4171 lines
265 KiB
Org Mode
4171 lines
265 KiB
Org Mode
# -*- org-export-switch: "all"; -*-
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#+title: Exercices 2025
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#+author: Sébastien Miquel
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#+date: 22-07-2025
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# Time-stamp: \lt 22-07-25 16:44\gt
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#+OPTIONS: toc:t
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* Meta :noexport:
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** Statistiques
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#+BEGIN_SRC emacs-lisp
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(my-stats-exo)
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#+END_SRC
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#+RESULTS:
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| ? | ! | todo | unexed | unexed xens |
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| 0 | 0 | 0 | 450 | 0 |
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** Options
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#+OPTIONS: latex:verbatim
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#+OPTIONS: toc:t
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# #+exclude_types: proof
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*** All
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#+OPTIONS: toc:t
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#+export_file_name: Exercices 2025
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#+exclude_types: proof
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*** XENS
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# #+select_tags: xens
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# #+export_file_name: Exercices XENS 2025
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*** XENS MP
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# #+select_tags: xens
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# #+exclude_tags: autre
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# #+exclude_types: proof
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# #+export_file_name: Exercices XENS MP 2025
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*** Centrale
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# #+select_tags: cent
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# #+export_file_name: Exercices Centrale 2025
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*** Mines
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# #+select_tags: mines
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# #+export_file_name: Exercices Mines 2025
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*** Mines Centrale
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# #+select_tags: mines cent
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# #+exclude_tags: autre
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# #+options: toc:2
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# #+export_file_name: Exercices Mines Centrale 2025
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*** todoes
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# #+options: title:nil nopage:t tags:nil toc:nil
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# #+select_tags: todo
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# #+export_file_name: Exercices 2025 todo
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# #+relocate_tags: todo
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*** autre
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# #+options: title:nil nopage:t tags:nil
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# #+select_tags: autre
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# #+export_file_name: Exercices XENS 2025 autres
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# #+relocate_tags: todo
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* ENS MP :xens:
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** Algèbre
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# ID:8419
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 1]
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Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Un chemin auto-évitant de longueur $n$ de $\mathbb{Z}^2$ est une suite injective de points $a_0, \ldots, a_n$ de $\mathbb{Z}^2$ telle que $a_0 = (0,0)$ et, pour tout $i$, $\|a_{i+1} a_i\| = 1$ pour la norme euclidienne canonique de $\mathbb{R}^2$. On note $A_n$ le nombre de chemins auto-évitants de longueur $n$.
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1. Montrer que, pour tous $m, n \in \mathbb{N}^*$, $A_{m+n} \leqslant A_m A_n$.
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1. Montrer qu'il existe $\eps > 0$ tel que, pour $n$ assez grand, $(2 + \eps)^n \leqslant A_n \leqslant (3 - \eps)^n$.
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1. Montrer que $\big(\sqrt[n]{A_n}\big)$ converge.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2. Pour la majoration, il suffit que $A_n \lt 3^n$ pour une valeur de $n$.
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Pour la minoration, on regarde les chemins qui utilisent uniquement $D$, $H$, $B$. On peut les dénombrer sans trop de difficulté.
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#+END_proof
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# ID:8420
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 2]
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Un sous-ensemble non vide $S$ de $\mathbb Z$ est dit direct si, pour $x,y,s,t\in S$, la condition $x+y=s+t$ implique que $\{x,y\}=\{s,t\}$.
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1. Les ensembles $\{1, 3, 6\}$ et $\{1, 3, 6, 10, 15\}$ sont-ils directs?
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2. Trouvez un ensemble infini direct.
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3. Montrer qu'il existe $B\gt 0$ telle que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$,
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pour tout ensemble direct $S$ inclus dans $\db{0,n}$, on ait $|S| \leq B n^{1/2}$,
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4. Montrer qu'il existe $A\gt 0$ telle que pour tout $n\in\N^*$ il
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existe un ensemble direct $S$ inclus dans $\db{0,n}$ tel que $A
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n^{1/3} \leq |S|$.
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Indication : On pourra rajouter des éléments un à un à un ensemble
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de $\db{0, n}$.
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4. Existe-t-il un ensemble $S$ direct inclus dans $\mathbb{N}$ tel
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que $S + S = \mathbb{N}$ ?
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5. Existe-t-il un ensemble $S$ direct inclus dans $\mathbb{Z}$ tel
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que $\mathbb{N}$ soit inclus dans S+S?
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6. Existe-t-il un ensemble $S$ direct inclus dans $\mathbb{Z}$ tel
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que $S + S = \mathbb{Z}$ ?
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2.
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3.
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4. Si $|S|\lt n^{1/3}$ est direct, on peut ajouter un élément à $S$
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qui laisse $S$ direct. En effet, $S+S$ est de cardinal $\lt
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n^{2/3}$, et on cherche un translaté de $S$ qui n'intersecte pas
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$S+S$. Chaque fois que ça ne marche pas, il existe un $(s\in S,
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ss\in S+S)$ qui coince, et cette association est injective.
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5. $S$ doit contenir $0$, donc $1$, donc pas $2$, donc $3$, qui donne
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$3, 4, 6$, donc $5$ ce qui donne une contradiction.
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6. Oui, tu mets $\{-10^n+n, 10^n\}$, mais il faut sauter des $n$. si les sommes précédentes peuvent déjà les faire. Construction par récurrence.
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7. La construction précédente ne marche-t-elle pas ? Des $\{u_k \pm k,\, u_k\}$, où $u_k$ est choisit grand.
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Lemme : il existe une partie $A_n$ en somme directe de $Z$ tel que $\db{-n,n}\subset A_n$.
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Puis, on construit $A_{n+1}$ contenant $A_n$ : on ajoute des paires super grandes.
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#+END_proof
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# ID:8422
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 3]
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Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 4$, $u_1 = u_2 = 0$, $u_3 = 3$ et $\forall n \in \mathbb{N}$, $u_{n+4} = u_n + u_{n+1}$. Montrer que, pour tout nombre premier $p$, $p$ divise $u_p$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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Les coefficients initiaux sont tels que $u_n$ est la somme des racines
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d'un polynôme de degré $4$ (plus simple avec $3$).
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Donc cette somme est $\op{Tr} (A^n)$, et il se trouve que $\op{Tr} A^p \equiv \op{Tr} $A$ [p]$, ce qui n'est pas simple du tout…
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#+END_proof
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# ID:nil
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 4]
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On considère la suite $(F_n)_{n\geq 0}$ définie par $F_0=0, F_1=1$ et $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ pour tout $n \ge 0$.
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1. Exprimer $F_n$ en fonction de $n$.
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1. Montrer que $F_{p+q} = F_p F_{q+1} + F_{p-1} F_q$ pour tout $(p,q) \in \mathbb{N}^* \times \mathbb{N}$.
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1. Calculer $F_m \wedge F_n$ pour tous $m, n \ge 0$.
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#+end_exercice
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#+call: get_exo(385)
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#+BEGIN_exercice [ENS L 2025 # 5]
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On note $d_n$ le nombre de diviseurs de $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que $d_n = O(n^{\eps})$ pour tout $\eps > 0$.
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#+END_exercice
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# ID:4294
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 6]
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1. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers $p$ tels que $p \equiv 3$ [4].
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1. Soient $p$ un nombre premier et $n \ge 2$. Soit $k = \frac{(np)^p - 1}{np -1}$.
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a) Montrer que $k \equiv 1 [p]$.
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b) Soit $d \in \mathbb{N}^*$. Montrer que si $d$ divise $k$ alors $d \equiv 1[p]$.
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1. Soit $p$ un nombre premier. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo $p$.
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#+end_exercice
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# ID:8423
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 7]
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1. Quels sont les éléments inversibles de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ?
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2. Soit $n \geq 3$. On considère sa décomposition en facteurs premiers : $n = p_1^{\alpha_1} \dots p_r^{\alpha_r}$ où les $p_i$ sont premiers distincts et supérieurs à 3, les $\alpha_i$ dans $\mathbb{N}^*$.
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On admet que, pour tout $i$, $(\mathbb{Z}/p_i^{\alpha_i}\mathbb{Z})^{\times}$ est cyclique.
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Montrer que la proportion d'éléments d'ordre pair dans $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ est supérieure ou égale à $1 - \frac{1}{2r}$.
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3. Déterminer le nombre de solutions de $x^2 = 1$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
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4. Caractériser les éléments $x \in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{\times}$ d'ordre $r = 2\ell$ pair tel que $x^{\ell} \neq -1$.
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#+end_exercice
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# ID:8424
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 8]
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Soient $p$ un nombre premier impair, $\alpha \in \mathbb{N}^*$, $q = p^{\alpha}$ et $f: (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^2 \to \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ une fonction. Une partie $D$ de $\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$ est dite $f$-génératrice si :
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$\forall y \in \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}, \exists n \geq 2, \exists d_1, \dots, d_n \in D, y = f(\dots f(f(d_1, d_2), d_3), \dots d_n)$.
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1. On considère le cas où $f:(x,y)\mapsto x-y$. Déterminer les parties $f$-génératrices de cardinal minimal et calculer leur nombre.
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2. E Dans la suite de l'exercice, on considère le cas où $f:(x,y)\mapsto xy$.
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3. Montrer qu'il n'existe pas de partie $f$-génératrice de cardinal 1.
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4. On admet que le groupe $(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z})^{\times}$ est cyclique. Montrer qu'il existe une partie $f$-génératrice de cardinal 2.
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5. Caractériser les parties $f$-génératrices de cardinal 2.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2.
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3. $0$ et le générateur.
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4. Il faut un élément non inversible, et un élément générateur.
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#+END_proof
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# ID:8425
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 9]
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Dénombrer les morphismes de $(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z},+)$ dans le groupe des automorphismes de $(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z},+)$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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Sans difficulté.
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#+END_proof
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# ID:8426
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 10]
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Soit $A$ un anneau tel que tout élément de $a \in A$ est nilpotent ou idempotent, c'est-à-dire tel que $a^2 = a$.
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1. Montrer que tout élément de $A$ est idempotent.
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2. Montrer que $A$ est commutatif.
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3. On suppose que $A$ est fini. Montrer qu'il existe $n \in
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\mathbb{N}^*$ tel que $A$ soit isomorphe à
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$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^n$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Soit $n$ nilpotent. Alors $1+n$ est inversible, et idempotent,
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donc l'identité, donc $n = 0$.
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2. $(a+b)^2 = a+b$, donc $ab = -ba$, donc $2a = 0$, (avec $b = 1$), donc $ab = ba$.
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3.
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#+END_proof
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# ID:8427
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 11]
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On note $\mathbb{Z}[i\sqrt{2}] = \left\{a + ib\sqrt{2} ; (a,b) \in \mathbb{Z}^2\right\}$.
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1. Rappeler la démonstration du fait que les idéaux de $\mathbb{Z}$ sont principaux.
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2. Montrer que $\mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$ est un sous-anneau de
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$\mathbb{C}$ dont les idéaux sont principaux.
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3. Déterminer les inversibles de $\mathbb{Z}[i\sqrt{2}]$.
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4. Trouver les $(x,y) \in \mathbb{Z}^2$ tels que $x^2 + 2 = y^3$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2.
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#+END_proof
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# ID:8428
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 12]
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Soit $(A,+)$ un groupe abélien. On dit qu'il est sans torsion lorsque $n\cdot x \neq 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ et tout $x \in $A$ \setminus \{0\}$. Un ordre de groupe sur $(A,+)$ est une relation d'ordre totale $\leq$ sur l'ensemble $A$ telle que $\forall (x, y, z) \in A^3, \ x \leq y \Rightarrow x + z \leq y + z$.
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1. Montrer que si $(A, +)$ possède un ordre de groupe alors il est sans torsion.
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2. Montrer que $(\mathbb{Z}^n, +)$ possède un ordre de groupe pour
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tout $n \in \mathbb{N}^*$.
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3. Soit $n \in \mathbb{N}^*$. Montrer que tout sous-groupe de
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$\mathbb{Z}^n$ est isomorphe à $\mathbb{Z}^m$ pour un $m \in [0,
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n]$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Si $0\lt x$, on obtient $x\lt 2x$, jusqu'à $(n-1)x\lt 0$, ce qui est contradictoire.
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2. L'ordre lexicographique.
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3. Probablement sympa d'utiliser ce qui précède.
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#+END_proof
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# ID:8429
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 13]
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Soit $r \in \mathbb{N}^*$, $r \geq 2$.
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1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, il existe une unique suite presque nulle $(a_{k,r}(n))_{k\geq 0}$ telle que $n = \sum_{k=0}^{\infty} a_{k,r}(n) r^k$ avec, $\forall k \in \mathbb{N}, \, a_{k,r}(n) \in \db{0,r-1}$.
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1. Montrer que $(a_{k,r}(n))_{n\geq 1}$ est périodique et trouver sa période.
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1. Montrer que $(a_{k,r}(n^n))_{n\geq 1}$ est périodique à partir d'un certain rang.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2. Trivial.
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3. Le faire pour $k = 0$, puis $k=1$ découle de la décomposition en base $r^2$.
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#+END_proof
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# ID:8431
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 14]
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On pose $S = \{(x, y, z) \in \mathbb{N}^{*3} : x \le y \le z, x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz\}$.
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1. Déterminer les éléments de $S$ vérifiant $x = y$ ou $y = z$.
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1. Montrer qu'une infinité d'éléments de $S$ vérifient $x=1$.
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1. On pose $f\colon (x,y,z)\mapsto (y,z,3yz-x)$ et $g\colon (x,y,z)\mapsto (x,z,3xz-y)$.
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Montrer $S$ est l'ensemble des images de $(1, 1, 1)$ par toutes les composées de $f$ et $g$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. $2x^2 + z^2 = 3 x^2 z$, donc $2x^2 = kz$, donc $kz + z^2 = 3 \frac{k}{2}z^2$, donc $z = \frac{2k}{3k-2}$, compliqué.
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2. $1 + x^2 + z^2 = 3 xz$. En écrivant le discriminant, il faut que
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$5x^2 - 4$ soit un carré. En divisant par $2^2$, on tombe sur
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$5x^2 - y^2 = 1$, c'est du Pell-Fermat.
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3. On vérifie que $f$ et $g$ préserve l'ensemble des solutions, dont les inégalités données.
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L'application réciproque de $f$ est $(x,y,z)\mapsto (3xy-z,x,y)$ et celle de $g$ est $(x,y,z)\mapsto (x, 3xy - z,y)$. Clairement, on peut descendre, jusqu'à $(1,1,1)$.
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#+END_proof
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# ID:8432
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 15]
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1. Soit $A$ un anneau commutatif. Rappeler la définition d'un idéal de $A$.
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2. Un idéal $I$ de $A$ dit maximal si $A$ est le seul idéal $J$ de $A$ tel que $I \subsetneq J \subset A$.
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Montrer qu'un idéal maximal de $A$ ne contient pas d'élément inversible.
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2. On pose $U = \mathcal{F}(\{0,1\},\mathbb{R})$. Donner les idéaux maximaux de $U$.
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3. On pose $V = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$. Donner les idéaux maximaux de $V$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2. $f(a) = 0$
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3. $f(a) = 0$ ; C'est Borel-Lesbegue : si une intersection de compacts est vide, une intersection finie est vide.
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#+END_proof
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# ID:8438
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 16]
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Soit $A$ un anneau commutatif.
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Pour $n \in \mathbb{N}^*$, on note $\Sigma_n(A) = \{c_1^2 + \dots + c_n^2, (c_1, \dots, c_n) \in A^n\}$.
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1. Montrer que $\Sigma_2(A)$ est stable par multiplication.
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2. Est-ce que $\Sigma_3(A)$ est stable par multiplication quel que
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soit l'anneau $A$ envisagé ?
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3. On suppose que $A$ est un corps de caractéristique différente de
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||
$2$ et que $n$ est une puissance de $2$. Soient $c_1, \ldots, c_n$
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dans $A$ et $s = \sum_{k=1}^n c_k^2$. Montrer qu'il existe une
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||
matrice $M \in \mathcal{M}_n(A)$ dont la première ligne est $(c_1
|
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\cdots c_n)$ et qui vérifie $MM^T = M^TM = sI_n$.
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4. En déduire que $\Sigma_{2^n}(A)$ est stable par multiplication.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1.
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2. dans $\Z/8\Z$, les carrés sont $0, 1, 4$, donc $7$ n'est pas atteint, mais c'est $3\times 5$.
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||
3. Faire des permutations de la première colonne, qui sont des
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produits de transpositions.
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En dimension $n = 2^2 = 4$. Prendre $(1\, 2) (3, 4)$, $(1\, 3) (2\, 4)$ et $(1\, 4) (2\, 3)$.
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Le point étant que ces éléments forment un groupe d'ordre $2$.
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En général, considérer $(\Z/2\Z)^n$ comme un groupe de permutation.
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4. Simple.
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#+END_proof
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# ID:8433
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 17]
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Soit $(A, +, \times)$ un anneau intègre (donc commutatif). On suppose que $A$ est euclidien, c'est-à-dire qu'il existe une fonction $t\colon A \setminus \{0\} \to \mathbb{N}$ vérifiant les deux conditions suivantes : + $\forall (a, b) \in A \times (A \setminus \{0\}), \exists (q, r) \in A^2, \ a = bq + r \text{ et } (r = 0 \text{ ou } t(r) < t(b))$.
|
||
+ $\forall (a,b) \in A \setminus (A \setminus \{0\})^2$, $t(ab) \geq t(a)$.
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||
1. Montrer que $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{R}[X]$ sont euclidiens, tout comme n'importe quel corps $\mathbb{K}$.
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||
1. Montrer que tout idéal de $A$ est principal.
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||
1. On suppose que $t(1_A)=0$. Montrer que les éléments inversibles de $A$ sont les $u\in A\setminus\{0\}$ tels que t(u)=0.
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||
2. E On suppose dans toute la suite de l'exercice que dans l'hypothèse (i) il y a en plus unicité du couple (q,r) solution.
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1. Montrer que $t(a+b) \leq \max(t(a),t(b))$ quels que soient $a \in A \setminus \{0\}$ et $b \in A \setminus \{0\}$ tels que $a+b \neq 0$.
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1. Montrer que $A^{\times} \cup \{0\}$ est un sous-corps de $A$.
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1. Montrer que $A$ est un corps ou est isomorphe à $\mathbb{K}[X]$ pour un corps $\mathbb{K}$.
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#+end_exercice
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# ID:8439
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 18]
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Soit $p$ un nombre premier. On note $\mathbb{Z}_p$ l'ensemble des suites $(x_n)_{n\geq 1}$ telles que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $x_n$ appartienne à l'anneau $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ et que $x_n$ soit l'image de $x_{n+1}$ par l'unique morphisme d'anneaux de $\mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}$ dans $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$.
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1. Montrer que l'addition et la multiplication coordonnée par coordonnée font de $\mathbb{Z}_p$ un anneau contenant un sous-anneau isomorphe à $\mathbb{Z}$.
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2. Montrer que $\mathbb{Z}_p$ est intègre.
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3. Déterminer les inversibles de $\mathbb{Z}_p$.
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4. Soit $P \in \mathbb{Z}[X]$. On suppose qu'il existe $x \in
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\mathbb{Z}$ tel que $p$ divise $P(x)$ et que $p$ ne divise pas
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$P'(x)$. Montrer que $P$ admet une racine $y$ dans $\mathbb{Z}_p$
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telle que $y_1 = \bar{x}$ dans $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. $\Z$ est l'ensemble des suites constantes APCR.
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2.
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3.
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4. Lemme d'Hensel.
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#+END_proof
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# ID:8440
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 19]
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On considère $P = X^n - a_1X^{n-1} + a_2 X^{n-2} + \dots + (-1)^n a_n \in \mathbb{R}[X]$, scindé sur $\mathbb{R}$ et de racines réelles $x_1, \dots, x_n$.
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Montrer que, pour tout $1 \leq k \leq n$, $\left| x_k - \frac{a_1}{n} \right| \leqslant \frac{n-1}{n} \sqrt{a_1^2 -\frac{2n}{n-1} a_2}$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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#+END_proof
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# ID:8434
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#+begin_exercice [ENS 2025 # 20]
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Soient $f,g\in\mathbb{Q}[X]$ tels que $f(\mathbb{Q})=g(\mathbb{Q})$. Montrer que $\deg f=\deg g$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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Si $f$ est de degré $1$, c'est tout $\Q$, sinon, ce n'est pas tout $\Q$.
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On regarde l'intersection avec $\N$, et sa taille.
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Si $P(\frac{a}{b}) = k$, alors $a\mid a_0 - k$ et $b\mid a_n$, pour des coefficients entiers. Ici on a plutôt $a\mid C (a_0 - k)$ et $b\mid C a_n$, où $C$ est un ppcm des dénominateurs. N'empêche que $b$ est limité, ce qui permet de conclure.
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#+END_proof
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#+begin_exercice [ENS 2025 # 21]
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Soient $n, m \in \mathbb{N}^*$ avec $m$ < $n$. Soit $\mathcal{P}_{n,m}$ l'ensemble des polynômes complexes de degré $n$ dont 0 est racine d'ordre $m$ et dont les autres racines sont de module $\geq 1$. Déterminer $\inf\{|z| \; ; \; z \in \mathbb{C}^*, \; \exists P \in \mathcal{P}_{n,m}, \; P'(z) = 0\}$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_proof
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Si $m = 0$, c'est $0$.
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Si $m = 1$,
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#+END_proof
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 22]
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Soit $I=\{P\in\mathbb{C}[X]:\forall n\in\mathbb{Z},\ P(n)\in\mathbb{Z}\}$. On pose $H_0=1$ et, pour $n\in\mathbb{N}^*$, $H_n=\frac{X(X-1)\cdots(X-n+1)}{n!}$. Pour $P\in\mathbb{C}[X]$, on pose $\Delta(P)=P(X+1)-P(X)$ et $D_n(P)=\Delta^n(P)(0)$.
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1. Montrer que $(H_n)_{n\geq 0}$ est une base de $\mathbb{C}[X]$.
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1. Montrer que, pour tout $n, H_n \in I$.
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1. Montrer que, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, $\Delta(H_n) = H_{n-1}$. *d*) Montrer que $I \subset \mathbb{Q}[X]$.
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1. Montrer que $I = \left\{ \sum_{i=0}^n a_i H_i \; ; \; n \in \mathbb{N}, \; (a_0, \dots, a_n) \in \mathbb{Z}^n \right\}$.
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1. Soient $P_1, P_2 \in I$ tels que, pour tout $n \in \mathbb{Z}$, $P_1(n)$ soit premier avec $P_2(n)$. Montrer qu'il
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existe $U_1, U_2 \in I$ tels que $U_1P_1 + U_2P_2 = 1$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS PLSR 2025 # 23]
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Soit $H = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. On note $C_H = \{M \in \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z}), \ MH = HM\}$.
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1. Montrer que $C_H$ est un sous-groupe infini de $GL_2(\mathbb{Z})$.
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1. Montrer que $C_H = \mathbb{Z}[H] \cap \operatorname{GL}_2(\mathbb{Z})$, où $\mathbb{Z}[H] = \{xI + yH, (x,y) \in \mathbb{Z}^2\}$.
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1. Montrer que $C_H$ est isomorphe à $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) \times \mathbb{Z}$ et en donner un système de générateurs.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 24]
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Soient $A$ et $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telles que AB = BA. Soit $k \in \mathbb{N}^*$. Déterminer le signe de det $(A^k + B^k)$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS SR 2025 # 25]
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Soient $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{+*})$ et $x_0, \ldots, x_{n-1}$ des réels > 0. On souhaite montrer que :
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$$\det\left(\frac{d^j}{dx^j}(f(x)^{x_i})\right)_{0\leqslant i,j< n} = f(x)^{\sum_{0\leqslant i< n}(x_i-i)}f'(x)^{\frac{n(n-1)}{2}}\prod_{0\leqslant i< j< n}(x_j-x_i).$$
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1.
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a) Soit $(p_j)_{0 \le j < n}$ une famille de polynômes de $\mathbb{R}[X]$ telle que, pour tout $j, p_j$ est de degré $j$ et de coefficient dominant $d_j$.
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Montrer que $\det (p_j(x_i))_{0 \leq i,j < n} = d_0 \times \cdots \times d_{n-1} \prod (x_j - x_i)$.
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b) Montrer que, pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $j \in \mathbb{N}$, il existe $p_j \in \mathbb{R}[X]$ de degré $j$ et de coefficient dominant $f'(x)^j$ tel que : $\forall z \in \mathbb{R}, \frac{d^j}{dx^j} (f(x)^z) = f(x)^{z-j} p_j(z)$.
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c) Démontrer le résultat annoncé. Que dire dans des cas particuliers?
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1. Soit $f: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence non nul.
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Pour tous $i, j \in \mathbb{N}^*$, on note $c_{i,j}$ le coefficient en $x^j$ de $f^i$. Calculer $\det((c_{i,j})_{1 \le i,j \le n})$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 26]
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Soit $A \in GL_3(\mathbb{R})$. Montrer que $A$ est semblable à $A^{-1}$ si et seulement s'il existe $B, C \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})$ telles que $A = BC, B^2 = C^2 = I_3$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 27]
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Soit $n \ge 2$. On note $\mathcal{R}_n$ l'ensemble des matrices $M$ de $\mathrm{GL}_n(\mathbb{C})$ telles que $M\overline{M}$ appartient à $\mathbb{C}^*I_n$. On définit une relation d'équivalence $\sim$ sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ en posant $A\sim B$ s'il existe $M \in GL_n(\mathbb{C})$ et $\lambda \in \mathbb{C}^*$ tels que $A = \lambda \overline{M}BM^{-1}$. Justifier que $\sim$ induit une relation d'équivalence sur $\mathcal{R}_n$. Déterminer les classes d'équivalence sur $\mathcal{R}_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 28]
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On note $G_n$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\mathbb{R}^n$. Soit $\Phi: G_n \to \mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}$ une application telle que $\forall V, W \in G_n, \ \Phi(V \cap W) + \Phi(V + W) \leqslant \Phi(V) + \Phi(W)$
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et $\Phi(\{0\}) \ge 0$. Montrer qu'il existe un unique $V_0 \in G_n$ de dimension maximale tel que $\inf_{V \in G_n \setminus \{(0)\}} \frac{\Phi(V)}{\dim V} = \frac{\Phi(\hat{V}_0)}{\dim V_0}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 29]
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Soient $G$ un groupe admettant une partie génératrice finie et $H$ un groupe fini.
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1. Montrer que l'ensemble $E$ des morphismes de groupes de $G$ vers $H$ est fini.
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$\textbf{\textit{b}}) \ \ \text{Soit} \ \psi \ \text{un endomorphisme surjectif du groupe} \ G. \ \ \text{Montrer que} \ \ \text{Ker}(\psi) \subset \ \bigcap \ \ \text{Ker}(\phi)$.
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1. On pose $G = \{M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z}), \det(M) = 1\}$.
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a) Montrer que $G$ est un groupe multiplicatif.
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b) Montrer que $G$ est engendré par $S = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ et $U = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$.
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c) Montrer que tout endomorphisme surjectif du groupe $G$ est bijectif.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 30]
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Soit $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{Z})$ telle que $\det(A) = 1$ et $\operatorname{tr}(A) = \gamma > 2$. Pour $k \in \mathbb{Z}$ et $U \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{Z})$, on pose $(k, U) = \begin{pmatrix} A^k & U \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.
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1. Montrer que l'ensemble $G_A = \{(k,U) ; k \in \mathbb{Z}, U \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{Z})\}$ est un groupe pour la loi de multiplication matricielle. Est-il abélien?
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1. Montrer l'existence d'un morphisme injectif de groupes de $G_A$ dans le groupe
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$$S = \left\{ \begin{pmatrix} e^t & 0 & x \\ 0 & e^{-t} & y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \ (t, x, y) \in \mathbb{R}^3 \right\}.$$
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1. Soit $D_A$ le sous-groupe de $G_A$ engendré par les éléments $ghg^{-1}h^{-1}$ où $(g,h) \in G_A^2$. Montrer que $D_A = \{(0, (I_2 - A)U), U \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{Z})\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 31]
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1. Soient $r \in \mathbb{N}^*$ et $(F_1, \ldots, F_r) \in \mathbb{C}(X)^r$. On pose $M_r = (F_j^{(i-1)})_{1 \leq i,j \leq r} \in \mathcal{M}_r(\mathbb{C}(X))$. Montrer que la famille $(F_1, \ldots, F_r)$ est liée si et seulement si la matrice $M_r$
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n'est pas inversible.
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1. Soient $n \in \mathbb{N}^*$ et $A = (A_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}(X))$.
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Pour $p \in \mathbb{N}$, on note $A^{(p)} = (A_{i,j}^{(p)})$ la matrice des dérivées $p^{\text{èmes}}$ des coefficients de A.
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Montrer que les matrices $A^{(p)}$ pour $p \in \mathbb{N}$ commutent deux à deux si et seulement s'il existe $r \in \mathbb{N}^*, (F_1, \dots, F_r) \in (\mathbb{C}(X))^r$ et des matrices $C_1, \dots, C_r \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ commutant deux à deux telles que $A = F_1C_1 + \cdots + F_rC_r$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 32]
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Soit $S = \begin{pmatrix} (0) & 1 \\ & \ddots & \\ 1 & (0) \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$.
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1. Justifier la diagonalisabilité de $S$ et donner ses valeurs propres.
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1. Donner une base orthonormale de vecteurs propres de $S$.
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1. Caractériser les sous-espaces de $\mathbb{R}^n$ stables par $S$.
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1. Soient $\omega = \exp(2i\pi/n)$ et $A = \left(\frac{\omega^{jk}}{\sqrt{n}}\right)_{1 \leq j, k \leq n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$. Calculer les puissances
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de A. En déduire que $A$ est diagonalisable.
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1. On suppose $n$ impair. Déterminer les valeurs propres de $A$ et leurs multiplicités.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 33]
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1. Soit $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que si $N \in$ $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est suffisamment proche de $M$, alors $N$ admet $n$ valeurs propres distinctes.
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1. Soient $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ et $B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$. À quelle condition la matrice $A + \eps B$ admet-elle deux valeurs propres distinctes pour tout $\eps > 0$ assez petit?
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1. Même question en demandant que $A + \eps B$ soit diagonalisable pour tout $\eps > 0$ assez petit.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 34]
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Soient $\mathbb{K}$ un corps et $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$. On suppose que $\chi_A$ est irréductible et qu'il existe $B \in GL_2(\mathbb{K})$ telle que $B^{-1}AB$ commute avec A, mais que $B$ ne commute pas avec A. Montrer que $B^2$ est scalaire.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 35]
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Soient A, $B$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que $\operatorname{rg}(AB BA) = 1$. Montrer que $A$ et $B$ sont cotrigonalisables.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 36]
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Soient $A, B \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ telles que $\operatorname{rg}(A) = \operatorname{rg}(B) = 1$ et $\operatorname{Im} A = \operatorname{Im} B$.
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1. Montrer qu'il existe $P,Q\in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ telles que $A=P\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}Q$ et $B=P\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\0&0\end{pmatrix}Q$.
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1. Pour $P,Q \in GL_2(\mathbb{R})$, on pose $\Psi_{P,Q}: M \mapsto PMQ$. On pose $\tau: M \mapsto M^T$. Soit $\Psi \in \mathcal{L}(\mathcal{M}_2(\mathbb{R}))$ qui conserve le rang. Montrer qu'il existe $P,Q \in \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})$ telles que $\Psi = \Psi_{P,Q}$ ou $\Psi = \Psi_{P,Q} \circ \tau$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 37]
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Soient $n, k \in \mathbb{N}^*$, $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, $B \in \mathcal{M}_k(\mathbb{C})$, $C \in \mathbb{C}$ $\mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{C})$. Montrer que $M$ est diagonalisable si et seulement si $A$ et $B$ sont diagonalisables et il existe $X \in \mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{C})$ telle que $C$ = AX - XB.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 38]
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Soit $\mathbb K$ un sous-corps de $\mathbb C$. On dit qu'une matrice $M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est de Bourdaud si $\chi_M = \prod (X - m_{i,i})$.
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1. Montrer qu'une matrice de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ est semblable sur $\mathbb{K}$ à une matrice de Bourdaud si et
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seulement si elle est trigonalisable sur $K$.
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1. Montrer qu'une matrice de $S_n(\mathbb{R})$ est de Bourdaud si et seulement si elle est diagonale.
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1. Est-il vrai que toute matrice de Bourdaud de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ est diagonalisable?
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1. On dit que $A$ est normale si $A^TA = AA^T$. Déterminer les matrices réelles normales et de Bourdaud.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 39]
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Soient $n, k \in \mathbb{N}^*$, $M = \begin{pmatrix} A & C \\ 0 & B \end{pmatrix}$ avec $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, $B \in \mathcal{M}_k(\mathbb{R})$, $C \in \mathcal{M}_{n,k}(\mathbb{R})$. On pose $e^M = \begin{pmatrix} M_1 & \phi_{A,B}(C) \\ M_2 & M_2 \end{pmatrix}$.
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1. Déterminer $M_1, M_2, M_3$.
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1. Montrer que $\phi_{A,B}$ est linéaire.
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1. Montrer que, si $A$ et $B$ sont diagonalisables, alors $\phi_{A,B}$ l'est aussi, et préciser son spectre.
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1. Soit $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ telle que $f(x,y) = \frac{e^x e^y}{x y}$ si $x \neq y$, et $f(x,x) = e^x$. Montrer que fest de classe $C^{\infty}$.
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1. On suppose que $\phi_{A,B}$ est diagonalisable et que toutes ses valeurs propres sont distinctes. Montrer que $A$ et $B$ sont diagonalisables.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 40]
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Si $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, on pose [A, B] = AB BA. Soit $\mathcal{A} = \{ M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}), \operatorname{tr}(M) = 0 \}$.
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1. Montrer que $A$ est un sous-espace vectoriel de $\mathcal{M}_2(\mathbb{C})$ stable par [,].
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1. Calculer les [A,B] pour les $A,B \in \{X,Y,H\}$ où $X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, Y = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et
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$$H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$
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1. Soit $\rho: A \to \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ linéaire telle que, pour tous $A, B \in A$, $\rho([A, B]) = [\rho(A), \rho(B)]$. Montrer que $\rho(H)$ admet une valeur propre $\alpha$.
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Montrer que $\rho(X)(E_{\alpha}(\rho(H))) \subset \operatorname{Ker}(\rho(H) - (\alpha + 2)I_n)$.
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Montrer que $\rho(Y)$ $(E_{\alpha}(\rho(H))) \subset \text{Ker } (\rho(H) (\alpha 2)I_n)$.
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1. On suppose que, si $V$ est un sous-espace de $\mathbb{C}^n$ stable par tous les $\rho(A)$, pour $A \in \mathcal{A}$,
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alors $V = \mathbb{C}^n$ ou $V = \{0\}$. Déterminer les $\rho$ possibles.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS U 2025 # 41]
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Soient $k$ un corps de caractéristique nulle, $E$ un $k$-espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mathcal{L}(E)$. On écrit $\pi_u = \prod_i P_i^{n_i}$, le polynôme minimal de $u$, où les $P_i$ sont irréductibles
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distincts et les $n_i$ dans $\mathbb{N}^*$. On pose $f=P_1\times\cdots\times P_r$. On définit une suite en posant $u_0=u$
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et, pour $n \in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = u_n f(u_n) f'(u_n)^{-1}$.
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1. Montrer que $(u_n)$ est bien définie.
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1. Montrer que $(u_n)$ est stationnaire de valeur ultime $d \in \mathcal{L}(E)$ où $d$ est un polynôme en $u$, $u$-d est nilpotent et $d$ est annulé par $f$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 42]
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Déterminer le cardinal minimal $p$ d'un sous-groupe $G$ de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{C})$ tel que $\operatorname{Vect}(G) = \mathcal{M}_2(\mathbb{C})$. Si $G_1$ et $G_2$ conviennent et sont de cardinal $p$, sont-ils conjugués?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 43]
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On dit que la propriété $MT(n, \mathbb{K})$ est vraie si, pour tout couple (A, B) de matrices de $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$ telles que, pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$, $A + \lambda B$ soit diagonalisable, $A$ et $B$ commutent.
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1. Montrer que, si $A$ et $B$ sont dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, diagonalisables et commutent, alors, pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$, $A + \lambda B$ est diagonalisable.
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1. On suppose que $n \ge 2$. La propriété $MT(n, \mathbb{R})$ est-elle vraie?
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1. Montrer que $MT(2,\mathbb{C})$ est vraie.
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1. On suppose que $n \ge 2$. La propriété $MT(n, \mathbb{F}_2)$ est-elle vraie?
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1. Soit $p \ge 3$ un nombre premier. La propriété $MT(2, \mathbb{F}_p)$ est-elle vraie?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 44]
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Quelle est l'image de l'application $f: M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \mapsto \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} M^{2n+1}$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 45]
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1. Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ telles que AB = BA. Justifier que $e^{A+B} = e^A e^B$.
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1. Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ et $P \in GL_n(\mathbb{C})$. Montrer que $e^{PAP^{-1}} = Pe^AP^{-1}$.
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1. Pour $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ convenable, on pose $\log A = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} (A I_n)^k$. Pour quelles
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matrices $\log A$ est-il défini? Montrer les égalités $\exp(\log A) = A$ et $\log(\exp A) = A$. Pour chaque égalité, déterminer les matrices $A$ qui la satisfont.
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1. Montrer que, si $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C}), \left(e^{\frac{A}{k}} e^{\frac{B}{k}}\right)^k \underset{k \to +\infty}{\longrightarrow} e^{A+B}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 46]
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Soient $(a_n)_{n\geq 0}\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}}$ et $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}a_nz^n$ de rayon de convergence égal à $+\infty$.
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1. Pour $M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})$, justifier la définition de $f^*(M) = \sum_{k=0}^{+\infty} a_k M^k$.
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1. Montrer que $f^*$ est continue.
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$\emph{c}$ ) On suppose que $f$ est surjective. Montrer que $f$ induit une surjection de l'ensemble des matrices diagonalisables sur lui-même.
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1. On suppose que, pour tout $\lambda \in \mathbb{C}$, il existe $z \in \mathbb{C}$ tel que $f(z) = \lambda$ et $f'(z) \neq 0$. Montrer que $f^*$ est une surjection de $\mathcal{M}_n(\mathbb{C})$ sur lui-même.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 47]
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Soit $d \in \mathbb{N}^*$. On munit $\mathbb{R}^d$ de sa structure euclidienne canonique. Déterminer les $n \in \mathbb{N}^*$ pour lesquels il existe un ensemble $F_n \subset \mathbb{R}^d$ de cardinal $n$ tel que, pour toute partie $G$ de $F_n$, il existe $\omega \in \mathbb{R}^d \setminus \{0\}$ et $b \in \mathbb{R}$ tels que $G = \{x \in F_n, \langle \omega, x \rangle + b > 0\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 48]
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Pour $\omega \in \mathbb{R}$, on pose $R(\omega) = \begin{pmatrix} 0 & -\omega \\ \omega & 0 \end{pmatrix}$. Soit $\phi : \mathbb{R} \to \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ un morphisme de groupes continu. Montrer qu'il existe $\omega_1, \ldots, \omega_r \in \mathbb{R}$ et $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ tel que, pour tout $t \in \mathbb{R}$,
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$$\phi(t) = P \begin{pmatrix} e^{tR(\omega_1)} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & e^{tR(\omega_r)} & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & I_{r-2r} \end{pmatrix}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 49]
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Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes autoadjoints positifs d'un espace euclidien. Montrer que $v \circ u$ est diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 50]
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Déterminer l'ensemble des symétries linéaires sur $\mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ qui fixent un hyperplan et stabilisent l'ensemble $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 51]
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Soit $H = (H_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$. On suppose que, pour tous $i \neq j, H_{i,j} \leq 0$. Si $(i,j) \in [\![1,n]\!]^2$, on dit que $i$ et $j$ sont connectés s'il existe $m \in \mathbb{N}^*, k_1, \ldots, k_m \in [\![1,n]\!]$ tels que $k_1 = i, k_m = j$ et, pour tout $\ell \in [\![1,m-1]\!], H_{k_\ell,k_{\ell+1}} \neq 0$.
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Montrer que $i$ et $j$ sont connectés si et seulement si $H_{i,j}^{-1} > 0$, où $H_{i,j}^{-1}$ est le coefficient d'indice (i,j) de $H^{-1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 52]
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On considère $n \in \mathbb{N}^*$ et $(A, B) \in \mathcal{A}_{2n}(\mathbb{R})^2$. On pose $C$ = AB et on s'intéresse aux valeurs propres réelles de $C$.
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1. Donner un exemple de $n$, $A$ et $B$ tels que $\chi_C$ n'admette aucune racine réelle.
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1. On suppose $A$ inversible. On note $\phi: (\mathbb{C}^{2n})^2 \to \mathbb{C}$ définie par $\phi(X,Y) = X^T A^{-1} Y$. Montrer que les sous-espaces caractéristiques $F_{\lambda}(C)$ de $C$ sont deux à deux $\phi$ -orthogonaux, $i$.e. pour tous $\lambda$ et $\mu$ distinctes dans $\operatorname{Sp} C$, $\forall (X,Y) \in F_{\lambda}(C) \times F_{\mu}(C)$, $\phi(X,Y) = 0$.
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1. Que peut-on en déduire?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 53]
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On munit $\mathbb{R}^3$ de sa structure canonique d'espace euclidien orienté, et on note $\mathbf{B}$ sa base canonique.
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1. Montrer que, pour tout $u \in \mathbb{R}^3$, il existe un unique endomorphisme $z_u$ de $\mathbb{R}^3$ tel que $\forall (x,y) \in (\mathbb{R}^3)^2$, $\det_{\mathbf{B}}(u,x,y) = \langle z_u(x),y \rangle$, et montrer qu'alors $z_u^{} = -z_u$.
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1. Soient $u \in \mathbb{R}^3$ unitaire et $\theta \in \mathbb{R}$. On munit le plan $\{u\}^{\perp}$ de l'orientation dont les bases directes sont les bases (x,y) de $\{u\}^{\perp}$ telles que (x,y,u) soit une base directe de $\mathbb{R}^3$. On note $r_{u,\theta}$ la rotation de $\mathbb{R}^3$ fixant $u$ et induisant sur $\{u\}^{\perp}$ la rotation d'angle de mesure $\theta$. On note enfin $p_u$ la projection orthogonale sur $\mathbb{R}u$. Exprimer $\operatorname{tr}(r_{u,\theta})$ en fonction de $\theta$, et montrer que $r_{u,\theta} = (\cos\theta)$. id $+(1-\cos\theta)$. $p_u + (\sin\theta)$. $z_u$.
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1. Soient $u$,v des vecteurs unitaires de $\mathbb{R}^3$. On pose $\tau=\arccos\left(\langle u,v\rangle\right)$. Soit $(\phi,\psi)\in\mathbb{R}^2$. Justifier que $r_{u,\phi}\circ r_{v,\psi}$ est une rotation, et montrer qu'elle s'écrit $r_{w,\theta}$ pour un vecteur unitaire $w$ et un réel $\theta$ vérifiant $|\cos(\theta/2)|=|\cos(\phi/2)\cos(\psi/2)-\cos(\tau)\sin(\phi/2)\sin(\psi/2)|$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 54]
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1. Soient $A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$, diagonalisables et telles que AB = BA. Montrer qu'il existe $P \in GL_n(\mathbb{R})$ telle que $PAP^{-1}$ et $PBP^{-1}$ soient diagonales.
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1. Montrer que l'application $\Phi: (S,O) \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R}) \times \mathcal{O}_n(\mathbb{R}) \mapsto SO \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ est bien définie et bijective, et que $\Phi^{-1}$ est continue.
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1. Soit $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$. Montrer qu'il existe une unique suite de matrices $(M_k)_{k \in \mathbb{N}}$ telle que $M_0 = M$ et $\forall k \in \mathbb{N}, \ M_{k+1} = \frac{M_k}{2}(I_n + (M_k^T M_k)^{-1})$, et étudier sa convergence.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 55]
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On pose $V=\{1,2,\ldots,n\}$ et $F=\mathcal{P}_2(V)$ l'ensemble des paires de $V$. Soient $E\subset F$ et $n_i=|\{j\in V,\ \{i,j\}\in E\}|$ pour $i\in V$. On définit la matrice $L=(\ell_{i,j})\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ par $\ell_{i,j}=n_i$ si i=j,-1 si $\{i,j\}\in E$ et 0 sinon. On note $\lambda_1\leqslant\cdots\leqslant\lambda_n$ les valeurs propres (avec multiplicité) de $L$.
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1. Montrer que $\lambda_1 = 0$.
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1. Montrer que $\lambda_2 = \min_{X \in \{(1,\dots,1)\}^{\perp} \setminus \{0\}} \frac{X^T L X}{X^T X}$.
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1. Pour $S \subset V$, on note $\partial S = \{\{i,j\}, \ \{i,j\} \in E \text{ avec } i \in S \text{ et } j \notin S\}$.
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Montrer que $\frac{\lambda_2}{2} \leqslant \min_{\substack{S \subset V \\ 0 < |S| \leqslant \frac{n}{2}}} \frac{|\partial S|}{|S|}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 56]
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Pour $A, B \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$ on note $A \geq B$ lorsque $A - B \in \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$. Si $A \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$, on écrit $A = P \operatorname{Diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n) P^{-1}$ avec $P \in \mathcal{O}_n(\mathbb{R})$ et les $\lambda_i > 0$, et on pose, pour $r \in \mathbb{R}$, $A^r = P \operatorname{Diag}(\lambda_1^r, \dots, \lambda_n^r) P^{-1}$ ; cette définition ne dépend pas de l'écriture de $A$ sous la forme précédente.
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1. Montrer que $M \mapsto M^{-1}$ est décroissante sur $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.
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1. Est-ce que $M \mapsto M^2$ est croissante sur $S_n^{++}(\mathbb{R})$ ?
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1. Montrer que $M\mapsto M^r$ est convexe sur $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ lorsque $r\in[-1,0]$. Ceci signifie que, pour tous $A,B\in\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et tout $t\in[0,1[$, $(tA+(1-t)B)^r\leqslant tA^r+(1-t)B^r$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 57]
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On dit d'une norme $\mathcal{N}$ sur $\mathcal{M}_d(\mathbb{R})$ qu'elle est invariante orthogonalement lorsque $\forall M \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R}), \ \forall (P,Q) \in \mathcal{O}_d(\mathbb{R})^2, \ \mathcal{N}(M) = \mathcal{N}(PMQ)$.
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1. Donner un exemple d'une telle norme.
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1. Soit $A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R})$, montrer qu'il existe $(P,Q) \in \mathcal{O}_d(\mathbb{R})^2$ tel que $A = PDQ$ où $D = \text{Diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_r, 0, \ldots, 0)$ avec $\forall i \in [1, r], \ \sigma_i > 0$.
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1. On se donne une norme $\mathcal N$ invariante orthogonalement sur $\mathcal M_d(\mathbb R)$.
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On note $T(A) = \sup\{\|AX\|, \|X\| = 1\}$ où $\|\|$ désigne la norme euclidienne canonique. Montrer qu'il existe $\alpha > 0$ tel que $\forall A \in \mathcal{M}_d(\mathbb{R}), \operatorname{rg}(A) = 1 \Rightarrow T(A) = \alpha \mathcal{N}(A)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 58]
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On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique et $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de la norme d'opérateur qui lui est subordonnée.
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1. Soit $A \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$.
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- Que dire des valeurs propres et des espaces propres de $\it A$ ?
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On note $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ les valeurs propres distinctes de A.
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- $\text{Soient} \ x \in \mathbb{R}^n \setminus \{0\}, \ \alpha \in \mathbb{R} \ \text{et} \ y = Ax \alpha x. \ \text{Montrer que} \ \min_{1 \leqslant i \leqslant r} |\lambda_i \alpha| \leqslant \frac{\|y\|}{\|x\|}$.
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1. Soient $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ diagonalisable, $P \in \operatorname{GL}_n(\mathbb{R})$ telle que $P^{-1}AP$ soit diagonale, $\lambda_1, \ldots, \lambda_r$ les valeurs propres distinctes de A. Soient enfin $B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ et $\alpha$ une valeur propre de $A$ + $B$. Montrer que $\min_{1 \le i \le r} |\lambda_i \alpha| \le ||P||_{\operatorname{op}} ||P^{-1}||_{\operatorname{op}} ||B||_{\operatorname{op}}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS nil 2025 # 59]
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Soient $S \in \mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$ et $A \in \mathcal{A}_n(\mathbb{R})$. Montrer que SA est diagonalisable sur $\mathbb{C}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 60]
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Soit $n \in \mathbb{N}^*$. On appelle forme quadratique sur $\mathbb{R}^n$ toute application $q : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ telle qu'il existe $(a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ telle que $q(x) = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j} x_i x_j$ pour tout $x = \sum_{1 \leqslant i,j \leqslant n} a_{i,j} x_i x_j$
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$(x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$. Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL_n(\mathbb{R})$ tels que $\{0\}$ et $\mathbb{R}^n$ sont les seuls sous-espaces de $\mathbb{R}^n$ stables par tous les éléments de $G$. Montrer que les formes quadratiques invariantes par $G$ constituent une droite vectorielle.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 61]
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Soit $n \ge 2$. On munit $\mathbb{R}^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $H \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. On pose $\nabla_H : (x,y) \in (\mathbb{R}^n)^2 \mapsto x^T H y$ et $Q_H : x \in \mathbb{R}^n \mapsto x^T H x$.
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1. Soit $H \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})$. Exprimer la norme d'opérateur de $H$ à l'aide de $Q_H$.
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1. Soient $m, n \in \mathbb{N}^*$. On munit $\mathbb{R}^n$ et $\mathbb{R}^m$ de leur structure euclidienne canonique. Si $A \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R})$, comment déterminer la norme d'opérateur de $A$ pour ces normes?
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1. Soient $J$, $K$ deux ensembles finis non vides, $(a_{j,k})_{(j,k)\in J\times K}\in (\mathbb{R}^+)^{J\times K}$. On suppose qu'il existe $C_1$ et $C_2$ tels que : $\forall j\in J, \sum_{k\in K}a_{j,k}\leqslant C_1$ et $\forall k\in K, \sum_{j\in J}a_{j,k}\leqslant C_2$. On
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ordonne $J$ et $K$ et on note $A$ la matrice des $a_{j,k}$. Montrer que $||A||_{\text{op}} \leqslant \sqrt{C_1 C_2}$.
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1. Pour $n \in \mathbb{N}^*$, $J$ = $K$ = [1, n], on pose, pour $1 \leqslant j, k \leqslant n$, $a_{j,k}^n = \frac{1}{(j-k)^2}$ si $j \neq k$, et $a_{j,k}^n=0$ sinon. On note enfin $A^n=\left(a_{j,k}^n\right)_{1\leqslant j,k\leqslant n}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Déterminer la limite de $(\|A^n\|_{\rm op})_{n\geq 1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 62]
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L'espace $\mathbb{R}^n$ est muni de sa norme euclidienne canonique et $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ de la norme subordonnée notée $\| \|_{op}$. Si $M \in GL_n(\mathbb{R})$, on définit le conditionnement de $M$ comme le réel cond $(M) = ||M||_{\text{op}} ||M^{-1}||_{\text{op}}$.
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1. Calculer cond(M) dans le cas où $M$ est symétrique définie positive.
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1. Montrer que, pour toute matrice $M \in GL_n(\mathbb{R})$, $cond(M) \geq 1$ et $cond(M^T) = cond(M)$.
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1. Que dire des matrices $M \in \mathrm{GL}_n(\mathbb{R})$ telles que $\mathrm{cond}(M) = 1$ ?
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1. Pour $A$ et $B$ dans $S_n^{++}$, montrer que $Cond(A+B) \leq max(Cond(A), Cond(B))$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 63]
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On note $E$ l'ensemble des matrices de $S_n^+(\mathbb{R})$ de rang 1.
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1. Soit $A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})$. Montrer que $A \in E$ si et seulement s'il existe $U \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ tel que
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$A = UU^T$. Soit $a \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^+, E)$.
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1. Montrer l'équivalence entre les deux assertions suivantes :
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$(\alpha)$ il existe $u: \mathbb{R}^+ \to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ continue telle que $\forall t \in \mathbb{R}^+, a(t) = u(t)u(t)^T$ ;
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$(\beta)$ il existe $z: \mathbb{R}^+ \to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ continue telle que $\forall t \in \mathbb{R}^+, z(t)^T a(t) z(t) > 0$.
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1. Soient $0 \le b \le c$. On suppose qu'il existe $(i,j) \in [1,n]^2$ avec $i \ne j$ tel que, pour tout $t \in [b,c], a_{i,i}(t) > 0$ et $a_{j,j}(t) > 0$. Montrer qu'il existe $z : [b,c] \to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ continue telle que $\forall t \in [b, c], z(t)^T a(t)z(t) > 0$ et, en outre, $z(b) = e_i, z(c) = \pm e_i$ (les $e_k$ sont les
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vecteurs de la base canonique).
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1. En considérant l'ensemble des $d \ge 0$ tels qu'existe $z : [0,d] \to \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})$ continue vérifiant $\forall t \in [0, d], z(t)^T a(t) z(t) > 0$ et $z(d) = \pm e_i$, montrer que a vérifie la propriété $(\alpha)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 64]
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Soient $n \ge 2$, $a: [0,1] \to \mathcal{S}_n^+(\mathbb{R})$ continue et $A = \int_0^1 a(t) dt$.
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1. Montrer que $A$ appartient à $S_n^+(\mathbb{R})$.
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1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que A=0. Exprimer Ker(A).
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1. Montrer que $M=\left(\frac{1}{1+i+j}\right)_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ est dans $\mathcal{S}_n^{++}(\mathbb{R})$.
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1. On suppose a à valeurs dans l'ensemble des matrices de projecteurs orthogonaux. Donner une condition pour que $A$ soit une matrice de projecteur orthogonal.
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1. Soit $\Gamma: x \in \mathbb{R}^{+*} \mapsto \int_0^{+\infty} e^{-t} t^{x-1} dt$. Soient $0 < \alpha < \beta$.
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Montrer que $\begin{pmatrix} \Gamma(2\alpha) & \Gamma(\alpha+\beta) \\ \Gamma(\alpha+\beta) & \Gamma(2\beta) \end{pmatrix}$ est dans $\mathcal{S}_2^{++}(\mathbb{R})$.
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1. En déduire que $\ln(\Gamma)$ est convexe
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 65]
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Soit $(O_n)_{n\geq 0}$ une suite d'ouverts non majorés de $\mathbb{R}^{+*}$. Montrer qu'il existe $x\in\mathbb{R}^{+*}$ tels que, pour tout $n\in\mathbb{N}$, l'ensemble $O_n\cap\mathbb{N}x$ soit infini.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 66]
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Soit $E$ un ensemble non vide. Soit $d: E^2 \to \mathbb{R}$ vérifiant, pour tous $x, y, z \in E$ :
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+ $d(x,y) = d(y,x)$, + $d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x = y$,
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+ $d(x,y) \leqslant \max(d(x,z), d(z,y))$.
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Ainsi $d$ est une distance sur $E$.
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Pour $x \in E$ et $r \in \mathbb{R}^+$, on note $B(x,r) = \{y \in E, d(x,y) \leq r\}$ la boule fermée de centre $x$ et de rayon $r$. On suppose que, pour tout $x \in E$ et tous $r$, r' vérifiant 0 < $r$ < r', on a $B(x,r) \subsetneq B(x,r')$. Enfin, on suppose qu'il existe une suite d'éléments de $E$ dense dans (E,d).
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Montrer qu'il existe une suite $(z_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $E$ et une suite $(r_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $\mathbb{R}^{+*}$ telles que : $\forall n\in\mathbb{N}, B(z_{n+1},r_{n+1})\subset B(z_n,r_n)$ et $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}B(z_n,r_n)=\emptyset$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 67]
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On note $E$ l'ensemble des fonctions lipschitziennes 1-périodiques de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
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1. Pour $\alpha \in ]0,1]$ et $f \in E$, on pose
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$$||f||_{\alpha} = \sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x)| + \sup_{x \neq y} \frac{|f(x) - f(y)|}{|x - y|^{\alpha}}.$$
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Démontrer que $\| \|_{\alpha}$ est une norme sur $E$.
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1. On note $F = E \cap \mathcal{C}^1(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. Démontrer que $F$ est un fermé de $E$ pour la norme $\| \cdot \|_1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 68]
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Soient $E$ l'espace des suites réelles $(x_n)_{n\geq 0}$ nulles à partir d'un certain rang, et $T\in\mathcal{L}(E)$. On suppose $T$ continu pour la norme $\|\ \|_1$ et pour la norme $\|\ \|_{\infty}$. Montrer que $T$ est continu pour la norme $\|\ \|_2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 69]
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Soit $E = C^0([0, 1], \mathbb{R})$.
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1. La forme linéaire $\phi: f \mapsto f(0)$ est-elle continue pour $\|\cdot\|_{\infty}$ ? pour $\|\cdot\|_{1}$ ? Dans chaque cas calculer l'adhérence de $\operatorname{Ker} \phi$.
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1. Soit $\phi: f \mapsto \int_0^1 f(x) \cos(2\pi x) dx$. Montrer que $\phi$ est continue pour $\| \cdot \|_1$ et calculer sa norme subordonnée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 70]
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Soit $E = C^0([0,1], \mathbb{R})$.
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$$\text{Si } a=(a_n)_{n\geq 0}\in [0,1]^{\mathbb{N}} \text{, on pose, pour } f,g\in E, \langle f,g\rangle_a=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f(a_n)\,g(a_n)}{2^n}.$$
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1. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\langle \; , \; \rangle_a$ soit un produit scalaire sur $E$. On note alors $\|\; \|_a$ la norme associée.
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1. Si $a,b \in [0,1]^{\mathbb{N}}$ vérifient les hypothèses de a), donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\| \|_a$ et $\| \|_b$ soient équivalentes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS nil 2025 # 71]
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Soient $n \ge 2$ et $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}^n, \mathbb{R})$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f^{-1}(\{x\})$ est compact.
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1. Montrer que $f$ admet un extremum global.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 72]
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Soient $(E, \langle , \rangle)$ un espace préhilbertien de dimension infinie et $K$ une partie bornée de $E$ dont la frontière est compacte. Montrer que $K$ est d'intérieur vide dans $E$.
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Peut-on généraliser le résultat à n'importe quel espace vectoriel normé de dimension infinie?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 73]
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Pour $x$,y réels et $\eps>0$, on dit que $x\approx_{\eps}y$ s'il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que |x-y-k|<
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$\eps$. Soient $\lambda_1, \lambda_2$ deux réels non nuls. Montrer que $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \notin \mathbb{Q}$ si et seulement si, pour tout $(a_1, a_2) \in [0, 1]^2$ et tout $\eps > 0$, il existe $x \in \mathbb{R}$ tel que $x\lambda_1 \approx_{\eps} a_1$ et $x\lambda_2 \approx_{\eps} a_2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 74]
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Soient $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie $n \ge 2$ et $C$ une partie non vide, convexe et bornée de $E$. Montrer que la frontière de $C$ est connexe par arcs.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 75]
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Soient $E$ un espace vectoriel normé et $f: E \to E$ une application telle que f(0) = 0 et $\forall x, y \in E, ||f(x) f(y)|| = ||x y||$.
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On pose, pour $x, y \in E$, ||f(x) - f(y)|| = ||x - y||. $\left\| \frac{f(x) + f(y)}{2} - f\left(\frac{x + y}{2}\right) \right\|$.
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1. Montrer que $\forall x, y \in E, df(x, y) \leq \frac{1}{2} \|x y\|$.
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1. Montrer que $f$ est linéaire si et seulement si df est identiquement nulle.
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1. Trouver une fonction vérifiant les propriétés de la fonction $f$, non linéaire et non surjective.
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d) On suppose que $f$ est surjective. Montrer que $f$ est linéaire.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 76]
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On munit $E = \mathcal{C}^0([0,1],\mathbb{R})$ des normes $\| \|_2$ et $\| \|_{\infty}$. Soit $(n_k)_{k\geq 0}$ une suite strictement croissante d'entiers naturels. Soit $F = \text{Vect}(x \mapsto x^{n_k}, k \geq 0)$. À quelle condition $F$ est-il dense dans $E$ pour la norme $\| \|_2$ ? pour la norme $\| \|_{\infty}$ ?
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS L 2025 # 77]
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Soit $f \in \mathcal{C}^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$. On note $D = \{\ell 2^{-k} + 2^{-k}[0, 1] ; (k, \ell) \in \mathbb{Z}^2\}$. Pour tout
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intervalle $I$ de $D$, on note $\log(I)$ la longueur de $I$ et on pose $M_I(f) = \frac{1}{\log(I)} \int_I f$. On
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pose $||f|| = \sup \left\{ \frac{1}{\log(I)} \int_{\Gamma} |f M_I(f)| \; ; \; I \in D \right\}$.
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1. On suppose ||f|| finie. Soit $m \in \mathbb{N}^*$, $(I, J) \in D^2$ avec $I \subset J$ tels que $\log(J) = 2^m \log(I)$. Démontrer que $|M_I(f) M_I(f)| \le 2m||f||$
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$2^m \log(I)$. Démontrer que $|M_I(f) M_J(f)| \le 2m ||f||$.
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1. On suppose que ||f|| = 1 et $M_{[0,1]}(f) = 0$.
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On note $F_k = \{I \in D : I \subset [0,1], M_I(f) > 5k \text{ et } I \text{ maximal pour cette propriété}\}$. On pose $\Omega_k = \bigcup_{I \in F_k} I \text{ et et } \log(\Omega_k) = \sum_{I \in F_k} \log(F_I)$.
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Montrer que, pour $k \geq 1$, $\log(\Omega_k) \leqslant \frac{1}{3} \log(\Omega_{k-1})$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 78]
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On munit les espaces $\ell^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R})$ et $\ell^2_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R})$ de leurs normes usuelles $\| \cdot \|_1$ et $\| \cdot \|_2$.
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On pose $H = \left\{ u \in \mathbb{R}^{\mathbb{Z}} \; ; \; \sum_{n \in \mathbb{Z}} u_n^2 (1 + n^2) < +\infty \right\}$.
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1. Définir un produit scalaire sur $H$. Écrire l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
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1. Quelles inclusions a-t-on entre $\ell^1_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R})$, $\ell^2_{\mathbb{Z}}(\mathbb{R})$ et H? Montrer que ces inclusions sont continues (i.e. les injections canoniques sont continues).
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1. Soit $u \in \mathbb{R}^{\mathbb{Z}}$. Montrer que $u \in H$ si et seulement si l'application $\mu_u : H \to H$ définie par $\forall v \in H, \ \mu_u(v) = u * v \text{ avec } (u * v)_n = \sum_{i=1}^n u_i v_i \text{ est bien définie et continue.}$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 79]
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On note $\ell^1$ l'ensemble des suites sommables de $\mathbb{R}^{\mathbb{N}}$. On munit $\ell^1$ de la norme
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définie, pour $u = (u_n)_{n \geq 0}$, par $||u||_1 = \sum_{n=0}^{+\infty} |u_n|$.
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Soient $(u^k)_{k\in\mathbb{N}}$ une suite d'éléments de $\ell^1$ et $u\in\ell^1$. Montrer l'équivalence entre :
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+ la suite $(u^{\overline{k}})_{k\in\mathbb{N}}$ converge vers $u$ pour la norme $\| \|_1$,
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+ pour toute suite $(\phi_n)_{n\in\mathbb{N}}$ bornée, $\sum_{n=0}^{+\infty} \phi_n u_n^k \underset{k\to+\infty}{\longrightarrow} \sum_{n=0}^{+\infty} \phi_n u_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 80]
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On note $S=\{z\in\mathbb{C},\,|z|=1\}$ et $\Gamma=\{\gamma\in\mathcal{C}^0([0,1],S)\,\,;\,\,\gamma(0)=\gamma(1)=1\}$.
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1. Soit $\gamma\in\Gamma$, montrer qu'il existe $\theta:[0,1]\to\mathbb{R}$ continue telle que $\forall t,\,\,\gamma(t)=e^{i2\pi\theta(t)}$.
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1. On prend $\gamma_0, \gamma_1 \in \Gamma$. On note $F$ la propriété : « il existe $h \in \mathcal{C}([0,1]^2,S)$ tel que $\forall x \in [0,1], \ h(x,\cdot) \in \Gamma, \ h(0,\cdot) = \gamma_0$ et $h(1,\cdot) = \gamma_1$ ». On pose $\gamma_0 = 1$ et $\gamma_1 : t \mapsto e^{2i\pi t}$. Montrer que $\gamma_0$ et $\gamma_1$ ne vérifient pas $F$.
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1. On note $D$ le disque fermé unité de $\mathbb{C}$. Existe-t-il $f \in \mathcal{C}^0(D,S)$ telle que $f|_S = \mathrm{id}$ ?
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS PLSR 2025 # 81]
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1. Soit $f \in \mathcal{C}^2(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ telle qu'il existe $x^* \in \mathbb{R}$ vérifiant $f(x^*) = 0$ et $f'(x^*) \neq 0$.
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On définit par récurrence une suite $(x_k)$ avec $x_0 \in \mathbb{R}$ et $x_{k+1} = x_k \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}$.
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Montrer qu'il existe $\eps > 0$ tel que, pour $x_0 \in [x^* \eps, x^* + \eps]$, la suite $(x_k)$ est bien définie et converge vers $x^*$.
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1. Avec $f: x \mapsto e^x 1$, quelles sont les valeurs de $x_0 \in \mathbb{R}$ pour lesquelles la suite $(x_k)$
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précédente est stationnaire? c) On revient au cas général et on suppose f'' > 0 et f' ne s'annule pas sur $\mathbb{R}$. Pour quelles valeurs de $x_0 \in \mathbb{R}$ la suite $(x_k)$ est-elle stationnaire?
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 82]
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Soit $f \in \mathcal{C}^0([a,b],[a,b])$. On suppose dans les questions a) et b) que $f$ n'a pas de
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point de période 2, c'est-à-dire que $\forall x \in [a,b], f(x) \neq x \Rightarrow (f \circ f)(x) \neq x$.
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1. Soit $c \in [a, b]$ tel que f(c) > $c$. Montrer que pour tout $k \in \mathbb{N}^*$, $f^k(c) > c$.
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1. Soit $x_0 \in [a,b]$, on pose pour tout $n$, $x_{n+1} = f(x_n)$. Démontrer que la suite $(x_n)$
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converge.
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1. Démontrer que la suite $(x_n)$ converge pour tout choix de $x_0$ si et seulement si $f$ n'a pas de point de période 2.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 83]
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1. Déterminer la nature des séries $\sum \frac{\sin n}{n}, \sum \frac{\sin^2 n}{n}, \sum \frac{|\sin n|}{n}$.
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1. Soit $x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ et $Q \in \mathbb{N}^*$. Montrer qu'il existe $p \in \mathbb{Z}$ et $q \in [1, Q]$ tels que $|qx p| \leqslant \frac{1}{Q}$.
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En déduire qu'il existe une infinité de couples (p,q) de $\mathbb{Z} \times \mathbb{N}^*$ tels que $\left|x \frac{p}{q}\right| \leqslant \frac{1}{q^2}$.
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1. On admet que $\pi$ est irrationnel. Déterminer la nature de la série $\sum \frac{1}{n \sin(n)}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 84]
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Soit $(a_n)$ une suite de réels décroissante de limite nulle.
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Pour $P\subset \mathbb{N}$, on note $A(P)=\sum_{n\in P}a_n$. On suppose $A(\mathbb{N})=A_\infty\in \mathbb{R}$. Montrer que
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$$\{A(P),\ P\in\mathcal{P}(\mathbb{N})\}=[0,A_{\infty}] \text{ si et seulement si } \forall n\in\mathbb{N},\ a_n\leqslant \sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 85]
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1. Pour quels réels *s* la somme $\sum_{n,m\in\mathbb{N}^*} \frac{|n-m|^s}{nm(n^2-m^2)^2}$ est-elle finie?
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$\begin{array}{l} \textbf{\textit{b})} \ \ \text{Pour } n=(n_1,n_2)\in \mathbb{Z}^2 \text{, on note } |n|=\sqrt{n_1^2+n_2^2}. \\ \\ \text{Pour quels réels } s \ \text{la somme} \ \sum_{(n,m)\in (\mathbb{Z}^2\backslash \{0\})^2} \frac{|n-m|^s}{|n||m|(1+(|n|-|m|)^2)} \ \text{est-elle finie}? \\ \end{array}$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 86]
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On note $S$ l'ensemble des suites croissantes à termes dans $\mathbb{N} \setminus \{0,1\}$.
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1. Pour $a \in S$, montrer que $\phi(a) = \sum_{k=0}^{+\infty} \left( \prod_{k=0}^{n} \frac{1}{a_k} \right)$ appartient à ]0,1].
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1. Montrer que $\phi$ définit une bijection de $S$ sur ]0,1].
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1. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a \in S$ pour que $\phi(a) \in \mathbb{Q}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 87]
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Soit $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}^{+*}$ décroissante de limite nulle. Soit $\phi: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ croissante. On suppose que, pour tout $\alpha \in \mathbb{R}^{+*}$, il existe une unique suite $(n_i)_{i \in \mathbb{N}}$ telle que $\alpha = \sum_{i=0}^{+\infty} f(n_i)$ et, pour tout $i \in \mathbb{N}$, $n_{i+1} \geq \phi(n_i)$.
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Montrer que $\phi(0)=0$ et, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$, $f(n-1)=\sum_{i=0}^{+\infty}f\left(\phi^i(n)\right)$, où $\phi^i$ désigne l'itérée $i$-ème de $\phi$ pour la composition des applications.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 88]
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Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Montrer l'équivalence entre les conditions suivantes :
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+ f(x) = O(x); + $\sum_{r \neq els} f(a_n)$ converge absolument pour toute série $\sum_{r \neq els} a_n$ absolument convergente à termes
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+ $\sum f(a_n)$ converge pour toute série $\sum a_n$ absolument convergente à termes réels.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 89]
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Soit $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telle que $\sum f(a_n)$ converge pour toute série convergente $\sum a_n$ à termes réels. Montrer qu'il existe un réel $\lambda$ tel que $f(x) = \lambda x$ pour $x$ voisin de 0.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 90]
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1. Soient $a, b \in \mathbb{R}$ avec a < $b$ et $f : [a, b] \to [a, b]$.
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1. Si $f$ est continue, montrer que $f$ possède un point fixe.
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2. Si $f$ est croissante, montrer que $f$ possède un point fixe.
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1. Soit $f\colon \R \ra \R$ monotone. Montrer que l'ensemble dis(f) des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.
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1. Construire $f\colon \R \ra \R$ monotone dont l'ensemble des points de discontinuité est $\Q$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 91]
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Trouver les $f:[0,1] \ra \R$ continues telles que $\forall x \in [0,1], \ f(x) = \sum_{n=0}^{+\i} \frac{f(x^n)}{2^n}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 92]
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Soit $f$ une fonction de $\R$ dans $\R \cup \{+\i\}$ non identiquement égale à $+\i$. Pour $y \in \R$, on pose $f^*(y) = \sup\{xy - f(x) ; x \in \R\}$.
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1. Montrer que $\{x \in \R, f^*(x) \lt +\i\}$ est un intervalle (éventuellement vide) sur lequel $f^*$ est convexe.
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1. Montrer que, si $f$ est dérivable et convexe sur $\R$, alors $f^{} = f$.
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1. On suppose que $f$ est de classe $C^2$ sur $\R$, que f''\gt 0 sur $\R$ et que $\frac{f(x)}{|x|}\underset{|x|\ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. Montrer que $f^*$ est dérivable sur $\R$ et que : $\forall (x,y)\in\R^2,\,y=f'(x)\Leftrightarrow x=(f^*)'(y)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 93]
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Pour $f:[0,1]\ra\R$, on pose $B_n(f)(x)=\sum_{k=0}^nf\Big(\frac{k}{n}\Big)\binom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k}$.
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1. Calculer $B_n(u_1)$ et $B_n(u_2)$ où $u_n: x \mapsto x^n$.
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$\textbf{\textit{b}) Montrer que, pour tout } x \in [0,1], \sum_{k=0}^n \left| x \frac{k}{n} \right| \binom{n}{k} x^k (1-x)^{n-k} \leq \sqrt{\frac{x(1-x)}{n}}$.
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1. En déduire que si $f$ est $M$-lipschitzienne, alors $|B_n(f)(x) f(x)| \leq \frac{M}{2\sqrt{n}}$ pour tout $x$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 94]
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Trouver toutes les fonctions $f\colon \R \ra \R$ telles que :
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- $f$ est croissante, à valeurs dans [0, 1], $f$ est continue à droite,
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- $f(x) \xrightarrow[x \ra -\i]{} 0$, $f(x) \xrightarrow[x \ra +\i]{} 1$, $\forall k \in \N^*$, $\exists b_k \in \R$, $\forall x \in \R$, $f(x)^k = f(x + b_k)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 95]
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1. Soient $a, b \in \R$ avec $|b| \lt \pi$.
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Montrer qu'il existe $z \in \C$ tel que $z + e^z = a + ib$.
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1. Montrer que l'application $z \mapsto z e^z$ est surjective de $\C$ sur $\C$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 96]
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Soient $\sigma \gt 0$ et $f\colon \R \ra \R$ une fonction continue telle que: $\forall x, y \in \R, |f(x)+f(y)-f(x+y)| \leq \sigma$. Montrer que $f$ est la somme d'une fonction linéaire $\ell: \R \ra \R$ et d'une fonction bornée par $\sigma$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 97]
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Une partie $E$ de [0, 1] est dite négligeable si, pour tout $\eps \gt 0$, il existe une suite $(I_n)_{n\geq 0}$ d'intervalles de [0,1] dont la réunion contient $X$ et dont la somme des longueurs est majorée par $\eps$. Soit $f$ une fonction dérivable de [0,1] dans $\R$. On suppose qu'il existe une partie négligeable $E$ de [0,1] telle que, pour tout $x \in [0,1] \setminus E$, on ait $f'(x) \ge 0$. Montrer que $f$ est croissante.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS P 2025 # 98]
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Soient $n \in \N^*$, $(P_k)_{k \in \db{1,n]\!]}$ et $(Q_k)_{k \in \db{1,n}}$ deux familles de polynômes réels, $f$ la fonction de $\mathbb{P}$ dens $\mathbb{P}$ telle que, pour tout $x \in \mathbb{P}$, $f(x) = \sum_{n=1}^n P_n(x) e^{Q_k(x)}$. Montrer que si
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fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=\sum_{k=1}P_k(x)\,e^{Q_k(x)}$. Montrer que, si
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$f$ n'est pas identiquement nulle, alors $f$ ne possède qu'un nombre fini de zéros.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 99]
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Soit $n$ un entier impair supérieur ou égal à 3. Déterminer les fonctions continues $f$ de [0,1] dans $\mathbb R$ telles que, pour tout $k\in [1,n-1]$, $\int_0^1 (f(x^{1/k}))^{n-k} \,dx = \frac{k}{n}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 100]
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Soit $(a_k)_{k\geq 1}$ une suite décroissante de réels positifs telle que, pour tout $k\in\N^*$, $ka_k\leq (k+1)a_{k+1}$. Montrer que $\int_0^\pi \max_{1\leq k\leq n}\left(a_k\frac{|\sin(kx)|}{x}\right)\,dx=\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{k}+O(1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 101]
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Soit $f\colon \R \ra \R$ de classe $C^1$. On pose, pour $n \in \N^*$, $S_n = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} f\left(\frac{k}{n}\right)$.
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a. Quelle est la limite de $(S_n)_{n\in\N^*}$ ? Déterminer la vitesse de convergence.
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$b$. On suppose désormais $f$ 1-périodique et de classe $C^2$. Montrer qu'il existe $C \in \R$ tel que : $\forall n \geq 1, \left| S_n - \int_0^1 f(t) \, dt \right| \leq \frac{C}{n^2}$.
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$c$. On suppose désormais $f$ 1-périodique et de classe $C^3$. Montrer qu'il existe $C \in \R$ tel que : $\forall n \geq 1, \left| S_n - \int_0^1 f(t) \, dt \right| \leq \frac{C}{n^3}$.
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$d$. Que dire si $f$ est 1-périodique et de classe $C^{\i}$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 102]
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Soient $(a,b) \in \R^2$ tel que a \lt $b$, $f$ une fonction continue de $[a,b] \times [-1,1]$ dans $\R$. Pour $\lambda \in \R$, soit $I(\lambda) = \int_a^b f(t,\sin(\lambda t)) \,dt$. Montrer que $I(\lambda)$ admet une limite que l'on déterminera lorsque $\lambda$ tend vers $+\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 103]
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Soient $N \in \N^*$ et $(x_1, \dots, x_N) \in \C^N$. Pour $y \in \R$, on note $e(y) = e^{2i\pi y}$.
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Soit $f\colon t \in \R \mapsto \sum_{n=1}^N x_n e(nt)$. Soient $R \in \N^*$ et $(t_1, \dots, t_R) \in \R^R$.
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1.
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a) Montrer que $\sum_{r=1}^R |f(t_r)|^2 \leq NR \sum_{k=1}^N |x_k|^2$.
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b) Étudier le cas d'égalité dans l'inégalité précédente.
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1. Pour $t \in \R$, on pose $\Delta(t) = \inf_{n \in \Z} |n - t|$. On suppose les $t_i$ distincts. Soit $\delta \gt 0$ tel que
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$\delta \leq \min_{1\leq i\neq j\leq R} \Delta(t_i-t_j). \text{ Montrer que } \sum_{r=1}^R |f(t_r)|^2 \leq (2N\pi+\delta^{-1}) \sum_{r=1}^N |x_k|^2$.Ind. On pourra montrer que, pour une fonction $g$ de classe $\mc C^1$ sur $\R$, pour $a \in \R$ et $h \gt 0$,
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$$|g(a)| \le \frac{1}{2h} \int_{a-h}^{a+h} |g(t)| dt + \frac{1}{2} \int_{a-h}^{a+h} |g'(t)| dt$$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 104]
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On note $E$ l'ensemble des fonctions 1-périodiques et de classe $\mc C^{\i}$ de $\R$ dans
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$\C$. Soit $f \in E$. Pour $n \in \Z$, on pose $c_n(f) = \int_0^1 e^{-2in\pi t} f(t) dt$.
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1. Montrer que $(c_n(f))_{n\in\Z}$ est sommable.
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1. On suppose que f(0)=0. Montrer qu'il existe $g\in E$ telle que $\forall t\in\R,\ f(t)=g(t)\,(e^{2i\pi t}-1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 105]
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Soient a,b\gt 0 et $m\in\Z$. Calculer $I_m(a,b)=\int_a^{+\i}e^{-ax-\frac{b}{x}}x^{m-\frac{1}{2}}dx$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 106]
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Soit $n \ge 2$. Déterminer l'ensemble des matrices $A \in \M_n(\C)$ telles que l'intégrale $\int_{-\i}^{+\i} e^{t^2 A} dt$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 107]
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Soit $f\colon \R \ra \R$ lipschitzienne. On suppose qu'il existe $R$ \gt 0 tel que, pour tout $x \in \R \setminus [-R, R]$, f(x) = 0.
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1. Montrer que $\eps \mapsto \int_{-\eps}^{-\eps} \frac{f(x)}{x} dx + \int_{-\eps}^{+\i} \frac{f(x)}{x} dx$ admet une limite en $0^+$.
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On note vp $\left(\int_{-\i}^{+\i} \frac{f(x)}{x} dx\right)$ cette limite.
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1. On note $T_f\colon x \mapsto \int_{-\i}^x f(y) \ln |y x| dy + \int_x^{+\i} f(y) \ln |y x| dy$. Justifier que $T_f$ est bien définie sur $\R$.
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1. On suppose $f$ de classe $C^1$. Montrer que $T_f$ est dérivable sur $\mathbb R$ et que :
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$$\forall x \in \R, \ (T_f)'(x) = \op{vp}\left(\int_{-y}^{+\i} \frac{f(y+x)}{y} dy\right)$$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 108]
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1. Pour $(p,k) \in \N^2$, montrer la convergence de $I_{p,k} = \int_0^1 \int_0^1 \frac{y^k x^p}{1 xy} \, dx \, dy$ et l'exprimer sous forme de la somme d'une série numérique.
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1. On note $d_n = \op{ppcm}(1, \dots, n)$ pour $n \in \N^*$. Montrer que $I_{p,k} \in \frac{1}{d_p^2} \Z$ si $p$ \gt $k$, et $I_{p,p} \in \zeta(2) + \frac{1}{d^2} \Z$.
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1. On pose $P_n = \frac{1}{n!} D^n (X^n (1 X)^n)$. Montrer que $P_n$ est à coefficients entiers.
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1. Montrer que $I_n = \int_0^1 \int_0^1 \frac{(1-y)^n P_n(x)}{1-xy} dx dy$ converge, et en donner une expression simplifiée.- e) Montrer que $I_n \in \frac{1}{d^2} (\Z + \zeta(2)\Z)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 109]
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Déterminer les segments $S$ de $\R$ non réduits à un point tels que l'ensemble des fonctions polynomiales à coefficients dans $\Z$ de $S$ dans $\R$ soit dense dans $(\mc C^0(S,\R), \| \|_{\i})$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 110]
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On note $E$ l'ensemble des fonctions croissantes de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ ayant pour limites respectives 0 et 1 en $-\i$ et $+\i$. Soient $F,G,H\in E$, avec $G$ et $H$ continues.
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On suppose qu'il existe quatre suites réelles a,b,c,d telles que $(x \mapsto F(a_nx+b_n))_n$ et $(x \mapsto F(c_nx+d_n))_n$ convergent simplement sur $\R$, respectivement vers $G$ et $H$. Montrer qu'il existe deux réels $\lambda \gt 0$ et $\mu$ tels que $\forall x \in \R, \ H(x) = G(\lambda x + \mu)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 111]
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Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions de [0,1] dans ]0,1], convergeant simplement vers une fonction $f$.
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1. Pour $n \ge 2$, on pose $t_n = \frac{1}{\ln n} \sum_{i=1}^n \frac{f_i}{i}$. Montrer que la suite $(t_n)$ converge simplement
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vers $f$.
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1. On suppose que $f_0$ est à valeurs strictement positives et que, pour tout $n \ge 1$, la fonction
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$f_n$ est dérivable, croissante et que $f_n' \geq \frac{nf_n}{\sigma_n}$, où $\sigma_n = \sum_{i=0}^{n-1} f_i$. On suppose également que $\sup \sigma_n(1/2) \lt +\i$. Montrer que, pour tout $x \in [0, 1/2[$, il existe $C_x \gt 0$ tel que, pour tout
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$n \geq 1$ $n \text{ assez grand, } f_n(x) \leq e^{-C_x n}$.
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1. On enlève l'hypothèse sur $\sigma_n(1/2)$. Montrer qu'il existe $x_0 \in [0,1]$ tel que :
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(i) $\forall x \lt x_0, \ \exists C_x \gt 0, \ \exists n_0 \in \N^*, \ \forall n \ge n_0, \ f_n(x) \le e^{-C_x n};$ (ii) $\forall x \gt x_0, \ f(x) \ge x - x_0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 112]
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Soit $f\colon x \mapsto \sum_{n=1}^{+\i} \frac{1}{n} \sin\left(\frac{x}{4^n}\right)$.
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1. Montrer que $\lim_{x \ra +\i} (\inf \{ f(t), t \ge x \}) = 0$.
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1. Montrer que $0 \lt \lim_{x \ra +\i} \left( \sup \left\{ \frac{|f(t)|}{\ln(\ln t)}, \ t \geq x \right\} \right) \lt +\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 113]
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Soit $(\lambda_n)$ une suite de réels \gt 0 telle que $\forall n \in \N, \ 2\lambda_n \leq \lambda_{n+1} \leq 3\lambda_n$. Montrer que :
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$$\forall \alpha \gt 0, \ \exists (c_1, c_2) \in (\R^{+*})^2, \ \forall t \in [1/2, 1[, \frac{c_1}{(1-t)^{\alpha}} \leq \sum_{n=1}^{+\i} \lambda_n^{\alpha} t^{\lambda_n} \leq \frac{c_2}{(1-t)^{\alpha}}$$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 114]
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On pose : $\forall x \gt 0, \eta(x) = \sum_{n=0}^{+\i} \frac{(-1)^{n-1}}{n^x}$.
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1. Montrer que $\eta$ est de classe $C^{\i}$ sur $]1, +\i[$. Étudier sa limite en $+\i$.
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1. Montrer que $\eta$ est de classe $C^{\i}$ sur $]0, +\i[$.
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1. Calculer $\eta(1)$.
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1. Montrer que : $\forall z \in \C, |e^z 1| \leq e^{|z|} 1$.
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1. Montrer que $\eta(z)$ est bien définie pour tout $z \in \C$ vérifiant $\Re z \gt 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 115]
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1. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un unique $L_n \in \R[X]$ tel que $L_n(1) = 1$ et $(1 - X^2)L_n'' - 2XL_n' + n(n+1)L_n = 0$.
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1. Montrer que $\forall x \in [-1,1], \ \forall z \in ]-1,1[, \ \frac{1}{\sqrt{1-2xz+z^2}} = \sum_{n=1}^{+\i} L_n(x)z^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 116]
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Soient $f,g\in\mc C^0([0,1],\R)$ telles que f(1)=g(1)=1 et, pour tout $x\in[0,1[,|f(x)|\lt 1$. On suppose qu'il existe C\gt 0 et $M\in\N^*$ tels que $1-f(1-x)\underset{x\ra 0^+}{\sim}Cx^{1/M}$.
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Pour $n \in \N$, on pose $u_n = \int_0^1 g(x) f(x)^n dx$.
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1. Déterminer un équivalent de $u_n$.
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1. Montrer l'existence de C' tel que : $\forall n \in \N^*, \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} 1 \right| \leq \frac{C'}{n}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 117]
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Soit $f\colon x \mapsto \int_0^{+\i} \cos\left(\frac{t^3}{3} + tx\right) dt$.
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1. Montrer la définition de $f$ sur $\R^+$
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1. Soit $x \geq 0$. Montrer que Re $\left[ \int_0^{+\i} \exp \left( i \left( \frac{(t+i\eps)^3}{3} + (t+i\eps)x \right) \right) dt \right] \xrightarrow[\eps \ra 0^+]{} f(x)$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS SR 2025 # 118]
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On note $E$ l'ensemble des fonctions continues et de carré intégrable de $\R^{+*}$
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dans $C$.
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a. On convient que
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$$\sqrt{+\i}=+\i$$
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. Pour $f$ continue de $\R^{+*}$ dans $\C$, montrer que
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$$\sqrt{\int_0^{+\i}|f|^2}=\sup\left\{\int_0^{+\i}|fg|\;;\;g\in E\;\mathrm{tel}\;\mathrm{que}\;\int_0^{+\i}|g|^2=1\right\}$$.
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1. Soit $f \in E$. Montrer que $\Phi : x \in \R^{+*} \mapsto \int_0^{+\i} \frac{f(t)}{t+x} dt$ appartient à $E$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 119]
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Soient $K \in \mc C^0([0,1]^2,\R)$ telle que $||K||_{\i} \lt 1$ et $f \in \mc C^0([0,1],\R)$. Étudier l'exis-
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tence et l'unicité de $g \in \mc C^0([0,1],\R)$ telle que $\forall x \in [0,1], \ g(x) \int_{\R}^1 K(x,t)g(t) \ dt = f(x)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 120]
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Soient $\alpha, \theta \in ]0,1[$. Pour $f:[1,+\i[ \ra [0,1]$ continue, on pose $\|f\|_{\alpha}=\sup_{s \ra \i} s^{\alpha}|f(s)|$ et $F_{\alpha}=\{f \in \mc C^0([1,+\i[,[0,1]),\,\|f\|_{\alpha}\lt +\i\}$.
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1. Pour $f \in F_{\alpha}$, on pose $T(f): s \geq 1 \mapsto 1 - \left(1 - \frac{1}{s}\right)^{\theta} + \theta(s-1)^{\theta} \int_{-\i}^{+\i} (s+t-1)^{-\theta-1} f(t) dt$.
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Montrer que $T$ est une application lipschitzienne de $F_{\alpha}$ dans $F_{\alpha}$ (pour $\| \cdot \|_{\alpha}$).- b) On admet que, pour tout $\alpha \in ]0, 1-\theta[$, $T$ possède un unique point fixe $f_{\alpha} \in F_{\alpha}$. Montrer que $f_{\alpha}$ ne dépend pas de $\alpha$ ; on le note $f_0$. Montrer que $\int_t^{+\i} t^{-\theta} f_0(t) dt = +\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 121]
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1. Expliciter le terme général d'une suite $(a_n)_{n\geq 0}$ vérifiant la relation de ré-
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currence $na_{n+1} = (n+1)a_n$ pour tout $n$.
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1. Résoudre x(x-1)y'' + 3xy' + y = 0 sur ]-1,1[.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 122]
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Résoudre $x^2y'' + xy' + (x^2 1/4)y = 0$ sur ]0, 1[.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 123]
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Soient $(a, b) \in \R^2$ avec $a \lt b, \psi \in \mc C^2([a, b], \R^{+*})$ croissante. Soit $y \in \mc C^2([a, b], \R)$ non nulle et vérifiant $y'' + \psi(x)y = 0$. Montrer que les points où |y| admet un extremum local forment une suite finie $(a_1, \ldots, a_n)$ (éventuellement vide) et que la suite des valeurs $(|y(a_1)|, \ldots, |y(a_n)|)$ est décroissante.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 124]
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Soit $f \in \mc C^2(\R, \C)$.
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1. On suppose que $f'' + f' + f \xrightarrow[+\i]{} 0$. Montrer que $f \xrightarrow[+\i]{} 0$.
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1. Soit $P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 \in \C[X]$ unitaire de degré 1 ou 2 et à racines simples dans $\C$.
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On pose $\partial_P f = \sum_{k=0}^{\i} a_k f^{(k)}$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $P$ pour que, quelle que soit $f \in \mc C^2(\R, \C)$, $\partial_P f \xrightarrow[+\i]{} 0$ implique $f \xrightarrow[+\i]{} 0$.
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1. Soit $a, b, c \in \R$. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que
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$$\forall (x,y,z) \in \mc C^1(\R,\C)^3, \quad \left\{ \begin{array}{l} x' + ax + by + cz \xrightarrow{+\i} 0 \\ y' + bx + cy + az \xrightarrow{+\i} 0 \\ z' + cx + ay + bz \xrightarrow{+\i} 0 \end{array} . \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x \xrightarrow{+\i} 0 \\ y \xrightarrow{+\i} 0 \\ z \xrightarrow{+\i} 0 \end{array}$.$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 125]
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Soient $I$ un intervalle de $\R$ et $A:I\ra\M_2(\R)$ continue. On regarde l'équation (1): X'(t) = A(t) X(t).
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1. Décrire l'ensemble des solutions de (1).
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1. On suppose qu'il existe $P \in GL_2(\R)$ et $D: I \ra \M_2(\R)$ à valeurs dans l'ensemble des matrices diagonales telles que, pour tout $t \in \R$, $A(t) = P^{-1}D(t)P$.
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Trouver une condition sur $D$ pour que les solutions de (1) aient une limite quand $t \ra +\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 126]
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Soit $n \ge 2$. Soit $A : \R^+ \ra \M_n(\R)$ continue. On considère les solutions de l'équation différentielle (): x'(t) = A(t)x(t).
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1. On suppose qu'il existe $P \in GL_n(\R)$ et $D : \R^+ \ra \M_n(\R)$ continue et à valeurs dans l'ensemble des matrices diagonales à coefficients dans $]-\i,-1]$ telles que, pour tout $t$, $A(t) = P D(t) P^{-1}$. Les solutions de () ont-elles toutes pour limite 0 en $+\i$ ?
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1. On suppose qu'il existe $P: \R^+ \ra \mathrm{GL}_n(\R)$ continue et $D \in \M_n(\R)$ diagonale à coefficients dans $]-\i,-1]$ telles que, pour tout $t$, $A(t)=P(t)DP^{-1}(t)$. Les solutions de () ont-elles toutes pour limite 0 en $+\i$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 127]
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On fixe un intervalle non trivial $I$.- a) Soient a et $b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. Soit $f$ une solution non nulle sur $I$ de y'' + ay' + by = 0. Montrer que les zéros de $f$ sont isolés : pour tout zéro $t_0$ de $f$ il existe un $\delta \gt 0$ tel que $f$ n'ait pas de zéro dans $|t_0 \delta, t_0 + \delta| \setminus \{t_0\}$.
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1. Soient $p_1, p_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles que $\forall t \in I$, $p_1(t) \geq p_2(t)$. Soient $f, g \in \mc C^2(I, \R) \setminus \{0\}$ telles que $f'' + p_1 f = 0$ et $g'' + p_2 g = 0$. Soient $t_1 \lt t_2$ deux zéros de $f$ entre lesquels $f$ n'admet aucun autre zéro. Montrer qu'il existe un zéro de $g$ dans $[t_1, t_2]$, ainsi que dans $[t_1, t_2]$.
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1. Soient $p$,q deux fonctions continues de [0,1] dans $\mathbb R$ telles que $\forall t \in [0,1], \ q(t) \gt 0$. Pour $\lambda \in \mathbb R$, on note $f_\lambda$ la solution sur [0,1] de l'équation différentielle $y'' + (p(t) + \lambda q(t))y = 0$ avec la condition initiale $f_\lambda(0) = 0$ et $f'_\lambda(0) = 1$. On note $N_\lambda$ le nombre de zéros de $f_\lambda$. Montrer que $\lambda \mapsto N_\lambda$ est croissante et déterminer ses limites en $-\i$ et $+\i$.
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1. On admet que $(x, \lambda) \in [0, 1] \times \R \mapsto f_{\lambda}(x)$ est continue. Montrer que l'ensemble
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$\{\lambda \in \R, \ f_{\lambda}(1) = 0\}$ est l'ensemble des termes d'une suite réelle strictement croissante.
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1. Montrer que $(\lambda, x) \mapsto f_{\lambda}(x)$ est continue sur $\R \times [0, 1]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 128]
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Soit $\mu \in \R^+$. On considère $(E_\mu): y'' \mu(1-y^2)y' + y = 0$.
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1. Résoudre $(E_0)$.
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1. Soient $x_0$ et $x_1$ deux fonctions bornées et de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$, et $\omega_1 \in \R$. On suppose qu'il existe des fonctions $\omega : \R^+ \ra \R$ et $\eps : \R \times \R \ra \R$ deux fois dérivables par rapport à la seconde variable telles que :
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+ $\omega(\mu) = 1 + \omega_1 \mu + o(\mu);$ + il existe $C: \R^+ \ra \R^+$ croissante telle que $\forall k \in \{0,1,2\}, \ \forall (\tau,\mu) \in \R^+ \times \R, \ |(\partial_2)^k \eps(\tau,\mu)| \leq C(\tau)\mu^2;$ + pour $x:(\tau,\mu)\in\R^+\times\R\mapsto x_0(\tau)+\mu x_1(\tau)+\eps(\tau,\mu)$, la fonction $t\mapsto x(\omega(\mu)t,\mu)$ est solution de $(E_\mu)$ sur $\R^+$ pour $\mu$ voisin de 0.
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Calculer alors $\omega_1$ et donner une expression explicite de $x_0$ et $x_1$ en fonction de quelques constantes inconnues.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 129]
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Soit $A$ une application continue de $\R$ dans $\M_n(\C)$ et $X$ une application de classe $C^1$ de $\R$ dans $\M_n(\C)$ telles que, pour tout $t \in \R$, X'(t) = A(t)X(t) X(t)A(t). Montrer que, pour tout $t \in \R$, X(t) est semblable à X(0).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 130]
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Soit $f\colon \R^2 \ra \R$ telle que $f(x,y) = \frac{e^x e^y}{x y}$ si $x \neq y$ et $f(x,x) = e^x$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 131]
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Soient $d\in\N^*$ et $f\colon\R^d\ra\R$ de classe $\mc C^2$. Soit $L\geq\ell\gt 0$ des réels. On suppose qu'en tout point de $\R^d$ la hessienne de f a son spectre inclus dans $[\ell,L]$. Soit $\tau\in ]0,2/L[$ ainsi qu'une suite u à termes dans $\R^d$ vérifiant la relation de récurrence $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=u_n-\tau\nabla f(u_n)$. Montrer que u converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 132]
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Soient $d \in \N^*$ et $f : \R^d \ra \R$ de classe $\mc C^1$. On suppose que $f$ tend vers $+\i$ en $\i$, que $\nabla f$ est lipschitzienne et que les points critiques de $f$ sont isolés dans $\R^d$. Montrer qu'il existe un réel $\tau \gt 0$ tel que, quel que soit le choix de $a \in \R^d$, la suite définie par $x_0 = a$et $\forall $n$ \in \N, \ x_{n+1} = x_n - \tau \nabla f(x_n)$ soit convergente. On commencera par le cas où d=1 et $f\colon x \mapsto \frac{x^2}{2}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 133]
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Soit $G$ un sous-groupe fermé de $\mathrm{GL}_n(\R)$.
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On pose $L = \{A \in \M_n(\R) ; \forall t \in \R, e^{tA} \in G\}$.
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1. Montrer que $L$ est un sous-espace vectoriel de $\M_n(\R)$. Ind. Considérer $\left(e^{tA/k}e^{tB/k}\right)^k$.
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1. Montrer que $\forall (A, B) \in L^2$, $AB BA \in L$.
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1. Que peut-on dire de $L$ pour $G = \mathrm{SL}_n(\R)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 134]
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Soit $n \ge 2$ un entier. Une application $f$ de classe $C^2$ définie sur un ouvert $O$ de $\R^n$, à valeurs dans $\R^n$ vérifie la propriété $\mc{P}$ si, pour tout $x \in O$, $df_x$ est composée d'une homothétie et d'une isométrie vectorielle.
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1. On suppose que n=2 et que $f$ vérifie $\mc{P}$. On note $f=(f_1,f_2)$. Montrer que $f_1$ et $f_2$ sont harmoniques, c'est-à-dire que $\Delta f_1=0$ et $\Delta f_2=0$.
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1. Montrer que le résultat de la question a) est faux si $n \geq 3$. On pourra considérer l'application $f\colon x \in \R^n \setminus \{0\} \mapsto \frac{x}{\|x\|^2}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 135]
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Soit $f\colon \R^2 \ra \R$ de classe $\mc C^2$.
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On dit que $f$ est harmonique si $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$. On dit que $f$ est homogène de degré $\lambda \geq 0$ si, pour tous $x,y \in \R$ et tout $t \in \R^+$, $f(tx,ty) = t^{\lambda}f(x,y)$. Soit $\lambda \geq 0$. Déterminer les fonctions harmoniques et homogènes de degré $\lambda$.
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#+end_exercice
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** Géométrie
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 136]
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Montrer qu'il n'existe aucun triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont dans $\N^*$ et dont l'aire est un carré parfait non nul.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS MP 2025 # 137]
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$ $ [P] Soient a, $b$, $c$, $d$ dans $\R^{+*}$. Quelle est l'aire maximale d'un quadrilatère dont les côtés successifs ont pour longueurs a, $b$, $c$, d?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 138]
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1. Quelle est l'aire maximale possible pour un rectangle de périmètre 1?
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1. On considère un entier $n \geq 3$ et une liste strictement croissante $(\theta_1, \dots, \theta_n)$ à termes dans $[0, 2\pi]$. Déterminer la valeur maximale possible pour le périmètre du polygone de sommets $e^{i\theta_1}, \dots, e^{i\theta_n}$ (dans cet ordre).
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1. Soit $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes. On convient que $z_0=z_n$. On définit l'aire algé-
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brique du polygone $z_1\cdots z_n$ comme $\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}(\op{Re}(z_k)\op{Im}(z_{k+1})-\op{Im}(z_k)\op{Re}(z_{k+1}))$. On fixe un réel p\gt 0. Parmi les listes $(z_1,\ldots,z_n)\in\C^n$ telles que le périmètre de $z_1\cdots z_n$ soit égal à $p$, déterminer celles qui maximisent l'aire algébrique du polygone associé.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+BEGIN_exercice [ENS PLSR 2025 # 139]
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1. Calculer la variance d'une variable de Poisson.
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1. Soient $a \in \N^*$ et $p$ un nombre premier. Calculer $\mathbf{E}(X^p \text{ modulo } p)$ où $X \sim \mc{P}(a)$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 140]
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Soient $p \in [0,1]$ et $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi
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Bernoulli de paramètre $p$. On pose $S_0=1$ et, pour $n\geq 0$, $S_{n+1}=\left\{\begin{array}{cc} 3S_n+1 & \text{ si } X_n=1\\ \frac{S_n}{2} & \text{ si } X_n=0 \end{array}\right$.
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1. Étudier les cas p=0 et p=1. On supposera que 0 dans toute la suite de l'exercice.
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1. Donner une formule de récurrence vérifiée par la suite $(\mathbf{E}(S_n))_{n\geq 0}$, et étudier son comportement quand $n\ra +\i$.
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1. Montrer que $\mathbf{P}((S_n)_{n\geq 0} \text{ est bornée}) = 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 141]
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Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. telles que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$.
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On pose $T_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ pour tout $n \ge 1$. Montrer que la suite $(T_n)_{n \ge 0}$ converge presque sûrement vers $\mathbf{E}(X_1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 142]
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Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ (resp. $(Y_n)_{n\geq 1}$) une suite de variables aléatoires $i$.i.d à valeurs dans $\N$. On note $T=\inf\{n\geq 2\ ;\ X_n\notin\{X_1,\ldots,X_{n-1}\}\}$ et $S=\inf\{n\geq 2\ ;\ Y_n\notin\{Y_1,\ldots,Y_{n-1}\}\}$. On suppose que $T\sim S$. Que peut-on dire du lien entre les suites $(X_n)$ et $(Y_n)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 143]
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Soit $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers et $\beta \gt 1$. Soit $(Y_p)_{p \in \mc{P}}$ une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\N$ vérifiant $\mathbf{P}(Y_p = k) = (1 p^{-\beta})p^{-k\beta}$ pour $k \in \N$ et $p \in \mc{P}$. On pose $Z = \sum_{n \in \mc{P}} Y_p \ln p$ et $X = \exp Z$.
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1. Donner la loi de $X$.
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1. En déduire que $\sum_{i=1}^{+\i} \frac{\mu(n)}{n^{\beta}} = \frac{1}{\zeta(\beta)}$ où $\mu$ est la fonction de Möbius.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 144]
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Montrer qu'il existe $C$ \gt 0 tel que pour tout $n \ge 1$ et tout $(a_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \{\pm 1\}^{n^2}$, il existe $(x_i)_{1 \le i \le n}$ et $(y_i)_{1 \le i \le n}$ dans $\{\pm 1\}^n$ tels que $\sum_{1 \le i \le n} a_{i,j} x_i y_j \ge C n^{3/2}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS MP 2025 # 145]
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Soient $\theta \in ]0,1[$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\R^+$ telle que $\mathbf{P}(X\gt 0)\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(X\geq\theta\,\mathbf{E}(X))\geq \frac{(1-\theta)^2\mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 146]
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Soit $n \in \N$ avec $n \ge 2$. Soit $E_n = \{e_1, \dots, e_n\}$ un ensemble de cardinal $n$. Soient $\sigma_1, \dots, \sigma_n$ des variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $S_n$. Si $i, j \in [1, n]$, on pose $e_i e_j = e_{\sigma_i(j)}$. Montrer que la probabilité que $(E, )$ soit un groupe, sachant que admet un neutre, tend vers 0 quand $n$ tend vers l'infini.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS L 2025 # 147]
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Soient $d \in \N^*$ et $(e_1, \ldots, e_d)$ la base canonique de $\Z^d$. Soit $(X_n)_{n \geq 0}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbf{P}(X_n = e_i) = \mathbf{P}(X_n = -e_i) = \frac{1}{2d}$
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pour $1 \leq i \leq d$. On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_k$ et $S_0 = 0$. Soit $T = \inf\{n \gt 0, S_n = 0\}$ et $p_d = \mathbf{P}(T \lt +\i)$. On admet que $p_d \lt 1$ pour $d \geq 3$. Montrer que $p_d \ra 0$ lorsque $d \ra +\i$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 148]
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Soient $p \in ]0, 1/2[$ et $(X_n)_{n \ge 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires telle que $\mathbf{P}(X_n=1)=1-\mathbf{P}(X_n=-1)=p. \text{ Pour } n\in\N^*, \text{ on note } S_n=X_1+\cdots+X_n. \text{ Montrer } 1\text{'existence de } c,C_1,C_2\gt 0 \text{ tels que } \forall u\geq 0,\ C_1e^{-cu}\leq \mathbf{P}\left(\sup_{n\geq 1}S_n\geq u\right)\leq C_2e^{-cu}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 149]
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1. Soit $X$ une variable aléatoire réelle et $s$ \gt 0 tel que $\mathbf{E}(e^{sX})$ soit finie. Démontrer que $\forall a \gt 0$, $\mathbf{P}(X \ge a) \le e^{-sa} \mathbf{E}(e^{sX})$.
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1. Soit $(X_i)_{i \ge 1}$ une suite de variable aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans [0, 1].
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On pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$. Démontrer que $\forall t \gt 0$, $\mathbf{P}(|S_n - \mathbf{E}(S_n)| \ge t) \le 2e^{-t^2/(2n)}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 150]
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Soit $(E, \mc{P}(E))$ un espace probabilisable avec $E$ dénombrable.
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1. Rappeler la définition d'une probabilité sur cet espace.
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1. Pour $A$ et $B$ probabilités sur cet espace, on pose $d(A,B) = \max_{S \subset E} A(S) B(S)$.
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$\text{Montrer que } d(A,B) = \frac{1}{2} \sum_x |A(\{x\}) - B(\{x\})|$.
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$c$. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes à valeurs dans $E$ de lois respectives $A$ et $B$. Montrer que $P(X \neq Y) \ge d(A, B)$.
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$d$. Les deux lois $A$ et $B$ étant fixées, montrer qu'on peut construire $X$ et $Y$ de façon à assurer l'égalité dans l'inégalité précédente.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 151]
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Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé $(\Omega, \mc{A}, \mathbf{P})$ et à valeurs dans [0, n]. On pose $p_k = \mathbf{P}(X = k)$ et $q_k = \mathbf{P}(Y = k)$ pour tout $k \in \db{0, n \rrbracket, \op{et} d(p,q) = \max_{S \subset \llbracket 0, n }} \overline{\mathbf{P}}(X \in S) - \mathbf{P}(Y \in S)$.
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1. Montrer que $d(p,q) \ge 0$. Que dire si d(p,q) = 0?
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1. Soit $\phi : \R \ra \R$ une fonction convexe. Comparer $\mathbf{E}(\phi(X))$ et $\phi(\mathbf{E}(X))$.
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1. On suppose de plus qu'il existe au moins deux éléments $k$ de [0,n] tels que $p_k\gt 0$. On suppose de plus que $\phi$ strictement convexe, c'est-à-dire telle que $\forall (x,y) \in \R^2, \ \forall t \in$
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$]0,1[\,\ x\neq y\Rightarrow \phi((1-t)x+ty)\leq (1-t)\phi(x)+t\phi(y).\ \text{Montrer que }\mathbf{E}(\phi(X))\gt \phi(\mathbf{E}(X))$.
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1. On suppose que : $\forall k \in \db{0, n }, \, p_k \gt 0$ et $q_k \gt 0$. On pose $H(p,q) = \sum_{k=0}^n p_k \ln \left( \frac{p_k}{q_k} \right)$.
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Montrer que $H(p,q) \ge 0$. Que dire si H(p,q) = 0?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 152]
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On considère $r_0 = 0$ et $(r_i)_{i \in \N^*} \in [0, 1]^{\N^*}$. Pour $(i, j) \in \N^* \times \N$, on pose $p_{i,j} = r_i$ si $j = i + 1, 1 - r_i$ si $j$ = $i$ - 1 et 0 sinon.On admet l'existence d'une famille de variables aléatoires $(X_k^i)_{(i,k)\in\N^*\times\N}$ telles que
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+ $X_0^{i_0} = i_0$ $p$.s. pour tout $i_0 \in \N^*$,
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+ $\mathbf{P}\left(\bigcap_{i=1}^n (X_k^{i_k} = i_{k-1})\right) = \prod_{i=1}^n p_{i_{k-1}, i_k} \text{ pour tout } (i_0, \dots, i_k) \in \N^{*k+1}$.
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On pose, pour $i,j\in\N^*,$ $\tau^i_j=\inf\{k\in\llbracket 0,+\i\llbracket,\ X^i_k=j\}\in\N\cup\{+\i\}$.
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Soit $b \in \N$. Calculer, pour $i \in [0, b]$, $\hat{p_i} = \mathbf{P}(\tau_0^i \lt \tau_b^i)$ en fonction des $\gamma_k = \prod_{i=1}^k \frac{1 - r_i}{r_i}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 153]
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Soient $(X_k)_{k \in \N^*}$ une suite de variables de Rademacher indépendantes et $X_0 =$ $k \in \Z$ (constante). On pose, pour tout $n \in \N$, $S_n = X_0 + \cdots + X_n$.
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1. Déterminer l'espérance et la variance de $S_n$.
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1. Soient $m \in \N^*$ et $k_1, \ldots, k_m \in \Z$. Que dire de la loi de $(S_n)_{n \geq m}$ conditionnée par $(S_1 = k_1, \ldots, S_m = k_m)$ ?
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1. Soient $k, N \in \N^*$ avec $N \ge k$. On considère que la marche aléatoire s'arrête dès que $S_n = 0$ ou $S_n = N$. On admet que l'arrêt est presque sûr. Déterminer la probabilité $p_k$ que la marche s'arrête sur 0 en partant de $k$.
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1. Déterminer le temps moyen d'arrêt (en 0 ou $N$ cette fois) en partant de $k$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 154]
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On considère $n$ variables aléatoires de Rademacher indépendantes $(\eps_i)_{1\leq i\leq n}$. Montrer que, pour tout réel $p$ \gt 0, il existe $(c_p, C_p) \in (\R^{+*})^2$ indépendant de $n \in \N^*$ tel que,
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pour tout
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$$(z_1, \ldots z_n) \in \C^n$$
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, $c_p \left(\sum_{i=1}^n |z_i|^2\right)^{\frac{1}{2}} \leq \left(\mathbf{E} \left|\sum_{i=1}^n \eps_i z_i\right|^p\right)^{\frac{1}{p}} \leq C_p \left(\sum_{i=1}^n |z_i|^2\right)^{\frac{1}{2}}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 155]
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Soit $(X_n)_{n\geq 0}$ une suite de variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\Z$ telles que $\forall n \in \N, \ \forall k \in \N, \ \mathbf{P}(X_n = k) = \mathbf{P}(X_n = -k) = ce^{-|k|}$ où $c$ est à déterminer. Déterminer la loi du rayon de convergence de la série entière aléatoire $\sum X_n z^n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS P 2025 # 156]
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Soit $(p_n)_{n\geq 1}$ une suite d'éléments de [0,1]. Pour $n\in\N^*$, on note $G_n$ le graphe aléatoire $G_{n,p_n}$ d'Erdös-Renyi, c'est-à-dire un graphe aléatoire de sommets [1,n] et une famille $(X_{\{i,j\}})_{\{i,j\}\in\mc{P}_2([1,n])}$ de variables de Bernoulli $i$.i.d. de paramètre $p_n$, avec $X_{\{i,j\}}=$ 1 si et seulement s'il existe une arête reliant $i$ et $j$. On note $I_n$ le nombre de sommets isolés $de G_n$.
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1. Soit $\eps \in ]0,1[$. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$, $p_n \geq (1+\eps)\frac{\ln(n)}{n}$. Montrer que $\mathbf{P}(I_n \geq 1) \xrightarrow[n \ra +\i]{} 0$.
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1. Soit $\eps \in ]0,1[$. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$, $p_n \leq (1-\eps)\frac{\ln(n)}{n}$. Montrer que $\mathbf{P}(I_n \geq 1) \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 1$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS L 2025 # 157]
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Montrer qu'il existe un réel c\gt 0 vérifiant la condition suivante : quel que soit $n \in \N^*$, quelle que soit $S$ partie non vide de $\mathbb{U}_n$, il existe un entier naturel $p \leq \frac{cn}{|S|}$ ainsi
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qu'une $p$-liste $(z_1,\ldots,z_p)$ d'éléments de $\mathbb{U}_n$ telle que $\left|\bigcup_{k=1}^p z_k S\right|\geq \frac{n}{2}\cdot$
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 158]
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Soit $p \in [0,1/2]$. On fixe une suite $(X_n)_{n \ge 1}$ de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans $\{-1,0,1\}$ et telles que $P(X_1 = 1) = P(X_1 = -1) = p$ et $P(X_1 = 0) = p$
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valeurs dans
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$$\{-1,0,1\}$$
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et telles que $\mathbf{P}(X_1=1)=\mathbf{P}(X_1=-1)=p$ et $\mathbf{P}(X_1=1)=1-2p$. Pour $b\in\Z, a\in\Z^{\N^*}$ et $n\in\N^*$, on pose $P(b,a,n)=\mathbf{P}\left(\sum_{k=1}^n a_k X_k=b\right)$.
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1. On suppose a = (2\lt sup\gt $k$-1\lt /sup\gt )\lt sub\gt k∈N\lt /sub\gt . Calculer P(0, a, n) pour tout $n$ ∈ $N$.
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b) On suppose $p$ = 1/4 et a = (1)\lt sub\gt k∈N\lt /sub\gt . Calculer P(0, a, n) pour tout $n$ ∈ $N$.
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c) Déterminer les valeurs de $p$ pour lesquelles $b$ → P(b, a, n) est maximale en 0 pour tout $a \in \Z^{\N^*}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PLSR 2025 # 159]
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Soit $n \ge 3$. Une alpiniste dispose de $n$ lieux possibles pour planter sa tente, lieux numérotés de 1 à $n$. Elle peut visiter chacun de ces lieux successivement, à partir du numéro 1, et doit décider si elle y plante sa tente. Lorsqu'elle visite le lieu $k$, elle peut savoir si elle préfère ce lieu à tous les lieux précédemment visités, mais ne sait pas si elle le préfère aux lieux non encore visités. Une fois un lieu visité, si l'alpiniste a refusé d'y installer sa tente elle ne pourra plus revenir sur ce lieu. L'alpiniste a pour objectif de maximiser la probabilité d'avoir choisi celui des $n$ lieux qui a sa préférence parmi les $n$ lieux.
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1. Déterminer une stratégie optimale pour l'alpiniste lorsque n=3.
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1. On fixe un $k \in [0, n-1]$. L'alpiniste suit la stratégie décrite ci-après : elle visite automatiquement les k+1 premiers lieux; étant donné $\ell \in [k+1, n-1]$, si l'alpiniste visite le ℓ-ième lieu alors elle l'écarte si et seulement s'il n'a pas sa préférence parmi tous les lieux déjà visités. Déterminer la probabilité $p_{n,k}$ pour que l'alpiniste s'installe sur le lieu ayant sa préférence parmi les $n$ lieux.
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1. On fixe un $k_n$ maximisant $p_{n,k}$ lorsque $k$ parcourt [0, $n$-1]. Étudier le comportement asymptotique de $k_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 160]
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Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires réelles discrètes. Pour $t\in\R$ et $n \in \N^*$, on considère la variable aléatoire $f_n(t) = \frac{1}{n} \left| \{k \in [1, n], X_k \leq t\} \right|$. Montrer qu'il existe une fonction $f\colon \R \ra \R$ telle que $\mathbf{P}\left(\sup_{t \in \R} |f_n(t) - f(t)| \gt \eps\right) \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 0$ pour tout réel $\eps \gt 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 161]
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Pour deux variables aléatoires réelles bornées $X$ et Y, sur des espaces probabilisés a *priori* distincts, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe $f\colon \R \ra \R$. On se donne, sur un espace probabilisé, deux suites $(M, X_1, X_2, \dots)$ et $(N, Y_1, Y_2, \dots)$ de variables aléatoires indépendantes bornées vérifiant les conditions suivantes:
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+ les $X_n$, où $n \in \N^*$, sont identiquement distribuées et positives;
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+ les $Y_n$, où $n \in \N^*$, sont identiquement distribuées et positives; + $M$ et $N$ sont à valeurs dans $\N$ :
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+ $M \preccurlyeq_c N$ et $X_1 \preccurlyeq_c Y_1$.
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On pose $S = \sum_{k=1}^M X_k$ et $T = \sum_{k=1}^N Y_k$. Montrer que $S \preccurlyeq_c T$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS L 2025 # 162]
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Soient $E$ une partie bornée et au plus dénombrable de $\R^+$, et $\mc{L}$ et $\mc{L}'$ deux lois de probabilité sur $E$. Déterminer, en fonction de ces lois, la plus petite constante $K_{\mc{L},\mc{L}'}$ telle que, pour tout couple (X,Y) de variables aléatoires réelles à valeurs dans $E$ telles que $X \sim \mc{L}$ et $Y \sim \mc{L}'$, on ait l'inégalité $\mathbf{E}(XY) \leq K_{\mc{L},\mc{L}'}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 163]
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $X=(X_1,\ldots,X_n)^T$ un vecteur aléatoire tel que $\mathbf{E}\left(\|X\|^2\right)\lt +\i$. On note $C(X)=\left(\op{Cov}(X_i,X_j)\right)_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de covariance.
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1. Que dire de C(X) si les $X_i$ sont indépendantes?
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1. Soient $v \in \R^n$ et $Y = \langle v, X \rangle$. Exprimer $\mathbf{V}(Y)$ en fonction de C(X).
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1. On suppose les $X_i$ centrées. Soient $A \in \M_n(\R)$ et $Z$ = AX. Exprimer $\mathbf{E}(\|Z\|^2)$ en fonction de C(X).
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1. Caractériser les $A \in \M_n(\R)$ pour lesquelles il existe un vecteur aléatoire $X$ tel que $A$ = C(X).
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1. Soit $H$ un hyperplan de $\R^n$.
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Montrer que $P(X \in H) = 1$ si et seulement si $H^{\perp} \subset \text{Ker}(C(X))$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS SR 2025 # 164]
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Soit $\alpha \gt 0$. On considère l'équation différentielle (): $(y' = -x, x' = \alpha^2 y)$ avec
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$(x,y):\R\ra\R^2$.
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1. Si $(x_0, y_0) \in \R^2$ est fixé, justifier l'existence et l'unicité d'une solution de () vérifiant $x(0) = x_0$ et $y(0) = y_0$. Pour cette solution, on pose $I(t) = y^2(t)$ et $J(t) = \alpha^2 x^2(t)$.
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1. Montrer que les applications $T \mapsto \frac{1}{T} \int_0^T I(t) dt$ et $T \mapsto \frac{1}{T} \int_0^T J(t) dt$ admettent une
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limite finie en $+\i$.
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1. Soit $N \in \N^*$. On considère deux variables aléatoires $x_0, y_0$ indépendantes à valeurs dans
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$\frac{1}{N}\Z$ telles que, pour tout $k \in \Z$, $\mathbf{P}\left(x_0 = \frac{k}{N}\right) = \mathbf{P}\left(y_0 = \frac{k}{N}\right) = \gamma_N \exp\left(-(k/N)^2\right)$.
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a) Justifier l'existence de $\gamma_N \in \R^+$ pour lequel ces conditions définissent la loi des deux variables aléatoires.
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b) On fixe $t$ et on considère, pour $N \in \N^*$, la variable aléatoire $f_N(t) = I(t) + J(t)$ (les fonctions $I$ et $J$ sont associées aux variables aléatoires $x_0$ et $y_0$). Montrer que $\mathbf{E}\left(e^{-f_N(t)}\right)$ possède une limite quand $N \ra +\i$.
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#+end_exercice
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* ENS PSI :autre:
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** Algèbre
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 165]
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1. Soit $A = (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \M_n(\R)$ telle que $\forall i,j \in [1,n], a_{i,i} = 2, a_{i,j} = -1$ si $|i-j| = 1, a_{i,j} = 0$ si $|i-j| \geq 2$.
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a) Montrer que, pour tout $x \in \R^n$, $Ax \ge 0 \Rightarrow x \ge 0$ où $\ge 0$ signifie que toutes les coordonnées sont positives ou nulles.
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b) En déduire que $A$ est inversible.
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1. Soit $A \in \M_n(\R)$ telle que $\forall i \in \db{1, n }, |a_{i,i}| \gt \sum_{i \neq i} |a_{i,j}|$.
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a) Montrer que $A$ est inversible.
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b) Soit $E$ et $F$ les matrices de taille $n$ définies par $e_{i,j} = a_{i,j}$ si $j \geq i, e_{i,j} = 0$ si $j$ \lt $i$ et $f_{i,j} = -a_{i,j}$ si $j \lt i, f_{i,j} = 0$ si $j \geq i$. Montrer que, si $(u,v) \in (\R^n)^2$ vérifie Ev = Fu, alors $||v||_{\i} \leq ||u||_{\i}$.
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c) Montrer qu'il existe $k \in ]0,1[$ tel que $\forall u,v \in \R^n, Ev = Fu \Rightarrow ||v||_{\i} \leq k||u||_{\i}$.
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d) Soient $b \in \R^n$, $x_0 \in \R^n$ et $(x_k)$ la suite définie par $\forall k \in \N$, $Ex_{k+1} = Fx_k + b$. Montrer que la suite $(x_k)$ est bien définie et que la suite $(x_k)$ converge. Déterminer sa limite.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 166]
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Soit $f\colon\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \M_2(\R) \mapsto \begin{pmatrix} c & a \\ d & b \end{pmatrix}$. Spectre de f? Diagonalisabilité sur $\R$ ? sur $\C$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 167]
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1. Soit $\lambda \in \C$. La suite $(\lambda^k)_{k \in \N}$ peut-elle être dense dans $\C$ ?
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1. Soit $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$.
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a) Pour $X \in \C^2$, la suite $\left(A^k X\right)_{k \in \N}$ peut-elle être dense dans $\C^2$ ?
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b) Soient $A \in \M_m(\C), X \in \C^m$. La suite $(A^k X)_{k \in \N}$ peut-elle être dense dans $\C^m$ ?
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1. Soit $A \in \M_m(\R)$ qui n'admet pas de valeur propre réelle.
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a) Montrer qu'il existe $P \in \mathrm{GL}_m(\R), a \gt 0, \theta \in \R$ tels que :
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$$A = P \begin{pmatrix} a\cos\theta & -a\sin\theta & * & \cdots & * \\ a\sin\theta & a\cos\theta & * & \cdots & * \\ 0 & 0 & * & \cdots & * \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & * & \cdots & * \end{pmatrix} P^{-1}$$.
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b) Soient $A \in \M_m(\R)$, $X \in \R^m$. La suite $(A^k X)_{k \in \N}$ peut-elle être dense dans $\R^m$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 168]
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On dit que $P=(p_{i,j})\in\M_n(\R)$ est une matrice de permutation s'il existe une permutation $\sigma$ de l'ensemble $\db{1,n]\!]$ telle que $\forall (i,j)\in [\![1,n}^2,\; p_{i,j}=\delta_{i,\sigma(j)}$.
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On dit que $H \in \M_n(\R)$ est une $H$-matrice si tous ses coefficients valent $\pm 1$ et si ses colonnes forment une famille orthogonale pour le produit scalaire canonique.
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1. Soit $P$ une matrice de permutation. Montrer que $P$ est orthogonale et que $P^T$ est une matrice de permutation.
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1. Soit $M \in \M_n(\{-1,1\})$.Montrer que $M$ est une $H$-matrice si et seulement si $M^TM = nI_n$.
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$c$. Soient $D \in \M_n(\{-1,1\})$ une matrice diagonale, $M$ une $H$-matrice de taille $n$, et $P$ une matrice de permutation de taille $n$. Montrer que DM, $M^T$, MD et PM sont des $H$-matrices. On suppose dans les dernières questions qu'il existe une $H$-matrice de taille $n \ge 3$.
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$d$. Montrer qu'il existe une $H$-matrice $S=(s_{i,j})\in\M_n(\R)$ n'ayant que des 1 en première ligne.
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1. Montrer que $\forall i, j \in \db{2, n }$ avec $i \neq j$, on a $\sum_{k=1}^n (s_{i,k}+1)(s_{j,k}+1) = n$.
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1. En déduire que $n$ est un multiple de 4. On écrit n=4k avec $k \in \N^*$.
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${\it g}$) Montrer qu'il existe une $H$-matrice de taille $n$ dont les trois premières lignes sont présentées en quatre blocs de taille $k$ de la forme suivante :
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$$\left(\begin{array}{ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|ccc|cc$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 169]
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Le produit scalaire canonique de $\R^n$ est noté $\langle x,y\rangle=x^Ty$. Soit $A\in\M_n(\R)$.
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1. Montrer qu'il existe un unique $(A^+, A^-) \in \mc{S}_n(\R) \times A_n(\R)$ tel que $A = A^+ + A^-$.
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1. Montrer que pour tout $x \in \R^n$, $\langle Ax, x \rangle = \langle A^+x, x \rangle$.
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On note $\lambda_1, \ldots, \lambda_\ell$ les valeurs propres de $A^+$ et $E_1, \ldots, E_\ell$ les sous-espaces propres associés. On suppose de plus que $A$ et $A^+$ commutent.
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1. Montrer que $\forall x \in E_i$, $Ax \in E_i$ et $A^-x \in E_i$.
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1. Soient $\mu \in \op{Sp}(A)$ et $F_{\mu}$ le sous-espace propre associé. Montrer qu'il existe $j$ tel que $\mu = \lambda_j$ et $F_{\mu} \subset E_j$.
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1. Soit $i \in [1, \ell]$. On suppose $\dim(E_i) = 1$. Montrer que $\lambda_i \in \op{Sp}(A)$ et $E_i \subset \op{Ker}(A^-)$.
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1. Montrer que si $A$ est diagonalisable alors $A$ est symétrique.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 170]
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Soit $A \in \M_n(\R)$. Soit $u : M \in \M_n(\R) \mapsto AMA^T$.
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1. On suppose $A$ diagonalisable.
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a. Montrer que *u* est diagonalisable.
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b. Montrer que $tr(u) = [tr(A)]^2$.
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c. Montrer que $\mc{S}_n(\R)$ est stable par $u$. On note $u_S$ l'endomorphisme induit par $u$ sur
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$$\mc{S}_n(\R)$$
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. Montrer que $\op{tr}(u_S) = \frac{1}{2}(\op{tr}(A^2) + [\op{tr}(A)]^2)$.
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1. On suppose désormais que $\tilde{A}^m = I_n$ pour un entier $m \geq 1$.
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a. Montrer que $A$ est diagonalisable sur $\C$.
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b. Montrer qu'il existe des entiers $r$,s tels que $r+2s\leq n$ et des entiers $k_1\leq \cdots\leq k_s$ tels que $\op{tr}(A)=r+2\sum_{s=1}^s\cos\left(\frac{2k_i\pi}{m}\right)$.
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c. Montrer que $\{A^k, k \in \N\}$ est fini.
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d. On pose $N = \op{Card}(\{A^k, k \in \N\})$. Montrer que $\op{tr}(u) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \op{tr}(A^k)$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [# 171]
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1. Soit $f\colon \R \ra \R$ une fonction $k$-lipschitzienne, avec $k \ge 0$.
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a. Montrer que $f$ est continue.
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b. On suppose $k$ \lt 1. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.
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c. Donner un exemple de fonction 1-lipschitzienne de $\R$ dans $\R$ qui n'a pas de point fixe.
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1. On considère $E = \R^d$ muni d'une norme $N$. Soit $f\colon \R^d \ra \R^d$ une fonction 1lipschitzienne. Soit $\Omega$ l'ensemble des vecteurs $x$ de $E$ tels que la suite $(f^n(x))_{n\in\N}$ est bornée. Montrer que $\Omega = \emptyset$ ou $\Omega = E$.
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1. On suppose $E = \C$ et f(z) = az + $b$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $f$ soit 1-lipschitzienne. En supposant cette condition réalisée, donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\Omega = E$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 172]
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Soit $(E, \| \ \|)$ un $\R$ -espace vectoriel normé de dimension 2 muni d'une base $(e_1, e_2)$ vérifiant la propriété $()$ : $\forall (\lambda_1, \lambda_2) \in \R^2$, $||\lambda_1 e_1 + \lambda_2 e_2|| = |||\lambda_1 ||e_1 + ||\lambda_2 ||e_2||$.
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1. Rappeler la définition d'un espace euclidien.
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1. Donner un exemple d'espace vectoriel normé et d'une base où la propriété () est vérifiée.
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1. Donner un exemple d'espace vectoriel normé et d'une base où la propriété () n'est pas vérifiée.
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1. On veut montrer le résultat $()$ : pour tout $(\alpha_1,\alpha_2,\beta_1,\beta_2)\in\R^4$, si $|\alpha_1|\leq |\beta_1|$ et $|\alpha_2| \leq |\beta_2| \text{ alors } ||\alpha_1 e_1 + \alpha_2 e_2|| \leq ||\beta_1 e_1 + \beta_2 e_2||$.
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On fixe $\lambda \in \R$ et on définit la fonction $f(\mu) = \|\mu e_1 + \lambda e_2\|$.
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- $\text{Montrer que } f\left(\frac{\mu+\mu'}{2}\right)\leq \frac{1}{2}f(\mu)+\frac{1}{2}f(\mu') \text{ pour tout } (\mu,\mu')\in\R^2$.
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- En déduire que $f$ est convexe.
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- Montrer que $f$ est une fonction croissante sur $\R^+$. iv) En déduire la validité de l'implication ().
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 173]
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Nature, suivant $\alpha \in \R$, de la série $\sum (-1)^n \frac{n^{\alpha}}{n^{2\alpha} + (-1)^n}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 174]
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Pour $n \in \N^*$, on pose $H_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{k}$ et $S_n = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{pq}{p+q}$.
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1. Montrer que $(H_n \ln(n+1))$ converge. On note sa limite $\gamma$.
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1. Déterminer un équivalent de $S_n$.
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1. Donner un développement asymptotique à deux termes de $S_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 175]
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Soit $E = \mc C^{\i}(\R, \R)$. Si $f \in E$, on note D(f) l'application $x \in \R \mapsto f(x+1) f(x)$.
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1. Montrer que $D$ induit un endomorphisme de $\R_n[X]$ (on identifie un polynôme et la fonction polynomiale associée). Quel est son noyau? son image?
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1. Soient $f \in E$, $n \in \N^*$ et $x$ \gt 0.
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Montrer qu'il existe $c \in ]x, x + n[$ tel que $D^n(f)(x) = f^{(n)}(c)$.
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1. Soit $\lambda \in \R$. On suppose : $\forall n \in \N^*$, $n^{\lambda} \in \N$. Montrer que $\lambda \in \N$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 176]
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Soit $G$ l'ensemble des fonctions de $\R$ dans $\R$ de la forme
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$$x \mapsto a_0 + \sum_{k=1}^{+\i} (a_k \cos(2k\pi x) + b_k \sin(2k\pi x))$$
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avec $(a_n)$ et $(b_n)$ sommables. Soit $F$ l'ensemble des $f \in \mc C^0(\R, \R)$ 1-périodiques.
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1. Si $f \in G$, montrer que les $a_k$ et $b_k$ sont uniquement déterminés par $f$.
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Si $a \in \R$ est fixé, on pose, pour $f \in F$, $T(f): x \mapsto f(x+a) f(x)$.
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1. Si $a \in \Z$, que vaut T? c) Si $a \in \Q$, décrire Ker(T).
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1. Si $a = \sqrt{2}$, décrire Ker(T).
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1. Oue vaut $\text{Im}(T|_G)$ pour $a = \sqrt{2}$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 177]
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Soit $f\colon I \ra \R$ convexe, où $I$ est un intervalle de $\R$ de longueur non nulle.
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1. Soit $t \in I$. Pour tout $x \in I \setminus \{t\}$, on pose $\Delta_t(x) = \frac{f(x) f(t)}{x t}$.
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1. Montrer que $\Delta_t$ est croissante sur $I \setminus \{t\}$.
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2. Justifier l'existence de $f'(t^+) = \lim_{x \ra t^+} \Delta_t(x)$. iii) On pose $a_t : x \mapsto f(t) + f'(t^+)(x-t)$. Montrer que $f(x) = \sup_{t \in I} a_t(x)$.
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1. On dit que $f$ est log-convexe lorsque $f$ \gt 0 sur $I$ et $\ln \circ f$ convexe
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1. Montrer que si $f$ est log-convexe, alors elle est convexe.
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2. Soit $f \in \mc C^2(\R, \R^{+*})$. Montrer que $f$ est log-convexe si et seulement si, pour tout
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$\alpha \in \R, x \mapsto e^{\alpha x} f(x)$ est convexe. iii) Montrer que la somme de deux fonctions log-convexes est log-convexe.
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1. On pose $\Gamma: x \mapsto \int_1^{+\i} t^{x-1} e^{-t} dt$.
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1. Justifier que $\Gamma$ est définie, de classe $\mc C^2$, et strictement positive sur $\R^{+*}$.
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2. Montrer que $\Gamma$ est log-convexe.
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3. Soient $n \in \N^*$ et $x \in \R^{+*}$. Montrer: $\Gamma(x+n) = \Gamma(x) \prod_{k=0}^{n-1} (x+k)$ et $\Gamma(n+1) = n!$.
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4. Montrer que $\ln(n) \leq \frac{1}{x} \ln \left( \frac{\Gamma(n+1+x)}{\Gamma(n+1)} \right) \leq \ln(n+1)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 178]
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1. Soit une fonction $f \in \mc C^0(\R^+, \R)$ décroissante, positive, et intégrable sur $\R^+$. Montrer que f(x) = o(1/x) quand $x \ra +\i$.
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1. Montrer qu'il existe une fonction $g\colon \R^+ \ra \R$ continue, positive et intégrable qui n'est pas négligeable devant 1/x en $+\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 179]
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Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue, strictement décroissante et intégrable sur $\R^+$.
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On pose, pour $n \in \N^*$, $f_n : x \in \R^+ \mapsto f(x^n)$.
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1. Montrer que $\forall x \in \R^+, \ f(x) \gt 0$ et que $\lim_{x \ra \i} f = 0$.
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1. Soit $a \in [0,1[$. Montrer que $(f_n)$ converge uniformément sur [0,a]. Cette suite est-elle uniformément convergente sur [0, 1]?
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1. Soit $b \in ]1, +\i[$. Mêmes questions pour les intervalles $[b, +\i[$ et $]1, +\i[$.
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1. Soit $a \in \R^+$. La suite de terme général $u_n = \int_{-\i}^{+\i} f_n(t) dt$ est-elle convergente?
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS PSI 2025 # 180]
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Soient $(a,b) \in \R^2$ avec a \lt $b$ et $I$ = [a,b]. Soit $f\colon I \ra I$ continue. La notation $f^n$ désigne $f \circ f \circ \cdots \circ f$ (n fois).
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On suppose qu'il existe $\omega \in I$ tel que $\forall x \in I$, $f^n(x) \ra \omega$ quand $n \ra +\i$.
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1. Montrer que, pour tout $k \in \N^*$, $\omega$ est l'unique point fixe de $f^k$.
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1. Montrer que $f(I) \neq I$.
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1. Montrer que $\cap_{n \geq 1} f^n(I) = \{\omega\}$.
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1. Montrer que la suite $(f^n)$ converge uniformément vers la fonction constante égale à $\omega$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 181]
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Pour $n \ge 1$, on note $b_n$ le nombre de partitions d'un ensemble de cardinal $n$.
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On pose
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$$b_0 = 1$$
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et $B: x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i} \frac{b_n}{n!} x^n$.
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réflexive $(\forall x \in E, x \sim x)$,
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1. Montrer que $b_n$ est le nombre de relations d'équivalence sur un ensemble de cardinal $n$. Cette notion étant hors-programme, nous en donnons la définition. Une relation ~ sur l'en-
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semble $E$ est dite d'équivalence lorsque c'est une relation :
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symétrique $(\forall (x,y) \in E^2, x \sim y \Rightarrow y \sim x)$, - transitive $(\forall (x, y, z) \in E^3, x \sim y \text{ et } y \sim z \Rightarrow x \sim z)$.
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1. Calculer $b_0, b_1, b_2$.
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1. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $b_{n+1} = \sum_{k=1}^n \binom{n}{k} b_k$.
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1. Montrer que $B$ est dérivable sur un intervalle ouvert non vide, en déduire une équation différentielle vérifiée par $B$ puis la résoudre.
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1. Montrer que, pour tout $n \in \N$, $b_n = \frac{1}{e} \sum_{k=0}^{+\i} \frac{k^n}{k!}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 182]
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1. Calculer $\int_0^1 -\frac{\ln(1-t)}{t} dt$. On donne $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$.
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1. Soient $x \in [0,1]$ et $a,b \in \R$ avec 0 \lt a \lt $b$. Montrer que l'équation $y^a y^b = x^a x^b$ d'inconnue y admet deux solutions, sauf pour une valeur $x_0$ de $x$ que l'on déterminera.
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1. Soit $f:[0,1]\ra\R$ définie par $f(x_0)=x_0$ et, pour $x\neq x_0$, f(x) est l'unique solution différente de $x$ de l'équation $y^a - y^b = x^a - x^b$. Montrer que $f$ est décroissante et continue.
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1. Soit $x \in ]0,1[$. Montrer que l'équation $x^{b-a} = \frac{1-t^a}{1-t^b}$ admet une unique solution $t \in$
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]0,1[. On la note g(x).
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1. Calculer $I = \int_0^1 -\frac{\ln(f(x))}{x} dx$. On utilisera le changement de variable $t$ = g(x).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 183]
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Soient $A \in \M_n(\R)$ symétrique définie positive, $B \in \M_{m,n}(\R)$, $v \in \R^n$.
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Soit $J: x \in \R^n \mapsto \frac{1}{2} \langle Ax, x \rangle \langle v, x \rangle$.
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1. Calculer le gradient de $J$ et montrer que $\forall x, h \in \R^n, J(x+h) - J(x) = \langle \nabla J(x), h \rangle + \frac{1}{2} \langle Ah, h \rangle$.
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1. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes : + il existe $x \in \text{Ker}(B)$ tel que $\forall z \in \text{Ker}(B), J(z) \geq J(x)$ ;
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+ il existe $x \in \text{Ker}(B)$ tel que $\nabla J(x) \in \text{Ker}(B)^{\perp}$ ;
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+ $\text{le système } (S): \begin{cases} Ax+B^Ty=v\\ Bx=0 \end{cases}$
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1. Montrer que si $Ker(B) = \{0\}$ alors (S) admet au moins une solution.
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1. Montrer que (S) admet au plus une solution si et seulement si $Ker(B^T) = \{0\}$.
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1. Montrer qu'il existe $\alpha \gt 0$, $\beta \ge 0$ tels que $\forall x \in \R^n$, $J(x) \ge \alpha ||x||^2 \beta ||x||$.
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1. En déduire que (S) admet au moins une solution.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 184]
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Soit $(E, \langle, \rangle)$ un espace préhilbertien.
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1.
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1. Montrer que la fonction $x \mapsto ||x||$ est de classe $C^1$ sur $E \setminus \{0\}$. Calculer sa différentielle.
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2. Soient $H$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $a \in E$.
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Soit $x \in H$ tel que $||x - a|| = \inf_{y \in H} ||y - a||$. Montrer que $x - a \in H^{\perp}$.
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1.
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1. Soient $a, b \in E$ et $\phi : x \in E \mapsto ||x a|| + ||x b||$. Calculer la différentielle de $\phi$ là où elle existe, et déterminer les points où celle-ci s'annule.
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2. ) Déterminer les extrema de $\phi$ sur $E$.
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1. Soit $\rho:(x,y)\in\R^2\mapsto\sqrt{(1-x)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(1-y)^2}$. Déterminer les extrema de $\rho$.
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1. Soient A, $B$ et $C$ trois points du plan formant un triangle aigu. Soit $\Psi: M \mapsto AM + BM + CM$.
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1. Montrer que $\Psi$ admet un minimum en un point $O$ tel que, pour tout couple
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$(M,N) \in \{A,B,C\}^2$ de points distincts, l'angle non orienté $(\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON})$ vaut $\frac{2\pi}{3}$.
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2. Que se passe-t-il si A, $B$ et $C$ forment un triangle équilatéral?
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3. Que peut-on conclure dans le cas général?
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 185]
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1. Soient $N$ boules rouges et $M$ boules noires dans une urne. Combien y a-t-il de suites de tirages successifs sans remise d'une boule jusqu'à vider l'urne?
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On considère désormais une urne contenant n\gt 2 boules rouges et 2N-n\gt 2 boules noires. On effectue des tirages successifs sans remises de deux boules à la fois jusqu'à vider l'urne. On note $X$ le nombre de tirages ayant donné deux boules rouges.
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1. On suppose $n$ \gt $N$. Déterminer $P(X \ge 1)$.
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1. Majorer $X$.
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On suppose $n$ pair et on note $A$ l'événement « les $\frac{n}{2}$ premiers tirages sont constitués de deux boules rouges » et $B$ l'événement « les $\frac{n}{2}-1$ premiers tirages sont constitués de deux boules rouges et les deux tirages suivants d'une boule rouge et d'une boule noire ». Sont-ils équiprobables?
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1. Soit un entier $k$ \lt $N$. Déterminer P(X = k).
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1. Déterminer $\mathbf{E}(X)$.
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1. On suppose que $n = \lfloor \lambda N \rfloor$ avec $\lambda \lt 1$. Montrer que $\mathbf{E}(X) \sim \frac{\lambda^2}{4} N$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS PSI 2025 # 186]
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1. Soit $E = C^0([0,1], \R)$. Pour $p \in \N^*$ et $f \in E$, on note $||f||_p = \left(\int_0^1 |f|^p\right)^{1/p}$.
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- Montrer que $\| \|_2$ et $\| \|_4$ sont des normes sur $E$.
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- Montrer que $\| \cdot \|_4 \geq \| \cdot \|_2$.
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- Soit $(f_n)_{n\in\N^*}$ la suite de fonctions définies par $\forall x\in[0,1/2n],\ f_n(x)=0,$
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$\forall x \in [1/n, 1], f_n(x) = x^{-1/4} \text{ et } f_n \text{ est affine sur } [1/2n, 1/n]$. Comparer $||f_n||_2$ et $||f_n||_4$. Qu'en déduit-on?
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1. Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$.
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Pour
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$$a=(a_n)_{n\geq 1}\in\R^{\N^*},\, n\geq 1$$
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et $p\geq 2$, on note $N_{n,p}(a)=\left(\mathbf{E}\left(\left|\sum_{k=1}^n a_k X_k\right|^p\right)\right)^{1/p}$.
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- Calculer $N_{n,2}(a)$.
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- Calculer $N_{n,4}^4(a)$ en fonction de $N_{n,2}(a)$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 187]
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Soit $S_n$ l'ensemble des permutations de [1, n], que l'on munit de la probabilité uniforme.
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1. Pour $k, \ell \in [1, n]$ avec $k \neq \ell$, on note $\tau_{k,\ell} \in \mc{S}_n$ la transposition définie par $\tau_{k,\ell}(k) =$ $\ell$, $\tau_{k,\ell}(\ell) = k$ et $\forall j \in [1, n] \setminus \{k, \ell\}, \tau_{k,\ell}(j) = j$.
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- Pour $\sigma \in \mc{S}_n$, expliciter $\sigma \circ \tau_{k,\ell} \circ \sigma^{-1}$.
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- Déterminer tous les $\sigma \in \mc{S}_n$ tels que $\forall \alpha \in \mc{S}_n$, $\sigma \circ \alpha = \alpha \circ \sigma$.
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1. Pour $\sigma \in \mc{S}_n$, on note $Z_{\sigma} = \{ \alpha \in \mc{S}_n, \ \sigma \circ \alpha = \alpha \circ \sigma \}$.
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- Montrer que $Z_{\sigma}$ est stable par composition et passage à l'inverse.
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- Pour $\sigma \neq id$, montrer que $2|Z_{\sigma}| \leq |S_n|$.
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1. On tire indépendamment et avec remise deux éléments $\sigma$ et $\tau$ de $S_n$.
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- Montrer que $\forall n \geq 3, p_n = \mathbf{P}(\sigma \circ \tau = \tau \circ \sigma) \leq \frac{7}{12}$.
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- Déterminer $p_3$.
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1. Pour $\sigma \in \mc{S}_n$, on note $C_{\sigma} = \{\alpha \circ \sigma \circ \alpha^{-1}, \ \alpha \in S_n\}$.
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- Montrer que $\forall \sigma \in \mc{S}_n, \ |C_{\sigma}| = \frac{n!}{|Z_{\sigma}|}$.
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- Montrer que $\forall \sigma, \tau \in \mc{S}_n, C_{\sigma} = C_{\tau}$ ou $C_{\sigma} \cap C_{\tau} = \emptyset$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 188]
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Soit $n \geq 2$. On se place dans $\N^2$ et on considère le rectangle $[0,n] \times [0,2]$. On appelle recouvrement de $[0,n] \times [0,2]$ tout ensemble fini formé de rectangles translatés de $[0,1] \times [0,2]$ (rectangles verticaux) et de $[0,2] \times [0,1]$ (rectangles horizontaux) qui recouvrent $[0, n] \times [0, 2]$ sans que leurs intérieurs ne se chevauchent.
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On note $u_n$ le nombre de recouvrements de $[0,n] \times [0,2]$. On munit l'ensemble des recouvrements de $[0, n] \times [0, 2]$ de la probabilité uniforme.
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1. Calculer $u_1, u_2, u_3$. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, $u_{n+2} = u_{n+1} + u_n$. En déduire une expression de $u_n$.
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1. On note $P_{1,n}$ la probabilité qu'il y ait un rectangle vertical tout à gauche.
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Calculer $P_{1,n}$ et montrer que $(P_{1,n})$ admet une limite $L$.
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$c$. On note $V_n$ le nombre de rectangles verticaux. Calculer $\mathbf{E}(V_n)$.Ind. On pourra écrire $V_n = \sum_{i=1}^n U_{i,n}$ où $U_{i,n}$ est l'indicatrice de l'événement : « il y a un
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rectangle vertical en position $i$ ».
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$d$. Montrer que $\frac{\mathbf{E}(V_n)}{n} \xrightarrow[n \ra +\i]{} L$.
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Ind. Découper la somme entre $[1, \sqrt{n}], [\sqrt{n}, n - \sqrt{n}]$ et $[n - \sqrt{n}, n]$.
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1. On note $V_{i,j,n}$ l'événement : « il y a un rectangle vertical en $i$ et en $j$ ». Calculer $\mathbf{E}(V_{i,j,n})$.
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1. Calculer $V(V_n)$, puis en donner un équivalent quand $n \ra +\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 189]
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Soient $m, n \in \N^*$. Soit $A_{m,n} = \{a_1, \dots, a_m, b_1, \dots, b_n\}$ où les $a_i, b_j$ sont des éléments distincts. Soit $H_{m,n}$ l'ensemble des bijections $f$ de $A_{m,n}$ sur $\db{1,m+n]\!]$ telles que, pour tout $(i,j) \in [\![1,m]\!]$, $i$ \lt $j$ implique $f(a_i) \lt f(a_j)$ et, pour tout $(i,j) \in [\![1,n}^2$, $i$ \lt $j$ implique $f(b_i) \lt f(b_j)$.
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1. Calculer le cardinal de $H_{m,n}$.
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Soit $f_{m,n}$ suivant la loi uniforme sur $H_{m,n}$.
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1. Calculer $\mathbf{P}(f_{m,n}(a_m)=i)$.
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1. Pour $c,k\in\N^*$, montrer que $\mathbf{P}(f_{cn,n}(a_{cn})=(c+1)n-k)$ admet une limite quand $n$ tend vers $+\i$.
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1. Calculer $P(f_{2m,n}(a_m)=i)$.
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1. Soit $t \ge 0$. donner un équivalent de $\mathbf{P}(f_{2n,2n}(a_n) = 2n + \lfloor t\sqrt{n} \rfloor)$. Ind. Commencer avec $t$ = 0 et utiliser l'équivalent de Stirling lorsque $t \ra +\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 190]
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Soit $I$ un intervalle de $\R$.
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1. Soit $(\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in [0, 1]^n$ tel que $\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 1$. Soit $f\colon I \ra \R$ convexe.
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- Montrer que, pour tout $(x_1, \dots, x_n) \in I^n$, on a $f\left(\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i\right) \leq \sum_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)$.
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- On suppose $f$ de classe $C^2$ sur $I$ avec f'' \gt 0. Montrer que, si les $\lambda_i$ sont dans ]0,1[ et les $x_i$ sont distincts, l'inégalité du i) est stricte.
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1. Soient $\Omega$ un ensemble fini, $P_1$ et $P_2$ des probabilités sur $\Omega$. On pose
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$$TV(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) = \sup_{A \in \mc{P}(\Omega)} |\mathbf{P}_1(A) - \mathbf{P}_2(A)| \text{ et } N_1(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) = \sum_{\omega \in \Omega} |\mathbf{P}_1(\{\omega\}) - \mathbf{P}_2(\{\omega\})|$$.
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- Montrer que $TV(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2)=\frac{1}{2}N_1(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2)$
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- Montrer que $TV(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) = \sum_{\omega \in \Omega} \max(\mathbf{P}_1(\{\omega\}), \mathbf{P}_2(\{\omega\})) 1$
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- Montrer que
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$$1 - TV^2(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) \geq \left(\sum_{\omega \in \Omega} \sqrt{\mathbf{P}_1(\{\omega\})\mathbf{P}_2(\{\omega\})}\right)^2.$$
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1. On garde les hypothèse de la question b) et on suppose que, pour tout $\omega \in \Omega$, la condition $\mathbf{P}_2(\{\omega\}) = 0$ implique $\mathbf{P}_1(\{\omega\}) = 0$.
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On pose $D(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) = \sum_{\omega \in \Omega} \mathbf{P}_1(\{\omega\}) \ln \left( \frac{\mathbf{P}_1(\{\omega\})}{\mathbf{P}_2(\{\omega\})} \right)$ avec la convention $0 \ln 0 = 0$.
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- Montrer que $D(\mathbf{P}_1, \mathbf{P}_2) \geq 0$
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- Montrer que $\left( \sum_{\omega \in \Omega} \sqrt{\mathbf{P}_1(\{\omega\})\mathbf{P}_2(\{\omega\})} \right)^2 \geq e^{-D(\mathbf{P}_1,\mathbf{P}_2)}$.
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- Conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 191]
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Soient $n \ge 2$ et $p \in \{1, \dots, n\}$. Soit $A \in \M_{n,p}(\R)$ telle que $A^T A$ est inversible. On pose $P = A(A^T A)^{-1}A^T$.
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On considère des variables aléatoires $i$.i.d. $(z_k)_{1 \leq k \leq n}$ d'espérance nulle et ayant un moment d'ordre 4. On pose $\sigma = \sqrt{\mathbf{V}(z_1)}$ et $Z = (z_1 \dots z_n)^T$.
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On considère une matrice colonne $X_0 \in \M_{p,1}(\R)$. On pose $Y = AX_0 + Z$ et $X = (A^TA)^{-1}A^TY$. On pose enfin $T = ||A(X - X_0)||^2$, où || || est la norme euclidienne usuelle sur $\M_{p,1}(\R)$.
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1. Montrer que rg(A) = $p$.
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1. Montrer que $P$ est un projecteur orthogonal de rang $p$. Déterminer son image et son noyau.
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1. Montrer que $T = Z^T P Z$.
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1. On note $P_{i,j}$ les coefficients de $P$. On pose $T_1 = \sum_{i=1}^n P_{i,i} z_i^2$ et $T_2 = 2 \sum_{1 \le i \lt j \le n} P_{i,j} z_i z_j$.
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Exprimer $\mathbf{E}(T_1)$, $\mathbf{E}(T_2)$ et $\mathbf{E}(T_1T_2)$ en fonction de $\sigma$ et $p$.
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1. Déterminer $\mathbf{E}(T_1^2)$ et $\mathbf{E}(T_2^2)$.
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1. En déduire l'espérance et la variance de $T$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 192]
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Soit $Y$ une variable aléatoire. On dit que $Y$ est $k$-divisible $(k \in \N^*)$ s'il existe un vecteur aléatoire $(X_1, \ldots, X_k)$ où les $X_i$ sont $i$.i.d. tel que $Y \sim (X_1 + \cdots + X_n)$. On dit que $Y$ est infiniment divisible si elle est $k$-divisible pour tout $k \in \N^*$.
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1. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendante suivant les lois de Poisson de paramètres respectifs $\lambda$ et $\nu$. Donner la loi de X+Y. En déduire que si $Y\sim \mc{P}(\lambda)$ alors $Y$ est infiniment divisible.
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1. Soit $Y$ une variable aléatoire. On suppose qu'il existe A\gt 0 tel que $\mathbf{P}(Y\in[-A,A])=1$ et que $Y$ est $k$-divisible pour un certain $k\in\N^*$. On a donc $Y\sim(X_1+\cdots+X_k)$ où les $X_i$ sont $i$.i.d.
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- Montrer que, pour tout $i$, $P(X_i \in [-A/k, A/k]) = 1$.
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- Montrer que, pour tout $i \in [1, k]$, $\mathbf{V}(X_i) \leq \left(\frac{A}{k}\right)^2$. En déduire une majoration de $\mathbf{V}(Y)$.
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- Que peut-on dire si la variable aléatoire $Y$ vérifie $\mathbf{P}(Y \in [-A, A]) = 1$ et qu'elle est infiniment divisible?
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1. Soient $p \in ]0,1[$ et $Y$ une variable aléatoire suivant $\mc{B}(\lambda)$. Si $k \geq 2$, montrer que $Y$ n'est pas $k$ divisible.
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1. Soient $p \in ]0,1[$, $n \in \N^*$ et $Y$ une variable aléatoire suivant $\mc{B}(n,p)$. Pour quelles valeurs de $k \in \N^*$ la variable aléatoire $Y$ est-elle $k$-divisible?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 193]
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On dit que le spectre d'une matrice est simple lorsque toutes les valeurs propres de la matrice sont simples. Soit $n \in \N$. Posons $M = \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & c \end{pmatrix} \in \M_{n+1}(\R)$, avec $A \in \M_n(\R)$, $b \in \R^n$ considéré comme un vecteur colonne et $c \in \R$.L'objectif des deux premières questions est d'établir une démonstration de la proposition suivante : si le spectre de $M$ n'est pas simple, alors $b$ est orthogonal à un des vecteurs propres Soit $\lambda$ une valeur propre non simple de $M$.
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1. Montrer que l'on dispose de $v \in \R^n$, un vecteur propre de $M$, associé à la valeur propre $\lambda$, tel que $v_{n+1} = 0$.
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1. Montrer que $\lambda$ est aussi valeur propre de $A$ et conclure.
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Notons
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$$N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\0&1&X_5&X_2\\0&X_5&-1&X_3\\X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}\in\M_4(\R)$$
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où les $X_i$ sont des variables aléatoires indé-
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1. On note $B$ l'événement : « le spectre de $N$ est simple ». Montrer que $P(B) \ge 3p^3 2p^4$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 194]
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Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$.
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Pour
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$$n \in \N^*$$
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, soient $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ et $Y_n = \sum_{k=1}^n \frac{X_k}{k^{\alpha}}$ où $\alpha \gt 3/4$.
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1.
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- Pour $(i, j, k, \ell) \in [1, n]^4$, calculer $\mathbf{E}(X_i X_j X_k X_\ell)$.
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- En déduire $\mathbf{E}(S_n^4)$.
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- Soit $(x_k)_{k\geq 1} \ \text{une suite de r\'eels} \gt 0 \ \text{et } B_{n,p} = \bigcup_{k\in \db{n,n+p}} \left( |S_k|\geq x_k \right)$.
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||
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Montrer que
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$$\mathbf{P}(B_{n,p}) \leq 3 \sum_{k \in [n,n+p]} \frac{k^2}{x_k^4}.$$
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1.
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- Exprimer $Y_n$ en fonction des $S_k$.
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- Montrer que $(Y_n)$ converge presque sûrement.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PSI 2025 # 195]
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1. Soit $f \in \mc C^1(\R^{+*}, \R)$ convexe.
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- Soit $t_0 \in \R^{+*}$. Montrer qu'il existe $g$ affine telle que $\forall t \in \R^{+*}: f(t) \geq g(t)$ et $f(t_0) = g(t_0)$.
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- Soit $Z$ une variable aléatoire réelle telle que $Z$ et f(Z) sont d'espérance finie. Montrer que $f(\mathbf{E}(Z)) \leq \mathbf{E}(f(Z))$.
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1. Pour $X$ variable aléatoire réelle et $t \in \R$, on pose si possible $\Psi_X(t) = \ln(\mathbf{E}(e^{tX}))$. Calculer $\Psi_X$ lorsque $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$.
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1. Pour $X$ variable aléatoire discrète réelle et $\theta \in \R$, on pose $\Phi_X(\theta) = \sup_{t \in \R^+} (t\theta \Psi_X(t))$.
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- Montrer que $\Phi_X$ est positive et convexe sur son ensemble de définition.
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- Montrer que $\Phi_X$ est définie en $\mu = \mathbf{E}(X)$ et que $\Phi_X(\mu) = 0$.
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- Montrer que $\Phi_X$ est décroissante pour $\theta \lt \mu$ et croissante pour $\theta \gt \mu$.
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1. On suppose que $X \sim \mc{P}(\lambda)$.
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- Calculer $\Phi_X$.
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- Donner un majorant de $P(X \ge 2\lambda)$.
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#+end_exercice
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* ENS PC :autre:
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#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 196]
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Pour $n \in \N^*$, calculer le module de $\sum_{k=0}^{n-1} \exp\left(\frac{2i\pi k^2}{n}\right)$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 197]
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Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$. Montrer : $\op{tr}(A^2)\leq \sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}^2$. Cas d'égalité?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 198]
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Soient
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$$D = \begin{pmatrix} \alpha_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \alpha \end{pmatrix}$$
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et $F = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix} \in \M_n(\R)$.
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Pour $k \in \N$, calculer $(D+F)^k$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 199]
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Soit $\phi \in \mc{L}(\M_n(\R), \R)$ telle que : $\forall (A, B) \in \M_n(\R)^2$, $\phi(AB) = \phi(BA)$. Montrer qu'il existe $\beta \in \R$ tel que $\phi = \beta$ tr.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 200]
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Soit $(A_1, \ldots, A_n) \in \M_n(\R)^n$. Existe-t-il nécessairement $(\eps_1, \ldots, \eps_n) \in \{-1, 1\}^n$ tel que : $\op{tr}\left(\left(\sum_{i=1}^n \eps_i A_i\right)^2\right) \geq \sum_{i=1}^n \op{tr}\left(A_i^2\right)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 201]
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Soit $R: \mathbb{K}[X] \ra \mathbb{K}[X]$ définie par R(0) = 0 et, pour tout polynôme $P \in \mathbb{K}[X]$ de degré $n, R(P) = X^n P\left(\frac{1}{Y}\right)$.
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1. L'application $R$ est-elle linéaire? bijective?
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1. Trouver tous les polynômes $P$ tels que R(P') = R(P)'.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 202]
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Soient $M$ et $N \in \M_2(\C)$ telle que $M^2 = N^2 = 0$ et $MN + NM = I_2$. Montrer qu'il existe $P \in \mathrm{GL}_2(\C)$ telle que $M = PE_{1,2}P^{-1}$ et $N = PE_{2,1}P^{-1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 203]
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Soit $(A_1, \ldots, A_m) \in \op{GL}_n(\R)^m$ tel que, $\forall (i,j) \in [1,m]^2$, $A_i A_j \in \{A_1, \ldots, A_m\}$. Montrer que $|\det(A_j)| = 1$ pour tout $j \in [1,m]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 204]
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Soit $N \in \M_n(\R)$ nilpotente. On pose $f_N: t \mapsto \sum_{k=0}^{+\i} t^k N^k$.
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1. Montrer que $f_N$ est bien définie sur $\R$.
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1. Montrer que si $f_N$ s'annule alors $N$ = 0.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 205]
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Soient $A, B \in \mc{S}_2(\R)$ et $C \in \M_2(\R)$. On note, pour $X, Y \in \M_2(\R)$, [X, Y] = XY - YX. Montrer que $[[A, B]^2, C] = 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 206]
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Soit $A \in \M_n(\R)$. On note $E = \{AM, M \in \M_n(\R)\}$. Déterminer la dimension de $E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 207]
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1. Soient A, $B$, $C$ des espaces vectoriels. On note $A \xrightarrow{f_1} B \xrightarrow{f_2} C$ lorsque $f_1 \in \mc{L}(A, B), f_2 \in \mc{L}(B, C)$ et $\mathrm{Im}(f_1) = \mathrm{Ker}(f_2)$. Que peut-on dire si $A = \{0\}$ ? si $C = \{0\}$ ?b) Soient A, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$ des espaces vectoriels. On suppose que
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où $h_1$ et $h_3$ sont des isomorphismes et où $h_2 \circ f_1 = g_1 \circ h_1$ et $h_3 \circ f_2 = g_2 \circ h_2$. Montrer que $h_2$ est un isomorphisme.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 208]
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Soit $n \in \N^*$. Montrer qu'il existe $k \in \N^*$ et $P_1, \ldots, P_k$ des éléments de $\R[X]$ qui ne sont pas des monômes tels que $\forall A \in \mathrm{GL}_n(\R), \exists i \in [1, k], P_i(A) \in \mathrm{GL}_n(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 209]
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Soient $A$ et $B \in \M_n(\R)$, avec $\op{rg} A = p$ et $\op{rg} B = q$. Déterminer les valeurs possibles de $\op{rg}(AB)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 210]
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Soit $(A, B) \in \M_n(\R)^2$ sans valeur propre complexe commune. Montrer que $\Phi : M \mapsto AM - MB$ est un automorphisme de $\M_n(\R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 211]
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $A \in \M_{n,p}(\R)$ avec $n \gt p \gt \op{rg}(A)$ et $b \in \R^n$. Déterminer les $x \in \R^p$ tels que $||Ax b|| = \min_{y \in \R^p} ||Ay b||$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 212]
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Soient $E$ un espace euclidien et $p,q\in\mc{L}(E)$ deux projecteurs orthogonaux qui commutent. Montrer que $p\circ q$ est un projecteur orthogonal.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 213]
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Soient $A \in \mc{S}_n(\R)$, $a \in \R$ et $x \in \R^n$. On pose $M = \begin{pmatrix} A & x \\ \hline x^T & a \end{pmatrix}$.
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On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ et $\mu_1 \leq \cdots \leq \mu_n \leq \mu_{n+1}$ les valeurs propres de $M$. Montrer que $\mu_1 \leq \lambda_1 \leq \cdots \leq \mu_n \leq \lambda_n \leq \mu_{n+1}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 214]
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Soit $n \in \N^*$. Lorsque $(A, B) \in \mc{S}_n(\R)^2$, on note $A \leq B$ si $B - A \in \mc{S}_n^+(\R)$. On pose $\Phi : A \mapsto A^T A$ définie sur $\M_n(\R)$. Montrer que $\Phi$ est convexe, c'est-à-dire : $\forall (A, B) \in \M_n(\R)^2, \, \forall \lambda \in [0, 1], \, \Phi\left((1 - \lambda)A + \lambda B\right) \leq (1 - \lambda)\Phi(A) + \lambda\Phi(B)$.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 215]
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Caractériser les matrices $M\in\M_2(\R)$ pour lesquelles il existe $X\in\R^2$ tel que $\lim_{n\ra+\i}\|M^nX\|=+\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 216]
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Soit $d \in \N^*$. Pour toutes matrices $A$ et $B$ dans $\M_d(\R)$ on définit [A,B] = AB BA. Soient $A$ et $B$ dans $\M_d(\R)$. Soit $(F_n)_{n \in \N}$ la suite de matrices définie par $F_0 = B$ et, pour tout $p \in \N$, $F_{p+1} = [A, F_p]$.
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1. Montrer que, pour tout $n \ge 0$, il existe des réels $c_{0,n}, c_{1,n}, \ldots, c_{n,n}$ tels que
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$$F_n = \sum_{i=0}^n c_{i,n} A^{n-i} B A^i$$.b) Soit $A \in \mc{S}_d(\R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $A$ pour que la suite $(F_n)$ tende vers la matrice nulle, et ce quelle que soit la matrice $B$ à partir de laquelle la suite $(F_n)$ a été construite.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 217]
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Soit $\gamma \in ]0,1]$. Soit $(x_n)_{n\geq 1} \in (\R^+)^{\N}$ telle que $\forall n \in \N, \ x_{n+1} \leq x_n + x_n^{1-\gamma}$. Montrer qu'il existe d\gt 0 tel que, pour tout $n\in \N, \ x_n\leq dn^{1/\gamma}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 218]
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Soient $(x_n)$ et $(y_n)$ deux suites réelles.
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1. On pose : $\forall n \in \N, y_n = x_{n+1} - x_n$. Si $y_n \ra 0$, la suite $(x_n)$ converge-t-elle nécessairement?
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1. On pose : $\forall n \in \N, y_n = x_{n+1} - \frac{1}{2}x_n$. Montrer que, si $y_n \ra 0$, alors $x_n \ra 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 219]
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Soient $\alpha \in \R$ et $(x_{n,N})_{(n,N)\in\N^2}$ une suite double réelle.
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On suppose que, pour tout $N \in \N$, $\lim_{n \ra +\i} x_{n,N} = \alpha$. Montrer qu'il existe $(N_n)_{n \in \N} \in \N^{\N}$ croissante telle que $\lim_{n \ra +\i} x_{n,N_n} = \alpha$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 220]
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Soit $(u_n) \in (\R^{+*})^{\N}$ telle que $\sum u_n$ diverge.
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a. Montrer que $\sum \frac{u_n}{(u_1 + \dots + u_n)^2}$ converge.
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1. Montrer que $\sum \frac{u_n}{u_1 + \cdots + u_n}$ diverge.
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$c$. Soit $(x_n) \in (\R^{+*})^{\N}$. On suppose, que pour toute $(y_n) \in (\R^{+*})^{\N}$, la convergence de $\sum y_n^2$ implique celle de $\sum x_n y_n$. Montrer que $\sum x_n^2$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 221]
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Soient a \gt 0 et $f \in C^0([0, +\i[\,, \R)$ telle que $\forall x \in \R, |f(x) - 1| \lt \frac{1}{1 + x^2}$.
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Montrer qu'il existe $g \in C^0([0, +\i[\,\R)$ telle que $\forall x \in \R, f(x) = g(x) g(x+a)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 222]
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1. Déterminer les fonctions $f\colon \R^{+*} \ra \R$ continues telles que, pour tous $x, y \in \R^{+*}$, f(xy) = f(x) + f(y).
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1. Déterminer les fonctions $f\colon \R^{+*} \ra \R$ continues telles que, pour tous $x, y \in \R^{+*}$, f(xy) = f(x) f(y).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 223]
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Soit $f \in \mc C^2(\R, \R^+)$ telle que f'' est bornée sur $\R$. Montrer qu'il existe $C \in \R$ tel que, pour tout $x \in \R$, $(f'(x))^2 \leq Cf(x)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 224]
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Soit $f \in \mc C^2(\R, \R)$. On suppose que $f$, f' et f'' sont bornées sur $\R$. Montrer que $\lim_{\eps \ra 0} \sup_{x \in \R} \left| \frac{f(x+\eps) - f(x)}{\eps} - f'(x) \right| = 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 225]
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Soit $f \in \mc C^0(\R, \R)$ qui tend vers 0 en $-\i$ et en $+\i$ et telle que la famille de fonctions $(f, x \mapsto f(x+1), x \mapsto f(x+2))$ est liée. Que dire de f?
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 227]
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Soient
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$$a, b \in \R$$
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avec $a \lt b$ et $f \in \mc C^1(\R, \R^+)$ intégrable.
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On suppose the
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$$a, b \in \R$$
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avec $a \lt b \in f \in C$ $(\R, \R^n)$ integrable.
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On suppose que :
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$$\forall x \in [a, b], \ f'(x) \geq 1$$
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. Peut-on avoir $\int_{\R} f = \frac{(b-a)^2}{2}$ ?
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 228]
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Trouver toutes les
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$$f \in \mc C^0([0,1],\R^{+*})$$
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telles que $\int_0^1 f = \int_0^1 \frac{1}{f} = 1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 229]
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Soient
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$$a \lt b$$
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deux réels.
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a. Soit $\phi \in \mc C^2([a,b]), \R$) telle que $|\phi'| \ge 1$ et $\phi'' \gt 0$.
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a. Soit
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$$\phi \in \mc C^2([a,b]), \R$$
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) telle que $|\phi'| \ge 1$ et $\phi'' \gt 0$.
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Montrer que, pour tout $\lambda \gt 0$, $\left| \int_a^b \cos(\lambda \phi(x)) \, dx \right| \le \frac{4}{\lambda}$.
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$b$. Montrer que, pour tout
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$$\phi \in C^2([a,b],\R)$$
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et pour tout $\alpha \gt 0$, si $|\phi'| \ge \alpha$ et $\phi'' \gt 0$ alors
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$$\left| \int_a^b \cos(\lambda \phi(x)) \, dx \right| \leq \frac{4}{\alpha \lambda}$$.
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$c$. Soit $\phi \in \mc C^2([a,b],\R)$ telle que $\phi'' \geq 1$.
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Montrer que, pour tout
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$$\lambda \gt 0$$
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, $\left| \int_a^b \cos(\lambda \phi(x)) dx \right| \leq \frac{8}{\sqrt{\lambda}}$.
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$d$. Soit
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$$\phi \in C^k([a,b],\R)$$
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, où $k \in \N^*$, telle que $\phi^{(k)} \geq 1$.
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$$\text{Trouver } C\gt 0 \text{ et } \alpha\gt 0 \text{ tels que } \forall \lambda\gt 0, \left|\int_a^b \cos(\lambda \phi(x)) dx\right| \leq \frac{C}{\lambda^\alpha}$$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 230]
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Soit E un sous-espace vectoriel de dimension 4 de $\mc C^0(\R,\R)$. On note $L^\i(\R,\R)$ l'espace des fonctions bornées et $L^2(\R, \R)$ l'espace des fonctions de carré intégrable.
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l'espace des fonctions bornées et
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$$L^2(\R, \R)$$
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l'espace des fonctions de carré intégrable.
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a. On suppose qu'il existe un sous espace vectoriel $G$ de $E$ constitué de fonctions bornées
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sur
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$$\R^+$$
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tel que $E = \op{Vect}(x \mapsto e^x) + \op{Vect}(x \mapsto e^{-x}) + G$ et que la seule fonction dans $G$ qui soit de carré intégrable sur $\R^+$ est la fonction nulle. Montrer que $E \cap L^2(\R, \R) = \{0\}$.
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1. On suppose que $E$ vérifie les hypothèses de la question $a$) et qu'on dispose de deux sousespaces $F_1$ et $F_2$ de $E$ tels que dim $F_1 = \dim F_2 = 2$, que toutes les fonctions de $F_1$ sont bornées sur $\R^-$, et que la seule fonction de $F_2$ bornée sur $\R^-$ est la fonction nulle. Montrer que $\dim(E \cap L^\i(\R, \R)) = 1$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 231]
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On définit $(f_n)_{n\in\N}$ par :
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$$\forall x \in \R, \ f_0(x) = e^{-x} \text{ et } \forall n \in \N, \forall x \in \R, \ f_{n+1}(x) = \int_{-1}^{+\i} \frac{f_n(t+1)}{1+t^2} \ e^t \ dt$$.
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1. Montrer que $(f_n)_{n\in\N}$ est bien définie.
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1. Montrer que $\sum f_n$ converge sur un intervalle $[x_0, +\i[$, où $x_0$ est judicieusement choisi.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 232]
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1. Soient $f$ une fonction développable en série entière sur $\mathbb R$ et $J$ une partie finie
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On suppose que $f^{(i)}(0) = 0$ si $i \notin J$ et $f^{(i)}(1) = 0$ si $i \in J$. Que dire de f?
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1. La propriété est-elle encore vérifiée si $J$ est une partie infinie de $\N$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 233]
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Pour $a \gt 0$, on pose $f(a) = \int_0^{+\i} \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}\sqrt{1 + a^2x^2}}$
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1. Justifier la définition de f(a).
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1. Montrer que $f(a) = O\left(\frac{\ln a}{a}\right)$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 234]
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Montrer que $\forall t \in \R, \int_{-\i}^{+\i} \cos(tx) \exp(-x^2) dx = \sqrt{\pi} \exp\left(-\frac{1}{4}x^2\right)$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 235]
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Pour $n \in \N$, donner un équivalent de $A_n(t) = \int_0^1 \sin^2(xt) \, x^{n-2} \, dx$ lorsque $t \ra +\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 236]
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Soit $h \in C^0([0,1],\R)$ telle que h(0) = h(1) = 0 et $f : x \in \R \mapsto h(x) \mathbf{1}_{[0,1]}(x)$. Soit $g\colon y \in \R \mapsto \int_a^1 |x - y| f(x) dx$.
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1. Montrer que $g$ est deux fois dérivable et que $\forall x \in \R, g''(x) = 2 f(x)$.
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1. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que $q$ soit bornée.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 237]
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Soit $h \in \mc C^1(\R, \R)$ telle que $\forall x \in \R, |h(x)| \leq \frac{1}{1+|x|}$ et $|h'(x)| \leq \frac{1}{1+|x|^2}$. Montrer la convergence de $\int_{-\i}^{+\i} \int_{-\i}^{+\i} \phi(x,y) \, dx \, dy$ où $\phi(x,y) = \frac{h(x) - h(y)}{x - y}$ si $x \neq y$, et
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 238]
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Soit, pour
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$$x \in \R$$
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, $f(x) = \int_0^{+\i} e^{-y} \cos(xy) \, dy$.
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1. Calculer explicitement $f$.
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1. Montrer que, pour tout $k \in \N$, la dérivée $k$-ième de $f$ est bornée par k!.
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1. En quels points $x$ y a-t-il égalité entre k! et $|f^{(k)}(x)|$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 239]
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1. Donner les solutions de l'équation différentielle : $x'' x = \cos(2t)$.
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1. Soient c\gt 0 et $f\colon\R\ra\R$ une fonction continue telle que f(t)=0 pour tout $t$ vérifiant $|t| \ge c$.
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Montrer qu'il existe une unique solution de l'équation différentielle x'' $x$ = f(t) vérifiant $\lim_{t \ra \pm \i} x(t) = 0$.
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$\phi(x,y) = h'(x)$ sinon.
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#+end_exercice
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** Géométrie
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 240]
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Soit $f\colon x \in \R \mapsto ax^2 + bx + c$, avec $(a, b, c) \in \R^3$ et a \gt 0. On pose $E = \{(x,y) \in \R^2, y \ge f(x)\}$ et $\mc C = \{(x,f(x)) : x \in \R\}$. Soient $v$ un vecteur non nul du plan, $X \in E$ et $\Delta = \{X + \lambda v : \lambda \in \R\}$. Montrer que $\Delta \cap \mc C$ est non vide.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 241]
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1. Soit ABC un « vrai » triangle tel que ABC soit aigu (et non droit).Montrer que : $AC^2 \lt AB^2 + BC^2$.
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1. Soient $e_1$, $e_2$ et $e_3$ des vecteurs non nuls orthogonaux de $\R^3$. On pose : $d_1 = \{te_1; t \gt 0\}$, $d_2 = \{te_2; t \gt 0\}$, $d_3 = \{te_3; t \gt 0\}$. Montrer que tout triangle $A_1A_2A_3$, où $A_i \in d_i$, est aigu, c'est-à-dire que ses trois angles sont aigus.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 242]
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Deux joueurs de tennis sont de même niveau. Ils disputent un match. Quelle est la probabilité que le match se termine par un tie-break?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 243]
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On lance $n$ fois une pièce avec une probabilité $p$ d'obtenir face. On pose $A_n$ : « on n'obtient jamais deux faces de suite ». Donner un équivalent de $\mathbf{P}(A_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 244]
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On considère une urne contenant initialement n+1 boules : $n$ blanches et une rouge. On tire une par une des boules dans l'urne. Si on tire la boule rouge, on s'arrête, sinon on a une chance sur deux de remette la boule et continuer, une chance sur deux de s'arrêter. On pose $X_n$ le nombre de boules tirées lorsque l'on s'arrête. Donner $\mathbf{E}(X_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 245]
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Soit $N$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda \gt 0$. On lance $N$ fois une pièce équilibrée. Quelle est la probabilité qu'on obtienne un nombre pair de face?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 246]
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Soit $S_n$ l'ensemble des permutations de [1, n] muni de la probabilité uniforme.
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1. Donner la loi de la variable aléatoire $K$ qui donne la taille du cycle contenant 1.
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1. Déterminer l'espérance et la variance du nombre $N$ de cycles.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 247]
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Soit $\sigma$ une permutation aléatoire de [1, 2n] suivant la loi uniforme.
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On pose
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$$Y = \sum_{i=0}^{n-1} |\sigma(2i) - \sigma(2i+1)|$$
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. Calculer $\mathbf{E}(Y)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 248]
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Soient Y, $Z$ deux variables aléatoires à valeurs dans [0, n]. Montrer que si, pour tous $P, Q \in \R[X]$ de degré $n, \mathbf{E}(P(Y)|Q(Z)) = \mathbf{E}(P(Y))|\mathbf{E}(Q(Z))$, alors $Y$ et $Z$ sont indépendantes.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 249]
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Soit $d \in \N^*$. Soient $A_0, \ldots, A_d$ des variables aléatoires indépendantes. On suppose que, pour tout $k \in \N^*$, $A_k$ suit la loi géométrique de paramètre 1/(k+1). On note $P$ =
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$\sum_{k=0}^aA_kX^k \text{ et } R \text{ la variable aléatoire la loi telle que, conditionnellement à un tirage donné de } (A_0,\ldots,A_n), \text{ toute racine } z \text{ de } P \text{ de multiplicité } m_z \text{ soit atteinte avec probabilité } m_z/d$. Calculer $\mathbf{E}(R)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 250]
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Soit a \gt 0. Soit $f$ une fonction de classe $C^2$ sur $\R$ telle que $f'' \ge 2a$. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs réelles et admettant une variance. Montrer que $\mathbf{E}(f(X)) f(\mathbf{E}(X)) \ge a\mathbf{V}(X)$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS PC 2025 # 251]
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Un mobile se déplace sur l'axe des réels. Soit $\eps \gt 0$. Son mouvement est décrit par une fonction $x$ dérivable sur tous les intervalles [n, n+1] et y vérifiant $x'(t) = \eps x(t)$, admettant en chaque $n \in \N^*$ une limite finie à gauche $x(n^-)$ et une limite finie à droite $x(n^+)$, et telle que x(0) = 0.
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Soit $T \in \N$. À chaque instant $t = n \in [0, T]$, on lance une pièce équilibrée. Si on fait Pile $x(n^+) = x(n^-) + n$, si on fait Face $x(n^+) = x(n^-) - n$, avec la convention $x(0^-) = 0$. Montrer qu'il existe $\eps \gt 0$ assez grand tel que, pour tout $T \in \N$, $x$ reste de signe constant sur [0, T].
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 252]
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Soient $n \in \N^*$ et $X \sim \mc{U}(\db{1,n}^2)$. On note $X = (X_1, X_2)$. On pose $Y_0 = 0$ et, pour $k \in [0, n-1], Y_{k+1}(\omega) = Y_k(\omega) + 2 \text{ si } X_1(\omega) \leq k \text{ et } X_2(\omega) \geq Y_{X_1}(\omega), \text{ et } Y_{k+1}(\omega) = 0$ $Y_k(\omega) + 1$ sinon.
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1. Justifier que $Y_k$ est bien définie pour $0 \le k \le n$.
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1. Déterminer la limite de $\left(\frac{\mathbf{E}(Y_n)}{n}\right)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 253]
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Soient $n$ et $d$ dans $\N^*$. On note $[-n,n]^d$ l'ensemble des vecteurs de $\R^d$ dont les composantes sont des entiers compris entre -n et $n$. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[-n, n]^d$.
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1. Déterminer $\mathbf{E}(\|X\|_1)$ et en trouver un équivalent lorsque $n \ra +\i$.
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1. Déterminer $\mathbf{E}(\|X\|_{\i})$ et en trouver un équivalent lorsque $n \ra +\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 254]
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Soient $d \in \N^*$ et $(X_1, \ldots, X_n)$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. à valeurs dans [1,d]. On note $p_k = \mathbf{P}(X_1 = k)$. Soit $N_k$ la variable aléatoire égale au nombre de fois que la valeur $k$ est obtenue. Donner la matrice $(Cov(N_i, N_j))_{1 \le i,j \le n}$ et préciser son rang.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [ENS PC 2025 # 255]
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1. Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$.
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Montrer que, pour tout $\gamma \in \R$, $\mathbf{E}\left(e^{\gamma X}\right) \leq e^{\gamma^2/2}$.
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Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soient $(c_n)_{n\geq 1}\in\R^{\N^*}$. Pour $N\in\N^*$, on pose $Y_N=c_1X_1+\cdots+c_NX_N$.
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1. Montrer que, pour tout $t$ \gt 0, $\mathbf{E}(e^{tY_N}) \leq e^{t^2(c_1^2 + \dots + c_N^2)/2}$.
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$\begin{array}{l} \textbf{\textit{c})} \ \ \text{Soit} \ \lambda \gt 0. \ \text{Montrer que} \ \mathbf{P}(|Y_N| \gt \lambda) \leq 2e^{-\frac{\lambda^2}{2(c_1^2+\cdots+c_N^2)}}. \\ \textbf{\textit{d})} \ \ \text{Montrer que} \ N^{10} \ \mathbf{P}(|X_1+\cdots+X_N| \gt N^{3/4}) \underset{N \ra +\i}{\longrightarrow} 0. \end{array}$
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#+end_exercice
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* X MP :xens:
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** Algèbre
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 256]
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Pour quels entiers $n \in \N^*$ le nombre réel $\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ est-il rationnel ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 257]
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On étudie l'équation $x^2 + y^2 = N(1 + xy)$ d'inconnue $(x, y) \in \Z^2$, où $N \in \N$.
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1. Traiter les cas $x$ = y, $N$ = 0, $N$ = 1.- b) On suppose $N \ge 2$ et on se donne (x,y) solution avec $x \ne y$. Montrer qu'on peut se ramener à $x \gt y \ge 0$. Montrer qu'il existe $z \in \Z$ tel que (y, z) soit solution et tel que y \gt $z$.
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En déduire que $N$ est un carré parfait.
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1. On considère maintenant l'équation $x^2 + y^2 = -N(1 + xy)$ dans $\Z^2$. En adaptant la méthode précédente, trouver tous les couples solutions.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 258]
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Soient $a \in \N$ avec $a \ge 2$ et $P = X^2 + X + a$. On suppose que, pour tout $n \in [0, a-1]$, P(n) est premier. Soit $k \in [1, a-2]$.
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1. Montrer que si k+1 est un carré alors P(a+k) n'est pas premier.
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1. Montrer que si P(a+k) n'est pas premier alors k+1 est un carré.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 259]
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1. Soit $f\colon \R \ra \R$ de classe $\mc C^1$ et 1-périodique. On suppose qu'il existe $a \in \R \setminus \Q$ et $y \in \R$ tels que : $\forall x \in \R, \forall n \in \N, \sum_{k=0}^n f(x+ka) \leq \sum_{k=0}^n f(y+ka)$. Montrer que $f$ est constante.
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1. Soient $p$ un nombre premier et $n \in \N^*$. Déterminer la valuation $p$-adique de n!.
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1. Soient $m, k \in \N^*$. Montrer que $\frac{\prod_{j=1}^m \binom{2jk}{jk}}{\prod_{j=1}^m \binom{2j}{j}} \in \N$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 260]
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Soit $n \in \N^*$. Pour une partie $I$ de [1, n], on appelle composante de $I$ tout sous-ensemble maximal de $I$ formé d'entiers consécutifs. On note c(I) le nombre de composantes de $I$.
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1. Une permutation $\sigma \in \mc{S}_n$ est dite $i$-adaptée lorsque, pour tout $i \in I$, les entiers $\sigma(i)$ et $\sigma(i+1)$ sont consécutifs. Dénombrer les permutations $I$-adaptées en fonction de |I| et c(I).
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1. Soient $c \in \N^*$ et $p \in [1, n]$. Dénombrer les parties $I$ de [1, n] telles que |I| = $p$ et c(I) = $c$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 261]
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Soient $(a_n)_{n\geq 0}$ et $(b_n)_{n\geq 0}$ deux suites d'entiers relatifs. On dit que les deux séries
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entières $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{a_n}{n!} z^n$ et $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{b_n}{n!} z^n$ sont congrues modulo $m$ si $a_n \equiv b_n \mod m$ pour tout $n \geq 0$.
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On note alors $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{a_n}{n!} z^n \equiv \sum_{n=0}^{+\i} \frac{b_n}{n!} z^n \mod m$.
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1. Soit $p$ un nombre premier. Montrer que $(e^z-1)^{p-1}\equiv\sum_{n=0}^{+\i}-\frac{z^{n(p-1)}}{(n(p-1))!}\,\mathrm{mod}\,p$.
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1. Soit $m$ \gt 4 un entier non premier.
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Montrer que $m$ divise (m-1)!, et que $(e^z-1)^{m-1} \equiv 0 \mod m$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 262]
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Soit $G$ un groupe. Un sous-groupe $H$ de $G$ est dit maximal lorsque $H \neq G$ et aucun sous-groupe de $G$ n'est compris strictement entre $H$ et $G$. Soit $n \ge 2$.
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1. Montrer que $\{\sigma \in \mc{S}_n, \ \eps(\sigma) = 1\}$ est un sous-groupe maximal de $\mc{S}_n$.
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1. Soit $k \in [1, n]$. Montrer que $\{\sigma \in \mc{S}_n, \ \sigma(k) = k\}$ est un sous-groupe maximal de $\mc{S}_n$.
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1. On suppose que $G$ est fini, et on se donne un sous-groupe $H$ de $G$ tel que $\frac{|G|}{|H|}$ soit un nombre premier. Montrer que $H$ est maximal.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 263]
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Soit $\phi$ un morphisme de groupes de $\Z^{\N}$ dans $\Z$ nul sur l'ensemble $\Z^{(\N)}$ des suites presque nulles. Montrer que $\phi$ est nul.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 264]
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On pose
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$$\alpha = \frac{12 + 5i}{13}$$
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.
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1. Montrer que $\alpha$ n'est pas une racine de l'unité.
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1. Le nombre $\alpha$ est-il racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans $\Q$ ? dans $\Z$ ?
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1. Soit $\alpha \in \C$ tel que $\alpha$ soit racine d'un polynôme unitaire à coefficients entiers dont toutes les racines complexes sont de module 1. Montrer que $\alpha$ est racine de l'unité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 265]
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1. Soient $P, Q \in \C[X]$ premiers entre eux, $z \in \C$ une racine de $A = P^2 + Q^2$. Est-ce que $z$ est racine de $B = P'^2 + Q'^2$ ? Que dire si $z$ est racine multiple de A?
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b) Montrer que, si $P \in \R[X]$, $P$ s'écrit $U^2 + V^2$ avec $U$ et $V$ dans $\R[X]$ si et seulement si
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$\forall x \in \R, P(x) \geq 0$.
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1. Montrer que tout $P \in \C[X]$ s'écrit $U^2 + V^2$ avec $U$ et $V$ dans $\C[X]$ si et seulement $s$ c) Montrer que tout $P \in \C[X]$ s'écrit $U^2 + V^2$ avec $U$ et $V$ dans $\C[X]$.
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1. Est-ce que tout polynôme $P \in \C[X]$ peut s'écrire $U^3 + V^3$ avec $U$ et $V$ dans $\C[X]$ ? Ind. Montrera que le plus petit facteur premier $p$ de P(a+k) est supérieur ou égal à a, puis que P(a+k-p)=p.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 266]
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On admet le résultat suivant. Soient $c \in \C$, $U$ un voisinage de $c$ dans $\C$, $f\colon U \ra \C$ développable en série entière au voisinage de $c$ et telle que $f(z) = O((z-c)^k)$. Alors il existe $r$ \gt 0 et $z_1, \ldots, z_{2k} \in U$ distincts tels que : $\forall i \in [1, 2k], f(z_i) \in \R$ et $|c-z_i| = r$.
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1. Soient $A, B \in \R[X] \setminus \{0\}$. On suppose que les polynômes non nuls de $\mathrm{Vect}(A, B)$ sont scindés dans $\R[X]$. Montrer qu'entre deux racines de $A$ (au sens large) se trouve au moins une racine de $B$.
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1. Démontrer le résultat admis.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 267]
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Soient $F \in \R(X)$, $A = \{x \in \Q, F(x) \in \Q\}$ et $A' = \{x \in \Z, F(x) \in \Z\}$.
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1. On suppose $A$ infini. Montrer que $F \in \Q(X)$.
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1. On suppose A' infini. Que peut-on dire de F?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 268]
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Soit $f = \sum_{k=0}^n c_k X^k$ un polynôme de degré $n$ à coefficients entiers et dont toutes les
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racines complexes appartiennent à $\Q^*$. On pose $H = \max(|c_0|, \dots, |c_n|)$.
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1. Montrer que pour le complexe $i$ on a $|f(i)|^2 \le H^2\left(\frac{n^2}{2} + n + 1\right)$.
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1. Montrer que |f(i)|\lt sup\gt 2\lt /sup\gt ≥ 2\lt sup\gt n\lt /sup\gt .
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c) En déduire que si $n$ ≥ 10 alors $n$ ≤ 5 log\lt sub\gt 2\lt /sub\gt (H).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 269]
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Soient $A, B \in \M_n(\R)$ de rang 1 telles que Tr(A) = Tr(B). Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 270]
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Soient $A$ et $B$ appartenant à $\M_n(\R)$, on note $k = \dim \op{Ker}(AB)$. Quelles sont les valeurs possibles pour la dimension de $\op{Ker}(BA)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 271]
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Soient $n \in \N^*$ et $C_n = \{-1, 1\}^n$. On pose $H = \{f \in \mc{L}(\R^n), \ f(C_n) = C_n\}$.Montrer que $H$ est un groupe pour la loi de composition et déterminer son cardinal.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 272]
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Soient $X, Y \in \M_2(\mathbb{K})$ où $\mathbb{K}$ est un sous-corps de $\C$. Montrer que la matrice $A = XY + YX - \op{tr}(X)Y - \op{tr}(Y)X + (\op{tr}(X)\op{tr}(Y) - \op{tr}(XY))I_2$ est nulle.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 273]
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Soient $n \in \N^*$, $P$ et $Q$ dans $\C[X]$ tels que $P$ soit scindé à racines simples, $\deg P = n$ et $\deg Q \leq n$. On admet qu'il existe une matrice $B=(b_{i,j})_{0\leq i,j\leq n-1}$ telle que, pour tout $(x,y) \in \C^2$ avec $x \neq y$, on ait
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$$\frac{P(x) Q(y) - P(y) Q(x)}{x - y} = \sum_{0 \le i, j \le n - 1} b_{i,j} x^i y^j$$.
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Montrer que dim Ker $B = |\{z \in \C, \ P(z) = Q(z) = 0\}|$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 274]
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Soit $E$ un $K$-espace vectoriel de dimension $n \ge 2$. Soit $u$ et $v$ dans $\mc{L}(E)$, $c$ = $u \circ v - v \circ u$, on suppose $\op{rg} c = 1$.
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1. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $c$ est égale à $E_{n-1,n}$.
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1. Montrer que pour tout $k \in \N$, $u^k(\op{Im} c) \subset \op{Ker} c$.
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1. Montrer que $\chi_u$ n'est pas irréductible dans $\mathbb{K}[X]$.
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1. Soit $u \in \mc{L}(E)$, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ non trivial tel que $u(F) \subset F$. Montrer que $\chi_u$ n'est pas irréductible dans $\mathbb{K}[X]$. Étudier la réciproque.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 275]
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On fixe un entier $n \ge 1$ et, pour $k \in [1, n]$, on note $\mc{R}_k$ l'ensemble des matrices de rang $k$ de $\M_n(\R)$.
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1. Montrer que $\mc{R}_1 = \{XY^T, (X,Y) \in (\R^n \setminus \{0\})^2\}$.
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1. Montrer que $\mc{R}_2$ est l'ensemble des matrices de la forme $X_1Y_1^T + X_2Y_2^T$ avec $(X_1, X_2)$ et $(Y_1, Y_2)$ couples libres de vecteurs de $\R^n$.
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1. Soit $M \in \mc{R}_1$. Décrire l'ensemble des couples $(X,Y) \in (\R^n)^2$ tels que $M = XY^T$.
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1. Soit $\phi \in \mc{L}(\M_n(\R))$ conservant le rang.
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Soient $X_1, X_2, Y_0$ dans $\R^n \setminus \{0\}$ et $P_1, P_2, Q_1, Q_2$ dans $\R^n$ tels que $\phi(X_1Y_0^T) = P_1Q_1^T$ et $\phi(X_2Y_0^T)=P_2Q_2^T$, avec $(P_1,P_2)$ libre. Montrer qu'il existe $A\in \mathrm{GL}_n(\R)$ et $Q_0\in\R^n\setminus\{0\}$ tels que $\forall X\in\R^n,\ \phi\left(XY_0^T\right)=AXQ_0^T$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 276]
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Soit $n \in \N$ avec $n \ge 2$. Pour $k \in [0, n]$, on pose
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$N(k) = \{ N = (n_{i,j})_{1 \le i,j \le n} \in \M_n(\C) : \forall i,j \in [1,n], i \gt j-k \implies N_{i,j} = 0 \}$ et $T(k) = \{I_n + N ; N \in N(k)\}$.
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1. Montrer que, pour tout $k \in [0, n]$, T(k) est un sous groupe de $GL_n(\C)$.
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1. Construire pour, $k \in [0, n-1]$, un morphisme de groupes $\phi_k : T(k) \ra G(k)$ où G(k)est un groupe abélien bien choisi tel que $Ker(\phi(k)) = T(k+1)$.
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1. Pour un groupe $G$, on note D(G) le sous-groupe engendré par $\{ghg^{-1}h^{-1}; g, h \in G\}$. Montrer que T(0) est résoluble $i$.e. qu'il existe $q \in \N$ tel que $D^q(T(0)) = \{I_n\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 277]
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1. Soit $D \in \M_n(\C)$ une matrice diagonale à coefficients diagonaux distincts. Montrer que l'ensemble des $X \in \M_n(\C)$ telles que $X^2 = D$ est fini non vide, déterminer son cardinal.
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1. Soit $N \in \M_n(\C)$ nilpotente. Montrer qu'il existe $X \in \M_n(\C)$ telle que $X^2 = I_n + N$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 278]
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Pour $A \in \M_n(\C)$ on pose $R(A) = \{M \in \M_n(\C), M^2 = A\}$.
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1. Déterminer le cardinal maximal d'une famille de matrices de $R(I_n)$ non semblables deux à deux
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à deux.
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1. On suppose $A$ diagonalisable avec $n$ valeurs propres distinctes. Déterminer le cardinal de
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1. Est-il vrai que, si $A$ est diagonalisable, toutes les matrices de R(A) le sont?
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1. Toute matrice $A$ de $\M_n(\C)$ admet-elle une racine carrée?
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1. On pose $U_n = \{I_n + N, N \text{ nilpotente}\}$. Montrer que toute matrice $A$ de $U_n$ admet une unique racine carrée dans $U_n$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 279]
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Pour $n \in \N^*$, on pose
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R(A).
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$$\mc{I}\mc{A} = \sup \{r \in \N ; \exists A_1, \dots, A_r \in \M_n(\C), \forall i, A_i^2 = I_n \text{ et } \forall i \neq j, A_i A_j = -A_j A_i \}$$.
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1. Si $n$ est impair, montrer que $\mc{IA}(n) = 1$.
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1. Soient $s, t \in \N$. Montrer que $\mc{IA}(2^s(2t+1)) = 2s+1$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 280]
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1. Soit $A \in \M_n(\R)$ une matrice diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ pour qu'il existe $x \in \R^n$ tel que $(x, Ax, \ldots, A^{n-1}x)$ soit une base de $\R^n$.
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1. Soient
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$$b_1, b_2, b_3 \in \R$$
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et $M = \begin{pmatrix} b_1 & 0 & 0 \\ 1 & b_2 & 0 \\ 0 & 1 & b_3 \end{pmatrix}$.
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- À quelle condition la matrice $M$ est-elle diagonalisable?
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- À quelle condition existe-t-il $x \in \R^3$ tel que $(x, Mx, M^2x)$ soit une base de $\R^3$ ?
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- On suppose que $b_1b_2b_3 = 1$. Montrer qu'il existe un unique $(a_1, a_2) \in \R^2$ tel que $M$ soit semblable à la matrice $$M' = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 281]
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$ $ Soient $V$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie et $G$ un sous-groupe de $\mathrm{GL}(V)$.
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1. On suppose que $G$ = GL(V). Que vaut Vect(G)? La réciproque est-elle vraie?
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On suppose maintenant que, pour tout $g \in G$, $g$ id est nilpotent.
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1. Quels sont les éléments diagonalisables de G?
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1. On suppose que $G$ est fini et que $Vect(G) = \mc{L}(V)$. Quelle est la dimension de V?
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1. Si $G$ n'est plus fini mais que $Vect(G) = \mc{L}(V)$, quelle est la dimension de V?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 282]
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1. Soit $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ \gt 0. Soit $M \in \M_d(\C)$ une matrice complexe dont les valeurs propres sont de module strictement inférieur à $R$. Montrer que $\sum a_n M^n$ converge.
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1. Existe-t-il une série entière $\sum a_n z^n$ de rayon de convergence R\gt 0 telle que, pour toute matrice $M$ à spectre inclus dans $\overline{D(0,R)}$ et admettant une valeur propre de module $R$, la série $\sum a_n M^n$ diverge?
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1. Existe-t-il une série entière $\sum a_n z^n$ de rayon de convergence R\gt 0 telle que, pour toute matrice $M$ à spectre inclus dans $\overline{D(0,R)}$ admettant une valeur propre de module $R$, la série $\sum a_n M^n$ converge?d) Soit $f\colon z \mapsto \sum_{n=0}^{+\i} a_n z^n$ la somme d'une série entière de rayon de convergence $R$ \gt 0.
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On pose
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$$f^{(k)}: z \mapsto \sum_{n=k}^{+\i} n(n-1)\dots(n-k+1)a_n z^n.$$
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Soit $M\in\M_d(\C)$ de polynôme caractéristique $\chi_M=\prod_{i=1}^r(X-\lambda_i)^{\alpha_i}$ où les $\lambda_i$ sont distincts
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et de module $\lt R$ et les $\alpha_i$ dans $\N^*$.
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- Montrer l'existence de $P \in \C[X]$ tel que
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$\forall i \in [1, r], \forall k \in [0, \alpha_i 1], f^{(k)}(\lambda_i) = P^{(k)}(\lambda_i)$.
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- On suppose que $M$ est diagonalisable. Montrer que f(M) = P(M).
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- Est-ce toujours le cas si on ne suppose plus $M$ diagonalisable?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 283]
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Soient $E = \mc C^0([-1,1],\C)$, $g$ une surjection continue croissante de [-1,1] sur luimême. On considère $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension finie stable par $f\mapsto f\circ g$.
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On note $\phi$ l'endomorphisme de $F$ défini par $\phi: f \mapsto f \circ g$.
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1. Montrer que 1 est la seule valeur propre de $\phi$.
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1. En déduire que $\phi = \mathrm{id}_F$.
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1. Que peut-on dire des valeurs propres possibles de $\phi$ si $q$ n'est plus supposée surjective?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 284]
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Soit $p$ un nombre premier, $A$ et $B$ appartenant à $\M_n(\Z)$.
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Démontrer que $\op{tr}((A+B)^p) \equiv \op{tr}(A^p) + \op{tr}(B^p) \pmod{p}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 285]
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Soient $n \in \N^*$ et $H$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\C)$ stable par produit matriciel. On note $D = \{ \delta \in \mc{L}(H) : \forall (A, B) \in H^2, \ \delta(AB) = \delta(A)B + A\delta(B) \}$.
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1. Soit $C \in H$. Montrer que $\delta : A \mapsto CA AC$ est dans $D$, et exprimer simplement $e^{\delta}$.
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1. Soit $\delta \in D$. Montrer que $\forall A, B \in H$, $e^{\delta}(AB) = e^{\delta}(A) e^{\delta}(B)$.
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1. Retrouver le résultat de la question précédente en considérant l'application $f\colon t \in \R \mapsto e^{-t\delta} \left( e^{t\delta}(A) e^{t\delta}(B) \right)$ et en calculant f'.
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1. Soit $\delta \in D$. Pour $\lambda \in \C$, on note $H_{\lambda}$ le sous-espace caractéristique de $\delta$ associé à $\lambda$ (éventuellement $\{0\}$). Soient $\lambda$, $\mu \in \C$, $A \in H_{\lambda}$ et $B \in H_{\mu}$. Montrer que $AB \in H_{\lambda+\mu}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 286]
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1. Soient $k, m, n \in \N^*$. On munit $\R^m$ de sa structure euclidienne canonique. Soit $(v_1,\ldots,v_n)$ une famille de vecteurs unitaires de $\R^m$ tels que $\langle v_i,v_j\rangle\leq -1/k$ pour tous $i$,jdistincts. Montrer que $n \leq k+1$.
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1. Montrer qu'il existe une famille $(v_1,\ldots,v_{k+1})$ de vecteurs unitaires de $\R^k$ tels que $\langle v_i, v_j \rangle = -1/k$ pour tous $i$, $j$ distincts.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 287]
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Soit $E$ un $\R$ -espace vectoriel de dimension finie.
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1. Soit $f \in \mc{L}(E)$. Montrer que Tr(f id) = 0 et rg(f id) = 1 si et seulement s'il existe $a \in E$ et $\ell \in E^*$ tel que $\ell(a) = 0$ et $f = id + \ell a$. On dit alors que $f$ est une transvection.
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Soit $\phi: E \times E \ra \R$ une forme bilinéaire telle que : $\forall x \in E \setminus \{0\}, \exists y \in E, \phi(x,y) \neq 0$ et $\forall (x,y) \in E^2, \phi(y,x) = -\phi(x,y)$.
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Soit $G = \{u \in GL(E) : \forall x, y \in E, \phi(u(x), u(y)) = \phi(x, y)\}$.
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1. Montrer que $G$ est un sous-groupe de GL(E).- c) Montrer que $G$ contient les applications de la forme id $+\lambda \phi(a,\cdot)$ a avec $\lambda \in \R$ et $a \in E$.
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1. Montrer que $G$ est engendré par les transvections de la forme indiquée en c).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 288]
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Soient $n \in \N$ et $O \in \mc{O}_n(\R)$. Calculer $\alpha_O = |\det(\psi_O)|$ où $\psi_O : A \in \mc{S}_n(\R) \mapsto$ $O^TAO$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 289]
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Pour $M \in GL_n(\R)$ tel que $-1 \notin Sp(M)$, on pose $T(M) = (I_n M)(I_n + M)^{-1}$. On note $\mc{A}_n(\R)$ l'ensemble des matrices antisymétriques et $\mc{B}_n(\R)$ l'ensemble des matrices
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$M \in \mc{O}_n(\R)$ telles que $-1 \notin \op{Sp}(M)$.
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1. Montrer que $T$ est bien définie sur $\mc{A}_n(\R)$ et $\mc{B}_n(\R)$.
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1. Si $A \in \mc{A}_n(\R)$, montrer que $T(A) \in \mc{B}_n(\R)$.
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1. Si $B \in \mc{B}_n(\R)$, montrer que $T(B) \in \mc{A}_n(\R)$.
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1. Calculer $T \circ T(A)$ si $A \in \mc{A}_n(\R)$.
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1. Soient $x \in \R$ et $A = \begin{pmatrix} 0 & x \\ -x & 0 \end{pmatrix}$. Calculer T(A).
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1. Déduire des questions précédentes que toute matrice de $\mc{A}_{2n}(\R)$ est orthosemblable à une matrice diagonale par blocs avec des blocs diagonaux de la forme $\begin{pmatrix} 0 & x \\ -x & 0 \end{pmatrix}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 290]
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.
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1. Soit $M \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que l'application $(x,y) \in (\R^n)^2 \mapsto \langle M^{-1}x,y \rangle$ définit un
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produit scalaire sur $\R^n$.
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1. Soient $M \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $N \in \mc{A}_n(\R)$. Montrer que MN est diagonalisable dans $\M_n(\C)$ à spectre inclus dans $i\R$.
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1. Soit $A \in \M_n(\R)$ diagonalisable dans $\M_n(\C)$ à spectre inclus dans $i\R$. Existe-t-il $M \in$
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$\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $N \in \mc{A}_n(\R)$ telles que $A$ = MN?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 291]
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Soit $n \in \N^*$. On pose $J = \begin{pmatrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{pmatrix}$.
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1. Soit $M \in \M_{2n}(\R)$ telle que $M^2 = -I_{2n}$. Montrer l'équivalence : $M^T J \in \mc{S}_{2n}(\R) \Leftrightarrow M^T J M = J$.
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1. On note $C = \{M \in \M_{2n}(\R), M^2 = -I_{2n} \text{ et } M^T J \in \mc{S}_{2n}^{++}(\R)\}$. Montrer que, pour tout $M \in C$, $M + J \in GL_{2n}(\R)$.
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1. Pour $M \in C$, on note $S_M = (M+J)^{-1}(M-J)$. Montrer que $S_M \in \mc{S}_{2n}(\R)$. Montrer que $\forall X \in \R^{2n} \setminus \{0\}, ||S_M X||_2 \lt ||X||_2$.
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1. Montrer que, pour pour tout $M \in C$, $S_M J + J S_M = 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 292]
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Les espaces $\R^p$ sont munis de leurs normes euclidiennes canoniques. Soient $d$ et $D$ des entiers $\geq 1$. Étant donné $p_0, \ldots, p_n \in \R^d$, on dit que $(p_0, \ldots, p_n)$ se plonge isométriquement dans $\Q^D$ s'il existe $q_0,\ldots,q_n\in\Q^D$ vérifiant $\|p_i-p_j\|=\|q_i-q_j\|$ pour tous $i,j\in[0,n]$.
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1. On suppose que $(p_0,\ldots,p_n)$ se plonge isométriquement dans $\Q^D$. Soit $p$ une combinaison linéaire à coefficients rationnels de $p_0, \ldots, p_n$. Montrer que $(p, p_0, \ldots, p_n)$ se plonge isométriquement dans $\Q^D$.
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1. Soient $p_0, \ldots, p_n \in \R^d$ tels que $||p_i p_j||^2 \in \Q$ pour tous $i, j \in [0, n]$. Montrer que $(p_0,\ldots,p_n)$ se plonge isométriquement dans $\Q^{4d}$. On admettra que tout entier naturel est somme de quatre carrés d'entiers.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 293]
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1. Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. Montrer que $A$ est définie positive si et seulement si, pour tout $k \in [1, n], \det((a_{i,j})_{1 \le i, j \le k}) \gt 0$.
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1. On pose $A_k = (t^{|i-j|})_{1 \le i,j \le k}$ où $t \in \R^{+*}$. Calculer $\det A_k$.
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1. On pose $A = \left(\frac{1}{1+|i-j|}\right)_{1 \le i,j \le n}$. Démontrer que $A$ est symétrique définie positive.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 294]
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.
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1. Soient $A \in \M_n(\R)$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$. Soit $(f_i)_{1 \le i \le k}$ une base or-
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thonormée de $F$. On pose : $\tau_F(A) = \sum_{i=1}^k \langle f_i, Af_i \rangle$. Montrer que $\tau_F(A)$ ne dépend pas de la
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base orthonormée choisie.
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Dans la suite de l'exercice, on suppose $A \in \mc{S}_n(\R)$ et on note $\lambda_1 \geq \cdots \geq \lambda_n$ les valeurs propres de A, comptées avec multiplicité.
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1. Déterminer le meilleur encadrement possible de $\tau_F(A)$ en fonction de $F$ et de Sp(A).
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1. On pose, pour $t \in \R$, $A(t) = A + tE_{1,1}$. Pour $t \in \R$, on note $\lambda_1(t) \ge \cdots \ge \lambda_n(t)$ les valeurs propres de A(t). Montrer que : $\forall t \ge 0, \lambda_n(t) \ge \lambda_n$ et $\lambda_1 \ge \lambda_2(t)$.
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1. Déterminer un équivalent simple de $\lambda_1(t)$ quand $t$ tend vers $+\i$.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 295]
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1. Soient $N_1$ et $N_2$ deux normes sur un $\R$ -espace vectoriel $E$. Montrer que si $N_1$ et $N_2$ ont la même sphère unité alors $N_1 = N_2$.
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1. On pose $E = C^0([0,1],\R)$. Soit $(f,g) \in E^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $(x,y) \in \R^2 \mapsto \|x f + y g\|_{\i}$ soit une norme sur $\R^2$.
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1. Soit $(E, \langle, \rangle)$ un espace euclidien, dont on note $\| \|$ la norme. Soit $p$ une autre norme sur $E$. On note $S$ et $S_p$ les sphères unité respectives pour $\| \|$ et $p$. Montrer que $d: x \in S \mapsto$ $\sup |\langle x,y\rangle|$ est à valeurs dans $\R^{+*}$, que $k=\sup \|y\|$ est un réel strictement positif, et enfin $y \in S_p$ que $d$ est $k$-lipschitzienne pour la norme $\| \cdot \|$.
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1. On note $B = \{f \in E, \ p(f) \leq 1\}$ et, pour $x \in S, D_x = \{z \in E; |\langle x, z \rangle| \leq d(x)\}$. Montrer que $B = \bigcap_{x \in S} D_x$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 296]
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Soit E un $\R$ -espace vectoriel de dimension finie. Montrer que tout convexe non borné contient au moins une demi-droite. On pourra commencer par le cas d'un convexe fermé.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 297]
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Pour $k \in \N^*$, soit $R_k$ la borne inférieure de l'ensemble $E_k$ des $r \in \R^{+*}$ tels qu'il existe une boule fermée de $\R^2$ euclidien de rayon $r$ contenant au moins $k$ points de $\Z^2$.
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1. Calculer $R_k$ pour $k$ = 2, 3, 4.
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1. Si $k \in \N^*$, montrer que $R_k$ est le minimum de $E_k$.
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1. Montrer que, pour $k \in \N^*$, $4R_k^2$ est entier.
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1. Donner un équivalent de $R_k$ lorsque $k$ tend vers $+\i$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 298]
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Soit $E$ l'espace des fonctions continues de [0,1] dans $\R$. On munit $E$ de la norme $\| \|_{\i}$. Déterminer les formes linéaires continues $\phi$ sur $E$ telles que, pour tout $(f,g) \in E^2$ tel que $\phi(fg) = 0$, on ait $\phi(f) = 0$ ou $\phi(g) = 0$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 299]
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Soit $\rho: [0,1] \mapsto \M_n(\C)$ continue telle que, pour tout $t, \rho(t)^2 = \rho(t)$.
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1. Montrer que $t \mapsto \op{rg} \rho(t)$ est constante.
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1. Montrer l'existence de $u \in \mc C^0([0,1], \mathrm{GL}_n(\C))$ telle que $\forall t, \rho(t) = u(t)\rho(0)u^{-1}(t)$.
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1. On suppose de plus que $\rho(1) = \rho(0)$. Montrer que l'on peut choisir $u$ de sorte que l'on ait aussi u(0) = u(1).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 300]
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Soit $n \ge 2$. On note $\mc{B}_n$ l'ensemble des matrices bistochastiques de $\M_n(\R)$ c'est-à-dire
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$\text{les } M \,=\, (m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n} \,\in\, \M_n(\R) \,\, \text{telles que} : \forall i \,\in\, \db{1,n \rrbracket,\, \sum_{i=1}^n m_{i,j} \,=\, 1,\, \forall j \,\in\, \llbracket 1,n },$
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$\sum_{i=1}^n m_{i,j} = 1 \text{ et } \forall (i,j) \in [[1,n]]^2, m_{i,j} \geq 0. \text{ Si } \sigma \in \mc{S}_n, \text{ on note } P_{\sigma} = (\delta_{i,\sigma(j)})_{1 \leq i,j \leq n} \text{ la}$
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matrice de permutation associée à $\sigma$ ; la matrice $P_{\sigma}$ est dans $\mc{B}_n$.
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1. Montrer que $\mc{B}_n$ est une partie convexe de $\M_n(\R)$. Un élément $M$ de $\mc{B}_n$ est dit extrémal lorsqu'il ne peut pas s'écrire M=(1-t)A+tB avec
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A, $B$ éléments distincts dans $\mc{B}_n$ et $t \in ]0, 1[$.
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1. Montrer que les $P_{\sigma}$ sont des points extrémaux de $\mc{B}_n$.
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1. On fixe un élément $M$ de $\mc{B}_n$.
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Pour une partie $I$ de [1, n], on note $\mc{F}(I) = \{i \in [1, n] : \exists j \in I, m_{i,j} \gt 0\}$.
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1. Montrer que $|I| \leq |\mc{F}(I)|$.
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2. Montrer qu'il existe une injection $f\colon [1,n] \ra [1,n]$ telle que, pour tout $i \in [1,n]$, $m_{i,f(i)} \gt 0$.
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3. En déduire l'ensemble des points extrémaux de $\mc{B}_n$.
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1. Montrer que $\mc{B}_n$ est l'enveloppe convexe des $P_{\sigma}$ pour $\sigma \in \mc{S}_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 301]
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On munit $E = \mc C^0([-1,1],\R)$ de la norme $\|\cdot\|_{\i}$.
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1. Soit $n \in \N$. Montrer qu'il existe un unique $T_n \in \R[X]$ de degré $n$ tel que $\forall \theta \in \R, T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)$.
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Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in (\R^+)^{\N}$ telle que $\sum a_n$ converge.
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1. Soit $f\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i} a_n T_{3^n}(x)$.
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- Montrer que $f$ est bien définie et continue sur [-1, 1].
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- Montrer que $d(f, \R_{3^n}[X]) = \inf_{P \in \R_{3^n}[X]} \|f P\|_{\i} = \sum_{k=n+1}^{+\i} a_k$.
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Ind. On pourra considérer les points $x_k = \cos(\pi(1+k3^{-n-1}))$ pour $k \in [0,3^{n+1}]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 302]
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Soient $K$ une fonction continue de $[0,1]^2$ dans $\R$, $E$ l'espace des fonctions continues de [0,1] dans $\R$.- a) Si $f \in E$, soit $T_K(f)$ la fonction de [0,1] dans $\R$ telle que $\forall x \in [0,1], T_K(f)(x) =$ $\int_{-\i}^{\i} K(x,y)f(y)dy$. Montrer que $T_K$ est un endomorphisme continu de l'espace normé $(E,\|\cdot\|_{\i})$.
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1. On suppose que $K$ est à valeurs dans $\R^{+*}$, que $\lambda \in \R^{+*}$ et que l'espace propre $E_{\lambda}(T_K)$ contient une fonction non identiquement nulle à valeurs dans $\R^+$. Montrer que $E_{\lambda}(T_K)$ est de dimension 1.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 303]
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Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle telle que $u_{n+1}-\frac{u_n}{2}\ra 0$. Montrer que $u_n\ra 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 304]
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Soient a \lt $b$ réels et $(u_n)_{n \in \N}$ une suite réelle telle que, pour tout $t \in [a, b]$, il existe une suite $(k_n)_{n\in\N}$ d'entiers tels que $tu_n-k_n\longrightarrow 0$ quand $n\ra +\i$. Montrer que la suite $(u_n)$ converge vers 0.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 305]
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Soient $\alpha \in \R^{+*}$ et $\beta = 1/\alpha$. Soit $(z_n)_{n \geq 0}$ la suite définie par $z_0 = 1$ et, pour tout $n \in \N, z_{n+1} = \frac{\alpha n + 1}{\alpha(n+1)} z_n$.
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1. Donner un équivalent de $z_n$ et sa valeur exacte lorsque $\beta \in \N^*$.
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1. Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle.
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- On pose, pour $n \in \N$, $\mu_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n x_k$ et $y_n = \alpha x_n + (1-\alpha)\mu_n$. On suppose que $y_n \ra x \in \R$. Montrer que $x_n \ra x$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 306]
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Pour $n \in \N$, on pose $u_n = |\{(p,q) \in \N^2, p^2 + q^2 = n\}|$.
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1. Déterminer la limite de la suite de terme général $\frac{1}{n}\sum u_k$.
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1. Étudier la nature de la suite $(u_n)$.
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1. Montrer que $(u_n)$ n'est pas bornée.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 307]
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Soit $(a_n)_{n\in\N}$ une suite réelle vérifiant, pour tout $n\in\N$, $a_{n+1}=a_n(1-a_n)$.
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1. On suppose que $a_0 = 1/2$. Montrer que $\frac{1}{a_n} n \sim \ln n$ quand $n \ra +\i$.
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1. On suppose $a_0 \gt 1$. Déterminer la limite de $(a_n)$ puis un équivalent de $a_n$.
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1. Donner un développement asymptotique à deux termes de $a_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 308]
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1. Pour $n \ge 3$, justifier l'existence de $x_n, y_n \in \R$ avec $0 \lt x_n \lt y_n$ solutions de $x - n \ln x = 0$.
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1. Donner un développement asymptotique à deux termes de $x_n$ et $y_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 309]
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Construire une suite strictement croissante $(p_n)_{n\geq 2}$ d'entiers avec $p_2=2$ telle qu'il
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existe C\gt 0 vérifiant, pour tout $n\geq 2$, $\sum_{k=n}^{p_{n+1}-1}\frac{1}{\ln k}\geq C$, et telle que la série de terme général $2^{-(p_{n+1}-p_n)}$ diverge.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 310]
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On pose $\alpha = 4 \sum_{k=0}^{499999} \frac{(-1)^k}{2k+1}$. Montrer qu'exactement une des 16 premières décimales de $\alpha$ diffère de la décimale de $\pi$ correspondante.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 311]
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Soient p\gt 0 et q\gt 0 tels que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ et $n\in\N^*$. Montrer que, pour tout
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$$(a_1, \dots, a_n, b_1, \dots, b_n) \in (\R^+)^{2n}, \sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^{\frac{1}{p}} \left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^{\frac{1}{q}}$$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 312]
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Soit $f\colon \R^{+*} \ra \R^{+*}$ de classe $\mc C^{\i}$ telle que $f(x) \ra 0$ quand $x \ra 0^+$ et quand $x \ra +\i$. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$, il existe un unique $x_n \in \R^{+*}$ tel que $f^{(n)}(x_n) = 0$.
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1. Montrer que la suite $(x_n)_{n\geq 1}$ est croissante.
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1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que $x^n f^{(n)}(x) \underset{x \ra 0^+}{\longrightarrow} 0$.
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1. On pose $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ pour tout $x$ \gt 0. Montrer que, pour tout $n \ge 0$, il existe $a_{n,0},\ldots,a_{n,n}\in\Z$ tels que $g^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}\frac{f^{(n-k)}(x)}{x^{k+1}}$ pour tout x\gt 0.
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1. Montrer que, pour tout $n \ge 0$, $(-1)^n g^{(n)}(x) \gt 0$ pour tout $x$ \gt 0.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 313]
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Soit $f \in C^2(\R,\R)$. On suppose que : $f^2 \le 1$ et $(f')^2 + (f'')^2 \le 1$. Le but est de montrer par l'absurde que $g = f^2 + (f')^2 \le 1$. On suppose donc qu'il existe $t \in \R$ tel que : $f(t)^2 + f'(t)^2 \gt 1$.
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On pose : $E = \{x \in \R ; \forall y \in [\min(t, x), \max(t, x)], f(y)^2 + f'(y)^2 \gt 1\}$.
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1. Montrer que $E$ est un intervalle ouvert.
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1. Montrer que f' ne s'annule pas sur $E$.
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1. Conclure.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 314]
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Si $(\phi_k)_{1 \le k \le 4}$ est une famille de fonctions de ]-1,1[ dans $\R$, on dit que $(\phi_k)_{1 \le k \le 4}$ vérifie (C) si $\phi_1 \lt \phi_2 \lt \phi_3 \lt \phi_4$ sur ]0, 1[ et $\phi_2 \lt \phi_4 \lt \phi_1 \lt \phi_3$ sur ]-1, 0[.
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1. Montrer qu'il n'existe pas de famille $(\phi_k)_{1 \le k \le 4}$ de fonctions polynomiales vérifiant (C). Ind. On pourra étudier la valuation de $\phi_i - \phi_j$ pour $i \neq j$.
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1. Existe-t-il une famille $(\phi_k)_{1 \le k \le 4}$ de fonctions de classe $C^{\i}$ vérifiant (C)?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 315]
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Soit $s: \R \ra \R$ telle que $(*): \forall x \in \R, s(x+1) = s(x) + \frac{1}{1+x^2}$ et $s(x) \xrightarrow[x \ra -\i]{} 0$.
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1. Montrer que, pour tout $x \in \R$, $s(x) \ge 0$.
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1. A-t-on existence et unicité de $s$ vérifiant ()? Déterminer les $s$ solutions.
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1. Que se passe-t-il si on remplace la condition $s(x) \xrightarrow[x \ra -\i]{} 0$ par la condition $s(x) \xrightarrow[x \ra +\i]{} 0$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 316]
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1. Soit $f \in \mc C^0(\R, \R)$. Montrer que $f$ est affine si et seulement si, pour tout réel $x$, on a $\frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2} \underset{h \ra 0^+}{\longrightarrow} 0$.b) Montrer que le résultat de la question précédente peut tomber en défaut sans hypothèse de continuité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 317]
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Soit $F: \R \ra \R^{+*}$. On suppose qu'il existe $\alpha, \eta \gt 0$ tels que :
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$$\forall (x,y) \in \R^2, \ \alpha F(x) F(y) \leq F(x+y) \leq \eta F(x) F(y)$$.
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1. On suppose que $F$ est de classe $\mc C^1$ et que $\frac{F'}{F}$ est bornée. Montrer qu'il existe $\gamma \in \R$ et $H: \R \ra \R^{+*}$ bornée tel que : $\forall x \in \R, \ F(x) = e^{\gamma x} H(x)$.
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1. On revient au cas général. Montrer qu'il existe une unique fonction $G: \R \ra \R^{+*}$ telle que $\frac{F}{G}$ soit bornée et $\forall (x,y) \in \R^2, \ G(x+y) = G(x) G(y)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 318]
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Soient $M, m \in \R$ avec 0 \lt $m$ \lt $M$, $f \in \mc C^0(\R, [m, M])$, $q \in \R \setminus \{-1, 0, 1\}$. Soit () l'équation fonctionnelle $\forall t \in \R, g(t) = 1 + \frac{g(qt)}{f(t)}$.
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1. On suppose $m$ \gt 2 ou $M$ \lt 1/2. Montrer qu'il existe une unique solution bornée de ().
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1. Montrer que les solutions bornées de () ne s'annulent pas.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 319]
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Soit $E = \R[X]$. Soit $\phi \in \mc{L}(E)$.
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1. Montrer qu'il existe une unique suite $(G_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ telle que :
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$$\forall P \in E, \phi(P) = \sum_{n=0}^{+\i} G_n P^{(n)}$$.
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1. Expliciter $(G_n)$ pour $\phi$ vérifiant : $\forall P \in E, \forall x \in \R, \phi(P)(x) = \int_0^x P(t) dt$.
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1. On suppose que, pour tout $P \in E$ et $a \in \R$, si $P$ admet un minimum local en a alors $\phi(P)(a) = 0$. Montrer qu'il existe $Q \in E$ tel que, pour tout $P \in E$, $\phi(P) = QP'$.
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1. On suppose que, pour tout $P \in E$ et $a \in \R$, si $P$ admet un minimum local en a alors $\phi(P)(a) \geq 0$. Montrer qu'il existe $Q, R \in E$ tels que, pour tout $P \in E$, $\phi(P) = QP' +$
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RP'' avec $R$ positif sur $\R$.
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1. Donner une preuve directe de l'égalité trouvée en b).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 320]
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Soient $f\colon \R \ra \R$ et $g\colon \R \ra \R$. On suppose qu'il existe quatre réels strictement positifs
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$\alpha, \beta, A, B$ tels que $\forall (x, y) \in \R^2, \ |f(x) f(y)| \leq A |x y|^{\alpha}$ et $|g(x) g(y)| \leq B |x y|^{\beta}$ et $\alpha + \beta \gt 1$. On pose $\zeta : s \in ]1, +\i[ \mapsto \sum_{n=1}^{+\i} \frac{1}{n^s} \cdot \text{On fixe deux réels } a \lt b$.
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1. Pour une subdivision $\sigma=(x_0,\ldots,x_n)$ de [a,b], on pose $J(\sigma)=\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)(g(x_{k+1})-g(x_k))$
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$g(x_k)$). Montrer que $|J(\sigma) f(a)(g(b) g(a))| \le AB \zeta(\alpha + \beta) (2(b-a))^{\alpha+\beta}$.
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1. Montrer qu'il existe un réel $I_{a,b}(f,g)$ tel que, pour tout $\eps \gt 0$, il existe $\delta \gt 0$ tel que, pour toute subdivision $\sigma = (x_0, \dots, x_n)$ de [a,b], $\max_k |x_{k+1} x_k| \lt \delta \Rightarrow |J(\sigma) I_{a,b}(f,g)| \lt \eps$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 321]
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On note $S$ l'ensemble des nombres complexes de module 1. Soit $\gamma:[0,1]\ra S$ une fonction continue. Montrer qu'il existe une fonction continue $\theta:[0,1]\ra\R$ telle que $\gamma(t)=e^{2i\pi\theta(t)}$ pour tout $t\in[0,1]$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 322]
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Soit $f:[0,1]\ra\R$ continue. On pose $h:t\in[0,1]\mapsto \inf_{s\in[0,t]}f(s)$ et g=f-2h.
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1. Montrer que $g$ est continue, positive et que g(0) = 0.
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1. Montrer que si $f$ est affine par morceaux alors $q$ l'est aussi.
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1. On suppose que $f$ atteint son minimum en 1. On pose $q:t\in[0,1]\mapsto\inf_{s\in[t,1]}g(s)$. Montrer que $f$ = $g$ - 2q.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 323]
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Soit $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers.
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On pose $\Psi(x) = \sum_{\substack{p \in \mc{P}, \alpha \in \N^* \\ p^{\alpha} \leq x}} \ln p \text{ et } T(x) = \sum_{1 \leq n \leq x} \Psi\left(\frac{x}{n}\right)$.
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1. Montrer que $T(x) = \sum_{1 \le n \le n} \ln(n) = x \ln(x) x + O(\ln x)$ quand $x \ra +\i$.
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1. Montrer que $T(x) 2T\left(\frac{x}{2}\right) = \sum_{n=0}^{\i} (-1)^{n-1} \Psi\left(\frac{x}{n}\right) = x \ln 2 + O(\ln x)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 324]
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Soit $f$ une bijection de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ sur $\R^+$, de réciproque notée $g$.
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1. Montrer que, pour $x \ge 0$, $\int_a^x f(t)dt + \int_a^{f(x)} g(t)dt = x f(x)$.
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1. Déduire que $\forall x, y \in \R^+, xy \leq \int_0^x f(t) dt + \int_0^y g(t) dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 325]
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Soit $f:[0,1] \ra \R$ continue et strictement positive sur ]0,1[.
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1. Calculer $\lim_{p \ra +\i} \left( \int_0^1 f(x)^p dx \right)^{1/p}$.
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1. Calculer $\lim_{x\ra 0^+} \left( \int_0^1 f(x)^p dx \right)^{1/p}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 326]
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Soit $f$ la fonction 1-périodique de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ telle que $\forall x \in [0,1[,f(x)=x-\frac{1}{2}$. Pour $i$ et $j$ dans $\N^*$, calculer $\int_0^1 f(ix)f(jx) dx$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 327]
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Pour a, $b$ \gt 0, on définit $J_{a,b} = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{(a\cos\theta)^2 + (b\sin\theta)^2}}$.
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1. Montrer que $J_{a,b} = \int_{-\i}^{+\i} \frac{dx}{\sqrt{(x^2 + a^2)(x^2 + b^2)}}$.
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1. Montrer que $J_{a,b} = J_{\frac{a+b}{2}} \sqrt{ab}$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 328]
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Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que $\int_0^{+\i} |\sin t|^{\alpha} t^{\beta} dt \lt +\i$.329. [nil] a) Pour $f \in \mc C^0(\R, \R)$, on note $I_f = \left\{ p \gt 0, \int_{\R} |f|^p \lt +\i \right\}$. Montrer que $I_f$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 329]
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1. Pour
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$$f \in \mc C^0(\R, \R)$$
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, on note $I_f = \{p \gt 0, \int_{\R} |f|^p \lt +\i \}$. Montrer que est un intervalle et exhiber $f$ telle que $I_f = ]a, b[$, $]0, b[$ ou $]b, +\i[$ pour $0 \lt a \lt b$.
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1. Déterminer $\lim_{p\ra+\i} \left( \int_a^1 |f|^p \right)^{1/p}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 330]
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Soit $f\colon \R \ra \R$ intégrable sur $\R$. On pose $g\colon x \in \R^* \mapsto f\left(x - \frac{1}{x}\right)$. Montrer que $g$ est intégrable sur $\R^{+*}$ et sur $\R^{-*}$. Exprimer $\int_{-\i}^0 g + \int_0^{+\i} g$ en fonction de $\int_{-\i}^{+\i} f$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 331]
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On rappelle que $\int_{\R^n} e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2\pi}$.
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Pour $n \in \N$, on pose $p_n : x \in \R \mapsto (-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n (e^{-x^2/2})}{d x^n}$.
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a. Montrer que $p_n$ est polynomiale, préciser son degré et son coefficient dominant, et dé-
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montrer que $p_n$ est paire ou impaire.
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1. Calculer $\int_{\R} p_m(x) p_n(x) e^{-x^2/2} dx$ pour $(m, n) \in \N^2$.
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1. Soit $n \in \N^*$. Calculer l'intégrale multiple
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$$I = \int_{\R} \cdots \int_{\R} \left( \prod_{1 \le i \le n} (x_j - x_i)^2 \right) \exp\left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n x_k^2\right) dx_1 \cdots dx_n$$.
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Ind. On pourra s'intéresser au déterminant de la matrice $(p_{i-1}(x_j))_{1 \leq i,j \leq n}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 332]
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Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions de carré intégrable sur $\R$ telle que $\int_{\R} f_i f_j =$
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$\delta_{i,j}$ pour tous $i,j\in\N$. Pour $N\in\N^*$ et $x,y\in\R$, on pose $K_N(x,y)=\sum_{i=1}^N f_k(x)f_k(y)$. Pour $p \in \N$ et $x_1, \ldots, x_p \in \R$, on pose $\phi_p(x_1, \ldots, x_p) = \det((K_N(x_i, x_j))_{1 \leq i, j \leq p})$.
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Calculer $\int_{\R^n} \dots \int_{\R^n} \phi_p(x_1, \dots, x_p) dx_1 \dots dx_p$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 333]
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1. Soit $a \in \R^{+*}$. Calculer les intégrales $\int_0^1 \frac{\ln(1+t^a)}{t} dt$ et $\int_0^1 \frac{\ln(1-t)}{t} dt$.
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1. Soit $(a_n)_n \in (\N^*)^{\N}$ telle que $I \in \mc{P}_f(\N) \mapsto \sum_{n \in I} a_n$ soit injective, $\mc{P}_f(\N)$ désignant l'ensemble des parties finies de $\N$. Montrer que $\sum_{n=0}^{+\i} \frac{1}{a_n} \leq 2$.
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$c$. Soit $(a_n)_n \in (\N^*)^{\N}$ telle qu'il n'existe pas d'entier $n$ ni de partie finie $I$ de $\N \setminus \{n\}$ telle que $a_n = \sum_{k \in I} a_k$. Montrer que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{a_n} \le 50$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 334]
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Soient $(a_n)_{n\in\N}$ et $(b_n)_{n\in\N}$ deux suites réelles.
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On pose $f_n: x \in \R \mapsto a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)$. Montrer que si $(f_n)_{n \in \N}$ converge simplement sur $\R$ alors $(a_n)_{n \in \N}$ et $(b_n)_{n \in \N}$ convergent vers 0.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 335]
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Pour
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$$n \in \N$$
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, soit $f_n : x \in \R \setminus \Z \mapsto \pi \cot(\pi x) - \sum_{k=-\i}^n \frac{1}{x+k}$.
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1. Montrer que $(f_n)_{n\geq 0}$ converge simplement sur $\R\setminus\Z$ vers une fonction $f$, et que l'on peut prolonger $f$ par continuité à $\R$.
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1. Montrer que la fonction prolongée par continuité est de classe $\mc C^1$ sur $\R$ et vérifie :
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$$\forall x \in \R, 4f'(x) = f'\left(\frac{x}{2}\right) + f'\left(\frac{x+1}{2}\right)$$.
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1. En déduire que $f$ est identiquement nulle sur $\R$.
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1. On pose $g\colon x\mapsto \frac{x}{e^x-1}$. Justifier que $g$ est développable en série entière au voisinage de 0 et que le développement en série entière de $x\mapsto g(x)-1+\frac{x}{2}$ ne contient que des termes
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pairs. On note
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$$g(x) = 1 - \frac{x}{2} + \sum_{n=1}^{+\i} a_n x^{2n}$$
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.
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1. Pour $n \in \N^*$, donner une expression de $\zeta(2n)$ en fonction de $a_n$. Ind. On pourra considérer g(ix) pour $x \in \R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 336]
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Soit $f \in C^0([0,1], \R)$.
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Si
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$$t \ge 0$$
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, on pose $g_t : x \in [0, 1] \mapsto \inf \{ f(y) + t | y - x |, y \in [0, 1] \}$.
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1. Si $t \ge 0$, montrer que $g_t$ est une fonction continue.
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1. Soit $x \in [0, 1]$. Montrer que la suite $(g_n(x))_{n \ge 0}$ est croissante et qu'elle converge vers
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f(x).
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1. Montrer que $(g_n)_{n\geq 0}$ converge uniformément vers $f$ sur [0,1].
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 337]
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1. Soit $n \in \N$. Montrer qu'il existe un unique $T_n \in \Z[X]$ tel que : $\forall x \in \R, T_n(2\cos(x)) = 2\cos(nx)$.
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1. Pour $x, y \in [-2, 2[$ avec $x \neq y,$ on pose $S(x, y) = \sum_{n=0}^{+\i} \frac{1}{n} T_n(x) T_n(y)$.
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- Montrer que $S_n(x, y)$ est bien défini.
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- Montrer que, pour $x, y \in [-2, 2[$ avec $x \neq y$, on a $S(x, y) = -2 \ln |x y|$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 338]
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Soit $\alpha \in \R$.
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1. À quelle condition sur $\alpha$ la fonction $f\colon x \mapsto \sum_{n=1}^{+\i} \frac{n^{\alpha}}{n+x}$ est-elle définie sur $\R^+$ ?
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1. Lorsque $f$ est définie sur $\R^+$, déterminer sa limite, puis un équivalent, en $+\i$.
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1. On fixe un polynôme $P \in \R[X]$ de degré $d$ \gt 0, sans racine dans $[1, +\i[$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(\alpha, d)$ pour que $g\colon x \mapsto \sum_{i=1}^{+\i} \frac{n^{\alpha}}{P(n+x)}$ soit définie
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sur $\R^+$. Dans ce cas, donner un équivalent de $g$ en $+\i$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 339]
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1. On fixe un entier $d \ge 0$. Soit $(c_k)_{k \le d}$ une famille de nombres complexes indexée par $\Z_{\leq d} = \{k \in \Z, k \leq d\}$. On suppose qu'il existe un réel $R$ \gt 0 telle que $(c_k z^k)_k$ soit sommable pour tout $z \in \C$ tel que |z| \gt R; pour un tel $z$, on pose $g(z) = \sum_k c_k z^k$. On suppose enfin que $c_1, \ldots, c_d$ sont tous rationnels et que $g(a) \in \Z$ pour une infinité d'entiers a. Montrer que $c_0 \in \Q$ et $c_k = 0$ pour tout $k$ \lt 0.
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1. Soit $s \in \N^*$ et $P \in \C[X]$. On suppose que, pour tout entier $n$ assez grand, P(n) est la puissance $s$-ième d'un entier. Soient $\tau_1,\ldots,\tau_s$ dans $\Z$. Montrer qu'il existe une fonction gvérifiant les hypothèses de la question précédente (pour un certain d) et telle que, pour tout complexe $z$ de module assez grand, $\prod P(z + \tau_k) = g(z)^s$. En déduire qu'il existe un polynôme $Q \in \C[X]$ tel que $P = Q^s$ et $\forall k \in \Z, \ Q(k) \in \Z$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 340]
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Soient $\theta \gt 1$ et $P \in \Z[X]$ unitaire de degré $n \in \N^*$ dont $\theta$ est racine de multiplicité 1 et dont les autres racines complexes sont de module \lt 1 et dont $1/\theta$ n'est pas racine. Soit $Q = X^n P(1/X)$.
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1. Montrer que $f\colon z \mapsto \frac{P(z)}{Q(z)}$ est développable en série entière au voisinage de 0 de rayon
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$1/\theta$. On note $f(z) = \sum_{n=0}^{+\i} b_n z^n$ ce développement.
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1. Montrer que $g\colon z \mapsto f(z)(1-\theta z)$ est développable en série entière de rayon \gt 1. On note $g(z) = \sum_{n=0}^{+\i} c_n z^n$. Montrer que les $c_n$ sont dans $\Z$ et que $\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| g(e^{it}) \right|^2 dt = \sum_{n=0}^{+\i} |c_n|^2$.
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1. Démontrer que $1 + \theta^2 = b_0^2 + \sum_{n=0}^{+\i} (b_n \theta b_{n-1})^2$.
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1. On suppose que P(0) \gt 0. Montrer que $(b_n)_{n \in \N}$ est croissante.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 341]
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1. On pose $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sum_{k=0}^n u_k u_{n-k}$ pour tout $n \in \N$. Calculer $u_n$.
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1. Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_{-2}^2 x^{2n} \sqrt{4-x^2} dx$. Prouver l'existence d'une constante
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c\gt 0 telle que $\forall n\in\N,\,u_n=c\,I_n$ et la déterminer.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 342]
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Soit $m \in \N^*$. On pose $u_0 = 4^m$, $u_1 = 4^m - 1$ et, pour $k \in [1, m]$, $u_k = -1 + \frac{2m - k}{2m} u_{k+1} + \frac{k}{2m} u_{k-1}$ et $v_k = m \int_0^1 \frac{(1+x)^{2m-k}}{x} \left( (1+x)^k - (1-x)^k \right) dx$.
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1. Montrer que, pour tout $k \in [1, m]$, $v_k = u_k$.
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1. Donner un équivalent de $W_m = m \int_0^1 \frac{(1+x)^m}{x} ((1+x)^m (1-x)^m) dx$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 343]
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Déterminer un équivalent de $\int_0^{+\i} (te^{-t})^x dt$ quand $x$ tend vers $+\i$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 344]
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Soit $E$ l'ensemble des fonctions y de classe $C^2$ de $\R^+$ dans $\R$ telles que, pour tout $t \in \R^+$, $y''(t) + e^t y(t) = 0$. Soit $y \in E \setminus \{0\}$.
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1. Montrer que les zéros de y sont isolés.
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1. Montrer que les zéros de y peuvent être rangés en une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ tendant vers $+\i$.
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1. Donner un équivalent de $t_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 345]
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Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n \ge 1$.
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1. Soient $p$ un projecteur de $E$ et $a \in \mc{L}(E)$ tels que ap + pa = a. Montrer que $\op{tr} a = 0$.
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1. On note $\mc{P}(E)$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$. Pour $p \in \mc{P}(E)$, décrire l'espace tangent à $\mc{P}(E)$ en $p$. Quelle est sa dimension?
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#+end_exercice
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** Géométrie
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 346]
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Soit (u, v) une base de $\R^2$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur (u, v) pour qu'il existe un polygone régulier à $n$ côtés dont les sommets sont tous dans $\Qu + \Qv$.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 347]
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Un tiroir contient 2n chaussettes, constituant $n$ paires. On tire successivement et aléatoirement les chaussettes du tiroir les unes après les autres jusqu'à avoir tiré une paire. Quelle est l'espérance du nombre total de chaussettes tirées? *Ind.* Pour simplifier le résultat,
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on pourra utiliser un raisonnement probabiliste pour établir que
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$$\sum_{k=n}^{2n} \binom{k}{n} 2^{-k} = 1$$
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.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 348]
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On organise un tournoi avec une infinité $(J_n)_{n\in\N}$ de joueurs. Les modalités sont les suivantes : $J_0$ et $J_1$ s'affrontent, le gagnant affronte $J_2$ et ainsi de suite : le gagnant de chaque partie affronte le joueur suivant lors de la partie suivante. On considère tous les matchs comme indépendants et on note $p_n = \mathbf{P}(J_n \text{ remporte son premier match})$. Le tournoi s'arrête lorsqu'un joueur remporte deux matchs successifs. On note $T$ la variable aléatoire donnant le nombre de matchs joués jusqu'à l'arrêt du tournoi. Pour les deux premières questions, on fixe
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$$\alpha \in ]0,1[$$
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et on suppose que : $\forall n \geq 2, \ p_n = 1 - \frac{1}{n^{\alpha}}$.
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1. Montrer que $T$ est presque sûrement finie.
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1. Montrer que $T$ est d'espérance finie.
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1. Dans cette question, on fixe $N \geq 2$ et la condition de victoire devient : un joueur remporte le tournoi quand il a gagné $N$ matchs consécutifs. Ainsi le cas précédent correspond au cas N=2. On suppose que, pour tout $n \in \N^*$, $p_n=p \in ]0,1[$.
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On note $a_n = \mathbf{P}(T \geq n)$ avec, pour $k \leq N$, $a_k = 1$. Déterminer une relation de récurrence entre les $a_n$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 349]
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Soit $n \in \N^*$. Pour $\sigma \in \mc{S}_n$, on note $|\sigma|$ le nombre de cycles dans la décomposition de $\sigma$ en cycles à supports disjoints (y compris les cycles de longueur 1).a) Pour $k \in [1, n]$, on pose $C_k = |\{\sigma \in \mc{S}_n, |\sigma| = k\}|$.
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a. Pour $k \in [1, n]$, on pose $C_k = |\{\sigma \in \mc{S}_n, |\sigma| = k\}|$
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Calculer $f_n$ où $f_n: x \mapsto \sum_{k=1}^n C_k x^k$.
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1. Soit $\sigma_n$ une variable de loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Donner un équivalent de l'espérance de $|\sigma_n|$.
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1. Montrer que $\frac{|\sigma_n|}{\ln(n)}$ tend vers 1 en probabilités quand $n \ra +\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 350]
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1. Soient $\lambda \gt 0$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson $\mc{P}(\lambda)$. Calculer $\mathbf{E}(X(X-1)\cdots(X-p+1))$ pour tout $p \in \N^*$, et calculer $\mathbf{E}(1/(X+1))$ et $\mathbf{E}(1/(X+2))$.
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1. Soient $A$ un ensemble fini de cardinal $n$ et $p \in \N^*$. Une $p$-partition de $A$ est une partition de $X$ formée de $p$ sous-ensembles (non vides) de $X$. Soit $B$ un ensemble fini de cardinal $m$. Dénombrer, pour une $p$-partition de $\mc{F}$ de A, les applications de $A$ dans $B$ dont $\mc{F}$ est l'ensemble des fibres non vides (à savoir des ensembles non vides de la forme $f^{-1}\{b\}$ où $b \in B$).
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1. En utilisant les deux questions précédentes, exprimer le nombre de partitions de $A$ comme
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 351]
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Soient $p \in ]0,1[$ et t\gt 0. Soient $(X_n)_{n\in\N}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. vérifiant $\mathbf{P}(X_n=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_n=-1)=1-p$ et $N\sim\mc{P}(t)$ indépendante des $X_n$. On pose :
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$$S_n = \sum_{i=0}^n X_i$$.
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1. Pour $n \in \Z$, calculer $\mathbf{P}(S_N = n)$.
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1. Montrer que :
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la somme d'une série numérique.
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$$\forall (x,y) \in (\R^{+*})^2, \quad \sum_{n \in \Z} y^n \sum_{\substack{i \in \N \\ n \geq 0}} \frac{x^{n+2i}}{n!(n+i)!} = e^{xy+1/y}$$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 352]
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Soient $p \in [0, 1[, m \ge 2 \text{ et } \xi = e^{2i\pi/m}]$.
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1. Montrer que :
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$$\forall a,b \in \C, \quad \sum_{k \in \db{0,n }} \binom{n}{k} a^k b^{n-k} = \frac{1}{m} \sum_{j=0}^{m-1} (b + \xi^j a)^n$$.
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1. Soit $(X_i)_{i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On pose : $A_n=(m\mid X_1+\cdots+X_n)$ et $u_n=\mathbf{P}(A_n)$. Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente et déterminer sa limite.
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1. Montrer que : $\forall n \in \N^*, \left| u_n \frac{1}{m} \right| \leq e^{-8pqn/m^2}$ où $q$ = 1 $p$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 353]
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Soit $X$ une variable aléatoire discrète positive ayant un moment d'ordre 2 et telle que $\mathbf{E}(X^2) \gt 0$. Montrer que, pour $t$ \gt 0, $\mathbf{P}(X \mathbf{E}(X) \leq -t) \leq \exp\left(-\frac{t^2}{\mathbf{E}(X^2)}\right)$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X MP 2025 # 354]
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Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\N^*$. On suppose
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de plus que $\mathbf{E}(X_1^2) \lt +\i$, et on pose $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ et $T_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{S_i}$ pour $n \geq 1$.
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1. Montrer que, pour tout $\omega$, $(T_n(\omega))_{n\geq 1}$ a une limite dans $[0,+\i]$.
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1. Montrer qu'il existe une constante $C$ \gt 0 et une suite strictement croissante $(n_k)_{k \ge 1}$
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d'entiers $\geq 1$ vérifiant $n_{k+1} \geq 2n_k$ et $\mathbf{P}(S_{n_k} \geq 2n_k \mathbf{E}(X_1)) \leq \frac{C}{2^k}$ pour tout $k \geq 1$.
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1. En déduire que $(T_n)_{n\geq 1}$ tend presque sûrement vers $+\i$.
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1. Montrer que $\mathbf{V}(T_n) \leq \sum_{i=1}^n \mathbf{E}\left(\frac{1}{S_i^2}\right)$ pour tout $n \geq 1$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 355]
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On pose $(X)_0 = 1$ et, pour $n \in \N^*$, $(X)_n = X(X-1) \cdots (X-n+1)$.
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1. Montrer que $((X)_n)_{n\geq 0}$ est une base de $\R[X]$.
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1. Pour $k \in \N$, on décompose $X^k = \sum_{n=0}^{+\i} a_{k,n}(X)_n$. Déterminer $a_{k,0}$ et $a_{k,n}$ pour $n \geq k$.
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1. En considérant une variable aléatoire $Z$ suivant la loi de Poisson de paramètre 1, montrer que $\forall k \in \N, \sum_{i=0}^{+\i} a_{k,n} = \frac{1}{e} \sum_{i=0}^{+\i} \frac{i^k}{i!}$.
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1. Pour $0 \le n \le k$, on note $b_{k,n}$ le nombre de façons de ranger $k$ objets indifférenciés dans $n$ tiroirs non numérotés, aucun des tiroirs n'étant vide. Montrer que $b_{k,n} = a_{k,n}$.
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1. Soit $k \in \N$. Déterminer le nombre de façons de partitionner un ensemble à $k$ éléments.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 356]
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On cherche à prouver l'existence d'un réel $C$ \gt 0 tel que, pour toutes variables aléatoires réelles $X$ et $Y$ indépendantes et de même loi, on ait l'inégalité $\mathbf{P}(|X-Y| \leq 2) \leq C \, \mathbf{P}(|X-Y| \leq 1)$.
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1. On suppose $X$ et $Y$ à valeurs dans $\Z$. Montrer l'existence de C' \gt 0 indépendant de $X$ tel que $\mathbf{P}(|X Y| \leq 2) \leq C' \mathbf{P}(X = Y)$.
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1. Montrer le résultat souhaité.
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1. Montrer que C' ≥ 3.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 357]
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1. Soient $n \in \N^*$ et $p \in ]0,1[$. Existe-t-il deux variables aléatoires indépendantes $Y_1$ et $Y_2$ de même loi telles que $Y_1 + Y_2 \sim \mc{B}(n,p)$ ?
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1. On dit qu'une variable aléatoire $Z$ est infiniment divisible si, pour tout $k \in \N^*$, il existe des variables aléatoires $i$.i.d. $Y_1, \ldots, Y_k$ telles que $Y_1 + \cdots + Y_k \sim Z$, avec a priori $(Y_1, \ldots, Y_k)$ défini sur un espace probabilisé différent de celui de $Z$.
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Donner un exemple d'une telle variable aléatoire.
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1. Que dire d'une variable aléatoire $Z$ infiniment divisible de support inclus dans [0,1]?
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1. Soient $(X_i)_{i\in\N}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. et $N\sim\mc{P}(\lambda)$ indépendante des $X_i$ (avec $\lambda\gt 0$). Montrer que $Z=X_1+\cdots+X_N$ est une variable aléatoire infiniment divisible.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 358]
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Soient $a \in ]0,1[$ et $\phi_a : x \mapsto 1 (1-x)^a$.
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1. Montrer qu'il existe une variable aléatoire $X_a$ à valeurs dans $\N^*$ telle que, pour tout $x \in [0,1], \phi_a(x) = \mathbf{E}(x^{X_a})$.b) Soit $(A_n)_{n\geq 1}$ une suite d'événements de l'espace probabilisé $(\Omega, \mc{A}, \mathbf{P})$ telle que, pour tout $n \in \N^*$, $\mathbf{P}(A_n) = \frac{a}{n}$. On pose $Y = \inf\{n \in \N^*, \ \mathbf{1}_{A_n} = 1\}$. Montrer que $Y \sim X_a$.
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On considère l'équation fonctionnelle : $\forall x \in [0,1], \phi_a(x) = x \phi(\phi_a(x))$ d'inconnue $\phi$ :
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$[0,1] \ra \R$.
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1. Montrer que, pour $a \in [1/2, 1]$ cette équation admet une unique solution continue, qui est
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de plus la fonction génératrice d'une variable aléatoire à valeurs dans $N$.
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1. Montrer que ce n'est pas le cas pour a = 1/3.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 359]
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Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes telles que $\mathbf{P}(X_n=0)=1-\frac{1}{n}$
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et $\mathbf{P}(X_n=n)= rac{1}{n}$. On pose, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$.
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1. Soit $\lambda \in \R^+$. Déterminer la limite de $\left(\mathbf{E}\left(e^{-\lambda\frac{S_n}{n}}\right)\right)_{n\geq 1}$.
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1. Soit $f \in \mc C^0(\R^{+*}, \R)$ dérivable sur $]1, +\i[$ et telle que : $\forall x \gt 1, f(x-1) + xf'(x) = 0$ et $\forall x \in [0, 1], f(x) = 1$.
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Montrer qu'il existe une unique fonction $f$ qui respecte ces conditions, qu'elle est strictement positive sur $\R^+$ et tend vers 0 en $+\i$.
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1. On définit $\phi(\lambda) = \int_0^{+\i} e^{-\lambda t} f(t) dt$, avec $f$ la fonction de la question précédente. Mon- $\text{trer qu'il existe } k\gt 0 \text{ tel que, pour tout } \lambda \in \R^+, \lim_{n \ra +\i} \mathbf{E}\left(e^{-\lambda \frac{S_n}{n}}\right) = e^{-k}\phi(\lambda)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X MP 2025 # 360]
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Soient $X$ une variable aléatoire à support fini à valeurs dans $\Z^2$ et telle que $-X \sim$
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$X, (X_k)_{k \geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$.
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1. Montrer que, si $n \in \N^*$, $\mathbf{E}(\|S_n\|^2) = n \, \mathbf{E}(\|X\|^2)$ et $\mathbf{P}(S_{2n} = 0) = \sum_{x \in \Z^2} \mathbf{P}(S_n = x)^2$.
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1. Montrer qu'il existe $c \in \R^{+*}$ tel que $\forall n \in \N^*, \mathbf{P}(S_{2n} = 0) \geq \frac{c}{n}$.
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1. Démontrer que $P(\exists n \ge 1, S_n = 0) = 1$.
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#+end_exercice
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* X PSI :autre:
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** Algèbre
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 361]
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Soit $P(X) = X^{11} 14X^2 5X + 1$. Montrer que $P$ admet au moins une racine complexe de module strictement inférieur à 1.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 362]
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Soit $f\colon P \in \R[X] \mapsto \frac{1}{2} \left( \mathbf{P} \left( \frac{X+1}{2} \right) + \mathbf{P} \left( \frac{X}{2} \right) \right)$. Soit $a \in \R$. Déterminer la limite de $(f^n(P)(a))$ quand $n$ tend vers $+\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 363]
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1. Soient $E$ un $\C$ -espace vectoriel de dimension finie, $u, h \in \mc{L}(E)$ tels que $h$ est diagonalisable et $h \circ u - u \circ h = 2u$. Montrer que $u$ est nilpotent.
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1. Soit $E = \C[X]$ et soient $u$, $v$, $h$ les trois endomorphismes de $E$ définis par$\forall P \in E, u(P) = X^2 P' + X P, v(P) = P' \text{ et } h(P) = P + 2X P'$.
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a) Montrer que $h$ est diagonalisable et que $h \circ u u \circ h = 2u$. L'endomorphisme $u$ est-il nilpotent?
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b) Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ à la fois $u$-stable et $v$-stable. Montrer que $F = \{0\}$ ou $F$ = $E$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 364]
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Soient $A \in \M_n(\C)$ et $B = \begin{pmatrix} 0 & A \\ I_n & 0 \end{pmatrix} \in \M_{2n}(\C)$.
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1. Montrer que $\forall \lambda \in \C$, $\dim(\op{Ker}(B \lambda I_{2n})) = \dim(\op{Ker}(A \lambda^2 I_n))$.
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1. À quelle condition sur $A$ la matrice $B$ est-elle diagonalisable?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 365]
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Soit $X \in \C^n$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que la matrice $XX^T \in \M_n(\C)$ soit diagonalisable.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 366]
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Soit $A \in \M_3(\R)$ telle que $\R^3 = \text{Ker}((A I_3)^2) \oplus \text{Ker}(A 2I_3)$. Soit $x \in \R^3 \setminus \{0\}$. Trouver un équivalent de $||A^n x||$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 367]
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On définit deux matrices $M = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $N_{\eps} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 + \eps \end{pmatrix}$ avec $\eps \gt 0$.
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1. Étudier la diagonalisabilité de $M$ et $N_{\eps}$, détailler leurs sous-espaces propres et donner une base de chacun d'eux.
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1. Pour $n \in \N$, on pose $X_n = M^n E$, $Y = N_{\eps}^n E$, où $E = \binom{1}{\eps}$. Expliciter $X_n$ et $Y_n$ et étudier asymptotiquement les vecteurs $\frac{X_n}{\|X_n\|}$ et $\frac{Y_n}{\|Y_n\|}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 368]
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Soit $A \in \M_n(\R) \setminus \{0\}$ telle que $A^T = -A$. Soient $\mu \in \C^*$ une valeur propre de $A$ et $X \in \C^n$ un vecteur propre associé. On écrit $X$ = $U$ + iV avec $U, V \in \R^n$. Montrer que $U$ et $V$ sont orthogonaux.
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#+end_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 369]
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Soient $E$ et $F$ deux espace vectoriels normés (de dimension quelconque) et $\psi \colon E \ra F$ une fonction telle que $\forall x,y \in E, \ \psi(x) + \psi(y) = \psi(x+y)$ et $\psi$ est bornée sur la boule ouverte unité de $E$. Montrer que $\psi$ est linéaire et continue.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 370]
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Soit (E, || ||) un espace vectoriel normé avec $E \neq \{0\}$.
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1. Soit $\phi$ un endomorphisme continu de $E$. Montrer que : $\sup_{x \neq 0} \frac{\|\phi(x)\|}{\|x\|} \lt +\i$
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1. Soient $u$,v deux endomorphismes continus de $E$ tels que uv-vu= id. Montrer que $E=\{0\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 371]
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Soient $E$ un $\R$ -espace vectoriel normé de dimension finie, $u \in \mc{L}(E)$ et $K \subset E$ un convexe non vide. Pour $n \in \N^*$, on note $S_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} u^k$.- a) Montrer que : $\forall n \in \N^*, S_n(K) \subset K$.
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1. Montrer que : $\forall n \in \N^*, (S_1 \circ \cdots \circ S_n)(K) \subset \bigcap^n S_k(K)$.
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1. On suppose que $K$ est compact et que, pour tout $x \in E$, $||u(x)|| \leq ||x||$. Montrer que : $\forall x \in \bigcap S_n(K), \, u(x) = x$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 372]
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Soit $(a_k)_{k\in\N}$ une suite de réels positifs. Pour tout $n\in\N$, posons $A_n=\sum_{k=1}^n a_k$. Montrer
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l'équivalence entre les trois propriétés suivantes :
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+ $A_{n-1} = o(a_n)$,
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+ $a_{n-1} = o(a_n)$,
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+ $A_{n-1} = o(A_n)$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 373]
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Soit $u$ une suite réelle strictement positive, croissante et tendant vers $+\i$. Montrer que la série $\sum \frac{u_n - u_{n-1}}{u}$ diverge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 374]
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Soit $(d_n)$ une suite de réels positifs telle que la série de terme général $d_n$ diverge. Nature de $\sum \frac{d_n}{1+d_n}$, $\sum \frac{d_n}{1+nd_n}$, $\sum \frac{d_n}{1+d_n^2}$ et $\sum \frac{d_n}{1+n^2d_n}$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 375]
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Trouver $f \in \mc C^{\i}(\R, \R)$ telle que, successivement,
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+ $f$ est nulle sur $\R^-$ et ne s'annule pas sur $]0, +\i[$ ;
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+ $f$ est nulle sur $\R^-$ et $[1, +\i[$ et ne s'annule pas sur ]0, 1[;
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+ $f$ est nulle sur $\R^-$, égale à 1 sur $[1, +\i[$ et ne s'annule pas sur ]0, 1[.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 376]
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Soit $f \in \mc C^0(\R,\R)$. Soit $(x_k)_{k\in\N}$ telle que $\forall k\in\N,\ x_{k+1}=f(x_k)$. On suppose que $\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k\right)$ est bornée. Montrer que $f$ admet un point fixe.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 377]
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Soit a \gt 0. Pour $n \in \N$, on pose : $I(a, n) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} (a + \cos(x))^n dx$.
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1. Trouver la limite de $(I(a, n))_{n \ge 0}$.
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$\textbf{\textit{b}}) \ \ \text{Soit} \ b \in ]0,\pi/2[. \ \text{Montrer que} \ \frac{\sqrt{n}}{(1+a)^n} \int_b^{\frac{\pi}{2}} (a+\cos(x))^n dx \underset{n \ra +\i}{\longrightarrow} 0$.
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1. Calculer la limite de $\left(\frac{\sqrt{n}}{(1+a)^n} \cdot \frac{1}{\sqrt{a+1}} \int_0^b (a+\cos(x))^n dx\right)$.
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1. En déduire un équivalent de I(a,n) quand $n \ra +\i$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 378]
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Soit $f \in \mc C^{\i}(\R, \R)$ telle que $f(t) \ra 0$ quand $t \ra +\i$. Soit () l'équation différentielle y' + y = f(t).
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1. Montrer que toute solution y de () tend vers 0 lorsque $t \ra +\i$.
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1. On suppose de plus que $f(t) \sim \frac{1}{t \ra +\i} \frac{1}{t^{\alpha}}$ avec $\alpha \gt 0$. Soit y une solution non nulle de (). Déterminer un équivalent de y(t) quand $t \ra +\i$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X PSI 2025 # 379]
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Pour $f \in \mc C^1(\R^+, \R^{+*})$, on considère le problème de Cauchy $f' = -f^2$ et f(0) = 1.
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1. Résoudre l'équation différentielle.
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Soit $h \in ]0, 1/2[$. On définit la suite $(y_n)$ par $y_0 = 1$ et $y_{n+1} y_n = -hy_n^2$.
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1. Montrer que $y_n \ra 0$.
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1. Montrer que $\frac{1}{y_n} = 1 + nh + o(n)$.
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#+END_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 380]
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Soient $n \ge 2$ et $X$ une variable aléatoire à valeurs dans [0, n].
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1. Soit $Y$ une autre variable aléatoire à valeurs dans [0,n]. Montrer que si $\forall k \in [0,n]$,
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$\mathbf{E}(X^k) = \mathbf{E}(Y^k)$ alors $X \sim Y$.
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1. Montrer qu'il existe des variables aléatoires $X$, $Y$ à valeurs dans [0, n] ne suivant pas la même loi et telles que $\forall k \in [2, n], \mathbf{E}(X^k) = \mathbf{E}(Y^k)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 381]
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Soient $\eps$, $X$ et $Y$ trois variables aléatoires indépendantes. On suppose que $\eps \sim \mc{B}(1/2)$ et $\text{que }X\text{ et }Y\text{ suivent }\mc{G}(p)\text{ pour un réel }p\in ]0,1[\text{. On note }M=\begin{pmatrix}(2\eps-1)X&Y\\Y&(2\eps-1)X\end{pmatrix}$.
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1. Déterminer $\mathbf{P}(M \in \mathrm{GL}_2(\R))$.
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1. Déterminer $P(M \in \mc{S}_2^{++}(\R))$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 382]
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Soit $n \ge 2$. Soit $\mc{X}$ l'ensemble des variables aléatoires définies sur $(\Omega, \mc{A}, \mathbf{P})$ et à valeurs dans [1, n]. Déterminer les $X \in \mc{X}$, indépendantes de toutes les $Y \in \mc{X}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 383]
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On effectue $n \leq N$ tirages sans remise dans un sac de $N$ jetons numérotés de 1 à $N$. On note $X_i$ la variable aléatoire donnant le numéro du jeton du $i$-ème tirage et on pose $Z_n = \max_{1 \leq i \leq n} X_i$. Calculer $\mathbf{E}(Z_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PSI 2025 # 384]
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On pose $(X_k)$ une suite $i$.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de Bernoulli de para-
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mètre $p \in [0,1]$. Pour $n \in \N$, on pose $Y_n = \sum_{k=1}^n \frac{X_k}{k+n}$
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1. Calculer l'espérance de $Y_n$
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1. Déterminer la limite de $(\mathbf{E}(Y_n))$
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1. Trouver $\alpha \in \R$ tel que, pour tout $\eps \gt 0$, on ait $\lim_{n \ra \i} \mathbf{P}(|Y_n \alpha| \gt \eps) = 0$.
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#+end_exercice
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* X PC :autre:
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** Algèbre
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 385]
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Soit $(P,Q) \in \R[X]^2$ tel que $P$ P' = $Q$. Montrer que, si $Q \ge 0$, alors $P \ge 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 386]
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Soit $E$ l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\{-1,0,1\}$ et $A$ l'ensemble des racines des polynômes de $E$. Montrer que $A \cap ]2, +\i[=\emptyset$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 387]
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Soient
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$$P = \sum_{k=0}^n a_k X^k \in \C[X]$$
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et $r \in [0,1]$.
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Montrer que
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$$\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \left| P(re^{i\theta}) \right|^2 d\theta = \sum_{k=0}^n |a_k|^2 r^{2k} \leq \sup_{\theta \in [0,2\pi]} |P(e^{i\theta})|^2$$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 388]
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Soient $P \in \Z[X]$ unitaire de degré $d$ et $\lambda_1, \ldots, \lambda_d$ ses racines. On suppose que, pour
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tout
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$$k \in [1, d]$$
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, $|\lambda_k| \le 1$. On pose, pour tout $n \in \N^*$, $f(n) = \sum_{k=1}^d \lambda_k^n$.
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1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, f(n) est entier.
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1. Montrer qu'il existe $p \in \N^*$ tel que, pour tout $n \in \N^*$, f(n+p) = f(n).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 389]
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Soient $A$ et $B$ dans $\M_2(\Z)$. On suppose que, pour tout $k \in \{0, 1, 2, 3, 4\}$, $A$ + kB est inversible et que son inverse est à coefficients dans $\Z$. Montrer que $A$ + 5B est inversible et que son inverse est à coefficients dans $\Z$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 390]
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On considère la matrice $A=(\mathbf{1}_{i=j+1 \bmod n})_{1\leq i,j\leq n}\in \M_n(\R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $p\in \N^*$ pour que $B=\sum_{k=0}^{p-1}A^k$ soit inversible.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 391]
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On considère une ferme avec 2n+1 vaches. Le fermier s'aperçoit que quelle que soit la vache que l'on retire du troupeau, il peut séparer les vaches restantes en deux groupes de $n$ vaches, de telle sorte que les sommes des poids des vaches de chacun des groupes sont égales. Montrer que toutes les vaches ont le même poids.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 392]
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Soit $A = (a_{i,j})_{1 \leq i,j \leq n} \in \M_n(\R)$, avec $a_{i,j} = \frac{1}{\min(i,j)}$. Calculer $\det A$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 393]
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Soit $A \in \M_n(\R)$ telle que : $\forall H \in \M_n(\R)$, $\det(A+H) = \det(A) + \det(H)$. Que dire de A?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 394]
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Soit $p \in \N^*$.
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1. Soient $\alpha_1, \ldots, \alpha_p$ des réels distincts. Soient $c_1, \ldots, c_p$ des réels non tous nuls. On pose
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$$\phi:x\mapsto \sum^p c_i e^{\alpha_i x}$$.
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Montrer que $\phi$ s'annule au plus $p-1$ fois.
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1. Soient $\alpha_1, \ldots, \alpha_p, \beta_1, \ldots, \beta_p$ des réels tels que $\alpha_1 \lt \cdots \lt \alpha_p$ et $\beta_1 \lt \cdots \lt \beta_p$. Montrer que le déterminant de la matrice $\left(e^{\alpha_i \beta_j}\right)_{1 \le i,j \le p}$ est strictement positif.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 395]
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Soient $A$ et $B \in \M_n(\C)$ telles que $AB^2 B^2A = B$. Montrer que $B$ est nilpotente d'ordre impair.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 396]
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1. Donner un exemple de matrice $A \in \mc{S}_n(\C)$ non diagonalisable.b) Soit $M \in \M_n(\C)$ et $Q: x = (x_1 \dots x_n)^T \in \C^n \mapsto \sum_{1 \leq i,j \leq n} m_{i,j} x_i x_j \in \C$. Montrer
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qu'il existe une unique matrice $S \in \mc{S}_n(\C)$ telle que $\forall x \in \C^n$, $Q(x) = x^T S x$.
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$c$. Montrer qu'il existe un ensemble fini $I$, une famille $(\ell_i)_{i\in I} \in (\mc{L}(\C^n,\C))^I$ de formes linéaires indépendantes et une famille $(\alpha_i)_{i\in I} \in \C^I$ telles que
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linéaires indépendantes et une famille
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$$(\alpha_i)_{i\in I} \in \C^I$$
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telles que $\forall x \in \C^n, \sum_{1\leq i,j\leq n} a_{i,j}x_ix_j = \sum_{i\in I} \alpha_i\ell_i(x)^2$.
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Ind. Commencer par traiter l'exemple $Q(x)=x_1^2+3x_1x_2+6x_2^2+4x_3^2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 397]
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Soient $E$ un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie et $u \in \mc{L}(E)$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe $v \in \mc{L}(E)$ tel que $u \circ v = 0$ et $u + v \in \mathrm{GL}(E)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 398]
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Soit $M \in \M_n(\C)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $M$ pour que l'application $f\colon A \in \M_n(\C) \mapsto AM + MA \in \M_n(\C)$ soit bijective.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 399]
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Soit
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$$M \in \M_n(\C)$$
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. On pose $\exp(M) = \sum_{k=0}^{+\i} \frac{M^k}{k!}$.
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1. Justifier que cette définition est pertinente.
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1. On suppose que $M$ s'écrit $M = I_n + A$ où $A$ est nilpotente. Montrer qu'il existe $P \in \C[X]$ tel que $M = \exp(P(M))$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 400]
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.
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Pour
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$$v \in \R^n \setminus \{0\}$$
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, on pose $H_v = I_n - 2 \frac{vv^T}{\|v\|^2}$.
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1. Donner une interprétation géométrique de $H_v$.
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1. Montrer que, pour tout vecteur unitaire $e \in v^{\perp}$, on a $H_{v-\|v\|e}(v) = \|v\|e$.
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1. Soit $A \in GL_n(\R)$. Donner un algorithme permettant de trouver $Q \in \mc{O}_n(\R)$ et $R \in \M_n(\R)$ triangulaire supérieure à coefficients diagonaux \gt 0 telles que $A$ = QR.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 401]
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Soient $E = \db{1,n]\!]$ et $A_1,\ldots,A_m$ des parties distinctes de $E$ telles qu'il existe $c \in \N^*$ vérifiant : $\forall (i,j) \in [\![1,n]\!]^2, i \neq j, \Rightarrow \op{Card}(A_i \cap A_j) = c$. Montrer que $m \leq n$. Ind. Considérer d'abord le cas où il existe $i$ tel que $\op{card}(A_i) = c$. Ensuite pour $i \in [\![1,m}$,
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$$\op{poser} v_i = \begin{pmatrix} \mathbf{1}_{A_i}(1) \\ \vdots \\ \mathbf{1}_{A_i}(n) \end{pmatrix} \in \M_{n,1}(\R) \text{ et considérer } G = (\langle v_i, v_j \rangle)_{1 \leq i,j \leq m}$$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 402]
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Soient $n, p \ge 2$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $E$ un sousespace vectoriel de $\R^n$ et $b \in \R^n$.
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1. Montrer que $\inf\{||x-b||, x \in E\}$ est atteint en un unique point de $E$.
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1. Soit $A \in \M_{n,p}(\R)$. Montrer que $\inf\{\|Ax b\|, x \in \R^p\}$ est atteint. Si $x_1$ et $x_2$ sont deux points en lesquels le minimum est atteint, montrer que $x_2 x_1 \in \op{Ker} A$.
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1. Résoudre l'équation $A^T A x = A^T b$ d'inconnue $x \in \R^p$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 403]
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Soit
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$$H \in \mc{S}_n(\R)$$
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.a) Montrer qu'il existe des réels distincts $\lambda_1, \ldots, \lambda_k$ et des matrices de projecteurs orthogo-
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naux $P_1, \ldots, P_k$ de $\R^n$ tels que : $\sum_{i=1}^k P_i = I_n, P_i P_j = 0$ si $i \neq j$ et $H = \sum_{i=1}^k \lambda_i P_i$.
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1. Soit $R \in \mc{S}_n^+(\R)$ tel que $\op{tr}(R) = 1$. On pose $p_i = \op{tr}(RP_i)$ pour $1 \leq i \leq k$.
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Montrer que $(p_1, \ldots, p_k)$ est une loi de probabilité sur $\{1, 2, \ldots, k\}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 404]
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Soient $A, B \in S_n^{++}(\R)$. Montrer que $\det^{1/n}(A+B) \geq \det^{1/n}(A) + \det^{1/n}(B)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 405]
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Soient $M_1, \ldots, M_n \in \M_p(\R)$ telles que $\sum_{i=1}^n M_i^T M_i = I_p$.
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Pour $X \in \M_p(\R)$, on pose $L(X) = \sum_{i=1}^n M_i^T X M_i$.
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On écrit $M \geq N$ pour signifier $M - N \in \mc{S}_n^+(\R)$. Montrer que $L(X^TX) \geq L(X^T)L(X)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 406]
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Soient $d \in \N^*$ ainsi que $A \in \mc{S}_d^{++}(\R)$. On définit la suite $(A_n)_{n \in \N}$ par $A_0 = A$ et, pour $n \in \N, \ A_{n+1} = A_n + A_n^{-2}$. Donner un équivalent de $\op{tr} A_n$ lorsque $n \ra +\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 407]
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1. Soit $(u_1,\ldots,u_k)\in(\R^n)^k$. Montrer que l'on peut renuméroter les $u_i$ pour qu'il existe $\alpha \in [1, k]$ tel que la famille $(u_1, \dots, u_\alpha)$ soit libre et $u_j \in \text{Vect}(u_1, \dots, u_\alpha) = E$
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pour tout $j \in [\alpha + 1, k]$.
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1. Soit $U = (u_1 | \cdots | u_\alpha) \in \M_{n,\alpha}(\R)$. Montrer que $U^T U$ est inversible.
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$c$. Soient
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$$\beta \geq \alpha + 1$$
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et $B = \begin{pmatrix} \langle u_{\beta}, u_1 \rangle \\ \vdots \\ \langle u_{\beta}, u_{\alpha} \rangle \end{pmatrix}$. Montrer que la solution de $U^TUX = B$ donne
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les coordonnées de $u_{\beta}$ dans la base $(u_1, \ldots, u_{\alpha})$ de $E$.
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$d$. Soit $(v_1, \ldots, v_k) \in (\R^n)^k$ telle que : $\forall (i,j) \in \db{1,k}^2, \langle u_i, u_j \rangle = \langle v_i, v_j \rangle$. Montrer qu'il existe $W \in \mc{O}_n(\R)$ telle que : $\forall i \in [1, k], Wv_i = u_i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 408]
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1. Soit $A \in \M_n(\R)$. Montrer que $A \in \mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement s'il existe $k \in \N^*$ et
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$B \in \M_{k,n}(\R)$ tels que $A = B^T B$.
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Soient $n \geq 2$ et $\mc{L}$ un endomorphisme de $\M_n(\R)$. Soit $k \in \N^*$.
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Pour $A \in \M_{kn}(\R)$ que l'on écrit $A = \begin{pmatrix} A_{1,1} & \dots & A_{1,k} \\ \vdots & & \vdots \\ A_{k,1} & \dots & A_{k,k} \end{pmatrix}$ où chaque bloc est une matrice de $\M_n(\R)$, on définit $\hat{\mc{L}}_k$ par $\hat{\mc{L}}_k(A) = \begin{pmatrix} \mc{L}(A_{1,1}) & \dots & \mc{L}(A_{1,k}) \\ \vdots & & \vdots \\ \mc{L}(A_{k,1}) & \dots & \mc{L}(A_{k,k}) \end{pmatrix}$.
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On dit que $\mc{L}$ est $C$.P. (complètement positif) lorsque, pour tout $k \in \N^*$ et tout $A \in \mc{S}_{nk}^+(\R)$, $\hat{\mc{L}}_k(A) \in \mc{S}_{nk}^+(\R)$.
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1. Montrer que $\mc{L}: M \in \M_n(\R) \mapsto M^T \in \M_n(\R)$ n'est pas $C$.P.
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$c$. Soit $\mc{L} \in \mc{L}(\M_n(\R))$ complètement positif. En regardant le cas k=2, montrer que, pour tout $M \in \M_n(\R), \mc{L}(M^T) = \mc{L}(M)^T$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 409]
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Soient $S, T \in \mc{S}_n(\R)$ telles que, pour tout $X \in \R^n \setminus \{0\}, X^T(S+T)X \gt 0$.
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Montrer qu'il existe une base $(e_1, \ldots, e_n)$ de $\R^n$ telle que, pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, la famille $(Se_i, Te_i)$ soit liée. Ind. Considérer $B:(X,Y)\mapsto X^T(S+T)Y$ et $M=(S+T)^{-1}S$.
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#+END_exercice
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** Analyse
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 410]
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Soit $A = \{ M \in \M_n(\R) ; \forall (i,j) \in [1,n]^2, m_{i,j} \in [0,1]^2 \}$.
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On pose $\alpha = \sup_{M \in A} (\det M)$.
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a. Montrer que $\alpha$ est un maximum.
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$b$. Montrer que ce maximum est atteint en des matrices $M$ à coefficients dans $\{-1,1\}$ telles que $\det M \gt 0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 411]
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Pour
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$$A \in \M_n(\R)$$
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, on pose $\exp(A) = \sum_{k=0}^{+\i} \frac{A^k}{k!}$.
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a. Montrer que $\exp(A)$ est bien définie. Soit $(A, B) \in \M_n(\R)^2$.
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1. Montrer que, si $A$ et $B$ commutent, alors $\exp(A+B) = \exp(A) \exp(B)$.
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$c$. Montrer que
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$$\lim_{k \ra +\i} \left( \exp\left(\frac{A}{2k}\right) \exp\left(\frac{B}{k}\right) \exp\left(\frac{A}{2k}\right) \right)^k = \exp(A+B)$$
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.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 412]
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On munit
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$$E = \left\{ f \in \mc C^0([0,1], \R), \int_0^1 f(t) dt = 0 \right\}$$
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de la norme $\| \|_{\i}$. Si $f \in E$, on pose $A(f) : x \in [0,1] \mapsto \int_0^x f(t) dt + \int_0^1 t f(t) dt$.
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a. Trouver $C$ \gt 0 tel que $\forall f \in E$, $||A(f)||_{\i} \leq C||f||_{\i}$.
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$b$. Déterminer la constante $C$ optimale.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 413]
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Soit $A \subset \R^2$. On pose
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$$Conv(A) = \left\{ \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i \; ; \; n \in \N^*, \; (x_1, \dots, x_n) \in A^n, \; (\lambda_1, \dots, \lambda_n) \in (\R^+)^n, \; \sum_{i=1}^n \lambda_i = 1 \right\}$$.
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On suppose de plus que, pour tout $(x,y) \in A^2$, il existe $\gamma: [0,1] \ra A$ continue telle que $\gamma(0)=x$ et $\gamma(1)=y$. Montrer que $\op{Conv}(A)=\bigcup_{(a,b)\in A^2}[a,b]$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 414]
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Soit $E$ un espace vectoriel normé. On dit que $(u_n) \in E^{\N}$ vérifie la propriété $C$ si : $\forall \eps \gt 0, \ \exists N \in \N, \ \forall p \geq N, \ \forall q \geq N, \ \|u_p - u_q\| \leq \eps$. On dit que $E$ vérifie la propriété $B$ si toute suite de $E$ vérifiant $C$ est convergente. On admet que $\mathbb R$ vérifie la propriété $B$. On
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pose
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$$\ell^1 = \left\{ (u_n) \in \R^{\N} ; \sum_{n \in \N} |u_n| \lt +\i \right\}$$
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. On munit $\ell^1$ de la norme définie par $||u||_1 = 0$
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$$\sum_{n=0}^{+\i} |u_n|$$
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. Montrer que $(\ell^1, || \|_1)$ vérifie la propriété $B$.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 415]
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On munit $\ell^1=\left\{u\in\R^\N,\ \sum_{n=0}^{+\i}|u_n|\lt +\i
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ight\}$ de la norme définie par $\|u\|_1=\sum_{n=0}^{+\i}|u_n|$
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et
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$$\ell^{\i} = \{u \in \R^{\N} : \exists M \in \R, \forall n \in \N, |u_n| \leq M\}$$
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de la norme définie par $||u||_{\i} = \{u \in \R^{\N} : \exists M \in \R, \forall n \in \N, |u_n| \leq M\}$
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$\sup_{n\in\N}|u_n|. \text{ Enfin, pour }(u,v)\in\ell^1\times\ell^\i, \text{ on pose }\phi_v(u)=\sum_{n=0}^{+\i}u_nv_n$.
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a. Montrer que pour tout $v \in \ell^{\i}$, $\phi_v$ est bien définie sur $\ell^1$.
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On note $D_{\ell^1}$ l'ensemble des formes linéaires sur $\ell^1$ qui sont continues.
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1. Montrer que pour tout $v \in \ell^{\i}$, $\phi_v \in D_{\ell^1}$. On pose, pour $v \in \ell^{\i}$, $\|\phi_v\| = \inf \{C \gt 0 : \forall u \in \ell^1, |\phi_v(u)| \leq C \|u\|_1 \}$.
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$c$. Montrer que $\| \|$ est une norme.
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1. Calculer $\|\phi_v\|$ pour $v \in \ell^{\i}$.
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$d$. Calculer $\|\phi_v\|$ pour $v \in \ell^{\i}$. Les question précédentes montrent que l'application $T$ de $\ell^{\i}$ dans $D_{\ell^1}$, qui à $v$ associe $\phi_v$ est une application linéaire et une isométrie
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est une application linéaire et une isométrie.
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1. Montrer que $T$ est bijective.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 416]
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1. Soit $M \in \M_2(\C)$. Montrer qu'il existe un unique $(N, D) \in \M_2(\C)^2$ tel que :
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+ $M$ = $D$ + $N$,
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+ $D$ est diagonalisable,
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+ $N$ est nilpotente, iv) ND = DN.
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1. Quels sont les points de continuité de $M \mapsto (D, N)$ ?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 417]
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Pour tout $n \geq 1$, on pose $v_n = \sum_{n=1}^{n^2} \frac{1}{n^2 + k^2}$. Déterminer la limite de $(nv_n)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 418]
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On définit $(u_n)$ par $u_0, u_1 \in \R^{+*}$ et $\forall n \in \N, \ u_{n+2} = \sqrt{u_{n+1}} + \sqrt{u_n}$. Montrer que $(u_n)$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 419]
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Soient $(a_n) \in (\R^{+*})^{\N}$ et, pour $n \in \N$, $t_n = \sqrt{a_0 + \sqrt{a_1 + \sqrt{\cdots + \sqrt{a_n}}}}$.
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1. Montrer que, si $\lim_{n \ra +\i} \sup_{k \ge n} \left\{ \frac{\ln(\ln a_k)}{k} \right\} \gt \ln 2$, alors $(t_n)$ diverge.
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1. Montrer que, si $\lim_{n \ra +\i} \sup_{k \gt n} \left\{ \frac{\ln(\ln a_k)}{k} \right\} \lt \ln 2$, alors $(t_n)$ converge.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 420]
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Soit $f\colon \R^{+*} \ra \R^{+*}$ strictement croissante, continue et telle que $f(t) \ra +\i$ quand $t \ra +\i$. Montrer que les séries de termes généraux $\frac{1}{f(n)}$ et $\frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 421]
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Soit $(u_n) \in (\R^{+*})^{\N}$. Pour $n \in \N$ on pose $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$. Montrer que $\sum u_n$ converge si et seulement si $\sum \frac{u_n}{S_n}$ converge.
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 422]
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Soient $(c_i)_{i \in \N} \in \{0,1\}^{\N}$ et $f\colon x \mapsto \sum_{i=0}^{+\i} c_i x^i$. Montrer que, si $f\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{3}{2}$, alors $f\left(\frac{1}{2}\right)$ est irrationnel.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 423]
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Soit
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$$n \in \N^*$$
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. Montrer: $\forall (x_1, \dots, x_n) \in \R^n, \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i - x_j|} \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sqrt{|x_i + x_j|}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 424]
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Soit $f\colon x \in \R^* \mapsto e^{-1/x^2}$. Montrer que $f$ admet un prolongement de classe $\mc C^{\i}$ sur $\R$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 425]
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Soit $G:[0,1]\ra\R$ telle que G(0)=G(1)=0, $G$ est continue en 1 et dérivable en 0, $G'(0)\geq 0$ et, pour tout $x\in[0,1]$, on a $G(x)=\max_{y\in[0,x]}(G(y)+G(x-y))$.
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Montrer que $G$ est nulle.
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1. Montrer $I_n \ra +\i$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 426]
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$$
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Montrer que : $\sum_{p \leq x} \frac{\ln p}{p} \geq \ln x + O(1)$. *Ind.* Considérer $\ln(n!)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 427]
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Soient $f:[0,1]\ra\R$ continue, $g:[0,1]\ra\R$ continue à valeurs positives telle $\int_0^1g=1$ et $\phi:\R\ra\R$ de classe $\mc C^2$ telle que $\phi''\geq 0$.
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Montrer:
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$$\phi\left(\int_0^1 f(x)g(x) dx\right) \leq \int_0^1 \phi(f(x)) g(x) dx$$
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.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 428]
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Soient deux réels a \lt $b$ et $f, g \in \mc C^0\left([a, b], \R^{+*}\right)$ avec $f \neq g$.
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On suppose
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$$\int_a^b f = \int_a^b g$$
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. Pour $n \in \N$, on pose $I_n = \int_a^b \frac{f^{n+1}}{g^n}$.
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a. Montrer que $(I_n)_{n\in\N}^{J_a}$ est strictement croissante.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 429]
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Soif $f \in C^2([0,1], \R^+)$ telle que f(0) = 0 et $f'' \ge 0$.
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Montrer que $\int_0^1 f(x)^2 dx \leq \int_0^1 x^2 f'(x)^2 dx$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 430]
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Soient $K: [0,1]^2 \ra \R^{+*}$ et $f,g\colon [0,1] \ra \R^{+*}$ continues telles que $: \forall x \in [0,1]$, $f(x) = \int_0^1 K(x,z)g(z)dz$ et $g(x) = \int_0^1 K(x,z)f(z)dz$. Montrer que f=g.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 431]
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Soient $L^1$ (resp. $L^2$) l'ensemble des fonctions continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb C$ intégrables (resp. de carré intégrable). Soit $f \in \mc C^1(\mathbb R,\mathbb C)$ telle que $x \mapsto x \, f(x)$ et $x \mapsto x \, f'(x)$ sont dans $L^2$.
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a. Montrer que $f \in L^2 \cap L^1$.
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1. Montrer $\lim_{x \ra \pm \i} f(x) = 0$. Montrer que $x \mapsto x f^2(x)$ est dans $L^2$
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 432]
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Soit $E$ l'ensemble des $f\in\mc C^2(\R,\R)$ telles que $x\mapsto (1+x^2)|f(x)|$, $x\mapsto (1+x^2) |f'(x)|$ et $x\mapsto (1+x^2)|f''(x)|$ soient bornées sur $\R$. Pour $t\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R,\R)$, on pose
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$A_t(f)\colon x \mapsto f'(x) + txf(x)$ et $A_t^*(f): x \mapsto -f'(x) + txf(x)$.
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1. Si $f \in E$, montrer que $\int_{\mathbb{T}^n} A_t^* (A_t(f)) f \ge 0$.
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Ind. Montrer, pour $(f,g) \in E^2$, que $\int_{\R} A_t(f) g = \int_{\R} f A_t^*(g)$.
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1. Soit $f \in E$ telle que $\int_{\R} f^2 = 1$. Montrer que $\left(\int_{-\i}^{+\i} x^2 f^2(x) dx\right) \left(\int_{-\i}^{+\i} f'^2(x) dx\right) \geq \frac{1}{4}$
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 433]
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Soit $(f_n)_{n\in\N}$ une suite de fonctions de classe $C^3$ définies de $\R$ dans $\R$.
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On suppose que $\sup_{n\in\N}\left(\sup_{x\in\R}\left|f_n^{(3)}(x)\right|\right)=c\in\R \text{ et } \lim_{n\ra+\i}\sup_{x\in\R}\left|f_n(x)\right|=0$. Montrer que $\lim_{n\ra+\i}\sup_{x\in\R}\left|f_n'(x)\right|=0 \text{ et } \lim_{n\ra+\i}\sup_{x\in\R}\left|f_n''(x)\right|=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 434]
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On admet que $\sum_{n=1}^{+\i} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}$. Soit $g\colon x \mapsto \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{+\i} \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos(nx)$.
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1. Montrer que $g$ est définie sur $\R$.
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1. Calculer $\int_{-\i}^{\i} g(x)^2 dx$.
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1. Calculer $\int_0^{\pi} (x^2 g(x))^2 dx$.
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1. Expliciter $q$ et tracer son graphe.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 435]
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Soit $f \in \mc C^{\i}(\R, \R)$. Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie par $f_0 = f$ et, pour tout $n \in \N$ et tout $x \in \R$, $f_{n+1}(x) = \int_0^x t f_n(t) dt$.
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1. Montrer que l'application $T$ qui à $f$ associe $\sum_{n=0}^{+\i} f_n$ est un endomorphisme de $\mc C^{\i}(\R,\R)$.
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1. Exprimer T(f) à l'aide de $f$.
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1. L'application $T$ est-elle injective? surjective?
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 436]
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Soit $f\colon t \mapsto (1-t)^{1-1/t}$. Cette fonction est-elle développable en série entière? Si oui déterminer le rayon de convergence et le signe des coefficients de ce développement en série entière.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 437]
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Donner le développement en série entière de $f(x) = \frac{1}{1-2x-x^2}$ et son rayon de convergence. Montrer que les coefficients sont entiers. Pouvait-on le prévoir?
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 438]
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On pose $f\colon z \mapsto \sum_{n=0}^{+\i} \frac{z^n}{2^{n(n-1)/2}}$. Montrer que $f$ n'est pas le quotient de deux polynômes.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 439]
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1. Donner le développement en série entière de $\arctan$ et montrer : $\sum_{k=0}^{+\i} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{\pi}{4}$.
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1. Pour $n \in \N^*$, on pose $S_n = 4 \sum_{i=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{2k+1}$. Montrer: $\left| \pi S_n \frac{(-1)^n}{n} \right| \leq \frac{1}{2n^3}$.
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1. Montrer que, pour $n = 5 \times 10^5$, $\pi$ et $S_n$ ont leurs 16 premières décimales communes, sauf pour la 6e.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 440]
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1. Soit $f \in \C[X]$ non constant. Soit $r$ \gt 0. On suppose que $f$ n' a pas de racine de module $r$. On note $N_r(f)$ le nombre de racines de $f$ (comptées avec multiplicité) situées dans le disque de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $N_r(f) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f'(re^{i\theta})}{f(re^{i\theta})} re^{i\theta} d\theta$.
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1. Soit $r$ \gt 0. Soient $f$ et $g$ dans $\C[X]$ tels que, pour tout $z$ de module $r$, [g(z)] \lt |f(z)|. Montrer que $f$ et f+g ont le même nombre de racines comptées avec multiplicité dans le disque de centre 0 et de rayon $r$.
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1. Application: montrer que $X^8 5X^3 + X + 2$ possède 3 racines comptées avec multiplicité dans le disque unité.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 441]
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Soit $A: \C \ra \mathrm{SL}_2(\C)$. On suppose que les coordonnées de $A$ sont sommes de séries entières de rayon $+\i$ et que $A(\R) \subset SO_2(\R)$. Montrer qu'il existe $\phi : \C \ra \C$ somme d'une série entière de rayon $+\i$ telle que $\forall z \in \C, \ A(z) = \begin{pmatrix} \cos(\phi(z)) & -\sin(\phi(z)) \\ \sin(\phi(z)) & \cos(\phi(z)) \end{pmatrix}$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 442]
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Soit $\gamma:[a,b]\ra\C$ une fonction continue. On suppose qu'il existe une subdivision $a = a_0 \lt a_1 \lt \cdots \lt a_n = b$ telle que, pour tout $k \in \{0, \ldots, n-1\}$ la restriction $\gamma_k$ de $\gamma$
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au segment $[a_k, a_{k+1}]$ est de classe $C^1$. Soit $f\colon \C \ra \C$ continue. On définit $\int_{\gamma} f(z) dz = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{a_i}^{a_{j+1}} f(\gamma_j(t)) \gamma_j'(t) dt$.
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Si $\gamma(a)=\gamma(b)$ et $f$ est développable en série entière sur $\mathbb C$, montrer que $\int_{\mathbb R} f(z)dz=0$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 443]
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1. Montrer que, pour $x$ \gt 0, $e^{-x^2} \int_0^{+\i} e^{-t^2} dt = \int_0^{+\i} x e^{-x^2(1+s^2)} ds$.
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1. En déduire la valeur de $\int_0^{+\i} e^{-t^2} dt$.
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1. Calculer $\int_0^{+\i} \cos(t^2) dt$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 444]
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1. Montrer que $\forall t \in [0,1[,\int_0^{2\pi} \frac{e^{i\theta}}{1-te^{i\theta}} d\theta = 0$.b) En déduire que
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$$\forall z \in \C, \ \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \ln|e^{i\theta} - z| d\theta = \max(0, \ln|z|)$$.
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Ind. Considérer la fonction
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$$f\colon t \mapsto \int_0^{2\pi} \ln \left( |z - te^{i\theta}| \right) d\theta$$
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.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 445]
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Pour $x \in \R$, on note $x^+ = \max(x,0)$. Soit $\widehat{f}: \xi \in \R \mapsto \int_{-\i}^{+\i} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 e^{i\xi x} dx$.
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1. Montrer que $\hat{f}$ est définie et continue sur $\R$.
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1. Pour $N \in \N$ et $x \in \R$, montrer que
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$$\frac{1}{N+1} \sum_{k=0}^N \sum_{j=-k}^k e^{ijx} = \sum_{j=-N}^N \left( 1 - \frac{|j|}{N+1} \right) e^{ijx} = \frac{1}{N+1} \left( \frac{\sin\left(\frac{N+1}{2}x\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)} \right)^2$$.
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$c$. Pour $N \in \N$ et $k \in \Z$, montrer que :
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$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2N+2} \left( \frac{\sin((N+1)x)}{\sin(\frac{x}{2})} \right)^2 e^{-ikx} dx = \left( 1 - \frac{|k|}{2N+2} \right)^+$$.
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$d$. Montrer que, uniformément en $k \in \Z$, la suite de terme général $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2N+2} \left( \frac{\sin((N+1)x)}{\sin(\frac{x}{2})} \right)^2 e^{-ikx} dx - \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{2N+2} \left( \frac{\sin((N+1)x)}{\frac{x}{2}} \right)^2 e^{-ikx} dx$
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tend vers
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$$0$$
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lorsque $N \ra +\i$. En déduire : $\forall \xi \in \R, \ \widehat{f}(\xi) = \pi \left(1 - \frac{|\xi|}{2}\right)^+$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 446]
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Soit $n \in \N^*$. Soit $A \in \M_n(\R)$.
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1. Justifier l'existence de $\exp(A) = \sum_{k=0}^{+\i} \frac{A^k}{k!}$ Ind. Montrer l'existence d'une norme $\| \ \|$
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sur $\M_n(\mathbb{K})$ pour laquelle il existe $c$ \gt 0 tel que $\forall A, B \in \M_n(\R), \|AB\| \leq c\|A\| \|B\|$.
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1. Soit $M: \R \ra \M_n(\R), t \mapsto \exp(tA)$. Montrer que $M$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R$ et calculer
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M'(t) pour tout $t \in \R$.
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1. Soit $p \in \N^*$. Soient $u : \R \ra \R^p$ continue et $B \in \M_{n,p}(\R)$. Trouver toutes les fonctions $X: \R \ra \R^n$ dérivables telles que $\forall t \in \R, X'(t) = AX(t) + Bu(t)$.
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1. Existe-t-il $P \in \R[X]$ telle que $\exp(A) = P(A)$ ?
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#+end_exercice
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#+BEGIN_exercice [X PC 2025 # 447]
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On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b \in \R^n$. On
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pose: $\forall x \in \R^n$, $J(x) = \frac{1}{2} \langle Ax, x \rangle \langle b, x \rangle$.
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1. Montrer que $J$ est strictement convexe : $\forall x \neq y \in \R^n, \forall \lambda \in \left]0,1\right[,J(\lambda x + (1-\lambda)y) \lt \lambda J(x) + (1-\lambda)J(y)$.
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1. Montrer que $\lim_{\|x\|\ra+\i} J(x) = +\i$.
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1. Montrer que $J$ atteint son minimum en l'unique point $x_0$ vérifiant $Ax_0 = b$.
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#+END_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 448]
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Soit $n\geq 2$. On pose $\Sigma=\left\{(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n\;;\;\sum_{i=1}^na_i=0\;\mathrm{et}\;\sum_{i=1}^na_i^2=1\right\}$.Maximiser $S_n = a_1 a_2 + a_2 a_3 + \cdots + a_{n-1} a_n + a_n a_1$ lorsque $(a_1, \dots, a_n)$ décrit $\Sigma$.
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#+end_exercice
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** Probabilités
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 449]
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Soit $\lambda \gt 0$. Pour $n \in \N^*$, soit $X_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mc{B}(n,\lambda/n)$. Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Montrer que, pour tout $k \in \N$, $\mathbf{P}(X_n = k) \xrightarrow[n \ra +\i]{} \mathbf{P}(X = k)$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 450]
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Soit $(a_n)_{n\in\N^*}$ une suite croissante d'entiers naturels non nuls. On tire des dés équilibrés, le $n$-ième dé admettant $a_n$ faces numérotées de 1 à $a_n$. On effectue les tirages tant que la suite des résultats est croissante. On note $p$ la probabilité de faire une infinité de tirages. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(a_n)_{n\in\N^*}$ pour que $p$ soit non nul.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 451]
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On définit pour
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$$A \in \M_n(\R)$$
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, $e^A = \sum_{k=0}^{+\i} \frac{A^k}{k!}$.
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a. Montrer que $e^A$ est bien défini.
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Ind. On pourra montrer qu'il existe une norme $\| \cdot \|$ et une constante $C$ \gt 0 telles que, pour tout $A, B \in \M_n(\R), ||AB|| \leq C||A|| ||B||$.
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On note
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$$R = \frac{1}{2}I_2$$
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, $K = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ et $H = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.
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1. Calculer, pour $s, t \in \R$, $f(s, t) = \text{Tr}(Re^{i(sR+yH)})$.
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Soit (X,Y) un couple de variables aléatoires à valeurs dans un sous-ensemble fini de $\R^2$. On note $g(s,t) = \mathbf{E}(e^{i(sX+tY)})$.
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$c$. Montrer que
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$$\forall s_1, \dots, s_m, \ t_1, \dots, t_m \in \R, \ \sum_{k=1}^m \sum_{\ell=1}^m g(s_k - s_\ell, t_k - t_\ell) \geq 0$$
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$()$
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1. On prend $s_2=s_3=t_1=t_3=\frac{2\pi}{3}$ et $t_2=s_1=0$. Montrer que $f$ ne vérifie pas $()$.
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1. Soient $H \in \mc{S}_n(\R), R \in \mc{S}_n^+(\check{\R})$ tel que $\op{Tr} R = 1$. Montrer qu'il existe une variable aléatoire réelle $X$ telle que $\forall s \in \R, \op{Tr}(Re^{isH}) = \mathbf{E}(e^{isX})$
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 452]
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Pour $n \in \N^*$, soit $S_n$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mc{B}(n,p)$.
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1. Soient $n \in \N^*$ et $s \ge 0$. Calculer $\mathbf{E}(e^{sS_n})$.
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1. Montrer que, pour tout réel a,
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$$\mathbf{P}\left(\frac{S_n}{n} \geq a\right) \leq \exp\left(-n\sup_{s\gt 0}\left(as - \ln\left(pe^s + (1-p)\right)\right)\right)$$.
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$c$. Montrer qu'il existe une fonction $H\in\mc C^0(\R^{+*},\R^{+*})$ ne dépendant pas de $n$ telle que
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$$\forall \eps \gt 0, \quad \mathbf{P}\left(\left|\frac{S_n}{n} - p\right| \geq \eps\right) \leq \exp(-nH(\eps))$$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 453]
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Une suite $(Y_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ est dite *transiente* si, pour toute partie bornée $A$ de $\N$, on a $\sum_{n\in\N}\mathbf{P}(Y_n\in A)\lt +\i$.Soient $\alpha \gt 0$ et $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes telle que, pour tout $i \in \N^*$ on ait $X_i \sim \mc{P}\left(\frac{\alpha}{i}\right)$. On pose $Y_n = X_1 + \dots + X_n$. Montrer que $(Y_n)$ est transiente.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 454]
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Une suite $(S_n)$ de variables aléatoires à valeurs dans $\N$ est dite *transiente* si, pour toute partie bornée $A$ de $\N$, on a $\sum_{n \in \N} \mathbf{P}(S_n \in A) \lt +\i$. Soit $(X_n)_{n \geq 1}$ une suite $i$.i.d. de variables
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aléatoires telle que $\mathbf{P}(X_1 = 1) = p$ et $\mathbf{P}(X_1 = -1) = 1 - p$, avec $p \in ]0,1[$. On pose $S_n = X_1 + \cdots + X_n$. Montrer que $(S_n)$ est transiente si et seulement si $p \neq 1/2$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 455]
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Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires $i$.i.d. telle que $\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et
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$$P(X_k = -1) = 1 - p$$
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. On pose $S_n = \sum_{k=1}^n X_k$, $T = \inf\{n \in \N^*, S_n = 1\}$ et $f_n = P(T = n)$.
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1. Montrer que $f_1 = p$ et que $\forall n \ge 2$, $f_n = (1-p)\sum_{k=0}^n f_{k-1}f_{n-k}$.
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1. On pose $F: x \mapsto \mathbf{E}\left(x^T 1_{T\lt +\i}\right)$. Montrer que $F(x) = px + (1-p)F(x)^2x$.
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 456]
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On considère un marcheur qui peut se situer sur $n$ sites numérotés de 1 à $n$. À chaque étape, il a une probabilité $p_{i,j}$ de sauter du site numéro $i$ au site numéro $j$.
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Pour $k \in \N$, on note $X_k$ la variable aléatoire donnant le site occupé par le marcheur à l'étape $k$ et $\mu_{k,i} = \mathbf{P}$ (le marcheur est en $i$ à l'étape k). L'application $\mu_k : i \in \db{1,n} \mapsto \mu_{k,i}$ est la loi de $X_k$.
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1. Donner les lois de $X_1$ et $X_2$ et fonction de $\mu_0$ et des $p_{i,j}$.
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1. Pour $f\colon [1, n] \ra \R$, donner $\mathbf{E}(f(X_1))$.
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On pose, pour $f \in \R^{[1,n]}$, l'application $T(f) : [1,n] \ra \R$ définie par $: T(f)(i) = \mathbf{E}(f(X_1))$ lorsque la suite $(X_n)$ vérifie $\mu_0 = \mathbf{1}_{\{i\}}$.
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On dit que la marche aléatoire est déterministe si : $\forall i \in [1, n], \ \exists j_i \in [1, n], \ p_{i,j_i} = 1$.
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1. Interpréter cette dernière définition.
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1. Montrer que la marche est déterministe si et seulement si : $\forall (f,g) \in (\R^{[1,n]})^2$, T(fg) = T(f)T(g).
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#+end_exercice
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#+begin_exercice [X PC 2025 # 457]
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Soit $n \geq 2$. On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.
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Soit $X = (X_1, \dots, X_n)^T$ un vecteur aléatoire à valeurs dans $\R^n$. On suppose que $X$ est à valeurs dans $\{V_1, \dots, V_m\}$ avec, pour $k \in [1, m]$, $\mathbf{P}(X = V_k) = p_k \gt 0$.
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1. On dit que $X$ est centrée lorsque $\mathbf{E}(X)=0$. Montrer que, si $X$ est centrée, alors $\op{rg}(V_1,\ldots,V_m)\lt m$.
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1. On dit que $X$ est centrée-réduite lorsque $\mathbf{E}(X)=0$ et que la matrice de covariance $(\op{Cov}(X_i,X_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est égale à $I_n$. Montrer que si $X$ est centrée-réduite alors $m\geq n$.
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1. On suppose que $m$ = $n$ + 1. Montrer que $X$ est centrée-réduite si et seulement si, pour tous $i \neq i$ $\langle V_i, V_j \rangle = -1$ et pour tout $i$ n = 1
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tous $i \neq j$, $\langle V_i, V_j \rangle = -1$ et, pour tout $i$, $p_i = \frac{1}{\|V_i\|^2 + 1}$.
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#+end_exercice
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* De Christophe :xens:
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#+call: get_exo(1545)
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#+BEGIN_exercice [ENS 25, ULSR]
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Une randonneuse doit choisir un emplacement pour poser sa tente. Elle dispose de $N$ emplacements distincts numérotés, qu'elle parcourt à partir du premier. Elle ne peut pas revenir en arrière, et lorsqu'elle est au niveau d'un emplacement, elle peut le comparer aux emplacements qu'elle a déjà vu. On suppose que tous les emplacements ont autant de chance d'être le meilleur. L'objectif est de s'arrêter au niveau du meilleur emplacement. But de l'exercice : trouver une stratégie maximisant les chances de réussite.
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1. Traiter le cas $N=3$.
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2. (Question donnée après avoir fini Q1) On considère la stratégie suivante : la randonneuse parcourt les $k$ premiers emplacements sans s'arrêter, et à partir du $k+1$-ième, elle s'arrête dès qu'elle en trouve un meilleur que les précédents. Quel est le meilleur $k$ (asymptotiquement)?
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. On a trois stratégies:
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- s'arrêter systématiquement en position 1,
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- s'arrêter en position 2 uniquement quand elle est meilleure que la première.
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- s'arrêter systématiquement en position 3.
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Il y a 6 possibilité équiprobables pour l'ordre de la qualité des emplacements. Il nous suffit de dénombrer.
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On est dans la situation $(i, j, k)$ si l'emplacement $i$ est le meilleur, $j$ le deuxième meilleur et $k$ le moins bon.
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- Les situations de succès de la première stratégie sont $(1,2,3)$ et $(1,3,2)$. La première stratégie est un succès avec probabilité $\frac{1}{3}$.
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- Les situations de succès de la seconde stratégie sont $(2,1,3)$ et $(2,3,1)$ et $(3,1,2)$ (on ignore la position 2 car elle est moins bonne que la première). La deuxième stratégie est un succès avec probabilité $\frac{1}{2}$.
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- Les situations de succès de la troisième stratégie sont $(3,1,2)$ et $(3,2,1)$. La troisième stratégie est un succès avec probabilité $\frac{1}{3}$.
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2. On note $s$ le classement des emplacements (le meilleur étant le mieux noté) qui nous donne une permutation de $\db{1, N }$ (on n'a pas d'ex-aequo).
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Ainsi, si le meilleur emplacement est celui de numéro $i, s(i)=N$. L'emplacement $i$ est meilleur que l'emplacement $j \neq i$ si $s(j)\gt s(j)$.
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Tous les classements sont supposés équiprobables et la probabilité que l'emplacement $i$ soit le meilleur vaut $\frac{1}{N}$ (il y a $(N-1)$ ! permutations $s$ de $\db{1, N }$ telles que $s(i)=N$).
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On suppose que l'on igore les $k$ premiers emplacements ( $k \leq N-1$) et que l'on choisit le premier emplacement meilleur que les $k$ premiers (si cela existe, sinon, on choisit le dernier emplacement et on aura perdu).
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Par formule des probabilités totales, la probabilité cherchée de l'événement $S_k$ de succès est
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$$\mathbb{P}\left(S_k\right)=\sum_{i=1}^N \mathbb{P}(s(i)=N) \mathbb{P}\left(S_k \mid s(i)=N\right)$$
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Il ne peut y avoir succès que si le meilleur emplacement est en position $i \geq k+1$ et donc
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$$\mathbb{P}\left(S_k\right)=\frac{1}{N} \sum_{i=k+1}^N \mathbb{P}\left(S_k \mid s(i)=N\right)$$
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On suppose que $s(i)=N$ et on aura un succès si le maximum parmi $s(1), \ldots, s(i-1)$ se trouve parmi les $k$ premières positions. Comme le maximum parmi les $i-1$ premiers se trouve demanière équiprobable à chaque position, la probabilité de succès sachant $s(i)=N$ est $\frac{k}{i-1}$. On a donc
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$$\mathbb{P}\left(S_k\right)=\frac{1}{N} \sum_{i=k+1}^N \frac{k}{i-1}=\frac{k}{N} \sum_{i=k}^{N-1} \frac{1}{i}$$
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Ceci est cohérent avec la question 1 : si on choisit $N=3$ et $k=1$, on obtient une probabilité $1 / 2$ de succès.
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On cherche désormais un $k \in \db{1, N }$ maximisant cette quantité. Mais comme on veut un résultat asymptotique, on cherche un résultat pour $N$ grand. Une comparaison série intégrale donne
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$$\frac{k}{N} \ln \left(\frac{N-1}{k-1}\right) \leq \mathbb{P}\left(S_k\right) \leq \frac{k}{N} \ln \left(\frac{N}{k}\right)$$
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Moralement, il s'agit de maximiser $\frac{\ln (x)}{x}$. Cette fonction est maximale en $x=e$. On peut donc estimer que la stratégie optimale utilise un entier $k$ proche de $\frac{N}{e}$. La probabilité de succès est alors proche de $\frac{1}{e}$ (dont une valeur approchée est 0.36, on a donc plus de 1 chance sur 3 d'obtenir le meilleur emplacement).
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Il est probable que l'examinateur demanderait, à ce niveau, une formalisation plus poussée.
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#+END_proof
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# ID:nil
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#+BEGIN_exercice [ENS 25, SR]
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Soit $M=\left(\begin{array}{cc}A & C \\ 0 & B\end{array}\right)$ où $A \in \M_n(\C), B \in \M_k(\C)$ et $C \in \M_{n, k}(\C)$. On écrit
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$$e^M=\left(\begin{array}{cc} * & \Phi_{A, B}(C) \\* & * \end{array}\right)$$
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1. Rappeler la valeur de chacune des étoiles.
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2. Montrer que $\Phi_{A, B}$ est linéaire.
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3. On suppose $A, B$ diagonalisables. Montrer que $\Phi_{A, B}$ est diagonalisable.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Un calcul par blocs montre que $e^M=\left(\begin{array}{cc} e^A & \Phi_{A, B}(C) \\ 0 & e^B \end{array}\right)$
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2. Une récurrence montre que $\forall p \in \N, M^k=\left(\begin{array}{cc} A^p & \sum_{j=0}^{p-1} A^j C B^{p-1-j} \\ 0 & B^p \end{array}\right)$
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et ainsi, $\Phi_{A, B}(C)=\sum_{p=0}^{\i}\left(\frac{1}{p!} \sum_{j=0}^{p-1} A^j C B^{p-1-j}\right)$
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Cette expression permet alors de prouver aisément la linéarité de $\Phi_{A, B}$.
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3. On suppose $A$ et $B$ diagonalisables. $B^T$ est aussi diagonalisable.
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On peut trouver une base $\left(X_1, \ldots, X_n\right)$ de $\R^n$ formée de vecteurs propres pour $A$ et de même ue base $\left(Y_1, \ldots, Y_k\right)$ de $\C^k$ formée de vecteurs propres pour $B^T$.
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On note $\lambda_i$ la valeur propre associée à $X_i$ et $\mu_i$ celle associée à $Y_i$. On a alors
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$$A^j\left(X_u Y_v^T\right) B^{p-1-j}=\lambda_u^j \mu_v^{p-1-j}\left(X_u Y_v^T\right)$$
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et donc
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$$\Phi_{A, B}\left(X_u Y_v^T\right)=\sum_{p=0}^{\i}\left(\frac{1}{p!} \sum_{j=0}^{p-1} \lambda_u^j \mu_v^{p-1-j}\right)\left(X_u Y_v^T\right)$$
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La famille $\left(X_u Y_v^T\right)_{u \in[1, n], v \in[1, k]}$ est de cardinal $n k=\op{dim}\left(\M_{n, k}(\C)\right)$ et composée de vecteurs propres pour $\Phi_{A, B}$.
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Pour conclure, il nous suffit de montrer que la famille est libre ou génératrice. Je montre que tout élément de la base canonique ( $E_{i, j}$) de $\M_{n, k}$ est combinaison linéaire des éléments de la famille $\left(X_u Y_v^T\right)_{u \in[1, n], v \in[1, k]}$.
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Soient $i \in \db{1, n}$ et $j \in \db{1, k }$, on a $E_{i, j}=U_i^T V_j$ où $\left(U_1, \ldots, U_n\right)$ et $\left(V_1, \ldots, V_k\right)$ sont les bases canoniques de $\C^n$ et $\C^k$. On peut décomposer $U_i$ sur les $X_u$ et $V_j$ sur les $X_v$ et on peut conclure.
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#+END_proof
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# ID:8238
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#+BEGIN_exercice [ENS SR 25]
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Montrer le caractère $C^{\i}$ sur $\R^2$ de la fonction définie par
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$$\forall x \neq y, f(x, y)=\frac{e^x-e^y}{x-y} \text { et } \forall x, f(x, x)=e^x$$
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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Posons $g\colon t \mapsto e^{t(x-y)+y} \cdot g$ est de classe $C^1$ sur $[0,1]$ et par théorème fondamental
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$$g(1)-g(0)=\int_0^1 g'(t)\dt=(x-y) \int_0^1 e^{t(x-y)+y}\dt$$
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On en déduit que pour $x \neq y$, $\displaystyle f(x, y)=\int_0^1 e^{t(x-y)+y}\dt$, expression qui reste valable si $x=y$.
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On peut alors utiliser le théorème sur les intégrales à paramètres pour justifier que $f$ admet des dérivées partielles à tout ordre en tout point de $\R^2$ et que ces dérivées partielles sont continues sur $\R^2$ (ce que je ne fais pas ici). Ceci montre que $f$ est de classe $C^{\i}$ sur $\R^2$.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice [X 2025]
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Soit $\alpha\gt 0$. On définit
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$$z_0=1 \text { et } \forall n \in \N, z_{n+1}=\frac{\alpha n+1}{\alpha(n+1)} z_n$$
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1. Montrer que $\quad\displaystyle\sum_{i=0}^n z_i \sim \alpha n z_n$.
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2. Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N}$. On note $\quad\displaystyle \mu_n=\frac{1}{n+1} \sum_{i=0}^n x_i$. On suppose que $\alpha x_n+(1-\alpha) \mu_n \ra x$. Montrer que $x_n \ra x$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. $\alpha(n+1) z_n-\alpha n z_n=z_n$ donne un télescopage.
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2. En notant $v_n$ cette suite, on peut exprimer $v_n$ en fonction de $X_n = \sum_{k=0}^n x_k$ et $X_{n-1}$. Se ramène à la question 1 (il y a des choses à faire)
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To check.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice [ENS 2025, MPI]
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Soit $E$ un espace préhilbertien de dimension infinie. Soit $K$ une partie de $E$ non vide, bornée et dont la frontière est compacte.
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Montrer que $K$ est d'intérieur vide.
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Question supplémentaire : et si on remplace l'hypothèse "préhilbertien" par "normé" ?
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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$E$ étant de dimension infinie, on peut construire une famille orthonormée infinie $\left(e_n\right)_{n \in \N}$. Supposons, par l'absurde, $K$ d'intérieur non vide. Il existe donc $a \in E$ et $r\gt 0$ tel que $\bar{B}(a, r) \subset K$. Pour $n \in \N$, l'ensemble $\left\{t \geq 0, a+t e_n \in K\right\}$ est non vide (il contient $r$) et majoré (car $K$ est borné). Il possède une borne supérieure $t_n \geq r$ et la suite $\left(t_n\right)$ est majorée (toujours car $K$ est borné).
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Pour tout $n$, on montre que $u_n=a+n e_n$ est dans la frontière de $K$. On peut en extraire une sous-suite $\left(u_{\phi(n)}\right)$ qui converge et on note $\ell \in E$ sa limite. Comme $\left(t_n\right)$ est bornée, quitte à extraire encore, on peut aussi supposer $t_{\phi(n)} \ra t \geq r$.
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On a ainsi $e_{\phi(n)} \ra \frac{1}{t}(\ell-a)$.
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En développant le carré scalaire, on a par ailleurs $\left\|e_{\phi(n)}-e_{\phi(n+1)}\right\|^2=2$ qui ne tend pas vers 0 et on a une contradiction.
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Le seul endroit où on utilise le caractère préhilbertien de $E$, c'est pour conclure à la fin (avant, on peut se contenter d'avoir une suite ( $e_n$) normée).
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Pour généraliser le résultat, il suffit de montrer que l'on peut construire une suite ( $e_n$) de vecteurs normés tels que $\forall p \neq q,\left\|e_p-e_q\right\| \geq k$ où $k\gt 0$ est une constante (indépendante de $p$ et $q$).
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On fait la construction par récurrence. On choisit pour $e_0$ un vecteur normé arbitraire (il en existe un).
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Supposons $e_0, \ldots, e_n$ construits tels que $\left\|e_k\right\|=1$ et $\forall p \neq q,\left\|e_p-e_q\right\| \geq 1$. Notons $F$ l'espace engenré par $e_0, \ldots, e_n$.
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$E$ étant de dimension finie, on peut trouver $a \in E \setminus F$. Il existe, par définition de la borne inférieure, une suite ( $b_n$) d'éléments de $F$ telle que $\left\|a-b_n\right\| \ra d(a, F)$. La suite ( $b_n$) est bien sûr bornée dans $F$ de dimension finie et on peut en extraire une sous-suite qui converge dans $F$. En notant $b \in F$ la limite de cette extraite, on a $\|a-b\|=d(a, F)\gt 0$ (puisque $F$ est fermé, cette distance est $\gt 0$).
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Posons $c=\frac{a-b}{\|a-b\|}$; on a $\|c\|=1$ et
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$$d(c, F)=\inf_{x \in F}\|c-x\|=\inf_{x \in F}\left|\frac{a-b}{\|a-b\|}-x\right|=\frac{1}{\|a-b\|} \inf_{x \in F}\|a-b-\| a-b\|x\|$$
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Quand $x$ décrit $F, b+\|a-b\| x$ décrit aussi $F$ et donc
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$$d(c, F)=\frac{1}{\|a-b\|} \inf_{x \in F}\|a-x\|=\frac{1}{\|a-b\|} d(a, F)=1$$
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On donc trouvé $c \in E$ tel que $\|c\|=1=d(c, F)$ ce qui permet la construction récurrente.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice [ENS 2025, MPI]
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Dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on définit la relation d'ordre strict $\gt : A\gt B \Longleftrightarrow A-B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$.
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Montrer que l'application $A \mapsto A^{-1}$ est décroissante sur $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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On se donne $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ telles que $A\lt B$, c'est-à-dire $\op{Sp}(B-A) \subset \R^{+*}$, et on veut montrer que $B^{-1}\lt A^{-1}$.
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Supposons que $B=I_n$. On a alors $\op{Sp}(A) \subset ] 0,1[$. Ainsi $\op{Sp}\left(A^{-1}\right) \subset ] 1,+\i [$ et donc $\op{Sp}\left(A^{-1}-I_n\right) \subset \R^{+*}$. Ceci montre que $B^{-1}\lt A^{-1}$.
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Dans le cas général, on montre aisément qu'il existe une (unique) matrice $C \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ telle que $C^2=B. A\lt B$ donne
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$$\forall X \neq 0, X^T $A$ X\lt X^T B X=(C X)^T(C X)$$
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On se donne $Y \neq 0$ et on utilise ceci avec $X=C^{-1} Y$ pour obtenir
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$$\forall Y \neq 0, Y^T\left(C^{-1} $A$ C^{-1}\right) Y\lt Y^T Y$$
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Comme $C^{-1} $A$ C^{-1}$ est définie positive, on est ramenés au premier cas et $I_n\lt C^{-1} $A$ C^{-1}$ et comme plus haut on en déduit que $B^{-1}=\left(C^{-1}\right)^2\lt A^{-1}$.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice [X 2025]
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Soit $d \in \N^*$. On note $\quad\displaystyle f\colon z \mapsto \sum_{k \leq d, k \in \Z} c_k z^k$, et on suppose que $f$ est définie sur le complémentaire d'un disque centré en 0.
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On suppose également que $c_1, \ldots, c_d \in \Q$ et qu'il existe une infinité de $z \in \Z$ tels que $f(z) \in \Z$.
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1. Montrer que $c_0 \in \Q$.
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2. Montrer que $\forall k\lt 0, c_k=0$.
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3. Autres questions non abordées.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Par hypothèse, il existe $r\gt 0$ tel que $f(z)$ existe quand $|z| \geq r$. On en déduit que $\sum\left(c_{-k} x^k\right)_{k \geq 0}$ est une série entière de rayon de convergence $\geq \frac{1}{r}\gt 0$ (la série converge si $0\lt |x|\lt 1 / r$). En particulier (la somme est continue sur $B(0,1 / r)$)
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$$\lim_{z \ra 0} \sum_{k=0}^{\i} c_{-k} z^k=0$$
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On peut trouver une suite ( $x_n$) d'entiers relatifs telle que $\left|x_n\right| \ra+\i$ et $\forall n, f\left(x_n\right) \in \Z$ c'est à dire
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$$c_d x_n^d+\cdots+c_1 x_n+\sum_{k=0}^{\i} \frac{c_{-k}}{x_n^k} \in \Z$$
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Notons $\mu$ le ppcm des dénominateurs de $c_1, \ldots, c_d$ (qui sont rationnels et s'écrivent $c_k=\frac{a_k}{b_k}$ avec $a_k \in \Z$ et $b_k \in \N^*$). On a alors
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$$\mu\left(c_d x_n^d+\cdots+c_1 x_n\right) \in \Z \text { et } \lim_{n \ra+\i} \mu \sum_{k=0}^{\i} \frac{c_{-k}}{x_n^k}=c_0 \mu$$
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$\mu \sum_{k=0}^{\i} \frac{c-k}{x_n^k}$ est ainsi le terme général d'une suite d'entiers qui converge vers $c_0 \mu$ et comme $\Z$ est fermé, $c_0 \mu \in \Z$. Ainsi $c_0 \in \Q$.
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2. On reprend les notations précédentes et, quitte à extraire et à changer $c_k$ en $(-1)^k c_k$, on peut supposer disposer d'une suite d'entiers $\left(x_n\right)_{n \in \N}$ strictement croissante et telle que $\forall n f\left(x_n\right) \in \Z$. On continue d'utiliser la notation $\mu$.
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Pour montrer la nullité des $c_k$ pour $k\lt 0$, il nous suffit de montrer que la somme $g(z)$ de la série entière $\sum\left(\mu c_{-k} x^k\right)_{k \geq 0}$ est constante (et d'utiliser l'unicité d'un DSE).
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On sait que
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$$\forall n \in \N, \sum_{k=0}^{\i} \frac{\mu c_{-k}}{x_n^k} \in \Z$$
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et qu'on a le terme général d'une suite convergente de limite $\mu c_0$. Cette suite est donc stationnaire à partir d'un certain rang. On en déduit que $g(z)-\mu c_0$ s'annule une infinité de fois. Par le principe des zéros isolés, cette fonction est nulle et les $c_{-k}$ pour $k\lt 0$ sont nuls.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice [X 2025]
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Quels sont les entiers $n \in \N^*$ tels que $\cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right) \in \Q$ ?
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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On montre tout d'abord avec une récurrence que pour tout $k \in \N$, il existe un polynôme unitaire $P_k$ de $\Z[X]$ tel que
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$$\forall x \in \R, \quad P_k(2 \cos (x))=2 \cos (k x)$$
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- C'est vrai aux rangs 0 et 1 avec $P_0=1$ et $P_1=X$.
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- On suppose le résultat vrai jusqu'à un rang $k \geq 1$ et on écrit que
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$$\cos ((k+1) x)+\cos ((k-1) x)=2 \cos (k x) \cos (x)=P_k(2 \cos (x)) \cos (x)$$
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et il suffit de poser $P_{k+1}=X P_k-P_{k-1}$.
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Soit $n$ un tel entier. $\cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right)$ est donc un rationnel et s'écrit $\frac{a}{b}$ avec $a \wedge b=1$.
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On a $P_n\left(\frac{2 a}{b}\right)=2$ et comme $P_n$ est à coefficients entiers et unitaire, on trouve des entiers $c_k$ tels que
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$$\frac{2^n a^n}{b^n}+\sum_{k=0}^{n-1} c_k \frac{2^k a_k}{b^k}=0$$
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On en déduit que
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$$2^n a_n+c_{n-1} 2^{n-1} a_{n-1} b+\cdots+c_1 2 a b^{n-1}+a_0 b^n=0$$
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$b \mid 2^n a_n$ et $b \wedge a=1$ donc $b \mid 2^n$. Il existe $k \in \db{0, n }$ tel que $b=2^k$. Si $k \geq 2, b$ est pair et tous les termes ci-dessus sauf le premier sont divisibles par $2^{n+1}$ ce qui entraîne que $a$ est multiple de 2 et contredit $a \wedge b=1$.
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Ainsi $b \in\{1,2\}$ et $2 \cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right) \in \Z$ puis $\cos \left(\frac{2 \pi}{n}\right) \in\{-1,-1 / 2,0,1 / 2,1\}$ et (facile) $n \in\{1,2,3,4,5,6\}$. On vérifie que $1,2,3,4$ et 6 conviennent (valeurs de cosinus $1,-1,-1 / 2,0,1 / 2$). Il reste à tester si $\cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right)$ est rationnel. Le lecteur montrera que $\cos \left(\frac{2 \pi}{5}\right)=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ et que $n=5$ ne convient pas.
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#+END_proof
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#+BEGIN_exercice [ENS SR 2025]
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Soit $n \in \N^*$. On note $E=\left\{A \in S_n^+(\R), \op{rg}(A)=1\right\}$.
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1. Montrer que $A \in E \Longleftrightarrow \exists U \in \R^n \setminus\{0\}, A=U U^T$.
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2. Soit $a \in C^0\left(\R^+, E\right)$. Montrer que les deux propriétés suivantes sont équivalentes :
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+ $\exists u \in C^0\left(\R^+, \R^n \setminus\{0\}\right), \forall x\gt 0, a(x)=u(x) u(x)^T$
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+ $\exists z \in C^0\left(\R^+, \R^n \setminus\{0\}\right), \forall x\gt 0, z(x)^T a(x) z(x)\gt 0$
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3. On suppose vraies les propriéts de la question 2. Soient $b\lt c$ dans $\R^+$ et $i, j \in[1, n]$. On suppose que $a_{i, i}(x)\gt 0$ et $a_{j, j}(x)\gt 0$ pour tout $x \in[b, c]$. Montrer que
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$$\exists z \in C^0\left([b, c], \R^n \setminus\{0\}\right),\left\{\begin{array}{l}
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\forall x \in[b, c], z(x)^T a(x) z(x)\gt 0 \\
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z(b)=e_i \\
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z(c)= \pm e_j
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\end{array}\right.$$
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#+END_exercice
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#+BEGIN_exercice
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On note $A=\left\{\left(a_n\right) \in \R^{\N}, \forall n \in \N, n a_{n+1}=(n+1) a_n\right\}$.
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1. Etudier $A$.
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2. Trouver les solutions sur $\interval]{-1, 1}[$ de $\quad\displaystyle (H): x(x-1) y''+3 x y'+y=0$
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#+END_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS 2025]
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Soient $\alpha \in \N^*$, ppremier impair. On dit qu'une partie $D \subset \Z / p^\alpha \Z$ est $f$ génératrice pour $f\colon \Z / p^\alpha \Z \times$ $\Z / p^\alpha \Z \ra \Z / p^\alpha \Z$ si
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$$\forall y \in \Z / p^\alpha \Z, \exists n \geq 2, \exists d_1, \ldots, d_n \in D, y: f\left(f\left(\ldots f\left(d_1, d_2\right), d_3\right) \ldots, d_n\right)$$
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1. Avec $f:(x, y) \mapsto x-y$, dénombrer les parties $D \subset \Z / p^\alpha \Z$ qui sont $f$-génératrices et de cardinal minimal.
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2. Avec $f:(x, y) \mapsto x y$, montrer qu'il n'existe aucune partie $f$-génératrice de cardinal 1.
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3. Avec $f:(x, y) \mapsto x y$, montrer qu'il existe au moins une partie $f$-génératrice de cardinal 2. On admettra que le groupe des inversibles de $\Z / p^\alpha \Z$ est cyclique.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS25, SR]
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Pour $f, g \in E=C^0([-1,1], \R)$, on note $(f \mid g)=\int_{-1}^1 f g$.
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Pour tout entier naturel $n$, on pose $\quad\displaystyle L_n=\left(X^2-1\right)^n \text { et } P_n=\frac{1}{n!2^n} L_n^{(n)}$.
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1. Rappeler pourquoi (.|.) est un produit scalaire.
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2. Montrer que pour tout $n, P_n$ est un polynôme de degré $n$. Montrer que les $P_i$ sont deux à deux orthogonaux.
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3. Montrer que $P_n$ est scindé simple à racines dans $]-1,1[$.
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4. Ecrire $P_n$ sous la forme $\sum_{k=0}^n \alpha_k(X-1)^{n-k}(X+1)$. Montrer que $(X-1)^n P\left(\frac{X+1}{X-1}\right)$ est un polynôme.
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5. Etudier la rationnalité des racines de $P_n$
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#+END_exercice
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#+BEGIN_exercice [X 2025]
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Soit $\sum\left(a_n z^n\right)$ une série entière de rayon $R\gt 0$ et de somme $f$. Soeint $p \in \N^*$ et $M \in \M_p(\C)$ telle que $\forall \lambda \in \op{Sp}(M),|\lambda|\lt R$.
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1. Montrer que $\sum\left(a_n M^n\right)$ converge.
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2. Peut-on trouver une suite $\left(a_n\right)$ telle que le résultat soit vrai pour toute matrice $M \in \M_p(\C)$ telle que $\forall \lambda \in \op{Sp}(M),|\lambda| \leq R$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_exercice [X 2025]
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On note $B_n(\R)$ l'ensemble des matrices $M \in O_n(\R)$ telles que $\op{det}(M)=1$ et $-1 \notin \op{Sp}(M)$. On note
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$$T: M \mapsto\left(I_n-M\right)\left(I_n+M\right)^{-1}$$
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1. Montrer que $T$ est bien définie sur $A_n(\R)$ et que $T\left(A_n(\R)\right) \subset B_n(\R)$.
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2. Montrer que $T\left(B_n(\R)\right) \subset A_n(\R)$.
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3. On prend $n=2$. Soit $M=\left(\begin{array}{cc}0 & -\tan (\theta) \\ \tan (\theta) & 0\end{array}\right)$ avec $|\theta|\lt \frac{\pi}{2}$. Que dire de $T(M)$ et $T^2(M)$ ?
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#+END_exercice
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#+BEGIN_exercice [ENS 2025]
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On dit qu'une matrice est de Bordaud si ses coefficients diagonaux sont exactement ses valeurs propres comptées avec multiplicité.
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1. Montrer que $A$ est semblable à une matrice de Bordaud si et
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seulement si $A$ est trigonalisable dans $\R$.
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2. Existe-t-il une matrice symétrique dans $\C$, non diagonalisable, qui est de Bordaud ?
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3. Caractériser les matrices $A$ qui sont normales, i.e. $A^T A=A A^T$, et de Bordaud.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Le polynôme caractéristique est alors scindé.
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2. Est-il possible que $\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & a\end{pmatrix}$ soit semblable à une matrice $\begin{pmatrix}a & c \\ c & a\end{pmatrix}$ ? Non, par déterminant.
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3.
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#+END_proof
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# ID:8239
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#+BEGIN_exercice [ENS 2025]
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1. Soit $n \in \N$. Soient $A, B$ diagonalisables qui commutent. Montrer que $A$ et $B$ sont codiagonalisables.
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2. Soit $\Phi: S_n^{++}(\R) \times O_n(\R) \ra G L_n(\R)$ telle que $\Phi(H, Q)=H Q$. Montrer que $\Phi$ est une bijection.
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3. Montrer que $\Phi^{-1}$ est continue.
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#+END_exercice
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# ID:nil
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#+BEGIN_exercice [X 2025]
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Trouver deux dés non biaisés tels que la probabilité de la somme soit la même que pour deux dés usuels. Les valeurs des faces sont des entiers naturels, pas forcément distincts et les dés peuvent être différents.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_exercice
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Ci-dessous, version alternative du même exercice
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Soient $f, g\colon \R \ra \R$ deux fonctions telles que:
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+ Il existe $\alpha, \beta\gt 0$ tels que $\alpha+\beta\gt 1$;
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+ Il existe $A, B\gt 0$ tels que : $\quad\displaystyle\forall x, y \in \R, \quad |f(x)-f(y)| \leq A|x-y|^\alpha, \quad |g(x)-g(y)| \leq B|x-y|^\beta$.
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Soit $S=\left\{x_0, x_1, \ldots, x_n\right\}$ avec $x_0\lt x_1\lt \cdots\lt x_n, a=x_0, b=x_n$. On définit :
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$$J_S(f, g):=\sum_{i=0}^{n-1} f\left(x_i\right)\left(g\left(x_{i+1}\right)-g\left(x_i\right)\right)$$
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1. Montrer que : $\quad\displaystyle \left|J_S(f, g)-f(a)(g(b)-g(a))\right| \leq $A$ B|2(b-a)|^{\alpha+\beta} \zeta(\alpha+\beta)$, où $\zeta$ désigne la fonction zêta de Riemann.
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2. Montrer qu'il existe une unique valeur $I \in \R$ telle que :
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$$\forall \eps\gt 0, \exists \delta\gt 0, \text { si } \max_{0 \leq i\lt n}\left|x_{i+1}-x_i\right|\lt \delta \Rightarrow\left|J_S(f, g)-I\right|\lt \eps$$
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#+END_exercice
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#+BEGIN_exercice
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Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\R$ vérifiant :
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$$\begin{array}{c} \forall x, y \in[a, b],\,|f(x)-f(y)| \leq A|x-y|^\alpha \\ |g(x)-g(y)| \leq B|x-y|^\beta \end{array}$$
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Soient $a\lt b$ et $S=\left(x_k\right)$ une subdivision de $[a, b]$ de cardinal $n$. On note :
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$$J_S(f, g)=\sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_k\right)\left(g\left(x_{k+1}\right)-g\left(x_k\right)\right)$$
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1. Montrer qu'il existe un indice $i$ entre 1 et $n-1$ tel que $x_{i+1}-x_{i-1}\lt \frac{2(b-a)}{n-1}$.
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2. Soit un tel $i$, et $S'=S \setminus\left\{x_i\right\}$. Exprimer simplement puis majorer $\left|J_S(f, g)-J_{S'}(f, g)\right|$.
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3. Montrer que $\quad\displaystyle\left|J_S(f, g)-f(a)(g(b)-g(a))\right| \leq $A$ B(2(b-a))^{\alpha+\beta} \zeta(\alpha+\beta)$.
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4. Montrer qu'il existe un réel $I$ tel que pour tout $\eps\gt 0$, il existe $\delta\gt 0$ tel que pour toute subdivision $S$ de $[a, b]$ de pas inférieur à $\delta$,
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$$\left|J_S(f, g)-I\right|\lt \eps$$
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#+END_exercice
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# ID:8240
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#+BEGIN_exercice [X 2025]
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Soit $\phi: \R[X] \ra \R[X]$ une application linéaire.
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1. Montrer qu'il existe une suite de polynômes $\left(g_n\right)_{n \geq 0}$ tels que pour tout $P \in \R[X]$, on ait : $\quad\displaystyle \phi(P)=\sum_{n=0}^{+\i} g_n \cdot P^{(n)}$.
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2. Déterminer les polynômes $g_n$ dans le cas particulier où $\quad\displaystyle \phi(P)(X)=\int_0^X P(t)\dt$.
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#+END_exercice
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# ID:8213
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#+BEGIN_exercice [X 2025]
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On pose $u_0=\frac{1}{2}$ et $\forall n, u_n=u_{n-1}(1-u_{n-1})$.
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1. Etudier la limite de $\left(u_n\right)$.
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2. Montrer que $u_n \sim \frac{1}{n}$.
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3. Montrer que $\frac{1}{u_n}-n \sim \ln (n)$.
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#+END_exercice
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#+BEGIN_proof
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1. Tend vers $0$.
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2. Considérer $\frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n}$. Élémentaire.
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3. On a $\frac{1}{u_{n+1}} - \frac{1}{u_n} = \frac{1}{u_n (1-u_n)} - \frac{1}{u_n}$
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$=\frac{1}{u_n (1-u_n)}\big(1 - (1-u_n)\big) = \frac{1}{1-u_n} = 1 + u_n + O(u_n^2)$.
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#+END_proof
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