Exercices_RMS/Exercices 2023.org

Exercices 2023

• ENS MP-MPI
• Écoles Normales Supérieures - PC
• École Polytechnique - MP - MPI
• École Polytechnique - PSI
• École Polytechnique - ESPCI - PC
• Mines - Ponts - MP - MPI
• Mines - Ponts - PSI
• Centrale - MP - MPI

/sebastien/Exercices_RMS/src/commit/9b92a7445749e96cf0d482bb63ccacc963d0bed3/%C3%89toil%C3%A9s%202023.pdf

ENS MP-MPI

Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f$ une application de $S$ dans $T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. Montrer que $|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left(\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)$.

Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de $\llbracket 1, n \rrbracket$ tels que $\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$.

1. Calculer $\sum_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.
2. Calculer $\sum_{\left.d\right|_n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F: x \in \R^+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$.
3. Montrer que $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$.

$10 \star[\mathrm{P}]$ Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la valuation $p$-adique d'un entier $n$. On pose, pour $m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout $m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$.

Soit $n$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo $n$ si et seulement si $n$ est somme de deux carrés d'entiers.

Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c:\left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la concaténation et $\ell: X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis et $\phi: A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous $a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$.

1. On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l'injectivité des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur $A^*$ par $\phi: A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi: A \ra B^*$ telle que $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$.
2. Montrer que, si $\phi$ est injective, alors $\sum_{a \in A}|B|^{-\ell(\phi(a))} \leq 1$.

1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition (1 12$)$ et le cycle $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$.
2. La transposition (1 3) et le cycle ( 1234) engendrent-ils $\mc{S}_4$ ?
3. Soient $n \in \N^*$ et $1 \leq a\lt b \leq n$ tels que $\tau=(a b)$ et $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent $\mc{S}_n$. Montrer que $b-a$ et $n$ sont premiers entre eux.
4. Montrer la réciproque de la propriété précédente.

Soit $G$ un groupe fini. Si $X$ et $Y$ sont des parties non vides de $G$, on pose $X^{-1}=\left\{x^{-1}, x \in X\right\}$ et $X Y=\{x y,(x, y) \in X \times Y\}$. Dans la suite, $X$ désigne une partie non vide de $G$.

1. On suppose que $|X X|\lt 2|X|$. Montrer que $X X^{-1}=X^{-1} X$.
2. On suppose que $\left|X X^{-1}\right|\lt \frac{3}{2}|X|$. Montrer que $X^{-1} X$ est un sous-groupe de $G$.

Soit $p$ un nombre premier. On admet qu'il existe un anneau commutatif $A$ dans lequel $p^2.1_A=0_A$ et il existe un élément inversible $x$ tel que :

• tout élément de $A$ s'écrive $P(x) x^{-k}$ pour un $P \in \Z[X]$ et un $k \in \N$;
• pour deux polynômes $P, Q$ dans $\Z[X]$ et deux entiers naturels $k, l$, l'égalité $P(x) x^{-k}=$ $Q(x) x^{-l}$ équivaut à ce que $X^k Q$ et $X^l P$ aient même réduit modulo $p^2$ (autrement dit, tous les coefficients de $X^k Q-X^l P$ sont des multiples de $p^2$).

1. Soient $P \in \Z[X]$ et $k \in \N$. Caractériser l'inversibilité de $P(x) x^{-k}$ dans $A$.
2. Montrer que le groupe multiplicatif $A^{\times}$ne possède pas de partie génératrice finie.

Soit $f \in \Z[X]$. On pose $S_q=\sum_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$ pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors $S_{q q'}=S_q S_{q'}$.

On dit qu'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : $\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un même cercle.

Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré $2 m$ tel que $\forall x \in \R \setminus \Z, \sin (n x)=(\sin x)^n P_m(\op{cotan} x)$.

1. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \op{cotan}^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)$.
2. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \frac{1}{\sin ^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)}$.
3. En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$.

1. On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que $\forall x \in \R, n P(x) P^{' '}(x) \leq(n-1) P'(x)^2$.
2. Donner un polynôme ne vérifiant pas le résultat de la question précédente, puis un polynôme non scindé le vérifiant.

Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que, pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$.

Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si

• $-P$ et $Q$ sont scindés à racines simples sur $\R$,
• $P$ et $Q$ n'ont aucune racine réelle commune,
• entre deux racines consécutives de $P$ (respectivement $Q$) il y a une unique racine de $Q$ (respectivement $P$).

Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout $\lambda, \mu \in \R^*, \lambda P+\mu Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, alors $P$ et $Q$ sont entrelacés.

Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$.

On considère $\phi:\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut $\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$.

1. Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0$ ?
2. Que dire de la réciproque?
3. Montrer que $A$ s'écrit comme $\phi(u, v)$ avec $(u, v)$ libre si et seulement si $A \in \mc{A}_4(\R)$, $\op{det}(A)=0$ et $A \neq 0$.
4. Décrire l'image et le noyau d'une telle matrice.

Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$. Montrer qu'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$ où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$.

Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit $f_g:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes :

• il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d'éléments de $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$ de $\R^2, f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$,
• il existe une droite vectorielle $L$ telle que $\left|\left\{i, L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$.

Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que $A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d'indice $m, x \in E$ tel que $f^{m-1}(x) \neq 0$.

1. Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille.
2. Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi\left(f^{m-1}(x)\right) \neq 0, W$ le sous-espace de $E^*$ engendré par $(\phi \circ$ $\left.f^i\right)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\perp}$ l'ensemble des $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\perp}, \psi(y)=0$. Montrer que $W^{\perp}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$.
3. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ soit diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme $J_k$ avec $k \in \N^*$, où $J_k \in \M_k(\mathbb{K})$ est une matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la sur-diagonale qui sont égaux à 1.

Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $d_1\left|d_2\right| \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$.

Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une norme sur $E$ pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que $\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1{ }^{-1} h_2{ }^{-1}$ commute avec $h_1$ et $h_2$. Montrer que l'espace des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et $h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$.

Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \llbracket 1, m \rrbracket^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$.

Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien, m \in \N^*, u, u_1, \ldots, u_m$ des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $\left\{x \in E ; \forall i \in \llbracket 1, m \rrbracket,\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E ;\langle u, x\rangle \leq 0\}$.

Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$ $M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer $\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$.

Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n'ont pas -1 pour valeur propre et telles que $A B$ n'ait pas 1 pour valeur propre. Montrer que $\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est antisymétrique.

Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non nécessairement distinctes. Montrer que $\forall k \in\left[1, n \rrbracket, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$.

1. Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B \in \mc{S}_n^+(\R)$ Montrer que $A B$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles.
2. Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose $f_{A, B}: X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$. Montrer que $f_{A, B}$ admet un minimum $\mu_{A, B}$ atteint en une unique matrice $M_{A, B}$. Expliciter $\mu_{A, B}$ et $M_{A, B}$.

Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ le spectre ordonné de $M$.

1. On considère $A, B \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A+B \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. Montrer que, si $i+j\lt n+2$ alors $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0$.
2. Généraliser à $A_1, \ldots, A_d \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A_1+\cdots+A_d \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. telle que $B=P^T A P$.

1. Soient $A,B\in\mc S_n^{++}$. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ telle que $B = P^T A P$.
2. Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une définition naturelle de $f(A)$ si $A \in$ $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
3. Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose $d(A, B)=\left\|\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\right\|$. Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance $\op{sur} \mc{S}_n^{++}(\R)$.
4. Soient $P \in \mathrm{GL}_n(\R), A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $d\left(P^T A P, P^T B P\right)=d(A, B)$.

On note $\lN \cdot\rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à la norme $X \mapsto \sqrt{\bar{X}^T X}$.

1. Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left\|e^{i A}-e^{i B}\right\| \leq\|A-B\|$.
2. Démontrer le même résultat sous l'hypothèse que $A$ et $B$ sont deux matrices de $\M_n(\C)$ telles que $\bar{A}^T=A$ et $\bar{B}^T=B$.

Peut-on écrire $] 0,1[$ comme réunion dénombrable disjointe de segments d'intérieurs non vides?

Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose, pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel que $0\lt a\lt 9$. On définit $P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et $P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide, d'intérieur vide et sans point isolé.

Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $d$ de $\R[X]$.

1. ose $A=\{(P, x) \in \mc{P} \times \R ; P(x)=0\} \et P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $A$ dans $\R_d[X] \times \R$.
2. On pose $B=\{P \in \mc{P} ; \forall x \in \R, P(x) \neq 0 \ou P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $B$ dans $\R_d[X]$.

Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblables les unes aux autres, \|\| une norme sur $\M_n(\C)$. On suppose que $\left\|M_k\right\| \ra+\i$. Montrer qu'il existe une matrice $N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi: \N \ra \N$ telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\left\|M_{\phi(k)}\right\|} \ra N$.

Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\lt 1$. Montrer qu'il existe une norme \|\| sur $\C^n$ telle que, pour la norme d'opérateur associée, on ait $\|A\|\lt 1$.

Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et $\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout $i \in \llbracket 1, n \rrbracket,\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$, pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$. Montrer que $A$ est inversible et que $\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x \in \R^n,\|x\|_1=1\right\} \leq \frac{1}{\eps}$.

Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive telle que, pour tout $n, u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent.

1. Si $n \geq 2$ est un entier, montrer que $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor=\sum_{j=2}^n\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor$.
2. Donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\i$ de $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor$.

On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n \geq 1$, le nombre de 3 apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de 2 soit égal à $a_n$. Montrer qu'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$.

Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si elle vérifie, pour tout entier $k \in \Z^*, \lim_{N \ra+\i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 i k \pi x_n}=0$.

1. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que la suite $(n \alpha)$ est équirépartie modulo 1.

2. Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N^*}$. On suppose que pour tout $h \in \N^*$, la suite $\left(x_{n+h}-x_n\right)_{n \in \N^*}$ est équirépartie; on veut montrer que $(x_n)$ est équirépartie modulo 1.

   1. Soit $\left(a_n\right)$ une suite de complexes de module $\leq 1$. Montrer, pour tous $N, H \in \N^*:\left|\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right|+\frac{2 H}{N}$.
   2. Montrer que $\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right| \leq \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|\sum_{h=0}^{H-1} \frac{a_{n+h}}{H}\right|^2}$.
   3. Conclure.
3. Soit $P \in \R[X]$ non constant et de coefficient dominant irrationnel. Montrer que $(P(n))_{n \geq 1}$ est équirépartie modulo 1.
4. Soit $\left(x_n\right)_{n \geq 1}$ une suite réelle équirépartie modulo 1, et $f\colon \R \ra \C$ une fonction continue 1-périodique. Montrer que $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right) \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} \int_0^1 f$.
5. On reprend les hypothèses de la question $\boldsymbol{c}$). Montrer que la distance de $P(\Z)$ à $\Z$ est nulle.

Montrer la convergence et calculer $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\ln (k)}{\ln (2)}\right\rfloor$.

On note $\ell^2(\R)$ l'ensemble des suites réelles de carré sommable indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$ ainsi qu'une suite $\left(u_k\right)_k$ d'éléments de $\ell^2(\R)$ (l'élément $u_k$ est donc noté $\left.\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}\right)$. On suppose que, pour tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général $w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers $\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$. Montrer que $\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sigma(n)}-v_n\right)^2 \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$.

Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et $q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de continuité de $f$ ?

Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et $[a, b] \subset I$ avec $a\lt b$. On suppose que $f'(a)=f'(b)$. Montrer qu'il existe $\left.c \in\right] a, b[$ tel que la tangente au graphe de $f$ en $c$ passe par le point $(a, f(a))$.

Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale.

Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$.

1. Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement inférieur à 1 comptées avec multiplicité n'est autre que $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$.
2. Soit $Q \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1 comptées avec multiplicité.

Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique c'est-à-dire telle que, pour tout $\epsilon\gt 0$, il existe $T\gt 0$ tel que : $\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \epsilon$. Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique.

1. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R^+$.
2. Montrer que $t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t f$ possède une limite quand $t \ra+\i$.

Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers.

1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*, \sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$.
2. Montrer que, pour tout $s\gt 1,\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{\Lambda(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{1}{n^s}\right)=\sum_{n \in \N^*} \frac{\ln (n)}{n^s}$.
3. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{\ln (p)}{p^s} \underset{s \ra 1+}{=} \frac{1}{s-1}+O(1)$.
4. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{1}{p^s} \underset{s \ra 1^+}{=} \ln \left(\frac{1}{s-1}\right)+O(1)$. Qu'en déduire?

Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$. Quelle est la limite de $g$ en $0^+$?

Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $]-R, R[$ telles que $\forall x \in]-R, R\left[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $]-R, R[$.

Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que $\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$ ? Montrer que $\{a \in \mathbb{U} ; \exists b \in \C, z \mapsto a z+b \in G\}$ est fini.

Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$.

1. Si $a \in \R^+$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$.
2. Si $a \in \R^{-*}$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$.

Soit, pour $x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$. Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+, f(x) \leq(a x+b) e^{-x}$.

Soit $I$ un (vrai) intervalle de $\R$. Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}\right)$. Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$.

1. Soit $g \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. Montrer que $W_r\left(g f_1, \ldots, g f_r\right)=g^r W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$.
2. On suppose que, pour tout $k \in \llbracket 1, r \rrbracket, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$ ne s'annule pas. Montrer que, pour tout $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$.
3. On suppose que $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est identiquement nul sur $I$ et que $W_{r-1}\left(f_1, \ldots, f_{r-1}\right)$ ne s'annule pas. Montrer que $\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est liée.

Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans $\R, L \in \R^{+*}$.

1. Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$.
2. On suppose que l'application $\nabla f$ est $L$-lipschitzienne.

Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$. unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$.

Soit $G$ un groupe d'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ contient une translation autre que l'identité de $\R^2$.

Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z \mapsto a z+b$ avec $a \in \mathbb{U}$ et $b \in \C$. Soit $G$ un sous-groupe de $S$ vérifiant les conditions suivantes :

• si $g \in G, g(0)$ est nul ou de module supérieur ou égal à 1 ;
• l'ensemble des $b \in \C$ tels que $z \mapsto z+b$ appartienne à $G$ contient deux éléments $\R$ linéairement indépendants.

Montrer que l'ensemble $\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \}$ est fini.

Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l'ensemble des morphismes de groupes de $(\Z / m \Z)^r$ dans $\Z / m \Z$ de la loi uniforme. Donner une expression simple de la probabilité de l'événement «le morphisme $\phi$ est surjectif».

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ?

Dans tout l'exercice, les variables aléatoires considérées sont supposées réelles, discrètes et à loi de support fini. Pour deux telles variables $X$ et $Y$, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe $f\colon \R \ra \R$.

1. Soient $X$ une variable aléatoire vérifiant les conditions de l'exercice et $f\colon \R \ra \R$ convexe. Montrer que $f(\mathbf{E}(X)) \leq \mathbf{E}(f(X))$.
2. Donner un exemple de couple $(X, Y)$ pour lequel $X \leq_c Y$ mais $X \neq Y$.
3. Montrer que si $X \leq_c Y$ alors $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(X) \leq \mathbf{V}(Y)$.
4. Montrer que $X \leq_c Y$ si et seulement si $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et

$$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mathbf{P}(Y \geq x)\dx.$$

On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \llbracket 1, N \rrbracket$, puis $u_2 \in \llbracket 1, u_1-1 \rrbracket$, et ainsi de suite jusqu'à arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note $E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$.

1. Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$.
2. Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \notin E_N\right)$.
3. Calculer $\mathbf{E}\left(\left|E_N\right|\right)$ et $\mathbf{V}\left(\left|E_N\right|\right)$.

Soient $E$ un ensemble fini, $V: E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point $a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout $b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient $b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que $f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, pour tout $n \geq 0$ :

• si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$;
• sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$.

Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins $1 / 2$.

Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et $S = \left\{ \pm e_i, 1 \leq i \leq d\right\}$, où $e_i$ désigne l'élément de $G$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la $i$-ème, égale à $\overline{1}$. Soient enfin $f\colon G \ra \R$ une fonction quelconque et $X$ une variable aléatoire uniformément distribuée sur $G$.

Montrer que $\mathbf{E}(|f(X)-\mathbf{E}(f(X))|) \leq \frac{n d}{2} \max_{s \in S} \mathbf{E}(|f(X)-f(X+s)|)$.

Écoles Normales Supérieures - PC

Soit $A$ une partie de cardinal $n$ de $\R$. On pose $B=A+A=\left\{a+a', a, a' \in A\right\}$. Montrer que $2 n-1 \leq \op{card}(B) \leq \frac{n(n+1)}{2}$. Généraliser à $B=k A=A+A+\cdots+A(k$ fois).

Soient $P_1, P_2, P_3, P_4 \in \R[X]$. Montrer qu'il n'existe aucun voisinage ouvert de 0 sur lequel on ait simultanément i) $\forall x\lt 0, P_1(x)\lt P_2(x)\lt P_3(x)\lt P_4(x)$ ii) $\forall x\gt 0, P_2(x)\lt P_4(x)\lt P_1(x)\lt P_3(x)$.

Soit $\left(X_n\right)_{n \in \N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires à valeurs dans $\N$. On suppose que $\mathbb{P}\left(X_1=0\right) \mathbb{P}\left(X_1=1\right) \neq 0$. On pose, pour $n \in \N, S_n=X_1+\cdots+X_n$. Montrer que $\mathbf{P}\left(4.$ divise $\left.S_n\right) \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{4}$.

École Polytechnique - MP - MPI

1. Montrer que l'équation $a^2-2 b^2=1$ admet une infinité de solutions $(a, b) \in \N^2$. $277^* \star a$ éterminer l'ensemble des solutions.
2. Que dire de l'ensemble des solutions de $a^2-2 b^2=-1$ ?

Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans point fixe c'est-à-dire tel que : $\forall x \in G, \phi(x)=x \Rightarrow x=1$. On note $n$ l'ordre de $\phi$; c'est le plus petit entier $n \in \N^*$ tel que $\phi^n=\mathrm{id}$.

1. Montrer que $\forall x \in G, x \phi(x) \phi^2(x) \cdots \phi^{n-1}(x)=1$.
2. Si $n=2$, que peut-on dire du groupe $G$ ? Donner un exemple.
3. Si $n=3$, montrer que, pour tout $x \in G, x$ et $\phi(x)$ commutent.

Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait $\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ?

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que $p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$.

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$.

1. Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable.
2. Montrer que $E=\op{Im} p+\op{Ker} q+(\op{Im} q \cap \op{Ker} p)$.
3. Montrer que $p \circ q$ est diagonalisable.
4. Montrer que le spectre de $p \circ q$ est inclus dans $[0,1]$.

Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où \|\| désigne la norme euclidienne canonique. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes.

• $\alpha=2$.
• $\forall n \geq 1, \forall\left(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_n\right) \in\left(S^2\right)^{3 n}, \exists p \in S^2$ tel que

$$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-b_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^\alpha $$

Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels.

1. Montrer que la matrice $A=\left(t_i t_j\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
2. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n$. Montrer que la matrice $B=\left(\min \left(t_i, t_j\right)\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
3. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq 1$. Montrer que $M=B-A \in \mc{S}_n^+(\R)$.

Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.

1. On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s'écrit comme intersection de carrés fermés.
2. On suppose $K$ non borné et $K \neq \R^2$. Donner des exemples de tels convexes. Montrer que si $K$ contient deux droites, celles-ci sont parallèles.
3. On suppose toujours $K$ non borné. Montrer que $K$ contient une demi-droite.

On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$de disques fermés de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si

• pour tous $s, t \in \R^+$distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres distincts,
• pour tous $s, t \in \R^+$tels que $s\lt t, D_s \subset D_t$.

1. Existe-t-il une telle famille?
2. Soit $A: \R^+ \ra \R^2$ une fonction $C^1$ et injective. Existe-t-il une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$vérifiant $(\mc{P})$ telle que, pour tout $t \in \R^+, A(t)$ soit le centre de $D_t$ ?
3. Le résultat subsiste-t-il si $A$ est seulement supposée continue?

Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu'il existe un $n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$.

Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives telles que la série de terme général $b_n$ converge, que la série de terme général $n a_n$ diverge et que $\sum_{n=0}^{+\i} a_n=1$.

1. Montrer qu'il existe une unique suite $\left(u_n\right)$ telle que, $\forall n \in \N, u_n=b_n+\sum_{k=0}^n u_k a_{n-k}$.
2. Montrer que $\left(u_n\right)$ est bornée.
3. Montrer que, $\mathrm{si}\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite est 0.

Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et $\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature.

Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique?

Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$.

1. Montrer que $f(x)\lt \frac{1}{x}$ pour tout $x\gt 0$.
2. Montrer que $f(x)\gt \frac{\sqrt{x^2+4}-x}{2}$ pour tout $x\gt 0$.
3. Donner un développement limité à quatre termes de $f(x)$ quand $x \ra+\i$.

Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v)=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(u-r e^{i \theta}\right)\left(v-r e^{i \theta}\right)}$.

Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair.

1. Montrer l'existence d'une suite réelle $\left(b_k\right)_{k \geq 0}$ telle que : $\forall x \in \R, \exp (P(x))=\sum_{k=0}^{+\i} b_k x^k$.
2. Montrer que les $b_k$ sont tous non nuls.

Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : $\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$.

1. Montrer que $p \leq 1 / 3$, puis que $p\lt 1 / 3$ et enfin que $p \leq 1 / 4$.
2. Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $\Phi_X: \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$. Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$.
3. En déduire que $p \leq 1 / 4$ est une condition suffisante.

Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$.

1. Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un triangle équilatéral.
2. Déterminer un équivalent de $p_n$.

École Polytechnique - PSI

Soit $(a, b) \in \R^2$ avec $a\lt b$. Montrer qu'il existe $(n, m) \in \N^2$ tel que $\left.\sqrt{n}-\sqrt{m} \in\right] a, b[$.

Soit $f\colon\left[0,+\i\left[\ra\left[0,+\i\left[....$ de classe $C^1$ et strictement croissante. On suppose que $\lim_{x \ra+\i} f(x)=+\i$. Montrer que $\sum \frac{1}{f(n)}$ converge si et seulement si $\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ converge.

École Polytechnique - ESPCI - PC

Montrer que, pour tout $n \in \N^*$, il existe $m \in \N^*$ et $\eps_1, \ldots, \eps_m \in\{-1,1\}$ tels que $n=\sum_{k=1}^m \eps_k k^2$.

Existe-t-il une suite $\left(a_k\right)_{k \in \N}$ de réels non nuls telle que, pour tout $n \in \N$, le polynôme $P_n=\sum_{k=0}^n a_k X^k$ soit scindé à racines simples dans $[0,1]$ ?

Caractériser les matrices $M \in \M_n(\C)$ qui sont somme de deux matrices diagonalisables de rang 1.

Soit $a \in \R$. On suppose que $(n\{a n !\})_{n \in \N}$ converge où on note $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ pour $x \in \R$. Montrer que $a \in \Q+\mathrm{e} \N$.

Soit $\left(u_n\right)$ une suite bornée. Montrer qu'il y a équivalence entre : (i) $\frac{1}{n} \sum_{k\lt n}\left|u_k\right| \ra 0$, (ii) il existe $A \subset \N$ tel que $\frac{1}{n}|A \cap[0, n-1]| \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} 0$ et $\lim_{n \notin A} u_n=0$.

Soit $f\colon \R \ra \R$ continue. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

• $f$ est croissante,
• pour tout intervalle $I \subset \R$ ouvert, pour toute $\phi \in \mc C^{\i}(I, \R)$, pour tout $x_0 \in I$, si $f-\phi$ admet un minimum local en $x_0$, alors $\phi'\left(x_0\right) \geq 0$.

On pose, pour $k \in \N$ avec $k \geq 2, \zeta(k)=\sum_{n=1}^{+\i} \frac{1}{n^k}$.

1. Montrer que, pour tout $x \in]-1,1\left[.$, on a $\int_0^1 \frac{1-t^x}{1-t}\dt=\sum_{k=1}^{+\i}(-1)^{k+1} \zeta(k+1) x^k$.
2. En déduire la valeur de $S=\sum_{k=1}^{+\i}(\zeta(2 k)-\zeta(2 k+1))$.

Mines - Ponts - MP - MPI

Déterminer tous les couples $(m, n) \in \N^2$ vérifiant : $3^m=8+n^2$.

Soit $P \in \R[X]$ unitaire de degré $n$. Montrer qu'il existe $k \in \llbracket 0, n \rrbracket$ tel que $|P(k)| \geq \frac{n !}{2^n}$.

Soit $P \in \C[X]$.

1. À quelle condition $P$ réalise-t-il une surjection de $\C$ sur $\C$ ?
2. À quelle condition $P$ réalise-t-il une surjection de $\R$ sur $\R$ ?
3. À quelle condition $P$ réalise-t-il une surjection de $\Q$ sur $\Q$ ?

Soit $n \in \N^*$. Calculer $\op{det}\left((i \wedge j)_{1 \leq i, j \leq n}\right)$. Ind. On rappelle que, pour $N \in \N^*, N=\sum_{d \mid N} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.

Soient $(E,\langle\rangle$,$) un espace euclidien de dimension n, v_1, \ldots, v_{n+2}$ des vecteurs de $E$. Montrer qu'on ne peut avoir : $\forall i \neq j,\left\langle v_i, v_j\right\rangle\lt 0$.

Soient $E$ un espace euclidien, $A$ une partie de $E$ et $B=\left\{\langle x, y\rangle ;(x, y) \in A^2\right\}$. Montrer que $A$ est fini si et seulement si $B$ est fini.

Soient $n \geq 2$ et $f\colon \R^n \ra \R$ continue telle que, pour tout $a \in \R, f^{-1}(\{a\})$ est compact. Montrer que $f$ admet un extremum global. Que se passe-t-il si $n=1$ ?

Pour $n \in \N^*$, on pose $D_n=\left\{d \in \N ; d \mid n.$ et $\left.\sqrt{\frac{n}{2}} \leq d \leq \sqrt{2 n}\right\}$ et $d_n=\left|D_n\right|$.

1. La suite $\left(d_n\right)_{n \geq 1}$ est-elle convergente?
2. La suite $\left(d_n\right)_{n \geq 1}$ est-elle bornée?

Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite décroissante de réels positifs. On pose, pour $n \in \N, v_n=$ $\frac{1}{1+n^2 u_n}$. Montrer que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ diverge.

Soit $f \in \mc C^2([0,1], \R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$. Montrer que $120\left(\int_0^1 f\right)^2 \leq \int_0^1\left(f^{' '}\right)^2$.

Soit $f\colon \R^n \ra \R^n$ différentiable telle que : i) pour tout $x \in \R^n, d f(x)$ est injective; ii) $\|f(x)\| \underset{\|x\| \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$. Soient $a \in \R^n$ et $g\colon x \in \R^n \mapsto\|f(x)-a\|^2$.

1. Calculer $d g$.
2. Montrer que $g$ admet un minimum.
3. En déduire que $f$ est surjective.

Mines - Ponts - PSI

Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie, $u \in \mc{L}(E)$ nilpotent, $F$ est sousespace vectoriel de $E$ tel que $u(F) \subset F$. On suppose que $E=F+\op{Im}(u)$. Montrer que $E=F$.

Centrale - MP - MPI

On admet le théorème suivant : Pour $S$ une série entière de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une série entière $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z \in \C, \exp (L(z))=S(z)$.

1. 1. Rappeler tous les modes de convergence d'une série entière sur son disque ouvert de convergence.
   2. Soient $F(z)=\sum_{n=0}^{+\i} a_n z^n$ de rayon de convergence infini et $G(z)=\op{Re}(F(z))$. Pour $n \in \N^*$, montrer que $\int_0^{2 \pi} F\left(r e^{i t}\right)\dt=2 \pi a_n R^n$, puis que $\int_0^{2 \pi} G\left(R e^{i t}\right) e^{-i n t}\dt=\pi a_n R^n$ et $\int_0^{2 \pi} G\left(R e^{i t}\right)\dt=2 \pi \op{Re}\left(a_0\right)$.
2. Montrer que, s'il existe $p$ et $q$ réels strictement positifs tels que $\forall z \in \C,|G(z)| \leq p|z|+q$, alors $F$ est un polynôme de degré au plus 1.
3. Montrer que l'application $z \mapsto z \exp (z)$ est une surjection de $\C$ sur lui-même.