lambda$. Soient $b\in\N^*$ et $Y$ le reste de la division euclidienne de $X$ par $b$. Determiner la loi de $Y$.

Soit $p\in\,]0,1[$. Soit $(X - {k\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. verifiant :

$\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_k=-1)=1-p$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que $p=\dfrac{1}{2}$ si et seulement si : $\forall n\in\N^*,\max_{k\in\Z}\mathbf{P}(S_{2n}=k)=\mathbf{P}( S_{2n}=0)$.

Soient $A,B,C$ des variables aleatoires independantes telles que $A$ suive la loi de Rademacher, et $B$ et $C$ la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$.

• Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette deux racines reelles distinctes.
• Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette une unique racine reelle.
• Calculer la probabilite que le trinome $AX^2+BX+C^2$ n'admette aucune racine reelle.
• Cette derniere probabilite peut-etre egale a $\dfrac{1}{2}$? Dans ce cas, donner une valeur approchee de $p$ a $10^{-1}$ pres.

On considere une variable aleatoire $X$ suivant la loi de poisson de parametre $\lambda$ et on pose $Y=X^2+1$. - Calculer l'esperance de $Y$.

• Calculer la probabilite de l'evenement $(2X\lt Y)$.
• Comparer les probabilites des evenements $(X\in 2\N)$ et $(X\in 2\N+1)$.

Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $[a,b]$, d'esperance $\mathbf{E}(X)=m$.

• Montrere que $\mathbf{V}(X)\leq(m-a)(b-m)$.
• Montrere que cette inegalite est optimale.

Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $b\in\M_{n,1}(\R)$. On pose $M=\begin{pmatrix}A&b\\ b^T&c\end{pmatrix}$ et on suppose que les racines du polynome caracteristique de $M$ ne sont pas toutes simples.

• Montrere que $M$ admet un vecteur propre de la forme $V=(v_1,...,v_n,0)^T$.
• Montrere que $(v_1,...,v_n)^T$ est vecteur propre de $A$ et orthogonal a $b$.
• Soient $X_1,...,X_5$ variables de Bernoulli independantes de parametre $p\in]0,1[$.

On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$. Montrere que la probabilite que le polynome caracte-ristique de la matrice $N$ n'ait que des racines simples est superieure ou egale a $3p^3-2p^4$.

Soit $p\geq 3$ premier. Soit $K=\big{\{}x^2,\ x\in\Z/p\Z\big{\}}$.

• Denombrer le cardinal de $K$.
• Soient $A$, $B$ deux variables aleatoires a valeurs dans $\Z/p\Z$. Soit $N$ variable aleatoire comptant le nombre de solutions de $(E):\ X^2+AX+B=0$. Determiner l'esperance et la variance de $N$.

Caracteriser les couples $(X,a)$ avec $X$ variable aleatoire discrete complexe et $a\in\C$ tels que $X\sim aX$.

Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilite $\mathbf{P}_{\alpha}$ definie par $\mathbf{P}_{\alpha}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(\alpha)n^{\alpha}}$ pour $n\geq 1$.

• Calculer $\mathbf{P}_{\alpha}(m\N^*)$ pour $m\geq 1$.
• On note $(p - {k\geq 1}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrere que les $p_k\N^*$ sont mutuellement independants.
• En deduire la formule d'Euler $\zeta(\alpha)=\prod_{k=1}^{+\i}\left(1-\dfrac{1}{p_k^{\alpha}} \right)^{-1}.$

Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires discretes strictement positives, de meme loi et d'esperance finie. Montrere que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas ou $X$ et $Y$ sont independantes.

Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. suivant la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$.

On pose $:Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n),\beta_n=\mathbf{E}(Z_n)$.

• Etudier la monotonie des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$. - Exprimer $\alpha_n$ en fonction de $n$.
• Determiner la limite de $(\beta_n)$ puis un equivalent simple.

Soient $p,q\in]0,1[$. On considere deux variables aleatoires $X$ et $Y$, independantes, suivant les lois geometriques de parametres respectifs $p$ et $q$. Soit $M=\begin{pmatrix}X&1\\ 0&Y\end{pmatrix}$. Quelle est la probabilite que $M$ soit diagonalisable?

Soient $p\in]0,1[$, $X$ une variable aleatoire suivant la loi geometrique de parametre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$.

• Montrer que la variable $Y$ suit une loi geometrique.
• Montrer que les variables $Y$ et $2Y-X$ sont independantes.

Soient $n\in\N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. suivant la loi uniforme sur $[\![1,d]\!]$. Pour $j\in\{1,\ldots,n\}$, on pose $Y_j=|\{i\in[\![1,n]\!],\;X_i=j\}|$.

• Determiner la loi de $Y_j$.
• Soient $i,j\in[\![1,n]\!]$ avec $i\neq j$ et $k,\ell\in[\![1,n]\!]$. Calculer $\mathbf{P}(Y_i=k,Y_j=\ell)$.

Soit $X$ une variable aleatoire discrete a valeurs dans $\R^{+*}$ telle que $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X}\right)\lt +\i$.

Pour tout $t\in\R^+$, on pose : $F_X(t)=\mathbf{E}(e^{-tX})$.

• Montrer que $F_X$ est bien definie (a valeurs reelles) et continue.
• Montrer la convergence et calculer $\int_0^{+\i}F_X(t)\,dt$.
• Soient $X$ et $Y$ deux variables aleatoires independantes suivant la loi geometrique de parametre $p\in\!]0,1[$. Calculer $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X+Y}\right)$.
• Generaliser a $m$ variables i.i.d. suivant la loi geometrique de parametre $p$.

Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,2\}$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$.

Pour $n\in\Z$, soit $A_n=(\exists k\geq 0,\;S_k=-n)$ et $p_n=\mathbf{P}(A_n)$.

• Exprimer $\mathbf{P}(\exists k\gt 0,\;S_k=0)$ en fonction de $p_{-1}$ et de $p_2$.
• Trouver une relation entre $p_{n+2}$, $p_n$ et $p_{n-1}$.
• En deduire la valeur de $p_n$.

Soient $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute partie finie $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(S_n\in A)\lt +\i$.

Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de parametre $1/2$. - Donner la loi de $Z_n=\sum_{k=0}^n2^{n-k}X_k$. - Determiner $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 3^n)$ et $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 2^n)$.

Soit $X$ une variable aleatoire a valeurs dans $\R^+$.

• Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}0$. - On suppose que ${\bf E}(X)\lt +\i$. Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$. - Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires.

On pose, pour $n\in\N^*$, $R_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$.

• Donner un equivalent de ${\bf E}(R_n)$ lorsque les $X_i$ suivent la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$.
• Dans le cas general, montrer que ${\bf E}(R_n)=o(n)$.

Soit $(X - {i\geq 1}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. On suppose que chaque variable aleatoire $X_i+1$ suit la loi geometrique de parametre $p\in\,]0,1[$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$.

• Determiner la loi de $S_n$.
• Determiner $M_n=\max\left\{{\bf P}(S_n=k),\ k\in\N\right\}$ puis un equivalent simple de $M_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.

Soit $(X - {n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires suivant la loi geometrique de parametre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on determinera tel que :

$\forall\epsilon\gt 0$, ${\bf P}\left(\left|\frac{1}{\ln(n)}\max_{1\leq k\leq n}X_k-\alpha \right|\geq\epsilon\right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$.

Soit $g:t\mapsto\frac{e^t}{(1+e)-t}$

• Montrer que $g$ est la fonction generatrice d'une variable aleatoire $X$ a valeurs dans $\N$.
• Soit $(X_{i,j})_{1\leq i\lt j\leq n}$ une famille i.i.d. de variables aleatoires de meme loi que $X$. Determiner la probabilite que $M=\left(\begin{array}{cccc}0&X_{1,2}&\ldots&X_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&X_{n-1,n}\\ 0&\ldots&\ldots&0\end{array}\right)$ ait un nombre fini de de sous-espaces stables.

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de parametre $p$. On pose $U=(X_1\ \cdots\ X_n)$ et $M=U^TU$.

• Determiner la loi des variables aleatoires $\op{tr}(M)$ et $\op{rg}(M)$.
• Calculer la probabilite que $M$ soit une matrice de projection.# 920

Soit $(X_n)$ une suite de variables aleatoires independantes, strictement positives, $L^2$ et telles que : $\forall n\in\N$, $\mathbf{E}(X_n)=1$. On dit que $(X_n)$ converge en probabilites vers $0$ si : $\forall\alpha\gt 0,\mathbf{P}(X_n\geq\alpha)\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=1}^nX_i$.

• Soient $\lambda\in[0,1]$ et $X\in L^2$ telle que $\mathbf{E}(X^2)\gt 0$.

Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$.

• Montrer que $\mathbf{E}(\sqrt{P_n})\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$ si et seulement si $(X_n)$ converge vers $0$ en probabilites.

• Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ une famille i.i.d. de variables aleatoires de Rademmacher, $S=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que, si $t\in\R^+$, $\mathbf{E}(e^{tS})\leq\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2}\right)$. En deduire que, si $a\in\R^{+*}$, $\mathbb{P}(|S|\geq a)\leq 2e^{-\frac{a^2}{2n}}$.

  • Generaliser au cas ou les $X_k$ sont des variables aleatoires discretes i.i.d, a valeurs dans $[-1,1]$ et centres.

Soit $(X - {i\in\N^*}$ une suite de variables aleatoires i.i.d. possedant un moment d'ordre $4$. On pose : $m=\mathbf{E}(X_i)$ et $V_4=\mathbf{E}((X_i-m)^4)$.

• Justifier la bonne definition (dans $\R$) de $m$ et $V_4$.

Pour $\epsilon\gt 0$, on pose : $ A_n^{\epsilon}=\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-m) \right|\geq\epsilon\right).$

• Montrer que $\mathbf{P}(A_n^{\epsilon})\leq\dfrac{3V_4}{n^2\epsilon^4}$.
• Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{n=1}^{+\i}\bigcup_{p=n}^{+\i}A_p^{ \epsilon}\right)=0$.
• Montrer que $\mathbf{P}\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\underset{n\to+ \i}{\longrightarrow}m\right)=1$.

Mines PSI

Algebre

Soit $P\in\Z[X]$ tel que $\forall k\in\Z$, $P(k)$ est premier. Montrer que $P$ est constant.

Montrer qu'il existe $(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\R^n$ tel que

$\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $ P(X+n)+\sum_{k=0}^{n-1}a_kP(X+k)=0$.

Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'equation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$.

• Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallelement a $u$. - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D):\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$

Soit $E=\R_n[X]$. On considere les polynomes $E_k=\binom{n}{k}X^k(1-X)^{n-k}$, $0\leq k\leq n$.

• Montrrer que $(E - {0\leq k\leq n}$ est une base de $E$.
• Calculer $\sum_{k=0}^nkE_k$ et $\sum_{k=0}^nk^2E_k$.
• Comment aurait-on pu prevoir les resultats obtenus?

Resoudre dans $\M_n(\R)$ l'equation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$.

Soit $M=\left(\begin{array}{c|c}A&A\\ \hline A&B\end{array}\right)$ avec $A,B\in\M_n(\R)$. Trouver une condition necessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit inversible. Calculer alors $M^{-1}$.

Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente d'indice $n$.

• Justifier l'existence d'un vecteur $X_0\in\M_{n,1}(\R)$ tel que $A^{n-1}X_0\neq 0$. En deduire que la famille $(X_0,AX_0,\ldots,A^{n-1}X_0)$ est libre.
• Montrrer que $A$ est semblable a $J_n=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\ 1&\ddots&&&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$.

c) i): Soit $\lambda\in\C^*$. Montrrer que $\lambda(e^{J_n}-I_n)$ est nilpotente. Preciser son indice de nilpotence.

• Montrrer qu'il existe $P\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=\lambda P^{-1}e^{J_n}P$.
• En deduire qu'il existe $B\in\M_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=e^B$.

${}^{\bigstar}$ Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$ nilpotent, $F$ est sous-espace vectoriel de $E$ tel que $u(F)\subset F$. On suppose que $E=F+\text{Im}(u)$. Montrer que $E=F$.

• Soit $P\in\text{GL}_n(\C)$, que l'on decompose en $P=Q+iR$ avec $P$ et $Q\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$, tel que $Q+\lambda R\in\text{GL}_n(\R)$.

  • En deduire que deux matrices $A$ et $B$ reelles, semblables sur $\C$, sont semblables sur $\R$.
  • Soient $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $A^3=B^3=I_n$ et $\text{tr}(A)=$tr$(B)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.

Diagonaliser $A=$$\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ 1&\cdots&1&1\end{pmatrix}$$\in\M_n(\R)$.# 1201 On considere un de equilibre a $n$ faces. Les lancers se modelisent par une suite $(X - {i\geq 1}$ i.i.d de variables aleatoires suivant la loi uniforme sur $\llbracket 1,n\rrbracket$.

Pour $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$.

• Determiner la loi de $T_k$.
• Donner un equivalent, quand $n\to+\i$, du nombre moyen $M_n$ de lancers necessaires pour obtenir toutes les faces.

Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aleatoires independantes qui suivent la loi uniforme sur $\llbracket 1\,;\,N\rrbracket$.

• Montrer que les evenements $(p_k|X_1):\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont independants pour $k\in\llbracket 1\,;\,m\rrbracket$.
• Pour $k\in\llbracket 1\,;\,m\rrbracket$, calculer $\mathbf{P}(p_k|X_1$ et $p_k|X_2)$.
• Calculer la probabilite de l'evenement $\triangleleft X_1$ et $X_2$ sont premiers entre eux $\mathchar 13334\relax$.

Soit $n\in\N^*$. On munit $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$ de la probabilite uniforme.

• Soit $a$ un diviseur de $n$, on note $D(a)$ l'ensemble des multiples de $a$ qui se trouvent dans $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$. Calculer $\mathbf{P}(D(a))$.
• On note $p_1,\ldots,p_k$ les diviseurs premiers (distincts) de $n$. Montrer que $D(p_1),\ldots,D(p_k)$ sont mutuellement independants.
• Soit $B$ l'ensemble des entiers dans $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$ qui sont premiers avec $n$. Calculer $\mathbf{P}(B)$ a l'aide de $p_1,\ldots,p_k$.
• On note $\phi(n)$ le nombre d'entiers dans $\llbracket 1\,;\,n\rrbracket$ qui sont premiers avec $n$. Montrer que $\phi(n)=n\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\text{ premier}\\ \text{p divise }n\end{subarray}}\frac{p-1}{p}$

Soit $X$ une variable aleatoire discrete a valeurs reelles. Soient $b\gt 0$ et $I$ un intervalle de $\R$. Soit $g:\R\to\R^+$ une fonction telle que $g(x)\geq b$ pour tout $x\in I$.

• Montrer que $\mathbf{P}(X\in I)\leq\frac{\mathbf{E}(g(X))}{b}$.
• On suppose que $X$ a un ecart-type $\sigma$ et que $\mathbf{E}(X)=0$.

Montrer $:\forall t\gt 0,\,\mathbf{P}(X\gt t)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}$.

Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un reel $c\gt 0$.

Soient $X,Y$ deux variables aleatoires discretes a valeurs dans $\R^{+*}$, independantes et identiquement distribuees. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. A quelle condition a-t-on egalite?

Les variables aleatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\llbracket 1\,;\,n\rrbracket)$ et elles sont independantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$.

• Soit $(A - {n\in\N^*}$ une suite d'evenements. Montrer que $B:\triangleleft$ II existe un rang a partir duquel $A_n$ est vraie $\mathchar 13334\relax$ est un evenement et que $B=\bigcup\limits_{n\in\N^*}\left(\bigcap\limits_{k\geq n}A_{k }\right)$.

  • Soient $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aleatoires reelles de meme loi que $X$.On suppose $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^4)\lt +\i$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
  • Calculer $\mathbf{E}({S_n}^4)$ en fonction de $n$, $\mathbf{E}(X^2)$ et $\mathbf{E}(X^4)$.
  • En deduire que pour tout $\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\bigcap_{k\geq n}\left(\left|\frac{S_{ k}}{k}\right|\leq\eps\right)\right)=1$ et que, presque surement, $\lim_{n\to+\i}\frac{S_n}{n}=0$.

Soit $\alpha\gt 0$.

• Montrer l'existence d'une variable aleatoire $X$ valeurs dans $\N$ de fonction generatrice $ G_X\left(t\right)=\frac{1}{\left(2-t\right)^{\alpha}}$.
• Donner un equivalent de $\mathbf{P}\left(X=n\right)$ quand $n\to+\i$.
• Pour $\lambda\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}\left(X\geq\lambda+\alpha\right)\leq\frac{2\alpha}{\lambda ^2}$.

Centrale

Algebre

On considere, pour $n\in\N$, $ C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$.

• Montrer que, pour tout $n\in\N$, $ C_n\in\N^*$.
• Calculer $\sum_{k=0}^nC_kC_{n-k}$.
• Donner tous les entiers tels que $ C_n$ soit pair. En deduire tous les entiers tels que $ C_n$ soit impair.

Pour $n\in\N^*$, on note $\mc{P}(n)$ l'ensemble des nombres premiers inferieurs ou egaux a $n$ et $ P_n=\prod_{p\in\mc{P}(n)}p$.

• Montrer que $\forall n\geq 2$, $\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\lt \binom{2n}{n}\lt 4^n$.
• Montrer que $\forall n\geq 1$, $\binom{2n+1}{n}\lt 4^n$.
• Montrer que $\forall n\in\N$, $ P_{2n+1}\lt 4^nP_{n+1}$.

Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini commutatif tel que le nombre d'automorphismes de $G$ est $3$.

a) i): Donner la definition d'un automorphisme. Montrer que $\phi:x\mapsto x^{-1}$ est un automorphisme de $G$.

• Montrer que, pour tout $x\in G$, $x^2=e$.
• Montrer que $G$ possede un sous-groupe $V$ d'ordre $4$ et preciser les automorphismes de $V$.# 1212

Soient $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 3$[4] et $C=\{x\in\Z/p\Z,\ \exists y\in\Z/p\Z,\ x=y^2\}$.

• Rappeler l'enonce du petit theoreme de Fermat. Montrer que $-1\notin C$.

On pose $\pi_x=\prod_{y\in C\setminus\{x\}}(x+y)$ pour $x\in C\setminus\{0\}$ et $\pi=\prod_{x\neq y\in C}(x+y)$.

• Determiner le cardinal de $C$.
• Montrer que $\forall x\in C\setminus\{0\}$, $\pi_x=\pi_1$.
• Calculer $\pi$.

On pose $u=2+\sqrt{3}$, $v=2-\sqrt{3}$.

Pour $n\in\N$, on note $M_n=2^n-1$ et $s_n=u^{2^n}+v^{2^n}$.

• Montrer que, si $M_n$ est premier, alors $n$ est premier.
• Montrer que, pour $n\in\N$, $s_{n+1}=s_n^2-2$. Qu'en deduire sur le suite $(s - {n\in\N}$?
• Soit $q$ un nombre premier. On munit l'ensemble $B=(\Z/q\Z)^2$ des deux lois de composition interne definies par :

$(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et $(x,y)\cdot(x',y')=(xx'+3yy',xy'+x^{ '}y)$.

• Montrer que les deux lois precedentes muinssent $B$ d'une structure d'anneau commutatif fini.
• Montrer que, si $3$ n'est pas un carre modulo $q$, alors l'anneau precedent est un corps.
• On note $A=\Z+\sqrt{3}\Z$. Montrer que l'application $\pi$ definie par $\pi(a+b\sqrt{3})=(\overline{a},\overline{b})$ est bien definie et est un morphisme surjectif d'anneaux de $A$ dans $B$.
• On suppose $n$ premier. Montrer que, si $M_n$ divise $s_{n-2}$ alors $M_n$ est premier.

Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considerant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et determiner l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des elements inversibles de l'anneau $B$.

Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est noetherien lorsque tous ses ideaux sont engendres par une partie finie de $A$.

• Les anneaux $\Z$ et $\R[X]$ sont-ils noetheriens?
• Montrer que $A$ est noetherien si et seulement si toute suite croissante d'ideaux est stationnaire.
• Soit $A$ un anneau non commutatif. On dit que $\mc{I}$ est un ideal a gauche de $A$ lorsque $\mc{I}A\subset\mc{I}$ (definition similaire pour un ideal a droite). Soit $A$ noetherien, c'est-a-dire que tous les ideaux, a droite ou a gauche, de $A$ sont de type fini. Montrer que l'inversibilite a gauche equivaut a l'inversibilite a droite, i.e. $\forall a\in A,\Big{(}\exists b\in A,\ ab=1\Longleftrightarrow\exists b\in A,\ ba=1 \Big{)}$.

Ind. Considerer $\phi:x\mapsto ax$.

• Soit $G$ un groupe commutatif fini. Si $a$ et $b$ sont deux elements de $G$ d'ordre premiers entre eux, quel est l'ordre de $ab$?

  • Soit $G$ un groupe commutatif fini. Montrer qu'il existe un element de $G$ dont l'ordre est le ppcm des ordres des elements de $G$.
  • Soit $p$ un nombre premier. Montrer que le groupe $\mathbb{F}_p^*$ est cyclique.

Soit $(T - {n\in\N}$ la suite de polynomes reels definie par $T_0(X)=1,\ T_1(X)=X$ et pour $n\in\N,\,T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)$.

• Montrer que, pour $n\in\N$, $\forall\theta\in\R$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. - Montrrer que $T_n\circ T_m=T_m\circ T_n$ pour $(m,n)\in\N^2$.
• Montrre que, pour $n\geq m$, $2T_nT_m=T_{n+m}+T_{n-m}$.

On considere l'equation differentielle $(E):(1-x^2)P^{' 2}=n^2(1-P^2)$.

• Montrre que, pour $n\in\N$, $T_n$ et $-T_n$ sont solutions de $(E)$ sur $\R$.
• Montrre que tout polynome solution de $(E)$ est de degre $n$, puis determiner les polynomes solution de $(E)$ sur $\R$.

Soient $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$ et $b_1\lt b_2\cdots\lt b_p$ des reels et $M=(e^{a_ib_j})_{1\leq i,j\leq p}$.

• Calculer $\det M$ lorsque $b_k=k-1$ pour tout $k$.
• Montrre que $M$ est inversible, puis que $\det M\gt 0$.

• Rappeler la definition de l'indicatrice d'Euler, exprimer $\phi(n)$ en fonction de sa decomposition en facteurs premiers.

  • Pour $n\geq 2$, calculer $\sum_{d|n}\phi(d)$ (la somme etant restreinte aux diviseurs positifs).
  • En deduire le determinant de $A$, ou $A_{i,j}=i\wedge j$.

Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, l'on ait $\left(f(a_{ij})\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{ R})$.

• A l'aide des matrices $U_{x,y}=\left(\begin{array}{cc}x&1\\ y&1\end{array}\right)$, montrer que $f$ est injective.
• En utilisant l'ensemble $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x\lt y\}$, en deduire que $f$ est strictement monotone.
• On suppose que $f(\R)=\R^{+*}$. Montrre qu'il existe $a\in\R$ tel que, pour tous $x,y\in\R$, il existe $z_{x,y}\in\R$ tel que $f(x)f(y)=f(a)f(z_{x,y})$, et conclure a une absurdite.
• Traiter de meme le cas $f(\R)=\R^{-*}$.

• Rappeler la formule de developpement d'un determinant par rapport a une ligne ou une colonne. En deduire, pour $A\in\M_n(\R)$, une relation entre $\mathrm{Com}\,A$, $A$ et $\det A$.

  • Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de $\M_n(\R)$ definie par : $a_{i,i}=2$, $a_{i,j}=-1$ si $|i-j|=1$ et $a_{i,j}=0$ dans tout autre cas. Calculer le determinant de $A$.
  • Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs, dont les autres coefficients sont negatifs et telle que $\sum_{j=1}^na_{i,j}\gt 0$ pour tout $i$. Montrre que $A$ est inversible.
  • Montrre que les coefficients de $A^{-1}$ sont positifs.

Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)$.

• Montrre que, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.
• Trouver les endomorphismes $h$ de $\M_n(\R)$ qui verifient, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $f(F(A),B)=f(A,h(B))$.
• Dans cette question, on suppose que $n=2$.Soit $h:\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\in{\cal M}_2(\R)\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}a+c &b+d-a-c\\ c&d-c\end{array}\right).$ Determiner les endomorphismes $k$ de ${\cal M}_n(\R)$ tels que $f(h(A),B)=f(A,k(B))$ pour tout $(A,B)\in{\cal M}_n(\R)^2.$ Parmi eux, preciser ceux qui sont trigonalisables, diagonalisables.

• Enoncer et demontrer la caracterisation du rang par les matrices extraites.

  • Soit $\Omega_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices $M=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de ${\cal M}_n(_K)$ telles que, pour tout $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$, la matrice $M_k:=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq k}$ soit inversible. Si $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, montrer que $\Omega_n$ est un ouvert de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$.
  • Montrer qu'une matrice $M$ de ${\cal M}_n(_K)$ appartient a $\Omega_n(\mathbb{K})$ si et seulement si $M$ s'ecrit $TT'$ ou $T$ (resp. $T'$) est une matrice de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ triangulaire inferieure (resp. superieure) inversible.

Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdots&\iddots&&\vdots\\ a_n&0&\ldots&0\end{array}\right)\in{\cal M}_n(\R)$

• Donner la definition du polynome minimal $\pi_A$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
• Calculer $\det(A)$ et $A^2$.
• Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si ${\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^2)$. Donner une condition sur les $a_1,\ldots,a_n$ pour que $A$ soit diagonalisable.

On se place dans ${\cal M}_n(\C)$.

• Montrer que toute matrice est trigonalisable sur $\C$.
• Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ et $D={\rm Diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Montrer qu'il existe un polynome $f$ tel que pour tout $i\in\llbracket 1,n\rrbracket$, $f(\alpha_i)^2=\alpha_i$. En deduire que $f(D)^2=D$.

On considere la suite $(c - {k}$ definie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_{k+1}=\sum_{i=0}^kc_ic_{k-i}$ et le polynome $\phi=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}$.

• Determiner le reste de la division euclidienne de $\phi^2$ par $X^n$.
• Trouver un polynome $g$ tel que, pour toute matrice nilpotente $N\in{\cal M}_n(\C)$, on ait $g(N)^2=I_n+N$.
• Soit $A$ une matrice inversible. Montrer qu'il existe $R\in\C[A]$ telle que $R^2=A$.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. On note $E_i$ ses sous-espaces propres et $n_i=\dim E_i$.

• Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^rE_i$.
• Soit $g$ un endomorphisme de $E$. Montrer que les propositions suivantes sont equivalentes :
• $g$ commute avec $f$, - pour tout $i\in\llbracket 1,r\rrbracket$, $g(E_i)\subset E_i$.En deduire que la dimension du commutant de $f$ est $\sum_{i=1}^r{n_i}^2$.
• Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$, montrer que la dimension du commutant de $A$ est superieure ou egale a $n$.

Soit $A\in{\cal M}_d({\C})$. On note $\rho(A)=\max_{\lambda\in{\rm Sp}(A)}|\lambda|$. On pose, pour $n\in{\N}$, $u_n=\sqrt[n]{|{\rm tr}\,(A^n)|}$.

• Si ${\rm Sp}(A)$ est un singleton, montrer que $(u_n)$ converge vers $\rho(A)$.
• Donner un exemple de matrice dans ${\cal M}_2({\C})$ telle que $(u_n)$ ne converge pas.

On suppose maintenant que $A$ a au moins deux valeurs propres distinctes.

• Soit $z\in{\C}$ tel que $|z|=1$. Montrer que $1$ est valeur d'adherence de $(z^n)$. Montrer que $\rho(A)$ est valeur d'adherence de $u_n$.

Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Pour toute partie $A\subset{\cal L}(E)$, on note ${\cal C}(A)=\{u\in{\cal L}(E)\;;\;\forall v\in A,\;u\circ v=v\circ u\}$. L'objectif de l'exercice est d'etudier ${\cal B}(f)={\cal C}({\cal C}(\{f\}))$.

• Montrer que ${\cal B}(f)$ est une ${\mathbb{K}}$-algebre contenant ${\mathbb{K}}[f]$.
• On suppose $f$ nilpotente d'indice $n$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$.
• Soient $G_1,G_2$ deux sous-espaces vectoriels supplementaires stables par un $f\in{\cal L}(E)$. On pose $f_i=f_{|G_i}$. On suppose que $\pi_{f_1}\wedge\pi_{f_2}=1$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$.

Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\in{\N}$, $a\in E$ un vecteur unitaire, et $H$ l'hyperplan orthogonal a la droite vectorielle dirigee par $a$. On note $\sigma$ la symetrie orthogonale par rapport a l'hyperplan $H$, et $p$ la projection orthogonale sur $H$.

• Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, $F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}F^{\perp}=E$.
• Montrer que, pour $x\in E$, $p(x)=x-\langle a,x\rangle a$.
• Soit $\Omega=\{x\in E,\;\langle a,x\rangle\geq 0\;\;\mbox{et}\;\;\langle x,\sigma(x) \rangle\leq 0\}$.

Montrer les equivalences suivantes, pour $x\in E$ :

• $x\in\Omega$ si et seulement si $\langle a,x\rangle\leq\|p(x)\|$,
• $x\in\Omega$ si et seulement si $\forall y\in\Omega$, $\langle x,y\rangle\leq 0$.

Soit $E$ un espace euclidien. Soit $s\in{\cal L}(E)$.

• Rappeler l'identite du parallelogramme et les identites de polarisation.
• Montrer l'equivalence suivante :

1. $\exists c\in{\R},\;\forall(x,y)\in E^2,\;\langle s(x),s(y)\rangle=c \langle x,y\rangle,$

ii) $\forall(x,y)\in E^2,\,\langle x,y\rangle=0\;\Rightarrow\;\langle s(x),s(y) \rangle=0$.

• Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_0^1PQ$ definit un produit scalaire sur ${\R}_{n-1}[X]$. En deduire qu'il existe un unique $P\in{\R}_{n-1}[X]$ tel que $\int_0^1x^kP(x)\,{\rm d}x=1$ pour 0 $\leq k\leq n-1$. On pose $P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}$. - Soit $f:[0,1]\to\R$ continue telle que $\int_0^1x^kf(x)\,dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$. Montrer que $\int_0^1f^2\geq\sum_{i=0}^{n-1}a_i$, puis que $\int_0^1f^2\geq n^2$.

• Montrer que l'application $(P,Q)\mapsto\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$.

  • Soit $(E,\phi)$ un espace euclidien et $B=(e_1,...,e_n)$ une base de $E$. Montrer que la matrice $(\phi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est symetrique definie positive.
  • Pour tout $p\in\N$, on pose $L_p=\frac{d^p}{dX^p}\,[X^p(1-X)^p]\in\R[X]$. Montrer que la famille $(L_p)$ est orthogonale pour le produit scalaire de la question $a$. Est-elle orthonormale?
  • Soit $M=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n+1}$. Montrer que la matrice $M$ est symetrique definie positive et calculer $\det M$.

Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$.

• Rappeler la definition d'une matrice definie positive. Donner des proprietes d'une telle matrice.
• Pour $x\in\R^n$, on pose $J(x)=\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. Montrer que $J$ est strictement convexe, c'est-a-dire que : $\forall x\neq y$, $\forall\lambda\in]0,1[$, $J(\lambda x+(1-\lambda)y)\lt \lambda J(x)+(1-\lambda)J(y)$.
• Montrer que $J$ atteint un minimum en un unique point de $\R^n$ et que ce vecteur est solution de l'equation $Ax=b$.

Soient $n\in\N$ et $\alpha\gt 0$. On note $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det M\geq\alpha\}$. Le but de cet exercice est de s'interesser, pour $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, a la quantite $m_{\alpha}(A)=\inf_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)$.

• Montrer que les valeurs propres d'une matrice symetrique reelle sont reelles. Rappeler le theoreme spectral. Justifier l'existence de $m_{\alpha}(I_n)$ puis la calculer.
• Soit $A\in\mc{S}_n^+(\R)$. Justifier l'existence de $R\in\mc{S}_n^+(\R)$ telle que $A=R^2$. Prouver l'unicite puis calculer $m_{\alpha}(A)$.
• Que se passe-t-il lorsque $\alpha=0$?

Soient $d\in\N^*$, $A\in\mc{S}_n(\R)$ a coefficients dans $\{0,1\}$ et de trace nulle. On suppose que $A^2+A-(d-1)I_n=J_n$ ou $J_n$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$.

• Montrer que chaque ligne de $A$ contient $d$ coefficients egaux a $1$.
• Montrer que $AU=dU$ ou $U=(1\,\cdots\,1)^T$. En deduire que $n=d^2+1$.
• Montrer que la multiplicite de $d$ est egale a $1$.
• Montrer que les autres valeurs propres de $M$ sont racines de $X^2+X-d+1=0$.
• Montrer que'il existe deux entiers naturels $m_1$ et $m_2$ tels que $m_1+m_2=n-1$ et $d+m_1r_1+m_2r_2=0$ ou $r_1$ et $r_2$ sont les solutions de l'equation precedente.
• Montrer que si $m_1=m_2$ alors $d=2$. On suppose $d\gt 2$ dans la suite.
• Montrer que'il existe un entier $k$ tel que $4d-3=(2k+1)^2$ puis que $k^4\equiv 1\ [2k+1]$.
• Montrer que, pour tout entier $k\in\N$, on a $16k^4\equiv 1\ [2k+1]$. En deduire qu'on a forcement $d\in\{2,3,7,57\}$.# 1235

Soit $A=\begin{pmatrix}A_1&B\\ B^T&A_2\end{pmatrix}$ une matrice symetrique definie positive avec $A_1\in\mc{S}_p(\R)$ et $A_2\in\mc{S}_q(\R)$.

• Montrrer que $A_1$ et $A_2$ sont definies positives.
• Montrer qu'il existe $R_1$ et $R_2$ symetriques definies positives telles que $R_1^2=A_1$ et $R_2^2=A_2$.
• Montrer que $\det(A)\leq\det(A_1)\det(A_2)$.

On considere la relation binaire pour $(A,B)\in(\mc{S}_n(\R))^2A\preceq B\Leftrightarrow B-A\in \mc{S}_n^+(\R)$.

• Montrer que l'on definit ainsi une relation d'ordre sur $\mc{S}_n(\R)$.
• Montrer qu'une partie de $\mc{S}_n(\R)$ est bornee si et seulement si elle est majoree et minoree pour $\preceq$.
• Montrer que toute suite croissante majoree pour $\preceq$ converge.
• Soient $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $A\preceq B\implies B^{-1}\preceq A^{-1}$.

Si $S\in\mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(S)\leq\cdots\leq\lambda_n(S)$ le spectre ordonne de $S$. On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique note $\langle\,\ \rangle$ et on note $S^{n-1}$ la spere unite.

• Montrer que, si $S\in\mc{S}_n(\R)$, $\lambda_1(S)=\min\{\langle Sx,x\rangle\ ;\ x\in S^{n-1}\}$.
• Si $d\in\llbracket 1,n\rrbracket$, soit $\mc{V}_d$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $d$ de $\R^n$. Montrer que, si $k\in\llbracket 1,n\rrbracket$ et $S\in\mc{S}_n(\R)$,

$\lambda_k(S)=\min\limits_{V\in\mc{V}_k}\max\{\langle Sx,x\rangle\ ;\ x\in V \cap S^{n-1}\}=\max\limits_{V\in\mc{V}_{n-k+1}}\min\{\langle Sx,x\rangle \ ;\ x\in V\cap S^{n-1}\}$.

• Si $(i,j)\in\llbracket 1,n\rrbracket^2$, $i+j\leq n+1$ et $(S,S')\in\mc{S}_n(\R)^2$, montrer que

$\lambda_{i+j-1}(S+S')\leq\lambda_i(S)+\lambda_j(S')$.

Analyse

Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme, $F$ un sous-espace vectoriel ferme strict de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe un vecteur unitaire $u$ de $E$ tel que $d(u,F)\geq\delta$.

Soient $(E,N)$ et $(E',N')$ deux espaces vectoriels normes.

Soit $d\in\N$. Pour $P(X)=p_0+p_1X+\cdots+p_dX^d\in\R_d[X]$ on pose $\|P\|=\max(|p_0|,...,|p_d|)$.

• Verifier que l'application $\|\ \|$ est une norme sur $\R_d[X]$.

b) i) Soit $(y - {n\in\N}$ une suite d'elements de $E$, convergeant vers $\ell\in E$.

Montrer que l'ensemble $Y=\{y_n,\ n\in\N\}\cup\{\ell\}$ est compact.

• Soit $f:E\to E'$ continue telle que, pour tout compact $K$ de $E'$, $f^{-1}(K)$ est un compact de $E$. Montrer que, si $F$ est un ferme de $E$, alors $f(F)$ est un ferme de $E'$.
• Soit $P\in\R_d[X]$ un polynome unitaire. Montrer que, si $x\in\R$ est une racine de $P$ telle que $|x|\gt 1$, alors $|x|\leq\|P\|+1$. En deduire que l'ensemble des polynomes unitaires et scindes de $\R_d[X]$ est ferme dans $\R_d[X]$.

• Resoudre dans $\C$ l'equation $e^z=-1$.

  • Soit $f\colon\mathbb{U}\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $z\in\mathbb{U}$ tel que $f(-z)=f(z)$. En deduire que, si $A$ et $B$ sont deux parties fermees de reunion $\mathbb{U}$, il existe deux points de $\mathbb{U}$ diametralement opposes tous deux dans $A$ ou tous deux dans $B$. - Soient $D$ le disque unite ferme du plan complexe et $g:D\to\C^*$ continue telle que, pour tout $z\in\mathbb{U}$, $g(-z)=-g(z)$. On admet qu'il existe $h$ continue telle que $g=\exp\circ h$. Montrer qu'il existe $z\in D$ tel que $h(-z)=h(z)$.

Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme. Pour $A\subset E$ non vide et $x\in E$, on note $d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$.

• On suppose $A$ ferme. Soit $x\in E$. Montrer que $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in A$.
• Soient $F$ un sous-espace vectoriel ferme de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe $x\in E$ unitaire verifiant $d(x,F)\geq\delta$.
• On suppose $E$ de dimension infinie et on admet que les sous-espaces vectoriels de dimension finie sont fermes. Montrer que la sphere unite n'est pas un compact de $E$.

Soit $\phi$ la fonction definie sur $[0,1]$ par $\phi(0)=0$ et $\phi(t)=-t\ln(t)$ pour $t\in]0,1]$. Soit $n\in\N^*$. On pose $S_n$ l'ensemble des vecteurs $p=(p_1,...,p_n)\in\R^n$ tels que $p_1+...+p_n=1$ et $p_i\geq 0$ pour tout $1\leq i\leq n$. On pose enfin $H_n(p)=\sum_{i=1}^n\phi(p_i)$ pour $p\in S_n$.

• • Donner la definition d'une partie compacte d'un espace vectoriel norme, et en donner une caracterisation en dimension finie.
• Montrer que $S_n$ est une partie compacte et convexe de $\R^n$.
• • Montrer que $H_n$ est continue.
• Montrer que $H_n$ atteint sur $S_n$ un maximum en un unique point $p_0$, et expliciter $p_0$.

Soit $v=(v_1,...,v_n)\in\R^n$. On pose $f_v(p)=H_n(p)+\sum_{i=1}^np_iv_i$ pour $p\in S_n$.

On pose $f_v^*=\sup_{p\in S_n}f_v(p)$ et $E_v=\{p\in S_n,\ f_v(p)=f_v^*\}$.

• Montrer que $E_v$ est non vide. Determiner $f_v^*$ et $E_v$.

Soient $(E,\|\ \|)$, $(E',\|\ \|)$ deva espaces vectoriels normes de dimension finie, $A$ un ferme non vide de $E$, $B$ une partie non vide de $E'$. Soit $f:A\to B$ continue bijective telle que l'image reciproque par $f$ de toute partie bornee de $B$ est bornee. Montrer que $f^{-1}$ est continue.

Un espace norme reel est dit separable lorsqu'il contient une partie denombrable dense.

• L'espace $\R$ est-il separable?
• Montrer qu'un espace norme de dimension finie est separable.
• Soit $E$ un espace prehilbertien reel de dimension infinie. Montrer que $E$ est separable si et seulement s'il existe une suite orthonormalee $(e - {n\geq 0}$ telle que $\op{Vect}{(e - {n\geq 0}}$ soit dense dans $E$.

Soit $E$ l'espace des fonctions polynomiales de $\R$ dans $\R$. Pour tout $f\in E$, on note $\phi(f)$ la primitive de $f$ d'integrale nulle sur l'intervalle $[0,1]$.

• Justifier la definition de $\phi$ puis etablir qu'il s'agit d'une application lineaire sur $E$.

On munit $E$ de la norme $\|\ \|_{\i}$ sur $[0,1]$.

On note $\|\phi\|_{\mathrm{op}}=\sup\left\{\frac{\|\phi(f)\|_{\i,[0,1]}}{\|f \|_{\i,[0,1]}},\ f\in E\setminus\{0_E\}\right\}.$

• Montrer que $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$ est correctement definie et en trouver un majorant. - Soient $f\in E$ et $G$ la primitive de $F=\phi(f)$ nulle en $0$. Etablir que, pour tout $x\gt 0$,

$$G(x)=xF(x)-\int_0^xtf(t)dt=(x-1)F(x)-\int_x^1(1-t)f(t)\mathrm{d }t.$$

• Determiner la norme $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$.

Soit $A\in\M_n(\R)$, on pose $f_A(x)=(A+xI_n)^{-1}A$ pour $x$ reel convenable.

• Montrer que la fonction $f_A$ est definie au voisinage epointe de $0$.
• Etudier le comportement de la fonction $f_A$ en $0$ dans le cas ou $A$ est inversible, puis dans le cas ou $A$ est nilpotente.
• Soit $u\in\mc{L}(\R^n)$. Montrer l'existence de $p\in\N^*$ tel que $\mathrm{Im}(u^p)\oplus\mathrm{Ker}(u^p)=\R^n$.

En deduire l'existence de deux supplementaires $F$ et $G$ dans $\R^n$, stables par $u$, tels que $u$ induit sur $F$ un automorphisme et induit sur $G$ un endomorphisme nilpotent.

• Caracteriser les matrices $A$ pour lesquelles $f_A$ a une limite en $0$.

Soient $(a_n)$ une suite a termes reels positifs et $(b_n)$ une suite a termes complexes. On suppose que la serie $\sum a_n$ diverge et que $b_n\sim a_n$. On note $S_n=\sum_{k=0}^na_k$.

• Montrer que la serie $\sum b_n$ diverge et que les sommes partielles des deux series sont equivalentes.
• On suppose qu'il existe $\lambda\in\R^{+*}$ tel que $\frac{S_n}{na_n}\xrightarrow[n\to+\i]{}\lambda$. Determiner la limite de $\frac{1}{n^2a_n}\sum_{k=0}^nka_k$.

• Rappeler la regle de d'Alembert pour une serie numerique a termes positifs.

  • On considere une suite croissante $(q - {n\geq 1}$ d'entiers $\geq 2$.
  • Quel est le rayon de convergence de la serie entiere $\sum\frac{z^n}{q_1...q_n}$?
  • Montrer que si la suite $(q_n)$ est stationnaire alors le reel $ x=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{q_1...q_n}$ appartient a $\Q\cap]0,1]$.
  • On admet reciproquement que si $(q_n)$ tend vers $+\i$ alors $x\notin\Q$. Montrer que les reels $e$, $\mathrm{ch}(\sqrt{2})$ et $e^{\sqrt{2}}$ sont irrationnels.
  • Montrrer la reciproque admise ci-dessus.

Soit $I=]-1,+\i[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ verifie $(*)$ si et seulement si :

$\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$.

On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit $f\in\mc C^0(I,\R)$.

• Simplifier $x_n+y_n+x_ny_n$. Montrer que la serie de terme general $ f(x_n)$ converge et exprimer $\sum_{n=0}^{+\i}f(x_n)$ en fonction de $f(1)$.
• Montrer que $f$ est derivable. - Trouver toutes les fonctions continues verifiant $(*)$.

Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois derivable telle que $ff^{(3)}=0$.

• Montrrer que, si $f'$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ prend une meme valeur au plus deux fois sur $I$.
• On pose $\Gamma=\{x\in I,{f'}'(x)=0\}$. Montrer que, si $\Gamma$ est non vide, alors $\Gamma$ n'est ni majore, ni minore.
• Montrer que $\Gamma$ est un intervalle et en deduire $f$.

• Soit $g:[a,b]\to\R$ continue et injective. Montrer que $g$ est strictement monotone.

On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, $g^2(x)=2g(x)-x$.

• Montrer qu'une telle fonction est bijective et strictement croissante.
• Exprimer $g^n$ pour tout $n\in\N$ puis conclure.

• Rappeler la definition d'une fonction lipschitzienne. Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue. Soient $\alpha\in]0,1]$ et

$H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha}\big{\}}$.

• Montrer $H_{\alpha}$ est un $\R$-espace vectoriel, que si $0\lt \alpha\leq\beta\leq 1$, alors $H_{\beta}\subset H_{\alpha}$. Verifier que $x\mapsto x^{\alpha}\in H_{\alpha}$.
• Montrer que, pour $0\lt \alpha\lt \beta\leq 1$, $H_{\beta}$ est strictement inclus dans $H_{\alpha}$.
• Montrer que $\mc C^1([0,1],\R)\subset H_{\alpha}\subset\mc C^0([0,1 ],\R)$ et que ces inclusions sont strictes.

• Soient $a,b$ dans $\R$ avec $a\lt b$ et $f:]a,b[\to\R$ derivable. On suppose que $f$ admet la meme limite finie $\ell$ en $a$ et en $b$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.

  • Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto e^{\frac{1}{x^2-1}}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $]-1,1[$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynome $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(x^2-1)^{2n}}f(x)$. Quel est le degre de $P_n$?
  • Combien $f^{(n)}$ a-t-elle de zeros?

• Donner la definition de la multiplicite d'une racine d'un polynome puis sa caracterisation a l'aide des derivees successives du polynome.

  • Soit $P\in\C[X]$ non nul. Exprimer $P'/P$ a l'aide des racines de $P$.
  • Soit $r\gt 0$. On suppose que $P$ ne s'annule pas sur le cercle $C(0,r)$ du plan complexe. On pose $N_r(P)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{P'(re^{it})}{P(re^{it})}re ^{it}\,dt$. Montrer que $N_r(P)$ est egal au nombre de racines de $P$ (comptees avec multiplicite) dans le disque $D(0,r)$.

Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0(\R^+,\R)$ telles que $\int_0^{+\i}f^2\lt \i$. Soit $f\in E$.

On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on definit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$._a) i)_: Rappeler le theoreme concernant la derivabilite des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrver que $Tf$ est continue. - Montrver que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$.

• Soit $A\gt 0$. Montrver que $\int_0^ATf(x)^2\,dx\leq 2\int_0^A\frac{f(x)}{x} \left(\int_0^xf\right)dx$. En deduire que $Tf\in E$ et que $\|Tf\|\leq 2\|f\|$
• Montrver que la constante 2 est optimale dans l'inegalite $(*)$. On pourra considerer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$.

Soient $(a_n)$ une suite reelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornee, $(b_n)$ une suite reelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$.

• Montrver qu'une serie absolument convergente est convergente.
• Montrver que la serie de terme general $a_nb_n$ converge.
• Montrver que la serie de fonctions de terme general $b_nf_n$ converge.

Soit $f\in C^1(\R^+,\R^{+*})$ croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\sim}\frac{a}{x}$ ou $a\gt 0$.

• Citer le theoreme d'integration des relations de comparaison, puis trouver un equivalent de $\ln(f(x))$ quand $x\to+\i$.
• Donner le domaine de definition de $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)\,e^{-nx}$. Determiner les limites de $u$ aux bornes de son domaine de definition.
• Montrver qu'il existe $C\in\R$ tel que $u(x)\sim\frac{C}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)$ lorsque $x\to 0^+$.

Soient $\alpha\in\N$ avec $\alpha\geq 2$ et $\beta\in]1,+\i[$. Soit $f:t\mapsto\sum_{n\geq 0}\frac{\cos(2\pi\alpha^nt)}{\beta^n}$.

• Montrver que $f$ est definie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est derivable sur $\R$.
• On suppose $\alpha\geq\beta$. Montrver que $f$ n'est pas derivable en $0$.

Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0$. Montrver que $f$ est $\mc C^{\i}$ puis developpable en serie entiere au voisinage de l'origine.

On considere la serie entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$.

• Montrver que le rayon de convergence $R$ est $\geq 1$.
• Calculer $S(x)$ pour $|x|\lt 1$ puis montrer que $R=1$.
• Determiner un equivalent de $a_n$.# 1261

On pose, pour $n\in\N$, $c_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$.

• Donner le developpement en serie entiere de $x\mapsto(1+x)^{\alpha}$. Exprimer le developpement en serie entiere de $f:x\mapsto\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (avec $f(0)=1$) a l'aide des $c_n$.
• Soit $r$ un rationnel que l'on peut ecrire $r=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ avec $b\wedge d=1$. Montrer que $r$ est entier. Montrer que, pour tout $n\in\N^*,$$c_n\in\N$.
• Donner la valeur de $\sum_{k=0}^nc_kc_{n-k}$ en fonction de $c_{n+1}$.

Pour $n\geq 1$, on note $t_n$ le nombre de $\sigma\in\mc{S}_n$ telles que $\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}$. On convient que $t_0=1$,

• Montrer que la serie entiere $\sum\frac{t_n}{n!}\,x^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$.
• Calculer $t_1,t_2,t_3$. Montrer que, si $n\geq 2$, $t_n=t_{n-1}+(n-1)t_{n-2}$.
• Determiner $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{t_n}{n!}x^n$ pour $x\in]-1,1[$. En deduire une expression de $t_n$ sous forme de somme. Calculer $\lim_{n\to+\i}\frac{t_n}{n!}$.

Pour $n\in\N$, on note $\mc{P}_n$ l'ensemble des polynomes $P$ a coefficients dans $\{0,1,2\}$ tels que $P(2)=n$, et $a_n=|\mc{P}_n|$. On note $s_n$ la somme des chiffres de l'ecriture binaire de l'entier $n$, et pour $k\in[\![0,7]\!]$, on pose $b_{n,k}=|\{i\in[\![0,n]\!],\ s_i-s_{n-i}\equiv k\ [8]\}|$.

• Calculer $a_0$, $a_1$, $a_2$ et $a_3$.
• Montrer que $\mc{P}_n$ est fini.
• Montrer que, pour $n\in\N$, $a_{2n+1}=a_n$ et que, pour $n\in\N^*$, $a_{2n}=a_n+a_{n-1}$.

Ind. Pour la premiere egalite, on pourra exhiber une bijection entre $\mc{P}_n$ et $\mc{P}_{2n+1}$.

• Montrer que la serie entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence egal a $1$.

On note $A(x)$ la somme de cette serie.

• Montrer que, pour $x\in]-1,1[$, $A(x)=(1+x+x^2)A(x^2)$.

En deduire que $\forall x\in]-1,1[$, $A(x)=\lim_{n\to+\i}\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})$.

• On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$. Etablir que, pour $n\in\N$ et $x\in]-1,1[$,

$$\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})=\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-j)^{n-s_k}x^k\right)\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-\overline{j})^{n-s_k}x^k \right).$$

• Que peut-on en deduire sur $(a_n)$?

• • Rappeler la definition de partie dense dans $\R$ et en donner une caracterisation sequentielle.
  • Trouver toutes les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que

$\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y)$.

On dit qu'une suite reelle $(a - {n\in\N}$ verifie la propriete $(P)$ si :1. La serie entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$,

1. La somme $S_a$ de cette serie entiere admet une limite reelle en $1^-$.
2. • Montrer que, si la serie $\sum a_n$ converge absolument, alors la suite $(a - {n\in\N}$ verifie $(P)$,
3. Etudier la reciproque.
4. Trouver toutes les suites $(a - {n\in\N}$ periodiques qui verifient $(P)$.

Soient $(a - {n\geq 1}$ une suite de carre sommable et $ f:t\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{a_n}{n-t}$.

• Preciser le domaine de definition de $f$.
• Montrer que $f$ est developpable en serie entiere autour de $0$.
• Montrer que si $f$ est identiquement nulle sur $[-1/2,1/2]$ alors la suite $(a_n)$ est nulle.

• Rappeler la definition d'une fonction $f$ developpable en serie entiere en $0$ et preciser une expression de $f^{(k)}(0)$ en fonction des coefficients pour $k\in\N$.

  • Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ au voisinage de $0$ pour laquelle il existe $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$.

Montrer que $f$ est developpable en serie entiere en $0$.

• Soit $f$ une fonction developpable en serie entiere en $0$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$.

On admet le theoreme suivant :_Pour $S$ une serie entiere de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une serie entiere $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z\in\C,\exp(L(z))=\ S(z)$.

• • Rappeler tous les modes de convergence d'une serie entiere sur son disque ouvert de convergence.
• Soient $ F(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ de rayon de convergence infini et $ G(z)=\text{Re}(F(z))$.

Pour $n\in\N^*$, montrer que $\int_0^{2\pi}F(re^{it})dt=2\pi a_nR^n$, puis que

$\int_0^{2\pi}G(Re^{it})e^{-int}dt=\pi a_nR^n$ et $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})dt=2\pi\text{Re}(a_0)$.

• Montrer que, s'il existe $p$ et $q$ reels strictement positifs tels que $\forall z\in\C,\ |G(z)|\leq p|z|+q$, alors $F$ est un polynome de degre au plus $1$.
• Montrer que l'application $z\mapsto z\exp(z)$ est une surjection de $\C$ sur lui-meme.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe $r\gt 0$ tel que, pour tout $t\in]-r,r[,\ \det(\mathrm{id}-tu)=\exp\Big{(}-\sum_{k=1}^{+\i}\frac{t^k\, \mathrm{tr}(u^k)}{k}\Big{)}$.

• • Rappeler la definition de fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\R$. - _Pour $n\in\N^*$, on definit une fonction $f_n$ sur $\R^+$ par $f_n(x)=\frac{1}{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)$ si $x\in[0,n]$ et $f_n(x)=0$ sinon.

Montrer que la suite $(f - {n\in\N^*}$ converge simplement sur $\R^+$ vers une fonction $f$ a preciser et que $\int_{\R^+}f_n\not\longrightarrow\int_{\R_+}f$ quand $n\ra+\i$.

• Rappeler le theoreme de convergence dominee.

Le demontrer sous l'hypothese supplementaire d'une convergence uniforme sur tout segment.

• Soit $(f - {n\in\N}\in\left(\R^{\N}\right)^{\N}$ une suite de fonctions qui converge simplement sur $\N$ vers une suite $f\in\R^{\N}$. On suppose l'existence d'une suite sommable positive $\phi\in\R^{\N}$ telle que $\forall n\in\N,\;\forall t\in\N,\;|f_n(t)|\leq\phi(t)$.

Montrer que les suites $f_n$ et $f$ sont sommables et que $\lim_{n\ra+\i}\sum_{k=0}^{+\i}f_n(k)=\sum_{k=0}^{+\i}f (k)$.

Pour tout reel $a$, on pose $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$.

• On fixe un entier $n\geq 1$. Montrer que la fonction $f_n:x\in\R^{+*}\mapsto\left\{\frac{1}{x}\right\}^n$ est continue par morceaux sur $\R^{+*}$ et que l'integrale $I_n=\int_0^1f_n(x)\,dx$ est convergente.
• Montrer que la famille $\mc{F}=\left(\frac{(-1)^ii}{(i+1)k^{i+1}}\right)_{i\geq 1\atop k \geq 2}$ est sommable et exprimer sa somme $S$ sous la forme d'une serie faisant intervenir la fonction $\zeta$.
• Exprimer $I_1$ en fonction de $S$.

• Montrer le theoreme d'integration des series uniformement convergentes sur un segment.

  • Pour $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $\gamma:[a,b]\ra\C$ de classe $C^1$ et $f\colon\C\ra\C$ continue, on pose $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$. Meme definition lorsque $f$ est a valeurs dans $\M_n(\C)$.

On note, pour $r\gt 0$, $\gamma_r:t\in[0,2\pi]\mapsto re^{it}$.

Soit $F:\C\ra\C$ la somme d'une serie entiere de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$.

• En deduire, pour toute matrice $M\in\M_n(\C)$ et pour $r$ assez grand (a preciser), l'egalite $\exp(M)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\, dz$.

Soient $E=\mc C^{\i}([0,\pi],\R)$ et $F=\{f\in E,\;f(0)=f(\pi)=0\}$. Soient $\phi,q\in E$, la fonction $q$ etant positive. On note $\alpha$ une primitive de $\phi$. On pose $D(y)=y^{''}+\phi y'-qy$ et $L(y)=-e^{\alpha}D(y)$ pour tout $y\in E$, et $\langle y,z\rangle=\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,dx$ pour tous $y,z\in F$.

• Rappeler le theoreme de Cauchy-Lipschitz.
• Montrer que $\langle\;,\;\rangle$ est un produit scalaire sur $F$.
• Soit $h\in E$. Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\in F$ telle que $D(f_0)=h$.# 1273
• Soient $E$ un espace euclidien, $U$ un ouvert de $E$, et $f:U\to\R$ une application de classe $\mc C^1$. Rappeler la definition de la differentielle $df(a)$ de $f$ en $a\in U$ et du gradient $\nabla f(a)$, ainsi que l'expression de $\nabla f(a)$ en base orthonormale.
• On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique.

Montrer que $\nabla(\mathrm{det})(A)=\mathrm{Com}(A)$.

• Quel est le coefficient de $X$ dans $\chi_A$?
• Determiner l'espace tangent a $\mathrm{SL}_n(\R)$ en $I_n$.

Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $b\in\R^n$ et $J:x\mapsto\frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$.

• Montrer que $J$ est strictement convexe.
• Montrer que $J(x)\to+\i$ quand $\|x\|\to+\i$.
• En deduire que $J$ admet un minimum.
• Calculer $\nabla J$ et conclure quant au minimum de $J$.

Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace prehilbertien reel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$.

• Pour tout $x\in E$, exprimer la projection orthogonale de $x$ sur $F$ a l'aide d'une base orthonormale de $F$. Justifier la formule.
• On definit la fonction $d_F:E\setminus F\to\R,x\mapsto d(x,F)$. Montrer que $d_F$ est differentiable, et calculer sa differentielle.

Probabilites

On note $d_n$ le nombre de derangements de $n$ objets, c'est-a-dire le nombre de permutations $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe.

_a) i)_Soit $n\in\N$. Montrer $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}d_{n-k}=n!$.

• Montrer que la serie entiere $\sum\frac{d_n}{n!}\,t^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$.

On note $D(t)$ la somme de cette serie.

• Calculer $e^tD(t)$.
• En deduire que $d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$.
• Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\i$ de la probabilite $p_n$ qu'un element de $\mc{S}_n$ soit un derangement.

_c) i)_Pour $n$ et $p$ entiers naturels, on note $s_n(p)$ le nombre de surjections de $[\![1,n]$ sur $[1,p]$.

Montrer que $p^n=\sum_{k=0}^n\binom{p}{k}s_n(k)$.

• Soit $(x,y)\in\R^2$. Montrer que la famille $\left(s_n(p)\frac{x^p}{p!}\,\frac{y^n}{n!}\right)_{(n,p)\in \N^2}$ est sommable.

Sa somme est notee $S(x,y)$.

• Calculer $e^xS(x,y)$. - En deduire la valeur de $s_n(p)$ dans le cas $n=p$, puis dans le cas general $(n,p)\in\N^2$.

On melange les cartes d'un jeu de $2n$ cartes.

Avec quelle probabilite les cartes de numero impair sont-elles correctement ordonnees?

Pour $A_1,...,A_n$ parties finies d'un ensemble $E$, on admet que

$\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1\lt i_2\lt ...\lt i_k\leq n}|A_{i_1}\cap...\cap A_{i_k}|$.

• Expliciter la formule precedente pour $n=2$ et $n=3$.

La demontrer pour $n=2$.

• On definit une fonction $\mu$ sur $\N^*$ par $\mu(1)=1$, $\mu(n)=(-1)^k$ si l'entier $n\geq 2$ s'ecrit $n=p_1...p_k$ ou $p_1$,…, $p_k$ sont $k$ nombres premiers distincts et $\mu(n)=0$ sinon.

Calculer la probabilite que deux entiers choisis aleatoirement dans l'ensemble $\{1,2,...,n\}$ soient premiers entre eux a l'aide de la fonction $\mu$.

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aleatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de parametre 1. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et $T_n=\dfrac{S_n-n}{\sqrt{n}}$.

• Determiner la loi de $S_n$. Qu'en deduire sur $T_n$?
• Montrer que $\sum_{k\geq 0}\dfrac{k(n^k-1)}{(n+k)!}$ converge et calculer la somme.
• Calculer $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)\,dx$.

• Rappeler les formules des probabilites totales et composees.

On fixe $d\in\N^*$ et $(U - {n\geq 1}$ une suite de variables aleatoires independantes uniformement distribuees sur $[\![1,d]\!]$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$.

• Quelles sont les valeurs prises par $N_d$?
• Montrer que $\mathbf{P}(N_d\gt k)=\dfrac{d!}{d^k(d-k)!}$ pour tout $k\in[\![0,d]\!]$.
• Pour tout reel $x\gt 0$, calculer $\lim_{d\to+\i}\mathbf{P}\left(\dfrac{N_d}{\sqrt{d}}\gt x\right)$.

• Soient $x\gt 0$ et $X_x$ une variable de Poisson de parametre $x$. Calculer l'esperance de $X_x$. Montrer que $\mathbf{P}(|X_x-\mathbf{E}(X_x)|\geq\eps x)=O\left(\dfrac{1}{x }\right)$ quand $x\to+\i$.

Soient $\alpha\in\R$ et $u_{\alpha}:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{n^{\alpha}}{n!}x^n$.

• Determiner le domaine de definition de $u_{\alpha}$.
• Determiner $u_1$ et $u_2$.
• Montrer que, pour tout $\alpha\lt 0$, $u_{\alpha}(x)=o\left(\mathrm{e}^x\right)$ quand $x\to+\i$.
• Montrer que, si $\alpha\in]-1,0[$, $u_{\alpha}(x)\sim x^{\alpha}e^x$ quand $x\to+\i$.

Centrale - PSI

Algebre

Soit $A=\begin{pmatrix}0&c&b\\ -c&0&a\\ -b&-a&0\end{pmatrix}\in\M_3(\R)$. Trouver $\alpha$ pour que $A^3=\alpha A$. Calculer $A^n$ en fonction de $\alpha$.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $a,b\in\R$ avec $a\neq b$ tels que $:(f-a\op{id})\circ(f-b\op{id})=0$.

• Determiner $\lambda,\mu\in\R$ tels que $\lambda(f-a\op{id})$ et $\mu(f-b\op{id})$ soient des projecteurs.
• Montrer que $\text{Ker}(f-a\op{id})=\text{Im}(f-b\op{id})$.
• Determiner $f^n$ pour $n\in\N$.

Soit $A\in\M_2(\Z)$.

• On suppose $A$ inversible. Montrer que $A^{-1}\in\M_2(\Z)$ si et seulement si $\text{det}(A)\in\{-1,1\}$.
• On suppose qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $A^p=I_2$. Montrer que $A$ est inversible, et que $A^{-1}$ est a coefficients entiers. Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de polynomes caracteristiques possibles pour $A$.

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&2\\ 2&0&1\\ 1&-1&2\end{array}\right)$.

• Montrer que $A$ a une valeur propre double $a\gt 0$ et une simple $b\gt 0$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
• Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$ de classe $\mc C^2$. Montrer qu'il existe un unique polynome $P_f\in\R_2[X]$ tel que $:P_f(a)=f(a),P_f(b)=f(b),P'_f(a)=f'(a)$.
• Pour toute fonction $f\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$, on pose $f(A)=P_f(A)$. Calculer $f(A)$ dans les cas ou $f:x\mapsto x^2$, puis $f:x\mapsto x^3$.
• Desormais on prend $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$. Conjecturer la valeur de $Af(A)$ et prouver cette conjecture.

Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales.

Si $P\in E$, on pose $L(P):x\mapsto e^{-x}\int_{-\i}^xP(t)\,e^t \dt$.

• Montrer que $L$ est un endomorphisme de $E$.
• Trouver les elements propres de $L$.

On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $u=\left(a,b,c\right)^T$ un vecteur unitaire de $\R^3$. On note $D$=$\text{Vect}(u)$ et $p$ la projection orthogonale sur $D$.

• Experimer $p(v)$ pour tout vecteur $v=\left(x,y,z\right)^T\in\R^3$