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Exercices 2023

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Meta   noexport

(let replacement
  ("decrire" "décrire")
  ("equation" "équation")
  ("differe" "différe")
  ("etre" "être")
  ("reel" "réel")
  ("montrrer" "montrer")
  ("montrver" "montrer")
  ("algebre" "algèbre")
  ("devel" "dével")
  ("serie" "série")
  ("integ" "intég"))

(defun nb_unexed ()
  (let ((n 0))
    (save-excursion
      (goto-char (point-min))
    (while (go-find-unexed-exo)
      (setq n (1+ n))
      (forward-line 1))
    n)))

`(,(count-matches "\\?\\?") ,(1- (count-matches "!!")) ,(nb_unexed))

1

8

937

(defun find_bad_hash ()
  (interactive)
  (re-search-forward "[^\n ]#"))

Trying to make nougat work

L'équivalent de CUDA pour AMD :

pacman -S rocm-hip-sdk rocm-opencl-sdk

NB : Ces deux machins ont des versions optimisées de disponible également

y -S python-pytorch-rocm
y -S python-tensorflow-rocm (fails to build atm…)

From home :

y -S python-pipx
pipx install nougat-ocr

python3 -c 'import torch' 2> /dev/null && echo 'Success' || echo 'Failure'

Success

~/.local/share/pipx/venvs/nougat-ocr/bin/python3 -c 'import torch' 2> /dev/null && echo 'Success' || echo 'Failure'

Success

python3 -c 'import torch; print(torch.cuda.is_available())'

True

~/.local/share/pipx/venvs/nougat-ocr/bin/python3 -c 'import torch; print(torch.cuda.is_available())'

False

python3 -c "import torch; print(f'device name [0]:', torch.cuda.get_device_name(0))"

device name [0]: AMD Radeon RX 5700 XT

Mathpixing

• I've manually separated the exercice.
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(replace-regexp "^a)" " 1.")

(replace-regexp "^b)" " 2.")

(replace-regexp "^c)" " 3.")

(replace-regexp "^d)" " 4.")

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XENS

XENS MP

ENS MP-MPI   xens

Algèbre

Soient $S$ et $T$ des ensembles finis non vides et $f$ une application de $S$ dans $T$. On pose $X=\left\{(x, y) \in S^2, f(x)=f(y)\right\}$. Montrer que $|X| \geq \max \left(\frac{|S|^2}{|T|},\left(\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)^2+|S|-\left\lceil\frac{|S|}{|T|}\right]\right)$.

Pour le terme de gauche, il s'agit de montrer que $\sum_{y} n_y^2 \geq \frac{\big(\sum_{y} n_y\big)^2}{\sum_y 1}$, c'est Cauchy-Schwarz.

Pour le terme de droite, c'est un principe des tiroirs, puis compter pour $1$ les éléments qui ne sont pas dans le tiroir.

Soient $n \in \N^*$ et $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in \R^n$. Montrer qu'il existe $m \in \Z$ et $S$ un sous-ensemble non vide de $\db{1, n }$ tels que $\left|m-\sum_{i \in S} x_i\right| \leq \frac{1}{n+1}$.

$S$ sera un sous-ensemble d'entiers consécutifs : considérer les sommes partielles $S_0,\dots, S_n$.

Pour tout $n\in\N^*$, on note $E(n)$ la valuation $5$-adique de $\prod_{k=1}^n k^k$. Donner un équivalent de $E(n)$, quand $n\ra +\i$.

C'est $\sum_{q = 1}^{\lfloor n/5\rfloor} 5q + \sum_{q = 1}^{\lfloor n/5^2\rfloor} 25q + \dots$.

Soit $p$ un entier premier $\gt 1$. Montrer que $-1$ est un carré modulo $p$ si et seulement si $p$ est somme de deux carrés d'entiers.

Si $p$ est somme de deux carrés d'entiers, $p\equiv 1[4]$, et $a$ est un carré si et seulement si $a^{\frac{p-1}{2}}\equiv 1[p]$.

Réciproquement, si $p\mid m^2 + 1$. On peut trouver $0\lt x,y\lt \sqrt{p}$ tels que $p \mid m^2 x^2 - y^2$. On obtient alors $p\mid x^2 + y^2$.

1. Soit $p$ un nombre premier impair. Montrer que $\big(\Z/p\Z\big)^\times$ contient $(p-1)/2$ carrés.
2. Montrer que tout élément de $\Z/p\Z$ s'écrit comme la somme de deux carrés de $\Z/p\Z$.
3. Soit $n$ un entier impair. Montrer que tout élément de $\big(\Z/n\Z\big)^{\times}$ s'écrit comme somme de deux carrés. Indication : Commencer par le cas où $n$ est sans facteur carré.

Si $n\in\N^*$, on pose $H_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}$. Si $p$ est un nombre premier et si $r\in\Q^*$ s'écrit $\frac{a}{b}$ de manière irréductible, on définit la $p$-valuation $v_p(r)$ comme $v_p(a) - v_p(b)$.

1. Montrer que si $p\geq 3$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 1$.
2. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{p-1})\geq 2$.
3. Montrer que si $p\geq 5$ est premier, alors $v_p(H_{(p-1)p})\geq 1$.
4. Pour $n\in\N^*$, calculer $v_2(H_n)$.

1. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \phi(d)$ où $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.
2. Calculer $\sum\limits_{d \mid n} \mu(d)$ où $\mu$ est la fonction de Möbius définie par $\mu(1)=1, \mu(p)=-1$, $\mu\left(p^k\right)=0$ pour $k \geq 2$ si $p$ est un nombre premier et $\mu(n m)=\mu(n) \mu(m)$ si $n \wedge m=1$. On pose $F\colon x \in \R_+ \mapsto\left|\left\{\frac{p}{q} \in[0,1] ; q \leq x\right\}\right|$.
3. Montrer que $F(x) \underset{x \ra+\i}{=} \frac{3}{\pi^2} x^2+O(x \ln x)$.

1. $\sum_{d \mid n} \phi(d) = n$
2. $\sum_{d \mid n} \mu(d) = 0$, ou $1$ pour $n = 1$.
3. Par inversion de Möbius, on a $\phi(d) = \sum\limits_{d'\mid d} \mu\big(\frac{d}{d'}\big) d'$.

Soient $p, q$ deux nombres premiers distincts. On note $v_p(n)$ la valuation $p$-adique d'un entier $n$. On pose, pour $m \in \N^*, N(m)=(1-q)\left(1-q^2\right) \ldots\left(1-q^m\right)$. Trouver une constante $c\gt 0$ telle que, pour tout $m \in \N^*, v_p(N(m)) \leq c m \ln (m)$.

Relier à 423 (LTE).

On a $v_p(a^n - b^n) = v_p(a-b) + v_p(n)$ (pour $p\neq 2$).

Donc $v_p(N(m)) = \sum_{k=1}^m v_p(1 - q) + v_p(m!)$, plus formule de Legendre.

Si $X$ est un ensemble fini, on note $X^*=\bigsqcup_{k \in \N} X^k, c\colon \left(X^*\right)^2 \ra X^*$ la concaténation et $\l\colon X^* \ra \N$ la longueur. Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis et $\phi\colon A^* \ra$ $B^*$ telle que, pour tous $a, a' \in A, \phi\left(c\left(a, a'\right)\right)=c\left(\phi(a), \phi\left(a'\right)\right)$.

1. On pose $A=\{a, b, c, d\}$ et $B=\{0,1\}$. Étudier l'injectivité des applications définies sur les lettres de $A$ puis étendues sur $A^*$ par $\phi\colon A \ra B^*$ telles que $\phi(a)=0, \phi(b)=01$, $\phi(c)=10, \phi(d)=10011$, et $\psi\colon A \ra B^*$ telle que $\psi(a)=01, \psi(b)=10, \psi(c)=11$, $\psi(d)=00$.
2. Montrer que, si $\phi$ est injective, alors $\sum_{a \in A}|B|^{-\l(\phi(a))} \leq 1$.

1. La première est non injective : $0100110$ peut être lu de deux façons. La seconde l'est.
2. On note $C_N$ le nombre de choix possibles, de mots, dont la longueur totale $N$. On doit avoir $C_N\leq |B|^N$. Mais $C_N$ vérifie une relation de récurrence : $C_N = \sum_{a\in A} C_{N-\l(a}$. Donc les racines de cette récurrence doivent être $\leq |B|$, ce qui implique qu'en $|B|$ la valeur est négative, d'où le résultat.

1. Soit $n \in \N^*$. Montrer que la transposition $(1\, 2)$ et le cycle $\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent le groupe symétrique $\mc{S}_n$.
2. La transposition $(1\, 3)$ et le cycle $(1\, 2\, 3\, 4)$ engendrent-ils $\mc{S}_4$ ?
3. Soient $n \in \N^*$ et $1 \leq a\lt b \leq n$ tels que $\tau=(a b)$ et $\sigma=\left(\begin{array}{llll}1 & 2 & \cdots & n\end{array}\right)$ engendrent $\mc{S}_n$. Montrer que $b-a$ et $n$ sont premiers entre eux.
4. Montrer la réciproque de la propriété précédente.

2. Non.
3. Si $p\mid b-a \wedge n$, alors $\sigma(a) - \sigma(b)\equiv a-b[p]$.
4. Facile de se ramener à un cycle $(u\, u+1)$

Soit $G$ un groupe fini. Si $X$ et $Y$ sont des parties non vides de $G$, on pose $X^{-1}=\left\{x^{-1}, x \in X\right\}$ et $X Y=\{x y,(x, y) \in X \times Y\}$. Dans la suite, $X$ désigne une partie non vide de $G$.

1. On suppose que $|X X|\lt 2|X|$. Montrer que $X X^{-1}=X^{-1} X$.
2. On suppose que $\left|X X^{-1}\right|\lt \frac{3}{2}|X|$. Montrer que $X^{-1} X$ est un sous-groupe de $G$.

1. Si $X$ a un seul élément, ok. Sinon, alors pour tous $a, b\in X$, les ensembles $aX$ et $bX$ ne sont pas disjoints, donc il existe $u,v$ tels que $au = bv \ssi a^{-1} b = u v^{-1}$. D'où le résultat.
2. $X^{-1}X$ contient l'élément neutre, et stable par inverse. Si ce n'est pas un sous-groupe, c'est qu'il existe $u^{-1} v a^{-1} b$ qui ne s'écrit pas de cette forme. !! Quitte à translater, on peut supposer que $e\in X$. Alors $X X^{-1}$ contient tous les éléments de $X$, et leurs inverses. Au moins la moitié des éléments de $X$ ont leurs inverses dans $X$ !

Soient $A$ un anneau et $B\subset A$ finie non vide. On note $E(B) = \big|\{(a,b,c,d)\in B^4 \mid ab = cd\}\big|$. Montrer que $E(B)\geq \frac{|B|^4}{|BB|}$.

On note $x_i$ le nombre de couples qui donnent une valeur $i\in A$. Alors $E(B) = \sum x_i^2$, et $|BB| = \sum_i 1$. Cauchy-Schwarz permet de minorer par $(\sup x_i)^2$, d'où le résultat.

1. Montrer que $S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}$ et $T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ engendrent $SL_2(\Z)$.
2. Soit $m\geq 2$. Montrer que le morphisme $\pi\colon SL_2(\Z)\ra SL_2(\Z/m\Z)$ est surjectif.

Easy

Soit $p$ un nombre premier. On admet qu'il existe un anneau commutatif $A$ dans lequel $p^2.1_A=0_A$ et il existe un élément inversible $x$ tel que :

• tout élément de $A$ s'écrive $P(x) x^{-k}$ pour un $P \in \Z[X]$ et un $k \in \N$;
• pour deux polynômes $P, Q$ dans $\Z[X]$ et deux entiers naturels $k, l$, l'égalité $P(x) x^{-k}=$ $Q(x) x^{-\l}$ équivaut à ce que $X^k Q$ et $X^\l P$ aient même réduit modulo $p^2$ (autrement dit, tous les coefficients de $X^k Q-X^\l P$ sont des multiples de $p^2$).

1. Soient $P \in \Z[X]$ et $k \in \N$. Caractériser l'inversibilité de $P(x) x^{-k}$ dans $A$.
2. Montrer que le groupe multiplicatif $A^{\times}$ ne possède pas de partie génératrice finie.

!!

Soit $f \in \Z[X]$. On pose $S_q=\sum\limits_{\substack{0 \leq a\lt q \\ a \wedge q=1}} \sum\limits_{n=0}^{q-1} e^{\frac{2 i \pi a f(n)}{q}}$ pour tout $q \in \N^*$. Montrer que, si $q \wedge q'=1$, alors $S_{q q'}=S_q S_{q'}$.

Les $a\in\db{1,qq'}$ premiers avec $q$ et $q'$ sont les $bq + aq'$, avec $a$ premier avec $q$ et $b$ premier avec $q'$.

On dit qu'un ensemble $X \subset \C$ est intégrable si : $\forall(x, y) \in X^2,|x-y| \in \N$. Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe un ensemble intégrable $X$ composé de $n$ points tous sur un même cercle.

On veut que les $\sin (\frac{\theta_i - \theta_j}{2})$ soient rationnels, c'est-à-dire les $\sin \frac{\theta_i}{2} \cos \frac{\theta_j}{2} - \sin \frac{\theta_j}{2} \cos \frac{\theta_i}{2}$.

Il suffit donc de prendre les doubles d'une infinité de points rationnels sur le cercle.

Soit $z\in\C$ annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers. Soit $Q\in\Z[X]$. Montrer que $Q(z)$ est annulé par un polynôme unitaire à coefficients entiers.

!!

Soit $n=2 m+1 \geq 1$ un entier impair. Expliciter un polynôme $P_m$ de degré $2 m$ tel que $\forall x \in \R \setminus \Z, \sin (n x)=(\sin x)^n P_m(\op{cotan} x)$.

1. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \op{cotan}^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)$.
2. Donner une expression simplifiée de $\sum_{k=1}^m \frac{1}{\sin ^2\left(\frac{k \pi}{n}\right)}$.
3. En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

Easy.

Pour $n\in\N$, on pose $P_n = \sum_{k=0}^n \frac{X^k}{k!}$.

1. Montrer que $P_n$ est scindé à racines simples sur $\C$.
2. Montrer que si $n$ est impair, alors $P_n$ possède exactement une racine réelle, et qu'elle appartient à $[-n, - 1]$.
3. On suppose $n$ pair. Le polynôme $P_n$ a-t-il une racine réelle ?
4. Déterminer les variations et la convexité de $x\mapsto P_n(x)$.

Easy.

Soit $P \in \R[X]$ de degré $n \geq 1$.

1. On suppose $P$ scindé sur $\R$. Montrer que $\forall x \in \R, n P(x) P''(x) \leq(n-1) P'(x)^2$.
2. Donner un polynôme ne vérifiant pas le résultat de la question précédente, puis un polynôme non scindé le vérifiant.

2. Ajouter à un précédent.

Soit $n\in\N^*$, $P = X^n + \sum_{k=0}^{n-1}a_k X^k\in\C[X]$. On factorise $P$ sous la forme $P = \prod_{i=1}^n (X-z_i)$. Pour $k\in\N$, on note $S_k = \sum_{i=1}^n z_i^k$. Montrer que, si $k\gt n$, $S_{k} + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_0 S_{k-n} = 0$ et que, si $k\leq n$, $S_k + a_{n-1} S_{k-1} + \dots + a_{n-k+1} S_1 = - k a_{n-k}$.

Une suite d'entiers $(a_n)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme si pour tous $n,m\in\N^*$, $m-n\mid a_m - a_n$.

1. Soit $P\in\Z[X]$. Montrer que $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme.
2. Montrer que $\big(\lfloor n! e\rfloor\big)_{n\geq 1}$ est un pseudo-polynôme.
3. Trouver un polynôme $P\in\Q[X]\setminus \Z[X]$ tel que $P(\Z)\subset \Z$ et que la suite $\big(P(n)\big)_{n\geq 1}$ ne soit pas un pseudo-polynôme.

3. $\frac{n(n+1)}{2}$

Montrer que, pour tout $n \in \N$, il existe $\left(a_0, \ldots, a_n\right) \in\left(\R^{+*}\right)^{n+1}$ tel que, pour tout $\left(\eps_0, \ldots, \eps_n\right) \in\{-1,1\}^{n+1}$, le polynôme $P(X)=\sum_{k=0}^n \eps_k a_k X^k$ est scindé sur $\R$.

Easy, à relier.

Deux polynômes $P,Q\in\R[X]$ sont entrelacées si

• $-P$ et $Q$ sont scindés à racines simples sur $\R$,
• $P$ et $Q$ n'ont aucune racine réelle commune,
• entre deux racines consécutives de $P$ (respectivement $Q$) il y a une unique racine de $Q$ (respectivement $P$).

Soient $P, Q \in \R[X]$. Montrer que si, pour tout $\lambda, \mu \in \R^*, \lambda P+\mu Q$ est scindé à racines simples sur $\R$, alors $P$ et $Q$ sont entrelacés.

À relier.

Soit $P \in \C[X]$ de degré $n\gt 0$ tel que $P(0)=0$ et $P'(0)=1$. On note $D_r$ le disque complexe ouvert de centre 0 et de rayon $r$. Montrer que $D_{1 / n} \subset P\left(D_1\right)$.

$X + X^2Q(X) - z_i = 0$ avec $|z_i|\lt \frac{1}{n}$ admet toujours une racine, $\lt 1$.

Vient des relations coefficients-racines.

Pour $P\in\R[X]$, on note $\mc C_Q = \{Q\in\R[X]\mid P\circ Q = Q\circ P\}$.

On appelle suite commutante toute famille $(P_n)_{n\in\N}$ telle que $\forall n,\, \deg P_n = n$ et $\forall n,m\in\N,\, P_n\circ P_m = P_m \circ P_n$.

1. Soient $\a\in\R$ et $n\in\N$. Montrer que $\mc C(X^2 + \a)$ contient au plus un polynôme.
2. Expliciter une famille commutante telle que $P_2 = X^2$.
3. Montrer que, pour $n\in\N$, il existe $T_n\in\R[X]$ tel que $\forall x\in\R,\,\cosh(nx) = T_n(\cosh x)$.
4. Montrer que $(T_n)_{n\in\N}$ est une suite commutante.
5. Montrer que les polynômes de degré $1$ sont inversibles pour $\circ$.
6. Montrer que, pour $P$ de degré $2$, il existe $\a\in\R$ et $U\in\R[X]$ de degré $1$ unitaire tel que $P = U\circ (X^2 + \a)\circ U^{-1}$.
7. Soit $(P_n)_{n\in\N}$ une famille commutante. Montrer que, ou bien il existe $U$ de degré $1$ tel que $P_n = U\circ X^n \circ U^{-1}$, ou bien il existe $U\in\R[X]$ de degré $1$ tel que $P_n = U\circ T_n \circ U^{-1}$.

• CNS sur $n$ pour que $\Z/n\Z$ soit un corps.
• On suppose cette condition satisfaite. Combien y a-t-il de polynômes de degré $d\in\N$ fixé dans $\Z/n\Z$ ?
• Soit $p$ premier. Montrer qu'il existe des polynômes irréductibles de degré $2$ et $3$ dans $\Z/p\Z$.

• Compter les multiples.

Soit $n\in\N^*$, $\K$ un corps, et $V$ un sous-espace vectoriel de $\M_n(\K)$ dont tous les éléments sont de rang $\leq 1$. Montrer que $V$ est de dimension $\leq n$. Étudier le cas d'égalité.

Quelle est la dimension maximale d'un sous-espace vectoriel $V$ de $\M_n(\R)$ tel que pour tout $(X,Y)\in V^2$, on ait $\op{Tr} (XY) = 0$.

!!

On a $X\bot X^T$, donc la dimension de $X$ est $\leq \frac{n^2}{2}$.

Réciproquement.

Soient $A,B\in\M_n(\R)$ de même rang telles que $A^2 B = A$. Montrer que $B^2 A = B$.

En passant à la transposée, on veut montrer que $(B'A' - I_n)A' = O_n \Rightarrow (A'B'-I_n)B' = O_n$.

Mais la première relation donne que si $X\in \Im A'$, alors $B' A' X = X$. Donc $\Im B' = \Im A'$, et leurs induits sont inverses l'un de l'autre.

Soient $n\geq 1$ et $E$ une partie de $\mc P(\db{1,n})$.

1. On suppose que $E$ est stable par différence symétrique. Que dire de $C = \{\m 1_A\}$ comme partie de l'espace vectoriel $\big(\Z/2\Z\big)^n$ ?
2. On ne fait plus l'hypothèse précédente, mais on suppose que $A\cap B$ est de cardinal pair pour tous $A,B\in E$. Montrer que $|E|\leq 2^{\lfloor n/2\rfloor}$.

1. C'est un sous-espace vectoriel.
2. D'une part les cardinaux des éléments sont pairs. D'autre part les cardinaux des réunions aussi. On vérifie que si $A,B, C\in E$, alors $(A\Delta B)\cap C$ est pair. Donc on peut supposer que $E$ est stable par $\Delta$. Chaque $A\in E$ donne un élément du dual $\tilde{A}\colon B\mapsto A\cap B$, ce qui limite la dimension de $E$.

Soient $(a_1,\dots, a_n)\in\R^n$ telle que $|a_i|\geq 2$, pour tout $i\in\db{1,n}$.

1. Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $\forall i,\, a_{ii} = a_i$, $a_{ij} = 1$ si $|i-j| = 1$ et $a_{ij} = 0$ sinon. Montrer que $A$ est inversible et que son déterminant a le même signe que $\prod a_k$.
2. Montrer que la conclusion tient encore si l'on suppose $|a_{ij}|\leq 1$ si $|i-j| = 1$ au lieu de $a_{ij} = 1$.

!!

On considère $\phi:\left(\R^4\right)^2 \ra \M_4(\R)$ qui à $(u, v)$ associe la matrice dont le coefficient en $(i, j)$ vaut $\left|\begin{array}{ll}u_i & v_i \\ u_j & v_j\end{array}\right|$.

1. Que peut-on dire si $\phi(u, v)=\phi\left(u', v'\right) \neq 0$ ?
2. Que dire de la réciproque?
3. Montrer que $A$ s'écrit comme $\phi(u, v)$ avec $(u, v)$ libre si et seulement si $A \in \mc{A}_4(\R)$, $\op{det}(A)=0$ et $A \neq 0$.
4. Décrire l'image et le noyau d'une telle matrice.

Soient $a, b, m, p$ des entiers naturels tels que $a^2+b^2-p m=-1$. On pose $A=\left(\begin{array}{cc}p & a+i b \\ a-i b & m\end{array}\right)$. Montrer qu'il existe $B \in \mathrm{GL}_2(\Q(i))$ telle que $A=B^* B$ où $B^*=\bar{B}^T$. Même question avec $B$ dans $\mathrm{GL}_2(\Z[i])$.

On a une matrice hermitienne, de déterminant $1$. Donc diagonalisable ? !!

Soient $n \in \N^*, \phi_1, \ldots, \phi_n$ des formes linéaires non nulles sur $\R^2$. Pour $g \in \mathrm{SL}_2(\R)$, soit $f_g:\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in\left(\R^2\right)^n \mapsto \phi_1\left(g\left(x_1\right)\right) \times \cdots \times \phi_n\left(g\left(x_n\right)\right)$, application de $\left(\R^2\right)^n$ dans $\R$. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes :

• il existe une suite $\left(g_k\right)_{k \geq 1}$ d'éléments de $\mathrm{SL}_2(\R)$ telle que, pour tous vecteurs $x_1, \ldots, x_n$ de $\R^2, f_{g_k}\left(x_1, \ldots, x_n\right) \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$,
• il existe une droite vectorielle $L$ telle que $\left|\left\{i, L \subset \op{Ker}\left(\phi_i\right)\right\}\right|\gt \frac{n}{2}$.

Si il existe une droite $L$, en prenant $g_k = \begin{pmatrix}k & 0 \\ 0 & k^{-1}\end{pmatrix}$ selon $L$ et n'importe quel supplémentaire, ça devrait être bon.

Réciproquement, !!

Soit $G$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ de la forme $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, où $a d-b c=1$ et $a \equiv d \equiv 1-c \equiv 1 \bmod 3$. Montrer que $G$ est le sous-groupe de $\mathrm{GL}_2(\Z)$ engendré par les matrices $\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 3 & 1\end{array}\right)$

Facile ? Attention : faux pour 2.

Soit $A\in\M_n(\C)$ et $C_A\colon X\in\M_n(\C)\mapsto AX -XA$. Montrer que si la matrice $A$ est diagonalisable, alors $C_A$ l'est aussi.

Calculer les puissances de $C_A$.

Soient $A$ et $B$ deux matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$. On suppose que $A B A^{-1} B^{-1}$ commute avec $A$ et $B$. Montrer que $B A= \pm A B$.

$\Leftarrow$ Ok.

Si $ABA^{-1}B^{-1}$ commute avec un $\vect$ de dimension $2$. Si $AB = \la BA$, c'est bon. Sinon, alors le commutant de $ABA^{-1}B^{-1}$ est $\vect (I_n, C)$, donc $B = \la A + \mu I_n$, puis faire de la réduction.

Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_r$ les valeurs propres distinctes de $A$ et $\a_1,\dots, \a_r$ leurs multiplicités. On note $P_k = (X-\la_k)^{\a_k}$ et $F_k = \Ker P_k(A)$.

1. Montrer que $\C^n = \bigoplus_{i=1}^r F_i$.
2. Montrer que $P_k$ est le polynôme caractéristique de l'endomorphisme induit par $A$ sur $F_k$.
3. Montrer que $A$ se décompose en $D + N$, avec $D$ diagonalisable, $N$ nilpotente et $ND = DN$.

Easy.

Soient $A\in\M_n(\C)$ et $m$ la multiplicité de $0$ dans $\chi_A$. On suppose que $m\geq 1$. Montrer l'équivalence entre

• $\Ker A = \Ker A^2$.
• il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^m = A$.
• pour tout $k\geq 1$, il existe $M\in\M_n(\C)$ telle que $M^k = A$.

$(iii)\Rightarrow (ii)$

$(iii)\Rightarrow (i)$ est simple, via les noyaux itérés.

$(i)\Rightarrow (iii)$ : Décomposition des noyaux, on est ramené au cas $A$ inversible. !!

Soit $M\in GL_n(\Z)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\leq 1$. Montrer qu'il existe $k\geq 1$ tel que $M^k - I_n$ soit nilpotente.

Il s'agit exactement de montrer que les valeurs propres de $M$ sont des racines de l'unité.

Les $\op{Tr} M^k$ prennent un nombre fini de valeurs, et par co-approximations, on peut tendre vers $1$, donc c'est gagné.

Soit $n\geq 1$. Pour $\sigma\in\mc S_n$, on note $P_{\sigma} = \big(\delta_{i,\sigma(j)}\big)_{i,j}$ la matrice de permutation associée. On note $\mc A$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \M_n(\C)\ra\C$ telles que $\forall A,P\in \M_n(\C)\times GL_n(\C),\quad f(PAP^{-1}) = f(A)$. On note $\mc B$ l'ensemble des fonctions polynomiales $f\colon \mc D_n(\C)\ra \C$ telles que $f(P_{\sigma} D P_{\sigma}^{-1}) = f(D)$. Expliciter un isomorphisme d'algèbres de $\mc A$ sur $\mc B$.

$\mc B$ est l'ensemble des polynômes symétriques. On a une application $\mc A\ra\mc B$.

Elle est injective : si l'on coïncide sur les matrices diagonales, on coïncide sur les diagonalisables, donc par densité, sur $\M_n(\R)$.

Elle est surjective : Si $f$ est donné sur les $\mc D_n$, on montre que $f$ est entièrement déterminée par $\sigma_1,\dots,\sigma_n$. Par ailleurs, $f$ est polynomiale en les $\sigma_i$ (il faut travailler…).

Puis on peut définir $f$ sur $\M_n(\C)$, en prenant l'image des coefficients du polynôme caractéristique.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel non nul de dimension finie, $f \in \mc{L}(E)$ nilpotent d'indice $m, x \in E$ tel que $f^{m-1}(x) \neq 0$.

1. Montrer que la famille $\left(f^k(x)\right)_{0 \leq k \leq m-1}$ est libre. On note $V$ le sous-espace de $E$ engendré par cette famille.
2. Soit $\phi \in E^*$ telle que $\phi(f^{m-1}(x)) \neq 0, W$ le sous-espace de $E^*$ engendré par $(\phi \circ f^i)_{0 \leq i \leq m-1}, W^{\bot}$ l'ensemble des $y \in E$ tels que $\forall \psi \in W^{\bot}, \psi(y)=0$. Montrer que $W^{\bot}$ est un supplémentaire de $V$ dans $E$ stable par $f$.
3. Montrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $f$ soit diagonale par blocs, les blocs diagonaux étant de la forme $J_k$ avec $k \in \N^*$, où $J_k \in \M_k(\mathbb{K})$ est une matrice dont tous les coefficients sont nuls en dehors de ceux de la sur-diagonale qui sont égaux à $1$.

Soit $E$ un $\K$-ev de dimension $n\geq 1$. Un élément $u\in\mc L(E)$ est dit cyclique s'il existe $x\in E$ tel que $(u^k(x))_{0\leq k\leq n-1}$ soit une base de $E$.

1. Quels sont les endomorphismes de $E$ diagonalisables et cycliques ?
2. Montrer que si $u$ est cyclique, le commutant de $u$ est égale à $\K[u]$.
3. Montrer que si $u\in\mc L(E)$, il existe $r\in\N^*$ et des sous-espaces $E_1,\dots, E_r$ de $E$ stables par $u$ tels que $E = \bigoplus_{i=1}^r E_i$ et que, pour tout $i$, $u_{E_i}$ soit cyclique.

Ok.

Soient $r \in \N^*, d_1, \ldots, d_r$ des entiers supérieurs ou égaux à 2 tels que $d_1\left|d_2\right| \ldots \mid d_r$. Déterminer le plus petit $n \in \N^*$ tel que $\mathrm{GL}_n(\C)$ contienne un sous-groupe isomorphe à $\Z / d_1 \Z \times \cdots \times \Z / d_r \Z$.

$n = r$ convient. Réciproquement, si $G$ contient un tel groupe, on peut codiagonaliser.

Le groupe $GL_2(\Q)$ contient-il un élément d'ordre $5$ ?

Montrer qu'une racine $5$-ème de l'unité n'a pas de polynôme annulateur sur $\Q$ de degré $2$, c'est-à-dire que $1 + \dots + X^4$ est irréductible.

On note $H$ l'ensemble des matrices de $\M_2(\R)$ de trace nulle.

1. Montrer que $\forall M\in H,\, e^M\in SL_2(\R)$.
2. Montrer que $\forall M\in H,\, \tr e^M\geq -2$.
3. A-t-on $\exp(H) = SL_2(\R)$ ?
4. Montrer que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit d'une matrice de $SO_2(\R)$ et d'une matrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux $\gt 0$.
5. En déduire que toute matrice de $SL_2(\R)$ est produit de deux exponentielles de matrices de $H$.

2. C'est $\frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$
3. Non, cf question précédente.
4. Partir d'une matrice de $SL_2$, et faire le produit.
5. Antisymétrique + triangulaire.

Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, $h_1$ et $h_2$ deux éléments de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une norme sur $E$ pour laquelle $h_1$ et $h_2$ sont des isométries et que $\left[h_1, h_2\right]=h_1 h_2 h_1^{-1} h_2^{-1}$ commute avec $h_1$ et $h_2$. Montrer que l'espace des vecteurs de $E$ fixes par $h_1$ et $h_2$ admet un supplémentaire dans $E$ stable par $h_1$ et $h_2$.

On peut supposer que l'ensemble $F$ des points fixes est de dimension $1$. Donc est le noyau d'une forme linéaire $\phi$.

Notons $C$ le commutateur. On a $Ch_2 = h_1h_2 h_1^{-1}$.

Si $h_1$ et $h_2$ commutent.

Si $h_1 = h_2$. !!

Soit $A\in\M_n(\C)$ et $\la_1,\dots,\la_n$ ses valeurs propres.

1. Montrer que $\sum |\la_i|^2 \leq \sum_{i,j} |a_{ij}|^2$.
2. Montrer que $|\det A|\leq n^{n/2}\sup |a_{ij}|$.

1. !!
2. IAG probablement.

Soient $(E,\langle\rangle$) un espace euclidien, $m \in \N^*, u_1, \ldots, u_m, v_1, \ldots, v_m$ des vecteurs de $E$ tels que, pour tout $(i, j) \in \db{1, m }^2,\left\langle u_i, v_j\right\rangle=\delta_{i, j}$. On note $p$ le projecteur orthogonal de $E$ sur $\op{Vect}\left(u_1, \ldots, u_m\right)$. Montrer que $\forall x \in E, \sum_{i=1}^n\left\langle u_i, x\right\rangle\left\langle x, p\left(v_i\right)\right\rangle=\|p(x)\|^2$.

Easy, on a $\langle x, p(v_i)\rangle = \langle p(x), v_i\rangle = \langle u_i, x\rangle$.

On munit ${\R}[X]$ du produit scalaire $(P,Q)\mapsto\left\langle P,Q\right\rangle=\int_0^{+\i}P(t)Q(t)e^{-t}\, dt$. On pose $F=\text{Vect}\,(X,X^2,\ldots,X^n)$ et on note $Q$ la projection orthogonale de $1$ sur $F$.

On ecrit $Q=-\sum_{k=1}^na_kX^k$ et $P=1+\sum_{k=1}^na_k(X+1)\ldots(X+k)$.

• Déterminer $\left\langle Q-1,X^k\right\rangle$ pour $k\in\db{1,n]\!]$ et montrer que $P(k)=0$ pour $k\in[\![1,n}$.
• Calculer $\inf_{(a_1,\ldots,a_n)\in{\R}^n}\int_0^{+\i}(1+a_1x+ \cdots+a_nx^n)^2e^{-x}\,dx$.

1. Cela vaut $0$. Découle des relations intégrales.
2. Cela vaut $\langle 1-Q, 1-Q\rangle = \langle 1-Q, 1\rangle = \int (1 + \sum a_i x^i)e^{-x}\dx$. C'est une fonction des $a_i$, et la question 1 permet de conclure, peut-être.

Soient $(E,\langle\rangle)$ un espace euclidien, $m \in \N^* \et u, u_1, \ldots, u_m$ des vecteurs de $E$. Montrer que $u \in \R^+ u_1+\cdots+\R^+ u_m$ si et seulement si pour tout $x \in E$, $\left\{x \in E ; \forall i \in \db{1, m },\left\langle u_i, x\right\rangle \leq 0\right\} \subset\{x \in E ;\langle u, x\rangle \leq 0\}$.

$\Rightarrow$ : Easy.

$\Leftarrow$ : Si les vecteurs $u_i$ sont libres, on peut prendre un élément $x$ orthogonal à tous sauf $1$.

Sinon, si $u_m$ est combinaison linéaire des précédents, avec un coefficient $\lt 0$. !!

Montrer que, si $M\in\text{GL}_n({\R})$, $M$ s'ecrit d'une unique façon $QR$ avec $Q\in{\cal O}_n({\R})$ et $R\in{\cal M}_n({\R})$ triangulaire superieure a termes diagonaux dans ${\R}^{+*}$.

C'est GS.

[Rennes sur dossier] Soit $M\in{\cal M}_n({\R})$ une matrice antisymetrique et inversible.

• Que peut-on dire de l'entier $n$?
• En considerant $M^2$, montrer que $M$ admet un plan stable puis qu'il existe une matrice orthogonale $O\in{\cal O}_n({\R})$ telle que $O^TMO$ soit une matrice diagonale par blocs de la forme $\mathrm{diag}(R_{a_1},...,R_{a_k})$, avec $R_a=\begin{pmatrix}0&-a\\ a&0\end{pmatrix}$.
• Qu'en est-il si $M$ n'est plus supposee inversible?

1. pair.
2. $M^2$ est symétrique donc diagonalisable. Alors si $X$ est valeur propre, $X, MX$ est stable.
3. On rajoute le noyau.

Soit $n\geq 1$. Déterminer les matrices $A$ dans ${\cal M}_n({\R})$ telles que $A+A^k=A^T$ pour tout entier $k\geq n$.

On a $A$ et $A^T$ cotrigonalisable, donc $\la\mapsto \la + \la^k$ est une bijection sur les valeurs propres. La seule possibilité est que $A$ soit nilpotente, donc symétrique.

Soient $A \in \mc{O}_n(\R)$ et $M$ une matrice de réflexion dans $\mc{O}_{n+1}(\R)$. On pose $A'=$ $M\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & A\end{array}\right)$. Calculer $\chi_{A'}(1)$ en fonction de la première colonne de $M$ et de $\chi_A$.

$\chi_{A'}(1) = \det (I_{n+1} - M \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & A\end{pmatrix})$. !!

Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$ ayant $n$ valeurs propres distinctes. Soit $v\in{\R}^n$. On suppose que $A$ et $A+vv^T$ n'ont pas de valeur propre commune. Sous reserve d'existence, on pose $F(x)=1+v^T(A-xI_n)^{-1}v$ pour $x$ réel.

• Montrer que les zeros de $F$ sont les valeurs propres de $A+vv^T$.
• On note $\lambda_1\lt \cdots\lt \lambda_n$ les valeurs propres de $A$. Montrer que chaque intervalle $]\lambda_1,\lambda_2[$,…, $]\lambda_{n-1},\lambda_n[,]\lambda_n,+\i[$ contient exactement une valeur propre de $A+vv^T$.

!!

Soient $n\in{\N}$ impair, $M\in{\cal M}_n({\R})$ telle que, pour toute $A\in\mc A_n({\R})$, $A+M$ soit non inversible. Montrer que $M\in\mc A_n({\R})$.

Par récurrence. On considère une matrice $A = \begin{pmatrix}0 & h & 0 \\ -h & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A' \end{pmatrix}$, avec $h$ petit et $A'$ fixé. Le terme en $h^2$ est $h^2\det (M' + A')$.

Soient $A, B$ deux matrices de $\mc{O}_n(\R)$ qui n'ont pas -1 pour valeur propre et telles que $A B$ n'ait pas 1 pour valeur propre. Montrer que $\left(A-I_n\right)\left(B A-I_n\right)^{-1}\left(B-I_n\right)$ est antisymétrique.

Classique

Soit $n\in{\N}^*$. On pose $J=\begin{pmatrix}0_n&-I_n\\ I_n&0_n\end{pmatrix}$.

• Déterminer les valeurs propres de $J$ et leur multiplicite.
• Soit $A\in{\cal S}_n^{++}({\R})$. Montrer qu'il existe une matrice $B\in{\cal S}_n^{++}({\R})$ telle que $B^2=A$.
• Que peut-on dire de la matrice $BJB$?
• Lorsque $A$ est diagonale, calculer les valeurs propres de $JA$.
• Montrer plus généralement que toute valeur propre d'une matrice antisymetrique réelle est imaginaire pure.

Soit $A \in \mc{S}_n(\R)$. On note $\lambda_1 \leq \cdots \leq \lambda_n$ les valeurs propres de $A$ non nécessairement distinctes. Montrer que $\forall k \in \db{1,n}, \sum_{i=1}^k \lambda_i \leq \sum_{i=1}^k a_{i, i} \leq \sum_{i=1}^k \lambda_{n+1-i}$.

!!

1. Soient $A \in \mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B \in \mc{S}_n^+(\R)$ Montrer que $A B$ est diagonalisable à valeurs propres positives ou nulles.
2. Soient $A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. On pose $f_{A, B}: X \in \mc{S}_n^{++}(\R) \mapsto \op{Tr}(A X)+\op{Tr}\left(B X^{-1}\right)$. Montrer que $f_{A, B}$ admet un minimum $\mu_{A, B}$ atteint en une unique matrice $M_{A, B}$. Expliciter $\mu_{A, B}$ et $M_{A, B}$.

Soit $A\in{\cal S}_n({\R})$. On définit $p(A)$ comme la dimension maximale d'un sous-espace $V$ sur lequel $\forall x\in V\setminus\{0\},\,\langle Ax,x\rangle\gt 0$. On définit de meme $q(A)$ avec la condition $\langle Ax,x\rangle\lt 0$.

• Montrer que $p(A)+q(A)=\mbox{rg}\,A$.
• Montrer que, si $A$ est inversible, alors $p$ et $q$ sont constantes sur un voisinage de $A$ dans ${\cal S}_n({\R})$.
• Soit $B\in{\cal S}_n({\R})$, on suppose que $f:t\mapsto\det(A+tB)$ n'a que des racines simples sur ${\R}$. Montrer que $f$ admet au moins $|p(B)-q(B)|$ racines dans ${\R}$.

On note $\lambda_1(M)\leq\cdots\leq\lambda_n(M)$ le spectre ordonne d'une matrice $S$ de ${\cal S}_n({\R})$.

• Soient $A$ et $B$ dans ${\cal S}_n({\R})$ telles que $A+B\in{\cal S}_n^+({\R})$. Si $1\leq i,j\leq n$ et $i+j\geq n+1$, que dire du signe de $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)$

Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O - {i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset\bigcup_{i\in I}O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in[a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ verifiant $[a,x]\subset\bigcup_{j\in J}O_j$. Montrer que $X=[a,b]$.

Pour $M \in \mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(M) \leq \cdots \leq \lambda_n(M)$ le spectre ordonné de $M$.

1. On considère $A, B \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A+B \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. Montrer que, si $i+j\lt n+2$ alors $\lambda_i(A)+\lambda_j(B)\lt 0$.
2. Généraliser à $A_1, \ldots, A_d \in \mc{S}_n(\R)$ telles que $A_1+\cdots+A_d \in \mc{S}_n^{--}(\R)$. telle que $B=P^T A P$.

On note $\lN\cdot \rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\R)$ associée à la norme euclidienne. Soit $S\in\mc S_n$. On suppose que $E = \{M\in\M_n(\R)\mid S = M^T M - M M^T\}$ est non vide. On note $\gamma(S) = \inf_{M\in E}\lN M\rN^2$. Montrer que $\lN S\rN\leq \gamma(S)\leq 2\lN S\rN$.

1. Soient $A,B\in\mc S_n^{++}$. Montrer qu'il existe $P\in GL_n(\R)$ telle que $B = P^T A P$.
2. Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$. Proposer une définition naturelle de $f(A)$ si $A \in$ $\mc{S}_n^{++}(\R)$.
3. Pour $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$, on pose $d(A, B)=\left\|\ln \left(\sqrt{A^{-1}} B \sqrt{A^{-1}}\right)\right\|$. Justifier la définition, et montrer que $d$ est une distance $\op{sur} \mc{S}_n^{++}(\R)$.
4. Soient $P \in \mathrm{GL}_n(\R), A, B \in \mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $d\left(P^T A P, P^T B P\right)=d(A, B)$.

Soit $n\in\N^*$.

1. Montrer que $(X,Y)\mapsto \op{Tr} X^T Y$ est un produit scalaire sur $\M_n(\R)$. On note $\lN \cdot\rN$ la norme associée.
2. Si $M\in\M_n(\R)$, soit $L(M)\colon X\in \M_n(\R)\mapsto MX$. Montrer que $L$ est un morphisme d'algèbre injectif.
3. Soit $\lN|\cdot|\rN_2$ la norme sur $\M_n(\R)$ subordonnée à la norme euclidienne de $\R^n$, et $\lN |\cdot|\rN$ la norme sur $\mc L(\M_n(\R))$ subordonnée à $\lN\cdot\rN$. Si $M\in\M_n(\R)$, montrer que $\lN |L(M)|\rN\leq \lN|M|\rN_2$.
4. Montrer que $\lN |M^T|\rN_2 = \lN |M|\rN_2$ pour tout $M\in\M_n(\R)$.

On note $\lN \cdot\rN$ la norme d'opérateur sur $\M_n(\C)$ associée à la norme $X \mapsto \sqrt{\bar{X}^T X}$.

1. Soient $A, B$ dans $\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left\|e^{i A}-e^{i B}\right\| \leq\|A-B\|$.
2. Démontrer le même résultat sous l'hypothèse que $A$ et $B$ sont deux matrices de $\M_n(\C)$ telles que $\bar{A}^T=A$ et $\bar{B}^T=B$.

Analyse

Soit $p\gt 1$. On pose, pour $x\in\R^n$, $\lN x\rNp = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}$.

1. Montrer qu'il s'agit bien d'une norme.
2. Montrer l'inégalité de Hölder.
3. Dans $\R^2$, dessiner la boule unité de la norme $p$ pour plusieurs valeurs de $p$.

Soient $a\leq b$ deux réels, et $(O_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts de $\R$ telle que $[a,b]\subset \bigcup_i O_i$. On note $X$ l'ensemble des $x\in [a,b]$ tels qu'il existe une partie finie $J\subset I$ telle que $[a,x]\subset \bigcup_{j\in J} O_j$. Montrer que $X = [a,b]$.

Soient $K$ un compact convexe non vide d'un espace norme $E$, $f$ un endomorphism continu de $E$ tel que $f(K)\subset K$. Montrer que $f$ admet un point fixe dans $K$.

Peut-on écrire $\interval]{0, 1}[$ comme réunion dénombrable disjointe de segments d'intérieurs non vides?

Non. Par l'absurde, on fait de la dichotomie, entre des segments, dont la distance tend vers $0$, alors la limite n'appartient à aucun segment.

Pour tout réel $x$ dans $\interval[{0, 1}[$, on note $0, x_1 x_2 x_3 \ldots$ le développement décimal propre de $x$. On pose, pour tout $n \in \N^*, S_n(x)=\sum_{i=1}^n x_i$. Soit $a$ un réel tel que $0\lt a\lt 9$. On définit $P_n=\left\{x \in \interval[{0, 1}[; S_n(x) \leq n a\right\}$ et $P=\bigcap_{n \in \N^*} P_n$. Montrer que $P$ est compact, non vide, d'intérieur vide et sans point isolé.

$P$ est borné et fermé, car $S_n$ est continue inférieurement. Clairement non vide et d'intérieur vide. Si $x\in P$, en retirant $1$ a un chiffre de $x$ arbitrairement grand, on reste dans $P$. Possible sauf si $x$ est décimal, auquel cas on peut ajouter $1$.

Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$, ou $\mathbb{K}=\R$ ou $\mathbb{K}=\C$. Montrer que la classe de similitude de $A$ est fermee si et seulement si $A$ est diagonalisable sur $\C$.

• On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que :

  • pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ dont les cotes sont paralleles aux axes ;
  • les $C_i$ soient d'interieurs deux a deux disjoints ;
  • $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$.

• On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que :

  • pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de $\R^2$ ;
  • les $D_i$ soient d'interieurs deux a deux disjoints ;
  • $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$.

Soit $d \geq 1$. On note $\mc{P}$ l'ensemble des polynômes unitaires de degré $d$ de $\R[X]$.

1. ose $A=\{(P, x) \in \mc{P} \times \R ; P(x)=0\} \et P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $A$ dans $\R_d[X] \times \R$.
2. On pose $B=\{P \in \mc{P} ; \forall x \in \R, P(x) \neq 0 \ou P'(x) \neq 0\}$. Déterminer les composantes connexes par arcs de $B$ dans $\R_d[X]$.

1. Par translation, on peut passer de $(P, x)$ à $(\tilde{P}, 0)$. Alors $P = X^n + Q + \a X$, avec $\a\neq 0$. On peut ramener $Q$ à $0$, et $\a$ à $\pm 1$. Deux composantes connexes, selon le signe de $\a = P'(x)$.
2. $B$ est l'ensemble des polynômes unitaires à racines simples. Le nombre de racines simples est un invariant, et réciproquement, ces morceaux sont clairement connexes par arcs.

Soient $\left(M_k\right)_{k \geq 1}$ une suite de matrices de $\M_n(\C)$ semblables les unes aux autres, $\lN\cdot\rN$ une norme sur $\M_n(\C)$. On suppose que $\lN M_k\rN \ra+\i$. Montrer qu'il existe une matrice $N \in \M_n(\C)$ nilpotente et une extractrice $\phi\colon \N \ra \N$ telles que $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} \ra N$.

On peut extraire $\frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN}$ convergent, vers $\Pi$.

Si $\Pi$ a une valeur propre complexe $X$, comme $\lN \frac{M_{\phi(k)}}{\lN M_{\phi(k)}\rN} - \Pi\rN\leq \eps$, on a une valeur propre complexe proche de $\la$, donc $M_{\phi(k)}$ a une valeur propre qui tend vers $+\i$.

Soit $A \in \M_n(\C)$ dont toutes les valeurs propres sont de module $\lt 1$. Montrer qu'il existe une norme \|\| sur $\C^n$ telle que, pour la norme d'opérateur associée, on ait $\|A\|\lt 1$.

Trigonaliser, puis conjuguer par une matrice diagonale pour n'avoir que des petits coefficients hors de la diagonale.

Soient $A \in \M_n(\R)$, de lignes $L_1, \ldots, L_n$, et $\eps \in \R^{+*}$. On suppose que, pour tout $i \in \db{1, n },\left\|L_i\right\|_2=1$ et la distance euclidienne canonique de $L_i$ au sous-espace engendré par les $L_j$, pour $j \neq i$, est supérieure ou égale à $\eps$. Montrer que $A$ est inversible et que $\sup \left\{\left\|A^{-1} x\right\|_2 ; x \in \R^n,\|x\|_1=1\right\} \leq \frac{1}{\eps}$.

$A$ est inversible car aucune ligne n'est combinaison linéaire des autres.

Si $x = E_i$, on considère les colonnes de $A^{-1}$, notées $C_i$. On $\langle C_i, L_i\rangle = 1$ et $C_i$ orthogonal aux autres lignes, ce qui donne $\lN C_i\rN_{2}\leq \frac{1}{\eps}$, peut-être.

Ensuite, utiliser une convexité ?

On note ${\cal B}({\R})$ l'espace vectoriel des fonctions bornees de ${\R}$ dans ${\R}$, muni de la norme $\|\ \|\ \|_{\i}$. On fixe $g\in{\cal B}({\R})$ non nulle a support compact, et on note $W(g)$ l'espace vectoriel engendre par les fonctions $x\mapsto g(x-n)$, $n$ decrivant ${\Z}$. Montrer que l'ensemble des réels $t$ lets que $\left\{x\mapsto f(x-t),f\in\overline{W(g)}\right\}=\overline{W(g)}$ est un sous-groupe discret de ${\R}$.

Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$ deux suites réelles de limite 1 et $\left(u_n\right)$ une suite réelle strictement positive telle que, pour tout $n, u_{n+2}=a_{n+1} u_{n+1}+b_{n+1} u_n$. On pose, pour $n \in \N, v_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}$ et $w_n=\frac{\ln \left(u_n\right)}{n}$. Montrer que les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ convergent.

Soit $m$. On peut écrire $u_{a+n} = G_n u_a + G_{n+1} u_{a-1}\et u_{a+n+1} = G_{n+1} u_a + G_{n2} u_{a-1}$, où $G_n\tend{a\ra +\i} F_n$, ce qui devrait implique ce que l'on veut.

$w_n$ s'obtient à partir de $v_n$ par Cesàro.

1. Si $n \geq 2$ est un entier, montrer que $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor=\sum_{j=2}^n\lfloor\sqrt[j]{n}\rfloor$.
2. Donner un équivalent lorsque $n$ tend vers $+\i$ de $\sum_{k=2}^n\left\lfloor\log_k(n)\right\rfloor$, puis un développement asymptotique à deux termes.

1. Le premier compte les puissances de $k$ inférieures à $n$, dont $k^1$. Le second compte les puissances $j$-èmes inférieures à $n$.
2. En coupant la somme en $k = \sqrt{n}$, on a du $\sqrt{n} \ln n + (n-\sqrt{n})n$, d'où un équivalent à $n$. En suite, on prend l'autre expression, on retire $n$. Le premier terme est $\sqrt{n}$. Les termes non nuls correspondent à $\sqrt[j]{n}\geq 2\ssi n\geq 2^j$, donc les autres termes sont au plus en $\sqrt[3]{n} \ln n$, d'où le DSA $n + \sqrt{n} + o_{+\i}(\sqrt{n})$.

Soient $\alpha\gt 0$ et $(a - {n\in{\N}}$ une suite strictement decroissante a valeurs dans $]0,1[$. Soit $(u - {n\in{\N}}$ une suite définie par $u_0\gt 0$ et $\forall n\in{\N}$, $u_{n+1}=u_n(u_n^{\alpha}+a_n)$. Montrer qu'il existe un unique $u_0\gt 0$ tel que la suite $(u - {n\in{\N}}$ converge vers un réel strictement positif.

Soit $(u_n)$ une suite définie par $:\forall n\in{\N}^*$, $u_n=\sin(\ln n)$. On note $V$ l'ensemble des valeurs d'adherence de $(u_n)$.

• Montrer que, pour tous $x$ et $y\in{\R}$, $\sin x-\sin y=2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x+y}{2}$.
• Montrer que $u_{n+1}-u_n\to 0$.
• Montrer que $V$ est un intervalle inclus dans $[-1,1]$, puis que $V=[-1,1]$.

Si $A$ est une partie de ${\N}^*$, on dit que $A$ admet une densite si la suite $\left(\frac{|A\cap\db{1,n}|}{n}\right)_{n\geq 1}$ admet une limite. Cette limite est alors notee $d(A)$.

• Si $m\in{\N}^*$, quelle est la densite de l'ensemble des multiples de $m$ dans ${\N}^*$?
• Soient $A$ et $B$ deux parties disjointes de ${\N}^*$ admettant une densite. Montrer que $A\cup B$ admet une densite que l'on precisera.
• Donner un exemple de partie de ${\N}^*$ n'admettant pas de densite.

On considère une suite $a\in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n\geq 1$, le nombre de $3$ apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ieme occurrence de $2$ et la $(n+1)$-ieme occurrence de $2$ soit egal a $a_n$.

Étudier la convergence de la suite de terme général $\frac{1}{n}\big{|}\{k\in\db{1,n},\,a_k=3\}\big{|}$.

On considère une suite $a \in\{2,3\}^{\N^*}$ telle que $a_1=2$ et, pour tout $n \geq 1$, le nombre de 3 apparaissant dans la suite $a$ entre la $n$-ième occurrence de 2 et la $(n+1)$-ième occurrence de 2 soit égal à $a_n$. Montrer qu'il existe un unique irrationnel $\alpha$ tel que les indices $n \geq 1$ tels que $a_n=2$ soient exactement les entiers de la forme $\lfloor m \alpha\rfloor+1$ pour un $m \in \N$.

Une suite réelle $\left(x_n\right)$ est dite équirépartie modulo 1 si elle vérifie, pour tout entier $k \in \Z^*, \lim_{N \ra+\i} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N e^{2 i k \pi x_n}=0$.

1. Soit $\alpha \in \R \setminus \Q$. Montrer que la suite $(n \alpha)$ est équirépartie modulo 1.

2. Soit $\left(x_n\right) \in \R^{\N^*}$. On suppose que pour tout $h \in \N^*$, la suite $\left(x_{n+h}-x_n\right)_{n \in \N^*}$ est équirépartie; on veut montrer que $(x_n)$ est équirépartie modulo 1.

   1. Soit $\left(a_n\right)$ une suite de complexes de module $\leq 1$. Montrer, pour tous $N, H \in \N^*:\left|\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_n\right| \leq\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right|+\frac{2 H}{N}$.
   2. Montrer que $\left|\frac{1}{H} \sum_{h=0}^{H-1} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N a_{n+h}\right| \leq \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N\left|\sum_{h=0}^{H-1} \frac{a_{n+h}}{H}\right|^2}$.
   3. Conclure.
3. Soit $P \in \R[X]$ non constant et de coefficient dominant irrationnel. Montrer que $(P(n))_{n \geq 1}$ est équirépartie modulo 1.
4. Soit $\left(x_n\right)_{n \geq 1}$ une suite réelle équirépartie modulo 1, et $f\colon \R \ra \C$ une fonction continue 1-périodique. Montrer que $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left(x_k\right) \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow} \int_0^1 f$.
5. On reprend les hypothèses de la question 3. Montrer que la distance de $P(\Z)$ à $\Z$ est nulle.

5. ??

Soit $f:[0,1]\to\R$ une fonction continue. Pour $n\in\N$ avec $n\geq 2$, on note $A_n$ la matrice $\left(\begin{matrix}0&a_1&0&\cdots&0\\ a_1&0&a_2&\ddots&\vdots\\ 0&a_2&0&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&a_{n-1}\\ 0&\cdots&0&a_{n-1}&0\end{matrix}\right)$ ou, pour tout $k\in\db{1,n-1}$, $a_k=f\left(\frac{k}{n}\right)$.

Soit $q\in\N^*$. Déterminer la limite de $(\op{tr}\left(A_n^q\right))_{n\geq 2}$.

Montrer la convergence et calculer $\sum_{k=1}^{+\i} \frac{(-1)^k}{k}\left\lfloor\frac{\ln (k)}{\ln (2)}\right\rfloor$.

Écrit quelque part…

On note $\ell^2(\R)$ l'ensemble des suites réelles de carré sommable indexées par $\N$. On se donne une suite presque nulle $v \in \R^{(\N)}$ ainsi qu'une suite $\left(u_k\right)_k$ d'éléments de $\ell^2(\R)$ (l'élément $u_k$ est donc noté $\left.\left(u_{k, i}\right)_{i \in \N}\right)$. On suppose que, pour tout entier $p \geq 2$, la suite de terme général $w_k=\sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, n}\right)^p$ converge vers $\sum_{n=0}^{+\i}\left(v_n\right)^p$. Montrer que $\inf_{\sigma \in \mathfrak{S}(\N)} \sum_{n=0}^{+\i}\left(u_{k, \sigma(n)}-v_n\right)^2 \underset{k \ra+\i}{\longrightarrow} 0$.

Écrit quelque part…

On peut supposer que les $(v_n)$ sont décroissants, par réordonnement.

Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ nulle sur $\R \setminus \Q$ et telle que $f\left(\frac{p}{q}\right)=\frac{1}{q}$ si $p \in \Z$ et $q \in \N^*$ sont premiers entre eux. Quels sont les points de continuité de $f$ ?

Facile.

Soient $I$ un intervalle ouvert, $f\colon I \ra \R$ dérivable et $[a, b] \subset I$ avec $a\lt b$. On suppose que $f'(a)=f'(b)$. Montrer qu'il existe $c\in \interval]{a, b}[$ tel que la tangente au graphe de $f$ en $c$ passe par le point $(a, f(a))$.

On peut supposer $f'(a) = f'(b) = 0$. À relier.

Construire une fonction continue de $\R$ dans $\R$ qui ne soit derivable en aucun point.

Déterminer les applications $f$ de $\R$ dans $\R$ telles que, pour tout entier $n \geq 2$, $f^n$ (puissance) soit polynomiale.

$f^2$ et $f^3$ polynomiales, donc $f$ est une fraction rationnelle, $f\in\Q(x)$ et $f^2\in \Q[X]$ impliquent $f\in\Q[X]$.

Soit $p\gt 1$ un réel. Montrer qu'il existe une constante $k_p\gt 0$ telle que, pour tout $(x,y)\in\R^2$ tel que $|x|^p+|y|^p=2$, on ait $(x-y)^2\leq k_p\,(4-(x+y)^2)$.

Soit $f\colon\R\ra\R$. On note $f^*(s)=\sup_{x\in\R}\,(sx-f(x))$ et $f^*(x)=\sup_{s\in\R}\,(sx-f^*(s))$.

Montrer que $f^*(x)=\sup_{a\text{ affine }\leq f}a(x)$.

Soient $I$ un ensemble fini et $(P - {i\in I}$ une famille de polynomes réels stable par derivation. On définit une fonction signe par $\op{sign}(x)=\dfrac{x}{|x|}$ si $x\neq 0$ et $\op{sign}(0)=0$.

Pour $\eps\in\{-1,1,0\}^I$, soient $A_{\eps}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\ \op{sign}(P_i(t))= \eps(i)\}$ et

$B_{\epsilon}=\{t\in\R\ ;\ \forall i\in I,\op{sign}(P_i(t))\in\{ \eps(i),0\}\}$.

• Montrer que $A_{\eps}$ est soit vide, soit reduit a un point, soit un intervalle ouvert.
• Si $A_{\eps}$ est non vide, montrer que $B_{\eps}$ est l'adherence de $A_{\eps}$. Si $A_{\eps}$ est vide, montrer que $B_{\eps}$ est soit vide suit un singleton.

Soit $I$ un intervalle de $\R$ et $f:I\ra\R$ de classe $\mc C^n$.

• Soient $x_0,\ldots,x_n$ des points de $I$. On note $V(x_0,\ldots,x_n)$ le déterminant de Vandermonde associe a $(x_0,\ldots,x_n)$. Montrer qu'il existe $\tau\in I$ tel que $\begin{vmatrix}1&x_0&x_0^2&\cdots&x_0^{n-1}&f(x_0)\\ 1&x_1&x_1^2&\cdots&x_1^{n-1}&f(x_1)\\ \vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\ 1&x_n&x_n^2&\cdots&x_n^{n-1}&f(x_n)\\ \end{vmatrix}=\dfrac{f^{(n)}(\tau)}{n!}\,V(x_0,x_1,\ldots,x_n)$
• On suppose que $n=2$, que $I$ est un segment et que $f$ est strictement convexe. On note $\Gamma_f=\{(x,f(x));x\in I\}\subset\R^2$ le graphe de $f$. Montrer qu'il existe une constante $C$, dependant uniquement de $I$ et $f$, telle que le nombre de points de $\Gamma_f\cap\frac{1}{N}\,\Z^2$ soit majore par $C\,N^{2/3}$ pour tout entier $N\geq 1$.

Pour $n\in\N$, on pose $w_n=\int_0^{\pi/2}\cos^n(x)\,dx$.

• Montrer que $(w_n)_{n\geq 0}$ est decroissante.
• Etablir une relation de recurrence entre $w_{n+2}$ et $w_n$.
• Sans utiliser la formule de Stirling, déterminer un équivalent simple de $w_n$.
• Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum w_nx^n$.

Soit $P \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$.

1. Montrer que le nombre de racines de $P$ de module strictement inférieur à 1 comptées avec multiplicité n'est autre que $\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi \frac{e^{i t} P'\left(e^{i t}\right)}{P\left(e^{i t}\right)}\dt$.
2. Soit $Q \in \C[X]$ ne s'annulant pas sur $\mathbb{U}$ et tel que $\forall z \in \mathbb{U},|P(z)-Q(z)|\lt |Q(z)|$. Montrer que $P$ et $Q$ ont même nombre de racines de module strictement inférieurs à 1 comptées avec multiplicité.

Pour $n\in\N$, on note $A_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2n}(x)\,dx$ et $B_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}x^2\cos^{2n}(x)\,dx$. On admet que, pour $n\in\N^*$, $2nA_n=(2n-1)A_{n-1}$.

• Montrer que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{2B_0}{A_0}-\frac{2B_n}{A_n}$ pour tout $n\in\N^*$.
• En déduire que $\sum_{k=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ puis que $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}+O\left(\frac{1}{n}\right)$.

Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ une fonction continue et presque périodique c'est-à-dire telle que, pour tout $\epsilon\gt 0$, il existe $T\gt 0$ tel que : $\forall x \in \R^+, \forall n \in \N,|f(x+n T)-f(x)| \leq \epsilon$. Soit $f\colon \R^+ \ra \R$ continue et presque périodique.

1. Montrer que $f$ est uniformément continue sur $\R^+$.
2. Montrer que $t \mapsto \frac{1}{t} \int_0^t f$ possède une limite quand $t \ra+\i$.

1. Easy.
2. !!

Soit $f$ une fonction continue par morceaux et croissante de $[0,1]$ dans $\R$. Montrer que $\int_0^1f(x)e^{i\lambda x}dx\underset{\lambda\to+\i}{=}O \left(\frac{1}{\lambda}\right)$.

Soient $f_1,\dots,f_n,g_1,\dots,g_n$ des fonctions de $\mc C^0([0,1],\R)$. Soit $A$ la matrice de terme général $A_{i,j}=\int_0^1f_i(x)g_j(x)\,dx$.

On pose $B(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}f_i(x_j)\big{)}$ et $C(x_1,\dots,x_n)=\det\big{(}g_i(x_j)\big{)}$.Montrer que $\int_{[0,1]^n}B(x_1,\ldots,x_n)\,C(x_1,\ldots,x_n)\,dx_1\ldots dx_n=n!\det(A)$.

• Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\R^+$ dans $\R$ admettant une limite en $+\i$ et telle que $f'$ est uniformement continue. Est-ce que $f'$ a une limite en $+\i$?

[Rennes sur dossier] Soient $d,N\in\N$ tels que $N\gt d$. Soient $(P - {n\in\N}$ une suite de polynomes a coefficients réels de degre au plus $d$ et $x_1,...,x_N$ des réels distincts. On suppose que pour tout $j\in\{1,...,N\}$, la suite $(P_n(x_j))_{n\in\N}$ est bornee. Montrer que l'on peut extraire de $(P - {n\in\N}$ une suite $(Q - {n\in\N}$ qui converge uniformement sur $[0,1]$ vers un polynome de degre au plus $d$.

Montrer que la suite de fonctions de terme général $f_n:x\mapsto(\sin x)^n\,\cos(x)$ converge uniformement sur $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$.

On note $I$ (resp. $S$) l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to[0,1]$ telles que, pour tout $a\in\R$, l'ensemble $\{x\in[0,1],f(x)\leq a\}$ est ferme (resp. de meme avec l'inegalite dans l'autre sens).

• Montrer que $S\cap I$ est l'ensemble $C$ des fonctions continues de $[0,1]$ dans $[0,1]$.
• Soit $f:[0,1]\to[0,1]$. On pose $f_n:x\mapsto\inf(\{1\}\cup\{f(y)+n|x-y|,y\in[0,1]\})$ pour $n\in\N$. Montrer que $f_n$ est continue pour tout $n$, que la suite $(f_n)$ est croissante et que $f\in I$ si et seulement si la suite $(f_n)$ converge simplement vers $f$.

Soit $\Lambda: \N \ra \R$ telle que $\Lambda(n)=\ln (p) \op{si} n=p^k$ avec $p$ premier et $k \in \N^*$, et $\Lambda(n)=0$ sinon. On note $\mc{P}$ l'ensemble des nombres premiers.

1. Montrer que, pour tout $n \in \N^*, \sum_{d \mid n} \Lambda(d)=\ln (n)$.
2. Montrer que, pour tout $s\gt 1,\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{\Lambda(n)}{n^s}\right)\left(\sum_{n \in \N^*} \frac{1}{n^s}\right)=\sum_{n \in \N^*} \frac{\ln (n)}{n^s}$.
3. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{\ln (p)}{p^s} \underset{s \ra 1+}{=} \frac{1}{s-1}+O(1)$.
4. Montrer que, pour tout $s\gt 1, \sum_{p \in \mc{P}} \frac{1}{p^s} \underset{s \ra 1^+}{=} \ln \left(\frac{1}{s-1}\right)+O(1)$. Qu'en déduire?

Soit $q\geq 2$ entier. On se donne un caractere non trivial $\chi$ sur le groupe des inversibles $(\Z/q\Z)^{\times}$, c'est-a-dire un morphisme de groupes non constant $\chi:((\Z/q\Z)^{\times},\times)\longrightarrow(\mathbb{U},\times)$. Pour $m\in\Z$, on pose alors $\widetilde{\chi}(m)=0$ si $q$ n'est pas premier avec $m$, et $\widetilde{\chi}(m)=\chi(\overline{m})$ sinon (ou $\overline{m}$ designe la classe de $m$ modulo $q$).

• Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\chi(m)}{m^s}$ converge si et seulement si $s\gt 0$. - Montrer que la fonction $s\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\chi(m)}{m^s}$ est de classe ${\cal C}^1$ sur ${\R}^{+*}$.

Soient $f\colon \R^+ \ra \R$ de classe $\mc C^1$, décroissante de limite nulle en $+\i$ et $g\colon x \mapsto \sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n f(n x)$. Quelle est la limite de $g$ en $0^+$?

C'est $\sum f(2n x) - f((2n+1)x) = \sum \int_{2nx}^{(2n+1) x}f'(t)\dt$. Cela tend vers $\frac{1}{2}f(0)$, en découpant sur un segment, et en utilisant l'uniforme continuité de $f'$.

Pour tout polynome trigonometrique $P:\theta\mapsto\sum_{k\in{\Z}}c_k(P)e^{ik\theta}$ (somme a support fini) et pour tout $d\in{\R}$, on pose $\|P\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(P)|^2(1+|k|)^{2d}$.

On admet que $\|\ \|_{h^d}$ est une norme sur l'espace vectoriel ${\cal T}$ des polynomes trigonometriques pour tout $d\in{\R}$. Soit $E$ l'espace des fonctions continues par morceaux et $2\pi$-periodiques de ${\R}$ dans ${\C}$. On définit le produit de convolution de deux fonctions $f,g\in E$ par : $f\star g:\phi\mapsto\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)g(\phi-\theta){\rm d}\theta$. Enfin, on pose, pour $f\in E$, $\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(\theta)|^2{\rm d}\theta$.

• Montrer qu'il existe $d\in{\R}$ et $c=c(d)\in{\R}^+$ tels que, pour tous $f$, $g\in{\cal T}$,

$\|f\star g\|_2\leq c(d)\|f\|_{h^d}\|g\|_2$.

• Déterminer tous les réels $d$ verifiant la condition de la question précédente.
• Soit $f$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodique. On pose, pour $k\in{\Z}$, $c_k(f)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(\theta)e^{-ik\theta}{\rm d}\theta$ et, pour tout $d\in{\R}$, $\|f\|_{h^d}^2=\sum_{k\in{\Z}}|c_k(f)|^2(1+|k|)^{2d}$. Déterminer les $d\in{\R}$ tels que $\|f\|_{h^d}\lt +\i$.
• Soient $f$, $g$ de classe ${\cal C}^{\i}$ et $2\pi$-periodiques et $d\in{\R}$. Calculer $\|f\star g\|_{h^d}$.

Soient $p\geq 2$ et $q\geq 2$ deux entiers tels que $p\wedge q=1$. Pour tout $z\in{\C}$ tel que $|z|\lt 1$, on pose $f(z)=\frac{1-z^{pq}}{(1-z^p)(1-z^q)}$. Ecrire $f(z)$ sous la forme $\sum_{n=0}^{+\i}c_nz^n$ et trouver le plus grand $n\geq 0$ tel que $c_n=0$.

Soient $R \in \R^{+*}, f$ et $g$ deux fonctions développables en série entière sur $\interval]{-R, R}[$ telles que $\forall x \in \interval]{-R, R}[, \int_0^x f(t) g(x-t)\dt=0$. Montrer que l'une au moins des deux fonctions $f$ et $g$ est identiquement nulle sur $]-R, R[$.

Soient $f:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^n$ et $g:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}z^{2^n}$.

• Déterminer les rayons de convergence de $f$ et $g$.
• Trouver les complexes $z\in{\cal S}(0,1)$ tels que $f(z)$ converge.
• Montrer que $f$ admet un prolongement $\bar{f}$ sur ${\C}\setminus\{1\}$, développable en série entiere en tout point de ${\C}\setminus\{1\}$.
• Montrer que $|g(r)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in{\R}$. - Montrer que, si $z\in\mc{B}(0,1)$, alors $g(z^2)=g(z)-z$.
• Soient $n\in\N$ et $\alpha\in\mathbb{U}_{2^n}$. Montrer que $|g(r\alpha)|\to+\i$ quand $r\to 1$ avec $r\in\R$.
• Soit $h:z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\frac{z^{2^n+1}}{2^n+1}$. Montrer que $h$ est continue sur $\overline{\mc{B}}(0,1)$.
• Montrer que, pour tout $z_0\in\mc{S}(0,1)$, $\eps\gt 0$ et $\tilde{h}$, prolongement de $h$ sur $\overline{\mc{B}}(0,1)\cup\mc{B}(z_0,\eps)$, la fonction $\tilde{h}$ n'est pas développable en série entiere en $z_0$.

Soit $\alpha=(\alpha - {i\geq 1}$ une suite de $\Z$ nulle a partir d'un certain rang. Pour $n\geq 1$, on pose $u_n=\prod_{i\in\N^*}((in)!)^{\alpha_i}$.

• Déterminer, selon la valeur de $\alpha$, le rayon de convergence $R$ de la série entiere $\sum_{n\geq 1}u_nz^n$.

Dans la suite, on note $f$ la somme de cette série entiere.

• Expliciter $f$ si $\alpha=(-\delta_{i,1})_{i\geq 1}$.
• Pour une somme $g$ de série entiere sur un intervalle $]-a,a[$ non trivial, on pose $\Delta(g):z\mapsto zg'(z)$. Expliciter $P(\Delta)(g)$ lorsque $g:z\mapsto z^k$ avec $k\in\N$ et $P\in\R[X]$.
• Soit $v\in\C^{\N^*}$ une suite complexe, et $P\in\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $v_{n+1}=\frac{v_n}{P(n+1)}$. Montrer que $\sum_{n\geq 1}v_nz^n$ a un rayon de convergence non nul et donner une methode simple pour trouver une équation différentielle lineaire non triviale a coefficients polynomiaux dont sa somme est solution.
• Resoudre le meme probleme qu'en (d) lorsqu'il existe $P$ et $Q$ dans $\R[X]$ sans racine dans $\N^*$ telles que $v_{n+1}=\frac{Q(n+1)}{P(n+1)}\,v_n$ pour tout $n\geq 1$, et en supposant cette fois-ci que $\deg(Q)\leq\deg(P)$.
• Justifier que le cadre de la question - s'applique bien a la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ lorsque $R\gt 0$.

Pour $n\in\N$, on pose $u_n=\frac{n!\,(30n)!}{(15n)!\,(10n)!\,(6n)!}$.

• Montrer que, pour $n\in\N$, $u_n$ est un entier.
• Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum u_nx^n$.
• Trouver une équation différentielle vérifiée par la somme de la série entiere précédente.

Existe-t-il une partie $A$ de $\N$ telle que $\sum_{n \in A} \frac{x^n}{n !} \underset{x \ra+\i}{\sim} e^{\sqrt{x}}$ ?

Cf un précédent

• Soit $f\colon z\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ la somme d'une série entiere de rayon $R\gt 0$. Montrer que, pour tout $0\lt r\lt R$ et pour tout $n\in\N$, $a_nr^n=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(re^{i\theta})e^{-in\theta}d\theta$.

  • Soit $f$ une fonction développable en série entiere de rayon de convergence egal a $1$. On suppose que $f$ est prolongeable par continuite sur le disque ferme $D_f(0,1)$. Expliquer pourquoi la formule de Cauchy ci-dessus reste vraie pour $r=1$. - Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto\frac{1}{\sqrt{1-x}}e^{-\frac{1-x}{1+x}}$. Montrer que $f$ est développable en série entiere au voisinage de $0$.
  • On admet que le rayon de convergence du développement de $f$ en $0$ vaut $1$. Montrer que les coefficients du développement en série entiere en $0$ de $f$ sont bornes par $M\gt 0$. Experimer $M$ en fonction de $f$.

Calculer $\int_0^{+\i}\frac{\sin x}{x}\,dx$ a l'aide de la transformation de Laplace.

Soit $(a, b) \in \R \times \R^-$ tel que $\forall x \in[0,1], 1+a x+b x^2 \geq 0$.

1. Si $a \in \R^+$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}+\i$.
2. Si $a \in \R^{-*}$, montrer que $n \int_0^1\left(1+a x+b x^2\right)^n\dx \underset{n \ra+\i}{\longrightarrow}-\frac{1}{a}$.

Soit, pour $x \in \R^+, f(x)=\int_0^\pi \frac{d t}{\sqrt{e^{2 x} \cos ^2(t)+e^{-2 x} \sin ^2(t)}}$. Montrer qu'il existe $(a, b) \in\left(\R^+\right)^2$ tel que $\forall x \in \R^+, f(x) \leq (a x+b) e^{-x}$.

Pour $x$ réel, on pose $J(x)=\int_0^{\pi}\cos(x\sin t)\,dt$.

• Calculer $J(0)$.
• Montrer que $J$ est de classe $\mc C^{\i}$.
• En estimant $\int_{\frac{\pi}{2}-\eps}^{\frac{\pi}{2}+\eps}\cos(x\sin t)\, dt$ pour un $\eps$ a choisir convenablement en fonction de $x$, etablir que $J(x)=O(x^{-1/2})$ quand $x\to+\i$.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^{\i}$ de $\R^+$ dans $\R$. On pose $f\star g\colon x\in\R_+\mapsto\int_0^xf(t)\,g(x-t)\,dt$. Montrer que $f\star g$ est derivable et donner une expression de sa derivee.

Soit $f:]0,1[\to\R$ continue. Pour $n\geq 1$ et $s\lt t$ dans $]0,1[$, on pose

$a_n(f,s,t)=\frac{2}{t-s}\int_s^tf(u)\cos\left(\frac{2n\pi}{t-s}(u-s) \right)\,du$.

• On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$.
• On suppose $f$ strictement convexe. Montrer que $a_n(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$ et tout $n\in\N^*$.
• Reciproquement, on suppose $f$ de classe $\mc C^2$ et $a_1(f,s,t)\gt 0$ pour tous $s\lt t$ dans $]0,1[$. Montrer que $f$ est strictement convexe.

Soit $\mc{S}$ l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sur $\R\colon\sum_{k=0}^ny^{(k)}=0$.

À quelle condition sur $n$ tout élément de $\mc{S}$ possède-t-il une limite en $+\i$?

Si et seulement si toutes les valeurs propres ont une partie réelle $\lt 0$ (puisque $0$ n'est pas racine).

Soit $I$ un (vrai) intervalle de $\R$. Si $r \in \N^*$ et $f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$, on pose $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)=\op{det}\left(\left(f_j^{(i-1)}\right)_{1 \leq i, j \leq r}\right)$. Soient $r \in \N^*, f_1, \ldots, f_r \in \mc C^{r-1}(I, \R)$.

1. Soit $g \in \mc C^{r-1}(I, \R)$. Montrer que $W_r\left(g f_1, \ldots, g f_r\right)=g^r W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$.
2. On suppose que, pour tout $k \in \db{1, r }, W_k\left(f_1, \ldots, f_k\right)$ ne s'annule pas. Montrer que, pour tout $\left(a_1, \ldots, a_r\right) \in \R^r$ non nul, la fonction $a_1 f_1+\cdots+a_r f_r$ s'annule au plus $(r-1)$ fois sur $I$.
3. On suppose que $W_r\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est identiquement nul sur $I$ et que $W_{r-1}\left(f_1, \ldots, f_{r-1}\right)$ ne s'annule pas. Montrer que $\left(f_1, \ldots, f_r\right)$ est liée.

On considère l'équation différentielle $(D_{\lambda})\colon y''+(\lambda-r)y=0$ avec $\lambda\in\R$, $r\in C^{\i}(I,\R)$, ou $I$ un intervalle contenant $[0,1]$. On considère $E_{\lambda}$ l'espaces des solutions $y$ de $(D_{\lambda})$ telles que $y(0)=0$, $y(1)=0$.

1. Quelles sont les dimensions possibles de $E_{\lambda}$?
2. On note $y_{\lambda}$ la solution du probleme de Cauchy $(D_{\lambda})$, $y_{\lambda}(0)=0$, $y'_{\lambda}(0)=1$. Caractériser le cas où $\dim(E_{\lambda})=1$.
3. Montrer que, à $r$ fixé, les $E_{\lambda}$ sont orthogonaux pour le produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_0^1 fg$.
4. On note $N_{\lambda}$ le nombre de zeros de $y_{\lambda}$ sur $[0,1]$. Pourquoi est-il fini?
5. Calculer $N_{\lambda}$ dans le cas $r=0$, $\lambda\gt 0$.
6. Dans le cas général, étudier le comportement de $N_{\lambda}$.

1. $0,1$ : c'est l'intersection de deux formes linéaires.

Soient $I$ un intervalle non trivial de $\R$, et $a,b$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$. On considère l'équation différentielle $(E):x^{''}+a(t)\,x'+b(t)\,x=0$.

• Soit $x$ une solution non nulle de $(E)$. Montrer que les zeros de $x$ sont isoles.
• On suppose $a$ de classe $\mc C^1$. Montrer qu'il existe $z$ de classe $\mc C^2$ de $I$ dans $\R$, et $q:I\to\R$ continue telles que $x\mapsto[t\mapsto x(t)\,e^{z(t)}]$ définisse une bijection de l'ensemble des solutions de $(E)$ sur celui des solutions de $y^{''}+q(t)\,y=0$.
• Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $I$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i)$ : $y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$. Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$.
• Soient $q:I\to\R$ continue, et $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle de $y^{''}+q(t)y=0$. Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq\beta-\alpha\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$.

Soient $A$ une application continue de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$, $M$ l'unique application derivable de $\R^+$ dans $\M_n(\R)$ telle que $M(0)=I_n$ et $\forall t\in\R^+,\ M'(t)=A(t)M(t)$. Montrer que $\forall t\in\R^+,\ \det(M(t))=\exp\left(\int_0^t\op{Tr}A\right)$.

Soit $p:\R\to\R$ une fonction continue, non identiquement nulle, $\pi$-periodique et telle que $\int_0^{\pi}p(t)dt\geq 0$ et $\int_0^{\pi}|p(t)|dt\leq\frac{\pi}{4}$. Montrer que l'équation $u^{''}+pu=0$ n'admet pas de solution $u$ non nulle sur $\R$ telle qu'il existe $\lambda\in\R^*$ tel que $\forall t\in\R$, $u(t+\pi)=\lambda\,u(t)$.

Soit $A_0\in\M_n(\R)$ telle que $\text{Sp}(A_0+A_0^T)\subset\R^-$.

On admet l'existence d'une unique fonction $A:\R^+\to\M_n(\R)$ telle que $A(0)=A_0$ et $\forall t\geq 0,\ A'(t)=\left(A(t)\right)^2-\left(A(t)^T\right)^2$. Montrer que la fonction $A$ a une limite en $+\i$ et expliciter cette limite.

Soit $A\in\M_3(\R)$. Décrire le comportement asymptotique en $+\i$ des solutions de l'équation différentielle $X'(t)=AX(t)$.

On considère l'équation différentielle $(1)\colon X'(t)=P(t)X(t)$ où $P$ est une application continue et périodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$.

• Résoudre $(1)$ si $\forall t\in\R,\ P(t)=\left(\begin{array}{cc}1&\cos(t)\\ 0&-1\end{array}\right)$.
• On revient au cas général. Soit $T\in\R^{+*}$ une période de $P$. On note $X_1,\ldots,X_n$ une base de l'espace des solutions de $(1)$ et, si $t\in\R$, $M(t)=\left(X_1(t),\ldots,X_n(t)\right)$. Montrer qu'il existe $C\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\forall t\in\R,\ M(t+T)=M(t)C$.
• Avec les notations de la question précédente, montrer qu'il existe $A\in\text{GL}_n(\C)$ tel que l'application $t\in\R\mapsto M(t)e^{-tA}$ soit $T$-periodique.

• Par inversibilité, il existe $C$ tel que $M(T) = M(0) C$. Puis on considère $Y(t) = M(t)C$, elle vérifie la même équation différentielle.
• Si et seulement si $M(t)C e^{-(t+T)A} = M(t)e^{-tA}$, c'est-à-dire $C e^{-TA} = I_n$ Le caractère inversible de $A$ implique que $C$ ne peut pas avoir $1$ comme valeur propre, ce qui est faux pour $P = 0$. Sans cette condition, c'est la surjectivité de l'exponentielle…

• Soit $f\colon (x,y)\ \mapsto \left(\ln\left(x^2+y^2\right),\arctan\left(\frac{y}{x}\right)\right)$. Donner le domaine de définition $\Omega$ de $f$. Étudier la continuité et la différentiabilité de $f$.
• On identifie naturellement $\R^2$ à $\C$. Montrer que, si $(x,y)\in\Omega$, $df_{(x,y)}$ est $\C$-lineaire.

• $\Om = \{(x,y)\mid x\neq 0\}$. La continuité et la différentiabilité ne posent pas de problème.

1. Calculer $\sup\limits_{a,b,c\gt 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b+\left(1-\frac{1}{2b}\right)^c+ \left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$.
2. Trouver $\sup\limits_{a,b,c\geq 1}\left(1-\frac{1}{a}\right)^b\left(1-\frac{1}{2b} \right)^c\left(1-\frac{1}{3c}\right)^a$.

• C'est $\leq e^{-\frac{b}{a}} + e^{\frac{c}{2b}} + e^{\frac{a}{3c}}$, et cela s'en approche pour $a,b,c$ très grand. Puis étudier cette quantité, en dérivant.
• C'est $\leq e^{-\frac{b}{a} - \frac{c}{2b} - \frac{a}{3c}}$, et cela s'en approche pour $a,b,c$ très grand. Puis étudier la quantité dans l'exponentielle.

[Rennes sur dossier] Soient $q\in\R^+$, $D=\{(x,y)\in\R^2\,;\,x\geq 0,\,y\geq 0,\,x+y=1\}$, Déterminer $\min_{(x,y)\in D}(x^q+y^q)$.

Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$.

Déterminer les extrema de $x\in\R^n\mapsto\frac{1}{2}\left\langle Ax,x\right\rangle-\left\langle b,x\right\rangle$.

Soient $f$ une application différentiable convexe de $\R^n$ dans $\R, L \in \R^{+*}$.

1. Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq 0$.
2. On suppose que l'application $\nabla f$ est $L$-lipschitzienne.

Montrer que $\forall(x, y) \in \R^n \times \R^n,\langle\nabla f(y)-\nabla f(x), y-x\rangle \geq \frac{1}{L}\|\nabla f(x)-\nabla f(y)\|^2$.

Soit $p\gt 1$. Montrer qu'il existe $K_p\in\R$ tel que, pour tous $x$, $y\in\R$ tels que $|x|^p+|y|^p=2$, on a $(x-y)^2\leq K_p(4-(x+y)^2)$.

Il s'agit de montrer que $\frac{(x-y)^2}{K_p (4-(x+y)^2)^2}$ est majorée.

On sait que $\frac{|x| + |y|}{2}\leq \left(\frac{|x|^p + |y|^p}{2}\right)^{1/p} = 2$, donc le seul problème de définition est en $(x,y) = (1,1)$, où il faut montrer que la fonction admet un prolongement par continuité.

Le dénominateur est $(x-y)^2 - 2(x-1)^2 - 2 (y-1)^2 - 4(x-1) - 4(y-1)$. On pourrait poser $x'= x-1$.

Soient $f$ une application de classe $C^1$ de $\R^n$ dans $\R^m$, $x\in\R^n$ telle que $df_x$ soit injective. Montrer qu'il existe un voisinage de $x$ dans $\R^n$ sur lequel $f$ est injective.

Par l'absurde, on extrait deux suite $(x_n), (y_n)$ qui tendent vers $x$. Alors $f(x_n) = df_0(x_n) + o(x_n)$, idem pour $y_n$, et en posant $z_n = x_n - y_n$, on a $df(z_n) = o(z_n)$. Ce qui n'est pas possible car $\lN df(\dots)\rN$ est une norme.

On identifie $\R^2$ a $\C$. Soit $f$ une fonction de $\R^2$ dans $\R$, de classe $C^2$ et telle que $\Delta f=0$. Montrer que $f(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(e^{it})dt$.

On munit $\R^n$ de la nome euclidienne canonique et on note $B$ unité fermée de cet espace. Soient $f$ une application de $\R^n$ dans $\R^n$ de classe $C^1$ et telle que, pour tout $(u, v) \in B^2,\left\|-f(0)+v-d f_u(v)\right\| \leq \frac{1}{2}$. Montrer que $f$ s'annule exactement une fois sur $B$.

Géométrie

• Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe un unique $T_n\in\Z[X]$ tel que

$\forall\theta\in\R,\ T_n(2\ \cos(\theta))=2\ \cos(n\theta)$.

• Si $n\in\N^*$, quel est le terme de plus haut degre de $T_n\,?$ En déduire les $r\in\Q$ tels que $\cos(\pi r)\in\Q$.
• Déterminer les triangles du plan euclidien dont les cotes ont des longueurs rationnelles et les angles sont des multiples rationnels de $\pi$.

Soit $G$ un groupe d'isométries affines de $\R^2$ tel que, pour tout point $x$, il existe $g \in G$ tel que $g(x) \neq x$. Montrer que $G$ contient une translation autre que l'identité de $\R^2$.

Faux pour $G = O_2$.

Soit $S$ le groupe (pour la composition) des applications de $\C$ dans $\C$ de la forme $z \mapsto a z+b$ avec $a \in \mathbb{U}$ et $b \in \C$. Soit $G$ un sous-groupe de $S$ vérifiant les conditions suivantes :

• si $g \in G, g(0)$ est nul ou de module supérieur ou égal à 1 ;
• l'ensemble des $b \in \C$ tels que $z \mapsto z+b$ appartienne à $G$ contient deux éléments $\R$ linéairement indépendants.

Montrer que l'ensemble $\{a\in\m U \mid \exists b\in\C,\, z\mapsto az + b\in G \}$ est fini.

Sinon, il existe une suite $(a_n)$ qui s'accumule. On peut supposer qu'elle s'accumule sur $1$, puis on peut borner les $(b_n)$, puis extraire une suite convergence, donc elle est constante à partir d'un certain rang. Donc on a une infinité de $z\mapsto a_n z$, ce qui est impossible.

Soit $L$ la courbe du plan complexe d'équation $|z|^2=\cos(2\arg(z))$.

• Trouver une équation cartesienne réelle définissant $L$.
• En déduire une parametrisation de $L\cap(\R^+)^2$ sous la forme $\{(x(r),y(r)),\ r\in[0,1]\}$. - Montrer que la longueur de la courbe $L$ entre le point $(0,0)$ et le point $(x(r),y(r))$ s'ecrit : $A(r)=\int_0^r\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$.
• Montrre que $A$ définit une bijection de $[-1,1]$ dans un intervalle de la forme $[-w,w]$ ou $w\gt 0$.
• On définit $B=A^{-1}$. Montrer que $B$ verifie une équation différentielle du second ordre.

Soit $(e_1,e_2)$ une famille libre de vecteurs de $\R^2$. On pose $L=\Ze_1+\Ze_2$ et on note $\mathrm{Vol}(L)=|\mathrm{det}(e_1,e_2)|$.

• Soit $A$ un disque ferme de $\R^2$, d'aire strictement superieure a $\mathrm{Vol}(L)$. Montrer qu'il existe deux éléments distincts $x$ et $y$ de $A$ tels que $x-y\in L$.
• Soit $\eps\gt 0$. Montrer qu'il existe dans $L\setminus\{0\}$ un élément $\ell$ tel que $\|\ell\|\leq\frac{2+\eps}{\sqrt{\pi}}\ \sqrt{\mathrm{Vol}(L)}$.
• Soit $p$ un nombre premier congru a $1$ modulo $4$.
• Montrer qu'il existe $\omega\in\Z$ tel que $p$ divise $1+\omega^2$.
• Montrer qu'il existe $(a,b)\in\Z^2$ tel que $p=a^2+b^2$.

• On note $D$ le disque unite du plan euclidien $\R^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(C - {i\in\N}$ de parties de $D$ telle que :

  • pour tout $i\in\N$, l'ensemble $C_i$ soit un carre de $\R^2$ dont les cotes sont paralleles aux axes ;
  • les $C_i$ soient d'interieurs disjoints ;
  • $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(C_i)=\pi$.
  • On note $C=[-1,1]^2$. Demontrer qu'il existe une suite $(D - {i\in\N}$ de parties de $C$ telle que :
  • pour tout $i\in\N$, l'ensemble $D_i$ soit un disque ferme de $\R^2$ ;
  • les $D_i$ soient d'interieurs disjoints ;
  • $\sum_{i\in\N}\mathrm{Aire}(D_i)=4$.

Probabilités

On note $\mc{A}$ l'ensemble des parties de $A$ de $\N$ telles que $\lim\limits_{n\to+\i}\frac{|A\cap \db{1,n}|}{n}$ existe. Est-ce que $\mc{A}$ est une tribu?

Non vide, stable par complémentaire, et stable par union dénombrable. On n'est pas stable par union dénombrable : toute partie est réunion dénombrable de singleton.

On pose, pour toute permutation $\sigma\in S_n$, $d(\sigma)=\sum_{k=1}^n|\sigma(k)-k|$ et on note, pour $p\in\N$, $q_{n,p}=|\{\sigma\in S_n,\ d(\sigma)=p\}|$. Montrer que, si $p\geq 2n$, alors $q_{n,p}$ est pair.

On procède par récurrence. Si $\sigma\neq \sigma^{-1}$, ils vont par paires. De même, par hypothèse de récurrence, si $\sigma$ a au moins un point fixe, le cardinal est pair.

Reste les éléments vérifiant $\sigma = \sigma^{-1}$, sans point fixes, qui sont produits de transpositions. Par ailleurs, la condition $p\geq 2n$, implique que les transpositions ont des croisements.

On peut alors transformer $(i_1 i_2) (j_1 j_2)$ en $(i_1 j_2) (j_1 i_2)$, qui préserve la quantité donnée (faire le dessin), et faire la transformation réciproque.

Un derangement est une permutation $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe. On note $D_n$ le sous-ensemble de $\mc{S}_n$ formé des derangements.

• Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $D_n$. Calculer la probabilité que $X$ soit une permutation paire.

  Indications.

  • On donne la formule d'inversion de Pascal : si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites telles que $\forall n\in\N$, $a_n=\sum_{k=0}^n{n\choose k}b_k$, alors $\forall n\in\N$, $b_n=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}{n\choose k}a_k$.
  • On pourra calculer la difference du nombre d'éléments pairs et impairs de $D_n$.
• Soit $Y$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Calculer la probabilité de $(Y\in D_n)$ sachant que $Y$ est paire.

• La différence du nombre d'éléments pairs et impairs est le déterminant de la matrice avec des $1$ et des $0$ sur la diagonale.

Soient $m \geq 1$ et $r \geq 1$ deux entiers. On munit l'ensemble des morphismes de groupes de $(\Z / m \Z)^r$ dans $\Z / m \Z$ de la loi uniforme. Donner une expression simple de la probabilité de l'événement «le morphisme $\phi$ est surjectif».

Le faire pour $m = p$, puis lemme Chinois.

Deux joueurs $A$ et $B$ lancent une pièce truquée donnant pile avec une probabilité égale à $5/9$. Les regles de gain sont les suivantes : pile rapporte $5$ euros et face $4$ euros. Pour $n\in\N^*$, chacun des joueurs effectue $9n$ lancers independants ; on note $A_n$ (resp. $B_n$) la variable aléatoire donnant le gain du joueur $A$ (resp. $B$).

• Trouver un équivalent, lorsque $n$ tend vers $+\i$, de $\mathbf{P}\left(A_n=B_n\right)$.
• Montrer que $\mathbf{P}\left(A_n\geq B_n\right)\geq\frac{1}{2}$.
• Vers quoi tend $\mathbf{P}\left(A_n\lt B_n\right)$ ?

• On a $P(A_n = B_n) = P(A_n = 9n - B_n) = P(A_n + B_n = 9n)$, et la somme est une loi binomiale.
• C'est clair.
• Découle des questions précédentes.

On joue a pile ou face avec une pièce pipée qui donne pile avec probabilité $p\lt \frac{1}{2}$. On lance la pièce $2n$ fois et on compte le nombre de «Piles». Déterminer l'entier $n$ qui maximise la probabilité d'avoir compté au moins $n+1$ «Piles».

On a $P(S_{2n} = n+k)\lelq P(S_{2n} = n-k)$, puis on montre que $P(S_{2n}\geq n+1) + \frac{1}{2}P(S_{2n} = n)$ est décroissante. Mais on connaît $P(S_{2n} = n)$, et il suffit de voir quand elle devient plus petite que les premières valeurs de $P(S_{2n} \geq n+1)$.

Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\N$ telle que $\mathbf{E}(X)=1$, $\mathbf{E}\left(X^2\right)=2$ et $\mathbf{E}\left(X^3\right)=5$. Quelle est la valeur minimale de $\mathbf{P}(X=0)$ ?

On a $E(X) E(X^3)\geq E(X^2)^2$. En notant $e = P(X=1)$, on a $E(X 1_{X\gt 1}) E(X^3 1_{X\gt 1})\geq E(X^2 1_{X\gt 1})^2$, donc $(1-e)(5-e) (2-e)^2$, qui donne $e\leq \frac{1}{2}$.

Comme $E(X) = 1$, on doit avoir $P(X=0)\geq \frac{1}{4}$, mais le cas d'égalité ne donne pas les bonnes valeurs : mais $E(X) = 1$, $E(X^2) = \frac{3}{2}$ et $E(X^3) = \frac{5}{2}$.

Si on suppose que $e = \frac{1}{2}$, on peut prendre $Y$ qui vaut $3$ avec probabilité $\frac{1}{6}$ et $0$ avec probabilité $\frac{1}{3}$.

!! Manque : on ne peut pas faire mieux…

Soient $n\in\N$ un entier impair $\geq 3$, $(X_m)_{m\geq 0}$ une suite de variables aléatoires à valeurs dans $\Z/n\Z$ telle que $X_0=0$, et pour $m\in\N$, $\mathbf{P}(X_{m+1}=k+1\,|\,X_m=k)=\mathbf{P}(X_{m+1}=k-1\,|\,X_m=k)=\frac{1 }{2}$. Montrer que $(X_m)_{m\geq 0}$ converge en loi vers la loi uniforme sur $\Z/n\Z$.

On regarde la loi de $X_m + m$, dont la série génératrice est $G_m = \left(\frac{1+X^2}{2}\right)^m$. Puis on regarde $P(S_m = 0 [n])$, c'est $\sum_{\om \in\m U_n} G_m(\om) = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1 + e^{\frac{4ik\pi}{n}}}{2}\right)^m = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \cos^{2m} \frac{2k\pi}{n}$

Pour les autres valeurs que $0$ modulo $n$, il faut prendre $X^k G_m(X)$, cela marche pareil.

Pour $\sigma\in\mc{S}_n$ on note $I(\sigma)$ le nombre d'inversions de $\sigma$ c'est-a-dire le nombre de couples $(i,j)$ avec $i\lt j$ et $\sigma(i)\gt \sigma(j)$.

• Montrer que $P_n=\sum_{\sigma\in\mc{S}_n}X^{I(\sigma)}=\prod_{k=1}^{n-1}(1+X+ \cdots+X^k)$.
• On pose $f(n)=|\{\sigma\in\mc{S}_n,\,(n+1)$ divise $I(\sigma)\}|$. Exprimer $f(n)$ a l'aide de $P_n$.
• Montrer qu'il existe une infinite de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\lt \frac{(p-1)!}{p}$ et de meme une infinite de nombres premiers $p$ tels que $f(p-1)\gt \frac{(p-1)!}{p}$.

Soient $p$ un nombre premier, $n\in\N^*$, $P$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l'ensemble des polynomes unitaires de degre $n$ de $\mathbb{F}_p[X]$, $N$ le nombre de racines de $P$ dans $\mathbb{F}_p$ (sans tenir compte des multiplicites). Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$.

Dans tout l'exercice, les variables aléatoires considérées sont supposées réelles, discrètes et à loi de support fini. Pour deux telles variables $X$ et $Y$, on note $X \leq_c Y$ pour signifier que $\mathbf{E}(f(X)) \leq \mathbf{E}(f(Y))$ pour toute fonction convexe $f\colon \R \ra \R$.

1. Soient $X$ une variable aléatoire vérifiant les conditions de l'exercice et $f\colon \R \ra \R$ convexe. Montrer que $f(\mathbf{E}(X)) \leq \mathbf{E}(f(X))$.
2. Donner un exemple de couple $(X, Y)$ pour lequel $X \leq_c Y$ mais $X \neq Y$.
3. Montrer que si $X \leq_c Y$ alors $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et $\mathbf{V}(X) \leq \mathbf{V}(Y)$.
4. Montrer que $X \leq_c Y$ si et seulement si $\mathbf{E}(X)=\mathbf{E}(Y)$ et

$$ \forall a \in \R, \int_a^{+\i} \mathbf{P}(X \geq x)\dx \leq \int_a^{+\i} \mathbf{P}(Y \geq x)\dx.$$

On fixe $N \in \N^*$. On choisit de façon équiprobable $u_1 \in \db{1, N}$, puis $u_2 \in \db{1, u_1-1}$, et ainsi de suite jusqu'à arriver à $u_{\ell}=1$ avec nécessairement $\ell \leq N$. On note $E_N=\left\{u_j, 1 \leq j \leq \ell\right\}$.

1. Calculer $\mathbf{P}\left(k \in E_N\right)$ pour $1 \leq k \leq N$.
2. Calculer $\mathbf{P}\left(2 \in E_N \mid 3 \not\in E_N\right)$.
3. Calculer $\mathbf{E}\left(\left|E_N\right|\right)$ et $\mathbf{V}\left(\left|E_N\right|\right)$.

1. $P(k\in E_{k+1}) = \frac{1}{k}$, puis $P(k\in E_n) = \frac{1}{n-1} + \frac{1}{n-1}\big(P(k\in E_{N-1}) + \dots + P(k\in E_{k+1})\big)$. On trouve $P(k\in E_N) = \frac{1}{k}$.
2. On a $P(2\in E_N \mid 3\in E_N) = \frac{1}{2}$.
3. Semble facile.

Dans tout l'enonce, on fixe un entier $p\geq 1$.

• Développper $(x_1+\cdots+x_N)^p$ pour toute liste $(x_1,\ldots,x_N)$ de nombres réels.
• Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,1\}$. Soit $(a_1,\ldots,a_n)\in\R^n$. On pose $X=\sum_{i=1}^na_iX_i$. Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq(2p)^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.
• Montrer que $\mathbf{E}(X^{2p})\leq p^p(\mathbf{E}(X^2))^p$.

• Soit $(a - {k\geq 1}$ une suite réelle telle que $\sum_{k=1}^{+\i}a_k^2=1$. Soient $x\in\R$ et $Y_x=\sum_{k=1}^na_k\cos(kx)\,X_i$.

Montrer que $\omega\mapsto\int_0^{2\pi}Y_x(\omega)^{2p}\,dx$ prend au moins une valeur inferieure ou egal a $2\pi p^p$.

suivant la loi uniforme sur $\{1,-1\}$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Rademacher, et $a_1,\ldots,a_n$ des réels. On pose $Y=\sum_{k=1}^na_kX_k$.

• Montrer que $\mathbf{E}(|Y|)^2\leq\mathbf{E}(Y^2)$.
• Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)=\sum_{k=1}^na_k^2$.
• Montrer que si $\sum_{k=1}^na_k^2=1$ alors $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$.
• Montrer que $\mathbf{E}(Y^2)\leq e\,\mathbf{E}(|Y|)^2$ en toute généralite.

Une variable aléatoire discrète réelle $X$ est dite decomposable s'il existe deux variables aléatoires discrètes réelles non presque surement constantes et independantes $X_1$ et $X_2$ telles que $X\sim X_1+X_2$. - Une variable aléatoire de Bernoulli est-elle decomposable? Une variable aléatoire binomiale est-elle decomposable?

• Montrer que le polynome $T^4+2T+1$ ne peut se factoriser comme produit de deux polynomes de degre $2$ a coefficients dans $\R^+$. En déduire une variable aléatoire réelle discrète decomposable $X$ telle que $X^2$ ne soit pas decomposable.
• Soient $n\in\N^*$ et $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme que $\db{0,n-1}$. Donner une condition necessaire et suffisante sur $n$ pour que $X$ soit decomposable.

On fixe $n\in\N^*$ et on pose $X=\db{1,n}$. Soient $A$ et $B$ des variables aléatoires independantes uniformement distribuees sur l'ensemble $\mc{P}(X)$ des parties de $X$.

• Déterminer la loi, l'espérance et la variance de la variable aléatoire $\left|A\right|$ (cardinal de $A$).
• Montrer que, pour tout $\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|A\right|\geq\left(\frac{1}{2}+\eps\right)n \right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$.
• Pour $i\in\db{1,n}$, on note $\mathbf{1}_{\{i\}}$ la fonction indicatrice du singleton $\{i\}$. Déterminer la loi de $\mathbf{1}_{\{i\}}(A)$.
• Calculer $\mathbf{P}(A\subset B)$. Commenter.

Soient $n\in\N^*$ et $p\in[0,1]$. On considère un échiquier $n\times n$. On colorie chaque case en rouge (resp. en bleu) avec probabilité $p$ (resp. $1-p$). On note $Q(p)$ la probabilité pour qu'il existe un chemin joignant le bord gauche au bord droit constitué uniquement de cases rouges (les deplacements ne se font pas en diagonale) ? Que dire de la fonction $Q$?

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires independantes de loi de Rademacher. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ pour $n\geq 1$.

• Calculer l'espérance du nombre $R$ de retour en zero de la suite $(S_n)_{n\geq 1}$.
• Soit $I$ un intervalle de $\R$ distinct de $\R$. Montrer que la probabilité qu'il existe $n\geq 1$ tel que $S_n\notin I$ est egale a $1$.
• Montrer que l'evenement $(R=+\i)$ est presque sûr.

• Passer par la probabilité de premier retour en $0$, il faut tout refaire…

Soient $(\Omega,\mc{A},\mathbf{P})$ un espace probabilise et $(m - {k\in\N}$ une suite de réels positifs de somme 1. On considère un arbre aléatoire sur cet espace tel que chaque noeud ait un nombre aléatoire $X$ de successive avec, pour tout $k\in\N$, $\mathbf{P}(X=k)=m_k$. Ces variables aléatoires correspondant au nombre de succcesseurs sont mutuellement independantes. On note $X_1$ la variable aléatoire comptant le nombre de succcesseurs de la racine. Caracteriser le fait que la longueur de l'arbre soit presque surement finie.

On construit iterativement et aléatoirement un arbre aléatoire sur l'ensemble de sommets $\left[\![1,n]\!\right]$ (graphe oriente) selon le procede suivant : a l'etape $k$, on choisit aléatoirementun point dans $\db{1,k}$ (avec probabilité uniforme) et on rajoute une arete orientee de ce point vers $k+1$. Ces choix s'effectuent de maniere independante les uns des autres.

• On note $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre d'aretes partant du point $1$. Déterminer l'espérance et la variance de $X_n$.
• On suppose $n\geq 2$. On note $S_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de descendants (directs ou non) du sommet $2$. Déterminer la loi de $S_n$.
• Calculer l'espérance du nombre de feuilles de l'arbre.

Soient $E$ un ensemble fini, $V: E \ra \mc{P}(E)$ une fonction de $E$ vers les parties de $E$ et $f\colon E \ra \R$ une fonction. Un point $a \in E$ est un minimum local si $f(a) \leq f(b)$ pour tout $b \in V(a)$. Soit $M$ un entier tel que $M \geq \sqrt{|E|}$. Soient $b_1, \ldots, b_M$ des variables aléatoires indépendantes et uniformément distribuées dans $E$. Soit $k$ tel que $f\left(b_k\right)=\min_{1 \leq i \leq M} f\left(b_i\right)$. Soit $\left(u_n\right)_{n \geq 0}$ une suite de $E$ telle que $u_0=b_k$ et, pour tout $n \geq 0$ :

• si $u_n$ est un minimum local, alors $u_{n+1}=u_n$;
• sinon $u_{n+1} \in V\left(u_n\right)$ et $f\left(u_{n+1}\right)\lt f\left(u_n\right)$.

Montrer que $u_M$ est un minimum local avec probabilité au moins $1 / 2$.

La donnée est celle d'un graphe. Étant donné l'algorithme, on peut retirer des arêtes, de sorte que les voisins de $a$ vérifient $f(b)\lt f(a)$. Auquel cas il n'y a plus de cycles.

Alors on choisit aléatoirement $\sqrt{n}$ sommets du graphe, et parmi ceux-ci le sommet de valeur minimale. On veut montrer que la plus longue chaîne décroissante à partir de celui-ci est de longueur $\leq \sqrt{n}$ avec probabilité $\geq \frac{1}{2}$.

On peut attribuer à chaque sommet sa valeur par $f$, et on peut supposer que c'est injectif.

Puis on peut ajouter des arêtes, vers ceux qui sont $\lt s$. Puis on peut retirer les arêtes, sauf celle juste en dessous. On est ramené à traiter le cas du graphe $n\ra n-1 \ra \dots \ra 1$.

Une variable aléatoire réelle $X$ est infiniment divisible si $X$ admet un moment d'ordre 2, et si, pour tout $n\geq 2$, il existe $(X_{i,n})_{i\in\db{1,n}}$ i.i.d. et admettant des moments d'ordre 2 telles que $X\sim\sum_{i=1}^nX_{i,n}$. Montrer que si $X$ est bornee et infiniment divisible, alors $X$ est presque surement constante.

On se donne une suite $(X - {i\geq 1}$ de variables aléatoires independantes. On suppose que pour tout $i\geq 1$, il existe $a_i\in\left]0,2\right]$ et $p_i\in[0,1]$ tels que $X_i$ soit a valeurs dans $\{0,a_i,-a_i\}$ et $\mathbf{P}(X_i=a_i)=\mathbf{P}(X_i=-a_i)=\frac{p_i}{2}$.

• Quelle relation doivent verifier $a_i$ et $p_i$ pour que $\mathbf{V}(X_i)=1$? Dans toute la suite, on suppose cette relation verifiee et on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$.
• Calculer la variance de $n^{-1/2}S_n$.
• Montrer que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))=\prod_{i=1}^n\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tX_i)$.
• En déduire que $\mathbf{E}(\cos(n^{-1/2}tS_n))\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}e^{-t ^2/2}$.

On fixe un entier $n\geq 1$. On considère la relation d'ordre partielle $\preccurlyeq$ sur $\R^n$ définie par $x\preccurlyeq y\Leftrightarrow\forall i\in\db{1,n},\ x_i \leq y_i$. Une fonction $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ est dite croissante lorsque $f(x)\leq f(y)$ quels que soient $x,y$ dans $\{0,1\}^n$ tels que $x\preccurlyeq y$.

• Donner un exemple de fonction croissante non constante de $\{0,1\}^n$ dans $\R$.
• Dans la suite, on se donne une liste $(X_1,\ldots,X_n)$ de variables aléatoires i.i.d. suivant $\mc{B}(1/2)$. Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ croissante. On suppose $n\geq 2$.

Montrer que $\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n))=\frac{1}{2}\Big{(}\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_ {n-1},0)+\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_{n-1},1))\Big{)}$. - Soit $f\colon\{0,1\}^n\to\R$ et $g:\{0,1\}^n\to\R$ croissantes.

Montrer que $\mathbf{E}((fg)(X_1,\ldots,X_n))\geq\mathbf{E}(f(X_1,\ldots,X_n)) \,\mathbf{E}(g(X_1,\ldots,X_n))$.

Soit $n\in\N^*$. On munit $S_n$ de la distribution uniforme de probabilité. On note $A_i=\{\sigma\in S_n,\ \sigma(i)=i\}$ et $N$ la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation.

• Soit $I\subset\db{1,n}$. Calculer $\mathbf{P}\left(\bigcap\limits_{i\in I}A_i\right)$.
• Exprimer $N$ avec des indicatrices. Calculer $\mathbf{E}(N)$ et $\mathbf{V}(N)$.
• Soient $k\in\db{1,n}$ et $F\subset\db{1,n}$. Calculer $\sum\limits_{I\subset\db{1,n},\ |I|=k}\prod\limits_{i\in I} \mathbf{1}_F(i)$.
• Soit $k\in\db{1,n}$. Calculer $\mathbf{E}(N(N-1)\cdots(N-k+1))$.
• Soient $X\sim\mc{P}(1)$ et $k\in\N$. Calculer $\mathbf{E}(X(X-1)\cdots(X-k+1))$.
• Calculer $\mathbf{P}(N=0)$.

On considère une suite i.i.d. $(X_n)_{n\geq 1}$ de variables aléatoires suivant toutes la loi uniforme sur $\{1,2\}$. On définit $(S_n)_{n\geq 0}$ par $S_0=0$ et $\forall n\in\N,\ S_{n+1}=S_n+X_{n+1}$.

a) i) Déterminer l'espérance et la variance de $S_n$.

• Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$.
• Soit $\eps\gt 0$. Montrer que $\mathbf{P}(|S_n-3n/2|\geq\eps n^{2/3})$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\i$.
• On considère la variable aléatoire $T_n:\omega\mapsto\min\{k\in\N,\ S_k(\omega)\geq n\}$. Déterminer l'ensemble des valeurs prises par $T_n$.
• Soit $k\geq 2$. Montrer que $\mathbf{P}(T_n=k)=\frac{1}{2}\mathbf{P}(T_{n-1}=k-1)+\frac{1}{2} \mathbf{P}(T_{n-2}=k-1)$.
• Calculer l'espérance de $T_n$.

Soient $d\in\N^*$ et $n\geq 3$. On pose $G = (\Z/n\Z)^d$ et $S = \left\{ \pm e_i, 1 \leq i \leq d\right\}$, où $e_i$ désigne l'élément de $G$ dont toutes les coordonnées sont nulles sauf la $i$-ème, égale à $\overline{1}$. Soient enfin $f\colon G \ra \R$ une fonction quelconque et $X$ une variable aléatoire uniformément distribuée sur $G$.

Montrer que $\mathbf{E}(|f(X)-\mathbf{E}(f(X))|) \leq \frac{n d}{2} \max_{s \in S} \mathbf{E}(|f(X)-f(X+s)|)$.

C'est simple : On peut passer d'un somme à un autre en au plus $\frac{n d}{2}$ pas.

X   xens

Algèbre

On note $p(n)$ le nombre de partitions de $n$ pour $n\in\N^*$. Monter que $p(n)\leq 2^{n-1}$.

On a $p(n)\leq p(n-1) + p(n-2) + \dots + p(1) + 1$, en considérant le (un) plus grand élément de la partition. Formellement, on a une surjection $\sqcup_{k=0}^{n-1} \mc P_k \ra \mc P_n\quad (X, k)\mapsto X + (n-k)$.

Soient $e_r\gt \cdots\gt e_2\gt e_1\geq 0$ des entiers, $n=\sum_{k=1}^r2^{e_k}$ et $X=\{s\in\N;\ 2^s\,|\,n!\}$.

• Montrer que $\max X=n-r$.
• Montrer que le nombre d'entiers $k$ tels que $\binom{n}{k}$ est impair est $2^r$.

• Formule de Legendre.
• Relié à Lucas.

• Montrer que l'équation $a^2-2b^2=1$ admet une infinite de solutions $(a,b)\in\N^2$. Déterminer l'ensemble des solutions.
• Que dire de l'ensemble des solutions de $a^2-2b^2=-1$?

Si $G$ est un groupe, les éléments d'ordre fini forment-il un sous-groupe?

Non : cf le produit libre $\Z/2\Z * \Z/2\Z$ : l'ensemble des mots sur $\{A,B\}$ où deux $A$ d'affilée se simplifient, munit de la concaténation. Cf # 281

• Trouver deux groupes $G_1$ et $G_2$ non isomorphes de cardinal $2023=7.17^2$.

  • Soit $p$ premier. Montrer qu'un groupe de cardinal $p^2$ est isomorphe a $\Z/p^2\Z$ ou $\hat{\text{a}}\,(\Z/p\Z)^2$.
  • Soient $G,H$ deux groupes finis et $\psi\colon G\to H$ un morphisme surjectif.

Montrer que $|G|=|H|\times|\op{Ker}\psi|$.

• On suppose que $G$ est un groupe de cardinal $2023$, que $H=\Z/7\Z$ et que $\phi\colon G\to H$ est un morphisme surjectif. Montrer que $G$ est isomorphe a $\Z/7\Z\times\op{Ker}\phi$.
• Montrer que tout groupe de cardinal $2023$ est isomorphe a $G_1$ ou $G_2$.

Soit $G$ un groupe fini de neutre 1. Soit $\phi$ un automorphisme de $G$ sans point fixe c'est-a-dire tel que : $\forall x\in G$, $\phi(x)=x\Rightarrow x=1$. On note $n$ l'ordre de $\phi$ ; c'est le plus petit entier $n\in\N^*$ tel que $\phi^n=\op{id}$.

• Montrer que $\forall x\in G$, $x\,\phi(x)\,\phi^2(x)\,\cdots\,\phi^{n-1}(x)=1$.
• Si $n=2$, que peut-on dire du groupe $G$? Donner un exemple.
• Si $n=3$, montrer que, pour tout $x\in G$, $x$ et $\phi(x)$ commutent.

Soient $G$ un groupe et $T$ l'ensemble des éléments de $G$ d'ordre fini.

• En général, $T$ est-il un sous-groupe de $G$?
• Soit $S$ une partie finie de $G$ stable par conjugaison munie d'une relation d'ordre totale $\leq$. Montrer que, pour tous $s_1$,…, $s_r\in S$, il existe $s'_1$,…, $s'_r\in S$ tels que $s'_1\leq s'_2\cdots\leq s'_r$ et $s_1s_2\cdots s_r=s'_1s'_2\cdots s'_r$.
• Avec la question précédente, montrer que, si $T$ est fini, alors $T$ est un sous-groupe de $G$.

• Non : cf le produit libre $\Z/2\Z * \Z/2\Z$ : l'ensemble des mots sur $\{A,B\}$ où deux $A$ d'affilée se simplifient, munit de la concaténation.
• Pour deux éléments : on peut écrire $s_1 s_2 = s_2 \big(s_2^{-1} s_1 s_2\big)$ : on a mis le second en premier. On peut recommencer tant que le premier est plus grand, on obtient une suite strictement décroissante, qui s'arrête car $S$ fini. Puis récurrence sympa.
• Si $T$ est fini, si $ab\not \in T$, alors on obtient une infinité de puissances, qui sont distinctes, mais d'après la question précédentes, elle s'écrivent comme un produit croissant, qui n'a qu'un nombre fini de possibilités.

• Soit $s\colon \R^*\to\R^*,\, t\mapsto t^{-1}$. Déterminer le groupe engendré par $s$.
• On définit les applications $s_1:(t,u)\in\R^*\times\R^*\mapsto(t^{-1},tu)\in\mathbb{ R}^*\times\R^*$ et Montrer que le sous-groupe qu'elles engendrent est isomorphe a $\mc{S}_3$.
• Retrouver le resultat de la question précédente en considerant le quotient $A$ de $(\R^*)^3$ par la relation de colinearite, la bijection $f:A\to(\R^*)^2$ qui associe a la classe de $(x_1,x_2,x_3)$ le couple $(x_1/x_2,x_2/x_3)$, et enfin les permutations de $A$ induites par $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_2,x_1,x_3)$ et $(x_1,x_2,x_3)\mapsto(x_1,x_3,x_2)$.
• Soit $n\geq 3$. Déterminer le groupe engendre par les bijections $(s - {1\leq i\leq n}$ de $(\R^*)^n$ définies par $s_i(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{i-2},t_{i-1}\times t_i,t_i^{-1},t_i \times t_{i+1},t_{i+2},...,t_n)$ si $1\lt i\lt n$, $s_1(t_1,...,t_n)=(t_1^{-1},t_1\times t_2,t_3,...,t_n)$ et $s_n(t_1,...,t_n)=(t_1,...,t_{n-2},t_{n-1}\times t_n,t_n^{-1})$. Ind. Considèrer $f:(\R^*)^{n+1}\to(\R^*)^n$ définie par $f(t_1,...,t_{n+1})=\left(\dfrac{t_2}{t_1},...,\dfrac{t_{n+1}}{t_n}\right)$ et chercher des bijections simples $s'_i$ de $(\R^*)^{n+1}$ telles que $s_i\circ f=f\circ s'_i$.

Soit $G$ un groupe fini d'ordre $n$. On note, pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $n_d(G)$ le nombre d'éléments de $G$ d'ordre $d$.

• Montrer que $n=\sum_{d\mid n}n_d(G)$.
• Calculer les $n_d(G)$ lorsque $G$ est cyclique.
• Montrer que, si pour tout diviseur positif $d$ de $n$, $|\{x\in G,\ x^d=1\}|\leq d$, alors $G$ est cyclique. - Soient $\mathbb{K}$ un corps et $G$ un sous-groupe fini de $\mathbb{K}^*$. Montrer que $G$ est cyclique.

On pose $\Q[i]=\{a+ib\;;\ a,b\in\Q\}$.

• Montrer que $\Q[i]$ est un sous-corps de $\C$.
• Déterminer les éléments de $\Q[i]\setminus\{0\}$ qui sont d'ordre fini.

• Soient $\mathbb{K}$ un corps, $(a,b)\in\mathbb{K}^2$, $P=X^2-aX-b$. On considère la $\mathbb{K}$-algèbre $A$ admettant une base sur $\mathbb{K}$ de la forme $(1,x)$ avec $x^2=ax+b$. À quelle condition cette algèbre est-elle un corps?

  • On suppose que $\mathbb{K}=\mathbb{F}_p$ ou $p$ est un nombre premier. Combien de $\mathbb{F}_p$-algèbres non isomorphes peut-on obtenir ainsi?

Soit $p$ un nombre premier. On suppose que, pour toute $\mathbb{F}_p$-algèbre $A$, il existe un endomorphisme $u_A$ de $A$ de sorte que, pour tout couple $(A, B)$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres et tout morphisme $\tau$ de $\mathbb{F}_p$-algèbres de $A$ dans $B$, on ait $\tau \circ u_A=u_B \circ \tau$. Que dire des $u_A$ ?

Pour tout isomorphisme $\tau\colon A\ra \A$, $u_A$ commute avec $\tau$.

Soit, pour $n\in\N^*$, $P_n=1+X+\cdots+X^{n-1}$.

Montrer que $\sum_{k=1}^n\binom{n}{k}P_k=2^{n-1}P_n\left(\frac{X+1}{2}\right)$.

Revient à l'identité $\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{k=p+1}^{n} {n\choose k} = \sum_{k=p}^{n-1} \frac{1}{2^k} {k\choose p}$, qui peut se démontrer par des récurrence, en appliquant successivement la formule de Pascal. Faire le dessin.

Interprétation probabiliste : on divise par $2$, à gauche, on a la probabilité de tirer une partie de taille $\gt p$. À droite, si on imagine des tirages pile/face successif, c'est la probabilité d'obtenir le $p+1$-ème élément au rang $k+1$ exactement.

• Montrer que pour tout $n\in\N$, il existe un unique polynome $S_n\in\Q[X]$ tel que $\forall N\in\N,\ S_n(N)=\sum_{k=0}^{N-1}k^n$. Dans la suite, on note $b_n$ le coefficient de $S_n$ devant $X$.
• Donner une relation de recurrence exprimant $b_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_{n-1}$.
• Pour $n\geq 1$, donner une relation entre $S_n^{''}$ et $S_{n-1}'$.
• En déduire une expression explicite des coefficients de $S_n$ en fonction de $b_0,\ldots,b_n$.

Soit $n\in\N^*$. Soit $q\in\C$ tel que $0\lt |q|\lt 1$.

On pose $F\colon z\in\C^*\mapsto\prod_{k=1}^n(1+q^{2k-1}z)(1+q^{2k-1}z^{-1})$.

• Montrer qu'il existe une unique liste $(c_0,\ldots,c_n)\in\C^{n+1}$ telle que $$\forall z\in\C^*,\ F(z)=\sum_{k=0}^nc_k(z^k+z^{-k})$$.
• Donner une relation de recurrence entre $c_k$ et $c_{k+1}$, et en déduire une expression de $c_k$ a l'aide d'un produit. Ind. Exprimer $F(q^2z)$ en fonction de $F(z)$.

• Existence claire, unicité via l'unicité polynomiale.
• On a $F(q^2z)$.

Soit $p$ un nombre premier. Trouver tous les entiers $n\in\N$ tels que $(X+Y)^n$ soit congru a $X^n+Y^n$ modulo $p$.

Pour $n=p$ ok. Sinon, cf Lucas pour les coefficients binomiaux, on veut que $n$ divise tous les ${n\choose k}$.

Soit $f\in\C[X]$ tel que $f(0)\neq 0$. Soit $(k,n)\in(\N^*)^2$. Montrer qu'il existe $P\in\C[X]$ tel que $X^n$ divise $P^k-f$.

C'est des DLs.

Soit $p$ un nombre premier. Pour deux polynomes $P,Q$ dans $\Z[X,Y]$, on note $P\equiv Q\ [p]$ pour signifier que $P-Q$ a tous ses coefficients (devant les $X^kY^l$) divisibles par $p$. On adopte une définition similaire pour les polynomes a une indéterminee.

• Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$.
• Exhiber un polynome $P\in\Z[T]$ tel que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$, $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$, $P\not\equiv T\ [p]$ et $P\not\equiv 0\ [p]$.
• Déterminer tous les polynomes $P\in\Z[T]$ tels que $P(XY)\equiv P(X)P(Y)\ [p]$ et $P(X+Y)\equiv P(X)+P(Y)\ [p]$.

• $T^p$
• $T^p$

Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_r$ des complexes deux a deux distincts. Soient $n_1,\ldots,n_r$ dans $\N^*$ et $H_1,\ldots,H_r$ dans $\C[X]$. Montrer qu'il existe un $H\in\C[X]$ tel que $(X-\alpha_i)^{n_i}$ divise $H-H_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$.

Interpolation de Hermite.

• Soient $N_1,\ldots,N_r$ des entiers premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des entiers. Montrer qu'il existe un entier $F$ tel que $F\equiv f_i\ [N_i]$ pour tout $i\in\db{1,r}$.
• Soient $N_1,\ldots,N_r$ des éléments de $\C[X]$ premiers entre eux deux a deux, et $f_1,\ldots,f_r$ des éléments de $\C[X]$. Montrer qu'il existe $F\in\C[X]$ tel que $N_i$ divise $F-f_i$ pour tout $i\in\db{1,r}$.
• Soient $f,g$ deux éléments de $\C[X]$ premiers entre eux, et $n\in\N^*$. Montrer qu'il existe $h\in\C[X]$ tel que $g$ divise $h^n-f$.

• Se ramener au cas de $g = X^n$, via ce qui précède, peut-être.

Soit $n\in\N$. Le polynome $X^{n+1}-nX^n+1$ est-il irréductible dans $\Z[X]$?

!! Pour $n=2$, $1$ est racine :)

Soit $P\in\Z[X]$ un polynome unitaire dont les racines complexes ont un module inferieur ou egal a $1$. Montrer que les racines de $P$ sont des racines de l'unite.

Soit $P\in\Z[X]$ possedant $n$ racines distinctes $x_1,\ldots,x_n\in\Z$. On ecrit $P^2+1=Q_1\ldots Q_r$ ou les $Q_i$ sont dans $\Z[X]$. On pose $R=\sum_{i=1}^r{Q_i}^2-r$.

• Montrer que les $x_k$ sont racines au moins doubles de $R$.
• En déduire qu'il existe $i\in\{1,\ldots,r\}$ tel que $\deg(Q_i)\geq 2\left\lfloor\frac{n+1}{2}\right\rfloor$.

• C'est juste le degré de $R$.

On se propose de donner une preuve du theoreme de d'Alembert-Gauss.

• Montrer qu'il suffit de montrer le theoreme pour les polynomes a coefficients réels. Dans la suite, on ecrira le degre d'un polynome non constant de $\R[X]$ sous la forme $2^nq$, ou $n\in\N$ et $q\in\N$ est impair. La preuve se fait par recurrence sur $n$.
• Montrer le theoreme dans le cas ou $n=0$. Dans la suite, on suppose le resultat vrai jusqu'au rang $n$, ou $n\geq 1$ est fixe.

• Soit $P\in\R[X]$ de degre $2^nq$, ou $n\geq 1$. On admet l'existence d'une extension $\mathbb{K}$ de $\C$ sur laquelle $P$ est scinde, et on note $x_1,\ldots,x_d$ ses racines dans $\mathbb{K}$, distinctes ou non. Ayant fixe $c\in\R$, on pose $y_{ij}(c)=x_i+x_j+cx_ix_j$ pour $1\leq i\leq j\leq d$.

  • Montrer que le polynome $Q_c=\prod_{i\leq j}(X-y_{ij}(c))$ est a coefficients réels.
  • Montrer que l'un des $y_{ij}(c)$ est élément de $\C$.
  • Montrer finalement que l'un des $x_i$ est élément de $\C$.

• Considérer $Q \ol{Q}$.
• Tout polynôme de degré impair admet une racine.
• • Propriété de symétrie : prendre son conjugué.
  • Découle de la première question.
  • Pour tout $c\in\R$, un des $x_i + x_j + c x_i x_j$ est dans $\R$. Si $i = j$ c'est bon. Sinon, pour une infinité de $c$, c'est le même couple, donc $x_i + x_j\in\C$, et $x_i x_j\in\C$.

Soient $F\in\C(X)$ et $q\in\C^*$.

• On suppose que $q$ n'est pas une racine de l'unite. Montrer qu'il existe au plus deux fractions rationnelles $G\in\C(X)$ telles que $F=1+G(qX)\,G(q^{-1}X)\,F(q^{-2}X)$, et que s'il y en a deux alors elles sont opposees l'une de l'autre.
• Montrer que le resultat precedent peut tomber en defaut si l'on ne suppose plus que $q$ n'est pas une racine de l'unite.

• On a $G(qX) G(q^{-1} X) = \frac{F-1}{F(q^{-2}X)}$. Si $x_i$ sont les poles/racines de $G$, les poles/racines de $G(qX) G(q^{-1}X)$ sont les $qx_i$ et les $q^{-1} x_i$, de multiplicités $m(y_i) = m_{q^{-1}y_i} + m_{q y_i}$. Ces multiplicités déterminent entièrement les multiplicités d'origine, car $q$ n'est pas une racine de l'unité (… technique à écrire). Si on a l'égalité $G(qX) G(q^{-1} X) = G'(qX) G(^{-1}X)$, on a les mêmes poles/racines, et quitte à les retirer, on a la même constante, à $\pm$ près.

Soit $G$ un groupe, $\M$ l'ensemble des morphismes de groupes de $G$ dans $\C^*$. Montrer que $\M$ est une partie libre du $\C$-espace vectoriel $\C^G$.

On note $C$ l'ensemble des matrices de $\mathrm{GL}_2(\R)$ dont les coefficients sont non nuls. Pour $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq 2}\in C$, on pose $J(M)=\Big{(}\dfrac{1}{m_{i,j}}\Big{)}_{1\leq i,j\leq 2}$. Soit $\phi:C\to C$ qui a $M$ associe $J(M^{-1})$. Montrer que $\phi$ est bien définie et trouver a quelle condition sur $M\in C$ la suite $\left(\phi^n(M)\right)_{n\geq 1}$ est stationnaire, ou bien periodique a partir d'un certain rang.

$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \ra (ad-bc) \begin{pmatrix}1/d & -1/b \\ -1/c & 1/a\end{pmatrix}$ Si on est un point fixe, on vérifie $a/b = -\frac{1/d}{1/b}$ , c'est-à-dire $b^2 = - ad$ et $c^2 = - ad$. Donc $b = \pm c$, mais si $b = -c$, $ad - bc = 0$, donc $b = c$.

et $ad-bc = 2ad = -2b^2$

Alors $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix} \ra \begin{pmatrix}2a & 2b \\ 2c & 2d\end{pmatrix}$, donc pas de point fixe.

Si on applique une deuxième fois l'application, comme $\phi(c x) = c \phi(x)$, on obtient $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}\ra (ad-bc) \big(\frac{1}{da} - \frac{1}{bc}\big) \begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ Donc on est point fixe si et seulement si $(ad - bc)(bc - ad) = adbc \ssi (ad-bc)^2 = -adbc$ $\ssi X^2 +Y^2 = 3XY$. M'enfin, si c'est le cas, c'est directement le cas je dirais, peut-être.

Soit $R\in\M_n(\Z)$ non nulle et $M=I_n+3R$. Montrer que, pour tout $k\in\N^*$, $M^k\neq I_n$.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $p, u \in \mc{L}(E)$. On suppose que $p$ est un projecteur et que $p u+u p=u$. Montrer que $\op{tr}(u)=0$.

On a $u(\Ker p)\subset \Im p$ et $u(\Im p) \subset \Ker p$.

Pour $(A,B)\in\M_n(\R)^2$, on pose $\phi_{A,B}:M\in\M_n(\R)\mapsto AMB$.

Soit $T=\{\phi_{A,B},\ (A,B)\in\M_n(\R)^2\}$.

• L'ensemble $T$ est-il un $\R$-espace vectoriel?
• Montrer que l'espace vectoriel engendré par $T$ est $\mc{L}\left(\M_n(\R)\right)$.

• Non.
• On prend les $E_{ij} M E_{k\l}$, ils forment une famille libre.

Pour une matrice de projecteur $P\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $R_P=\det(I_n+(X-1)P)$.

• Calculer $R_P$ en fonction de $P$.
• Soient $P,Q$ des matrices de projecteur dans $\M_n(\mathbb{K})$ telles que $PQ=QP=0$. Montrer que $R_PR_Q=R_{P+Q}$.

• Soit $\phi$ un automorphisme de la $\mathbb{K}$-algèbre $\M_n(\mathbb{K})$.

  • Montrer que $\phi(E_{i,i})$ est un projecteur de rang $1$, pour tout $i\in\db{1,n}$.
  • Que dire du rang de $\phi(E_{i,j})$, pour $i,j$ dans $\db{1,n}$?
  • Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^n\mathrm{Im}\,\phi(E_{i,1})$.

• $R_P = X^r$
• C'est-à-dire que $\rg (P+Q) = \rg P + \rg Q$.

• Pas de rapport avec ce qui précède.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie $n\geq 1$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe une application $q:V\to\C$ telle que $u^2=q(u)\,\mathrm{id}$ pour tout $u\in V$.

• Monter que, pour tous $u,v\in V$, il existe $B(u,v)\in\C$ tel que $uv+vu=2B(u,v)\,\mathrm{id}_E$.
• Montrer que $B$ est une forme bilineaire.
• Soient $d\geq 1$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\db{1,n}$. Montrer que $(u_1,\ldots,u_d)$ est libre.
• Soient $d\geq 2$ et $u_1,\ldots,u_d\in V$ tels que $B(u_i,u_j)=-\delta_{ij}$ pour tous $i,j\in\db{1,n}$. Montrer que les $u_i$ sont de trace nulle, et que $\dim E$ est paire.

Soit $n\in\N$ avec $n\geq 2$. Soit $\phi\in\mc{L}\left(\M_n(\C)\right)$. On suppose que $\phi(I_n)$ est inversible et que $\forall A,B\in\M_n(\C)$, $\phi(AB)=\phi(A)\,\phi(B)$. Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\C)$ tel que : $\forall A\in\M_n(\C)$, $\phi(A)=PAP^{-1}$.

• Caracteriser les endomorphismes $\phi$ de $\C(X)$ verifiant $(*)$ : $\forall F_1,\,F_2\in\C(X)$, $\phi(F_1F_2)=\phi(F_1)\,\phi(F_2)$.
• Déterminer les automorphismes de $\C(X)$ verifiant $(*)$.

Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\M_n(\R)$ telle que : $\forall i,j$, $m_{i,j}\geq 0$ et $\sum_{j=1}^nm_{i,j}=1$.

• Montrer que 1 est valeur propre de $M$ et que tout valeur propre de $M$ est de module $\leq 1$.
• On note $\mu=\min_{1\leq i\leq n}m_{i,i}$. Montrer que le spectre de $M$ est inclus dans le disque de centre $\mu$ et de rayon $1-\mu$.
• On suppose que $\mu\gt 0$ et que 1 est valeur propre de multiplicite 1 dans $\chi_M$. Montrer que $(M^p)_{p\geq 1}$ converge vers une matrice de rang $1$ dont toutes les lignes sont egales.
• On se donne trois réels strictement positifs $p,q,r$ tels que $p+q+r=1$. On considère la matrice $B\in\M_n(\R)$ définie par $b_{i,i}=r$, $b_{i,i+1}=q$ si $i\gt 2$, $b_{1,2}=p+q$, $b_{i+1,i}=p$ si $i\lt n-1$, $b_{n,n-1}=p+q$, et tous les autres coefficients sont nuls. Montrer que $1$ est valeur propre simple de $B$, et expliciter la limite de $(B^k)_{k\geq 0}$.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie, $f\in\mc{L}(E)$ cyclique, $F$ un sous-espace de $E$ stable par $f$. Montrer que l'induit par $f$ sur $F$ est cyclique.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie, $a,b\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $f\in\mc{L}(\C,E)$ et $v\in\mc{L}(E,\C)$ telles que $ab-ba=fv$.

• Que peut-on dire de $\det(ab-ba)$?
• Montrer que $a$ et $b$ sont cotrigonalisables.
• À quelle condition sur $u\in\mc{L}(E)$ existe-t-il $w\in\mc{L}(E)$ tel que $uw-wv$ soit de rang 1?

• $fv$ est un endomorphisme de rang $1$, on note son image $\vect (t)$.
• Si $\Ker b$ non stable par $a$, alors il existe $x$ tel que $-b(a(x)) \in \vect t$, donc $t\in\Im b$. Alors $\Im b$ est stable par $a$. En appliquant ça à des $b-\la I_n$ répétitivement, on trouve un vecteur propre commun.
• Si $u$ a deux valeurs propres distinctes, en diagonalisant $u$ par blocs et en prenant une matrice $v$ avec un unique $1$ à l'intersection, on obtient une matrice de rang $1$. Si $u$ a une unique valeur propre, on peut supposer $u$ nilpotente. Alors, si $u$ est non nulle, on peut prendre $v$ de rang $1$, qui envoie un élément de l'image de $u$ sur un élément du noyau de $u$, et on obtient $uv-vu$ de rang $1$.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mc{L}(E)$ tel que, pour tout vecteur $x\in E$, l'ensemble $\{f^n(x),\ n\in\N\}$ est fini.

• Montrer que, si $f\in\mathrm{GL}(E)$, il existe $k\in\N^*$ tel que $f^k=\op{Id}$.
• On revient au cas général. Montrer l'existence de $k\in\N^*$ et $p\in\N$ tels que $f^{p+k}=f^p$.

• Les valeurs propres sont des $\m U_k$, et si elle n'était pas diagonalisable…

Pour $\sigma\in\mc{S}_n$, on note $P_{\sigma}\in\M_n(\C)$ la matrice de permutation associee a $\sigma$. Montrer que, si $\sigma$ et $\sigma'$ sont dans $\mc{S}_n$, $\sigma$ et $\sigma'$ sont conjuguees dans $\mc{S}_n$ si et seulement si $P_{\sigma}$ et $P_{\sigma'}$ sont semblables.

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux dans un espace euclidien $E$.

1. Montrer que $p \circ q \circ p$ est diagonalisable.
2. Montrer que $E=\op{Im} p+\op{Ker} q+(\op{Im} q \cap \op{Ker} p)$.
3. Montrer que $p \circ q$ est diagonalisable.
4. Montrer que le spectre de $p \circ q$ est inclus dans $[0,1]$.

Soit $n\in\N^*$. On pose $L_n=D^n((X^2-1)^n)$, ou $D$ designe l'operateur de derivation des polynomes.

• Déterminer le degre de $L_n$. Montrer que $\int_{-1}^1L_n(t)\,P(t)\,dt=0$ pour tout $P\in\R_{n-1}[X]$.
• Montrer que $L_n$ est scinde a racines réelles simples $x_1\lt \cdots\lt x_n$ avec $x_1\gt -1$ et $x_n\lt 1$.
• Montrer qu'il existe des réels $a_1,\ldots,a_n$ tels que $\forall P\in\R_{2n-1}[X],\ \int_{-1}^1P(t)\,dt=\sum_{k=1}^na_{k }P(x_k)$.

Soit $\alpha \in \R^{+*}$. On note $S^2=\left\{x \in \R^3,\|x\|=1\right\}$ où $\lN\cdot \rN$ désigne la norme euclidienne canonique. Montrer l'équivalence entre les propositions suivantes.

• $\alpha=2$.
• $\forall n \geq 1, \forall\left(a_1, \ldots, a_n, b_1, \ldots, b_n, c_1, \ldots, c_n\right) \in\left(S^2\right)^{3 n}, \exists p \in S^2$ tel que

$$\sum_{i=1}^n\left\|p-a_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-b_i\right\|^\alpha=\sum_{i=1}^n\left\|p-c_i\right\|^\alpha$$

Pour $\a = 2$, on veut montrer que si on prend $3n$ points dans la sphère unité, il existe un point tel que la somme des distances au carré soient égales.

Pour $n = 1$ : c'est l'intersection de la droite passant par l'origine et le centre du cercle circonscrit au triangle.

!! Pour $n = 2$, On peut $P_a(x) + P_a'(y) = P_b(x) + P_b'(y) = \dots$

Existe-t-il $A\in\text{SO}_2(\Q)$ telle qu'il n'existe pas $B\in\text{SO}_2(\Q)$ verifiant $B^2=A$?

Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, $f\in\mc{S}(E)$, $\Phi:\begin{array}{rcl}E&\ra&\R\\ v&\mapsto&\|f(v)\|^2-\langle f(v),v\rangle^2\end{array}$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $\Phi$ admette un extremum.

On considère dans $\M_{2n}(\R)$ les matrices $J=\begin{pmatrix}0&-I_n\\ I_n&0\end{pmatrix}$ et $I=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0&I_n\end{pmatrix}$.

• Soit $K\in\M_{2n}(\R)$ tel que $K^2=-I$. Montrer que $K^TJ\in\mc{S}_{2n}(\R)$ si et seulement si $J=K^TJK$.
• On note $\mc C$ l'ensemble des $K\in\M_{2n}(\R)$ telles que $K^2=-I$ et $K^TJ\in\mc{S}_n^{++}(\R)$. Soit $K\in\mc C$. Montrer que $K+J$ est inversible et que $(K+J)^{-1}(K-J)$ est symetrique.
• Soit $K\in\mc C$. On pose $S=(K+J)^{-1}(K-J)$. Montrer que $SJ+JS=0$.

Montrer que $\forall(A,B)\in\mc{S}_n^+(\R)^2$, $\det(A+B)\geq\max(\det(A),\det(B))$.

Soient $A,B\in\mc{S}_n(\R)$.

• Montrer que $\op{tr}\left(e^Ae^B\right)\gt 0$.
• Montrer que $\op{tr}\left(e^{A+B}\right)\leq\op{tr}\left(e^Ae^ {B}\right)$.

Soit $t_1, \ldots, t_n$ des réels.

1. Montrer que la matrice $A=\left(t_i t_j\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
2. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n$. Montrer que la matrice $B=\left(\min \left(t_i, t_j\right)\right)_{1 \leq i, j \leq n}$ est dans $\mc{S}_n^+(\R)$.
3. On suppose $0 \leq t_1 \leq \cdots \leq t_n \leq 1$. Montrer que $M=B-A \in \mc{S}_n^+(\R)$.

1. $X^T AX = (\sum t_i x_i)^2$
2. $\int \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2$
3. Il s'agit de montrer que $\int_0^1 \big(\sum x_i \m 1_{t_i}\big)^2 \geq (\sum t_i x_i)^2$, c'est-à-dire $\int h^2 \geq \big(\int h\big)^2$, car l'intégrale est sur $[0,1]$.

On munit $\R^n$ de son produit scalaire standard et on note $\|A\|=\sup_{X\in B_f(0,1)}\|AX\|$ pour $A\in\M_n(\R)$.

• Montrer que $\|\!|\!|\!|\!|\!|$ définit une norme sur $\M_n(\R)$.
• Montrer que $\|\!|\!|A|\!|\!|=\sup_{(X,Y)\in B_f(0,1)^2}|\left\langle AX,Y\right\rangle|$.
• On prend $A=\Big{(}\dfrac{1}{i+j+1}\Big{)}_{0\leq i,j\leq n}$ dans $\M_{n+1}(\R)$. Pour $X=(x_0\cdots x_n)^T$ et $Y=(y_0\cdots y_n)^T$ dans $\R^{n+1}$, donner une interpretation de $\left\langle AX,Y\right\rangle$ a l'aide d'une intégrale faisant intervenir $P:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^nx_ke^{ikt}$ et $Q:t\in[0,2\pi]\mapsto\sum_{k=0}^ny_ke^{ikt}$.
• En déduire que $\|\!|\!|A|\!|\leq 2\pi$.
• Montrer que l'on a meme $\|\!|A|\!|\!|\leq\pi$.

Analyse

Trouver $f\colon\R^2\to\R$ continue sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$, discontinue en $(0,0)$, dont la restriction a toute droite passant par $(0,0)$ est continue.

Soit $K \subset \R^2$ un convexe fermé non vide.

1. On suppose $K$ borné. Montrer que $K$ s'écrit comme intersection de carrés fermés.
2. On suppose $K$ non borné et $K \neq \R^2$. Donner des exemples de tels convexes. Montrer que si $K$ contient deux droites, celles-ci sont parallèles.
3. On suppose toujours $K$ non borné. Montrer que $K$ contient une demi-droite.

1. Si $x\not\in K$, on peut trouver une droite séparant $x$ de $K$, donc un carré contenant $K$ et non $x$.
2. Si $K$ contient deux droites non parallèles, $K = \R^2$. La partie au dessus du graphe de $x\mapsto e^x$.
3. Fixer $y\in K$, et une suite $(x_n)\in K$ qui tend vers $\i$, et prendre une valeur d'adhérence des segments $[y, x_n]$.

Déterminer les endomorphismes continus du groupe $\C^*$.

Soit $d\in\N^*$. On munit $\R^d$ de la structure euclidienne canonique. On définit une norme sur $\M_d(\R)$ en posant, pour $M\in\M_d(\R)$, $\|M\|=\sup\big{\{}\|Mx\|\ ;\ x\in\R^d,\ \|x\|=1\big{\}}$.

• Soient $A,B\in\M_d(\R)$. Montrer que $\|AB\|\leq\|A\|\times\|B\|$.
• Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle. On suppose que la série de terme général $|u_n-1|$ converge.

Montrer que la suite de terme général $\prod_{k=0}^nu_k$ converge.

Soit $(M_n)_{n\geq 0}$ une suite de matrices de $\M_d(\R)$. On suppose que la série de terme général $\|M_n-I_d\|$ converge. On pose, pour $n\in\N$, $B_n=M_0\times M_1\times\cdots\times M_n$.

• Montrer que la suite $(B_n)_{n\geq 0}$ converge.
• Soit $\sigma$ une permutation de $\N$. Que peut-on dire de la suite de terme général $M_{\sigma(0)}\times\cdots\times M_{\sigma(n)}$?
• Soit $E=\left\{\prod_{k=0}^{+\i}M_{\sigma(k)},\ \sigma\in\mc{S}( \N)\right\}$. Existe-t-il une suite de matrices pour laquelle $E$ n'est pas ferme?
• Soit $k\in\N^*$. Existe-il $(M_n)_{n\geq 0}\in(\M_d(\R))^{\N}$ telle que $E$ possede exactement $k$ composantes connexes?

On définit la longueur d'un intervalle borne $I$ de bornes $a$ et $b$ par $\ell(I)=|b-a|$. - Soient $N\in\N^*$, $I_1,\ldots,I_N$ des intervalles bornes de $\R$ tels que $[0,1]\subset\bigcup_{i=1}^NI_i$. Que peut-on dire de $\sum_{i=1}^N\ell(I_i)$?

• Soit $\delta:[0,1]\to\R^{+*}$. Montrer qu'il existe $p\in\N^*$, $0\leq x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_p=1$, $t_1,\ldots,t_p\in\R$ tels que, pour tout $k\in\db{1,p}$, $x_{q-1}\leq t_q\leq x_q$ et $x_q-x_{q-1}\leq\delta(t_q)$.
• Soit $(I_n)_{n\geq 1}$ une suite d'intervalles bornes de $\R$ telle que $[0,1]\subset\bigcup_{n=1}^{+\i}I_n$. Que peut-on dire de $\sum_{n=1}^{+\i}\ell(I_n)$?

Dans $\R^2$, on note $D$ le disque unite ferme pour la norme infinie, $C$ la sphere unite pour la norme infinie. On cherche a montrer qu'il n'existe pas de fonction continue $r:D\to C$ telle que la restriction de $r$ a $C$ soit l'identite.

• On considère une fonction $f\colon\R^2\to\R$, antisymmetric (i.e. $f(x,y)=-f(y,x)$), et $A=(a_{i,j})_{i,j\leq n}$ une matrice réelle telle que : $\forall i,j\in\db{1,n-1}$,

$f(a_{i,j},a_{i+1,j})+f(a_{i+1,j},a_{i+1,j+1})+f(a_{i+1,j+1},a_{i,j+1})+f(a_{i,j+1},a_{i,j})=0$.

Montrer que :

$\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i,1},a_{i+1,1})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{n,j},a_{n,j+1})+\sum_{i=0}^{n-1}f(a_{i+1,n},a_{i,n})+\sum_{j=0}^{n-1}f(a_{1,j+1},a_{1,j})=0$

• Soit $M\in\M_{n+2}(\R)$ une matrice de la forme $\begin{pmatrix}1&1&\cdots&\cdots&1\\ 1&&&&3\\ \vdots&&M'&&\vdots\\ 1&&&&3\\ 1&2&\cdots&\cdots&2\end{pmatrix}$ ou $M'\in\M_n(\R)$

est a coefficients dans $\{1,2,3\}$. Montrer qu'au moins un des petits carres de $M$ comporte trois valeurs differentes.

• Montrer qu'on dispose d'un $\eta\gt 0$ tel que, pour tous $x$, $y\in D$ verifiant $\|x-y\|_{\i}\leq\eta$, on a $\|r(x)-r(y)\|\leq\frac{1}{10}$.
• Soit alors $n\in\N$ tel que $\frac{2}{n-1}\leq\eta$. Pour tous $i$, $j\in\db{1,n}$, on pose

$v_{i,j}=\left(1-2\frac{i-1}{n-1},1-2\frac{j-1}{n-1}\right)$.

Montrer que, pour tous $i$, $j\in\db{1,n-1}$, $v_{i,j},v_{i+1,j},v_{i+1,j+1},v_{i,j+1}$ sont contenus dans une boule de rayon $1/10$.

• En utilisant une fonction bien choisie de $C$ dans $\{1,2,3\}$, aboutir a une contradiction et conclure.
• Utiliser ce resultat pour montrer que toute fonction continue de $D$ dans $D$ admet un point fixe.

On dit qu'une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ de disques fermés de $\R^2$ vérifie $(\mc{P})$ si

• pour tous $s, t \in \R^+$ distincts, $D_s$ et $D_t$ ont des centres distincts,
• pour tous $s, t \in \R^+$ tels que $s\lt t, D_s \subset D_t$.

1. Existe-t-il une telle famille?
2. Soit $A\colon \R^+ \ra \R^2$ une fonction $C^1$ et injective. Existe-t-il une famille $\left(D_t\right)_{t \in \R^+}$ vérifiant $(\mc{P})$ telle que, pour tout $t \in \R^+, A(t)$ soit le centre de $D_t$ ?
3. Le résultat subsiste-t-il si $A$ est seulement supposée continue?

1. Cercles de centre $(x,0)$, de rayon $x$.
2. Prendre $D_t$ de rayon la longueur de la courbe de $A(0)$ à $A(t)$.
3. Prendre une fonction non réglée.

Dans tout l'enonce, $\mathbb{K}$ designe $\R$ ou $\C$. On se donne une $\mathbb{K}$-algèbre $A$ de dimension finie, et on identifie $\mathbb{K}$ a une sous-algèbre de $A$ via $\lambda\mapsto\lambda.1_A$. On suppose donnee sur $A$ une norme multiplicative $\|\ \|$, autrement dit une norme verifiant $\forall(a,b)\in A^2,\ \|ab\|=\|a\|\,\|b\|$. Jusqu'a la question - incluse, on suppose $\mathbb{K}=\C$.

• Soit $x\in A$. Montrer qu'il existe un $z_0\in\C$ tel que $\forall z\in\C,\ \|z_0-x\|\leq\|z-x\|$.
• On suppose $\|a\|=2$ pour $a=z_0-x$. Montrer que $\|a-e^{\frac{2ikx}{n}}\|\geq 2$ pour tout $(n,k)\in\N^*\times\N$.
• En déduire que $\|a-1\|=2$.
• En déduire que $A=\C$.
• Retrouver le resultat de la question précédente en utilisant des polynomes annulateurs.

Dans la suite, on suppose que $\mathbb{K}=\R$.

• Est-ce que $A$ est necessairement egale a $\R$?
• On admet qu'il existe une $\R$-algèbre $\mathbb{H}$ ayant une base de la forme $(1,i,j,k)$ ou $i,j,k$ anticommutent deux a deux et $i^2=j^2=k^2=-1$. On considère la symetrie $x\mapsto\overline{x}$ par rapport a $\R$ parallélément a $\op{Vect}_{\R}(i,j,k)$, et on considère la norme $N:q\mapsto\sqrt{\overline{q}q}$. Montrer que $N$ est bien définie, est effectivement une norme, et qu'elle est multiplicative.
• Montrer que $A$ est isomorphe, en tant que $\R$-algèbre, a $\R$, $\C$ ou $\mathbb{H}$.

Soient $a, b, c$ des entiers naturels non nuls. Montrer qu'il existe un $n \in \N^*$ tel que $\sqrt{n^4+a n^2+b n+c} \notin \N$.

Dérivée discrète.

Pour $n\geq 2$, on note $\ell_n=\min\left\{k\in\db{1,n},\ \prod_{i=1}^k\left(1-\frac{i}{n}\right)\leq\frac{1}{2}\right\}$.

• Montrer que $\ell_n=o(n)$.
• Donner un équivalent de $\ell_n$.

Soient $\left(a_n\right)$ et $\left(b_n\right)$, deux suites réelles positives telles que la série de terme général $b_n$ converge, que la série de terme général $n a_n$ diverge et que $\sum_{n=0}^{+\i} a_n=1$.

1. Montrer qu'il existe une unique suite $\left(u_n\right)$ telle que, $\forall n \in \N, u_n=b_n+\sum_{k=0}^n u_k a_{n-k}$.
2. Montrer que $\left(u_n\right)$ est bornée.
3. Montrer que, si $\left(u_n\right)$ converge, alors sa limite est 0.

Cf une année précédente.

On considère la suite réelle définie par $x_0=2$ et $x_{n+1}=x_n+\frac{x_n^2}{n^2}$ pour tout $n\geq 1$. Montrer qu'il existe un réel $C\gt 1$ tel que $x_n\sim C^{2^n}n^2$ quand $n\to+\i$.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ la suite réelle définie par $a_0=1,a_1=2$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=2a_n+\frac{a_{n-1}}{n^2}$. Donner un équivalent de $a_n$.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ définie par $a_0=\pi/2$ et $\forall n\in\N$, $a_{n+1}=\sin(a_n)$. Nature de la série de terme général $a_n^2$ ?

Soit $\sum u_n$ une série convergente de réels positifs. Existe-t-il une suite $(v_n)_{n\geq 0}$ de réels positifs tendant vers $+\i$ telle que la série $\sum u_nv_n$ converge?

Soit $(x_n)$ une suite réelle. On suppose que $(x_ny_n)$ est sommable pour toute suite réelle $(y_n)$ de carre sommable. Montrer que $(x_n)$ est de carre sommable.

Soit $\sigma$ une permutation de $\N^*$. Déterminer la nature de la série $\sum\frac{\sigma(n)}{n^2}$.

Étudier la convergence de la série de terme général $\frac{\sin(\ln n)}{n}$.

On pose $u_n=-2\sqrt{n}+\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout $n\geq 1$.

• Montrer que $u$ converge vers une limite $\ell$.
• Montrer que $\ell=-(\sqrt{2}+1)\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}$.
• Montrer que $u_n=\ell+\frac{1}{2n^{1/2}}+O\Big{(}\frac{1}{n^{3/2}}\Big{)}$.
• Montrer que $\ell=-\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{\sqrt{n}\,(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})^2}$.
• Étudier les variations de $u$.
• Déterminer un développement asymptotique semblable a celui de la question - pour la suite de terme général $v_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}-\ln n$.
• Soit $\alpha\in\,]0,1[$. Donner un développement asymptotique a trois termes pour $w_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^{\alpha}}$.

Soit $f \in \mc C^0\left(\R^+, \R^+\right)$, strictement croissante et bijective. Montrer que les séries $\sum \frac{1}{f(n)}$ et $\sum \frac{f^{-1}(n)}{n^2}$ sont de même nature.

La série $\sum \frac{1}{f(n)}$ a la même nature que $\int \frac{1}{f}$. On peut raccorder $f$ de manière $\mc C^1$, puis on pose $u = f(t)$ : $$\int_0^{+\i} \frac{1}{f(t)}\dt = \int_0^{+\i} \frac{1}{u f'(f^{-1}(u))} \du,$$ puis IPP.

• Soit $m\in\N^*$. Montrer que $\sum\limits_{n=1}^{+\i} \frac{\sqrt{m}}{(m+n)\sqrt{n}}\leq \pi$. Ind. : Dans $\R^2$, considérer les points $x_n= (\sqrt{m}, \sqrt{n})$ et l'intersection $r_n$ du cercle $C(0,\sqrt{m})$ avec le segment $[0,x_n]$.
• Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ et $(b_n)_{n\geq 1}$ deux suites de carre sommable et a termes positifs. On note $A=\sum_{n=1}^{+\i}a_n^2$ et $B=\sum_{n=1}^{+\i}b_n^2$. Montrer que $\sum_{(m,n)\in(\N^*)^2}\frac{a_mb_n}{m+n}\leq\pi \sqrt{AB}$.

• Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall(x,y)\in\R^2$, $f(xy)=f(x)\,f(y)$.
• Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ monotones telles que $\forall x\neq y\in\R$, $f\left(\frac{x+y}{x-y}\right)=\frac{f(x)+f(y)}{f(x)-f(y)}$.

Que dire d'une fonction $f\colon \R \ra \R$ continue, $1$-périodique et $\sqrt{2}$-périodique?

Easy.

Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ telles que $|f'|+|f+1|\leq 1$.

Pour $x\geq 1$, on note $\Theta(x)=\sum_{p\in\mc{P},\ p\leq x}\ln(p)$. Montrer que $\Theta(x)\underset{x\to+\i}{=}O(x)$.

Soit $F$ un ferme de $\R$. Montrer qu'il existe une fonction $f$ de classe $C^{\i}$ de $\R$ dans $\R$ telle que $F=f^{-1}(\{0\})$.

Soit $(x_n)_{n\geq 0}$ une suite de points de $[0,1]^2$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute permutation $\sigma$ de $\N$, il existe une fonction continue $f:[0,1]\to[0,1]^2$ et une suite strictement croissante $(t_n)_{n\geq 0}$ d'éléments de $[0,1]$ telle que $f(t_n)=x_{\sigma(n)}$ pour tout $n\geq 0$.

Calculer $\int_0^1\frac{\ln(1+t)}{1+t^2}dt$.

Pour $n\in\N^*$, on note $L_n$ la derivee $n$-ieme de $(X^2-1)^n$.

• Soit $n\in\N^*$. Montrer que $:\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $\int_{-1}^1PL_n=0$.
• Montrer que $L_n$ possede $n$ racines distinctes $x_1\lt x_2\lt \cdots\lt x_n$ dans $]-1,1[$.
• Montrer qu'il existe $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\R$ tels que $:\forall P\in\R_{2n-1}[X]$, $\int_{-1}^1P=\sum_{i=1}^n\alpha_iP(x_i)$.

Pour $n\in\N$, on pose $I_n=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}^3$.

• On suppose $n$ impair. Montrer que $I_n=0$.
• On suppose $n$ multiple de $4$. Montrer que $I_n\gt 0$.
• Montrer, pour tout $n\in\N$, l'égalité $I_{2n}=(-1)^n\frac{4^{3n-1}}{\pi^2}\int_0^{2\pi}\int_0^{2\pi} \sin^{2n}(x)\,\sin^{2n}(y)\,\sin^{2n}(x+y)\dx\dy$.

• Soient $n\in\N^*$ et $f:[0,2\pi]\to\R$ continue. Montrer que$H_n:(a_0,\ldots,a_n,b_1,\ldots,b_n)\in\R^{2n+1}\mapsto\int_0^{2 \pi}\left(a_0+\sum_{k=1}^n(a_k\cos(kt)+b_k\sin(kt))-f(t)\right)^2\, dt$ admet un minimum, atteint en un unique point, et donner une expression simple de ce point en fonction de $f$.

  • Déterminer la limite de $\min H_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.

Justifier l'existence et calculer $\int_0^1\frac{dt}{2+\lfloor\frac{1}{t}\rfloor}$.

Soit $f\colon x \in \R \mapsto e^{\frac{x^2}{2}} \int_x^{+\i} e^{-\frac{t^2}{2}}\dt$.

1. Montrer que $f(x)\lt \frac{1}{x}$ pour tout $x\gt 0$.
2. Montrer que $f(x)\gt \frac{\sqrt{x^2+4}-x}{2}$ pour tout $x\gt 0$.
3. Donner un développement limité à quatre termes de $f(x)$ quand $x \ra+\i$.

Soient $u, v \in \R$. Pour $r \in \R^+ \setminus\{|u|,|v|\}$, calculer $I_r(u, v)=\int_0^{2 \pi} \frac{d \theta}{\left(u-r e^{i \theta}\right)\left(v-r e^{i \theta}\right)}$.

Soit $f\colon\R\to\R^+$ intégrable, de classe $\mc C^1$, telle que $\int_{-\i}^{+\i}f(t)\,dt=1$. On suppose que $f'$ s'annule en un unique $M\in\R$.

• Donner le tableau de variations de $f$. Montrer qu'il existe un unique $m\in\R$ tel que $\int_{-\i}^mf(t)dt=\frac{1}{2}$.
• Montrer que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$ il existe un unique couple $(x_1,x_2)\in\R^2$ tel que $x_1\lt M\lt x_2$ et $f(x_1)=f(x_2)=\ell$.
• Supposons que, pour tout $\ell\in]0,f(M)[$, $f'(x_1)+f'(x_2)\gt 0$. Montrer que $m\gt M$.

• Soient $a$ et $b$ deux suites réelles telles que $b-a$ converge vers $0$. Soit $(f - {m\in\N}$ une suite de fonctions de $\R$ dans $\R$. On suppose que, pour tout $m\geq 0$, il existe un entier $N_m$ tel que $\forall n\geq N_m,\ a_m\leq f_n\leq b_m$. Montrer que $(f_m)$ converge uniformement vers une fonction constante.

  • On note $H$ l'ensemble des fonctions continues $f\colon\R\to\R$ strictement croissantes et telles que $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\R$. Montrer que $H$ forme un groupe pour la composition des fonctions.
  • Soit $f\in H$. Montrer que $\sup\{f(x)-x,\ x\in\R\}\lt 1+\inf\{f(x)-x,\ x\in\R\}$.

On note $F$ l'ensemble des fonctions de $[0,1]$ dans $[0,1]$, $C$ l'ensemble des fonctions continues de $F$. On note aussi $I=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\leq a\}$ est ferme$\}$ et $S=\{f\in F\;;\ \forall a\in[0,1],\ \{x\in[0,1],\ f(x)\geq a\}$ est ferme$\}$.

Pour $f\in F$ et $n\in\N$, soit $L_n(f):x\in[0,1]\mapsto\inf_{y\in[0,1]}\left(f(y)+n|x-y|\right)\in[0,1]$.

• Montrer que $C=I\cap S$. - Montrer que, si $f\in F$, $L_n(f)$ est une suite croissante d'applications continues.
• Soit $f\in F$. Montrer que $f\in I$ si et seulement s'il existe une suite $(f_n)_{n\geq 0}$ de fonctions de $C$ telle que pour tout $x\in[0,1]$, $f(x)=\sup_{n\in\N}f_n(x)$.

Soient $a\in\R^{+*}$ et $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ de classe $C^1$ telle que $\dfrac{f'(x)}{f(x)}\sim\dfrac{a}{x}$ quand $x\to+\i$.

• Rappeler le theoreme d'integration des relations de comparaison.
• Donner un équivalent de $\ln f(x)$ quand $x\to+\i$.
• Déterminer le domaine de définition de la fonction $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)e^{-nx}$.
• Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son intervalle de définition.
• Montrer qu'il existe une constante $C\gt 0$ telle que $f(x)\sim\dfrac{C}{x}f\left(\dfrac{1}{x}\right)$ quand $x\to+\i$.

Soit $(a - {n\in\N}$ une suite réelle telle que $a_0\gt 0$, $a_1\gt 0$ et

$\forall n\in\N,\ a_{n+2}=\dfrac{n+4}{n+1}a_{n+1}+\dfrac{3n+7}{n+2}a_n$.

• Montrer que le rayon de convergence de la série entiere $\sum a_nx^n$ est strictement positif.
• Déterminer la valeur de ce rayon de convergence.

Pour $x$ réel, on pose $f(x)=\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{x^n}{1-x^n}$ sous reserve de convergence.

• Déterminer le domaine de définition de $f$.
• Étudier la continuite puis la derivabilite de $f$.
• Donner un équivalent simple de $f$ en $1^-$.
• Montrre que $f$ est développable en série entiere, et preciser le développement associe.

• Soient $U$ un voisinage de $0$ dans $\C$, et $f:U\to\C$ somme d'une série entiere. Soit $k\in\N^*$ tel que $f(z)=O(z^k)$ quand $z$ tend vers $0$. Montrer que, pour $r$ voisin de $0^+$, il existe au moins $2k$ nombres complexes $z$ de module $r$ tels que $f(z)$ soit un nombre réel.

  • Soient $A$ et $B$ deux polynomes a coefficients réels dont toute combinaison lineaire a coefficients réels est scindee ou nulle. Soient $x\lt y$ deux racines de $A$. Montrre que $[x,y]$ contient au moins une racine de $B$.

Soit $\sum a_nz^n$ une série entiere de rayon de convergence egal a $1$ et de somme $f$.

On suppose qu'il existe $C\gt 0$ tel que $\forall r\in[0,1[$, $\int_0^{2\pi}|f'(re^{i\theta})|d\theta\leq C$.

Montrre que $\int_0^1|f(t)|dt\lt +\i$.

Soit $P=a_1 X+\cdots+a_d X^d \in \Z[X]$ avec $a_1$ impair.

1. Montrer l'existence d'une suite réelle $\left(b_k\right)_{k \geq 0}$ telle que : $\forall x \in \R, \exp (P(x))=\sum_{k=0}^{+\i} b_k x^k$.
2. Montrer que les $b_k$ sont tous non nuls.

2. Quand on dérive successivement $e^P$, on trouve une quantité qui vaut toujours $1$ modulo $2$.

Pour $x$ et $q$ dans $]0,1[$, on pose $(x,q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1-q^kx)$.

• Montrer que la suite de terme général $(x,q)_n$ converge vers un réel $(x,q)_{\i}\gt 0$.
• Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum_{n\geq 0}\frac{(x,q)_n}{(q,q)_n}z^n$. On notera $f_{x,q}$ sa somme sur le disque ouvert de convergence, et $D$ son disque ouvert de convergence.
• Etablir l'identife $f_{x,q}(z)-f_{x,q}(qz)=(1-x)zf_{x,q,q}(z)$ pour tout $z\in D$.
• Etablir l'identife $f_{x,q}(z)=\frac{1-xz}{1-z}f_{x,q}(qz)$ pour tout $z\in D$.
• Demontrer que $f_{x,q}(z)=\frac{(zx,q)_{\i}}{(z,q)_{\i}}$ pour tout $z\in D$.
• Soit $\alpha\in\R^{+*}$. Déterminer, pour tout $z\in D$, la limite de $f_{q^{\alpha},q}(z)$ quand $q$ tend vers $1^-$.

• Pour $x\geq 0$ on pose $f(x)=\op{card}\big{\{}(n,m)\in(\N^*)^2,n^2+m^2 \leq x\big{\}}$. Trouver un équivalent de $f(x)$ lorsque $x\to+\i$.

  • On pose $g(t)=\sum_{n=0}^{+\i}t^{n^2}$. Trouver un équivalent de $g$ en $1^-$ en utilisant $g^2$.

Soit $p$ un nombre premier. Pour tout $F\in\mathbb{F}_p[X]$, on pose $|F|=p^{\deg F}$.

• Soit $s\in\C$ tel que $\op{Re}s\gt 1$. Montrre que la famille $\big{(}|F|^{-s}\big{)}$, indexee par les polynomes $F\in\mathbb{F}_p[X]$ unitaires, est sommable et calculer sa somme, qu'on notera $z(s)$.
• On note $A$ l'ensemble des polynomes unitaires de $F\in\mathbb{F}_p[X]$ sans facteur carre, c'est-a-dire tels que : $\forall D\in\mathbb{F}_p[X]$, $D^2|F\Rightarrow\deg D=0$. Montrre que $\sum_{F\in A}|F|^{-s}=\frac{z(s)}{z(2s)}$.
• En déduire, pour tout $d\in\N$, la proportion de polynomes sans facteur carre parmi les polynomes unitaires de degre $d$ de $\mathbb{F}_p[X]$.

Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g:x\mapsto\int_0^1\frac{f(t)}{1+xt}dt$ pour $x\geq 0$. On suppose $f(0)\neq 0$.

• Donner un équivalent de $g$ lorsque $x\to+\i$.
• On suppose $f$ de classe $\mc C^1$. Majorer l'ecart avec l'équivalent trouve.
• Que peut-on dire de plus si $f$ est de classe $\mc C^2$?

• Déterminer le domaine de définition de $f:x\mapsto\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{\pi/2}(\cos t)^{2x}\,dt$.

  • Montrre, pour tout réel $x\gt 0$, l'egalite $f(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i}\frac{u\exp\!\left(-u^2 \big{(}x+\frac{1}{2}\big{)}\right)}{\sqrt{1-e^{-u^2}}}du$.

• Calculer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sin(xt)\,dt$ pour tout réel $x$. - On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t\,(1+t^2)}\,dt$. Montrer que $F$ est de classe $\mc C^2$ sur $\R^{+*}$ et que $\forall x\gt 0,\ F^{''}(x)=F(x)-\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\, dt$

  • Donner une expression simplifiee de $F$.

Soit $f\in\mc C^0(\R^{+*},\R)$ de carre intégrable. On pose $S_f:x\in\R^{+*}\mapsto\int_0^{+\i}\frac{f(y)}{x+y}dy$.

• Justifier la bonne définition de $S_f$.
• Montrer que $S_f$ est de carre intégrable.

Soient $\alpha,\beta\gt 0$. Pour $x\gt 0$, on pose $I(x)=\int_0^{+\i}t^{\beta-1}e^{-t-xt^{\alpha}}\,dt$.

• Déterminer la limite et un équivalent de $I$ en $+\i$.
• Donner un développement asymptotique de $I$ a tout ordre.
• Donner une condition necessaire et suffisante pour que ce développement soit la somme partielle d'une série convergente pour tout $x\gt 0$.

• Soient $K$ un segment et $f:K\to K$ une fonction continue croissante. Montrer que $f$ admet un point fixe.

  • On considère l'équation différentielle non lineaire $(E):\ x'=\cos(x)+\cos(t)$. On admet que pour tout $a\in\R$ il existe une unique solution $\phi_a$ de $(E)$ sur $\R$ verifiant $\phi(0)=a$, et que, pour tous $a,b$ réels distincts, les fonctions $\phi_a$ et $\phi_b$ ne coincident en aucun point. Montrer que $(E)$ possede une solution $2\pi$-periodique.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions de classe $\mc C^1$ de $\R^+$ dans $\R^{+*}$. Soit $a\in[0,1]$.

• Justifier qu'il existe une unique fonction $x_a\colon\R^+\to\R$ de classe $\mc C^1$ telle que $\forall t\in\R^+,\ x'(t)=f(t)-(f(t)+g(t))\,x(t)$ et $x(0)=a$.
• On suppose que $f$ et $g$ ont une limite finie strictement positive en $+\i$. Montrer que $x_a$ tend vers $0$ en $+\i$.
• Montrer que $f$ et $g$ peuvent être choisies de telle sorte que $x_a$ n'ait pas de limite en $+\i$.
• On suppose que l'une des fonctions $f$ et $g$ n'est pas intégrable sur $\R^+$. Montrer que $x_1-x_0$ tend vers $0$ en $+\i$.

1. On peut exprimer la solution, via $\exp$.
2. Utiliser l'expression.
3. Prendre $f+g$ constante, et $f$ qui oscille.
4. Expression intégrale.

Soient $v\colon \R\to\R$ une fonction continue à support compact et $\omega\in\R^{+*}$. On considère l'équation différentielle $y''+\omega^2 y=v(t)$ dont on note $\mc{S}_E$ l'ensemble des solutions.

• Montrer que, pour tout $(a,b)\in\R^2$, il existe une unique solution $f^+_{a,b}$ (resp. $f^-_{a,b}$) de $(E)$ telle que $f^+_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $+\i$, (resp. $f^-_{a,b}(t)=a\cos(\omega t)+b\sin(\omega t)$ pour tout $t$ dans un voisinage de $-\i$.
• Montrer que $\mc{S}_E=\{f^+_{a,b},(a,b)\in\R^2\}=\{f^-_{a,b},(a,b)\in \R^2\}$.
• On pose $c(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\cos(\omega t)\,dt$ et $s(\omega)=\int_{-\i}^{+\i}v(t)\sin(\omega t)\,dt$, et on définit l'application $S_{\omega}\colon \R^2\to\R^2$ par : $f^-_{a,b}=f^+_{S_{\omega}(a,b)}$ pour tout $(a,b)\in\R^2$. Expliciter l'application $S_{\omega}$ en fonction de $c(\omega)$ et $s(\omega)$.
• On suppose que $S_{\omega}=\mathrm{id}_{\R^2}$ pour tout $\omega\gt 0$. Montrer que $v$ est identiquement nulle.

1. Appliquer les conditions aux bords du compact.
2. Pas de difficulté.
3. Méthode de variation de la constante je pense, à écrire.

Soient $q_1,q_2$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R$ telles que $q_1\leq q_2$. On considère l'équation différentielle $(E_i):y^{''}+q_i(t)\,y=0$ pour $i\in\{1,2\}$.

• Soient $y_1,y_2$ des solutions respectives de $(E_1)$ et $(E_2)$ sur $I$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros de $y_1$. Montrer que $y_2$ s'annule dans $[\alpha,\beta]$.
• Soient $q:\R^+\to\R$ continue, $m,M$ deux réels strictement positifs tels que $m\leq q\leq M$. Soient $\alpha\lt \beta$ deux zeros consecutifs d'une solution non nulle $x$ de $y''+q(t)\,y=0$.
• Montrer que les zeros de $x$ fortner une suite strictement croissante $(t - {n\in\N}$.
• Montrer que $\frac{\pi}{\sqrt{M}}\leq t_{n+1}-t_n\leq\frac{\pi}{\sqrt{m}}$ pour tout $n\in\N$.

• Soit $p$ un projecteur d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie, et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $pu+up=u$. Montrer que $\mathrm{tr}(u)=0$.
• Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 1$. Soit $r\in\db{0,n}$. On note $G$ l'ensemble des projecteurs orthogonaux de $E$ de rang $r$. Soit $p\in G$. Déterminer l'espace vectoriel tangent à $G$ en $p$.

• $pup = 0$
• $u$ symétrique + $pu + up = u$ (puisque c'est le noyau de l'application linéaire). $u$ doit envoyer $\Im p$ dans $\Ker p$ et $\Ker p$ dans $\Im p$.

On munit $\R^2$ de sa structure euclidienne canonique. On considère le carre de coins $\{0,1\}\times\{0,1\}$. On choisit trois points $A$, $B$ et $C$ sur ce carre.

• Montrer qu'il existe une disposition des points $A$, $B$ et $C$ maximisant l'aire du triangle $ABC$.
• Caracteriser une telle disposition.

Geometrie

Pour $n\geq 2$, on note $P_n$ le perimêtre d'un polygone regulier a $2^n$ cotes inscrit dans le cercle unite.

• Calculer $P_n$ et étudier la convergence de la suite $(P - {n\geq 2}$.
• Etablir une relation de recurrence entre $P_n$ et $P_{n+1}$.
• Estimer l'erreur $2\pi-P_n$.
• Proposer une methode d'approximation de $\pi$ par exces.

On se donne un triangle direct $ABC$ du plan complexe. On note respectivement $a,b,c$ les mesures principales des angles orientes $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$, $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA})$ et $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})$. On note $P$ l'unique point tel que $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BP})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CP},\overrightarrow{CB})$ ; $Q$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{AC})$ et $\frac{c}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CQ})$ ; $R$ l'unique point tel que $\frac{a}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AR})$ et $\frac{b}{3}$ soit une mesure de $(\overrightarrow{BR},\overrightarrow{BA})$. L'objectif est de montrer que le triangle $PQR$ est equilateral.

• On note $f,g,h$ les rotations de centres respectifs $A,B,C$ et d'angles de mesures respectives $\frac{2a}{3}$, $\frac{2b}{3}$ et $\frac{2c}{3}$. Montrer que $P$ est l'unique point fixe de $g\circ h$.
• Montrer que $(f^3\circ g^3\circ h^3)(z)=z$ pour tout nombre complexe $z$.
• On note $f:z\mapsto a_1z+b_1$, $g:z\mapsto a_2z+b_2$ et $h:z\mapsto a_3z+b_3$. Experimer $P,Q,R$ en fonction des $a_i$ et des $b_i$.
• Conclure.

Probabilités

Déterminer le nombre moyen de 2-cycles, de 3-cycles, de $p$-cycles, d'une permutation de $\db{1,n}$.

• Montrer que $\forall x\in{\R}^{+*},\ \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}\lt \frac{1}{x^2}$.

  • Soit $n\in{\N}^*$. On appelle partition de $n$ toute liste decroissante $(\lambda - {1\leq k\leq n}$ d'entiers naturels non nuls de somme $n$. On note $P(n)$ le nombre de telles listes.

Montrer que $P(n)\leq 2^{n-1}$.

• On fixe $n\geq 1$ et on considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi uniforme sur l'ensemble des partitions de $n$. On fixe $k\in{\N}^*$ et $j\in{\N}$. On pose $N_k=|\{i\in\db{1,n}:X_i=k\}|$.

Exprimer ${\bf P}(N_k\geq j)$ comme un quotient $\frac{P(a)}{P(b)}$ pour des entiers $a$ et $b$ a preciser.

• Calculer $\sum_{i=1}^niN_i$.

On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_1=0$, $a_2=1$ et $a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$ pour $n\geq 3$.

• Calculer $\sum_{n=2}^{+\i}\frac{a_n}{2^n}$.
• On lance une piece non truquee. Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$ qui donne l'instant de premiere apparition du motif Face-Face.
• Calculer ${\bf E}(X)$ et ${\bf V}(X)$.
• Donner un équivalent de ${\bf P}(X=n)$.

Soit $n\in{\N}^*$. On munit ${\cal S}_n$ de la loi uniforme, et on note $N$ la variable aléatoire associant a tout $\sigma\in{\cal S}_n$ le nombre de ses orbites.

• Calculer ${\bf P}(N=1)$ et ${\bf P}(N=n)$.
• Donner une formule simple pour la fonction génératrice de $N$.
• Donner un équivalent de ${\bf E}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.
• Donner un équivalent de ${\bf V}(N)$ quand $n$ tend vers $+\i$.

Soient $n\geq 2$, $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$. Soit $(e_1,\ldots,e_n)$ la base canonique de ${\C}^n$ et $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$ la variable aléatoire a valeurs dans ${\cal L}({\C}^n)$ telle que, pour tout $i$, $f_{(X_1,\ldots,X_n)}(e_i)=e_{X_i}$.

• Déterminer ${\bf E}\left(\op{rg}\left(f_{(X_1,\ldots,X_n)}\right)\right)$.
• Pour $z\in{\C}$, soit $\mu_z$ la multiplicite de $z$ comme valeur propre de $f_{(X_1,\ldots,X_n)}$. Calculer ${\bf E}(\mu_z)$.

Soient $b,n\in{\N}^*$. On considère $(B_i)_{1\leq i\leq n}$ des variables aléatoires independantes suivant la loi uniforme sur $\db{0,b-1}$. On note $S$ l'ensemble des descentes de la suite $B$ c'est-a-dire $S=\{i\in \db{1,n} \mid B_i\gt B_{i+1}\}$.

• Pour $i\in \db{1,n-1}$, calculer ${\bf P}(B_i\gt B_{i+1})$.
• Soit $j\in\db{1, n-j-1}$. Calculer ${\bf P}(B_1\gt B_2\gt \cdots\gt B_{j+1})$.
• Pour $I\subset \db{1,n}$, on pose $\alpha(I)$ (resp. $\beta(I)$) le nombre de suites a $n$ éléments à valeurs dans $\db{0,b-1}$ qui verifient $S\subset I$ (resp. $S=I$). Exprimer $\alpha$ en fonction de $\beta$, puis $\beta$ en fonction de $\alpha$.

Si $n\in\N^*$, $\sigma\in\mc{S}_{2n}$ et $k\in\{1,\ldots,2n\}$, on note $s(\sigma,k)$ le segment de $\C$ qui joint les points $e^{\frac{ik\pi}{n}}$ et $e^{\frac{i\sigma(k)\pi}{n}}$. On note $b(\sigma)$ le nombre de segments qui ne croisent aucun autre segment (ou on dit que deux segments se croisent s'ils ont un point d'intersection qui n'est pas une extremite).

Pour $n\in\N^*$, soit $\sigma_n$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_{2n}$. Déterminer $\mathbf{E}(b(\sigma_n))$ et en donner un équivalent.

Soient $p \in[0,1 / 2],\left(X_n\right)_{n \geq 1}$ i.i.d. telle que $\mathbf{P}\left(X_n=-1\right)=\mathbf{P}\left(X_n=1\right)=p$ et $\mathbf{P}\left(X_n=0\right)=1-2 p$. On cherche $p$ tel que : $\forall n \in \N^*, \forall a_1, \ldots, a_n, b \in \Z, \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=0\right) \geq \mathbf{P}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i=b\right)$.

1. Montrer que $p \leq \frac{1}{3}$, puis que $p\lt \frac{1}{3}$ et enfin que $p \leq \frac{1}{4}$.
2. Si $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\Z$, on pose $\Phi_X\colon \theta \mapsto \mathbf{E}\left(e^{i X \theta}\right)$. Exprimer $\mathbf{P}(X=k)$ en fonction de $\Phi_X$.
3. En déduire que $p \leq \frac{1}{4}$ est une condition suffisante.

1. On regarde les probabilités, jusqu'à $n = 3$.
2. $\Phi_X(\theta) = \sum P(X = k) e^{ikt}$ et formule de Cauchy.

Soient $n$ et $d$ des entiers tels que $1\leq d\lt n$, et $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires independantes uniformement distribuees sur $\db{0,d}$. On note $S_n$ la classe de $X_1+\cdots+X_n$ dans $\Z/n\Z$.

• La variable aléatoire $S_n$ est-elle uniformement distribuée sur $\Z/n\Z$?
• Calculer la loi de $S_n$.

• Non, cf $d = 1$, c'est une loi binomiale.
• Fonction génératrice.

Soient $d\in\N^*$, $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,d}$. Pour $n\in\N^*$, on pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$.

• Soient $Y$ une variable aléatoire a valeurs dans $\Z$, $r\in\db{0,d-1}$, $\omega=e^{2i\pi/n}$. Montrer que $\mathbf{P}(Y\equiv r\left[d\right])=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{\omega^{kr}}\mathbf{E}\left(\omega^{kY}\right)$.
• Soit $\db{0,d-1}$. Donner une expression de $\mathbf{P}(S_n\equiv r\left[d\right])$.
• Déterminer la limite de la suite de terme général $\mathbf{P}(S_n\equiv 0 [d])$.

Soit $n\geq 1$.

• On se donne deux variables aléatoires independantes $X_n$ et $Y_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. Soit $r\in\Q$. Déterminer la probabilité $u_n(r)$ pour que $X_n$ et $Y_n$ soient deux points distincts et le coefficient directeur de la droite $(X_nY_n)$ soit egal a $r$. Donner un équivalent de $u_n(r)$ lorsque $n\to+\i$.
• On se donne quatre variables aléatoires independantes $X_n,Y_n,A_n,B_n$ suivant chacune la loi uniforme sur $\db{1,n}^2$. On note $p_n$ la probabilité pour que $X_n\neq Y_n$, $A_n\neq B_n$ et les droites $(X_nY_n)$ et $(A_nB_n)$ soient parallèles. Montrer que $p_n=O\big(\frac{\ln n}{n^2}\big)$ quand $n\ra+\i$.

!!

• C'est la probabilité que $\frac{a_n - b_n}{c_n - d_n} = \frac{p}{q}$, c'est-à-dire $p(c_n - d_n) = q (a_n - b_n)$. Les différences suivent des lois

• Soit $a\in[1,2]$. On pose $f_a:x\mapsto|1+x|^a-|2x|^a-ax$. Montrer : $\forall x\in\R$, $f_a(x)\leq 1$.
• Soit $X$ une variable aléatoire réelle centree et admettant un moment d'ordre 2. Montrer : $\forall c\in\R$, $\mathbf{E}\left(|c+X|^a\right)\leq 2^a\mathbf{E}(|X|^a)+|c|^a$.
• Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires centrees admettant un moment d'ordre 2. Montrer que, pour $n\in\N^*$, $\mathbf{E}\left(\left|\sum_{i=1}^nX_i\right|^a\right)\leq 2^a \sum_{i=1}^n\mathbf{E}(|X_i|^a)$.

Une urne contient $a$ boules jaunes et $b$ boules rouges. On effectue une succession de tirages d'une boule dans l'urne avec remise. À chaque tirage, on ajoute une boule de la couleur de celle tirée dans l'urne. On note $X_n$ le nombre de boules jaunes dans l'urne apres $n$ tirages et $T_n$ l'evenement «tirer une boule jaune au $n$-ième tirage».

1. s Calculer $P(T_1\mid T_2)$.
2. Déterminer la loi de $X_n$.
3. Calculer $P(T_n)$.
4. Pour $n_1,...,n_p,m_1,...,m_q$ tous distincts, calculer $P(T_{n_1}\cap\dots\cap T_{n_p}\cap\overline{T_{m_1}}\cap \dots\cap \overline{T_{m_q}})$.

2. $P(X_n = a) = \frac{b}{a+b} \frac{b+1}{a+b+1} \dots \frac{b+n-1}{a+b+(n-1)}$ $P(X_n = a+1) = n \frac{b}{a+b} \frac{b+1}{a+b+1} \dots \frac{b+n-2}{a+b+(n-2)} \frac{a}{a+b+(n-1)}$. En général, $P(X_n = a + k) = {n\choose k} \frac{(a+b-1)!}{(a+b+n-1)!} \frac{(b+n-k-1)}{(b-1)!} \frac{a+k-1!}{(a-1)!}$.
3. dur dur, $E(X_n)$

Soient $n \geq 1$ et $A, B, C$ des variables aléatoires indépendantes uniformément distribuées sur $\{0,1\}^n$.

1. Pour $n \geq 2$, calculer la probabilité $p_n$ que $A B C$ soit un triangle équilatéral.
2. Déterminer un équivalent de $p_n$.

Relier à un précédent.

1. On prend $A = \vec 0$. Alors on veut $B,C$ avec autant de termes $1$, et autant de différences entre les deux. On considère les ensembles $B\subset \db{1,n}$, $C\db{1,n}$, et $B\oplus C$. Les parties $U = B\setminus C$, $V = C\setminus B$ et $W = B\cap C$ vérifient $u + w = v + w = u+v$, donc ils sont de même cardinaux, et disjoints.

On munit l'ensemble $\mc{S}_n$ des permutations de $[1,n]$ de la probabilité uniforme. Soit $X_n$ la variable aléatoire donnant le nombre de points fixes d'une permutation aléatoire $\sigma\in\mc{S}_n$.

• Calculer $\mathbf{P}(X_n=0)$.
• Déterminer la loi de $X_n$.
• Étudier la convergence en loi de la suite $(X - {n\in\N^*}$.
• Calculer les espérance et variance de la variable aléatoire $X_n$.

Soit $M=\begin{pmatrix}a&-b&-c&-d\\ b&a&d&-c\\ c&-d&a&b\\ d&c&-b&a\end{pmatrix}$ une matrice aléatoire ou $(a+1)\sim\mc{P}(\alpha)$, $(b+1)\sim\mc{P}(\beta)$, $(c+1)\sim\mc{P}(\gamma)$ et $(d+1)\sim\mc{P}(\delta)$.

• Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible.
• Calculer la probabilité que la matrice $M$ soit inversible et diagonalisable dans $\R$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\N$ verifiant $\mathbf{P}(X\geq Y)=1$, et, pour tout $n\in\N$ et tout $i\in \db{0,n}$, $\mathbf{P}(X=n)\gt 0$ et $\mathbf{P}(Y=i|X=n)=\dfrac{1}{n+1}$.

• Montrer que, si $(i,j)\in\N^2$, $\mathbf{P}(X=i,Y=j)=\mathbf{P}(X=i,X-Y=j)$, puis que $X-Y\sim Y$.
• Montrer que $\mathbf{P}(Y=0)\gt 0$.
• On suppose que $X-Y$ et $Y$ sont independantes. Déterminer la loi de $Y$, puis celle de $X$.

Soit $n\geq 3$ un entier. Si $k\in\Z$, on note $\overline{k}$ la reduction de $k$ modulo $n$. Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires independantes a valeurs dans $\Z/n\Z$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $X_k$ suit la loi uniforme sur $\{\overline{1},\overline{2},\overline{3}\}$. Soit $F$ l'application aléatoire de $\Z/n\Z$ dans lui-meme telle que, pour tout $k\in\db{1,n}$, $F(\overline{k})=\overline{k}+X_k$. Calculer la probabilité que $F$ soit bijective.

On cherche a collectionner $N$ jouets. À chaque achat, chaque jouet a une probabilité uniforme d'être obtenu. Pour $i\in\db{1,N}$, on note $T_i$ le temps d'attente pour obtenir $i$ jouets differents.

• Calculer l'espérance de $T_N$.
• Calculer la variance de $T_N$.
• Montrer que $\forall\eps\gt 0$, $\mathbf{P}\left(\left|\frac{T_N}{N\ln N}-1\right|\geq\eps \right)\longrightarrow 0$ quand $N\ra+\i$.

Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles centrees.

On suppose que $\mathbf{E}(X_1^4)\lt +\i$.

• Montrer que $\mathbf{E}\left(\left(X_1+\cdots+X_n\right)^4\right)=O(n^2)$.
• Pour $\eps\gt 0$, quelle est la nature de la série de terme général $\mathbf{P}\left(\frac{X_1+...+X_n}{n}\gt \eps\right)$?

Soient $x\in\R^{+*}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi $\mc{P}(x)$. Pour $n\in\N^*$, soient $S_n=\sum_{k=1}^nX_k,T_n=\frac{S_n-n}{\sqrt{n}}$.

• Montrer que $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)dx=\sqrt{n}\left( \frac{n}{e}\right)^n\frac{1}{n!}$.
• On admet que, pour tout $x\in\R$, $\mathbf{P}(T_n\geq x)\underset{n\ra+\i}{\longrightarrow} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{+\i}e^{-t^2/2}dt$. Retrouver la formule de Stirling.

Mines

Algèbre

Déterminer les sous-groupes finis de $(\C^*,\times)$.

Soient $p$ un nombre premier et $C_p$ l'ensemble des $z\in\C$ tels qu'il existe $n\in\N$ verifiant $z^{p^n}=1$.

• Montrer que $C_p$ est un sous-groupe infini de $\C^*$.
• Déterminer les sous-groupes de $C_p$.

Déterminer tous les couples $(m,n)\in\N^2$ verifiant : $3^m=8+n^2$.

Nécessairement, $m$ pair, donc cela s'écrit $3^{2m} - n^2 = 8$.

Soient $p,q$ deux entiers superieurs ou egaux a $2$.

• Montrer que si $q^p-1$ est premier, alors $q=2$ et $p$ est premier.
• On suppose que $p$ est premier et l'on note $k\in\N^*$ un diviseur de $2^p-1$. Montrer que : $k\equiv 1\,[2p]$.

Soit $A=\{n\in\N,\ 2^n+1\equiv 0\ [n]\}$.

• Montrer que $3$ est l'unique nombre premier appartenant a $A$.
• Montrer que $A$ contient toutes les puissances entieres de $3$.

• Soit $n\gt 6$ un entier. Montrer qu'il existe un couple $(a,b)\in(\N\setminus\{0,1\})^2$ tel que $a+b=n$ et $a\wedge b=1$.

  • Soit $(p_n)$ la suite croissante des nombres premiers. Montrer que, pour tout $k\geq 3$, $p_1\cdots p_k\geq p_{k+1}+p_{k+2}$. Ind. Utiliser la premiere question avec $n=p_1\cdots p_k$.

On ecrit $n\in\N$ en base $p\in\mc{P}:n=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_kp^k$ et l'on pose $S_p(n)=\sum_{k=0}^{+\i}\alpha_k$.

• Soit $k\in\db{0,n}$. Montrer que : $v_p{n\choose k}=\frac{S_p(k)+S_p(n-k)-S_p(n)}{p-1}$.
• Exprimer $v_p{n\choose k}$ en fonction des retenues dans l'addition de $n-k$ et $k$ en base $p$.
• Est-ce que $7$ divise ${1000\choose 500}$?
• Montrer que $2$ divise ${2n\choose n}$. Étudier la divisibilite par $4$ pour $n\geq 2$.

Soient $G$ un groupe et $k\in\N$.

On suppose que : $\forall i\in\db{k,k+2},\forall(a,b)\in G^2,(ab)^i=a^ib^i$. Montrer que $G$ est abelien.

Soit $G$ un groupe commutatif de cardinal $pq$ avec $p,q$ deux nombres premiers distincts. Montrer que $G$ est cyclique. Trouver un contre-exemple dans le cas ou $G$ n'est pas commutatif.

• Soit $G$ un groupe cyclique d'ordre $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$. Montrer que $H$ est cyclique d'ordre divisant $n$. Soit $d$ un diviseur de $n$. Montrer qu'il existe un unique sous-groupe de $G$ d'ordre $d$.
• On note $\phi$ l'indicatrice d'Euler. Soient $n\in\N^*$ et $D(n)$ l'ensemble des diviseurs positifs de $n$. Montrer l'egalite $n=\sum_{d\in\mc{D}(n)}\phi(d)$.
• Montrer que si $p$, $q\in\N^*$ sont premiers entre eux, alors $\phi(pq)=\phi(p)\phi(q)$. Pour $n\in\N^*$, exprimer $\phi(n)$ en fonction de la decomposition en facteurs premiers de $n$.

• Soit $a\in\R$. Montrer que $a\Z=\{ax,\,x\in\Z\}$ est un sous-groupe de $(\R,+)$.

  • Soit $G$ un sous-groupe de $(\R,+)$ non reduit a $\{0\}$.
  • Montrer que $a=\inf\left(G\cap\R^{+*}\right)$ existe.
  • On suppose $a\neq 0$. Montrer que $G=a\Z$.
  • On suppose $a=0$. Montrer que $G$ est dense dans $\R$.

Soit $p$ un nombre premier impair.

• D enombrer les carres de $\mathbb{F}_p$.
• Montrer que $-1$ est un carre de $\mathbb{F}_p$ si et seulement si $p\equiv 1$[4].

Soient $A$ un anneau commutatif integre et $(a_0,\ldots,a_n)$ une famille non nulle d'éléments de $A$. Montrer que l'équation $a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n=0$ admet au plus $n$ solutions dans $A$.

On pose $\Z[i]=\{a+ib,\ (a,b)\in\Z^2\}$.

Montrer que $\Z[i]$ est un anneau integre et déterminer ses inversibles.

en Soit $A$ un anneau commutatif.

Si $I$ est un ideal de $A$, on note $R(I)=\{x\in A\ ;\ \exists n\in\N,\ x^n\in I\}$.

• Montrer que $R(I)$ est un ideal de $A$ contenant $I$.
• Soient $I$ et $J$ deux ideaux de $A$. Montrer :

$R(I\cap J)=R(I)\cap R(J)$ ; $R(I)+R(J)\subset R(I+J)$.

• Pour cette question, $A=\Z$. Montrer que l'ensemble des entiers naturels non nuls tels que $R(n\Z)=n\Z$ est l'ensemble des entiers naturels non nuls dont la decomposition primaire ne comporte aucun facteur premier d'exposant au moins egal a 2.

Soient $n\in\N^*$, $z_1,\ldots,z_n$ des nombres complexes non nuls de meme module tels que, pour tout $i\in\db{1,n}$, $\left|\sum_{k=1}^nz_k\right|=\left|\sum_{k=1}^nz_k-z_i\right|$. Calculer $\left(\sum_{k=1}^nz_k\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{z_k}\right)$.

• Montrer qu'il existe une unique suite $(P_n)$ de polynomes a coefficients dans $\Z$ verifiant : $\forall n\in\N,\forall x\in\R^*,P_n\left(x+\frac{1}{x} \right)=x^n+\frac{1}{x^n}$.

  • Soit $a\in\Q$ tel que $\cos(a\pi)\in\Q$. Montrer que : $2\cos(a\pi)\in\Z$.

• Montrer que, pour tout $n\in\N$, il existe $P_n\in\R[X]$ tel que$\forall\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[},\ \frac{\sin((2n+1)\theta)}{\sin^{2n+1}( \theta)}=P_n(\text{cotan}^2\theta).$

  • Déterminer les racines de $P_n$ et calculer leur somme.
  • Montrer que, pour $\theta\in\Big{]}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$, $\text{cotan}^2\theta\lt \frac{1}{\theta^2}\lt \text{cotan}^2\theta+1.$
  • Déduire de ce qui precede la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n^2}.$

Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n$. Montrer qu'il existe $k\in\db{0,n}$ tel que $|P(k)|\geq\frac{n!}{2^n}$.

Interpolation de Lagrange.

Soit $P\in\C[X]$.

• À quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\C$ sur $\C\,?$
• À quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\R$ sur $\R\,?$
• À quelle condition $P$ realise-t-il une surjection de $\Q$ sur $\Q\,?$

On pose $B_0=1$ et pour tout $k\in\N^*$, $B_k=\frac{1}{k!}X(X-1)...(X-k+1)$.

• Montrer que pour tout $N\in\N$, la famille $(B_0,...,B_N)$ est une base de $\R_N[X]$.
• Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $P(\N)\subset\Z$ alors $P(\Z)\subset\Z$.
• Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $\exp(2i\pi P(n))\xrightarrow[n\to+\i]{}1$ alors $P(\Z)\subset\Z$.
• Soit $P\in\R[X]$. Montrer que si $P(n)-\lfloor P(n)\rfloor\xrightarrow[n\to+\i]{}1$ alors $P(\Z)\subset\Z$.

Soient $n\in\N^*$ et $k\in\db{0,n-1}$. Soit $P=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0\in\C[X]$ polynome de degre $n$ tel que $(X-1)^k|P$. On note $\mu(P)$ le nombre de coefficients non nuls de $P$. On veut montrer que $\mu(P)\geq k+1$. On raisonne par l'absurde et on pose $A=\{i\in\db{0,n},\ a_i\neq 0\}$.

• On pose $P_0=1$ et $P_s=\prod_{j=0}^{s-1}(X-j)$ pour $s\in\N^*$.

Montrer que $\forall s\in\db{0,k-1},\ P^{(s)}(1)=\sum_{i\in A}a_iP_s(i)$.

• En déduire que $\forall i\in A$, $a_i=0$, et conclure.
• L'inegalite demontree est-elle optimale?

• Soit $P\in\R[X]$ simplement scinde sur $\R$ et non constant. Montrer que, si $\lambda\in\R$, $P'-\lambda P$ est simplement scinde sur $\R$.

  • Le resultat de la question précédente s'etend-il a $P^{''}-\lambda P\,?$ Comment le généraliser?

• Soit $P$ un polynome irreductible dans $\Q[X]$. Montrer que les racines complexes de $P$ sont simples.

  • Soient $k\in\N^*$, $P\in\Q[X]$ non constant avec $\deg(P)\leq 2k-1$, $\alpha\in\C$ une racine de $P$ de multiplicite $k$. Montrer que $\alpha$ est rationnel.

Soit $P=\sum_{k=0}^na_kX^k$ avec : $a_0\geq a_1\geq\cdots\geq a_n\gt 0$.

• Montrer que les racines complexes de $P$ sont de module superieur ou egal a $1$.
• Soit $z\in\C$ tel que $P(z)=0$. Montrer $\min_{k\in[0,n-1]}\frac{a_k}{a_{k+1}}\leq|z|\leq\max_{k\in[0,n-1] }\frac{a_k}{a_{k+1}}$.

• Soit $P\in\R[X]$ de degre $n\geq 1$. Soit $x\in\R$. On considère la suite $\left(P^{(k)}(x)\right)_{k\in[0,n]}$.

On note $v(x)$ le nombre de changements de signe stricts :

Soit $a\lt b$ tel que $P(a)P(b)\neq 0$. Montrer que si l'on note $\mu(a,b)$ le nombre de racines comptees avec multiplicite sur $[a,b]$ de $P$ comptees avec multiplicite, alors :

$\mu(a,b)\leq v(a)-v(b)$ et $\mu(a,b)\equiv v(a)-v(b) [2]$.

• Soit $P=a_0+\cdots+a_nX^n\in\R[X]$ non constant. On pose $V(P)$ le nombre de changements de signe stricts de la suite $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$ et $\mu(P)$ le nombre de racines strictement positives comptees avec multiplicite. Montrer que $\mu(P)\leq V(P)$ et $\mu(P)\equiv V(P)[2]$.

• Soit $P\in\C[X]\setminus\{0\}$. Decomposer $P'/P$ en éléments simples.

  • On note $a_1,...,a_n$ les racines de $P$. Soit $a$ une racine de $P'$. Montrer qu'il existe des réels positifs $t_1,...,t_n$ tels que $t_1+\cdots+t_n=1$ et $t_1a_1+\cdots+t_na_n=a$.

Soit $P\in\R[X]$ un polynome de degre $n\geq 2$, ayant $n$ racines réelles distinctes et non nulles $a_1\lt ...\lt a_n$. Calculer $\sum_{i=1}^n\frac{1}{P'(a_i)}$ et $\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_iP'(a_i)}$.

Soit $P\in\C[X]$ un polynome unitaire de degre $n$. On note $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ ses racines comptees avec multiplicite. On suppose que $P$ est a coefficients entiers.

Montrer que, pour tout $q\in\N^*$, $P_q=\prod_{i=1}^n(X-\lambda_i^q)$ est a coefficients entiers.

Soit $\mathbb{K}=\Q+\sqrt{2}\Q+\sqrt{3}\Q+\sqrt{6}\Q$. Montrer que $\mathbb{K}$ est un $\Q$-sous-espace vectoriel de $\R$ et que $(1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6})$ est une base de $\mathbb{K}$.

Quelle est la dimension du $\Q$-sous-espace de $\R$ engendre par $\mathbb{U}_5$?

Soient $x,y,z$ des rationnels non nuls. Montrer que la matrice $\left(\begin{array}{ccc}x&y&z\\ 2y&z&2x\\ z&x&2y\end{array}\right)$ est inversible.

Soient $x,y\in\R$ et $D=\begin{vmatrix}1&0&1&0&0\\ x&1&y&1&0\\ x^2&2x&y^2&2y&2\\ x^3&3x^2&y^3&3y^2&6y\\ x^4&4x^3&y^4&4y^3&12y^2\end{vmatrix}$. Montrer que $D=0$ si et seulement si $x=y$.

Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ dont on note $C_1,\ldots,C_n$ les colonnes. Soit $B$ la matrice dont les colonnes sont $C'_1,\ldots,C'_n$ avec : $C'_j=\sum_{i\neq j}C_i$. Déterminer $\det B$ en fonction de $\det A$.

• Soient $p\in\N^*$, $a_1,\ldots,a_p\in\R$ non tous nuls et $b_1,\ldots,b_p\in\R$ avec $b_1\lt \cdots\lt b_p$. Montrer que $f_p:x\in\R\mapsto\sum_{i=1}^pa_ie^{b_ix}$ s'annule au plus $p-1$ fois sur $\R$.

  • Soit $n\in\N^*$. Soient $\alpha_1\lt \cdots\lt \alpha_n$ et $\beta_1\lt \cdots\lt \beta_n$ des réels. Montrer que : $\det\big{(}e^{\alpha_i\beta_j}\big{)}_{1\leq i,j\leq n}\gt 0$.

Soit $f\in\mc{L}(E)$ ou $E$ est un $\R$-espace vectoriel de dimension finie. Montrer que $\op{rg}f=\op{rg}f^2$ si et seulement si $E=\op{Ker}f\oplus\op{Im}f$.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$.

• Montrer l'equivalence entre les trois proprietes suivantes :

  • $\op{Im}(u)=\op{Im}(u^2)$
  • $\op{Ker}(u)=\op{Ker}(u^2)$
  • $E=\op{Im}(u)\oplus\op{Ker}(u)$.
• Donner des exemples d'endomorphismes verifiant ces proprietes.
• L'equivalence est-elle vraie en dimension infinie? Montrer que $(i)$ et $(ii)$ equivaut a $(iii)$.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie. On dit que $h\in\mc{L}(E)$ est une transvection s'il existe $\phi\in\mc{L}(E,\mathbb{K})$ non nulle et $a\in E$ non nul tels que : $\forall x\in E$, $h(x)=x+\phi(x)a$. Soit $u\in\mc{L}(E)$ tel que $\op{rg}(u-\op{id})=1$ et $(u-\op{id})^2=0$. Montrer que $u$ est une transvection. La reciproque est-elle vraie?

Soient $A\in\M_n(\R)$ et $M\in\M_n(\R)$. On suppose que toutes les matrices semblables a $A$ appartiennent au commutant de $M$. Déterminer $M$. Meme question dans $\M_n(\C)$.

Soient $p,q\in\C$. On note $x_1$, $x_2$ et $x_3$ les racines (non necessairement distinctes) du polynome $X^3+pX+q$. Pour $j\in\N$, on pose $N_j=x_1^j+x_2^j+x_3^j$.

Calculer, pour $n\in\N^*$, le déterminant de la matrice $M_n=(N_{i+j-2})_{1\leq i,j\leq n}$.

${}^{\bigstar}$ Soit $n\in\N^*$. Calculer $\det((i\wedge j)_{1\leq i,j\leq n})$.

Ind. On rappelle que, pour $N\in\N^*$, $N=\sum_{d|N}\phi(d)$ ou $\phi$ est l'indicatrice d'Euler.

Soient $K_1$,…, $K_n$ des segments non triviaux disjoints.

• Montrer que, si $P\in\R_{n-1}[X]$ verifie $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$, alors $P=0$. - Montrer qu'il existe $P\in\R_n[X]$ non nul tel que $\int_{K_j}P=0$ pour tout $j\in\{1,...,n\}$.

• Déterminer le rang de $\,\text{Com}(A)$ en fonction du rang de $A$.

  • Calculer $\,\text{Com}\,\left(\text{Com}(A)\right)$ lorsque $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$.
  • Montrer que si $X$ est un vecteur propre de $A$ associe a une valeur propre non nulle, alors $X$ est un vecteur propre de $\,(\,\text{Com}(A))^T$.

Soit $n\in\N^*$. Soit $D$ l'ensemble des matrices $M\in\M_n(\mathbb{K})$ telles que $m_{i,j}=0$ si $i$ et $j$ sont de parites differentes.

• Montrer que $D$ est une sous-algèbre de $\M_n(\mathbb{K})$.
• Soit $M\in D\cap\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$. Montrer que $\,\text{Com}(M)\in D$.
• Traiter le cas ou $M$ n'est pas inversible.

Trouver les solutions dans $\M_2(\R)$ de $X^2+X=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$.

Soient $A,B\in\M_n(\C)$ telles que $AB=0$.

Montrer $\forall k\geq 1$, $\mathrm{tr}(A^k)+\mathrm{tr}(B^k)=\mathrm{tr}\left((A+B)^k\right)$.

• Soit $f\in\mc{L}\left(\M_n(\mathbb{K}),\mathbb{K}\right)$ verifiant : $\forall(A,B)\in\M_n(\mathbb{K})^2,f(AB)=f(BA)$. Montrer que $f$ est proportionnelle a la trace.

  • Soit $g\in\mc{L}(\M_n(\mathbb{K}))$ un endomorphisme d'algèbre. Montrer que $\mathrm{tr}\circ g=\mathrm{tr}$.

Soit $f\colon\M_n(\mathbb{K})\to\mathbb{K}$ non constante telle que : $\forall A,B\in\M_n(\mathbb{K})$, $f(AB)=f(A)f(B)$. Montrer que $A\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})\Longleftrightarrow f(A)\neq 0$.

Soient $A,B$ dans $\M_n(\R)$. Montrer que $\mathrm{Ker}\,A=\mathrm{Ker}\,B$ si et seulement s'il existe $P$ inversible telle que $B=PA$.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer l'equivalence entre : i) $u^2=0$ et $\exists v\in\mc{L}(E),\,u\circ v+v\circ u=\mathrm{id}$, ii) $\mathrm{Im}\,u=\mathrm{Ker}\,u$.

Soient $A=\begin{pmatrix}1&1&0&\cdots&0\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&\ddots&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $N=A-I_n$.

Soit $(E)$ l'équation matricielle $X^2=A$.

• Quelles sont les matrices qui commutent avec $N$? - Montrer que les solutions de $(E)$ sont de la forme $X=\pm\begin{pmatrix}1&a_1&\cdots&a_{n-1}\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a_1\\ 0&\cdots&0&1\end{pmatrix}$.

Montrer qu'il y a au plus deux solutions.

• Rappeler le développement limite a l'ordre $n$ de $x\mapsto\sqrt{1+x}$. Resoudre $(E)$.

Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente.

• Calculer $\det(A+I_n)$.
• Soit $M\in\M_n(\C)$ telle que $AM=MA$. Calculer $\det(A+M)$. On commencera par le cas ou $M\in\mathrm{GL}_n(\C)$.
• Le resultat est-il toujours vrai si $AM\neq MA$?

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $(u,v)\in\mc{L}(E)^2$.

• Montrer que $|\op{rg}(u)-\op{rg}(v)|\leq\op{rg}(u+v) \leq\op{rg}(u)+\op{rg}(v)$.
• Soient $F$ un sous-espace vectoriel de $E$, $G$ et $H$ deux supplementaires de $F$. On note $p$ (resp. $q$) la projection sur $F$ (sur $H$) parallélément a $G$ (a $F$).

Montrer que $\op{rg}(p+q)=\op{rg}p+\op{rg}q$.

Déterminer les parties $G$ de $\M_n(\C)$ telles que $(G,\times)$ soit un groupe multiplicatif et $G$ ne soit pas un sous-groupe de $\mathrm{GL}_n(\C)$.

Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\C)$. Montrer que $\sum_{M\in G}\text{Tr}(M)$ est un entier divisible par le cardinal de $G$.

• Soit $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ tel que $\sum_{g\in G}\op{tr}g=0$. Montrer que $\sum_{g\in G}g=0$.

  • Soient $G$ un sous-groupe fini de $\mathrm{GL}_n(\R)$ et $V$ un sous-espace vectoriel de $\R^n$ stable par tous les éléments de $G$. Montrer que $V$ admet un supplementaire stable par tous les éléments de $G$.

Déterminer les ideaux bilateres de $\M_n(\R)$, c'est-a-dire les sous-groupes additifs stables par multiplication a gauche et a droite par n'importe quel élément de $\M_n(\R)$.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel, $f$ et $g$ deux éléments de $\mc{L}(E)$ tels que $fg-gf=\text{id}_E$.

• Montrer que $E$ est de dimension infinie ou nulle.
• Montrer que $f$ n'est pas nilpotent.
• Donner un exemple de triplet $(E,f,g)$ verifiant les conditions précédentes.

Soit $A\in\M_n(\R)$.

• Montrer que $|\det A|\leq\prod_{i=1}^n\Big{(}\sum_{j=1}^n|A_{i,j}|\Big{)}$.
• Lorsque $\det A\neq 0$, étudier le cas d'egalite.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel. Une partie $S$ de $\mc{L}(E)$ est dite dense si, pour tout $n\geq 1$, toute famille $(b_1,\ldots,b_n)$ de vecteurs de $E$ et toute famille libre $(a_1,\ldots,a_n)$ de vecteurs de $E$, il existe $f\in S$ tel que $f(a_i)=b_i$ pour tout $i\in\db{1,n}$.

• Quelles sont les parties denses de $\mc{L}(E)$ si $E$ est de dimension finie?
• Dans cette question, on suppose que $E$ n'est pas de dimension finie.
• Montrer que $\{f\in\mc{L}(E),\ \mathrm{rg}\,f\lt +\i\}$ est dense dans $\mc{L}(E)$.
• Meme question avec $\{f\in\mc{L}(E);\ \mathrm{rg}\,f$ est fini et pair$\}$.
• Si $S$ est dense dans $\mc{L}(E)$, déterminer $\{g\in\mc{L}(E)\ ;\forall f\in S,\ fg=gf\}$.

Soit $(M_{i,j})$ une base de $\M_n(\mathbb{K})$ verifiant : $\forall(i,j,k,\ell)\in\db{1,n}^4,M_{i,j}M_{k,\ell}= \delta_{j,k}M_{i,\ell}$.

• Montrer que $\mathrm{Im}\,M_{i,j}$ est independante de $j$. On la notera $F_i$.
• Montrer que $\mathbb{K}^n=\bigoplus_{i=1}^nF_i$.
• En déduire $\dim F_i$.
• Montrer qu'il existe $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ telle que : $\forall(i,j)\in\db{1,n}^2,M_{i,j}=PE_{i,j}P^{-1}$.
• Expliciter les automorphismes de l'algèbre $\M_n(\mathbb{K})$.

Soit $U$ une partie de $\M_n(\C)$ non vide, finie et stable par produit. Montrer qu'il existe $M\in U$ tel que $\mathrm{tr}\,M\in\{0,\ldots,n\}$.

Pour tout $x\in\R$, on pose $A_x=\begin{pmatrix}0&x\\ x&0\end{pmatrix}$. Déterminer la structure de l'ensemble : $\{\exp(A_x),\ x\in\R\}$ et expliciter $\exp(A_x)$ pour tout $x\in\R$.

Soit $M\in\M_n(\C)$ admettant $n$ valeurs propres distinctes. Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec $M$ est $\text{Vect}(I_n,M,\ldots,M^{n-1})$.

Soient $n\in\N^*$, $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$ tel que $u^n=\mathrm{id}$. Pour $b\in E$ et $\lambda\in\R$, resoudre $x+\lambda u(x)=b$.

Soit $Z=\begin{pmatrix}1&\cdots&1\\ \vdots&&\vdots\\ 1&\cdots&1\end{pmatrix}\in\M_n(\C)$. Calculer $\chi_{Z^2}$. La matrice $Z$ est-elle diagonalisable?

Soient $n\in\N^*$, $U=(u_{i,j})_{1\leq i,j\leq n},\ V=(v_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}\in\M_n(\R)$ ou $u_{i,i+1}=1$ pour $1\leq i\leq n-1$, les autres coefficients etant nuls, $v_{i,j}=1$ si $j\gt i$, les autres coefficients etant nuls.

• Calculer le polynome minimal de $U$.
• Montrer que $U$ et $V$ sont semblables.

Soient $a_1\lt ...\lt a_n$ des réels et $M=\begin{pmatrix}a_1+1&1&\dots&1\\ 1&a_2+1&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&1\\ 1&\dots&1&a_n+1\end{pmatrix}$.

• Déterminer le polynome caracteristique de $M$.
• Montrer que $M$ est diagonalisable et que ses espaces propres sont des droites.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$, $a,b\in\R$ et $P=X^2+aX+b$. On suppose que $P$ est irreductible sur $\R$ et annulateur de $u$.

• Soit $x\in E\setminus\{0\}$. Montrer que $F_x=\op{Vect}(x,u(x))$ est un plan stable par $u$.
• Soient $F$ un sous-espace vectoriel stable par $u$ et $x\in E\setminus F$. Montrer que $F\cap F_x=\{0\}$.
• Montrer que $u$ est diagonalisable par blocs identiques de taille $2\times 2$.

Ecrire l'ensemble des matrices symetriques de $\M_2(\C)$ non diagonalisables comme reunion de deux plans vectoriels prives de leur droite d'intersection.

Soient $a,b$ dans $\R^*$ et $A$ la matrice de taille $2n$ dont la diagonale contient des $a$, l'anti-diagonale des $b$ et les autres coefficients sont nuls.

• La matrice $A$ est-elle diagonalisable? Déterminer ses éléments propres.
• À quelle condition $A$ est-elle inversible?
• Calculer $A^k$ pour $k\in\N$.

Soient $A=\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\ 1&0&0&&\vdots\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ 0&\cdots&\cdots&0&1\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&0&1\\ 1&\ddots&&&0\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$ dans $\M_n(\R)$.

• Montrer que $A$ et $B$ sont inversibles et preciser le sous-groupe $G$ de $\op{GL}_n(\R)$ engendre par ces matrices.
• Dans le cas $n=3$, preciser les matrices de $G$ qui sont diagonalisables.

Soit $u$ l'endomorphisme de l'espace vectoriel $\R[X]$ défini par

$\forall P\in\R[X],\ u(P)=(X^2-1)P^{''}+4XP'$.

• Montrer que le spectre réel de $u$ est l'ensemble $\{n(n+3),\ n\in\N\}$, et que les espaces propres associes sont des droites vectorielles.
• Pour $n\in\N$, on note $P_n$ l'unique polynome unitaire générateur de la droite propre associee a $n(n+3)$. Trouver une relation entre $P_n$, $P_{n-1}$ et $P_{n-2}$ pour $n\geq 2$.

Soit $E=\M_n(\R)$. Soient $A\in E$ et $u_A:M\in E\mapsto AM$.

• Caracteriser les matrices $A$ telles que $u_A$ soit un automorphisme de $E$.
• Calculer déterminant et trace de l'endomorphisme $u_A$.
• Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est diagonalisable.

Soient $A,B\in\M_n(\R)$ non nulles et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto M+\op{tr}(AM)B$. - Déterminer un polynome de degre $2$ annulateur de $f$. - Étudier la diagonalisabilite de $f$.

Soient $(M,N)\in\M_{2n+1}(\C)$. On suppose que $MN=0$ et que $M+M^T$ est inversible. - Montrer que $M$ et $N$ ont un vecteur propre commun. - Montrer que $N+N^T$ n'est pas inversible.

Soient $P\in\M_n(\R)$ une matrice de projection et $f:M\in\M_n(\R)\mapsto PM-MP$. - L'endomorphisme $f$ est-il diagonalisable? - Calculer la trace de $f$.

Soient $A,B\in\M_n(\mathbb{K})$ diagonalisables. Soit $\Delta$ l'endomorphisme de $\M_n(\mathbb{K})$ défini par $\forall M\in\M_n(\mathbb{K})$, $\Delta(M)=AM+MB$. Montrer que $\Delta$ est diagonalisable et preciser ses valeurs propres.

Soit $\sigma$ une permutation de $\db{1,n]\!]$. Pour $M\in\M_n(\mathbb{K})$, on pose $p(M)=M'$ avec : $\forall(i,j)\in[\![1,n}^2,\,m'_{i,j}=m_{i,j}$ si $i=\sigma(j)$ et $m'_{i,j}=0$ sinon.

• Montrer que $p$ est un projecteur. Déterminer son noyau et son image.

Soit $A\in\M_n(\mathbb{K})$ non nulle. On définit deux applications $\phi$ et $u_A$ par :

$\forall M\in\M_n(\mathbb{K}),\phi(M)=\sum_{k=1}^nm_{\sigma(k),k}$ et $u_A(M)=\phi(M)A+\phi(A)M$.

• Montrer que $u_A$ est diagonalisable si et seulement si $\phi(A)\neq 0$.

• L'endomorphisme $u_A$ peut-il être un projecteur?

Soient $E$ un $\R$-espace de dimension $n$, $f,g\in\mc{L}(E)$ tels que $f\circ g-g\circ f=f$.

• Montrer que $f$ est nilpotent.
• On suppose que $g$ est diagonalisable et que $\dim(\op{Ker}f)=1$. Déterminer $g$.

Soient $n\geq 2$, $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $AB-BA=B$.

• Montrer que, pour $m\in\N^*$, $AB^m-B^mA=mB^m$.
• En déduire que $B$ est nilpotente.

Soit $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie.

• Montrer que deux endomorphismes $u$ et $v$ de $E$ qui commutent ont un vecteur propre en commun.
• Montrer qu'une famille finie $F$ d'endomorphismes de $E$ qui commutent admet une base de trigonalisation commune a ses éléments.

Soient $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$.

• Soit $P\in\mathbb{K}[X]$ annulateur de $f$ tel que $0$ soit racine simple de $P$.

Montrer que : $E=\op{Im}f\oplus\op{Ker}f$.

On suppose dans la suite que $\mathbb{K}=\C$ et que $E$ est de dimension $n\in\N^*$.

• Soit $g\in\mc{L}(E)$ tel que $fg=0$. Montrer que $f$ et $g$ sont cotrigonalisables.
• Soit $f_1,\dots,f_p\in\mc{L}(E)$ qui commutent. Montrer que $f_1,\dots,f_p$ sont cotrigonalisables.
• Soient $f_1,\dots,f_n\in\mc{L}(E)$ nilpotents qui commutent. Calculer $f_1\circ\dots\circ f_n$.

Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si

$\forall P\in{\C}[X],\ P(A)$ nilpotent $\Rightarrow P(A)=0$.

Soient $A,B\in{\cal M}_n({\R})$ avec $B$ diagonalisable. On suppose que $AB^3=B^3A$. Montrer que $A$ et $B$ commutent. Généraliser.

Quels sont les $n\in{\N}$ tels qu'existe $A\in{\cal M}_n({\R})$ verifiant $A^3-A^2=I_n$?

Déterminer les entiers $n\geq 1$ tels qu'il existe $f\in{\cal L}({\R}^n)$ verifiant $f^3+f^2-{\rm id}=0$ et ${\rm tr}\,f\in{\Q}$.

Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$. On pose $f_A:M\in{\cal M}_n({\C})\mapsto AMA^T\in{\cal M}_n({\C})$.

• Soit $(X_1,\ldots,X_n,Y_1,\ldots,Y_n)\in({\C}^n)^{2n}$. Montrer que $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(Y_1,\ldots,Y_n)$ sont des bases de ${\C}^n$ si et seulement si $\big{(}X_iY_j^T\big{)}_{1\leq i,j\leq n}$ est une base de ${\cal M}_n({\C})$.
• Montrer que $A$ est inversible si et seulement si $f_A$ est inversible.
• On suppose $A$ diagonalisable. Montrer que $f_A$ est diagonalisable.
• Soit $\lambda\in{\C}^*$ une valeur propre de $A$ et $Y$ un vecteur propre associe. Montrer que le sous-espace vectoriel $F=\big{\{}XY^T,\ X\in{\C}^n\big{\}}$ est stable par $f_A$.
• Montrer que si $f_A$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.

Soit $p$ une permutation de $\db{1,n]\!]^2$. On considère l'application $u:{\cal M}_n({\C})\to{\cal M}_n({\C})$ définie par $:u(A)=(A_{p(i,j)})_{(i,j)\in[\![1,n}^2}$. Montrer que $u$ est un endomorphisme de ${\cal M}_n({\C})$. Est-il diagonalisable?

• Soient $A,B,C,D\in{\cal M}_n({\C})$ telles que $CD=DC$.

Montrer que $\det\left(\begin{array}{cc}A&B\\ C&D\end{array}\right)=\det(AD-BC)$.

• Soient $A\in{\rm GL}_n({\C})$, $B,C\in{\cal M}_n({\C})$ et $\lambda\in{\C}$. Montrer l'equivalence des enonces suivants :

1. $\lambda$ est valeur propre de la matrice $\left(\begin{array}{cc}0&A^{-1}C\\ I_n&A^{-1}B\end{array}\right)$,

ii) il existe $x\in{\C}^n\setminus\{0\}$ tel que la fonction $t\mapsto e^{\lambda t}x$ soit solution de $Ay^{''}-By'-Cy=0$.

Donner une base de ${\cal M}_n({\R})$ constituee de matrices diagonalisables.

Soient $E$ un ${\C}$-espace vectoriel de dimension finie et $f\in{\cal L}(E)$. Montrer que $f$ est diagonalisable si et seulement si $f^2$ est diagonalisable et ${\rm Ker}(f)={\rm Ker}(f^2)$.

Soit $A\in{\cal M}_n({\R})$.

Montrer que $A^2=A$ si et seulement si ${\rm rg}\,A\leq{\rm tr}\,A$ et ${\rm rg}(I_n-A)\leq{\rm tr}(I_n-A)$.

Soit $A\in{\cal M}_2({\R})$ telle qu'il existe $n\in{\N}^*$ tel que $A^{2^n}=I_2$.

Montrer que $A^2=I_2$ ou qu'il existe $k\in{\N}^*$ tel que $A^{2^k}=-I_2$.

Soit $u$ un endomorphisme diagonalisable de ${\C}^n$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :

!! Page manquante

Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit diagonalisable?

Quelles sont les $A\in{\cal M}_n(\R)$ telles que, pour toute $P\in\mbox{GL}_n(\R)$, $PA$ soit trigonalisable?

Soient $A,B\in{\cal M}_n(\C)$. Soit $u$ l'endomorphisme de ${\cal M}_n(\C)$ défini par

$\forall T\in{\cal M}_n(\C),\ u(T)=AT-TB$.

• Soit $\alpha\in\C$ (resp. $\beta\in\C$) une valeur propre de $A$ (resp. $B$). Montrer que $\alpha-\beta$ est valeur propre de $u$.
• Soient $\lambda\in\C$ une valeur propre de $u$, et $T\in{\cal M}_n(\C)$ un vecteur propre associe.

Montrer que, pour tout polynome $P\in\C[X]$, $P(A)T=TP(\lambda I_n+B)$.

• Montrer qu'il existe $\alpha\in\mbox{Sp}(A)$ et $\beta\in\mbox{Sp}(B)$ telles que $\lambda=\alpha-\beta$.
• En déduire une condition necessaire et suffisante pour qu'il existe $T\in{\cal M}_n(\C)$ non nulle telle que $AT=TB$.

• Pour quels $\lambda\in\C$ existe-t-il $(A,B)\in\mbox{GL}_n(\C)^2$ tel que $AB=\lambda BA$?

  • Pour quels $\lambda\in\C$ est-il vrai que, pour tout $(A,B)\in\mbox{GL}_n(\C)^2$ tel que $AB=\lambda BA$, les matrices $A$ et $B$ sont diagonalisables?

On note $\mathbb{B}$ l'ensemble des suites bornees de $(\C)^{\Z}$.

On s'interesse a l'endomorphisme $T\in{\cal L}(\mathbb{B})$ qui a $(u_n)$ associe $(u_{n+1})$.

• Déterminer les valeurs et les vecteurs propres de $T$.
• Soit $S\subset\mathbb{B}$ un sous-espace de dimension finie de $\mathbb{B}$ stable par $T$. On note $\widetilde{T}$ l'endomorphisme induit par $T$ sur $S$. Montrer que l'on dispose de $(\lambda_1,\ldots,\lambda_r)\in\C^r$ distincts tels que

$$S=\bigoplus_{i=1}^r\mbox{Ker}\left(\widetilde{T}-\lambda_i\mbox{id}\right)$$

• Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si $e^A$ est diagonalisable. Que se passe-t-il sur $\R$?

  • Soit $A\in{\cal M}_n(\C)$. Resoudre l'équation $e^M=A$.

Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace euclidien de dimension $n$, $v_1,\ldots,v_{n+2}$ des vecteurs de $E$. Montrer qu'on ne peut avoir : $\forall i\neq j,\ \langle v_i,v_j\rangle\lt 0$.

Soient $(E,\langle\,\rangle)$ un espace euclidien, $c_1,c_2\in E$, $r_1,r_2\in\R^{+*}$.

• À quelle condition les boules fermees $B_f(c_1,r_1)$ et $B_f(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles?
• À quelle condition les spheres $S(c_1,r_1)$ et $S(c_2,r_2)$ se rencontrent-elles?

Soient $E$ un espace prehilbertien réel et $(e_1,\ldots,e_n)$ une famille libre de vecteurs de $E$ telle que $\forall x\in E,\ \|x\|^2=\sum_{k=1}^n\langle x,e_k\rangle^2$. Montrer que la famille $(e_1,\ldots,e_n)$ est une base orthonormalee de $E$. Le resultat reste-t-il vrai si on ne suppose plus la famille libre, mais seulement constituee de vecteurs non nuls?

Soient $E$ un espace euclidien, $A$ une partie de $E$ et $B=\left\{\left\langle x,y\right\rangle;\;(x,y)\in A^2\right\}$. Montrer que $A$ est fini si et seulement si $B$ est fini.

Si $B$ est fini, on prend une famille génératrice de $\vect A$.

Soient $E$ un espace euclidien, $A$ et $B$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ orthogonaux. Montrer que les symetries orthogonales par rapport a $A$ et par rapport a $B$ commutent et que leur composee est la symetrie orthogonale par rapport a $(A+B)^{\perp}$.

Soient $(E,\left\langle\;,\;\right\rangle)$ un espace euclidien et $a\in E\setminus\{0\}$.

Pour $\lambda\in\R$, soit $\Phi_{\lambda}:x\mapsto x-\lambda\left\langle a,x\right\rangle a$.

• Déterminer les $\lambda$ pour lesquels $\Phi_{\lambda}$ est inversible.
• Si $\lambda,\mu\in\R$, calculer $\Phi_{\lambda}\circ\Phi_{\mu}$.
• Soit $\lambda\in\R$. Déterminer les éléments propres de $\Phi_{\lambda}$.

Soit $E$ un espace euclidien.

• Trouver les endomorphismes $f$ de $E$ tels que :

$\forall x,y\in E$, $\left\langle x,y\right\rangle=0\implies\left\langle f(x),f(y)\right\rangle=0$.

• Pour un tel $f$, discuter de la nature de la suite de terme général $u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}f^k$.

• Enoncer le theoreme de reduction pour une matrice de $\text{SO}_3(\R)$.

  • Montrer que deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ qui ont meme axe commutent.
  • Montrer que deux demi-tours de $\text{SO}_3(\R)$ d'axes orthogonaux commutent.
  • Montrer que si deux rotations de $\text{SO}_3(\R)$ commutent, alors on est dans l'un des deux cas precedents.

Soient $a,b,c\in\R$ et $A(a,b,c)=\begin{pmatrix}a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a\end{pmatrix}$.

• Montrer que $A(a,b,c)$ est dans $\text{SO}_3(\R)$ si et seulement si $a,b,c$ sont les racines d'un polynome $X^3-X^2+t$ ou $t$ appartient a un intervalle $I$ que l'on déterminera.
• Soit $a,b,c\in\R$. Déterminer une droite et un plan stables par $A(a,b,c)$.
• Si $A(a,b,c)\in\text{SO}_3(\R)$, caracteriser l'endomorphisme canoniquement associe.

On travaille dans l'espace $E=\R[X]$. Pour $P$ et $Q$ dans $E$, on pose

$\Phi(P,Q)=\int_0^{+\i}P(t)\,Q(t)\,e^{-t}dt$.

• Montrer que $\Phi$ est correctement définie et munit l'espace $E$ d'un produit scalaire.
• Calculer $\Phi(X^p,X^q)$ pour $p,q\in\N$.
• Calculer l'orthonormalisee de Gram-Schmidt de la famille $(1,X,X^2)$.
• Calculer la distance de $X^3$ a $\R_2[X]$.

Soit $n\in\N^*$. Montrer que : $\forall P\in\R_{n-1}[X],\int_0^{+\i}e^{-x}\left(P(x)+x^n\right)^ {2}\,dx\geq(n!)^2$.

Soit $E=\R_3[X]$.

• Montrer que l'application $\phi:(P,Q)\mapsto\int_{-1}^1P(t)Q(t)dt$ définit un produit scalaire sur $E$,
• Déterminer $\inf_{(a,b,c)\in\R^3}\int_{-1}^1(t^3-at^2-bt-c)^2 dt$.

Calculer le minimum de la fonction $f:(x,y)\in\R^2\mapsto\int_0^1(t\ln(t)-xt-y)^2dt$.

On fixe un entier $n\geq 0$, et on pose $Q_i=\left(X^i(1-X)^i\right)^{(i)}$ pour $i\in\db{0,n}$. On munit également $\R_n[X]$ du produit scalaire défini par $\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)\,Q(t)\,dt$.

• Montrer que $(Q_0,\ldots,Q_n)$ est une base orthogonale de $\R_n[X]$.
• On fixe $k\in\db{0,n}$ et on note $\mc{F}_{k,n}$ l'ensemble des éléments de $\R_n[X]$ dont le coefficient de $X^k$ est egal a $1$. Montrer que $\mc{F}_{k,n}$ est un sous-espace affine de $\R_n[X]$, et preciser sa direction $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$.
• Trouver $R_k\in\mc{F}_{k,n}\cap\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}^{\perp}$, et calculer $\int_0^1R_k(t)^2\,dt$. Interpréter le resultat.

• On a $\lN Q_n\rN^2 = \frac{(n!)^2}{2n+1}$
• La direction est $\vect (X^i)_{i\neq k}$.
• $Q_i$ est de degré $i$, de coefficient dominant $(-1)^i\frac{(2i)!}{i!}$, de coefficient de degré $k$ : ${i \choose k}(-1)^k \frac{(k+i)!}{k!}$. Une base de $\overrightarrow{\mc{F}}_{k,n}$ est $Q_0,\dots,Q_{k-1}$ auquel on rajoute, pour $i\gt k$, les $Q_i - Q_k (-1)^k \frac{k!}{(2k)!} {i\choose k}(-1)^k \frac{(k+i)!}{k!}$. $=Q_i - Q_k {i\choose k} \frac{(k+i)!}{(2k)!}$. Plutôt : partir de $P_i = Q_k - (-1)^k \frac{(2k)!}{(k+i)!} \frac{1}{{i\choose k}}$, alors $\langle P_i, P_j\rangle = \lN Q_k\rN^2$. Cela permet de trouver un polynôme $L = \sum \la_i P_i$ tel que $\langle L, P_i\rangle$ soit une constante. Retirer alors un multiple de $Q_k$ à ce polynôme.

Soient $E$ le $\R$-espace vectoriel des suites réelles et $D:u\in E\longmapsto (u_{n+1}-u_n)_{n\in\N}$.

• Verifier que $D$ est un endomorphisme de $E$. Est-il injectif? Surjectif?
• Donner les éléments propres de l'endomorphisme $D$.
• Soit $F$ l'espace des suites réelles de carre sommable.

Montrer que $F$ est stable par l'endomorphisme $D$.

• On munit $F$ de son produit scalaire $\langle\,\ \rangle$ usuel.

Décrire l'ensemble $H=\left\{\frac{\langle u,D(u)\rangle}{\|u\|^2},\ u\in F\setminus\{(0)_{n\in \N}\}\right\}$.

Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$, $p,q\in\mc{L}(E)$ des projecteurs orthogonaux.

• Verifier que $\op{Im}p$ est stable par $pq$ et que l'endomorphisme induit est symetrique.
• Montrer que $\op{Ker}(pq)=\op{Ker}q\oplus(\op{Im}(q)\cap \op{Ker}(p))$.
• Montrer que $E$ est somme directe orthogonale de $(\op{Im}p+\op{Ker}q)$ et de $(\op{Ker}p\cap\op{Im}q)$.
• En déduire que $pq$ est diagonalisable.
• Montrer que le spectre de $pq$ est inclus dans $[0,1]$.

Soient $p$ et $q$ deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien $E$. Montrer que $q\circ p$ est un projecteur si et seulement si $p$ et $q$ commutent.

On munit $E=\R^n$ munit du produit scalaire usuel. Soit $A\in\M_n(\R)$.

• Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ stable par $A$. Montrer que $F^{\perp}$ est stable par $A^T$.
• On suppose $A\in\M_3(\R)$ et $A^TA=AA^T$. Montrer que $A$ est diagonalisable ou $A$ est semblable a une matrice de la forme $\begin{pmatrix}\lambda&0&0\\ 0&\alpha&-\beta\\ 0&\beta&\alpha\end{pmatrix}$ avec $\beta\neq 0$.

• Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\cal O}_n(\R)$?
• Quelles sont les matrices de ${\cal M}_n(\R)$ qui commutent avec toutes les matrices de ${\rm SO}_n(\R)$?

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $4$. Trouver les endomorphismes $f\neq 0$ de $E$ tels que ${\rm tr}(f)=0,\ f+f^4=0$ et $f^*=-f^2$.

Soit $M\in{\cal O}_n(\R)$. Pour $k\in\N^*$, on pose $C_k=\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^kM^j$. Étudier la convergence de la suite $(C - {k\in\N}$.

Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice définie par blocs : $\begin{pmatrix}B&0\\ 0&0\end{pmatrix}$ ou $B$ est inversible de taille $p$. Montrer que $p$ est pair.

Soit $A\in{\cal A}_n(\R)$. Montrer que $A$ est semblable a une matrice diagonale par blocs, de blocs diagonaux antisymetriques de taille au plus $2\times 2$.

Soient $A,M,N\in{\cal M}_n(\R)$.

• Montrer que $AA^T$ et $A^TA$ sont diagonalisables.
• Montrer que $MN$ et $NM$ ont les memes valeurs propres et que, pour toute valeur propre non nulle, les sous-espaces propres associes sont de meme dimension.
• Montrer que $A^TA$ et $AA^T$ ont les memes valeurs propres avec les memes multiplicites.
• Montrer qu'il existe $U\in{\cal O}_n(\R)$ telle que : $A^TA=UAA^TU^{-1}$.

Soient $A,B\in{\cal M}_n(\R)$ telles que $A^TA=B^TB$. Montrer qu'il existe $Q\in{\cal O}_n(\R)$ telle que $B=QA$.

Soit $A\in{\cal M}_n(\R)$ telle que $A^2=AA^T$. Montrer que $A\in{\cal S}_n(\R)$.

Soit $M\in{\cal M}_n(\R)$ nilpotente telle que : $M^TM=MM^T$. Déterminer $M^TM$ puis $M$.

Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in{\cal S}_n^+(\R)$.

• Montrer que $\det(A)\geq 0$.
• Pour $p\in\db{1,n}$, on pose $A_p=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq p}$. Montrer que $\det(A_p)\geq 0$.

Soit $A\in{\cal S}_n(\R)$. On suppose que la suite $(A^k)_{k\geq 1}$ converge vers $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$. Montrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|b_{i,j}|\leq n\sqrt{{\rm rg}\,B}$.

Soit $A=(a_{i,j})\in{\cal O}_n(\R)$. Montrer que $\left|\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\right|\leq n\leq\sum_{1 \leq i,j\leq n}|a_{i,j}|\leq n\sqrt{n}$.

Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $\left(\sum_{i=1}^na_{i,i}\right)^2\leq\text{rg}(A)\sum_{i=1}^n\sum_{ j=1}^na_{i,j}^2$.

Soit $S\in\mc{S}_n^+(\R)$. Calculer $\max\{\text{tr}(OS)\;;\;O\in\mc{O}_n(\R)\}$.

Soit $E$ un espace euclidien. On note $\mc{A}(E)$ (resp. $\mc{S}(E)$, $\mc{O}(E)$) l'ensemble des endomorphismes antisymetriques (resp. symetriques, orthogonaux) de $E$.

• Soit $u\in\mc{L}(E)$. Montrer que l'ensemble $T=\{\op{tr}(uv)\,;\,v\in\mc{O}(E)\}$ est majore.
• Montrer que si $u\in\mc{A}(E)$ alors pour tout $t\in\R$, $\exp(tu)\in\mc{O}(E)$.
• On suppose que $\sup T$ est atteint en $v=\op{id}$. Montrer que $u\in\mc{S}^+(E)$.
• Étudier la reciproque.

Soit $A=(a_{i,j})\in\mc{S}_n(\R)$. On suppose que $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ sont les valeurs propres de $A$prises avec multiplicite. Montrer que $A$ est diagonale.

• Soit $x\in\R^n$ tel que $\sum_{i=1}^nx_i=0$. Montrer que $|x_j|\leq\left(\frac{n-1}{n}\right)^{1/2} \lN x\rN_2$ pour tout $j\in\db{1,n}$.
• Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $\lambda$ une valeur propre de $A$. Montrer que $\left|\lambda-\frac{\op{tr}A}{n}\right|\leq\left(\frac{n-1}{n} \right)^{1/2}\left(\sqrt{\|A\|_2^2-\frac{(\op{tr}A)^2}{n}} \right)$.

• On a $|x_j| = \left|\sum_{i\neq j} x_i\right| \leq \sqrt{n-1} \sqrt{\sum_{i\neq j} x_i^2}$. Donc $|x_j|^2 \leq (n-1) (\lN x\rN_2^2 - |x_j|^2)$, d'où le résultat.
• On peut supposer que la trace de $A$ est nulle, et on obtient le résultat.

Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$, $(a,b)\in\R^2$ tels que $:\forall X\in\R^n,a\|X\|^2\leq\langle X,AX\rangle\leq b \|X\|^2$. Soit $P\in\R[X]$ tel que $:\forall x\in[a,b],P(x)\gt 0$. Montrer que $P(A)\in\mc{S}_n^{++}(\R)$.

• Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice antisymetrique réelle. Montrer que les valeurs propres de $A$ sont imaginaires pures.
• Montrer que $(I_n+A)(I_n-A)^{-1}\in\mc{O}_n(\R)$.
• Soit $Q\in\op{SO}_2(\R)$. Resoudre l'équation $(I_2+A)(I_2-A)^{-1}=Q$, d'inconnue une matrice antisymetrique $A\in\M_2(\R)$.

Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $B\in\mc{S}_n^+(\R)$.

• Montrer qu'il existe $C\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ telle que $C^2=A^{-1}$.
• On pose $D=CBC$. Montrer que $\det(I_n+D)^{1/n}\geq 1+\det(D)^{1/n}$.
• En déduire que $\det(A+B)^{1/n}\geq\det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}$.
• Est-ce encore vrai si $A,B\in\mc{S}_n^+(\R)$?

Soit $A\in\mc{S}_n(\R)$. Montrer que $A$ appartient a $\mc{S}_n^+(\R)$ si et seulement si, pour toute matrice $B\in\mc{S}_n^+(\R)$, on a $\op{tr}(AB)\geq 0$.

On considère la forme quadratique $q\colon (x,y,z)\in\R^3\mapsto(x+z)^2+2xy+4yz$.

• Déterminer $a,b,c$ tels que $q(x,y,z)=a(x+y+z)^2+b(y-z)^2+cz^2$.
• La forme quadratique $q$ est-elle définie positive?
• Trouver les plans de $\R^3$ sur lesquels la restriction de $q$ est définie positive.

Analyse

Soient $E$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie de $E$. On considère l'ensemble des parties que l'on peut obtenir en appliquant successivement des passages a l'interieur ou a l'adherence a partir de $A$.

• Montrer qu'il y en a au plus $7$.
• Donner une partie $A$ telle qu'il y en ait exactement $7$.

Soient $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme et $A$ une partie non vide de $E$.

Soit $f:x\in E\mapsto d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$.

• Montrer que $f$ est 1-lipschitzienne.
• Montrer que $A$ est ferme si et seulement si $A=f^{-1}(\{0\})$.
• Montrer que tout ferme de $E$ est intersection decroissante d'ouverts.
• Montrer que tout ouvert est union croissante de fermes.

Soient $E$ un espace vectoriel norme et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie.

• Montrer que : $\forall x\in E,\exists y\in F,d(x,F)=\|y-x\|$.
• On suppose que $F\neq E$. Montrer qu'il existe $u\in E$ tel que $d(u,F)=\|u\|=1$.
• En déduire que $B_f(0,1)$ est compact si et seulement si $E$ est de dimension finie.

Déterminer les sous-groupes compacts de $\C^*$.

Soit $f\in\mc{L}(\R^n,\R^p)$. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si l'image de tout ouvert par $f$ est un ouvert.

• Soient $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R$ et $N$ une norme sur $\R^n$. Montrer l'equivalence entre :

(i) $|f(x)|\ra+\i$ lorsque $N(x)\ra+\i$ ;

(ii) l'image reciproque de tout compact par $f$ est un compact.

• Soit $f$ une fonction continue de $\R^n$ dans $\R^n$. On suppose que l'image reciproque de tout compact par $f$ est un compact. Montrer que l'image directe de tout ferme par $f$ est un ferme.
• La reciproque du resultat precedent est-elle vraie?

On munit $E=\mc C^0([0,1],\R)$ de la norme $\|\ \|_{\i}$.

Si $f\in E$, on pose $u(f)=\sum_{k=1}^{+\i}\left(-\frac{1}{2}\right)^kf\left( \frac{1}{k}\right).\in\R$.

• Montrer que $u$ est bien définie sur $E$.
• Montrer que $u$ est continue sur $E$ et déterminer sa norme subordonnee.

Soient $L^1(\R)$ l'espace vectoriel des suites sommables et $N:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\lvert x_n\rvert$.

• Montrer que $N$ est une norme.
• Soit $A$ l'ensemble des suites de $L^1(\R)$ nulle a partir d'un certain rang. Donner l'adherence et l'interieur de $A$. Ind. Remarquer que $A$ est dense dans $L^1(\R)$.

On munit $\R^n$ de sa structure euclidienne canonique.

Soit $D=\left\{(x_1,\ldots,x_n)\in(\R^+)^n\,;\,\sum x_i^2\lt 1,\, \sum x_i\gt 1\right\}$. Soit $f:D\to\R$ telle que $\forall x,y\in D,|f(x)-f(y)|\leq\|x-y\|^2$. Que dire de $f\,?$

Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme réel, $p\in\N^*$, $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$,.

• Montrer que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre si et seulement si

$\inf\left\{\left\|\sum_{i=1}^p\lambda_ix_i\right\|\ ;\ (\lambda_1, \ldots\lambda_p)\in\R^p\right\}\gt 0$.

• En déduire que l'ensemble des $(x_1,\ldots,x_p)\in E^p$ tels que $(x_1,\ldots,x_p)$ est libre est un ouvert de $E^p$. Retrouver ce resultat plus simplement si $E$ est de dimension finie.

Soient $n\geq 2$, $K$ un compact de $\R^n$ et $\eps\gt 0$. Une partie $A\subset K$ est $\eps$-separee si, pour tous $x$, $y\in A$ tel que $\|x-y\|\lt \eps$, on a $x=y$.

• Montrer qu'il existe un entier $M(\eps)$ tel que toute partie $\eps$-separee de $K$ est de cardinal inferieur a $M(\eps)$ et il existe une partie $\eps$-separee de $K$ de cardinal $M(\eps)$.
• Soit $f:K\to K$. On suppose que, pour tous $x$, $y\in K$, $\|f(x)-f(y)\|=\|x-y\|$. Montrer que $f$ est surjective.

Soient $n\geq 2$ et $f\colon\R^n\to\R$ continue telle que, pour tout $a\in\R$, $f^{-1}(\{a\})$ est compact. Montrer que $f$ admet un extremum global. Que se passe-t-il si $n=1\,?$

Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme réel de dimension finie, $k\in]0,1[$, $f$ une application $k$-lipschitzienne de $E$ dans $E$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.

Soit $E=\mc C^0([-1,1],\R)$ muni de la norme de la convergence uniforme. Pour $f\in E$ on pose $\phi(f)=\int_0^1f(t)\,dt-\int_{-1}^0f(t)\,dt$.

• Montrer que $\phi$ est une forme lineaire continue sur $E$ et calculer $\|\phi\|$.
• Existe-t-il $f$ unitaire telle que $|\phi(f)|=\|f\|\,?$

On note $E$ l'espace vectoriel des fonctions de $[-1,1]$ vers $\R$ continues par morceaux, muni du produit scalaire $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1fg$ et de la norme euclidienne associee $\|\ \|$.

On dit qu'une suite $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement (resp. faiblement) vers $f\in E$ si $\|f_n-f\|\to 0$ (resp. $\langle f_n,\phi\rangle\to\langle f,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in C^1([-1,1],\R)$).

• Montrer que la convergence uniforme implique la convergence forte. La reciproque estelle vraie?
• Montrer que la convergence forte implique la convergence faible.
• Soit $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ convergent faiblement vers $f\in C^1([-1,1],\R)$ et verifiant de plus $\|f_n\|\to\|f\|$. Montrer qu'alors $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ converge fortement vers $f$.
• Soit $(\phi_n)_{n\geq 0}\in C^1([-1,1],\R)^{\N}$ convergeant uniformement vers $\phi$ et telle que $(\phi_n')_{n\geq 0}$ converge uniformement. Soit par ailleurs $(f_n)_{n\geq 0}\in E^{\N}$ bornee et convergeant faiblement vers $f$. Montrer qu'alors $\langle f_n,\phi_n\rangle\to\langle f,\phi\rangle$.
• On pose $f_n(x)=\sin(nx)$ pour $n\geq 0$ et $x\in[-1,1]$. - Montrer que $(f_n)_{n\geq 0}$ converge faiblement vers la fonction nulle. - La suite $(f_n)_{n\geq 0}$ converge-t-elle fortement?

Soient $a_1\lt \cdots\lt a_p$ des réels et $P=\prod_{i=1}^p(X-a_i)$.

On pose : $E=\Big{\{}M\in\M_n(\R),\ P(M)=0\Big{\}}$.

• Soit $M\in E$. Déterminer les valeurs possibles de $\op{tr}M$.
• Déterminer les matrices $M\in E$ verifiant $\op{tr}M=na_1$.
• Montrer que la matrice $a_1I_n$ est isolee dans $E$.
• La matrice $\op{Diag}(a_2,a_1,\ldots,a_1)$ est-elle isolee?
• Généraliser.

• Soit $P\in\R[X]$ unitaire de degre $n\in\N^*$. Montrer que $P$ est scinde sur $\R$ si et seulement si : $\forall z\in\C$, $|P(z)|\geq|\text{Im}(z)|^n$.

  • Montrer que l'ensemble des matrices de $\M_n(\R)$ trigonalisables est ferme.
  • Quelle est l'adherence de l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$?

Soient $n\geq 2$ et $r\in[1,n-1]$. L'ensemble $\mc{E}$ des matrices carrees de taille $n$ et de rang $r$ est-il ouvert? ferme? Déterminer l'interieur et l'adherence de $\mc{E}$.

On munit l'espace $E=\mc C^0([0,1],\R)$ du produit scalaire usuel défini par

$\langle f,g\rangle=\int_0^1f(t)g(t)\,dt$ et de la norme associee $\|\quad\|_2$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ tel qu'il existe une constante $C\in\R$ telle que $\forall f\in F,\|f\|_{\i}\leq C\|f\|_2$.

• Montrer que $F\neq E$.
• Soit $(f_1,\ldots,f_n)$ une famille orthonormale de $F$.

Montrer que $\forall a_1,\ldots,a_n\in\R$, $\left|\sum_{i=1}^na_if_i\right|\leq C\sqrt{\sum_{i=1}^na_i^2}$.

• En déduire que $F$ est de dimension finie majoree par $C^2$.

Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si l'ensemble $\{PAP^{-1},\ P\in\op{GL}_n(\C)\}$ est ferme.

Soit $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$. Montrer que l'ensemble des matrices nilpotentes de $\M_n(\mathbb{K})$ est connexe par arcs.

Soient $n\in\N$ avec $n\geq 2$, $\mc{D}$ l'ensemble des matrices diagonalisables de $\M_n(\R)$.

• L'ensemble $\mc{D}$ est-il un sous-espace vectoriel?
• Quel est le sous-espace vectoriel engendre par $\mc{D}$? par $\M_n(\R)\setminus\mc{D}$?
• L'ensemble $\mc{D}$ est il ouvert? ferme?

On pose $E=\M_n(\C)$ et, pour $A\in E$, $\|A\|=\sup_{1\leq j\leq n}\sum_{i=1}^n|a_{i,j}|$. - Montrer que $||\ \|$ est une norme d'algèbre.

• Soit $A\in E$. Étudier la convergence de la série $\sum A^k$ si $\|A\|\lt 1$.

Cette condition est-elle necessaire pour que la série soit convergente?

• Pour tout $k\in\N^*$, on pose $U_k=\left(I_n+\frac{A}{k}\right)^k$. Étudier la convergence et la limite de la suite $(U_k)$.

Lorsque $J$ est un intervalle de $\R$, on pose $S_n(J)=\{M\in\mc{S}_n(\R)\,\ \ \mathrm{Sp}(M)\subset J\}$.

• Soit $I$ un intervalle de $\R$. Montrer que $S_n(I)$ est convexe.
• Montrer que $S_n(\overline{I})=\overline{S_n(I)}$.

• Montrer que $\mathrm{SL}_n(\R)$ est un ferme non compact de $\M_n(\R)$.

  • Montrer que $\mathrm{SO}_n(\R)$ est connexe par arcs.
  • Soit $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$. Montrer qu'il existe un unique couple $(O,S)\in\mc{O}_n(\R)\times S_n^{++}(\R)$ tel que $M=OS$.
  • En déduire que $\mathrm{SL}_n(\R)$ et $\mathrm{GL}_n^+(\R)$ sont connexes par arcs.

Déterminer la limite de la suite de terme général $u_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{n-k}{n}\right)^n$.

On pose $u_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\left(1-\frac{1}{n}\right)^k$ pour tout $n\geq 1$.

• Montrer que la suite $(u_n)_{n\geq 1}$ est divergente.
• Donner un équivalent de $u_n$ quand $n\to+\i$.

Soit $ f:[0,2]\to\R$ une fonction $C^1$. On pose $ u_n=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf\left(\frac{k}{n}+\frac{k}{n^2}\right)$ pour $n\geq 1$.

Étudier la convergence de la suite $(u_n)_{n\geq 1}$.

Pour $n\in\N^*$, on pose $ u_n=\sum_{k=1}^n\sin\left(\frac{\sqrt{k}}{n}\right)$. Déterminer un équivalent de $u_n$.

Soit $\mc{B}$ le sous-espace de $\C^{\Z}$ forme des suites $(u - {n\in\Z}$ bornees. Soit $T$ l'endomorphisme de $\mc{B}$ qui a $(u - {n\in\Z}$ associe $(u_{n+1})_{n\in\Z}$.

• Montrer que $T$ est lineaire. Déterminer ses valeurs propres et ses sous-espaces propres.
• Déterminer les sous-espaces de dimension finie de $\mc{B}$ stables par $T$.

Étudier les suites définies par $u_1,v_1$ réels et

$\forall n\in\N^*$, $ u_{n+1}=u_n+v_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$ et $ v_{n+1}=v_n-u_n\arctan\left(\frac{1}{n^2}\right)$.

$\ \ - La suite $(d_n)_{n≥ 1}$ est-elle convergente? - La suite $(d_n)_{n≥ 1}$ est-elle bornee?

Soit $(b - {n\in\N}$ une suite strictement positive, croissante et non majoree.

• Montrer que, si $(a - {n\in\N}$ est une suite réelle convergente de limite $\ell$, alors

$$\frac{1}{b_n}\sum_{k=0}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)a_k\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}\ell.$$

• Soit $(a - {n\in\N}$ une suite réelle. Montrer que, si la suite $\left(\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}\right)_{n\in\N}$ converge vers $\ell\in\R$, alors $\frac{a_n}{b_n}\to\ell$ quand $n\to+\i$.
• La reciproque de la propriete précédente est-elle vraie?

Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite réelle decroissante de réels strictement positifs, telle que $a_0=1$. On pose $b_n=\sum_{k=1}^n\left(1-\frac{a_{k-1}}{a_k}\right)\frac{1}{a_k}$ pour tout $n\geq 1$.

• Montrer que $b_n\in[0,1]$ pour tout $n\geq 1$.
• On fixe $\ell\in[0,1]$. Montrer que l'on peut choisir la suite $(a_n)_{n\geq 0}$ de telle sorte que $b_n\to\ell$.

Soit $a\in]0,1[$. On définit $(u_n)$ par $u_0=a$ et, pour $n\in\N$, $u_{n+1}=u_n+u_n^2\ln(u_n)$.

• Montrer que $(u_n)$ est définie et étudier sa convergence.
• On pose $F:x\mapsto\int_a^x\frac{dt}{t^2\ln t}$. Montrer que $F(u_{n+1})-F(u_n)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}1$.
• En déduire un équivalent de $F(u_n)$. Qu'en déduire sur $u_n$?

Soit $(u - {n\in\N}$ définie par $u_0\in]0,\pi/2]$ et $\forall n\in\N,\ u_{n+1}=\sin(u_n)$. Étudier la convergence de $(u_n)$. Déterminer un équivalent de $u_n$.

Pour tout $n\geq 2$, on pose $f_n(x)=x^n-nx+1$.

• Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $x_n$ dans $[0,1]$.
• Étudier la monotonie de la suite $(x_n)$. Montrer sa convergence.
• Déterminer la limite de la suite $(x_n)$ et un équivalent simple de $x_n$.

Détermine un développement asymptotique a deux termes de $x_n$.

Soit $(u_n)$ une suite réelle définie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\frac{1}{n+1}$.

• Si $(u_n)$ converge, quelle est sa limite?
• On suppose que, pour tout $n\in\N$, $u_n\leq 1$. Montrer que $(u_n)$ converge. Quelle est sa limite?
• Étudier la convergence de $(u_n)$ dans le cas général.

Pour $n\geq 2$, on considère l'équation $\sin(x)=\frac{x}{n}$.

• Montrer que cette équation admet une unique solution sur $]0,\pi[$ qu'on notera $x_n$.
• Montrer que la suite $(x - {n\geq 2}$ converge. Quelle est sa limite? - Donner un développement asymptotique de $x_n$ a la precision $o\left(\frac{1}{n^3}\right).$

Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=0}^n(X-i)$.

• Montrer que : $\forall n\in\N^*,\exists!r_n\in\big{]}0,1[\,,P'_n(r_n)=0$.
• Déterminer un équivalent simple de $r_n$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0\geq 0$ et, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=\sqrt{n+u_n}$

• Montrer que $u_n\to+\i$.
• Donner un développement asymptotique a trois termes de $u_n$.

Pour tout $P\in\R[X]$, on pose $N(P)=\sup_{t\in[0,1]}|P(t)|.$ Pour tout $n\in\N$, on note $E_n$ l'ensemble des polynomes unitaires de $\R_n[X]$ et $a_n=\inf_{P\in E_n}N(P)$.

• Montrer que $a_n\gt 0$; calculer $a_0$ et $a_1$.
• Montrer que $(a - {n\in\N}$ est decroissante et de limite nulle.

Limite et développement asymptotique en $o(1/n)$ de $u_n=\prod_{k=1}^n\cos\left(\frac{\sqrt{k(n-k)}}{n^{3/2}}\right)$.

Soit $(u_n)$ une suite réelle verifiant : $\forall(m,n)\in\N^2,u_{n+m}\leq u_m+u_n.$ Montrer que : $\frac{u_n}{n}\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}\inf\Big{\{}\frac{u_n} {n}\text{ pour }n\in\N^*\Big{\}}$.

• Montrer que tout sous-groupe de $(\R,+)$ est de la forme $a\Z$ ($a\in\R$) ou dense dans $\R$. Soit $\theta\in\R^*$ tel que $\frac{\pi}{\theta}\notin\Q$.

  • Montrer que $A=\big{\{}p\theta+2\pi q,\ (p,q)\in\Z^2\big{\}}$ est dense dans $\R$.
  • Expliciter les valeurs d'adherence de la suite $\left(\cos(n\theta)\right)_{n\in\N}$.
  • Expliciter les valeurs d'adherence de la suite $\left(\cos(\sqrt{n}\theta)\right)_{n\in\N}$.

Soit $x\in\Big{[}0,\frac{\pi}{2}\Big{[}$. Convergence et somme de $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{2^n}\tan\Big{(}\frac{x}{2^n}\Big{)}$.

Ind. Montrer que $\tan(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-2\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}$.

Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $n(u_{n+1}-u_n)\to 1$. Quelle est la nature de la série $\sum u_n$?

Déterminer la convergence et la somme de la série de terme général $u_n=\frac{(-1)^n}{n+(-1)^n}$.

Déterminer la nature de $\sum\frac{\cos(\ln n)}{\ln n}$.

Si $n\in\N^*$, soit $u_n=\sum_{k=1}^n(\ln(k))^2$. Déterminer la nature de $\sum\dfrac{1}{u_n}$.

Nature de la série de terme général $\dfrac{(-1)^n}{\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}-(-1)^n}$?

Soit $\alpha\gt 0$ fixe. Nature de la série de terme général $\sum\dfrac{\lfloor\sqrt{n+1}\rfloor-\lfloor\sqrt{n}\rfloor}{n^{\alpha}}$?

Soient $\alpha\gt 0$ et $\beta\in]0,1[$. Nature de la série $\sum\dfrac{(-1)^{\lfloor n^{\beta}\rfloor}}{n^{\alpha}}$.

• Montrer que $\dfrac{\pi}{4}=\sum_{k=0}^{+\i}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$.

  • Nature de la série de terme général $u_n=\ln\left(\tan\left(\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{2k+1}\right)\right)$?

Soient $a,b$ deux réels tels que $0\lt a\lt b$.

On pose $u_0\gt 0$ et : $\forall n\in\N,u_{n+1}=\dfrac{n+a}{n+b}u_n$.

• Déterminer une condition necessaire et suffisante pour que la série $\sum u_n$ soit convergente.
• Dans ce cas, calculer la somme $\sum_{n=0}^{+\i}n(u_{n+1}-u_n)$.
• En déduire la somme $\sum_{n=0}^{+\i}u_n$.

Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite decroissante de réels positifs. On pose, pour $n\in\N$, $v_n=\dfrac{1}{1+n^2u_n}$. Montrer que si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ diverge.

On pose $u_n=\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n+1)\pi}}\sin(x^2)\,dx$. Quel est le signe de $u_n$? Montrer que la série $\sum u_n$ est semi-convergente.

Étudier $\lim_{n\to+\i}\sum_{k=n+1}^{+\i}\dfrac{n}{k\sqrt{k^2-n^2}}$.

Pour tout $n\in\N^*$, on pose $u_n=\int_n^{n+1}\dfrac{\cos\left(\ln(t)\right)}{t}\,dt$ et $v_n=\dfrac{\cos\ln(n)}{n}$.

• Déterminer la nature de la série $\sum u_n$. - Soit $n\in\N^*$. Montrer que $u_n-v_n=\int_n^{n+1}(t-n-1)\frac{\cos\ln(t)+\sin\ln(t)}{t^2}\,dt$.
• En déduire la nature de la série $\sum v_n$.

Soit $f\in C^1(\R,\R^{+*})$ telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}-\i$. Montrer que $\sum f(n)$ converge.

On dit que la série de terme général $u_n$ enveloppe $a\in\R^{+*}$ lorsque, pour tout $n\in\N$, $\left|a-\sum_{k=0}^nu_k\right|\leq|u_{n+1}|$. On dit qu'elle enveloppe strictement $a\in\R^{+*}$ lorsqu'il existe une suite $(\theta_n)\in]0,1[^{\N}$ telle que, pour tout $n\in\N$, $a-\sum_{k=0}^nu_k=\theta_{n+1}u_{n+1}$.

• Soit $a\gt 0$. Donner un exemple de série divergente qui enveloppe $a$.
• Donner un exemple de série convergente qui enveloppe un réel $a\in\R^{+*}$.
• Donner un exemple de série convergente qui n'enveloppe aucun réel $a\in\R^{+*}$.
• Montrer que, si une série enveloppe strictement un réel $a\gt 0$, alors elle est alternee.

• Soit $\sum u_n$ une série a termes positifs. On pose $S_n=\sum_{k=0}^nu_k$. Montrer que si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum\frac{u_n}{S_n}$ diverge aussi.

  • Soit $\sum y_n$ une série a termes complexes telle que, pour toute suite $(x_n)$ qui tend vers $0$, la série $\sum x_ny_n$ converge. Montrer que $\sum|y_n|$ converge.

Soit $(u_n)\in(\R^+)^{\N}$. On suppose que $\sum u_n$ converge. Construire $(v_n)\in(\R^+)^{\N}$, croissante et de limite $+\i$, telle que $\sum u_nv_n$ converge.

Soit $f\colon\R^+\to\R^+$. Montrer que les proprietes suivantes sont équivalentes :

1. pour toute série $\sum u_n$ convergente de terme général positif, la série $\sum f(u_n)$ est convergente ;

ii) l'application $x\mapsto\frac{f(x)}{x}$ est bornee au voisinage de $0^+$.

Soit $\sum u_n$ une série convergente a termes strictement positifs.

• Montrer que $\sum_{k=1}^nku_k=o(n)$.
• Montrer que $\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^nku_k$ est le terme général d'une série convergente.
• Montrer que la série de terme général $\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}$ est convergente et que :$$\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{n+1}\left(n!\prod_{k=1}^nu_k\right)^{1/n}\leq \sum_{k=1}^{+\i}u_k.$$

Pour toute permutation $f$ de $\N^*$, on note $E_f=\left\{\alpha\in\R,\;\sum\frac{f(n)}{n^{\alpha}}\lt +\i\right\}$.

• Montrer qu'il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=\emptyset$.
• Soit $f\in S(\N^*)$. Montrer que si $E_f\neq\emptyset$, alors c'est un intervalle minore par $2$ et non majore.
• Montrer que, si $\beta\gt 2$, alors il existe $f\in S(\N^*)$ tel que $E_f=]\beta,+\i[$.

Soit $f_n=x\mapsto\sum_{k=0}^n\frac{x^k}{k!}$.

• Montrer que, pour $n$ pair, $f_n$ ne s'annule pas et que, pour $n$ impair, $f_n$ s'annule en un unique point $r_n$.
• Montrer que, pour $n$ impair, $-2n-3\lt r_n\lt 0$.

Soit $\alpha$ un réel non nul. On pose, pour $x\in[-1,1]$, $g_{\alpha}(x)=\cos(\alpha\arcsin x)$. À quelle condition sur $\alpha$ la fonction $g_{\alpha}$ est-elle polynomiale?

Soit $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^2$, telle que $f(0)=f'(0)=f'(1)=0$ et $f(1)=1$. Montrer qu'il existe $c\in\,]0,1[$ tel que $|f^{''}(c)|\geq 4$.

Soient $I$ un intervalle non vide de $\R$ et $f:I\to\R$ de classe $C^2$. Montrer que $f$ est convexe si et seulement si : $\forall(x,y)\in I^2,\;\exists t\in\,]0,1[,\;f((1-t)x+ty)\leq(1-t)f(x)+tf(y)$.

Trouver les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que $f(0)=1$ et, pour tout $x\in\R$, $f(2x)=f(x)\cos(x)$.

Soient $A,B\in\R^+$, $f\colon\R\to$ de classe $\mc C^2$ telle que, pour tout $x\in\R$, $|f(x)|\leq A$ et $|f^{''}(x)|\leq B$.

• Montrer que, pour tout $h\in\R^{+*}$, $|f'(x)|\lt \frac{A}{h}+\frac{Bh}{2}$.
• Trouver la meilleure majoration de $|f'(x)|$ pour tout $x\in\R$.

Soit $f:x\in\,]-1,+\i[\,\mapsto x-\ln(1+x)$.

• Montrer que $f$ définit une bijection $f_1$ de $]-1,0]$ sur $\R^+$ et une bijection $f_2$ de $\R^+$ sur $\R^+$.
• Déterminer un équivalent de $f$ en $0$. En déduire un équivalent de $f_1^{-1}$ et $f_2^{-1}$ en $0$.
• Déterminer le développement asymptotique a l'ordre $2$ de $f_2^{-1}$ en $0$.

Soit $E=\mc C^0([-1,1],\C)$. Soit $g\in\mc C^0([-1,1],[-1,1])$ strictement croissante et surjective. Soit $\Phi\in\mc{L}(E)$ l'application qui a $f\in E$ associe $f\circ g$. Soit $F$ un sous-espace de $E$ de dimension finie stable par $\Phi$. On note $\Phi_F$ l'endomorphisme de $F$ induit par $\Phi$ sur $F$.

• Montrer que $\Phi_F$ est un automorphisme de $F$.
• Montrer que la seule valeur propre de $\Phi_F$ est 1.
• Soit $\Psi=\Phi_F-\mathrm{id}_F$. Montrer que $\Psi$ est nilpotent.

Soit $f\colon\R\to\M_n(\R)$ derivable. Montrer l'equivalence entre les assertions suivantes : i) $f(0)=I_n$ et $\forall x\in\R,f'(x)=f'(0)f(x)$,

ii) $\forall(x,y)\in\R^2,f(x+y)=f(x)f(y)$ et $\forall x\in\R,\det(f(x))\neq 0$.

Soient $E=\mc C^{\i}(\R,\R)$ et $D:f\in E\mapsto f'$. Montrer que $D$ est un endomorphisme de $E$ et déterminer ses éléments propres.

Soient $f\colon\R^+\to\R^+$ de classe $\mc C^1$, $\ell\in\R^{+*}$ et $P=\sum_{k=0}^na_kX^k\in\R[X]$ avec $n\in\N^*$ et $a_n\neq 0$. On suppose que $f'(x)\,P\,(f(x))\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Déterminer un équivalent de $f$ en $+\i$.

Soient $h:\R\to\R^+$ continue, $\ell\in\R^{+*}$, $n\in\N^*$. On suppose : $h(x)\int_0^xh^n\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}\ell$. Déterminer un équivalent de $h$ en $+\i$.

Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$ et $E=\mc C^0([a,b],\R)$.

On pose $F=\big{\{}g\in\mc C^2([a,b],\R)\;;\;g(a)=g(b)=g'(a)=g^{ '}(b)=0\big{\}}$.

• On fixe $f\in E$.

Montrer qu'il existe $g\in F$ tel que $f=g^{''}$ si et seulement si $\int_a^bf(t)dt=\int_a^btf(t)dt=0$.

• Soit $h\in E$ tel que $\forall f\in F$, $\int_a^bhg^{''}=0$. Montrer que $h$ est affine.

Soient $E=C^0([0,1],\R)$ et $u$ l'application définie par : $\forall f\in E$, $\forall x\in[0,1]$, $u(f)(x)=\int_0^1\min(x,t)f(t)\,dt$. Verifier que $u$ est un endomorphisme de $E$. Déterminer ses éléments propres.

Montrer qu'il n'existe pas de fraction rationnelle $F\in\R(X)$ telle que :

$\forall x\in\R,\int_0^xe^{t^2}\,dt=F(x)\,e^{x^2}$.

Étudier la fonction $f:x\mapsto\int_x^{x^2}\frac{dt}{t\sqrt{1-t}}$.

Calculer $I=\int_{-1}^1\frac{\cos x}{e^{\frac{1}{x}}+1}\,dx$.

Soient $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $f\in\mc C^0([a,b],R)$, $\epsilon\gt 0$. Montrer qu'il existe $P,Q\in\R[X]$ tels que $\forall x\in[a,b]$, $P(x)\leq f(x)\leq Q(x)$ et $\int_a^b(Q-P)\leq\epsilon$. Est-ce toujours vrai si $f$ est uniquement continue par morceaux?

Soit $f:[0,1]\to\R$ continue. - Soit $n\in\N$. On suppose que, pour tout $k\in\db{0,n}$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ s'annule au moins $n+1$ fois.

• On suppose que, pour tout $k\in\N$, $\int_0^1f(t)\,t^kdt=0$. Montrer que $f$ est nulle.

Soit $f\in C^0([a,b],\R)$ telle que $:\forall(\alpha,\beta)\in[a,b]^2,\int_{\alpha}^{\beta}f=0$. Montrer que $f=0$.

Soient $(a,b)\in\R^2$ avec $a\lt b$ et $F=\big{\{}g\in\mc C^1([a,b],\R),\ g(a)=g(b)=0\big{\}}$. Déterminer les $f\in\mc C^0([a,b],\R)$ verifiant $:\forall g\in F,\int_a^bfg=0$.

Soit $f\in\mc C^2([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$.

Montrer $:120\Big{(}\int_0^1f\Big{)}^2\leq\int_0^1(f^{''})^2$.

Soient $E=\mc C^0([a,b],\R)$ muni de $\parallel\parallel_{\i}$ et $B$ la boule unite fermee de $E$. Soit $f\in E$. Montrer que $\sup_{g\in B}\int_a^bfg=\int_a^b|f|$.

Étudier la convergence et calculer $\int_{-\i}^{+\i}\frac{dx}{x^6+1}$.

Étudier la convergence de l'intégrale $\int_0^{+\i}t|\cos t|^{t^5}\,dt$.

Nature de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^x\,dx$ puis de $\int_0^{+\i}|\sin(x)|^{x^{\alpha}}\,dx$ avec $\alpha\in]1,+\i[$.

Soit $\alpha\gt 0$. Étudier la convergence de l'intégrale $:\int_0^{+\i}\left(\exp\left(\frac{\sin^2x}{x^{\alpha}}\right)-1 \right)\,dx$.

Nature suivant $a\in\R$ de $I(a)=\int_0^{+\i}\frac{x-\ln(1+x)}{x^a}\,dx\,?$ Calculer $I(5/2)$.

• Soit $\sum u_n$ une série convergente a termes positifs. Nature de $\sum u_n^2$?

  • Soit $f$ une fonction continue, positive et intégrable sur $\R^+$. Nature de $\int_0^{\i}f^2$?

Soient $I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{\sin t}\,dt$ et $J_n=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin(2n+1)t}{t}\,dt$.

• Montrer que $I_n$ et $J_n$ sont bien définies. Montrer que $(I_n)$ est constante.
• Montrer que $I_n-J_n\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$. - Montrer la convergence de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}dt$ et la calculer.

Soit $a\gt 0$. Montrer que l'intégrale : $\int_0^{+\i}\frac{\arctan(ax)+\arctan(x/a)}{1+x^2}\,dx$ converge et calculer sa valeur.

Soit $f\in C^1([0,1],\R)$ telle que $f(0)=f(1)=0$.

• Soient $I_1=\int_0^1(1+\mathrm{cotan}^2(\pi t))f(t)^2\,dt$ et $I_2=\int_0^1f'(t)f(t)\,\mathrm{cotan}(\pi t)\,dt$. Montrer la convergence de $I_1$ et $I_2$. Trouver une relation entre $I_1$ et $I_2$.
• Montrer que $\int_0^1f'(t)^2\,dt\geq\pi^2\int_0^1f(t)^2 \,dt$ et étudier le cas d'egalite.

Soit $f$ continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\R$. Montrer l'existence et l'unicite de $\lambda$ tel que $\int_1^{+\i}\frac{\lambda-f(t)}{t}\,dt$ converge.

Soit $f\colon\R^+\to\R^+$ une fonction continue decroissante.

• On suppose que $f$ est intégrable sur $[0,+\i[$. Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$.
• Étudier la reciproque.

Soit $f\in\mc C^1(\R,\R^+)$ telle que $f'$ est bornee et $\int_{\R}f$ converge.

Montrer que $\underset{+\i}{\lim}f=\underset{-\i}{\lim}f=0$.

Étudier la convergence $\int_0^{+\i}t|\cos(t)|^{t^5}\,dt$.

Étudier la convergence et la convergence absolue de $\int_2^{+\i}\frac{\cos(x)}{\ln(x)}dx$.

• Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues de $[a,b]$ dans $\R$. On suppose $f$ de signe constant. Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $\int_a^bf(t)g(t)dt=g(c)\int_a^bf(t)dt$.

  • Soit $f\colon\R^{+*}\to\R$ continue telle que $f$ admet la limite $\lambda\in\R$ en $0$ et il existe $\mu\in\R$ telle que la fonction $t\mapsto\frac{f(t)-\mu}{t}$ est d'intégrable convergente sur $[1,+\i[$. Montrer que, pour tout $a\lt b$, l'intégrale $\int_0^{+\i}\frac{f(at)-f(bt)}{t}dt$ existe et la calculer.

Soit $f$ une fonction continue par morceaux et de carre intégrable de $\R^+$ dans $\R$. Pour $x\in\R^{+*}$, soit $g(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\int_0^xf$.

• Déterminer la limite de $g$ en $0$. - Déterminer la limite de $g$ en $+\i$.

Donner un équivalent, quand $x\to+\i$, de $\int_1^x\!t^tdt\,$?

Soit $f:x\mapsto\int_x^{+\i}\frac{e^{-t}}{t}dt$.

• Montrer que $f$ est définie sur $\R^{+*}$ et seulement sur cet ensemble.
• Étudier l'integrabilite de $f$ sur $\R^{+*}$.

Si $a\gt 0$ et $b\gt 0$, calculer $\int_0^{+\i}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}{t}\ dt$.

Soit $f\colon\R^+\to\R^{+*}$ une fonction de classe $C^1$. On suppose que $f'/f$ tend vers une limite $a\in\R^{-*}$ en $+\i$.

• Montrer que $f$ et $f'$ sont intégrables sur $\R^+$.
• Donner un équivalent de $\int_x^{+\i}f$ lorsque $x$ tend vers $+\i$.

Trouver une valeur approchee rationnelle a $10^{-3}$ pres de $\int_0^1e^{-t}\ln(t)\,dt$.

Quelles sont les fonctions de $\R^+$ dans $\R$ qui sont limite uniforme sur $\R^+$ d'une suite d'applications polynomiales réelles?

Soient $S$ un segment de $\R$ non reduit a un point, $n\in\N^*$, $m\in\R^{+*}$, $\eps\in\R^{+*}$, $f$ une fonction de classe $C^n$ de $S$ dans $\R$ telle que $\|f^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$. Montrer qu'il existe $p\in\R[X]$ tel que $\|f-p\|_{\i,S}\lt \eps$ et $\|p^{(n)}\|_{\i,S}\lt m$.

Soit $f$ une application continue de $\R$ dans $\R$. Montrer qu'il existe une suite $(p_n)_{n\geq 0}$ d'applications polynomiales réelles telle que $(p_n)_{n\geq 0}$ converge uniformement vers $f$ sur tout segment de $\R$.

Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $a\lt b$ et $S=[a,b]$.

• On suppose que $S\cap\Z\neq\emptyset$. Expliciter une fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ qui n'est pas limite uniforme sur $S$ d'une suite d'éléments de $\Z[X]$.
• On suppose $S\subset]0,1[$. On définit une suite $(P_n)_{n\geq 0}$ de polynomes par $P_0=X$ et, pour tout $n\in\N$, $P_{n+1}=2P_n(1-P_n)$. Montrer que $(P_n)_{n\geq 0}$ converge uniformement sur $S$ vers la fonction constante egale a $\frac{1}{2}$.
• On suppose que $S\cap\Z=\emptyset$. Montrer que toute fonction continue $f$ de $S$ dans $\R$ est limite uniforme sur $S$ d'une suite d'éléments de $\Z[X]$.

Soit, pour $n\in\N$, $f_n:x\in\R^+\mapsto x^n(1-\sqrt{x})$.

• Déterminer le domaine de convergence $D$ de la série de fonctions $\sum f_n$.
• Y a-t-il convergence normale sur $D$? - Calculer $\sum_{n=0}^{+\i}\frac{1}{(n+1)(2n+3)}$.

Soit $\alpha\gt 0$. Étudier les modes de convergence de la série de fonctions $\sum u_n$ définie par $u_n(x)=\frac{x}{n^{\alpha}(1+nx^2)}$.

Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nx}}{x+n}$. Domaine de définition, continuite de $f$, équivalent de $f$ aux extremites de son domaine de définition.

Soit $f:x\mapsto\sum_{n\geq 1}\frac{x}{n(1+nx^2)}$. Domaine de définition, continuite, etude de la derivabilite, équivalents en $0$ et $+\i$.

• Montrer que la série de fonctions $\sum\frac{x\,e^{-nx}}{\ln(n)}$ converge simplement sur $\R^+$ mais non normalement.

  • Montrer la convergence uniforme sur $\R^+$.

Pour tout $n\in\N^*$ et $x\in\R^+$, on pose $f_n(x)=\frac{x}{\sqrt{n}(n+x)}$.

• Montrer la convergence simple de $\sum f_n$ sur $\R^+$. On note $f=\sum_{n=1}^{+\i}f_n$.
• Montrer que la série $\sum f_n$ converge normalement sur les segments de la forme $[0,M]$ avec $M\gt 0$. Y a-t-il convergence normale sur $\R^+$?
• Étudier la continuite de $f$. Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\i[$.
• Soient $n\geq 1$ et $x_0\geq n$. Montrer $:f(x_0)\geq\sum_{k=1}^n\frac{1}{2\sqrt{k}}$. En déduire $:f(x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}+\i$.
• Montrer que $f(x)\underset{x\to+\i}{=}o(x)$.

Soit $f\in\mc C([a,b],\R)$.

On pose $f_0=f$ et, pour $n\in\N^*$ et $x\in[a,b]$, $f_n(x)=\int_a^xf_{n-1}(t)dt$.

Étudier la convergence simple de la série $\sum f_n$ et calculer sa somme.

Soit $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{(\sin(nx))^2}{n^2}$.

• Montrer que la fonction $f$ est définie et continue sur $\R$.
• La fonction $f$ est-elle derivable en $0$?

Soient $a\gt 0$ et $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\ln\left(1+\frac{a}{n^2x^2}\right)$.

• Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
• Déterminer un équivalent de $f$ en $0$, et en $+\i$.

• Justifier la convergence pour $x\in[0,1[$ de $f(x)=\prod_{n=0}^{+\i}\left(\frac{1+x^n}{1+x^{n+1}}\right)^{x^n}$.

  • Montrer que, pour tout $x\in\,]0,1[$, on a $\ln f(x)=\frac{x-1}{x}\sum_{n=1}^{+\i}x^n\ln(1+x^n)+\ln 2$.
  • En déduire $\forall x\in[0,1[\,,\ln f(x)=\ln 2+\sum_{m=1}^{+\i}\frac{(-1)^m}{m} \frac{x^m}{1+x+\cdots+x^m}$.
  • Montrer que $f$ possede une limite finie en $1^-$ et l'expliciter.

Pour $n\in\N$ et $x\in\R$, on pose $u_n(x)=e^{-x\sqrt{n}}$.

• Déterminer les domaines de définition des fonctions $f=\sum_{n=0}^{+\i}u_n$ et $g=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^nu_n$.
• Trouver une équation fonctionnelle reliant $f$ et $g$.
• Montrer que $f$ est analytique. Qu'en est-il de $g$?

Rayon de convergence et somme de $f\colon x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^{2n+2}}{n(n+1)(2n+1)}$.

Rayon de convergence et somme de $f\colon x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{x^n}{4n^2-5n+1}$.

Déterminer le rayon de convergence et la somme de la série entiere $\sum z^{n+(-1)^n}$.

Soit $u$ qui a $P\in\C[X]$ associe $u(P):z\mapsto e^{-z}\sum_{n=0}^{+\i}\frac{P(n)}{n!}z^n$. Montrer que $u$ est bien définie, et que c'est un automorphisme de $\C[X]$. Déterminer ses éléments propres.

Soient $q\in \interval]{-1, 1}[$ et $f\colon x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}\sin(q^nx)$.

• Montrer que $f$ est définie sur $\R$ et de classe $\mc C^{\i}$.
• Montrer que $f$ est développable en série entière.

Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels strictement positifs.

• Montrer que la série $\sum\frac{(-1)^n}{\alpha n+\beta}$ est convergente.
• On note $S$ la somme de la série ci-dessus et pour tout $n\in\N$, $r_n=\sum_{k=n+1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{\alpha k+\beta}$. Exprimer $S$ et $r_n$ sous forme intégrale.
• Déterminer le rayon de convergence de la série entiere $\sum r_nx^n$. Étudier son comportement aux bornes de l'intervalle de convergence.

Montrer qu'au voisinage de $0$, la fonction $f\colon x\mapsto\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$ est développable en série entiere et en donner les coefficients.

Expliciter le développement en série entiere de $\ln(x^2-x\sqrt{2}+1)$ au voisinage de $0$.

Soient $\tau\in\R$ et $f:x\mapsto\arctan\left(\tau\frac{x-1}{x+1}\right)$. Montrer que $f$ est développable en série entiere en $0$ et preciser le domaine exact de validite.

Rayon de convergence, ensemble de définition et somme de $f:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{\mathrm{ch}(n)}{n}x^{2n}$?

Déterminer le développement en série entiere en $0$ de $f:x\mapsto\sin\left(\frac{1}{3}\text{arcsin}(x)\right)$.

On pose : $\forall n\geq 2,u_n=\sum_{\begin{subarray}{c}(i,j)\in(\N^*)^2 \end{subarray}}\frac{1}{(ij)^2}$ et $S:x\mapsto\sum_{n=2}^{+\i}u_nx^n$.

• Déterminer un équivalent simple de $u_n$.
• Déterminer le rayon de convergence $R$ de $S$ et simplifier $S(x)$ sur $]-R,R[$.
• Étudier la bonne définition et la continuite de $S$ en $R$ et en $-R$.

Soit $P\in\R[X]$ de degre $p\in\N^*$.

• Déterminer le rayon de la série entiere $\sum_{n=0}^{+\i}P(n)x^n$ et montrer que la somme de cette série s'ecrit sous la forme $\frac{Q(x)}{R(x)}$ avec $Q,R\in\R[X]$.
• Soit $M=(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p+1}$. Montrer que $\det(M)=0$.
• Montrer que $\det(P(i+j))_{1\leq i,j\leq p}\neq 0$.

Soit $f:x\mapsto(\arcsin(x))^2$.

• Montrer que $f$ est solution d'une équation différentielle lineaire d'ordre $2$, sur un intervalle que l'on precisera.
• Montrer que $f$ est développable en série entiere au voisinage de $0$. Experimer les coefficients de ce développement en série entiere et donner son rayon de convergence.

On définit la suite $(a_n)$ par : $a_0=a_1=1$ et $\forall n\in\N^*,a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1}a_{n-1}$.

• Montrer que : $\forall n\in\N^*,1\leq a_n\leq n^2$ et en déduire le rayon de convergence $R$ de la série entiere $\sum a_nx^n$. On pose $f:x\in\,]-R,R[\,\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$.
• Montrer que $f$ est solution de $(1-x)y'-(1+2x)y=0$.
• Expliciter $f$ a l'aide des fonctions usuelles.

On pose $f:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}e^{-n+in^2x}$.

• Montrer que $f$ est bien définie et de classe $\mc C^{\i}$.
• Est-elle développable en série entiere?

• Rappeler la formule de Stirling.

  • Calculer le rayon de convergence de la série entiere $\sum\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)x^n$.
  • Calculer la somme de cette série entiere en $-1$ apres s'être assure de son existence.
  • Calculer $\int_0^1\frac{(-1)^{\lfloor 1/x\rfloor}}{x}{\rm d}x$.

• Déterminer le rayon de convergence de $f:z\mapsto\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,z^k$.

  • Soit $z\in\C$ avec $|z|\lt 1$. Calculer $\exp\left(f(z)\right)$. Ind. Considèrer $t\in[0,1]\mapsto\exp\left(f(tz)\right)$.
  • Soit $A\in\M_n(\C)$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ tel que :

$\forall z\in\C,\ |z|\leq\alpha\Rightarrow\det(I_n+zA)=\exp \left(\sum_{k=1}^{+\i}\frac{(-1)^k}{k}\,\op{tr}(A^k)\,z^{k }\right).$

Soit $A\in\M_n(\C)$. - Déterminer le rayon de convergence de la série $f(z)=\sum_{p\in\N}\op{tr}(A^p)z^p$ - Calculer $f(z)$ en fonction du polynome caracteristique de $A$.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$. On suppose que la série $\sum n|a_n|$ converge.

• Montrer que le rayon de $\sum a_nz^n$ est superieur ou egal a 1.
• On suppose $|a_1|\geq\sum_{n=2}^{+\i}n|a_n|$ avec $a_1\neq 0$. Montrer que $f:z\in\mathbb{D}\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ est injective.

• Développere en série entiere $\phi:z\mapsto\frac{z}{(1-z)^2}$. Montrer que $\phi$ est injective sur $D_o(0,1)$.

On pose $f:z\mapsto z+\sum_{n=2}^{+\i}a_nz^n$ avec $(a_n)$ une suite réelle. On suppose que $f$ est définie et injective sur $D_o(0,1)$. - Montrer que $f(z)\in\R\Longleftrightarrow z\in\R$.

• En déduire que $\op{Im}z\geq 0\Longleftrightarrow\op{Im}f(z)\geq 0$.
• Soit $R\in\left]0,1\right[$. Calculer $\int_0^{\pi}\op{Im}f(Re^{it})\sin(nt)\op{d}t$.
• Montrer que : $\forall n\geq 2,|a_n|\leq n$.

Soit, pour $n\in\N$, $I_n=\int_0^{\pi/4}\tan(t)^n\op{d}t$.

• Trouver une relation de recurrence sur $(I_n)$.
• Montrer que, pour $n\in\N$, $I_{2n}=(-1)^n\sum_{k=n}^{+\i}\frac{(-1)^k}{2k+1}$. Donner une expression similaire pour $I_{2n+1}$.
• Donner un équivalent de $I_n$.

Soit, pour $n\geq 2$, $I_n=\int_1^{+\i}\frac{\op{d}t}{1+t+\cdots+t^n}$. Déterminer de trois facons differentes la nature de $\sum I_n$.

On pose, pour tout $n\in\N^*$, $u_n=\int_1^{+\i}\exp(-x^n)\op{d}x$. Justifier l'existence de $(u_n)$. Étudier la convergence de la suite $(u_n)$ et de la série $\sum u_n$.

Développement asymptotique a deux termes de $I_n=\int_0^{+\i}e^{-nx}\ln(n+x)dx$?

Pour $n\in\N^*$ et $\alpha\in\R^+$, on pose $u_n=\int_0^n\left(1+\frac{x}{n}\right)^ne^{-\alpha x}\op{d}x$. Déterminer un équivalent simple de $u_n$ dans les cas $\alpha=0$, $\alpha\gt 1$, $\alpha=1$.

• Montrer que $\int_0^{+\i}\cos\left(u^2\right)\op{d}u$ converge.
• Soit $(a,b)\in\left(\R^{+*}\right)^2$. Trouver un équivalent de $I_n=\int_0^1\cos\left(n\left(au^2+bu^3\right)\right) \op{d}u$.

Ind. Poser $t=\sqrt{na}u$.

Soit $\alpha\gt 1$. Pour $n\in\N^*$, on pose $I_n(\alpha)=\int_0^{+\i}\frac{\op{d}t}{(1+t^{\alpha})^n}$.

• Justifier la convergence de $I_n(\alpha)$.
• Etablir une relation entre $I_{n+1}(\alpha)$ et $I_n(\alpha)$. En déduire une expression de $I_n(\alpha)$ en fonction de $I_1(\alpha)$ et de $\alpha$.
• Déterminer la limite de la suite $(I_n(\alpha))_{n\in\N}$.
• Montrer l'existence d'un réel $K(\alpha)$ tel que $I_n(\alpha)\sim\frac{K(\alpha)}{n^{1/\alpha}}$ quand $n\to+\i$.

On pose, pour tout $x\in\,]0,1[$, $f(x)=\frac{x^2\ln x}{x-1}$.

• Montrer que $f$ est prolongeable en une fonction de classe $C^1$ sur $[0,1]$, qu'on appellera toujours $f$ par la suite.
• Donner un équivalent de $\int_0^1x^nf(x)\,dx$.
• Montrer que $\lim_{n\to+\i}n\int_0^1x^nf(x^n)\,dx=\sum_{k=3}^{+\i} \frac{1}{k^2}$.

Soit $g:\R^+\to\R$, continue par morceaux, intégrable, continue en $0$. Montrer que $\int_0^1x\,g(u)\,\mathrm{e}^{-xu}\,du\xrightarrow[x\to+\i]{}g(0)$. On commencera par le cas ou $g$ est bornee.

Soit $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{itx}-1}{t}e^{-t}dt$.

• Montrer que, pour tout $u\in\R$, $|e^{iu}-1|\leq|u|$.
• En déduire que $f$ est derivable sur $\R$ puis simplifier l'expression de $f$.

On admet que $\int_0^{+\i}e^{-x^2}dx=\frac{\pi}{2}$.

• Montrer que $I=\int_0^{+\i}\cos(t^2)dt$ converge.

On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{e^{-(t^2+i)x^2}}{t^2+i}dt$.

• Montrer que $F$ est définie et de classe $\mc C^1$ sur $\R^+$.
• En déduire que $\int_0^{+\i}e^{-ix^2}dx=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^{+\i }\frac{dt}{t^2+i}$.
• En déduire la valeur de $I$.

On pose, pour tout $t\in\R$, $h(t)=\int_{\R}e^{-\pi(x^2+2itx)}\,dx$. Montrer que l'intégrale $h(t)$ est bien définie pour tout $t\in\R$ puis la calculer explicitement.

On pose $f:x\mapsto\int_0^1\frac{\ln t}{t+x}\,dt$.

• Déterminer le domaine de définition de $f$.
• Montrer que $f$ est derivable sur $\R^{+*}$ et expliciter $f'$.
• On pose $g:x\mapsto f(x)+f(1/x)$. Simplifier $g(x)$ pour $x\gt 0$.

Soit $F:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin(xt)}{t(1+t^2)}\,dt$.

• Montrer que $F$ est définie sur $\R$ et de classe $\mc C^2$.
• Exprimer $F$ a l'aide de fonctions usuelles.

On pose $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-t^2-\frac{x^2}{t^2}}\,dt$.

• Montrer que $F$ est définie sur $\R$.
• Montrer que $F$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^*$.
• Trouver une équation différentielle d'ordre $1$ verifiee par $F$.
• En déduire $F$.

Soit $f:x\mapsto\int_{\R}e^{tx-t^2}\,dt$.

• Montrer que $f$ est définie et de classe $\mc C^2$ sur $\R$. Quelle équation différentielle verifie $f$?
• Trouver les solutions du probleme de Cauchy $-2y^{''}+xy'+y=0$ avec les conditions initiales $y(0)=\sqrt{\pi}$ et $y'(0)=0$.

• Déterminer le domaine de définition de $f:x\mapsto\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}e^{-xt}\,dt$.

  • Montrer que $f$ est continue sur $\R^+$.
  • Montrer que $f$ est de classe $\mc C^1$ sur $\R^{+*}$.
  • Donner une expression de $f'$ puis de $f$.
  • En déduire la valeur de $\int_0^{+\i}\frac{\sin t}{t}\,dt$.

On pose $f(x)=\int_0^{+\i}|\sin(t)|e^{-xt}dt$. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ et montrer qu'elle y est de classe $\mc C^{\i}$. Expliciter la valeur de $f(x)$.

Soient $f\in\mc C^0(\R,\R)$ et $g:x\mapsto\frac{1}{x}\int_0^x\cos(x-y)f(y)\,dy$. Montrer que $g$ est bien définie sur $\R^{+*}$ et trouver sa limite en $0$. On suppose que $f$ tend vers $\ell$ en $+\i$. Étudier la limite de $g$ en $+\i$.

Soient $C\gt 0$, $d\gt 0$ et $\alpha\in\R$. Montrer que $\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^{\alpha}dx\underset{t\to+\i}{ \sim}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^{\alpha}}{\sqrt{t}}$.

Soit $f:x\mapsto\int_0^{\pi}\ln(x^2-2x\cos t+1)\,dt$.

• Déterminer le domaine de définition de $f$, étudier la continuite et les symetries.
• Expliciter $f(x)$.

On pose $f(x)=\int_0^1\frac{dt}{1-xt+xt^2}$.

• Déterminer le domaine de définition de $f$.
• Déterminer le développement de $f$ en série entiere sur un intervalle $I$ centre en $0$ que l'on precisera.

On pose, pour $x\in\R$, $f(x)=\int_0^{+\i}\ln(1+xe^{-t})\,dt$. Montrer que $f$ est développable en série entiere au voisinage de 0 et expliciter son développement.

Soit $f\in C^0(\R^+,\R)$. On considère la fonction $F:x\mapsto\int_0^{+\i}e^{-xt}f(t)\,dt$.

• On suppose $f$ bornee. Montrer que $F$ est définie et de classe $C^{\i}$ sur $\R^{+*}$.
• On suppose que $f$ admet une limite finie non nulle $\ell$ en $+\i$. Donner un équivalent de $F$ en $0^+$.
• On suppose $f$ développable en série entiere sur $\R^+:f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$, et que la série $\sum n!a_n$ converge. Étudier le comportement de $F(1/x)$ au voisinage de 0 et de $+\i$.
• Donner des exemples de fonctions $f$ telles que le domaine de définition de $F$ soit $]0,+\i[$, $]1,+\i[$ ou $\emptyset$.

On note $\mc{L}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues et intégrables, et $\mc{E}$ l'ensemble des fonctions $f\colon\R^{+*}\to\C$ continues telles que, pour tout $s\gt 0$, la fonction $u\mapsto\dfrac{f(u)}{u+s}$ est intégrable. Si $f\in\mc{E}$, on pose $\widehat{f}(s)=\int_0^{+\i}\dfrac{f(u)}{u+s}\,du$ pour tout $s\gt 0$.

• Quelles inclusions existent entre $\mc{L}$ et $\mc{E}$?
• Dans cette question, on suppose que $f(u)=u^{\alpha-1}$, ou $\alpha\in]0,1[$. Montrer que $\widehat{f_{\alpha}}$ est proportionnelle a $f_{\alpha}$.
• Soit $f\in\mc{E}$. Montrer que $\widehat{f}$ est continue, et déterminer $\lim_{s\to+\i}\widehat{f}(s)$.

Montrer que $\int_{\frac{1}{2}}^1\dfrac{\ln(t)}{1-t}\,dt=\int_0^{ \frac{1}{2}}\dfrac{\ln(1-t)}{t}dt$ et en déduire la valeur de $\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{1}{2^nn^2}$.

• Soit $(a_n)_{n\geq 0}\in\C^{\N}$ sommable. Montrer $\int_0^{+\i}e^{-t}\sum_{n=0}^{+\i}a_n\dfrac{t^n}{n!} \,dt=\sum_{n=0}^{+\i}a_n$.

  • Montrer le meme resultat en ne supposant que la convergence de la série $\sum a_n$.

Soient $\alpha\in\Big{]}0,\dfrac{\pi}{2}\Big{[}$ et $f:t\mapsto\dfrac{1}{1-\sin\alpha\cos t}$:

• Expliciter une suite $(a_n)$ telle que $:\forall t\in\R$, $f(t)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n\cos(nt)$.
• En déduire, pour $n\in\N$, la valeur de $:\int_0^{\pi}\dfrac{\cos(nt)}{1-\sin\alpha\cos t}\,dt$.

Soit $(\lambda - {n\in\N}$ une suite croissante de réels strictement positifs.

On pose : $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}(-1)^n\exp(-\lambda_nx)$.

• Déterminer le domaine de définition de $f$.On suppose dans la suite que $(\lambda_n)$ tend vers $+\i$.
• Montr per que l'intégrale $\int_0^{+\i}f$ converge et la calculer.
• Traiter le cas particulier ou $\lambda_n=n+1$.

Soient $a$ et $b$ deux fonctions continues de $\R^+$ dans $\R^+$ et $S$ l'ensemble des solutions de $y'=ay+b$. Montr per l'equivalence entre :

1. tous les éléments de $S$ sont bornes, ii) $a$ et $b$ sont intégrables.

Déterminer les fonctions $y$ de $\R$ dans $\R$ derivables et telles que $y'(x)=y(\pi-x)$.

Soit $f$ la fonction de $\R$ dans $\R$ telle que $f(0)=0$ et que $\forall x\in\R^*,f(x)=e^{-1/x^2}$.

• Montr per que $f$ est de classe $C^{\i}$ sur $\R$.
• La fonction $f$ est-elle solution d'une équation différentielle lineaire homogéné?

Resoudre l'équation différentielle $y'+|y|=1$.

Soient $n\in\N^*$ et $\omega\in\C$ tel que $\omega^n=1$. Trouver les fonctions $y\in C^n(\R,\C)$ solutions de $\sum_{k=0}^ny^{(k)}\omega^{n-k}=0$.

On considère la fonction $f\colon\R\to\R$ définie par : $f(x)=\exp(-x^{-2})$ si $x\neq 0$ et $f(0)=0$. Montr per que $f$ n'est solution d'aucune équation différentielle lineaire homogéné a coefficients constants (d'ordre quelconque).

Resoudre le systeme différentiel $\left\{\begin{array}{c}x'=2x+3y+3z+te^t\\ y'=3x+2y+3z+e^t\\ z'=3x+3y+2z+t^2e^t\end{array}.$

Soient $m,n\in\N^*$ et $A\in\M_n(\R)$. On note $(S)$ le systeme différentiel : $\forall p\in[1,n],x_p^{(m)}=\sum_{q=1}^na_{p,q}x_q(t)$.

Montr per que $A$ est nilpotente si et seulement si toutes les solutions de $(S)$ sont polynomiales.

Resoudre les systemes : $\left\{\begin{array}{c}x'=x+2y-z+e^t\\ y'=2x+4y-2z+te^t\\ z'=-x+2y+z+t^2e^t.\end{array}.$, $\left\{\begin{array}{c}x'=x+8y+te^t\\ y'=2x+y+e^{-t}.\end{array}.$.

Déterminer les solutions développables en série entiere au voisinage de 0 de l'équation :

$2xy^{''}-y'+2y=0$. Les exprimer a l'aide des fonctions usuelles.

• Resoudre l'équation : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=0$ sur $\R$ en cherchant des solutions développables en série entiere.

  • Resoudre : $(1+t^2)y^{''}+4ty'+2y=\frac{1}{1+t^2}$.

On considère l'équation différentielle : $y^{''}-y=|\cos x|$. Existe-t-il des solutions positives? Bornees? Positives et bornees?

Soient $a$, $b$ des fonctions continues et $2\pi$-periodiques de $\R$ dans $\R$. Soit $(E)$ l'équation différentielle $y'+a(x)y+b(x)=0$. Soit $A:x\mapsto\int_0^xa(t)\,dt$ et $I=A(2\pi)$.

• Trouver une condition sur $I$ pour que $A$ soit $2\pi$-periodique.
• Montrer que si $y$ est solution de $(E)$, alors $x\mapsto y(x+2\pi)$ est aussi solution de $(E)$.
• Supposons $I\neq 0$. Montrer que $(E)$ admet une unique solution $2\pi$-periodique.
• Que dire si $I=0$?
• Donner un exemple pour illustrer chacune de ces situations.

Soit $f:x\mapsto\int_0^{2\pi}e^{x\sin(t)}dt$.

• Montrer que $f$ est solution de $(*):xy^{''}+y'=xy$.
• Quelles sont les solutions développables en série entiere sur $\R$ de $(*)$?

• Soient $A\in\R^+$, $f,g:\R^+\to\R^+$ continues. On suppose que

$\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A+\int_0^xf(t)\,g(t)dt$. Montrer que $\forall x\geq 0$, $f(x)\leq A\exp\left(\int_0^xg(t)dt\right)$.

Soit $(*)$ l'équation différentielle $x^{''}(t)+a(t)x(t)=b(t)$ avec $a$ et $b$ continues sur $\R^+$, $b$ et $t\mapsto t\,a(t)$ intégrables sur $\R^+$. Soit $x$ solution de $(*)$.

• Montrer que

$\forall t\geq 1$, $x(t)=x(1)+(t-1)x'(1)-\int_1^t(t-u)\,a(u)\,x(u)du+\int_{1 }^t(t-u)\,b(u)du$.

• On pose, pour $t\geq 1$, $y(t)=\dfrac{|x(t)|}{t}$. Montrer l'existence de $K$ tel que :

$\forall t\geq 1$, $y(t)\leq K\exp\left(\int_1^tu\,|a(u)|du\right)\leq K \exp\left(\int_1^{+\i}u\,|a(u)|du\right).$

Soient $T\in\R^{+*}$, $A$ une application continue et $T$-periodique de $\R$ dans $\M_n(\C)$. Montrer qu'il existe une application $X$ de classe $C^1$ de $\R$ dans $\C^n$ et $\lambda\in\C^*$ tels que $\forall t\in\R,\ X(t+T)=\lambda X(t)$.

Soit $A\in\M_n(\R)$ telle que $A^2=-I_n;$ Expliciter les solutions de $X'(t)=AX(t)$.

Soit $A\in\M_n(\C)$. À quelle condition est-il vrai que toutes les solutions du systeme différentiel $X'(t)=AX(t)$ sont bornees sur $\R$?

Soient $D=[0,1]^2$ et $f:D\to\R$ telle que $f(x,y)=x(1-y)$ si $x\leq y$ et $f(x,y)=y(1-x)$ sinon. Montrer que $f$ admet un minimum et un maximum sur $D$ et les déterminer.

Étudier la differentiabilite de la fonction $f$ définie sur $\R\times\R$ par $f(x,y)=\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}$ si $(x,y)\neq(0,0)$ et $f(0,0)=0$.

On note $T$ le triangle plein défini par les points $(0,0)$, $(1,0)$ et $(0,1)$. Déterminer le minimum sur $T$ de la fonction $f:(x,y)\mapsto x^2+y^2+\frac{1}{2}(1-x-y)$.

Soit $f\colon\R^2\to\R$ telle que $f(0,0)=1$ et $f(x,y)=(x^2+y^2)^x$ si $(x,y)\neq(0,0)$.

• Montrer que $f$ est continue sur $\R^2$.
• Montrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\R^2\setminus\{(0,0)\}$.
• La fonction $f$ admet-elle des derivees partielles en $(0,0)$?
• Étudier les variations de $g:x\mapsto f(x,0)$.
• Déterminer les extrema de $f$.

Soit $f:(\R^+)^2\to\R$ définie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=\frac{xy}{(x+1)(y+1)(x+y)}$ sinon.

• Montrer que $f$ est continue.
• Étudier les extrema de $f$.

Soient $E$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $f$ une forme lineaire sur $E$.

Montrer que l'application $g\colon x\in E\mapsto f(x)\,e^{-\lN x\rN^2}$ admet un minimum et un maximum, puis déterminer ce maximum et ce minimum.

Déterminer les fonctions de classe $\mc C^2$ sur $(\R^{+*})^2$ verifiant $x^2\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-y^2\frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=0$. On pourra faire le changement de variables $u=xy$, $v=\frac{x}{y}$.

Soit $K\in\R$. Déterminer toutes les fonctions $f:]0,+\i[\times\R\to\R$ de classe $\mc C^1$ solutions de l'équation $x\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)-y\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=K\,f(x,y)$.

Soient $\alpha\in\R$ et $f\in\mc C^1(\R^3,\R)$. On dit que $f$ est homogéné de degre $\alpha$ si :

$\forall(x,y,z)\in\R^3$, $\forall t\in\R^{+*}$, $f(tx,ty,tz)=t^{\alpha}f(x,y,z)$. Montrer que $f$ est homogéné de degre $\alpha$ si et seulement si $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}+z\frac{ \partial f}{\partial z}=\alpha f$.

Resoudre $\frac{\partial^2f}{\partial x^2}-3\,\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}+2\,\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=0$.

Ind. Utiliser le changement de variable $(u,v)=(x+y,\,2x+y)$.

• Soit $f\in C^1(\R^n,\R)$.

Montrer que : $\forall x\in\R^n,f(x)=f(0)+\sum_{i=1}^nx_i\int_0^1 \frac{\partial f}{\partial x_i}(tx)\,dt$.

On pose $E=C^{\i}(\R^n,\R)$ et

$D=\Big{\{}\phi\in\mc{L}(E,\R)\ ;\ \forall(f,g)\in E^2,\phi(fg)=f(0) \phi(g)+g(0)\phi(f)\Big{\}}$.

• Montrer que la famille $(\phi - {1\leq i\leq n}$ est libre, avec : $\phi_i:f\mapsto\frac{\partial f}{\partial x_i}(0)$.
• Montrer que $D$ est de dimension finie.

Soient $f\in C^2(\R^2,\R)$, $k\in[0,1[$ tels que $\forall a\in\R^2,\left|\frac{\partial f}{\partial x}(a)\right|+ \left|\frac{\partial f}{\partial y}(a)\right|\leq k$. Soit $(u_n)$ définie par $(u_0,u_1)\in\R^2$ et $:\forall n\in\N,u_{n+2}=f(u_n,u_{n+1})$.

Pour tout $n\in\N$, on pose $:a_n=\max\left(|u_{n+1}-u_n|,|u_{n+2}-u_{n+1}|\right).$

• Montrer $\forall(a,b)\in(\R^2)^2$, $\exists c\in\R^2$, $f(b)-f(a)=(b-a|\nabla f(c))$.
• Montrer que $\forall(x,y,x',y')\in\R^4,\left|f(x,y)-f(x^{' },y')\right|\leq k\max\left(|x-x'|,|y-y'|\right)$.
• Montrer que $\forall n\in\N,a_{n+2}\leq ka_n$, puis qu'il existe deux constantes $q$ et $C$ telles que $\forall n\in\N,a_n\leq Cq^n$.
• Montrer que $(u_n)$ est une suite convergente et donner une propriete verifiee par sa limite.

Soient $\Omega$ un ouvert de $\R$, $K$ une partie compacte non vide de $\Omega$, $f$ une fonction de classe $C^2$ de $\Omega$ dans $\R$.

• On suppose que $\Delta f\gt 0$. Montrer que $f$ n'admet pas d'extremum local.
• On suppose que $\Delta f\geq 0$. Montrer que $\max_Kf=\max_{\mbox{\footnotesize{\bf FT}}(K)}f$.

Soient $R\in\R^{+*}$, $D_R=\{(x,y)\in\R^2\ ;\ x^2+y^2\lt R^2\}$, $(a_n)_{n\geq 0}$ une suite complex telle que $\sum a_nz^n$ ait pour rayon de convergence $R$. Pour $(x,y)\in D_R$, on pose $f(x,y)=\sum_{n=0}^{+\i}a_n(x+iy)^n$. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ et harmonique sur $D_R$.

Soient $A\in S^{++}_n(\R)$ et $B\in\R^n$. On pose $:f:X\in\R^n\mapsto X^TAX-2B^TX$.

• Calculer $\nabla f(X)$.
• Montrer que $f$ admet un minimum global et le déterminer.
• Soit $(X_k)$ une suite de vecteurs non nuls verifiant

$\forall k\in\N,X_{k+1}=X_k-\frac{\|\nabla f(X_k)\|}{X_k^TAX_{ k}}\nabla f(X_k)$. On suppose que la suite $(X_k)$ est convergente.

Déterminer sa limite.

Pour $x=(x_0,\ldots,x_n)$ et $y=(y_0,\ldots,y_n)$ dans $\R^{n+1}$, on pose

$f(x,y)=\left(\sum_{0\leq i,j\leq n\atop i+j=k}x_iy_j\right)_{k \in[0,2n]}\in\R^{2n+1}$.

• Soient $x,y\in(\R^{n+1}$ non nuls. Montrer que $f(x,y)$ est non nul.
• Soient $u$ et $v$ les applications de $\R^{n+1}\setminus\{0\}$ dans $\R^{2n+1}$ définies par $u:x\mapsto f(x,x)$ et $v:x\mapsto\frac{f(x,x)}{\|f(x,x)\|}$ ou $\|\ \|$ est la norme euclidienne canonique sur $\R^{2n+1}$. Calculer les différentielles de $u$ et $v$.
• Soit $x\in\R^{n+1}$ non nul. Calculer $\op{rg}\left(\op{d}\!v(x)\right)$.

${}^{\bigstar}$ Soit $f\colon\R^n\to\R^n$ differentiable telle que : i) pour tout $x\in\R^n$, $\op{d}\!f(x)$ est injective ; ii) $\|f(x)\|\underset{\|x\|\to+\i}{\longrightarrow}+\i$.

Soient $a\in\R^n$ et $g:x\in\R^n\mapsto\|f(x)-a\|^2$.

• Calculer $\op{d}\!g$. - Montrer que $g$ admet un minimum.
• En déduire que $f$ est surjective.

Soient $U$ un ouvert convexe de $\R^n$ et $f:U\to\R$ une fonction de classe $C^1$.

• Montrre que $f$ est convexe si et seulement si $f(y)-f(x)\geq df_x(y-x)$ pour tous $x,y\in U$. Que donne cette caracterisation dans le cas ou $n=1$?
• Soient $\alpha$ et $\beta$ des réels fixes. On note $E$ l'ensemble des fonctions $f:[0,1]\to\R$ de classe $C^1$ telles que $f(0)=\alpha$ et $f(1)=\beta$. Soit $\Phi:f\in E\mapsto\int_0^1\sqrt{1+f'(x)^2}\,dx$. Montrre que $\Phi$ atteint sa borne inferieure en un unique élément de $E$, que l'on precisera.

Soit $E=\M_n(\R)$ muni de la norme euclidienne canonique.

On pose $f:M\in E\mapsto\|M\|^2=\mathrm{tr}(M^TM)$ et $g:M\in E\mapsto\det M-1$. On note $h$ la restriction de $f$ a $\mathrm{SL}_n(\R)$.

• Justifier que $f$ et $g$ sont de classe $\mc C^1$ et calculer leur gradient en une matrice $M\in\mathrm{SL}_n(\R)$.
• Montrre que $f$ admet un minimum sur $\mathrm{SL}_n(\R)$. Soit $M_0$ une matrice ou il est ateint.
• Soit $H\in\M_n(\R)$ orthogonale au gradient de $g$ en $M_0$. Montrre qu'il existe un chemin $\gamma$ de classe $\mc C^1$ défini sur un voisinage de $0$ dans $\R$, a valeurs dans $\mathrm{SL}_n(\R)$ tel que $\gamma(0)=M_0$ et $\gamma'(0)=H$.
• Montrre que $(\nabla f_{M_0})^{\perp}=(\nabla g_{M_0})^{\perp}$.
• Calculer le minimum de $h$ sur $\mathrm{SL}_n(\R)$.

Si $n\in\N^*$, déterminer $T_{I_n}\mathrm{SO}_n(\R)$, puis, si $M\in\mathrm{SO}_n({}_R)$,$T_M\mathrm{SO}_n(\R)$.

Probabilités

On tire au hasard un élément $A$ de $P(\db{1,n})$. Calculer la probabilité que $\op{Card}A$ soit un entier pair.

Soient $m,n\in\N^*$ tel que $m\leq\frac{n}{2}$. On se donne deux urnes contenant chacune des boules numerotees de $1$ a $n$. On tire $m$ boules dans chaque urne et l'on note $X$ le nombre de doublons. Calculer la loi de $X$ puis sa variance.

Un couple met au monde quatre enfants. Chaque enfant a la probabilité $p\in]0,1[$ d'être une fille, et les naissances sont independantes. On considère les evenements $A$ : le dernier est une fille, $B$: le couple a autant de filles que de garcons: $C$ : les garcons naissent toujours apres une fille.

• Les evenements $A$ et $B$ (resp. $A$ et $C$) sont-ils independants?
• Les evenements $A,B,C$ sont-ils mutuellement independants?

Soit $p\in]0,1[$. Dans un sac contenant $n$ jetons numerotes de $1$ a $n$, on tire $S$ jetons ou $S$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètre $n$ et $p$. Quelle est la probabilité d'obtenir $n$ jetons de numéros consécutifs?

On lance une piece jusqu'a obtenir deux piles de plus que de faces ou deux faces de plus que de piles. On note $p\in]0,1[$ la probabilité que la piece donne pile. On note $X$ la variablealéatoire associee au nombre de lancers. Déterminer la loi de $X$ et montrer que $X$ est presque surement finie. La variable aléatoire $X$ est-elle d'espérance finie?

Une urne contient $n\in\N^*$ boules noires et $b\in\N^*$ boules blanches. On tire successivement et sans remise les boules. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le rang de la derniere boule blanche titee. Calculer la loi, l'espérance et la variance de $X$.

On considère une urne qui contient une proportion $p\in\,]0,1[$ de boules blanches. On effectue un tirage avec remise des boules. Soit $X_n$ la variable donnant le nombre de tirages successifs nécessaires pour obtenir $n$ boules blanches. Donner la loi de $X_1$ ainsi que sa fonction génératrice $\mc{G}_{X_1}$. En déduire $\mc{G}_{X_n}$. Loi et espérance de $X_n$?

On considère une urne remplie avec des boules numerotees de $1$ a $2n$. On procede a une suite de tirages sans remise.

• Calculer la probabilité que les boules impaires soient tires exactement dans l'ordre $1,3,\ldots,2n-1$.
• Soit $X$ la variable correspondant au nombre de tirages necessaires pour obtenir toutes les boules impaires. Déterminer la loi et l'espérance de $X$.

Soit $n\geq 2$. On place $n$ boules numerotees de $1$ a $n$ dans une urne et l'on realise des tirages successifs avec remise. On note $X$ le rang du tirage donnant pour la premiere fois un numero superieur ou egal aux precedents.

• Déterminer la loi de $X$.
• Calculer l'espérance et la variance de $X$.

Une urne contient $n+1$ boules numerotees de 0 a $n$. On y effectue des tirages avec remise. On pose $X_1=1$. Pour $i\geq 2$, $X_i$ est la variable de Bernoulli egale a 1 si le numero de la boule titee au $i$-eme tirage n'avait jamais ete obtenu avant. On pose, pour $i\in\N^*$, $Y_i=X_1+\cdots+X_i$.

• Déterminer la loi des $X_i$.
• Calculer l'espérance et la variance de $Y_i$. Donner un équivalent de $\mathbf{E}(Y_n)$.
• Pour $(i,j)\in(\N^*)^2$, calculer $\mathbf{P}(X_i=1,X_j=1)$.
• Étudier l'independance des $X_i$.

Soit $(J - {n\in\N}$ une suite de joueurs. Le joueur $J_0$ affronte le joueur $J_1$ ; le gagnant affronte $J_2$, puis le gagnant de ce nouveau match affronte $J_3$ et ainsi de suite. Lors d'un match, le joueur entrant a une probabilité $p\in]0,1[$ de remporter le match. Le jeu termine lorsqu'un meme joueur remporte trois victoires. Pour $n\in\N$, on note $A_n$ l'evenement < < le $n$-ieme match est joue > > . Déterminer la limite de $\mathbf{P}(A_n)$ quand $n\to+\i$.

On suppose que lorsqu'un enfant natt, il a une chance sur deux d'être un garcon. Dans une famille donnee, le nombre d'enfants est la variable aléatoire $Z$ et le nombre de filles est $X$.

• Montrer que : $\forall t\in[0,1],G_X(t)=G_Z\left(\frac{1+t}{2}\right)$.
• Expliciter la loi de $X$ si $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

Une puce se trouve sur l'origine de $\Z^2$. À chaque etape, elle saute aléatoirement dans l'une des quatre directions. On note $X_n$ l'abscisse de la puce a l'etape $n$. Calculer $\mathbf{E}(X_n)$ et $\mathbf{E}(X_n^2)$.

On munit $\mc{S}_n$ de la probabilité uniforme. Calculer la probabilité $\pi_n$ que $\sigma\in\mc{S}_n$ ait un cycle de longueur strictement superieure a $\frac{n}{2}$ dans sa decomposition en produit de cycles à supports disjoints. Déterminer un équivalent de $\pi_n$.

Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires independantes qui suivent la loi geometrique de paramètre $p\in\,]0,1[$. On pose $Y=|X_1-X_2|$.

• Calculer $\mathbf{P}(Y=0)$.
• Déterminer la loi de $Y$.
• Montrer que $Y$ est d'espérance finie et calculer $\mathbf{E}(Y)$.
• Montrer que $Y$ possede un moment d'ordre 2 et calculer $\mathbf{V}(Y)$.

• Déterminer la loi de la somme de $n$ variables geometriques de paramètre $p\in]0,1[$, independantes et identiquement distribuees.

  • Soit $p\in]0,1[$. On lance des des tels que la probabilité de tomber sur $6$ en jetant un de est $p$. Soit $X$ la variable aléatoire egale au rang du $n$-ieme $6$. Déterminer la loi et l'espérance de $X$.

Soient $n\in\N^*$, $\sigma$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $\mc{S}_n$. Pour $m\in\db{1,n]\!]$, on note $X_m=\min\left\{k\in[\![1,n]\!],\ \sigma(k)\geq m\right\}$ et $Y_m=\max\left\{k\in[\![1,n},\ \sigma(k)\geq m\right\}$. Calculer la loi de $X_m$ et $Y_m$, et leur espérance.

Soient $\lambda\gt 0$ et $X$ une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Soient $b\in\N^*$ et $Y$ le reste de la division euclidienne de $X$ par $b$. Déterminer la loi de $Y$.

Soit $p\in\,]0,1[$. Soit $(X - {k\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. verifiant :

$\mathbf{P}(X_k=1)=p$ et $\mathbf{P}(X_k=-1)=1-p$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que $p=\dfrac{1}{2}$ si et seulement si : $\forall n\in\N^*,\max_{k\in\Z}\mathbf{P}(S_{2n}=k)=\mathbf{P}( S_{2n}=0)$.

Soient $A,B,C$ des variables aléatoires independantes telles que $A$ suive la loi de Rademacher, et $B$ et $C$ la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$.

• Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette deux racines réelles distinctes.
• Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ admette une unique racine réelle.
• Calculer la probabilité que le trinome $AX^2+BX+C^2$ n'admette aucune racine réelle.
• Cette derniere probabilité peut-être egale a $\dfrac{1}{2}$? Dans ce cas, donner une valeur approchee de $p$ a $10^{-1}$ pres.

On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi de poisson de paramètre $\lambda$ et on pose $Y=X^2+1$. - Calculer l'espérance de $Y$.

• Calculer la probabilité de l'evenement $(2X\lt Y)$.
• Comparer les probabilités des evenements $(X\in 2\N)$ et $(X\in 2\N+1)$.

Soit $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $[a,b]$, d'espérance $\mathbf{E}(X)=m$.

• Montrere que $\mathbf{V}(X)\leq(m-a)(b-m)$.
• Montrere que cette inegalite est optimale.

Soient $A\in\mc{S}_n(\R)$ et $b\in\M_{n,1}(\R)$. On pose $M=\begin{pmatrix}A&b\\ b^T&c\end{pmatrix}$ et on suppose que les racines du polynome caracteristique de $M$ ne sont pas toutes simples.

• Montrere que $M$ admet un vecteur propre de la forme $V=(v_1,...,v_n,0)^T$.
• Montrere que $(v_1,...,v_n)^T$ est vecteur propre de $A$ et orthogonal a $b$.
• Soient $X_1,...,X_5$ variables de Bernoulli independantes de paramètre $p\in]0,1[$.

On pose $N=\begin{pmatrix}2&0&0&X_1\\ 0&1&X_5&X_2\\ 0&X_5&-1&X_3\\ X_1&X_2&X_3&X_4\end{pmatrix}$. Montrere que la probabilité que le polynome caracte-ristique de la matrice $N$ n'ait que des racines simples est superieure ou egale a $3p^3-2p^4$.

Soit $p\geq 3$ premier. Soit $K=\big{\{}x^2,\ x\in\Z/p\Z\big{\}}$.

• Denombrer le cardinal de $K$.
• Soient $A$, $B$ deux variables aléatoires a valeurs dans $\Z/p\Z$. Soit $N$ variable aléatoire comptant le nombre de solutions de $(E):\ X^2+AX+B=0$. Déterminer l'espérance et la variance de $N$.

Caracteriser les couples $(X,a)$ avec $X$ variable aléatoire discrète complexe et $a\in\C$ tels que $X\sim aX$.

Soit $\alpha\gt 1$. On munit $\N^*$ de la loi de probabilité $\mathbf{P}_{\alpha}$ définie par $\mathbf{P}_{\alpha}(\{n\})=\dfrac{1}{\zeta(\alpha)n^{\alpha}}$ pour $n\geq 1$.

• Calculer $\mathbf{P}_{\alpha}(m\N^*)$ pour $m\geq 1$.
• On note $(p - {k\geq 1}$ la suite strictement croissante des nombres premiers. Montrere que les $p_k\N^*$ sont mutuellement independants.
• En déduire la formule d'Euler $\zeta(\alpha)=\prod_{k=1}^{+\i}\left(1-\dfrac{1}{p_k^{\alpha}} \right)^{-1}$.

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires discrètes strictement positives, de meme loi et d'espérance finie. Montrere que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. Ind. Commencer par le cas où $X$ et $Y$ sont independantes.

Soit $(X - {n\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$.

On pose $Y_n=\min(X_1,\ldots,X_n),\alpha_n=\mathbf{E}(Y_n)$ et $Z_n=\max(X_1,\ldots,X_n),\beta_n=\mathbf{E}(Z_n)$.

• Étudier la monotonie des suites $(\alpha_n)$ et $(\beta_n)$. - Exprimer $\alpha_n$ en fonction de $n$.
• Déterminer la limite de $(\beta_n)$ puis un équivalent simple.

Soient $p,q\in]0,1[$. On considère deux variables aléatoires $X$ et $Y$, independantes, suivant les lois geometriques de paramètres respectifs $p$ et $q$. Soit $M=\begin{pmatrix}X&1\\ 0&Y\end{pmatrix}$. Quelle est la probabilité que $M$ soit diagonalisable?

Soient $p\in]0,1[$, $X$ une variable aléatoire suivant la loi geometrique de paramètre $p$. On pose $Y=\left\lfloor\dfrac{X+1}{2}\right\rfloor$.

• Montrer que la variable $Y$ suit une loi geometrique.
• Montrer que les variables $Y$ et $2Y-X$ sont independantes.

Soient $n\in\N^*$, $X_1,\ldots,X_n$ i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\db{1,d]\!]$. Pour $j\in\{1,\ldots,n\}$, on pose $Y_j=|\{i\in[\![1,n},\;X_i=j\}|$.

• Déterminer la loi de $Y_j$.
• Soient $i,j\in\db{1,n]\!]$ avec $i\neq j$ et $k,\ell\in[\![1,n}$. Calculer $\mathbf{P}(Y_i=k,Y_j=\ell)$.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète a valeurs dans $\R^{+*}$ telle que $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X}\right)\lt +\i$.

Pour tout $t\in\R^+$, on pose : $F_X(t)=\mathbf{E}(e^{-tX})$.

• Montrer que $F_X$ est bien définie (a valeurs réelles) et continue.
• Montrer la convergence et calculer $\int_0^{+\i}F_X(t)\,dt$.
• Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires independantes suivant la loi geometrique de paramètre $p\in\!]0,1[$. Calculer $\mathbf{E}\left(\dfrac{1}{X+Y}\right)$.
• Généraliser a $m$ variables i.i.d. suivant la loi geometrique de paramètre $p$.

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant la loi uniforme sur $\{-1,2\}$. On pose $S_0=0$ et, pour $n\in\N^*$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$.

Pour $n\in\Z$, soit $A_n=(\exists k\geq 0,\;S_k=-n)$ et $p_n=\mathbf{P}(A_n)$.

• Exprimer $\mathbf{P}(\exists k\gt 0,\;S_k=0)$ en fonction de $p_{-1}$ et de $p_2$.
• Trouver une relation entre $p_{n+2}$, $p_n$ et $p_{n-1}$.
• En déduire la valeur de $p_n$.

Soient $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $\{-1,1\}$, $(X - {k\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi de $X$. Pour $n\in\N^*$, soit $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que, pour toute partie finie $A$ de $\Z$, $\sum_{n=1}^{+\i}\mathbf{P}(S_n\in A)\lt +\i$.

Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables de Bernoulli de paramètre $1/2$. - Donner la loi de $Z_n=\sum_{k=0}^n2^{n-k}X_k$. - Déterminer $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 3^n)$ et $\lim_{n\to+\i}{\bf P}(Z_n\geq 2^n)$.

Soit $X$ une variable aléatoire a valeurs dans $\R^+$.

• Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{\longrightarrow}0$.
• On suppose que ${\bf E}(X)\lt +\i$. Montrer que ${\bf P}(X\geq x)\underset{x\to+\i}{=}o\left(\frac{1}{x}\right)$.

• Soit $(X_n)$ une suite i.i.d. de variables aléatoires. On pose, pour $n\in\N^*$, $R_n=|\{X_1,\ldots,X_n\}|$.

  • Donner un équivalent de ${\bf E}(R_n)$ lorsque les $X_i$ suivent la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$.
  • Dans le cas général, montrer que ${\bf E}(R_n)=o(n)$.

Soit $(X - {i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. On suppose que chaque variable aléatoire $X_i+1$ suit la loi geometrique de paramètre $p\in\,]0,1[$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $S_n=\sum_{i=1}^nX_i$.

• Déterminer la loi de $S_n$.
• Déterminer $M_n=\max\left\{{\bf P}(S_n=k),\ k\in\N\right\}$ puis un équivalent simple de $M_n$ quand $n$ tend vers $+\i$.

Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires suivant la loi geometrique de paramètre $p\in]0,1[$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$ que l'on déterminera tel que :

$\forall\epsilon\gt 0$, ${\bf P}\left(\left|\frac{1}{\ln(n)}\max_{1\leq k\leq n}X_k-\alpha \right|\geq\epsilon\right)\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$.

Soit $g\colon t\mapsto\frac{e^t}{(1+e)-t}$

• Montrer que $g$ est la fonction génératrice d'une variable aléatoire $X$ a valeurs dans $\N$.
• Soit $(X_{i,j})_{1\leq i\lt j\leq n}$ une famille i.i.d. de variables aléatoires de meme loi que $X$. Déterminer la probabilité que $$M=\left(\begin{array}{cccc}0&X_{1,2}&\ldots&X_{1,n}\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&X_{n-1,n}\\ 0&\ldots&\ldots&0\end{array}\right)$$ ait un nombre fini de sous-espaces stables.

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Bernoulli de paramètre $p$. On pose $U=(X_1\ \cdots\ X_n)$ et $M=U^TU$.

• Déterminer la loi des variables aléatoires $\op{tr}(M)$ et $\op{rg}(M)$.
• Calculer la probabilité que $M$ soit une matrice de projection.

Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires independantes, strictement positives, $L^2$ et telles que : $\forall n\in\N$, $\mathbf{E}(X_n)=1$. On dit que $(X_n)$ converge en probabilités vers $0$ si : $\forall\alpha\gt 0,\mathbf{P}(X_n\geq\alpha)\underset{n\to+\i}{ \longrightarrow}0$. Pour tout $n\in\N^*$, on pose $P_n=\prod_{i=1}^nX_i$.

• Soient $\lambda\in[0,1]$ et $X\in L^2$ telle que $\mathbf{E}(X^2)\gt 0$.

Montrer que : $\mathbf{P}(X\geq\lambda\mathbf{E}(X))\geq\dfrac{(1-\lambda)^2 \mathbf{E}(X)^2}{\mathbf{E}(X^2)}$.

• Montrer que $\mathbf{E}(\sqrt{P_n})\underset{n\to+\i}{\longrightarrow}0$ si et seulement si $(X_n)$ converge vers $0$ en probabilités.

• Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ une famille i.i.d. de variables aléatoires de Rademmacher, $S=\sum_{k=1}^nX_k$. Montrer que, si $t\in\R^+$, $\mathbf{E}(e^{tS})\leq\exp\left(-\dfrac{nt^2}{2}\right)$. En déduire que, si $a\in\R^{+*}$, $\mathbb{P}(|S|\geq a)\leq 2e^{-\frac{a^2}{2n}}$.

  • Généraliser au cas ou les $X_k$ sont des variables aléatoires discrètes i.i.d, a valeurs dans $[-1,1]$ et centres.

Soit $(X - {i\in\N^*}$ une suite de variables aléatoires i.i.d. possedant un moment d'ordre $4$. On pose : $m=\mathbf{E}(X_i)$ et $V_4=\mathbf{E}((X_i-m)^4)$.

• Justifier la bonne définition (dans $\R$) de $m$ et $V_4$.

Pour $\epsilon\gt 0$, on pose : $A_n^{\epsilon}=\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-m) \right|\geq\epsilon\right)$.

• Montrer que $\mathbf{P}(A_n^{\epsilon})\leq\dfrac{3V_4}{n^2\epsilon^4}$.
• Montrer que $\mathbf{P}\left(\bigcap_{n=1}^{+\i}\bigcup_{p=n}^{+\i}A_p^{ \epsilon}\right)=0$.
• Montrer que $\mathbf{P}\left(\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i\underset{n\to+ \i}{\longrightarrow}m\right)=1$.

Mines PSI

Algèbre

Soit $P\in\Z[X]$ tel que $\forall k\in\Z$, $P(k)$ est premier. Montrer que $P$ est constant.

Montrer qu'il existe $(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\R^n$ tel que

$\forall P\in\R_{n-1}[X]$, $ P(X+n)+\sum_{k=0}^{n-1}a_kP(X+k)=0$.

Soit $(P)$ le plan de $\R^3$ d'équation $x-2z-y=0$ et $u$ le vecteur $(1,2,1)^T$.

• Calculer la matrice de projection vectorielle sur $(P)$ parallélément a $u$. - Calculer l'image par cette projection de la droite $(D):\begin{cases}x-y+z=0\\ 2x+y-2z=0.\end{cases}$

Soit $E=\R_n[X]$. On considère les polynomes $E_k=\binom{n}{k}X^k(1-X)^{n-k}$, $0\leq k\leq n$.

• Montrer que $(E - {0\leq k\leq n}$ est une base de $E$.
• Calculer $\sum_{k=0}^nkE_k$ et $\sum_{k=0}^nk^2E_k$.
• Comment aurait-on pu prevoir les resultats obtenus?

Resoudre dans $\M_n(\R)$ l'équation : $A^2+(-1)^n\det(A)I_n=0$.

Soit $M=\left(\begin{array}{c|c}A&A\\ \hline A&B\end{array}\right)$ avec $A,B\in\M_n(\R)$. Trouver une condition necessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $M$ soit inversible. Calculer alors $M^{-1}$.

Soit $A\in\M_n(\C)$ nilpotente d'indice $n$.

• Justifier l'existence d'un vecteur $X_0\in\M_{n,1}(\R)$ tel que $A^{n-1}X_0\neq 0$. En déduire que la famille $(X_0,AX_0,\ldots,A^{n-1}X_0)$ est libre.
• Montrer que $A$ est semblable a $J_n=\begin{pmatrix}0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\ 1&\ddots&&&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{pmatrix}$.

c) i): Soit $\lambda\in\C^*$. Montrer que $\lambda(e^{J_n}-I_n)$ est nilpotente. Preciser son indice de nilpotence.

• Montrer qu'il existe $P\in\text{GL}_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=\lambda P^{-1}e^{J_n}P$.
• En déduire qu'il existe $B\in\M_n(\C)$ telle que $\lambda I_n+J_n=e^B$.

${}^{\bigstar}$ Soient $E$ un $\R$ espace vectoriel de dimension finie, $u\in\mc{L}(E)$ nilpotent, $F$ est sous-espace vectoriel de $E$ tel que $u(F)\subset F$. On suppose que $E=F+\text{Im}(u)$. Montrer que $E=F$.

• Soit $P\in\text{GL}_n(\C)$, que l'on decompose en $P=Q+iR$ avec $P$ et $Q\in\M_n(\R)$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\R$, tel que $Q+\lambda R\in\text{GL}_n(\R)$.

  • En déduire que deux matrices $A$ et $B$ réelles, semblables sur $\C$, sont semblables sur $\R$.
  • Soient $A,B\in\M_n(\R)$ telles que $A^3=B^3=I_n$ et $\text{tr}(A)=$tr$(B)$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables.

Diagonaliser $A=$$\begin{pmatrix}0&\cdots&0&1\\ \vdots&&\vdots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1\\ 1&\cdots&1&1\end{pmatrix}$$\in\M_n(\R)$.

On considère un de equilibre a $n$ faces. Les lancers se modelisent par une suite $(X - {i\geq 1}$ i.i.d de variables aléatoires suivant la loi uniforme sur $\db{1,n}$.

Pour $k\in\db{1,n}$, on note $T_k=\min\{n\in\N^*,\ |\{X_1,\ldots,X_n\}|=k\}$.

• Déterminer la loi de $T_k$.
• Donner un équivalent, quand $n\to+\i$, du nombre moyen $M_n$ de lancers necessaires pour obtenir toutes les faces.

Soient $n\in\N^*$ et $N=n!$. Soient $p_1,\ldots,p_m$ les facteurs premiers distincts de $N$, Soient $X_1,X_2$ deux variables aléatoires independantes qui suivent la loi uniforme sur $\db{1\,;\,N}$.

• Montrer que les evenements $(p_k|X_1):\triangleleft p_k$ divise $X_1\mathchar 13334\relax$ sont independants pour $k\in\db{1\,;\,m}$.
• Pour $k\in\db{1\,;\,m}$, calculer $\mathbf{P}(p_k|X_1$ et $p_k|X_2)$.
• Calculer la probabilité de l'evenement $\triangleleft X_1$ et $X_2$ sont premiers entre eux $\mathchar 13334\relax$.

Soit $n\in\N^*$. On munit $\db{1\,;\,n}$ de la probabilité uniforme.

• Soit $a$ un diviseur de $n$, on note $D(a)$ l'ensemble des multiples de $a$ qui se trouvent dans $\db{1\,;\,n}$. Calculer $\mathbf{P}(D(a))$.
• On note $p_1,\ldots,p_k$ les diviseurs premiers (distincts) de $n$. Montrer que $D(p_1),\ldots,D(p_k)$ sont mutuellement independants.
• Soit $B$ l'ensemble des entiers dans $\db{1\,;\,n}$ qui sont premiers avec $n$. Calculer $\mathbf{P}(B)$ a l'aide de $p_1,\ldots,p_k$.
• On note $\phi(n)$ le nombre d'entiers dans $\db{1\,;\,n}$ qui sont premiers avec $n$. Montrer que $\phi(n)=n\prod\limits_{\begin{subarray}{c}p\text{ premier}\\ \text{p divise }n\end{subarray}}\frac{p-1}{p}$

Soit $X$ une variable aléatoire discrète a valeurs réelles. Soient $b\gt 0$ et $I$ un intervalle de $\R$. Soit $g:\R\to\R^+$ une fonction telle que $g(x)\geq b$ pour tout $x\in I$.

• Montrer que $\mathbf{P}(X\in I)\leq\frac{\mathbf{E}(g(X))}{b}$.
• On suppose que $X$ a un ecart-type $\sigma$ et que $\mathbf{E}(X)=0$.

Montrer $:\forall t\gt 0,\,\mathbf{P}(X\gt t)\leq\frac{\sigma^2}{\sigma^2+t^2}$.

Ind. Utiliser une fonction $x\mapsto(x+c)^2$ pour un réel $c\gt 0$.

Soient $X,Y$ deux variables aléatoires discrètes a valeurs dans $\R^{+*}$, independantes et identiquement distribuees. Montrer que $\mathbf{E}(X/Y)\geq 1$. À quelle condition a-t-on egalite?

Les variables aléatoires $A,B$ suivent la loi uniforme sur l'ensemble $\mc{P}(\db{1\,;\,n})$ et elles sont independantes. On pose $X=\op{Card}(A\cup B)$. Calculer $\mathbf{E}(X)$.

• Soit $(A - {n\in\N^*}$ une suite d'evenements. Montrer que $B:\triangleleft$ II existe un rang a partir duquel $A_n$ est vraie $\mathchar 13334\relax$ est un evenement et que $B=\bigcup\limits_{n\in\N^*}\left(\bigcap\limits_{k\geq n}A_{k }\right)$.

  • Soient $(X - {n\in\N^*}$ une suite i.i.d. de variables aléatoires réelles de meme loi que $X$.On suppose $\mathbf{E}(X)=0$ et $\mathbf{E}(X^4)\lt +\i$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^nX_k$.
  • Calculer $\mathbf{E}({S_n}^4)$ en fonction de $n$, $\mathbf{E}(X^2)$ et $\mathbf{E}(X^4)$.
  • En déduire que pour tout $\eps\gt 0$, $\lim_{n\to+\i}\mathbf{P}\left(\bigcap_{k\geq n}\left(\left|\frac{S_{ k}}{k}\right|\leq\eps\right)\right)=1$ et que, presque surement, $\lim_{n\to+\i}\frac{S_n}{n}=0$.

Soit $\alpha\gt 0$.

• Montrer l'existence d'une variable aléatoire $X$ valeurs dans $\N$ de fonction génératrice $ G_X\left(t\right)=\frac{1}{\left(2-t\right)^{\alpha}}$.
• Donner un équivalent de $\mathbf{P}\left(X=n\right)$ quand $n\to+\i$.
• Pour $\lambda\gt 0$, montrer que $\mathbf{P}\left(X\geq\lambda+\alpha\right)\leq\frac{2\alpha}{\lambda ^2}$.

Centrale

Algèbre

On considère, pour $n\in\N$, $C_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$.

• Montrer que, pour tout $n\in\N$, $C_n\in\N^*$.
• Calculer $\sum_{k=0}^nC_kC_{n-k}$.
• Donner tous les entiers tels que $C_n$ soit pair. En déduire tous les entiers tels que $C_n$ soit impair.

Pour $n\in\N^*$, on note $\mc{P}(n)$ l'ensemble des nombres premiers inferieurs ou egaux a $n$ et $P_n=\prod_{p\in\mc{P}(n)}p$.

• Montrer que $\forall n\geq 2$, $\frac{4^n}{2\sqrt{n}}\lt \binom{2n}{n}\lt 4^n$.
• Montrer que $\forall n\geq 1$, $\binom{2n+1}{n}\lt 4^n$.
• Montrer que $\forall n\in\N$, $P_{2n+1}\lt 4^nP_{n+1}$.

Soit $(G,\cdot)$ un groupe fini commutatif tel que le nombre d'automorphismes de $G$ est $3$.

a) i): Donner la définition d'un automorphisme. Montrer que $\phi:x\mapsto x^{-1}$ est un automorphisme de $G$.

• Montrer que, pour tout $x\in G$, $x^2=e$.
• Montrer que $G$ possede un sous-groupe $V$ d'ordre $4$ et preciser les automorphismes de $V$.

Soient $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 3$[4] et $C=\{x\in\Z/p\Z,\ \exists y\in\Z/p\Z,\ x=y^2\}$.

• Rappeler l'enonce du petit theoreme de Fermat. Montrer que $-1\notin C$.

On pose $\pi_x=\prod_{y\in C\setminus\{x\}}(x+y)$ pour $x\in C\setminus\{0\}$ et $\pi=\prod_{x\neq y\in C}(x+y)$.

• Déterminer le cardinal de $C$.
• Montrer que $\forall x\in C\setminus\{0\}$, $\pi_x=\pi_1$.
• Calculer $\pi$.

On pose $u=2+\sqrt{3}$, $v=2-\sqrt{3}$.

Pour $n\in\N$, on note $M_n=2^n-1$ et $s_n=u^{2^n}+v^{2^n}$.

• Montrer que, si $M_n$ est premier, alors $n$ est premier.
• Montrer que, pour $n\in\N$, $s_{n+1}=s_n^2-2$. Qu'en déduire sur le suite $(s - {n\in\N}$?
• Soit $q$ un nombre premier. On munit l'ensemble $B=(\Z/q\Z)^2$ des deux lois de composition interne définies par :

$(x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')$ et $(x,y)\cdot(x',y')=(xx'+3yy',xy'+x^{ '}y)$.

• Montrer que les deux lois précédentes muinssent $B$ d'une structure d'anneau commutatif fini.
• Montrer que, si $3$ n'est pas un carre modulo $q$, alors l'anneau precedent est un corps.
• On note $A=\Z+\sqrt{3}\Z$. Montrer que l'application $\pi$ définie par $\pi(a+b\sqrt{3})=(\overline{a},\overline{b})$ est bien définie et est un morphisme surjectif d'anneaux de $A$ dans $B$.
• On suppose $n$ premier. Montrer que, si $M_n$ divise $s_{n-2}$ alors $M_n$ est premier.

Ind. On pourra raisonner par l'absurde en considerant le plus petit facteur premier $q$ de $M_n$ et déterminer l'ordre de $(\overline{2},\overline{1})$ dans le groupe des éléments inversibles de l'anneau $B$.

Soit $A$ un anneau commutatif. On dit que $A$ est noetherien lorsque tous ses ideaux sont engendres par une partie finie de $A$.

• Les anneaux $\Z$ et $\R[X]$ sont-ils noetheriens?
• Montrer que $A$ est noetherien si et seulement si toute suite croissante d'ideaux est stationnaire.
• Soit $A$ un anneau non commutatif. On dit que $\mc{I}$ est un ideal a gauche de $A$ lorsque $\mc{I}A\subset\mc{I}$ (définition similaire pour un ideal a droite). Soit $A$ noetherien, c'est-a-dire que tous les ideaux, a droite ou a gauche, de $A$ sont de type fini. Montrer que l'inversibilite a gauche equivaut a l'inversibilite a droite, i.e. $\forall a\in A,\Big{(}\exists b\in A,\ ab=1\Longleftrightarrow\exists b\in A,\ ba=1 \Big{)}$.

Ind. Considèrer $\phi:x\mapsto ax$.

• Soit $G$ un groupe commutatif fini. Si $a$ et $b$ sont deux éléments de $G$ d'ordre premiers entre eux, quel est l'ordre de $ab$?

  • Soit $G$ un groupe commutatif fini. Montrer qu'il existe un élément de $G$ dont l'ordre est le ppcm des ordres des éléments de $G$.
  • Soit $p$ un nombre premier. Montrer que le groupe $\mathbb{F}_p^*$ est cyclique.

Soit $(T - {n\in\N}$ la suite de polynomes réels définie par $T_0(X)=1,\ T_1(X)=X$ et pour $n\in\N,\,T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X)$.

• Montrer que, pour $n\in\N$, $\forall\theta\in\R$, $T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$. - Montrer que $T_n\circ T_m=T_m\circ T_n$ pour $(m,n)\in\N^2$.
• Montrre que, pour $n\geq m$, $2T_nT_m=T_{n+m}+T_{n-m}$.

On considère l'équation différentielle $(E):(1-x^2)P^{' 2}=n^2(1-P^2)$.

• Montrre que, pour $n\in\N$, $T_n$ et $-T_n$ sont solutions de $(E)$ sur $\R$.
• Montrre que tout polynome solution de $(E)$ est de degre $n$, puis déterminer les polynomes solution de $(E)$ sur $\R$.

Soient $a_1\lt a_2\lt \cdots\lt a_p$ et $b_1\lt b_2\cdots\lt b_p$ des réels et $M=(e^{a_ib_j})_{1\leq i,j\leq p}$.

• Calculer $\det M$ lorsque $b_k=k-1$ pour tout $k$.
• Montrre que $M$ est inversible, puis que $\det M\gt 0$.

• Rappeler la définition de l'indicatrice d'Euler, exprimer $\phi(n)$ en fonction de sa decomposition en facteurs premiers.

  • Pour $n\geq 2$, calculer $\sum_{d|n}\phi(d)$ (la somme etant restreinte aux diviseurs positifs).
  • En déduire le déterminant de $A$, ou $A_{i,j}=i\wedge j$.

Soit $f\colon\R\to\R$ une fonction continue telle que, pour toute matrice $A\in\mathrm{GL}_n(\R)$, l'on ait $\left(f(a_{ij})\right)_{1\leq i,j\leq n}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{ R})$.

• À l'aide des matrices $U_{x,y}=\left(\begin{array}{cc}x&1\\ y&1\end{array}\right)$, montrer que $f$ est injective.
• En utilisant l'ensemble $T=\{(x,y)\in\R^2,\ x\lt y\}$, en déduire que $f$ est strictement monotone.
• On suppose que $f(\R)=\R^{+*}$. Montrre qu'il existe $a\in\R$ tel que, pour tous $x,y\in\R$, il existe $z_{x,y}\in\R$ tel que $f(x)f(y)=f(a)f(z_{x,y})$, et conclure a une absurdite.
• Traiter de meme le cas $f(\R)=\R^{-*}$.

• Rappeler la formule de développement d'un déterminant par rapport a une ligne ou une colonne. En déduire, pour $A\in\M_n(\R)$, une relation entre $\mathrm{Com}\,A$, $A$ et $\det A$.

  • Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ la matrice de $\M_n(\R)$ définie par : $a_{i,i}=2$, $a_{i,j}=-1$ si $|i-j|=1$ et $a_{i,j}=0$ dans tout autre cas. Calculer le déterminant de $A$.
  • Soit $A\in\M_n(\R)$ une matrice dont les coefficients diagonaux sont strictement positifs, dont les autres coefficients sont negatifs et telle que $\sum_{j=1}^na_{i,j}\gt 0$ pour tout $i$. Montrre que $A$ est inversible.
  • Montrre que les coefficients de $A^{-1}$ sont positifs.

Soient $M\in\mathrm{GL}_n(\R)$, $F:X\mapsto MXM^{-1}$ et $f:(A,B)\mapsto\mathrm{tr}(A)\,\mathrm{tr}(B)-\mathrm{tr}(AB)$.

• Montrre que, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$.
• Trouver les endomorphismes $h$ de $\M_n(\R)$ qui verifient, pour tous $A$, $B\in\M_n(\R)$, $f(F(A),B)=f(A,h(B))$.
• Dans cette question, on suppose que $n=2$.Soit $h:\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\in{\cal M}_2(\R)\right)\mapsto\left(\begin{array}{cc}a+c &b+d-a-c\\ c&d-c\end{array}\right).$ Déterminer les endomorphismes $k$ de ${\cal M}_n(\R)$ tels que $f(h(A),B)=f(A,k(B))$ pour tout $(A,B)\in{\cal M}_n(\R)^2.$ Parmi eux, preciser ceux qui sont trigonalisables, diagonalisables.

• Enoncer et demontrer la caracterisation du rang par les matrices extraites.

  • Soit $\Omega_n(\mathbb{K})$ l'ensemble des matrices $M=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ de ${\cal M}_n(_K)$ telles que, pour tout $k\in\db{1,n}$, la matrice $M_k:=(M_{i,j})_{1\leq i,j\leq k}$ soit inversible. Si $\mathbb{K}=\R$ ou $\C$, montrer que $\Omega_n$ est un ouvert de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$.
  • Montrer qu'une matrice $M$ de ${\cal M}_n(_K)$ appartient a $\Omega_n(\mathbb{K})$ si et seulement si $M$ s'ecrit $TT'$ ou $T$ (resp. $T'$) est une matrice de ${\cal M}_n(\mathbb{K})$ triangulaire inferieure (resp. superieure) inversible.

Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}0&\cdots&0&a_1\\ \vdots&&\iddots&\vdots\\ \vdots&\iddots&&\vdots\\ a_n&0&\ldots&0\end{array}\right)\in{\cal M}_n(\R)$

• Donner la définition du polynome minimal $\pi_A$. Donner une condition necessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
• Calculer $\det(A)$ et $A^2$.
• Montrer que $A$ est diagonalisable si et seulement si ${\rm Ker}(A)={\rm Ker}(A^2)$. Donner une condition sur les $a_1,\ldots,a_n$ pour que $A$ soit diagonalisable.

On se place dans ${\cal M}_n(\C)$.

• Montrer que toute matrice est trigonalisable sur $\C$.
• Soient $\alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\C$ et $D={\rm Diag}\,(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$. Montrer qu'il existe un polynome $f$ tel que pour tout $i\in\db{1,n}$, $f(\alpha_i)^2=\alpha_i$. En déduire que $f(D)^2=D$.

On considère la suite $(c - {k}$ définie par $c_0=1$ et, pour tout $k\in\N$, $c_{k+1}=\sum_{i=0}^kc_ic_{k-i}$ et le polynome $\phi=\sum_{k=0}^{n-1}c_kX^{k+1}$.

• Déterminer le reste de la division euclidienne de $\phi^2$ par $X^n$.
• Trouver un polynome $g$ tel que, pour toute matrice nilpotente $N\in{\cal M}_n(\C)$, on ait $g(N)^2=I_n+N$.
• Soit $A$ une matrice inversible. Montrer qu'il existe $R\in\C[A]$ telle que $R^2=A$.

Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable. On note $E_i$ ses sous-espaces propres et $n_i=\dim E_i$.

• Montrer que $E=\bigoplus_{i=1}^rE_i$.
• Soit $g$ un endomorphisme de $E$. Montrer que les propositions suivantes sont équivalentes :
• $g$ commute avec $f$, - pour tout $i\in\db{1,r}$, $g(E_i)\subset E_i$.En déduire que la dimension du commutant de $f$ est $\sum_{i=1}^r{n_i}^2$.
• Soit $A\in{\cal M}_n({\C})$, montrer que la dimension du commutant de $A$ est superieure ou egale a $n$.

Soit $A\in{\cal M}_d({\C})$. On note $\rho(A)=\max_{\lambda\in{\rm Sp}(A)}|\lambda|$. On pose, pour $n\in{\N}$, $u_n=\sqrt[n]{|{\rm tr}\,(A^n)|}$.

• Si ${\rm Sp}(A)$ est un singleton, montrer que $(u_n)$ converge vers $\rho(A)$.
• Donner un exemple de matrice dans ${\cal M}_2({\C})$ telle que $(u_n)$ ne converge pas.

On suppose maintenant que $A$ a au moins deux valeurs propres distinctes.

• Soit $z\in{\C}$ tel que $|z|=1$. Montrer que $1$ est valeur d'adherence de $(z^n)$. Montrer que $\rho(A)$ est valeur d'adherence de $u_n$.

Soit $E$ un espace-vectoriel de dimension finie $n$ et $f$ un endomorphisme de $E$. Pour toute partie $A\subset{\cal L}(E)$, on note ${\cal C}(A)=\{u\in{\cal L}(E)\;;\;\forall v\in A,\;u\circ v=v\circ u\}$. L'objectif de l'exercice est d'étudier ${\cal B}(f)={\cal C}({\cal C}(\{f\}))$.

• Montrer que ${\cal B}(f)$ est une ${\mathbb{K}}$-algèbre contenant ${\mathbb{K}}[f]$.
• On suppose $f$ nilpotente d'indice $n$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$.
• Soient $G_1,G_2$ deux sous-espaces vectoriels supplementaires stables par un $f\in{\cal L}(E)$. On pose $f_i=f_{|G_i}$. On suppose que $\pi_{f_1}\wedge\pi_{f_2}=1$. Montrer que ${\cal B}(f)={\mathbb{K}}[f]$.

Soient $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n\in{\N}$, $a\in E$ un vecteur unitaire, et $H$ l'hyperplan orthogonal a la droite vectorielle dirigee par $a$. On note $\sigma$ la symetrie orthogonale par rapport a l'hyperplan $H$, et $p$ la projection orthogonale sur $H$.

• Montrer que, pour tout sous-espace vectoriel $F$ de $E$, $F\stackrel{{\perp}}{{\oplus}}F^{\perp}=E$.
• Montrer que, pour $x\in E$, $p(x)=x-\langle a,x\rangle a$.
• Soit $\Omega=\{x\in E,\;\langle a,x\rangle\geq 0\;\;\mbox{et}\;\;\langle x,\sigma(x) \rangle\leq 0\}$.

Montrer les equivalences suivantes, pour $x\in E$ :

• $x\in\Omega$ si et seulement si $\langle a,x\rangle\leq\|p(x)\|$,
• $x\in\Omega$ si et seulement si $\forall y\in\Omega$, $\langle x,y\rangle\leq 0$.

Soit $E$ un espace euclidien. Soit $s\in{\cal L}(E)$.

• Rappeler l'identite du parallelogramme et les identites de polarisation.
• Montrer l'equivalence suivante :

1. $\exists c\in{\R},\;\forall(x,y)\in E^2,\;\langle s(x),s(y)\rangle=c \langle x,y\rangle,$

ii) $\forall(x,y)\in E^2,\,\langle x,y\rangle=0\;\Rightarrow\;\langle s(x),s(y) \rangle=0$.

• Montrer que $(P,Q)\mapsto\int_0^1PQ$ définit un produit scalaire sur ${\R}_{n-1}[X]$. En déduire qu'il existe un unique $P\in{\R}_{n-1}[X]$ tel que $\int_0^1x^kP(x)\,{\rm d}x=1$ pour 0 $\leq k\leq n-1$. On pose $P=a_0+a_1X+\cdots+a_{n-1}X^{n-1}$. - Soit $f:[0,1]\to\R$ continue telle que $\int_0^1x^kf(x)\,dx=1$ pour $0\leq k\leq n-1$. Montrer que $\int_0^1f^2\geq\sum_{i=0}^{n-1}a_i$, puis que $\int_0^1f^2\geq n^2$.

• Montrer que l'application $(P,Q)\mapsto\int_0^1P(t)Q(t)\,dt$ est un produit scalaire sur $\R[X]$.

  • Soit $(E,\phi)$ un espace euclidien et $B=(e_1,...,e_n)$ une base de $E$. Montrer que la matrice $(\phi(e_i,e_j))_{1\leq i,j\leq n}$ est symetrique définie positive.
  • Pour tout $p\in\N$, on pose $L_p=\frac{d^p}{dX^p}\,[X^p(1-X)^p]\in\R[X]$. Montrer que la famille $(L_p)$ est orthogonale pour le produit scalaire de la question $a$. Est-elle orthonormale?
  • Soit $M=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{1\leq i,j\leq n+1}$. Montrer que la matrice $M$ est symetrique définie positive et calculer $\det M$.

Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$ et $b\in\R^n$.

• Rappeler la définition d'une matrice définie positive. Donner des proprietes d'une telle matrice.
• Pour $x\in\R^n$, on pose $J(x)=\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$. Montrer que $J$ est strictement convexe, c'est-a-dire que : $\forall x\neq y$, $\forall\lambda\in]0,1[$, $J(\lambda x+(1-\lambda)y)\lt \lambda J(x)+(1-\lambda)J(y)$.
• Montrer que $J$ atteint un minimum en un unique point de $\R^n$ et que ce vecteur est solution de l'équation $Ax=b$.

Soient $n\in\N$ et $\alpha\gt 0$. On note $S_{\alpha}=\{M\in\mc{S}_n^+(\R),\ \det M\geq\alpha\}$. Le but de cet exercice est de s'interesser, pour $A\in\mc{S}_n^+(\R)$, a la quantite $m_{\alpha}(A)=\inf_{M\in S_{\alpha}}\op{tr}(AM)$.

• Montrer que les valeurs propres d'une matrice symetrique réelle sont réelles. Rappeler le theoreme spectral. Justifier l'existence de $m_{\alpha}(I_n)$ puis la calculer.
• Soit $A\in\mc{S}_n^+(\R)$. Justifier l'existence de $R\in\mc{S}_n^+(\R)$ telle que $A=R^2$. Prouver l'unicite puis calculer $m_{\alpha}(A)$.
• Que se passe-t-il lorsque $\alpha=0$?

Soient $d\in\N^*$, $A\in\mc{S}_n(\R)$ a coefficients dans $\{0,1\}$ et de trace nulle. On suppose que $A^2+A-(d-1)I_n=J_n$ ou $J_n$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$.

• Montrer que chaque ligne de $A$ contient $d$ coefficients egaux a $1$.
• Montrer que $AU=dU$ ou $U=(1\,\cdots\,1)^T$. En déduire que $n=d^2+1$.
• Montrer que la multiplicite de $d$ est egale a $1$.
• Montrer que les autres valeurs propres de $M$ sont racines de $X^2+X-d+1=0$.
• Montrer que'il existe deux entiers naturels $m_1$ et $m_2$ tels que $m_1+m_2=n-1$ et $d+m_1r_1+m_2r_2=0$ ou $r_1$ et $r_2$ sont les solutions de l'équation précédente.
• Montrer que si $m_1=m_2$ alors $d=2$. On suppose $d\gt 2$ dans la suite.
• Montrer que'il existe un entier $k$ tel que $4d-3=(2k+1)^2$ puis que $k^4\equiv 1\ [2k+1]$.
• Montrer que, pour tout entier $k\in\N$, on a $16k^4\equiv 1\ [2k+1]$. En déduire qu'on a forcement $d\in\{2,3,7,57\}$.

Soit $A=\begin{pmatrix}A_1&B\\ B^T&A_2\end{pmatrix}$ une matrice symetrique définie positive avec $A_1\in\mc{S}_p(\R)$ et $A_2\in\mc{S}_q(\R)$.

• Montrer que $A_1$ et $A_2$ sont définies positives.
• Montrer qu'il existe $R_1$ et $R_2$ symetriques définies positives telles que $R_1^2=A_1$ et $R_2^2=A_2$.
• Montrer que $\det(A)\leq\det(A_1)\det(A_2)$.

On considère la relation binaire pour $(A,B)\in(\mc{S}_n(\R))^2A\preceq B\Leftrightarrow B-A\in \mc{S}_n^+(\R)$.

• Montrer que l'on définit ainsi une relation d'ordre sur $\mc{S}_n(\R)$.
• Montrer qu'une partie de $\mc{S}_n(\R)$ est bornee si et seulement si elle est majoree et minoree pour $\preceq$.
• Montrer que toute suite croissante majoree pour $\preceq$ converge.
• Soient $A$ et $B$ dans $\mc{S}_n^{++}(\R)$. Montrer que $A\preceq B\implies B^{-1}\preceq A^{-1}$.

Si $S\in\mc{S}_n(\R)$, on note $\lambda_1(S)\leq\cdots\leq\lambda_n(S)$ le spectre ordonne de $S$. On munit $\R^n$ du produit scalaire canonique note $\langle\,\ \rangle$ et on note $S^{n-1}$ la spere unite.

• Montrer que, si $S\in\mc{S}_n(\R)$, $\lambda_1(S)=\min\{\langle Sx,x\rangle\ ;\ x\in S^{n-1}\}$.
• Si $d\in\db{1,n}$, soit $\mc{V}_d$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de dimension $d$ de $\R^n$. Montrer que, si $k\in\db{1,n}$ et $S\in\mc{S}_n(\R)$,

$\lambda_k(S)=\min\limits_{V\in\mc{V}_k}\max\{\langle Sx,x\rangle\ ;\ x\in V \cap S^{n-1}\}=\max\limits_{V\in\mc{V}_{n-k+1}}\min\{\langle Sx,x\rangle \ ;\ x\in V\cap S^{n-1}\}$.

• Si $(i,j)\in\db{1,n}^2$, $i+j\leq n+1$ et $(S,S')\in\mc{S}_n(\R)^2$, montrer que

$\lambda_{i+j-1}(S+S')\leq\lambda_i(S)+\lambda_j(S')$.

Analyse

Soient $(E,\|\ \|)$ un espace norme, $F$ un sous-espace vectoriel ferme strict de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe un vecteur unitaire $u$ de $E$ tel que $d(u,F)\geq\delta$.

Soient $(E,N)$ et $(E',N')$ deux espaces vectoriels normes.

Soit $d\in\N$. Pour $P(X)=p_0+p_1X+\cdots+p_dX^d\in\R_d[X]$ on pose $\|P\|=\max(|p_0|,...,|p_d|)$.

• Verifier que l'application $\|\ \|$ est une norme sur $\R_d[X]$.

b) i) Soit $(y - {n\in\N}$ une suite d'éléments de $E$, convergeant vers $\ell\in E$.

Montrer que l'ensemble $Y=\{y_n,\ n\in\N\}\cup\{\ell\}$ est compact.

• Soit $f:E\to E'$ continue telle que, pour tout compact $K$ de $E'$, $f^{-1}(K)$ est un compact de $E$. Montrer que, si $F$ est un ferme de $E$, alors $f(F)$ est un ferme de $E'$.
• Soit $P\in\R_d[X]$ un polynome unitaire. Montrer que, si $x\in\R$ est une racine de $P$ telle que $|x|\gt 1$, alors $|x|\leq\|P\|+1$. En déduire que l'ensemble des polynomes unitaires et scindes de $\R_d[X]$ est ferme dans $\R_d[X]$.

• Resoudre dans $\C$ l'équation $e^z=-1$.

  • Soit $f\colon\mathbb{U}\to\R$ continue. Montrer qu'il existe $z\in\mathbb{U}$ tel que $f(-z)=f(z)$. En déduire que, si $A$ et $B$ sont deux parties fermees de reunion $\mathbb{U}$, il existe deux points de $\mathbb{U}$ diametralement opposes tous deux dans $A$ ou tous deux dans $B$. - Soient $D$ le disque unite ferme du plan complexe et $g:D\to\C^*$ continue telle que, pour tout $z\in\mathbb{U}$, $g(-z)=-g(z)$. On admet qu'il existe $h$ continue telle que $g=\exp\circ h$. Montrer qu'il existe $z\in D$ tel que $h(-z)=h(z)$.

Soit $(E,\|\ \|)$ un espace vectoriel norme. Pour $A\subset E$ non vide et $x\in E$, on note $d(x,A)=\inf\{\|x-a\|,\ a\in A\}$.

• On suppose $A$ ferme. Soit $x\in E$. Montrer que $d(x,A)=0$ si et seulement si $x\in A$.
• Soient $F$ un sous-espace vectoriel ferme de $E$ et $\delta\in]0,1[$. Montrer qu'il existe $x\in E$ unitaire verifiant $d(x,F)\geq\delta$.
• On suppose $E$ de dimension infinie et on admet que les sous-espaces vectoriels de dimension finie sont fermes. Montrer que la sphere unite n'est pas un compact de $E$.

Soit $\phi$ la fonction définie sur $[0,1]$ par $\phi(0)=0$ et $\phi(t)=-t\ln(t)$ pour $t\in]0,1]$. Soit $n\in\N^*$. On pose $S_n$ l'ensemble des vecteurs $p=(p_1,...,p_n)\in\R^n$ tels que $p_1+...+p_n=1$ et $p_i\geq 0$ pour tout $1\leq i\leq n$. On pose enfin $H_n(p)=\sum_{i=1}^n\phi(p_i)$ pour $p\in S_n$.

• • Donner la définition d'une partie compacte d'un espace vectoriel norme, et en donner une caracterisation en dimension finie.
• Montrer que $S_n$ est une partie compacte et convexe de $\R^n$.
• • Montrer que $H_n$ est continue.
• Montrer que $H_n$ atteint sur $S_n$ un maximum en un unique point $p_0$, et expliciter $p_0$.

Soit $v=(v_1,...,v_n)\in\R^n$. On pose $f_v(p)=H_n(p)+\sum_{i=1}^np_iv_i$ pour $p\in S_n$.

On pose $f_v^*=\sup_{p\in S_n}f_v(p)$ et $E_v=\{p\in S_n,\ f_v(p)=f_v^*\}$.

• Montrer que $E_v$ est non vide. Déterminer $f_v^*$ et $E_v$.

Soient $(E,\|\ \|)$, $(E',\|\ \|)$ deva espaces vectoriels normes de dimension finie, $A$ un ferme non vide de $E$, $B$ une partie non vide de $E'$. Soit $f:A\to B$ continue bijective telle que l'image reciproque par $f$ de toute partie bornee de $B$ est bornee. Montrer que $f^{-1}$ est continue.

Un espace norme réel est dit separable lorsqu'il contient une partie denombrable dense.

• L'espace $\R$ est-il separable?
• Montrer qu'un espace norme de dimension finie est separable.
• Soit $E$ un espace prehilbertien réel de dimension infinie. Montrer que $E$ est separable si et seulement s'il existe une suite orthonormalee $(e_n)_{n\geq 0}$ telle que $\op{Vect}{(e_n)_{n\geq 0}}$ soit dense dans $E$.

Soit $E$ l'espace des fonctions polynomiales de $\R$ dans $\R$. Pour tout $f\in E$, on note $\phi(f)$ la primitive de $f$ d'intégrale nulle sur l'intervalle $[0,1]$.

• Justifier la définition de $\phi$ puis etablir qu'il s'agit d'une application lineaire sur $E$.

On munit $E$ de la norme $\|\ \|_{\i}$ sur $[0,1]$.

On note $\|\phi\|_{\mathrm{op}}=\sup\left\{\frac{\|\phi(f)\|_{\i,[0,1]}}{\|f \|_{\i,[0,1]}},\ f\in E\setminus\{0_E\}\right\}$.

• Montrer que $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$ est correctement définie et en trouver un majorant. - Soient $f\in E$ et $G$ la primitive de $F=\phi(f)$ nulle en $0$. Etablir que, pour tout $x\gt 0$,

$$G(x)=xF(x)-\int_0^xtf(t)dt=(x-1)F(x)-\int_x^1(1-t)f(t)\mathrm{d }t.$$

• Déterminer la norme $\|\phi\|_{\mathrm{op}}$.

Soit $A\in\M_n(\R)$, on pose $f_A(x)=(A+xI_n)^{-1}A$ pour $x$ réel convenable.

• Montrer que la fonction $f_A$ est définie au voisinage epointe de $0$.
• Étudier le comportement de la fonction $f_A$ en $0$ dans le cas ou $A$ est inversible, puis dans le cas ou $A$ est nilpotente.
• Soit $u\in\mc{L}(\R^n)$. Montrer l'existence de $p\in\N^*$ tel que $\mathrm{Im}(u^p)\oplus\mathrm{Ker}(u^p)=\R^n$.

En déduire l'existence de deux supplementaires $F$ et $G$ dans $\R^n$, stables par $u$, tels que $u$ induit sur $F$ un automorphisme et induit sur $G$ un endomorphisme nilpotent.

• Caracteriser les matrices $A$ pour lesquelles $f_A$ a une limite en $0$.

Soient $(a_n)$ une suite a termes réels positifs et $(b_n)$ une suite a termes complexes. On suppose que la série $\sum a_n$ diverge et que $b_n\sim a_n$. On note $S_n=\sum_{k=0}^na_k$.

• Montrer que la série $\sum b_n$ diverge et que les sommes partielles des deux séries sont équivalentes.
• On suppose qu'il existe $\lambda\in\R^{+*}$ tel que $\frac{S_n}{na_n}\xrightarrow[n\to+\i]{}\lambda$. Déterminer la limite de $\frac{1}{n^2a_n}\sum_{k=0}^nka_k$.

• Rappeler la regle de d'Alembert pour une série numerique a termes positifs.

  • On considère une suite croissante $(q_n)_{n\geq 1}$ d'entiers $\geq 2$.
  • Quel est le rayon de convergence de la série entiere $\sum\frac{z^n}{q_1...q_n}$?
  • Montrer que si la suite $(q_n)$ est stationnaire alors le réel $ x=\sum_{n=1}^{+\i}\frac{1}{q_1...q_n}$ appartient a $\Q\cap]0,1]$.
  • On admet reciproquement que si $(q_n)$ tend vers $+\i$ alors $x\notin\Q$. Montrer que les réels $e$, $\mathrm{ch}(\sqrt{2})$ et $e^{\sqrt{2}}$ sont irrationnels.
  • Montrer la reciproque admise ci-dessus.

Soit $I=]-1,+\i[$. On dit que $f\in\mc C^0(I,\R)$ verifie $(*)$ si et seulement si :

$\forall x,y\in I$, $f(x)+f(y)=f(x+y+xy)$.

On pose, pour $n\in\N$, $x_n=\frac{1}{(n+2)(2n+1)}$ et $y_n=\frac{n}{n+1}$. Soit $f\in\mc C^0(I,\R)$.

• Simplifier $x_n+y_n+x_ny_n$. Montrer que la série de terme général $ f(x_n)$ converge et exprimer $\sum_{n=0}^{+\i}f(x_n)$ en fonction de $f(1)$.
• Montrer que $f$ est derivable. - Trouver toutes les fonctions continues verifiant $(*)$.

Soit $f\colon\R\to\R$ trois fois derivable telle que $ff^{(3)}=0$.

• Montrer que, si $f'$ est strictement monotone sur un intervalle $I$, alors $f$ prend une meme valeur au plus deux fois sur $I$.
• On pose $\Gamma=\{x\in I,{f'}'(x)=0\}$. Montrer que, si $\Gamma$ est non vide, alors $\Gamma$ n'est ni majore, ni minore.
• Montrer que $\Gamma$ est un intervalle et en déduire $f$.

• Soit $g:[a,b]\to\R$ continue et injective. Montrer que $g$ est strictement monotone.

On cherche les fonctions $g$ continues sur $\R$ telles que, pour tout $x\in\R$, $g^2(x)=2g(x)-x$.

• Montrer qu'une telle fonction est bijective et strictement croissante.
• Exprimer $g^n$ pour tout $n\in\N$ puis conclure.

• Rappeler la définition d'une fonction lipschitzienne. Montrer qu'une fonction lipschitzienne est continue. Soient $\alpha\in]0,1]$ et

$H_{\alpha}=\big{\{}f:[0,1]\to\R\,|\,\exists L\gt 0,\,\forall(x,y)\in[0,1], \,|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|^{\alpha}\big{\}}$.

• Montrer $H_{\alpha}$ est un $\R$-espace vectoriel, que si $0\lt \alpha\leq\beta\leq 1$, alors $H_{\beta}\subset H_{\alpha}$. Verifier que $x\mapsto x^{\alpha}\in H_{\alpha}$.
• Montrer que, pour $0\lt \alpha\lt \beta\leq 1$, $H_{\beta}$ est strictement inclus dans $H_{\alpha}$.
• Montrer que $\mc C^1([0,1],\R)\subset H_{\alpha}\subset\mc C^0([0,1 ],\R)$ et que ces inclusions sont strictes.

• Soient $a,b$ dans $\R$ avec $a\lt b$ et $f:]a,b[\to\R$ derivable. On suppose que $f$ admet la meme limite finie $\ell$ en $a$ et en $b$. Montrer qu'il existe $c\in]a,b[$ tel que $f'(c)=0$.

  • Soit $f:x\in]-1,1[\mapsto e^{\frac{1}{x^2-1}}$. Montrer que $f$ est de classe $\mc C^{\i}$ sur $]-1,1[$ et que, pour tout $n\in\N$, il existe un polynome $P_n$ tel que $f^{(n)}(x)=\frac{P_n(x)}{(x^2-1)^{2n}}f(x)$. Quel est le degre de $P_n$?
  • Combien $f^{(n)}$ a-t-elle de zeros?

• Donner la définition de la multiplicite d'une racine d'un polynome puis sa caracterisation a l'aide des derivees successives du polynome.

  • Soit $P\in\C[X]$ non nul. Exprimer $P'/P$ a l'aide des racines de $P$.
  • Soit $r\gt 0$. On suppose que $P$ ne s'annule pas sur le cercle $C(0,r)$ du plan complexe. On pose $N_r(P)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{P'(re^{it})}{P(re^{it})}re ^{it}\,dt$. Montrer que $N_r(P)$ est egal au nombre de racines de $P$ (comptees avec multiplicite) dans le disque $D(0,r)$.

Soit $E$ l'ensemble des fonctions $f\in C^0(\R^+,\R)$ telles que $\int_0^{+\i}f^2\lt \i$. Soit $f\in E$.

On pose $\|f\|=\left(\int_0^{+\i}f^2\right)^{1/2}$ et on définit l'application $Tf$ par $:Tf(0)=f(0)$ et, pour tout $x\gt 0$, $Tf(x)=\frac{1}{x}\int_0^{x'}f$._a) i)_: Rappeler le theoreme concernant la derivabilite des fonctions $x\mapsto\int_a^xf$. - Montrer que $Tf$ est continue. - Montrer que, pour tout $x\gt 0$, on a $Tf(x)^2\leq\frac{1}{x}\int_0^xf(t)^2\,dt$.

• Soit $A\gt 0$. Montrer que $\int_0^ATf(x)^2\,dx\leq 2\int_0^A\frac{f(x)}{x} \left(\int_0^xf\right)dx$. En déduire que $Tf\in E$ et que $\|Tf\|\leq 2\|f\|$
• Montrer que la constante 2 est optimale dans l'inegalite $(*)$. On pourra considèrer les fonctions $f_a:t\mapsto t^{-a}$.

Soient $(a_n)$ une suite réelle telle que $\left(\sum_{k=0}^na_k\right)$ est bornee, $(b_n)$ une suite réelle decroissante de limite nulle et, pour tout $n\in\N$, $f_n:x\mapsto\sin(nx)$.

• Montrer qu'une série absolument convergente est convergente.
• Montrer que la série de terme général $a_nb_n$ converge.
• Montrer que la série de fonctions de terme général $b_nf_n$ converge.

Soit $f\in C^1(\R^+,\R^{+*})$ croissante telle que $\frac{f'(x)}{f(x)}\underset{x\to+\i}{\sim}\frac{a}{x}$ ou $a\gt 0$.

• Citer le theoreme d'integration des relations de comparaison, puis trouver un équivalent de $\ln(f(x))$ quand $x\to+\i$.
• Donner le domaine de définition de $u:x\mapsto\sum_{n=0}^{+\i}f(n)\,e^{-nx}$. Déterminer les limites de $u$ aux bornes de son domaine de définition.
• Montrer qu'il existe $C\in\R$ tel que $u(x)\sim\frac{C}{x}f\left(\frac{1}{x}\right)$ lorsque $x\to 0^+$.

Soient $\alpha\in\N$ avec $\alpha\geq 2$ et $\beta\in]1,+\i[$. Soit $f:t\mapsto\sum_{n\geq 0}\frac{\cos(2\pi\alpha^nt)}{\beta^n}$.

• Montrer que $f$ est définie et continue. Si $\alpha\lt \beta$, montrer que $f$ est derivable sur $\R$.
• On suppose $\alpha\geq\beta$. Montrer que $f$ n'est pas derivable en $0$.

Soit $f\colon x\mapsto\sum_{n\geq 1}\sin(nx)\,e^{-n^{\alpha}}$ avec $\alpha\gt 0$. Montrer que $f$ est $\mc C^{\i}$ puis développable en série entiere au voisinage de l'origine.

On considère la série entiere $S(x)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nx^n$ ou $a_n=\frac{1}{n!}\int_0^1\prod_{k=0}^{n-1}(t-k)\,dt$ avec $a_0=1$.

• Montrer que le rayon de convergence $R$ est $\geq 1$.
• Calculer $S(x)$ pour $|x|\lt 1$ puis montrer que $R=1$.
• Déterminer un équivalent de $a_n$.

On pose, pour $n\in\N$, $c_n=\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$.

• Donner le développement en série entiere de $x\mapsto(1+x)^{\alpha}$. Exprimer le développement en série entiere de $f:x\mapsto\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}$ (avec $f(0)=1$) a l'aide des $c_n$.
• Soit $r$ un rationnel que l'on peut ecrire $r=\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ avec $b\wedge d=1$. Montrer que $r$ est entier. Montrer que, pour tout $n\in\N^*$, $c_n\in\N$.
• Donner la valeur de $\sum_{k=0}^nc_kc_{n-k}$ en fonction de $c_{n+1}$.

Pour $n\geq 1$, on note $t_n$ le nombre de $\sigma\in\mc{S}_n$ telles que $\sigma\circ\sigma=\mathrm{id}$. On convient que $t_0=1$,

• Montrer que la série entiere $\sum\frac{t_n}{n!}\,x^n$ a un rayon de convergence $\geq 1$.
• Calculer $t_1,t_2,t_3$. Montrer que, si $n\geq 2$, $t_n=t_{n-1}+(n-1)t_{n-2}$.
• Déterminer $f(x)=\sum_{n=0}^{+\i}\frac{t_n}{n!}x^n$ pour $x\in]-1,1[$. En déduire une expression de $t_n$ sous forme de somme. Calculer $\lim_{n\to+\i}\frac{t_n}{n!}$.

Pour $n\in\N$, on note $\mc{P}_n$ l'ensemble des polynomes $P$ a coefficients dans $\{0,1,2\}$ tels que $P(2)=n$, et $a_n=|\mc{P}_n|$. On note $s_n$ la somme des chiffres de l'ecriture binaire de l'entier $n$, et pour $k\in\db{0,7]\!]$, on pose $b_{n,k}=|\{i\in[\![0,n},\ s_i-s_{n-i}\equiv k\ [8]\}|$.

• Calculer $a_0$, $a_1$, $a_2$ et $a_3$.
• Montrer que $\mc{P}_n$ est fini.
• Montrer que, pour $n\in\N$, $a_{2n+1}=a_n$ et que, pour $n\in\N^*$, $a_{2n}=a_n+a_{n-1}$.

Ind. Pour la premiere egalite, on pourra exhiber une bijection entre $\mc{P}_n$ et $\mc{P}_{2n+1}$.

• Montrer que la série entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence egal a $1$.

On note $A(x)$ la somme de cette série.

• Montrer que, pour $x\in]-1,1[$, $A(x)=(1+x+x^2)A(x^2)$.

En déduire que $\forall x\in]-1,1[$, $A(x)=\lim_{n\to+\i}\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})$.

• On note $j=e^{\frac{2i\pi}{3}}$. Etablir que, pour $n\in\N$ et $x\in]-1,1[$,

$$\prod_{k=0}^n(1+x^{2^k}+x^{2^{k+1}})=\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-j)^{n-s_k}x^k\right)\left(\sum_{k=0}^{2^{n+1}-1}(-\overline{j})^{n-s_k}x^k \right).$$

• Que peut-on en déduire sur $(a_n)$?

• Rappeler la définition de partie dense dans $\R$ et en donner une caracterisation sequentielle.
• Trouver toutes les fonctions $f\colon\R\to\R$ continues en $0$ telles que

$\forall(x,y)\in\R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y)$.

On dit qu'une suite réelle $(a - {n\in\N}$ verifie la propriete $(P)$ si :1. La série entiere $\sum a_nx^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$,

1. La somme $S_a$ de cette série entiere admet une limite réelle en $1^-$.
2. • Montrer que, si la série $\sum a_n$ converge absolument, alors la suite $(a - {n\in\N}$ verifie $(P)$,
3. Étudier la reciproque.
4. Trouver toutes les suites $(a - {n\in\N}$ periodiques qui verifient $(P)$.

Soient $(a_n)_{n\geq 1}$ une suite de carre sommable et $f:t\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\frac{a_n}{n-t}$.

• Preciser le domaine de définition de $f$.
• Montrer que $f$ est développable en série entiere autour de $0$.
• Montrer que si $f$ est identiquement nulle sur $[-1/2,1/2]$ alors la suite $(a_n)$ est nulle.

• Rappeler la définition d'une fonction $f$ développable en série entiere en $0$ et preciser une expression de $f^{(k)}(0)$ en fonction des coefficients pour $k\in\N$.

  • Soit $f$ une fonction de classe $\mc C^{\i}$ au voisinage de $0$ pour laquelle il existe $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$.

Montrer que $f$ est développable en série entiere en $0$.

• Soit $f$ une fonction développable en série entiere en $0$. Montrer l'existence de $\alpha\gt 0$, $M\gt 0$ et $a\gt 0$ tels que $\forall x\in]-\alpha,\alpha[,\ \forall k\in\N,\ |f^{(k)}(x)|\leq Ma^kk!$.

On admet le theoreme suivant :_Pour $S$ une série entiere de rayon de convergence infini dont la somme ne s'annule pas sur $\C$, il existe une série entiere $L$ de rayon de convergence infini telle que $\forall z\in\C,\exp(L(z))=\ S(z)$.

• • Rappeler tous les modes de convergence d'une série entiere sur son disque ouvert de convergence.
• Soient $F(z)=\sum_{n=0}^{+\i}a_nz^n$ de rayon de convergence infini et $ G(z)=\text{Re}(F(z))$.

Pour $n\in\N^*$, montrer que $\int_0^{2\pi}F(re^{it})dt=2\pi a_nR^n$, puis que

$\int_0^{2\pi}G(Re^{it})e^{-int}dt=\pi a_nR^n$ et $\int_0^{2\pi}G(Re^{it})dt=2\pi\text{Re}(a_0)$.

• Montrer que, s'il existe $p$ et $q$ réels strictement positifs tels que $\forall z\in\C,\ |G(z)|\leq p|z|+q$, alors $F$ est un polynome de degre au plus $1$.
• Montrer que l'application $z\mapsto z\exp(z)$ est une surjection de $\C$ sur lui-meme.

Soient $E$ un $\C$-espace vectoriel de dimension finie et $u\in\mc{L}(E)$. Montrer qu'il existe $r\gt 0$ tel que, pour tout $t\in]-r,r[,\ \det(\mathrm{id}-tu)=\exp\Big{(}-\sum_{k=1}^{+\i}\frac{t^k\, \mathrm{tr}(u^k)}{k}\Big{)}$.

• • Rappeler la définition de fonction continue par morceaux sur un intervalle $I$ de $\R$. - _Pour $n\in\N^*$, on définit une fonction $f_n$ sur $\R^+$ par $f_n(x)=\frac{1}{n}\left(1-\frac{x}{n}\right)$ si $x\in[0,n]$ et $f_n(x)=0$ sinon.

Montrer que la suite $(f - {n\in\N^*}$ converge simplement sur $\R^+$ vers une fonction $f$ a preciser et que $\int_{\R^+}f_n\not\longrightarrow\int_{\R_+}f$ quand $n\ra+\i$.

• Rappeler le theoreme de convergence dominee.

Le demontrer sous l'hypothese supplementaire d'une convergence uniforme sur tout segment.

• Soit $(f - {n\in\N}\in\left(\R^{\N}\right)^{\N}$ une suite de fonctions qui converge simplement sur $\N$ vers une suite $f\in\R^{\N}$. On suppose l'existence d'une suite sommable positive $\phi\in\R^{\N}$ telle que $\forall n\in\N,\;\forall t\in\N,\;|f_n(t)|\leq\phi(t)$.

Montrer que les suites $f_n$ et $f$ sont sommables et que $\lim_{n\ra+\i}\sum_{k=0}^{+\i}f_n(k)=\sum_{k=0}^{+\i}f (k)$.

Pour tout réel $a$, on pose $\{a\}=a-\lfloor a\rfloor$.

• On fixe un entier $n\geq 1$. Montrer que la fonction $f_n:x\in\R^{+*}\mapsto\left\{\frac{1}{x}\right\}^n$ est continue par morceaux sur $\R^{+*}$ et que l'intégrale $I_n=\int_0^1f_n(x)\,dx$ est convergente.
• Montrer que la famille $\mc{F}=\left(\frac{(-1)^ii}{(i+1)k^{i+1}}\right)_{i\geq 1\atop k \geq 2}$ est sommable et exprimer sa somme $S$ sous la forme d'une série faisant intervenir la fonction $\zeta$.
• Exprimer $I_1$ en fonction de $S$.

• Montrer le theoreme d'integration des séries uniformement convergentes sur un segment.

  • Pour $a,b\in\R$ avec $a\lt b$, $\gamma:[a,b]\ra\C$ de classe $C^1$ et $f\colon\C\ra\C$ continue, on pose $\int_{\gamma}f(z)\,dz=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma'(t)\, dt$. Meme définition lorsque $f$ est a valeurs dans $\M_n(\C)$.

On note, pour $r\gt 0$, $\gamma_r:t\in[0,2\pi]\mapsto re^{it}$.

Soit $F:\C\ra\C$ la somme d'une série entiere de rayon de convergence infini. Soient $a\in\C$ et $r\gt |a|$. Montrer que $f(a)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}\frac{f(z)}{z-a}\,dz$.

• En déduire, pour toute matrice $M\in\M_n(\C)$ et pour $r$ assez grand (à preciser), l'égalité $\exp(M)=\frac{1}{2i\pi}\int_{\gamma_r}e^z(zI_n-M)^{-1}\, dz$.

Soient $E=\mc C^{\i}([0,\pi],\R)$ et $F=\{f\in E,\;f(0)=f(\pi)=0\}$. Soient $\phi,q\in E$, la fonction $q$ etant positive. On note $\alpha$ une primitive de $\phi$. On pose $D(y)=y^{''}+\phi y'-qy$ et $L(y)=-e^{\alpha}D(y)$ pour tout $y\in E$, et $\langle y,z\rangle=\int_0^{\pi}y(x)L(z)(x)\,dx$ pour tous $y,z\in F$.

• Rappeler le theoreme de Cauchy-Lipschitz.
• Montrer que $\langle\;,\;\rangle$ est un produit scalaire sur $F$.
• Soit $h\in E$. Montrer qu'il existe une unique fonction $f_0\in F$ telle que $D(f_0)=h$.

• Soient $E$ un espace euclidien, $U$ un ouvert de $E$, et $f:U\to\R$ une application de classe $\mc C^1$. Rappeler la définition de la différentielle $df(a)$ de $f$ en $a\in U$ et du gradient $\nabla f(a)$, ainsi que l'expression de $\nabla f(a)$ en base orthonormale.
• On munit $\M_n(\R)$ de sa structure euclidienne canonique. Montrer que $\nabla(\mathrm{det})(A)=\mathrm{Com}(A)$.
• Quel est le coefficient de $X$ dans $\chi_A$?
• Déterminer l'espace tangent à $\mathrm{SL}_n(\R)$ en $I_n$.

Soient $A\in\mc{S}_n^{++}(\R)$, $b\in\R^n$ et $J:x\mapsto\frac{1}{2}\langle Ax,x\rangle-\langle b,x\rangle$.

• Montrer que $J$ est strictement convexe.
• Montrer que $J(x)\to+\i$ quand $\lN x\rN\ra +\i$.
• En déduire que $J$ admet un minimum.
• Calculer $\nabla J$ et conclure quant au minimum de $J$.

Soient $(E,\langle\,\ \rangle)$ un espace prehilbertien réel et $F$ un sous-espace vectoriel de dimension finie de $E$.

• Pour tout $x\in E$, exprimer la projection orthogonale de $x$ sur $F$ a l'aide d'une base orthonormale de $F$. Justifier la formule.
• On définit la fonction $d_F:E\setminus F\to\R,x\mapsto d(x,F)$. Montrer que $d_F$ est differentiable, et calculer sa différentielle.

Probabilités

On note $d_n$ le nombre de derangements de $n$ objets, c'est-a-dire le nombre de permutations $\sigma\in\mc{S}_n$ sans point fixe.

_a) i)_Soit $n\in\N$. Montrer $\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}d_{n-k}=n!$.

• Montrer que la série entiere $\sum\frac{d_n}{n!}\,t^n$ a un rayon de convergence superieur ou egal a $1$.

On note $D(t)$ la somme de cette série.

• Calculer $e^tD(t)$.
• En déduire que $d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$.
• Calculer la limite lorsque $n$ tend vers $+\i$ de la probabilité $p_n$ qu'un élément de $\mc{S}_n$ soit un derangement.

_c) i)_Pour $n$ et $p$ entiers naturels, on note $s_n(p)$ le nombre de surjections de $[\![1,n]$ sur $[1,p]$.

Montrer que $p^n=\sum_{k=0}^n\binom{p}{k}s_n(k)$.

• Soit $(x,y)\in\R^2$. Montrer que la famille $\left(s_n(p)\frac{x^p}{p!}\,\frac{y^n}{n!}\right)_{(n,p)\in \N^2}$ est sommable.

Sa somme est notee $S(x,y)$.

• Calculer $e^xS(x,y)$. - En déduire la valeur de $s_n(p)$ dans le cas $n=p$, puis dans le cas général $(n,p)\in\N^2$.

On melange les cartes d'un jeu de $2n$ cartes.

Avec quelle probabilité les cartes de numero impair sont-elles correctement ordonnees?

Pour $A_1,...,A_n$ parties finies d'un ensemble $E$, on admet que

$\left|\bigcup_{i=1}^nA_i\right|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\sum_{1\leq i_1\lt i_2\lt ...\lt i_k\leq n}|A_{i_1}\cap...\cap A_{i_k}|$.

• Expliciter la formule précédente pour $n=2$ et $n=3$.

La demontrer pour $n=2$.

• On définit une fonction $\mu$ sur $\N^*$ par $\mu(1)=1$, $\mu(n)=(-1)^k$ si l'entier $n\geq 2$ s'ecrit $n=p_1...p_k$ ou $p_1$,…, $p_k$ sont $k$ nombres premiers distincts et $\mu(n)=0$ sinon.

Calculer la probabilité que deux entiers choisis aléatoirement dans l'ensemble $\{1,2,...,n\}$ soient premiers entre eux a l'aide de la fonction $\mu$.

Soient $X_1,\ldots,X_n$ des variables aléatoires i.i.d. suivant la loi de Poisson de paramètre 1. On pose $S_n=X_1+\cdots+X_n$ et $T_n=\dfrac{S_n-n}{\sqrt{n}}$.

• Déterminer la loi de $S_n$. Qu'en déduire sur $T_n$?
• Montrer que $\sum_{k\geq 0}\dfrac{k(n^k-1)}{(n+k)!}$ converge et calculer la somme.
• Calculer $\int_0^{+\i}\mathbf{P}(T_n\geq x)\,dx$.

• Rappeler les formules des probabilités totales et composees.

On fixe $d\in\N^*$ et $(U_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires independantes uniformement distribuees sur $\db{1,d}$. Soit $N_d=\inf\{n\geq 2,\ U_n\in\{U_1,\ldots,U_{n-1}\}\}$.

• Quelles sont les valeurs prises par $N_d$?
• Montrer que $\mathbf{P}(N_d\gt k)=\dfrac{d!}{d^k(d-k)!}$ pour tout $k\in\db{0,d}$.
• Pour tout réel $x\gt 0$, calculer $\lim_{d\to+\i}\mathbf{P}\left(\dfrac{N_d}{\sqrt{d}}\gt x\right)$.

• Soient $x\gt 0$ et $X_x$ une variable de Poisson de paramètre $x$. Calculer l'espérance de $X_x$. Montrer que $\mathbf{P}(|X_x-\mathbf{E}(X_x)|\geq\eps x)=O\left(\dfrac{1}{x }\right)$ quand $x\to+\i$.

Soient $\alpha\in\R$ et $u_{\alpha}:x\mapsto\sum_{n=1}^{+\i}\dfrac{n^{\alpha}}{n!}x^n$.

• Déterminer le domaine de définition de $u_{\alpha}$.
• Déterminer $u_1$ et $u_2$.
• Montrer que, pour tout $\alpha\lt 0$, $u_{\alpha}(x)=o\left(\mathrm{e}^x\right)$ quand $x\to+\i$.
• Montrer que, si $\alpha\in]-1,0[$, $u_{\alpha}(x)\sim x^{\alpha}e^x$ quand $x\to+\i$.

Centrale - PSI

Algèbre

Soit $A=\begin{pmatrix}0&c&b\\ -c&0&a\\ -b&-a&0\end{pmatrix}\in\M_3(\R)$. Trouver $\alpha$ pour que $A^3=\alpha A$. Calculer $A^n$ en fonction de $\alpha$.

Soient $E$ un $\R$-espace vectoriel et $f\in\mc{L}(E)$. On suppose qu'il existe $a,b\in\R$ avec $a\neq b$ tels que $:(f-a\op{id})\circ(f-b\op{id})=0$.

• Déterminer $\lambda,\mu\in\R$ tels que $\lambda(f-a\op{id})$ et $\mu(f-b\op{id})$ soient des projecteurs.
• Montrer que $\text{Ker}(f-a\op{id})=\text{Im}(f-b\op{id})$.
• Déterminer $f^n$ pour $n\in\N$.

Soit $A\in\M_2(\Z)$.

• On suppose $A$ inversible. Montrer que $A^{-1}\in\M_2(\Z)$ si et seulement si $\text{det}(A)\in\{-1,1\}$.
• On suppose qu'il existe $p\in\N^*$ tel que $A^p=I_2$. Montrer que $A$ est inversible, et que $A^{-1}$ est a coefficients entiers. Montrer qu'il n'existe qu'un nombre fini de polynomes caracteristiques possibles pour $A$.

Soit $A=\left(\begin{array}{ccc}3&-1&2\\ 2&0&1\\ 1&-1&2\end{array}\right)$.

• Montrer que $A$ a une valeur propre double $a\gt 0$ et une simple $b\gt 0$. La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
• Soit $f$ une fonction de $\R^{+*}$ dans $\R$ de classe $\mc C^2$. Montrer qu'il existe un unique polynome $P_f\in\R_2[X]$ tel que $:P_f(a)=f(a),P_f(b)=f(b),P'_f(a)=f'(a)$.
• Pour toute fonction $f\in\mc C^2(\R^{+*},\R)$, on pose $f(A)=P_f(A)$. Calculer $f(A)$ dans les cas ou $f:x\mapsto x^2$, puis $f:x\mapsto x^3$.
• Desormais on prend $f:x\mapsto\dfrac{1}{x}$. Conjecturer la valeur de $Af(A)$ et prouver cette conjecture.

Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales.

Si $P\in E$, on pose $L(P):x\mapsto e^{-x}\int_{-\i}^xP(t)\,e^t \dt$.

• Montrer que $L$ est un endomorphisme de $E$.
• Trouver les éléments propres de $L$.

On munit $\R^3$ de sa structure euclidienne canonique. Soient $u=\left(a,b,c\right)^T$ un vecteur unitaire de $\R^3$. On note $D$=$\text{Vect}(u)$ et $p$ la projection orthogonale sur $D$.

• Experimer $p(v)$ pour tout vecteur $v=\left(x,y,z\right)^T\in\R^3$

Autres écoles

Soit $f\in\mc L(\R^4)$ telle que $f\circ f = \tilde{0}$. Montrer que $\rg f\leq 2$.

1. Soient $n\in\N^*$ et $u,v$ deux endomorphismes nilpotents non nuls de $\R^n$ qui commutent. Montrer que $\rg (u\circ v )\lt \rg v$.
2. Montrer que la composée de $n$ endomorphismes nilpotents de $\R^n$ qui commutent deux à deux est nulle.

Convergence de $\sum \frac{(-1)^n}{\sqrt{n^{2\a} + (-1)^n}}$.

Soit $S\colon x\mapsto \sum_{n=0}^{+\i} \frac{(-1)^n}{n! (x+n)}$.

1. Montrer que $S$ est définie sur $\interval]{0, +\i}[$.
2. Calculer $S(1)$ et en déduire que $\forall x\gt 0,\, xS(x) = \frac{1}{e}+S(x+1)$.
3. Montrer que $S(x)\sim \frac{1}{x}$, quand $x\ra 0$.

Soit $A$ une matrice $2\times 2$ dont les quatre coefficients sont des variables aléatoires indépendantes de loi uniforme sur $\{-1,0,1\}$. Calculer la probabilité que $A$ soit inversible, puis que $A$ soit de rang $1$.

On rappelle que $\begin{pmatrix}a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$.