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ENS MP 2024   xens

Algèbre

Soit $E$ un ensemble fini non vide. Pour tout $(x_1,x_2,x_3)\in E^3$ et tout $\sigma\in\mathfrak{S}_3$, on note $\sigma\cdot(x_1,x_2,x_3)=(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)},x_{\sigma(3)})$. Soit $E^{3*}=\{(x,y,z)\in E^3\;;\;x,y,z\;\text{sont distincts}\}$. Soit $S\subset E^{3*}$ tel que

• $\forall\sigma\in\mathfrak{S}_3$, si $\eps(\sigma)=-1$ alors $\sigma\cdot(S)=\{\sigma\cdot x\;;\;x\in S\}=E^{3*}\setminus S$,
• $\forall a,b,c,d\in E$, si $(a,b,c)\in S$ et $(a,c,d)\in S$, alors $(a,b,d)\in S$ et $(b,c,d)\in S$.

Montrer qu'il existe $g\colon E\ra\R$ injective telle que $\forall(a,b,c)\in E^3$, $g(a)\lt g(b)\lt g(c)\Rightarrow(a,b,c)\in S$.

En pratique les éléments de $S$ seront les triplets où $a\lt b\lt c$, ou $c\lt b \lt a$.

• C'est clair pour $n = 3$.

• Si on suppose que c'est vrai au rang $n=4$, on peut passer au rang suivant : si on retire l'élément $a$, l'ensemble des triplets sans $a$ vérifie les mêmes hypothèses. Donc il existe une fonction $g_a$.

  • Étant donné $g_a$ et $g_b$, il reste au moins trois autres éléments, et pour chaque triplet d'éléments, les fonctions $g_a,g_b$ restreintes à ceux-ci doivent être compatibles, donc $g_a$ et $g_b$ sont compatibles (quitte à prendre l'opposé de l'une).
  • Toutes les fonctions doivent être compatibles, d'où le résultat.

• Reste à traiter le cas $n = 4$, où $E = \{a, b, c, d\}$

  • On montre qu'il n'est pas possible que chaque terme apparaisse au milieu d'un triplet : On fixe un triplet $a\lt b \lt c$. Alors il existe $e \lt a \lt f$, et un de $e, f$ est égal à $b$ ou $c$, et s'il est égale à $b$ on peut le remplacer par $c$. Donc on a $e \lt a \lt c$, et $e = d$ (on exclu $e = b$ via les propriétés) Mais on a aussi $k\lt e \lt l$. Si l'un de $k$ ou $\l$ vaut $c$, on peut le remplacer par $b$, et on peut remplacer $b$ par $a$, on obtient $a\lt e \lt a$, contradiction.
  • Alors un élément n'est jamais au milieu, et cela suffit (appliquer la récurrence aux trois autres).

Soit $N$ une application de $\Q$ vers $\R^+$ vérifiant :

• $N(xy)=N(x)N(y)$ pour tous $x,y\in\Q$,
• $N(x+y)\leq N(x)+N(y)$ pour tous $x,y\in\Q$,
• pour tout $x\in\Q$, $N(x)=0\Rightarrow x=0$,
• il existe $n\in\N$ tel que $N(n)\gt 1$.

Montrer qu'il existe $\lambda\in\left]0,1\right]$ tel que $N(x)=|x|^{\lambda}$ pour tout $x\in\Q$.

On a $N(1) = 1$, puis $N(\frac{1}{p}) = \frac{1}{N(p)}$. La multiplicativité permet de justifier que l'exposant $\la$ est le même pour tout nombre premier : encadrer $p^n$ par deux puissances de $q$ et utiliser la seconde I.T. Puis pour que l'inégalité triangulaire soit vérifiée, il faut que $\la \leq 1$.

On étend de facon naturelle la valuation $2$-adique $v_2$ à $\Q^*$. Pour $n\in\N^*$, soit $H_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$. Calculer $v_2(H_n)$.

Soit $(m,n,p)\in\left(\N^*\right)^3$, avec $p$ premier supérieur ou egal à 5, $m$ et $p$ premiers entre eux.

• Montrer que $\begin{pmatrix}np\\ m\end{pmatrix}\equiv 0\left[p\right]$.
• Montrer que $\begin{pmatrix}np\\ mp\end{pmatrix}=\sum_{k=0}^p\begin{pmatrix}p(n-1)\\ mp-k\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p\\ k\end{pmatrix}$.
• Montrer que $\begin{pmatrix}np\\ mp\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}n\\ m\end{pmatrix}[p^2]$.

• On veut montrer que $\begin{pmatrix}2p\\ p\end{pmatrix}\equiv 2\left[p^3\right]$.

  • Montrer que $\forall k\in\db{1,p},\, {p-1 \choose k-1}\equiv \pm 1 [p]$.
  • Montrer que $\sum_{k=1}^{p-1} \left(\frac{(p-1)!}{k}\right)^2 \equiv 0[p]$.
  • Conclure

• Formule du capitaine.
• Faire le dessin, appliquer Pascal, c'est du binôme, par récurrence.
• Par récurrence sur $n$, utiliser les deux questions précédentes.
• • Écrire le quotient, les numérateur et dénominateur sont congrus.
  • $\sum \frac{1}{k^2} = \sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.
  • On applique Q2, on a ${2p \choose p} = \sum_{k=0}^p {p \choose p-k} {p\choose k}$, faire deux capitaines, plus question précédente.

Soit $p$ un nombre premier impair.

• Déterminer $\op{Card} \{x^2,\, x\in\Z/p\Z^*\}$.
• Démontrer l'équivalence : $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$ si et seulement si $a$ est un carré non nul modulo $p$.

• On pose $a = \prod_{k=1}^{\frac{p-1}{2}}(2k)$. Montrer que

  • Si $p\equiv 1[4]$, alors $a\equiv (-1)^{\frac{p-1}{4}}\big(\frac{p-1}{2}\big)! [p]$
  • Si $p\equiv -1[4]$, alors $a\equiv (-1)^{\frac{p+1}{4}}\big(\frac{p-1}{2}\big)! [p]$
• CNS pour que $2$ soit un carré modulo $p$.

• Chaque $2k$ s'écrit $\eps_k k'$, avec $k' \in \db{1,\frac{p-1}{2}}$ et $\eps_k = \pm 1$, et $k\mapsto k'$ est bijective. En comptant le nombre, on trouve ce qu'on veut.

On considère l'équation $2^a + 3^b = 5^c$, où $(a,b,c)\in\N^3$.

• Résoudre l'équation dans le cas $a = b = c$.
• Traiter le cas $b$ impair.
• Traiter le cas $c$ impair.
• Traiter le cas général.

• Analyse.
• L'étude modulo $4$ donne $a = 1$, et écrire $2 = 1 + 1$.
• En regardant mod $6$, on trouve $a$ impair, donc $a\geq 3$, donc $3^b\equiv 5^c [8]$, donc $b$ est impair.
• On a $b,c$ pair, donc une différence de carrés, on obtient $2^a = (3^b - 5^c)(3^b + 5^c)$ et on peut descendre.

Soit $p$ un nombre premier impair.

• Quel est le cardinal du groupe des inversibles de $\Z/p\Z$ ?
• Montrer que l'équation $x^2 = 1$ possède exactement deux solutions dans $\Z/p\Z$.
• En déduire $\op{Card} \{x^2,\, x\in\Z/p\Z\}$.

• Soit $\chi\colon\Z\ra\{-1,0,1\}$ telle que : $\chi(n)=1$ si $n\wedge p=1$ et si $n$ est un carré modulo $p$ ; $\chi(n)=-1$ si $n\wedge p=1$ et si $n$ n'est pas un carré modulo $p$ ; $\chi(n)=0$ si $p\mid n$.

  • <<ref>> Déterminer $\sum_{k=0}^{p-1}\chi(k)$.
  • • s Montrer que le produit d'un carré et d'un non carré est un non carré.
    • En utilisant le caractère bijectif de $x\mapsto ax$ dans $(\Z/p\Z)^*$, montrer que : $\forall(a,b)\in\Z^2,\chi(ab)=\chi(a)\chi(b)$.
  • Déduire de /sebastien/Exercices_RMS/src/commit/89205aac5b2fc7da6af87c845c670a5ff07789b8/ref une majoration de $\left|\sum_{k=0}^N\chi(k)\right|$ pour $N\in\N$.
  • On pose $\xi=e^{2i\pi/p}$. Montrer que $$\chi(n)=\frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1}\sum_{a=0}^{p-1}\chi(a)\xi^{k(a-n)}.$$

• Pour $k\in\db{1,p-1}$, on note $S_k(N)=\sum_{n=0}^N\xi^{-kn}$.

  • Montrer que $\forall N\geq 0$, $|S_k(N)|\leq\frac{1}{|\sin(k\pi/p)|}$.
  • En déduire que, pour $k\lt p/2$, $|S_k(N)|\leq p/(2k)$.
  • Trouver une majoration similaire pour $k\gt p/2$.

• On pose $G_k=\sum_{a=0}^{p-1}\chi(a)\xi^{ka}$.

  • Montrer que, pour $k\in\db{1,p-1}$, $|G_k|=\sqrt{p}$.
  • Montrer que $G_k$ est réel ou imaginaire pur, et que cela ne dépend pas de $k$. (Non posé)
  • On suppose que $G_1$ est réel, montrer que $G_1\geq 0$. (Non posé) ?? Trouver des questions pour finir… Ressemble à une preuve classique, mais je ne vois pas comment rester dans le monde des caractères. Il faut normalement

• • Il s'agit de montrer que le produit de deux non carrés est un carré. Cela qui découle de propriété de cardinal car un carré fois un non carré est un non carré.
  • $0$ : autant de carrés que de non carrés, se fait sans ce qui précède.
  • Simple.
  • Simple.
• • Somme géométrique.
  • Inégalité de convexité.
  • Simple.
• • Considérer $|G_k|^2$, et changement de variable.
  • Si $-1$ est un carré, $G_k$ est réel, et si $-1$ n'est pas un carré, $\ol{G_k} = - G_k$.
  • On a $G_k = \chi(k) G_1$. Rajouter $\sum \chi(a)$, puis séparer la somme. La somme des termes pour les carrés $\leq \sqrt{n}$ On a $\chi(n) = \frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1} G_k \xi^{-nk}$

On dit que $A$ est un anneau euclidien si $A$ est un anneau intègre (donc commutatif) et qu'il existe $t\colon A\setminus\{0\}\ra\N$ vérifiant :

• pour tout $(a,b)\in A\times(A\setminus\{0\})$, il existe $(q,r)\in A^2$ tel que $a=bq+r$ avec $r=0$ ou $t(r)\lt t(b)$,
• $\forall(a,b)\in(A\setminus\{0\})^2,t(ab)\geq t(a)$.
• Les anneaux $\Z$ et $\R[X]$ sont-ils euclidiens ? Montrer qu'un corps est un anneau euclidien.
• Soient $A$ un anneau euclidien et $I$ un idéal de $A$. Montrer qu'il existe $x\in A$ tel que $I=xA$. Y a-t-il unicité de $x$?
• Dans cette question, on se donne $A$ un anneau euclidien tel que $t(1)=1$. Soit $x\in A$. Montrer que $x$ est inversible si et seulement si $t(x)=1$.

Soit $A$ l'ensemble des fonctions de $\N^*$ dans $\C$.

Pour $f,g\in A$, on pose $(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)\,g(n/d)$ pour tout $n\in\N^*$.

• Montrer que $(A,+,*)$ est un anneau commutatif intègre.
• Caractériser les inversibles de l'anneau $A$.
• Résoudre l'équation $ax^2+bx+c=0$ dans l'anneau $A$ avec $a$ et $b^2-4ac$ inversibles.

• Montrer que les sous-groupes de $\Z/n\Z$ sont cycliques.
• <<ref1>> Alice et Barbara jouent à un jeu. Elles choisissent à tour de role un élément de $\Z/n\Z$ sans remise qu'elles ajoutent à un ensemble $S$. Le jeu s’arrête quand $S$ engendre $\Z/n\Z$ et la joueuse ayant tiré le dernier numéro perd. Selon $n$, y a-t-il une stratégie gagnante pour la première joueuse ?
• Même question si à chaque étape, on ne peut pas retirer un élément de $\langle S\rangle$.
• Reprendre /sebastien/Exercices_RMS/src/commit/89205aac5b2fc7da6af87c845c670a5ff07789b8/ref1 avec le groupe ${\cal S}_n$.

• Avec l'interprétation de l'énoncé, s'il existe un sous-groupe maximal de $G$ de cardinal impair, Alice l'engendre, puis ils restent dedans, donc Alice gagne. Sinon, quoi que Alice fasse, Bob choisi un sous-groupe maximal de cardinal impair qui contient l'élément d'Alice.
• Avec la version où il faut augmenter $\langle S\rangle$, Alice gagne en engendrant un sous-groupe maximal directement.
• • Pour $n = 2$ : Alice gagne, en jouant l'identité.

  • Pour $n = 3$ : Une transposition + n'importe quoi d'autre que l'identité engendre tout le groupe.

    • Si Alice joue l'identité, Bob la transposition, Alice perd.
    • Si Alice joue une transposition, Bob l'identité, Alice perd.
    • Donc Alice joue un 3-cycle (donc dans le groupe Alterné). Si Bob joue dans $A_3$, Alice peut le faire encore une fois, et elle gagne. Si Bob joue en dehors, il perd.
  • Pour $n \geq 4$ : Alice joue n'importe quoi. Si c'est d'ordre pair, Bob reste dans un sous-groupe maximal de cardinal pair. Sinon, Bob joue un élément d'ordre pair qui n'engendre pas tout $\mc S_n$. C'est possible, car même si Alice joue un $n$-cycle, avec $n$ impair, Bob peut jouer une bi-transposition, et rester dans $\mc A_n$.

  Pour l'autre interprétation : probablement pas faisable.

• Soient $\sigma\in S_n$ et $c_1\circ\cdots\circ c_r$ sa décomposition en produit de cycles à supports disjoints. Calculer l'ordre de $\sigma$ dans le groupe $S_n$.
• On note $g(n)$ l'ordre maximal d'une permutation de $S_n$. Montrer que $g$ est croissante et $n\leq g(n)\leq n!$
• Trouver $n$ minimal tel que $g(n)\gt n$.
• On note $(p_k)_{k\in\N^*}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrer que : $n\geq\sum_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}\implies g(n)\geq \prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$.
• On suppose que $g(n)=\prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$. Montrer que : $n\geq\sum_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}$.
• Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\exists C\gt 0,\,\forall n\in\N^*,\,g(n)\leq Ce^{ \eps n}$.

Pas de difficulté.

Lorsque $\sigma\in S_n$, on note $n_k(\sigma)$ le nombre de $k$-cycles dans la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints. Ainsi $n_1(\sigma)$ est le nombre de points fixes de $\sigma$. On note egalement $m(\sigma)=\sum_{k=1}^nn_k(\sigma)$ le nombre d'orbites de $\sigma$.

• Soient $i,k\in\N^*$. Déterminer l'ordre de $i$ dans $\big(\Z/k\Z,+\big)$.
• Soient $n\in\N^*$ et $\sigma,\tau\in S_n$. On dit que $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées s'il existe $\phi\in S_n$ tel que $\sigma=\phi\tau\phi^{-1}$.

Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées si et seulement si $\colon\forall k\in\db{1,n},n_k(\sigma)=n_k(\tau)$.

• Soit $n\in\N^*$. Calculer $\det\big(i\wedge j\big)_{1\leq i,j\leq n^*}$.

Ind. Considérer les matrices $A=(1\!1_{i|j})$ et $B=(\phi(j)1\!1_{j|i})$.

• Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées si et seulement si : $\forall i\in\db{1,n},m(\sigma^i)=m(\tau^i)$.
• Montrer que $\sigma$ et $\tau$ sont conjuguées si et seulement si les matrices de permutation $P_{\sigma}$ et $P_{\tau}$ sont semblables.

Soient $G$ un groupe, $A$ une partie finie non vide de $G$. Montrer que $|A|=|AA|$ si et seulement si $A=xH$ avec $x\in G$ et $H$ sous-groupe de $G$ tel que $x^{-1}Hx=H$.

Soient $G$ un groupe et $A\subset G$ fini non vide tel que $|AA|\lt \frac{3}{2}|A|$. Montrer que $A^{-1}A$ est un sous-groupe de $G$.

• Soient $n\geq 3$ et $\mc Q$ un polygone régulier à $n$ côtés. Montrer que l'ensemble des isométries affines du plan préservant $\mc Q$ est un groupe à $2n$ éléments.
• s On note maintenant $n=q$, nombre premier impair, et $D_{2q}$ le groupe précédent. Montrer que tout groupe de cardinal $2q$ est isomorphe à $\Z/2q\Z$ ou à $D_{2q}$.

• Action sur les sommets, nice.
• Il ne peut pas avoir que des éléments d'ordre $2$. Donc il a un élément d'ordre $q$, et un autre qui agit sur $\Z/q\Z$ par conjugaison. Si l'action est trivial, le groupe est commutatif. Sinon, on est isomorphe à $D_{2q}$.

• Trouver tous les groupes d'ordre $8$ dont l'ordre maximal des éléments est $4$.
• Trouver tous les groupes d'ordre $8$ à isomorphisme pres.

• Tu as un $\Z/4\Z$, tu prend un autre élément. Soit il commute, alors c'est $\Z/4\Z\times \Z/2\Z$. Si le $\Z/4\Z$ est normal, la conjugaison a une action, et on est un groupe dihédral. Sinon, ça veut dire qu'on a d'autres copies du $\Z/4\Z$, on est le groupe des quaternions.
• Si l'ordre maximal est $2$, c'est $\left(\Z/2\Z\right)^3$.

• Donner des exemples de groupes d'ordre $12$ commutatifs ainsi qu'un exemple non commutatif.
• Montrer que tout groupe d'ordre $12$ admet un élément d'ordre $2$.
• Trouver à isomorphisme prêt les groupes commutatifs d'ordre $12$.
• Montrer que tout groupe d'ordre $12$ admet un élément d'ordre $3$.
• Trouver tous les groupes d'ordre $12$ à isomorphisme pres.

• Sinon, tous les ordres sont impairs, donc tous les éléments sont d'ordre $3$, impossible pour des raisons de cardinal.
• Regarder l'ordre maximal : soit cyclique, soit un élément d'ordre $6$, donc $\Z/6/\times \Z/2\Z$, soit un élément d'ordre $4$, auquel tout autre élément doit être d'ordre $3$ (dans le quotient), sinon on obtiendrait un sous-groupe d'ordre $8$. Soit un élément d'ordre $3$.
• On découpe $G$ en classes de conjugaisons. Chaque classe est de cardinal un diviseur de $|G|$. Si un élément qui n'est pas dans le centre a un centralisateur de cardinal divisible par $3$, alors on trouve un élément d'ordre $3$ dedans. Sinon, on a découpé $|G| = |Z(G)| + 3k$, donc on trouve un élément d'ordre $3$ dans le centre.

• Si $G$ non commutatif. Si $G$ admet un élément d'ordre $6$, c'est $D_{12}$ (tout sous-groupe d'indice deux est normal).

  Sinon, $G$ admet un élément $e$ d'ordre $3$.

  • S'il engendre un sous-groupe normal, il faut trouver les actions de $\Z/4/Z$ et $(\Z/2\Z)^2$ sur $\Z/3\Z$.

    • La seconde donne un élément qui agit trivialement, donc qui commute, donc $\Z/2/Z\times \Z/3\Z = \Z/6/Z$
    • Pour la première, l'élément d'ordre $2$ agit trivialement. C'est $(x,y) . (x', y') = (x + x', y + y'^{\pm 1})$. Ce n'est pas un groupe usuel…

  • Sinon, on considère les groupes de cardinal $3$.

    • On fait agir $e$ par conjugaison dessus. $e$ préserve son groupe, et c'est le seul qu'il préserve, car si $e$ normalise $H_1$, le groupe engendré par $e$ et $H_1$ admet $H_1$ comme sous-groupe normal, et trop d'éléments d'ordre $3$.
    • On en déduit qu'on trouve exactement $4$ sous-groupes d'ordre $3$ ($7$ ferait trop)
    • On a donc trouvé $8$ éléments d'ordre $3$ + le neutre.
    • Il en reste $3$. Prenons-en un, $e_2$. S'il commutait avec un élément d'ordre $3$, on aurait un $\Z/6\Z$. Donc on trouve exactement trois éléments d'ordre $2$, tous conjugués.
    • $e_1e_2$ conjugue $e_2$ comme $e_1$, donc $e_1e_2$ ne peut pas être d'ordre $3$. Donc les éléments d'ordre $2$ forme un groupe, qui est normal.
    • On trouve un produit semi-direct de $\Z/2\Z\times \Z/2\Z$ par $\Z/3\Z$, qui est isomorphe à $\mc A_4$.

Soit $A=\begin{pmatrix}0&0&-1\\ 1&0&1\\ 0&1&0\end{pmatrix}\in\M_3(\mathbb{F}_3)$. On admet que $A^{13}=-I_3$.

• Quels calculs auriez-vous fait pour justifier que $A^{13}=-I_3$?
• Montrer que $A\in\op{GL}_3(\mathbb{F}_3)$ et que $A$ est d'ordre $26$ dans ce groupe.
• On note $G$ le sous-groupe de $\op{GL}_3(\mathbb{F}_3)$ engendré par $A$, et on pose $V=G\cup\{0\}$. Montrer que $V=\text{Vect}(I_3,A,A^2)$.
• On pose $W=\text{Vect}(I_3,A)$. Montrer que, pour tout $M\in G$, il existe $N,P\in W\setminus\{0\}$ telles que $M=P^{-1}N$.
• On note $H$ le sous-groupe de $\op{GL}_3(\mathbb{F}_3)$ engendré par $A^2$. Montrer que $H$ est isomorphe à $\Z/13\Z$, puis que $|H\cap W|=4$.

• Polynôme caractéristique, ou exponentiation rapide.
• Déterminant, et $A$ n'est pas d'ordre $2$.
• Polynôme caractéristique.

• Montrer que toute rotation du plan complexe est composée de deux symétries orthogonales par rapport à des droites.
• Montrer que toute permutation d'un ensemble fini non vide $X$ est produit de deux éléments d'ordre au plus $2$ du groupe des permutations de $X$.
• Le résultat de la question précédente subsiste-t-il si $X$ est infini?

• Suffit de le faire pour des cycles.
• Prendre une translation sur $\Z$, si elle s'écrit $t = \tau_1 \circ \tau_2$, ils sont d'ordre $2$, donc correspondent à des ensembles $\op{Fix}_1$, et $S_1, T_1$, idem $S_2,T_2$. On a $\tau_1 t \tau_1 t = \op{id}$, ou $\tau_1(x+1) = \tau_1(x)-1$. Si $\tau_1$ a un pont fixe, c'est la symétrie, autour de celui-ci. Ça marche… Donc ça persiste, en découpant selon les orbites finies et infinies.

Soit $P\in\C[X]$ non constant à coefficients dans $\{-1,1\}$. Soit $z\in\C$ une racine de $P$. Montrer que $|z|\lt 2$.

Soient $m\in\N^*$ et $(a_0,...,a_m)\in\R^{m+1}$.

On pose $f(X,Y)=a_0X^m+a_1X^{m-1}Y+a_2X^{m-2}Y^2+...+a_mY^m$ et on suppose que le polynôme $f(X,1)\in\R[X]$ est scindé.

Montrer que, pour tout $(n,p)\in\N^2$, le polynôme $\frac{\partial^{n+p}f}{\partial X^n\partial Y^p}(X,1)$ est nul ou scindé sur $\R$.

Si on dérive par rapport à $X$ c'est clair. Il suffit de le justifier quand on dérive par rapport à $Y$ : Si $a_0 X^m + a_1 X^{m-1} + \dots + a_m$ est scindé, alors $a_1X^{m-1} + 2 a_2 X^{m-2} + \dots + ma_m$ est scindé ? Passer par le polynôme réciproque.

Soit $(a_n)\in(\R^*)^{\N}$. On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall n\in\N$, $|a_n|\in[1/C,C]$. Pour $n\in\N$, on pose $P_n=\sum_{k=0}^na_kX^k=a_n\prod_{k=1}^n(X-x_{k,n})$, ou l'on a note $x_{k,n}$ les racines complexes de $P_n$.

• Montrer que $\{x_{k,n}\,;\,n\in\N^*,k\in\db{1,n}\}$ est borné.
• Montrer que $\sum_{k=1}^nx_{k,n}^2=\frac{a_{n-1}^2-2a_{n-2}a_n}{a_n^2}$ pour tout $n\geq 2$.
• Montrer que, pour $n$ suffisamment grand, $P_n$ n'est pas scindé sur $\R$.

• Soit $P=X^n+\sum_{k=0}^{n-1}a_kX^k$ unitaire de degré $n\geq 2$ à coefficients dans $\C$, avec $a_{n-1}\in\R_+$. Montrer, pour $M=\max(|a_0|,\ldots,|a_{n-2}|)$, que toute racine $z$ de $P$ vérifie $\mathfrak{Re}(z)\leq 0$ ou $|z|\leq\dfrac{1+\sqrt{1+4M}}{2}$.
• Soit $p$ un nombre premier et $b\geq 3$ un entier. On écrit $p=\overline{c_nc_{n-1}\cdots c_0}^b$ en base $b$. Montrer que $\sum_{k=0}^nc_kX^k$ est irreductible dans $\Z[X]$.

Soit $P$ un polynôme à $n$ indéterminées $X_1,X_2,\ldots,X_n$. On dit que $P$ est symétrique si, pour toute permutation $\sigma$ de $\{1,2,\ldots,n\}$, on a $P(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)},\ldots,X_{\sigma(n)})=P(X_1,X_2,\ldots,X_n)$. On dit que $P$ est homogène de degré $k\in\N$ s'il est somme de mo- nomes de la forme $cX_1^{k_1}X_2^{k_2}\cdots X_n^{k_n}$ avec $k_1+k_2+\cdots+k_n=k$.

• Montrer qu'il existe une famille presque nulle $(e_i(X_1,X_2,\ldots,X_n))_{i\geq 0}$ de polynômes à $n$ indéterminées symétriques et homogènes tels que, pour tout $t\in\R$, $(1+tX_1)(1+tX_2)\cdots(1+tX_n)=\sum_{i\geq 0}e_i(X_1,X_2, \ldots,X_n)t^i$.
• Montrer qu'il existe une famille $(h_i(X_1,X_2,\ldots,X_n))_{i\geq 0}$ de polynômes à $n$ indéterminées symétriques et homogènes tels que, pour tous $x_1,x_2,\ldots,x_n\in\R$ et tout $t\in\R$ au voisinage de $0$, $\dfrac{1}{(1-tx_1)(1-tx_2)\cdots(1-tx_n)}=\sum_{i=0}^{+\i}h_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)t^i$.

On pose $\mc{P}_n=\{\ \lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in\N^n,\ \lambda_1\geq\lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n\ \}$ et, si $\alpha\in\N^n$, on pose $\Lambda(\alpha)$ le $n$-uplet obtenu en ordonnant les entiers de $\alpha$ par ordre décroissant, puis pour tout $\lambda\in\mc{P}_n$, $m_{\lambda}=\sum_{\alpha\in\N^n,\,\Lambda(\alpha)=\lambda}X_1^{ \alpha_1}X_2^{\alpha_2}\cdots X_n^{\alpha_n}$.

• Calculer $m_{\lambda}$ avec $\lambda=(2,1,0,0)$ et $\lambda$ le $n$-uplet contenant $r$ fois 1 et $n-r$ fois 0.
• Pour $\lambda,\mu\in\mc{P}_n$, on note $M_{\lambda,\mu}$ le nombre de matrices dont les coefficients valent $0$ ou $1$ et telles que la somme des coefficients de la $i$-ieme ligne vaut toujours $\lambda_i$ et celle des coefficients de la $j$-ieme colonne vaut toujours $\mu_j$. Montrer que $\prod_{i=1}^ne_{\lambda_i}(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{\mu\in\mc{P}_n}M_{\lambda,\mu}m_{\mu}$.

• Sans difficulté, unicité des coefficients polynomiaux.
• DSE, on a une expression de $h_i$.
• $e_{\la_i}(X_1,\dots, X_n)$ est le polynôme homogène symétrique total de degré $\la_i$. Si on fixe un $\mu$, $M_{\la, \mu}$ est le nombre de façons de répartir $\mu_1,\dots \mu_n$ sur les lignes de sorte à respecter le $\la$ : pour faire $\la_1$ on pioche dans $\mu_1,\dots, \mu_n$, puis pour faire $\la_2$, on pioche dans le reste, etc. On peut l'écrire comme la somme Le coefficient en $\mu$ de $\prod_{i=1}^n e_{\la_i}(X_1,\dots,X_n)$ est la même chose : à chaque $\la_i$, on choisit sur quelles variables (= colonnes) mettre les $\la_i$ coefficients qui valent $1$, de sorte que les choix totaux respectent $\mu$.

Soient $A,B,C\in\C[X]$ non tous constants et premiers entre eux deux à deux.

• On veut montrer que si $A+B=C$ alors $\max{(\deg(A),\deg(B),\deg(C))}\leq M(ABC)-1$ ou $M(P)$ est le nombre de racines distinctes du polynôme $P$.

  Si $P,Q\in\C[X]$, on note $W_{P,Q}=PQ'-P'Q$.

  • Montrer que $W_{A,B}=W_{C,B}=W_{A,C}\neq 0$.
  • Montrer que $\deg(A\wedge A')+\deg(B\wedge B')+\deg(C\wedge C') \leq\deg(W_{A,B})$.
  • Conclure.
• Soit $d\in\N^*$. Donner un exemple de $(A,B,C)\in\C[X]^3$ avec $\deg(A)=d$ et pour lequel $\max(\deg(A),\deg(B),\deg(C))=M(ABC)-1$.
• Soient $A,B,C\in\C[X]$ premiers entre eux dans leur ensemble et tels que $A^n+B^n=C^n$ avec $n\in\N^*$. Montrer que $n\leq 2$. Montrer qu'il existe des solutions pour $n=2$.

• • Si ces quantité sont nulles, $\frac{P}{Q}$ est constante.
  • Comme les polynômes sont premiers entre eux, ces quantités sont premières entre elles, et divisent $W$.

Soit $\R\left[X,X^{-1}\right]$ l'ensemble des fractions rationnelles dont le dénominateur est une puissance de $X$.

• Montrer que $\R[X,X^{-1}]$ est un sous-anneau de $\R(X)$. En est-ce un sous-corps? Quels sont ses éléments inversibles?
• Déterminer les automorphismes de l'anneau $\R$.
• Déterminer les automorphismes de la $\R$-algèbre $\R[X,X^{-1}]$.
• Déterminer les automorphismes de l'anneau $\R[X,X^{-1}]$.

• classique
• $\op{Id}$ et $X\mapsto X^{-1}$, clairement.
• $X$ est envoyé sur un élément de degré $1$ ou $-1$, qui doit être inversible. Cette fois, on peut envoyer $X$ sur $\a X$.

Soient $P,Q\in\R[X]$ unitaires. On dit que $P$ et $Q$ sont entrelacés lorsqu'entre deux racines consécutives de l'un (en tenant compte des multiplicités) il y a exactement une racine de l'autre. On suppose que $\deg(Q)=\deg(P)-1$, que $Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, et que $P$ et $Q$ n'ont aucune racine commune. On pose enfin $F=\dfrac{P}{Q}$, $\mathbb{H}=\{z\in\C,\ \text{Im}(z)\gt 0\}$. Montrer l'équivalence entre :

• $P$ est scindé sur $\R$ et $P$ et $Q$ sont entrelacés,
• $F(\mathbb{H})\subset\mathbb{H}$

Si $Q(x_1) = Q(x_2) = 0$ avec $x_1\lt x_2$, sans racines de $P$ entre les deux, alors en suivant le chemin $z_t = i\eps + t$ de $x_1^-$ à $x_2^+$ l'argument de $Q(z)$ est modifié de $\simeq 2\pi$, alors que celui de $P(z)$ ne change pas.

Réciproquement, c'est clair.

Soient $n\in\N^*$, $A\in\op{GL}_n(\R)$ et $u,v\in\R^n\setminus\{0\}$. Exprimer $\det(A+uv^T)$. Dans le cas ou celui-ci est non-nul, exprimer $(A+uv^T)^{-1}$.

Plutôt : si $A$ inversible vaut l'identité, c'est $\det (I_n + uv^T) = 1 - \langle u, v\rangle$, qui admet un inverse de la forme $I_n + c uv^T$.

Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$.

• Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. Que dire de $f$ si, pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x))$ est liée?
• Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ telle que $\op{tr}A=0$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice dont la diagonale est nulle.

• Calculer $\det\left(i^j\right)_{1\leq i,j\leq n}$.
• Soient $a_1,\dots,a_n$ des réels distincts. Pour $i\in\db{1,n}$, on pose: $$P_i=\prod_{j \in\db{ 1,n}\setminus\{i\}}(X-a_j)=\sum_{k=1}^n\alpha_{i,k}X^{k-1}$$ Calculer $\det(\alpha_{i,k})_{1\leq i,k\leq n}$.

• Pour $n = 3$, on trouve le déterminant de Van der Monde. En général, on retire la première colonne aux autres, on obtient une ligne de $0$, une ligne de $a_1 - a_i$, et on peut factoriser par ces $a_1 - a_i$. On obtient exactement le déterminant de taille $n-1$ : en général, les termes sans $a_1$ ni $a_i$ partent, et il reste la différence des termes en $a_i$ et ceux en $a_1$.

Soient $n,r,k\in\N$ avec $1\leq r\leq n$ et $r+k\leq n$. Soit $M=\begin{pmatrix}A&B\\ C&D\end{pmatrix}\in\M_n(\C)$, ou $A\in\op{GL}_r(\C)$. Montrer que $M$ est de rang $r+k$ si et seulement si $D-CA^{-1}B$ est de rang $k$.

Soient $n\in\N^*$, $m$ un entier supérieur ou egal à $2$. Montrer que la reduction modulo $m$ définit un morphisme de groupes de $\text{SL}_n(\Z)$ dans $\text{SL}_n(\Z/m\Z)$, puis que ce morphisme est surjectif.

Surjectivité : Dans $SL_n(\Z/m\Z)$, on est produit de transvections : le pgcd des coefficients de la première colonne et de $m$ doit être $1$, donc on peut trouver un coefficient premier avec $m$, et le mettre en haut à gauche. Etc.

Soient $n\in\N^*$, $\mc M$ une sous-algèbre de $\M_n(\C)$. On suppose que, pour tout $v\in\C^n$ non nul, on a $\{Mv\ ;\ M\in \mc M\}=\C^n$. Montrer que $A=\M_n(\C)$.

Si chaque matrice est entièrement déterminée par sa première colonne, alors il existe $A_i$ tel que $\forall M\in A,\, M_i = A_i M_1$. En utilisant que $A$ est une algèbre, on obtient que $M$ doit commuter avec les $A_i$, donc $M$ est diagonale par blocs, ce qui est contradictoire.

Sinon, donc il existe dans $A$ une matrice $B$ dont la première colonne est nulle, en prenant l'image de $M\mapsto MB$ on en obtient d'autres, dont la projection sur chaque colonne non nulle de $B$ est $\C^n$. On note $\mc M_0$ l'ensemble de ces matrices. Pour tout $v$, à moins que $Bv = \vec 0$, on a $\mc M_0 v = \C^{n}$.

On note $\mc M_0'$ la projection de $\mc M_0$ sur $\M_{n-1}(\C)$. C'est une sous-algèbre.

Notons $K$ le noyau commun à toutes les matrices de $\mc M_0$. Si $K = \vect E_1$, alors $\mc M_0' = \M_{n-1}(\C)$. Alors, on peut conclure, laborieusement (la dimension est $\gt n^2 - n$, donc on intersecte chaque colonne).

Sinon, notons $w\in K$ non colinéaire à $E_1$. Alors, dans $\mc M$, $M w$ est entièrement déterminé par $ME_1$. Donc il existe $A$ tel que $\forall M\in\mc M$, $Mw = AM E_1$.

On a alors, pour tout $N\in\mc M$, $NM w = ANM E_1 = N AM E_1$, donc $A$ commute avec tous les $N$. Si $A$ est une homothétie, on obtient une contradiction avec $Mw = AM E_1$. Sinon, $A$ admet un espace stable, qui est stable par toutes les matrices de $\mc M$.

Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ telles que $A^2+B^2=AB$ et $AB-BA\in{\rm GL}_n({\R})$. Montrer que $n$ est divisible par $3$.

La condition sur $AB-BA$ les empêche d'avoir un vecteur propre commun.

Si $\la$ est valeur propre de $B$, alors $A^2 X + \la^2 X = \la AX$, donc $\vect (X, AX)$ est stable par $A$, de dimension $2$, avec un polynôme annulateur de racines $\la e^{\pm \frac{i\pi}{3}}$, (le cas $\la = 0$ est exclu, avec les deux hypothèses) donc $A$ est diagonalisable, et a ces deux valeurs propres (car $X$ n'est pas vecteur propre).

En prenant la transposée, on a de même que si $\la$ est valeur propre de $A$, $\la e^{\pm \frac{i\pi}{3}}$ est valeur propre de $B$. Donc si $\la$ valeur propre de $A/B$ les $e^{\pm 2i\frac{\pi}{3}}\la$ le sont aussi.

On a $(A-B)^2 = - BA$, et $A^3 + B^2 A = ABA \ssi A^3 = (A-B) BA = - (A-B)^3$. Les matrices $A$ et $U = B-A$ vérifient $A^3 = U^3$. On a de même, $(B^T)^3 = (A^T-B^T)^3$, donc $B^3 = - A^3$.

Pour $3$. On se place sur un espace propre de $A^3$, stable par $A,B$, sur lequel $A,B$ sont diagonalisables. Si un espace propre de $B$, $E_B$ est de dimension maximale, alors, $E_B + AE_B$ est stable par $A$ (comme somme d'espaces stables par $A$) et $E_B$ et $AE_B$ sont en somme directe : si $X\in E_B$ et $A^{-1} X \in E_U$, alors on trouve deuxs vecteurs propres de $A$ dans $E_B$, contradiction.

On trouve alors que les dims de $E_{\la e^{\pm i\pi/3}}(A)$ sont grandes. Autrement dit, si $\la$ est valeur propre de $B$ de dimension $m$, les dimensions de celles de $A$ sont au moins égales. On en déduit que toutes les dims sont égales, donc sur l'espace propre de $A^3$, la dimension est multiple de trois. On peut conclure par récurrence.

Soient $\chi\colon ({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes non constant. Soit ${\cal A}$ l'ensemble des matrices de la forme $(a+b\chi(r)+c\overline{\chi(s)}+d\chi(r)\overline{\chi(s)})_{r,s\in({\mathbb{ Z}}/n{\Z})^{\times}}$ avec $a$, $b$, $c$ et $d\in{\R}$.

• Montrer que ${\cal A}$ est un ${\R}$-espace vectoriel.
• Pour $\xi:({\Z}/n{\Z})^{\times}\ra{\C}^*$ un morphisme de groupes, calculer $\sum_{r\in({\Z}/n{\Z})^{\times}}\xi(r)$.
• Montrer que ${\cal A}$ est stable par produit matriciel et que la $\R$-algèbre $({\cal A},+,\times,.)$ est isomorphe à ${\cal M}_2({\R})$ (on exhibera un isomorphisme).

On s'intéresse aux parties de ${\cal M}_n({\R})$ qui sont des groupes pour le produit matriciel.

• Donner des exemples de tels groupes, dont certains ne soient pas des sous-groupes de ${\rm GL}_n({\R})$.
• Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&N\end{pmatrix}$, où $B$ est inversible et $N$ nilpotente.
• Caractériser ces groupes.

• Matrices avec un bloc inversible, et le reste nul.
• Noyaux itérés.
• La matrice $A\in G$ ne peut pas perdre de rang, donc la partie nilpotente est nulle. Si deux matrices $A,B$ n'ont pas la même image, $BA$ a au plus l'image de $B$, donc son image est celle de $B$, et elle doit être stabilisée par $BA$, donc par $A$, impossible.

Pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, soit ${\rm Pf}(A)=a_{1,2}a_{3,4}-a_{1,3}a_{2,4}+a_{1,4}a_{2,3}$.

• Montrer que, pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$, ${\rm Pf}(A)^2=\det(A)$.
• On admet que ${\rm GL}_n^+({\R})$ est connexe par arcs. Montrer que, pour tout $A\in{\cal A}_4({\R})$ et tout $B\in{\cal M}_4({\R})$, ${\rm Pf}(BAB^T)=\det(B){\rm Pf}(A)$.

• Soit $R\in{\rm SO}_4({\R})$. On pose $A=R-R^T$. Montrer l'équivalence entre :

  • $R$ n'a pas de valeur propre réelle,
  • ${\rm Pf}(A)\neq 0$,
  • $A$ est inversible.
• Soient $R_1,R_2\in{\rm SO}_4({\R})$, $A_1=R_1^T-R_1$ et $A_2=R_2^T-R_2$. On suppose $\chi_{R_1}=\chi_{R_2}$ et ${\rm Pf}(A_1)={\rm Pf}(A_2)\neq 0$. Montrer qu'il existe $P\in{\rm SO}_4({\R})$ telle que $R_1=PR_2P^T$.

• Si $B$ non inversible, c'est bon. On a $\det (BÀ B^T) = (\det B)^2 \det A$, donc le pfaffien de $BAB^T$ est $\pm \Pf À \det B$, plus continuité et connexité par arcs.
• Si $A$ est si et seulement si $\op{Pf} A\neq 0$. Si $R$ a une valeur propre réelle, elle vaut $\pm 1$, et $A$ est non inversible. Réciproquement, si $A$ est non inversible, on trouve $RX = R^{-1}X$, donc $R^2 X = X$, mais $R$ est diagonalisable sur $\C$ et les valeurs propres de $R$ sont des $e^{i\theta}$.
• Comme $R_1$ et $R_2$ ont les mêmes polynômes caractéristiques, ils sont conjugués dans $O_4(\R)$, donc c'est le cas de $A_1,A_2$. Comme elles ont le même Pfaffien, elles sont en fait conjuguées dans $SO_4$.

Déterminer l'image de $\phi:M\in{\cal M}_2({\C})\mapsto\sum_{n\in{\N}}\frac{(- 1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}$.

C'est $\sin M$. Sur $\C$, la fonction $\sin$ est surjective, car $\frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2i} = u \ssi Z + Z^{-1} = 2iu\ssi Z^2 - 2iu Z + 1 = 0$.

Reste l'étude de matrices $M = \begin{pmatrix}1 & a \\ 0 & 1\end{pmatrix}$, avec $M^2 = 2a$, donc $\sin(M) = \begin{pmatrix}\sin 1 & a \cos 1 \\ \sin 1 & \cos a\end{pmatrix}$, donc surjective.

À quelle condition sur la matrice $A$, la comatrice de $A$ est-elle diagonalisable?

Si $A$ inversible, $\op{Com} À = A^{-1}$. Si $\rg A\leq n-2$. Si $\rg À = n-1$, $\rg \op{Com} À = 1$, elle est diagonalisable si et seulement si son image n'est pas dans son noyau, mais son image est le noyau de $A$, et son noyau est l'image de $A$.

Pour $i\in{\N}$ et $A\in{\cal M}_n({\C})$, on note $c_i(A)$ le coefficient numéro $i$ du polynôme caractéristique $\chi_A(X)$ de la matrice $A$.

• Montrer que $c_i(AB)=c_i(BA)$ pour toutes matrices $A,B\in{\cal M}_n({\C})$ et $i\in{\N}$.
• Le résultat reste-t-il valable pour des matrices à coefficients dans un corps ${\mathbb{K}}$ quelconque?

Soient $n\in{\N}$ avec $n\geq 2$, $\zeta=e^{2i\pi/n}$ et $S=\Big(\zeta^{(r-1)(s-1)}\Big)_{1\leq r,s\leq n}$.

• s Calculer $S^2$.
• Donner une expression simple de $|\det(S)|$.
• On pose $G_n=\sum_{k=0}^{n-1}e^{\frac{2ik^2\pi}{n}}$. Donner une expression simple de ${\left|G_n\right|^2}$ par un calcul direct.
• s On suppose que $n$ est impair. Déterminer le spectre de $S$ et la multiplicité de chacune de ses valeurs propres.

• On trouve pour $S^2$ une matrice dont les coefficients non nuls sont $(1,1)$, $(2, n)$, $(n, 2)$, $(n-1, 3)$, $(3, n-1)$, c'est-à-dire 1 + une matrice antidiagonale, dont on trouve le déterminant. Il manque le signe de $\det S$…
• Changement de variable $s = k+r$.
• Vérifier que $(\zeta^{s^2})$ est un vecteur propre, en utilisant que $2$ est inversible modulo $n$.

• Rappeler l'ordre d'un élément $k$ de $\Z/n\Z$.
• Montrer que deux permutations de $\mc{S}_n$ sont conjuguées si et seulement si elles ont pour tout $k$, le même nombre de cycles de longueur $k$ dans leurs décompositions en produit de cycles à supports disjoints.
• Soit $c$ un cycle de longueur $k$. Déterminer le nombre de cycles dans la décomposition de $c^i$ en produit de cycles à supports disjoints.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $v,w\in\mc{L}(E)$. On note $u=vw-wv$. Pour $\lambda\in\op{Sp}(u)$, on note $F_u(\lambda)=\bigcup_{m\geq 1}\op{Ker}(u-\lambda\op{id })^m$

• Montrer que $F_u(\lambda)$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ et qu'il admet un supplémentaire stable par $u$.
• On écrit $\pi_u=(X-\lambda)^pQ$ avec $(X-\lambda)\wedge Q=1$. Montrer que $E=F_u(\lambda)\oplus\op{Ker}Q(u)$.
• E On suppose de plus que $u$ commute avec $v$. On note $p_{\lambda}$ le projecteur sur $F_u(\lambda)$ parallèlement à $\op{Ker}Q(u)$.
• Montrer que $p_{\lambda}$ commute avec $v$.
• Montrer que $\op{tr}(up_{\lambda})=\lambda\op{rg}(p_{\lambda})=0$.
• En déduire que $u$ est nilpotent.
• On suppose desormais que $vw^2-w^2v=w$. Montrer qu'il existe un entier $d$ impair tel que $\pi_w=X^d$.

Soit $A,B$ dans $\M_n(\C)$.

• Montrer que $M\in\M_n(\C)$ est nilpotente si et seulement si $\forall k\in\N^*,\ \op{tr}(M^k)=0$.
• On suppose que $A(AB-BA)=0$. Montrer que $AB-BA$ est nilpotente.
• On suppose que $A(AB-BA)=(AB-BA)A$. Montrer que $AB-BA$ est nilpotente.

• Quand on développe $(AB-BA)^k$, dans la trace, chaque produit a autant de $A$ que de $B$. En utilisant la propriété $A^2 B = ABA$ (et la trace), on a la même trace que n'importe quel produit alterné.
• On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BÀ (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule.

Soit $A\in\M_n(\C)$ de polynôme caractéristique $\chi_A=\prod_{i=1}^r\underbrace{(X-\lambda_i)^{\alpha_i}}_{=P_i}$.

• Montrer que $P_i$ est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par $A$ sur $\op{Ker}P_i(A)$.
• Montrer qu'il existe $D$ diagonalisable et $N$ nilpotente telles que $A=D+N$ et $ND=DN$.
• Si $X\in\M_n(\C)$, on note $\op{Comm}_X:M\mapsto MX-XM$. On reprend les notations précédentes. Montrer que $\op{Comm}_A=\op{Comm}_D+\op{Comm}_N$, que $\op{Comm}_D$ et $\op{Comm}_N$ commutent et sont respectivement diagonalisable et nilpotente.

Soient $n\in\N^*$ et $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$. Une matrice $A\in\M_n(\mathbb{K})$ est dite toute puissante (TP $\mathbb{K}$) si, pour tout $p\in\N^*$, il existe $B\in\M_n(\mathbb{K})$ telle que $A=B^p$. - Trouver les matrices TP $\mathbb{K}$ pour $n=1$ et $\mathbb{K}=\R,\Q,\C$.

• Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$. On suppose que $\chi_A=\prod_{i=1}^k(X-\lambda_i)^{\alpha_i}$ ou les $\lambda_i$ sont distincts dans $\mathbb{K}$ et les $\alpha_i$ sont des entiers naturels non nuls.
• Montrer qu'il existe $N_1,\ldots,N_k$ nilpotentes telles que $A$ soit semblable à une matrice diagonale par blocs avec comme blocs diagonaux $\lambda_1I_{\alpha_1}+N_1,\ldots,\lambda_kI_{\alpha_k}+N_k$.
• Montrer que $A$ est TP $\mathbb{K}$ si et seulement si les $\lambda_iI_{\alpha_i}+N_i$ le sont. On dit que $M\in\M_n(\mathbb{K})$ est unipotente si $M-I_n$ est nilpotente et on note $\mc{U}_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices unipotentes de $\M_n(\mathbb{K})$.

Pour $A\in\mc{U}_n(\mathbb{K})$, on pose $\ln(A)=\sum_{p=1}^{+\i}\frac{(-1)^{p-1}}{p}(A-I_n)^p$.

• Justifier la définition de $\ln(A)$ pour $A\in\mc{U}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $\exp$ est une bijection de l'ensemble des matrices nilpotentes sur l'ensemble $\mc{U}_n(\mathbb{K})$.
• Montrer que les matrices unipotentes sont TP $\mathbb{K}$.
• Déterminer finalement les matrices toutes-puissantes de $\M_n(\C)$.

Soient $A$, $B$, $C\in\M_n(\R)$. On considére l'équation $(E)\colon X-AXB=C$ d'inconnue $X\in\M_n(\R)$. On note $\mathrm{Sp}_{\C}(A)$ et $\mathrm{Sp}_{\C}(B)$ les spectres complexes de $A$ et $B$.

• On suppose que, pour tout $(\alpha,\beta)\in\mathrm{Sp}_{\C}(A)\times\mathrm{Sp}_{\C}(B)$, $\alpha\beta\neq 1$. Montrer que l'équation $(E)$ admet une unique solution.
• Que se passe-t-il dans le cas general?

• Il n'est pas possible que $X = AXB$ sans que $X$ soit nulle : prendre une base de trigonalisation de $B$, et montrer que $X$ s'annule dessus, par récurrence.
• On veut trouver un $X$ tel que $AXB = X$, sous l'hypothèse d'une valeur propre $\la$ pour $B$ et $\frac{1}{\la}$ pour $A$. Quitte à conjuguer, on peut supposer que $B = \begin{pmatrix}\la & * \\ 0 & *\end{pmatrix}$, on prend $X = (C|\vec 0 |\dots |\vec 0)$, où $C$ est un vecteur propre de $A$, de valeur propre $\frac{1}{\la}$.

Combien y a-t-il de classes de similitude de $\M_{3n}(\R)$ constituées de matrices $M$ telles que $M^3=0$?

Pour $M^2 = O_n$, on prend un supplémentaire de $\Ker (M)$, en bijection avec $\Im M$ c'est tout. On a une inégalité sur la dimension du supplémentaire.

La suite des dimensions des noyaux itérés est concave. Soit $p_2\geq p_1$ vérifiant cette condition de concavité, montrons qu'il existe un unique $M$ qui convient.

• On commence par choisir un supplémentaire de $\Ker M^2$, qui donne une base de $\Im M^2$
• Puis, on prend un supplémentaire de $\Ker M$, dans $\Ker M^2$, qui est envoyé sur le reste d'une base de $\Im M$. C'est tout.

Déterminer les $M$ de $\M_n(\R)$ telles que $M$ soit semblable à $2M$.

Déterminer les matrices $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$ telles que, pour tout $k\geq 2$, on dispose de $M\in\M_n(\Z)$ vérifiant $A=M^k$.

Les valeurs propres de $M_k$ doivent tendre vers $1$, mais il n'y a qu'un nombre fini de valeurs propres possibles d'un polynôme à coefficients entiers, assez proches de $1$, donc les valeurs propres de $A$ sont de module $1$. Ce sont en fait des racines de l'unité, et elle admettent des racines $k$-ièmes pour tout $k$, dans cet ensemble fini. Ce n'est pas possible, (pour $n!$ essentiellement). Pour $k$ assez grand, la racine $k$-ième considérée est unipotente aussi.

Donc les seules valeurs propres de $A$ sont $0$ et $1$, donc $0$ car inversible : $A$ unipotente. On sait que $A$ admet une racine $p$-ième $B$ unipotente dans la même base de trigonalisation, de plus $B$ est un polynôme en $A$. Si $C$ est une autre racine $p$-ième unipotente, on a $C^p = B^p$ et $C, B$ commutent : $(C-B)(\sum B^k C^{p-1-k}) = O_n$. Mais la somme est inversible, car co-trigonalisable, donc $B=C$. Mais clairement, cette racine $p$-ième ne peut pas être entière pour tout $p$, de par son expression : si $A = I_n + N$, c'est $I_n + \frac{N}{p} + N^2 +\dots$.

Montrer que toute matrice de $\mathrm{GL}_n(\C)$ admet une racine carrée.

• Montrer que toute $M\in\mathrm{SL}_n(\C)$ s'écrit de facon unique $UD$ ou $U\in\mathrm{SL}_n(\C)$ est de la forme $I_n+N$ avec $N$ nilpotente, $D\in\mathrm{SL}_n(\C)$ est diagonalisable et $UD=DU$.
• Soit $\rho$ un morphisme de groupes de $\mathrm{SL}_n(\C)$ dans $\mathrm{SL}_m(\C)$ tel que les coefficients de $\rho(M)$ soient des fonctions polynomiales de ceux de $M$. Montrer que $\rho$ respecte la décomposition de la question précédente.

• C'est les espaces caractéristiques. Unicité : $D'D^{-1} = U'U^{-1}$, utilise que $D'$ commute avec $D'$ et $U'$, donc avec $M$, donc avec $D,U$, puisque ce sont des polynômes en $M$.
• On regarde les diagonales. Celles dont les valeurs propres sont dans $\bigcup \m U_n$ ont leurs images toutes co-diagonalisables. Comme l'application est polynomiale, il en va de même de toutes les matrice diagonales. On regarde les unipotentes $U$. Elles vérifient $U^n$ et $U^{-n}$ de tailles polynomiales, donc $\rho(U)$ n'a que des valeurs propres de module $1$. La somme des valeurs propres est une expression polynomiale en les coefficients de $U$, et elle est bornée, donc elle est constante, donc elle vaut toujours $n$, et les valeurs propres valent toutes $1$.

• Soient $A,B\in\M_n(\C)$ diagonalisables. à quelle condition existe-t-il $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que $PAP^{-1}$ et $PBP^{-1}$ soient diagonales?
• Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que $A$ s'écrit de maniere unique $A=D+N$ avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente et $DN=ND$.
• Soient $A\in\M_n(\C)$, $\pi_A=\prod_{i=1}^r(X-\lambda_i)^{\beta_i}$ son polynôme minimal et $P\in\C[X]$. Montrer que $P(A)$ est diagonalisable si et seulement si $P^{(j)}(\lambda_i)=0$ pour tous $i\in\db{1,r}$ et $j\in\db{1,\beta_i-1}$.

• Si et seulement si $A,B$ commutent.
• Unicité : $D'D^{-1} = U'U^{-1}$, utilise que $D'$ commute avec $D'$ et $U'$, donc avec $M$, donc avec $D,U$, puisque ce sont des polynômes en $M$.
• $P(D+N) = P(D) + P'(D)N + \dots + \frac{P^{(k)}(D)}{k!} N^k$

• Soient $u,v$ deux endomorphismes diagonalisables d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, tels que $uv=vu$. Montrer que $u$ et $v$ sont codiagonalisables.
• Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montrer que $u$ admet au plus une décomposition de la forme $u=d+n$, ou $(d,n)\in\mathbb{K}[u]^2$, l'endomorphisme $d$ est diagonalisable, l'endomorphisme $n$ est nilpotent et $dn=nd$.

Soient $n\in\N$ et $w$ une fonction continue positive non identiquement nulle de $[0,1]$ dans $\R$.

• Soit $(f_k)_{0\leq k\leq n}$ une suite de fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ telle que, pour tout $(k,\ell)\in\db{0,n}^2$, $\int_0^1f_kf_{\ell}w=\delta_{k,\ell}$. Montrer que $(f_k)_{0\leq k\leq n}$ est libre.
• Montrer qu'il existe une unique suite $(p_k)_{k\in\N}$ telle que, pour tout $(k,\ell)\in\N^2$, $\int_0^1p_kp_{\ell}w=\delta_{k,\ell}$ et que, pour tout $k\in\N$, $p_k$ soit polynomiale de degré $k$ à coefficient dominant positif.
• Montrer que, si $n\in\N^*$, $p_n$ à $n$ racines simples dans $]0,1[$ que l'on note $x_{1,n}\lt \cdots\lt x_{n,n}$.
• Montrer que, si $n\in\N^*$, il existe un unique $(\lambda_{1,n},\ldots,\lambda_{n,n})\in\R^n$ tel que, pour tout $p\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_0^1pw=\sum_{k=1}^n\lambda_{k,n}p(x_{k,n})$.

Soient $e_1,\ldots,e_n$ des vecteurs d'un espace euclidien $E$ tels que $\langle e_i,e_j\rangle\leq 0$ pour tous $i,j$ distincts dans $\db{1,n}$. Montrer que $(e_1,\ldots,e_n)$ est libre si et seulement s'il existe une forme linéaire $f$ sur $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\;f(e_i)\gt 0$.

Si elle est libre, la base duale marche (prendre la somme des $e_i^*$).

Si elle est liée, $\sum \la_i e_i = 0$, alors les $\la_i$ doivent tous avoir le même signe (sinon, $\sum_1 \la_i e_i = - \sum_1 \la_i e_j$, et écrire $\langle v,v\rangle\leq 0$).

Soient $n,m\geq 1$ des entiers. On note $\langle\;,\;\rangle$ le produit scalaire canonique sur $\R^n$. Montrer qu'il existe un espace préhilbertien $(E,\langle\;,\;\rangle_E)$ et une application $f\colon\R^n\ra E$ (non linéaire) tels que, pour tous $x,x'\in\R^n$, $\langle x,x'\rangle^m=\langle f(x),f(x')\rangle_E$.

Prendre $E = \vect_{x\in\R^n} e_x$, et $\langle e_x, e_y\rangle = \langle x,y\rangle^m$, c'est une forme bilinéaire. Il faut vérifier le caractère def pos, on est ramené à un nombre fini de $x,y$, et $$\lN \sum \la_x e_x\rN^2 = \sum \la_x^2 \lN x\rN^{2m} + \sum \la_x \la_y \langle x,y\rangle^{m}$$

Autrement dit, si $A$ est pos (non def pos si les $x_i$ sont liés), la matrice dont les coefficients sont ses carrés est def pos. C'est un cas particulier du théorème du produit de Schur : si $A,B$ sont positive, $(a_{ij} b_{ij})$ est positive, on obtient $m\in\N$ par récurrence.

Pour $A,B\in\M_n(\R)$, on note $A\star B$ la matrice $(a_{ij} b_{ij})_{i,j\leq n}$. Soient $A,B$ symétriques positives.

• sAV2 Montrer qu'il existe au plus $n$ vecteurs $v_1,\dots, v_p\in\R^n$ tels que $A\in \vect v_i v_i^T$.
• sAV2 On note $A\otimes B\in\M_{n^2}(\R)$ la matrice définie par blocs $A\otimes B = \begin{pmatrix}a_{11}B & \dots & a_{1n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} B & \dots & a_{nn}B \end{pmatrix}$. Montrer que $A\otimes B$ est symétrie positive.
• Montrer que $A\star B$ est symétrique positive.

• Prendre les vecteurs propres non nuls.
• Ou bien, utiliser $A = \sum \la_i v_i v_i^T$, alors $A\star B= \sum \la_i (v_i v_i^T)\star B$, et $(v_i v_i^T)\star B = \diag(v_i) B \diag(v_i)$. Ou bien voir $A\star B$ comme une matrice extraite de la matrice de taille $n^2$ dont les coefficients d'indices $(i,j), (k,\l)$ les $a_{ij}b_{k\l}$. (Mettre, par blocs, $a_{11}B, a_{12}B,\dots$). Celle-ci est clairement symétrique positive, et on extrait les coefficients où $i=k$ et $j=\l$, donc on reste positive.

Trouver un espace préhilbertien $(E,\langle\;,\;\rangle)$ et $f\colon\R\ra E$ tels que, pour tous $x,y\in\R$, $\exp\left(-\frac{(y-x)^2}{2}\right)=\langle f(x),f(y)\rangle$.

$f(x) = t\mapsto e^{-(x-t)^2}$, avec $\langle f,g\rangle = \int_{\R} f(t) g(t)\dt$.

Soient $m,n\in\N^*$ tels que $n\lt m$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $r\in\N^*$, on considére $r$ vecteurs de $\R^m$ notés $x_1,\ldots,x_r$.

• Montrer qu'il existe une matrice $U_0\in\M_{m,n}(\R)$ minimisant $\sum_{i=1}^r\|x_i-UU^Tx_i\|_2^2$ parmi toutes les matrices $U\in\M_{m,n}(\R)$ telles que $U^TU=I_n$.
• Montrer que $\min_{U\in\M_{m,n}(\R)}\sum_{i=1}^r\|x_i-UU^Tx_i\|_2 ^2=\min_{U,V\in\M_{m,n}(\R)}\sum_{i=1}^r\|x_i-UV^Tx_{ i}\|_2^2$.

• La condition donne que les colonnes de $U$ (longues) sont de module $1$, et orthogonales, donc $U$ est bornée.
• Énoncé ? Quelle est la condition sur $U$ ? et sur $V$ ?

Soient $(\lambda_n)_{n\geq 0}\in\R^{\N}$ une suite strictement croissante vérifiant $\lambda_0=0$ et $k$ dans $\R\setminus\{\lambda_n,\;n\in\N\}$.

• Calculer $I_{n,k}=\inf_{(a_0,\ldots,a_n)\in\R^{n+1}}\int_0^1\left(t^k- \sum_{i=0}^na_it^{\lambda_i}\right)^2dt$.

On admettra que le déterminant de la matrice de coefficient general $m_{i,j}=\dfrac{1}{1+x_i+y_j}$ vaut $\dfrac{\prod_{1\leq i\lt j\leq n}(x_j-x_i)(y_j-y_i)}{\prod_{1 \leq i,j\leq n}(1+x_i+y_j)}$.

• En déduire une condition suffisante sur $(\lambda_n)$ pour que $F=\mathrm{Vect}(t\mapsto t^{\lambda_n})_{n\in\N}$ soit dense dans $\mc C^0([0,1],\R)$ pour la norme $f\mapsto\left(\int_0^1f^2\right)^{1/2}$.

• La distance est un déterminant de Gram.
• On trouve que $\sum \frac{1}{\la_i}$ diverge.

Soit $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $\left\langle\;,\;\right\rangle_1$ et $\left\langle\;,\;\right\rangle_2$ deux produits scalaires tels que $\forall(x,y)\in V^2$, $\left\langle x,y\right\rangle_1=0\Longleftrightarrow\left\langle x,y\right\rangle_2=0$

• Soient $x,y\in V$. Montrer que si $\|x\|_1=\|y\|_1$ alors $\|x\|_2=\|y\|_2$.
• En déduire qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall x\in E$, $\|x\|_1=C\|x\|_2$.
• Soit $u\in\mc{L}(V)$ qui préserve l'orthogonalité : si $\left\langle x,y\right\rangle=0$ alors $\left\langle u(x),u(y)\right\rangle=0$. Montrer qu'il existe $C\in\R^+$ tel que $u\circ u^*=C\,\op{id}$.

Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $(e_1,\ldots,e_n)$ une base de $E$. On pose $\Lambda=\Big{\{}\sum_{i=1}^n\lambda_ie_i,\,(\lambda_i)_{1 \leq i\leq n}\in\Z^n\Big{\}}$.

• Soit $r\in\mc{O}(E)$ tel que $r(\Lambda)\subset\Lambda$. Montrer que $r(\Lambda)=\Lambda$.
• Montrer que $G_{\Lambda}=\{r\in\mc{O}(E),r(\Lambda)=\Lambda\}$ est un sous-groupe fini de $\mc{O}(E)$.
• Ici $n=3$. Montrer que tous les éléments de $G_{\Lambda}$ ont un ordre qui divise $12$.

Soient $E$ un espace euclidien de dimension $n$, $G$ un groupe fini et $\rho$ un morphisme injectif de $G$ dans $\text{GL}(E)$ tel que, pour tout $g\in G$, $\rho(g)\in\mc{S}(E)$. Montrer que les éléments de $G$ sont d'ordre $1$ ou $2$, puis que $|G|$ divise $2^n$.

Ils sont diagonalisables, à valeurs propres réelles, donc d'ordre $1$, ou $2$.

• Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $a\in\R$ pour que la matrice $\begin{pmatrix}1&a\\ a&1\end{pmatrix}$ soit positive, puis définie positive.
• Soit $(a,b,c)\in[-1,1]^3$. On suppose que $1+2abc\geq a^2+b^2+c^2$. Démontrer que $\forall n\in\N^*,\;1+2(abc)^n\geq a^{2n}+b^{2n}+c^{2n}$.

• $(1-X)^2 - a^2 = X^2 - 2X + 1 - a^2$. La somme des valeurs propres vaut $2$, on regarde le produit, qui vaut $1-a^2$, donc si et seulement si $a\leq 1$.
• On pose $g_n(a,b,c) = 1 + 2 (abc)^n - a^{2n} + b^{2n} + c^{2n}$, on en cherche le minimum, dans le compact vérifiant les conditions. $\nabla g = (2n a^{n-1} (bc)^n - 2n a^{n-1} a^n) = 2n a^{n-1}\big((bc)^n - a^n\big) = 2n a^{n-1} (bc - a) (\sum (bc)^k a^{n-1-k})$. Si on atteint ce minimum à l'intérieur, on a soit $a = 0$ (on vérifie que c'est bon), soit $a^n = (bc)^n$, et de même pour les autres produits, de manière cyclique, qui implique que les termes sont nuls. Si on atteint ce minimum sur un bord $a = \pm 1$, c'est clair aussi. Sinon, on atteint ce minimum là où $g_1 = 0$, et les gradients sont colinéaires. On obtient que $a^{n-1}\sum (bc)^{n-1-k} a^{k} = c^{n-1}\sum (ab)^{n-1-k} c^{k} = b^{n-1}\sum (ca)^{n-1-k} b^{k}$, donc $\sum \left(\frac{a}{bc}\right)^k = \sum \left(\frac{b}{ac}\right)^k = \dots$. En fonction de la parité de $n$, on trace la fonction $\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$. Si $n$ est impair, elle est strictement croissante (on peut calculer sa dérivée), donc tous les $\frac{a}{bc}$ sont égaux. On conclut. Si $n$ est pair. chaque valeur a deux antécédents, donc deux des quotients sont égaux, ce qui donne deux des carrés égaux, ce qui conclut.

• s Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$ à coefficients strictement positifs. Montrer qu'il existe un vecteur propre de $A$ dont tous les coefficients sont $\gt 0$.
• Soit $A\in\M_2(\R)$ à coefficients $\gt 0$. Montrer que $A$ possède un vecteur propre à coefficients $\gt 0$.
• Soient $a_1,\ldots,a_n\in\N^*$, $M_i=\begin{pmatrix}a_i&1\\ 1&0\end{pmatrix}$ pour $1\leq i\leq n$. Montrer que $M_1\times\cdots\times M_n$ est à spectre inclus dans $\R\setminus\Q$.

• Celui de valeur propre maximale maximise $\frac{\lN AX\rN}{\lN X\rN}$. Si il n'était pas à coefficients positifs, on pourrait l'augmenter. Pour le $\gt 0$, c'est une question d'ordre du $DL$.
• La trace est $\gt 0$, et on a deux valeurs propres réelles. On envoie le cône du quadrant supérieure dans lui-même, donc il y a un point fixe.
• D'après la question précédente, il existe un vecteur propre réel, à coefficients positifs. S'il existait une valeur propre rationnelle, les deux le seraient. Le produit vaut $2$, et la somme est entière donc la valeur propre vaut $\pm 1$, donc on a un vecteur entier $\vv{p}{q}$, qui retombe sur lui-même, mais $\begin{pmatrix}a_i & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\vv{p}{q} = \vv{a_1 p + q}{p}$, donc à chaque étape, le premier coefficient est trop grand.

• Rappeler la définition de l'adjoint d'un endomorphisme d'un espace euclidien.
• Soient $E$ un espace euclidien et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer que $u$ et $u^*$ commutent si et seulement s'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs, les blocs diagonaux etant soit de taille $1$, soit de taille $2$ et de la forme $\left(\begin{array}{cc}a&b\\ -b&a\end{array}\right)$.

Montrer que $\text{SO}_3(\Q)$ est dense dans $\text{SO}_3(\R)$.

On admet l'existence d'une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ d'unite $1$ admettant une base de la forme $(1,i,j,k)$ avec $i^2=j^2=k^2=-1$ et $ij=k=-ji,jk=i=-kj,ki=j=-ik$. Montrer que le groupe des automorphismes de la $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ est isomorphe à $\text{SO}_3(\R)$.

On munit $\M_n(\R)$ du produit scalaire défini par $\left\langle A,B\right\rangle=\op{tr}(A^TB)$.

1. Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\inf\limits_{\|G\|=1}\|AG-GB\|=\min\limits_{(\lambda_1,\lambda_2)\in\text {Sp}(A)\times\text{Sp}(B)}|\lambda_1-\lambda_2|$.

1. Si on prend $G = X_A X_{B^T}^T$, on a $AG = GÀ = (\la_1 - \la_2) G$, donc $\inf \leq \min$. Réciproquement, pour $A,B$ diagonale, on a exactement ce qu'on veut (un barycentre des $|\la_A - \la_B|$). Sinon, on peut écrire $\lN D_A G - G O D_B O^T\rN = \lN D_A GO - GO D_B\rN$, et $GO$ est de norme $\leq 1$, d'où le résultat.

Soient $X$ un ensemble et $K\colon X\times X\ra\R$. On suppose que, pour tous $n\geq 1$ et $x_1,\ldots,x_n\in X$, $(K(x_i,x_j))_{1\leq i,j\leq n}\in\mc{S}_n^+(\R)$. Pour $x\in X$, on note $K_x\colon y\mapsto K(x,y)$. Soit $E$ le sous-espace de $\R^X$ engendré par les fonctions $(K_x)_{x\in X}$.

Soit $a,b\in E$. Par définition de $E$, il existe $(\lambda_x)_{x\in X}$ et $(\mu_x)_{x\in X}$ dans $\R^X$ n'admettant qu'un nombre fini de coefficients non nuls tels que $a=\sum_{x\in X}\lambda_xK_x$ et $b=\sum_{x\in X}\mu_xK_x$ et on pose

$$\left\langle a,b\right\rangle=\sum_{x,y\in X}\lambda_x\mu_yK(x,y).$$

• Montrer que cela définit bien un produit scalaire sur $E$.
• Montrer qu'il existe $f\colon X\ra E$ telle que $\forall x,y\in X$, $K(x,y)=\left\langle f(x),f(y)\right\rangle$.

• C'est clair.
• C'est clair.

Soient $p\geq 1$ et $A,B\in\mc{S}_p^{++}(\R)$.

• Montrer que $\op{Tr}\left(I_p-A^{-1}B\right)\leq\ln\left(\frac{\det A}{ \det B}\right)$.
• Soient $n\geq 1$, $u_1,\ldots,u_n\in\R^p$ et $\lambda\gt 0$. Pour $1\leq m\leq n$, on pose $A_m=\sum_{k=1}^mu_k\ u_k^T$ et $B_m=\lambda I_p+A_m$. Montrer que, pour $1\leq m\leq n$, $B_m$ est symétrique définie positive.
• Soient $\lambda_1,\ldots,\lambda_p$ les valeurs propres (avec multiplicité) de $A_n$. Montrer que $\sum_{m=1}^n\left\langle u_m,B_m^{-1}u_m\right\rangle \leq\sum_{i=1}^p\ln\left(1+\frac{\lambda_i}{\lambda}\right)$.

• Écrire $A = PP^T$ et $B = PD P^T$, on trouve que la trace vaut $\sum 1 - d_i$, avec $\prod d_i = \det B/\det A$.
• Trivial.
• Si $n=1$, $A_m$ a une unique valeur propre non nulle, qui vaut $\lN u_1\rN^2$, et $\ln (1 + \frac{\la_i}{\la}) = \ln \frac{\la + \la_i}{\la} = \ln \frac{\det (B_1)}{\det \la I_n}\geq \op{Tr}\big(I_p - \la B^{-1}\big)$ On a $\langle u_1, B_1^{-1} u_1\rangle$ En fait, $u_1$ est un vecteur propre de $A_1$ : $B_1 u_1 = (\la + \lN u_1\rN^2) u_1$ (faux pour $u_m$) Donc $\langle u_m, B_m^{-1}u_m\rangle = \frac{\lN u_m\rN^2}{\la + \lN u_m\rN^2}$ !!

Si $G$ est un groupe, on note $Z(G)$ son centre. On pose $U_n(\C)=\left\{A\in\M_n(\C)\,,\,A^*A=I_n\right\}$ ou $A^*=\overline{A}^T$, l'ensemble des matrices unitaires.

• Montrer que $Z(G)$ est un sous-groupe de $G$ et que $\mc{U}_n(\C)$ est un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.
• Soit $A\in\M_n(\C)$ hermitienne, c'est-a-dire telle que $A^*=A$. Démontrer qu'il existe $P\in\mc{U}_n(\C)$ telle que $P^*AP$ soit diagonale.
• Démontrer que toute matrice $M\in\M_n(\C)$ s'écrit comme combinaison linéaire d'au plus quatre matrices unitaires.
• Déterminer $Z\left(\mc{U}_n(\C)\right)$.

• Décomposer en symétrique + antisymétrique, puis réduire : les symétriques sont diagonalisable, donc diagonale, et si leur valeurs propres sont $\leq 1$, on trouve. De même les antisymétriques sont diagonalisables.
• Si on est dans le centre, on commute avec toutes les matrices de $\M_n(\C)$.

Analyse

Soit $F$ l'application qui à une norme $N$ sur $\R^n$ associe la boule fermée de centre $0$ et de rayon $1$ pour $N$.

• L'application $F$ est-elle injective?
• Quelle est l'image de $F$?

• Oui.
• Ce sont les parties convexes, contenant un voisinage de $0$, classique.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $\phi:E\ra\R^+$ une application telle que

• pour tout $x\in E$, $\phi(x)=0$ si et seulement si $x=0$,
• pour tout $x\in E$ et tout $\lambda\in\R$, $\phi(\lambda x)=|\lambda|\phi(x)$.

On note $C=\{x\in E,\ \phi(x)\leq 1\}$.

• Montrer que $\phi$ est une norme si et seulement si $C$ est convexe.
• Soit $K$ un partie de $E$ convexe, compacte, d'intérieur non vide et symétrique par rapport à l'origine. Montrer que $K$ est un voisinage de l'origine.
• Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Posons $I(x)=\{\lambda\gt 0\,;\ \exists k\in K,\ x=\lambda k\}$. Montrer que $I(x)$ est un convexe ferme, non vide.

Soit $G$ un sous-groupe de $(\R^n,+)$ dans lequel $0$ est un point isolé. Montrer qu'il existe une famille libre $(u_1,\ldots,u_p)$ dans $\R^n$ telle que $G=\left\{\sum_{k=1}^pa_k.u_k,\ (a_1,\ldots,a_p)\in\Z^p\right\}$.

Soit $n\in\N^*$. Soit $E$ l'ensemble des pavés de $\R^n$, c'est-a-dire des parties de la forme $[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]$ avec $a_1\leq b_1$,…, $a_n\leq b_n$. Pour toute partie finie $G\subset\R^n$, on note $f(G)=\{F\cap G,\ F\in E\}$. Déterminer $\sup\{k\in\N\ ;\ \exists G\subset\R^n,\ |G|=k,\ f(G)= \mc{P}(G)\}$.

L'ensemble $\{\pm e_i\}^n$ permet d'atteindre $k = 2n$. Réciproquement, c'est la valeur maximale : si un ensemble a strictement plus de $2n$ points, on prend celui d'abscisse maximale, celui d'abscisse minimale, idem pour la seconde coordonnée, etc, tout pavé contenant tous ces points contient tous les autres.

• Soient $E$ un espace vectoriel normé et $K$ un compact convexe non vide de $E$. Soit $(f_i)_{i\in\N}$ une suite de fonctions affines, continues, qui commutent deux à deux et telles que $f_i(K)\subset K$ pour tout $i\in\N$. Montrer que les fonctions $f_i$ ont un point fixe commun.
• Le résultat précédent reste-t-il valable pour une famille $(f_i)_{i\in I}$ de fonctions indexées par un ensemble non dénombrable?

• Prendre un élément du compact, appliquer les fonctions. S'il n'y a qu'une seule fonction, il faut utiliser le caractère affine : prendre la moyenne des éléments, de sorte que $|f(m_n) - m_n|\ra 0$, et une valeur d'adhérence de $m_n$. Donc $f_1$ a des points fixes, et l'ensemble des points fixes de $f_1$ est stable par $f_2$, etc.
• Oui : Il s'agit de montrer que si chaque intersection fini de compacts $K_i$ est non vide, il en va de même de toute intersection. Assume not : une intersection $K_i$ de compact est vide. On peut recouvrir $K$ par un nombre fini de boules de rayon $1$. Une de ces boules intersecte toute intersection finie de points fixes de $f_i$. Puis on recouvre cette boule par des boules de rayon $\frac{1}{2}$, etc. On a un point d'accumulation. Il est dans toutes les intersections.

Soient $H$ le groupe (pour la composition) des homéomorphismes de $\R$ sur $\R$, $H^+$ le sous-groupe des homéomorphismes croissants.

• Caractériser les groupes finis isomorphes à un sous-groupe de $H$.
• Montrer qu'on peut munir tout sous-groupe $G$ de $H^+$ d'une relation d'ordre totale telle que $\forall f,g,h\in G$, $f\leq g\ \Longrightarrow\ h\circ f\leq h\circ g$.
• Réciproquement, montrer que tout groupe dénombrable pouvant être muni d'un tel ordre est isomorphe à un sous groupe de $H^+$.

• Si $g^n = \op{Id}$, alors si $n$ impair, $g = \op{Id}$, et si $n$ pair, $g^2 = \op{Id}$. Si deux fonctions vérifient $f^2 = \op{Id}$ et $g^2 = \op{Id}$, et leur composée aussi, alors elles commutent, donc elles sont égales.
• Prendre une énumération de $\Q$, et mettre l'ordre lexicographique sur $(f(u_n))$.
• On peut créer une application $H\ra\Q$ injective qui préserve l'ordre. Alors, $H$ agit sur cette partie de $\Q$ (l'image), de manière croissante. On peut s'assurer que cette action est continue (si on a un point d'accumulation, on a deux suites, une croissante et une décroissante qui converge vers ce point si les limites étaient différentes, aucun élément du groupe ne serait envoyé entre ces deux limites : dans la construction, quand on place un élément entre $a$ et $b$, le mettre en $\frac{a+b}{2}$). Alors, on prolonge $H$ par continuité, puis de manière linéaire. Par ailleurs, c'est bien un morphisme, car la composée de deux fonctions de ce type l'est encore.

Soient $m$ et $n$ dans $\N^*$, $F$ une partie finie de $\R^n$, $x\in\R^n\setminus F$, $f$ une application $1$-lipschitzienne (pour les normes euclidiennes canoniques) de $F$ dans $\R^m$.

1. sV2 On suppose que $\forall x\in F,\, \lN f(x)\rN\gt \lN x\rN$, montrer que $0$ n'appartient pas à l'enveloppe convexe de $f(F)$.
2. Montrer que l'on peut prolonger $f$ en une application $1$-lipschitzienne de $F\cup\{x\}$ dans $\R^m$.

2. Par récurrence sur $k$. Pour $k = 2$, c'est clair. Sinon on applique l'hypothèse de récurrence à deux sous parties de $F$ privées d'un élément XX Le point $x$ vérifie $\lN x- x_i\rN = \delta_i$ On augmente des boules autour des $f(x_i)$, de rayon $t\delta_i$, à partir de $t = 0$. On prend $x_c$ le premier point d'intersection, atteint pour $t_c$. On veut montrer que $t_c \leq 1$. Le point $x_c$ est sur le bord d'un certain nombre des disques, et par ailleurs, $\sum_{J} \la_j (f(x_j)-x_c) = \vec 0$, avec des $\la_j\geq 0$, autrement dit, $x_c$ est dans l'enveloppe convexe des $f(x_j)$. Si on suppose par l'absurde que $t_c\gt 1$. On peut supposer que $x_c = 0$, alors $\lN f(x_j)\rN\gt \lN x_j\rN$. Cela implique que les $\langle f(x_j), f(x_i)\rangle \gt \langle x_i,x_j\rangle$. Alors $\lN \sum \la_j f(x_j)\rN\gt \lN \sum \la_j x_j\rN^2$, ce qui empêche $\sum \la_j x_j = \vec 0$.

Soient $\gamma,\tau\in\R^{+*}$. On pose, pour $N\in\N^*$,

$$D_N=\left\{x\in\R^d\;;\;\forall k\in\Z^d\setminus\{0\}, \|k\|\leq N\Rightarrow|\left\langle x,k\right\rangle|\geq\frac{ \gamma}{\|k\|^{\tau}}\right\} \quad \et \quad D=\bigcap_{N\geq 1}D_N.$$

Montrer que $D$ est fermé et d'intérieur vide. Qu'en est-il de $D_N$?

$D$ est une intersection de fermés. Intérieur vide : il suffit de montrer que dans toute boule ouvert, on peut trouver un vecteur qui a un orthogonal à coordonnées entières.

Pour $D_N$ : c'est une intersection de deux demi-hyperplans, opposés séparés d'une constante. Chacun retire au plus une direction : pour tout $x$, pour $\la$ assez grand, $\la x\in D_N$.

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels normés. Soit $f\colon E\ra F$ telle que : $\forall r\in \interval]{0, 1}]$, $\forall x\in E,\ B\left(f(x),\frac{r}{2}\right)\subset f(B(x,r))\subset B(f(x),2r)$.

• Montrer que $f$ est continue et surjective.
• Que peut-on dire de l'image par $f$ d'un ouvert ? D'un fermé ?
• Soit $\gamma$ un chemin continu de $[0,1]$ dans $F$. Montrer qu'il existe un chemin $c$ continu de $[0,1]$ dans $E$ tel que $f\circ c=\gamma$.

• La continuité découle de la deuxième inclusion, la surjectivité de la première (il faut travailler, parce que $r\leq 1$).
• $f$ est clairement ouverte. Aussi, elle est $2$-lipshitzienne. Image d'un fermé : si $f(x_n)\ra a$, il est très possible que $x_n$ tende vers l'infini, bon, pour $\R\ra\R$ ça a l'air dur, mais pour $\R^2 \ra \R$, il suffit de prendre une fonction dont le graphe est un plan.
• Si on découple $\gamma$ en des points à des distances $\lt \frac{1}{2}$, on peut trouver une suite de points à des distances $\leq 1$ tel que $f(y_i) = \gamma_i$. On recommence, etc. On trouve $c$.

• Soit $X\subset\R^n$ un fermé non vide. Soit $f:X\ra X$. On suppose qu'il existe $\theta\in[0,1[$ tel que $\forall x,y\in X$, $\|f(x)-f(y)\|\leq\theta\|x-y\|$. Montrer que $f$ possède un unique point fixe $c$ et que, pour tout $x\in X$, $f^m(x)\underset{m\ra+\i}{\longrightarrow}c$.

• Soit $X\subset\R^n$ un compact non vide. Soit $f\colon X\ra X$. On suppose que $\forall x,y\in X$, $x\neq y\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\lt \|x-y\|$.

  • Soient $Y,Z$ deux compacts non vides tels que $f(Y)\subset Y$ et $f(Z)\subset Z$. Montrer que $Y\cap Z$ est non vide.
  • En déduire que $f$ possède un unique point fixe.

On se place dans $\R^n$ et $\R^m$ munis d'une norme.

• Montrer qu'il existe $C\gt 0$ et $R_0\geq 0$ tels que, pour tout $r\geq R_0,\ \mathrm{card}\{x\in\Z^n\,;\,\|X\|\leq r\} \leq Cr^n$.

• On appelle plongement grossier $f\colon\Z^n\ra\Z^m$ une fonction qui vérifie :

  • $\forall a\geq 0,\ \exists b\geq 0,\ \forall x,y\in\Z^n,\ \|x-y\|\leq a\Rightarrow\|f(x)-f(y)\|\leq b$,
  • $\forall b\geq 0,\ \exists a\geq 0,\ \forall x,y\in\Z^n,\ \|f(x)-f(y)\|\leq b\Rightarrow\|x-y\|\leq a$.

  Soit $f\colon\Z^n\ra\Z^m$ un prolongement grossier.

  • Montrer qu'il existe $\rho\colon\R^+\ra\R^+$ et $\mu\gt 0$ tels que $\lim\limits_{x\ra+\i}\rho(x)=+\i$ et $$\forall x,y\in\Z^n,\ \rho(\|x-y\|)\leq\|f(x)-f(y)\|\leq\mu\|x-y\|.$$
  • Montrer que $m\geq n$.
• Adapter pour $f\colon\R^n\ra\R^m$.

• Équivalence des normes.
• • Majoration : on a $\lN f(x) - f(y)\rN\leq \mu \lN x-y\rN + b$, et on peut retirer le $b$, car on est sur $\Z^n$. Minoration : Sinon, il existerait des $x_n,y_n$, avec $\lN x_n-y_n\rN$ arbitrairement grand, et $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN$ borné, ce qui contredit la deuxième condition.
  • Supposons par l'absurde que $m\lt n$. Les éléments de la boule de rayon $R$ sont tous envoyés dans une boule de rayon $C R$. Mais, pour $\lN x-y\rN$ assez grand, $\lN f(x) - f(y)\rN\geq 1$, donc la fonction est essentiellement injective. Il n'y a pas assez de points entiers dans la boule de rayon $CR$, car il y en a au plus $K C^m R^m$.
• On recouvre par des boules.

On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $f\colon\R^2\ra\R^2$ un homéomorphisme. Pour $x\in\R^2$ et $r\gt 0$, on pose :

$L_f(x,r)=\sup\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|\leq r \big{\}}$,

$\ell_f(x,r)=\inf\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\| \geq r\big{\}}$.

• Montrer que : $L_f(x,r)=\sup\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|=r\big{\}}$, $\ell_f(x,r)=\inf\big{\{}\|f(x)-f(y)\|\;;\;y\in\R^2,\ \|x-y\|=r\big{\}}$.
• Pour $x$ fixé, montrer que $r\mapsto L_f(x,r)$ et $r\mapsto\ell_f(x,r)$ sont croissantes.
• E On dit que $f$ est quasi-conforme s'il existe $K_f\gt 0$ tel que : $\forall(x,r)\in\R^2\times\R^{+*},\,L_f(x,r)\leq K_f\ell_f(x,r)$.
• On suppose $f$ quasi-conforme. Montrer qu'alors $L_f(x,2r)\leq(1+K_f)L_f(x,r)$.
• Montrer que $f$ est quasi-conforme si et seulement si $f^{-1}$ est quasi-conforme.

• Comme $f^{-1}$ est continue, $f$ est ouverte.
• C'est clair pour $L_f$, et pour $\l_f$ aussi.
• Si $\lN y - x\rN\leq 2r$, alors si $\lN y - x\rN\leq r$, c'est bon. Sinon, il existe un point $z$ entre les deux à une distance $r$ de $x$, et on a $\lN y - z\rN\leq L_f(z, r)\leq K_f l_f(z, r)\leq K_f L_f(x,r)$.
• Si $f$ est quasi-conforme, et $f^{-1}$ ne l'est pas. C'est qu'il existe des $x_n, r_n, y_n,z_n$ tels que on ait $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN = r_n$, $\lN f(x_n) - f(z_n)\rN = r_n$, mais $\frac{\lN x_n - y_n\rN}{\lN x_n - z_n\rN}$ non majorée. Mais $\lN f(x_n) - f(z_n)\rN\leq L_f(\lN x_n - z_n\rN)$ et $\lN f(x_n) - f(y_n)\rN\geq \l_f(\lN x_n - y_n\rN)$, donc $L_f(\lN x_n - z_n\rN)\geq \l_f(\lN x_n - y_n\rN)$, donc $L_f(\lN x_n - z_n\rN)\geq \frac{1}{K_f} L_f(\lN x_n - y_n\rN)$. Mais en fait, on a $L_f(x, 2r)\geq L_f(x,r) + \l_f(x + y_r, r)\geq L_f(x,r) + K L_f(x + y_r, r)$, car $f$ surjective, et cette dernière quantité ne peut pas être tout petite sinon, $L_f(x, r)\leq L_f(x+y_r, 2r)\leq (1+K_f) L_f(x,r)$.

Soient $n\geq 2$ et $e_1$ le premier vecteur de la base canonique de $\R^n$. Soit $\mc{A}$ l'ensemble des matrices $M$ de $\M_n(\R)$ telles que, pour tout $v\in\R^n$, il existe $a_{v,M}\in\R$, tel que la suite $(M^kv)_{k\geq 1}$ tende vers $a_{v,M}e_1$, avec de plus $v\mapsto a_{v,M}$ non identiquement nulle.

Soit $v\in\R^n$. Montrer que l'application $f_v\colon M\in\mc{A}\mapsto a_{v,M}$ est continue.

Sur $\C$, $M$ a des valeurs propres $\lt 1$, sauf $1$, de multiplicité $1$.

et $f_v$ est la coordonnée de $v$ dans $E_1$, parallèlement aux autres espaces caractéristiques. Par ailleurs, $E_1 = \vect e_1$.

La projection sur $E_1$ est simplement $P(M)B(M)$, où $P$ est l'autre facteur de $\chi_m$, et $B$ est un couple de Bézout $À (X-1) + BP = 1$. La partie $P(M)$ est continue. L'application $P\mapsto B$ est aussi continue, puisque $B$ est en fait une constante, égale à $P(1)^{-1}$.

Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel normé. Pour $X\subset E$ et $x\in E$, on note $d(x,X)=\inf_{y\in X}\|y-x\|$ et $\Pi_X(x)=\{y\in X\;;\;\forall z\in X,\;\|y-x\|\leq\|z-x\|\}$.

• Pour quels ensembles $Y\subset E$ existe-t-il $X\subset E$ et $x\in E$ tels que $Y=\Pi_X(x)$?
• Soient $X\subset E$ et $x\in E\setminus X$ tels que $d(x,X)=0$. Montrer que $\Pi_X(x)=\emptyset$.
• Existe-t-il $X\subset E$ et $x\in E\setminus X$ tels que $d(x,X)\gt 0$ et $\Pi_X(x)=\emptyset$?
• On suppose qu'il existe un produit scalaire $\langle\,\ \rangle$ tel que $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ pour tout $x\in E$, que $E$ est de dimension finie et que $X\subset E$ est un ensemble convexe fermé et borné. Montrer que $\Pi_x(X)$ est un singleton.

• $\Pi_X(x)$ est l'ensemble des points où la distance est atteinte. Ça peut être n'importe quel point, ou n'importe quelle paire de points, ou n'importe quel ensemble de points inclus dans une sphère.
• Trivial.
• Oui, si $X$ non fermé.
• Trivial

Soit $n\geq 1$ un entier, $L\in\left]0,1\right[$, $F\colon\R^n\ra\R^n$ une application $L$-lipschitzienne pour $\left\|\ \right\|_{\i}$, et $x_*\in\R^n$ tel que $F(x_*)=x_*$.

• Soit $(x_k)_{k\geq 1}$ définie par $x_1\in\R^n$ et $\forall k\geq 1$, $x_{k+1}=F(x_k)$. Montrer que $x_k\xrightarrow[k\ra+\i]{}x_*$.
• Pour $I\subset\{1,\ldots,n\}$, on note $F^{|I}\colon\R^n\ra\R^n$ l'application définie, pour tout $x\in\R^n$ et $1\leq i\leq n$, par $F^{|I}(x)_i=\begin{cases}F(x)_i&\text{si }i\in I\\ x_i&\text{si }i\not\in I\end{cases}$.

Montrer que $F^{|I}$ est $1$-lipschitzienne pour $\left\|\ \right\|_{\i}$.

• Soit $(I_k)_{k\geq 1}$ une suite de sous-ensembles de $\{1,\ldots,n\}$ telle que chaque indice $i\in\{1,\ldots,n\}$ appartienne à une infinite de ces ensembles. Soient $x_1\in\R^n$ et, pour $k\geq 1$, $x_{k+1}=F^{|I_k}(x_k)$. Montrer que cette suite converge vers $x_*$.

• trivial
• Trivial.
• La suite $|(x_k - x_*)_i|$ est décroissante, donc converge, d'où le résultat.

On munit l'espace $\ell^{\i}$ des suites réelles bornées de la norme $\|\ \|_{\i}$.

• Soit $(a_n)$ une suite réelle sommable. Montrer que l'application $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx_n$ définit une forme linéaire continue sur l'espace $\ell^{\i}$.

• On suppose l'existence d'une partie $F\subset\mc{P}(\N)$ telle que : (i) pour tous $A,B\in F$, $A\cap B\in F$, (ii) pour $A\in F$, $F$ contient toute partie $B$ de $\N$ qui contient $A$, (iii) $F$ ne contient que des ensembles infinis, (iv) si $A\in\mc{P}(\N)$, alors $A\in F$ ou $\N\setminus A\in F$.

  • Soit $x\in\ell^{\i}$. Montrer qu'il existe un unique réel $x^{\i}$ tel que $\forall\eps\gt 0$, $\exists A\in F$, $\forall n\in A$, $|x_n-x^{\i}|\leq\eps$.
  • En déduire l'existence d'une forme linéaire continue sur $\ell^{\i}$ qui n'est pas de la forme donnée en question -.
• On note $c_0$ le sous-espace de $\ell^{\i}$ des suites réelles de limite nulle. Montrer que toute forme linéaire continue sur $c_0$ est de la forme donnée en question -.

• $|f(x)|\leq \sum |a_n| \lN x \rN_{\i}$
• • C'est la preuve de BW.
  • C'est clairement linéaire, continue. On justifie que ce n'est pas de la forme précédente. Si c'était le cas, on aurait $\sum a_i = 1$ (prendre une suite constante), puis en prenant deux constantes, pour les termes paires et impaires, on obtient que l'une des deux sommes est $1$ l'autre est $0$. On recommence en coupant en $4$, en $8$, etc. On obtient que un seul des termes vaut $1$, et les autres $0$.
• On définit les $a_i$ comme l'image de $(0,\dots, 0, 1, 0 \dots)$, on vérifie que la famille est sommable, et une fois que l'on coïncide sur les suites nulles APCR, on coïncide, par $\eps$.

Soient $r\in\R_+^{*}$, $E$ une partie de $\R^2$ couplant toute boule de rayon $r$ (pour la norme euclidienne canonique), $P\in\R[X,Y]$ s'annulant sur $E$. Montrer que $P=0$.

Écrire $P(X,Y) = \sum X^n P_n(Y)$. Prendre la valeur en $(n^n, n)$.

Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie $n\geq 2$, $C$ un convexe ouvert de $E$ ne contenant pas $0$. Montrer qu'il existe une droite vectorielle ne couplant pas $C$.

Projeter $0$ sur $C$, et prendre une droite orthogonale.

Soit $n\in\N^*$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.

Soit $\Delta=\left\{x\in(\R^+)^n,\,\sum_{i=1}^nx_i=1\right\}$. On admet que pour tout $x\in\R^n$, il existe un unique point $\pi(x)\in\Delta$ tel que $\forall z\in\Delta$, $\left\langle z-\pi(x),x-\pi(x)\right\rangle\leq 0$.

• Soient $x,u\in\R^n$ et $x'=\pi(x+u)$. Montrer que, pour tout $z\in\Delta$, $2\left\langle u,z-x\right\rangle\leq\left\|z-x\right\|_2^2-\left\|z -x'\right\|_2^2+\left\|u\right\|_2^2$.
• E Soit $A\in\M_n(\R)$. Soient $x_1,y_1\in\Delta$ et $(\gamma_k)_{k\geq 1}$ une suite strictement positive. Pour $k\geq 2$, on définit par récurrence $x_{k+1}=\pi(x_k+\gamma_kAy_k)$ et $y_{k+1}=\pi(y_k-\gamma_kA^Tx_k)$.
• Montrer qu'on peut choisir la suite $(\gamma_k)_{k\geq 1}$ de sorte que $$\max_{x\in\Delta}\sum_{k=1}^N\left\langle x,Ay_k\right\rangle-\min_{y\in \Delta}\sum_{k=1}^N\left\langle x_k,Ay\right\rangle\leq o(N).$$
• En déduire que $\max_{x\in\Delta}\min_{y\in\Delta}\left\langle x,Ay\right\rangle=\min_{y\in \Delta}\max_{x\in\Delta}\left\langle x,Ay\right\rangle$.

C'est le projeté de $x$ sur $\Delta$.

• L'inégalité recherchée se réécrit $2 \langle z, u+x - x' \rangle\leq \lN x+u\rN^2 - \lN x'\rN^2$. En utilisant l'hypothèse, il suffit de montrer que $2\langle x', u+x\rangle\leq \lN u+x\rN^2 + \lN x'\rN^2$, ce qui est clair (c'est une norme au carré).
• En appliquant ce qui précède à $u = \gamma_k A y_k$ et $x = x_k$, on obtient $$2\gamma_k \langle Ay_k, z\rangle \leq \lN z - x_k\rN^2 - \lN z - x_{k+1}\rN^2 + \lN \gamma_k Ay_k\rN^2 + 2 \gamma_k \langle x_k, A y_k\rangle$$ De même, avec $u = - \gamma_kA^T x_k$, et $x = y_k$ $$2\gamma_k \langle A^T x_k, z \rangle\geq - \lN z - y_k\rN^2 + \lN z - y_{k+1}\rN^2 - \lN \gamma_k A^T x_k\rN^2 + 2 \gamma_k \langle A^T x_k, y_k\rangle$$ Avec le $-$ devant le min, on change le signe. Les derniers produits scalaires disparaissent. On somme, mais attention, ce n'est pas télescopique car on divise par $\gamma_k$. Les termes en $z$ sont chacun bornées. Il apparaît une quantité en $M \sum \left|\frac{1}{\gamma_k} - \frac{1}{\gamma_{k+1}}\right|$, plus $\sum \gamma_k M'$. On prend $\gamma_k = \frac{1}{\sqrt{k}}$, et on obtient une majoration en $\sqrt{N}$.
• On a automatiquement $\leq$ : car l'expression de gauche est $\leq \langle x_1, Ay_2\rangle$ $\leq \max_{x} \langle x, A y_2\rangle$ ($x_1$ là ou le terme de gauche est atteint, $y_2$ là ou le terme de droite est atteint). Si on avait $\lt$, on obtiendrait automatiquement que la quantité ne serait pas en $o(n)$.

Soient $E$ euclidien et $T:E\ra E$. On suppose qu'il existe $C\in\R^+$ tel que :

$\forall(x,y)\in E^2,\,\left\|\lN T(x) - T(y)\rN- \lN x-y\rN\right| \leq C$.

L'objectif est de montrer qu'il existe $h\in\R^+$ et un unique $u\in\mc{O}(E)$ tels que

$\forall x\in E,\,\left\|T(x)-u(x)\right\|\leq h$.

• Conclure dans le cas ou $C=0$.
• Prouver l'unicité de $u$.
• Pour tout $x$ de $E$, on pose $u_0(x)=\lim\limits_{n\ra+\i}\dfrac{T(2^nx)}{2^n}$. Montrer que $u_0$ est bien définie, linéaire et conserve la norme.
• Conclure.

• Simple.
• Simple.
• $\frac{T(2^n x)}{2^n}$ a une norme proche de $\lN x\rN$, à $\frac{1}{2^n}$ près, car $\left|\lN T(u)\rN - \lN u\rN\right|\leq C$ $\lN T(2x)\rN$ a une norme proche de $2x$, et est à une distance $x$ de $T(x)$. On veut un contrôle de $\lN T(2x) - 2T(x)\rN \leq C'$, en utilisant que $\lN T(2x)\rN\simeq 2\lN x\rN$ et $\lN T(2x) - T(x)\rN \simeq \lN x\rN$. Pour cela, on écrit $\lN T(2x) - 2T(x)\rN^2$ avec le produit scalaire, et par ailleurs, $\big(C + \lN x\rN\big)^2 \geq \lN T(2x) - T(x)\rN^2$, qui fait intervenir le même produit scalaire. On en déduit que $\lN T(2x) - 2T(x)\rN^2 \leq C \lN x\rN + D$. Alors, $\sum \lN \frac{T(2^{n+1} x)}{2^{n+1}} - \frac{T(2^nx)}{2^n}\rN$ converge. La norme est clairement préservée. Pour la linéarité : utiliser $u_0(2x) = 2 u(x)$, et le fait que $u$ préserve les distances.
• Ok.

Soient $(E,\left\langle\,\ \right\rangle)$ un espace préhilbertien, $F:E\ra E$ et $G=\dfrac{1}{2}(\op{id}-F)$.

• Montrer que, $F$ est $1$-lipschitzienne pour $\parallel$ si et seulement si $\forall x,x'\in E,\,\left\langle G(x')-G(x),x'-x \right\rangle\geq\left\|G(x')-G(x)\right\|^2$.
• On suppose que $F$ est $1$-lipschitzienne pour et qu'il existe $x_*\in E$ tel que $F(x_*)=x_*$. Soit $(x_n)_{n\geq 1}$ la suite définie par $x_1\in E$ et, pour $n\geq 1$, $x_{n+1}=\dfrac{x_n+F(x_n)}{2}$. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $\left\|F(x_n)-x_n\right\|\leq\dfrac{2\left\|x_1-x_*\right\|}{ \sqrt{n}}$.
• En déduire que, si $E$ est un espace euclidien, $(x_n)_{n\geq 1}$ converge vers un point fixe de $F$.

1. Simple.
2. On reformule en termes de $G$. on suppose que $x^* = 0$. On a $G(x^*) = 0$. La question précédente donne, pour $x = 0$, $\langle G(y), y\rangle \geq \lN G(y)\rN^2$, ce qui est un peu plus fort que $G$ est $1$-lipschitzien. La suite $(x_n)$ est définie par $x_{n+1} = x_n - G(x_n)$, et on veut montrer que $\lN G(x_n)\rN^2 \leq \frac{\lN x_1\rN}{\sqrt{n}}$. En général : On écrit $x_{n+1} = x_n - G(x_n)$, donc $\lN x_{n+1}\rN^2 = \lN x_n\rN^2 - 2 \langle x_n, G(x_n)\rangle + \lN G(x_n)\rN^2$ et $\langle x_n, G(x_n)\rangle\geq \lN G(x_n)\rN^2$, donc $\lN x_{n+1}\rN^2 \leq \lN x_n\rN^2 - \lN G(x_n)\rN^2$ Par ailleurs, comme $\langle G(x_{n+1})- G(x_n), x_{n+1} - x_n\rangle\geq \lN G(x_{n+1}) - G(x_n)\rN^2$, on a $\langle G(x_{n+1}), G(x_n)\rangle\geq \lN G(x_{n+1})\rN^2$, donc $\lN G(x_n)\rN\geq \lN G(x_{n+1})\rN^2$. En sommant la relation d'avant, on obtient $\sum \lN G(x_i)\rN^2 \leq \lN x_1\rN^2 - \lN x_n\rN^2 \leq \lN x_1\rN^2$, et la décroissance permet de conclure.

Soient $n\geq 2$ et $I_n(\R)=\{A\in\M_n(\R)\,;\,\exists\lambda\in \op{Sp}(A),\,\,\op{Im}(A)\subset E_{\lambda}(A)\}$, ou $E_{\lambda}(A)$ est le sous-espace propre de $A$ associe à la valeur propre $\lambda$.

• Montrer que $I_n(\R)$ est stable par similitude.
• Soient $A,B\in I_n(\R)$.Montrer que $A$ et $B$ sont semblables si et seulement si $\op{rg}A=\op{rg}B$ et $\op{tr}(A)=\op{tr}(B)$.
• On note $I_n^*(\R)=\{A\in\M_n(\R)\;;\;\exists\lambda\in \op{Sp}(A),\;\op{Im}(A)=E_{\lambda}(A)\}$. Étudier la connexité par arcs de $I_n(\R)$ et de $I_n^*(\R)$.
• Déterminer les classes de similitude incluses dans $I_2(\R)$.

• La condition donne que $A$ n'a qu'une seule valeur propre non nulle et $(A-\la)À = O_n$, ou alors que $A^2 = O_n$ ($A$ a une seule valeur propre).
• Pour $I_n$ on peut passer par $O_n$. Sinon, on est ramené au cas diagonale, via la connexité de $GL_n$. Le problème est le rang. Les fonctions vérifient $\tr À = \la \rg A$ et $\tr A^2 = \la^2 \rg A$. Sion ne passe pas $\la = 0$, le rang est donc continue, mais la seule matrice pour $A^2 = O_n$ soit n'existe pas, soit si $n$ est pair a un rang $\frac{n}{2}$, donc ne peut pas être approché par des matrices de rang petit. Pour $n=2$ cependant, ça marche.

Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$.

• Montrer qu'il existe une norme stricte sur $\R^n$ pour laquelle les éléments de $G$ sont des isométries.
• On suppose que les éléments de $G$ stabilisent un convexe compact non vide de $\R^n$ note $K$. Montrer que les éléments de $G$ ont un point fixe commun dans $K$.
• Montrer qu'il existe un produit scalaire sur $\R^n$ pour lequel les éléments de $G$ sont des isométries.

• Prendre $\sup_{g\in G} \lN gx\rN$
• Prendre un élément de $K$ de norme minimale.
• On veut une matrice symétrique $A$ def pos telle que $g À g^T = A$. $G$ agit sur $\M_n(\R)$. Prendre l'enveloppe convexe de l'orbite de $I_n$.

Soit $n\in\N^*$. Soit $G$ un sous-groupe compact de $\op{GL}_n(\R)$. Pour tous $g\in G$ et $A\in\M_n(\R)$, on pose $g\cdot A=gAg^T$.

• Donner un exemple de produit scalaire sur $\M_n(\R)$ et la norme $N_0$ euclidienne associée.
• Soit $N\colon A\mapsto\sup\limits_{g\in G}N_0(g\cdot A)$. Montrer que $N$ est une norme sur $\mc{S}_n(\R)$.
• Soit $K=\{gg^T,g\in G\}$. Montrer qu'il existe un compact convexe $C$ vérifiant : $K\subseteq C$, $\{g\cdot A,\;(g,A)\in G\times C\}\subseteq C$ et $C\subseteq\mc{S}_n^{++}(\R)$.
• Montrer qu'il existe un produit scalaire $G$ invariant pour $\cdot$.

• L'enveloppe convexe de $K$.
• $g$ agit de manière isométrique, pour $N$. Prendre un élément de $K$ de norme minimale.

Déterminer les valeurs d'adhérence des suites $(\cos n)$ et $(\cos^nn)$.

[PSLR] Soit $S$ une partie de $\N^*$ infinie et stable par produit. On range les éléments de $S$ en une suite strictement croissante $(s_n)_{n\geq 1}$. Montrer que la suite $\left(\dfrac{s_{n+1}}{s_n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite dans $[1,+\i[$.

Elle converge vers sa borne inférieure.

Soit $(z_n)_{n\geq 0}$ une suite complexe telle que $\forall n\in\N,z_{n+1}=z_ne^{-i\op{Im}(z_n)}$. Pour quelles valeurs de $z_0$ cette suite est-elle convergente?

On écrit $z_n = r e^{i\theta_n}$, on a $\theta_{n+1} = \theta_n - r \sin \theta_n$.

Si $r\leq 1$, cela converge vers $0$. Si $r\leq 2$, aussi, car $|\theta_n|$ décroît.

Si $r\gt 2$, cela ne converge vers $0$ que si elle est stationnaire en $0$.

Trouver un équivalent de $S_n=\sum\limits_{k=1}^{+\i}\dfrac{k^n}{2^k}$ quand $n\ra+\i$.

C'est maximum quand $t = \frac{n}{\ln 2}$. Essayer de comparer à l'intégrale. Dans l'intégrale, on pose $u = \frac{t}{n}$, puis on a $\int e^{n f(u)}$, où $f$ admet un maximum en $1$, on factorise le maximum, pour que $\max f = 0$, puis on est ramené à une situation classique.

La comparaison $\sum/\int$ est justifiée, car, au pire des cas, on est monotone d'un côté et de l'autre, du point où $f' = 0$, et comme les termes individuels sont négligeables, ça passe.

On fixe un entiers $n\geq 2$ et $(t_i)_{i\in\Z/n\Z}$ une famille d'éléments de $]0,1[$. Soit pour $i\in\Z/n\Z$, $(x_k^i)_{k\geq 0}$ une suite réelle. On suppose que, pour tout $i\in\Z/n\Z$ et tout $k\in\N$, $x_{k+1}^i=(1-t_i)x_k^i+t_ix_k^{i+1}$. Montrer que les $n$ suites $(x_k^i)_{k\geq 0}$ pour $i\in\Z/n\Z$ convergent vers une même limite.

Le maximum des suites est strictement décroissant, etc.

Soient $m\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_m\in\mathbb{U}$ distincts et $a_1,\ldots,a_m\in\C$. On suppose que $\sum\limits_{k=1}^ma_kz_k^n\underset{n\ra+\i}{ \longrightarrow}\;0$. Montrer que $a_1=\cdots=a_m=0$.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ bornée telle que $\forall h\in\N^*$, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k \ol{a_{k+h}} \underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Montrer que $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^na_k\underset{n\ra+\i}{ \longrightarrow}0$.

Pour un $h$ fixé, on considère $h \sum_{i=1}^n a_i$ que l'on peut écrire comme une somme de $n-h$ groupes de $h$ termes consécutifs.

En prenant le module au carré, d'après Cauchy-Schwarz, on peut le majorer par $(n+h) \sum_{i=1}^{n+h-1} \big|G_i\big|^2$.

Quand on développe les $|G_i|^2$, on a que des choses qui relève de l'hypothèse. On s'en sort.

Pour $x_0\gt 0$, on définit par récurrence $x_{n+1}=x_n+\int_{x_n}^{+\i}e^{-t^2}\dt$. Étudier la suite $(x_n)_{n\geq 0}$. Donner un équivalent de $x_n$ puis un développement asymptotique à deux termes.

On a $(x_n)$ croissante, donc tend vers $+\i$. Par ailleurs $\int_{x_n}^{+\i}e^{-t^2}\dt = \left[\frac{e^{-t^2}}{2t}\right] + \int_{x_n}^{+\i} \frac{e^{-t^2}}{2t^2}\dt$. Donc $x_{n+1} = x_n + \frac{e^{-x_n^2}}{2x_n}$, puis $e^{x_{n+1}^2} = e^{x_n^2 + x_n \frac{e^{-x_n^2}}{x_n}} = e^{x_n^2} + x_n e^{-x_n^2} \ra 1$. Donc $e^{x_n^2}\sim n$, c'est-à-dire $x_n \sim \sqrt{\ln n}$. En poussant le terme plus loin, on a un terme, en $\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}$ et $\frac{1}{n^2 \sqrt{\ln n}}$ le coup d'après (dont la série converge), alors que $x_{n+1} - x_n$ a un terme suivant en $\frac{e^{-x_n^2}}{x_n^3} = \frac{1}{n (\ln n)^{3/2}}$ qui domine, et dont la série converge. La conclusion est que l'on peut s'écrire $u_n + C + o(1)$.

Si on considère $x_{n+1} - (u_{n+1}) = (x_n - u_n) - \frac{1}{n\sqrt{\ln n}} + \frac{e^{-x_n^2}}{x_n}$. Si $x_n$ prend un $+c$, on devient $\frac{e^{-x_n^2} e^{-x_n c}}{x_n + c} = \frac{1}{n (\sqrt{\ln n} + c)} e^{\pm \sqrt{\ln n}}$, cela permet de justifier que la constante est nulle.

Puis, sommation des équivalents des restes.

Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Montrer qu'il existe une unique suite $(n_i)_{i\geq 1}\in(\N^*)^{\N^*}$ telle que, pour tout $i\in\N^*$, $n_{i+1}\geq{n_i}^2$ et que $\alpha=\sum_{i=1}^{+\i}\ln\bigg(1+\frac{1}{n_i}\bigg)$.

On a $\sum_{n=0} \ln \left( 1 + \frac{1}{a^{2^n}}\right) = \ln \prod \left(1 + \frac{1}{a^{2^n}}\right) = \ln \sum_{k\geq 0} \frac{1}{a^k} = \ln \frac{a}{a-1}= \ln 1 + \frac{1}{a-1}$.

Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle positive.

On note, pour $\alpha\geq 0$, $\mc{R}_{\alpha}=\left\{(u_n)_{n\in\N}\in[0,1]^{\N},\ \sum_{n\in\N}u_na_n\leq\alpha\right\}$.

Soit $(b_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle positive sommable. Pour tout $\alpha\gt 0$, construire une suite $(v_n)_{n\in\N}\in\mc{R}_{\alpha}$ telle que $\sum_{n\in\N}v_nb_n=\max_{(u_n)\in\mc{R}_{\alpha}} \left\{\sum_{n\in\N}u_nb_n\right\}$.

Pourquoi cette quantité est bornée : plus petite que $\sum b_n$. On est manifestement ramené au cas où la suite est finie. Dans ce cas, on peut appliquer des extrema liés : en le point où le maximum est atteint, $u_n$ vaut $1$ là où $\frac{b_n}{a_n}$ est maximal.

On rempli les $u_n$ pour lesquels $\frac{b_n}{a_n}$ est maximal en premier. En pratique, on regarde si $\sum_{n \mid \frac{b_n}{a_n}\gt \frac{b_{n_0}}{a_{n_0}}} a_n \lt \a$, et si oui, on met du poids sur $u_{n_0}$, en faisant attention, à ce que d'autre $n_i$ peuvent avoir le même quotient, on a qu'à les remplir simultanément.

Soient $p\in]1,+\i[$ et $q\in\R$ tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.

• Soient $(a_n)_{n\geq 0}$ et $(b_n)_{n\geq 0}$ des suites d'éléments de $\R^+$ telles que $\sum{a_n}^p$ et $\sum{b_n}^q$ convergent. Montrer que $\sum a_nb_n$ converge.
• Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs telle que $\sum a_n$ converge et $\alpha\in\R^{+*}$. Pour $n\in\N$, soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\i}a_k$. Déterminer la nature de $\sum{\frac{a_n}{{R_n}^{\alpha}}}$.
• Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite d'éléments de $\R^+$. On suppose que, pour toute suite $(b_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $\R^+$ telle que $\sum{b_n}^q$ converge, $\sum a_nb_n$ converge. Montrer que $\sum a_n^p$ converge.

• $a_n b_n \leq \frac{a_n^p}{p} + \frac{b_n^q}{q}$
• Intégrer $\frac{1}{t^{\a}}$ entre $R_n$ et $R_{n+1}$ : $$\frac{a_n}{R_n}\leq \int_{R_{n+1}}^{R_n} \frac{1}{t^{\a}},$$ donc pour $\a\gt 1$, on converge. Pour $\a = 1$, on montre la divergence classiquement, en regroupant des termes entre lesquels $R_{n+1}\leq \frac{R_n}{2}$.
• On prend $b_n = \frac{a_n^{p-1}}{S_n}$, où $S_n$ sont les sommes de $a_n^p$. On a $b_n^q = \frac{a_n^p}{S_n^q}$. Si $\sum a_n^p$ diverge, comme $q\gt 1$, on convergera. Par ailleurs, $a_n b_n = \frac{a_n^p}{S_n}$, et, classiquement, cela diverge.

On admet l'irrationalite de $\pi$. Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}+\cos(n)}$.

• Montrer que $\sum u_n$ converge si $\alpha\gt \frac{1}{2}$.
• Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha$ pour que $\sum u_n$ converge.

Soit $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de $\R_+^*$.

• sAV2 Montrer que, pour $n\in\N^*$ et $c_1,\dots,c_n\gt 0$, on a $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\leq\frac{1}{n\sqrt[n]{c_1\dots c_n}}\sum_{i=1}^na_i c_i$.
• sÀ Montrer que, pour $n\in\N^*$, on a $\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\leq\frac{1}{n}\sum_{i=1}^na_i$.
• Montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\sqrt[n]{\prod_{i=1}^na_i}\lt e\sum_{n=1}^{+ \i}a_n$.
• Montrer que la constante $e$ est optimale.

• Pour toute suite $c_n$, on a $\sqrt[n]{a_1\dots a_n}\leq \frac{1}{\sqrt[n]{c_1\dots c_n} n} \sum_{k=1}^n a_k c_k$, ce qu'on somme en une majoration de la forme $\sum_{k=1}^n a_k c_k \sum_{\l = k}^{+\i} \frac{1}{\sqrt[\l]{c_1\dots c_\l} \l}$. Ensuite, on prend $c_k$ de l'ordre de $k$ dont le produit soit télescopique : on veut $c_1\dots c_\l = \l^{\l}$, autrement dit $c_\l = \frac{\l^{\l}}{(\l-1)^{\l-1}}$, alors $\sum_{\l = k}^{+\i} \frac{1}{\sqrt[\l]{c_1\dots c_\l} \l}$ est $\sum_{\l = k}^{+\i} \frac{1}{\l^2} = \frac{1}{k}$, et $c_k \frac{1}{k}\ra e$.
• On veut que nos IAG soit égalitaires, donc prendre $a_n = \frac{1}{c_n}$, bon, ça diverge, mais c'est d'autant mieux parce que les premières fois où on majore par $e$ sont grossières, on prend des $0$ APCR.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$. On pose, pour $n\in\N$, $H_{0,n}=a_0+\cdots+a_n$ et, pour $\alpha\in\N^*$,

$H_{\alpha,n}=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nH_{\alpha-1,k}$. Si $(H_{\alpha,n})_{n\geq 0}$ converge, on dit que $(a_n)$ est $H_{\alpha}$-sommable.

• Soit $\alpha\in\N$. Si $(a_n)_{n\geq 0}$ est $H_{\alpha}$-sommable, montrer qu'elle est $H_{\alpha+1}$ sommable.
• On suppose $(H_{0,n})_{n\geq 0}$ périodique. Montrer que $(a_n)_{n\geq 0}$ est $H_{\alpha}$-sommable pour tout $\alpha\in\N^*$.
• Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite de réels positifs. On suppose que $\sum a_n$ diverge. Montrer que, pour tout $\alpha\in\N$, $(a_n)_{n\geq 0}$ n'est pas $H_{\alpha}$-sommable.
• Soit $\alpha\in\N$. Si $(a_n)_{n\geq 0}$ est $H_{\alpha}$-sommable, montrer que $a_n=o(n^{\alpha})$.
• Donner un exemple de suite $(a_n)_{n\geq 0}$ qui n'est pas $H_{\alpha}$-sommable mais qui est $H_{\alpha+1}$-sommable.

• Trivial.
• Trivial.
• Si $\sum a_n$ diverge, tous les $H_{\a,n}$ tende vers l'infini.
• Si $H_{\a, n}$ converge, alors $H_{\a-1,n} = o(n)$, et alors $H_{\a-2, n} = o(n^2)$, etc.
• $n^{\a}$

• Montrer que : $\cos(k\theta),\frac{\sin((k+1)\theta)}{\sin\theta},\frac{\cos((k+1/2)\theta)}{ \cos(\theta/2)}$ et $\frac{\sin((k+1/2)\theta)}{\sin(\theta/2)}$ sont des polynômes en $\cos\theta$.
• Soient $a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n$ des réels.

On suppose que : $\forall\theta\in\R,\,g(\theta)=a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(k\theta) +b_k\sin(k\theta))\geq 0$. Montrer qu'il existe un polynôme complexe $P$ tel que : $\forall\theta\in\R,\,g(\theta)=|P(e^{i\theta})|^2$.

• Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $\forall n,p,u_{n+p}\leq u_n+u_p+C$, ou $C$ est une constante réelle. Montrer que $\left(\frac{u_n}{n}\right)$ converge ou tend vers $-\i$.
• Soit $f\in\mc C(\R,\R)$ continue et croissante, telle que $\forall x\in\R,\,f(x+1)=f(x)+1$. On note $f^n$ la composée iterée de $f$ ( $n$ fois). Montrer que, pour tout $x\in\R$, $\left(\frac{f^n(x)-x}{n}\right)_{n\geq 1}$ converge vers une limite qui ne depend pas de $x$.

Soient $(a_1\geq \dots \geq a_n)$ et $(b_1\geq \dots \geq b_n)$ dans $(\R^{+*})^n$.

On note $a\geq b$ si : $\forall k\in\db{1,n-1}$, $\sum_{i=1}^ka_i\geq\sum_{i=1}^kb_i$ et $\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^nb_i$. Montrer que $a\geq b$ si

et seulement si, pour tout $(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^{+*})^n$, $\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}\prod_{i=1}^nx_i^{a_{\sigma(i)}}\geq\sum_{\sigma\in\mc{S}_n} \prod_{i=1}^nx_i^{b_{\sigma(i)}}$.

Réciproque : Si on prend les $x_i$ égaux, on obtient $\sum a_i = \sum b_i$ selon $x_i\gt \or \lt 1$.

Si on prend $x_1$, et les autres valant $1$, on obtient $\sum_{\sigma} x_1^{a_{\sigma_1}}\geq \dots$,donc $\sum x^{a_i}\geq \sum x^{b_i}$. Quand $x\ra +\i$, on obtient que $a_1\geq b_1$. De même, $\sum x^{a_i + a_j}\geq \sum x^{b_i + b_j}$, donc $a_1 + a_2 \geq b_1 + b_2$.

Sens direct : Commencer par le cas $n = 2$. À traiter en supposant que $x_1 = 1$ par homogénéité. Puis on peut transformer les $(a_1\geq \dots \geq a_n)$ en $(b_1\geq \dots \geq b_n)$ par des opérations successives sur deux termes.

• Soit $f\colon [0,2\pi]\ra\R$ une fonction continue. Montrer qu'il existe $x\in[0,2\pi]$ tel que $f(x)\geq\dfrac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(t)dt$.
• Soient $z_1,\ldots,z_n\in\C$. Montrer qu'il existe une partie $I$ de $\db{1,n}$ telle que $\left|\sum_{j\in I}z_j\right|\geq\dfrac{1}{\pi}\sum_{j=1}^n|z_j|$.

Soient $a\lt b$. Une dissection du segment $[a,b]$ est une suite finie $(t_k)_{0\leq k\leq n}$ strictement croissante telle que $t_0=a$ et $t_n=b$. Pour $f:[a,b]\ra\R$, on définit la variation de $f$ sur $[a,b]$ par $V(f,[a,b])=\sup_{t\,\text{\tiny{\rm dissection}}\atop\text{\tiny{\rm def}}\,[a,b ]}\sum_{i=0}^{n-1}|f(t_{i+1})-f(t_i)|$.

• Calculer $V(f,[a,b])$ dans le cas ou $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $[a,b]$.
• Soit $f:[0,1]\ra\R$. Montrer que $V(f,[0,1])\lt +\i$ si et seulement s'il existe $g$ et $h$ croissantes telles que $f=g-h$.

Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction dérivable. On pose $S_-=\{x\in\R,\ f'(x)\lt 0\}$.

• L'ensemble $S_-$ peut-il être fini non vide?
• On suppose que, pour tout $\eps\gt 0$, il existe une suite $(I_n)_{n\in\N}$ d'intervalles ouverts tels que $S_-\subset\bigcup_{n\in\N}I_n$ et $\sum_{n=0}^{+\i}\ell(I_n)\leq\eps$ (ou $\ell(I_n)$ designe la longueur de $I_n$). Montrer que $f$ est croissante (donc $S_-=\emptyset$).

• Non, $f'$ vérifie le TVI.
• Supposons $f(1)\lt f(0)$. On considère le min de $f$ sur $[0,1]$, puis son max. On suppose qu'ils sont atteints en $1$ et $0$. Alors, on peut considérer la plus grand fonction décroissante $g$, qui reste en dessous de $f$. Cette fonction vérifie $g'\neq 0 \Rightarrow g'(x) = f'(x)$, et elle est à variations bornées.

Soient $E$ un espace vectoriel, $C\subset E$ un ensemble convexe non vide, $a\lt b$ deux réels, et $F$ l'ensemble des fonctions $f\colon C\ra[a,b]$ convexes. Soit $x,y\in C$ fixes. Déterminer $\sup_{f\in F}\left(f(y)-f(x)\right)$. Déterminer les cas ou la borne supérieure est atteinte.

C'est majoré par $b-a$. Si $C = [c,d]$ est un segment, on prend une fonction constante égale à $a$ jusqu'à $x$, puis qui monte de manière affine.

Dans le meilleurs cas : $\frac{|y-x|}{d-x}(b-a)$. (si $x\lt y$).

En général, on fait la même chose, ce qui intervient est l'intersection de $[x,y)$ avec $C$. C'est simple de vérifier que ça majore et que l'on peut prendre une fonction convexe comme ça, en définissant $f$ constante dans les directions orthogonales. Euh, non, ça ne marche pas. Plutôt, en le point d'intersection, on a un hyperplan tangent, et on utilise cette direction.

Soit $C = [c,d]$ et $F$ l'ensemble des fonctions $f\colon C\ra [a,b]$ convexes. Soient $x\lt y\in C$ fixés. Déterminer $\sup_{f\in F}\left(f(y)-f(x)\right)$.

Pour toute fonction $f\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$, on note $\mathrm{dom}(f)=\{x\in\R,\ f(x)\neq+\i\}$. Si $\mathrm{dom}(f)\neq\emptyset$, on définit $f^*\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$ par $f^*(y)=\sup_{x\in\R}\left\{xy-f(x)\right\}$, pour tout $y\in\R$.

• Soit $f\colon\R\ra\R\cup\{+\i\}$ telle que $\mathrm{dom}(f)\neq\emptyset$. Montrer que $\mathrm{dom}(f^*)$ est un ensemble convexe et que $f^*$ est convexe sur $\mathrm{dom}(f^*)$.
• Soit $g\colon\R\ra\R$ une fonction convexe dérivable. On pose $E=\left\{(y,a)\in\R^2\,;\ \forall x\in\R,\ xy-a\leq g(x) \right\}$.
• Montrer que, pour tout $x\in\R$, $g(x)=\sup_{(y,a)\in E}\left(xy-a\right)$.
• En déduire que $(g^*)^*=g$.
• Étendre au cas ou $g$ n'est pas dérivable.

Soient $I$ un intervalle réel contenant $0$ et $f\colon I\ra\R$ de classe $\mc C^1$.

On suppose qu'il existe $A,C\gt 0$ telles que $\forall x\in I,\ |f'(x)|\leq C|f(x)|+A$.

Montrer que $\forall x\in I,\ |f(x)|\leq|f(0)|e^{C|x|}+\dfrac{A}{C}\left(e^{C|x|}-1 \right)$.

On peut supposer $x\geq 0$. On a $|f(x)|e^{-Cx}$, dont la dérivée (là où $f$ est non nulle) est $e^{-Cx}\big(f'(x) - C |f(x)|\big)\leq À e^{C x}$. D'où le résultat.

Soit $f\colon\R^+\ra\R$ uniformément continue et dont une primitive est bornée. On suppose que, pour tout $x\gt 0$, $|f(x)|\leq\dfrac{2}{x^2}\int_0^x(x-y)\,|f(y)|dy$. Montrer que $f(x)\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}0$. Quelles généralisations peut-on étudier?

Assume not, disons que $f(x_n)\geq 1$. D'après les hypothèses, $f$ est bornée. Comme $f(x)$ est une moyenne, on a toujours $|f(x)|\leq \sup_{[0,x]} |f(t)|$.

On considère $\limsup f$. Si elle vaut $1$ disons, alors apcr $x_0$, $|f(x_0)|\leq 1+\eps$, et la partie précédente à un poids qui tend vers $0$. Comme on continue à prendre des valeurs proches de $1$, c'est que une grande proportion ($\geq 1-\eps$) de $|f|$ est $\geq 1-\eps$. Par exemple, entre $\frac{x}{3}$ et $\frac{x}{2}$.

Comme l'intégrale $f$ est bornée par $M$. On sépare les points d'une distance $D\geq 3M$. Entre chaque paire de points, ou bien $f$ prend une valeur nulle, ou bien la proportion est $\leq \frac{1}{2}$. Dans les deux cas, on perd un trop grande proportion $(\gt \eps)$.

On note $[a,b]$ un segment de $\R$. Une application $\delta:[a,b]\ra{\R^+}^*$ est appelée une jauge. Soit $D=((a_i)_{0\leq i\leq n},(x_i)_{0\leq i\leq n-1})$ une subdivision pointée de $[a,b]$, c'est-a-dire $a_0=a\lt a_1\lt \cdots\lt a_n=b$ et $\forall i\in\db{0,n-1},\ x_i\in[a_i,a_{i+1}]$. On dit que $D$ est $\delta$-fine lorsque pour tout $i$, $|a_{i+1}-a_i|\leq\delta(x_i)$.

• Soit $f\in\mc C^0([a,b],\R)$. Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, il existe une jauge $\delta$ telles que $\forall x,y\in[a,b],y\in[x-\delta(x),x+\delta(x)]\Rightarrow|f(x)-f(y)|\leq\eps$.
• Si $\delta$ est une jauge, montrer qu'il existe une subdivision pointée $\delta$-fine.
• Redémontrer le theoreme de Heine pour $f$ continue.
• Soient $f\colon [a,b]\ra\R$ une fonction continue par morceaux et $I$ un réel. On dit que $f$ est HK-intégrable, d'intégrale $I$ si, pour tout $\eps\gt 0$, il existe une jauge $\delta$ telle que, pour toute subdivision pointée $((a_i)_{0\leq i\leq n},(x_i)_{0\leq i\leq n-1})$ $\delta$-fine, on a $\left|\sum_{i=0}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)f(x_i)-I\right|\leq\eps$. Montrer que $I$ est unique. On la note $\int_{HK}f$.
• Montrer que, si $f$ est dérivable, $f'$ est HK-intégrable et $\int_{HK}f'=f(b)-f(a)$.

• C'est l'uniforme continuité.
• Pour commencer, prendre $x_0 = 0$. Puis prendre le sup de ce qu'on peut atteindre avec une subdivision finie, on peut prendre $x_n = \a$ pour aller plus loin que la précédente.
• Pour tout $\eps$, il faut une jauge. Elle est donnée, en un point $t$, par à quel point il faut être proche de $t$ pour que le taux d'accroissement soit $\lt \frac{\eps}{b-a}$.

Soient $P\in\C[X]$ non constant tel que $P(0)\neq 0$, $r\in\R^{+*}$, $z_1,\ldots,z_p$ les racines de module strictement inférieur à $r$ de $P$ comptées avec multiplicité. Montrer que $\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\ln(|P(re^{it})|)dt=\ln(|P(0))|+\sum_ {k=1}^p\ln\left(\dfrac{r}{|z_k|}\right)$.

Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$. On dit qu'un endomorphisme $u$ de $E$ est positif si, pour tout $f\in E$, $f\geq 0$ implique $u(f)\geq 0$. On pose, pour $i\in\N$, $e_i:x\in[0,1]\mapsto x^i$.

• Soit $u$ un endomorphisme positif de $E$. Montrer que pour tout $f\in E$, $|u(f)|\leq u(|f|)$.
• Soit $f\in E$. Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, il existe $\delta\gt 0$ tel que : $\forall x,y\in[0,1]$, $|f(x)-f(y)|\leq\eps+\dfrac{2\,\|f\|_{\i}}{\delta^2}\,(x-y)^2$.
• Soit $(T_n)_{n\geq 0}$ une suite d'endomorphismes positifs de $E$. On suppose que, pour $i\in\{0,1,2\}$, la suite $(T_n(e_i))$ converge uniformément vers $e_i$ sur $[0,1]$. Montrer que, pour tout $f\in E$, la suite $(T_n(f))$ converge uniformément vers $f$ sur $[0,1]$.
• Démontrer le theoreme de Weierstrass.

• Simple.
• C'est exactement l'uniforme continuité.
• Pour chaque $y$, on a $\forall x,\, \dots\leq f(x)\leq f(y) + \eps + \frac{2\lN f\rN_{\i}}{\delta^2} (x-y)^2$. On applique $T_n$, on obtient un encadrement de $T_n(f)$, valable pour tout $y$.
• Prendre $T_n(f)\colon x\mapsto \sum {n\choose k} f\big(\frac{k}{n}\big)x^k (1-x)^{n-k}$.

Soit $s\gt 1$. On dit que $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ est $s$-Gevrey s'il existe $R,C\gt 0$ tels que : $\forall k\in\N$, $\forall x\in\R$, $\left|f^{(k)}(x)\right|\leq CR^k(k!)^s$.

• Soit $f\colon x\in\R\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^sx}$. Justifier que $f$ est bien définie et $s$-Gevrey.
• Soit $f\colon x\in\R\mapsto\mathbf{1}_{\R^+}(x)\,e^{-1/x}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ et 2-Gevrey.

• Clairement définie, de classe $\mc C^{\i}$. On a $|f^{(k)}(x)|\leq \sum_n n^{sk} e^{-n}$. Le terme est maximal pour $n = sk$, de valeur $\frac{(sk)^{sk}}{e^{-sk}} = s^{sk} (k!)^s$. Par ailleurs, on peut multiplier par $2sk$ : la borne est encore de la forme voulue, et les termes pour $n\geq 2sk$ sont majorés par $e^{-n/2}$.
• $e^{-1/x} = \frac{P_n(x)}{x^{2n}}$, où $P_n$ est de degré $n$, et la relation de récurrence majore ses coefficients par quelque chose de l'ordre de $n!$. Par ailleurs, le sup de $\frac{e^{-1/x}}{x^n}$ est atteint en $x = \frac{1}{n}$, et vaut $n!$. On a donc une majoration en $(n!)^2$.

Pour $x\gt 0$ et $\alpha,\beta\in\C$, on pose : $F_{\alpha,\beta}(x)=\int_0^{+\i}e^{-xt}t^{\alpha}(1+t)^{\beta}\dt$.

• Pour quels $(\alpha,\beta)$ l'intégrale $F_{\alpha,\beta}(x)$ converge-t-elle absolument?
• Pour un tel couple $(\alpha,\beta)$, étudier la régularite de $F_{\alpha,\beta}$.
• On pose $f\colon x\in\R^{+*}\mapsto\int_x^{+\i}e^{-t^2}\dt$ et $g\colon x\in\,]0,1[\mapsto\int_0^x\frac{\dt}{\ln t}$. Exprimer $f$ et $g$ en fonction des $F_{\alpha,\beta}$.
• Déterminer un développement asymptotique de $F_{\alpha,\beta}$ en $+\i$.

• je sais pas.
• Ne dépend que de $\a$, IPP.

Soit $\Gamma:x\mapsto\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$.

• Soit $n\in\N$. Montrer que $\Gamma(n+1/2)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\,\Gamma(1/2)$.
• Montrer que, pour $x,y\gt 0$ et $\lambda\in[0,1]$, $\Gamma\left((1-\lambda)x+\lambda y\right)\leq\Gamma(x)^{1-\lambda}\Gamma( y)^{\lambda}$.
• En déduire :

$\forall n\in\N^*$, $\Gamma(n+1/2)^2\leq\Gamma(n)\,\Gamma(n+1)$; $\forall n\in\N$, $\Gamma(n+1)^2\leq\Gamma(n+1/2)\Gamma(n+3/2)$.

• Montrer que $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$.
• On note, pour $n\in\N^*$, $\Gamma_n(x)=\int_0^nt^{x-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^n dt$. Démontrer que la suite $(\Gamma_n)_{n\geq 1}$ converge simplement vers $\Gamma$.

Soient $x,y\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ vérifiant $x'(t)=\sin(y(t))$ et $y'(t)=\cos(x(t))$.

• Montrer que $f:t\mapsto\sin(x(t))+\cos(y(t))$ est constante.
• Soit $\phi:t\mapsto\frac{1}{2}\left(x(t)+y(t)-\frac{\pi}{2}\right)$. Montrer que les points $(\sin(\phi(t)),\phi'(t))$ sont situes sur un même cercle dont on déterminera le rayon.

Soient $A\in\M_n(\R)$, $B\in\M_{n,1}(\R)$, $E$ l'espace des applications continues de $[0,1]$ dans $\R$, $x\in\R^n$. Pour $u\in E$, soit $X_u$ l'unique application de classe $\mc C^1$ de $[0,1]$ dans $\R$ telle que $X_u(0)=x$ et $\forall t\in[0,1],X_u'(t)=AX_u(t)+Bu(t)$.

Montrer que $\{X_u(1)\;;\;u\in E\}=\R^n$ si et seulement si la matrice $(A|AB|\ldots|AB^{n-1})$ de $\M_{n,n^2}(\R)$ est de rang $n$.

• Que dire du spectre complexe d'une matrice symétrique réelle? d'une matrice antisymétrique réelle?
• Soient $A\in\mc C^1(\R,\M_n(\R))$ et $B\in\mc C^0(\R,\M_n(\R))$ vérifiant : $A'=AB-BA$. On suppose que : $\forall t\in\R,A(t)\in\mc{S}_n(\R)$ et $B(t)\in\mc{A}_n(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in\mc C^1(\R,\M_n(\R))$ à valeurs dans $\mc{O}_n(\R)$ telle que : $\forall t\in\R,A(t)=P(t)^{-1}A(0)P(t)$.
• On se place dans le cas $n=2$ avec : $A=\begin{pmatrix}b_1&a_1\\ a_1&b_2\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}0&a_1\\ -a_1&0\end{pmatrix}$ et $(S):a_1'=a_1(b_2-b_1)$, $b_1'=2a_1'$, $b_2'=-2a_1'$, $b_1(0)+b_2(0)=0$ et $a_1(0),b_1(0)\geq 0$.
• Calculer $AB-BA$.
• Trouver une solution particuliere de $(S)$ au voisinage de $0$.

Pour $k\geq 3$, on note $G_k:z\mapsto\sum_{(n,m)\in\Z^2\setminus\{(0,0)\}}\frac{1}{(m+nz)^{ k}}$.

• Montrer que $G_k(z)$ est bien défini pour tout complexe $z$ tel que $\op{Im}z\gt 0$ et que la fonction $(x,y)\mapsto G_k(x+iy)$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R\times\R^{+*}$.
• Montrer que $G_k(iy)$ admet une limite quand $y\ra+\i$.
• Étudier l'existence des limites suivantes : $$\lim_{N\ra\i}\sum_{n=-N}^N\sum_{m\in\Z}\frac{1}{(m+in)^2}\ \text{et}\ \lim_{M\ra\i}\sum_{m=-M}^M\sum_{n\in\Z}\frac{1}{(m+in)^2},\ \text{oi dans les deux cas la somme}$$ exclut $(n,m)=(0,0)$. Ces limites sont-elles égales?

Soit $(x,y,z)\in(\R^+)^3$. Démontrer que $(x+y+z)^3+9xyz\geq 4(x+y+z)(xy+yz+zx)$.

C'est homogène, on peut supposer que $x+y+z = 1$, et montrer que $1 + 9 xyz \geq 4 (xy + yz+zx)$. On cherche le minimum de la différence, de gradient $(9yz - 4y - 4z, 9\dots,\dots)$. Sur un bord où $x = 0$ c'est clair, et sinon, il faut que les trois coordonnées soient égales : $9yz - 4y - 4z = 9xz - 4x - 4z$ donne $9z(y-x) = 4 (y-x)$, donc soit les coordonnées sont égales, soit $z = \dots$.

Soit $F\colon\R^2\ra\R,\ (t,x)\mapsto F(t,x)$ continue et décroissante par rapport à $x$.

Soient $u$ et $v$ appartenant à $\mc C^2(\R^+\times\R)$ 1-périodiques par rapport à $x$.

• On suppose que $\frac{\partial u}{\partial t}+F\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{ \partial^2u}{\partial x^2}\right)\leq 0\leq\frac{\partial v}{ \partial t}+F\left(\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial^2v}{\partial x ^2}\right)$. Démontrer que $\sup_{\R^+\times\R}(u-v)=\sup_{\{0\}\times\R}(u-v)$.
• On suppose que $\frac{\partial u}{\partial t}+F\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{ \partial^2u}{\partial x^2}\right)=0$. Montrer que $u$ est uniformément continue sur $\R^+\times\R$.

• En un temps $t_0$, et un point $x$ pour lequel $u-v$ est maximal, on a d'une part $\frac{\partial u}{\partial x} (t_0, x_0) = \frac{\partial v}{\partial x} (t_0, x_0)$, et d'autre part que la dérivée seconde de $v$ est plus grand que celle en $u$. Donc $F(u)\geq F(v)$. Donc la dérivée de $u$ en $t$ est plus petite que celle de $v$. Il suffit en fait de traiter le cas d'un compact $[0, t_0]\times \R$. Le maximum est atteint quelque part : $(t_1, x_1)$, et en remontant le temps, pour tout $t$, le point $(t,x_1)$ sera un maximum en $x$, donc la dérivée le long du chemin est négative, jusqu'en $t = 0$.
• Sinon, $u(t_n, x_n) - u(t_n', x_n')$ est grand, alors que $t_n-t_n'\ra 0$, en appliquant ce qui précède à $u$ et $\tau_{t_n'-t_n, x_n - x_n'} u$, on obtient que $u(0, x_n'') - u(t_n'-t_n, x_n'' + x_n - x_n')$ est grand, ce qui n'est pas possible, par compacité.

Soient $a\gt 0$, $n\geq 1$ et $x_1,\ldots,x_n\gt 0$. Calculer $\inf\limits_{\substack{y_1,\ldots,y_n\gt 0\\ y_1+\cdots+y_n\leq 1}}\sum\limits_{i=1}^n\frac{x_i}{y_i^a}$.

Soit $n\in\N^*$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.

On considére $n+1$ vecteurs $v_1,\ldots,v_{n+1}$ engendrant positivement $\R^n$, c'est à dire tels que $\left\{\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_iv_i,\ (\lambda_i)_{1\leq i \leq n+1}\in(\R^+)^{n+1}\right\}=\R^n$.

Soit $f\colon\R\ra\R^+$ une fonction continue croissante telle que $f(x)\underset{x\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. Pour $x\in\R^n$, on définit $g(x)=\sum_{i=1}^{n+1}f(\langle v_i,x\rangle)$.

• Montrer qu'il existe bien $n+1$ vecteurs $v_1,\ldots,v_{n+1}$ engendrant positivement $\R^n$.
• Montrer que $g$ atteint son minimum sur $\R^n$.
• On suppose que $f$ est intégrable en $-\i$. Montrer qu'il existe $x\in\R^n$ tel que $\sum_{i=1}^{n+1}f(\langle v_i,x\rangle)v_i=0$.

• Prendre les $e_i$ et $v = -\sum e_i$
• Découle du fait que si $x\ra +\i$, alors $\max_i \langle v_i, x\rangle\ra +\i$.
• Notons que si $f$ est dérivable, $\nabla g (x) = \sum_{i=1}^{n+1} f'\big(\langle v_i, x\rangle\big) v_i$. Il suffit donc d'appliquer ce qui précède à une primitive de $f$.

On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique.

• Montrer que $\op{GL}_n(\R)$ est ouvert.
• Pour $A\in\M_n(\R)$, que vaut $d(A,\op{GL}_n(\R))$?
• On note $S=\M_n(\R)\setminus\op{GL}_n(\R)$. Montrer que, pour tout $A\in\op{GL}_n(\R)$, il existe $M_0\in S$ telle que $d(A,S)=\lN À - M_0\rN$.
• Rappeler le résultat sur les extrema sous contrainte. Que peut-on en déduire sur la matrice $M_0$ définie ci-dessus?

• $0$
• $S$ est fermé.
• On travaille sous $\det M = 0$, est la différentielle du déterminant est $H\mapsto \op{Tr}(\op{Com} M_0^T H)$, donc $\op{Com} M_0^T$ est colinéaire à $A-M_0$.

Géométrie

• Montrer que, si $n\geq 2$, le groupe des isométries vectorielles de $\R^2$ préservant les points dont les affixes sont les racines $n$-iemes de l'unite est un groupe d'ordre $2n$ que l'on note $\mc{D}_{2n}$.
• Soient $p$ un nombre premier, $G$ un groupe fini d'ordre $2p$. Montrer que $G$ est isomorphe à $\Z/2p\Z$ ou à $\mc{D}_{2p}$.

• On note $G$ le groupe (pour la composition) des deplacements du plan, i.e. des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a\in\mathbb{U}$ et $b\in\C$. Montrer que, si $H$ est un sous-groupe de $G$, $H$ est discret si et seulement si l'orbite de tout $z\in\C$ sous l'action de $H$ n'a pas de point d'accumulation.
• Le résultat subsiste-t-il si on remplace $G$ par le groupes des similitudes directes du plan, i.e. des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z\mapsto az+b$ avec $a\in\C^*$ et $b\in\C$?

• Pas de difficulté.
• Non, $a = \frac{1}{2}$.

Probabilités

Soit $E$ un espace vectoriel normé et soit $(u_1,\ldots,u_n)\in E^n$. On considére des variables aléatoires $\eps_1,\ldots,\eps_n$ i.i.d telles que $\mathbf{P}(\eps_i=1)=\mathbf{P}(\eps_i=-1)=\frac{1}{2}$. Si $(v_1,\ldots,v_n)\in E^n$, on pose $N(v_1,\ldots,v_n)=\mathbf{E}\left(\left\|\sum_{k=1}^n \eps_kv_k\right\|\right)$. Démontrer que, pour tout $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\in[-1,1]^n,\;N(\lambda_1u_1,\ldots, \lambda_nu_n)\leq N(u_1,\ldots,u_n)$.

La fonction $\la\mapvo \lN u + \la v\rN + \lN u - \la v\rN$ est croissante sur $\R_+$.

On considére une pièce equilibrée et $\eps_n$ la valeur du $n$-ieme lancer que l'on considére à valeurs dans $\{-1,1\}$. Soient $X_n=\sum_{k=1}^n\eps_k$ et $\tau=\min\{n\in\N^*,\;X_n=0\}$. Déterminer $\mathbf{P}(\tau=n)$ ainsi qu'un équivalent de cette quantite lorsque $n$ tend vers $+\i$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes, $X$ suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda\gt 0$, et $Y$ la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1]$.

• Montrer que $\mathbf{P}(X=Y)=\sum_{k=0}^{+\i}\mathbf{P}(X=k)\mathbf{P}(Y=k)$. On pose $A=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ 0&Y\end{pmatrix}$.
• Calculer $\mathbf{E}(\op{rg}(A))$.
• Calculer $\mathbf{P}(A\in\op{GL}_2(\R))$ puis $\mathbf{P}(A\in\op{GL}_2(\Z))$.
• Déterminer la probabilité pour que $A$ soit diagonalisable sur $\R$.
• On pose $B=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ X-Y&Y\end{pmatrix}$. Calculer $\mathbf{P}(B\in\mc{O}_2(\R))$.
• Soient $Z$ une variable aléatoire réelle et $C=\begin{pmatrix}X&X+Y\\ Z&Y\end{pmatrix}$. Calculer $\mathbf{P}(C\in\mc{O}_2(\R))$.
• Soit $M$ une matrice aléatoire dans ${\cal M}_n(\R)$ dont la famille des coefficients est i.i.d., chaque coefficient suivant la loi uniforme sur $\{0,-1,1\}$. Déterminer $P(M\in{\cal O}_n(\R))$.

On note $E=\db{1,n}$ et $\Delta$ la différence symétrique. Soit $p\in[0,1]$ et $X$ et $Y$ deux variables aléatoires i.i.d de $\Omega$ dans ${\cal P}(E)$ telles que, pour tout $i\in E,\ {\bf P}(i\in X)=p$.

• Calculer ${\bf E}({\rm card}(X\Delta Y))$.
• On note $D(n)$ le cardinal maximal d'une partie ${\cal A}$ de ${\cal P}(E)$ telle que, pour toutes parties $A$ et $B$ distinctes de ${\cal A}$, $|A\Delta B|\geq n/3$. Montrer qu'il existe $C>0 ; D_n \geq C \sqrt{n}$

• Indication: Considérer une suite de v.a idd $\left(X_i\right)_{i \in\{1, \ldots, m\}}$ et utiliser 1 ) en exploitant l'inégalité de Bienaymé-TCHEBYCHEV

Soient $(X_n)_{n\in\Z}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Si $N$ est une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $X_{N+n}(\omega)=X_{N(\omega)+n}(\omega)$.

• Existe-t-il $N$ tel que ${\bf P}(X_N=1)=1$ et, pour tout $n\in\N^*$, ${\bf P}(X_{N+n}=1)=1/2$?
• Existe-t-il $N$ tel que ${\bf P}(X_N=1)=1$ et, pour tout $n\in\Z^*$, ${\bf P}(X_{N+n}=1)=1/2$?

• Prendre le premier $1$.
• On tire pile ou face, et on choisit l'indice du milieu de la première apparition de $110$, ou de $011$ suivant le résultat. Considérons $P(X_{N-2} = 1)$ : Sachant qu'on tire pile, et sachant que $N = k\geq 2$, les termes d'avant $110$ peuvent être n'importe quoi sans cette séquence. Par exemple, si il reste trois places, sur les $2^3 = 8$ possibilités, une est exclue, donc $4$ façons de finir par $1$ et $3$ façons de finir par $0$. Par contre, sachant qu'on tire face, on regarde les termes avant $011$, on a $3$ façons de finir par $1$ et quatre par $0$. De plus, le nombre de séquences sans facteur $110$ est le même que le nombre de séquences sans facteur $011$.

Soient $E=\db{1,n}$ et $p\in]0,1[$. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans ${\cal P}(E)$ telle que $\forall i\in E,\ {\bf P}(i\in X)=p$ et, pour $i\neq j\in E$, $(i\in X)$ et $(j\in X)$ sont indépendants.

Pour $Y$ variable aléatoire de même loi que $X$ et indépendante de $X$, calculer ${\bf E}(|X\Delta Y|)$.

Soient $G$ un groupe fini de cardinal $N$, et $A$ une partie de $G$ aléatoire, ou l'on prend chaque élément de $G$ indépendamment avec probabilité $p\gt 0$.

On note ${\rm AA}=\{xy,\ (x,y)\in A^2\}$.

• Montr per que ${\bf P}(1\in{\rm AA})$ tend vers $1$ quand $N$ tend vers l'infini.
• Montr per que ${\bf P}({\rm AA}=G)$ tend vers $1$ quand $N$ tend vers l'infini.

• Soit $X$ une variable aléatoire réelle positive $L^2$. Montrer que, pour $\lambda\in]0,1[$, ${\bf P}(X\geq\lambda{\bf E}(X))\geq(1-\lambda)^2\frac{{\bf E}(X)^{ 2}}{{\bf E}(X^2)}$.
• Soit $(u_n)$ une suite de variables aléatoires positives indépendantes. Montrer que la série $\sum u_n$ converge presque sûrement si et seulement si $\sum_{n=0}^{+\i}\E(\min(u_n,1))\lt +\i$.
• Soit $\alpha\gt 0$. On suppose que ${\bf P}(X_n\geq r)\underset{r\ra+\i}{\sim}r^{-\alpha}$. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur $(x_n)_{n\in\N}\in(\R_+)^{\N}$ pour que $\sum x_nX_n$ converge presque sûrement.

• Cauchy-Schwarz : $E(X^2) P(X\geq\la E(X)) \geq E(X 1_{X\geq \la E(X)})^2$, et $E(X 1_{X\leq \la E(X)})\leq \la E(X)$.
• Si $\sum E(u_n)$ converge, pour $\eps = \frac{1}{N}$, $P(X\gt )$ Si $\sum u_n$ converge presque sûrement, alors $u_n \ra 0$ presque sûrement. On suppose $u_n \leq 1$. Alors $\sum v_n =\min(u_n, 1)$ converge.
• Si $\sum u_n$ converge presque sûrement, alors $\sum P(X_n \gt c)$ doit converger pour tout $c\gt 0$ d'après Borel-Cantelli. Si $\sum \E(u_n)$ converge, alors $\E(\sum u_n)$ est fini, donc presque sûrement, $\sum u_n$ est fini. Si $\sum \E(\min(u_n, 1))$ diverge, pour $n$ on trouve $N_n$ tel que $\sum_{n}^{N_n}\dots \geq 1$. Alors $\P(\sum_{n}^{N_n} u_k \geq 1/2)\geq \frac{1}{4}\frac{\big(\E(\sum u_k)\big)^2}{\E (\sum u_k)^2}$. On applique cela, mais à $\min(u_n, 1)$ plutôt que $u_n$, comme ça on est bien $L^2$, et on empêche $\E(X^2)$ d'être trop grand, par rapport à $\E(X)$. Alternative : si $\sum u_n$ converge presque sûrement, $E(e^{-\sum u_n})$ est strictement positive, mais c'est $\prod E(e^{-u_n}) \simeq \prod (1 - E(u_n))$, donc $\sum E(u_n)$ converge.
• Converge presque sûrement si et seulement si $\sum E(\min (x_n X_n, 1))$ converge, c'est-à-dire $\sum x_n \E(\min (X_n, \frac{1}{x_n}))$. Si $x_n \not \ra 0$, $\sum x_n X_n$ diverge grossièrement. Si $\a\gt 1$, alors $X_n$ a une espérance, et $\E(\min (X_n, \frac{1}{x_n})) = \Theta(1)$, donc la série converge si et seulement si $\sum x_n$ converge. Si $\a\lt 1$, $X_n$ n'a pas d'espérance. Il faut que $\sum x_n \frac{1}{x_n}\P(X_n \geq \frac{1}{x_n})$ converge, c'est-à-dire $\sum x_n^{\a}$ converge. Réciproquement, dans ce cas, le reste est $\E(X_n \m 1_{_n \leq 1/x_n})) = \int_0^{\frac{1}{x_n}} \P(u\leq X_n \leq 1/x_n)\du$ $= \int_0^{\frac{1}{x_n}} \P(X_n \geq u) \du - \frac{1}{x_n}\P(X_n \geq 1/x_n)$. (à multiplier par $x_n$) Le terme de droite est aussi en $x_n^{\a}$, donc converge, et le terme de gauche a le même ordre de grandeur aussi, donc tout converge.

Soient $\lambda\gt 0$ et $N_{\lambda}$ une variable de Poisson de paramètre $\lambda$.

Pour $f\colon\N\ra\R$ bornée, on pose $Tf:n\in\N\mapsto\lambda f(n+1)-nf(n)$.

• Montrer que $Tf(N_{\lambda})$ est d'espérance finie, nulle.
• Pour $\mu$ et $\nu$ deux distributions de probabilités sur $\N$, et $X$ et $Y$ variables aléatoires à valeurs dans $\N$ de lois respectivement données par $\mu$ et $\nu$, on note $d(\mu,\nu)=d(X,Y)=\frac{1}{2}\sup_{\|g\|_{\i}\leq 1}{\bf E}(g(X)-g(Y))$. Montrer l'existence de $C_{\lambda}\gt 0$ tel que, pour toute variable aléatoire à valeurs dans $\N$, $d(N,N_{\lambda})\leq C_{\lambda}\sup_{\|f\|_{\i}\leq 1}{\bf E}(Tf(N))$.

• $d(X,Y) = \sum |P(X = n) - P(Y = n)|$, donc $d(N, N_{\la}) = \sum \big|\frac{\la^n}{n!}e^{-\la} - P(N = n)\big|$, et $\E(Tf(N)) = \sum \big|\la P(N=n-1) - n P(N=n)\big|$. Essentiellement, la première somme est $\sum |v_1 \dots v_n - u_n|$, et on peut majorer $|v_1 \dots v_n - u_n| = v_n |v_1 \dots v_{n-1} - \frac{u_n}{v_n}| \leq v_n \big|u_{n-1} - \frac{u_n}{v_n}\big| + v_n |u_{n-1} - v_1 \dots v_{n-1}|$. En appliquant ça plein de fois, le terme $|u_{n-1} - \frac{u_n}{v_n}|$ apparaît en facteur de $v_n + v_n v_{n+1} + v_n v_{n+1}v_{n+2} + \dots$, ce qui est $\frac{P(N \geq n)}{P(N = n-1)}$, c'est-à-dire une constante.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}$. L'entropie de $X$ est définie par ${\cal H}(X)=-\sum_{k=1}^np_i\ln(p_i)$ avec $p_i={\bf P}(X=x_i)$.

• Montrer que ${\cal H}(X)\geq 0$ avec égalité si et seulement si $X$ est constante.

• Soit $(p_i)_{1\leq i\leq n}$ une suite positive telle que $p_1+\cdots+p_n=1$ et $(q_i)$ une autre suite positive de somme $1$.

  • Montrer que $\sum_{i=1}^np_i\ln(p_i)\geq\sum_{i=1}^np_i\ln(q_i)$. Expliciter le cas d'égalité.
  • Montrer que ${\cal H}(X)\leq\ln(n)$ avec égalité si et seulement si $X$ suit une loi uniforme.
• Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires à valeurs dans $\{x_1,\ldots,x_n\}^2$. On note $p_{i,j}={\bf P}(X=x_i,Y=x_j)$ pour $1\leq i,j\leq n$. L'entropie de $(X,Y)$ est ${\cal H}(X,Y)=-\sum_{i,j=1}^np_{i,j}\ln(p_{i,j})$. Montrer que ${\cal H}(X,Y)\leq{\cal H}(X)+{\cal H}(Y)$.

• Trivial.
• • Inégalité de concavité.
  • Prendre $q_i = \frac{1}{n}$
• Cela revient à appliquer l'inégalité précédente, où $q_{i,j} = p_i q_j$.

Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien. Soient $v_1,\ldots,v_n\in E$ tels que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $\|v_i\|\leq 1$. Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in[-1,1]$ et $w=\sum_{i=1}^n\alpha_iv_i$. Montrer qu'il existe des $\eps_1,\ldots,\eps_n\in\{-1,1\}$ tels que $v=\sum_{i=1}^n\eps_iv_i$ satisfait $\|v-w\|\leq\sqrt{n}$.

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d sur $\Z$ à support fini suivant la loi $\mu$. On pose $\nu(k)=\frac{e^{\lambda k}\mu(k)}{{\bf E}(e^{\lambda X_1})}$ et on considére une suite $(Y_n)_{n\geq 1}$ i.i.d suivant la loi $\nu$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$ et $T_n=\sum_{k=1}^nY_k$. On prend $\lambda\geq 0,a\in\R,\eps\gt 0,n\geq 1$.

• Montrer que ${\bf P}(na\leq T_n\leq(a+\eps)n)\leq\frac{e^{ \lambda n(a+\eps)}}{({\bf E}(e^{\lambda X}))^n}{\bf P}(S_n\geq na)$.
• On suppose $X\sim-X$ et $\exists k\gt a,\ (a\gt 0),\ \mu(k)\gt 0$. Démontrer que $\frac{1}{n}\ln{\bf P}(S_n\geq na)\xrightarrow[n\ra+\i]{}\inf_{s \geq 0}(-sa+\log{\bf E}(e^{sX}))$.

• Écrire explicitement la loi de $T_n$, comme une somme sur les configurations des $X_i$ possibles.
• D'après la question précédente $\frac{1}{n}\ln \P(S_n\geq a)\geq -\la (a+\eps) + \ln \E(e^{s X}) + \frac{1}{n}\ln \left(\P(na \leq T_n \leq (a+\eps) n)\right)$. Par Par ailleurs, en l'appliquant à $a+\eps$, c'est aussi $\geq -\la (a + 2\eps) + \ln \E(e^{\la X}) + \frac{1}{n}\ln \left(\P(na \leq T_n \leq (a+\eps) n)\right)$. Faire l'opération inverse, c'est-à-dire passer de $\nu$ à $\mu$, consiste à poser $\mu = \frac{e^{-\la k}\nu(k)}{\E (e^{-\la \nu})} = e^{-\la k \nu(k)} \E (e^{\la \mu})$, donc on obtiendrait Si on écrit plutôt $\P(na \leq S_n \leq (a+\eps)n)\leq e^{-\la n (a+\eps)} \E(e^{\la X})^n \P(T_n \geq na)$. Donc $\P(S_n \geq na) \leq \sum_{k\geq n} e^{-\la n (a+k\eps)} \E\big(e^{\la X}\big)^n \P(T_n \geq n (a+ k\eps ))$, ce qui donne une somme géométrique que l'on veut. On obtient que $\P(S_n \geq na)\leq \inf_{\la} \dots$. En fait, c'est direct par l'inégalité de Markov exponentielle. Dans l'autre sens, on dérive l'expression, et on peut vérifier que pour le $s$ réalisant l'inf, on a $\E(T_n) = a$. Comme le support est fini, on a un contrôle sur la variance, et Bienaymé-Tchebychev permet de minorer $\P(n a \leq t_n \leq (a+\eps)n)$ par une constante.

Soient $\sigma\gt 0$, $n\geq 1$ un entier et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles discretes telles que pour tout $1\leq i\leq n$ et $s\gt 0$, ${\bf E}\left(\exp(sX_i)\right)\leq\exp\left(\sigma^2s^2\right)$. Montrer que ${\bf E}\left(\max_{1\leq i\leq n}X_i\right)\leq 2\sigma\sqrt{\ln n}$.

Soient $n\geq 1$, $a\gt 0$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires discretes, indépendantes, d'espérance nulle, et à valeurs dans $[-a,a]$.

• Montrer que, pour tout $1\leq i\leq n$ et $s\gt 0$, ${\bf E}\left[e^{sX_i}\right]\leq\exp\left(\frac{{\bf V}(X_i)}{a^2} \left(e^{as}-1-as\right)\right)$.
• On note $\sigma^2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n\mathbf{V}(X_i)$. Montrer que, pour tout $t\geq 0$, $$\mathbf{P}\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\right|\geq t\right) \leq 2\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2\sigma^2+2at/3}\right).$$

• Il suffit de justifier que $e^{sX_i}\leq 1 + sX_i + \frac{X_i^2}{a^2}(e^{as} - 1 - as)$. Utiliser le développement en série.
• On retire la valeur absolue par symétrie (cf le facteur 2). Puis Markov exponentielle, etc.

Pour $x\gt 0$, on pose $\Gamma(x)=\int_0^{+\i}t^{x-1}e^{-t}\dt$. On pourra utiliser sans demonstration le fait que $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ et $\Gamma(1)=1$.

• Montrer que, pour tout $k\geq 1$ entier, $\Gamma(k)=(k-1)!$ et $\Gamma(k+1/2)\leq k!$.
• Soient $\sigma\gt 0$ et $X$ une variable aléatoire réelle discrete à valeurs dans un ensemble discret, telle que, pour tout $t\geq 0$, $\mathbf{P}\left(\left|X\right|\gt t\right)\leq 2\exp\left(-\dfrac{t^2}{2 \sigma^2}\right)$. Montrer que, pour tout entier $k\geq 1$, $\mathbf{E}\left(\left|X\right|^k\right)\leq(2\sigma^2)^{k/2}k\Gamma(k /2)$.
• On suppose de plus que $\mathbf{E}\left(X\right)=0$. Montrer que $\forall s\gt 0$, $\mathbf{E}\left[\exp(sX)\right]\leq\exp\left(4\sigma^2s^2\right)$.

Soient $n\geq 3$ un entier. Si $\sigma\in\mc{S}_n$, une suite alternante pour $\sigma$ est une suite strictement croissante $(i_1)_{1\leq m}$ d'éléments de $\db{1,n}$ telle que :

• soit pour tout $k\in\db{2,\ell-1}$, $\sigma(i_k)\gt \max\{\sigma(i_{k-1}),\sigma(i_{k+1})\}$;
• soit pour tout $k\in\db{2,\ell-1}$, $\sigma(i_k)\lt \max\{\sigma(i_{k-1}),\sigma(i_{k+1})\}$.

On note $\Delta(\sigma)$ la longueur maximale d'une suite alternante pour $\sigma$ et on considére $\sigma_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Calculer $\mathbf{E}(\Delta(\sigma_n))$.

Problème d'énoncé ?

Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires discretes réelles i.i.d. Pour $n\geq 1$, on note $M_n=\max\limits_{1\leq k\leq n}X_k$. Soit $\alpha\gt 0$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) $\exists(a_n)_{n\geq 1}\in(\R^{+*})^{\N^*},\quad \forall x\geq 0,\quad\mathbf{P}\left(\dfrac{M_n}{a_n}\leq x\right)\ \xrightarrow[n\ra\i]{}\exp(-x^{-\alpha})$,

(ii) $\forall x\gt 0,\quad\dfrac{\mathbf{P}(X_1\gt xt)}{\mathbf{P}(X_1\gt t)} \xrightarrow[t\ra\i]{}x^{-\alpha}\qquad(\text{et }\forall t\gt 0,\mathbf{P}(X_1\gt t)\gt 0)$.

Soit $(X_k)_{k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $n\in\N^*$, $X_n\sim\mc{B}\left(1/n\right)$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$.

• Montrer que, pour une indexation de sous-suite $(\phi(n))_{n\geq 1}$ bien choisie, $\mathbf{P}\left(\bigcap_{N\geq 1}\bigcup_{k\geq N}\left(\left| \dfrac{S_{\phi(k)}}{H_{\phi(k)}}-1\right|\gt \dfrac{1}{k}\right)\right)=0$.
• Montrer que l'évènement «$\left(\dfrac{S_n}{\ln(n)}\right)_{n\geq 1}$ converge» est presque sûr.

• $P\left(\left|S_{\l} - H_{\l}\right| \gt \frac{H_{\l}}{k}\right)\leq \frac{k^2 V(S_{\l})}{H_{\l}^2}$. $V(S_{\l}) = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(\l-k)}\leq \frac{H_{\l}}{\l}$ (en coupant au milieu), donc $P(\dots)\leq \frac{k^2}{H_{\l}\l}$ On prend $\l = k^4$.
• D'après ce qui précède, presque sûrement, $\frac{S_{k^4}}{\ln (k^4)}\ra 1$, ce qui implique $\frac{S_n}{\ln n}\ra 1$.

• Soient $n\in\N$, $(p_0,\ldots,p_n)\in\{-1,1\}^{n+1}$. Montrer que les racines de $\sum_{i=0}^np_iX^i$ dans $\C$ sont de module inférieur ou egal à 1.
• Soit $(a_k)_{k\geq 0}$ une suite réelle non identiquement nulle telle que $\sum a_kx^k$ ait pour rayon de convergence $R\gt 0$. Si $j\in\N$, on dit que la suite $(a_i)_{i\geq 0}$ change de signe en $j$ s'il existe $k\in\N^*$ tel que $a_ja_{j+k}\lt 0$ et que $a_i=0$ pour $i\in\db{j+1,j+k-1}$. Montrer que l'ensemble des $x\in]0,R[$ tels que $\sum_{k=0}^{+\i}a_kx^k=0$ est fini de cardinal majoré par le nombre de changements de signes de $(a_i)_{i\geq 0}$.
• Soit $(A_k)_{k\geq 0}$ une suite i.i.d. de variables de Rademacher. Pour $n\in\N$, soient $S_n=\sum_{k=0}^nA_k$ et $N_n$ le nombre de $x\in]0,1[$ tels que $\sum_{i=0}^nA_ix^i=0$. Montrer que $N_n\leq\sum\limits_{k = 0}^{\lfloor \frac{n-1}{2}\rfloor}\m 1_{S_{2k+1}=0}$ et en déduire que $\mathbf{E}(N_n)\underset{n\ra+\i}{=}O(\sqrt{n})$.

• L'ensemble des zéros est fini. Si la suite ne change pas de signe, il n'y a pas de zéro. Si on primitive, avec une dérivée qui commence négative, et qu'on met un terme $\gt 0$ au début, alors on peut avoir un zéro de plus. Si on reprimitive, avec un nouveau terme positif au début, on ne peut pas gagner un zéro, car on est positif au voisinage de $0$, si on gagnait un zéro, on serait nulle alors que la dérivée est positive.
• Multiplier par $\sum x^n$ et appliquer la question précédente. La probabilité qu'on s'annule est en $\frac{1}{\sqrt{k}}$.

Soit $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ telle que, pour tous $n,k\in\N$, $\mathbf{P}\left(X_n=k\right)\gt 0$. Soit $N\in L^2$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$, indépendante de $(X_k)_{k\in\N}$. On pose $X=X_N$.

• Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\colon\N\ra\R$, que l'on déterminera, telle que $\mathbf{E}\left((f_0(X)-N)^2\right)=\min\limits_{g\colon\N\ra\R} \mathbf{E}\left((g(X)-N)^2\right)$.
• On pose, pour tout $n\in\N$ et tout $g\colon\N\ra\R$, $R(g,n)=\mathbf{E}\left((g(X_n)-n)^2\right)$. Montrer que, si la suite $(R(f_0,n))_{n\in\N}$ est constante égale à un certain $R_0$, alors $R_0=\min\limits_{g\colon\N\ra\R}\sup\limits_{n\in\N}R(g,n)$ et $f_0$ est l'unique fonction vérifiant cette condition.

• L'espérance de droite est $\sum_{i\in\N} P(N = i) \E((g(X_i)-i)^2)$. En écrivant l'espérance par transfert, et en échangeant les sommes, on obtient $$\sum_k \sum_i \P(N=i)\P(X_i = k) (g(k) - i)^2.$$ On peut minimiser chaque sous somme, en prenant $g(k) = \frac{\E(N \mid X = k)}{P(X = k)}$
• On a vu que l'espérance de droite est $H(g) = \sum_i \P (N=i) R(g, i)$. On suppose que les $R(f_0, i)$ sont tous égaux. Alors trivialement $R_0$ est le min des sup comme annoncé. Et si une autre fonction le vérifiait, elle aurait la même valeur que $f_0$, et l'optimisation de la question précédente montre que ce n'est pas possible, je pense.

Soient $a\in]0,1[$ et $m\in\N^*$. à l'aide d'une interprétation probabiliste, calculer la borne supérieure, pour $(u_n)_{n\geq 1}$ parcourant l'ensemble des suites à valeurs dans $[0,1]$, de

$$\sum_{1\leq n_1\lt n_2\lt \cdots\lt n_m}\prod_{\ell=1}^mu_{n_{\ell}}\prod_ {n_{\ell-1}\lt k\lt n_{\ell}}(1-au_k).$$

Si on multiplie par $a^m$, on a des évènements indépendants de probabilité $a u_k$, c'est la probabilité qu'il s'en produit au moins $m$. Cela vaut $1$.

X - MP   xens

Algèbre

Pour toute partie finie non vide $X$ de $\R$ dont on note $x_1\lt x_2\lt \dots\lt x_n$ les éléments, on pose : $$a^+(X)=\prod_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_i+1) \quad \et \quad a^-(X)=\prod_{i=1}^{n-1}(x_{i+1}-x_i-1).$$ L'objectif est d'etablir que : $\sum\limits_{\substack{B\subset A\\ B\neq\emptyset}}a^-(B)=a^+(A)$ pour n'importe quelle partie finie non vide $A$ de $\R$.

On se donne donc $A=\{a_1\dots,a_n\}$ une partie finie non vide de $\R$, avec $a_1\lt \dots\lt a_n$.

• On suppose le résultat acquis. Trouver une expression de : $\alpha(A)=\sum\limits_{\substack{B\subset A\\ a_n\in B}}a^-(B)$.
• Établir le résultat cherché.
• On suppose $A=\db{1,n}$. Calculer : $\sum\limits_{\substack{B\subset A\\ B\neq\emptyset\\ B\cap(B+1)=\emptyset}}a^-(B)$.

• On trouve $a^+(A) - a^+(A\setminus \{a_n\}) = (a_n - a_{n-1}) a^+(A\setminus \{a_n\})$
• Par récurrence sur le cardinal de $A$. On écrit $$\begin{aligned}\sum_{B\subset A} & = \sum_{B\subset A, a_n \in B} + \sum_{B\subset A, a_n \not\in B} \\ &= \sum_{B\subset A, a_n, a_{n-1} \in B} + \sum_{B\subset A, a_n \in B, a_{n-1}\not\in B} + a^+(A\setminus \{a_n\})\\ & = (a_n - a_{n-1}-1) \sum_{B\subset A\setminus \{a_n\}, a_{n-1}\in B} + (a_n - a_{n-2}) a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}) + a^+(A\setminus \{a_n\})\\ & = (a_n - a_{n-1}-1) (a_{n-1} - a_{n-2})a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}) + (a_n - a_{n-2}) a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}) + a^+(A\setminus \{a_n\})\end{aligned}$$ On obtient $a^+(A\setminus \{a_n, a_{n-1}\}))$, en facteur de $$(a_n - a_{n-1} - 1)(a_{n-1} - a_{n-2}) + (a_n - a_{n-2}) + (a_{n-1} -a_{n-2}+1)$$ Cela fait bien $(a_n - a_{n-1} + 1)(a_{n-1} - a_{n-2} + 1)$.
• C'est la même somme, car les autres termes sont nuls.

• Soit $n\geq 1$, premier avec $10$. Montrer que $n$ possède un multiple dont l'écriture en base $10$ n'a que des $9$.
• On remarque que $\frac{1}{7}=0,\underline{142857}\underline{142857}\ldots\underline{142857}\ldots$ avec $142+857=999$.

$\frac{285+714}{7}=0,\underline{285714}\underline{285714}\ldots\underline{285714}\ldots$ $076+923=999$

$\frac{1}{13}=0,\underline{076923}$ $\underline{076923}\ldots\underline{076923}\ldots$

Expliquer.

• La période est l'ordre de $10$ modulo $n$. Le résultat

Pour $r$ un rationnel non nul s'écrivant $r=2^ka/b$ avec $k\in\Z$ et $a,b$ deux entiers impairs, on définit la valuation dyadique de $r$ par $v_2(r)=k$.

On admet que : $\forall x,y\in\Q^*$, $v_2(xy)=v_2(x)+v_2(y)$ et si $x+y\neq 0$, $v_2(x+y)\geq\min(v_2(x),v_2(y))$, avec égalité si $v_2(x)\neq v_2(y)$.

On note enfin, pour tout $n\in\N^*$, $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$.

• Montrer que pour tout $n\gt 1$, $H_n\notin\Z$.
• Montrer que pour tous $m,n\in\N^*$ tels que $m\leq n-2$, on a $v_2(H_n-H_m)\lt 0$.
• Montrer les propriétés admisses plus haut.
• La question - peut-elle s'adapter à la valuation 3-adique?

Quels sont les $m$ de $\N^*$ tels qu'il existe $m$ éléments consécutifs de $\N^*$ divisibles par des cubes d'éléments de $\N^*\setminus\{1\}$?

C'est simple : marche pour n'importe quel $m$, d'après le lemme Chinois.

Montrer que tout $n\in\Z$ s'écrit sous la forme $\sum_{k=0}^N\eps_k(-2)^k$ avec $N\geq 0$ et les $\eps_k$ dans $\{0,1\}$.

Par récurrence, puis si $4\mid n$ on est bon, si $n\equiv 1 [4]$, on met un $1$, si $n\equiv 2 [4]$, on met un $-2$, si $n\equiv 3[4]$, on met $-2 + 1$.

Soit $n\in\N^*$. On note $\mc{F}$ l'ensemble des entiers naturels qui ne sont pas divisibles par le carré d'un entier supérieur ou egal à $2$, et $q(n)=|\mc{F}\cap\db{1,n}|$. On note $\mc{E}(n,k)=\R^{+*}\cap\left\{\sum_{i=1}^k\sqrt{a_i}-\sum_{i= 1}^k\sqrt{b_i},\ (a_1,\ldots,a_k,b_1,\ldots,b_k)\in\db{0,n}^{2k}\right\}$ et $\Delta(n,k)=\min\mc{E}(n,k)$.

• On admet que $(\sqrt{n})_{n\in\mc{F}}$ est libre dans le $\Q$-espace vectoriel $\R$. Montrer que $\Delta(n,k)\leq\frac{k(\sqrt{n}-1)}{{q(n) + k - 1 \choose k}-1}$.
• E On démontre à présent le résultat admis précédemment.
• Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\R$, et $x$ un élément de $\mathbb{K}\cap\R^{+*}$. Montrer que $\mathbb{K}[\sqrt{x}]=\mathbb{K}+\mathbb{K}\sqrt{x}$ est un sous-corps de $\R$, et que si $\sqrt{x}\not\in\mathbb{K}$ alors il existe un unique automorphisme $\sigma$ de l'anneau $\mathbb{K}[\sqrt{x}]$ différent de l'identite et fixant tous les éléments de $\mathbb{K}$.
• E Dans la suite, on fixe un entier $n\geq 1$ on suppose acquise, pour tout ensemble fini $A$ constitue de $n$ nombres premiers, la libert $\acute{\text{e}}$ de la famille des $\sqrt{m}$, ou $m$ parcourt l'ensemble des éléments de $\mc{F}$ ayant tous leurs diviseurs premiers dans $A$. Soit $A$ un ensemble forme de $n+1$ nombres premiers $p_1,\ldots,p_{n+1}$.
• E On construit par récurrence une suite $(\mathbb{K}_0,\ldots,\mathbb{K}_n)$ de corps : $\mathbb{K}_0=\Q$ et $\mathbb{K}_i=\mathbb{K}_{i-1}[\sqrt{p_i}]$ pour tout $i\in\db{1,n}$.
• Montrer que $\mathbb{K}_n$ est de dimension $2^n$ comme $\mathbb{K}_0$-espace vectoriel, et en preciser une base. Montrer qu'il existe un automorphisme $\sigma$ du corps $\mathbb{K}_n$ qui fixe $\sqrt{p_1},\ldots,\sqrt{p_{n-1}}$ et envoie $\sqrt{p_n}$ sur $-\sqrt{p_n}$. Dans la suite, on raisonne par l'absurde en supposant que $\sqrt{p_{n+1}}\in\mathbb{K}_n$.
• Montrer que $\sqrt{p_{n+1}}=\alpha+\beta\sqrt{p_n}$ pour un $\alpha\in\mathbb{K}_{n-1}$ et un $\beta\in\mathbb{K}_{n-1}$, puis montrer qu'en fait $\sqrt{p_{n+1}}=\beta\sqrt{p_n}$.
• Montrer que $\sqrt{p_{n+1}}=\lambda\prod_{k=1}^n\sqrt{p_k}$ pour un $\lambda\in\Q$, et conclure à une contradiction.
• Conclure.

• le dénominateur est le nombre de valeurs possibles de $\sum_{i=1}^k \sqrt{a_i}$ (on choisit un $k$-uplet croissant). Le $\sqrt{n}-1$ car la valeur minimale prise est $k$ (tous égaux à $1$). Le $-1$ au numérateur, vient du raisonnement des tiroirs. (On regarde un sous-ensemble de l'ensemble des $\sum_{i=1}^k a_i$ possibles : juste ceux qui sont sommes d'éléments de $\mc F$)

Soit $p$ un nombre premier congru à $3$ modulo $4$. On note $L$ l'ensemble des carres de $\mathbb{F}_p^*$.

• Montrer que $|L|=\frac{p-1}{2}$.
• Montrer que si $x\in L$, alors $-x\notin L$.
• On fixe $x\in\mathbb{F}_p^*$ et l'on pose $A=\big{\{}(\ell_1,\ell_2)\in L^2\ ;\ x=\ell_1-\ell_2\big{\}}$. Calculer $\op{card}A$.

• Le cardinal est le même pour $x$ que pour $-x$, et également pour $x$ et $c^2 x$.

Soit $p$ un nombre premier impair.

• Dénombrer les $(x,y)\in(\mathbb{F}_p)^2$ tels que $x^2+y^2=1$.
• Soit $z\in\mathbb{F}_p\setminus\{0\}$. Dénombrer $\{\,(x,y)\in\mathbb{F}_p^2,\ x^2+y^2=z\}$.

• Par paramétrisation.
• C'est la même quantité pour les carrés, puis la même pour les non carrés.

Soit $p$ un nombre premier impair. On pose $q=2p+1$ et l'on suppose $q$ premier. On considére l'équation : $(E):x^p+y^p+z^p=0$ d'inconnue $(x,y,z)\in\Z^3$. Soit $(x,y,z)\in\Z^3$ une solution de $(E)$ telle que $p$ ne divise aucun des entiers $x,y$ et $z$ et telle que $x,y,z$ soient premiers entre eux deux à deux.

• Montrer que $q$ divise $x,y$ ou $z$.
• Montrer qu'il existe $(a,b,c)\in\Z^3$ tel que : $y+z=a^p$, $x+y=b^p$, $x+z=c^p$.
• Factoriser $y^p+z^p$.
• Conclure à une contradiction.

Soient $p$ un nombre premier congru à $1$ modulo $4$ et $S$ l'ensemble $S=\{x,y,z)\in\N^3\ ;\ p=x^2+4yz\}$. Pour $(x,y,z)\in S$ on pose :

• si $x\lt y-z$, $f(x,y,z)=(x+2z,z,-x+y-z)$ ;
• si $y-z\lt x\lt 2y$, $f(x,y,z)=(2y-x,y,x-y+z)$ ;
• si $x\gt 2y$, $f(x,y,z)=(x-2y,x-y+z,y)$.

Montrer que $f$ définit une involution de $S$. En déduire que $p$ s'écrit $u^2+v^2$ avec $(u,v)\in\N^2$.

Soit $d\in\Z\setminus\{0\}$. On considére l'équation $(*)\colon x^2-dy^2=1$ d'inconnue $(x,y)\in\Z^2$.

• Traiter les cas $d\lt 0$ et $d=k^2$ avec $k\in\N$.
• E Dans la suite, on suppose $d\gt 0$ et $\sqrt{d}\not\in\N$. Soit $(x_0,y_0)\in\N^2\setminus\{(\pm 1,0)\}$ solution de $(*)$.
• On pose $z=x_0+\sqrt{d}\,y_0$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe un unique $(x_n,y_n)\in\N^2$ tel que $z^{n+1}=x_n+\sqrt{d}\,y_n$.
• En déduire que, si l'ensemble des solutions de $(*)$ est non trivial, i.e. n'est pas reduit à $\{(\pm 1,0)\}$, il en existe une infinité.
• Soit $x\in\R$. Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $(p,q)\in\Z^2$ tel que $|p-qx|\lt \dfrac{1}{n}$.
• Montrer qu'il existe une infinité de couples $(p,q)\in\Z\times\N^*$ tels que $|p-qx|\lt \dfrac{1}{q}$.
• Montrer qu'il existe $K\in\R$ pour lequel il existe une infinité de couples d'entiers $(p,q)$ tels que $|p^2-dq^2|\lt K$.
• Conclure que $(*)$ possède des solutions non triviales.

• Soit $\mathbb{F}$ un corps fini. On admet que le groupe multiplicatif $\mathbb{F}^{\times}$ est cyclique. Soient $n\geq 1$ et $u\in\mathbb{F}$. On note $\widehat{\mathbb{F}^{\times}}$ l'ensemble des morphismes de $\mathbb{F}^{\times}$ dans $\C^*$ prolongés par $0$ en $0$. On note $N(X^n=u)$ le nombre de zéros du polynôme $X^n-u$ dans $\mathbb{F}$. On note $\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[n]$ l'ensemble des $\chi\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}$ tels que $\chi^n=1$. Montrer que $N(X^n=u)=1+\sum_{\chi\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[n],\chi\neq 1}\chi(u)$.
• On suppose $\mathbb{F}=\Z/p\Z$ avec $p\equiv 1\pmod{3}$ et $p$ impair. Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p+\sum_{\chi_1,\chi_2\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[3] \setminus\{1\}}J(\chi_1,\chi_2)=p-2+2\Re \big(J(\omega,\omega)\big)$ si $\omega\in\widehat{\mathbb{F}^{\times}}[3]\setminus\{1\}$, où $J(\chi_1,\chi_2)=\sum_{a+b=1}\chi_1(a)\chi_2(b)$.
• On admet que $|J(\omega,\omega)|=\sqrt{p}$ et $pJ(\omega,\omega)=g_{\omega}^3$ ou $g_{\omega}=\sum_{x\in\mathbb{F}}\omega(x)\zeta_p^x$ avec $\zeta_p=e^{\frac{2i\pi}{p}}$. Montrer que $N(X^3+Y^3=1)=p-2-a_p$ avec $a_p^2+27b_p^2=4p$ ou $b_p\in\Z$.

• Si $\a^n = u$, alors $\chi(\a)^n = \chi(u) = 1$, et il y a autant de $\chi$ que de racines $n$-ième de $1$. Si $u$ n'a pas de racine $n$-ième, idem, $\chi$ est défini par $\chi(\gamma)$ et $u$ s'écrit $u = \gamma^k$.
• On écrit $N(X^3 + Y^3 = 1)$ comme $\sum_{a,b \mid a+b = 1} N(X^3 = a) N(Y^3 = b)$. On remplace chaque $N$ par la question précédente, ce qui fait sortir le $p$ voulu, ainsi que $\sum_{\chi_1} \sum_{a+b = 1}\chi_1(a) + \sum_{\chi_2} \sum_{a+b = 1}\chi_1(2) + \sum_{\chi_1,\chi_2}\sum_{a+b = 1} \chi_1(a)\chi_2(b)$ Les premières sommes sont nulles. On obtient exactement la somme sur $J$. Comme $\m F^\times$ est cyclique, les éléments de $\m F^{\times}[3]$ sont $\om$ et $\om^2$. La somme comporte $J(\om, \om) + J(\om, \om^2) + J(\om^2, \om) + J(\om^2, \om^2)$, et on trouve $J(\om, \om^2) = -1$. Les deux autres sont conjugués.
• On a $J(\om, \om)$ qui est dans $\Z[e^{\frac{2i \pi}{3}}] = \Z[j, j^2] = \Z[j]$. Il s'écrit donc $(c-\frac{d}{2}) + i d \frac{\sqrt{3}}{2}$, et on a $(c- d/2)^2 + 3d^2/4 = p$, donc $4p = (2c-d)^2 + 3d^2$, c'est-à-dire $p = c^2 - cd + d^2$, donc $4p = (2d-c)^2 + 3c^2$. Si $d$ est un multiple de trois, ou $c$ est un multiple de $3$, on est bon. Sinon, on peut écrire $4p = (c+d)^2 + 3 (c-d)^2$. Comme $c\not\equiv -d$, on a $3\mid c- d$.

Pour $p$ premier impair, on note $\chi\colon\mathbb{F}_p\ra\{1,-1,0\}$ la fonction définie par $\chi(0)=0$, $\chi(x)=1$ pour tout élément $x$ de $\mathbb{F}_p^{\times}$ qui est un carre, et $\chi(x)=-1$ dans toute autre situation.

Pour $t\in\N$, on pose $g_p(t)=\sum_{x\in\mathbb{F}_p}\chi(tx)e^{\frac{2i\pi x}{p}}$.

• Soit $p$ un nombre premier impair, et des entiers $a$ et $b$ tels que $0\lt a\lt b\lt p$. Montrer que $g_p(1)\sum_{n=a}^{b-1}\chi(n)=\sum_{x\in\mathbb{F}_p}\chi(x)\sum_{t=a}^{b -1}e^{\frac{2i\pi tx}{p}}$. On admettra dans la suite que $|g_p(1)|=\sqrt{p}$.
• Montrer qu'il existe une constante $M\gt 0$ telle que, quels que soient $p$ premier impair, et $a,b$ entiers tels que $0\leq a\lt b\lt p$, on ait $\op{card}\{k\in\db{a,b-1},\ k\ \text{est un carre modulo}\ p\}=\dfrac{b-a}{2}+u_{p,a,b}$ ou $|u_{p,a,b}|\leq M\,\sqrt{p}\,\ln p$.

• C'est le fait que $\chi$ soit un morphisme, into un simple changement de variable.
• Le cardinal est la somme $\sum \frac{1 + \chi(x)}{2}$, donc on a le $\frac{b-a}{2}$, et il reste à gérer une somme de $\chi(n)$, via la question précédente. La somme intérieure peut être majorée par du $\frac{p}{x}$, que l'on somme sur $x$ en $p\ln p$.

Soit $G$ un groupe fini de cardinal $2n$ ou $n$ est impair.

• Montrer que $G$ possède un élément d'ordre 2.
• Montrer que $G$ possède un sous-groupe d'ordre $n$. Ind : Considérer l'application $\Phi$ qui à $g\in G$ associe $\Phi(g)\colon G\ra G$ telle que, pour tout $x\in G$, $\Phi(g)(x)=gx$.
• s Trouver un contre-exemple si $n$ est pair.

• Sinon, pour tout $x$, $x\neq x^{-1}$.
• Considérer le noyau de $\eps \circ \Phi$.

Soit $p$ un nombre premier. On dit qu'un groupe $G$ est un $p$-groupe si, pour tout $g\in G$, l'ordre de $g$ est une puissance de $p$. Si $k\in\N^*$, on dit que $G$ est $k$-divisible si, pour tout $g\in G$, il existe $x\in G$ tel que $x^k=g$.

• Montrer qu'un $p$-groupe non trivial et $p$-divisible est infini.
• Donner un exemple de tel groupe.
• Montrer que $G$ est alors $k$-divisible pour tout $k$.

Soit $G$ un groupe d'ordre $n\geq 1$. Pour $g_1$,…, $g_k\in G$, on note $E(g_1,\ldots,g_k)=\{g_{i_1}\cdots g_{i_s}\;;\;s\in\N,\;\;1 \leq i_1\lt \cdots\lt i_s\leq k\}$ (avec la convention que l'élément neutre est le produit vide donc appartient à cet ensemble).

• Soient $g_1$,…, $g_k\in G$ tel que $G=E(g_1,\ldots,g_k)$. Montrer que $k\geq\lfloor\log_2(n)\rfloor$.
• Soit $A\subset G$. Montrer que $\sum\nolimits_{x\in G}\lvert A\cap Ax\rvert=\lvert A\rvert^2$.
• Montrer qu'il existe $g_1,\ldots,g_k\in G$ tels que $G=E(g_1,\ldots,g_k)$ avec $k\leq\lfloor\log_2(2n\ln n)\rfloor$.

• Trivial.
• Revient à $\exists x,\, |A \cap A_x|\leq \frac{|A|^2}{|G|}$.
• À chaque étape, on incrémente $|A|\ra 2|A| - \frac{|A|^2}{|G|}$, qui est une fonction croissante de $|A|$. $u_0 = 1$, puis $u_{n+1} = 2u_n - \frac{u_n^2}{N}$, donne $N - u_{n+1} = N - u_n + \frac{u_n^2}{N} - u_n = N-u_n + \frac{u_n}{N} (u_n - N) = (N-u_n) \left(1 - \frac{u_n}{N}\right) = \frac{(N-u_n)^2}{N}$. On en déduit que $\frac{N-u_{n+1}}{N} = \left(\frac{N-u_n}{N}\right)^2$, donc $\frac{N-u_{n}}{N} = \left(1 - \frac{1}{N}\right)^{2^n}$. On veut $2^n \ln \left(1 - \frac{1}{N}\right)\leq \ln \frac{1}{N}$. Le $2$ du $2n\ln n$ revient à un $+1$.

On note $\mc{S}(\C)$ le groupe des permutations de $\C$. Soit $G$ un sous-groupe cyclique de $\mc{S}(\C)$ d'ordre $2^n$, ou $n\geq 2$, contenant la conjugaison complexe.

• Montrer que, pour tout $z\in\C\setminus\R$, il existe $\tau\in G$ tel que $\tau(z)\neq\pm z$.
• Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $2^{n-1}$. Montrer que $H$ contient au moins deux applications $\R$-linéaires.
• sA On regarde $\C$ comme $\R$-espace vectoriel. Est-il possible que $G$ ne soit composé que d'applications linéaires?
• sA Montrer que $G$ contient exactement deux applications $\R$-linéaires.

1. Utiliser le caractère cyclique, pour $z\not\in i\R$, une puissance est égale à $\ol{z}$.
2. C'est forcément $\langle g^2\rangle$. Le groupe $H$ contient l'identité. Par ailleurs, le groupe doit contenir le seul élément dont le carré est l'identité, c'est-à-dire la conjugaison.
3. Non, car la conjugaison n'est pas un carré, d'après le déterminant.
4. S'il contient un élément $\R$-linéaire, quand on l'élève au carré successivement, on finit par tomber sur la conjugaison, impossible.

Soit $\mc{A}$ une $\C$-algèbre. On suppose que $\mc{A}$ est munie d'une norme $N$ vérifiant : $\forall a,b\in\mc{A},\,N(ab)=N(a)N(b)$.

• Soit $x\in\mc{A}$. En posant $z=z\cdot 1_{\mc{A}}$, on identifie $\C$ à une sous-algèbre de $\mc{A}$. Montrer qu'il existe $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,N(x-z_0)\leq N(x-z)$. On pose $a=x-z_0$.
• On suppose que $N(a)=2$. Montrer que $\forall n\in\N^*,\,\forall z\in\mathbb{U}_n,N(a-z)\geq 2$. Montrer ensuite que $N(a-1)=2$ puis $N(a-5)=2$.
• Montrer que $\mc{A}$ est isomorphe à $\C$, i.e. $\dim\mc{A}=1$.

• Projection.
• Par définition, $N(a-z)\geq N(a)$. $N((a-1)(a+1)) = N(a^2 - 1)$. En général $N(\prod (a-\om^k)) \geq N(a-1) 2^{n-1}$ et $= N(a^n - 1)\leq 2^n +1$. Donc par limite, $N(a-1) = 2$. Ce que l'on a fait pour $a$ marche verbatim pour $a' = a-1$. En itérant, on obtient $N(a-5) = 2$.
• $N(a-5) = 2$ contredit l'I.T.

• Soit $f$ l'application qui à $z\in\mathbb{U}\setminus\{i\}$ associe le point d'intersection de $\R$ et de la droite passant par $z$ et $i$. Montrer que $f(z)\in\Q\Leftrightarrow z\in\Q(i)$.
• Montrer qu'il existe une infinite de triplets non proportionnels $(a,b,c)\in\Z^3$ tels que $a^2+b^2=c^2$.

On appelle nombre de coefficients positifs du polynôme $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ de degré $n\geq 1$ le cardinal de l'ensemble $\{i\in\db{0,n},\;a_i\geq 0\}$.

• Soit $P\in\R[X]$ de degré $n\geq 2$. Montrer que $P^2$ à au moins trois coefficients positifs.
• Montrer que, pour tout entier $n\geq 2$, il existe $P\in\R[X]$ de degré $n$ tel que $P^2$ ait exactement trois coefficients positifs.

• Les coefficients extrêmes sont positifs. On suppose $P$ unitaire. Si c'était les seuls, on obtient $a_{n-1}\lt 0$ en regardant $X^{2n-1}$, puis $a_{n-2}\lt 0$ en regardant $X^{2n-2}$, puis $a_{n-3}\lt 0$ en regardant $X^{2n-3}$ jusqu'à $a_0\lt 0$ en regardant $X^n$. Mais alors le coefficient en $X^{n-1}$ est $\gt 0$.
• On se débrouille pour que les seuls coefficients $\geq 0$ soient $X^{2n}$, $X^0$ et $X^n$ : prendre $a_{n-1}\lt 0$, $a_{n-2}$ assez négatif, puis $a_{n-3}$ assez négatif, etc, jusqu'à $a_0$, qu'on prend immense positif, et qui suffit à garantir que les autres coefficients sont $\lt 0$.

Soient $n\in\N$, $P\in\Z[X]$ de degré majore par $n$, $\Delta$ le pgcd de $P(0),P(1),\ldots,P(n)$. Montrer que, pour tout $k\in\Z$, $\Delta$ divise $P(k)$.

Revient à montrer que les polynômes de Lagrange sont à valeurs entières, car ce sont des coefficients binomiaux.

Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\C[X]$ de degré $n\geq 2$ dont on note $z_0,\ldots,z_{n-1}$ les racines. On note $t_1,\ldots,t_{n-1}$ les racines complexes de $P'$ et l'on suppose que : $\forall k\in\db{0,n-1},|z_k|\leq 1$.

• Montrer que : $\forall k\in\db{1,n-1},|t_k|\leq 1$.

• On suppose que $z_0$ est racine simple de $P$. Calculer $\dfrac{P''(z_0)}{P'(z_0)}$ deux façons :

  • en fonction de $z_0$ et des $t_k$ ;
  • en fonction de $z_0$ et des $z_k$.
• Soit $z\in\C\setminus\{-1\}$ tel que $|z|\leq 1$. Montrer que $\mathfrak{Re}\left(\dfrac{1}{1+z}\right)\geq\dfrac{1}{2}$.
• On suppose que $z_0=1$ et que $z_0$ est racine simple. Montrer qu'il existe $k\in\db{1,n-1}$ tel que $|1-t_k|\leq 1$.
• On suppose que $|z_0|=1$. Montrer qu'il existe $i\in\db{1,n-1}$ tel que $|z_0-t_i|\leq 1$.
• s Soient $Q\in\R[X]$ non constant et $\alpha\in\R^*$. On pose $P=Q^2+\alpha^2$. Montrer qu'il existe une racine $z$ de $P$ et une racine $t$ de $P'$ telles que $|z-t|\leq|z|$.

• Classique.
• D'une part c'est $\sum \frac{1}{z_0 - t_k}$. D'autre part, si on décompose $P = (X-z_0)\prod (X - z_k)$, on a $P'(z_0) = \prod (z_0 - z_k)$, et $P''(z_0) = 2\sum_{i=1}^k \prod_{k\neq i} (z_0 - z_k)$. Donc $\frac{P''(z_0)}{P'(z_0)} = 2 \sum_{i=1}^k \frac{1}{z_0-z_k}$.
• La question précédente donne que la partie réelle de $\sum \frac{1}{1 - z_k}$ est plus grande que $1$, donc la somme est de module $\geq n$, donc un des termes à gauche est en module $\geq 1$.
• Simple transformation.
• C'est vrai indépendamment de l'expression de $P$. Manque une fin.

Pour $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_n X^n\in\C[X]$, on pose $\lN P\rN = \left(\sum_{i=0}^n |a_i|^2\right)^{1/2}$.

• Montrer que pour tout $P\in\C[X]$ et $z\in\C$, $\lN (X-z)P\rN = \lN(1-\ol{z} X) P\rN$.
• On suppose $P$ unitaire, et on note $M_P$ le produit des modules des racines de $P$ de module $\geq 1$. Montrer que $M_P\leq \lN P\rN$.
• Montrer, pour $1\leq k\leq n-1$, que $|a_k|\leq {n-1\choose k} M_P + {n-1 \choose k-1}$.

1. Ou bien faire le calcul avec les coefficients, ou bien via $\lN P\rN_2 = \int |P(e^{i\theta})|^2 \d \theta$.
2. On écrit $P$ comme un produit. Avec la question précédente, pour les $z$ grand, on remplace $(X-z)$ par $(1 - \ol{z})X$. Alors le produit des racines $\geq 1$ de $P$ est son coefficient dominant.
3. ${n-1\choose k-1} = {n-1 \choose n-k}\geq {n-G \choose n-k}$ où $G$ est le nombre de grandes racines. De même, ${n-1 \choose k} = {n-1\choose n-1-k}$ : produits où on a choisit au moins la plus grande racine.

• Soient $P = a_0 + a_1 X + \dots + a_nX^n\in\C[X]$ de degré $n\geq 1$. On pose $r = \min \{|z|,\, z\in\C,\, P(z) = 0\}$, et on suppose $r\gt 0$. Si $a_k\neq 0$, montrer que $r^k\leq {n\choose k}\frac{|a_0|}{|a_k|}$.
• Soit $A_n = \{P\in\C[X]\mid \deg P = n,\, P(-1) = P(1) = 0\}$. Montrer que $\sup_{P\in A_n}\{\min \{|z|,\, P'(z) = 0\}\}\lt +\i$.

• Clair.
• Il s'agit de montrer qu'au moins un des coefficients de $P'$ n'est pas minus par rapport à $a_1$.

Soient $\om,q\in\C^*$ tels que $\om^2$ n'est pas une puissance entière de $q$. On considère l'équation $(*)\colon \om f(z) g(qz) = \om^2 f(qz) g(z) + P(z)$, d'inconnues $(P,f,g)\in\C[X]^3$, avec $g,P$ unitaires.

• Si $(P,f,g)$ vérifie $(*)$, trouver une relation entre les degrés de $P,f,g$.
• On fixe $P$. Montrer l'existence de $(f,g)$ tel que $(P,f,g)$ vérifie $(*)$.
• On fixe $(P,f)$. Y a-t-il unicité de $g$ tel que $(P,f,g)$ vérifie $(*)$ ?

• Comme $\om$ n'est pas une puissance entière de $q$, les coefficients dominants de $\om f(z) g(qz)$ et $\om^2 f(qz) g(z)$ sont différents. Leurs degrés sont les mêmes, dont nécessairement égaux à celui de $P$.
• Prendre $g = 1$.
• L'unicité est clair, par linéarité.

Soit $\theta\in\C$ un nombre algébrique.

• Montrer que l'ensemble des polynômes annulateurs de $\theta$ est l'ensemble des multiples d'un certain polynôme $P\in\Q[X]$ unitaire, déterminé de manière unique. On écrit $P = \sum_{k=0}^n a_k X^k$, avec $a_n = 1$, et on suppose $P$ à coefficients entiers, $\theta$ irrationnel et $a_0\geq 0$.
• Montrer que $n\geq 2$, $a_0\gt 0$ et $\theta$ est racine simple de $P$.
• On pose $Q = X^n P(1/X)$ et $f\colon z\mapsto \frac{P(z)}{Q(z)}$. Montrer que si $\theta^{-1}$ n'est pas un pôle de $f$, alors $a_0 = 1$ et $n$ est pair.
• Montrer qu'il existe $r\gt 0$ et une suite $(b_n)$ d'entiers telle que pour tout $z\in D(0, r)$, on ait $f$ définie en $z$ et $f(z) = \sum_{n=0}^{+\i} b_n z^n$.

Soit $M\in\M_n(\R)$.

• Si $M$ est inversible, combien de coefficients de $M$ faut-il modifier au minimum pour la rendre non-inversible?
• Si $M$ n'est pas inversible, combien de coefficients de $M$ faut-il modifier au minimum pour la rendre inversible?

• Un coefficient suffit toujours (sur n'importe quelle ligne/colonne), car un des mineurs doit être non nul.
• $n$ suffit toujours : les $n$ diagonaux.

Soient $V$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, et $a,b\in\mc{L}(V)$. Pour $u,v\in\mc{L}(V)$, on pose $[u,v]=uv-vu$. On suppose que $a$ est nilpotent et que $[a,[a,b]]=0$. Montrer que $[a,b]$ et $ab$ sont nilpotents.

On a $(AB - BA)^k = AB (AB - BA)^{k-1} - BA (AB-BA)^{k-1}$, et on peut passer le $A$ de l'autre côté, donc la trace s'annule.

on note $X = [a,b]$, de sorte que $X$ commute avec $a$ et $ab = ba + X$.

Le noyau de $a$ est stable par $ba$ et par $X$, donc par $ab$. Sur cette restriction, on a $ab = X$, qui est nilpotent.

Considérons $F_2 = \Ker a^2$. Il est stable par $X$. Qu'advient-il sous l'action de $ba$ ? On a $aba F_2 \subset ab F_1 \subset F_1$, donc $ba F_2 \subset a^{-1}(F_1) = F_2$, donc $F_2$ est stable par $ba$.

Par ailleurs, dans le quotient $F_2/F_1$, on a $ba$ qui est nul, donc $ab$ est nilpotent.

Soit $V_0,\ldots,V_n$ des espaces vectoriels, $(v_0^+,\ldots,v_{n-1}^+)\in\mc{L}(V_0,V_1)\times\cdots\times \mc{L}(V_{n-1},V_n)$ et $(v_1^-,\ldots,v_n^-)\in\mc{L}(V_1,V_0)\times\cdots\times \mc{L}(V_n,V_{n-1})$. On suppose que $v_{i-1}^+\circ v_i^-=-v_{i+1}^-\circ v_i^+$ pour tout $i\in\db{1,n-1}$, et que $v_{n-1}^+\circ v_n^-=0$. Montrer que l'endomorphisme $v_1^-\circ v_0^+$ de $V_0$ est nilpotent. Déterminer l'indice de nilpotence maximal possible de $v_1^-\circ v_0^+$.

Par récurrence sur $n$, on a $v_1^{-} v_0^+ \circ v_1^{-} v_0^+ \circ \dots \circ v_1^{-} v_0^+ = v_1^- \big(v_2^{-} v_1^+\big)^{n-1}v_0^+$ (et on peut ajouter un dernier espace $V_{n+1} = \{0\}$ si besoin).

On donne un exemple où c'est atteint prendre $\{c_1,c_2,c3\}\ra \{b_1,b_2\}\ra \{a_1\} \ra \{0\}$, où $c_i$ est envoyé sur $b_i$ ou $0$ pour le dernier $c_i$, et $b_i$ est envoyé sur $c_{i+1}$.

Pour tout $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\R)$ la matrice de permutation associée et, pour tout $k$, $n_k(\sigma)$ le nombre de cycles de longueur $k$ dans la décomposition de $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.

• Soit $\sigma\in S_n$. Calculer, pour tout $k$, $\op{tr}(P_{\sigma}^k)$ en fonction des $n_r(\sigma)$.
• En déduire que deux permutations $\sigma$, $\tau\in\mc{S}_n$ sont conjuguées dans $\mc{S}_n$ si et seulement si les matrices $P_{\sigma}$ et $P_{\tau}$ sont semblables.

Soient $V=\C^n$ et $T=(\C^*)^n$. Pour tout $v\in V$ et toute partie $H\subset V$, on note $H\cdot v=\{(h_1v_1,\ldots,h_nv_n),\ h\in H\}$.

• Soit $v\in V$. Déterminer la nature topologique de $T\cdot v$. Preciser notamment son adherence.
• Quels sont les sous-espaces $W\subset V$ tels que, pour tout $v\in T$, $W\cdot v=W$?
• Dénombrer les familles $(W_i)_{i\in\db{0,n}}$ de sous-espaces vectoriels satisfaisant la condition de la question précédente et les inclusions strictes $W_0\subsetneq W_1\subsetneq\cdots\subsetneq W_n$.

• L'adhérence est l'ensemble des $n$-uplets qui sont nuls là où $v$ est nulle. C'est un sous-espace vectoriel.
• Autrement dit, $v \cdot W = W$, pour tout $v\in T$. En particulier, stable par multiplication d'une coordonnée par $2$, donc si $W$ contient un vecteur avec une coordonnée non nulle en $e_i$, elle contient $e_i$. Donc $W$ est engendré par certains vecteurs de la base canonique.
• On trouve $n!$.

Soient $V$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie non nulle et $\phi$ un morphisme de groupes de $\mathbb{U}$ dans $\op{GL}(V)$ tel que $\{0\}$ et $V$ soient les seuls sous-espaces vectoriels de $V$ stables par tous les $\phi(g)$ pour $g\in\mathbb{U}$.

• Montrer que $\dim V=1$.
• On suppose $f\colon\theta\in\R\mapsto\phi(e^{i\theta})$ dérivable en $0$. Déterminer $\phi$.

Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\C)$. On dit que $(V,A,B)$ est une realisation de $M$ si :

• $V$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension $d$,
• $A=(a_1,\ldots,a_n)$ est une famille libre de formes linéaires sur $V$,
• $B=(b_1,\ldots,b_n)$ est une famille libre de vecteurs de $V$,
• pour tous $i,j$, $a_i(b_j)=m_{i,j}$.

On dit que $d$ est la dimension de la réalisation.

• Montrer que si $M$ est realisée par un espace de dimension $d$, elle l'est aussi par un espace de dimension $d'\gt d$.
• Trouver une realisation de la matrice $M_0=\left(\begin{matrix}1&-1\\ -1&1\end{matrix}\right)$
• Trouver la dimension minimale d'une realisation de $M_0$.

• Trivial.
• Prendre comme vecteurs $\vvv{1}{-1}{0}$ et $\vvv{-1}{1}{2}$ dans $\R^3$.
• Il s'agit de montrer que $M_0$ n'est pas réalisable dans $\R^2$. Si c'était le cas, on aurait une bijection entre l'espace et $\R^2$ via la donnée des deux formes linéaires.

Soient $A,B\in\M_n(\R)$ commutant à $AB-BA$.

• sV2 Simplifier $e^{At}B e^{-At}$.
• Calculer $\exp(A+B)$.

• On trouve $B + t[A,B]$
• On doit trouver $e^A e^B e^{-1/2 [A,B]}$. On pose $U(t) = e^{tA} e^{tB}$. On a $U'(t) = e^{tA}(A+B)e^{tB} = (A+e^{At}B e^{-At}) U(t) = (A+B + t[A,B]) U(t)$. Ensuite poser $V = e^{-t^2/2 [A,B]} U(t)$.

Soient $A,B,M\in\M_n(\R)$ telles que $\chi_A=\chi_B$ et $AM=MB$.

• Montrer que, pour tous $r\in\N$ et $X\in\M_n(\R)$, on a $\op{tr}((A-MX)^r)=\op{tr}((B-XM)^r)$.
• En déduire que, pour tout $X\in\M_n(\R)$, on a $\det(A-MX)=\det(B-XM)$.

• Pour $r = 1$, ok. Pour $r = 2$, $(A-MX)^2 = A^2 - AMX - MXA - (XM)^2$, et $BXM + XMB = AMX + XAM$. En général, on peut écrire le produit (sous la trace) comme $A^k MX A^q MX \dots$, et faire passer les $A^k$ à droite des $M$, en des $MB^k$, d'où l'égalité.
• Conséquence directe de la question précédente.

La matrice $\left(\begin{array}{cc}1&2024\\ 0&1\end{array}\right)$ peut-elle s'écrire $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}A^{2n+1}$ avec $A\in\M_2(\R)$?

Sur $\C$ on est co-trigonalisable. Sur la diagonale, on a $u,v$ tel que $\sin (u) = \sin (v) = 1$. Si $u\neq v$, on est diagonalisable, impossible.

Par ailleurs, $P(\begin{pmatrix}\la & u \\ 0 & \la\end{pmatrix}) = \begin{pmatrix}P(\la) & u P'(\la) \\ 0 & P(\la)\end{pmatrix}$, et si $\sin (u) = 1$, alors $\cos u = 0$, donc impossible.

Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie. Soient $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose que : $ab-ba=f\circ v$ avec $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$.

• Calculer $\det(ab-ba)$.
• Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables.

Soit $\mc{A}$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$ stable par crochet de Lie : pour $M,N\in\mc{A}$, $[M,N]=MN-NM\in\mc{A}$.

• On suppose que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme diagonalisable de $\mc{A}$. Montrer que $\forall M,N\in\mc{A}$, $[M,N]=0$.
• On suppose que $\dim\mc{A}\leq 3$ et que, pour tout $M\in\mc{A}$, $N\mapsto[M,N]$ induit un endomorphisme nilpotent de $\mc{A}$. On pose $\mc{A}_0=\mc{A}$ et, pour $j\in\N$, $\mc{A}_{j+1}=\{[M,N],\ (M,N)\in\mc{A}_j^2\}$. Montrer que $\mc{A}_3=\{0\}$.

• Écrire $[X,Y] = \la Y$, avec $\la\neq 0$, alors $X = \sum \mu_i E_{i, Y}$ (vecteurs propres de $Y$) donc $[X,Y] = \sum \mu_i \la_i E_{i, Y} = \la Y$, et en appliquant à nouveau $\op{ad}_Y$ on devrait trouver $0$.
• Il s'agit de montrer que $\dim [\mc A, \mc A] \lt \dim \mc A$. Si $\dim A = 1$ c'est clair. Si $\dim \mc A = 2$, avec $\mc A = \vect (U, V)$, tout crochet de Lie est colinéaire à $[U, V]$, donc $\dim [\mc A, \mc A]\leq 1$. Si $\dim \mc A = 3$, avec $\mc A = \vect (U, V, W)$. On peut voir $\op{ad}_{U},\dots,\op{ad}_{W}$ comme des matrices $3\times 3$, qui sont par ailleurs nilpotentes. On considère $\op{ad}_U$. Sa matrice est de la forme $\begin{pmatrix}0 & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{pmatrix}$. Le bloc carré du bas doit être nilpotent, donc il existe $V$ tel que $\op{ad}_U(V) = \la U$. Alors $\op{ad}_U(W)\subset \vect(U, V)$, sinon, non nilpotent, et de même pour $\op{ad}_V(W)$, car sinon, non nilpotent ! Alors $[\mc A,\mc A]\subset \vect (U,V)$.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. Un drapeau de $E$ est une famille de sous-espaces $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ telle que $F_0\subsetneq F_1\subsetneq\cdots\subsetneq F_n$.

• Soit $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ un drapeau de $E$. Déterminer $\dim F_k$ pour tout $k\in \db{0,n}$.
• E On considére dorénavant deux drapeaux $(F_i)_{i\in\db{0,n}}$ et $(G_i)_{i\in\db{0,n}}$.
• Soient $i\in\db{1,n}$, $j_0\in\db{0,n}$ tels que $F_{i-1}+G_{j_0}=F_i+G_{j_0}$. Montrer que, pour tout $j\geq j_0$, $F_{i-1}+G_j=F_i+G_j$.
• Soit $i\in\db{1,n}$. Montrer qu'il existe $j\in\db{1,n}$ tel que $F_{i-1}+G_j=F_i+G_j$.
• Montrer que l'application $\sigma$ qui à $i$ associe $\min\{j\in\db{1,n},\ F_{i-1}+G_j=F_i+G_j\}$ est une permutation de $\db{1,n}$.
• Montrer qu'il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\ e_i\in F_i\cap G_{\sigma(i)}$.
• s Soit $A\in\op{GL}_n(\mathbb{K})$. Montrer qu'il existe une unique permutation $\tau\in\mc{S}_n$ pour laquelle il existe deux matrices $U$ et $V$ triangulaires supérieures dans $\M_n(\mathbb{K})$ vérifiant $A=UP_{\tau}V$ ou $P_{\tau}=(\delta_{i,\tau(j)})_{1\leq i,j\leq n}$, et montrer qu'on peut en outre imposer que $1$ soit la seule valeur propre de $U$.

• Trivial.
• Trivial.
• nice

On considére un groupe fini $G$ et un $\C$-espace vectoriel $V$ de dimension finie. Soit $\rho$ un morphisme injectif de $G$ dans $\mathrm{GL}(V)$.

• Calculer $\mathrm{tr}(\rho(e))$ ou $e$ est le neutre de $G$.
• Montrer que, pour tout $g\in G$, $\rho(g)$ est diagonalisable.
• Montrer que, si $\mathrm{tr}(\rho(g))=\mathrm{tr}(\rho(e))$, alors $\rho(g)=\rho(e)$.
• Soit $f\colon G\ra\C$. Pour $m\in\N$, on note $a_m=\sum_{g\in G}f(g)\left(\mathrm{tr}(\rho(g))\right)^m$. Démontrer qu'il existe $m\in\N$ tel que $a_m\neq 0$ lorsque $f(e)\neq 0$.
• Montrer que $\Phi\colon z\mapsto\sum_{m=0}^{+\i}a_mz^m$ est une fonction rationnelle.

• On prend $G=\mathfrak{S}_3$ et $\rho\colon\mathfrak{S}_3\ra\mathrm{GL}(V)$.

  Montrer qu'il existe une décomposition de $V$ sous la forme $\bigoplus_iE_i$ telle que :

  • $\forall i,\ \forall g\in G,\ E_i$ est stable par $\rho(g)$
  • $\forall i,\ \dim E_i\in\{1,2\}$.

• $G$ est fini.
• Les valeurs propres sont des racines $n$-ièmes de l'unité. Elles valent $1$ et $g$ est diagonalisable.
• Les autres termes sont négligeables.
• C'est clair. Le faire pour un élément $g\in G$ fixé.
• Les valeurs propres sont $\pm 1$, ou $1, j,\ol{j}$. Prendre $\sigma = (1\, 2\, 3)$ et $\tau = (1\, 2)$. Comme l'autre trois cycle est $\sigma^{-1} = \tau \sigma \tau$, l'espace propre $E_1$ est stable par $\tau$, et $\tau$ envoie $E_{j}$ sur $E_{\ol{j}}$. Pour chaque $f\in E_j$, prendre $\vect f, \tau f$, qui est stable.

Soit $d\geq 2$. On munit $\R^d$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $\delta_1,\delta_2\gt 0$ avec $\delta_1\neq\delta_2$. Soient $x_1,\ldots,x_n\in\R^d$. On suppose que $\forall i\neq j$, $\|x_i-x_j\|\in\{\delta_1,\delta_2\}$. Montrer que $n\leq\dfrac{(d+1)(d+4)}{2}$.

Ind. Montrer que les $f_i\colon y\mapsto\left(\left\|y-x_i\right\|^2-\delta_1^2\right)\left(\left\| y-x_i\right\|^2-\delta_2^2\right)$ sont linéairement indépendantes.

Si on écrit une relation de liaison sur les $f_i$, en évaluant en $x_i$, on obtient que le coefficient en $f_i$ est nul.

Les $f_i$ appartiennent à un espace, de dimension : les constantes, les $\lN y\rN^4$, les $\lN y\rN^2$, les $y\mapsto \langle y, x_i\rangle \lN y\rN^2$, puis $y\mapsto C\langle y, x_i\rangle$, puis $y\mapsto \langle y, x_i\rangle^2$. Cette dernière partie engendre un espace de dimension $\frac{n(n+1)}{2}$, auquel on peut ajouter les $\lN y\rN^2$.

On trouve comme dimension $1 + 1 + n + n + \frac{n(n+1)}{2} = \frac{(n+4)(n+1)}{2}$.

Pour $n\in\N^*$, soit $H_n=\big{\{}M\in\M_n(\{-1,1\}) \, \mid \, M^TM=nI_n\big{\}}$.

• Déterminer $H_1$, $H_2$ et $H_3$.
• Soit $n\geq 4$ tel que $H_n\neq\emptyset$. Montrer que $4$ divise $n$.
• À l'aide de $A\in H_n$, construire une matrice $B\in H_{2n}$.
• Soit $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 3\,[4]$. Montrer que $H_{p+1}$ n'est pas vide.

• En multipliant une ligne de la matrice par $-1$, on préserve l'orthogonalité des colonnes. On peut donc se ramener au cas où tous les coefficients de la première colonne valent $1$. Comme la première colonne est orthogonale à la seconde, la seconde doit avoir autant de coefficients $-1$ que de coefficients $1$, donc $n$ doit être pair. Comme $n\geq 3$, $H$ admet au moins trois colonnes. Quitte à permuter les lignes, on peut supposer que la seconde colonne contient $n/2$ coefficients $1$ sur sa première moitié, et $n/2$ coefficients $-1$ sur la seconde moitié. La troisième colonne $C_3$ a également autant de $1$ que de $-1$. Supposons que dans la première moitié de ses coefficients, elle ait strictement plus de $1$ que de $-1$. Alors le produit scalaire des premières moitiés des colonnes $2$ et $3$ est $\gt 0$. Mais la seconde moitié de $C_3$ doit alors avoir strictement plus de $-1$ que de $1$, donc les secondes moitiés ont également un produit scalaire $\gt 0$, ce qui contredit l'orthogonalité de $C_2$ et $C_3$. Il en va de même dans le cas inverse, ce qui démontre que la première moitié de $C_3$ doit avoir autant de coefficients $1$ que de $-1$, donc que $n$ doit être divisible par $4$.
• Prendre $\begin{pmatrix}A & A \\ A & -A\end{pmatrix}$.
• Si $p\equiv 3 [4]$, $-1$ n'est pas un carré ? On met des $1$ sur la première colonne, des $-1$ sur le reste de la première ligne, des $1$ sur la diagonale, et $\chi (i-j)$ sinon ($1$ ou $-1$ selon si c'est un carré). Le $-1$ de la première ligne compense le $1$ de la diagonale, donc toutes les colonnes sont orthogonales à la première. Plus généralement, si on prend deux colonnes $i,j$, on obtient, à deux termes près, $\sum_{a\in\Z/p\Z} \chi (a)\chi(a + (j-i))$. On a $\chi(a) = a^{\frac{p-1}{2}}$, et on peut développer $(a+k)^{\frac{p-1}{2}}$ avec le binôme, sachant que $\sum_{a\in\Z/p\Z} a^k = 0$, pour tout $k$.

On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u\in\R^3$ unitaire.

Soient $\sigma_u\colon x\mapsto x-2\left\langle x,u\right\rangle u$ et $\Omega_u=\big\{x\in\R^3 \mid \left\langle x,u\right\rangle \geq 0\text{ et }\left\langle x,\sigma_u(x)\right\rangle\leq 0 \big\}$.

• Décrire et représenter $\Omega_u$.
• Montrer que $\Omega_u$ est auto-dual, c'est-à-dire que $\Omega_u=\big{\{}y\in\R^3\;;\;\forall x\in\Omega_u,\;\left\langle x,y\right\rangle\geq 0\big{\}}$.
• On dit que $x\in\Omega_u$ est extrémal si $\colon\forall x_1,x_2\in\Omega_u$, $x=x_1+x_2\Rightarrow x,x_1,x_2$ colinéaires. Quels sont les points extrémaux de $\Omega_u$?
• Si $f\in\mc{L}(\R^3)$, on dit que $f$ est extrémal si $f(\Omega_u)\subset\Omega_u$ et, pour tous $g,h\in\mc{L}(\R^3)$ tels que $f=g+h$, $g(\Omega_u)\subset\Omega_u$, $h(\Omega_u)\subset\Omega_u$, on a $f,g,h$ colinéaires. Déterminer les endomorphismes extrémaux de rang 1.

• La condition $\langle x, \sigma_u(x)\rangle \geq 0$ est équivalente à $\langle x, x\rangle - 2 \langle x, u\rangle^2 \leq 0$, c'est-à-dire $\langle x, u\rangle \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \lN x\rN$. C'est un cone d'angle $\frac{\pi}{4}$ autour de $u$.
• Clairement, l'image doit être un point extrémal de $\Om_u$. Réciproquement, $f$ est de la forme $f(x) = \langle x, v\rangle w$. Il faut que $v\in \Om_u$, et que $v$ soit dans la frontière aussi. Dans ce cas, on est probablement extrémal.

On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $(v_1,\ldots,v_n)\in\R^n\setminus\{0\}$ et $r=\mathrm{rg}(v_1,\ldots,v_n)$. On cherche à quelle condition il existe une base orthonormée $(f_1,\ldots,f_n)$ de $\R^n$ et un projecteur orthogonal $p$ tels que $\colon\forall i\in\db{1,n}$, $p(f_i)=v_i$.

• Traiter le cas $r=n$.
• On suppose dans cette question que $n=2$ et $r=1$. Donner une condition nécessaire et suffisante dans ce cas.

Combien y a-t-il de matrices orthogonales de taille $n\in\N^*$ à coefficients dans $\Z$?

De norme $1$, donc $n!$.

Un produit scalaire hermitien $\Phi$ sur le $\C$-espace vectoriel $E$ est une application $\Phi:E\times E\ra\C$ telle que : $\forall y\in E$, $x\mapsto\Phi(x,y)$ est linéaire ; $\forall(x,y)\in E^2$, $\Phi(y,x)=\overline{\Phi(x,y)}$ ; $\forall x\in E\setminus\{0\}$, $\Phi(x,x)\gt 0$. On note alors $\|x\|=\sqrt{\Phi(x,x)}$ pour $x\in E$.

• On munit $\C^2$ du produit scalaire hermitien tel que $\langle(x_1,x_2),(y_1,y_2)\rangle=x_1\overline{y_1}+x_2\overline {y_2}$. Soit $T$ l'endomorphisme de $\C^2$ dont la matrice dans la base canonique est $\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\end{pmatrix}$. Déterminer $\left\{\langle Tx,x\rangle\ ;\ x\in\C^2,\ \|x\|^2=1\right\}$.
• On munit l'espace $\ell^2(\N,\C)$ des suites complexes $(u_n)_{n\geq 0}$ de carré sommable du produit scalaire défini par : $\langle u,v\rangle=\sum_{n=0}^{+\i}u_n\overline{v_n}$. Soit $T$ l'endomorphisme de $\ell^2(\N,\C)$ qui à $(u_n)_{n\geq 0}$ associe la suite $(u_{n+1})_{n\geq 0}$. Déterminer $\left\{\langle Tu,u\rangle\ ;\ u\in\ell^2(\N,\C),\ \|u\|^2=1\right\}$.

Soient $n\in\N^*$, $a_1\leq\cdots\leq a_n$ et $b_1\leq\cdots\leq b_n$ des nombres réels, $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n(\R)$ telles que $\chi_A=\prod_{k=1}^n(X-a_k)$ et $\chi_B=\prod_{k=1}^n(X-b_k)$. Montrer que $\op{tr}(AB)\leq\sum_{k=1}^na_kb_k$.

Ajouter $I_n$ à l'une et l'autre des matrices, puis codiagonaliser.

On munit l'espace $E=\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint de $E$. On note $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$ les valeurs propres de $u$. Soit $(e_1,...,e_n)$ une base orthonormée de $E$ telle que $\forall i\in\db{1,n},\ \langle u(e_i),e_i\rangle=\lambda_i$.

Montrer que $(e_1,...,e_n)$ est une base de vecteurs propres de $u$.

On a une matrice symétrique dont la diagonale est égale aux valeurs propres. En regardant la plus grand v.p, qui vaut $\langle A E_i, E_i\rangle$, on obtient que la $i$-ème colonne doit être $E_i$, etc.

Analyse

Soit $E$ un espace vectoriel normé. Que dire d'une partie $A$ de $E$ à la fois ouverte et fermée ?

Trouver une partie $A$ de $\R$ telle que $A$, $A^{\circ}$, $\overline{A}$, $\stackrel{{\circ}}{\ol{A}}$ et $\ol{\stackrel{\circ}{A}}$ soient toutes distinctes.

Partir de $\{\frac{1}{k},\,k\in\N^*\}$. Ajouter un petit intervalle fermé autour de chaque point.

Puis ajouter tous les rationnels de $[-1, 0]$.

Soit $N$ une norme sur $\R^d$ (ou $d\geq 1$).

• Montrer que la boule unite fermée pour $N$ est fermée, bornée, d'intérieur non vide, convexe et symétrique par rapport à $0$.
• Soit $C$ une partie non vide de $E$, fermée, bornée, d'intérieur non vide, convexe et symétrique par rapport à $0$. Montrer qu'il existe une norme sur $\R^d$ dont $C$ est la boule unite fermée.

Soit $f\colon [0,1]\ra\R$.

• Montrer que si $f$ est continue alors le graphe de $f$ noté $\Gamma_f$ est fermé dans $\R^2$. La réciproque est-elle vraie?
• Montrer que si $\Gamma_f$ est compact alors $f$ est continue.

Soient $E$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\{-1,0,1\}$ et $A$ l'ensemble des racines des polynômes non nuls de $E$.

• Trouver des propriétés de base sur $A$ (stabilité ou symétrie).
• Montrer que, pour tout $a\in A$, $|a|\lt 2$.
• Montrer que $\overline{A}=[-2,-1/2]\cup\{0\}\cup[1/2,2]$.

Soit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ muni de la norme infinie.

• Soit $h_1\colon E\ra\R$ définie par $h_1(f)=\sum\limits_{p/q\in 0\cap[0,1]\atop p\wedge q=1}f \left(\frac{p}{q}\right)\frac{1}{q^3}$. Montrer que $h_1$ est bien définie et continue.
• Soient $g\colon\R\ra\R$ croissante et $h_2\colon E\ra\R$ définie par $h_2(f)=\sup_{t\in[0,1]}g(f(t))$. Déterminer les points de continuité de $h_2$.

• Sans difficulté.
• On a $g_2(f) = g(\sup f)$. La fonction $f\mapsto \sup f$ est continue, donc si $\sup f$ est sur un point de continuité de $g$, on est continue. Sinon, clairement non continue.

Existe-t-il une fonction continue $f\colon\C\ra\C$ telle que $f\circ f=\exp$ ?

On a $\Im f = \C^*$. On peut écrire $f = \exp \circ h$, avec $h\circ \exp\circ h = \op{Id} + 2ik\pi$.

Donc $\exp$ doit être bijective… Impossible.

La difficulté est le relèvement : localement il existe un relèvement, et si on prend un chemin sur $\C$, il existe une unique façon de relever $f$ le long de ce chemin.

• Soit $A\in\M_n(\R)$, exprimer la norme subordonnée de $A$ relative à la norme infinie, puis à la norme $1$.
• Montrer que si $\|A\|_{\mathrm{op},\i}\leq 1$ et $\|A\|_{\mathrm{op},1}\leq 1$, alors $\|A\|_{\mathrm{op},2}\leq 1$.
• Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, montrer que $\inf_{B\notin\mathrm{GL}_n(\R)}\|B-A\|_{\mathrm{op},2}=\sqrt{\lambda_{ 1}}$, ou $\lambda_1$ est la plus petite valeur propre de $AA^T$.

• Pour la norme infinie, c'est $\max_{1\leq i\leq n} \sum_{j=1}^n |a_{ij}|$. Pour la norme $1$, c'est $\max_{1\leq j\leq n} \sum_{i=1}^n |a_{ij}|$.
• On a $\lN A \rN_2 \leq \sqrt{\lN A\rN_1 \cdot \lN A\rN_{\i}}$ (normes subordonnées), car $\lN x\rN_2^2 \leq \lN x\rN_1 \lN x\rN_{\i}$, donc $\forall x,\, \frac{\lN Ax\rN_2^2}{\lN x\rN^2} \leq \lN A\rN_1 \lN A\rN_{\i}$.
• On prend une racine de $A A^T$, on a $A A^T = (P D) (PD)^T$, avec $P$ orthogonale, donc $D^{-1}P^TA$ est orthogonale, donc $A = P D Q$. Ce qui ramène la question à gérer une matrice diagonale.

Soit $(u_n)$ une suite réelle majorée telle que $\forall n\in\N^*,\, u_n = \frac{1}{n}\sum_{k=n+1}^{2n} u_k$. Montrer que $(u_n)$ est constante.

D'après le CG. Il y a une suite de termes, de plus en plus grand. et une suite de termes, de plus en plus petits. On encadre un petit par deux grands. $G_1 \leq p \leq G_2$.

Si la suite est positive, alors $G_1 u_{G_1} + G_2 u_{G_2}$ contient une proportion non triviale de $p u_p$, et sont majorés. C'est impossible.

On définit la suite $(z_n)$ par $z_0\in\C^*$ et, pour tout $n\in\N$, $z_{n+1} = \frac{1}{2}\left(z_n + \frac{1}{z_n}\right)$.

• Lorsque $z_0\in\R^*$, étudier l'existence de la suite $(z_n)$ et sa convergence.
• Même question lorsque $z_0\in\C^*$.

• $\R_+^*,\R_-^*$ stables. On a $z_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{(z_n - \sqrt{2})^2}{2z_n}$, donc si $z_n$ est proche de $\sqrt{2}$, c'est plié. Pour $z_n$ positif, si $|z_n|\geq 2$, $z_{n+1}\lt z_n$.
• On a $|z_{n+1} - \sqrt{2}| = |z_n - \sqrt{2}| \frac{|z_n - \sqrt{2}|}{2 |z_n|}$, donc si $|z_n|\geq 2$, on se rapproche de $\sqrt{2}$. Par ailleurs, si $\Re(z_0)\gt 0$, on est bien défini et l'argument de $(z_n)$ décroît (en valeur absolue). Cela justifie que l'on ne peut pas s'approcher de $0$, donc $(z_n)$ est bornée, et toute valeur d'adhérence est réelle (sinon, on diminue strictement l'argument). Idem si $\Re(z)\lt 0$. Si $\re(z) = 0$, on tombe sur un des cas précédents.

• Si $n\in\N^*$, montrer que l'équation $\sum_{k=1}^n x^k = 1$ admet une unique solution dans $\R_+$ que l'on note $a_n$.
• Montrer que $(a_n)_{n\geq 1}$ converge vers une limite $\l$ à déterminer. Donner un équivalent de $a_n - \l$.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite strictement décroissante à termes dans $\interval]{0, 1}[$. Soient $\a\gt 0$ et $(u_n)$ définie par $u_0\geq 0$ et $\forall n\in\N,\, u_{n+1} = u_n (u_n^{\a} + a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\geq 0$ tel que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\gt 0$. Déterminer alors cette limite.

Si $u_0$ est assez petit, $u_n^{\a} + a_n \lt 1$. Si $u_0\gt 1$, on tend vers $+\i$. L'unicité est claire. Pour l'existence : les ensembles où $u_n \ra +\i$ et $u_n \ra 0$ sont ouverts.

Pour la valeur critique, on aura $u_n^\a \ra \lim a_n$.

• Soient $a,b\in\N^*$ avec $a\wedge b=1$. Montrer l'existence de $N\in\N^*$ tel que, pour tout $n\geq N$, il existe $(u,v)\in\N^2$ vérifiant $n=au+bv$.
• Soit $(s_n)_{n\geq 1}$ une suite strictement croissante d'éléments de $\N\setminus\{0,1\}$. On suppose que l'ensemble $S=\{s_n,\ n\in\N^*\}$ est stable par produit. Montrer que $\frac{s_{n+1}}{s_n}\ra 1$ si et seulement s'il existe $p,q\in\N^*$ tels que $\frac{\ln(s_p)}{\ln(s_q)}\not\in\Q$.

• Si tous les quotients sont rationnels, chaque $s_i$ s'écrit $s_0^{r}$. Il suffit de vérifier que l'ensemble $s_0^{\Q}\cap \N$ a des trous. C'est clair. Réciproquement, on peut supposer deux éléments $s_1,s_2$ dont le quotient ne soit pas rationnel, et on traite le cas où $S = \{s_1^n s_2^m\}$.

Soit $f\colon\R\ra\R$ 1-périodique.

On définit $\colon\forall S\in\R^{\N^*},\ \forall n\in\N^*,\ M_n(f,S)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(S_k)$.

• Montrer que la suite $(M_n(f,S))$ converge pour toute suite $S$ si et seulement si $f$ est constante.
• On dit qu'une suite réelle $(u_n)$ est équirépartie modulo 1 lorsque pour tout fonction continue $1$-périodique, $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(u_k)\tend{n\ra+\i}\int_0^1f(x) dx$. Montrer que la suite $(\sqrt{n})$ est équirépartie modulo 1.

• Clair.
• Il suffit de le vérifier sur des fonctions en escaliers.

Calculer la somme de la série de terme general $n^2 2^{-(n+1)}$.

Soit $\phi\colon\N^*\ra\N^*$ injective. Nature de $\sum\frac{\phi(n)}{n^2}$ ?

Déterminer la nature de la série $\sum\frac{\sin(\pi\sqrt{n})}{n^{\alpha}}$.

On regroupe, suivant la périodicité de $\sin$, sur des intervalles de longueur $O(\sqrt{n})$. Pour que la somme sur un morceau tende vers $0$, il faut que $\a\gt 1/2$.

Réciproquement, sous cette condition, la somme de deux paquets consécutifs est en $O(\frac{1}{n^{\a}})$, ce qui donne $O(\frac{1}{n^{2\a}})$, donc on converge.

Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que la série $\sum u_n$ converge.

Montrer que la série de terme general $v_n=\frac{1}{1+n^2u_n}$ diverge.

Si $\sum \frac{1}{1+n^2u_n}$ converge, alors $n^2 u_n \ra +\i$, donc (équivalent), $\sum \frac{1}{n^2 u_n}$ converge, mais Cauchy-Schwarz donne $\sum \frac{1}{n}$ converge.

• Soit $(u_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\xrightarrow[n\ra+\i]{}a\gt 0$. Déterminer la nature de $(S_n)$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_n}\sum_{k=0}^nku_k$.
• Soient $(u_n)_{n\geq 0},(v_n)_{n\geq 0}\in(\R^{+*})^{\N}$. Pour $n\in\N$, on pose $S_n=u_0+\cdots+u_n$ et $T_n=v_0+\cdots+v_n$. On suppose que $\frac{S_n}{nu_n}\tend{n\ra+\i}a\in\R_+^{*}$ et $\frac{T_n}{nv_n}\tend{n\ra+\i}b\in\R_+^{*}$. Donner un équivalent de $\frac{1}{u_nv_n}\sum_{k=0}^nu_kv_k$.

• $(S_n)$ est croissante. Si elle convergeait, on aurait $u_n \sim \frac{\l}{n}$, contradiction. Alors par sommation des équivalents, $\sum ku_k \sim \frac{1}{a}\sum S_k = \frac{1}{a}\sum (n-k) u_k$. En séparant, on obtient $\frac{\sum k u_k}{u_n}\sim \frac{n S_n}{u_n} \frac{1}{a (1+1/a)} \sim \frac{n^2}{a + 1}$.
• On peut appliquer le même raisonnement à $\sum u_k k^{\b}$ : on fait Abel, et on obtient deux séries équivalentes (à un facteur) + le crochet. Mais cela ne tient que si $\sum u_k k^{\b}$ diverge. On utilise uniquement que $(k+1)^{\b} - k^{\b} \sim \frac{k^{\b}}{k}$. On peut montrer que $u_{n+1}\sim u_n$, puis que $u_{n+1} - u_n$. Sous l'hypothèse que $\sum u_k v_k$ diverge, on peut remplacer $u_k v_k$ par $U_k = \frac{S_k}{k}$ et $V_k =\frac{T_k}{k}$, et on peut vérifier que $U_{k+1} - U_k \sim \frac{u_k}{k}\sim \frac{U_{k+1}}{U_k}$, ce qui permet de faire la transformation d'Abel précédente, sur les $U_k$. Si $\sum u_k v_k$ converge (ce qui est possible), on ne peut rien dire, si ce n'est qu'on est équivalent à la somme divisé par $\frac{1}{u_n v_n}$.

Déterminer les fonctions dérivables $f\colon\R\ra\R$ telles que $\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x)f(y)=f(x+yf(x))$.

On trouve $f(0) = 1$ (sauf fonction nulle). Par ailleurs, si $f(y) = 0$, on obtient $\forall x,\, f(x + y f(x)) = 0$.

En dérivant, on a $f(x) f'(y) = f(x) f'(x + y f(x))$ et $f'(x) f(y) = (1+y f'(x)) f'(x+y f(x))$.

Si $f(x)\neq 0$, on obtient $f'(x) f(y) = f'(y) (1+y f'(x))$, donc $\frac{f'(y}{f(y)} = \frac{f'(x)}{1 + y f'(x)}$, donc $\ln (f(y)) = \ln (1 + y f'(x)) + C$ (au vois de $0$), donc $f(y) = C (1 + y C')$ (sur un voisinage de $0$).

Par ailleurs, ceci étant vrai pour tout $x$, on obtient que $f'$ est constant là où $f$ est non nulle. D'après essentiellement le théorème de limite de la dérivée, $f'$ est constante partout, donc $f$ est affine.

Soit $f\colon\N^*\ra\R$ telle que $f(mn)=f(m)+f(n)$ pour tous $m,n\geq 1$.

• On suppose $f$ croissante. Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que $\colon\forall n\in\N^*,\, f(n)=c\ln n$.
• On suppose que $f(n+1)-f(n)\ra 0$ quand $n\ra+\i$. Montrer qu'il existe $c\in\R$ tel que : $\forall n\in\N^*$, $f(n)=c\ln n$.

• Sans difficulté. $f$ est déterminée par l'image des nombres premiers, et la croissance montre que les images doivent être les mêmes.
• On peut supposer $f(2) = 0$. Alors, si il existe $p$ tel que $f(p)\gt 0$, en considérant $2^{p-1}-1$, on obtient l'existence de nombre premiers tels que $f(q)\lt 0$. En fait, via Cesàro directement, on aurait $f(n) = o_{+\i}(n)$. En utilisant d'une part $f(2^p) = 0$ et plus généralement $f(2x) = f(x)$, il suffit de $\ln n$ opérations pour passer de $n$ à $1$, donc $f(n) = o_{+\i}(\ln n)$, ce qui implique $f(p) = 0$ pour tout $p$. Easy.

Soit $E$ l'ensemble des $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ telles que $f\underset{+\i}{\longrightarrow}0$.

Si $f\in E$, on pose $\Delta(f):x\mapsto f(x+1)-f(x)$.

• Montrer que $\Delta$ est un endomorphisme de $E$. Est-ce un automorphisme ? !! (surjectivité ? Sous la forme d'une série ?)
• Soient $f\in E$, $x\in\R$ et $n\in\N^*$.

Montrer qu'il existe $x_n\in\left]x,x+n\right[$ tel que $\Delta^n(f)(x)=f^{(n)}(x_n)$.

Ind. Étudier $y\mapsto f(x+y)$ et $y\mapsto\sum_{k=0}^n\dfrac{y(y-1)\cdots(y-k+1)}{k!}\,\Delta^k(f)(x)$.

Déterminer les $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telles que $\forall x\in[0,1]$, $f(x)=2(f(x/2)+f(1-x/2))$.

Dériver deux fois, on obtient que $f''$ est une moyenne. Considérer le maximum/minimum.

Soient $N$ et $d$ deux entiers supérieurs ou egaux à 1. On pose $D=\db{-N,N}^d$ et on note $(e_1,\ldots,e_d)$ la base canonique de $\R^d$.

On note $\partial D=\left\{\sum_{i=1}^dx_ie_i\,;\,(x_1,\ldots,x_n)\in D,\; \exists i\in\db{1,d},\;|x_i|=N\right\}$ et $\overset{\circ}{D}=D\setminus\partial D$.

Pour $i\in\db{1,d}$ et $u\colon D\ra\R$, on pose $\forall x\in\overset{\circ}{D},\,\Delta_iu(x)=2u(x)-u(x+e_i)-u(x-e_i)$.

On pose, pour $x\in\overset{\circ}{D}$, $Mu(x)=\prod_{i=1}^d\Delta_iu(x)$.

• Construire une fonction $u\colon D\ra\R^+$ concave, i.e. vérifiant $\forall i\in\db{1,d},\, \Delta_iu\geq 0$, telle que $\forall x\in\overset{\circ}{D},Mu(x)\gt 0$ et $u|_{\partial D}=0$. Pour $f\colon\overset{\circ}{D}\ra\R^+$ fixée, on note $A$ l'ensemble des $h\colon D\ra\R^+$ concaves, nulles sur $\partial D$ et telles que $Mh\geq f$. Soit $u\colon x\mapsto\inf_{h\in A}h(x)$.
• Montrer que $A$ est non vide.
• Montrer que $u\in A$ et que $Mu=f$.

• Prendre $u = prod (N^2 - x_i^2)$
• L'ensemble $D$ est fini.
• L'inf de fonctions concaves est concave, et on a $Mh\geq f$. Si $Mh \gt f$ en un point, alors en ce point on a $\Delta_i h(x)\gt 0$. On peut retirer à $h$ un petit multiple du $u$ de la première question, pour $N = 1$, on préserve la convexité en $x$ et on diminue $Mh$. Prenons $f$ nulle partout, sauf en un point $a$. On va prendre une fonction concave, nulle partout, avec une valeur différente $v$ en $a$, de sorte que $(2v)^n = a$. Alors cela contribue le bon $\Delta$ en $a$, et en $a + e_i$ par exemple, les autres $\Delta_j$ sont nuls, donc effacent la contribution. Comment diminuer $M(u)$ en un point $a$, où $M(u)(a)\gt 0$ ? On diminue la valeur $u(a)$ : cela diminue $M(u) (a)$, mais cela augmente les $M(u)$ des voisins. Ce n'est pas grave.

Si $f$ est une fonction de $[0,1]$ dans $\R$, on note $V(f)$ la borne supérieure, dans $[0,+\i]$, de l'ensemble $\left\{\sum_{k=0}^{n-1}|f(a_{k+1}-f(a_k)|\;;\;n\in\N^*,0\leq a_0\leq a_1\cdots\leq a_n\leq 1\right\}$. On note $VB$ l'ensemble des fonctions $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ telles que $V(f)\lt +\i$.

• Montrer que $VB$ est un sous-espace de l'espace vectoriel des fonctions $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ contenant les fonctions monotones et les fonctions lipschitziennes.
• Donner un exemple de fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$ n'appartenant pas à $VB$.
• Montrer qu'une fonction $f$ de $[0,1]$ dans $\R$ est dans $VB$ si et seulement si elle est différence deux fonctions croissantes de $[0,1]$ dans $\R$.

• Soit $f\in\R^{[0,1]}$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

  • $\forall g\in[0,1]^{[0,1]},V(g)\lt +\i\implies V(f\circ g)\lt +\i$;
  • $f$ est lipschitzienne.

• $\leftarrow$ est claire. Pour la réciproque, si $f$ n'est pas lipschitzienne, il existe des $x_n,y_n$ pour lesquels $\frac{|f(x_n) - f(y_n)|}{x_n - y_n}\ra +\i$. On peut les prendre arbitrairement proche, et $x_n \ra a$. On prend alors une fonction qui oscille si nécessaire plusieurs fois entre $x_n$ et $y_n$, puis passe à un suivant (assez proche de $a$).

1. Soit $f\colon\R^{+*}\ra\R$ une fonction convexe.

   • Montrer qu'il existe $\ell\in\overline{\R}$ tel que $\frac{f(x)}{x}\tend{x\ra+\i}\ell$; déterminer les valeurs possibles de $\ell$.
   • Si $\ell\in\R$, montrer que $f(x)-\ell x$ possède une limite dans $\overline{\R}$ quand $x$ tend vers $+\i$ et déterminer les limites possibles.
2. Soient $f,g$ convexes et continues sur $[0,1]$ vérifiant $\max(f,g)\geq 0$. Montrer qu'il existe $\alpha,\beta$ positifs et non tous nuls tels que $\alpha f+\beta g\geq 0$.
3. Soient $f_1,\ldots,f_n:[0,1]\ra\R$ convexes et continues vérifiant $\max(f_1,\ldots,f_n)\geq 0$. Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$ positifs et non tous nuls vérifiant $\sum_{k=1}^n\alpha_kf_k\geq 0$.

2. Les points où $f/g$ sont $\lt 0$ forment deux intervalles disjoints. Entre les deux, les fonctions s'intersectent en un point. En ce point, tu as des tangentes, et il suffit de prendre un barycentre des tangentes qui fait une droite verticale.
3. Récurrence triviale.

Soient $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$. Montrer l'équivalence entre :

• $f$ n'est pas polynomiale,
• $\vect \big(\{x\mapsto f(\alpha x+\beta)\;;(\alpha,\beta)\in\R^2\}\big)$ est dense dans $\mc C^0([a,b],\R)$.

Clairement, si $f$ est polynomiale, ce n'est pas dense.

Réciproquement, si $f$ n'est pas polynomiale, on montre que l'adhérence du vect contient les polynômes.

• Il contient directement les fonctions constantes ($\a = 0$, et $f$ non constante)
• Il contient $x\mapsto f'(0) x$, car en grossissant $f$, on voit apparaître sa tangente. Il existe un point en lequel $f'(x_0)\neq 0$, donc on obtient une fonction affine. Formellement, si $f'(0)\neq 0$, on considère $g_{n}\colon n(f(x/n) - f(0))$.
• Pour $x^2$, idem en utilisant un $DL_2$ de $f$, en un point où $f''(0)\neq 0$.

Soient $F$ un fermé de $\R$, $O=\R\setminus F$.

• Montrer que $O$ est reunion dénombrable d'intervalles ouverts bornés.
• Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $\mc C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$.

• Prendre $e^{-1/d(x, F)^2}$

On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\;\|_{\i}$.

Pour $f\in E$, soit $T(f)\colon t\in[0,1]\mapsto\sup_{[0,t]}(f)-f(t)$. Soit $f\in E$.

• Montrer que $T(f)$ est continue, que $T(f)\geq 0$ et que $T(f)(0)=0$.
• Montrer que la suite $(\|T^n(f)\|)_{n\geq 0}$ est décroissante.
• Si $f$ est $K$-lipschitzienne, montrer que $T(f)$ est lipschitzienne.
• Soit $f\in E$ lipschitzienne. Montrer que $(T^nf)$ converge uniformément vers la fonction nulle.

• Classique.
• Simple.
• Simple, $T(f)$ est directement $2K$-lips. En fait $T(f)$ est $K$-lip : prendre $t$ et $u\geq 0$ deux points. $T(f)(t) - T(f)(t+u)$. Si les deux sups sont au même point c'est trivial, sinon le sup sur $[0, t+u]$ est atteint en $[0, t+u_0]$, et $\sup_{[0,t]} f$ est atteint une autre fois entre $t$ et $t+u_0$. On obtient deux différences sur deux segments dont la somme des tailles est $\leq u$.
• La suite $\lN T^n(f)\rN$ est décroissante. Si elle converge vers $L_n$, on note $x_n$ le premier point où il est atteint. On a $L_{n+1} = \sup_{[0, x_{n+1}]} f_n - f_n(x_{n+1})$. En particulier, il faut que $f_n(x_{n+1}) \leq L_n - L_{n+1}$, ce qui implique que $x_{n+1}$ est éloigné de $x_n$. Considérons plutôt $x_n$ le premier point où on est $\geq L$. Alors $(x_n)$ est croissant, et $x_{n+1}$ doit être éloigné de $x_n$, contradiction.

Soit $f:[0,1]\ra[-a,b]$ continue, ou $a$ et $b$ sont dans $\R^+$. On suppose que $\int_0^1f(t)dt=0$.

Montrer que $\int_0^1f(t)^2dt\leq ab$.

Intégrer $(b-f)(f + a)$.

Pour $r\in\R$ et $n\in\N$, soit $D_n(r)=\int_{-1}^1(1-x^2)^n\cos(rx)dx$.

• Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n$ et $Q_n$ des polynômes à coefficients entiers de degré au plus $n$ tels que, pour tout $r\in\R$, $D_n(r)=\frac{n!}{r^{2n+1}}(P_n(r)\cos(r)+Q_n(r)\sin(r))$.
• En déduire que $\pi$ est irrationnel.

Soient $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ à support compact et $E$ l'ensemble des fonctions $\phi$ de $\R$ dans $\R$, de classe $\mc C^1$ bornées par $1$. Déterminer $\sup\bigg{\{}\int_{-\i}^{+\i}f\phi'\;;\;\phi\in E \bigg{\}}$.

C'est $\int_{-\i}^{+\i} |f|$. On peut approcher $f$ de manière uniforme par des fonctions polynomiales.

Pour une fonction polynomiale, l'intégrale est proche de $\int_{-\i}^{+\i} |f| 1_{|f|\geq \eps}$.

Nature de $\int_0^{+\i}\frac{e^x}{e^{-x}+e^{2x}|\sin x|}\dx$ ?

On est ramené à une série, de $\int_0^{\pi} \frac{e^{x+n\pi}}{e^{-x-n\pi} + e^{2x + 2n\pi} \sin x}$, dont on cherche un équivalent. En fait, plutôt couper en $\frac{\pi}{2}$. C'est $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t e^x}{e^{-x}/t + e^{2x} t^2 \sin x}\dx$, dont on veut un équivalent quand $t\ra +\i$. Écrivons $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t^2 e^x}{e^{-x} + e^{2x} t^3 \sin x}\dx$ $\geq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{t^2e^x}{1 + e^{2x} t^3}$ qui est manifestement en $\frac{1}{t}$.

Soit $f\colon\R\ra\R$ intégrable et lipschitzienne. Peut-il exister un réel $x$ non nul tel que la série de terme general $f(nx)$ diverge?

Si $f$ est lipschitzienne, $f^2$ est intégrable, et on peut majorer $|f(nx)|$ par l'intégrale d'un triangle de pente $1$ autour de $f(nx)$.

Si $f$ est $1$-lip, $\int_{nx - |f(nx)|}^{nx + |f(nx)|} \geq f(nx)^2$. Si $\sum f(nx)^2$ converge, il en va de même de $\sum f(nx)$ (car $f$ est lip) : $f(nx)\leq 1$ APCR.

Et pour la même raison, les intégrales précédentes sont disjointes, APCR.

Soit $(f_n)$ une suite de $\mc C^1([0,1],\R)$ convergeant uniformément vers une fonction $f$ sur $[0,1]$. On suppose que, pour toute fonction $g\in\mc C^1([0,1],\R)$, $\int_0^1f'_ng\longrightarrow 0$ quand $n\ra+\i$. Que dire de $f$?

On obtient, que pour toute fonction continuen $g'$ vérifiant $\int g' = 0$, $\int f g' = 0$, donc $f$ est constante.

Soit $x\in\R$. Calculer $\sum_{n\in\N^*}\frac{\cos(nx)}{n^2}$.

C'est censé être $\frac{x^2}{4} - \frac{\pi x}{2} + \frac{\pi^2}{6}$.

On prend une somme partielle jusqu'à $N$, que l'on dérive en $S_N(x) = \sum_{n=1}^N -\frac{\sin nx}{n}$, et une seconde fois en $S_N'(x) = \sum_{n=1}^N \cos x$. Il suffit de traiter des $x$ sympas, pour lesquels $S_N(x) = \frac{1}{2}\int_0^x \frac{\sin \left(\frac{Nt}{2}\right) \sin \left(\frac{(N+1)t}{2}\right)}{\sin \frac{t}{2}} \dt - \frac{x}{2}$, quand $N\ra +\i$, on prend la limite, et on trouve $\frac{\pi}{2} - \frac{x}{2}$, si on montre une sorte d'uniformité, de la convergence, on est bon.

Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\big(1-(1-e^{-n})^x\big)\sim\ln(x)$ quand $x\ra+\i$.

Comparaison série intégrale, changement $t = \ln x u$ et convergence dominée. Éventuellement Bernoulli : $1 - (1-e^{-a})^x\leq x e^{-a}$.

Soit $q\in\R^*$. Soit $a\in\mc C^0(\R,\R^*)$. Soit $m,M$ deux réels vérifiant $:0\lt m\lt M$ et $m\leq|a|\leq M$. On suppose egalement que $m\gt 2$ ou $M\lt \frac{1}{2}$. Montrer qu'il existe une unique fonction $F\colon\R\ra\R^*$ continue et bornée vérifiant $\colon\forall t\in\R,F(t)=1+\frac{F(qt)}{a(t)}$.

L'application $T\colon F\mapsto 1 + \frac{F(qt)}{a(t)}$ est $\frac{1}{2}$-lips. La suite $(T^n(f))$ converge, car $\sum \lN T^{(n+1)}(f) - T^n(f)\rN$ converge.

Soit $\sum a_nz^n$ une série entière dont le rayon de convergence appartient à $]0,+\i[$. Déterminer le rayon de convergence de $\sum a_n z^{n^2}$.

Soit $x\gt 0$.

• Montrer que $\colon\forall n\in\N,\sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k\frac{x^k}{k!}\lt e^{-x}\lt \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{x^k}{k!}$.
• Montrer que $\colon\forall n\in\N,\sum_{k=0}^{2n+1}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}\lt \arctan x\lt \sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$.
• s Montrer que $\forall n\in\N,\sum_{k=0}^{2n+1}\frac{(-1)^kx^{2k}}{4^k(k!)^2}\lt \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{\cos(xt)}{\sqrt{1-t^2}}\dt\lt \sum_{k=0 }^{2n}\frac{(-1)^kx^{2k}}{4^k(k!)^2}$.

• Étude de fonction, ou Taylor-Lagrange.
• Revient à trouver le signe des dérivées successives de $\arctan x$, via décomposition en éléments simples.
• On peut développer $\cos(xt)$ en série pour trouver le développement en série entière (il y a une intégrale de type Wallis). Pour le signe des dérivées, il faut dériver l'intégrale.

Montrer que, pour tous $r\in \interval]{0, 1}[$ et $\theta\in\R$, $\ln\left|1-re^{i\theta}\right|=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{r^n}{n}\cos(n\theta)$.

Vérifier que les dérivées coïncident.

Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $\forall n\in\N,\ \forall x\in\R,\ f^{(n)}(x)\geq 0$.

• On suppose que $f(0)=0$. Montrer que $\forall x\leq 0,\ f(x)=0$.
• On suppose que $f(0)=0$. Montrer que $\forall x\geq 0,\forall n\in\N^*,\ f(x)\leq\frac{x}{n}f^{ '}(x)$. Que peut-on en déduire?
• Démontrer que $\forall x\in\R$, $\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\xrightarrow[n\ra+\i]{}f(x)$.

Soit $(L_n)_{n\geq 0}$ définie par $L_0=L_1=1$ et, si $n\geq 1$, $L_{n+1}=(n+1)L_n-\binom{n}{2}L_{n-2}$, avec $L_{-1}=0$. On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{L_n}{n!}\,x^n$.

• Montrer que le rayon de convergence de $f$ est strictement positif.
• Montrer que $\frac{L_n}{n!}\ra 0$.
• Déterminer $f$. Ind. Trouver une équation différentielle vérifiée par $f$.
• En déduire un équivalent de $\frac{L_n}{n!}$.

• $(1-x) f'(x) = 1 + (1 - \frac{x^2}{2})f(x)$
• On trouve $f(x)$ de l'ordre de $(1-x)^{-1/2}$, puis formule de Cauchy, je pense.

Une série $\sum_{n\geq 0}a_n$ est dite primitive lorsqu'elle est à termes entiers et il n'existe pas d'entier $d\gt 1$ divisant tous les $a_n$.

• Soit $\sum_{n\geq 0}a_n$ et $\sum_{n\geq 0}b_n$ deux séries primitives. Montrer que leur produit de Cauchy est une série primitive.
• Soit $F(z)=\sum_{n\in\N}c_nz^n$, ou $c_n\in\Z$ pour tout $n$, telle qu'il existe $P$ et $Q$ dans $\C[X]$ avec $P\wedge Q=1$ et $Q(0)=1$, tels que, pour $z$ voisin de 0, on ait $F(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$. Montrer que $(P,Q)\in\Q[X]^2$.
• s À Compléter.

• Le produit de Cauchy est intègre dans $(\Z/p\Z)^{\N}$.
• La fraction rationnelle prend des valeurs rationnelles, classiquement, $F$ est quotient de polynômes rationnels.

Soit $n\geq 2$. On pose $g_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{2^{4k}}\binom{2k}{k}^2$. Soit $K_n$ l'élément de $\R_n[X]$ tel que $\frac{1}{\sqrt{1-x}}\underset{x\ra 0}{=}K_n(x)+o(x^n)$.

• Montrer que $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\left|K_n\left(e^{i\theta} \right)\right|^2d\theta=g_n$.
• Soit $\sum a_kz^k$ une série entière de rayon de convergence supérieur ou egal à $1$, de somme $f(z)$. On suppose que, pour $|z|\lt 1$, $|f(z)|\leq 1$. Montrer que $\left|\sum_{k=0}^na_k\right|\leq g_n$.

• Immédiat, par orthogonalité.
• On a $K_n^2 = \frac{1}{1-x} = 1 + x + \dots + x^n$, donc $\sum_{k=0}^na_k$ est le coefficient en $x^n$ de $K_n^2 f(x)$. Appliquer la formule de Cauchy.

Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=n\int_0^{+\i}\sin(t^n)\dt$.

Poser $x = t^n$, on obtient $\int_0^{+\i} x^{1/n - 1}\sin x\dx$, que l'on peut lier à la fonction $\Gamma$. En $x = 0$ pas de soucis. On devrait tendre vers $\int_0^{+\i} \frac{\sin x}{x}\dx$ (qui vaut $\frac{\pi}{2}$). Pour le montrer, on peut regrouper par deux périodes consécutives, pour obtenir une convergence dominée.

Soit $r\in \interval]{0, \pi}[$. Déterminer la limite de la suite de terme general $u_n=\int_{-r}^r\frac{\sin(nt)}{\sin t}\dt$.

Comparer à $u_n = \int_{-r}^r \frac{\sin (nt)}{t}\dt$.

Déterminer un équivalent en $1^-$ de $x\mapsto\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}dt$.

Calculer $f(x)=\int_{\R}\frac{e^{ixt}}{1+t^2}dt$.

Changer $u = xt$, dériver deux fois, faire deux ipps, on trouve $f(x) = f''(x)$.

Soit $t\gt 0$. Our $p\in\R$, on pose $F_c(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\cos(px^2)\dx$,

$F_s(p)=\int_0^{+\i}e^{-tx^2}\sin(px^2)\dx$ et $Z=F_c+iF_s$.

• Montrer que $Z$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$.
• Déterminer une équation différentielle du premier ordre satisfaite par $Z$.
• En déduire $F_c$ et $F_s$.

Soit $f\colon\R^+\ra\R_+^{*}$ de classe $\mc C^1$ telle que $\frac{xf'(x)}{f(x)}\ra a\in\R$ quand $x\ra+\i$.

• Soit $m\in\R_+^{*}$. Montrer que $x\mapsto\frac{f(mx)}{f(x)}$ admet une limite en $+\i$ ; la calculer.

• Soit $I\colon t\mapsto\int_0^{+\i}e^{-tx}f(x)\dx$.

  • Montrer que $I$ est définie sur $\R_+^*$.
  • Montrer que $I$ admet une limite finie en $+\i$.
  • Supposons $a\lt -1$. Déterminer la limite de $I$ en $0^+$.

• On a $\frac{f'}{f}\sim \frac{a}{x}$, et on intègre. On obtient $\ln (f(mx)) - \ln f(x) = \ln m + o_{+\i}(1)$, donc $\frac{f(mx)}{f(x)}\ra m^a$
• • La question précédente donne une majoration de $f$, en fonction de sa restriction sur $[1, 2]$ par exemple.
  • convergence dominée.
  • Revient exactement à montrer que $f$ est intégrable.

• Soient $I$ et $J$ deux segments de $\R$, et $f:I\times J\ra\R$ continue. Montrer l'existence et l'égalité des deux quantites $\int_I\left(\int_Jf(x,y)dy\right)dx$ et $\int_J\left(\int_If(x,y)dx\right)dy$.
• Pour $\alpha\in\,]0,1[$ et $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $f^2$ et $f^{' 2}$ sont intégrables sur $\R$, on note $\|f\|_{\alpha}^2=\int_{\R}\left(\int_{\R}\frac{|f(x)-f(y)|^ {2}}{|x-y|^{1+2\alpha}}dy\right)dx$. Montrer que $\|\ \|_{\alpha}$ définit une norme sur l'espace vectoriel $\{f\in\mc C^1(\R,\R),\ (f,f')\in L^2( \R,\R)^2\}$.

• Dériver par rapport à une borne.
• Il suffit de vérifier que l'intégrale est bien définie, alors le produit scalaire associé le sera, et c'est une norme. Pour ça on peut prendre $y\geq x$, et découper en $y\in [x, x+1]$ et $y\geq x+1$. Pour $y\geq x+1$, on montrer que $\int_{x+1}^{+\i} \frac{|f(x)-f(y)|^ {2}}{|x-y|^{1+2\alpha}}\dy$ est intégrable par rapport à $x$, en traitant la partie $\frac{|f(x)|^2}{\dots}$ et la partie $\frac{|f(y)|^2}{\dots}$ par Fubini. Pour traiter le cas $y\in [x,x+1]$, il faut faire Cauchy-Schwarz et appliquer deux fois Fubini.

Soient $n\in\N^*$, $(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ des éléments de $\R^{+*}$, $f_1,\ldots,f_n$ des fonctions dérivables de $\R^+$ dans $\R$ tendant vers $0$ en $+\i$ telles que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $f'_i=\sum_{j=1}^na_{i,j}f_j$. Montrer que la famille $(f_1,\ldots,f_n)$ est liée.

On a $F' = AF$. Le Wronkien vérifie $W' = \op{Tr} À W$, donc $W$ est une exponentielle positive, mais les fonctions tendent vers $0$, ainsi que leurs dérivées, donc il est nul.

• Soit $f\in\mc C^1([0,\pi],\R)$ telle que $f(0)=f(\pi)=0$. Montrer que $\int_0^{\pi}f^2\leq\frac{\pi^2}{8}\int_0^{\pi}(f')^2$.
• Soit $f,q\in\mc C^0([0,\pi],\R)$ telle que $\forall x\in[0,\pi],\ q(x)\lt \frac{8}{\pi^2}$. Soient $a,b\in\R$. Montrer qu'il existe une unique fonction $y\in\mc C^2([0,\pi],\R)$ telle que $y''+qy=f,\ y(0)=a,\ y(\pi)=b$.

• En écrivant $f(x)^2 = \left(\int_0^{x} f'(t)\dt\right)^2 \leq x \int_0^{x} |f'(t)|^2\dt \leq x \int_0^{\frac{\pi}{2}} f'(t)^2 \dt$, on obtient $\int_0^{\frac{\pi}{2}}\leq \frac{\pi^2}{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} f'(t)^2\dt$.
• Unicité revient à montrer que si $y(0) = y(\pi) = 0$ et $y'' + qy = 0$, alors $y$ est nulle. En multipliant par $y$, puis avec une IPP sur $y''y$, on obtient $\int_0^{\pi} q y^2 = \int_0^{\pi} y'^2$, et la première question permet de conclure. Existence : Les solutions vérifiant $y(0) = a$ forment une droite affine, et elles ne peuvent pas toutes s'annuler en $\pi$, d'après l'unicité.

Pour $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$, on pose $H(f)\colon x\mapsto x^2f(x)-f''(x)$, $A_-(f)\colon x\mapsto-f'(x)+xf(x)$ et $A_+(f)\colon x\mapsto f'(x)+xf(x)$.

• Déterminer $A_-\circ A_+$ et $A_+\circ A_-$.
• Montrer qu'il existe une unique $\phi_0\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ de carré intégrable, telle que $H(\phi_0)=\phi_0$ et $\phi_0(0)=1$.
• E On pose, pour $n\in\N^*$, $\phi_n=A_-^n(\phi_0)$.
• Montrer que, pour tout $n\in\N$, $H(\phi_n)=(2n+1)\phi_n$.
• Montrer que $\phi_n$ s'écrit sous la forme $P_n\times\phi_0$ avec $P_n$ polynomiale.

• On a $A_- A_+ = H - I$ et $A_+ A_- = H + I$.
• $\phi_0(x) = e^{-x^2/2}$.

• Soit $f$ une fonction croissante de $[a,b]$ dans $[a,b]$. Montrer que $f$ possède un point fixe.
• On s'intéresse à l'équation différentielle $(E)\colon x'(t)=\cos(x(t))+\cos(t)$. On admet que, pour tout $a\in[0,\pi]$, il existe une unique solution $\phi_a$ définie sur $\R$ telle que $\phi_a(0)=a$, et de plus que s'il existe $t$ tel que $\phi_a(t)=\phi_b(t)$ alors $a=b$.

Montrter qu'il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ qui est $2\pi$-périodique.

• On pose $f(a) = \phi_a(2\pi)$. On vérifie que $f$ est strictement croissante. Par ailleurs, $\phi_a(2\pi) - \phi_a(0) = \int_0^{2\pi}\dots = \int_0^{2\pi} \cos \big(\phi_a(t)\big)\dt$. On a $\phi_a$ reste à valeurs dans $[0,\pi]$.

• Soit $x$ de classe $\mc C^1$ au voisinage de $+\i$. On suppose qu'il existe $\tau\gt 0$ et $\lambda\gt 0$ tels qu'on ait $x'(t)+\lambda x(t-\tau)\leq 0$ et $x(t)\geq 0$ au voisinage de $+\i$. Démontrer que $x(t-\tau)\leq\frac{4}{(\lambda\tau)^2}x(t)$ au voisinage de $+\i$.
• Soient $x$ de classe $\mc C^1$ sur $\R$, $m$ et $n$ dans $\N^*$, $\lambda_1,\ldots,\lambda_n,\mu_1,\ldots,\mu_m$ des réels, $\tau_1,\ldots,\tau_n$, des réels strictement positifs, $\sigma_1,\ldots,\sigma_m$ des réels positifs. On suppose que $\forall t\in\R,\ x'(t)+\sum_{i=1}^n\lambda_ix'(t- \tau_i)+\sum_{i=1}^m\mu_ix(t-\sigma_i)=0$. Démontrer qu'il existe $c$ et $K$ réels tels que, pour $t$ au voisinage de $+\i$, $|x'(t)|\leq Ke^{ct}$.

• À partir du moment $x_0$ où la fonction est positive, elle est décroissante à partir de $x_0 + \tau$. On suppose $\tau = 1$. Donc $|f'|$ est supérieure à $\la f$ (en utilisant $f(t)\leq f(t-1)$), à partir de $x_0 + 2$. Par ailleurs, en intégrant la relation, on a $f(t) - f(t+1) \geq \rho \int_{t-1}^t f(u)\du$ donc $f(t) - f(t+1) \geq \rho \frac{f(t-1/2)}{2}$ donc $f(t - 1/2)\leq \frac{2 f(t)}{\rho}$, donc $f(t-1)\leq \frac{4}{\rho^2}f(t)$, ce qui contredit l'autre inégalité.
• Si on remplace $x$ par $y = x e^{-Kt}$, de dérivée $y' = x' e^{-Kt} - K x e^{-Kt}$, On a $y'(t) = x' e^{-Kt} - K y = \sum \la_i x'(t-\tau_i) e^{-Kt} + \sum \mu_i x(t-\sigma_i)e^{-Kt} - Ky = \sum \la_i x'(t-\tau_i) e^{-Kt} + \sum \mu_i e^{-K\sigma_i} y(t-\sigma_i) - Ky$ $y'(t) = \sum \la_i y'(t-\tau_i)e^{-K\tau_i} + \sum \la_i K y(t-\tau_i) e^{-K \tau_i} + \sum \mu_i e^{-K\sigma_i} y(t-\sigma_i) - K y$. En un sup $[0, t]$ Plus simple : on a $|x'(t)|\leq K (\sup_{[t-c, t]} |x| + \sup_{[t-d_1, t-d_2]} |x'|)$. On peut remplacer ça par un entier $K$ et $|x'(t)|\leq K \big(\sup_{[t-k, t]} |x| + \sup_{[t-k, t-1]} |x'|\big)$. Alors, is à un instant $u$, $|x|$ et $|x'|$ sont majorées par $M$, on a, sur $[t, t+1]$, $|x'|\leq k \sup |x| + M$, ce qui donne un contrôle jusqu'à l'instant $u+1$.

• Soient $f,g\colon\R^+\ra\R$ des fonctions continues et $K$ un réel strictement positif. On suppose que, pour tout $t\in\R^+$, $f(t)\leq g(t)+K\int_0^tf(u)\,du$. Montrer que, pour tout $t\in\R^+$, $f(t)\leq g(t)+K\int_0^te^{K(t-u)}g(u)\,du$.
• Soient $A,B\colon\R^+\ra\M_n(\R)$ des fonctions continues, et $M,N\colon\R^+\ra\M_n(\R)$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $\forall t\in\R^+$, $M'(t)=A(t)M(t)$, $N'(t)=B(t)N(t)$ et que $M(0)=N(0)=I_n$. On suppose de plus que $\|A(t)\|\leq K$ et $\|A(t)-B(t)\|\leq\eta$ pour tout $t\in[0,T]$, ou $K,\eta,T$ sont des réels strictement positifs, et $\|\ \|$ une norme subordonnée sur $\M_n(\R)$. Montrer que, pour tout $t\in[0,T]$, $\|M(t)-N(t)\|\leq e^{Kt}\left(e^{\eta t}-1\right)$.

• Poser $H(t) = \int_0^t f(s)\ds$, de sorte que $H'(t)\leq g(t) +K H(t)$, puis considérer $H(t) e^{-Kt}$.
• On pose $D(t) = M(t) - N(t)$. On a $D'(t) = A(t)D(t) + (A(t) - B(t))N(t)$. On a une expression intégrale de $D'$, qui permet de conclure.

On munit $\R^2$ de la norme euclidienne canonique. Soit $P\colon\R^2\ra\R$ une fonction polynomiale à valeurs positives.

• La fonction polynomiale $P$ atteint-elle nécessairement un minimum?
• On suppose que $P(x,y)\underset{\|(x,y)\|\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. La fonction polynomiale $P$ atteint-elle nécessairement un minimum?
• On garde l'hypothese précédente. On note $S(0,1)$ le cercle unite. Montrer que $\colon\forall(x,y)\in S(0,1),\exists C(x,y)\in\R^{+*}\cup\{+\i\}, \lim_{t\ra+\i}\frac{P(tx,ty)}{t^2}=C(x,y)$.
• Montrer que $C$ est à valeurs dans $\R^{+*}$ ou qu'il n'existe qu'un nombre fini de couples $(x,y)$ tels que $C(x,y)\lt +\i$.

• Non, prendre $(X^2 - Y^2 +1)^2 + (X-Y)^2$ Quand $x = \sqrt{y^2 - 1}$, on a $x = y (1 - \frac{1}{y^2})$, donc $(x-y)^2 \ra 0$.
• Trivial
• trivial.
• Si $P$ est de degré $2$, $C$ est à valeurs dans $\R_+$, et si la valeur $0$ est prises, en prenant $-x,-y$ dans cette direction, on contredit $P(x,y)\ra +\i$. Si $P$ est de degré $\gt 2$, on prend juste les coefficients de degré maximaux. Les $x,y$ pour lesquels $P(tx,ty)$ n'est pas équivalent au degré est un polynôme en $\frac{x}{y}$.

Soient $u_0,u_1\in\mc C^{\i}(\R,\R)$. Déterminer les fonctions $u\colon\R^2\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telles que $\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2-\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2$, avec $u(t=0,\cdot)=u_0$ et $\frac{\partial u}{\partial t}(t=0,\cdot)=u_1$.

Ind. On utilisera la fonction $U=f\circ u$ avec $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ convenable.

On pose $U = e^{-u(t,x)}$, on obtient $\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = 0$.

Ensuite, on pose $\xi = x+t$ et $\eta = x-t$, qui sont bien adaptées aux équations de type onde, qui donne $\frac{\partial U}{\partial \xi \partial \eta} = 0$.

Soient $n\in\N^*$ et $r\in\db{0,n}$, $\mc{P}$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $\R^n$ sur un sous-espace de dimension $r$ et $p\in\mc{P}$. Déterminer l'ensemble des vecteurs tangents à $\mc{P}$ en $p$.

Relier à une année précédente : $(p+tv)^2 = p+tv$ et $\tr v = 0$.

Géométrie

Soit $P$ un polynôme réel de degré $6$. Une droite $D$ est tangente à la courbe $C_P$ en trois points $A,B,C$ d'abscisses $a\lt b\lt c$.

• On suppose que $AB=BC$. Montrer que les aires delimitées par $[BC]$ et $C_P$ d'une part, et par $[AB]$ et $C_P$ d'autre part, sont égales.
• On pose $q=\frac{BC}{AB}$ et $Q=\frac{A_1}{A_2}$ avec $A_1$ et $A_2$ les aires susmentionnées. Montrer que : $\frac{2}{7}q^5\leq Q\leq\frac{7}{2}q^5$.

• On peut supposer que $c = 1$, $b = 0$, $c=-1$, et en retirant la fonction affine, le polynôme est $c X^2 (X-1)^2 (X+1)^2$.
• On peut supposer que le polynôme est $X^2 (X-1)^2 (X+a)^2$. Après changement de variable, cela revient à encadrer le quotient de $\int_0^1 X^2 (X-1)^2 (X+a)^2 \dx$ et $\int_0^1 X^2(X-1)^2 (aX + 1)^2 \dx$. $\int_0^1 X^2 (X-1)^2 X^2 = 1/105 = 1/7x15$, $\int_0^1 X^2 (X-1)^2 = 1/30 = 1/2x15$, $\int_0^1 x^2 (x-1)^2 x \dx = 1/60 = 1/4x15$. $\frac{1/7 + a + a^2/4}{1/4 + a + a^2/7}$ On trouve que la fonction est croissante, de $a = 0$ à $+\i$.

On se place dans le plan $\R^2$. Soient $e_0=(1,0)$, $e_1=(0,1)$ $e_2=(-1,0)$, $e_3=(0,-1)$ et, pour $k\geq 4$, $e_k=e_{k\bmod 4}$. Soit $P\in\R[X]$. On écrit $P=c_0X^n-c_1X^{n-1}+\cdots+(-1)^nc_n$. On pose $M_{-1}(P)=(0,0)$, et pour $k\in\db{0,n}$, $M_k(P)=M_{k-1}(P)+c_k\,e_k$. Pour $k\in\N$, soit $D_k$ la droite passant par $M_k(P)$ dirigée par $e_k$. Soit $\lambda\in\R$. On pose $\Delta_1(\lambda)$ la droite passant par $(0,0)$ de pente $\lambda$, $\Delta_0(\lambda)$ la perpendiculaire à $\Delta_1(\lambda)$ et passant par $(0,0)$ et, pour $k\geq 2$, $\Delta_k(\lambda)=\Delta_{(k\bmod 2)}(\lambda)$.

On pose $\mu_0=(0,0)$. Pour $k\in\N^*$, $\mu_k$ est l'intersection de $D_k$ et de la parallele à $\Delta_k(\lambda)$ passant par $\mu_{k-1}$.

• On suppose dans cette question que $P=X^3-2X^2-5X+6$.
• Déterminer les racines de $P$.
• Pour chaque racine $\lambda$ de $P$, construire $M_3$ et $\mu_3$.
• Que peut-on conjecturer?
• En notant $\delta_k$ la distance algebrique selon $e_k$ de $M_k$ à $\mu_k$, montrer que $M_n=\mu_n$ si et seulement si $P(\lambda)=0$.

Probabilités

Soient $v_1,\ldots,v_n$ des vecteurs unitaires d'un espace euclidien. Montrer qu'il existe $(\eps_1,\ldots,\eps_n)\in\{-1,1\}^n$ tel que $\left\|\sum_{i=1}^n\eps_iv_i\right\|\leq\sqrt{n}$.

Soit $E$ un ensemble fini. Dénombrer les triplets $(A,B,C)$ de parties de $E$ telles que $A\subset B\subset C$.

Soit $r\in\N^*$. Combien y a-t-il de facon d'apparier les entiers de $1$ à $2r$?

Soit $n\in\N^*$.

• Dénombrer les décompositions $n=n_1+\cdots+n_r$ ou $r\geq 1$ est arbitraire, et $n_1,\ldots,n_r$ sont des entiers naturels non nuls.
• On fixe $r\in\N^*$. Dénombrer les décompositions $n=n_1+\cdots+n_r$ ou $n_1,\ldots,n_r$ sont des entiers naturels non nuls.

Soit $N\in\N^*$. Dénombrer les fonctions $f\colon\db{0,2N}\ra \db{0,2N}$ telles que $f(0)=f(2N)=0$ et $\forall k\in \db{0,2N-1},\;|f(k+1)-f(k)|=1$.

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi uniforme sur $\{-1,1\}$.

On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$, et on note $N\colon\omega\mapsto\op{Card}\{n\in\N^*,\;S_n(\omega)=0\} \in\N\cup\{+\i\}$.

• Montrer que $\mathbf{E}(N)=+\i$.
• Exprimer $\mathbf{P}(N\geq 2)$ en fonction de $\mathbf{P}(N\geq 1)$.
• Montrer que $\mathbf{P}(N=+\i)=1$.

• Simple, on connaît la probabilité d'être en $0$ : $\frac{{2k\choose k}}{4^k}$.
• On $P(N\geq 2) = \sum_{k=2}^{+\i} P(Premier retour = k) P(N\geq 1) = P(retour en 0) P(N\geq 1)$. $P(retour en 0) = 0$ n'est pas possible, et si cette probabilité était $\lt 1$, on aurait $\sum P(N\geq k)$ qui converge, contradiction. Donc elle vaut $1$.
• Pas trop dur.

Soit $n\in\N^*$. Déterminer espérance et variance du nombre de points fixes d'une permutation de $\db{1,n}$.

On munit $\mc{S}_n$ de la loi uniforme et on considére $X_n$ la variable aléatoire qui associe à une permutation le nombre d'orbites de cette permutation.

• Calculer $\mathbf{P}(X_n=1)$ et $\mathbf{P}(X_n=n)$.
• Déterminer la fonction generatrice de $X_n$.
• En déduire des équivalent de $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{V}(X_n)$ quand $n\ra+\i$.
• Comment peut-on déterminer la loi de $X_n$?

• $E(t^{X_n})$

• Déterminer le nombre de listes de $k$ entiers non consécutifs dans l'intervalle d'entiers $\db{1,n}$.
• On place aléatoirement des couples $(A_i,B_i)$, ou $i\in\{1,\ldots,n\}$, autour d'une table ronde à $2n$ places, de sorte qu'aucun des $A_i$ ne soit assis à côté d'un autre $A_j$. On cherche la probabilité $p_n$ que $A_i$ et $B_i$ ne soient pas à côté. Montrer que, si la configuration des $A_i$ est fixée, la probabilité que $A_i$ et $B_i$ ne soient pas à cote est inchangée. En déduire une expression sommatoire de $p_n$.

Soit $s$ un $\op{\mathsf{r}\acute{e}el}\gt 1$. On munit $\N^*$ de la probabilité $\mathbf{P}_s$ définie par $\mathbf{P}_s(\{n\})=\frac{1}{n^s\zeta(s)}$ pour tout $n\geq 1$. On note par ailleurs $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers. Pour tout $p\in\mc{P}$ on note $X_p$ la variable aléatoire définie sur $\N^*$ telle que $X_p(n)=1$ si $p$ divise $n$, et 0 sinon.

• Montrer que les variables aléatoires $X_p$ sont mutuellement indépendantes.
• En déduire que $\zeta(s)=\prod_{p\in\mc{P}}\frac{1}{(1-p^{-s})}$.
• Pour $p\in\mc{P}$ et $n\in\N^*$, on note $v_p(n)$ la plus grande puissance de $p$ qui divise $n$. Déterminer la loi de $v_p$ étudier l'indépendance mutuelle des variables aléatoires $v_p$.

On joue à pile ou face avec probabilité $p\in]0,1[$ d'obtenir pile. On découpe la succession des lancers en sequences maximales de résultats identiques. Déterminer l'espérance de la longueur de la deuxième séquence.

$\sum_{n\geq 1} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ C'est $\sum_{k,\l\geq 1} \l \big(p^k (1-p)^{\l}p + (1-p)^{k} p^{\l} (1-p)\big) = \frac{p^2}{1-p} \frac{1-p}{(1- (1-p))^2} + \frac{(1-p)^2}{p} \frac{p}{(1-p)^2} = 2$.

Une grille $\{1,2,3\}\times\{1,2,...,n\}$ modélise un tuyau vertical. On dépose à l'instant $t=0$ une goutte d'eau au point $(2,n)$. à chaque instant, si elle se trouve au milieu (i.e. en un point $(2,k)$), la goutte descend d'un niveau avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou se deplace à droite (resp. gauche) avec probabilité $\frac{1}{4}$; si elle se trouve sur un bord, elle descend avec probabilité $\frac{1}{2}$ ou va au milieu avec probabilité $\frac{1}{2}$.

• Calculer la probabilité pour que la goutte sorte du tuyau à un instant $t$.
• s Calculer l'espérance du temps d'attente pour que l'eau sorte du tuyau.

• Soient $n\in\N^*$ et $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur les entiers pairs entre $2$ et $2n$. Déterminer $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 1)$ et $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 2)$.
• Soient $n\in\N^*$ et $X_1,...,X_n$ des variables aléatoires à valeurs dans $\Z$, indépendantes et identiquement distribuées. Pour $m\in\N$, on pose : $S_m(n)=\big{|}\{(i,j)\in\db{1,n}^2\,;\;|X_i-X_j| \leq m\}\big{|}$. Montrer que $\mathbf{E}(S_m(n))=n+n(n-1)\mathbf{P}(|X_1-X_2|\leq m)$.
• Soit $(x_n)\in\Z^{\N^*}$. Pour $n\in\N^*$ et $m\in\N$, on pose : $s_m(n)=\big|\{(i,j)\in\db{1,n}^2\,;\;|x_i-x_j| \leq m\}\big|$. Montrer que pour tout $n\in\N^*$, $s_2(n)\leq 3s_1(n)$.
• En déduire que, si $X,Y$ sont deux variables aléatoires à valeurs dans $\Z$, indépendantes et de même loi, alors $\mathbf{P}(|X-Y|\leq 2)\leq 3\,\mathbf{P}(|X-Y|\leq 1)$.

• Fonctions indicatrices : $E(S_{m}(n))$.
• Écrire $n_d$ le nombre de termes qui prennent la valeur $d$. Alors $s_2(n) = \sum n_d^2 + 2 \sum n_d n_{d+1} + 2 \sum n_d n_{d+2}$, et par Cauchy-Schwarz, la troisième somme est $\leq \sum n_d^2$.
• Trivial : On prend des variables finies. Marche aussi sinon.

Soit, pour $n\in\N^*$, $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $\db{1,n}$. On considère les évènements : $A_n$ : «$\sqrt{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre apres la virgule», $B_n$ : «$\big(\sqrt{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre», et $C_n$ : «$2^{X_n}$ admet $1$ pour 1er chiffre».

• Étudier l'existence et, le cas échéant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(A_n))$.
• Étudier l'existence et, le cas échéant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(B_n))$.
• Étudier l'existence et, le cas échéant, calculer la limite de la suite $(\mathbf{P}(C_n))$.

• C'est $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{\sqrt{n}} (k+0,2)^2 - (k+0,1)^2\pm 1$, les $\pm 1$ ne changent pas la limite. On trouve $\frac{1}{10}$.
• Ça diverge : Pour $n = 10^{2k}$ c'est au plus …, alors que pour $n = 4 10^{2k}$ c'est au moins ….
• $\log_{10}(2)$

On dit qu'une variable aléatoire $Y$ est $k$-divisible lorsqu'elle à la même loi que la somme de $k$ variables indépendantes et identiquement distribuées.

• On suppose que $Y\sim\mc{B}(n,p)$. Pour quels entiers $k\gt 0$ la variable $Y$ est-elle $k$-divisible?
• Construire une variable aléatoire $Y$ non constante infiniment divisible.
• Soit $Y$ une variable aléatoire bornée infiniment divisible. Montrer que $Y$ est constante presque surement.

• Loi de Poisson.
• Sympatoche.

Soient $\alpha\gt 0$ et $(B_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que $\mathbf{P}(B_i=1)=1-\mathbf{P}(B_i=0)=\frac{1}{i^{\alpha}}$. Soit $S=\{n\in\N^*,B_n=1\}$.

• Donner une condition sur $\alpha$ pour que $S$ soit infini presque surement, puis pour que $S$ soit fini presque sûrement.
• On suppose $\alpha\lt 1$. On pose $\beta\gt 0$ et $N=\max\{n\in\N^*,S\cap\db{n,n+n^{\beta}}=\emptyset\}$. Donner des conditions sur $\beta$ pour que $\mathbf{P}(N=+\i)=1$ et pour que $\mathbf{P}(N=+\i)=0$.
• Montrer que, presque surement, il existe un rationnel $\gamma$ tel que $\lfloor\gamma^{2^n}\rfloor\not\in S$ pour tout $n\in\N$.

• C'est les deux versions de BC. La condition est $\sum \frac{1}{n^{\a}}$ converge.
• On trouve $P(A_n) = e^{-n^{\b}/n^{\a}}$. Si $\b\gt \a$ la série converge, sinon, la probabilité est une constante, et les $A_n$ éloignés sont indépendants.
• Pour $a$ fixé, la probabilité que $a$ marche est une constante non nulle. En prenant pour $a$ les nombres premiers $p_i$, les évènements sont indépendants, donc on est sûr qu'un fonctionne.

Soient $N\geq 1$, $\mu$ une distribution de probabilité sur $\db{1,N}$ telle que $\mu(1)\gt 0$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mu$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Soit $E=\{S_m,\ m\in\N\}$.

• Pour $n\in\N^*$, montrer que $\mathbf{P}(n\in E)=\sum_{k=1}^N\mu(k)\,\mathbf{P}(n-k\in E)$. On pose $F\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\mathbf{P}(n\in E)z^n$ et $G\colon z\mapsto\sum_{k=1}^N\mu(k)z^k$.
• On pose $\mathbb{D}=\{z\in\C,\ |z|\lt 1\}$. Montrer que $\colon\forall z\in\mathbb{D}$, $F(z)=\frac{1}{1-G(z)}$.
• Montrer que $1$ est un pole simple de $F$ et tous les autres poles de $F$ ont un module strictement supérieur à 1.
• Montrer que $\mathbf{P}(n\in E)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}\frac{1}{\mathbf{E}( X_1)}$.
• Et si $\mu$ n'est pas à support fini ?

• Trivial.
• Trivial.
• On a $|G(z)|\lt 1$ sur $\mu U \setminus \{1\}$, et $G(z) - G(1) = \sum \mu(k) (z^k-1)$. Comme $\mu$ est fini, on trouve un équivalent de $G(z) - G(1)$ en $(z-1) E(\mu)$, donc $1$ est un pole simple de $F$.
• Décomposition en éléments simples.

Autres X/ENS   xens

Soit $E$ un espace euclidien. Soient $X\in\mc{P}(E)\setminus\{\emptyset\}$ et $x\in E$. On pose

$$\Pi_X(x)=\{y\in X,\ \forall z\in X,\ \|z-x\|\geq\|z-y\|\}$$

Donner une CNS sur $x$ et $X$ pour que $\Pi_X(x)\neq\emptyset$.

Si $x\in X$ c'est bon. Si $x$ est dans l'adhérence de $X$ mais pas dans $X$, c'est pas bon.

Si un $y$ marche, alors $x$ est séparé de $X$ de l'hyperplan médian entre $x$ et $y$.

Réciproquement, on montre que si un point $y$ marche, ça doit être l'un des points les plus proches de $X$ (il peut y en avoir plusieurs, et ils ne marchent pas forcément tous).

On peut montrer que si $y$ ne marche pas, que si $z$ est un témoin du fait que $y$ ne marche pas, et si $d(z, x)\gt d(y,x)$, alors $z$ ne marche pas ($y$ n'est pas dans le demi espace).

On prend l'ensemble des éléments les plus proches de $x$, leur enveloppe convexe, la projection de $x$ sur celle-ci. Nah.

Soit $A$ un ensemble quelconque. Montrer que toutes les bijections de $A$ dans lui meme sont des produits (composees) de deux involutions.

Il suffit de traiter le cas de cycles finis, et de cycles infinis.

1. Soit $z\in\C$ tel que $|z|\lt 1$. Montrer que $\quad\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\i}\frac{z^{2^n}}{1-z^{2^{n+1}}}=\frac{z^2}{1-z^2}$.
2. On definit $(F_n)$ par $F_0=0,\ F_1=1,\ \forall n\geq 2,\, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}$. Deduire la valeur de $\sum\limits_{k=0}^{\i}\frac{1}{F_{2^k}}$.
3. $\sum\limits_{n=1}^{\i}\frac{1}{F_{n!}}$ est-il algebrique? Indication : cerire les sommes partielles comme des rationnels dont on majorera le denominateur, estimer le reste et raisonner par l'absurde.

1. Quand on développe à gauche, on trouve les entier tels que $m\equiv 2^n [2^{n+1}]$.
2. Utiliser la formule de Binet, et la question 1.
3. On a $F_p\mid F_{pq}$, donc le dénominateur de la somme partielle est $F_{n!}$. Puis mauvaise approximabilité des nombres algébriques.

On pose pour tout $f\in C^{\i}(\R,\R)$, $H_f(x)=-f''(x)+x^2f(x)$.

1. Montrer qu'il existe, a scalaire multiplicatif pres, une unique fonction $\phi_0$ de carre integrable telle que $H_{\phi_0}=\phi_0$.
2. Construire $\phi_n$ tel que $H_{\phi_n}=(2n+1)\phi_n$ et $\phi_n=P_n\phi_0$ avec $P_n$ polynome de degre $n$.

1. $e^{-\frac{x^2}{2}}$ est solution. Puis on se ramène à une équation d'ordre $1$.
2. Simple

1. Pour $a\in\N^*$ pair, on pose $W\colon x\mapsto \sum_{k=0}^{+\i} \frac{\sin (a^k x)}{a^k}$. Montrer que $W$ est continue.
2. Pour $x\in\R$ et $h\gt 0$, montrer l'inégalité $\quad\displaystyle\left|\frac{\sin (x+h) - \sin x}{h} - \cos x\right|\leq \frac{h}{2}$.
3. En considérant les suites $(h_n = \frac{2\pi}{a^n})$ et $(h_n' = \frac{\pi}{a^n})$, ainsi que les quantités $$\Delta_n = \frac{W(x+h_n) - W(x)}{h_n}\quad\et\quad \Delta_n' = \frac{W(x+h_n') - W(x)}{h_n},$$ montrer que pour $a$ assez grand, la fonction $W$ n'est dérivable en aucun point.

2. Taylor Lagrange.

Soit $N\geq 1$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ indépendantes de même loi $\mu$ sur $\db{1,N}$ telle que $\mu(1)\gt 0$. On pose $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$, et $E = \{S_i,\, i\in\N\}$.

1. Montrer que $\forall n\geq 1$, $P(n\in E) = \sum_{k=1}^N \mu(k) P(n-k\in E)$.
2. Soit $F(z) = \sum_{n\geq 0} P(n\in E) z^n$ et $G(z) = \sum_{k=1}^N \mu(k)z^k$. Montrer que $F(z) = \frac{1}{1 - G(z)}$.
3. Montrer que $F$ admet un pôle simple en $1$ et que les autres pôles sont en module strictement plus grand que $1$.
4. Montrer que ce résultat reste vrai si l'on remplace «$\mu(1)\gt 0$» par «$\pgcd \{k\mid \mu(k)\gt 0\} = 1$».
5. On décompose $F$ en éléments simples sous la forme $F(z) = \frac{a}{1-z} + \dots$. Déterminer $a$.
6. Déterminer $\lim_{n\ra +\i} P(n\in E)$.

Soit $n \in \N^*$. On considère $v=\left(v_i\right)_{i \in \Z / n \Z} \in \R^{\Z / n \Z}$ et $\left(t_i\right)_{i \in \Z / n \Z} \in \interval]{0, 1}[^{\Z / n \Z}$. On définit $\left(v^{(k)}\right)_{k \in \N}=\left(v_i^{(k)}\right)_{i \in \Z / n \Z, k \in \N} \in\left(\R^{\Z / n \Z}\right)^{\N}$ par : $\quad\displaystyle \begin{cases} v_i^{(0)}=v_i \\ v_i^{(k+1)}=\left(1-t_i\right) v_i^{(k)}+t_i v_{i+1}^{(k)} \end{cases}$.

Montrer que les $\left(v_i^{(k)}\right)_{k \in \N}$ convergent vers la même limite.

Le max décroît strictement, le min croit.

Soit une fonction $f\colon [a, b] \ra \R,(b \neq a)$ on pose pour $x \in[a, b] \tau_{a, b, f}(x)=\frac{b-x}{b-a} f(a)+\frac{x-a}{b-a} f(b)$ on dit que $f$ est $\eps$-linéaire si $\left|f(x)-\tau_{a, b, f}(x)\right| \leq \eps|b-a|$ pour tout $x \in[a, b]$. Soit $f$ $1$-lipschitzienne sur $[a, b]$. Montrer qu'il existe $c, d \in[a, b]$ tels que f est $\eps$-linéaire sur $[\mathrm{c}, d]$ avec $d-c\gt \alpha_{\eps}(b-a)$ où $\alpha_{\eps}$ une constante à déterminer.

Si on n'est pas $\eps$-linéaire entre $a$ et $b$, il existe un point en dehors, en lequel une des pentes est $\geq \eps + \tau$. Par ailleurs, ce point est à une distance au moins $\eps (b-a)$ de $a$ ou de $b$ (car $f$ est $1$-lip). En réitérant $\lfloor \frac{1}{\eps}\rfloor$ fois, on obtient une contradiction, donc une constante en $\alpha_{\eps} = \eps^{1/\eps}$.

En fait, on a mieux, car si le point est $\leq K (b-a)$, alors la pente est $\geq \frac{\eps}{K}$.

Soit $\mc A_1 = \{A\in\M_n(\R)\mid \forall v\in\R^n,\, \exists \a_v \in\R \,\text{t.q.}\, A^kv \ra \a_v e_1\}$. On pose $\phi_v\colon \mc A_1 \ra\R \quad A\mapsto \a_v$. Montrer que $\phi_v$ est continue, pour tout $v\in\R^n$.

Notons que $e_1$ est un vecteur propre de $A$, que les autres valeurs propres (complexes) sont de modules $\lt 1$. En fait $\a_v$ est la valeur propre de $e_1$. Donc c'est assez clair.

Soit $a\gt 0$ et $x_1,\dots,x_n\geq 0$. Déterminer $\quad\displaystyle\inf \left\{\sum_{i=1}^n \frac{x_i}{y_i^a},\,\,y_i\gt 0 \et \sum y_i \leq 1\right\}$.

Existence, puis par homogénéité, c'est atteint sur le bord. Extrema liées donnent $\frac{x_i}{y_i^{a+1}} = C$, donc $y_i = \big(\frac{x_i}{C}\big)^{1/(a+1)}$, comme $\sum y_i = 1$, on trouve $C$.

Mines - Ponts - MP   mines

Algèbre

Soit $n\in\N\setminus\{0,1\}$. Calculer $S_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}\binom{n}{2k}(-3)^k$ et $T_n=\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor}\binom{n}{3k}$.

Soient $(a_1,\ldots,a_n),(b_1,\ldots,b_n)\in\R^n$. Montrer que l'application définie sur l'ensemble des permutations de $\db{1,n}$ par $f(\sigma)=\sum_{i=1}^na_ib_{\sigma(i)}$ admet un minimum et un maximum à expliciter.

On note $\phi$ la fonction indicatrice d'Euler.

• Calculer $\phi(7)$ et $\phi(37044)$.
• Montrer que : $\forall n\in\N^*,\phi(n)\geq\frac{n\ln 2}{\ln n+\ln 2}$.

Soient $a$ et $b$ dans $\N^*$. Montrer que $a\wedge b=1$ si et seulement si, pour tout $n\geq ab$, il existe $u,v\in\N$ tels que $au+bv=n$.

Pour $n\in\N$, soit $F_n=2^{2^n}+1$.

1. Montrer que, si $m$ et $n$ sont deux entiers naturels distincts, $F_m\wedge F_n=1$.
2. Retrouver à l'aide de la question précédente que l'ensemble des nombres premiers est infini.

Soit $n\in\N^*$. Déterminer et dénombrer les sous-groupes de $\Z/n\Z$.

Soit $G$ un groupe fini non reduit à l'élément neutre et tel que : $\forall g\in G,\ g^2=e$.

• Montrer que $G$ est abelien.
• Soit $H$ un sous-groupe strict de $G$ et $a\in G\setminus H$. Montrer que $H\cup aH$ est un sous groupe de $G$ et que l'union est disjointe.
• Montrer que le cardinal de $G$ est une puissance de 2.
• Calculer le produit des éléments de $G$.

Soient $G$ un groupe fini et $\Omega=G^2$ que l'on munit de la probabilité uniforme.

On pose : $C=\{(x,y)\in G^2\;;\;xy=yx\}$ et $p=\mathbf{P}(C)$.

• Montrer que $p\gt 0$. Que dire si $p=1$?

Dans la suite, on suppose que $G$ n'est pas commutatif.

• Calculer $p$ lorsque $G=\mc{S}_3$ puis lorsque $G=\mc{S}_4$.
• On définit la relation $\sim$ sur $G^2$ par : $x\sim y\Longleftrightarrow\exists g\in G,x=gyg^{-1}$. Montrer que $\sim$ est une relation d'équivalence.
• On note $s$ le nombre de classes d'équivalence. Montrer que : $p=\frac{s}{\op{card}G}$.

Soit $G$ un groupe abelien. Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls premiers entre eux, et $x\in G$ d'ordre $a$ et $y\in G$ d'ordre $b$. Montrer que $xy$ est d'ordre $ab$.

Soit $G$ un ensemble muni d'une loi de composition interne $\cdot$ associative, telle qu'il existe $e\in G$ vérifiant $xe=x$ pour tout $x\in G$, et, pour tout $x\in G$, il existe $x'\in G$ tel que $xx'=e$. Montrer que $(G,\cdot)$ est un groupe.

Soit $\alpha=e^{i\theta}$ un nombre complexe de module $1$. Calculer $\prod_{k=0}^n(\alpha^{2^{-k}}+\ol{\alpha}^{2^{-k}})$.

Soit $n$ un entier $\geq 2$. On pose $Q=1+2X+\cdots+nX^{n-1}$. Calculer $\prod_{\zeta\in\mathbb{U}_n}Q(\zeta)$, ou $\mathbb{U}_n$ designe le groupe des racines $n$-iemes de l'unite.

Soient $m\in\N^*$, $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_m$ des nombres réels, $\alpha_1,\ldots,\alpha_m$ des éléments de $\N^*$ et $P=\prod_{k=1}^m(X-x_k)^{\alpha_k}$. Quel est le nombre de racines réelles distinctes de $P'$?

• Soit $n\in\N$. Montrer qu'il existe un unique polynôme $P_n\in\Z[X]$ tel que

$\forall x\in\R^*,\;P_n\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^n+\frac{1}{x ^n}$.

• Soit $a\in\Q$ tel que $\cos(a\pi)\in\Q$. Montrer que $2\cos(a\pi)\in\Z$.

Soient $0\lt a_0\lt \cdots\lt a_n$, $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ et $Q=(X-1)P$.

• Soient $p\geq 2$ et $z_1$, $\ldots$, $z_p\in\C^*$ tels que $|z_1+\cdots+z_p|=|z_1|+\cdots+|z_p|$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R^{+*}$ tel que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $z_k=\lambda z_1$.
• Justifier que, pour tout $z\in\C$, $|Q(z)|\leq Q(|z|)$.
• Montrer que les racines de $P$ sont de module strictement inférieur à $1$.

Soit $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$. Déterminer les $P\in\C[X]$ tel que $P(\mathbb{K})\subset\mathbb{K}$.

Soit $P\in\C[X]$.

• à quelle condition a-t-on $P(\C)=\C$?
• à quelle condition a-t-on $P(\R)=\R$?
• à quelle condition a-t-on $P(\Q)=\Q$?

Soit $P\in\R[X]$ un polynôme non constant. On note $r^+(P)$ le nombre de racines de $P$ dans $\R^{++}$ et $N(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$.

• Que dire de $P$ si $N(P)=1$? si $N(P)=2$?
• Montr per que : $r^+(P)\leq r^+(P')+1$.
• On suppose que $P(0)=0$. Montr per que : $r^+(P)\leq r^+(P')$.
• Montr per que : $r^+(P)\leq N(P)-1$.
• Soit $n\in\N$. Soient $0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n$ des réels et $0\leq p_1\lt \cdots p_n$ des entiers. Montr per que : $\det\left(x_i^{p_j}\right)_{1\leq i,j\leq n}\gt 0$.

Soit $P$ un polynôme à coefficients complexes.

• Donner la décomposition en éléments simples de $P'/P$.
• Montr per que l'enveloppe convexe des racines de $P'$ est incluse dans l'enveloppe convexe des racines de $P$. Que dire si $P$ est un polynôme à coefficients réels scindé dans $\R$?
• Montr per que si un demi-plan ferme $H$ contient une racine de $P'$ alors $H$ contient une racine de $P$.

• Soient $a,b,c\in\Z$ premiers entre eux, montrer que $A=\begin{pmatrix}a&b&c\\ 2c&a&b\\ 2b&2c&a\end{pmatrix}$ est inversible.
• On pose $\alpha=2^{1/3}$. Soit $(a,b,c)\in\Q^3$ tel que $a+b\alpha+c\alpha^2=0$.

Montrer que $a=b=c=0$.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $u\in\mc{L}(E)$.

• On suppose que $E$ est de dimension finie. Montr per que les propriétés suivantes sont équivalentes : (i) $\op{Ker}u=\op{Ker}u^2$ ; (ii) $\op{Im}u=\op{Im}u^2$ ; (iii) $\op{Ker}u\oplus\op{Im}u=E$.
• En dimension infinie, donner des contre-exemples.
• En dimension finie ou infinie, montrer que : (iii) $\Longleftrightarrow$ ((i) et (ii)).

Soit $f\in\mc{L}(\R^3)$ tel que $f^2=0$. Montrer que, si $F$ est un plan vectoriel de $\R^3$ stable par $f$, on a $\op{Im}(f)\subset F$.

Soit $\phi$ une forme linéaire sur $\M_n(\mathbb{K})$. Montr per qu'il existe $A\in\M_n(\mathbb{K})$ telle que $\phi=M\mapsto\op{tr}(AM)$. En déduire que tout hyperplan de $\M_n(\mathbb{K})$ contient une matrice inversible.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n\geq 2$, $p_1,\ldots,p_n\in\mc{L}(E)\setminus\{0\}$ tels que : $\forall i,j,\ p_i\circ p_j=\delta_{i,j}p_i$. Montr per que les $p_i$ sont de rang 1 et que $E=\bigoplus_{i=1}^n\op{Im}(p_i)$.

Soient $E$ et $F$ deux $\mathbb{K}$-espaces vectoriels de dimension finie.

• Soient $u\in\mc{L}(E,F)$ et $v\in\mc{L}(F,E)$ tels que $uvu=u$ et $vuv=v$. Montrer que $E=\op{Ker}(u)\oplus\op{Im}(v)$.
• Soient $u\in\mc{L}(E,F)$, $E_1$ un supplementaire de $\op{Ker}u$ dans $E$, $F_1$ un supplementaire de $\op{Im}(u)$ dans $F$. Montrer qu'il existe un unique $v\in\mc{L}(F,E)$ tel que $\op{Ker}v=F_1$, $\op{Im}v=E_1$, $uvu=u$ et $vuv=v$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. Soient $u,v\in\mc{L}(E)$.

• Montrer que : $\op{rg}u+\op{rg}v-\dim E\leq\op{rg}(u \circ v)\leq\min(\op{rg}u,\op{rg}v)$.
• On suppose que $u\circ v=0$ et $u+v\in\op{GL}(E)$. Montrer que $\op{rg}u+\op{rg}v=\dim E$, $\op{Im}v=\op{Ker}u$, $E=\op{Ker}u\oplus\op{Im}u$.

Soient $a,b\in\C$ distincts, $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ vérifiant $(u-a\op{id})\circ(u-b\op{id})=0$. On pose $p=\frac{1}{b-a}(u-a\op{id})$ et $q=\frac{1}{a-b}(u-b\op{id})$.

Déterminer $p^2$, $q^2$, $p\circ q$, $q\circ p$ et $p+q$ puis montrer que $E=\op{Ker}(p)\oplus\op{Ker}(q)$.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension infinie dénombrable, $(e_n)_{n\geq 0}$ une base de $E$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que : $\forall n\in\N$, $u(e_n)=e_{n+1}$. Soit $\Phi$ l'endomorphisme de $\mc{L}(E)$ tel que : $\forall v\in\mc{L}(E)$, $\Phi(v)=uv-vu$.

• Montrer que $\Phi$ n'est pas injectif et que la dimension de $\op{Ker}\Phi$ est infinie.
• Soient $x_0\in E$ et $w\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe un unique $v\in\mc{L}(E)$ tel que $\Phi(v)=w$ et $v(e_0)=x_0$.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $\mc{A}$ une sous-algèbre de $\mc{L}(E)$ telle que les seuls sous-espaces vectoriels stables par tous les éléments de $\mc{A}$ sont $E$ et $\{0\}$. Montrer que, pour tout $x\in E$ non nul et tout $y\in E$, il existe $u\in\mc{A}$ tel que $u(x)=y$.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et $u\in\mc{L}(E)$ nilpotent de rang $n-1$. Montrer que $u$ admet exactement $n+1$ sous-espaces stables.

Soit $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Trouver les endomorphismes de $E$ qui commutent avec tous les automorphismes de $E$.

• Soient $n\geq 2$ et $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ à coefficients entiers telle que, pour tout $i$, $b_{i,i}$ soit impair et, pour tout $(i,j)$ avec $i\neq j,b_{i,j}$ soit pair. Montrer que $B$ est inversible.
• La propriété est-elle encore vérifiée lorsqu'on intervertit < < pair > > et < < impair > > ?

Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=0$. Déterminer une condition nécessaire sur $n$ et $A$ pour qu'il existe $B\in\M_n(\R)$ telle que $A=B^2$.

En Jordan, $A$ est constituée de blocs $J_2$. Si les blocs $J_2$ vont par paires, ce sont des carrés de $J_4(0)$. Si il reste un $J_2$ tout seul, il faut un $0$ de plus.

On a $\rg A\leq n/2$. Le seul cas qui ne marche pas est le cas où $\rg A = \frac{n}{2}$ et que $\frac{n}{2}$ est impair. On montre à la main que ce n'est pas possible, en prenant des antécédents de machins.

Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $A=B^3$. On suppose que $A$ est de rang $1$. Donner une relation entre $\op{tr}A$ et $\op{tr}B$.

Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une matrice $D\in\M_n(\R)$ diagonale à coefficients diagonaux éléments de $\{-1,1\}$ telle que $A+D$ soit inversible.

Soient $n\in\N$ et $x_1\lt x_2\lt ...\lt x_n$ réels. On note $V=(x_i^{j-1})_{1\leq i,j\leq n}$.

• Calculer le déterminant de la matrice $V$.
• Montrer que $V$ est inversible et calculer son inverse.

Ind. On pourra interpréter $V$ comme matrice de passage dans $\R_{n-1}[X]$.

Soient $n\in\N^*$ et $P_1,\ldots,P_n\in\mathbb{K}[X]$. Montrer que la famille $(P_1,\ldots,P_n)$ est libre si et seulement s'il existe $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{K}$ tels que la matrice $(P_i(a_j))_{1\leq i,j\leq n}$ soit inversible.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que : $fg-gf=\op{id}$.

• Montrer que : $\forall P\in\mathbb{K}[X],\,fP(g)-P(g)f=P'(g)$.
• Montrer que $(g^n)_{n\in\N}$ est une famille libre.
• Si $E=\R[X]$, donner un exemple de couple $(f,g)$ vérifiant les relations précédentes.

Soient $n\geq 2$ et $E$ un ensemble à $n$ éléments. On pose $N=2^n-1$ et $E_1,\ldots,E_N$ les parties non vides de $E$. Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq N}\in\M_N(\R)$ ou $a_{i,j}=1$ si $E_i\cap E_j\neq\emptyset$, et 0 sinon. Calculer $\det A$.

Soient $n\in\N^*$ et $f_1,...,f_n$ des fonctions de $\R$ dans $\R$.

Montrer que la famille $(f_1,...,f_n)$ est libre si et seulement s'il existe $(x_1,...,x_n)\in\R^n$ tel que $\det\left((f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}\right)\neq 0$.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel et $f_1,...,f_p$ des formes linéaires sur $E$.

Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :

• $(f_1,...,f_p)$ est libre,
• l'application $\phi:x\mapsto(f_1(x),...,f_p(x))$ est surjective de $E$ sur $\C^p$,
• il existe $x_1,...,x_p\in E$ tels que $\det\left((f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq p}\right)\neq 0$.

Soient $A,M\in\M_n(\C)$ avec $A$ inversible et $M$ de rang 1.

• On suppose que $\det(A+M)=0$. Que dire de $\op{tr}\left(A^{-1}M\right)$?
• On suppose que $\det(A+M)\neq 0$. Donner une expression de $(A+M)^{-1}$.

Soient $A\in\M_n(\C)$ et $M=\begin{pmatrix}I_n&A\\ A&I_n\end{pmatrix}$. Étudier l'inversibilité de $M$, et le cas echeant, déterminer $M^{-1}$.

Soient $A,B\in\M_n(\R)$ avec $B$ nilpotente et $AB=BA$.

• Montrer que $A\in\op{GL}_n(\R)$ si et seulement si $A+B\in\op{GL}_n(\R)$.
• Calculer $(A+B)^{-1}$ quand $A$ est inversible.

Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$. Montrer que $A^2=0$ si et seulement si $A$ est semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}0&I_r\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $2r\leq n$.

Pour $n\in\N^*,$ soit $P_n=X^n-X+1$.

• • Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $P_n$ admet au plus une racine réelle.
  • Donner les racines des $P_n'$..
  • Montrer que les $P_n$ sont à racines simples.
• Notons $r_1,r_2,r_3$ les racines de $P_3$. Calculer $\begin{pmatrix}r_1+1 & 1 & 1 \\ 1 & r_2+1 & 1 \\ 1 & 1 & r_3 + 1 \end{pmatrix}$

• Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et $p\in\db{1,n-1}$. Soit $u\in\mc{L}(E)$, qui stabilise tous les sous-espaces de dimension $p$. Montrer que $u$ est une homothetie.
• Soient $A,M\in\M_n(\C)$. On suppose que $A$ n'est pas scalaire et que $M$ commute avec toutes les matrices semblables à $A$. Que dire de $M$?
• Même question pour deux matrices réelles.

Soient $\mathbb{K}$ un sous-corps de $\C$, $A$ et $B$ dans $\M_n(\mathbb{K})$. Si $A$ et $B$ sont semblables, montrer que $\text{Com}(A)$ et $\text{Com}(B)$ le sont aussi.

Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que, si $t\in\R^+$, $\det(A^2+tI_n)\geq 0$.

Soit $N\in\M_n(\C)$ nilpotente. Montrer que $G=\{P(N),P\in\C[X]\text{ et }P(0)=1\}$ est un sous-groupe de $\text{GL}_n(\C)$.

Soient $n\geq 2$ et $A,B\in\M_n(\C)$ non inversibles telles que $(AB)^n=0$.

• Montrer que $(BA)^n=0$.
• On suppose que $(AB)^{n-1}\neq 0$ et $(BA)^{n-1}\neq 0$. Montrer que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $\text{Ker}((AB)^k)=\text{Ker}(B)$ et $\text{Ker}((BA)^k)=\text{Ker}(A)$.
• Conclure

Soient $n\geq 2$ et $A\in\M_n(\C)$ non nulle et non inversible.

• Montrer qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $\C^n=\text{Im}(A^p)\oplus\text{Ker}(A^p)$.
• Montrer qu'il existe $r\in\db{1,n-1}$, $A_0\in\text{GL}_r(\C)$ et $N\in\M_{n-r}(\C)$ nilpotente tels que $A$ est semblable à $\left(\begin{array}{c|c}A_0&0\\ \hline 0&N\end{array}\right)$
• On suppose qu'il existe $m\geq 2$ et $B\in\M_n(\C)$ tels que $A^mB=A$. Montrer que $A^m B= A^{m-1} BÀ = \dots = BA^m$.

Soient $n\in\N$, $P\in\mathbb{K}[X]$ de degré $n$, $\alpha_0,\ldots,\alpha_n$ des éléments distincts de $\mathbb{K}$.

• Calculer le déterminant de la matrice $(P^{(i)}(\alpha_j))_{0\leq i,j\leq n}$.
• Montrer que $(P(X+\alpha_j))_{0\leq j\leq n}$ est une base de $\mathbb{K}_n[X]$.

Soient $n\gt 2$, $m=2^n-2$, $E=\db{1,n}$ et $\mc{F}=\mc{P}(E)\setminus\{\emptyset,E\}$.

• Montrer qu'il existe une unique bijection $g\colon\mc{F}\ra\mc{F}$ telle que $\forall\alpha\in\mc{F}$, $g(\alpha)\cap\alpha=\emptyset$.
• On se donne une enumeration $\alpha_1,...,\alpha_m$ de $\mc{F}$. Soit $A=(a_{i,j})\in\M_m(\R)$ la matrice définie par $a_{i,j}=-1$ si $\alpha_i\cap\alpha_j=\emptyset$ et $0$ sinon. Calculer $\det(A)$.

Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $3n$ et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose que $f^3=0$ et $\op{rg}(f)=2n$. Montrer qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $f$ est egale à $\left(\begin{array}{c|c}0&I_n&0\\ \hline 0&0&I_n\\ \hline 0&0&0\end{array}\right)$.

Soit $G$ un sous-groupe de $\op{GL}_n(\R)$ vérifiant $\forall M\in G,\ M^2=I_n$. Montrer que $G$ est fini.

Soit $I$ l'ensemble des matrices inversibles de $\M_n(\Z)$ et $A\in\M_n(\Z)$.

• Preciser la structure algebrique de $I$.
• Montrer que $A\in I$ si et seulement si $\det A\in\{-1,1\}$.
• Pour toute colonne $X$ à coefficients entiers, on note $\alpha(X)$ le pgcd de ses coefficients. Montrer que $A\in I$ si et seulement si, pour toute colonne $X$ à coefficients entiers, $\alpha(AX)=\alpha(X)$.

Déterminer les parties $G\subset\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ est un groupe multiplicatif mais pas un sous-groupe de $\op{GL}_n(\C)$. Montrer que toutes les matrices de $G$ ont même rang.

Soit $f\in\op{GL}\left(\M_n(\R)\right)$ vérifiant : $\forall A,B\in\M_n(\R),f(AB)=f(A)f(B)$.

• Calculer $f(I_n)$.
• On pose $\Delta=\text{Diag}(1,\ldots,n)$. Montrer qu'il existe une matrice $P\in\op{GL}_n(\R)$ telle que $f(\Delta)=P\Delta P^{-1}$. Montrer que, pour toute matrice diagonale $D$, on a : $f(D)=PDP^{-1}$.
• Expliciter $f$.

Soient $A,B\in\M_n(\C)$. On suppose qu'il existe $c\in\C$ tel que $AB-BA=cA$.

• Montrer que $\forall k\in\N$, $(A-cI_n)^kB=BA^k$.
• Montrer que $\forall t\in\R$, $e^{-ct}e^{tA}B=Be^{tA}$.

Pour $M\in\M_n(\R)$, on dit que $M$ est stochastique si : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,\,m_{i,j}\geq 0$ et $\forall i\in \db{1,n},\sum_{j=1}^n m_{i,j}=1$. Soit $A\in\M_n(\R)$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que $\exp(tA)$ soit stochastique pour tout $t\in\R^+$.

En dérivant, on trouve que $AJ = 0$ (ce qui assure le caractère $\sum = 1$). Ensuite, localement, il est nécessaire que les coefficients diagonaux de $A$ soit $\leq 0$ et que les non diagonaux soient $\geq 0$ (la seconde + $AJ = 0$ implique l'autre).

Réciproquement, ces conditions suffisent, car $e^{tA} = \left(e^{\frac{tA}{n}}\right)^n$.

• Soient $M\in\M_{n,p}(\mathbb{K})$ et $N\in\M_{p,n}(\mathbb{K})$. Trouver une relation entre $\chi_{MN}$ et $\chi_{NM}$.
• Soit $A\in\op{GL}_n(\mathbb{K})$. On pose $B=(1+a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$, on écrit $A^{-1}=(s_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ et on pose enfin $S=\sum_{1\leq i,j\leq n}s_{ij}$. Trouver une relation entre $\det A$, $\det B$ et $S$.

Soient $J=$ $\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&\ddots&1\\ 1&0&\cdots&0&0\end{pmatrix}$, $A=$ $\dfrac{1}{2}$ $\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0&1\\ 1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&0&\ddots&\ddots&1\\ 1&0&\cdots&\cdots&1&0\end{pmatrix}\in\M_n(\R)$.

• Montrer que $J$ est diagonalisable dans $\M_n(\C)$, et preciser ses éléments propres.
• Déterminer les éléments propres de la matrice $A$.

Soient $(a_1,\ldots,a_n)\in\C^n$ et $M=$ $\begin{pmatrix}0&\ldots&0&a_n\\ a_1&\ddots&\vdots&0\\ \vdots&\ddots&0&\vdots\\ 0&\ldots&a_{n-1}&0\end{pmatrix}$. à quelle condition

$M$ est-elle diagonalisable?

Soient $a,b\in\R$ avec $a^2\neq b^2$. Diagonaliser si possible la matrice $A\in\M_{2n}(\R)$ telle que $a_{i,j}=a$ si $i+j$ est pair et $a_{i,j}=b$ sinon.

Soit $A=$ $\begin{pmatrix}0&1&0&0\\ 1&k&1&1\\ 0&1&0&0\\ 0&1&0&0\end{pmatrix}\in\M_4(\C)$.

• Justifier que $A$ est diagonalisable lorsque $k\in\R$.
• Montrer que $\chi_A=X^2(X-u_1)(X-u_2)$ avec $u_1+u_2=k$ et $u_1^2+u_2^2=k^2+6$.
• à quelle condition $A$ est-elle diagonalisable?

Soit $n\in\N^*$. Soit $A=(a_{i,j})\in\M_n(\R)$ définie par $a_{i,j}=j$ si $i\neq j$ et $0$ sinon.

• Calculer $\det(A+kI_n)$ pour $k\in\{1,2,...,n\}$.
• • Montrer que $A$ à $n$ valeurs propres distinctes.
• Pour $\lambda$ valeur propre de $A$, montrer que $\sum_{k=1}^n\dfrac{k}{\lambda+k}=1$.
• Déterminer la somme et le produit des valeurs propres de $A$.

Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice diagonalisable dans $\M_n(\C)$. Montrer que les matrices $A$ et $A^T$ sont semblables dans $\M_n(\R)$.

Soit $\omega$ un nombre complexe non réel

• Montrer qu'il existe un unique couple $(\alpha,\beta)\in\R^2$ tel que $\omega^2=\alpha\omega+\beta$.
• Montrer que, si $z\in\C$, il existe un unique $(\lambda,\mu)\in\R^2$ tel que $z=\lambda+\mu\omega$.
• Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie $2n$ et $u\in\mc{L}(E)$. On suppose que $u^2=\alpha u+\beta\op{id}_E$. On pose $(\lambda+\mu\omega)*x=\lambda x+\mu u(x)$ pour tous $(\lambda,\mu)\in\R^2$ et $x\in E$. Montrer que $(E,+,*)$ est un $\C$-espace vectoriel de dimension finie.
• Soit $(e_1,\ldots,e_p)$ une base de ce $\C$-espace vectoriel.Montrer que $e=(e_1,u(e_1),\ldots,e_p,u(e_p))$ est une base du $\R$-espace vectoriel $E$.
• Quelle est la matrice de $u$ dans $e\,?$ Son polynôme caractéristique?

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $H$ un hyperplan de $E$, $u\in\op{GL}(E)\setminus\{\op{id}\}$ tel que $\forall x\in H$, $u(x)=x$. Montrer l'équivalence des conditions suivantes :

• pour tout supplementaire $S$ de $H$ dans $E$, il existe $x\in S$ tel que $u(x)\neq x$ ;
• $u$ est diagonalisable ;

(iii) $u$ admet une valeur propre autre que $1$ ;

• $\det(u)\neq 1$ ;
• l'image de $u-\op{id}$ n'est pas contenue dans $H$ ;
• il existe $\lambda\neq 1$ et une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est $\op{Diag}(1,\ldots,1,\lambda)$.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $s\in\mc{L}(E)$ une symétrie.

Soit $\Phi:u\in\mc{L}(E)\mapsto\dfrac{su+us}{2}$. Déterminer les éléments propres de $\Phi$ puis étudier sa diagonalisabilité.

Soient $A,B\in\M_n(\R)$ des matrices non nulles. Soit $f$ l'endomorphisme de $\M_n(\R)$ défini par $f(M)=M+\op{tr}(AM)B$ pour tout $M\in\M_n(\R)$.

• Déterminer un polynôme annulateur de degré $2$ de $f$.
• Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit diagonalisable.
• Déterminer les éléments propres de $f$.

Soit $B\in\M_3(\R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $B$ pour que l'équation $A^3=B$ admette au moins une solution.

Pour $P\in\R[X]$, on pose $L(P)\in\R[X]$ le polynôme associe à la fonction polynomiale $x\mapsto\int_0^{+\i}P(x+t)\,e^{-t}dt$.

• Montrer que $L$ définit un endomorphisme de $\R[X]$.
• Montrer que $L=\sum_{k=0}^{+\i}D^k$ ou $D$ est l'endomorphisme de derivation de $\R[X]$.
• Déterminer les éléments propres de $L$.
• Déterminer le commutant de $L$.

Soient $E=\mc C^0(\R,\R)$ et $\phi$ tel que, pour tout $f\in E$ et tout $x\in\R\colon\phi(f)(x)=\dfrac{1}{2x}\int_{-x}^xf(u)\,du$ si $x\neq 0$, $\phi(f)(0)=f(0)$.

• Montrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$.
• Trouver les éléments propres de $\phi$.
• Montrer que $\phi$ stabilise $\R_n[X]$.

Soient $E=\mc C^0([-1,1],\C)$ et $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ surjective et croissante. Soit $\Phi\in\mc{L}(E)$ définie par : $\forall f\in E$, $\Phi(f)=f\circ g$. On considére $F\neq\{0\}$ un sous-espace de dimension finie de $E$ stable par $\Phi$.

• Montrer que $\Phi_F$ est un automorphisme. - Montrer que 1 est l'unique valeur propre de $\Phi_F$.
• Montrer que $u=\Phi_F-\mathrm{id}_F$ est nilpotent.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $v\in\mc{L}(E)$ diagonalisable et $P\in\C[X]$ non constant. Montrer qu'il existe $u\in\mc{L}(E)$ tel que $v=P(u)$.

Quelles sont les $M\in\M_n(\C)$ telles que l'ensemble $\{M^k\;;\;k\in\N\}$ soit fini?

Trouver les $A\in\M_n(\C)$ telles que $PA$ est diagonalisable pour tout $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$.

Soit $A=\begin{pmatrix}aM&bM\\ bM&cM\end{pmatrix}$ avec $M\in\M_n(\R)$ et $a$, $b$, $c\in\R$. Étudier la diagonalisabilité de $A$ en fonction de $a$, $b$, $c$ et $M$.

Soient $A$, $B$, $C\in\M_n(\C)$ telles que $AB=BC$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $\begin{pmatrix}A&B\\ 0&C\end{pmatrix}$ soit diagonalisable.

Soit $A\in\M_n(\Z)$ tel que $A^p=I_n$ ( $p\in\N^*$). Soit $m\geq 3$. On suppose que les coefficients de $A-I_n$ sont divisibles par $m$. Montrer que $A=I_n$.

Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\C)$. On note $\overline{M}=\big(\overline{M_{i,j}}\big)_{1\leq i,j\leq,n}$.

• Montrer qu'il existe $\alpha\in\mathbb{U}$ tel que $\alpha M+\overline{\alpha}I_n\in\mathrm{GL}_n(\C)$.
• Montrer l'équivalence entre :

(i) $M\overline{M}=\lambda I_n$ avec $\lambda\geq 0$, (ii) $\exists P\in\mathrm{GL}_n(\C)$, $\exists\mu\in\C$, $M=\mu P\overline{P}^{-1}$.

• Montrer l'équivalence entre : (i) $M\overline{M}$ est diagonalisable et $\text{Sp}\left(M\overline{M}\right)\subset\R^+$,

(ii) $M=PD\overline{P}^{-1}$ avec $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ et $D\in\M_n(\C)$ diagonale.

• Montrer l'existence et l'unicité d'une suite $(P_n)_{n\geq 0}$ de polynômes telle que $P_0=2$, $P_1=X$ et $\forall n\in\N$, $P_{n+2}=XP_{n+1}-P_n$, $\deg(P_n)=n$.
• Soit $n,N\in\N^*$. Soit $A\in\M_N(\C)$ telle que $P_n(A)=0$. Montrer que $A$ est diagonalisable.
• Soit $n\geq 2$. Résoudre le systeme $\forall i\in\db{1,n}$, $x_i=x_{i-1}+x_{i+1}$ en convenant que $x_0=x_{n+1}=0$.

Soit $A\in\M_n(\R)$ diagonalisable sur $\C$. Montrer que $A$ est semblable sur $\R$ à une matrice diagonale par blocs dont les blocs diagonaux sont soit de taille $1$, soit de la forme $\left(\begin{array}{cc}a&-b\\ b&a\end{array}\right)$ avec $(a,b)\in\R\times\R^*$.

Soient $A$ et $B$ deux matrices non cotrigonalisables de $\M_2(\C)$. Montrer qu'il existe $P\in\text{GL}_2(\C)$ telle que $P^{-1}AP$ soit triangulaire supérieure et $P^{-1}BP$ triangulaire inférieure.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$.

• Soit $F$ un plan stable par $f$. Montrer qu'il existe $P\in\mathbb{K}[X]$ non nul de degré au plus $2$ tel que : $F\subset\mathrm{Ker}\,P(f)$. - Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ non nul de degré $2$ divisant le polynôme minimal de $f$. Montrer qu'il existe un plan $F$ stable par $f$ tel que $F\subset\op{Ker}P(f)$.

Soient $\mathbb{K}$ un corps et $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $u\in\mc{L}(E)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\chi_u$ pour que les seuls sous-espaces stables par $u$ soient $\{0\}$ et $E$.

Soient $A$ et $B$ dans $\M_n(\C)$. Montrer l'équivalence entre : (i) $BA=0$ et $B$ nilpotente, (ii) $\forall M\in E$, $\chi_{AM+B}=\chi_{AM}$.

Soient $A,B$ dans $\M_n(\C)$ telles que $\op{sp}A\cap\op{sp}B=\emptyset$.

• Montrer que $\chi_A(B)$ est inversible.
• Soit $M\in\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une unique matrice $X$ telle que $AX-XB=M$.

Quelles sont les $A$ de $\M_n(\C)$ qui commutent avec chaque matrice de leur classe de similitude?

Soient $A,B\in\M_n(\C)$.

• On suppose que $AB-BA=\alpha A$ avec $\alpha\in\C$. Montrer que $A$ et $B$ sont cotrigonalisables.
• On suppose que $AB-BA=\alpha A+\beta B$. Montrer que $A$ et $B$ sont cotrigonalisables.

Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$.

• On suppose que $A$ et $B$ admettent une valeur propre commune $\lambda$. Montrer qu'il existe $C\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle telle que $AC=CB=\lambda C$.
• On suppose qu'il existe $C\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle telle que $AC=CB$, et on note $r$ le rang de $C$. Montrer que $\chi_A$ et $\chi_B$ admettent un diviseur commun de degré $r$.
• Étudier la réciproque.

Pour $A\in\M_n(\C)$, soit $C(A)$ la sous-algèbre des matrices de $\M_n(\C)$ qui commutent avec $A$.

• On suppose que $A$ est diagonalisable. Calculer la dimension de $C(A)$. à quelle condition a-t-on $C(A)=\C[A]$?
• Montrer que, sans hypothese sur $A$, la dimension de $C(A)$ est supérieure ou egale à $n$.

Pour $A\in\M_n(\C)$, soit $C(A)$ la sous-algèbre des matrices de $\M_n(\C)$ qui commutent avec $A$. à quelle condition sur $A$ est-il vrai que $C(A)$ ne contient aucune matrice nilpotente non nulle?

Soient $n\in\N^*$, $A$, $B\in\M_n(\R)$, $P\in\R[X]$ et $M=\begin{pmatrix}A&B\\ 0&A\end{pmatrix}$.

• Supposons $\deg P\geq 2$. Montrer que, si $P$ est scindé à racines simples, $P'$ l'est egalement.
• Calculer $P(M)$ en fonction de $P(A)$, $P'(A)$ et $B$.
• Montrer que $M$ est diagonalisable dans $\R$ si et seulement si $A$ est diagonalisable dans $\R$ et $B=0$.

Soient $E$ un espace préhilbertien réel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\|x\|^2=\sum_{i=1}^n\left\langle x,e_i\right\rangle^2$ pour tout $x\in E$.

• Montrer que $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormale de $E$.
• On remplace l'hypothese $\lnot(e_1,\ldots,e_n)$ est libre $\triangleright$ par $\lnot\lnot$ les vecteurs $e_1,\ldots,e_n$ sont non-nuls $\triangleright$. Le résultat subsiste-t-il?

On munit $\R^n$ de son produit scalaire canonique. Soient $\delta\gt 0$ et $A$ une partie de $\R^n$ vérifiant : $\forall(x,y)\in A^2,x\neq y\implies\|x-y\|=\delta$.

• Soient $p\in\N$ et $u_0,\ldots,u_p\in A$ distincts. On considére la matrice $M\in\M_p(\R)$ définie par : $m_{i,j}=\left\langle u_i-u_0,u_j-u_0\right\rangle$. Montrer que $M$ est inversible.
• Montrer que $A$ est finie.

• Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1\frac{P(t)\,Q(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$.
• • Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynôme $T_n$ tel que $\forall x\in\R,\ T_n(\cos(x))=\cos(nx)$.
• Donner, pour $n\in\N^*$, degré et coefficient dominant de $T_n$.
• Soit $n\in\N^*$. On note $U_n$ l'ensemble des polynômes réels unitaires de degré $n$.

Calculer $\min_{P\in U_n}\int_{-1}^1\frac{P^2(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$.

Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer que : $|\det M|\leq\prod_{j=1}^n\sqrt{\sum_{i=1}^nm_{i,j}^2}$.

Soient $E$ un espace euclidien et $f\in\mc{L}(E)$ tel que $\|f(x)\|\leq\|x\|$ pour tout $x\in E$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nf^k$ pour tout $n\geq 0$.

Soient $E$ un espace euclidien et $f\in\mc{L}(E)$ un endomorphisme $1$-lipschitzien. Montrer que : $E=\mathrm{Ker}(f-\mathrm{id})\overset{\perp}{\oplus}\mathrm{Im}(f-\mathrm{id})$.

Soit $M\in\M_n(\R)$ une matrice nilpotente non nulle.

Déterminer l'image de l'application $\phi:x\in\R^n\mapsto x^TMx$.

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. Montrer que l'application $f:x\in E\mapsto\frac{x}{\max(\|x\|,1)}$ est $1$-lipschitzienne.

Soit $(a,b,x_0)$ une famille libre d'un espace euclidien $E$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un endomorphisme $u$ de $E$ tel que $u(x_0)=a$ et $u^*(x_0)=b$.

Soient $E$ un espace euclidien, $p$ et $q$ dans ${\cal L}(E)$ des projecteurs orthogonaux. Montrer que $q\circ p$ est un projecteur si et seulement si c'est un projecteur orthogonal.

Soient $E$ un espace euclidien, $u$ et $v$ dans ${\cal O}(E)$ telles que $\det(u)\det(v)\lt 0$. Calculer $\|v-u\|_{_{\rm op}}$.

Pour ${\mathbb{K}}={\R}$ ou ${\mathbb{K}}={\C}$, on appelle $d_n({\mathbb{K}})$ la dimension du plus grand sous-espace vectoriel de ${\cal M}_n({\mathbb{K}})$ dont tous les éléments sont diagonalisables.

• Que peut-on dire du spectre réel d'une matrice antisymétrique?
• Déterminer $d_n({\R})$.
• Déterminer $d_2({\C})$.

Soit $n\geq 3$. Soient $A,B\in{\R}^n$ non colinéaires. On pose : $M=AB^T+BA^T$.

• Montrer que $M$ est diagonalisable.
• Déterminer ${\rm rg}\,M$.
• Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de $M$.

Soit $J=\begin{pmatrix}0_n&I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}\in{\cal M}_{2n}({\R})$. Soit $G=\{M\in{\cal M}_{2n}({\R}),M^TJM=J\}$.

• Montrer que $G$ est un sous-groupe de ${\rm GL}_{2n}({\R})$.
• Caractériser les éléments de ${\cal O}_{2n}({\R})\cap G$.

Décrire $\left\{e^A\ ;\ A\in{\cal A}_n({\R})\right\}$.

Soient $f:{\cal M}_n({\R})\ra{\R}^{+*}$ continue et $A\in{\cal A}_n({\R})$. Montrer que $\inf_{x\in{\R}}f(e^{xA})\gt 0$.

• Trouver toutes les applications $f$ de ${\R}^n$ dans ${\rm GL}_n({\R})$ telles que

$\forall x\in{\R}^n,\forall P\in{\rm GL}_n({\R}),f(Px)=Pf( x)P^{-1}$.

• Même question en remplacant ${\rm GL}_n({\R})$ par ${\cal\tilde{O}}_n({\R})$.

• Soit $A\in{\cal A}_n({\R})$. Montrer que ${\rm Sp}_{{\C}}(A)\subset i{\R}$.
• On note ${\cal L}$ l'ensemble des matrices $M\in{\rm SO}_n({\R})$ telles que $-1\notin{\rm Sp}(M)$. Montrer que l'application $\phi:{\cal A}_n({\R})\ra{\cal L},M\mapsto(I_n+M)(I_n-M)^{-1}$ est une bijection.
• Soit $Q\in{\rm SO}_2({\R})$.

Résoudre l'équation : $(I_n+X)(I_n-X)^{-1}=Q$ d'inconnue $X\in{\cal A}_2({\R})$.

Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal O}_n({\R})$. Montrer que

$\Big{|}\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}\Big{|}\leq n \leq\sum_{1\leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$.

On munit ${\R}^3$ de sa structure euclidienne canonique.

Soient $e_1,e_2\in{\R}^3$ et $f:x\mapsto\langle x,e_1\rangle\,e_2+\langle x,e_1\rangle\,e_1$.

• Si $e_1$ et $e_2$ sont linéairement indépendants, montrer qu'il existe une base orthonormée de ${\R}^3$ dans laquelle la matrice de $f$ est ${\rm Diag}(\lambda_1,\lambda_2,0)$ avec $\lambda_1,\lambda_2\in{\R}^*$.
• Étudier la réciproque.

Soit $E$ un espace réel de dimension $n\geq 2$. Lorsque $\Phi$ est un produit scalaire sur $E$, on note $\mc{O}_{\Phi}(E)$ le groupe des isométries pour $\Phi$, et $\mc{S}_{\Phi}^{++}(E)$ l'ensemble des endomorphismes autoadjoints définis positifs pour $\Phi$.

• On fixe un produit scalaire $\Phi$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

(i) $\Psi$ est un produit scalaire, (ii) $\exists a\in\mc{S}_{\Phi}^{++}(E),\Psi(x,y)=\Phi(a(x),y)$.

• Soit $u\in\mc{O}_{\Phi}(E)$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $u\in\mc{O}_{\Psi}(E)$ (on utilisera l'endomorphisme $a$ de la question précédente).
• Soit $P$ l'ensemble des produits scalaires sur $E$. Déterminer $\bigcap_{\Psi\in P}\mc{O}_{\Psi}(E)$.

Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe une base orthonormée $(e_1,\ldots,e_n)$ de $\R^n$ telle que $(Me_1,\ldots,Me_n)$ soit orthogonale.

Soit $k$ un réel fixe. On pose $A=$ $\begin{pmatrix}k&1&0&\cdots&0\\ 1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&0&1&k\end{pmatrix}\in\M_n(\R)$.

Montrer que $\max_{\lambda\in\op{Sp}A}\lambda\geq k+1$ et $\min_{\lambda\in\op{Sp}A}\lambda\geq k-1$.

Soit $\in\mc{S}_n(\R)$.

• Montrer l'équivalence des enonces suivants : (i) $x^TSx\geq 0$ pour tout $x\in\R^n$,

(ii) $\op{Sp}S\subset\R^+$, (iii) il existe $T\in\mc{S}_n(\R)$ telle que $S=T^2$.

Desormais, on suppose ces conditions realisées.

• Montrer que, pour tous $1\leq i\neq j\leq n$ et $x,y\in\R$, $s_{i,i}x^2+2s_{i,j}xy+s_{j,j}y^2\geq 0$. En déduire que $s_{i,j}^2\leq s_{i,i}s_{j,j}$.
• On suppose de plus les coefficients de $S$ non nuls, et on pose $T=\left(\frac{1}{s_{i,j}}\right)_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $T\in\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si $\op{rg}S=1$.

Soit $A\in\M_n(\R)$.

• Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $S\in\mc{S}_n(\R)$ telle que $A=S^2+S+I_n$.
• à quelle condition la matrice $S$ est-elle unique?

Soient $A,C\in\mc{S}_2(\R)$ et $B\in\mc{A}_2(\R)$.

• Montrer que $M=\begin{pmatrix}A&-B\\ B&C\end{pmatrix}$ est diagonalisable.
• On suppose ici que $B=0$. Donner une base de diagonalisation de $M$ construite à partir de vecteurs propres de $A$ et $C$.
• Montrer que, pour tous $E\in\op{GL}_2(\R)$ et $G\in\M_2(\R)$, $\op{rg}(EG)=\op{rg}(GE)=\op{rg}(G)$.
• On suppose ici que $A$ est inversible. On pose $P=\begin{pmatrix}I_2&A^{-1}B\\ 0&I_2\end{pmatrix}$. Calculer $MP$. En déduire le rang de $M$.

Soit $A=\left(\frac{1}{i+j}\right)_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $A$ est diagonalisable et que son spectre est inclus dans $\R^{+*}$.

Soit $A_n=\left(\frac{1}{i+j+1}\right)_{0\leq i,j\leq n}$. Montrer que les valeurs propres de $A_n$ sont dans $]0,\pi[$ et que la plus petite valeur propre de $A_n$ est inférieure à $\frac{1}{2n+1}$. On pourra montrer que, pour $P\in\R[X]$, on a $\int_{-1}^1P(t)\dt+\int_0^{\pi}P(e^{i\theta})ie^{i\theta}\, d\theta=0$.

Soient $E$ un espace euclidien, $u\in\mc{S}(E)$, $a$ et $b$ deux réels tels que $a\lt b$, $P\in\R[X]$ tel que $\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. On suppose que $\forall x\in E,\ a\|x\|^2\leq\langle u(x),x\rangle\leq b\|x\|^2$. Montrer que $P(u)\in\mc{S}^{++}(E)$.

Soit $M\in\M_n(\R)$. Montrer que $M$ est combinaison linéaire de quatre matrices orthogonales.

Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^TA=A^TA$. Montrer que si $F$ est un sous-espace de $\R^n$ stable par $A$ alors $F^{\perp}$ est stable par $A^T$. On suppose $n=3$. Montrer que $A$ est soit diagonalisable, soit semblable à une matrice de la forme $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&\alpha&\beta\\ 0&-\beta&\alpha\end{pmatrix}$ avec $\beta\neq 0$.

Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$.

• Montrer qu'il existe un unique couple $(O,S)\in\mc{O}_n(\R)\times S_n^{++}(\R)$ tel que $M=OS$.
• Déterminer $\sup_{A\in\mc{O}_n(\R)}\mathrm{tr}(AM)$.

Soit $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien.

• Soit $u\in\mc{S}(E)$. Montrer que $E=\mathrm{Ker}(u)\oplus\mathrm{Im}\,u$.
• Soit $u\in\mc{S}^+(E)$. Montrer qu'il existe $h\in\mc{S}^+(E)$ tel que $u=h^2$.
• Soient $f,g\in\mc{S}^+(E)$ tels que $\mathrm{Ker}(f+g)=\mathrm{Ker}\,f\cap\mathrm{Ker}\,g$.

Montrer que $\mathrm{Im}(f+g)=\mathrm{Im}\,f+\mathrm{Im}\,g$.

Soient $S\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $A\in\M_n(\R)$ qui commute avec $S^2$. Montrer que $A$ commute avec $S$.

Soient $A,B\in\mc{S}_n^+(\R)$ telles que $A^2B^2=B^2A^2$. Montrer que $AB=BA$.

Soient $n,k\in\N^*$. Étudier l'injectivite et la surjectivite de l'application $f\colon\mc{S}_n(\R)\ra\mc{S}_n(\R)$ définie par $f(A)=A^k$.

Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$.

• Montrer qu'il existe $P\in\mc{O}_n(\R)$ et $D=\mathrm{Diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ avec $\lambda_i\gt 0$ pour tout $i$ telles que $P^TM^TMP=D^2$.
• On note $V_1,\ldots,V_n$ les colonnes de $MP$.Soit $Q$ la matrice dont les colonnes sont $\frac{1}{\lambda_1}V_1,\ldots,\frac{1}{\lambda_n}V_n$. Montrer que $Q\in\mc{O}_n(\R)$.
• Montrer qu'il existe $O,O'$ dans $\mc{O}_n(\R)$ telles que $M=ODO'$.
• Montrer le même résultat si $M$ est non inversible.

Soit $n\geq 2$

• Déterminer le sous-espace vectoriel engendre par $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
• Déterminer le plus petit sous-anneau de $\M_n(\R)$ contenant $\mc{S}_n^{++}(\R)$.

Soit $n\geq 2$.

• Soit $S\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\R)$ tel que $S=P^TP$.
• Déterminer le sous-espace vectoriel engendre par $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
• Soient $A_1$,…, $A_k\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $\alpha_1$,…, $\alpha_k\in\R$.

Montrer que $|\mathrm{det}(\alpha_1A_1+\cdots+\alpha_kA_k)|\leq\mathrm{det}(| \alpha_1|A_1+\cdots+|\alpha_k|A_k)$.

Soient $E$ un espace euclidien et $u\in\mc{L}(E)$.

• Montrer que $|\!|\!|u|\!|\!|=\sup\limits_{\|x\|=1}\|u(x)\|=\sup\limits_{\|x\|\leq 1} \|u(x)\|$.
• Montrer que $|\!|\!|u|\!|\!|=\sup\limits_{\|x\|=1,\|y\|=1}|\langle u(x),y\rangle|=\sup \limits_{\|x\|\leq 1,\|y\|\leq 1}|\langle u(x),y\rangle|$.
• On suppose $u$ symétrique. Montrer que $|\!|\!|u|\!|\!|=\sup\limits_{\|x\|=1}|\langle u(x),x\rangle|=\sup\limits_{\|x \|\leq 1}|\langle u(x),x\rangle|$.

On munit $\M_n(\R)$ de la norme subordonnée à la norme euclidienne canonique.

Soit $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$. On note $r$ la plus petite valeur propre de $A^{\rap}A$ et $R$ la plus grande. Montrer que $\|A\|^2=R$ et $\|A^{-1}\|^{-2}=r$.

Analyse

Soient $E=\mc C^1([0,1],\R)$ et $N:f\mapsto\sqrt{f(0)^2+\int_0^1f'(t)^2\dt}$.

• Montrer que $N$ est une norme sur $E$.
• Compare $N$ à la norme $\|\!\|\i$.

Pour $a\in\R$ et $P\in\R[X]$, on pose $N_a(P)=|P(a)|+\int_0^1|P'|$.

• Montrer que, pour tout $a\in\R$, $N_a$ est une norme.
• Soient $a,b\in\R$. Les normes $N_a$ et $N_b$ sont-elles équivalentes?

On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique. Soit $f\in\mc C^0([a,b],\R^n)$. Montrer que $\left\|\int_a^bf\right\|=\int_a^b\|f\|$ si et seulement s'il existe $\Phi\in\mc C^0([a,b],\R^+)$ et $u\in\R^n$ tels que $\forall t\in[a,b],\,f(t)=\Phi(t)u$.

On pose $E=\{f\in\mc C^2([0,1],\R),\;f(0)=f'(0)=0\}$.

• Montrer que $\|f\|=\|f+2f'+f''\|_{\i}$ définit une norme sur $E$.
• Les normes $\|\!|\!|$ et $\|\!|\!|\!|_{\i}$ sur $E$ sont-elles équivalentes?

Soit $Q\in\R[X]$. Construire une norme $N$ sur $\R[X]$ telle que : $N(X^n-Q)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}0$.

Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup\limits_{t\in[0,1]}|P(t)|$. Pour $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf\limits_{P\in E_n}N(P)$.

• Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$.
• Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ est décroissante et de limite nulle.

Déterminer les sous-groupes compacts de $(\C^*,\times)$.

Soit $Q\in\R[X]$ non nul. Pour $P\in\R[X]$, on pose $\|P\|_Q=\sup\limits_{x\in[-1,1]}|PQ(x)|$.

• Montrer que $\|\ \|_Q$ est une norme sur $\R[X]$.
• à quelle condition sur $Q$ la norme $\|\ \|_Q$ est-elle équivalente à $\|\ \|_1$ (norme associée au polynôme egal à 1)?
• Soit $c\in[-1,1]$ une racine de $Q$. Trouver $P\in\R[X]$ tel que $P(c)=1$, $P'(c)=0$ et $\forall x\in[-1,1]\setminus\{c\}$, $0\leq P(x)\lt 1$.
• Montrer que $\|P^n\|_Q\longrightarrow 0$ quand $n\ra+\i$.
• Qu'en déduire?

Soient $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel normé, $A$ une partie de $E$, $f:[0,1]\ra E$ continue. On suppose que $f(0)\in A$ et $f(1)\in E\setminus A$. Montrer que $f([0,1])\cap\text{Fr}(A)\neq\emptyset$.

On munit $E=\mc C^0([a,b],\R)$ de la norme de la convergence uniforme. Soit $(x - {1\leq i\leq n}$ des points distincts de $[a,b]$ et $(y - {1\leq i\leq n}$ des réels. Montrer que l'adherence de l'ensemble $\{P\in\R[X];\forall i\in\db{1,n]\!],P(x_i)=y_i\}$ est $\{f\in E;\forall i\in[\![1,n},f(x_i)=y_i\}$.

On munit $\C[X]$ de la norme $\|P\|=\max|p_k|$ ou $P=\sum\limits_{k=0}^{+\i}p_kX^k$.

Déterminer les valeurs $b\in\C$ pour lesquelles $f:P\mapsto P(b)$ est continue.

Soient $C$ une partie convexe d'un espace norme $E$, $X$ une partie de $E$ telle que $C\subset X\subset\overline{C}$. Montrer que $X$ est connexe par arcs.

• Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer que $P$ est scindé sur $\R$ si et seulement si, pour tout $z\in\C$, $|\op{Im}(z)|^n\leq|P(z)|$.
• On note $\mc{T}$ l'ensemble des matrices trigonalisables sur $\R$ et $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables. Montrer que $\mc{T}$ est un fermé de $\M_n(\R)$ et que l'adherence de $\mc{D}$ est $\mc{T}$.

• Montrer que l'image par une fonction continue d'une partie connexe par arcs est connexe par arcs.
• Montrer qu'une fonction continue injective de $\R$ dans $\R$ est strictement monotone.
• Soient $f\colon\R\ra\R$ continue et $F\colon\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\in\M_2(\R)\mapsto\begin{pmatrix}f(a)&f(b)\\ f(c)&f(d)\end{pmatrix}$. On suppose que $F$ envoie toute matrice inversible sur une matrice inversible.
• Montrer que $f$ est injective et ne s'annule pas sur $\R^*$. - Montrer que $f(0)=0$.

Déterminer la limite de $u_n=\frac{1}{16^n}\sum_{k=n}^{3n}\left(\begin{matrix}4n\\ k\end{matrix}\right)$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=x\gt 0$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=\frac{e^{u_n}}{n+1}$.

• Soit $k\in\N$. Montrer que, si $u_{k+1}\leq u_k$, alors la suite $(u_n)_{n\geq k+1}$ est strictement décroissante.
• Montrer que, si la suite $(u_n)$ est croissante, alors sa croissance est stricte.

Que dire de sa limite?

• On admet que $e^{e-2}\lt 9/4$. Montrer que, pour $x$ suffisamment petit, la suite $(u_n)$ converge.

Soit $\alpha\gt 1$. On considére l'équation : $(E_n)\colon\prod_{k=1}^n(kx+n^2)=\alpha n^{2n}$.

• Montrer que pour tout $n\in\N^*$, $(E_n)$ possède une unique solution strictement positive. On la note $x_n$.
• Montrer que : $\forall n\in\N^*,x_n\lt 2\alpha$.
• Montrer la convergence et calculer la limite de la suite $(x_n)$.

Soit $f\colon\R^+\ra\R$ une fonction de classe $\mc C^1$ telle que $f(x)\ra+\i$ et $f'(x)\ra 0$ quand $x\ra+\i$. Montrer que $\left\{e^{if(n)},n\in\N\right\}$ est dense dans le cercle unite.

Soient $f\in\mc C^1(\R,\R)$ et $(u_n)$ une suite vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$.

• Montrer que si $(u_n)$ converge alors sa limite $\ell$ est un point fixe de $f$. Dans la suite on considére $a$ un point fixe de $f$.
• On suppose que $|f'(a)|\gt 1$. Montrer qu'il existe $\eta\gt 0$ et $k\gt 1$ tel que $|f'(x)|\geq k$ pour $x\in]a-\eta,a+\eta[$. Si $|f'(a)|\gt 1$ décrire les suites $(u_n)$ qui convergent vers $a$.
• On suppose que $|f'(a)|\lt 1$. Montrer qu'il existe $\eta\gt 0$ et $k\in[0,1[$ tel que $|f'(x)|\leq k$ pour $x\in]a-\eta,a+\eta[$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers $a$ si et seulement s'il existe un rang $p$ tel que $u_p\in]a-\eta,a+\eta[$.

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_0\in\R^{+*}$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+2}$.

Montrer qu'il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N\gt 1$.

• Montrer qu'il existe $n_0\gt N$ tel que $(u_n)_{n\geq n_0}$ est décroissante.
• La suite $(u_n)$ est-elle convergente? Si oui, trouver sa limite.

Soit $f\colon\R^+\ra\R^+$ une fonction bornée et telle que $|f(x)-f(y)|\lt |x-y|$ pour tous $x,y\in\R^+$ tels que $x\neq y$. On considére une suite $(u_n)_{n\geq 1}$ telle que $u_1\in\R^+$ et $u_{n+1}=f(u_n)+\frac{1}{n}$ pour tout $n\geq 1$. On pose enfin $a_n=|u_{n+1}-u_n|$ pour tout $n\geq 1$.

• Soient $p$ et $q$ des entiers tels que $1\leq p\lt q$. Montrer que $a_q-a_p\leq\frac{1}{p}$.
• Montrer que la suite $(a_n)_{n\geq 1}$ est convergente.
• Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est convergente.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\gt -1$ et $\forall n\in\N^*,\;u_{n+1}=u_n+u_n^2$.

• Montrer que la suite $(u_n)$ converge.
• On suppose $u_0\gt 0$ et on pose $v_n=\frac{\ln(u_n)}{2^n}$ pour $n\in\N$.
• Montrer la convergence de la suite $(v_n)$ vers un réel $\alpha$ puis que $0\leq\alpha-v_n\leq\frac{1}{2^nu_n}$.
• Donner un équivalent de $u_n$.
• Donner un équivalent de $u_n$ dans le cas $u_0\in \interval]{-1, 0}[$.

Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ à valeurs dans $[0,1]$. On dit que $(u_n)$ est equirepartie si et seulement si, pour tous $\alpha\lt \beta$ dans $[0,1]$, on a $\frac{1}{n}\op{card}\big{\{}k\in\db{1,n},\alpha\lt u_n\lt \beta\big{\}}\mathop{\longrightarrow}\limits_{n\ra+\i}\beta-\alpha$.

• On suppose $(u_n)$ equiperaptie. Montrer que $(u_n)$ diverge. Montrer que $\{u_n,n\in\N^*\}$ est dense dans $[0,1]$.
• Montrer l'équivalence entre :

( ii) $\forall f\in\mc C^0([0,1],\C),\lim\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(u_k)=\int_0^1f(t)\dt$,

(iii) $\forall m\in\N^*,\lim\frac{1}{n}\sum_{k=1}^ne^{2\pi imu_k}=0$.

Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Quelle est la nature de la série $\sum(-1)^{\lfloor n/2\rfloor}u_n$?

Existe-t-il une bijection $f\colon\N^*\ra\N^*$ telle que la série $\sum\frac{f(n)}{n^2}$ converge?

Soient $(u_n)$ une suite de réels non nuls et $\lambda\in\R$.

On suppose que : $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\lambda}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\cdot$ Étudier la nature de $\sum u_n$.

Soit $f\colon\R\ra\R$ telle que $f(x)\mathop{=}\limits_{x\ra+\i}a_0+\frac{a_1}{x}+\cdots+\frac{a_p}{ x^p}+o\left(\frac{1}{x^p}\right)$.

• à quelle condition la série de terme general $u_n=f(n)$ converge-t-elle?
• à quelle condition la suite de terme general $v_n=\prod_{k=1}^nf(k)$ converge-t-elle?

• Soit $f\colon [1,+\i[\ra\R$ de classe $\mc C^1$. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\left|f(n)-\int_n^{n+1}f(t)\dt\right|\leq\frac{1}{2}\max_{t \in[n,n+1]}|f'(t)|$$.
• Quelle est la nature de la série $\sum\frac{\sin(\ln n)}{n}$?

Pour tout $n\geq 0$, on pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)dx$. - Étudier le signe de $u_n$.

• Montr'er que la série $\sum u_n$ est semi-convergente.

Existe-t-il une suite réelle $(u_n)$ telle que $\sum u_n$ converge et $\sum u_n^3$ diverge?

Soit $(u_n)_{n\in\N}$ à valeurs dans $\R^+$.

• On suppose $\sum u_n$ convergente et on pose $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}u_k$. construire à partir de $R_n$ une suite $v_n\gt 0$ croissante tendant vers $+\i$ telle que $\sum u_nv_n$ converge.
• On suppose $\sum u_n$ divergente. construire $v_n$ décroissante qui tend vers $0$ telle que $\sum u_nv_n$ diverge.

Étudier la convergence de la série $\sum\sin(\pi en!)$.

Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle telle que la série $\sum n(\ln n)^2u_n^2$ converge. Montr'er que la série $\sum u_n$ converge.

On considére la suite réelle définie par $x_0=0$ et $x_{n+1}=\sqrt{\frac{1+x_n}{2}}$ pour tout $n\geq 0$.

Étudier la convergence de la série $\sum(1-x_n)$.

Soient $\alpha\in\R^+$ et $(u_n)_{n\geq 1}$ vérifiant $u_1\in\R^{+*}$ et, pour $n\in\N^*$, $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{n^{\alpha}u_n}$.

• Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles $(u_n)$ converge.
• Trouver alors un équivalent de $\ell-u_n$, ou $\ell$ designe la limite de la suite.
• Donner un équivalent de $u_n$ lorsque $(u_n)$ diverge.

Soit $\sum u_n$ une série à termes positifs divergente. On pose $v_n=\frac{u_n}{\prod_{k=0}^n(1+u_k)}$ pour tout $n\geq 0$. Montr'er que la série $\sum v_n$ est convergente et calculer sa somme.

Soient $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_0\gt 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\ln((\exp(u_n)-1)/u_n)$.

• Déterminer la limite eventuelle de $(u_n)$.
• En déduire la nature de $\sum u_n$.

Soit $T$ l'endomorphisme de $\R^{\N}$ qui à la suite $u$ associe $Tu$ telle que :

$\forall n\in\N$, $(Tu)_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nu_k$.

• Si $u$ converge vers $\ell$, montr'er que $Tu$ converge vers $\ell$.
• On suppose que $u$ est à valeurs positives.

On note $\sqrt{u}$ la suite telle que : $\forall n$, $(\sqrt{u})_n=\sqrt{u_n}$. Si $Tu$ tend vers 0, montr'er que $T\sqrt{u}$ tend egalement vers 0.On suppose $u$ positive et décroissante.

• On pose $w_n=\sqrt{n}\,u_n$. Montrer que $Tw$ tend vers 0 si et seulement si $w$ tend vers 0.

On pose, pour $n\in\N$, $s_n=\sum_{k=0}^nu_k$ et $v_n=nu_n$.

• Montrer que $s-Ts=Tv$.
• On suppose que $Ts$ converge. Montrer que $Tv$ tend vers 0 si et seulement si la série $\sum u_n$ converge.

Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs convergeant vers 0. On pose, pour tout $n\in\N$, $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$ et on suppose $u_0\gt 0$ et $(|S_n-nu_n|)$ majorée. On suppose enfin $\sum u_n$ divergente.

• Montrer que $\ln S_n\sim\ln n$.
• Montrer que $\forall n$, $S_n\geq\sqrt{n}$.
• Montrer que $\lim u_n\gt 0$. Conclusion?

Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\ra+\i}{\ra}-\i$. Montrer que $\sum f(k)$ converge et donner un équivalent de $\sum_{k=n}^{+\i}f(k)$.

Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle décroissante de limite nulle. Montrer que la série $\sum\dfrac{u_n}{n}$ converge si et seulement si la série $\sum(u_n-u_{n+1})\ln n$ converge.

Soient $\alpha\gt 0$ et $(a_n)$ définie par $a_1\gt 0$, $a_1+a_2\gt 0$ et $\forall n\geq 2$, $a_{n+1}=\dfrac{(-1)^n}{n^{\alpha}}\sum_{i=1}^na_i$.

Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles la série $\sum a_n$ converge.

Nature et somme de la série de terme general $u_n=\sum_{k=n}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{k^2}$.

Soit $x\in\R\setminus(-\N)$. Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\dfrac{1}{x(x+1)\cdots(x+n)}=e\sum_{n=0}^{+ \i}\dfrac{(-1)^n}{n!(x+n)}$.

• Pour $n\in\N^*$, soit $d(n)$ le nombre de diviseurs de $n$.

Pour $\alpha\gt 1$, montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{d(n)}{n^{\alpha}}=\zeta(\alpha)^2$.

• Pour $\alpha\gt 2$, montrer que $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{\phi(n)}{n^{\alpha}}=\dfrac{\zeta(\alpha-1)}{ \zeta(\alpha)}$.

• Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ définie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in\N$, $u_{n+1}=u_n^{u_n}$. On choisit desormais $u_0\in\N\setminus\{0,1\}$.
• Montrer que $\forall N\in\N,\ \forall n\in\db{0,N},\ u_n\mid u_N$.
• Montrer que, pour $N,k\in\N$, $u_{N+k}\geq u_N^{k+1}$.
• Montrer la convergence de la série $\sum\dfrac{1}{u_n}$.
• Montrer que $u_N\sum_{n=N+1}^{+\i}\dfrac{1}{u_n} \longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$.
• Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i}\dfrac{1}{u_n}\notin\Q$.

Soit $f\colon\R\ra\R$ croissante. Montrer que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.

Soit $f\colon\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si, pour tous $x\in\R$ et $r\in\R^+$, $2rf(x)\leq\int_{x-r}^{x+r}f(t)\dt$.

Soit $I$ un intervalle non trivial de $\R$. Montrer que toute fonction de classe $\mc C^2$ sur $I$ est la différence deux fonctions convexes.

Soit $f(t)=\dfrac{1}{\sqrt{1+t^2}}$. Montrer que la derivée $n$-ieme de $f$ s'écrit sous la forme $\dfrac{P_n(t)}{(1+t^2)^{n+\frac{3}{2}}}$ ou $P_n\in\R[X]$. Trouver une relation linéaire entre $P_{n+2},P_{n+1}$ et $P_n$.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $f\colon\R\ra E$ continue en 0. Montrer que $f$ est dérivable en 0 si et seulement si $x\mapsto\dfrac{f(2x)-f(x)}{x}$ possède une limite quand $x\ra 0$.

Soient $I=\left]-3,9\right[$ et $f$ une fonction de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$. Pour $x\in I\setminus\{3\}$, on pose $g(x)=\tan\left(\dfrac{\pi x}{6}\right)f(x)$. à quelle condition la fonction $g$ se prolonge-t-elle continument à $I$? Le prolongement est-il de classe $\mc C^1$ sur $I$?

Une fonction de classe $\mc C^{\i}$ de $[0,1]$ dans $\R$ est-elle nécessairement monotone par morceaux?

Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $f(0)\gt 0$, $f'(0)\gt 0$ et $\lim\limits_{x\ra+\i}f(x)=0$.

• Montrer qu'il existe $x_1$ tel que $f'(x_1)=0$.
• Montrer qu'il existe une suite $(x_n)$ strictement croissante telle que, pour tout $n\in\N$, $f^{(n)}(x_n)=0$.

Montrer que la fonction $x\mapsto e^{x^2}$ n'admet pas de primitive de la forme $x\mapsto f(x)e^{x^2}$, où $f\colon\R\ra\R$ est une fonction rationnelle.

Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $f'(t)+f(t)\ra 0$ quand $t\ra+\i$. Montrer que $f(t)\ra 0$ quand $t\ra+\i$.

Posons $f:x\neq 0\mapsto e^{-\frac{1}{x^2}}$ prolongée par continuité en $0$.

• Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$.
• Montrer que $f$ n'est solution d'aucune équation différentielle linéaire homogène.
• Pour $n\in\N$, soit $P_n\in\R[X]$ tel que $\forall x\neq 0$, $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right)f(x)$. Déterminer degré et coefficient dominant de $P_n$.
• Montrer que les polynômes $P_n$ sont scindés dans $\R$.

Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, $M\in\R^{+*}$ et $f$ une fonction de classe $\mc C^1$ de $I$ dans $\C$ non identiquement nulle et telle que $|f'|\leq M|f|$. Montrer que $f$ ne s'annule pas.

Soit $E=\mc C^0(\R^+,\R)$.

• Soit $f\in E$. Montrer $v:x\in\R^{+*}\mapsto\frac{1}{x^{p+1}}\int_0^xt^pf(t)\dt$ se prolonge par continuité en $0$.

On note $u(f)$ ce prolongement.

• Montrer que $u$ ainsi défini est un endomorphisme injectif de $E$.
• Déterminer son spectre.

Soit $f\in\mc C^0([0,1],\R)$. Montrer $\int_{-1/2}^{3/2}f(3x^2-2x^3)\dx=2\int_0^1f(3x^2-2x^3)\, dx$.

Donner un équivalent de $f(x)=\int_1^xt^tdt$ lorsque $x$ tend vers $+\i$.

Soit $f\colon\R^+\ra\R^+$ une fonction continue, strictement croissante telle que $f(0)=0$.

• On suppose que $f$ est de classe $\mc C^1$.

Montrer que $\forall x\gt 0,\ \int_0^xf(t)dt+\int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt=xf(x)$.

• • Soit $x\gt 0$. Pour $n\in\N^*$ et $i\in\db{0,n}$, on note $x_{i,n}=\frac{ix}{n}$.

Montrer que $\sum_{i=0}^{n-1}x_{i,n}(f(x_{i+1,n})-f(x_{i,n}))\longrightarrow \int_0^{f(x)}f^{-1}(t)dt$ quand $n\ra+\i$.

• Montrer l'égalité vue en -.
• Soient $a\in\R^+$ et $b\in f\colon\R^+\ra\R^+$ continue et bijective.

Montrer que $\int_0^af(t)dt+\int_0^bf^{-1}(t)dt\geq ab$.

Soit $f$ continue et strictement positive sur $[a,b]$.

• Soit $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe une unique subdivision $(x_{0,n},\ldots,x_{n,n})$ de $[a,b]$ telle que $\forall k\in\db{1,n},\int_{x_{k-1,n}}^{x_k,n}f=\frac{1}{n}\int_a^bf$ - Déterminer la limite de la suite de terme general $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(x_{k,n})$.

Soit $f\in\mc C^n(\R,\R)$. On suppose que $f$ et $f^{(n)}$ sont bornées sur $\R$.

• Pour tout $p\in\db{1,n}$, on pose : $\phi_p:x\mapsto f(x+p)-\int_x^{x+p}\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x+p-t)^{n-1}\, dt$.

Montrer que $\phi_p$ est bornée sur $\R$.

• En déduire que $f',\ldots,f^{(n-1)}$ sont bornées sur $\R$.

• Soit $f\in\mc C^0([0,1],\R)$. On suppose que, pour toute fonction $\phi\in\mc C^1([0,1],\R)$ vérifiant $\phi(0)=\phi(1)=0$, l'on ait $\int_0^1f(t)\phi(t)dt=0$. Montrer que $f=0$.
• Soient maintenant $f,g\in\mc C^0([0,1],\R)$ telles que, pour tout $\phi\in\mc C^1([0,1],\R)$ vérifiant $\phi(0)=\phi(1)=0$, l'on ait $\int_0^1f(t)\phi(t)\dt=\int_0^1g(t)\phi'(t)\, dt$. Montrer que $g$ est de classe $\mc C^1$ et déterminer sa derivée.

Soient $h\gt 0$, $f\in\mc C^2([a,b],\R)$ avec $f''\geq m^2\gt 0$, et $E=\{x\in[a,b],|f'(x)|\gt h\}$.

• On suppose que $[c,d]$, avec $c\lt d$, est inclus dans $E$. Montrer que $\left|\int_c^de^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{3}{h}$.
• Montrer que $\left|\int_E e^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{6}{h}$.
• Montrer que $\left|\int_a^be^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{6}{h}+ \frac{2h}{m^2}$.
• Montrer que $\left|\int_a^be^{if(x)}\dx\right|\leq\frac{8}{m}$.

Déterminer la nature de $\int_2^{+\i}\frac{\cos x}{\ln x}dx$.

Soit $a\gt 0$. Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\ln t}{a^2+t^2}\dt$. Que dire de $\int_0^{+\i}\frac{\ln t}{a^p+t^p}\dt$ pour $p\geq 2$?

Soit $E$ l'ensemble des $f\in\mc C^1([0,1],\R)$ telles que $f(0)=f(1)=0$.

• Pour $f\in E$, montrer la convergence de $I_1=\int_0^1f(t)f'(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)dt$ et de $I_2=\int_0^1f^2(t)\;(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))dt$. Comparer $I_1$ et $I_2$.
• Montrer que, si $f\in E$, $\int_0^1(f')^2\geq\pi^2\int_0^1f^2$. Pour quelles $f$ y-a-t-il égalité?

Convergence et calcul de $\int_0^1\sqrt{\frac{x}{1-x}}\ln(x)dx$.

Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Nature de l'intégrale $\int_0^{+\i}\exp(-t^{\alpha}\sin^2(t))dt$.

Montrer que $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{dt}{t(e^{\sqrt{t}}-1)}$ est définie, continue et intégrable sur $]0,+\i[$.

• Calculer $\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(x)}{1+\sqrt{\sin(2x)}}dx$.
• Soit $f$ une fonction continue de $[0,1]$ dans $\R$.

Montrer que $\int_0^{\pi/2}f(\sin(2x))\sin(x)dx=\int_0^{\pi/2}f(\cos^2(y)) \cos(y)dy$.

• Soit $(a,\eps)\in(\R^{+*})^2$. Apres avoir simplifie $\ln\left(\frac{1-e^{2ax}}{1-e^{ax}}\right)$, montrer que

$$\int_{\eps}^{+\i}\frac{\ln(1+e^{ax})}{x}dx=-\int_1^2 \frac{a\eps}{e^{a\eps y}-1}\ln(y)dy.$$

• Montrer que $\int_1^2\frac{\ln(1-e^{-a\eps y})}{y}dy=\ln(2)\ln(1-e^{-2 a\eps})-\int_1^2\ln(y)\frac{a\eps}{e^{a\eps y}-1} dy$.
• En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\ln(x)}{e^{ax}-1}dx$.
• Retrouver le résultat précédent par un calcul direct de $\int_0^{+\i}\frac{\ln(x)}{e^x-1}dx$.

Soit $F$ définie sur $\R^{+*}$ par $\colon\forall x\gt 0,F(x)=\int_x^{+\i}\frac{\sin t}{t^2}dt$.

• Montrer que $F$ est bien définie.
• Montrer que $F$ est intégrable sur $\R^{+*}$.
• Calculer $\int_0^{+\i}F(x)\dx$.

Soit $f\colon\R^+\ra\R^+$ une fonction continue. On note $F$ la primitive de $f$ qui s'annule enE $0$. Montrer que les intégrales $\int_0^{+\i}\frac{F(t)}{(t+1)^2}dt$ et $\int_0^{+\i}\frac{f(t)}{t+1}dt$ sont de même nature.

• Soit $f:[1,+\i[\ra\R$ continue. On suppose que l'intégrale $\int_1^{+\i}f$ est convergente.

Montrer que $\int_1^{+\i}\frac{f(t)}{t}\dt$ est une intégrale convergente.

• Soit $\sum u_n$ une série convergente. Montrer que $\sum\frac{u_n}{n}$ est une série convergente.

Trouver un équivalent simple de $\int_0^x\frac{|\sin t|}{t}\dt$ quand $x$ tend vers $+\i$.

Soit $f\colon\R\ra\C$ une fonction continue et $T$-périodique. - à quelle condition $f$ admet-elle une primitive $T$-périodique?

• On suppose à present que $\int_0^Tf(x)\dx\neq 0$, et on fixe un réel $a\in]0,1]$. Donner un équivalent de $\int_1^x\frac{f(t)}{t^a}\dt$ quand $x\ra+\i$.

Quelles sont les fonctions de $[0,1]$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $[0,1]$ d'une suite de polynômes convexes?

Soit $f$ continue sur $[0,\pi]$ telle que $\forall n,\int_0^{\pi}\cos(nt)f(t)dt=0$. Que dire de $f$?

Soit $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{\sin{(2^nx)}}{2^n}$.

• Montrer que $f$ est définie sur $\R$.
• Montrer que $f$ n'est pas dérivable en $0$.

Soit $\alpha\in\R^{+*}$.

• Montr re qu'en posant $\forall x\in\R^{+*},\ f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}e^{-n^{\alpha}x}$, on définit une fonction de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^{+*}$ dans $\R$.
• Donner la limite puis un équivalent simple de $f$ en $+\i$.
• Donner la limite puis un équivalent simple de $f$ en $0$.

Déterminer le domaine de définition et un équivalent simple en $1^-$ de $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}x^{n^2}$.

Pour $n\geq 0$, soit $u_n:x\mapsto\prod_{i=0}^n\frac{1}{x+i}$.

• Montr re que $S=\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ est définie et continue sur $\R^{+*}$.
• Ex primer $S(x+1)$ en fonction de $S(x)$ et de $x$.

On pose $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{e^{-nx}}{n+x}$.

• Déterminer le domaine de définition $D$ de $f$.
• Étudier la continuité de $f$ sur $D$.
• Déterminer des équivalents de $f$ aux extremites de $D$.

• Soit $x\in[0,1[$ Justifier la convergence de $f(x)=\prod_{n=0}^{+\i}\left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}$. - Montrer que, pour tout $x\in]0,1[$, $\ln f(x)=\frac{x-1}{x}\sum_{n=1}^{+\i}x^n\ln(1+x^n)+\ln 2$.
• En déduire que, pour tout $x\in[0,1[$, $\ln f(x)=\ln 2+\sum_{m=1}^{+\i}\frac{(-1)^m}{m}\frac{x^m}{1+x+ \cdots+x^m}$.
• Montrer que $f$ possède une limite finie en $1$ et la déterminer.

On pose $f:x\mapsto\sum_{p=0}^{+\i}\frac{(-1)^p}{p!(x+p)}$.

• Déterminer le domaine de définition de $f$.
• Exprimer $f(x)$ en fonction de : $g(x)=\frac{1}{x}+\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{x(x+1)\cdots(x+k)}$.
• Déterminer un équivalent simple de $f$ en $+\i$.
• Déterminer un équivalent simple de $f$ en $0^+$.
• Étudier la convergence uniforme de la série de fonctions $\sum\frac{(-1)^p}{p!(x+p)}$ sur les parties du domaine de définition de $f$.

Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\left(\mbox{Arctan}(n+x)-\mbox{ Arctan}(n)\right)$.

• Donner le domaine de définition de $f$. Étudier sa régularite.
• Exprimer $f(x+1)$ en fonction de $f(x)$ et de $x$.

Domaine de définition et équivalent en $+\i$ de $f\colon x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}\frac{(\ln n)^x}{n^2}$.

Poser $u = \ln t$, on obtient $\int_{\ln 2}^{+\i} \frac{u^x}{e^u}\du$. Une étude du maximum de cette fonction montre qu'il est atteint en $x$. On pose $u = xz$, on obtient $x x^x\int_{\ln 2/x}^{+\i} e^{x (\ln z - z)}\dz$. Le maximum est atteint en $1$, et on est intégrable, donc on peut mettre $\int_0^{+\i} e^{x (\ln z - z)}$. Quitte à multiplier par $^x$, on a une situation classique, où la fonction $z\mapsto \ln z - z + 1$ est maximale en $z = 1$, de dérivée nulle. Bien technique en pratique…

Enfin, le lien $\sum/int$ vient du fait que $f'(t) = \frac{(x- 2\ln t)}{t} f(t)$, on peut montrer à la main que $\sum f'(n)$ est négligeable devant $\sum f(n)$.

Soit $u_0$ l'identite de $[1,+\i[$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}:x\in[1,+\i[\mapsto u_n(x)+\frac{1}{u_n(x)}$.

• Montrer que la suite de fonction $(u_n)$ est bien définie.
• Étudier la convergence simple de $(u_n)$ sur $[1,+\i[$.

Pour $n\in\N$, soit $f_n:x\in[1,+\i[\mapsto\frac{(-1)^n}{u_n(x)}$.

• Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement sur $[1,+\i[$.
• Montrer que la somme de la série de terme general $f_n$ est continue sur $[1,+\i[$.
• A-t-on convergence normale sur $[1,+\i[$?

Notons, pour $\alpha\gt 0$, $n\in\N^*$ et $x\geq 0$, $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$.

• Déterminer les modes de convergence de $\sum u_n$ sur $\R^+$ et $\R^{+*}$.
• Montrer que la somme $S_{\alpha}$ de cette série est continue sur $\R^{+*}$ et que si $\alpha\gt 1/2$, $S_{\alpha}$ est continue sur $\R^+$.
• Pour $\alpha\leq 1/2$, $S_{\alpha}$ est-elle continue en $0$?

Pour $x$ réel convenable, on note $\zeta(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^x}$.

• Déterminer le domaine $\mc{D}$ de définition de $\zeta$.
• Montrer que, pour $x\in\mc{D}$, $\zeta(x)=1+\frac{1}{x-1}-x\int_1^{+\i}\frac{\{t\}}{t^{x+1}} dt$, ou $\{t\}=t-\lfloor t\rfloor$.

En déduire que $\zeta$ peut être prolongée sur un ensemble $\mc{D}'$.

• Donner un équivalent de $\zeta$ en $1$.
• Montrer que le prolongement de $\zeta$ sur $\mc{D}'$ se prolonge par continuité en $\inf(\mc{D}')$.

Soit, pour $x\in\R^+$, $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{1+nx}$.

• Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $[0,1[$.
• Donner un équivalent de $f(x)$ en $1$.

Rayon de convergence et somme de $\sum_{n\geq 1}\cos\left(\frac{2\pi n}{3}\right)\frac{x^n}{n}$.

Montrer que la fonction $f:x\mapsto\ln(1+e^{-x})$ est développable en série entière au voisinage de $0$.

Déterminer le rayon et la somme de $\sum_{n\geq 0}\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}x^n$.

Soit, pour $n\in\N$, $a_n=\int_0^{\pi/2}\cos(t)^n\sin(nt)\dt$. Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$.

• Calculer $a_0,a_1,a_2$.
• Calculer $f(x)$ pour $|x|\lt 1$. Preciser le rayon de convergence de $f$.
• En déduire $a_n$.

• Soit $z\in\C$ tel que $|z|\neq 1$. Montrer que la fonction $t\mapsto\frac{1}{e^t-z}$ est développable en série entière au voisinage de $0$.
• Soient $F\in\C(X)$ sans pole de module $1$ et $\alpha\in\R$. Montrer que la fonction $t\mapsto F(e^{\alpha t})$ est développable en série entière au voisinage de $0$.

Pour $n\in\N^*$, on note $a_n=\nu_2(n)$ (valuation 2-adique).

• Déterminer les valeurs d'adherence de $(a_n)$.
• On pose, pour $n\in\N^*$, $b_n=\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^na_k\right)$. La suite $(b_n)$ possède-t-elle une limite?
• Déterminer le rayon de convergence de $\sum b_nx^n$.

Pour $n\in\N$, soit $a_n=\int_0^{\pi/4}\tan^n(x)\dx$. - Montrer que $(a_n)_{n\geq 0}$ tend vers $0$.

• Si $n\in\N$, exprimer $a_{n+2}$ en fonction de $a_n$.
• Déterminer le rayon de convergence $R$ de $x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$. Calculer la somme. Étudier le comportement en $\pm R$.

On pose $u_0=1$ et $u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}u_ku_{n-k}$ pour tout $n$. Trouver $u_n$ en considérant la série entière $\sum_{n\geq 0}\dfrac{u_n}{n!}x^n$.

La suite $(a_n)_{n\geq 0}$ est définie par $a_0\gt 0$ et $\forall n\in\N,a_{n+1}=\ln(1+a_n)$.

• Montrer que $(a_n)_{n\in\N}$ tend vers $0$.
• Donner un équivalent de $a_n$.
• Donner le rayon de convergence $R$ de $\sum a_nx^n$. Y-a-t-il convergence pour $x=R$? pour $x=-R$?
• Donner un équivalent de $\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ quand $x$ tend vers $R^-$.

Soit $t\in\R$ tel que : $\forall n\in\N^*$, $nt\not\in 2\pi\Z$. Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\dfrac{\sin(nt)}{n}x^n$.

• Déterminer le rayon de convergence $R$ de $f$.
• Étudier la convergence en $\pm R$. Ind. Poser $S_n=\sum_{k=1}^n\sin(kt)$.
• Exprimer $f(x)$ pour $x\in]-R,R[$.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite complexe telle que la série $\sum na_n$ converge absolument. On note $\mathbb{D}$ le disque unite ouvert de $\C$. Soit $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$.

• Montrer que le rayon de convergence de $f$ est $\geq 1$.
• On suppose que $a_1\neq 0$ et que $\sum_{n=2}^{+\i}n|a_n|\leq|a_1|$. Montrer que $f$ est injective sur $\mathbb{D}$.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=a_1=0$, $a_2=\dfrac{1}{2}$ et $a_{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}\sum_{i+j=n}a_ia_j$ pour $n\geq 2$.

• Montrer que le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$ est supérieur ou egal à 1.
• Montrer que $x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ est solution de l'équation $xy''-x=y^2$ sur $]0,1[$.

Soit $(a_n)$ définie par $a_0=a_1=1$ et $\forall n\geq 1,\,a_{n+1}=a_n+\dfrac{2}{n+1}a_{n-1}$.

• Montrer que $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$. En déduire le rayon $R$ de $f(x)=\sum a_nx^n$.
• Montrer que $f$ est solution de $(1-x)y'-(2x+1)y=0$. Exprimer $f$ à l'aide de fonctions usuelles.

Soient $f(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence $R\gt 0$, et $D$ son disque ouvert de convergence.

• Montrer que, s'il existe $(z_k)\in(D\setminus\{0\})^{\N}$ de limite nulle telle que $\forall k\in\N$, $F(z_k)=0$, alors $F$ est nulle.
• On suppose que $F(0)\in\R^{+*}$ et que $|F|$ admet un maximum local en $0$.

Montrer que $F$ est constante.

Ind. Raisonner par contraposée et montrer l'existence de $p\in\N$ tel que pour tout $z\in D$,

$$|F(z)|\geq|F(0)+a_pz^p|-\sum_{n=p+1}^{+\i}|a_n||z|^n.$$

Soit $(b_n)$ la suite définie par $b_0=1$ et $\forall n\in\N^*$, $b_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{b_{n-k}}{k!}$.

• Montrer que $\forall n\in\N$, $b_n\leq\dfrac{1}{\ln^n(2)}$.
• Montrer que la série entière $\sum b_nx^n$ à un rayon de convergence $R$ non nul et que

$\forall x\in]-R,R[,\,\,\sum_{n=0}^{+\i}b_nx^n=\dfrac{1}{2-e^{ x}}$.

• En déduire une expression sommatoire explicite de $b_n$ pour $n\in\N$.

Soit $f:z\in\C\setminus\{1\}\mapsto\exp\left(\dfrac{z}{1-z}\right)$.

• Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de 0 et donner son rayon de convergence. On écrit $f(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$.
• Donner une expression sommatoire des $a_n$.
• Trouver une relation de récurrence vérifiée par la suite $(a_n)$.
• Donner un développement asymptotique de $\ln(a_n)$.

Soit $a\in\C^*$. On pose $A_0=1$ et, pour $k\in\N^*$, $A_k=\dfrac{1}{k!}X(X-ak)^k$.

• Montrer que, pour tout $P\in\C_n[X]$, $P(X)=\sum_{k=0}^nP^{(k)}(ak)A_k(X)$.

En déduire que $\forall y\in\C^*$, $ny^{n-1}=\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}(-ak)^k(y+ak)^{n-k}$. - Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière $\sum_{n\geq 1}\frac{(-n)^{n-1}}{n!}x^n$.

• On note $S$ sa somme. Montrer que $\forall x\in]-R,R[$, $x(1+S(x))S'(x)=S(x)$.

Donner une expression simple de $h:x\mapsto S(x)\,e^{S(x)}$.

Soit $(a_n)_{n\geq 2}$ une suite réelle telle que la série entière associée est de rayon de convergence supérieur ou egal à $1$.

On suppose que $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ est injective sur $\mathbb{D}=\{z\in\C,\;|z|\lt 1\}$.

• Montrer que, pour tout $z\in\mathbb{D}$, $f(z)\in\R$ si et seulement si $z\in\R$.
• Montrer que, pour tout $z\in\mathbb{D}$, $\op{Im}(f(z))\gt 0$ si et seulement si $\op{Im}(z)\gt 0$.
• Calculer, pour $n\in\N^*$ et $r\lt 1$, $\int_0^{2\pi}\op{Im}(f(re^{it}))\sin(nt)dt$.

Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs avec $a_0\gt 0$ et $a_1=1$. Soient $S:x\mapsto\sum_{k=0}^{+\i}a_kx^k$ et, pour $n\in\N$, $S_n:x\mapsto\sum_{k=0}^na_kx^k$. On suppose que le rayon de convergence de $S$ est $R\gt 0$.

• Soient $n\geq 1$ et $y\gt a_0$. Montrer qu'il existe un unique $x_n(y)\in\R^+$ tel que $S_n(x_n(y))=y$. Montrer que la suite $(x_n(y))$ converge vers un réel note $T(y)$. Montrer que $|T(y)|\leq R$.
• On suppose que $|T(y)|\leq R$. Calculer $(S\circ T)(y)$. Que peut-on en déduire?

Soit $\sum a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R\gt 0$ et de somme $f$.

• Montrer que, pour tout $r\in[0,R[$, $I(r)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(re^{i\theta})|^2d\theta=\sum_{ n=0}^{\i}|a_n|^2r^{2n}$, puis que la fonction $I$ est croissante sur $[0,R[$.
• Si $f$ n'est pas nulle, montrer que $I(r)\gt 0$ pour tout $r\in]0,R[$.
• Montrer que la fonction $t\mapsto\ln\big(I(e^t)\big)$ est convexe sur $]-\i,\ln R[$.

Soient $P\in\R[X]$ de degré $2$ et $f:x\mapsto e^{P(x)}$. Montrer que $f$ est développable en série entière en $0$ et que deux coefficients consécutifs de ce développement ne sont jamais simultanement nuls.

Soit $(p_n)$ une suite strictement croissante d'entiers naturels telle que $n=o(p_n)$.

Soit $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}x^{p_n}$.

• Quel est le rayon de convergence de $f$?
• Déterminer la limite en $1^-$ de $f$ puis de $x\mapsto(1-x)f(x)$.

Déterminer un équivalent de $p(n)=\big{|}\big{\{}(x,y,z)\in\N^3,\;x+2y+3z=n\big{\}}\big{|}$.

On dit que la suite $(a_n)_{n\geq 0}\in\R^{\N}$ vérifie $\mc{P}$ si le rayon de convergence de $\sum a_nx^n$ est supérieur ou egal à 1 et si $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ possède une limite finie en $1^-$.

• Déterminer les $f\colon\R\ra\R$ continues en 0 telles que : $\forall x,y\in\R$, $f(x+y)=f(x)+f(y)$,
• Montrer que si $\sum a_n$ est absolument convergente alors $(a_n)$ vérifie $\mc{P}$. Étudier la réciproque.
• Déterminer les $f\colon\R\ra\R$ telles que, pour toute suite $(a_n)\in\R^{\N}$ vérifiant $\mc{P}$, la suite $(f(a_n))$ vérifie $\mc{P}$.

Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in\mc C^{\i}(\R,\R)$ dont la série de Taylor en 0 à un rayon de convergence $+\i$.

• Montrer que $E$ est une $\R$ algèbre.

Pour $f\in E$, on pose $T(f):x\mapsto f(x)-\sum_{n=0}^{+\i}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n$.

• Montrer que $T$ est un endomorphisme de $E$ et que $\op{Im}(T)$ est un idéal de $E$.
• Montrer que $E=\op{Im}(T)\oplus\op{Ker}(T)$.
• Déterminer le spectre de $T$.

Limite de $u_n=\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots+ \sqrt{2+2x}}}}}$ (ou il y a $n$ racines car $\mathrm{e}$es)?

Soit $I_n=\int_0^{+\i}\sin(t^n)\dt$. Déterminer les $n\in\N$ pour lesquels $I_n$ est définie. Donner un équivalent de $I_n$.

Déterminer un développement asymptotique de $u_n=\int_0^1\frac{du}{1+u^n}$ en $o(1/n^2)$.

Pour tout $n\in\N$, on pose : $u_n=\int_0^1(-t^2+t-1)^n\dt$.

• Montrer que $(u_n)$ converge vers $0$.
• Montrer que $\sum_{n\geq 0}u_n$ converge et calculer sa somme.
• Trouver un équivalent simple de $u_n$.

Pour tout $n\in\N$, on pose : $I_n=\int_0^1\frac{t^{n+1}\ln t}{1-t^2}dt$.

• Montrer la convergence de $I_n$.
• Étudier la convergence et la limite eventuelle de $(I_n)$.
• Trouver un équivalent simple de $I_n$.

Exprimer sous forme de somme $\int_0^{+\i}e^{-t^2}\cos(t)dt$.

• Justifier que $\int_0^{1/2}\frac{\ln(1-t)}{t}\dt=\int_{1/2}^1 \frac{\ln t}{1-t}\dt$. - En déduire la valeur de $\sum_{n\geq 1}\frac{1}{2^nn^2}$.

Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels $\gt 0$. - Montrer que la série $\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{\alpha n+\beta}$ est convergente. - Exprimer sa somme sous forme intégrale.

Calculer $\int_0^1\ln(t)\ln(1-t)dt$.

Pour tout $x\in\R$, on pose $f(x)=\int_0^1\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}dt$. - Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R$, et exprimer sa derivée. - On pose $g(x)=f(x^2)$ pour $x\in\R$. Montrer que la fonction $x\mapsto g(x)+\left(\int_0^xe^{-t^2}\dt\right)^2$ est constante, et preciser sa valeur. - En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}e^{-t^2}dt$.

Pour tout réel $a\gt 0$, on pose $F(a)=\int_0^{+\i}\frac{\arctan\left(\frac{x}{a}\right)+ \arctan(ax)}{1+x^2}\dx$. Justifier l'existence de $F(a)$, puis calculer cette intégrale.

Pour $n\in\N^*$ et $x\lt 0$, on pose $: h_n(x)=\int_0^{+\i}\frac{dt}{(t^2+x^4)^n}$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $h_n$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$ et $\colon\forall x\gt 0,h_n'(x)=-4nx^3h_{n+1}(x)$. - Montrer qu'il existe une suite réelle $(a_n)_{n\in\N^*}$ telle que : $\forall n\in\N^*$, $\forall x\gt 0,h_n(x)=a_nx^{2-4n}$. - Expliciter la suite $(a_n)$.

On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\mathrm{e}^{-2t}}{x+t} dt$. - Domaine de définition de $F$? de continuité? - Donner un équivalent de $F$ en $+\i$.

Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}\ln\left(x^2-2x\cos(t)+1\right) dt$. - Donner le domaine de définition et étudier la continuité de $f$. - Donner une expression de $f(x)$.

• Déterminer le domaine de définition $D$ de $: f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\dt$. - Montrer que $f$ est continue sur $\R^+$.
• Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$.

• En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}dt$.

Soient $\alpha\gt 0$ et $f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^1\frac{dt}{x^{\alpha}+t^3}$. L'application $f$ est-elle intégrable sur $\R^{+*}$?

Pour $x\in\R$, calculer $f(x)=\int_{-\i}^{+\i}e^{-t^2/2}e^{-ixt}dt$ par deux methodes :

• en déterminant le développement en série entière de $f(x)$;
• en montrant que $f$ est de classe $\mc C^1$ et vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre $1$.

Soit $f$ définie par : $f(x)=\int_0^{\pi/2}\sin^x(t)\dt$.

• Déterminer le domaine de définition $D_f$ de $f$.
• Montrer que $f$ est continue et décroissante.
• Pour tout $x\in D_f$, on pose $g(x)=(x+1)f(x+1)f(x)$.

Montrer que : $\forall x\in D_f,g(x+1)=g(x)$.

• Déterminer des équivalents simples de $f$ aux extremites de $D_f$.

• Montrer la convergence de $\int_0^{+\i}\cos(t^2)dt$.
• On pose $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-(t^2+i)x^2}}{t^2+i} dt$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^+$.

• On admet que $\int_0^{+\i}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt{\pi}}{2}$. Calculer $\int_0^{+\i}e^{-it^2}dt$ à l'aide de $f$.

Trouver toutes les fonctions $f\colon\R^{+*}\ra\R$ d $\mathrm{\acute{e}ivables\ \mathrm{v}\mathrm{e}rifiant}\colon\forall x\gt 0,f'(x)=f(1/x)$.

Soit $f\colon\R^+\ra\R$ de classe $\mc C^1$, monotone et admettant une limite finie en $+\i$. Montrer que les solutions de l'équation différentielle $y''+y=f(x)$ sont bornées.

On considére l'équation différentielle $(E):2xy''+y'-y=0$.

• Montrer que $(E)$ possède une unique solution $f$ sur $\R$ telle que $f(0)=1$ et qui soit la somme d'une série entière.
• Donner une expression de $f$ à l'aide de fonctions usuelles.

• à l'aide du changement de fonction inconnue $y=zf$, r $\mathrm{\acute{e}soudre}\ (E)$.

Soit $\lambda\in\R$. Montrer que les solutions de : $(E):y''+(\lambda-1)x^2y=0$ sont de la forme $x\mapsto H(x)e^{-x^2/2}$ avec $H$ développable en série entière.

R $\mathrm{\acute{e}soudre}$ l'équation différentielle $(1+x^2)y''+xy'-y=0$.

Déterminer une solution de $(E):y''+xy'+y=1$ développable en série entière au voisinage de 0.

Soit $(E)$ l'équation différentielle $ax^2y''+bxy'+cy=0$ sur $\R^{+*}$.

• Résoudre $(E)$ en utilisant le changement de variable $t=\ln x$.
• Résoudre $x^2y''+xy'+y=\sin(a\ln x)$.

Considérons l'équation différentielle $(E):x^2y'+y+x^2=0$.

• Résoudre $(E)$ sur $\R^{+*}$.
• Montrer que $(E)$ admet une unique solution qui admet une limite finie en $0$.
• Existe-t-il des solutions de $(E)$ admettant une limite finie en $+\i$?
• Déterminer les solutions de $(E)$ développables en série entière.

Soient $n\in\N$ et $(*)$ l'équation différentielle :

$(1+x^n)(1-x^2)y'+2x(1+x^n)y=2(1-x^2)$.

• Trouver les solutions de $(*)$ sur $]-1,1[$.
• Existe-il une solution définie sur $\R$?
• Existe-il une solution définie sur $]1,+\i[$ et bornée?

Soit $f$ une fonction continue et bornée de $\R$ dans $\R$. Déterminer les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$, de classe $\mc C^2$ et bornées, telles que $y''-y=f$.

Soit $y$ une solution sur $\R^{+*}$ de $xy''+y'+xy=0$,

• On pose : $\forall x\gt 0$, $u(x)=\sqrt{x}\,y(x)$. Déterminer une équation différentielle dont $u$ est solution.
• Montrer que $\int_a^b\frac{u(x)v(x)}{4x^2}\dx$ = $(uv'-u'v)(b)-(uv'-u'v)(a)$ avec $v$ vérifiant $v''+v=0$.
• Montrer que, pour tout $a\gt 0$, il existe $x_a\in[a,a+\pi[$ tel que $y(x_a)=0$.
• Montrer que $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(-1)^nx^{2n}}{4^n(n!)^2}$ s'annule une infinite de fois.

On note $S$ l'ensemble solution de l'équation différentielle $(E):xy''+xy'-y=0$ sur $\R^{+*}$.

• Trouver $\alpha\in\R$ tel que $x\mapsto x^{\alpha}$ soit solution de $(E)$.
• Pour tout $x\gt 0$, on pose : $G(x)=\int_1^x\frac{e^{-t}}{t^2}dt$. Dresser le tableau de variation de $G$.
• Soient $f\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$ et $s:x\mapsto xf(x)$. Montrer que $s\in S$ si et seulement si $f'$ est solution d'une certaine équation différentielle du premier ordre. Résoudre cette équation différentielle.
• Expliciter $S$ à l'aide de $G$. Étudier les limites des solutions en $0^+$.

Soit $f\colon\R^+\ra\R$ une fonction monotone de classe $\mc C^1$ admettant une limite réelle en $+\i$. Montrer que les solutions de l'équation $y''+y=f$ sont bornées sur $\R^+$.

Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^2$ de $\R$ dans $\R$ telle que $f''+f\geq 0$. Montrer que, pour $t\in\R$, $f(t)+f(t+\pi)\geq 0$.

Résoudre les systemes différentiels

$$\left\{\begin{array}{rcl}x'&=&2x+3y+3z+te^t\\ y'&=&3x+2y+3z+e^t\\ z'&=&3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.,\quad\left\{\begin{array}[] {rcl}x'&=&2y-z&+te^t\\ y'&=&3x-2y&+e^t\\ z'&=&-2x-2y+z&+t^2e^t\end{array}.$$

Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On considére le systeme différentiel $(S):Y^{(m)}=AY$ d'inconnue $Y\in\mc C^m(\R,\R^n)$. Montrer que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales.

On munit $\R^n$ de la norme euclidienne canonique. Soit $A\in\M_n(\R)$. Montrer que $A$ est antisymétrique si et seulement si les solutions de $Y'=AY$ sont de norme constante.

Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-périodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe $\lambda$ dans $\C^*$ et une application $X$ de classe $\mc C^1$ non identiquement nulle de $\R$ dans $\C^n$ telle que, pour tout $t\in\R$, $X'(t)=A(t)X(t)$ et $X(t+T)=\lambda X(t)$.

Soit $S\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer qu'il existe une unique fonction $M$ de $\R$ dans $\mc{S}_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $M'(t)=SM(t)S$ pour tout $t\in\R$. à quelle condition sur $S$ la fonction $M$ est-elle bornée?

Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien, $u\colon\R\ra$ SO $(E)$ dérivable. Montrer l'équivalence entre : (i) $\forall s,t\in\R$, $u(s+t)=u(s)\,u(t)$, (ii) $\exists a\in\mc{A}(E)$, $\forall t\in\R$, $u(t)=e^{at}$.

Déterminer le domaine de définition de $f:(x,y)\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{(x+y)^n}{n^2}$. Est-elle continue? de classe $\mc C^1$?

On pose $f(0,0)=0$ et, pour $(x,y)\in\R^2\setminus\{(0,0)\}$, $f(x,y)=\frac{x^3y}{x^4+y^2}$. Ethier la continuité et la différentiabilité de $f$.

Soient $f\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$ et $g$ définie sur $(\R^{+*})^2$ par $:g(x,y)=f\left(\frac{x^2+y^2}{2}\right)\cdot$ Déterminer les fonctions $f$ qui vérifient $\colon\frac{\partial^2g}{\partial x^2}+\frac{\partial^2g}{\partial y ^2}=0$.

On munit $\R^2$ de sa norme euclidienne canonique. On définit $f$ sur $\R^2$ par $\colon\forall(x,y)\in\R^2$, $f(x,y)=\Big(\frac{1}{2}\sin(x+y),\frac{1}{2}\cos(x-y)\Big)$.

• Calculer la différentielle de $f$ en tout point.
• Montrer que $\colon\forall(x,y)\in\R^2,\|df(x,y)\|_{\mathrm{op}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$.
• En déduire que $f$ possède au plus un point fixe.

• Soit $f\colon\R\ra\R$ dérivable et minorée. On pose $m=\inf_{\R}f$. On suppose que $m$ n'est pas atteint. Montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n\geq 0}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $f(x_n)\leq m+\frac{1}{2^n}$ et $|x_n|\geq n$. En déduire qu'il existe une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ telle que $|u_n|\ra+\i$ et $f'(u_n)\ra 0$.
• Soient $p\geq 2$ et $f\in\mc C^1(\R^p,\R)$ minorée. Pour $\eps\gt 0$, soit $g_{\eps}:x\mapsto f(x)+\eps\|x\|$. Montrer que $g_{\eps}$ atteint son minimum (la norme est la norme euclidienne standard). En déduire qu'il existe une suite $(u_n)$ telle que $\nabla f(u_n)\ra 0$.

• Soient $n\geq 2$, $U$ un ouvert de $\R^n$ et $f:U\ra\R$ différentiable. Soient $a,b\in U$ tels que $[a,b]\subset U$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f(b)-f(a)=df_c(b-a)$.
• Application : si on souhaite connaitre la valeur de $\frac{\sqrt{2}}{e+\pi^3}$ à la precision $10^{-20}$, avec quelle precision doit-on alors connaitre $\sqrt{2},e$ et $\pi$?

Soit $f\in\mc C^2(\R^n,\R)$ telle qu'en tout point $x$ le spectre de la hessienne soit inclus dans $[1,+\i[$.

• Montrer que, pour tout $x\in\R^n$ on a $f(x)\geq f(0)+\langle\nabla f(0),x\rangle+\frac{1}{2}x^Tx$.

Ind. Considérer $\psi:t\mapsto f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-\frac{1}{2}t^2x^Tx$.

• En déduire que $f$ admet un minimum.

On munit $E=\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Pour $x\in E\setminus\{0\}$, on note $f(x)$ l'unique vecteur $y$ positivement colinéaire à $x$ vérifiant : $\|x\|\times\|y\|=1$.

• Montrer que $f$ est différentiable et calculer sa différentielle en tout point.
• Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Interpréter $df(x)$ en faisant intervenir la reflexion d'axe $\{x\}^{\perp}$.
• En déduire que $df(x)$ conserve les angles.

Soient $\lambda\in\R$, $n\in\N^*$ et $f$ une application de classe $\mc C^1$ de $\R^n\setminus\{0\}$ dans $\R$. Montrer l'équivalence des conditions

(i) $\forall(t,x)\in\R^{+*}\times(\R^n\setminus\{0\},f(tx)=t^{ \lambda}f(x)$ :

(ii) $\forall x\in\R^n\setminus\{0\},\sum_{i=1}^nx_i\partial_if(x)= \lambda f(x)$.

• Calculer la différentielle du déterminant au point $I_n$.

La fonction det atteint-elle un extremum local en $I_n$?

• Déterminer points critiques et extrema locaux de la fonction det sur $\M_n(\R)$.

On pose $D=\left]0,1\right[^2$ et l'on définit $f$ sur $D$ par : $\forall(x,y)\in D,f(x,y)=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1-y}+\frac{1}{x+y}$.

• Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$.
• Déterminer les extrema locaux de $f$.
• En etudiant la restriction de $f$ à $K=\left\{(x,y)\in D\;;\;(x,y)\in\left[0,\frac{7}{9}\right]\mbox{ et }x+y\geq\frac{2}{9}\right\}$ déterminer les extrema globaux de $f$.

Soient $f\colon\R^2\ra\R$ de classe $\mc C^1$, $a\in\R^2$ et $\gamma$ un arc paramêtre plan de classe $\mc C^1$ tel que $\gamma(0)=a$ et, pour tout $t$, $\|\gamma'(t)\|=1$. Pour tout $\lambda\in\R$, on note $C_{\lambda}=f^{-1}(\{\lambda\})$.

• Montrer que $\nabla f(a)$ indique la direction de plus grande pente sur la surface representative de $f$ en $a$.
• Supposons $\gamma'(0)\in\R^+\nabla f(a)$. Montr per que, pour $\lambda$ suffisamment proche de $\alpha=f(a)$, il existe un unique $t_{\lambda}$ voisin de $0$ tel que $\gamma(t_{\lambda})$ appartient à $C_{\lambda}$. Donner un équivalent de $\|\gamma(t_{\lambda})-a\|$ quand $\lambda\ra\alpha$.

Soit $f=(f_1,\ldots,f_n)\colon\R^n\ra\R^n$ de classe $\mc C^2$ sur $\R^n$. On considére les assertions : (i) $\forall(x,h)\in\R^n,\;\|df_x(h)\|=\|h\|$, (ii) $\forall(x,h)\in\R^n,\;\|f(x+h)-f(x)\|=\|h\|$.

• On suppose (i) et on pose, pour tous $i,j,k\in\db{1,n}$, $a_{i,j,k}=\sum_{m=1}^n\frac{\partial f_m}{\partial x_i}\cdot\frac{ \partial f_m}{\partial x_j\partial x_k}$.

Montr per que $a_{i,j,k}=a_{i,k,j}=-a_{k,i,j}$ puis que $a_{i,j,k}=0$.

• Montr per l'équivalence des assertions (i) et (ii).

Soit $f\colon\R^n\ra\R^n,x\mapsto(f_1(x),\ldots,f_n(x))$.

• On suppose $f$ de classe $\mc C^2$. Montr per que $J_f(x)$ est antisymétrique pour tout $x\in\R^n$ si et seulement s'il existe $A\in\mc{A}_n(\R)$ et $b\in\R^n$ tels que $f(x)=Ax+b$ pour tout $x\in\R^n$.
• On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Montr per que $J_f(x)$ est symétrique pour tout $x\in\R^n$ si et seulement s'il existe $\phi\colon\R^n\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $f=\nabla g$.

Extrema de $f\colon (x,y)\in\R^2\mapsto xe^y+ye^x$.

Soient $E$ un espace euclidien, $\phi\in E^*$ une forme linéaire et $f:x\mapsto\phi(x)e^{-\|x\|^2}$. Étudier les extrema de $f$.

Soient $n\geq 2$ un entier et $f\colon\R^n\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que la hessienne de $f$ est toujours à valeurs propres dans $[1,+\i[$.

• Soit $x\in\R^n$. Montr per que la fonction $t\mapsto f(tx)-\langle\nabla f(0),tx\rangle-\frac{t^2}{2}\|x\|^2$ est convexe.
• Montr per que $f$ admet un minimum global.

Soient $E$ un espace euclidien, $v\in E$ non nul et $f\in\mc{S}^{++}(E)$.

• Montr per qu'il existe une base $(e_1,\ldots,e_n)$ de $E$ formée de vecteurs propres de $f$.
• Montr per que, pour tout $x\in E$ non nul, $\langle f(x),x\rangle\gt 0$.
• Montr per que $g:x\mapsto\frac{1}{2}\langle f(x),x\rangle-\langle v,x\rangle$ est de classe $\mc C^1$.
• Calculer les derivées partielles de $g$ relativement à la base $(e_1,\ldots,e_n)$ et le gradient de $g$.
• Montr per que $g$ admet un unique point critique $c$.
• Montr per que $g$ admet un minimum global en $c$. Existe-t-il d'autres extrema locaux?

On munit $\R^n$ de la norme euclidienne usuelle. On note $\mc{B}$ la boule unite ouverte et $\mc{S}$ la sphere unite. Soit $f\colon\overline{\mc{B}}\ra\R$ de classe $\mc C^2$.

• On suppose que $f_{|\mc{S}}\leq 0$ et qu'il existe $\zeta\in\mc{B}$ tel que $f(\zeta)\gt 0$.

Montrer que $\phi:x\in\overline{\mc{B}}\mapsto f(x)+\eps(\|x\|^2-1)$ admet un maximum en $\zeta_0\in\mc{B}$ pour $\eps\gt 0$ assez petit puis prouver que $\Delta f(\zeta_0)\lt 0$.

• On suppose que $\Delta f=0$. Montrer que $\min\limits_{\overline{\mc{B}}}f=\min\limits_{\mc{S}}f$ et $\max\limits_{\overline{\mc{B}}}f=\max\limits_{\mc{S}}f$.

Déterminer les espaces tangents en $I_n$ aux parties $\text{SL}_n(\R)$ et $\mc{O}_n(\R)$ de $\M_n(\R)$.

• Soient $A$ la $\R$-algèbre des fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^n$ dans $\R$ et $I$ l'ensemble des $f\in A$ telles que $f(0)=0$. Montrer que $I$ est un idéal de $A$ et que tout élément de $I$ s'écrit $\sum\limits_{i=1}^nf_i\theta_i$ ou les $f_i$ sont dans $A$ et les $\theta_i$ sont les formes linéaires coordonnées canoniques sur $\R^n$.
• Déterminer les $\phi$ de $A^*$ vérifiant, pour tout $(f,g)\in A^2$, $\phi(fg)=f(0)\phi(g)+g(0)\phi(f)$.
• Montrer que l'ensemble des formes linéaires de la question précédente est un sous-espace vectoriel de dimension finie de $A^*$. Quelle est sa dimension?

Probabilités

On considére $n$ ampoules eteintes numérotées de 1 à $n$. L'ampoule $i$ à une probabilité $p_i$ de s'allumer à un instant donne. On note $Y$ la variable aléatoire comptant le nombre d'ampoules s'allumant.

• Exprimer $\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(Y)$.
• On fixe à present $m$ et on considére des $p_i$ tels que $\mathbf{E}(Y)=m$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les $p_i$ pour que $\mathbf{V}(Y)$ soit maximal. Donner la loi de $Y$ dans ce cas.

Un magasin dispose d'un stock de $N$ produits. Le nombre de clients qui passent dans une journée suit la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$ et chaque client à une probabilité $p$ d'acheter le produit. Quelle est la probabilité que le magasin soit en rupture de stock avant la fin de la journée?

On lance $N$ des. à chaque tour, on relance ceux qui n'ont pas donne $6$ lors des tours précédents. Soit $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre total de des ayant donne $6$ au cours des $n$ premiers tours.

• Montrer que $S_n$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramêtres.
• Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcup_{n=1}^{+\i}(S_n=N)\right)=1$.
• On pose $T_N=\inf\{n\in\N^*,\ S_n=N\}\in\N^*\cup\{+\i\}$.
• Donner la loi de $T_N$.
• Montrer que $T_N$ admet une espérance et la calculer.

Un peage comporte $3$ voies et $n$ voitures se presentent en choisissant aléatoirement et indépendamment une voie. On note $X_i$ le nombre de voitures qui passent par la voie $i$ pour $i\in\{1,2,3\}$.

• Déterminer la loi des $X_i$.
• Calculer $\mathbf{V}(X_1),\mathbf{V}(X_2)$ et $\mathbf{V}(X_1+X_2)$. En déduire $\op{Cov}(X_1,X_2)$.
• Les variables $X_1,X_2,X_3$ sont-elles indépendantes deux à deux? mutuellement indépendantes?

Une urne contient des boules numérotées de 0 à $n$. On en prend une poignée au hasard et on note les numéros obtenus. On effectue deux tirages indépendants. Soit $X$ la variables aléatoire correspondant au nombre de numéros communs entre les deux poignées. Déterminer la loi de $X$.

Soient $m,n,p$ des entiers $\geq 1$ tels que $p\leq\min(m,n)$. Une urne contient $m$ boules mauves et $n$ boules noires. On tire simultanement $p$ boules dans l'ume et on note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules mauves tires. Quelle est la valeur la plus probable de $X$?

Une urne contient $a\geq 1$ boules blanches et $b\geq 1$ boules rouges. à chaque tirage, on remet la boule tirée et on ajoute $c\geq 1$ boules de la même couleur. Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le rang de la première boule blanche tirée. Donner sa loi. Admet-elle une espérance? Un moment d'ordre $p\geq 2$?

On dispose de deux urnes $A$ et $B$, et de $2N$ boules numérotées de 1 à $2N$ reparties aléatoirement dans ces urnes. à chaque iteration, on pioche une boule au hasard et on la change d'urne. On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de boules dans l'urne $B$ à la $n^{\text{e}}$ iteration. On pose, pour $n\in\N$, $U_n=\left(\mathbf{P}(X_n=0)\ \mathbf{P}(X_n=1)\ \cdots\ \mathbf{P}(X_n=2N) \right)^T$.

• Déterminer $M\in\M_{2N+1}(\R)$ telle que, pour tout $n$, $U_{n+1}=MU_n$.
• Soient $v_0,\ldots,v_{2N}$ des réels et $P=\sum_{k=0}^{2N}v_kX^k$. En notant $V$ le vecteur colonne défini par les coefficients $v_k$, montrer que $V\in\op{Ker}(M-\lambda I_{2N+1})\Leftrightarrow\lambda P=XP-\frac{1- X^2}{2N}P'$.
• Montrer les $X_n$ suivent la même loi si et seulement si $X_0$ suit une certaine loi à déterminer.
• La matrice $M$ est-elle diagonalisable?

On lance simultanement deux pièces equilibrées $n$ fois. Soit $E_n$ l'évènement «les deux pièces donnent le me nombre de pile».

• Pour $a,b,n\in\N$ tels que $n\leq a+b$, montrer que $\sum_{k=0}^n\binom{a}{k}\binom{b}{n-k}=\binom{a+b}{n}$.
• En déduire $\mathbf{P}(E_n)$.
• Déduire combien de fois en moyenne les pièces sont tombées sur Pile lorsque l'évènement $E_n$ est realise.

Soient $A$ et $B$ deux évènements. Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $\mathbf{P}\big(A\cap B\big)\mathbf{P}\big(\overline{A}\cap\overline{B} \big)=\mathbf{P}\big(A\cap\overline{B}\big)\mathbf{P}\big(\overline{A} \cap B\big)$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et d'espérance finie.

Montrer que $\sum_{n\in\N^*}\mathbf{P}(X\geq n)$ converge et donner sa somme.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$.

Calculer $\mathbf{E}\left(\frac{1}{X+1}\right)$ et $\mathbf{E}\left(\frac{1}{(X+1)(X+2)}\right)$.

Soient $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune la loi géométrique de paramêtre $1/2$. On pose : $U=\max(X,Y)$ et $V=\min(X,Y)$. Déterminer la loi de $(X,Y)$.

À quelle condition sur $\alpha$ existe-t-il une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N^*$ telle que $\mathbf{P}(X=n)=\int_1^{+\i}\frac{dt}{(1+t^{\alpha})^n}$ pour tout $n\in\N^*$. Lorsque cela est realise montrer que $X$ admet une variance et la calculer.

Soient $\alpha\in\R$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$. Comparer $\mathbf{E}(X^{\alpha})$ et $\mathbf{E}(X)^{\alpha}$ au sens de $\overline{\R}$.

Soient $A=\begin{pmatrix}0&-1&0\\ 2&1&-2\\ 1&-1&-1\end{pmatrix}$ et $U=\begin{pmatrix}X\\ Y\\ Z\end{pmatrix}$ avec $X$, $Y$, $Z$ trois variables aléatoires indépendantes, $X$ et $Z$ suivant $\mc{G}(p)$ avec $p\in]0,1[$ et $Y$ suivant $\mc{P}(\lambda)$ avec $\lambda\in\R^{+*}$. Déterminer la probabilité que $U$ soit vecteur propre de $A$.

Soient $X,Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\R^{+*}$. Minorer aussi precisement que possible $\mathbf{E}(X/Y)$.

Soient $n\in\N^*$ et $X_1,...,X_n$ variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\R^{+*}$.

Calculer $\mathbf{E}\left(\frac{X_1+\cdots+X_k}{X_1+\cdots+X_n}\right)$ pour $k\in\db{1,n}$.

Soient $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda$ et $Y=X^2+1$.

• Calculer $\mathbf{E}(Y)$.
• Calculer $\mathbf{P}(2X\lt Y)$.
• Comparer $\mathbf{P}(X\in 2\N)$ et $\mathbf{P}(X\in 2\N+1)$.

On suppose que la probabilité de tirer un entier $n\in\N^*$ est $\frac{1}{2^n}$.

• Calculer $\mathbf{P}(A_p)$ ou $A_p$ est l'évènement $\lnot n$ est multiple de $p$.
• Calculer $\mathbf{P}(A_2\cup A_3)$.
• On note $B$ l'évènement $\lnot n$ est premier $\lnot n$. Montrer que $\frac{13}{32}\lt \mathbf{P}(B)\lt \frac{209}{504}$. En déduire $\mathbf{P}(B)$ à $10^{-2}$ pres.

Soit $A,B$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. Calculer ${\bf P}(A^B\leq B^A)$.

Soit $X$ une variable de loi de Poisson ${\cal P}(\lambda)$, avec $\lambda\gt 0$. Soient $p\in\N^*$ et $Y=\overline{X}$ à valeurs dans $\Z/p\Z$. Quelle est la loi de $Y$?

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables i.i.d. de loi de Bernoulli ${\cal B}(p)$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$. Montrer que $p=1/2$ si et seulement si, pour tout $n\in\N^*$ et tout $k\in\Z$, ${\bf P}(S_{2n}=k)\leq{\bf P}(S_{2n}=0)$.

Soit $(E_n)_{n\geq 0}$ une suite d'évènements de $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ et $Z=\sum_{n=0}^{+\i}{\bf 1}_{E_n}$. Montrer que si $\sum{\bf P}(E_n)$ converge alors $Z$ est d'espérance finie.

• Soit $n\in\N^*$. Donner le développement en série entière de $f:t\mapsto\frac{1}{(1-t)^n}$.
• En déduire que $|\{(k_1,\ldots,k_n)\in\N^n,\ k_1+\cdots+k_n=s\}|=\binom{s+n- 1}{n}$.
• Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ i.i.d. suivant la loi géométrique de paramêtre $p\in\,]0,1[$.

Déterminer ${\bf P}\left(\bigcup_{n\geq 1}\left(X_1+\cdots+X_n=s\right)\right)$.

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires réelles discretes indépendantes.

• Montrer que $X_1+X_2,X_3,\ldots,X_n$ sont indépendantes.
• En déduire que, pour tout $r\in\,\db{2,n-1}$, $X_1+\cdots+X_r,X_{r+1},\ldots,X_n$ sont indépendantes.

Soient $k\in\N$ avec $k\geq 2$, $a_0,\ldots,a_{k-1}\in\,]0,1[^k$ tels que $a_0+\cdots+a_{k-1}=1$. Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\Z/k\Z$. On suppose que : ${\bf P}(X_0=0)=1$ et $\forall n\in\N,\,\forall j\in\Z/k\Z, {\bf P}(X_{n+1}=j)=\sum_{i=0}^{k-1}a_i{\bf P}(X_n=j-i)$.

• Déterminer la loi de $X_n$.
• Soit $j\in\Z/k\Z$ fixe. Étudier le comportement asymptotique de $({\bf P}(X_n=j))_{n\geq 0}$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $Y=\int_0^{2\pi}\sin(t)^Xdt$. Montrer que $Y$ possède une espérance et la calculer.

Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$.

• Calculer ${\bf P}(Y=0)$ puis ${\bf P}(Y=n)$ pour $n\in\N^*$. Montrer que $Y$ admet une espérance et la calculer.
• Montrer que ${\bf E}(X_1-X_2)^2=2\,{\bf V}(X_1)$. En déduire que $Y$ admet une variance et la calculer.

Soient un espace probabilise $(\Omega,{\cal A},{\bf P})$ et une variable aléatoire $X$ suivant la loi de Poisson de paramêtre $\lambda\gt 0$.

• Montrer que ${\bf P}(X\geq 2\lambda)\leq\frac{1}{\lambda}$.
• Soit $Z$ une variable aléatoire réelle centrée admettant un moment d'ordre 2. On pose ${\bf V}(Z)=\sigma^2$.
• Montrer que pour tous $a\gt 0$ et $x\gt 0$, ${\bf P}(Z\geq a)\leq\frac{\sigma^2+x^2}{(x+a)^2}$.
• En déduire que ${\bf P}(Z\geq a)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+a^2}$ et ${\bf P}(X\geq 2\lambda)\leq\frac{1}{\lambda+1}$.

• Rappeler le développement en série entière au voisinage de $0$ de $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$, ainsi que sa validite.
• Donner une condition nécessaire et suffisante sur le réel $r$ pour qu'il existe une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\N$ telle que ${\bf P}(X=n)=\frac{(2n)!}{2^{3n}(n!)^2}r$ pour tout $n\in\N$.
• Calculer alors l'espérance et la variance de $X$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N^*$ telle que $\forall k\in\N^*,\ {\bf P}(X=k)=\frac{1}{2^k}$.

• Justifier la bonne définition d'une telle loi et calculer l'espérance de $X$.
• Pour $n\in\N^*$, on note $A_n$ l'évènement $(n|X)$. Les évènements $A_p$ et $A_q$ sont-ils indépendants si $p$ et $q$ sont deux entiers pairs?
• Étudier l'indépendance de $A_p$ et $A_q$ pour $p$ et $q$ entiers quelconques.

Soit $p\in\,]0,1[$ et $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi ${\cal G}(p)$. On pose $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$ ; $\alpha_n={\bf E}(Y_n)$ et $\beta_n={\bf E}(Z_n)$.

• Déterminer la monotonie des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$.
• Calculer $\alpha_n$.
• Déterminer la limite de $(\beta_n)$. Donner un équivalent de $\beta_n$.

Soient $\lambda\gt 0$ et $n\in\N$. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On pose $Y=(X+n)!$

• Trouver une condition sur $\lambda$ pour que $Y$ admette une espérance finie.
• On suppose que $Y\in L^1$. Montrer que : $\forall m\in\N^*,{\bf P}(Y\geq m)\leq\frac{n!}{m(1-\lambda)^{ n+1}}$.

• Montrer qu'il existe une variable aléatoire telle que : $\forall t\in[0,1],G_X(t)=\frac{e^{t-1}}{\sqrt{2-t}}$.
• Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\R^{+*}$ telle que : ${\bf E}\left(1/X\right)\lt +\i$. On définit $F_X$ sur $\R^+$ par : $\forall t\in\R^+,F_X(t)={\bf E}(e^{-tX})$.

• Montrer que $F_X$ est bien définie, continue, intégrable sur $\R^+$ et calculer $\int_0^{+\i}F_X$. - Soient $Y,Z$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent chacune la loi géométrique de paramêtre $p\in\,]0,1[$. Calculer ${\bf E}\Big(\frac{1}{X+Y}\Big)$.

Soient $X_1$,…, $X_n$ des variables aléatoires indépendantes. Notons, pour tout $k$ $F_k$ la fonction de repartition associée à $X_k$.

On note $X=\max(X_1,\ldots,X_n)$ et $Y=\min(X_1,\ldots,X_n)$.

• Montrer que $F_X=\prod_{k=1}^nF_k$ et $F_Y=1-\prod_{k=1}^n(1-F_k)$.
• Soient $x,y\in\R$ avec $y\lt x$. Montrer que ${\bf P}(y\lt Y\leq X\leq x)=\prod_{k=1}^n(F_k(x)-F_k(y))$.
• Supposons que les $X_k$ suivent des lois géométrique de paramêtre $p_k\in]0,1[$. Déterminer la loi de $Y$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ et admettant une variance.

• Montrer que la fonction generatrice de $X$ est convexe sur $[0,1]$.
• Prouver que ${\bf E}\left(\frac{1}{X+1}\right)\leq 1-\frac{2}{3}{\bf E}(X)+\frac{1}{6}{ \bf E}(X^2)$.

Soient $m,n\in\N$ tels que $n\gt m+2$. On définit une suite $(u_k)_{k\in\N}$ en fixant $u_0\in\R$ et en posant, pour tout $k\in\N$, $u_{k+1}=\frac{k+m}{k+n}u_k$.

• étudier la série $\sum\ln\left(\left(\frac{k+1}{k}\right)^{n-m}\frac{u_{k+1}}{u_k}\right)$. En déduire l'existence d'une constante $C\gt 0$ telle que $u_k\underset{k\ra+\i}{\sim}Ck^{m-n}$.
• Montrer l'existence d'une variable aléatoire réelle $X$ telle que :

$\forall k\in\N,\,(k+n){\bf P}(X=k+1)=(k+m){\bf P}(X=k)$

• Montrer que $X\in L^1$ et calculer ${\bf E}(X)$.

Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique ${\cal G}(p)$, avec $p\in]0,1[$.

• Soit $n\in\N^*$. Donner la loi de $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
• Déterminer un équivalent de $\max\{{\bf P}(S_n=k),k\in\N\}$ lorsque $n\ra+\i$.

Soient $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes qui suivent la loi ${\cal G}(p)$ et $N$ une variable indépendante des $X_i$ qui suit la loi ${\cal G}(q)$. Soit $S=\sum_{k=1}^NX_k$. Montrer que $S$ est une variable aléatoire et déterminer son espérance et sa variance.

Soit $N\in\N^*$. On repartit $2N$ boules entre deux urnes $A$ et $B$. On tire successivement une boule au hasard dans l'une des urnes, et on la place dans l'autre urne.

Pour $n\in\N$, on note $X_n$ le nombre de boules dans l'urne $B$ au $n^{\text{\`{e}me}}$ tour et on pose

$U_n=({\bf P}(X_n=0)\cdots{\bf P}(X_n=2N))^T\in{\cal M}_{2N+1,1}(\mathbb{ R})$.

• Trouver une matrice $M\in{\cal M}_{2N+1}(\R)$ telle que $\forall n\in\N,\,U_{n+1}=MU_n$. - Soit $V=(v_0,...,v_{2N})^T\in\M_{2N+1,1}(\R)$. On note $P(X)=v_0+v_1X+...+v_{2N}X^{2N}$.

Pour $\lambda\in\R$, montrer que $V\in\mathrm{Ker}(M-\lambda I_{2N+1})$ si et seulement si $\lambda P=XP+(1-X^2)P'$.

• Comment choisir $X_0$ pour que toutes les variables aléatoires $X_n$ soient equidistribuées?
• La matrice $M$ est-elle diagonalisable?

Soit $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi géométrique $\mc{G}(p)$, avec $p\in]0,1[$. Pour $n\in\N^*$, soient $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n)$, $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n)$, $a_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $b_n=\mathbf{E}(Z_n)$.

• Étudier la monotonie de $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$.
• Pour $n\in\N^*$, déterminer $a_n$.
• Déterminer la limite et un équivalent simple de $(b_n)_{n\geq 1}$.

Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires de Rademacher. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.

• Pour $t\in{\R^+}^*$ et $n\in\N^*$, montrer que $\mathbf{E}(e^{tS_n})\leq\exp\left(\frac{nt^2}{2}\right)$.
• Pour $a\in{\R^+}^*$ et $n\in\N^*$, montrer que $\mathbf{P}(|S_n|\geq a)\leq 2\exp\left(\frac{a^2}{2n}\right)$.
• Montrer que le résultat de la question précédente subsite si $(X_k)_{k\geq 1}$ est une suite i.i.d. de variables aléatoires bornées par $1$ et centrées.

Soit $X$ une variable aléatoire réelle discrete.

• Pour $t\in\R$, justifier l'existence de $\phi_X(t)=\mathbf{E}(e^{itX})$.
• Montrer que $\phi_X$ est uniformément continue sur $\R$.
• Montrer que $\phi_X$ détermine la loi de $X$.

Soient $k\leq n\in\N$. Un parking dispose de $n$ places consécutives numérotées de $1$ à $n$. On y dispose des vehicules nécessit chacun $k$ places consécutives pour être gares. Chaque vehicule est successivement place aléatoirement sur les emplacements disponibles jusqu'a ce qu'on ne puisse plus en garer aucun.

Pour $j\in\db{1,n-k+1}$, $B_j$ designe l'évènement $\llcorner$ la première voiture est garée entre les emplacements $j$ et $j+k-1$, $\neq$ et $X_n$ est le nombre d'emplacements residuels libres à la fin du processus.

• Montrer que, pour $i,j$ convenables, $\mathbf{P}_{B_j}(X_n=i)=\mathbf{P}(X_{j-1}+X_{n-(j+k)+1}=i-k)$.

En déduire que $\mathbf{E}(X_n)=k+\frac{2}{n-k+1}\sum_{\ell=0}^{n-k}\mathbf{E}(X_{\ell})$.

• Pour $n\in\N$, on pose $S_n=\mathbf{E}(X_0)+\cdots+\mathbf{E}(X_n)$.

Montrer que la somme $f$ de la série entière $\sum S_nt^n$ est au moins définie sur $]0,1[$ et vérifie une équation différentielle linéaire d'ordre $1$.

• Expliciter $f$ et en déduire une expression de $\mathbf{E}(X_n)$ pour $n\in\N$.

Centrale - MP   cent

Algèbre

Un entier $n\geq 2$ est un faux premier (FP) s'il n'est pas premier et si, pour tout $a\in\Z$ premier à $n$, $a^{n-1}\equiv 1\;[n]$.

• Montrer que, si $n$ est FP, $n$ est impair.
• On suppose que $n$ s'écrit $\prod_{i=1}^rp_i$ ou $r\geq 2$, les $p_i$ sont des nombres premiers impairs distincts tels que, pour tout $i\in\db{1,r},p_i-1$ divise $n-1$. Montrer que $n$ est FP.
• On admet que, pour tout $p$ premier impair et tout $v\in\N^*$, le groupe multiplicatif $(\Z/p^v\Z)^{\times}$ est cyclique. En déduire la réciproque de la question précédente.

Soient $G$ un groupe admettant un nombre fini de generateurs, $H$ un groupe fini, $f:G\ra G$ un morphisme de groupes surjectif et $g:G\ra H$ un morphisme de groupes.

• Montrer que l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ vers $H$ est fini.
• Soit $a\in\mathrm{Ker}\,f$. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, il existe $b_n\in G$ tel que $f^n(b_n)=a$, puis calculer $g\circ f^m(b_n)$ pour tout $m\gt n$.
• Montrer que $\mathrm{Ker}\,f\subset\mathrm{Ker}\,g$.
• On pose $\Gamma=\{M\in\M_2(\Z),\ \det M=1\}$. Montrer que $\Gamma$ est un groupe, engendre par les matrices $S=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0\end{pmatrix}$ et $T=\begin{pmatrix}1&1\\ 0&1\end{pmatrix}$.
• Montrer que tout endomorphisme surjectif de $\Gamma$ est bijectif.

On note $\mathbb{U}$ le groupe des nombres complexes de module $1$. Soit $q$ un entier $\geq 2$ fixe. On pose $H_q=\left\{z\in\C\ ;\ \exists n\in\N,\ z^{q^n}=1\right\}$.

• Montrer que $H_q$ est un sous-groupe dense de $\mathbb{U}$.
• Soit $f$ un endomorphisme du groupe $H_q$, continu en $1$. Montrer que $f$ se prolonge de maniere unique en un endomorphisme continu $\overline{f}$ du groupe $\mathbb{U}$.
• En déduire qu'il existe $m\in\Z$ tel que $f(z)=z^m$ pour tout $z\in H_q$.

• Rappeler, pour tous $P,Q\in\C[X]$, la définition de $P\circ Q$ et preciser le degré de de ce polynôme.
• Montrer que seuls les polynômes de degré 1 possèdent un inverse pour la loi $\circ$.
• On pose $P=X^2+\alpha$ avec $\alpha\in\C$. Montrer qu'il existe au plus un polynôme de degré $n$ qui commute avec $P$.

• Soit $I$ un idéal de $\Q[X]$ distinct de $\{0\}$. Montrer qu'il existe un polynôme $\mu\in\Q[X]$ tel que $I=\mu\Q[X]$.
• Soit $\lambda\in\C$. Montrer que $I_{\lambda}=\{P\in\Q[X],\ P(\lambda)=0\}$ est un idéal de $\Q[X]$.
• Soit $P\in\Q[X]$ irreductible. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples.
• Soient $P\in\Q[X]$ et $\lambda\in\C$ racine de $P$ avec multiplicité $m\gt \dfrac{\deg P}{2}$. Montrer que $\lambda\in\Q$.

• Rappeler la définition d'une $\mathbb{K}$-algèbre et d'un endomorphisme de $\mathbb{K}$-algèbre.
• Soit $\phi$ un endomorphisme de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}(X)$. Montrer que $\phi(X)\neq 0$.
• Déterminer les endomorphismes de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}(X)$.
• Déterminer les automorphismes de la $\mathbb{K}$-algèbre $\mathbb{K}(X)$.

Soit $n\in\N^*$. Pour $A,B\in\M_n(\C)$, on pose $[A,B]=AB-BA$.

Soit $E=\{[A,B],(A,B)\in\M_n(\C)^2\}$.

• Montrer que $\op{tr}(M)=0$ pour toute matrice $M\in E$.
• Montrer que l'ensemble $E$ est stable par similitude matricielle et par multiplication par un scalaire.
• Montrer qu'une matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.
• Montrer que $E$ est egal à l'ensemble des matrices de trace nulle.

Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $G$ un sous-groupe fini de $\op{GL}(E)$, $p=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g$, $V^G=\{x\in E\ ;\ \forall g\in G,\ g(x)=x\}$.

• Montrer que, si $h\in G$, $g\in G\mapsto h\circ g\in G$ est une bijection de $G$ sur lui-meme, puis que $p$ est un projecteur.
• Montrer que $\text{dim}(V^G)=\dfrac{1}{|G|}\sum\op{tr}(g)$.
• Montrer que tout sous-espace $V$ de $E$ stable par tous les éléments de $G$ admet un supplementaire stable par tous les éléments de $G$. On pourra partir d'un projecteur $q$ de $E$ sur $V$ et considérer $\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g\circ q\circ g^{-1}$.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$ et $u\in\mc{L}(E)$.

• Calculer, en fonction de $\op{tr}u$ et de $\op{tr}(u^2)$, les coefficients de $X^{n-1}$ et de $X^{n-2}$ du polynôme caractéristique de $u$.
• On suppose $u$ de rang $2$.
• Montrer que l'on peut écrire $\chi_u=X^{n-2}P(X)$, ou $P$ est un polynôme de degré $2$ dont on precisera les coefficients en fonction de $\op{tr}u$ et $\op{tr}(u^2)$.
• à quelle condition l'endomorphisme $u$ est-il trigonalisable?

Pour $a\in\Z$, on pose $S_a=\begin{pmatrix}1&a\\ 0&-1\end{pmatrix}$ et $T_a=\begin{pmatrix}1&a\\ 0&1\end{pmatrix}$.

• Donner le lien entre l'inverse d'une matrice carrée inversible et sa comatrice.
• Montrer que $\op{GL}_2(\Z)$ (ensemble des matrices de $\M_2(\Z)$ inversibles et dont l'inverse est à coefficients dans $\Z$) est un groupe et que $S_a,T_a\in\op{GL}_2(\Z)$ pour tout $a\in\Z$.
• Que vaut $T_bS_aT_b^{-1}$ pour $a,b\in\Z$?
• Soit $M\in\M_2(\Z)$ de polynôme caractéristique $X^2-1$. Montrer qu'il existe $P\in\op{GL}_2(\Z)$ tel que $M=PS_0P^{-1}$ ou $M=PS_1P^{-1}$.

Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n$.

• Cours : lemme des noyaux (avec demonstration).
• Soit $u$ et $v$ deux symétries telles que $u\circ v=-v\circ u$. Montrer que $n$ est pair.
• On pose $n=2p$. Montrer qu'il existe une base $\mc{B}$ de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont respectivement : $\begin{pmatrix}I_p&0\\ 0&-I_p\end{pmatrix}$ et $\begin{pmatrix}0&I_p\\ I_p&0\end{pmatrix}$.
• Quels sont les entiers $k$ pour lesquels il existe des symétries $s_1,\ldots,s_k$ vérifiant :

$\forall(i,j)\in\db{1,k}^2,\ (i\neq j\implies s_i\circ s_j=-s_j\circ s_i)$?

• Montrer que les valeurs propres d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie sont les racines de son polynôme caractéristique.
• Montrer que, pour $p,q\in\Q$ avec $p\neq q$, il existe $a,b,c\in\Z$ premiers entre eux dans leur ensemble tels que $p=a/c$ et $q=b/c$.
• Existe-t-il $x,y,z\in\Z$ premiers entre eux tels que $x^2+y^2=3z^2$?
• Existe-t-il $M\in\M_2(\Q)$ symétrique dont $\sqrt{2}$ est valeur propre?

• Pour $A\in\M_n(\mathbb{K})$, rappeler la définition des polynômes minimal $\pi_A$ et caractéristique $\chi_A$.
• Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\pi_A$ pour que $A$ soit trigonalisable.
• Donner la définition et la dimension du sous-espace caractéristique de $A$ associe à la valeur propre $\lambda$.
• Soient $k\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$.
• Montrer que, si $\chi_A$ est scindé, alors $\chi_{A^k}$ l'est aussi.
• Trouver un contre-exemple à la réciproque.

Ind. On pourra examiner le cas des rotations.

• On suppose $\chi_{A^2}$ scindé à racines dans $\R^+$. Montrer que $\chi_A$ est scindé sur $\R$.
• Soit $A\in\M_n(\C)$. On suppose : $\forall X\in\C^n,\ \exists p\in\N^*,\ A^pX=X$. Montrer que $A$ est diagonalisable.

Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On note $\chi_A=\sum_{i=0}^na_iX^{n-i}$ et $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ les valeurs propres de $A$.

• Donner et démontrer la décomposition en éléments simples de $P'/P$.

En déduire que : $\forall x\in{\C}\setminus{\rm Sp}(A),\ \frac{\chi'_A(x)}{ \chi_A(x)}={\rm tr}\big((xI_n-A)^{-1}\big)$.

• Pour tous $j\in\db{0,n}$ et $x\in{\C}$, on pose $B_j=\sum_{i=0}^ja_iA^{j-i}$ puis $Q(x)=\sum_{j=1}^nx^{n-j}B_{j-1}$.

Montrer que $Q(x)(xI_n-A)=\chi_A(x)I_n$ et ${\rm tr}\big(Q(x)\big)=\chi'_A(x)$.

• Pour tout $k\in\db{0,n-1]\!]$, on pose $S_k=\sum_{j=1}^n\lambda_j^k$. Montrer que : $\forall j\in[\![0,n-1}$,

$$\sum_{i=0}^ja_iS_{j-i}=(n-j)a_j.$$

Soient $n\in{\N}^*$ et $S_n$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $n$ à coefficients dans ${\Z}$ dont toutes les racines complexes ont un module majore par $1$.

Soit $P(X)=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_0\in S_n$.

On note $z_1,...,z_n$ les racines de $P$ eventuellement confondues.

• • Rappeler les relations coefficients-racines pour un polynôme complexe.
• Montrer que $\forall k\in\db{0,n-1}$, $|a_k|\leq\binom{n}{k}$.
• Conclure que $S_n$ est fini.
• Montrer que $P$ est le polynôme caractéristique de la matrice
• • Montrer que $\forall p\in{\N},\ \exists Q_p\in S_n,\ \forall 1\leq i \leq n,Q_p(z_i^p)=0$.
• Conclure que les racines non nulles de $P$ sont de module $1$.

Soient $n\in{\N}^*$ et $p$ un entier premier impair. On note ${\rm GL}_n({\Z})$ l'ensemble des matrices $M\in{\rm GL}_n({\R})$ telles que $M$ et $M^{-1}$ sont à coefficients entiers.

• Rappeler la définition de la comatrice.
• Montrer que ${\rm GL}_n({\Z})$ est l'ensemble des matrices de ${\cal M}_n({\Z})$ dont le déterminant vaut $\pm 1$.
• Soit $M\in{\cal M}_n({\C})$. On suppose qu'il existe $k\in{\N}^*$ tel que $M^k=I_n$ et que $A=\frac{1}{p}(M-I_n)\in{\cal M}_n({\Z})$. Montrer que $M=I_n$.
• Déterminer un majorant des cardinaux des sous-groupes finis de ${\rm GL}_n({\Z})$.

• Si $n\in{\N}^*$, montrer que le groupe ${\rm GL}_n({\Z})$ des inversibles de l'anneau ${\cal M}_n({\Z})$ est l'ensemble des $M\in{\cal M}_n({\Z})$ de déterminant $\pm 1$. - Pour $a\in\Z$, soient $T_a=\left(\begin{array}{cc}1&a\\ 0&1\end{array}\right)$ et $S_a=\left(\begin{array}{cc}1&a\\ 0&-1\end{array}\right)$. Pour $a\in\Z$ et $b\in\Z$, calculer $T_bS_a{T_b}^{-1}$.
• Soit $M\in\M_2(\Z)$ telle que $M^2=I_2$. Montrer qu'il existe $P\in\text{GL}_2(\Z)$ telle que $PMP^{-1}\in\{S_0,S_1\}$.
• Existe-t-il $Q\in\text{GL}_2(\Z)$ telle que $S_1=QS_0Q^{-1}$?

• Rappeler le theoreme de Cayley-Hamilton et le prouver dans le cas diagonalisable. Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $\op{Sp}(A)\cap\op{Sp}(B)=\emptyset$.
• Montrer que $\chi_A(B)$ et $\chi_B(A)$ sont inversibles.
• Montrer que, pour toute matrice $C\in\M_n(\C)$, il existe une unique matrice $D\in\M_n(\C)$ telle que $AD-DB=C$.
• Soit $C\in\M_n(\C)$.
• Montrer que les matrices $\left(\begin{matrix}A&C\\ 0&B\end{matrix}\right)$ et $\left(\begin{matrix}A&0\\ 0&B\end{matrix}\right)$ sont semblables.
• En déduire une condition nécessaire et suffisante sur les matrices $A$ et $B$ pour que $\left(\begin{matrix}A&C\\ 0&B\end{matrix}\right)$ soit diagonalisable.

• Rappeler les définitions de morphisme de groupes et d'ordre d'un élément.

On appelle representation de degré $n$ un morphisme de groupes de $\mc{S}_3$ dans $\text{GL}_n(\C)$.

• Soit $f$ une representation de $\mc{S}_3$. Soit $\sigma$ un élément de $\mc{S}_3$. Montrer que $f(\sigma)$ est diagonalisable. Montrer que l'image de $f$ est entièrement déterminée par l'image de la transposition $(1\ 2)$ et du cycle $(1\ 2\ 3)$.
• Donner les representations de degré $1$.
• Donner un exemple de representation de degré $3$.

Soit $M\in\M_n(\R)$ à coefficients positifs et telle que la somme des coefficients sur chaque ligne vaut $1$.

• Montrer que $1$ est valeur propre de $M$ puis que toute valeur propre complexe de $M$ vérifie $|\lambda|\leq 1$.
• On suppose que tous les coefficients diagonaux de $M$ sont strictement positifs. Montrer que $1$ est la seule valeur propre de $M$ de module $1$.
• Montrer que $\op{Ker}(M-I_n)^2=\op{Ker}(M-I_n)$.

Soit $A\in\M_n(\C)$. On designe par $\mu_A$ son polynôme minimal.

• Montrer que tout idéal de $\C[X]$ est de la forme $P\C[X]$, ou $P\in\C[X]$.
• Pour $x\in\M_{n,1}(\C)$ non nul, on note $\mu_{A,x}$ le generateur unitaire de l'idéal annulateur ponctuel $\{P\in\C[X],\ P(A)x=0\}$. Montrer qu'il existe $x\in\M_{n,1}(\C)$ tel que $\mu_{A,x}=\mu_A$. - Soit $A$ une matrice diagonale par blocs dont la diagonale vaut $(A_1,A_2)$ ou $A_1$ et $A_2$ sont des matrices de Frobenius (compagnon) et $\chi_{A_1}\wedge\chi_{A_2}=1$. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de Frobenius.

• Définir l'exponentielle d'une matrice de $\M_n(\C)$.

Pour $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$, montrer que $\exp(P^{-1}AP)=P^{-1}\exp(A)P$.

• Soit $B\in\mathrm{GL}_n(\C)$ diagonalisable. Montrer qu'il existe $A\in\M_n(\C)$ telle que $B=\exp(A)$.
• Montrer qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $B=\exp\bigl(P(B)\bigr)$.
• Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\C)$. On suppose que $M=I_n+A$ avec $A$ nilpotente. Montrer qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $M=\exp\bigl(P(M)\bigr)$.

• Justifier la définition de l'exponentielle de matrice.
• Calculer $\exp(A)$ pour $A=\begin{pmatrix}0&t\\ -t&0\end{pmatrix}$ et $t\in\R$.
• Considérons une matrice $A$ diagonalisable. Calculer $\exp(A)$ en utilisant des matrices de passage. Montrer que $\exp(A)\in\mathbb{K}[A]$.
• Dans cette question, on admet l'existence et l'unicité de la décomposition de Jordan-Dunford. En notant $D+N$ la décomposition de Jordan-Dunford de $A$, montrer que la décomposition de $\exp(A)$ est $\exp(D)+\exp(D)(\exp(N)-I_n)$.

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$.

• Montrer que, pour tout hyperplan $H$ de $E$, il existe $a\in E$ tel que $H=\mathrm{Vect}(a)^{\perp}$.
• Soit $(x_0,\ldots,x_n)$ une famille de vecteurs unitaires de $E$ tels que $\langle x_i,x_j\rangle=\alpha$ pour tous $i\neq j$, ou $\alpha$ est un réel strictement negatif fixe. Déterminer $\alpha$.
• Montrer l'existence d'une telle famille.

Soient $n\in\N\setminus\{0,1\}$ et $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$. On considére une base orthonormale $\mc{B}=(e_1,\ldots,e_n)$ et deux familles $(x_1,\ldots,x_n)$ et $(y_1,\ldots,y_n)$ d'éléments de $E$. On note respectivement $A$ et $B$ les matrices representatives des familles précédentes dans la base $\mc{B}$.

• Exprimer les coordonnées et la norme d'un vecteur $x$ de $E$ à l'aide des éléments de $\mc{B}$.
• Explorer les coefficients de $A$, $B$ et $A^TB$ à l'aide de produits scalaires.
• On suppose ici que $(x_1,\ldots,x_n)$ est une base de $E$. D'eduire de la question précédente que l'on peut choisir $y_1,\ldots,y_n$ de telle sorte que $\langle x_i,y_j\rangle=\delta_{i,j}$. Montrer que, ainsi choisis, $(y_1,\ldots,y_n)$ est une base de $E$.
• On suppose ici que :

(i) $\forall i\in\db{1,n}$, $\|x_i\|=1$ et $\forall i\neq j$, $\langle x_i,x_j\rangle\lt 0$,

(ii) $\exists v\in E,\ \forall i\in\db{1,n},\ \langle x_i,v\rangle\gt 0$.

Montrer que $(x_1,\ldots,x_n)$ est une base de $E$.

• Rappeler le procede d'orthonormalisation de Gram-Schmidt.
• Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe $O\in\mc{O}_n(\R)$ et $T$ triangulaire supérieure telles que $M=OT$. - Soient $M\in\M_n(\R)$, $C_1$,…, $C_n$ ses colonnes. Montrer que $|\mathrm{det}(M)|\leq\prod_{i=1}^n\lVert C_i\rVert$. - On suppose que le résultat précédent est vérifie pour des matrices dans $\M_n(\C)$ avec le produit scalaire hermitien $((x_1,\ldots,x_n),(w_1,\ldots,w_n))\mapsto\sum_{k=1}^nx_i \overline{w_i}$.

Soit $\overline{\mathbb{D}}=\{z\in\C,\ |z|\leq 1\}$. Trouver le maximum et les points realisant le maximum de $f:(z_1,\ldots,z_n)\in\overline{\mathbb{D}}^n\mapsto\prod_{1\leq i\lt j \leq n}|z_i-z_j|$.

On note $E$ l'ensemble des fonctions réelles, continues et de carré intégrable sur $\R^+$. - - Définir la notion de fonction intégrable sur $[0,+\i[$.

• Montrer que, pour $f,g\in E$, $fg$ est intégrable et en déduire que $E$ est un $\R$-espace vectoriel.
• Pour $(f,g)\in E^2$, on pose $\langle f,g\rangle=\int_0^{+\i}fg$.
• Montrer que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $E$.
• Soit $f\in E$ de classe $\mc C^2$ telle que $f''\in E$. Montrer que $f'\in E$.
• Exprimer $\langle f',f'\rangle+\langle f,f''\rangle$, $\langle f,f'\rangle$, $\langle f',f''\rangle$ en fonction de $f(0)$ et $f'(0)$.
• On pose $A=\left(\begin{array}{ccc}\langle f,f\rangle&\langle f',f\rangle& \langle f'',f\rangle\\ \langle f,f'\rangle&\langle f',f'\rangle&\langle f^{ ''},f'\rangle\\ \langle f,f''\rangle&\langle f',f''\rangle& \langle f'',f''\rangle\end{array}\right)$.

Montrer que $\mathrm{det}(A)\geq 0$ et étudier le cas d'égalité.

Soit $E$ un espace vectoriel euclidien.

• Montrer que toutes les valeurs propres d'une isométrie vectorielle de $E$ sont de module $1$.
• Soit $u\in\mc{L}(E)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $1$ et vérifiant : $\forall x\in E$, $\lVert u(x)\rVert\leq\lVert x\rVert$. Montrer que $\mathrm{Ker}(u-\mathrm{Id}_E)$ et $\mathrm{Im}(u-\mathrm{Id}_E)$ sont en somme directe.

Pour tout $t\in\left]-1,1\right[$, on note $\omega(t)=\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}$. Pour $(P,Q)\in\R_n[X]^2$, on pose $\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1P(t)Q(t)\omega(t)\dt$.

• Montrer que $\langle\,\ \rangle$ est un produit scalaire sur $\R_n[X]$.
• On pose $\phi:P\in\R_n[X]\mapsto(X^2-1)P''+(2X+1)P'$. Montrer que $\phi$ est un endomorphisme autoadjoint de $\R_n[X]$.
• Déterminer ses valeurs propres.
• Montrer qu'il existe une base de vecteurs propres de degrés echelonnes.

Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que $a_{i,j}=2$ si $i=j$, $a_{i,j}=-1$ si $|i-j|=1$ ou $|i-j|=n-1$, $a_{i,j}=0$ sinon.

• Montrer que les sous-espaces propres d'une matrice symétrique sont orthogonaux.
• Montrer que $A$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont réelles.
• Montrer que le spectre de $A$ est inclus dans $[0,4]$.
• Lister les valeurs propres de $A$.

Soit $n\in\N^*$. On note $\Omega=\{M\in\M_n(\R),\;I_n+M\in\mathrm{GL}_n(\R)\}$.

• Montrer que $(\mc{O}_n(\R),\times)$ est un groupe.
• Montrer que $\mc{A}_n(\R)\subseteq\Omega$.

On pose $f:M\in\Omega\mapsto(I_n-M)(I_n+M)^{-1}$.

• Montrter que, pour tout $M\in\mc{O}_n(\R)\cap\Omega$, $f(M)\in\mc{A}_n(\R)$ et $f(f(M))=M$.
• Montrter que, pour tout $M\in\M_n(\R)$, il existe une matrice diagonale $J$ à coefficients diagonaux dans $\{-1,1\}$ telle que $\det(M+J)\neq 0$.

Ind. On pourra faire une récurrence et comparer deux déterminants.

• Soit $M\in\mc{O}_n(\R)$. Montrter qu'il existe une matrice diagonale $J$ à coefficients diagonaux dans $\{-1,1\}$ et $A\in\mc{A}_n(\R)$ telles que $M=Jf(A)$.

Soient $A$ une matrice réelle antisymétrique de taille $n$ et $f$ l'endomorphisme de $\R^n$ canoniquement associe.

• Enoncer le theoreme du rang.
• On suppose $A$ inversible. Montrter que $n$ est pair.
• On suppose $\R^n$ muni de son produit scalaire canonique. Que dire de $f^*$?
• Montrter que $A$ est semblable à une matrice de la forme $A'=\begin{pmatrix}0&0\\ 0&A''\end{pmatrix}$ ou $A''$ est inversible.
• En déduire que le rang de $A$ est pair.
• On suppose $n$ pair et l'on prend une autre matrice antisymétrique $B$ dans $\M_n(\R)$. Montrter que les sous-espaces propres de $AB$ sont de dimension supérieure à $2$.

Ind. On pourra commencer par le sous-espace propre associe à la valeur propre nulle.

• Rappeler la définition d'un matrice symétrique définie positive. Caractérisation a l'aide du spectre?
• Montrter que l'exponentielle définit une bijection continue de $\mc{S}_n(\R)$ sur $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
• Montrter que sa réciproque est continue.

• Rappeler la définition d'une matrice définie positive. Caractérisation a l'aide du spectre?
• Soit $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$.
• Montrter qu'il existe $R\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ telle que $A=R^2$.
• Montrter son unicité. On la note $\sqrt{A}$.

Ind. Considérer les sous-espaces propres de l'endomorphisme canoniquement associe à $A$.

• Soient $A$ et $B\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrter que l'équation $XA^{-1}X=B$ admet une unique solution dans $\mc{S}_n^+(\R)$ qui est : $A\#B=\sqrt{A}\sqrt{\sqrt{A^{-1}}B\sqrt{A^{-1}}}\sqrt{A}$ (moyenne géométrique de $A$ et $B$).
• Montrter les relations : $A\#A=A$, $A\#B=B\#A$, $(A\#B)^{-1}=A^{-1}\#B^{-1}$.

Soient $E$ et $F$ des espaces vectoriels euclidiens de dimensions respectives $n$ et $m$.

• Soit $u\in\mc{L}(E,F)$. Montrter qu'il existe un unique $u^*\in\mc{L}(F,E)$ tel que $\forall x\in E,\forall y\in F$, $\left\langle u(x),y\right\rangle_F=\left\langle x,u^*(y)\right\rangle_E$.
• Montrter que $u^*u$ est autoadjoint positif. - Soit $M\in\M_{m,n}(\R)$ de rang $r$. Montrer qu'il existe $P\in\mc{O}_m(\R)$, $Q\in\mc{O}_n(\R)$ et $\sigma_1,\ldots,\sigma_r\in\R^{+*}$ tels que $(PMQ)_{i,i}=\sigma_i$ si $i\leq r$, les autres coefficients etant nuls.

Soit $E$ un espace euclidien.

• Soit $s\in\mc{S}^+(E)$. Montrer qu'il existe un unique $r\in\mc{S}^+(E)$ tel que $s=r^2$.
• Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que $\forall x\in\mathrm{Ker}(u)^{\perp}$, $\left\|u(x)\right\|=\left\|x\right\|$.
• Montrer que $\forall x,y\in\mathrm{Ker}(u)^{\perp}$, $\left\langle u(x),u(y)\right\rangle=\left\langle x,y\right\rangle$.
• Montrer que $u^*u$ est le projecteur orthogonal sur $\mathrm{Ker}(u)^{\perp}$.

• Soit $M\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $M\in\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si $\mathrm{sp}(M)\subset\R^+$.
• Soit $M\in\mc{S}_n(\R^+)$ c'est-a-dire symétrique à coefficients positifs. Est-ce que toutes les valeurs propres de $M$ peuvent être strictement negatives? Peut-on trouver $M$ avec une unique valeur propre strictement positive?
• Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $X_1,\ldots,X_n$ une base orthonormée de vecteurs propres associes aux valeurs propres $\lambda_1\leq\cdots\leq\lambda_n$. Pour $\alpha\in\R$ on pose $B(\alpha)=\left(\begin{array}{cc}A&\alpha X_n\\ \alpha X_n^T&0\end{array}\right)$. Montrer que $\lambda_1,\ldots,\lambda_{n-1}$ sont valeurs propres de $B(\alpha)$ et exprimer les deux restantes en fonction de $\lambda_n$ et $\alpha$.

Soient $E$ un espace euclidien et $u,v$ dans $\mc{S}(E)$ avec $u\in\mc{S}^{++}(E)$.

• Caractériser spectralement le fait que $u\in\mc{S}^{++}(E)$.
• Montrer qu'il existe un unique $w\in\mc{L}(E)$ tel que $w\circ u+u\circ w=v$ puis que $w^*=w$.
• A-t-on l'équivalence $v\in\mc{S}^{++}(E)\Leftrightarrow w\in\mc{S}^{++}(E)$?

• Soit $M\in\mc{S}_d\left(\R\right)$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans $\R^+$ si et seulement si $\forall x\in\R^d$, $\left\langle Mx,x\right\rangle\geq 0$.
• Soient $M_1,\ldots,M_n\in\M_d\left(\R\right)$ telles que $\sum_{i=1}^nM_i^TM_i=I_d$. On pose, pour $X\in\mc{S}_d(\R)$,

$\mc{L}\left(X\right)=\sum_{i=1}^nM_i^TXM_i$. Montrer que $\mc{L}$ préserve le caractere symétrique positif.

• Donner $p\in\N$, $\Pi\colon\M_d\left(\R\right)\ra\M_p\left( \R\right)$ morphisme d'algèbre vérifiant $\Pi\left(X^T\right)=\Pi\left(X\right)^T$ et $V\in\M_{p,d}\left(\R\right)$ vérifiant $V^TV=I_d$ tels que $\forall X\in\M_d(\R)$, $\mc{L}\left(X\right)=V^T\Pi\left(X\right)V$.

Pour $M,N\in\M_d\left(\R\right)$, on note $M\geq N$ si et seulement si $M-N$ est symétrique positive.

• Montrer $\mc{L}\left(X^TX\right)\geq\mc{L}\left(X^T\right)\mc{ L}\left(X\right)$.
• On suppose qu'il existe $\mc{K}$ du même type que $\mc{L}$ tel que $\mc{L}\circ\mc{K}=\mc{K}\circ\mc{L}=\mc{I}$. Montrer que : $\forall X\in\M_d(\R)$, $\mc{L}\left(X^TX\right)=\mc{L}\left(X^T\right)\mc{L}\left(X\right)$.

Analyse

• Formuler et démontrer le cas d'égalité du théorème des accroissements finis. On note $\mc{E}$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\left\{-1,0,1\right\}$ et $A$ l'ensemble des racines réelles des polynômes de $\mc{E}$.
• Montrer que $A\setminus\left\{0\right\}$ est stable par $x\mapsto-x$ et $x\mapsto\dfrac{1}{x}$.
• Montrer que $A\cap \interval]{2, +\i}[=\emptyset$.

Soit $A=(a_0,\ldots,a_n)\in\N^{n+1}$ avec $a_0\lt a_1\lt \cdots\lt a_n$. Pour $P\in\R_n[X]$ on pose $\|P\|_A=\max_{0\leq k\leq n}|P(a_k)|$. On pose $d_{n,A}=\inf_{P\in\R_{n-1}[X]}\|X^n-P\|_A$.

• Montrer que $\|\ \|_A$ est une norme sur $\R_n[X]$.
• Soit $P\in\R_{n-1}[X]$. Montrer qu'il existe un unique $(n+1)$-uplet $(b_0,\ldots,b_n)$ de réels tel que $X^n-P=\sum_{k=0}^nb_k\prod_{j\neq k}(X-a_j)$. Montrer que $\sum_{k=0}^nb_k=1$.
• Montrer que, pour tout $k\in\db{0,n}$, $\prod_{j\neq k}|a_k-a_j|\geq\frac{n!}{\binom{n}{k}}$.
• Montrer que $\|X^n-P\|_A\geq\frac{n!}{2^n}$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$.
• Calculer $d_{n,A}$.

Soient $a\lt b$ des réels fixes. On munit l'espace $E=\mc C^0([a,b],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$. On fixe enfin un entier $n\geq 0$ et $f\in E$, et on pose $m=d(f,\R_n[X])$.

• On pose $C=\{g\in\R_n[X]\ ;\ \|f-g\|_{\i}\leq m+1\}$. Montrer que $C$ est compact et non vide. En déduire qu'il existe $p\in\R_n[X]$ tel que $m=\|f-p\|_{\i}$.
• Montrer que l'équation $|f(x)-p(x)|=m$ admet au moins $n+2$ solutions.
• En déduire que $p$ est unique.

Notons $\mc C$ l'espace des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\R$ muni de la norme $\i$. Pour $f\in\mc C$, notons $Af(x)=\int_x^1\frac{f(t)}{\sqrt{t-x}}dt$ si $x\in[0,1[$ et $Af(1)=0$.

• Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\alpha\in\R$ pour que l'intégrale $\int_0^1\frac{dt}{t^{\alpha}}$ soit convergente. La démontrer.
• Justifier que, pour tout $f\in\mc C$, $Af$ est correctement définie.
• Montrer que, pour tout $f\in\mc C$, $Af\in\mc C$.
• Montrer que $A$ est un endomorphisme continu de $\mc C$; calculer sa norme subordonnée.
• Étudier la dérivabilité de $Af$ pour une fonction $f:[0,1]\ra\R$ de classe $\mc C^1$.

• Soient $E$ et $E'$ deux espaces vectoriels normés et $u\in\mc{L}(E,E')$.

Montrer que $u$ est continue sur $E$ si et seulement si elle est continue en $0$.

On considére desormais l'espace $E=\mc C^1([-1,1],\R)$ muni de la norme infinie.

Pour $\phi$ forme linéaire sur $E$, on pose $N(\phi)=\sup\{|\phi(f)|,\ f\in S_{\|\ \|_{\i}}(0,1)\}\in[0,+\i]$.

• Calculer $N(\phi)$ avec $\phi:f\mapsto\int_{-1}^0f-\int_0^1f$.

Soit $(\lambda_n)$ une suite de réels positifs strictement croissante telle que $\lambda_0=0$, $\lambda_n\ra+\i$ et la série de terme general $\frac{1}{\lambda_n}$ diverge. Pour $m\in\N^*$ fixe, on pose $Q_0:x\mapsto x^m$ et, pour tout $n$,

$$Q_{n+1}:x\mapsto(\lambda_{n+1}-m)\,x^{\lambda_{n+1}}\int_x^1Q_n(t)\,t^{-( 1+\lambda_{n+1})}dt.$$

• Rappeler le theoreme de Weierstrass.
• Montrer que la suite $(Q_n)$ est bornée sur $[0,1]$ et que, pour tout $n$, $\|Q_n\|_{\i}\leq\prod_{j=1}^n\left|1-\frac{m}{\lambda_j}\right|$.

En déduire que $(Q_n)$ converge uniformément vers la fonction nulle sur $[0,1]$.

• Montrer que, toute fonction continue sur $[0,1]$ est limite uniforme d'une suite de fonctions appartenant à $\mathrm{Vect}\left\{x\mapsto x^{\lambda_n},\ n\in\N\right\}$.

• Enoncer et démontrer le theoreme des bornes atteintes.

Soit $C$ une partie convexe compacte non vide d'un espace euclidien $E$.

• Soit $x\in E$.
• Montrer l'existence et unicité d'un vecteur $p(x)\in C$ tel que $d(x,C)=\|x-p(x)\|$.
• Soit $y\in C$. Montrer que $y=p(x)$ si et seulement si $\forall c\in C$, $\langle x-p(x),c-p(x)\rangle\leq 0$.
• Montrer que l'application $p$ définie dans ce qui precede est continue.

Si $A\in\M_n(\C)$, on pose $\rho(A)=\{|\lambda|\ ;\ \lambda\in\text{Sp}(A)\}$. On munit $\C^n$ d'une norme $\|\ \|$ et $\M_n(\C)$ de la norme $\|\ \|$ d'operateur associe.

• L'application $A\mapsto\rho(A)$ est-elle une norme?
• Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, $\rho(A)\leq\|A^k\|^{1/k}$.
• Montrer que, pour toute norme $N$ sur $\M_n(\C)$, $N(A^k)^{1/k}\ra\rho(A)$.

On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $\R$ dans $\R$ et de limite nulle en $\pm\i$. On munit $E$ de la norme $\|\ \|_{\i}$ et on définit $T(f)$ pour tout $f\in E$ par :

$$\forall x\in\R,\,T(f)(x)=\frac{1}{2}\int_{\R}\mathrm{e}^{-|x-t| }f(t)dt$$

• Rappeler le théorème de Heine.
• Montrer que $f$ est uniformément continue.
• Montrer que $T\in\mc{L}(E)$ puis que $T$ est continu.
• Déterminer sa norme d'operateur.

Soient $A,B\in\M_p(\mathbb{K})$. Pour $A\in\M_p(\mathbb{K})$, on pose $\|M\|=\max_{1\leq i\leq p}\sum_{j=1}^p|a_{i,j}|$.

• Montrer que $\|\ \|$ est une norme et que $\forall A,B\in\M_p(\mathbb{K})$, $\|AB\|\leq\|A\|\cdot\|B\|$.
• Définir $\exp(A)$ et montrer que $\|\exp(A)\|\leq\exp(\|A\|)$.
• On pose $K=\max(\|A\|,\|B\|)$. Montrer : $\forall n\in\N$, $\|A^n-B^n\|\leq nK^{n-1}\|A-B\|$.
• Trouver $\lim_{n\ra+\i}\left(\mathrm{e}^{A/n}\mathrm{e}^{B/n}\right)^n$.

• Rappeler la définition de la borne inférieure d'une partie non vide de $\R$. - On note $X$ une partie non vide minorée de $\R$. Montrer qu'il existe une suite de $X$ convergent vers la borne inférieure de $X$. Réciproquement, prouver que si une suite de $X$ converge vers un minorant $m$ de $X$, alors $m$ est la borne inférieure de $X$.
• Soit $n\in\N^*$. On pose $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det(M)\geq\alpha\}$ pour $\alpha\gt 0$. On souhaite prouver que, si $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, $\inf\limits_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)=n(\alpha\det(A))^{1/n}$. Prouver ce résultat lorsque $A=I_n$ puis lorsque $A\in\mc{S}_n^+(\R)$.
• Est-ce toujours le cas lorsque $\alpha=0$?

On note $\mc{A}$ l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ à coefficients dans $[-1,1]$.

• Montrer la continuité du déterminant sur $\M_n(\R)$.
• Montrer que le déterminant admet un maximum $\alpha$ sur $\mc{A}$.
• Montrer que le maximum est atteint en une matrice inversible $A$ de déterminant strictement positif et à coefficients dans $\{-1,1\}$.
• Montrer que $\alpha\leq n^{n/2}$ avec égalité si et seulement si les colonnes de $A$ sont deux à deux orthogonales pour le produit scalaire euclidien canonique de $\R^n$.

• Montrer que les parties connexes par arcs de $\R$ sont ses convexes.
• Soit $n\in\N^*$. On note $\Gamma_n$ l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $\{0,1\}$. Justifier l'existence de $a_n=\max\limits_{M\in\Gamma_n}\det(M)$ et étudier son comportement quand $n\ra+\i$.
• On note $C_n$ l'ensemble des matrices carrées de taille $n$ à coefficients dans $[0,1]$.

Montrer que $\det(C_n)=[-a_n,a_n]$.

Soient $d\in\N^*$ et $(\omega_n)\in\C^{\N^*}$ une suite $d$-périodique.

Pour $n\in\N^*$ et $\lambda\in\C$, on pose $S_n(\lambda)=\sum\limits_{k=1}^n\frac{\lambda+\omega_k}{k}$.

• Soit $(u_n)\in\C^{\N}$. Montrer que, si $\sum u_n$ converge, alors $u_n\longrightarrow 0$ quand $n\ra+\i$.

La réciproque est-elle vraie?

• Montrer qu'il existe au plus un complexe $\lambda$ tel que la suite $(S_n(\lambda))_{n\in\N^*}$ converge.
• Montrer l'existence de $\Omega,\alpha\in\C$ tels que $S_{(m+1)d}(0)-S_{md}(0)=\frac{\Omega}{md}+\frac{\alpha}{m^2}+o\left(\frac{1 }{m^2}\right)$ quand $m\ra+\i$.
• Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda\in\C$ pour que la suite $(S_n(\lambda))$ converge.

Soit $(u_n)$ une suite réelle strictement positive telle que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n}+v_n$ ou $\sum|v_n|$ converge.

• Étudier la convergence de $a_{n+1}-a_n$ ou $a_n=\ln(n^{\alpha}u_n)$. En déduire qu'il existe $K\gt 0$ tel que $u_n\sim\frac{K}{n^{\alpha}}$.
• On prend $u_n=n^{-n}n!e^n$. Montrer qu'il existe $K\gt 0$ tel que $u_n\sim K\sqrt{n}$.
• On suppose maintenant que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac{\alpha}{n}+o\left(\frac{1}{n}\right)$. Montrer que si $\alpha\gt 1$ alors la série $\sum u_n$ converge, et que si $\alpha\lt 1$ alors elle diverge.

Pour $n\in\N^*$, on pose $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ et $d_n=\op{card}\{p\in\db{1,n}\;;\;p\mid n\}$.

Pour $x\in\R^+$, on définit $f(x)=\sum_{1\leq k\leq x}d_k$.

• Cours : Montrer que $H_n\sim\ln n$.
• Déterminer un équivalent de $f$ en $+\i$.
• Déterminer le deuxième terme du développement asymptotique de $f$.

• Énoncer le theoreme de Rolle.
• Soient $a,b\in\R\cup\{\pm\i\}$ tels que $a\lt b$. Montrer que le theoreme reste vrai pour $f\colon\,]a,b[\ra\R$ dérivable et admettant en $a$ et $b$ une même limite finie.
• On définit la fonction $f\colon ]-1,1[\ra\R,x\mapsto\exp\left(-\frac{1}{1-x^2}\right)$.
• Montrer que $f$ est $\mc C^{\i}$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynôme $P_n\in\R[X]$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(1-x^2)^{2n}}f(x)$ pour tout $x\in]-1,1[$.
• Quel est le degré de $P_n$ ?
• Que dire du nombre de zéros de $f^{(n)}$ ?

Soit $A\subset\R^n$. On note $\mc C(A,\R)$ l'ensemble des fonctions continues de $A$ dans $\R$ et $\mc{UC}(A,\R)$ l'ensemble des fonctions uniformément continues de $A$ dans $\R$.

• Pour $n=1$ et $A$ un segment, montrer que $f\in\mc C(A,\R)$ si et seulement si $f\in\mc{UC}(A,\R)$.
• Montrer que $\mc{UC}(A,\R)$ est stable par composition. Est-il stable par produit?
• Soit $T\in\R^{+*}$ et $f$ une fonction continue et $T$-périodique. Montrer que $f\in\mc{UC}(A,\R)$.

Soient $E$ l'espace vectoriel des suites réelles et $\Delta$ l'endomorphisme de $E$ défini par : pour $u\in E$ et tout $n\in\N$, $[\Delta(u)]_n=u_{n+1}-u_n$.

• Démontrer le theoreme des accroissements finis.
• Soit $f\colon\R^+\mapsto\R$ de classe $\mc C^{\i}$. On pose, pour tout $n\in\N$, $u_n=f(n)$. Montrer que, pour tout $n\in\N$ et tout $p\in\N^*$, il existe $x\in]n,n+p[$ tel que $[\Delta^pu]_n=f^{(p)}(x)$.

• Soient $I$ un intervalle non vide et $f\in\mc C^0(I,\R)$. Montrer que, pour tout $a\in I$, l'application $F_a:x\mapsto\int_a^xf(t)dt$ est dérivable, de derivée $f$.

Pour $h\gt 0$, soit $W_h=\bigg{\{}f\in\mc C^0(\R,\R)\;;\;\forall x\in \R,\;\int_{x+h}^{x+2h}f(t)dt=2\int_x^{x+h}f(t)dt \bigg{\}}$._

• Montrer que, pour tout $h\gt 0$, $W_h$ est un espace vectoriel de dimension infinie.
• Existe-t-il des fonctions non bornées appartenant à $W_h$?

On pose $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$. Pour $f\in E$, on définit la suite $(f_n)$ de fonctions de $E$ par $f_0=f$ et $\forall n\in\N$, $\forall x\in\R$, $f_{n+1}(x)=\int_0^xtf_n(t)dt$.

• s Énoncer le theoreme de derivation terme à terme.
• On se place dans le cas ou $f$ est constante. Montrer que la suite $(f_n)$ et la série $\sum f_n$ convergent simplement sur $\R$. Y a-t-il convergence uniforme?

• On revient au cas general.

  • Montrer la convergence simple de la suite $(f_n)$ et de la série $\sum f_n$.
  • Montrer que l'application $T\colon f\in E\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f_n$ est un automorphisme de l'espace vectoriel $E$.

Pour $x\geq 0$ et $n\in\N^*$, on définit $g_n(x)=\dfrac{1}{(1+x)\cdots(1+x^n)}$.

• Étudier la convergence simple de $(g_n)$ sur $\R^+$.
• Étudier la convergence uniforme de $(g_n)$ sur $[1,+\i[$ et sur tout segment.

Pour $n\in\N^*$, soient $\Omega(n)$ le nombre de facteurs premiers de $n$ comptes avec multiplicité, $\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)}$, $\Lambda(n)=\sum_{d|n}\lambda(d)$.

• Montrer que, si $m$ et $n$ sont deux éléments de $\N^*$ premiers entre eux, $\lambda(mn)=\lambda(m)\lambda(n)$ et $\Lambda(mn)=\Lambda(m)\Lambda(n)$.
• Pour $n\in\N^*$, donner une expression simple de $\Lambda(n)$.
• Montrer que, si $|z|\lt 1$, $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{\lambda(n)z^n}{1-z^n}=\sum_{n=1}^{+ \i}z^{n^2}$.

• Pour $x\in\R\setminus\Z$, montrer que la suite $\left(\sum_{k=-n}^n\dfrac{1}{x-k}\right)_{n\geq 1}$ converge. On note $f(x)$ sa limite.
• Montrer que $f$ est continue et $1$-périodique sur $\R\setminus\Z$.
• Pour $x\in\R\setminus\Z$, exprimer $f\left(\dfrac{x}{2}\right)+f\left(\dfrac{x+1}{2}\right)$ en fonction de $f(x)$.
• Montrer que, pour tout $x\in\R\setminus\Z$, $f(x)=\pi\op{cotan}(\pi x)$.

• Retrouver le développement en série entière de la fonction $\arctan$ et montrer que : $\sum_{k=0}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\dfrac{\pi}{4}$.
• Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=4\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$.

Montrer que $\left|\pi-S_n+(-1)^n\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\right)\right| \leq\dfrac{1}{n^3}$.

• Soit $\alpha\in\R$. Donner $R\gt 0$ tel que : $\forall x\in\left]-R,R[\,,\ (1+x)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{+\i}\binom{\alpha}{n}x^n$. Que vaut $\binom{\alpha}{n}$? - Soit $\beta\gt 0$. Montrer que $p_n=\prod_{k=1}^n\left(1-\frac{\beta}{k}\right)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers l'infini.
• Soit $(\alpha,\alpha')\in\R^2$. Montrer : $\forall n\in\N,\ \left(\begin{matrix}\alpha+{\alpha'}'\\ n\end{matrix}\right)=\sum_{\scriptsize{(p,q)\in\N^2\atop p+q=n}} \left(\begin{matrix}\alpha\\ p\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\alpha'\\ q\end{matrix}\right)$.
• Soit $0\lt x\lt y$. Montrer que $(x+y)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{+\i}\left(\begin{matrix}\alpha\\ n\end{matrix}\right)$ $x^ny^{\alpha-n}$.

• Montrer que $2^{\alpha}=\sum_{n=0}^{+\i}\left(\begin{matrix}\alpha\\ n\end{matrix}\right)$ pour tout $\alpha\gt -1$.

• Soit $\sum a_nz^n$ une série entière qui converge sur $]-\alpha,\alpha[$, avec $\alpha\gt 0$. Montrer que sa somme est de classe $\mc C^{\i}$ sur $]-\alpha,\alpha[$.
• Est-ce que toute fonction de classe $\mc C^{\i}$ sur un ouvert contenant $0$ est développable en série entière au voisinage de $0$?
• Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ sur un ouvert contenant $0$. Montrer qu'elle est développable en série entière au voisinage de $0$ si et seulement si :

Soient $R\gt 0$ et $\mc{A}_R$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R\ra\R$ développables en série entière de rayon $\geq R$.

• Montrer que $\mc{A}_R$ est une $\R$-algèbre pour des lois que l'on precisera.
• Déterminer les morphismes d'algèbre de $\R[X]$ dans $\R$.
• Soit $\Phi$ un morphisme d'algèbre de $\R[X]$ dans $\R$. On dit que $\delta$ est une $\Phi$-derivation si $\delta$ est un endomorphisme de $\R[X]$ et si : $\forall P,Q\in\R[X]$, $\delta(PQ)=\Phi(P)\delta(Q)+\Phi(Q)\delta(P)$. Déterminer les $\Phi$-derivations.

• Déterminer les morphismes d'algèbres $\Phi$ de $\mc{A}_R$ dans $\R$, puis les $\Phi$-derivations de $\mc{A}_R$.

• Montrer que la fonction $f\colon\R\ra\R,x\mapsto\left\{\begin{array}{l}e^{-1/x^2}\ \text{ si }x\neq 0\\ 0\ \text{si }x=0\end{array}$. est de classe $\mc C^{\i}$.

Est-elle développable en série entière au voisinage de $0$?

• Soit $f\colon\R\ra\R$ une fonction $\mc C^{\i}$ telle qu'il existe $C,a,\delta\gt 0$ vérifiant $|f^{(n)}(x)|\leq Ca^nn!$ pour tous $n\geq 0$ et $x\in[-\delta,\delta]$. Montrer que $f$ est développable en série entière au voisinage de $0$.

• Étudier la réciproque.

Soit $f$ une fonction développable en série entière au voisinage de $0$, telle que $f(0)\neq 0$. Montrer que la fonction $\frac{1}{f}$ est développable en série entière au voisinage de $0$.

Soit $f:t\in[0,\pi/2[\mapsto-\ln(\cos(t))$.

• Montrer que $f(t)\geq t^2/2$ pour tout $t\in[0,\pi/2[$.
• Soit $\alpha\in\R^+$.

On munit $\M_n(\R)$ de la norme euclidienne canonique. Soient $A\in\mc{S}_n^+(\R)$ et $B\in\M_n(\R)$. On s'intéresse à l'équation différentielle $(E):X'=-AX+B$. On suppose que l'ensemble $S=\big{\{}U\in\M_n(\R)\,;\;AU=B\big{\}}$ est non vide.

• Montrer que les valeurs propres de $A$ sont positives.
• Quelles sont les solutions constantes de $(E)$?
• Soient $X$ et $Y$ deux solutions de $(E)$. Montrer que $t\mapsto\|X(t)-Y(t)\|$ est décroissante. En déduire que toute solution est bornée sur $\R^+$.
• Soit $X$ une solution de $(E)$. Montrer que $X(t)$ admet une limite $X_{\i}$ quand $t$ tend vers $+\i$.
• Montrer que $\|X(0)-X_{\i}\|=\inf_{U\in S}\|X(0)-U\|$.

• Montrer que toute série numerique absolument convergente est convergente.

On définit $s(z)=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}$ pour tout complexe $z$ et $\phi(z)=|s(z)|$.

• Est-ce que $s$ est bornée sur $\C$? Le cas echeant, donner un majorant de $\phi$.
• Memes questions sur $D=\{z\in\C\,;\,|z|\leq 1\}$.
• Montrer que $\phi$ admet deux extrema sur $D$ et trouver les points ou ils sont attentions.

Soit $f:A\in{\cal M}_n({\R})\mapsto A^TA$.

• Montrer que $f$ est de classe ${\cal C}^1$, et calculer sa différentielle.
• Pour $A\in{\cal M}_n({\R})$, calculer $\dim\op{Ker}\op{d}\!f(A)$ en fonction du rang de $A$.

Soient $A\in{\cal S}^{++}_n({\R})$, $b\in{\R}^n$ et $f$ la fonction de ${\R}^n$ dans ${\R}$ telle que, pour tout $x\in{\R}^n$,

$f(x)=\frac{1}{2}x^TAx-b^Tx$.

• Justifier que $f$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^n$. Pour $x\in{\R}^n$, calculer $\nabla f(x)$.
• Montrer que $f(x)\underset{\|x\|\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$ et montrer que $f(\omega)=\min\{f(x)\;;\;x\in{\R}^n\}$.
• Soit $\gamma\in{\R}^{+*}$ et $(x_j)_{j\geq 0}$ une suite telle que, pour tout $j\in{\N}$, $x_{j+1}=x_j-\gamma\nabla f(x_j)$. Montrer que, pour $j\in{\N}$, $x_{j+1}-\omega=(I_n-\gamma A)(x_j-\omega)$.
• Montrer que, pour $\gamma$ bien choisi, $(x_j)_{j\geq 0}$ converge vers $\omega$ indépendamment du choix de $x_0$. Comment choisir $\gamma$ pour que la vitesse de convergence soit la meilleure possible?

• Soit $G$ un ensemble non vide. Rappeler les conditions sur la loi $*$ pour que $(G,*)$ soit un groupe.
• Rappeler la définition de la différentielle d'une application en un point. Faire le lien avec les derivées partielles dans le cas ${\cal C}^1$.
• Soit $*$ une loi de groupe sur ${\R}$, d'élément neutre note $e$. On suppose que $f:(x,y)\mapsto x*y$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^2$. Montrer que, pour tout $(x,y)\in{\R}^2$, $\partial_2f(x*y,e)=\partial_2f(x,y)\times\partial_2f(y,e)$. En déduire que, pour tout $y\in{\R}$, $\partial_2f(y,e)\gt 0$.
• Montrer qu'il existe un ${\cal C}^1$-diffeomorphisme $\phi$ de ${\R}$ sur ${\R}$ tel que $\phi(x*y)=\phi(x)+\phi(y)$ pour tout $(x,y)\in{\R}^2$.

Géométrie

• Soit $f\colon \R^2\ra{\R}$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $f$ admet un extremum en $a\in{\R}^n$. Rappeler la valeur de $\nabla f(a)$ (avec demonstration).
• Soit $\theta\in[0,\pi]$. Soient $A$ et $B$ du cercle unite de ${\R}^2$ tels que $\widehat{(OA,OB)}=\theta$. Exprimer l'aire de la lunule constituée des points extérieurs au disque unité et intérieurs au disque de diamêtre $[AB]$.
• Soient $A$, $B$ et $C$ trois points du cercle unite tels que les trois angles $(\oa{OA}, \oa{OB})$, $(\oa{OB}, \oa{OC})$ et $(\oa{OC}, \oa{OA})$ soient dans $[0,\pi]$. Maximiser la somme des aires des trois lunules qu'ils définissent.

Si on se place en une configuration maximale, et que l'on déplace légèrement un des points, la condition de point critique donne $g'(\theta_1) = g'(\theta_2)$, où $\theta_1,\theta_2$ sont les deux angles adjacents au point.

La fonction $g'$ est (strictement) concave, donc il y a à chaque fois au plus deux abscisses en lesquelles $g'(\theta_1) = g'(\theta_2)$.

En appliquant ce raisonnement en chacun des trois points, on obtient que au moins deux des trois angles sont égaux.

On est ramené à l'étude de $2g(\theta) + g(2\pi - 2\theta)$. Sauf erreur de ma part, cette fonction s'écrit sous la forme $u(\theta) + u(2\theta)/2$, où $u(\theta) = \pi \sin^2(\theta/2) + 4 \sin (\theta/2)$.

En un point critique, il faut que $u'(\theta) = - u'(2\theta)$. La symétrie de $u$ par rapport à $\pi$, et sa concavité semblent donner $2\theta = 2\pi - \theta$, donc $\theta = \frac{2\pi}{3}$.

Probabilités

Soient $X,Y$ des variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre $p\in \interval]{0, 1}[$.

• Déterminer la loi de $\min (X,Y)$.
• Montrer que $\min (X,Y)$ et $X-Y$ sont indépendantes.

• Soit $u$ un endomorphisme de $\C^n$. Montrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si $u$ admet un polynôme annulateur scindé à racines simples.
• Soient $A=\begin{pmatrix}1&-2\\ -2&1\end{pmatrix}$, $\eps_1$, $\eps_2$ deux variables aléatoires indépendantes de loi géométrique de paramêtre $p\in]0,1[$ et $Q=\eps_1X+\eps_2$. Déterminer la probabilité que $Q(A)$ soit inversible.
• Soit $u$ un endomorphisme de $\C^n$ et $Q\in\C[X]$ tel que $Q(u)$ soit diagonalisable et $Q'(u)$ inversible. Montrer que $u$ est diagonalisable.

La fonction de repartition d'une variable aléatoire réelle $X$ est $F_X:t\mapsto\mathbf{P}(X\leq t)$.

• Montruer que, pour une variable aléatoire $X$, $F_X$ est croissante de limite $1$ en $+\i$.

Soient $E$ un ensemble dénombrable de $\R$, $(X_n)$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $E$ et $X$ une variable à valeurs dans $E$. On suppose que, pour tout $x\in E$, $\mathbf{P}(X_n=x)\ra\mathbf{P}(X=x)$.

• Montruer que $\sum_{x\in E}|\mathbf{P}(X_n=x)-\mathbf{P}(X=x)|\ra 0$.

Ind. Pour $\eps\gt 0$ fixe, considérer une partie finie $I\subset E$ telle que $\mathbf{P}(X\in I)\gt 1-\eps$.

• Montruer que $(F_{X_n})$ converge uniformément vers $F_X$.

• Soient $p$ un réel $\gt 1$ et $q=\dfrac{p}{p-1}$.
• Montruer que $xy\leq\dfrac{x^p}{p}+\dfrac{y^q}{q}$ pour tous $x,y\in\R^+$.
• Soit $(X,Y)$ un couple de variables aléatoires. On suppose que $X\in L^p$ et $Y\in L^q$. Montrer que $XY\in L^1$ et que $\mathbf{E}(|XY|)\leq\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\mathbf{E}(Y^q)^{1/q}$.
• Soient maintenant deux réels tels que $1\leq p\lt q$. Montrer que si $X\in L^q$, alors $X\in L^p$ et que $\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\leq\mathbf{E}(X^q)^{1/q}$.
• Soient $(\eps_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables de Rademacher indépendantes et $p$ un réel $\geq 1$. Montrer que, si $X\in\text{Vect}(\eps_n)_{n\geq 1}$, alors $\mathbf{E}(X^p)^{1/p}\leq C\sqrt{p}\,\mathbf{E}(X^2)^{1/2}$, ou $C$ est une constante absolue.

• s En utilisant une comparaison série-intégrale, dont on rappellera le principe, donner un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$.
• On dit que $n\in\N^*$ est sans facteur carré s'il n'existe pas de $k\geq 2$ tel que $k^2$ divise $n$. Montrer que pour tout $i\geq 1$, $i$ s'écrit d'une unique maniere sous la forme $i=ma^2$, ou $a\in\N^*$ et $m\in\N^*$ est sans facteur carré.
• Soient $X,Y,Z$ trois variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. On pose $M=\begin{pmatrix}X&Y\\ Z&X\end{pmatrix}$. Soit $p_n$ la probabilité que $M$ ne soit pas inversible. Montrer que $p_n=O\left(\dfrac{\ln n}{n^2}\right)$.

Une suite $(Z_n)_{n\geq 1}$ de variables aléatoires entières est dite transiente si, pour toute partie bornée $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(Z_n\in A)\lt +\i$. - Soient $\alpha\in\R^{+*}$, $(X_i)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que, pour tout $i\in\N^*$, $X_i\sim\mc{P}\left(\frac{\alpha}{i}\right)$. Pour $n\in\N^*$, quelle est la loi de $Y_n=\sum_{i=1}^nX_i$? La suite $(Y_n)_{n\geq 1}$ est-elle transiente?

• Soient $p\in]0,1[$ et $(R_i)_{i\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires telles que, pour tout $i\in\N^*$, $\mathbf{P}(X_i=1)=p,\mathbf{P}(X_i=-1)=1-p$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$. La suite $(S_n)_{n\geq 1}$ est-elle transiente?

Soient $p\in]0,1[$ et $q=1-p$. On suppose que $\mu=\frac{\ln 2}{|\ln q|}$ n'est pas un entier.

• Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre $p$. Montrer qu'il existe un unique entier $m$ tel que $\mathbf{P}(X\geq m)\geq\frac{1}{2}$ et $\mathbf{P}(X\leq m)\geq\frac{1}{2}$.
• Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant la loi géométrique de paramêtre $p$. On pose $Y_n=\mathbf{1}_{X_n\geq m}$ et $S_n=Y_1+\cdots+Y_{2n-1}$ pour $n\geq 1$. Montrer que $\mathbf{P}(S_n\geq n)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow}1$.

[C] Todoes   todo